Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Методические указания к выполнению типового расчета

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ульяновский государственный технический университет

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК. МЕТОД ФУРЬЕ. Методические указания к выполнению типового расчета

Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Ульяновск 2001

2 УДК 517.958(075) ББК 22.311я73 У 68 Рецензент: доцент кафедры механики и теории управления УлГТУ, канд.физ.-мат. наук В.Л. Леонтьев Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Методическое указания./ Сост. П.А. Вельмисов, Т.Б. Распутько. - Ульяновск: УлГТУ, 2001.-24 с. Методическое указания предназначены для студентов инженерных специальностей УлГТУ, изучающих раздел "Уравнения математической физики" в рамках курса высшей математики. Служит руководством для выполнения типового расчета по данной теме, предлагаемого "Сборником заданий по специальным курсам высшей математики" (М.: Высшая школа, 1983, автор Чудесенко В.Ф.). Работа подготовлена на кафедре "Высшая математика" УлГТУ

УДК 517.958(075) ББК 22.311я73

© Ульяновский государственный технический университет, 2001

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………...................……………………………………....... 1. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка и приведение их каноническому виду. Указания к задачам №2, №3 .…….......................................................…… 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Указания к задачам № 4 .....................................................................……. 3. Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке. Указания к задаче №9 ........................................................................…….. … 4. Первая смешанная задача для волнового уравнения в прямоугольнике. Указания к задаче №10 ....................................................………………… 5. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке. Указания к задаче №12 ........................................................……. Приложение: Некоторые формулы интегрирования ……………………..… Список литературы ………………………………………………............……

4

4 8 11 13 17 20 21

4 ВВЕДЕНИЕ Методическое указание предназначены для студентов высших технических учебных заведений, и являются руководством для выполнения типового расчета "Уравнения математической физики", предлагаемого в сборнике [5]. Приведены образцы решения №№2, 3, 4, 9, 10, 12, при этом номера задач в данном методическом пособии соответствуют номерам задач в сборнике [5]. Задачи №2 и №3 решены методом характеристик, задачи №№4, 9, 10, 12 - методом Фурье.

1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2го ПОРЯДКА И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Указания к задачам №2, №3 Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка для функций двух переменных u = u ( x, y ) имеет вид: a11u xx + 2a12 u xy + a 22 u yy + b1u x + b2 u y + cu + f = 0 (1.1) где a11 , a12 , a 22 , b1 , b2 , c, f - функции переменных x и y , при этом среди коэффициентов a11 , a12 , a 22 , b1 , b2 , c, f есть отличные от нуля. В уравнении (1.1) от переменных x, y перейдем к новым переменным ξ , η по формулам ξ = ϕ ( x, y ), η = ψ ( x, y ) Пусть функции ϕ ( x, y ),ψ ( x, y ) дважды дифференцируемы в области D плоскости xOy и якобиан перехода отличен от нуля: J ( x, y ) =

ξx ξy ηx η y

≠ 0 в любой точке области. Тогда имеют место сле-

дующие формулы: u x = uξ ⋅ ξ x + uη ⋅ η x , u y = uξ ⋅ ξ y + uη ⋅ η y , u xx = uξξ ⋅ ξ x2 + 2uη ⋅ ξ xη x + uηη ⋅ η x2 + uξ ⋅ ξ xx + uη ⋅ η xx , u xy = uξξ ⋅ ξ x ⋅ ξ y + uξη (ξ xη y + ξ yη x ) + uηη η xη y + uξ ⋅ ξ xy + uη ⋅ η xy ,

(1.2)

u xy = uξξ ⋅ ξ y2 + 2uξη ξ yη y + uηη η y2 + uξ ⋅ ξ yy + uη ⋅ η yy ,

Подставляя значения производных из (1.2) в уравнение (1.1), будем иметь уравнение:

5

a11uξξ + 2a12 uξη + a 22 uηη + F = 0,

(1.3)

a11 = a11ξ x2 + 2a12ξ x ξ y + a 22ξ y2 ,

(1.4)

где a12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a 22ξ yη y , a 22 = aηη x2 + 2a12η xη y + a 22η 2y ,

(1.5) (1.6)

при этом через F обозначено выражение, не зависящее от вторых производных функций u . ТЕОРЕМА. Если функция z = ϕ ( x, y ) является решением уравнения a11 z x2 + 2a11 z x z y + a 22 z 2y = 0 ,

(1.7)

то соотношение ϕ ( x, y ) = C ( C - производная константа) является общим интегралом обыкновенного дифференциального уравнения: a11 ( y ′) 2 − 2a12 y ′ + a 22 = 0 (1.8) (здесь y = y ( x), y ′ = dy / dx ). Обратно, если ϕ ( x, y ) = C есть общий интеграл уравнения (1.8), то функция z = ϕ ( x, y ) является решением уравнения (1.7). Уравнение (1.8) называется характеристическим для уравнения (1.1), а кривые, определяемые соотношением ϕ ( x, y ) = C - характеристиками. Уравнение (1.8) распадается на два уравнения ( a11 ≠ 0 ). 2 dy a12 ± a12 − a11 a 22 y′ = = (1.9) dx a11 Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1.1). Уравнение (1.1) называется уравнением гиперболического типа в области D , если в любой точ2 − a11 a 22 > 0 . В этом случае через каждую точке выполняется неравенство a12 ку области D проходят 2 различные характеристики. Уравнение (1.1) называется уравнением эллиптического типа в области D , если в области 2 − a11 a 22 < 0 . В этом случае имеются 2 различные выполняется неравенство a12 комплексные характеристики. Уравнение (1.1) называется уравнением 2 параболического типа в области D , если a12 − a11 a 22 = 0 . Тогда имеется только одна действительная характеристика. Линейное уравнение в частных производных 2 порядка называется заданным в канонической форме, если оно имеет вид: u xy = Ф (гиперболического типа) (1.10)

u xч + u yy = Ф (эллиптического типа)

