Измерение количества информации. Логические основы ЭВМ. Таблицы истинности: Методические указания к выполнению практических работ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и информационных технологий

ЕН.Ф.02 ИНФОРМАТИКА Измерение количества информации Логические основы ЭВМ. Таблицы истинности

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению практических работ

Для всех направлений и специальностей

Уфа 2008

УДК 004 ББК 32.81 C89

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета информационных технологий и управления (протокол № от « » 2008 г.)

Составитель: ассистент А.В. Султанбаева Рецензенты: доцент Т.Г. Дидык, доцент Т.М. Шамсутдинова Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой информатики и информационных технологий доцент А.Ф. Кунафин

3

ОГЛАВЛЕНИЕ Практическое занятие №1 «Измерение количества информации»

4

Практическое занятие №2 «Логические основы ЭВМ. Таблицы истинности» 18

Данные методические указания включают в себя две практические работы по темам «Измерение количества информации», «Логические основы ЭВМ. Таблицы истинности». В методических указаниях раскрыты основные теоретические положения с примерами решения задач на данные 2 темы, затем приводятся задачи для самостоятельного решения и контрольные вопросы.

4

Практическое занятие №1 Измерение количества информации Цель занятия – изучение понятия измерения количества информации. 1 Общие сведения 1.1

Понятие информации Понятие информация является одним из фундаментальных в современной

науке вообще и базовым для информатики. Информацию наряду с веществом и энергией рассматривают в качестве важнейшей сущности мира, в котором мы живем. Если задаться целью формально определить понятие «информация», то сделать это будет чрезвычайно сложно. В простейшем бытовом понимании с термином «информация» обычно ассоциируются некоторые сведения, данные, знания и т.п. Информация передается в виде сообщений, определяющих форму и представление передаваемой информации. Сообщение от источника к получателю передается посредством какойнибудь среды, являющейся в таком случае «каналом связи». Так, при передаче речевого сообщения в качестве такого канала связи можно рассматривать воздух, в котором распространяются звуковые волны. В случае, когда параметр сигнала принимает последовательное во времени конечное число значений (при этом все они могут быть пронумерованы), сигнал называется дискретным, а сообщение, передаваемое с помощью таких сигналов – дискретным сообщением. Если же источник вырабатывает непрерывное сообщение (соответственно параметр сигнала – непрерывная функция

от

времени),

то

соответствующая

информация

называется

непрерывной. Примеры дискретного сообщения – текст книги, непрерывного

5

сообщения – человеческая речь, передаваемая модулированной звуковой волной. Непрерывное

сообщение

может

быть

представлено

непрерывной

функцией, заданной на некотором интервале. Непрерывное сообщение можно преобразовать в дискретное, такая процедура называется дискретизацией. Возможность дискретизации непрерывного сигнала с любой желаемой точностью

(для

возрастания

точности

достаточно

уменьшить

шаг)

принципиально важна с точки зрения информатики. Компьютер – цифровая машина, т.е. внутреннее представление информации в нем дискретно. Дискретизация входной информации позволяет сделать ее пригодной для компьютерной обработки. Использование информации»

терминов

подразумевает

«больше некую

информации»

возможность

ее

или

«меньше

измерения.

При

субъективном восприятии измерение информации возможно лишь в виде установления некоторой субъективной порядковой шкалы для оценки «большеменьше». При объективном измерении количества информации следует заведомо отрешиться от восприятия ее с точки зрения субъективных свойств, примеры которых перечислены выше. Рассмотрим в качестве примера опыт, связанный с бросанием правильной игральной кости, имеющей N граней. Результатом данного опыта может быть выпадение грани с одним из следующих знаков: 1, 2, . . ., N. Введем

в

рассмотрение

численную

величину,

измеряющую

неопределенность – энтропию (обозначим ее H). Величины N и H связаны между собой зависимостью: H=f(N). За количество информации примем неопределённости «до» и «после» опыта: I=H1-H2. Когда получен конкретный результат, имевшаяся неопределённость снята (H=0), количество полученной информации совпадает с первоначальной энтропией.

