Физические вопросы теории звездной эволюции Г.С. Бисноватый-Коган Исправленный вариант первого издания
Оглавление •
Ог...
17 downloads
168 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Физические вопросы теории звездной эволюции Г.С. Бисноватый-Коган Исправленный вариант первого издания
Оглавление •
Оглавление
•
Предисловие
•
Часть I. ФИЗИКА ЗВЕЗДНОЙ МАТЕРИИ
•
Глава 1. Термодинамические свойства вещества o
1. Идеальный газ с излучением
o
2. Релятивистский газ с учетом вырождения
o
3. Уравнение состояния при наличии ядерного равновесия и процессов слабого взаимодействия
o
4. Вещество при очень больших плотностях, нейтронизация, взаимодействие частиц
Дано последовательное изложение физических процессов, происходящих в звездах, методов и результатов эволюционных расчетов одиночных звезд, начиная с их образования вплоть до последних стадий формирования белых карликов, нейтронных звезд и черных дыр, а также различных типов неустойчивости,
возникающих
в
звездах
в
процессе
эволюции.
Представлены последние результаты в области статистической физики и физической кинетики, используемые для определения уравнений состояния и
свойств
переноса
в
звездах;
теория
ядерных
реакций,
слабых
взаимодействий, определяющих производство и потери энергии звездами. Содержит много формул, таблиц и рисунков, позволяющих использовать ее для исследовательской работы в области физики и эволюции звезд.
Для научных сотрудников - астрономов и физиков, интересующихся астрофизикой, аспирантов и студентов старших курсов. Табл. 56. Ил. 133. Библиогр. 662 назв. Рецензент доктор физико-математических наук A.M. Черепащук. Текст данной книги соответствует ее первому изданию на русском языке Г.С. Бисноватый-Коган "Физические вопросы теории звездной эволюции", М., Наука, 1989. В формулы внесены исправления, сделанные при подготовке второго издания (G.S. Bisnovatyi-Kogan, "Stellar Physics I: Fundamental Concepts & Stellar Equilibrium", Springer Verlag, 2001; G.S. Bisnovatyi-Kogan, "Stellar Physics II: Stellar Evolution and Stability", Springer Verlag, 2001). Пока опубликована только первая глава книги.
Предисловие Стремление астрофизиков проникнуть в тайны рождения и смерти звезд потребовали привлечения почти всех разделов современной физики при попытках решения этих проблем. Для исследования рождения звезд из межзвездной среды необходимы многие результаты атомной физики; структура белых карликов и нейтронных звезд требует знания теории жидкого и твердого состояния, фазовых переходов, сверхпроводимости и сверхтекучести. В промежутках между этими крайними этапами, там, где в основном и существуют звезды, действуют законы ядерной физики и слабых взаимодействий, теория переноса вещества и излучения. Равновесие
звезды
определяется
уравнениями
гидродинамики
с
привлечением общей теории относительности и теории электромагнитного поля. Проблема турбулентности и конвекции, не до конца решенная в применении к земным задачам, еще более важна и трудна в задачах эволюции звезд. Многим из этих проблем посвящена данная книга (см. оглавление), в которой
сделана
попытка
изложить
теорию
звездной
эволюции
с
физической точки зрения. В этом отношении она следует замечательной
книге Франк-Каменецкого Д.А. [215], однако в результате огромных достижений в этой области за последние 25 лет пересечений с этой книгой оказалось не так уж много. Существенная часть рассмотренных здесь вопросов на более качественном уровне рассматривалась в лекциях Я.Б. Зельдовича, опубликованных в книге [107]. При изложении астрофизических результатов в части II автору не удалось избежать свойственной астрономам описательности. Это связано с тем, что основные результаты получены здесь с помощью численного эксперимента, который, как и реальный астрономический эксперимент-наблюдение в книге можно лишь описать, но нельзя воспроизвести. Там, где это возможно, проводилось физическое осмысливание результатов. Изложение в данной книге, возможно, субъективно, так как автор часто отдавал предпочтение проблемам, связанным с его научной работой, однако
старался
рассмотренных
сделать
вопросов
это и
не
изложить
в
ущерб
общему
результаты
пониманию
теории
звездной
эволюции, представляющиеся ему основными. Из огромного количества журнальных статей, обзоров и книг в основном выбирались те, в которых либо делался важный шаг в решении какой-либо связанной со звездами проблемы, либо рассматривались интересные физические вопросы, возможно, не очень важные или с не вполне осознанной ролью для развития теории звездной эволюции. Критерий отбора был значительно мягче при изложении собственных результатов автора. Некоторые вопросы остаются в книге без ответа и включение их связано с надеждой на то, что у какого-нибудь читателя возникнет желание найти решение. В книге рассмотрены пути эволюции только одиночных звезд. Теория эволюции звезд в тесных двойных системах, в которой разнообразие эволюционных
путей
неизмеримо
возрастает,
изложена
в
недавно
вышедшей книге А.Г. Масевич и А.В. Тутукова "Эволюция звезд: теория и
наблюдения"
[156].
Там
же
рассматривается
и
связь
теории
с
астрономическими наблюдениями. Автор
искренне
благодарен
С.И.
Блинникову,
С.А.
Ламзину,
А.Ф.
Илларионову за полезные обсуждения и помощь, и, в особенности Э.В. Бугаеву и Д.Г. Яковлеву, которые прочитали отдельные главы и сделали много ценных замечаний.
Часть I. ФИЗИКА ЗВЕЗДНОЙ МАТЕРИИ Глава 1. Термодинамические свойства вещества Разделы •
1. Идеальный газ с излучением
•
2. Релятивистский газ с учетом вырождения
•
3. Уравнение состояния при наличии ядерного равновесия и процессов слабого взаимодействия
•
4.
Вещество
при
очень
больших
плотностях,
нейтронизация,
взаимодействие частиц
Вещество большинства звезд имеет высокую температуру и сравнительно умеренную плотность. В этих условиях кинетическая энергия частиц много больше энергии взаимодействия между ними и модель нерелятивистского, невырожденного идеального газа оказывается хорошим приближением к реальности. Термодинамические свойства вещества планет, например. Земли, изучены гораздо хуже. Температура их при той же плотности значительно ниже и вещество находится в жидкой и твердой фазах, исследование которых сопряжено с существенными трудностями. В недрах звезд вещество и излучение находятся в термодинамическом равновесии, которое устанавливается быстрыми процессами столкновений
частиц, поглощением и испусканием фотонов. Излучение, наряду с газом, создает давление, противодействующее силе тяжести. Вещество звезд состоит из различных химических элементов, основными из которых являются водород и гелий. На Солнце, например, они составляют в сумме более 98,5% плотности вещества. Остальная часть массы Солнца состоит
из
смеси
практически
всех
стабильных
изотопов
таблицы
Менделеева. В табл. 1 указано содержание наиболее обильных элементов, наблюдаемых на Солнце [5]. При изменении от центра до поверхности звезды температуры на три-четыре порядка и плотности на ~ 10 порядков изменяется состояние ионизации вещества. В центральных областях звезд с
все атомы практически полностью
ионизованы. Пусть
- номер химического элемента, который может находиться в
различных состояниях ионизации от нейтрального ( ионизованного
(
).
Обозначим
через
энергию
) до полностью связи
-кратно
ионизованного иона элемента , определяемую так, что для полностью ионизованного иона 2)
= 0. Удельная энергия Е (эрг г-1), давление Р (дин см-
и удельная энтропия S (эрг г-1 К-1) данной смеси атомов, ионов и
электронов с излучением имеют вид [145] .
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Здесь использованы обозначения: - плотность, - температура, - постоянная Больцмана, - постоянная Планка, -
постоянная
плотности
излучения, - скорость света в вакууме, - массовая доля элемента с атомным номером i,
Десятичный
Таблица 1. Распространенность наиболее химических
обильных Символ элементов
Атомный Атомная номер
масса
логарифм распространенности по
(Солнце, [5]) Элемент
числу по
атомов
массе
Водород
H
1
1.0080
12.00
12.00
Гелий
He
2
4.0026
10.93
11.53
Углерод
C
6
12.0111
8.52
9.60
Азот
N
7
14.0067
7.96
9.11
Кислород
О
8
15.9994
8.82
10.02
Неон
Ne
10
20.179
7.92
9.22
Натрий
Na
11
22.9898
6.25
7.61
Магний
Mg
12
24.305
7.42
8.81
Алюминий
Al
13
26.9815
6.39
7.78
Кремний
Si
14
28.086
7.52
8.97
Фосфор
P
15
30.9738
5.52
7.01
Сера
S
16
32.06
7.20
8.71
Хлор
Cl
17
35.453
5.6
7.2
Аргон
Аг
18
39.948
6.8
8.4
Кальций
Са
20
40.08
6.30
7.90
Хром
Сг
24
51.996
5.85
7.57
Марганец
Mn
25
54.9380
5.40
7.14
Железо
Fe
26
55.847
7.60
9.35
Никель
Ni
28
58.71
6.30
8.07
Относительное содержание по массе: Водород
X =0.73
Гелий
Прочие элементы
Число нуклонов на ядро, =1.26
X
Средняя атомная масса при
=0.25
полной ионизации
x =0.017
=0.60
- степень -кратной ионизации -го элемента, так что
,
- масса ядра атома с номером и атомной массой г - атомная единица массы, равная 1/12 массы изотопа , г - масса электрона1,
(1.4) - концентрация ионов элемента в -м состоянии ионизации, - статистический вес иона -го элемента в -м состоянии ионизации,
(1.5)
- концентрация электронов в условиях электронейтральности,
(1.6)
- количество нуклонов на одну частицу газа (средняя атомная масса). В полностью ионизованном газе, состоящем из водорода, гелия и других элементов с
, имеем
(1.7)
Энергия в (1.1) отсчитывается от энергии покоя полностью ионизованных ионов и электронов. Степени ионизации элементов в термодинамическом равновесии определяются формулой Саха [145]
(1.8)
Здесь
- энергия (потенциал) ионизации -го электрона,
.