(1.11)

u yy = Ф (параболического типа)

(1.12)

6

Здесь Ф есть выражение, не зависящее от вторых производных функции u . Всякое уравнение (1.1) с помощью перехода к новым переменным ξ , η методом характеристик может быть приведено к каноническому виду. 1. Пусть в области D плоскости xOy выполняется неравенство 2 a12 − a11 a 22 > 0 , т.е. уравнение (1.1) относится к гиперболическому типу. Тогда характеристическое уравнение (1.8) распадается на два различных действительных уравнения (1.9), каждое первого порядка. Пусть ϕ ( x, y ) = C и ψ ( x , y) = C общие интегралы уравнений (1.9). Положим ξ = ϕ ( x , y), η = ψ ( x , y) . Тогда согласно теореме 1.1 и формулам (1.4) и (1.6) бу-

деь иметь a11 = 0 и a22 = 0 . Значит уравнение (1.1) примет канонический вид: uξη = Ф . ЗАДАЧА №3.31. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническую виду: 2uxx + 5ux y − 3uyy = 0 (1.13) 5 49 2 − a11a22 = > 0. РЕШЕНИЕ. Имеем: a11 = 2, a12 = , a22 = −3, a12 4 2 Значит, уравнение гиперболического типа на всей плоскости xOy . Характери-

стическое уравнение (1.8) имеет вид: 2( y ′)2 − 5 y ′ − 3 = 0. Обозначив t = y ′, то 1 получим квадратное уравнение 2t 2 − 5t − 3 = 0 . Его решения есть t1 = 3, t 2 = − 2 (различные действительные решения). Возвращаясь к y ′ , получаем два обыкновенные дифференциальных уравнения 1-го порядка: y ′ = 3 и y ′ = −1 / 2 . Решаем их: y ′ = 3 ⇔ y = 3x + C ⇔ y − 3 x = C , y ′ = −0,5 ⇔ t = −0,5x + C ⇔ y + 0,5x = C . Согласно методу характеристик введем новые переменные ξ, η по формулам: ξ = y − 3x , η = y + 0,5x . Находим их частные производные: ξx = −3, ξy = 1, ξx x = 0, ξxy = 0, ξyy = 0 ,

ηx = 0,5, η y = 1, ηx x = 0, ηx y = 0, η yy = 0 . Подставляем производные в формулы (1.2), получаем: ux = −3uξ + uη ⋅ 0,5, ux = uξ + uη , uxx = 9uξξ − 3uξη + 0,25uηη , uxy = −3uξξ − 2,5uξη + 0,5uηη , u yy = uξξ + 2uξη + uηη .

Подставляем uxx , u yy , uxy в (1.13), получаем: 2(9uξξ − 3uξη + 0,25uηη ) + 5( −3uξξ − 2,5uξη + 0,5uηη ) − 3(uξξ + 2uξη + uηη ) = 0. Приводя подобные слагаемые, мы приходим к уравнению в канонической форме: − 24,5uξη = 0 или uξη = 0 .

7 Для решения уравнения запишем его в виде:

∂ 2u ∂  ∂u  = 0 или   = 0. ∂ξ  ∂η  ∂ξ∂η

∂u = h(η) , где h(η) - произвольная функция, зависящая только от η . ∂η Интегрируя по переменной η , находим: u = u(ξ, η) = ∫ h(η)dη = = f (η) + g(ξ ) где f ′(η) = h(η) , а g функция зависит только от ξ . Итак, общее решение уравОтсюда

нения (1.13) есть: u( x , y) = f ( y + 0,5x ) + g( y − 3x ) , где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции. 2 − a11 ⋅ a22 = 0 , т.е. уравнение (1.1) относится к па2. Пусть в области D: a12 a раболическому типу. Характеристическое уравнение только одно: y ′ = 12 . a11 Пусть ϕ ( x, y ) = C - его общий интеграл. Положим ξ = ϕ ( x , y ) , а в качестве η = ψ (x , y ) возьмем произвольную функцию, такую, что J ( x , y) = ξx ⋅ ηy − ξy ⋅ ηx ≠ 0 . Тогда уравнение (1.1) примет вид: uηη = Ф . ЗАДАЧА № 2.31. Найти общее решение уравнения 49ux x − 14ux y + uyy + 14ux − 2uy = 0 . РЕШЕНИЕ.

