ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñ...
96 downloads
200 Views
195KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ
А. Р. Бестугин, А. Л. Дийков, А. В. Стрепетов, В. Г. Фарафонов
ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ Âàðèàíòû êîíòðîëüíûõ ðàáîò
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2001
Áåñòóãèí À. Ð., Äèéêîâ À. Ë., Ñòðåïåòîâ À. Â., Ôàðàôîíîâ Â. Ã. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé: Âàðèàíòû êîíòðîëüíûõ ðàáîò/ ÑÏáÃÓÀÏ. ÑÏá., 2001. 35 ñ.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Ïîäãîòîâëåíî ê ïóáëèêàöèè êàôåäðîé ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè.
Ðåöåíçåíòû: êàôåäðà ôèçèêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî Ãîñóäàðñòâåííîãî Óíèâåðñèòåòà Àýðîêîñìè÷åñêîãî Ïðèáîðîñòðîåíèÿ; äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè Ãóñìàí Þ. À.
Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå âàðèàíòîâ êîíòðîëüíûõ ðàáîò
Учебное издание
Сдано в набор 10.12.01. Подписано к печати 25.12.01. Формат 60×84 1/16. Бумага тип. № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86. Уч. -изд. л. 2,0. Тираж 500 экз. Заказ № 262
Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67
© Санкт-Петербургский
государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2001
2
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 1 Âàðèàíò ¹ 1 Çàäà÷à ¹ 1. Èç 10 èçäåëèé, ñðåäè êîòîðûõ 4 áðàêîâàííûå, èçâëåêàþò 3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ îäíî áðàêîâàííîå. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,4; P(C)= 0,6. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à)ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á)ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â öåëü: ïåðâîãî ñòðåëêà – 0,6; âòîðîãî – 0,7; òðåòüåãî – 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîãî ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîâðåìåííîì âûñòðåëå âñåõ òðåõ. Çàäà÷à ¹ 4. Èçâåñòíî, ÷òî 80 % ïðîäóêöèè – ñòàíäàðòíî. Óïðîùåííûé êîíòðîëü ïðèçíàåò ãîäíîé ñòàíäàðòíóþ ïðîäóêöèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9 è íåñòàíäàðòíóþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèçíàííîå ãîäíûì èçäåëèå – ñòàíäàðòíî. Çàäà÷à ¹ 5. Èìååòñÿ 4 ðàäèîëîêàòîðà. Âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü öåëü äëÿ ïåðâîãî – 0,86; äëÿ âòîðîãî – 0,9; äëÿ òðåòüåãî – 0,92; ÷åòâåðòîãî – 0,95. Âêëþ÷åí îäèí èç íèõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü öåëü? Âàðèàíò ¹ 2 Çàäà÷à ¹ 1. Èç 15 äåòàëåé 10 îêðàøåíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç âûáðàííûõ íàóãàä 4-õ äâå îêðàøåííûå. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,7; P(C)= 0,3. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Ñðåäè 15 èçäåëèé 6 íåèñïðàâíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè 5 ïðîâåðåííûõ õîòÿ áû îäíî íåèñïðàâíî. Çàäà÷à ¹ 4. ×åòûðå ñòðåëêà îäíîâðåìåííî ñòðåëÿþò ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïåðâîãî – 0,4; âòîðîãî –0,6; òðåòüåãî – 0,7; ÷åòâåðòîãî – 0,5. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîìàõíóëñÿ ïåðâûé? 3
Çàäà÷à ¹ 5. Èìååòñÿ òðè êîðîáêè ñ øàðàìè.  ïåðâûõ äâóõ ïî 2 ÷åðíûõ è 2 áåëûõ øàðà, â òðåòüåé – 5 áåëûõ è 1 ÷åðíûé. Èç êîðîáêè, âçÿòîé íàóãàä èçâëå÷åí áåëûé øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî áûëà òðåòüÿ êîðîáêà. Âàðèàíò ¹ 3 Çàäà÷à ¹ 1. Áðîñàþò äâà èãðàëüíûõ êóáèêà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñóììà î÷êîâ ÷åòíàÿ. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,4; P(B)= 0,6; P(C)= 0,8. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïåðâûé ñòàíîê èñïðàâåí – 0,9; âòîðîé –0,8; òðåòèé – 0,85. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí íåèñïðàâåí. Çàäà÷à ¹ 4. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà –0,8; äëÿ âòîðîãî – 0,7; òðåòüåãî – 0,6. Ïðè îäíîâðåìåííîì âûñòðåëå âñåõ òðåõ èìåëîñü îäíî ïîïàäàíèå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîïàë òðåòèé ñòðåëîê. Çàäà÷à ¹ 5.  ïåðâîé êîðîáêå 3 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà, âî âòîðîé – 2 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ. Èç ïåðâîé âî âòîðóþ ïåðåëîæèëè äâà øàðà. Çàòåì èç âòîðîé êîðîáêè âçÿëè øàð, îêàçàâøèéñÿ áåëûì. Êàêîé ñîñòàâ ïåðåëîæåííûõ øàðîâ íàèáîëåå âåðîÿòåí? Âàðèàíò ¹ 4 Çàäà÷à ¹ 1. Èç 40 âîïðîñîâ ñòóäåíò èçó÷èë 30. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí îòâåòèò íà äâà âîïðîñà. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,3; P(B)= 0,5; P(C)= 0,2. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á)ïðîèçîéäåò äâà è òîëüêî äâà ñîáûòèÿ. Çàäà÷à ¹ 3. Èç 15 èçäåëèé 5 áðàêîâàííûõ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 4 ïðîâåðåííûõ íå áîëåå îäíîé áðàêîâàííîé. Çàäà÷à ¹ 4.  ñåòêå 9 ìÿ÷åé, èç íèõ 6 – íîâûå. Äëÿ ïåðâîé èãðû áåðóò òðè, êîòîðûå ïîòîì âîçâðàùàþò. Äëÿ âòîðîé ñíîâà áåðóò 3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëÿ âòîðîé èãðû âçÿëè òðè íîâûõ ìÿ÷à. 4
Çàäà÷à ¹ 5. Ðàäèîëàìïà ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ê îäíîé èç òðåõ ïàðòèé ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0,25; 0,35; 0,4. Âåðîÿòíîñòè ðàáîòû â òå÷åíèå ãîäà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0,2; 0,1; 0,4. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëàìïà ïðîðàáîòàåò â òå÷åíèå ãîäà. Âàðèàíò ¹ 5 Çàäà÷à ¹ 1. Èìååòñÿ 3 áåëûõ è 5 ÷åðíûõ øàðà. Âûíèìàþò äâà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè ðàçíîãî öâåòà. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,3; P(B)= 0,8; P(C)= 0,5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäóò ðîâíî äâà èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå îäíîãî ñîáûòèÿ. Çàäà÷à ¹ 3. Èçäåëèå ñòàíäàðòíî ñ âåðîÿòíîñòüþ Ð = 0,9. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç òðåõ èçäåëèé äâà ñòàíäàðòíî. Çàäà÷à ¹ 4. Íà äâóõ ñòàíêàõ ïðîèçâîäÿò äåòàëè, ïðè÷åì íà âòîðîì â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì íà ïåðâîì. Âåðîÿòíîñòü áðàêà íà ïåðâîì ñòàíêå – 0,1; íà âòîðîì – 0,2. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçâîëüíî âçÿòàÿ äåòàëü áðàêîâàííàÿ. Çàäà÷à ¹ 5. Èç 20 ñòðåëêîâ øåñòü ïîïàäàþò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8; äåâÿòü – ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,5 è ïÿòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,2. Íàóäà÷ó âûáðàííûé ñòðåëîê ïîïàë â öåëü. Ê êàêîé èç ãðóïï îí âåðîÿòíåå âñåãî ïðèíàäëåæèò? Âàðèàíò ¹ 6 Çàäà÷à ¹ 1. Äåñÿòü êíèã ðàññòàâëÿþòñÿ íà îäíîé ïîëêå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðè îïðåäåëåííûå êíèãè îêàæóòñÿ ðÿäîì. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,3; P(C)= 0,6. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäóò òîëüêî ñîáûòèÿ À è Â. á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà – 0,6; âòîðîãî – 0,7; òðåòüåãî – 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäåò õîòÿ áû äâà ïîïàäàíèÿ. Çàäà÷à ¹ 4. Òðè ñòðåëêà ñòðåëÿþò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0,7; 0,4; 0,3. Ïðè èõ îäíîâðåìåííîì âûñòðåëå èìååòñÿ äâà ïîïàäàíèÿ. ×òî âåðîÿòíåå: ïîïàë òðåòèé ñòðåëîê â öåëü èëè ïðîìàõíóëñÿ? 5
