Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах

1

ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997 - 2000 ГОДЫ»

Г. И. ПЕТРАШЕНЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ СИГНАЛЬНОГО ТИПА В УПРУГИХ СЕЙСМИЧЕСКИХ СРЕДАХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

СЕРИЯ УЧЕБНИКОВ ПО ПРЯМЫМ И ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

/7 i О ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1 9 9 7 - 2 0 0 0 ГОДЫ» САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

Г. и. ПЕТРАШЕНЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ СИГНАЛЬНОГО ТИПА В УПРУГИХ СЕЙСМИЧЕСКИХ СРЕДАХ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обу^аюшихея lib фйзйяеским специальностям

ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2000

У Д К 550.347 ББК 26.21 ПЗО Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. D.M. Бабич (С.-Петерб. отд-е Матсм. ип-та им. В.А. Стеклова РАН), докт. физ.-мат. наук, проф. B.C. Булдыреп (С.-Потсрб. гос. ун-т) Петрашеиь Г.И. ПЗО

Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах: Учебник. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. - 452 с. ISBN 5-288-02445-6 Учебник - тематическое учебиоо пособие повышенной сложности, первое из серии планируемых автором пособий по современной теории распространения сейсмических волновых нолей и ее приложений. Он посвящен всесторонне.му изучению основ динамической теории упругости в той ее части, которая сводится к волновым задачам сигнального типа. Сигнальное распространение волн, возбуждае.чое резко включаемыми воздействиями, содержит информацию об эффективно зондируемой среде. Поэтому учебник представляет основной интерес д л я сейсмологов, ориентирован на приложения в сейсмике и предназначен д л я студентов, магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области геофизики, но может также быть.интересен и специалистам.

Б Б К 26.21

Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 годы"

©

ISBN 5-288-02445-6

©

Г.И. Петрашень, 2000 Центр "Интеграция", 2000

Оглавление предисловие

9

Глава 1. Математический формализм и постановка задач в линейной теории упругости . §1. Основные положения математической теории упругости . . §2. Сводка обозначений и важнейших формул теории идеально упругих сред. Основные положения линейной акустики и линейной теории неидеальной упругости § 3. Постановка задач в динамической теории упругости. Единственность решения в классе функций со слг1быми разрывами § 4. О структуре тензора упругих параметров в случаях основных типов анизотропной среды и о классических моделях сейсмических сред Глава 2. Волновые поля сигнального типа. Поверхности разрывов (фронты) упругих волновых полей § 5. Слабые и сильные разрывы поля упругих смсщепий. Кинематические и динамические условия совместности § 6. Поверхности слабых разрывов как характеристические поверхности системы уравнений движения § 7. Условия совместности в проблеме распространения поверхностей сильных разрывов поля смещений § 8.

Правильные сильные разрывы и локально-плоские волны

Глава 3. Дополнения к общим положениям теории волновых полей §9. Обобщенные решения и представление о сосредоточенных источниках упругих возмущений § 10. Принцип взаимности в теории упругости и в сейсмической практике Глава 4. Вопросы математического аппарата теории распространения волновых полей §11. Сведения из вариационного исчисления и теории поля экстремалей § 12. Сведения из теории дифференциальных уравнегшй в частных производных первого порядка § 13. Дополнения и примеры (случаи однородных первой степени функций L{xk, ik) или Н{хк, Рк)) Глава 5. Источники волновых полей в изотропной однородной безграничной упругой среде § 14. Продольный и поперечный потенциалы § 15. Поле источника типа центра давлений 5

11 11

37

50

56

69 69 74 80 .

95 107 107 131 151 151 173 194 213 214 220

§ 16. Поля источников типа центров вращения. Фундаментальные решения Вольтерра и их применение 234 § 17. Решение задачи Коши для однородной и изотропной безграничной упругой среды. Формула Стокса 248 § 18. Физические следствия из формулы Стокса. Поля смещений основных точечных источников колебаний 263 Глава 6. Плоские и квазиплоские волны в изотропных упругих средах с плоской границей раздела 290 § 19. Сферические и плоские (однородные и неоднородные) волны. Отражение плоских волн от границы упругого полупространства. Явления полного внутреннего отражения . 291 § 20. Задачи на отражение—преломление плоских Bojni на границе раздела двух изотропных упругих полупространств (Решение методом Лемба и решение в составляющих поля смещений, как в случае анизотропных сред) 314 §21. О поверхностных волнах Релея и Стоунли в плоских задачах теории упругости 325 Глава 7. Плоские (и квазиплоские) волны в анизотропных упругих средах § 22. Общая теория плоских волн. Векторы поляризации, фазовые и лучевые скорости распространения. Однородные и неоднородные плоские волны § 23. Поверхности и кривые векторов рефракции и лучевых скоростей плоских волн. Основные их свойства и прикладное значение § 24. Задача на отражение-преломление плоских волн на границах раздела анизотропных полупространств. Полное внутреннее отражение и неоднородные плоские волны . . . . § 25. О поверхностных волнах на границах раздела однородных анизотропных yiipyi их полупространств

331

332

340

347 362

Глава 8. Л у ч и и фронты объемных волн. Описание волновых полей в прифронтовых зонах лучевым методом 367 § 26. Лучи и фронты объемных волн в анизотропных средах . . . 367 § 27. О лучевом методе количественной оценки волновых полей . 381 § 28. Лучевой метод и проблемы его применения в случае анизотропии упругих сред 402 Литература Приложение Summary

434 435 451

Contents Introduction

9

Chapter 1. Mathematical formalism and setting of problems in the theory of linear elasticity § 1. Basic statements of the mathematical theory of elasticity . . . § 2. Notation and the most important formulas of the theory of ideal elastic media. Basic statements of linear acoustics and the linear theory of nonideal elasticity § 3. Setting of problems in the dynamic theory of elasticity. The uniqueness of the solution in the class of functions with weak discontinuities § 4. The structure of the tensor of elastic parameters in the cases of basic types of the anisotropic medium and classical models of seismic media Chapter 2. W a v e fields of the signal type. Surfaces of discontinuity (fronts) of elastic wave fields . . . . § 5. Weak and strong discontinuities of the field of elastic displacements. The kincmatic and dynamic conditions of compatibility § 6. The surfaces of weak discontinuities as characteristic surfaces of the system of equations of motion § 7. The compatibility conditions in propagating the surfaces of strong discontinuities of the displacement field § 8 Surfaces of tame strong discontinuities and locally plane waves Chapter 3. Additions to general statements of the wave fields theory § 9. Generalized solutions and notions about the concentrated sources of elastic perturbations § 10. The reciprocity principle in the theory of elasticity and in the seismic practice Chapter 4. Some questions of the mathematical apparatus of the theory of wave fields propagation § 11. Notion from the calculus of variations and the theory of the field of extremals § 12. Notions from the theory of the partial differential equations of the first order § 13. Additions and examples (The cases of the homogeneous L(xk,Xk) or H{xk,Pk) functions of the first degree) Chapter 5. Sources of wave fields in the C£ise of the unbounded isotropic homogeneous elastic medium § 14. The longitudinal and transvers potentials § 15. The field of the source of the type of the center of pressures . . 7

11 11

37

50

56 69

69 74 80 95 107 107 131 151 151 173 194 213 214 220

§ 16. The fields of the sources of the type of the centers of rotation. The Volterra fundamental solutions and their application . . . § 17. The solution of the Cauchy problem for the unbounded homogeneous isotropic elastic medium. The Stokes formula . . § 18. Physical consequences from the Stokes formula. The displacement fields of basic point sources of oscillations Chapter 6. The plane and quasiplane waves in the isotropic elastic media with a plane interface . . . . § 19. The spherical and plane (homogeneous and nonhomogeneous) waves. The reflection of the plane waves from a boundary of the elastic half-space. Phenomena of the total internal reflection § 20. Problems on the reflection-refraction of the plane waves on the interface of two isotropic elastic half-spaces. (The solution in the form of the potentials of the Lamb method and the solution in terms of the components of the displacement field as in the case of the anisotropic media) § 21. The surface Rayleigh and Stoneley waves in plane problems of the theory of elasticity Chapter 7. The plane and quasiplane waves in the anisotropic elastic media § 22. General theory of the plane waves. The polarization vectors, the phase and ray velocities of propagation. The homogeneous and nonhomogeneous plane waves § 23. Surfaces and curves of the refraction vectors and the ray velocities of the plane waves. Their basic properties and practical significance § 24. The problem on the reflection-refraction of the plane waves on the interface of anisotropic half-spaces. The total internal reflection and nonhomogeneous plane waves § 25. The surface waves on the interfaces of the homogeneous anisotropic elastic half-spaces Chapter 8. The rays and fronts of the body waves. Description of wave fields in the front zones by the ray method § 26. The rays and fronts of the body waves in the anisotropic elastic media § 27. The ray method of the quantitative evaluation of wave fields . § 28. The ray method and problems of its application in the case of anisotropy of elastic media Literature Appendix Summary

234 248 263 290

291

314 325 331

332

340

347 362

367 367 381 402 434 435 451

Предисловие Предлагаемая книга — учебник повышенЕЮЙ сложности — первое из серии планируемых автором тематических пособий по современной теории распространения сейсмических волновых полей и ее приложений к сейс1мике. В нем всесторонне обсуждаются математические основы динамической теории упругости в той ее части, которая связана с распространением волновых полей сигнального типа и рассчитано на студентов старших курсов, бакалавров и магистров университетов. В основу его легли две книги автора, посвященные распространению волн в слоистых средах |1, 2], ставшие за двадцать лет своего существования библиографической редкостью, а также — выдержки из разделов « К у р с а высшей математики»акад. В.И. Смирнова, посвященных основам вариационного исчисления, теории ноля экстремалей и теории дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка. Достаточно близкое знакомство с такими разделами математики крайне полезно специалистам по теории распространения волн сигнального типа, составляющих сущность волновых полей, рассматриваемых в книге. Сигнальные волновые поля, возбуждаемые в средах резко включаемыми воздействиями, содержат информацию о строении зондируемой среды и об ее структурно-вещественных параметрах. Поэтому они и представляют интерес д л я сейсмической практики. Однако упомянутая информация может быть опознана, выделена и оценена на фоне помех только в таких случаях, когда исследователь имеет всестороннее представление о множестве процессов и явлений, с которыми волна может встретиться при прохождении ею различных участков исследуемой среды, о свойствах которой при исследованиях всегда делаются те или иные изначальные предположения. При этом получение объективного, научно-обоснованного представления о свойствах регистрируемых волновых полей, естественно, требует, во-первых, достаточно обстоятельного изучения закономерностей прохождения волнами различных частей моделей сред, адекватных модельным представлениям современной геофизики, и, во-вторых, — использования вычислительных средств в форме персональных компьютеров д л я придания выводам из теории ббльшей наглядности и количественной определенности. Последнее особенно важно в тех (все чаще встречающихся) случаях, когда прямые результаты теории волн выражаются плохо обозримыми формулами или громоздкими вычислительными алгоритмами, физический смысл которых остается невыясненным. Применение ко.мпьютеров в процессе изучения теории должно позволить доводить многие из таких результатов до числа, до наглядных графиков или приближенных качественных соотношений. Более того, такое применение позволяет сделать доступным и осязаемо-наглядным читателю (изучающему теорию) язык

дифференциальных уравнений, на котором выражаются практически все соотношения теории волн. А все это придаст теории волн более совершенную форму и более глубокое содержание, так как позволяет излагать в «численно-точной»и во вполне наглядной форме многие ее результаты, приводящие еще сейчас к затруднениям в количественном физическом описании. Подобные затруднения особенно велики, например, при описании процессов распространения волн в случаях встречающейся повсеместно анизотропии среды. И вот возникает общий вопрос, как избежать подобных затруднений и как заставить компьютер решать такие задачи, какие требуются в данной области науки. При этом под наукой следует понимать такую область знаний, в которой уже установлены те или иные (достаточные) соотношения-алгоритмы, связывающие изучаемые величины друг с другом некоторым внутренне-непротиворечивым образом. Д л я продвижения в количественном решении выбранной проблемы начинать, по-видимому, следует с анализа общности и различий в возможных алгоритмах решения конкретной задачи, возникшей в рассматриваемой области, с тем, чтобы выбрать из них оптимальное множество простейших алгоритмов, применение которых в том или ином (достаточном или оптимальном) логическом порядке приводит к количественному решению требуемой задачи. Не претендуя на общность, в качестве простейшего примера ситуации, относящейся к области теории волн, излагаемой в книге, можно назвать теорию плоских (или лучше — локально-плоских) волн. Ведь далее в тексте показывается, что при логически-разумном расщеплении процесса распространения волн сигнального типа на естественные его элементы, рассмотрение такой волны сводится к последовательному рассмотрению множества однотипных эле!^ентарных процессов распространения локально-плоских волн в соответственных условиях. Вследствие же этого естественно ожидать, что и общий алгоритм определения количественных характеристик волн сигнального типа сведется к рассмотрению последовательности логически-связанных однотипных алгоритмов оценки аналогичных же величин, относящихся к локально-плоским волнам. Подобным же образом дело обстоит прктически всегда, а не только в случае плоских волн и волн сигнального типа. Итак, при решении задач па количественную оценку волновых полей при помощи компьютера прежде всего нужно обращаться к детальному обсуждению логики алгоритмов, предоставленных теорией д л я решения требуемой задачи. На основании этого должен быть произведен отбор алгоритмов (при учете их качества и числа), достаточных (или оптимальных) д л я решения стоящей задачи. Л и ш ь после этого можно обращаться к воплощению алгоритма в компьютерную программу (или последовательность алгоритмов — в логически связанную последовательность соответственных программ). При этом обязательно нужно поинтересоваться, нет л и во множестве (готовых) стандартных программ какой-либо требуемой нам элементарной программы. Выяснение этого вопроса, по-видимому, не представит большого труда. Остается отметить, что, пользуясь изложенной тактикой, читатель сам уже сможет решать полезные количественные задачи па распространение волп в анизотропных упругих средах. При этом д л я оказания читателю посильной помощи в разделе « П р и л о ж е н и е » проводится краткое обсуждение нескольких алгоритмов, которыми ему уместно б ы л о бы здесь воспользоваться.

10

Глава 1. Математический формализм и постановка задач в линейной теории упругости Напоминаются основные понятия математического аппарата механики сплошных сред; выводятся уравнения движения и выписываются в линейном приближении различные дифференциальные и интегральные соотношения, полезные для изучения обш,их вопросов динамики упругих сред и ее приложений. Д л я облегчения ссылок на основания теории в § 2 приводится сводка всех необходимых формул и обозначений. Изложение ведется в рамках классических представлений о сейсмической среде, имеющей блоковое строение с границами раздела в виде математических поверхностей достаточно высокой гладкости. § 1. Основные положения математической теории упругости 1. Предполагая известным в общих чертах понятие «механическая сплошная среда и ее (термодинамическое) состояние», будем рассматривать такие сплошные среды, состояние которых определяется лишь вектором смещения материальных точек от положения их равновесия. Состояние среды до приложения к ней внешних воздействий буде.м называть "невозмущенным. Положение материальных точек в невозмущенном состоянии будем определять координатами {х, у, z) или радиус-вектором = х i Л-у j zk относительно произвольной фиксированной правовинтовой декартовой системы координат L с ортами i , j , к . Д л я удобства будем применять обозначения х = xi, у = Х2, z = хз, i = i i, j = i 2, к ш г 3.

11

Возмущения в среде будем описывать вектором смещений 3

it — и i + VJ + wk

(l-l-l)

определяющим отклонение материальной точки среды от се положения {х, у, z) в невозмущенпом состоянии. Функции it, и = и^ ^ = tti, f = Иу = U2 и ш = Uz = из зависят, вообще говоря, от координат X, у, ги времени t. Все необходимые для описания сплошной среды понятия и уравнения будем давать применительно к классу правовинтовых декартовых координатных систем, в которых вводимые понятия имеют наглядный физический смысл. При этом все рассматриваемые соотнощения будут иметь тензорный характер. Последнее обстоятельство дает очевидную возможность перехода к описанию рассматриваемых процессов в произвольных криволинейных координатах х[,х2,х'^ во всех случаях, когда это может понадобиться. 2. Если в фиксированный момент времени t = const оказывается it Ф it о + [Т^ X at], где ito и at постоянны, то говорят, что в среде произошли деформации. Для количественного описания деформаций рассматривают произвольную материальную точку М среды и (бесконечно) близкую к ней (материальную) точку М ' , положение которых Б невозмущепном состоянии определяется координатами (Жь Х2, Хз) и (Xi + dXi, Х2 + dX2, Хз + dxj). Взаимное расположение точек М и М' до и после деформации характеризуется соответственно векторами dl^ = dxi'ti

+

+ dx3^3,

dl^' = dl^ + dlt,

где 3

dlt = lt{xi

+dxu

••.,t)~

lt{xi,

X2, Хз, t) =

Q ^

'y—dxk+0{{drf).

В случае весьма малых dl^ вторым слагаемым правой части мож1ю пренебрегать, что дает dlt = ' ^ ~ d x „

(1.1.2)

причем производные здесь вычисляются в точке М{х\, Х2, хз). 12

Квадраты расстояний между точками М и М' до и после деформации соответственно равны dsl = dT^

=Y.dxl (1.1.3)

ds•1

_

E

dxi

+

^^^^dxk

i=l

= dsl + 2 Y1 Eikdxidxk, i,it=i

где Eik

=

8ui I 8m, I Y' du,. du^ a^i ^ dxi dXk

I dxk

(1.1.4)

r=l

при г, к = 1, 2, 3. Так как ds'^ и ds^ — инварианты в рассматриваемом классе преобразований координат, то 3

У ^ Eikdxidxk = ипв. i,k=l

Отсюда, а также из симметрии величин Ец^ = Ей, апедует, что выражение (1.1.4) представляет собой тензор 2-го ранга Этот тензор 'Напомним определение понятия «тензор». Пусть х'^ и xj^ (при а , А: = 1, 2, 3) координаты одной и той же физической точки М относительно произвольно выбранных координатных систем L ' и L рассматриваемого класса, причем предполагается, что имеют место одно-однозначные и ди(1)ференцируемые в М формулы преобразования координат х'^ = к х^ = x^ix'^)- Тогда совокупности величин В'°, A'i, А'"^) и А^, B ^ ( Д ^ ; , Л{, при Q, /3 = 1, 2, 3 и к,г = 1, 2, 3, заданных в точке М соответственно по отношению к системам L и L', определяют в точке М ковариантпый, контравариантный вектор (тензор второго ранга), если имеют место формулы преобразования дхк дх''

дХк

dxi

к=1

Aki,

В" дХк '

дХк дХг

i,k = l

i,k = l

В которых производные вычисляются в точке М . Следует помнить, что понятие «тензор» определено по отношению к некоторому классу преобразований координат, образующих группу в том смысле, что последовательное преобразование координат L —> L ' и V —> L" дает нреобра-

14

называют тензором деформации. В общем случае тензор деформации есть квадратичная функция от производных щ. Однако если выполняются условия

Ш

»

2

^

dur

dur

dxi

dxk

(1.1.5)

в которых положено 1 / dui duk = г I V 2 \дхк dxij '

(1.1.6)

то Eik ^Bik,

(1.1.7)

где £ik линейно относительно упомянутых производных. При этом выражение (1.1.3) переписывается в виде

ds'^ = dsg + 2 ^ Eikdxidxk. >,;с=1

(1.1.8)

Относительно класса афинных ортогональных преобразований координат таблица величин Eik из формулы (1.1.6) определяет симметричный тензор 2-го ранга, так как производные по координатам Хк от компонент щ вектора образуют, как известно, тензор. В нелинейной теории сплошной среды в качестве тензора деформации берут выражение (1.1.4). В линейной же теории предполагаются выполняющимися неравенства (1.1.5), вследствие чего под тензором деформации понимается выражение (1.1.6). Заметим, что в случае сплощной среды невырожденного типа (когда в ней не существует направлений, вдоль которых «размеры среды» пренебрежимо малы по сравнению с размерами среды по другим направлениям) условия (1.1.5) эквивалентны неравенствам дщ

<

дхк

1.

(1.1.9)

зование L —> L" для любых L, L', L" класса. В случае ортогональных преобразований координат ко- и контравариантные векторы (тензоры) не отличаются друг от друга.

14

Такие неравенства дают основания говорить о малости деформаций (1.1.6), а также о малости относительных смещений dlt материальных точек линейной деформируемой среды. 3. Для выяснения геометрического смысла компонент введенных тензоров рассмотрим материальные точки среды, заполнявшие до деформации прямоугольный параллелепипед, построенный на векторах dl^i = г idxi, = г tdx^, d'tz = г zdxz, с началами в точке М . После деформации эти материальные точки будут заполнять (косоугольный) параллелепипед, определяемый векторами dr^j = dl^i + dl^, т. е. dr'i =

+

-tkdxu

(1.1.10)

где Sik = 1 при i = к, 6ik = О при к — значок (символ) Кронекера. Длины таких векторов, очевидно, равны \dr\\ = y/\ + 2Eiidxu

(1.1.11)

где Eik имеет значение (1.1.4). Углы же aik = 7г/2 — ifiik между векторами (1.1.10) определяются формула.ми (при i Ф к) {dl^'i, d-t',)

2Eikdxidxk

При малых деформациях, когда выполняются равенства (1.1.5) или (1.1.9), имеет место соотношение (1.1.7) и 1, вследствие чего равенства (1.1.11) и (1.1.12) переписываются в виде

2sikdxidxk

„

Таким образом, при условиях (1.1.5) или (1.1.9) величины £ц характеризуют относительное удлинение векторов dT^k = г kdxk при деформации, а 2eik (при г ф к) определяют углы поворота этих векторов. Если ввести в рассмотрение антисимметричный тензор = 2

15

то формулу (1-1.2) можно переписать в виде 3

3

dui = ^ Eikdxk + ^ Uikdxkк=1 к=1

(1-1-2')

в случае etk = 0в точке М (что для линейной среды выражает условие отсутствия деформаций в точке М) для относительного смещения материальных точек М w М' будем иметь 3 dui-'^cjikdxk к=1

или

dlt =—[d'^

X rot it],

Это означает, что элементы среды, прилегающие к точке М , кроме, возможно, параллельного смещения (т. е. переноса, при котором, конечно, dlt — 0), испытывают поворот как целое. Тензор (1.1.13) поворотов не играет заметной роли в линейной теории сплошной среды. Что же касается тензора деформаций dk из выражения (1.1.6), то он оказывается одним из основных ее элементов. Полезно отметить, что если в области V сплошной среды поле смещений i t непрерывно вместе со всеми первыми частными производными и имеет вторые производные, то из условия = Ов области V элементарно следует формула it = #0 +

X Tit],

в которой ito и zt постоянны. Таким образом, указанное условие является необходимым и достаточным для того, чтобы среда, заполняющая область V, испытывала ашшь поступательное и вращательное движение как целое. Мы определили понятие деформации сплошной среды посредством тензоров (1.1.4) или (1.1.6) относительно класса афинных ортогональных преобразований координат, и во всех таких координатах компоненты тензоров имеют указанный геометрический смысл. В любых других (не декартовых) координатных системах тензоры деформации можно определить на ос?юве формул преобразования тензоров той или И1ЮЙ размерности. Однако при этом компоненты тензоров в таких системах уже не будут иметь указанного геометрического смысла. Тензорная (точнее, ковариантная) запись уравнений и любых соотношений теории сплошной среды обладает многими

16

преимуществами (однако далеко не столь серьезными как, например, в электродинамике). Одно из ее преимуществ состоит в простоте перехода от описания процессов в одной координатной системе к другой, а также в простоте получения различных инвариантов относительно преобразований координат. Так, например, из тензорт^гх свойств таблицы величин Sik (1.1.6) следует инвариантность выражений 3

3

г=1

г,к=\

£ik£ik

ИТ. д.

(1.1.14)

относительно афинных ортогональных преобразований координат. Наконец, следует отметить, что в линейной динамической теории упругости сложилась традиция называть тензором деформации не величины Eik из выражения (1.1.6), а величины e.ik из равенств дщ eii=£ii = ^ , dxi

eifc =

дщ duk = — +-—, dxk oxi

. , , г //г.

/1 1 1-Ч (1.1.1о)

Конечно, таблица Cik не определяет тензор 2-го ранга. Однако от названия величин etk тензором особых неприятностей не происходит. Следует только помнить, что настоящим тензором является Sik, связанный с Cik (в декартовой системе координат) соотношсния.ми (1.1.15). Инварианты (1.1.14) тензора выражаются через Cik следующим образом: Ii = ец -f 6-22 + езз = шш, (1.1.14') /а =

+ е|2 + е§з -Ь

+ efg + е^з) = ипн.

4. При установлении понятий «вектор смещений»и «тензор деформаций» мы фиксировали некоторую декартову систему координат L и рассматривали (произволыю выбираемую) материальную точку М, которая до деформации занимала положение (х, у, z) относительно L. В результате были определены функции lt{x, у, z, t), Eik{x, у, z, t), eik{x, y,'z, t) и т. д., зависящие в динамике также и от времени t. Переменные х, у, z в таких функциях являются как бы номером рассматриваемой точки среды и не определяют ее положения в деформированном состоянии. Такие переменные нгоываются субста1щиональными, а описание среды в координатах х, у, z называется лагранжевым.

17

Однако в некоторых ситуациях удобнее применять другой способ описания движения сплошной среды, восходящий к Эйлеру. В нем рассматриваются произвольно выбираемые фиксированные точки X — у = Tj, Z — ( системы координат L (той же самой, что и ранее) и изучаются такие материальные точки среды, которые в рассматриваемый момент времени t имеют координаты т], С- При этом в эйлеровом описании понятие «вектор смещений»не играет обычно существенной роли, так как движение среды характеризуют вектором 77, t), определяющим скорость перемещения той материальной точки, которая в момент времени t имеет координаты 77 и (Заметим, что по вектору можно определить тензор, аналогичный (1.1.4), называемый тензором скоростей деформации). Не задерживаясь на последовательном описании процесса движения сплошной среды с точки зрения эйлеровых или лагранжевых координат, установим лишь связь между такими описаниями в случаях, когда она существует. Если для лагранжевых координат сохранить обозначения х = — XI, у = Х2, Z — хз, а, эйлеровы координаты описания среды обозначить посредством ^ = ^i, = С= то из понятия «вектор смещений l / » вытекают равенства ^i^Xi+Ui{xuX2,X3,t),

г = 1,2,3.

(1.1.16)

Чтобы формулы (1.1.16) устанавливали одно-однозначное соответствие между Хг и ^к при t — const, необходимо и достаточно, чтобы О<

д{Х1,

Х2,

дхк

Хз)

<оо.

(1.1.17)

Если неравенство (1.1.17) выполняется, то, разрешая урав5«ение (1.1.16) относительно Хг и представляя результат в виде =

г = 1,2,3,

(1.1.16')

получаем эйлерово представление для компонент С/,- вектора смещений. Заметим, что формула (1.1.16') определяет координаты ж,певозмущеппого состояния именно той материальной точки, которая в момент времени t имеет относительно рассматриваемой системы L координаты, равные Нам понадобится выражение для скорости и ускорения lit

18

материальной точки в лаграпжевых и эйлеровых координатах ^ . Чтобы их получить, фиксируем материальную точку значениями Xi ее лагранжевых координат и воспользуемся формулами (1.1.16) и (1.1.16'). Дифференцирование по t равенств (1.1.16) дает

что очевидно соответствует представлению проекций векторов i t и И^ на оси системы L при лагранжевом описании. Если же продифференцировать по t выражение (1.1.16'), то сначала получится

dt ~

dt

дь

dt '

или

Е Такие соотношения можно рассматривать как линейные алгебраические уравнения относительно Vk- Определитель системы, имеющий значение, обратное определителю (1.1.17), отличен от нуля, вследствие чего из равенств (1.1.19) определяются выражения для компонент скорости i f в эйлеровом описании (1.1.20)

явный вид которых нам не понадобится. После же того как функции (1.1.20) найдены, для ускорения материальной точки М в эйлеровом описании получается выражение

Заметим, что применительно к нелинейной теории сплошной среды, в которой не выполняются условия (1.1.5) или (1.1.9), изложенные соображения следовало бы несколько углубить и расширить. Однако пас будет интересовать в дальнейшем лишь линейная теория ^При лагранжево.ч описании, например, Vi — V i ( x i , x j , жз) определяют (относительно системы L ) составляющие скорости движения элемента среды, находящегося в момент времени t в точке с координатами f j из формулы (1.1.16).

19

упругости, для которой предыдущее нужно только для того, чтобы произвести более логичным образом вывод основных уравнений движения. Для этих целей приведенных соображений оказывается вполне достаточно. Полезно только подчеркнуть, что если выполняется условие (1.1.9), то соотношение (1.1.17), лежащее в основе сопоставления лагранжева и эйлерова способов описания, естестветю выполняется. 5. Перейдем к определению следующего важнейшего понятия механики сплошной среды — понятия «тензор напряжений». Ко.мпоненты этого тензора мы будем рассматривать как функции пространственных координат относительно выбранной фиксированной системы L и времени t. Если обозначать упомянутые пространственные координаты посредство.м ^ = f i , ту = С = ^З; то можно будет считать эйлеровыми координатами материальных точек среды, в которой возникают напряжения. Под системой L мы будем подразумевать произвольную правовинтовую декартову координатную систему. Однако все результаты п. 5 окажутся справедливыми и в случае любых ортогональных систем координат. Пусть в фиксированный момент времени t в точке Mq = (f, t], Q пространства, заполненного средой, выбрана бесконечно малая площадка dcr с нормалью it. Материал среды, расположе1Н1Ый по положительную сторону площадки (т. е. по ту ее сторону, в которую направлена нормаль it), действует на материал по другую сторону площадки с силой, плотность которой t^ = tnl4 + tn2^ + tnS^ называется векторо.м напряжений в точке Мо на площадке da с нормалью rt. Здесь = i , i-2 = j , is = к обозначают взаимно ортогональные координатные орты в точке МоПолагая последовательно it = {ii, i-2, is), получаем три координатных вектора напряжений в точке Mq: t i ^ ^ U j l ,

г = 1,2,3.

(1.1.22)

Если считать tik непрерывными функциями от г/, С и построить в точке Мо бескопеч1Ю малый тетраэдр с ребрами, параллельными координатным ортам в точке Л/о, и с ббльшей гранью, имеющей нор-

20

Мс1ль rf, ТО ИЗ условия равновесия тетраэдра следует равенство ' 3

tti = i T c o s n f i + i2 cosn^2 + ТзСОЗП^з = ^ ^ t k cosn^k,

(1.1.23)

k=l

из которого, как известно, вытекает тензорный характер таблицы величин tik из выражения (1.1.22) но отношению к любым ортогональным преобразованиям координат. Нетрудно доказать симметрию таблицы величин tik из выражения (1.1.22). Это можно было бы сделать лишь в предположении непрерывности tik от координат f i , и fa путем элементарного рассмотрения условий равновесия «по моментам» бесконечно малого параллелепипеда, построенного на ортах г'], г2 и г.з в точке Mq. Однако целесообразнее исходить из более сильных предположений о свойствах гладкости ti^ и применять способ, 0С1Юванный на использовании теоремы Гаусса, к которой часто придется обращаться в последующем. Чтобы провести такое доказательство, будем предполагать, что tik непрерывны и имеют интегрируемые частные производные по f , Г), С. Введем (временно) в рассмотрение векторы 3

г = 1,2,3,

(1.1.22')

к=\

отличающиеся от векторов (1.1.22) лишь те.м, что таблица их ко.мпонентов tik является транспонированной по 0т1юшению к таблице из выражения (1.1.22). Нетрудно видеть, что это позволяет переписать формулу (1.1.23) в следующем виде: 3

tn = (in cosnfi -Ь t2i cosnf2 + tsi c o s n f a ) ^ + ... = ' ^ { t t * l t ) i t . k=l

(1.1.23') Вследствие тензорного характера величин tik доказательство симметрии tik достаточно провести в какой-либо одной системе коорди^Из-за бесконечной малости тетраэдра в у м о в и я х равновесия нет нужды учитывать массовые силы, действующие на элементы среды. Они дают эффект более высокого порядка малости. От.четим, что здесь и далее всюду д л я косинусов у г л а между нормалью 7t и координатными осями О^^, Охк и т. п. приняты обозначения cosn^k-

21

нат L. Фиксируя L, выберем в ней произвольную область V эйлеровых переменных ^ = = С = ^з, содержащую точку М и ограниченную гладкой поверхностью S с внешней нормалью it. На материальную среду, заключенную в область V, со стороны внешней среды действуют поверхностные силы t^dS. Кроме того, на внутренние элементы выделенной среды действуют некоторые объемные силы с обш,ей плотностью которую мы будем также предполагать интегрируемой. Под действием всех таких сил среда, заключенная в области V, в каждый момент времени t должна находиться в (динамическом) равновесии. Поэтому, в частности, момент всех сил (приложенных к элементам нашей среды) относительно любой точки О = (^0, Vo, Со) должен равняться нулю, т. е. x ' P ] d V = ^ 0. {S}

(V)

Обозначая через М' = т]', С) переменную точку интегрирования, рассмо^им проекцию выписанного равенства, например, на направление i i , причем учтем равенство (1.1.23'). Так как + (г]' - Vo)it + (С - Co)ll,

=

[У

X

= (7?' - 7?O)F3 X

= iv' - r]o){tl*lf)

(С - Со)^'2,

it] =

- (С' - Co){tl*Tt)

= [Ы - vo)tt* - (С' -

d i v [ ( 7 ? ' - ; ? o ) I ? * - ( C ' - C o ) i | * ] = <23-f32 +

(V-'?o)cliv?^*-(C'-Co)divll*,

TO применение теоремы Гаусса дает

III

{t23 -

<32 +

{ri' - Vo)[diytt*

-f F s ] - ( C - C o ) [ d i v t ^ * -b F j ] }

dV =

0.

(V)

(1.1.24) Такое равенство должно выполняться, в частности, если в качестве точки О = (^0, ??о, Со)) относительно которой вычисляется момент всех сил, взята интересуюш,ая нас точка М = ту, При таком выборе точки О величины ту' — tjo = — и — Со = С ' ~ С имеют значения, сравпи.мые с линейными размерами объема V. Поэтому

22

если в дополнение к исходному предполагать, например, ограниченность выражений divfjt* + Fk, разделить равенство (1.1.24) на величину объема V и рассмотреть процесс, при котором объем V стягивается к точке М , то в пределе из равенства (1.1.24) получается ^23 (4, С> t) — ^32(С, С) t)- Аналогично устанавливаютя и остальные соотношения tik = tki

(1.1.25)

симметрии таблицы tik в любой точке т?, Q) = (^i, ^з) рассматриваемой среды. Из соотношения (1.1.25) вытекают равенства t). — tk для векторов (1.1.22) и (1.1.22'), позволяющие переписать формулу (1.1.23) в следуюш,ем окончательном виде: 3

3

C =

= ;t=i

(1.1.26) k=i

Остается лишь отметить, что, исходя из формул преобразования компонент тензора 2-го ранга, можно распространить понятие тензора напряжений на произвольный класс преобразований координат. Однако это, конечно, будет сопряжено с потерей наглядного физического смысла компонент тензора. Вследствие этого переход к неортогональным системам координат (без какой-либо крайней необходимости) нерационален. 6. Для вывода уравнений движения фиксируем в выбранной декартовой координатной системе L неподвижную область V, ограниченную поверхностью S с внешней нормалью rt, и рассмотрим условия динамического равновесия материальных точек среды, заполняющих область V. При этом пространственные координаты точек области V будем обозначать посредством ^ = ,^= и С= 6 > как и в п. 5. Если плотность массовых сил, действующих на элементы среды, обозначить через / , а вектор плотности ускорения частиц — через то, согласно принципу Даламбера, основное условие равновесия запишется в виде

///

// = (5)

(V)

23

где р — плотность вещества в среде. В предположении достаточной гладкости частных производных tik по ?? и ^ можно воспользоваться выражением (1.1.26) и применить формулу Гаусса. В результате получается равенство - р1Й + mvtik]dV

= 0,

(1.1.27)

(V)

в котором Div tik = ii div t\ + гг div <2 + Ч div t^ . Если подынтегральное выражение из равенства (1.1.27), например, непрерывно, то в силу произвола в выборе области V из равенства (1.1.27) вытекают уравнения движения Dlvtik + 7 =

(1.1.28)

переписывающиеся в проекциях на оси координат в виде

Е

+ fi ^ pwi,

г-1,2,3.

(1.1.28')

Заметим, что второе условие равновесия (по моментам) нет необходимости учитывать, так как легко видеть, что оно автоматически выполняется в силу уравнений (1.1.28) и (1.1.25). При выводе уравнений (1.1.28) мы фактически пользовались координатами Эйлера ^ = т] = ч ( ^ Если для описания движения среды сохранять эти координаты, то вместо uii в уравнениях (1.1.28') необходимо подставлять выражения, получающиеся из выражений (1.1.21) и (1.1.20). Если же пользоваться лагранжевыми координатами х = Xi, у = = х^, z = Хз, связанными с эйлеровыми координатами формулами (1.1.16) и содержащими компоненты вектора смещений lt{x, у, г, t), то для Wi следует брать простое выражение (1.1.18). Но при этом tik следует рассматривать как функции лагранжевых координат х = xi, у = х-2, z = хз и учитывать, что dtik ^ • А dtik дхг ^

дхг

24

д^к

•

в результате уравнение (1.1.28') перепишется в виде ^

dtik дхг

д'^щ

dik

^ df^

ЕJt,r=l дхг

Входящие сюда производные Хг по ^k должны определяться в виде функций от Xi и t на основании формул (1.1.16'), обратных (1.1.16). Однако как часто бывает удобно при рассмотрении обратных функций, указанные пр1оизводные можно определять из соотношений 3

/

\

+

d^i = J2

'

=

к—\

вытекающих из равенств (1.1.16), есгш их рассматривать как систему уравнений от1юсительно dxk- Определитель такой системы, совпадающий с онределителе.м (1.1.17), отличен от нуля. Вследствие этого при по.мощи теоремы Крамера для dxr однозначно получаются выражения 3

3

к=1

к=1

Нетрудно видеть, что в общем случае величины Фгк{£, i^) оказываются нелинейными функциями от дщ/дхк, т. е. в конечном счете функциями от компонент тензоров Eik и Wjjt из равенств (1.1.6) и (1.1.13). Если же выполняются условия (1.1.9) справедливости линейного приближения, то, очевидно, ЯгЦ

=

« Sik

(1.1.30)

и уравнения движения (1.1.29) переписываются в виде

или в векторной форме m^Uk + f

25

=

(1.1.32)

где D^t,. ^ Y ^ i t d w n , k=l

(div

^ + ^ + dxi 8x2 dxz

.

(1.1.32')

При этом все величины, входящие в уравнения (1.1.31), (1.1.32), рассматриваются как функции лагранжевых координат х = xi,y = = х-2, Z = жз материальных точек среды относительно выбранной декартовой системы координат L и времени t. По правилам тензорного анализа уравнение (1.1.31) легко переписывается в общековариантной форме, справедливой для любых криволинейных систем координат. Мы не задерживаемся здесь на таком вопросе, так как в поачедующем уравнение движения будет применяться лишь в форме (1.1.31) или (1.1.32). 7. При выполнении многих преобразований удобно пользоваться тождеством / 3

div

+ \k=l

J

(1.1.33) k=l

справедливым для произвольного дифференцируемого вектора 3

=

^

= Y1 O'kik- Если учесть соотношения (1.1.25) и ввести обозначения к=1 dai

.

дщ

dak

. , ,

. _

то последние слагаемые из тождества (1.1.33) можно представить в следующих двух формах:

к=1

grad а , ) = ^ f к=\ ^

= ^ tikdik. i
(1.1.35)

Заметим, во-первых, что Oji из соотношений (1.1.34) образованы из Uk совершенно так же, как и из равенств (1.1.14) образованы из составляющих Uk вектора смещений, во-вторых, что в дальнейшем нам придется пользоваться тождествами (1.1.35) при = 6lt, 'd =

= it и it = it.

8. Как и Б любых других физических явлениях, в теории сплошной среды важную роль играют энергетические соображения. Для

26

формулировки их удобно предварительно ввести понятия вариаций полей смещений и тензора деформации. При описании движения среды в лагранжевых координатах эти попятия можно определить следующим образом. Пусть Х2, хз, t) - некоторое поле смещений в рассматриваемой среде, а П - множество всех достаточно гладких полей смещений Х2, xz, t), близких к it. (Например таких, что < е, где £• > О - заданное число.) Вариацией поля lt(a;i, Х2, Хз, t) будем называть выражение = vtiXi,

Sit

Х2, Хз, t) -

lt{xi,

Х2, Хз,

t),

где «Й произвольный элемент множества П. Если поля ^ п i t дифференцируемы, то по ним можно вычислить составляющие тензоров деформаций e°i. = {xi, Х2, хз, t) из равенств (1.1.15). Выражения = - Cik (при произвольном й^ € П) будем называть вариацией тензора деформации. Заметим, что вопрос о (физическом) происхождении вариации не имеет никакого значения. Но в одном из важных случаев будет удобно под вариацией понимать 5lt = 1^(2:1, Х2, хз, t + At) — - i t i x i , Х2, Хз,

t).

9. Из термодинамики известно, что если в рассматриваемом процессе количество тепла dQ, сообщаемое изолированной системе, оказывается полным дифференциалом, то существует функция состояния системы F, называемая термодинамическим потенциалом. В частности, dQ оказывается полным дифференциалом в изотермических и адиабатических процессах. Будем рассматривать только такие среды (системы), состояние которых в момент времени t определяется вектором смещений it = = lt(a;i, Х2, Хз, t), причем плотность р{х\, Х2, Хз) среды предполагается неизменной. Опыт показывает, что среды, (приближенно) удовлетворяющие указанному условию, в природе существуют: таковой оказывается любая «твердая» среда, если она подвергается достаточ1ю малым деформациям. По сравнению с термодинамической релаксацией динамические процессы в средах протекают настолько медленно, что термодинамическое равновесие не нарушается. С точки же зрения теплообмена, указанные процессы протекают весьма

27

быстро, и потому в любом выбранном объеме dV среды практически oкa;^ывaeтcя dQ = О, так как теплообмен не успевает произойти за времена, характерные для динамики.Таким образом, динамические процессы в сплошных средах можно считать адиабатическими и вследствие этого утверждать, что в средах рассматриваемого типа существует термодинамический потенциал. Будем характеризовать его плотностью W и называть упругим потенциалом или, проще, плотностью потенциальной энергии упругой деформации, причем эту плотность W = W[li] = W[{lt{xi, х^, хз, i)] будем описывать в лагранжевых координатах среды. Получим выражение вариации W, отвечающей произвольной вариации dlt исходного гюля смещений 'Tt{xi, Х2, хз, t), которое предполагается достаточно гладким. Для этого выдели.м произвольную часть среды, состоящую из фиксированных .материальных точек, которые в невоз.мущенном состоянии (т. е. при = 0) заполняли область V лагранжевых перемен1п>1х Xi, Х2, хз относительно выбранной систе.мы координат L. В возмущенном состоянии, характеризующе.мся полем исходного вектора смещений lt(xi, Х2, хз, t) (от которого затем берется вариация истинное положение выделенных .материальных точек в фиксированный момент t определяется (относительно той же системы L) эйлеровыми координатами (^j, Ь) из формулы (1.1.16), изменяющимися в некоторой области Vq. Очевидно, что Vo характеризует область истинного расположения (в момент времени t) .материальных точек выделенной части среды и что при соответствующем выборе области V поверхность So с внешней нормалью 7t, ограничивающую область Vq, можно считать достаточно гладкой (если, конечно, гладкость исходного поля смещений Tt{xi, Х2, Хз, t) достаточно высока). В соответствии с первы.м начало.м тер.модинамики из.менение полной вариации энергии выделенного участка среды при вариации Sit исходного поля lt{xi, Х2, Хз, t) определяется формулой Д(£нот + £^кин) = А Л + Д д ,

(1.1.36)

Б которой L Q = О - сообщаемое среде количество тепла, а Д Л работа всех внешиих сил на перемещениях . Для определения ДЕпот удобно использовать лагранжевы коор-

28

динаты рассматриваемых точек среды, позволяющие писать

А£пот = J J J{W[lt+ Slt]-W[lt]]dV = J J J SWdV. (I')

iV]

Для вычисления остальных слагаемых в равенстве (1.1.36) удобнее описывать среду в эйлеровых координатах из п. 3. Пусть в этих координатах # обозначает ускорение материальных точек среды, р - ее массовую плотность, а / и - векторы плотностей массовых и поверхностных сил, приложенных соответственно к точкам области Vo и ее граничной поверхности SoДо вариации исходного поля i t каждая точка выделенного материального участка среды (заполняющего область Vq) характеризуется плотностью сил инерции При ма^'юй вариации Sit поля смещений каждая материальная точка области Vo смещается на величину Sit. Поэтому работа сил инерции на перемещениях Sit, равная изменению кинетической энергии выделенного участка среды, определится (с точностью до малых высшего порядка по сравнению с Sit) выражением

= J j j pi^ SltdVo. (Vo)

Аналогичные же соображения приводят к формуле

АА = J j j^5ltdVo+ J J Olt dSo + 0[{Slt)^] (Vo)

(So)

для работы внешних сил (приложенных к рассматриваемому участку среды) на перемещениях Sit. Таким образом, на основании формулы (1.1.36) мы приходим к соотношению

Л jswdv= I j J{f-pl^)SltdVo+ I J ttSltdSo, (V)

(Vo)

(1.1.36')

(So)

справедливому с точностью до малых высшего порядка относительно Sit. (Напомним, что все величины, входящие в правую часть равенства (1.1.36'), рассматриваются как функции введенных эйлеро-

29

вых координат (1.1.16), причем значения ' f , uf к отвечают исходному полю смещений Х2, хз, t) в фиксированный мо.мент времени t.) Чтобы преобразовать соотношение (1.1.36'), нужно учесть уравнение (1.1.28), а также соотношение t^Slt

= (itSui

+ t^du2 + t^Suz) i f ,

вытекающее из выражений (1.1.26), из которых следует I

j

tt5ltdSo

(So)

= j J j

dw(itSui

+ t^Su2 + t^Su-i)dVo.

(Vo)

Пользуясь такими выражения.ми и производя в интеграле замену переменных интегрирования по формулам (1.1.16), получаем равенства j j j 6WdV

= j j j{diY(tt6ui

(V)

=

+ t^Su2 + ltSu3)-mvtik6Tt}dVo

=

(Vo)

[ [ [{divittSui

-b t^2Su2 + ti6u3) -

dV,

J J J {V)

o(xi,

X2, Хз)

которые должны иметь место при любом выборе области V. Отсюда (в предположении непрерывности подьштегральных функций интегралов по V) вытекает искомая формула 6W =:

div ^ tkSuk — i5iv tikSlt (9(11, X2, Хз) fc=i

(1.1.37)

в которой расходимости вычисляются в координатах , , ^з > а затем в выражении всей квадратной скобки производится замена переменных ^2, Ь на Xi, Х2, Хз по формуле (1.1.16). Д л я нас основной интерес представляет случай линейной теории упругости, в которой деформации предполагаются малыми в смысле условий (1.1.9). При выполнении же условий (1.1.9) в соответствии с неравенством (1.1.17) и соотношением (1.1.30) оказывается 5(6,6,6) д(хих2,хз)

,

д '

d^k 30

^^dikdxi

^

д дх^,'

Поэтому в случае линейной теории упругости формула (1.1.37) переписывается в виде 5W = div(
=

= ( i f g r a d J w i ) + (f^gradJu2) + [ i t gvudSua) = ^ U k S c i k , i
(1.1.37')

причем все входящие в равенство (1.1.37') величины рассматриваются как функции лагранжевых координат xi, Х2, хз а времени t, а все дифференциальные операции имеют стандартный относительно XI, Х2, Хз вид. Заметим, во-первых, что при написании второй и третьей частей равенства (1.37') мы воспользовались тождествами (1.1.33) и (1.1.35), и, во-вторых, что из равенства (1.1.37'), в частности, вытекает важная формула tik =

(1.1.38) oeik в которой все величиЕ1ы рассматриваются как функции лагранжевых координат. Остается лишь подчеркнуть, что так как Х2, Хз, t)] = W(xi,

W = W[lt(xi,

Х2, Хз, t)

определяет плотность упругого потенциала, или, что то же, потенциальной энергии упругой среды, то упругий потенциал (или потенциальная энергия) произвольно выбранного малого объема dV, содержащего точку М = (х1,х2,хз), определяется выражением W dV = = W{M, t) dV, которое должно оставаться инвариантным по отношению к любым преобразованиям координат. В случае афинных ортогональных преобразований координат (сохраняющих инвариантными расстояния dr^ = Y. dx^ между любыми точками объема dV) г

величина dV сама оказывается инвариантом. Следовательно и плотность W потенциальной энергии упругой деформации среды является инвариантом относительно афинных ортогональных преобразований координат, для которых, в частности, были получены инварианты (1.1.14). Это обстоятельство используется, например, при написании формулы (1.1.43), правая часть которой должна быть квадратичным инвариантом относительно компонент dk тензора деформаций.

31

10. Результаты п. 9 относились к произвольной сплошной среде, испытывающей малые деформации в смысле условий (1.1.9), состояние которой в момент времени t определяется вектором lt{xk, t) поля смещений. Для перехода к теории конкретной среды (например идеально упругой) необходимо обратиться к опыту, из которого устанавливается связь между плотностью W и составляющими тензора деформаций. Опыт показывает, что существуют среды, в которых при достаточно малых деформациях выполняется закон Гука. При этом упругий потенциал таких сред оказьн5ается определенно положительной квадратичной формой от компонентов тензора деформации, т. е. 3

Е

ikd.^-

(1.1.39)

Коэффициенты Cik^v/^, удовлетворяюнще условиям симметрии " ^ki.iiv — ^ik^iivi

—

(1.1.40)

определяются из эксперимента для каждой конкретной среды. При этом вследствие симметрии таблицы существует не более 21 различных значений ее элементов. Из свойства (1.1.40) следует соотношение ^^ =

(1.1.41)

при получении которого учтено равенство (1.1.38). В соответствии с левой частью соотношения (1.1.41) и равенством (1.1.38) для упругого потенциала получаем выражения 2W = 2

^

CIK^U^EIKC^^ =

i
^

г<к

= ^tike^k=<^\v{txu, (1.1.42) Hkdik = олу''^' + ' ttu2 + ' t ^t u 3' ) - { l/i^^KtTi ik. ) , i О и /j > О, посредством которых

32

упругий потенциал выражается формулой 2Р7 = а/2 + |72 = (Л + 2//)(е„ + 622 + езз)^+ + 4з - 4(611622 + сцвзз + 622633)],

+

(1.1.43)

где /1 и /2 обозначают инварианты (1.1.14'). В соответствии с формулой (1.1.38) из равенства (1.1.43) следуют формулы tii = XdWlt+ 2tieii г = 1, 2, 3, ] > J

hk = fJ^Cik г ф к ,

(1.1.44)

связывающие компоненты тензоров напряжений и деформаций. В общем атучае упругие параметры А и равно как и Cik,^^ в анизотропных средах, оказываются функциями рассматриваемой точки (xi, Х2, xz) среды. (Они могут зависеть и от времени t, однако в динамической теории упругости такой зависимостью допустимо пренебрегать.) 11. Из формулы (1.1.37') для вариации упругого потенциала следует закон сохранения энергии идеально упругой среды, играющий фундаментальную роль в выяснении ряда принципиальных вопросов, связанных с постановкой и со свойствами решений динамических задач теории упругости. Предположим, что за время St под влиянием внешних воздействий поле смещений изменилось на величину 6lt. На основании формулы (1.1.37'), справедливой при любых вариациях Sit, получаем dW dt

--- div

-(^Diviii),

'^'ййк

.к=\

где точкой над Uk nit обозначено дифференцирование по t. Подставляя сюда выражение T>iv lik из уравнения (1.1.32) и замечая, что

Тс

dt

dt

окончательно находим

А

at

\ 2

/

+ div

dt

Uk LA:=1

33

(1.1.45)

Это равенство выражает в дифференциальной форме закон сохранения энергии линейной теории упругости, записанный в лагранжевых координатах x j , Х2, хз. Если обозначить через V произвольную область переменных xi, Х2, хз, ограниченную гладкой поверхностью S с внешней нормалью rt, то (в случае поля смещений, для которого все величины из равенств (1.1.45) интегрируемы, а tk йк непрерывны) результат интегрирования равенства (1.1.45) по области V, с применением формулы Гаусса, приводит к интегральному закону сохранения энергии

I/// -^-fl^j (V)

dV =

^

^jjjCfit)dv+

j lit^it)ds,

(V)

(1.1.46)

(S)

допускающему более наглядное физическое истолкование. Члены, стоящие в правой части формулы (1.1.46), имеют смысл мощностей (работ за единицу времени) плотностей внешних сил. Слева же под знаком интеграла стоит выражение плотности энергии среды, состоящее из потенциальной и кинетической частей. Следует отметить, что с формально-математической точки зрения к толкованию закона сохранения энергии идеально упругой среды нет нужды ничего добавлять, кроме, пожалуй, того, что этот закон играет фундаментальную роль в динамической теории упругости. С физической же точки зрения в толковании слагаемых формулы (1.1.46) (кроме первого, содержащего W) может возникнуть затруднение, вызванное тем обстоятельством, что под областью V в формуле (1.1.46) подразумевается не истинная область, занимаемая в момент времени t выделенной (материальной) частью среды а область, которую выделенная часть среды занимала в невозмущенном состоянии, т. е. когда в ней было i t = 0. При этом все величины, входящие под знаки интегралов в равенстве (1.1.46), рассматриваются как функции лагранжевых ко^динат Xi, хг, хз и, следовательно, например, значения величин й — dlt/dt — lt{xi, хг, хз, t) и tik — tik{xi, Х2, Хз, t) относятся не к материальной точке среды, имеющей (в возмущенно.м состоянии) координаты ( x j , Хг, хз), "•в п. 9 такая область обозначалась через Voi а ее граничная поверхность через So.

34

а к материальной точке, координаты которой ( f i , ^з) связаны с (xi, Х2, xz) формулами (1.1.16). Из-за этого обстоятельства, например, выражение (t^ И ) , стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле (1.1.46), относится не к точке N поверхности S (как требовалось бы для строго физического толкования поверхностного интегргша в смысле мощности поверхностных сил, приложенных к материальному объему среды), а к точке N , отстоящей от ЛГ g 5 на величину вектора смещений lt[N, t). Легко видеть, что указанные трудности физического толкования формулы (1.1.46), равно как и других формул математического формализма теории идеально упругих сред, отпадают, если все функции, входящие в математический формализм (например it, it, tik и изменяются пренебрежимо мало при изменении их пространственных аргументов xi, хг, хз на величины A x i , Дхз, Ахз, не превосходящие т. е. если |Alt|«|lt|,

\Atik\<^\tik\HT.A.

(1.1.47)

при < Alt

= lt{xi

и

(1.1.48)

+ Д х 1 , . . . , хз + Дшз, t) — lt{xi,

Х2, хз, t)

и т. д. Эти условия называют условиями малости вектора упругих смещений. Следует подчеркнуть, что условия малости вектора упругих смещений действительно выполняются для многих твердых («упругих») невырожденных систем или сред, подвергаемых не слишком сильным и не апишком быстро изменяющи.мся в пространстве и времени внешним воздействиям. В таких случаях выводам теории можно верить безоговорочно. Однако встречаются и ситуации, в которых теория приводит к практически хорошим результатам, в то время как некоторые из условий физического ее обоснования не выполняются. Поэто.му наиболее целесообразно математический формализм (линейной) теории идеальной упругости рассматривать как нечто цельное.и самостоятельное, не связанное с какими-либо физическими ограничениями. Получаемые же из формализма следствия должны проверяться практикой, которая в конце концов и устанавливает

35

истинную область практической применимости любой естественнонаучной теории. 12. Во .многих вопросах весьма полезной оказывается формула Бетти, играющая роль формулы Грина для уравнений теории упругости. Чтобы ее вывести, выберем два произвольных (дважды дифференцируемых) поля смещений Х2, Хз, t) и Х2, хз, t) в одной и той же упругой среде и вычислим по таким полям составляющие тензоров eik и деформации из равенств (1.1.15) и тензоров напряжений 3

tik —

^^ Cik^vn^vn, и<[1 (1.1.49) и<{1

используя формулы (1.1.38) и (1.1.39). Рассмотри.м тождество 3

3

i
i
очевидное в силу соотношений (1.1.40). На основании правой части формулы (1.1.41) получаем равенство 3

3

= г<к

(1.1.50) i
называемое формулой Бетти. Полагая, что tik = tik, = г?, а также tik — = it, и используя формулу (1.1.35), равенство (1.1.50) перепишем в виде (t^ gradw?) + (i^graduO) + ( ^ g r a d « ° ) = = ( ? g r a d u i ) + ('ifgrad«2) + (3gradu3).

(1.1.51)

Вследствие же тождества вида (1.1.33) соотношение (1.1.51) можно записать в следующей эквивалентной форме:

36

=

- ttu°) +

-

= div

+

-

s

.

(1.1.52)

Заметим, что при переходе к правой части тождества мы учли формулы (1.1.22) и симметрию tik — t^i компонент тензора напряжений. Обозначи.м, наконец, через ^ и

плотности массовых сил, со-

ответствующие векторам смещений i t и •(?, и воспользуемся уравнением движения (1.1.32) и подобным же уравнением для

^ и Тогда тождество (1.1.52) можно переписать в следующем окончательном виде:

\

/ (1.1.53) Такое равенство, содержащее в правой части выражение тина четырехмерной дивергенции, будем называть дифференциальной формулой Грина—Вольтерра. к—1

§ 2. Сводка обозначений и важнейших формул теории идеально упругих сред. Основные положения линейной акустики и линейной теории неидеальной упругости В п. 1 8 настоящего параграфа приводится сводка результатов § 1, составляющих содержание математического формализма теории идеальной упругости. В п. 14 кратко обсуждаются основные положения линейной акустики и линейной теории неидеально упругих сред, обладающих последействием. Математический

формализм теории идеально упругих

сред

Приводимый формализм и «физическая интерпретация» величин, характеризующих возму1ценное состояние упругой среды, вытекает из результатов §1 в предположении условий (1.1.9), а также «малости» вектора упругих смещений из п. И § 1, что позволяет не различать лагранжевы и эйлеровы координаты материальных точек. Формализм дается применительно к произвольно выбранной

37

правовиитовой декартовой системе координат х = х\, у = х^, z = xz с ортами г = ii, j = (2, к = 13. 1. Возмущенное состояние идеально упругой среды характеризуется вектором (упругих) смещений

it

= li(xi,

Х2, Хз, t) =

Х2, Х3, t)lt,

(1-2.1)

к=1

определяющим отклонение материальной точки от того положения равновесия {xi, Х2, хз), которое она занимала в невозмущенном состоянии. 2. По полю смещений вычисляются компоненты тензора деформаций 1 / dui duk^ г, А: = 1,2, 3, (1.2.2) -Ь е.. = 2 dxk

или

дщ

dxi)

дщ

duk

. . .

м о о\

как функции координат a:i, Х2, Хз и времени t. Таблица значений Егк ИЗ выражения (1.2.2) определяет симметричный тензор 2-го ранга относительно афинных ортогональных преобразований координат в точном смысле этого понятия. Таблица же Cik не является тензором, хотя и носит такое название. Физический смысл Eik разъяснен в п. 2 § 1. 3. Напряженное состояние идеально упругой среды характеризуется тремя координатными векторами напряжений =

г = 1,2,3,

(1.2.4)

к=\

рассматриваемыми как функции от времени t и пространственных координат Xi, Х2, хз, таких же, как и в выражении (1.2.1). Вектором tk определяется плотность силы, с которой элементы среды, расположенные по положительную сторону от (бесконечно малой) площадки dS, проходящей через точку (жь Х2, хз) и имеющей нормаль i f = 1)., действуют на элементы среды, расположенные по отрицательную сторону площадки. Таблица Uk = tki симметрична и является тензором 2-го ранга относительно любых преобразований

38

координат. Вектор напряжений на площадке с нормалью i t определяется формулой 3

3

tl =

(1.2.5)

4. В каждой точке (xi, Х2, хз) среды между tik и eik выполняются линейные соотношения ^ X/ р.<7=1

3

tik =

=

ди (1-2-6) ^

2, 3, выражающие закон Гука. Таблица коэффициентов в соотношении (1.2.6) симметрична, причем C-ik^u^ ~ Сиц,гк ~ ^ki^i/fi —

(1.2.6 )

Все Cik, vij, (определяюпще в общем случае тензор 4-го ранга) являются, вообще говоря, функциями от xi, Х2, Хз. В случае изотропных сред формулы (1.2.6) упроп;аются и принимают вид tii = Xdiv it + 2fxcii,

tik-iieik,

i Ф к,

(1-2.7)

при i, к = 1, 2, 3, аде divt^ = ец + 622 + езз, а А > 0 и / 1 > 0 — (инвариантны^)^параметры Ламе, зависящие, вообще говоря, от координат x i , Х2, Х3. 5. Уравнения движения идеально упругой среды записываются в виде d^lt m JlVtik v t i k++ ^ f ^ р - ^ ,

Dwtik=Y^fkdiYtt,

(1.2.8)

где ' f — вектор плотности массовых сил, р — плотность вещества среды, а векторы t). из выражения (1.2.4) связаны с вектором смещений it формулами (1.2.6), (1.2.2) в общем случае и формулами (1.2.7), (1.2.3) в случае изотропных сред. Уравнение (1.2.8) имеет тензорный характер. На его основе легко получаются уравнения движения в произвольных криволинейных координатах (необходимо только част1юе выражение для Div tik заменить его общековариантным выражением).

39

в компонентах уравнение (1.2.8) переписывается в виде

к,р,д=1

к,р,д=1

(1.2.9) причем слагаемое, содержащее первые производные dug/dxp, обращается в нуль в случае однородных анизотропных сред. Если же среда однородна и изотропна, (р = const, fi = const, Л = const,) то уравнение (1.2.8) принимает форму {Х

+ t i ) g m d d i v l t

+

i i A l t +

^

=

(1.2.10)

р ^ ^

уравнения Ламе. В компонентах такое уравнение удобно переписывать в виде

6. Существует положительно-определенная квадратичная форма 1 ^ = 2

^ Y1

=

Ciit.^Meiitej,^ > О,

(1.2.12)

коэффициенты Ciit,,/,J которой совпадают с коэффициентами Cik,vti из В15фажений (1.2.6) и (1.2.6'), а ej/t имеет значение (1.2.3), определяющая плотность потепциалыгой энергии деформации идеально упругой среды. Из условия = О с небходимостью следует = 0. В случае изотропных сред W определяется выражение.м 2W

=

{Х

+

2(1){еп+е22+езз?

+

^13 + ^23 " 4(eiiei2 + ецегз + еггСзз)]-

(1.2.13)

Из соотношений (1.2.6) и (1.2.12) следуют равенства tifc =

=

= ^

40

(1.2.14)

а также весьма полезные формулы dlt i
к=1

^

dxk)

/ 3 = div

\k=i

J

(1.2.15) при выводе которых исгюльзова„1ись тождества (1.1.33) и (1.1.35) при -i^ii. Путем дифференцироваиия соотношения (1.2.12) по времени t (с использованием тождеств (1.1.33) и (1.1.35) при = it) получаются важные соотношения dw dt

= 2^

Cifc.^^CiAe^p = ^iiA-CiA-= div i
/3 '^tluk

-{H^tik). (1.2.16)

7. Справедлив закон сохранения энергии, выражаюпщйся в дифференциальной форме равенством 1 dt

/3 dt

= {У it)+

diw \k=i

^ttiik J

(1.2.17)

Интегральная запись закона сохранения энергии имеет вид

ilff

2\ dt

dV =

(V)

// Р^) (V)

(S)

где ( У ) — произвольная фиксированная трехмерная область, ограниченная гладкой поверхностью S с внешней нормалью it, а выражение (1.2.19) к--\ определяет вектор плот1юсти потока энергии поля в область V, удовлетворяющий, в силу равенства (1.2.5), очевидному равенству 3

к=1 41

Составляющие вектора ^ определяются выражениями dua

'Pk = - Y l ^kiUi = -

^

i=l

Cik,pq

i,p,q=l

дх,

• щ ,

(1.2.20)

полученными из формул (1.2.19), (1.2.6) при учете формулы (1.2.6'). Заметим, что для перехода от равенств (1.2.17) к равенства.м (1.2.18) кроме интегрируемости по V трех членов равенства (1.2.17) необходима также непрерывность в области V вплоть до S всех составляющих вектора V . 8. Если

lt{xi,

Х2, X3,t)

хг, хз,

и

t)

— два произвольных по-

ля смещений в одной и той же упругой среде, а Cik, и e^f., tik' 'f^ — соответствующие им тензоры деформаций, напряжений (вычисленные по соотношениям (1.2.3) и (1.2.6)) и векторы плотностей массовых сил (вычисляемые по уравнениям (1.2.8)), то справедливо тождество 3

3

fc=i

k=i

или эквивалентной форме: (Dwt°k,lt)

= div

-

{ ^ и к Л

- itul +

-

=

+

- •^«з) = Ik

k=i

В силу уравнения (1.2.8) это тождество может быть записано и в виде it^)

=Е

t i t

-

fk^

- if^lt) д

= (1.2.21)

дхк

Такое соотношение называется дифференциальной формулой Грина—Вольтерра в теории упругости. Если в четырехмерной области В, ограниче1пюй поверхностью S с кусочно-непрерывной внешней нормалью v, упругие параметры среды непрерывны, а поля it и

42

непрерывны вместе с первыми производными вплоть до Е, то справедлива интегральная формула Грина—Вольтерра

/ /// -

= ///

(й)

-

(Е)

dE, (1.2.22)

в которой 3

Ml{lt)

д ^

it

=

и аналогично для

COS

u x k - p ^

COS

ut,

(1.2.23)

). Линейная

акустика

9. В случае гидродинамики или акустики описание движения среды обычно ведется в (локальных) эйлеровых координатах , ^з и времени t (см. п. 4 § 1). При этом состояние среды в точке , ^з, t) характеризуется плотностью р, давлением р и вектором Т^ скорости движения частиц, находящихся в этой точке, причем р, р и it рассматриваются как функции переменных ^i, ^2) ^з и t. Изменим обозначения и будем понимать под Xi, Х2, Хз эйлеровы координаты материальных точек среды. Тогда окажется i t = lt(xi, Х2, хя, t), р = = р{х^ , Х2, X3,t) и р = р{Хг Х2, хз, t).

,

В жидких и газообразных (невязких) средах тензор напряжений имеет значение tik = -pSik, (1.2.24) где dik — символ Кронекера. Поэтому уравнение движения среды (1.1.29) принимает форму P^=7-gradp,

(1.2.25)

причем под dlt/dt следует понимать субстанциональную производную, определяемую формулой (1.1.19), т. е. dlt

д^

Л А=1

43

iO. Кроме уравнений днижеиия (1.2.25) состояние жидкой или газообразной среды определяется: 1) уравнением неразрывности

at

к=1

(1.2.27)

dxk

и 2) уравнением состояния вещества, связывающим .между собой давление р и плотность р, т. е. р = Ф(р)

или

р=

ifip).

(1.2.28)

Пусть в невозмущенном состоянии среда характеризовалась значения.ми р = poi'JOi, x-z, x-s) и р — po{xi, Х2, x-i) давления и плотности, и пусть возникающие в среде возмущения настолько малы, что в сильной степени выполняются неравенства \р-ро\<Ро,

(1.2.29)

\р-ро\<Ро-

Тогда $

= ^'(Р) « V>'iPo) =

dp

c^{xi,

Х2,

X-j)'

что позволяет считать dp/dp величиной, не зависящей от изменения давления р в процессе возмущений. При этом др

If

п

1

л^Р-

др

(1.2.30)

И . Если рассматривать настолько «малые» воз.\1уп;ения, что выполняются неравенства

Е dxk Vk < к=1

dt

E

dp

k=L

dxk

<

dt

(1.2.31)

TO на основании формул (1.2.30), (1.2.31) уравнения (1.2.25) и (1.2.27) можно переписать в виде Р^

= 7 - grad р,

^

=-с'^р

divlf.

В такие уравнения не входит производная от р но t. Поэтому в силу неравенств (1.2.29) можно положить р к Р(){хи Х2, Хз),

44

где ро не зависит от времени. В результате получаются линейные уравнения движения акустики Ро

^ ^ = 7 - gradp, dt ' ^ "

% = - с ' р о div I t , dt

(1.2.32)

условиями применимости которых кроме неравенств (1.2.29) оказывается еще неравенство (1.2.33) За.метим, что уравнения (1.2.32) формально в полной мере укладываются в схему физических предположений, которые были положены в основу п. 9 и 10 § 1. При этом нужно считать, что: 1) состояние среды определяется вектором смещений i t = lt{xi, Х2, хз, t), для которого i t = U ; 2) тензор напряжении tih дается формулой (1.2.24); 3) потенциальная энергия деформации определяется выражением 2W = Ло = С'(ЕП + 622 + eзз)^ = Лo(divlt)^,

(1.2.34)

где Ао = c^(xi, Х2, Хз) p{xi, жг, хз), азакон Гука (1-2.7) записывается в виде tii = Ло divlt, tik = 0, ij^ к. (1.2.35) Таким образом, линейные уравнения (1.2.32) акустики можно рассматривать как частный случай уравнений (1.2.8) идеально упругой изотропной среды, у которой мо;1^ль сдвига Ц = 0. Это позволяет не останавливаться специально па изучении уравне1шй ли}1ейной акустики, а необ.ходимые результаты получать из уравнений теории упругости в случае изотропных сред, у которых ц = 0. Замечание о формализме теории линейиых неидеалъно упругих сред 12. Представление об идеально упругой среде, математическое описание движения которой обсуждалось в § 1, появилось в результате идеализации уетовий протекания динамических процессов в реальных средах. В основе такого представления лежало предположение о существовании функции состояния W, плотности нотепциальной энергии деформации упругой среды, кото1)ая является однородной положительно-определенной квадратичной функцией от компонент тензора малых деформаций. Это предположение влекло за со-

45

бой выполнение закона Гука, связывающего значение компонент тензора напряжений tik в любой момент времени t со значениями компонент тензора деформаций eik, вычисляемых для того же самого момента времени t. Однако опыт показывает, что, строго говоря, такая связь между tik и eik весьма редко встречается в природе. Обычно значения tik в точке М среды в момент времени t зависят в той или иной степени от значений eik в точке М , вычисленных не только для момента t, но также и для значений t в предшествующие моменты времени. Таки.м образом, оказывается, что более адекватное описание реальных («твердых») сред при малых деформациях получается из математической схемы описания среды в пи. 1—8 настоящего параграфа, если сохранить внешнюю форму уравнений движения и (линейной) связи между tik и Cik, но под упругими параметрами среды вида из формулы (1.2.6) или Л и /и из формулы (1.2.7) понимать некоторые операторы, зависящие от времени. Простейшим оказывается случай линейных интегральных операторов типа Вольтерра. Этот случай мы и рассмотрим более подробно в предположении изотропности изучаемой среды. 13. Состояние среды при таком описании по-прежнему определяется вектором смещений (1.2.1), по которому вычисляются компоненты «тензора» деформаций (1.2.3). Так же, как и в пп. 1—8, вводятся понятия координатных векторов напряжений (1.2.4) и сим.метричного тензора напряжений tik = tki\ при этом естественно сохраняется формула (1.2.5). Линейная связь (1.2.7) tik и е,^ сохраняет свой внешний вид, но под Л и /X подразумеваются не множители, зависящие от рассматриваемой точки (xi, Х2, жз) среды, а операторы следующего вида: t

А=

Af^

Хо + J \i{t - т)... dr, о i fio + J Hiit - т)... dr.

(1.2.36)

0

Здесь Ao = Ao(a;i, X2, хз) > 0, ^iq - fJ.o{xi, X2, 13) > 0 - функции точек среды, a разностные ядра \i{t — т) и fJ.i{t — т) операторов также могут зависеть и от xi, хг, Х3. С учетом указанного изменения в формулах (1.2.7) уравнения движения и.меют прежний вид (1.2.8), а в случае однородных сред записываются в форме (1.2.10) уравнений Ламе, где под А и // под-

46

разумеваются операторы (1.2.36), в которых Ао и fiQ являются постоянными, а ядра Ai(t) и f i i ( t ) не зависят от хх, Х2, хзЗаметим, что среды, динамические процессы деформации в которых описываются обсуждаемыми уравнениями, обычно нг13ывают вязкоупругими. 14. Пусть i t — l t { x i , Х2, x z , t ) — вектор смещений в вязкоупругой изотропной среде, а eik — отвечающие ему компоненты тензора деформации (1.2.3). Учитывая соотношения (1.2.36), представим компоненты Uk тензора напряжений в виде двух слагаемых tik=tl+tg\

(1.2.37)

где t% = \odivlt+

2fioeii,

t^,, = lioe-ik,

гфк,

+ 2ц1ец,

t^^ = HiCik,

г ф к,

(1.2.38) = Xidivlt

причем под Ai и /zi понимаются операторы (1.2.36). По таблице tik — tki (1.2.37) определим координатные векторы типа (1.2.4), представим эти векторы в виде слагаемых _ , ДТ) tk - tk ' соответствующих слагаемым (1.2.37), и воспользуемся тождествами (1.1.33) и (1.1.35) при = it. Тогда легко получается равенство diviii?^

+

+ йзТ!) - {it, mvtik)

=

+ 41'>)ёгк = i
-E^i^^^-^ + E ^ ^ ' ^ i b i
(1-2-39)

i
где точкой сверху обозначено дифференцирование по времени t. Нетрудно проверить, что если по тензору деформаций eik = Cki вязкоупругой среды построить определенно положительную квадратичную функ1щю 2Жо = (Ао + 2цо){еп + егг + езз)^ + Ро{(е?2 + е?з + 4 з - Ц е п е 2 2 + ецезз + 622633)),

47

(1.2.40)

аналогичную выражению (1.2.13) и содержащую (положительные) параметры Ло и цо из соотношений (1.2.36), то окажется

!
где t'l^. — нерное слагаемое из выражения (1.2.37). Вторая формула из соотношений (1.2.41) дает нужное нам выражение для первого слагаемого правой части формулы (1.2.39). Что же касается второго слагаемого этой форму;н,1, то на основании нижней строки равенства (1.2.38) и вида операторов Ai и Цх (из выражений (1.2.36)), для него легко получается выражение

г<к

i = div it j

3 \i{t - T)dWlt

dT +

0

t j IJ-i{t - т)екк dT+ 0

t +

f fii{t.-T)eikdT, i
(1.2.42)

{

в котором it и iik являются функциями от Х2, X'i, t, а it и eik (входящие под знаки интегралов) — функциями от Xi, Х2, х-^, т. Важно обратить внимание на особоиность конструкции выражения I в формуле (1.2.42), содержап;его (с одинаковыми знаками) несколько слагаемых вида I т ^ т

j xit-r)e{T)dT,

(1.2.43)

о где под х(^) подразумевается Ai(i) или /ii(t), а под e{t) - или d i v l t , или же eik{t), причем пространственные переменные xi, Х2, хз упомянутых функций не выписаны ради краткости. Эта особенность состоит в тривиально доказуемом факте, что если > О, а e(t) и e{t) непрерывны, причем е(0) = О, то существует некоторый (конечный) промежуток времени О < t
48

оказывается j{t) > 0. Совершенно таким же свойством обладает величина I в формуле (1.2.42), если ядра операторов (1.2.36) удовлетворяют неравенствам Ai(0>0,

(1.2.44)

iii{t)>Q.

Указанное свойство, которое мы назовем свойством неотрицательности /, оказывается весьма существенным при доказательстве единственности решения динамических задач в случае вязкоупругих сред (п. 6 § 3 ) .

Если учесть выражения (1.2.41) и (1.2.42) и уравнение движения (1.2.8), то равенство (1.2.39) после интегрирования по области V, ограниченной гладкой поверхностью S с внешней нормалью rt, приводит к формуле

{V)

"

(V)

(V)

1 1 / (S)

похожей на формулу (1.2.18), которую можно толковать как закон сохранения энергии в линейной теории вязкоупругих сред. При этом выражение l l l l d V = l l l (V)

(1.2.46)

{V)

соответствует энергии, гюглощенной средой из-за вязкости материала. Остается лишь отметить, что в реальных вязкоупругих средах условия (1.2.44) выполняются. При этом на основании вышеизложенного нельзя утверждать, что интеграл (1.2.46) всегда > 0. Однако если при t = О было it = О, а при i > О в среде появлялись возмуш,ения, то можно утверждать существование такого интервала О < t < ti времени, в котором / > О и, следовательно, интеграл (1.2.46) неотрицателен. Этого уже достаточно для доказате;п,ства единственности решений динамических задач в случае вязкоупругих материалов.

49

§ 3. Постановка задач в динамической теории упругости. Единственность решения в классе функций со слабыми разрывами 1. Пусть V - произвольная конечная или бесконечная область переменных х - xi, у = Х2, z = хз, ограниченная поверхностью S с внешней нормалью 7t. Предполагается, что область V заполнена упругой средой, характеризующейся упругими параметрами Cik^v^i = Cik,un{xi, Х2, Хз) и массовой плотностью р = p{xi, Х2, Хз). На элементы среды действуют внешние массовые силы ~f = ~f{xi, Х2, хз). В начальный момент времени ( = О считаются известными поля сме1цений и скоростей смещений, т. е.

f=0

= Uo{xi, Х2, Хз),

й

t=0

= V^[xi, Х2, Хз).

(1.3.1)

в точках N граничной поверхности S предполагаются заданными: а) или значения вектора смещений It

= Tf{N,

(1.3.2)

t),

б) или значения вектора напряжений It

N

=

(1.3.3)

t),

в) ИЛИ же, наконец, смешанные условия вида

N

(1.3.4)

N

ИЛИ

N

= U.{N,t),

N

=T3{N,t),

(1.3.4')

в которых на граничной поверхности S задаются частично составляющие вектора i t и частично составляющие вектора t „ . Заметим, что в условия (1.3.4) и (1.3.4') входят проекции векторов i t и на систему взаимно перпендикулярных ортов rf, f^, т^, определенных для каждой точки N на поверхности S. Обычно один из этих векторов (вектор т^) совпадает с нормалью i t к поверхности S.

50

функции , vt, v^, a также функции из правых частей того (одного!) из граничных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'), при которых рассматривается формулируемая ниже задача, считаются известными. При этом в случае бесконечных областей V всегда предполагается существование такого конечного радиуса Л > О, что все упомянутые функции тождественно равны нулю вне сферы радиуса Л с центром в какой-либо фиксированной точке области V. Это условие выражает тривиальный факт, что любые измерения и (контролируемые) воздействия на среду могут производиться лишь па конечных расстояниях от выбранной точки среды. Если внутри области V параметры Cj^ ^^ и р остаются непрерывными, то нестационарные динамические задачи теории упругости формулируются следующим образом. Требуется найти поле смещений lt{x, у, Z,) в области V из решения уравнения (1.2.8) mvtik

+ t

= р

d'lt dt^

при начальных условиях (1.3.1) во всех внутренних точках области V и при одном из граничных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'). При этом может оказаться, что на разных частях гранич1юй поверхности S заданы различные граничные условия из указанных (но обязательно на каждой части S только одно из таких условий). 2. Докажем единственность решения поставленной задачи в предположении, что при заданных функциях ' f , й^ а v^ и функциях из правых частей граничных условий решение реализуется в классе векторов lt{xi, Х2, хз, t) со слабыми разрывами, т. е. таких векторов, что непрерывно вместе с первыми частными производными в области V вплоть до поверхности 5 и имеет в области V интегрируемые вторые частные производные. При указанной гладкости решения it можно пользоваться зако1юм сохранения энергии в его интегральной форме (1.2.18). При этом будем сначала считать V конечной областью, ограниченной достаточно гладкой замкнутой поверхностью 5. Если существуют два решения ut и удовлетворяет в области V уравнению =

51

то разность i f = ut —

(1.3.5)

и нулевым начальным данным it

f=0

it

= 0,

t^o

(1.3.6)

= 0.

На поверхности же S поле it удовлетворяет одному из однородных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'), в правой части которого появляется нуль. При этом, например в случае (1.3.2), оказывается it = О, следовательно, и it ^^ — 0. Нетрудно видет!», что какое бы из указанных граничных условий ни рассматривалось, в точках N границы S для поля it всегда выполняется равенство (ttit)

(1.3.7)

=0.

N

Применяя к нолю it формулу (1.2.18), в которой сле/дует положить = О, получаем ^///[И^

+ f

-

rfF

j j{ttlt)dS,

(1.3.8)

где поверхностный интеграл из правой части равен пулю в силу равенства (1.3.7). Поэтому из выражения (1.3.8) следует

/// (V)

t=t

dV

-

т

W+P-{itf

t=o

dV = Q,

(V)

(1.3.9) так как в момент t = О оказьп!ается (м = О и е;^; s О в силу уиювий (1.3.6). Значит W = О по условию (1.2.12). Но при любых t для W из условия (1.2.12) справедливо TV > 0. Поэтому из фор)мулы (1.3.9) и предположенной непрерывности всех первых частных производных от it след>'ет W = О и и = 0. Итак, ejfc = О и ^ = 0. Отсюда вытекает, что i t = й^ + х w^], где й^ = const, = const. Но в силу условий (1.3.6) оказывается = О, ij^ = О и, следовательно, i t = О, что и требуется. 3. Нетрудно видеть, что приведенное доказательство фактически применимо и для случая безграничной области V. Действительно, при рассмотрении процессов в течение любого конечного промежутка О < t <Т времени всегда можно дополнить поверхность S такой поверхностью S, что замкнутая область, ограниченная поверхностями S и Е, будет конечной и что в окрестности S оказывается it = 0. 52

Возможность выбора поверхности Е, обладающей указанными свойствами, следует из гиперболичности системы уравнений (1.2.8)®, а также из условия, что па достаточно больших расстояниях все внешние воздействия на среду равны нулю (см. п. 1). 4. Если в области V имеется копеч1юе число границ раздела а^, при переходе через которые (все или некоторые) параметры pncik, из соотношений (1.2.6) исгпахтывают разрывы непрерывности, то поле смеш,ений lt{xi, Х2, х^, t) = и его частные производные могут иметь разрывы на границе ст,. Будем понимать под классом полей it со слабыми разрывами в области V такое множество векторов it, что: 1) в области V существуют интегрируемые вторые производные от it, 2) it и все его первые частные производные непрерывны в V вплоть до S везде, за исключением границ раздела сг,, и 3) существуют конечные предельные значения 'и^ и it^^ производных it{M,t) и ltx^{M,t) при стремлении точек М - М+ и М = М~ к точке N € (Тд вдоль нормали '?t(N) как с положительной, так и с отрицательной стороны от границы aq (рис. 1). При этом нормаль it к ffq направлена от поверхности сг, в положительную ее сторону.

Рис.

1

Обволакивая каждую границу раздела aq бесконечно топким чехлом с элементами d(7+ = da = da~ и понимая под областью V часть среды, ограниченную внешней поверхностью S, а также упомянутыми чехлами (сг+ + а ^ ) , вместо выражения (1.3.8) будем иметь

dt

Я/

dt

dV =

(V)

° Т о есть из конечности скорости распространения упругих сигналов.

53

=

I

+

it

(S) a вместо выражения (1.3.9) получим

///

w + l

dt

dV =

(V)

d(7q. Поэтому вследствие неотрицательной определенности выражения {W + р/2( u)^) можно утверждать, что теорема единственности имеет место (т. е. itt = Я^), если оказывается {tt

(1.3.10)

it

Условия (1.3.10) нелинейны, поэтому в линейных задачах теории упругости их заменяют такими линейными условиями, из которых с необходимостью следует неравенство (1.3.10). 4ani,e всего встречаются условия =

Tt+ = lt-

(1.3.11)

жесткости контакта на границе или скользящего контакта, когда оказывается {tn )n = {tn )n, и+=и-, (1.3.12) где it - нормальное, а l^i, - независимые касательные направления на границе сг,. Однако соотношение (1.3.10) выполняется и при неполно-скользящем контакте, когда вместо условий (1.3.12) выполняются условия вида (1.3.12') где к < 0. Контакты такого типа могут, по-видимому, встречаться в некоторых моделях сейсмических сред. 54

5. При наличии границ раздела в области У задачи динамической теории упругости формулируются следующим образом. Найти поле смещений it в области V, ограниченной поверхностью S, из решения уравнения (1.2.8) при начальных условиях (1.3.1) и при одном из граничных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'), такое, чтобы на границах раздела сг, выполнялись заданные условия контакта. Что касается аналитических свойств границ раздела, то без ограничения практической общности можно считать, что они задаются поверхностями, нормаль к которым непрерывно дифференцируема почти везде. Единственность решения сформулированной задачи в классе векторов смещений it со слабыми разрывами (определенном в п. 4) доказывается так же, как и в п. 2 с той только разницей, что из-за разрывов непрерывности первых частных производных от it на границах раздела сТд закон энергии в интегральной форме приходится сначала писать не для всей области V, а для области V с выделенными (например, поверхностями сг~ и сг+, параллельными границам раздела сг,) чехлами. 6. В заключение полезно остановиться на случае вязкоупругих сред, нестационарные процессы в которых описываются формализмом теории упругости с той только разницей, что упругие параметры Cik,nv ИЗ формулы (1.2.6) или \ и fj, из формулы (1.2.7) заменяются на операторы вида (1.2.36). Указанное различие не влияет на постановки корректных задач, которые формулируются теперь точно так же, как и в п. 1 или 5. Покажем, что в случае изотропных вязкоупругих сред с операторами (1.2.36), ядра которых удовлетворяют неравенствам (1.2.44), теорема об единственности решения задач из п. 1 имеет место. При этом будем считать, что решение it реализуется в классе векторных функций, непрерывных вместе со всеми частными производными, а также вторыми производными вида itix^ при А; = 1, 2, 3. (Заметим, что для случая вязкоупругости такой класс решений обычно оказывается исчерпывающе общим.) Доказательство теоремы единственности можно проводить буквально на основе рассуждений п. 2 настоящего параграфа, с той только разницей, что из-за присутствия в выражении (1.2.45) сла-

55

гаемого (1.2.46) вместо формулы (1.3.9) получается соотношение

I///К.

IdV

{V)

= О,

(1.3.13)

(V)

в котором под if подразумевается разность любых двух рептений fit и рассматриваемой задачи, удовлетворяющая очевидно нулевым начальным данным (1.3.6). Непрерывная функция it(ж/г, t) = u\{xf;, t) — ni(xk, t) равна нулю тождественно lt{xk, t) = О при t = О в силу условий (1.3.6). Если бы при t > О оказалось lf{xk, t) = О, то единственность решения задачи (в указанном классе функций) имела бы место. В противном же случае должно было бы сун;ествовать значение to > О, такое, что it = О при t < to, к it ф О, если < = + 5, где (5 > 0. Но тогда по свойству интегралов вида (1.2.43) при достаточно малом значении (5 > О должно было бы оказаться

///

IdV

> О,

(V)

вследствие чего из выражения (1.3.13) следовагю бы

IJ1I

dV < О

(V)

III

Wo + l i i t f

dV < О,

(V)

что невозможно. Итак, предположение, что it = — й^ ^ О приводит к противоречию. Значит it = О, т. е. единственность решения задач из п. 1 для случая вязкоупругих сред имеет место. § 4. О структуре тензора упругих параметров в случаях основных типов анизотропной среды и о классических моделях сейсмических сред Уравнения движения (1.2.9) упругой анизотропной среды содержат вещественные параметры Cik,,,i, = Cik,,i„{xi, х^, хз), удовлетво56

ряющие естественным условиям симметрии ^ik.fit/ ~

^ki^iii^ ~

~

^-/л/, гА: •

(I'^'l)

Вследствие этого в общем случае произвольной анизотропии среда характеризуется 21-м независимым упругим параметром. При этом неустранимых параметров в уравнениях (1.2.9) оказывается 18, так как тре.мя параметрами всегда можно распорядиться произвольно путем подходящего выбора направлений осей рассматриваемой декартовой системы координат. Однако при столь большом числе параметров, определяющих свойства среды, описание волновых процессов в ней становится физически бессодержательным. Поэтому приобретает прикладной интерес поиск таких классов упругих сред, которые характеризуются меньшим числом вещественных параметров. К менынему числу вещественных пара.метров можно прийти лишь путем наложения на класс расс.матривае.мых сред некоторых ограничительных условий, подобных условиям пространственной симметрии, характерной для монокристаллов (которые как раз и послужили отправной базой для первичного этапа изучения явлений упругой анизотропии.) Такого рода условия могут реализоваться и в блоках сейсмических сред. Вследствие этого получаемые упрощенные уравнения движения выборочных классов анизотропных сред оказываются полезными и в сейсмической практике. 1. При выяснении вопросов, касающихся возможно более простых структурных форм таблицы коэффициентов Cik^^u тензора упругих параметров среды, целесообразно исходить из следующих двух положений. Во-первых, из факта инвариантности (относительно афинных ортогональных преобразований координат L = L{XK)) выражения (1.2.12), т. е. 1 И''= -

^ ^

(1-4.2)

для плотности энергии упругой деформации среды (которое лежит в основе реалогии представления об упругой среде в теории упругости). И, во-вторых, из закона преобра:адвания дх', дх', дх', дх'

57

компонент тензора 4-го ранга упругих параметров при переходе {L ^ L') от одной правовинтовой декартовой системы координат {ХК} к другой.подобной же системе {x'f.}, связанной с первой системой формулами ортогонального преобразования 3

3

x'k = Y^akiXi, i=l

3

^ a k i O r i = Y^aikair = 5кгi=l i=l

(1-4.4)

Заметим, что в формуле (1.4.3) каждый из индексов а, Ь, си d принимает независимо от других любое значение 1, 2 или 3, а в правой части равенства подразумевается суммирование по индексам а, /3, 7 и <5, принимающим независимо друг от друга значения 1, 2 и 3. Кроме того, напомним, что инвариантность выражения (1.2.12) следует из инвариантности (в классической физике) энергии W dV материального элемента среды относительно любого преобразования координат и инвариантности элемента объема dV относительно ортогональных преобразований координат. Что же касается формулы (1.4.3) преобразования компонент тензора упругих параметров, то она, как известно, непосредственно вытекает из инвариантности выражения (1.2.12), а также из тензорного характера таблицы величин £ik

(1.2.2).

2. К высказанным только что предварительным замечаниям следует добавить, что сразу же после выяснения структуры тензора упругих параметров встает вопрос о способах достаточно наглядного представления получающихся окончательных результатов. И здесь оказывается весьма полезной запись таблицы величин Cjjt^y в форме шестирядной квадратной матрицы; возможность чего непосредственно следует из соотношений симметрии (1.4.1). Для осуществления упомянутой записи по схеме (11)^(1);

(22)^(2); (33)^(3); (23) = (32) ^ (4); (31) = (13) ^ (5); (12) = (21) ^ (6)

устанавливают соответствие между парами индексов (г/с) и (fii/) симметричной матрицы и значением индекса а, изменяющегося от 1 до 6. Кроме этого вводят обозначения iik — iaj £ii=£a,

2eik ^Еа,

— ^а/З) а - г = 1,2,3, 5, 6, 58

(1.4.6)

позволяющие переписать формулы (1.2.12) или (1.4.3) и (1.2.6) в форме ^ И^ = -

6

6

^

Са/ЗеаЕ/З > 0 ,

(1.4.6')

ta = Y1 3=1

а, 0=1

которые в последующем, правда, не используются. Что касается тензора упругих параметров среды, то в соответствии с обозначениями (1.4.5) и (1.4.6) его составляющие представляются симметричной матрицей 6-го порядка Си

Си

Cl6

С26

С21 С22 \ Сб1

Сб2

...