Энергии ионизации наиболее обильных элементов приведены в табл. 2.
Для нахождения степени ионизации элементов в смеси необходимо решить систему уравнений (1.8) с учетом (1.4), (1.5). Аналитическое ре шение получается в случае однократной ионизации одного ( -го) сорта атомов
откуда
(1.9)
Таблица 2. Потенциалы ионизации и полные электронных
моменты оболочек
внешних наиболее Элемент
обильных элементов [180]. Атомный
Потенциалы
Полные
ионизации, эВ
моменты
0.747; 13.5985
0; 1/2
номер 1
H ,H
2
He
6
C
7
N
8
O
10
Ne
24.5876; 54.418
0; 1/2; 0
11.260; 24.284; 0; 1/2; 0; 47.89; 64.49
1/2
14.534; 29.602; 3/2; 0; 1/2; 47.45; 77.47
0
13.618; 35.118; 2; 3/2; 0; 54.94; 77.41
1/2
21.565; 40.964; 0; 3/2; 2; 63.46; 97.12
3/2
11
Na
12
Mg
13
Al
14
Si
15
P
16
S
17
Cl
18
Ar
20
Ca
24
Cr
25
Mn
26
Fe
28
Ni
5.1391; 47.287; 1/2; 0; 3/2; 71.64; 98.92 7.646;
2
15.035; 0; 1/2; 0;
80.15; 109.2
3/2
5.9858; 18.828; 1/2; 0; 1/2; 28.448; 120 8.152;
16.346; 0; 1/2; 0;
33.493; 45.14 10.49;
1/2
19.73; 3/2; 0; 1/2;
30.18; 51.47 10.36;
0
23.33; 2; 3/2; 0;
34.83; 47.31 12.968;
1/2
23.81; 3/2; 2; 3/2;
39.61; 53.47 15.760;
0
27.63; 0; 3/2; 2;
40.74; 59.81 6.113;
0
3/2
11.872; 0; 1/2; 0;
50.91; 67.10 6.766;
3/2
16.50; 3; 5/2; 0;
30.96; 49
3/2
7.4368; 15.640; 5/2; 2; 5/2; 33.67; 51.2 7.87;
16.18; 4; 9/2 4;
30.65; 54.8 7.63;
0
5/2
18.17; 4; 5/2; 4;
35.2; 54.9
9/2
1 эВ = 11.604 К
X; X
X ;
X
; X; X
X ; ;X
При исследовании звездной эволюции часто необходимо знать значения адиабатических показателей
и теплоемкостей
В условиях неполной ионизации все величины рассчитываются численно, для чего их удобно выразить через производные
Воспользуемся известными свойствами якобианов
(1.10)
Получаем
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Производные от энтропии выражаются через производные от энергии и давления
из
первого
закона
термодинамики
дифференциала свободной энергии
и
условия
полноты
:
(1.17)
Если степени ионизации
постоянны, то из (1.3)-(1.6) следeдует
(1.18)
и все производные вычисляются аналитически:
(1.19)
Здесь
- отношение газового давления к полному. Выражения для
адиабатических
показателей
и
теплоемкостей
одноатомного
газа
с
и излучения принимают вид [218]
(1.20)
Соотношения (1.18)-(1.20) широко применяются при описании звезд ной материи, так как основная часть массы звезд находится в состоянии полной ионизации с
. В оболочках звезд, где температура меньше,
вещество ионизовано не полностью и
.
Задача. Вывести уравнения для концентраций электронов в плазме, состоящей из
,
, а также атомов и однократно
ионизованных ионов других элементов. Решение. Используя формулу Саха (1.8) и табл. 2, получаем для водорода
(1)
Используя условие
, имеем (2)
Аналогично для гелия получаем
(3)
где
(4)
и для тяжелых элементов
(5)
Здесь
температура в электронвольтах. Используя соотношение (4) для
каждого элемента и условие электронейтральности (5)
получаем уравнение для приведенной электронной концентрации
(6)
Здесь
. Все величины в (6) безразмерны и близки к единице, что
удобно для численного решения. После нахождения степеней ионизации в зависимости от
и
, можно
вычислить термодинамические функции и их производные. На рис. 1 в качестве примера такого расчета приведена зависимость с составом другими
элементами
,
для смеси
х и солнечным соотношением между (табл. 1).
Два
минимума
на
кривых
соответствуют областям ионизации водорода и первой ионизации гелия. При малой плотности
второй минимум попадает в область
преобладания давления излучения и потому не заметен.
Рис. 1. Зависимости
при = const, указанных на кривых, для
нормального состава (табл. 1) в области, где происходит ионизация водорода и гелия
2. Релятивистский газ с учетом вырождения В центральных областях звезд, находящихся на поздних стадиях эволюции, а также при взрывах сверхновых кинетическая энергия электронов может
стать порядка их энергии покоя, т.е. скорости их приближаются к скорости света: (2.1) При
вычислении
термодинамических
функций
необходимо
тогда
использовать полные релятивистские выражения для энергии и импульса электронов. С другой стороны, плотности могут вырасти настолько, что среднее число частиц в ячейке фазового пространства приближается к единице. При этом необходимо учитывать принцип Паули для электронов (спин = 1/2), число которых в ячейке фазового пространства равно либо нулю, либо единице. Среднее число электронов с энергией
в ячейке
задается функцией Ферми [145]
(2.2)
где
- химический потенциал электронов,
(2.3)
- импульс электрона. Термодинамические
функции
находятся
с
помощью
интегралов
импульсному пространству (с учетом статистического веса
) [145]:
по
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
После преобразования интегралов и введения безразмерных величин
(2.8)
получим
(2.9)
где
(2.10)
Когда
,
в
термодинамическом
учитывать позитроны. Аннигиляция пары
равновесии
необходимо
приводит к рождению
фотонов, химический потенциал которых в равновесии равен нулю,
.
следует равенство
Из условия равновесия аннигиляции
(2.11) Термодинамические функции для позитронов получаются из (2.9), где следует заменить получаемые из
на
и использовать интегралы
в (2.10) заменой
на
,
,
,
,
. Нуклоны и ядра часто можно
считать невырожденными и нерелятивистскими, поэтому для них, вместе с излучением, имеем
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Здесь рассмотрено полностью ионизованное вещество. Если ядерные реакции не идут и весовые доли элементов неизменны (
), то
аналогично (1.18) имеем
(2.15)
В (2.12)-(2.15) использована величина
(2.16)
равная среднему числу нуклонов в ядре. Для получения полных выражений термодинамических соответствующие
функция выражения
, для
и
необходимо
электронов,
просуммировать
позитронов,
ядер
и
излучения. Заряд ядер связан с избытком электронов над позитронами. Имеем
(2.17)
- число нуклонов на один электрон. Выражение (2.17) с учетом (2.9), (2.10) служит для нахождения зависимости . Для случая полной ионизации при
,
имеем из (1.6),
(2.16) и (2.17)
(2.18)
В данном параграфе отсчет энергии ведется от энергии покоя ядер, которая в отсутствии ядерных превращений остается неизменной. Рассмотрим предельные случаи формул (2.9). а) Сильное вырождение. При нулевой температуре электроны заполняют .
фазовое пространство вплоть до граничного импульса Ферми
Плотность электронов равна удвоенному (за счет статистического веса) числу ячеек в сферической области фазового пространства радиусом
:
(2.19)
С учетом (2.17) получаем в отсутствие позитронов
(2.20)
Кинетическая энергия электрона на границе фазовой области называется энергией Ферми:
(2.21)
Учтя, что
при
и
при
, получаем из (2.5), (2.6)
(2.22)
где
(2.23)
Температурные
поправки
при
сильном
вырождении
находятся
из
разложения общих формул с помощью соотношения [145]
(2.24)
которое справедливо при
. Обозначая
и пренебрегая вкладом позитронов
,
, получаем [166] из (2.9), (2.10)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Здесь после
, параметр разложения сведения
интегралов
(2.10)
к
, а функции виду
(2.24)
равны
, явную зависимость
, ,
и
от
и
. Найдем
, оставляя только члены ~
.
Используя определение из (2.20), (2.21) и соотношение (2.25), получаем связь между ,
и :
(2.29)
Учтя малость
После подстановки
, получим
в (2.23), (2.25)-(2.28) имеем
и явные выражения термодинамических функций
(2.30)
В предельных случаях функции и равны
(2.31)
и
Учтя (2.31), в нерелятивистском пределе
получаем из (2.30)
(2.32)
В ультрарелятивистском пределе
соответственно имеем
(2.33)
б) Очень малая плотность вещества. Плотность вещества может быть настолько малой, что концентрация пар превысит концентрацию исходных электронов. В этом случае малым параметром является величина при
имеет место
. Разлагая (2.10) в ряд по
используя интегрирование по частям,
;
, получим,
(2.34)
где
(2.35)
При
интегралы (2.35) выражаются [145] через -функцию и -функцию
Римана с помощью соотношения (2.36)
и формулы
Учитывая для целых
значения
из [145] и
, получаем (2.37)
С учетом (2.34)-(2.37) и определения в (2.29), термодинамические функции с учетом (2.9), (2.17) примут вид
(2.38)
где введены функции
(2.39)
В
случае
ультрарелятивистских
пар
для
(2.39)
имеют
место
асимптотические представления [166]
(2.40)
Из
(2.38)-(2.40)
получаем
термодинамические
ультрарелятивистских пар в газе малой плотности
функции
вблизи
(2.41)
В нерелятивистском пределе
, оставляя два члена при разложении
знаменателя в (2.35), имеем [93]
(2.42)
где
- функции Бесселя мнимого агрумента (Ганкеля), имеющие
разложения при
[93]:
(2.43)
В табл. 3 приведены значения функций
,
для
,
полученные численным интегрированием в [167]. в (2.2).