Çàäà÷à ¹ 5. Èç 10 èçäåëèé ÷èñëî áðàêîâàííûõ (0, 1, 2) ðàâíîâåðîÿòíî. Çíàÿ, ÷òî 5 âçÿòûõ íàóãàä èçäåëèé ãîäíûå, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñòàâøèåñÿ òîæå ãîäíûå. Âàðèàíò ¹ 7 Çàäà÷à ¹ 1. Èìååòñÿ 40 ïóòåâîê, ñðåäè êîòîðûõ 15 íà þã. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 10 âçÿòûõ íàóãàä 4 íà þã. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,8; P(B)= 0,4; P(C)= 0,5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäóò ïî êðàéíåé ìåðå äâà èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå îäíîãî ñîáûòèÿ. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî ñîáûòèå èç äâóõ 0,44. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âòîðîãî ñîáûòèÿ, åñëè âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî – 0,8. Çàäà÷à ¹ 4.  êîðîáêå áûëî 9 áåëûõ è 6 ÷åðíûõ øàðà, äâà èç êîòîðûõ ïîòåðÿëèñü. Ïåðâûé íàóãàä âçÿòûé øàð îêàçàëñÿ áåëûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòåðÿëèñü äâà ÷åðíûõ. Çàäà÷à ¹ 5. Èç 18 ñòðåëêîâ ïÿòü ïîïàäàþò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòüþ Ð1 = 0,8; ñåìü ñ Ð2 = 0,7; ÷åòûðå ñ Ð3=0,6 è äâà ñ Ð4 = 0,5. Íàóäà÷ó âûáðàííûé ñòðåëîê ïðîìàõíóëñÿ. Ê êàêîé èç ãðóïï âåðîÿòíåå âñåãî îí ïðèíàäëåæàë? Âàðèàíò ¹ 8 Çàäà÷à ¹ 1. Èç êîëîäû â 52 êàðòû âûáèðàþò 5. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ îäèí òóç. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,6; P(C)= 0,4. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) íè îäíîãî ñîáûòèÿ íå ïðîèçîéäåò. Çàäà÷à ¹ 3. Äåòàëü ïðîõîäèò òðè ñòàäèè îáðàáîòêè. Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ áðàêà íà ïåðâîé ñòàäèè – 0,02; íà âòîðîé – 0,06 è íà òðåòüåé – 0,12. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü èçãîòîâëåíèÿ áðàêîâàííîé äåòàëè? Çàäà÷à ¹ 4. Èìååòñÿ äâå ïàðòèè èçäåëèé â 15 è 20 øò.; â ïåðâîé äâà, âî âòîðîé òðè áðàêîâàííûõ. Îäíî èçäåëèå èç ïåðâîé ïåðåëîæèëè âî âòîðóþ, ïîñëå ÷åãî èç âòîðîé áåðóò îäíî íàóãàä. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî áðàêîâàííîå. 6
Çàäà÷à ¹ 5. Òðè îõîòíèêà âûñòðåëèëè ïî çâåðþ, êîòîðûé áûë óáèò îäíîé ïóëåé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çâåðü áûë óáèò òðåòüèì ñòðåëêîì, åñëè âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ðàâíû Ð1 = 0,5; Ð2 = 0,6; Ð3 = 0,7. Âàðèàíò ¹ 9 Çàäà÷à ¹ 1. Ãðóïïà èç 8 ÷åëîâåê çàíèìàþò ìåñòà çà êðóãëûì ñòîëîì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåëåííûõ ÷åëîâåêà îêàæóòñÿ ðÿäîì. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,7; P(B)= 0,4; P(C)= 0,5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Èìååòñÿ 15 øàðîâ, èç êîòîðûõ 5 – ÷åðíûå. Íàóãàä áåðóò òðè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ ÷åðíûé. Çàäà÷à ¹ 4.  òåëåãðàôíîì ñîîáùåíèè “òî÷êà” è “òèðå” âñòðå÷àþòñÿ â ñîîòíîøåíèè 4 : 3. Èçâåñòíî, ÷òî èñêàæàþòñÿ 25 % “òî÷åê” è 20 % òèðå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿò ïåðåäàííûé ñèãíàë, åñëè ïðèíÿòî “òèðå”. Çàäà÷à ¹ 5.  êîðîáêå ëåæèò øàð íåèçâåñòíîãî öâåòà – ÷åðíûé èëè áåëûé ðàâíîâåðîÿòíî. Ê íåìó äîáàâëÿþò áåëûé øàð è ïîñëå ïåðåìåøèâàíèÿ âûòàñêèâàþò øàð îêàçàâøèéñÿ áåëûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñòàëñÿ áåëûé øàð. Âàðèàíò ¹ 10 Çàäà÷à ¹ 1. 25 ýêçàìåíàöèîííûõ áèëåòîâ ñîäåðæàò ïî äâà âîïðîñà. Ñòóäåíò ìîæåò îòâåòèòü íà 45 âîïðîñîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûòÿíóòûé áèëåò ñîñòîèò èç ïîäãîòîâëåííûõ âîïðîñîâ. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,4; P(B)= 0,5; P(C)= 0,7. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò äâà è òîëüêî äâà èç ýòèõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3 Ñðåäè 20 áèëåòîâ 5 âûèãðûøíûõ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè äâóõ âûáðàííûõ íàóãàä õîòÿ áû îäèí âûèãðûøíûé. 7