(1.4.7)

Cq/3 = Cffa,

(Са^) = Сев /

элементы которой подчинены, например, условиям

Си > О,

Сц

С22

С21

С22

>

0,

Си С12

Ci4

С21

С22

С24

С41

С42

С44

>

Си

Cl2

Ci3

С21

С22

С23

С31

С32

сзз

0 , . . . , |Са/3 1 >

>

0,

0,

(1.4.8)

которые обеспечивают положительную определенность квадратичной формы из формул (1.4.6'). 3. При установлении структуры таблицы Са/з из формулы (1.4.7) в случае изотропной среды естественно исходить из условия с аЬ, cd ~

Cab, cdj

выражающего факт физической эквивалентности в описании полей смещений всех координатных систем L, связанных друг с другом ортогональными преобразованиями (вращения) (1.4.4). Поэтому в условии инвариантности (1-4.2) плотности энергии величины Cik,n.v оказываются постоянными в любых координатных системах L из формул (1.4.4). Само же выражение (1.4.2), содержащее постоянные

59

величины Cik,ii„, должно представлять собой (в классе указанных систем координат L) квадратичный инвариант относительно величин Cjjt — компонентов тензора деформации. Однако существует лишь два таких квадратичных инварианта, представляемых, например, выражениями Ji и J^ из равенства (1.1.14). Поэтому для плотности потенциальной энергии W из формулы (1.4.2) получается выражение 2W = aJi+bJ2,

(1.4.9)

в котором обычно полагают а = X и b — 2/u. Это приводит к следующему окончательному выражению: IJ'h = — — ( е й +S22 + е з з ) +

И^ = -b2/i[£?2 +

+ £23 -

( £ I I £ 2 2 + £ i i £ 3 3 + £22£ЗЗ)]-

(1.4.10)

Для составляющих тензора напряжений в соответствии с равенствами (1.2.6) получаются формулы tii -

: = 1, 2,3,

£qq + 2^еи = Лdivlt -t- 2/^

dxi'

q=\

и, =

=

(дщ

+

duk

гфк,

_

или tik - X'Y^SggSik+2^ieik,

г,/с = 1 , 2 , 3,

(1.4.11)

q=l

выражаю1цие закон Гука в случае изотропных упругих сред. Что касается матрицы (са/з) (1.4.7), то в случае изотропных сред она выглядит следующим образом: ( Л f 2/i Л Л 0 0 0 \

Л Л-|-2/х А 0 0 0

Л Л Л + 2/z 0 0 0

0 0 0 Р 0 0

0 0 0 0

0 ^ 0 0 0 IJ- 0 0 /i у

(1.4.12)

4. При устатювлении структуры матрицы (с^/з) в случае сред с осью симметрии второго порядка (моноклинные кристаллы) будем

60

считать, что оси Oxz рассматриваемых декартовых координатных систем совмещены с осью симметрии среды. Тогда при вращении среды вокруг оси Oxz на угол <р —-к среда совмещается сама с собой. Обозначая через L и L' соответственно исходную координатную систему и систему, повернутую относителыю оси Охз системы L па угол ip — тт, для преобразования координат L ^ L' будем иметь дх[ dxk

=

=

-Ski

-S,k2,

dxk

dxk

=

-^кЗ,

(1.4.13)

где Ski — си.мвол Кронекера. При рассматриваемом преобразовании в формуле (1.4.3) должно оказаться c'^h.cd = c-ab,cd (так как среда совмещается сама с собой при переходах типа L L'). При учете соотношений (1.4.13) это приводит, как легко видеть, к уравнениям Cab,cd

=

{-Y<:ab,cd,

а,

Ь, С, d -

1, 2 , 3 ,

(1.4.14)

в которых р равно числу, указывающему, сколько раз цифра 3 встречается в последовательности чисел а, Ь, с, d. Очевидно, что тем комбинациям чисел а, Ь, с, d, которым отвечает нечетное значение р, соответствует Cab,cd = 0. Таким образом, мы убеждаемся, что С12дз=0,

Си,кз=0,

к=

1 , 2 , 3 .

(1.4.15)

При учете обозначений (1.4.5) и (1.4.6) это приводит к равенствам Сб4 = С46 = Сб5 = С56 = Са4 = С^а = СаЬ - С^а = О,

» < 3,

(1.4.15')

и к следующей таблице упругих параметров : f СП Си (Са/З) =

^

СЛ2 C22

С13

0

0

С23

0

0

С26

Cl6

С13

С23

Сзз

0,

0

СЗб

0

0

0

С44

С45

0

0

0

С45

С55

0

С26

Сзб

0

0

Сбб

0

с\е

(1.4.16)

J

Такая таблица содержит 13 независимых параметров, из которых один может быть исключен за счет выбора ориентации оси Oxi. Таким образом число независимых пара.метров может быть уменьшено на единицу.

61

5. В случае сред с тремя взаимио перпендикулярными осями симметрии второго порядка (ромбические кристаллы) естественно оси симметрии совмещать с осями координат рассматриваемых декартовых систем. Так как каждая координатная ось является осью симметрии второго порядка, то искомые элементы таблицы упругих параметров должны удовлетворять трем (независимым друг от друга) соотношениям вида (1.4.14), получаемым в случае вращения вокруг каждой из координатных осей. При рассмотрении оси Ох^ получаются соотношения (1.4.15) или (1.4.15'). Рассмотрение же осей Oxi и 0x2 приводит к соотношениям =

Си, и

СЦ,к2

С23Д1 = =

А; ^

О,

С13Д2 -

О,

Са4 =

С„5 =

1, г =

1, 2 , 3 ,

(1.4.17)

или С45 =

С46 =

С56 =

с^б =

О,

а =

1, 2 , 3 ,

(1.4.17')

где, конечно, Сар = сра- Нетрудно видеть, что при учете равенств (1.4.15') и (1.4.17') мы приходим к таблице упругих постоянных

(Са/З) ==

\

Си

Cl2

Cl3

0

0

0

Cl2

С22

C23

0

0

0

Cl3

С23

Сзз

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

СЪЪ

0

0

0

0

0

0

С66

^

(1.4.18)

)

содержащей 9 неустранимых независимых параметров. 6. В случае сред с осью симметрии четвертох'о порядка целесообразно ось Охз координатной системы совместить с осью симметрии среды. Свойства рассматриваемой среды таковы, что при повороте вокруг оси Охз на угол = 7г/2 (следовательно, и на угол = тг) среда совмещается сама с собой, т. е. ось симметрии четвертого порядка оказывается в то же время осью симметрии второго порядка. Вследствие последнего обстоятельства элементы Са/з таблицы (сд/э) должны удовлетворять равенствам (1.4.15'). Но и среди оставшихся 13 элементов вида (1.4.16) 6 оказываются равными нулю. Действительно, при переходе от системы координат L к системе L' вращением вокруг оси Ох^, на угол ср = 7г/2 в левой части равенств (1.4.3) следует писать Cab,cd вместо Что же касается

62

коэффициентов из правой части преобразования (1.4.3), то для них очевидно справедливы формулы дх[ dxk

= <^2*:,

дх'., дхк

-0\к,

=

_ ^Ък-

-

дхк

(1.4.19)

Учитывая условия (1.4.19), воспользуемся соотношениями (1.4.3) (при — (^ab,cd) и применим их лишь при значениях индексов аЬ, cd, отвечающих отличным от нуля элементам таблицы (1.4.16). В результате получаем равенства Cie = -С2В,

С44 = С55,

Си =

С22,

Ci3 =

С23,

С36 =

С45 = О,

при учете которых таблица (1.4.16) упрощается и принимает вид

(Сг,/3) =

Си

С12

Ci3

0

0

Cie

С] 2

Си

Ci3

0

0

-C16

С13

Cl3

СЗЗ

0

0

0

0

0

0

С44

0

0

0

0

0

0

С44

0

С16

-C16

0

0

0

С66

(1.4.20)

Таким образом, тензор упругих постоянных содержит в рассматриваемом случае 7 независимых параметров, из которых один может быть исключен выбором соответствующего направления оси Oxi. 7. Не ставя здесь целью рассмотреть все типы анизотропии, отвечающие известным классам симметрии кристаллов, мы стремились лишь пояснить способы установления структуры тензоров упругих параметров анизотропных сред, а также получить результаты для случаев, которые, как нам кажется, имеют ббльшую вероятность }1айти приложения в сейсмике. И вот в этом отношении первенствующее положение несомненно занимают так называемые трансверсально-изотронные среды, которые и надлежит еще рассмотреть. В трапсверсально-изотропных средах существует лишь одна ось симметрии бесконечно высокого порядка (принимаемая далее за ось Охз декартовой координатной системы L), т. е. такая ось, что при повороте среды вокруг нее на любой угол ip среда совмещается сама с собой. Таким образом, все направления, перпендикулярные такой оси, оказываются равноправными во всех отношениях. Д л я установления структуры таблицы Са0 в таком случае удобно поступать, как и в п. 3.

63

Так как при повороте среды относительно выбранной оси Ох^ на произвольный угол ip среда совмсн;астся сама с собой, то в выражении (1.4.2) величины Cik^/xi, должны иметь одинаковые значения всех системах координат L из преобразований (1.4.4), образующих класс L{(fi) указанных вращений на углы if. С другой же стороны, выражение =

'"''ik.f^^-ike^.

(1.4.21)

должно быть квадратичным инвариантом (по £ik) в классе преобразований L{ip), записываемых явно, например, в виде Жд = а;з;

ж', = zi cost/? — Ж2 sinews;

х'2 = x^smip + X2C0Sip,

или cos (рЛ- х'2 sin ip-. Х2 — —х\ sin ^р + х'^ cos (1.4.22) Итак, дело сводится к нахождению всех однородных квадратичных форм от Sik, инвариантных относительно преобразований (1.4.22). Компоненты Eik тензора деформации преобразуются, как известно, по закону хз = х'^-,

XI = х\

,_

dxi dxk

_

dxi dxk

где в соответствии с преобразованиями (1.4.22) оказывается дх\

дх\

дх2

.

дхз

а все остальные производные Xk по x'f, равны нулю. Поэтому имеют

64

место формулы е'и = cos^

• £11 + 2 sin

cos(/5 • £12 + sin^

• £22,

£22 = cos^

• £22 - 2 sin у) cos (/3 • £12 + sin^ !/P • £11,

£'12 = - cosv'sin^j • £]i + (cos^ ip - sin^ ip)s\2 + sin
£23 = -sini^ • £13 + cosv? • £23,

£33 = £33,

(1.4.23) из которых явствует, что выражения £33 ~ £зз!

£'i3 + £23 ~

^П + £'I2 +

+ £2^31

— ^U +

(1.4.24)

+ ^2^2

оказываются инвариантами преобразований (1.4.22). Если еще учесть наличие общих квадратичных инвариантов (1.1.14') (относительно любых афинных ортогональных преобразований координат), то полный набор независимых квадратичных инвариантов преобразований (1.4.22) сведется к следующему: (£ii+£22)^;

£?1+2£?2+ем;

£33;

^13+^23;

e.s3(£n+£22)- (1.4.25)

Итак, исходя из представления (1.4.21), на основании изложенного можно утверждать, что плотность потенциальной энергии трансверсально-изотропиой среды представляется в виде 2W = ai (£11 + £22)^ + 2а2(£?1 + 2£?2 + £и) + +ао£^з-Н2аз£зз(£11 +£22) + 4а4(£?з+£2з).

(1.4.21')

где По, a i , . . . , а4 обозначают материальные параметры среды, введегтые вместо параметров Cik^^v из выражения (1.4.21). С целью облегчить сопоставление волновых процессов в изотропных и трансверсально-изотропных средах целесообразно для материальных параметров применять следующие обозначения : ао = X+2ij.—p,

О] = А,

02 =/i,

65

03 = А — a ^ i — fi — rn. (1.4.26)

При этом на основании преобразований (1.4.21'), (1.4.4), (1.4.5) — (1.4.6') для матрицы {са/з) из представления (1.4.7) элементов тензора упругих параметров трансверсально-изотропной среды получается представление f

X +

2fi X

V

2^l

x - l

0

0

0

x - l

0

0

0

0

0

0

0

0

0

H~m

0

0

0

0

0

0

Ц — ТП

0

0

0

0

0

X - l

(Сай) =

A x + x - l

Х +

2 Ц - Р

\

0 M у

(1.4.27) Сопоставление представления (1.4.27) с матрицей (1.4.12) показывает, что при р = I = т = О трапсверсально-изотропная среда вырождается в изотропную среду, характеризующуюся параметрами Ламе А и р . Остается отметить, что на основании преобразований (1.4.21'), (1.4.26) и (1.4.6') для составляющих тензора напряжений в трансверсально-изотропной среде получаются формулы ^11 = А Ё

+

- 1£зз -

- l£33,

i=l

3

tT2 = XT, t=l

+ 2/i£22 - l£33 =

- /£33,

3

t33= XT

i=l

=

+ 2р£зз - l{£u + £22) - P£33 =

(1.4.28)

-/(£11 +£22) -Р£зз, tl2 = hi = 2/J£i2 -

ti3 = t3i = 2{fj. - m)£i3 = t23 = t32 = 2(/i - m ) e 2 3 = <23 -

- 2m£i3, 2т£2з,

в которых через обозначены составляющие (1.4.11) тензора напряжений в изотропной среде с параметрами А и /i.

66

Итак, оказывается, что трансверсально-изотропная среда характеризуется пятью неустранимыми (материальными) параметрами. Более полные сведения о составляющих тензора упругих параметров кристаллов различных типов (равно как и типичных геологических образований) можно получить из специальной литературы. Они здесь далее не понадобятся. В заключение нужно подчеркнуть, что представления (1.4.16), (1.4.18), (1.4.20) и (1.4.27) для составляющих с^е, из представления (1.4.7) тензоров упругих параметров среды получены в специальных системах координат связанных с осями симметрии среды, как указано в начале каждого пункта параграфа. Поэтому для получения значений составляющих тензора упругих параметров cik^^iv из выражения (1.4.2) в рассматриваемой (рабочей) системе координат L необходимо, во-первых, получить значения составляющих ^^ тензора упругих параметров в (специгильной) системе координат используя связь между Са0 и соотношений (1.4.5) и (1.4.6). И, во-вторых, совершить переход от системы координат = L°{xk) к рабочей системе L = по формулам вида (1.4.3) (при Cai3^-ys — (^00,-уд") пресбрэзования элементов тензоров 4-го ранга. 8. Обращаясь к завершающему пункту параграфа, уместно отметить, что основной задачей последующего является изложение методов и алгоритмов получения информации о распространении волновых полей, возбуждаемых в упругих средах с тем, чтобы судить по ним о типе (характере) анизотропии или неоднородностей среды, а также — предложить наглядные количественные способы описания течения волновых процессов в моделях сейсмических сред достаточно общего вида. Что же касается самих таких процессов, то первоочередным представляется изучение законо.мерпостей в распространении полей сигнального типа, связанных с представлениями о фронтах (или квазифронгах — «вступлениях») и лучах волновых полей, распространяющихся в так называемых классических моделях сейсмических сред. Последние задаются в виде неподвижных областей V, имеющих блоковую структуру с конечны.м (и небольшим) числом границ раздела реализующихся в виде гладких математических поверхностей грк{х1, Х2, хз) = 0. Предполагается, что такие поверхности

67

имеют почти везде непрерывные орты нормалей gVcidфk{Xl, Х2, Хз) =

жг, хз)

и что они пересекаются любой прямой лип1ь в конечном (небольшом) числе точек. Наконец, предполагается, что внутри блоков области V параметры среды р{Хр) и Cik,tiv{Xp) имеют требующуюся гладкость. При стремлении же точки М = = М { х к ) к границе раздела Е по некасательному пути они имеют определе1Н1ые предельные значения р^ и ра;^личные, вообще говоря, с разных сторон ( ± ) гранит;ы. Остается лишь отметить, что под полями смещений сигнального типа здесь понимаются волновые поля, в структуре которых содержатся некоторые экстремальные образования (реперные отметки), перемещение которых как раз и определяет феномен распространения волн в пространстве. Основу таких образований всегда составляют какие-либо «быстроизменяющиеся» части волновых полей. При этом наиболее простыми и физически яркими представителями таких частей всегда оказываются разрывные (или весьма близкие к разрывным) части полей смещений или их производных по Xk и t. Таким образом, закономерности в распространении поверхностей разрыва поля упругих с.мещений в выбранных типах модельных сейсмических сред должны нести в себе именно ту информацию о свойствах рассматриваемой среды, которую стремятся получать в сейсмике при регистрации нестационарных волновых импульсов, для тех или иных сейсмических волн сигнального типа.

Глава 2 Волновые поля сигнального типа. Поверхности разрывов (фронты) упругих волновых полей § 5. Слабые и сильные разрывы поля упругих смещений. Кинематические и динамические условия совместности В главе рассматриваются yripyi'HC среды, параметры р и которых всюду непрерывны, а в §6 предполагаются, кроме того, непрерывными и все их частные производные, встречающиеся при выкладках. Целью главы является вывод дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих движение поверхностей разрывов (фронтов) ноля упругих смещений в анизотропных упругих средах, а также — получение уравнений (для вектора поляризации разрывов), описывающих характер разрывов производных поля смещений при переходе через упомянутые поверхности. При этом обнаруживается глубокая ана.'югия в распространении элементов поверхностей разрывов волновых полей с распространение.м в анизотропных средах локально-плоских волн различных типов. Как известно, в сейсмической практике приходится иметь дело главным образом с полями смещений сигнального характера, возбуждаемыми сравнительно кратковременными воздействиями. В эксперименте такие поля регистрируются обычно в виде вступлений волн, т. е. в виде главных, наиболее быстро изменяющихся частей волнового поля, отвечающих той или иной возбудившейся в среде волне. Главные части поля в условиях практики всегда непрерывны и имеют непрерывные производные всех порядков. Относительно же их распространения в сейсмологии и сейсморазведке безраздельно

G9

принимается (и притом в удовлетворительном согласии с практикой), что оно происходит по законам геометрической сейсмики. Но хорошо известно, что законы геометрической сейсмики строго применимы (в точном смысле слова) только лишь к описанию движения поверхностей разрывов поля смещений или его производных, отвечаюш,их в математическом формализме теории упругости некоторым разрывным воздействиям над средой. Поэтому изучение закономерностей в распространении поверхностей разрывов поля смещений в анизотропных упругих средах должно привести к установлению соответствующих законов геометрической сейсмики, описывающих приближенно и распространение поверхностей главных частей во;п10вого поля, в окрестности которых поле упругих смещений изменяется наиболее быстро. Доказательство последнего утверждения может быть получено, в частности, на основе известной общей формулы I о связывающей разрывное поле смещений и гладкое поле возбуждаемые в одной и той же среде одним и тем же источником, включаемым при t = О, по зависяпщм от времени соответственно как fo(t) = e{t), где е(<) — функция Хевисайда (т. е. e(t) = О при t < О и e{t) = 1, если < > 0), и как f{t), где f{t) — достаточно гладкая функция. Нетрудно видеть, что в случае кратковременно действующей функции f{t) быстро изменяющаяся (сигнальная) часть гладкого поля сосредотачивается в узкой окрестности поверхности разрыва поля Поэтому за фронт поля lt{l^,t) с хорошей точностью можно брать поверх1Юсть разрыва поля Изложенными соображепия.ми как раз и определяется практическое значение изучения круга вопросов, касающихся распространения в анизотропных упругих средах разрывных частей полей смещений или их производных. 1. Пусть на поверхности Ф{хих2,хз,1)=0

(2.5.1)

испытывают разрыв непрерывности некоторые частные производные составляющих поля смещений lt{xi, Х2, хз, t). Говорят, что поле "if имеет на поверхности (2.5.1) сильные разрывы, если при переходе через поверхность само поле i t остается непрерывным, но

70

по крайней мере одна из частных производных первого порядка от его составляющих терпит разрыв непрерывности. Если же при переходе через поверхность (2.5.1) остаются непрерывными поле l i и все его частные производные первого порядка, а среди частных производных порядка n > 2 от составляющих it имеются разрывные, то говорят, что поле i t испытывает на поверхности (2.5.1) слабые разрывы. Предполагая, что на поверхности (2.5.1) поле смещений имеет слабые или сильные разрывы, поставим вопрос об описании движения любых поверхностей разрыва, т. е. в конечном счете вопрос об уравнениях для функций V, посредством которых в форме (2.5.1) определяются поверхности разрывов. Ответ на такой вопрос в случае слабых разрывов дается в § 6, а в случае сильных разрывов — в § 7. Предварительно же надлежит привести ряд вспомогательных результатов, касающихся описания движения поверхности (2.5.1), а также соотношений .между составляющими поля упругих смещений по разные стороны поверхности разрыва, выражающих так называемые условия совместности. Такого рода вопросы подробно и с полными выводами обсуждаются в § 4 монографии [1]. Поэтому здесь мы ограничимся лишь приведением необходимых нам результатов с краткими их пояснениями. 2. Далее везде мы будем изучать поверхности (2.5.1), определяемые функциями xl){xi,x2,x3,t) непрерывными вместе с их частными производными дф/дхк, к — 1,2,3, дяр/дЬ первого порядка при всех рассматриваемых далее значениях аргументов xi,X2TXz,t. Так как в выражение (2.5.1) входит вре.мя t, то расположение поверхности (2.5.1) в пространстве переменных жх, Х2, х^ изменяется во времени и, следовательно, можно говорить о скорости перемещения точек N поверхности в упомянутом (трехмерном) пространстве. Если N = {хх, 12, а:з) - некоторая точка поверхности (2.5.1) (рассматриваемая в момент времени t), то за направление скорости движения точки N берут орт нормали # = ^ Igrad^l

(2.5.2)

к поверхности (2.5.1) в точке (N, t), где 3

„ ,

gradV-^^^U к=1 * 71

3

(2.5.2') к=1

причем производные =

ЭхЬ

к = 1,2,3,

(2.5.3)

функции гр из выражения (2.5.1) вычисляются в точке {N,t). Что же касается величины скорости движения выбранной точки N поверхности (2.5.1) вдоль нормали it, то она определяется обычным образом и имеет значение viN, t) = ^

^

н

(2.5.4) ЕрП \fc=i /

где по аналогии с тождеством (2.5.3) =

дгЬ

(2.5.3')

Итак, за скорость распространения поверхности (2.5.1) прини.мают скорость (2.5.4) движения ее точек {N, t) вдоль нор.малей it = = lt(iV, t), построенных к поверхности (2.5.1) в тех же точках {N, t), движение которых изучается. 3. Принимая за положите;п»иую и отрицательную стороны поверхности (2.5.1) такие множества точек ( х ь Х2, x-s, t), в которых выполняются соответственно неравенства •ф{х1, Х2, xz, t) > О и ij(xi, Х2, хз, t) < О, рассмотрим поле смеп;ений lt{xi, Х2, xz, t), имеющее на поверхности (2.5.1) сильные разрывы. По определению, такое поле имеет составляющие и^{х\, Х2, хз, t), непрерывные во все.м пространстве, включая, конечно, и точки поверхности (2.5.1). Что же касается их частных производных duk/dxi и duk/dt, то они непрерывны с каждой из сторон поверхности (2.5.1), но при переходе через поверхность по крайней мере одна из них терпит разрыв непрерывности. При рассмотрении не слишком резко включаемых воздействий в среде возбуждаются поля смещений с такими (сильны.ми) разрывами, что упомянутые частные производные (непрерывные с каждой из сторон поверхности) при стремлении точек (М, <), не принадлежащих поверхности (2.5.1), к точкам {N, t) этой поверхности имеют определенные предельные значения, разные, вообще говоря, с разных сторон поверхности. В таких случаях легко доказывается, что

72

все производные duk/dxi и du^/dt фактически непрерывны с каждой из сторон поверхности (2.5.1) вплоть до точек поверхности. Это обстоятельство совместно со свойством непрерывности составляющих Uk поля смещений позволяет /юказать, что при переходе через поверхность (2.5.1) остаются непрерывными все выражения вида ди

Мы

ди - Р о ^ =непр,

(2.5.5)

i, к =1,2,3,

в которых pk и ро) имеющие значения (2.5.3) и (2.5.3'), являются непрерывны.ми функциями аргу.ментов Xk и t вследствие npeAHOjraженной гладкости функции ф из выражения (2.5.1). Ус;ювия непрерывности (2.5.5) носят название кинематических ус;ювий совместности для поля it с сильными разрывами на поверхности (2.5.1). Сле;1^ет отметить, во-первых, что условия (2.5.5), выводимые в случае полей i t указанного выше частного вида, оказываются справед:п-1вы.ми и в случае практически произвольных полей it с сильны.ми разрьп!ами. Во-вторых же, что ycJЮвия (2.5.5), по существу говоря, выражают требование непрерыв1юсти при переходе через поверхность (2.5.1) част1п.1х производных от it по направления.м, касательным к поверхтюсти (2.5.1). Действительно, если учесть, что всегда ^t ^ О, то уравнение (2.5.1) может быть ра^ерешено относительно t = t(xi, Х2, хз). При этом дифференцирование вдоль касательных к поверхности (2.5.1) направлений приводит к выражениям дщ ^ дщ^^ dxk

dt dxk

_ дщ

дщ

дхк

di

_ ipt

dui

1 фь

Роъ

'dxk

dui Pk

at

отличающимся от M^i из ус;ю1!ия (2.5.5) лишь непрерывным множителем [— 4. Приведенные в п. 3 уаювия (2.5.5) носят чисто кинематический характер и не имеют отношения к каки.м-либо законам механики. Но очевидно, что при распространении поверхностей разрыва (2.5.1) должны выполняться и законы механики, в частности закон импульса сил и из.менения количества движения (при переходе через поверхность разрыва). Применение этого закона приводит к заключению, что при переходе через поверхность (2.5.1) си.'н>ных разрывов должны оставаться непрерывными выражения 3

Q^

Mki = Y ^ tikPk - р р о ^ = иепр, к=1 ^^ 73

г = 1, 2, 3,

(2.5.6)

в которых Pk и pq имеют значения из тождеств (2.5.3) и (2.5.3'), р обозначает плотность вещества, а — компоненты тензора напряжения из выражения (1.1.11). При этом, как и везде в настоящей главе, предполагается, что параметры р и Cjfc.^^ упругой среды всю/у непрерывны, а выражения pk и ро из тождеств (2.5.3) и (2.5.3') непрерывны вследствие предположенной гладкости функции гр из выражения (2.5.1). Условия (2.5.6) называются динамическими условиями совместности для поля упругих смещений с сильными разрывами. В заключение отметим, что поля смещений it с разрывами в частных производных первого порядка, удовлетворяющие кинематическим (2.5.5) и динамическим (2.5.6) условиям совместности, образуют класс, Нс1зываемый в математической физике классом полей с правильными сильными разрывами. Такой класс полей настолько широк, что он охватывает практически все случаи полей, представляющих прикладной интерес. § 6. Поверхности слабых разрывов как характеристические поверхности системы уравнений движения 1. В теории систем дифферищиальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа вроде системы (1.2.9) (т. е. таких систем, которые описывают распространение каких-либо волн) важную роль играет задача Кощи, заключающаяся в нахождении рещения системы по начальным условиям, задаваемым на некоторой поверхности 'Ф{Х1, Х2, Хз, Хо) =0,

Xo=t.

(2.6.1)

в задачах физики начальные условия очень часто задают на поверхности = t — to = О, причем такие условия для вектора смещений сводятся к равенствам dlt

, ^lt°{xuX2,X3),

t = to

(2.6.2)

физический смысл которых очевиден. Однако в более общих случаях приходится рассматривать задачи Коши с начальными данными в точках поверхности (2.6.1) более

74

общего вида. При этом всегда подобные данные выбираются в такой форме, чтобы по ним и по уравнению поверхности (2.6.1) (на которой они за^;аны) можно было определить во всех точках поверхности (2.6.1) значение как искомой функции (т. е. вектора i t в наших задачах), так и всех ее частных производных первого порядка. Поэтому в принципиальном отношении мы не погрешим, если будем считать, что начальные условия Коши сводятся в задачах обсуждаемого типа к заданию в точках поверхности (2.6.1) правых частей всех следующих равенств: ll =

Х2, Хз, Хо),

— = u^^^^Xi, Х2, Хз, хо), OXi,

(2.6.3)

^ = 0, 1, 2, 3. 2. Если поверхность (2.6.1) не является особой поверхностью, точнее, если она, как говорят, не является характеристической поверхностью для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (1.2.9), то задача Коши имеет решение и притом единственное (при условии, конечно, что функция ф из выражения (2.6.1), равно как и функции из правых частей равенств (2.6.3), обладают достаточной гладкостью). В таком случае поле хч, хз, Жо), а значит, и любые его частные производные, в том числе и производные второго порядка, однозначно определяются на основании изучаемой системы (1.2.9) дифференциальных уравнений (второго порядка), а также начальных данных (2.6.3). При этом в с,чучае дифференцируемых функций «^'"^(xi, Х2, Хз, хо) из равенств (2.6.3) все частные производные второго порядка от искомой функции it по направлениям, касательным к поверхности (2.6.1), определяются непосредственно по выражениям (2.6.3) путем дифференцирования функций вдоль поверхности (2.6.1) Подставляя значения всех таких частных производных второго порядка (равно как и значения частных производных первого порядка из (2.6.3)) в систему дифференциальных уравнений (1.2.9), мы приходим к одггаму векторному алгебраическому уравнению для Ч1осле такого дифференцирования условий (2.6.3) из всех частных производных второго порядка от i t неопределенной остается лишь производная d ' ^ l i j d v ^ по направлению г/, нормальному к поверхности (2.6.1) (в пространстве XI, 1 2 , .тз, хо).

75

частной производной второго порядка от it по направлению, нормальному к поверхности (2.6.1), из которого (в соответствии с предположением о сун;ествовании и единственности решения обсуждаемой задачи К о т и ) эта производная должна однозначно определяться. В результате в точках поверхности (2.6.1) для всех частных производных второго порядка получаются вполне определенные значения, что свидетельствует об отсутствии у упомянутых производных каких-либо разрывов непрерывности при переходе через поверхность (2.6.1).

Итак, .мы видим, что поле i t со слабы.ми разрывами может иметь разрывы непрерывности в частных производных второго порядка в точках поверхности (2.6.1) только в том случае, когда начальные условия (2.6.3), заданные па поверхности (2.6.1), приводят совместно с уравнение.м (1.2.9) к неразрешимой алгебраической системе уравнений для частных производных второго порядка от поля i t , т. е. если поверхность (2.6.1) оказывается характеристической поверхностью системы уравнений (1.2.9). К аналогичному же заключению нетрудно прийти и в случае полей смещений i t со слабыми разрывами, у которых наименьший порядок разрыв}п>1х производных п > 2. Для этого лишь необходимо рассматривать кро.ме уравнения (1.2.9) уравнения, получающиеся из выражения (1.2.9) в результате всевозможных дифференцирований порядка m < п — 2, а кроме условий (2.6.3) — подобные же условия, получаюн;иеся дифферепцирование.м выражений (2.6.3) т раз по всевозможным направлениям, касательным к поверхности (2.6.1). При этом следует предполагать непрерывными все частные производные от упругих параметров и р среды, входящие как в уравнения (1.2.9), так и в уравнения, получающиеся из выражения (1.2.9) в результате упомянутого дифференцирования. 3. Уравнения движения (1.2.9) идеально упругой анизотропной среды будем записьшать в виде

q=l p,fc=0

где ^кр ^ i Cik,p4, если р > 1 , А;> 1, '' \ -pSigSopSok при р-0 или к = 0

(2 6 5)

и не выписаны в явном виде заведомо непрерывные гаагаемые Fj 76

уравнений, не содержащие частных производных второго порядка. Начальные же уачовия будем считать заданными на поверхности (2.6.1) в форме (2,6.3). От независимых переменных 11,Ж2,жз,жо перейдем к новым независимым переменным ж ^, Хз, .Тд, .Cq по форму.г1ам X'Q -

Х2, Х з , ХО) =

Х2, Х'з, XQ), (2.6.6)

Х'^ = UK{XI,

Х2, ХЗ, ХО),

А; = 1 , 2 , 3 ,

где пепрерьпяп,1е вместе со всеми частными производными первого порядка функции ujk выбраны так, что в расс.матриваемой области изменения переменных xi, жг, Жз, хо оказывается djujQ,

и;2, oJ-j) , Xi_, Х2, Хз)

(2.6.7)

00.

При этом преобразование (2.6.6) реализует одпо-одпозначное отображение точек (х^) в {х1). По правилам дифференцирования находим dUq 9хк d'^Uq _

dUq dx'j.

ч^ O'jJr dUq

^ дх'^ dxk ^ dxk дх'^ ' д'^г diOs d^Uq

TiZ " ^^^ дхк Я1-, дхр Я-г' Лт' дхкдхр дх'^дх'^

^ ^

дид Я'Г, Я'Г дх'^' dxkdxp

Поэтому система уравнений (2.6.4) переписывается в виде V

V ,

^кр d-^rdiO, d^Uq dxk дхр дх'^дх'.

+

р fdUq

- о ,

(2.6.8)

г = 1,2,3, где не выписанные явно слагаемые (включенные в выражения F,) не содержат частных производных второго порядка от Uq. Поверхность (2.6.1), на которой заданы начальные условия для системы (2.6.4) в исходных перс.менпых Xq, xi, Хг, Хз, преобразуется

77

по формулам (2.6.6) в поверхность x'q = 0. Поэтому начальные условия для системы уравнений (2.6.8) можно считать заданными в виде условий =

4:

дх'о

„ =

-2,

(2.6.2')

аналогично условия.м (2.G.2). При такой записи начальных условий все частные производные первого порядка от по х'/., к = 1, 2, 3, вычисляются в точках поверхности Жд = О лишь дифференцированием функций u°{x'i, х'2, х'2). На основе Ha4ajn>Hbix условий (2.6.2') ^ в точках поверхности x'q = = О могут быть вычиа]еиы следующие частные производные второго порядка: д ^ ^ дЧ, р, jfc = 1, 2, 3. (2.6.9) dx'i^dx'p' dx'f^dx'o' Не определенными же пока остаются лишь частные производные 9=1,2,3,

(2.6.9')

OXq

для которых из систе.мы уравнений (2.6.8) получается система трех равенств =

г = 1,2,3,

(2.6.10)

9=1

где обозначено

р,к=0 причем Wo = 'Ф{х1, Х2, хз, xq) - функция из преобразований (2.6.6) или (2.6.1), определяющая поверхность, несущую начальные данные Коши. Посредством же Ф(ж^,...) в равенствах (2.6.10) обозначены су.ммы функций

^С достаточно гладкими функциями и^ и v° из правых частей.

78

из выражений (2.6.8) со слагаемыми, содержащими частные производные типа (2.6.9), известные в точках поверхности (2.6.1) (или Xq = 0) в силу данных Коши. 4. Три равенства (2.6.10) можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно производных (2.6.9'). Коэффициенты fliq такой систе.мы, определяемые формулами (2.6.11), (2.6.5), имеют смысл и непрерывны не только в точках поверхности (2.6.1), но и во всей области точек {xq, Xi, Х2, хз), где р и Cik^fxu непрерывны, а функция •ф (2.6.1) определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными. Что же касается правых частей уравнений (2.6.10), то они определены и непрерывны лишь в точках поверхности (2.6.1). Если в точках поверхности (2.6.10) (а значит и в ее окрестности) оказывается ф О, то из системы уравнений (2.6.10) однозначно находятся значения всех производных (2.6.9'). При этом выясняется, что в точках поверхности (2.6.1) все частные производные второго порядка от поля смещений i t имеют вполне определенные непрерывные значения, вследствие чего поверх1Юсть (2.6.1) не может быть поверхностью разрыва для таких производных. Таким образом, упомянутые производные поля смещений i t могут иметь разрывы на поверхности (2.6.1) только в том случае, когда в точках поверхности (2.6.1) выполняется равенство |П;,| = 0,

(2.6.12)

содержащее в правой части определитель матрицы из формул (2.6.11), (2.6.5), не зависящей от поля смещений it, равно как и от значения ip функции (2.6.1). Элементы такой матрицы зависят лишь от упругих параметров р = р(хд) и Cik^^u — Cik,iiu{xp) анизотропной среды, а также от частных производных

функции (2.6.1). 5. Справедливость равенства (2.6.12) установлена лишь в точках поверхности (2.6.1), на которой (по предположению) част1п»1е производные второго порядка от функции it имеют рас^рывы непрерывности. Однако нетрудно видеть, что подобное равенство должно выполняться не только в точках поверхности (2.6.1), но и в ее окрестности (точнее, везде, где определены функции ф и упругие постоянные

79

среды). Чтобы в этом убедиться, достаточно повторить приведенные рассуждения для задач Коши, начальные условия (2.6.3) которых задаются не на поверхности (2.6.1), а Fia поверхностях 'Ф{Х1, Х2, X'i, хо) = с,

(2.6.1')

содержащих параметр с из промежутка -Со < с < со, и учесть упоминавшуюся независимость левой части равенства (2.6.12) от значений яр и поля смещений i t . При выполнимости же равенства (2.6.12) во всех точках {xq, Xi, Х2, хз) некоторой четырехмерной области это равенство приобретает смысл уравнения в частных производных первого порядка относительно функции ip{xi, жг, хз, Жо), посредством которой определяются (в форме (2.6.1) или (2.6.1')) уравнения поверхностей возможных слабых разрывов поля смещений i t . Чтобы получить явное выражение для упомянутого уравнения в частных производных, нужно воспользоваться выражениями (2.6.11), (2.6.5). При этом получаются формулы 3

^iQ =

(^ik.vqPkPp- PPlSiq,

(2.6.14)

В которых ро и pk обозначают производные (2.6.13), а упругие параметры р и являются пепрерывшями функщ1я.ми координат Хр.

Что же касается са.мого дифференциального уравнения, имеющего вид 3

X ] Cik,pgPkPp- PplSi,

= 0,

(2.6.12')

p,k=i

то к его обсуждению мы обратимся в § 8. § 7. Условия совместности в проблеме распространения поверхностей сильных разрывов п о л » смещений Пусть в некоторой области переменных Xi, Х2, хз, t заданы упругая среда с непрерывными параметрами р и Cik^^u, а также поверхность ^ { x u X 2 , X 3 , t ) = Q, (2.7.1)

80

фуикция ^ф которой определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка

во всех точках упомянутой области. Рассмотрим в такой области поле упругих смещений li{xi, Х2, Xz, t) с правильными сильными разрывами на поверхности (2.7.1). Последнее означает, что поле i t всюду непрерывно и имеет частные производные первого порядка, непрерывные с обеих сторон вне поверхности (2.7.1). При переходе же через поверхность (2.7.1) по крайней мере одна из упомянутых производных терпит разрыв непрерывности, но такой, что выполняются условия совместности (2.5.5) и (2.5.6). Исходя из предположения о наличии у поля г/ указап1п,1х разрывов в первых производных и пользуясь только лишь условиями совместности, поставим целью получить уравнения, которым должна удовлетворять функция ф (2.7.1), а также установить характер разрывов у производных от поля i t на поверхностях, определяемых при помощи функции (2.7.1) такими уравнениями. 1. Пользуясь формулой (1.2.6) для составляющих тензора напряжений, перепишем условие динамической совместности (2.5.6) в виде 3

Y1

1

д

Cik,r4Pk-^ - Р Р О ^ = М^и

г = 1,2,3,

(2.7.2)

где Мц - функции, всюду непрерывные в рассматриваемой области переменных Xk и t. Что же касается кинематических условий совместности (2.5.5), то, если в них заменить значки к, i соответственно на г, q, они примут вид Г, 9 = 1,2,3,

(2.7.3)

где MrQ являются всюду непрерывными функциями от Xk и t. При этом под Pit и ро здесь и везде далее понимаются производные (2.7.1') от функции -ф (2.7.1), непрерывные во всей рассматриваемой области переменных Xk и t. Двенадцать сооттюшений (2.7.2) и (2.7.3) можно рассматривать как двенадцать линейных алгебраических уравнений для двенадцати частных производных первого порядка от составляющих поля i t .

81

Коэффициенты таких уравнений, равно как и свободные члены М ц и Mrq, — всюду непрерывные функции. Поэтому если система разрешима, то все первые частные производные от составляющих поля it будут выражены через непрерывные функции и сами окажутся непрерывными. Таким образом, частные производные первого порядка от it могут иметь разрывы непрерывности лишь на таких поверхностях вида (2.7.1), функции t/) которых определяются из условия неразрешимости системы (2.7.2) и (2.7.3). Прежде чем выписывать условие неразрешимости такой системы, целесообразно привести ее к алгебраически более простому виду. Д л я этого умножим уравнения (2.7.2) наро/р, а получающиеся под знаком суммы выражения ро dug/dxr заменим правыми частями равенств (2.7.3). В результате придем к системе лишь трех алгебраических уравнений

Е

=

г = 1,2,3,

(2.7.4)

k,r,q—l В которой р{хиХ2,хз) 3

Mi = ^ M 4 i +

^ik.r.PkMr,,

(2.7.6)

причем = и Mi являются непрерывными функциями в рассматриваемой области переменных Xk и t. Условие неразрешимости такой системы уравнений, сводящееся к равенству нулю ее главного определителя

У^

hk,rqPkPr

-

pl^iq

= о,

(2.7.7)

k,r=\

как раз и оказывается искомым дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка относительно функции ф, по которой определяются поверхности (2.7.1) правильных сильных разрывов поля смещений. В связи с изложенным уместно напомнить, во-первых, что ро и рк из уравнений (2.7.4) и (2.7.7) имеют значения

82

частных производных из формул (2.7.1'). И, во-вторых, что уравнение (2.7.7) совпадает (с точностью до множителя с уравнением (2.6.12'), которое было получено нами для поверхностей слабых разрывов поля смещений. Такого совпадения, конечно, следовало ожидать на основании очевидного факта возможности перехода от поля it со слабыми разрывами на некоторой поверхности S к полю смещений, например, вида

dt"-^ имеюще.му уже сильные разрывы на той же поверхности. Значение п > 2 здесь имеет такой же смысл, что и в п. 1 § 5. 2. Не обращаясь еп;е к рассмотрению уравнения (2.7.7), левая часть которого является однородным алгебраическим многочленом шестой степени относительно величин pi, р2, Рз и ро, лишь отметим, что оно всегда распадается на три различных независимых уравнения соответственно трем типам волн, распространяющимся в анизотропных средах. К обсуждению подобных вопросов мы обратимся в § 8, а сейчас проиллюстрируем высказанное утверждение на простейшем при.мере изотропной упругой среды. Учитывая связь матрицы упругих постоянных Ci/t,^^ с ее представлением матрицей шестого порядка Са0 из п. 2 §4 и пользуясь таблицей (1.4.12), легко находим элементы матрицы ^

j-

'JbUp.p^^

k,r=l

(2.7.8)

Р

определяемые выражениями =

г = 1,2,3, Шщ =

Р^ = ± р 1

+ р,')РгРч, Л ' л ,

г^д,

(2.7.8')

=

Обозначая Qig = Шщ —рд 6iq, составляем определитель из левой части (2.7.7), имеющий значение = П11(П22Пзз - П ^ ) - ^21{П12Пзз - П1зПз2) + 83

= [(А' + -(Л' +

+ м'р' -

- РШ^'

+

+Р1) + / V -

= {-/-Ро)' (

-р'оЫ+Pi)

^

г

Р5]-

-Р^'

Таким образом, уравнение (2.7.7) для поверхностей разрывов расщепляется па три независимых уранпепия (2.7.9) V - P g

= 0,

=

(2.7.9')

два из которых (для поперечных волп) в рассматриваемом случае изотропных сред (и только в это.м случае) совпадают. При использопании обозначений

для скоростей продольных и поперечных волн, а также обозначений (2.7.1') для величин pk и ро уравнения (2.7.9) переписываются в привычной форме уравнений для поверхностей разрыва (фронтов) продольных и поперечных волп в изотропных упругих средах: {grader--

'^р \dt

(grad,^)2--

=0;

dt

= 0.

Что же касается уравнения (2.7.7) в общем случае анизотропной среды, то, как уже упоминалось, оно распадается на три различных независимых уравнения в частных производных (первого порядка) для трех различных типов волновых фронтов. Однако аналитические представления для таких независимых уравнений в обн;ем случае анизотропии практически не удается получать вследствие совершенно необозримой их сложности и громоздкости. И вот любопытным и поучительным оказывается тот факт, что упомянутых представлений фактически и не требуется для того, чтобы успещно решать любые задачи, связанные с распространением волновых фронтов в анизотропных упругих средах. Не обращаясь еп;е к такого

84

рода вопросам, обсудим следствия из уравнений (2.7.4), касающиеся характера разрывов поля амещепий при переходе через поверхность (2.7.1). 3. Допустим, что в результате решения уравнения (2.7.7) определена некоторая поверхность разрыва (2.7.1), относящаяся к одному из трех возможных типов волновых фронтов. Если определить, например, как в п. 3 §5, положительную (индекс «-Ь») и отрицательную (индекс « —») стороны поверхности (2.7.1), то можно ввести в рассмотрение вектор поляризации разрывов с составляющими

равными разности предельных значений производных dui/dt с положительной и отрицательной сторон поверхности разрыва. Очевидно, что при подчинении условию нормировки = 1

(2.7.12)

г-1

вектор поляризации разрывов определит направление (в пространстве х\, Х2, хз), вдоль которого составляющая вектора скорости с.мещеннй dlt/dt испытывает разрыв непрерывности при переходе через поверхность разрыва (2.7.1). Выписывая уравнения (2.7.4) в точках N+ и N- с положительной и отрицательной сторон поверхности разрыва и пользуясь непрерыв1юстью выражений (2.7.5) и (2.7.6), составим разность выписанных уравнений. В результате приходим к системе трех од1юродпых алгебраических уравнений 3

rqPkPvAq - plAi = 0,

г = 1, 2, 3,

(2.7.13)

k,T,q=l

относительно величин Л,- из формулы (2.7.11). Такие уравнения, очевидно, .могут расс.матриваться лип1ь после того, как функция -ф (2.7.1) уже определена на основании реп1ения ypaвпeF^ия (2.7.7). Поэтому все величины р^ и ро из соотношений (2.7.1'), входящие в уравнение (2.7.13), равно как и величины из выражения (2.7.5), следует считать известными. Определитель системы (2.7.13) удовлетворяет равенству (2.7.7), и, следовательно, систе.ма (2.7.13) разрешима.

85

Как уже упоминалось, система уравнений (2.7.13) определяет характер разрывов составляющих поля скоростей смещений при переходе через поверхность разрыва того или иного типа, распространяющуюся в неоднородной анизотропной упругой среде. Исследование такой поверхности производится в § 8. 4. В заключение рассмотрим сначала систему уравнений (2.7.13) в случае изотропной упругой среды. Затем же покаже.м, что система уравнений (2.7.13) обнаруживает близкое родство с системой уравнений (2.7.15), определяющей (совместно с уравнением Кристоффеля (2.7.18)) процесс распространения плоских волн с нормалью # в окрестности упомянутых точек N'*' и N" рассматриваемой поверхности разрыва. Если воспользоваться обозначениями (2.7.5), (2.7.8) и (2.7.8'), то не представит труда убедиться в том, что уравнения (2.7.13) в случае изотропии могут быть записа}1ы в следующих двух эквивалентных формах: 3 Е

[(А +

tl)PiPg

+

ifip^

-

pI

=

О

и Е

„=1

{(А +

-

рЧг,)

+

(2.7.13')

[(А +

-

ppl]5i,}A,

-

0.

Пусть рассматривается поверхность разрыва, распространяющаяся со скоростью Vp из выражения (2.7.10) и, следовательно, удовлетворяющая уравпснию (2.7.9) для фронтов продольных волн. Используя второе представление (2.7.13') для нахождения величин Ai из формулы (2.7.11), получаем систему уравнений 3

^^РгРя^я -Р^Аг = 0 ,

г = 1, 2, 3,

q=l

переписываемую в виде Piit

=

если воспользоваться векторной записью. Отсюда сразу получается выражение ^ ^ ^ 1^1

^

grad^A ^ ^ IgradV-i 86

где it — орт нормали (2.5.2) к поверхности разрыва (2.7.1). Итак, мы видим, что на фронтах продольного типа испытывает разрыв непрерывности лишь продольная, т. е. нормальная к поверхности фронта, составляющая вектора скорости смещений. При рассмотрении же поверхностей разрыва (2.7.9'), распространяющихся со скоростью поперечных волн, следует исходить из системы уравнений в форме первого из приведенных выше представлений, сводящегося, очевидно, к одному векторному равенству ("^ = О, т. е. (rt 'А) = 0. Такое равенство означает, что на фронтах поперечного типа испытывают разрыв непрерывности лишь составляющие вектора скорости смещений, перпендикулярные нормали ft к поверхности фронта. Обобщение подобных результатов на случай любых анизотропных сред дается в следующем параграфе, где весьма полезными оказываются сведения о плоских волнах (с нормалью it к фронту). При этом, в отличие от пп. 1-4, где рассматриваются неоднородные среды с непрерывными параметрами р{хр) и Х{к,1ш{х-р), теперь (в пп. 5-8) анизотропная среда предполагается однородной. 5. Пусть в однород1Юй анизотропной упругой среде с параметрами р = const и Cik,^v = const, распространяется плоская монохроматическая волна вида # = 'texpi{ujt

-

= 'Aexpik{vt

(2.7.14)

- itl^),

3

= ^ Akit; k=l

't = kit;

|lt| = 1;

m = kv;

it =

vlt,

причем к и V обозначают волновое чис;ю и фазовую скорость распространения, it — нормаль к фронту, а А — векторная амплитуда волны. При этом физический смысл придается, например, вещественной части выражения (2.7.14). Фронтом волны оказывается плоскость {vt — it't) = const, распространяющаяся в направлении it с фазовой скоростью v. Предполагая значение орта it и угловой частоты колебаний ш заданными, поставим вопрос о возможных значениях составляющих Ai амплитудного вектора 'А (вектора поляризации), а также — фазовой скорости V, при которых в заданной анизотропной среде волны вида (2.7.14) могут распространяться? Для этого выражение (2.7.14) следует подставить в уравнение движения для однородной анизо-

87

троппой среды, что приводит к системе алгебраических уравнений 3

^

Xik,pgnknpA,-v'^Ai = 0,

г = 1,2,3,

(2.7.15)

k,p,q=l

которую И предстоит изучить. При этом следует учитывать симметрию Ai, = kqi матрицы 3

l^iq = ^

\гк,рцПкПр,

1,7 = 1,2,3,

(2.7.16)

к,р-\

фактически входящей в систему уравнений (2.7.15), а также ее положительную определенность, выражаемую неравенством 3

Y,

> О,

(2.7.17)

1,9=1

справедливым при любых значениях > 0. В матрицу (2.7.16) входят величины Xik,pq = const из выражений (2.7.5), удовлетворяющие соотношениям си.мметрии, тождественным соотношениям (1.4.1). Что же касается неравенства (2.7.17), то оно является нрямы.м следствием положительной определенности формы (1.2.12) с матрицей Cik^iii, из выражения (2.7.5) (удовлетворяющей соотношениям (1.4.1)), а также возможности представления любой матрицы {ukbi) пол усу.м мой '^kbi = i [{ukbi + Tiibk) + [ukbi - Uibk)] симметричной и антисимметричной ее частей. 6. Однородная система алгебраических уравнений (2.7.15), переписываемая в виде 3

=

г = 1,2,3,

(2.7.15')

4=1 характеризуется симметричной положительпо-определепной матрицей (2.7.16). Решения таких систе.м хорошо изучены (см. [3, гл.II,

пп. 26, 27, 32, 33, 40]), поэтому можно воспользоваться готовыми результатами. Условие разрешимости системы (2.7.15), называемое уравнением Кристоффеля, имеюн;ее вид 3

Kq - V^^iq

У ^ Kk,pqnk'np - у'^Зц = О, к,р=\

(2.7.18)

оказывается уравнение.м третьей степени от гl^. Вследствие симметрии \ig и неравенства (2.7.17) все корни такого уравнения положительны, а из уравнения (2.7.18) следует, что каждый из таких корней оказывается однородной квадратичной фор.мой от п^ и, следовательно, не зависит от знака при орте i t . Расположим корни v'^ = v f { j t ) , г = 1, 2, 3, в порядке их убывания vfiTi) > vliTt) > v'i(7t) > 0. (2.7.19) Опыт показывает, что в реально существующих анизотропных средах при любых ft оказывается vj{lt) > v'^{lt), г — 2, 3. Что же касается значений v K l t ) и (совпадающих друг с другом в случае изотропии), то в анизотропных средах они .могут совпадать липш при значениях i t , соответствующих некоторым дискретным линиям на сфере |7f | = 1. Таким образом, правильнее писать vfilt)

> v^ilt)

> vi(lt)

(2.7.19')

вместо неравенства (2.7.19), считая, что знак равенства реализуется только на упомянутых линиях. Придавая величине v^ в систе.ме (2.7.15) значение vj{lt), (г = = 1, 2, 3) из неравенства (2.7.19) получаем разрешимую систему однородных алгебраических уравнений 3

^

Xik.pqrikUpA^'-^ -

=0,

(г = 1, 2, 3),

(2.7.20)

А:,р=1

ИЗ которой находим вещественные значения Л; =

составляю-

нщх амплитудного вектора i t нJюcкoй BOJHibi (2.7.14), распространяюи;ейся в направлении it с фазовой скоростью Vr > 0. Составляюпще вектора А

определяются из уравнений (2.7.20) с точностью

89

до произвольного множителя. Поэтому их можно подчинить условию нормировки

i=i

i=i

и называть составляющими вектора поляризации А плоской волны индекса «г». При этом векторы ^^ ^ при различных значениях г (т. е. отвечающие различным фс130вым скоростям Vr(Tt)), как известно, всегда ортогональны друг другу, так что оказывается

•

= f

Л Г ' л ! " ) = <5.,,

г, р = 1, 2, 3.

(2.7.21')

г=1

Итак, выясняется, что в однородной анизотропной среде плоская волна (2.7.14) может распространяться вдоль заданного направления ±7^ только при вполне определенных значениях v — Vr = = Vr{rt), г = 1, 2, 3 фазовой скорости и при вполне определенных направлениях = векторов поляризации. Каждому rf отвечают три возможных набора значений величин «i(Tf),

(2.7.22)

определяемых соответственно из уравнения (2.7.18) для Vr и из системы уравнений (2.7.20) для векторов поляризации

При этом

величины (2.7.22) от частоты и не зависят. Углы между векторами ^^^^ и направлениями it фазовой скорости распространения фронта волны могут принимать, вообще говоря, любые (но вполне определетщые при заданных и it) значения из промежутка (О, тг). При этом оказывается, во-первых, что в любой анизотропной среде существуют (особые) направления i t = п^, при которых вектор А ^

параллелен, а векторы

И

перпендикулярны орту п^. Во-вторых, при стремлении к нулю

отличий параметров анизотропии от параметров изотропной среды вектор

становится параллельным, а векторы

— перпендикулярными орту rt при любом его направлении. Вследствие 90

этого волну (2.7.14), отвечающую значениям Vi и

в наборе ве-

личин (2.7.22), называют квазипродольной, а две другие волны (отвечающие значениям v^, А

и «з,

из набора (2.7.22)) — квазипоперечными. Фазовая скорость квазипродольпой волны всегда превосходит фазовые скорости волн квазипоперечных [4]. 7. Важной особенностью волн в анизотропных упругих средах является существование в них второй скорости распространения волн, называемой групповой или лучевой скоростью волны. Такая скорость характеризует в анизотропных средах процесс распространения энергии волнового поля, и в случае плоской волны (2.7.14) обычно вводится в теорию путем рассмотрения усредненного значения потока энергии, определяемого формулой (1.2.19), деленного на усредненное (по частоте) значение плотности энергии. Представляя поле плоской волны (2.7.14) в вещественной форме it = (2.7.14') где uvr — одно из возможных значений (2.7.22), воспользуемся выражением (1.2.12) и вычислим плотность полной энергии волны

—^ OJ . На основании системы уравнений (2.7.20) и равенства к = —п из

выражения (2.7.14), а также формулы (1.2.12), получаем 1

^

1

1

^

Д

V

дщ ди^

2

= ipw^ J2 i=l

sm\wt - tl^).

(2.7.23)

Правая часть равенства получена на основании системы уравнений (2.7.20), которая (после умножения на A;^ при учете соотношений (2.7.14)) может быть переписана в виде 3

Е

(2.7.24)

91

в точности такое же выражение, как и для W, получается для плотности кинетической энергии непосредственно из выражения (2.7.14'). Поэтому полная плотность энергии е равна удвоенному выражению (2.7.23), а результат усреднения по периоду Г = 27г/ш приводит к значению 3 (г)

2

=

2"'

где предполагается выполненным условие нормировки (2.7.21). На основании выражений (1.2.19), (1.2.14) и (2.7.14') для составляюп;их плотности потока энергии (протекающей через поверхность фронта в сторону направления орта rf) получаем дщ

/г,р,Г)=1

.

'Р

3

=

(2.7.25) k,p,q=l

А ДЛЯ среднего за период будем иметь

2vr где Vr обозначает фагювую скорость из системы уравнений (2.7.15) рассматриваемой волны. По аналогии с гидродинамикой полагают

к=1

^

'

и вектор ^ отождествляют со скоростью, с которой распространяется энергия плоской волны из выражения (2.7.14'), относящейся к типу г из набора величин (2.7.22). Для составляющих такой лучевой, или групповой, скорости получаются выражения

= ^

Е

Е

92

(2-7.27)

1, 2, 3,

=

Vr

где

- вектор рефракции волны с индексом «г». 8. Вследствие отсутствия у плоской волны (2.7.14) реперных от•меток, рассуждения из п. 7 носят явно форма;н.ный характер. В полной мере смысл понятия «лучевая скорость» выясняется лишь в результате изучения поверхностей paapbnsa поля смещений в анизотропных средах (см. § 8). Однако и сейчас, имея дело только с плоскими волнами, этому понятию .можно придать физически точный смысл. Для этого достаточно расс.мотреть вопрос о распространении волнового пакета

l){r,t)

= j J J

(2.7.28)

i^\expi{ujt-

{а'Й)

сконструированного из плоских волн (2.7.14) одной и той же г-природы в смысле соотпоп1ений (2.7.22). Здесь ( A l ? ) определяет малый объем, например, параллелепипеда {dki, dk-z, dk^), со срединной точкой к = ко- При этом учитываются соотношения (2.7.14), а также важное равенство (2.7.29)

вытекающее из уравнений (2.7.24) при умножении па A'f^ и суммировании но i с учето.м нормировки (2.7.21). Если вьн1о;п1яются порядковые соотношения

дп =

dkpdkk

m ' t «

-,

то для оценки поля if {г, t) (2.7.28) можно воспользоваться представлениями фазового выражения {uit — к • Т^) первыми двумя членами ряда Тейлора ujt

t

= {uJot

дш

+

Р=1 VЖ 93

'

Xv

(2.7.30)

Подстановка такого выражения в равенство (2.7.28) приводит к приближенному представлению и = exp[i(woi -

^

XI I I

(2.7.31)

Первый сомножите.пь (опреде.пяюн1ий частотное заполнение пакета) соответствует «движению» со средней фазовой скоростью пакета (вдоль 1юрмали i t к фронту волны). Второй же сомножитель (который в зависимости от значения Ф { к ) .может иметь четкие реперные отметки) распространяется со скоростью

называемой лучевой. На основании выражения (2.7.29) для составляюпщх лучевой скорости получаем выражения

• 7

1

. .

=

Е i,k,q=l

,

(2.7.33)

В точности совпадающие с выражениями (2.7.27). Отсюда при учете уравнений (2.7.20) и равенств (2.7.21) следует важ1юе соотношение { T t t ) = Vr,

(2.7.34)

связывающее фазовую скорость Vr плоской волны с ее лучевой скоростью при любом значении нормали it к волновому фронту. В завершение информации об элементах теории плоских волн, распространяющихся в однородных анизотропных упругих средах, уместно напомнить, что исходны.м звеном здесь считался произвольно задаваемый орт нормали i t к фронту изучаемой плоской волны. Поэтому все введенные (вещественные) величины Vr, оказываются функциями задаваемого орта i t , причем эти функции, очевидно, не зависят от знака i t , т. е. они сохраняют вид при замене орта it на орт —it.

94

§ 8. Правильные сильные разрывы и локально-плоские волны При рассмотрении вопросов распространения в произвольных анизотропных упругих средах поверхностей (2.7.1) разрывов поля смещений i t (определяемых функцией ip{xi,x2,x3,t), удовлетворяющей дифференциальному уравнению (2.7.7)), характеризующихся вектором поляризации разрывов с составляющими (2.7.11) (удовлетворяющими системе алгебраических уравнений (2.7.13)), целесообразно сопоставить уравнения (2.7.7) и (2.7.13) с алгебраическими уравнениями (2.7.18) и (2.7.15) или (2.7.20) из теории плоских волн. Такое сопоставление, предельно упрощающее все исследования, удобно начинать со случаев, когда функция ф из выражения (2.7.1) известна. 1. Считая функцию -ф известной, будем рассматривать поверхность (2.7.1) в фиксированный момент времени t. На поверхности выберем произвольную точку N и учтем вытекающие из выражений (2.5.2)—(2.5.4) формулы

v = viN)

= - ^ , Р

nk=nk{N)

= ^, Р

А; = 1,2,3,

\

Ер1 п=1

(2.8.1)

где рк имеют значения (2.5.3), для скорости распространения поверхности S из выражения (2.7.1) в точке N, а также для составляющих орта нормали it = lt{N) к поверхности S. Наконец, уравнения (2.7.13) и (2.7.7) умножим соответственно на и где р имеет значение из формулы (2.8.1). Тогда система уравнений (2.7.13) примет вид, в точности совпадающий с видом системы уравнений (2.7.15) из теории плоских волн, а равенство (2.7.7) превратится в равенство (2.7.18), являющееся условием разрещимости однородной системы (ajH'e6paH4ecKHx) уравнений (2.7.15) относительно величин Ai. Различие же между уравнениями получающимися теперь из соотношений (2.7.13) и (2.7.7) и уравнениями (2.7.15) и (2.7.18) теории плоских волн состоит только в том, что в соотношениях плоских волн величины Xik,pq и it считаются постоянными во всех точках (безграничной) упругой среды, а в уравнениях (2.7.13) и (2.7.7) (при известной функции гр из выражения (2.7.1)) они являются функциями Xik.,pq{N) и lt{N) рассматриваемой точки N на поверхно-

95

сти S из формулы (2.7.1). Таким образо.м, в случае произвольной анизотропной среды появляется возможность говорить о локальной тождественности характера распространения бесконечно малого элемента dSi\[ любой поверхности S правильных сильных разрывов поля смещений и плоской волны вида (2.7.14). При этом необходи.мо считать, что плоская волна распространяется в папранлеиии i t — 'Tt{N) в среде, упругие параметры которой имеют постоянные значения ^ik,pg = ^ik,pg{N)> отвечающие рассматривае.мой точке N . Вектор же поляризации ^ такой волны нужно отождествлять с вектором (2.7.11) поляризации разрывов поля it в точке N. 2. Фиксируя произволыю па поверхности S правильных сильных разрывов точку N с нормалью Tt{N) и элементом dS^ поверхности (который допустимо еще считать плоским), воспользуемся установлегпюй локалыюй тождественностью полей, а также результатами § 7 и выясним пекоторью закономертюсти в распространении выделенного элемента волнового фронта. При этом результаты пп. 5—8 §7 будем применять для среды с параметрами \ik,pq = const и для направления нормали f t = const, где lt = lt{N).

(2.8.2)

На основании н. 6 § 7 можно утверждать, что элемент dSi\i поверхности S вида (2.7.1) распространяется со скоростью v{N) из формул (2.5.4) или (2.8.1), имеющей одно из трех допустимых значений Vr = i f i N ) ] , г = 1, 2, 3, зависящих от выбранной на поверхности 5 точки N и от направления lt{N) нормали к 5 в этой точке. При этом величины допустимых скоростей Vr (совпадающие с возможными значениями фазовых скоростей плоской волны) определяются из уравнения (2.7.18) при значениях \ik,pq и rt из формул (2.8.2). Что касается нумерации скоростей Vr = «^[А'^, 'Tt{N)], то ее естественно было бы производить в соответствии с неравенствами (2.7.19) и (2.7.19'), но обязательно так, чтобы всем точкам N рассматриваемой (конкретной) поверхности S (соответствующей волне определенного типа) отвечала скорость распространения Vr с одним и тем же индексом г. Но как выясняется в п. 3, таким двум условиям удается удовлетворить в обп;е.м случае анизотропной среды только по отнощению к одному индексу г = 1, отвечающему квазипродольным волнам. Нумерацию же квазипоперечных волн (индексами г = 2 и г = 3) мы будем производить так, чтобы строгое выполнение второго условия было всегда обязательным, а первого условия — возможным.

96

Таким образом, при принятой нумерации скоростей у нас всегда оказывается #(iV)]

#(Л0],

к = 2,3,

(2.8.3)

независимо от выбора точки N и направления орта lf{N). Но между величинами V2 и «з квазипоперечных волн могут выполняться соотношения того или иного типа : V2[N, lt{N)]

> V3[N, rf(iV)];

t;2[iV, ^ ( i V ) ] < г;з[Л^ 7f(iV)], (2.8.3')

в зависимости от рассматриваемой точки N на поверхности S и характера анизотропии упругой среды. Остается лишь отметить, что вектор поляризации разрывов из формулы (2.7.11), отвечающий элементу dS^ поверхности разрыва типа г, распространяющейся со скоростью «^[iV, rf (Л'')], определяется как подчиненное условию нор.мировки (2.7.21) решение системы уравнений (2.7.20), в котором \ik,pQ и i t имеют значения из формул (2.8.2), а под Vr подргоумевается значение упомянутой скорости Vr{N, "r?(iV)]. При этом векторы ^ с различными верхними индексами всегда оказываются ортогоналып>1ми дру1' другу независимо от того, какое из соотношений (2.8.3) реализуется в точке N. Итак, мы приходим к общим заключениям, справедливы.м для произвольных анизотроп}Н51х (в то.м числе и изотропных) сред и сводящимся к с;юдующему: существуют три типа поверхностей (правильных сильных) разрывов поля i t , распространяющихся со скоростями v{N) из формулы (2.8.1), равными фазовым скоростя.м соответственно квазипродольной и двух квазипоперечных плоских волн (распространяющихся в однородной среде с параметрами и по направлению орта нормали из формул (2.8.2)). При переходе через поверхность разрыва квазипродольного (квазипоперечного) типа в точке N испытывает разрыв непрерывности только составляющая вектора it, параллельная вектору поляризации ' ^ { N ) упоминавшейся квазипродольной (квазипоперечной) волны. Уместно отметить, что приведен1н»1е здесь результаты давали бы весьма полезную информацию о движении поверхностей разрывов и характере разрывов поля i t , если бы основные количественные законо.мерпости в распространении плоских волн в различных анизотропных средах были уже изучены. Это еще ра:^ подтверждает безотлагательную необходимость скорейшего изучения количественных закономерностей в распространении плоских волн. 97

3. Перейдем к обсуждению вопросов, касающихся вида дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для функций гр из выражений (2.7.1), отвечающих поверхностям разрыва поля it того или иного типа. В п. 1 § 7 было показано, что упомянутые функции ф обяза1п>1 удовлетворять (сложному) дифференциальному уравнению (2.7.7), которое след,'ет теперь лишь упростить надлежащим образом. Левая часть такого уравнения является полиномом третьей степени от р^, который преобразуется в левую часть алгебраического уравнения (2.7.18), если от величин ро и р^ перейти к величинам v = v{N) и п^ = nk{N) из формул (2.8.1). Поэтому преобразования алгебраического характера над левой частью формулы (2.7.7) можно производить на основе уравнения (2.7.18). Как уже указывалось в п. 6 § 7, уравнение (2.7.18) является алгебраическим уравнением третьей степени относительно г;^, имеющим три положительных корпя v^, =

Fr{Xik,pg,

Пи

П2,пз),

Г = 1, 2, 3,

(2.8.4)

каждый из которых оказывается однородной второй стенени функцией относительно переменных пх, Пг, пз. Выражения Fr из формулы (2.8.4) являются алгебраическими функциями от ni, пг, пз и ^ik.pq, которые всегда могут быть выбраны так, чтобы каждая из функций Fr при г- = 1, 2, 3 была аналитической функцией от указанных переменных везде, за HCKjH04eHHeM, бьпъ может, изолированных особых точек. (Указанный выбор можно произвести, например, на основе трех формул Кардана.) Что же касается явных выражений функций (2.8.4), то они не представляют практического интереса вследствие их крайней громоздкости и необозримости. Заметим, что к указанному выше способу нумерации корней уравнения (1.3.11) можно добавить еще требование, чтобы символу г — 1 всегда отвечал наибольший корень уравнения. Это вытекает из отмеченного в п. 6 § 7 факта, что при любых значениях \ik,pq (отвечающих реально существующим анизотропным упругим средам) и при любых направлениях орта it между корнями уравнения (1.3.11) всегда выполняются соотношения v\ > к — 2, Ъ, ъ которых знак равенства исключен. Поэтому если для корня (2.8.4) при г = 1 выбрать аналитическое представление, которому соответствует наибольшее значение v^ при некоторых фиксированных значениях rik и Xik,pq, то этому же аналитическому представлению v"^ = Fx будет соответствовать наибольший корень уравнения (1.3.11) и при любых

98

других параметрах rik и \ik,pq- Действительно, все функции Fr из выражений (2.8.4) непрерывны, и потому соотношение v'l > могло бы нарушиться только в том случае, если бы существовала точка Xii^ pg, в которой vf = V2 > v^. Однако опыт исключает существование такой точки. Итак, при определении корней (1.3.11) аналитически едиными при каждом фиксированном значении г формулами (2.8.4) всегда можно считать справедливыми неравенства (2.8.3). 4. Если учесть свойство однородности второй степени функций Fr из формул (2.8.4) относительно величин щ , П2, щ я возвратиться по формулам (2.8.1) к переменным ро, pi, р2, рз, то из формул (2.8.4) получатся выражения Po = Fr{^ik,p,„PuP2,P3),

г = 1,2,3,

(2.8.5)

для корней уравнения (2.7.7), рассматриваемого как алгебраическое уравнение третьей степени относительно Pq. Поэтому левая часть уравнения (2.7.7) может быть разложена на множители, что позволяет переписать это уравнение в виде 3

Д[р2 -

PUP2, Рз)] = 0.

Fr{\ik,pk..

(2.8.6)

Г=1

Таким образом, оказывается, что дифференциальное уравнение (2.7.7), в котором ро, Pi, Р2 и рз имеют смысл частных производных из выражения (2.7.1'), допускает тождественное преобразование к виду (2.8.6) и, ачедовательно, расщепляется на три независимых дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка вида (2.8.5). При этом, как уже упоминалось, каждая функция Fr (2.8.5) оказывается однородной второй степени регулярной функцией от аргументов PI,P2-.P3- Однако аналитические выражения таких функций настолько громоздки, что в фор.ме (2.8.5) уравнения не представляют практической ценности. 5. Чтобы получить уравнения, эквивалентные (2.8.5) и удобные в приложениях, вернемся снова к задачам для плоских волн из п. 6 § 7. Обсуждавшееся в связи с формулой (2.8.4) уравнение (2.7.18) является, как известно, условием разрешимости однородной алгебраической системы уравнений (2.7.20), решение которой подчинено ус;ювию нормировки (2.7.21). Тогда ecjm подставить в уравнение (2.7.20) вместо vl какое-либо значение v^ из соотношений (2.8.4), то из си-

99

стемы (2.7.20) и условия (2.7.21) однозначно определятся величины =

i = 1,2,3,

(2.8.7)

являющиеся однородными нулевой степени регулярпы.ми функциями от ni, П2 и Пз. При помощи таких величин из соотношений (2.7.20) и (2.7.21) для корней v^ из выражения (2.8.4) однозначно выводятся соотно1пения 3

vl = FriXik,p„ni,n2,Ti3)=

>4k^p
(2.8.8)

i,k,p,q=l

тождественные относительно щ , п^, щ . Поэтому если в тождестве (2.8.8) перейти от величин v = Vr л Пк к величинам ро и pk на основа1Н1и формул (2.8.1), то получатся равенства 3

р1=

Y1

^'к^РяРкРрА^'^Ар,

г = 1,2,3,

(2.8.9)

i,k,p,q=l

которые можно рассматривать как дифференциальные уравнения в частных производных, эквивапентные уравнениям (2.8.5). В уравнения (2.8.9) входят функции г = 1,2,3,

(2.8.7')

совпадающие с функциями из тождества (2.8.7), подчиненные усповию 1юрмировки

= 1

(2.8.10)

t=i и удовлетворяющие соотношениям ортогональности

(2.8.11)

1=1

типа (2.7.21). Они определяются как решения алгебраической системы уравнений 3

>^ik,pgPkPpA['-^ - PIA''/'^ = О, k,p,q=l

100

г = 1,2,3,

(2.8.12)

получающейся из системы уравнений (2.7.20), которую целесообразно здесь выписать еще раз: 3

^

=0,

(2.8.12')

k,p,q=l

В результате замены Vr и rtjt на ро и р^ по формулам (2.8.1). В связи с изложенным отметим, что несмотря на очевидную громоздкость и необозримость аналитических представлений, которые могли бы быть получены для функций А^р в результате решения системы уравнений (2.8.12'), уравнения (2.8.9) оказываются вполне пригодными (и даже удобными) для эффективного решения прикладных задач. И объясняется это в основном своеобразием конструкции, посредством которой величины А^р из формул (2.8.7') входят в правые части диффере11циа.,'1ьных уравнений (2.8.9). Своеобразие же этого состоит в том, что оттнодь не постоянные величи1п>1 Л-'^' ведут себя в уравнениях (2.8.9) как постоянные по отношению к (однократному) дифференцированию по pk w Xk- Дело здесь в следуюп;ем. 6. Для конструктивного построения поверхности гр = т { х и х 2 , х г ) ~ 1 = 0

(2.8.13)

разрыва (фронта) волны на основе решения соответствующей задачи для одного из дифференциальных уравнений (2.8.9) в частных производных первого порядка следует применять метод характеристик, свод}ш;ий проблему к предварительному построению системы лучей, отвечающих искомому волновому фронту. При этом лучи определяются как решения некоторых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида dxm

=

Х2,

Хз,

Рь Р2,

Рз),

(2.8.14) as

=

Х2, Хз, РиР2,

Рз),

m = 1, 2, 3,

где S — параметр, который в таких задачах, как выясняется, связан со временем t формулой . =

101

(2.8.13')

а под Нр^ и Н^^ понимаются частные производные по р^ и Хт от функции Гамильтона 3

Е

^ik,pяPkPpAl;'^A'f\

(2.8.15)

И вот ДЛЯ построения систе.мы лучей необходимо прежде всего вычислить частные производные Нр^ и Я^^. Они вычисляются вполне аналогично, вследствие чего мы рассмотрим подробно лишь производную 3

3

i,p,q=:1

+

3 V

г,к,д=1

/ (

Лч.

алИ

s,A{r)\

i,k,p,q=l

Если учесть свойства симметрии типа (1.1.10) ^im,pq — ^pq^im ~ ^mi,pq — ^im,qp для величин из равенств (2.7.5), то нетрудно убедиться в равенстве первого и второго, а также третьего и четвертого слагаемых из правой части выражения для Нр^. Поэтому

3

= 2 J2

^irn,pqPpA^;^А^р,

(2.8.16)

так как в силу системы (2.8.12) и условия (2.8.10) очевидно имеет место

г,к,р,(7 — 1

г=1

102

Совершенно так же для вторых нужных нам производных получаются выражения гг

_

-"Х". -

Z^

^^ik.pg Ят

А{Г]Л(Г) РкРрЛд

Ai

,

аналогичные выражениям (2.8.16), показывающие, что величины Л из формулы (2.8.4') AeMCTBHTejn,HO ведут себя как постоянные при вычислении производных ffp^ и Вследствие этого (решающего) обстоятельства правые части уравнений (2.8.14), которые можно переписать в виде dx

^^ =2 Е (2.8.14')

dpm ds

^ dXik, ,^ дх t,k,p,q=\

содержат, помимо \ik,pq и рк, лишь функции A'f^ из формул (2.8.7') (а не функции А^"^ и их частные производные, как можно было бы представить по внешнему виду функции Гамильтона (2.8.15)). При этом упомянутые функции, несмотря на крайнюю громоздкость их аналитических представлений, легко определяются численно из алгебраической системы уравнений (2.8.12'). А этого вполне достаточно для численного интегрирования (с помощью ЭВМ) системы уравнений (2.8.14'), определяющей лучи волн в анизотропных упругих средах. После построения системы лучей поверхности вачновых фронтов строятся без труда. 7. В заключение остается сделать три за.мечания, из которых первое следует рассматривать как принципиЕильное. Дело в том, что при переходе к окончательной фор.ме (2.8.9) для уравнений в частньгх производных, определяющих движение волновых фронтов, мы отказались от использования точных аналитических представлений для величин (которые можно было бы получить) и решили эти величины определять численно на основе системы алгебраических уравнений (2.8.12). Поэтому необходимо обсудить вопрос, касающийся правила выбора решений указанной систе.мы так, чтобы они отвеча-

103

ли заданным значениям индексов г в уравнении (2.8.9), определяющим тип рассматриваемых волн. На основании изложенного в п. 3 ясно, что при рассмотрении квазипродольных волн (г = 1) в качестве A'f'' необходимо брать peineние системы (2.8.12'), отвечающее всегда наибольщему собственному значению vf, удовлетворяющему неравенству (2.8.3). "Что же касается квазипоперечных волн, то при значениях параметров Xik,pq и Пк из равенств (2.8.2), при которых uf Ф например (2,8.17)

v^ > vl

трудностей не возникает; в качестве A f ^ и можно выбрать решения системы (2.8.12'), отвечающие соответственно собственным значениям Vo и г^з из неравенства (2.8.17), ортогональными друг другу, а также рещению И вот пусть при некоторых исходных значениях в области По параметров Xik,pq и Пк системы (2.8.12') выполняется неравенство (2.8.17), позволяющее определять решения и Л р ' как указано выше. Чтобы правильно продолжить выбранные решения на все пространство П параметров системы (2.8.12') (где наряду с неравенством (2.8.17) может выполняться равенство v^ = v^ и неравенство < ^з) следует учесть, что при любом фиксированном индексе г решение как аналитическая функция параметров однозначно определяется во всем пространстве П, ecjm известны значения В любой частичной области По этого пространства. Поэтому решения А] и А^ , выбранные для области По параметров, для которых выполняется неравенство (2.8.17), однозначно определяют функции Ар^ и A f ^ при любых значениях и U3, и эти (аналитические) функции уж во всяком случае должны быть непрерывными. Но нетрудно видеть, что вследствие условий ортогональности г = 2,3,

(2.8.18)

автоматически выполняющихся при любых т^ одно лишь требование непрерывности каждого из решений A f ^ и Л р ' при переходе через значения Vj = '^'з У^'^ обеспечивает единственность продолжения этих решений и, следователыю, фактически приводит к требуемому аналитическому их продолжению.

104

Итак, мы приходим к заключению, что при выборе решений A'f^ системы уравнений (2.8.12'), отвечающих различным индексам г из равенства (2.8.9), следует брать за исходные такие значения параметров Xik,pq и rik, нри которых справсдливо неравенство (2.8.17), а зате.м продолжать эти решения с жестки.м контролем их непрерывности. Второе из обещанных замечаний должно способствовать лучшему пониманию смысла и значения понятия о лучевой скорости (2.7.26), (2.7.27'), которое было введено в §7 на «абстрактном примере» плоских волн. Если учесть упо.минавшееся уравнение (2.8.13) фронта волны, а также формулу (2.8.13'), связывающую параметр s из уравнений вида (2.8.14) со временем, и воспользоваться формулами (2.8.1), из которых следует ; 1 о о Vr где Пк = дт/дхк — составляюн;ие орта нормали к фронту, а. Vr — ее фазовая скорость распространения, то первая группа уравнений (2.8.14) перепишется в виде

^

= 7

Е

= е'.

(2.8.19)

T,p,q=\

Таким образом, оказывается, что точка пересечения луча с фронтом (2.8.13) волны движется (вдоль луча) не с фазовой, а с лучевой скоростью. Как выясняется, вдоль лучей (определяемых в результате решения системы уравнений (2.8.14)) распространяется и энергия волны. При этом элементарные соображения баланса энергии приводят к лучевому методу расчета интенсивностей волн в нулевом его приближении. Что же касается третьего замечания, то оно восходит к естественному стремлению к возможно более полной физической наглядности в представлении результатов теории волн особенно в случаях, когда последние ревизуются в форме сложных формульных соотношений или мате.матических алгоритмов. Так, например, было показано, что построение волновых фронтов полей волн, возбуждае.мых различными источниками, оказывается связанным с построением совокупности лучей как решений системы обыкновенных дифференциальных

105

уравнений (2.8.14). Такая задача, выписанная для случаев анизотропии среды, подобна построению лучей и фронтов волн в неоднородных упругих средах на основе решения известной системы уравнений для лучей

ат

^

dr

=

V

т = 1,2,3,

(2.8.20)

где V = v{xi, Х2, Хз) — скорость распространения волн в среде, а = rt/v — вектор рефракции с нормалью i f к волновому фронту. Приведенные системы уравнений для лучей сами по себе еще не привносят количественно-качественной (физической) наглядности в понимание хода процессов распространения волн. Однако подобная наглядность сразу же появляется после численного решения систем уравнений и после построения систем лучей и фронтов, отвечаюш,их различны.м источникам волн и различным случаям вещественных параметров среды. Подобным же образом обстоит дело во многих (если не во всех) разделах теории волн, вследствие чего представляется крайне целесообразны.м дополнять математическое изложение вопросов теории упругих волновых полей специальным разделом, содержащим алгоритмы и программы расчета волновых полей в ряде узловых проблем теории.

Глава 3 Дополнения к общим положениям теории волновых полей § 9. Обобщенные решения и представление о сосредоточенных источниках упругих возмущений Прежде всего здесь обсуждаются пути обобщения понятия о решении t) задач динамической теории упругости на случаи, когда свойства гладкости функций T f { x k , t) оказываются (значительно) хуже, чем предполагалось в гл. 2. С решениями такого типа часто приходится встречаться в приложениях, в частности, и при рассмотрении волновых полей, порожденных сосредоточенными источниками. Что же касается второго круга вопросов, то он связан с принципом взаимности, выражающим своеобразное свойство симметрии полей по отношению к источнику и приемнику волн. Принцип взаимности находит приложение в сейсмической практике, причем не всегда корректное. Поэтому изложение его сущности в точной форме и обсуждение его физического смысла несомненно актуальны и теперь. 1. В гл. 2 обсуждались различные вопросы, связанные с классическим представлением о решениях уравнения (1.2.8), причем под решениями подразумевались непрерывные функции Х2, хз, t), имеющие вне границ раздела среды (на которых выполняются те или иные условия контакта, обсуждавшиеся в § 3) непрерывные частные производные первого и второго порядка везде, за исключением, быть может, конечного числа характеристических поверхностей. В соответствии с таки.м представлением для выяснения вопроса о том, является ли l t { x i , Х2, хз, t) классическим решением некоторой гра-

107

ничной задачи из п.1 § 3, необходимо было проверять непосредственно, удовлетворяет ли it уравнеию (1.2.8) и всем дополнительным условиям, а также обладает ли оно требуемой гладкостью и требуемым типом разрывов в производных на характеристиках. Подобную проверку не всегда легко произвести, особенно в случае сложных областей, а также входных данных, обладающих не слишком высокой гладкостью. Более того, входные данные часто оказываются такими, что им отвечает «ренюнне», не укладывающееся в понятие классического ренюния уравнения (1.2.8), однако ему можно придать ясный физический смысл. Наконец, иногда при выбранных входных данных задачи из п. 1 § 3 penienne lt{M, t) не удается построить классическим путем, т. е. так, чтобы на каждом шагу можно было проверить удовлетворение решением уравнению и всем дополнительным условиям. Однако если рассматривать входные данные как результат предельного перехода по какому-либо параметру п от других, более гладких входных данных, то появляется возможность строить последовательность классических решений t), сходящуюся в некотором смысле к функции lt{M, t). Возникают вопросы: можно ли (и при каких условиях) такую функцию lt{M, t) считать решением рассматриваемой задачи, отвечающим предельным значениям ее входных данных; какой математический смысл следует придавать такого рода решению; каково практическое значение таких решишй; каков их физический смысл и т. д. Выяснение подобных вопросов, имеющих, в частности, существенное значение в проблеме точечных источников упругих колебаний, базируется на некотором расширении понятия о решении уравнения (1.2.8). Чтобы наметить формальные пути такого расширения, полезно предварительно рассмотреть простейший случай однородной упругой (анизотропной) среды, для которой уравнение (1.2.8) может быть записано в форме

= J,9=l

(3.9.1)

?=1

где симметричные дифференциальные операторы

к,р—\

108

^

содержат упругие параметры Cji.,pq среды, удовлетворяющие соотношениям симметрии (1.2.6'). 2. Пусть <р{М, t) — произвольная финитная функция, непрерывная с первыми и вторы.ми частными производными по х^ и t. (Поэтому, если носителем значений ip(M, t) ^ О тождественно является область Bq с гладкой границей Ео, то в точках М и t, принадлежащих Ео, все функции ip, v't^ равны тождественно нулю.) Пусть, кроме того, "it(A/ - Mq, t — to) — такое интегрируемое векторное поле, что t) = л и

^{Мо, to)lt{M

-Mo,t-

to)dBo =

(Во)

^{Мо, to)lt(M

- —йос

- Mo, t - to) clBo

(3.9.3)

является классическим решением уравнения (3.9.1) при плотности .массовых сил

f{M,

t) =

j j j j ^{Мо,

to)7{M

- Mo, t - to) dBo =

(Bo) СЮ

= 1111 f{Mo,

to)7{M

- Mo, t - to) dBo.

(3.9.4)

— ОС

(Заметим, что переход к интегралам из правой части в фор.муле (3.9.3) и формуле (3.9.4) воз.можон потому, что вне области Во оказывается (р = 0.) Спрашивается, каким общим требованиям достаточно подчинить поле lt{M, t) в области его определения, чтобы функция jf из выражения (3.9.3) оказалась классическим решением уравнения (3.9.1) при ^ = ^ ? Переписывая формулу (3.9.3) в виде оо Tf{M, t)=

j I I I ip{M - M ' , t - t')lt{M',

109

t') dB'

(3.9.5)

(и аналогично для Т^^М, t)), где интегрирование производится фактически по конечной области Bq (образованной множеством точек М' = М — Mq, t' — t — to, отвечающих множеству точек Mq, to из области Во), замечаем, что вследствие предположенной гладкости произвольных функций ip дифферетщрование функции if из выражения (3.9.5) ио М и t производится только лишь дифференцированием ip под знаками интегралов. Вследствие этого на основании выражений (3.9.2) и (3.9.5) получаем dB', J,9=1

-оо

— ОС

pur-^

dB' =

lq=l

оо

= 1111

{Tt-^i^))

(3.9.6)

dB',

где vt = г;<р{М -

M',t-t').

При этом вследствие (3.9.2) и соотношений d^vt dxkdxp

d^vt dx'i^dx'p

d^vt

d^vt

можно считать, что оператор ^ действует не на М и а на переменные М' и t', по которым производится интегрирование. Из изложенного, а также из предположения о том, что функции jf{M, t) и ^ ( М , t) из выражений (3.9.3) и (3.9.4) представляют классические решения уравнения (3.9.1) при значениях М и t из области определения исследуемой функции t'), вытекает соотношение оо

л и -оо

оо

lt{M',

t'}^{vt)

+ л и

vt7{M',

t') dB' = О,

(3.9.7)

-оо

выполняющееся при любом индексе г и векторе v^ из выражения (3.9.6), содержащем (дважды дифференцируемую) финитную произвольную функцию ip{M — М', t — t'). Такие соотношения должны 110

выполняться при любых значениях М ц t из области определения функций Tf{M, t) и Т). Поэтому при (выбранных) фиксированных значениях М w t функции из выражения (3.9.6) vt = Trip{M - M ' , t - t') = г;.фг{М',

t')

могут рассматриваться как (не зависящие от М и t) произвольные финитные функции, а их сумма 3

г=1 — как произвольная векторная финитная функция, непрерывная с первыми и вторы.ми частными ее производными. Таким образом, из соотношений (3.9.7) вытекает уаювие оо

л и

it{M',

(4(М',

П) dB' =

— оо оо

= -1111

t') dB',

(3.9.7')

— оо

которому должна удовлетворять функция lt{M', t) исследуемого типа для того, чтобы «сглаженная» (при помощи гладкой финитной функции (р{Мо, to)) функция if из формулы (3.9.3) оказалась классическим решепие.м уравнения (3.9.1) с правой частью ^ ( М , t) из формулы (3.9.4). При этом lt{M',t') из выражения (3.9.7') естеСТВС1ПЮ считать решением (в новом обобщенном смысле) уравнения (3.9.1) при ПЛОТНОСТИ массовых сил ~f{M, t). К точному определению понятия «обобщенное решение уравнения (1.2.8)» и к установлнию некоторых его свойств мы обратимся в пп. 4 и 5 настоящего параграфа. Предварительно же приведем некоторые вспомогательные результаты, полезные для последующего. 3. Уравнение движения (1.2.8) произвольной однородной идеально упругой среды будем записывать в виде 'A{lt)=Di^tik-p^ = -'f{M,t)

111

(3.9.8)

и будем рассматривать его решения в некоторой ограниченной (замкнутой) области В, которая может содержать и границы раздела. Под областью В будем понимать гиперцилиндр О и целое число по > 1, определим класс произволып>1х функций — Mq; щ), непрерывных вместе со всеми частными производными порядков п < по, удовлетворяюнщх условиям 1N г

Л

Г > О, 1М - Мо| < £ , (3.9.9)

оо 2) jjj8,[М

- Mo; По) dMo = 1.

Совершенно так же под - h', гпо) будем попимать произвольную функцию из класса функций, neiipepbmni.ix вместе с производными порядков п < т о и таких, что 1) Se{t - to', т о ) =

>0, \t-to\<e, О, |i-to| > £ (3.9.10)

ОС

2) / S , ( t - t o ; mo)dto = 1. /

Заметим, во-первых, что из уашвий (3.9.9) и (3.9.10) следуют очевидные соотношения оо

j j j 5е{М -

оо

М о ; По) dM = l,

—оо

j

S,{t - to', то) dt = 1 ,

—оо

во-вторых, что введенные классы функций можно конструировать

112

па базе финитной функции сехр

г<е,

среИ = г>е,

О,

имеющей непрерывные производные всех порядков. Так, например, если f{M — Mo) > О — произвольная функция, непрерывная с производными порядков П < ПО, то за — MQ; TIQ) можно взять / ( М - Мо)<Ре{\М - Мо\). При этом коэффициент с должен определяться для каждой / так, чтобы вьнюлнялось условие 2) из равенств (3.9.9). Пусть lt{M, t) — какое-либо векторное поле. Под средним полем от i t (или средней функцией от i t ) будем понимать выражение, определяемое одной из следующих формул: iJим,

t) =

оо

= JJjJ

lt(Mo, to)5,{M - Mo; no)Se{t - to; mo)dModto,

(3.9.11)

— OO OO Tf,^ = I I I it{Mo,

t)5,{M - Mo-, no) dMo,

(3.9.12)

— OO OO

t):=

J lt{M,

to)Ss{t - to; mo) dto-

(3.9.13)

— OO

Заметим, что в соответствии с формулами (3.9.9) и (3.9.10) в выписанных формулах интегрирование фактически производится лишь по £-окрестности точки {М, t). Для дальнейшего полезно сформулировать некоторые (элементарные) свойства средних функций. При этом если считать, что 5^{М — Мо; По) и Si:{t — to; т о ) совпадают с соответствующими J-фупкциями Дирака при по = О и т о = О, то достаточно рассмотреть лишь формулу (3.9.11), переходящую в формулу (3.9.12) при т о = О и в формулу (3.9.13) — при по = 0. Из упомянутых свойств нам понадобятся следующие.

113

Свойство 1. Если lt{M, t) - ограниченная интегрируемая функция в области В, то в точках (Л/, t) G В функция Uee ИЗ формулы (3.9.11) при По > 1 и гпо > 1 имеет непрерывные noxk a t все частные производные вида др+я дх^дх1дх]д1ч

V Uee{M,

t),

где р = а + Р ^ < По и q < то- (Утверждение следует из свойств гладкости функций (3.9.9) и (3.9.10) и возможности дифференцирования функции l}ее под знаком интегралов. Последнее, кстати говоря, следует из того факта, что при (М, t) е В интегрирование в формуле (3.9.11) производится по конечной области, содержащейся внутри Be.) Замечание. Утверждение сохраняет силу и в случае невыполнения одного из неравенств щ > 1, т о > 1, если функцию it считать непрерывной. Если по = О (тпо = 0), то достаточно потребовать непрерывности lt{M, t) по неременны.м Xk (по нере.менной t) при любом t (любой Xk) из области В^. Свойство 2. Если в области В^ функция lt{M, t) непрерывна и имеет интегрируемые первые частные производные по Хк и t, то в точках {М, t) е В операция усреднения из формулы (3.9.11) над it коммутирует с однократным дифференцированим по ж*: и (В случае т о = О {щ = 0) и дифференцирования по t (по Xk) утверждение следует из возможности дифференцирования под знаком интеграла правой части выражений (3.9.12) или (3.9.13). В остальных же случаях утверждение доказывается дифференцированием под знаком интеграла одной из функций 4 с последующим интегрированием по частям.) Свойство 3. Если в области В^^, где £о > О фиксировано, функция Tt{M, t) непрерывна вместе с частными производными порядков q < qo, то средние функции (3.9.11) - (3.9.13) при О < е < £о и их частные производные порядков q < qo сходятся при е О равномерно в области В к функции lt{M, t) и к соответствующим ее частны.м производным. (Утверждение легко доказывается применением к jfge из формулы (3.9.11), равно как и к ее частным производным, вычисляемым с учето.м свойства 2, первой теоремы о среднем.) Свойство 4- Если относительно lt{M, t) известна лишь ее интегрируемость в Bt-j, где го > О фиксировано, то средние функции

114

{3.9.11) - (3.9.13) сходятся при £ ->• О к функции ll{M, t) по крайней мере в средне.м по области В в смысле метрики ъ L^ {р = 1, 2). (Доказательство такого утверждения можно найти в 5-м томе "Курса высшей математики" В. И. Смирнова.) Заметим, что из свойства 3 для любой непрерывной функции lt{M, t) вытекают соотношения lim,_,o f f f

- Mq; no)dMo =

— ОС OO

t)S{M - Mo; no) dMo = ll{M,

= f f f lt(M,

t), (3.9.14)

lim г->о f

lt{M,

to)Se{t - to', mo) dto =

— OO

=

to)S(t - to; mo) = lt{M,

/ lt{M,

t),

позволяющие с учетом условий (3.9.9) и (3.9.10) рассматривать (обобщенные) (5-фупкции Дирака ^ как результат предельного перехода при е О от функций (3.9.9) и (3.9.10). Наконец, нам придется пользоваться интегральной формулой Грина—Вольтерра

{В) °Ml{lt)

- -TtMl{lt°)]

clE-

(S)

' К а к известно, (5-функции Дирака определяются формально соотношениями СХ)

вида

S(t-to) =

О при

t ji to и f ip{to)S{t-to) dto = V>(t) для

любой непрерывной

-OO

tp(t}. Упомянутый предельный переход при е знаками интегралов, как в формуле (3.9.14).

