Сборник трудов молодых учёных. Управление большими системами

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ

СБОРНИК ТРУДОВ

Выпуск 7 Москва – 2004

www.mtas.ru ИНТЕРНЕТ-сайт теории управления организационными системами С октября 2003 года открыт Интернет-сайт теории управления организационными системами Целью сайта является предоставление специалистам по теории и практике управления организационными системами (ученым, преподавателям, аспирантам, студентам, а также реальным управленцам) доступа к ресурсам, отражающим современное состояние теории и возможности обмена идеями и результатами. На сайте представлены разделы: Теория – с обзором теории управления организационными системами, глоссарием, информацией для аспирантов; Практика – с обзором результатов внедрения механизмов управления в реальных организациях; Библиография – около 2000 публикаций по теории управления, снабжена классификатором и аннотациями; Электронная библиотека – более 100 полнотекстовых монографий, статей и учебных пособий; а также многое другое. На сайте работает форум, на котором можно обсудить вопросы, относящиеся к математике, экономике, управлению организациями, узнать новости теории управления и ознакомиться с планируемыми конференциями и семинарами. За время работы сайта его посетили более 10000 человек.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ СБОРНИК ТРУДОВ

Выпуск 7

Общая редакция – Д.А. Новиков

Москва – 2004

УДК 007 ББК 32.81 У 67 У 67

Управление большими системами / Сборник трудов. Выпуск 7. Общая редакция – Д.А. Новиков. М.: ИПУ РАН, 2004. – 113 с.

В сборнике представлены статьи ученых, специализирующихся в области разработки и внедрения моделей

и

методов

управления

социально-

экономическими системами.

Утверждено к печати Редакционным советом Института

 ИПУ РАН, 2004

СОДЕРЖАНИЕ Воронина И.Д. Проектирование самоорганизующейся информационной системы иерархически-сетевых организаций………………………….4 Гаспарян Э.Э., Заложнев А.Ю., Клыков А.Ю. Внутрифирменная финансовая структура и финансовые процедуры………………………………………………….10 Губко М.В. Рыночное равновесие в задаче формирования торговой сети…..17 Заложнев А.Ю. Рынки как источники внешних условий для принятия внутрифирменных управленческих решений………………………….33 Казанцев С.Б. Необходимые и достаточные условия стационарности линейных рефлексивных отображений………………………………..60 Мишин С.П. Иерархии принятия решений в организационных системах………73 Фёдорова И.В. Алгоритм вычисления нечёткого критического пути…………….93 Чхартишвили А.Г. Равновесие биполярного выбора и информационное управление..101 Гайдай А.А., Руссман И.Б. Непрерывный контроль процесса достижения цели…………….106

3

ПРОЕКТИРОВАНИЕ САМООРГАНИЗУЮЩЕЙСЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ИЕРАРХИЧЕСКИ-СЕТЕВЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ Воронина И.Д. (Волгоградский государственный университет, г. Волгоград) [email protected] Введение В управлении организационными системами задачи структурного синтеза занимают по своей важности и сложности центральное место. В то же время проблема выбора системной структуры в настоящее время разработана весьма слабо. Возможно, поэтому обоснование выбора структуры проектируемой системы часто либо отсутствует, либо происходит неформально и эмпирически, несмотря на то, что выбор той или иной системной структуры в значительной степени определяет постановку и решение всех остальных задач управления. В настоящей работе предложен подход к проектированию информационной системы иерархически-сетевых организаций с изменяющейся структурой – корпоративного информационного портала, обладающего свойством самоорганизации, т.е. децентрализованно изменяющейся структурой, определяемой его информационным содержанием. 1. Структурные свойства информационной системы иерархически-сетевой организации Как известно, любая целенаправленная система обладает средствами накопления и обработки информации, носителем которой является морфологическая структура, находящаяся в определенном морфическом соответствии со структурой самой системы. В иерархических системах информационные подсистемы также, очевидно, иерархичны, тогда как в сетевых – распределены равномерно по всем их элементам. В то же время структура больших систем почти всегда сочетает в себе как иерархические, так и сетевые компоненты, что требует аналогичного построения структуры их информационных систем. Кроме того, постоянные изменения и в сетевой, и в иерархической части системной структуры (изменение элемент-

4

ного состава и связей) требуют такой же легкости структурного перестроения информационной системы. Это обстоятельство кажется очевидным, когда речь идет об описании существующих социумов или их частей, однако при проектировании новых организационных систем, проблемы адекватной организации их информационного обеспечения далеко не всегда решаются успешно, что приводит к потере их эффективности. Примером может служить складывающаяся на наших глазах новая социально-экономическая структура нашего общества и его социальных институтов. Особенностью нашего времени является обновление технологической базы не только производственных, но и, главным образом, информационных систем. Главной информационной основой сетевого глобального общества является, как известно, Интернет. В сообществах меньшего масштаба, в структуре которых уже заметна иерархическая составляющая и где, следовательно, Интернет не способен быть единственной информационной основой, эту роль берут на себя стремительно растущие информационные порталы различного масштаба и назначения. По целевому назначению существующие в настоящее время порталы можно разделить на порталы различных организаций (корпоративные), образовательные, информационные, порталы для совместной работы, порталы экспертизы, порталы знаний. Фактически все порталы можно назвать корпоративными в том смысле, что за ними всегда явно или неявно стоит некоторая организация. Анализ большого количества существующих русскоязычных порталов показывает, что далеко не все из них соответствуют заявленной миссии. Одной из причин этого (возможно, главной) является несоответствие структуры информационной системы ее организационной структуре: как правило, структура порталов централизована, а пользователи могут лишь более или менее самостоятельно размещать или использовать информационные ресурсы. Такие структурно централизованные порталы, очевидно, так же как и Интернет, не могут обеспечивать информационное взаимодействие элементов быстроизменяющейся комбинированной иерархическисетевой структуры организационной системы.

5

2. Самоорганизующаяся структура иерархически-сетевого портала Описанное выше функциональное назначение портала – информационное обеспечение быстроизменяющейся комбинированной иерархически-сетевой структуры организационной системы – может быть реализовано только адекватной структурой, обладающей свойством самоорганизации. Это структурное свойство должно закладываться на этапе проектирования. Предложим один из возможных подходов к решению этой проблемы. В основу структуры портала иерархически-сетевой организации можно положить принцип соответствия структуры и функции, а так как главной функцией портала является информационное обеспечение деятельности, сверхструктурой портала должна быть «деятельностная» триада: «субъект деятельности – вид деятельности – объект деятельности». Поскольку портал предполагает два вида деятельности – внесение и использование информации – триада имеет два смысловых значения. Первый – «автор ресурса – вид деятельности, обеспечиваемый ресурсом – адресная группа или предполагаемый автором пользователь», второй – «пользователь – вид деятельности, обеспечиваемый информационным ресурсом – информационный ресурс». Такой двойной смысл триад с двойным пересечением их элементов позволяет, по нашему мнению, обеспечить структурное единство при высокой степени ее мобильности. Эти триады являются главной структурообразующей основой портала. Каждый из ее элементов есть иерархический (базовый) граф, общего вида. Например, иерархия субъектов – авторов ресурса может иметь следующий вид: личность – отдел организации – организация – регион. (Под организацией подразумевается как формальная, так и неформальная: авторские, учебные, научные коллективы, группы исполнителей проектов, кружки и т.п.). Иерархия видов деятельности может строиться как известные членения науки на направления. Аналогично могут строиться и иерархии субъектов (адресных групп), на низшей ступени которых находятся отдельные личности. В ряде случаев базовые графы субъектов и объектов деятельности могут совпадать. Поскольку и отдельные личности, и отдельные направления деятельности могут принадлежать множеству различных иерархий, структура базовых графов отлична от дерева. Базовые иерархические графы создаются сами-

6

ми авторами ресурса путем заполнения соответствующих справочников. Число возможных триад равно произведению числа вершин в базовых графах. На основе иерархических отношений в базовых графах между триадами устанавливается отношение иерархии: триада Т1 является главной для триады Т2, если хотя бы одна из вершин Т1 главнее соответствующей вершины Т2, а остальные две – не подчинены соответствующим вершинам Т2. Это отношение частичной упорядоченности порождает базовый иерархический граф триад, всякий иерархический подграф которого образует потенциальный минипортал. (Так могут появляться минипорталы любых вершин графа: отдельных организаций, их подразделений и сотрудников, отдельных личностей-авторов, также минипорталы видов деятельности и их подвидов, минипорталы адресных групп, их подгрупп, отдельных личностей-пользователей.). Иерархические подграфы, образуемые фиксированной вершиной в одном из базовых графов и множеством подчиненных триад в двух оставшихся графах, образуют потенциальные микропорталы – составные части соответствующих минипорталов. Каждая ресурсная единица портала в момент своего размещения связывается с одной или несколькими (иерархически не связанными) триадами явным указанием найденных в справочниках (или добавленных в них автором непосредственно перед размещением ресурса) вершин базовых графов предпоследнего иерархического уровня (последним уровнем является сам автор). При этом она автоматически связывается и со всем множеством главных триад. Специфическими (обязательными) ресурсами-признаками мини- и микропорталов являются HTML-страница (одна или несколько, связанных гиперссылками), новости, форум. Наличие всех обязательных признаков микропортала: структуры (иерархического триадного графа), HTML-страницы (одной или нескольких), одного или нескольких обычных ресурсов (документов), новостей, форума делает возможным появление актуального микропортала. Таким образом, построение структуры портала (и всех его мини- и микропорталов) происходит снизу-вверх в процессе создания каждой новой вершины и связи ее либо с уже существующим, либо с только что созданным главным элементом звена базового графа.

7

Актуализация микропорталов происходит динамически в два этапа. Первый этап – размещение ресурса, «оживляющее» совокупность соответствующих триад. Второй этап – создание его остальных признаков. Поскольку структура портала динамически образует его навигацию, автоматически исключается отсутствие ресурса, соответствующего «навигационной ситуации» – выбору пользователем некоторой триады. (Не полностью актуализированные микро- и минипорталы отражаются в навигации с сохранением остальных признаков динамически определенного одного из своих главных минипорталов.) Множество актуальных мини- и микропорталов образует актуальную структуру портала. Ликвидация информационного ресурса может повлечь за собой изменение множества актуальных триад и, следовательно, – актуальной структуры портала. Созданная таким образом актуальная структура портала полностью определяется его информационным содержанием, что означает самоорганизацию. Такой способ задания структуры портала, обладая главным преимуществом – самоорганизацией, имеет недостаток – допускает избыточность вершин и связей в базовых графах. Действительно, одни и та же организации или направления деятельности, введенные в базовые графы разными пользователями, могут обозначаться несколькими вершинами в базовых графах. Добавление новых вершин и ребер в базовые графы, не нарушая их иерархичности, в условиях множественного подчинения может привести к перегрузке связями старших вершин. Однако эти недостатки, объективно присущие самоорганизующимся системам, не являются существенными, поскольку временной масштаб процесса структурообразования на порядки превышает процесс информационного обмена, и небольшая хаотизация структуры может постепенно устраняться администраторами порталов всех уровней (к чему и сводиться их роль). 3. Проектирование регионального научнообразовательного портала Волгоградской области Научно-образовательная сфера сегодняшних российских регионов представляет собой исторически сложившуюся слабосвязанную систему иерархически организованных научнообразовательных учреждений с такой же слабой интенсивностью

8

информационного обмена. Однако постепенно в ней происходит накопление новых сетевых форм взаимодействия на телекоммуникационной технологической основе. В этой ситуации «удачная» структура информационной системы, служащей основой такого взаимодействия, может играть роль катализатора процесса синтеза новой организационной системы, но научно-образовательные организации, обладающие соответствующей телекоммуникационной базой, могут сыграть объединяющую роль только при условии создания самоорганизующегося децентрализованного научнообразовательного портала. Так, Волгоградский государственный университет объединяет телекоммуникационной структурой своего Интернет-центра группу из более чем сорока образовательных учреждений. Процесс ее превращения в научно-образовательную сеть включает в себя ряд взаимосвязанных компонент, из которых главную роль играет научно-образовательный портал, который таким образом является системообразующим фактором. Принципиально важным является привлечение на портал не только отдельных работников научно-образовательной сферы региона, но и творческих групп, коллективов и организаций различных уровней и форм обучения. С другой стороны, реализация всех видов и форм сложноструктурированной и подвижной научно-образовательной деятельности одного только университета уже требует децентрализованной самоорганизующейся информационной системы. Имеющаяся в настоящее время несвязанная совокупность факультетских, кафедральных и других сайтов и порталов не обладает единством, и, главное, – свойством самоорганизации. Все сказанное обуславливает актуальность предложенной выше и создаваемой в настоящее время в Волгоградском государственном университете структуры самоорганизующегося иерархически-сетевого портала для организации региональной научно-образовательной системы Волгоградской области. Создаваемую проектировщиками и программистами информационную систему точнее можно назвать конструктором портала, а сам портал – иерархически-сетевую структуру микро- и минипорталов – будет создавать (в случае успешной реализации проекта) сама иерархически сетевая региональная научно-образовательная система Волгоградской области.

9

ВНУТРИФИРМЕННАЯ ФИНАНСОВАЯ СТРУКТУРА И ФИНАНСОВЫЕ ПРОЦЕДУРЫ Гаспарян Э.Э., Заложнев А.Ю., Клыков А.Ю. (Институт проблем управления РАН, Москва) [email protected] В работе [3, стр.21-22] утверждается, что структура хозяйствующего субъекта может быть описана следующими составляющими: 1. Целью и перечнем предметов (областей) деятельности. 2. Структурой, подразделяющейся на: 2.1. организационную структуру; 2.2. финансовую структуру. 3. Функциями составляющих его организационную структуру элементов (структурных подразделений). 4. Процедурами (механизмами) функционирования, описывающими (определяющими) взаимодействие хозяйствующего субъекта с внешней средой и взаимодействие его структурных подразделений в процессе реализации целей хозяйствующего субъекта через его предметы деятельности или распределение финансового результата, полученного организацией, между элементами его финансовой структуры. В настоящей работе мы остановимся на финансовой структуре фирмы и процедурах функционирования, определяющих распределение финансового результата, полученного организацией, между элементами его финансовой структуры. Финансовая структура, рассматриваемой в настоящей статье организации (коммерческой фирмы или хозяйствующего субъекта) состоит из двух составляющих: 1. зарабатывающие подразделения (т.н. “Менеджеры”); 2. обслуживающие или обеспечивающие подразделения (т.н. “Бюджет”). Такое структурирование с определенными оговорками соответствует в терминах работы [1, стр.145-147] выделению соответственно центров затрат (обслуживающие подразделения) и центров

10

прибыли (зарабатывающие подразделения). Рассматриваемая организация содержит один центр затрат и несколько центров прибыли. Графически ее финансовая структура может быть представлена в виде схемы, приведенной на рисунке 1. Следует также отметить, что центр затрат содержит в качестве одного из своих составляющих такое структурное подразделение как “Дирекция”, в которое входит директор предприятия и его заместители, а также некоторые сотрудники, наделенные специальными полномочиями.

Покупатели и заказчики

Бюджет

ЦП1

ЦП 2

…

ЦП n

Фирма Финансовые потоки Рис. 1 Центральной и одной из наиболее важных проблем внутрифирменного управления является проблема определения порядка распределения доходов (прибыли) организации в рамках ее финансовой структуры, т.е. проблема определения конкретного вида процедуры распределения доходов (прибыли), получаемых фирмой среди ее подразделений с учетом финансовой структуры организации. Нетрудно заметить, что в соответствии с движением внутрифирменных финансовых потоков, представленных на рисунке 1, с точки зрения теории активных систем (ТАС) финансовая структура

11

рассматриваемой организации может быть представлена в виде, приведенном на рисунке 2.

Б

ЦП1

…

ЦП 2

ЦП n

Финансовые потоки Рис. 2 Таким образом, с точки зрения ТАС единственное обслуживающее (обеспечивающее) подразделение (центр затрат) является Центром (Бюджет), а все зарабатывающие подразделения (центры прибыли) – активными элементами – АЭ ( ЦП1 , ЦП 2 , …, ЦП n ). Другой важной проблемой внутрифирменного управления, тесно связанной с первой является задача создания заинтересованности АЭ (центров прибыли – “Менеджеров”) в результатах деятельности организации в целом. Перед тем как непосредственно перейти к рассмотрению данного вопроса укажем, что по нашему принципиальному мнению руководитель соответствующего центра прибыли (АЭ) должен самостоятельно строить финансовые отношения со своими сотрудниками (подчиненными ему подразделениями). Вмешательство Центра (Дирекции) в эти отношения возможно только в исключительных случаях, в частности при наличии конфликта по поводу распределения доходов между руководителем АЭ и его сотрудниками (подчиненными ему подразделениями). Задача создания заинтересованности АЭ в результатах деятельности организации в целом решается следующим образом. Для каждого центра прибыли (АЭ) устанавливается определенный норматив a i , в соответствии с которым доход Di (или прибыль

Pi ), получаемый организацией от деятельности центра прибыли 12

ЦП i , распределяется между Центром (Бюджетом) и АЭ – ЦП i : Центр (Бюджет) получает долю дохода (1 − ai ) ⋅ Di или долю прибыли (1 − ai ) ⋅ Pi , а АЭ получает ai ⋅ Di или ai ⋅ Pi , соответственно, в зависимости от того, что собственно распределяется – доход или прибыль. Очевидно, что с ростом Di или Pi соответственно увеличивается и величина ai ⋅ Di ( ai ⋅ Pi ), т.е. зарабатывающее подразделение (АЭ) заинтересовано в росте дохода (прибыли) предприятия. Но в определенных условиях у АЭ (у группы его сотрудников и/или персонально у руководителя) могут появиться консолидированные (или персональные) представления о нарушении по отношению к данному АЭ, как субъекту внутрифирменной деятельности, так называемой “социальной справедливости”. То есть у них (у него) может появиться мнение, что доля доходов (прибыли), остающаяся в распоряжении Центра непропорционально велика. Подобные тенденции могут быть устранены несколькими способами: например, психологическим давлением на сотрудников (руководителя) АЭ, изъятием ряда функций у АЭ в “пользу” Центра (перераспределением объема работ) или введением прогрессивных (в пользу АЭ) шкал распределения дохода (прибыли). Последнее означает, что коэффициенты ai предполагаются зависящими от величины дохода Di или прибыли Pi , получаемых i-м АЭ:

ai = ai ( Di ) или ai = ai ( Pi ) . Так, что в непрерывном случае имеют dai da > 0 или i > 0 . место соотношения: dDi dPi На практике, естественно, более предпочтительным является использование дискретных шкал вида: Di : 0 > Di ≥ Di1 Di1 > Di ≥ Di 2 … Dim−1 > Di

a i : a1 a 2 … am , таких, что справедливо отношение: a1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a m . То есть, с точки зрения ТАС идет речь о применении прогрессивных систем стимулирования (ПСС).