в) Слабое вырождение. Слабое вырождение соответствует Тогда
в
интегралах
воспользовавшись
(2.10)
большим
можно
провести
значением
разложение
экспоненты
в
в
ряд,
знаменателе.
Оставляя два первых члена разложения, получаем [218, 166, 363, 93]
(2.44)
Таблица 3.
Значение
функций для 0.00 0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
, . 1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
9.4989
9.5476
9.6299
9.8119
9.8342 (- 9.8702
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
8.2749
8.4020
8.6278
9.2303
9.3130 (- 9.4529
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
6.7622
6.9345
7.2532
8.3028
8.4519 (- 8.7168
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
5.2709
5.4480
5.7846
7.1580
7.3497 (- 7.7039
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
3.9653
4.1217
4.4246
5.9438
6.1464 (- 6.5311
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
2.9030
3.0290
3.2762
4.7800
4.9689 (- 5.3345
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
2.0806
2.1764
2.3656
3.7418
3.9040 (- 4.2216
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
7.00
8.00
9.00
10.0
1.4664
1.5360
1.6748
2.8635
2.9949 (- 3.2544
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
1.0189
1.0685
1.1675
2.1497
2.2520 (- 2.4549
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1)
7.0003
7.3461
8.0361
1.5877
1.6650(- 1.8188
(-2)
(-2)
(-2)
(-1)
1)
4.7634
5.0006
5.4746
1.1563
1.2133 (- 1.3271
(-2)
(-2)
(-2)
(-1)
1)
3.2147
3.3756
3.6973
8.3190
8.7329 (- 9.5597
(-2)
(-2)
(-2)
(-2)
2)
1.4345
1.5066
1.6510
4.1752
4.3848 (- 4.8039
(-2)
(-2)
(-2)
(-2)
2)
6.2613
6.5769
7.2085
2.0259
2.1280 (- 2.3321
(-3)
(-3)
(-3)
(-2)
2)
2.6856
2.8211
3.0922
9.5667
1.0049 (- 1.1014
(-3)
(-3)
(-3)
(-3)
2)
1.1356
1.1929
1.3076
4.4175
4.6404 (- 5.0864
(-3)
(-3)
(-3)
(-3)
3)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-2)
(-2)
(-3)
В данной и последующих таблицах в скобках указан порядок величины
Из (2.17) имеем с нужной точностью, учтя (2.44) и величину из (2.29),2
(2.45)
При выводе (2.45) использовалась малость членов, содержащих , которые учитывают слабое вырождение. С помощью (2.44), (2.45) получаем из (2.9)
(2.46)
Формулы (2.46) справедливы для слабо вырожденного газа произвольной плотности, в том числе очень малой, когда число рождающихся пар много больше исходного числа электронов и
. Необходимо
также, чтобы газ не был релятивистским, так как при
рождающиеся
пары заполняют фазовое пространство даже при очень малой плотности. Таким образом, для применимости (2.46) требуется выполнение условия , когда справедливо разложение (2.43)3. При
из (2.46) и (2.43), оставляя два члена разложения по
,
получаем термодинамические функции идеального газа с поправками на вырождение, релятивизм и рождение пар (см. также [166])
(2.47)
Величина
в (2.47) включает энергию покоя рождающихся пар и их
кинетическую энергию без релятивистских поправок, а в
- учтены
релятивистские поправки к давлению пар. В пределе очень малой плотности
, оставляя два члена разложения по , из (2.46) получаются
формулы, совпадающие с нерелятивистским пределом формул (2.38) при учете (2.42). г) Нерелятивистский газ. В этом случае
и вкладом позитронов
можно пренебречь. Формулы (2.9) и (2.10) при этом сводятся к виду
(2.48)
где
- интегралы Ферми (2.49)
В нерелятивистском пределе кинетическая энергия электронов отделяется от энергии покоя. Если
, то
и вырождение несущественно. В этом пределе
получаем (2.50)
Первые члены в интегралах (2.50) приводят к термодинамическим функциям обычного газа (см. 1). С учетом поправок из первого соотношения (2.48) и (2.49) имеем
что приводит к термодинамическим функциям, следующим из (2.47), если в них пренебречь поправками на релятивизм (
) и рождение пар (
). В пределе сильно вырожденного газа
для вычисления
интегралов Ферми (2.49) воспользуемся формулой (2.24). Оставляя два первых члена разложения, получаем (2.51)
Определяя из первого соотношения (2.48)
(2.52)
получаем
термодинамические
функции,
следующие
из
(2.32),
если
пренебречь в них релятивистскими поправками (
). Из (2.48) следует,
что
газа
адиабата
нерелятивистского
, этом адиабаты
электронного
имеет
вид
вне зависимости от степени вырождения. При , где
имеет
место
. Та же связь для
любого
нерелятивистского газа с постоянными и
одноатомного .
,
и
вдоль
идеального
д) Ультрарелятивистский газ. Когда кинетическая энергия электронов много больше их энергии покоя, величиной
в интегралах (2.10) можно
пренебречь, что, с учетом определения (2.49) позволит записать их в виде (2.53) В ультрарелятивистском равновесном газе всегда имеет место
и
вырождение не может быть малым ввиду интенсивного рождения пар. Интегралы Ферми целого индекса обладают свойствами, позволяющими выразить термодинамические функции ультрарелятивистского газа в виде полиномов по
и [166]. Из (2.49) легко показать, что4
(2.54)
Интегрируя последовательно первое соотношение (2.54), получаем
(2.55)
Интегралы
приведены в (2.36), откуда имеем
В итоге получаем значения термодинамических функций для виде
- пар в
(2.56)
вклад позитронов пренебрежимо
В пределе сильного вырождения
мал, и из первого соотношения (2.56) и (2.29) имеем
Это приводит к термодинамическим функциям (2.33) без членов
,
задающих отклонения от ультрарелятивизма. В ультрарелятивистском газе малой плотности при
имеем
что приводит к термодинамическим функциям, следующим из (2.41) без учета отклонений от ультрарелятивизма
. Из (2.56) следует, что вдоль
адиабаты
выполняются
ультрарелятивистского ,
газа
соотношения
. Из полученных выше явных выражений тер
модинамических функций в зависимости от
и
легко, с помощью (1.11)-
(1.17), найти явные выражения для адиабатических показателей и теплоемкостей во всех предельных случаях. Области применимости асимптотических формул с точностью Некоторые
асимптотические
формулы
1% изображены на рис. 2. с
большим
числом
членов
разложения даны в работе [166], рассчитанные по ним таблицы и интерполяционные коэффициенты приведены в [167], см. также [67a].
Рис. 2. Области применимости приближенных асимптотических формул
на
плоскости :
,
A) левее линии ayb применимо приближение вырожденного газа с
поправками
(2.30),
B) правее линии czd - приближение малой плотности (2.38), C) внутри области oefg - приближение почти невырожденного почти D)
нерелятивистского ohlm
-
область
газа
применимости
нерелятивистского
(2.46), приближения
газа
(2.48),
Е) правее и выше ломаной npr применимо приближение ультрарелятивистского
газа
(2.56).
В следующих областях применимы различные приближения: 1) nqby
-
2)
правее
3)
cxg
4)
oetlm
5)
ahs
приближения ломаной -
rzd
-
А
и
приближения
В
приближения -
-
приближения приближения
Е, и
Е,
В
и
С,
С
и
D,
А
и
D.
Заштрихована область, где необходим численный расчет интегралов,
входящих
например, методом Гаусса
Таблица 4. Корни
и
коэффициенты для вычисления интегралов (2.57) методом Гаусса ,
при при
(см., например
в
термодинамические
функции,
[29]) Корни
и
коэффициенты
0.26356
0.61703
1.0311
1.4906
1.9859
1.4134
2.1130
2.8372
3.5813
4.3417
3.5964
4.6108
5.6203
6.6270
7.6320
7.0858
8.3991
9.6829
10.944
12.188
12.641
14.260
15.828
17.357
18.852
0.52176
0.34801
0.52092
1.2510
4.1856
0.39867
0.50228
1.0667
3.2386
12.877
0.075942
0.14092
0.38355
1.3902
6.3260
0.11904
0.60475
3.6118(-3) 8.7199(-3) 0.028564
2.3370 (-5) 6.8973 (-5) 2.6271 (-4) 1.2328(-3) 6.8976 (-3)
е) Анализ общего случая. При отсутствии малых параметров для расчета термодинамических функций нужно вычислять интегралы (2.10) численно. Весьма эффективным является метод, аналогичный методу Гаусса [137], и использованный
для
этих
целей
в
работе
выражения в (2.10) представляются в виде
Подынтегральные
[46].
, где функция
ограничена на любом конечном интервале и хорошо аппроксимируется каким-нибудь достаточно
полиномом большом
степени .
Вычисления
на
интервале
проводятся
по
при следующей
квадратурной формуле: (2.57)
где
- корни полинома Лагерра
, а коэффициенты
определяются
системой линейных уравнений
Формула (2.57) является точной, если
- полином степени
следует из условия ортогональности полиномов Лагерра с весом для
и
. Значение
на промежутке
можно использовать при вычислении
из (2.10). Значения
приведены в таблице 4 [29] для
. Это
и
и
для пятиточечной схемы (и = 5) .
Выражения для адиабатического показателя
и теплоемкостей в общем
случае при постоянном ядерном составе получены в [46]
(2.58)
где
(2.59)
Безразмерный химический потенциал
вдоль изэнтропы удовлетворяет
уравнению (2.60)
Зависимости
,
,
для
чистого
железа
(
,
), построенные по формулам (2.58)-(2.60) в [46], приведены на рис. 3-5.