115

О всегда следует выполнять под

г

- j d t J I 0

dt^F^)-] -

- (itt;^")-]} as,,

(So (3.9.15)

получающейся из дифференциальной формулы (1.2.21) (в которой ^ и заменены соответственио на ^ ( т / ) и согласно введенному в формуле (3.9.8) обозначению для левой части уравнения движения упругой среды) интегрированием по области В в виде гиперцилиндра из начала п. 3 в следующих предположениях. 1) В трехмерной области V, заполнсЕнюй упругой средой (на которой построена четырехмерная область В), имеется граница раздела So первого рода, вне которой все параметры упругой среды непрерывны. 2) Поверхность So имеет непрерывную (или кусочно-непрерывную) норма,г1ь 3) По обе стороны от границы раздела поле т/° непрерывно вместе с первыми частными производными вплоть до этой границы, а также до границы S области Б, и имеет ограниченные вторые частные производные. 4) По обе стороны от границы раздела So поле i t , имеющее в В интегрируем1.1е вторые частные производные, непрерывно и имеет первые частные производные, непрерывные везде, за исключением поверхности Ei, с кусочно-непрерывной нормапью Т^. При приближении к Ej с обеих ее сторон M/\{lf) имеет определенные предельные значения М^ {т1), а при приближении (с обеих сторон) к границе раздела So существуют предельные значения it"*" и Т^г^ векторов i t и Не останавливаясь }ia элементарном выводе формулы (3.9.15), лишь от.метим, во-первых, что выражения и M4{lt), равно как и М4(т/°), определяются формулами (1.2.5) и (1.2.23) соответственно полям i t и во-вторых, что различие в условиях, которым мы подчинили поля it и lt° объясняется лишь кругом вопросов, к которым будет применяться формула (3.9.15) в настоящем параграфе. В дальнейшем границу 5о, О
116

ностью р и упругими параметрами с^а^^^д и з формул (1.2.6), т. е. не имеющем границ раздела 1-го рода. Пусть, кроме того, t) — произвольное финитное поле в В, непрерывное с первыми частными производными и имеюи;ее ограниченные вторые частные производные, тождественно равное нулю в окрестности границы Е. Множество таких функций будем обозначать посредством Кв- (Заметим, что под К в можно было бы подразумевать и множество непрерывных финитных функций, имеющих непрерывные производные всех порядков, тождественно равных нулю в окрестности Е.) Рассмотрим снача,ча классическое рещение lt{M, t) уравнения (3.9.8) с непрерывной правой частью, имеющее слабые или сильные разрывы на характеристиках, расположенных в области В. Очевидно, что для lt{M, t) и произвольной 'lt°{M, t) е Kb из интегральной формулы Грина- Вольтерра (3.9.15) следует УУУУ

dB = 0.

- Tt

(3.9.16)

(H)

Ho так как lt{M, t) — решение уравнения (3.9.8), то формула (3.9.16) переписывается в виде I I I I

(It") dB = ~ n i l

(B)

lt°f

dB.

(3.9.17)

(S)

Равенство (3.9.17), содержагцее произвольную функцию 6 Кв, должно выпо.чняться для любого классического решения (3.9.8) (см. теоремы 1 и 2 из п. 5). Таким образом, условие (3.9.17) эквивалентно уравнению (3.9.8) в случае достаточно гладких i t и Однако фактически оно оказывается суп;ественио более широким, так как сохраняет смысл и для функций l t ( M , /), не имеющих производнг.тх, ли1нь бы i t и были бы интегрируемы. Это обстоятельство, равно как и соображения, изложенные в п. 2, дают осггования для следующего расширения понятия о решении уравнения (3.9.8). В случае, когда область В не содержит границ раздела 1-го рода обобщенным решением уравнения (3.9.8) с интегрируемой правой частью ^ называется интегрируемая функция i t (Л/, t), удовлетворяющая условию (3.9.17) при произвольной i t " € КвЕсли в области В содержится граница раздела 1-го рода упругой среды, на которой поле смещений должно удовлетворять тому

117

или иному условию контакта из п. 4 §3, называемому далее условием С, то нужно говорить об обобщенном решении уравнения (3.9.8), удовлетворяющем условию С на Е". При этом вместо К в в области В следует рассматривать класс К д произвольных финитных векторов тождественно равных нулю в окрестности Е, удовлетворяющих на Е" условию С, а вне Е° непрерывных вместе с первыми частными производными и имеющих ограниченные вторые частные производные. Таким образом, в случае интегрируемой в В функции ~f под обобщенным решением уравнения (3.9.8) при контактном условии С понимается интегрируе.мая в В функция lt{M, t), удовлетворяющая (3.9.17) при произволыюй l t ° 6 5. Сформулируем и докажем некоторые утверждения, устанавливающие важные для дальнейшего свойства обоб1ценных решений (3.9.8). Теорема 1. Если в области не содержащей границ раздела 1-го рода, обоби;спное решение lt{M, t] уравнения (3.9.8) (с непрерывной правой частью У ) непрерывно с первыми частными производными и имеет интегрируемые в В вторые частные производные, непрерывные везде, за исключением, быть может, конечного числа поверхностей Е, то оно является классическим решением уравнения (3.9.8). Действительно, так как it — обобп;енное решение, то оно удовлетворяет условию (3.9.17) при любой Tt° € Кв- Так как i t непрерывно с первыми производными и имеет интегрируемые вторые частные производные, то для i t и справедливо равенство (3.9.16). Поэтому = 0

(3.9.18)

(В) при любой i t " € Kb и функции '^{М, t) = (it) +непрерывной вне конечного числа поверхностей Е. Пусть (Мо, to) — произвольная точка В, лежащая пне Е, расстояние которой до Е рав1ю £q > 0. Выбирая, например, l t ° = lt<5,(M - Л/о; no)<5,(f - h-mo), где По > 2, mo > 2, причем и О < £ < £о произвольны, и применяя к (3.9.18) первую теорему о среднем, получаем

118

где |М' - Мо| < е K\t — t'\ < е.Ъ силу непрерывности в выборе и £ отсюда следует

и произвола

Замечание. Если единственное изменение в условиях теоремы состоит в том, что обобщенное решение lt{M, t) имеет разрывы в первых производных на гладкой поверхности (или поверхностях) Ei, причем с обеих ее сторон существуют непрерывные предельные значения таких производных, то lt{M, t) — классическое решение уравнения (3.9.8) с правильны.ми сильными разрывами на Ej. Действительно, из равенств (3.9.17) и (3.9.15) аналогично предыдущему получается равенство 1111

[:t(lt)

+ -f]lt°

dB = - I I I

(В)

-

dSi,

(Ei)

(3.9.19) справедливое для любой G Kb- Выбирая сначала равным нулю на El и замечая, что при этом равенство (3.9.19) принимает вид (3.9.18) (так же, как и выше) убеждаемся, что вне поверхностей Е и El удовлетворяется уравнение (3.9.8). Но вследствие этого равенство (3.9.19) сводится к равенству

///•

lt°[Ml

(it)-Щ

(l/)]dEi=0

i^i)

при произвольной е Кв- В силу непрерывности [ М ^ ^ ( i t ) — M i (1?)] в точках El (вытекающей из условий теоремы) отсюда следует mI = М4 па El, что и означает выполнение динамических условий совместности (2.5.6). Из предположения же о непрерывности i t и существования предельных значений первых частных производных от с обеих сторон Ei вытекают и кинематические условия совместности (2.5.5) на EiТеорема 2. Еош в области В, содержащей гранипу (или границы) Е° раздела первого рода, функция ' f непрерывна, а обобщенное решение lt{M, t) урав1юпия (3.9.8) при контактном условии С непрерывно вместе с первыми частными производными по обе стороны от Е° (вплоть до точек Е°) и имеет интегрируемые вторые частные 119

производные, непрерывные везде, за исключением конечного чиача поверхностей Ё, то lt{M, t) является классическим решением уравнения (3.9.8) при условиях контакта С. Действительно, если сначала выбирать € К в равными тождественно нулю в £-окрестности поверхности (где е > О сколь угодно мало), то вполне аналогично предыдущему нетрудно убедиться, что вне функция lt{M, t) удовлетворяет уравнению (3.9.8). Вследствие этого условие (3.9.17) и формула (3.9.15) (в которой лишь третий интеграл из правой части отличен от нуля) приводят к равенству I

о

(So)

~

+ '

(3.9.20)

(в)

справедливому при любой G К^Предноложи.м для определенности, что условия С контакта на SQ сводятся для ноля it^ к равенствам (1^")+ = ( l t ° ) - =

{ П У = it!:)- ^ й

(3.9.21)

в точках поверхности So- (Контакт жесткий!) При этом равенство (3.9.20) переписывается в виде т j

dt I j i v i i t t ' ^ - l t - ) } d S

о

= 0,

(3.9.22)

(So)

где ito и То обозначают граничные значения (3.9.21) векторов т/" и на So, нриче.м условие (3.9.22) должно выполняться при любой

е к%.

Чтобы получить из условия (3.9.22) условия жесткости контакта на So для поля it, т. е. равенства lt+=Tt~,

=

(3.9.23)

достаточно воспользоваться легко доказуемым фактом, а именно: it^ может быть выбрано удовлетворяющим усиювию (1^°)+ = ( i t " ) " =

120

= = о на 5о при произвольных значениях вектора напряжений То = = в точках этой поверхности. При указанном выборе поля первое слагаемое под знаком интеграла в равенстве (3.9.22) равно нулю тождественно. Поэтому в силу произвола в выборе значений 7t(M, t) в точках поверхности So, а также непрерывности и па So (вытекающей из условий T C o p e M i . i ) из равенства (3.9.22) следует первое из равенств (3.9.23). В силу этого равенства соотноп1епие (3.9.22) переписывается в виде, не содержащем второго слагаемого под знаком интеграла, причем оно должно выполняться при любом е К'^. Отсюда сразу же следует и второе равенство (3.9.23). Теорема 3. Если при (М, t) & В функция lt(M,t - to; Mo) есть обобн;енное решение уравнения (3.9.8) при = 'f{M,t - to; Mo) и при любых значениях {Mo,to), принадлежащих области Во, г. tf = = (p{Mo,to) — интегрируемая в Во функция, то [f{M,

t) = л

и

^{Мо, to)lt{M,

(3.9.24)

t - to; Mo) dBo

(До)

определяет в области В обобн;енное решение уравнения - f { M , t),

=

(3.9.25)

где f{M,

t)=

I I I I f{Mo,

to)t{M,

(3.9.26)

t - to; Mo) dBo.

(Bo)

Действительно, для произволыюй

£ Kq (ИЛИ К%) имеем

( В )

чш

fiMo,

to)

1111

lt{M,

t - to;

dB

dBo =

(Во)

(Во)

//// 121

^~

dBo =

-IIJj^'f^B^ (В)

ЧТО и доказывает утверждение. Замечание. Практическое значение теоремы 3 состоит в том, что в ней рассматривается операция (3.9.24) усреднения но параметрам Мо и to решения lt{M, t - to\ Mo) уравнения (3.9.8), весьма часто встречающаяся в приложениях. Естественно ожидать, что такая операция приводит к более гладкому решению lf{M, t) уравнения (3.9.8) со сглаженной правой частью t). При этом если на основании (3.9.24) yдaJЮCь доказать достаточную гдадкость функции l}{M, f), то в силу теорем 1 и 2 она является классическим ( т. е. «хорошим» с точки зрения практики) решением уравнения (3.9.25). В частности, в случае однородной среды lt{M, t - to\ Mq) = = it{М — Mo, t — to). Поэтому формула (3.9.24) для любой финитной функции t) переписывается в виде L}{M, t)^

л

и

^{МО, to)lt{M

- MQ, t - to)dBo =

(Во)

= л

и

^(м

(3.9.27)

-Mo,t-to)lt{M,,ti)dB,,

(йО где Bi - настолько широкая область, что при любых ( М , t), принадлежащих замкнутой области В, вблизи границы Bi имеет место ip{M — Ml, t — ti) = 0. В этом случае гладкость решения 11 элементарно устанавливается на основании гладкости функции <р{М, t). Теорема 4- Если t) — пооледовательность классических решений уравнений '^{ut)

= -Тп{М,

(3.9.28)

t)

и если в области В существуют интегрируемые функции lt{M, t), такие, что при

t) и

р-1,2

Jjjj

\ut - d B

= О,

(3.9.29)

(В) Jin^ ////

17^ - t l " dB = 0,

(B) 122

(3.9.29')

то lt{M,

t) есть обобщенное решение уравнения (3.9.8) с правой ча-

стью 'fiM, t). Действительно, для функций it И1меем

1111

к любой

€ Кв (или К'д)

dB^Jf[J

+

+1/°/:]+

(И)

(Й)

(3.9.30)

dB. Ho +

= Q

(3.9.31)

(Й) в силу уравнения (3.9.28) и формулы (3.9.16). Вследствие же ограниченности и справедливы оценки 1/р

, (3.9.32) (В)

{В)

1/р

(3.9.32') L

{В)

из которых и формулы (3.9.29) следует стремление к нулю правой части равенства (3.9.30) при п —> оо. Так как левая часть равенства (3.9.30) не зависит от п, то она равна нулю, что и требуется. Замечание. Очевидно, что утверждение теоремы остается справедливым и при замене выражения (3.9.29') более слабым условием, а именно: I l l J c f - f ^ ) l t U B = 0.,

(3.9.33)

(В)

где

6 Кп (или К%). Справедлива и обратная теорема. Теорема 5. Любое обобщенное решение lt[M, t) уравнения (3.9.8) может рассматриваться как предел в с.мысле условий (3.9.29) последовательности классических решений t) уравнений (3.9.28) с

123

такими правыми частями fti, что для я f^ выполняется условие (3.9.33). Действите.яьпо, из функционального анализа известно, что для любой интегрируемой lt{M, t) (следовательно, и для любого обобHieHHoro решения уравнения (3.9.8)) .может быть построена поачедовательность йХ{М, t) функций, непрерывных с производными до второго порядка (и даже сколь угодно гладких), такая, что выполняется соотношение (3.9.29) Выбирая по обобщишому решению lt(Af, t) именно такую последователыюсть uti{M, t), определим /„ = = —A{un). Для классических решений й^ и любой l f ° € К в (или К%) выполняется равенство (3.9.31). Пользуясь равенством (3.9.31) и формулой (3.9.17) для обобщенного решения, нолучае.м

////

-

=

(Я)

Л-оо / / / / (В)

=

о

(3.9.32) и у с л о в и я (3.9.29), ч т о и т р е б у е т с я . 6. В зак:почс1ше краткого обзора наиболее важшях для приложений результатов теории обоб1ценн1>1х решений уравнения (3.9.8) следует сделать ряд замечатшй, прежде всего относящихся к случаю задач, в которых поле смещений в области В возбуждается не массовыми силами с плотностью ~f{M, t), а воздействиями, прикладываемгями к границе 5 области V, загюлненной упругой средой. Ради определенности остановимся на воздействии вида В силу оценки

= - f { M , t),

(3.9.34)

(S)

где М G S, причем будем предполагать, что внутри V нет границ раздела 1-го рода Замечая, что при указанном в п. 3 выборе области В интеграл по Е в формуле (3.9.15) имеет ЗЕ1аче?ше III[it^Mliltyitm^O)] (E)

•^Заметим, ч т о в качестве u t

dE = / / /

dV1=0

iV) м о ж н о взять с р е д н ю ю ф у н к ц и ю (3.9.11) при

по

> 2, 7(10 > 2 и £ = £ „ , где Еп —> О при п —у ос. ^ В с л е д с т в и е э т о г о в ф о р м у л е (3.9.15) о т с у т с т в у е т слагаемое с и н т е г р а л о м по So-

124

г

(V)

0

(S)

определим в В класс К/, произвольных финитных функций непрерывных имеете с производными первого и второго порядков (или даже с производными всех порядков), равных тождественно нулю в окрестности поверхностей < = О и i = Г и удовлетворяюн;их ус;к)1!ию = О в точках боковой поверхности области Б, т. с. при М G S, О < t < Т. Если lt{M, t) — классическое ренгенис однородного уравнения (3.9.8) в области В, удовлетворяющее гранич1юму условию (3.9.34), то при произвольном G Kb формула (3.9.15) запингется в виде т

I

J (Л)

j

d

B

=

-

j 0

d t j l { l t ° f ) dS.

(3.9.35)

(S)

Таким образом, указанное классическое решение it удовлетворяет соотношению (3.9.35) при любой е Кп- Нетрудно видеть, что, наоборот, если соотношение (3.9.35) выполняется при любой l/" е Кь и при функции i t , непрерывной в В, например, вместе с производны.ми первого и второго порядков, то i t - классическое решение однородного уравнения (3.9.8), удовлетворяющее граничному условию (3.9.34). Приведенные соображения показывают, что соотношение (3.9.35), подобно соотношению (3.9.17), может быть положено в основу определения понятия обобщенного решения однородного уравнения (3.9.8)при граничном условии (3.9.34). Вследствие очевидной идейной близости соотноп1е1П1й (3.9.17) и (3.9.35) представляется возможным не останавливаться здесь на точном определении понятия об обобще1пюм решении однородного уравнения (3.9.8) при гранично.м условии (3.9.34), а также ira установлении необходимых для приложений его свойств. От.мети.м только, что на основе соотношения (3.9.35) легко могут быть доказаны утверждения, вполне аналогичные утверждениям теорем, приведе)Н1ых в п. 5. Остается сделать за.меча1ше, связанное с тем обстоятельством, что при изложении основных (простейших) результатов теории обобще1и1ых решений уравнения теории упругости мы не рассматривали динамических задач в их полной постановке, обсуждавшейся в § 3. Объясняется это тем, что необходи.мость перехода к обобщенным

125

решениям в прикладных задачах теории упругости обычно возникает в связи с рассмотрением последовательностей гГ^(М, t) классических решений полно поставленных (в смысле §3) динамических задач, соответствующих некоторым последовательностям достаточно гладких внешних воздействий, например, массовых fn{M, t) или поверхностных Т.п{М, t) плотностей сил. При фиксированном значении п каждая из таких задач для уравнения (3.9.8) решается при всех необходимых дополнительных условиях из § 3, обеспечивающих единственность решения. При изменении же значения п (например, при п —> ос) внешние воздействия на среду стре.мятся к соответствующим предельным значениям, гладкость которых оказывается уже недостаточно высокой для того, чтобы отвечающее им предельное поле упругих смещений lt{M, t) имело классический смысл. И если выполняются условия теоремы 4 (или вполне аналогичной теоремы в случае граничных воздействий Г„), то предельное поле lt{M, t) оказывается обобщенным решением уравнения (3.9.8), отвечающим предельным значениям внешних воздействий, а также всем прочим (не зависящим от индекса п) дополнительным условиям динамической задачи, которым удовлетворяла функция гГ^(М, t). Из единственности ренхения классических задач для t), а также из единственнсти предела (3.9.29') следует единственность обобщенного решения lt{M, t) в смысле метрики в Lp. 7. С обобщенными решениями в динамической теории упругости приходится встречаться главным образом при рассмотрении полей сосредоточенных источников колебаний в однородной или кусочно однородной среде. С физической точки зрения естественным подходом к проблеме источников колебаний, приложенных в точке {Мо, to) упругой среды, является рассмотретше последовательностей распределенных достаточно гладких плотностей массовых или поверхностных сил, область приложения которых стягивается к точке (Мо, to) при изменении некоторого параметра. Так, например, в случае внутреннего источника колебаний типа мгновенной силы с единичным импульсом, приложенной в момент t = to к точке MQ области V, за упомянутую последовательность можно взять плотность Тп{М - Мо, i - to) =

( М - Mo; no)

с (5-образнымн функциями (3.9.9) и (3.9.10).

126

{t - to; mo)

(3.9.36)

в случае подобного же источника, приложенного в точке (Мо, to) границы S упругой среды, следует исходить из последовательности =

- Mo)6,„{t-to-,mo),

(3.9.37)

где ~t — единичный вектор нормали или касательной к поверхности S в точке М (или в точке М^), а задаваемая в точках S достаточно гладкая функция (рпЩ — ^ о ) подчинена условиям 1) 2)

с^п(М-Мо)-| ff^M-Mo)dS

о, \М - Мо\ > бп, = l.

(5)

Не задерживаясь па перечислении других возможностей, заметим, что любые точечные источники могут быть сконструированы из систем источников вида (3.9.36) и (3.9.37) на основе соответствующих предельных переходов и что создаваемые ими поля смещений определяются суммарным вектором приложенных в источнике сил, а также векторами их моментов первого и высщих порядков. При выборе последовательностей распределенных массовых сил вида (3.9.36) естественно иметь дело с настолько гладки.ми (J-образными) функциями (М — Afo; пд) и <5е„ (i — to', гпо), чтобы при воздействии (3.9.36) и при всех остальных дополнительных условиях рассматриваемой задачи с пулевыми начальными данными и плотностью массовых сил = f t существовало классическое решение ut{M, t—to, Mo), обладающее единственностью в классическом смысле. При этом построение целесообразно проводить в два этапа, причем на первом — считать среду, к которой прикладывается воздействие f„, безграничной. Еачи классические рещспия v t построены, то для получения поля смещений i t , отвечающего точечному источнику, следует рассмотреть предельный переход при п ос (т. с. при е 0). При этом воздействие (3.9.36) приобретает смысл единичной сосредоточенной силы, характеризуемой символом 7 ( М ~Mo,t-

to) = itS{M

- Mo) S{t - to),

(3.9.38)

где S{M — Mo) и 5{t — to) ~ соответствующие (^-функции Дирака, a за поле смещений, отвечающее источнику (3.9.38), нужно взять предел

127

последовательности классических решений t — to; MQ). Однако может оказаться, что последовательность й^ не имеет предела в обычном смысле, но существует функция l t ( M , t — TO, MQ), такая, что имеет место t - to, Mo) - li{M,

t - to, Mo)\"dB = 0, (3.9.39)

(B) где p = 1, 2, a В — четырехмерная область, в которой реализуется решение задачи. Так как при любой (даже лишь непрерывной) функции для нашей последовательности выполняется уатовис

[Ч) вида (3.9.33), то в соответствии с утверждением теоремы 4 функция lt{M, t — to, Mq) имеет смысл обобщенного решения уравнения (3.9.8) при значении из выражения (3.9.38), более того, такого решения, которое «удовлетворяет» нулевым начальным данным (1.3.1) и однородным условиям (1.3.4) на границе S области V, если классическое поле uti{M, t-to. Mo) источника (3.9.37) строилось при учете указанных условий. 8. Основное свойство обобшеиных решений lt{M, t—to, MQ) задач для точечных источников уравнения (3.9.8), определяющее ценность таких решений в проблемах практики, состоит в том, что они позволяют легко строить классические поля смещений для аналогичных же задач в случае гладко распределенн1.1х воздействий. Проиллюстрируем это на примере поля lt{M, t — to. Mo) источника (3.9.38). Пусть t) - классическое решение уравнения (3.9.8) в области В в случае плотности массовых сил 7 = f{M,

t) = TtifiM,

t),

(3.9.40)

заданных в некоторой подобласти Во, содержащейся в В, удовлетворяю1цее нулевым Ha4ajH>Hbi.M данным и однородным граничным условиям, таким же, что и условия в задаче из п. 7, в которой определялось обобп;енное ноле lt{M, t — to, Mo), отвечающее источнику (3.9.38). Функция ip{M, t) из равенств (3.9.40) предполагается настолько гладкой, что классическое решение Tf{M, t) реализуется и , следовательно, единствен]ю и непрерывно в В. 128

Рассмотрим подобную же задачу в случае плотности массовых сил

^ = U УIJj

ip{Mo, to)6e„{M - Mo, ; no)S,^(t - to; mo)dBo,

(Bo)

гладкость которой не ниже гладкости функции ^ из выражения (3.9.40). Нетрудно видеть, что такая задача имеет классическое реиюние (единственное и непрерывное), представляющееся формулой ut{M,

t)=

J i l l ^{Мо,

t - to, Mo) dBo,

(3.9.41)

(Bo)

где uti является элементом рассмотренной в п. 7 послсдователыюсти классических решений, сходящейся в смысле (3.9.39) к обобщенному решению i t задачи об источнике (3.9.38). При п 00 (когда £ ->• 0) плотность Fn массовых сил равномерно стремится к гладкой плотгюсти (3.9.40), а поле Un(M, t) стремится к интересующему нас классическому полю lf[M, t). Поэтому lf{M,

t) = J^m 11II

^{Mo, to)ut{M,

t - to. Mo) dBo =

{Bo)

41 II

ip{Mo, to)lt{Mo,

t - to. Mo) dBo,

(3.9.42)

(До).

т. о. классическое решение задачи об источнике (3.9.40) выражается через обоби;еннос решение подобтюй же задачи для источника (3.9.38) формулой, ана^югичной формуле ^(М,

t) = I I I j ^{Мо, to)S{M - Mo)S{t - to) dBo, (Bo)

связывающей плотности массовых сил источников из формул (3.9.40) и (3.9.38). Так как Tf{M, t) — классическое решение уравнения (3.9.8), то интеграл из правой части формулы (3.9.42) оказывается гладкой

129

функцией при достаточно гладкой t). Однако в случае неоднородных сред гладкость интеграла по пространственным переменным Xk не может быть установлена только на основании равенства (3.9.42), если о функции li{M, t — to, MQ) ничего не известно, кроме ее интегрируемости (см. замечание к теореме 3 из п. 5). Что касается гладкости ifiM, t) по переменной t, то она не ниже гладкости но t функции (/?(М, t). В частности, lf(M, t) и lft{M, t) непрерывны по t, если ip и ifit зависят от t непрерывно. В таком случае поле Tf{M, t) из выражения (3.9.42) не может иметь разрывов непрерывности в первых производных на движущихся поверхностях, т. е. на характеристиках уравнения (3.9.8) или, что то же, уравнения (1.2.8). 9. Важным для дальнейшего окажется частный случай 'f = f M t ) S , { M - M o ; n o )

(3.9.43)

воздействия вида (3.9.40), прикладываемого к среде с непрерывной плотностью p{xi, Х2, а;з) и с непрерывными упругими параметрами а;з), имеющими непрерывные частные производные по всем переменным х^ везде, кроме, быть может, конечного числа поверхностей. При этом под 6с{М - Мо; щ ) в выражении (3.9.43) подразумевается функция вида (3.9.9) (обращающаяся в функцию Дирака 6{М - Л^о) при £ 0), а ip{t) — обозначает достаточно гладкую функцию в (выбранном) интервале (3.9.44)

0
подчиненную условию ip{t) = О при t <0. Пусть гладкость функции ^p{t) настолько высока, что решение lt{M,

t, Mo;
(3.9.45)

уравнения (3.9.8) (или, что то же, уравнения (1.2.8)) при плотности массовых сил (3.9.43), подчиненное нулевым начальным данным Tt = О при

t<0

(3.9.45')

и соответственным однородным граничным условиям, имеет классический смысл. При этом нетрудно убедиться, что в любом промежутке (3.9.44) такое решение допускает представление в виде предела 1 lt{M,

t - т, Mo, Ci, £)(1т, (3.9.46)

t, Мо;^, ei) = lim / J

130

где функция Мо,Еие)

(3.9.46')

является решением уравнения (3.9.8) при плотности массовых сил % = its,{t - T - S - , т о )

( М - Мо; по),

(3.9.47)

подчиненное нулевым начальным данным vi = 0

при

(3.9.48)

t < т

и таким же однородным граничным умовиям, что и функция i t (3.9.45). Здесь остается лишь отметить, что правильность соотношения (3.9.46) вытекает из упоминавшейся единственности решения уравнения (3.9.8) при (упо.минавшихся) дополнительных условиях, а также из факта, что функция т

=

j

t-e

-

т-

Е:

mo)dT =

о

J

- и-

Е)5^{Щ

TTIQ)

du,

t-e-T

(в которой, например, т о > 0) непрерывна в промежутке (3.9.44) и определяется соотношениями О, Ф,{t)

=

t < О,

fleeit)],

0

t>2s,

где функция e{t) удовлетворяет оценке |6(t)| < 1. Поэтому при е оказывается \im Ф,{t) = ф)

О

в смысле равномерной сходи.лости в любом конечном промежутке (3.9.44). § 10 Принцип взаимности в теории упругости и в сейсмической практике Принцип взаимности сводится к некоторому точному утверждению, позволяющему по свойству поля ut(M2, Mi; fi) в точке Мг, 131

возбужденного некоторым источииком f i сосредоточенным в точке M l , судить о свойстве поля М2; /2) в точке Mi той же среды, возбужденного соответственным источником /2, сосредоточенным в точке М2. В сейсмике принципом взаимности часто пользуются не вдаваясь в детали его утверждений и условий его применимости. Поэтому процент неправильного применения этого принципа в сейсмической практике весьма высок. 1. Принцип взаимности в теории упругости формулируется для произвольной неоднородной анизотропной среды, заполняющей (конечную или бесконечную) трехмерную область V, ограничеин}'ю поверхностью 5 с кусочно-непрерывной внешней нормалью i f , и имеющей внутри V конечное число границ So раздела 1-го рода. На границах 5о раздела сред задаются те или иные условия контакта из п. 3 § 3, а внешняя поверхность S остается свободной от напряжений или смещений везде, кроме, быть может, одной точки, к которой прикладывается воздействие. Вывод при1щипа базируется на интегральной формуле Грина--Вольтерра для четырехмерной области В, ограниченной поверхностью И с внешней нормалью построенной на V в виде гиперцилиндра с образующими, параллельными оси времени, и с основаниями 4 = —5 < О, < = Г > О, где <5 > О — малое число. Упомянутая формула применяется к поля.м смещений и if^ (реализующимся в выбранной упругой среде), непрерывным всюду в Б, удовлетворяющим на границах раздела So одним и тем же (выбранным для упругой среды) условиям контакта, имеюпщм (быть может) разрывы непрерывности в первых производных соответственно на поверхностях Xli и S", па которых выполняются кинематические и дина.мические условия совместности, и, наконец, удовлетворяющим вне всех упоминавшихся поверхностей уравнениям движения (1.2.8) соответственно с плотностями массовых сил и Г . На основании формулы (3.9.15) (в которой интегралы по So обращаются в нуль в случае it и удовлетворяющих одинаковым условиям контакта на каждой из границ So) очевидно, что для рассматривае.мых полей формула Грина—Вольтерра .может быть записана в виде равенства

ли

(В)

"

"

/

/

/

(Е)

132

"

в котором 3

I

М4=

tk cos l/Xk - Р ^ cos ft, (3.10.2)

3 •М'Г =

I ]

^ t ° COS

-

P^^

COS

vt,

причем tk и обозначают векторы напряжений (1.2.4), вычисленные по полям i t и i t " . 2. Будем сначала рассматривать волновые поля i t в упругой среде, заполняющей область из п. 1 при условии, что на ее внешней границе 5 (конечной или бесконечной) задается режим, определяемый равенством Si

= 0;

It

52

= 0,

(3.10.3)

где 5i и 5-2 - непересекающиеся части поверхности S, такие, что 5i Ч+52 = 5. Пусть ul{M,t,

Muip,ei),

и

ut{M,t,

М2; if, е-2)

(3.10.4)

— гладкие поля, возбуждаемые в среде независи.мо друг от друга соответственно гладкими плотностями массовых сил

(3.10.5)

прикладываемых в окрестностях точек М] и Мг области V (отстоящих от ее границы S соответственно на расстояниях, превосходящих £i > О и £2 > 0) при условии, что при t <0 среда находилась в покое. Здесь и Z2 - произвольные орты, a.ip{t) предполагается настолько гладкой в промежутке (3.10.6) Q
Поля ut и (3.10.^ удовлетворяют уравнению (1.2.8) при плотностях массовых сил ~f = fi и ^ = /2 (3.10.5), а также — удовлетворяют соответственным (одинаковым) условиям контакта на внутренних границах раздела среды в области V, нулевым начальным данным й\{М, t, Ml - ip, £1) = О, t < О, (3.10.7) t, М2; ^p, £2) = О, во всех точках области V, и граничным условиям (3.10.3). При этом предельные значения таких нолей u t { M , L Mk\ ip) = lim 77|(М, t, Mk-,^, Ek)

(3.10.8)

являются (no определению) решениями уравнения (1.2.8), удовлетворяющими пулевым начальным данным нри t < О и граничным условиям (3.10.3), отвечающим сосредоточенным воздействиям с плотностя.ми массовых сил fk = T t ^ { t ) 5 { M ~ M k ) ,

(3.10.9)

где 6{М — Mk) — пространственная 5-функция Дирака. Принцип взаимности здесь сводится к формулировке связи между значениями и

vi{M2, t, Mi; if)

tI^(Mb t, М.,; vs)

функций ui (3.10.8). 3. Определим воюмогательпое решение vt{M,t-T,M2\e2,e)

(3.10.10)

уравнения (1.2.8), отвечающее плотности массовых сил То = TtSeit - т - е; т о )

- М2; По),

(3.10.11)

подчиненное граничным условиям (3.10.3), а также — пулевым начальным данным при t < т. Тогда, в соответствии с п. 9 §9, интересующее нас поле, например, й|(М, t, М2; i/?, £2) из формулы (3.10.8) может быть выражено через поле (3.10.10) в виде т

уЦМ, t, Л/2; V5, £2) = lim f ф)г1^{М,

134

t - г, Л/2;с2, e)fir. (3.10.12)

Учитывая наличие такого соотношения, выберем произвольное значение to из промежутка (3.10.6) и определим по полю й^ из формулы (3.10.10) вспомогательное вольтерровское поле lt°{M,

t) = viiM,

to -t,M2\£2,

£)

(3.10.13)

(в котором в выражении й^ (3.10.10) аргумент t — т заменен нат — t, а затем положено т — to). Вольтерровское поле t), очевидно, удовлетворяет уравнению (1.2.8) при плотности массовых сил 7° = TtSe{to-t-s-,

то)ёе,(М

-М2]

по),

(3.10.14)

удовлетворяет граничным условиям (3.10.3) и пулевым условиям при t > to. Для установления соотношений взаимности остается приме1шть формулу Грина—Вольтерра из равенств (3.10.1) и (3.10.2) к вспомогательным функциям и ^ из выражений (3.10.13) и (3.10.14), а также — к функциям lt{M,

t) = ut{M, t,Mi-ip,

t(M,

t) = t

£1), (3.10.15)

= t ^ )

[М-Мй

no)

из формул (3.10.7) и (3.10.9). Областью By в формуле (3.10.1) служит гиперцилиндр V, —5 < < t < Т + 6 (где S > О произвольно мало), ограниченный поверхностью Е. Последняя же состоит из оснований: V, t —6 nV, t — T + S, на которых в равенстве (3.10.2) оказывается cost'a;it=0,

cos:^i = —1 и ^ , Я dlF

cosi/< = l, air"

(3.10.16)

а также из боковой поверхности 5, -6
cos i^Xk — cos nxk, (3.10.17)

)fc=i 135

Поэтому выражение [ i t • Mt°

-Ml]

из равенства (3.10.1) обращается в нуль в каждой точке поверхности Е. (В силу условий (3.10.3) на боковой поверхности и в силу соотношений lt{M, t)=0 при t< О, (3.10.18) lt°{M, t) = 0 при t > Г на основаниях гиперцилиндра.) Таким образом, в правой части равенства (3.10.1) стоит пуль и остается лишь вычислить интегралы из его левой части. 4. Полагая (3.10.19)

О < to <Т,

воспользуемся формулами (3.10.13), (3.10.15) и выпишем выражение to - t, M2, £2, e)

~f •lt° = Tt^itHiM,

( M - Mi; no),

(3.10.20)

которое следует проинтегрировать по области B = {V-,-5
+ 6).

(3.10.21)

Однако вследствие условия: ip{t) = О при t > to (и, тем более, при t > Т), интегрирование по промежутку ( - J < t < Т + 5) фактически сводится к промежутку (О, Г ) . Л это приводит, в частности, к интегралу г to - t, М2; £2, е) dt, о совпадающему с интегралом из формулы (3.10.12). Поэтому, при учете формулы (3.10.12), результат интегрирования выражения (3.10.20) по четырехмерной области [В) (3.10.21) в пределе при е —> О дает J i ( M i , to, М2, < / ' ) = / / /

to, M2;

e2)4.(M-Mi;

no)dM,

{V} (3.10.22)

136

где интегрирование совершается фактически лишь по сфере М-Мх\<Ех.

(3.10.23)

Подобным же образом, па основании выражений (3.10.14) и (3.10.15) получается равенство -li

^

t, Ml-if,

ei)Se(to-t-,

то)5е^{М - Ma; по),

интегрирование которого но области {В) (3.10.21) также сводится к интегрированию по промежутку (О, Г ) , а зате.м — по объему V. При этом, в результате интегрирования но (О, Т) и перехода к пределу при £ —О, получается очевидное выражение ^2(^2, to, Mi-,ip) = j j j

to, Mi;v?, ei)5eAM

- M2;

no)dM,

iv) (3.10.24) интегрирование в котором также производится лишь но сфере М-М2\<е2.

(3.10.25)

^1то же касается формулы Грина—Вольтерра из равенств (3.10.1) и (3.10.2), то в результате указанного она приводится к равенству J i ( M i , to,

= J2(M2, to, Mi;
(3.10.26)

содержащему усрсднепныс по областям (3.10.23) и (3.10.25) наблюдения нолей й^(М, to, М2; (,5,02) и й\{М, to. Mi; (р, ei) (3.10.4), возбуждаемых плотностями сил (3.10.5), распределенных соответственно но областям (3.10.25) и (3.10.23). При этом поля и из (3.10.4) предполагались непрерывными при ei > О и £2 > О (т. е. при воздействиях (3.10.5) еще распределенных по областям (3.10.23) и (3.10.25)). Если же в среде реализуются более гладкие поля й\ и й^ (3.10.4), остающиеся непрерывными и при ei > О и £2 > О (т. е. и при строго сосредоточенных воздействиях (3.10.5), определяемых функциями 6{М — MK) Дирака), то из равенства (3.10.26) (в пределе при £i О и £2 ^ 0) получается более простое равенство t, М2;

= t-ut{M2,

137

t, М,; if),

(3.10.27)

которым, обычно, и выражается содержание принципа взаимности идеально упругих сред в случае внутренних пространствснно-сосредоточенных воздействий типа напраБле1П1Ых сил. Не задерживаясь здесь па физическом толковании (более глубокого, но и более сложного) соотношения взаимности в форме соотношения (3.10.26), ограничимся кратким рассмотрением соотношения (3.10.27), отвечающего случаю упругих сред, в которых сосредоточенные воздействия (3.10.9) возбуждают непрерывные вол1ювые ноля ut. В таких случаях оказывается, что если в одной и той же находившейся в покое при ^ < О упругой среде, на границе которой поддерживается один и тот же однородный режим (3.10.3), возбуждаются (независимым друг от друга образом) под действием источников Уг и % (3.10.9) соответственно поля смсш,ений й|(М, t, М\ \ ф) и t, М2; (fi), то проекция значения поля ilt в точке М2 на направление /2 (т. е. на направление силы /2, возбуждаюхцей поле й^) равна проекции значения поля в точке М; на напрвление li (т. е. на направление силы /1, возбуждаюш,ей поле wt). Этот принцип позволяет, в частности, находить значение составляющей (li й^) поля в точке Ml по известному полю uf, не прибегая ко вторичному рассмотрению соответствуюп1ей граничной задачи для уравнения (1.2.8). 5. Нетрудно видеь, что принцип взаимности в форме (3.10.26) и (3.10.27) справедлив и для безграничных областей, а также в тех апучаях, когда точка Mi или М2 (или же Mi и М2) находится на границе S области V, точнее, на той части Si гюверхности 5, на которой задава;гась условие 1 ^ = 0 . Если область V безгранична или частично ограничена, то все предыдущие рассуждения фактически можно сохранить неизменными. При этом только следует учесть два обстоятельства: во-первых, что формулу (3.10.26) достаточно доказать лишь для конечных про•межутков времени (3.10.6), и, во-вторых, что поля, возбуждаемые в покоящейся среде точечными источника.ми, включаемыми в момент времени t = О, имеют передние фронты. Поэтому, интересуясь промежутком (3.10.6), всегда можно выбрать пространственную область VT таким образом, чтобы в окрестности всех ее участков границы ST, на которых не заданы условия вида (3.10.3), оказалось vt{M, t, Мк] '•fi) = 0. Но в таком случае для гиперцилиндра Вт, но-

138

строенного на области VT, окажутся справедливыми и все предыдущие результаты. Что касается расположения точек Mi и М2 на поверхности 5, то к нему можно было бы прийти от случая внутренних точек Mi и М2 предельным переходом. Однако представляется целесообразным указать независимый от предыдущего способ вывода, при котором мы будем считать для определенности, что точка Mi расположена внутри, а точка М2 = Щ е 5] где Si — часть поверхности 5, определенная в связи с формулой (3.10.3). 6. Пусть TLT{M,T, Mi-,ip,ei) (3.10.28) — прежнее поле смещений из (3.10.4), удовлетворяющее граничны.м условиям (3.10.3) и нулевым начальным данным при t < О, возбужденное в среде включением при t = О .массовых сил, определяемых плотностью 7t = ^ ^ ( t ) 4 , ( M - M i ; n o ) (3.10.29) из выражения (3.10.5). При этом функция удовлетворяющая условию ifi{t) = О при ^ < О, предполагается настолько гладкой, что ренюние й\ из (3.10.28) имеет классический смысл. Под полем смен;ений t, N0; ^p, £2)

(3.10.30)

будем понимать решение однородного уравнения (1.2.8) в области V, ограниченной достаточно гладкой поверхностью S =

Si+S2

из граничного условия (3.10.3), подчиненное нулевым начальным данным при t < О и возбуждаемое граничны.м воздействием й^

=0, S,

^

52

=Jt^)S,,{N-No-,no),

(3.10.31)

В котором iV и Л2 — точки поверхности S2, а ~ ^о', " о ) обозначает (5-образную поверхностную функцию типа (3.9.37) (обращающуюся в функцию Дирака 6{N — NQ) при £2 0). Что же касается функции то она имеет такое же значение, что и ip{t) из выражения (3.10.23).

139

Как и обычно, при установлении соотпонлений взаимности вводится в рассмотрение вспомогательное поле смещений t - т, No, £2, е),

lt{M,

(3.10.32)

удовлетворяющее однородно.му уравнению (1.2.8), возбуждаемое граничным воздействием It

Si

=

О,

•Ьг'

- г - е; mo)S,,{N

= tSeit

- No', по),

(3.10.33)

включаемым при t = т {и, следовательно, удовлетворяющее нулевым Ha4ajHjHHM данным при t < т). Так же как и в случае (3.10.12), учитывается, что на основе такого ноля непрерывное поле й^ (3.10.30), (3.10.31) допускает представление в форме предела I vi{M,

t, No-, if, S2) = lim /
t - т, No; 62, e) dr (3.10.34)

J

типа (3.10.12). Наконец, по полю it (3.10.32) и (3.10.33) определяется вспомогательное вольтерровское поле Tt°{M,

t) = lt{M,

to - t, No; £2, £),

(3.10.35)

удовлетворяющее одпород1Ю.му уравнению (1.2.8), обран1ающесся в тождествспп1лй пуль при t > to и удовлетворяющее граничным условиям Si

= l2Ssito-t-e;mo)d,,{N-No;no).

= 0,

(3.10.36)

7. Принцип взаимности в случае воздействий (3.10.29) и (3.10.31) получается из формулы Грина—Вольтерра (3.10.1), (3.10.2), если в ней положить itiM,

t)=ut{M,

ei), (3.10.37)

7(М, a за lt°{M,

t)=t^{t)5,,{M-Mi;

no),

t) взять вольтерровское решение из выражения (3.10.35),

отвечающее плотности массовых сил / = О и граничным условиям (3.10.36). При этом нужно учитывать, что поле i t из формул 140

(3.10.37) удовлетворяет условию it = О при i < О, а поле Tt" = О при i > to, где to — любое значение из промежутка (3.10.19). В качестве области В, по-прежнему, выбирается гиперцилиндр (3.10.21), причем в левой части равенства (3.10.1) отличным от нуля оказывается лишь слагаемое

т = fdt

иjltmSeAM

о

-M:;no)lt°iM,

io - «, Л'о; £2, е) dM,

(\/)

(3.10.38) в котором целесообразно совершить предельный переход при £ ->• О и воспользоваться равенством (3.10.34). В результате вместо выражения (3.10.38) будем иметь ММи

to, N0;

= I I I t-u^iM,

to, No-, V, е2)6еЛМ-Мй

no)dM,

(V)

(3.10.39) где ut обозначает поле из представления (3.10.34). Что же касается правой части соотношения (3.10.1), то по таким же соображениям, как и в п. 3, интегрирование по основаниям гиперцилиндра В дает нуль. На боковой его поверхности {S, О < t < Т) интегрированию очевидно подлежит лишь одно слагаемое [it -mI"

-lt°Ml].

Вследствие этого вся правая часть соотношения (3.10.1) сводится к выражению т J J dN J t - utiN, (sj

t. Ml; v, e) S,{t ~ to - e- mo) 4, {N - No', щ) dt.

0

(3.10.40) Интегрирование гю t и предельный переход здесь легко выполняют-

141

ся, что приводит к следующему окончательному представлению J2{N), to, M i ;

= и

t-ut{N,

to, Mr, f , e^)

- No', no)dN.

(S)

(3.10.41) Таким образом, применение формулы Грина- Вольтерра приводит к соотношению J i ( M b to, No-,
(3.10.42)

в точности такого типа, как и соотношение (3.10.26). Еаш же в среде реализуются более гладкие ноля из соотношений (3.10.28) и (3.10.30), остающиеся непрерывными при > Ои £2 > О, когда воздействия (3.10.29) и (3.10.31) становятся строго сосредоточенными, то в равенстве (3.10.42) можно совершить переход к предела.м Si —> О, ег —О, что приводит к более простому соотнопюнию t

• й^{Мг, t, No-,

wt(iVo, t, Mi; ip).

=

(3.10.42')

Ha физическом толковании результата здесь можно не задерживаться. 8. В с в я з и с и з л о ж е 1 П 1 ы м у м е с т н о о т . м е т и т ь , ч т о е с л и формулу (1.2.21) при.менить к

полям

(3.10.43)

из формул (3.10.8) (удовлетворяющим уравнению (1.2.8) при плотностях массовых сил Д (3.10.9), гранич1п>1м условиям (3.10.3), а также начальным данным вида (3.10.7)) и проинтегрировать эту формулу по области V, то получится соотноптение

llj[t2nt-uM]pdM

= -

(V) + ///[Tiu^iM, 46)

I I (S)

t, M2-,

- T2ut{M, t, Mi;

142

dM.

(3.10.44)

Поверхностный интеграл из правой части равен нулю в силу равенства (3.10.3). Объемный же интеграл вычисляется на основании представлений (3.10.9) и известного свойства й-функции Дирака. При этом он приводит к выражению ФS

и Мг;

t, Мц

- t^{M2,

(3.10.45)

Вследствие этого из соотношения (3.10.44) вытекает интересное равенство - p-^ivi]

Jи

dM = Ф,

(3.10.46)

(V)

в котором ut = ut{M,t,

к

=1,2.

Обрап1,аясь к формулам (3.10.45), (3.10.46), нужно отметить, что из справедливости принципа взаимности в форме (3.10.27) в ней оказывается Ф = 0. Но тогда из равенства (3.10.46) вытекает соотношение j j j p^2utdM

(3.10.46')

= j j j pT^iU^dM,

(V)

{V)

означающее, что работы сил инерции nepBOi'o (второго) поля на перемещениях второго (первого) поля равны. Такой результат, по-видимому, Hejn.3H было предвидеть заранее. Наоборот, если бы было известно равенство (3.10.46'), то принцип взаим1юсти (3.10.27) вытекал бы из выражений (3.10.45) и (3.10.46). Именно так обстоит дело в статических задачах теории упругости, в которых векторы смещений не зависят от времени t (вследствие чего i^i = = 0), а также в стационарных задачах, когда решения ilt и й^ уравнения (1.2.8) нри плотностях массовых сил fi

- М,),

fl^l^e'^UiM

- M l )

представляются в виде =

Mk-,cj),

к = 1,2,

(3.10.47)

и подчиняются граничным условиям (3.10.3) (а в случае бесконечных областей V дополнительно подчиняются некоторым условиям на бесконечности, называе.мым условиями излучения). 143

Кстати, из принципа взаимности для стационарных задач, т. е. для функций вида (3.10.47), можно было бы вывести принцип взаимности и в общем случае. Для этого следовало бы определить разложение

/

}

О О,

— ОС

для выбранной (произвольной) функции ip{t) и составить подобную же суперпозицию ос

utiM,t,

(3.10..48)

I

решений (3.10.47) уравнения (1.2.8), подчиненных соответствующим дополнительным условиям. В силу линейности операции интегрирования для функций й\{М, t, Mi; ip) и t, Мг; ip) из соотношения (3.10.48) соотношение (3.10.27) также будет иметь место. Что же касается плотностей массовых сил, которым отвечают поля (3.10.48), то формально ясно, что они должны определяться выражениями (3.10.10). Все изложенное по поводу решений стационарных задач должно рассматриваться лишь как рассуждения, не подкрепленные какимилибо доказательствами. Последние, кстати говоря, оказываются значительно более трудными, чем прямой вывод принципов взаимности, которым посвящены пп. 1—7. 9. Чтобы заверпгать обсуждение принципа взаимности в теории упругости n0.;ie3H0 задержаться на инженерной манере его установления, а также — на обсуждении прикладного его значения в сейсмической практике. Утверждения принципа взаимности касаются случаев волновых полей, возбуждаемых пространственно-сосредоточенными источника.ми, прилагаемыми в двух различных точках Mi и М^ упругой среды, например, блокового строения. Вспедствие сосредоточенности источников при установлении принципа приходится иметь дело с полями смегцений содержапц1ми различные сингулярности, выводящие их из класса функций, интегрируемых по Риману, как это предполагается практически во всех инженерных исследованиях. ^1тобы преодолеть возпикаюн;ие здесь затруднения, не выходя за рамки

144

обычного интегрирования по Риману. прип1лось сосредоточенные источники рассматривать как пределы соответствуюп;их гладко-распределенных сил, возбуждающих достаточно гладкие ноля смещений Ti\{M, t. Mi; ei) и t, М2; 82)- Именно этим и объясняется обилие предельных переходов (при £ —> 0) в предыдущем при реализации доказательств в рамках выбранной схемы рассуждений. Д л я практики представляется полезным воспроизвести здесь серию доказательств на чисто инженерном уровне, где J-функции Дирака толкуются как «обычные» функции (даже «непрерывные»), но обладающие следующими специфическими свойствами ос

8{М - Мо) = О,

М ф Мо-;

- Mo) dMo = 1,

j j jS(M

00 / / /

f{MQ)S{M

- Mo) dMo ^

fiM)

(3.10.49) для любой непрерывной функции /(Mq). Одномерную J-функцию наделяют подобными же свойствами. а) Источники

типа включенной

силы.

Пусть в точках Mi и Мг включаются источники f i =jt^{t)S{M

-Ml),

t

= t
-М2),

(3.10.50)

где J^ — произвольные орты, а — непрерывная функция, возбуждающие соответственно поля смещений u{{M,t,

Mi:,ip),

vi{M,t,

М2-, f ) ,

0
(3.10.51)

удовлетворяющие уравнениям (1.2.8), a также граничным условиям (3.10.3) и нулевым начальны.м данным (при t < 0) йЦМ,

t, М,;

г<о

= 0.

(3.10.52)

В силу линейности свойств функции S(t — т), поле и|(М, t, М2; f ) (3.10.51) можно представить в виде т

й^{М, t, М2;

= 1ф)1[^(М,

145

t~T,

M2)dT,

(3.10.53)

где t — T, М2) удовлетворяет уравнению (1.2.8) при плотности массовых сил вида fo = T t S { t - T ) S i M - М 2 ) ,

(3.10.54)

удовлетворяет граничным условиям (3.10.3) и начальным данным t - т, Мг) = О,

при

t < т.

(3.10.54')

Для получения принципа взаимности (как всегда) вводится в рассмотрение вольтерровское поле lt°{M,

t) = 4 ( М , to - t, М2),

(3.10.55)

отличающееся от поля (3.10.54') перестановкой местами перемен1пз1х t и т с последующей заменой обозначения т на to из интервала 0
- t) 5{М - М2)

(3.10.56)

в уравнении (1.2.8), удовлетворяет прежним граничным условиям, а также соотношению to - t, М2) = О при

to < t.

(3.10.57)

При подстановке в формулу Грина—Вольтерра (3.10.1) и (3.10.2) значений и Т из формул (3.10.55) и (3.10.56), а также — функций i t = и\ и f = f l (3.10.51) и (3.10.50), поверхностный интеграл обращается в нуль, как и раньше (в силу граничных условий и начальных данных при t = О и при t > to), а. объемные интегралы дают равенство

////

ЧТ

- vtfi]

dB = 0.

(3.10.58)

( В )

Но л

и (В)

////

Mi-,^)6{to-t)S{M-M2)dB

(В)

146

=

^TM{M2,TO,

//// " //// (B)

(3.10.59)

M.-IFI),

~ ''

^^^ ~

=

( B )

T

= jtM{Mu

to - t, M2Mt)dt

to, M2; ip)

=

(3.10.59')

0

в силу равенства (3.10.53). Подстановка таких выражений в формулу (3.10.58) как раз и приводит к соотношению (3.10.27), выражающему принцип взаимности для источников вида (3.10.10). б) Источники

типа центр

давления.

Центр давления — сосредоточенный источник с центральной симметрией относительно его точки приложения MQ. ОН может быть охарактеризован функцией плотности вида ~f{r, Mo, е) = рН, где У' = Мо — = rrt, г — расстояние между точкой М поля и центром MQ источника, а f t — орт вектора MQM. Если 5{Г, MQ) — центрально-симметричная (5-функция поля, а S{r, Мо, £) — ее допредельный аналог, то плотность сил, отвечающих центру давлений, может быть задана соотношениями ТЕ = cgradJ(r, Мо; г), или

(3.10.60)

' t = cgrad(5(r, Мо) = Действительно, такие плотности сил ориентированы вдоль орта f t и сосредоточены в окрестности г < е точки Mq. В силу их централыюй симметрии справедливо f f f t i v . o » (V)

(V)

Однако для 1-го момента таких плотностей сил получается соотношение I diY{t5{г, (V)

(V)

147

Mo-,e))dV-

- c j j I S{r, Mo; e)dWtdV

= - 3 c j j j 6{r, MQ- e)dV = 1,

(V)

(V)

в котором интеграл от div дает нуль в силу теоремы Гаусса и равенства 6{Г, Мо; е) = о нри Г > е. Приведенных соотноишний достаточно, чтобы оправдать физический смысл плотностей сил (3.10.60), где полагается с = —1/3. Перейдем к принципу взаимности, получаемому формальным путем. При этом ^-функцию 6{Г, МО) будем обозначать прежним символом 6{М — Мо). Пусть в произвольной упругой среде из п.1 в точках Mi и М2 приложены воздействия (типа центров давления) t

= ^(i)grad5(Af - M l )

•й!(М, t, Mi;

T2 = VW grad5(Af - M2)

6^(M, t, Mr,

(3.10.61)

порождающие поля, выписанные справа. Эти поля удовлетворяют уравнениям движения (1.2.8), всем граничным условиям (таким же, как и в п.1) и нулевым Ha4ajn.HbiM данным й^(М, t, М^; V5) = О при

t < 0.

(3.10.62)

Вместо й|(М, t, М2; ф) из формул (3.10.61) в силу линейности задачи можно писать т vi{M,

t, М2; 'Р) = j <р{т)й^{М, t - г, Мз) dr,

(3.10.63)

о где й^(М, t ~ т, Мг) — решение уравнения (1.2.8), отвечаюп1,ее плотности массовых сил fo = 5it-T)

grad<5(Af-M2),

удовлетворяющее прежним граничным условиям и начальным данным UT{M,T-T,

М2) = 0

при

t
(3.10.64)

По тако.му полю определяется вольтерровское 1юле с.мещений l t ° ( M , t) = ^{М, 148

to - t, М2).

(3.10.65)

При этом учитывается, что li силу начальных данных (3.10.64), вольтсрровское поле удовлетворяет уатовию to - t, М2) s О,

если

to < t,

причем оно отвечает в уравнении (1.2.8) плотности массовых сил вида = S{ta - t) grad(5(M - Л/г). (3.10.66) Подставляя вольтерровское поле i t " и поле = и{{М, t, М2; ^о}) получаем соотношение div?lt(M2, to, Mi; if) = d i v u t ( M i , to, M2;

(3.10.67)

при выводе которого были испо.яьзованы формулы (3.10.63), а также (3.10.66). 10. Обрап1;ает на себя внимание, что физическая суи1;ность принципа взаимности (3.10.67), отвечаюп1;его случаям воздействия типа центров давлений, качественно отличается от сунщости принципа взаимности (3.10.27) в случае воздействий типа сосредоточенных направленных сил. Это проявляется еп;е более разительно в случае воздействия t

= Ttip{t)SiM

-

Mo)

типа направленной силы и воздействия f2 = - l ^ )

gradSiM-iVh)

типа центра давления. В таком случае принцип взаимности приводит к равенству i t • v i { M u to, Ms; ^P) = divilt(M2, to, Mi;

(3.10.68)

которое не содержит в различных его частях физически-взаимных (однотипных) величин, подобных проекциям смещений на направления прикладываемых сил. Естественно, что равенство (3.10.68) требует своего (особого) физического толкования, не имеющего ничего общего с установившимся 149

повсеместно в сейсмической практике его толкования на основе равенства (3.10.27). В действительности же формула (3.10.27) применима только в случае воздействий, строго укладывающихся в рамки модели сосредоточенных направленных сил. Воздействие типа центр давлений из такой модели вьп1адает, равно как выпадает и воздействие, порождаемое взрывом в неглубокой скважипе, приводящим к некоторой суперпозиции направленной силы и центра давлений. Поэтому прежде, чем применять на практике формулу (3.10.27), необходимо проверять, все ли условия, обеспечивающие ее справедливость, выполняются в конкретных условиях производимого эксперимента. При этом сначала следует убедиться в сосредоточенности воздействий /i и /г в точках Mi и Mg, понимаемой физически. Она требует выполнения двух (очевидных) неравенств Mi-M2|»ro,

ro<^VsAto,

где Го радиус эффективной сферы (или полусферы с центром в точке к которой прикладывается реальное воздействие, а Aio -- минимальный про.межуток времени, различаемый в условиях эксперимента. Но помимо этого воздействия прилагаемые в окрестностях точек М — г/ = 1, 2, должны иметь характер «направленных сил без первых их моментов». Это означает, что если воздействия задаются своими плотностями сил прикладываемыми в среде к точкам М £ О.^ (где ~ М — М^, < го), то для суммарных векторов сил должны выполняться условия

/ а все первые моменты плотностей сил

/

[хк -

= О,

к = 1, 2, 3,

(где Хк координаты точек М^) должны практически равняться нулю. Остается вопрос читателю: Почувствовали ли Вы смысл введения в рассуждения столь больпюго числа значений е, ei и е-2 ? Можно

Глава 4 Вопросы математического аппарата теории распространения волновых полей § 11. Сведения из вариационного исчисления и теории поля экстремалей Рассмотрение многих вопросов теории распространения волн естественным образом сводится к задачам вариационного исчисления для функционалов вида '

1 = J L{x, Xk, Xk) dx,

(4.11.1)

x°

в которых обозначено L{x, Xk, Xk) = L{x, Xi,.. .Xn, Xi,..., Xn),Xk = XK(x), к — 1,2, ..., n к Xk = dxk/dx. В теории распространения волн оказывается п = 2, если одна из координат х, у, z точки в пространстве взята за переменную интегрирования х в функционале (4.11.1), а две другие отождествлены с xi{x), х2{х), и п = 3, если под этой переменной х подразумевается некоторый параметр, например вре.мя t, а за пространственные координаты взяты функции хк{х), к = 1, 2, 3. При этом в последнем случае функция L не зависит от X явно. Что же касается смысла функционала (4.11.1), то в задачах на распространение воли в изотропных средах он совпадает с функционалом Ферма. В упомянутых задачах, как известно, важную роль играют понятия лучей и фронтов волн, а также основанные на таких понятиях ^ С м . р а б о т у [4, T.IV].

151

различные теоретические построения и экспериментальные методы. Все они естественным образом увязываются с понятием экстремалей функционалов вида (4.11.1), а также с некоторыми следствиями из теории поля таких экстремалей. Поэтому соответствующие результаты вариационного исчисления оказываются весьма полезными в теории волн. Общая форма вариации функционала. Уравнения для экстремалей в форме Эйлера 1. Установим общий вид вариации функциона.ча (4.11.1), в котором функция L{x, Xk, Xk) = Цх, xi, ...,Xn,xi,..., Xn), называемая функцией Лагранжа, непрерывна вместе с первыми и вторыми частными производщыми по всем своим аргументам, под xk{x), к = — 1, 2 , . . . , п, подразумеваются некоторые функции от переменной X, изменяющейся в промежутке х° < х < х'^, а, под Хк = dxk/dx подразумеваются их первые производные. Если задать на промежутке (ж°, дифференцируемые функции xk{x),k

= l,2, ...,п,

(4.11.2)

то интеграл (4.11.1) может быть вычислен, причем он определяет некоторое число. Таким образом, функционал устанавливает соответствие между множеством функций (4.11.2) и множеством чисел - значений функционала I. В пространстве п + 1 измерения с переменными {Х, Хи

Х2,

Хп)

(или в пространстве п из.мерений с переменными {xi, Х2, . . . , Xn)i если X расс.матривается как параметр, например время) функции (4.11.2) определяют некоторую кривую. Поэтому мож1ю говорить, что значение функционала I определяется выбором кривой из некоторого рассматриваемого семейства. При этом функции (4.11.2), определяющие такие кривые, предполагаются обычно непрерывными в промежутке (х", вместе с их первыми и вторыми производными по X. Пусть задано некоторое семейство функций (4.11.2). Ему отвечает множество М значений функционала I из равенства (4.11.1). Может оказаться, что среди элементов множества М имеется наибольцщй или наименьший, т. е. экстремальный элемент IQ. Кривая 152

(4.11.2), определенная на промежутке (а;°, и принадлежащая заданному семейству, доставляющая функционалу I экстремальное значение, называется экстремалью функционала (4.11.1). Основной задачей вариационного исчисления как раз и является нахождение экстремалей функционала (4.11.1) при тех или иных дополнительных условиях. При репюнии такой задачи обычно предполагают, что в рассматривае.мон области пространства экстремаль cyntecTsyeT и реализуется в виде некоторой гладкой кривой типа (4.11.2). Для нахождения такой кривой вводят в рассмотрение «множество произволыпагх кривых, близких к экстремали», называемое множеством допустимых кривых или допустимых функций. В общем случае можно считать, что это множество совпадает с семейством произвольных функций (или с семейством произвольных кривых) вида x k = x k { x , a r ) = x k { x , a x , a 2 , .••,ап),

...,п,

(4.11.3)

заданных па промежутке х° < х < хР, зависящих от п произвольных пара.метров (qi, ссг, • • • > « п ) = (а,), изменяющихся в малом промежутке —qq < « г ^ ctoj и удовлетворяющих двум условиям: а) при значениях q^ = О, г = 1, 2, . . . , n кривая (4.11.2) совпадает с экстремалью функционала I (существование которой предполагается) и б) функции Xk{,x, аг) (4.11.3) непрерывны вместе со все•ми первыми и вторыми их частными производными по переменным X, «1, 0:21 • • • I Qn- Заметим, что условие гладкости б), наложенное па функции (4.11.3), может быть ослаблено. 2. Исходным для вариационного исчисления является понятие о вариации функций. Пусть речь идет о какой-либо функции (^[х, ...). Для установления понятия вариации этой функции пг50дят в рассмотрение то или иное (в зависимости от решаемой задачи) семейство ф{х, ...) функций, близких к функции ...), и определяют вариацию в соответствии с формулой =

...)-ip{x,

...),

(4.11.4)

где ф{х, ...) — произвольная функция из семейства ф, а <^(а;, ...) — функция, вариация которой определяется. При этом близость функций (/J и в случае фупкцио1га^юв вида (4.11.1) понимается в смысле неравенства \ф{х,

...)\<е,

153

х^^х^х",

(4.11.5)

где е > О — малое число. Под семейством же к (р{х, ...), понимают бесконечное множество ций некоторого класса, содержащее функции неравенствам (4.11.5) при сколь угодно малых Вследствие очевидных соотношений \xk{x, аг) - хк[х, 0)1

ф функций, близких произвольных функф, удовлетворяющие значениях е > 0.

dxk

E тг-О'г

(4.11.6)

получающихся для функций (4.11.3), например, применением формулы Тейлора, а также вследствие предположенной непрерывности на промежутках < х < х°, —qq < Ог < Qo (а значит и ограниченности их модуля) всех производных дх^/даг от функций х^ = = xk{x, аг) из равенств (4.11.3) ясно, что семейство допустимых кривых или функций из равенств (4.11.3) оказывается в то же время семейством произвольных функций, близких к экстре.мали Хк = = a;fc(a;,0), к = 1, 2 ..., п. Поэтому вариацию функций Xk — xk{x, 0), представляющих экстремаль функционала (4.11.1), можно определять на основе семейства допустимых функций (4.11.3). В соответствии с изложенным под вариациями функций хк(х) и xk{x) из формулы (4.11.1) понимают следующие выражения:

=

^

=

А: = 1 , . . . , п .

(4.11.8)

Величины аг, г — 1, ... п, считаются здесь бесконечно малыми (что и позволяет пренебрегать в правых частях равенств (4.11.7), (4.11.8) поправочными члена.ми), а под {дхк/даг)о подразумеваются предельные значения при qi = «2 = ... а „ = О от производных по Qr функций Xk = xk{x, Qi, . . . , а „ ) из семейства (4.11.3). При этом в согласии с определением семейства (4.11.3) все параметры следует считать независимыми друг от друга, а все функции Xk{x,ar) и, следовательно, все выражения ^kr = f , \darJo 154

(4.11.9)

можно считать функциями от х в промежутке независимыми друг от друга и выбираемыми по произволу при любых значениях индексов /сиг. Остается лишь отметить, что если переменная хе{х°, х°) приближается к тому или иному концу промежутка, то вариации Sxk (4.11.7) стремятся к предельным значениям в соответствии с равенствами lim

Sxk,

{S'xk) =

lim

Sxk-

(4.11.10)

3. В некоторых задачах вариационного исчисления для функционала (4.11.1) кроме экстремальной кривой Xk = xk{x, 0), к — — 1, 2, . . . , п, приходится искать и значения пределов интегрирования х" и при которых 1 достигает экстремума. Такой поиск осуществляется также на основе вариации функций, входящих в выражение функционала, но теперь варьируются и пределы интегрирования и в функционале (4.11.1). Считая, что истинные пределы интегрирования в выражении (4.11.1), отвечающие экстремуму I, равны ж"(0) и i''(0), вводят в рассмотрение семейства {а;°(а)} и { £ ° ( q ) } произвольных непрерывно дифференцируе.м1.1х функций от параметра а, изменяющихся в малом промежутке ( - q q , Qo)i и таких, что нри а ~ О эти функции принимают упоминавшиеся значения а;°(0) и ж"(0). Вариации концов промежутка определяются формулами 6х°

а, (4.11.11)

5iO=i°(a)-i°(0)=

( а \dajQ

,

в которых {dx°/da)o и {dx^/da)Q обозначают значения производных функций х°{а) и а;°(а) наших семейств в точке а = 0. При этом параметр а в формулах (4.11.11) считается произвольным, не зависящим от параметров qi, 02, .. •, из формулы (4.11.7) и бесконечно малым. 4. Рассмотренное в п. 3 варьирование пределов интегрирования в функционале (4.11.1) влияет и на положения концов допустимых кривых (4.11.2), которые также оказываются функциями х^ = = Хк [а:°(о), Q i , . . . , а , ] и Xk = Xk [ж°(а), Q i , . . . , а-п] от п -I- 1 независимого параметра а, « i , аг, . . . , Вследствие такой зависимости 155

от варьируемых параметров (истиииые) изменения положений концов кривых (4.11.3) уже не характеризуются вариациями (4.11.10), а должны определяться так называемыми полными вариациями концов допустимых кривых. В соответствии с приведенным выше определением для полных вариаций концов кривых (4.11.3) получаются слб!дующие выражения: 6х° =

Sx,=

дх1,{х,аг-) дх

dxkjx, ат) дх

дхк{х,аг-)

dx"

х=х«(а)

х=х°(а)

da

—ШГг—

dx" da

8хк(х, а^) ваг

а.г

=

(4.11.12) Ну.пь справа у квадратных скобок здесь означает, что после вычис.пения выражения, стояп;его в скобках, в нем полагается а = = «1 = «2 = ... = = 0. Выражения {xk)° и [xk] обозначают предельные значения производных dxk[x, аг)1дх, в которых положено «1 = «2 = ... = « „ = О соответственно при х —> -Ь О и X ж" —0. ^1то же касается величин бхР и {Sx^), то они имеют значения из формул (4.11.11) и (4.11.10). Г). Ес.пи вместо х^, и xk{x) в функционале (4.11.1) подставить cooTBCTCTBeinto функции а;°(о:), х°{п) и х^{х,аг) из формул (4.11.11) и (4.11.3), то функционал I окажется функцией

/ ( q , Qi, Q2,---, а » ) =

J

L[x,

Xk{x,

a-r), xk{x,

ar)]dx

(4.11.13)

x°(a)

от параметров q, Oi, Q2, . . . , a„. Bee эти параметры, изменяющиеся в малых промежутках (-Qn, Qo), попарно независимы, произвольны и выбраны так, что функция 1{а, Qj , . . . , а „ ) достигает экстремума при Q = Qi = «2 = • • • = 0. В случае же а О, « г т^ О выражения 1{а, Q i , . . . , Q,i) представляют собой множество величин, близких к 7(0, О, . . . , 0). Поэтому в согласии с общи.м определение.м под вариацией SI (как говорят, под полной вариацией функционала) следует

156

поиимать выражение di Or, ^VSQr/o (4.11.14) производные из правой части которого, легко в?)Гшсляемые на основании равенства (4.11.13), выписываются при значениях а = QJ = — (12 = ... = о „ = 0. В явном виде фор.мула (4.11.14) очевидно переписывается следующим образом: Q i , . . . , а „ ) - /(О,..., 0) =

Г

"

SI = LSx

Г=1 "

01

\9aJo

5L .

дЬ

дхг

дхг

dx =

Лг

+

Г=1

+

Г=1

JhГ=1

дЬ дхг

d

дЬ

(4.11.15)

бхгйх.

dx дхг

Заметим, во-первых, что здесь было учтено соотношение 5xk — = dSxk/dx из выражения (4.11.11), позволившее вьшолнить интегрирование по частям. Во-вторых же, что первое слагаемое, заключенное в квадратные скобки, oт^^ocитcя к верхнему пределу интегрирования ж = х°(0) = а второе слах-аемое к нижнему пределу X = х°(0) = х°. Еачи воспользоваться выражениями (4.11.12) для полных вариаций ёх\ и 5xk концов допусти.мых кривых (4.11.3), то вместо формулы (4.11.15) окончательно будем иметь: 51 = к=\

—Т'

Sxkdx.

157

дхк

6xk \

-

(4.11.16)

Заметим, что везде здесь под L понимается выражение L{x, Xk,Xk) из формулы (4.11.1), содержащее функции Xk — х/.(х, 0), fc = 1, 2, . . . , п, отвечающие экстремали, от которых в формуле (4.11.6) исчис.чялись вариации Sx^- Что же касается вариаций 6х°, и Sx/i, 5хк, то они имеют смысл и значения соответственно из формул (4.11.10) и (4.11.11). 6. Так как, по предположению, функция 1{а, qi , . . . , Q„) из формулы (4.11.13) достигает экстремума при а = qi = Q2 = ... = а „ = = О, то на искомой экстремали вариация 61 (4.11.16) должна обращаться в пуль. Пусть в вариационной задаче для функционала (4.11.1) сначала считается, что концы допустимых кривых (4.11.3) закреплены, т. е. проходят через некоторые фиксированные точки {х°, х^, х", ..., ) и (х°, xi, Х2, . . . , Хп)- В этом случае 5х°, бхР, бхк и 6xk из выражения (4.11.16) равны нулю, и потому условие экстрему.ма функционала записывается в виде

аь

61 = lo к=1

dxk

d

дь

6xkdx = 0.

dx dxk

(4.11.17)

Но в силу равенства (4.11.7) имеет место

Е к=1

дЬ дхк

d

дЬ

\дЬ

dx dxk

к=1 dxk

Г=1

d

дЬ

dx dxk

•Фкг{х),

где Or — произвольно выбираемые независимые друг от друга числа, а 'фкг{х), определяемые по формулам (4.11.9), — произвольные и не зависящие друг от друга непрерывные функции. Фиксируя последовательно все значения к = ко, г = го, произведем выбор произвольных величин так, чтобы oкaзывaJюcь Qr =

О, г / го ^ О, г = Го

•Фкг

О,к^ко {ф(х),к =

I коГ

Тогда равенство (4.11.17) очевидно сведется к п независимым равенствам дЬ дхк

d

дЬ

dx dxk

•ф{х) dx = О,

158

к = 1, ..., п,

(4.11.18)

содержащим под знаком интеграла произвольную непрерывную функцию 'ф{х). Но в силу предположений о свойствах гладкости функции L{x, Xk, Хк) и функций xk{x, 0) (4.11.3) (сформулированных в начале п. 1 и сразу же за формулой (4.11.3)) выражения, стоящие под знаком интеграла из формулы (4.11.17) в квадратных скобках, непрерывн!,! при < х < Поэтому интегралы (4.11.18) могут равняться нулю при произвольной непрерывной г1'{х) тогда и только тогда, когда выполняются равенства

' =

t r i k - ' -

называемые уравнениями Эйлера для экстремальной кривой. Итак, функции (4.11.2), определяющие экстремаль функционала (4.11.1), должны удовлетворять системе п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (4.11.19). При рассматриваемых условиях закрепления концов экстремаль должна удовлетворять, кроме того, 2п концевым условиям вида xk{x°)=xl,

Хк{5р)=Хк:

к = 1,2,...,

п.

(4.11.20)

Общий интеграл Xk = xk{x, Ci ,С2, ..., С2„), к = 1, 2, ... ,п, системы уравнений (4.11.19) содержит, как известно, 2п произвольных постоянных ci, С2,. -., С2„, которые всегда могут быть выбраны так, чтобы удовлетворялись начальные данные Коши вида Хк

dxk = ак, — о dx

= Ък,

к = 1,2,...,п,

(4.11.21)

задаваемые в одной точке х = хо переменной х. Относительно же возможности выбора постоянных Ci, С2, •. •, Сгп в общем интеграле так, чтобы выполнялись граничные условия (4.11.20), заранее нельзя сказать что-либо определенное. В этом состоит, как известно, одно из затруднений практической реализации методов вариационного исчисления. Однако в интересующих нас задачах на распространение волн приходится иметь дело с решениями уравнений (4.11.19) только лишь при дополнительных условиях типа (4.11.21). 7. Пусть теперь, например, нижний конец допустимых кривых (4.11.3) закреплен, а верх1шй может свободно перемещаться вдоль заданной поверхности 9{x,xi,...,xn)=0. 159

(4.11.22)

Предполагая, что существует кривая (4.11.3), удовлетворяющая указанным условиям закрепления и доставляющая функционалу (4.11.1) экстрема;н>ное значение, поставим целью се найти. Как известно, если какое-либо экстремальное свойство достигается на объекте AQ из широкого бесконечного множества G конк)'рирующих объектов, то оно достигается на Ао и нри допущении к конкуренции лишь объектов из подмножества G, являющегося частью G, если только в G сод;ержатся как Ло, так и объекты, ско.чь угодно близкие к AQ. На основании такого общего утверждения очевидно, что экстремаль поставленной задачи должна быть в то же время и экстремалью задачи, в которой верхний К01юц допустимых кривых закреплен (именно в той точке, в которой находится конец искомой экстремали). Но раз так, то искомая экстремаль должна удовлетворять уравнениям Эйлера (4.11.19). Таким образом, дальнейший поиск экстремальной кривой сле;1ует осуществлять среди множества кривых, удовлетворяю1цих системе уравнений (4.11.19). Но при этом выражение (4.11.16) для полной вариации упрощается, и условие экстремума принимает вид

61 =

Т ,

"

NT ^^ • ^^^

4- J 2 .=1

.

IT

= 0.

(4.11.23)

Здесь /г = 1, 2,..., п, а значения L, ДЬ/ДХК и Xk вычисляются для концевой точки экстремали х^ = xk{x,0) (4.11.3). Величины же 6х = = &х° и 5хк = к = 1, 2,..., п, обозначают произвольные изменения координат точки (х, Xi,X2, • • •, Хп), расположенной па поверхности (4.11.22), т. е. такие изменения координат, что справедливо соотношение дх

+

^^

дХк

(4.11.24)

Заметим, что условие (4.11.24) называется уаювием трансверсальности пересечения поверхности (4.11.22) с искомой экстремалью, т. е. с кривой вида (4.11.2), определяемой функциями Xk = = xk{x), являюпщмися соответствующим интегралом системы уравнений (4.11.19). Очевид1Ю, что это условие фактически сводится к пропорциональности коэффициентов форм (4.11.23) и (4.11.24), т. е.

160

к равенствам вида /

^п

дЬ . \\

1 дЬ

1 дЬ

,,

в которых величины вх = дв/дх, в^^ = дв/дхх,..., 9х„ — дв/дхп пропорциопальпы направляющим косинусам нормали к поверхности (4.11.22). Каионическиие

переменные и система уравнений

Гамильтона

8. Уравнения Эйлера (4.11.19), которым должна удовлетворять любая экстремаль функционала (4.11.1) (называемые в механике материальных точек уравнениями Лагранжа), представляют собой систему п дифференциальных уравнений вторюго порядка для п функций Xk = Хк{х), /с = 1, 2 , . . . , п. Часто удобнее иметь дело с эквивалентной системой 2п дифференциа-чьных уравнений, но не второго, а первого порядка, переход к которой осуп1,ествляется присоединением к прежним искомым функциям некоторых новых неизвестных функций Ук = Ук{х), к = 1,2, ... ,п (например, тривиальным образом полагая ук = хк). Во многих случаях при переходе к уравнениям первого порядка систему уравнений (4.11.19) удается привести к каноническому виду системы уравнений Гамильтона, обладающей существенны.ми преимуществами при рассмотрении ряда принципиальных вопросов теории. Понимая под L в уравнениях (4.11.19) функцию L(X,

Хк,Хк)

=L{X,

ХиХ2,...,

Хп,

XI, Х2,...,

Хп)

из п. 1, положим Рк = ^

=

Xi,X'2,...,

Хп, Xi,X2,...,

Хп),

к=

1,2,...,п,

(4.11.26) и допустим, что равенства (4.11.26), рассматриваемые как система п функциональных уравнений для n величин Хк, могут быть разрешены относительно всех Xi,X2,..., Хк- Необходимое и достаточное уаповис разрешимости системы (4.11.26) сводится, как известно, к отличию от пуля функционального определителя 161

_ d{Li,,

Lj^,...,

5(^1, ±2,

LjJ

_ djpi ...,p„)

in)

^

(4.11.27)

dxi, ..., Xn)

что здесь и предполагается. При условии (4.11.27) из соотпопгепий (4.11.26) одноэпачно определяются п функций Xk - xk{x, Xr, Pr) = Xk{x, Xi ••.,Xn, Pu P2, •••, Pn),

к ^ I . . . , Tl, (4.11.28) подстановка которых в соотношение (4.11.28) обращает его в тождество. В этом случае (и, строго говоря, только в этом) возможен переход от урав1гепий (4.11.19) к канонической системе уравнений Гамильтона. При этом «переменные» Xk и pk, к — 1, 2, . . . , п, являющиеся на самом деле функциями от х, называются каноническими переменными {xk — обобщенными координатами, а р/с — обобщенными импульсами, по терминологии механики). Определим функцию п Н{х, Xk, Рк) = ^Ркхк{х, Хк, Рк) -L[x, Хк, хк{х, Хк, Рк)] (4.11.29) к=\ от переменных х, х\, Х2, • • •, Хп, Р\, Р2, • • •, Рп, называе.мую функцией Гамильтона. По правилам дифференцирования сложных функций при г = 1, 2, . . . , п находим: дН — = Хг -Ь > дрг ^ ^ дхг

дхк Рк^ дрг

V ^^^''дхг

^^ дЬ дхк

> ^ дхк дрг

^^дхкдхг

. , . = ^г{х,Хк, Рк),

дхг

=

дх/

4.11.30)

(4 1131)

Здесь мы воспользовались только определением (4.11.26) для величин Рк, предположением о разрешимости соотношений (4.11.26) относительно величин Хк, приводящим к функциям хк{х, Хг, Рг) из формулы (4.11.28), и определением (4.11.29) для функции Я . Уравнения (4.11.19) пока не использовались. Пусть теперь Хк = хк{х), к = 1,2, . . . , п, — какой-либо интеграл системы уравнений (4.11.19). При подстановке в правые части равенств (4.11.26) вместо Хк и Хк значений функций Хк = хк{х) и 162

Xk — dxk/dx определяются n функций p)t = Pk{x). В результате же (однозначной!) разрешимости относительно величин Xk системы уравнений (4.11.26) (в правые части которой, как указывалось, подставлены значения Xk = хк{х) и ж*. = dxk/dx) получаются функции хк{х, Хг, Рг) (4.11.28), очевид1Ю удовлетворяющие равенствам Хк [х-, xrix), Рг{х)\ =

=

(4.11.32)

1"де Xk — Хк{х) — рассматриваемый интеграл системы уравнений (4.11.19), а Рк{х) — определяемые по нему при помощи выражений (4.11.26) функции. На основании таких равенств ясно, что в результате подстановки значений упомянутых функций Хк = хк{х) и Рк = Рк{х) в соотпопюния (4.11.30) последние принимают вид G

=

. =

(.П.ЗЗ)

^Тто же касается функций рк —рк{х), определенных через интеграл = Хк{х), при помощи равенств (4.11.26), то в силу соотношений (4.11.19) и (4.11.31) для них получается

dx

дх дхк

=

Oxk

дхк'

k=l,2,...,n. '

(4.11.34)

Итак, мы видим, что любой интеграл Хк = хк{х) системы уравнений Эйлера (4.11.19) после присоединения к нему п функций рк — = Рк{х) (получающихся в результате подстановки в правые части формулы (4.11.26) значений Хк — хк{х) к Хк — dxk{x)/dx) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений первого порядка

dx

орк

dx

ахк

(4л,.за)

называемой системой уравнений Гамильтона. Справедливо и обратное утверждение, а именно: если Хк = хк{х), Рк — Рк(х), к = 1, 2, — любой интеграч системы дифференциальных уравнений (4.11.35), то функции Хк = хк{х) удовлетворяют системе уравнений (4.11.19), а п о д с т а 1 Ю в к а значений Хк = — хк{х), Хк = xk{x) и Рк — Рк{х) в соотношения (4.11.26) приводит к тождествам.

163

Действительно, по интегралам х^ = ^^(.т), рд. = I'ki'-'') системы уравнений (4.11.35) можно 011реде.лпть tjiyHKUHH ха;(х. Pri-c}) из формул (4.11.28) как результат ретсння (опюпяо.чьно .т;,.) системы уравнений (4.11.26), в которую подп'лв.ьчются вместо Xk и рк упомянутые значения Х>(Х) и РА-Д.Г). Эти функции должны удовлетворять соотношениям (4.11.30) и (4.11.31), сопоставление которых с первой группой уравнений (4.11.35) приводит к равенствам х,(а-, хАх),

Prix))

= ^ ^ ^

(4.11.36)

= х,(х),

означаюп;им, что подстановка в систему уравнений (4.11.26) значений XK = ХК(Х), XK — XI;{X) и PK = РК{х) действительно приводит к тождествам. Но так как подстановка зиаче1Н1Й х^ = хк{х) и Xk = xk{x) в левую часть системы (4.11.26) дает значения функций р^ = pk{x), удовлетворяющих второй группе уравнений (4.11.35), то в силу соотнон1ений (4.11.35) и (4.11.31) очевидно имеем: d dL{x, Xr, Xr) dx

dpk{x)

dxk

дН(х, Xr, Pr) _ dL{x, Xr, ir)

dx

dxk

dxk

(4.11.37) Ho это как раз и означает, что функции Хк — хк{х) (из интеграла Xk — xk{x), Рк = Рк{х) системы уравнений (4.11.35)) удовлетворяют системе уравнений (4.11.19), что и требова.'юсь. 9. Уравнения Гамильтона (4.11.35) представляют собой систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для 2п функций хк{х) и Рк(х). Основной для таких систем является задача Коши, в которой требуется построить решение Хк = = хк{х), Рк = Рк{х), к = 1, 2, ..., п, системы (4.11.35), удовлетворяющее начальным данным Xk\x=xo=xl,

Pk\x=xo=Pl,

к = 1,2,...,п,

(4.11.38)

где (при фиксированном значении Жо) правые части могут задаваться по произволу. В случае достаточной гладкости функций из правых частей уравнений (4.11.35) (например, такой, что эти функции непрерывны в рассматриваемой области переменных x , x i , . . . ,Хп, Pi, • • • ,Рп и имеют ограниченные частные производные по всем Xk и pk) задача Конш имеет решение и притом единственное. Это решение Хк = xk{x, xl

р°),

Рк = Рк{х, х1 Р1) 164

(4.11.39)

пифсрывио зависит от 2п параметров и В случае же более высокой гладкости правых частей уравнений (4.11.35) гладкость функций (4.11.39) также возрастает, и они уже имеют частные производные по хЧ и р". Как известно, общим интегралом системы уравнений (4.11.35) называется 2п функций Xk =

С], . . . , С2„),

Рк = Рк{х, t'l, С2, . . . , С2„),

(4.11.40)

зависяиц1х от 2п произволbni.ix постоянных, и притом так, что путем их исключения функции (4.11.40) .могут быть подчинены условиям (4.11.38) с произвольными значепнямн .т" и Из указанного факта существования решения задачи Kouni очевидно вытекют и существование общего интеграла спсто.мы (1.11.35). Поле экстремалей и уравнеиие

Гамильтона—Якоби

10. В случаях сунюствования канонических переменных из п. 8, позволяющих перейти от уравнений Эй.:1ера (4.11.19) для экстре.малей к канонически.м уравнениям Гамильтона (4.11.35), имеется дальнейп]ая возможность перехода от систе.мы о б ы к 1 Ю в е н н ы х уравнений (4.11.35) к уравнению в частных производных для некоторой функции 0(х, XI, . . . , Хп). Такое уравнение, называемое уравнением Гамильтона—Якоби, оказывается в извеспю.м смысле эквивалентным системе обыкновенных уравнений Гамильтона. Это обстоятельство, как извеспю, лежит в основе аиало1'ии .между математическим описанием явJюний механики систем материальных точек и геометрической 01ГГИКИ, сыгравшей важную ро.иь в развитии физики XX и. В теории же распространения волн упомянутая эквивалентность является следствие.^ воз.можности описания движения поверхностей разрыва поля как с точки зрения множества лучей (т. е. экстре.малей функционала Ферма, удовлетворяюпщх уравнениям Га.ми.чьтопа), так и с точки зрения распространяюп;ихся фронтов, описываемых уравнением Гамильтона—Якоби. Вывод уравнения Га.мильтона—Якоби, равно как и дока;^ательство его эквивалентности системе уравнений Гамильтона, мы приведем здесь лишь для случая трехмерного пространства, имеющего непосредственное отношение к основному для нас вопросу о распространенин фронтов волн (нес.мотря на то, что подобные же результаты имеют место и в случае пространства любого числа измерений). 165

При этом будем учитывать факт (разъясняемый далее), что в случае функционалов Ферма канонические переменные из п. 8 существуют только, если за переменную интегрирования в функционгьте (4.11.1) берется одна из пространственных координат, например х. Вследствие этого будем рассматривать функционал (4.11.1) в предположении, что X — X, XI = у, Х2 — 2, соответственно чему в применяемых далее формулах (4.11.26)-(4.11.35) будем полагать n = 2. Наконец, будем учитывать факт, что в случае существования канонических переменных наряду с условием (4.11.27) выполняется также и неравенство д{Н

) V2,

Рп)

^ 0{рир2,

(4.11.41)

. .. , Рп)

которым удоб1ю будет воспользоваться уже в начале п.И. 11. Говорят, что семейство экстремалей (т. о. совокупность решений системы уравнений (4.11.19) или (4.11.35) при п — 2), зависящих от двух пара.мстров, a j и аз, образует поле в трехмерной области В, если через каждую точку М = (х, xi, Х2) области В проходит одна и только одна экстремаль семейства. Различают два случая полей: 1) центральное ноле экстремалей, отвечающее полю лучей, выходяпщх из точечного источника BOJHI, и 2) общее поле экстремалей, соответствующее лучам, выходящим из точек фронта волны, заданного в момент времени t = to, к точкам волнового фронта в момент t > to- Мы здесь рассмотрим ради опредслепности случай центрального поля экcтpeмaJюй. Фиксируя точку М = (х°, х°, X2) центр поля, построим решение системы уравнений (4.11.35) при п = 2, подчиненное данпы.м Коши хк\х=х«=х1,

Рк\х^х°=оск,

А; = 1 , 2 ,

(4.11.42)

где Qi и 02 — независимые параметры, изменяюпщеся в некоторых заданных промежутках. Если функция Н{х, Xi, X2, Р ь Р г ) из правых частей уравнений (4.11.35) непрерывна вместе со всеми ее частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки а; = Xk = х° при любых рассматриваемых значениях pk = ак, то система (4.11.35) имеет единственное решение Хк = хк{х, ai, а2),

Рк = Рк{х, (У1, 02), 166

А; = 1,2,

(4.11.43)

удовлетвояющее условиям (4.11.42) и непрерывное со всеми его частными производными (по ж, Qi и Q2) первого порядка. При это.м в случае достаточно малых значений а; — хо > О оказывается^ xk=xl+

dxk = да.

Hi

{х-хо)

• (х - Хо) + 0[(х

-

Хо)%

дН° даг

где обозначено Н ^ = а;?, о ь ог) и а = 1, 2. Но тогда для функциональных определителей выполняется соотношение

5(qi,Q2)

d{ai,a2)

,4.11.44)

справедливое уж во всяком случае при достаточно малых х — xq > 0 в силу неравенства (4.11.41). Вследствие соотноп1ения (4.11.44) из первых двух функций = a;i(a.', ai, «2),

Х2 = x^ix, Qi, 02)

(4.11.45)

(взятых из равенств (4.11.43)) .можно выразить значения параметров ai=ai{x,xi,x2),

а2 = а2{х, xi, Х2),

(4.11.46)

причем связь между QI, Q2 И точкой М = (х, Xi, Х2) из некоторой окрестности точки Мо = Мо{х°, х1, х®) оказывается однозначной. При таких условиях через каж,тую точку М упомянутой окрестности проходит одна и только одна экстремаль из (4.11.43) и, следовательно, экстремали (4.11.43) или (4.11.45) образуют поле. Подставляя значение аи из равенства (4.11.46) во вторую группу функций pk = = Рк{х, ах, аг) (4.11.43), получаем для каждой точки М € В значения функций Pi =Pi(x,

XI, Х2),

Р2 = Р2(х, Xi, Х2),

(4.11.47)

называемых функциями наклона поля экстремалей (4.11.45). Путем дифференцирования по х вдоль экстремалей (4.11.45) сложных функций ^Так как dxk/dx = dH/dpk = Яр^ в СИЛ.У ф о р м у л ы (4.11.35).