Здесь

(1.14)

a11 = 49, a12 = −7, a22 = 1, b1 = 14, b2 = −2, c = f = 0,

2 a12 − a11 ⋅ a22 = 0 . Уравнение параболического типа. Характеристическое урав-

нение есть: 49( y ′) 2 + 14 y ′ + 1 = 0 . Т.к. дискриминант этого уравнения равен 0 , x x 1 то y ′ = , y = − + C , y + = C -только одна группа характеристик. Полагаем 7 7 7 x ξ = y + . Функцию η выбираем произвольно: η = x (проверяя, однако, усло7 1 вие: J ( x , y) = ξx η y − ξy ηx = 0 − 1 ⋅1 = −1 ≠ 0 ). Находим частные производные: 7 1 ξx = , ξy = 1, ξxx = 0, ξyy = 0, ξx y = 0, ηx = 1, η y = 0 , ηx y = 0, η yy = 0 и подстав7 ляем их формулы (1.2): 1 2 1 1 u xx = uξξ + uξη + uηη , u xy = uξξ + uξη , u yy = uξξ , u x = uξ + uη , u y = uξ . 49 7 7 7 Подставляя ux , uy , uxx , uxy , uyy в уравнение (1.14), получаем: 2 1  1  1  49 uξξ + uξη + uηη  − 14 uξξ + uξη  + uξξ + 14 uξ + uη  − 2uξ = 0 .  49  7  7  7 Раскрывая скобки и приводя слагаемые, приходим к уравнению в канонической форме: 49uηη +14 uη = 0 или 7uηη +2uη = 0 . При всяком фиксированном ξ

это линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициента2 ми; его характеристическое уравнение есть 7r 2 + 2r = 0 или r1 = 0, r2 = − ; по7

8 этому общее решение имеет вид u = u(ξ, η)C1 (ξ ) + C 2 (ξ ) e −2η / 7 , где C1 (ξ ) и C 2 (ξ) - произвольные функции переменной ξ . Возвращаясь к прежним переменным, имеем: x x   u( x , y)C1  y +  + C 2  y +  e − 2x / 7 , где C1C 2 - произвольные дважды диф  7 7 ферецируемые функции. 2 − a11 ⋅ a22 < 0 уравнение (1.1) относится к эллип3. Пусть в области D: a12 тическому типу, характеристическое уравнение распадается на 2 различных комплексных уравнения. Рассмотрим только одно из этих уравнений, пусть ϕ ( x , y) = C -его общий интеграл. Положим ξ = R e ϕ ( x , y), η = Jm ψ ( x , y) (т.е ξ есть действительная часть, а η есть мнимая часть функции ϕ ( x , y) ). Тогда уравнение (1.1) примет вид uξξ + uηη = Φ . ПРИМЕР 1.1 Привести уравнение к каноническому виду: uxx − 2uxy + 2u yy = 0 .

(1.15)

РЕШЕНИЕ. Характеристическое уравнение есть: ( y ′) 2 + 2 y ′ + 2 = 0 . Обозначив t = y ′ , получим квадратное уравнение t 2 + 2t + 2 = 0 ; его решения t12 = −1 ± − 1 = −1 ± i -комплексные числа, Тогда y ′ = −1 ± i . Рассмотрим только одно уравнение: y ′ = −1 + i . Его общее решение: y = ( −1 + i) x + C или y + x − ix = C . Здесь ϕ ( x , y) = y + x − ix . Обозначим: ξ = R e ϕ ( x , y) = y + x , η = Jm ϕ ( x , y) = − x . Находим производные: ξx = ξy = 1, ηx = −1, ηy = 0 все вторые производные равны нулю. Получаем по формулам (1.2): uxx = uξξ − 2uξη + uηη , uxy = uξξ − uξη , u yy = uξξ . Подставляем в (1.15):

( uξξ − 2uξη + uηη ) − 2( uξξ − uξη ) + 2uξξ или uξξ + uηη = 0 .

2. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ Указания к задаче №4 ЗАДАЧА № 4.31. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: ∆u = 0, 0 ≤ r < 3, u

r=3

= −ϕ 2 + 2πϕ .

РЕШЕНИЕ. Функция u = u( r, ϕ ) зависит от двух переменных r, ϕ причем r, ϕ есть полярные координаты точки на плоскости. Оператор Лапласа ∆u в 1 1 полярных координатах имеет вид: ∆u = urr + ur + 2 uϕϕ Поэтому исходное r r

9 уравнение есть: r 2 urr + r ⋅ ur + uϕϕ

(2.1)

По условию задачи r ∈[0;3) , функция u является периодической по ϕ с периодом T = 2π . Кроме того, дано граничное условие при: r = 3 u = −ϕ 2 + 2πϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π ) (2.2) Согласно методу Фурье решение уравнения (2.1) будем искать в виде произведения двух функций: u = u( r, ϕ ) = R ( r) ⋅ Φ(ϕ ) , причем функция R зависит только от переменного r , а функция Φ зависит только от ϕ . В этом случае ur = R ′( r) ⋅ Φ(ϕ ), urr = R ′′( r) ⋅ Φ(ϕ ), uϕϕ = R ( r) ⋅ Φ ′′(ϕ ) , уравнение (2.1) принимает вид: r 2 R ′′(r) Φ(ϕ ) + rR ′(r) Φ(ϕ ) + R (r) Φ ′′(ϕ ) = 0 . Разделим переменные в этом соотношении:

(

)

Φ(ϕ ) r 2 R ′′(r) + rR ′(r) + R (r) Φ ′′(ϕ ) = 0,

(2.3) Φ ′′(ϕ ) r 2 R ′′(r) + rR ′(r) − = . Φ(ϕ ) R ( r) Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных (левая часть (2.3)зависит только от ϕ , а правая часть - только от r ). Значит, каждая из этих функций есть константа: Ф ′′(ϕ ) r 2 R ′′ (r ) + rR ′(r ) = = λ = const . Ф(ϕ ) R(r )

Соотношение (2.4) равносильно системе уравнений: Ф′′ ( ф ) + λФ( ф ) = 0 ,

(2.4)