13

Другим важным вопросом внутрифирменного управления, относящимся к данной проблематике, является вопрос о том, что именно следует распределять между Центром (Бюджетом) и АЭ ( ЦП i ). Идея, которой можно руководствоваться в данном случае, может быть почерпнута из работ, связанных с региональным анализом [4]. Смысл ее состоит в том, что для центра прибыли, у которого: А.) доля доходов в доходах организации (фирмы) велика, Б.) эти доходы носят достаточно регулярный характер, В.) в этом центре прибыли ( ЦП i ) с точки зрения фирмы трудится относительно много сотрудников (аналог градообразующего предприятия в региональном анализе), целесообразным является применение механизма распределения прибыли ( Pi ); т.е. использование механизма самофинансирования [4, стр.184-200]. То есть этот ЦП i (АЭ) совместно с Бюджетом (Центром) пропорционально величине своего коэффициента ai и значению Pi несет расходы по содержанию инфраструктуры предприятия, уплате налогов, развитию (инвестированию). Оплату труда своих сотрудников каждое подразделение производит самостоятельно. Следует отметить, что доля расходов i-го центра прибыли должна быть домножена на поправочный коэффициент α i , учитывающий долю прибыли центра прибыли ЦП i в общей прибыли k центров прибыли, на которые распространяется применение механизма самофинансирования: (1) α i = Pi /

k

∑P . i =1

i

Сложность использования этого поправочного коэффициента состоит в том, что с достаточной степенью точности он может быть определен только по окончании расчетного периода (квартала, полугодия). Это объясняется тем, что для расчета финансового результата Pi каждому из подразделений необходимо знать не только свое значение ai , но и α i , определение которого предпола-

14

гает знание величины прибыли Pj всех остальных подразделений, задействованных в такой расчетной схеме. Использование коэффициента α i в виде (1) не позволяет i-му подразделению делать насколько-нибудь точные оценки своего текущего финансового положения. На практике могут быть использованы два способа упрощения расчетов. При близкой по величине относительной рентабельности (1) у ряда подразделений коэффициент α i может рассчитываться по следующей формуле: (2) α i = Di /

k

∑D . i =1

i

т.е. на основе информации о доходах, полученных за отчетный период или к расчетной дате. Другой способ упрощения расчетов состоит в том, что величина αi может быть определена один раз по окончании одного из периодов (квартала, полугодия), фиксироваться и затем использоваться при расчетах в течение нескольких последующих периодов или до резкого изменения условий функционирования всей фирмы или, конкретно, i-го центра прибыли. То есть формально величина α i будет задаваться соотношением (3) α i = α i * = α (t1 ) . Следует также отметить, что часть расходов по содержанию внутрифирменной инфраструктуры Бюджет (Центр) из внутренних политических соображений может дополнительно взять на себя (например, полностью оплачивать арендные платежи), тем самым фактически увеличивая значения a i для всех центров прибыли, задействованных в данной схеме распределения (функционирующих на основе самофинансирования). Рассмотрим теперь ситуацию, когда АЭ ( ЦП i ) мал, т.е. его доходы либо результаты деятельности (прибыль) малы по сравнению с доходами и/или прибылью других центров прибыли фирмы. В этом случае в качестве процедуры распределения предпочтительнее использовать процедуру распределения дохода: сумма

15

a j ⋅ D j отдается ЦП i (j-му АЭ), а сумма (1 − a j ) ⋅ D j остается в распоряжении бюджета, т. е. предпочтительнее применять механизм (процедуру) льготного внутрифирменного налогообложения. Аналогичные процедуры распределения применяются, обычно, при работе с венчурными подразделениями и при реализации небольших разовых проектов. Укажем также, что подобные процедуры достаточно часто применяются и в практике регионального управления ([4], стр.151-184). В заключение отметим, что практический опыт авторов полностью согласуется с относящимися к рассматриваемой проблематике теоретическими результатами, наработанными в теории активных систем, содержащимися в работах [5 и 2] и состоящими в следующем: 1.Назначение одинакового процента отчислений в Центр (в Бюджет) для всех центров прибыли не является оптимальным, т.е. разным центрам прибыли следует устанавливать разные значения ai , зависящие от рентабельности их деятельности. 2. Для Центра (Бюджета) и АЭ (центра прибыли) снижение доли отчислений при росте эффективности (прибыльности) центра прибыли является взаимовыгодным, т.е. взаимовыгодным является применения ПСС в рамках реализации внутрифирменных финансовых процедур. Литература 1. Бочкарев А., Кондратьев В., Краснова В. и др. 7 нот менеджмента. 5-е изд. М.: ЗАО “Журнал Эксперт”, 2001. – 656 с. 2. Бурков В.Н., Палюлис Н., Трасаускас Э. Гибкие системы организационного управления. Вильнюс: Минтис, 1990. – 140 с. 3. Заложнев А.Ю. Модели и методы внутрифирменного управления. М.: Сторм Медиа, 2004. – 320 с. 4. Леонтьев С.В. Модели и методы управления разработкой и реализацией программ регионального развития. М.: Физматлит, 2002. – 208 с. 5.Новиков Д.А. Стимулирование в организационных системах. М.: СИНТЕГ, 2003. – 312 с.

16

РЫНОЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗАДАЧЕ ФОРМИРОВАНИЯ ТОРГОВОЙ СЕТИ Губко М.В. (Институт проблем управления РАН, Москва) [email protected] Введение Одной из характерных черт современной мировой экономики является глобализация рынков. Непрерывное развитие коммуникаций между странами и регионами в сочетании с увеличением темпов обмена новыми технологиями приводит к тому, что покупателям одного региона могут предлагаться близкие по своим потребительским свойствам товары, произведенные совершенно разными компаниями, расположенными зачастую весьма далеко от места продажи. При этом конкурентоспособность товара определяется уже не только себестоимостью его производства, но и транспортными, таможенными расходами, связанными с его доставкой к месту продажи. Таким образом, путь от производителя товара к его потребителю становится таким сложным, что зачастую не может поддерживаться только силами самих производителей. В условиях глобализации производители просто не могут сами заниматься сбытом своей продукции непосредственным потребителям. Это приводит к появлению разветвленных, многозвенных дилерских сетей, занимающихся распределением товара, его «донесением» до конечного потребителя. Структура этих сетей играет решающую роль в определении того, какие именно товары будут предлагаться на том или ином рынке, по сути, определяет конкурентоспособность товаров и объемы потребления в различных регионах. Представление о закономерностях процессов формирования торговых сетей необходимо в первую очередь участникам этих сетей – производителям, дилерам, конечным продавцам, а также новым компаниям, ищущим свое место на рынке. Однако и государственные структуры, формирующие налоговое и таможенное 17

законодательство, должны учитывать эти процессы для прогнозирования воздействия своих решений на экономику страны. Задачу исследования процессов формирования торговых сетей осложняет то, что эти сети складываются под воздействием многих заинтересованных сторон, функционирующих в ситуации конфликта интересов. Действительно, любая коммерческая компания, нацеленная на максимизацию собственной прибыли, действуя в роли продавца, заинтересована в продаже товара по максимальной цене. Но она же, действуя в роли покупателя товара, заинтересована в приобретении товара по минимальным ценам. Таким образом, формирование каждой торговой связи между компаниями представляет собой компромисс, учитывающий альтернативные возможности компаний по продаже или закупке товара. Модели формирования сетей между производителями, посредниками и потребителями рассматривались зарубежными учеными. При этом различные авторы придавали большее значение разным аспектам и мотивам формирования торговых сетей. Так, например, в работах К. Бэгвелла и Р. Стейджера [1, 2], С. Гойала и С. Йоши [3] , Т. Фурусавы и Х. Кониши [4], а также других ученых исследуются вопросы формирования структуры соглашений о беспошлинной торговле (сетей свободной торговли, free trade networks) между странами и влияние этой структуры на общественное благосостояние. На формирование сетей свободной торговли существенное влияние оказывают так называемые экстерналии, когда выигрыш, получаемый страной А от заключения соглашения со страной Б, зависит от количества других стран, имеющих соглашения о свободной торговле со страной Б. Влияние сетевых экстерналий более общей природы на процессы переговоров между экономическими субъектами исследовалось, например, в работе К. Куботы [5]. Среди других причин образования торговых сетей называются издержки, связанные с получением и переработкой информации о поставщиках и покупателях. В статье С. Гуриева, И. Поспелова и М. Шаховой [6] исследуются процессы самообразования торговых сетей в экономиках с несовершенной инфраструктурой. В статье Р. Крэнтон и Д. Майнхарт [7] рассматривается модель формирования 18

торговых соглашений между поставщиками и покупателями, исследуется эффективность экономики, в которой свободная конкуренция ограничивается этими соглашениями. Однако к данной работе большее отношение имеют статья [8] Х. Кониши и работа [9] Р. Джохари, Ш. Мэннор, и Дж. Тситсиклиса, в которых основной причиной формирования торговых сетей считаются транспортные расходы по перемещению товара от поставщиков к потребителям. В настоящей статье исследуется модель формирования торговых сетей между географически распределенными компаниямиагентами, которые могут производить товар, продавать его на «своем» рынке или перепродавать другим компаниям, неся при этом транспортные издержки. Основные задачи, решаемые в рамках данной модели, заключаются, во-первых, в поиске эффективных торговых сетей – сетей, максимизирующих совокупную прибыль агентов. Далее исследуется коалиционная модель взаимодействия агентов, позволяющая обосновать возможность устойчивого существования эффективной сети в условиях конфликта интересов агентов. Также обсуждается возможность реализации эффективных сетей с помощью некооперативной игры агентов, когда их действия считаются независимыми. И, наконец, намечаются перспективы развития рассматриваемой модели формирования торговой сети. 1. Модель торговой сети Рассмотрим множество N = {1,...n} компаний (агентов), находящихся в различных географических регионах и занимающихся производством и продажей одного вида продукции1. Каждая компания i ∈ N может производить товар в объеме mi ≥ 0 . Себестоимость производства объема товара mi описывается гладкой выпуклой возрастающей функцией ci (mi ) . Компания может продавать товар в своем регионе в объеме si ≥ 0 , получая доход ri ( si ) . Функ1

Содержательные интерпретации данной модели перечислены в [11].

19

ция ri ( si ) считается гладкой вогнутой. Кроме того, любая компания i ∈ N может продавать товар другой компании j ∈ N , j ≠ i в объеме vij ≥ 0 . Цену передачи единицы товара j-й компании от i-й компании обозначим pij . В рассматриваемой модели цены pij договорные, то есть являются результатом некоторых переговоров между компаниями. Передача товара от i-й компании j-й в объеме vij влечет транспортные расходы, описываемые гладкой выпуклой возрастающей функцией t ij (vij ) ≥ 0 . Для простоты будем считать, что транспортные расходы оплачивает компания, принимающая товар. Тогда чистый доход i-й компании от продажи товара j-й компании равен pij vij , а затраты j-й компании по приобретению единицы товара у iй компании равны pij vij + t ij (vij ) . Если у некоторой компании i ∈ N есть возможность продать товар компании j ∈ N более выгодно, чем на внутреннем рынке, и j-й компании выгодно приобретать товар у i-й компании, то они могут заключить соглашение о поставке товара. Таким образом, формируется торговая сеть – набор направленных связей, соглашений между компаниями о поставке товара. В соответствии с этими соглашениями товар, произведенный одними агентами, передается между агентами до места своей продажи конечному потребителю. Итак, торговая сеть g представляет собой направленный граф, вершинами которого являются агенты, а каждой из дуг приписаны неотрицательные веса vij , pij (соответственно, объем и цена товара, передаваемого от i-го агента j-му). Чтобы торговая сеть полностью описывала экономическую ситуацию, в определение сети необходимо включить вектора объемов m = (mi )i∈N производства агентов и объемов продаж s = ( si )i∈N . Таким образом, торговая сеть полностью описывается матрицей объемов v = ( vij )i∈N , j ≠ i , матрицей цен p = ( pij ) i , j∈N ,i ≠ j , векторами производства m = (mi )i∈N и продаж s = ( si )i∈N . 20

Для каждого агента i ∈ N должен выполняться товарный баланс закупок и продаж: (1) ϕ i (.) := ∑ j ≠i vij + si − ∑ j ≠i v ji − mi = 0 . Выполнение товарного баланса означает, что объем продаж i-го агента равен сумме его объемов закупки и объема производства. Прибыль i-й компании в торговой сети g =< v, p, m, s > представляет собой разность дохода от продажи товара и затрат по его приобретению или производству. (2) f i (.) = ri (si ) + ∑ j ≠i pij vij − ci (mi ) − ∑ j ≠i [ p ji v ji + t ji (v ji )] . Пример 1. Можно привести много экономических примеров торговых сетей. Так, крупнейшие производители электроники располагаются в регионе юго-восточной Азии. Объемы их производства во много раз превышают потребности местных рынков – основное производство ведется на экспорт. При этом весьма редкой является ситуация, в которой производитель заключает договора купли-продажи с непосредственными потребителями. Покупателями являются крупные дилеры, которые берут на себя транспортные расходы по перевозке товара, скажем, в центральный регион России. Там товар реализуется региональным дилерам, которые распределяют его по торговым точкам, где его приобретают конечные потребители. Другим примером может служить нефтегазовая отрасль. Добывающие компании реализуют нефть компаниям, владеющим транспортными сетями, которые, в свою очередь, заключают договоры с потребителями или переработчиками. 2. Эффективные торговые сети Определение 1. Торговая сеть g =< v, p, m, s > эффективна, если при заданных условиях задачи (функциях дохода ri (.) , себестоимости ci (.) и транспортных издержек t ij (.) , i, j ∈ N , j ≠ i ) она максимизирует суммарную прибыль агентов f ( g ) := ∑i∈N f i ( g ) .

21

Выражение для суммарной прибыли можно упростить, исключив из него слагаемые, связанные с взаиморасчетами агентов между собой: (3) f ( g ) = ∑i∈N {ri (si ) − ci (mi ) − ∑ j ≠i t ji (v ji )} . Отметим, что в выражение для суммарной прибыли не входят цены передачи товара между агентами. Задача поиска эффективной сети сводится к максимизации вогнутой функции (3) по параметрам торговой сети при n ограничениях товарного баланса (1) и требованиях неотрицательности всех переменных, что представляет собой стандартную задачу выпуклого программирования [10]. Запишем Лагранжиан для этой задачи: (4)

Φ ( g ) = f ( g ) − ∑i∈N λi ϕ i ( g ) =

= ∑i∈N [ ri ( s i ) − ci (mi ) − ∑ j ≠i t ji (v ji ) − λi (∑ j ≠i vij + s i − ∑ j ≠i v ji − mi )].

Условия Куна-Таккера первого порядка выглядят следующим образом: ∂Φ( x) ∂Φ ( x) = ri ' ( si ) − λi ≤ 0 , si = 0 , для всех i ∈ N , ∂si ∂si ∂Φ( x) ∂Φ ( x) = −ci ' (mi ) + λi ≤ 0 , mi = 0 , для всех i ∈ N , (6) ∂mi ∂mi

(5)

(7)

∂Φ ( x) ∂Φ ( x ) v ji = 0 , i ∈ N , j ≠ i . = −t ji ' (v ji ) − λ j + λi ≤ 0 , ∂v ji ∂v ji

(8)

∂Φ( x) = 0 , то есть ∂λi

∑ j ≠i vij + si − ∑ j ≠i v ji − mi = 0 для всех i ∈ N .

Решая получившуюся систему уравнений (5)-(8), можно найти параметры эффективной торговой сети: вектор объемов производства m*, вектор продаж s*, матрицу объемов транспортировки v*. Также в результате решения этой системы получаем вектор λ* = (λ*i ) i∈N множителей Лагранжа, называемых еще теневыми ценами (shadow prices) [10]. Как будет показано в следующем разделе, эти множители имеют непосредственное отношение к реальным ценам передачи товара, устанавливающимися между агентами. 22

Пример 2. Если мы наложим дополнительные ограничения на функции, а именно, предположим, что ri ' (0) = +∞ , ci ' (0) = 0 , t ij ' (0) = 0 , i ∈ N , j ≠ i , то задача поиска эффективной сети имеет внутреннее решение, в котором все объемы производства и продаж строго положительны. Разрешим отрицательные объемы транспортировки, положив tij ( − x ) = t ji ( x ) . В этом случае система уравнений (5)-(8) существенно упрощается, преобразуясь к виду: ∂Φ ( x) = ri ' ( si ) − λi = 0 для всех i ∈ N , ∂si ∂Φ ( x) = −ci ' (mi ) + λi = 0 для всех i ∈ N , ∂mi

∂Φ ( x) = −t ij ' (vij ) − λi + λ j = 0 для всех i ∈ N , j ≠ i , ∂vij

∑ j ≠i vij + si − ∑ j ≠i v ji − mi = 0 для всех i ∈ N . Из этой системы немедленно получаем, что для каждого агента предельная доходность его внутренних продаж должна равняться предельным издержкам производства: (9) ci ' (mi ) = ri ' ( si ) = λi для всех i ∈ N . Кроме того, имеем следующее условие на объемы транспортировки: (10) tij ' (vij ) = λ j − λi = c j ' (m j ) − ci ' (mi ) . Выразим объемы производства и транспортировки через объемы продаж: (11) mi = [ci ' ] −1 (ri ' ( si )) , vij = [t ij ' ] −1 (r j ' ( s j ) − ri ' ( si )) . Здесь [ci ' ] −1 (.) , [t ij ' ] −1 (.) – это обратные отображения от производных функций ci (.) , t ij (.) соответственно. В силу строгой монотонности производных эти обратные отображения будут однозначными. Таким образом, неизвестными остались только n объемов продаж. Подставляем выражения (11) в уравнения (9), (10), и полу-

23

чаем систему n нелинейных уравнений относительно n неизвестных. Ее решение и дает эффективную торговую сеть. • Пример 3. Рассмотрим двух агентов. Пусть ri ( si ) = 2ri si , ci (mi ) = ci mi2 / 2 , t ij (vij ) = vij2 / 2t ij .

Положим c1 = 1, c2 = 2, r1 = 1, r2 = 1, t12 = t 21 = 1 . Аналогично примеру 2, выразим все переменные через объемы производства. Получим следующую систему: (ri / ci mi ) 2 = mi + 2∑ j ≠i t ij (ci mi − c j m j ) для i = 1,2 . Численное решение этой системы дает объемы производства m1* = 1.288 , m2* = 0.816 . Поскольку si = (ri / ci mi ) 2 , vij = tij (c j m j − ci mi ) , λ i = c i mi ,

можно

вычислить

s1* = 0.602, s 2* = 1.502 ,

λ1* = 1.289 ,

λ*2 = 1.632 . Итого, торговая сеть выглядит следующим образом:

Первый агент производит товар в объеме m1* = 1.288 , часть его (в объеме s1* = 0.602 ) продает на своем рынке (с маргинальной доход* ностью λ1* = 1.289 ), остаток (в объеме v12 = 0.686 ) продает второму

агенту. Второй агент производит товар в объеме m2* = 0.816 , еще * докупает у первого агента (в объеме v12 = 0.686 ). Весь товар он

продает на своем рынке (с маргинальной доходностью λ*2 = 1.632 ). Также он несет транспортные расходы по перевозке товара. • 3. Ценообразование в торговых сетях Итак, в предыдущем разделе показано, каким образом находится эффективная торговая сеть. Однако, поскольку в выражение для суммарной прибыли не входят цены передачи товара, эти цены должны определяться из других соображений. Заметим, что рассматриваемая модель формирования торговой сети представляет собой, по сути, классический рынок с производством [10]. В подобных моделях считается, что товар, находящийся в различных географических точках, представляет собой, на самом деле, разные товары, с разными, в общем случае, ценами. Так, в нашей модели, имеется n регионов, и, следовательно, n товаров с n различными ценами. 24

На классическом рынке существует точка рыночного равновесия (равновесия Вальраса) – набор цен на товары, при которых спрос равен предложению. При этом показывается [10], что в точке равновесия экономика эффективна, то есть при данных ценах достигается максимум суммарной прибыли агентов, каждый из которых стремится максимизировать собственную прибыль. В рамках нашей модели это означает, что существует набор цен передачи товара между агентами, при которых максимум прибыли каждого отдельного агента достигается на эффективной сети. Покажем, что найденные в процессе поиска эффективной сети теневые цены λ* = (λ*i ) i∈N и представляют собой равновесные по Вальрасу цены в модели формирования торговой сети. Для этого мы будем считать, что все цены pij передачи товара от i-го агента другим агентам сети равны между собой и совпадают с теневыми ценами: pij = λ*i . Утверждение 1. При фиксированных ценах pij := λ*i максимум прибыли произвольного агента (при условии выполнения товарного баланса) достигается на эффективной сети mi* , si* , vij* . Доказательство: Задача i-го агента состоит в том, чтобы максимизировать свою прибыль f i = ri ( s i ) − ci (mi ) + λ*i ∑ j ≠i vij − ∑ j ≠i [λ*j v ji + t ji (v ji )]

при условии выполнения товарного баланса и неотрицательных объемах. Запишем Лагранжиан Fi (.) = f i (.) − µiϕ i (.) с коэффициентом Лагранжа µi . Запишем для этой задачи условия Куна-Таккера: (12) ri ' ( si ) − µ i ≤ 0 , (ri ' ( si ) − µ i ) si = 0 , (13) µ i − ci ' (mi ) ≤ 0 , ( µ i − ci ' (mi ))mi = 0 , (14) µ i − λ*j − t ji ' (v ji ) ≤ 0 , ( µ i − λ*j − t ji ' (v ji ))v ji = 0 , j ≠ i . (15) ∑ j ≠i vij + si − ∑ j ≠i v ji − mi = 0 . (16) µ i = λ*i или ( µ i ≤ λ*i и vij = 0 ), j ≠ i . 25

Если зафиксировать µ i = λ*i , то окажется, что система (12)-(15) является частью системы (5)-(8), относящейся к i-му агенту. Значит, поскольку объемы mi* , si* , vij* в сочетании с ценой λi = λ*i удовлетворяют условиям (5)-(8), то она удовлетворяет и условиям (12)-(15) при µ i = λ*i , и максимум целевой функции агента достигается при эффективной торговой сети. • Таким образом, существуют цены, при которых формирование эффективной сети становится целью каждого отдельного агента, формируется эффективная сеть mi* , si* , vij* и каждый агент получает прибыль f i* := ri ( s i* ) − ci (mi* ) + λ*i ∑ j ≠i vij* − ∑ j ≠i [λ*j v *ji + t ji (v *ji )] .

