Лекции по дискретной математике - АЛГОРИТМЫ

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ (Ëåêöèè ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå) Ì.È. Äåõòÿðü

Ñîäåðæàíèå 1 ×òî òàêîå àëãîðèòì?

2

2 Ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû

3

2.1

Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè 3.1 3.2 3.3 3.4

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðîãðàììíàÿ âû÷èñëèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé . Ëåììû î ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèÿõ . . . . . . . . . . . Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà 4.1 4.2

4.3

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Òüþðèíãîâî ïðîãðàììèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Ñòàíäàðòíàÿ çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ . . . . . . . . . . 4.2.2 Îäíîñòîðîííèå ìàøèíû Òüþðèíãà . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Ïîñëåäîâàòåëüíàÿ è ïàðàëëåëüíàÿ êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Âåòâëåíèå (óñëîâíûé îïåðàòîð) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Ïîâòîðåíèå (öèêë) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Ìàøèíû Òüþðèíãà, ÷.ð.ô. è ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîîãðàììû 5.1 5.2 5.3 5.4

. . . . .

Âû÷èñëèìîñòü ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ïî Òüþðèíãó . . . . Ìîäåëèðîâàíèå ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì ìàøèíàìè Òüþðèíãà ×àñòè÷íàÿ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ïî Òüþðèíãó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

7

. 7 . 9 . 11 . 14 . 17 . . . . . . . .

19

19 22 23 24 25 26 27 28

30

. . 30 . . 32 . . 33 . . 35

1 ×òî òàêîå àëãîðèòì?

2

6 Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû 35 6.1

Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1 ×òî òàêîå àëãîðèòì? Ïåðâîíà÷àëüíîé öåëüþ òåîðèè àëãîðèòìîâ ÿâëÿåòñÿ êëàññèôèêàöèÿ âñåõ çàäà÷ íà àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìûå è íåðàçðåøèìûå, ò.å. íà òå, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ðåøàþùèå èõ àëãîðèòìû, è òå, äëÿ êîòîðûõ òàêèõ àëãîðèòìîâ íåò. Íåôîðìàëüíî ïîä àëãîðèòìîì A ìîæíî ïîíèìàòü âûðàæåííûé â íåêîòîðîì ÿçûêå íàáîð ïðàâèë (ïðåäïèñàíèå, ðåöåïò, ñïîñîá), ïîçâîëÿþùèé ïðèìåíèòü ê èñõîäíûì (âõîäíûì) äàííûì x èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ äàííûõ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêðåòíûõ äåéñòâèé (îïåðàöèé, êîìàíä), ïðèâîäÿùóþ ê îïðåäåëåííîìó ðåçóëüòàòó - âûõîäíûì äàííûì y = A(x) èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Y .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî àëãîðèòì A âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ F (x) = A(x) òèïà X → Y. Ýòî íåñòðîãîå îïðåäåëåíèå âïîëíå ïîäõîäèò â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè íàì ïðåäúÿâëÿåòñÿ îáúåêò, íàçûâàåìûé àëãîðèòìîì åå âû÷èñëåíèÿ (íàïðèìåð, àëãîðèòì Ýâêëèäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ äâóõ öåëûõ ÷èñåë), è ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü ïîçâîëÿåò ëè îí äåéñòâèòåëüíî âû÷èñëèòü òðåáóåìóþ ôóíêöèþ. Îäíàêî îíî ñîâåðøåííî íå ãîäèòñÿ, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè íèêàêîãî àëãîðèòìà íåò. Íà÷èíàÿ ñ òðèäöàòûõ ãîäîâ ÕÕ âåêà, áûë ïðåäïðèíÿò ðÿä èññëåäîâàíèé äëÿ ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå èç ïðåäëîæåííûõ ðàçíûìè àâòîðàìè â ðàçíîå âðåìÿ ôîðìàëüíûõ ìîäåëåé: ìàøèíû Òüþðèíãà-Ïîñòà, ÷àñòè÷íîðåêóðñèâíûå ôóíêöèè (Ãåäåëü, Êëèíè), ε-èñ÷èñëåíèå (×åð÷, Êëèíè), èòåðàòèâíûå àâòîìàòû Íåéìàíà, íîðìàëüíûå àëãîðèôìû Ìàðêîâà, ñ÷åò÷èêîâûå àâòîìàòû Ìèíñêîãî, àâòîìàòû íà ãðàôàõ Êîëìîãîðîâà-Áàðçäèíÿ è äð. Çàëîæåííûå â íèõ èäåè â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ïîâëèÿëè çàòåì íà àðõèòåêòóðó è ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ êîìïüþòåðîâ (íàïðèìåð, íà áàçå λ-èñ÷èñëåíèÿ ïîñòðîåí øèðîêî ïðèìåíÿåìûé â çàäà÷àõ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà ÿçûê ËÈÑÏ, à èç íîðìàëüíûõ àëãîðèôìîâ Ìàðêîâà ïðîèçîøåë õîðîøî ïîäõîäÿùèé äëÿ òåêñòîâîé îáðàáîòêè ÿçûê ÐÅÔÀË). Êàæäûé èç ìíîãî÷èñëåííûõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ òàêæå çàäàåò íåêîòîðóþ ôîðìàëüíóþ ìîäåëü àëãîðèòìîâ. Ìû âíà÷àëå ðàññìîòðèì îäèí èç ïðîñòåéøèõ òàêèõ ÿçûêîâ  ïðîñòûå ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû. À çàòåì ñðàâíèì èõ ñ äâóìÿ äðóãèìè ìîäåëÿìè àëãîðèòìîâ: îïèñàíèÿìè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è ìàøèíàìè Òüþðèíãà. Õîòÿ àëãîðèòìû â ðàçíûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ èìåþò äåëî ñ äèñêðåòíûìè îáúåêòàìè ðàçëè÷íûõ âèäîâ: öåëûìè è ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè, ñòðîêàìè, ôîðìóëàìè, ðàçíîãî ðîäà âûðàæåíèÿìè, ãðàôàìè, ìàòðèöàìè, òàáëèöàìè, òî÷å÷íûìè èçîáðàæåíèÿìè è äð.  ìû â ýòîé ÷àñòè êóðñà áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé îò íàòóðàëüíûõ àðãóìåíòîâ, ïðèíèìàþùèõ íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèå

3 ôóíêöèè ÷àñòî íàçûâàþò àðèôìåòè÷åñêèìè. Äåëî â òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî åñòåñòâåííîãî ìíîæåñòâà äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ (â ÷àñòíîñòè, äëÿ âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå) èìååòñÿ ïðîñòîå êîäèðîâàíèå åãî ýëåìåíòîâ öåëûìè ÷èñëàìè. Ïîýòîìó çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé íà ýòèõ ìíîæåñòâàõ ïðåâðàùàþòñÿ â çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç N îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. N = {0, 1, 2, . . .}. Äëÿ ÷àñòè÷íîé n- ìåñòíîé àðèôìåòè÷åñêîé ôóíêöèè f : Nn → N ÷åðåç δf îáîçíà÷èì îáëàñòü åå îïðåäåëåíèÿ. ×òîáû óêàçàòü, ÷òî f íå îïðåäåëåíà íà íåêîòîðîì íàáîðå ÷èñåë a1 , . . . , an áóäåì ïèñàòü f (a1 , . . . , an ) = ∞, à åñëè f íà ýòîì íàáîðå îïðåäåëåíà, òî áóäåì ïèñàòü f (a1 , . . . , an ) < ∞. Òàêèì îáðàçîì, δf = {(a1 , . . . , an ) | f (a1 , . . . , an ) < ∞}.

2 Ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû  ýòîì ðàçäåëå ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ñðåäñòâà îïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû. Îíè âû÷èñëÿþò ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ ìèíèìàëüíûå ñðåäñòâà: ýëåìåíòàðíûå ïðèñâàèâàíèÿ, óñëîâíûå îïåðàòîðû è öèêëû. Îïðåäåëèì âíà÷àëå ñèíòàêñèñ ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì. Çàôèêñèðóåì äëÿ ýòîãî íåêîòîðîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî èìåí ïåðåìåííûõ V ar, êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ â ïðîãðàììàõ. Êàê îáû÷íî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíî âêëþ÷àåò èìåíà x, x1 , x2 , . . . , y, y1 , ..., z, z1 , ... è ò.ï.  ïîñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèÿõ x, y, z  ýòî ïðîèçâîëüíûå ïåðåìåííûå èç V ar.

Îïðåäåëåíèå 2.1. Îïåðàòîð ïðèñâàèâàíèÿ. Ïðèñâàèâàíèå  ýòî âûðàæåíèå

îäíîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ âèäîâ: à) x := x + 1 á) x := 0 â) x := y .

Îïðåäåëåíèå 2.2. Óñëîâèÿ. Óñëîâèå  ýòî âûðàæåíèå îäíîãî èç äâóõ âèäîâ:

à) x = y

èëè á) x < y .

Ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû îïðåäåëÿþòñÿ èíäóêòèâíî.

Îïðåäåëåíèå 2.3. Ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû.

à) Êàæäîå ïðèñâàèâàíèå  ýòî ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ïðîãðàììà. á) Åñëè Π1 è Π2  ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû, òî è Π = Π1 ; Π2  ýòî ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ïðîãðàììà. â) Åñëè Π1 è Π2  ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû, à Φ  ýòî óñëîâèå, òî Π = åñëè Φ òî Π1 èíà÷å Π2 êîíåö ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììîé. ã) Åñëè Π1  ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ïðîãðàììà, à Φ  ýòî óñëîâèå, òî

4

2

Ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû

Π = ïîêà Φ äåëàé Π1 âñå ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììîé. ä) Äðóãèõ ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì íåò. Êîíñòðóêöèÿ â ï. (á) íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì èëè êîìïîçèöèåé ïðîãðàìì Π1 è Π2 , êîíñòðóêöèÿ â ï. (â) íàçûâàåòñÿ óñëîâíûì îïåðàòîðîì, à êîíñòðóêöèÿ â ï. (ã)  ýòî îïåðàòîð öèêëà, Φ  ýòî óñëîâèå öèêëà, à Π1  ýòî òåëî öèêëà. Ñ ïîìîùüþ ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì (äàëåå íàçûâàåìûõ ïðîñòî ïðîãðàììàìè) âû÷èñëÿþòñÿ (÷àñòè÷íûå) ôóíêöèè îò íàòóðàëüíûõ àðãóìåíòîâ, ïðèíèìàþùèå íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ. Ñ êàæäîé ïðîãðàììîé Π ñâÿæåì åñòåñòâåííûì îáðàçîì ìíîæåñòâî âõîäÿùèõ â íåå ïåðåìåííûõ V arΠ (îïðåäåëèòå ýòî ìíîæåñòâî èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ ïðîãðàììû).  ïðîöåññå ðàáîòû ïðîãðàììà èçìåíÿåò çíà÷åíèÿ ýòèõ ïåðåìåííûõ. Îïåðàöèîííàÿ ñåìàíòèêà çàäàåò ïðàâèëà òàêîãî èçìåíåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 2.4. Ñîñòîÿíèå  ýòî îòîáðàæåíèå σ èç ìíîæåñòâà ïåðåìåííûõ V ar âî ìíîæåñòâî N. Äëÿ x ∈ V ar ÷åðåç σ(x) îáîçíà÷èì çíà÷åíèå ïåðåìåííîé x â ñîñòîÿíèè σ . ×åðåç S îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ñîñòîÿíèé. Ðàçóìååòñÿ, ïðè ðàññìîòðåíèè êîíêðåòíîé ïðîãðàììû Π íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ èç V arΠ .

Îïðåäåëåíèå 2.5. Îïåðàöèîííàÿ ñåìàíòèêà ïðîãðàììû ïðîãðàììû Π  ýòî îòáðàæåíèå (âîîáùå ãîâîðÿ, ÷àñòè÷íîå) òèïà S → S, êîòîðîå ïðîãðàììà Π èíäóöè-

ðóåò íà ìíîæåñòâå âñåõ ñîñòîÿíèé. ×åðåç Π(σ) îáîçíà÷èì ñîñòîÿíèå - ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ïðîãðàììû Π ê ñîñòîÿíèþ σ. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ èíäóêöèåé ïî ïîñòðîåíèþ ïðîãðàììû. à) (x := x + 1)(σ) = σ1 , ãäå σ1 (y) = σ(y) ïðè y 6= x, è σ1 (x) = σ(x) + 1. á) (x := 0)(σ) = σ1 , ãäå σ1 (y) = σ(y) ïðè y 6= x, è σ1 (x) = 0. â) (x := y)(σ) = σ1 , ãäå σ1 (z) = σ(z) ïðè z 6= x, è σ1 (x) = σ(y) ã) Ïóñòü Π = Π1 ; Π2 . Òîãäà Π(σ) = (Π1 ; Π2 )(σ) = Π2 (Π1 (σ)), ïðè ýòîì, åñëè Π1 (σ) = ∞ èëè σ1 = Π1 (σ) è Π2 (σ1 ) = ∞, òî è Π(σ) = ∞. ä) Ïóñòü Π = åñëè x = y òî Π1 èíà÷å Π2 êîíåö. Òîãäà   Π1 (σ), åñëè Π1 (σ) < ∞ è σ(x) = σ(y) Π2 (σ), åñëè Π2 (σ) < ∞ è σ(x) 6= σ(y) Π(σ) =  ∞ â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ å)Ïóñòü Π = åñëè x < y òî Π1   Π1 (σ), Π2 (σ), Π(σ) =  ∞

èíà÷å Π2 êîíåö. Òîãäà åñëè Π1 (σ) < ∞ è σ(x) < σ(y) åñëè Π2 (σ) < ∞ è σ(x) ≥ σ(y) â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ

5

æ) Ïóñòü Π = ïîêà x = y äåëàé Π1 âñå . Òîãäà ïðè σ(x) 6= σ(y) Π(σ) = σ , à ïðè σ(x) = σ(y) Π(σ)  ýòî ïåðâîå òàêîå ñîñòîÿíèå σm â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîñòîÿíèé σ0 = σ, σ1 = Π(σ0 ), . . . , σi+1 = Π(σi ), . . ., ÷òî ïðè i ≤ m âñå ñîñòîÿíèÿ σi îïðåäåëåíû, ïðè i < m èìååò ìåñòî σi (x) = σi (y), è σm (x) 6= σm (y). ç) Ñåìàíòèêó äëÿ öèêëà ñ óñëîâèåì x < y îïðåäåëèòå ñàìîñòîÿòåëüíî (ñì. çàäà÷ó 2.1). Ïóñòü Π  ïðîãðàììà, V arΠ  ìíîæåñòâî åå ïåðåìåííûõ. Âûäåëèì ñðåäè ýòè ïåðåìåííûõ íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî âõîäíûõ ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn è îäíó ðåçóëüòèðóþùóþ (âûõîäíóþ) ïåðåìåííóþ y (îíà ìîæåò áûòü îäíîé èç âõîäíûõ). Ïåðåìåííûå èç V arΠ , íå ÿâëÿþùèåñÿ âõîäíûìè áóäåì íàçûâàòü âñïîìîãàòåëüíûìè.

Îïðåäåëåíèå 2.6. Ïðîãðàììà Π ñ âõîäíûìè ïåðåìåííûìè x1 , . . . , xn è ðåçóëüòèðóþùåé ïåðåìåííîé y âû÷èñëÿåò ÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ F : Nn → N, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ a1 , . . . , an (ai ∈ N), îíà ïåðåâîäèò íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå σ , â êîòîðîì σ(xi ) = ai ïðè 1 ≤ i ≤ n è σ(z) = 0 ïðè z ∈ V ar \ {x1 , . . . , xn }, â ñîñòîÿíèå σ1 = Π(σ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (a1 , . . . , an ) ∈ δF è F (a1 , . . . , an ) = σ1 (y). Ôóíêöèþ, âû÷èñëÿåìóþ ïðîãðàììîé Π ñ âõîäíûìè ïåðåìåííûìè x1 , . . . , xn â (ðåçóëüòèðóþùåé) ïåðåìåííîé y îáîçíà÷èì ΦΠ,y (x1 , . . . , xn ). Àðèôìåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ F (x1 , . . . , xn ) ïðîãðàììíî âû÷èñëèìà, åñëè îíà âû÷èñëèìà íåêîòîðîé ïðîãðàììîé Π â íåêîòîðîé ïåðåìåííîé y ïðè íåêîòîðîì ðàçáèåíèè ïåðåìåííûõ V arΠ íà âõîäíûå: x1 , . . . , xn è âñïîìîãàòåëüíûå.

Çàìåòèì, ÷òî â íàøåì ÿçûêå íåò ïîíÿòèÿ ïðîöåäóðû (ïîäïðîãðàììû). Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ìû áóäåì èíîãäà èñïîëüçîâàòü èìÿ îäíîé ðàíåå íàïèñàííîé ïðîãðàììû âíóòðè òåêñòà äðóãîé: Π = ...Π1 ... Òàêàÿ çàïèñü áóäåò îçíà÷àòü òåêñòîâóþ (in-line) ïîäñòàíîâêó òåêñòà (êîäà) ïðîãðàììû Π1 â ñîîòâåòñòâóþùåå ìåñòî ïðîãðàììû Π. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè ýòîì ïåðåìåííûå Π1 íå ïåðåèìåíîâûâàþòñÿ è ïðîãðàììèñò ñàì äîëæåí çàáîòèòüñÿ î ïðàâèëüíîé èíèöèàëèçàöèè ïåðåìåííûõ èç V arΠ1 . Íàïðèìåð, åñëè Π èñïîëüçóåò îòäåëüíî íàïèñàííóþ ïðîãðàììó Π+ èç ïðèâåäåííîãî íèæå ïðèìåðà 2.3 äëÿ ñëîæåíèÿ ïåðåìåííûõ a è b è ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà â t, òî áåçîïàñíûé è êîððåêòíûé ñïîñîá ñäåëàòü ýòî ìîæåò âûãëÿäåòü òàê: Π : . . . ; x0 := x; y 0 := y; z 0 := z; x := a; y := b; Π+ ; t := x; x := x0 ; y := y 0 ; z := z 0 ; . . ., ò.å. âíà÷àëå ñîõðàíÿþòñÿ òåêóùèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ x, y, z , èñïîëüçóåìûõ â Π+ , çàòåì âõîäíûì ïåðåìåííûì x è y ïðèñâàèâàþòñÿ íóæíûå çíà÷åíèÿ a è b è âûçûâàåòñÿ Π+ , åå ðåçóëüòàò ïåðåäàåòñÿ â t, çàòåì âîññòàíàâëèâàþòñÿ çíà÷åíèÿ x, y, z . Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ïðîãðàìì.

Ïðèìåð 2.1. Π0 : x := 0

ßñíî, ÷òî ΦΠ0 ,x (x) òîæäåñòâåííî ðàâíà 0.

2

6

Ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû

Ïðèìåð 2.2.

Π1 : x := x + 1 À çäåñü ΦΠ1 ,x (x) = x + 1 äëÿ ëþáîãî x.

Ïðèìåð 2.3. Π+ : ïîêà z < y äåëàé z := z + 1; x := x + 1âñå

Çàôèêñèðóåì âõîäíûå ïåðåìåííûå x, y è âûõîäíóþ ïåðåìåííóþ x ( z - ðàáî÷àÿ ïåðåìåííàÿ). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ΦΠ+ ,x (x, y) = x + y. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè y = 0 òåëî öèêëà íå âûïîëíÿåòñÿ è âûõîä ðàâåí x = x+0. Ïðè y ≥ 1 òåëî öèêëà âûïîëíÿåòñÿ y ðàç è ïðè êàæäîì åãî âûïîëíåíèè x óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1.

Ïðèìåð 2.4.

Π4 (n, i) : x1 := x1 ; . . . ; xn := xn ; x1 := xi Π4 (n, i) âû÷èñëÿåò â x1 ôóíêöèþ âûáîðà i-ãî àðãóìåíòà: ΦΠ4 (n,i),x1 (x1 , . . . , xn ) = xi .

Ïðèìåð 2.5.

Π5 (n) : x1 := x1 ; . . . ; xn := xn ; ïîêà x1 = x1 äåëàé x1 := x1 âñå Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî Π5 (n) âû÷èñëÿåò íèãäå íå îïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ: ΦΠ5 (n),x1 (x1 , . . . , xn ) = ∞.

2.1 Çàäà÷è Çàäà÷à 2.1. Îïðåäåëèòå (ïî àíàëîãèè ñ ï. (æ)) îïðåäåëåíèÿ 2.5ñåìàíòèêó äëÿ ïðîãðàìì âèäà Π = ïîêà x < y äåëàé Π1 âñå .