6

Опыт с бросанием кости M раз можно рассматривать как сложную систему, состоящую из независимых друг от друга бросаний кости. Энтропия такой системы в М раз больше, чем энтропия одной системы: f(6M)=M•f(6). Данную формулу можно распространить на случай любого N: f(NM)=M•f(N). Учитывая, что общее число бросаний равно X=NM и предыдущую формулу, получаем

f(X) =

lnX • f(N). lnN

Применив некоторые преобразования [3], получаем формулу Хартли: I=log2N. В случае, когда вероятности pi результатов опыта (в примере, приведенном выше – бросание игральной кости) неодинаковы, имеет место формула Шеннона: N −1

I = −∑ p i • log 2 (pi ) . i =0

В случае равновероятностных событий pi =

1 , N

формула Шеннона переходит в формулу Хартли. В качестве примера определим количество информации, связанное с появлением каждого символа в сообщениях, записанных на русском языке. Будем считать, что русский алфавит состоит из 33 букв и знака «пробел» для разделения слов. По формуле Хартли I=log234≈5,09 бит. Однако, в словах русского языка как и в словах других языков, различные буквы

встречаются

неодинаково

часто.

Ниже

приведена

таблица

1

вероятностей частоты употребления различных знаков русского алфавита, полученная на основе анализа очень больших по объему текстов. Воспользуемся для подсчета I формулой Шеннона:

7

I≈4,72 бит. Полученное значение I, как и можно было предположить, меньше вычисленного ранее. Величина I, вычисляемая по формуле Хартли, является максимальным количеством информации, которое могло бы приходиться на один знак. Аналогичные подсчеты I можно провести и для других языков, например, использующих латинский алфавит – английского, немецкого, французского и др. (26 различных букв и «пробел»). По формуле Хартли получим I=log2 27≈4,76 бит. Таблица 1 Частотность букв русского языка i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Символ _ О Е Ё А И T H C P B

pi 0,175 0,090 0,072 0,072 0,062 0,062 0,053 0,053 0,045 0,040 0,038

i 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Символ Л К М Д П У Я Ы З Ь Ъ

pi 0,035 0,028 0,026 0,025 0,023 0,021 0,018 0,016 0,016 0,014 0,014

i 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Символ Б Г Ч Й Х Ж Ю Ш Ц Щ Э Ф

pi 0,014 0,012 0,012 0,010 0,009 0,007 0,006 0,006 0,004 0,003 0,003 0,002

Рассмотрим алфавит, состоящий из двух знаков 0 и 1. Если считать, что со знаками 0 и 1 в двоичном алфавите связаны одинаковые вероятности их появления (p(0)=p(1)=0,5), то количество информации на один знак при двоичном кодировании будет равно I=log22=1 бит. Таким образом, количество информации (в битах), заключенное в двоичном слове, равно числу двоичных знаков в нем. 1.2

Представление текстовой информации

8

Каждому символу ставится в соответствие определенный уникальный числовой (двоичный) код. Таблица, устанавливающая такое соответствие, называется таблицей кодировки символов. Количество различных символов (N), которые можно закодировать с помощью какой-либо таблицы кодировки, определяется числом двоичных разрядов (k), отводимых под кодирование одного символа: N=2k. Наибольшее распространение получило 8-разрядное кодирование (на кодирование одного символа отводится 8 бит=1 байт), позволяющее закодировать N=28=256 различных символов. Пусть K – количество символов в тексте, i – информационный «вес» одного символа. Тогда количество информации I, содержащейся в тексте, вычисляется по формуле:

I=K•i.

