Небесная механика. Общий курс

Глава 3. Периодические решения 3.1. Периодические решения канонических уравнений В этой главе будут изложены основы теории периодических решений в случае канонических уравнений вида

dxi ∂F = , dt ∂ y i

dy i ∂F =− ∂ xi dt

(i = 1, n).

(3.1.1)

Здесь функция F, зависящая от канонических переменных xi, yi и времени t, — характеристическая функция, или функция Гамильтона. Рассматривая в основном небесномеханические приложения, в дальнейшем будем предполагать, что характеристическая функция F не зависит явно от времени t, так что система (3.1.1) является автономной. Тогда уравнения (3.1.1) допускают первый интеграл (см. раздел 1.1) F = c = const , (3.1.2) называемый интегралом энергии, или интегралом живых сил. Предположим далее, что функция F зависит от некоторого малого параметра μ и может быть разложена по степеням этого параметра в ряд 2 F = F0 + μF1 + μ F2 +K, абсолютно сходящийся при 0 < μ < μ 0 , где μ 0 > 0 . Кроме того, будем предполагать, что все функции Fi являются голоморфными, то есть однозначными и непрерывными относительно переменных x1, x2, ..., xn в некоторой области G и периодическими относительно каждой из переменных y1, y2, ..., yn с периодом 2π. Функция F0 предполагается зависящей только от переменных xi: F0 = F0 (x1,x2,...,xn).

(3.1.3)

Изучение канонической системы (3.1.1), обладающей указанными свойствами, А. Пуанкаре назвал основной задачей динамики [10]. В частности, в небесной механике к каноническим системам практически всегда можно прийти во всех основных задачах, если записать уравнения движения в элементах орбиты. Остановимся, однако, на этой проблеме несколько подробнее. Рассмотрим движение тела P с массой m под действием притяжения центрального тела P0 с массой m0 (задача двух тел). Пусть на тело P действуют также некоторые другие силы, допускающие силовую функцию. Тогда в прямоугольной системе координат P0x1x2x3 дифференциальные уравнения движения P примут вид (см. (2.6.1)) d 2 x i χx i ∂R + 3 = ∂ xi dt 2 r

(i = 1, 3),

где 1/ 2

⎛ 3 ⎞ r = ⎜ ∑ xi2 ⎟ , ⎝ i =1 ⎠

χ = f (m0 + m),

а R — возмущающая функция, зависящая от координат xi (i = 1, 3) .

(3.1.4)

68

Часть I. Методы небесной механики Чтобы привести уравнения (3.1.4) к канонической форме, достаточно положить qi = xi ,

p i = x& i

(i = 1, 3),

(3.1.5)

а в качестве функции Гамильтона взять следующую функцию: F = F0 − R,

F0 =

1 2 χ p1 + p22 + p32 − . r 2

(

)

(3.1.6)

Действительно, в этом случае система (3.1.4) преобразуется к виду

dq i ∂F = , dt ∂ p i

dp i ∂F =− ∂ qi dt

(i = 1, 3).

(3.1.7)

Уравнения (3.1.4) или (3.1.7) при R ≠ 0 принято называть уравнениями возмущенного движения, а при R = 0 — уравнениями невозмущенного кеплеровского движения. Для невозмущенного движения канонические уравнения (3.1.4) были проинтегрированы в разделах 2.3 и 2.6. Однако если в (2.3.6) в качестве нового импульса выбрать P1 = K = α1 < 0 (а не L: ∂K/∂L = n), так что, согласно (2.3.7), F0 = α1, и положить S = S∗ − α1t, то из (2.3.5) получим ∂S* Q1 = − t, ∂P1 и тогда, как непосредственно следует из результатов раздела 2.3, общее решение задачи будет представимо в виде qi = qi (α , β , t ),

pi = pi (α , β , t ) (i = 1,3),

(3.1.8)

где α i = Pi , β i = Qi (i = 1,3) являются каноническими элементами Якоби. Эти переменные связаны с кеплеровскими орбитальными элементами a, e, i, ω, Ω, τ = t0 следующими выражениями

α1 = −

χ

2a β 1 = −τ ,

(

)

, α 2 = χa 1 − e 2 , α 3 = α 2 cosi ,

β 2 = ω,

(3.1.9)

β 3 = Ω.

При R = 0 все канонические элементы α i , β i (i = 1,3), в отличие от переменных (2.3.6) (см.(2.3.45)), уже являются постоянными, так как, согласно (2.1.22),

F0* = α 1 +

∂S ≡ 0. ∂t

В случае возмущенного движения (R ≠ 0), если воспользоваться методом вариации произвольных постоянных, то элементы α i , β i будут функциями времени:

dα i ∂R = , dt ∂β i

dβ i ∂R =− dt ∂α i

(i = 1,3).

(3.1.10)

Глава 3. Периодические решения

69

Канонические элементы Якоби имеют, однако, один существенный недостаток, который заключается в следующем. Элемент α1 входит в возмущающую функцию R не только через большую полуось a = − χ 2α 1 , но и через среднюю аномалию

l = n(t − τ ) = n(t + β 1 ), n =

χ a3

=

8( −α 1 ) 3

χ

.

Поэтому в правой части уравнения

dβ 1 ∂R =− dt ∂α 1 будут слагаемые, имеющие множители (t + β1), что приводит к решению, содержащему смешанные члены, которые в большинстве случаев никак не обусловлены самой природой задачи. Различные системы канонических элементов, которые свободны от указанного недостатка и наиболее часто применяются в небесной механике, были предложены Делоне (см. (2.3.47)) и Пуанкаре (2.5.3), (2.5.8). Гамильтониан в случае элементов Пуанкаре определяется той же формулой, что и в случае элементов Делоне: F* = −

χ2 2 L2

− R.

(3.1.11)

Элементы Пуанкаре удобны в тех случаях, когда эксцентриситет и наклон орбиты являются малыми величинами. 3.2. Условия существования Найдем теперь условия, при которых возможно существование периодических решений исходной канонической системы (3.1.1) с гамильтонианом F, зависящим от некоторого малого параметра μ, если неизвестно общее решение этой системы (при μ ≠ 0), но известно, что при μ = 0 система (3.1.1) имеет периодическое решение. Период T этого решения будем называть порождающим периодом, а само периодическое решение исходной системы при μ = 0 (общее решение при μ = 0) назовем порождающим решением для искомых периодических решений канонической системы (3.1.1) при μ ≠ 0 (μ << 1). Таким образом, будем искать условия существования периодических решений, близких к уже известному (при μ = 0), либо с периодом, равным периоду T порождающего решения, либо с периодом T′, близким к порождающему и обращающимся в T при μ = 0. Система (3.1.1) при μ = 0 переходит в уравнения (см. (3.1.3)):

dxi = 0, dt

dy i ∂F =− 0 dt ∂ xi

(i = 1, n),

(3.2.1)

для которых легко выписать общее решение:

xi = ai ,

yi = ni t + ω i .

Здесь a i и ω i — произвольные постоянные, а

(3.2.2)

70

Часть I. Методы небесной механики

ni = −

∂F0 ∂ ai

(i = 1, n).

(3.2.3)

Если все величины niT (i = 1, n) будут кратны 2π, то полученное решение, которое выберем в качестве порождающего, будет периодическим по t с периодом T. Независимость функции F от переменной t (см. раздел 3.1) позволяет искать при μ ≠ 0 периодические решения как с периодом T, так и с периодом T(1+α), где α обращается в нуль при μ = 0. Обратимся сначала к отысканию решений с периодом, равным периоду порождающего решения T. Пусть при t = 0 (и μ ≠ 0) xi = ai + β i ,

yi = ω i + γ i

(i = 1, n)

и при этом β i = γ i , когда μ = 0. Введем переменные ϕi иψi:

xi = ai + β i + ϕ i ,

yi = ni t + ω i + γ i + ψ i ,

(3.2.4)

так что ϕi = ψi = 0 при t = 0. Тогда очевидно, что в случае, когда все значения niT кратны 2π, решения xi, yi (i = 1, n) при μ ≠ 0 будут периодическими с периодом T, если

ϕ i ( T ) = 0, ψ i ( T ) = 0 (i = 1, n).

