Статистическая физика и термодинамика: Пособие по выполнению домашнего задания

1. СОСТОЯНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Основные теоретические сведения Термодинамической системой называется совокупность макроскопических тел, которые могут обмениваться между собой и с другими телами (внешней средой) энергией и веществом. В частности, система может состоять из одного тела в твердом, жидком или газообразном состоянии. Каждое макроскопическое тело состоит из совокупности огромного числа структурных частиц (атомов и молекул). Поэтому описание микросостояния такой системы с подробным перечислением физических характеристик каждой составляющей ее частицы нереально и бесполезно. Вместо этого в термодинамике для описания макроскопического состояния вещества используют физические величины, которые характеризуют свойства системы в большом масштабе. Это давление Р, объем V, температура T, концентрация частиц n, масса тела m и т.п. Такие величины называются макропараметрами или термодинамическими параметрами. Макропараметры принято делить на внешние, которые задают внешние условия для системы, и внутренние, которые описывают поведение системы во внешних условиях. Некоторые внутренние макропараметры связаны с количеством и свойствами молекул системы. Любая термодинамическая система независимо от начального состояния в заданных внешних условиях самопроизвольно переходит в единственное макросостояние, в котором она может находиться, пока не изменятся внешние условия. Это состояние называется равновесным. Функциональная зависимость между внутренними и внешними макропараметрами при равновесии называется уравнением состояния. Соответственно с этим задачи по данной теме можно разделить на две группы. К первой группе относятся задачи, в которых используется или устанавливается связь значения макропараметра с количеством или свойствами отдельных молекул. Простейший пример: масса вещества равна сумме масс отдельных молекул m = Nm1. Часто для решения подобных задач достаточно использовать взаимосвязь между различными способами описания количества вещества. Так, одному молю вещества (ν = 1 моль) соответствует масса вещества, равная молярной массе М, объем, равный молярному объему VM, или количество молекул, равное числу Авогадро NA: 1 моль ⇔ М кг/моль ⇔ VM м3/моль⇔ NA 1/моль. Поэтому любое другое количество вещества можно выразить через пропорциональные величины ν, m, V, N m N V ν= . (1.1) = = M N A VM Ко второй группе относятся задачи, в которых используются функциональные зависимости между внешними и внутренними макропараметрами.

2 Эти зависимости называются уравнениями состояния. Например, для идеальных газов уравнение состояния имеет вид

P = nkT ,

(1.2)

где k = 1,38.10–23 Дж/К — постоянная Больцмана. Это же уравнение, записанное в другой форме, называется уравнением Клапейрона-Менделеева

PV = νRT ,

(1.3)

.

где R = 8,31 Дж/моль К. Более подробные сведения приведены в рекомендуемых ниже учебных пособиях.

Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие в 5 кн. Кн. 3: Молекулярная физика и термодинамика. Гл. 1. – М.: Наука, 1998. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие. Гл. 8. – М.: Высшая школа, 1990.

2. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ Основные теоретические сведения Как и в других разделах физики, в термодинамике одним из основных параметров системы является энергия. В отличие от механики, здесь рассматривается внутренняя энергия системы, т.е. все виды энергии системы без учета потенциальной энергии взаимодействия системы с другими системами и кинетической энергии движения всей системы как целого. Таким образом, внутренняя энергия системы U слагается из кинетической энергии движения отдельных молекул, потенциальной энергии взаимодействия между молекулами и внутримолекулярной энергии. В термодинамические формулы всегда входит изменение внутренней энергии ΔU системы в процессе перехода из одного состояния в другое. Для его расчета используется первое начало термодинамики, которое выражает закон сохранения энергии в макроскопических процессах и записывается в виде ΔU = Q – A, (2.1) где Q — получаемое системой количество теплоты, A — совершаемая системой работа. Если система отдает тепло или работа совершается над системой, то знак у соответствующей величины нужно поменять на противоположный. При нагревании вещества системы от состояния 1 до состояния 2 получаемое количество теплоты можно рассчитать по формуле

3

Q=m

∫ c ⋅ dT = ν ∫ Cм ⋅ dT ,

1− 2

(2.2)

1− 2

где с — удельная теплоемкость вещества, См — его молярная теплоемкость. В большинстве задач значения с и См можно считать не зависящими от температуры и выносить их за знак интеграла. При этом необходимо учитывать, что количество теплоты и, соответственно, величины теплоемкостей зависят от типа процесса 1-2. Если теплообмен идет при постоянном давлении (изобарический процесс) или постоянном объеме (изохорический процесс), то разность соответствующих молярных теплоемкостей Ср и СV определяется по уравнению Майера C p − CV = R . (2.3) Расчет работы, совершаемой газом в процессе 1-2, производится по формуле (2.4) A = ∫ P ⋅ dV . 1− 2

Получаемая при интегрировании величина работы также зависит от типа процесса 1-2. На графике процесса в коP ординатах P–V величина работы равна 1 площади криволинейной трапеции под линией процесса (рис. 2.1). Расчет суще2 ственно облегчается, если удается использовать уравнение соответствующего процесса. Например, при постоянстве температуры (изотермический процесс) V можно воспользоваться уравнением БойРис. 2.1. Работа равна площади заля-Мариотта PV = P1V1, где P1 и V1 параштрихованного участка. метры одного из состояний. Если же процесс идет без теплообмена, то удобно применить одно из уравнений адиабаты γ γ −1 PV γ = PV или TV γ −1 = TV (2.5) 1 1 1 1 . Cp где показатель адиабаты γ = >1. (2.6) CV Например, если состояние «1» является начальным, а состояние «2» конечным, то работа при адиабатическом процессе V2 γ⎛ 1 PV 1 1 ⎞ γ 1 1 A = ∫ P ⋅ dV = PV ⎜ γ−1 − γ −1 ⎟ . 1 1 ∫ γ dV = 1 − γ ⎝ V2 V V1 ⎠ V1 1− 2 Расчеты работы при изобарическом и изотермическом процессах выполнен в примере 3а. Из формулы (2.4) следует, что работа при изохорическом процессе (V = const) равна нулю. Тогда первое начало термодинамики (2.1) можно переписать в виде ΔU = Q = ν ∫ CV ⋅ dT = ν ⋅ CV ⋅ ΔT . (2.7) 1− 2

4 Используя уравнения (2.3) и (2.6), можно получить полезные при решении γ 1 (2.8) задач формулы Cp = R и CV = R. γ −1 γ −1 Решение задач целесообразно начинать с построения графика процесса. При этом наиболее удобно использовать PV–диаграмму.

Литература

1. 2.

Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие в 5 кн. Кн. 3: Молекулярная физика и термодинамика. Гл. 1. – М.: Наука, 1998. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие. Гл. 9. – М.: Высшая школа, 1990.

3. РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Основные теоретические сведения

Молекулярно-кинетическая теория позволяет установить связь между значениями макропараметров и средними значениями физических характеристик молекул. Например, давление, производимое на стенки сосуда за счет ударов молекул газа, определяется средней кинетической энергией поступательного движения молекул <ЕПОСТ> 2 P = n EПОСТ , (3.1) 3 где n — концентрация молекул газа. Сравнение этой формулы с уравнением состояния идеального газа P = nkT указывает на взаимосвязь <ЕПОСТ> с температурой газа 3 EПОСТ = kT . (3.2) 2 В статистической физике доказывается, что средняя энергия молекулы связана с ее числом степеней свободы i, т.е. с числом независимых величин, с помощью которых можно задать положение молекулы, считая ее механической системой. Например, одноатомную молекулу можно смоделировать материальной точкой, положение которой в пространстве определяется тремя координатами. Тогда ее число степеней свободы равно 3. Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы при тепловом равновесии на каждую степень свободы любой атомно-молекулярной системы приходится средняя кинетическая энергия, равная (1/2)kT. У многоатомных молекул, помимо кинетической энергии поступательного движения, может быть кинетическая энер-

5 гия вращательного движения и механическая (кинетическая и потенциальная) энергия колебательного движения. Средняя потенциальная энергия колебательного движения молекулы равна средней кинетической энергии колебательного движения. Таким образом, средняя энергия молекулы равна i (3.3) E = kT , 2 где i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы (т.к. они обладают кинетической и потенциальной энергией): i = nпост + nвращ + 2nколеб . (3.4) В квантовой механике доказывается, что при вычислении теплоемкости газа учет степеней свободы зависит от температуры. Поступательные степени свободы необходимо учитывать практически при всех температурах. Вращательные степени свободы необходимо учитывать при не очень низких температурах (например, для молекул водорода при Т > 86 К). Колебательные же степени свободы начинают давать ощутимый вклад в величину теплоемкости только при высоких температурах (например, для молекул водорода при Т > 6400 К). Поэтому, при атмосферных условиях считается, что межатомные связи внутри молекул газов «жесткие» и колебательные степени свободы не учитываются. В этом случае двухатомную молекулу O′ можно смоделировать двумя «жестко» связанO′′ ными материальными точками (рис. 3.1). Ее положение в пространстве определяется тремя O O координатами центра масс и двумя углами вращательного движения вокруг осей O′O′ и O′′O′′. Вращение вокруг оси OO для этой сисO′′ темы материальных точек лишено смысла. ПоO′ этому, число степеней свободы такой молекулы Рис. 3.1. равно 5. Из них три поступательных и две вращательных. Внутренняя энергия моля идеального газа UМ равна сумме энергий отдельных молекул. Тогда

i i (3.5) U M = kT ⋅ N A = RT , где учтено, что kN A = R. 2 2 ⎛ dU M ⎞ Для идеального газа из формулы (2.7) следует, что сV = ⎜ ⎟ . Тогда из dT ⎝ ⎠V (3.5), (2.3) и (2.6) получаем i i+2 i+2 сV = R; cP = R; γ = . (3.6) i 2 2

6 Для лучшего понимания рассматриваемых в задачах явлений важно привлекать молекулярно-кинетические представления. Рекомендуется повторить по конспекту или учебному пособию вывод уравнения (3.1).

Литература

1. 2.

Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие в 5 кн. Кн. 3: Молекулярная физика и термодинамика, Гл. 1, 2. – М.: Наука, 1998. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие. Гл. 9. – М.: Высшая школа, 1990.

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА Основные теоретические сведения

Из-за невозможности подробного описания состояния всех частиц в макросистемах в статической физике используют аппарат теории вероятностей. Если известна вероятность dP(A) того, что значение физической величины А, характеризующей отдельную молекулу, находится в пределах от А до А + dА, то количество молекул dN с такими значениями величины А определяется формулой dN = N. dP(A)= N.f(A).dA , (4.1) где f(A) имеет смысл плотности вероятности. Ее также называют функцией распределения вероятностей по величине А или просто функцией распределения. Функция распределения частиц по пространственным координатам в потенциальном поле сил называется распределением Больцмана. Например, если потенциальная энергия частиц зависит только от координаты x, то распределение Больцмана имеет вид

f ( x) = C1 ⋅ e

−

U ( x) kT

=

1 ∞

∫e

−

U ( x) kT dx

e

−

U ( x) kT

,

(4.2)

−∞

где U(x) — потенциальная энергия частицы в точке с координатой x. Функция распределения молекул газа по скоростям называется распределением Максвелла. В частности, распределение молекул газа по значениям проекции скорости Vx имеет вид

7 1 ⎞2

mVx2 2 kT

mV 2

− x ⎛ m 2 kT , =⎜ f (Vx ) = C2 ⋅ e (4.3) ⎟ ⋅e ⎝ 2π ⋅ kT ⎠ где т — масса отдельной молекулы. График этой функции приведен на рис. 4.1. Площадь заштрихованного участка соответствует вероятности того, что молекула обладает проекцией скорости, значение которой находится в интервале от V1x до V2x. В практических задачах вместо функции распределения (4.3) часто удобнее использовать функцию распределения по модулю скорости −

3

mV 2

⎛ m ⎞ 2 − 2 kT F (V ) = 4π ⋅ V 2 ⎜ ⎟ ⋅e f(Vx) ⎝ 2π ⋅ kT ⎠ . (4.4) m можно Отношение k M . использовать в виде R График этой функции 0 V1x V2x Vx приведен на рис. 4.2. Мак- Рис. 5.5. Распределение Максвелла по проекции симум соответствует наибо- скорости. лее вероятной скорости молекул VНВ, которая равна

F(V)

2kT 2 RT = . (4.5) m M Зная функцию распределения f(A), можно найти среднее значение самой величины АСР или величины, зависящей от А , т.е. ФСР(А)

VНВ =

0

VНВ

V

Рис. 4.2. Распределение Максвелла по скоростям.

AСР = ∫ А ⋅ f ( A) dA ,

ФСР = ∫ Ф( A) ⋅ f ( A) dА .

(4.6)

При этом интегрирование ведется по всей области определения величины А. Например, определенные таким образом средняя скорость VСР и средняя квадратичная скорость VСР.КВ =

(V )

VСР =

2

СР

, равны

8kT 8 RT = , πm πM

VСР.КВ =

3kT 3RT . = m M

(4.7)

(4.8)

8 Как следствия из распределения Больцмана, можно получить: 1. Барометрическую формулу (зависимость атмосферного давления от высоты z в изотермических условиях) −

Mgz RT ,

P = P0e (4.9) где Р0 — давление воздуха при z = 0. r 2. Формулу зависимости концентрации частиц от r в потенциальном поле r сил U (r ) r U (r )

− r r n(r ) = n(r0 ) ⋅ e kT , (4.10) r где n(r0 ) — концентрация частиц в точке с нулевой потенциальной энергией r U (r0 ) = 0.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие в 5 кн. Кн. 3: Молекулярная физика и термодинамика. Гл. 2. – М.: Наука, 1998. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие. Гл. 8. – М: Высшая школа, 1990.

9

5. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ Основные теоретические сведения

Мерой вероятности осуществления какого либо макроскопического состояния системы при заданных внешних условиях является энтропия S , которая в статистической физике определяется как (5.1) S = k ⋅ ln Ω , где Ω — статистический вес состояния или число микросостояний, посредством которых может быть реализовано данное макросостояние. Статистический вес и энтропию системы, состоящей из N подсистем, определяют по формулам (5.2) Ω = Ω1 ⋅ Ω 2 ⋅ ... ⋅ Ω N , S = S1 + S2 + ... + S N . Согласно одной из формулировок второго начала термодинамики энтропия изолированной термодинамической системы может только возрастать или оставаться постоянной после достижения максимума. В термодинамике энтропия была введена на основе другой формулировки второго начала, которую Р. Клаузиус дал в виде неравенства δQ , (5.3) dS ≥ T где знак равенства справедлив для равновесных (обратимых) процессов. Следствием этого определения являются полезные при решении задач формулы 2

2

C ⋅ dT , T 1

Q = ∫ T ⋅ dS и ΔS = ∫ 1

(5.4)

где учтена связь δQ = C dT, C — теплоемкость системы. Формулы (5.4) позволяют рассчитать теплообмен и изменение энтропии при различных процессах, в том числе происходящих в тепловых машинах. Определив количество теплоты, получаемое тепловой машиной за цикл от нагревателя Q1, и количество теплоты, отдаваемое за цикл холодильнику Q2 можно рассчитать коэффициент полезного действия η (КПД) тепловой машины A Q − Q2 . (5.5) η = полезн = 1 Qполуч Q1 .