Çàäà÷à 2.2. Ïîñòðîèòü ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû, âû÷èñëÿþùèå â z ñëåäó-

þùèå ôóíêöèè, è äîêàçàòü èõ êîððåêòíîñòü: a) f× (x, y) = x ∗ y; á) ff act (x) = x!; ˙ , ãäå 0−1 ˙ = 0 è (x + 1)−1 ˙ = x; â) f−1 (x) = x−1 ˙ ãäå x−y ˙ = x − y, åñëè x ≥ y è x−y ˙ = 0, åñëè x < y ; ã) f− (x, y) = √ x−y, ä) fsqr (x) = [ x]; å) fexp (x) = 2x ; æ) flog (x) = [log2 x]; ç) f/ (x, y) = [x/y].

7

Çàäà÷à 2.3. Ïóñòü Π  ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ïðîãðàììà è |V arΠ | = m. Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðàçëè÷íîé ôèêñàöèè âõîäíûõ ïåðåìåííûõ è âûõîäíîé ïåðåìåííîé îíà ìîæåò âû÷èñëÿòü ðàçëè÷íûå ôóíêöèè. à) Êàêîâî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ôóíêöèé îò n ≤ m ïåðåìåííûõ, êîòîðîå ìîæåò âû÷èñëÿòü Π? Ñêîëüêî âñåãî ðàçíûõ ôóíêöèé ìîæåò âû÷èñëèòü Π? á) Ïîñòðîéòå ïðîãðàììó Π(m, n), êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé îò n ≤ m ïåðåìåííûõ? â) Ïîñòðîéòå ïðîãðàììó Π(m) ñ |V arΠ | = m , êîòîðàÿ äëÿ êàæäîãî n ≤ m âû÷èñëÿåò ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ? Çàäà÷à 2.4. Ïîñòðîèòü ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû, âû÷èñëÿþùèå â z ñëåäóþùèå ôóíêöèè: à)

 f1 (x, y) = 

á)

f2 (x, y) = 

â)

f3 (x, y) = 

ã)

p(x)

=

x2 y 3 , [ (x+y)/2 ] , 3y , |x − y|, [x ∗ y/2], x[y/2] , 1, 0,

åñëè x < y â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

åñëè log2 (x + 1) ≥ y â ïðîòèâíîì ñëó÷àå åñëè log2 x ≤ y + 2 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

åñëè x  ïðîñòîå ÷èñëî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

3 ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè  ýòîì ðàçäåëå ìû èçó÷èì àëãåáðàè÷åñêèé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ êëàññà âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé. Êàæäàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç íåêîòîðûõ ïðîñòåéøèõ î÷åâèäíî âû÷èñëèìûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ îïåðàöèé, âû÷èñëèìîñòü êîòîðûõ òàêæå íå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ. Îïåðàöèÿ, êîòîðàÿ äàëà íàçâàíèå ýòîìó ïîäõîäó ðåêóðñèÿ  ýòî ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ïóòåì îïðåäåëåíèÿ êàæäîãî åå çíà÷åíèÿ â òåðìèíàõ ðàíåå îïðåäåëåííûõ åå çíà÷åíèé è äðóãèõ óæå îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé.

3.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷àñòè÷íûå àðèôìåòè÷åñêèå ôóíêöèè f n (x1 , . . . , xn ) : Nn → N. Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ n ó èìåíè ôóíêöèè f îáîçíà÷àåò ÷èñëî åå àðãóìåíòîâ (àðíîñòü). Åñëè àðíîñòü ÿñíà èç êîíòåêñòà èëè íåñóùåñòâåííà, òî ýòîò èíäåêñ áóäåì îïóñêàòü. Îïðåäåëèì âíà÷àëå òðè îïåðàòîðà, ïîçâîëÿþùèõ ïî îäíèì ôóíêöèÿì ïîëó÷àòü äðóãèå.

8

3

×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñóïåðïîçèöèÿ. Ïóñòü F m è f1n , . . . , fmn  àðèôìåòè÷åñêèå n ôóíêöèè. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ Gn ïîëó÷åíà èç F m , f1n , . . . , fm ñ ïîìîùüþ îïån m n n ðàòîðà ñóïåðïîçèöèè (îáîçíà÷åíèå: G = [F ; f1 , . . . , fm ] ), åñëè äëÿ âñåõ íàáîðîâ àðãóìåíòîâ (x1 , . . . , xn ) n Gn (x1 , . . . , xn ) = F m (f1n (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )).

Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî íàáîðà àðãóìåíòîâ (a1 , . . . , an ) ôóíêöèÿ Gn (a1 , . . . , an ) < ∞ n (ò.å. îïðåäåëåíà), åñëè îïðåäåëåíû âñå çíà÷åíèÿ f1n (a1 , . . . , an ) = b1 , . . . , fm (a1 , . . . , an ) = m bm è F (b1 , . . . , bm ) < ∞.

Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèÿ. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ F n+1 (x1 , . . . , xn , y) ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè èç ôóíêöèé g n (x1 , . . . , xn ) è hn+2 (x1 , . . . , xn , y, z), åñëè îíà ìîæåò áûòü çàäàíà ñõåìîé ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè ( F n+1 (x1 , . . . , xn , 0) = g n (x1 , . . . , xn ) F n+1 (x1 , . . . , xn , y + 1) = hn+2 (x1 , . . . , xn , y, F n+1 (x1 , . . . , xn , y))  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïèñàòü F n+1 = R(g n , hn+2 ). Ïðè ýòîì F (a1 , . . . , an , 0) < ∞ ⇐⇒ g n (a1 , . . . , an ) < ∞ è äëÿ êàæäîãî b F (a1 , . . . , an , b + 1) < ∞ ⇐⇒ F (a1 , . . . , an , b) = c < ∞ è hn+2 (a1 , . . . , an , b, c) < ∞.  ñëó÷àå, êîãäà n = 0, ò.å. F çàâèñèò îò îäíîãî àðãóìåíòà y , à àðãóìåíòîâ x1 , . . . , xn íåò, ñõåìà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè ïðèíèìàåò âèä ( F 1 (0) = a F 1 (y + 1) = h2 (y, F 1 (y)), ãäå a ∈ N. Çàìåòèì, ÷òî åñëè èñõîäíûå ôóíêöèè â îïåðàòîðàõ ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè âñþäó îïðåäåëåíû, òî è ðåçóëüòèðóþùèå ôóíêöèè òàêæå âñþäó îïðåäåëåíû. Ñëåäóþùèé îïåðàòîð ïîçâîëÿåò çàäàâàòü íå âñþäó îïðåäåëåííûå, ò.å. ÷àñòè÷íûå, ôóíêöèè.

Îïðåäåëåíèå 3.3. Ìèíèìèçàöèÿ. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ F n (x1 , . . . , xn ) ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ìèíèìèçàöèè (µ-îïåðàòîðà) èç ôóíêöèè g n+1 (x1 , . . . , xn , y), åñëè F n (x1 , . . . , xn ) îïðåäåëåíà è ðàâíà y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå çíà÷åíèÿ g n+1 (x1 , . . . , xn , 0), . . . , g n+1 (x1 , . . . , xn , y − 1) îïðåäåëåíû è íå ðàâíû 0, à g n+1 (x1 , . . . , xn , y) = 0.  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïèñàòü

F n (x1 , . . . , xn ) = µy[g n+1 (x1 , . . . , xn , y) = 0].

3.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

9

Îïðåäåëåíèå 3.4. Ïðîñòåéøèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîñòåéøåé,

åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: à) o1 (x) = 0 - òîæäåñòâåííûé íóëü; á) s1 (x) = x + 1 - ñëåäóþùåå ÷èñëî (ïëþñ îäèí); n â) ôóíêöèè âûáîðà àðãóìåíòà Im (x1 , . . . , xn ) = xm (1 ≤ m ≤ n).

Çàìåòèì, ÷òî âñå ïðîñòåéøèå ôóíêöèè âû÷èñëèìû â èíòóèòèâíîì ñìûñëå. Êðîìå òîãî, îïåðàòîðû ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè òàæå âû÷èñëèìû: ïîíÿòíû àëãîðèòìû, ïî êîòîðûì èç ïðîãðàìì äëÿ èñõîäíûõ ôóíêöèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîãðàììû äëÿ ðåçóëüòèðóþùèõ. Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ââîäèò èíòåðåñóþøèé íàñ êëàññ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è åãî âàæíûå ïîäêëàññû.

Îïðåäåëåíèå 3.5. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ

÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé (÷.ð.ô.), åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé èëè ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ èç íèõ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðèìåíåíèé îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè, ò.å. ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé f1 , f2 , . . . , fn = f, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïðîñòåéøåé, ëèáî ïîëó÷åíà èç ïðåäûäóøèõ ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç óêàçàííûõ îïåðàòîðîâ. Óêàçàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûì îïèñàíèåì ôóíêöèè f. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé (î.ð.ô.), åñëè îíà ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà è âñþäó îïðåäåëåíà. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé (ï.ð.ô.), åñëè îíà ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà è äëÿ íåå ñóùåñòâóåò îïðåäåëåíèå, èñïîëüçóþùåå ëèøü îïåðàòîðû ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ âñþäó îïðåäåëåíà, ò.å. ÿâëÿåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé (îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî).

3.1.1

Ïðèìåðû

Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðèìåðû ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.

Ïðèìåð 3.1. Ïîñòîÿííûå ôóíêöèè. Ïóñòü f n (x1 , . . . , xn ) = k äëÿ âñåõ íàáîðîâ àðãóìåíòîâ (x1 , . . . , xn ) è ÷èñëà k ∈ N. Òîãäà f n = [s1 ; [s1 ; . . . [s1 ;[o1 ; I1n ]]] . . .]]. | {z } k ðàç

Ïðèìåð 3.2. Ñëîæåíèå: +2 (x, y) = x + y.

3

10

×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè

Ôóíêöèÿ ñëîæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèåé. ( x + 0 = x = I11 (x) x + (y + 1) = (x + y) + 1 = [s1 ; (x + y)] = [s1 ; I33 (x, y, x + y)] Ñëåäîâàòåëüíî, +2 = R(I11 , [s1 ; I33 ]).

Ïðèìåð 3.3. Óìíîæåíèå: ×2 (x, y) = x × y . Èñïîëüçóÿ ñëîæåíèå, óìíîæåíèå ìîæíî çàäàòü ñëåäóþùåé ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèåé: ( x × 0 = 0 = o1 x × (y + 1) = (x × y) + x = I33 (x, y, x × y) + I13 (x, y, x × y) Ñëåäîâàòåëüíî, ×2 = R(o11 , [+; I33 , I13 ]).

˙ ˙ Ïðèìåð 3.4. Ìèíóñ 1: −1(0) = 0, −1(x + 1) = x. ˙ = R(0, I12 ). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî −1 ˙ = x − y, åñëè x ≥ y è x−y ˙ = 0, åñëè x < y. Ïðèìåð 3.5. Âû÷èòàíèå : x−y Âû÷èòàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ñõåìîé: ( ˙ = x = I11 (x) x−0 ˙ + 1) = (x−y) ˙ −1 ˙ = [−1 ˙ 1 ; I33 (x, y, x−y)] ˙ x−(y

˙ 2 = R(I11 , [−1 ˙ 1 ; I33 ]). Ñëåäîâàòåëüíî, −

Ïðèìåð 3.6. Ïðåäèêàòû ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà íóëþ: ( sg(x) =

0, 1,

åñëè x = 0 åñëè x = 6 0

( sg(x) =

1, 0,

åñëè x = 0 åñëè x = 6 0

Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü ýòèõ ôóíêöèé ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ sg = R(0, [s1 ; [o1 ; I12 ]]) ˙ è sg(x) = 1−sg(x).

˙ + (y −x). ˙ Ïðèìåð 3.7. Ìîäóëü ðàçíîñòè: |x − y| = (x−y)

Ïðèìåð 3.8. rm(x, y) = îñòàòîê îò äåëåíèÿ y íà x (ïðè x = 0 ïîëîæèì rm(0, y) = y ).

3.2 Ïðîãðàììíàÿ âû÷èñëèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé

11

Çàìåòèì, ÷òî

 rm(x, y + 1) =

0, rm(x, y) + 1,

åñëè rm(x, y) + 1 = x åñëè rm(x, y) + 1 6= x

Òîãäà ôóíêöèþ rm(x, y) ìîæíî çàäàòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ñõåìîé ( rm(x, 0) = 0, rm(x, y + 1) = (rm(x, y) + 1)sg(|x − (rm(x, y) + 1)|) Ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî ðàâåíñòâà ëåãêî ïðåäñòàâèòü êàê ôóíêöèþ g(x, y, rm(x, y)), ïîëó÷åííóþ ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè óæå ïîñòðîåííûõ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.

Ïðèìåð 3.9. Íèãäå íå îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ ω(x). Ýòà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà, íàïðèìåð, ñîîòíîøåíèåì ω(x) = µy[ s1 (y)+x =

0 ]. Îòìåòèì, ÷òî âñå ôóíêöèè â ïðèìåðàõ 2.1 - 2.8 ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè.

3.2 Ïðîãðàììíàÿ âû÷èñëèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé  ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïðîãðàììíî âû÷èñëèìûìè è ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûìè ôóíêöèÿìè. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ

Òåîðåìà 3.1. Êàæäàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ïðîãðàììíî âû÷èñëèìà. Äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî îïðåäåëåíèþ ÷.ð.ô. Áàçèñ: ïðîãðàììíàÿ âû÷èñëèìîñòü ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé áûëà óñòàíîâëåíà â ïðèìåðàõ 1.1, 1.2 è 1.4. Èíäóêöèîííûé øàã: ïîêàæåì ïðîãðàììíóþ âû÷èñëèìîñòü îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè. Ñóïåðïîçèöèÿ. Ïóñòü F m è f1n , . . . , fmn  àðèôìåòè÷åñêèå ôóíêöèè, âû÷èñëèìûå ïðîãðàììàìè Π, Π1 , . . . , Πm òàê, ÷òî ΦΠ,x1 (x1 , . . . , xm ) = F m (x1 , . . . , xm ), è ΦΠi ,x1 (x1 , . . . , xn ) = fin (x1 , . . . , xn ) ïðè i = 1, . . . , n. Ïóñòü ïåðåìåííûå y1 , . . . , ym , z1 , . . . , zn íå èñïîëüçóþòñÿ â ïðîãðàììàõ Π, Π1 , . . . , Πm . Êðîìå òîãî, ïóñòü âñå âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå ýòèõ ïðîãðàìì  ýòî w1 , . . . , wr . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîãðàììó P: z1 := x1 ; . . . ; zn := xn ; Π1 ; y1 := x1 ; x1 := z1 ; . . . ; xn := zn ; w1 := 0; . . . ; wr := 0;

12

3

×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè

Π2 ; y2 := x1 ; x1 := z1 ; . . . ; xn := zn ; w1 := 0; . . . ; wr := 0; ... Πm ; ym := x1 ; x1 := y1 ; . . . ; xm := ym ; w1 := 0; . . . ; wr := 0; Π Â êà÷åñòâå âõîäíûõ ïåðåìåííûõ çàôèêñèðóåì x1 , . . . , xn , à âûõîäíîé  x1 . Ïóñòü â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè x1 = a1 , . . . , xn = an . Òîãäà â ïåðâîé ñòðîêå ýòè çíà÷åíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ â ïåðåìåííûõ z1 , . . . , zn , êîòîðûå ñâîèõ çíà÷åíèé äàëåå íå ìåíÿþò. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî i = 1, . . . , m − 1 ïîñëå âûïîëíåíèÿ ôðàãìåíòà Πi ; yi := x1 ; x1 := z1 ; . . . ; xn := zn ; w1 := 0; . . . ; wr := 0; çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé yi ÿâëÿåòñÿ fin (a1 , . . . , an ), x1 = a1 , . . . , xn = an , à çíà÷åíèÿ âñåõ âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ ðàâíû 0. Òîãäà ïîñëå âûïîëíåíèÿ Πm ; ym := x1 ; x1 := y1 ; . . . ; xm := ym ; çíà÷åíèåì êàæäîãî xi òàêæå ÿâëÿåòñÿ fin (a1 , . . . , an ), à ïîñëå âûïîëíåíèÿ Π çíà÷ån íèå x1 ðàâíî ΦP,x1 (x1 , . . . , xm ) = F m (f1n (a1 , . . . , an ), . . . , fm (a1 , . . . , an )). Òàêèì îáðàçîì, ΦP,x1 = [F ; f1 , . . . , fn ]. Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèÿ. Ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àé n = 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ F 2 (x1 , y) ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè èç ôóíêöèé g 1 (x1 ) è h3 (x1 , y, z), ò.å. F 2 = R(g 1 , h3 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðîãðàììû Π1 è Π2 , âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè g 1 è h3 òàê, ÷òî ΦΠ1 ,x1 (x1 ) = g 1 (x1 ) è ΦΠ2 ,x1 (x1 , y, z) = h3 (x1 , y, z). Ïóñòü âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå Π2  ýòî z1 , . . . , zm è îíè íå âñòðå÷àþòñÿ â Π1 , à ïåðåìåííûå u1 , y1 è v íå èñïîëüçóþòñÿ â ïðîãðàììàõ Π1 è Π2 . Ðàññìîòðèì ïðîãðàììó P : u1 := x1 ; y1 := y; v := 0; Π1 ; ïîêà v < y1 äåëàé z := x1 ; x1 := u1 ; y := v; Π2 ; z1 := 0; . . . ; zm := 0; v := v + 1 âñå  êà÷åñòâå âõîäíûõ ïåðåìåííûõ P âîçüìåì x1 è y , à âûõîäíîé  x1 . Ðàññìîòðèì ðàáîòó P íà èñõîäíîì ñîñòîÿíèè σ , â êîòîðîì σ(x1 ) = a, σ(y) = b. Ïðè b = 0 öèêë íå âûïîëíÿåòñÿ è â ðåçóëüòèðóþùåì ñîñòîÿíèè σ1 = P (σ) èìååì σ1 (x1 ) = Π1 (σ)(x1 ) = g 1 (a) = F 2 (a, 0). Ïðè b > 0 öèêë áóäåò âûïîëíÿòüñÿ b ðàç, òàê êàê â åãî òåëå v âñÿêèé ðàç óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1, à çíà÷åíèå y1 = b è íå ìåíÿåòñÿ. Ïåðåä ïåðâûì âûïîëíåíèåì Π2 âñå åå ðàáî÷èå ïåðåìåííûå zi ðàâíû 0, x1 = a, y = 0, z = F 2 (a, 0), à ïîñëå åå âûïîëíåíèÿ x1 = h3 (a, 0, F (a, 0)) = F (a, 1). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü ïî èíäóêöèè, ÷òî ïåðåä (i + 1)-ûì âûïîëíåíèåì Π2 âñå åå ðàáî÷èå ïåðåìåííûå zi ðàâíû 0, x1 = a, y = i è z = F 2 (a, i). Ïîñëå ýòîãî âûïîëíåíèÿ x1 = h3 (a, i, z) = h3 (a, i, F (a, i)) = F (a, i + 1). Òîãäà ïðèñâàèâàíèÿ z1 := 0; . . . ; zm := 0; v := v + 1 ïîñëå Π2 è z := x1 ; x1 := u1 ; y := v; ïåðåä åå ñëåäóþùèì âûïîëíåíèåì óñòàíîâÿò çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ Π2 òàê, ÷òî âñå åå ðàáî÷èå ïåðåìåííûå zi ðàâíû 0, x1 = a, y = i + 1 è z = F 2 (a, i + 1). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå b-ãî âûïîëíåíèÿ òåëà öèêëà x1 =

3.2 Ïðîãðàììíàÿ âû÷èñëèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé

13

h3 (a, b − 1, F (a, b − 1)) = F (a, b). Ìèíèìèçàöèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ F n (x1 , . . . , xn ) ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ìèíèìèçàöèè (µ-îïåðàòîðà) èç ôóíêöèè g n+1 (x1 , . . . , xn , y), ò.å. F n (x1 , . . . , xn ) = µy[g n+1 (x1 , . . . , xn , y) = 0]. Ïóñòü ïðîãðàììà Π1 âû÷èñëÿåò g n+1 , òàê ÷òî ΦΠ1 ,x1 (x1 , . . . , xn , y) = g n+1 (x1 , . . . , xn , y), è ïóñòü ðàáî÷èå ïåðåìåííûå Π1  ýòî z1 , . . . , zm . Çàôèêñèðóåì ïåðåìåííûå x01 , . . . , x0n , y 0 , u, z , íå âõîäÿøèå â V arΠ1 . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîãðàììó Π: x01 := x1 ; . . . ; x0n := xn ; z := 0; u := 0; u := u + 1; y 0 := 0; ïîêà z < u äåëàé x1 := x01 ; . . . ; xn := x0n ; y := y 0 ; Π1 ; u := x1 ; z1 := 0; . . . ; zm := 0; åñëè u = z òî x1 := y 0 èíà÷å y 0 := y 0 + 1 êîíåö