(3.2.5)

Рассмотрим сначала вторую группу условий (3.2.5). Поскольку ввиду (3.2.4) и (3.1.1) dψ i ∂F = − ni − (i = 1, n), (3.2.6) dt ∂ xi то, учитывая (3.2.3), (3.2.4) и (3.1.2), (3.1.3), с точностью до слагаемых первого порядка относительно параметров βi и μ имеем T ∂ 2 F0 ∂F dt − μ ∫ 1 dt + K , ψ i = −∑ β m ∫ ∂ xi ∂ x m ∂ xi m =1 0 0 n

T

(3.2.7)

где в интегральных выражениях следует считать βi = 0. Так как ∂ 2 F0 = const (i, m = 1, n), ∂ ai ∂ a m то при помощи выражений (3.2.7) запишем вторые условия (3.2.5) в следующем виде: n

∑ βm m =1

T ∂ 2 F0 μ ∂F + ∫ 1 dt + K = 0 (i = 1, n). ∂ ai ∂ a m T 0 ∂ ai

(3.2.8)

Рассматривая эти равенства как уравнения относительно β 1 , β 2 , K, β n , заключаем, что если определитель

Глава 3. Периодические решения

∂ 2 F0 ∂ a12 ∂ 2 F0 ∂ a1 ∂ a 2

∂ 2 F0 ∂ a1 ∂ a 2 ∂ 2 F0 ∂ a 22

L ∂ 2 F0

L ∂ 2 F0

∂ a n ∂ a1

∂ an∂ a2

71

∂ 2 F0 ∂ a1 ∂ a n ∂ 2 F0 L ∂ a2∂ an L

L L

≠ 0,

(3.2.9)

L ∂ 2 F0

∂ a n2

β i =0

то все βi (i = 1, n) могут быть получены из этих уравнений в виде рядов

β i = μβ (i1) + μ 2 β i( 2) +K

(3.2.10)

Поскольку определитель, стоящий в левой части выражения (3.2.9), есть не что иное, как гессиан функции F0 по переменным x1 , x 2 , K, x n , то условие (3.2.9) более кратко может быть записано в виде

Hn ( F0 ) ≠ 0.

(3.2.11)

Обратимся теперь к первой группе условий (3.2.5). Наличие у системы (3.1.1) интеграла энергии позволяет на единицу уменьшить число уравнений (3.2.5). Тогда достаточно обеспечить выполнение (n − 1) условия

ϕ j (T ) = 0 ( j = 1, n − 1),

(3.2.12)

а одну из постоянных γi можно выбрать по своему усмотрению. Будем считать, что γn = 0 при t = 0. Тогда, учитывая (3.1.1), (3.2.4) и ограничиваясь первыми слагаемыми разложения, представим ϕj(T) в виде n −1

T

T

i =1

или

ϕ j (T ) μ

n −1

T

n ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F dt + μ ∫ dt + ∑ β i ∫ dt + K y y y y x ∂ ∂ ∂ ∂μ ∂ ∂ = 1 i j j i j i 0 0 0

ϕ j (T ) = ∑ γ i ∫

(3.2.13)

T T n ∂ 2 F1 ∂F ∂ 2 F1 dt + ∫ 1 dt + ∑ β i ∫ dt + K ( j = 1, n − 1). (3.2.14) y y y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i = 1 j i j j i 0 0 0

T

= ∑γ i ∫ i =1

Таким образом, с точностью до величин первого порядка относительно γi и μ, уравнения (3.2.12) примут вид n −1

T T n ∂ 2 F1 ∂F ∂ 2 F1 dt + ∫ 1 dt + ∑ μβ i(1) ∫ dt + K = 0. y y y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 i j i j j i 0 0 0

T

∑γ i ∫ i =1

(3.2.15)

Левая часть этого уравнения обращается в нуль при γj = μ = 0 ( j = 1, n − 1) , то есть решение переходит в порождающее (3.2.2) в том случае, когда выполняются равенства T

∂F1

0

j

∫∂y

dt = 0

( j = 1, n − 1).

(3.2.16)

72

Часть I. Методы небесной механики

Если, кроме того, определитель (n − 1)-го порядка

∂ 2 F1 dt , y y ∂ ∂ j i 0

T

Δ = det ∫

(3.2.17)

вычисленный при γj = 0, отличен от нуля, то, согласно теореме о неявных функциях, все γj могут быть найдены из уравнений (3.2.15) в виде голоморфных функций μ:

γ j = μγ (j1) + μ 2γ (j2) +K

(3.2.18)

Условия (3.2.16) и (3.2.17) могут быть представлены в другом, более удобном виде. Будем считать, что F1 является периодической относительно каждой из переменных y1 , y 2 , K, y n функцией с периодом, кратным 2π, то есть

F1 = ∑ A sin Ω,

(3.2.19)

n

где Ω = ∑ mi yi + h, mi — целые числа, а A, h — функции от переменных xi. Тогда, с i =1

учетом (3.2.4), получим, что n

n

n

i =1

i =1

i =1

Ω = t ∑ mi ni + ∑ mi (ω i + γ i ) + ∑ miψ i + h .

(3.2.20)

Таким образом, F1 является по переменной t периодической функцией с периодом T и 2π -периодической относительно аргументов ωi + γi. Вводя теперь функцию T 1 (3.2.21) [ F1 ] = T ∫ F1dt , 0 представляющую собой среднее значение F1 за период T, в силу аналитического характера ее зависимости от своих аргументов будем иметь T ∂F1 ∂F1 ∂ dt = ∫0 ∂ y i ∫0 ∂ω i dt = T ∂ω i [F1 ].

T

(3.2.22)

Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы. Если постоянные ai порождающего решения (3.2.2) канонической системы (3.2.1) выбраны таким образом, что при фиксированном значении периода T

∂ F0 T = 2πk i ∂ ai

(i = 1, n),

(3.2.23)

где ki — заданные целые числа, а начальная конфигурация системы, определяемая величинами постоянных ωj, удовлетворяет уравнениям

∂ [ F1 ] = 0i ∂ω j то при выполнении условий

( j = 1, n − 1),

(3.2.24)

Глава 3. Периодические решения

73

∂ 2 F0 det ≠ 0 (i, l = 1, n), ∂ ai ∂ al

(3.2.25)

∂ 2 [ F1 ] det ≠ 0 ( m, j = 1, n − 1) ∂ω j ∂ω m

(3.2.26)

для достаточно малых значений параметра μ существует периодическое решение канонической системы (3.1.1) периода T, обращающееся в порождающее при μ = 0. Заметим, что это решение содержит две произвольные постоянные, в качестве которых можно выбрать одну из величин ai и один из углов ωi (i = 1, n), и тогда остальные постоянные будут определены из уравнений (3.2.23) и (3.2.24). 3.3. Ряды, представляющие периодические решения В предыдущем разделе были найдены условия существования периодических решений канонической системы

dxi ∂F = , dt ∂ y i

dyi ∂F =− dt ∂ xi

(i = 1, n)

(3.3.1)

для достаточно малых значений параметра μ. Рассмотрим теперь задачу о построении рядов, представляющих эти решения. Пусть, как и раньше, F = F0 + μF1 + μ 2 F2 + K и порождающее решение определяется формулами xi( 0) = ai , где

ni = −

yi( 0) = ni t + ω i ,

∂F0 ∂ ai

(3.3.2)

(i = 1, n).

Постоянную интеграла энергии (3.1.2) системы (3.3.1) запишем в виде c = c0 + μc1 + μ c 2 +K,

(3.3.3)

∂F ≠ 0. ∂ xn

(3.3.4)

2

где ci — некоторые постоянные. Будем считать также, что

Тогда, произвольно выбирая значение an, определим период порождающего решения T формулой ⎛ ∂F T = 2π ⎜⎜ ⎝ ∂ an

−1

⎞ ⎟⎟ , ⎠

а задавая набор целых, не равных нулю чисел kj, из уравнений

(3.3.5)

74

Часть I. Методы небесной механики

∂F0 ∂F = kj 0 ∂aj ∂ an

( j = 1, n − 1)

(3.3.6)

найдем постоянные a1 , a2 , K , an−1. Определим затем постоянные ω i (i = 1, n). Вводя обозначение n

(n , m) = ∑ ni mi ,

(3.3.7)

i =1

где mi — не равные одновременно нулю целые числа, согласно (3.2.19) представим функцию F1 yi( 0) в виде двух слагаемых:

( )

F1 = ∑ A sin Ω + ∑ A sin Ω. /

//

(3.3.8)

Здесь Ω = ( n , m) t + (ω , m) + h; A, h — функции переменных xi( 0) ; Σ′ обозначает суммирование членов, для которых (n , m) = 0 (то есть имеет место соизмеримость частот ni); Σ′′ — сумму слагаемых с (n , m) ≠ 0. С учетом (3.3.8) условия существования периодического решения (3.2.24) можно представить в виде

∑ m A cos [(ω , m) + h] = 0 /

j

( j = 1, n − 1).