Однако возникает вопрос – будут ли все группы агентов (коалиции) довольны получаемой ими в рыночном равновесии прибылью? Ведь может найтись группа агентов, которые получат «слишком мало», посчитают себя на этом рынке обделенными, и сформируют другой рынок, только внутри своей группы. Таким образом, при дележе суммарной прибыли между агентами должна учитываться сила коалиций. Эта идея формализуется в теории кооперативных игр [32] с помощью понятия характеристической функции игры и С-ядра кооперативной игры. Определение 2. Характеристической функцией игры n лиц называется вещественнозначная функция v(T), определенная на подмножествах T⊂N, такая, что v(∅)=0. Характеристическая функция определяет выигрыш, получаемый коалицией агентов T⊂N (если такая коалиция образовалась) при рациональных действиях ее участников. Очевидно, что в рассматриваемой задаче цель произвольной коалиции агентов заключается в максимизации суммарной прибыли ее участников. При этом понятно, что участники коалиции не могут рассчитывать на благожелательность агентов, не входящих в коалицию. Скорее коалиции следует рассчитывать на полную изоляцию со стороны остальных агентов. Таким образом, коалиция максимизирует прибыль своих участников при условии, что товар может передаваться только между участниками коалиции. 26

Суммарная прибыль участников коалиции T определяется выражением: f T (.) = ∑i∈T {ri ( si ) − ci (mi ) − ∑ j∈T \{i} t ji (v ji )} , и задача коалиции состоит в том, чтобы максимизировать суммарную прибыль при условиях выполнения товарных балансов участников коалиции. Определение 3. Дележом кооперативной игры называется распределение выигрыша максимальной коалиции (коалиции из всех агентов) между агентами, то есть дележ представляет собой некоторый вектор ( f i ) i∈N , такой, что v( N ) = ∑i∈N f i . Так, например, вектор прибылей агентов в рыночном равновесии является дележом, поскольку сумма их прибылей дает суммарную прибыль всех агентов в эффективной сети, на которой и достигается максимум суммарной прибыли всех агентов. Определение 4. C-ядром называется множество дележей, для которых для любой коалиции T⊂N v(T ) ≤ ∑i∈T f i . Таким образом, если дележ принадлежит C-ядру, ни одна коалиция не может гарантировать своим участникам прибыль, большую той, что они получают при этом дележе. Следовательно, наличие хотя бы одного дележа из C-ядра гарантирует, что агенты не будут «откалываться» от максимальной коалиции. Утверждение 2. Дележ, определяемый рыночным равновесием, принадлежит C-ядру кооперативной игры агентов. Доказательство. Предположим, что равновесные прибыли * ( f i ) i∈N не принадлежат C-ядру. Тогда, по определению C-ядра, должна существовать такая коалиция T ⊂ N , что ∑i∈T f i* < v (T ) . Правая часть этого неравенства имеет вид (17) v(T ) = max ∑i∈T f i = max ∑i∈T [ri ( si ) − ci (mi ) − ∑ j∈T \i t ji (v ji )] si ,mi ,v ji , i∈T , j∈T \ i

si , mi ,v ji , i∈T , j∈T \ i

при условиях выполнения товарных балансов ϕ i (.) = ∑ j ≠i vij + si − ∑ j ≠i v ji − mi = 0 для всех i ∈ T . Поскольку ϕ i (.) = 0 для всех i ∈ T , то и ∑i∈T λ*i ϕ i (.) ≡ 0 . Подставим этот тождественный ноль в максимизируемую функцию: 27

v(T ) = max

si ,mi ,v ji , i∈T , j∈T \ i

max si , mi ,v ji , i∈T , j∈T \ i

∑i∈T [ f i + λ*i ϕ i (.)] =

∑i∈T [(ri ( si ) − λ*i si ) − (ci (mi ) − λ*i mi ) −

− ∑ j∈T \i {t ji (v ji ) − (λ*i − λ*j )v ji }]

при условиях выполнения товарных балансов

ϕ i (.) = ∑ j ≠i vij + si − ∑ j ≠i v ji − mi = 0 , i ∈ T .

Максимум суммы не превышает суммы максимумов. Кроме того, максимум с ограничениями товарного баланса не превышает максимума без ограничений. Далее, максимум по всем vij таким, что i ∈ T , j ∈ T \ i не превышает максимума по всем vij таким, что i∈N , j∈ N \i .

Значит, v(T ) ≤ ∑i∈T max [(ri ( s i ) − λ*i s i ) − (ci (mi ) − λ*i mi ) − si , mi , v ji : j ≠ i

(18)

− ∑ j ≠i {t ji (v ji ) − (λ*i − λ*j )v ji }].

Но легко видеть, что1 функции в правой части этого неравенства достигают максимума в точке рыночного равновесия. Значит, v(T ) ≤ ∑i∈T f i* , что противоречит предположению. • Пример 4. В условиях предыдущего примера найдем равновесные рыночные цены и покажем, что распределение прибыли в рыночном равновесии является одной из точек C-ядра. Как отмечено выше, в этом примере коэффициенты Лагранжа λ1* = 1.289 , λ*2 = 1.632 . Следовательно, первый агент будет продавать второму

товар по цене p12 = 1.289 . При этом прибыли агентов: f1* = 1.61 , f 2* = 3.35 .

Так как агентов всего двое, для проверки того, что прибыли в рыночном равновесии принадлежат C-ядру, необходимо лишь 1

в рамках сделанных предположений относительно выпуклости функций себестоимости и транспортных расходов, вогнутости функции дохода.

28

проверить, что f1* ≥ v({1}) , f 2* ≥ v({2}) . В одиночку выигрыши агентов равны, как легко посчитать, v({1}) = 1.50, v({2}) = 3.00. Следовательно, дележ f1* = 1.61 , f 2* = 3.35 принадлежит C-ядру, игры агентов. • Заметим, что условия выпуклости функций затрат и вогнутости функций доходов являются существенными. Действительно, можно привести пример игры агентов, в которой C-ядро будет пустым, то есть не будет содержать ни одного дележа. Пример 5. Рассмотрим трех агентов. Положим транспортные расходы равными нулю. Функции доходов агентов линейные с ограничением Si на максимальный объем продаж:  r s ; s ≤ Si ri ( s i ) =  i i i . ri S i ; s i > S i

Себестоимость производства любого положительного объема товара постоянна, причем имеется ограничение Mi на максимальный объем производства: mi = 0  0;  c i ( mi ) =  c i ; 0 < m i ≤ M i + ∞; m > M i i 

Агенты все одинаковые. Каждый агент может продать не более одной единицы товара в своем регионе по цене 1. Каждый агент может произвести не более двух единиц товара, причем любой положительный объем производства стоит 1. Построим характеристическую функцию игры агентов. Выигрыш коалиции из одного агента равен 0, так как доход агента от продаж на своем рынке не превышает 1, что не покрывает издержек производства. Выигрыш коалиции из двух агентов равен 1: один агент производит 2 единицы товара, которые продаются на двух рынках, доход равен 2, себестоимость равна 1. Рассмотрим коалицию трех агентов. Совокупный доход равен 3 при продаже 3-х единиц товара на всех рынках. При этом затраты равны 2. Доход равен 2 при продаже 2-х единиц товара, затраты равны 1. Продавая одну единицу товара, получим доход 1 при затратах 1. Значит, выигрыш коалиции всех агентов также равен 1. 29

По теореме Бондаревой [13] критерий непустоты C-ядра для игры трех агентов имеет вид: v (12) + v (13) + v ( 23) ≤ 2v (123) . Очевидно, это условие не выполнено, и, значит, C-ядро пусто. • 4. Заключение Итак, задача формирования торговой сети была сведена к классической задаче о рынке, было найдено рыночное равновесие, показана его эффективность и коалиционная устойчивость. Стоит отметить, что полученные выше результаты без труда обобщаются на случай многотоварной экономики. В этом случае все объемы производства, продаж и транспортировки превращаются в вектора, каждая компонента которых соответствует своему товару. В то же время, существование рыночного равновесия в задаче формирования торговой сети ничего не говорит о том, каким именно образом агенты в процессе переговоров могут реализовать это равновесие. Для решения этой задачи необходимо предложить такой протокол переговоров агентов – последовательность их ходов, форму и содержание сообщений, которыми они будут обмениваться (скажем предложения цены передачи товара или заявки на требуемый объем товара) – который бы приводил к реализации рыночного равновесия, как исхода соответствующей этому протоколу некооперативной игры агентов. Вопросы реализации рыночного равновесия некооперативной игрой широко освещались в литературе (см. например ссылки в обзоре М. Джексона [14]). Адаптация рассматриваемых там механизмов к задаче формирования торговой сети представляется перспективной задачей. Рассмотренная выше модель допускает многочисленные обобщения. Так, например, можно «отделить» агентов от конкретных географических регионов, позволив им приобретать и транспортировать товар в любом регионе (хотя и с разными транспортными расходами). Задача поиска эффективной сети для подобной модели в линейном случае рассматривалась в [15]. 30

В этой же работе рассматривалось влияние налогов на формирование торговой сети. Введение в рассмотрение налогов, которыми могут облагаться агенты, весьма усложняет как задачи поиска эффективной сети, так и поиска рыночного равновесия. Это связано с тем, что цены передачи товара между агентами уже не могут служить инструментом перераспределения между ними прибыли, а подчинены задачам минимизации налогообложения. Тем не менее, введение в модель формирования сети налогов позволит на ее основе формулировать задачи выработки эффективной налоговой политики – задачи управления. Литература 1. K. Bagwell, R.W. Staiger. Multilateral Tariff Cooperation during the Formation of Customs Unions // Journal of International Economics 42, 1997. pp. 91-123. 2. K. Bagwell, R.W. Staiger. Multilateral Tariff Cooperation during the Formation of Free Trade Areas // International Economic Review 38, 1997. pp. 291-319. 3. S. Goyal, S. Joshi. Bilateralism and Free Trade. Unpublished manuscript, 2001. 4. T. Furusawa, H. Konishi. Free trade networks. Unpublished manuscript, 2002. 5. K. Kubota. Trade negotiation in the presence of network externalities. Papers of World Bank Country Economics Department, 1999. 6. S. Guriev, I. Pospelov, M. Shakhova. Self-organization of Trade Networks in an Economy with Imperfect Infrastructure. Series “Computing in Economics and Finance” of Society of Computational Economics, 1996. 7. R. Kranton, D. Minehart. A theory of Buyer-Seller Networks. Unpublished manuscript. 2000. 8. H. Konishi. Uniqueness of User Equilibrium in Transportation Networks with Heterogeneous Commuters. Unpublished manuscript. 2002. 9. Johari R., S. Mannor, J. Tsitsiklis. A Contract-Based Model for Directed Network Formation. Unpublished manuscript. 2003. 31

10. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с. 11. Губко М.В. Теоретико-игровая модель формирования торговой сети. / Сборник трудов молодых ученых «Управление большими системами». М.: ИПУ РАН, 2004. Выпуск 4. 12. Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2002. – 148 с. 13. Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр / Проблемы кибернетики. Вып. 10. М.: Физматгиз, 1963. С. 119 – 140. Физматгиз. 14. M. O. Jackson. Crash Course on Implementation Theory. Social Science Working Paper 1076. California Institute of Technology. 1997. 15. Губко М.В. Модель формирования бизнес-схем в транснациональных корпорациях // Системы управления и информационные технологии. 2003. 1-2(12). С. 44-48.

32

РЫНКИ КАК ИСТОЧНИКИ ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ ВНУТРИФИРМЕННЫХ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Заложнев А.Ю. (Институт проблем управления РАН, Москва) [email protected] В настоящей статье рассматривается система рынков как экономическое пространство, в котором происходит функционирование хозяйствующих субъектов – фирм, и текущее состояние которого существенным образом влияет на принимаемые внутри них управленческие решения. В статье дается классификация типов рынков. Приводятся условия, при которых они находятся в состоянии равновесия, а также указываются факторы, влияющие на изменение их состояния. Введение Выбор управленческих решений, принимаемых руководителями и сотрудниками фирмы, в значительной степени зависит от внешних условий ее функционирования. Под внешними условиями понимается некоторый комплекс факторов, которые могут воздействовать на объект (фирму), но сами слабо зависят от ее воздействий и внутреннего состояния. В экономической теории важнейшими из этих условий (факторов) считаются условия сбыта продукции, условия ресурсного обеспечения, в том числе, условия материально-технического обеспечения (обеспечения факторами производства), обеспечения трудовыми ресурсами (рабочей силой), а также условия накладываемые государством на процесс ценообразования, его налоговая и таможенная политика. Внешняя среда, в которой происходит функционирование фирмы, может быть структурирована. Отдельные элементы этой структуры называются “рынками”. В теории выделяются следующие основные типы рынков: - рынок товаров и услуг, - рынок трудовых ресурсов (рабочей силы), - финансовый рынок, включающий в себя рынки инвестиций, ценных бумаг, кредитный (рынок ссудного капитала). 33

Другим важным макрофактором, влияющим на состояние среды, в которой функционируют фирмы, является государство. В настоящей статье его влияние мы не рассматриваем за исключением случаев, когда государство в лице тех или иных своих институтов оказывает непосредственное влияние на состояние конкретных рынков. 1. Типы рынков. Условия равновесия рынков Рассмотрим систему рынков и их классификацию более подробно. Очевидно, что построение любой классификации носит определенный оттенок субъективизма, т. е. зависит от целей и задач, которые ставит перед собой исследователь, а также от сферы деятельности организации, к которой он принадлежит. Так с точки зрения руководителя транспортного предприятия (фирмы) система рынков состоит из следующих четырех рынков: рынка материальных ресурсов, рынка трудовых ресурсов, рынка услуг и финансового рынка. Это одна из возможных классификаций. С точки зрения потребителя рынок продуктов и рынок материальных ресурсов представляет собой одно целое, а с точки зрения банковского служащего финансовый рынок, в свою очередь, распадается на несколько отдельных рынков. Ниже мы постараемся дать классификацию системы рынков и укажем границы применимости этой классификации. Также мы постараемся дать хотя бы приблизительную характеристику каждого из рынков. В качестве исходной рассмотрим следующую классификацию типов рынка: ♦ рынок товаров и услуг (капитальных и потребительских благ); ♦ рынок рабочей силы (трудовых ресурсов); ♦ рынок ссудного капитала (инвестиционных средств); ♦ рынок прав собственности (акционерного капитала); ♦ валютный и денежный рынок. Каждый из них имеет определенные особенности, на которых мы остановимся при рассмотрении каждого рынка в отдельности. Нужно, однако, отметить, что центральное место, с точки зрения экономической теории, занимает проблема равновесия рынка, т. е. вопрос о том, при каких условиях спрос на данном конкретном рынке равен предложению на нем, а также проблема установления 34

равновесия и его достижимости. Определение равновесия на рынке тесно связано с изменением спроса и предложения на товары, обращающиеся на нем. Согласно классической теории рыночных механизмов, как правило, неравновесные (несбалансированные) рынки неустойчивы и переходят со временем в равновесные (сбалансированные), благодаря действию рыночных механизмов (например, механизма цен). Предполагается существование т.н. “невидимой руки рынка” – некоторого комплекса механизмов обратных связей, приводящих рынки в равновесие. Однако при определенных условиях дефицитный рынок (рынок продавца) может также находиться в устойчивом состоянии. Но рынки подобного типа, функционирующие, как правило, в условиях централизованной экономики, останутся вне нашего рассмотрения в данной статье. Спрос и предложение на каждом из рынков зависят от многих факторов. Предполагается, что на каждом из них действует определенный механизм, позволяющий устанавливаться равновесию между спросом и предложением (рыночный механизм). Реализация этого механизма осуществляется через изменение некоторого фактора, наиболее быстро реагирующего на несоответствие между спросом и предложением и своим изменением приводящего рынок в положение равновесия. Спрос и предложение также должны зависеть от значения, принимаемого этим фактором. В качестве такого фактора на одном из рынков может выступать, например, цена, а на другом норма процента. Предполагается, что одна из функций (спрос или предложение) является убывающей (или, по крайней мере, невозрастающей) функцией этого фактора, а другая возрастающей (по крайней мере, неубывающей). Предполагается, что существует точка пересечения кривых, задающих зависимость спроса и предложения от данного фактора, которая и является положением равновесия рынка. Или, наоборот, что существует равновесное значение фактора, при котором спрос и предложение совпадают. Рассмотрим теперь каждый из рынков в отдельности. 2. Рынок товаров и услуг (капитальных и потребительских благ) Исторически с этого рынка начались исследования проблемы рыночного равновесия, которые восходят к работам Маршалла и 35

Вальраса [1, 2]. С содержательной точки зрения этот рынок не требует особого рассмотрения, так как все мы постоянно сталкиваемся с ним в повседневной жизни, как правило, в качестве покупателей. Положение равновесия на этом рынке определяется как точка пересечения кривых, описывающих зависимость спроса и предложения на товары от уровня цен Р на них. Предполагается, что с ростом цен спрос на товары уменьшается, а предложение увеличивается (рис.1). При этом цена Р*, представляющая собой значение цены в точке пересечения

предложение

спрос P P* = P1 P1 * Рис. 1 кривых спроса и предложения, является равновесной ценой. Существует основное требование, которое должно выполняться, чтобы можно было утверждать, что цена Р* является равновесной ценой [3, стр.82]. Это требование гласит, что при определении кривых спроса и предложения, все прочие факторы, кроме цены, влияющие на них, должны оставаться неизменными. В противном случае невозможно точно определить положение равновесия на рынке и равновесную цену на товар (товары). Это требование является универсальным и относится ко всем прочим исследуемым рынкам и ко всем экономическим характеристикам, которые являются 36

главными факторами равновесия на этих рывках. Вообще говоря, кривые спроса и предложения могут быть и немонотонными, возникающие при этом эффекты исследуются при анализе монополизированных рынков [4]. Достаточным условием, которое должно удовлетворяться для того, чтобы функции спроса и предложения были монотонными, является требование, состоящее в том, что ни один из субъектов, действующих на рынке, в отдельности не может оказать существенного влияния на цену Р. Это требование известно в экономической теории как «принцип совершенной конкуренции» [4, 5]. 3. Рынок трудовых ресурсов (рабочей силы) Основным параметром, уравновешивающим спрос на рабочую силу (трудовые ресурсы) со стороны предпринимателей и предложение рабочей силы: со стороны населения в простейшем случае является реальная заработная плата ω [6, стр. 55], которая связана с номинальной почасовой заработной платой. W и уровнем цен Р соотношением ω = W / P . Графически соотношение между спросом и предложением рабочей силы и равновесие на этом рынке представлено на рис.2. При этом ω* – равновесная реальная заработная плата.

N N max предложение рабочей силы

N 1S N*

N 1D спрос на рабочую силу W*

W

W1 Рис.2 37

Естественно, предложение рабочей силы (трудовых ресурсов) ограничено сверху величиной N max , соответствующей общей численности трудоспособного населения. Следует также добавить, что поскольку в условиях полностью централизованной экономики имеет место полная занятость ( N = N max ), то при этом уровень реальной заработной платы ω не оказывает на макроуровне существенного влияния на предложение рабочей силы [7, стр.416]. Перейдем теперь к рассмотрению такого важного социального феномена как безработица. Подход к анализу проблемы безработицы, предложенный Кейнсом [8, стр.379], базируется на явлении «жесткости номинальной, заработной платы на понижение». Это достаточно сложное явление может быть проиллюстрировано следующей схемой. Допустим, что номинальная заработная плата в исходном состоянии находится на уровне W * = ω * P1 , соответствующем полной занятости. В случае падения цен, на возможных причинах которого мы здесь не останавливаемся, до уровня P1 = P * величина номинальной заработной платы W останется на прежнем уровне W*, а значение реальной заработной платы возрастет до уровня ω 1 =

W* . Это приведет к увеличению предложения рабоP1

чей силы до уровня N 1S и к снижению спроса на нее до уровня

N 1D . Поскольку в условиях рыночной экономики бюджетные ограничения, накладываемые на деятельность предприятий: (фирм), являются жесткими, то рынок рабочей силы будет являться в данном случае рынком покупателя и, следовательно, занятость зафиксируется на уровне N 1 = N 1D = min( N 1S , N 1D ) < N * Очевидно, что в данном случае будет иметь место безработица, величина которой составит N * − N 1 . Описанная динамика цен может быть проиллюстрирована рис.1. Стрелкой указано направление изменения предложения. Динамика занятости иллюстрируется рис.2. Другим весьма важным источником безработицы могут быть 38

структурные изменения в экономике, результатом которых будет вытеснение рабочей силы из некоторых отраслей народного хозяйства. Количественный анализ этого процесса может быть проведен на основе подхода, изложенного в [9, стр.223-226]. Дополнительно укажем, что вопросам, связанным с функционированием рынка рабочей силы, посвящена обширная литература [10, 11, 12]. 4. Рынок ссудного капитала (инвестиционных средств) Простейшей моделью рынка ссудного капитала является следующая модель. Источником инвестиционных средств I, необходимых для расширенного воспроизводства, выступают денежные сбережения S, помещаемые в банки и предоставляемые затем нуждающимся в ссудах (кредитах) фирмам. При этом вкладчики получают определенный процент i по вкладам, величина которого и является главным стимулом к сбережению, а заемщики выплачивают процент по ссудам i 1 . Предполагая, что i ≅ i 1 можно утверждать, что величина нормы процента i является основным фактором равновесия на рынке ссудного капитала. В случае, когда инвестиции I(i) равны сбережениям S(i), рынок ссудного капитала находится в равновесии. Норма процента i*, при которой S(i)=I(i) является равновесной нормой процента (рис. 3). Более сложной моделью рынка ссудного капитала является модель Кейнса, восходящая к [8], но основной вклад в развитие этой модели внесли Хикс [13] и Хансен [14]. В рамках этой модели предполагается, что объем сбережений S не зависит от нормы процента и определяется лишь как остаток, непотребленная часть национального дохода X. Объем потребления С зависит от величины X : C = C (X ) . (На микроуровне для каждого конкретного человека размеры потребления определяются его личным доходом у и склонностью к потреблению с:

c=

dC ( y ) ). Таким образом, величина объема сбережений на dy

макроуровне является функцией размеров национального дохода: S = X − C( X ) . 39

S, I сбережения

спрос на инвестиции i i* Рис. 3 Перейдем теперь к рассмотрению спроса на инвестиции. Предполагается, что каждому объему инвестиций I соответствует своя дисконтированная сумма доходов В: B = − I +

T

bt

∑ (1 + i) t =1

t

, где

bt – доход от инвестиций I в году t, Т – срок полной амортизации инвестиций I, i = i (t ) – текущая норма, процента. В случае если B > 0 , инвестиции рентабельны, если же B < 0 , – нерентабельны.