Çàäà÷à ¹ 4.  êîðîáêå áûëî 9 áåëûõ è 6 ÷åðíûõ øàðà, äâà èç êîòîðûõ ïîòåðÿëèñü. Ïåðâûé íàóãàä âçÿòûé øàð îêàçàëñÿ ÷åðíûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòåðÿëèñü äâà áåëûõ. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî, ÷òî 80 % èçäåëèé ñòàíäàðòíî. Óïðîùåííûé êîíòðîëü ïðèçíàåò ãîäíîé ñòàíäàðòíóþ ïðîäóêöèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9 è íåñòàíäàðòíóþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,25. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèçíàííîå ãîäíûì èçäåëèå ñòàíäàðòíî. Âàðèàíò ¹ 11 Çàäà÷à ¹ 1. Ãðóïïà èç 8 ÷åëîâåê çàíèìàþò ìåñòà çà êðóãëûì ñòîëîì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåëåííûõ ÷åëîâåêà îêàæóòñÿ ðÿäîì. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,7; P(C)= 0,6. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò òîëüêî ñîáûòèå Â. Çàäà÷à ¹ 3. Ñêîëüêî íóæíî âçÿòü ÷èñåë èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé 0,9 ñðåäè íèõ áûëî áû õîòÿ áû îäíî ÷åòíîå? Çàäà÷à ¹ 4. Èçâåñòíî, ÷òî 90 % ïðîäóêöèè – ñòàíäàðòíî. Óïðîùåííûé êîíòðîëü ïðèçíàåò ãîäíîé ñòàíäàðòíóþ ïðîäóêöèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8 è íåñòàíäàðòíóþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèçíàííîå ãîäíûì èçäåëèå – íåñòàíäàðòíî. Çàäà÷à ¹ 5. Èìååòñÿ äâà íàáîðà äåòàëåé, â ïåðâîì âñå ñòàíäàðòíûå, âî âòîðîì 1/4 – íåñòàíäàðòíûõ. Äåòàëü âçÿòàÿ èç îäíîãî íàáîðà – ñòàíäàðòíà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðàÿ äåòàëü, âçÿòàÿ èç òîãî æå íàáîðà ñòàíäàðòíà ïðè óñëîâèè âîçâðàùåíèÿ ïåðâîé äåòàëè. Âàðèàíò ¹ 12 Çàäà÷à ¹ 1. Êîëîäà èç 36 êàðò äåëèòñÿ ïîïîëàì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â êàæäîé ïîëîâèíå áóäåò ïî 2 òóçà. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,4; P(C)= 0,3. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå äâà èç ýòèõ ñîáûòèé, á) íè îäíîãî ñîáûòèÿ íå ïðîèçîéäåò. 8
Çàäà÷à ¹ 3. Òðè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòà âûõîäÿò èç ñòðîÿ ñ âåðîÿòíîñòÿìè Ð1 = 0,3; Ð2 = 0,4; Ð3 = 0,6. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â öåïè áóäåò ðàçðûâ. Çàäà÷à ¹ 4. ×åòûðå ñòðåëêà îäíîâðåìåííî ñòðåëÿþò ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïåðâîãî – 0,4; âòîðîãî –0,6; òðåòüåãî – 0,7; ÷åòâåðòîãî – 0,5. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîìàõíóëñÿ ïåðâûé? Çàäà÷à ¹ 5. Èìååòñÿ òðè êîðîáêè ñ øàðàìè.  ïåðâûõ äâóõ ïî 2 ÷åðíûõ è 2 áåëûõ øàðà, â òðåòüåé – 5 áåëûõ è 1 ÷åðíûé. Èç êîðîáêè, âçÿòîé íàóãàä èçâëå÷åí áåëûé øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî áûëà òðåòüÿ êîðîáêà. Âàðèàíò ¹ 13 Çàäà÷à ¹ 1. Èç ìíîæåñòâà ÷èñåë 1, 2,....., n âûáèðàþò äâà, âîçìîæíî îäèíàêîâûå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðîå ÷èñëî áîëüøå ïåðâîãî. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,4; P(B)= 0,6; P(C)= 0,8. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî ñîáûòèå èç äâóõ 0,44. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âòîðîãî ñîáûòèÿ, åñëè âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî – 0,8. Çàäà÷à ¹ 4. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà – 0,8; äëÿ âòîðîãî – 0,7; òðåòüåãî – 0,6. Ïðè îäíîâðåìåííîì âûñòðåëå âñåõ òðåõ ïðîèçîøëî äâà ïîïàäàíèÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåòèé ñòðåëîê ïîïàë â öåëü. Çàäà÷à ¹ 5.  ïåðâîé óðíå 6 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà, âî âòîðîé – 3 áåëûõ è äâà ÷åðíûõ. Èç ïåðâîé èçâëåêàþò òðè øàðà è øàðû òîãî öâåòà, êîòîðûõ áîëüøå, îïóñêàþò âî âòîðóþ ïîñëå ýòîãî èç âòîðîé èçâëåêàþò 1 øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áåëûé. Âàðèàíò ¹ 14 Çàäà÷à ¹ 1. ×èñëà 1, 2, 3, ..., 9 çàïèñûâàþòñÿ â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëà 1 è 2 ñòîÿò ðÿäîì. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A) = 0,8; P(B) = 0,5; P(C) = 0,2. 9