Наиболее распространенные 8-разрядные таблицы кодировок: ASCII (принята в качестве стандарта в MS-DOS), Windows-1251 (CP1251), КОИ-8, ISO. UNICODE

–

16-разрядная

кодировка

символов,

позволяющая

закодировать 216=65536 различных символов. 1.3

Представление графической информации

Минимальный

объект

кодирования

растрового

графического

изображения – пиксель. В основе кодирования цветных графических изображений – принцип декомпозиции цветов – т.е. разложение произвольного цвета на основные

составляющие. Например, по системе RGB: красный (Red), зеленый (Green) и синий (Blue). Глубина кодирования (глубина цвета) – количество бит (двоичных

разрядов), используемых для кодирования цвета одной точки. От глубины цвета (k) зависит количество отображаемых цветов (N), т.е. связаны формулой: N=2k.

9

Разрешение – количество точек (пикселей) изображения, приходящихся

на единицу длины. От разрешения зависит размер пикселя. Наиболее часто используемые экранные разрешения: 640x480, 800x600, 1024x768, 1280x1024 точек. Объем видеопамяти (I), необходимый для формирования графического изображения на экране: I=M•N•k, где M – число точек по горизонтали, N – число точек по вертикали, k – глубина цвета (бит). 1.4

Представление звуковой информации Аудиоадаптер

–

специальное

устройство,

предназначенное

для

преобразования электрических колебаний звуковой частоты в числовой двоичный код при вводе звука и для обратного преобразования при воспроизведении

звука.

Качество

компьютерного

звука

определяется

характеристиками аудиоадаптера: частотой дискретизации и разрядностью. Разрядность регистра (k) – количество бит в регистре аудиоадаптера.

Разрядность

определяет

точность

измерения

звукового

сигнала.

Если

разрядность равна 8 (16), то при измерении входного сигнала может быть получено 28=256 (216=65536) различных значений. Частота дискретизации (f) – количество измерений входного сигнала за

единицу времени. Частота измеряется в герцах (Гц). Объём аудиофайла (I): I=N•f•k, где N – длительность звучания, k – разрядность регистра, f – частота дискретизации. 1.5

Единицы измерения информации

В двоичной системе счисления знаки 0 и 1 называют битами (от английского выражения BInary digiTs – двоичные цифры). В компьютере бит является наименьшей возможной единицей информации. Объем информации, записанной двоичными знаками в памяти компьютера или на внешнем носителе информации, подсчитывается просто по количеству требуемых для такой записи двоичных символов.

10

Для удобства использования введены и более крупные единицы измерения количества информации. Так, двоичное слово из восьми знаков содержит один байт информации. 1024 байта образуют килобайт (Кбайт), 1024 килобайта – мегабайт (Мбайт), а 1024 мегабайта – гигабайт (Гбайт). Примеры решения задач Пример 1 Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150

страниц; на каждой странице – 40 строк, в каждой строке – 60 символов. Мощность алфавита, используемого в компьютере, равна 256. Каков объем информации в книге? Решение.

Применим формулу

I=K•i. Страница содержит I=40•60=2400 байт

информации. Объем информации в книге (в разных единицах): 2400•150=360000 байт; 360000/1024=351,5625 Кбайт; 351,5625/1024=0,34332275 Мбайт. Пример 2 Объем сообщения, содержащего 1024 символов, составил

1/512 часть Мбайт. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение? Решение.

Переведем информационный объем сообщения из мегабайтов в биты. I=1/512•1024•1024•8=16384 бит. На один символ приходиться: i=I/K=16384/1024=16 бит. Размер использованного алфавита равен 216=65536 символов. Пример 3 В барабане для розыгрыша лотереи находиться 32 шара.

Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере? Решение.

11

Поскольку вытаскивание любого из 32 шаров равновероятно, то количество информации об одном выпавшем номере находится из формулы Хартли: I=log2 N. Таким образом, I=log2 32. Следовательно, I=5 бит. Пример 4 Сколько информации несёт сообщение о том, что было

угадано число в диапазоне целых чисел от 784 до 911? Решение.

Отгадывание числа осуществляется следующим образом: каждый раз мы делим числовой отрезок пополам и устанавливаем, какой части отрезка принадлежит число. Таким образом, на каждом шаге неопределённость знаний уменьшается в 2 раза. Воспользуемся формулой Хартли: I=log2 N, где N = 911783=128 – это количество целых чисел в заданном диапазоне, а I=7 бит. Пример

5

На

экране

с

разрешающей

способностью

640х200

высвечиваются только двухцветные изображения. Какой минимальный объём видеопамяти необходим для хранения изображения? Решение.

По формуле I=M•N•k, т.е. I=640•200•1=128000 бит=16000 байт. Пример 6 Определить размер (в байтах) цифрового аудиофайла, время

звучания которого составляет 10 секунд при частоте дискретизации 22,05 кГц и разрешении 8 бит. Файл сжатию не подвержен. Решение.

Формула расчёта размера цифрового аудиофайла: I=N•f•k. Таким образом, I=22050•10•8 бит. Следовательно, I=22050 Кбайт. 2 Задачи для самостоятельного решения

1 В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 6 полок. Библиотекарь сообщил Пете, что нужная ему книга находится на пятом

12

стеллаже на третьей сверху полке. Какое количество информации передал библиотекарь Пете? 2

Была получена телеграмма: «Встречайте вагон 7 поезд №32». Какое

количество информации получил адресат, если известно, что в этот город приходят 4 поезда, а в каждом поезде в среднем 16 вагонов? 3

Сколько информации получит ученик, если в 10-00 увидит сообщение о

том, что классный час состоится в 14 часов, при условии, что в этот день всегда бывает классный час? 4

В анкете предлагаются следующие варианты ответа на вопрос о степени

владения английским языком: «не владею», «читаю со словарём», «могу объясняться», «владею хорошо», «могу переводить синхронно». Какое количество информации несёт ответ на данный пункт анкеты? 5

В рулетке общее количество лунок равно 128. Какое количество

информации мы получим при остановке шарика в одной из лунок? 6

Происходит выбор одной карты из колоды в 32 карты. Какое количество

информации мы получим при выборе одной карты? 7

При угадывании целого числа в некотором диапазоне было получено 6

бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон? 8

Какое количество информации о цвете вынутого шарика будет

получено, если в непрозрачном пакете хранятся: 25 белых, 25 красных, 25 синих и 25 зеленых шариков? 9

Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4 дорожки для

плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке номер 3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения? 10 Загадано число из промежутка от 321 до 1344. Какое количество информации несёт сообщение об угадывании числа из этого промежутка. 11 За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение о том, что он получил пятерку, несет 2 бита информации. Сколько пятерок ученик получил за четверть?

13

12 В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди них – 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика достали пару черных перчаток, несет 4 бита информации. Сколько пар белых перчаток было в ящике? 13 На остановке останавливаются троллейбусы с разными номерами. Сообщение о том, что к остановке подошел троллейбус с номером N1 несет 4 бита информации. Вероятность появления на остановке троллейбуса с номером N2 в два раза меньше, чем вероятность появления троллейбуса с номером N1. Сколько информации несет сообщение о появлении на остановке троллейбуса с номером N2? 14 В корзине лежат 4 красных и 8 черных клубков шерсти. Какое количество информации несёт сообщение о том, что достали красный или черный клубок шерсти? 15 Ученик 9 класса читает текст со скоростью 250 символов в минуту. При записи текста использовался алфавит, содержащий 64 символа. Какой объем информации получит ученик, если будет непрерывно читать 20 минут? 2.1

Представление текстовой информации

1 Мощность

алфавита,

используемого

в

компьютере,

равна

256.

Подсчитайте количество информации, приходящейся на один символ, в следующем тексте экономического содержания: Организационно-правовые

формы

предприятий

в

своей

основе

определяют форму их собственности, то есть кому принадлежит предприятие, его основные фонды, оборотные средства, материальные и денежные ресурсы. В зависимости от формы собственности в России в настоящее время различают три

основные

формы

предпринимательской

деятельности:

частную,

коллективную и контрактную. 2 В языке некоторого племени всего 16 различных букв. Все слова состоят из 5 букв, всего различных слов в языке 8000. Сколько компьютерной памяти заведомо потребуется для хранения всех слов этого языка?