167

Pfc(x, Qi, Q2) = Pk [a:, Xi{x, Qi, Q2), X2{X, a i , 02)] , получающихся из функций (4.11.47) подстановкой n пих значений xi и Х2 из формул (4.11.45), находим dpk ^ д^

у ^ дрк dxr

dx

^

дх

дхг

dx '

что на основании уравнений (4.11.35) переписывается в виде

Итак, мы видим, что построенные функции наклона поля (4.11.47) удовлетворяют системе уравнений (4.11.48) в частных производных. Легко доказывается и обратное утверждение, а именно, что любому решению (4.11.47) системы уравнений (4.11.48) соответствует некоторое поле экстремалей. Действительно, пусть функции (4.11.47) удовлетворяют системе уравнений (4.11.48). Подставляя их значения в правую часть первой группы уравнений (4.11.35) (при п = 2), гюлучим систему обыкновенных дифференциальных уравнений ^

dxkdH_

I.

1 о

первого порядка относительно двух функций хк{х). Ее общий И1ггеграл Xk = xk{x, fli, аг) зависит от двух пара.метров, которые (в соответствии с определением 1юнятия «общий интеграл») всегда .можно выбрать так, чтобы при х = оказа^юсь xi(a;o, 01, 02) = ж?,

а;2(а;о, Cj, 02) =

при любых значепих Отсюда спедует, что в рассматриваемой точке (х°, х\, ж®), равно как и в некоторой ее окрестности,

a(«i,a-2) Но при этом очевидрю, что функции Хк - хк{х, (ц, аг), А; = 1, 2, образуют поле. "Чтобы получить полное поле экстремалей как решений системы уравнений (4.11.35) при п = 2, определим при помощи 168

исходных функций (4.11.47) функции от х-. Рк =Рк{х,

аь аз) =Рк [ж, xi{x,ai,

ф,), Х2(Х, ai,

аг)],

уловлетпоря(Он;ие (как легко проверяется на основании соотнонюиия (4.11.48)) второй группе уравнений (4.11.35) при п = 2. А это как рач и означает, что построс1П1ые функции х/. — Xk[x, ai, аг) м Рк = = Pk{x, ai, Яг) образуют поле экстремалей. 12. ^-Ito6ijI про,.двинуться далее, следует вспомнить результаты п. 7, касаклциеся условия трансверсальности пересечения экстремалей с некоторой поверхностью G(.T, а:,, жа) = 0.

(4.11.49)

EcviH учест1> опреде.;юние функции Га\п1.льтона форму.пой (4.11.29), то условие трансверсальности запишется в рассматривае.мом случае (п = 2) в виде — Н{х, Xi, х-), Pi ,

+ piSxi + р-2^Х2 = 0.

(4.11.50)

В формуле (4.11.50) 6х, 6х] и 6x2 произвольные вариации координат точки {х,х\,х2), расположенной на поверхности (4.11.49), связанные друг с другом равенством +

=0,

=

эе дх '

_ д& = — . (4.11.51) - dXk •

Но значения 0^1 и как известно, пропорциональны направляюи1им косинусам п^, и n^j орта нормали rt к поверхности (4.11.49). Поэтому соотнопгспис вида (4.11.25), вытскаюн1,ес из формул (4.11.50) и (4.11.51), можно записать как Н{Х,

Xk, Рк) ^ Pi

^ Р2 ^ д

Tlx ИЛИ

Pi = n.x^h, Р2 = n,:Ji,

Н{х, Xk, Рк) + n.Jl = О,

(4.11.52)

где h — некоторая функция точки {х, xi, Х2) поверхности (4.11.49). Очевидно, что эта функция .может быть определена (в пришщпе) из уравнения Н{х, хх, Х2, rixili, П12/1) + rixh = О, (4.11.53) 169

получающегося из соотношений (4.11.52). Таким образом, оказывается, что условие трансверсальности определяет в точках поверхности (4.11.49) значения функций наклонар^ = рк{х, xi, 2:2),/с = 1, 2, подстановка которых в правые части первой группы уравнений (4.11.35) (т. е. в уравнения dxk/dx = Пр^) приводит к значениям хк{х, xi, хг), определящим направления подхода (или отхода) экстремалей к точке (х, XI, Х2) поверхности (4.11.49)^. 13. Если I —• любая гладкая кривая в пространстве (ж, Х\, Х2), определяемая уравнениями Xk — fc = 1, 2, то величина (4.11.54)

I ^ j L{x,xk{x),xk{x))dx (О

называется квазидлиной кривой I, или ее /-длиной. Рассмотрим центральное поле экстремалей из п. 11 с центром в точке Мо = {х°, Х2). Вдоль каждой экстремали (4.11.45), выходящей из точки Л/о (по направлению, определяе.мому пара.метрами Qi и Q2) и идущей к точке М = {х, xi, Х2), можно вычислить интеграл I = 1{М) (4.11.54). Если точка М принадлежит области В, в которой экстремали образуют поле, то выражение 1{М) определит 1Юкоторую функцию 0(х, XI, Х2), называемую основной функцией центрального поля экстремалей. Поверхность же 0(х, х\, Х2) — р — = const называется квазисферой, так как она получается как геометрическое место точек М, I, расстояние которых от точки MQ равно р = const. При переходе от точки М = [х, х\, Х2) ноля к близкой точке М' — {х + 6х, XI -Ь 5x1, Х2 -I- <5x2) варьируется линия, вдоль которой вычисляется интеграл (4.11.54), который теперь естественнее записьпзать в виде м / = 0(х, xi, Х2) = J L[x, xi{x, ai, 02), х2{х, ai, 02)] dx. (4.11.55) Mo ®Если (при у ч е т е системы уравнений (4.11.35)) д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е уравнения (4.11.35) но h дает Нр1 Пх^ + Пр^пх^

=

dxi

дх2

+ Пх ^ О,

т. е. если поверхность (4.11.53) не о р т о г о н а л ь н а э к с т р е м а л и .

170

Поэтому вариацию интеграла I из (4.11.55) следует вычислять по формуле (4.11.16) (при п = 2) для полной вариации функционала вида (4.11.1). При этом интегральный член в правой части (4.11.16) нужно положить равным ну.пю, так как интегрирование по z в формуле (4.11.55) совершается вдоль экстремали. Также нулю следует положить и внеиптегральный член правой части (4.11.16), отвечающий закрепленной точке MQ. Таким образом, на основании равенства (4.11.55) и первого члена из правой части формулы (4.11.16) (переписанного в канонических переменных из п. 8) получается равенство (5G =

— S x i ох\

ох

+ ^ 5 x 2 ах2

= - H 5 x + p i 6 x i + Р25х2,

(4.11.56)

в котором Я = П{х, Xi, Х2, Pi, Р2) обозначает функцию Гамильтона (4.11.29), а. pk — функции наклона поля экстремалей. Если точка М находится на квазисфере 0 ( х , x i , Х2) — const, то <50 = О и, следователыю, - Н 6 х + р х 5 х х +Р26Х2 = 0.

(4.11.57)

Это означает, что экстремали пересекаются с квазисферами поля трансверсально. Если же точка М выбирается произвольно (т. е. 6х, Sxi и 6x2 в равенстве (4.11.56) произвольны), то из выражения (4.11.56) следуют равенства =

(4.11.58)

связывающие частные производные функции ноля 9(2;, Xi, Х2) с функцией Гамильтона (4.11.29) и с функциями Рк{х, Xi, Х2) наклона поля (4.11.47). Подстановка значений р^ = dQ/dxk из второго и третьего равенств (4.11.58) в первое равенство приводит для основной функции ©(ж, XI, Х2) к уравнению в частных производных

называемому уравнением Гамильтона—Якоби. 171

14. Итак, отправляясь от вариационных задач для функционала вида (4.11.1), мы пришли к понятию об его экстремалях как интегралах системы уравнений Эйлера (4.11.19). Эта систе.ма образована п обыкновенными диффepeнциaJПJHыми уравнениями второго порядка относительно п функций Xk — xk{x, ...), к = 1, 2, ..., п, определяющих экстремали. Если определить величины pk соотнонюниями (4.11.26) и рассматривать эти соотношения как уравнения для величин xi, Хо, ... . . . , Хп, то при выполнении условия (4.11.27) систе.ма уравнений Эйлера приводится к эквивалентной системе 2П обыкновенных дифференциа^тьпых уравнений второго порядка (4.11.35), называемой системой уравнений Гамильтона. Далее мы обратились к расс.мотрению элементов теории поля экстремалей в частном ачучае трехмерного пространства (с координатами X — X, XI — у,Х2 — z) и установили, что при достаточной гладкости правых частей уравнений (4.11.35) в случае П — 2 любому решению вида (4.11.43) системы (4.11.35), зависяп;ему от двух параметров и образуюп;ему поле экстре.малей (центральное или обп;ее), отвечает основная функция 0(х, Xi, хз) поля, удовлетворяюП1ая уравнению (4.11.59) в частных производных первого порядка, вид которого однозначно определяется видом функции Гамильтона из формулы (4.11.29). И наоборот, любому достаточно гладкому репюпию Q{x, xi, Х2) уравнения (4.11.59) отвечает некоторое иоле экстре.малей, т. е. penieime системы }фавнений Гамильтона (4.11.35) при п = 2. Действите;Н)НО, по функции G(a;, xi, Х2) определяются функции наклона поля р^ — ри{х, ху, x-i) — OQ/dxk, удовлетворяющие уравнениям (4.11.48) (которые получаются непосредственно из уравнения (4.11.59) дифференцированием по xi и хз). Отсюда же, как ИБП. 11, легко доказывается высказанное утверждение. В заключение остается лишь отметить, что переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона (4.11.35) к уравнению Гамильтона Якоби —

+

Я ( х , X , , Х2, . . . , Х „ ,

PUP2,

..., Рп) =

О,

(4.11.60)

где р). = OQ/Oxk, к = 1, 2, . . . , п, осуществим не только в случае п = 2, но и при любом значении целого числа п > 1 из системы уравнений (4.11.35). При этом между уравнениями (4.11.35) и (4.11.60) сохраняется эквивалентность такого же типа, как и в случае п = 2, рассмотренпо.м в ini. 11—13. 172

§ 12. Cвe;^eпия из теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Во многих приложениях встречаются задачи для ypannennfi в частных производных типа Гамильтона-Якоби ВО

— -\H{xk,Pk) = 0

(4.12.1)

относительно функции в = 9[t, Х\, Х2, • • •, Хп) от {п + 1)-й переменной (где t обозначает обычно время, а, Xi, Х2, • • •, Хп — координат1>1 точки в пространстве, воспринимаемом наглядно при п < 3), в которых pk = Oe/dxk- /г — 1 , 2 , . . . , n, а под , Х2, • . • , Xji,

РХ,Р2,...,Рп)

=

H[xkPk)

подразу.мевается достаточно гладкая функция от В1>пн1санных аргументов, не зависящая явным образом от 9. Как след,ует из пи. 13 и 14 предыду1цего иара1рафа (где в.место t применялось обозначение ж, а функция Гами:н)т0на Н зависела явно не только от Xk и pk, но и от х), к таким уравнения.м приводятся задачи для нолей экстремалей функциона.10в вида (4.11.1) в случае сун1,ествования канонических переменных. К таким же уравнениям при значениях п <2> сводятся и задачи на распространение волновых фронтов, расс.матриваемых как поверхности слабых или си;плп>1х разрывов ноля смешений i t , представляющие /;ля нас основной интерес. При этом в носледне.м случае функции H{xk, Рк) = Х2, хз, pi, р2, Рз) из уравнений (4.12.1) в рассматривае.мых да.!1ее задачах всегда обладают еще важным д0П0JПlитeльным свойство.м, а и.менно: они оказываются положительно определенными однородными первой степени функциями от api'yментов Р1,Р2,Рз- С фрагментами теории таких уравнений нам и предстоит сейчас познако.миться. Как известно, теория уравнений в частных производных первого порядка органически связана с теорией систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для «характеристических полос» этого уравнения. Связь оказывается настолько глубокой, что можно говорить об эквивалентности основных задач, поставленных для уравнений вида (4.12.1) и упомянутых систем обыкновенных уравнений. Поэтому естественно прежде всего обсудить вопросы, касаюп^иеся такой эквивалентности. При этом нам придется ограничиться изложением лишь схе.м рассуждений и не останавливаться па полных доказательствах высказываемых утверждений,

173

равно как и на точной формулировке всех (необходимых) условий, касающихся гладкости функций, входящих в уравнения, при которых тот или иной формулируемый результат строго оправдан. При известном старании такие условия (в достаточной их форме) могли бы быть получены без особого труда. Однако их получение требовало бы места и отвлекло бы нас от понимания основных идей теории. 1. При обсуждении оби;их вопросов, связанных с системами дифференциальных уравнений для характеристических полос, отвечаюпщх уравнению в частных производных первого порядка, целесообразно вместо уравнения (4.12.1) рассматривать уравнение более общего вида H { x i , Х2, . . . , х „ , и, pi,P2, •••,Рп) = О,

(4.12.2)

где pk = du/dxk, к - 1, 2, . . . , п, а п > 2 — произвольное целое число. При этом в области измспепия аргументов {хк, и, рк) = = {XI,X2,... ,Хп, и, Pi, Р2,. •• ,Рп), 1"ДС реализуется искомое решение рассматриваемых далее задач, функцию Н{хк, и, рк) (4.12.2) мы будем считать непрерывной со всеми се часпнлми производными первого и второго порядка. Не задерживаясь на выводе системы уравнений для характеристических полос уравнения (4.12.2), который производится обычно на уровне интуитивно очевидных соображений, мы выпишем эту систему, а зате.м обсудим существующие связи между нею и уравнением (4.12.2). 2. Характеристическая система уравнений, отвечающая дифференциальному уравнению (4.12.2), записывается следующим образом: ^

= Нр,=Нр,{хг,и,рг), $

(4.12.3)

к = 1,2,...,п,

=

=

Г-1

^

Здесь применены обычные обозначения -

_ЭЯ

fr

_дН

-

_дН

для частных производных функции Я = Я(Ж1,

Х2,

Хп,

174

и,

Ри

Р2, • • • ,

Рп)

(4.12.4)

по соотБетствующим ее аргументам, а под s подразумевается некоторый параметр, (физический) смысл которого заранее по фиксируется. Соотношения (4.12.3), (4.12.4) представляют собой систему 2гг -I-1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно такого же числа искомых функций от s. При этом в соответствии с предположенной гладкостью функции Н из уравнения (4.12.2) правые части системы (4.12.3), (4.12.4) непрерывны и имеют непрерывные первые частные производные по всем переменным XI, Ж2, . . . , Хп, U,PI,P2,

. . . , Рп-

Что же касается взаимоотношения систе.мы (4.12.3), (4.12.4) с уравнением (4.12.2), то оно фактически вытекает из формулируемых ниже трех утверждений. Утверждение 1. Система уравнений (4.12.3), (4.12.4) имеет решение xk=xk{s,x'>,,u\p°),

(4.12.5)

к = 1,2,...,п,

pk=pkis,x<',,u°,p°),

(4.12.6)

удовлетворяющее начальным данным Коши Хк

5=0

=

=

...,п,

(4.12.7)

при произвольных значениях параметров х^, и Такое решение единственно и имеет непрерьшные производные по всем параметрам из правых частей равенств (4.12.7). Утверждение 2. Система уравнений (4.12.3), (4.12.4) имеет первый интеграл H{xk, и, pk) = const. (Это означает, что при подстановке в выражение H{xk, и, рк) = H{xi, . . . , а;,,, и, pi, ... р,,) вместо а р г у м е н т о в Xk, и, р^ ф у н к ц и й Xk{s),

u{s),

Pk{s),

отБечаю1Цих п р о и з -

вольному решению системы (4.12.3), (4.12.4), получается функция от S, для которой d/ds Н[хк{з), u{s), pi;(.s)] s 0.) Поэтому если начальные данные (4.12.7) удовлетворяют условию H { x I , u \ p I ) = Q,

(4.12.8)

то при любом значешш s > О решение (4.12.5), (4.12.6) характеристической системы уравнеий (4.12.3), (4.12.4), подчиненное начальным данным (4.12.7), удовлетворяет соотношению Я [хИб', . . . ) , « ( « , ...),pfc(s, ...)] = 0. 175

(4.12.9)

Решение (4.12.5), (4.12.6) системы дифференциальных уравнений (4.12.3), (4.12.4), удовлетворяющее условию (4.12.9), называется характеристической полосой, отвечающей уравнению (4.12.2). Из утверждения 2 следует, что для того чтобы решение (4.12.5), (4.12.6) оказалось характеристической полосой, достаточно лишь подчинить условию (4.12.8) значения из правых частей начальных данных в формуле (4.12.7). Пусть и = u(xi, Ж2, . . . , х „ ) = u{xk) - произвольное репюпие (интеграл) уравнения (4.12.2), непрерывное вместе с первыми и вторыми частными производпы.ми по всем хи, и пусть и" =

х®, . . . , X®),

А; = 1, 2, . . . , 71, (4.12.10) " соответственно значения функции и = и{х^) и ее част[п.1х производных pk = du/Oxk в точке (х°) = (х®, х", . . . , х°). Так как, по условию, функция и = u{xi,.) удовлетворяет уравнению (4.12.2), то ясно, что величины и" и (4.12.10) совместно со значениями координат X® расс.матриваемой точки удовлетворяют условию (4.12.8). Если подставить значение функции и = и{хк) и значения ее частных производных pf: = Ou/Oxk В правые части Нр^{х, и, Рг) уравнений (4.12.3), то получится система п (обыкновенных) уравнений вида ^

= P2(XI, XJ, .. •, X®),

= Л ( Х 1 , Х 2 , . . . , Х „ ) , fc = l, 2 , . . . , п ,

(4.12.11)

правые части / f c ( X i , . . .) =

Hpi^[Xr,

u{Xr),

Pr{Xr)]

которой зависят только от переменных xi, Х 2 , . . . , п. Такая система очевидно может рассматриваться независимо от уравнений из (4.12.4). И вот оказывается справедливым следуещее утверждение. Утверждение 3. Пусть xk = x k { s , x ° , x l , . . . , x l ) = x k { b , x ° ) , fc = l, 2 , . . . , п ,

(4.12.12)

— решение системы дифференциальных уравнений (4.12.11), удовлетворяюп;ее начальным данным Хк

s=0

= х 1 fc = l, 2,...,тг, 176

(4.12.13)

где Xk — координаты точки, в которой определя^шсь (по интегралу и — u{xk) = u(xi, Х2,..., х„) уравнения (4.12.2)) числа из равенств (4.12.10), и пусть по решениям (4.12.12), а также по указанной функции и = u{xi, Х2, • • •, х„) определены функции от s и = u[xi _ Рк^

(.S, х ? , . . . ) , : E 2 ( s ,

...),...]

=

u{s, x°,x°,...,x°J,

Ои[ХиХ2,---,Хп] я Xr=Xr-{s,X°) dxk

(4.12.14) (4.12.15)

А; = 1, 2,..., n, удовлетворяющее очевидно условию (4.12.9). Тогда путем вычисления производных от функций (4.12.15), например dpk _ • А dp^d^ ds

^

9хг

_ .А

д'^и

^

dxrdxk

ds

^ Рг 1

с учетом выражений я „ +

+ Ё

g l ;

= Н„ + н . « + ±

^ н , .

= о

для производных по Xk от уравнения (4.12.2), легко доказывается, что функции (4.12.12) и (4.12.15) удовлетворяют системе уравнений (4.12.3), (4.12.4). А так как они удовлетворяют, кро.ме того, и условию (4.12.9), то, следовательно, они определяют характеристическую полосу уравнения (4.12.2). Заметим, что функции Xk = Xk{s, х^) (4.12.12) и функция и = = u{s, х°) (4.12.14) определяют в пространстве (п + 1) переменных Хх, Х2, - • Хп, и линию (характеристическую кривую) на интегральной поверхности и — u{xi, Х2,---, Хп) уравнения (4.12.2). Остальные же функции рк = Pk{s, а;°) (4.12.15) определяют вдоль этой линии направление нормали к упомянутой интегральной поверхности. 3. Следует подчеркнуть, что характеристическую полосу (4.12.12), (4.12.14), (4.12.15) .мы получили при помощи построения, основанного па использовании интегральной поверхности и = u{xi, Х2, • • •, х„) уравнения (4.12.2). При этом естественно оказывается, что функции Xk =

Xkis, х°),

к =

1,2,...,п,

и и = uis, х°),

177

рк = Pk{s,

из

равенств (4.12.12) и (4.12.14), отвечающие такой полосе, удовлетворяют начальны.м данным (4.12.7), в правые части которых входят числа и° и р° из равенств (4.12.10). По решение системы дифференциальных уравнений (4.12.3), (4.12.4) однозначно определяется по нача;п>пым данным (4.12.7). Поэтому в точности такую же характеристическую полосу (4.12.12), (4.12.14), (4.12.15) мы получили бы и без использования интеграла и = u{xk) уравнения (4.12.2), а лишь на основе построения решения системы уравнений (4.12.3), (4.12.4), подчинеп1юго начальным данным (4.12.7), (4.12.10). Заметим, что такие данные определяют точку (х], X j , . . . , , и") на интегральной поверхности, а также значения величин р^! пропорциональных направляющим косинусам нормали к поверхности и = u(xi, Х2,---, Xji) в этой точке. Поэтому можно считать, что начальные данные (4.12.7), (4.12.10) определяют элемент интегральной поверхности уравнения (4.12.2) или же элемент его характеристической полосы. Итак, мы видим, что: 1) если характеристическая полоса уравнения (4.12.2) имеет некоторый элемент, общий с интегральной поверхностью уравнения (4.12.2), то она целиком лежит на этой (интегральной) поверхности и 2) еати две интегральные поверхности уравнения (4.12.2) касаются друг друга в некоторой точке MQ = (а:°, х " , . . . , х " ) (т. е. имеют в точке MQ общие значения величин из (4.12.10)), то они касаются друг друга вдоль всей характеристической полосы, имеющей начальный элемент (4.12.7), (4.12.10) в точке MQ касания упомянутых поверхностей. Из изложенного вытекает, что любое решение уравнения (4.12.2), толкуемое (для образности) как поверхность и = — u(xi, Х2,..., Хп) В пространстве п + 1 неременных xi, Х2, - • •, и, может быть покрыто характеристическими полосами. Поэтому характеристические полосы естественно рассматривать как осгювные блоки, из которых строятся любые решения уравнения (4.12.2). При этом теория уравнения (4.12.2) в частных производных фактически сводится к теории системы обыкновенных дифференциа,чьных уравнений (4.12.3), (4.12.4). 4. Основной корректно поставленной задачей для системы уравнений (4.12.3), (4.12.4) является задача Коши, в которой решение системы (4.12.3), (4.12.4) определяется по начальным данным. Повиди.мому, только такую задачу и можно рассчитывать с успехом положить в 0С1Юву теории уравнений вида (4.12.2). Если начальные данные задаются формулами (4.12.7) (с про-

178

изпольиыми значениями и из правых частей и со значением и = ио, з'довлетворяющим второму соотношению в выражении (4.12.6)), то решение системы (4.12.3), (4.12.4) (правые части которой обладают гладкост1»ю, указанной в нача-ае п. 2) представляется функциями вида (4.12.5), (4.12.6), непрерывными и имеющими частные производные не только по ,s, по и по всем пара.метрам и р^ из равенств (4.12.7). При этом упомянутые репшния системы (4.12.3), (4.12.4) мы определяли до сих пор по иача;п>ным данным, относяпщмся лишь к некоторой фиксированной точке (х^) пространства п переменных xi, х г , . . . , а;„. Предположим теперь, что начшп>ные условия (4.12.7) задаются не в одной лишь точке (х®.), а во всех точках некоторой поверхности 'ф{х1, Х2,..., Хп) — О (в упомянутом пространстве п переменных Хх, X2-I..., х „ ) , задаваемых, напри.мер, в виде п функций А

in-]),

=

1, 2 , . . . ,

(4.12.16)

п.

от п - 1 независимых параметров ty, t-i,---, ^п-ь изменяющихся в некоторой области Вп-г • При этом недостающие значения и р1 из соотношений (4.12.7) в точках (4.12.16) упоминавшейся поверхности также должны задаваться некоторы.ми функциями =

«°(ii,

in-i),

р?.

f2,-..,
/с =

1,2,...,п,

(4.12.17) от тех же параметров tj.. В результате решения системы уравнений (4.12.3), (4.12.4) при начальных данных (4.12.7), (4.12.16), (4.12.17) получается система функций Хк =Xk{s,

tl,t2,...,

tn-i),

Рк = Pk{s, ti, i 2 , . . . , и = u{s, ti,t2,..., к = 1,2,...,

t„-i),

(4.12.18)

t„-i), n,

от переменной s и n - 1 параметров tr. Если бы из С 0 0 Т } 1 0 ш е п и й Хк =Xk{s,

ti, t2,...,

<„_i),

179

k-l,2,...,n,

(4.12.19)

рассматриваемых как п уравнений относительно п параметров S, ti,

t2,..

•,

t„-i,

можно было (одно-однозначно) выразить эти параметры в виде достаточно гладких функций S = s(a;i, ж г , . Ж п ) ,

^ = tr(xi,

Х2,...,

п - 1, (4.12.20) то подстановка значений s и tr из равенств (4.12.20) в выражение и = u{s, ti, t2,...,

Хп),

г = 1, 2,...,

tn-l)

из формулы (4.12.18) привела бы к функции u = u{xi,x2,...,xn),

(4.12.21)

причем имелись бы основания ожидать, что эта функция удовлетворяет уравнению (4.12.2). Однако в соответствии с результатами п. 2 ясно, что такое ожидание может оказаться оправданным только в случае, если функции (4.12.16) и (4.12.17) (подставляемые в правые части начальных данных (4.12.7)) удовлетворяют некоторым необходимым (и, как оказывается, достаточным) условиям согласованности. Такие условия, очевидно, сводятся прежде всего к требованию, чтобы значения из равенств (4.12.16) и (4.12.17) удовлетворяли соотношению (4.12.8), т. е. чтобы в результате подстановки в равенство (4.12.8) вместо x°f., pI функций (4.12.16) и (4.12.17) получалось тождество ЩхЦиtn-i),

..., tn-i),

pliti,...,

= 0

относительно всех параметров tj-. Ведь только такое соотношение позволяет считать значения х^, и°, р1 из формул (4.12.16) и (4.12.17) элементами интегральной поверхности (4.12.21) уравнения (4.12.2), равно как и элементами характеристических полос (4.12.18). Но кроме указанного, функции (4.12.16) и (4.12.17) должны согласовываться друг с другом в отношении дифференцирования вдоль касательных направлений в поверхности -ф = О или, что то же, в отношении дифференцирования по параметрам г = 1, 2,..., п — 1. Действительно, если интегральная гюверхность (4.12.21) уравнения (4.12.2) 180

существует, то наряду с равенствами (4.12.18) и (4.12.21) должны иметь место равенства u{s,ti,..

.,tn-i)

=

u [ a ; i ( s , t i , . . . , « n - i ) , • • •,

Xn{s,tu--.

,tn-i)],

(4.12.22) =

, k =

,

(4.12.23)

l,2,...,n.

Вследствие этого дифференцирование по tr первого равенства должно приводить к соотношениям ди .А ди дхк dxk -5—= V - ^ - ^ = V p f c ^ , dxk

dtr

dtr ^ dtr

. г = 1,2,...,п-1,

л

/л ю 4.12.24

в которых под Xk, и, pk подразумеваются соответствующие функции (4.12.18). Но, как уже упоминалось, функции (4.12.18), равно как и все их частные производные первого порядка, непрерывны, в частности по S. Поэтому при ,9 О из соотношений (4.12.24) получаются равенства

которые как раз и с^теду(!т расс.матривать как необходимые уогювия внутренней согласован 1юсти функций (4.12.16) и (4.12.17), задаваемых в точках поверхности -ф = 0. И вот оказывается, что перечисленные условия согласованности не tojhjko необходимы, но и достаточш^! для существования интеrpa-'ia (4.12.21) уравнения (4.12.2), так как справедливо следующее утверждение. Утверждение 4- Если при выбранных функциях из выражений (4.12.16) и (4.12.17), используемых в качестве правых частей в начальных данных (4.12.7), соотношения (4.12.8) и (4.12.24) выполняются тождественно относительно всех параметров ti, <2, • • •, in-i, если функции (4.12.16) и (4.12.17) достаточно гладкие (например, непрерывны со всеми частными производными первого и второго порядка) и, наконец, если система равенств (4.12.19), рассматриваемая как система функциональных уравнений относительно параметров S, ti, t2,.. •, t„-i, одно-однозначно разрешима и приводит для s и tr 181

к выражениям вида (4.12.20), то подстановка значений (4.12.20) в выражение и = ii{s, ti, t2,..., tn-i) из соотношений (4.12.18) определяет функцию и — u{xi, Х2,---, Хп) (4.12.21), удовлетворяюи;ую как уравнению (4.12.2), так и дополнительным уаповиям = /

ди

dxk

=

in-i),

,

=p0(ii,t2,...,in_i),

(4.12.26)

(4.12.27)

/с = 1, 2,..., n, заданн1)1м в точках (4.12.16) поверхности жг,..., Хп) — О, определенной в пространстве п переменных х^, Х2,..., х„. Следует отметить, что в указанном пространстве дополнительные услювия (4.12.26), (4.12.27) фактически сводятся к заданию в точках поверхности ф = О значений только одной искомой функции и = u{xi, Х2,..х„). Действительно, подобное задание у нас осуп;ествлялось в параметрической фор.ме (4.12.26), (4.12.27), где значение функции t2, •. •, tn -i) можно было выбирать практически по произволу. Что же касается функций <2, • • • > tn-i) из формул (4.12.27), то после выбора значений t.„-i) в формуле (4.12.26) их нет нужды (да и нельзя) как-то задавать, так как они определяются, вообще говоря, однозначно из системы функциональных уравнений (4.12.28)

H{x4,...,xlu°,p°,...,p''j=0, %

=

г = 1,2,...,п-1,

(4.12.29)

k—i вытекающей из условий (4.12.8) и (4.12.25), при помощи которых производилось согласование функций (4.12.16) и (4.12.17). Таким образом, в обсуждаемой постановке задача для уравнения (4.12.2) может быть сформулирована следующим образом. В пространстве переменных xi, Х2, • • •, х„ задана достаточно гладкая поверхность 'ф{х1, Х2,---, Хп) = О, расположенная в некоторой области В. Требуется построить в этой области решение и = u{xi,

Х2,...,

182

Хп)

уравнения (4.12.2) при дополнительном условии, что в точках поверхности гр = О это решение совпадает с заданной достаточно гладкой функцией Х2, • • •, х„). Если поверхность = О задавать в виде (4.12.16), а значение искомой функции в се точках задавать (первы.м) равенством = — u°(ti, t2,..., tn-i) ИЗ формул (4.12.17), причем функции x°{ti, <2, . . . , tn-i) И t2, - • •, tn-i) выбирать непрерывными со всеми их первыми и вторыми частными производными, то при указанной в п. 1 гладкости функции Н из уравнения (4.12.2) сформулированная задача имеет, вообще говоря, решение и притом единственное. Замети.м, что для справедливости такого утверждения .можно заметно ослабить предположения о свойствах гладкости функций и" и Н. Однако, на этом нет необходимости здесь задерживаться. Единственность решения вытекает из единственности решения задачи Коши для системы уравнений (4.12.3), (4.12.4) при учете результатов п. 2, устапавливаюпшх взаимоотношение между системой (4.12.3), (4.12.4) и уравнением (4.12.2). 5. В изложенном процессе построения решения (4.12.21) уравнения (4.12.2) на основе решения (4.12.18) задачи Коши для системы (4.12.3), (4.12.4) в случае согласованных надлежащим образом начальных дантгых (4.12.7), (4.12.16) и (4.12.17) весьма важную роль играло допущение, что система функциональных уравнений (4.12.19) может быть однозначно разрешена относительно параметров ,9, i 1 , ) • • • J • Последнее же, как известно, имеет место, если отличен от нуля функциональный определитель д

=

5(ll,

Ж2,. ..,Xn)

a(S,

dxi

_

tX;... , tn-i) dxf

~ dXr,

ML dt,

••

dxf dl„-i

s t

at,

••

Яр1 дх^ ди

Hp2 dxo dll

•

дху

8X2 d t j ,

•

183

••

7^0,

(4.12.30)

причем при получении выражения для определителя в неравенстве (4.12.30) мы воспользовались уравнениями (4.12.3). В рамках сделанных предположений о свойствах гладкости функций x l { t i , . . . , t „ _ i ) H U ° { t u . . . , t n - i ) из формул (4.12.16) и (4.12.17), сформулированных в самом конце п. 4, ясно, что при подстановке в выражение Д (4.12.30) значений функций х^, и, pk из выражений (4.12.18) получается функция A(s, f i , . . . ,
уравнений (4.12.19) относительно s и tr сводится к нахождению величины До определителя (4.12.30) при подстановке в его выражение вместо Xk, и и рк «начальных» функций (4.12.16) и (4.12.17). Если эти функции таковы, что До ф О, то решение задачи из конца п. 4 существует и единственно. Если же оказывается Д = О, то решение задачи или не существует, или же не обладает единственностью. Такой случай задания функций (4.12.16) и (4.12.17), называемый особым, мы не будем здесь обсуждать [3]. 6. В п. 3 мы использовали систему обыкновенных дифференцигильных уравнений (4.12.3), (4.12.4) с целью построения решений уравнения (4.12.2) в частных производных. Но, как оказывается, родство между уравнениями (4.12.2) и (4.12.3), (4.12.4) настолько глубоко, что во многих случаях оно позволяет также строить решения системы уравнений (4.12.3), (4.12.4), если известен некоторый класс решений уравнения (4.12.2) в частных производных. При этом, правда, необходимо, чтобы искомая функция и не входила явно в левую часть равенства (4.12.2). Что же касается упомянутого класса решений, то под ним подразумевается так называемый полный интегргил уравнения (4.12.2), определяемый следующим образом. Полным интеграло.м уравнения в частных производных первого порядка вида (4.12.2) называется такое его решение и = u(xi,

Х2,...,

х„, ai, а2,...,

а„),

(4.12.31)

содержащее п независимых произвольных постоянных ак, что исключение постоянных йк из выражения (4.12.31), а также из п уравнений ди

Рк = ^

= Ukixi,

Х2,...,

Хп, a i , 0 2 , . . . , о „ ) ,

184

/с = 1 , 2 , . . . , п .

приводит к связи между Xk а Рк: « точиости совпадаю1цей с уравнением (4.12.2). И вот оказывается, что знание полного интеграла (4.12.31) уравнения (4.12.2) (не содержащего функции и явно) позволяет строить решение задачи Коши для системы уравнений (4.12.3), (4.12.4) при произвольных правых частях в начальных данных (4.12.7). Этот результат, составляющий содержание .метода Якоби, здесь нам не понадобится. 7. Б задачах па распространение волновых фронтов осиовпой интерес представляют уравнения в частных производных первого порядка вида (4.12.1), т. е. ^

+

Ж 2 , . . . , Хп,Р1,Р2,---,Рп)

=0,

гдерА: = дЭ/дхк, к — 1, 2,..., п,ие содержащие явно искомой функции 0 и такие, что H { x i , . . . , Хп, p i , . . . , Рп) = Ii{xk, Рк) оказываются положительно определенны.ми однородными первой степени функциями от переменных pi, Р2, • • •, Рп и, следовательно, удовлетворяющи.ми соотнонюниям Я(.-Г1,. . . ,

Хп,

Лрь Лр2,- • • ,

^Рп)

= ЛЯ(.Г1, . ... Pi,

и Н{хк, Рк) = ^ Р г Я р Д х , , р,), г=1 Я(Х1,...,

х„,

Р2,-.-,Рп),

(4.12.32)

p i , . . . , p „ ) > о,

где Л — произвольный параметр, а.рк — любые вещественные числа. При это.м распространение волновых фронтов в обсуждаемых задачах всегда определяется соотношениями вида Q{t, Xi, Х2, - • •, Хп) = const,

(4.12.33)

соответствуюпц1ми движению во вре.мени t поверхности, рассматриваемой в пространстве переменных Xi, жг,. •., ХпТаким образом, нам необходимо обсудить вопрос о построении решений уравнений вида (4.12.1), подчиненных соотношению (4.12.33), а также некоторым дополнительным уаювиям, вытекающим из физической сущности иптересуюпщх нас задач. При этом под параметром t мы везде далее будем подразумевать время. 185

Прежде чем сформулировать соответствующие задачи, заметим, что из уравнения (4.12.1) и условия Н(хк, pk) > О следует неравенство dQ/dt ф О, показывающее, что соотношение (4.12.33) всегда может быть разрешено относительно t и переписано, например, в виде Q = T{xi,X2;...,Xn)-t^0. (4.12.34) Это обстоятельство сводит проблему к отысканию такой функции t{xi, аг2,..., Хп), для которой из уравнения (4.12.1) получается уравнение H{xi, жг,..., Хп, Pi,P2,---,Pn) где обозначено

= 1,

(4.12.35)

о

=

А; = 1 , 2 , . . . , п.

(4.12.36)

Полагая в равенстве (4.12.34) t = О, получаем т { х и х 2 , . . . , х п ) = 0,

(4.12.37)

что определяет в пространстве переме1пп>1х х\, Х2,..., некоторую поверхность, отвечающую положению волнового фронта в начальный момент времени. Итак, одной из основных задач на распространение волновых фронтов (4.12.34) является отыскание реишния r ( x i , жг,..., а;„) уравнения (4.12.35) при условии, что уравнение (4.12.37) определяет заданную поверхность |3]. 8. Предполагая, что задание исходного положения поверхности волнового фронта производится в параметрической форме (4.12.16), рассмотрим решение поставленной задачи методом характеристик из п. 4. Характеристическая система (4.12.3), (4.12.4) обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих уравнению (4.12.35), имеет вид ^

= IIp^{xr, Рг), ^

, ^

^

^ ^

Р

г

)

,

к^1,2,...,п, (4.12.38)

п

=

(4.12.39)

Начальные данные для решения такой системы с целью нахождения характеристических полос уравнения (4.12.35) сводятся теперь 186

прежде всего к соотношениям (4.12.16), т. е. к функциональным зависимостям от независимых параметров t^ всех координат /с = 1, 2,..., п,

(4.12.40)

точек поперхности, па которой в соответствии с (4.12.37) задастся значение г = г " = О искомой функции. При этом указанную поверхность следует считать достаточно гладкой и «невырожденной», т. е. являющейся многообразием п - I измерений в пространстве п измерений. Заметим, что последнее условие равносильно требованию линейной независимости всех п - 1 координатных векторов ^ =

г = 1,2,...,п-1,

отвечающих элементам поверхности, т. е. требованию, чтобы векторное уравнение = О или эквивалентная ему система скалярных уравнений Ят"

=

^ = 1,2,...,п,

г=1

имели лишь тривиальное ренгение с^ = 0. Последнее же реализуется тогда и то.пько тогда, когда отличен от нуля по крайней мере один из главных миноров (порядка п - 1 ) прямоугольной матрицы \\dxPf./dtr\\, имеющей п столбцов (/с = 1, 2,..., п) и п — 1 строку (г = 1, 2 , . . . , тг — 1). Без ограничения обнщости можно считать, что таким отличным от нуля оказьптется минор дх1 dtr

фй,

А;, г = 1, 2,..., п - 1,

(4.12.41)

равный определителю квадратной матрицы Wdxl/dtrW, fc, г = 1, 2 , . . . , п - 1 . Что же касается второй группы начальных данных для системы уравнений (4.12.38), то она сводится к уачовиям согласования (4.12.42) 187

[4.12.43) вытекающим из уравнений (4.12.28), (4.12.29) в соответствии с предположением, что г" = О в точках (4.12.40) указанной поверхности. И вот весьма существенным для всего последующего оказывается то обстоятельство, что такие ycjmBHH всегда однозначно разрешимы относительно величин р^ и определяют функции т° = 0,

fc

pl^pl{ti,t2,...,tn-i),

= l,2,...,n,

(4.12.44)

вида (4.12.17), подстановка которых (совместно с функциями из равенств (4.12.40)) вместо аргументов и жд. в выражения Hp^{xki Рк) приводит к отличному от пуля определителю Яр, До =

dh

dh

din.-I

(4.12.45)

st„-,

типа определителя из выражения (4.12.30). Действительно, вследствие неравенства (4.12.41) из системы линейных алгебраических уравнений (4.12.43), т. с. из системы 71-1

Е dt, -Рк = к=1 ^ ^ к „О _

„О ^ ^ п

-Рп

dtr

Г = 1, 2,..., п - 1,

однозначно получаются выражения pl=Tr{ti,..-,tn~i)pl,

fc

= l,2,...,n-l,

содержанще лишь неизвестный множитель

. Подстановка же таких

выражений в уравнение (4.12.42) при учете первого из соотношений (4.12.32) дает равенство

В котором H { x i , . . . , ж", тг?,.,., 7г°_], 1) > о в силу третьего соотношения (4.12,32). Из такого равенства величина pl=pl{ti,t2,...,tn-l) 188

определяется однозначно, что и доказывает первую часть высказанного утверждения. Для доказательства же второй части утверждения следует воспо;п530ваться вторым соотношением (4.12.32) и переписать уравнения (4.12.42), (4.12.43) в виде = к=\

г = 1,2,...,п-1.

(4.12.46)

А:=1

Определитель такой алгебраической систем1>1 совпадает с вы1)ажением До (4.12.45), причем эта система неоднородна и, по доказанному выше, имеет однозначное решаше (4.12.44). Но это возможно только в том случае, когда До ф 0. 9. Присоединяя к системе (4.12.38), (4.12.39) начальные данные вида (4.12.7), т. е. Хк

„ =

s=0

Рк

s=0

= г" = О,

(4.12.47)

правые части которых есть функции (4.12.40) и (4.12.44), мы получаем возможность построения однозначного ренюпия упомянутой систе.мы. При этом вследствие того обстоятельства, что правые части уравнений (4.12.38), (4.12.39) не содержат г, уравнения (4.12.38), т. е. уравнения для х^ и pk, следует рассматривать независимо от уравнения (4.12.39) для функции т. В результате ренюния уравнений (4.12.38) при нача;н>ных данных для Xk и pk из равенств (4.12.47), (4.12.40) и (4.12.44) однозначно определяются функции Xk=Xk{s,TI,t2,...,TN-i),

К=1,2,...,П,

Рк=Рк(з,

tu

(4.12.48)

(4.12.49)

t2,...,tn-i).

При этом вследствие неравенства (4.12.45) и соображений, изложенных в п. 5, можно утверждать, что п функциональных соотношений (4.12.48) (рассматриваемых как уравнения относительно параметров S, ti, t2,. • •, t n - i ) однозначно разрешимы и приводят к выражения.м параметров s, t i , . . в виде функций s = s{xi,x2,...,xn),

tr =tr(xu

Хп),

Г = 1, 2, . . . , П -

1,

(4,12.50)

189

от коордииат Хк- При этом отображение точек (ал, жг,...,

х„) ^{s,

ti,...,

tn-i),

осуществляемое функциями (4.12.48) и (4.12.50), оказывается однооднозначным и таким, что произвольно выбирае.мым точкам {xi,

Х2,---,

Хп)

окрестности поверхности (4.12.40), расположенным вне этой поверхности, соответствуют значения s > 0. ^Ito касается уравнения (4.12.39), правая часть которого всегда положительна вследствие второго и третьего соотношений (4.12.32), то после подстановки значений функций Хк и рк из равенств (4.12.48) и (4.12.49) оно становится обыкновенным дифференциальны.м уравнением для функции r(,s), содержащим параметры t\, ^n-iИнтегрирование такого уравнения при начгшьном условии для т из соотнонюний (4.12.47) приводит к функции T = f{8,h,t2,...,tn-l),

(4.12.51)

удовлетворяющей при s > О неравенству f(s, <1, «2,..., 0 .

(4.12.52)

Подстановка же в правую часть выражения (4.12.51) значений s и tr из соотношений (4.12.50) как раз и дает (как это утверждалось в п. 4) решение г = f [ s ( a ; i , . . x „ ) , t i { x i , . . . , х„), ...] = r ( x i , Х2,---,Хп)

(4.12.53)

задачи для уравнения (4.12.35), поставленной в конце п. 7. Не задерживаясь на доказательстве факта удовлетворения функцией г = = T{XI, Х2, • • •, х„] из равенства (4.12.53) уравнению (4.12.35), мы лишь докажем, что эта функция действительно удовлетворяет дополнительному условию задачи из п. 7. В соответствии с этими условиями задачи из п. 7, а также с соотношениями (4.12.40) нам надлежит показать, что уравнение т(х,,х2,...,хп) = 0

190

(4.12.54)

с функцией т (4.12.53) определяет именно ту поверхность, точки которой задавались в параметрической форме (4.12.40). Из построения (4.12.51), (4.12.53) функции т следует, что уравнение (4.12.54) имеет смысл при любых значениях точек {xk), расположенных как на поверхности (4.12.40), так и в такой ее окрестности, где еще сохраняется одно-однозначность отображения (4.12.48), (4.12.50). Но в указанной области значений {хк) точкам, не расположенным на поверхности (4.12.40), соответствуют значения s > > О, при которых справедливо соотношение (4.12.52) и, следовательно, t{xi, Х2, - • Х п ) > О- Таким образом, уравнение (4.12.54) может определять лишь точки поверхности (4.12.40). Тот факт, что в любой точке, определяемой соотношениями (4.12.40), уравнение (4.12.54) действительно удовлетворяется, вытекает из равенства (4.12.53) (где s(xi, Х2,..., Хп) = О при (xi, Ж2,..., Хп) из равснств (4.12.40)), а также из начального условия г = О при s = О (4.12.47) для функции г, удовлетворяющей неравенству (4.12.52). 10. Обсудим теперь случай точечного источника, в котором решение уравнения (4.12.35) ищется при том дополнительном условии, что уравнение (4.12.37) определяет лишь одну фиксированную точку {хк)- Такой случай естественно рассматривать как предельный при с —О, дополнительно предполагая, что значение г = г" = О задается на гиперсфере радиуса г > О с центром в точке (х^). В соответствии с этим вместо равенств (4.12.40) теперь нужно взять выражения xl=xk+£tk,

1, 2, . . . , п - 1 , 71-1

(4.12.55)

1/2

х°п=Хп+е

(4.12.56) к=\

где tk — произвольные не зависимые друг от друга числа, удовлетворяющие неравенству п-1 Y.tl
А; = 1, 2,..., п,

191

(4.12.58)

в которых предполагается, что n-l ak = tk, fc = 1, 2,..., п - 1 ;

Qn =

1-Е'

1/2

,

W / ( x ° , . . . , x ° , Q b a 2 , . . . , Q „ ) = l,

(4.12.59)

(4.12.G0)

сохраняющим смысл и при е = 0. (Прп е = О лишь необходимо в формуле (4.12.60) за.менить па Xk из равенств (4.12.55).) Таким образом, условия согласования (4.12.42), (4.12.43), допускающие перезапись в форме (4.12.46), однозначно приводят к определенным значениям соотношений (4.12.58), (4.12.59), (4.12.60) дляр°, справедливым при любых значениях е > 0. Вследствие этого можно утверждать, что определитель (4.12.45) отличен от нуля при е > О и, следовательно, все построения из п. 9 бyквaJПзIЮ реализуются и в обсуждаемом случае. При этом вследствие непрерывной зависимости решений задачи Коши для системы уравнений (4.12.38) от параметров, непрерывно входящих в начальные данные (4.12.47), (4.12.55), (4.12.58), пет необходимости строить решение системы (4.12.38) при указанных начальных условиях, отвечающих а1учаю е > О, с те.м, чтобы потом переходить к пределу е —> 0. Достаточно сразу же положить е = О и решать систему (4.12.38) при начальных условиях Xk

s=0

= Xk = const,

pk

s=0

=

hok,

T

,4=0

= r° = 0,

(4.12.61)

В которых ak и h имеют значения из формул (4.12.59), (4.12.60) при усгювии, что координаты xjj заменены там на координаты Хк из формулы (4.12.61). 11. В заключение полезно сделать небольпше замечание по поводу уравнения вида (4.12.2) H{xi,...,

Хп, pi,...,pn)

- О,

(4.12.62)

где pk = du/dxk, к = 1, 2 , . . . , п , не содержащего явно искомой функции и. Правые части характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.12.3), (4.12.4) не содержат в этом случае переменной и, что тюзволяет основную группу 2п уравнений

192

(4.12.63) рассматривать независимо от последнего из уравнений (4.12.4). По внешнему виду уравнения (4.12.63) в точности совпадают с уравнениями Гамильтона (4.11.35), если только отождествить наш теперешний параметр s с переменной х из уравнений (4.11.35). Поэтому возникает естественная мысль о возможности перехода от уравнений (4.12.63) к соответствующим уравнениям Эйлера, отвечаюпщм вариацион1юй задаче для функционала вида (4.11.1). Обращая ход рассуждений из п. 8 § И , используем первые п уравнений ^=Xk=Hp,{xr,Pr),

(4.12.64)

из уравнений (4.12.63) и будем их расс.матривать как функциональные уравнения для п величин pk- Если отличен от нуля функциональный определитель

д{Н,ц,

_

Нр^Нр^)

5 ( р ь Р 2 , - - - , Рп)

d{xi, Х2,- - •, х„) ф О,

5(р1,Р2,---,Рп)

(4.12.65)

то система (4.12.64) од1юзначно приводит к функциям p k ^ p k i x r , x r ) , fc = l, 2 , . . . , п ,

(4.12.66)

при помощи которых определяется функция Лагранжа п L{xk,

Xk)

=

^ P r i r

-

H{xk,

(4.12.67)

Pk),

r=l

где считается pr - Pr{xk, ik)По правилам дифферегпщрования сложных функций на основании равенств (4.12.67), (4.12.66) и уравнений (4.12.63) легко находим

O^k

'^^""'дХк

дЬ

дхк

дХк

^

^^дргдХк~

.

дхк~

дрг

^

дхк

^^ дрг дхк

193

дН

дрг

Поэтому в силу уравнений (4.12.63) имеем

что и представляет собой систему диффepeнциaJn)Hыx уравнений второго порядка Эйлера, тождественную системе (4.11.19). Само собой разумеется, что системе уравнений (4.12.68) соответствует вариационная задача для функционала типа (4.11.1) с функцией Лагранжа (4.12.67). § 13. Дополнения и примеры (случаи однородных первой степени функций L(xjt, Xk) или Н(хк,Рк)) 1. Один из результатов § 11 состоял в следуюп1ем: отправляясь от вариационных задач для функционала (4.11.1), мы пришли к уравнению Эйлера (4.11.19) для его экстремалей. Вводя новые функции Pk по фор.мулам р ^ ^ д Ц х ^ ^ ^

fc

= l,2,...,n,

(4.13.1)

и рассматривая соотношения (4.13.1) как систему функциональных уравнений относительно Xk, мы предполагали, что такая система однозначно разрешима и что она приводит к выражениям Хк = хк{х,

Хг, Рг),

к=1,2,...,п.

Тогда можно было ввести в рассмотрение функцию Гамильтона п

Н{х,

Хг, Рг)

=

Y^Pk^k

- L{x,

Xr,

Xr),

(4.13.2)

k=l

где полагается Xk = xk{x, Xr, Pr), и перейти от системы п дифференциалып»1х уравнений (1.4.19) второго порядка к системе 2п дифференциальных уравнений Гамильтона (4.11.35) первого порядка. Наконец, от системы (4.11.35) можно было перейти к уравнетшю Гамильтона—Якоби (4.11.60) в частных производных первого порядка, эквивалентному в известном смысле уравне(гаям Гамильтона. Таким образом, в § И обсуждался, в частности, переход от вариационной задачи для функционала (4.11.1) к эквивалентному этой задаче 194

уравнению (4.11.60) в частных производных первого порядка. При этом промежуточны.ми этапами такого перехода оказывались уравнения Эйлера (4.11.19) и уравнения Гамильтона (4.11.35). 2. Что же касается § 12, то основной обсуждавпшйся там вопрос сводился к peuiennra .методом характеристик некоторых естественных задач для уравнения (4.12.2) в частных производных первого порядка. Общие же результаты, сформулированные по отношению к уравнению (4.12.2), применялись к построению решений уравнения Гамильтона--Якоби (4.12.1). В случае функций H{xk,Pk) из уравнения (4.12.1), не содержащих явно искомой функции 0 и являющихся однородными первой степени функциями от переменных pt, р2, •.., Рп, решения задач можно было искать в форме (4.12.34) что сводило обсуждавшиеся вопросы к задаче из п. 7 § 12 для уравнения (4.12.35), т. е. уравнения H{xi,...,x„,

pi,...,p„)

= l,

=

(4.13.3)

не содсржап;его явно искомой функции. При этом основная группа уравнений из характеристической системы (4.12.38), (4.12.39) имела вид ^

=

Рг),

^

=

Р

г

)

А; = 1, 2,..., п,

,

(4.13.4) системы уравнений Га.мильтона. Применительно к такому случаю в п. И § 12 указывалось, что если при по.мощи первых п уравнений X k = НтЛхг-.Рг),

А; = 1, 2,...,

(4.13.5)

рассматриваемых как функциональные уравнения относительно величин pk, удается однозначно выразить все pk в виде функций Рк

= Рк{хг,

1, 2,..., п,

Хг),

то можно определить функцию Лагранжа п

Цхг,

Хг) = Y^Pkik

- Н{хг,

Рг),

(4.13.6)

к=1 где полагается рк = Pk{xr, Хг), и совершить переход от системы уравпе1шй Гамильтона (4.13.4) к системе уравнений Эйлера вида 195

(4.12.68), отвечающей вариационной задаче для функционала (4.11.1) с функцией Лагранжа из равенства (4.13.6). Подобный результат можно считать обратным результату из §11, изложенно.му в п.1. Правда, для буквального сопоставления таких результатов нужно исключить в п. 1 параметр х = s из числа аргументов, от которых функция Лагранжа (4.13.6) зависит явно. Это приводит к необходимости вычеркнуть параметр х из формул (4.13.1) и (4.13.2), что и пре;ц10лагается в последующем.

3. В обсуждаемых переходах от вариационной задачи к уравнению в частных производных первого порядка или, в обратном порядке, — от уравнения к вариационной задаче решающее значение имела возможность замены системы уравнений Эйлера (Гамильтона) эквивалентной системой уравнений Гамильтона (Эйлера), связанная с существованием канонических переменных, т. е. с однозначной разрешимостью системы уравнений (4.13.1). Необходимое и достаточное условие такой разрешимости имеет вид неравенства (4.11.27), левая часть которого (из-за предположенных свойств гладкости функции L{xk,Xk)) является непрерывной функцией своих аргументов. Но так как функциональные определители

д[Х1,Х2,...,ХпУ

д{р1,Р2,...,Рп)

из неравенств (4.11.27) и (4.12.65) имеют взаи.мно обратные значения, то это же условие оказывается необходимы.м и достаточным для однозначной разрешимости относительно всех pk системы функциональных уравнений (4.13.5), обеспечивающей возможность перехода (обратного) от уравнений Гами;и>тона к уравнениям Эйлера. Итак, прямой и обратный обсуждае.мые переходы возможны или невозможны одновременно. При этом воз.можность их связана с существованием канонических переменных, т. е. с однозначной разрешимостью относительно Xk (относительно pk), fc = 1, 2 , . . . , 71, систем функциональных уравнений (4.13.1) (уравнений (4.13.5)). Следует отметить, что подобная (однозначная) разрешимость может иметь место и тогда, когда один из определителей (4.13.7) обрапщется в пуль в некоторых дискретных точках переменных х^ или р^ • Именно так обстоит дело в задачах, в которых функция Лагранжа L(xk, Хк) (или функция Гамильтона Я(x/t, рк)) оказывается регулярной функцией от своих аргументов. 4. В приложениях часто встречаются задачи со знакопостоянны196

ми функциями Лаграпжа L[xi.,xk) или Гамильтона H{xk,Pk), и притом такими, что L{xk,xk) (что H{xk,Pk)) является однородной первой степени функцией от переменных Xf. (от переменных pk) при к — 1,2,..., п. Напомним, что функция /(j/i, 2/2i • • • > Уп) называется однородной степеии р > О функцией, если при любом значении параметра Л выполняется равенство /(Луь Лг/2,..., Ау„) = А''/(г/1, у2,-..,уп]-

(4.13.8)

Диффсренцирова]Н1е такого равенства по А с последующим приравниванием А = 1 приводит к формуле Эйлера п

р-}{У1,

У2,---,

Уп) =

2 / 2 , . . . , 2/п),

(4.13.9)

к=1

где /у^ = д//дук, которой удобно пользоваться во многих приложениях. Так вот, если, например, функция Лагранжа L{xk, Xk) оказывается однород1юй первой степени функцией от Xk, то выполняется равенство п

Ц х и , Хк)

Хк)

(4.13.10)

Г= 1

тина (4.13.9), дифферсггцировапие которого по Хк приводит к очевидным С00ТН0П1СИИЯМ п

=

к = 1,2,...,

п.

(4.13.11)

Г=1

Такие соотношения мож1Ю толковать как однородную систему алгебраических уравнений, имсюш^'ю нетривиальное решение Хг ф Q при любых значениях аргументов Хк и Хк- Но это возможно только, если (тождественно) равен пулю определитель (4Л3.12) системы (4.13.11), совпадающий с определителем (4.11.27). Таким образом, в с^чучае однородных первой степени относительно Хк и Рк функций L{xk, Хк) и Н{хк, Рк) не сун;ествует канонических переменных и, с.'юдовательно, на такие случаи не распространяются 197

непосредственно результаты нп. 1—3. Однако к подобным результатам всегда можно прийти путем замены функции L или функции Н на эквивалентную ей в известном смысле новую функцию. При этом такая замена в случае однородных L{xk, Хк) и Н{хк, Рк) всегда зиждется на возможности выбора параметров для определения экстремалей (т. е. рен1ений, например ураниений Эйлера) так, что во всех точках выбранной экстремали оказывается L{xk, Хк) — const. 5. Обозначая переменную интегрирования s, рассмотрим функционал S1

I ^ I L{xk,Xk)ds

(4.13.13)

so типа (4.11.1), в котором L(xk, Хк) = L { x \ , . . . , х„, i i , . . . , х^) не зависит от S и является однородной стерени р > I функцией от переменных Хк- В соответствии с эти.м L[xk, Хк) удовлетворяет соотношениям однородности Ь{хк,Хх,)^УЬ{х,,Хк),

(4.13.14)

П

=

(4.13.15) Г=1

вида (4.13.8) и (4.13.9), в которых, равно как и в формуле (4.13.13), теперь полагается Хк = dxk/ds. Кроме перечис^1енпого, мы будем предполагать, что L имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка по всем аргуме1ггам и удовлетворяет, например, неравенству L{xk, Хк) > О в рассматриваемой области изменения ее аргументов. На основании решения системы уравнений Эйлера fc = l , 2 , . . . , n , дхк

(4.13.16)

ds дхк

можно определить любую экстремаль Xk=Xk{!i),

к = 1,2,...,п,

(4.13.17)

функционала (4.13.13). И вот оказывается, что параметр ,s в функционале (4.13.13) всегда .можно выбрать так, что вдоль экстремали (4.13.17) выполняется равенство Цхк, Хк) = const. 198

(4.13.18)

Доказательство утверждения проведем сначала в случае р = 1, а затем при р > 2. Полагая р = 1, допустим, что на выбранной экстремали (4.13.17) оказалось L[a;A:(s), a:A:(s)] = const, где /(s) > 0. Тогда в функционале (4.13.13) можно произвести за.мену переменной интегрирования S = .s(r), что дает I = J L{xk, Xk)ds = j So

Цхк, Xk)^dT

= J ^ (^k, ^ ^

To

dr,

To

если учесть формулу (4.13.14) и равенство dxk/dr = Хк ds/dr. Таким образом, функционал / сохранил свой вид при замене переменной S — S{T) интегрирования, т. с. оказался инвариантным относительно такой замены. Таким же свойством обладает и система уравнений Эйлера (4.13.16). Но при указанной замене псреме1Н10й интегрирования (т. е. при замене в системе уравнений (4.13.16) параметра s на г ) в точках экстремали (4.13.17) оказывается Хк,

dxk dr

=

L{xk, Хк)

,

S = S ( T ) dr

=

dr

(4.13.19)

так как в соответствии с исходным донущение.м L{xk, Хк) = /(«), где / ( « ) > 0. Поэтому еети переменную г выбрать из условия ds/dr = = /(s), то левая часть равенства (4.13.19) будет постоянной вдоль экстремали, что и требовалось. Заметим, во-первых, что для приведенного доказательства существенно, чтобы функция S = S(T) имела обратную функцию г = = r(s) и чтобы соответствие s ^ т было одно-однозначным. Это обеспечивается знакогюстоянством /(s). Во-вторых же, подчеркнем, что возможность выбора параметра s в системе (4.13.16) так, чтобы вдоль экстремали (4.13.17) вьншлиялось условие (4.13.18), является следствием в случае р = 1 существования между уравнениями (4.13.16) линейной зависимости вида

- ^[^kLxk

fc=i

+XkLxu\-

k=l

d ^ k=l

^

dL ds 199

ds

J 2 x k L i , = 0, k=l

вытекающей из формулы (4.13.15) при р = 1. Вследствие этого обстоятельства одна из функций Xkis) интеграла системы уравнений (4.13.16) оказывается произвольной. Что же касается случая р > 2, то в нем равенство (4.13.18) выполняется вдоль любой экстремали при произвольном выборе параметра S в уравнениях (4.13.16). Действительно, вдоль любой экстремали имеем d " Xk) = [L^.Xk + Li.Xk]. /c=l

с другой стороны, дифференцирование равенства (4.13.15) при учете системы уравнений (4.13.16) дает dLi.

где p> 2. Сопоставление такого равенства с предыдз'щим приводит к соотношению dL/ds = О, означающему, что в случае р>2 система уравнений (4.13.16) имеет первый интеграл (4.13.18). В этом факте и состоит существенное отличие случаев р > 2 от случая р = 1. 6. Как следствие из возможности выбора параметра s в функционале (4.13.13) и уравнениях (4.13.16) так, чтобы на любой (фиксированной) экстремали выполнялось равенство (4.13.18), вытекает следующее утверждение. Утверждение. Пусть L{xk, Xk) > О не зависит от s и является однородной первой степени функцией от пере.менных Хк, к = = 1, 2 , . . . , п. Тогда параметр s при определении экстремалей (т. е. решений системы (4.13.16) уравнений Эйлера) всегда может быть выбран так, что рассматриваемая экстремаль функционала (4.13.13) оказывается в то же время экстремалью функционала £1 = J LP{xk,Xk)ds,

р>2,

fo и наоборот. Действительно, полагая L{xk, Хк) = L^[xk, Хк),

200

(4.13.20)

для определения экстремалей функционала (4.13.13) получаем систему уравнений (4.13.16), или, что то же, систему

т

dxk

ds

QL

1.14 V m

dxu

= 0,

A; = 1, 2 , . . . , 7t, (4.13.21)

a для экстрема-чей функционала (4.13.20) нолучае.м систему уравнений дЬ d dl (4.13.22) - - Г - — - = 0 , fc = l , 2 , . . . , n , dxk ds dxk или, что то же, систс.му pL^-

I дЬ _ ^ pL" дхк ds

- 1

дЬ дхк

= 0,

к = \,2,...,п.

(4.13.23)

Рассмотрим сначала экстремали функционала (4.13.13), т. е. функции Xk[s) (4.13.17), удовлетворяющие системе уравнений (4.13.16) или (4.13.23). Если параметр s на выбранной экстремали таков, что вдоль экстремали оказывается L = const, > О, то вдоль нес также L = const > 0. Но тогда слагаемые левой части уравнений (4.13.21) можно сократить на р ' ^ Ь ^ ! " ' ^ — const > О, что приводит к систе•ме уравнений (4.13.22). Итак, выбранная (но произволу) экстремаль функционала (4.13.13) оказалась также и экстремалью функционала (4.13.20), что и требовалось. Обратное утверждение доказывается аналогично. 7. Возвращаясь к случаю из п.4 функций Лагранжа L{xk, х/.), однородных первой степени относительно всех переменных Хк, мы видим, что при соответствующем BI)i6ope параметра s любую экстрема-ть функционала (4.13.13) (или системы уравнений (4.13.16)) можно искать как интеграл систе.мы уравнений Эйлера (4.13.22), в которой положено L = L''{xk, Хк) при нскоторо.м значении р > 2. Функция L оказывается уже однородной относительно Хк функцией степени р > 2 , вследствие чего система (4.13.22) имеет первый интеграп L = const. Поэтому на любой экстремали системы уравнений (4.13.22) выполняется соотнопшние (4.13.18), обеспечиваютцее эквивалент}юсть системы уравнений (4.13.22) системе уравнений Эйлера (4.13.16) для исходной функции L. Но в соответствии с 1)авенством (4.13.15) для L = L^ справедливо

к=1 201

откуда следует (

Р

-

oij

=

^

X^ii^i.ifc,

г = 1,2,..., п.

Такие соотношения возможны только, если (вообще говоря) \Lxi,Xr I Ф Ф 0. Поэто.му переход к каноническим переменным н случае функции Лагранжа L возможен на основе стандартных рассуждений. 8. Рассмотрим функционап Ферма / =

(4.13.24)

экстрема^чи которого при v = Vp и v = Vg определяют лучи продольных и поперечных волн, распространяющихся в изотропных сейсмических средах. Предположим сначала, что за независимую переменную выбрана координата х = Xi, вследствие чего для элемента дуги кривой получается выражение da = i / l + х\+ dx, где Хг = dxr/dx, г = 2, 3. При этом функционал (4.13.24) приводится к виду (1.4.1) с функцией Лагранжа L =

-Jl+xl+xl,

x = xi.

(4.13.25)

Обобщенные импульсы должны определяться из уравнений Рг = Li^ =

Vs/l +

+ Х^

г = 2,3,

(4.13.26)

из которых следует соотношение yjv-'^ - Р1 - Р1 =

v^Jl +

xl+xl

легко приводящее к равенствам

v/v ^ - P i - P i Таким образом, при непарамстрическом описании экстремаиейлучей (когда за независимую переменную берется одна из пространственных координат, например Xi = х) канонические переменные 202

удастся ввести стандартным путем. При этом для функции Гамильтона получается выражение

.

3 Н{хг, Рг) = "^Pkik - L[xk, Xk) = k=2

-PI

-PI,

a система уравнений Гамильтона

записывается в виде

dx ^/v-'^-Pi-pi

dxr ГПг

-dpk y-'-^V.

(4.13.27)

Если ввести в рассмотрение новую функцию (4.13.28)

Р1 =

и вместо х писать Xi, то систему уравнений (4.13.28) можно привести к форме dx,

_

^^^^

-dpi

fc

= l , 2 , 3,

(4.13.29)

где под s подразумевается некоторый параметр. Нетрудно видеть, что такую систему уравнений можно рассматривать как систему уравнений Гамильтона, отвечающую функции Гамильтона 3

H =

=

(4.13.30)

Г= 1

сохраняюн;ей постоянное значение вдоль лучей. 9. Если экстремали функционала Ферма определять в параметрической форме Хк = Xkjs), к — 1, 2, 3, то для элемента дуги получается выражение da = y'xf + + ^з- Поэтому функционал (4.13.24) принимает вид функционала (4.11.1) с функцией Лагранжа

v{Xi,

Х2,Хз)

203

которая оказывается однородной первой степени функцией от XkКанонические переменные в случае такой функции L, как известно, не существуют. Однако если (в соответствии с н.6) параметр s выбрать так, чтобы па экстремалях оказыва-'юсь L = const, то определение экстремалей можно производить на базе функционала (4.11.1) с функцией Лагранжа, например, в виде (4.13.32) fc=i Для обобщенных импульсов получаются }фавпения Хк

к = 1, 2, 3,

из которых следует х^ = 2v^pk и 3

(4.13.33) к=\

к=\

Уравнения Гамильтона принимают вид dxk ds

dpk ds

к =1,2,

3,

(4.13.34)

что в точности совпадает с уравнениями (4.13.29). 10. Уравнение Гамильтона -Якоби вида (4.11.60) для волновых фронтов акустических по.цей, отвечающих функции Гамильтона (4.13.33), может быть записано в форме д^

,

^^

^ дф дхк к=1 ^

2^

=

0,

и.;ги в форме

Ж

+ V

дхк

=

0,

если предполагается, что уравнения фронтов даются формулами 'ф = т{х1, Х2, хя) - t = 0, 204

(4.13.35)

где t играет роль времени. При этом для функции г получается уравнение в частных производных 3

3

^ ^

S 2

=L

(4,13.30)

которое называется уравнением эйконала. Характеристическая система (4.12.3)—(4.12.4) для такого уравнения сводится к системе (4.13.34), а также к обособленному уравнению ,

3

^ = ^^ к=1

=2,

(4.13.37)

устанавливающему физический смысл нара.метра ,s из уравнений (4.13.34). В соответствии с пп. 7-10 § 11 для нахождения фронта (4.13.35) волны необходимо систему уравнений (4.13.34), (4.13.37) дополнить нача-пьны.ми условиями, определяющими положение фронта в момент, начиная с которого строится регпение задачи. Например, в случае точечного источника RO.IIH (СМ. П. 10 § 12 ) такие данные можно задавать i! виде

6=0

где V =

= 0,

Xk

=

s=0

Wo

А: = 1 , 2 , 3 ,

(4.13.38)

Х2, Х3), а п^ ~ произволып^ге числа (составлякмцие орта

7^0)1 связанные условием = 1к=1

Решение системы (4.13.34), (4.13.37) дифферащиалыплх уравнений при заданных начальных условиях (паиример, вида (4.13.38)) определяет две группы функций: Xk=Xk{s,

71^1,11,°), к = 1,2,3,

г = г(б-, п?, пО) = 2s,

pk = Pkis, п°, n°).

(4.13.39)

(4.13.40)

При этом (как указано в пп. 4 и 9 § 12) для нахождения искомой функции т = T{XI, Х2, ХЗ) ИЗ формулы (4.13.35) необходимо разрепгать систему функциональных уравнений (4.13.39) относительно S, П), и подставить полученные выражения в правую часть

205

первой функции из соотношений (4.13.40). Это приводит к функции г = t { x i , Х2, хз), удовлетворяющей уравнению (4.13.36) и такой, что выражения =

dxk

(4.13.41)

V

где Пк — составляющие орта 1гармали j f к фронту (4.13.35) в любой точке луча, совпа/;ают с функциями рк = Pk{s, п^) из формул (4.13.40) (см. п. 4 § 12). Отсюда, равно как и из первой группы уравнений (4.13.34), вытекает факт ортогональности пересечения лучей с волновыми фронтами. Такое свойство, характерное для изотропных упругих сред, уже не имеет места в случае анизотропии. Заметим, что в тривиальном случае однородной (изотропной) среды, когда V — const (и, следовательно, Wj^,. = dv/dxk = О в уравнениях (4.13.34)) из уравнений (4.13.34) и начальных условий (4.13.38) для лучей получаются уравнения прямых Xk — х1 = 2vsn°f.. Исключение же (при помощи угаовий (4.13.38) и формул (4.13.40)) параметров s и дает 1 А:=1

что соответствует сферическим фронтам волн, иснущенггых точечным источником. 11. В §8 было показано, что функции 'ф, онрсдсляюн;ие согласно формуле (2.7.1) уравнения фронтов волп, распространяющихся в анизотропных упругих средах, удовлетворяют тому или иному уравнению в частных производных первого порядка (2.8.10) в зависимости от тина г рассматриваемой волны. Еши ввести новую функцию Т =

Т{Х1,Х2,ХЗ)

и определять поверхность фронта уравнением (2.8.13) или (4.13.35), то уравнение (в частн1>1х производных) для г запин1ется в виде 3

н =

Y1

=

206

(4.13.42)

где pk — дт/дхк, а под подразумевается подчиненное условию нормировки (2.8.10) решение системы (алгебраических) уравнений (2.8.12), в которых положено ро = 1Характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающая уравнению (4.13.42), очевидно имеет вид

tn=l Если воспользоваться результатами п. 6 §8, где производилось вычисление частных производных по Хт и р т от функции Я вида (4.13.42), и перейти от параметра s к параметру т = 2s (на основании последнего из выписанных уравнений), то такая систе.ма сведется к двум группам (связанных друг с другом) уравнений А^.р^РрЛМЛ*'-',

Е

dr

ш = 1, 2, 3,

г,р.9=1

(4.13.43) dr

2

дхт

"

которые полезно сопоставлять с уравнениями dXm

dpm

2

'^Хт

-7— = dr

—Г= ^ Рт, dr

V

t

г,

п

m = 1, 2, 3,

^л tn

лл\

4.13.44

для лучей в случае неоднородных изотропных сред. (Такая система 1юлучается из уравнений (4.13.34) при учете формулы (4.13.41) и при замене параметра s на т.) Остановимся на простейшем случае точечного источника волн в однородной анизотрошюй среде, в которой Xik,pq — const, вследствие чего система (4.13.43) принимает крайне простой вид ^

=

~

=

А: = 1 , 2 , 3 .

(4.13.45)

12. Д л я нахождения функции r ( x i , Х2, хз), входян],ей в уравнение (4.13.35) фронта BOJHibi, систему уравнений (4.13.43) необходимо дополнять ггачальны.ми условиями. В атучае точечнох-о источника такие условия следует записывать в виде равенств (4.13.38), т. е. г=0

= 0, Xk

„ = г=0

Рк

т=0

207

= —, Vr

к = 1,2, 3,

(4.13.46)

где под Uk'AVr = Vj.['rt) = Vr(ni, П2) подразумеваются соответственно составляющие произвольно задаваемого в точке (х°) орта it нормгиюй и значение фазовой скорости волны рассматриваемого типа г, отвечающие точке и значению i t . Однако в случае од1юродной среды, которую мы условились сейчас рассматривать, фазовые скорости Vr не зависят от рассматриваемых точек среды. Поэтому в (4.13.46) мы отбросили верхний индекс «О» у величин Пк и v^Решение задачи о фронте волны типа г, возбужденной точечным источником, производится в следующем порядке. а) Сначала определяются начальные значения Vr = V r ( j i ) и = = фазовой скорости и составляющих вектора поляризации волны типа г, однозначно отвечающие задавае.мьш в точке значениям нормалей i f . Это производится на основе решения алгебраической системы уравнений (2.8.12'). Заметим, что так как вид указанных уравнений не изменяется при за.мене it на ( - T t ) , то их решения удовлетворяют условиям (центральной) сим.метрии Vr{lt)

= Vr{-lt),

A^[\lt)=

(4.13.47)

A^l\-lt).

б) По найденным значениям величин (4.13.47) определяются начальные значения (в точке (аг^)) правых частей уравнений (4.13.43). В рассматриваемом случае однородной среды оказьн5астся rjm — О, а, получаюнщеся значения для Pmijt) = lt/vr{lt) и ^m{Tt) = ^m\lt) из уравнений (4.13.43) удовлетворяют соотношениям симметрии Р т ( ^ ) = -PM(-7t),

иЫ)

(4.13.48)

=

в) Затем переходят к интегрированию уравнений (4.13.43) нри начальных данных (4.13.38). При этом в случае однородной среды вместо уравнишй (4.13.43) рассматривают уравнения (4.13.45). Из системы (4.13.45) прежде всего вытекают равенства ра: — = const, вьшолпяюнщеся во всех точках вдоль луча, из которых следует, что вдоль луча остаются ностоянны.ми значения орта нормали it и фазовой скорости ы, заданные в начальной точке (ж®) луча. Но из этого вытекает также постоянство вдоль луча составляющих A Y \ l t ) и ^ л ( ^ ) = ^^k^i'^) вектора поляризации и лучевой скорости. Итак, вдо;п5 каждого луча (определяемого нача,:1ьным значением орта it) постоянны следующие величины Uk,

Vrilt),

fc=

A'f\lt),

208

1,2,3.

(4.13.49)

Эти величины можно считать зависящими лишь от двух составляющих, П1 и П2, орта it (удовлетворяющего нормировке | rt| = 1). Вследствие = const из первой группы уравнений (4.13.45) для лучей получаются уравнения пря.мых Xk - х1 =

П2)т,

А; = 1 , 2 , 3 .

(4.13.50)

г) Для нахождения функции T{XI, Х2, ХЗ) (ИЗ уравнения фронта волны (4.13.35)) следовало бы разрешить систему функциональных уравнений (4.13.50) относительно г, ni и n-j. Решение такой задачи в ана-читической форме едва ли возможно (и оно едва ли оказалось бы полезным на практике). Поэтому поверхность фронта T(XI, X-Z, Х^) = = i = const следует строить как геометрическое место точек {xk) из уравнений (4.13.50) при т — t = const и при значениях пг = \Jl-n\

-nl,

nf + n^ < 1,

(4.13.51)

где ni и П2 выбираются по произволу. В частности, такую поверхность (фронта) в случае i = 1 мы будем называть поверхностью лучевых скоростей. Встедствие соот[юшений (4.13.47) и (4.13.48) очевидно, что точки таких поверхностей (фронтов) обладают свойством симметрии относительно «центральной точки» О' = (а;J, х®, arc®). Что же касается (внешней) нормали rt^v в любой фиксированной точке N = {xi, Х2, Хз) поверхности фронта, то, как показано ниже, она совпадает с (постоянным) значение.м орта нормалей it в точках луча (4.13.50), соединяющего точки О' и N. А так как луч (т. е. вектор однозначно определяется по значению вектора нормалей it, фактически задаваемого по условиям (4.13.46) в точке О', то из высказанного утверждения следует одно-однозначность соответствия между задаваемыми в точке О' ортами it и точками N{lt) поверхности фронта. Остается лишь привести доказательство утверждения о внепщей нормали it^ в точке N поверхности фронта волны, которое базируется на соотнощении {-^•ЧГ')'-^,

^ =

Л . rOt

(4.13.52)

справедливом в случае любых однородных анизотропных сред и вы-

209

текающем из тождества (2.7.34), записываемого в виде ^

= 1.

(4.13.53)

Действительно, дифференцирование такого тождества дает равенства, во-первых, +

(4.13.54)

И, во-вторых, 3

3

-rflt) = 0 ,

(4.13.55)

так как второе ачагаемое из левой части равно нулю в силу равенства (2.8.12) и условия нормировки (2.8.11). Отсюда как раз и вытекает соотношение (4.13.52). Для доказательства же высказанного утверждения остается лишь предположить, что приращения (дифференциалы) и d'^ в предыдущих формулах появлялись как результат изменения орта нормалей i t , вследствие чего вектор ' (вектор d ^ ) оказывается расположенным в касательной плоскости к поверхности 5, которая является геометрическим местом (при изменении i f ] концов векторов (концов векторов ^("rt)), построенных из общего начала. Таким образом, в соотношениях (4.13.52) является произвольным бесконечно малым вектором, лежащи.м в касательной к фронту плоскости, построенной в некоторой его точке N{lf). Но так как в точке N{lf) фронта оказывается #лг = rt и ^ = lt/vr{lf), то из соотношений (4.13.52) следует {it • ' ) = О, что совместно с положительностью левой части тождества (4.13.53) и доказывает утверждение. Заметим, кстати, что если бы при произвольном изменении орта нормалей if была построена поверхность S как геометрическое место концов векторов (рефракции) = ' ^ { i t ) из соотношений

210

(4.13.52), имеющих общее начало в точке О то в силу равенства (4.13.55) можно было бы утверждать, что (при произвольно выбранном значении it) в точке N{li) поверхности S внешняя нормаль к этой поверхности совпадает по направлению с векторо.м 4 [it) лучевой скорости, вычисленны.м для выбранного значения it. Действительно, из равенства (4.13.55) и равенства (гт! • d'jf) = О, справедливых при произвольных d'l^. лежащих в касательной к S плоскости, следует параллельность или антипараллельпость f и nt. Но если учесть неравенство ("j^ • п1) > О, справедливое во всех точках N поверхности 5 по построению, а также равенство (4.13.53), то приходим к высказанному утверждению. 13. В заключение полезно привести некоторые результаты, связанные с поверхностью лучевых скоростей, введенной в п. 12. Совместим точку О' = (а;?, Х2, ж") из равенств (4.13.38) с началом координат, т. е. фактически положим а;^ = О, и будем задавать в этой точке значения нормали it так, чтобы они располагались в плоскости хз = О, которую будем называть плоскостью падения. Тогда составляющие нормали можтю определять формулами ni=sin0,

П2 = соз0,

пз = О

(4.13.56)

через угол падения 0 между ортами it и г2, отсчитываемый от оси 0x2- Соответственно таким значениям rik функциями от в оказываются также значения фазовой скорости Vr — Vr [в], составляющие

вектора "jt = (который называется вектором рефракции) и, наконец, составляюоще

Е г,р,д=\

(4.13.58)

вектора лучевой скорости. При этом, как правило, все три составляюпще вектора лучевой скорости (4.13.58) отличны от тождественного нуля. ''Такая поверхность называется поверхностью вектора рефракции волны типа г.

211

Таким образом, если при изменении угла в конец вектора рефракции (с составляющими из равенств (4.13.57)) описывает плоскую кривую (кривую рефракции), расположенную в плоскости падения, то конец вектора лучевой скорости (с началом в точке О') описывает, вообн;е говоря, пространственную кривую IR- Такая кривая располагается на поверхности 5 лучевых скоростей и обладает тем важным свойством, что в каждой ее точке N(0), отвечающей значению в, нормаль it {в) к поверхности 5 имеет составляющие из равенств (4.13.56) и, с;юдовательно, располагается в плоскости падения хз = О (точнее, в н;юскости, пара-'ию;н>ной плоскости падения). При этом (вследствие одно-однозначности соответствия между точками N{Tt) € 5 и значения.ми it) можно утверждать, что в точках N 6 5, не лежащих на кривой 1Г, норманн» к поверхности S уже не располагается в плоскости падения. Если спроектировать такую кривую на плоскость падения жз = О, то получится 1июская кривая Л^, определяемая (в параметрической форме) уравнениями a^i

х-2=й'\в),

хз=0

(4.13.59)

и имеющая в каждой своей точке N{9) нормаль lt{9), составляющие которой определяются формулами (4.13.56). Такую кривую мы назовем вспомогательной кривой лучевых скоростей. Ею удобно будет воспользоваться для иллюстратщи пр)отекания процессов отражения — преломлстщя волн на плоской границе раздела двух однородных анизотропных сред.

Глава 5 Источники волновых полей в изотропной однородной безграничной упругой среде В настоящей главе рассматриваются простейшие задачи динамической теории упругости, связанные с возбуждением и распространением волн в безграничной однородной и изотропной упругой среде. Показывается, что в адучае такой среды ноле смещений целесообразно представлять через продольный и поперечный потенциалы, удовлетворяющие раздельным волновым уравнениям. Обсуждаются 1юпросы, касающиеся полей с.мещений, возбуждаемых простейшими точечными источниками типа центра давления и центров вращений, реализующихся и виде продольных и поперечных расходящихся сферических волн. Путем обращения (знака) времени из этих нолей конструируются фундаментальные ренгения Вольтерра для уравнения теории упругости в случае однородной изотропной среды, представляющие собой некоторые сходяпщеся сферические волны. Наконец, на основе фундаментальных решений Вольтерра и интегральной формулы Грина—Вольтерра рассматривается общая задача Конш для ноля смеще1шй в однородной изотропной безграничной упругой среде и дается ее решение в виде формулы Стокса. В заключение обсуждаются некоторые физические следствия из упомянутой формулы. В практическом отнонгении приведенные результаты полезны, вопервых, как подготовительный этап к рассмотрению процессов распространения волн в слоисто-однородных изотропных средах и, вовторых, с точки зре1шя свойств «первичных» нолей, возбуждаемых точечны.ми источниками.

213

§ 14.

Продольный и поперечный потенциалы

Уравнение движения однородной и изотропной упругой среды, характеризуемой плотностью р = const и параметрами Ламе А = = const и /i = const, имеет вид выражения (1.2.10), т. е. Div

tik -

р

дГ^

п2 ^ = (A + /z)graddivlt + / x A l / - p ^ = - t ( M , t), где

(5.14.1)

— вектор плотности массовых сил. Ниже доказывается существование функций if п ф, а также Ф и таких, что i t = gradcp + r o t ^ ,

(5.14.2)

7 = g r a d Ф + rot"^, (5.14.3) а уравнение (5.14.1) оказывается эквивалентным след^ющи.м двум «раздельным» BOjmoBbiM уравнениям {X + 2 ^ i ) A ^ - p ^ = - Ф ,

=

(5.14.4)

(5.14.5)

Функции (р и ^ называются соответственно продольным и поперечным потенциалами ноля упругих смещений. Заметим, что в случае неоднородных изотропных упругих сред переход к потенциалам тоже возможен, но не рационален, так как для потенциалов получается система «перазделяющихся» уравнений, и притом не менее сложная, чем исход1юе уравнение (1.2.8) для вектора упругих смещений. 1. Так как любое решение уравнения (5.14.1) может рассматриваться как предел последовательности сколь угодно гладких решений того же уравнения с гладкими плотностями .массовых сил\ доказательство эквивалентности уравнения (5.14.1) уравнениям (5.14.4) и (5.14.5) достаточно провести в предположении, что поле it имеет, например, частные производные до третьего порядка включительно. Из такого предположения мы и будем исходить. ' См. § 9, п. 5, теорема 5.

214

Как известно, любое дифференцируемое векторное поле можно представлять суммой потенциального и соленоидального векторов. Допустим, что такое разбиение выполнено для векторов it и j из уравнения (5.14.1), т. е. =

+

7^Ti+fz,

(5.14.6)

rotwt = 0,

divizt^O,

(5.14.7)

rot7t = 0,

div;^ = 0.

(5.14.8)

где

Разбиение (5.14.6) неоднозначно, так как слагаемые « t и й^ (равно как /i и /2) можно заменить + — б^ без изменения соотношений (5.14.6)—(5.14.8), если

т. е. 4 = gradxo,

(5.14.9)

где Дхо = 0. Заметим, что векторы типа гЙ называются лапласовыми. Итак, разбиение (5.14.6) векторных полей на соленоидальную и потенциальную части производится с точностью до аддитивного лапласового вектора. При разбиении (5.14.6) векторов it и па, слагаемые уравнение (5.14.1) переписывается в виде (А + 2/i) grad

+

fx vot rot

+

=

f{M,t),

(5.14.10) где ^ — лапласов вектор, так как в силу условий (5.14.7) и (5.14.8) применение операции rot к левой и операции div к средней частям равенства (5.14.10) дает нуль. Если бы при выбранных значениях ut и в равенстве (5.14.10) оказалось ^ О, то можно было бы перейти к новым izf и й^' по фор.мулам = « t + й|1,

и

где в качестве лапласова вектора

й^, взято

t

й^ = 1 F{T-

T)V{M,

РJ 215

Т) dr.

(5.14.11)

При этом для ut' и й^' получилось бы соотношение (5.14.10), в котором Т^ = 0. Поэтому можно с самого начала считать s О, что позволяет переписать уравнение (5.14.10) в виде (Л + 2/i) grad div й\ - р

+ 71 = О,

де

/xrotrotsl +

(5.14.12)

-

Из условия (5.14.7) следует существование функций и

t)

^(М,

t)

(скалярного и векторного потенциалов), таких,что ilt=gradv;,

=

(5.14.13)

При этом одна из компонент ^ оказывается произвольной, так как величина не изменяется при замене ^ на "^+grad хо- Этим можно воспользоваться, в частности, для того, чтобы оказалось div

(5.14.14)

= 0.

Совершенно так же из условия (5.14.8) следует суш,ествовапие функций Ф и таких, что 7t = gradФ, причем

^

(5.14.15)

=

_ div

= 0.

(5.14.16)

На основании формул (5.14.13) и (5.14.15) формулы (5.14.12) переписываются в виде grad|(Л + 2 / . ) Д < p - p ^ - ^ ф | = 0 , Г ^ rot < /i rot rot

+ р

216

д''^

—

Ф ^ = о.

откуда при учете равенства (5.14.14) и формулы —rotrot ^ следует

(5.14.17) -/iA'^ + р

- Ф = grad/t(Af, t),

где Ah = О в силу соотношений (5.14.14) и (5.14.16). Если бы в уравнениях (5.14.17) оказалось c{t) ^ О, вместо ip в равенствах (5.14.13) можно было бы взять I =

+ j

(i-r)c(T)dT.

в результате для ф получилось бы первое уравнение (5.14.17) при c{t) = 0. Поэтому в уравнениях (5.14.17) можно полагать c{t) = 0. Совершенно так же, если бы в уравнениях (5.14.17) оказалось h ^ О, то от вектора ^ из формул (5.14.13) можно было бы перейти к вектору ' =

- - [{t-т) РJ о

grad h{M, т) dr,

не изменяя значения и соотнонюния (5.14.13). В результате получилось бы второе уравнение (5.14.17) с /( = 0. Итак, исходя из предположения, что вектор ' f плотности массовых сил имеет частные производные по нространственным переменным XI, Х2, хз и представляется формулой (5.14.3), где ^ подчинено условию (5.14.16), доказано, что любое решение it уравнения (5.14.1), имеющее част!гыс производные по пространственным переменным до третьего порядка включительно представляется в виде (5.14.2) через потенциалы и удовлетворяющие уравнениям (5.14.4) и (5.14.5). При этом в процессе доказательства предполагалось, что tp из формулы (5.14.2) подчинено условию (5.14.14). Однако нетрз'дно видеть, что последнее условие несуп1,ественно, так как если найдено Ij), удовлетворяющее условию (5.14.14) и уравнению (5.14.5), такое, что выполняется равенство (5.14.2), то при замене ^ на ^At = ^ + gradx, 217

(5.14.18)

где X ~ любое решение уравнения =

(5.14.19)

формулы (5.14.2) и (5.14.5) остаются неизменными. При этом для нового гр! уже имеет место divV^ = Д Х = - Х ^ О . Существенным оказывается то обстоятельство, что при выборе значений ^ в формуле (5.14.2), удовлетворяющих уравнению (5.14.5), всегда остается произвол, определяемый соотношениями (5.14.18) и (5.14.19). 2. В п. 1 был рассмотрен переход от уравнения Ламе (5.14.1) к волновым уравнениям (5.14.4) и (5.14.5) для потенциалов. Еще более простым оказывается обратный переход, показывающий, что если (р и гр — любые решения уравнений (5.14.4) и (5.14.5), имеющие производные до третьего порядка, то вектор i t из формулы (5.14.2) удовлетворяет уравнению (5.14.1) при значениях / из формулы (5.14.3). Для реализации такого перехода достаточно подставить в уравнение (5.14.1) значения it и ~f из формул (5.14.2) и (5.14.3), что и дает (Л + 2ц) grad div it + nAlt

- p

+ 7 =

= grad|(A + 2 M ) A < p - p ^ + $ | + •

= grad I (A + 2/x) Д(р - p ^

-Ь rot <

rot rot ^ + grad div

- p

+ ф| +

+

I =0

в силу уравнений (5.14.4) и (5.14.5). Заметим, что добавка функции II grad div ^ под знаком оператора rot законна, так как rot grad любой функции тождествен нулю. В результате же такой добавки под 218

знаком операции rot появляется выражение /i[graddiv^ - rot rot

- P - ^ +

= ftA^ ~

равное нулю на основании уравнения (5.14.5). 3. Резюмируем полученные результаты. Доказано, что любое решение i t уравнения (5.14.1), дифференцируемое но нространственны.м пере.ме1И1ым до третьего порядка включительно (и, следовательно, содержащее функцию , имеющую первые частные производные по прострапствеппым переменным), может быть представлено в виде соотношения (5.14.2) с функциями ( р и ф , удовлетворяющими уравнениям (5.14.4) и (5.14.5). И наоборот, если i t имеет вид равенства (5.14.2), где и ^ — любые решения уравнений (5.14.4) и (5.14.5), имеющие пространственные производные до третьего порядка включительно, то it удовлетворяет уравнению (5.14.1) при из равенства (5.14.3). В этм смысле как раз и можно говорить об эквивалентности уравнения (5.14.1) уравнениям (5.14.4) и (5.14.5) с классической точки зрения. Однако фактически указанная эквивалентность имеет место при любой гладкости рассматриваемых решений, в том числе и для любых обобщенных решений уравнения (5.14.1) и уравнений (5.14.4) и (5.14.5). Она вытекает из полученных в пп. 1 и 2 результатов, а также из того факта, что любое решение рассматриваемых уравнений может быть представлено в виде предела последовательности классических решений й^ = grad (/?„ + rot фп наших уравнений, отвечающих последовательностям /п, и Ф^ сколь угодно гладких «массовых функций». При этом для последних функций должно выполняться равенство Тп = gradФ„ + rot5^. Что касается гладкости поля то она оказывается сколь угодно высокой при подходяп;ем выборе функций /„ и, следовательно, может удовлетворять требованиям из п.1. Из эквивалентности обсуждаемых уравнений для й^ и грп при любых значениях п следует их эквивалентность и для предельных функций it и (р, -ф независимо от того, имеют ли последние классический или обобщенный смысл.