Рис. 3. Зависимость показателя адиабаты
от температуры
для чистого железа
вдоль изэнтроп, построенных на рис. 6
4. Зависимость теплоемкости при постоянном объеме
от температуры
для чистого железа вдоль изэ
от температуры
для чистого железа вдоль изэ
оенных на рис. 6
5. Зависимость теплоемкости при постоянном объеме
оенных на рис. 6 Задача. Найти релятивистские поправки к адиабатическому показателю
в
идеальном газе. Ответ.
. При этом использованы формулы (1.11), (2.13),
(2.15), (2.18) и (2.47), где опущены поправки на вырождение и рождение пар и
.
3. Уравнение состояния при наличии ядерного равновесия и процессов слабого взаимодействия Когда температура вещества достигает нескольких миллиардов кельвинов, характерные
времена
ядерных
реакций
становятся
меньше
всех
макроскопических времен и устанавливается равновесие относительно ядерного состава. В условиях ядерного равновесия концентрации ядер ,
находятся из соотношения между химическими потенциалами ядер нейтронов
и протонов
, аналогично условию химического равновесия (3.1)
Для нерелятивистских и невырожденных ядер имеем [145] (3.2)
Равновесная концентрация ядер из (3.1), (3.2) имеет вид
(3.3)
В предэкспоненте достаточно положить
,
числитель в экспоненте есть энергия связи ядра
, а . Учтя также
, получим
В табл. 5 приведены спины , энергии связи
наиболее устойчивых ядер,
. Благодаря экспоненциально быстрой зависимости скорости ядерных реакций от температуры (см. гл. 4), переход от застывшего
ядерного состава к ядерному равновесию занимает узкую зону температур, где характерные времена ядерных реакций сравнимы с макроскопическими (тепловым или гидродинамическим) и где необходимо рассмотрение кинетики ядерных реакций. При данной температуре
и плотности (3.4)
для нахождения ядерного состава необходимо знать связь между концентрациями
и
.
Таблица 5. Энергии связи и спины ядер стабильных изотопов наиболее Элемент обильных
элементов
Энергия связи Спин
[135, 180] (изотоп)
, кэВ
ядра I
0.2225
1/2, 1
Атомный номер 1
,
2
,
7718, 28297
1/2, 0
6
,
92165, 97112
0, 1/2
7
,
8
104663, 115496
,
,
127624, 131766, 139813
10
,
,
160651, 167412, 177778
11
186570
1, 1/2
0, 5/2, 0
0, 3/2, 0 3/2
,
12
,
198262, 205594, 216688
13
224959 ,
14
,
236544, 245018, 255627
15
16
262925 ,
,
271789, 280432, 291847
17
18
,
,
,
0, 5/2, 0 5/2 0, 1/2, 0 1/2 0, 3/2, 0
298220,
3/2,
317112
3/2
306727, 327354,
0, 0, 0
343822
20
,
,
342063, 361900, 369832
,
,
0,
0,
7/2
380969, 398787,
0, 0, 0
416014 435061, 24
,
, 456364,
,
464304, 474024
0,
0,
3/2, 0
25
482091
5/2
471779, 26
,
, 492280,
,
499926,
0,
0,
1/2, 0
509969 ,
28
506484,
,
0,
526871,
3/2
534691 545288,
,
0,
0, 0
561788
кэВ
Взаимопревращения протонов и нейтронов, как свободных, так и связанных в ядрах, происходят в реакциях слабого взаимодействия (см. гл. 5). Характерное
время
слабых
значительно больше ядерного
при
процессов
высокой
температуре
и может быть порядка микроскопического,
гидродинамического или теплового. Нейтрино, возникающие при слабых взаимодействиях,
свободно
термодинамическое
улетают
равновесие
из
звезд.
В
относительно
этих
условиях
реакций
слабого
взаимодействия отсутствует. Исключение составляют горячие нейтронные .
звезды, которые непрозначны для нейтрино с энергией Термодинамические функции равновесного нейтринного газа 5
,
аналогичны электронным (2.56), где
,
в
статистического
два
веса.
раза В
меньше,
левой
части
, а величины ,
первого
соотношения
,
величина,
концентрацией
с
-газа с
чем
служащего для нахождения связанная
,
вместо
и
за
счет (2.56),
должна стоять лептонного
заряда
. После таких замен все формулы п.д 2 применимы для равновесного нейтринного газа, а связь между
и
определяется соотношениями между химическими потенциалами (3.5) Второе соотношение (3.5) следует из равновесия реакции и условия (2.11). Равновесие других типов нейтрино аналогично
и
описывается
, хотя оно вряд ли достижимо даже в горячих нейтронных
звездах из-за большой массы их лептонов. В условиях свободного улета нейтрино строгое нахождение связи
и
состоит в решении уравнений кинетики бета-процессов
(3.6)
при известном начальном соотношении между параметр
и
. В работе [328]
считался независимым при расчетах ядерного равновесия
элементов группы железа. В первом соотношении (3.6) при суммировании нужно учитывать свободные нейтроны и протоны. Скорости бета-реакций (
)
и рассмотрены в параграфе 19.
, . Для 109 < Т <
Рис. 6. Изэнтропы вещества на плоскости 2.1010К, 105 <
< 1010 г/см3 изэнтропы построены для
равновесного химического состава по данным работы [114]. Штриховая линия разделяет области
> 4/3 и
< 4/3 и
построена по данным расчетов [46]. Штрихпунктирные линии разделяют области
> 4/3 и
< 4/3 и построены по
данным работы [114] с учетом распада железа. Цифры на рисунке соответствуют следующим иээнтропам: 1 0,003981, 2 -
= 0,01, 3 -
= 0,01585, 4 -
=
= 0,02512, 5 -
= 0,03981, 6 -
= 0,0631, 7 -
= 0,1, 8 -
= 0,1585, 9 -
= 0,2512, 10 -
= 0,3981, 11 -
= 0,631, 12 -
= 1,0, 13
-
= 2,512, 14 -
= 10, 15 -
= 15,85,
величины
Если в течение времени
эрг г-1 К-1
и в звезде меняются слабо, то
достигается кинетическое равновесие по бета-процессам с
в
(3.6). В этом случае соотношения (3.6) однозначно определяют состав вещества [117-119, 224]. Для приближенного определения состава в условиях свободного улета нейтрино иногда используется соотношение (3.5) с
. Расчеты в этом приближении сделаны в [114]. В ядерном
равновесии
учитывались
возбужденных уровней,
ядра ,
расщеплению ядер железа на
и
железа
,
включая семь первых
. Рост температуры ведет сначала к и нуклоны, а затем к чисто нуклонному
составу. При большой плотности основную часть свободных нуклонов составляют нейтроны. На рис. 6 из [46] приведены изэнтропы вещества на плоскости
,
и указаны области с
, необходимые для анализа
устойчивости (см. гл.12). В области ядерного равновесия использовались результаты [114].
4. Вещество при очень больших плотностях, нейтронизация, взаимодействие частиц При очень больших плотностях в условиях сильною вырождения электронов и нуклонов приближенно вещество можно считать холодным с [110]. а) Холодная нейтронизация вдоль состояний минимума энергии (СМЭ). При плотностях
вещество в СМЭ состоит из
которого максимально стабильны6. Когда
, ядра
из (2.21) достигает значения
при (4.1)
захват
электрона
стабильным
ядром
становится
энергетически
, которое в обычных условиях является
выгодным. Ядро
радиоактивным, при большой энергии Ферми электронов оказывается устойчивым.
Процесс
захвата
электрона
ядром,
называемый
нейтронизацией, рассчитан впервые в [216]. При нулевой температуре состояние термодинамического равновесия соответствует минимуму полной энергии
как функции
и
при данном
числе нуклонов в единице объема. С ростом плотности равновесие смещается в сторону все более переобогащенных нейтронами ядер. При энергия связи последнего нейтрона в ядре
близка к нулю и в
равновесии появляются свободные нейтроны. В равновесии плотность, при которой начинают отщепляться нейтроны, равна В отсутствие свободных нейтронов при
[267].
для энергии единицы объема
с учетом энергии покоя имеем [267] (4.2) Массы стабильных ядер определяются с учетом энергии связи из табл. 4. Для ядер, далеких от области стабильности, экспериментальные измерения массы
отсутствуют. В этом случае используются полуэмпирические
(теоретические,
подправленные
имеющимися
экспериментальными
данными) формулы. Наиболее простая, отражающая все качественные закономерности формула для энергии связи, полученная Вейцзеккером, имеет вид [23] (4.3)
Здесь четных
для четных и нечетных
и
,
для нечетных
и любых
,
для
. В (4.3) учтены статистические и капельные свойства
ядер, энергия ядерного взаимодействия с учетом эффектов несимметрии (
) и спаривания нуклонов, кулоновская и поверхностная энергии
ядер. Расчет равновесного состава при холодной нейтронизации с
использованием формулы Вейцзеккера сделан в [77]. В работе [267] для аналогичных расчетов использована более точная, но гораздо более сложная формула Майерса и Святецкого [486]. Энергия холодных электронов
дана
в
(2.22),
(2.23),
а
величина
есть
энергия
электростатического взаимодействия, возникающая из-за наличия точечных положительных зарядов в однородном фоне отрицательных. Минимум достигается
для
объемно-центрированной
кубической
решетки
и
определяется формулой [267] (4.4) Электростатическое взаимодействие уменьшает энергию и давление вещества, так как расстояние между отталкивающимися ядрами в среднем больше, чем между притягивающимися зарядами разного знака [110]. Равновесный состав, соответствующий минимуму плотности барионов
приведен в табл. 6 из работы [267]. Отметим, что и
между плотностями растет
за
счет
кинетическую
из (4.2) при заданной
давление почти постоянно (слабо
давления
энергию
и
ядер).
энергию
Величина взаимодействия.