14

3 Для записи сообщения использовался 64-х символьный алфавит. Каждая страница содержит 30 строк. Всё сообщение содержит 8775 байт информации и занимает 6 страниц. Сколько символов в строке? 4 Пользователь

компьютера,

хорошо

владеющий

навыками

ввода

информации с клавиатуры, может вводить в минуту 100 знаков. Мощность алфавита, используемого в компьютере, равна 256. Какое количество информации в байтах может ввести пользователь за 1 минуту. 5 Скорость чтения ученика 10 класса составляет приблизительно 250 символов в минуту. Приняв мощность используемого алфавита за 64, определите, какой объем информации в килобайтах получит ученик, если он будет непрерывно читать в течение 40 минут. 6 При составлении сообщения использовали 64-символьный алфавит. Каким будет информационный объем такого сообщения, если оно содержит 3072 символа? 7 Информационное сообщение имеет объем 3 Кбайт. Сколько в нем символов, если размер алфавита, с помощью которого оно было составлено, равен 16. 8 Сколько килобайтов составляет сообщение из 512 символов 16символьного алфавита? 9 Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 256символьного алфавита, если объем его составил 1/32 часть Мбайт? 10 Сообщение, записанное буквами из 128-символьного алфавита, содержит 30 символов. Какой объем информации оно несет? 2.2

Представление графической информации

1 Какой объем видеопамяти необходим для хранения двух страниц изображения при условии, что разрешающая способность дисплея равна 640х350 пикселей, а количество используемых цветов – 16?

15

2 Какой объем видеопамяти необходим для хранения четырех страниц изображения, если битовая глубина равна 24, а разрешающая способность дисплея – 800х600 пикселей? 3 Объем видеопамяти равен 2 Мб, битовая глубина 24, разрешающая способность дисплея – 640х480. Какое максимальное количество страниц можно использовать при этих условиях? 4 На экране дисплея необходимо отображать 224 (16 777 216) различных цветов. Вычислить необходимый объем одной страницы видеопамяти при различных значениях разрешающей способности дисплея: 1024х768, 1240х240, 640х480, 800х600. 5 Битовая глубина равна 24. Сколько различных оттенков красного, зелёного и синего используется для формирования цвета? 6 Битовая глубина равна 32, видеопамять делится на две страницы, разрешающая способность дисплея – 800х600. Вычислить объем видеопамяти. 7 Видеопамять имеет объем, в котором может хранится 4-х цветное изображение размером 640х480. Какого размера изображение можно хранить в том же объеме видеопамяти, если использовать 256-цветную палитру? 8 На экране может быть отображено 256 цветов. Сколько различных уровней яркости принимает красная, зеленая и синяя составляющие? 9 Объем видеопамяти равен 512 Кб, разрешающая способность дисплея 320х200. Сколько различных уровней яркости принимает красная, зеленая и синяя составляющие, при условии что видео память делится на две страницы? 10 Какой объем видеопамяти необходим для сохранения изображения всего экрана с разрешающей способностью дисплея 1024х768 и глубиной цвета 24 бит. 2.3

Представление звуковой информации

1 Определить объем памяти для хранения цифрового аудиофайла, время звучания которого составляет две минуты при частоте дискретизации 44,1 кГц и разрешении 16 бит.