При построении этой формулы использовалось предположение о наличии информации о будущей норме процента i(t). В случае отсутствия такой информации (а в большинстве случаев это так) решение об инвестировании принимается в условиях большей или меньшей степени неопределенности. Очевидно, что чем выше норма процента, тем менее выгодными являются инвестиции, поскольку рост i понижает величину их рентабельности В. Следовательно, можно утверждать

dI <0. di

Если при этом удовлетворяются два нижеследующих предпо40

ложения, то зависимость объема инвестиций I от текущего значения нормы процента i может быть проиллюстрирована рис.4. Первое из этих предположений состоит в том, что эластичность I по i невелика, а второе в том, что даже

i

I Рис. 4 при очень низкой норме процента спрос на инвестиции не возрастает бесконечно, т. е. lim I ( i ) ≠ ∞ . i →+0

Теперь следует рассмотреть вопрос об условиях равновесия между сбережениями и инвестициями в рамках этой модели. Можно предположить, что равновесие на рынке ссудного капитала в данном случае имеет место при выполнении соотношения (1) S ( X ) = I (i ) . Но как оно устанавливается? Пусть в исходном состоянии имело место выполнение соотношения (1). Предполагается, что при росте i снижается объем инвестиций, что, в свою очередь, приводит к снижению экономической активности, т. е. к снижению размеров национального дохода X, вслед за которым, естественно, уменьшается и S. Равновесие на рынке восстанавливается. Установление (восстановление) равновесия на рынке ссудного капитала в рамках данной модели может быть проиллюстрировано рис. 5. 41

X i

X max X* i S i

I*=S*

i*

I I*=S* Рис. 5 На основании вышеприведенных рассуждений можно сделать предположение о существовании связи между нормой процента i и уровнем производства национального дохода X. Такого рода зависимость представлена в виде кривой SI на рис.6. Величиной X max на этой кривой обозначен тот уровень национального дохода, который не может быть превышен ни при каком значении i. Данная зависимость в макроэкономической теории носит название кривой Хикса-Хансена [13, 14]. Следует отметить, что в отличие от классической модели, где имелось единственное равновесное значение

42

X X max

SI X*(t) i i*(t) Рис. 6 нормы процента i = i * , в данной модели, очевидно, равновесие на рынке ссудного капитала имеет вид кривой SI в пространстве (i,X). Центральным элементом рынка ссудного капитала является банковская система. По отношению к вкладчикам банк выступает как заемщик, а по отношению к фирмам или предпринимателям, которые берут ссуды, как кредитор. Общая схема функционирования рынка ссудного капитала представлена на рис.7.

вкладчики (кредиторы)

банки

M

M

заемщики

M

Рис. 7 43

На рис.7 сплошными стрелками обозначено движение заемных средств, а пунктирными – выплаты процентов по ссудам и вкладам. В реальной экономике процент по вкладам ниже процента по ссудам, а их разность, умноженная на величину предоставленных ссуд, представляет собой основную часть дохода банковского капитала (кроме этого в доходы входят, в частности, проценты, получаемые по ценным бумагам, например, по государственным облигациям). Следует также отметить, что обращение облигаций также следует отнести к рынку ссудного капитала, так как их владельцы выступают в качестве кредиторов, а государство или фирмы, их выпускающие – в качестве заемщиков. По облигациям обязательно выплачивается определенный фиксированный процент (в отличие от акций). Более подробно об условиях равновесия на рынке ценных бумаг (облигаций) можно узнать, например, в работе [15]. Та часть рынка ссудного капитала, на которой происходит получение кредитов и ссуд под определенные проценты, обычно выделяется в отдельный кредитный рынок. В условиях перехода экономики от централизованного управления к рыночным принципам регулирования, по-видимому, размер сбережений не оказывает заметного влияния на уровень инвестиций. Размер последних определяется кредитной способностью центрального банка I* и, естественно, нормой процента i (рис. 8). Коммерческие банки при этом можно рассматривать как филиалы центрального банка. Такая ситуация в той или иной степени имела место в России в начале и середине 90-х годов (до так называемого “дефолта”). В этом случае, так же как и в классической модели существует единственный уровень процентной ставки i*, который уравновешивает кредитные возможности центрального банка и спрос на инвестиции. Если кредит дорог (i > i*) , то значительная часть кредитных возможностей центрального банка может остаться невостребованной. Возможно также, что при этом изменится структура размещения активов банков: основная их часть будет направлена не на инвестиции как таковые, а на кредитование торговых и посреднических операций. Заканчивая рассмотрение рынка ссудного капитала, нужно указать, что на нем заинтересованные 44

субъекты получают инвестиции в денежной форме. Непосредственное превращение этих средств в оборудование происходит на той части товарного рынка, которая может быть специфицирована как рынок сырья и средств производства.

I

I* спрос на инвестиции i i* Рис. 8 5. Рынок прав собственности (рынок акционерного капитала) Исходным положением для развития данного рынка является существование юридических лиц (фирм) в форме ЗАО или ОАО со свободным (с учетом некоторых законодательных ограничений) обращением акций (акционерных обществ). Каждый из акционеров ЗАО, ОАО обладает своей долей собственности фирмы (акционерного общества), выражающейся во владении определенной частью ее акций. Акция – документ, удостоверяющий право ее владельца на часть капиталов АО, равную капиталу, деленному на общее число выпущенных акций (в случае их одинаковой номинальной стоимости). Среди владельцев акций ежегодно распределяются дивиденды-доходы, которые причитаются на каждую акцию после выплаты всех фиксированных платежей, в том числе процентов по ссудам (облигациям). Как правило, акции не связаны со своим владельцем (не персонифицированы, но существуют и именные акции) и могут быть им в любое время проданы. Реализация акций осуществляется на 45

рынке акционерного капитала. Поскольку они являются правом на владение частью общего капитала корпорации, то этот рынок может быть назван «рынком прав собственности». Основным рабочим инструментом такого рынка являются фондовые биржи, на которых, впрочем, могут реализовываться и другие ценные бумаги, например, облигации. К анализу условий и определению положения равновесия на рынке акционерного капитала может быть несколько подходов. Каждый из этих подходов отражает процессы, относящиеся к различным уровням в иерархии временных приспособлений данного рынка: к мгновенному, краткосрочному, среднесрочному и долгосрочному приспособлениям. Рассмотрим вопросы, связанные с анализом равновесия на рынке акционерного капитала, в соответствии с этой иерархией: от мгновенного (нижний уровень) к долгосрочному (верхний уровень) приспособлению. Но прежде чем перейти к конкретному рассмотрению процессов, протекающих в рамках временных интервалов, соответствующих каждому из уровней иерархии, отметим, что центральной характеристикой, представление о которой необходимо для анализа функционирования рынка акционерного капитала на любом из временных уровней, является курс (котировка) акции. Курс акции – цена, по которой осуществляется покупка и продажа акции на фондовой бирже [16, стр.325]. Перейдем теперь к обсуждению мгновенного приспособления на данном рынке, т. е. к проблеме установления курса акции в течение одного биржевого дня. Котировка акции Р* в ходе торгов устанавливается на таком уровне, что количество поручений, данных маклерам (брокерам) на покупку акций по цене, равной или более низкой, чем Р*, приблизительно равно количеству поручений, данных им на продажу акций по цене, равной или более высокой, чем Р* [6, стр.142-149]. Процесс установления равновесия на рынке акционерного капитала на данном уровне временной иерархии может быть проиллюстрирован рис.9.

46

1

2 P P* 1 – суммарное количество поручений на покупку акций 2 – суммарное количество поручений на продажу акций Рис. 9 Перейдем теперь к следующим уровням временных приспособлений данного рынка. Наиболее сложными являются процессы, протекающие на нем в рамках временных интервалов, соответствующих краткосрочному приспособлению (в пределах одного года). Следует отметить, что на таких временах данный рынок в целом (и даже по отдельным видам акций) практически не бывает в состоянии равновесия. Постараемся дать достаточно простое объяснение этому факту. Важной особенностью функционирования фондовой биржи является то, что котировки акций существенным образом зависят от предполагаемого в будущем изменения их курса, т. е. от оценок, которые делают биржевые спекулянты (дилеры) о соотношении между текущей и будущей котировкой акций, т. е. о знаке величины P (t + τ ) − P (t ) . Величина τ представляет собой среднюю скорость обращения акционерного капитала (передачи прав) на бирже. Величина τ может быть определена, например, как среднее время между заключением сделки и непосредственной покупкой или продажей акций при операциях с отсрочкой (юридической или фактической или операциях с опционом [6, стр.142-149]. Если 47

величина P (t + τ ) − P (t ) > 0 , то курс акции будет расти, поскольку их выгодно купить именно сейчас, чтобы в дальнейшем продать по более высокой цене; это, в свою очередь, приводит к увеличению спроса на акции, что на уровне мгновенного приспособления приводит к повышению их курса. Если P (t + τ ) − P (t ) < 0 , то котировка акций будет понижаться. Разумеется, продавцы и покупатели на бирже не располагают точной информацией о величине P(t + τ ) , а строят на основании своих интуитивных предположений некоторую ее оценку Pˆ (t + τ ) [3, стр.156]. Таким образом, скорость изменения цены Р в текущий момент может быть представлена в виде P& = F ( Pˆ (t + τ ) − P (t )). Поскольку оценка Pˆ (t + τ ) носит вероятностный характер, то и процесс изменения котировок акций на бирже также носит стохастический характер. Необходимость оценивать будущий уровень цен (зависимость P& от Pˆ (t + τ ) ) может привести в определенных условиях к наличию в биржевом механизме существенной положительной обратной связи. Результатом такого воздействия может быть то, что долгое время цены почти на все акции будут расти. Эта ситуация называется «рынком быков». На таком рынке практически все операции производятся в расчете на предстоящее повышение котировок. Развитие «рынка быков» обычно заканчивается биржевым крахом, т. е. почти одновременным падением курсов акций (примером тому может служить Великий биржевой крах 1929 г. в США). Далее, поскольку биржевые спекулянты ожидают дальнейшего падения курсов, развивается так называемый «рынок медведей». На нем все операции делаются в расчете на предстоящее понижение курсов. Развитие «рынка медведей» также может заканчиваться биржевым крахом (пример тому – крах 1933 г.). Затем цикл может повториться снова. Государство, проводя эффективную финансовую политику, может влиять и влияет на этот процесс, но такое воздействие государства на экономику не рассматривается в данной статье. Стихийные процессы (флуктуации), протекающие на рынке акционерного капитала в рамках краткосрочного приспособления, 48

описаны в работе [6, стр.152]. В этой работе раскрыты возможные состояния фондовой биржи – главного рабочего инструмента данного рынка: тенденция к ускорению прогресса, прочность, хорошее настроение, активность, оживление, сохранение стабильности, спокойствие, осторожность, разборчивость, нерешительность, беспокойство, застой, подавленность, слабость, упадок, понижение. Рассмотрим теперь следующий уровень временной иерархии – среднесрочный. В среднесрочном плане курс акций каждого конкретного вида зависит от многих факторов и, прежде всего, от уровня дивидендов, выплачиваемых по этим акциям. Так, если считать, что предложение акций данного вида S Sj является постоянным в данный момент времени t: S Sj = S Sj0 , т. е. если рассматриваемый момент не относится к периоду, в котором производится подписка на дополнительно выпущенные акции данного АО, то спрос на них S Dj определяется уровнем полученных в предшествующем периоде дивидендов D j (t − 1) . В этом случае соответствие между спросом и предложением акций j-вида может быть проиллюстрировано рис.10. Если размер дивиденда, полученного акционерами в году t-1, составит D1 , то спрос на акции данного вида будет несколько ниже предложения; если размер дивиденда составит D2 , то спрос на акции будет несколько выше, чем предложение. Приспособление к текущему уровню дивиденда D j (t − 1) будет происходить на временах, соответствующих краткосрочному и мгновенному приспособлению. Теоретически новый курс акций

ˆ ( t ) должен составить Pˆ ( t ) = (оценка) P j j

D j ( t − 1 ) × 100 , где gˆ ( t )

gˆ ( t ) – приемлемая для покупателя норма прибыли, выраженная в процентах [17, стр.42-45]. В силу того, что величина g ˆ ( t ) для различных покупателей различна и, следовательно, является случайной величиной со своим законом распределения (но, вообще говоря, достаточно близкой к текущей норме процента i(t)), вели49

ˆ ( t ) также будет случайной. Следствием этого факта могут чина P j быть флуктуации курса акций данного j-го вида на временах, соответствующих краткосрочному приспособлению.

S Dj , S Sj спрос на акции S Sj0

предложение акций

Dj Рис. 10 Перейдем теперь к рассмотрению самого верхнего уровня иерархии временных приспособлений рынка акционерного капитала – долгосрочного приспособления. При этом следует указать на то, что на этом уровне не наблюдается хотя бы частичного, как на предыдущем уровне, равновесия рынка, поскольку котировка акций в долгосрочном плане имеет тенденцию к росту. Такая тенденция объясняется, с одной стороны, инфляцией, а с другой – постоянной капитализацией части доходов корпораций [3, стр.148—149; 17, стр.55]. Завершая рассмотрение процесса функционирования данного рынка, следует подчеркнуть, что он имеет существенную общность с рынком ссудного капитала. Так, операции по депорту (выдача банками ссуд под залог ценных бумаг), являющиеся весьма важной составляющей процесса функционирования рынка акционерного капитала, могут быть с тем же успехом отнесены и к рынку ссудного капитала. На проблеме существенного единства всех рынков капитала мы остановимся несколько ниже. 50

6. Валютный и денежный рынки Рассмотрим сначала валютный рынок. Необходимо, прежде всего, отметить его дуализм по отношению к представленной нами классификации. С одной стороны, когда речь идет о предоставлении одной страной валютных займов другой стране при условии выплаты определенного процента годовых, данный рынок ничем не отличается от рынка ссудного капитала. С другой стороны, когда идет речь о приобретении валюты другой страны за счет реализации, например, золотых запасов, этот рынок ничем не отличается от товарного рынка. Денежный рынок, хотя и не отличается по природе обращающихся на нем объектов (денежные активы) от валютного рынка, имеет существенно иные принципы функционирования. В экономике деньги имеют различные функции, главными из которых, кроме функции меры стоимости, являются функция средства платежа и средства обращения и функция средства накопления. Для анализа соответствия между спросом и предложением на денежном рынке можно воспользоваться следующим подходом (далее излагается так называемый кейнсианский подход). Он предполагает, что спрос на деньги M D равен сумме спроса на деньги как средство обращения и платежа Т плюс спрос на деньги как средство накопления L: M D = T + L . Спрос на деньги как средство платежа и обращения (транзакционный спрос) определяется величиной национального дохода в базовых ценах X и уровнем цен Р. Величина Т может быть задана как T = IPX , где I представляет собой коэффициент пропорциональности. Спрос на деньги как на средство накопления L (спекулятивный спрос) зависит от нормы процента i: L = L(i). Чем процент выше, тем выгоднее держать деньги на счетах в банке и, следовательно, тем меньше потребность в наличных деньгах как средстве накопления; т. е. спрос на деньги как средство накопления является убывающей функцией процентной ставки. Предложение денег M S = M 0 является экзогенной переменной, т. е. оно формируется эмиссионной политикой государства. Следовательно, в этом случае спрос на деньги (или экономика в 51

целом) должен приспосабливаться к данному уровню предложения M 0 . (Отметим, что государство может проводить целенаправленную политику, ведущую к стабилизации денежного рынка, т. е. пытаться зафиксировать предложение денежной массы на уровне M * , равном текущему спросу на деньги IPX + L(i ) ). Таким образом, должно быть рассмотрено следующее условие равновесия

dL(i ) < 0. di При фиксированном уровне цен P = P0 , а стабильность (не-

на денежном рынке M 0 = IPX + L(i ) , где

гибкость) цен – одна из важнейших предпосылок кейнсианской макроэкономической теории; равновесие на денежном рынке при заданном уровне производства национального дохода X = X 0 может быть проиллюстрировано рис.11. Вертикальная асимптота в левой части графика L(i ) на рис.11 предполагает существование так называемой «ликвидной ловушки», т. е. ситуации, когда из-за низкого уровня процента по вкладам экономические субъекты предпочитают иметь свои финансовые активы только в виде наличности.

L

M0 −T

i i1

i*

i2 Рис.11

В условиях перехода экономики к рыночным принципам регулирования вопрос о возможности существования ликвидной ло52

вушки остается открытым. Отметим также, что возрастание размеров транзакционного спроса T = IPX с ростом X приводит к необходимости создания банками дополнительных стимулов по привлечению части денежных средств. Таким стимулом, очевидно, может быть повышенная по сравнению с исходным состоянием норма процента. Зависимость между величиной производства национального дохода X и нормой процента i, соответствующая равновесию денежного рынка, может быть охарактеризована кривой LM, лежащей в пространстве (i, X), график которой дан на рис.12. Следует еще раз подчеркнуть, что это теоретическое построение выполнено в предположении постоянства уровня цен – P = P0 (или что, то же самое, в предположении, что уровень цен определяется вне модели). i

LM

i1 M0 lP0

X i

Рис. 12 Возможен и другой (так называемый монетариcтcкий) подход к определению равновесия на денежном рынке [18, 19, 20, 21, стр.190-193]. При реализации этого подхода, как и в кейнсианском случае, предполагается, что предложение денег M S = M 0 задается экзогенно по отношению к денежному рынку (определяется эмис53

сионной политикой государства). Отличие монетаристского подхода состоит в задании спроса на деньги M D в виде единой функции спроса на кассовые остатки, которая в простейшем случае имеет вид M D = Pf ( X / P, i ) , где Р – уровень цен; Х/Р – дефлированный национальный доход; i – норма процента. Равновесие на денежном рынке имеет место в MS = MD или случае выполнения соотношения M 0 = Pf ( X / P, i ) . При этом предполагается также, что уровень реального национального дохода определяется за рамками модели, т.е. с кейнсианской предпосылкой P = P0 ).

X = x0 (ср. P

7. Проблема единства рынка капитала (финансового рынка) Для того чтобы сконцентрироваться на наиболее существенных сторонах функционирования рынков и упростить анализ условий равновесия, мы ранее пренебрегали существенной общностью между рынком ссудного капитала, рынком акционерного капитала и денежным рынком. На самом деле рынок капитала в условиях развитой рыночной и финансовой системы является единым. И положение равновесия на нем определяется как равенство суммарного спроса суммарному предложению на всех вышеперечисленных рынках, хотя каждый из них при этом может и не находиться в состоянии равновесия [22, стр.50], т. е. условие равновесия рынка капитала имеет вид (2) M D + BS D + I = M 0 + BS S = S , где M D – спрос на наличные деньги; BS D – спрос на ценные бумаги; I – спрос на инвестиции; M 0 – денежная масса в обращении; BS S – предложение ценных бумаг; S – сбережения. Формулировка соотношения (2) произведена уже с учетом функционального единства некоторых рынков. Так, задание спроса и предложения на облигации, функционирование которых относится к рынку ссудного капитала, и на акции, функционирующие на рынке акционерного капитала, в виде единого спроса и единого 54

предложения ценных бумаг предполагает определенную общность этих рынков, т. е. существование единого рынка ценных бумаг. Практически такое слияние осуществляется на микроуровне в рамках портфельного подхода индивида к размещению своих активов, когда он принимает решение о распределении своих средств между различными видами ценных бумаг. В этом случае его не интересуют институциональные отличия между различными ценными бумагами, а интересует лишь потенциальная (вероятная) доходность того или иного их вида [15, стр.321-326, 23]. В реальной экономической практике не существует четких границ между различными типами рынка капитала. Капитал в процессе обращения постоянно переходит из одной формы в другую, что, безусловно, создает существенные трудности при классификации. Примером организаций, деятельность которых происходит как на рынке ссудного капитала, так и на рынке акционерного капитала, являются инвестиционные фонды [3, стр.163], которые занимаются размещением денежных средств в различные виды ценных бумаг с целью снижения риска вкладчиков. Таким образом, если рассматривать рынки ссудного капитала, прав собственности и валютно-денежный рынок, как единый рынок капитала или финансовый рынок, то общая классификация рынков примет вид: ♦ рынок товаров и услуг; ♦ рынок рабочей силы; ♦ рынок капитала (финансовый рынок). Следует отметить, что в условиях формирования рынка капитала, по-видимому, представляется преждевременным говорить о функциональном единстве различных составляющих рынка капитала. На наш взгляд, различные рынки капитала еще длительное время будут оставаться весьма сепарабельными, а их функционирование будет иметь ряд особенностей, на часть их которых мы указали выше. По мере формирования и развития рыночных отношений будут все сильнее проявляться определенные закономерности, позволяющие проводить анализ процессов, протекающих на различных рынках, на основе использования единых содержательных понятий и формального аппарата, сформировавшихся в рамках макроэкономической теории. 55

Естественно, в зависимости от целей, которые ставят перед собой исследователи, могут быть предложены и иные классификации системы рынков. Данная классификация может быть также расширена за счет включения некоторых других их типов (например, страхового рынка), которые мы не рассматривали из-за более узкой по сравнению с перечисленными выше области их функционирования. Завершив построение классификации, необходимо теперь, в заключение данного обзора, указать на то, что в рамках макроэкономической теории существует и другое направление – синтезирующее, которое исследует основные зависимости и взаимодействия, возникающие в процессе функционирования рынка рабочей силы, рынка капитала и рынка товаров и услуг. Рассмотрим макроэкономический синтез на примере объединения рынка товаров и услуг и денежного рынка. Отталкиваясь от кейнсианской модели рынка ссудного капитала и предполагая, что сбережения и инвестиции осуществляются не в денежной (не только и не столько), а в материально-вещественной форме, можно считать, что рынок ссудного капитала в определенной степени эквивалентен рынку товаров и услуг. В данном случае «…термин «сбережения» следует понимать как объем непотребленных благ и услуг, а не как количество денег, отложенное в сберегательных кассах» [6, стр.201]. Как мы указали выше, при анализе рынка ссудного капитала, равновесие на нем, в рамках кейнсианской теории, может быть задано в пространстве (i,X) кривой SI, представленной на рис.6. Равновесие на денежном рынке задается в том же пространстве (i,X) кривой LM (рис.12). Следовательно, точка пересечения Н кривых SI и LM в пространстве (i,X) отвечает требованиям равновесия как рынка товаров и услуг, так и денежного рынка. Данный факт может быть проиллюстрирован графиком, представленным на рис.13, который известен как график Хикса-Хансена [15, стр.297304].