219

§ 15.

Поле источника типа центра давлений

1. В настоящем 11араг;)афе начинается рассмотрение конкретных 4)H;jH4ecKHX задач на распространение волн, всшедствие чего предста1зля(!тся полезным сделать краткое замечание общего характера, имеюпюе отношение ко всему пocлeд,'юп^eмy. При математическом изучении задач физики или техники всегда целесообразно сразу же после постановки задачи осуществлять переход к безразмерным переменным. Это достигается путем введения некоторых характерных для рассматриваемой задачи масштабов 1о и Го для расстояний и времени и переходом к новым переменным х'^ и t', а. также к новым функциям, описывающим течение изучаемого процесса. В математической теории упругости переход к безра;бмерным переменным совершается па основе фор.мул =

(о

А: = 1 , 2 , 3 ,

=

То

= 1о

(5.15.1)

с одновремепны.м введением новых величин для описания напряжений, массовых сил, модулей упругости, массовой плотности и т. п. Если вместо прежних Л, /z, ^ и р рассматривать величины со штрихами А' = Л/2,

11':= fill

=

Р = Р%,

(5.15.2)

то при использовании неремС1пп,1х ij-, t' и функции it' из формул (5.15.1) все соотношения математического формализма теории упругости останутся неизменными, а уравнение Ламе запишется в прежнем виде: (А' + /i') graddiv it' -h /t'Alt' - p'

= -7'.

(5.15.3)

В таком уравнении размерными оказываются лишь величины Л', //, и р', и.меюище ргиз.мерность «сила». Дифференциальные же операторы (по x'f. и L'), равно как и вектор смещений it' безразмерны. Поэто.му если разделить все члены уравнения (5.15.3) на какую-либо постоянную величину к с размерностью «сила», то получится безразмерное уравнение в точном смысле этого понятия. Упомянутое деление мы буде.м предполагать вьп10лне}н!ым и будем употреблять 220

для безразмерных переменных и всех прочих величин, входящих в формализм теории, прежние обозначения без н1трихов сверху. 2. При рассмотрении полей простейших точечных источников колебаний будем пользоваться как декартовой, х — х^, у = Х2, z = хз, так и сферической, г, 9, ip, системами координат; начало последней расположено в некоторой фиксированной точке MQ = {XQ, Уо, XQ) среды, а радиус-вектор MQM определяет положение неременной точки М = {х, у, Г) ноля относительно точки MQ. При этом г = |М - МО\ = ^(Х - ХОУ + {У - УОУ' + {Z- 2о)2.

(5.15.4)

Если it = itjr, в, ip) — поле смещений в упругой среде, то вектор напряжения tn на плоп;адкс с норма-чыо rt определяется общей фор•мулон (1.2.5). Нам понадобится выражение для tn на площадках с нормалью "rt = f t , где rf орт радиуса-вектора в сферической системе координат. Пользуясь формула.ми а; — Жо = г sin 0 cos (/5,

у — уо = rsmffsinip,

z-zo

=

rr.osff

перехода от сс}^ерических к докартовы.м координатам, а также выражениями (1.2.7) для составляюпщх ii/^ тензора напряжений, нетрудно получить необходимое выражение = Arfdivlt

+

X rot i t ]

+ -[ft

(5.15.5)

При этом напомним, что если it

где й|,

-

ui f t +

+

u^i^,

— орты сферической координатной системы, то

А- -i1 д . . . . div гГ = — — (rUir) + - — — — { в т в щ ) + г^ дг

rot it 1 1 dur г sin в dip

+-

г sm 9 дв

1

9(sin6u^)

г sin д{ги^) дг

дг1о dip

дв

d{ruo)

г

221

Or

1 ди^ • - г - ^ ^

гятв

dip

(5.15.6)

ft+ dUr 39

3. Пусть в упругой среде, характеризуемой постоянными Л, jx, р, находящейся в покое при t < to, образована полость г < S, к поверхности которой в момент t — to прикладывается равномерное (гидростатическое) давление (5.15.7)

P = PoQ{t-to),

где ?(г) = О при г < 0. Требуется определить поле i t упругих смещений при t > to в области г > S. Из постановки задачи ясно, что поле it сферически-симметрично, т. е. i t = и{г, t - to)rt = gradv?(r, t-to)H

^rt.

(5.15.8)

Определение же потенциала <р очевидно сводится к следующей математической задаче: найти i/з = ip{r, t-to) в области г > 6, t > to т решения уравнения

при нулевых начальных данных t=to

= V

t=to

= 0

(5.15.10)

и граничном условии It

+

n = -poq{t-to)ft,

(5.15.11)

значение для t^ в котором получено из выражения (5.15.5) при использовании формул (5.15.8) и (5.15.6). В случае (р = ip{r, t — to) уравнение (5.15.9) переписывается в виде аУ

2 dip г дг

1

_Q

vl dt^ "

и имеет классическое решение Uft-io г

\

222

— ( 5 . 1 5 . 1 2 ) J

Vp

содержащее произвольную дважды дифференцируемую функцию Ф. Если при г < О оказывается Ф(т) = О, то пулевые начальные данные (5.15.10) выполнены. Остается учесть граничное условие (5.15.11), которое, как нетрудно видеть, приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

в предположении представления функции q(t) из равенства (5.15.7) в форме интеграла Меллина <т+гоо

= ~

j

Q[s)e'^ds,

а > О,

(5.15.14)

в котором оо Q(s) = J

q{t)e~'^t,

s = a +

ioo,

t) решение уравнения (5.15.13), подчиненное условию ф(0) = Ф'(0) = О, удобно искать в форме аналогичного же интеграла (T+ioo Ф(<) = ^

ZM

f

J

X{s)e'4s.

(5.15.15)

Подстановка интеграла (5.15.15) в уравнение (5.15.13) приводит для функции X(s) к алгебраическому уравнению, из которого следует Х(.) =

Ш

где а =

т, pvpd

д /А + /Х Р = а\ . у ц

223

(5.15.16)

Подстановка значения X(s) под знак интеграла (5.15.15) приводит (при учете теоремы о свертке) к представлению функции Ф(^) в следующем окончательном виде:

=

(5.15.17) о

Таким образом, при фиксированном радиусе (5 > О полости г < < (5, к границе которой прикладывается давление (5.15.7), потенциал (р(г, t) поля вне полости (г > (5) определяется формулой (5.15.12) при достаточно сложной функции Ф{t) (5.15.17). Для перехода же к полю, отвечающему сосредоточен1Юму источнику типа центра давления, нужно рассмотреть процесс <5 ->• О, ро — —> оо, например, такой, что остается нормированной на единицу величина ^

=

<5^0, р о ^ о о .

(5.15.18)

При этом оказывается PoS

— = р

\ + 2ii

2

д

п

+

Р = а\ \j

Q00,

ц

и вьтолняется следующее (легко доказуемое) предельное соотпощение: I

lirn

а-юо

f

оо

J

p

0

'

= q{t) lim a-^oc a'^

lim q{t)a'

a-^ca

[

J

[i

dr =

0

p

-

A -I- 2/i

(содержащее в правой части известный табличный интеграл) справедливое при любой непрерывной функции q{t). Пояснеете. { В силу непрерывности q(t) при любом малом с > О существует такое А > О, что при О < г < А оказывается \q{t - т) - q{t)\ <е.

224

При указанном выборе £ и А, при t > А справедливо равенство

о

о t

Д

0

Д

Второе и третье слагаемые правой части здесь оцениваются по модулю соответственно выражениями д e j I e-'^^dr

=

Л+ р

и

У Х+ ц

где |(7(i)| < М . Первое же слагаемое представляется разностью интегралов

f e ' - ' ^ d r , о

(П)

д

в которой второй член (вычитаемое) оценивается величиной

У X + fM Дальнейшие рассуждения стандартны. При выборе сколь угодно малого е > О фиксируется величина Д. Затем к бесконечности устремляется а —> оо и замечается, что (на основании приведенных оценок) второе и третье слагаемые из (I), равно как и второе слагаемое из (П), стремятся к нулю.} Таким образом, из соотношений (5.15.17) и (5.15.18) в указанном пределе (при J ^ О и ро оо) получается равенство Ф{t) = -git),

(5.15.19)

причем изучаемые (далее) 1юля (р(г, t — to) и lt{r, t — <о) уже можно рассматривать при любых значениях г > О и t > to-

225

На основании изложенного ясно, что потенциал tp и отвечаюи;ее ему поле смещений it рассматриваемой задачи могут быть представлены формулами <р(г, t - t o )

lt{r,

t~to)

=

=

-^q

q'[t

-

t

to - — ] е (t - to ~ —

to -r/vp)

q{t - t o -

v„r

r/vp)

(5.15.20)

xs{t-to-^)ft, в которых Л + 2/Х

(5.15.21)

— скорость распространения продольных волн, а е(г) — функция Хевисайда (3.9.6), введенная для того, чтобы более отчетливо учесть факт включения воздействия (5.15.7) в момент времени t = to- Ее можно было бы не выписывать (заменив единицей), если помнить, что в формуле (5.15.7) предполагалось q{T) = О при t < 0. Поле смещений (5.15.20) с потенциалом (/з называется полем, отвечающим точечному источнику типа центра давлений с моментом т, определяемым формулой (5.15.40). Значения и i t отличны от тождественного пуля и даются выражениями (5.15.20) при е = 1, если t — to — r/vp > 0. Если же t - to - r/Vp < О, то V? = О и = 0. Таким образом, поле (5.15.20) имеет передний фронт r = Vp{t-to),

(5.15.22)

распространяюпщйся со скоростью (5.15.21) и удовлетворяющий уравнению (2.5.6') для характеристик продольного типа. Это согласуется с предположением о том, что при t < to среда находилась в покое, а воздействие (5.15.7) было включено в точке М = Мо (для которой г = 0) лишь в момент t — to- Если при г > О функция g(r) и ее производные всех порядков не имеют разрывов, то фронт (5.15.22) единствен. Нетрудно видеть, что при функциях д{т), непрерывных вместе с первой производной и имеющих разрывы во второй производной.

226

поле смещений i t из формулы (5.15.20) принадлежит классу решений уравнения (5.15.3) с правильными сильными разрывами. Прямая проверка такого утверждения легко производится на основе соотношений (2.7.2)2 и (2.7.3) и формул (5.15.11) и (5.15.20). Однако нрош;е убедиться в том, что 1) фронт (5.15.22) является характеристикой продольного типа, 2) на фронте (5.15.22) выполняются кипе.матические условия совместности и 3) при переходе через фронт (5.15.22) испытывают разрыв лишь производные по нормали (т. е. по г) и времени t от норма;н,пой составляющей поля. Выполнимость таких условий очевидна. Остается лишь отмстить, что в случае произвольной функции q{T) поле t — to) можно рассматривать как обобн;енное решение обсуждаемой задачи. 4. Покаже.м теперь, что функцию (/з(г) из формулы (5.15.20) можно толковать как решение неоднородного волнового уравнения Ду? - ^уЗ = ATvq{t - ^o)e(^ - to)S{A4 - Mo),

(5.15.23)

в котором 5(М — Мо) — трехмерная (5-функция Дирака, а е(г) — функция Хевисайда, подчиненное при г — \М — Мо\ > О нулевы.м начальным данны.м = 0. (5.15.24) = Ч^ t=to l=to При этом, как и в любых других задачах математической физики, форму.пировка которых содержит (5-фупкцию Дирака, под ренюнием уравнения (5.15.23) будем понимать результат предельного перехода при О от решения ipe{r, t — to) такого же уравнения, в правой части которого S{M — MQ) заменена на достаточно гладкую функцию S.{M — MQ; Щ) (3.9.9), очевидно обладаюп1,ую свойствами: V

1)

д,{М

- Мо; по) ^ О

равномерно в любой замкнутой области Vo, не содержащей точки Мо, и оо

2)

lim j j j i>{M)S,iM

- Mo; no) dM = ф{Мо)

— oo для любой непрерывной функции 'ф{М). ^Или соотношения (2.5.6).

227

(5.15.25)

Будем исходить из известного классического результата, утверждающего, что решение уравнения = 47rF,(x, y,z,t-

Aifie -

to)e(t - to),

(5.15.26)

подчиненное нулевым начальным данным нри t = to, дается формулой^

r'
где г' =

+

+

(5.15.28)

При этом решение (5.15.27) имеет классический смысл, еачи, например, производные от F^ но х, у, z и t непрерывны. Положим F,ix, y,z,t-

to) =S,{M-

Mo; no)q{t - to),

(5.15.29)

где Si:{M - Mo; no) при no > 1 — функция из формулы (3.9.9), удовлетворяющая соотношению (5.15.25), а функция д{т) непрерывна с первой и второй производными. Если считать, что д{т) = О при т < О, то при условии (5.15.29) формулу (5.15.27) можно переписать в виде оо

y,z,t-to)

= - I I I и м

- Mo-,

dM',

— оо

(5.15.30) где т). С) — переменная точка интегрирования. Решение (5.15.30) имеет классический смысл, а для любой точки М ф Мо при е О очевидно оказывается lim ifieix, у, z, t--to)=

ip{r, t - to),

(5.15.31)

где ^{r, t — to) обозначает функцию из формулы (5.15.20). Нетрудно проверить, во-первых, что предел (5.15.31) не зависит от частного вида функции Se(M - Мо; по), удовлетворяющей соотношению ' С м . , например, т. 2 « К у р с а высшей м а т е м а т и к и » В. И . Смирнова.

228

(5.15.25), и, во-вторых, что в области г = \М — Мо| > 5 > О стремление (рс iP; равно как и их первых частных производных, оказывается равно.мерным. Итак, высказанное в начале п. 4 утверждение доказано. В заключении п. 4 замети.м, что, исходя из выражения (5.15.29), содержащего функцию q{t — to) с указанной выше гладкостью, мы рассмотрели предельный переход при е ^ О в формуле (5.15.27) и пришли к решению (р (5.15.20) уравнения (5.15.23), подчинеииому нулевым iia4ajn5HbiM данным и имеющему классический смысл в области г > 0. Полагая теперь д{т) — то), где 4 ( г ; то) — функция (3.9.10) при т о > 2, и рассматривая предельный переход при е —> О, убеждаемся, что подчинен1юе нулевым начальным данным при t — т решение уравнения Aip -

= 4ird(t - т)6(М

-

Мо)

в области г > О определяется формулой ^[r,t-T)

~ У

(5.15.32)

Такое решение и.меет явно выраженный обобщенный с.мыаь Однако в соответствии с изложенным в п. 8 § 9 оно гюзволяет получать классические реи1ения путем умножения (5.15.32) на достаточно гладкую функцию плотности с последующим интегрированием но Мо и т. Действительно, пусть у, z; т — to) = т — to) непрерывна и удовлетворяет уашвию Fe{M, г — <о) = О, ес/ш т < to- Тогда в соответствии с формулой оо

/ I I I

- ^ ^ о ) "^^odT = F,{M-,

t-to)e{t-to),

— ОС

где множитель

можно было бы заменить единицей, функция оо

у, г, t - to) = - J J J J

Р'ЛМо;

-nil 229

T - to)ip{r,

t - r) dModr

=

ОС

= -j j j

t - t o - r/vp) dMo =

— ОС

= - J j/

г<г>р((-(о)

(^^o; ^ - - f )

совпадающая с функцией (5.15.27), оказывается решением уравнения (5.15.26), удовлетворяющим нулевым начальны.м уачовиям при t = to- Такое решение имеет классический смысл, если F. — достаточно гладкая функция. 5. Совершенно так же, как и в п. 4, можно утверждать, что поле lt{r, t — to) (5.15.20) является решением неоднородного уравнения Ламе DIv tik - ри

(Л + 2/i) grad div i t - rot rot it - pu =

= - ? ( M , t) = 4^(A -t- 2n)q{t ~ to)e{t - to) grad J(M - Mo), (5.15.33) подчиненным в области г = \М — Мо\ > О нулевым начальным уело= lt = 0. (5.15.34) t = to t^to В правую часть уравнения (5.15.33) входит обобщенная функция grad<5(M-Mo), вследствие чего решение уравнения (5.15.33) следует понимать как предел от последовательности ut{r, t - to) классических решений такого же уравнения (5.15.33) при условии, что в нем 5{М — Мо) заменена на достаточно гладкую функцию 5^{М-Мо', щ) из соотношений (3.9.9) и что эти решения подчинены начальным условиям (5.15.34). Очевидно, что векторные функции ot представляются в виде it

wJ(M, Мо, t-to)

= gvad^pAx, у, Z, t - to),

(5.15.35)

где значение ip^ дается формулой (5.15.30). Для искомого же решения задачи (5.15.33), (5.15.34) будем иметь lt{r,

t-to)

= limutiM,

Мо, t - to).

(5.15.36)

В предположении непрерывности функции д{т) и ее первой производной на основании фор.мул (5.15.35) и (5.15.30) совершенно элементарно (путем введения операции grad под знак интеграла в формуле (5.15.30)) доказывается, во-первых, что при г = \М — Мо| > О 230

предел (5.15.36) существует и совпадает с выражением (5.15.20), и, во-вторых, что этот предел не зависит от частного выбора вида функций 6с{М — Мо\ По) из формулы (3.9.9), обладающих свойством (5.15.25). Итак, утверждение доказано. 6. В последующем нам понадобится соотношение'* оо

•t{M)

grad J(M - Mo) dM = - d i v l/

/ / /

M=Mo

,

(5.15.37)

справедливое для произвольного дифференцируемого поля LT{M), у которого divl^ оказывается непрерывной функцией. Для вывода формулы (5.15.37) выберем функцию — MQ; ПО) из соотношений (3.9.9) при по > 1 (т. е. предполагается непрерывной с первыми частными производными во всем безграничном пространстве) и воснользуе.мся очевидным тождеством div[Ttd,(M

- Мо-, По)] == - MQ; ПО).

= г^(М) grad6^{M - Mq; щ) +

Интегрируя это тождество по трехмерному пространству переменной М и учитывая, что, согласно формулам (3.9.9), функция ПО) отлична от тождественного нуля ЛИШЬ при \M—MQ\ < < £ (причем если \М — Мо| = г, то — MQ\ по) = О вследствие непрерывности), получае.м ос

л J -&{M)gmdS,{M

- Mo;

no)dMo+

-оо

+ JJj

div

M o ; no) dM = 0.

|M-Mo|<e

Поэтому

оо

j j j

itiM)

grad S{M - Ma) dM

=

•"Соотношение (5.15.37) справедливо, если интегрирование выполняется по любой области V, содержап;ей точку Мо строго внутри себя. Это ясно из вывода формулы.

231

со

= lim j j j

-Jl j

= lim • ^

i f ( М ) grad(),(M - Mq; no) dM =

div if

6e{M -

Mo-, no) dM> = - div if'

M=Mo

\M-Mo\<e

D силу предполагаемой пепрерывпости div 1^{М) и свойства (5.15.22) функции SE{M — MQ-, ПО). 7. В заключение полезно остановиться на наглядном механическом толковании воздействий, определяемых векторами плотности массовых сил, содержащими обобщенную векторную функцию grad(5(M - Mo). При выяснении этого вопроса естественно воспользоваться отмеченным в п. о произволом в выборе вида гладких функций 5^{М — —Мо\ По) из соотнощений (3.9.9), которыми заменяется функция 6[М — Мо) в правой части уравнения (5.15.33) при построении последовательности классических решений IT^LM, MQ, T-TO). В нашем случае целесообразно считать, что выбираемые функции обладают сферической симметрией, вследствие чего и

6е{М - Мо-, по) = S,{r)

g r a d 4 ( M - A f o ; По) =

^ ^ f t , (5.15.38)

где f t — орт радиуса-вектора MQA^- Д л я «момента сил», распределенных с непрерывной плотностью (5.15.38), и.меем ос

I I I — OO

l^grad(5,(r) dV = j j j

5,) dV - j j j

r<£

6,{r)divl^

dV =

r<£

= -3jJj

4 ( r ) dV = - 3 .

(5.15.39)

r<e

Д л я мо.мента же сил, рас11ределе1Н1ых с плотностью ' f , входящей в правую часть уравнения (5.15.33), получается выражение m = 12T:{X + 2fi)q{t-to). 232

(5.15.40)

Таким образом, точечный источник колебаний, при котором определяется поле lt(r, t-to) из задачи (5.15.33), (5.15.34), можно называть центро.м давлений с моментом т (5.15.40). Сле/о'ет отметить, что в задаче (5.15.33), (5.15.34) поле i t , имеющее вид (5.15.20), определяется в результате приложения массовых сил с плотностью из правой части уравнения (5.15.33). При это.м естественно предполагается, что сплонгность упругой среды не нарушается ни в одной точке пространства. При получении того же самого поля смещений (5.15.20) из задачи для внеинюсти полости г < 5 (после предельного перехода (5.15.18)) в точке г - О сплошность упругой среды оказывается нарупшпной®. Это, в частности, является причиной того, что момент сил (5.15.7), прикладываемых к границе полости, после предельного перехода (5.15.16) оказывается равным IGiTiuqit—to) и не совпад,ает с выражением (5.15.40). Помимо этого, полезно упомянуть и о терминах «ближняя» и «дальняя» зоны источника, происхождение которых восходит к полям стационарных сосредоточенных волновых источников, у которых q{t) — Aexpitjt. Если воспользоваться формулой А = —V, со

(5.15.41)

связывающей уг„'ювую частоту ш колебаний волны с ее длимой (волны) Л, то представление ноля с.мещений it {г, t — to) из соотношения (5.15.20) может быть переписано в виде lt =

2тг 1 I + -тг Аехр

гХр

iLj{t

~ to - — ) r t . V "'р

(5.15.42)

При этом выясняется, что в области выполнения неравенства г <\р

(5.15.43)

(ближняя зона) преобладаюпщми оказываются вторые слагаемые квадратных скобок из формул (5.15.20) и (5.15.42), причем поле имеет порядок Если же оказывается г > Л

(5.15.44)

притом именно в той точке Мо, в которой к среде прикладывается мощное сосредоточенное воздействие.

233

(дальняя зона), то «главным» оказывается первое слагаемое упомянутых формул, и структура поля определяется выражениями вида г

-to

--]rt.

V

§ 16. П о л я источников типа центров вращения. Фундаментальные решения Вольтерра и их применение В настоящем параграфе сначала строятся элементарные поперечные волновые поля, возбуждаемые точечными источниками вращательного типа, начинающими действовать в точке Мо при t — toЭти поля также имеют характер расходящихся волн, но распространяющихся со скоростью Vs (5.16.3) и заполняющих область сферы г < V s { t - t o ) . Затем конкретизируется вид функции q{t), определяющей зависимость интенсивности источников от времени, и вводятся в рассмотрение так называемые фундаментальные (сингулярные) решения Вольтерра уравнения (5.14.1), которые описывают некоторые сходящиеся к точке Мо волновые поля. 1. Рассматривая безграничное пространство точек М = [х, у, z), построим при t > to и г ~\М — Мо\ > О решение уравнения =

- to) e{t - to) 6{M - Mo),

(5.16.1)

подчиненное нулевым начальным данным гр

t=to

t = to

= 0.

(5.16.2)

Здесь e{t — to) и S{M — Mo) — функции Хевисайда и Дирака, г = \М — —Мо| определяется формулой (5.15.4), а «5 = , / - = const

(5.16.3)

VР

обозначает скорость распространения поперечных волн в однородной и изотропной упругой среде. Поставленная задача эквиватюнтна задаче из п. 4 § 15, вследствие чего можно утверждать, что ее решение представляется формулой t-to)

= —q(t Г

\

-to- -)e(t - t o - - ) , FG /

234

V

VG /

(5.16.4)

аналогичной формуле (5.15.20) для Подразумевая под , гг, гя орты i , j , к декартовой системы координат, определим три вектора смещений 4 ( Г , t-to)=

rot(v4) =

X it]

(5.16.5)

соответственно значениям к = 1,2, 3, где rf обозначает орт радиусавектора = MQI^ точки М относительно точки Мо, в которой расположен источник. Совершенно так же, как и в п. 5 § 15, не представляет труда убедиться, что векторы (5.16.5) являются решениями неоднородного уравнения Ламе Div

tik -

р

S (Л + 2/i) grad div izt - д rot rot vt = 4TTnq{t - to)e{t - to) то1[п.6{М - Mo)],

-

pvfuk

=

- f k

^

(5.16.6)

подчиненного нулевым начальным данным ut

t=to

= Uk

t=to

= 0

(5.16.7)

при r > 0. При этом, как и в § 15, решение задачи (5.16.6), (5.16.7) следует рассматривать в смысле предела от последовательности решений такой же задачи, в которой 6{М — Мо) заменена па гладкую функцию - Мо; По) (3.9.9). Как и в п. 5 § 15, легко доказывается, что указанный предел не зависит от частного вида выбираемых функций (5f(M - Мо; по), удовлетворяющих соотношению (5.15.25). Явное же выражение vt из формулы (5.16.5) имеет вид vt{r, t-to)

=

Я'{т)

^

£W

VsT

e(r)[ftxll],

(5.16.8)

где ради краткости обозначено T = t - t o - — .

Vs

(5.16.9)

Передним фронтом волнового поля (5.16.8) оказывается расширяющаяся со времене.м трехмерная сфера г = 0

или

r = 235

v,{t-to),

(5.16.10)

впереди которой, т. е. при г > Vs{t — tg), царит покой. Если д{т) и ее производные имеют разрывы липп. при г = О, то фронт (5.16.10) единствен. Нетрз'дно видеть, что в случае функций д{т), непрерывных с первой производной и имеюнщх разрывы во второй производной, поля (5.16.8), как и (5.15.20), удовлетворгпот условиям совместности и относятся к классу решений уравнения Ламе с правильными сильными разрывами. 2. Для установления физического смысла полей (5.16.8) выпише.м плотность fk = -infiqit

- to) e[t - to) rot [u <5(M - Mo)]

(5.16.11)

массовых сил, входяш^чо в уравнение (5.16.6), и воспользуемся тем обстоятельством, что равенство (5.16.11) сле;1^ет рассматривать как результат преде.чьного перехода от гладкой плотности массовых сил вида -Antiqit

- to) e{t - to) rot [itSeiM

- Л/о; no)],

(5.16.12)

где — Mo] no) — функция (3.9.9). При этом из-за упоминавшегося в п. 1 произвола в выборе частного вида функций 6е(М — Мо', по) мы вправе сейчас считать, что <5.- обладает сферической симметрией, т. е. <5^ (Л/— Мо; 7io) = ^eir), где г и.меет значение из формулы (5.15.4). Расс.мотрим плотность (5.16.12), например при значении индекса к = 3, когда гз = Тс^ обозначает орт оси Oz нашей декартовой систсхпл координат. Вследствие равенства тоЬ[Йб,(г)] = [gradd,(r) X

=

-^l^sinM,

в котором в — полярный угол, ^ — орт переменной сферической системы координат из п. 2 §15, ясно, что выражение (5.16.12) при к = 3 оказывается плотностью сил, приложенных по касательным к окружтюстям (с центрами в точках на оси Oz), расположенным в плоскости 2 = const сечения сферы г < е. Сум.марный момент вращения этих сил определяется векторо.м оо mt = -4т:цф - to) e[t -^о) j J jll^^

[grad4(r) x t ] ] dV =

mt,

— OO

(5.16.13) 236

направленным по оси Oz. Если воспользоваться формулой [ f X [grad4 X i f ] ] = ( У ' i f ) grades - Af(y'grad^f) =

и произвести выкладки, аналогичные выкладкам в формуле (5.15.39), то для т из формулы (5.16.13) получится cлeдyюп^ee выражение: (5.16.14)

m = 8nnq{t-to)s{t-to).

Таким образо.м, воздействие с плотностью массовой силы (5.16.11) можно назвать точечны.м вращательны.м воздействием с моменто.м вращения fnt = mik, где fc = 1, 2, 3, а гл определяется формулой (5.16.14). 3. В последующем нам понадобится формула ос f [ f lf{M)

j J J

mt\tk5{M - Mo)] dM = ( ^ rot i f )

M = Ma

(5.16.15)

— DO

при A: = 1, 2, 3, справедливая в случае произвольного дифференцируемого векторного поля , у которого rot it оказывается непрерывной функцией®. Для вывода формулы (5.16.15) нужью выбрать функцию Ss{M — —Mo; По) (3.9.9) при по > 1 в форме (5.15.38) и воспользоваться известным равенством rot в котором следует положить 'А = Вследствие того обстоятельства, что Ss{M - MQ\ По) = Q при

и ^ =

— Мо', щ)-

га|М-Мо|>£,

очевидно

///

Tt(Af) iot[it5e{M

- Mo; По)] dM =

" ф о р м у л а справедлива при интегрировании по любой области V, содержащей точку MQ внутри себя. Это ясно из вывода.

237

= и f lt{M)mt[its,{M - Mo; no)] dM = r<e

= jjJ{4V0tir)S,{M

-

A4o-,na)dM-

T<S

SAM -

-

Mo; no)

dS =

r—£

= j j j {it rot

-Mo;

no) dM.

r<£

Отсюда, при учете формулы (5.15.25) и предположенной непрерывности rotl^, в пределе при е —> О получается формула оо

j j j

l^(M)rot [lt<5,(M-Mo;no)]dM =

оо

= lim j j j 1^{М) rot [itSe{M

- Mo; no)] dM = {it rot

-oo

М=Мо

совпадающЕШ с формулой (5.16.15). 4. Резюмируем результаты, получен1п>1е при рассмотрении двух простейших типов точечных источников колебаний, причем будем далее считать, что зависимость интенсивности источников от времени характеризуется функцией

Поля точечных источников мы опреде.пяли как репшния неоднородного уравнения Ламе Div tik -ри

= - ' f { r , t - to)

(5.16.16)

в безграничной среде при t > to, подчиненные при г = \М — Мо\ > О нулевым начальным данным It

= и

= 0. t = io

l=to

238

(5.16.17)

При этом применялись обозначения ЩЙ

\М - Мо\ = г = 7 ( х - . Г о ) 2 + ( у - у о ) 2 + ( л - г о ) 2 ,

= rrt,

где М = (х, у, z) и Мо = (жо, уо, ZQ) соответственно переменная точка поля и точка расположения источника. Величина f t определяла единичный вектор направления из точки Мо в точку М . Было показано следующее. а) В случае источника типа центра давления поле смещений i t = = йр{г, t — to) определяется из задачи (5.16.16), (5.16.17) при плотности массовых сил 7 =

-47Г(А + 2n)it - to^eit - to) grad J ( M - Mo),

(5.16.18)

где e ( r ) — функция Хевисайда, a 6{M — Mo) — трехмерная функция Дирака. Возбуждаемое источником (5.16.18) поле смещений дается формулой г4(г, t-to)

=

{t -

to)'

е ( t - t o - — ] ft Up/

(5.16.19)

и описывает расходящуюся сферическую волну со сферическим фронтом г = Vp{t — to), впереди которого царит покой, т. е. г4(г, i - to) = О,

если

(5.16.20)

r>Vp{t-to).

Векторное поле (5.16.19) удовлетворяет кинематическим и динамическим уатовиям совместности (см. §5). б) В случае источников типа центров вращения рассматриваются три различных вектора плот!юсти массовых сил, а именно 7

- to)''e{t - to) rot [fkS{M - Mo)]

=

(5.16.21)

при fc = 1, 2, 3. Возбуждаемое каждым из таких источников волновое поле характеризуется вектором смещений ut{r, t-to)

=

{t -

to)'

t - t o - ^ ) [ r t

xit],

(5.16.22)

описывающим расходящуюся поперечную волну со сферическим фронтом г — Vs{t — to), впереди которого царит покой, т. е. t - to) = О,

если 239

г > Vs{t - to)-

(5.16.23)

Векторные поля (5.16.22) также удовлетворяют кииематическим и динамическим условиям совместности. о. Поля смещений (5.16.19) и (5.16.22) являются исходными для определения так называемых фундаментальных решений Вольтерра в теории упругости. Из вида уравнений Ламе (5.16.16) или (5.14.1) следует, что если найдено какое-либо решение Tt(M, t — to) этого уравнения, отвечающее плотности .массовых сил 'fiM, t — tn), то поле смещений lt{M, to — t) будет удовлетворять уравнению (5.16.16) при ~f{M, to-t). (Это свойство есть следствие симметрии уравнения относительно знака времени!) Указанное обстоятельство позволяет получать из ренюпий задачи (5.16.16), (5.16.17), вынисапных в п. 4, новые решения уравнений Ламе, имеющие характер сходящихся к точке Мо (т. е. к точке г = 0) волн. Напомним, что такое свойство уравнений движения уже учитывалось в § 10 при рассмотрении принципа взаимности, причем та.м среда предполагалась неоднородной и анизотропной. Фундаментальное решение продольного типа получается из формулы (5.16.19) заменой t - to на. to — t. При этом полагается to > О, а решение рассматривается при значениях времени t > 0. Вектор смещений такого решения определяется формулой г4°{М,

Мо, t-to)

{t-toY

= г4(г, to - t) = Г N

1 „2 e\to-t

ft,

(5.16.24)

VpJ

правая часть которой отлична от нуля лишь при to-t

г

> О,

т.е.

г


Vp

Поле смещений оказывается полем сходящейся волны, зад[гам фронтом которой является четырехмерный конус или трехмерная сфера г = Vp(to - t), (5.16.25) сжимающаяся при возрастании t в про.межутке О < t < и стягивающаяся в точку Мо при t = to- Позади фронта (5.16.25) царит покой, т. е. г4°(М,

Мо, t-to)

= О,

если 240

г > Vp{to - t).

(5.16.26)

Поле и^^ имеет правильные сильные разрывы (т. е. удовлетворяет условиям совместности) и удовлетворяет }фавнению (5.16.16) при плотности массовой силы У = t ° = -47Г(А + 2/х)(< - tofeito

- i)grad(5(M - Mo),

(5.16.27)

прилагаемой фактически к точке Мо и отличной от пуля лиип. при t < to. Эта плотность силы гасит (поглощает) энергию приходящих к точке Мо «элементов» волны (5.16.24) . Появление волнового поля (5.16.24) при значениях t > О можно считать следствие.м ненулевых начальных условий Up

1 t=o

t o - ft; VpJ

(=0

=

заданных при t = 0. Возбуждаемые такими условиями волны приходят в точку Мо в течение времени Q < t < to к все вре.мя поглощаются^ (гасятся) источником (5.16.27). В момент t — to поглощающая сила (5.16.27) выключается и в среде устанавливается покой. Фундаментальные решения поперечного тина получаются из соотношений (5.16.22) заменой t — to на, to — t и рассматриваются при значениях времени t < 0. Поля смещений таких решений, имеюище вид ?Tt°(M, Мо, t-to)= (/. - кГ

to-t

vt

utir, tQ-t)

Vs

=

[ft X 4 ] ,

(5.16.28)

от.чичны от нуля только при to — t

Vs

>0,

T. e. при

г < Vsito — t),

И представляют собой сходящиеся поперечные волны. Задним фронтом волн (5.16.28) является четырехмерный конус или трехмерная сфера r = vSa-t), (5.16.29) ''Именно из-за этого поглощения и не возникает отраженной (сферическирасходящейся) волны от точки Мо, в которой фокусируются сферическисходяи(ие<:я волны (5.16.2'1).

241

сжимающаяся к точке Мо при возрастании времени t в промежутке О < t < <0- Позади фронта (5.16.29) царит покой, т. е. ut'^iM, Mo,t-to)

если

=0,

r>v,(to-t).

Поля (5.16.28) имеют правильные сильные разрывы па фронте (5.16.29) и удовлетворяют уравнению (5.16.16) при условии, что плотность массовых сил имеет значение t

=

= -4NNIT

-

- t) rot [ITS{M

to)^E{to

(5.16.30)

- Mq)].

Появление полей (5.16.28) .можно считать следствием ненулевых начальных условий

t=o

vV

\

-2to

^sj

eito

(=0

) И

X ik],

(5.16.31)

заданных при t = 0. Возбуждаемые такими условиями волны подходят к точке Мо в течение времени О < t < и поглощаются «источником» (5.16.30). В момент времени t = to источник выключается, и в среде устанавливается покой. В связи с изложенным полезно на конкретном примере поля li =

lt

(5.16.32)

V

(рассматриваемого типа расходящейся волны) обратить внимание на роль в определении решения однородного уравнения (5.16.16) (в котором ^ = 0) начальных данных вида it

l=to

= й^(г)е (to - ; \ vJ

^

t=io

= v^{r)£ (to - - ) . \ V/

(5.16.33)

Если правые части таких уашвий определены по значениям поля (5.16.32), то ясно, что решение однородных уравнений (5.16.16), подчиненное условиям (5.16.33), принимает вид (5.16.32) при t = to+t', (причем такое решение единственно). 242

t'>0,

Начальным же условиям (5.16.33), в которых изменен на обратный знак при отвечает (единственное) решение однородных уравнений (5.16.16) вида lt = lt г, to-t'-Це

V.

(to - t ' - - ) , \ vJ

представляющее собой уже сходящуюся волну к точке г = 0. В рамках таких соображений как раз и построены введенные выше фунда.ментальные репюния типа Вольтерра. 6. При помощи введенных фундаментальных решений Вольтерра удается построить репюние задачи Коши для однородной и изотропной безграничной упругой среды в форме, допускающей наглядное (})изическое толкование. Что касается постано1!ки такой задачи, то она сводится к нахождению (в безгранич1юй среде в .моменты времени t > 0) решения lt(M, t) уравнения (5.14.1) с задан1юй плотностью массовых сил / ( М , t), подчиненного начальным условиям it

i=0

=

it

(=0

= г^{М)

(5.16.34)

общего вида. Полное репюние задачи Конш дается в § 6. Сейчас же для иллюстрации применения фундаментальных регнений Вольтерра рассмотрим частные (вспомогательные) задачи, в которых требуется определить по уравнению (5.14.1) и начальным условиям (5.16.34) не само поле i t в произвольно выбираемой точке Мо = (хо, уо, го) среды в момент времени t - to > О, а липть значения div it и rot it от этого поля. Penieiine таких задач легко получается в результате применения интегральной формулы Грина—Вольтерра (3.10.1) и (3.10.2) к полю lt{M, t), удовлетворяющему условиям задачи Конш, а также к полю l t ° , совпадающему с продолып,™ или поперечными фундамента^тьными решениями Вол1>терра. Такие поля относятся к классу решений уравнения (5.14.1) (или, что то же, уравнения (5.16.16)) с правильными силып,гми разрывами и, следовательно, удовлетворяют условиям, при которых формула (3.10.1) справедлива. Для того чтобы и поле lt{M, t) удовлетворяло таким уаювиям, следует сначала предположить, что вхох^ные данные 'fiM, t), u^(M) и v^{M) задачи Коши задаются настолько гладкими функциями, что ее решение it оказывается непрерывным вместе с первыми частными производными. К случаю произвольных входных данных ' f , u^uv^ нетрудно 243

будет перейти в окончательном ринении задачи путем рассмотрения последовательностей достаточно гладких функций ' f , й^ и v^. 7. Для определения значения div i t в точке {XQ, уо, 2о) воспользуемся формулой (3.10.1) в случае замкнутой области В, ограниченной (снизу) плоскостью t = О и (с боков и сверху) — произвольной гладкой поверхностью El, такой, что четырехмерный конус г < V.^{tQ - t),

(5.16.35)

имеющий всрпшпу в точке (жо, уо, ZQ, to), оказывается расположепным внутри В. Под полем it в формуле (3.10.1) будем подразумевать решение уравнения (5.14.1), удовлетворяющее пачалып)ш данным (5.16.34), а в качестве возь.мем фундаментальное решение lt°{M, Mo, t - to) из формулы (5.16.24). Граничная поверхность Е области В состоит из двух частей: 1) из гладкой поверхности Ei, в точках которой = О вследствие свойства (5.16.26), и 2) из основания t — 0,в точках которого cosi/t=-l, lt(M, =

[ 1о J

cosuxk=0,

t) = vtiM),

1"

/

о е to \

к=

1,2,3,

и{М, t) = ^{М, г \

^р/

V^o

u„ =

2to

t), to-

ft.

dV,

(5.16.36)

Поэтому в силу формулы (3.10.2) оказывается

Ill[Ml°lt-Mllt°]

dE =

T
где г = |М — Мо\ определяется формулой (5.15.4), f t обозначает орт радиус-вектора = МцЛ}, а интегрирование в правой части производится по точке М = (х, у, z). Для вычисления объемного интеграла из левой части формулы (3.10.1) следует учесть, что полям с.мещений it = lt{M, t) и lt° = «^"(М, Mo, t — to) отвечают соответственно векторы плотности

244

массовых сил

= 7 ( М , t) и

t), где 'f{M,

= 'Т^Ш,

t) опреде-

ляется правой частью уравнения (5.14.1) в задаче Коши, а

имеет

значение (5.16.27). Поэтому

H H n u s - j . j j j (Н)

о

(t - ^о)^

Cfrt)dV,

(5.16.37)

"V-i

r
I I P '

ltdB

=

(В)

to

= 47г(Л + 2/х) j { t o - t f d t J j J it giad S{M-Mo) 0

dV =

V{1) to

= -47г(Л + 21л) J {to - tf[div

itiM,

(5.16.38)

t)]

Заметим, что в равенстве (5.16.38) под V{t) подразумевается сечение области В плоскостью t - to- Точка Mo, расположенная на оси конуса (5.16.35), всегда лежит внутри этого сечения. Следовательно, можно было воспользоваться формулой (5.16.37). Подставляя значения вычисленных интегралов (5.16.36)—(5.16.38) в формулу (3.10.1), окончательно будем иметь to 47г(А-ь2/х)

j{to-tf[divlt{M, t)

ччп о

{t - to)-'

1

М=Ми

dt =

Ctri)dV+

r
dV.

(5.16.39)

r
Остается лишь отмстить, что путем трехкратного дифференцирования формулы (5.16.39) по to может быть получено выражение 245

для значения div i t в точке (MQ, to). Однако к этому прибегать далее не потребуется. 8. Д л я определения значения rot i t в точке (xq, УО, ZQ, to) воспользуемся формулой (3.10.1) в случае замкнутой области D такого же типа, что и п. 7, но содержан1ей внутри себя «поперечный» четырехмерный конус г < Vs{to - t) (5.16.40) с вершиной в точке (хо, уо, ZQ, TO)- Под полем it в формуле (3.10.1) будем подразумевать решение задачи (5.14.1), (5.16.34), а в качестве lt° возьмем фундаментальное решение ut°(M, Mo, t - to) из выражения (5.16.28). Граничная поверхность Е состоит из двух частей: 1) гла^1,кой поверхности El, точки которой располагаются вне конуса (5.16.40), вследствие чего (в соответствии с условием (5.16.30)) = О на El, и 2) основания t = О, в точках которого справедливо cosi'f=-l,

cosi'xi,=0, = ( 4 \

It=4(м), -t = г ^ ( М ) ,

=

к=

'^>s / r^

V

(to \

v j

1,2,3,

^s J

X

[rt X t ] .

Поэтому в силу формулы (3.10.2) для поверхностного интегргила (3.10.1) получается выражение

/Я' =

- P j J J r
2to,

X

^

} dV, (5.16.41)

подынтегральная функция в правой части которого несколько пре0бра:50вана с использование.м формулы [ h x7^] = [ 7 f x для скалярно-векторного произведения. Чтобы вычислить объемный интеграл (3.10.1), следует учесть, что полям смещений i t = l i { M , t ) и l t ° = « t ° ( M , M o , t - to) отвечают соответственно плотности массовых сил ' f = " / ( М , t) и 246

=

= fk ( М , t) из уравнения (5.14.1) для рассматриваемой задачи Коши и из формулы (5.16.30). Поэтому 1

{t-to^

Jlll7.usJl.IIJ о

(В)

[f X

ft]tkdV,

r
(5.16.42) to

- J l j j T - ^ d B = 4 n f i j[to-ifdt (B)

11 j i t vol [itS{M~Mo)]dV

0

=

V(()

to

= 47r/i j{to-t)'^[votlt{M,

t)]

M = Mo

ikdt.

(5.16.43)

(Заметим, что здесь также использовалась упоминавшаяся формула для скалярно-векторного произведения. При этом в соотношении (5.16.43) через V{t) обозначалось сечение области В плоскостью t = to. Так как В содержит внутри себя конус (5.16.40) с вершиной в точке (Мо, to), то все области V{t) содержат точку Мо строго внутри себя. Поэтому можно было воспользоваться формулой (5.16.15).) Подставляя значения интегралов (5.16.41) - - (5.16.43) в формулу (3.10.1), приходим к трем равенствам, которые получаются в результате скалярного умножения на орты ik (при /с = 1, 2, 3) следующего, пока формального, соотношения: to

dt^ М = М о

о

[ f X f t ] dVО

- ' I I I

r
X

+ ( I

-

H X f t ] } dK

(5.16.44)

r
Упомянутые равенства означают, что проекции векторов из правой и левой частей соотношения (5.16.44) на (все три) координатные

247

оси нашего пространства х, у, z равны друг другу. Отсюда очевидно следует и равенство самих векторов из правой и левой частей соотношений (5.16.44). Итак, равенство (5.16.44) истинно. Остается лишь отметить, что значение rot i t в точке (MQ, to) могло бы быть получено из равенства (5.16.44) в результате трехкратного дифференцирования но to§ 17. Решение задачи К о т и для однородной и изотропной безграничной упругой среды. Формула Стокса 1. Пусть в безграничной упругой среде, характеризуемой параметрами А = const, /i = const и р = const, заданы вектор ~f{M, t) плотности массовых сил и начальные значения ^ { М ) и при t = О поля смещений и поля скоростей смеп1спнй. Задача Коши для безграничной однородной и изотропной среды заключается в нахождении вектора упругих смешений lt{M, t) в любой точке М = — (х, у, z) пространства при значениях времени t > О но за,';анным значениям векторов "/(М, f). и v^{M). В математическом отношении она сводится к нахождению l t { M , i) из уравнения Ламе (5.14.1) (А -f- 2fi) grad div it — [i rot rot i t — pit = —'f{M,

t)

при начальных условиях (5.16.34) It

1=0

= 11^{М),

it

(=0

=v^{M).

Репюние поставленной задачи строится в предположении, что искомое поле смещений lt{M, t) непрерывно со своими первыми частными производными. На основании окончательной формы решения не представит труда, во-первых, сформу.'Н1ровать ус;ювия, которым должны удов.г1етворять функции G^i и v^, чтобы выполпялос1> указанное предположение, и, во-вторых, соверпшть переход к репкшию задачи при «произвольных» 2. Изменив в уравнении (5.14.1) обозначение переменной времени t на г, умножим все члены этого уравнения на t - r и проинтегрируем но т в промежутке О < т < t. Перв1>ге два слагаемых из левой части

248

рапенства (5.14.1) приводятся к выражению £

rot it] (IT = ^ [ g r a d p + rot

\v it -

(5.17.1)

0

где

t p = (A + 2/i) J { t - T)^ [div lt{M,

i)] dT,

0

(5.17.2)

t r)2 [rot, lt{M,

lf = ~lij{t.-

0] dr.

Третье же слагаемое дает t

pj{t-T)itdT^p

[itiM,

t) - l t ( M , 0) - tit{M,

0)],

(5,17.3)

0

npjjyicM в правую часть формулы (5.17.3) входят значения li{M, t) и й [М, t) при t = О, известные в силу условий (5.16.34). Учитывая формулы (5.17.1) и (5.17.3), в результате указанного преобразопа1П1я уравне1П1я (5.14.1) получаем для искомого вектора смещений представление представление t

li{M.

t) :

+

j {t-T)'f

{М,

i)dr+^[gradp+rot-^],

(5.17.4) первые три слагае.мых правой части которого выразились явно через известные функции. Для окончательного решения нашей задачи достаточно найти значе1П1я функций р = р{М, t) и ifiM, t). Но задачи по нахождению таких функций фактически уже рассмотрены в пи. 6 - 8 § 16, где получены формулы (5.16.39) и (5.16.44), левые части которых совпадают соответственно со значениями 4irp{Mo, to) и - 4 л ' ^ ( М О , TO)- Появление аргументов Mq И to объясняется только тем, что в задачах из пп. 7 и 8 § 16 ставилось целью найти div it и rotl/ в точке «наблюдения» (MQ, to). Таким образом, чтобы определить значения функций р и (5.17.2) в точке (М, t) необходимо лини, несколько изменить обозначения в формулах (5 16 39) и (5.16.44).

249

3. При выводе формул (5.16.39) и (5.16.44) мы обозначали через (Мо, to) и (М, t) соответственно точку наблюдения и переменную точку интегрирования. При этом в формулы входили величины г = \М - Мо\ п rt — М^/г, причем f t — орт радиуса-вектора, направленного из точки Мо в точку М. Теперь же будем понимать под {М, t) точку наблюдения, где М = {х, у, г). Переменную точку интегрирования будем обозначать посредством ( М ' , т), где М' = (х', у', z'). Наконец, под г будем подразумевать выражение г=\М-

М'\ =

+

(5,17.5)

+

а радиус-вектор У' = ММ^' будем направлять от точки М к точке М'. При этом ft = Т^/г — орт, определяющий направление от точки М к точке М'. В соответствии с такими обозначениями в формулах (5.16.39) и (5.16.44) следует заменить символы Мо, to, t, М uV соответственно на М, t, т, М' и V'. Производя указанные замены, можно представить величины р и (5.17.2) в виде р{М., t)=po{M, t(M, где

t)+pi{M,

t),

1) = Ш{М, t) + qt{M,

t),

^Ш) + ^ fS - 4 ) J.2

(5.17.6)

J.2

(5.17.7)

dV,

(5.17.8)

r
{frt)dv',

(5.17.9)

r < V p { t - T )

r
it -

r)'

[fxrt]dV',

(5.17.11)

= У{М',

г) — известные

r < V , ( t - T )

причем й^ = й^(М'), v^ = v^{M') функции (5.14.1) и (5.16.34). 250

и

Подстановка значений t) и "^(М, <) из выражений (5.17.6)— (5.17.11) в правую часть формулы (5.17.4) приводит к формуле Стокса, которая как раз и дает решение нашей задачи. Поэтому все дальнейшее фактически должно сводится к упрощению указанного выражения для lt{M, t), приведению его к окончательному (наиболее рациональному) виду и к обсуждению вытекающих нз него физических следствий. Однако прежде чем обращаться к такому завершающему этапу в решении задачи, полезно выяснить некоторые обище вопросы, касющиеся внутренней структуры полученного выражения для lt{M, t). Этому посвящены пп.4—5 настоящего параграфа. 4. Если исходить лишь из внешнего вида правой части формулы (5.17.4), то следует прийти к выводу, что первые три ее слагаемых, а именно t

4(М,

t) =

+ tvt{M)

+ - f i t - т)У(М, РJ о

т) (IT,

не представляют особого интереса. Они не имеют волнового характера и лишь несут ответствишость за удовлетворение начальным данным (5.16.34), а также учитывают влияние массовых сил, приложен1н>1х к точке М, на движение этой точки. При последуюп(ем преобразовании формулы (5.17.4) они сократятся с некоторыми членами, выделяющимися из слагаемого, содержащего q и р. Четвертый член правой части представления (5.17.4), т. е. слагаемое lt('')(M,<)=gradf;lpV

(5.17.12)

можно назвать безвихревой (продольной) частью ноля смещений в смысле результатов § 14. Поверхностями разрыва поля Tt^PHM, t) могут быть лишь характеристики продольного типа. На оаювании формул (5.17.8), (5.17.9) или вьпнкапных далее фор.мул (5.17.22), (5.17.23) нетрудно заключить, что t) удовлетворяет нулевым начальным данным при t — Q. Особо следует подчеркнуть весьма важное обстоятельство, элементарно вытекающее из общего вида формул (5.17.6), (5.17.8) и (5.17.9), заключающееся в том, что на значения поля it^''^ в точке (Af, t) оказывают в.иияние массовые силы ~f и начальные данные 251

и г^, заданные лии1ь внутри сферы \М - М'\ н г < Vj,t.

(5.17.13)

Это согласуется с фактом, что поле (5.17.12) распространяется со скоростью Up продольных волн. Сферу (5.17.13) или конус, если формулу (5.17.13) рассматривать в четырех.мерпом пространстве, на;^ывают сферой или конусом влияния значений / , й^ и г^ па потенциальную часть поля смещений в точке М . Наконец, поапеднее слагаемое О = rot

\2Р

(5.17.14)

иртюй части (5.17.4) можно назвать вихревой, или соленоидальной (поперечной) частью поля смеп1,ений. Поверхностями разрывов такого поля могут бьггь липгь характеристики поперечного типа. Поле (5.17.14) также удовлетворяет пулевым начальным данным при t — О, причем назначение этого поля в точке (М, t) оказывают влияiHie входные данные ~f, й^ iiv^ задачи Коши, заданные лишь внутри сферы \М - М'\=г
й^ = gradxo(M, <),

= gradxi(М) (5.17.16) через потенциалы Ф, хо и х ь которые (в соответствии с условие.м, сформулированным в конце п. 1) след1ует считать непрерывными вместе с первы.ми и вторыми частны.ми производными. EcjHi бы мы искали вектор смещений в виде i t = grad9(Af, i),

(5.17.17)

то в соответствии с § 14 нахождение поля i t свелось бы к определению «продольного» потенциала f{M. t) из задачи Копт для волнового уравнения (5.14.1) в апучае безграничного пространства при 252

начальных }'словиях f

t=0

= Хо{М),

ф

t=u

1=0

=Xi[M)-

t=u

Ренюние такой задачи, как известно, лается формулой Пуассона^

r=v„t

+ r
подробно обсуждаемой, например, в т. 2 «Курса высшей математики» В. И. Смирнова. Нетрудно убедиться, что получающиеся при указанном подходе результаты содержатся в формуле (5.17.4). Для этого прежде всего заметим, что при условии (5.17.16) величины ^ и ^ из формул (5.17.10) и (5.17.11) тождественно равны нулю. Действительно, каждый член правых частей указанных формул содержит пространственный интеграл по шару радиуса а = Vst или а = Vs{t - т) под знаком которого стоит произведение тина F{r, i)[gradx х 1'ДС F{r, t) — та или иная функция от радиуса г шара, а х совпадает с одной из функций Ф, хо или xi "З выражения (5.17.16). Интегрги! такого рода очевидно представляется в виде а I I I F{r, t) [gradx X f t ] dV = J F{r\ t) dr' 0

r
j j[gviidx

x f t ] dS',

T=r'

причем для внутреннего интеграла, распространенного по поверхности сферы г = г', получается /

\ it

и[gradx

X ft]

-ш

= -

и[rot(xu)]„

dS' =

divrot(xu)dl^' = 0

r
®Отмети.ч, ч т о под ф о р м у л о й Пуассона о б ы ч н о п о н и м а ю т л и ш ь первые два слагае.чых выписанной ф о р м у л ы .

253

в силу очевидного равенстпа (lt[gradx х ?!]) = х gradx]) = = — (ftrot(xi/j)) и применения теоремы Гаусса. Таким образом, все три проекции на оси координат от вектора, определяемого внутренним интегралом (по сфере г — г'), равны нулю. Значит равен нулю сам интегргил и, следовательно, равны нулю все интегрсшы, входящие в выражения ^ и (5.17.10) и (5.17.11). Что касается слагаемого (5.17.12), то оно преобразуется к виду, соответствующему применению формулы Пуассона. Предполагая ради краткости, что = О (следовательно, и Ф = 0) и учитывая очевидное соотношение 27г

I I I

^{gr-Adx • ft) dV = I 0

r
I ^

я

Vpi

d^ j smOde I 0

^dr

=

0

jx{M')dS'-4Trx{M),

•r=Vpt

на основании выражений (5.17.6) и (5.17.7) находим

" 47Г dt

г>Р

j

1 xoiM')dS'

-4тгхо{М)

+

r=Vpt

+

4т)р

j j XiiM')dS'

-txiiM)

= ip{M,

t)-xo[M)-txx{M).

r=v„i

(5.17.19) Отметим, что указа1Н1ое выше соотношение применялось к нерво.му ачагаемому из формулы (5.17.8) до дифференцирования по t, а ко второму слагаемому — после такого дифференцирования. Еаш, наконец, подставить в формулу (5.17.4) (нри ' f ~ 0) значения й^(М) и v^{M) (5.17.16) и значение р (5.17.19), то поле смещений lt{M, t) при.мет вид (5.17.17) с функцией <р(М, t) из формулы (5.17.18), где положено Ф = 0. Аналогично обстоит дело и в случае Ф(М, t) / О, равно как и в случае, когда вход1п,1е да1П1ые задачи Коши представляются формулами 7 = r o t ' ^ ( M , <),

vt = rot^{M), 254

v^{M) = rot^{M)

(5.17.20)

через поперечные потенциалы ^ и которые, как следует из § 14, всегда можно считать удовлетворяющими условиям d i v ' ^ = 0,

d i v ^ = 0,

(5.17.21)

divxt = 0.

Несложные (в принципе) прсо^азования позволяют привести выражение (5.14.4) к виду it = TOt ф {М, t), где -ф определяется выражением (5.17.18), в котором 1х выкладок получаются следующие выражения:

dt

•И!

Ш )

dV

+ t

r
/Я®

dV

r
(5.17.22) (5.17.23) r
а

'HI ^JUHdv ///

[t^ X

+ t

ft]

dV

r
r
(5.17.24)

255

о

1-<Ур(1-т)

Здесь гЙ(М'), v^(M') и fiM'., т) являются функциями переменной интегрирования М ' , а смысл г и Т^ разъяснялся в связи с формулой (5.17.5). Заметим, что в первых слагаемых правых частей формул (5.17.22) и (5.17.24) мы не выполнили дифференцирование по t из-за желания иметь однотипные выражения для объемных интегралов в обоих слагаемых. Обозрение правых частей формул (5.17.22)-(5.17.25) приводит к заключению, что вычисление четвертого слагаемого правой части равенства (5.17.4) может быть сведено к рассмотрению однотипных выражений 'б{М-

-ф; ао, 01) = grad Jo(Af) + r o t 7^(М) = = lim [grad Jo.(M) + rot

в которых E > о, a JOJ и

(5.17.26)

определяются интегралами вида

Joe{M) = f f I

- M')^{M')

dV,

(5.17.27)

£:<\M-M'\
= j I f [^{M')

X -ф{М - M')] dV

(5.17.28)

€<\M-M'\
= gradi

(5-17.29)

(где grad вычисляется по точке Л^, rt направлен от М к Л/'; г имеет значение из выражения (5.17.5)), совпадающей с одной из функций Следует отметить, что параметр е > О в выра^нии (о.17.20) введен для того, чтобы при вычислении grad Jo. и rot Ju можно было в ы п о л н я т ь дифференцирование гюд знаком интегралов, как сделано, например, при переходе от формулы (5.17.30) к (5.17,30').

256

7. Для вычисления grad JQ^{M) И rot Ju{M) найдем сначала значения производных по Xk от Joe и JiE, причем ограничимся случаем лишь Joe, так как выкладки в случае Ji^ выполняются аналогич}ю. Фиксируя значение к, будем понимать под М точку (xi, Х2, хя), а под М + Axk — точку, получающуюся из М заменой (одной) ее координаты Хк (с фиксированным ранее индексом к) на Xk + AxkТогда окажется, что

Joe{M + Axk) = j J j-ф{М

+

Ахк-M')'^{M')dM'=

= j + Axk)dV', г<\М-М'\<ао причем выражение правой части получается в результате замены переменной интегрирования М ' на М = М ' - Ах^ с последующим изменением обозначения М снова на М'. Из приведенной формулы для Joe{M + Ах к) следует, что если частные производные от ^ ( М ' ) существуют (и, например, непрерывны), то

е<\М-М'\<ао причем интеграл из правой части (5.17.30) может быть преобразован на основе интегрирования по частям (что фактически равносильно соответствуюп;ему применению теоремы Гаусса) к сумме (двух) поверх1юстпых и (одного) объемного интегралов. В результате таких преобразований получается окончательная формула для производной: dJoe

-

Jj•ф{M-M')'^{M')cosrxkdS'-

\м-м'\=ao J J

-

M')'^{M')cosrxkdS'+

\М-М'\=е + j J

J

(

5

.

£<\M-M'\
1

7

.

3

0

'

)

Заметим, во-первых, что в объемном интеграле (5.17.30') дифференцирование производится по точке М , содержащейся только в аргументе функции '(^(М — М ' ) , и, во-вторых, что вследствие равенства =

(5.17.31)

вытекающего из выражения (5.17.29), объемный интеграл (5.17.30') не существует при е = 0. Таким образом, если бы мы }ie ввели в выражение (5.17.26) числа е > О, то нельзя было бы преобразовывать интеграл (5.17.30) к виду (5.17.30'). Пользуясь формулами (5.17.30') при /с = 1, 2, 3 и учитывая формулу (5.17.29), а также очевидное соотношение rt = cosr^i i t + cosrxaH + cosrxsis,

(5.17.32)

приходим к искомому равенству

г=Е

r=ao

+ J J J g r a d ^ g r a d i ' ^ ( M ' ) j dV, г<г<ао

(5.17.33)

в котором операции grad под знаком объемного интеграла относятся к точке М (т. е. к переменным х,у, z в выражении г из формулы (5.17.15)), а не к переменной интегрирования М'. Подобным же образом вычисляется и rot от интеграла (5.17.28). При этом сначала вычисляем производную J ^ ( M ) по Хк, представляющуюся в форме, вполне аналогичной (5.17.30'), а затем, исходя из символической формулы r

o

t

=

[grad xJ^eiM)]

и учитывая выражения (5.17.29) и (5.17.32), легко приходим к необходимому выражению

258

+

If

+ Jjjiot

и

X 0{М')

X ft]]

dS'+

V^(M') x g r a d i dV,

(5.17.33')

e
в котором операции rot и grad под знаком объемного интеграла относятся к точке М = {х, у, z), а не к переменной интегрирования М'. Остается лишь сложить выражения (5.17.33) и (5.17.33'), подставить значение их суммы в формулу (5.17.26) и совершить предельный переход при £ —^ 0. При этом следует учитывать формулу rot 1р{М') X grad -

V X

•ф {М') X grad -

= ^ ( М ' ) Д - - { ^ { М ' ) grad) grad - = г г = - ( ^ ( M ' ) g r a d ) g r a d i = - grad ^ g r a d i ^ ( M ' ) ^ ,

(5.17.34)

справедливую при г > О, в которой ^ { М ' ) рассматривается как постоянная, и позволяющая объединить объемные интегралы при сложении выражений (5.17.33) и (5.17.33'), а также следующие предельные соотношения:

Г=£ (5.17.35)

^ II

И

X [ ? ( М ' )

X ft] ^

^ ^ щ у

Заметим, что при выводе первого соотношения удобно положить (rt^)

—

cos в

и

f t = sin0cos
Второе же соотношение сводится к первому из-за равенства [ f t x [ ^ Xrt]] = ^ - f t { f t ^ ) .

259

(5.17.36)

Учитывая изложенное и производя несложные выкладки, для величины '6{М; ао, o i ) (5.17.26)—(5.17.29) получаем следз'ющее окончательное выражение: ' д { М ; ^ , а о , а г ) = gradJo(M) + rot t{M) = -4тг^{М)+

у у v-i

J.2

=

^g,^

г=ао ^

11

H . ^ i p . m

r=oi

^^^^

I l l ai
(5.17.37) Остается лишь привести формулу ^ [ g r a d p + rot "Q] = - ^ [ g r a d p o + rot

\ 3 = —

+ ^ [ g r a d p i + rot

=

1 й^, Vj,t, Vst)] +

v^, Vpt, Vst)+

t

J{t-

- r),

- r)] dr,

(5.17.38)

0

дающую выражение четвертого слагаемого из формулы (5.17.4) через функцию ^ (5.17.37). 8. Изучаемое поле смещений (5.17.4) целесообразно представить в виде двух слагаемых l t ( M , t) = й\{М, t) + vi{M, t), (5.17.39) зависящих соответственно от функций и TJ^ из условий (5.16.34) и от функции из правой части уравнения (5.14.1). При этом ясно, что i t = ut дает решение рассматриваемой задачи Коши в случае 7=0, = — в случае = = 0. На основании выражений (5.17.4), (5.17.37) и членов формулы (5.17.38), завися1дих от й^ и г^, для первого слагаемого из формулы (5.17.39) сразу же получается выражение ut{M, t) =п^[М)

+ t^{M)

260

+ ^ ( g r a d p + rot f ) =

=

i

+t I I I

r=Vat

grad (grad i

j dF' I + i

v,t
+^

Ц н ^ т т ы в ч

/ / w ^ w d s ' + i r—Vpt

[

)

I I H -

1 1

H ''

dS'+

r=Vpt

dS' + t l 1 1 grad (^grad i C^j dV I ,

r=v,t

v,t
}

(5.17.40) в котором подынтегральная функция в интегралах по сфере г = = Vgt преобразована па основе формулы (5.17.36), примененной при ^ = й^ и ^ = Формулу (5.17.40) для ы|(М, t) из выражения (5.17.39) можно считать окончательной и не подвергать дальнейшим преобразованиям. Что касается второго слагаемого из равенства (5.17.39), определяющего поле смещений только за счет приложения плотности массовых сил t) при нулевых начальных данных, то на основании выражений (5.17.4), (5.17.37) и членов формулы (5.17.38), зависящих от ' f , для него сначала получается следующее выражение: t

йЦМ, t) = - f i t - T)tiM, P J

г) dr + :^(gradp, + rot

2p

0

t

=

t

= J y ( i - r ) 7 ( M , r ) d T + ^ l { t - T ) dr{-47r7(M, r ) + 0

(ft?(M', r))ft

+

,

II-

r^V„(t-T)

II

'

'f{M',r)-irt7{M',T))ft

r=V.(t~T)

+ 1 1 1 grad ^grad v,(t-r)
261

r)j

dV^

Первый член правой части сокращается с первым слагаемым в фигурных скобках. Выражения же, содержащие второе и третье слагаемые в фигурных скобках, преобразуются в объемные интегралы заменой переменной интегрирования г на г соответственно по формулам г = Vp{t — T) и г = Va{t — T). Проделывая указанное и оставляя неизменным последнее слагаемое в фигурных скобках, окончательно получаем

r
+ J_ I I I

t - г/у,) - ( f t ? ( М ' , t -

r/v,))ft

t

" ^^ 0

/

/

/ v ® ' ^ " ^

r

V,{t-T)
9. Представление поля смещений задачи Коши (5.14.1), (5.16.34) в виде формул (5.17.39), (5.17.40) и (5.17.41) мы будем называть формулой Стокса. Запись этой формулы в указанном виде достаточно удобна для выяснения всех особенностей распространения упругих волн в однородной и изотропной безграничной среде. Однако, вероятно, можно было бы записать эту формулу и в несколько ином (эквивалентном) виде. Все дальнейшее сводится к анализу формулы Стокса и к получению из нее наиболее важных физических следствий. К такого рода вопросам целесообразно обратиться в § 18. В заключение же настоящего параграфа следует оправдать предположение из п. 1 (равно как из п. 6 §16) о непрерывности поля lt{M, t), решающего задачу Коши (5.14.1), (5.16.34) вместе со всеми его первыми частными производными. (Такое предположение было необходимо, в частности, для применения формулы Грина-Вольтерра в пп. 7 и 8 § 16 к нахождению значений величин (5.17.2) от искомого поля.) Пользуясь формулами (5.17.39)- (5.17.41), можно убедиться, что упомянутое предположение выполняется во всяком случае, если й^{М), а также v^{M) и t) имеют непрерывные частные производные соответственно до второго и первого порядка включительно. Таким

262

образом, для входных данных ~f, й^ и v^ задачи Коши, обладающих указанной гладкостью, все предыдущие результаты полностью оправданы. Что же касается окончательной формы решения задачи, то ее можно считать оправданной и при любых интегрируемых функциях / , й^ и t^, если решение lt{M, t) задачи рассматривать с обобщенной точки зрения (см. §9). § 18. Физические следствия из формулы Стокса. Поля смещений основных точечных источников колебаний При выводе формулы Стокса, записанной в окончательной форме в виде равенств (5.17.39)-(5.17.41), мы исходили из очевидной возможности представления поля смещений (решающего задачу Коши для уравнения (5.14.1) при начальных условиях (5.16.34) в случае однородной изотропной безграничной упругой среды) формулой (5.17.4). Входящие в эту формулу функции р и из выражений (5.17.2) могут рассматриваться как решения неоднородных волновых уравнений®

^

о t

А^ - ^ ®

^

= -

- г)2 rot 7 ( М , г ) dr.

(5.18.2)

о

Подобным же уравнениям (получаюпщмся дифференцированием по t всех членов уравнений (5.18.1) и (5.18.2)) удовлетворяют и функции р и vrq, непосредственно входящие в формулу (5.17.4). Вследствие этого обстоятельства, равно как и отмеченного в п. 4 § 17 отсутствия связи первых трех спагаемьгх правой части формулы (5.17.4) с распространением волн, можно утверждать, что слагаемые igradp

и

^rot"^

(5.18.3)

из правой части формулы (5.17.4) полностью описывают распространение соответственно продольных и поперечных волн, содержащихся ®Они п о л у ч а ю т с я из ф о р м у л ы (5.14.1) при t = т применением ко всем слагае м ы м операций d i v и rot с п о с л е д у ю щ и м у м н о ж е н и е м на (t - т ) ^ и интегрированием по т .

263

в поле lt{M, t). Это означает, что все разрывы поля li{M, t) или его частных производных любых порядков, реализующихся на характеристиках (2.7.9) продольного типа (на характеристиках (2.7.9') поперечного типа), полностью описываются первым (вторым) выражением (5.18.3). Но так как входные данные задачи Коши v^{M) и 'f{M, t) задаются независимым друг от друга образом, то в точности такие же утверждения справедливы и применительно к функциям и

2р

T^rot^ 2р

(5.18.3')

(при = О, 1) со значениями ро, pi, Щ нЩ из выражений (5.17.22)— (5.17.25), через которые формула (5.17.4) фактически переписывается в виде t lt{M,

t) = u^(M) -Ь ( « ^ ( М ) 4- - ( { t Р J о

т) dT+

-b^[gradpo + r o t ^ ] + ^ [ g r a d p i + r o t ^ ] . 2p 2p

(5.18.4)

Дальнейшие преобразования этой формулы, выполненные в пп. 6—8 § 17, фактически сводились к представлению каждой из функций (5.18.3') в виде двух слагаемых (при и = О и и = I ) ^gradp^ 2р

= vrP^(M,

t) + а1{М,

t), (5.18.4')

^ m t t ^ ^ M , 2p

+

t)

и к объединению суммы вторых слагаемых из выражения (5.18.4') t) +

t) + А1{М, t) + в[{М,

t)]

с первыми тремя слагаемыми правой части выражения (5.18.4). При таком объединении первые три слагаемых правой части (5.18.4) «сократились», а в окончательных формулах (5.17.40)—(5.17.41) появились слагаемые, содержап1,ие под знаками объемных интегралов выражения вида grad fgrad - ^ V

264

= vt,

7-

(5.18.5)

Таким образом, слагаемые формул (5.17.40) и (5.17.41), содержащие под знаками интегралов выражения (5.18.5), соответствуют частям поля смещений lt(M, t), содержащим в себе как продольные так и поперечные волны. Что касается остальных слагаемых указанных формул, то на основании преобразований пп.6—8 §17 не представляет труда убедиться в том, что интегралы по поверхности сферы г = Vpt и по всей сфере г < Vpt относятся к выражениям Pi,{M, t) из формул (5.18.4') и, следовательно, описывают чисто продольную часть^° поля смещений lt{M, t). Интегралы же по поверхности сферы г = Vst и по сфере г < Vgt относятся к выражениям Q,j{M, t) из выражения (5.18.4') и описывают чисто поперечную (по не всю) часть поля Tt{M, t). Тот факт, что в правые части формул (5.17.40) и (5.17.41) входят слагаемые (содержащие под знаками интегра/юв выражения (5.18.5)), относящиеся и к продольной, и к поперечной частям поля смещений, мог бы рассматриваться как некоторый недостаток указанных формул по сравнению с исходной формулой (5.18.4), в которой четко разделены слагаемые, описывающие продольные и поперечные волны (а неволновые первые три слагаемых равны нулю во всех точках М, где й^ = О, = О, 7 ( М , t) = 0 ) . Однако этот недостаток искупается прежде всего тем обстоятельством, что в формулах (5.17.40) и (5.17.41) уже выполнены (вообще говоря нетривиальные) операции grad и rot от интегралов (5.17.22)—(5.17.25). Кроме того, сам упомянутый недостаток формул (5.17.40) и (5.17.41) не так уж существен, так как, во-первых, при увеличении расстояния г точки наблюдения М от области Уо, в которой заданы функции й^, v^ , упомянутые слагаемые (во всех задачах динамики) убывают на порядок быстрее, чем остальные слагаемые формул (5.17.40) и (5.17.41), представленные в виде сравнительно простых интегралов по сферическим поверхностям г = Vpt, г — Vgt п сферам г < Vpt и г < Vgt. Во-вторых, из-за дополнительного интегрирования эти слагаемые могут иметь разрывы непрерывности лин1ь в производных более высокого порядка, чем прочие слагаемые обсуждаемых формул. 1. Обрап;аясь к исследованию формулы Стокса (5.17.39)-(5.17.41), мы остановимся сначала на кратком качественном рассмотрении поля смещений, возбуждающегося в безграничной упругой среде вспедствие начальных усяовий (5.16.34), функции й^ и в которых от" Н о не всю такую часть гюля.

265

личны от нуля лишь в некоторой ограличенной области VQ. Точку наблюдения М = {xi, Х2, хз) выберем для определенности вне VQ И обозначим Го =

inf \М-М'\, M'evo

R=

sup M'evo

\М-М'\, (5.18.6)

i

" ' v ^

Т - '"-y,'

f

T -

^

где TQUR- соответственно минимальное и максимальное расстояние точек М до точек М' области Vq, а. Ур и v., - скорости распространения продольных и поперечных волн. Так как tq < R Vg < Vp, то очевидно ip
t) = wt(M, t)

(5.18.7)

Б точке (М, t) определяется формулой (5.17.40), которую и нужно исследовать. Напомним, что в формуле (5.17.40), равно как и в формуле (5.17.41), г =

- xi)2 + ( 4 - X2Y + {х'з - хз)2

обозначает расстояние точки М = {х\, Х2, хз) от неременной точки М' = (а:^, ^2, х'з) интегрирования, f t определяет орт направления от М к М ' , а операция grad относится к точке М . Из формулы (5.17.40) следует, что ut(M, t) = О, если область VQ располагается вне сферы г < Vpt или внутри сферы г < Vgt (так как в обоих указанных случаях подынтегральные функции всех интегралов из правой части формулы (5.17.40) оказываются равными нулю тождественно). Поэтому при t < tp в точке М царит покой, так как волны, распространяющиеся со скоростями Ур и Vs, еще не успели дойти до точки М . При значениях же t > Т^ точка М находится в покое из-за того, что все возбужденные в области VQ ВОЛНЫ уже успели пройти через эту точку. Таким образом, точка М совершает «колебательное» движение лишь при значениях времени из промежутка tp < t < Tg, пределы которого соответствуют моментам прохождения через точку М переднего и заднего фронтов поля (5.18.7).

266

Движение в точке М начинается в моменты t > ip, когда в правой части выражения (5.17.40) становятся отличными от нуля слагаемые, содержащие интегралы = ^

=

J j

(5.18.8)

j l{rt^{M'))rtdS', ^

r=Vpt

(s-^ad i

dV

(5.18.9)

v,t
при = 6^(M) или ^ ( M ) = Подразумевая под указанные функции, можно по рассматривать впоследствии случаи функций и « ^ ( М ) по отдельности Слагаемые поля (5.18.7), совпадающего с полем (5.17.40), содержащие интегралы отличны от нуля лишь в промежутке времени t < t < Тр (пока сфера г = Vpt пересекает область VQ) И описывают чисто продольную волну. Если расстояние го из формулы (5.18.6) настолько велико, что выполняется неравенство Го »

/о,

(5.18.10)

где 1о — максимальный линейный размер области то направление векторов 1р{гр) в точке М, равно как и направление распространения отвечающих им волн, практически совпадает (или противоположно) с направлением вектора MQA^, где MQ — любая фиксирован-ная точка области VQ. Это естественно согласуется с природой слагаемых из формулы (5.17.40), содержащих интегралы С увеличением расстояния Го (при фиксированной области VQ) часть волнового поля (5.18.7), представляющаяся интегралами вида (5.18.8), затухает (убывает), как {vpt)~^ и 1/го. Вполне аналогичные утверждения могут быть высказаны и относительно слагаемых правой части формулы (5.17.40), содержащих интегралы =

j I [ ^ { М ' ) - (rt ^(M'))rt]

dS'

(5.18.11)

r=v„t ^ ' П р и таком у с л о в и и о б л а с т ь VQ ПО о т н о ш е н и ю к выбранной т о ч к е М как бы т о ч е ч н ы м и с т о ч н и к о м колебаний.

267

является

при )/) = йЙ и гр = v^, описывающих распространение поперечных волн, возбужденных в области VQ. Не останавливаясь на их перечислении, лишь отмстим, во-первых, что в отличие от выражения (5.18.8), содержащего под знаком интеграла «продольную» компоненту вектора ^ ( М ' ) , под знак интеграла (5.18.11) входит компонента перпендикулярная вектору во-вторых, что при увеличении расстояния Го точки М от фиксированной области VQ слагаемые в выражении (5.17.40), содержащие интегралы вида (5.18.11), убывают, как Ы Г '

= 1/го.

Наконец, слагаемые из формулы (5.17.40), содержащие объемные интегралы вида (5.18.9), описывают возмущение, состоящее как из продольных, так и из поперечных волн. Разрывы непрерывности в таких слагаемых могут иметь лишь производные более высокого порядка, чем в слагаемых, содержащих интегралы вида (5.18.8) и (5.18.11). Эти слагаемые отличны от нуля в точке М в течение всего промежутка t
(в которой f t

=

Mhi'/r,

а ^(М')

считается постоянной, так как дифференцирование производится по точке М) ясно, что при увеличении расстояния Го они убывают не медленнее, чем 1/го. Таким образом, на больших расстояниях точки М от области VQ объемными интегралами в правой части формулы (5.17.40) можно пренебрегать. Не задерживаясь на обсуждении свойств поля й\{М, t), возбуждаемого начальными возмущениями (5.16.34) (так как такое поле не представляет особого практического интереса), перейдем к рассмотрению поля l t ( M , t) = t) (5.18.13) (где t) определяется формулой (5.17.41)), возбуждаемого массовыми силами с плотностью ~f{M, t), прикладываемыми в момент времени t = О к упругой среде, находившейся в покое при t < 0. При этом начнем с качественного рассмотрения процессов установления статического и стационарного полей. 268

2. Пусть к находивоюйся в покое однородной и изотропной упругой безграничной среде в момент времени t = О прикладывается статическое воздействие (s.IS.M) где e{t) — функция Хевисайда. а VQ — конечная область, введенная в рассмотрение в п. 1 в связи с формулами (5.18.6). При обозначениях (5.18.6) на основании формулы (5.17.41) можно утверждать, что при t < ip в точке М царит покой, так как области интегрирования в формуле (5.17.41) (лежащие внутри сферы г = \М — М'\ < Vpt) еще не имеют общих точек с областью VQ из равенства (5.18.14). В такие моменты времени передний фронт возбужденного поля еп;е пе успел распространиться до точки М . При t > ip к точке М начинает подходить продольная волна, содержащаяся в первом и третьем слагаемых из правой части формулы (5.17.41). Первое слагаемое

r Тр), то в силу равенства (5.18.14) поле t) представляется выражением

Ш не зависящи.м от времени. Аналогично обстоит дело и со вторым слагаемым

r
из правой части формулы (5.17.41). Оно раврю нулю при t < tg, изменяется при возрастании времени в промежутке tg < t < Tg, а. 269

при t > Ts принимает значение =

(5Л8Л6') (Vo)

уже не зависящее от времени (так как область VQ располагается внутри сферы г < Vat). Что касается последнего слагаемого правой части соотношения (5.17.41), представляющегося выражением t

vt{M, t)

= ^jTdTj j jgrad 0

(^grad i

dV

(5.18.17)

VaT
(в котором учтено соотношение (5.18.14) и сделана замена переменной интегрирования т на i — г), то его следует несколько преобразовать. Для этого целесообразно представить объемный интеграл в виде VpT

j j j gra.d(^gTad^~fiM')^

dV'=

j'P[r)dr,

VgT
где j J gT&d(gmd^'f{M')^

(5.18.18)

dS'

r=const

обозначает интеграл по сфере г = \М — М'\ = const, и применить формулу V„t

j TdT j

0

v,T

f{p)dp^

j

^^ J

0

I

p/vp

I

"^t

p/Vp

v.t

p/vp f(p)dp,

(5.18.19)

получающуюся в результате перестановки порядка интегрирования в двойном интеграле по треугольной области в переменных р, т, огра0 ниченной прямыми р = VgT, р = v.tVpT ч т = t. В результате для 270

t) из выражения (5.18.17) получается следующее удобное выражение:

Vit
+

V

v^/ "

^^ ^ 111''^ 87г/г(А + 2fj.)

V" ^

+

т ' ^ ')

(5.18.20)

r
Па основании выражения (5.18.20) ясно, что i) = О при t < tp, в промежутке ip < t < Т, эта функция зависит от времени, а при t > Ts (когда область VQ ИЗ формулы (5.18.14) уже располагается внутри сферы г < Vst), вследствие чего под знаком интеграла первого слагаемого из выражения (5.18.20) оказывается ~f{M') = О в силу равенства (5.18.14)) она принимает значение

(Vo)

(5.18.20') и перестает зависеть от времени. Таким образом, процесс установления статического поля в точке М, начинающийся в момент t = tp, заканчивается в момент времени t — Tg. Установившееся статическое поле в точке М определяется суммой полей (5.18.5'), (5.18.16'), (5.18.20') и оказывается равным lt{M)

=

А+ ^ f f f (Л -f гц)7{м') + (Л -ь м) ( f t ? ( M ' ) ) f t 87Г/Х (А + 2/i) у у у 87Г(Х{\ + 2ti)r

,

(Vo)

(5.18.21) что, естественно, совпадает с известным из теории упругости статическим решением задачи для безграничной среды при воздействии (5.18.14). Заметим, во-первых, что при получении выражения (5.18.21) мы воспользовались формулой (5.18.12) при , и, во-вторых, что в случае сосредоточенных воздействий (5.18.14) с плотностью массовых сил Тк{М) = Т1б{М-Мг), (5.18.22) 271

где ik при к = 1, 2, 3 — орты декартовой системы координат, из формулы (5.18.21) получается статическое поле

известное как решение Буссипеска 1-го рода. (Здесь г = \М - Mi \ и Подобным же образом может быть описан процесс «снятия» в точке М ^ Vo в момент t = to > Ts статического поля (5.18.21), возникшего в результате выключения при t = О воздействия (5.18.14). Для этого достаточно лишь на изучешюе выше поле lt{M,

t) = й|(М, t) + «t(M,

t) + 4(М,

t)

из формулы (5.17.41) (приводящее к полю lt{M) (5.18.21) при t > Tg) наложить дополнительное поле if^lM, t), возбуждаемое в безграничной упругой среде (находившейся в покое при t < to — Ts) в результате включения в момент t — to — Ts («обратного») статического воздействия Т ш ' t ) ^

^

- I

' ^ ~ \

о,

-

+

^

М ' ^ Ко.

Такое воздействие начинает влиять на поле Tt{M, t) (5.18.21) в точке М в момент t = to - Ts к ъ момент t = to оно создает в точке М дополнительное поле lt°{M, to) = —lt{M) из выражения (5.18.21), которое компенсирует (снимает) в точке М статическое поле (5.18.21). 3. Рассмотрим теперь процесс установления стационарного колебательного режима в безграничтюй однородной и изотропной упругой среде. Пусть при t < О среда находилась в покое, а в момент t = О к ее фиксированной области Vo прикладывается воздействие с плотностью массовых сил (5.^3) где e{t) и Vo имеют такой же смысл, как и в воздействии (5.18.14).

272

Возбуждаемое воздействием (5.18.23) поле (5.18.13) описывается формулой (5.17.41). Если подставить значение (5.18.23) в выражение (5.17.41), то нетрудно убедиться в том, что исследуемое поле может быть представлено формулой li[M,

t) +

t) =

0],

(5.18.24)

где I I I

ijtlipiLe-'^rf..

r
^ ^

"

I I I

r
4^/

// 0

dV.

(5.18.27)

V,r
Интегралы (5.18.25) и (5.18.26) имеют структуру, аналогичную структуре интегралов (5.18.15) и (5.18.16), вследствие чего качественное описание полей t) и t) не отличается от изложенного в п. 2 описания полей (5.18.15) и (5.18.16). Что касается поля t) из формулы (5.18.27), то его следует предварительно преобразовать, подобно тому, как преобразовывался интеграл из правой части формулы (5.18.17). При этом вместо выражения (5.18.19) теперь следует пользоваться вспомогательной фор.мулой t

VpT

JTCIT J е-'''^fip) о

v,T

p/v,

= J f{p)dp 0 = / /f^ J iV^v,

J p/vp

+

cjV

dp ^

Dpi + J f{p)dp v.t

e-^-/- - f ^

273

J

те-''^' dT =

p/vp + Л ) J

I ^ i P ) dp+

J

+ 7 / J [

_

1^ J

VpUJ^

^^

v.t

^ ( p ) и з ф о р м у л ы (5.18.18). Выполняя выкладки, аналогичные переходу от формулы (5.18.18) к формуле (5.18.19), приходим для t) к следующему окончательному представлению:

С функцией

=

1 1 grad (^grad J t ( M ' ) ' V,t
2 LO

e

dV'+

^ e

+^ / / / g r a d

(grad i 7 ( M ' )

r
i L + \U!Vs

e-i-r/.,

_ ^

ir

V^^P

1

'^^y

^-iuir/vp dV,

J

(5.18.27')

которое (как нетрудно проверить) переходит в выражение (5.16.20) при ш 0. Используя обозначения (5.18.6), па основании формул (5.18.24)— (5.18.26) и (5.18.27') нетрудно убедиться, что при t < tp точка М находится еще в покое. Процесс установления стационарного режима колебаний в этой точке начинается в момент времени t — tp и заканчивается в момент t = Ts. При этом стационарный колебательный процесс в точке М при значениях времени t > Tg определяется формулой

TtiM,

t) =

.

1

f f f K i M , М') (Vo)

(5.18.28)

-ь (Vo) 274

в которой Фр(М, М')

= (ft?(M"))ft

+

=

• Vp г'р I Г Т" о из / \

Ф!(М, М ' ) = 7 ( М ' ) -

(5.18.29) Заметим, во-первых, что здесь, так же как и в случае (5.18.20), мы воспользовались соотношением (5.18.12) при ^ = и, во-вторых, что если ввести обозначения ^-iur/v^ ^yl ^ (Vo)

?(М) =

iw^r

Vg \

UJ

Oj'^ J

(Vo)

TO формула (5.18.28) может быть переписана в виде itiM,

t) = е"iujt

iirfi

1 grad (р{М) 4^(Л + 2tx)

rot

где дифференцирование производится по точке М . Такое представление поля it легко могло бы быть получено и из «непреобразованной» формулы Стокса (5.17.4), (5.17.23), (5.17.24), если выражения для Pi и Щ преобразовать по формулам, аналогичным (5.18.19'). При этом нетрудно было бы убедиться и в том, что связь между pi, 9i и (р, ^ дается выражениями вида Р1 =

-1 47Г(А + 2fj.)

i-Kfl

-Г^ где (ро и фо - некоторые функции, линейно зависящие от f и такие, что gradipo = rot^o является лапласовым вектором. 275

Если положить (5.18.23')

7{М)=Т15{М-М,),

где M l — произвольно выбираемая точка области Vo, то из формул (5.18.28), (5.18.29) получаются (фундаментальные) поля основных стационарных точечных источников, определяемые формулами ФР{М,

ML, ;

I

47г(Л + 2 f i )

+•

1

ФДМ, Mi,;fc)

.

(5.18.30)

= 1,2,3,

4пц

в которых p i—r •

„Л

Ч - 3(ftu)rt (5.18.30')

Ф! = u - (ft u ) f t

-

I—r

V

-\—-

где Т^ = M M i , г = |М —Mil и f t = Поля ut{M, M i , f ) представляются волнами, уходящими на бесконечность, как и должно бьггь в соответствии с уашвиями излучения. Остается отметить, что исходное поле l t ( M , t) из формул (5.18.28), (5.18.29), отвечающее произволыюй непрерывной плотности массовых сил (5.18.23), является очевидным наложением 3 lt{M,

t) = I I I

M l , t){f{M,)Jl)dM,

(5.18.28')

(Vo)

полей (5.18.30), (5.18.30'), взятых с весовыми множителями (?(Mi)ll). 4. В качестве следующих примеров применения формулы Стокса обсудим вопросы, связанные с полями основных нестационарных точечных источников в однородной изотропной упругой среде, при помощи которых легко конструируются поля любых точечных источников упругих волн. 276

Пусть в безграничной упругой среде, находившейся в покое при t < О, прикладывается воздействие, определяемое одной из следующих плотностей массовых сил: fp{M, t) = -47r(A + 2/x)<7(Ograd(5(M-Mo), fk{M, t) = -4nMit) 7(M,

rot[itSiM

t) = i^qit)6{M

(5.18.31)

- Mo)],

(5.18.32)

- Mo).

(5.18.33)

Здесь S{M — Mo) - трех.мерная ^-функция Дирака, p^ — const — единичный вектор, a функция q{t), непрерывная вместе с первой производной при всех t, удовлетворяет условию q(t) = О при < < 0. (Вследствие этого очевидно, что ^(0) = q{0) — 0.) Поставим задачу определить на основе формулы Стокса поля смещений в точках М ф Мо, отвечающие указанным воздействиям. При это.м нужно отметить, что случаи плотностей (5.18.31) и (5.18.32) следует рассматривать лищь как упражнение на применение формулы Стокса, так как соответствующие поля с.мещений уже изучались в § 15 и 16 и выражались формулами (5.15.20) и (5.16.8) при to = 0. Как неоднократно указывгыось выше, для нахождения полей смещений, отвечающих сингулярным источникам, содержащим в том или ином виде Л-функцию Дирака, нужно сначала рассматривать аналогичную же задачу, в которой J-функция за.менена гладкой добразной функцией вида (3.9.9) или (3.9.10), и в построенном решении совершать предельный переход при е 0. Предельное поле как раз и дает решение расс.матриваемой исходной задачи. Мы будем придерживаться изложенной последовательности в рассуждениях, пользоваться обозначениями Л=|М-Мо|,

=

(5.18.34)

М = {xi, Х2, Хз), Мо = (arj, Х2, х^) и считать, что R = \M-Mo\>

ео,

(5.18.35)

где £0 > О — сколь угодно .малое фиксированное число. В качестве Ss(M — Мо; ПО) возь.мем функцию (3.9.9) при Е < £О, Щ > 1 И будем учитывать указанные в §9 ее свойства гладкости, а также то обстоятельство, что — Мо; щ) = О при \М — Мо\ > е. 277

5. Для нахождения поля, отвечающего воздействию (5.18.31), следует исходить из гладко распределенной плотности массовых сил Тр{М, t) = -47r(A + 2p)<j(0grad(5,(M - Mo; щ).