16

2 В распоряжении пользователя имеется память объемом 2,6 Мб. Необходимо записать цифровой аудиофайл с длительностью звучания 1 мин. Какой должна быть частота дискретизации и разрядность? 3 Объем свободной памяти на диске – 5,25 Мб, разрядность

звуковой

платы – 16. Какова длительность звучания цифрового аудиофайла с частотой дискретизации 22,05. 4 Объем свободной памяти на диске – 0,01 Гб,

разрядность

звуковой

платы – 16. Какова длительность звучания цифрового аудиофайла, записанного с частотой дискретизации 44100 Гц? 5 Одна минута записи записи цифрового аудиофайла занимает на диске 1,3 Мб, разрядность звуковой платы – 8. С какой частотой дискретизации записан звук? 6 Две минуты записи цифрового аудиофайла занимают на диске 5,1 Мб. Частота дискретизации – 22050 Гц. Какова разрядность аудиоадаптера? 3 Контрольные вопросы

1 Какая форма представления информации – непрерывная или дискретная – приемлема для компьютеров и почему? 2 В чем состоит процедура дискретизации непрерывной информации? 3 Какие определения понятия «информация» вы знаете? 4 Назовите основные свойства информации. 5 Каким образом возникает, хранится, обрабатывается и передается информация? 6 Какая форма представления информации используется в информатике? 7 В чем преимущества дискретного представления информации? 8 Что такое количество информации? 9 Какой принцип положен в основу измерения количества информации? 10 Как определяется количество информации в знаковых сообщениях? 11 Каковы основные единицы измерения количества информации?

17

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Андрееева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики: Учебное пособие. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 328 с. 2 Лидовский В.В. Теория информации: Учебное пособие. - М.: Компания Спутник+, 2004. - 111 с. 3 Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. Пособие для студ. пед. Вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 848 с.

18

Практическое занятие №2 Логические основы ЭВМ. Таблицы истинности

Цель занятия – изучение элементарных логических операций. 1 Основные положения 1.1

Логика высказываний. Основные логические операции Логика (от греч. logos – слово, рассуждение, разум) – наука о законах и

операциях правильного мышления. История логики начинается с трудов Аристотеля (384-322 г.г. до н. э.). Традиционная логика опиралась на естественный язык. Во второй половине

XIX века ей на смену пришла математическая (или символическая) логика, использующая метод построения специальных формализованных языков (исчислений). Это позволяет избежать двусмысленности и логической неясности естественного языка. Для описания логики функционирования аппаратных и программных средств компьютера используется алгебра логики или булева алгебра (по имени создателя – Джорджа Буля). Алгеброй Буля называется аппарат, который позволяет выполнять действия над логическими высказываниями. Существуют три основные операции действия с высказываниями: одноместная, называемая инверсией (НЕ) и две двуместные, называемые по аналогии с арифметикой чисел, сложением (ИЛИ) и умножением (И). Основой цифровой техники также служат три логические операции. Иногда эти операции И, ИЛИ, НЕ называют «тремя китами машинной логики». Все операции булевой алгебры определяются таблицами истинности значений. Обозначаются логические высказывания обычно заглавными буквами латинского алфавита. Истинные высказывания для удобства будем обозначать «1», а ложные – «0».

19

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается

или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно. Высказывание

не

может

быть

выражено

повелительным

или

вопросительным наклонением, т.к. оценка их истинности или ложности невозможна. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Например,

«Процессор

является устройством обработки

информации и принтер является устройством печати». Составное высказывание истинно, т.к. истинны входящие в него простые высказывания. Истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний. Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением. Высказывания могут быть выражены не только с помощью естественных, но и с помощью формальных языков. Например, «Два умножить на три равно шести» (естественный) и «2х3=6» (формальный математический). Об объектах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может быть истинным или ложным. Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного

или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание (вывод). Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства. «Все

углы

треугольника

равны»,

следовательно

«Этот

треугольник

равносторонний». Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения.

20

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие

между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции. Таблицы истинности применяются для: • вычисления истинности сложных высказываний; • установления эквивалентности высказываний; • определения тавтологий. Логическое умножение (конъюнкция) – логическая операция, ставящая

двум элементарным высказываниям новое высказывание, которое истинно только тогда, когда истинно А и В одновременно, и ложно в остальных случаях. Эту операцию принято обозначать знаком «Λ» или знаком умножения «•». Например: АВ, А•В, А и В, А&B. Таблица 3 X1

&

Таблица истинности операции АΛВ Y

X2

И

А 0 0 1 1

В С=AΛB 0 0 1 0 0 0 1 1

Рисунок 1 Логическое сложение (дизъюнкция) – логическая операция, ставящая

двум элементарным высказываниям новое высказывание, которое истинно только тогда, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложно только тогда, когда высказывания А и В - ложны. Эту операцию обозначают знаком «V» или знаком сложения «+». Например: А+В, АVВ, А или В.