(3.3.9)

Эти уравнения позволяют найти все ω 1 , ω 2 , K , ω n−1. Значение постоянной ω n можно определить по своему выбору, например, положив ω n = 0 , поскольку выбор начального момента t0 произволен в силу независимости от t характеристической функции F уравнений (3.3.1). Определив таким образом все постоянные порождающего решения, будем искать периодическое решение системы (3.3.1) в виде рядов

x i = x i + μx i + μ x i + K , ( 0)

(1)

2

( 2)

(3.3.10)

y i = y i + μy i + μ y i + K ( 0)

(1)

2

( 2)

Подстановка этих рядов в функцию F дает F = Φ 0 + μΦ 1 + μ Φ 2 +K 2

(3.3.11) n

Φ 0 = F0 ( a1 , a2 , K , an ), Φ1 = F1 ( a1 , a2 , K , an , y1( 0) , K , y n( 0) ) − ∑ ni x i(1)

Здесь

и

i =1

n

Φ k = Θ k − ∑ ni xi( k ) для k > 1, где функции Θk зависят только от тех yi( m) и xi( m ) , для коi =1

торых m ≤ k−1. Приравнивая выражения при одинаковых степенях μ в системе (3.3.1), получим следующие уравнения, определяющие функции xi( k ) и yi( k ) :

Глава 3. Периодические решения dx (jk ) dt

=

75

∂Φ k , ∂ y (j0)

n ∂ Θk ∂ 2 F0 dy i( k ) = − ( 0) − ∑ ( 0) ( 0) xl( k ) , dt ∂ xi l =1 ∂ xi ∂ x l

(3.3.12)

в которых j = 1, n − 1, i = 1, n ; x n( k ) определяются из интеграла (3.1.2). Пусть k = 1, тогда для x (j1) имеем dx (j1) dt

=

∂ F1 , ∂ y (j0 )

(3.3.13)

или, с учетом (3.3.8) и (3.3.9), dx (j1) dt

= ∑ Am j cos Ω. //

Интегрируя это уравнение, получим

x (j1) = ∑

//

Am j sin Ω (n , m)

+ c (j1) ,

(3.3.14)

где c (j1) — постоянные, а j = 1, n − 1. Подставляя (3.3.14) в (3.1.2), с учетом (3.3.3) сразу находим, что x

(1) n

⎛ ∂F = ⎜⎜ (00 ) ⎝ ∂ xn

−1

⎫ ⎞ ⎧ n −1 ⎟⎟ ⎨∑ n j x (j1) − F1 (xi( 0 ) , y i( 0) )⎬ + c n(1) , ⎠ ⎩ j =1 ⎭

(3.3.15)

причем −1

⎛ ∂F ⎞ c = ⎜⎜ (00) ⎟⎟ c1 . ⎝ ∂ xn ⎠ Таким образом, все xi(1) получились периодическими функциями с периодом T. Зная xi(1) , удается записать уравнения для yi(1) в виде (1) n

n ∂ 2 F0 dy i(1) (1) (1) = pi − ∑ cl . dt ∂ xl( 0 ) ∂ xi( 0) l =1

(3.3.16)

Здесь pi(1) — известные функции, разложенные в тригонометрические ряды по синусам и косинусам углов, кратных (2πt)/T. Для того чтобы yi(1) были периодическими функциями, необходимо, чтобы постоянное слагаемое в правой части (3.3.16) было равно нулю. Пусть pi(1) обозначает это постоянное слагаемое ряда pi(1) , тогда указанное условие выглядит следующим образом: n ∂ 2 F0 (1) = pi(1) (i = 1, n). (3.3.17) c l ∑ (0) (0) ∂ xl ∂ xi l =1

76

Часть I. Методы небесной механики

Эти n уравнений могут быть разрешены, в силу условия (3.2.25), относительно cl(1) и, следовательно, (3.3.18) yi(1) = Qi(1) + Di(1) (i = 1, n), t

(1) i

где Q

dyi(1) dt — периодические функции от t, а D i(1) — произвольные постоянные, =∫ dt 0

причем Dn(1) = 0, так как ω n = 0. Положим теперь k = 2. Поскольку в силу (3.3.11), (3.3.9) и (3.2.21)

(

)

n

Θ 2 = Θ 2 xi( 0 ) , y i( 0 ) , xi(1) + ∑ y i(1) i =1

∂ [F1 ] , ∂ y i( 0)

то, учитывая выражения (3.3.18), для x (j 2 ) из (3.3.12) получим следующие уравнения: dx (j2 ) dt

n −1

= S (j 2) + ∑ Dk(1) k =1

∂ 2 [F1 ] . ∂ y k( 0) ∂ y (j0 )

(3.3.19)

Здесь j = 1, n − 1 ; S (j 2 ) разложены в тригонометрические ряды по аргументам, кратным (2πt)/T. Пусть S j( 2 ) — постоянные слагаемые этих рядов, тогда, определяя постоянные Dk(1) из уравнений n −1

S j( 2) + ∑ Dk(1) k =1

∂ 2 [F1 ] = 0, ∂ y k( 0) ∂ y (j0)

(3.3.20)

что возможно, согласно условию (3.2.26), после интегрирования (3.3.19) получим x (j 2 ) в виде

x (j 2 ) = R (j 2 ) + c (j 2 ) , t

где R (j 2 ) = ∫ 0

dx

(2) j

dt

(3.3.21)

dt — периодические функции от t; j = 1, n − 1 ; c(j 2 ) — произвольные

постоянные. Подставляя теперь (3.3.21) в интеграл энергии, после сопоставления слагаемых при μ2 найдем ⎡ ⎛ −1 ⎧ ⎞⎤ n ⎛ ∂F0 ⎞ ⎪ n −1 ∂F0 ( 2 ) 1 ⎢ n ⎜ ∂ 2 F0 (1) 2 ∂ 2 F0 ( 2) (1) (1) ⎟ ⎥ x n = −⎜⎜ ( 0) ⎟⎟ ⎨∑ ( 0 ) x j + ⎢∑ ⎜ ( 0) 2 (xi ) + ∑ ( 0) ( 0 ) xi xl ⎟⎥ + 2 i =1 ⎜ ∂ xi l =1 ∂ xi ∂ x l ⎝ ∂ x n ⎠ ⎪ j =1 ∂ x j ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ l ≠i ⎠⎦ (3.3.22) ⎩ n ⎫⎪ ⎡ ∂F ∂F1 (1) ⎤ + ∑ ⎢ (10) xi(1) + y i ⎥ + F2 (xi( 0) , y i( 0 ) )⎬ + c n( 2 ) , ( 0) ∂ yi ⎪⎭ i =1 ⎣ ∂ xi ⎦ −1

⎛ ∂F ⎞ где c = ⎜⎜ (00) ⎟⎟ c 2 . ⎝ ∂ xn ⎠ Полагая затем в (3.3.12) k = 2, для yi( 2 ) выводим следующие уравнения: ( 2) n

Глава 3. Периодические решения

77

n ∂ 2 F0 dyi( 2) ( 2) ( 2) = p i − ∑ cl , dt ∂ xl( 0 ) ∂ xi( 0) l =1

(3.3.23)

где pi( 2 ) — известные функции такого же вида, что и pi(1) . Следовательно, к этим уравнениям применимы рассуждения, аналогичные случаю функций yi(1) , так что все yi( 2 ) можно получить в виде сумм периодических функций и постоянных Di( 2 ) (см. (3.3.18)). Нетрудно видеть, что для x (3) получаются уравнения такого же типа, что и j (3.3.19), так что если распорядиться постоянными Di( 2 ) аналогично Di(1) , то в виде тригонометрических функций определяются все x (j 3) ( j = 1, n − 1) , а интеграл энергии позволит найти x n( 3) . Ясно, что указанный процесс может быть продолжен неограниченно. 3.4. Случай гессиана, равного нулю Рассмотрим теперь более детально условия существования (3.2.24)-(3.2.26) периодических решений канонических систем. В силу ранее принятых допущений относительно F функция [ F1 ] является периодической относительно переменных

ω j ( j = 1, n − 1). Следовательно, в области 0 ≤ ωj < 2π существует, по крайней мере,

один максимум и один минимум функции [ F1 ] . Пусть ω j — одна из этих точек. Тогда справедливы уравнения

∂ [F1 ] ∂ω j ω

=0

(3.4.1)

j =ω j

и, кроме того,

[ F1 (ω 1 , ω 2 ,K, ω n−1 )] − [ F1 (ω 1 , ω 2 , K, ω n−1 )] = 2

∂ ⎪⎫ ⎪⎧ 1 n−1 = ⎨ ∑ (ω j − ω j ) ⎬ [ F (ω , ω , K , ω n−1 )]+K ∂ω j ⎪⎭ 1 1 2 ⎪⎩ 2 j =1

(3.4.2)

При этом квадратичная форма в правой части (3.4.2) должна быть определенной, а это означает неравенство нулю гессиана функции [ F1 ] по переменным ω 1 , ω 2 , K, ω n−1 . Таким образом, при ω j = ω j ( j = 1, n − 1) выполняются как условия (3.2.24), так и условия (3.2.26). Сложнее обстоит дело с выполнением условия (3.2.25), поскольку в ряде задач небесной механики этот определитель обращается в нуль. Однако Пуанкаре указал прием, позволяющий преодолеть эту трудность в том случае, если удается найти функцию ϕ ( F0 ), гессиан которой по переменным a1 , a2 , K, an отличен от нуля:

det

∂ 2ϕ ( F0 ) ≠ 0 (l , i = 1, n). ∂ ai ∂ al

(3.4.3)

Поскольку уравнения (3.3.1) допускают интеграл энергии F = c, то, обозначая производную ϕ по c через ϕ′, будем иметь

78

Часть I. Методы небесной механики

ϕ ′ ( F ) = ϕ ′( c).