В реальных тепловых машинах КПД ограничен неравенством Карно T η ≤1− 2 , (5.6) T1 где Т2 и Т1 — соответственно минимальная и максимальная температура рабочего вещества за цикл. Равенство в формуле (5.6) достигается только в цикле Карно (обратимом цикле, состоящем из двух изотермических и двух адиабатических процессов).

10 В соответствии с изложенным задачи по данной теме подразделяются на три группы: – задачи на расчет изменения энтропии ΔS или статистического веса Ω с использованием формул (5.1) и (5.2); – задачи на расчет Q или ΔS в процессах с использованием формул (5.4) или (2.1), (2.2), (2.4) и (2.7); – задачи на расчет КПД тепловых машин (термодинамических циклов) с использованием формул (5.5), (5.6), (2.1), (2.2), (2.4) и (2.7).

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие в 5 кн. Кн. 3: Молекулярная физика и термодинамика. Гл. 3. – М.: Наука, 1998. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие. Гл. 9. – М.: Высшая школа, 1990.

11

6. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ Основные теоретические сведения

Процесс перехода неравновесной системы к равновесному состоянию часто осуществляется за счет переноса (потоков) либо молекул, либо тепла, либо импульса и т.п. Плотностью потока физической величины называется ее количество, переносимое в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса. Выравнивание концентрации примесных молекул в системе называется диффузией. В одномерном случае плотность потока молекул jN, вдоль направления z определяется эмпирической формулой (первым законом Фика) dn jN = − D , (6.1) dz dn где D называется коэффициентом диффузии, а характеризует изменение dz (градиент) концентрации по направлению z. Аналогично выравнивание температуры в системе сопровождается потоком тепла, плотность которого jq определяется эмпирическим законом теплопроводности Фурье dT jq = − Κ , (6.2) dz dT характеризует где Κ называется коэффициентом теплопроводности, а dz изменение температуры по направлению z. Процесс, при котором в системе от одного участка к другому передается количество движения (импульс), называется вязкостью. Плотность потока импульса jp определяется эмпирическим уравнением вязкости dV j р = −η , (6.3а) dz где η называется коэффициентом вязкости (или коэффициентом динамичеdV показывает, как изменяется скорость в направлении z, ской вязкости), а dz r перпендикулярном к направлению движения слоя жидкости или газа (Oz ⊥ V ) . Обмен импульсом приводит к возникновению силы вязкого трения FTP между соседними слоями жидкости. Основной закон для силы вязкого трения при площади соприкосновения слоев S был установлен И. Ньютоном dV FTP = η ⋅S . (6.3б) dz Коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости определяются

12 экспериментально или оцениваются на основании молекулярно-кинетических представлений. Для газов эти оценки приводят к следующим формулам 1 D = VCP ⋅ λ , (6.4) 3 1 ⎛i ⎞ 1 (6.5) Κ = VCP ⋅ λ ⋅ ⎜ kn ⎟ = VCP ⋅ λ ⋅ ρ ⋅ cV , 3 2 3 ⎝ ⎠ 1 η = VCP ⋅ λ ⋅ ρ , (6.6) 3 8RT где VСР — средняя скорость теплового движения молекул ( VCP = ), i — πM число степеней свободы молекулы газа, n — концентрация молекул, ρ — плотность газа, cV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Среднюю длину свободного пробега молекул газа λ и частоту соударений ν можно рассчитать по формуле V 1 1 , (6.7) λ = CP = = ν 2 ⋅σ ⋅n 2 ⋅π ⋅d2 ⋅n где σ — эффективное сечение столкновений молекул, d — эффективный диаметр молекул. Если в системе имеется локальная неоднородность по температуре или по концентрации молекул, то с течением времени она рассасывается. Для оценки характерного размера области, на границах которой температура или концентрация приблизительно в е ≈ 2,7 раз меньше по сравнению с максимальным значением, можно использовать приближенные формулы K ⋅τ L ДИФФ ≈ D ⋅ τ , LТЕПЛ ≈ , (6.8) ρ ⋅ cP где τ — время от начала "рассасывания" неоднородности, сР — удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Литература

1. 2.

Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие в 5 кн. Кн. 3: Молекулярная физика и термодинамика. Гл. 7. – М.: Наука, 1998. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие. Гл. 8. – М.: Высшая школа, 1990.

13 Пример 1(а) Сколько молекул содержится в 1 см3 воды? Решение На первый взгляд для решения задачи слишком мало данных. Но как и во многих других задачах здесь имеется в виду, что студенту известны основные свойства воды: плотность, молярная масса, температуры кипения воды и плавления льда, химическая формула и т.д. Если это не так, то советуем обратиться к справочнику и запомнить соответствующую информацию. Для решения задачи достаточно воспользоваться одной из пропорций (1.1) m N = , где массу воды можно определить, используя известное значение ее M NA плотности ρ = 1000 кг/м3, т.е. m = ρV . m ρV Выполнив преобразования, получим N = NA = NA. M M Учитывая, что молярная масса воды M = 18 г/моль, а число Авогадро NA = . 6,02 1023 1/моль, произведем вычисления 1000 ⋅ 10−6 ⋅ 6,02 ⋅ 1023 N= ≈ 3,3 ⋅ 1022. −3 18 ⋅ 10

Анализ результата Для того чтобы проникнуться “уважением” к полученной цифре, оцените, сколько времени потребуется человеку для подсчета этих молекул: а) при устном счете; б) при счете на ЭВМ с быстротой 106 операций в секунду. Сравните полученное время со средней продолжительностью жизни человека ~109 с и «возрастом» вселенной ~1018 с. Пример 1(б) Оцените объем одной молекулы воды и её линейные размеры. Решение В предыдущей задаче было получено, что в объеме V = 1см3 содержится N= 3,3 1022 молекул воды. Тогда на долю одной молекулы приходится объем V V1 = ≈ 3 ⋅ 10−23 см3 = 30.10–30 м3. N Несжимаемость воды (точнее малая сжимаемость) означает, что ее молекулы достаточно плотно «упакованы» в занимаемом объеме. Тогда полученное значение V1 примерно соответствует объему одной молекулы и для оценки линейного размера молекулы достаточно принять, что ее объем имеет форму куба со стороной d. Тогда

14 d = 3 V1 ≈ 3,1 ⋅ 10−10 м. Замечание: оказывается, что размеры всех атомов и молекул неорганических соединений находятся в диапазоне (0,5 ÷ 10).10–10 м, а размеры молекул азота и кислорода практически не отличаются от полученного значения для воды. Пример 2(а) Определите плотность воздуха при нормальных условиях (Т = 273 К, Р = 100 кПа, М = 29 г/моль). Решение

m . Это отношение можно получить из уравнения соV m стояния идеальных газов (1.3) (с учетом пропорции (1.1)) PV = RT . M m MP Тогда ρ = = . После вычислений получаем ρ =1,28 кг/м3. V RT По определению ρ =

Пример 2(б) Какая часть объема воздуха при нормальных условиях (см. предыдущий пример) приходится на сами молекулы? Принять, что молекула воздуха имеет объем V1= 3.10–29 м3. Решение Если воздух занимает объем V, то искомая величина η определяется отноN ⋅ V1 шением η = , где N – количество молекул воздуха в этом объеме. Его V m можно определить, используя пропорцию (1.1) N = N A , где массу воздуха M определим из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.3) с учетом (1.1) MPV . m= RT N ⋅ V1 m V N MPVV1 N A PV1 Тогда η = = NA ⋅ 1 = A = . V M V MRTV RT После расчета получим η ≈ 8,0.10–4.

Анализ результата Полученная величина свидетельствует о том, что в газах при нормальных условиях расстояния между молекулами существенно превышают размеры самих молекул.