56

i

SI H

LM

i1 X Xmax

M0 lP0

Рис. 13 Заключение В заключение следует остановиться на практической значимости изложенных результатов. По нашему мнению, руководители, собственники (акционеры) и другие лица, принимающие финансовые и/или организационные решения, касающиеся функционирования и развития фирм, должны учитывать определенные особенности действия рыночных механизмов, чтобы иметь возможность эффективно управлять деятельностью своих предприятий, а также выбирать оптимальную стратегию их развития. Несмотря на то, что идея “невидимой руки” рынка за годы экономических и политических реформ в России была сильно скомпрометирована, представляется, что основные идеи, сформулированные классиками экономической мысли XX века и представленные в настоящем обзоре, дают достаточно точное представление о макропроцессах, протекающих в рыночной экономике, и о том влиянии, которое может оказывать на них государство своими разумными целенаправленными воздействиями.

57

Литература 1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 2. Бурков В. Н., Кондратьев В.В., Цыганов В.В., Черкашин А. М. Теория активных систем и совершенствование хозяйственного механизма. М.: Наука, 1984. 3. Кейнс Дж. М. Общая теория занятости, процента и денег. М.: Прогресс, 1978. 4. Корнай Я. Дефицит. М.: Наука, 1990. 5. Мицкуляк И. Д. Стратегия занятости: предотвращение безработицы. М.: Экономика, 1990. 6. Робинсон Дж. Экономическая теория несовершенной конкуренции. М.: Прогресс, 1986. 7. Самуэльсон П. Экономика. Вводный курс. М.: Прогресс, 1964. 8. Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. М.-Л.: Государственное социально-экономическое издательство, 1931. 9. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974. 10. Усоскин В. М. Теории денег.— М.: Мысль, 1976. 11. Федоров В. П. Ринг «быков» и «медведей». М.: Издательство политической литературы, 1982. 12. Харрис Л. Денежная теория. M.: Прогресс, 1990. 13. Экономическая энциклопедия. Политическая экономия. Т. 2. М.: Советская энциклопедия, 1975. 14. De Neubourg Ch. Unemployment, labour slack and labour market accounting: Theory, evidence and policy. Amsterdam: North-Holland, 1988. 15. Friedman M. A Monetary Theory of Nominal Income// Monetary Theory and Monetary Policy in 1970-th. / Ed. by G. Clayton. London: Oxford Univ. Press, 1971. 16. Friedman M. A Theoretical Framework for Monetary Analysis // Journal of Political Economy. 1970. Vol. 78. № 2. 17. Hansen A.H. A Guide to Keynes. New-York: McGraw-Hill, 1953. 18. Hicks J. R. A suggestion for Simplifying the Theory of Money // Economica. 1935. 2 (new series). P. 1–19. 19. Hicks J. R. Mr. Keynes and the «Classics». A Suggested Interpretation // Economica. 1937. 5 (newseries). P. 147 – 159. 58

20. Hoffman S. D. Labour market economics. Englewood Cliff (N. J): Prentice-Hall, 1986. 21. Marshall A. Principles of Economics. New York: Macmillan, 1890. 22. Studies in the Quantity Theory of Moneу / Ed. By Friedman M. Chicago: The Univ. of Chicago press, 1958. 23. Walras L. Elements of Pure Economics. Homewood, 111.: Irwin, 1954.

59

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ РЕФЛЕКСИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Казанцев С.Б. (Институт проблем управления РАН, Москва) [email protected] Введение В работе рассматриваются свойства линейных рефлексивных отображений игр двух лиц, в которых целевые функции игроков представляются многочленами второй степени. Получены условия стационарности рефлексивных отображений. 1. Понятия рефлексивной игры и информационного равновесия Предположим, что информированность агентов описывается информационной структурой I = ( I 1 , I 2 ,..., I n ) , где

I i = (θ i , θ ij , θ ijk ,...) – структура информированности i-го агента, θ i ∈ Ω – его представления о состоянии природы, θ ij ∈ Ω – его представления о представлениях j-го агента, θ ijk ∈ Ω – представления i-го агента о том, что j-ый агент думает о представлениях k-го агента и т.д. в общем случае до бесконечности [1], , i, j, k ∈ N = {1,2,..., n} . Если задана структура информированности I, то тем самым задана и структура информированности каждого из агентов (как реальных, так и фантомных – то есть существующих в сознании других реальных и фантомных агентов). Выбор τ-агентом, где τ – некоторая последовательность индексов из множества N, своего действия xτ в рамках гипотезы рационального поведения определяется его структурой информированности Iτ , поэтому, имея эту структуру, можно смоделировать его рассуждения и определить его действие. Выбирая свое действие, агент моделирует действия других агентов (осуществляет рефлексию). Поэто60

му при определении исхода игры необходимо учитывать действия как реальных, так и фантомных агентов. Обозначим Σ+ – множество всевозможных конечных последовательностей индексов из N, Σ – объединение Σ+ с пустой последовательностью, |σ| – количество индексов в последовательности σ (для пустой последовательности принимается равным нулю). Рефлексивная игра в нормальной форме задается кортежем {N , ( X i ) i∈N , ( f i (⋅)) i∈N , I } , где N – множество игроков (агентов), Xi – множество допустимых действий i-го игрока, fi(⋅): Ω × X' → ℜ 1 – его целевая функция, X' = X i , i ∈ N, I – структура информиро-

∏ i∈N

ванности [1]. Определим равновесие этой игры. Набор действий xτ*, τ ∈ Σ+, называется информационным равновесием [1], если выполнены следующие условия: 1. структура информированности I имеет конечную сложность ν, то есть, дерево I содержит конечный набор попарно различных поддеревьев [1]; 2. ∀λ, µ ∈ Σ + Iλ = Iµ ⇒ xλ* = xµ*; 3. ∀ i ∈ N, ∀ σ ∈ Σ xσ*i ∈ Arg max f i (θσi , xσ*i1 ,..., xσ*i ,i−1 , yi , xσ*i ,i+1 ,..., xσ*in ) . yi∈X i

Будем рассматривать регулярные структуры информированности [1], для задания которых введем вспомогательное понятие регулярного конечного дерева (РКД), которое определим рекуррентно. Пусть в игре участвуют n агентов. Если (в простейшем случае) все агенты одинаково информированы, то структура информированности имеет сложность n и единичную глубину. Будем представлять эту ситуацию в виде дерева, состоящего из корневой вершины, n ребер и n висячих вершин. Далее РКД может «расти» следующим образом: к каждой висячей вершине τi, τ ∈ Σ, присоединяется ровно (n – 1) ребро, при этом возникает (n – 1) висячая вершина τij, j = 1, …, i – 1, i + 1, …, n. Построенное РКД будем интерпретировать так: если имеется висячая вершина τi, τ ∈ Σ, то τi-агент одинаково информирован с τ-агентом (если τ – пустая 61

последовательность, то τi-агент является реальным, и его субъективные представления совпадают с объективными). Напомним, что, во-первых, максимальная глубина ki РКД i-го реального агента в [1] названа рангом его рефлексии. Во-вторых, любая конечная регулярная информационная структура однозначно (с учетом аксиомы автоинформированности [1] – ∀ i ∈ N ∀ τ, σ ∈ Σ θτiiσ = θτiσ ) задается перечислением своих висячих вершин. 2. Рефлексивные отображения Обозначим множество параметрических (параметр – вектор θ = (θ1, θ2, …, θn) ∈ Ω n) равновесий Нэша (1) EN(θ) = {{xi(θ)}i ∈ N ∈ X’ | ∀ i ∈ N, ∀ yi ∈ Xi fi(θi, x1(θ), …, xn(θ)) ≥ fi(θi, x1(θ), …, xi-1(θ), yi, xi+1(θ), …, xn(θ))}, а объединение этих множеств по всевозможным представлениям о значении состоянии природы обозначим EN = E N (θ1 ,θ 2 , ..., θ n ) .

U

(θ1 ,θ 2 , ..., θ n )∈Ω n

Предположим, что на нижнем уровне {θτij}j ∈ N конечной регулярной структуры информированности имеет место субъективное общее знание [1] фантомных агентов. Тогда с точки зрения τiагента возможными являются равновесия их игры из множества EN({θτij}j ∈ N). Введем множество наилучших ответов i-го агента на выбор оппонентами действий из множества X-i при множестве Ω возможных состояний природы: Arg max f i (θ , xi , x−i ) , i ∈ N, (2) BRi(Ω, X-i) =

U

x− i ∈X − i , θ ∈Ω

xi ∈X i

а также следующие величины и множества (3) EN = U E N (θ ) , θ ∈Ω n

(4) X = Proji EN, i ∈ N, 0 i

(5) X −k i =

∏X j ≠i

k j

, i ∈ N, k = 0, 1, 2, …,

где (6) X ik = BRi(Ω, X −ki−1 ), k = 1, 2, … , i ∈ N. 62

Отображение BRi(⋅, ⋅): Ω × X-i → Xi называется рефлексивным отображением i-го агента, i ∈ N [1]. Утверждение 1 (Утв. 14 в [1]). X ik ⊆ X ik +1 , k = 0, 1, … , i ∈ N, то есть с ростом ранга рефлексии множества (6) возможных наилучших ответов агентов не сужаются. 3. Проблема максимального ранга рефлексии Таким образом, информационное равновесие может быть вычислено следующим образом. Если на нижнем уровне конечной регулярной структуры информированности имеет место субъективное общее знание, то исходом игры соответствующих фантомных агентов будет параметрическое равновесие Нэша (1). Обозначим это равновесие g, g ∈ X'. Тогда агенты следующего (более высокого) уровня выберут действия, являющиеся в рамках их информированности наилучшими ответами на обстановку, соответствующую этому равновесию. Аналогичным образом поступят агенты следующего уровня и т.д., вплоть до реальных агентов. Поясним описанную конструкцию на примере двух агентов. Если на нижнем уровне РКД имеется равновесие g, то с точки зрения, например, первого – реального – агента он должен выбрать действие x1 = BR1(θ1, BR2(θ12, … BRi(θ1τi , g))) (i = 1 или 2 в зависимости от четности глубины РКД). В общем же случае действия реальных и фантомных агентов будут описываться системой итерированных отображений (6), начальной точкой для которых будет параметрическое равновесие Нэша, сложившееся на нижнем уровне РКД. Рассуждения о свойствах рефлексивных отображений оказываются существенными при рассмотрении задачи о максимальном целесообразном субъективном ранге рефлексии, в рамках которой для каждого реального агента требуется определить минимальный ранг рефлексии, при котором он охватывает все многообразие своих возможных выигрышей в рефлексивной игре (при различных вариантах своей структуры информированности). Данная задача является математической формулировкой вопроса о том, какова «оптимальная» глубина рефлексии. Интуитивно кажется, что чем выше ранг рефлексии агента, тем для него «лучше», и идеалом является бесконечная глубина реф63

лексии. Однако на самом деле ответ не столь очевиден. Во-первых, существуют информационные ограничения, которые делают бессмысленными большие значения рангов рефлексии [1]. Во-вторых, существуют многочисленные примеры (см. [1]), свидетельствующие, что увеличение ранга рефлексии агента не всегда приводит к увеличению его выигрыша. Помимо этих двух качественных доводов, можно привести несколько формальных. Рефлексивное отображение i-го агента называется стационарным, если X ik = X ik +1 , k = 0, 1, … . Утверждение 2 (Утв. 16 в [1]). Если рефлексивные отображения агентов стационарны, то максимальный целесообразный ранг рефлексии равен двум и множество действий i-го агента, которые могут быть реализованы как компоненты информационного равновесия, составляет X i0 , i ∈ N. При этом множество информационных равновесий составляет E =

∏ X i0 . i∈N

Таким образом, если рефлексивные отображения стационарны, то увеличивать ранг рефлексии, свыше второго, не имеет смысла. Исследуем условия стационарности рефлексивных отображений для игр двух лиц. 4. Линейные рефлексивные отображения в играх двух лиц Рассмотрим целевые функции агентов, являющиеся многочленами второй степени по действиям агентов: (7) f i (θ , x1 , x 2 ) = ϕ i (θ )xi + ψ i (θ )xi x j + η i (θ )xi , 2

(8) θ ∈ Ω = [α , β ] ⊂ R 1 , функции ϕ i , ψ i , η i непрерывны, причем потребуем, чтобы выполнялось условие наличия максимума у целевых функций: (9) ϕ i (θ ) < 0, θ ∈ Ω и условие (10) 4ϕ 2 (θ 2 )ϕ 1 (θ 1 ) − ψ 2 (θ 2 )ψ 1 (θ 1 ) ≠ 0 , ∀θ 1 ,θ 2 ∈ Ω , которое, как мы увидим в дальнейшем, гарантирует конечность множества субъективных равновесий. 64

Множества допустимых действий агентов: (11) X i = [Li , Ri ] ⊂ R 1 , Вычислим производные целевых функций (7): (12) f i

′

xi

(θ , x1 , x 2 ) = 2ϕ i (θ )xi + ψ i (θ )x j + η i (θ ) .

Функции наилучших ответов в рассматриваемом случае являются линейными: ψ i (θ )x j + η i (θ ) ψ (θ )x j + η i (θ ) , если − i BRi (θ , x j ) = − ∈ Xi, (13) 2ϕ i (θ ) 2ϕ i (θ ) (14)

(15)

    

BRi (θ , x j ) = Ri , если −

BRi (θ , x j ) = Li , если −

ψ i (θ )x j + η i (θ ) 2ϕ i (θ )

ψ i (θ )x j + η i (θ ) 2ϕ i (θ )

> Ri ,

< Li .

Будем считать далее, что выполняется условие (13), то есть, максимумы парабол из семейств f i лежат в X i при любом

xj ∈ X j . Множество субъективных равновесий (Нэша) игры на нижнем уровне является решением системы уравнений: (16)

(17)

    

ψ 2 (θ 2 )x1 + η 2 (θ 2 ) , 2ϕ 2 (θ 2 ) ψ (θ )x + η1 (θ 1 ) x1 = BR1 (θ 1 , x 2 ) = − 1 1 2 . 2ϕ 1 (θ 1 ) x 2 = BR2 (θ 2 , x1 ) = −

при различных значениях параметров θ 1 ,θ 2 ∈ Ω . Решая систему уравнений (16), (17) получаем множество равновесий: 65

(

ψ i (θ i )η j (θ j ) − 2ϕ j (θ j )η i (θ i )

)

(18) X i θ i ,θ j = 0

4ϕ j (θ j )ϕ i (θ i ) − ψ j (θ j )ψ i (θ i )

, θ i ,θ j ∈ Ω .

Заметим, что, в силу непрерывности функций ϕ i , ψ i , η i и определения множества Ω , множество X i является отрезком R 1 . Подставим (18) в (16), (17): 1 1 ψ θ η θ 1 (19) X i 1 θ i ,θ j ,θ i 1 = − i i 1 X j 0 θ i ,θ j − i i 1 , θ i ,θ j ,θ j ∈ Ω . 2ϕ i θ i 2ϕ i θ i Подставляя (19) в (16), (17), получаем выражение для преобра0 2 зования множества X i в X i : 0

(

(

(20) X i θ i ,θ j ,θ j ,θ i 2

( ) ( )

)

1

2

(

) = − 2ψϕ (θ(θ )) X 2 i 2 i

i

i

( ) ( )

)

1 j

−

( ) ( )

η i θ i2 = 2ϕ i θ i2

( )  − ψ (θ ) X − η (θ )  − η (θ ) = ( )  2ϕ (θ ) 2ϕ (θ )  2ϕ (θ )  ψ (θ ) ψ (θ )  ψ (θ ) ψ (θ ) = X (θ ,θ ) + X (θ ,θ )1 − ,  2ϕ (θ ) 2ϕ (θ )  2ϕ (θ ) 2ϕ (θ )   =−

i

i

2 i 2 i

ψi θ 2ϕ i θ

2 i 2 i

j

j

1 j

i

0

i

j

i

2

i

i

1 j

j

0

i

1 j

j

0

1 j

j

1 j

j

1 j

1

i

i

j

i

2 i 2 i

2 i 2 i

1 j

j

j

1 j

θ i ,θ j ,θ j ,θ i ∈ Ω . 1

2

Утверждение 3. Рефлексивное отображение игры (7), (8), (9), (10), (11), (13) стационарно тогда и только тогда, когда для всех θ i ,θ j ∈ Ω выполняется вложение: (21) 0 ≤

ψ i (θ i ) ψ j (θ j ) ≤ 1. 2ϕ i (θ i ) 2ϕ j (θ j )

Доказательство утверждения 3. Достаточно показать, что пре0

2

образование (20) множества X i в X i оставляет его неизменным. k

Учитывая, что множества X i являются отрезками R 1 , а, следовательно, выпуклы, это утверждение следует непосредственно из (20). Утверждение 3 доказано. 66

Проиллюстрируем

полученные

результаты

для

случая

ϕ i (θ ) ≡ Ai ,θ ∈ Ω , η i (θ ) ≡ Bi ,θ ∈ Ω , Ai ≠ 0, Bi – числа, ψ i (θ ) – непрерывная функция на Ω . ψ i (θ )x j + Bi Равенство (13) запишется в виде: BRi (θ , x j ) = − . 2 Ai

На рисунках 1 и 2 представлены различные варианты графиков функций наилучших ответов. Пересечение семейств прямых является множеством субъективных равновесий игры. Нас интересуют только такие взаимные расположения семейств BRi (θ , x j ) , при которых проекции множества их пересечения на оси конечны. Вариант 1 (рис. 1.1, 1.3). Все прямые одного из семейств имеют положительный наклон, другого – отрицательный. Отображение в обоих случаях не стационарно. Вариант 2 (рис. 1.2, 1.4). Прямые обоих семейств имеют одинаковый знак наклона, но модуль наклона второго семейства больше, чем первого. Отображение в обоих случаях не стационарно. Вариант 3 (рис. 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9). В том случае, если хотя бы одно из семейств содержит прямые различного знака наклона, отображение не стационарно. Вариант 4 (рис. 2.1, 2.2). Прямые обоих семейств имеют одинаковый знак наклона, модуль наклона первого семейства больше, чем второго. Отображение в обоих случаях является стационарным, если проекции множества пересечения семейств совпадают с множествами возможных действий.

67

68

Рис. 1. Нестационарные линейные рефлексивные отображения

69

Рис. 2. Стационарные линейные рефлексивные отображения

Знак наклона прямых

BR2

В таблице 1 приведены различные варианты взаимного расположения семейств прямых на плоскости x1×x2. Через М1, М2 обозначены максимумы модулей углов наклона семейств. Цветом выделены ячейки, которым соответствует стационарное рефлексивное отображение.

«+»

«-»

«+» М1>М2

BR1 Знак наклона прямых «-» «+» и «-»

М1<М2 М1>М2 М1<М2

«+» и «-» Таблица 1. Варианты взаимного расположения семейств прямых наилучших ответов

70

Из таблицы 1 видно, что стационарным рефлексивным отображениям соответствуют семейства прямых, удовлетворяющие условиям: 0 ≤

ψ 2 (θ 2 ) 2ϕ1 (θ 1 ) ≤ , ∀θ 1 ,θ 2 ∈ Ω , – оба семейства 2ϕ 2 (θ 2 ) ψ 1 (θ 1 )

прямых имеют положительный наклон, наклон первого семейства больше,

чем

второго

(рис.

2.2),

2ϕ1 (θ 1 ) ψ 2 (θ 2 ) ≤ ≤ 0, ψ 1 (θ 1 ) 2ϕ 2 (θ 2 )

∀θ1 ,θ 2 ∈ Ω – ∀θ1 ,θ 2 ∈ Ω , – оба семейства прямых имеют отрицательный наклон, наклон первого семейства больше, чем второго (рис. 2.1). Полученные неравенства равносильны (21). 5. Пример Пусть целевые функции имеют вид (7), причем

1 ϕ 1 (θ ) = − , ψ 1 (θ ) = −θ , η1 (θ ) = θ , 2 1 ϕ 2 (θ ) = − , ψ 2 (θ ) = θ , η 2 (θ ) = 0 . 2 Неравенство (21) не выполняется. Следовательно, рефлексивное отображение соответствует графику 1.3 и нестационарно. Изменим коэффициенты целевых функций игроков следующим образом: ϕ 1 (θ ) = −1 , ψ 1 (θ ) = −θ , η1 (θ ) = θ ,

ϕ 2 (θ ) = −

1 , ψ 2 (θ ) = −θ , η 2 (θ ) = 0 , 2

с тем, чтобы выполнялось (21) (по сравнению с предыдущим случаем изменились ϕ1 и ψ 2 ). Рефлексивное отображение соответствует графику 2.1 и является стационарным (выполняются условия

71

(21), (13)) при β ≤

R2 ≥ −

2 , L1 ≤

α β α2 , R ≥ , L ≤ − , 1 2 2 −α 2 2−β2 2 −α 2

β2 . 2− β2

Заключение В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия стационарности линейных рефлексивных отображений (утверждение 3) для игр двух лиц, что, в силу утверждения 2 позволяет ограничиться рассмотрением моделей, в которых ранг рефлексии агентов не превышает двух. Перспективным направлением дальнейших исследований представляется получение условий стационарности нелинейных рефлексивных отображений для игр многих лиц. Литература 1. НОВИКОВ Д.А., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Рефлексивные игры. М.: Синтег, 2003. – 160 с.

72

ИЕРАРХИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ Мишин С.П. (Институт проблем управления РАН, Москва) [email protected] Введение В окружающем нас мире ведущую роль играют организации: экономические, общественные, политические … . Подавляющее большинство человеческой деятельности управляется (координируется) организациями. Для моделирования организаций используется термин «организационная система», характерной чертой которой является совместная деятельность ее агентов (элементов) для достижения общей цели системы (организации)1. Практически во всех работах, в которых делаются попытки найти причины существования организационных систем в экономике, приводятся следующие доводы. Разделение труда агентов приводит к необходимости обмена, что порождает транзакционные издержки (затраты на поиск и договоренности с поставщиками/покупателями). Снизить транзакционные издержки помогают управляющие агенты, которые играют в разделении труда особую роль. Не производя продукт сами, они снижают транзакционные издержки остальных агентов, планируя и координируя их деятельность и взаимодействие. Однако, взаимодействие управляющих агентов первого уровня также порождает транзакционные издержки, для снижения которых могут быть полезны управляющие агенты второго уровня и т.д. Таким образом образуется иерархия, в которой первыми принимают решения управляющие агенты высшего уровня, затем управляющие агенты 1

Точнее говоря, выше дано некоторое определение внутренне устойчивой организационной системы, в которой существуют механизмы согласования целей агентов (например, стимулирование). Системы, в которых агенты действуют вопреки общей цели, находятся в «переходном» состоянии, которое может привести к полному уничтожению, либо делению системы. Подобные интерпретации в настоящей работе рассматриваться не будут.

73

следующего уровня (непосредственные подчиненные) принимают решения, согласованные с решением непосредственных начальников (агентов высшего уровня), и так далее, вплоть до агентов нижнего уровня (операторов), производящих продукт. В таком понимании структура организации описывается иерархией – ориентированным ациклическим графом (бинарным отношением «непосредственный начальник – подчиненный»). В данной работе рассмотрены содержательные интерпретации термина «структура», и выделен класс проблем, в которых моделирование структуры иерархией вполне обоснованно. Также приведен краткий обзор работ, связанных с моделированием структуры организационной системы. Описанные выше иерархические организационные системы на практике могут иметь огромные размеры и большое число уровней. Однако имеются факторы, препятствующие бесконечному росту организации. Для того, чтобы организация была способна достаточно гибко реагировать на внутренние и внешние изменения, необходимы механизмы быстрого принятия обоснованных управленческих решений на всех уровнях, что требует сложных механизмов разделения полномочий, обмена информацией, контроля и стимулирования агентов (стремящихся к максимизации собственной прибыли, вообще говоря не совпадающей с целями всей организации). Все это порождает организационные издержки на содержание большого количества управляющих агентов, реализующих все вышеуказанные механизмы. Многие авторы отмечают, что при достаточно большом размере рост организации приводит к все более незначительному снижению транзакционных издержек (а зачастую и к их росту при неэффективной иерархии) и к все более значительному возрастанию организационных издержек. В конечном итоге вторая тенденция превалирует над первой, что делает дальнейший рост нецелесообразным. Как отмечено в работе [15]: «Транзакционные издержки мешают рынку вытеснить организацию, а организационные издержки мешают организации вытеснить рынок». Мы достаточно подробно остановились на мотивах образования экономических организационных систем. Однако схожая ситуация возникает и в других областях. В этой связи упомянем 74

работу Майерсона (Myerson, 2003, [32]). В ней, в частности, построена базовая модель, в которой агенты используют («собирают») некоторые блага. При этом два агента, планирующие воспользоваться одним и тем же благом, разыгрывают следующую динамическую игру. В каждый момент времени оба агента могут отказаться от блага, в этом случае выигрыш нулевой. Отказаться от блага может только один агент, в этом случае его выигрыш нулевой, выигрыш второго равен объему блага. И, наконец, оба могут не отказаться, в этом случае происходит конфликт, приводящий к ущербу обоих агентов, благо не достается никому и начинается аналогичный этап динамической игры. В указанной игре двух агентов имеется два равновесия в чистых стратегиях, при которых один игрок «забирает» благо, второй остается ни с чем. Однако, при отсутствии у агентов какой-либо информации друг о друге устанавливается единственное равновесие в смешанных стратегиях – конфронтация, при которой игроки с некоторой вероятностью борются за благо. В этом случае математическое ожидание выигрыша равно нулю, что приводит к нецелесообразности какой-либо деятельности. Таким образом, в базовой модели Майерсона должны быть установлены некоторые законы. Например, агентам присваивается приоритет и благо забирает агент с более высоким приоритетом (стратификация общества), либо агенту выделяется конкретный вид блага, который всегда забирает только он (институт собственности) и т.п. Однако для гарантии выполнения законов необходимо наделение одного из агентов властью, обеспечивающей соразмерное наказание агентовнарушителей. При росте сообщества выделения одного агента недостаточно, необходимо несколько агентов, над которыми, в свою очередь, должен быть агент с более высокими властными полномочиями. То есть выстраивается иерархия власти. Кроме упомянутой модели, существует множество моделей общества (часть формализована математически), из которых очевидна необходимость организации агентов с помощью структуры власти. По сути, агенты, наделенные властью, снижают «транзакционные издержки операторов» (в модели Майерсона позволяют вести бесконфронтационное взаимодействие), однако требуют организационных издержек, препятствующих неограниченному 75

росту сообщества. Аналогичным образом можно моделировать организации в биологическом и прочих сообществах. Таким образом, основной причиной образования любой организационной системы (экономической, социальной, биологической) является снижение транзакционных издержек, при этом оптимальный размер организационной системы определяется минимизацией суммы организационных и транзакционных издержек. Обычно модель организационной системы определяется конкретной содержательной интерпретацией. Однако, из вышеизложенного очевидна актуальность изучения общих механизмов функционирования организационных систем. Мы остановимся на математических моделях, так как только теоретическое развитие и практическое применение таких моделей способны повысить строгость результатов общественных наук, дать возможность исследования практически важных организационных систем с учетом их сложности и конкретной ситуации. Описываемые математические модели мы будем пояснять, в основном, с экономической точки зрения, хотя совершенно аналогично можно привести прочие содержательные интерпретации. Можно условно выделить три аспекта, определяющих деятельность агентов в организационной системе. 1. Функции организационной системы. Внешние функции определяют ее назначение (сферу деятельности). Это могут быть, например, производимые системой товары/услуги, занимаемые рынки и т.п. Внутренние функции являются следствием внешних и необходимы для их выполнения. Например, функции снабжения, планирования производства и т.п. 2. Структура организационной системы. Определяет устойчивы связи – взаимодействие групп агентов, которое может происходить в процессе деятельности системы. 3. Механизмы взаимодействия в организационной системе. Процедуры принятия решений, правила (нормы) поведения и полномочия каждого из агентов организационной системы. Очевидно, что в идеале все указанные аспекты организационной системы должны моделироваться совместно. Однако в силу сложности предмета исследования большинство имеющихся моде76

лей касаются того или иного аспекта и предполагают остальные аспекты заданными или несущественными. Наиболее значительно от предметной области зависят функции системы. Для построения функций и необходимых взаимосвязей служит так называемое функциональное моделирование – метод иерархической декомпозиции, позволяющий при тщательном подходе охватить большинство функций даже незнакомой системы. Метод применяется уже несколько десятков лет и официально стандартизован [27]. В результате применения функционального моделирования можно выявить все простейшие функции системы и их взаимосвязи (материальные и информационные потоки). Задача оптимизации набора функций по сути является задачей оптимизации технологии. Математические модели решения подобных задач могут рассматриваться, по-видимому, лишь в контексте конкретной предметной области. Мы будем считать функциональную модель (функции и их связи) системы заданным извне параметром (изменения функциональной модели будем интерпретировать как изменение «внешней среды»). Определение механизмов взаимодействия агентов является предметом теории активных систем [1], теории иерархических игр [6, 8, 10], теории контрактов [24, 25, 26, 31]. Однако, несмотря на большое количество работ, до создания исчерпывающей модели механизмов взаимодействия в организационной системе еще весьма далеко [1, 8]. Связано такое положение дел со сложностью и многогранностью предмета исследования. В смысле математического моделирования наименее исследована структура организационной системы [14, 15]. Тем не менее, имеется ряд работ по оптимизации структуры [2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 13, 16, 17], в том числе с учетом изменения (динамики структуры) [12], а также с учетом совместного решения задачи построения оптимальной структуры и механизмов стимулирования агентов [13]. В настоящее время за рубежом активно развивается теория сетевых игр [21, 22, 23, 28, 29, 30], в которой независимые агенты, максимизируя собственную прибыль, образуют равновесную сеть (граф) – структуру системы, которая обеспечивает максимальную суммарную полезность всех агентов («эффективную экономику»). 77

Однако даже в области оптимизации иерархий (без учета активности агентов) в настоящее время решены лишь весьма частные задачи [5]. При этом имеется огромное количество работ по менеджменту, в которых сочетается исследование структуры конкретных организационных систем и попытки обобщения и типизации наблюдаемого на практике структурного многообразия. В качестве систематически изложенного обзора подобных работ может служить монография Минцберга (Mintzberg, 1983, русский перевод [11]). Все это свидетельствует об актуальности развития моделей структуры организационной системы. Все известные автору модели рассматривают структуру организационной системы в виде графа, то есть попарных отношений между агентами. Для того, чтобы установить, насколько корректно подобное допущение, мы далее уточним определение структуры, так как данное выше определение слишком общо. Отношения операторов, передающих материальные потоки, по-видимому, действительно представимы графом, так как в процессе любой деятельности материальный поток согласно заданным функциям (технологии) передается последовательно от одного оператора к другому, либо делится на части и передается нескольким операторам. Однако, как указано выше, суть организационной системы состоит в координации взаимодействия операторов, то есть под структурой организационной системы можно понимать структуру обработки информации. В этом смысле вполне можно представить, что каждое действие (передача решений сверху вниз, передача информации о результатах снизу вверх) выполняется в результате коллективных решений группы агентов. В этом случае отношений между парами агентов уже может быть недостаточно и необходимо исследовать более сложные отношения групп агентов, которые не описываются графом. Однако очень часто под структурой организационной системы понимают организационную структуру (структуру властных взаимоотношений, иерархию принятия решений). Из самого термина следует, что организационная структура (оргструктура) занимает в организации особое место. Именно она позволяет снижать транзакционные издержки агентов (препятствует конфронтации), принимая решения об их взаимодействии, распределении 78

ресурсов (прибыли) и т.п. Как мы указали выше, структура материальных потоков существует сама по себе в отсутствии организационных систем (например, экономика в этом случае – это набор независимых агентов). Аналогично структура обмена информацией (например, документального сопровождения сделок) также может существовать и в отсутствии организационной системы. А вот иерархия принятия решений, то есть собственно организационная структура, существует только в рамках организационной системы, в которой агенты не являются независимыми, а функционируют совместно. Поэтому в контексте настоящей работы под структурой будем понимать именно оргструктуру, неотъемлемо присущую любой организационной системе. Опять же, во всех известных автору моделях организационная структура моделируется ориентированным ациклическим графом, в котором ребро от агента a к агенту b означает, что a подчинен b (или наоборот), то есть a может принимать только решения, согласованные с решениями (распоряжениями, приказами) агента b. В этом случае первыми принимают решения агенты высшего уровня, далее принимают решения агенты следующего уровня (все непосредственные начальники которых – агенты высшего уровня – решения уже приняли), и так далее вплоть до операторов [15]. В большинстве моделей рассматривается частный случай оргструктуры – дерево, в котором у каждого подчиненного ровно один начальник и имеется ровно один агент высшего уровня, принимающий решение первым. В настоящей работе, опираясь на теорию выбора, мы попытаемся исследовать обоснованность описания оргструктуры графом вообще и ациклическим графом в частности. 1. Функция выбора независимых агентов в экономике Пусть имеется конечное множество экономических агентов A.1 Содержательно множество можно интерпретировать, например, как все трудоспособное население. 1

Ниже в работе используется терминология и обозначения теории игр. Предполагается, что множество A содержит не менее трех агентов.

79

Функцией выбора C (⋅) назовем отображение, ставящее в соответствие каждому непустому подмножеству X ⊆ A часть множества X: C : 2 A → 2 A , C ( X ) ⊆ X . Это классическое определение теории выбора (см., например, монографию Айзермана и Алескерова [18]), означающее, что из каждого множества X функция C выберет некоторые элементы. В нашей интерпретации будем считать X замкнутой экономикой (в которой имеются только агенты из X). После того, как экономика придет в равновесие, часть ее агентов останутся независимыми (руководителями), то есть будут либо осуществлять деятельность самостоятельно, либо будут агентами высшего уровня в организации. В случае рассмотрения общественных отношений, можно образующиеся в обществе X «организации» считать государствами, а независимых агентов считать главами государств (либо ветвей власти, если руководителей несколько). Очевидно, что функция выбора, как и любая модель, не описывает действительность полностью адекватно. В нашей интерпретации возможны, например, ситуации, при которых экономика будет неограниченно долго находиться в неравновесном состоянии (множество независимых агентов постоянно меняется), либо к моменту прихода в равновесие изменится само множество X. Таким образом, вводя функцию выбора, мы предполагаем, что в любой экономике X наступит стабильная ситуация, при которой руководители C(X) смогут принимать решения о деятельности независимо ни от кого, а остальные агенты должны принимать решения, согласующиеся с решениями независимых агентов. Зависимые агенты являются либо операторами, либо начальниками промежуточных уровней. Начальники высшего уровня в организациях и «свободные» агенты, не принадлежащие организациям, остаются независимыми. В частности, отсутствие организаций означает равенство C(X)=X, то есть полную независимость всех агентов (при рассмотрении общества такое состояние означает анархию). Ниже, следуя монографии Алескерова и Монжардета (Aleskerov, Monjardet, 2002, [19]) мы введем несколько свойств функции выбора. 80

Функция выбора удовлетворяет условию непустоты, если для любого X ≠ ∅ выполнено C ( X ) ≠ ∅ . В нашем случае это означает, что в любой экономике найдется, по крайней мере, один независимый агент. В противном случае никто не может принять решение первым, каждый вынужден согласовывать решение с кем-то другим, что может привести к невозможности всякой деятельности. Мы будем называть условие непустоты условием наличия деятельности. Функция выбора удовлетворяет условию единственности, если для любого X ≠ ∅ выполнено C ( X ) = 1 , то есть в каждой экономике имеется единственная организация с единственным независимым агентом – руководителем высшего уровня.

Рис. 1. Условие наследования (источник рисунка [19]). Функция выбора удовлетворяет условию наследования (обозначается H от Heredity), если для любых X ′ ⊆ X выполнено C ( X ′) ⊇ C ( X ) ∩ X ′ . То есть при сужении экономики X до экономики X ′ все агенты, которые были руководителями в X, останутся руководителями также и в X ′ (однако могут появиться новые руководители). Условие наследования проиллюстрировано на рис. 1. Содержательно условие можно проинтерпретировать следующим образом. При выбытии части агентов из экономики X часть организаций могут сократиться или разрушится, однако оставшиеся в X ′ руководители этих организаций по прежнему останутся 81

независимыми агентами, то есть не будут осуществлять деятельность в другой организации на подчиненных ролях («унаследуют» независимость). Однако условие наследования никак не препятствует появлению новых независимых агентов (например, вследствие ухода начальника высшего уровня из экономики или распада организации на независимые части). Функция выбора удовлетворяет условию аксиоме выбора Эрроу (обозначается ACA от Arrow’s Choice Axiom, [19]), если для любых X ′ ⊆ X выполнены следующие условия: а. Если C ( X ) = ∅ , то C ( X ′) = ∅ ; b. Если C ( X ) ∩ X ′ ≠ ∅ , то C ( X ′) = C ( X ) ∩ X ′ . Из второго условия, в частности, следует условие наследования. По сути условие b означает, что в узкой экономике X ′ не может появится ни одного нового руководителя, пока в X ′ остается хотя бы один руководитель из широкой экономики X (при этом все независимые в X агенты останутся руководителями). Условие ACA проиллюстрировано на рис. 2.

Рис. 2. Условие ACA (источник рисунка [19]). Функция выбора удовлетворяет условию согласия (обозначается C от Concordance), если для любых X ′, X ′′ ⊆ A выполнено условие C ( X ′) ∩ C ( X ′′) ⊆ C ( X ′ ∪ X ′′) . То есть если некоторые агенты в двух (пересекающихся) экономиках являются руководителями, то они останутся руководителями и в объединенной эко82

номике. В некотором смысле можно назвать условие C условием согласия экономик: если один и тот же агент был способен руководить организацией в обеих экономиках, то он способен руководить организацией и в объединенной экономике (заметим, что при объединении организация может, например, поглотиться организацией другой экономики, однако это поглощение не коснется руководящей роли агента, который мог руководить организациями по отдельности). Условие C проиллюстрировано на рис. 3.

Рис. 3. Условие согласия (источник рисунка [19]). Функция выбора удовлетворяет условию удаления (обозначается O от Outcast), если для любых X ′ ⊆ X из условия C ( X ) ⊆ X ′ следует C ( X ) = C ( X ′) . То есть при удалении из экономики любых зависимых агентов все множество независимых агентов (руководителей) не изменится. Например, при удалении всей организации, за исключением генерального директора, он «не пойдет работать» в другую организацию, если ему не предложат должность в высшем руководстве. То есть в сузившейся экономике он либо найдет новых подчиненных, либо будет работать самостоятельно. Заметим, что условие ACA налагало гораздо более жесткое требование – чтобы при удалении любых агентов (в частности руководящих!) новых руководителей не появлялось, пока имеется хотя бы один старый. Условие удаления проиллюстрировано на рис. 4. Отношение между классами функций выбора приведено на рис. 5. Как видно из рисунка, для классов Н, С и O можно подоб83

рать функцию с любым сочетанием принадлежности к этим классам (например, не принадлежит ни одному классу, принадлежит ровно одному, двум выбранным классам и т.п.). Причем ситуация не изменится, если рассматривать функции, удовлетворяющие условию непустоты (наличия деятельности). А вот при условии единственности классы H и O совпадают и вложены в класс C.

Рис. 4. Условие удаления (источник рисунка [19]). Самым узким является класс ACA, принадлежащий пересечению всех трех классов Н, С и O (при условии единственности совпадающий с классами H и O).

Рис. 5. Отношение между классами функций выбора (слева изображен общий случай, аналогичная ситуация имеет место и при условии непустоты, справа изображена ситуация при условии единственности). Прямоугольник обозначает все множество функций выбора (источник рисунка [19]).