(5.18.31')

Искомое поле определяется в результате подстановки плотпости (5.18.31') вместо 'f{M, t) в формулу (5.17.41) с последующим предельным переходом е 0. Однако из-за третьего слагаемого в формуле (5.17.41) вычисления по ней оказываются громоздкими и требующими предварительного преобразования интеграла из упомянутого слагаемого, подобного преобразованию интеграла (5.18.17) в формуле (5.18.20) или интеграла (5.18.27) в формуле (5.18.27'). Проще исходить из «еще не преобразованной» формулы Стокса (5.17.4), в которой полагается й^{М) = = О ввиду выбранных нулевых начальных данных в нашей задаче, а "/(М, г ) — j t i M , т) = О ввиду формулы (5.18.35) и неравенства е < еоДля интересующих нас точек М формула (5.17.4) принимает вид itiM,

t) = T^feradpi + rot

2p

(5.18.36)

где Pi и i t даются равенствами (refq23) и (5.17.25). Как следует из рез^ьтатов п. 5 § 17 гюдстановка в выражение (5.17.25) значения / = fe{M, t) (5.18.31') дает тождественный нуль. Поэтому остается вычислить лищь выражение

r < V p ( t - r )

t jTq{t-T)dT

= 2{X + 2/i) 0

Jj j

gvad^gvad 6,{M'-Ma;

no) dV,

r
(5.18.37) где r = |M — M'l, f t = MA^'/г, a дифференцирование производится по точке М'. Учитывая, что — MQ; Щ) = О в окрестности точки М (т. е. при г < £о — е), и принимая во внимание известный факт, что divgrad - = А ^ = О при г г 278

г > О,

получаем равенство grad - grad J j f M ' — Mo; no) = div r

- Mo; no) g r a d -

позволяющее применить теорему Гаусса к интегралу по сфере г < < VpT из формулы (5.18.37). В результате этого, а также замены переменной интегрирования т на г'/Vp последовательно находим Pi = = 2(А + 2/i) J r q { t -T)dr

J J Ы grad i j

( M ' - Mo; щ ) dS' =

r=VpT

0

Vpt = 2(A + 2m) У I

^dr'x VpJ Ур

X j J ( f t 5 , { M ' ~ Mo; no)

dS'=

r=r'

(^r^grad i j <5e(M' - Mo; no) dV.

= 2p J j J я r
Тривиальный переход к пределу при е видно приводит к выражению

Pi

2pq

Rgrad'Р/

\

KJ

О в этой формуле оче-

=-2р-

V

w

R

подстановка которого в формулу (5.18.36) дает t) = -

g'{t-R/vp)

^ q{t - R/vp)

VpR

m.

(5.18.38)

Представление поля смещений формулой (5.18.38) по своему смыслу в точности совпадает с представлением (5.15.20), как и должно быть. Заметим, что в формуле (5.18.38) не выписан множитель e { t — —R/vp), так как предполагалось д{т) = О при г < О, а значение Ri 279

связано со значением rt (5.15.20) равенством Ri = - f t , вытекающим из сопоставления выражения (5.18.34) с (5.15.4). Аналогично рассматривается и воздействие (5.18.32), при котором формула (5.17.4), переписывающаяся в виде формулы (5.18.36) со значениями pi к Щ из формул (5.17.23) и (5.17.25), приводит к полю (5.16.8). Выполнение несложных преобразований предоставляется читателю. 6. При рассмотрении нетривиального случая (5.18.33) следует исходить из гладкой плотности массовых сил t{M,

t) = ШШМ'

- Mo; no)

(5.18.33')

и пользоваться формулой (5.17.41). Подстановка значения jt{M, t) (5.18.33') вместо ^ ( М , t), например, в первое слагаемое правой части формулы (5.17.41) приводит к выражению ^ [ f f m i i J t 7 ,1 == ^ 4n{X + 2ii) J J J r V r
f 0,

Vpt
=

/•/•/•

Vpt>

=

e, Л

47Г(Л-Ь2М) J J J \ \M'-Mo\<e при

1.) 8ЛМ' - Mo; no)dV' VpJ 'Р/

Л

Ш ) ^

Vj,J

R + e,

из которого вследствие предположения, что ^(г) = О при г < О, а также непрерывности подынтегральной функции сразу же получается =

(5.18.39)

Столь же просто вычисляются и остальные слагаемые из формулы (5.17.41). При этом третье слагаемое целесообразно сначала преобразовать на основе соотношения (5.18.12). Таким образом, для искомого поля смещений, отвечающего воздействию (5.18.33), получается окончательное выражение •t(M,

t) = 4 ( М , t) Н- wt(M, t) -h vi{M, 280

t),

(5.18.40)

в котором (5.18.41)

ut = / t

р^ - (tip^)lti 47Г//Я

R

(5.18.42)

\

t-R/v,

(5.18.43) t-R/v.

причем ^ = ДЗ grad ( ^ g r a d й ) = ЗЛ|

- Й = (5.18.43')

аЛ и определены формулами (5.18.34). Первое слагаемое из правой части формул (5.18.40), т. е. UP(M, t) из формулы (5.18.41), описывает продольную волну, убывающую как при возрастании расстояния R точки наблюдения М от точки Мо, в которой расположен источник. Множитель {Rip^)Ri — = Ri cos в, где в — угол между векторами ^ и определяет ее функцию направленности. Само по себе поле t) не удовлетворяет уравнению Ламе. Второе слагаемое из формулы (5.18.40), т. с. функция (5.18.42), соответствует поперечной сферической волне с функцией напрвленпости, равной ^ = где — орт сферической системы координат (перпендикулярный R\). Функция ut(M, t) убывает при возрастании R, как Я " ' , причем она также не удовлетворяет уравнению Ламе самостоятельно. Характер разрывов поля lt{M, t) (5.18.40) на фронтах t

R v„

= с = const

и

t

R

= с = const

(5.18.44)

VC

определяется свойствами функции q(t). Если при t > О эта функция не имеет разрывов в производных всех порядков, то фронтами оказываются поверхности (5.18.44) лишь при с = 0. При этом в случае 9(0) = О, ^'(0) ф О поле t) (5.18.40) имеет правильные сильные разрывы за счет разрывов в первых производных у слагаемых й^ ^ 281

ut- Что касается слагаемого й^ из формулы (5.18.40), то оно остается непрерывным с первыми частными производными. Призводпые же более высоких порядков от й^ испытывают на указанных фронтах разрывы непрерывности, причем эти разрывы реализуются как в продольной, так и в поперечной составляющих поля. Последнее видно на примере выражения - t { M , Mo) 47грДЗ

V, -1

+q

\

V,

в котором вектор " ^ ( М , MQ) В соответствии с соотношением (5.18.43') имеет составляющие по направлению как вектора R i , так и вектора Oi. Это, естественно, согласуется с общим заключением из п. 4 § 7 о характере разрывов поля it на волновых фронтах. Итак, поле t) относится как к продольной, так и к поперечной волнам. С возрастанием R оно убывает как R"^, т. е. на «порядок» быстрее, чем поля (5.18.41) и (5.18.42). Поэтому на достаточно больших расстояниях R полем й^ в формуле (5.18.40) можно пренебречь. Следует отметить, что слова «на достаточ1Ю больших расстояниях» приобретают точный смысл лишь при переходе от функции q{t) к ее спектральному представлению Фурье. При этом большими оказываются расстояния R, во много раз превосходящие длину волны поля. В заключение полезно подчеркнуть, что полученный результат (5.18.40)—(5.18.43) не зависит от частного выбора функции 6s{M — —Mo; По) (5.18.33'), от которой мы переходили к функции Дирака 6{М — Мо) (5.18.33). Так, например, все выкладки остаются практически неизменными, если в качестве в формуле (5.18.33') взять функцию вида

(5.18.45)

к=1 где [

>0,

\xk-xl\<ek,

О,

\xk-xl\>ek,

282

(5.18.46)

— достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условию со

j

S,,ixk-xDdxk^l.

(5.18.46')

-оо

Областью ненулевых значений такой функции оказывается не сфера \М - Мо\ < е, а, параллелепипед \хк - хЦ < Sk, к = 1, 2, 3, вследствие чего единственное различие в выкладках будет теперь состоять в том, что вместо прежнего одного предельного перехода при е -)• О в формуле (5.18.39) теперь нужно рассматривать три предельных перехода при ек —О, порядок которых очевидно безразличен. Указанная возможность раздельного рассмотрения предельных переходов при е^ —^ О придает выводу несколько большую гибкость. В частности, если положить 3 к=1

подставить значение t) = 'fе^е^ез^^' ® правую часть формулы (5.17.41) и совершить предельный переход при ез О, то получится формула, совпадающая с формулой (5.17.41), если в последней: 1) тройные интегралы заменить на двукратные (по круговым областям, совпадающим с сечениями сфер г = Vpt и г = Vst плоскостью хз = Жз); 2) под г понимать выражение

3) под М' — точку {х[, Х2, Хз) и, наконец, 4) под 'F — функцию Уе.еЛМ,

(5.18.48)

имеющую смысл (поверхностной) плотности массовой силы, заданной на плоскости агз = а:^. Последующий предельный переход при £i О, £2 О в описанной формуле очевидно также приводит к формулам (5.18.40)—(5.18.43). Таким образом, выясняется, что переход к сосредоточенному воздействию (5.18.33), возбуждающему поле (5.18.40)—(5.18.43), можно совершать па основе первичного задания

283

поверхностной плотности сил вида (5.18.48). Заметим, что такой подход к заданию точечных источников упругих волн оказывается весьма удобным во многих задачах па распространение волн в средах, содержащих плоскопараллельные границы раздела. 7. Нетрудно видеть, что поле с.меп;епий (5.18.40)—(5.18.43) может быть положено в основу определения полей любых точечных источников волн в однородной и изотропной упругой среде. Это дает основание называть такое поле фундаментальным. Полагая в выражениях (5.18.33) и (5.18.40)—(5.18.43) последовательно р^ = ik, к = I, 2, 3, где — орт декартовой системы координат, получаем три независимых фундаментальных поля ut(M, Mo, t) = at0)q{t

- R/vp) + fk0)q{t

-

R/v,)+

t-R/Vp

+ct{t)

j

{t-T)q{r)dT,

(5.18.49)

t-R/v,

где

(5.18.49') 47ГрД5 при использовании обозначений (5.18.34). Каждое из полей (5.18.49) удовлетворяет нулевым начальным данным при t — О, если q{t) = О при t < О, и возбуждается в результате действия массовой силы с плотностью fk{M, t) = itqit)5{M - Mo). (5.18.50) Легко убедиться в том, что поле (5.18.49), (5.18.49') содержит в себе поля (5.18.22) и (5.18.30), (5.18.30') фундаментальных статического и сиационарного точечных источников (5.18.14') и (5.18.23'). Для этого достаточно соответственно положить q{t) = e{t), q{t) = = e{t) exp{iujt) и вычислить интеграл из формулы (5.18.49) при значениях времени t > R/v, превосходящих время установления статического и стационарного режимов. Таким образом, все результаты для статических и стационарных точечных источников могут быть получены на основе рассмотрения источников (5.18.50). 284

Переходя к определению понятия о точечных источниках различных порядков, мы сначала отбросим временной множитель q{t) и вместо 6{М-Мо) будем рассматривать функцию 5s{M — Мо) (3.9.9), имеющую призводпые всех 1юрядков. При этом под Мо + буде.м понимать точку, получающуюся из Мо изменением ее координаты (с номером q) на величину и будем называть выражения оо h{qu

9 2 ,
= ///(^i -

(^2 -

Ari^'i

- xlY4k{M')

dM',

(5.18.51) в которых 9 1 + 9 2 + 9 3 = т, а, q — целые числа, моментами т-то порядка относительно точки Мо от составляющей fk{M) плотности массовых сил к=1 в качестве исходных для определения возьмем три плотности массовых (единичных) сил = itS,{M-M„),

(5.18.52)

которые для наглядности .можно то.^тковать как силы, приложенные к точке Мо (что реапизуется, конечно, .лигиь при г —)• 0). По плотностям сил (5.18.52) определим девять плотностей массовых двойных си.д (с моментами первого порядка): JtS^iM - М о - Д ^ ) - itSeiM

^ 0 ^^^^ f каШ)

=

r h

t l - ^ L X M - Мо) =

- Мо) =

- Мо),

(5.18.53)

конструируемых по аналогии с тем, как конструируется математический диполь в электростатике. По девяти плотностям двойных сил (5.18.53) определим 27 пар двойных сил (с мо.ментами второго порядка), характеризуемых массовыми плотностями

=

'

Д^^^ "р 285

'

=

- Mo)

^ п» n дх1дх°

= '^k

= '^k -

- Mo) dXpdXq

(5.18.54)

Продолжая указанный процесс, приходим к сонокупности плотностей массовых сил с моментами т - г о порядка, определяемых формула.ми

(5.18.55) в которых, как и везде далее, Qk > О — целые числа, связанные условием 91 + 52 + 9з = тп. Заметим, что вследствие предположения о бесконечной гладкости функции — Mo) все ее частные производные вида (5.18.55) имеют классический смысл. При этом для любой аналитической функции Ф ( М ) и любого m > О выполняются очевидные соотнопюния

=

[ [ [ Ф ( М ' )

(-Г

Ш'

[ [ [

ш'

(5.18.56)

—оо

limL

(

М=Мо

Условимся понимать под сосредоточенной массовой силой

с моментом т-го порядка результат предельного перехода при е О от плотности (5.18.55). Плотность такой силы будем обозначать символом fk^.^^JM) =

(5.18.57)

где 91 -Ьдг +?з = ГП, причем свойства ш-й производной от 5{М - MQ) будем понимать в смысле формулы (5.18.56).

286

Вследствие соотношений (5.18.56) и аналитичности функции Ф(М') = входящей под знак интеграла (5.18.51), ясно, что все моменты плотности силы Ik{qi, д2: Qs) (5.18.57) раниы нулю, если выполняется хотя бы одно из неравенств qi ф qi, q2 ф 92, 9з Ф Яз- Что касается момента (5.18.51) с параметрами qi = 51, 92 = 92, йз — 9з, то для него получается значение Ik{quq2,q3) = {-rqi\q2lq3^-

(5.18.58)

Рассмотрим теперь сосредоточенные силы, характеризуемые массовыми плотностями -f

^

^

- Мо)

= ^ ^ ^ ( ^ ^ М ^ Г Щ Й ^

(5.18.59)

с функцией q{t), непрерывно дифференцируемой до порядка т включительно. Если в равенстве (5.18.59) заменить 5{М — Мо) на — MQ) и подставить результат в формулу (5.17.41) вместо ~F{M, t), то появится очевидная возможность вынесения за знак всех интегралов операции т-кратного дифференцирования но точке MQ. При этом под знаком производной ( т - г о порядка по х°) окажется выражение, в точности равное результату подстановки вместо в правую часть формулы (5.17.41) плотности силы t) = itqmiM

- Мо).

t)

(5.18.50')

Подобное выражение изучалось в п. 6, где было показано, что при £ —> О оно приводит к полю (5.18.40) или, что то же, (5.18.49). В случае же малого е > О оно приводит к нолю VT{M, MQ, t) (5.18.52), в котором аргумент Mq — (х®, х", Xg) заменен на аргумент Мо = = (х? -I- 9is,X2 + 628, -f 638), где — некоторые числа, удовлетворяющие неравенствам \вк\ < 1. Но на основании предположенной гладкости функции q{t) из формулы (5.18.59) и конструкции правой части выражения (5.18.49) можно утверждать, что при \М — Мо\ > £ все производные т-го порядка от поля VT{M, MQ, t) непрерывны по точке MQ. Вследствие этого гшд знаком упоминавшейся производной

287

m-го порядка (вынесенной из-под знаков интегрирования в формуле (5.17.41)) допустимо переходить к пределу при е —> 0. Таким образом, можно утверждать, что воздействие (5.18.59) возбуждает в однородной и изотропной безграничной упругой среде поле смещений, выражаюн;ееся по формулам Т^

гм

м МО,

t)

--

--

д"^йt{M,

Mo, t)

через поле ЙЦМ, MQ, t) из выражения (5.18.49). (Замена дифференцирования по точке Мо на дифференцирование по точке М в случае рассматриваемой среды воз.можна ввиду того, что поле lt{M, MQ, t) фактически зависит лишь от f и вектора = (ж® — xi)Ji -I- (ж® — —X2)LT + (2:° — ХЗ)ГЗ = MMQ. Подобная зависимость является одним из характерных свойств полей в однородных и изотропных безграничных упругих средах.) В заключение полезно отметить, что рассмотре1П1ые нами ранее плотности сил f],{M, t) и fk{M, t) из соотношений (5.18.31) и (5.18.32) относятся (по введенной терминологии) к сосредоточенны.м силам с первыми момента.ми. При этом из-за наличия формул 3

%{М,

t) = 47г(А + 2 / х ) 9 ( 0 Е

^

- Мо)

А:=1

Д ( М , о =47ГМ9(^)

= 47rw(t) ^ [ г , X Ik]

= 47r/ug(i)

dS{M - Мо) ^

= д6{М - М о )

где к - 1 = 3 при А: = 1иА;-|-1 = 1 при к = 3, можно утверждать, что поля й|(М, t) и vt{M, t) (5.18.38) ia (5.16.8) выражаются через

288

векторное поле UT(M, MQ, t) (5.18.49) в виде равенства t) = 47Г(Л + 2ц)

Мо, t)

(5.18.61)

к=1

В случае продольных волн и в форме равенств ut(M,

t) = iTTfi jr-^lfkniM,

в случае волн поперечных.

Mo, t) -

Mo, t) (5.18.62)

Глава 6 Плоские и квазиплоские волны в изотропных упругих средах с плоской границей раздела Рассмотренная в предыдущей главе однородная и изотропная упругая среда является далеко идущей абстракцией, весьма полезной, по совершенно не достаточной для решения задач практики. Все реальные упругие среды в какой-то степени неоднородны (и анизотропны) и, что особенно существенно, всегда имеют границы раздела, как внешние, так и внутренние. На границах раздела упругих сред могут возбуждаться специфические (характерные) для теории упругости процессы, которые проявляются в наиболее простом (физически чистом) виде в случае плоских границ раздела и однородных изотропных сред. При этом описание основных закономерностей в таких процессах естественным образом сводится к теории плоских (и поверхностных) волн. Понятие о плоской волне, являющееся абстракцией реально наблюдаемых процессов (очень простой в математическом отношении и далеко не такой простой с точки зрения физики), оказьюается весьма важным и полезным в теории распространения волн. Это объясняется прежде всего тем, что сложные в о л 1 Ю в ы е поля в кусочнооднородных (изотропных) средах часто удобно рассматривать математически как результат наложения того или иного множества (вещественных или комплексных) плоских волн. Немаловажное значение имеет и тот факт, что многие окончательные формулы теории распространения волн допускают наиболее простое и естественное толкование именно в терминах локально-плоских волн. В теории плоских волн, как известно, некоторое затруднение могут вызьшать вопросы, связанные с постановками задач на распро-

290

странсние волн, что является прямым следствием абстрактности понятия «плоская волна». Для преодоления возникающих трудностей целесообразно исходить из какой-либо реальной модели волнового поля, приводящей к понятию «плоская волна», и ставить задачи, основываясь па принятых модельных соображениях. В качестве простейшей и наиболее естественной модели такого рода в изотропных средах удобно брать поле, вoзбyж;^eнпoe точечным источником в области, прилегающей к элементу фронта волны, кривизна.ми которого уже допустимо пренебрегать в рассматриваемых конкретных условиях. Примерно так же обстоит дело и в случаях анизотропных сред, где обращение к локально плоским волнам вытекает из соображений наглядности в механизме процесса распространения поверхностей разрывов в производных ноля смен;ений по времени на волновых фронтах. § 19. Сферические и плоские (однородные и неоднородные) волны. Отражение плоских волн от границы упругого полупространства. Явления полного внутреннего отражения Как следует из результатов § 18, поля упругих смещений, возбуждаемые в однородной изотропной упругой среде сосредоточенными (равно как и распределенными по «малой» области Р^) стационарны-ми или нестационарными источниками, представляются па достаточно больщих расстояниях от источников (т. е. в волновой зоне поля) в виде сферически расходящихся продольных и поперсч[1Ых волн. Если не обращать внимания на векторный характер таких полей смещений, а также на возможную зависимость «интенсивности» волны от направления на выбранную точку наблюдения (рсак это имеет место, например, в случае источников вида (5.18.33)), то можно считать, что в волновой зоне поля упомянутых источников упругих колебаний представляются в виде u[M,t)

(6.19.1)

= \ ( t - - ) , г

\

V/

характерном для простейшей (скалярной) сферически расходящейся волны, распространяющейся со скоростью v. Подьштегральная функция и(М, t; w) = - e x p i w f i г

291

\

- ( 6 . 1 9 . 2 ) V/

из разложения со

и(М, t) = Re j

(^t -

(6.19.2')

duj

о поля и{М, t) в интеграл Фурье определяет элементарную монохроматическую сферически расходящуюся волну. При этом существенно, что как представление (6.19.1), так и представление (6.19.2) строго удовлетворяет скалярному волновому уравнению со скоростью распространения V. Покажем, что если рассматривать поле источников (6.19.2) и их наложение в некоторой ограпичепной части пространства, то при известных (формулируемых далее) условиях его можно приближенно отождествлять с полем плоской волны. Для этого предположим, что сферическая волна и(М, t\ ш) наблюдается па весьма больших расстояниях г от источника MQ И притом лишь в точках М ограниченной пространственной области V, размеры которой по всем паправлениям характеризуются величиной порядка I. Если обозначить через радиус-вектор некоторой фиксированной точки О £V, то для вектора = МдЛ? очевидно будем иметь = H +

(6.19.3)

где f = Ш , \-f\ < I. При этом оказывается, что +

*

''о

+

Vo/

(6.19.4)

и если достаточно хорошо выполняется неравенство (6.19.5)

I « Го, то для всех точек М € V можно полагать

г

Го

1

1 +

Го

« —. Го

На основании этого для фазы волны (6.19.2) получается выражение u>(t — r/v) = и t - — V

292

VTo

V

\Го

из которого видно, что если выполняется условие ,2

(Р1 V

V Го

или, что то же, поравенство < 7ЛГ0,

(6.19.6)

где Л = 27ги/ш, то в точках М £ V допустимо пользоваться приближенной формулой : Ш

vro

Наконец, если обозначить = г^/го постоянный единичный вектор, определяющий направление распространения волны (6.19.2) в фиксированной точке О области V и считать, что наряду с выражениями (6.19.4) и (6.19.5) выполняется еще неравенство (6.19.7)

Л = 27г- < I, U)

обеспечивающее многократную осцилляцию выражения ехргш(< — —г/у) при перемеш,ении точки М внутри области V, то для поля (6.19.2) в точках М области V получается приближенное представление и{М, t\ w) и - ехргш t -

(6.19.8)

в виде плоской монохроматической волны, в которой t' — t — TQ/V играет роль локального для области V времени. Что касается нестационарной волны (6.19.2), представляющейся разложением (6.19.2') и наблюдаемой в 0граниче1П10й пространственной области V, то для нее также гтолучается приближенное представление в виде плоской волны

. ( М , t) . Re / i M e x p . . (F J ro V

г;

J

^

^ \ ft' Го ^ V

V

/

,

(6.19.8')

293

если выполняется неравенство (6.19.5), а функция Ф(а;) заметно отличается от нуля лишь в таком промежутке ui < ui < Ш2 угловых частот, что для каждого ш выполняются неравенства (6.19.6) и (6.19.7). Итак выражения (6.19.8) и (6.19.8') в форме плоских волн получаются как приближе1п1ые представления полей сферических волн (6.19.2) и (6.19.3), справедливые в точках области V при выполнении условий (6.19.5), (6.19.6) и (6.19.7). Подобные же приближенные локальные представления можно было бы получить и для любой волны, радиусы кривизны фронта которой достаточно велики по сравнению с длиной волны. При этом весьма суп;ествепным здесь оказывается то обстоятельство, что выражения (6.19.8) и (6.19.8') строго удовлетворяют волновому уравнению со скоростью распространения V = const. Это позволяет рассматривать плоские волны как самостоятельные решения волнового уравнения в случае однородной среды, определенные во всем безграничном пространстве. В заключение отметим, что если положить пЛ = где п > 1, то условие (6.19.7) будет выполненным, а условия (6.19.5) и (6.19.6) примут соответственно вид Л/го и - « — . Го 4п2

(6.19.6')

Таким 0бр£130м, оказывается, что при выполнении лишь одного условия (6.19.6'), содержащего число п » 1, в точках области V, размеры которой характеризуются «радиусом» / отстоящей от источника Мо сферической волны па расстояние го, ноле сферической волны (6.19.2) можно заменить полем (6.19.8) плоской .монохроматической волны. При этом длина волны Л и раз.меры I области V связаны друг с другом соотношением (6.19.7). 2. При изучении плоских волн мы будем обозначать через it = = const единичный вектор распространяющейся волны, а вместо попрежнему будем писать Т^, где У' — радиус-вектор точки М поля относительно начала О некоторой выбранной системы координат. Фронтами плоской волны Л ^^^ и = ip \t — \

« /

оказываются безграничные плоскости, определяемые уравнением = vt + const. 294

Тот факт, что поле нестационарной плоской волны определено и отлично от нуля в некоторой безграничной полосе, параллельной фронту, как раз и связан с упоминавшейся абстрактностью понятия «плоская волна». Плоскую волну во всем безграничном пространстве, конечно, возбудить нельзя. Однако в любой ограниченной части однородной среды можно возбудить поле, имеющее характер плоской волны с любой наперед заданной точностью. На практике такие волны возбуждаются обычно излучателями, совершающими синхронные колебания с частотой to в точках некоторой плоской поверхности. Если для размеров I этой поверхности хорошо выполняется неравенство I 3> А, где Л — длина возбуждаемых волн, то на не слишком больших расстояниях от центральной части такой поверхности поле имеет (почти точно) характер плоской волны. Для получе1шя аналитического выражения полей смещений плоских волн в однородной упругой среде, характеризуемой скоростями Vp и Vs распространения волн, необходимо задать в виде плоских волн выражения для продольного и поперечного потенциалов if к ^ . Полагая ^

=

Kill

+

Ii2l2,

где / ( г ) - произвольная дважды дифференцируемая функция, а составляющие вектора i t «нормали к фронту» подчинены условию к? -Ь

= 1,

(6.19.9)

обеспечивающему удовлетворение функцией ip волновому уравнению 1

.

= 0,

v = vp или Vs,

для поля смещений р-волны 1юлучаем

=

(6.19.10)

В случае вещественных значений « i и К2 из условия (6.19.9) фронтом такой волны оказывается плоскость = Vpt = const. Поляризация же волны определяется ортом it, нормальным волновому фронту.

295

Если для векторного потенциала выбрано выражение ^ =

\

't = Kill + K2lt,

Vs J

(6.19.9),

г д е /ti и « 2 у д о в л е т в о р я ю т у с л о в и ю 1Ю, TO д л я п о л я с м е щ е п и й в о л н ы

a

/ clt

-- произволь-

получается

iZt = r o t ^ = [grad/ X - f ] =

^l-^f Vs

(t - ^ ^

V

Vs

.

(G.19.11)

J

Фронты такого поля i t l ^ = Vgt = const имеют прежнюю структуру. Поляризация же волны теперь характеризуется вектором [6 х "i^], ортогональным нормали it к волновому фронту, т. е. лежащим в касательной к фронту плоскости. Существенно, что поля (6.19.9) и (6.19.10) сохраняют смысл решений уравнений движения однородной изотропной среды при любых значениях Кд, удовлетворяющих условию (6.19.9), в частности, и при значениях /ti > 1, когда составляющая «2 = ^ l - K j = ±г|1/к2 - 1| = ±г|к2| оказывается чисто мнимой. В таком случае поля (6.19.10) и (6.19.11) представляют собой, как говорят, неоднородные плоские волны. Физическая их сущность становится наиболее прозрачной в случаях, когда зависимость от t в формуле (6.19.10) оказывается гармонической, как, например, в подынтегральной функции разложения функции / ' ( г ) в интеграл Фурье оо

/'(г) = J Р{ш)

(bj.

Полагая /'{т) = exp(iwr), например, в формуле (6.19.10), имеем u

=

e

'

'"^p

ехрги

Ъ\

(6.19.12)

He касаясь деталей, лишь отметим, что такое поле сохраняет характер «плоской волны», распространяюп;ейся вдоль оси ОХ со скоростью V — Vp/ni и с амплитудой, экспоненциально зависящей от 296

переменной у. При этом знак при экспоненте следует выбирать так, чтобы амплитуда убывала при возрастании \у\ > 0. 3. Необходимо отметить, что нолповое уравпение имеет строгие решения в виде плоских волн только в случае однородной среды (в которой V = const). При этом нетрудно сообразить, что при встрече плоской волны с границей раздела двух (различных) однородных сред могут возникать отраженная и преломленная плоские волны только в том случае, когда граница раздела оказывается плоскостью. Поэтому основным в теории оказывается вопрос о распространении плоских волн в слоисто-однородных средах с плоскими границами раздела. Во многих случаях этот общий вопрос может быть расчленен (фактически или логическим путем) на частные вопросы, касающиеся прохождения плоскими волнами плоской границы раздела лишь двух сред. Один из таких вопросов мы и рассмотрим. При этом, чтобы не загромождать рассуждения непринципиальными подробностями, будем сначала предполагать, что речь идет о процессах, описываемых одним волновым уравнением, а не уравнениями теории упругости. Пусть плоскость у — О является границей раздела двух полупространств у > О и у < О, характеризуемых соответственно скоростями VI и «2 распространения волн, и притом такой границей, что для возбуждающихся в полупространствах волновых полей щ и «2 выполняются условия контакта

(«1 - И2)у=о = о,

'

ду

dyj^^.

= 0.

Так как зависимость от пространственных координат х, у, z поля плоской волны осун;ествляется посредством скалярного произведения { i t , Т^), то ясно, что для полного описания процесса отраженияпреломления такой волны от границы у = О раздела сред нет необходимости рассматривать все точки пространства, а достаточно дать его описание лишь в точках какой-нибудь одной плоскости (плоскости падения), содержащей вектор i t и прямую, перпендикулярную границе раздела. В качестве гюследней мы выберем ось 0Y декартовой системы координат, плоскость хОу которой (т. е. плоскость г = 0) совмещена с плоскостью падения рассматривае.мых плоских волн.

297

Таким образом, векторы , определяющие направления распространения плоских волн, будут характеризоваться в дальнейшем лишь двумя составляющими « i и К2, а поля плоских волн окажутся не зависящими от переменной z выбранной декартовой системы координат и, следовательно, принадлежащими классу решений плоских задач для волнового уравнения или уравнений теории упругости^. В силу изложенных обстоятельств ясно, что при выяснении вопросов, касающихся постановок задач на отражение—преломление плоских волн, целесообразно аппелировать к результатам (хотя бы качественного) исследования решения плоской задачи на отражение—преломление волны, возбужденной точечным (плоским) источником. У

t \

v=2

"2

ъ 0'\

0

Vv

С/ 0

/

/ /

-и

•к?

\

„,

'

1

/

"о

0 "J V=1

Рис. 2 4. Предположим, что указанная в п. 3 среда находилась в покое при t < to = -h/vi, а при t = to = -h/vi в точке MQ [х = О, у = -h) полупространства начинает действовать (плоский) точечный источник колебаний, порождающий первичную (падающую) цилиндрическую (или «круговую», если иметь ввиду лишь точки плоскости хОу) ' П л о с к и м и н а з ы в а ю т с я з а д а ч и д л я у к а з а н н ы х уравнений, решения к о т о р ы х д а ю т с я в ф у н к ц и я х , зависящих л и ш ь от д в у х пространственных координат (нап р и м е р ( i , у))

и времени t. Т а к и е решения регияизуются в с р е д а х , свойства ко-

т о р ы х не зависят от пространственной переменной z при у с л о в и и , ч т о от переменной Z не зависят и все входные д а н н ы е задачи.

298

волну Uj. в момент i = О падающая волна доходит до границы у = Q раздела сред и начинает возбуждать отраженную волну ui и преломленную волну «2 соответственно в полупространстах j / < O H ? / > 0 . В некоторые моменты времени < > О картина расположения фронтов падающей, отраженной и преломленной волн в плоскости z = 0 будет иметь вид, изображенный на рис. 2. Точка О' на рис. 2 соответствует пересечению передних фронтов указанных волн с плоскостью у = О, а прямые О'ао, O'ai и О'аз изобрг1жают касательные плоскости соответственно к фронтам волн Uj, и «2 в точке О'. Если бы ставилась задача нахождения точных выражений щ{х, у, t) и U2{x, у, t) по падающей волне у, t), то следовало бы искать решения волновых уравнений -

= О

(6.19.13)

vl соответственно в средах у > О и у < О нри нулевых начальных данных f = О и граничных условиях

в которых и\ отвечает извест1юму полю «падающей волны», возбужденной «точечным» источником Мо в безграничной среде со скоростью распрострапсния V]_. Решение такой (несложной) задачи выходит за рамки теории плоских волн, и мы пока не будем на нем задерживаться. Отметим лишь, что, как ясно из здравого смысла, отраженная Ui и преломленная «2 волны должны соответствовать (нестационарным) возмущениям, распространяющимся от границы 2/ = О соответственно в стороны возрастающих и убывающих значений у. Однако отказавшись от исследования сформулированной задачи в ее точной постановке, можно ставить цель рассматривать волновой процесс не во всей безгранич1Юй среде, а лишь в окрестности точки О', в которой пересекается (передний) фронт падающей волны с плоскостью у = О, т. е. с осью Ох на рис. 2. В точке О' пересекаются также и фронты отраженной и преломленной волн (как изображено на рис.2). Поэтому если размеры I упомянутой окрестности весьма малы по сравнению с радиусами кривизны Го волновых фронтов в точке О', причем для «доминирующих» длин волн Л рассматриваемых полей и величин I и го выполняются неравенства вида (6.19.6) и (6.19.7), то все волны могут

299

быть заменены плоскими волнами, распространяющимися в плоскости хОу соответственно по направлениям и перпендикулярным касателынлм плоскостям в точке О' к фронтам истинных волн Uj, UL и U2. Условимся, как это имеет место в теории плоских волн, определять направление распространения плоской волны углом ее падения в (где О < 0 < 7г/2) на границу раздела, образуемым вектором к с ортом нормали к границе. При этом для векторов и проведенных из начала координат и располагающихся соответственно в первом, втором, третьем и четвертом квадрантах плоскости хОу выбранной системы координат, будем иметь выражения = - sin
« t = sin вц + cos ei2,

(6.19.15) « t = - smelt - cos012,

« t = - sin ell — cos (

Обозначим через О, Oi и 02 углы падения пада10п;ей, отраженной и преломленной (в «малой» окрестности точки О') волн и учтем истинный характер движения волновых фронтов, вытекающий из рассмотрения точной задачи для полей щ и мг- Тогда в качестве aнaлитичecк^lx представлений интересующих нас локально-плоских волн (см. рис. 2) следует взять выражения =fo

it-

"1 = f i { t -

«2 = /2 U -

xsind + у cos в щ ж sin 01 — усоввх\

(6.19.16)

J

X sin 02+2/ cos $2 ^ V2

При этом упомянутой малой окрестности точки О' соответствуют значения t и X, изменяющиеся в малых интервалах Lt и Да;, содержащих внутри себя соответствен1Ю точки Г = io +

h Vicosd

Vi \созв

-1

и

xo = htge.

(6.19.17)

Поля (6.19.16) удовлетворяют волновым уравнениям в соответствуюищх средах, причем функция /о, входящая в выражение для 300

падающей волны предполагается заданной. Неизвестные функции /i и /2, равно как и значения углов падения Оу и 62, должны определяться из граничных условий (6.19.14), приводящих к функциональным уравнениям

cos 6/2 V2

f^

t-

а: sin 6^2 V2 cosf Vi

cos в I Щ fi

t -

X

t-

X

sm t'l Щ

SHI f Vl

(6.19.18) которые должны выполняться тождественно относительно независимых переменных t u x , изменяю1цихся в окрестности точек и хо из равенств (6.19.17). Нетрудно видеть, что последнее возможно только в том случае, когда аргументы у всех функций из уравнений (6.19.18) совпадают. Отсюда следует, что углы 9, вх и 62 падения рассматриваемых во.лн связаны друг с другом соотношениями Снеллиуса sinf

sin Ui

sin 02

«1

V2

(6.19.19)

^Ito касается определения функций /i и /2 по заданной функции /о, то (имея ввиду дальнейшее) его целесообразно давать на основе разложений оо Мт) =

RejF,

и = 0,1, 2,

(6.19.20)

функций /у (г) в интегралы Фурье. Если представить в виде подобного же интеграла функцию /о из выражений (6.19.16), определяющую поле падающей волны, то подстановка представления (6.19.20) в уравнения (6.19.18) приведет к элементарной алгебраической системе уравнений F2{cj) - Fxicj) = Foiio), cos 02 T-, / Ч COS в . созв „ , . -F2{oj) + Fi{bj) = Fo{uj). V2

Vl

Vl

301

(6.19.21)

Система (6.19.21) подобна системе уравнений, получающейся при решении задачи на отражение падающей монохроматической плоской волны -

у, f, и) =

(6.19.22)

при условии, что поля ui и U2 отраженной и преломленной волн ищутся также в виде монохроматических плоских волн / , ч г / \ - Л Ml {х, y,t-,Lj) = Fi (w)exp lujlt

а; sin 01 - у cos 01 2 Щ

/ . 4 P / Ч • л U2{x, у, t; LO) = F2{u))expiL0 t V

^ SI"

(6.19.23)

+ г/ cos 02 ^>2

.

,

уходящих от точек границы у = 0. Из системы уравнений (6.19.21) следует F , { u ) = h{e)Fo(,ij),

F2{UJ) = k2i9)Foiuj),

(6.19.24)

где величины

V2

COS О + VI COS 02

V2 COS 0 +

COS 0

называются соответственно коэффициентами отражения и преломления плоской монохроматической волны, встречающей границу раздела под углом падения в. При этом предполагается, что значение cos02 выражено через в при помощи соотношений (6.19.19). Если при заданном угле падения оказывается — sin0 < 1, VI

(6.19.25)

то из соотнонгений (6.19.19) определяется вещественное значение

cos 02 = \/1 - sin^ 02 = y i - ^ sin^ 0 > О, вследствие чего и коэффициенты (6.19.24') оказываются вещественными. 302

При выполнении условия (6.19.25) на основании формул (6.19.20), (6.19.24) и (6.19.20') для функций /i(r) и /2(т) из равенств (6.19.16) получаются выражения Mr)

=

Кг(в)Мт),

из которых явствует, что зависимость от «своих» аргу.мснтов полей отраженных и преломленных волн (6.19.16) совпадает с зависимостью от аргументов падающей волны и®. Вследствие этого отраженная и преломленная волпы обладают одипаковы.ми функциями формы /(т) волны и характеризуются передними фронтами, если падающая волна обладает передним фронтом. 5. В п. 4 поля рассматривались в окрестности точки О' (в которой передний фронт падающей волны пересекается с осью Ох) в предположении, что в этой же точке пересекают ось Ох и передние фронты отраженной и преломленной волн. Нетрудно видеть, что такое предположение реализуется только лишь при условии Xo>V2, где Жо = W]

Vi{t + h/vi)

-

VI

определяет скорость перемещения точки О' вдоль оси Ох. Если ы > V2, то указанное условие выполняется при любых значениях угла падения в луча MQO'. Если же V2>Vu

(6.19.26)

то существует предельный угол 0° = arcsin—, V2

(6.19.27)

такой, что жо > V2 при б < и xq < «2, если в > Таким образом, остается рассмотреть случай неравенства (6.19.26) в предположении, что в > в°. (6.19.28) При выполнении неравенств (6.19.26), (6.19.28) возмущение, распространяюп1,ееся со скоростью V2 вдоль границы у = О (т. е. оси Ох) 303

в среде г/ > О, «обгоняет» точку О', вследствие чего ьсартина расположения передних фронтов «истинных» (цилиндрических) волн Wj, щ и U2 иллюстрируется уже рис. 3. В точке О' пересекаются с осью Ох цилиндрические фронты падающей и отраженной волн. Что касается преломленной волны, то ее фронт 0"q «оторвался» от точки О' и продвинулся вперед до точки О". При этом в среде у < О появилась дополнительная «отраженная» головная волна с плоским фронтом рО". Линия рО" касается окружности О'рс, изображающей на рис. 3 фронт отраженной цилиндрической волны.

Рис. 3 Естественно, что количественное описание такой картины распространения всех волновых фронтов выходит за рамки теории плоских волн. Однако для локального описания полей в окрестности точки О' из рис. 3 представления нолей в форме (6.19.16) (со всеми выкладками вплоть до величин (6.19.24')) сохраняет свою значимость. Различие же состоит только в том, что значение cos 02 из формул (6.19.23) и (6.19.24) оказывается теперь чисто мнимым:

cosc/a = -г \1

304

sin

1.

(6.19.29)

Вследствие этого спектральная функция U2{x, у, t; и) из выражений (6.19.23) принимает теперь вид неоднородной плоской волны

U2 = F 2 ( w ) e

V

'

e x p i w U - a ; — J ,

(6.19.30)

затухающей экспоненциально по мере углубления (наблюдателя) в полупространство у > О и сохраняющей характер «плоской» волны, распространяющейся в направлении оси Ох. При этом вследствие мнимости выражения (6.19.29) для cos 02 коэффициенты отраженияпреломления (6.19.24') оказываются теперь комплексными, причем модуль коэффициента отражения |/с,(0)| = 1 равен единице. Последнее обстоятельство как раз и послужило поводом для названия угла (6.19.27) углом полного внутреннего отражения. Не задерживаясь на словесном описании явления полного внутреннего отражения, лишь заметим, что это явление состоит в тесном родстве с различными явлениями экранирования волновых полей высокоскорост1П51ми тонкими слоями, входящими в состав слоисто-однородных изотропных упругих сред. При этом такие явления оказываются наиболее интересными в случае полей, возбуждаемых нестационарными сосродоточенными воздействиями. 6. Как уже упоминалось, построение точных решений задач, типа задачи из п. 4 (равно как и их качественные исследования), выходят далеко за рамки теории плоских волн. Однако в математических представлениях полей смещишй, возбуждаемых в слоистооднородных изотропных упругих средах с границами раздела у = — const произвольными сосредоточенными источниками, плоские волновые поля фактически играют значительную роль. Дело в том, что представления таких волновых полей (и их потенциалов), применяемые в случае слоистых сред, можно рассматривать как специальное наложение (суперпозицию) комплексных плоских волн, входящих под знаки повторных интегралов типа Фурье. Вследствие этого некоторые операции в построении аналитических представлений решений задач на распространение воли (например, в форме потенциалов) вроде удовлетворения потенциалами

305

граничных условий задачи, сводятся фактически к удовлетворению таких условий подынтегральными функциями упомянутых интегралов, т. е. «образами» потенциалов (риф, представленными плоскими комплексными волнами. И вот, с целью приблизить изложение аппарата теории плоских волн к современности представляется целесообразным использовать представления плоских волн в такой их форме, в какой они входят, например, в метод Лемба решения задач на распространение волн в слоисто-однородных изотропных упругих средах с границами у — = const, возбуждаемых сосредоточенными воздействиями^. В случае плоских задач на распространение волн (когда решение не зависит от переменной z декартовой системы координат) в качестве представлений потенциалов в слоях i/ = 1, 2 ... среды ip^ = (p^{x,y,t)

и

,

у =

(6.19.31)

в методе Лемба можно выбирать интегралы Фурье ft, Ч

= Re 7

У'

] е^- dc.,

« =

(6.19.32)

подынтегральные функции которых представляются в форме контурных интегралов следуюш,его вида

ВАС, Здесь соответственно каждому атою {и = 1 , 2 , 3 , . . . ) среды введены обозначения = = к= — (6.19.34) Vp, Vs, Vs, (где Vp^ и — скорости распространения р- и s-волн в 1/-м слое), а Л является некоторым (бесконечным) контуром на (разрезанной) комплексной плоскости идуш,им из бесконечности = — оо — —in, к > О, третьего квадранта к бесконечности С = со + гк первого квадранта через точку С = 0. ^Предпала1ается, ч т о м е т о д у Л е м б а и родственному ему методу

контурных

и н т е г р г ы о в в решении у к а з а н н ы х задач б у д е т посвящен с п е ц и а л ь н ы й н а с т о я щ е й серии.

306

выпуск

Не касаясь множества деталей (в частности, особых точек подынтегральных функций из формул (6.19.33), определения ветвей радикалов - ll и ~ на основном листе комплексной плоскости (С) и многого другого) мы лишь отметим, во-первых, что везде далее можно будет полагать IVC^^I,

если

C'>7^,

при

е < 1 \

(6.19.35)

и, во-вторых, что контуру (А) могут принадлежать и точки вещественной оси плоскости {Q. При этом, если рассматривать значения X > О, то знаку -I- (знаку—) в показателях экспонент из (6.19.33) отвечают волны, распространяющиеся в сторону возрастающих (убывающих) значений у. Из выражений (6.19.32) и (6.19.33) ясно, что потенциалы и гр^ в методе Лемба являются своеобразной суперпозицией комплексных плоских волн, определяемых потенциалами (точнее, их образами) вида ф^ = А^ ехр iuit -

± у^/С - •yi) (6.19.36)

•ф^ = В^ехрicjt~K{ix(:±yy/e-si) где 7j,, и к имеют значения из формул (6.19.34). При этом такие представления содержат в себе потенциалы и обычных монохроматических волн. Действительно, если в равенствах (6.19.36) 1Юложигь (6.19.37) и, следовательно. то потенциал фг, из представлений (6.19.36) примет обычный канонический вид ф = А ехр гш

/ X sin в^^ ± у cos ^р"' t\

потенциала плоской продольной волны. 307

Подобным же образом обстоит дело и в случае потенциала гр из представления (6.19.36), если там положить С=

sine'"'.

(6.19.38)

Отметим, что подстановка в формулы (6.19.36) вместо С соответственно выражений (6.19.37) и (6.19.38) может быть названа операцией перехода от лембовских представлений (6.19.36), потенциалов плоских волн к их каноническим представлениям. 7. Для иллюстрации рассмотрим здесь задачу на отражение плоских волн от границы у = О упругого полупространства у > О, характеризуемого параметрами/i, Vs, Vp и 7 = Vs/Vp < 1.

ps рр

Рис. 4 Пользуясь обозначениями =

/3(С) = х / С ^ ,

5(0=2(^-1,

(6.19.39)

предположим сначала, что на границу полупространства надает плоская р-волна, заданная потенциалом

(^50 =Лехр{га;4-«;[гжС-(у-Л)а(С)],}

C^isin^o.

(6.19.40)

В результате отражения возникают (отраженные) продольная и поперечная (плоские) волны рр и ps, определяемые потенциалами щ = Aidxp {iuit - K[ixC + {у + h)a{Q]}

,

= Bi exp {iujt - фхС + ypiO + ha{0]}

308

С = 7«Ь6»р, ,

С =

"I J (6.19.41)

представления которых выбраны здесь в такой форме, в какой они появляются под знаками интегралов (6.19.33) в задаче на возбуждение полей в полупространстве у > О сосредоточенным источником, расположенным в точке х — О, у = h > 0. Заметим, что в рамках теории плоских волн значения в выражениях f o , f x и гр1 следовало бы считать сначала различными. Однако при подстановке потенциалов (6.19.41) и (6.19.40) в (линейные) граничные условия (6.19.43), которые должны удовлетворяться тождественно относительно переменных t u x , сразу выясняется необходимость придания величинам во всех упомянутых выражениях одинаковых значений. Именно это приводит к равенствам С = 7sin0° = -ysmOp = зшб», < 1,

(6.19.42)

допускающим запись в обычной форме sin0p° _ sinOp _ sin^s Vp

Vp

Vs

выражающей закон Снеллиуса в процессах отражения (и преломления) волн. После установления кинематического закона Снеллиуса (6.19.42) амплитудные множители Ai и Bi из выражения (6.19.41) должны определяться из учета граничных условий при у = О, которые в случае свободной от напряжений границы принимают вид tyx{^P, •Ф)

•

a v

г! ' дхду

д^ф д^гр "л ^ дх"^ ду"^

= 0, (6.19.43)

(при у = 0), где = +
Г(С) =

+

(6.19.44)

подстановка значений tpi и rpi в условия (6.19.43) приводит для ко-

309

эффициентов Ai и Bi из соотношений (6.19.41) к системе уравнений 2ia(^Ai + gBi = (6.19.45) gAi - 2iPC,Bx =

-qAq,

определитель которой R{Q) ф О отличен от нуля при значениях ^ из равенства (6.19.42). Поэтому для амплитудных множителей A i , Bi из формул (6.19.41) получаются выражения = КррЛо, Bi = KpsAo, K^r> =

Г(С)

^

... -4шС = -577Г.

ЩО'

ЩО

(6-19.46)

где Kpp{Q и KpsiO имеют смысл коэффициентов отражения волн типарр и ps в форме потенциалов. На толковании результатов здесь едва ли требуется задерживаться, так как процесс отражения протекает тривиальным образом. 8. Более интересным оказывается случай отражения поперечной волны S, заданной потенциалом ^o = - B o e x p { i w t - 4 i a ; C - ( 2 / - / i ) / 5 ( 0 ] } ,

C = sin0o-

(6.19.47)

Отраженные sp- и зя-волны можно характеризовать потенциалом ^? = Л?ехр{га;4-к[гхС + 2 У а ( С ) + Щ С ) ] } ,

< = BOexp{ia;<-At[ixC + (y + /i)/?(C)]},

C=

C=

|

J

(6.19.48) аналогичными потенциалам из формул (6.19.41), уже учитываюпщм условия излучения. Они записаны в форме, учитываюп1,ей также и соотношения Снеллиуса C = sin0o =7sm0p =sin6l,.

(6.19.49)

Амплитудные их множители и В° должны определяться из учета граничных условий (6.19.43), в которых следует полагать Ф =

'ФО+ФЬ

Подставляя такие значения ip nip в условия (6.19.43), после сокращения на общий множитель exp{itji — к[ггС -I- hj3{Q)]} придем к системе уравнений 2iaCA°+gB° = -9Bo, ] \ (6.19.50)

- 9 А ° + 2 т в 4 = 2г/ЗСВо, J 310

детерминант которой (при О < С < 1) отличен от нуля. Таким образом, для амплитудных множителей из выражений (6.19.48) получаются выражения А° = К,рВо,

В° -

К^г. =

Kss =

(6.19.51)

при обозначениях из формул (6.19.39) и (6.19.44). При толковании полученного результата нужно исходить из соотношений Снеллиуса (6.19.49). Из них видно, что при условии 0<sin6io<7

(6.19.52)

углы падения отраженных волн вещественны, а радикалы а (С) и 0{С) чисто мнимы. Поэтому отраженные волны реализуются в форме однородных плоских волн. Если же оказывается 7<sin6io-C
(6.19.52')

то радикал /3{Q по-прежнему чисто мним, а радикал а(С) имеет уже положительное значение а(0 = V e ^

> 0.

Поэтому отраженная волна ss реализуется в форме обычной однородной плоской волны, определяемой потенциалом ф" = B^expiuj

^

X sin

+ (у + h) cos во Vs

(6.19.53)

с амплитудой из соотношений (6.19.51), у которой \Kss\ = 1 (полное внутреннее отражение). А отраженная продольная волна sp оказывается неоднородной плоской волной, характеризуемой потенциалом ^

-

(6.19.54) щ

Таким образом, продольная волна оказывается своеобразной поверхностной волной, энергия которой сосредоточена в окрестности границы 2/ = О (и экспоненциально убывает при удалении от нее в глубь 311

полупространства у > 0). Эта волна распространяется вдоль границы с фазовой скоростью

зависящей от угла падения (6.19.52') падающей s-волны так же, как зависит от этого угла и коэффициент затухания амплитуды волны. Вследствие зависимости от угла падения во первичной (падающей) волны S, такую волну sp можно называть «индуцированной волной поверхностного типа». Однако на границе полупространства может существовать (а следовательно, и возбуждаться) специфическая поверхностная волна — волна Релея, представляющая собой самостоятельное волновое образование, распространяющееся вдоль границы с определенной (релеевской) скоростью распространения и характеризуемая определенными (экспоненциальными) законами затухания при увеличении у > О как по составляющей (pi{x, у, t), так и по составляющей •фг (х, у, t) поля смепюний. Сущность такой (релееевской) волны устанавливается в нп. 1 и 2 § 21, материал которых непосредственно связан с пн. 7 и 8 настоящего параграфа. 9. В заключение уместно, пожалуй, отметить, что задачи на отражение плоских волн из пп. 7 и 8 оказываются фактически формальной основой для построения точных решений задач па отражение от свободной границы упругого полупространства у > О волн, возбужденных состредоточенными плоскими источниками, приложенными в точке X — О, у = h > О, зависящими от времени как f(t) и включаемых при t = 0. Например, в случае нормального (плоского) сосредоточенного источника с плотностью силы 7

^S{x)6{y-h)f{t)'f,

(6.19.56)

7 = 4,

включаемого в момент t = О, потеициа.чы ifo и фо возбуждаемого (первичного) поля представляются повторными интегралами типа (6.19.32) и (6.19.33), которые допускают запись в форме

о

(Л)

^

312

^

где объединены множители (зависящие от t, х и у), образуюи;ие представления плоских волн. Здесь положено Ло = С = const; Во = f С; а = ^ С ' - т ' ;

Р = ^С^ - 1,

оо

F{s) = J fit)e-'4s,

Re>0),

(6.19.58) a (Л) обозначает некоторый бесконечный контур на (разрезанной) комплексной плоскости (С). Возбуждаемые источником ноля f o и 'фо (6.19.57) доходат (последовательно) до границы полупространства ;i. В случае падающей во.чны ipo (6.19.57) упомянутые формы потенциалов (pj и полей отраженных волн сводятся к след^'ющему:

О

(А)

^

При этом неизвестные еще функциональные коэффициенты Ai и Bi должны определяться так, чтобы суммарное поле [tpi + (/^г), 'Ф\ вида (6.19.57) и (6.19.59) удовлетворяло граничному условию (6.19.43). Сопоставление выражения (6.19.57) с выражение.м (6.19.40), а выражений (6.19.59) с потенциалами (^i, фх (6.19.41), 1юказывает, что определение коэффициентов А^ п Bi в представлениях (6.19.59) сводится к задаче для плоских волн из п. 7 и приводит к выражениям (6.19.45) для Ai и В\. к это, как раз, и приводит к интегральному представлению потенциалов ^pl и фх задачи на отражение от свободной границы полупространства у > О продольной (р-) волны, возбужденной сосредоточенным источнико.м (6.19.56). Естествен1Ю, что множество важных деталей в изложении материала здесь опущено. Но фактическая роль плоских волн в конструировании полей сосредоточенных источников оттенена здесь достаточно выпукло. Однако самых интересных вопросов, связанных с из313

влечением физических следствий из полей, представленных в форме повторных интегралов, коснуться здесь не представилось возможным. Также не представилось возможным показать, каким образом в результате взаимодействия первичных волн источника из выражений (6.19.56) со свободной границей полупространства у >0 в среде появляется поверхностная релеевская волна, распространяющаяся в некотором эффективном слое О < у < CQX вдоль границы у — О полупространства ?/ > О со скоростью v = Vr < Vg. § 20. Задачи на отражение—преломление плоских волн на границе раздела двух изотропных упругих полупространств (Решение методом Лемба и решение в составляющих поля смеш;ений, как в случае анизотропных сред) Задачи на взаимодействие волн с границами раздела упругих сред занимают видное место среди проблем теории упругости и ее приложений. При этом наиболее интересными и важными оказываются, конечно, случаи волн, возбуждаемых сосредоточенны.ми (нестационарными) воздействиями. Однако если учесть, что в основе любых методов решения задач для случаев таких воздействий лежит (как и в методе Лемба) суперпозиция некоторых комплексных плоских волн, то приобретают известную физическую значимость и задачи на отражение преломление плоских волн на границах раздела упругих изотропных и однородных полупространств при различных типах контакта между ними. Расс.мотрения различных типов контакта не отличаются друг от друга в идейном отношении. Поэтому здесь достаточно ограничиться случаем обычного (жесткого) контакта, а остальное предоставить читателям в качестве упражнения. Что же касается самой задачи на отражение—преломление волн, то ознакомление с ее решением в главе, посвященной элементам теории плоских волн, целесообразно давать в такой форме, которая наиболее близка каким-либо значимым прикладным проблемам. В качестве таковых естественно выбрать, во-первых, задачу на отражение—преломление плоских волн, представленных потенциалами (р^ и Vi/ в форме метода Лемба, являющимися подынтегральными функциями в представлениях повторными интегралами (типа Фурье из п. 6 § 19) потенциалов полей смещений, возбуждаемых в полупространствах сосредоточенными воздействиями. И, во-вторых, —

314

с аналогичной же задачей для плоских волн, но решаемой в составляющих поля смещений так же, как в составляющих поля смещений решается задача па отражение—преломление плоских волн на границе раздела двух однородных анизотропных полупространств. Решение последней — далеко не тривиально (хотя бы в вычислительном отношении). Поэтому будет полезно и поучительно сопоставить (в § 24) ее решение с решением однотипной задачи в случае изотропных контактирующих упругих полупространств, рассматриваемой в настоящем параграфе также и в составляющих поля смещений. 1. При постановке задач па отражение—преломление плоских волн на границе раздела у — О упругих полупространств у > О, i' 1, и у < О, ly = 2, мы будем сначала ориентироваться (как и в пп. 6 и 7 § 19) на задачу о взаимодействии с границей раздела упругих волн, возбуждаемых (плоским) сосредоточенным источником Оо, расположенным, например, в точке {х = О, у = —Л; h > 0) полупространства V = 2 (рис. о). Полупространства будем характеризовать абсолютными и =1,2,

(6.20.1)

и относительными параметрами (6.20.2) причем будем учитывать, что потенциалы и яр^ полей волн, возбуждаемых сосредоточенными источниками, представляются интегралами вида (6.19.32) и (6.19.33). v = t| 0| 1 v=2'

! /

А Рис. 5

315

в подынтегральные функции интегралов (6Л9.33), отвечающих PQ- И SQ- волнам, «падающим» из среды i/ = 2 на границу раздела, входят выражения

фо = ао(С,

к) охр {iujt - K[ixC +

(j/ + /г)а2(С)]} , (6.20.3)

Ф о = 6о(С, к) ехр {iojt - к[гхС + {у + h)l32{0]] , в которых здесь (и далее) добавлен временной множитель expiwt, заимствованный у внешнего интеграла (6.19.32). Подобные же выражения в подынтегральных функциях содержатся и в представлениях (6.19.33) для отраженных и преломленных волн. В случае падающей Р()-во.;1ны фо (6.20.3) они определяются выражениями (р2 = 0.2 схр {iuit - K[ixC, ~ {у - h)a2]] , (6.20.4) Ф2 = 62 ехр {iujt - K[ixC - yfh + ^102]} , Ф1 - ai ехр {iijjt - K[ixC, + ya\ + /102]} , (6.20.5) •ф\ = bi exp {iLjt - K[ixC — у Pi + /гаг]} , a в случае падающей яо-волны 'фо (6.20.3) — подобными же выражениями, в которых (независящий от х и у) множитель ехр[-к/га2(С)] заменен на множитель ехр[—K/t/S2(C)]- При этом здесь и далее использованы обозначения Q. = а Л О = VC'-^l

0. = РЛО

-

VC-SI, (6.20.6)

Vsi

М2

при относительных параметрах и (6.20.2). Вследствие вхождения под знаки повторных интегралов (6.19.32) и (6.19.33) выражений вида (6.20.4) и (6.20.5) ясно, что вопрос об удовлетворении потенциалами (6.19.32), (6.19.33) как волновым уравнениям (для соответственных потенциалов), так и условиям контакта на границе раздела у = О полупространств сводится к выяснению таких же вопросов по 0т1юшению к потенциалам (рияр (6.20.3)-(6.20.5). Непосредственной подстановкой выражений (6.20.3)—(6,20.5) в соответствующие BOjniOBbie уравнения Аф^ — 1 - ф ^ = О,

316

А-ф^ — l - ^ i , = О

легко проперить, что уравнения движения упругих сред удовлетворены. Путем же подстановки в выражения ф,, и ip^ соответствеипых значений С= sin вр^ и С = sin ds, (6.20.7) нетрудно убедиться и в том, что эти выражения определяют плоские монохроматические полны, допускающие представ^тения через углы падения в в общепринятой (канонической) форме. При это.м такие волны правильно учитывают и «принцип излучения», определяющий направление распространения (фазовых) волн, участвующих в процессе. Здесь остается лищь отмстить, что удов;ютворсние потенциалами (^j/, -ф^ (6.19.32) и (6.19.33) граничным условия.м при у = О жесткости контакта полупространств v = 1 и v = 2 ^[у'О + <^2, •фо + i>2] - ^Ьь Cbo

+

'Ф0+Ф2] =

^l],

(6.20.8)

•Ф\],

также сводится к подобной же задаче для потенциалов плоских волн (6.20.3)—(6.20.5). При этом выражения составляющих вектора напряжения ty через потенциалы приведены в формулах (6.19.43), а подобные же выражения для вектора c.vIeщeний имеют вид

Таким образом выясняется, что задача на отражение преломление плоских волн от границы у = О раздела упругих полупространств действительно входит существенным элементом в решение подобной же задачи в атучае сосредоточенного источника возбуждения падающих волн. 2. Обращаясь (далее) к рассмотрению лишь случая плоских волн с потенциалами (6.20.3)—(6.20.5), предположим (сначала), что на границу раздела у — О из среды v = 2 надает р-волна, характеризуемая потенциалом фо (6.20.3), где под С можно понимать значение С = 72

s i n ( 6 . 2 0 . 1 0 )

Поте1п;иалы отражишых и преломленных волн представляются выражения.ми (6.20.4) и (6.20.5) (з'довлетворяющими уравнениям движения и условиям излучения), в которых неизвестны.ми являются 317

амплитудные множители а^ и При этом в каждом из потенциалов ф^ и rpi, можно применять выражения переменной С: C = 7„sm6lp„

и

C=

(6.20.11)

через углы ттадения соответствуюпщх волн. Подстановка потенциалов (6.20.3), (6.20.4) и (6.20.5) в граничные условия (6.20.8) (выписанные в проекциях на координатные оси при помощи выражений (6.20.9) и (6.19.43)) приводит к равенствам, которые должны удовлетворяться тождественно относительно переменных t к X. Последнее же имеет место только в том случае, если величины w и ( в выражениях всех потенциалов из выражений вида (6.20.3)—(6.20.6) имеют одинаковые значения. Учет этого обстоятельства, равно как и выражений (6.20.10) и (6.20.11), приводит, как известно, к соотношениям Снеллиуса С = 72 sin el =

sin вр^ =

sin

(6.20.12)

для плоских волн, участвующих в процессе отражения преломления. По сокращении в соотношениях, учитывающих граничные условия, общего множителя схр {itjt — K[ix( + ha2{Q] , для амплитудных коэффициентов а^ и Ъу (6.20.4) и (6.20.5) получается неоднородная система линейных уравнений -Cai - Pibi -Ь гСаа - АЬг = -гСзд, QlOi — iC^bi + 0202 + г(Ь2 — 0210,

(6.20.13)

2aiCaiai -Ь agih + 2iCQ2a2 - 52^2 = 2iCQ2ao, agiai - 2aiCPibi - 5202 - 2i02b2 = g2ao, в которой использованы обозначения из формулы (6.20.6). Подобная же система (уравнений) получается и в случае падения на границу раздела у = О {из полупространства и = 2) поперечной s-волны, представленной потенциалом -фо (6.20.3). Она совпадает с системой уравнений (6.20.13), если в ее правой части матрицу-столбец (-гС, Q2, 2гСа2, 52)+ао,

(6.20.13')

записанную в форме транспонированной матрицы-строки, заменить на матрицу-столбец вида {-02,

-К,

92, 2гС^2)+Ьо. 318

(6.20.14)

Детерминант системы уравнений (6.20.13)

А(С) =

-К Q1 2(7iCai

-01 -г'С agi

agi

2о-гС/?1

г'С Q2 2iCa2 -§2

-02 гС. -д2

^ О

(6.20.15)

-2гС/32

отличен от нуля при значениях С из промежутка О < С < sup(J^),

(6.20.16)

вследствие чего система уравнений (6.20.13) однозначно разрешима при любой падающей плоской р- или s-волне. Путем решения такой системы определяются восемь коэффициентов tppi,

tpsi,

'tpps!

Kps^,

(6 20 17)

отражения—преломления волн по «потенциалам». При этом аналитические их выражения оказываются настолько громоздкими, что прямое использование их представляется нерациональным. Проще оказывается определять значения таких коэффициентов путем непосредственного решения системы уравнений (6.20.13)—(6.20.14) численными методами па персональном компьютере. 3. При обсуждении физических следствий из решения задач следует исходить из закона Снеллиуса (6.20.12) и учитывать, что если при значении С (определяемым по углу падения «первичной волны») оказывается Q^(C) = (или = ™ соответствующий потенциал ф^ (или потенциал отвечает уже неоднородной (плоской) волне. В принципе, здесь дело обстоит так же, как и в конце п. 8 § 19, по случаи появления неоднородных волн здесь оказываются значительно более многообразными. Пусть, например, относительные параметры f v и из выражения (6.20.2) удовлетворяют соотношениям 72 < 71 <

< (Ji-

(6.20.18)

В случае падающей р-волпы (под любым углом падения в^ < 7г/2) переменная С из соотношения (6.20.12) удовлетворяет неравенству С < 72, вследствие чего все радикалы и PviO чисто мнимы. Поэтому все отраженные и преломленные волны о1сазываются (обычными) однородными плоскими волнами. 319

в случае же падающей s-волны при малых углах падения, пока еще С < 72; дело обстоит так же. Если же выполняются неравенства 72

=

<71,

(6.20.19)

то волны S2S2, S2P1 и S2S1 реализуются в виде однородных плоских волн, а отраженная волна S2P2 оказывается уже неоднородной, определяемой потенпиалом ф2 = а2(С,

у < 0.

При дальнейшем увеличении угла падения в° падающей s-волны, когда отзывается 71 < ( = sin^" < ^2 к неоднородной отраженной А-2Р2-волне с потенциалом Ф2 добавляется еще и неоднородная преломленная ,Ч2Р1-волна, характеризуемая потенциалом ф, = ai(C,

у > О,

также убываюн;ая экспоненциально при удалении точки поля (ж, у) от границы раздела у = О упругих полупространств в области у < 0. Подобным же образо.м обстоит дело и li случае других порядковых соотнопшний между относительными параметрами ко1ггактирующих полупространств. Не задерживаясь на этом вопросе, лишь заметим, что обращение одной (и;ш нескольких) из отраженно-преломленных BOjffl в неоднородные здесь не обязательно сопровождается явлением полного внутреннеь'о отражения падающей волны. В завершение первой части параграфа, связываемой нами с процессом отражения—преломления на границе раздела у = О волн, возбуждаемых сосредоточенным источником и представленных потенциалами в форме гювторных интегра^юв (6.19.32), (6.19.33), отметим, что в зависимости от типа порядковых соотношегшй (6.20.18) упомянутые интегралы описывают то h j h i иное множество во.чн, возбудившихся в среде. Сюда относятся, прежде всего, отражеппо-преломленпые (неплоские) объемные волны, волны головные, а также различные волны экранированного типа. При этом последние волны по своей природе оказываются родственными (локально) плоским неоднородным BOJmaM. Однако об этом как-нибудь позднее. 4. В заключительных пунктах параграфа полезно обратиться к краткому рассмотрению задачи на отражение--преломление плоских волн па границе раздела у = О полупространств у > О, v = 1, 320

и 1/ < о, I' = 2, n форме возможно более близкой к (применяемому далее) способу решения такой же задачи в случае анизотропных однородных упругих полупространств. При этом без ограничения общности можно полагать, что рассматриваются монохроматические плоские волны, переход от которых к плоским волнам общего вида производится при помощи интегралов Фурье. Реп1ение указанной задачи там и здесь ведется в составляюпщх вектора у, t) упругих смещений (а не в потенциалах с.меп;ений). При этом первым (там и здесь) ставится вопрос об общем представлении полей смещений плоских волн, распрстрапяюп^ихся, напри.мер, в «плоскости падения хОу» (т. е. не зависящих от пространственной координаты г = хз), фронты которых определяются заданием орта их нормали it — n\ii + пгг'г или направлением их вектора рефракции = — ,

г =p,ivms,и

= 1,2.

(6.20.20)

Применительно к изотропным среда.м подобный вопрос фактически уже рассмотрен в п. 2 § 19, где показано, что в (изотропной) упругой среде существуют два типа плоских волн — продольные и поперечные — представляемые полями смеп;ений вида = а.Х^'^^ршЦ

-

и

=1,2, (6.20.21)

При этом по.мимо векторов рефракции и (р- и s-волн в средах = 1 и = 2) здесь при.мепены следующие обозначения : Хх = X, Х2 =:у,

Хз = Z-

+

1? = XI li

+X2l2,

г =p,s,

1^=1,2,

(6.20.22)

5. Пусть в плоскости падения xi0x2, Хз = О, па границу раздела Х2 = Q полупространств хг > О, г^ = 1, и Ж2 < О, г^ = 2, из среды 321

V = 2 падает первичная р- или s-волна (см. рис. 4). Распространение этой волны определяется вектором рефракции Кг

—

~

Vr

+

-н

г).Т2

i2 ,

=

(6.20.23)

Р , S,

а распространение отраженных и преломленных волн определяется выражениями g(2) COS з(2) ft^r — -n УГ2 (6.20.24) Vri

li +

Vri

12,

в которых углы падения отсчитываются (по часовой стрелке) от нормали к границе раздела Х2 — О- Поэтому при вещественных углах падения всегда оказывается sin^r"' > О и cos^r"' > 0. Поля смещений падающих волн задаются в виде { ао • Srp bo • Srs J о

о

.

n

(6.20.25) Т^*^

г-Л о

=Ц

= K^^ii +

As

= [kJ" X гз] =

П

-

П

12, (6.20.26) где Srp и 6rs ~ символы Кронекера, a векторы рефракции волн имеют значения (6.20.23). Отраженные и преломленные волны представляются в форме векторов смещений (6.20.21) и (6.20.22) при значениях амплитудных множителей а^ и Ь^, и = I , 2, определяемых из учета граничных условий (6.20.20) (выписанных через смещения и напряжения). Ар

6. С целью определения амплитудных множителей а^ и Ь^ граничные условия (6.20.8) здесь следует переписать в составляющих поля смещений i t = Uiti +U2i2, что приводит к формулам вида (dui

^

\

, /\

, о

l2dx-i (6.20.27) Затем нужно воспользоваться представлениями полей смещений i t " , и ut'"' в экспоненциальной форме it = Aexpiuj{t — к (как ^dxi

дх2,

dxi

322

в формулах (6.20.25) и (6.20.21)) и перейти от выражения (6.20.27) к представлениям окончательного вида

+ [ K A i k i + (Л„ + 2ц^)А2к2]

j .

(6.20.28)

Наконец, нужно воспользоваться всеми приведенными формулами для смещений и напряжений и подставить их в формулу (6.20.8) для граничных условий при Х2 = 0. При этом выясняется, что в каждом слагае.мом получающихся граничных условий, которые должны выполняться тождественно относительно Xi и t, присутствуют множители вида jwexpiw[i-A;Ma;i]. (6.20.29) Отсюда с необходи.мостью следуют равенства ki".} = fcfj^ для составляюищх векторов рефракции всех волн, участвующих в процессе отражения—преломления. В раскрытом виде эти равенствва принимают вид соотношений Снеллиуса sin б'"'

sin6li''^

sinf

(6.20.30)

Vo

имеющих обычный для анизотропии вид. При учете изложенного все пелучающиеся соотношения (в компонентах) следует сократить на общий множитель (6.20.29). В результате для амплитудных множителей а^ и Ъ^ (6.20.21), (6.20.25) получается ахедующая система алгебраических уравнений : K^/ai

+KiJbi

-Кр/аг

-Kl^h

= u?,

K'p^ai

-/cii'bi

-Крг'аг

-Ьк^^^Ьг

= u^, (6.20.31)

+ti%

- e x

=ti

-tiVh

Здесь K^pJ, Aci^', Kp^ H

к = I, 2, — составляющие векторов ре-

фракции (6.20.23) и (6.20.24). Величины 323

и ti^J, и, к = I, 2, полу-

чаемые из представления (6.20.28) (и некоторого сокращения), имеют значения tpj — ^fJ-j/Kp^^ Кр2 : =

t^S'J —

I^S-2 1

+ (A. +

(6.20.32)

Наконец, в правую часть системы уравнений (6.20.31) следует подставлять выражения и? = аоКр,;

= ao2/t2/tp, «р.,;

=

(6.20.33)

если на границу Х2 = О раздела сред падает р-волна из равенств (6.20.25), (6.20.26). Если же на границу жг = О падает s-волна вида (6.20.25), (6.20.26), то в правую часть системы (6.20.31) нужно подставлять выражения иЧ =

= -ЬопЧ^,

t2 =

, (6.20.34)

в связи с изложенным уместно еще отметить, что система уравнений (6.20.31) фактически оказывается в точности эквивалентной системе уравнений (6.20.15). 7. В заключение параграфа у.местно отметить, во-первых, что систе.му уравнений (6.20.31) для коэффициентов отражения—преломления, решаюищх задачу на отражение-преломление (плоских) волн на плоской границе раздела жг = О двух изотропных упругих сред, физически интересно было бы сравнить с подобной же системой уравнений, решающей задачу на отражение—преломление волн в случаях анизотропии контактирующих сред. Во-вторых же, что здесь, как и в любо.м конкретном случае задачи на отражениепреломление плоских волн, можно было бы предложить физическиреальную модель процесса (возбуждаемого сосредоточенным сингулярным источником), в котором резз'льтаты решения задач для плоских волн соответствовали бы локальному изучению волновых 324

полей в «малых окрестностях» некоторых характерных точек фронтов полей волн в модели. Внимательное рассмотрение таких моделей всегда облегчает проникновение в истинную сущность исследуемых явлении и способствует правильному восприятию результатов теории плоских волн. Подобную модель для распространения фронтов волн, возникающих при отражении—преломлении волн на плоской границе раздела двух сред, построить совсем не трудно. §21. О поверхностных волнах Релея и Стоунли в плоских задачах теории упругости В упругих средах существует класс волновых полей, распространяющихся вдоль границы раздела сред и таких, что их энергия, сосредоточенная в некоторых окрестностях границы раздела, быстро убывает по мере удаления от границ в глубь среды. Простейшие типы таких полей реализуются в плоских задачах для слоистооднородных упругих сред с плоскими границами раздела, которые рассматриваются здесь в случае полупространства у > О, а также в случае двух различных полупространств, находящихся в жестком контакте друг с другом вдоль границы 2/ =

0.

(6.21.1)

Стационар1и,1е поверхностные волны в таких средах примыкают но аппарату их рассмотрения к плоским волнам из § 19 и 20, приче.м они обнаруживают и некоторое сходство с неоднородными плоскими волнами, наблюдаемыми в областях запредельных углов па/1,ения первичной А'-волны. Поэто.му отнесение рассмотрения таких поверхностных волн к главе, посвященной н;юским волнам, представляется оправданным. 1. В п. 7 § 19 при обсуждении задач на отражение от границы у = О упругого полупространства 2/ > О плоских р- или А'-КОЛН, представленных потенциалами (6.19.40) или (6.19.47), ставилось целью определить потенциалы (6.19.41) или (6.19.48) дополнительного поля, возникающего при отражении так, чтобы суммарные поля в полупространстве у > О удовлетворяли условия.м (6.19.43) па границе у = О (полупространства), свободной от напряжений. В результате для амплитудных множителей Ai и Bi искомых (дополнительных) полей были получены линей1гые уравнения (6.19.45) или (6.19.50), правые части которых содержали амплитудные множители Ао или Во падаюнщх волн. 325

в рассмотренных в § 19 случаях переменная ( из равенств (6.19.42) (или (6.19.48)) принимала значения из промежутка О < С < 1, в котором детерминанты систем уравнений, совпадаюн;ие с левой частью уравнения Релея R(0 =

- 1)^ -

- О,

(6.21.2)

не обращались в нуль. Поэтому неоднородные уравнения (6.19.45) и (6.19.50) имели (единствегнтые) решения, которые как раз и отвечали задаче на отражение плоских р- или s-волп от границы у = О упругого полупространства у > 0. При этом в случае падающей s-полны в области запредельных углов падения отраженная sp-волна проявлялась в форме неоднородной плоской волны (6.19.54). Такая волпа также носила характер поверхностной волпы, однако лишь волны «индуцированной», скорость распространения которой и «коэффициент затухатшя с расстоянием ?/» существенно зависели от угла падения первичной s-волны, испытывающей отражение от границы У = 0.

Однако если бы переменная С> входящая в систему уравнений (6.19.45), удовлетворяла уравнению (6.21.2), то задачи на отражение р- и s-волн не имели бы решений. Зато имели бы (ненулевое) решение однородные системы уравнений (6.19.45) или (6.19.50), отвечающие нолю смещений в упругом полупространстве у > О, описываемому (одними) потенциалами, например, ip =
(6.21.3)

г1>=:ф{х,у,1)

при значениях ipi и i/>i (6.19.41) без какой либо-падающей волны. Таким образом, оказывается, что вопрос о корнях уравнения (6.21.2) имеет прямое отношение к структуре волновых полей в упругом полупространстве. 2. Из-за присутствия радикалов Q(C) И ^{Q (6.19.39), имеющих точки ветвления = ± 7 и С = ±1, уравнение (6.21.2) определено на двулистной римановой (комплексной) поверхности {Q с рвзрезами, проведенными, например, между точка.ми ( = 7 и С = 1,а также точками (; = — 7 и ^ = - 1 . При этом первый (основной) лист такой поверхности определяется условиями

а ( 0 =г|а|, /3(0

при

-

7 <С<

7,

(6.21.4)

а переход на второй лист осуществляется (однократным) пересечением одного из указанных разрезов. 326

Корни такого уравнения хороню изучены, причем выяснено, что на основном листе плоскости (С) располагается лишь один (релеевский) корень С = Сг > 1 (6.21.5) уравнения (6.21.2). (Он имеет значение Сг ~ 1-1 в среде с параметрами Л = /i.) Помимо этого, уравнение имеет еще два (комплексных) корня на втором листе римановой поверхности (С). Однако такие корни в теории распространения упругих волн практически не играют какой-либо роли. 3. Вследствие изложенного при значениях С = Сг в формулах (6.19.41) потенциалы и V'l с амплитудами = CgiCr),

Вг = -2С^гС.а(Сг),

(6.21.6)

содержащие произвольный мгюжитель С, удовлетворяют уравнениям движения упругой среды, равно как и однородным граничным условиям (6.19.43) (свободной от напряжений границы у = 0 упругого полупространства у > 0). В раскрытой форме такие потенциалы определяются выражениями \

г А^е-'^'^^У \

t

X

(6.21.7)

Vr

в которых обозначено =

=

Vr = ^ < V s ; Цг

"s

(6.21.8)

причем амплитудные множители Ai и В] имеют значения (6.21.6). Плоская релеевская волна (6.21.7) представляет собой поле, распространяющееся без затухания в направлении оси Ох вдоль границы у = О полупространства с постоянной скоростью Vr < Vs п имеющее амплитуду, затухающую экспоненциально как е х р [ - ^ ] = ехр[-2тгу/Х,] Vs

(6.21.9)

по мере удаления от границы у = О во внутрь полупространства. В выражении (6.21.9) Л^ — длина волны поля по поперечным волнам. К изложенному здесь уместно еще добавить, во-первых, что исходя из представлений потенциалов искомого стационарного релеевского поля в форме (6.19.41), в правой части выражения (6.21.7) 327

появляется дополнительный постоянный множитель схр[—w/iOr], который включен нами здесь в множитель С в формуле (6.21.6). Если бы за исходное было выбрано представление исходных потенциалов в форме (6.19.48), то в правой части формулы (6.21.7) появился бы постоянный множитель ехр[-к/(/5г], который также следовало бы присоединить к множителю С. Во-вторых же, в случае решения методом Лэмба задачи на возбуждение упругого полупространства у > О сосредоточентлм источником (6.19.56), как полагалось в п. 9 §19, указашюго отнесения к че.му-либо множителей в решении задачи не требовалось бы и производить. Все получалось бы автоматически методами контурного интегрирования. При этом выяснилось бы, что функциональные коэффициенты ) и Z?i(C, ) в спектральных представлениях функций Фх и Ф1 (6.19.33), входящих в решение (6.19.32) задачи, конструируются из коэффициентов отражения Крр и Kps из выражений (6.19.46), а также из коэффициентов Kgp и Kgg (6.19.51) и притом так, что окончательные представления функциональных коэффициентов ) и ) (6.19.41) имеют структуру типа Л _ «(С)

о _

^(0

Они содержат в знаменателях левую часть уравнения (6.21.2) Релея, а их числители образованы произведениями и суммами некоторых функций из следующих: С, «(С), /3(С), и Т((). И вот выясняется, что релеевская B O j n i a вида (6.21.7), возбуждае.мая в полупространстве у > О сосредоточенны.м источником вида (6.19.56), вычисляется путем применения теоремы о вычетах к внутреннему интегралу из представления поля (потепциа^юв) 1 Ю в т о р ными интегралами (6.19.32), (6.19.33), которые были записаны в п. 9 § 19 ради наглядности в форме (6.19.59). Подынтегральная функция таких интeгpaJЮв имеет полюс 1-го порядка в корне С = Сг уравнения Релея. При этом вычет в таком полюсе как раз и приводит к полю (плоской нестационарной) релеевской волны (6.21.7), (6.21.6), возбуждаемой в упругом полупространстве плоским источником вида (6.19.56). Здесь уместно еще добавить, что осеси.мметричное воздействие, нормальное к границе у = О упругого полупространства у > О, также возбуждает в последнем релеевскую осесимметричную волну. Однако в отличие от (6.21.7), она характеризуется приближенно 328

потенциалами вида (6.21.7), содержап1ими дополнительный множитель 1/\/г, г > Л.,, где г = — эпицентральное расстояние (вдоль границы у •= 0) от источника до точки наблюдения (х, z) поля. При этом в формуле (6.21.7) фазовый множитель из правой части должен быть заменен па осесимметричный множитель г N

ехр luj \t

(6.21.11)

VrJ

4. Практически так же обстоит дело и с поверхностной волной, возбуждающейся на границе раздела j/ = О двух изотропных упругих полупространств г/>0, г / = 1 и у < 0 , ^' = 2, находящихся в жестком контакте друг с другом. В пп. 1 и 2 §20 расс.матривалась задача на отражение—преломление плоских волн (6.20.3), падающих из полупространства v = 2 на границу раздела у = О (двух) полупространств. Потенциалы отраженных и преломленных волп в полупростраствах и = 2 и и = I представлялись в виде соотношений (6.20.4) и (6.20.5), причем неизвестные амплитудные множители потенциалов а^ и определялись из системы алгебраических уравнений вида (6.20.13), учитывающих условие (6.20.8) жесткости контакта полупространств и — 1 и и ~ 2 па границе у = О их раздела. Вследствие условий (6.20.16), выполняющихся в случае любых углов падения первичных (падающих) плоских волн (при которых справедливо неравенство (6.20.16)) систс.ма (6.20.13) однозначно разрешима, причем она определяет амплитудные .множители а^ и Ь^ всех отражснно-прело.млениых волп из формул (6.20.4) и (6.20.5). Если же переменная С, входящая в представления (6.20.4) и (6.20.5) тина плоских волп, оказывается корпе.м С = Со детерминанта систе.мы уравнений (6.20.13), т. е. если А(Со) = -Ко

-/?i(Co)

гСо

"l(Co)

-Ко

"2 (Со)

Ко

2«Coa2(Co)

-S2(Co)

(Со)

= 0, 2a«Coai(Co)

-
-2aKo0iiCo)

-2гСо^2(Со) / (6.21.12)

329

где величины а,/(С), PviO^ Oi^iO и с определены по выражениям вида (6.20.6), то неоднородная система уравнений типа (6.20.13) неразрешима, а однородная система уравнений -iCai - Pibi + гСаг - B2b2 = 0, QlOi —

-Ь 0202 + гСЬ2

= 0,

-Ь agibi -Ь 2i^Q2a2 - 32^2

= 0,

agiai - 2aiCPibi - 3202 - ЗгС.йгЬз

= 0,

(6.21.13) 2ai(Qiai

для амплитудных множителей а^ и Ь^ потенциалов из представлений (6.20.4) и (6.20.5) имеет нетривиальные решения. Такие решения принадлежат к полям типа волновых мод, появляющихся в средах в таких случаях, когда в аналитических представлениях полей смещений появляются особые точки типа 1 ю л ю с 0 в в корнях дисперсионного уравнения задачи. Высказанные утверждения можно было бы пояснить в духе того, как мы пытались это сделать в йп. 6 и 7 § 19. Однако, не обращаясь к этому, лишь отметим, что уравнение (6.21.13), называемое уравнением Стоунли, имеет>на пол1Юй 16-листной римановой поверхности комплексной переменной {Q всего 64 (комплексных) корня. Из множества таких корней только 1-2 нашли свою роль в практических задачах на распространение волн. При этом один из них, появляющийся на вещественной оси плоскости (С) не при любом наборе параметров 71, 72, (Ji, среды и появляющийся в области С > pS„, ведет себя подобно релеевскому корню в полупространстве.

330

Глава 7 Плоские (и квазиплоские) волны в анизотропных упругих средах В этой главе мы возвраи;аемся к применениям математического формализма линейной теории упругости, изложенного в гл. 1, и к простейшим примерам волновых нолей, распространяющихся в слоисто-однородных произвольно-анизотропных упругих средах. При этом, как и в случае изотропных сред, к простейшим относятся прежде всего поля, зависящие от пространственных неременных Xk (и времени t) линейно и образующие класс решений типа плоских волн. Как и в изотроппо.м случае, такие поля определяются заданием орта нормали ft к фронту рассматриваемой (плоской) волны. Как и в случае изотропии путем наложения волн такого типа могут быть построены поля (некоторой) более общей структуры. Однако в конструировании решений типа плоских волн в анизотропных однородных упругих средах, равно как и в свойствах сконструированных волновых полей, обнаруживаются спенифические особенности, с которыми полезно ознакомиться специально с достаточной подробностью. В этом можно видеть основную цель главы, при переходе к которой уместно воспользоваться некоторыми результатами §4 и особенно ~ результатами разделов нп. 5 8 из § 7.

331

§ 22. Общая теория плоских волн. Векторы поляризации, фазовые и лучевые скорости распространения. Однородные и неоднородные плоские волны Ради цельности изложения (и упрощения ссылок) основные результаты § 7, относяпщеся к плоским волнам, здесь дублируются, причем используемые формулы даются под двойными номерами: под порядковым номером в настоящем параграфе, а также под номером, под которым формула приведена в § 7. 1. В §7 введено понятие о плоских монохроматических волнах с вектором смеп;е1п1й вида it = R e : t ' ' е х р -

• -^l;

= it/vr,

(7.22.1)

распространяющихся в однородных анизотропных упругих средах, рассматриваемых как функции от орта rt нормали к волновым фронтам 3

k=i При этом ставился вопрос: при каких значениях фазовой скорости Vr = VriTt) и вектора поляризации ^^'^'(rt) могут существовать решения уравнения движения (1.4.1), (1.4.2) в форме волны вида (7.22.1), отвечающие произвольно задаваемому значению орта нормали ft к волновому фронту волны. Было показано, что для определения величин и V r { l f ) получается система алгебраических уравнений ^

(7.22.2)

(см. также формулу (2.7.15)) с условием разрешимости в форме уравнения Кристоффеля (третьей степени относительно v^)

^

^гк^ряПкПр - v'^Sig= О

332

(7.22.3)

(см. также выражение (2.7.18)) и с симметричной матрицей

ЛгА: =

^

^{к.рдПкПр

-

A,,i.

(2.7.16)

Здесь (7.22.4)

>чк,ря =-Cik,pq

(см. также формулу (2.7.5)) при постоянных значениях плотности р и компонентов Ci^.pg тензора упругих параметров среды, удовлетворяющих соотношениям сим.метрии вида

(7.22.5)

(см. также соотпопгения (1.4.1)). Уравнение Кристоффеля имеет положительные корни всюду непрерывные (даже аналитические) относительно составляющих Пк орта l i , удовлетворяющие неравенствам вида v^^{Tt)>vj{lt)>24{Tt)>0,

(7.22.G)

(а также неравенству (2.7.19)), где знак равенства возможен лип1ь па нескольких линиях, нринадлежагцих сфере \rt\ = \Jt{e,^)\=^l.

(7.22.7)

Таким образом, почти везде (т. е. вне упомянутых линий) оказывается vf{Jt) > vl(Tt) > v^(rt). (7.22.8) При величине v'f в уравнении (7.22.3), совпадаюп;ей с каждым из значений из неравенства (7.22.8), однородная система уравнений (7.22.2) разрешима и приводит однозначно (с точностью до нормировочного множителя) к вещественным, непрерывным значениям векторов по.ляризации А

{it),

г — I, 2, 3. При этом векторы

^^'^^(rt) с различными индексами г = 1, 2, 3 оказываются взаимно ортогона;п>пыми при каждом значении орта i t .

333

Распоряжаясь содержащимися в (ортогональных) векторах 'А произвольными мпожтелями, эти векторы всегда подчиняют условиям ортопормировки:

в векторном виде

^^^"^'(rt) •

= Srp, (7.22.9)

или в компонентах

^

= б^р,

к=1

где Srp — символ Кропекера. К изложенному здесь уместно еще добавить, что условия ортогональности и нормировки очевидным образом распространяются (по непрерывности) и на случай произвольных ортов rt, при которых справедливы соотношения (7.22.6). Вследствие же непрерывности относительно ft величин vj{'jt) и соотношения (7.22.6) и (7.22.9) легко позволяют различать численными методами корни v ^ l t ) друг от друга по их индексам г. К изложен1Юму еще можно присовокупить, что решения v^ilt) и уравнений (7.22.3) и (7.22.2) удовлетворяют свойству симметрии вида /(7t)=/(-Tt).

(7.22.10)

2. Вещественные векторы vt=Vrilf)lt,

(7.22.11)

определяемые в результате решения уравнения Кристоффеля при заданном орте ft из равенства (7.22.7), представляют фазовые скорости распространения плоских волн (7.22.1) в направлении нормали i t к (плоскому) их фронту. Однако в отличие от случаев изотропии, в анизотропных упругих средах существует и вторая скорость = распространения волн, лучевая скорость, определяющая течение процесса распространения плотности энергии волнового поля плоской (или локально-плоской) волны. Она вещественна при всп;ествеппых значениях орта it из равенства (7.22.7) и представляется выражениями Е к= 1

i.p,q—l

334

(7.22.12)

(см. также выражение (2.7.33)), где вектора рефракции волны типа г =

обозначают составляющие

(7.22.13)

Vr{Tt)

по ортам Tk декартовой системы координат. При этом оказывается, что фазовая и лучевая скорости распространения плоской волны фиксированного типа г связаны друг с другом важными соотношениями =

г = 1,2,3,

(7.22.14)

или (-^(г) .

=

(2.7.34)

где

— векторы рефракции плоской волны (7.22.13). 3. Говорят, что плоская волна распространяется в «плоскости падения» хз=0, (7.22.15) если у орта "rt ее нормали и у вектора рефракции (7.22.13) равны нулю третьи составляющие пз = О,

4 ' ' = О'

(7.22.16)

т. е. векторы i t и it^''^ определяются выражениями Tt = т i t + П2Т^,

it^''^ = ni'^it +

it.