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò äâà è òîëüêî äâà ñîáûòèÿ. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè îäíîì âûñòðåëå 0,7. Ñòðåëÿþò äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäåò ñäåëàíî òðè âûñòðåëà. Çàäà÷à ¹ 4.  ñåòêå 10 ìÿ÷åé, èç íèõ 6 – íîâûå. Äëÿ ïåðâîé èãðû áåðóò òðè, êîòîðûå ïîòîì âîçâðàùàþò. Äëÿ âòîðîé ñíîâà áåðóò 3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëÿ âòîðîé èãðû âçÿëè òðè ñòàðûõ ìÿ÷à. Çàäà÷à ¹ 5. Íà äâóõ ñòàíêàõ ïðîèçâîäÿò äåòàëè, ïðè÷åì íà âòîðîì â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì íà ïåðâîì. Âåðîÿòíîñòü áðàêà íà ïåðâîì ñòàíêå – 0,01; íà âòîðîì – 0,02. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçâîëüíî âçÿòàÿ äåòàëü áðàêîâàííàÿ. Âàðèàíò ¹ 15 Çàäà÷à ¹ 1. Ìîíåòà áðîøåíà òðè ðàçà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí ðàç ïîÿâèòñÿ ãåðá. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,3; P(B)= 0,8; P(C)= 0,5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäóò äâà è òîëüêî äâà èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå îäíîãî ñîáûòèÿ. Çàäà÷à ¹ 3. Ñêîëüêî ðàç íóæíî áðîñèòü ìîíåòó, ÷òîáû âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîêðàòíîãî ïîÿâëåíèÿ ãåðáà áûëà áîëüøå 0,875? Çàäà÷à ¹ 4. Èìååòñÿ äâå ïàðòèè èçäåëèé â 15 è 20 øò.; â ïåðâîé äâà, âî âòîðîé òðè áðàêîâàííûõ. Îäíî èçäåëèå èç ïåðâîé ïåðåëîæèëè âî âòîðóþ, ïîñëå ÷åãî èç âòîðîé áåðóò îäíî íàóãàä. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî áðàêîâàííîå Çàäà÷à ¹ 5. Èç 20 ñòðåëêîâ øåñòü ïîïàäàþò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8; äåñÿòü – ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,6 è ÷åòûðå ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,4. Íàóäà÷ó âûáðàííûé ñòðåëîê ïîïàë â öåëü. Ê êàêîé èç ãðóïï îí âåðîÿòíåå âñåãî ïðèíàäëåæèò? Âàðèàíò ¹ 16 Çàäà÷à ¹ 1. Êóá, âñå ãðàíè êîòîðîãî îêðàøåíû, ðàñïèëåí íà 1000 êóáèêîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóäà÷ó èçâëå÷åííûé êóáèê èìååò äâå îêðàøåííûå ãðàíè. 10
Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,3; P(C)= 0,6. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäóò òîëüêî ñîáûòèÿ  è Ñ á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå îäíîãî ñîáûòèÿ. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïÿòè îïûòàõ ñîáûòèå ïðîèçîéäåò õîòÿ áû îäèí ðàç ðàâíà 0,6. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ â îäíîì îïûòå? Çàäà÷à ¹ 4. Ïåðâîå îðóäèå ïîïàäàåò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,7; âòîðîå – 0,8. Äëÿ ïîðàæåíèÿ öåëè äîñòàòî÷íî äâóõ ïîïàäàíèé, à ïðè îäíîì ïîïàäàíèè âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ 0,6. Êàêîå-òî îðóäèå âûñòðåëèëî äâàæäû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè. Çàäà÷à ¹ 5. Èç 9 èçäåëèé ÷èñëî áðàêîâàííûõ 0, 1 èëè 2 ðàâíîâåðîÿòíî. Çíàÿ, ÷òî 4 âçÿòûõ íàóãàä èçäåëèé ãîäíûå, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñòàâøèåñÿ òîæå ãîäíûå. Âàðèàíò ¹ 17 Çàäà÷à ¹ 1. 20 êîìàíä ðàçáèòû íà äâå ðàâíûå ïîäãðóïïû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâå ñèëüíåéøèå êîìàíäû îêàæóòñÿ â îäíîé ïîäãðóïïå. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,8; P(B)= 0,4; P(C)= 0,5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) âñå òðè ñîáûòèÿ îäíîâðåìåííî íå ïðîèçîéäóò, á) ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû áëîêà 0,85. Äëÿ íàäåæíîñòè óñòàíàâëèâàþò òàêîé æå ðåçåðâíûé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñÿ ñèñòåìà ðàáîòàåò áåçîòêàçíî. Çàäà÷à ¹ 4.  êîðîáêå áûëî 9 áåëûõ è 6 ÷åðíûõ øàðà, äâà èç êîòîðûõ ïîòåðÿëèñü. Ïåðâûé íàóãàä âçÿòûé øàð îêàçàëñÿ áåëûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòåðÿëèñü äâà ÷åðíûõ. Çàäà÷à ¹ 5. Èç ïîëíîãî íàáîðà êîñòåé äîìèíî íàóãàä áåðóòñÿ äâå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðóþ êîñòü ìîæíî ïðèñòàâèòü ê ïåðâîé. Âàðèàíò ¹ 18 Çàäà÷à ¹ 1.  ãðóïïå 6 ìóæ÷èí è 4 æåíùèíû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè îòîáðàííûõ 7 ÷åëîâåê òðè æåíùèíû. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,5; P(B)= 0,6; P(C)= 0,4. 11