(2.5) r R ′′ ( r ) + rR ′ ( r ) − λR ( r ) = 0 . (2.6) Уравнение (2.5) относительно функции Ф(ϕ ) есть обыкновенное линейное дифференциальное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Значит, его общее решение имеет вид: а) если λ = 0, то Ф( ф ) = С1ϕ + С2 ; в) если λ < 0, , то Ф(ϕ ) = С1e − λϕ + C2 e− − λϕ ; с) если λ > 0, ,то Ф( ф ) = C1 cos λϕ + C2 sin λϕ ( C1 , C2 -константы). По условию задачи ϕ есть полярный угол точки, поэтому функция Ф(ϕ ) периодическая с периодом 2π . Это условие выполняется лишь в случае, когда Ф(ϕ ) = С = сonst , , и когда λ > 0, λ = n - натуральное число. В итоге решение уравнения (2.5) может быть записано в виде: Ф(ϕ ) = Фт (ϕ ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ , где n = 0,1,2 ,..., An и Bn - произвольные постоянные. Уравнение (2.6) есть линейное однородное уравнение 2 порядка. Это уравнение Эйлера. Его решают с помощью подстановки τ = Jnr : 2

R ′(r ) =

dR dR dτ dR 1 d 2 R d  dR  d  dR 1  ⋅ = = ⋅ = ⋅ ; =  =  dr dτ dr dτ r dr  dr  dr  dτ r  dr 2

d  dR  1 = ⋅ + dr  dτ  r

dR d  1  d 2 R 1 dR 1 ⋅ ⋅  = ⋅ − ⋅ . dτ dr  r  dτ 2 r 2 dτ r 2

10 Подставляя в уравнение (2.6) и приводя подобные, получаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами: R ′′(τ ) − λR (τ ) = 0 (2.7) При λ = 0 получаем: R(τ ) = A0 + B0τ = A0 + B0 ⋅ Lnr , где A0 , B0 - произвольные константы. Так как при r стремящимся к нулю Lnr → −∞ , а расчетная область включает точку r = 0 , то следует положить B0 = 0 . Далее, при λ = n 2 ≠ 0 R (τ ) = C e nτ + C e nτ = C r n + C r − n (где C1n , C2 n -произвольные кон1n

1n

2n

2n

станты). Второе слагаемое здесь следует отбросить опять же в силу ограниченности решения при r = 0 . Вывод: ограниченные в круге решения есть R ( r ) = A0 = Const или Итак, существуют решения R (r ) = C r n . 1n

(выбрали C1n = 1 ), функция u = u( r ,ϕ ) таким образом, в силу линейности уравнения (2.1), может быть задана в виде: u = A0 , u = ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ) r

n

∞

u(r ,ϕ ) = A0 + ∑ ( An cos nϕ + Bn sin nϕ )r n , n =1

(2.8)

где A0 , An , Bn - произвольные постоянные. Для нахождения коэффициентов воспользуемся граничным условием (2.2): подставим r = 3 в обе части (2.8), получим разложение функции (−ϕ 2 + 2πϕ ),ϕ ∈ [ 0;2π ] , в ряд Фурье: ∞

− ϕ 2 + 2πϕ = A0 + ∑ ( 3n An cos nϕ + 3n Bn sin nϕ n =1

Найдем коэффициенты Фурье: 2π 1 2π  1  ϕ3 2 2 2    − + 2 = − + ϕ πϕ πϕ A0 = dy = π2, ) ∫  2π 0  2π  3  0 3 2π 1 2π 1 2π 2 2 3 ⋅ An = ∫ − ϕ + 2πϕ cos nϕdϕ = − ∫ ϕ cos nϕdϕ + 2 ∫ ϕ cos nϕdϕ = n

π

0

(

)

π

0

0

 2π 2ϕ 1 ϕ 2 2 sin nϕ + 2 cos nϕ − 3 sin nϕ  + =−  π n n n  0 4 1 ϕ  2π + 2 sin nϕ + 2 cos nϕ  = − 2 ; n  0 n n 2π 1 2π 1 2π 3n ⋅ Bn = ∫ − ϕ 2 + 2πϕ sin nϕdϕ = − ∫ ϕ 2 sin nϕdx + 2 ∫ ϕ sin nϕdϕ =

π

0

(

)

π

0

 2π 2ϕ 1  ϕ2 2 cos nϕ + 2 sin nϕ − 3 cos nϕ  + = − − π n n n  0 1  ϕ  2π + 2 − cos nϕ + 2 sin nϕ  = 0  n  0 n

0

(2.9)

11 Здесь мы воспользовались таблицей интегралов из приложения и соотношениями: sin = 0, cos 0 = 1, sin 2πn = 0, cos 2πn = 1 ( n - натуральное число). Таким 2 4 образом, A0 = π 2 , An = − 2 n , Bn = 0 . Подставим эти значения в (2.8), полу3 n 3 чим в итоге: ∞ cos nϕ 2 u(r , ϕ ) = π 2 − 4 ∑ 2 n ⋅ r n , где 0 ≤ r ≤ 3, − ∞ < ϕ < +∞. 3 n =1 n 3