(7.22.17)

При этом составляющие таких векторов можно представлять в форме щ = sin^, П2 = совв;

=

= ^

(7.22.18)

через^гол падения 9 между векторами it и it, отсчитываемый от орта 12 в положительном направлении по часовой стрелке. Приведенные представления позволяют характеризовать векторы рефракции волн различных типов г, г = 1, 2, 3, кривыми Rj. векторов рефракции, построенными как геометрические места концов векторов рефракции (7.22.17), (7.22.18), имеющих начало в (произвольно выбираемой) точке О и расположенных 335

в плоскости Х1ОХ2 падепия плоской волны. Примеры таких кривых (находящих весьма полезные приложения) приведены на рис. 6. v=7 к, ^

Рис. 6

Каждой точке N^{6) такой кривой отвечает радиус-вектор ONr{e) (образующий с осью 0x2 У1'0л 0), совпадающий по направлению с ортом it нор.мали к фронтам изучаемых плоских BOjni типов г — = 1, 2, 3. Однако вектор ON^, как правило, не ортогонален кривой i?rПодобным же образом по заданному орту нормали it (7.22.17) могут быть вычислены составляюпще (7.22.12) вектора лучевой скорости плоской волны (7.22.19)

в которых, как правило, оказывается ^з'^'(^) / О (в отличие от составляюп;ей Кз'^'(б) = О вектора рефракции). По составляющим вектора (7.22.19) из общего начала Oi могут быть построены кривые 1г лучевых скоростей, задаваемые параметрически в виде линий А; = 1,2,3,

(7.22.20)

которые уже не располагаются в плоскости падепия (хз = 0), причем их проекции в плоскость падения обра;^уют (как правило) с осью 0x2 углы, отличные от угла в (7.22.18). Такие кривые принадлежат 336

поверхностям лучевых скоростей, определяемых кв,к геометрические места концов векторов ip) лучевых скоростей (с началами в некоторой точке О'), отвечающих всевозможным направлениям орта it в пространстве. При этом основное свойство каждой такой поверхности Sr состоит в том, что нормаль i t к поверхности в каждой ее точке М в точности совпа,';ает с ортом нормали it, по которому вычислялся вектор (7.22.12), (7.22.19). (Сам же вектор = О'С нормалью it по направлению не совпадает.) Таким образом, учитывая замечания о характере распространения энергии волновых полей в анизотропных средах, а также представление о локально-плоских волнах, можно утверждать, что при включении в точке О' однородной анизотропной упругой среды сосредоточенного сингулярного источника, порождающего разрывные возмущения, возникающие в среде волновые поля имеют при t = 1 фронты, совпадающие с поверхностя.ми Ег лучевых скоростей всех типов (г = 1, 2, 3). Здесь остается липп^ отметить, что если вектор \в) из равенства (7.22.19), (7.22.12) спроецировать на п.тоскость падения и представить суммой касательной ставляющих

(в) и нормальной

= t l " ' W + t r W;

=

(в) со(7.22.21)

TO вектор "^LI \в), лежащий в плоскости падения, окажется параллельным орту нормали mt- к кривой Rr вектора рефракции построенному в точке Nr{e) этой кривой. Заметим, что указанное свойство нормалей rnt(^) (см. п. 4 §23) играет существенную роль при учете ус^човий излучения в задаче на отражение-преломление волн на плоской границе раздела двух анизотропных сред. 4. В предыду1цем пункте плоские волны рассматривались как функции основного параметра it = it [в) — орта нормали к фронту исследуемой волны, задаваемого в (выбранной) плоскости (хз = 0) ее падения. В такой постановке проблема сводилась к алгебраической системе уравнений (7.22.2) и (7.22.3) с определенно положительной симметричной матрицей 3

337

что и обусловило, в частности, вещественность решения задачи, т. е. вещественность всех величин

При этом построенное решение позволило естественным образом ввести в теорию вектор рефракции it''^^ (7.22.13), в компонентах которого система уравнений (7.22.2) принимала вид Е к,р,<1=1

=0,

г = 1,2,3,

(7.22.22)

с условием разрешимости «.('•)«.('•)_ л.

= 0.

(7.22.23)

к,р=1

Полученная система уравнений допускает более общий подход к построению ее решений, при котором за независимый параметр задачи выбирается первая составляющая KI = к^^^ > О векторов рефракции, а искомыми оказываются все возможные вторые их составляющие к-2 = . Уравнение (7.22.23) (являющееся условием разрешимости системы уравнений (7.22.22)), как алгебраическое уравнение 6-й степени с вещественными коэффициентами, имеет шесть корней, либо веп;ественных, либо попарно комплексно-сопряженных. При этом все вещественные его корни оказываются в то же время корнями уравнения (7.22.3). Они могут быть построены графически путем пересечения прямыми вида = О

О

(7.22.24)

всех кривых Rt — векторов рефракции, представители которых приведены на рис. 6. 5. В качественном отношении решения систем уравнений (7.22.22) и (7.22.23) целесообразно связывать с наличием или с отсутствием пересечений прямых вида (7.22.24) с кривыми Rr векторов рефракции, построенных для рассматриваемой анизотропной среды. В случае достаточно ма^чых углов падения 9 прямые (7.22.24) (у которых величина с мала) пересекают кривые Rr в трех парах точек. Это 338

соответствует шести вещественным корням кг уравнения (7.22.23), определяющим (совместно со значением (7.22.24)) по паре вещественных векторов рефракции, с каждым из индексов (г = 1, 2, 3). При этом на верхних участках кривых из рис. 6, выполненных жирными линиями, нормали гп^ к кривым Rr в их точках М{в) образуют с осью 0x2 острые углы, т. е. оказывается (fnt • «2) > О или, что то же (см. §23), выполняются неравенства ( t " ' ' • t ) = (ti'^ •

> О,

(7.22.25)

где ' — вектор лучевой скорости волны типа г (отвечающей орту нормали из соотношений (7.22.19), (7.22.21). Ecjm же значение Ki > О возрастает так, что прямая KI = с (продолжающая пересекать кривые и Лз каждую в двух точках) перестает пересекать кривую Ri, то это означает, что вторая составляющая вектора рефракции (с индексом г = 1) +

(7.22.26)

стала комплексной Q i > 0.

(7.22.27)

Появле}ше ко.мплексного вектора рефракции (7.22.26), (7.22.27) приводит к изменению структуры решения (7.22.1), которое из вещественной однородной плоской волны обращается в комплексное решение в виде затухающей (при х-2 ^ оо или Х2 —> —оо) волны

(7.22.28) где

+

= с.

Подобные затухающие (как говорят, неоднородные) плоские волны играют существенную роль в задачах на отражение—преломление волн на границе раздела двух анизотрогшых полупространств. Они ответственны за явления «внутреннего отражения» волн и за экранирование волновых полей. При этом детали качественного описания таких явлений на фоне других плоских волн оказываются тесно связанными с особенностями пересечения прямыми вида (7.22.24) 339

остальных кривых Rr векторов рефракции. Здесь остается лишь присовокупить, что в случае появления в процессе отражения—пре(г)

ломления неоднородных плоских волн, у которых состав.чяющая к.^ вектора рефракции лучевой скорости

комплексна, векторы поляризации ^^ ' и ^ также оказываются комплексными. Вслед-

ствие этого приходится, в частности, изменять вид уаповия ортонормировки (7.22.9) вектора поляризации, заменяя его соотнопшнием (Л(^) • Л М ) = ^

=

(7.22.29)

где Srp — символ Кронекера. § 23. Поверхности и кривые векторов рефракции и лучевых скоростей плоских воли. Основные их свойства и прикладное значение В п. 3 §22 введены понятия о кривых Rr векторов рефракции и кривых Ij. — векторов лучевых скоростей плоских волн типов г = = 1, 2, 3, характеризуемых полями смещений вида (7.22.1), причем указаны и некоторые общие свойства таких кривых. Кривые Rr находят весьма полезные приложения при изучении процессов отражения—преломления плоских (и, что особенно важно, локально-плоских) волн на границе раздела двух анизотропных упругих сред. При этом подходы к рассмотрению таких процессов допускают непосредственное обобщение и на случаи описания волновых полей в рамках лучевого метода. Вследствие этого представляется полезным остановиться более подробно на установлении и формулировке важнейших свойств кривых Rr а 1г с разъяснением их физического смысла и прикладного значения. 1. Здесь уместно начать с общего предварительного замечания, касающегося сути обсуждаемых вопросов. Пусть при описании волновых процессов выбрана некоторая декартова система координат {х).} = { ^ j , Х2, хз], и для этой системы вычислены составляющие \ik,pq тензора относительных упругих постоянных рассматриваемой анизотропной (однородной) среды. При произвольно-задаваемых значениях орта нор.малей It = гГ{в, V5) 340

из полного их множества {Tt{0,
= Jf) из формулы (7.22.13). В результате решения указанных уравнений (сначала) определяются фазовые скорости vj{Tt) (и Vrilt)) распространения волн всех трех (возможных) типов (г = 1, 2, 3) и их векторы поляризации подчиненные условиям ортонормировки (7.23.2) Затем вычисляются и векторы рефракции (7.23.1), а также векторы (it)

из соотношений (7.22.12) с их составля-

юнщми 3

Е г.р,д=1

А; = 1,2,3.

(7.23.3)

При этом очевидно оказываются справедливыми следующие условия симметрии : Vrilt)

=v,{-Tt),

=

г = 1,2,3, (7.23.4) Из уравнений (7.22.22) с учетом нормировки (7.23.2) (или (7.22.9)) получаются и необходимые нам «исходные соотношения» Е

= 1,

(7.23.5)

переписываемые в форме (t^'* •

= 1, 341

г =1,2,3.

(7.23.6)

Пусть теперь значения орта it из множества { варьируются и пусть величины

i/з)} произвольно

г) обозначают соответственные вариации функций

г^) и

\ l t ) . Тогда из соотношений (7.23.G), а также из (развернутого) соотношения (7.23.5) (при учете свойства (7.22.5) симметрии величин Kk,pq и условия нормировки (7.23.2)) получаются окончательные соотношения ct^ + О (7.23.7)

=

- d ^ M ) = 0,

(7.23.8)

в которых второе слагаемое из соотношения (7.23.8) приводится с помонцзЮ системы уравнений (7.22.22) к форме

t=l равной нулю, вследствие условий нормировки (7.23.2). На основании же выражений (7.23.8) и (7.23.7) следует и второе требуюи1,ееся нам соотношение - d t ' ' ^ = 0.

(7.23.9)

2. При вычисленных значениях векторов рефракции и векторов лучевых скоростей отвечающих любому значению орта it из множества {it{в, tp)], можно ввести понятие о поверхностях Sr векторов рефракции и поверх1Юстях Ег векторов лучевых скоростей как о геометрических местах концов векторов

342

начала которых отнесены к каким-нибудь фиксированным точкам О и Oi- При таких построениях вариации и отнесенные соответственно к точкам поверхностей Sr и оказываются «малыми» векторами, лежащими в касательных плоскостях соответственно к поверхностям и Е^. Таким образом, соотношения (7.23.8) означают, что вектор лучевой скорости f (Nr), вычисленный в произвольной точке Nr € Sr поверхности вектора рефракции (того же индекса г), совпадает по направлению с внешней нормалью Tit к этой поверхности в точке Nr. А соотношение (7.23.9) подобным же образом означает, что вектор рефракции вычисленный по формуле (7.23.1) в произвольной точке Mr 6 Er поверхности лучевых скоростей, совпадает гю направле1шю с (внешней) нормалью it к этой поверхности в точке MrВследствие же этого оказывается, что нормаль it в точке Mr 6 Ег к поверхности лучевых скоростей совпадает с ортом нормали i t , по которому вычисляется вектор (it) лучевой скорости (7.23.3) (равно как и все прочие параметры поля смещений (7.22.1) плоских волн). Это обстоятельство находит свое (физическое) объяснение в рамках представлений о локально-плоских волнах (из н. 1 § 8), получающих завершенную форму в формализ.ме лучевого метода. 3. Как следует из § 8, а в завершенном виде, — из форма^шзма лучевого метода, поверхности Е^ лучевых скоростей играют важную роль при описании фронтов BO.HI, возбуждаемых сосредоточенными источниками (в то вре.мя, как линии 1г лучевых скоростей не нашли пока физических приложений). Поверхности же Sr векторов рефракции не представляют (пока) самостоятельного интереса. Однако сечения поверхностей Sr «плоскостями падения», приводящие к кривы.м Rr векторов рефракции (из п. 3 § 22) нашли весь.ма полезные приложения при описании процессов отражения—преломления волн на границах раздела анизотропных упругих сред. При этом в строгой форме такие процессы рассматриваются в рамках теории плоских волн, формализм которой допускает физически-очевидные (приближенные) обобщения на случаи локально-плоских волновых полей. Последние же приобретают окончательный (точный) смысл в формализме лучевого метода. 343

Имея в виду дальнейшие рассмотрения процессов отраженияпреломления волн па границах раздела анизотропных упругих сред, представляется полезным познакомиться более подробно с кривыми Rr векторов рефракции всех типов (г — 1, 2, 3) и с основными их свойствами. 4. В п.3 §22 рассматривались плоские волны вида (7.22.1), распространяющиеся в произвольно-выбираемой «плоскости падения» хз = О, орты нормалей и всжторы рефракции которых представляются в виде it =

=

+ П2Ч\

+

(7.23.10)

При этом составляющие таких векторов определялис!» выражениями п,

=

sin0,

=

cos0;

«^(0) =

= ^

Vr\Pj

(7.23.11)

через^гол падения 9, отсчитываемый от оси 0x2 (орт it) к оси Ох{ (орт ) по ходу часовой стрелки. Кривые Rr векторов рефракции (7.23.1), определяемые параметрическими уравнениями кз=0,

(7.23.12)

при значениях ni''^ (7.23.10), очевидно оказываются сечением поверхностей Sr векторов рефракции из и. 2 гиюскостью «з = 0. При этом вектор (пространственной) нормали к поверхности Sr в ее точке Nr представляется в виде =

(7.23.13)

где rftii'^' — составляющая орта нормали fnt-" в плоскости падения (хз = 0). Поэтому величина

mt = ^

(7.23.14)

оказывается ортом нормали к (плоской) кривой Rr вектора рефракции. 344

Что же касается (важного) результата из п. 2 о параллельности вектора "^''^'(AV) лучевой скорости в точке Nr S Sr орту нормали (7.23.13), то он приводит к равенства.м

из которых вытекают требуемые нам соотношения вида ( ^ t ' ^ ' ) = it'^'l(^ntM)

= i t ' ^ ' i M i r ' K i ^ • rnt)

(7.23.15)

при любых ортах г^ и «2 плоскости падения. Из соотношений (7.23.15) след>'ет, что факт наличия у вектора лучевой скорости составляюш,ей, паралле.чьной орту J2, строго определяется наличием такой составляющей у орта

(из соотношения (7.23.14)) нормали к плоской кривой Rr векторов рефракции. Таким образом, гю направлению (внешних) нормалей гЙ,г(^г) к кривым Rr можно судить о том, распространяется ли волна (характеризуемая лучевой скоростью ' i (Nr)) в сторону, определяемую ортом 22, или нет. А это означает, что кривые Rr векторов рефракции (в выбранной плоскости падения) предоставляют простой и наглядный способ учета условий излучения в случае анизотропных сред. 5. Обращаясь к более подробному рассмотрению кривых Rr = = Rr{e) векторов рефракции из уравнения (7.23.12), прежде всего отметим, что вследствие очевидного свойства Vr{lf) =

Vri-Tt)

или

Vr{0)

=

Vr{9

± 7Г)

решений уравнений Кристоффеля (7.22.3), точки Nr кривых Rr на плоскости их падения располагаются симметрично относительно начальной их точки О. (От которой откладываются векторы it'^^^e) при построении кривых Rr-) В простейших, но широко распространенных случаях (когда выполняются неравенства (9) > Ь2{в) > Ьз{в) и все кривые Rr выпуклые) кривые векторов рефракции располагаются так, как это изображено на рис. 6, а. Они охватывают друг друга без взаимных пересечений, причем прямые Ki = с = const 345

(7.23.16)

пересекают каждую из кривых Rr не более, чем в двух точках. В точках Ьг кривых координата « i = принимает максимальные, а в точках Ьг — минималып,1е значения. В промежуточных же углах падения 9, соответствующих участкам ЬгйгЬг кривых рис. 6 (жирные линии) внешние нормали fnt к кривым и.меют положительную (вторую) составляющую {тг)2 > О (т. е. {frit • «2) > 0). Поэтому при указанных углах падения в плоская волна (7.22.1) и.меет лучевую скорость у которой • 12) > 0. А это означает, что волна распространяется в сторону возрастающих значений х^ • И наоборот, углам падения в, отвечающим участкам ЬгйгЬг кривых Rr из рис. 6, а, б (тонкие линии), соответствуют плоские волны, распространяющиеся в сторону убывающих значений х-2. В общем же случае параметров среды дело обстоит много сложнее. Только внутре1П1яя кривая Д.] обладает прежними свойствами и пересекается прямой типа (7.23.16) в двух точках (или ни в одной). Что же касается кривых R.2 и векторов рефракции, то они могут пересекаться друг с другом в нескольких точках и иметь с прямыми (7.23.16) более двух пересечений. Наличие взаимных пересечений кривых i?2 и Лз не сказывается на качественной картине явлений отражения—преломления плоских волн. Поэтому ради сокращения описаний, мы ограничимся здесь лишь учетом пересечений кривых R2 и Лз с прямыми вида (7.23.16), причем будем считать, что кривые Rr, г = 1, 2, 3, охватывают друг друга. Функция « f (0) (отвечающая кривой R2 вектора рефракции, заключенной между кривыми Ri и R3 на рис. 6), может иметь в области 9 > О или один максимум и нуль минимумов (точка 62 рис. 6, а), или же два максимума (в точках и J2 рис. 6, б), и один минимум (в точке С2 рис. 6, б). Функция же из выражений (7.23.10), (7.23.11), отвечающая внешней кривой Rr (см. рис. 6), может иметь один максимум и нуль минимумов (как на рис. 6, а, б), или два максимума и один минимум. При этом все упоминавшиеся минимумы должны располагаться по отношению к максимумам соответствующей внутренней кривой Rr так, чтобы любая прямая (7.23.16) пересекалась со всеми тремя кривыми Rr не более чем в шести точках. Один из достаточно типичных случаев расположения кривых векторов рефракции Rr приведен на рис. 6, б. В нем участкам кривых, проведенных жирными линиями, отвечают промежутки углов 9, при которых волна (7.22.1) распространяется в сторону возрастающих значений Х2. 346

§ 24. Задача на отражение-преломление плоских волн на границах раздела анизотропных полупространств. Полное внутреннее отражение и неоднородные плоские волны В задачах на отражение-преломление плоских волн на границе раздела анизотропных полупространств, как и в случае изотропных упругих сред, основные затруднения логического характера возникают при постановках задач. Истоки подобных затруднений одинаковы, причем в случае изотропных сред они обсуждались в § 19. Поэтому здесь мы не будем на них останавливаться, а примем без дополнительной аргументации два достаточно правдоподобных утверждения. Первое из них выражает убеждение, что при отражениипрело.млении на плоской границе раздела двух однородных анизотропных сред возбуждаются отраженные и преломленные волны, принадлежащие также к семейству плоских волн. Второе же — гласит, что под падающей на границу раздела должна пониматься гиюская волна, вектор лучевой скорости которой направлен в сторону границы раздела (т. е. имеет нормальную составляющую, направленную к границе). А под отраженны.ми и преломленными границей волнами следует понимать плоские (однородные или неоднородные) волны, или уходящие от границы в указанном смысле, или же затухающие до нуля по .мере удаления от границы на «бесконечность». Подобные утверждения будут именоваться далее «условиями излучения». Помимо изложенного уже здесь, уместно условиться, что физический смысл придается далее лишь одной (например вещественной) части записей волновых полей в применяемой далее всюду комплексной форме. 1. Имея в виду дальнейшие приложения к задача.м на отражениепреломление в рамках лучевого метода, целесообразно исходить из общих формулировок в постановках задач, и уточнять их лишь по мере необходимости. Пусть в системе координат {xk} с началом в точке О задана плоскость ( ^ • 7г1) = О

(7.24.1)

с ортом нормали тй, проходящая через точку О, разделяющая среду

347

на два упругих анизотропных полупространства (з^ • rit) > О, t/ = 1,

{-t -тй) < О, v = 2,

характеризуемых постоянными плотностями рами Р.,

=

(7.24.2)

и упругими парамет-

(7-24.3)

Ри

Предполагая, что полупространства находятся, например, в жестко.м контакте, допустим, что из полупространства г^ = 2 на границу раздела (7.24.1) надает однородная плоская волна =

Т;^"-^],

=

(7.24.4)

некоторого фиксированного типа г = го, го = 1, 2, 3. В результате взаимодействия ее с границей (7.24.1), в средах iv = 2 и ^ = 1 возбуждаются отраженные и преломленные волны 3

й! = ^

ехр

-

• а^], (7.24.0)

«1 =

Or А

ехр iuj[t — к

-х]

г-1 (представляемые наложением плоских волн трех различных типов г), удовлетворяюп(ие уравнениям движения в средах и условиям излучения, притом такие, что на границе раздела (7.24.1) выполняются (линейн1.1е) соотношения контакта =

+

-

(7.24.6)

при значеиях из уравнения (7.24.1). (Здесь обозначает вектор напряжений поля на границе раздела.) Как и в случае изотропных сред, задача состоит в определении всех параметров отраженных и преломленных волн из выражений (7.24.5) по известны.м значениям параметров падающей волны (7.24.4).

348

Таким образом, в логическом отношении постановка задачи в случае анизотропных контактирующих полупространств не отличается от изотропных. Различия, имеющие технический характер, сводятся: 1) к способу выбора параметров i t к плоской волны с тем, чтобы выражения вида (7.24.4) и (7.24.5) удовлетворяли уравнениям движения среды; 2) к способу аналитической записи уотовин излучения и их физическому смыслу и, наконец, 3) к тому факту, что в случае изотропной среды мо1Юхроматическое волновое поле сводится к волнам (р и s) двух независимых типов, а в случае анизотропии - трех типов (г = 1, 2, 3). 2. При сопоставлении (ради наглядности) подходов к решению задач указанного типа уместно заметить следующее. В случае изотропных сред задание, например, первичной волны, падающей на границу (7.24.1) раздела сред из среды v — 2, сводится, как известно, к выбору орта нормали i t " к фронту (определяюп;его направление распространения волны), удовлетворяющего условию излучения (7t° • « t ) > О,

(7.24.7)

а также — к выбору значений ^

^

Vp

^

Vs

^

X

'

24.8)

векторов рефракции и векторов поляризации в случае падающей рили s-волпы (п. 2 § 19). При указанном выборе поля смещений вида (7.24.4) и (7.24.5) оказываются удовлетворяющими уравнениям движения среды, а по орту 1юрмали it^ к фронту естсствсн1н>1м образом учитываются и требуе.мые условия излучения. В случае же анизотропии контактируюпщх полупространств, при выбранной нормали 7t° к фронту падающей волны (для удовлетворения уравнениям движения) сначала приходится решать систему уравнений (7.22.2) с условием разрешимости (7.22.3) или эквивалентную им систему (7.22.22) и (7.22.23) для вектрров поляризации и вещественных векторов рефракции

v;. {Tt°y в среде и

2. 349

'• = 1,2,3,

(7.24.9)

в результате определяются возможные значения векторов рефракции и векторов поляризации 7^°) при Г — 1,2, 3, подчиненных условиям ортонормировки (7.22.9) или (7.23.2). Из найденных таким образом значений ^("-'(т^О)

и

г = 1,2,3,

отбираются значения

и

) выбранной падающей -р>(''о) Л Jro) волны, и для нее строится вектор лучевой скорости f — Г=1

с составляпщми ^

(7.24.10)

для проверки выполнимости условия излучения • rrt) > 0.

(7.24.11)

Если такое условие при it = выполняется, то в представлении (7.24.4) падающей волны гюлагают =

T

=

(7.24.12)

Если же неравенство (7.24.11) не выполняется, то за нормаль (к фронту) падающей волны берут орт

Подобными же соображениями руководствуются и при выборе аналитических представлений из выражений (7.24.5) для отраженных и преломленных волн. Однако при определении параметров отраженных и преломленных волн (7.24.5) первоочередным (как и в случаях изотропии) оказывается выбор ортов нормалей ' и отраженно-преломленных волн по задан1юму орту it^ падающей волны. Решение такой проблемы производится на основании предварительного (качественного) учета граничных условий (7.24.6) задачи, который позволяет, кро.ме того, внести некоторые упрощения и в формулировку рассматриваемой задачи. 350

3. Из наиболее общего свойства граничных условий — их линейности относительно аргумента выражения ^''^^[it] векторов напряжения на границе раздела — следует, что при подстановке в условия (7.24.6) векторов смеп;оний из выражений (7.24.4) и (7.24.5) получаются однородные соотношения, в каждое из которых множителем входит выражение вида (7.24.13)

expioj[t-ilt--i)]

при значениях it = " к с о д е р ж а щ е е переменную границы раздела (7.24.1). Условия контакта (7.24.6) должны выполняться тождественно относительно такой переменной что возможно, очевидно, только при тождественном выполнении соотношений (^М •

= (t'""' •

относительно векторов вытекают равенства

= (lt° •

(7.24.14)

лежан^их в плоскости (7.24.1). А отсюда

выполняюп;иеся при всех

из условия (7.24.1), означаюгцие парап-

лельность векторов (it^''^ — и ( " к — i t " ) орту нормали гй к плоскости вида (7.24.1). Таким образом, из соотношений (7.24.14) следуют представления для векторов рефракции =

+ аЙ,

t^"^ = lt°+/3nt,

г = 1,2,3,

(7,24.15)

где а и /? - некоторые вещественные числа, а также paBCiicTBa X rrt] =

xfft] =

X nt] =

с^,

(7,24.16)

выражающие, как выясняется (см. п. 4), закон Снеллиуса. Соотношения (7.24.15) означают, что нормали it к фронтам всех волн (или векторы рефракции всех волн, участвующих в процессе) лежат в одной и той же плоскости — в «плоскости падения» построенгюй на векторах и тЙ. 351

Это обстоятельство позволяет упростить все исходные положения задачи путем введения естественной системы координат { х ^ } , в которой границей раздела является, например, плоскость Х2=0

(7.24.17)

(с ортом нормали гА = а. плоскость Жз = О оказывается плоскостью падения в задаче на отражение преломление волн. Здесь остается лишь отметить, во-первых, что в силу тождеств (7.24.14) и все множители (7.24.13) имеют тождественные значения, что позволяет сокращать их в соотношениях (7,24.6), учитываюш,их граничные условия (см. п. 5). Во-вторых же уместно подчеркнуть, что вывод о плоскости падения (7.24.15) и соотношениях (7.24.16) Снеллиуса не зависят от типа рассматриваемых граничных условий, а являются лишь следствием их линейности. 4. Пусть задача на отражсиие-преломле1ше первичной (падающей) волны (7.24.14) ставится в выбранной естественной систе.ме координат {xfc}, и пусть вектор рефракции падаюп;ей волны определяется выражением ^

--7W—Г = vit\jt°)

^ +

7.24.18

vit\eo)

заданным n плоскости x^ — О, принятой за плоскость падения (всех волн). При этом построение вектора рефракции и вектора поляризации ^ падающей волны (удовлетворяющей уравнениям движения и условиям излучения) производится на основе уравнений (7.22.2) и (7.22.3) так, как указано в п. 2. Подлежащие же определению отражетпшю и преломленные волны, соответственно в средах Х2 < О, t/ = 2 и жз > О, =: 1, представляются в виде (7.24.5) при уаювии, что их векторы рефракции -г>(г) _

_

sin Or

cos 9г

^ (7.24.19)

^(г) _ ~

п1 V r ' ( n j

_ )

sm^r ^ „(1)/Л

Vr

(t/r)

созвг „(1)/д

Vr

[Or)

(имеющие лишь две составляющие) и векторы поляризации 352

и

А (имеющие в естествешгай системе координат все три составляющие) находятся (подобно тому, как указано в п. 2) из задачи для уравнений (7.22.2) и (7.22.3), отвечающих ортам нормалей i t ' ' ' ' = ктб'гП +

созвг^, (7.24.20)

= sin^r^ + cosOr^ указанных волн. При этом углы падения вг и 9г таких волн должны определяться (при учете условий излучения) из соотношений Снсллиуса (7.24.16), принимающих в естественной системе координат из п. 3 более наглядную форму _

sin^,

_

sing"

_

о

(Отличие от случаев изотропии сред состоит здесь лишь в зависимости фазовых скоростей распространения волн различных типов (г = 1, 2, 3) от ортов нормалей к волновым фронтам соответственных волн.) Что же касается учета условий излучения для отраженных и преломленных BOJHi (7.24.5), то он производится различным образом в зависимости от того, peaJшзyютcя ли отражения и прело.мле1шя в виде однородных плоских волн (7.24.5), или же та или иная волна оказывается (при рассматриваемом значении параметра кх > 0) уже неоднородной. В первом случае для отраженных и преломленных однородных плоских волн

(7.24.22) ui

=ОгЛ

ехргш[<— к

• гJ

с индексами г = 1, 2, 3, следует (как указано в п. 2) вычислить векторы лучевых скоростей [От) и 6 (^г), а выбор значений углов падения вг и вг из соотнощепий (7.24.21) производить при одновремешюм удвлетворении соответствующего неравенства из следующих

353

условий излучения (Й^'к) •

< 0;

(

б

•

> 0.

(7.24.23)

(Отметим, что па основании свойства центральной антисимметрии кривых векторов рефракции из выражения (7.24.4) ясно, что такой выбор всегда приводит к однозначному результату.) В противном случае — пеоднородпости какой-либо волны из выражения (7.24.22) при вещественном значении ki = к? > О из соотношений (7.24.21) 1-й компоненты вектора рефракции It

+ K2lt,

(7.24.24)

вторая его компонента (в результате решения уравнения (7.22.23)) оказывается комплексной Кг = к" ± га,

Q > 0.

(7.24.25)

Тогда, в соответствии с равенством expiuj[t — где обозначено

exp(±WQX2) • expia;[t - "к • "^J, к = Kill + K2I2,

в случае отраженной в область жг < О, z/ = 2, волны следует выбирать корень — it из выражений (7.24.24), (7.24.25) при значениях +ia в равенстве (7.24.25). В случае же преломленной в область Ж2 > О, I' = 1, волны следует выбирать корень "к^ ' = it при значении —ш. 5. После выбора аналитических представлений (7.24.4), (7.24.5) и (7.24.22), удовлетворяюп;их уравнениям движения, учитываюпщх соотношения Снеллиуса и условия излучения, следует возвратиться к окончательному учету граничных условий (7.24.6) расс.матриваемой задачи. В п. 3 было учтено лишь свойство линейности таких условий, из которого следовали соотношения Снеллиуса, а также — факт суш;ествования в задаче плоскости падения. Остается воспользоваться граничными условиями (7.24.6) для определения неизвестных еще амплитудных множителей а^ и из соотношений (7.24.5) отраженных и преломленных волн. Обращаться к этому след}'ет в 354

естественной системе координат из п. 4, когда можно воспользоваться формулой (1.2.6) для вектора напряжений tm[lt] на площадке с nopMajn>ro nt = Z2 через поле смещений i t . В такой системе (для плоского поля i t , рассматриваемого в плоскости падения хз = 0) выражения (1.2.6) сводятся, очевидно, к следу'ющим соотношениям:

k^l (7.24.26)

p,Q=l

Так, в результате подстановки выражений и щ из представлений (7.24.4) и (7.24.5) в первое векторное условие (7.24.6) после сокращения всех слагае.мых на общий множитель o.xpiuj[t - i t - ' t ]

(7.24.27)

из выражений (7.24.13) и (7.24.14) (см. конец п. 3) получается первое векторное уравнение ЪгА

-йгА

- ао А

Г=1

для (шести) амплитудных множителей а^ и Ьг из представления (7.24.5). При переходе к проекциям на оси естестве1пгай системы координат (из п. 4) оно приводится к системе трех уравпегшй первой группы ^ г=]

-

= aoAl,

/с = 1, 2, 3,

(7.24.28)

для упомянутых множителей. Остается учесть соотношения вида hk 'Й expiLo(t - it •

= -iijexpicj[t

- ' i •'t]

C2k,pqHpBq, p,9=l

355

в которых чающиеся граничное слагаемых

TI обозначает тот или иной постоянный вектор, полупри подстановке выражений i f , it^''^ и во второе условие из соотношений (7.24.6). После сокращения всех в них па общий множитель вида iwexpjcj[t - it •

аналогичный множителю (7.24.27). в компонентах на оси естественной системы координат из п. 4 будем иметь дополнительную систему из трех уравнений

Е Г=1

Е I

-

-

р,? = 1

p,Q=I

= ао Е

Е

3

J

3,

(7.24.29)

второй группы для n i e c T H амплитудных множителей о ^ и Ь^, г = = 1, 2, 3. При этом из энергетических соображений (подобных соображениям из п. 3 § 25) оледует, что определитель системы (7.24.28), (7.24.29) (при подстановке в него истинных значений величин ^(г)

-j^(r)

-fir)

к , л и А ) всегда отличен от нуля. Вследствие этого численные значения амплитудных .множителей Яг и hr из представления (7.24.5) определяются однозначно из полученной системы ajH'e6paHческих уравнений (7.24.28) и (7.24.29). 6. Изложенным уже исчерпывается формализм численного рещения задачи на отражение-пре;ю.мление зада1пюй плоской во;н1ы на плоской границе раздела двух анизотропных однородных упругих полупространств. Однако здесь естестве1пю возникает и вторая задача на качественное рассмотрение явлений отражения-преломления таких волн при непрерывно-изменяющихся углах падения исходной вол1п>1 в допустимых их пределах —тг < 0 < тт. Содержание такой задачи имеет очевидный физический смысл, а решение допускает предельно-наглядные пояснения, использующие свойства кривых векторов рефракции из § 23. Допустим для определенности, например, что средам Ж2 < О, = = 2, и а;2 > О, v = I, отвечают соответственно кривые на рис. 6. Падающая волна (7.24.4) всегда задается в виде однородной п;юской волны 1юкоторого типа г, характеризующейся одной из кривых 356

рефракции па рис. 6, а. По углу падения в этой волны определим значение = sm0/vo(e) и на рис. 6, а, ^проведем прямые xi — к°{в) (или Ki — Kj(6)). Если г — \ (или же г = 2, 3, но угол падения в достаточно мал), то указанная прямая пересекает на рис. 6, а участки кривых рефракции, проведенные тонкими линиями, б трех точках, соответствующих углам падения 02 и в^ отраженных волн всех трех типов. Подобные же точки пересечения прямой на рис. 6, 5 с участками кривых рефракции, проведенными жирными линиями, определяют углы падения 6*1, и преломле1Н1ых волн. При этом пока предполагалось, что тахк|''

(7.24.30)

т. е. что максимум абсциссы кривой рефракции с номером г = 1 на рис. 6,6 превосходит значение к°{в) падаюп;ей во.яны. По значениям найденных углов в^ и в^ определяются все кинематические параметры отраженных и преломленных (7.24.22) однородных плоских волн и, следовательно, определяются все (вен;ественные) коэффициенты системы уравнений (7.24.28) и (7.24.29) для амплитудных множителей а„ и (которые также оказываются вещественными). При изменении угла падения 9 величина первой компоненты к? (б) вектора рефракции нaлaюн^eй во.чны может увеличиваться, вследствие чего может изменяться и характер пересечения прямыми «1 = Ki{9) кривых рефракции при г — 1, 2, 3, изображенных па рис. 6, а, б. В прямой зависимости от этого изменяется число вещественных и комплекс1п.1х корней уравнения (7.22.23) из §22 п. 3 и, следовательно, характер протекания процесса отражения—преломления. Не обран;ая сначала внимания на явления, связанные с отраженными волнами, будем считать, что имеется возможность увеличивать (как это делается далее) значение к°((?) за счет увеличения угла падения 0, и в рамках такого дoпyн^eния обсудим вопросы, касающиеся возбуждения преломленных волн. 7. Если к^(9) возрастает так, что начинает выполняться неравенство тахк?(61) < к?(61), (7.24.30') обратное неравенству (7.24.30), то в среде возникают явления полного внутреннего отражения, заключающиеся в сле;1ующем. Существу-

357

ет первый предельный угол падения ^пр. определяемый равенством =

(7.24.31)

и такой, что при углах падения в из промежутка О < в < ^i/p процесс протекает в точности так же, как и в случае неравенства (7.24.30). При углах же ^ > впр прямая = к°{в) уже не пересекает на рис. 6, б кривой рефракции с номером г = 1. Если при в > бщ) еще выполняется неравенство K°i{e) Kuiinkf^

(7.24.32)

(где min обозначает абсциссу кривой рефракции с номером г = 2 на рис. 6, 5 в точке сг ее минимума), то упомянутая прямая пересекает на рис. 6, 5 участки, изображенные жирными линиями, каждой из кривых рефракции с номерами г = 2, 3 только в одной точке, отвечающей соответственно углам падения 02 и . (Как следует из § 22 п. 5, уравнение (7.22.23) при кз — О, к^ — к"{9) имеет в таком случае четыре вещественных и два ко.мплексно сопряже}1ных корня.) По значениям углов 02 и 9з однозначно определяются параметры и А ) двух квазипоперечных волн из представления (7.24.5) с номерами г = 2, 3. Что же касается квазипродольной волны, т. е. волны из представления (7.24.5) с номером г = 1, то она реализуется в виде неод1Юродной плоской волны, распространяющейся вдоль границы раздела Х2 = О и имеющей амплитуду, экспоненциально убывающую до нуля при возрастании Х2 > 0. Составляющие вектора поляризации такой волны определяются из системы уравнений (7.22.22) (выписанной для среды 1У = 1), в которую вместо следует подставлять значения Кз^' = О, = Ki(0) и = К2, где К2 — соответствующий комплексно сопряженный корень уравнения (7.22.23). В результате, определяются все параметры волн (7.24.5), а следовательно, и все коэффициенты уравнений (7.24.28), (7.24.29) для амплитудных множителей а^, Ь^. Эти коэффициенты оказываются уже комплексными, вследствие чего комплексными оказываются и значения а,,, Ь^. В тех же случаях, когда имеется возможность увеличивать так, что неравенство (7.24.32) уже не выполняется, приходится гово358

рить о втором предельном угле ^npi определяемом равенством (7.24.33) (Заметим, что так как мы условились функцию к°{в) считать возрастающей лишь за счет увеличения угла в, то оказывается йдр < < ^пр.) При углах падения в < ^„р процесс протекает так же, как в случае неравенства (7.24.32). При значениях же угла падения в > > бпр, но таких, что еще «;?(6/) < inf[max/tf']

(7.24.34)

(где inf[niaxK;P^] обозначает наименьшее из двух максимальных значений в точках 1)2 и из рис. 6, б), разыгрывается новое явление, не имеющее аналога в случае изотропных сред. Оно заключается в том, что упоминавшаяся неоднородная (поверхностная) квазипродольная волна исчезает, а вместо нее появляется вторая однородная квазипоперечная волна (7.24.5) с номером г — 2, отвечающая точке пересечения прямой KI = KI(^) С участком СГ^г, изображенным жирной линией на рис. 6, б. Таким образом, при углах падения в, при которых выполняются неравенства minkf^ <

< inf[max«;f^],

все три преломленные волны оказываются однородными и квазипоперечными! При дальнейшем возрастаниии к°(в) появляются третий, четвертый и пятый предельные углы полного внутреннего отражения на преломленных волнах. Третий предельный угол, определяемый равенством = inf[max характеризуется тем, что при углах падения в, удовлетворяюпщх неравенству

< в < ^др, где в^р определяется условием Ki(0i,p) = sup [max

одна из упо.минавшихся двух квазипоперечных волн с номером г = 2 становится неоднородной поверхностной волной. При этом остальные преломленные волны по-прежнему реализуются в виде однородных квазипоперечных волн с номерами г = 3, 2. (Им отвечают, 359

очевидно, точки пересечения прямой xi = к°{в) с участками ЬзОз&з и ЬгйгЬг или сг^г кривых рефракции, проведенных на рис. 6, б жирными линиями.) Если угол 9 возрастает так, что вьиюлняются неравенства sup[max/t[^'] < к°{в) < т а х к ^ \ то прямая «1 = пересекает на рис. 6,6 (в двух точках) липп» кривую р)ефракции с номером г = 3. По точке пересечения, расположенной на участке Ьза^Ь^ кривой, проведенной жирной линией, определяется преломленная квазипоперечная однородная плоская BOjnia с но.меро.м г = 3. Остальные же две пре:гомленные волны, (отвечающие комплексно-сопряженным корням К2 уравнения (7.22.23), у которых Iiii К2 > 0) реа^чизуются в виде неоднородных поверхностных волп. Векторы поляризации = А^р таких волп определяются из системы уравнений (7.22.22), выписанной для среды г/ = 1, в которую вместо Кр'^' подставляются значения = О, = Ki(^) и = где — два (из четырех) комплексно сопряженных корня уравнения (7.22.23), выбранных так (Im/Cj^'^' > 0), чтобы в среде I/ = 1 (ж2 > 0) удовлетворялись условия излучения. Наконец, если выполняются неравенства кЩ

= maxK,f\

>

то все преломле1П1ые BOjnibi реализуются в виде неоднородных поверхпостпых воли и т. д.

8. Из.'юженное в п. 7, по-видимому, уже достаточно nojnio освещает существо обсуждаемого вопроса, так что нет необходимости обращаться к рассмотрению явлений nojnioro внутреннего отражения на отраженных волнах. Наличие или отсутствие тех или иных явлений такого рода теснейщим образом увязывается с особенностя.ми формы и расположения на плоскости падения xi 0x2 (в естественной для процесса отражения-преломления координатной системе из н. 4) кривых рефракции, построенных для плоских волн всех типов г = 1, 2, 3, распространяющихся в средах с параметрами упругих полупространств Х2 > О г/ = 1 и жг < О г/ = 2. Выявление таких особенностей в обсуждаемой задаче, как мы видели в п. 7 на примере преломленных волн, производится на основе сечения кривых рефракции прямыми Xi = что сразу же приводит к качественным заключениям относительно вещественных и комплекс1п>1х 360

корней уравнения (7.22.23) и, следовательно, относительно однородности или неоднородности рсаждой из отраженных и преломленных волн. А это полностью определяет в качественном отношении физическую картину, в рамках которой реализуется процесс отраженияпреломления. В алгоритмическом же отношении во всех без исключения случаях дело сводится к следуюпдему: 1) к нахождению шести корней /С2 уравнения (7.22.23), выписываемого для каждой из сред v — 1 -ц V = 2, -а котором полагается «з*^' = О, отбору из этих корней трех корней

= иЦв),

= кг; 2) к

в случае v = 1 (трех корней

в случае v = 2), где г = 1, 2, 3, так, чтобы в среде

= 1 (в среде

V — 2) удовлетворялись условия излучения; 3) к нахождению нормированных по условию (7.22.29) решений Л^р при и = \ (решений A^j^^ при v = 2), г = 1, 2, 3, системы уравнений (7.22.22), выписанной для среды v = 1 (для среды г/ = 2), в которую гюдставляются значения к,''' = О, /tj'^' = кЦв) и значение при v = 1 (значение при и = 2), отобранные в соответствии с условиями излучения, наконец, 4) к подстановке в системы уравнений (7.24.28) и (7.24.29) найденных значений параметров и — 1,2,3, отраже1пп,1х и преломленных вол1г (равно как и airajmrH4Hbtx параметров для падающей волны) и к решению 1юлучаюш,ейся системы уравнений. Следует подчеркнуть, во-первых, что вследствие нормированности на единицу векторов поляризации падающей, отраженных и преломленных волн амплитудные множители а^ и Ь^ из представлений (7.24.5), определяемые в результате решения системы уравнений (7.24.28) и (7.24.29) имеют смысл коэффициентов отраженияпреломления волн. Так как падающая волна (7.24.4) может относиться к трем различным типам плоских волн, в случае анизотропных сред приходится употреблять 18 коэффициентов отраженияпреломления вместо восьми коэффициентов типа SV и двух типа SH в случае изотропных сред. И, во-вторых, что при рассмотрении явлений полного внутреннего отражения в случае конкретно выбранного типа г = г" падающей волны (7.24.4) следует учитывать огра1тчсцность величины Последняя может изменяться лишь в пределах, отвечающих участку кривой рефракции со значком г = го (построенной для среды и = 2), согласующемуся с фактом падения

361

волны (7.24.4) на границу Х2 = О из полупространства Х2 < 0. На рис. 6 такие участки кривых воспроизведены в виде жирных линий. § 25 О поверхностных волнах на границах раздела однородных анизотропных упругих полупространств Как и в случае изотропных сред, к теории плоских волн в однородных анизотропных средах примыкают задачи на распространение поверхностных воли вдоль границы полупространства, или — границ раздела двух контактирующих полупространств. В идейном отношении такие задачи не отличаются от аналогичных же задач в случае изотропных упругих сред. Однако в общем случае анизотропии их решение оказывается неизмеримо более громоздким, причем оно допускает лишь численную реализацию. Вследствие громоздкости с подходом к решению таких задач целесообразно знакомиться на простейшем примере задачи для полупространства, в которой суть подхода не подвергается каким-либо ограничениям. 1. Исходным в задаче на распространение поверхностных монохроматических волн вдоль границы Х2 = О однородного анизотропного полупространства Х2 > О, характеризуемого тензором Xik,pq = = const относительных упругих постоянных и плотностью р = const (аналогичной задаче Релея в изотропном случае), также является задача на отражение от свободной границы жг = О полупространства заданной падающей плоской волны ыЙ = КеаоЗ^'"^ expiw(t -

(7.25.1)

Здесь +coseo^,

г'о(Ро)

(7.25.2)

— вектор рефракции падающей волны, заданной в плоскости падения хг = О, vo{0o) ~ ее фазовая скорость, а

ее вектор поляри-

зации. При этом вектор рефракции выбран так, что вектор лучевой скорости

(^о) волны удовлетворяет условию П) Н f f =

Е

< о,

i,p,q=l

362

(7.25.3)

выражающему факт падения волны й^ (7.25.1) на границу Х2 = О полупространства. Отраженные границей Х2 — О волны представляются выражениями it*'')

= 1, 2, 3,

(7.25.4)

в которых векторы рефракции l^t") =

it^i^^ = sine^it + cose^i^,

(7.25.5)

выбираются таким образом, чтобы (в случае вещественных значений — созв^) для лучевых скоростей волн выполнялись соотноптения Е i,p,9=l

(7.25.6)

В случае же мнимых значений составляющих /tj''^ вектора рефракции знак выражения соябд = ±?:| выбирается так, что вектор (7.25.4) убывает экспоненциально при возрастании расстояния Х2 > О от границы Х2 — О полупространства до рассматриваемой точки поля. При этом в соответствии с § 22 здесь подразумевается, что значения 7v

и ' А '' определяются из системы уравнений 3

Е

-А^^

=0,

г = 1,2,3,

(7.25.7)

k,p,q=l

с условием разреши.мости 3

= О

(7.25.8)

вида (7.22.22) и (7.22.23), в которых за независимый параметр берется значение ni = 363

2. В случае свободной от напряжений границы поле смещений

= О суммарное

3

в полупространстве хо > О должно удовлетворять условиям = 0, д=1

i = 1, 2, 3,

(7.25.9)

12=0

при Х2 = о — отсутствия напряжения на границе полупространства. При этом г-я составляющая вектора напряжений t2 (it) на границе = О определяется выражением г Р,9=1

1,2,3,

'Р

вида (7.24.26). Подстановка полей смещений й^ (7.25.1) и i t ' ' ' ' (7.25.4) в граничные условия (7.25.9) при Х2 — О приводит к линейным соотношениям, слагаемые которых содержат множители вида expiuj(t

— xiK°)

и

expiiu'(t

-

iiKj'''),

(7.25.10)

причем соотношений! должны выполняться тождественно относительно переменных Xi и t. Отсюда, как и обычно, следуют кинематические соотпопюния (Снеллиуса) = «у, /х = 1, 2, 3,

или

Уд _ sm ffp

(7.25.11)

для процесса отражения. При учете их после сокращения соотношений (7.25.9) па множители (7.25.10) (а также на ги;), получается система липойпых уравнений

(7.25.12) i

1, 2, 3,

364

из которой определяются амплитудные множители а,, из представления (7.25.4) задачи на отражение плоской волны из выражений (7.25.4) от границы жз = О полупространства Х2 > 0. 3. Для существования решения системы уравнений (7.25.12) необходимо, чтобы детерминант системы (7.25.13) с элементами 3

AiM =

г, М = 1,2,3,

(7.25.13')

был отличен от нуля. В противном же случае равенства нулю такого детерминанта = 0

(7.25.14)

неоднородная система уравнений (7.25.12) неразрешима, а однородная система (7.25.12) (в которой а^ = 0) должна иметь нетривиальные реп1ения. При этом очевидно, что такие решения должны представляться в форме, обеспечивающей отсутствие потока энергии поля в глубь среды x-i > 0. Последнее же реализуется (как это c j i e ; i y c T из ана.г1иза системы уравнений (7.25.7) с точки зрения свойств кривых векторов рефракции, построенных для рассматриваемой упругой среды; см. § 23), только в случаях, когда все составные элементы ноля из выражений (7.25.4) оказываются неоднородны.ми плоскими волнами. В случае правой части системы уравнений (7.25.12), заданной в фор.ме любой однородной п.иоской 1юлны (7.25.1), падающей на границу Х2 = О полупространства и, следовательно, удовлетворяющей неравенству (7.25.3), среди отраженных плоских во;ш из выражений (7.25.4) обязательно должна присутствовать хотя бы одна однородная плоская волна, удовлетворяющая неравенству (7.25.6), т. е. обладающая потоком энергии, оттекающим от границы жг = О в глубь среды Х2 > 0. Поэтому в таком случае должен сугцествовать и какой-то приток энергии к границе Х2 = О, возможный лишь за счет падающей однород1юй плоской волны. Таким образом, разрешимая система уравнений (7.25.12) должна быть неод1юродной (ад 0) и должно выполняться условие (7.25.13). 365

Равенство же (7.25.14), обеспечивающее существование рещения однородной системы уравнений (7.25.12), может иметь место лищь при значениях из соотиощений (7.25.11), при которых уравнение (7.25.8) (относительно значений вторых составляющих /tj^' векторов рефракции "z^^*^') не имеет уже вещественных корней. Для этого необходимо, чтобы (7.25.15) где Kimax обозначает максимальное значение составляющей ni из всех трех кривых векторов рефракции из рис. 6. Таким образом, поверхностные волны в полупространстве Х2 > О могут возбуждаться лищь в случаях векторов рефракции первая составляющая ki которых удовлетворяет неравенству (7.25.15) и оказывается такой, что удовлетворяется равенство (7.25.14). Поиск подобных составляющих среди точек вещественной оси плоскости {к), удовлетворяющих неравенству (7.25.15), удобно производить по Ньютону. При этом в случае успеха он приводит к условию разрещимости однородной системы уравнений (7.25.12), из решения которой как раз и определяются амплитудные множители а^, ^ = 1, 2, 3, поверхностной волны в анизотропном упругом полупространстве.

366

Глава 8 Лучи и фронты объемных волн. Описание волновых полей в прифронтовых зонах лучевым методом Сначала приводится сводка результатов §8 и 13, касающихся задач на построение лучей и фронтов волн любого типа, распространяюи;ихся в произвольных анизотропных упругих средах. Затем обсуждается при1п;ипиальная схема естественного алгоритма построения лучей и фронтов волн. В основных же разделах главы приводятся результаты, относяп1иеся к количественному изучению волновых упругих полей в прифронтовых их зонах в рамках нулевого приближения лучевого .метода. Лучевой метод в случае анизотропных упругих сред впервые был рассмотрен в работе В.М. Бабича^. Однако он не был доведен до состояния, допускающего практические применения. Современная вычислительная техника легко позволяет устранить этот пробел. § 26. Л у ч и и фронты объемных волн в анизотропных средгих 1. Как следует из п. 5 § 8 и п. 11 § 13, если поверхность волнового фронта определять уравнением T{xi,X2,x,)-t=^Q

(8.26.1}

' Яабич В. М. Л у ч е в о й метод в анизотропной среде// В о п р о с ы д и н а м и ч е с к о й т е о р и и р а с п р о с т р а н е н и я сейсмических волн. Л . , 1961. С. 36-46.

367

относительно (правовинтовой) декартовой системы координат xi,x2, 13, то функция т должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производ1п>1х первого порядка 3

Я=

Y,

А^р = I,

(8.26.2)

i,k,p,q~\

обобщающему уравнение эйконала (4.13.35) на случай анизотропии. Здесь рк = дт/дхк, \ik,pq = hk,pq{x\, Х2, хз) — составляющие тензора относительных ynpj'rnx ностоятпгых (2.7.5), зависящие от рассматриваемой точки (xfc) среды, а функции = х^) определяются соответствен1ю типу г изучаемой волны из следующих алгебраических задач теории плоских волн. Пусть в точке {х^) анизотропной упругой среды задается по произволу орт ft с составляющими п^ и рассматривается однородная система уравнений 3

J2

=vfA
г = 1,2,3,

(8.26.3)

k,p,q=l С условием

разрешимости 3

J2

^ik,pqnknp-vl6^ = 0.

(8.26.4)

к,р=1

Пусть, кроме того, Vr{rt, Хк) обозначает решение уравнения (8.26.4), отвечающее квазинродольпой или квазипоперечной волне типа г, вы6painioe с соблюдением всех требований из п. 7 § 8. Тогда под

из выражения (8.26.2) следует понимать подчиненное условию нормировки = 1

(8.26.5)

1=1 и отвечающее значению Vr{7^, Xk) решение , Xk) системы уравнений (8.26.3), в котором аргумент f t заменен на Пользуясь терминологией теории плоских волн, мы будем называть величины 368

Vr{Tf, Xk) = Vr{Tf) и A\''\lt, Xk) = (зависящие н случае неоднородных сред также и от координат {xk) рассматриваемой точки среды) соответственно фазовой скоростью и составляющими вектора поляризации. Следует отметить, что решения Vr{Tt) и A ' f ^ l t ) уравнений (8.26.4) и (8.26.3) оказываются однородными функциями от # соответственно первой и нулевой степени. Поэтому при любом значении Л справедливы равенства Ur{\Jt)

=

\vr{lt),

A\'\x-ft)

=

/ i f ' ( i t ) .

(8.26.5')

Именно это обстоятельство и позволяет в выражении (8.26.2) под подразумс1шть функции A\^\lt), в которых вместо аргумента rt используется дифференциальный вектор с. составляющими Рк = дт/дхи- По той же причине уравнения (8.26.3) и (8.26.4) можно переписать в виде

Y. k,p,Q = l

^

г = 1,2,3,

X I ^ik,pqPkPp -6г,

= о,

5.26.3')

(8.26.4')

k,p=l

если полагать п^ — Vr{lt)pk, или Рк

=

дт дхк

Пк Vr{7t)'

к

=1,2,3,

3.26.6)

и подразумевать под Пк составляющие орта нормалей к поверхности (8.26.1) волнового фронта. Вектор с составляюпщми (8.26.6) мы будем называть вектором рефракции, хотя и не будем обозначать его через . 2. Для нахождения волновых фронтов (8.26.1) (как поверхностей, па которых поле может иметь разрывы непрерывности, или в с.мещениях, или же в их частных производных) след}'ет построить решения уравнения (8.26.2), удовлетворяющие соответствующим начальны.м данным. Как следует из § 12, такую задачу можно решать методо.м характеристик, в котором вместо уравнения (8.26.2) рассматривается характеристическая система обыкновенных дифференциалын>1х

369

уравнений, дополненная подходящими нашему случаю начальными условиями. Упомянутая характеристическая система была получена в п. 11 § 13 и записывалась в виде уравнений (4.13.43), т. с. m = 1,2,3,

(8.26.7)

где =

^

(8.26.8)

ьр,3=1

^

= ^

Е

(8.26.9)

причем ^т являются составляющими лучевой скорости (плоской) волны, вычисленной для точки (х^) и орта нормалей i t с составляющими из соотношений (8.26.6). Прежде че.м выписывать начальные условия для системы уравнений (8.26.7) (о чем также шла речь в §13), полезно сопоставить эту систему с системой (4.13.44), т. е. с системой уравнений

(IT

^ = ат

V

m = 1,2,3,

(8.26.10)

для лучей волн в изотропной упругой среде со скоростью распространения V = v{xk) (не зависящей от направления). 3. Если считать известной функцию T{XI, Х2, ХЗ) из уравнения вида (8.26.1) для фронта волны в изотропной среде, то можно воспользоваться формулами (4.13.41), где п^ = vpk = удт/дх^ — составляющие орта нормалей к фронту. При этом первая группа уравнений (8.26.10) переписывается в виде dxm/dr = vrim, что выражает, во-первых, факт распространения волны вдоль луча со скоростью if = V it и, во-вторых, факт ортогональности луча к фронту в каждой точке их пересечения. Соответственно этому первая группа уравнений (8.26.7) также выражает факт распространения волны вдоль луча с некоторой скоростью, а именно с лучевой скоростью = { i t , Xk), отвечающей точке Xk и орту нормалей i t , совпадающему с нормалью к волновому фронту в точке его пересечения с лучом. При этом касательная

370

к лучу, совпадающая по направлению с вектором уже не ортогональна фронту, так как направления фазовой скорости Vr(Tt, Xk)'rt и лучевой скорости ^ r f , Xk) в анизотропных средах (почти всегда) не совпадают друг с другом. Из уравнений (8.26.10) лучей в изотропной среде вытекает существование первого интеграла v^YlPk ~ const, соответствующего уравнению эйконала (4.13.36), которое и является уравнением в частных производных для волновых фронтов. Совершегпю так же из уравнений (8.26.7) вытерсает существование первого интеграла Н = = const, где Я имеет значение из уравнения (8.26.2). Если по-прежнему считать известной функцию T{XI, Х2, ХЗ), входящую в уравнение (8.26.1) волнового фронта, и продифференцировать по Хт уравнение (4.13.36) и уравнение (8.26.2), то получатся соответственно равенства ( - П )

=

=

t

(8-26.11')

левые части которых совпадают с правыми частями вторых групп уравнений (8.26.10) и (8.26.7). Что же касается правых частей этих равенств, то они также обнаруживают тождественность структуры, так как в них множителями при дрк/дхт в суммы по к входят составляющие VTik и скорости распространения волны вдоль луча соответственно из систем уравнений (8.26.10) и (8.26.7). Таким образом, структура систем уравнений (8.26.7) и (8.26.10) вполне аналогична. Различие же состоит лишь в том, что скорости распространения волны вдоль луча и распространения волнового фронта в изотропных средах совпадают, а в случае анизотропии отличаются друг от друга. При этом в о л 1 Ю в о й фронт 5 в анизотропной среде распространяется в направлении своих нормалей 'rt{N), где N е S, с фазовыми скоростями Vr{lt, N), а вдоль луча волна распространяется с лучевой скоростью (8.26.8). Заметим в заключение, что при

371

выводе равенства (8.26.11') было учтено тождество 3

^

ял(')

г=1

г,к,р,(1=1

вытекаюп1ее из формул (8.26.3') и (8.26.5). 4. Для того чтобы система обыкновенных дифференциальных уравнений (8.26.7) для луче?! получила определенность в обсуждаемой задаче о волновых фронтах, необходимо дополнить ее начальными условиями. Начальные условия для случая точечного источника уже приводились в п. 12 § 13, и они могут быть 3anncain,i в виде

г=0

= х1,

= - f ,

1,2,3,

(8.26.12)

где п^ составляюнщо произвольно выбираемого в точке (ж^) орта T t \ т. с. п° =а,

п°=

0,

гг° = y i -

-

а'+

< 1,

при произволып>1х а и а 11° = Vr(Tt°, х^) — значение фазовой скорости волны типа г в точке (х°„), отвечающее орту В случае же задач «на продолжение волнового фронта», когда положение волнового фронта в моменты времени I > О определяется по известному его положению SQ ф{хг,х2,хг) = 0

(8.26.13)

в момент t — О, начальные данные 0чевид1Г0 (см. ни. 8 и 9 § 12) следует задавать в виде

'f'rlClj IJ)

m = 1,2,3.

(8.26.14)

Здесь аи fi — произвольные параметры, координаты точек N на поверхности So (8.26.13). Первая группа уравнений (8.26.14) фактически является параметрическим заданием точек поверхности (8.26.13), относительно которой предполагается, что она имеет непрерывную (лучше дифференцируемую) нормаль rt(a, /3) в каждой своей точке. Что же касается функции Vr{a, /3) из формул (8.26.14), то она совпадает с фазовой скоростью и,, волны типа г, вычислеп1юй по уравнению (8.26.4) для точки x°^{a, /3) € So соответственно орту нормалей

372

/3). Очевидно, что начальные даниг.ю (8.26.14) удовлетворяют всем условиям внутреннего согласования из п. 8 § 12. 5. Еши составляюнще \ik,pq{xi, Жг, жз) тензора относительных упругих постоянных среды оказываются достаточно гладкими функциями от координат {х^) (например такими, что Xik,pq непрерывны вместе со всеми их част1П)1ми производными первого и второго порядка), то система дифференциальных уравнений (8.26.7)—(8.26.9) имеет единственное решение Хт = Хт{т, а, Ц),

Рт = Рт(т, Q, /?),

тп = 1, 2, 3,

(8.26.15)

при начальных условиях (8.26.12) или (8.26.14). При этом такое решение оказывается непрерывшзьм вместе со всеми его частными производными первого порядка по переме1тым г, а и /?. '1x0 же касается функции t ( x i , Х2, ХЗ), входящей в уравнение (8.26.1) фронта рассматриваемой волны, то для со нахождения, как следует из п. 9 § 12, нужно выразить значение T{XI, Х2, ХЗ) ИЗ первой группы функциональных соотношений (8.26.15) или же произвести иную функционально эквивалентную этому операцию (например, }1айти на основе уравнений Хщ = а;„,(т, а, 0) геометрические места точек ( х т ) , отвечающих значениям г = const при произвольных изменениях параметров а и /?). Но вследствие сложности выражений (8.26.8) и (8.26.9) для правых частей системы (8.26.7), равно как и замечаний из ini.3 и 5 §8 о практической невозможности (и бесполезности) получения аналитических выражений для ясно, что решения системы уравнений (8.26.7) воз.можно получать лишь численными способами. Поэтому и при нахождении уравнений фро1ггов (8.26.1) приходится нри.менять численные подходы, подобные построению геометрических мест точек. При численных решениях, как известно, система обыкновенных дифференциа-чьных уравнений первого порядка заменяется некоторой разностной систе.мой алгебраических соотношений (получаемых на основе замены производной /'(т) конечным отношением [/(г + +h) — /(г)] : /t с некоторым пшго.м Ат = h), позволяющих строить приб^'шженные значения искомых функций в точках сетки значений т T^ = uh, г/ = 0, 1, 2, . . . , (8.26.16) с шагом h > 0. Существует несколько разностных схе.м репюния системы уравнений вида (8.26.7), отличающихся друг от друга скоростью стремления нриближентюго решашя к точно.му при h —> О,

373

за которую приходится платить ценой вычисления па каждом шаге правых частей уравнений (8.26.7) в большом числе точек. Ради простоты изложения алгоритма таких вычислений мы выберем здесь простейшую разностную схему Эйлера, требующую вычисления правых частей уравнений лишь в узлах сетки (8.26.16). Имеются основания (в том числе и физического характера) полагать, что точность такой схемы окажется более, чем достаточной для приложений в сейсмике уж по крайней мере в обозримом будущем. 6. Обозначая посредством х[л ' = Xm{i^h) И р^т = Pmit^h) Значения искомых функции в узлах сетки (8.26.16), переписываем систему дифференциальных уравнений (8.26.7) в разностной форме = хМ + hUH,

= р^) + hr,m(u),

(8.26.17)

где 7П = 1, 2, 3; г/ = О, 1, 2 , . . . , а под и т]т(пи) подразумеваются последовательно вычисляемые значения правых частей уравнений (8.26.7) в узловых точках сетки (8.26.16). Вычисления по такой схеме должны производится последовательными шагами в излагаемом ниже порядке с использованием операций 0-г{п, ж^"'). При этом под операцией Ог{п, ж'"') подразумевается: 1) выписывание уравнений (8.26.3) и (8.26.4) для узловой точки х^"^ и для текущего орта нормали rt = ft {и)-,2) нахождение их решений Vr{n, х ' " ' ) и х ' " ' ) , отвечающих волне рассматриваемого типа г; 3) вычисление составляющих рт\п, х^"^) = Пт/vrin, х'"^) вектора рефракции вида (8.26.6) и, наконец, 4) вычисление функций и (8.26.8) и (8.26.9) по найденным значениям величин Х'"^') И рт\п, х^"^). Что же касается последовательных шагов, то здесь их целесообразно нумеровать значениями и = = 1, 2, 3 , . . . , И подразделять на две группы, а именно: на предварительный шаг с номером г/ (III/) и на шаг с номером (Шг/). Итак, построение лучей волны типа г производится по разностной схеме (8.26.17) уравнений (8.26.7) в следующей последовательности шагов (Пг/) и (Шг/): (ШО). На основании начальных данных ( х ^ , п ^ ) из выражений (8.26.12) или (8.26.14) выполняется операция х°). В результате для начальной узловой точки i/ = О получают значения х°),

р^, С ( 0 ) и r U O ) .

374

(П1). На основании выражений (8.26.17) для узловой точки v — 1 находят: 1) значение координаты точки x^V = + и 2) нрсдварительные значения рЦ' = Рт + /''Утп(О), по которым вычисляются значения составляющих орта нормали „(1)

Рщ

(Ш1). При найденных значениях Хт и п™^ в узловой точке г/ = 1 применяется операция а;'''), приводящая к значениям

(П2). На основании выражений (8.26.17) для точки и = 2 находят значения

~(2)

причем по предварительным значениям pin составляющих вектора рефракции вычисляются составляющие орта нормали -(2) ^

(Ш2). При найденных значениях Хт^ и Пт^ в узловой точке I/ — 2 применяется операция а;'^)), приводящая к значениям vAn^'K

Р^), е ) ( 2 ) и г?„(2).

(ПЗ). На основании (8.26.17) для точки i/ = 3 находят значения

и т. д. Весь процесс продолжается рекуррентно до конечной точки N = = {Хп"^), отвечающей сетке (8.26.16) со значениями i/ = О, 1, 2, ... щ. При этом для того чтобы «попасть» в конечную точку N , расположенную, например, на некоторой поверхности 5, может оказаться необходимым уменьшить шаг h на последнем этапе расчетов.

375

в связи с изложенным уместно отметить, во-первых, что для построения фронта во:н1ы (если такая задача возникает) приходится строить множество лучен, выходяп;их из точки но различным направлениям и продолжать лучи до точек отвечаюнщх одинаковым значениям т^,^ сетки (8.26.16). Упомянутые точки должны (приближенно) располагаться па искомом волновом фронте, а направления орта нормалей rf^""' в них должны совпадать с нормалью к фронту в этих точках. Во-вторых же, в ониса1нюм процессе приближенного интегрирования системы дифференциальных уравнений (8.26.7) вдоль любого (определяемого ею) луча, во всех узловых точках выбранной сетки (8.26.16) определяются значения; 1) координат Хт^ точки луча (отвечающей узлу сетки); 2) орта нормалей Tt'''^ определяющего нормаль к поверхности волнового фронта в точке (жт') в момент его прохождения через эту точку; 3) фазовой скорости Vr{'rt^''\ Хт^) распространения фронта волны (в момент прохождения его через точку (жт')); 4) составляющих Х т ' ) вектора поляризации (как нормированного решения системы уравнений (8.26.3) в точке ( х т ' ) при значениях it = Tt'"', Vr = Vr(rt^''\ Жт'); 5) составляюпщх rt'"', Хт^) вектора лучевой скорости (направленной вдоль луча), определяющей скорость пере.мещения вдоль луча точки пересечения этого луча с распространяющимся волновым фронтом. Поэтому если, в часпюсти, луч доходит, например, до точки N = = (жт') границы раздела двух сред с нормалью nt{N), то 1Ю ортам rit{N) и rt'""' определяется плоскость падения локально-плоской волны, связанной с лучом и характеризуемой ортом нормалей и скоростями распространения и "^''^'("rt'''"', ж^"'). В такой плоскости как раз и происходит процесс отражения-преломления пaдaюп^eй волны (протекающий фактически так же, как и в случае плоской волны из § 24), а вместе с ним и процесс отраженияпреломления падающего луча, в результате которого определяются начальные данные типа (8.26.14) для систем уравнений (8.26.7) в каждой из задач тю продолжению луча надаюгцей во.пны лучом отраженной или преломленной волны одного из трех возможных типов г = 1,2, 3. 7. В заключение параграфа целесообразно привести ряд вспомогательных представлений и понятий (нужных для последующе-

376

го), связанных с семейством лучей, представленных в виде функций (8.26.15) от лучевых коордииат т, а и Р, построенных в результате интегрирования систе.мы уравнений (8.26.7)—(8.26.9) при начальных условиях (8.26.12) или (8.26.14). Каждый луч laD, входящий в семейство (8.26.15), характеризуется значениями своих параметров cv и /3, причем в случае достаточной гладкости функций из правых частей уравнений (8.26.7)-(8.26.9) семейство образует (в некоторой окрестности области задания начальных данных) поле лучей. Последнее означает, что через каждую точку поля проходит некоторый луч lag семейства и притом только один. В области поля лучей соответствие (8.26.15) между декартовыми (xi, Х2, жз) и лучевыми (г, а, ,/?) координатами точек поля г =

Сь

P ^ Q i

(8.26.18)

(обозначаемых здесь и да,чее, ради удобства суммирований, через посредство переменных C/t), оказывается взаимно однозиачны.м. Вследствие этого существуют взаимно-обратные систе.мы функций Хк =

X k { ( : u Сг, С з ) ,

(8.26.19) Ск = Ck{xi, Х2, xs),

А: = 1,2,3,

первая группа из которых совпадает с первой группой функций из формул (8.26.15). В математическом отношении условие взаимной обратимости функций (8.26.19) записывается,как известно, в виде J С,

^

d{xuX2,x-i)

о

"

5(СЬС2,СЗ)

ОС

(8.26.20)

где функциональные определители (детерминанты) J

/ 'Г \ fxA

VCy

и

J

/ I \ (СУ \xj

- 1 !Т \

, VcA

(8.26.20')

определяются обычно соотнопкния.ми вида

=Е

3x1 дх2 дхз'

(а/зт) 377

(8.26.21)

в котором суммирование производится по всем перестановкам (а/37) чисел 1, 2, 3, а [а/37] ~ обозначает число беспорядков в такой перестановке^ . Однако более удобным оказывается тензорное определение понятия «определитель» через посредство антисимметричного псевдотензора баИч Леви-Чивита. Элементы такого тензора определяются перестановками трех индексов а,/3 и 7 так, что £123 = 1, а величины £а0-у — антисимметричны относительно перестановки любых двух их индексов (например ЕаЦ-у = и т. д.). Исходя из классического определения (8.26.21), нетрудно убедиться, что эквивалентное ему определение функционального определителя может быть записано в виде

SabcJ

с

=а,^,7=1 Е ЕаЦчдха дхр дх^

(8.26.22)

при любых значениях а, b ч с из 1, 2, 3. (Большее удобство такой записи проистекает из того, что сум.мирование здесь совершается по значениям А, /3 П У независимым образо.м). Еаш обе части равенст(за (8.26.22) у.множить на производную Oxk/dQc из соотношений (8.26.15) (нри учете обозначений (8.26.18)), а результат просуммировать но индексу «с», то получится соотношение

в силу равенства дСс дхк

J.

1,fc= 7,

О, ^ ^ 7, для производной от сложной функции из системы функций (8.26.19). Дифференцирование такого же равенства по Хк с последующи.м суммированием результата по индексу к дает д с=1

к=1

^См.

Смирнов

dXk В. И..

а

дхк]

5CcJ = Е

д £а0к дхк

Курс высшей математики. Т. 3. Ч, 1.

378

9Са дСь дХа дХ0

1

=

Y1 a,0,k=l

дЧа

до,

, dQ

dxkdxa

дхн

дха

дЧь dxkdxji

= О,

(8.26.23)

В силу равенств

"дхкдх^

o,it=l

справедливых вследствие антисимметрии по индексам а и fc (по значкам Р и к) тензора Еа^к и симметрии по таким же индексам выражений второй производной. Остается умножить (8.26.23) па ЕаЬр и просуммировать результат по а н Ь. Это приводит к равенству д

Е к=1

дхк

J

Q\ dxk

= 0,

р =

1,2,3,

(8.26.24)

которым придется воспользоваться в § 27. При этом на основании изложенного можно утверждать, что подобное же соотношение д

Е

J

fx\

ас.

СУ dxk

= 0,

А; = 1,2,3,

(8.26.24')

справедливо и для функционального определителя из формулы (8.26.20'), обратного определителю J ^^ j . 8. Замечая, что скалярпо-векторпое произведение допускает запись 3

X = 1

£крчакЬрС,\

(8.26.25)

к,р,д=1

посредством тензора Леви —Чевита, обсудим вопросы, связанные с лучевыми трубками поля лучей и с их геометрическими расхождениями. Оставаясь в рамках обозначений из выражения (8.26.18) для лучевых координат г = Ci, Q = Сг и /3 = Сз, построим координатные векторы

к=1

379

лучевой системы и назовем бесконечно-топкой лучевой трубкой множество лучей (угловые параметры), лучевые координаты о = Сг и jS = Qi которых лежат в (бесконечно-малых) промежутках Q0 < Q < Qo + da,

l3o
(8.26.27)

<00 + dl3.

При вычислении векторов ^ и ^ из формул (8.26.26) лучевая координата г = сохраняет постоянное значение, равное значению т — T{XI, Х2, X'i) ИЗ уравнения (8.26.1) фронта волны. Поэтому векторы ^ и ^ (8.26.26) оказываются касательными к элементу ds волнового фронта, вырезаемого рассматриваемой лучевой трубкой. При этом площадь такого элемента очевидтю определяется (с точностью до малых высшего порядка) выражением ds

x Й]ИС20!Сз ЦЫ

X Md^df).

(8.26.28)

Однако элемент ds фронта, ортогональный орту нормали it (к фронту), не ортогонален «центральному» лучу лучевой трубки с касательной, параллельной лучевой скорости (в точках центрального луча). Поэтому для площади dE нормального сечения лучевой трубки получается представление

=

(8.26.29)

в котором для компонент вектора pt из соотношений (8.26.26) использованы выражения

aci

fir

вытекающие из первой группы системы диффepeнциaJп^ныx уравнений (8.26.7) луча. Для получения же окончательного выражения площади dE нормального сечения лучевой трубки остается воспользоваться соотношением Q k,p,Q

380

_

вытекающим из выражения (8.26.25). В рез}'льтатс получается равенство (8.26.31) полагаемое в основу математического представления о геометрическом расхождении пучка лучей. Что же касается формального определения, то с точки зрения физики следует связать квадрат геометрического расхождения пучка лучей, выделяемого неравенствами (8.26.27), с отношением

площадей нормальных сечений лучевой трубки в тскуи;ей точке т > > То ее центрального луча к подобной же площади is некоторой фиксированной (или начальной) точке TQ того же луча. При этом выбор начальной точки луча логически безразличен; он обусловливается лишь частными условия.ми рассматриваемой задачи. Поэтому геометрическое расхождение L пучка лучей можно определять простым выражением

содержащи.м несущественную постоянную Со(а, /?). § 27. О лучевом методе количественной оценки волновых нолей В гл. 2 было показано, что если в упругой среде возбуждаются волновые поля сигнального типа, имеющие разрывы в составляющих вектора смещений, или в составляющих его производных, то такие поля распространяются в среде в рамках представлений о волновых фронтах, как о поверхностях разрыва поля смеп;ений. Определение таких поверх1юстей, на основе решения соответствующих задач для систем дифференциа^п,ных уравнений, обсуждалось в § 26, где затрагивались и вопросы, уточняющие представления о характере разрывов поля смещений на волновых фронтах. Однако обгций вопрос о

381

количественных оценках полей в прифронтовых зонах все еще оставался без внимания. Теперь назрела необходимость обратиться к его обсуждению, в основу которого полагается также априорное представление о существенно более высоких скоростях изменения поля вдоль нормальных к фронту направлений, чем его изменения вдоль касательных направлений (к фронту). При этом учет такого представления формализуется математически допущением, что в прифронтовой зоне искомое поле смещений допускает разложение в ряд по (}1екоторой) системе функций fn[t — T{xk)], имеющих (одинаковые) разрывы непрерывности в производ1Из1х порядка п + 2, возрастающего с ростом индекса п членов ряда. 1. В лучевом методе решения уравнений движения (1.3.4) (в общем случае неоднородной анизотропной упругой среды) представляют в окрестности вол1ювого фронта (8.26.1)'^ i - г(ж1, Ж2, жз) = О,

t > О,

в форме разложений оо

=

а;з)/„[<-г(а;ьХ2,хз)],

? = 1, 2, 3,

(8.27.1)

п=0

по специальной системе «разрывных» функций fn{t), связанных друг с другом соотнощениями f^{t) = fn-iit),

(8.27.2)

п>1.

При этом задание системы функций /„(t) осу1цествляется, например, путем выбора функции /о(0> непрерывной с первой производной f'{t) при t > О и с разрывной второй производной /о (О- Ради наглядности можно считать, что эти функции представляются в виде интегралов Фурье оо

ш

= /

.'О »

1,

шо или же вещественных их частей. ^Расположение фронта (8.26.1) в среде предполагается известным.

382

(8,27.3)

Предполагая, что ряд (8.27.1) допускает почленное дифференцирование, и пользуясь соотношениями (8.27.2), можно подставить его в уравнение (1.3.4) и вычислить все входящие в него производные. В результате уравнение сведется к равенству L\"^fn(t-T) = Q,

г = 1,2,3,

(8.27.4)

п = ~ 2

в котором обозначено (8.27.5) где

О Аг^ =

M i f =

^

hk,pqPkPpV,-Vi,

^

+

(

8

.

2

7

.

6

)

dVa dxk

k,p,q=l

^ik,pq

дх„

дт 9=1

dXk'

^'"'РЧ-

(8.27.7)

причем предполагается, что Vg""^^ = Vg"^^ = 0. Если ряд (8.27.4) допускает почленное дифференцирование по t любое число раз, то для компенсации разрывов в тождестве (8.27.4) (относительно переменной i) и в его производных по t необходимо и достаточно требовать выполнения последовательности равенств l|"'=0,

(г = 1,2,3),

гг = - 2 , - 1 , О, 1, ...

(8.27.8)

В лучевом методе как раз и предполагается, что такие равенства имеют место. При этом их называют амплитудными соотношениями (лучевого метода), так как рассмотрение их при последовательно возрастающих номерах п > - 2 приводит к уравнениям, из которых (при естественных дополнительных условиях типа начальных

383

данных) последовательно определяются значения всех амплитудных векторов из разложения (8.27.1) Полагая п = - 2 , - 1 , О и т. д. из формул (8.27.8), (8.27.5) и (8.27.6), последовательно нолучае.м: однородную систему ураненнй 3

^

=0,

г = 1,2,3,

(8.27.9)

fc,p,9=l

ДЛЯ составляющих пулевого амплитудного вектора ния (8.27.1); неоднородную систему

из разложе-

3

k,p,q = l д k,p,q=l (.

дхо

(8.27.10)

Cik

дхк

записываемую символически в виде =

.- = 1,2,3,

Р

для амплитудного вектора Л.

= W Р

(8.27.10')

неоднородную систему уравнений -

г = 1,2,3

Р

(8.27.11)

для вектора ^ и т. д. Такие системы уравнений, как оказывается, 1ЮЗВ0ЛЯЮТ последовательно определять в окрестности рассматриваемого волнового фронта (8.26.1) все амплитудные векторы Т^'"' из разложения (8.27.1) в виде выражений -Яг)

-^(п) '

M r , . .

\ r , . . . ) + V

(г,...),

каждое из которых содержит произвольную функцию с„(а, 0) от лучевых координат а и из формул (8.26.14) и (8.26.18). Мы рассмотрим сейчас вопрос о получепии упомянутых выражений в рамках пулевого приближения лучевого метода, в котором изучаются лишь

384

уравнения (8.27.9) и (8.27.10), содержащие составляющие вектора Что же касается общего случая, равно как и вопросов, связанных с определением значений функций с,Да, /3) но соответствующим исходш>1М данным задач на распространение волн, то к ним мы обратимся ниже. 2. Система уравнений (8.27.9) в точности совпадает с системой уравнений (8.26.3'), условие разрешимости (8.26.4') которой приводит, как показано в § 8, к трем различным дифференциальным уравнениям в частных производных вида (8.26.2) (при г = 1, 2, 3) для функций t{xi, Х2, агз) = Х2, хз), входящих в уравнения (8.26.1) для фронтов волн того или иного (рассматриваемого) типа г. Будем далее считать следующее: 1) поле смещений (8.27.1) изучается в окрестности некоторого участка St„ фронта волны типа г, где г фиксирован; 2) каждой точке N е St,) соответствует луч, рассматриваемый как кривая отвечаюп1ая интегралу вида (8.26.15) системы уравнений (8.26.7)—(8.26.9); 3) на некотором свое.м протяжении лучи /j^', отвечаюпще всем точкам N € Sto, образуют в области D (принадлежащей некоторой окрестности Si^) поле лучей^, т. е. что они не пересекаются друг с другом и через каждую точку области D проходит один (и только один) луч = Хт{г, а, 0),

т = 1, 2, 3,

(8.27.12)

из семейства /j^'; 4) что через точку любого луча из области D проходит поверхность фронта волны (8.26.1) типа г, соответствующая некоторому мо.менту времени t > to- При таких условиях, в частности, каждая точка области D однозначно определяется значениями т, а и Р лучевых координат точек поля (волны типа г). Как уже упоминалось, условие разрешимости системы дифференциальных уравнений (8.27.9), имеющее вид (8.26.4'), сводится к дифференциальному уравнению (8.26.2), из которого (например в соответствии с пп. 2 - 6 §26) определяется функция T(XI, атг, хз), входяп1,ая в уравнение (8.26.1) фронта St волны рассматриваемого тина г. При этом значениям частных производных pi; из уравнений (8.27.9) (от функции t { x i , Х2, хз) (8.26.1)), входящи.м в уравнение (8.26.2), отвечают составляюище орта it нормалей (к фронту ""Подобно полю экстремалей из п. 11 § 11.

385

(8.26.1)) и фазовая скорость Vr{lt) (распространения фронта), связанные соотношениями (8.26.6), которые, равно как и любые другие величины (например составляющие вектора поляризации, луче-

t

(r)

и т. д.) можно рассматривать в области D как известные функции или декартовых xi, Х2, хз, или же лучевых т, а, /? координат. Сопоставление системы уравнений (8.27.9) с системой (8.26.3') приводит к соотношению г = 1,2,3, (8.27.13) где — нормированное решение системы уравнений (8.26.3'), а ip — неизвестная пока еще функция от координат точек области D. Этим вся информация, содержащаяся п системе (8.27.9), оказывается исчерпанной. Так как функция r ( x i , жг, х^) (8.26.1) уже определена (из условия разрешимости системы уравнений (8.27.9)), то систе.ма уравнений (8.27.10) оказывается неоднородной алгебраической системой относительно с определителем, равным нулю. Условие разрешимости такой системы сводится, как известно, к ортогональности вектора из правой части системы (8.27.10) собственному вектору однородной системы, т. е. в рассматриваемом случае вектору поляризации с составляющими (8.27.12). Если в правую часть системы (8.27.10) или в уравнения (8.27.10') вместо подставить их значения из соотношений (8.27.13), то упомянутое условие запишется в виде

i,k,p,g=l

дх„

У

Но так как А

М '

д dXk

+ А г ,

дхк L

Cik.pqPpfA) Qj^ir)

дхк 386

то, следовательно, V 3 (г)

Е

= Е

д

dXk

д dxk

(Здесь использовано свойство симметрии (1.4.1) и во втором слагаемом произведена замена индексов суммирования по схеме i'^q.) Поэтому если воспользоваться первой группой уравнений для луча а ^ _

^

,{г)л{г)

(8.27.15)

i,p,?=l вытекающей из уравнений (8.26.7) и формул (8.26.8), то равенство (8.27.14) приведется к следующему виду:

]=к=1 Е

dip dxk dxk dr

д dxk

dxk pipdr

Наконец, переходя от диффере1щирования по Хк к дифференцированию но направлению луча, т. с. по т, прсдставляс.м условие (8.27.14) в виде „ dip

до

^ k=Y

д dxk дхк dr

(8.27.16)

Чтобы получить окончательное выражение для ip (через геометрическое расхождение лучей), остается воспользоваться фор.мулой

а

Е дхк

А:=1

'1дхк J дт

387

= 0,

(8.27.16')

совпадающей с равенством (8.26.24), в которой Э ( х ь Х2, Х з )

ЯГ

^

д{т,а,Р)

_

дч

^ Л Т - , Q, /?

т

= J

VC

обозначает функциональный определитель преобразования (8.26.19), (8.26.18) от лучевых координат к декартовым. Из формулы (8.27.16') вытекает равенство ^ д дхк - У дт

д (1\ От \ JJ

I dJ J'^ От'

позволяющее переписать выражение (8.27.16) в виде m

=

(8.27.17)

откуда следует Г^ V

со{а,0)

Р 4/|J(r,a,/3|'

где CO(Q, Р) — некоторая (пока произвольная) функция, зависящая от исходных данных задачи, например, от направленности излучения источника, возбуждающего волну. Наконец, на основании формул (8.27.1), (8.27.13) и (8.27.17') для составляющих поля смещений в прифронтовой зоне получаются в нулевом приближении лучевого метода следуюнще окончательные выражения: и, =

-

V7

/^Со(а, /3)4''(т, Q,

^ ^ ^ ^. = 1,2,3,

(8.27.18)

а, р) где П А г ^ V l T ( r , а, /5)1 — гео.метрическое расхождение пучка лучей, /0(0;, Р) — - функция направленности источника. 388

(8.27.19) Р)

3. в связи с изложенным уместно еще раз подчеркнуть, что одно из основных требований, которые приходится предъявлять к слагаемым лучевого разложения (8.27.1), чтобы получить амплитудные соотношения (8.27.8), сводится к (подавляющей) медленности изменения функций Vq"\xi, ...) и r ( x i , ...), равно как и их производных первого и второго порядков, по сравнению с функциями fn[t - T(XI , ...)]. Это обстоятельство учитывалось качественно допущением о существовании у функций /„(у) разрывов (при одновременном предположении о гладкости всех прочих функций) и требования компенсации разрывных слагаемых в левой части тождества (8.27.8), равно как и в тождествах, получаемых из соотношения (8.27.8) дифференцированием по t. Однако если пользоваться представлениями функций /„(р) в виде интегралов Фурье (8.27.3) и учитывать очевидный факт, что разрывам функций /„(у) отвечает интегрирование соотношения (8.27.3) в области высоких частот, то качественные результаты удается дополнить и некоторыми количественны.ми соотношениями, допускающими полезное физическое толкование. Полагая Ш1

Му) =RCJ

duj,

(8.27.20)

где О < Шо < t^i, причем достаточно велико, выберем точку (х^, t) волнового фронта и будем расс.матривать поле (8.27.18) в такой окрестности \xk-xl\<S

(8.27.21)

точки {х^), что остаточный и .линейный члены в раз.ложении 3

т{х1,х2, хг) = го +

- xl) + OiAxl),

(8.27.22)

к=1

где то(х°, ...), pk =

u;i\0{Axl)\=q<7r/2,

...), удовлетворяют оценкам

iJo

ЪрЬ'

1/2

6 = 2wN > 1.

(8.27.23)

U=i

Если, например, принять (как это обычно бывает), что остаточ-

389

ный член в разложении (8.27.22) оценивается неравенством \0{Ах1)\ <

c~sup

,

дЧ dxkdxr

то из неравенств (8.27.23) получаются соотношения 1/2 / <7

Wo А

CWi

П,9

CWi

= 2тгМ.

(8.27.23')

Lifc=i

Таким образом, в области достаточно высоких частот всегда может быть выбран такой (даже весьма широкий) нро.межуток интегрирования в равенстве (8.27.20), что окажутся выполненными оба неравенства (8.27.23). Но при этом в окрестности (8.27.21) точки (а;°) допустимо пренебрегать остаточным членом в разложении (8.27.22) и применять для функции /о из формулы (8.27.18) приближенное представление fo[t - т(хь

хз)] « Mt -то-

{ f ° • 1^)] =

(8.27.24) шо тина плоской волны, где обозначено

Наконец, если обозначить посредством Ф,(а;1,...) множители при функции fo[t — T ( X I , . . . ) ] из правой части формулы (8.27.18) и выбрать значения шо и J в равенствах (8.27.20) и (8.27.21) так, чтобы выполнялись неравенства вида

dxk

< Wo

дт dxk

)

dxk

<5< |Ф,

то при рассмотрении поля (8.27.18) в окрестности (8.27.21) точки Хк = х1, to = То волнового фронта это поле .можно заменять полем плоской волны

= BA^'J''' fo[t — to —

= const.

390

• 1^)], где В = const и

Итак, из лучевого метода вытекает возможность любую достаточно высокочастотную часть поля смещений представлять (в оцениваемой по размерам) окрестности волнового фронта в форме локальноплоской волны. При этом из изложенного следует, во-первых, что в области (8.27.23) при 5 = const погрешность от замены поля (8.27.18) полем (8.27.25) плоской волны стремится к нулю при WQ -> оо и ш/uiQ — const, и, во-вторых, что если изменятся в упоминавшейся окрестности, то множитель expiw[t — to — С^" • 7^)] подынтегральной функции из представления (8.27.24) успевает совершить (сколь угодно) большое число iV —> ос полных колебаний. Таким образом, при указанных условиях размеры области (8.27.21) изменегшя переменной оказываются во много раз превосходящими длину (точнее, среднюю длину) волны поля, что как раз и оправдывает применение понятия о лoкaJПJHO-плocкoй волне. Из приведенного результата, в частности, следует, что в нулевом приближении лучевого метода процессы отражения-преломления волн на границе раздела двух анизотропных сред должны протекать в точности так же, как и в теории плоских волн. Естественно, что здесь имеются в виду лишь поля падающей, отраженных и преломленных волн в малой окрестности точки (х°) пересечения фронта падающей волны с границей раздела. При этом предполагается, что продолжение таких полей из упомянутой окрестности производится в соответствии с представлениями полей в форме нулевого приближения лучевого метода. Для формального обоснования высказагшого утверждения, равно как и с целью иллюстрации лучевого метода, мы остановимся здесь на кратком рассмотрении задачи на отражение-преломление волн на (криволинейной) границе раздела двух анизотропных упругих сред. 4. Пусть в декартовой системе координат L задана (безграничная незамкнутая) поверхность ZJQ? определяемая уравнением г1>{х:,х2,хз) = 0

(8.27.26)

и имеющая непрерывно дифференцируемую нормаль с ортом {N = (XK) & Ео), разделяющая все пространство на две части, которые можно назвать условно полупространствами v = I и v = 2. Подразумевая под и = 1 полупространство, в которое направлена нор-маль tA{N), предположим, во-первых, что полупространства I/ = 1 и г/ = 2 заполнены упругими средами с достаточно гладко изменяющимися параметрами p^'{xl,...) и рд{х\,. • •), находящимися

391

в жестком контакте друг с другом вдоль границы Eg, и, BO-BTOpi>ix, что из полупространства i/ — 2 вдоль некоторого «цситральпого» луча 1о (встречающего границу EQ В точке О) на границу раздела Ео падает волна типа го, составляющие поля смещения которой даются выражениями ос

=

n=l

•••)fn[t-f{xu

•••)]

, 7 = 1,2,3,

(8.27.27)

вида (8.27.1). При это.м считается, что все члены лучевого разложения (8.27.27) уже определены (в соответствии с формализ.мом лучевого метода из и. 2) как в точках луча IQ, так и в точках ;1учей, расположенных в некоторой его окрестности. В резу;п>тате взаимодействия надаюн1,ей волны (8.27.27) с границей EQ в средах = 1 i\ v = 2 возбуждаются от1)аженное и пре;юмленное волновые поля, определение которых как раз и должно составлять предмет исследования. При подходе к такой проблеме в рамках лучевого метода (как и при любо.м друго.м лока.тьном подходе к проблемам распространения волн) приходится исследования проводить поэтапно, причем на отдельном этане ставить целью изучить не все волновое поле в целом, а лишь те или иные его «главные части», наиболее важные в той или иной области суп;ествования поля. Относительно же того, что следует считать (при локальном подходе к проблеме) главными частями волнового поля, равно как и относительно некоторых общих свойств таких частей, высказываются изначальные заключения на основе соответствующих физических соображений. На основе подобных же соображений формулируются и априорные представления о том, в какой аналитической форме следует искать ту или иную главную часть поля. При возбуждении волной (8.27.27) отраженных и преломленных полей речь может идти, как известно, о нахождении главньгх частей «объемных» отраженных-преломленных воли, а также главных частей волн головного типа. Более просты.м (и наиболее важным для приложений) является изучение объемных отраженных-преломленных волн (относимое к первому этапу исследований), которым мы здесь и ограничимся. Упомянутые волны зарождаются в области ДЕо границы раздела So сред v = 1 н и = 2, прилегающей непосредственно к точке О

392

ее встречи с центральным лучом 1о падающей волны (8.27.27), характеризуемой волновым фронтом t - т{х1,х2,хз) = 0. При этом построения отраженных и преломленных волн в рамках лучевого .метода (как и всегда) долж1н>1 начинаться с построения их волновых фронтов t — Tfi{xi, Х2, X'i) = О и J — , Х2, жз) = о с одиовре.менпым построением соответствующих им систем лучей, продолжающих лучевую трубку падающей волны (с центральны.м лучом /о). Будем полагать, что все указанные предварительные построения уже выполнены. Тогда составляющие полей с.мещений отраженных и преломленных волн в окрестности точки О (соответственно в каждой из сред I/ = 1 и I/ = 2) должны быть представлены в виде сумм =

,...), г=1

(8.27.28)

/1=1

слагаемые которых, отвечающие волнам трех возможных типов (в каждой из сред i/ = 2 и v = 1), разыскиваются в форме лучевых разложений

п=0

(8.27.29)

n=0 aHajrarHMHbix (8.27.1). При этом в соответствии с сущностью лучевого метода определение всех элементов лучевых раз;южений производится на основе решения двух вспо.могательных задач, а именно: задачи на определение но падающей волне (8.27.27) локальных значений полей отраженных и нрело.мленных волн (в окрестности ДЕо уноминавщегося центрального луча), таких, которые .могли бы быть использованы в качестве исходных данш>1х для 1юслед1ующег0 1Юстроения разложений (8.27.29), и задачи на построение ра;^ложений (8.27.29) в каждой из сред г/ = 1 и = 2 по найденным исходным данным, т. е. задачи на продолжение волновых полей из области ДЕо во внутренние точки полупространств г/ = 2 и ^ = 1. Здесь мы рассмотрим то;нжо первую вспомогательную задачу. 5. Предваргггельно напомним, во-первых, что функции f { x i , . . . ) , r('''(a;i,...) ...) из разложений (8.27.27) и (8.27.29), играющие роль фу1жции т(х1,...) в уравнениях вида (8.26.1) для фронтов 393

падающей, отраженных и преломленных волн, связаны с составляющими соответствующих векторов рефракции и орта нормали it к волновому фронту формулами вида (8.26.6), т. е. Рт

-

9т

п,„

— = -т:^, ОХт v(jt)

т

=

1, 2, 3.