84

2. Бинарное отношение подчинения и условия описания оргструктуры графом Бинарным отношением подчинения на всем множестве агентов A назовем подмножество P ⊆ A × A пар агентов. Если (a, b) ∈ P , то будем называть агента a непосредственно подчиненным агенту b, а агента b – непосредственным начальником агента a и записывать aPb. Бинарное отношение при исследовании структур обычно называется графом. Граф изображается в виде вершин-агентов и ребер подчинения, направленных от подчиненных к начальнику (иногда наоборот, что не меняет сути дела). Бинарное отношение подчинения на множестве A определяет некоторую функцию выбора независимых агентов. Действительно, в экономике X ⊆ A элемент a ∈ X будет независимым тогда и только тогда, когда не существует элемента b ∈ X такого, что aPb, то есть у независимых элементов и только у них в экономике X не существует начальников (такие элементы называются максимальными для экономики X). Вся экономика X будет состоять из одной или нескольких организаций, определяемых следующим условием: 2 агента из разных организаций не связаны отношением подчинения, а 2 агента одной организации имеют общего подчиненного или общего начальника (при этом имеются ввиду не только непосредственные начальники, но и начальники начальников и т.п., аналогично и с подчиненными). Как было сказано выше, все известные математические модели оргструктуры описывают ее в виде графа. Насколько обосновано такое допущение? Предположим, что исход формирования любой экономики X описывается некоторой функцией выбора независимых агентов. Можно показать (см., например, [19]), что любая функции из класса H ∩ C описывается единственным бинарным отношением, и наоборот, любое бинарное отношение описывает единственную функцию из H ∩ C . Таким образом, для того, чтобы структура любой организации в любой экономике описывалась графом необходимо и достаточно выполнения условий наследования и согласия для функции выбора независимых элементов. То есть, специализация руководителя высшего уровня 85

(независимого агента) должна быть достаточно ярко выражена для того, чтобы руководитель оставался независимым в сужающейся экономике и в объединении двух экономик, в каждой из которых агент был независим. В противном случае найдется организация, структуру подчинения в которой невозможно точно описать графом. В случае выполнения условий наследования и согласия условие наличия деятельности (непустоты функции выбора) является необходимым и достаточным условием ацикличности оргструктуры любой организации. Доказать это утверждение несложно (см. [19]). Нас интересует содержательная интерпретация. Если оргструктуру любой организации можно описать графом, то при наличии в любой экономике хотя бы одного руководителя (независимого агента), оргструктуру можно описать ациклическим графом. Пример ациклического графа приведен на рис. 6 слева (экономика состоит из двух организаций).

Рис. 6. Ациклический граф (слева), частичный порядок (в середине) и слабый порядок (справа). Если, кроме условий наследования, согласия и наличия деятельности выполнено условие удаления, то оргструктура представляет собой частичный порядок, в котором выполнено условие транзитивности (из того, что a подчинен b и b подчинен c следует, что a подчинен с). То есть если из экономики удалить не руководящих агентов, то множество руководителей не изменится за счет транзитивности (руководителям высшего уровня непосредственно подчинены все остальные агенты). Пример частичного порядка приведен в середине на рис. 6. Граф представляет собой транзитивное замыкание изображенной слева иерархии (добавлены соответствующие ребра). Содержательно условие транзитивности, 86

следующее из условия выхода, требует, чтобы подчиненный моего подчиненного был мне подчинен. В реальных оргструктурах подобные подчинения встречаются редко, так как создают дополнительную нагрузку на управляющие вершины верхнего уровня. Кроме того, условие удаления означает отсутствие управленческой специализации, при которой любой руководитель может управлять любыми подчиненными независимо от специализации их деятельности. Обычно такое условие не выполнено: генеральный директор предприятия зачастую не справится с обязанностями мастера в цехе. Наконец, при наличии деятельности условие ACA приводит к слабому порядку, то есть к такому разложению на слои, при котором агенты одного слоя не подчинены друг другу, а любой агент более низкого слоя подчинен всем агентам более высоких слоев. Пример такого графа приведен на рис. 6 справа. Такая оргструктура логично следует из требования ACA – пока в сужающейся экономике имеется хотя бы один руководитель исходной экономики, новых руководителей появиться не может. В истории имеются примеры подобной организации общества (индийские касты), однако для современной экономики подобная организации является нонсенсом (как и более широкий класс частичных порядков). При выполнении условия единственности выполнено равенство H=O=ACA. Вне этого класса функция выбора не описывается бинарным отношением, а внутри бинарное отношение превращается в полный порядок, в котором каждый агент расположен на своем уровне и ему непосредственно подчинены все агенты более низких уровней (каждый слой слабого порядка состоит ровно из одного агента). Практические примеры подобной оргструктуры привести тяжело. 3. Потенциал агента и отношение подчинения Итак, если функция выбора руководителей удовлетворяет условиями наследования и согласия, то оргструктура описывается отношением подчинения. Каким образом можно задать подобное отношение, исходя из объективных характеристик агента? 87

Потенциалом агента назовем значение функции u : A → R+ , ставящей в соответствие каждому агенту неотрицательное действительное число. Содержательно потенциал можно интерпретировать как стремление агента к власти, способности руководителя и т.п. Предположим, что подчинение агентов определяется потенциалом, то есть a подчинен b тогда и только тогда, когда потенциал b больше потенциала a: u (a) < u (b) . В этом случае очевидно, что, выбирая функцию потенциала произвольным образом, мы можем получить лишь слабые порядки, то есть весьма узкий класс оргструктур. Предположим, что u – это вектор-функция, то есть агент a подчинен агенту b тогда и только тогда, когда b превосходит его по всем качествам (например, стремлению к власти и способностям руководителя). В этом случае в экономике X в качестве руководителей выбираюся агенты, оптимальные в смысле Парето (то есть лучшие хотя бы по одному качеству). Однако в [19] показано, что в этом случае, варьируя функцию u, мы можем получить лишь частичные порядки, которые с точки зрения реальных приложений также представляют собой весьма узкий и искусственный класс оргструктур. В рассматриваемой интерпретации доминирование агента с большим потенциалом не всегда логично. Обычно, для руководства потенциал агента-начальника должен превосходить потенциал подчиненного на некоторую величину. Предположим, что a подчинен b тогда и только тогда, когда потенциал b больше потенциала a на величину порога ε (a, b) : u (b) − u (a ) > ε (a, b) , где ε (a, b) – произвольная функция двух переменных. Очевидно что, подбирая нужным образом потенциал и функцию ε на любой паре агентов, можно получить любой граф. В [19] показано, что варьируя потенциал и функцию ε (a, b) ≥ 0 можно получить любой ациклический граф (и только такие графы могут быть получены при ε (a, b) ≥ 0 ). Таким образом, наиболее интересный с содержательной точки зрения класс оргструктур – иерархии – можно получить, сравнивая разность потенциалов агентов с неотрицательным порогом, зависящим от обоих сравниваемых агентов. 88

Если кроме ε (a, b) ≥ 0 порог удовлетворяет неравенству треугольника ε ( a, c) ≤ ε (a, b) + ε (b, c) , то можно получить частичные порядки и только их [19]. Если ε = const > 0 или ε (a, b) = ε (a) > 0 , то, варьируя потенциал и подобный порог, получим соответственно так называемые полупорядки и интервальные порядки [19], которые являются частным случаем частичного порядка. То есть подобные классы функции порога слишком узки для описания отношения подчинения в оргструктурах. В теории выбора построено еще несколько видов функции порога, которые порождают порядки, не представляющие интереса с точки зрения оргструктур (бипорядки при функции ε (a, b) = ε (a ) , слабые бипорядки, описываемые функцией порога ε ( X ) , зависящей от контекста (экономики), и некоторые другие порядки [19]). 4. Заключение Подведем итоги обсуждения, проведенного в данной работе. Все известные в настоящий момент модели оргструктур организационной система предполагают описание структуры иерархией (ациклическим графом). Все возможные структуры подчинения (оргструктуры) любой организации в любой экономике будут описываться иерархиями тогда и только тогда, когда функция выбора руководителей удовлетворяет условиям наследования, согласия и наличия деятельности, при этом подчинение можно описать функцией потенциала агентов и порогом ε (a, b) ≥ 0 . Таким образом, основной результат работы по сути состоит в том, что постулат описания оргструктуры иерархией переформулирован в терминах функции выбора руководителей, что может быть удобно для практического обоснования постулата в конкретной предметной области. Если одно из указанных выше условий не выполнено, то моделирование оргструтуры иерархией может быть некорректным. Если в организации принятие решений происходит не по иерархии, а является результатом баланса интересов группировок (или принятие решения требует циклического согласования), то мы имеем тенденцию к разрыву организации (блокированию деятель89

ности). Все эти ситуации могут представлять интерес при изучении кризисных ситуаций, в которых организация заходит «в тупик». Возможно, для интерпретации подобных эффектов может быть полезна теория выбора, в которой при нарушении условий наследования или согласия можно построить отношения между группировками (обобщения бинарного отношения). Таким образом, аппарат теории выбора можно использовать для обоснования вида структуры организационной системы. Однако для решения задач синтеза (выбора наилучшей в смысле некоторого критерия структуры) классов отношений, построенных в теории выбора, явно недостаточно. В частности, на данный момент между частичными и ациклическими порядками не известно ни одного класса бинарных отношений, который имел бы интерпретацию в теории выбора [19]. А именно между этими классами находятся почти все оргструктуры, встречающиеся на практике. Литература 1. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. М.: СИНТЕГ, 1999. 2. Воронин А. А., Мишин С.П. Алгоритмы поиска оптимальной структуры организационной системы // АиТ. 2002. №5. С. 120–132. 3. Воронин А. А., Мишин С.П. Моделирование структуры организационной системы. Об алгоритмах поиска оптимального дерева // Вестн. Волг. ун-та. 2001. Сер. 1: Математика. Физика. С. 78–98. 4. Воронин А. А., Мишин С.П. Модель оптимального управления структурными изменениями организационной системы // АиТ. 2002. №8. С. 136–150. 5. Воронин А.А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: ИПУ РАН, 2003. – 214 с. 6. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. – 327 с. 7. Губко М.В. Структура оптимальной организации континуума исполнителей // Автоматика и телемеханика. 2002. №12. С. 116–130. 8. Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организа90

ционными системами. М.: Синтег, 2002. – 148 с. 9. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин Р.М. и др. Задачи оптимизации иерархических структур. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1996. 10. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: МГУ, 1984. – 104 с. 11. Минцберг Г. Структура в кулаке: создание эффективной организации. / Пер. с англ. под ред. Ю.Н. Каптуревского. – СПб: Питер, 2001. – 512 с. 12. Мишин С.П. Динамическая задача синтеза оптимальной иерархической структуры // Управление большими системами. Выпуск 3. М.: ИПУ РАН, 2003. С. 55–75. 13. Мишин С.П. Оптимальное стимулирования в многоуровневых иерархических структурах // Автоматика и телемеханика, №5, 2004. С. 96 – 119. 14. Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999. 15. Новиков Д.А. Сетевые структуры и организационные системы. М.: ИПУ РАН, 2003. – 108 с. 16. Овсиевич Б.И. Модели формирования организационных структур. Л.: Наука, 1979. 17. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. М.: Наука, 1982. 18. Aizerman M., Aleskerov F. Theory of choice. North-Holland, Elsevier Science B.V., Amsterdam. 19. Aleskerov F., Monjardet B. Utility maximization, choice and preference. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Paris; Tokyo: Springer, 2002. 20. Arrow K. Rational choice function and ordering // Economica, 26. 1959. 121-12. 21. Aumann R., Myerson R. Endogenous formation of links between players and coalitions: an applications of the shapley value / In The shapley value. Cambridge Univ.Press,1998, pp.175–191. 22. Belleflamme P., Bloch F. Market sharing agreements and stable collusive networks. University of London and GREQAM, 2002. 23. Dutta B., Mutuswami S. Stable networks // Journal of economic 91

theory. 1997. No.76. P.322–344. 24. Grossman S., Hart O. An analysis of the principal-agent problem // Econometrica. 1983. Vol. 51(1). P. 7–45. 25. Grossman S., Hart O. Implicit contracts under asymmetric information // Quarterly J. оf Economics. 1982. №1. P. 110–124. 26. Hart O.D., Holmstrom B. Theory of contracts // Advances in economic theory. 5-th World Congress. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1987. P. 71–155. 27. Integration definition for function modeling (IDEF0) // Processing Standarts Publications, 1993. http://vernikov.narod.ru/downloads/ idef0.pdf 28. Jackson M.O., van den Nouweland A. Strongly stable networks. Caltech and the University of Oregon, 2000. 29. Jackson M.O., Watts A. The existence of pairwise stable networks // Seoul journal of economics. 2001. Vol. 14. No. 3. P. 299–321. 30. Jackson M.O., Wolinsky A. A strategic model of social and economic networks // Journal of economic theory. 1996. No. 71. P. 44–74. 31. Mas-Collel A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1995. – 981 p. 32. Myerson Roger B. Justice, institutions, and multiple equilibria // University of Chicago, Economic Department, 2003. http://home.uchicago.edu/~rmyerson/research/justice.pdf

92

ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕЧЁТКОГО КРИТИЧЕСКОГО ПУТИ Фёдорова И.В. (Воронежский государственный архитектурно – строительный университет, Воронеж) [email protected] Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ), представленный в виде сети (U, D), |U| = n без контуров с правильной нумерацией вершин. Среди множества вершин выделены входы сети U 0 и выходы сети U n . При этом дуги сети соответствуют операциям, а вершины – событиям (моментам окончания одной или нескольких операций). В четком случае для каждой операции (i; j) задана её продолжительность tij . Методы описания и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарносетевого планирования и управления [2, 3, 4]. Предположим, что выполнение комплекса операций (проекта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим U i− – множество событий (вершин) j сети, для которых существует дуга (j, i); U i+ – множество событий (вершин) j сети, для которых существует дуга ( i, j). В [1] рассмотрен нечёткий случай, при котором относительно продолжительностей операций имеется нечёткая информация, заданная функциями принадлежности µij (•) : ℜ + → [0;1] нечёткой

продолжительности операции ( i, j), i, j ∈ U , которая может быть получена от экспертов в ситуации, когда проект и каждая операция являются уникальными. В [1] для функций принадлежности нечёткого раннего времени свершения события i ∈ U – µ i− (t ) , нечёткой длины критического пути µ T (T ) ,нечёткого позднего времени свершения события i ∈ U – µ i+ (t ) , нечёткой длины максимального пути из вершины i -

µ imax (t ) и нечётких полных резервов времени – µ i∆t (t ) были при93

ведены следующие формулы (ранние времена свершения событий – входов сети предполагались чёткими и равными нулю): (1) µi− (t ) = max min− [min((µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ; − {( t j ,t ji ), j∈U i | max ( t j +t ji )=t } j∈U i j∈U i−

(2) µT (T ) =

min[ µ −j (t j )] ;

max

{( t j ), j∈U n | max t j = T j ∈U n j∈U n

+ i

(3) µ (t ) =

max

{( T ,t j )|T −t j =t }

(4) µimax (t ) =

min[µT (T ); µ imax (t j )] , где min[min(µij (tij ); µ max (t j ))] ; j

max

{( t j ,tij ), j∈U i+ | max ( t j +tij )=t } j∈U i+ j∈U i+

(5) µ i∆t (t ) =

max

{( yi ,ti )| yi −ti =t }

min[µ i+ ( yi , ); µ i− (ti )] .

Во всех формулах предполагается, что ti ≥ 0, tij ≥ 0

для

∀i ∈ U , j ∈ U i+ . Введём обозначение Ω i− = {(t j , t ji ), j ∈ U i− | max− (t j + t ji ) = t} , j∈U i

∀(t j , t ji ) ∈ Ω

− i

(6) max min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≥ min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] . − Ωi

j∈U i

j∈U i

Рассмотрим

вектор

(t ′j′, t ′ji′ )

такой,

∀j ∈ U i−

что

A j = min( µ ji (t ′ji′ ); µ −j (t ′j′ )) = max[min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] для. t j +t ji ≤t

Если (t ′j′, t ′ji′ ) ∉ Ω , то есть t ′j′ + t ′ji′ < t для ∀j ∈ U i− , то постро− i

~ ~

им по вектору (t ′j′, t ′ji′ ) вектор ( t j , t ji ) ∈ Ω i− . Для этого найдём tl' и

tli' такие, что B= min( µ li (tli' ); µ l− (tl' )) = max[min(µli (tli ); µ l− (tl ))] = tl +tli =t

− j

= max max[min(µ ji (t ji ); µ (t j ))] . Ясно, что B ≤ Al . − j∈U i t j +t ji =t

~

~

~

~

~ ~

Полагаем t j = t ′j′, t ji = t ′ji′ j ≠ l ; tl = tl' , tli = tli' . ( t j , t ji ) ∈ Ω i− . Если B ≥ min− A j , то j∈U i

min− min( µ ji (~ t ji ); µ −j (~ t j )) = min[ A j , j ∈ U i− \ {l}; B] = min− A j ; j∈U i

94

j∈U i

~

~

иначе min− min( µ ji ( t ji ); µ −j ( t j )) = B . j∈U i

Поэтому, так как неравенство (6) выполняется и для

~ ~ ( t j , t ji ) ∈ Ω i− , то

(7) max min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≥ − Ωi

j∈U i

max− max [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] j∈U i t j + t ji =t . ≥ min  min max [min(µ (t ); µ − (t ))]  ji ji j j   j∈U i− t j +t ji ≤t С другой стороны, ∀j ∈ U i− , ∀(t j , t ji ) ∈ Ω i−

min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≤ min( µ ji (t ji ); µ −j (t j )) . ⇒ ∀j ∈ U i− j∈U i

min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≤ max[min(µ ji (t ji ); µ −j (t j )) ] . ⇒ t j +t ji ≤t

j∈U i

− j

(8) max min− [min(µ ji (t ji ); µ (t j ))] ≤ − Ωi

j∈U i

≤ min− max [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] . j∈U i t j + t ji ≤ t

Пусть для произвольного вектора (t ′j , t ′ji ) ∈ Ω i− , l – это номер, для которого tli′ + tl′ = t . Тогда:

min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≤ min( µ li (tli′ ); µ l− (tl′ )) ≤ j∈U i

≤ max[min(µ li (tli ); µ l− (tl ))] ≤ max− max[min(µ ji (t ji ); µ −j (t j )) . ⇒ j∈U i t ji +t j =t

tli +tl =t

(9) max min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≤ − Ωi

j∈U i

≤ max− max [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] j∈U i t j + t ji = t

Из (8) и (9)следует (10) max min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ≤ − Ωi

j∈U i

95

а из (7) (10) следует

max− max [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] j∈U i t j +t ji =t , ≤ min  min max [min(µ (t ); µ − (t ))]  ji ji j j  j∈U i− t j +t ji ≤t 

max min− [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] = − Ωi

j∈U i

max− max [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] j∈U i t j + t ji = t . = min  min max [min(µ (t ); µ − (t ))]  ji ji j j   j∈U i− t j + t ji ≤t

Таким образом, формула (1) может быть записана в следующем виде:

max− max [min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] j∈U i t j +t ji =t = (11) µ i− (t ) = min  min max[min(µ (t ); µ − (t ))]  ji ji j j   j∈U i− t j +t ji ≤t  max− max{min( µ ji (t − t j ); µ −j (t j ))} t j ≤t j∈U i .  = min min max{min( max ( µ (t )); µ − (t ))} ji ji j j   j∈U i− t j ≤t t ji∈[0 ;t −t j ] Формулы (2)-(5) принимают следующий вид:

  j∈U n j∈U n t j ≤t + (13) µ i (t ) = max min[ µT (T ); µ imax (T − t )] ,

 

(12) µT (T ) = min max µ −j (t ); min max µ −j (t j ) ; T

где после преобразований, аналогичных преобразованиям для формулы (1),

max+ max{min( µ ij (t − t j ); µ max (t j ))};  j t j ≤t j∈U i max  ; (14) µ i (t ) = min min max{min( max ( µ (t )); µ max (t )} ij ij j j  j∈U i+ t j ≤t  tij ∈[ 0 ;t −t j ] (15) µ i∆t (t ) = max min[ µ i+ (t + ti , ); µ i− (ti )] . ti

96

max B j (t ) j  для В формулах (11), (14) при вычислении min  min A j (t )   j 

каждого допустимого j при фиксированном t происходит оптимизация по одной переменной при нахождении B j (t ) и оптимизация по двум переменным при нахождении A j (t ) , что позволяет реализовать более простые и эффективные алгоритмы нахождения µ i− (t ) и µ imax (t ) . Величину µ i∆t (0 ) ∈ [0;1] можно интерпретировать как степень принадлежности i-го события критическому пути, i ∈ U. Тогда при выполнении проекта первоочередное внимание должно уделяться событиям, у которых степени принадлежности критическому пути равны единице или близки к ней. Рассмотрим иллюстративный пример нахождения функции принадлежности нечёткого критического пути для сети, представленной на рисунке 1.

1 1 + 0.5 ⋅ ; 4 1 + (t − 6 ) 1 + (t − 11) 4   1 1 µ02 (t ) = 0.9 ⋅  + ; 4 4  1 + (t − 6 )   1 + (t − 2) 1 ~ ~ ~ для остальных дуг µ ij (t ) = ~ 4 , где t01 = 1 ; t12 = 4 ; t23 = 3 . µ13 (t ) = 0.9 ⋅

1 + (t − tij ) 1

0

3 2 Рис. 1

На рисунках 2 и 3 изображены графики функций µ max (t ) = max− max[min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] ; j∈U i t j +t ji =t

97

µ min (t ) = min− max[min(µ ji (t ji ); µ −j (t j ))] j∈U i t j +t ji ≤t

для вершины i = 2, а на рисунках 4 и 5 для вершины i = 3. На рис. 6 – 7 приведены графики µ 2− (t ) и µ 3− (t ) соответственно. В данном случае µT (t ) = µ 3− (t ) .