21 X1

Таблица 4

1&

Таблица истинности операции АVВ

Y

А 0 0 1 1

X2

Или Рисунок 2

В С=AVB 0 0 1 1 0 1 1 1

Логическое отрицание – логическая операция, ставящая элементарному

высказыванию новое высказывание, которое истинно только тогда, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. Обозначение: не А, A . Таблица 5 Таблица истинности операции A

1 Y

X

А A 0 1 1 0

Не Рисунок 3 Импликация – логическая операция, ставящая двум элементарным

высказываниям новое высказывание, которое ложно только тогда, когда А – истинно, В – ложно, и истинно в остальных случаях. Обозначение: А→B. Эквивалентность – логическая операция, ставящая двум элементарным

высказываниям новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания А и В одновременно истинны или одновременно ложны, и ложно только тогда, когда одно из высказываний А и В ложно, а другое истинно. Обозначение: А↔B. Таблица 6 Таблица истинности операций А→B и A↔B А 0 0 1 1

В А→B A↔B 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

22

Из основных базовых логических элементов собираются электронные узлы: •

регистры;

•

комбинационные преобразователи кодов: шифратор, дешифратор,

мультиплексор и др.; •

счетчики;

•

арифметико-логические узлы: сумматор, узел сравнения и др.

Из этих узлов, в свою очередь, строятся интегральные микросхемы очень высокого уровня интеграции: микропроцессоры, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройств и др. 1.2

Законы алгебры логики

Логические выражения, истинные при любых значениях истинности входящих в них переменных, называют тавтологиями. Свойства конъюнкции и дизъюнкции: aV0=a; Законы коммутативности:

aΛ0=0;

aV1=1;

aΛ1=a.

aΛb=bΛa; aVb=bVa.

Законы ассоциативности: (aΛb)Λc=aΛ(bΛc);

(aVb)Vc=aV(bVc).

Законы дистрибутивности: aV(bΛc)=(aVb)Λ(aVc); aΛ(bVc)=(aΛb)V(aΛc). Законы де Моргана:

a V b = aΛ b ;

Закон двойного отрицания: Закон противоречия:

a Λ b = aV b .

a =a.

aΛa=0.

Закон исключенного третьего:

aVa=1.

23

Законы идемпотентности (исключения повторений): aVa=a; Законы поглощения:

aΛa=a.

aΛ(aVb)=a; aV(aΛb)=a. Примеры решения задач

Пример 1 Для формулы AΛ(BV B Λ C ) построить таблицу истинности. Решение.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23=8. Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3+5=8. Таблица 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

B 1 1 0 0 1 1 0 0

C 1 0 1 0 1 0 1 0

B Λ C BV( B Λ C ) AΛ(BV B Λ C ) 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1

Пример 2 По заданной логической схеме составить логическое выражение и

заполнить для него таблицу истинности. А

1 1

B

&

С

Рисунок 4 Решение.

Y = AV(BΛC) .

Y

24

Таблица 8 A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C A BΛC A V(BΛC) 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1

Пример 3 Докажите, что высказывание АVВΛС эквивалентно высказыванию

(АVВ)Λ(АVС). Решение.

Проверка ведется путем составления таблицы истинности. А 0 0 0 0 1 1 1 1

В 0 0 1 1 0 0 1 1

С 0 1 0 1 0 1 0 1

Таблица 9 В С АVВΛС АVВ АVС (АVВ)Λ(АVС) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле АVВΛС, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (АVВ)Λ(АVС), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое. Пример 5 Докажите тавтологию (XΛY)→(XVY). Решение.