15

Пример 2(в) В сосуде объемом V = 15 л содержится N =1,8.1024 молекул газа при температуре Т = 300 К. Определить давление газа, считая его идеальным. Решение Для определения давления воспользуемся уравнением состояния Клапейрона-Менделеева (1.3) νRT NRT P= = . V N AV Произведя вычисления, получим Р = 500 кПа. Пример 2(г) Некоторое количество водорода находится в сосуде при температуре Т1= 200 К и давлении Р1 = 400 Па. Газ нагревают до температуры Т2 = 10000 К, при которой практически все молекулы водорода распадаются на атомы. Определить установившееся давление газа, если его объем и масса остались без изменения. Решение При распаде (диссоциации) молекул водорода на атомы меняется количество молекул газа. Если вначале было N молекул двухатомного водорода, то стало 2N молекул одноатомного (атомарного) водорода. При использовании уравнения состояния идеального газа это означает, что вместо ν молей вещества стало 2ν молей, вместо концентрации n стало 2n. Для решения задачи необходимо записать уравнение (1.2) или (1.3) для двух описанных в условии состояний газа. При использовании уравнения (1.3): При использовании уравнения (1.2): νRT1 ⎫ P1 = nkT1 ⎫ T2 P1 = ⎬ ⇒ P2 = 2 P1 T2 V ⎪⎪ P2 = 2nkT2 ⎭ T1 ⎬ ⇒ P2 = 2 P1 . 2νRT2 ⎪ T1 P2 = V ⎪⎭

В любом случае после вычислений получим ответ Р2 = 40 кПа. Пример 3(а) Объем идеального газа увеличился в два раза: в первом случае при постоянной температуре, а во втором при постоянном давлении. В каком случае газ совершит большую работу, если начальное со1. стояние одинаковое?

2.

16 Сравнить получаемое газом количество теплоты.

P 1 P = const 3 P1 T = const 2 2V1 V1 Рис. 2.2.

V

Решение 1) Построим графики процессов в P–V координатах (рис. 2.2). Работа газа в каждом случае соответствует площади под линией, изображающей процесс. Тогда очевидно, что А1-2 < А1-3. Для подтверждения этого вывода воспользуемся формулой (2.4). При изобарном процессе она легко преобразуется к виду

A1-3 = P1(V2 – V1) = P1 (2V1 – V1) = P1V1. При изотермическом процессе давление является функцией объема газа. νRT1 . Тогда Из уравнения состояния следует, что P = V V2

A1−2 = νRT1 ∫

V1

1 V dV = νRT1 ln 2 = PV 1 1 ln 2 . V V1

Так как ln 2 < 1, то А1-2 < А1-3. 2) Для определения получаемого в процессах количества теплоты используем первое начало термодинамики. При изотермическом процессе ΔU = 0. Тогда Q1-2 = A1-2 = P1V1ln 2. При изобарном процессе Q1-3 =ΔU1-3 + A1-3, где ΔU1-3 можно определить по формуле (2.7). С учетом уравнения состояния идеального газа ее можно преобразовать к виду 1 P ΔV CV = ΔU1−3 = ν ⋅ CV ⋅ ΔT = CV 1 PV PV 1 1= 1 1. R R γ −1 1 Так как 1 < γ < 1,66, то ln 2 < 1 < . Следовательно, Q1-3 > Q1-2. γ −1

Пример 3(б) Для получения низких температур производят адиабатическое расширение гелия, имевшего первоначальную температуру Т0 = 300 К и объем V0 = 10 л. При этом давление падает от Р0 = 5 МПа до Р = 0,2 МПа. Найти объем и температуру гелия в конечном состоянии. Для гелия показатель адиабаты γ = 1,66.

17 Решение Воспользуемся уравнением адиабаты уравнением адиабаты PV γ = const . Тогда 1

⎛ P ⎞γ PV γ = P0V0γ . После преобразования получаем V = V0 ⎜ 0 ⎟ = 69 л. ⎝P⎠ Для определения конечной температуры можно использовать уравнение PV PV P0V0 PV = const . Тогда = или T = T0 = 83 К. P0V0 T T0 T Пример 3(в) Состояние одного моля идеального газа меняется по замкнутому циклу, состоящему из двух изобарических процессов и двух изохорических ( рис. 2.3). В состоянии 1 температура газа Т1 = P 100 К, в состоянии 3 температура 2 3 P2 газа Т3 = 400 К. В состояниях 2 и 4 температуры одинаковы. 1) Определить работу, совершенную газом за цикл. 2) Найти изменение внутренней 1 4 P1 энергии и количество теплоты, получаемое газом за V3 V V1 цикл. Считать показатель Рис. 2.3. адиабаты γ = 1,4. Решение 1) Работа газа за цикл равна сумме работ на отдельных участках А = А1-2 + А2-3 + А3-4 + А4-1. На участках 1-2 и 3-4 объем газа не меняется (изохорические процессы) и, в соответствии с формулой (2.4), работа равна нулю. На участке 2-3 давление постоянно (изобарический процесс) и формулу (2.4) можно преобразовать к виду

A2−3 =

∫

2−3

V3

P ⋅ dV = P2 ∫ dV = P2 (V3 − V1 ) . Этой формуле можно сопоставить плоV1

щадь прямоугольника под линией процесса. Используя уравнение КлапейронаМенделеева для одного моля PV = νRT, ее можно переписать в виде A2-3 =νRT3 –νRT2. Аналогично можно получить формулу работы на участке 4-1 A4−1 =

V1

∫ P ⋅ dV = P1 ∫ dV = P1(V1 − V3 ) = ν( RT1 − RT4 ) . Так как V1< V3 , то получен-

4−1

V3

18 ное значение меньше нуля. Величина работы также равна площади под линией процесса, но с отрицательным знаком. Тогда работа за весь цикл равна площади прямоугольника 1-2-3-4-1 или A = νRT3 –νRT2 +νRT1 –νRT4 . Учитывая, что по условию задачи Т2 = Т4 =Т, полученную формулу можно переписать в виде A = νRT3 – 2νRT +νRT1. Температуру Т можно выразить через 'Г1 и Т3 , если воспользоваться уравнением состояния идеального газа Клапейрона- Менделеева. Запишем его для состояний 1, 2, 3 и 4 ⎧ PV P T 1 1 = νRT1 ⇒ 1= 1 ⎪ P2 T T T ⎪ P2V1 = νRT или T = T1 ⋅ T3 . ⇒ 1= ⎨ T T P V = νRT P T 3 3 ⎪ 2 3 ⇒ 1= ⎪ PV = νRT P2 T3 ⎩ 1 3 Тогда A = νRT3 – 2νR T1 ⋅ T3 +νRT1=ν R

(

)

2

T3 − T1 .