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò äâà è òîëüêî äâà èç ýòèõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Äâîå ïîî÷åðåäíî áðîñàþò ìîíåòó. Âûèãðûâàåò òîò ó êîãî ðàíüøå ïîÿâèòñÿ ãåðá. Íàéòè âåðîÿòíîñòè âûèãðûøà äëÿ êàæäîãî èç èãðîêîâ. Çàäà÷à ¹ 4. Èìååòñÿ äâå ïàðòèè èçäåëèé â 12 è 18 øò.; â ïåðâîé äâà, âî âòîðîé òðè áðàêîâàííûõ. Äâà èçäåëèÿ èç ïåðâîé ïåðåëîæèëè âî âòîðóþ, ïîñëå ÷åãî èç âòîðîé áåðóò îäíî íàóãàä. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî áðàêîâàííîå. Çàäà÷à ¹ 5. Ïî âîçäóøíîé öåëè ïðîèçâîäèòñÿ ñòðåëüáà èç äâóõ óñòàíîâîê. Âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè ïåðâîé óñòàíîâêîé ðàâíà 0,85, âòîðîé – 0,9, à âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè äâóìÿ óñòàíîâêàìè ðàâíà 1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè, åñëè ïåðâàÿ óñòàíîâêà ñðàáàòûâàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8, à âòîðàÿ – 0,7. Âàðèàíò ¹ 19 Çàäà÷à ¹ 1. Òðè øàðèêà ðàçáðàñûâàþòñÿ ïî øåñòè ëóíêàì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå øàðèêè îêàæóòñÿ â ðàçíûõ ëóíêàõ. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,7; P(B)= 0,4; P(C)= 0,5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò îäíî è òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò íå áîëåå äâóõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 6 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà, íàóäà÷ó è ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëåêàþò ïî îäíîìó äî ïîÿâëåíèÿ ÷åðíîãî øàðà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèäåòñÿ ïðîèçâîäèòü ÷åòâåðòîå èçâëå÷åíèå. Çàäà÷à ¹ 4.  òåëåãðàôíîì ñîîáùåíèè “òî÷êà” è “òèðå” âñòðå÷àþòñÿ â ñîîòíîøåíèè òðè ê äâóì. Èçâåñòíî, ÷òî èñêàæàþòñÿ 25 % “òî÷åê” è 20 % òèðå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿò ïåðåäàííûé ñèãíàë, åñëè ïðèíÿòî “òèðå”. Çàäà÷à ¹ 5. Ñ÷åò÷èê ðåãèñòðèðóåò ÷àñòèöû òðåõ òèïîâ – À,  è Ñ. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ýòèõ ÷àñòèö Ð(À) = 0,2, Ð(Â) = 0,5, Ð(Ñ) = 0,3. ×àñòèöû êàæäîãî èç ýòèõ òèïîâ ñ÷åò÷èê óëàâëèâàåò ñ âåðîÿòíîñòÿìè ð1 = 0,8, ð2 = 0,2, ð3 = 0,4. Ñ÷åò÷èê îòìåòèë ÷àñòèöó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî áûëà ÷àñòèöà òèïà Â. 12
Âàðèàíò ¹ 20 Çàäà÷à ¹ 1.  ëèôò äåâÿòèýòàæíîãî äîìà íà ïåðâîì ýòàæå âîøëè òðè ÷åëîâåêà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå îíè âûéäóò íà ðàçíûõ ýòàæàõ. Çàäà÷à ¹ 2. Èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé À, Â, Ñ: P(A)= 0,4; P(B)= 0,5; P(C)= 0,7. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ïðîèçîéäåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, á) ïðîèçîéäåò äâà è òîëüêî äâà èç ýòèõ ñîáûòèé. Çàäà÷à ¹ 3. Ñêîëüêî ðàç íóæíî áðîñèòü ïàðó èãðàëüíûõ êîñòåé, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 0,5, õîòÿ áû îäèí ðàç ïîÿâèëàñü ñóììà î÷êîâ ðàâíàÿ 12? Çàäà÷à ¹ 4. Ïåðâîå îðóäèå ïîïàäàåò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,6, âòîðîå – 0,7. Äëÿ ïîðàæåíèÿ öåëè äîñòàòî÷íî äâóõ ïîïàäàíèé, à ïðè îäíîì ïîïàäàíèè âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè 0,8. Êàêîå-òî îðóäèå âûñòðåëèëî äâàæäû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè. Çàäà÷à ¹ 5. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà –0,8; äëÿ âòîðîãî – 0,7; òðåòüåãî – 0,6. Ïðè îäíîâðåìåííîì âûñòðåëå âñåõ òðåõ èìåëîñü îäíî ïîïàäàíèå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðîé ñòðåëîê ïðîìàõíóëñÿ.