(3.4.4)

Уравнения (3.3.1) в этом случае запишутся в виде:

dxi 1 ∂ϕ , = dt ϕ ′(c) ∂ y i

dyi 1 ∂ϕ . =− dt ϕ ′(c) ∂ xi

(3.4.5)

Переходя к переменной τ, такой что dt = ϕ ′ ( c) dτ ,

(3.4.6)

получим каноническую систему

dxi ∂ϕ = , dτ ∂ y i

dyi ∂ϕ =− dτ ∂ xi

(i = 1, n),

(3.4.7)

для которой выполняются условия (3.4.3). В качестве примера рассмотрим случай двух степеней свободы. Пусть 1 (3.4.8) F0 = 2 + x2 , F0 ≠ 0 . 2 x1 Здесь, в частности, ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 = =0 ∂ x 22 ∂ x1∂ x 2 и определитель ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 ∂ x 2 ∂ x1 ∂ x12 H 2 ( F0 ) = ≡ 0. (3.4.9) 2 ∂ F0 ∂ 2 F0 ∂ x1∂ x 2 ∂ x 22 Пусть теперь x 1 ϕ = F02 = 4 + 22 + x22 , (3.4.10) 4 x1 x1 тогда x 6 H2 (ϕ ) = 6 + 12 24 (3.4.11) x1 x1 отличен от нуля для конечных x1. Заметим, однако, что этот прием не достигает цели, если F0 зависит только от части переменных xi, например,

F0 = F0 ( x1 , x 2 ,K, x s ), s < n. В этом случае если мы рассмотрим любую функцию ϕ(F0), то она по-прежнему будет зависеть только от x1 , x 2 , K, x s , и определитель Гессе будет равен нулю. Из этого следует, что условия существования периодических решений в данном случае требуют специального рассмотрения, чем мы и займемся в следующем разделе.

Глава 3. Периодические решения

79

3.5. Решения при невозмущенном гамильтониане, зависящем от части переменных Пусть F0 = F0 ( x1 , x 2 ,K, x s ), причем s < n и, кроме того, ∂ 2 F0 det ≠ 0 (l , m = 1, s ). (3.5.1) ∂ xl ∂ x m Предположим далее, что ∂F0 T = 2πk l (l = 1, s), (3.5.2) ∂ xl

где kl — целые числа, и рассмотрим вопрос о существовании периодических решений канонической системы (3.3.1) с периодом T. Вводя, как и в разделе 3.2, для l ≤ s функции ϕi и ψi и ограничиваясь величинами первого порядка по βi и μ, аналогично (3.2.7) будем иметь T T s ∂ 2 F0 ∂F dt − μ ∫ 1 dt + K = 0. ψ i (T ) = −∑ β m ∫ (3.5.3) ∂ ai ∂ a m ∂ ai m =1 0 0 Отсюда, согласно предположению (3.5.1), устанавливаем, что все β 1 , β 2 , K, β s могут быть найдены как голоморфные функции от μ. Пусть теперь i ≥ s + 1, тогда, аналогично (3.5.3), получим систему уравнений вида T T T n ψ i (T ) ∂ 2 F1 ∂F ∂F = − ∑ βm ∫ dt − ∫ 1 dt − μ ∫ 2 dt + K = 0, μ ∂ a m ∂ ai ∂ ai ∂ ai m = s +1 0 0 0

(3.5.4)

так что при выполнении условий

det и

∂ 2 [F1 ] ≠ 0 (m, l = s + 1, n) ∂ a m ∂ al ∂ [F1 ] =0 ∂ al

(3.5.5)

(3.5.6)

все β s+1 , β s+ 2 , K, β n могут быть найдены в виде рядов по степеням параметра μ. Что же касается уравнений ϕ i ( T ) = 0 (i = 1, n), то для них верны все рассуждения, приведенные в разделе 3.2. Таким образом, если F0 = F0 ( x1 , x 2 ,K, x s ), где s < n, то при выполнении условий

∂ [F1 ] = 0 ( j = 1, n − 1), ∂ω j ∂ [F1 ] = 0 (l = s + 1, n), ∂ al

(3.5.7) (3.5.8)

80

Часть I. Методы небесной механики

∂ 2 F0 det ≠ 0 (k , m = 1, s), ∂ ak ∂ am

(3.5.9)

∂ 2 [F1 ] ≠ 0 ( p, l = s + 1, n), ∂ al ∂ a p

(3.5.10)

∂ 2 [ F1 ] det ≠ 0 ( q , j = 1, n − 1) ∂ω j ∂ω q

(3.5.11)

det

каноническая система (3.3.1) допускает существование периодического решения с периодом, равным порождающему. Заметим, что решение по-прежнему зависит от двух произвольных постоянных — ωn и одной из величин ak (k ≤ s), — а остальные постоянные определяются из (3.5.2), (3.5.7) и (3.5.8). Что касается непосредственного построения рядов, представляющих указанное решение, то нетрудно видеть, что, полагая

x i = x i + μx i + μ x i +K ( 0)

(1)

2

( 2)

y i = y i + μy i + μ y i +K , ( 0)

(1)

2

( 2)

(i = 1, n)

(3.5.12)

можно определить все xi( k ) и ym( k ) ( m = 1, s) способом, изложенным в разделе 3.3. Различие будет состоять лишь в нахождении тех функций yi( k ) , для которых i ≥ s + 1. Рассмотрим метод определения этих функций. Пусть l принимает значения s+1, s+2, ..., n. Ввиду независимости F0 от al из (3.3.1) и (3.3.2) сразу находим, что yl( 0) = bl ,

(3.5.13)

где bl — постоянные величины, определяемые (см.(3.5.8)) из уравнений

∂ [F1 ] = 0. ∂ al

(3.5.14)

В этих уравнениях все аргументы ω j ( j = 1, n − 1) известны как решения системы (3.5.7), ω n = 0; значение as при условии

∂F0 ≠ 0 задается произвольно и определяет ∂ xs

период −1

⎛ ∂F ⎞ T = 2π ⎜⎜ 0 ⎟⎟ , ⎝ ∂ as ⎠ а величины a j ( j = 1, s − 1) являются решением системы

∂F0 ∂F = kj 0 , ∂aj ∂ as где k j — не равные нулю целые числа. Далее для yl(1) , учитывая (3.3.8) и (3.5.7), получим

(3.5.15)

(3.5.16)

Глава 3. Периодические решения

dy l(1) ∂ =− dt ∂ al

81

∑

//

A sin Ω.