âñå

Ðàññìîòðèì ðàáîòó Π íà âõîäíûõ çíà÷åíèõ xi = ai (i = 1, . . . , n).  ïåðâîé ñòðîêå îíè ñîõðàíÿþòñÿ â ïåðåìåííûõ x0i , êîòîðûå íèãäå â Π íå èçìåíÿþòñÿ, z ïîëó÷àåò çíà÷åíèå 0, êîòîðîå òîæå íå ìåíÿåòñÿ ïî õîäó âû÷èñëåíèÿ, à u âíà÷àëå ïîëó÷àåò çíà÷åíèå 1. Ïîýòîìó óñëîâèå öèêëà ïîñëå ïåðâîé ñòðîêè âûïîëíåíî è îí õîòü îäèí ðàç âûïîëíÿåòñÿ. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî i ≥ 1, (i + 1)-àÿ èòåðàöèÿ öèêëà âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g(a1 , . . . , an , 0) = b1 > 0, . . . , g(a1 , . . . , an , i−1) = bi−1 > 0, Π îñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëå (i + 1)-îé èòåðàöèè öèêëà ñ ðåçóëüòàòîì x1 = i òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g(a1 , . . . , an , i) = 0. Ïðè ýòîì ïåðåä âûïîëíåíèåì Π1 âõîäíûå ïåðåìåííûå x1 , . . . , xn , y èìåþò çíà÷åíèÿ a1 , . . . , an , i, ñîîòâåòñòâåííî, y 0 = i, à âñå ðàáî÷èå ïåðåìåííûå zj (j = 1, . . . , m) ðàâíû 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèâ ýòî óñëîâèå, ïîëó÷èì, ÷òî ïîñëå î÷åðåäíîãî âûïîëíåíèÿ ôðàãìåíòà Π1 ; z1 := 0; . . . ; zm := 0; u := x1 ; çíà÷åíèå u = x1 = g(a1 , . . . , an , i), à ðàáî÷èå ïåðåìåííûå âîññòàíàâëèâàþò íóëåâûå çíà÷åíèÿ. Åñëè g(a1 , . . . , an , i) = 0, òî u = z è â óñëîâíîì îïåðàòîðå x1 ïîëó÷àåò çíà÷åíèå y 0 = i. Ïîñëå ýòîãî óñëîâèå öèêëà íàðóøåíî è Π çàâåðøàåò ðàáîòó ñ âûõîäíûì çíà÷åíèåì x1 = i = F (a1 , . . . , an ). Åñëè æå g(a1 , . . . , an , i) > 0, òî u > z è â óñëîâíîì îïåðàòîðå y 0 óâåëè÷èâàåò çíà÷åíèå äî (i + 1). Òîãäà óñëîâèå öèêëà âûïîëíåíî è ïåðåä (i + 2)-ûì âûïîëíåíèåì Π1 åå âõîäíûå ïåðåìåííûå x1 , . . . , xn , y èìåþò çíà÷åíèÿ a1 , . . . , an , i + 1, ñîîòâåòñòâåííî, y 0 = i + 1, à âñå ðàáî÷èå ïåðåìåííûå ðàâíû 0. Èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ΦΠ,x1 (a1 , . . . , an ) = µy[g(a1 , . . . , an , y) = 0]. 2 Èìååò ìåñòî è óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìå 3.1, êîòîðîå ìû ïðèâîäèì çäåñü áåç äîêàçàòåëüñòâà.

Òåîðåìà 3.2. Êàæäàÿ ïðîãðàììíî âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé.

3

14

×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè

3.3 Ëåììû î ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèÿõ  ýòîì ïàðàãðàôå ìû óñòàíîâèì ïðèìèòèâíóþ (÷àñòè÷íóþ) ðåêóðñèâíîñòü íåêîòîðûõ âàæíûõ êëàññîâ ôóíêöèé - òàáëèö è íóìåðàöèé, è ðàñøèðèì âîçìîæíîñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ðàçáîðà ñëó÷àåâ è âçàèìíîé ðåêóðñèè.

Ëåììà 3.1. Ðåêóðñèâíîñòü òàáëè÷íûõ ôóíêöèé. Ïóñòü âñþäó îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ f (x) íà âñåõ àðãóìåíòàõ, êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà, ðàâíà íåêîòîðîé êîíñòàíòå c (òàêóþ ôóíêöèþ íàçîâåì òàáëè÷íîé). Òîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè f èç óñëîâèÿ ëåììû nf = max{x|f (x) 6= c}. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî nf . Ïðè nf = 0 ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé è ïîýòîìó ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé (ïðèìåð 3.1 íà ñòð. 9). Ïðåäïîëîæèì ÷òî âñå òàáëè÷íûå ôóíêöèè g ñî çíà÷åíèåì ng ≤ k ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû è ïóñòü nf = k + 1 è f (0) = a. Îïðåäåëèì òàáëè÷íóþ ôóíêöèþ f 0 (x) = f (x + 1). ßñíî, ÷òî nf 0 = k, è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè f 0 ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òîãäà f çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ñõåìîé: ( f (0) = a, f (x + 1) = g(x, f (x)) = I12 (f 0 (x), f (x)) è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêæå ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.2 Ïîêàæåì çàìêíóòîñòü êëàññà ÷.ð.ô. (ï.ð.ô.) îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñóììèðîâàíèÿ è ïðîèçâåäåíèÿ.

Ëåììà 3.2. Ñóììèðîâàíèå è ïðîèçâåäåíèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn , y)

ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî (ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíîé. Òîãäà è ôóíêöèè F n+1 è Gn+1 , çàäàííûå ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè

F (x1 , . . . , xn , y) =

y X

f (x1 , . . . , xn , i),

i=0

G(x1 , . . . , xn , y) =

y Y

f (x1 , . . . , xn , i),

i=0

ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî (ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíûìè. Äîêàçàòåëüñòâî Äåéñòâèòåëüíî, ýòè ôóíêöèè çàäàþòñÿ ñëåäóþùèìè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè ñõåìàìè: ( F (x1 , . . . , xn , 0) = f (x1 , . . . , 0) F (x1 , . . . , xn , y + 1) = F (x1 . . . , xn , y) + f (x1 , . . . , xn , y + 1)

3.3 Ëåììû î ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèÿõ

(

15

G(x1 , . . . , xn , 0) = f (x1 , . . . , 0) G(x1 , . . . , xn , y + 1) = G(x1 . . . , xn , y) × f (x1 , . . . , xn , y + 1)

2 Ïðèâåäåì ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ëåììû 3.2.

Ïðèìåð 3.10. max_deg _div(x, y) = ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü x, íà êîòîðóþ íàöåëî äåëèòñÿ y .

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

max_deg _div(x, y) =

y X

˙ sg(rm(exp(x, i), y))−1

i=0

è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé.

Ïðèìåð 3.11. Îãðàíè÷åííàÿ ìèíèìèçàöèÿ. Ïóñòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ

ôóíêöèÿ g(x, y) òàêîâà, ÷òî äëÿ êàæäîãî x íàéäåòñÿ y ≤ x, äëÿ êîòîðîãî g(x, y) = 0. Ïîëîæèì F (x) = µy[g(x, y) = 0]. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ, F (x) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé. Ïîêàæåì, ÷òî,Qíà ñàìîì äåëå, îíà ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Äåéñòâèòåëüíî, îïðåäåëèì h(x, y) = yi=0 sg(g(x, i)). Ïî ëåììå 3.2 ýòà ôóíêöèÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Ïóñòü äëÿ äàííîãî x y0 = µy[g(x, y) = 0]. Òîãäà ïðè i < y0 èìååì h(x, i) = 1,P à ïðè i ≥ y0 h(x, i) = 0. Ïîýòîìó èñêîìàÿ ôóíêöèÿ F çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì F (x) = yi=0 h(x, i) è òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé.

Ëåììà 3.3. Êóñî÷íîå çàäàíèå èëè ðàçáîð ñëó÷àåâ. Ïóñòü h1 (x1 , . . . , xn ), . . . ,

hk (x1 , . . . , xn ) ïðîèçâîëüíûå ÷.ð.ô., à âñþäó îïðåäåëåííûå ÷.ð.ô. f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn ) òàêîâû, ÷òî íà ëþáîì íàáîðå àðãóìåíòîâ (a1 , . . . , an ) îäíà è òîëüêî îäíà èç ýòèõ ôóíêöèé ðàâíà 0. Òîãäà ôóíêöèÿ g(x1 , . . . , xn ), îïðåäåëåííàÿ ñîîòíîøåíèÿìè:  h1 (x1 , . . . , xn ), åñëè f1 (x1 , . . . , xn ) = 0    h2 (x1 , . . . , xn ), åñëè f2 (x1 , . . . , xn ) = 0 g(x1 , . . . , xn ) = ... ...    hk (x1 , . . . , xn ), åñëè fk (x1 , . . . , xn ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé. Äîêàçàòåëüñòâî Äåéñòâèòåëüíî, g n ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó k ïðîèçâåäåíèé:

g(x1 , . . . , xn ) = h1 (x1 , . . . , xn )sg(f1 (x1 , . . . , xn )) + . . . + hk (x1 , . . . , xn )sg(fk (x1 , . . . , xn )). Ñëåäóþùèé êëàññ ôóíêöèé, êîòîðûé íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü,  ýòî ôóíêöèè äëÿ îäíîçíà÷íîé íóìåðàöèè ïàð è n-îê öåëûõ ÷èñåë è îáðàòíûå èì. Îïðåäåëèì äëÿ

3

16

×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè

ëþáîé ïàðû ÷èñåë (x, y) åå íîìåð c2 (x, y) = 2x (2y + 1) − 1. Íàïðèìåð, c(0, 0) = 0, c(1, 0) = 1, c(0, 1) = 2, c(1, 1) = 5, c(2, 1) = 19. Èç åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ÷èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ c2 : N2 → N âçàèìíî îäíîçíà÷íî íóìåðóåò ïàðû öåëûõ ÷èñåë. Îïðåäåëèì òåïåðü îáðàòíûå ôóíêöèè: c21 (z) = ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü 2, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ z + 1 è ˙ c22 (z) = [(ìàêñèìàëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿ z + 1)−1]/2. Èç ýòèõ îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z âûïîëíåíî ðàâåíñòâî c2 (c21 (z), c22 (z)) = z. Îïðåäåëèì òåïåðü ïî èíäóêöèè ôóíêöèè cn íóìåðàöèè n-îê ÷èñåë ïðè n > 2 è îáðàòíûå èì êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè cni (1 ≤ i ≤ n) : cn (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) = cn−1 (c2 (x1 , x2 ), x3 , . . . , xn ), cn1 (z) = c21 (c(n−1)1 (z)), cn2 (z) = c22 (c(n−1)1 (z)), cn(i+2) (z) = c(n−1)(i+1) (z) (i = 1, . . . , n − 2). Èç ýòèõ îïðåäåëåíèé òàêæå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî cn (cn1 (z), cn2 (z), . . . , cnn (z)) = z. (Ïðîâåðüòå ýòî ñâîéñòâî èíäóêöèåé ïî n.)

Ëåììà 3.4. Ðåêóðñèâíîñòü íóìåðàöèîííûõ ôóíêöèé. Äëÿ ëþáûõ n ≥ 2 è 1 ≤ i ≤ n âñå îïðåäåëåííûå âûøå ôóíêöèè cn ðåêóðñèâíûìè.

è cni

ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíî

Äîêàçàòåëüñòâî Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü c2 (x, y) óñòàíàâëèâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî (ñì. çàäà÷ó 3.1(à)). Ôóíêöèÿ c21 (z) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì c21 (z) = max_deg _div(2, z + 1) è ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé (ýòî ïîêàçàíî â ïðèìåðå 3.10 íà ñòð. 15). Äëÿ ôóíêöèè c22 (z) ñïðàâåäëèâî îïðåäåëåíèå c22 (z) = ˙ (çäåñü ìû èñïîëüçóåì ïðèìèòèâíóþ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêdiv(2, div(2c21 (z) , z + 1)−1) öèè öåëî÷èñëåííîãî äåëåíèÿ div(x, y) èç çàäà÷è 3.1(e)). Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü îñòàëüíûõ íóìåðàöèîííûõ ôóíêöèé ñëåäóåò ïî èíäóêöèè èç èõ îïðåäåëåíèé (ñì. çàäà÷ó 3.10).2  ñëåäóþùåé ëåììå îáîáùàåòñÿ îïåðàòîð ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè.

Ëåììà 3.5. (ñîâìåñòíàÿ ðåêóðñèÿ) Ïpåäïîëîæèì, ÷òî ôyíêöèè αin (x1 , . . . , xn ) (1 ≤ i ≤ k) è ôyíêöèè βin+k+1 (x1 , . . . , xn , y, y1 , . . . , yk ) (1 ≤ i ≤ k) ïpèìèòèâíî påêypñèâíû. Òîãäà ôyíêöèè f1n+1 (x1 , . . . , xn , y), . . . , fkn+1 (x1 , . . . , xn , y), îïpåäåëÿåìûå ñëåäyþùåé ñîâìåñòíîé påêypñèåé (

fi (x1 , . . . , xn , 0) = αi (x1 , . . . , xn ) (1 ≤ i ≤ k) fi (x1 , . . . , xn , y + 1) = βi (x1 , . . . , xn , y, f1 (x1 , . . . , xn , y), . . . , fk (x1 , . . . , xn , y)) (1 ≤ i ≤ k)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ïpèìèòèâíî påêypñèâíûìè. Äîêàçàòåëüñòâî Îáîçíà÷èì (äëÿ ïpîñòîòû) ÷åpåç x íàáîp ïåpåìåííûõ x1 , . . . , xn . Îïpåäåëèì ñëåäyþùèå ïpèìèòèâíî påêypñèâíûå ôyíêöèè: g n (x) = ck (α1 (x), . . . , αk (x),

3.4 Çàäà÷è

17

βˆi (x, y, z) = βi (x, y, ck1 (z), . . . , ckk (z)), 1 ≤ i ≤ k, è ïîëîæèì ( n+1 F (x, 0) = g n (x) F n+1 (x, y + 1) = ck (βˆ1 (x, y, F (x, y)), . . . βˆk (x, y, F (x, y))) Ôyíêöèÿ F n+1 ïîëy÷åíà ïpèìèòèâíîé påêypñèåé èç ïpèìèòèâíî påêypñèâíûõ ôyíêöèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ïpèìèòèâíî påêypñèâíà. Ñïpàâåäëèâîñòü ëåììû òåïåpü ñëåäyåò èç òîãî, ÷òî äëÿ âñÿêîãî i ∈ [1, k] fi (x, y) = cik (F n+1 (x, y)).

3.4 Çàäà÷è Çàäà÷à 3.1. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè÷íî ( ïðèìèòèâ-

íî) ðåêóðñèâíûìè. à) exp(x, y) = xy ; á) f act(x) = x !; â) min(x, y) = íàèìåíüøåå èç x è y ; ã) max(x, y) = íàèáîëüøåå èç x è y ; ä) div(x, y) = ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ y íà x (ïóñòü div(0, y) = y ). å) ïðåäèêàòû ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà:   1, åñëè x = y 0, åñëè x = y eq(x, y) = eq(x) = 0, åñëè x 6= y 1, åñëè x = 6 y x

æ) f (x) = 22 .

Çàäà÷à 3.2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè f (x1 , . . . , xn ) ÿâëÿåòñÿ ÷.ð.ô. (ï.ð.ô.), òî è

ôóíêöèÿ g(x1 , . . . , xn ) = f (xi1 , . . . , xin ) ÿâëÿåòñÿ ÷.ð.ô. (ï.ð.ô.) äëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè (i1 , . . . , in ) ÷èñåë 1, 2, . . . , n.

Çàäà÷à 3.3. Îïåðàòîð ñäâèãà.

Ïóñòü g(x1 , . . . , xn )  ÷àñòè÷íî (ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, a è b > 0  ÷èñëà èç N. Òîãäà è ôóíêöèÿ  a, åñëè xn ≤ b f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn − b), åñëè xn > b ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî (ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíîé.

Çàäà÷à 3.4. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè. √ à) rt(n, x) = b n xc  êîðåíü n-îé ñòåïåíè èç x (öåëàÿ ÷àñòü).

3

18

×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè

á) log(i, x) = blogi xc (ïóñòü ïðè i ∈ {0, 1} èëè x = 0 log(i, x) = 0). â) p(x) = 1, åñëè x  ïðîñòîå ÷èñëî, è p(x) = 0, åñëè x ñîñòàâíîå. ã) pn(k)  k -îå ïðîñòîå ÷èñëî â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ (pn(0) = 0, pn(1) = 2, pn(2) = 3, pn(3) = 5...). ä) t(x) = ÷èñëî pàçëè÷íûõ äåëèòåëåé ÷èñëà x (t(0) = 0). P i å) d(n, m, i)  i-ûé çíàê â m-è÷íîì ðàçëîæåíèè ÷èñëà n, ò.å. åñëè n = ∞ 0 ai m , òî d(n, m, i) = ai .

Çàäà÷à 3.5. Ïóñòü F (x) çàäàíà ñîîòíîøåíèÿìè F (0) = 1, F (1) = 2, F (x + 2) = F (x − 1) + F (x) ( ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè F (x) íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè Ôèáîíà÷÷è). Ïîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ F 1 ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. (Óêàçàíèå: ïîêàæèòå ñíà÷àëà, ÷òî ôóíêöèÿ g(x) = 2F (x) 3F (x+1) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.)

Çàäà÷à 3.6. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè f (x) èçìåíèòü íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå, òî ïîëó÷èâøàÿñÿ ôóíêöèÿ f 0 (x) òàêæå áóäåò îáùåðåêóðñèâíîé.

Çàäà÷à 3.7. Äîêàçàòü, ÷òî èç ôóíêöèè o(x) = 0 è èç ôóíêöèé âûáîðà Imn (x1 , ..., xn ) = xm ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè íåëüçÿ ïîëó÷èòü ôóíêöèþ s(x) = x + 1 è ôóíêöèþ d(x) = 2 ∗ x.

Çàäà÷à 3.8. Ïóñòü g(x1 , ..., xn , y) - ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíê-

öèÿ

 Pz f (x1 , ..., xn , y, z) =

0,

i=0

g(x1 , ...xn , y + i),

ïðè y ≤ z ïðè y > z

ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.

Çàäà÷à 3.9. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè f (x1 , ..., xn , y), g(x1 , ..., xn , y) è h(x1 , ..., xn , y) ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíû, òî è ôóíêöèÿ F (x1 , ..., xn ) = min{y| f (x1 , ..., xn , y) = 0 èëè g(x1 , ..., xn , y) > h(x1 , ..., xn , y)} ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé.

Çàäà÷à 3.10. Äîêàæèòå, ÷òî îïðåäåëåííûå âûøå ôóíêöèÿ íóìåðàöèè n-îê cn (x1 , . . . , xn ) è îáðàòíûå åé ôóíêöèè âûáîðà i-ãî ýëåìåíòà íàáîðà cni (z)(1 ≤ i ≤ n) ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè.

Çàäà÷à 3.11. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ïàðû (x, y) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë óïîðÿäî÷åíû ïî

âîçðàñòàíèþ ñóììû (x + y), à âíóòðè ãðóïïû ïàð ñ îäèíàêîâîé ñóììîé  ïî âîçðàñòàíèþ x-êîîðäèíàòû. Ýòîò ïîðÿäîê âûãëÿäèò òàê: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), . . . , (0, x + y), (1, x + y − 1), . . . , (x, y), . . . , (x + y, 0), . . . . Ïóñòü d(x, y)  ýòî íîìåð ïàðû (x, y) â ýòîì ïîðÿäêå (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïàðà (0,0) èìååò íîìåð 0). Òîãäà ôóíêöèÿ d2 îäíîçíà÷íî íóìåðóåò âñå ïàðû.

19

à) Äîêàæèòå, ÷òî d(x, y) = (x+y)(x+y+1) + x − 1. 2 á) Íàéäèòå îáðàòíûå ôóíêöèè d1 (z) è d2 (z) òàêèå, ÷òî d1 (d(x, y)) = x, d2 (d(x, y)) = y è, ñëåäîâàòåëüíî, d(d1 (z), d2 (z)) = z .