X 0 0 1 1

Y 0 1 0 1

Таблица 10 XΛY XVY 0 0 0 1 0 1 1 1

(XΛY)→(XVY) 1 1 1 1

25

Т.к. высказывание (XΛY)→(XVY) всегда истинно, то оно является тавтологией. 2 Задачи для самостоятельного решения 2.1

По заданному логическому выражению составить логическую схему

и построить таблицу истинности:

2.2

1 AΛB;

6 AΛBVC;

2 AVBΛ(CVB) ;

7 AVBΛC ;

3 AVB;

8 AΛBΛC ;

4 AVBΛC;

9 (AVB)Λ(CVB) ;

5 AVBΛ C .

10 AVB ;

Найти значения следующих сложных высказываний, если известно,

что p=Ложь, q=Истина, r=Истина:

2.3

1 pΛ(qΛr);

6 pΛqVr;

2 pVq ↔ qΛr ;

7 pVqΛr;

3 (pVq)Λ(qVr);

8 pVqΛ(rΛq) ;

4 p VqΛr;

9 pVq;

5 p Vq;

10 p VqΛr.

Установить истинность высказываний:

1 (X → Y)VXΛY ; 2 ((XV Y) → Y)Λ (XVY) ; 3 XΛΥ ↔ XVY ; 4 ( Χ → Υ ) → ( ΧV Υ ) ; 5 XΛΥ ↔ (XV Y) ; 6 ((ZVY) → Y)Λ (XΛΥ ) → Y ; 7 ((ZVY) → Y)Λ (XVΥ ) → Y ; 8 XVY → (X ↔ Z) .

26

2.4

По заданной логической схеме составить логическое выражение и

заполнить для него таблицу истинности:

1

А

5

1

2

1

А

1

6

3

7

A

1

8 &

B

Установить истинность высказываний:

1 X1 = AV B , X2 = AV B , X3 = AΛΒ ; 2 X1 = AΛ BVC , X2 = AΛ BVC , X3 = (AVB)ΛC ; 3 X1 = XΛΥ , X2 = XVY , X3 = XV Y ; 4 a = XΛ Y , b = XVY , c = XV Y .

1

Y

1

Y

1

Y

1

A

Рисунок 4 2.5

Y

A

Y

1

1

1

B

1

A

B

А

Y

&

4

1

B

1

B

B

Y

& B

1

Y

& B

А

1

27

3 Контрольные вопросы

1 Дайте определение понятию «логика». 2 Дайте определение высказыванию, приведите примеры истинных и ложных, простых и сложных высказываний. 3 Что такое тавтология? 4 Заполните таблицы истинности для следующих логических операций: логического

отрицания,

дизъюнкции,

конъюнкции,

импликации,

эквивалентности. 5 Сформулируйте алгоритм заполнения таблицы истинности для сложного высказывания. 6 Объясните назначение и принципы работы логических элементов И, ИЛИ, НЕ. Изобразите соответствующие схемы. 7 Где применяются таблицы истинности? 8 Перечислите законы алгебры логики. 9 Что такое сумматор? 10 Что такое умозаключение? БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Андрееева Е.В, Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики: Учебное пособие. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 328 с. 2 Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. Пособие для студ. пед. Вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 848 с. 3 Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Практикум по информатике: Учеб. Пособие для студ. Вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 608 с. 4 Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Информатика: Задачник-практикум в 2 т.: Том 1. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 304 с.

Лицензия РБ на издательскую деятельность №0261 от 10 апреля 1998 года. Подписано в печать ____________ 2008 г. Формат 60х84. Бумага типографская. Гарнитура Таймс. усл. Печ. Л. _________. Усл. Изд. Л. ________. Тираж _______экз. Заказ №_________. Издательство Башкирского государственного аграрного университета. Типография Башкирского государственного аграрного университета. Адрес издательства и типографии: 450001, г. Уфа, ул. 50 лет Октября, 34.