(3.5.17)

Отсюда сразу находим, что

⎧ ∂A ⎫ // ∂h y l(1) = ∑ (n , m) −1 ⎨ cos Ω − A sin Ω⎬ + Dl(1) , ∂ al ⎩ ∂ al ⎭

(3.5.18)

где Dl(1) — произвольные постоянные, а первое слагаемое, в силу (3.3.8) и условия (n , m) ≠ 0, является периодической функцией от t с периодом T. Постоянные ci(1) (i ≤ s) уравнения (3.3.14) будут определены из уравнений (3.3.17) при i ≤ s, а все cl(1) (l = s + 1, n) можно положить равными нулю. ∂ 2 F0 ≡ 0 (m = s + 1, n) , поДля yl( 2 ) аналогично (3.3.23), но с учетом того, что ∂ a m ∂ al лучим n dyl( 2) ∂ 2 F1 = pl( 2) − ∑ c m( 2 ) , (3.5.19) dt ∂ a m ∂ al m = s +1 где pl( 2 ) — периодические функции, разложенные в тригонометрические ряды по синусам и косинусам аргументов, кратных 2πt/T. Обозначив через pl( 2 ) постоянные члены этих рядов, определим все cm( 2) из уравнений 2 n ( 2) ( 2 ) ∂ [ F1 ] = 0, (3.5.20) pl − ∑ c m ∂ a m ∂ al m = s +1 что возможно в силу условий (3.5.10). Тогда постоянные слагаемые в правых частях уравнений (3.5.19) будут отсутствовать и, следовательно, после интегрирования получим, что все yl( 2 ) будут периодическими функциями от t. Далее очевидно, что для всех yl( k ) ( k > 2) будут получаться уравнения вида (3.5.19), а указанный выше способ позволяет найти yl( k ) в виде периодических функций с периодом T. 3.6. Решения с периодом, отличным от периода порождающего решения Как уже отмечалось в разделе 3.2, для исследуемых канонических систем при μ ≠ 0 могут существовать решения, у которых величина периода отлична от значения T, отвечающего порождающему решению. Рассмотрим теперь эти решения. Пусть dxi ∂F dy i ∂F = , =− (i = 1, n) (3.6.1) dt ∂ y i dt ∂ xi

и F0 зависит от x1 , x 2 , K , x n . Порождающее решение имеет вид (3.3.2), и его период представляется выражением (3.3.5). Постоянные aj ( j = 1, n − 1) определяются из (3.3.6).

82

Часть I. Методы небесной механики

Будем искать теперь периодическое решение системы (3.6.1) с периодом, равным (1 + α)T, где α обращается в нуль при μ = 0. Положим (3.6.2) t = (1 + α)τ и перейдем к τ в качестве независимой переменной. Тогда из (3.6.1) для xi, yi (i = 1, n) будем иметь dxi dy i ∂F ∂F = (1 + α ) , = −(1 + α ) . (3.6.3) dτ ∂ yi dτ ∂ xi Как и в разделе 3.2, введем переменные ϕi и ψ i: xi = ai + β i + ϕ i , yi = niτ + ω i + γ i + ψ i .

(3.6.4)

Тогда уравнения

ϕ i ( T ) = 0, ψ i ( T ) = 0 (i = 1, n)

(3.6.5)

будут представлять необходимые и достаточные условия существования периодических решений с периодом по t, равным (1+α)T. Аналогично разделу 3.2, второе из условий (3.6.5), если ограничиться выписыванием слагаемых первого порядка относительно βi, α и μ, можно представить в виде T n ∂F0 ∂ 2 F0 μ ∂F α + ∑ βm + ∫ 1 dτ + K = 0. ∂ ai ∂ a m ∂ ai T 0 ∂ ai m =1

(3.6.6)

Таким образом, имеется n уравнений относительно (n+1) неизвестного. В случае, если определитель ∂F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 L ∂ a1 ∂ a1∂ a 2 ∂ a1∂ a n −1 ∂ a12 2 2 ∂F0 ∂ F0 ∂ F0 ∂ 2 F0 L (3.6.7) ∂ a 2 ∂ a 2 ∂ a1 ∂ a 2 ∂ a n −1 ≠ 0, ∂ a 22 L L L L L ∂F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 L ∂ a n ∂ a n ∂ a1 ∂ a n ∂ a 2 ∂ a n ∂ a n −1 то, полагая βn = 0, можно найти все β 1 , β 2 , K, β n−1 , а также α в виде голоморфных функций μ: β j = μβ (j1) + μ 2 β (j2) +K ( j = 1, n − 1), (3.6.8) α = μα 1 + μ 2α 2 +K Что же касается уравнений ϕi(T) = 0, то на них распространяются все результаты раздела 3.2. Следовательно, условия существования решений с периодом (1+α)T совпадают с соответствующими условиями для решений с периодом T, рассмотренных в раз∂ 2 F0 (i, l = 1, n). деле 3.2, если в (3.2.25) подставить определитель (3.6.7) вместо det ∂ ai ∂ al

Глава 3. Периодические решения

83

Займемся теперь построением рядов, представляющих это решение. Как и в раз∂F деле 3.3, будем считать, что ≠ 0, но все постоянные ck (k = 1, 2, ...) в выражении ∂ xn (3.3.3) положим равными нулю, а следовательно, в выражениях (3.3.16), (3.3.17) и (3.3.23) cn( k ) будут также равны нулю. Указанные ряды будем искать в виде x i = x i( 0) + μx i(1) + μ 2 x i( 2) +K , y i = y i( 0) + μy i(1) + μ 2 y i( 2) +K ,

(3.6.9)

α = μα 1 + μ 2α 2 +K (i = 1, n). Подставляя эти ряды в гамильтониан F, представим его в виде (3.3.11). Приравнивая затем выражения при одинаковых степенях μ в уравнениях (3.6.3), для определения функций xi( k ) и yi( k ) получим следующую систему уравнений: dx (jk )

=

dτ

k ∂Φk ∂ Φ k −m , + αm ∑ ( 0) ∂ yj ∂ y (j0) m =1

n k dy i( k ) ∂Θ ∂ 2F ∂ Φ k −m , = − ( 0k) − ∑ ( 0) 0 ( 0) xl( k ) − ∑ α m dτ ∂ xi ∂ xi( 0 ) l =1 ∂ xi ∂ xl m =1

(3.6.10)

j = 1, n − 1; i = 1, n; k = 1, 2,K; xn( k ) определяются из интеграла (3.1.2). Пусть k = 1, тогда для x (j1) имеем dx (j1) dτ

=

∂F1 ∂ y (j0 )

( j = 1, n − 1).

(3.6.11)

Эти уравнения аналогичны (3.3.13), поэтому, интегрируя их, получим все x (j1) в виде периодических функций от τ с периодом T (но по отношению к независимой переменной t их период, согласно (3.6.2), будет равен (1+α)T). Определяя xn(1) из интеграла энергии, для yi(1) будем иметь n −1 ∂ 2 F0 ∂F dy i(1) (1) (1) = pi − ∑ cl − (00) α 1 , (0) (0) dτ ∂ xi ∂ xl ∂ xi l =1

(3.6.12)

где pi(1) — известные функции, разложенные в ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2λτ T . Обозначая через pi(1) постоянные слагаемые этих рядов и определяя c1 , c 2 , K , c n−1 (c n = 0) и α1 из уравнений (1)

(1)

(1)

(1)

n −1

∑ cl(1) l =1

∂ 2 F0 ∂F + α 1 (00) = pi(1) (0) ( 0) ∂ xi ∂ xl ∂ xi

(i = 1, n),

которые разрешимы ввиду условия (3.6.7), все yi(1) получим в виде тригонометрических функций. После этого для функций x (j k ) будем иметь уравнения вида (3.3.19), а для yi( k ) — (3.6.12), решения которых уже были получены ранее.

84

Часть I. Методы небесной механики

Таким образом, задача построения рядов, представляющих периодическое решение канонической системы (3.6.1) с периодом (1+α)T, также решена. 3.7. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле Пусть имеется каноническая система

dxi ∂F = , dt ∂ y i

dy i ∂F =− dt ∂ xi

(i = 1, n),

(3.7.1)

в которой гамильтониан F, в общем случае не содержащий малый параметр, является голоморфной функцией переменных xi и yi в некоторой окрестности начала координат, и разложение F в степенной ряд по этим переменным начинается со слагаемых второго порядка и не зависит явно от t, так что существует интеграл энергии F = const.