3.ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ Указания к задаче № 9 ЗАДАЧА №9.31. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке: 9 u tt = u xx ,0 < x < 1,0 < t < +∞ , (3.1) 4 u ( x ,0) = x ( x − 1), u t ( x ,0) = 0, (3.2) u ( 0, t ) = 0, u (1, t ) = 0. (3.3) РЕШЕНИЕ. Согласно методу Фурье решение уравнений (3.1) ищем в виде: u = u( x , t ) = X ( x ) ⋅ T (t ) .Тогда u t = X ( x ) ⋅ T ′(t ), u tt = X ( x ) ⋅ T ′′(t ), u x = X ′( x ) ⋅ T (t ), u xx = X ′′( x ) ⋅ T (t ) . После 9 подстановки в уравнение имеем: X ( x )T ′′ ( t ) = X ′′ ( x ) T (t ) , или, если разделить 4 переменные: X ′′ ( x ) T ′′ ( t ) (3.4) = = − λ = Const . X (x ) T (t )9 / 4 Получаем два уравнения: (3.5) X ′′( x ) + λX ( x ) = 0, 9λ (3.6) T ′′ ( t ) + T (t ) = 0 . 4 Граничные условия (3.3) дают: X ( 0)T ( t ) = 0, X (1) T ( t = 0) , значит X (0) = X (1) = 0 .Таким образом, требуется найти ненулевые решения уравнения (3.5), удовлетворяющие условиям X (0) = X (1) = 0 . Уравнение (3.5) есть линейное однородное уравнение; его характеристическое уравнение: k 2 + λ = 0 , поэтому различают 3 случая: а) Пусть λ = 0 . Тогда k 2 = 0, k 1 = k 2 = 0 ; общее решение уравнения (3.5) имеет вид: X ( x ) = A + Bx где A, B = const . Условия X ( 0) = 0, X (1) = 0 дают:

12 A = 0, A + B = 0 , откуда A = B = 0 , значит, X ( x ) = 0 . Это тривиальное решение. в) Пусть λ < 0 . Тогда k 1.2 = ± − λ - два различных действительных корня;

X ( x ) = C1 e −

− λx

. Из условий X ( 0) = 0, X (1) = 0 следует, что C1 + C2 = 0 и

C1 e − λ + C2 e − − λ = 0 . Решая полученную систему уравнений, находим C1 = C2 = 0, X ( x ) = 0 - опять тривиальное решение.

с) Пусть λ = 0. Тогда k 1.2 = ±i λ комплексные корни, X ( x ) = C1 cos λx + C2 sin λx где C1 , C2 - произвольные постоянные. Из условия X ( x ) = 0 следует, что 0 = C1 и X ( x ) = C2 sin λx . Из условия X (1) = 0 получаем: 0 = C2 sin λ , отсюда sin λ = 0, λ = πn , λ = π 2 n 2 , где n произвольное натуральное число. Значит, X ( x ) = C2 sin πnx - это решение уравнение (3.5). Уравнение (3.6) при λ = π 2 n 2 имеет характеристическое уравнение 3πnt 3πnt 9 3 k 2 + π 2 n 2 = 0 , значит k 1.2 = ± πni , и T ( t ) = An cos + Bn sin , где 2 2 4 2 An , B n - произвольные константы. Таким образом, решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничным условиям (3.3), имеет вид: ∞ 3πnt 3πnt  u ( x , t ) = ∑  An cos + Bn sin (3.7)  sin πnx. 2 2  n =1 Находим производную: ∞ 3πnt 3πn 3πnt   3πn ut ( x , t ) = ∑  − A n sin + B n cos  sin πnx . (3.8) 2 2 2 2  n=1 Согласно второму из условий (3.2) ut ( x ,0) = 0 . Пологая в t = 0 получаем: ∞ 3πn 0 = ut ( x ,0) = ∑ B n sin πn, x ( x ∈ [01 , ]) отсюда B n = 0, n = 1,2.... . Согласно перn=1 2 вому из условий (3.2) u( x ,0) = x ( x − 1) = x 2 − x . Полагая в (3.7) t = 0 , приходим к соотношению: ∞

x 2 − x = u( x ,0) = ∑ A n sin πnx n=1

( x ∈[01; ])

(3.9)

Соотношение (3.9) представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам функции x2 − x на отрезке [01;] . Как известно, если

2l πnx f ( x ) sin dx ( f ( x ) - непрерывная ∫ l l l n=1 0 на [01 ; ] функция). В данном случае l = 1 , имеем: ∞

f ( x ) = ∑ A n sin

πnx

, x ∈[0; l] , то f ( x ) =

13 1

(

)

1

1

0

0

A n = 2∫ x 2 − x sin πnx dx = 2∫ x 2 sin πnx dx − 2∫ x sin πnx dx = 0

 x2 1 2x 2 = 2 − cos πnx + 2 2 sin πnx + 3 3 cos πnx  −  πn 0 π n π n 1 2  x 1  x  − 2 − cos πnx + 2 2 sin πnx  = 2 − cos πnx + 3 3 (cos πn − 1) +  πn 0  πn  π n π n 2 4 + cos πn = 4 4 (cos πn − 1) πn π n При вычисление A n мы воспользовались формулами из приложения и соотношениями: sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin πn = 0 . Подставляя полученные значения A n и B n в (3.7), находим решение задачи: ∞ 4(cos πn − 1) 3πnt u( x , t ) = ∑ cos sin πnx , где 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t < +∞ . 2 π 3 n3 n=1

4. ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Указания к задаче № 10 ЗАДАЧА №10.31. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике: utt = 49∆u (4.1) u t =0

= x y( 7 − x )(2 − y), ut

u x =0

=u

y =0

=u

x =7

=u

t =0

y =2

= 0,

= 0,

(4.2) (4.3)

РЕШЕНИЕ. Функция u = u( x , y, t ) зависит от трех переменных: координат точки x , y и времени t , при этом x ∈[0;7], y ∈[0;2], t ∈[0;+∞) . Условия (4.2) называются начальными условиями, а условия (4.3)-граничными. В уравнении (4.1) через ∆u обозначен оператор Лапласа: ∆u = uxx + uyy , поэтому уравнение

(4.1) имеет вид: utt = 49( uxx + u yy )

(4.4)

Согласно методу Фурье решение уравнения ищем в виде произведения двух функций: u(x , y, t ) = V ( x , y)T (t ) , где V зависит только от x и y , а функция T зависит только от t . Подставляя u = V ( x , y)T (t ) в уравнение (4.4), получаем:

14

(

)

V ( x , y)T ′′(t ) = 49 V x x ( x , y)T (t ) + V yy ( x , y)T (t ) ; Отсюда в результате разделения

переменных будем иметь:

T ′′(t ) V x x ( x , y) + V yy ( x , y) = = λ = Const V ( x , y) 49T (t ) Согласно (4.5) имеем два уравнения: T ′′(t ) − 49λT (t ) = 0 , V x x ( x , y) + V yy ( x , y) − λV ( x , y) = 0 ,

(4.5) (4.6) (4.7)

Функцию V ( x , y) будем искать в виде произведения:V ( x , y) = X ( x )Y ( y) ; подV ( x , y) в (4.7), получаем уравнение: ставляя X ′′( x )Y ( y) + X ( x )Y ′′( y) − λX ( x )Y ( y) = 0 , или, разделяя переменные: X ′′( x ) Y ′′( y) − λY ( y) (4.8) = = µ = Const X (x ) Y ( y) Из (4.8) получаем два уравнения: X ′′( x ) − µX ( x ) = 0, (4.9) Y ′′( y) + ( µ − λ )Y ( y) = 0 (4.10) Функция u(x , y, t ) = X ( x )Y ( y)T (t ) удовлетворяет нулевым граничным условиям (4.3), поэтому функции X ( x ) и Y ( y) также удовлетворяют нулевым граничным условиям: X (0) = X ( 7) = 0 (4.11) Y (0) = Y (2) = 0 (4.12) Каждое из уравнений (4.6), (4.9), (4.10) является линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение (4.9) имеет характеристическое уравнение k 2 − µ = 0 ; его решение зависит от знака числа µ . Рассмотрим три случая: а) µ = 0 . Тогда k1 = k 2 = 0 , значит, общее решение уравнения (4.9) есть X ( x ) = C 1 x + C 2 ,где C 1 , C 2 - произвольные константы. Однако условиям (4.11) удовлетворяет только решение X (x ) = 0 . в)

µ > 0 . Тогда k1, 2 = ± µ

X(x) = C1e

µx

+ C2e-

µx

. Легко убедиться в том,

что условиям (4,11) удовлетворяет только решение Х(х)=0(т.е. C1 = C 2 = 0 с) µ < 0 . Тогда k = ±i − µ , X(x) = C1 cos − µx + C 2 sin − µx . Условия (4.11) дают: при

x = 0 X(0) = 0 , значит,

0 = C1 ; при x=7 X(7)=0, значит,

0 = C 2 sin − µ 7 , sin 7 − µ =0, поэтому 7 − µ = πn , где n – произвольное нату2

πnx  πn  ральное число. Отсюда µ = −  , Χ( x) = C 2 sin . 7  7  Решаем уравнение (4.10). Его характеристическое уравнение есть

15 k 2 + µ − λ = 0.

Следует рассмотреть три случая: а) µ − λ = 0 , в) µ - λ < 0 ,с) µ − λ > 0 . Легко убедиться в том, что уравнение (4.10) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие, условиям (4.12), только тогда, когда µ − λ >0. Пусть µ − λ = ν 2 >0. Тогда Y(y)= D1 cosνy + D2 sin νy ; так как У(0)=0, то D1 = 0 ; так как У(2)=0, то 0= D2 sinv2, sin2v=0, значит, 2v= πm где m=1,2,3,.... В итоге ν = D2

πm

,µ − λ =

π 2m2

, Y ( y ) = D2 sin

πmy

, где 2 2 4 - произвольное число. Решаем уравнение (4.6). Ранее мы вычислили 2

2

2

2

 πm   πm   πn   πm  µ = −  , µ − λ =   , поэтому λ = −  −   . Так как λ < 0 ,то  7   2   7   2  решение уравнения (4.6) есть: T (t ) = A cos 7 kt + B sin 7 kt ,где 49 λ >0, n2 m2 . k = −λ =π + 49 4

В итоге решение уравнения (4.1) получили в виде двойного ряда Фурье: u(x, y, t) =

∞ ∞

∑ ∑ ( Anm cos 7kt + Bnm sin 7kt )sin

n =1m =1

При этом мы положили C 2 =1, D2 =1, т.к. A = Anm

πnx

πmx

. (4.13) 7 2 и В= Bnm -произвольные sin

числа. Функция u ( x, y, t ) , заданная соотношением (4.13), удовлетворяет уравнению (4.1) и граничным условиям (4.3). Потребуем, чтобы u ( x, y, t ) удовлетворяла начальным условиям (4.2). Находим производную u t ( x, y, t ) : u t ( x, y , t ) =

∞ ∞

∑ ∑ (− Anm 7k sin 7kt + Bnm 7k cos 7kt ) sin

n =1m =1

πnx 7

sin

πmy 2

. (4.14)

Подставляя в обе части (4.14) t=0 и используя второе из условий (4.2), получа∞ ∞ πnx πmy ем: 0 = ∑ ∑ Bnm 7 k sin sin , откуда B nm = 0 . Далее, начальное условие 7 2 n =1 m =1 u(x, y,0) = xy(x - 7)(y - 2) дает разложение в двойной ряд Фурье по синусам: xy(x - 7)(y - 2) =

∞ ∞

∑ ∑ Anm sin

n =1m =1

πnx 7

sin

πmy 2

Используем следующее утверждение: если f(x,y) = для 0 ≤ x ≤ l,0 ≤ y ≤ τ ,то

,0 ≤ x ≤ 7,0 ≤ y ≤ 2

∞ ∞

∑ ∑ Anm sin

n =1m =1

πnx e

sin

πmy τ

(4.15)

16 A nm =

4 lτ

∫ ∫ f ( x, y ) sin D

где D есть прямоугольник: D = [0, l;0,τ ].