13
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 2 Âàðèàíò ¹ 1 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,3. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,4
0,6
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=3,6, Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 0 < x < 1, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 56 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 8. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
1
2
3
4
0,16
0,12
0,14
0,08
1
0,08
0,10
0,09
0,08
3
0,06
0,04
0,03
0,02
η
0
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí m ξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïà14
ä à í è ÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 2 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,4. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,3
0,7
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,3, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 1 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 45 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 7. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,96. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
0
2
4
6
0
0,15
0,10
0,10
0,05
4
0,05
0,10
0,05
0,10
8
0,10
0,05
0,10
0,05
η
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 2 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè15
÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 3 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,2. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1 < x2): xi
x1
x2
pi
0,6
0,4
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=2,6, Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 1 < x < 3, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 50 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 6. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,96. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
–1
0
1
2
0
0,05
0,10
0,10
0,05
3
0,05
0,05
0,10
0,10
6
0,10
0,05
0,10
0,15
η
16
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y): x + y2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 4 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,6. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1 < x2): xi
x1
x2
pi
0,7
0,3
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=6,3, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 2 < x < 3, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 43 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 5. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,94. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
1
2
3
5
0
0,10
0,10
0,10
0,10
2
0,15
0,15
0,00
0,05
4
0,05
0,05
0,10
0,05
η
17
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 5 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,5. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,2
0,8
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,8, Dξ=0,16. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 0 < x < 1, fξ( x ) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 56 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 8. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
–1
0
2
4
0
0,05
0,15
0,10
0,05
2
0,10
0,10
0,05
0,05
3
0,05
0,05
0,15
0,10
η
18
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 6 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,7. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,3
0,7
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=3,7, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:
Cx, åñëè 0 < x < 2, fξ(x) = 0, ïðè äðóãèõ x. Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 46 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 9. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
1
2
3
4
0
0,10
0,15
0,15
0,05
1
0,10
0,10
0,05
0,00
3
0,05
0,05
0,10
0,10
η
19
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 7 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,8. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,4
0,6
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,6, Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 0 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 56 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 8. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
0
1
2
3
0
0,10
0,15
0,10
0,05
2
0,05
0,10
0,10
0,05
6
0,05
0,05
0,10
0,10
η
20
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 8 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,3. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,6
0,4
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=5,6; Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 0 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 68 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 7. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,96. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
1
2
3
4
0
0,10
0,10
0,15
0,05
2
0,05
0,10
0,10
0,05
4
0,15
0,10
0,05
0,00
η
21
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 9 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,9. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,3
0,7
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,3, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 1 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 85 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 12. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
–1
0
0
0,10
3
0,15
6
0,05
η
22
2
4
0,15
0,14
0,06
0,10
0,06
0,04
0,05
0,05
0,05
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 10 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,1. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,8
0,2
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,8, Dξ=0,16. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 1 < x < 3, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 68 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 9. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,94. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
η
–1
1
3
5
0
0,10
0,12
0,10
0,08
4
0,15
0,10
0,05
0,10
8
0,05
0,08
0,05
0,02
23
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 11 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,4. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,3
0,7
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=3,7, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 0 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 58 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 3. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
η
24
1
2
3
4
0
0,16
0,12
0,14
0,08
1
0,08
0,10
0,09
0,08
3
0,06
0,04
0,03
0,02
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( ξ, η) â îáëàñòü
G = {(x, y) : x2 +
y2 < 1} . 4 Âàðèàíò ¹ 12
Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,6. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,7
0,3
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=3,7, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 0 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 54 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 8. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,96. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
0
1
3
6
0
0,15
0,10
0,10
0,05
3
0,05
0,10
0,05
0,10
6
0,10
0,05
0,10
0,05
η
25
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 3 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 13 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,7. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,6
0,4
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=2,6; Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 1 < x < 3, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 52 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 8. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,96. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
–2
0
1
2
0
0,05
0,10
0,10
0,05
2
0,05
0,05
0,10
0,10
4
0,10
0,05
0,10
0,15
η
26
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –2 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü G = {( x, y ) : x 2 + y 2 < 1} .
Âàðèàíò ¹ 14 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,9. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,3
0,7
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=5,7, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 1 < x < 3, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 48 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 9. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,94. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
0
2
4
5
0
0,10
0,10
0,10
0,10
1
0,15
0,15
0,00
0,05
2
0,05
0,05
0,10
0,05
η
27
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 4 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 4
Âàðèàíò ¹ 15 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,8. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,2
0,7
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,7, Dξ=0,26. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 2 Cx , åñëè 0 < x < 1, fξ( x ) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 66 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 6. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
–2
0
2
4
0
0,05
0,15
0,10
0,05
2
0,10
0,10
0,05
0,05
5
0,05
0,05
0,15
0,10
η
28
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –2 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 y2 < 1}. G = {(x, y): x + 4 4
Âàðèàíò ¹ 16 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,4. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,2
0,8
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=3,8, Dξ=0,16. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:
Cx, åñëè 0 < x < 2, fξ(x) = 0, ïðè äðóãèõ x. Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 64 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 4. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
0
2
4
6
0
0,10
0,15
0,15
0,05
2
0,10
0,10
0,05
0,00
4
0,05
0,05
0,10
0,10
η
29
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 2 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 y2 < 1}. G = {(x, y): x + 4 8
Âàðèàíò ¹ 17 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,4. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,6
0,4
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=6,4, Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 0 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 65 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 7. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
0
1
2
5
0
0,10
0,15
0,10
0,05
2
0,05
0,10
0,10
0,05
4
0,05
0,05
0,10
0,10
η
30
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 2 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 y2 < 1}. G = {(x, y): x + 8 2
Âàðèàíò ¹ 18 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À) = 0,1. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,4
0,6
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,6; Dξ=0,24. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 0 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 86 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 07. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,96. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
1
2
3
4
0
0,10
0,10
0,15
0,05
3
0,05
0,05
0,10
0,05
6
0,15
0,10
0,05
0,05
η
31
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 G = {(x, y) : x + y 2 < 1}. 6
Âàðèàíò ¹ 19 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,4. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,7
0,3
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=3,7, Dξ=0,21. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: 3 Cx , åñëè 1 < x < 2, fξ( x) = 0, ïðè äðóãèõ x.
Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 58 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 10. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,95. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
–1
0
0
0,10
2
0,15
4
0,05
η
32
2
5
0,15
0,14
0,06
0,10
0,06
0,05
0,05
0,05
0,04
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = –1 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 y2 < 1}. G = {(x, y): x + 4 2
Âàðèàíò ¹ 20 Çàäà÷à ¹ 1. Èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À: ð(À)=0,7. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ – ÷èñëî ïîÿâëåíèé À â òðåõ îïûòàõ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ; íàéòè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ è äèñïåðñèþ Dξ. Çàäà÷à ¹ 2. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñîäåðæèò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ õ1 è õ2 (x1<x2): xi
x1
x2
pi
0,2
0,8
Èçâåñòíû ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: Mξ=4,2, Dξ=0,16. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ õ1 è õ2. Çàäà÷à ¹ 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:
Cx, åñëè 1 < x < 3, fξ(x) = 0, ïðè äðóãèõ x. Íàéòè ïîñòîÿííóþ Ñ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ è äèñïåðñèþ Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Çàäà÷à ¹ 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a = 48 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì σ = 7. Íàéòè èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðûé ðàâíà Ð = 0,94. Çàäà÷à ¹ 5. Èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ñèñòåìû äâóõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξ, η). ξ
η
0
2
4
6
0
0,10
0,12
0,10
0,08
4
0,15
0,10
0,05
0,10
8
0,05
0,08
0,05
0,02
33
Îïðåäåëèòü ÷àñòíûå, óñëîâíûå (ïðè ξ = 4 è η = 0) ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí mξ, Dξ, mη, Dη, Kξ,η, rξ,η; à òàêæå íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ, η) â îáëàñòü 2 y2 < 1}. G = {(x, y): x + 4 8
34
Оглавление Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1 ................................................................. 3 Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2 ................................................................. 14
35