После расчета получаем А = 831 Дж. 2) Внутренняя энергия является функцией состояния. Поэтому за цикл ΔU = U1 − U1 = 0 . Для ответа на последний вопрос задачи необходимо определить участки цикла, на которых газ получает количество теплоты. Для этого используем первое начало термодинамики (2.1). На участке 1 – 2 газ нагревается без совершения работы. Следовательно, его внутренняя энергия увеличивается за счет получаемого количества теплоты ΔU = Q. На участке 2 – 3 газ продолжает нагреваться, его внутренняя энергия увеличивается и, кроме того, газ совершает положительную работу. Тогда Q =ΔU + A > 0, т.е. газ, как и на участке 1 - 2 получает количество теплоты. Участки 3 – 4 и 4 – 1 аналогичны участкам 1 – 2 и 2 – 3, но процессы идут с уменьшением температуры, и работа совершается над газом. Поэтому для этих участков Q < 0, и в соответствии с формулой (2.2) Qполуч = Q1-2 + Q2-3 = νCV(T – T1) + νCP(T3 – T), γ 1 T = T1 ⋅ T3 , где Cp = R и CV = R. γ −1 γ −1 После вычислений получаем Qполуч = 7,9 кДж. Анализ решения Сравним получаемое газом количество теплоты и совершенную им работу, т.е, определим КПД цикла η =А/Qполуч ≈ 0,1. Следовательно, 90% получаемого газом количества теплоты в таком циклическом процессе «не работает». Пример 4(а)

19 Сколько молекул водорода находится в сосуде емкостью V = 2 л, если средняя квадратичная скорость движения молекул υср.кв. = 500 м/с, а давление на стенки равно 104 Па? Решение Для решений задачи достаточно применить основное уравнение кинетической теории газов (3.1) 2 mυ 2 1 P= n = nm υ 2 . 3 2 3

Из него выражаем концентрацию n и получаем искомую величину 3PV M N = nV = , где масса молекулы водорода m = . Тогда NA m υ2 N=

3PVN A M υ2

3 ⋅ 104 ⋅ 2 ⋅ 10−3 ⋅ 6,02 ⋅ 1026 = ≈ 0,72 ⋅ 1023. 2 2 ⋅ 500

Пример 4(б) Чему равна кинетическая энергия поступательного и кинетическая энергия вращательного движения молекул, содержащихся в 2кг водорода при температуре Т = 400 К? Решение Молекула водорода двухтомная. При температуре Т = 400 К связь между атомами можно считать жесткой. В этом случае у двухатомной молекулы 3 поступательные и 2 вращательные степени свободы. В среднем на каждую степень свободы приходится энергия (1/2)kT. Тогда кинетическая энергия поступательного движения 1 m 3 EПОСТ = N ⋅ 3 ⋅ kT = N A ⋅ kT ≈ 5,0 МДж . M 2 2 Соответственно для вращательного движения 1 m EВР = N ⋅ 2 ⋅ kT = N A ⋅ kT ≈ 3,3 МДж . M 2 Пример 4(в) Во сколько раз изменится число ударов жестких двухтомных молекул газа о поверхность сосуда в единицу времени, если газ адиабатически расширить в два раза? Решение

20 Удары молекул о стенку сопровождаются передачей импульса. В результате стенка испытывает силу давления со стороны газа, которая пропорциональна количеству ударов в единицу времени N и среднему изменению импульса молекул при ударах (см. вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории). Среднее изменение импульса пропорционально величине среднего импульса mυ . Тогда давление P∼ N mυ . Соответственно P2 N 2 mυ2 = P1 N1 mυ1

N 2 P2 υ1 . = N1 P1 υ2

или

Учтем, что средняя скорость υ пропорциональна

Т

(см. (3.2)). Полу-

чаем N 2 P2 Т1 = . N1 P1 Т 2 Принимая во внимание уравнения γ γ −1 PV = const и TV = const , можно записать

P2 ⎛ V1 ⎞ =⎜ ⎟ P1 ⎝ V2 ⎠ γ

γ

и γ −1 ⎞2

γ −1 ⎞2

⎛V =⎜ 2 ⎟ T2 ⎝ V1 ⎠ T1

адиабаты

(2.5)

.

γ +1 ⎞2

⎛V N 2 ⎛ V1 ⎞ ⎛ V2 = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎜ 1 ⎟ . N1 ⎝ V2 ⎠ ⎝ V1 ⎠ ⎝ V2 ⎠ Для жестких (без учета колебательного движения) двухатомных молекул число степеней свободы i = 5 (три поступательные и две вращательные степени i+2 7 γ +1 = 1,2 . Принимая во внимание, свободы). Поэтому γ = = = 1,4 и 5 i 2 V 1 N что по условию 1 = = 2−1 получим ответ 2 = 2−1,2 = 0,435. V2 2 N1 Таким образом, число ударов уменьшится более чем в два раза. Пример 4(г) Баллон содержит водород массой m = 10 г при температуре Т = 280 К. Определить кинетическую энергию всех молекул газа. Тогда

Решение Двухатомные молекулы водорода при заданной температуре имеют пять степеней свободы, и на каждую из них приходится энергия (1/2)kT . Тогда ки5 EКИН = N kT , где N — нетическая энергия молекул газа будет равна 2 m количество молекул в 10 г водорода. Его определим по формуле N = NA . M 5m 5m Получаем ответ EКИН = kN AT = RT = 29,1 кДж . 2M 2M

21

Пример 4(д) При вакуумировании электронно-лучевой трубки объемом V = 10 л достигнуто давление Р1= 10–4 Па при температуре Т = 300 К. Сколько молекул нужно еще удалить, чтобы давление понизилось до Р2= 10–5 Па при неизменной температуре? Решение Давление газа связано с концентрацией и температурой уравнением состояния (1.2) P = nkT . Тогда в первом случае, при давлении Р1= 10–4 Па общее PV количество молекул можно рассчитать по формуле N1 = n1 ⋅ V = 1 . СоответkT –5 ственно при давлении Р2 = 10 Па общее количество молекул станет равным PV N 2 = n2 ⋅ V = 2 . Искомая величина равна разности kT ΔN = N1 − N 2 . PV P V V Или ΔN = N1 − N 2 = 1 − 2 = ( P1 − P2 ) . Подставив заданные в услоkT kT kT вии значения величин и вычислив, получим 10 ⋅ 10−3 ΔN = 1 ⋅ 10−4 − 10−5 ≈ 2,17 ⋅ 1014 . −23 1,38 ⋅ 10 ⋅ 300

(

)

Пример 5(а) В некотором объеме содержится один моль газа. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число молекул ΔN, величина скорости которых меньше 0,001VНВ. Решение

22

F(V)

0 0,001VНВ V Рис. 4.3. Начальный участок графика распределения Максвелла (см. рис. 4.2).

Искомую величину можно определить как произведение общего количества молекул (в данной задаче NA) и вероятности ΔР того, что отдельная молекула имеет скорость в заданном интервале от 0 до 0,001VНВ (ей соответствует площадь заштрихованного участка на рис. 4.3). Эта вероятность находится интегрированием функции распределения (4.4)

ΔN = N A

0,001VНВ

∫

F (V ) ⋅ dV .

0

Процесс интегрирования можно существенно упростить, если учесть, что по условию в заданном диапазоне V<< VНВ. С учетом (4.5) это неравенство mV 2 можно переписать в виде 〈〈1 . Тогда выполняется приближение 2kT e

−

mV 2 2 kT

mV 2 ≈1− и подинтегральное выражение (4.4) можно существенно упро2kT

стить ΔN = N A

0,001VНВ

∫ 0

3 ⎞2

mV 2

− ⎛ m 2 kT ⋅ 4πV 2 ⋅ dV ≈ ⋅ e ⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠

3 ⎞2

⎛ m ≈ 4π ⎜ ⎟ NA ⋅ 2 πkT ⎝ ⎠ Как уже отмечалось

0,001VНВ

∫ 0

⎛ mV 2 ⎞ 2 ⎜1 − ⎟ ⋅V ⋅ dV . 2 kT ⎝ ⎠

mV 2 mV 2 〈〈1 . Поэтому стоящей в скобках величиной 2kT 2kT

можно пренебречь. Тогда 3 ⎞2

⎛ m ΔN ≈ 4 π ⎜ ⎟ NA ⋅ 2 πkT ⎝ ⎠

0,001VНВ

∫ 0

3 ⎞2

⎛ m V3 N ⋅ V 2 ⋅ dV = = 4π ⎜ ⎟ A 3 ⎝ 2πkT ⎠

0,001VНВ

= 0

3 ⎞2

4 ⎛ m −9 3 π⎜ ⎟ N A ⋅ 10 VНВ . 3 ⎝ 2πkT ⎠ Подставив значение VНВ = кул

2kT 2 RT = , получаем искомое число молеm M

23 3 ⎞2

3 ⎞2

4 ⎛ m 4 −9 ⎛ 2kT ΔN ≈ π ⎜ N A ⋅ 10−9 ≈ 4,5 ⋅ 1014 . ⎟ N A ⋅ 10 ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 2πkT ⎠ 3 π ⎝ m ⎠ Пример 5(б) Найти отношениеη числа молекул водорода, проекции скоростей которых Vx лежат в интервале 3000-3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих проекции скоростей Vx в интервале 1500-1505 м/с. Температура водорода 300 К Решение Так как заданные интервалы скоростей относительно небольшие, то заштрихованные участки для каждого из заданных интервалов скоростей на рис. 4.1 превращаются в узкие вертикальные полоски шириной ΔVx1 и ΔVx2 соответственно. Поэтому можно принять, что плотность вероятности f(Vx) на каждом интервале постоянна. Тогда формулу (4.1) можно записать в виде ΔN = N.f(Vx).ΔVx и искомое отношение становится равным