µ max (t )

Рис. 2

t

µ min (t )

Рис. 3

t

µ max (t )

t

Рис. 4

98

µ min (t )

Рис. 5

t

µ 2− (t )

t

Рис. 6

µ 3− (t )

Рис. 7

t

99

Литература 1. БАЛАШОВ В.Г., ЗАЛОЖНЕВ А.Ю., ИВАЩЕНКО А.А., НОВИКОВ Д.А. Механизмы управления организационными проектами. М.: ИПУ РАН, 2003. – 84 с. 2. БУРКОВ В.Н., ЗАЛОЖНЕВ А.Ю., НОВИКОВ Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2001. – 124 с. 3. БУРКОВ В.Н., ЛАНДА Б.Д., ЛОВЕЦКИЙ С.Е., ТЕЙМАН А.И., ЧЕРНЫШЕВ В.Н. Сетевые модели и задачи управления. М.: Советское радио, 1967. – 144 c. 4. ДЕБАЗЕЙ Г., КОФМАН А. Сетевые методы планирования и их применение. М.: Прогресс, 1968. –182 с.

100

РАВНОВЕСИЕ БИПОЛЯРНОГО ВЫБОРА И ИНФОРМАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ Чхартишвили А.Г.

(МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва) [email protected] Рассмотрим ситуацию, когда агенты из бесконечно большой «популяции» осуществляют выбор между двумя альтернативами, которые будем для общности называть позитивным и негативным полюсами. Это может быть кандидат на выборах (голосовать «за» или «против»), продукт или услуга (покупать или нет), этический выбор (поступить «хорошо» или «плохо») и пр. В силу бесконечности числа агентов будем считать, что при решении задачи управления всей «популяцией» выбор каждого конкретного агента не играет роли, а важна доля агентов, выбирающих позитивный полюс. Иначе это можно сформулировать следующим образом: действием «агрегированного» агента является вероятность x выбора им позитивного полюса. Примем следующие предположения. 1. Cуществует n различных типов агентов. 2. Доля агентов i-го типа составляет αi, 0 ≤ αi ≤ 1. 3. Действие агента i-го типа задается функцией реакции на ожидание π(p), π : [0, 1] → [0, 1], где p – ожидаемая агентами вероятность выбора позитивного полюса произвольным агентом из «популяции». Иными словами, если агент ожидает, что доля выбравших позитивный полюс составляет p, то его действие xi определяется следующим образом: xi = πi (p). 4. Пункты 1–3 являются общим знанием (см., например, [1]) среди агентов. Пусть хi ∈ [0, 1] – действие агента i-го типа. Тогда доля выn

бравших позитивный полюс составляет p =

∑α x j =1

j

j

.

Определим равновесие биполярного выбора как набор действий хi, удовлетворяющих системе соотношений 101

(1) хi = πi (

n

∑α x ) , i = 1, …, n. j =1

j

j

В качестве отступления заметим, что соотношения (1) являются одним из возможных описаний биполярного выбора. Другие подходы обсуждаются, например, в работах В.А. Лефевра [2], Т.А. Таран [3] и др. В этих работах предполагается, что принимающий решение агент осуществляет рефлексию первого рода [1], т.е. занимает позицию наблюдателя по отношению к своему поведению, своим мыслям и чувствам. Иными словами, в нем существует несколько соотнесенных друг с другом уровней, а итоговое решение определяется как влиянием внешней среды, так и состоянием этих уровней. В данной же работе агент понимается как индивид, т.е. «неделимый», и осуществляет рефлексию второго рода – относительно принятия решений оппонентами. Вернемся к обсуждению равновесия биполярного выбора. Заметим, что выражения (1) задают отображение единичного гиперкуба [0, 1]n на себя: (2) (x1,…, xn) → (π1 (

n

n

j =1

j =1

∑α j x j ) ,…, πn (∑α j x j ) ).

Если функции πi(⋅) непрерывны (что представляется довольно естественным предположением), то и отображения (2) непрерывно. Тогда по теореме о неподвижной точке (см., например, [4]) у системы (1) имеется хотя бы одно решение. Приведем пример. Пусть существуют агенты трех типов (n = 3), действия которых определяются следующими функциями: π1(p) ≡ 1, π2(p) = p, π3(p) ≡ 0. Содержательно: агенты первого типа независимо ни от чего выбирают позитивный полюс, агенты третьего типа – негативный. Что касается агентов второго типа, то они колеблются, и их действия совпадают с ожидаемым действием «популяции» в целом. Система (1) в данном случае сводится к соотношениям x1 = 1, x2 = α1 x1 + α2 x2 + α3 x3, x3 = 0, откуда (здесь и далее полагаем, что 0 < αi <1, i = 1, 2, 3) x1 = 1, x2 = При этом 102

α1 , x3 = 0. 1 − α2

(3) p = α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α1 + α2

α1 . 1 − α2

Предположим теперь, что некий управляющий орган – центр – имеет возможность повлиять на ситуацию и стремится увеличить вероятность позитивного выбора в «популяции» в целом (т.е. величину p). Для этого центр может повлиять на агентов второй либо третьей группы (агенты первой группы и так выбирают x1 = 1). Пусть центр может повлиять на третью группу, переведя долю y ее членов во вторую и затратив некий ресурс (например, финансовый) в объеме C2 y. Центр может также повлиять на вторую группу, изменив представления ее членов о α3 (независимо от фактического значения этого параметра). Именно, влияние состоит в формировании у второй группы следующего представления: «доля x членов третьей группы перешли во вторую». Затраты на формирование такого представления составляют C1 x. Иными словами, центр может изменить либо реальную, либо «фантомную», воображаемую долю агентов третьего типа. При этом совокупный ресурс (бюджет), которым располагает центр, составляет C. Задача центра состоит в следующем: распределить ресурс C (т.е. выбрать доли x и y) таким образом, чтобы вероятность p была максимальной. Формально оптимизационная задача центра ставится следующим образом (см. (3)): (4) p(x, y) = α1 + (α2 +y α3)

α1 → max 1 − (α 2 + xα 3 )

при ограничениях (5) C1x + C2y ≤ C, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Легко видеть, что задача (4) сводится к максимизации функции ϕ(x, y) =

α 2 + yα 3 . 1 − (α 2 + xα 3 )

Функция ϕ(x, y) возрастает по обоим аргументам x и y, поэтому первое из ограничений (5) обращается в равенство. Поэтому задача свелась к нахождению максимума функции ψ(x) =

α 2 + α 3 (C − C1 x) / C2 1 α 2C2 / C1 + α 3C / C1 − xα 3 = . 1 − (α 2 + xα 3 ) C1C2 1 − α 2 − xα 3

103

Нетрудно видеть, что функция ψ(x) является монотонно возрастающей (соответственно, монотонно убывающей или константой) если выражение (6)

α 2С2 α 3С + – (1 – α2) С1 С1

положительно (соответственно, отрицательно или равно нулю). Введем обозначения k1 =

C1 C , k2 = 2 . Тогда условие положиC C

тельности выражения (6) запишется в виде (7) α3 > k1 – α2 (k1 + k2). Далее будем предполагать, что C1 > C и C2 > C. Содержательно это означает, что у центра не так много ресурсов, чтобы всех агентов третьего типа «превратить» в агентов второго типа. При этом оптимальным будет такой выбор центра, когда весь ресурс вкладывается в увеличение либо реальной, либо воображаемой (при выполнении (7)) доли агентов второго типа. Зависимость оптимального выбора центра от параметров (α2, α3) изображена на рисунке 1. α3

1

1 k1 − 1 k1 + k 2 − 1

k1 k1 + k 2

Рис. 1. Оптимальный выбор центра 104

α2

На рисунке 1 затемнена область, где выполнено условие (7), т.е. для центра оптимально весь ресурс направить на изменение представлений: (8) x =

C , y = 0. C1

Решение (8) отвечает ситуации, когда доля α2 агентов второго типа достаточно велика. Из рисунка 1 видно, что если α2 >

k1 , k1 + k2

то решение (8) всегда оптимально. Если же (9)

k1 − 1 k1 < α2 < , k1 + k2 − 1 k1 + k2

то решение (8) оптимально при достаточно больших α3. Содержательно последний случай означает следующее: при некотором диапазоне значений параметра α2 (т.е. при выполнении (9)) оптимально влиять на представления, когда они слишком пессимистичны (т.е. когда α3 достаточно велико и, следовательно, велика вероятность p выбора негативного полюса). В заключение отметим, что рассмотрен простейший случай информационного управления в условиях биполярного выбора. Дальнейшее развитие модели (увеличение числа типов агентов, усложнение структуры информированности [1] усложнение функций реакции на ожидание) и ее сопоставление с наблюдаемыми результатами действий экономических (покупатели) и политических (избиратели) агентов представляется перспективным направлением дальнейших исследований. Литература 1. НОВИКОВ Д.А., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Рефлексивные игры. М.: Синтег, 2003. – 160 с. 2. ЛЕФЕВР В.А. Алгебра совести. М.: «Когито-Центр», 2003. – 426 с. 3. ТАРАН Т.А. Логические модели рефлексивного выбора // Автоматика и Телемеханика. 2001. № 10. С. 103 – 117. 4. ОПОЙЦЕВ В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977. – 248 с. 105

НЕПРЕРЫВНЫЙ КОНТРОЛЬ ПРОЦЕССА ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ Гайдай А.А., Руссман И.Б. (Воронежский Государственный Университет) В данной работе рассматривается проблема контроля за деятельностью системы, движущейся к поставленной цели. Пусть исполнительному объекту ставится задача (например, руководством предприятия) достичь к заданному моменту определённого значения какого-либо показателя (например, получить заданный доход или произвести требуемый объём продукции), после этого система начинает двигаться к цели по какой-либо траектории. Если выяснится, что достижение цели оказывается невозможным, то требуется обнаружить это как можно раньше и так изменить параметры цели, чтобы она стала достижимой. Это изменение может выражаться в уменьшении количественной оценки планового результата, в увеличении времени на его достижение, или в том и другом одновременно. Задачей системы контроля будет являться оценка текущего состояния системы, объёма выполненных работ, риска невыполнения плана, а также близости состояния системы к критической области, откуда достижение цели будет невозможно при любых допустимых затратах. Помимо этого система контроля является одновременно и системой перепланирования. Допустим, что за время tпл нам нужно добиться результата, количественное выражение которого есть Aпл . При этом известно, что существует минимальная скорость производства результата во времени v min и максимальная скорость v max (см. рис.1). Важно найти точки контроля за состоянием объекта, выполняющего работу, которые могут быть моментами времени, когда необходимо принять решение об управляющем воздействии или пересмотре параметров цели. Если в процессе движения объект попадает в область, лежащую ниже прямой MN на рисунке, то достижение цели в заданное время станет невозможным, поэтому эта область становится запретной, и приближение к ней надо рассматривать

106

как угрозу невыполнения задачи. Контроль объекта должен быть организован таким образом, чтобы можно было вовремя вмешаться в деятельность объекта, если его состояние приближается к опасной зоне. Организация системы контроля должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: с одной стороны, точек контроля должно быть достаточно много, т.к. при отсутствии должного контроля мы можем оказаться в ситуации, когда что-либо менять уже поздно. С другой стороны, за проведение контроля приходится платить, поэтому точек контроля должно быть как можно меньше.

A

v max

v*

v max

A пл

M

( Aпл , tпл )

E3

A

F1

v min

F2

~ A

P F3

A

v min E2

N t

0

t0

E1

t

t1

tпл

Рис. 1. В работах [1] и [2] рассматривается эта задача и способ её решения, позволяющий найти моменты времени, когда необходимо проводить контроль состояния объекта. Рассмотрим видоизменённую постановку этой задачи, а именно: пусть контроль – это не

107

разовая операция, а непрерывная, и в каждый момент времени нам нужно принимать решение об «интенсивности» контроля на текущий момент. Наша задача состоит в том, чтобы для каждого момента времени выяснить необходимую «жёсткость» проводимого контроля, т.е. требуемую точность оценки объёма выполняемой работы, а также скорости её выполнения. Побочным эффектом решения данной проблемы будет возможность для любого момента времени узнать текущую трудность достижения цели, а также степень риска невыполнения плана. Поясним, что это означает. Пусть v~ (t ) – оцениваемая мгновенная скорость движения

объекта к цели в момент t, v~(t ) ∈ [v min , v max ] . Пусть она известна с некоторой точностью ∆v (t ) :

∆v (t ) v (t ) = v~(t ) + 2 (1) , ∆v ( t ) ~ v (t ) = v (t ) − 2 где v (t ) и v (t ) - соответственно, верхняя и нижняя оценки скорости в момент t, v (t ), v (t ) ∈ [vmin , vmax ] , причём

(2)

∆v (t ) = (v max − v min )δ(t ) ,

δ(t ) – относительная точность измерения скорости, δ(t ) ∈ [0,1] .

Именно эту величину мы и будем считать «интенсивностью» контроля, и наша задача будет состоять в нахождении этой величины как функции от времени t. Для любого момента t мы можем оценить текущую «трудность» (вероятность недостижения цели) следующим образом: (3)

d (t ) =

v * (t ) − v min * A − A(t ) , v (t ) = пл . tпл − t v max − vmin

Здесь d(t) – трудность достижения цели в момент t, v * (t ) - минимальная постоянная скорость, с которой необходимо двигаться из текущей точки (t , A(t ) ) , чтобы выполнить плановый объём работ в срок (см. рис.1). Т.о., за вероятность достижения цели для текущей точки мы принимаем отношение длины отрезка возмож-

108

ных скоростей к длине отрезка приемлемых скоростей (двигаясь с которыми постоянно, можно выполнить задание не позже отведённого срока). Тогда t

~ A(t ) = ∫ v~( τ)dτ 0

v − v min   δ( τ) dτ , A(t ) = ∫ v ( τ)dτ = ∫  v~( τ) + max 2  0 0 t

(4)

t

v − v min   δ( τ) dτ A(t ) = ∫ v ( τ)dτ = ∫  v~( τ) − max 2  0 0 ~ где A(t ) , A(t ) и A(t ) – оценки проделанной работы к моменту t, рассчитанные по v~ (t ) , v (t ) и v (t ) соответственно. Нас будет t

t

интересовать худший случай, т.е. A(t ) . Для точки (t , A(t ) ) мы можем найти соответствующую минимальную постоянную скорость, необходимую для достижения цели:

v − v min ~ Aпл − A(t ) + max ∫0 δ( τ)dτ 2 Aпл − A(t ) * v (t ) = = . tпл − t t пл − t t

(5)

Для любого момента t будем задавать необходимую точность измерения скорости следующим образом: (6) δ(t ) = 1 − d (t ) . Смысл этого выражения в том, что чем больше риск недостижения цели в текущий момент времени, тем больше мы должны затрачивать усилий на контроль состояния объекта, т.к. объект приближается к опасной границе, выйдя за которую, он уже не сможет выполнить поставленный объём работ за время tпл . Поэтому желательно в таких случаях знать состояние объекта с возможно большей точностью, чтобы, например, вмешаться в поведение объекта, скорректировать задание и т.п., если величина риска (трудность достижения цели) превысит некоторую заданную величину. В то же время, если состояние объекта оценивается как впол-

109

не благополучное (т.е. риск невыполнения работы невелик), то совершенно незачем затрачивать лишние средства на контроль объекта и проверку хода выполнения задания. Заметим, что это лишь один из возможных вариантов выбора точности измерения δ(t ) в зависимости от трудности d(t). В общем случае формулу (6) можно записать так: δ(t ) = Ψ (d (t )) , где Ψ( x ) ∈ [0,1] при x ∈ [0,1] и Ψ(0) = 1 , Ψ(1) = 0 . Рассмотрим пример, иллюстрирующий вышеизложенное. Допустим, в какой-то момент руководитель проекта пожелает узнать его текущее состояние. Пусть ему уже известен некоторый интер-

[

]

вал, в котором находится текущий объём работ A(t ), A(t ) , который можно рассчитать исходя из данных контроля за предыдущие дни. Чтобы оценить текущую скорость выполнения проекта v~ (t ) , руководитель может просто спросить подчинённых (например, начальников подчинённых отделов), какой объём работ был выполнен за этот день. Затраты на получение такой информации близки к нулю, но и её точность также невелика. Чтобы повысить точность, можно потребовать у одного или нескольких подчинённых отделов предоставить более полный отчёт, но при этом придётся понести определённые затраты на его подготовку, анализ и проверку. Однако, очевидно, такую проверку придётся проводить, если выяснится, что велик риск невыполнения проекта в срок. Вернёмся к нахождению требуемой точности измерения скорости движения к цели. Подставив в выражение (6) формулы (3) и (5), получим интегральное уравнение для δ(t ) :

v − v min ~ Aпл − A(t ) + max ∫0 δ( τ)dτ 2 − vmin tпл − t δ(t ) = 1 − . v max − vmin t

(7)

~

Продифференцировав по t, а также учитывая, что A′(t ) = v~(t ) , получим линейное дифференциальное уравнение: (8)

110

δ′(t ) =

1  δ(t ) v max − v~(t )    − tпл − t  2 v max − vmin 

с начальным условием:

Aпл tпл . − v min

vmax − (9)

δ(0) = 1 − d (0) =

vmax

Решая это уравнение, получаем:

(10)

t  (v − v~( τ)) dτ A  tпл  vmax − пл  − ∫ max tпл  0 tпл − τ  δ(t ) = . tпл − t (vmax − vmin )

Заметим, что если в какой-то момент времени t0 окажется, что

δ(t0 ) = 1 , то это означает, что дальнейший контроль не нужен, поскольку d (t0 ) = 0 , и объект достигнет цели в планируемые сроки, даже двигаясь с минимальной скоростью. Если же в момент t1 будет выполнено δ(t1 ) < 0 , то объект мог к этому моменту войти в запрещённую зону, и достижение цели может оказаться невозможным. Рассмотрим частный случай, когда оцениваемая скорость дви-

v + v min . Тогда жения постоянна и равна средней: v~(t ) ≡ max 2

(11)

δ(t ) = 1 −

tпл  Aпл / tпл − vmin  tпл − t  vmax − vmin

  . 

Найдём для этого случая величины t0 и t1 . Подставляя δ(t0 ) = 1 в

  = 0 , а значит, если  задача не тривиальна и достижение цели за время tпл невозможно

(11), получаем, что

tпл  Aпл / tпл − vmin  tпл − t  vmax − vmin

даже при постоянном движении с минимальной скоростью, то контроль прекращать нельзя. При δ(t1 ) = 0 получаем (12)

  A /t − v min t1 = tпл 1 −  пл пл   vmax − vmin 

  

2

 .   111

Существует альтернативный подход к вычислению количественной оценки трудности достижения цели. Если µ ∈ (0,1] – безразмерная оценка качества некоторого ресурса (чем больше, тем лучше), а ε ∈ [0,1) – нижняя граница требований к качеству ресурса, то трудность можно задать так (см. [3]):

ε(1 − µ) , µ(1 − ε) при этом d ∈ [0,1] при выполнении условия µ ≥ ε , т.е. если ресурс (13)

d=

является допустимым. Заметим, что в формуле (3) мы не учитываем ещё одну особенность рассматриваемой задачи. Из области, лежащей ниже прямой ON на рис.1, мы теоретически могли бы достичь цели в плановый срок. Тем не менее, минимальная скорость производства результата может пониматься как оценка надёжности объекта, движение с ещё меньшей скоростью может происходить в случае возникновения маловероятных чрезвычайных обстоятельств, которые могут привести к разрушению самого объекта. Именно поэтому количественная оценка риска должна возрастать также и при приближении объекта к отрезку ON. Тогда для рассматриваемой задачи с учётом вышеприведённого замечания трудность может быть вычислена следующим образом:

d = max (d1 , d 2 ) , d2 =

где

d1 =

ε1 (1 − µ1 ) E1 E2 ⋅ E3 P = , µ1 (1 − ε1 ) E1 P ⋅ E2 E3

ε 2 (1 − µ 2 ) F1 F2 ⋅ F3 P = , что после подстановки дает слеµ 2 (1 − ε 2 ) F1 P ⋅ F2 F3

дующую формулу для d(t):

d (t ) = max (d1 (t ), d 2 (t ) ) vmin

(14)

d1 ( t ) =

vmax t − A(t ) ( Aпл − vmin tпл − t (vmax − vmin ) ) vmax − vmin . A(t )( Aпл − vmin tпл + A(t ) − vmax t )

vmax t − A(t ) ( A(t ) − Aпл − vmin tпл + vmin t ) vmax − vmin d 2 (t ) = (tпл − t )(vmax tпл − Aпл ) 112

Подставляя в (14) вместо A(t) величину A(t ) из (4), с учётом

~

(6) и условия A′(t ) = v~(t ) , мы можем получить дифференциальное уравнение для данного вида оценки трудности. В виду громоздкости получающихся конструкций, мы не будем их здесь приводить. В качестве возможного расширения данной задачи в её постановку можно ввести управление и рассматривать два варианта задачи оптимального управления – с конечным числом точек контроля состояния объекта и с непрерывным контролем, где в качестве цели будет рассматриваться минимизация затрат на достижение цели в отведённое время, и задача будет состоять в нахождении оптимальной траектории движения объекта к цели. Литература 1. БАБУНАШВИЛИ, М.К., БЕРМАНТ М.А., РУССМАН И.Б. Контроль и управление в организационных системах / Экономика и математические методы. М.: Наука, 1969. Том 5, вып. 2. С. 212-227. 2. БАБУНАШВИЛИ, М.К., БЕРМАНТ М.А., РУССМАН И.Б. Оперативное управление в организационных системах / Экономика и математические методы. М.: Наука, 1971. Том 7, вып. 3. С. 377388. 3. КАПЛИНСКИЙ А.И., РУССМАН И.Б., УМЫВАКИН В.М. Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов систем. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. – 168 с.

113