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà 4.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ðàññìàòðèâàåìàÿ â ýòîì ðàçäåëå ìîäåëü àëãîðèòìîâ áûëà ïðåäëîæåíà àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêîì Òüþðèíãîì â 1937ã. åùå äî ñîçäàíèÿ ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðîâ1 . Îí èñõîäèë èç îáùåé èäåè ìîäåëèðîâàíèÿ ðàáîòû âû÷èñëèòåëÿ, îïåðèðóþùåãî â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðûì ñòðîãèì ïðåäïèñàíèåì.  ìàøèíå Òüþðèíãà ðàñ÷ëåíåíèå ïðîöåññà âû÷èñëåíèÿ íà ýëåìåíòàðíûå øàãè äîâåäåíî â èçâåñòíîì ñìûñëå äî ïðåäåëà. Ýëåìåíòàðíûì äåéñòâèåì ÿâëÿåòñÿ çàìåíà îäíîãî ñèìâîëà â ÿ÷åéêå íà äðóãîé è ïåðåìåùåíèå ê ñîñåäíåé ÿ÷åéêå. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ çíà÷èòåëüíî óäëèíÿåòñÿ, íî çàòî ëîãè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåññà ñèëüíî óïðîùàåòñÿ è ïðèîáðåòàåò óäîáíûé äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ âèä. Ìàøèíà Òüþðèíãà (ì.Ò.) ñîñòîèò èç íåîãðàíè÷åííîé â îáå ñòîðîíû ëåíòû, ðàçáèòîé íà ÿ÷åéêè, ïî êîòîðîé ïåðåäâèãàåòñÿ ãîëîâêà ìàøèíû. Òàêàÿ áåñêîíå÷íîñòü ëåíòû ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé àáñòðàêöèåé, îòðàæàþùåé ïîòåíöèàëüíóþ íåîãðàíè÷åííîñòü ïàìÿòè âû÷èñëèòåëÿ. Ðàçóìååòñÿ, â êàæäîì çàâåðøàþùåìñÿ âû÷èñëåíèè èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî êîíå÷íàÿ ÷àñòü ýòîé ïàìÿòè  êîíå÷íîå ÷èñëî ÿ÷ååê.  êàæäîé ÿ÷åéêå ëåíòû çàïèñàí îäèí ñèìâîë èç êîíå÷íîãî âíåøíåãî àëôàâèòà ìàøèíû Σ = {a0 , a1 , . . . , am }. Ãîëîâêà ìàøèíû ïðåäñòàâëÿåò êîíå÷íûé àâòîìàò, êîòîðûé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòñÿ â îäíîì èç âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , . . . , qn }. Íà êàæäîì øàãå ãîëîâêà â çàâèñèìîñòè îò ñâîåãî âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ è ñèìâîëà â ÿ÷åéêå, êîòîðóþ îíà íàáëþäàåò, èçìåíÿåò ñâîå âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå è ñîäåðæèìîå íàáëþäàåìîé ÿ÷åéêè è ìîæåò ñäâèíóòüñÿ íà îäíó ÿ÷åéêó âïðàâî èëè âëåâî, ëèáî îñòàòüñÿ íà ìåñòå. Äàäèì áîëåå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå 4.1. Ìàøèíà Òüþðèíãà  ýòî ñèñòåìà âèäà

M =< Q, Σ, P, q0 , qf >, âêëþ÷àþùàÿ ñëåäóþùèå êîìïîíåíòû: Q = {q0 , q1 , . . . , qn } - âíóòðåííèé àëôàâèò (àëôàâèò ñîñòîÿíèé); Σ = {a0 , a1 , . . . , am−1 } - âíåøíèé àëôàâèò (àëôàâèò ëåíòû); P - ïðîãðàììà ìàøèíû, â êîòîðîé äëÿ êàæäîé ïàðû qi ∈ Q\{qf }, aj ∈ Σ èìååòñÿ 1 Àíàëîãè÷íàÿ

ìîäåëü âû÷èñëåíèé áûëà ïðèìåðíî â òî æå âðåìÿ îïðåäåëåíà Å. Ïîñòîì. Ïîýòîìó èíîãäà òàêèå ìàøèíû íàçûâàþò ìàøèíàìè Òüþðèíãà-Ïîñòà.

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà

20

(îäíà!) êîìàíäà âèäà

qi aj → qk al C, qk ∈ Q, al ∈ Σ, C ∈ {Ë, Ï, Í } çàäàåò ñäâèã ãîëîâêè âïðàâî, âëåâî èëè íà ìåñòå; q0 ∈ Q  íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå; qf ∈ Q - çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå. Âûäåëèì â àëôàâèòå Σ ñïåöèàëüíûé ïóñòîé ñèìâîë a0 = ∧ è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âî âñåõ ÿ÷åéêàõ ëåíòû, êðîìå êîíå÷íîãî èõ ÷èñëà, â íà÷àëüíûé è âî âñå ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû íàõîäèòñÿ ïóñòîé ñèìâîë. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåêîòîðûé ñèìâîë ñòèðàåòñÿ, åñëè îí çàìåíÿåòñÿ íà ïóñòîé. Äâà ñëîâà èç Σ∗ áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, åñëè îíè ñîâïàäàþò ïîñëå îòáðàñûâàíèÿ âñåõ ïóñòûõ ñèìâîëîâ ñëåâà è ñïðàâà. Íàïðèìåð, ∧ ∧ ab ∧ c∧ = ∧ab ∧ c = ab ∧ c, íî ab ∧ c 6= abc. Êàê è äëÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, ïðîãðàììó P ìîæíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû. ðàçìåðà n × m, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ñîñòîÿíèÿì èç Q, à ñòîëáöû  ñèìâîëàì èç âõîäíîãî àëôàâèòà Σ, â êîòîðîé íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè qi è ñòîëáöà aj ñòîèò òðîéêà qk al C  ïðàâàÿ ÷àñòü êîìàíäû qi aj → qk al C .

Îïðåäåëåíèå 4.2. Íàçîâåì êîíôèãóðàöèåé ì.Ò. M â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñëîâî K = wë qi aj wï , ãäå wë ∈ Σ∗ - ñëîâî íà ëåíòå ëåâåå òåêóøåãî ïîëîæåíèÿ ãîëîâêè, qi - âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå â äàííûé ìîìåíò, aj - ñèìâîë, îáîçðåâàåìûé ãîëîâêîé, wï ∈ Σ∗ - ñëîâî íà ëåíòå ïðàâåå òåêóøåãî ïîëîæåíèÿ ãîëîâêè.

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëîâî wë aj wï ñîäåðæèò âñå çíà÷àùèå ñèìâîëû íà ëåíòå. Ïîýòîìó, ñ òî÷íîñòüþ äî îïèñàííîãî âûøå ðàâåíñòâà ñëîâ, êîíôèãóðàöèÿ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.  ÷àñòíîñòè, åñëè wë = ε, ò.å. ïóñòî, òî ëåâåå ïîëîæåíèÿ ãîëîâêè âñå ÿ÷åéêè ïóñòû, à åñëè wï = ε, òî ïðàâåå ïîëîæåíèÿ ãîëîâêè âñå ÿ÷åéêè ïóñòû. Íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ - ýòî êîíôèãóðàöèÿ âèäà q0 w, ò.å. â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ãîëîâêà â ñîñòîÿíèè q0 îáîçðåâàåò ïåðâûé ñèìâîë âõîäíîãî ñëîâà w. Çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ - ýòî êîíôèãóðàöèÿ âèäà w1 qf w2 , â êîòîðîé ìàøèíà íàõîäèòñÿ â çàêëþ÷èòåëüíîì ñîñòîÿíèè qf .

Îïðåäåëåíèå 4.3. Ñêàæåì, ÷òî êîíôèãóðàöèÿ K = w1 qi aj w2 ì.Ò. M çà îäèí øàã

(òàêò) ïåðåõîäèò â êîíôèãóðàöèþ K 0 = w10 qk aj 0 w20 (K `M K 0 ), åñëè â ïðîãðàììå èìååòñÿ êîìàíäà qi aj → qk al C è ïðè ýòîì, (à) åñëè Ñ=Í, òî w10 = w1 , w20 = w2 è aj 0 = al ; (á) åñëè Ñ=Ë, òî w1 = w10 a, aj 0 = a, w20 = al w2 (åñëè w1 = ε, òî w10 = ε è aj 0 = ∧); (â) åñëè Ñ=Ï, òî w2 = aw20 , aj 0 = a, w10 = w1 al (åñëè w2 = ε, òî w20 = ε è aj 0 = ∧). Êàê îáû÷íî, ÷åðåç `∗M îáîçíà÷èì ðåôëåêñèâíîå è òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå îòíîøåíèÿ `M , à K `nM K 0 áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî êîíôèãóðàöèÿ K çà n øàãîâ ïåðåõîäèò â K 0 . (Åñëè èç êîíòåêñòà ÿñíî, î êàêîé ìàøèíå èäåò ðå÷ü, òî èíäåêñ M áóäåì îïóñêàòü).

4.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

21

K : . . . ∧ ∧ 1 0 1 ∧ 0 ∧ ∧ . . . K 0 :. . . ∧ ∧ 1 1 1 ∧ 0 ∧ ∧ . . . @ q3@

q@ 5@

Ðèñ. 1: Âûïîëíåíèå êîìàíäû q3 0 → q5 1Ï

Ïðèìåð 4.1. Íàïðèìåð, ñèòóàöèè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1 ñëåâà ñîîòâåòñòâóåò êîíôèãóðàöèÿ K = 1q3 01 ∧ 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîãðàììà P ñîäåðæèò êîìàíäó q3 0 → q5 1Ï. Òîãäà ïîñëå âûïîëíåíèÿ ýòîé êîìàíäû K ïåðåéäåò çà îäèí øàã â êîíôèãóðàöèþ K 0 = 11q5 1 ∧ 0, ïîêàçàííóþ íà ýòîì ðèñóíêå ñïðàâà. Ñëåäîâàòåëüíî, K ` K 0 .

Îïðåäåëåíèå 4.4. Âû÷èñëåíèå ì.Ò. M íà âõîäå w - ýòî êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷-

íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíôèãóðàöèé K0 ` K1 ` . . . ` Kt ` Kt+1 . . . òàêàÿ, ÷òî K0 = q0 w - íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå÷íà, êîãäà åå ïîñëåäíÿÿ êîíôèãóðàöèÿ Kn = v1 qf v2 - çàêëþ÷èòåëüíàÿ.  ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå íàçîâåì ðåçóëüòàòèâíûì, à ñëîâî v = v1 v2 - åãî ðåçóëüòàòîì íà âõîäå w (âñåãäà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî v íå ñîäåðæèò ïóñòûõ ñèìâîëîâ ñëåâà è ñïðàâà).

Îïðåäåëåíèå 4.5. Ñêàæåì, ÷òî ì.Ò. M âû÷èñëÿåò ÷àñòè÷íóþ ñëîâàðíóþ ôóíê-

öèþ f : Σ∗ → Σ∗ , åñëè äëÿ êàæäîãî ñëîâà w èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f ñóùåñòâóåò ðåçóëüòàòèâíîå âû÷èñëåíèå M ñ ðåçóëüòàòîì f (w), à åñëè f (w) íå îïðåäåëåíà (f (w) = ∞), òî âû÷èñëåíèå M íà âõîäå w áåñêîíå÷íî. Ñêàæåì, ÷òî äâå ì.Ò. M1 è M2 ýêâèâàëåíòíû, åñëè îíè âû÷èñëÿþò îäèíàêîâûå ôóíêöèè. Äàëåå ìû áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü âû÷èñëåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ò.å. ôóíêöèé ñ íàòóðàëüíûìè àðãóìåíòàìè, ïðèíèìàþùèõ íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóåì óíàðíîå êîäèðîâàíèå: ÷èñëî n áóäåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ êàê ñëîâî èç n ïàëî÷åê |n , à ïîñëåäîâàòåëüíûå àðãóìåíòû áóäåì îòäåëÿòü *.

Îïðåäåëåíèå 4.6. Ñêàæåì, ÷òî ì.Ò. M âû÷èñëÿåò ÷àñòè÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ

ôóíêöèþ f : Nk → N, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà ÷èñåë (x1 , x2 , . . . , xk ), íà êîòîðîì f îïðåäåëåíà, ñóùåñòâóåò ðåçóëüòàòèâíîå âû÷èñëåíèå M íà âõîäå |x1 ∗ |x2 ∗ . . . ∗ |xk ñ ðåçóëüòàòîì |f (x1 ,x2 ,...,xk ) , à åñëè f (x1 , x2 , . . . , xk ) = ∞, òî âû÷èñëåíèå M íà ñîîòâåòñòâóþùåì âõîäå áåñêîíå÷íî. Àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå ìîæíî äàòü è äëÿ äðóãèõ ñïîñáîâ êîäèðîâàíèÿ ÷èñåë (äâîè÷íîãî, äåñÿòè÷íîãî è äð.). Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî êëàññ âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå çàâèñèò îò âûáîðà îäíîãî èç òàêèõ êîäèðîâàíèé.

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà

22

4.2 Òüþðèíãîâî ïðîãðàììèðîâàíèå  ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì ïðèìåðû âû÷èñëåíèé íà ìàøèíàõ Òüþðèíãà è ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îáùèå ïðèåìû, ïîçâîëÿþùèå êîìáèíèðîâàòü ïðîãðàììû ðàçëè÷íûõ ì. Ò. äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå ñëîæíûõ âû÷èñëåíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÿ÷åéêè ëåíòû ì.Ò. çàíóìåðîâàíû îò −∞ äî +∞, ïðè÷åì â íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè ãîëîâêà íàõîäèòñÿ â 1-îé ÿ÷åéêå:

−4−3−2−1 1 2 3 4 5 . . . ... ∧ ∧ ∧ ∧ a b c ∧ ∧ ... q@0@ Ðèñ. 2: Íóìåðàöèÿ ÿ÷ååê ëåíòû ìàøèíû Òüþðèíãà

Ïðèìåð 4.2. Ôóíêöèÿ f (x) = x + 1 a) Óíàðíîå êîäèðîâàíèå. Ïóñòü ì.Ò. M1 =< {q0 , qf }, {∧, |}, P1 , q0 , qf >, ãäå P1 : q0 | → q0 |Ï, q0 ∧ → qf |Í. ßñíî, ÷òî ì.Ò. M1 ïðîõîäèò ïî ìàññèâó ïàëî÷åê ñëåâà íàïðàâî è çàïèñûâàåò â ïåðâîé ïóñòîé ÿ÷åéêå íîâóþ |. á) Áèíàðíîå êîäèðîâàíèå. Ïóñòü ì.Ò. M01 =< {q0 , q1 , qf }, {∧, 0, 1}, P10 , q0 , qf >, ãäå P10 :

q0 0 → q0 0Ï, q0 1 → q0 1Ï, q0 ∧ → q1 ∧ Ë, q1 0 → qf 1Í, q1 1 → q1 0Ï, q1 ∧ → qf 1Í. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà ìàøèíà â ñîñòîÿíèè q0 íàõîäèò ìëàäøèé ðàçðÿä äâîè÷íîãî âõîäà, çàòåì â ñîñòîÿíèè q1 , èäÿ ñïðàâà íàëåâî, çàìåíÿåò åäèíèöû íà íóëè äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàõîäèò 0 (èëè ∧) è çàìåíÿåò åãî íà 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ì.Ò. M01 âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x) = x + 1.

Ïðèìåð 4.3. Êîïèðîâàíèå Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ êîïèðîâàíèÿ (äóáëèðîâàíèÿ) ñëîâ â àëôàâèòå Σ : copy(x) = x ∗ x (ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ∗ ∈ / Σ).

Äëÿ åå ðåàëèçàöèè èñïîëüçóåì îäèí èç òèïè÷íûõ ïðåìîâ Òüþðèíãîâà ïðîãðàììèðîâàíèÿ - ðàñøèðåíèå àëôàâèòà. Ïóñòü Σ0 = {a0 |a ∈ Σ} è Σ1 = Σ ∪ Σ0 . Ì.Ò. M2 , êîïèðóþùàÿ âõîä, ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1) îòìå÷àåò 1-ûé ñèìâîë âõîäà, èäåò íàïðàâî, ñòàâèò * ïîñëå âõîäà è âîçâðàùàåòñÿ â íà÷àëî: q0 a → q1 a0 Ï (a ∈ Σ); q1 a → q1 aÏ (a ∈ Σ\{∧}; q1 ∧ → q2 ∗ Ë;

4.2 Òüþðèíãîâî ïðîãðàììèðîâàíèå

23

q2 a → q2 aË (a ∈ Σ ∪ {∗}); q2 a0 → qa a0 Ï (a ∈ Σ); 2) â ñîñòîÿíèè qa äâèæåòñÿ íàïðàâî è çàïèñûâàåò a â ïåðâóþ ñâîáîäíóþ ÿ÷åéêó: qa b → qa bÏ (b ∈ Σ ∪ {∗}); qa ∧ → q4 aË ; 3) âîçâðàùàåòñÿ â îòìå÷åííóþ ÿ÷åéêó è ïåðåäâèãàåò ìåòêó 0 íà îäíó ÿ÷åéêó âïðàâî, ñíîâà ïåðåõîäÿ â ñîñòîÿíèå q2 : q4 a → q4 aË (a ∈ Σ ∪ {∗}); q4 a0 → q5 aÏ (a ∈ Σ); q5 a → q2 a0 Í (a ∈ Σ); 4) óâèäåâ ñèìâîë * â ñîñòîÿíèè q5 , îñòàíàâëèâàåòñÿ: q5 ∗ → qf ∗ Í. Èç ýòîãî îïèñàíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî q0 x`∗ xqf ∗ x äëÿ ëþáîãî x ∈ Σ∗ .

4.2.1 Ñòàíäàðòíàÿ çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ Íàçîâåì çàêëþ÷èòåëüíóþ êîíôèãóðàöèþ ñòàíäàðòíîé, åñëè â íåé ãîëîâêà íàáëþäàåò ïåðâûé çíà÷àùèé ñèìâîë ðåçóëüòàòà, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â 1-îé ÿ÷åéêå (ò.å. â òîé æå ÿ÷åéêå, ãäå íà÷èíàëîñü âõîäíîå ñëîâî).