Во-вторых, что вдоль каждого луча любой из волн (уравнения Хщ = Хт{т, а, Р), при т = 1, 2, 3 которого находятся в результате решения соответствующей системы дифференциалп>ных уравнений (8.26.7)-(8.20.9) при начальных условиях вида (8.26.14)) естественным образом определяются отвечающие точкам ( х т ) (где Хт = = Хт{т, а, /3) при г = const) пересечения луча с фронтом волны значения орта иормали 7t = if {т, а, /3) к фронту, фазовой скорости v{lt) распространения фронта, составляющих вектора поляризации A^{LT) и составляющих лучевой скорости распространения волны (с.м. п. 6 § 26). Обращаясь к первой вспомогательной задаче, будем интересоваться окрестностью Д Е о точки О встречи 4eHTpaj-ibHoro луча IQ падающей волны (8.27.27) с границей Eq. Каждой точке N S Д Е о отвечает орт иормали к Е о и орт нормали lt{N) к фронту падающей BOjnibi. Исключая из рассмотрения случай х rf] = О (который фактически содержится в наших дальнейших исследованиях как предельный), построим njmcKocTb n(iV), содержащую в себе орты нормалей тЙ{М) и lt{N), называе.мую плоскостью падения луча в точте N. Наконец, с л а г а я = rЙ,{N), построим в точке N орты ji (J^ € Щ^) и is -L ji {N) касательных к EQ и притом так, чтобы ji(A^), j 2 { N ) и j s i N ) составляли правую (ортогональную) систему. В результате указанных гюстроений получаем на поверхности EQ два взаимно ортогональных поля касательных направлений ji {N) и j ' i i N ) , определяющих (в случае достаточной гладкости поверхности Е о , равно как и фронта падающей волны) два взаимно ортогональных семейства кривых, yi{N) = const и ijsiN) = const. Выбирая такие семейства за координатные линии криволинейной ортогональной системы координат {уя, У\) па поверхности Е о и добавляя к ним еще координату ?/2, отсчитываемую вдоль нормали rA{N) = i2{N) к Е о , получаем пространственную ортогональную криволинейную (локальную) систему координат (yi, 1/2, У?,) с ортами ji(yi, Уз), hivi, Уз) и js(yi, Уз), естественную для исследования

394

граничных условий в задаче на отражение-преломление воли. При известном уравнении (8.27.26) поверхности EQ (ИЗ которого вытекают и ее свойства кривизны) в принципе нетрудно вывести взаимно обратные (и дифференцируемые) формулы преобразований х^ Уа Уа = Уо{х1,

Х2, хз),

Xk=

Хк{уиу2,ул),

а, к ^1,2,3,

(8.27.30)

связывающие (в окрестности Ео) координаты Хк и уа друг с другом. На основании же таких преобразований стандартным образом определяются базисные координатные векторы

,

dxk т^

=

а = 1, 2, 3,

локальной системы (j/i, 2/2, Уз), се метрические (фунда.ментальные) тензоры дхк дхк

ав

=

^

9ув

(8.27.30 )

и т. п., т. е. определяются все эле.менты, необходи.мые для перезаписи в пере.менных j/i, у2, Уз локальной системы всех соотношений теории упругости, записанных в декартовых координатах xi, X2, хз исходной системы L. Мы не вынисывае.м здесь соответствующих формул в явном виде, так как для реализации лучевого .метода в его нулево.м приближении они не потребуются. 6. В предположении жесткости контакта 1'раничные ус;ювия для полей (8.27.27) и (8.27.29) падающей, отраженных и прело.мленных волн записьп!аются в виде двух векторных равенств

1/=1

/1=1

выражающих условия непрерывности при переходе через границу EQ су.ммарных векторов смещений и напряжений.

395

в компонентах относительно исходной декартовой системы координат (a;i, Х2, хз) предыдущие соотнонюния нереписыпаются в форме шести равенств 3

3

+

=

9 = 1=2,3,

3

(8.27.31)

3

+

=

г = 1,2,3,

(8.27.32)

в которых под состав.пя1ощими векторов напряжений в соответствии с форму.яами (1.1.5), (1.1.4) и (1.1.11) след^'ет понимать выражения вида t,nr{lt) = { t t - ^ ) =

Y : ^^rLrrb,^, k,p,q=l P

(8.27.33)

где гпк — составляющие орта тЙ. нормали к Ео, а c^l,^ — составлягк, pq ющие тензо1)а упругих постоянных сред е = 1 и е = 2 в точках N+ и N - , непосредственно прилегающих с обеих сторон к границе EQ. Что же касается перезаписи таких соотношений в локальной системе координат (2/1, у^, уз), то она может осуп1;ествляться, например, следуюпщм образом: во-первых, переходом по формулам

К новым составляющим (контравариантных) векторов it и гЙ, а также переходом по формулам ,

_ ул ^

дхк дхр дхд

/о

о\

к новым составляющим ковариа1П'ного представления тензора упругих постоянных сред е = 1 и с = 2; во-вторых, заменой в соотношениях (8.27.31)-(8.27.33) координат хи на координаты j/^., а величин Uq, гпк и на величины и'^, т'^п ™ левых частей равенств (8.27.34) и (8.27.35), выбираемых с такими же индексами, что и индексы у заменяемых величин. При этом в новом равенстве (8.27.33)

396

производная ди'^/дур должна быть заменена, как известно, па ковариантную производную, определяемую формулами 3

ди'

3

(8.27.36)

в которых использованы метрические тензоры из формулы (8.27.30'). В результате выполнения указанных операций мы приходим в локальной системе координат {yi, у2, уз) к граничным условиям, представляющимся равенствами (8.27.31) и (8.27.32), в которых все буквы и заменены на и', а под t„,,r{lt')

и

(при it'

= ^

, it'

и

=

) подразумеваются выражения вида

= и

Е

(8.27.33')

k,p,q=1

при значениях VpwJ^ из формул (8.27.36). 7. Анализ граничных условий следует начинать с соотношений (8.27.31), которые при учете формул (8.27.27), (8.27.29) и при отбрасывании ради упрощения записей штрихов сверху (обозначаюпщх, что рассмотрения производятся в локальной систе.ме координат) переписываются в виде оо

Г

Е п-О

I

3 -

Уз)]

+

-

J

Д=1

r^'Kvi,

g = 1,2,3,

Уз)]~

(8.27.37)

где обозначено т{у1,уз) =-г[xi(2/1, 2/2, Уз), •••

!/2=0 (8.27.37')

т^'^ЧУи Уз) = f^^H^iiVi, У2, Уз), •• •]

У2=0

397

Соотношения (8.27.37) должны выполняться тождественно относительно t, 2/1 и 2/3, причем каждая из систем функций { / „ } , {fn} и {/п} должна удовлетворять соотношениям вида (8.27.2), а функции fn из разложения падающей волны должны иметь разрывы непрерывности в производных порядка п + 2. Нетрудно видеть, что при таких условиях из соотношений (8.27.37) с необходимостью следуют, во-первых, равенства Ш =

= Ш

= Ш ,

=

(8.27.38) /х = 1, 2, 3,

(8.27.38')

и, во-вторых, бесконечное множество (при п = О, 1, 2, ...) групп по три уравнения 3

^ ii=\

_

=

,

7 = 1, 2, 3,

(8.27.39)

для всех медленно изменяюш;ихся функций, входящих амплитудными множителями при fn'^fn'^^ лучевые разложения (8.27.29). При п = О из уравнения (8.27.39) вытекают первые три уравнения 3

Y^ [l/(o.M) _

^ у{о)^

q = l,2, 3,

(8.27.40)

из полной системы уравнений (8.27.43) и (8.27.44), описывающей процесс отражения-преломления волн в нулевом приближении лучевого метода. Полученные соотношения (8.27.38) и (8.27.38') по своему смыслу вполне аналогичны соотношениям (7.24.14) или (7.24.16) теории плоских волн, причем из формулы (7.27.38') как и из (7.24.16), вытекают все кинематические закономерности в процессах отраженияпреломления волн. Действительно, на основании построения в п. 5 локальной системы координат (2/1, У2, 2/3)1 а также определения понятия о плоскости падения П(2/1, уз) луча l{yi, j/з) падающей волны, встречающего границу So в точке (2/1, Уз), можно утверждать, что плоскость падения П(2/1, Уз) ортогональна орту is (2/1, Уз), проходит через точку (2/1, уз) и полностью содержит в себе орт нормалей п (2/1, уз) к фронту падающей волны. Поэтому в точке (2/1, уз) оказывается пз = ( п • ja) = О, а

398

также дт/дуз = пз/vo = О, что азедует из соотношений вида (8.26.6). Но в силу соотношения (8.27.38') справедливо ^ — = дуз

Qfif,) Qf — = дуз дуз

г/,/i = l , 2 , 3,

вследствие чего в точке { y i , у з ) выполняются равенства п^") =

= пз = О,

(8.27.41)

означаюш,ие, что орты нормалей уз)и у) к фронтам всех отраженных и преломленных волн лежат в плоскости падения П(?/1, уз) падаюп;ей волны. Итак, мы получили первый закон кинематики процессов отражения и преломления волн. Для получения второго закона кинематики, играющего роль соотношений Снеллиуса, достаточно продифференцировать тождества (8.27.38') по Ух и учесть соотношения вида (8.26.6). Если при этом еще представить суммами вида = n i j t i y i , 2/з) +П212(2/1, Уз) значения в точке {yi, уз) каждого орта 'п, "ft'"', = 1, 2, 3 (падающей, отраженных и преломленных волн), а составляющие ni и П2 каждого из таких ортов выразить по формулам rii = sin^, П2 = = cos 9 через соответствующие углы падения (вводимые в точности так же, как и в п. 4 §23), то получатся соотношения sin^,, _ s i n _ ъЖ)

" ^ЛО.)

sine

/X, Z/ = 1, 2, 3,

(8.27.41')

~

буквально совпадающие (как по форме, так и по физическому смыслу) с соотношениями (7.24.21). На основании соотношений (8.27.41) и (8.27.41') по орту нормали п{у\., Уз) падаюи1;ей волны (очевидным образом) однозначно определяются значения ортов нормалей /^^"'(j/i, уз) и уз) всех отраженных и преломленных волн. Такие определения производятся для каждой точки [ух, уз) границы Ео совершенно так же, как на основании соотношений (7.24.16) и (7.24.21) определялись орты нормалей rt'"^ и "п

отраженных и преломленных плоских волн

399

по орту п падающей плоской волны. При этом совершенно так же используются и неравенства типа (7.24.11) и (7.24.23) для составляюп;ей лучевых скоростей отраженных и преломленных волн вдоль лучей, выходящих из точки {yi, О, у^) в области t/2 < О и j/2 > О соответственно сред I/ = 2 и г/ = 1. Не задерживаясь на подробностях, мы лишь отметим, что по известным значениям упомянутых ортов в точках (у1, О, Уз) с соответствующих сторон границы So лучи всех отраженных и преломленных волн определяются однозначно. 8. Переходя наконец к рассмотрению второй группы граничных условий, связанных с непрерывностью составляющих вектора напряжений при переходе через границу раздела сред, следует учесть замечание из ко1п;а п. 6, где указывалось, что в локальной системе координат (yi, J/2, Уз) такие условия сводятся к равенствам (8.27.32), в которых величины

tmri'^^''^) и

заменены соответ-

ственно на величины t-mri и'), и tmr{ и ) типа (8.27.33'). В результате же подстановки в подобные выражения лучевых разложений (8.27.27) и (8.27.29) получаются лучевые разложения оо

п( и

=

)=

tmr{u

п)

Е п=-1

fn[t

-

f],

k,p,q=l

V п=-1

тп'

fn[t

-

f ]

_к,р,ч=1

ДЛЯ составляющих векторов напряжений на границе Eq раздела сред 1/ = 1 и // = 2 соответственно падающей, отраженных и преломленных волн, в которых обозначено: (8.27.42) ц(п)

^ ^

у{п)

"

_ у { п + 1 ) ^

'

дур' (8.27.42')

й м

= VpVj"'''' - v - ^ + ' - ^ ' l ^ , дур 400

n > О,

причем (ради упрощения записи) у величин Vq"\ • • •, V,'"'"^ и Vq"''^^ из правых частей равенств (8.27.42) и (8.27.42') опущены штрихи сверху. Поэтому если воспользоваться такими разложениями и учесть равенства (8.27.38), а также соображения из п. 1 о разрывных свойствах функции fn{t) из формулы (8.27.2), то нетрудно убедиться в том, что граничные условия (8.27.32) сводятся к бесконечному множеству (при п = — 1, О, 1, 2, ...) групп по три уравнения вида

М=1

k,p,q=\ 3

=

Е

г = 1,2,3.

(8.27.43)

k,p,q=l

При п = —1 отсюда вытекают (недостающие еще) три уравнения

/1=1 А:,/),7=1 =

Е

'• = 1,2,3,

(8.27.44)

образующие совместно с уравнениями (8.27.40) полную систему уравнений для описания процесса отражения-преломления в нулевом приближении лучевого метода. Остается подчеркнуть, во-первых, что несмотря на опущенные штрихи сверху у всех величин с'^'р,, nik, Vq^'''^ и Vg'''^^ входящих в уравнения (8.27.40) и (8.27.44), указанные уравнения относятся к локальной криволинейной системе координат (?/i, у2, уз) из п. 5. И, вовторых, что (вследствие отсутствия в слагаемых уравнений (8.27.44) операций ковариантного дифференцирования) уравнения (8.27.40) и (8.27.44), применимые в любой точке {yi, уз) области ASq границы раздела, в точности совпадают с системой уравнений, которая получилась бы в пулевом приближении лучевого метода в результате проектирования соотношений (8.27.31) и (8.27.32) на оси локально-декартовой системы координат (ух, у2, уз), построенной в произвольно выбираемой (ф^жсированпот) точке (j^, уз) € ДЕо и имеющей (постоянные) орты ji{yu уз), 32{у\, Уз) и jsivi, Уз)- Такая

401

система координат, кстати говоря, вполне эквивалентна «естественной» декартовой системе координат из п. 4 §24, в которой рассматривается процесс отражения-преломления плоских волн. При учете же сделанного сейчас замечания становится вполне очевидным и утверждение в конце п. 3 о том, что описание процесса отраженияпреломления волн в нулевом приближении лучевого метода (в малой окрестности границы раздела) фактически сводится к теории плоских волн. Помимо же указанного, напрашивается вывод о том, что приведенное в пп. 5-8 схематическое рассмотрение задачи на «полное» лучевое описание процессов отражения-преломления волн на неплоской границе ргьздела неоднородных анизотропных упругих сред свидетельствует об очевидной неэффективности лучевого метода в задачах такого рода. В случае границ раздела, радиусы кривизны которых лишь немного превосходят доминируюшую длину волны Ло падающего возмущения, нулевое приближение метода еще может (иногда) приводить к успеху (т. е. приводить к правдоподобным результатам). Погоня же здесь за последующими приближениями метода едва ли получит где-нибудь свое оправдание. § 28. Лучевой метод и проблемы его применения в случае анизотропии упругих сред В этом параграфе обсуждаются вопросы, относящиеся к изучению волновых полей в окрестности фронтов волн любого фиксированного типа г = Г1 (где ri = 1, 2, 3), расс.матриваемых как поверхности вида (8.26.1), при переходе через которые терпят разрыв непрерывности частные производные некоторого порядка гг > 1 от составляющих поля смещений. Напоминаются необходимые сведения кинематического характера, касающиеся фронтов и отвечающих им семейств лучей. Затем приводятся дополнительные результаты из лучевого метода, связанные с общим видом амплитудных функций в любом его приближении, с физическим смыслом его слагаемых, а также с прикладным вариантом метода, в котором поля описываются лишь в нулевом приближении. На основании приведенных результатов обсуждается проблема источников волновых полей в лучевом методе, дается постановка типичных задач теории источников и излагаются очевидные способы их регнения. В заключение же (совсем кратко) затрагиваются вопросы практической реализации лучевого

402

метода, и прежде всего касающиеся подходов к вычислению геометрического расхождения пучков лучей волн в анизотропных упругих средах. 1. Ради сокращения числа индексов в последующих формулах тип г = Г1 волны, выбираемой для изучения, обозначается далее цифрой 1, а волны двух других типов — г — Г2 ч г = гз (где гг ф ф'г^-.тъф Г1,Г2 ф гз) — обозначаются цифрами 2 и 3. Таким образом, везде далее считается, что величины Vi, и т. д. отвечают волне типа г = Г] независимо от того, квазипродольна или квази1юперечпа эта волна. Одновременно с этим делается допущение, что в близкой окрестности (точки О) фронта (8.28.1) рассматриваемой волны Г — 1 нет фронтов волн других типов г = 2 и г = 3. В соответствии с пп. 2, 4-6 § 26 однопараметрическому семейству волновых фронтов Ti{xi,X2,X3) = t (8.28.1) отвечает (двухпараметрическое) семейство лучей (8.26.15), определяе.мых как единственное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8.26.7)-(8.26.9) для лучей, удовлетворяющее начальным да1П1Ым Коши вида (8.26.12) в случае точечных источников и вида (8.26.14), если начальное положение волнового фронта совпадает с некоторой поверхностью (8.26.13). В гюследующем мы будем считать, что начальные уа;ювия Коши всегда определяются формулами вида (8.26.14), т. е. равенствами ni\Ha, Ц) т=0

г=о

VI [а, Р)

в которых «внешни.м образом» задаются лишь функции

Р) и

Пто'(а, Р), определяющие соответственно положение начальной точки луча и составляющих орта нормалей it^^^a, Р) к фронту (8.28.1) волны в начальный момент времени. Что же касается фазовой скорости «1 (q, Р) распространения волнового фронта в начальной точке луча, то она вычисляется известны.м образом по значениям ХТ{СЕ, Р) и Р). При этом в случае точечных источников дополнительно следует вводить условие вида ХТ{А, Р) = const. Семейство лучей (8.26.15) сводится к семейству пространствен-

403

ных кривых, т. е. «собственно лучей» Хт = Хт(а, /3),

гл. = 1, 2, 3,

(8.28.3)

в каждой точке которых определены значения функций

связанные формулами

вида (8.26.6) со значениями в этой же точке частных производных от функции Ti{x-[, Х2, Хз) из уравнения (8.28.1) волнового фронта, а также с фазовой скоростью vj его распространения и с составляюн;ими Пт' орта нормали it''^ к фронту (8.28.1). При этом предполагается, что в рассматриваемой области В пространства семейство (8.28.3) образует eni,e поле лучей, т. е. что через каждую точку [хк] € В проходит один и только один луч семейства (8.28.3), а также, что области В принадлежит центральная точка О поля лучей, в которой центральный луч /о семейства пересекается с фронтом (8.28.1) рассматриваемой волны. Последуюнще рассмотрения здесь относятся фактически лишь к окрестности точки О области В. В таких областях В функциональные уравнения (8.28.3) однозначно разрешимы относительно т, о и /3 и приводят к функциям т = Ti{xi,

Х2, Хз),

а = а{хи

Х2, Хз),

0 ^ 0{xi,

Х2, Хз),

(8.28.3')

из которых первая совпадает с функцией п ( i i , Х2, хз) из уравнения (8.28.1) для волнового фронта. Наличие взаимно обратных формул (8.28.3) и (8.28.3') позволяет положение точек {х^) 6 В (однозначно) определять координатами т, А, (3, называемыми лучевыми. Наконец, остается лишь напомнить, что во всех точках каждого из лучей семейства (8.28.3) однозначно определяются значения орта нормалей " r f о,,/?), фазовой скорости VI{T, A,L3), вектора поляризации ^ ' ^ ' ( т , а, Р) и лучевой скорости а, /?), отвечающих рассматриваемой волне (см. п. 6 §26). Указанные значения (равно как и некоторые другие величины, нужные ^ля последуюш,его) естественно считать (прямым) следствием решения задачи на построение лучей рассматриваемой волны, в результате чего определяются

404

функции Хт = Хт{т, а, р) и Рт = Рт{т, Q, /?) S (т, Q, /3) ИЗ соотношений (8.28.3) и (8.28.4) (или, лучше, из решения (8.26.15)), удовлетворяющие системе уравнений (8.26.7)-(8.26.9) для лучей, а также нача^паным условиям вида (8.26.2). При этом можно полагать, что необходимые нам зпачеиия находятся следующим образом. По известным функциям (8.28.3) и (8.28.4) в точке О = (г, а, /3) определяются значения величин ,

_

^ik,pq —

Cik,pq

1

„(1) - М ) "m

-1/2

Г 3

(8.28.5)

— Рт

и=1 -1/2

(8.28.5') .к=1 позволяющие рассматривать в указанной точке систему алгебраических уравнений

Ё

г = 1,2,3,

(8.28.6)

к,р.д=1

вида (8.26.3). Из решения такой системы (при дополнительном условии вида (8.26.5)) однозначно определяются значения (8.28.7)

г'!

фазовой скорости и составляющих вектора поляризации исследуемой волны^, в окрестности ее фронта. Кроме этого, по найденным значениям составляющих орта нормали "rt'^' из формулы (8.28.3) можно вычислить при помощи системы уравнений 3

Е

-VrA^f^ =0,

г = 2,3,

(8.28.8)

k,p,q=l

значения VR = VR{T,

А, /3),

=

а,/3)

(8.28.8')

' ' И з которых значение wi д о л ж н о автоматически совпадать со значением v i S.28.5').

405

фазовых скоростей и векторов поляризации волн двух других типов г. Такие значения относятся, конечно, также к области В (для которой были получены значения величин из соотношений (8.28.4)), а отнюдь не для фронтов волн типов г = 2 и г = 3. При этом в точках области В найденные значения всех векторов поляризации г = 1, 2. 3, оказываются взаимно ортогональными, т. е. = f : Ai^Hr, а, m=l

вследствие чего векторы и образуют полную систему векторов в точке (г, а, (5). Что касается фазовых скоростей, то ради краткости в дальнейшем рассматриваются лип1ь такие точки лучей, в которых vf^vl^vl (8.28.9) Остается только отметить, во-первых, что но значениям величин (8.28.5) и (8.28.7) определяются значения составляющих а, /3) лучевой скорости исследуемой волны, и, во-вторых, что в каждой точке (г, а, /3) любого луча (8.28.3) справедливы соотношения

k,p,q=l

ГО,

(г = 1),

=

г = 2,3,

(«•^«•^О)

(являюш;иеся прямым следствием уравнений (8.28.6) и (8.28.8) при условии (8.28.9)), которыми удобно будет пользоваться в п. 2. Заметим, что здесь рт^ имеют значения из формулы (8.28.4), а — = а, 0) - из соотношений (8.28.7) и (8.28.8'). 2. Основываясь на изложенных в п. 1 результатах решения кинематической задачи па распространение волн (связанной с построением системы лучей и фронтов исследуемой волны), рассмотрим амплитудные уравнения (8.27.8) лучевого метода в последовательных его приближениях. При этом будем пользоваться формулами из пп. 1 и 2 § 27, в которых под рт- т = I, 2, 3, понимаются значения рт^ из формулы (8.28.4) а в е Л И ^ Ш П Ы р , СЧИТАЮТСЯ функциями точки (г, а, /3) рассматриваемого поля лучей (8.28.3).

406

Нулевое приближение. Из условия (8.27.9), т. е. из системы алгебраических уравнений

Х:

1,2,3

(которой в соответствии с соотношениями (8.28.10) удовлетворяет амплитудный вектор следует

' =

изучаемой волны типа г = ri), ...).

(8.28.11)

Для нахождения неизвестной функции !/>о используется условие разрешимости системы уравнений (8.27.10) для функций первого приближения, записывающееся в виде (8.27.10'), т. е. =

г = 1,2,3.

Р

(8.28.12)

Упомянутое условие сводится к требованию ортогональности А ^ ' ^ •

=

^ А ^ ' ^ .

=

о

(8.28.13)

вектора (8.28.13')

А:=1

вектору с составляющими А^^^ из равенства (8.28,11). Следствием же условия (8.28.13) оказывается, во-первых, представление вектора (8.28.13') в виде разложения =

+

(8.28.14)

по (дополнительным к ' ) векторам поляризации из выражений (8.2.8), (8.28.7'), коэффициенты = а, /3) которого становятся известными сразу же 1юсле определения значений компонент (8.28.11) амплитудного вектора и, во-вторых, дифференциальное уравнение (8.27.17) для функции (^о, т. е. уравнение =

= 407

(8.28.15)

в котором дифференцироваиие производится лишь вдоль луча. Из такого уравнения функция ipo, входящая в равенство (8.28.11), определяется в виде M r ,

• • • ) = co(Q, / 3 ) [ p J ] - ^ / ^ =

(8.28.16)

где L ( r , . -.) — известная функция (гео.метрическое расхождение лучей),.а 5о(а, Р) — произвольная функция, сохраняющая постоянное значение вдоль каждого луча. Ее значение должно определяться по начальному условию (обозначае.мому cHMBOjm.M IQ) ДЛЯ нулевого приближения лучевого метода, задаваемому в начальных точках системы лучей (8.28.3), т. е. при г = 0. А при учете условия 1о функции из выражений (8.28.11) и (8.28.16) и, следовательно, вектор со(«,

(8.28.11')

L(r, ...) определяются полностью, что и предполагается далее. Первое приближение. Так как вектор V предполагается известным, то известна и правая часть разложения (8.28.14), позволяющего записать в виде =

+ Р

г ^1,2,

3,

(8.28.12')

Р

неоднородную алгебраическую систему уравнений (8.28.12) для амплитудного вектора первого приближения. Если учесть равенства (8.28.10) при г = 2 и г = 3, то станет ясно, что общее решение системы (8.28.12') представляется в виде к/') = .. ...) + ...), (8.28.17) где

г=2

(8.28.18)

- v ^ ^ v i

408

р

— частное решение системы (8.28.12') (однозначно определяемое но амплитудному вектору

из раненстна (8.28.11')), а неизвестная

ска71ярная функция ipi входит в выражения для V^^^ соверпгенно так же, как функция v^o входила в выражения (8.28.11) для При этом, как и в случае функция ipi должна определяться из условия разрешимости системы алгебраических уравнений (8.27.11), т. е. системы =

-

Р

(8.28.19)

Р

Д.71Я амплитудных функций второго приближения. Упомянутое условие также сводится к требованию ортогональности а^'^

(8.28.20)

вектора поляризации А _

вектору =

-

(8.28.20')

A: = l

ИЗ правых частей системы (8.28.19). Если ввести обозначения

=

а, (5),

,8 28 21)

для известных функций (однозначно определяющихся через амплитудный вектор

(8.28.11')) и учесть формулу (8.28.17), а также

соотношение очевидное в силу выражения (8.28.13), то условие (8.28.20) приведет к неоднородному дифференциа.:1ьно.\4у уравнению 1Ы) =

= M r , • • • ) - Mo(r, ...)

(8.28.22)

для функции ifi из решения (8.28.17). Общее решение такого уравнения дается формулой +

409

(8.28.23)

где = ^

1

...) - Mo(r, ...)] dr

(8.28.23') jfW

однозначно определяется по известному амплитудному вектору V нулевого приближения. Ь{т, ...) имеет смысл геометрического расхождения лучей, как и в случае (8.28.16), а ci(a, /3) — произвольная функция, значение которой должно определяться по начальному условию Ii для первого приближения лучевого метода. При учете условия Ii функции у Я ' из решений (8.28.17) и (8.28.23), равно как и вектор -

+

(8.28.17')

определяются полностью, что и предполагается при рассмотрении последующих приближений метода. Остается еще отметить, что из условия (8.28.20) вытекает представление вектора (8.28.20') в виде разложения -

=

+

(8.28.24)

по векторам поляризации из уравнений (8.28.8) и (8.28.7'), коэффициенты Ьг^^ — ь\?\т, ...) которого следует считать известными, если полностью определены значения амплитудных векторов и из формул (8.28.11') и (8.28.17') нулевого и первого приближений. Второе и последующие приближения. При учете разложения (8.28.24) алгебраическая система уравнений (8.28.19) (для амплитудного вектора

переписывается в виде =

+

(8.28.19')

в точности совпадаюн;ем с видо.м системы уравнений (8.28.12'). Поэтому можно утверждать, что обп;ее ретение системы (8.28.19) или (8.28.19') представляется формулой V}'^ =

..

^(г, ...) + 410

...)

(8.28.25)

вида (8.28.17), в которой обозначено

(8.28.26)

(3) _

У!

ЬР'

- y j - v f

р '

а неизвестная функция срг должна определяться из условия разрешимости системы алгебраических уравнений =

'-M^f'"' Р

-

(8.28.27)

Р

для амплитудных функций vf'^^ третьего приближения. Такое условие также сводится к требованию ортогональности = 0

вектора А

(8.28.28)

вектору -

=

-

(8.28.28')

к=1

из правых частей системы (8.28.27). При этом вследствие тождественности структуры правых частей представлений (8.28.17) и (8.28.25) для составляющих векторов ^и входящих в первые слагаемые равенств (8.28.20) и (8.28.28), очевидно, что условие (8.28.28) приводится относительно функции ip2 к дифференциальному уравнению 1Ш

=

^^^(рМ)

=

...)-М,{т,...)

(8.28.29)

вида (8.28.22), в котором использованы обозначения •

= Ml (г, Q, /3),

•

= м ( г , а, р)

для функций Ml и TVi, определяемых значениями векторов из выражений (8.28.26) и (8.28.17'), т. е. в конечном счете значения.ми амплитудных векторов Т^' ^ и

^ нулевого и первого приближений.

411

Из уравнения (8.28.29) для (/зг из выражения (8.28.25) получается представление

=

та

вида (8.28'.23), в котором слагаемое

af) = ^

j о

(г, ...) - М, (г, ...)] dr

Д[А\

(8.28.30')

'

однозначно определяется по известным амплитудным вектора.м и Т^' ' нулевого и первого приближений, а С2(а, /3) — произвольная функция, значение которой должно определяться по начальному условию /г для второго приближения. На основании формул (8.28.25) и (8.28.30) получается окончательное представление

для амплитудного вектора во втором приближ(!нии лучевого метода, в котором все величины

...) однозначно определяются по

известным знaчeния.vl амплитудных векторов V и V нулевого и первого приближений. На основании изложенного, а также формулы (8.27.5), определяющей конструкцию уравнений (8.27.8) для любых приближений лучевого метода, уже .можно утверждать, что при любом индексе п > О амплитудный вектор лучевого разложения тина (8.27.1) представляется формулой ^

_ ^ ^

..

^^

(3 28.31)

в которой А (г, ...) — векторы поляризации из системы уравнений (8.28.7), (8.28.8) семейства лучей (8.28.3), Цт, ...) - их геометрическое расхождение, а Сп(а, 0) — произвольная функция. Что же касается коэффициентов ...), равных пулю тождественно при

412

п — о , то при п > I они оказываются функциями от т, а vi значения которых однозначно определяются по значениям всех амплитудных векторов V с индексами г/ < п - 1. Мы не будем здесь останавливаться па обсуждении общей проблемы определения произвольных гшстоянных с,Да, Р) из формулы (8.28.31) в лучевых разложениях, а ограничимся лишь кратким рассмотрением (в пп. 7-9) такого рода вопросов на примере простейших задач па возбуждение волн. В допо;п1ение к приведенным результатам представляется полезным выяснить физические причины появ.чения в выражениях (8.28.31) для слагаемого типа (8.28.11') с произвольной функцией с„(а, Р) в числителе, а также напомнить физический смыач лучевых разложений вида (8.27.1) с разрывными функциями fn{t — т). 4. Отметим прежде всего, что при сохранении всех допущений п. 1 § 27 (в частности допущения о возможности почлипюго дифференцирования любых лучевых разложений) разложение типа (8.27.1) для i t сохраняет фор.мальный смысл и при замене в нем всех fn[t — —T(XI, ...)] на fn+m[t ~ T{XI, ...)], где т > 1 - произвольное целое число. При этом (практически буквшп>пое) повторение выкладок из ПН. 1,2 §27 приводит для а.мп.читудных .множителей V ния

разложе-

( х ь . . . ) / „ + „ [ < - r ( a ; i , ...)] (8.28.32) п=0 В точности к таким же соотношишям и формулам, как и формулы для V в пп. 1, 2 § 27. В частности, для V получаются представления вида (8.28.11') независимо от значения числа т . Чтобы полнее уяснить себе различие разложений вида (8.27.1) и (8.28.32), следует вспомнить о том, какой физический смысл придают лучевым разложениям в случае разрывных функций /. Приме.м для определенности, что разрывной оказывается уже функция fo(t); все же остсыьные функции /„ при п > 1 из формул (8.27.1) или (8.28.32), связанные друг с другом соотношениями (8.27.2), непрерывны. Так как в (разрывных) лучевых разложениях можно придавать безусловный физический смысл липп> разрывны.м слагае.мым, то в обсуждаемо.м случае разложения (8.27.1) следует утверждать, что слагаемое

-

описывает (в окрестности волнового фронта

413

t{XI, ...) — t = 0) разрывную часть поля lt{xi, разрывную часть, т. е. рассматривая функцию

...).

Снимая эту

оо

It, = If -

- г] = ^

- r{xu

...)],

n=l

получаем возможность дифференцировать лучевой ряд (в любой окрестности фронта), что, в частности, дает §

= Е ^'"'f^it П=1

- Ф,

, . . . ) ] = Е ^ ' " V n - : [i П=1

...)].

Первое (разрывное) слагаемое - т] такого ряда описывает разрывные свойства производной по t от функции ut и т. д. Таким образом, смысл слагаемого ^fm[t — т] яз разложения (8.27.1) можно видеть, в частности, в том, что производная d'^/dt'^ от него определяет в малой окрестности фронта разрывные свойства такой же производной от функции т-1

п=0

получающейся из фуикции г^ (из левой части разложения (8.27.1)) исключением из нее частей поля, имеющих разрывы непрерывности в производных по t порядка п < т — 1. Следует отметить, что к подобным же толкованиям слагаемых лучевых разложений мож1Ю было бы прийти и на основе рассмотрения производных по Xk или смешанных производных по а;^ и t от рассматриваемых полей. Однако получающиеся при этом а.мплитудные множители при fo[t — T] в разрывных частях полей уже не выражались бы через амплитудную функцию из решения (8.27.18) с каким-либо фиксированным индексом п. Указанное обстоятельство лишь загромождало бы анализ, не привнося в него чего-либо принципиально нового. Вследствие этого мы не будем касаться таких вопросов, а перейдем к толкованию смысла разложения (8.28.32), что и приведет к установлению природы первого слагаемого в представлении (8.28.31). 5. В рамках предположений из п. 4 о свойствах функций /„(t) при п > О на основании разложения (8.28.32) для поля смещений 414

'u{xi, ...) следует утверждать, что поле 'и непрерывно в окрестности фронта T{XI, ...) = t вместе со всеми его производными по t порядков п < т — 1. Для производной же по t порядка т из разложения (8.28.32) получается представление Ят"^ _ =

^

U[t-T{xr,...)],

(8.28.32')

п=0

показывающее, что производная от первого члена разложения (8.28.32) описывает разрывные свойства такой же производной от функции и . При этом, как уже отмечалось сразу после формулы (8.28.32), в такой ситуации (т. е. когда т равно наинизшему порядку производной от и из левой части разложения (8.28.32), имеющей уже разрыв непрерывности на фронте) амплитудная функция V из разложения (8.28.32) представляется в виде (8.28.11') с произвольной функцией Со (а, Р) в числителе независимо от значения тп > I. И вот теперь уже нетрудно установить природу произвола в первом слагаемом ф о р ^ л вида (8.28.31). Для этого достаточно лишь заметить, что если и обозначает произвольное решение уравнений (1.3.4), характеризующееся лучевым разложением вида (8.28.32) с любым фиксированным значением т > 1, а "г^ обозначает решение уравнений (1.3.4) с лучевым разложением (8.27.1), то процесс построения лучевых разложений для функций it и it + и оказывается абсолютно тождественным (так как обе функции удовлетворяют одной и той же системе уравнений (1.3.4), а их лучевые разложения разыскиваются в виде тождественных лучевых рядов). Вследствие этого лучевое разложение для it должно получаться в точности в такой же фор.ме, как и разложение для функции it + и , при выборе по произволу функции и из разложения (8.28.32) с любым значением числа m > 1. На основании же сложения лучевых разложений (8.27.1) и (8.28.32) ясно, что при переходе от разложения (8.27.1) для it к разложению для функции it+'u амплитудная функция Т^' ' из (8.27.1) приобретает слагаемое вида (8.28.11') с произвольной функцией Со (а, Р) в чиспите.>1е. Наконец, в силу произвола в выборе значения т > 1 такой результат распространяется и на функции " с любыми номерами п. 6. Чтобы завершить обсуждение вопросов, касающихся смысла слагаемых лучевых разложений вида (8.27.1), остается лишь отме-

415

тить, что для описания полей в некоторой окрестности волновых фронтов в условиях практики лучевые разложения всегда применяют при гладких, но достаточно быстро изменяющихся (т. е. высокочастотных, но не разрывных) функциях типа fo[t — т{М)] из разложения (8.27.1). При этом переход к таким разложениям otj ^Ип) t) = Y^ n=()

lf{M,

- т{М)]

(8.28.33)

V ) / n [ i - т{М)]

(8.28.33')

от разрывных разложений ос lt(M,

^ п=0

вида (8.27.1), получаемых теоретически, производится стандартным для всех линейных теорий путем, т. е. на основе усреднения поля lt{M, t) с некоторой гладкой плотностью
Mt)=6{t),

Mt)=

t > О, t < О,

<5(r)dr=|

j — oo

ИТ. Д., упомянутое усреднение совершается по формуле t

[f{M,

t)=

j

t - r)v?(T)dr,

lt{M,

ti приводящей к разложению (8.28.33) с функциями t Vn(i) = j

fn{t - r)
t
равными нулю тождественно при t < f i . В области же t > t^ такие функции, принимающие последовательно значения t it)

= ф ) ,

^PX it)

= j

t ф )

tl

dr,

it)

= J i t -

tl

416

dT

и т. д., оказываются все более низкочастотными, а слагаемые лучевого разложения (8.28.33), как правило, оказываются быстро убывающими с увеличением индекса п > 0. Вследствие указанных обстоятельств в прикладных задачах (по изучению полей в областях, достаточно удаленных от источников волн) обычно считают уже достаточ1ю точным описание полей объемных волн всех трех типов в рамках нулевого приближения лучевого метода. 7. В линейных задачах, где справедлив принцип суперпозиции, достаточно, как известно, ввести представление об элементарных (точечных) источниках волн из некоторого настолько полного набора, чтобы путем их наложения можно было конструировать источники произвольного вида. Что же касается полей элементарных источников, то основные из них могут рассматриваться как результат соответствующего предельного перехода от полей смещений, возбуждающихся во вспомогательных задачах следующего типа. Пусть в безграничной упругой среде задана полость, ограничер!ная некоторой достаточно гладкой поверхностью (например сферой) Ео с внешней нормалью rrt(a, /?), где а и р — какие-либо криволинейные координаты точек на EQ. К полости (изнутри) приложено внешнее воздействие, порождающее на ее границе Ео или поле смещений Р, t), или поле напряжений ^ ( а , /3, t). Требуется определить поле смещений lt{M, t) в упругой среде вне полости так, чтобы оно удовлетворяло уравнениям движения (1.3.4), нулевым начальным данным и одному из следующих граничных условий : It

So

= Ma,

/3, t)

(8.28.34)

или Eo

=

P, t).

(8.28.34')

При этом в большинстве прикладных задач оказывается достаточным полагать i t o ^ ' ^ i a ,

P)f{t)

или

=

p)f{t).

(8.28.35)

Мы ограничимся здесь лишь схематическим рассмотрением в нулевом приближении лучевого метода решений таких вспомогательных задач в предположении (8.28.35) и не будем касаться вопросов, связанных с предельными переходами к точечным источни1сам, так

417

как последние (вследствие стремления к бесконечности кривизны поверхности полости при стягивании ее к точке) требуют подходов, выходящих за рамки лучевого метода. Итак, предполагая, что для радиусов кривизны R поверхности полости и для доминирующих длин волн Лг возбуждающихся полей еще выполняются неравенства вида R ^ Хг, обсудим схему решения сформулированных вспомогательных задач. При этом наш первый шаг в решении задач, естественно, должен сводиться к построению трех независимых семейств лучей (отвечающих волнам каждого из трех возможных типов г), берущих начало в точвах Хт = /3), m = 1, 2, 3, поверхности EQ, которую целесообразно считать заданной в параметрической форме. Для построения каждого из семейств следует фиксировать значение г и выписать для него систему дифференциальных уравнений вида (8.26.7)—(8.26.9); затем нужно выписать начальные данные

r=o

=

pW

1,2,3,

Vr(a, p)

т=о

(8.28.36)

в которых п^(о:, Р) — составляющие орта нормалей = Ы к Ео, а Vr{a, Р) фазовая скорость волны рассматриваемого типа г, отвечающая орту frt, вычисленная для точки Хт = Р) среды обычным образом (см., например, п. 1). Наконец, необходимо проинтегрировать систему уравнений (8.26.7) -(8.26.9) при начальных условиях (8.28.36), что и приводит к функциям х т = х<^\т,а, Р),

Рш

а,/?),

m = 1, 2, 3,

(8.28.37)

типа (8.26.15), определяющим каждый луч из семейства {/''"'} в аналитической (или численной) форме. Предполагая, что к каждому из семейств {Z''"^} применимы все утверждения из п. 1, будем считать, что в рассматриваемой области пространства, прилегающей к полости, лучи каждого из семейств образуют еще поле. Последнее, кстати говоря, необходимо для безоговорочного применения лучевого метода к решению рассматриваемых вспомогательных задач. При выполнении таких допущений обращение первой группы из трех соотношений (8.28.37) (при каждом фиксированном значении г = 1, 2, 3) приводит к выражениям т = т'^^'Цхг, Х2, хз),

а = а^^'Цхг,

Х2, хз),

Р =

Х2,

хз)

(8.28.37') 418

лучевых координат (г = Тг, а = а^, Р = Рг) семейства через исходные декартовы координаты . Уравнение г ( i i , Х2, xz) = t — = const определяет последовательные во времени положения фронта Sr волны типа г, связанной с семейством лучей причем уравнение Х2, Xz) — Q (отвечающее значению г = О в функциях вида (8.28.37) или (8.28.37')) определяет поверхность Ео полости. В точках (гг, аг, Рг) каждого луча семейства {/''''} с фиксированным номером г можно считать известными значения а, Р) =

1

(г, р)

и т. д. орта нормалей к фронту Sr векторов поляризации волн трех возможных типов р = 1, 2, 3, и т. д. При этом в соответствии с условиями (8.28.36) и (8.28.37), при т = Тг = О выполняются равенства а, /?), где = тй — орт нормалей к поверхности Ео, прямым следствием которых оказываются важные для дальнейшего соотношения А

= А

= А

-^(р) =А (а,/3),

р= 1, 2,3,

(8.28.38)

где обозначено л

= А

Тг=0

,

г , р = 1, 2, 3.

(8.28.28')

Векторы из соотношения (8.28.38) при различных индексах р удовлетворяют очевидным соотношениям ортогональности и нормировки {А

р, (7 = 1, 2,3.

-А

(8.28.39)

8. Решения сфомулированных вспомогательных задач разыскиваются в виде наложения 3

it(M,

О

=

(8.28.40)

г-1 трех лучевых рядов оо =

'• = 1.2,3, п=0

419

(8.28.41)

в которых в соответствии с п. 2 считается необходимым полагать

Ьг{т, а, р)

'-

• • +1

••

••

(8.28.41') и т. д. Здесь Ьг{т, а, /3) обозначает геометрическое расхождение семейства лучей {i'*"'} с номером г, а /3) и с\''\а, Р) — произвольные коэффициенты, значения которых должны быть определены в результате учета граничных условий на поверхности So полости. Что же касается коэффициентов а^^' ...), то (в соответствии с п. 2) их значения однозначно определяются сразу же после того, как оказываются найденными значения коэффициентов /3). Следует подчеркнуть, что под (т, а, Р) в выражении (8.28.41') подразумеваются лучевые координаты (т^, Ог, Рг) поля лучей т. е. различные лучевые системы координат при разных значениях г = = 1, 2, 3. Однако при г^ = О (т. е. в точках поверхности SQ) все они совпадают друг с другом, равно как совпадают друг с друго.м все векторы поляризации из соотношения (8.28.38). В случае граничного условия вида (8.28.34), (8.28.35) неизвестные коэффициенты лучевых разложений из соотношения (8.28.41) должны определяться из векторного уравнения 3 3 Г^^(г) л .. ьг

г=1

к=\

Г=1

(8.28.42)

+ ... = t{a,p)f{t).

Не задерживаясь здесь на обсуждении подробностей, лишь отметим, что в рамках «разрывного варианта» лучевого метода (о котором шла речь, например, в пп. 4 и 5), когда функция f{t) из формулы (8.28.35) задается разложением того же типа, что и лучевые разложения (8.28.42), т. е. представляется в виде f{t) = f^br.fn{t),

{ m

п=0

420

=

fn-i{t)),

где /o(i) - некоторая элементарная (разрывная) функция (типа S{t) или £•(<)), из соотношения (8.28.42) однозначно получается полная система алгебраических уравнений для всех неизвестных коэффициентов лучевых разложений из соотношений (8.28.40) и (8.28.41). При использовании же «прикладного варианта» лучевого метода, упоминавшегося в п. 6 (в котором fo{t) реализуется в виде гладкой, но достаточно высокочастотной функции, причем все разложение сводится лишь к первому его слагаемому), естественно, речь может идти лишь о приближенной однозначности определения коэффициентов удерживаемых слагаемых лучевых разложений, т. е. об однозначности с точностью до порядка малости отбрасываемых слагаемых. Это легко может быть продемонстрировано на примере выписанных в соотношении (8.28.42) членов уравнения, учитывающего граничные условия задачи. Вследствие соотношения f{{t) = fo{t), которым связаны функции от t из уравнения (8.28.42), нетрудно видеть, что неоднозначность в решении уравнения (8.28.42) проистекает из-за возможности представления заданной функции f{t) из правой части различными способами в форме двух (непрерывных) слагаемых t

= fit) + 7 1 fit) dr = foit) + 7/i it),

fit)

(8.28.43)

0

где 7 = const,

f{(t)=fo(t).

При выяснении такого вопроса можно полагать, что функция fit), непрерывная вместе со своей первой производной при t > О, равна нулю тождественно при t < 0. Тогда обращение равенства (8.28.43) дает I fit)

- fit)

- i j

dr,

(8.28.43')

о причем выполняется соотношение t flit)

= j 0

I fir)dT

= I

(8.28.44)

0

которым удобно будет воспользоваться ниже. 421

Предположим сначала, что функция f{t) из правой части равенства (8.28.42) имеет лучевую структуру (8.28.43) с такими же (непрерывными) функциями /o(t) и fi{t), как и функции из левой части равенства (8.28.42). Тогда в соответствии с принятой схемой рассмотрения лучевых разложений (получающей логическое обоснование лишь при «разрывных» функциях fn{t)), учет граничных условий (8.28.42) приводит к соотношениям

(а,/?) =

/3),

г=1

(8.28.45)

Е

с''"* ^ ( О

Г=1

^ к=1

из которых в силу ycjraBHfl ортонормировки (8.28.39) получаются равенства

к=1 (8.28.45') /?) из выражения (8.28.41') здесь

При этом коэффициенты

следует считать известными, так как значения с^^^а, 0) уже определены. На оиювании соотношений (8.28.45') и (8.28.41') для рассматриваемых двух первых членов разложения (8.28.41) получается лучевое представление

к=1

к=1

) (8.28.46)

422

допускающее (путем об1>единения первых двух слагаемых) перезапись в виде

U=i

k=i

)

(8.28.46') Представление (8.28.46) очевидно сводится к первым двум членам (канонического) лучевого разложения функции по функциям fo{t) и fi{t) из представления (8.28.43) (такого, как если бы эти функции были разрывными), связанных друг с другом соотнонгениями t

m

= fo{t),

или

jMrdT. о

Представление же (8.28.46') (тождественно равное по величине представлению (8.28.46)) имеет структуру, похожую на лучевое разложение, в котором за основную функцию fo{t) (лучевого разложения) взята функция f{t) из представления (8.28.43), а не первое се слагаемое /o(0i при этом первый член правой части представления (8.28.46') имеет (канонически) правильный вид, а структура последующих ее слагаемых резко отличается от канонически правильного лучевого разложения. Это видно хотя бы из связи между функциями f{t) и fi{t) из правой части представления (8.28.46'), сводящейся к равенству

/1 (О = /

dT = f^ n=0

f{t~ •>

^^{-iTfn+iit), n=0

гГ/{г)

dr =

(8.28.47)

В котором (непрерывные) функции /п+i {t) удовлетворяют лучевым соотнопшния.м /n+i(o = / ( o , 423

{Mt)

= m).

(8.47')

Изложенное уже показывает, что в «прикладном варианте» лучевого метода нулевое приближение приводит к логически оправданному («правильному») результату. Последующие же приближения всегда содержат тот или иной произвол, лишающий их смысла «поправки к нулевому приближению». Поэтому применение последующих приближений метода в прикладном варианте лишено оснований. 9. Возвращаясь к решениям (в нулевом приближении лучевого метода) рассматриваемых вспомогательных задач о полости, видим, что в общем случае граничных условий (8.28.34), (8.28.35) решение представляется суммой (8.28.40) трех слагаемых вида ...)/>-rW(M)].

t) =

(8.28.40')

в частном же случае, когда распределение по границе Ео полости задаваемого поля смещений I/Q характеризуется функцией (8.28.48) где р = 1, 2, 3 — фиксированы (и только в этом случае), сумма в выражении (8.28.40) сводится к одному лишь слагаемому при г = р. При условии (8.28.48) воздействие (8.28.34), (8.28.35), прикладываемое к границе Ео полости, возбуждает (в нулевом приближении лучевого метода) только лишь волны одного и того же типа г = р. При граничном условии (8.28.34'), (8.28.35) во вспомогательной задаче, когда к поверхности Ео полости прикладывается плотность ^ внешней силы, прежняя схема решения сохраняется полностью. Различие заключается линть в том, что для учета граничных условий лучевые разложения (8.28.41), (8.28.41') приходится подставлять в выражения tmt=

dug Cik^pqUlk^, k,p,Q=l ^ ^

. 1 „ „ 1-1,2., 6,

для составляющих вектора напряжения на п;ющадке с ортом нормалш Ш. Нетрудно видеть, что в нулевом приближении это приводит к равенствам

424

в которых в соответствии с разложениями (8.28.38) и (8.28.4) следует полагать л(г,г)(^

grt'-) _ mpja, Р) L , ( r , . . . ) = L°(a, Р)

при г''') = о , т. е. в точках (а, /?) границы EQ. Граничные же условия (8.28.34), (8.28.35) сводятся к системе уравнений 3

Y. birct4i>{t) r=:l

г = 1, 2, 3,

= Bif{t),

ДЛЯ функции /O(F) и коэффициентов

(8.28.49)

В которой обозначено

(8.28.48') Отметим, что правая часть последней формулы получена на основании системы уравнений вида (8.28.6), написанной для A'f^ и Vr- Из системы уравнений (8.28.49) вытекает равенство t

т

= f Kr)dT,

(8.28.50)

о а также система уравнений для Сц^ '^

^ г(0) Г=1 ^г записанная в векторной форме. Из нее в силу условий (8.28.39) сразу же следует f-n что приводит к окончательной формуле

(8.28.51)

t)

425

для ПОЛЯ смещений в нулевом приближении лучевого метода. Этим как раз и закапчивается решение вспомогательной задачи для полости, на границе которой задан вектор напряжения из соотношений (8.28.34') и (8.28.35). 10. Как уже упоминалось в п. 7, построение в приближениях лучевого метода решений вспомогательных задач для полости So, к границе которой прикладываются воздействия, не позволяет осуществлять переход к сосредоточенным источникам, так как для лучевого метода существенное значение имеет предположение о достаточно большой величине радиуса кривизны полости по сравнению со средней длиной волны изучаемого поля. Однако в прикладном отношении прибегать к предельному переходу к сосредоточенным источникам, пожалуй, нет и физической необходи.мости. Ведь при мощном «сосредоточенном» реальном воздействии всегда воз1шкают обширные области \М - Мо|
До »

А,

(8.28.52)

нелинейных (и «р£13рушительпых») деформаций среды, в которых применение формализма теории упругости явно не оправдано. Поэтому рассмотрение источников волн в реальных средах целесообразно базировать на модельных соображениях, (окончательным) выводом из которых оказьшется модель напряженного состояния среды в элементах некоторой поверхности S, расположенной в такой области, где напряженное состояние среды оказывается уже упругим. В качестве результирующего акта применения «модели воздействия» должно оказаться, например, что при включении в точке Мо источника в некоторой области (8.28.52) формируется поле, вызывающее на границе S области (8.28.52) поле смещений или напряжений вида ("г^, или^2) =

(8.28.53)

продолжение которого вне области (8.28.52) производится в рамках нулевого приближения лучевого метода. Отметим, наконец, что при указанном подходе к проблеме (достаточно полно учитывающе.м положение дел при сейсмических экспериментах) о типе воздействия следует судить по зависимости векторной функции «направленности источника» if) из выраже-

426

ния (8.28.53) от полярных углов б и (/з. В частности, в случае '^{в, ^р)=сМ=

с—, г

где с = const, и г = Яо, источник следует называть центром давлений. При этом очевидно, что если волновое поле наблюдается на расстояниях, во много раз превосходящих До, то источник воспринимается как точечный. Ограничившись такими замечаниями, обратимся в заключение к краткому предварительному обсуждению важнейшего вопроса для практической реапизации .пучевого метода, а именно к вопросу о вычислении геометрического расхождения пучков волн в анизотропных упругих средах. 11. Как извест(ю, даже в случае неоднородных изотропных сред общего вида проблема поиска оптимальных подходов к вычислению геометрического расхождения пучков лучей встречает значительные трудности (технического характера) и не может ен;е считаться окончательно решенной. В случае же анизотропных сред (вследствие зависимости скорости волн от направления их распространения) возникают супюственные дополнительные затруднения, препятствуюш;ие, в частности, прямому переносу в новую область методов, разработанных применительно к случаям изотропии. Таким образом, разработку проблемы, связанной с вычислением геометрического расхождения пучка лучей волн в анизотропных средах, приходится начинать с самого начала, и в ней пока enje нет законченных результатов. Поэтому мы ограничимся здесь лиш|, общими соображениями относительно постановок задач и возможных подходов к их решению, а также обсудим положение дел в простейшем случае однородных анизотропных сред. Что касается смысла понятия «геометрическое расхождение L», то его естественно определять в соответствии с формулой (8.26.33) или (8.27.19), в которой полагается с{а, /3) = 1, т. е. формулой

Геометрическое расхождение Ь{т, а, /3) принято относить к лучу lap с параметрами а, 0 из семейства лучей определяемых уравнениями кривых (8.28.3), совпадающими с первой группой уравнений

427

из формул (8.26.15). При этом под функциями Хт{т, . . .) и Рт{т, • •.) (8.26.15) подразумевается решение системы уравнений (8.26.7)— (8.26.9) для лучей, подчиненное начальным условиям Коши вида (8.28.2). Фактически же L(R, а, /3) связано с пучком лучей, отвечающих параметрам а, р, изменяющимся в промежутках (а, а + da) и {Р, P + dP), причем L^ измеряется отношением площади dE нормального поперечного сечения лучевой трубки к произведению dadp. Наконец, величины ^(Т, а, Р) и |J(T, а,,Р)\ из формулы (8.28.54) обозначают значения в точках г луча 1а0 мо;1^лей лучевой скорости и функционального определителя из выражения (8.26.30), т. е. определителя Лг, а, Р) =

= ±

[^2 X % ] )

(8.28.55)

(где обозначают координатные векторы из формул (8.26.26) лучевой системы координат), отвечающего переходу по формулам (8.28.3) от лучевых координат (т, а, Р) к декартовым (xi, Х2, хз). 12. Из формулы (8.28.54) явствует, что в случаях, когда уравнения (8.28.3) семейства лучей известны в форме аналитических выражений, вычисление L сводится к тривиальной (но всегда весьма громоздко реализуемой) задаче на дифференцирование функций x„i(r, а, Р) из уравнения (8.28.3) по а и /3 и на выполнение алгебраических операций тина операций из правой части выражения (8.28.55). Так обстоит дело, например, при рассмотрении в п. 13 однородных анизотропных сред. Однако подобные 01учаи крайне редки, так как уравнения (8.28.3) для лучей изучаемой волны удается получать, как правило, лишь в численной форме. Для нахождения приближенных значений L иногда выгодно прибегать к правой части формулы (8.28.54) и на основе численного изучения некоторого числа лучей из семейства с близкими значениями параметров а, Р из данных (8.28.2) пытаться вычислить (или оценить) величину dY,/dadp. Такой способ вычисления L приволит к результатам, достаточно точным в условиях практики в областях поля лучей, удаленных от его особых точек. При этом, если не стремиться к высокой точности в определении значений L, то он требует выполнения (сравнительно) не слишком больших объемов вычислений. Однако естественно искать и другие подходы к проблеме, в которых за достаточно высокую точность в определении значений L не приходилось бы платить слишком уж дорого.

428

По аналогии со случаем изотропных упругих сред можно надеяться разработать подобные подходы па основе системы уравнений в вариациях, получаемой из системы дифференциальных уравнений (8.26.7)—(8.26.9) для лучей путем почленного их дифференцирования по параметрам а и /3. Уравнения в вариациях оказываются системой 12 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для такого же числа неизвестных функций дхт/да, дхт/д0, дрт/да, дрт/дР, т ~ 1,2, 3. При этом Ha4ajn>nbie условия для таких функций легко получаются путем дифференцирования ио а и Р начальных данных (8.28.2). Для нахождения упомянутых (неизвестных) функций в точках г > О луча 1а0 (знание первых шести из которых уже позволило бы вычислять величину J из выражения (8.28.55), а следовательно, и значение геометрического расхождения L из формулы (8.28.54)) достаточно проинтегрировать числипю вдоль луча упомянутую систему. К сожалению, это оказывается весьма трудоемкой операцией, требующей для своей реализации много машинного времени, что в отличие от отучая изотропных сред является следстствие.м далеко не только большого числа уравнений в системе. Трудности вычислений оказываются в значительной мере обусловленными алгоритмической сложностью правых частей уравнений в вариациях, получаюш,ихся в результате дифференцирования по параметрам а и Д правых частей уравнений (8.26.7)-(8.26.9) для лучей (которые приходится задавать не в аналитической, а в «алгоритмической» форме). Здесь необходимо искать какие-то упрощения, причем основное внимание следует уделять алгоритмической стороне дела. Остается лишь отметить, что при расчете значений L приходится различать два типа задач. Во-первых, задачи на нахождение значений L (по начальным данным вида (8.28.2)) в случае сред с достаточно гладкими упругими параметрами, обеспечивающими непрерывность функций Хт{т, а, 0) (8.28.3) вместе со всеми их частными производными первого порядка. И, во-вторых, задачи на изменение величины L при переходе через границу раздела двух сред. Задачи второго типа носят локальный характер и оказываются весьма близкими задачам на отражение-преломление волн. 13. В случае однородных анизотропных сред, когда \ik,pq = const, уравнения (8.26.7)—(8.26.9) для лучей элементарно интегрируются (см. п. 12 § 13), причем их решение, подчиненное начальным данны.м

429

(8.28.2), имеет вид рт = const и =

Q, Р) = х1,{а, /?) + т^жСа^3),

(8.28.56)

где Р) ~ составляющие лучевой скорости, вычисленные по значению орта нормали rt°(Q, Р) = тЙ{а, /3) из формул (8.28.2). Геометрическое расхождение лучей можно вычислять аналитически по формулам (8.28.54), (8.28.55), исходя из выражений ,

,,,

ДХ^

_

^

0)

+г

..

DUI^,

/3)

(8.28.57) ДХ,П ^ ДХИА,

др

др

Р)

^

+ '

Р)

оЗ др

'

^

_

1 „

тп —

„

о,

в которых слагаемыми дх°^1да и дх^/др допустимо пренебрегать в случае достаточно больших значений т. Таким образом, на больших расстояниях от замкнутой поверхности So, несущей начальные условия (8.28.2), геометрическое расхождение L имеет такой же вид, как и в случае точечного источнирса, фрагментарным рассмотрением которого мы здесь и огра}шчимся. В случае точечного источника составляющие орта нормалей следует задавать в виде П1 = sin^cosi^,

П2 = sin 0 sin (/;,

пз = соз(р

через полярные углы в и tp, полагая а = в, Р = sinO • tp и da = = de, dp = sine-dip. Составляющие лучевой скорости волны рассматриваемого типа г 3 Е

,

т = 1,2,3

(8.28.58)

(обозначаемой, как и в п. 2, для удобства записей индексом 1 сверху вместо индекса г), равно как и входящие в ее выражение величины vi - л п з - А/1 - nj следует считать функциями двух независимых составляющих щ и n-z орта нормалей. Поэтому оказывается

да

dni

cos в COS (fi +

д™ COS в sin if, дп2 (8.28.58')

430

и все сводится к вычислению производных от fm^ по п\ и пг, представляемых в виде

+

^ik,mqnk

«

i,k,g=l

дщ

дп,

(8.28.59)

и аналогично — для д^т^/дп2. Величины Wi, Аd(i) ^ ' „и f(i) из правой части вычисляются (по значению # ) стандартным путем. Вопрос же о вычислении величин ^

и

г-1

2 3

(8.28.60)

необходимо сейчас обсудить. Путем дифференцирования по П\ выражения (2.8.9) при учете условия нормировки (2.8.11) (в которых индекс г заменен на индекс 1) находим

Отсюда следуют формулы dvi _ дп,

(1)

П1 (1) '

или (8.28.61) i,q=l

где обозначено — ^ik, 1? Пк,

к=1 П2

(8.28.62)

выражающие dvilOrii через известные величины fm' и A f \

431

Дифференцируя по ni систему уравнений (8.28.6) и условие нормировки (8.28.8), получаем для величии из формулы (8.28.60) алгебраическую систему уравнений 3

^

г = 1, 2, 3,

(8.28.63)

k.p,q=l

И дополнительное условие ортогональности 3

= 0.

i=l

(8.28.59')

При этом правые части системы (8.28.59), как нетрудно убедиться, представляются в виде

г,9=1

9=1

через матрицу (8.28.62). Система уравнений (8.28.63) разрешима, так как очевидным образом выполняется условие

«=1 В наиболее важных случаях, когда выполняются равенства

ее решение находится без труда и представляется формулой =

+

,

i = 1, 2, 3,

(8.28.64)

где обозначено 3

ak=Yl i,9=l

+

A f ^ . fc - 2,3.

432

(8.28.65)

Таким образом, оказывается, что все величины из правых частей формул (8.28.59) выражаются алгебраически несложным образом через известные величины. Это позволяет вычислять производные из (8.28.58') вполне корректно, по весь процесс их вычисления, а тем более вычисления L из формулы (8.28.54), оказывается сравнительно громоздким в алгоритмическом отношении. И вот представляется, что (в рассматриваемом случае однородной среды) не следует пренебрегать возможностью вычисления £ и по правой части формулы (8.28.54). Такой способ вычисления иногда (например, в случае трансверсально-изотропных сред) может оказаться практически наиболее эффективным.

433

Литература 1. Петрашепь Г.И. Основы математической теории распространения упругих волн// Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 18. Л., 1978. С. 5-246. 2. Петрашепь Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л., 1980. 3. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., 1965. 4. Смирнов Б.И. Курс высшей математики. Т. III. 4.1. М., 1949; Т. IV. М., 1953. 5. Бабич Б.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в неоднородной анизотропной среде// Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 5. Л., 1961. С. 36-46. 6. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб., 1998.

434

Приложение

Количественная теория плоских и локально-плоских волн в анизотропных упругих средах, как предельнопростое и наглядно-физическое компьютерное описание основополагающих процессов сейсмики

Возможно ббльшая простота и наглядность предметного описания процессов распространения сейсмических волн весьма существенны для постановки задач на изучение волновых полей в модельных средах, равно как и для физического толкования результатов выполняемых экспериментов или результатов физического исследования волновых полей. При этом образцы подобной наглядности чаще всего доставляют случаи, в которых процессы изучения сложных волновых полей удается сводить (локально) к тем или иным элементарным процессам, например, из теории плоских волн в однородных упругих средах. Поля смещений элементарных (монохроматических) плоских волн в изотропных средах представляются в виде # =:

R e 3 ? e x p i w ( i - ( П 1 )

где 'А — вектор поляризации волны, а ^ — ее вектор рефракции

V

V

определяемый ортом нормали it к ее волновому фронту и скоростью распространения v волны. При этом выбор плоской волны в качестве эталона наглядности объясняется прежде всего простотой и общеизвестностью их математического описания, а также тем, что наложением плоских волн с подходяще выбранными значениями векторов ^ и ^ удается представлять волны практически любых типов.

435

Для описания таких полей применяются произвольно выб1^аемые правовинтовые прямоугольные системы координат L{xk, г к) с началом в некоторой точке О и с фиксированным ортогональным базисом г1 , 12, г 3 , (ПЗ) принадлежащим произвольному их множеству L. 1. Упругие свойства изотропных сред определяются скалярными параметрами Л и /х, а также — плотностью р. Скорости распространения продольных (р-) и поперечных (s-) волн даются выражениями Vp = ^ ( Л -Ь 2Д)//9 и VS = V/VPJ причем в неоднородных средах параметры X, fi и р зависят от рассматриваемой точки среды М = (хк), но не зависят от пространственной ориентации базисных ортов (ПЗ) системы координат, применяемой в качестве «рабочей». (Общие свойства плоских волн в изотропных средах описаны в гл. 6.) В отличие от случаев изотропии, в анизотропных упругих средах свойства волновых полей зависят от пространственной ориентации ортов ортогонального базиса (ПЗ), на котором рабочая координатная система L' построена. Математически такая зависимость достигается заменой скалярных упругих параметров Л и д среды на группу параметров, входящих в состав тензора Cik,pq (четвертого ранга) упругих постоянных (среды). Такой тензор, или эквивалентный ему физически, тензор Xik,pq = Cik,pg/p относительных упругих постоянных среды, определен в классе ортогональных преобразований координат ~i к) с общим началом О и с произвольно выбираемыми ортами ортогонального базиса из (ПЗ). (В такой класс входят все ортогональные системы координат с обгцим началом О, получаемые друг из друга вращением относительно точки О на произвольные углы Эйлера в и ip.) Координаты x'l, х'2, х'з к xi, Х2, хз одной и той же материальной точки М относительно любых двух координатных систем и L{xk, г^) связаны друг с другом очевидными ортогональными преобразованиями: 3 х'к =

3 (XkqXq,

9=1

i k^'^akqi 9=1

436

q,

fc

= 1, 2, 3,

(П4)

или

3

3

=

'tg = Y^agk't'k, k=l

9=1,2,3.

(П4')

k=l

Угловые коэффициенты таких преобразований, определяемые равенствами akq = { i к> г я) =

(П5)

(через скалярные произведения базисных ортов), удовлетворяют соотношениям ортонормировки 3

а

У ^ OikiOtqi = ^ г=1

cuikaig = Skg,

(П5')

i=l

где бкд — символ Кронекера. Что же касается тензоров упругих постоянных Cjjt.pg (или же ^ik,pg), ТО основное «тензорное» их свойство состоит, как известно, в следующем: если в произвольно выбранных системах координат L'{x'f., г fc) и L{xq, i р) составляющие тензора (4-го ранга) имеют значения и Cab,cd соответственно в координатных точках (ш^) и (а;,), связанных друг с другом преобразованиями (П4) (т. е. отвечаюнщх одной и той же материальной точке М среды), то между иими должны выполняться взаимно обратные соотношения вида

дха дхъ дхс дха

Cab,cd-

(П6)

Здесь индексы а, fi, -у и S суммы из правой части принимают независимо друг от друга значения 1, 2 и 3, а выражение справа представляет собой сокращенную запись суммирования по всем индексам а, Ь, си d (входящим в правую часть равенства дважды), пробегающим значения 1, 2 и 3 независимо друг от друга. В связи с изложенным необходимо еще подчеркнуть, что при выполнении суммирования в соотношении (П6) всегда следует учитывать свойства симметрии Cik,pg

—

Qt.pg =

Cjk^gp

=

Срд^ц.

(П7)

элементов тензора упругих постоянных, которые в силу тензорных свойств соотношений (П6), должны выполняться во всех системах координат из класса L, если они имели место хотя бы в одной из

437

таких систем. (А как в этом убедиться ? Вот вопрос для Вас — читатель!) Относительно же самого тензора упругих постоянных (или упругих параметров среды) Cik,pq необходимо еще отметить, что в кристаллографии принято задавать значения его составляющих в специальной системе координат базисные орты которой определенным образом совмещены с осями симметрии анизотропной среды [2,3]. При этом вследствие соотношений симметрии (4.1) или (П7) для задания значений всех составляющих р^ тензора упругих постоянных достаточно в системе Ь°(хр, задавать значения элементов симметричной матрицы (6 х 6) из выражения (4.7), связанных с составляющими тензора упругих постоянных соотношениями вида (4.5) или (4.6) основного текста книги (см. п. 2 §4, а также [2] или [3].) Таким образом, для получения значений составляющих c'^f, ^^ тензора упругих постоянных из формулы (4.3) в рассматриваемой рабочей системе координат ^ необходимо: 1) получить (как указано выше) значения c'^k,pq составляющих тензора упругих постоянных в специальной кристаллографической системе координат i j.) (используя соотношения (4.5) и (4.6)); 2) по базисным ортам

специальной системы

базисным ортам't'^ рабочей системы координат лить угловые коэффициенты

= (I^'Q,

~г1) и по 1^'а) вычис-

формул преобразова-

ния координат 3

<

=

а =1.2,3,

(П8)

к=1

систем L° И L'\ 3) коэффициенты

из формулы (П8) подставить в формулы

(П9) вида (П6), связывающие составляющие тензоров упругих постоянных среды в рабочей системе координат г ц) и в специальной системе L ° { x ° , 1^°), построенной на осях симметрии рассматриваемой анизотропной среды. При этом набор значений с'^^.са ^ ^^ выражения (П9) следует относить к материальной точке М , координаты (ж'о) и ( х ° ) которой связаны друг с другом соотношением

438

(П8). Такое замечание, правда, существенно количественно только в случае неоднородной анизотропной среды. 3. После определения значений элементов Cik,pq = p)^ik,pq тензора упругих постоянных среды в рассматриваемой («рабочей») ортогональной системе координат L{xk, г к) можно обратиться к выяснению свойств плоских волн в анизотропных упругих средах. Во многих разделах курса неоднократно уже отмечалось, что основные элементы формализма теории плоских волн проявляются и при изучении совсем других, значительно более сложных, волновых полей. Это позволяло говорить о некоторой приближенной локальной эквивалентности изучаемых процессов более простым процессам из теории плоских волн. И вот теперь предстоит выяснить, привносит ли такая локальная эквивалентность какое-либо увеличение наглядности и простоты понимания в интерпретации более сложных изучаемых волновых процессов? Для этого, конечно, нужно выяснить, обладает ли сам формализм теории плоских волн требующейся простотой и наглядностью? С этого, по-видимому, и следует начинать. 4. Как и в случае изотропии среды, основным представлением поля плоской волны в анизотропных однородных упругих средах можно считать поле вида (П1), (П2), выписанное здесь еще раз в чуть измененной форме г = 1, 2, 3, к

=

— Vr

= Vr{rt)

,

(ШО) nil)

содержащее векторы поляризации и рефракции Однако подстановка такого поля в уравнение (2.9) движения анизотропной упругой среды теперь не сводится к прежним тривиальным (разрешимым в уме) соотношениям, а приводит к системе (не совсем тривиальных) трех алгебраических уравненийй Кристоффеля г-1,2,3,

(П12)

= О,

(П13)

к,Р,Я

или 3

^

\ik, р^п^ПрЛМ -

k,p,q

439

где система (П13) следует из (П12) лишь с учетом выраженй (П11) для векторов рефракции через орт нормали ft к (плоским) фронтам плоских волн. Определение величин и ^ из такой системы «в уме» (или с карандашом па бумаге) представляет, конечно, непреодолимые затруднения. Поэтому раньше о простоте и наглядности теории таких плоских волн не могло быть и речи. Но теперь при наличии персональных компьютеров решение приведенных систем стало предельно простой задачей, решаемой практически мгновенно (и притом при представлении результатов решения задач в любой требуемой исследователю форме). В такой ситуации у теории плоских волн в анизотропных средах действительно появляются очевидные качества простоты и физической наглядности, использование которых может существенно упростить и физическое понимание многих других, упоминавшихся ранее, сложных волновых процессов. Поэтому доведение формализма теории плоских волн до числа представляет собой очевидную познавательную ценность. Выполнение же такой программы сводится к решению приведенных здесь трех основных задач, рассматриваемых в предположении, что значения составляющих = const тензора относительпьгх упругих постоянных анизотропной среды в рассматриваемой системе координат уже известны. о. Первой является задача на определение векторов рефракции и поляризации входящих в представления (П10) плоских волн всех типов г = 1, 2, 3 по заданной пространственной сети it = if V значений ортов нормалей к их волновым фронтам t -

{Tt,

-t)

Vr{Tt)

= const.

Решепие этой задачи получается путем разрешения системы уравнений (П13), переписывас.мой предварительно в более прозрачной форме ^

- vi{-rt)A
г = 1, 2, 3,

(П13')

9=1

где 3

Aiq = ^ \ik,рдПкПр = Адг к,р=1

440

(П14)

обозначают элементы приведенной симметричной трехрядной матрицы упругих постоянных среды, спроектированной (дважды) на орт нормали i t . Матрица вещественна и положительно-определеина. Условие разрешимости (однородной) системы уравнений (П13'), записываемое в виде (приравненного нулю детерминанта) Ai, ~

О,

(П15)

оказывается алгебраическим уравнением третьей степени относительно квадратов фазовой скорости v'f волн типа г. Корни его положительны и почти при всех значениях rt = удовлетворяют неравенствам vf{-ft)>vl{lt)>vU'ft)>0, (П16) кроме, возможно, нескольких линий la на сфере \'Tt = 1, в точках которых оказывается V^lta) > Vlilta) = vlilta).

(П16')

(Поэтому при задании пространственной сети значений rt = it а вероятность попадания на линию la или в тесную ее окрестность невелика.) Уравнение (П15) элементарно, и существуют стандартные программы для его решения, причем эти программы особенно просты в случаях таких ортов it = it^, при которых удовлетворяются неравенства (П16). Поэтому начинать решение задачи следует именно с таких узлов сети. Обращение же к узлу it = it а из выражения (П16') целесообразно производить на основании предельного перехода it р it а в последовательности значений it р, удовлетворяющих неравенствам (П16). При этом нужно учитывать непрерывность (даже аналитичность) функций Vr{lt) и ^ ' ' ^ ' ( r t ) в духе того, как это изложено в § 7 гл. 2 основного текста. Найденные (последовательно) при разрешении по упомянутой программе уравнения (П15) значения его корней v'^[lt), г = 1, 2, 3, подставляются в однородную систему уравнений (П13')- При каждом индексе г система (П13') однозначно разрешима, причем ее решения ^

^ (it)

оказываются взаим1ю ортогональными и потому могут быть

441

подчинены условию ортоиормировки -A^^ilt)) = j 2 A t \ l t ) A i ^ \ l t ) =

(П17)

Таким образом, для решения задачи 1 нужно: 1) определить в рассматриваемой (рабочей) системе координат L' значения составляюп;их Xik,pq тензора относительных упругих постоянных; 2) по его значениям и значениям составляющих (в системе L') заданного орта нормали f t , вычислить по формуле (П14) составляющие Aik приведенной матрицы упругих постоянных; 3) при помощи стандартной программы для решения уравнения (П15) вычислить значения квадратов фазовых скоростей из выражения (П16). И, наконец, 4) подставляя значения v^(Tf) в систему уравнений (П13'), определить составляющие векторов поляризации ^ ^ ("rt), удовлетворяющих ортонормировке (П17). По вьшолнепии перечисленных вычислений значения векторов рефракции и лучевых скоростей следует определять по формулам

=

it/Vri-ft),

г =

=

1, 2 , 3 ,

к=1

(П18)

i,P,д=1

Здесь уместно еще заметить, что к задаче 1 приходится обращаться: а) при количественном дополнении самой теории плоских волн в анизотропных средах, как изложено выще; а также б) в рамках локально-плоских волн при построении лучей волн различных типов г в неоднородных анизотропных упругих средах и при реализации алгоритмов лучевого метода (см. § 26 гл. 8) основного текста. 6. Задача 2 отличается от задачи 1, в основном, только тем, что в ней выбор сети rt = it^ значений вектора нормали к фронтам волн ограничивается плоскостью «падения» Хз — 0. Назначение этой задачи — получение вспомогательных материалов для решения нескольких задач на отражение-преломление волн® ®Плоских или л о к а л ь н о - п л о с к и х .

442

различных типов г на границе Ео раздела двух анизотропных сред (i^ = 1; I/ = 2). Граница Ео предполагается плоской или локальноплоской, т. е. обладающей достаточно малой кривизной. При этом формулировка задачи предполагает, что фактически задан орт нормали # 0 к фронту падающей волны, а также орт rrt нормали к границе раздела Ео сред, принимаемой в рабочей системе координат L' за плоскость хг = 0. По ортам и rrt строится плоскость падения, принимаемая в системе L' за плоскость Хз = О (см. § 23 гл. 7). При учете перечисленных условий как раз и определяется выбор рабочей системы координат, в рамках которой рассматривается анизотропная упругая среда. Формулировка же задачи 2 сводится к следующему. В рабочей системе координат L{xk, г к), в которой определена однородная упругая среда, задана сеть i f = Jt^ значений нормалей к фронтам рассматриваемых плоских волн, распространяющихся в плоскости падения xz = 0. Требуется определить параметры Vrilt), указанных волн и по вычис.ленным значениям векторов рефракции = i t I V r i l t ) построить в плоскости Хз = О (или лучше в плоскости кз = 0) кривые векторов рефракции и вспомогательные кривые лучевых скоростей волн всех типов г. Расчетная сторона дела здесь буквально совпадает с тем, что имело место в задаче 1. Поэтому таких вопросов теперь можно не касаться, а ограничиться ссылками на разделы основного текста книги (см. §23 и 24). Там достаточно подробно описаны свойства кривых векторов рефракции, которые (в контексте задач на отражениепреломление плоских волн) полезно освежить в памяти. При этом здесь уместно коснуться (лишь очень кратко) вопросов рефракции и вспомогательных кривых лучевых скоростей на некоторых плоскостях Хз = О рабочих систем координат. 7. В руководствах по упругой анизотропии (например, в работах [2,3]) упомянутые кривые приводятся в некоторых плоскостях кристаллографической систе.мы координат связанной с осями симметрии среды. При этом чаще рассматриваются случаи трансверсальной изотропии, в которых исчерпывающе информативным оказывается даже лишь один подобный рисунок.

443

в качестве примеров па рис. а, 5 приведены типичные кривые векторов рефракции (слева) и вспомогательных кривых лучевых скоростей (справа). Ось симметрии среды выбирается за ось Ок^ на рис. а и за ось Ох^ на рис. б. Полная же картина поверхностей векторов рефракции и векторов лучевых скоростей получается вращением кривых из приведенных рисунков соответственно вокруг оси Ок^ и оси ОзгО.

2

^^

(V ?V ч

ч

ь

о '

у

Значения векторов рефракции 1с ^ , отвечающих точкам N^ на кривых Rr векторов рефракции, определяются,например, на рис. а вектором ОN-2, образующим с осью Ок^ угол в. При переходе же к новой (рабочей) системе L поворотом (в плоскости рисунка) осей Ок^ па угол вектор рефракции определяется уже углом в = в — во, как и полагается векторам ON2 при переходе к новым осям координат.' Сама же картина расположения кривых векторов рефракции в системе L примет вид, отвечающий па рис. а системе координат с осями Oki и Ок2 при сохранении неизменным распшюжения всех кривых. Получающаяся картина расположения векторов рефракции (на плоскости = 0) уже заметно отличается от исходной картины расположения кривых R^ на рис. а при координатных осях OfcJ и О/г". Подобные отличия лишь возрастают при переходе к какой-либо рабочей системе координат L пространственным врап^ением исходной системы L° на углы Эйлера в и (fi. 8. Наконец, задача 3 сводится к решению системы уравнений Кристоффеля (П12), выписанной относительно составляющих к^^''

444

векторов рефракции, которая применялась в п. 5 § 23 при рассмотрении неоднородных плоских волн. Она связана непосредственно с решением задачи на отражение—преломление плоских волн на (плоской) границе x-z — О раздела двух анизотропных сред в той части, которая касается запредельных отражений-преломлений ватн и явлений экранирования. Постановка и ход решения задачи на отражениепреломление плоских волн изложены в §24. Поэто.му предполагая постановку и алгоритмическое решение такой задачи в общем известными, здесь достаточно лишь остановиться на оценке обш,ей ситуации в ходе решения задачи и напомнить ее исходные положения. Как и всегда в задачах на отражение—преломление волн, описание ^оцессов ведется в такой (рабочей) координатной системе L'{xk, i к), в которой граница раздела сред и плоскость падения первичной волны определяются соответственно уравнениями Х2 — О и хз = 0. При этом в системе L'{xk, i к) предполагаются известными: 1) значения составляющих тензора упругих постоянных сред Х2 > 0,^ = 1 и K-i < О, и = 2; 2) факт, что в средах агг > О и Ж2 < О появляется по три отраженных и преломленных волны, для которых уже построены в средах i' = 1 и г^ = 2 кривые векторов рефракции и и 3) факт, что кинематический закон отражения—преломления сводится к равенству (П19) первых составляюпщх векторов рефракции падаюп;ей, всех отраженных и всех преломленных волн типов г. Это допускает запись в форме обобщенных соотнопюний Снеллиуса _

sin 61° _ smBr _ зтвг

,

-

^-

~ УЛвг) ~ ^ У

^

'

где зависимости от в фазовых скоростей Vr осуществляются фактически через посредство соответствующего орта нормали i t r или Пг- Присутствие в левой части (П19) составляющей ki вектора рефракции падающей волны доставляет естественную границу сверху промежутку О < iki < (П19') в котором может изменяться аргумент ki системы уравнений (П12) в задаче на отражение-преломление плоских волн. Значение же второй составляющей к2 векторов рефракции ничем не ограничено, кроме того, что составляющие этих векторов должны удовлетворять

445

условиям разрешимости = 0,

г = 1, 2, 3

(П20)

k,p,q=l

системы уравнений (П12) для волн всех трех типов г. Такое уравнение эквивалентно уравнению (П1о) и отличается от него лишь (несуш;ественным) множителем v^(lrt) > О в каждом элементе определителя. Однако в отличие от уравнения (П15) (которое рассматривается при дополнительном условии, что величины составляюш;их П1 > О, П2 = л/1 - nj, пз = О орта нормали # к волновым фронтам вещественны) уравнение (П20) рассматривается лишь при дополнительном условии к = ki > 0. Значение составляющей fca в нем должно определяться как решение уравнения (П20). Последнее же оказывается алгебраическим уравнением шестой степени от г = имеющим вещественные коэффициенты и записываемым символически в виде F(z, к) = 0. (П20') Поэтому его корни г = Zm(k) или вещественны, или попарно комплексно-сопряженны. При этом вследствие упомянутой эквивалентности уравнений (П20) и (П15) можно утверждать,что вещественным корням уравнения (П20) (или уравнения (П20')) отвечают точки пересечения кривых г векторов рефракции (например, на рис. 7, а и рис 6, а, б) /с = fci > 0. Таким образом, все вещественные корни уравнения (П20') при любых значениях к > О можно считать известными на основании рассмотрения задачи 2, если к ее решению сделать небольшое добавле1ше в форме табличной зависимости значений ординат к^\к) кривых векторов рефракции Rr от значений их абсцисс к - ki >0. Естественно полагать, что такое добавление уже было сделано в пп. 6 или 7, посвященных решению задачи 2. 9. Продолжая рассмотрение задачи 3, сначала не будем учитывать ограничений сверху па переменную ki > О, вытекающих из левой части соотношепи (П19), чтобы иметь общее представление обо всех возможных случаях пересечения прямой к = ki > О с кривыми Rr векторов рефракции отраженных и преломленных волн. Будем (постепенно) увеличивать значение параметра ki прямой к = ki, пересекающей кривые R^, и отметим значения к^^'^^ и 446

при которых эта прямая касается какой-либо кривой Rr, подходя к ней соответственно со стороны вогнутости и со стороны выпуклости (к кривой). При этом первым встречается промежуток (П21) в котором уравнение (П20') имеет шесть вещественных корней. Затем следует промежуток <к<ко,

(П22)

в котором уравнение (П20') имеет уже четыре вещественных корня и два комплексно-сопряженных корня, подлежащих еще определению. Здесь верхняя граница ко в выражении (П22) может иметь значение

при переходе через которое все шесть корней уравне-

ния (П20') снова становятся вещественными (особый случай). Или же верхний предел ко в уравнении (П22) имеет значение

(или

при переходе через которое уравнение (П20') сохраняет только два вещественных корня /гг)Не задерживаясь на описании различных встречающихся случаев построения качественно-различных промежутков типа (П21) или (П22), перейдем к результативной части таких построений. Что же касается самих «построений», то можно рекомендовать читателю провести их на примере кривых Rr из рис. 6, а, б (см. § 7) и рис. а при различном выборе оси Oki рабочей системы координат. ( Д л я этого следует перемещать слева направо параллельно самой себе линейку, перепендикулярную оси Оку, и замечать, каким образом она касается встречаемых кривых Д^-) 10. Как уже указывалось, в промежутке (П21) уравнение (П20') имеет H i e c T b вещественных корней, значения которых известны из результатов решения (простой) задачи 2. В граничной же точке к = - fco этого промежутка два вещественных корня сливаются, образуя кратный корень уравнения (П20'), расположенный в точке плоскости kiOk2 с координатами =

k2 = k^ = zo.

(П23)

При этом уравнение (П20') в окрестности точки (П23) принимает вид локального разложения F{z, к) = а{к - к°) + b{z ~ zo)^ + . . . = О 447

с вещественными коэффициентами

Из него приближенно следует 2 - Z0 = sqrt^{k° - к ) ,

^ > О,

(П24)

что значение к вещественно (А; > 0), а величина |А;-А;°|=£>0

(П25)

достаточно мала. Внутри промежутка (П21) (т. с. при к < к\) корень г из формулы (П24) веп;ествсн, как и должно быть. Если же k= kl+e>kl

(П25')

(т. е. значение параметра ki > О из промежутка (П21) переходит в промежуток {П22)), то корни принимают комплексно-сопряженные приближенные значения =

zo>0,

(П24')

на комплексной плоскости z = х^ + iy^)Таким образом, при прохождении параметра к — ki через правую границу промежутка (П21) два корня уравнения (П20') покидают вещественную ось плоскости (z) и в соответствии с равенством (П24') становятся комплексно-сопряженными его корнями. При этом, например, значение f j = z^ из формулы (П24') можно рассматривать как исходное приближение (в полуп;юскости Imz > 0) значения корня г уравнения f{z) = F{z,k°+e) = Q, (П26) к истинному его значению. Поачедующие же сколь угодно близкие к корню приближения можно строить на основе итерационного процесса метода Ньютона: Z,=z+.

448

(П27)

Наконец, если достаточно точное значение г* = z„+i корня уравнения (П26) уже построено, то его можно взять за начальное данное (П28) для продолжения до требуемых значений к\ > к°+е аргумента комплексного корня 2 = уравнения (П20'), определяемого в полуплоскости Imz > О из решения обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

при начальном условии (П28). Решение такой задачи определяет на плоскости (г) гладкую линию корня 2 = zi{k), оканчиваюнугся на «бесконечности» при /с 00, если вне промежутка (П21) уравнение (20') имеет не более четырех вещественных корней. Если же промежуток (П22) оканчивается значением ко = при котором (лучше при к > к^^^^) все шесть корней уравнения (П20') снова становятся вещественными (очень редкий случай!), то линии if и 1'[ корней оканчиваются в точке к = к^ , ~ где /сг = ^2 — ордината точки слияния двух корней уравнения (П20'): комплексно-соряженных, если ki I/O)

kf^^^ - О, или вещественных,

если ki к^ ' -I- 0. Заметим, что в этом особом случае кривые лучевых скоростей имеют петли (лакуны) (см. рис. б), о которых следовало бы писать достаточно хюдробно в гл. 7 при расс.мотрении полного решения задачи на отражение—преломление плоских волн на плоской границе раздела двух анизотропных срсд. Однако там этот вопрос «выпал» из рассмотрения, так как в п. 4 § 25 приведена только первая кинематическая часть решения задачи. В пеособом же случае, когда концом промежутка (П22) оказывается такая точка fcifc^'^' касания прямой к = ki с кривой R2 вектора рефракции что правее нее уже нет точек пересечения прямой к = ki с кривой R2 в области ki > уравнение (П20') имеет только два веп;ественных корня и четыре корня попарно комплексно-сопряженных. При этом два из таких корней являются прежними корнями г = zf(k), построенными при интегрировании 449

уравнения (П29) при начальном условии (П28). А для двух других корней получается задача интегрирования того же уравнения (П29) при начальном условии вида (П28), но выписанном для точки касания прямой ki — kf с кривой R2 (в крайне-правой точке касания). Такой случай буквально подобен случаю касания прямой fcj = kZ^^^ с кривой Ri вектора рефракции к {в) в точке (П23). Поэтому нет необходимости останавливаться на его рассмотрении .

450

Summary

The present book is the manual of the increased complexity. It is the first thematic textbook on the current theory of the propagation of seismic wave fields and its applications to seismics from the series planed by the author. In this book, the mathematical foundations of the dynamic theory of elasticity are discussed comprehensively in that part, which is connected with the propogation of wave fields of the signal type. It is intended for students of the upper grades, bachelors, and masters of universities. Two books of the author devoted to the wave propagation in layered media [1, 2], which become the rare books after their publication twenty years ago, and also extracts from sections of « А Course in Higher Mathematics» by akad. V. I. Smirnov devoted to the foundations of the calculus of variations, the theory of the field of extremals, and the theory of the partial differential equations of the first order form the basis of this book. The sufficiently close acquaintance with such sections of mathematics is very useful for scientists in the area of the theory of propagation of waves of the signal type, wich are the essence of the wave fields considered in the book. The signal wave fields excited in media by sourses turned on sharply include the information on the construction of a medium sounded and its structural-real parameter. Therefore they are of interest for the seismic practice. Howerer the information mentioned above can be identified, distinguished, and evaluated on the background noise only in the cases when the reseacher has a comprehensive grasp of a set of processes and phenomena that the wave meets passing different parts of the medium under study about properties of which one or other initial assumptions are made. The obtaining of the objective, scientifically justified notion of properties of the wave fields registered requires, first, the sufficienfiy detailed study of the regularities of passage by the waves different parts of models of media adequate to model concepts of recent geophysics and, second, it requires the use of personal computers to endow the conclusions from the theory with much visualization and quantitative definiteness. The latter fact is the most important in the cases (which are of frequent occurrence) when the direct results of the wave theory are expressed by the poorly visible formulas or the combersome computing algorithms whose phisical meaning remains obscure.

451

Учебное

издание

Георгий Иванович Пегпрашень РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ СИГНАЛЬНОГО ТИПА В У П Р У Г И Х СЕЙСМИЧЕСКИХ СРЕДАХ Учебник

Редактор Е. П. Парфенова Технический редактор Л. П. Иванова Набор и верстка В. И. Кучера

Лицензия

ЛР № 040050 от 15.08.96

Подписано в печать с оригинал-макета 18.05.2001 Ф - т 60x90/16. Усл. печ. л. 28,25 Уч.-изд. л, 27,32. Тираж 2000 экз. Заказ №

^ ^ •

Издательство С.-Петербургского университета , 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Типография Издательства С П б Г У . 199061, С.-Петербург, Средний пр.,41.