πnx l

sin

πmy dxdy τ

(4.16)

В данном случае l = 7,τ = 2, f(x, y) = xy(x - 7)(y - 2) . Согласно (4.16) из формулы (4.15) следует: 4 πnx πmy A nm = xy ( x − 7)( y − 2) sin dxdy = sin ∫ ∫ 7⋅2 D 7 2

πnx πmy 27 2 = ∫ dx ∫ xy ( x − 7)( y − 2) sin sin dy = 70 0 7 2

(4.17)

27 πnx 2 πmy x ( x − 7 ) sin dx ∫ y ( y − 2) sin dy ∫ 70 7 2 0 Вычисляем каждый из интегралов, используя формулы из приложения, πm πn для I -го интеграла и α = для второго: положив α = 7 2 7 7 7 πnx πnx πnx 2 − = − ( 7 ) sin sin 7 x x dx x dx x sin dx = ∫ ∫ ∫ 7 7 7 0 0 0  7x2 πnx 2 x ⋅ 49 πnx 2 ⋅ 343 πnx  7 =  − + + cos cos sin 2 3 0− 7 7 7 π n ( ) ( ) π n π n    7x 49 πnx πnx  7 − 7 cos + sin 2 0 = 7 π n 7 ( ) π n   343 686  49  = cos πn + (cos πn − 1) − 7 − cos πn  = 3 πn  πn  (πn) =

2

686 (πn)

3

(cos πn − 1)

Аналогично, ∫ y ( y − 2) sin

πmy

16

(cos πm − 1). Подставляя найденные 3 2 (πm) 0 значения в (4.17), получаем: 2 686 16 3136 Anm = (cos π n − 1 ) (cos π m − 1 ) = (cos πn − 1)(cos πm − 1). 7 (nm) 3 (πm) 3 π 6 n3m3 Решение задачи имеет вид: dy =

17 u ( x, y , t ) =

3136

π6

∞ ∞

∑∑

1

n =1 m=1n

3

m

(cosπn − 1)(cosπm − 1) sin 3

πnx 7

sin

 n2 m2   + cos 7πt   2 49 4  

πmy

5. ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ

Указания к задаче №12 ЗАДАЧА №12.31. Найти решение первой смешанной задачи для, уравнения теплопроводности на отрезке: u t = 9u xx ,0 < x < 8, t > 0 (5.1)  x 2 , 0≤ x ≤ 4  u ( x,0) =  84− x, 4< x≤8. 

(5.2)

u (0, t ) = u (8, t ) = 0 (5.3) РЕШЕНИЕ. Согласно методу Фурье ищем решение u = u ( x, t ) задачи в

виде произведения функций: u(x,t)= X(x)T(f) . В результате подстановки u(x,t) = X(x)T(t) в уравнение (5.1) и разделения переменных получаем: X // ( x) T / (t ) X ( x)T (t ) = 9 X ( x)T (t ) ⇔ = = λ = Const. X ( x) 9T (t ) /

//

Отсюда: X // ( x) − λX ( x) = 0,

(5.4)

T / (t ) = 9λT (t ) (5.5) Граничные, условия (5.3) для u = X ( x)T (t ) дают: Х(0)Т(t)=0 и X(8)T(t)=0, значит, Х(0)=Х(8)=0. Требуется найти ненулевые решения уравнения (5.4), удовлетворяющие условиям: Х(0)=Х(8)=0 (5.6) Уравнение (5.4) есть линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение есть κ 2 − λ = 0 . Рассмотрим три случая: а) Пусть λ = 0 , Тогда k1, 2 = 0 и X ( x) = C1 x + C 2 . Условиям (5.6)

удовлетворяет только Х(x)=0 (т.е. C1 = C 2 = 0 ). в) Пусть λ >0. Тогда k1, 2 = ± λ и Х(х)= C1e

λx

+ C2e −

λx

. Условия (5.6) выполняются только при C1 = C 2 =О,

18 Х(x)=0. с). Пусть λ <0. Тогда k1, 2 = ±i − λ и X ( x) = C1 cos − λx + C 2 sin − λx . Условия (5.6) дают: 2

 πn  X (0) = 0, C1 = 0, X (8) = 0,0 = C 2 sin − λ 8 , sin 8 − λ = 0,8 − λ = πn, λ = −  ,  8  где n - произвольное натуральное число. Мы получили решение: X ( x) = C 2 sin

πnx

(C 2 - произвольное число). 8 Уравнение (5.5) есть уравнение с разделяющимися переменными. Решаем

его: T ' (t ) = 9λT (t ),

∫

dT (t ) dT (t ) = 9λT (t ), = 9λdt , dt T (t )

dT (t ) 9 λt = ∫ 9λdt , ln T (t ) = 9λt + ln C , T (t ) = Ce , T (t )

где С - произвольная постоянная. 2 πnx πn , где λ = −  . Данная функция является решеПолучили u ( x, t ) = Ce 9λt sin  8  8 нием уравнения (5.1) и удовлетворяет условиям (5.3) при любом значении постоянной С. Однако условию (5.2) она не удовлетворяет. В силу линейности уравнения (5.1) его решение будем искать в виде суммы ряда: u ( x, t ) =

∞

∑ Cn e9λ t sin n

n =1

πnx 8

,

(5.7)

2

 πn  где х ∋ [0;8], t ∋ [0;+∞ ), λ n = −  .  8 

Согласно условию (5.2) при t = 0 в соотношении (5.7) будем иметь:  x2 ,0 ≤ x ≤ 4, u ( x,0) = ∑ C n sin =  4 8 8 − x,4 < x ≤ 8 n =1  ∞

πnx

(5.8)

Равенство (5.8) представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам на отрезке [0;8] функции. u (x,0) . Поэтому коэффициенты С n вычисляется по формулам: 1 4 x2 18 πnx πnx πnx 2l C n = ∫ u ( x,0) sin dx = ∫ sin dx + ∫ (8 − x) sin dx = l0 8 40 4 8 44 8

19 =

14 x2 πnx 1 8 πnx + ∫ (8 − x ) sin sin dx = ∫ 40 4 8 44 8

8 1 4 2 18 πnx πnx πnx = ∫ x sin dx + 2 ∫ sin dx − ∫ x sin dx 16 0 8 8 4 8 4 4

Первообразные находим по формулам из приложения, полагая α =

πn 8

:

4

 8x 2 πnx 128 x πnx 1024 πnx  2  = − + + x sin dx cos sin cos ∫ 2 3  πn  = 8 8 8 8 π π ( n ) ( n ) 0  0 πn 128 ⋅ 4 πn 512 ⋅ 2  πn 128  − cos + sin + cos − cos 0  = πn 2 (πn) 2 2 (πn) 3  2  πn 512 πn 1024 128 =− cos + sin + (cos πn − 1); 2 (πn) 2 2 (πn) 3 πn

πnx

4

8

∫ sin

πnx

4 8

8

dx = −

πnx 8 cos πn 8

8 4

=−

πn  8   cos πn − cos ; πn  2

 8x πnx πnx  8 64 + dx =  − cos sin 2 4= π 8 n 8 8 π ( n ) 4   64 64 64 πn πn 32 = − cos πn + sin + cos − sin = π n 2 2 2 2 πn π n (πn) (πn) 64 πn πn 64 32 = − cos πn + cos − sin . 2 (πn) 2 2 πn πn Суммируя результаты, находим:

∫ x sin

Cn =

−

1  128 πn 512 πn 1024 1024  − − + + − cos sin cos π n 3 16  πn 2 (πn) 2 2 (πn) 3 (πn) 

16  32 64 πn  1  64 πn πn  sin =  cos πn − cos  −  − cos πn + cos − 2  4  πn 2 (πn) 2 2  πn πn 

=−

+

πnx

32 64 πn πn πn 8 64 16 16 cos + sin + cos − − cos + cos + π π n n 2 (πn) 2 2 (πn) 3 2 πn πn (πn) 3 πn

16 64 16 8 64 48 πn πn πn cos πn − cos + sin cos = − + sin . π n 3 2 2 (πn) 2 2 (πn) 3 2 πn πn (πn) (πn)

20 Подставляем C n в соотношение (5.7), находим решение задачи: 9

2  64 πn  64 (πn) t πnx 48 − + u ( x, t ) = ∑  π n e (cos 1 ) sin sin .  3 2 2 8 π n π n ( ) ( ) n =1 

∞

21 ПРИЛОЖЕНИЕ Некоторые формулы интегрирования 1) ∫ cosαxdx =

1

α

2) ∫ sin αxdx = − 3) ∫ x cos αxdx =

sin αx + C ;

1

α x

α

4) ∫ x sin αxdx = − 5) ∫ x cos αxdx = 2

cos αx + C ; sin αx + x

x2

7) ∫ x cos αxdx = 3

α

x3

α

8) ∫ x sin αxdx = − 3

x2

1

α

sin αx + C ;

α2

2x

α2

cos αx +

sin αx +

x3

cos αx + C ;

2

sin αx −

α

6) ∫ x sin αxdx = −

α

cos αx +

α

2

1

2x

α2

3x 2

α2

cos αx +

cos αx −

2

α3

sin αx +

cos αx −

3x 2

α2

sin αx + C ;

2

α3 6x

α

sin αx +

cos αx + C ;

sin αx − 3

6x

α3

6

α4

cos αx −

cos αx + C ;

6

α4

sin αx + C ;

22 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.;Наука, 1981.-448С. 2. Годунов С.К. Уравнения математической физики.-М.:Наука, 1971,-416о. 3. Котляков Н.С., Глинер Э.Б„ Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики.-М.: Высшая школа, 1970.-710с. 4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М:Наука, 1972.-7Э5с. 5. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным .курсам высшей математики (типовые расчеты).-М.;Высшая школа, 1983.-112с.

23

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК. МЕТОД ФУРЬЕ Методические указания к выполнению типового расчета. Составители: Вельмисов Петр Александрович Распутько Татьяна Борисовна Редактор: Н.А. Евдокимова Подписано в печать Формат 60 × 84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Печать трафарета. Тираж 100 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет. 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32