Ëåììà 4.1. Äëÿ âñÿêîé ì.Ò. M ìîæíî ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíóþ ì.Ò. M0 , ó êîòîðîé âñå çàêëþ÷èòåëüíûå êîíôèãóðàöèè ñòàíäàðòíû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M =< Q, Σ, P, q0 , qf > . Îïðåäåëèì ïî íåé ì.Ò. M0 = < Q0 , Σ0 , P 0 , q00 , qf0 >, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ëåììû. Ïîëîæèì Σ0 = Σ ∪ {a0 |a ∈ Σ} ∪ {#}, ãäå # - íîâûé ñèìâîë. M0 ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1) Îòìå÷àåò ñèìâîë â ïåðâîé ÿ÷åéêå øòðèõîì è ïåðåõîäèò â íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå M : q00 a → q0 a0 Í. 2) Äàëåå ðàáîòàåò êàê M, íî ñîõðàíÿåò øòðèõ â ïåðâîé ÿ÷åéêå è âìåñòî ïóñòîãî ñèìâîëà ∧ çàïèñûâàåò #. Äëÿ ýòîãî äëÿ êàæäîé êîìàíäû qi aj → qk al C èç P â P 0 äîáàâëÿåòñÿ åå äóáëèêàò qi a0j → qk a0l C, â ïðàâûõ ÷àñòÿõ êîìàíä ñèìâîë ∧ âñþäó çàìåíÿåòñÿ íà # è äëÿ êàæäîé êîìàíäû âèäà qi ∧ → qk al C â P 0 äîáàâëÿåòñÿ êîìàíäà qi # → qk al C. Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ýòîãî ýòàïà âñå ïîñåùåííûå â ïðîöåññå ðàáîòû ãîëîâêîé M ÿ÷åéêè ñîñòàâëÿåò íåïðåðûâíûé îòðåçîê, íå ñîäåðæàùèé ïóñòûõ ñèìâîëîâ. 3) Äàëåå M0 ñòèðàåò íåíóæíûå ñèìâîëû # ñëåâà è ñïðàâà îò áëîêà ÿ÷ååê, ñîäåðæàùåãî ïåðâóþ ÿ÷åéêó è âñå ÿ÷åéêè ñ ñèìâîëàìè ðåçóëüòàòà, è ïåðåõîäèò â îäíó èç òðåõ ñëåäóþùèõ êîíôèãóðàöèé:

K1 = që #0 # . . . #w∧, K2 = ∧qï w# . . . ##0 , K3 = ∧qí w1 a0 w2 ∧, ãäå w - ðåçóëüòàò ðàáîòû M (ñ çàìåíîé ñèìâîëîâ ∧ âíóòðè w íà #) è w1 aw2 = w. 4) Ñäâèãàåò â íóæíîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàò, ñîâìåùàÿ åãî íà÷àëî ñ ÿ÷åéêîé, ïîìå÷åííîé øòðèõîì, çàìåíÿåò âñå # âíóòðè w íà ∧, ñíèìàåò øòðèõ â 1-îé ÿ÷åéêå è îñòàíàâëèâàåòñÿ. Íàïðèìåð, äëÿ K1 ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ êîìàíä (ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íè îäíî èç èñïîëüçóåìûõ íèæå ñîñòîÿíèé që , q1 , p, p1 , p2 , p3 , pa , pa0 (a ∈

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà

24

Σ ∪ {#}) íå âõîäèò â Q) : à) ïîèñê ëåâîãî êîíöà w: që a → që aÏ (a ∈ {#0 , #}); që a → q1 a0 Ï (a ∈ Σ) (îòìåòèëè ïåðâûé ñèìâîë w), që ∧ → p3 ∧ Ë; (ðåçóëüòàò ïóñò); á) ïîèñê ïðàâîãî êîíöà w: q1 a → q1 aÏ (a ∈ Σ ∪ {#}), q1 ∧ → p ∧ Ë (â ñîñòîÿíèè p íàáëþäàåò ïîñëåäíèé ñèìâîë w); â) ñäâèã ðåçóëüòàòà íà 1 ÿ÷åéêó âëåâî: pa → pa ∧ Ë; pa b → pb aË; pa b0 → pb0 aÏ; pb0 # → p1 b0 Ï; ã) âîçâðàò ê ïðàâîìó êîíöó è ïåðåõîä ê ñëåäóþùåìó ñäâèãó: p1 a → p1 aÏ (a 6= ∧); p1 ∧ → p ∧ Ë; ä) ïðè ñäâèãå äî 1-îé ÿ÷åéêè çàìåíà ñèìâîëîâ # íà ∧ è óäàëåíèå øòðèõà: pa0 #0 → p2 a0 Í; p2 b → p2 bÏ; p2 ∧ → p3 ∧ Ë; p3 # → p3 ∧ Ë; p3 b → p3 bÏ (b 6= #, b 6= a0 ); p3 a0 → qf0 aÍ. Èç ïîñòðîåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ì.Ò. M0 óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì ëåììû. 2

4.2.2 Îäíîñòîðîííèå ìàøèíû Òüþðèíãà Ìàøèíà Òüþðèíãà M íàçûâàåòñÿ îäíîñòîðîííåé, åñëè â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ åå ãîëîâêà íèêîãäà íå ñäâèãàåòñÿ ëåâåå íà÷àëüíîé ÿ÷åéêè (ò.å. âñåãäà íàõîäèòñÿ â ÿ÷åéêàõ ñ ïîëîæèòåëüíûìè íîìåðàìè).

Ëåììà 4.2. Äëÿ âñÿêîé ì.Ò. M ìîæíî ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíóþ îäíîñòîðîííþþ ì.Ò. M0 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M =< Q, Σ, P, q0 , qf > . Áóäåì ñ÷èòàòü (èñïîëüçóÿ ëåììó 1 ), ÷òî M çàâåðøàåò ðàáîòó â ñòàíäàðòíûõ êîíôèãóðàöèÿõ. Òðåáóåìàÿ ì.Ò. M0 =< Q0 , Σ0 , P 0 , q00 , qf0 > áóäåò ìîäåëèðîâàòü ðàáîòó M, èñïîëüçóÿ ìíîãîýòàæíóþ ëåíòó. Ñîäåðæèìîå ÿ÷ååê íà 1-îì (íèæíåì) ýòàæå áóäåò íà êàæäîì òàêòå ñîâïàäàòü ñ ñîäåðæèìûì òåõ æå ÿ÷ååê M, íà 2-îì ýòàæå áóäåò êîïèðîâàòüñÿ ñîäåðæèìîå ëåâîé ïîëóëåíòû: íà íåì â i-îé ÿ÷åéêå M0 áóäåò òîò æå ñèìâîë, ÷òî è â −i-îé ÿ÷åéêå M. Êðîìå òîãî, íà 3-åì ýòàæå â 1-îé ÿ÷åéêå áóäåò ñòîÿòü îòìå÷àþùèé åå ñèìâîë #. Òàêèì îáðàçîì, Σ0 = Σ × Σ × {∧, #} ∪ Σ. Ðàáîòà M0 áóäåò ïðîèñõîäèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1) Íà ïåðâîì ýòàïå îòìå÷àåòñÿ 1-ÿ ÿ÷åéêà è ñîäåðæèìîå âõîäà ïåðåïèñûâàåòñÿ íà 1-ûé ýòàæ ëåíòû:  òðåõýòàæíîé    #

∧

q00 a → p1 ∧a Ï (a ∈ Σ); p1 a → p1 ∧a Ï (a ∈ Σ\{∧}; p1 ∧ → p2 ∧ Ë; ∧ ∧ # # p2 ∧a → p2 ∧a Ë (a ∈ Σ); p2 ∧a → q0 ∧a Ë (a ∈ Σ). 2) Çàòåì M0 ìîäåëèðóåò ðàáîòó M , èñïîëüçóÿ äëÿ ðàáîòû íà 2-îì ýòàæå äóáëèêàòû ñîñòîÿíèé (ñî øòðèõàìè) è êîìàíäû ñî ñäâèãàìè â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Äëÿ êîìàíäû q a → r b C èç P â P 0 ïîìåñòèì êîìàíäû:

4.2 Òüþðèíãîâî ïðîãðàììèðîâàíèå

∧ c

q

a

∧ → r

c

b

∧ C

è q0

a

c

25

∧ → r0

b

c

  Ï Ë C 0 , ãäå C 0 =  Í

ïðè ïðè ïðè

C=Ë C=Ï C=Í

äëÿ âñåõ c ∈ Σ. Êðîìå òîãî, äëÿ a = ∧ ñîõðàíèì è ñòàðûå êîìàíäû äëÿ ðàáîòû íà âïåðâûå ïîñåùàåìûõ ÿ÷åéêàõ:  ∧ ∧ 0 ∧ q ∧ → r b C è q ∧ → r0 ∧b C 0 . Ñäâèãè M èç 1-îé ÿ÷åéêè íàëåâî â -1-þ è îáðàòíî ìîäåëèðóþòñÿ ïåðåõîäîì ñ îäíîãî 0 ýòàæà   íà äðóãîé   â 1-îé ÿ÷åéêå M :

q

# c

a

→ r

# c

b

C , ãäå ïðè C = Ë r = r0 , C = Í, à ïðè C 6= Ë r = r,

C =#C # 0 q ac → r cb C, ãäå ïðè C = Ï r = r, C = Í, à ïðè C 6= Ï r = r0 , C = C. 3) Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ M ðåçóëüòàò çàïèñàí â íà÷àëüíûõ ÿ÷åéêàõ íà 1-îì ýòàæå. M0 ïåðåâîäèò åãî â ïåðâîíà÷àëüíûé àëôàâèò Σ. c qf ∧ → qf a Ï (a ∈ Σ\{∧}, c ∈ {∧, #} ), qf ∧ → qf0 ∧ Í. a Ïðîâåðêà ïðàâèëüíîñòè ðàáîòû ì.Ò. M0 ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ ( ñì. çàäà÷ó 4.4). 2.

4.2.3

Ïîñëåäîâàòåëüíàÿ è ïàðàëëåëüíàÿ êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà

Èñïîëüçóÿ âîçìîæíîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîèçâîëüíîé ì.Ò. íà ì.Ò. ñî ñòàíäàðòíûìè çàêëþ÷èòåëüíûìè êîíôèãóðàöèÿìè, ëåãêî óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåé ëåììû î ïîñëåäîâàòåëüíîé êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà.

Ëåììà 4.3. (Ïîñëåäîâàòåëüíàÿ êîìïîçèöèÿ) Ïóñòü ì.Ò. M1 âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ

f (x), à ì.Ò. M2 - ôóíêöèþ g(x). Òîãäà ñóùåñòâóåò ì.Ò. M, âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ h(x) = f (g(x)). Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü M1 =< Q1 , Σ1 , P1 , q01 , qf1 >, à M2 =< Q2 , Σ2 , P2 , q02 , qf2 > . Èñïîëüçóÿ ëåììó 4.1, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó M2 çàêëþ÷èòåëüíûå êîíôèãóðàöèè ñòàíäàðòíû. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ h âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ì.Ò. M =< Q1 ∪ Q2 , Σ1 ∪ Σ2 , P, q02 , qf1 >, ãäå P = P1 ∪ P2 ∪ {qf2 a → q01 a Í|a ∈ Σ2 }. 2 Ïîêàæåì, ÷òî ðàáîòó äâóõ ì.Ò. ìîæíî êîìáèíèðîâàòü òàê, ÷òîáû â çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè ñîäåðæàëèñü ðåçóëüòàòû ðàáîòû êàæäîé èç íèõ íàä íåçàâèñèìûìè âõîäàìè.

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà

26

Ëåììà 4.4. (Ïàðàëëåëüíàÿ êîìïîçèöèÿ) Ïóñòü ì.Ò. M1 âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x),

à ì.Ò. M2 - ôóíêöèþ g(x) è ñèìâîë * íå âõîäèò â àëôàâèò ì.Ò. M1 . Òîãäà ñóùåñòâóåò ì.Ò. M, êîòîðàÿ ïî ëþáîìó âõîäó âèäà x∗y âûäàåò ðåçóëüòàò f (x)∗g(y), ò.å. âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ H(x ∗ y) = f (x) ∗ g(y). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M1 =< Q1 , Σ1 , P1 , q01 , qf1 >, è M2 =< Q2 , Σ2 , P2 , q02 , qf2 > . ì.Ò. èõ óñëîâèÿ. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè ìàøèíû îäíîñòîðîííèå (ïî Ëåììå 2). Îïðåäåëèì òåïåðü ì.Ò. M =< Q1 ∪ Q2 ∪ Q0 , Σ1 ∪ Σ2 ∪ {∗}, P1 ∪ P2 ∪ P 0 , p0 , pf >, êîòîðàÿ ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1) Íà÷àâ â êîíôèãóðàöèè (p0 x ∗ y), íàõîäèò 1-ûé ñèìâîë y è ïåðåõîäèò â êîíôèãóðàöèþ (x ∗ q02 y). 2) Ðàáîòàÿ êàê M2 , âû÷èñëÿåò g(y) è ïåðåõîäèò ïðè ýòîì â êîíôèãóðàöèþ (x ∗ qf2 g(y)). 3) Ïåðåïèñûâàåò ∗x ïîñëå g(y) è ïåðåõîäèò â êîíôèãóðàöèþ g(y) ∗ q01 x). 4) Ðàáîòàÿ êàê M1 , âû÷èñëÿåò f (x) è ïåðåõîäèò ïðè ýòîì â êîíôèãóðàöèþ (g(y) ∗ qf1 f (x). 5) Ìåíÿåò g(y) è f (x) ìåñòàìè è îñòàíàâëèâàåòñÿ. Êîððåêòíîñòü ýòàïîâ 2 è 4 ñëåäóåò èç îäíîñòîðîííîñòè M2 è M1 , à ðåàëèçàöèÿ ýòàïîâ 1, 3 è 5 äîñòàòî÷íî î÷åâèäíà (ñì. çàäà÷ó 4.6).2 Ïîñòðîåííóþ â ýòîé ëåììå ì.Ò. M, ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ïàðàëëåëüíîé êîìïîçèöèè M1 è M2 , áóäåì îáîçíà÷àòü êàê par∗ (M1 , M2 ). Çäåñü èíäåêñ * óêàçûâàåò ñèìâîë, êîòîðûì îòäåëÿþòñÿ àðãóìåíòû M1 è M2 íà ëåíòå M. Ýòîò ñèìâîë ìîæåò áûòü ëþáûì ñèìâîëîì, íå âõîäÿùèì â àëôàâèò ìàøèíû M1 . Íàïðèìåð, par# (M1 , M2 ) áóäåò îáîçíà÷àòü ïàðàëëåëüíóþ êîìïîçèöèþ ìàøèí M1 è M2 , â êîòîðîé èõ àðãóìåíòû îòäåëåíû ñèìâîëîì #. Êîíñòðóêöèþ ïàðàëëåëüíîé êîìïîçèöèè ìîæíî îáîáùèòü íà ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ÷èñëî ìàøèí Òüþðèíãà. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü M1 , . . . , Mm  ìàøèíû Òüþðèíãà, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè f1 , . . . , fm , ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ñèìâîë * íå âõîäèò â àëôàâèòû ýòèõ ìàøèí. Òîãäà ñóùåñòâóåò ì.Ò. M, ïåðåðàáàòûâàþùàÿ ëþáîé âõîä âèäà x1 ∗ x2 ∗ . . . ∗ xm (xi ∈ Σ∗i , i = 1, . . . , m) â âûõîä f1 (x1 ) ∗ f2 (x2 ) ∗ . . . ∗ fm (xm ). Äåéñòâèòåëüíî, â êà÷åñòâå M ìîæíî âçÿòü ì.Ò., îïðåäåëÿåìóþ âûðàæåíèåì par∗ (M1 , par∗ (M2 , par∗ (M3 , . . . par∗ (Mm−1 , Mm ) . . .))). Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòó ìàøèíó Òüþðèíãà êàê par∗ (M1 , M2 , . . . , Mm ).

4.2.4

Âåòâëåíèå (óñëîâíûé îïåðàòîð)

Ìàøèíó Òüþðèíãà Φ áóäåì íàçûâàòü ðàñïîçíàþùåé, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî àëôàâèòà Σ è êàæäîãî âõîäà x ∈ Σ∗ , íà êîòîðîì Φ îñòàíàâëèâàåòñÿ, åå ðåçóëüòàò Φ(x) ∈ {0, 1}, ò.å. Φ âû÷èñëÿåò íåêîòîðóþ äâóçíà÷íóþ ôóíêöèþ (âîçìîæíî ÷àñòè÷íóþ) íà ñëîâàõ èç Σ.

4.2 Òüþðèíãîâî ïðîãðàììèðîâàíèå

27

Ëåììà 4.5. Ïóñòü Φ - ðàñïîçíàþùàÿ ì.Ò., ì.Ò. M1 âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x), à ì.Ò. M2 - ôóíêöèþ g(x). Òîãäà ñóùåñòâóåò ì.Ò. M, âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ  f (x) ïðè Φ(x) = 0 h(x) = g(x) ïðè Φ(x) = 1

Äîêàçàòåëüñòâî. Òðåáóåìàÿ ì.Ò. M âíà÷àëå êîïèðóåò âõîä x è ïîëó÷àåò íà ëåíòå ñëîâî x ∗ x , çàòåì âû÷èñëÿåò ïàðàëëåëüíóþ êîìïîçèöèþ ôóíêöèé Φ(x) è g(x) = x è ïåðåõîäèò â êîíôèãóðàöèþ pΦ(x) ∗ x. Âûáîð ìåæäó f è g ïðîèñõîäèò ïî ñëåäóþùèì êîìàíäàì: p0 → p0 ∧ Ï ; p1 → p1 ∧ Ï; p0 ∗ → q01 ∧ Ï; p1 ∗ → q02 ∧ Ï Êðîìå òîãî, îáåñïå÷èì ïåðåõîä â íîâîå çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå:

qf1 a → qf a Í ;

qf2 a → qf a Í (a ∈ Σ).

2 Òàêèì îáðàçîì, ìû ðåàëèçîâàëè â òåðìèíàõ ìàøèí Òüþðèíãà îáû÷íûé â ÿçûêàõ ïðîãðàììèðîâàíèÿ îïåðàòîð âåòâëåíèÿ:

if Φ(x) = 0 then f (x) else g(x) endif . 4.2.5 Ïîâòîðåíèå (öèêë) Èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèþ äëÿ âåòâëåíèÿ ëåãêî ðåàëèçîâàòü â òåðìèíàõ ìàøèí Òüþðèíãà è îïåðàòîð öèêëà.

Ëåììà 4.6. Ïóñòü Φ - ðàñïîçíàþùàÿ ì.Ò., à ì.Ò. M1 âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x). Òîãäà ñóùåñòâóåò ì.Ò. N , âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ, çàäàâàåìóþ âûðàæåíèåì:

g(x) = 0 while Φ(x) = 0 do

x := f (x) enddo0

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ì.Ò. M2 - âû÷èñëÿåò òîæäåñòâåííóþ ôóíêöèþ g(x) = x. Ïîñòðîèì ïî ì.Ò. Φ, M1 è M2 ì.Ò. M, ðåàëèçóþùóþ âåòâëåíèå êàê â ëåììå 4.5. Òîãäà èñêîìàÿ ì.Ò. N ïîëó÷àåòñÿ èç M çàìåíîé êîìàíä qf1 a → qf aH (a ∈ Σ) íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîìàíäû qf1 a → q0 aH (a ∈ Σ), îáåñïå÷èâàþùèå çàöèêëèâàíèå.2 Ðåàëèçîâàííûå âûøå îïåðàöèè íàä ìàøèíàìè Òüþðèíãà è âû÷èñëèìûìè ôóíêöèÿìè ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ïðîãðàììû íîâûõ ì.Ò., èñïîëüçóÿ îáû÷íûå êîíñòðóêöèè ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ âûñîêîãî óðîâíÿ: ïîñëåäîâàòåëüíóþ è ïàðàëëåëüíóþ êîìïîçèöèþ, âåòâëåíèå è öèêë. Ïóñòü M, M1 , M2 , . . . , Mm , Φ - ìàøèíû Òüþðèíãà. Ïîñëåäîâàòåëüíóþ êîìïîçèöèþ M1 è M2 áóäåì îáîçíà÷àòü M1 ; M2 , ïàðàëëåëüíóþ êîìïîçèöèþ M1 , M2 , . . . , Mm îáîçíà÷àåì êàê parb (M1 , M2 , . . . , Mm ) (çäåñü b  ýòî ñèìâîë, ðàçäåëÿþùèé àðãóìåíòû è ðåçóëüòàòû ýòèõ ìàøèí), âåòâëåíèå - if Φ then M1 else M2 endif, öèêë - while Φ do M enddo.

28

4 Ìàøèíû Òüþðèíãà

Ïðèìåð 4.4. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó ïåðåâîäà ÷èñåë èç óíàðíîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ â äâîè÷íóþ. Ïóñòü f ub (|n ) = n(2) äëÿ âñåõ n ∈N, ãäå n(2) äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n.

Ïóñòü M1 - ì.Ò., êîòîðàÿ íà÷àëüíóþ êîíôèãóðàöèþ q0 |n ïåðåâîäèò â êîíôèãóðàöèþ q1 0 ∗ |n ; M2 - ì.Ò., êîòîðàÿ ïðèáàâëÿåò 1 ê äâîè÷íîìó ÷èñëó-àðãóìåíòó ( ñì. ïðèìåð 4.2 íà ñòð. 22); M3 - ì.Ò., êîòîðàÿ âû÷èòàåò 1 èç óíàðíîãî ÷èñëà; Φ ì.Ò., êîòîðàÿ íà àðãóìåíòå âèäà x ∗ |y âûäàåò 0, åñëè ÷èñëî y > 0, è âûäàåò 1 ïðè y = 0 (ò.å. íà àðãóìåíòå x ∗ ∧)); M4 - ì.Ò., êîòîðàÿ ñòèðàåò * â àðãóìåíòå âèäà x∗ è îñòàíàâëèâàåòñÿ. Ðåàëèçàöèÿ êàæäîé èç óêàçàííûõ ì.Ò. î÷åâèäíà. Òåïåðü òðåáóåìàÿ ì.Ò. Mub , âû÷èñëÿþùàÿ f ub , ïîëó÷àåòñÿ êàê M1 ; while Φ do par∗ (M2 , M3 ) enddo ; M4 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå ðàáîòû M1 ïîëó÷àåì êîíôèãóðàöèþ q1 0 ∗ |n . Ïðåäïîëîæèì òåïåðü ïî èíäóêöèè, ÷òî ïîñëå i (i < n) èòåðàöèé öèêëà while ïîëó÷àåòñÿ êîíôèãóðàöèÿ q1 i(2) ∗|n−i . Òîãäà íà (i+1)-îé èòåðàöèè öèêëà ïîñëå ïàðàëëåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ M2 ê i(2) è M3 ê |n−i ïîëó÷àåì êîíôèãóðàöèþ q1 (i + 1)(2) ∗ |n−i−1 . Ïîýòîìó ïîñëå n èòåðàöèé ïîëó÷èòñÿ êîíôèãóðàöèÿ q1 n(2) ∗ ∧. Íà íåé Φ âûäàñò 1, è öèêë çàâåðøèòñÿ ñ çàïèñüþ n(2) ∗ ∧ íà ëåíòå, èç êîòîðîé M4 ñîòðåò * è îñòàâèò òðåáóåìûé ðåçóëüòàò n(2) . Îòìåòèì, ÷òî èç ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà è èç çàäà÷è 4.7(a) ñëåäóåò, ÷òî êëàññ âû÷èñëèìûõ íà ì.Ò. àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé íå çàâèñèò îò âûáîðà óíàðíîãî èëè äâîè÷íîãî êîäèðîâàíèÿ àðãóìåíòîâ è ðåçóëüòàòîâ. Ýòî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ òðîè÷íîé, äåñÿòè÷íîé è äðóãèõ ïîçèöèîííûõ ñèñòåì ñ÷èñëåíèÿ ( ïî÷åìó ?).