η=

N ⋅ f (Vx1 ) ⋅ ΔVx1 = N ⋅ f (Vx 2 ) ⋅ ΔVx 2

MVx21 e 2 kT ΔVx1 MVx22 −− e 2 kT ΔVx 2 −

,

где Vx1 = 3000 м/с, ΔVx1 = 10 м/с, Vx2 = 1500 м/с, ΔVx2 = 5 м/с. Выполним упрощения и произведем расчет η=e

−

M Vx21 −Vx22 2 kT

(

) ΔVx1 ⋅

ΔVx 2

= 2 ⋅ е −2,7 ≈ 0,13 .

Пример 5(в) Средняя энергия молекул гелия <Е> = 3,92.10–21 Дж. Определить среднюю скорость VСР молекул гелия при тех же условиях. Решение У одноатомной молекулы гелия только три поступательные степени свободы. Поэтому ее средняя энергия определяется только поступательным движением и ее можно записать в виде 2 2 E mVСР . КВ E = . Тогда VСР.КВ = . m 2 Используя формулы (4.7) и (4.8), можно установить связь между VСР и VСР.КВ 16 E 8 M = , где масса молекулы гелия m = VСР = VСР.КВ . 3πm 3π NA

24 Произведя расчет, получим VСР ≈ 1000 м/с. Пример 6(а) Какая дополнительная сила действует на обшивку самолета (в расчете на 1 м2 плоской поверхности) за счет перепада давления в салоне и снаружи самолета, если давление в салоне равно 1.105 Па, высота полета 10000 м, температура атмосферы t = –23 ºС и не зависит от высоты? Давление на поверхности земли Р0 = 1.105 Па. Решение Искомая сила F = (P0 – Ph) S, где P0 — давление в салоне, S = 1 м2, Ph — давление за бортом на высоте h = 10000 м, которое можно определить по барометрической формуле (4.9). Тогда Mgh ⎞ ⎛ − F = P0 S ⎜1 − e RT ⎟ , где молярная масса воздуха М = 29 г/моль. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, по29⋅9,810 ⋅ 4 ⎞ ⎛ − 3 ⋅ ⋅250 ⎟ ≈ 0,75 ⋅ 105 Н. лучим F = 1 ⋅ 105 ⋅ 1⎜1 − e 8,310 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Получилась весьма ощутимая величина силы, которую необходимо учитывать в расчетах конструкции самолета на прочность. .

Пример 6(б) Определить толщину слоя воздуха Δh в вертикальном направлении, в пределах которого концентрация взвешенных в нем пылинок различается не более чем на 1%. Температуру воздуха считать постоянной и равной 300 К, масса каждой пылинки равна 1.10–18г. Решение Воспользуемся следствием из распределения Больцмана (4.10). В равновесии концентрация пылинок n зависит от координаты h по вертикальной оси

25 −

U ( h) kT

−

mgh kT

n(h) = n(0) ⋅ e = n0e . Отношение концентрации на высоте h1 и h2 (рис. 4.4) соответственно равно

h2

mg ( h −h )

2 1 − n2 kT =e . h1 n1 Решение этого уравнения относительно Δh= h2 – h1 дает искомую величину kT ⎛ n2 ⎞ Рис. 4.4. Δh = − ln ⎜ ⎟ . mg ⎝ n1 ⎠ n n − 0,01n1 При вычислении ответа можно учесть, что 2 = 1 = 1 − 0,01 и восn1 n1 пользоваться приближением ln(1– x) ≈ – x при x << 1. kT Тогда Δh = 0,01 = 4, 2 ⋅ 10−3 м = 4,2 мм. mg Теперь понятно, почему в безветренную погоду за городом в отсутствие транспорта легко дышится.

Пример 6(в) Найти среднее значение вертикальной координаты молекул воздуха в поле тяготения Земли при температуре Т = 300 К. Считать температуру и ускорение свободного падения не изменяющимися по высоте. Решение Среднее значение координаты определяется по формуле (4.6) ∞

zСР = ∫ z ⋅ f ( z ) ⋅ dz , где f(z) — функция распределения молекул по коорди0

натам (распределение Больцмана (4.2)). В поле тяготения эта функция имеет вид

f ( z) = ∞

∫e

1 −

mgz kT dz

e

−

mgz kT

.

0

Вычислим отдельно интеграл, стоящий в знаменателе ∞

∫e 0

−

mgz kT dz

=−

kT e mg

−

mgz ∞ kT 0

=

kT . mg

26 ∞

Mgz

− k R Mg RT ⋅ dz . Произведя замену пе= z e Учтем, что . Тогда zСР = ⋅ ∫ m M RT 0

ременной z =

RT W , преобразуем интеграл к виду Mg ∞

zСР

RT W ⋅ e −W ⋅ dW . = ∫ Mg 0

Применив метод интегрирования по частям, получим RT 8,31 ⋅ 300 zСР = = = 8770 м = 8,77 км. Mg 29 ⋅ 10−3 ⋅ 9,8 Таким образом, основная масса воздуха сосредоточена в пределах небольшого слоя вблизи поверхности Земли. Попробуйте оценить общий объем Земной атмосферы, и вы поймете, насколько актуальны вопросы охраны земной атмосферы от «фабричных труб». Пример 6(г) Вывести формулу зависимости концентрации молекул газа в центрифуге от расстояния r до оси вращения. Масса молекулы газа m, температура T, угловая скорость вращения центрифуги ω. Решение Центрифугу можно смоделировать цилиндрическим сосудом (рис. 4.5), который очень быстро вращается воω круг своей оси. Молекулы внутри центрифуги имеют центростремительное ускорение aц = ω2r. В неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающейся центрифугой, это проявляется в наличии поля центробежных сил F = mω2r, которое, как и все центральные поля, можно описать с помощью потенциальной энергии. R Рис. 4.5. По определению потенциальная энергия равна r r mω2 r 2 r U (r ) = − ∫ Fdr + C = − +C. 2 Приняв, что при r = 0 потенциальная энергия равна нулю, получим C = О. Тогда искомая формула выводится с помощью следствия из распределения Больцмана (4.10) −

U (r ) kT

mω2 r 2 n(0) ⋅ e 2 kT

n(r ) = n(0) ⋅ e = где n(0) — концентрация молекул на оси центрифуги.

Анализ результата

,

27 На рис. 4.6. приведены графики зависимости концентраций молекул газа от расстояния до оси вращения n(r) для двух сортов газов с отношением масс молекул m1 : m2 = 1 : 1,2. Для простоты принято, что количество молекул обоих сортов одинаково N1 = N2. n1(0) В результате работы ценn2(0) трифуги вблизи ее оси происходит обогащение смеси R r 0 легкими молекулами n1(0)> Рис. 4.6. (1– m1 , 2 – m2) n2(0). На периферии же больше концентрация тяжелых молекул n1(R)< n2(R), что позволяет использовать центрифуги для разделения смеси частиц (молекул) по массам. n(r)

Пример 7(а) Статистический вес одноатомного идеального газа, находящегося в герметичном баллоне, зависит от внутренней энергии в соответствии с формулой 3 N 2

Ω = С ⋅U , где С — некоторая постоянная, зависящая от объема и количества газа, N — число молекул газа, U — внутренняя энергия газа. Вывести формулу для расчета энтропии газа. Решение Применив формулу (5.1), получаем 3 S = k ⋅ ln Ω = kN ⋅ ln U + k ln C . 2 Пример 7(б) Найти приращение энтропии воды массой m = 0,1 кг при нагревании ее от температуры t1= 00 С до температуры t2= 1000 С и последующем превращении воды в пар. Решение

Найдем отдельно изменение энтропии воды при нагревании ΔS1 и при пре-

28 вращении ее в пар ΔS2. Используем формулу (5.4). При нагревании T2 c уд m ⋅ dT ΔS1 = ∫ , T T 1

где теплоемкость с заменена произведением удельной теплоемкости суд и массы воды. Интегрируем T ΔS1 = c уд m ⋅ ln 2 T1 и после вычислений получаем ΔS1 = 131 Дж/К. При испарении воды температура остается постоянной. Поэтому, интегрируя формулу (5.3) при постоянной температуре, получим Q rm ΔS 2 = исп = , T2 T2 где r — удельная теплота испарения воды. После вычислений получаем ΔS2 = 606 Дж/К, ΔS = ΔS1+ ΔS2 = 737 Дж/К.

Пример 8 Определить изменение энтропии, если температура одного моля идеального газа увеличивается в е ≈ 2,7 раз при; а) изобарическом, б) изохорическом, в) адиабатическом процессах. Решение Если первое начало термодинамики записать в виде δQ = dU + P ⋅ dV и заменить δQ, используя равенство (5.3), получим T ⋅ dS = dU + P ⋅ dV . Учтем, что изменение внутренней энергии одного моля идеального газа dU M можно записать в виде dU M = CV ⋅ dT (формулы (3.5) и (3.6)), где сV — мольная теплоемкость газа при постоянном объеме. Тогда T ⋅ dS = ν ⋅ CV ⋅ dT + P ⋅ dV . а) При изобарическом процессе, используя уравнение КлапейронаМенделеева PV = νRT, можно получить формулу P.dV = νR.dT. С учетом этого перепишем первое начало термодинамики dT dT = ν ⋅ CP T ⋅ dS = ν ⋅ CV ⋅ dT + ν ⋅ R ⋅ dT или dS = ν ⋅ (CV + R ) ⋅ . T T После интегрирования последней формулы получаем T ΔS = ν ⋅ CP ln 2 = νCP ln e = ν ⋅ CP . T1 б) При изохорическом процессе dV=0. Тогда T ⋅ dS = ν ⋅ CV ⋅ dT или dT dS = ν ⋅ CV . После интегрирования этой формулы получаем T

29 T ΔS = ν ⋅ CV ln 2 = ν ⋅ CV ln e = ν ⋅ CV . T1 в) При адиабатическом процессе δQ = 0 и, в соответствии с (5.3), ΔS = 0.

Пример 9(а) Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл, в пределах которого абсолютная температура изменяется в два раза, а сам цикл в координатах T–S имеет вид, показанный на рисунке 5.1. Найти коэффициент полезного действия η цикла.

По определению η =

Aполезн Qполуч

Т

1

2

3 S

Рис. 5.1.

Решение Q − Q2 = 1 , где Q1 — количество теплоты, полуQ1

чаемое тепловой машиной за цикл, и Q2 количество теплоты, отдаваемое за цикл холодильнику. Используем формулу (5.4), т.е. Q = ∫ T ⋅ dS . Учтем, что на диаграмме величина интеграла соответствует площади криволинейной трапеции под линией процесса. Интегрирование можно разбить на три участка 1-2, 23 и 3-1. На участке 1-2 dS > 0. Тогда Q1−2 = T1 ∫ dS = T1ΔS1−2 > 0 (машина получает количество теплоты). На участке 2-3 dS = 0 (теплообмена нет). На участке 3-1 T +T dS < 0. Тогда Q3−1 = ∫ TdS = 1 3 ΔS3−1 < 0 (машина отдает количество теплоты 2 холодильнику). Учтем, что T1 = 2T3 и ΔS1-2 = –ΔS3-1 = –ΔS. Тогда 3 T1ΔS − T1ΔS 4 η= = 0,25 . T1ΔS Пример 9(б)

30 Идеализированный цикл бензино- Р вого двигателя внутреннего сгорания изображен на Р–V диаграмме (рис. 5.2). Участок 1-2 — соответствует адиабатическому сжатию горючей смеси; участок 2-3 — изохорическому увеличению давления при сгорании топлива; участок 3-4 — адиабатическому расширению газообразных продуктов сгорания топлива «рабочий ход»; участок 4-1 — изохорическому выхлопу отработавших газов. Выразить КПД двигателя через степень сжатия газа V k = 1 . Сделать расчет для k = 7 при V2

3

2

4

1

V2

V1

V

Рис. 5.2.

показателе адиабаты γ = 1,4. Решение

По определению η =

Aполезн . Qполуч

Проанализируем процессы с точки зрения теплообмена и совершения работы: 1-2 — адиабатический процесс с уменьшением объема Q1-2 = 0, A1-2< 0 – работа совершается внешними силами при сжатии газа V2

A1−2 = ∫ P ⋅ dV < 0. V1

Для расчета интеграла используем уравнение адиабаты PV γ = P2V2γ . 1 Тогда P = P2V2γ ⋅ γ и, после преобразования подынтегрального выражеV V2 1 P2V2γ ⎡ 1 1 ⎤ γ ния, получим A1−2 = P2V2 ∫ γ ⋅ dV = ⎢ γ−1 − γ −1 ⎥ = 1 − γ ⎣V2 V V1 ⎦ V1 γ −1 ⎤ P V ⎡⎛ 1 ⎞γ−1 ⎤ P2V2 ⎡⎛ V2 ⎞ ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ = 2 2 ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ < 0. = γ − 1 ⎢⎝ V1 ⎠ ⎥⎦ γ − 1 ⎢⎣⎝ k ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2-З — изохорический процесс. В этом случае работа А2-3 = 0. Увеличение давления связано с увеличением температуры. Следовательно, внутренняя энергия газа увеличивается за счет получаемого при сгорании топлива количества теплоты

31

PV ⎞ C V ⎛ PV Q2−3 = νCV (T3 − T2 ) = νCV ⎜ 3 2 − 2 2 ⎟ = V 2 ( P3 − P2 ) > 0. νR ⎠ R ⎝ νR 3-4 — процесс аналогичен процессу 1-2, но идет в противоположном направлении. Поэтому Q3-4 = 0, и работа A3-4 > 0: γ −1 ⎡ ⎤ PV ⎡ ⎛ 1 ⎞γ−1 ⎤ PV 3 2 ⎢⎛ V2 ⎞ 3 2 A3−4 = − ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ . ⎜ ⎟ − 1⎥ = γ − 1 ⎢⎝ V1 ⎠ γ − 1 ⎢⎣ ⎝ k ⎠ ⎥⎦ ⎥ ⎣ ⎦ 4-1 — процесс аналогичен процессу 2-3. Работа А4-1 = 0, температура и внутренняя энергия газа уменьшаются за счет «сбрасывания» количества теплоты в атмосферу Q4-1 < 0. Используя полученные результаты, можно найти коэффициент полезного действия. При этом необходимо учесть, что полезной (результирующей) работой является величина A3-4 + A1-2 , где A1-2< 0. V2 ( P3 − P2 ) ⎛ 1 ⎞ 1 − γ −1 ⎟ ⎜ A A + A1−2 γ −1 ⎝ k ⎠ = . η = полезн = 3−4 cV V2 Qполуч Q2−3 ( P3 − P2 ) R R CP − CV = = γ − 1. Тогда Учтем, что CV CV 1 1 η = 1 − γ−1 = 1 − 0,4 ≈ 0,54 или η ≈ 54%. 7 k Замечание: реальный КПД бензиновых двигателей гораздо меньше, так как в расчетах не учтены силы трения, теплообмен со стенками цилиндров и другие факторы.

Пример 10 Найти КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, если при адиабатическом расширении рабочей смеси давление уменьшается в 2 раза. Постоянная адиабаты γ =1,5.

Решение

Р

32 Цикл Карно состоит из двух адиабат и двух изотерм (рис. 5.3). Его КПД T η =1− 2 . 1 T1 Для определения отношения миниT1 мальной Т2 и максимальной Т1 темQ=0 2 ператур в цикле можно использовать уравнение адиабаты 4 Q=0 3 T2 PV γ = Const . Воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева, его можно V преобразовать к виду 1− γ Рис. 5.3. P γ T = Const . Тогда для участка 2-3 По условию задачи

1− γ P2 γ T1

=

1− γ P3 γ T2

или

1− γ ⎞γ

T2 ⎛ P2 =⎜ ⎟ T1 ⎝ P3 ⎠

.

Р2 = 2 . С учетом этого рассчитаем значение КПД Р3 T η =1− 2 =1− 2 T1

1− γ γ

=1− 2

−

1 3

≈ 0,21.

Пример 11(а) Определить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода, находящегося в сосуде емкостью V = 2 л при температуре t = 270 С и давлении P = 100 кПа. Рассчитать число соударений, происходящих между всеми молекулами в этом сосуде за 1с. Эффективный диаметр молекулы кислорода равен 2,5.10 –10 м. Решение Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле (6.7) 1 λ= . 2 ⋅π ⋅d2 ⋅n Необходимое для расчета значение концентрации молекул выразим из уравнения P = nkT. Тогда kT ≈ 1,5 ⋅ 10−7 м . λ= 2 2 ⋅π ⋅d ⋅ P Число соударений W, происходящих между всеми молекулами за 1 с, можно определить как произведение количества молекул N и частоты соударений ν

33 1 N ⋅ ν . Множитель 1/2 связан с тем, что молекулы со2 ударяются попарно и произведение учитывает каждый удар дважды. Учтем, что V 1 8 RT PV . ν = CP = и N = NA λ λ πM RT каждой молекулы W =

Тогда W =

1 N PV N ⋅ν = A 2 λ

2 ≈ 7,2 ⋅ 1031 c −1 . πMRT

Пример 11(б) Определить коэффициент диффузии азота, имеющего температуру Т = 300 К при давлении Р = 100 кПа. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 2,7.10–10м. Решение

1 Коэффициент диффузии определяется по формуле (6.4) D = VCP ⋅ λ . Средняя 3 длина свободного пробега находится так же, как и в предыдущей задаче kT λ= = 1,3 ⋅ 10−7 м . Тогда 2 2 ⋅π ⋅d ⋅ P 2kT RT ≈ 2,0 ⋅ 10−5 м2/с. D= 2 3πd P πM

Пример 11(в) Температура воздуха между стеклами оконных рам изменяется от t1=00С у наружного стекла до t2= +100 С у внутреннего. Оценить среднее значение коэффициента теплопроводности для этих условий и с его помощью рассчитать поток тепла через окно за счет явления теплопроводности. Площадь окна S = 2 м2, зазор между стеклами b = 0,05 м. Эффективный диаметр молекул воздуха равен 2,2.10–10 м. Решение Коэффициент теплопроводности газа оценивается по формуле (6.5) 1 ⎛i ⎞ Κ = VCP ⋅ λ ⋅ ⎜ kn ⎟ , 3 ⎝2 ⎠ где число степеней свободы для молекул воздуха (двухатомные азот и кисло-

34 род) при указанных температурах i = 5, VCP = Тогда Κ =

1 8RT = 1,8 ⋅ 10−7 м . , λ= 2 πM 2 ⋅ πd n

1 8 RT ikn ik RT . ⋅ = ⋅ 2 2 6 πM πM 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ n 3π ⋅ d

Произведя вычисления, получим K ≈ 2,4 ⋅ 10−2 Вт м ⋅ К . Поток тепла через окно вычисляется с помощью закона теплопроводности Фурье (6.2) dT Фq = jq ⋅ S = − Κ ⋅S . dz Знак минус указывает направление потока и в расчетах опускается. С досdT Т − Т1 можно заменить на 2 . Тогда таточной точностью величину dz b T −T Фq = Κ 2 1 ⋅ S ≈ 9,7 Дж/с. b

Пример 12(а) Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной H = 0,1 м, могут свободно вращаться вокруг их общей оси (рис. 6.1). Радиус R большего цилиндра равен 0,05 м. Между цилиндрами имеется зазор размером b = 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной угловой скоростью ω1 = 125,6 с–1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какое время Δt с момента освобождения внешнего цилиндра он приобH ретет угловую скорость ω2 = 6,28 с–1. Коэффициент динамической вязкости воздуха при нормальных условиях равен 1,72.10–5 Па.с, масса внешнего цилиндра m = 0,1 кг. Изменением относительной скорости цилиндров пренебречь. Рис. 6.1. Решение При вращении внутреннего цилиндра в воздушном зазоре возникает градиент скорости, который в силу большего различия между ω1 и ω2 можно считать приблизительно постоянным dV ΔV ( ω1R − ω2 R ) ω1R ≈ ≈ ≈ . dr b b b Поэтому на каждый элемент поверхности ΔS внешнего цилиндра действует сила вязкого трения (6.3б), направленная по касательной к поверхности

35 ωR dV ⋅ ΔS = η 1 ⋅ ΔS . b dr Это приведет к возникновению момента сил трения относительно оси циω1R ω1R 2 dV ⋅ ΔS ⋅ R = η ⋅ R ∑ ΔS =η ⋅ 2πR ⋅ H . линдров M = ∑ ΔFTP ⋅ R = ∑ η b b dr Тогда, согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела, изменение момента импульса внешнего цилиндра ΔL можно записать в виде ΔL = M ⋅ Δt . Учтем, что ΔL = I.ω2, где момент инерции внешнего цилиндра I = mR2. После преобразований получим ΔL mR 2ω2 ⋅ b mω2 ⋅ b = . Δt = = 2 M η ⋅ ω1R ⋅ 2πR ⋅ H η ⋅ ω1 ⋅ 2πR ⋅ H

ΔFTP = η

Подставив значения величин и произведя вычисления, получим Δt ≈ 18, 5 с. Пример 12(б) В качестве примера диффузии часто указывают на распространение запаха в воздухе. Оцените время диффузионного смещения молекулы примеси на расстояние L = 3 м. Принять, что молекулы примеси мало отличаются от молекул воздуха и их коэффициент диффузии D =4,5.10–5 м2/с. Решение Диффузионное смещение молекул можно оценить по формуле (6.8) L2 L ДИФФ ≈ D ⋅ τ . Тогда τ = . D Произведя вычисления, получим τ ≈ 55,6 часов. Из опыта следует, что запах распространяется значительно быстрее. Дело в том, что при решении не учитывались конвективные потоки, существующие в воздухе. Кроме того, используемая формула оценивает размер области, на границах которой концентрация молекул примеси достигает значение, примерно равное 0,37 от максимальной концентрации. Обоняние человека, как правило, гораздо чувствительнее, и мы ощущаем уже "передний фронт" диффундирующих молекул.