учитывает Давление
к
релятивистский показатель адиабаты определяются формулами [267] (4.5)
Таблица 6. Равновесный ядерный плотностях, плотности нейтронов Ядро
состав
при
меньших испарения (из
[267])
Z/A
Здесь
-
8.7905
0.4643 8.1 (6)
0.95
2.9
8.7947
0.4516 2.7 (8)
2.6
3.1
8.7777
0.4375 1.2 (9)
4.2
7.9
8.6797
0.4048 8.2 (9)
7.7
3.5
8.5964
0.3902 2.2 (10)
10.6
3.8
8.4675
0.3750 4.8 (10)
13.6
4.1
8.2873
0.3590 1.6 (11)
20.0
4.6
7.9967
0.3421 1.8 (11)
20.2
2.2
7.8577
0.3387 1.9 (11)
20.5
3.1
7.6705
0.3279 2.7 (11)
22.9
3.3
7.4522
0.3166 3.7 (11)
25.2
3.5
7.2002
0.3051 (4.3 (11))
(26.2)
...
энергия
связи
на
нуклон,
-
- химический
плотность, при которой существует данный нуклид, потенциал
электронов
при
увеличение
плотности
при
этой
плотности,
переходе
к
максимальная
-
следующему
относительное нуклиду.
При
- начинается испарение нейтронов.
В таблице 7 даны результаты расчета термодинамических функций при равновесной
нейтронизации.
При
,
когда
энергия
становится порядка кинетической энергии электронов,
взаимодейстция
значения в табл. 7 взяты из работы [201].
Таблица 7. вещества
Уравнение в
состояния равновесии,
Z
A
Г
соотетствующем минимуму полной энергии, из [267] 7.86
1.01 (9)
4.73 (24) 26 56
...
7.90
1.01 (10)
4.76 (24) 26 56
...
8.15
1.01 (11)
4.91 (24) 26 56
...
11.6
1.21 (12)
6.99 (24) 26 56
...
16.4
1.40 (13)
9.90 (24) 26 56
...
45.1
1.70 (14)
2.72 (25) 26 56
...
212
5.82 (15)
1.27 (26) 26 56
...
1150
1.90 (17)
6.93 (26) 26 56
...
1.044 (4)
9.744 (18)
2.622 (4)
4.968 (19)
6.587 (4)
2.431 (20)
1.654 (5)
1.151 (21)
4.156 (5)
5.266 (21)
1.044 (6)
2.318 (22)
2.622 (6)
9.755 (22)
6.295 (27) 1.581 (28) 3.972 (28) 9.976 (28) 2.506 (29) 6.294 (29) 1.581 (30)
26 56
1.796
26 56
1.744
26 56
1.706
26 56
1.670
26 56
1.631
26 56
1.586
26 56
1.534
6.588 (6)
3.911 (23)
8.293 (6)
5.259 (23)
1.655 (7)
1.435 (24)
3.302 (7)
3.833 (24)
6.589 (7)
1.006 (25)
1.315 (8)
2.604 (25)
2.624 (8)
6.676 (25)
3.304 (8)
8.738 (25)
5.237 (8)
1.629 (26)
8.301 (8)
3.029 (26)
1.045 (9)
4.129 (26)
1.316 (9)
5.036 (26)
1.657 (9)
6.860 (26)
3.972 (30) 5.000 (30) 9.976 (30) 1.990 (31) 3.972 (31) 7.924 (31) 1.581 (32) 1.990 (32) 3.155 (32) 5.000 (32) 6.294 (32) 7.924 (32) 9.976 (32)
26 56
1.482
28 62
1.471
28 62
1.437
28 62
1.408
28 62
1.386
28 62
1.369
28 62
1.357
28 64
1.355
28 64
1.350
28 64
1.346
28 64
1.344
34 84
1.343
34 84
1.342
2.626 (9)
1.272 (27)
4.164 (9)
2.356 (27)
6.601 (9)
4.362 (27)
8.312 (9)
5.662 (27)
1.046 (10)
7.702 (27)
1.318 (10)
1.048 (28)
1.659 (10)
1.425 (28)
2.090 (10)
1.938 (28)
2.631 (10)
2.503 (28)
3.313 (10)
3.404 (28)
4.172 (10)
4.628 (28)
5.254 (10)
5.949 (28)
6.617 (10)
8.089 (28)
1.581 (33) 2.506 (33) 3.972 (33) 5.000 (33) 6.294 (33) 7.924 (33) 9.976 (33) 1.256 (34) 1.581 (34) 1.990 (34) 2.506 (34) 3.155 (34) 3.972 (34)
34 84
1.340
34 84
1.338
34 84
1.337
32 82
1.336
32 82
1.336
32 82
1.336
32 82
1.335
32 82
1.335
30 80
1.335
30 80
1.335
30 80
1.334
28 78
1.334
28 78
1.334
8.332 (10)
1.100 (29)
1.049 (11)
1.495 (29)
1.322 (11)
2.033 (29)
1.664 (11)
2.597 (29)
1.844 (11)
2.892 (29)
2.096 (11)
3.290 (29)
2.640 (11)
4.473 (29)
3.325 (11)
5.816 (29)
4.188 (11)
7.538 (29)
4.299 (11)
7.805 (29)
5.000 (34) 6.294 (34) 7.924 (34) 9.976 (34) 1.105 (35) 1.256 (35) 1.581 (35) 1.990 (35) 2.506 (35) 2.572 (35)
28 78
1.334
28 78
1.334
28 78
1.334
26 76
1.334
42 124 1.334
40 122 1.334
40 122 1.334
38 120 1.334
36 118 1.334
36 118 1.334
б) Появление свободных нуклонов. СМЭ при субъядерных плотностях с учетом взаимодействия нуклонов. При
все связанные состояния нейтронов в ядрах оказываются
заполненными и дальнейший рост плотности приводит к появлению свободных нейтронов. После различных попыток расчета уравнения состояния в этой области (см. обзор [266]), корректный подход к решению
проблемы был развит в работе [265]. Этот подход основан на следующих принципах. 1. Единое описание энергии взаимодействия нуклонов как внутри, так и вне ядер. 2. Использование выражения для поверхностной энергии ядер, которое учитывает наличие окружающих нейтронов и обращается в нуль при идентичности вещества внутри и снаружи. 3. Учет энергии кулоновского взаимодействия электронов и ядер решетки, а также протонов внутри ядра. Если вне ядер, объема
и
- концентрации ядер и свободных нейтронов в пространстве - объем ядра, а то выражение для полной энергии единицы запишется в виде (4.6)
Для нахождения равновесного состава и уравнения состояния необходимо минимизировать концентрации нуклонов
относительно
аргументов
при
постоянной
: (4.7)
Входящие в (4.6) кулоновская энергия решетки
и энергия холодных
электронов определены в (4.4) и (2.22), (2.23) соответственно. Энергия ядра, представляемого в виде жидкой капли, записывается в виде
(4.8)
где
- энергия на один барион в однородной ядерной материи с ,
концентрацией
-
кулоновская
энергия
взаимодействия протонов в ядре,
- поверхностная энергия ядра.
Формула для энергии нейтронного газа
получается аналогично (4.8) при
(4.9) Функция
, входящая в (4.8), (4.9), а также
и
, входящие в
(4.8), вычислены в [266]. Поверхностная энергия в [265] оценивалась довольно грубо из соображений размерности. Более точные выражения для были найдены в работах [313] методом Томаса-Ферми, [256] вариационным методом и [504, 548] методом Хартри-Фока. Величина по физическому смыслу есть энергия связи ядра с учетом окружающей плотности нейтронов, которая для нормальных ядер
в
вакууме
Минимизация постоянстве
аппроксимируется
величины
формулой
относительно
своих
Вейцзеккера
(4.3).
аргументов
при
из (4.7) сводится к четырем уравнениям, определяющим
равновесие по следующим процессам: 1) сжатие и расширение ядра давлением внешних нейтронов, 2) обмен нейтронами между ядром и нейтронным газом, 3) превращение нейтронов и протонов друг в друга внутри ядра, 4) выделение ядра, минимизирующего полную энергию. Решение этих четырех уравнений определяет свойства равновесного вещества, состоящего из ядер и свободных нейтронов. В табл.8 из [265] приведены результаты расчетов. С увеличением плотности происходит рост массы и объема ядер, пока они не касаются друг друга при . В [265] предполагается, что при плотности происходит фазовый переход первого рода к однородной ядерной материи.
Таблица 8.
Характеристики
Z
A
Г
вещества
в
минимуме
полной
энергии при наличии свободных нейтронов (из [265]) 4.460(11)
7.890(29)
2.,670(35) 40
126
0.40
5.228(11)
8.352(29)
3.126(35) 40
128
0.36
6.610(11)
9.098(29)
3.951(35) 40
130
0.40
7.964(11)
9.831(29)
4.759(35) 41
132
0.46
9.728(11)
1.083(30)
5.812(35) 41
135
0.54
1.196(12)
1.218(30)
7.143(35) 42
137
0.63
1.471(12)
1.399(30)
8.786(35) 42
140
0.73
1.805(12)
1.638(30)
1.077(36) 43
142
0.83
2.202(12)
1.950(30)
1.314(36) 43
146
0.93
2.930(12)
2.592(30)
1.748(36) 44
151
1.06
3.833(12)
3.506(30)
2.287(36) 45
156
1.17
4.933(12)
4.771(30)
2.942(36) 46
163
1.25
6.248(12)
6.481(30)
3.726(36) 48
170
1.31
7.801(12)
8.748(30)
4.650(36) 49
178
1.36
9.611(12)
1.170(31)
5.728(36) 50
186
1.39
1.246(13)
1.695(31)
7.424(36) 52
200
1.43
1.496(13)
2.209(31)
8.907(36) 54
211
1.44
1.778(13)
2.848(31)
1.059(37) 56
223
1.46
2.210(13)
3.931(31)
1.315(37) 58
241
1.47
2.988(13)
6.178(31)
1.777(37) 63
275
1.49
3.767(13)
8.774(31)
2.239(37) 67
311
1.51
5.081(13)
1.386(32)
3.017(37) 74
375
1.53
6.193(13)
1.882(32)
3.675(37) 79
435
1.54
7.732(13)
2.662(32)
4.585(37) 88
529
1.56
9.826(13)
3.897(32)
5.821(37) 100 683
1.60
1.262(14)
5.861(32)
7.468(37) 117 947
1.65
1.586 (14)
8.595 (32)
9.371 (37) 143 1390 1.70
2.004(14)
1.286(33)
1.182(38) 201 2500 1.74
2.520(14)
1.900(33)
1.484(38) ...