4.3 Çàäà÷è Çàäà÷à 4.1. Ïîñòðîéòå ì.Ò. äëÿ ôóíêöèè êîïèðîâàíèÿ, íå óâåëè÷èâàÿ èñõîäíûé àëôàâèò Σ.

Çàäà÷à 4.2. Ïîñòðîéòå ïðîãðàììó ì.Ò., êîòîðàÿ âûïîëíÿëà áû ïåðåíîñ íåïóñòî-

ãî ñëîâà â çàäàííîå ìåñòî ëåíòû, ò.å. äëÿ ëþáîãî ñëîâà w ∈ (Σ\{∧})∗ è n > 0 âûïîëíÿëà ïðåîáðàçîâàíèå êîíôèãóðàöèé: q1 w ∧n # `∗ ∧n q2 #w .

Çàäà÷à 4.3. Äîñòðîéòå ïðîãðàììó ì.Ò. M0 èç ëåììû 4.1 íà ñòð. 23 íà ýòàïàõ 3 è 4.

Çàäà÷à 4.4. Äîêàæèòå, ÷òî îäíîñòîðîííÿÿ ì.Ò. M0 , ïîñòðîåííàÿ â ëåììå 4.2 íà ñòð. 24 êîððåêòíî ìîäåëèðóåò èñõîäíóþ ì.Ò. M.

Çàäà÷à 4.5. Äðóãîé, ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíñòðóêöèåé ëåììû 4.2, ïîäõîä ê ìîäåëèðî-

âàíèþ äâóõñòîðîííåé ëåíòû íà îäíîñòîðîííåé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ñîäåðæèìîå ïðàâîé ïîëóëåíòû M õðàíèòü â ÷åòíûõ ÿ÷åéêàõ M0 , à ñîäåðæèìîå ëåâîé

4.3 Çàäà÷è

29

ïîëóëåíòû - â íå÷åòíûõ, ïîìåñòèâ â 1-þ ÿ÷åéêó ñïåöèàëüíûé ìàðêåð. Ïîñòðîéòå ïðîãðàììó, ðåàëèçóþùóþ ýòîò ïîäõîä (åå äîñòîèíñòâî - óâåëè÷åíèå àëôàâèòà ëåíòû âñåãî íà 1 ñèìâîë).

Çàäà÷à 4.6. Äîñòðîéòå ïðîãðàììó ì.Ò. M èç ëåììû 4.4 íà ýòàïàõ 1, 3 è 5. Çàäà÷à 4.7. Ïîñòðîèòü ïðîãðàììû ìàøèí Òüþðèíãà, âû÷èñëÿþùèõ ñëåäóþùèå

ôóíêöèè. à) Ïåðåâîä èç äâîè÷íîé ñèñòåìû â óíàðíóþ: f bu (n(2) ) = |n . á) Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå â äâîè÷íîé ñèñòåìå: sum(n∗m) = n+m è sub(n∗m) = ˙ ˙ ñîâïàäàåò ñ - ïðè n ≥ m è n−m ˙ = 0 ïðè m > n). n−m, (− â) Óìíîæåíèå â äâîè÷íîé ñèñòåìå: mul(n ∗ m) = n × m. ( Ðåàëèçóéòå àëãîðèòì óìíîæåíèÿ â ñòîëáèê.) ã) Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü: exp(n ∗ m) = nm . √ ä) Èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ: sqr(n) = b nc. å) Ëîãàðèôìèðîâàíèå: log(n) = blog2 nc. n c (m 6= 0). æ) Äåëåíèå: div(n ∗ m) = b m ç) Îñòàòîê îò äåëåíèÿ: rest(n ∗ m) = n mod m. n x1 è) Ôóíêöèÿ âûáîðà àðãóìåíòà: Im (| ∗ |x2 ∗ . . . ∗ |xn ) = |xm (1 ≤ m ≤ n).

Çàäà÷à 4.8. Èñïîëüçóÿ ìàøèíû Òüþðèíãà èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ïîñòðîèòü ïðîãðàììû ìàøèí Òüþðèíãà, âû÷èñëÿþùèõ ñëåäóþùèå ôóíêöèè.  2 3 xy , åñëè x < y à) f1 (x, y) = b(x + y)/2c, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå á) f2 (x, y)

 √ b x c, = 2(x +y), 

åñëè x + 1 ≥ y â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

blog2 (1 + b xy c) c, xy,

â) f3 (x, y)

=

ã) f (x, y)

 √ [ x ], = (x mod y),

åñëè x > 2y â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

åñëè 2x ≥ y â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

Çàäà÷à 4.9. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ f (x), âû÷èñëèìóþ íà íåêîòîðîé ì. Ò. M , ìîæíî òàêæå âû÷èñëèòü íà ì. Ò. M 0 , , àëôàâèò ëåíòû êîòîðîé ñîäåðæèò ëèøü äâà ñèìâîëà ∧ è | . (Óêàçàíèå: èñïîëüçóéòå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îäíîãî ñèìâîëà M áëîê èç íåñêîëüêèõ ïîäðÿä èäóùèõ ÿ÷ååê, ñîäåðæàùèõ åãî êîä â àëôàâèòå {∧, |}) è çàìåíèòå êàæäóþ êîìàíäó M ãðóïïîé êîìàíä, îáðàáàòûâàþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèé áëîê ÿ÷ååê).

30

5 Ìàøèíû Òüþðèíãà, ÷.ð.ô. è ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîîãðàììû

Çàäà÷à 4.10. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, îïðåäåëÿþùóþ ïî ñëîâó x â àëôàâèòå {1, 2} ñèììåòðè÷íî ëè îíî, ò. å. âû÷èñëÿþùóþ ôóíêöèþ:  1, åñëè ñëîâî x ñèììåòðè÷íî f (x) = 2, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

Çàäà÷à 4.11. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, ñðàâíèâàþùóþ äâà ñëîâà x = x1 x2 . . . xn

è y = y1 y2 . . . ym â àëôàâèòå {1, 2, 3} ëåêñèêîãðàôè÷åñêè: x ≺ y ⇔ ∃i ≤ n[(x1 = y1 ) & (x2 = y2 ) & . . . (xi−1 = yi−1 ) & (xi < yi )] èëè äëÿ íåêîòîðîãî íåïóñòîãî ñëîâà x0 âûïîëíåíî y = xx0 . Ýòà ìàøèíà Òüþðèíãà äîëæíà âû÷èñëÿòü ôóíêöèþ:   1, åñëè x ≺ y 2, åñëè x = y f (x, y) =  3, åñëè y ≺ x

5 Ìàøèíû Òüþðèíãà, ÷.ð.ô. è ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîîãðàììû  ýòîì ðàçäåëå ìû óñòàíîâèì, ÷òî êëàññû ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ñòðóêòóðèðîâàííûìè ïðîãðàììàìè, è ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ìàøèíàìè Òüþðèíãà, ñîâïàäàþò. Íàïîìíèì, ÷òî â òåîðåìå 3.1 íà ñòð. 11 ìû óæå ïîêàçàëè, ÷òî êàæäàÿ ÷.ð.ô. âû÷èñëèìà íåêîòîðîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììîé.

5.1 Âû÷èñëèìîñòü ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ïî Òüþðèíãó Òåîðåìà 5.1. Äëÿ âñÿêîé ÷.ð.ô. f ñóùåñòâóåò ì.Ò. Mf , âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ

f.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè f. Áàçèñ. Âû÷èñëèìîñòü ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé ìàøèíàìè Òüþðèíãà î÷åâèäíà. Èíäóêöèîííûé øàã. Ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîðû ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè ñîõðàíÿþò âû÷èñëèìîñòü ïî Òüþðèíãó. Âñå èñïîëüçóåìûå ì.Ò. áóäåì ïðåäïîëàãàòü îäíîñòîðîííèìè ñî ñòàíäàðòíûìè çàêëþ÷èòåëüíûìè êîíôèãóðàöèÿìè. n - ÷.ð.ô., âû÷èñëèìûå íà ì.Ò. MF , Mf1 , . . . , Mfn , Ñóïåðïîçèöèÿ. Ïóñòü F m è f1n , . . . , fm n ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ôóíêöèÿ G ïîëó÷åíà èç íèõ ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè: Gn = n ]. Òîãäà ì.Ò. MG , âû÷èñëÿþùàÿ G, ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: [F m ; f1n , . . . , fm 1) m ðàç êîïèðóåò âõîä |x1 ∗ . . . ∗ |xn , îòäåëÿÿ îäíó êîïèþ îò äðóãîé ñèìâîëîì #; 2) íà ïîëó÷åííîì ñëîâå âèäà |x1 ∗ . . . ∗ |xn # . . . #|x1 ∗ . . . ∗ |xn çàïóñêàåò ïàðàëëåëüíóþ

5.1 Âû÷èñëèìîñòü ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ïî Òüþðèíãó

31

êîìïîçèöèþ ìàøèí Mf1 , . . . , Mfn è ïîëó÷àåò êîíôèãóðàöèþ âèäà |y1 # . . . #|yn , ãäå yi = fi (x1 , . . . , xn ) (i ∈ [1, m]). 3) çàìåíÿåò âñå ñèìâîëû # íà *; 4) çàòåì çàïóñêàåò ïðîãðàììó ì.Ò. MF íà ïîëó÷èâøåìñÿ ïîñëå ýòàïà 3) âõîäå âèäà |y1 ∗ . . . ∗ |yn , è âû÷èñëÿåò òðåáóåìîå çíà÷åíèå G(x1 , . . . , xn ) = F (y1 , . . . , ym ). Åñëè îáîçíà÷èòü ì.Ò., âûïîëíÿþùóþ êîïèðîâàíèå íà ýòàïå (1), ÷åðåç Êîïm , à ì.Ò., âûïîëíÿþùóþ çàìåíó # íà * íà ýòàïå (3), ÷åðåç Çàì# ∗ , òî òðåáóåìóþ äëÿ ñóïåðïîçèöèè ì.Ò. MG ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê Êîïm ; par# (Mf1 , . . . , Mfn ); Çàì# ∗ ; MF .

Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèÿ. Ïóñòü ôóíêöèÿ F n+1 (x1 , . . . , xn , y) ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè èç ôóíêöèé g n (x1 , . . . , xn ) è f n+2 (x1 , . . . , xn , y, z), êîòîðûå âû÷èñëèìû íà ì.Ò. Mg è Mf . Îïðåäåëèì âñïîìîãàòåëüíûå ì.Ò.: - M1 , èñïîëüçóÿ Mg , ñòðîèò ïî âõîäó âèäà |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |y êîíôèãóðàöèþ íà ëåíòå |y ∗ |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ ∧ ∗ |g(x1 ,...,xn ) ; - M2 , èñïîëüçóÿ Mf , ñòðîèò ïî âõîäó âèäà |y ∗ |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |u ∗ |z êîíôèãóðàöèþ |y ∗ |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |u+1 ∗ |f (x1 ,...,xn ,u,z) ; - M3 íà âõîäå âèäà |y ∗ |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |u ∗ |z âûäàåò â êà÷åñòâå ðåçóëüòàòà |z ; - Φ íà âõîäå âèäà |y ∗ |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |u ∗ |z ïðîâåðÿåò óñëîâèå y 6= u. Ïîñòðîåíèå êàæäîé èç óêàçàííûõ ì.Ò. äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî. Èç íèõ ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå êîíñòðóêöèè ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ìàøèí Òüþðèíãà, òðåáóåìóþ ì.Ò. MF :

M1 ; while Φ do M2 enddo; M3 Ìèíèìèçàöèÿ. Ïóñòü f n (x1 , . . . , xn ) = µy[g n+1 (x1 , . . . , xn , y) = 0] è ì.Ò. Mg âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ g n+1 . Îïðåäåëèì ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûå ì.Ò.: N1 ïðèïèñûâàåò àðãóìåíò 0 êî âõîäó, ò.å. âõîä âèäà |x1 ∗ . . . ∗ |xn ïåðåâîäèò â êîíôèãóðàöèþ íà ëåíòå |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ ∧ (íàïîìíèì, ÷òî ïðè óíàðíîì êîäèðîâàíèè 0 ñîîòâåòñòâóåò ïóñòîé ñèìâîë). N2 êîïèðóåò ñâîé âõîä ñ ðàçäåëèòåëåì #, ò.å. ïî ëþáîìó âõîäó w âûäàåò w#w. ×åðåç E îáîçíà÷èì ì.Ò., êîòîðàÿ íè÷åãî íå äåëàåò. Ïóñòü N3 = par# (E, Mg ), ò.å. âõîä âèäà |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |y #|x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |y ìàøèíà N3 ïåðåðàáàòûâàåò, èñïîëüçóÿ Mg , â |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |y #|z , ãäå z = g(x1 , . . . , xn , y) Φ íà âõîäå âèäà w#v ïðîâåðÿåò íåïóñòîòó v (ò.å. óñëîâèå v > 0). ( 0, åñëè v 6= ∧ Φ(w#v) = 1 åñëè v = ∧ Òàêèì îáðàçîì, ïðè v = g(x1 , . . . , xn , y) ìàøèíà Φ ïðîâåðÿåò óñëîâèå g(x1 , . . . , xn , y) 6= 0.

32

5 Ìàøèíû Òüþðèíãà, ÷.ð.ô. è ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîîãðàììû

N4 ïî âõîäó âèäà |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |y #w ñòèðàåò #w è ïðèáàâëÿåò ê y åäèíèöó, ò.å. âûäàåò ðåçóëüòàò: |x1 ∗ . . . ∗ |xn ∗ |y+1 . Íàêîíåö, N5 ïî âõîäó |x1 ∗. . .∗|xn ∗|y #w âûäàåò |y , ñòèðàÿ íåíóæíûå áëîêè ñèìâîëîâ. ßñíî, ÷òî êàæäàÿ èç ïåðå÷èñëåííûõ ì.Ò. N1 , N2 , N3 , N4 , N5 è Φ ëåãêî ðåàëèçóåìà. Ïîñòðîèì òåïåðü ñ èõ ïîìîùüþ ñëåäóþùóþ ì.Ò. Mf : N1 ; N2 ; N3 ; while Φ do N4 ; N2 ; N3 enddo; N5 . Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî Mf âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f n (x1 , . . . , xn ), çàäàííóþ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ìèíèìèçàöèè. 2

5.2 Ìîäåëèðîâàíèå ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì ìàøèíàìè Òüþðèíãà Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîãëî ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ìàøèíû Òüþðèíãà ñ èõ ïðèìèòèâíûìè ýëåìåíòàðíûìè äåéñòâèÿìè ÿâëÿþòñÿ áîëåå ñëàáûìè âû÷èñëèòåëüíûìè ìîäåëÿìè, ÷åì ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû. Íî ïîñëå òîãî, êàê ìû íàó÷èëèñü ðåàëèçîâûâàòü ñ èõ ïîìîùüþ îïåðàòîðû âûñîêîãî óðîâíÿ   óñëîâèÿ è öèêëû, óæå íå óäèâèòåëüíî, ÷òî îíè ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü íå ìåíüøå, ÷åì ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû.

Òåîðåìà 5.2. Âñÿêàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, âû÷èñëèìàÿ íåêîòîðîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììîé, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà òàêæå íåêîòîðîé ìàøèíîé Òüþðèíãà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ïðîãðàììà Π âû÷èñëÿåò àðèôìåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ). Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî V arΠ = {x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xm } è ÷òî ðåçóëüòèðóþùåé ïåðåìåííîé ÿâëÿåòñÿ x1 . Ì.Ò. MΠ , ìîäåëèðóþùàÿ Π, áóäåò èìåòü m-ýòàæíóþ ëåíòó ñ àëôàâèòîì Σ = {∧, |, ∗} ∪ {∧, |}m . Îáîçíà÷èì êîíôèãóðàöèþ ëåíòû MΠ , â êîòîðîé íà i-îì ýòàæå, íà÷èíàÿ ñ 1-îé ÿ÷åéêè çàïèñàíî ñëåâà íàïðàâî ki ñèìâîëîâ '|' (i = 1, 2, . . . , m), à äàëåå èäóò ïóñòûøêè  ∧, êàê (k1 , k2 , . . . , km ). Òîãäà ñîñòîÿíèþ σ : V arΠ → N ïðîãðàììû Π áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü êîíôèãóðàöèÿ ëåíòû MΠ : Kσ = (σ(x1 ), σ(x2 ), . . . , σ(xm )). MΠ ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèé ïîñëåäîâàòåëüíîé êîìïîçèöèè, óñëîâíîãî îïåðàòîðà è öèêëà èç ïðîñòûõ ìàøèí Òüþðèíãà, ðåàëèçóþùèõ ýëåìåíòàðíûå ïðèñâàèâàíèÿ è óñëîâèÿ ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì. Êîìàíäó xi := 0 (i = 1, . . . , m) ïðîãðàììû Π ðåàëèçóåò ì.Ò. M0i , îáíóëÿþùàÿ i-ûé ýòàæ M , ò.å. ïåðåâîäÿùàÿ ëþáóþ êîíôèãóðàöèþ (k1 , . . . , ki−1 , ki , ki+1 . . . , km ) â êîíôèãóðàöèþ (k1 , . . . , ki−1 , 0, ki+1 , . . . , km ). Êîìàíäó xi := xi + 1 (i = 1, . . . , m) i , äîáàâëÿþùàÿ îäèí ñèìâîë '|' ñïðàâà íà i-îì ïðîãðàììû Π ðåàëèçóåò ì.Ò. M+1 ýòàæå, ò.å. ïåðåâîäÿùàÿ ëþáóþ êîíôèãóðàöèþ (k1 , . . . , ki−1 , ki , ki+1 . . . , km ) â êîíôèãóðàöèþ (k1 , . . . , ki−1 , ki + 1, ki+1 , . . . , km ). Êîìàíäó xi := xj (i, j = 1, . . . , m) ïðîãðàììû Π ðåàëèçóåò ì.Ò. M ij , ïåðåïèñûâàþùàÿ ñîäåðæèìîå j -ãî ýòàæà íà i-ûé,

5.3 ×àñòè÷íàÿ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ïî Òüþðèíãó

33

ò.å. ïåðåâîäÿùàÿ ëþáóþ êîíôèãóðàöèþ (k1 , . . . , ki , . . . , kj , . . . , km ) â êîíôèãóðàöèþ (k1 , . . . , kj , . . . , kj , . . . , km ). Óñëîâèå xi = xj ðåàëèçóåòñÿ ìàøèíîé Φij = , êîòîðàÿ, ðàáîòàÿ íà êîíôèãóðàöèè (k1 , . . . , ki , . . . , kj , . . . , km ) âûäàåò 0, åñëè ki = kj , è 1  â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Óñëîâèå xi < xj ðåàëèçóåòñÿ ìàøèíîé Φij < , êîòîðàÿ, ðàáîòàÿ íà êîíôèãóðàöèè (k1 , . . . , ki , . . . , kj , . . . , km ) âûäàåò 0, åñëè ki < kj , è 1  â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äàëåå ïî èíäóêöèè: ïóñòü Π1 è Π2  ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîãðàììû, äëÿ êîòîðûõ ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ìàøèíû Òüþðèíãà MΠ1 è MΠ2 , à Φ  íåêîòîðîå óñëîâèå, ðåàëèçóåìîå ì.Ò. MΦ . Òîãäà ïðîãðàììà Π = Π1 ; Π2 ðåàëèçóåòñÿ ìàøèíîé MΠ = MΠ1 ; MΠ2 ïðîãðàììà Π = åñëè Φ òî Π1 èíà÷å Π2 êîíåö ðåàëèçóåòñÿ ìàøèíîé MΠ = if MΦ then MΠ1 else MΠ2 endif , à ïðîãðàììà Π = ïîêà Φ äåëàé Π1 âñå ðåàëèçóåòñÿ ìàøèíîé MΠ = while MΦ do MΠ1 enddo. Èñïîëüçóÿ äîêàçàííûå âûøå ñâîéñòâà êîíñòðóêöèé ìàøèí Òüþðèíãà, íåòðóäíî ïðîâåðèòü ïî èíäóêöèè ñëåäóþùåå Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü ì.Ò. MΠ ðåàëèçóåò â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííûìè îïðåäåëåíèÿìè ñòðóêòóðèðîâàííóþ ïðîãðàììó Π. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ σ ïðîãðàììû Π Π(σ) = σ1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ì.Ò MΠ , íà÷àâ ðàáîòó â êîíôèãóðàöèè Kσ çàâåðøèò åå â êîíôèãóðàöèè Kσ1 . Òåïåðü äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî âçÿòü â êà÷åñòâå ðåçóëüòèðóþùåé ñëåäóþùóþ ì.Ò.: M = Mstart ; MΠ ; Mend , ãäå ì.Ò. Mstart ïåðåâîäèò îäíîýòàæíóþ íà÷àëüíóþ êîíôèãóðàöèþ |x1 ∗ |x2 ∗ . . . |xn â m-ýòàæíóþ êîíôèãóðàöèþ (x1 , x2 , . . . , xn , 0, . . . , 0), à ì.Ò. Mend çàêëþ÷èòåëüíóþ m-ýòàæíóþ êîíôèãóðàöèþ (x1 , 0, . . . , 0) ïåðåâîäèò â îäíîýòàæíóþ çàêëþ÷èòåëüíóþ êîíôèãóðàöèþ |x1 .2

5.3 ×àñòè÷íàÿ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ïî Òüþðèíãó  ýòîì ïàðàãðàôå ïîêàæåì, êàê ìîæíî ïðîìîäåëèðîâàòü ðàáîòó ìàøèíû Òüþðèíãà, èñïîëüçóÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå îïðåäåëåíèÿ.