(3.7.2)

Условие отсутствия линейных слагаемых в гамильтониане F означает, что точка ( xi , yi ) = 0 (i = 1, n) есть решение (3.7.1), то есть она является стационарной точкой системы (3.7.1) (см. главу 5). Следуя А. М. Ляпунову, рассмотрим возможность существования периодических решений, близких к нулевому решению системы (3.7.1). Вычисляя в точке ( xi , yi ) = 0 (i = 1, n) величины Aij =

∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F , Bij = , C ij = ∂ xi ∂ x j ∂ yi ∂ y j ∂ xi ∂ y j

(i, j = 1, n),

представим систему (3.7.1) следующим образом: n n dxi = ∑ C ji x j + ∑ B ji y j + Φ1( i ) , dt j =1 j =1

(3.7.3)

n n dy − i = ∑ A ji x j + ∑ Cij y j + Φ 2( i ) , dt j =1 j =1

где разложения функций Φ1(i ) и Φ (2i ) по переменным xj и yj начинаются со слагаемых не ниже второго порядка. Определитель системы (3.7.3) имеет вид C11 − χ C12 L C1n Δ = det A11 A12 L A1n

C21 C22 − χ L C2 n A21 A22 L A2 n

L L L L L L L L

Cn1 Cn 2 L Cnn − χ An1 An 2 L Ann

B11 B12 L B1n C11 + χ C21 L Cn1

B21 B22 L B2 n C12 C22 + χ L Cn 2

L L L L L L L L

Bn1 Bn 2 L Bnn . (3.7.4) C1n C2 n L Cnn + χ

Предположим теперь, что уравнение Δ=0 имеет пару мнимых корней

(3.7.5)

Глава 3. Периодические решения

χ = ±iλ

85 ( λ > 0, i = −1)

(3.7.6)

и, кроме того, не имеет других решений вида

χ = i(mλ), (3.7.7) где m = 0, ±1, ±2, ... . Покажем, что при этих предположениях исходная система (3.7.1) допускает существование семейства периодических решений, зависящих от двух произвольных постоянных. Но первоначально преобразуем систему (3.7.3) к более простому виду. Пусть z = {x1 ,..., xn , y1 ,..., yn }, тогда для линеаризованной системы (3.7.3) будем иметь выражение

dzs 2 n = ∑ a sk zk dt k =1

( s = 1,2n),

(3.7.8)

в котором введем следующие обозначения: a sk = Csk ( k = 1, n), a sk = Bsk ( k = 1,2n) при s = 1, n и a sk = − Ask ( k = 1, n), a sk = −C sk (k = n + 1, 2n) при s = n + 1, 2n. Определим вещественные постоянные Ds и Es как решения уравнений 2n

∑a

sk Ds = − λE k ,

s =1

2n

∑a

sk

E s = λDk

( k = 1,2n),

s=1

или 2n

∑a

sk

( Ds + iE s ) − iλ ( Dk + iE k ) = 0 (i 2 = −1, k = 1,2n).

s=1

Определитель последних уравнений относительно Ds + iEs, с учетом (3.7.4) и обозначений, произведенных в (3.7.8), равен (−1)nΔ(iλ) и, согласно (3.7.6), обращается в нуль. Поэтому для Ds и Es существуют решения, отличные от нулевых. Заменяя теперь в (3.7.8) zn = xn и z2n = yn новыми переменными 2n

x = ∑ Ds zs , s=1

2n

y = ∑ E s zs ,

(3.7.9)

s=1

из (3.7.8) получим dx = − λy , dt

dy = λx. dt

Произведя аналогичную замену и в исходной системе (3.7.1), или (3.7.3), будем иметь dx dy = − λy + X , = λx + Y , dt dt (3.7.10) M dz p = ∑ bpl zl + α p x + β p y + Z p , dt l =1

где p = 1, M , M = 2(n − 1), z1 = x1 , K , z n −1 = x n −1 , z n = y1 , K , z 2 n − 2 = y n −1 ; α p , β p и bpl — постоянные, зависящие от ask, Ds, Es; X, Y и zp — функции, голоморфные в неко-

86

Часть I. Методы небесной механики

торой окрестности точки x = y = z1 = ... = z2n-2 = 0, разложение которых в степенные ряды начинается со слагаемых не ниже второго порядка. Характеристическое уравнение линейной части системы (3.7.10), как нетрудно видеть, представляется в виде двух сомножителей L b11 − χ b12 b1 M b b − χ b 2 2 L 22 2M ( χ + λ ) 21 = 0. (3.7.11) L L L L bM 1 bM 2 L bMM − χ Второй сомножитель будем обозначать через Δ( χ ) . Поскольку преобразование (3.7.9) линейное (не приводит к изменению корней уравнения (3.7.4)), то, согласно условию (3.7.7), уравнение Δ( χ ) = 0

(3.7.12)

не имеет корней вида i(mλ), где m = 0, ±1, ±2, ... . Используя это обстоятельство, можно считать, что все αp = βp = 0, поскольку если это не так, то, находя из уравнений M

∑ bpl Ql = λPp + α p , l =1

M

∑b

pl

Pl = − λQ p + β p

l =1

или M

∑b

pl

(Ql + iPl ) + iλ (Qp + Pp ) = α p + iβ p

(i 2 = −1),

l =1

определитель которых Δ( −iλ ) ≠ 0, величины Ql и Pl ( l = 1, M ) и вводя новые переменные по формуле z *p = z p + Qp x + Pp y ( p = 1, M ), в (3.7.10) приходим к уравнениям относительно z *p , в правых частях которых уже не содержатся линейные относительно переменных x и y слагаемые. Поэтому дальше вместо (3.7.1) или (3.7.3) будем рассматривать систему вида dx = − λy + X , dt

dy = λx + Y , dt

dz p dt

M

= ∑ b pl z l + Z p .

(3.7.13)

l =1

При этом для интеграла (3.7.2) в переменных x, y и zl (l = 1, 2n − 2) на основании исходных предположений получим следующее выражение: M

M

M

M

l =1

l =1

s =1 l =1

F = αx 2 + βxy + γy 2 + x ∑ bl z l + y ∑ cl z l + ∑ ∑ d sl z s z l +K = const .

(3.7.14)

С другой стороны, поскольку F — интеграл, то должно выполняться равенство dF = 0, или dt ( − λy + X )

⎤ ∂F ∂F M ⎡ M ∂F + ( λx + Y ) + ∑ ⎢∑ b pl z l + Z p ⎥ = 0. ∂ y p =1 ⎣ l =1 ∂x ⎦ ∂ zp

Глава 3. Периодические решения

87

Подставляя сюда выражение (3.7.14) и приравнивая нулю коэффициенты при квадратичных слагаемых, содержащих x и y, найдем

α = γ , β = 0, M

∑b

pl

(3.7.15)

(b p + ic p ) − iλ (bl + icl ) = 0.

p =1

Определитель последних M уравнений Δ(iλ ) ≠ 0 и, следовательно, bl = cl = 0 для всех l от 1 до M. Таким образом, голоморфная функция F, являющаяся интегралом исходной системы, образует квадратичную форму относительно переменных x, y, определенных (3.7.9). Не умаляя общности, представим функцию F в виде 2

2

F = x + y + W2 ( z1 , z 2 ,K, z M ) + S ( x, y, z1 ,K, z M ),

(3.7.16)

где W2(z1,...,zM) — квадратичная функция от переменных z1, ..., zM, а S — голоморфная функция от 2n переменных, разложение которой в степенной ряд содержит слагаемые не ниже третьего порядка. Перейдем теперь к доказательству существования периодических решений системы (3.7.13), а следовательно, и исходной системы (3.7.1). С этой целью преобразуем (3.7.13) с помощью подстановки

x = ρ cosθ , к виду

y = ρ sin θ , z p = ρz *p

(3.7.17)

*)

dρ = ρ 2 R ( ρ ,θ , z1* ,K, z M* ), dt dθ = λ + ρΦ( ρ ,θ , z1* ,K, z M* ), dt M dz *p = ∑ b pl z l* + ρV p ( ρ ,θ , z1* ,K , z M* ) dt l =1

(3.7.18)

(p = 1, 2(n − 1)).

Здесь R, Ф, Vp — голоморфные функции от переменных ρ, z1* , z 2* , K , z *M , причем их коэффициенты разложений по этим переменным являются периодическими функциями от θ. Интеграл (3.7.14)-(3.7.16) в новых переменных будет иметь вид

[

]

ρ 2 1+ W ( z1* , z 2* K, z *M ) + ρ S (ρ,θ , z1* ,K, z *M ) = μ 2 ,

(3.7.19)

где W — квадратичная функция от z1* , z 2* , K, z *M ; S — голоморфная функция от переменных ρ , θ , z1* , K, z *M ; μ — некоторая постоянная.

*)

Из первых двух соотношений, учитывая, что

ρ& cos θ − ρθ& sin θ = −λρ sin θ + X ,

d ( x, y ) ∂ ( x, y ) dρ ∂ ( x, y ) dθ = + , для (3.7.13) получим ∂ρ dt ∂θ dt dt

ρ& sin θ + ρθ& cos θ = λρ cosθ + Y . Разрешая эти уравнения относи-

тельно ρ& = dρ dt , θ& = dθ dt и вычисляя, на основании (3.7.17), производную dz p dt , мы придем к (3.7.18).

88

Часть I. Методы небесной механики

Поскольку все рассуждения проводятся для некоторой окрестности начала координат (xi,yi) = 0 (i = 1, n) (см.(3.7.1)-(3.7.3)), то величина μ > 0 мала. Примем ее в качестве малого параметра. Извлекая из обеих частей уравнения (3.7.19) квадратный корень, нетрудно убедиться в том, что в окрестности ρ = μ = z1* = z 2* =K = z *M = 0 это уравнение имеет два решения *) : ρ = μ 1 + a1 ( z1* , K, z *M ) + μ 2 a 2 (θ , z1* , K, z *M ) +K , (3.7.20) ρ = − μ 1 + a1 ( z1* , K, z *M ) + μ 2 a 2 (θ , z1* , K, z *M ) +K

[

]

[

]

Здесь коэффициенты a k (θ , z1* , K , z *M ) при k > 1 являются полиномами относительно sin θ , cosθ , z1* , K , z M* , а * 1

*

*

a1 ( z1 , K , z M )

— функция квадратичная относительно

* M

z , K, z . Начальные условия зададим следующим образом. Пусть при t = t 0 , θ = θ 0

ρ = c > 0, z1* = z 2* =K = z *M = 0.

(3.7.21)

Тогда, подставляя первое из решений (3.7.20) в (3.7.18) и переходя к θ в качестве независимой переменной, приходим к системе уравнений порядка M = 2(n − 1) относительно z *p :

dz *p dθ

M

= ∑ c pl z l + μU p (μ ,θ , z1 ,K, z M ) ( p = 1, M ). *

*

*

(3.7.22)

l =1

Здесь U p ( μ ,θ , z1* ,K, z *M ) — голоморфные относительно μ , z1* , K, z *M функции, периодические по θ, а коэффициенты cpl определяются выражением 1 c pl = bpl ( p, l = 1, M ), λ из которого следует, что уравнение c11 − χ c 21 L c M1

c12 c 22 − χ L cM 2

L L L L

c1 M c2 M = 0 L c MM − χ

(3.7.23)

(3.7.24)

ввиду сделанных ранее предположений (см. (3.7.11), (3.7.12)) не имеет корней вида im (m = 0, ±1, ±2, ...; i2 = −1). Применяя метод Пуанкаре (см. разделы 3.2-3.6), займемся теперь нахождением периодических решений системы (3.7.22), имеющих, согласно (3.7.17), период 2π. По*)

После извлечения квадратного корня от обеих частей (3.7.19) получим Q( ρ , θ , z * , μ ) ± μ = 0, где

[

Q = ρ 1 + W + ρS

]

1/ 2

,

z * = {z 1* , K , z M* }. При этом Q(0, θ , z * ,0) = 0,

(∂ Q

∂ρ ) ρ = μ = 0 ≠ 0 и из теоремы о

неявной функции следует, что ρ является голоморфной функцией от μ и может быть разложена в ряды по ±μ вида (3.7.20).

Глава 3. Периодические решения

89

лагая в (3.7.22) μ = 0, получим следующую систему уравнений первого приближения (или упрощенную систему) M dz *p (3.7.25) = ∑ c pl zl* . dθ l =1 Эти уравнения допускают нулевое решение z *p = 0 ( p = 1, M ),

(3.7.26)

которое и примем в качестве порождающего. Будем искать периодические решения (3.7.22), обращающиеся при μ = 0 в решение (3.7.26). Обозначая через βp начальные значения z *p при μ ≠ 0, т.е. z *p (θ 0 , μ ) = β p

( p = 1, M ),

(3.7.27)

представим все z *p в виде формальных рядов M

z *p = ∑ Apl β l + C p μ +K ( p = 1, M ),

(3.7.28)

l =1

где многоточием обозначены слагаемые второго и более высоких порядков относительно βp и μ. Условия периодичности искомых решений будут иметь вид: Ψp = z *p ( 2π + θ 0 , β 1 , β 2 ,K, β M , μ ) − − z *p (θ 0 , β 1 , β 2 ,K, β M , μ ) = 0 ( p = 1, M ).

(3.7.29)

Подставляя сюда (7.28), получим M

∑[ A l =1

pl

]

[

]

( 2π + θ 0 ) − Apl (θ 0 ) β l + C p ( 2π + θ 0 ) − C p (θ 0 ) μ + K = 0

(3.7.30)

( p = 1, M ). Следовательно, функциональный определитель D=

∂ (ψ 1 ,ψ 2 ,K,ψ M ) ∂ (β 1 , β 2 ,K, β M ) β =K= β 1

равен

[

D = det Apl (2π + θ 0 ) − Apl (θ 0 )

]

M

=μ =0

( p, l = 1, M ).

Найдем теперь выражения для коэффициентов Apl. Для этого подставим ряды (3.7.28) в уравнения (3.7.22) и приравняем слагаемые при одинаковых множителях βp. Тогда для Apl ( p, l = 1, M ) получим уравнения dApl (θ ) dθ

M

= ∑ c pj A jl (θ ), j =1

90

Часть I. Методы небесной механики

из которых следует, что значения этих коэффициентов совпадают с фундаментальной системой решений z *pl (θ ) (индекс l соответствует различным независимым решениям для переменной z *p ) упрощенных уравнений (3.7.25). Следовательно,

[

]

D = det z *pl ( 2π + θ 0 ) − z *pl (θ 0 ) .

(3.7.31)

Если уравнение (3.7.24) имеет M различных корней χ 1 , χ 2 , K, χ M , то, как следует из теории линейных дифференциальных уравнений, справедливо выражение

z *pl (θ ) = B p( l ) exp( χ lθ ),

(3.7.32)

где B p( l ) — некоторые постоянные. Тогда (3.7.31) можно представить в виде

[

D = det z *pl (θ 0 )

]∏ [exp(2πχ ) − 1] . M

(3.7.33)

l

l =1

Поскольку

[

]

z *pl

являются

фундаментальной

системой

решений,

то

D = det z (θ 0 ) ≠ 0, и из (3.7.33) следует, что D обращается в нуль, если только * pl

M

∏ [exp(2πχ l =1

l

) − 1] = 0 .

Для этого необходимо, чтобы хотя бы один из корней χl был равен

χl = im; i2 = −1, m = 0, ±1, ±2, ... Однако последнее невозможно ввиду исходных предположений относительно корней уравнения (3.7.24), поэтому в случае M различных корней уравнения (3.7.24) D ≠ 0. При наличии кратных корней уравнения (3.7.24) нетрудно убедиться в том, что из-за произвольности выбора θ0 функциональный определитель D также не равен нулю. Таким образом, ввиду отличия от нуля якобиана преобразования D, существует однозначное решение βl системы (3.7.29) при μ ≠ 0 (правые части уравнений, определяющих βl, не равны нулю, т.е. система уравнений неоднородна), а поэтому при достаточно малых μ существует единственное периодическое решение системы (3.7.22), обращающееся в нулевое при μ = 0 и представимое сходящимся рядом [11] z *p = μz (p1) (θ ) + μ 2 z (p2) (θ ) +K ( p = 1, M ),

(3.7.34)

где все z (pk ) (θ ) — периодические функции относительно θ с периодом 2π . Подставляя (3.7.34) в первое выражение для ρ (3.7.20), находим

ρ = μ + μ 2 ρ ( 2) (θ ) + μ 3 ρ (3) (θ ) +K ,

(3.7.35)

где ρ ( k ) (θ ) — полиномы относительно sinθ и cosθ. Итак, полученное для ρ и z (pk ) решение системы (3.7.18) является периодическим относительно θ с периодом 2π . Обращаясь теперь в (3.7.18) к уравнению для произ-

Глава 3. Периодические решения

91

водной от угловой переменной θ, учитывая (3.7.6), заметим, что dθ/dt > 0 при достаточно малых значениях μ. Поэтому период полученного решения относительно переменной t определится формулой 2π

T=

dθ

∫ λ + ρΦ(ρ,θ , z ,K, z * 1

0

* M

)

.

(3.7.36)

Согласно (3.7.16) и (3.7.17), левая часть уравнения (3.7.19) не изменяется при одновременной замене ρ на −ρ , θ на θ +π и всех zp на −zp. Следовательно (см.(3.7.20)),

ρ ( μ ,θ , z1* ,K, z *M ) = − ρ ( μ ,θ + π ,− z1* ,K,− z *M ) .

(3.7.37)

Но из второго решения (3.7.20) следует, что a1 ( z1* , K , z *M ) = a1 (− z1* , K , − z *M ), a2 k (θ , z1 , K , z M ) = − a2 k (θ + π ,− z1 , K ,− z M ), *

*

*

*

a2 k +1 (θ , z1 , K , z M ) = a2 k +1 (θ + π ,− z1 , K ,− z M ), *

*

*

*

и это означает, что при замене μ на −μ, θ на θ +π и z *p на − z *p величина ρ меняет знак: − ρ ( μ ,θ , z1 ,K, z M ) = ρ (− μ ,θ + π , − z1 ,K,− z M ). *

*

*

*

(3.7.38)

Произведем замену (3.7.38) в выражении (3.7.36) для периода T. Поскольку, согласно (3.7.13) и (3.7.17), или (3.7.37), − ρ Φ ( − ρ , θ + π , − z1 , K, − z M ) = ρ Φ ( ρ , θ , z1 , K, z M ) *

*

*

*

и Φ — периодическая функция от θ, то изменение предела интегрирования в (3.7.36) на π с одновременной заменой μ на −μ и всех z *p на − z *p ( p = 1, M ) , учитывая (3.7.38), не приведет к изменению величины периода T. Поэтому T есть четная функция от μ *) : T(μ) = T(−μ). Поскольку при μ = 0 из (3.7.20) следует, что ρ = 0 и период T, определяемый (3.7.36), совпадает с периодом порождающего решения T0 = 2π/λ, а Φ — голоморфная функция от μ, то выражение для T можно представить в виде 2π T= (1 + p1 μ 2 + p 2 μ 4 +K), λ где p1 , p2 , ... — постоянные. Подставим теперь начальные условия (3.7.21), в которых, не ограничивая общности, будем считать θ0 = 0, в выражение (3.7.19) для интеграла F = const (см. (3.7.2)). Тогда найдем, что *)

Строго говоря, мы доказали, что T (− μ ,− z1* ,K,− z M* ) = T ( μ , z1* ,K, z M* ), но в дальнейшем рассматривается лишь зависимость T(μ).

92

Часть I. Методы небесной механики

[

]

μ 2 = c 2 1 + S * (c,0,0,K,0) . Так как S * = cS есть голоморфная функция начального отклонения c (а следовательно, μ — аналитическая функция от c), то для периода T окончательно получим 2π (3.7.39) T= (1 + h2 c 2 + h3 c 3 +K), λ где h2, h3, ... — постоянные. В результате доказанные выше утверждения можно сформулировать в виде следующей теоремы. Пусть имеется автономная каноническая система (3.7.1) или равносильная ей система вида (3.7.13).Тогда, если гамильтониан F системы (3.7.1) в некоторой окрестности начала координат является голоморфной функцией, его разложение в степенной ряд по каноническим переменным начинается со слагаемых второго порядка и при этом выполняются условия (3.7.6) и (3.7.7), то каноническая система (3.7.1) имеет периодическое решение, представимое сходящимися рядами ∞

xi = ∑ c k xi( k ) ( t ), k =1

∞

yi = ∑ c k yi( k ) (t )

(i = 1, n) ,

(3.7.40)

k =1

где c — произвольная постоянная *) . Период этого решения является голоморфной функцией от c и представим рядом вида **) ∞ ⎤ 2π ⎡ + 1 hk c k ⎥ , ∑ ⎢ λ ⎣ k =2 ⎦ в котором hk — постоянные коэффициенты. Эта теорема была доказана А. М. Ляпуновым, и ее принято называть теоремой Ляпунова о голоморфном интеграле. И в заключение заметим, что для практического построения периодических ре2π шений целесообразно перейти от t к новой независимой переменной τ = (t − t 0 ) и T подставить ряды вида (3.7.40), выраженные через переменную τ , в исходные уравнения (3.7.1). После приравнивания коэффициентов при одноименных степенях получим уравнения, из которых и определяются искомые функции xi( k ) (τ ), yi( k ) (τ ) (i = 1, n) ряда (3.7.40) для любых значений k.

T=

3.8. Дополнения Исследования А. Пуанкаре, относящиеся к периодическим решениям, в основном велись применительно к каноническим системам (отыскание их периодических решеВторым произвольным параметром периодических решений является постоянная θ0 в (3.7.21), которая в случае (3.7.39), (3.7.40) считалась равной нулю. Но так как гамильтониан F не зависит явно от времени, то исходная система (3.7.1) не изменится при замене t на t+b, где b — произвольная постоянная. Поэтому, заменяя в (3.7.40) t на t+b, мы получим периодическое решение, зависящее от двух произвольных постоянных c и b. **) Если характеристическое уравнение (3.7.5) имеет только чисто мнимые корни χ = ±iλ ( s = 1, n) , то в *)

случае, если ни одно из отношений, которые можно составить из чисел λs, комбинируя из по два, не является целым числом, для исходной канонической системы будет существовать n периодических решений, содержащих по две произвольные постоянные каждое.

Глава 3. Периодические решения

93

ний значительно упрощается). Впоследствии эти исследования были продолжены, в частности, К. Зигелем [12], который привел одно из доказательств существования периодических решений гамильтоновских систем. Существование при достаточно малых μ периодических решений канонических уравнений (3.1.1) как с периодом T (порождающим периодом, отвечающим μ = 0) , так и с периодом (1+α)T, отличным от порождающего, возможно, за исключением особых случаев при выполнении условий (3.2.25), (3.2.26) и, соответственно, (3.6.7), (3.2.26). Эти решения будут содержать две произвольные постоянные, тогда как остальные постоянные ai (i = 1, n) , ωj ( j = 1, n − 1) порождающего решения (3.2.2) канонической системы (3.1.1) определяются из условий (3.2.23), (3.2.24). В случае гессиана (3.2.11), равного нулю, условие (3.2.25) следует заменить на (3.4.3), а при гамильтониане F0, зависящем лишь от части переменных x1, x2, ..., xs (s < n), условия существования периодического решения имеют вид (3.5.7)-(3.5.11). Собственно периодическое решение канонической системы (3.1.1) представляется в виде рядов (3.3.10) или (3.6.9) и определяется из (3.3.12) или (3.6.10). В 1892 г. была опубликована работа А. М. Ляпунова “Общая задача об устойчивости движения”, где, в частности, был предложен аналитический метод интегрирования с помощью тригонометрических рядов автономных дифференциальных (неканонических) уравнений вида r r r r dx (3.8.1) = Bx + Φ (x ), dt r r в которых Φ( x ) — голоморфная (n + 2)-мерная вектор-функция переменных r x ( x1 , x 2 , K, x n+ 2 ), причем такая, что ее разложение начинается со слагаемых не ниже второго порядка относительно этих переменных, а вещественная квадратная матрица (n + 2)-порядка B представима в виде блочной ⎡B B=⎢ 1 ⎣0

⎡0 − λ ⎤ B1 = ⎢ ⎥, ⎣λ 0 ⎦

0⎤ ; B2 ⎥⎦

⎡b11 b12 ⎢b b22 B2 = ⎢ 21 ⎢L L ⎢ ⎣bn1 bn 2

L L L L

b1n ⎤ b2 n ⎥⎥ . L⎥ ⎥ bnn ⎦

(3.8.2)

Периодическое решение уравнений (3.8.1) предлагалось искать в виде ∞ r r x (t ) = ∑ c l x ( l ) (t ),

(3.8.3)

l =1

где l r r r 2π x ( l ) (t ) = ∑ Am( l ) cos mτ + Cm( l ) sin mτ ; τ = (t − t 0 ), T m= 0

(

)

а период решения является голоморфной функцией от произвольной постоянной c: T=

∞ 2π ⎛ s⎞ ⎜ 1 + ∑ hs c ⎟ λ ⎝ s= 2 ⎠

(3.8.4)

94

Часть I. Методы небесной механики

в области c < c0 , где c0 — некоторая положительная, достаточно малая постоянная, hs — постоянные коэффициенты. При обосновании сходимости рядов (3.8.3) и реализуется метод отыскания периодических решений, названный именем Ляпунова. Эффективность метода Ляпунова возрастает в задачах, в которых система (3.8.1) допускает существование голоморфного в некоторой окрестности начала координат и r не зависящего от t интеграла F ( x ) = const , для которого разложение по степеням переменных начинается со слагаемых второго порядка. В этом случае, если собственные значения λ > 0 матрицы B не равны числам ikλ (k = 0, ±1, ±2, ...; i2 = −1), то система (3.8.1) всегда имеет периодическое решение вида (3.8.3), (3.8.4). Это утверждение и составляет суть теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Следует особо отметить тот факт, что в отличие от теории Пуанкаре, когда в качестве порождающего выбирается полное решение исходной системы при μ = 0, в теории Ляпунова берется частное решение, но уже общей системы (при μ ≠ 0). Метод Ляпунова получил развитие в работах И. Г. Малкина [13], Г. Н. Дубошина [14], Ю. А. Рябова [15] и др. Он был применен при построении аналитических теорий движения в спутниковых системах, в частности, в системе планеты Сатурн [16].