...
1.81
2.761(14)
2.242(33)
1.625(38) ...
...
1.82
3.085(14)
2.751(33)
1.814(38) ...
...
1.87
3.433(14)
3.369(33)
2.017(38) ...
...
1.92
3.885(14)
4.286(33)
2.280(38) ...
...
1.97
4.636(14)
6.103(33)
2.715(38) ...
...
2.03
5.094(14)
7.391(33)
2.979(38) ...
...
2.05
Уточнение формулы для поверхностной энергии сказалось только на изменении заряда ядра
, рост которого замедлился по сравнению с
[265]. На рис. 7 из [266] приведены результаты расчета авторами. Уменьшение величины более плавному изменению
при больших плотностях приводит к
в процессе фазового перехода к однородной
ядерной материи. Несовпадение зависимостей 504,
548]
отражает
как
различными
недостаток
физических
у авторов [256, 313, знаний
о
законах
взаимодействий между нуклонами, так и несовер шенство существующих математических методов расчета.
Рис. 7. Зависимость заряда
в коре нейтронной
звезды от плотности, построенная по расчетам различных авторов: ВВР - [265], NV - [504], RBP [548], ВВ - [313] в) Плотность, больше ядерной. Однородная ядерная материя (ЯМ), появляющаяся в результате фазового перехода, состоит из нейтронов с небольшой примесью протонов и электронов. Пока плотность ЯМ не превышает
(
-
плотность свободной ЯМ), для расчета уравнения состояния применим метод Бракнера-Бете-Голдстоуна, основанный на теории возмущений [22]. При
расчеты
ведутся
с
помощью
вариационного
принципа,
разработанного Пандарипанде [537]. При больших плотностях учитывается
рождение тяжелых гиперонов [9] и возможное рождение
-мезонов
(пионная конденсация [158]). Расчеты уравнения состояния ядерной материи при табл. 9
из
выполнены при различных допущениях в [275, 479]. В [479]
приводится
уравнение
состояния
для
наиболее
реалистического варианта с параметрами потенциала взаимодействия, учитывающими экспериментальные данные из ядерной физики высоких энергий, а также рождение гиперонов. Возможное появление пионной конденсации слабо влияет на уравнение состояния [275]. Следует иметь в виду, что с ростом плотности все более возрастает неопределенность наших знаний о физике сильных взаимодействий и менее точными становятся методы расчета. В связи с этим даже в реалистическом варианте из табл. 9 погрешности могут достигать ~ 50%. Как отмечалось впервые Я.Б. Зельдовичем [103, 110], требование принципа причинности о том, что скорость звука света
не должна превышать скорость
, накладывает ограничение на уравнение состояния
.
Важность этого ограничения связана с тем, что оно действует при сколь угодно больших плотностях, где о свойствах ядерных взаимодействий известно очень мало.
Таблица 9. параметры больший
Реалистические вещества плотности
из
при [479]
1.0 (38)
12.6
1.70 (14)
1.19 (33)
1.5 (38)
16.6
2.55 (14)
2.93 (33)
2.0 (38)
21.2
3.42 (14)
6.00 (33)
2.5 (38)
26.0
4.31 (14)
1.09 (34)
3.0 (38)
32.2
5.21 (14)
1.83 (34)
4.0 (38)
46.9
7.04 (14)
4.09 (34)
5.0 (38)
64.4
8.95 (14)
7.61 (34)
6.0 (38)
83.7
1.09 (15)
1.26 (35)
7.0 (38)
109
1.31 (15)
1.99 (35)
8.0 (38)
134
1.54 (15)
2.85 (35)
9.0 (38)
160
1.76 (15)
3.71 (35)
1.0 (39)
189
2.01 (15)
4.02 (35)
1.1 (39)
215
2.26 (15)
5.02 (35)
1.25 (39)
254
2.66 (15)
6.76 (35)
1.4 (39)
295
3.08 (15)
8.81 (35)
1.5 (39)
324
3.37 (15)
1.03 (36)
1.7 (39)
383
4.00 (15)
1.38 (36)
2.0 (39)
475
5.04 (15)
2.02 (36)
2.5 (39)
639
7.02 (15)
3.40 (36)
3.0 (39)
814
9.36 (15)
5.20 (36)
место
асимптотические
При
имеют
формулы
, , .
г) Учет конечной температуры. Учет температурных эффектов при плотностях, когда существенно ядерное взаимодействие, сделан для
с помощью обобщения методов,
применявшихся при исследовании холодного вещества [465] (см. также
[314]). В равновесии рассматривались протоны, нейтроны, ядра гелия, один тип тяжелых ядер, для которых находился минимум полной энергии. Ввиду свободного улета нейтрино и отсутствия равновесия по бета-процессам, . Выражения всех видов энергии,
задавалось отношение входящих в
из (4.6) и из (4.8), записывались с учетом температурных
поправок и к
добавлялась энергия движения ядер, связанная с конечной
температурой, а также энергии ядер гелия. К независимым величинам, которые
являются
аргументами
температуре добавляются
функции
в
(4.6),
при
конечной
-концентрация свободных протонов и
-
концентрация ядер гелия, которая определяется из условия равновесия относительно разбиения на протоны и нейтроны типа (3.3), но с учетом конечного
объема
(задаваемого)
ядер
гелия.
Для
определения
добавлялось условие равновесия по обмену протонами между ядрами и протонами в газе. На рис.8 из [456] представлены химические свойства при . Интересно, что при
больших температурах и плотностях для больших плотностях
, когда ядра начинают занимать
больше половины объема, вместо ядер, погруженных в менее плотный нуклонный газ, возникают шарики менее плотного вещества (пузыри), погруженные
в
более
плотную
ядерную
материю.
Важный
вывод,
следующий из данных расчетов, состоит в сохранении ядер до очень , что является следствием учета
высоких температур
ядерных взаимодействий и влияния окружающего газа на свойства ядер. В [456] отмечалось, что диаграмма на рис. 8 мало чувствительна к изменению в
пределах
.
Учет
различных
типов
тяжелых
ядер,
одновременно присутствующих в равновесии [346], также слабо влияет на полученные результаты [456]. На рис. 9 и 10 из [456] приведены изэнтропы вещества и зависимость показателя адиабаты
для этих изэнтроп.
Видно, что существование ядер заметно уменьшает
по сравнению с
нуклонным газом при ненулевой энтропии. Как видно из рис. 8, при плотности, больше ядерной, вещество всегда однородно.
Рис. 8. Химические свойства вещества при высоких температурах и плотностях для ядер
= 0,25 из [456]. Сплошная линия ограничивает область, где весовая доля > 0,1, а в области внутри штриховой линии
штрих-пунктирной линии весовая доля гелия
> 0,5. В области внутри > 0,15. Тонкие сплошные
линии задают массы ядер. Заштрихована область существования пузырей. Пунктирная линия определяет границу устойчивости однородной материи относительно разбиения на две фазы
Рис. 9. Адиабаты с указанными значениями безразмерной энтропии (в единицах = 0,25 (сплошные линии) и
= 0,35 (пунктирные линии), из [456]. Линии
= 0,1 и
) для = 0,5
имеют тот же смысл, что и на рис. 8. При > 1012 г/см3 вещество непрозрачно для нейтрино и сохраняется величина
- лептонный заряд на один барион. Указана также траектория центра
звезды при коллапсе, полученная Арнеттом [255a]
Рис.
10.
Зависимость показателя адиабаты
указанных значений безразмерной энтропии штриховых линий кривые
(см. рис. 9) при
от плотности
для
= 0,25 из [456]. В области
приведены сглаженными без некоторых несущественных деталей
Энергия Ферми идеального нейтронного газа, определяемая аналогично (2.21), есть
(4.10)
имеем
При
и
.
Максимальные
температуры, достигаемые при гравитационном коллапсе, обычно не , поэтому при
превышают
температурные поправки к
уравнению состояния несущественны. д) Неравновесная нейтронизация при увеличении плотности в холодном веществе. Равновесие по ядерному составу достигается в веществе при высоких температурах, когда открыты все каналы реакций. По мере остывания, большинство каналов реакций закрывается и в холодном веществе достижение СМЭ, строго говоря, невозможно. Вещество при малых температурах всегда находится в неравновесном состоянии, однако степень не равновесности и характер ее зависят от пути, которым вещество пришло к состоянию с данными
и
. В [60, 61, 287] рассмотрены два
возможных пути: сжатие холодного вещества и остывание вещества при данной плотности с неравновесными составами, возникающими при этом. Рассмотрим сжатие холодного вещества. Пусть при малых состоит из самого стабильного элемента
вещество
и медленно сжимается при
температуре, близкой к нулю. Когда плотность достигает величины , захват электрона ядром
, 7.
становится
энергетически
выгодным
Ввиду меньшей устойчивости нечетно-
нечетных ядер, за первым захватом сразу следует второй и идет цепочка реакций (4.11) Для второй реакции из (4.11) величина
[99]. При
она проходит неравновесно и сопровождается нагревом ([56], см. гл. 5), которым пренебрегаем ввиду того, что он не влияет на формирование химического состава. После образования
в ходе дальнейшего сжатия
становятся энергетически выгодными превращения
и
т.д., пока не образуется ядро с энергией отрыва последнего нейтрона, . После этого повышение плотности и захват
близкой к нулю
электронов сопровождаются холодным испарением нейтронов из ядер и уменьшением
наряду с
. Ввиду различия в свойствах четных и нечетных
ядер, часть испаряющихся нейтронов уносит энергию
1 МэВ/нейтрон,
идущую на нагрев вещества [78]. В процессе неравновесной нейтронизации число ядер, приходящихся на один барион, не меняется. Если данной
плотности
- атомная масса начального ядра, то при
концентрации
ядер
и
электронов
(с
учетом
электронейтральности) запишутся в виде
(4.12)
, а плотность
Здесь масса ядра приближенно принята равной полная нейтронов при
концентрация заряд ядра
барионов.
До
начала
,
испарения
остается постоянным в интервале
плотностей, где выполняется неравенство (4.13) Когда первое соотношение в (4.13) обращается в равенство, начинается очередной захват электрона при постоянных
и
в интервале плотностей
: (4.14)
Свойства вещества при холодной нейтронизации до начала испарения нейтронов приведены в табл. 10, где использовались ядерные данные из
[379]. После начала испарения нейтронов концентрация их определяется соотношением
(4.15)
Испарение нейтрона из ядра при наличии свободных нейтронов допустимо, если энергия вылетающих нейтронов превышает их энергию Ферми (4.10). Условие испарения после очередного захвата электрона в условиях (4.14) запишется в виде (4.16) Ввиду колебания функции
в зависимости от четности
и
,
протекает сразу цепочка реакций
(4.17)
где
для различных ядер [560]. Расчет неравновесной
нейтронизации с испарением нейтронов по системе уравнений (4.12)-(4.16) проводился в [78] с энергией связи по формуле Вейцзеккера, а в [560] с учетом ядерного взаимодействия нуклонов и вычислении энергии связи по методике работы [265] при дополнительном учете влияния ядерных оболочек. Результаты этих расчетов приведены в табл. 10.
Таблица 10. Свойства вещества при холодной
;
нейтронизации ядер
0.012
0.14
0.57
1.6
3.098
3.9
5.01
6.17
6.233
7.24
7.664 9.689
железа
56;
3.81
0
5.5 (-4)
0
8.83
0
0.014
0
14.0
0
0.080
0
19.3
0
0.28
0
23.84
0.069
0.569
3(-4) (6.5)
25.2
0
0.73
0
26.98
0
0.933
28.85
0.09
1.20
29.52
0.232
1.25
29.19
0.26
1.29
29.66
0.468
1.41
0.0344 (3.6)
36; 30.47
0.693
1.75
0.0921 (4.1)
24 56; 22 56; 20 56; 18 54; 18 56; 16 56; 16 54; 16 48; 16 46; 16 42; 14
0.0059 (5.7)
12 10.1
10.23
12.1
12.88
14.13
14.88
15.0
16.8
17.43
19.2
22.2
25.65
56; 14 40; 12 48; 12 35; 10 32; 9 30; 10 40; 10 36; 9 24; 8 32; 8 28; 7 18; 6
31.78
0
1.97
0
31.00
0.44
1.66
32.06
0.43
2.07
31.60
0.58
1.86
31.47
0.65
1.86
31.36
0.987
2.12
0.422 (4.5)
32.35
0.79
2.25
0.13
32.50
0.9
2.38
0.23
32.47
1.41
2.48
0.537 (5.2)
32.64
1.22
2.59
0.39
32.78
1.49
2.88
0.65
33.47
2.04
3.57
1.36 (6.0)
0.029
24;
26.3
6 12;
44.12
4
32.92
1.82
3.35
1.07
35.38
2.52
6.06
3.31 (7.8)
- полное давление,
- давление нейтронов; слева в столбцах даны
результаты из [78], справа - из [560], где
не приводится. В середине даны
результаты расчета с использованием таблиц [379, 135] до начала испарения нейтронов и формулы (4.20). В последнем столбце в скобках дана при
температура
образовании
данного
состава
за
счет
неравновесных -захватов из [78].
В [560] отмечена важность пикноядерных реакций в ходе холодной не равновесной нейтронизации ввиду того, что скорость этих реакций быстро растет с ростом плотности (см. гл. 4). При , образующиеся из ядер
ядра с
, сливаются и после захвата
двух электронов и испарения восьми нейтронов, образуются ядра с . В [560] не рассматривался тепловой эффект этой и последующих реакций слияния. Холодная неравновесная нейтронизация доведена до из табл. 8 или
с образованием ядра
(ср. с ядром
из рис. 7 для равновесного состава при
той же плотности). Не исключено, что выделение тепла при пикноядерных реакциях с последующим быстрым неравновесным захватом электронов и испарением нейтронов может достаточно повысить температуру для установления ядерного состава, близкого к равновесному. Энергия отрыва последнего протона (4.18)
на границе
исследовалась П.Э. Немировским, оценки которого
приведены на рис. 11. Грубо эта зависимость аппроксимируется формулой [61] (4.19)
Рис. 11. Энергия отрыва протона границе
существования
с
в зависимости от =
0.
Зависимость
дня ядер, лежащих на построена
согласно
количественным оценкам П.Э. Немировского Пренебрегая
энергией
Ферми
свободных
нейтронов
нейтронизация с испарением нейтронов идет вдоль линии
и
считая,
что
, получим
из (4.14) с учетом (2.21), (4.12) и (4.19) соотношение для определения
,
: (4.20)
Здесь учтено, что
МэВ,
МэВ. Расчеты с
использованием (4.20) также приведены в табл. 10, откуда видно, что различие в давлении
для всех трех способов не превышает 20%. В то
же время это давление более чем в полтора раза превышает равновесное давление при той же плотности (табл. 7). е) Неравновесный состав при остывании горячего плотного вещества. Когда температура в остывающем веществе станет меньше
,
реакции между заряженными частицами резко замедляются и концентрация ядер замораживается. В этих условиях возможно протекание реакций с нейтронами, фотоотщепление и захват нейтронов,
распады при
и
-захваты при
. В условиях кинетического равновесия по бета-
процессам (3.6) с
, в веществе имеется большой избыток свободных
нейтронов [224]. При конечной температуре ядра могут присоединять нейтроны и отщеплять их, если (4.21) В
условиях
избытка
процесс
нейтронов
формирования
неравновесного химического состава при быстром остывании вещества представлен на рис. 12 из [61, 287]. Плоскость три области: I область с II область с III область с
, ,
. ,
.
для ядер разбита на
Рис. 12. Образование химического состава при остывании на стадии ограниченного
равновесия.
отделяет
Линия
область
, разделяет область I, где невозможно
существования ядер. Линия
фотоотщепление нейтронов, и области II и III. Штриховые линии - уровни постоянного
. В области I
,
, в области III
,
, в области II . Линия со штриховкой
справа отделяет область деления и альфа-распада. Заштрихованная область abed определяет границы значений (A, Z) при ограниченном равновесии с данными
и
При высокой концентрации нейтронов существующие ядра быстро перейдут из области I в области II и III из-за нейтронного захвата. В областях II и III имеется равновесие по отношению к захвату и отщеплению нейтронов. В области II бета-распады приводят к росту Z и ядра переходят в область выше линии
. В области III бета-захваты уменьшают
область ниже линии равновесия при
и переводят ядра в
. Таким образом, в условиях ограниченного , когда температурные эффекты не влияют
на бета-процессы, ядерный состав определяется узкой областью aecd на плоскости
(рис. 12). Выход за пределы этой области не происходит из-
за отсутствия допустимых бета-процессов и фотоотщеплений нейтронов. При
остается только одно ядро на границе (4.16).
Если пренебречь
и учесть (4.18) и (4.19), то ядерный состав можно
приближенно найти из соотношений, аналогичных (4.20), (4.22)
Зависимость
при
приведена
на
образуется ядро с
рис.
, обладающее
образуется ядро с
при
13.
, а
, для которого
и [164] время деления, зависящее от лет.
При
величина
При
растет,
а
, есть
время
деления
уменьшается. Ядерное деление, а также альфа-распад приводят к росту числа зародышевых ядер. Таким образом, при
или
состав
в
может
приблизиться
к
равновесному
химический состоянии
СМЭ.
Существенная неравновесность при остывании возможна только при .
Рис.
13.
неравновесного остывании
из
(4.22)
для
образующегося
при
Зависимость состава,
плотного
Крестиками
вещества,
указаны
для
примерные
=
1/2.
границы
неравновесности Отличие неравновесности, образующейся при остывании, от той, которая образуется при холодной нейтронизации, имеется, в основном, при меньших плотностях, где для горячего случая получаются очень большие , см. табл. 10 и рис. 13. В то же время в обоих вариантах имеются принципиальные отличия от СМЭ, где
увеличивается с ростом
плотности, в то время как в обоих неравновесных составах
быстро
падает с ростом плотности. ж)
Термодинамические
взаимодействия.
свойства
Кулоновские
вещества
при
взаимодействия
в
учете
кулоновского
обычном
веществе
являются основными, определяющими агрегатное состояние, степени ионизации и поправки к термодинамическим функциям. В разреженных газах
взаимодействия
в
основном
локализованы
внутри
атомов
и
неполностью ободранных ионов. При нахождении степени ионизации по формуле Саха (1.8) происходит приближенный учет этого взаимодействия. Основным
параметром,
характеризующим
разреженных газах, является величина температуры и росте
степень
ионизации
в
(см. 1). При уменьшении
газ становится нейтральным, а затем, когда
тепловая энергия станет меньше энергии взаимодействия между атомами, превратится сначала в жидкое, а затем в твердое кристаллическое тело с упорядоченной структурой, обладающей минимумом энергии8. При сжатии вещества
среднее
уменьшается9 и при
расстояние
между
атомами
становится порядка размера атома
модели Томаса-Ферми (ТФ) [555],
в
- Боровский радиус. При
начинается ионизация давлением. Вещество становится полностью ионизованным при
. когда межэлектронные расстояния становятся
порядка радиуса ближайшей к ядру электронной орбиты Плотность
[71].
находится с учетом (2.21) из соотношения
(4.23)
- постоянная тонкой структуры. Аналогично для плотности имеем
(4.24)
Отметим,
что
при
полная
ионизация
давлением
происходит при нерелятивистских электронах. Для железа , Рассмотрим
имеем
.
фазовые
термодинамическим
превращения
функциям
в
и
кулоновские
плотном,
полностью
веществе. В виду малости параметра
поправки
к
ионизованном поправки при
можно находить методом последовательных приближений [3,555]. Основную
поправку
электростатическое
к
кинетической
взаимодействие
энергии
ионов
в
электронов
решетке
и
дает
свободных
электронов между собой, а также обменное взаимодействие электронов. В первом
приближении
электроны
можно
считать
расположенными наиболее
однородно. Энергия электростатического взаимодействия просто
рассчитывается
учитывается
только
в
приближении
взаимодействие
Вигнера-Зейца
ионов
и
(
электронов
),
где
внутри
сферической ячейки радиуса (4.25)
Энергия на одно ядро
в данном приближении есть [3, 555]
(4.26)
где радиуса
- суммарный электрический заряд электронов внутри , учтено также соотношение
10.
В [555]
учитывается поправка следующего порядка за счет неоднородности электронной плотности внутри ячейки в ТФ приближении. Эта поправка состоит из поправки к энергии Ферми электростатической энергии
:
и корреляционной поправки к
(4.27)
Последний член становится существенным при уменьшении плотности. Энергия обменного взаимодействия в общем случае есть [555]
(4.28)
В нерелятивистском пределе
приведена в [3]. Таким образом, основные
поправки к кинетической энергии холодного газа (2.22) за счет кулоновского взаимодействия для единицы массы равны с учетом (2.19)
(4.29)
Из термодинамического соотношения
,
находим поправку к
давлению (4.30)
где
Отсюда в предельных случаях имеем с учетом (2.32) и (2.33)
(4.31)
для
[555].
(4.32)
для
. Формулы (4.30), (4.32) применимы только для значений , при
которых качественно
. С уменьшением плотности кулоновское взаимодействие меняет
вид
уравнения
состояния.
В
[647]
приведено
приближенное аналитическое соотношение для уравнения состояния: (4.33) где (4.34)
,
при
уравнение состояния (4.33) сводится к (39.3).
В силу квантовых свойств вещества ионы в решетке при абсолютном нуле совершают колебания с частотой, определяемой взаимодействием с электронами. В
приближении возвращающая сила, действующая на ион
со стороны электронов в ячейке при отклонении от равновесия, есть
что приводит к частоте гармонических колебаний [125, 555] (4.35)
Нулевую энергию трехмерного осцилятора
следует сравнивать с
из (4.26). Имеем (4.36)
При
кулоновский кристалл разрушается уже при нулевой температуре
за счет квантовых колебаний. При этом необходимы слишком большие плотности
, так что в холодных звездах нулевые
колебания не разрушают кристаллической структуры. Более реальным является разрушение кристалла тепловыми движениями ионов [485, 620]. Плавление кристалла происходит при кинетическая энергия колебаний энергии
, когда
составляет ~ 1/150 от кулоновской
ячейки [544, 245, 578]11. Имеем с учетом (4.26)
(4.37)
Термодинамические свойства кристаллических тел хорошо известны [145]. При
малых
температурах
возбуждаются
только
степени
свободы,
соответствующие длинным волнам (малым частотам). Эти моды колебаний (фононы) обладают свойствами, аналогичными фотонному газу. Напротив, при больших температурах возбуждаются все возможные моды колебаний. При этом энергия колебаний кристалла в два раза больше кинетической энергии вещества в газовом состоянии при той же температуре. В общем случае для тепловой энергии ионной решетки на единицу массы справедлива интерполяционная формула Дебая [145]
(4.38)
- дебаевская температура кулоновской решетки [145, 620]. Здесь
-
частота ионных колебаний в кристалле (4.35). В предельных случаях функция
равна [145]12 (4.39)
Энтропия единицы массы и давление, связанные с ионным кристаллом, равны [145]
(4.40)
В предельных случаях (4.41)
В зависимости от соотношения между температурами
,
и
имеем
следующие состояния ионизованного вещества:
Квантовый
Классический Классическая жидкость Квантовая жидкость
(вырожденный) ионный кристалл
(неидеальная плазма)
кристалл
Плавление ионного кристалла при
сопровождается выделением
тепла, а при дальнейшем росте температуры происходит переход к идеальному газу с
. Согласно [544, 245, 578] приближение
идеального газа становится применимым при: (4.42) В промежутке
можно использовать интерполяцию. Вопрос о
теплоте плавления не вполне ясен. В [485] приводятся аргументы в пользу очень малой теплоты плавления при постоянных
и
. В [620] из других
соображений предполагается, что фазовый переход относится к первому роду и теплота плавления решетки при постоянных
и есть (4.43)
Строгого решения этой проблемы не сделано.
Наиболее сложен для количественного описания промежуточный интервал , где степень ионизации определяется как тепловой
плотностей
энергией, так и давлением. В ТФ приближении процесс ионизации холодного вещества давлением исследован в [126]. Оболочечные поправки приводят к скачкам давления при каждой последующей ионизации, при плотности
(4.44)
Зависимость немонотонной поправки к давлению от плотности задается формулой [126] (4.45)
где (4.46)
при
с периодическим продолжением вне этой области.
Скачки давления (4.45), возникающие при фазовым
переходам
электронов
постоянно,
Максвелла
(равенство
первого причем
рода.
и
В
окрестности
величина
площадей,
рис.
, соответствуют
14).
находится
давление по
Оболочечные
правилу эффекты
исчезают, согласно (4.44), при (4.47)
когда все уровни энергии уходят в непрерывный спектр. По физическому смыслу
из (4.24). Если принять, что при
релятивистскими с
, то получаем
электроны становятся и условие
для
применимости нерелятивистского ТФ-рассмотрения процесса ионизации [126].
Рис. 14. Схематическая зависимость давления от удельного
объема
при
эффектов.
Постоянные
учете уровни
оболочечных давления
находятся из равенства заштрихованных площадей Термодинамические свойства смеси водорода и гелия при конечной температуре с учетом взаимодействия и ионизации давлением изучались в [403]. Учитывались соединения температуры энергия
,
,
,
и полного числа ионов
,
в объеме
,
,
. Для данной
вычисляется свободная
в виде (4.48)
где
соответствует
идеальному
взаимодействие. Давление соотношений
газу,
, энтропия
a
отражает
и энергия системы
кулоновское находятся из
(4.49)
Кулоновское взаимодействие учитывается здесь также в виде поправок к идеальному газу (4.50) На основе ТФ теории с дебай-хьюккелевским потенциалом вокруг ядра (ТФДХ) имеем [403]
(4.51)
где
- функции Ферми из (2.49),
электронов,
- химический потенциал свободных
- дебаевский радиус (см. также (8.47)), и предполагается,
что все ионы имеют одинаковый средний заряд смеси с при
изменении
ионизованного,
, состава
величина от
полностью
. Для рассмотренной
меняется от единицы до 1.0811 нейтрального
до
полностью
- концентрация свободных электронов. С учетом (4.51),
поправки к термодинамическим функциям равны
(4.52)
Результаты ТФДХ рассмотрения верны при
(4.53)
В [403] ТФДХ теория применяется при результаты расчетов Монте-Карло, а при
, при
используются результаты обоих
методов интерполируются. Для определения степени ионизации используется уравнение Саха, в котором учитывается, в дополнение к (1.8), конечная степень вырождения свободных электронов, влияющая на их химический потенциал. Сдвиг уровней ионов и молекул при учете экранирующего ДХ потенциала приводит к уменьшению числа связанных состояний и уменьшении их глубины. Их учет в формуле Саха отражает ионизацию давлением. В целом, учет ионизации давлением сводится к сложной самосогласованной проблеме, в которой концентрация свободных электронов пе и ионов и,определяет ДХ радиус и потенциал, а те, в свою очередь, определяют концентрацию посредством сдвига уровней, входящих в уравнение Саха. Задача осложняется отсутствием аналитических решений для уравнения Шредингера с ДХ потенциалом [240], поэтому необходимы численные расчеты. Результаты таких расчетов, выполненных в [403], представлены на рис. 15 и 16. Таблицы уравнения состояния с учетом кулоновского взаимодействия, рассчитанные аналогичным способом, даны в [358].
Рис.
15.
Область
на
плоскости
,
где
рассчитывались
термодинамические функции [403]. Слева от линии велись по ТФДХ теории, справа от линии (см. (4.53)). Слева от линии и
линиями линии
= 0,1 расчеты
= 1,0 по методу Монте-Карло
водород и гелий частично ионизованы, между
водород ионизован полностью, а гелий частично, а справа от
оба ионизованы полностью, штрихами указаны линии постоянного , характеризующие вырождение, в невырожденной
значения плазме
.
Рис. 16. Отношение кулоновской поправки к давлению к полному давлению при
T = const. На каждой кривой указана величина
, для которой
Задача. Сделать гладкую интерполяцию уравнения состояния холодного вещества нейтронных звезд. Решение [14]. Гладкая с первой производной интерполяция уравнения состояния
из табл. 9 [479] определяется следующими формулами ( -
полная плотность массы-энергии с учетом взаимодействия):
,
(1)
,
Непрерывность производных
в точках
из (1) достигается с
помощью сглаживания в виде (2)
где