Òåîðåìà 5.3. Âñÿêàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, âû÷èñëèìàÿ íà ìàøèíàõ Òüþðèíãà, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû  äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë, êîòîðûé ìîæíî ïðè ïåðâîì ÷òåíèè îïóñòèòü. Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü ì.Ò. M =< Q, Σ, P, q0 , qf > âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ). Ïóñòü òàêæå Q = {q0 , q1 , . . . , qk−1 }, qf = q1 è Σ = {a0 = ∧, a1 , . . . , aR−1 = |}. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî M íèêîãäà íå ïèøåò ïóñòîé ñèìâîë ∧ (êàê ïåðåñòðîèòü ïðîãðàììó ïðîèçâîëüíîé ì.Ò., ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà ýòîìó óñëîâèþ ?). Îïðåäåëèì êîäèðîâàíèå ýëåìåíòîâ êîíôèãóðàöèé M öåëûìè ÷èñëàìè. Êîäîì ñèìâîëà aj ∈ Σ áóäåò ÷èñëî j, êîäîì ñîñòîÿíèÿ qi - ÷èñëî i. Ïóñòü êîíôèãóðàöèÿ M èìååò âèä K = (w1 , qi , aj , w2 ), ãäå w1 = aim aim−1 . . . ai0 è w2 = aj0 aj1 . . . ajp . Òîãäà w1 è w2 ìîæíî

34

5 Ìàøèíû Òüþðèíãà, ÷.ð.ô. è ñòðóêòóðèðîâàííûå ïðîîãðàììû

ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëà â R-è÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, ÷èòàåìûå â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (èç íàøèõ ïðåäïîëîæåíèé ñëåäóåò, ÷òî im 6= 0 ïðè m > 0 è jp 6= 0 ïðè p > 0) : p m X X l code1 (w1 ) = R il code2 (w2 ) = Rl jl . l=0

l=0

Íàïðèìåð, åñëè Σ = {∧, ∗, |}, òî äëÿ êîíôèãóðàöèè K = (| ∗ ∗, q3 , |, ∗||) èìååì code1 (w1 ) = 30 1 + 31 1 + 32 2 = 22 = [211]3 = 22 è code2 (w2 ) = 30 1 + 31 2 + 32 2 = 19 = [221]3 = 25. Ïî ïðîãðàììå P îïðåäåëèì ñëåäóþùèå òàáëè÷íûå ôóíêöèè, êîäèðóþùèå åå êîìàíäû: A(i, j) − êîä ñèìâîëà, êîòîðûé ïèøåò M, êîãäà îíà â ñîñòîÿíèè qi âèäèò ñèìâîë aj ; Q(i, j) − êîä ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðîå ïåðåõîäèò M, êîãäà îíà â ñîñòîÿíèè qi âèäèò ñèìâîë aj ; C(i, j) − êîä íàïðàâëåíèÿ ñäâèãà ãîëîâêè M, êîãäà îíà â ñîñòîÿíèè qi âèäèò ñèìâîë aj (0 - íà ìåñòå, 1 - âïðàâî, 2 - âëåâî). Ïóñòü ïðè i ≥ k èëè j ≥ R ýòè ôóíêöèè ïðèíèìàþò êàêîå-íèáóäü ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå (íàïðèìåð, 0). Òîãäà ïî ëåììå 1 âñå îíè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû. Îïðåäåëèì ôóíêöèè, êîòîðûå ïî êîäàì êîìïîíåíò îäíîé êîíôèãóðàöèè K = (w1 , qi , aj , w2 ) âû÷èñëÿþò êîäû êîìïîíåíò ñëåäóþùåé êîíôèãóðàöèè K 0 = (w10 , qm , ap , w20 ). lf (code1 (w1 ), i, j, code2 (w2 )) = code1 (w10 ); rt(code1 (w1 ), i, j, code2 (w2 )) = code2 (w20 ); q(code1 (w1 ), i, j, code2 (w2 )) = m; a(code1 (w1 ), i, j, code2 (w2 )) = p. Ïîêàæåì, ÷òî âñå ýòè ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû. Äëÿ q ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáûõ i, j q(l, i, j, m) = Q(i, j). Îïðåäåëåíèÿ îñòàëüíûõ òðåõ ôóíêöèé çàâèñÿò îò ñäâèãà. Ïðè C(i, j) = 0 èìååì lf (l, i, j, r) = l, rt(l, i, j, r) = r, a(l, i, j, r) = A(i, j). Åñëè C(i, j) = 2, òî lf (l, i, j, r) = l : R, rt(l, i, j, r) = rR + A(i, j), a(l, i, j, r) = rm(R, l). Åñëè æå C(i, j) = 1, òî lf (l, i, j, r) = lR + A(i, j), rt(l, i, j, r) = r : R, a(l, i, j, r) = rm(R, r). Îáúåäèíÿÿ ýòè ñëó÷àè ïîëó÷àåì, ÷òî

lf (l, i, j, r) = eq(C(i, j), 0)l + eq(C(i, j), 2)(l : R) + eq(C(i, j), 1)(lR + A(i, j)). Àíàëîãè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ ôóíêöèé rt(l, i, j, r) è a(l, i, j, r). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ýòè ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû. Ïóñòü èç äàííîé êîíôèãóðàöèè K ÷åðåç t òàêòîâ ïîëó÷àåòñÿ êîíôèãóðàöèÿ K t . Îïðåäåëèì êîäû êîìïîíåíò K t êàê ôóíêöèè îò êîìïîíåíò K è t : A(l, i, j, r, 0) = j, Q(l, i, j, r, 0) = i, Lf (l, i, j, r, 0) = l, Rt(l, i, j, r, 0) = r, A(l, i, j, r, t + 1) = a(Lf (l, i, j, r, t), Q(l, i, j, r, t), A(l, i, j, r, t), Rt(l, i, j, r, t)), Q(l, i, j, r, t + 1) = q(Lf (l, i, j, r, t), Q(l, i, j, r, t), A(l, i, j, r, t), Rt(l, i, j, r, t)), Lf (l, i, j, r, t + 1) = lf (Lf (l, i, j, r, t), Q(l, i, j, r, t), A(l, i, j, r, t), Rt(l, i, j, r, t)), Rt(l, i, j, r, t + 1) = rt(Lf (l, i, j, r, t), Q(l, i, j, r, t), A(l, i, j, r, t), Rt(l, i, j, r, t)). Ýòî îïðåäåëåíèå çàäàåò ôóíêöèè A(4) , Q(4) , Lf (4) , Rt(4) ñ ïîìîùüþ ñîâìåñòíîé ðåêóðñèè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 4 îíè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû.

5.4 Çàäà÷è

35

Ïóñòü ì.Ò. M âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x), (ò.å. n = 1). Òîãäà äëÿ íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè Kx = K 0 = (∧, q0 , |, |x−1 ) code1 (w1 ) = 0, code(q0 ) = 0, code(|) = R − 1, code2 (w2 ) = (R − ¯ t) = Q(0, 0, R−1, Rx−1 −1) è 1)Rx−2 +(R−1)Rx−3 +. . .+(R−1)R0 = Rx−1 −1. Ïîëîæèì Q(x, x−1 ¯ ¯ t) = 1) çàäàåò ÷èñëî øàãîâ Rt(x, t) = Q(0, 0, R−1, R −1). Òîãäà ôóíêöèÿ τ (x) = µt(Q(x, äî ïåðåõîäà M â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå íà âõîäå x. Ýòà ôóíêöèÿ, î÷åâèäíî, ÷àñòè÷íî ˆ ¯ ðåêóðñèâíà. Òîãäà ôóíêöèÿ Rt(x) = Rt(x, τ (x)) çàäàåò êîä ïðàâîé ÷àñòè çàêëþ÷èòåëüíîé f (x)−1 êîíôèãóðàöèè, èìåþùèé âèä R − 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî

ˆ f (x) = 1 + logR (Rt(x)) + 1) = 1 + logR (Rt(0, 0, R − 1, Rx−1 ) + 1), è ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f (x) ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà.

5.4 Çàäà÷è Çàäà÷à 5.1. Äîêàæèòå, ÷òî ìàøèíû Òüþðèíãà MF è Mf , îïðåäåëåííûå â äîêàçàòåëü-

ñòâå òåîðåìû 5.1 íà ñòð. 30 äëÿ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè äåéñòâèòåëüíî ïðàâèëüíî ðåàëèçóþò óêàçàííûå îïåðàòîðû. i , M ij , Φij , Φij , M Çàäà÷à 5.2. Ïîñòðîéòå ìàøèíû Òüþðèíãà M0i , M+1 start è Mend , < =

îïðåäåëåííûå â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.2 íà ñòð. 32.

Çàäà÷à 5.3. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå 1, ñôîðìóëèðîâàííîå â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.2

íà ñòð. 32, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ ïî ïîñòðîåíèþ ïðîãðàììû Π è ñîîòâåòñòâóþùåé ì.Ò. MΠ .

Çàäà÷à 5.4.  äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.3 íà ñòð. 33 ðàññìîòðåí ñëó÷àé ôóíêöèé îò îäíîãî àðãóìåíòà f (x) . Ïîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà âåðíà è â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ) ïðè ëþáîì n.

6 Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû Ìû ðàññìîòðåëè òðè ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ îïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ è âû÷èñëÿåìûõ èìè ôóíêöèé, îòðàæàþùèå ðàçëè÷íûå àñïåêòû è ïðåäñòàâëåíèÿ î ðàáîòå àáñòðàêòíîãî âû÷èñëèòåëÿ. Èç òåîðåì 3.1 íà ñòð. 11,5.2 íà ñòð. 32 è 5.3 íà ñòð. 33 íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì Ñëåäñòâèå. Êëàññû ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ñ ïîìîùüþ ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì, ìàøèí Òüþðèíãà è ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ îïèñàíèé, ñîâïàäàþò. Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî îáùèì ÿâëÿåòñÿ ýòîò ðåçóëüòàò? Âåðíî ëè, ÷òî êàæäûé àëãîðèòì ìîæåò áûòü çàäàí îäíèì èç ðàññìîòðåííûõ ñïîñîáîâ? Íà ýòè âîïðîñû òåîðèÿ àëãîðèòìîâ îòâå÷àåò ñëåäóþùåé ãèïîòåçîé. Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à: Âñÿêèé àëãîðèòì ìîæåò áûòü çàäàí â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåé ìàøèíû Òüþðèíãà èëè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîãî îïðåäåëåíèÿ, à êëàññ

36

6 Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû

âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è ñ êëàññîì ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ íà ìàøèíàõ Òüþðèíãà. Çíà÷åíèå ýòîãî òåçèñà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí óòî÷íÿåò îáùåå íåôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèÿ âñÿêîãî àëãîðèòìà è âû÷èñëèìîé ôóíêöèè ÷åðåç òî÷íûå ôîðìàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà, ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîãî îïðåäåëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êëàññîâ ôóíêöèé. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî îñìûñëåííî ñòàâèòü âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè èëè íåñóùåñòâîâàíèè àëãîðèòìà, ðåøàþùåãî òîò èëè èíîé êëàññ çàäà÷. Òåïåðü ýòîò âîïðîñ ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê âîïðîñ î î ñóùåñòâîâàíèè èëè íåñóùåñòâîâàíèè ñîîòâåòñòâóþùåé ìàøèíû Òüþðèíãà èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî) ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììû èëè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîãî îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè. Ìîæíî ëè äîêàçàòü ýòîò òåçèñ êàê òåîðåìó? Íåò, ïîñêîëüêó â åãî ôîðìóëèðîâêå ðå÷ü èäåò î íåòî÷íûõ ïîíÿòèÿõ âñÿêîãî àëãîðèòìà è âû÷èñëèìîé ôóíêöèè, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü îáúåêòàìè ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé. Íà ÷åì æå òîãäà îñíîâàíà óâåðåííîñòü â ñïðàâåäëèâîñòè òåçèñà Òüþðèíãà-×åð÷à?  ïåðâóþ î÷åðåäü íà îïûòå. Âñå èçâåñòíûå àëãîðèòìû, ïðèäóìàííûå çà ìíîãèå âåêà ìàòåìàòèêàìè ìîãóò áûòü çàäàíû ñ ïîìîùüþ ìàøèí Òüþðèíãà. Äëÿ âñåõ ìíîãî÷èñëåííûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, ïîÿâèâøèõñÿ çà ïîñëåäíèå 70 ëåò (íåêîòîðûå èç íèõ ìû óïîìèíàëè â íà÷àëå ëåêöèé), áûëà äîêàçàíà èõ ðàâíîñèëüíîñòü ìàøèíàì Òüþðèíãà.  êà÷åñòâå äîâîäîâ â ïîëüçó òåçèñà Òüþðèíãà-×åð÷à ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü çàìêíóòîñòü êëàññà ìàøèí Òüþðèíãà è ÷.ð.ô. îòíîñèòåëüíî ìíîãî÷èñëåííûõ åñòåñòâåííûõ îïåðàöèé íàä àëãîðèòìàìè è ôóíêöèÿìè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à îáðàùåí è â áóäóùåå: îí ïðåäïîëàãàåò, ÷òî êàêèå áû íîâûå ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ àëãîðèòìîâ íå áûëè ïðåäëîæåíû (à òàêîâûìè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ íîâûå ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ) âñå îíè íå âûéäóò èç êëàññà àëãîðèòìîâ, çàäàâàåìûõ ìàøèíàìè Òüþðèíãà. ×òîáû ïîêàçàòü ñâÿçü òåîðèè àëãîðèòìîâ ñ ïðàêòè÷åñêèì ïðîãðàììèðîâàíèåì ðàññìîòðèì íåêîòîðûå àëãîðèòìè÷ñêèå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñî ñòðóêòóðèðîâàííûìè ïðîãðàììàìè. Çàôèêñèðóåì êîíå÷íûé àëôàâèò A = {a0 , a1 , . . . , am−1 }, âêëþ÷àþùèé âñå ñèìâîëû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, öèôðû, çíàê ïðîáåëà (ïóñòü ýòî áóäåò a0 ), çíàêè ';', '=', '<', ':=' , à òàêæå çíàêè-êëþ÷åâûå ñëîâà åñëè , òî , êîíåö , ïîêà , äåëàé è âñå. Òîãäà êàæäàÿ ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ïðîãðàììà Π ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðîå ñëîâî wΠ = ai1 ai2 . . . aik â àëôàâèòå A. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ñëîâî íà÷èíàåòñÿ íå ñ ïðîáåëà, ò.å. i1 > 0. Òîãäà ñëîâî wΠ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íàPk k−j òóðàëüíîå ÷èñëî nΠ , m-è÷íîé çàïèñüþ êîòîðîãî îíî ÿâëÿåòñÿ, ò.å. nΠ = j=1 ij m . Íàçîâåì ýòî ÷èñëî íîìåðîì ïðîãðàììû Π. Ïî òåêñòó ïðîãðàììû Π åå íîìåð nΠ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Ðàññìîòðèì òåïåðü îáðàòíîå ñîîòâåòñòâèå. Êîíå÷íî, íå êàæäîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ íîìåðîì íåêîòîðîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììû. Ïîýòîìó ñîïîñòàâèì êàæäîìó ÷èñëó n ∈ N ñòðóêòóðèðîâàííóþ ïðîãðàììó Πn ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè n = nΠ äëÿ íåêîòîðîé ïðîãðàììû Π, òî Πn = Π, èíà÷å, ò.å. êîãäà n íå ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì íîìåðîì íèêàêîé ïðîãðàììû, ñîïîñòàâèì åìó â êà÷åñòâå

37

Πn íåêîòîðóþ íèêîãäà íå îñòàíàâëèâàþùóþñÿ ïðîãðàììó P (íàïðèìåð, ïðîãðàììó Π5 (1) : x1 := x1 ; ïîêà x1 = x1 äåëàé x1 := x1 âñå èç ïðèìåðà 2.5 íà ñòð. 6). Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîâåðêå äëÿ êàæäîé ïðîãðàììû Π ñ âõîäíîé ïåðåìåííîé x è âûõîäíîé ïåðåìåííîé y òîãî, îñòàíîâèòñÿ ëè Π íà ñîáñòâåííîì íîìåðå nΠ , ò.å â âû÷èñëåíèè âñþäó îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ( 1, åñëè ΦΠx ,y (nΠx ) < ∞ Fs (x) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

Òåîðåìà 6.1. Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà, ò.å. íå ñóùåñòâóåò ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììû, âû÷èñëÿþùåé ôóíêöèþ Fs (x).

Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîãðàììà P , âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ Fs (x). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî åå âûõîäíàÿ ïåðåìåííàÿ åñòü y (ïî÷åìó?) è ïîýòîìó ΦP,y (x) = Fs (x) äëÿ âñåõ x. Ïóñòü ïåðåìåííàÿ z íå âõîäèò â P . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîãðàììó P 0 : P ; z := 0; åñëè z < y òî Π5 (1) èíà÷å y := z êîíåö. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè P íà âõîäå x âûäàåò ðåçóëüòàò y = 1, òî P 0 íà ýòîì âõîäå íå îñòàíàâëèâàåòñÿ, à åñëè P âûäàåò ðåçóëüòàò y = 0, òî P 0 îñòàíàâëèâàåòñÿ ( è òîæå âûäàåò 0). Ïóñòü n0 = nP 0  íîìåð ïðîãðàììû P 0 . ×åìó òîãäà ðàâíî çíà÷åíèå ΦP,y (n0 )? Åñëè îíî ðàâíî 1, òî íà âõîäå x = n0 ïðîãðàììà P 0 íå îñòàíîâèòñÿ, ò.å. ΦP 0 ,y (n0 ) = ∞, íî òîãäà Fs (n0 ) = 0 6= ΦP,y (n0 ). Åñëè æå ΦP,y (n0 ) = 0, òî P 0 íà âõîäå x = n0 îñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ðåçóëüòàòîì 0, ò.å. ΦP 0 ,y (n0 ) < ∞. Íî òîãäà Fs (n0 ) = 1 6= ΦP,y (n0 ) = 0. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷èëè, ÷òî Fs 6= ΦP,y è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäïîëîæåíèå î ñóùåñòâîâàíèè ïðîãðàììû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Fs íåâåðíî. Çàìåòèì, ÷òî íà ñàìîì äåëå ìû äîêàçàëè îòñóòñòâèå ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Fs . Íî òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è ýêâèâàëåíòíîñòü ñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîãðàìì ìàøèíàì Òüþðèíãà è ÷.ð.ô. ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä îá àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìû. Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íå î÷åíü èíòåðåñíîé ñ ïðàêòè÷åñêîé (ïðîãðàììèñòñêîé) òî÷êè çðåíèÿ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè ìíîãèõ äðóãèõ àëãîðèòìè÷åñêèõ ïðîáëåì, áîëåå òåñíî ñâÿçàííûõ ñ ïðàêòèêîé ïðîãðàììèðîâàíèÿ. 1. Ïðîáëåìà îñòàíîâà: ïî ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììå Π îïðåäåëèòü çàâåðøèòñÿ ëè âû÷èñëåíèå Π íà âõîäå 0, ò.å âû÷èñëèòü âñþäó îïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ  1, åñëè ΦΠn ,y (0) < ∞ Fh0 (n) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå  áîëåå îáùåì âèäå ïðîáëåìà îñòàíîâà ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ñëåäóþùåé ôóíêöèè:  1, åñëè ΦΠn ,y (a) < ∞ Fh (n, a) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

38

6 Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû

Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðîãðàììà Πn îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Fh (n, a) = 1. 2. Ïðîáëåìà òîòàëüíîñòè: ïî ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììå Π îïðåäåëèòü çàâåðøàåò ëè îíà ðàáîòó ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ âõîäíîé ïåðåìåííîé, ò.å âû÷èñëèòü âñþäó îïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ  1, åñëè äëÿ âñåõ a ΦΠn ,y (a) < ∞ Ft (n) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå 3. Ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè: ïî ïðîèçâîëüíûì äâóì ñòðóêòóðèðîâàííûì ïðîãðàììàì Π è Π0 îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíû ëè îíè, ò.å âû÷èñëÿþò ëè îíè îäíó è òó æå ôóíêöèþ:  1, åñëè äëÿ âñåõ a ΦΠn ,y (a) = ΦΠm ,y (a) Feq (n, m) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå 4. Ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè òåêñòà ïðîãðàììû. Îäíà èç âîçìîæíûõ îïòèìèçàöèé (òåêñòà) ïðîãðàììû ñîñòîèò â óäàëåíèè èç íåå îïåðàòîðîâ ïðèñâàèâàíèÿ, êîòîðûå íèêîãäà íå ðàáîòàþò, à äðóãàÿ  â çàìåíå óñëîâíûõ îïåðàòîðîâ âèäà åñëè ϕ òî Π1 èíà÷å Π2 êîíåö, íà Π1 â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå ϕ èñòèííî íà ëþáûõ âõîäíûõ äàííûõ, è  íà Π2 , åñëè îíî íà ëþáîì âõîäå ëîæíî. Îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì îïòèìèçàöèÿì ôóíêöèè:  1, åñëè ñóùåñòâóåò âõîä a, ïðè ðàáîòå íà êîòîðîì    â ïðîãðàììå Πn ñðàáàòûâàåò m-ûé ïî ñ÷åòó Fopt1 (n, m) = îïåðàòîð ïðèñâàèâàíèÿ    0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè Fopt1 (n, m) = 0 ïðîãðàììó Πn ìîæíî îïòèìèçèðîâàòü, óäàëèâ èç íåå m-ûé îïåðàòîð ïðèñâàèâàíèÿ. Íàçîâåì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Fopt1 (n, m) ïðîáëåìîé ëèøíåãî ïðèñâàèâàíèÿ .  1, åñëè ñóùåñòâóåò âõîä a, íà êîòîðîì ïðè íåêîòîðîì    ñðàáàòûâàíèè m-ãî ïî ñ÷åòó óñëîâíîãî îïåðàòîðà èç Fopt2 (n, m) = ïðîãðàììû Πn åãî óñëîâèå èñòèííî    0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ßñíî, ÷òî ïðè Fopt2 (n, m) = 0 ïðîãðàììó Πn ìîæíî îïòèìèçèðîâàòü, çàìåíèâ åå m-ûé óñëîâíûé îïåðàòîð åãî âòîðîé àëüòåðíàòèâîé. Íàçîâåì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Fopt2 (n, m) ïðîáëåìîé ëèøíåãî óñëîâèÿ . Çàìåòèì, ÷òî ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè è âñå ïðîáëåìû, ïåðå÷èñëåííûå â ïï. 1-4 âûøå, ñâÿçàíû ñ âû÷èñëåíèåì ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ äâà çíà÷åíèÿ 0 è 1. Ýòè

39 ôóíêöèè ÿâëÿÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ. Íàïðèìåð, Fh0 (n) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ìíîæåñòâà íîìåðîâ ïðîãðàìì, îñòàíàâëèâàþùèõñÿ íà âõîäå 0. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâà A ⊆ Nk åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ckA îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

 ckA (x1 , . . . , xk )

=

1, 0

åñëè (x1 , . . . , xk ) ∈ A â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

Íà ìíîæåñòâà ïåðåíîñèòñÿ ïîíÿòèÿ ðàçðåøèìîñòè è íåðàçðåøèìîñòè.

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ìíîæåñòâî A ⊆ Nk íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìûì (èëè ðåêóðñèâíûì), åñëè åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ckA âû÷èñëèìà, ò.å. ÿâëÿåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, îíî (è ñâÿçàííàÿ ñ íèì ïðîáëåìà) íåðàçðåøèìî.

Èñïîëüçóÿ ýòî îïðåäåëåíèå, òåîðåìó 6.1 íà ñòð. 37 ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: Ìíîæåñòâî íîìåðîâ ïðîãðàìì, îñòàíîâëèâàþùèõñÿ íà ñîáñòâåííîì íîìåðå, Ms = {n | ΦΠn ,y (n) < ∞} íåðàçðåøèìî. Îáû÷íî äîêàçàòåëüñòâà íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåì èñïîëüçóþò ìåòîä ñâåäåíèÿ. Íåôîðìàëüíî åãî èäåþ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Åñëè ðåøåíèå íåêîòîðîé íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìû A ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ðåøåíèå ïðîáëåìû B , òî òîãäà ïðîáëåìà B òîæå íåðàçðåøèìà. Îïðåäåëèì îòíîøåíèå ñâîäèìîñòè áîëåå ôîðìàëüíî. Íàïîìíèì, ÷òî íóìåðàöèîííûå ôóíêöèè ïîçâîëÿþò âìåñòî íàáîðîâ (âåêòîðîâ, n-îê) öåëûõ ÷èñåë ðàññìàòðèâàòü èõ íîìåðà. Äëÿ ìíîæåñòâà B ⊆ Nr îáîçíà÷èì ÷åðåç cr (B) ìíîæåñòâî íîìåðîâ âõîäÿùèõ â B íàáîðîâ: cr (B) = {cr (a1 , . . . , ar ) | (a1 , . . . , ar ) ∈ B} (ïðè r = 1, ðàçóìååòñÿ, c1 (B) = B ).

Îïðåäåëåíèå 6.2. Ìíîæåñòâî (ïðîáëåìà) A ⊆ Nk ñâîäèòñÿ ê ìíîæåñòâó (ïðîáëåìå) B ⊆ Nr , åñëè ñóùåñòâóåò îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f : Nk → Nr òàêàÿ, ÷òî (x1 , . . . , xk ) ∈ A ⇔ f (x1 , . . . , xk ) ∈ cr (B).  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïèñàòü A ≤m B ïîñðåäñòâîì f .

Ñîäåðæàòåëüíî,  A ñâîäèòñÿ ê B ïîñðåäñòâîì f  îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ âûÿñíåíèÿ òîãî âõîäèò ëè x â A, ìîæíî ýôôåêòèâíî ïðåîáðàçîâàòü x â òàêèå âõîäíûå äàííûå y = f (x) ïðîáëåìû B , ÷òî ïðè y ∈ B èìååì x ∈ A, à åñëè y ∈ / B , òî è x ∈ / A. Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, äîêàçàòåëüñòâî íåðàçðåøèìîñòè ìîæíî îñíîâûâàòü íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.

Ëåììà 6.1. Åñëè A ñâîäèòñÿ ê B è ïðîáëåìà A íåðàçðåøèìà, òî è ïðîáëåìà B íåðàçðåøèìà.

40

6 Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A ≤m B ïîñðåäñòâîì f . Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ ñâîäèìîñòè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ x èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî cA (x) = cB (f (x)). Ïîýòîìó, åñëè áû B áûëà ðàçðåøèìà, òî åå õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ cB áûëà áû îáùåðåêóðñèâíà è cA òàêæå áûëà áû îáùåðåêóðñèâíà. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû A.

Òåîðåìà 6.2. Âñå ïðîáëåìû, ïåðå÷èñëåííûå âûøå â ïóíêòàõ 1-4 ÿâëÿþòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûìè.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íàì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûå ïðîãðàììû Πx:=n : x := 0; x := x + 1; . . . ; x := x + 1 ( ïðèñâàèâàèå x := x + 1 ïîâòîðÿåòñÿ n ðàç). Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ σ ïîñëå âûïîëíåíèÿ Πx:=n èìååì Πx:=n (σ)(x) = n. 1) Äîêàæåì íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû îñòàíîâà: ïî ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ïðîãðàììå Π îïðåäåëèòü çàâåðøèòñÿ ëè âû÷èñëåíèå Π íà âõîäå 0. Ïóñòü Mh0 = {n | ΦΠn ,y (0) < ∞}. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî íîìåðîâ ñàìîïðèìåíèìûõ ïðîãðàìì Ms ñâîäèòñÿ ê Mh0 . Ïóñòü n  íîìåð ïðîãðàììû Πn . ïðåîáðàçóåì åå â ïðîãðàììó Π0 : Πx:=n ; Πn ; y := 0. Òàêèì îáðàçîì, Π0 âíà÷àëå çàíîñèò â x íîìåð n ïðîãðàììû Πn , à çàòåì ïðèìåíÿåò Πn ê ýòîìó íîìåðó è, åñëè Πn íà n îñòàíàâëèâàåòñÿ, âûäàåò ðåçóëüòàò y = 0. Ïîýòîìó Π0 îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ëþáîì àðãóìåíòå (â òîì ÷èñëå è íà 0) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n ∈ Ms . Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîãðàììû Πn â ïðîãðàììó Π0 îñóùåñòâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíî. Ïîýòîìó (íà îñíîâàíèè òåçèñà Òüþðèíãà-×åð÷à) ñóùåñòâóåò òàêàÿ î.ð.ô. f , êîòîðàÿ ïî n âû÷èñëÿåò íîìåð m ïðîãðàììû Π0 = Πm = Πf (n) . Ýòà ôóíêöèÿ è áóäåò ñâîäèòü Ms ê Mh0 , òàê êàê n ∈ Ms ⇔ f (n) ∈ Mh0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 6.1 íà ñòð. 39 ïðîáëåìû îñòàíîâà Mh0 íåðàçðåøèìà. Î÷åâèäíî, ÷òî è áîëåå îáùàÿ ôîðìà ïðîáëåìû îñòàíîâà Mh = {(n, a) | ΦΠn ,y (a) < ∞} òàêæå íåðàçðåøèìà, ïîñêîëüêó ê íåé ñâîäèòñÿ Mh0 : n ∈ Mh0 ⇔ (n, 0) ∈ Mh . 2) Äëÿ ñâåäåíèÿ Ms ê ìíîæåñòâó Mt íîìåðîâ ïðîãðàìì, âû÷èñëÿþùèõ âñþäó îïðåäåëåííûå ôóíêöèè ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ f èç ïóíêòà 1. Äåéñòâèòåëüíî, Πn îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Π0 = Πf (n) îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âñåõ âõîäàõ, ò.å. n ∈ Ms ⇔ f (n) ∈ Mt . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîáëåìà òîòàëüíîñòè Mt íåðàçðåøèìà. 3) Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïóñòü Meq = {(n, m) | äëÿ âñåõ x ΦΠn ,y (x) = ΦΠm ,y (x) }. Çàôèêñèðóåì ñëåäóþùóþ ïðîãðàììó P 0 : x := x; y := 0. Î÷åâèäíî, ÷òî îíà âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ íóëþ, ò.å. ΦP 0 ,y (x) = 0 äëÿ âñÿêîãî x. Ïóñòü åå íîìåð n(P 0 ) ðàâåí k0 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n ðàññìîòðèì ïàðó (f (n), k0 ). Èç îïðåäåëåíèÿ f ñëåäóåò, ÷òî Πn îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Π0 = Πf (n) îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âñåõ âõîäàõ è âûäàåò ðåçóëüòàò 0: ΦΠf (n),y (x) = 0 äëÿ âñåõ x, ò.å. Πf (n) è Πk0 ýêâèâàëåíòíû. Òîãäà n ∈ Ms ⇔ (f (n), k0 ) ∈ Meq . Ïîëîæèì g(n) = c2 (f (n), k0 ). Òîãäà g ÿâëÿåòñÿ î.ð.ô. è n ∈ Ms ⇔ g(n) ∈ c2 (Meq ). Ñëåäîâàòåëüíî, Ms ñâîäèòñÿ ê Meq ïîñðåäñòâîì g è ïðîáëåìà Meq íåðàçðåøèìà.

41 4) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ëèøíåãî ïðèñâàèâàíèÿ: Mopt1 = {(n, m) | íà íåêîòîðîì âõîäå a â ïðîãðàììå Πn ñðàáàòûâàåò m-ûé ïî ñ÷åòó îïåðàòîð ïðèñâàèâàíèÿ} ñíîâà èñïîëüçóåì ôóíêöèþ f èç ïóíêòà 1. Íàïîìíèì, ÷òî Πf (n) : Πx:=n ; Πn ; y := 0. Ïî n è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîãðàììå Πn ìîæíî ëåãêî îïðåäåëèòü íîìåð m ïîñëåäíåãî ïðèñâàèâàíèÿ y := 0 â Πf (n) : m = (n + 1) + (÷èñëî ïðèñâàèâàíèé â Πn ) + 1. Ïóñòü g(n)  ýòî î.ð.ô., âû÷èñëÿþùàÿ ïî n ýòîò íîìåð m. Òîãäà n ∈ Ms ⇔ (f (n), g(n)) ∈ Mopt1 . Ïîëîæèì h(n) = c2 (f (n), g(n)). Òîãäà h ÿâëÿåòñÿ î.ð.ô. è n ∈ Ms ⇔ h(n) ∈ c2 (Mopt1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, Ms ñâîäèòñÿ ê Mopt1 ïîñðåäñòâîì h è ïðîáëåìà Mopt1 íåðàçðåøèìà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó ëèøíåãî óñëîâèÿ: Mopt2 = {(n, m) | ñóùåñòâóåò âõîä a, íà êîòîðîì ïðè íåêîòîðîì ñðàáàòûâàíèè m-ãî ïî ñ÷åòó óñëîâíîãî îïåðàòîðà â ïðîãðàììå Πn åãî óñëîâèå èñòèííî}. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åå íåðàçðåøèìîñòè îïðåäåëèì ïî n ïðîãðàììó Π00 : Π0 ; åñëè y = 0 òî y := y èíà÷å y := y + 1 êîíåö ( çäåñü Π0  ïðîãðàììà èç ï. 1). È â ýòîì ñëó÷àå ïðîãðàììà Π00 ñòðîèòñÿ ïî ïðîãðàììå Πn ýôôåêòèâíî. Ïóñòü åå íîìåð âû÷èñëÿåòñÿ î.ð.ô. f 0 , ò.å. Πf 0 (n) = Π00 è ïóñòü î.ð.ô. g 0 (n) îïðåäåëÿåò íîìåð ïîñëåäíåãî óñëîâíîãî îïåðàòîðà â ïðîãðàììå Πf 0 (n) . Òîãäà n ∈ Ms ⇔ â ïðîãðàììå Πf 0 (n) ïîñëåäíèé óñëîâíûé îïåðàòîð âûïîëíÿåòñÿ (íà ëþáîì âõîäå) è ïðè ýòîì y = 0, ò.å. åãî óñëîâèå èñòèííî, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (f 0 (n), g 0 (n)) ∈ Mopt2 . Ïîëîæèâ h0 (n) = c2 (f 0 (n), g 0 (n)), ïîëó÷èì, ÷òî n ∈ Ms ⇔ h0 (n) ∈ c2 (Mopt2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, Ms ñâîäèòñÿ ê Mopt2 ïîñðåäñòâîì h0 è ïðîáëåìà Mopt2 òàêæå íåðàçðåøèìà. Òåîðåìà äîêàçàíà. Êàêîé æå âûâîä ìîæíî ñäåëàòü èç òîãî, ÷òî íåêîòîðàÿ àëãîðèòìè÷åñêàÿ ïðîáëåìà îêàçàëàñü íåðàçðåøèìîé? Äëÿ ïðîãðàììèñòîâ èç òàêîãî óòâåðæäåíèÿ èçâëåêàþòñÿ äâå íîâîñòè: ïëîõàÿ è õîðîøàÿ . Ïëîõàÿ íîâîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòì (ïðîãðàììó) äëÿ àâòîìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ òàêîé ïðîáëåìû. Íàïðèìåð, èç òåîðåìû 6.2 íà ñòð. 40 ñëåäóåò, ÷òî íåâîçìîæíî àâòîìàòè÷åñêè ïðîâåðèòü âõîäèò ëè íåêîòîðûé âõîä â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèìîé ôóíêöèè, íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîððåêòíîñòü ïðîãðàììû, ò.å. òî, ÷òî îíà âû÷èñëÿåò òðåáóåìóþ ôóíêöèþ, íåò ñïîñîáà ïðîâåðÿòü ýêâèâàëåíòíîñòü ïðîãðàìì (íå òîëüêî ñòðóêòóðèðîâàííûõ, íî è íàïèñàííûõ íà Ïàñêàëå, Ñè, àññåìáëåðå, ßâå è äðóãèõ ÿçûêàõ ïðîãðàììèðîâàíèÿ), íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìîâ äëÿ îïòèìèçàöèé, ñâÿçàííûõ ñ óäàëåíèåì ëèøíèõ ïðèñâàèâàíèé è óñëîâèé è ò.ï. Íî íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû íå îçíà÷àåò, ÷òî îíà íå ìîæåò áûòü ðåøåíà äëÿ íåêîòîðûõ îòäåëüíûõ âõîäíûõ äàííûõ. Íàïðèìåð, â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû ïîñòðîèëè äîñòàòî÷íî ìíîãî ïðîãðàìì è äîêàçàëè èõ êîððåêòíîñòü. Ïîýòîìó õîðîøàÿ íîâîñòü äëÿ ïðîãðàììèñòîâ è ìàòåìàòèêîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî èõ òðóä ïðè ðåøåíèè íåðàçðåøèìûõ ïðîáëåì â êàæäîì îòäåëüíîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ òâîð÷åñêèì  íèêàêîé ïðîãðàììîé èõ íå çàìåíèòü. Ïîÿâëåíèå êàæäîé íîâîé ñîäåð-

42

6 Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû

æàòåëüíî èíòåðåñíîé íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìû òîëüêî ðàñøèðÿåò îáëàñòü èõ òâîð÷åñòâà, çàñòàâëÿåò èñêàòü âñå áîëåå è áîëåå øèðîêèå àëãîðèòìû, ïîçâîëÿþùèå ðåøàòü âñå áîëåå îáøèðíûå ïîäêëàññû îòíîñÿùèõñÿ ê ýòîé ïðîáëåìå èíäèâèäóàëüíûõ çàäà÷.

6.1 Çàäà÷è Çàäà÷à 6.1. Äîêàçàòü àëãîðèòìè÷åñêóþ íåðàçðåøèìîñòü ñëåäóþùèõ ïðîáëåì.

à) Ïî ïðîèçâîëüíîé ïðîãðàììå Π îïðåäåëèòü ÿâëÿåòñÿ ëè âû÷èñëÿåìàÿ åé ôóíêöèÿ ΦΠ,y (x) ïîñòîÿííîé êîíñòàíòîé. á) Ïî ïðîèçâîëüíîé ïðîãðàììå Π è ÷èñëàì a è b ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî ΦΠ,y (a) = b. â) Ïî ïðîèçâîëüíîé ïðîãðàììå Π îïðåäåëèòü ÿâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âû÷èñëÿåìîé åþ ôóíêöèè ΦΠ,y (x) áåñêîíå÷íûì. ã) Ïî ïðîèçâîëüíîé ïàðå ïðîãðàìì Π è Π0 ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ âñåõ x èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ΦΠ,y (x) > ΦΠ0 ,y (x).

Çàäà÷à 6.2. Äîêàæèòå, ÷òî

à) ïåðåñå÷åíèå äâóõ ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì. á) îáúåäèíåíèå äâóõ ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì.

Çàäà÷à 6.3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ äâóõ ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ A è B èõ ñóììà A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì.

Çàäà÷à 6.4. Ïóñòü A  ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî, à g(x) è h(x) ÿâëÿþòñÿ î.ð.ô. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ  g(x), åñëè x ∈ A F (x) = h(x), â ïðîòèâíîì ñëó÷àå òàêæå ÿâëÿåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé.