紀伊國屋数学叢書 30
編集委員 伊藤 戸 田
清 三 (東京大学名誉教授) 宏
(京都大学教授)
永 田
雅 宜 (京都大学教授)
飛 田
武 幸 (名古屋大学教授)
吉沢
尚 明 (京都大学名誉教...
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紀伊國屋数学叢書 30
編集委員 伊藤 戸 田
清 三 (東京大学名誉教授) 宏
(京都大学教授)
永 田
雅 宜 (京都大学教授)
飛 田
武 幸 (名古屋大学教授)
吉沢
尚 明 (京都大学名誉教授)
伊藤 清三
優 調 和 函 数 と理 想 境 界 紀伊 國屋書店
ま
理 想 境界 とい う言葉 は,最 とす る とき,S=R\Rを
え
が
き
も一 般 的 に言 う と,空 間Rの
空 間Rの
コ ンパ ク ト化 をR
理 想境 界 と呼 ぶ ので あ るが,興
くの結 果 が得 られ て い る の はRがRiemann面
の場 合 で あ り,そ の 中 で も函
数 論 的 あ る い はポ テ ン シ ャル 論 的 に重要 な のはRoyden,
Wiener,
持 が それ ぞれ 定 義 した コ ンパ ク ト化 に よ る理 想 境 界 で あ る.特 持 の理 論 は,Green函 る点 で,2階 R.S.
にMartin,倉
楕 円 型 偏 微 分 方程 式 の理 論 と直接 結 び つ く もの で あ る.
Martinは1940年
日Martin境
Riemann面
Martin,倉
数 と密 接 に関 係 す る核 函 数 を用 い て調 和函 数 を表現 で き
の調 和函 数 のPoisson積 め,今
味 あ る多
の論 文(あ
とが き の文 献[10])に
お い て,単 位 円 内
分 表示 を高 次 元 空 間 の 一般 領 域 の 場 合 に 拡 張 す るた
界 と呼 ば れ て い る理 想 境 界 を導 入 した.そ の理 論 も結 果 も
の研 究 に重 要 な も の とな った が,彼
の発 想 と手 法 は,ラ
プ ラシ ア
ンを2階 楕 円型 偏 微 分 作 用 素 で置 き替 え て も,そ の ま ま適 用 で き る も ので あ っ た.更 に,倉 持 境 界 の理 論 と呼 ばれ る倉 持 氏 の1956年 も,Riemann面
の論 文(あ とが き の[15])
の研 究 を念頭 に置 い て書 かれ て は い る が,2階 楕 円型 偏 微 分 作
用 素 に 自然 な 方 法 で拡 張 で き る もの で あ っ た.し か も,偏 微 分 方 程 式 の立 場 か ら見 れ ば,Martin境 mann問
界 ・倉持 境 界 の理 論 が それ ぞれDirichlet問
題 ・Neu
題 に対 応 して い る とい うこ とは,興 味 深 い こ とで あ る.
この観 点 か ら本 書 で は,一 般 の変 数 係 数2階 楕 円 型 偏 微 分 作 用 素(以 下'楕 円 型 作 用 素'と 略 称 す る)に つ いて,Martin境
界 ・倉 持境 界 に対応 す る理 想 境 界
(そ れ ぞ れ 同 じ名 称 で 呼 ぶ)を 構 成 す る理 論 お よび,調 和函 数(=楕
円型 偏微 分
方 程 式 の解)の 表 現 定 理,極 小 函 数(端 点 的 函 数)と 理 想 境 界 上 の点 との対 応 な どを解 説 した.こ の よ うな理 論 の 自然 な拡 張 が 可能 で あ る の は,調 和 函 数 の主 要 な性 質,特 に最 大 値 原 理・一 致 の定理(一 意 接 続 定 理)・Harnack型 Weylの
補 題 お よび 優 調 和 函 数 のRiesz分
の 定理 ・
解 な どが,楕 円型 作 用 素 の場 合 に も
本 質 的 に同 じ形 で成 り立 つ こ とに よ る.し か し,本 書 で扱 う楕 円 型作 用 素 は形 式 的 自己 共 役(そ の場 合 はLaplace-Beltrami作
用 素)と は限 らな い ため に,技
術 上 の形 式 的修 正 で は 同 じ理 論 を構 成 で き な い部 分 も あ る.特 に倉持 境 界 の構 成 に当 ってDirichletの
原 理 を用 い る所 は,や や異 な る概 念(結 果 か ら見 れ ば
Dirichlet積 分 を最 小 にす る函 数 の概 念 の 自然 な拡 張 で あ るが)を 必 要 とす る. ま た,普 通 の ラ プ ラシ ア ンの 場合 と本 質的 に 同 じ結 果 で あ って も,一 般 の(変 数係 数 で あ っ て 形 式 的 自己共 役 を 仮 定 しない)2階 楕 円型 作 用 素 と して 述 べ ら れ た 定理 を 引用 す る方 が,都 合 が よ い こ とが 多 い. そ こ で本 書 に お い て は,第1章 ち,あ
で本 叢 書 中 の 拙著 「拡 散 方 程 式 」 の 内容 の う
とで必 要 に な る諸 定 理 とそ の関連 事 項 の概 略 を記 述 し,第2章
函 数 に つ い て の準 備 を行 ない,ま い る た め の'正 則 写 像'と れMartin境
た第5章 で,Dirichletの
い う概 念 につ い て述 べ た.第3章
で優 調 和
原 理 の代 わ りに用 と第6章
がそ れ ぞ
界 と倉 持 境 界 に関 す る本 論 ともい うべ き部 分 で あ り,第4章
と第
7章 の内 容 は,そ れ ぞ れ の前 の章 に付 随 す る事 項 で あ る. 筆 者 は,本 書 の 内容 で あ る楕 円型 作 用 素 に関 す る理 想 境 界 の理 論 を放 物 型 方 程 式 に も応 用 す る こ とを,一
つ の夢 と して い た の で あ る が,こ
れ につ い て は,
少 な く と も筆 者 自身 の満 足 す る形 に は ま とめ られ て い な いの で,単 に 夢 と呼 ん で お く.し か し本 書 に よ っ て,Martin境
界 ・倉持 境 界 の理 論 が一 般 の2階 楕
円 型作 用 素 の場 合 に拡 張 され る様 子 の一端 を見 て い た だ き,理 想 境 界 を偏 微 分 方 程 式 の 角度 か ら眺 め た場 合 の本 質 を把 握 して い た だ けれ ば有 難 い と思 う.更 に,こ の よ うな理 論 に興 味 と関 心 を持 って,筆 者 の夢 を実 現 の方 向 に導 いて 下 さる方 が あれ ば,望 外 の幸福 と言 わ な け れ ば な らな い. 最 後 に,本 書 の完 成 まで には紀 伊 國屋 書 店 出 版 部 の水 野 寛 氏 に始 終 お 世 話 に な っ た こ とを記 し,こ こ に心 か ら感 謝 の意 を表 す る次 第 で あ る.
1988年 盛 夏
伊 藤
清 三
目
次
まえ が き ⅴ 序
章 理想境 界 考察 の由来
§0.1 調 和 函 数 と境 界 値 問 題
1
§0.2 拡 散 方 程 式 に 関 す る予 備 的 考 察 第1章
6
拡 散 方 程 式 ・楕 円 型 境 界 値 問 題 に 関 す る 準 備
§1.1 予 備概 念 と記 号
13
§1.2 拡 散 方 程 式 の 基 本解 の 性 質,解 の存 在 と一 意 性 §1.3 楕 円型 境 界 値 問 題,Green函
数,Neumann函
§1.4 調 和 函 数 の性 質
20 数
29 41
§1.5 ベ ク トル 解 析 に 関 連 した 事 項
50
§1.6 付 記(測 度 の漠 収 束,半 連 続 函 数) 第2章
53
優調 和 函数
§2.1 優 調 和 函 数 の定 義 §2.2 正 値A-優
調和 函数 の存 在 とGreen函
§2.3 優 調 和 函 数 の 局所 可 積分 性 とRiesz分 第3章
Martin境
数 の存 在
69
解
76
界
§3.1 予 備 概 念 §3.2 Martin境
59
界 の構 成
§3.3 正 値 調 和 函数 の積 分 表 現 §3.4 極 小 函 数,標 準 表現 とそ の 一 意 性
89
93 100 112
第4章
滑 ら か な 境 界 のMartin境
界 へ の埋め込 み
§4.1 埋 め込 み の定 理
127
§4.2 埋 め込 み 定 理 の証 明
129
第5章
楕 円型 偏微分 作 用 素に関 す る正則写 像
§5.1 正 則 写 像 の た め の予 備 概 念 と記 号
137
§5.2 作 用 素A*に
140
よ る境 界 値 問 題 の解 に 関 す る準備
§5.3 正 則写 像
145
§5.4 正 則 写 像 の定 義 の拡 張 と基 本 的 性 質 §5.5 Neumann型
核 函数N(x,y)
§5.6 核 函数N(x,y)と 第6章
163
あ る境 界値 問題
Neumann型
154
172
理 想 境 界(倉 持 境 界)
§6.1 Neumann型
理 想 境 界 のた め の 予 備 概 念
175
§6.2 Neumann型
理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成
183
§6.3 全 調和 函 数 と全 優 調和 函数
192
§6.4 FH0函
204
数 とFSH0函
数 の 積分 表現
§6.5 理 想境 界 上 の 点 の分 類 §6.6 極 小FH0函 第7章
208
数,標 準 表現 とそ の一 意 性
滑 ら か な 境 界 のNeumann型
理 想 境 界 へ の埋 め込 み
§7.1 埋 め 込 み の定 理 §7.2 核 函 数N(x,y)の
235 滑 らか な 境 界 上 へ の拡 張
§7.3 埋 め 込 み 定 理 の証 明
あ とが き,文 献 な ど
索引
259
221
256
237 251
序章 理想境界考察の由来
§0.1 調 和 函 数 と境 界 値 問 題
この §と次 の §で は,本 書 で取 扱 う'理 想 境 界'の 由来 を 説 明 す る た め に, 主 とし てEuclid空
間に お け る普通 の ラ プ ラシ ア ン△ に 関 す る古 典 的 な 境 界 値
問 題 に つ い て,い
くつ か の 既 知 の事 実 を 述 べ る.次 の 第1章 か ら,一般 の 変 数
係 数2階 楕 円 型 微分 作用 素 に 関す る理 想境 界 の 構成 を 目標 とし て,あ
らた め て
体 系 的 に 述 べ るが,本 章 で 述 べ る事項 はす べ て 第1章 以 後 に 述 べ る結 果 に 含 ま れ るか ら,本 章 で は 数 学 的 な'証 明'は 与 え な い で,説明
に 必 要 な'既 知 の 結
果'を 記 述 す る. Ω をm次
元Euclid空
を も つ も の とす る.こ
間Rm(m≧2)の の と き,Ωにお
呼 ば れ る 函 数G(x,y)(Ω 在 し て,Ω
け る(Dirichlet問
×Ω の 上 で
の 上 でHolder連
函 数 φ(x)に
中 の 有 界 領 域 で,十
分 滑 らか な 境 界
題 の)Green函
数 と
な る か ぎ り定 義 さ れ て い る)が
続 な 任 意 の 函 数f(x)と
存
∂Ω の 上 で 連 続 な 任 意 の
対 し て,
(0.1.1)
Ω にお い て △u=-f,∂
Ω の 上 でu=φ
を満 た す 函数u(x)が
(0.1.2) で与 え られ る;こ こ でdyはm次 法 線 微 分,dSは
Ω の境 界 上 で の外 向 き
元 面 積要 素 を 表 わ す.特 にf≡0の
場 合,
す なわ ち ∂Ω の 上 で与 え られ た境 界 値 φ を とる調 和 函 数u(Dirichlet問
題の
解)は,Ω (0.1.3)
境 界 上 でのm-1次
元 体 積 要 素,∂/∂nは
に おい て
で 与 え ら れ る.Green函数G(x,y)は,任 値 を と り,xとyの
に対して正の
少 な く と も 一 方 が ∂Ω の 上 に あ れ ば0に
式(0.1.3)に
お い て
れ て い る.)従
って
(0.1.4)
意 の
で あ る.(≧
∂Ω 上 で φ≧0な
(も っ と も,こ の こ とはGreen函
な る か ら,上
の公
は実 は>と な る こ とが知 ら
ら ば Ω に お い てu≧0で
あ る.
数 の性 質 を 使 わ な く て も,調 和 函 数 の最 大
値・ 最 小値 原 理 か らも 出 る こ とで あ る.) 境 界 値 問 題 とい う立 場 か らは,φ は普 通 の 函数 で あ るが,Ω に お け る非 負値 調和 函 数 を与 え る式 とし て は,(0.1.3)に 有 界Borel測
度dμ(y)で
お い て φ(y)dS(y)を
∂Ω 上 の任 意 の
置 き替 え て も よい.な お Ω に お け る調 和 函数 に つ い
ては,非 負 値 とい う こ とは 正 値 とい うこ と と同等 で あ る(最 大値 ・ 最小値原理 に よ り). R.S.
Martin[10]は
一般の 領 域R(有
界 性 も仮 定 せ ず,境 界 の性 質 に つ い
て 何 の 条 件 も考 え な い)に お け る正 値 調 和 函数 の表 現 を考 え た.彼 はR×Rの 上(た だ し )で 境 界S(今
日Martin境
R×(R∪S) uがS上
適 当 な 核 函 数K(x,y)を
導 入 し,そ れ を 用 い てRの
界 と 呼 ば れ る も の)を 定 義 して 核 函 数K(x,y)が
に拡 張 され る こ とを 示 し,Rに
のBorel測
理想
おけ る任 意 の 正値 調 和 函数
度 μに よ って
(0.1.5)
と表 現 され る こ とを 示 した.Rが
普 通 の意 味 の滑 らか な境 界Sを
(同相 に埋 め込 まれ る とい う意 味)で あ って,y∈Sな け る 本 来 のGreen函
数G(x,y)に
を 掛 け た もの に等 し い.(滑
対 す る
らか な 境 界Sに
もて ばS⊂S
らばK(x,y)はRに にyの
お
み の適 当 な 函数
関 す る この事 実 はMartinの
論文
[10]に は 示 され て い な い が,本 書 第4章 を 見 られ た い.)だ か ら測 度 μを 修 正 す る こ と に よ り,y∈Sに
対 し て は
意 味 で(0.1.5)は(0.1.3)の
上 に述 べ た よ うに,Martin境
と 考 え て よ い.こ
の
拡 張 と 考 え ら れ る.
界 上 の測 度 を 用 い た 正 値 調 和 函 数 の 表 現 式 は
Dirichlet境 Neumann境
界値 問題 の解 の 表 現 式 の拡 張 と考 え る こ と が で き る.そ
れでは
界 値 問 題 に 対 応 す る もの は ど うか と い う問 題 が 当然 考 え られ る.
この よ うな 理想 境 界 の 導 入 は 倉持 氏[15]に に よ り倉 持 境 界 と名 付 け られ た.倉
よ って な され,他 の 多 くの 研究 者 理
の研 究 に活 用 し て多 くの成 果 を 挙 げ られ た が,本
書で
想 境 界)をRiemann面
持 氏 は こ の理 想 境 界(お よびMartinの
は 楕 円 型 偏 微分 方 程 式 の 立 場 で この 理 想 境 界 を解 説 す る.な お,倉 持 氏 自身 は この 理 想 境 界 に 関 連 す る概 念 にN-Martin(言 に 対 応す るMartin型
の境 界etc.の
うま で も な くNeumann問
意)と い う言 葉 を 使 わ れ た が,本 書 で は
Neumann型
理 想 境 界,倉 持 境 界 の 名 称 を 併 用 す る.
Martin境
界 に よる 正値 調 和 函 数 の表 現 式(0.1.5)に
に 関 して 考え る場 合 は,Martin境
題
相 当す る式 を 倉 持 境 界
界 の 場 合 とや や 異 な る取扱 い を しな け れ ば
な らな い の で,そ の 理 由を 素 朴 な見 地 か ら説 明 し て お く. まず,滑
ら か な 境 界 を も つ 有 界 領 域 Ω(⊂Rm)に
(0.1.6)
Ωにおいて
△υ=0,∂
の 解 υ が 存 在 す る た め に は,Greenの
お け るNeumann問
題:
Ω の 上 で ∂υ/∂n=φ
公 式 か ら直 ち に わ か る よ うに,φ
が
(0.1.7) を 満 た さ な け れ ば な ら な い.だ
か ら(φ ≡0と
界 ∂Ω 上 で 正 負 の 値 を と る 必 要 が あ る か ら,前 よ う に,φ(y)dS(y)を と は で き な い.そ
∂Ω 上 のBorel測 こ で 我 々 は,Ω
い う 自 明 な 場 合 を 除 き)φ は 境 のMartin境
度dμ(y)(非
界 に 関 す る説 明 の
負 値!)に
移 行 させ る こ
の 内 部 に 一 つ の コ ン パ ク ト集 合K0(そ
界 ∂K0は 十 分 滑 ら か な も の)を 固 定 し,(0.1.6)の
代 わ りに Ω \K0に
の境
お け る次
の 境 界 値 問 題 を 考 え る:
において (0.1.6′)
の 上 で
こ の境 界 値 問 題 に 対 し てはGreen函 在 し て,∂ Ω 上 でHolder連 (0.1.8)
の上で 数 と 同 じ役 目を す る核 函 数N(x,y)が
続 な任 意 の 函 数 φ(y)に 対 して 解 υが
存
で与 え られ る.(こ の こ とに つ い て は 次 の 第1章 で 説 明す る.な お,K0の 現 象 的 意味 に つ い ては 次 の §で 触 れ る.)こ
拡散
の場 合 は φ(y)≧0と し て扱 うこ と
が で き るか ら,前 に述 べ た よ うな'測 度 へ の移 行'を 考 え る こ とが可 能 で あ る. 次 に,Dirichlet問
題(か ら生 じたMartin境
数 に 当 た る もの は,Neumann問
界 の理 論)に お け る正値 調 和 函
題(か ら生 じた 倉 持 境 界 の理 論)に おい ては,
正 値 調 和 函 数 よ り も狭 い 範 囲 の も の で あ る こ とを注 意 し て お こ う.そ れ は,境 界 値 問 題(0.1.6′)に お い て φ≧0で な くて も解 υが 正 値 調 和 函 数 とな る こ とが あ るか ら で あ る.従
って,す べ て の正 値 調 和 函数 υ(x)が 非 負 値 のNeumann
境 界 条 件 φ に よ って(0.1.8)で 与 え られ る とは限 ら ない.前 境 界 の 場 合 と同 様 に 倉持 境 界 も,有
に述 べ たMartin
界 領 域 Ω では な く一 般 の 領 域Rに
対 して
考 え る の で あ るか ら,そ の'境 界'は 最 初 は'目 に 見 え な い'も の で あ る.だ か ら(0.1.6′)にお い て φ≧0で あ る こ とを反 映 す る条 件 を,領 域 の 内 部 に お け る υ の性 質 だけ で記 述 した い.そ は 全 調 和 函 数 と呼 ぶ;第6章
の ため にfull
harmonic
function(本
書で
§6.3で 一般 的 に 定 義 す る)と い う概 念 が 導 入 さ
れ て い る. Rの
境 界 が 目 に 見 え な い こ とか ら 起 こ る 今 ひ と つ の 問 題 は,有
場 合 の ∂Ω 上 で ∂υ/∂n=0と あ る.こ
い う 性 質 の,一
の 問題 は 例 え ば(0.1.6′)に
υ=ψ(≡0と
は か ぎ ら な い)を
般 領 域Rの
お い て,∂K0の
うか ぎ り は,こ Dirichlet積
与 え,∂ Ω の 上 で ∂υ/∂n=0と
の 問 題 の 解υ は,∂K0の
上 で υ=ψ
界条件
な る解υ を,∂ Ω
通 の ラ プ ラ シ ア ン △を 扱 と な る 函 数 の う ち で,
分
を最小にす るもの
と して 特徴 づ け られ(Dirichletの 一 般 の 領域Rの
場合 の 表 わ し 方 で
上 でDirichlet境
に お け る 情 報 を 用 い な い で 求 め る こ と に 相 当 す る.普
界領域 Ωの
原 理 とし て知 られ て い る),こ
場 合 に も適 用 す る こ と が で き る
.し
の考え方を
か し本 書 に お い て は,
の形 の ものを 含 む一般 の変数係数2階 楕 円型偏微分作用素 を 扱 うの で,Dirichletの
原 理 そ の もの は 適用 で き な い.そ
上 で 与え ら れ た 函 数 ψ に 対 し て,∂K0上 Dirichlet積 分D[υ]を
こで 我 々は,∂K0の
で境 界 値 ψ を と る函 数 υの うち で
最 小 に す る もの を対 応 させ る写 像 の概 念 を拡 張 し た も
の とし て,第5章
に お い て'正 則写像'と
は,倉 持 境 界 の理 論(第6章)の 構 成(第5章
名付 け る概 念 を定 義 す る.こ の写 像
み な らず,そ
の準 備 と して の核 函 数N(x,y)の
§5.5)に も必 要 であ る.
こ こ で 優 調 和 函 数 の 概 念 に 触 れ て お く.こ f≡0と
し た 場 合 の 函 数uの
話 か ら 始 め た の で,△u=0を
ち 調和 函 数 に つ い て 述 べ て き た が,fを る と,(0.1.2)で
満 た す 函 数,す
一般 に 非 負 値 函 数 でHolder連
与 え ら れ る 函 数uは(0.1.1)を
(0.1.9)
を満 たす.こ
の § の 初 め に(0.1.1)に
満 た す か ら,特
おい て なわ 続 とす
に
△u≦0
の よ うな 函数uは
優 調 和 函 数 と呼 ば れ る.uが
調 和 函数 な らば,滑 ら か な境 界を もつ 有 界 領 域DでD⊂
領 域 Ω にお け る 優
Ω な る も の を任 意 に
とる とき, ∂D上 でuに等
(0.1.10)
[
Dの
し くてDで
内 部 ではu≧wが
調 和 な 函 数wを
とる と,
成 立 す る.
す なわ ち,大 ざ っ ぱに 言 えば,優 調 和 函 数 は 領 域 の境 界 上 で 同 じ値 を とる調 和 函 数 よ りも,領 域 の内 部 では 大 きい 値 を と る.(こ れ が'優'調 和 函 数 の 名 の 由 来 で あ る.)現 代 で は 優 調 和 函 数 の概 念 は 次 の よ うに拡 張 され て い る.す な わ ち, 連 続 性 も仮 定せ ず,一 般 に下 に 半連 続(§1.6参 と同 じ性 質 を もつ 函数uを な い た め,(0.1.10)の
照)な 函数 で あ っ て,(0.1.10)
優 調 和 函 数 とい う.も っ と も,uの
記 述 の よ うにuに
連 続 性 の仮 定 が
等 し い境 界 値 を もつ調 和 函 数 の存 在 は
保証 され な い の で,こ の述 べ 方 は 少 し修 正 す る必 要 が あ る.正 確 な 定 義 は §2.1 の 最初 に 与 え る.
§0.2 拡 散 方 程 式 に 関 す る予 備 的考 察
拡散方程式 の最 も基本的 な形 は (0.2.1)
と書 かれ る;こ
こ でu≡u(t,x)は
中 の領 域 Ω の点xの
時 間t(≧0)とm次
函数 で あ り,△ はxの
たはその
空 間 に お け る ラ プ ラ シ ア ンで あ る.
我 々は △ よ り もや や 一 般 的 な次 の偏 微 分 作 用 素Aお 分 作 用 素A*を
元空 間Rmま
よび そ れ と'共 役'な 偏 微
考え る:
(0.2.2)
従 っ て,拡
散 方 程 式 と し て は,(0.2.1)の
(0.2.3)
を 扱 い,こ
代 りに
(0.2.3*)
れ ら に 対 し て,t=0の
(0.2.4)
と き の'初
期 条 件'を
それ ぞれ
u(0,x)=u0(x),υ(0,y)=υ0(y)
の 形 に 与え る.Rmの Dirichlet型
部 分 領 域 Ω で 考 え る場 合 の ∂Ω 上 の 境 界 条 件 と し て は,
の も の は(0.2.3)に
(0.2.5)
つ い て も(0.2.3*)に
つ い て も 同 じ形 の
u(t,x)=φ(x),υ(t,y)=φ(y)
を 考 え る が,Neumann型
の 境 界 条 件 は,方
程 式(0.2.3)に
対 して は
(0.2.6)
を 考 え,方
程 式(0.2.3*)に
対 し ては
(0.2.6*)
を 考 え る;こ
こ で β(y)は
(b1(y),…,bm(y))の
Ω の 境 界 ∂Ω の 上 の 点yに
外 法 線 成 分 で あ る.こ
お け る ベ ク ト ルb(y)=
れ ら の方 程 式 や 境 界 条 件 の 物 理 的 意
味 につ い て は,'あ
とが き'に あ げ て あ る拙 著[1]の
bi(x)≡0(i=1,…,m)の
と き はA=A*=△
必 要 が な く,(0.2.3)と(0.2.3*)は (0.2.6)と Neumann型
同 じ に な る.我
序 章 §0を 見 られ た い.
と な っ て,AとA*を
共 に(0.2.1)と同
じ に な り,ま
区別す る た(0.2.6*)は
々 が 本 書 に お い て 述 べ よ うす る 理 想 境 界 の 構 成(特 に
理 想 境 界 の 場 合)に お い て は,
な る こ とに よ っ て起 こる
問 題 点 を ど の よ うに 処 理 す る か が 興 味 あ る 点 の 一 つ で あ る か ら,こ て も
従 っ て
の 場 合 に つ い て 述 べ る.以
の §に おい
後 Ω は 有 界 領 域 と し,
Ω の 境 界 に は 適 当 な 滑 ら か さ を 仮 定 し て お く. な お,次
の章 か らはEuclid空
Laplace-Beltrami作
間Rmの
用 素 に な る が,こ
との 意 義 に つ い て も[1]の
か わ りにm次
し て 次 のⅰ),ⅱ)が
って △ は うす る こ
§1を 参 照 さ れ た い.
拡 散 方 程 式(0.2.3),(0.2.3*)にDirichlet型 て 考 え た と き,基
元 多 様 体 で 考 え,従
れ は 単 な る形 式 的 一 般 化 で は な い;そ
境 界 条 件(0.2.5)を
本 解 と 呼 ば れ る 函 数U(t,x,y)(t>0,x∈
合わせ
Ω,y∈Ω)が
存在
成 り立 つ:
ⅰ) 拡 散 方 程 式(0.2.3)の
解u(t,x)で,初
期 条 件(0.2.4)と
境 界 条 件(0.2.5)
を 満 たす ものが
(0.2.7)
で 与 え ら れ る. ⅱ) 拡 散 方 程 式(0.2.3*)の (0.2.5)を
満 たす もの が
(0.2.7*)
で 与 え ら れ る. 更 に,
な るか ぎ り
解 υ(t,y)で,初
期 条 件(0.2.4)と
境界条件
(0.2.8)
が 存 在 す る.ま
た(0.2.7)の
示 さ れ る の で,左
右 辺 第1項
辺 のu(t,x)もt→
はt→
∞
∞
と す る と き0に
近 づ くこ とが
とす る と き の 極 限 函 数u(x)が
存 在 し,
(0.2.7)は
(0.2.9)
と な る.(右
辺 第2項
こ のuはAu=0を
は 形 式 的 に 極 限 移 行 し た が,こ 満 た し,∂ Ω 上 でu=φ
の 解 で あ る.G(x,y)はGreen函 あ る.同
れ は 厳 密 に 証 明 で き る.)
と な る;す
な わ ちDirichlet問
数 で あ り,(0.2.9)は(0
様 に し て(0.2.7*)か
.1.3)と
題
同 じ式 で
ら
(0.2.9*)
が 得 ら れ,こ
さて,基
の υはA*υ=0を
本 解U(t,x,y)の
満 た し,∂ Ω 上 で υ=φ
拡 散 現 象 的 意 味 は,初
量 が 拡 散 に よ って時 間tの 後 に 点yに 表わ す もの で あ る.す
は 領 域 の 境 界 上 の 点yに 境 界 条 件 がDirichlet型
の符号を変 えた
(0.2.8)に
より
と な る か ら,(0.2.9)に
函 数 と し て は,初
あ る 場 合 に は,上
め に 点x
の法線方向微分係数
あ った 単 位 質 量 が 時 間tの 後 に 境 界
部 分 に 到 達 す る密 度 分 布 を 表 わ し てい る.
現 わ れ る
質量 が無 限 時 間 の 間 に 境 界 上 の 点yに (0.2.9)で 与 え られ るu(x)がAu=0を
部 分へ 移 る割 合 を
お け る外 向 き の濃 度 勾 配 を 表 わ し,特 に
は,点xに
お け る面 積 要 素dS(y)の
あ った単 位 質
おけ る濃 度 分 布 を 表 わ し て い る.従 って,
の(0.2.5)で
上 の 点yに
め に 点xに
お け る体 積 要 素dyの
な わ ち,U(t,x,y)はyの
に あ った単 位 質 量 の,時 刻t>0に
と な る.
は,点xか
ら拡 散 し始 め た 単 位
到 達 す る 密 度分 布 と考 え ら れ る が, 満 たす とい う こ とは,拡 散 が 時 間 的 に
定 常 な状 態 す なわ ち平 衡 状 態 に 達 した も の と考 え ら れ る の で,こ
の意味では
は,点xに 界 上 のdS(y)部 (weight)で 次 に,拡
お い て 単 位 時 間 に 単 位 質 量 の 湧 き出 しが あ る と き の境
分 に 到 達 す る 密 度 を 表 わ し,こ
平 均 し た も の が(0.2.9)のu(x)で 散 方 程 式(0.2.3),(0.2.3*)に
(0.2.6),(0.2.6*)を
そ れ ぞ れNeumann型
は 別 の 函 数)が
ⅰ) 拡 散 方 程 式(0.2.3)の
解u(t,x)で,初
る重 み
あ る と考 え る こ と で も き る.
合 わ せ て 考 え た と き も,前
(前 の 基 本 解U(t,x,y)と
れ を φ(y)dS(y)な
境界条件
と 同 じ よ うに 基 本 解U(t,x,y)
存 在 し て,次
のⅰ),ⅱ)が
期 条 件(0.2.4)と
成 り立 つ:
境 界 条 件(0.2.6)
を 満 たす もの が
(0.2.10)
で与 え られ る. ⅱ ) 拡 散 方 程 式(0.2.3*)の (0.2.6*)を
解 υ(t,y)で,初
期 条 件(0.2.4)と
境界条件
満 た す も のが
(0.2.10*)
で 与 え ら れ る.
この場 合 も基 本解U(t,x,y)の
拡 散 現 象 的 意 味 は,前
の(Dirichlet型
境界
条 件 を考 え た とき の)基 本解 と全 く同 じで あ る.従 って(0.2.10*)の 右 辺 第1項 は,初 め の質 量 分 布 の密 度 が υ0(x)で あ った 拡 散 物 質 の,時 間tの 後 の分 布 密 度 を表 わ し て い る.ま た(0.2.6*)の の 法 線成 分 を 表 わ す か ら,φ(y)≧0な
左 辺 は境 界 上 の点yに らば(0.2.6*)は
お け る流 量(flux)
単 位時 間 に境 界 か ら面
密 度 φ(y)の 割 合 で 拡 散物 質 が 流 入 す る こ とを 意 味 す る.だ か ら(0.2.10*)の 右 辺 第2項 は,こ
の 割 合 で 拡 散物 質が 境 界 か らた え ず 流 入 す る と き の,時
間t
の 後 の分 布 密 度 を 表 わ す. こ の 基 本 解U(t,x,y)に G(x,y)を
対 し て は,(0.2.8)に
定 義 す る こ と は で き な い;右
よ っ てGreen函
辺 の 積 分 は 発 散 す る.そ
数 の役 目の の た め に,
(0.2.10),(0.2.10*)に
お い てt→ ∞ とす る と,ど ち らの 式 で も右 辺 第2項 は
∞ に発 散 し,'平 衡状 態'に は近 づ か な い.こ の こ とを(0.2.10*)の 右 辺 第2項 に つ い て 拡 散 現 象 的 に解 釈 す る と,境 界 か ら た え ず 一 定 の 割 合 で流 入 す るた め,領 域 内 の総 質量 が 限 りな く増 加 して,時 間tと と もに ∞ に 近 づ くの で あ る. だ か ら,境 界条 件 を与 え る 函数 φ(x)が 正 値 で あ って も平 衡 状 態 を 得 るた め に は,領 域 Ω の境 界 か らたえ ず 一 定 の 割 合 で 流 入 す る質 量 を 吸 収 して くれ る所 が 必 要 で あ る. そ こ で,領
域 Ω の 内 部 に,十
つ 固 定 し,領
域 Ω\K0に
分 滑 ら か な境 界 を も つ コ ン パ ク ト集 合K0を
お い て 拡 散 方 程 式(0.2
.3),(0.2.3*)を
ぞ れ に 対 し て ∂Ω に お け る 境 界 条 件(0.2.6),(0.2.6*)を ∂K0に
お け るDirichlet型
(0.2.11) を 与 え る.こ
(0.2.4)を
u(t,x)=0,υ(t,y)=0(吸
Ω \K0)が
場 合 は(0.2.8)と
与 え る だ け で な く,
収 壁 の 条 件)
存 在 し て,こ
満 た す 函 数u(t,x),υ(t,y)が
ど ち ら の 式 で も 右 辺 第1項
れ
の境 界 条 件
の と き 前 と 同 様 な 基 本 解U(t,x,y)(た
x∈ Ω \K0,y∈
考 え,そ
一
れ ら の 方 程 式,境
界 条 件 と初 期 条 件
そ れ ぞ れ(0.2.10),(0.2.10*)(た
の 積 分 領 域 を Ω\K0と
同 様 に
だ し 定 義 域 はt>0,
す る)で
だ し,
与 え ら れ る.こ
の
な る か ぎ り次 の 核 函 数 が 定 義 さ れ る:
(0.2.12)
こ の と き,例 項 は0に
え ば(0.2.10*)の
右 辺 に お い て 形 式 的 にt→
∞
と す る と,第1
近 づ き,
(0.2.13)
で 定義 され る函 数 υ が Ω\K0に (0.2.14)
おい て
∂Ω の上 で
を 満 た す こ と が 証 明 され る.基 あ る か ら,(0.2.12)で
の上 で 本 解U(t,x,y)の
定 義 さ れ るN(x,y)を
拡 散 現 象 的 意 味 は前 と同 じで 用 い て(0.2.13)で
与 え られ る 函
数 υ(y)が 上 に述 べ た 方 程 式 と境 界 条 件 を 満 た す こ とは,境 部 分 か ら単 位 時 間 に φ(x)dS(x)だ
界 ∂Ω 上 のdS(x)
け の質 量 が 流 入 し,そ れ が境 界 ∂K0か ら吸
収 され る こ とに よ って 平 衡 状 態 を 保 って お り,そ の と き の拡 散 物 質 の分 布 密 度 が υ(y)で あ る と考 え られ る. 上 の(0.2.13),(0.2.14)が
そ れ ぞ れ 前 §の(0.1.8),(0.1.6′)に
§ で 述 べ た 場 合 に は,A=A*=△ =N(y,x)を β≡0で
も つ た め,(0 あ る か ら(0.2.14)の
Martin境
界,倉
に つ い て.こ
の こ とは,普
で あ る こ と に よ り核 函 数 が 対 称 性:N(x,y) .2.13)を(0.1.8)の
形 に 書 く こ と が で き る し,ま
中 の 境 界 条 件 が(0.1.6′)の
用 素Aで
も,A=A*で
般 に
常 に 素 朴 な 説 明 で は あ る が,こ
合 を 表 わ して い る.G(x,y),N(x,y)に
つ い て も平 衡 状 態 に 関 し て同 様 に解 釈
る 重 み で 平 均 し た 式(0.2.9)で
分 に 到 達 す る密 度 与 え ら れ るu(x)
題:
Ω に お い てAu=0,∂Ω の 解 で あ る か ら,拡 接 結 び つ く.だ Martin境
こ に 述 べ て お こ う.
らyへ 拡 散 物 質 が移 動 す る 割
ら湧 き出 した 単 位 質 量 が 境 界 上 のdS(y)部
を,φ(y)dS(y)な がDirichlet問
あ る か ら)特 別 に 考 慮 す
の場 合 に は 考 慮 しな げ れ ば な ら な
前 に も述べ た よ うに,基 本解U(t,x,y)はxか
され る.点xか
関 して 考 え る こ と
通 の ラ プ ラ シ ア ン △ を 考 え る 場 合 に は(あ る い は,変
る 必 要 の な い こ と で あ る が,一 の こ と に つ い て,非
た
よ う に 書 け る の で あ る.
持 境 界 を そ れ ぞ れ 偏 微 分 作 用 素A,A*に
数 係 数 のLaplace-Beltrami作
い.こ
対 応 す る.前
散 現 象 的 に は,方
か らDirichlet問
界 の 理 論 は,偏
次 にNeumann問
の 上 でu=φ, 程 式Au=0の
解 がDirichlet問
題 と直
題 の あ る意 味 で の 拡 張 と考 え られ る と こ ろ の
微 分 作 用 素Aに
つ い て 考 え る の で あ る.
題 の 場 合 を 考 察 す る.Aが
ラ プ ラシ ア ン△ の ときは,領
域 Ω の境 界 ∂Ω の 上 で の外 法 線 微 分 係 数 ∂υ/∂n=φ を 与 え る こ と は,境
界面
上 の単 位 面 積 あた りの拡 散 物 質 の流 入 量 を 与 え る こ とで あ る か ら,こ の 境 界 条 件 と △υ=0と (0.2.15)
を 満 た すυ を 核 函 数N(x,y)に
よ って 表 わ す 式 は
と書 く の が 自 然 で あ る;そ る こ とに よ る.△
れ はN(x,y)は
の 場 合 に はN(x,y)=N(y,x)で
と本 質 的 に は 同 じ で あ る が,一
で 定 義 さ れ る υ(y)はA*υ=0を
る 場 合 に は,偏
らyへ 移 動 す る 割 合 で あ
あ る か ら(0.2.15)は(0.1.8)
般 のAと
べ た 拡 散 現 象 的 意 味 が あ る の は(0.2.15)で
に対 す るMartin境
物 質 がxか
と を 考 え る と き は,上 あ っ て(0.1.8)で
満 た す 函 数 で あ る.だ
界 と 同 じ 思 想 でNeumann問 微 分 作 用 素A*に
は な い.(0.2.15)
か ら,Dirichlet問
題
題 に 対 す る倉 持 境 界 を 考 え
つ い て 考 え る の で あ る.
我 々は 理 想 境 界 の 構 成 に お い て は,一 つ の 多 様 体Rを を 構 成 す る.そ のRが,よ
に述
り広 い 多様 体M(=Rmで
考 え て,そ の 上 で理 論 も よい)の 部 分 領 域 であ
って,そ の 境 界 の 一 部 また は全 体 が十 分 滑 らか で あ って も,最 初 は 境 界 の こ と を 考 え な い でRの
理 想境 界 を構 成 す る.そ の あ とで,上 述 の よ うにRがMの
中 で 滑 らか な 境 界 を もて ば,そ れ が 理 想 境 界 の 中 へ 自然 な 形 に 埋 め 込 まれ る こ とが示 され る.
第1章 拡散方程 式 ・ 楕 円型 境界値 問題 に関す る準備
§1.1 予 備 概 念 と記 号
Rを
向 きづ け られ たC∞ 級 多 様 体 とし,そ の次 元 をm≧2と
の 局 所 座標 を(x1,…,xm)で
表 わ す.テ
す る.Rの
点x
ン ソル解 析 の 慣 例 に 従 っ て,上 下 の添
え 字 が 同 時 に 現 わ れ る式 に お い て は,そ
の添 え字 に つ い て加 え る こ とを 意味 す
る.集 合E⊂RのRに
核(=内
れE,E°,∂Eで
お け る閉 包,開
表 わ す.
本 書 に おい ては,集 合E⊂Rが とし,Eが 元C3級
点 全 体 の 集 合),境 界 を そ れ ぞ
有 界 であ る とは,Eが
正 則 な 集合 で あ る とは,∂Eが
有 限 個 の 互 い に 交 わ らな いm-1次
単 純 超 曲 面 か らな る こ と と す る.正
有界で ある 必 要はない.な
お,Kが
コン パ ク トで あ る こ と
則 な集 合Eも,その
境 界 ∂Eも,
正則 コ ンパ ク ト集合 な らば,そ の 境 界 ∂K
も正 則 コ ンパ ク ト集合 で あ る こ とは,定 義 か ら明 らか で あ る. Ω をRの
中 の正 則 な領 域(=連 結 開集 合)と す る.Ω
で 定 義 さ れ た 函 数f
の,∂Ω 上 の点zにお け る 微分 係数(局 所 座 標 に 関 す る)を 次 の よ うに 定 義 す る: zの 適 当 な座 標 近 傍U(z)を
とれ ば,任 意 のx∈U(z)∩
Ω に対して
f(x)=f(z)+αi(xi-zi)+o(│x-z│)
(│x-z│は
そ の局 所 座 標 に関 す るEuclid的
と定 め る.
距 離)が 成 立 す る とき
等 も 同様 の方 法 で定 義 され る.従 って,函 数fがΩ
Ck級(k=0,1,2,…)と
い う概 念 が 定 義 さ れ,そ
の上 で
れ らは 局 所 座標 に 無 関 係 な概 念
で あ る.
Ω でCk級
の実 数 値 函数 の全 体 をCk(Ω),ま
た そ の 中 で台 がΩに 含 まれ る コ
ンパ ク ト集 合 で あ る もの 全体 をCk0(Ω)と 書 くこ とは 慣 例 の とお りで あ るが,上 に述 べ た 意 味 でΩ でCk級
の 実 数 値 函 数 の全 体 をCk(Ω),そ
の 中 で 台 がΩ に含
まれ る コ ンパ ク ト集 合 で あ る も の全 体 をCk0(Ω)と 書 く.Ck0(Ω)に 属 す る函数 は ∂Ω 上 の値 を0と 定 義 し,Ck(Ω)に
属 す る函 数 を そ の Ω へ の制 限 と同一 視 す れ
ば,
で あ る が,Ω
Ck0(Ω)で
あ る.
Rに お い て次 の楕 円型 偏 微 分作 用素Aを
こ こ で‖aij(x)‖
はRに
お い てC2級
の2階
考え る:
反 変 テ ン ソ ル で,各
い て 狭 義 正 定 符 号 の対 称 行 列 で あ り,‖bi(x)‖ トル,ま
が コ ン パ ク トな ら ばGk(Ω)=
たc(x)はRに
お い てC1級
(1.1.1)
はRに
の 函 数 で,常
点x∈Rに
お い てC2級
お
の反 変 ベ ク
に
c(x)≦0
な る も の と す る.ま
た
(1.1.2) ‖aij(x)‖=‖aij(x)‖-1(逆
行 列),a(x)=det‖aij(x)‖
と す る. Rに
お い て,テ
こ とが で き る.今
ン ソ ル‖aij(x)‖
後,こ
ベ ク トル 場 の 発 散(div),内
に よ っ て 導 か れ るRiemann計
の計 量 に 関 す る体 積 要 素 積 等 を 考 え る .す
や,
な わ ち,ベ
Φ=(φ1,…,φm), Ψ=(ψ1,…,ψm)
量 を考 え る
ク トル 場
(共 変 成 分)
に対して
とす る.ス
カ ラ ー 場 φ の 勾 配(gradientと
〓 φ で 表 わ し,ま
たb=b(x)=‖bi(x)‖
と表 わ さ れ る.こ
れ に 対 し て,
も 呼 ば れ る ベ ク トル 場 で あ る)を とす る と,偏
微 分 作 用 素Aは
で 表 わ され るA*を,偏 Ω をRの
微 分 作 用 素Aの(形
中 の 正 則 な 領 域 とす る と き,Ω
計 量 か ら 導 か れ る 超 曲 面 要 素 をdS(z)で
式 的)共 役 偏 微 分 作 用 素 とい う. の 境 界 ∂Ω の 上 で 前 述 のRiemann
表 わ す.ま
た,点z∈
∂Ω に お け る 単 位
外 法 線(Ω か ら 見 て 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トル)をnΩ=nΩ(z)と (b(z)・nΩ(z))と す る.点z∈ さ れ,Ω
書 き,βΩ(z)=
∂Ω の 近 傍 に お い て ∂Ω が 方 程 式 ψ(x)=0で
の 内 部 で ψ(x)>0な
表わ
ら ば, 従 って
同様 に,ス
カ ラー場uの
α(x)を ∂Ω 上 でC2級
外 法 線 微 分 係 数 は 次 の式 で与 え られ る:
の函 数 で あ っ て0≦ α(x)≦1な る値 を とり,超 曲面 ∂Ω
上 で の2階 の各 偏 導 函 数 がHolder連 を 与 え,Ω
で定 義 され た 函数u,υ
続 な もの とす る.∂ Ω 上 で 連続 な 函 数 φ に対 し て,∂ Ω 上 で の境 界 条 件
(Bφ)
お よび (B*φ)
を 考 え る.こ
れ ら の 境 界 条 件 で φ≡0の
す.(B*0)を(B0)に
場 合 を,そ
共 役 な 境 界 条 件 とい うが,
れ ぞ れ(B0),(B*0)で
表わ
の 場 合 に も同 様 に 呼 ぶ こ
と も あ る.
な お,ま
ぎれ る恐 れ が な け れ ば,nΩ,βΩ の添 え字 Ω を 省略 す る こ とが あ る.
Ω 上 の 函 数uが 連 続,
境 界 条 件(Bφ)を
な る 点xの
満 た す とは,α(x)=1な
る点xに
近 傍 と Ω と の 交 わ り にお い て はC1級
おいては
で あ っ て,(Bφ)
が 成 立 す る こ と で あ る.
Ω でCk級
の ベ ク トル 場 の全 体 をCk(Ω)と
書 く(k≧0).Ck0(Ω)等
前 に述 べ た 函 数 の集 合 の場 合 と同 様 に 規 約 す る.
の記 号 も,
υ が 有 界 か つ
Ω 上 で 可 積 分(前 述 の体 積 要 素dxに
で,divφ
と(〓υ・Φ)が
関 し て)な らば
(1.1.3)
な る こ と は,Greenの
公 式 と し て 知 ら れ て い る.こ
こ でυ≡1と
した 式
(1.1.3′)
はGaussの と呼 び,次 が有 界 か つ
定 理 ま た は 発 散 の 定 理 と 呼 ば れ る が,(1.1.3)を の(1.1.4),(1.1.5)の
み をGreenの
∈C20(Ω)∩C10(Ω)で
定理
公 式 と呼 ぶ 人 も あ る.u,υ
あ っ て,div(〓u),(〓u・
(〓u・bυ)が Ω 上 で 可 積 分 な ら ば,(1.1.3)に
もGaussの
〓 υ),div(〓
υ-bυ),
よ り
(1.1.4)
および
が 成 立 す るか ら,こ の二 つ の 式 を 辺 々引 き算 して か ら右 辺 の(〓u・bυ)の 積 分 を 左 辺 に 移 す と,偏 微 分 作 用 素AとA*の
定 義 に よ り次 の式 を得 る:
(1.1.5)
(AとA*の
中 のcを
公 式 と 呼 ば れ る.更
含 む 項 は 相 殺 す る).(1.1.4)お にu,υ
よ び(1.1.5)もGreenの
が そ れ ぞ れ 境 界 条 件(B0),(B*0)を
満 た す な ら ば,
(1.1.5)は
(1.1.6)
と な る.従
っ て,特
にu,υ
∈C20(Ω)な ら ば(1.1.6)が
成 立 す る.
楕 円 型 境 界 値 問 題 fを 領 域 Ω 上 で与 え られ た 連 続 函数 とす る.(Holder連 続 性,有 界 性 あ る い は 可積 分 性 等 を仮 定 す る こ とが多 い.)こ の と き
Au=-f,
A*υ=-f
の 形 の 方 程 式 を 楕 円 型(偏 微 分)方 程 式 と 呼 び, 方 程 式Au=-fと を 満 た すu=u(x)を
境 界 条 件(Bφ)
求 め る問 題,お
よび
方 程 式A*υ=-fと を 満 た す υ=υ(x)を 境 界 条 件(Bφ)に
境 界 条 件(B*φ)
求 め る 問 題 を,楕 お い て α(x)≡1と
し た も の,す
(1.1.7) u│∂ をDirichlet境
円 型 境 界 値 問 題 と い う. なわち
Ω=φ 界 条 件 とい い,α(x)≡0と
(1.1.8)
し た も の,す
なわ ち
(∂u/∂n)│∂Ω=φ
をNeumann境
界 条 件 と い う.ま
(1.1.9)
た領域 Ωで Au=0
を 満 た す 函 数uを,本
書 で はA-調
合 は 普 通 の 調 和 函 数 で あ る.境 る 問 題 をDirichlet(境
界 条 件(1.1.7)を
界 値)問 題 と い い,(1.1.8)を
め る 問 題 をNeumann(境 斉 次 方 程 式(1.1.9)を
和 函 数 と 呼 ぶ;Aが
界 値)問
題 と い う.こ
満 た すA-調 満 た すA-調
和 函 数uを 和 函 数uを
求め 求
れ ら の境 界 値 問 題 の 名 称 は,
非斉次方程式
(1.1.10)
Au=-f
で置 き替 え た場 合 に も用 い る.ま
た,偏
ぞれA*,(B*φ)で
△(ラ プ ラ シ ア ン)の 場
微 分 作 用 素A,境
界 条 件(Bφ)を そ れ
置 き替 え た もの も,同 様 の 名 称 で 呼 ぶ こ とが あ る.
拡 散方 程 式 と そ の基 本 解 の 定義 まず 拡 散 方 程 式 を定 式 化 し よ う. 時 間tの 区 間(0,∞)とRの
中 の 正 則 な領 域 Ω との直 積(0,∞)×
る放 物型 偏 微 分 方程 式 (Lf)
に,t↓0の
とき の 初 期 条 件
(Ω上 で有 界 収 束)
(I)
お よ び(0,∞)×
∂Ω に お け る 境 界 条 件
Ω におけ
(Bφ)
を 合 わ せ て 考 え る;こ
こ でu0,f,φ
は そ れ ぞ れ Ω,(0,∞)×
上 で 与 え ら れ た 有 界 連 続 な 函 数 で あ る.函 u(t,x)がtに
つ い てC1級,xに
任 意 のt>0に対
し て,xに
数u(t,x)が(Lf)を
つ い てC2級 つ い てu(t,x)が
意 のt>0に
あ る.(Lf),(I),(Bφ)を 題(Lf-I-Bφ)と
∂Ω の
満 た す と は,
で あ っ て 方 程 式(Lf)が
成 立 し,
Ω 上 で 有 界 で あ り,Au(t,x)が
Ω に 含 まれ る 任 意 の 有 界 領 域 の 上 で 有 界 な こ と で あ る.ま を 満 た す と は,任
Ω,(0,∞)×
た,u(t,x)が(Bφ)
対 し て 前 に 述 べ た 意 味 で(Bφ)が 成 立 す る こ と で
満 た すu(t,x)を
求 め る 問 題 を 放 物 型 初 期 値-境 界 値 問
呼 ぶ.
こ の(Lf-I-Bφ)に
共 役 な 問 題 と し て,次
の も の を 扱 う.(0,∞)×
Ω に おけ る
放物型偏微分方程 式 (L*f)
に,t↓0の
とき の初 期 条 件
(I*)
お よ び(0,∞)×
∂Ω に お け る 境 界 条 件
(B*φ)
を 合 わ せ て 考え る;こ
こ で υ0,f,φ は そ れ ぞ れ Ω,(t,∞)× Ω,(t,∞)× ∂Ω の 上
で与え られ た連 続 函 数 で, が 有 限 な も の とす る.函 に つ い てC1級,yに に 対 し てyに
数 υ(t,y)が(L*f)を
つ い てC2級
つ い てυ(t,y)が
で あ っ て 方 程 式(L*f)が
(Lf),(L*f)に
成 立 し,任
Ω 上 で 可 積 分,A*υ(t,y)が
の 有 界 領 域 の 上 で 可 積 分 な こ と で あ る.ま 任 意 のt>0に
満 た す と は,υ(t,y)がt
た,υ(t,y)が(B*φ)を
意 のt>0
Ω に 含 ま れ る任 意 満 た す とは,
対 し て 前 に 述 べ た 意 味 で(B*φ)が 成 立 す る こ と で あ る. お い てf≡0と
(Bφ),(B*φ)に お い て φ≡0と
し た 方 程 式 を,そ し た も の は,そ
れ ぞ れ(L0),(L*0)で
表 わ す.
れ ぞ れ 前 に 述 べ た(B0),(B*0)で
あ る.
方程 式(Lf),(L*f)を 述 べ たDirichlet境
一 般 に 拡 散 方 程 式(ま た は 熱 伝 導 方 程 式)と い う.前 に 界 条 件,Neumann境
界 条件 の 名称 は,放 物 型 初 期 値-境
界 値 問 題 の場 合 に も用 い る. こ こで 拡 散 方 程 式 の 基 本 解 の 定 義 を 与え る. 定 義 ⅰ) (0,∞)× Ω × Ω で 定 義 さ れ た 連 続 函 数U(t,x,y)が 問 題(L0-I-B0)の
基 本 解 で あ る と は,Ω
初 期 値-境 界 値
で 有 界 連 続 な 任 意 の 函 数u0(x)に
対 し
て
(1.1.11)
で 定 義 さ れ る 函 数u(t,x)が(L0-I-B0)の
解 と な る こ と で あ る.
ⅱ) (0,∞)× Ω × Ω で 定 義 さ れ た 連 続 函 数U*(t,x,y)が (L*0-I*-B*0)の
基 本 解 で あ る とは,Ω
初 期 値-境 界 値 問 題
で 連 続 か つ 可 積 分 な 任 意 の 函 数υ0(x)に
対 して
(1.1.11*)
の 解 とな る こ と で あ る.
で 定 義 さ れ る 函 数 υ(t,y)が 実 際 は,(L0-I-B0)の U(t,x,y)の
基 本 解 で あ っ て 同 時 に
存 在 が 示 さ れ,そ
れ を 使 っ て(Lf-I-Bφ)の
の基 本解 で あ る函 数 解,
の解
を与 え る公 式 が示 され る の で,そ れ ら の事 実 を述 べ た 後 は,そ の 共通 の基 本解 U(t,x,y)を
単 に(拡 散 方 程 式 の)基 本 解 と呼 ぶ こ とにす る.
以 下 こ の章 に お い て は,本 叢 書 中 の拙 著 「拡 散 方 程 式 」[1]に
述 べ られ た事
実(定 理 な ど)の うち,本 書 にお い て直 接 用 い られ る事 項 を述 べ,補 足 的 説 明 を 加 え る.上 掲 書 を今 後[拡]と
書 い て 引 用 す る.以 下 に 述 べ る 定 理 の証 明 は 大
部 分 省 略 す るか ら,必 要 あ らば[拡]を 偏微 分 作 用 素A,A*がtを 含 ま ない 形 で述 べ る.
参 照 され た い.な
お,[拡]に
おいては
含 む 形 で述 べ てあ る定 理 も,こ こで は初 め か らtを
§1.2 拡 散 方 程 式 の基 本 解 の性 質,解
ま ず Ω を 有 界 な 正則領 域 とす る.こ
の存 在 と一 意 性
の と き 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-B0)の
の基本解 で も あ る函数
基 本解 であ っ て 同 時 に 初 期値-境 界 値 問 題 U(t,x,y)を
構 成 す る こ と が で き る([拡]第2章
よ う に,(L0-I-B0)の
U*(t,x,y)と
§7,§8).一
方,次
に示す
の任意の基本解
任 意 の 基 本 解U(t,x,y)と
が一 致 す るの で,両 者 の基 本解 が一 意 的 で か つ 同 じ函 数 であ る こ
とが 結 論 され る. 二 つ の 基 本 解 が 一 致 す る こ と の 証 明.Ω
で 有 界 連 続 な 任 意 の 函 数u0(x)と,
Ω で 連 続 か つ 可 積 分 な 任 意 の 函 数 υ0(x)を
と り,前
定 義 に あ る よ う に,函 任 意 のt>0を
数u(t,x),υ(t,y)を(1.1.11),(1.1.11*)で
と り0<τ1<τ2
方 程 式(L0),(L*0)を
す る と,函
数u(t,x),υ(t,y)が
定 義 す る. それ ぞれ
満 たす こ とに よ り
こ の 積 分 は,u(τ,z),υ(τ,z)が Greenの
§の最 後 に述 べ た基 本解 の
公 式(1.1.6)に
そ れ ぞ れ 境 界 条 件(B0),(B*0)を
よ っ て0に
な る.だ
満たす ことと
から
(1.2.1)
はt>τ>0な
る か ぎ り τに 無 関 係 で あ る.特
え る と,u(τ,x),υ(τ,x)が (1.2.2)
そ れ ぞ れ(I),(I*)を
に τ ↑t,τ ↓0と し た 極 限 値 を 考 満 たす か ら
こ こ で 函 数u0,υ0とt>0の
任 意 な こ と に よ り,(0,∞)×Ω
っ て 連 続 性 に よ り(0,∞)×Ω (1.2.3)
× Ω に お い て,従
×Ω に お い て U(t,x,y)=U*(t,x,y)
が 成 り立 つ.従
っ て ま た,(1.2.2)の
す る こ と に よ り,任
意 のt,s>0と
第1の
等 式 でt,τ
任 意 のx,y∈Ω
を そ れ ぞ れt+s,sと
に対 し て
(1.2.4) が 得 られ る.こ れ を基 本 解 の 半 群 性 とい う. 基 本 解 の 性 質 を い くつ か 述べ て お く. U(t,x,y)は(t,x)の
(1.2.5)[
条 件(B0)を
函 数 と し て 方 程 式(L0)と
満 た し,(t,y)の
と境 界 条 件(B*0)を
函 数 と し て 方 程 式(L*0)
満 た す.([拡]§7)
(1.2.6)
([拡]定
ま た,Ω1∩Ω2=φ
境 界
な る 任 意 の 領 域Ω1,Ω2を
理8.3)
と る と き,
に つ い て一 様 に
(1.2.7) ([拡]定
理8.6)
について一様 に
(1.2.8) (同 上 の系) 偏 微 分 作 用 素Aの
係 数bi(x)が≡0(従
(1.2.9) (1.2.6)の
っ て 形 式 的 にA=A*)な
U(t,x,y)=U(t,y,x). 第1の
のx,y∈Ω,z∈
不 等 式 と境 界 条 件(B0),(B*0)に
らば
([拡]定 よ り,任
理8.5)
意 のt>0と
任 意
∂Ω に 対 し て
(1.2.10)
とな る が,更
に 強 く次 の こ とが い え る.([拡]定
定 理1.2.1
ⅰ ) (1.2.6)の
Sν={z∈
第1の
∂Ω│α(z)=ν}(ν=0,1)と
理10.1) お く と,
不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,x∈S1ま
た はy∈S1の
と き,か
つ そ の と き に か ぎ る;
ⅱ) (1.2.10)の の と き,か
第1の
不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,z∈S0ま
た はy∈S1
つ そ の と き に か ぎ る;
ⅲ) (1.2.10)の の と き,か
第2の
不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,x∈S1ま
た はz∈S0
つ そ の と き に か ぎ る.―
次 の二 つ の 定 理 は,拡 散 方 程 式 の係 数c(x),境
界 条 件 の 係 数 α(x)の 大 小
関 係や,領 域 Ω の大 小 関 係 が,基 本 解 の大 小 関 係 に反 映 す る こ とを 示 す. 初 め に 一 つ の 有 界 領 域 Ω の 上 で 考 え る.偏 件(前
§参 照)を
満 た す 二 つ の 函 数c1(x),c2(x)を
のc(x)をcν(x)に
し た も の をAν
Aνuを(Lν,0)と
微 分 作 用 素Aの
と し,こ
書 く こ とに す る;た
件(B0)に
お け る 係 数 α(x)の
ν=1,2に
対 し て(B0)の
考 え,ν=1,2に
だ しaij,biは
共 通 とす る.ま
た,境
αν(x)と し た も の を(Bν,0)と 書 く.初 す る と,次
界条 考 え, 期 値-
の 定 理 が 成 り立
理11.1)
定 理1.2.2 のt>0,任
対 し て,A
条 件 を 満 た す 二 つ の 函 数 α1(x),α2(x)を
α(x)を
条
れ に 対 応 す る 拡 散 方 程 式 ∂u/∂t=
境 界 値 問 題(Lν,0-I-Bν,0)の 基 本 解 をUν(t,x,y)と つ.([拡]定
係 数c(x)の
Ω 上 でc1(x)≦c2(x),か
意 のx,y∈Ω
つ ∂Ω 上 で α1(x)≧ α2(x)な
ら ば,任
意
に対 して
(1.2.11)
0≦U1(t,x,y)≦U2(t,x,y).―
次 に,Ω1⊂Ω2な
る 二つ の 有 界 領 域Ω1,Ω2を
部 分 は あ っ て も な くて も よい.ま
た,ν=1,2に
考 え る;∂Ω1と 対 し て,境
∂Ω2との 共 通
界 条 件(B0)に
る 係 数 α(x)の 条 件 を 満 た す αν(x)を ∂Ων の 上 で 考 え,(B0)の
おけ
係 数 α(x)を
αν(x)と し た も の を(Bν,0)で 表 わ す.Ων に お け る 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-Bν,0) の 基 本 解 をUν(t,x,y)と 定 理1.2.3 な ら ば,任 (1.2.12)
す る と,次
∂Ω1∩ ∂Ω2の 上 で α1(x)≧ α2(x)か
意 のt>0,任
意 のx,y∈Ω1に
つ ∂Ω1\∂Ω2の 上 で α1(x)≡1
対 して
0≦U1(t,x,y)≦U2(t,x,y).―([拡]定
以 下 の 定 理1.2.4∼5*は,基 (Lf-I-Bφ),
の 定 理 が 成 り立 つ.
本 解U(t,x,y)を
の解 を 表 わす 式 を与え,そ
理11.3) 用 い て 初 期 値-境 界 値 問 題
れ ら の解 の一 意 性 を 示 す も
の で あ る;以 ([拡]定
下 に お い て もS1={z∈
∂Ω│α(z)=1}(定
理9.1,9.2,9.1*,9.2*参
定 理1.2.4
u0,f,φ
同 様)と
す る.
照)
は それ ぞれ
有 界 連 続 な 函 数 と す る.(0,∞)×Ω (Lf-I-Bφ)の
理1.2.1と
Ω,(0,∞)×
Ω,(0,∞)×
の 上 の 函 数u(t,x)が
解 な ら ば,u(t,x)は(0,∞)×(Ω
\S1)に
∂Ω で 与 え ら れ た 初 期 値-境 界 値 問 題
お い て 次 の 式 で与 え られ
る: (1.2.13)
従 っ て{Lf-I-Bφ)の
解 はu0,f,φ
定 理1.2.5
Ω で 有 界 連 続 函 数,fを(0,∞)×
u0を
連 続 な 函 数 と し,ま はHolder連
た φ を(0,∞)×
続 な 函 数 と す る.こ
は 初 期 値-境 界 値 問 題(Lf-I-Bφ)の つHolder連
に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.
続 な ら ば,方
∂Ω で 有 界 で あ っ て(0,∞)×(∂ の と き,(1.2.13)で 解 で あ る.特
程 式(Lf)は(0,∞)×Ω
[0,∞)× ∂Ω で 連 続 で あ り,u0がΩ
Ω で 有 界 で か つHolder
定 義 さ れ る 函 数u(t,x)
に,fが(0,∞)×Ω
で 連 続 で あ っ て,S1の
期 条 件(I)は
Ω 上 の 一 様 収 束 で 成 立 す る.
注 意1
定 理1.2.4で
解uが(1.2.13)で 全 体 で は な い.実
と お く と右 辺 の 各 項 は0に は 成 立 し な い.し
境 界 値 問 題 の解uは(0,∞)×Ω の 値 が 定 ま る こ と に な り,解 注 意2 上 の 注 意1に と,"(0,∞)×(Ω
際 に,z∈S1の
\S1)に
お い てuの
で 連 続 だ か ら,結
か し 今 後 も,煩
よ うに 述 べ,特
\S1)の
と き(1.2.13)でx=z
値 が 定 ま れ ば,初
局(0,∞)×
期 値-
Ω に お い て 解u
の 一 意 性 を 述 べ た こ と に な る の で あ る.
お い て(1.2.13)で
雑 を 避 け る た め,上
理1.2.5は
厳 密 に述 べ る
定 義 さ れ る 函 数u(t,x)が(0,∞)
×Ω ま で 連 続 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ て(Lf-I-Bφ)の る.し
が
の と き は こ の 点 で は(1.2.13)
述 べ た と 同 じ理 由 に よ り,定
\S1)に
た,φ
上 でu0(x)=φ(0,x)
表 わ さ れ る の は(0,∞)×(Ω
な る か ら,
か し(0,∞)×(Ω
で有 界 か
で 成 立 す る.ま
な ら ば,初
上 で あ っ て(0,∞)×Ω
Ω \S1)で
の"…
解 と な る"と …"の
に 必 要 が あ れ ば 注 意 す る こ とに す る.
い うべ き で あ
か わ り に 定 理1.2.5の
以 上 二 つ の'注 意'に 述 べ た事 項 は,次 の二 つ の定 理 に も適 用 され る. 定 理1.2.4*
υ0,f,φ は そ れ ぞ れ
Ω,(0,∞)× Ω,(0,∞)×
続 函 数 で,υ0は Ω 上 で可 積 分 で あ り,任 意 のt>0に
∂Ω で 与 え ら れ た 連
対 し て
が 有 限 で あ る とす る.(0,∞)×Ω
が初期値-境界値問題
上 の 函 数 υ(t,y)
の 解 な ら ば,υ(t,y)は(0,∞)×(Ω
\S1)に
お
い て 次 の式 で与 え られ る:
(1.2.13*)
の解 は
従 って 定 理1.2.5* 連 続,φ
υ0,f,φ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.
υ0をΩ で 連 続 か つ 可 積 分 な 函 数 と し,fは(0,∞)×
は(0,∞)×
∂Ω で 連 続 で あ っ て(0,∞)×(∂Ω
\S1)で
な 函 数 と し,任 意 のt>0に対
し て
が 有 限 で あ る も の と す る.こ
の と き(1.2.12*)で
期値-境界値問題
の解 で あ る;初 期 条 件 は(I*)と
∈Ω で
続
初
同 時 に,各 点x
も成 立 す る.
≡0,u(t,x)≡1と
考 え れ ば,直
偏 微 分 作 用 素A,境 (1.2.14)[
はHolder連
定 義 さ れ る 函 数 υ(t,y)は
次 の 事 実 も 基 本 解 の 主 要 な 性 質 の 一 つ で あ る が,定 f≡0,φ
Ω でHolder
理1.2.4に
お い てu0≡1,
ち に 得 ら れ る:
界 条 件(B0)に
お い てc(x)≡0,α(x)≡0な
ら
ば
以 上 で,有 界 な 正 則 領 域 Ω に お け る 拡 散 方 程 式 の基 本解 の お も な性 質 と, 解 の 存 在 と一 意 性 に 関 す る事 項 を 述べ た.次にΩ
が有 界 で な い正 則 領 域 の場 合
につ い て 述 べ る. まず 一 つ の基 本 解 を構 成 す る筋 道 を 略 述 す る.集 おけ る相 対 位 相 に関 す るEの
内部 をIntΩEと
正 則 領 域 で あ る もの の列{Dn}で,次
合E⊂Ω
に対 し て,Ω
に
書 くこ とに し,Ω の部 分 領 域 で
の条 件 を 満 た す もの を一 つ 固 定 す る:
(1.2.15)
各nに
対 し て,Ω
(1.2.16)
上 で0≦
x∈Dn-1な
ωn(x)≦1な
る 函 数 ωn∈C30(Ω)で
ら ば ωn(x)=1,x∈
Ω\Dnな
と な る も の を 定 め て お き,∂ Ω 上 の 境 界 条 件(B0),(B*0)に ∂Dn上
の 函数
αn(x)を
ら ば ωn(x)=0 お け る 係 数 α(x)か ら,
次 の よ う に 定 義 す る:
のとき (1.2.17)
のとき
こ の 函 数 αnを 係 数 と し て,(B0),(B*0)と 境 界 条 件 を そ れ ぞ れ(Bn,0),(B*n,0)と 合 に 述 べ た よ うに,領 Un(t,x,y)(そ
域Dnで
同 様 な 式 に よ っ て ∂Dnの
書 く こ と に す る と,前
上 で与 えた
に Ω が 有 界 領 域 の場
考 え た 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-Bn,0)の
基本解
の基 本 解 で もあ る)が 唯 一
れ は 初 期 値-境 界 値 問 題
つ 存 在 す る.今 後 次 の よ うに 定 義 し てお く: (1.2.18)
xま
こ の と き 定 理1.2.3に (1.2.19)
で あ る が,一
た は
な ら ばUn(t,x,y)=0.
よっ て
{Un(t,x,y)}n=1,2,…
方,(0,∞)×
(1.2.20)
はnに
関 し て単 調 増 加
Ω ×Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で {Un(t,x,y)}n=1,2,…
で あ る こ とが 示 さ れ([拡]補
は 一様 有 界
助 定 理12.2),従
って
(1.2.21)
が 存 在 す る.そ
し て,各Un(t,x,y)が
で あ る こ と と(1.2.19),(1.2.21)を た(L0-I-B0)の
上 に 述 べ た よ う にDnで 用 い て,U(t,x,y)が
一 つ の 基 本 解 で あ り,か
こ と が 示 され る.([拡]定
理12.2参
つ
照;同
後 述 の 注 意3を
非 有 界領 域 Ω で 考 え の一 つ の 基 本 解 で あ る
書 に お け るU(t,x,y)の
見 か け 上 も う少 し 一 般 的 な 記 述 に な っ て い る が,本
考 え た基 本解
構成法は
質 的 に は 同 じ で あ る.な お,
見 よ.)
非 有界 領 域 で は基 本解 の 一 意性 は保 証 さ れ な い.(反
例 は[拡]§17参
そ こで 次 の最 小基 本 解 の概 念 を導 入 す る. 定 義 領 域Ω に お け る 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-B0)の
基 本 解U(t,x,y)が
照.)
最 小 基 本 解 で あ る と は,(L0-I-B0)の t>0,す
べ て のx,y∈Ω
任 意 の 基 本 解U(t,x,y)が,す
に 対 し てU(t,x,y)≧U(t,x,y)を
べ て の
満 た す こ と で あ る.
の最 小 基 本 解 も同様 に定 義 す る. 定 理1.2.6
前 ペ ー ジ で 構 成 し た 基 本 解U(t,x,y)は,(L0-I-B0)の
つ の 最 小基 本解 で あ り,同 時 に
た だ一
のた だ 一 つ の 最 小 基 本 解 で も あ る.
前 ペ ー ジ のU(t,x,y)が(L0-I-B0)の
の最
小基 本 解 で もあ る こ とは,[拡]定
最 小 基 本 解 で あ り,
理13.1に
よ ってわ か る.ま た,そ れ らの 最
小基 本 解 の 一 意 性 は 明 らか で あ る. 注 意3
上 に 述 べ た'一
意 性'に
よ っ て,[拡]の
U(t,x,y)が
前 ペ ー ジ で 構 成 し たU(t,x,y)と
U(t,x,y)が
領 域Dnや
最 小 基 本 解 は,一 が,実
た 前 ペ ー ジ の
の お の お の に対 して 定 義 した 後,前
ペ ー ジ で 構 成 し たU(t,x,y)を
単に
.
最 小 基 本 解U(t,x,y)が (1.2.19)の
同 じ で あ り,ま
応 は(L0-I-B0),
呼ぶ
構 成 し た 基 本 解
函 数 ωnの と り方 に 無 関 係 な こ とが わ か る.
は 両 者 に 共 通 な の だ か ら,今
'最小 基 本 解'と
§12で
有 界 領 域 に お け る 基 本 解Un(t,x,y)の
極 限 と し て(1.2.21)で
定 義 さ れ る か ら,有
の 性 質 で 最 小 基 本 解 に 遺 伝 す る も の が 多 い.例
単 調増 加 列
界 領 域に お け る基 本 解
え ば(1.2.6)か
ら
(1.2.22)
は直 ち に 得 られ,ま
た最 小基 本 解 の半 群 性
(1.2.23)
も(1.2.4)と
積 分 論 の 単 調 収 束 定 理 に よ っ て 得 ら れ る.
この §の最 後 に,Rが 分(境
あ る多 様 体Mの
部 分 領 域 で あ っ て,そ
の境 界 の一 部
界全 体 で も よい)が 適 当に 滑 らか な場 合 に は,そ の滑 らか な 部分 で はR
に お け る最 小基 本解 がDirichlet界 は,集 合E⊂Mの
閉包E,境
条 件 を 満 たす こ とを示 す.以
界 ∂E等 の用 語 ・記 号 は,Mに
る もの とす る.(次 の §では §1.1の 冒頭 の約 束 に 戻 る.)
下 この §で
お け る位 相 で考 え
定 理1.2.7
Rが
向 き づ け ら れ たm次
境 界 ∂Rの 一 部 分Sがm-1次 素Aの
元C3級
元C∞
級 多 様 体Mの
部 分 領 域 で,そ の
単 純 超 曲 面 か ら成 る と し,偏
微分作用
係aij(x),bi(x)はR∪SでC2級,c(x)はR∪SでHolder連
す る.こ
の と き,∂Rに
続 と
お け る 相 対 位 相 で 考 え たSの
内 部 をSと
書 く と,Rに
お い て 前 述 の よ う に 構 成 し た 最 小 基 本 解U(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)×(R∪S) の 上 ま で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て,Sの xま
た はyがS上
上 でDirichlet条
の 点 な ら ばU(t,x,y)=0と
件 を 満 た す;す
な わ ち,
な る.
証 明 前 に述 べ た非 有 界 領 域 に お け る基 本 解 の構 成 に お い て Ω=Rの は,(1.2.15)を
場合
満 た す 正 則 有 界 領 域 の列{Dn}は,
(1.2.24)
を 満 た す も の と な る.(こ RはRで
は な い.)ま
い か ら,(1.2.17)で
た,前
こ で は 閉 包 の 記 号-の
意 味 が 前 と異 る か ら,最
の ∂Ω に 相 当 す る'境
界'はRの
後の
中 に は存 在 し な
定 義 さ れ る αn(x)は
(1.2.25)
∂Dnの
上 で
と な る.有
界 領 域Dnに
く と,Rに
お け る 最 小 基 本 解U(t,x,y)は
αn(x)=1
対 し て 前 に 述 べ た 一 意 的 な 基 本 解 をUDn(t,x,y)と
書
(1.2.26)
で与 え られ る.次 にRをMの 解U(t,x,y)を
部分 領 域 と考 え て,R∪Sに
以 下 の よ うに 構成 す る.{Ωn}をMの
お け る一 つ の基 本
中 の正 則 有 界 領 域 の列 で,
次 の条 件 を 満 た す も の とす る: (1.2.27)
各Ωnに
対 し て,∂Ωn上
でDirichlet境
意 的 な 基 本 解 をUΩn(t,x,y)と あ る か ら,基
界 条 件 を 与 え た 場 合 の,前
す る と,UΩn(t,x,y)はnに
に述べた一
関 して 単 調 増 加 で
本 解U(t,x,y)を
(1.2.28)
で 定 義 す る.各UΩn(t,x,y)は
∂Ωn上 でDirichlet境
界 条 件 を 満 た す か ら,
(1.2.27),(1.2.28)に
よ りU(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)×(R∪S)に
お い て連
続 で あ っ て, (1.2.29) を 満 た す.一 てDn⊂
Ωkな
xま
た はyが
方,各Dnは るkが
こ こ で,(1.2.18)と
∈Sな
ら ばU(t,x,y)=0
コ ン パ ク トで
あ り,こ
の と き 定 理1.2.3に
だ か ら,各nに よ り
同 じ 規 約 を 用 い る こ と に よ り,上
(t,x,y)∈(0,∞)×R×Rで
成 立 す る.だ
(0,∞)×R×Rの こ の こ と と(1.2.29)に 連 続 的 に 拡 張 さ れ て,xま
対 し
の不 等 式 はす べ て の点
か ら(1.2.26)に
よ り
上 で0≦U(t,x,y)≦U(t,x,y).
よ り,U(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)∪(R∪S)の た はyがS上
の 点 な ら ばU(t,x,y)=0と
上 まで な る.
}
§1.3 楕 円 型 境 界 値 問 題,Green函
数,Neumann函
数
この §で は楕 円 型境 界値 問題 に 関 す る 事項 を 述 べ る.こ
こで も Ωは正則領
域 で あ り,特 に こ とわ ら な けれ ば 有界 とはか ぎ ら な い もの とす る.fお を それ ぞれ 領域 Ω お よび そ の 境 界 ∂Ω の 上 の 函 数 と し,§1.1に 方 程 式Au=-fと
境 界条 件(Bφ)を 満 た す 解uを
方 程 式A*υ=-fと
述 べ た よ う に,楕
(Bφ)の 中 の 係 数
α(x)は,そ
求 め る問 題,
と呼 ぶ こ と に す る.
円 型 偏 微 分 作 用 素Aの
中 の 係 数c(x),境
界条件
れぞれ
Ω に お い てc(x)≦0,∂
と仮 定 して い るが,こ
述べた
境 界 条 件(B*φ)を満 たす 解 υを 求 め る問 題
を,そ れ ぞ れ 楕 円型 境 界値 問題(Af-Bφ), §1.1に
よび φ
Ω に お い て0≦
α(x)≦1
こ で は更 に次 の条 件(C1)を 仮 定 す る:
c(x)は Ω で恒 等 的 に0で は な い (C1)
α(x)は
∂Ω で 恒 等 的 に0で
特 に(Bφ)がDirichlet境 る.こ
はない
界 条 件 な ら ば,明
の 仮 定 が 成 り立 た な い の は,c(x)≡0か
の 場 合 で あ る.こ 定 理1.3.1
の少 な くと も一 方 が 成 立 す る. ら か に こ の 仮 定 が 成 り立 っ て い つ(Bφ)がNeumann境
界条件
の 場 合 に つ い て は あ と で 述 べ る.
条 件(C1)の
Ω ×Ω に お い て
も と で は,拡
散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か
ら,
な る か ぎ り有 限 値 を と る 函 数
(1.3.1)
が 定義 され て,次 の こ とが成 り立 つ: (1.3.2)
任 意 の コ ン パ ク ト集 合F⊂ 任 意 のy∈
(1.3.3)[
Ω を 固 定 す る と きG(x,y)はxの
に お い て楕 円型 方程 式AG=0と 任 意 のx∈
(1.3.3*)[
Ω に 対 し て
境 界条 件(B0)と を満 たす;
Ω を 固 定 す る と きG(x,y)はyの
にお い て楕 円型 方 程 式A*G=0と
函 数 と し て Ω\{y}
函 数 と し て Ω \{x}
境 界 条 件(B*0)と を 満 た す.
([拡]定
理18.1参
照)
系 前 定 理 のG(x,y)に
対 し て,x,y∈
Ω,z∈
∂Ω な ら ば
(1.3.4)
(1.3.4*)
([拡]定
理18.1の
を 考 え て,微
系;こ
れ ら の 式 は 形 式 的 に は,(1.3.1)の
分 と積 分 の 順 序 を 交 換 し た も の で あ る.)
上 の 定 理 の 函 数G(x,y)を
用 い て 楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ),(A*f-B*φ)の
を 表 わ す 公 式 が 与え ら れ る(後 型 境 界 値 問 題 のGreen函 定 理1.3.2
f(x)は
述 の 定 理1.3.2,1.3.3)の
る 点xで
で,G(x,y)を
解 楕 円
数 とい う. Ω で 有 界 か つHolder連
有 界 部 分 集 合 に 含 まれ る とす る.ま <1な
両 辺 の法 線 微 分
はHolder連
た φ(x)は
続 な 函 数 と し,そ
の台は Ω の
∂Ω の 上 で 連 続 で あ っ て,α(x)
続 な 函 数 とす る.こ
の と き,
ⅰ) ∂Ω 上 の あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で は α(x)>0か
つ│φ(x)│/α(x)が
有界
な ら ば,
(1.3.5)
で 定 義 さ れ る 函数uは,楕
円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)の
ⅱ) ∂9上 の あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で α(x}<1か 可 積 分(dS(x)に
関 し て)な
解 で あ る. つ│φ(x)│/{1一
α(x)}が
ら ば,
(1.3.5*)
で定 義 され る函 数 υは,楕 ([拡]定 理19.2,19.2*参 に な って い るが,こ
円型 境 界 値 問題(A*f-B*φ)の 解 で あ る. 照;同 書 では 上 に 述 べ た よ りもや や 一 般 的 な 仮 定
こで は本 書 で応 用 す る のに 十 分 な 形 として,上 の よ うに 述
べ て お く.)
注 意1 上 の 定 理 で ∂Ω が 有 界 な らば(従 って 特 にΩ そ の ものが 有 界 な らば), ⅰ),ⅱ)の そ れ ぞ れ の 冒頭 の α,φに 関 す る仮 定 は述 べ な くて よい.∂ Ωが 有界 で な くて も,Dirichlet境 意 味 し,Neumann境
界 条 件 の場 合 に はⅰ)に お け る仮 定 は φ(x)の 有 界 性 を 界 条件 の場 合 に はⅱ)に おけ る仮 定 は φ(x)の 可 積 分 性
を 意 味 す る. 注 意2 前 §の 注 意2は,上 ― 領 域Ω が 有 界 な らば,上 定 理1.3.3
の 定 理1.3.2の
記 述 に も適 用 され る.
の定 理 の逆 に 相 当す る次 の定 理 が成 り立 つ.
Ω を 有 界 な 正 則 領 域 と し,fはΩ
∂Ω上 で 連 続 な 函 数 と す る.(fも
上 で 有 界 連 続 な 函 数,φ
φ もHolder連
は
続 性 は 仮 定 し な く て よ い.)こ
の と き, ⅰ) 函 数u(x)が (S1={z∈
楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)の
∂Ω│α(z)=1})に
ⅱ) 函 数υ(y)が (1.3.5*)で ([拡]定
お い て(1.3.5)で
\S1
与 え ら れ る.
楕 円 型 境 界 値 問 題(A*f-B*φ)の
解 な ら ば υ(y)は Ω に お い て
与 え ら れ る. 理19.1,19.1*参
系 偏 微 分 作 用 素Aに
照) お い てc(x)≡0と
に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,領 と き α(x)=1,x∈ Green函
解 な ら ばu(x)はΩ
∂Dの
数G(x,y)は,任
す る.Dを 域
と き α(x)=0と 意 のx∈Ω
Ω=D\Kの
正 則 有 界 領 域,KをD 境 界 上 で,x∈
し て 境 界 条 件 を 与 え る.こ
∂Kの の とき
に対 して
(1.3.6)
を 満 たす. 証 明 函 数u(x)≡1は,Ω
でAu=0,∂D上
で∂u/∂nΩ=0,∂K上
を 満 た す か ら,上
の 定 理1.3.3のⅰ)に
の 形 に な る.(nΩ
はΩ か ら見 て 外 向 き の 単 位 法 線 と規 約 し て あ る か ら,∂/∂nΩ
=-∂/∂nKと 定 理1.3.1と
よ り(1.3.5)が
成 立 し,そ
でu=1 れ は(1.3.6)
な る.) 定 理1.2.1,1.2.2,1.2.3に
よ り,次
の 各 定 理 を 得 る.
定 理1.3.4 Sν={z∈ は 任 意 のx,y∈
Ω お よ びz∈
ⅰ ) G(x,y)≧0で き,か
∂Ω│α(z)=ν}(ν=0,1)と
号 が 成 立 す る の はx∈S1ま
た はy∈S1の
と
つ そ の と き に か ぎ る; で あ っ て,等
と き,か
号 が 成 立 す る の はz∈S0ま
た はy∈S1の
つ そ の と き に か ぎ る.
ⅲ )
で あ っ て,等
はz∈S0の
と き,か
つ そ の と き に か ぎ る;特
意 のx∈Ω,z∈
号 が 成 立 す る の はx∈S1ま にDirichlet境
∂Ω に 対 し て
α2(x)を 前 §の 定 理1.2.2の のGreen函
定 理1.3.5 Ω c2(x),α2(x)の る と,任
す る.こ
上 でc1(x)≦c2(x),か
§の 定 理1.2.3の Green函
る 二 つ の 正 則 有 界 領 域Ω1,Ω2を 前 に 述 べ た 通 り と し,Ω1,Ω2に
数 をG1(x,y),G2(x,y)と
定 理1.3.6
0で は な い とす る と,任 (1.3.8) る 集 合S⊂ 対 し て
す る.こ
あ る と し, は な い とす
考 え,α1(x),α2(x)を
おけ る楕 円型 境 界 値 問題 の
つ ∂Ω1\∂Ω2の 上 で は α1(x)
少 な く と も一 方 は そ れ ぞ れΩ2,∂Ω2の 意 のx,y∈Ω1に
前
の とき
∂Ω1∩∂Ω2の 上 で α1(x)≧ α2(x),か
し,c(x),α2(x)の
(1.3.9*)
つ ∂Ω 上 で α1(x)≧ α2(x)で
0≦G1(x,y)≦G2(x,y).―
次 に,Ω1⊂Ω2な
(1.3.9)
の と き,
に 対 して
(1.3.7)
z∈Sに
応 す る楕 円型 境 界 値 問 題
少 な く と も一 方 は そ れ ぞ れΩ,∂ Ω 上 で 恒 等 的 に0で
意 のx,y∈Ω
ま た,あ
界 条 件 の場 合 に
界 条 件 の 二 つ の 係 数 α1(x),
前 に 述 べ た 通 り と し,対
数 をG1(x,y),G2(x,y)と
た
と な る.―
偏 微 分 作 用 素 の 二 つ の 係 数c1(x),c2(x),境
≡1と
数G(x,y)
∂Ω に 対 し て
あ っ て,等
ⅱ )
は,任
お く と,Green函
上 で恒 等 的 に
対 して
0≦G1(x,y)≦G2(x,y); ∂Ω1∩ ∂Ω2の
上 で
α1(x)≡
α2(x)な
ら ば,任
意 のx,y∈
Ω,
ⅲ
特 にDirichlet境
界 条 件 の 場 合 に は,任
意 のx∈Ω1,z∈Sに
対 して
(1.3.9*1)
Ω を 有 界 で な い 正 則 領 域 と し,そ 列{Dn}を
と る.各Dnお
のGreen函 はyが
す る.た
定 義 し て お く.こ
の 定 理 は 一 般 の 境 界 条 件 の 場 合 に も,部
の αn(x)を(1.2.16∼17)で
定 義 す る こ と に よ っ て,ほ
書 で 応 用 す る た め に はDirichlet境
く方 が よ い か ら,こ 18.5を
界 条件を与 え た場合
よ びG(x,y)と
属 す る と きGn(x,y)=0と
が 成 立 す る.(こ
満 た す 有 界 な正 則 領 域 の
よ びΩ に お け るDirichlet境
数 を そ れ ぞ れGn(x,y)お
Ω\Dnに
れ る が,本
の 中 に(1.2.15)を
の 形 で 述 べ て お く.一
だ し,xま
た
の と き次 の定 理
分 領 域Dnの
境界上 で
とん ど 同 じ形 で述 べ ら
界条 件 の 場合 の 形 を 明 記 して お 般 の 場 合 に つ い て は[拡]の
定理
見 ら れ た い.)
定 理1.3.7
任 意 のx,y∈
ⅰ) {Gn(x,y)}はnに
Ω お よ びz∈
∂Ω に 対 し て,
関 し 単 調 増 加 で あ っ て,n→
∞ とす る と きG(x,y)に
収 束 す る; ⅱ )
はnに
関 し単 調 増 加 で あ っ て,n→
∞
とす る と き
に収 束 す る;
)
はnに
関 し 単 調 増 加 で あ っ て,n→
∞
とす る と き
に収 束 す る.― Green函
数G(x,y)は
て い るが,xとyが
な るか ぎ り有限値 を と る函 数 として 定 義 され
同 時 に領 域 の 内部 の一 点zに 近 づ くとき にG(x,y)の
∞ に 近 づ く とい うこ とは,Ω がEuclid空
値が
間 の 中 の 領 域 でAが
普 通 の ラプ ラシ
ア ン △ の場 合 には 周 知 の事 実 で あ る.本 書 で 扱 って い るRに
お け る楕 円型 偏
微分 作用 素Aに
つ い て も同 じ こ とが い え るが,こ
こ ではΩ がRの
中 の有 界 な
正 則 領 域 の場 合 に つ い て,上 の 性 質 お よび 関 連 す る事 項 を 述 べ てお く. 定理1.3.8 G(x,y)を 有 界 な 正則 領 域Ω に お け る楕 円型 境 界 値 問題 のGreen
ⅱ
函 数 とす る. ⅰ) zを 各nに
Ω の 内 点 とし,{xn},{yn}を
対 し て
い ず れ もzに
近 づ く Ω の 中 の 点 列 で,
とす る と
(1.3.10)
) 特 に 境 界 条 件 がDirichlet境 {xn}をΩ
の 中 の 点 列 で,zに
界 条 件 で あ る と し,zを
∂Ω 上 の 点 とす る.
お け る ∂Ω の 法 線 に 沿 っ てzに
近 づ く も の とす
る と,
(1.3.11)
また,zを
含 ま な い よ う な ∂Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合Bを
中 か らzに
近 づ く任 意 の 点 列{xn}に
(1.3.12)
y∈Bに
な 正 数 ε0,t0を
つ い て一 様 に
書 に お い て は 点x0を
と る と,0
証 明(同 書212∼213ベ 固 定 し て,U(t,x,y)に
ー ジ)と 本 つ い て適 当
るか ぎ り
(1.3.13)
([拡]の(22.21))
(│x-x0│はx0の を 示 し,こ
の
対 し て,
証 明 の 概 略 ⅰ)の 証 明 は[拡]の(22.19′)の 質 的 に 同 じ で あ る.同
と る と,Ω
近 傍 で 固 定 し た 局 所 座 標 に 関 す るEuclid的
距 離)な
るこ と
れ よ り ([拡]の(22.19′))
を 導 い て あ る が,xとyが
と も に 点zの
適 当 な 座 標 近 傍 内 に あ れ ば(1.3.13)か
ら
(1.3.13′)
が 得 ら れ る か ら,(1.3.1)とLebesgue積 (1.3.13′)に
お い て 次 元m≧2な
と な り,(1.3.10)を
得 る.
分 論 に お け るFatouの る こ とに よっ て
補 題 お よび
ⅱ)の(1.3.11)もⅰ)と
全 く同 様 に し て 証 明 さ れ る.す
成 法 を た ど る こ と に よ っ て(1.3.13)を の 法 線 に 沿 っ てxがzに
な わ ち,基
本 解 の構
示 し た の と 同 様 に し て,zに
お け る ∂Ω
近 づ くとき
(1.3.14)
な る こ と が 示 さ れ,あ い.ⅱ)の(1.3.12)は
Ω(Dirichlet境
(1.3.15)
,zの
z∈
近 傍Wで
と,
界 条 件 に よ り)で
∂Ω,y∈Bな
Ω)×Bの
か ら(1.3.12)が
次 の 定 理 は,楕
ら次 の よ うに し て 導 か れ る.そ
の定
あ る か ら,
らば
コ ン パ ク トな 閉 包Wを
は(W∩
と(1.3.15)と
用 い てⅰ)の 証 明 と同 じ 推 論 を す れ ば よ
定 理1.3.4のⅲ)か
理 に お い てS1=∂
一方
と は(1.3.4*)を
も ちW∩B=φ
上 で 連 続,従
な る も のを と る
っ て 一 様 連 続 で あ る.こ
の こと
得 ら れ る.
円 型 方 程 式Au=-f,A*υ=-fの
解 に つ い て,定
理1.2.7
に 対 応 す る 事 実 を 述 べ た も の で あ る. 定 理1.3.9
定 理1.2.7の
仮 定 が す べ て 成 り立 っ て い る と し,こ
に お け る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解 か らGreen函 て 定 義 す る.こ
の と き,任
意 のf∈C10(R)に
の 場 合 のR
数G(x.y)を(1.3.1)に 対 し て 函 数u,υ
よっ
を
(1.3.16)
と定 義 す る と,uはRに に お い てA*υ=-f,Sの
お い てAu=-f,Sの 上 でυ=0を
に す る.υ ∂Ω=φ
をRに
お い て 考 え る か ぎ りは,定
な りA*υ=-fが 定 理1.2.7の
は 考 え な い)の
成 り立 つ.よ
はR
つ い て も全 く同 様 に 証 明 さ れ る.
中 で 述 べ られ た 記 号 は,こ
で あ っ て,φ
満 た し,υ
満 た す.
証 明 υ に つ い て 証 明 し て お く.uに 定 理1.2.7の
上 でu=0を
とわ り な し に 同 じ 意 味 に 用 い る こ と 理1.3.2に
お い て Ω=R(従
って
場 合 で あ る か ら,(1.3.5*)は(1.3.15)に
っ て,Sの
上 で υ=0と
証 明 中 に 構 成 し た 基 本 解U(t,x,y)を
な る こ とを 示 そ う. 用 い る.こ
れか ら
が 定 義 さ れ て,Mの
部 分 領 域 と し て のRに
条 件 を 与え た 場 合 のGreen函 の 上 でHolder連
お い て,Sの
上 でDirichlet境
数 に な る か ら,f∈C10(R)な
続 に な る こ と と 定 理1.3.2に
よ り,函
界
ら ば│f(x)│はR 数
(1.3.17)
はSの
上 でυ=0を
満 た す.一
方,定
(0,∞)×(R∪S)×(R∪S)の
理1.2.7の
証 明 中 に 示 し た よ うに
上 で0≦U(t,x,y)≦U(t,x,y)
が成 立 す るか ら, (R∪S)×(R∪S)(た が 成 立 し,従
だ し
っ て(1.3.16),(1.3.17)に
R∪Sの と な る.Sの
次 に,こ
)の 上 で0≦G(x,y)≦G(x,y)
上 でυ(y)=0だ
よ り
上 で│υ(y)│≦υ(y)
か らυ(y)=0も
成 り立 つ.
の §の 初 め に 述 べ た 条 件(C1)が
成 り立 た な い場 合 の楕 円 型境 界値
問題 に つ い て述 べ る準備 とし て,拡 散 方 程 式 の基 本解 の不 変測 度 に つ い て述 べ る. 今 後 この §で は,Ω
は有 界 な正 則 領 域 と し,条
件(C1)が 成 り立 た な い とす
る.そ の こ とは次 の条 件(C2)が 成 り立 つ こ とで あ る: (C2)
Ω の 上 でc(x)≡0,か
従 っ て 特 に,境
界 条 件(B0),(B*0)は (B0)
こ の と き,拡
∂u/∂n=0,
(1.3.18)
(B*0) ∂υ/∂n-β
υ=0.
任 意 のt>0,任 を 満 た す.(定
意 のx,y∈
理1.2.1のⅰ)お
Ωに よび
照.)
定 義 Ω 上 の 有 界 なBorel測 対 して
そ れ ぞ れ 次 の よ うに な る.
散 方 程 式 の 基 本 解U(t,x,y)は
対 し て 正 の 値 を と り, (1.2.14)参
つ ∂Ω の 上 で α(x)≡0.
度 μ が あ っ て,任
意 のBorel集
合E⊂
Ω
に
が 成 立 す る と き,μ
を 基 本 解U(t,x,y)の
不 変 測 度 と い う.
この よ うな測 度 μが 存 在 す れ ば,μ は 測 度dyに
関 して 絶 対 連 続 で あ っ て,
そ の密 度 函数 ω(x)は Ω 上 で ほ とん どい た る とこ ろ正 の値 を と り, (1.3.19)
ω(y)の 値 は 一 応 はa.a.y*)に (1.3.19)の
左 辺 はyに
対 し て 定 ま る の で あ る が,基
つ い て Ω で 連 続(実
は Ω でC1級,Ω
そ の 連 続 函 数 が ω(y)で あ る と し て よ い.よ t>0,y∈
Ω に 対 し て 成 立 す る と考 え る.従
(B*0)を 満 た す こ と に な る が,実
(1.3.20)
はtを
でC2級)だ
か ら,
っ て 今 後,(1.3.19)が
すべ ての
っ て ω は ∂ω/∂t=A*ω
と境 界 条 件
含 まな い 函 数 だ か ら
Ω に お い てA*ω(x)=0,∂
が 成 立 し,ω(x)は
本 解 の性 質 に よ り
Ω 上 で
コ ン パ ク ト集 合 Ω 全 体 で 正 の 値 を と る.
不 変測 度 の存 在 と一 意 性 の 定理 を述 べ て お く([拡]定 定理1.3.10
理20.1).
Ω が 有 界 な正 則 領 域 で あ っ て,条 件(C2)が 成 り立 つ な ら ば,
基 本解U(t,x,y)の
不 変 測 度 が 存 在 し,定 数 倍 を 除 きた だ 一 つ で あ る.―
この定 理 に よ り,不 変 測 度 の 密 度 函 数 ω(x)で
(1.3.21)
を 満 た す も の が た だ 一 つ 定 ま る.今 を 満 た す も の とす る.こ 述 べ ら れ る.([拡]定 定 理1.3.11
後 ω(x)は 特 に こ と わ ら な け れ ば(1.3.21)
の 函 数 ω を 用 い て,定
理1.3.1に
対 応 す る次 の定 理 が
理21.1)
条 件(C2)の
函 数 ω(y)と か ら,
も と で の 基 本 解U(t,x,y)と な るす べ て のx,y∈
そ の不 変 測 度 の密 度
Ω に対 し て 有 限 な 値 を と る 函 数
(1.3.22)
が 定 義 され て,次 の こ とが 成 り立 つ: *) a.a.=almost
all=(測
度dyに
関 し て)ほ
と ん どす べ て の.
(1.3.23)
任 意 のy∈ Ω を 固定 す る ときN(x,y)はxの (1.3.24)[
に お い て楕 円型 方 程 式AN=ω
函 数 とし て Ω\{y}
と境 界 条 件(B0)を 満 たす;
任意 のx∈ Ω を 固定 す る ときN(x,y)はyの (1.3.24*)[
にお い て楕 円型 方程 式A*N=ω
上 の 定 理 の 函 数N(x,y)を
函 数 と して Ω\{x}
と境 界 条 件(B*0)を 満 た す.
用 い て 楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ),(A*f-B*φ)の
解 を 表 わ す 公 式 が 与 え ら れ る(後 述 の 定 理1.3.13).条
件(C2)の
も とで の これ
ら の 境 界 値 問 題 は 古 典 的 な ラ プ ラ シ ア ン に 関 す るNeumann問 な っ て い る の で,函
数N(x,y)はNeumann函
題 の一 般化 に
数 と呼 ば れ る.
これ らの 境 界 値 問 題 が 解 を もつ た め に は(古 典 的 なNeumann問 同 様 に)fとφ
との 間 に 次 の定 理 に 述べ る 関 係式 が成 り立 つ こ とが必 要 で あ る.
そ の 関 係 式 は,函 数 ωが(1.3.20)を 容 易 に 導 か れ る.([拡]定 定 理1.3.12 ⅰ) f(x)は き,楕
題の場合 と
満 たす こ と とGreenの
公 式 とを用 い て
理21.2) Ω 上 で 有 界 連 続,φ(x)は
円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)が
∂Ω 上 で 連 続 と す る と
解 を もつ な らば
(1.3.25)
ⅱ) f(x)は
Ω 上 で連 続 か つ 可 積分,φ(x)は
∂Ω 上 で連 続 とす る と き,楕 円
型 境 界 値 問 題(A*f-B*φ)が解 を もつ な らば (1.3.25*)
次 に 解 の 存 在 と 一 意 性 の 定 理 を 述 べ る.([拡]定 定 理1.3.13 ⅰ) f(x)は Holder連
続 と し,条
Ω 上 で 有 界 か つHolder連
件(1.3.25)が
理21.3,21.3*) 続,φ(x)は
満 た さ れ て い る と す る.こ
∂Ω 上 で の と き,函
数
(1.3.26)
(Cは 任 意 の 定 数)は 楕 円 型境 界値 問 題(Af-Bφ)の
解 で あ る.ま た,こ の境 界
ⅱ
値 問 題 の解 は 定 数 の差 を除 き一 意 的 であ る. ) f(x)は と し,条
Ω 上 でHolder連
件(1.3.25*)が
続 か つ 可 積 分,φ(x)は
満 た さ れ て い る とす る.こ
∂Ω 上 でHolder連
の と き,函
続
数
(1.3.26*)
(Cは 任 意 の定 数)は 楕 円型 境 界 値 問 題(A*f-B*φ)の 解 で あ る.ま た,こ 値 問 題 の解 は,ω(y)の
の境 界
定 数 倍 の差 を 除 き一 意 的 であ る.―
この §の最 後 に,領 域 Ω の 内 部 に お い て の み 偏 微 分 方程 式Au=-fを て境 界 条 件 を 考 え ない 場 合 のGreen函
数 に つ い て述 べ て お く,こ の場 合 には,
∂Ω の 性質(滑 らか さ)や ∂Ω の近 傍 に お け るAの し な い(も ち ろ ん Ω=Rで
数'と
係数 の挙 動 に つ い て 何 も仮 定
も よい)か ら,こ の §の前 半 の記 述 に お い て Ω=R
の場 合 と 考 え れ ば よ い の で あ る が,こ 'Green函
考え
の よ うな場合に本書 に おいて用い る
い う言葉 を 次 の よ うに 約 束 し てお く.
Ω ×Ω の 上 で
な るか ぎ り定 義 され て 正 数 値 を とる函 数G(x,y)が
あっ
て,任 意 のf∈C10(Ω)に 対 し て函 数 (1.3.27)
が Ω に お い て 有 界 でAu=-fを
満 た す と き,G(x,y)をGreen函
こ とに す る.こ
の よ うなG(x,y)は
定 理1.3.1で
述 べ たG(x,y)が
で あ る.偏
微 分 作 用 素Aの
な い な ら ば,定
満 た さ れ て い る か ら,拡
一 意 的 とは か ぎ ら な い. こ の 意 味 のGreen函
係 数c(x)(≦0と
理1.3.1(Ω=Rの
数 と呼 ぶ
数 であ る こ とは 明 らか
仮 定 し て い る)が 恒 等 的 に0で
場 合 と考 え れ ば よ い)に
お け る条 件(C1)が
散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か
ら
これ は(1.3.1) (1.3.28)
と 同 じ式 で あ る
に よ っ て 定 義 さ れ るG(x,y)は,こ し か しc(x)≡0で
あ っ て も,任
こ で 述 べ た 意 味 のGreen函 意 の コ ン パ ク ト集 合E⊂
数 で あ る.
Ω に 対 して
は
(1.3.29)
が 成 立 す れ ば,(1.3.28)に こ の こ とは,定 る.逆
理1.3.1に
よ っ て 一 つ のGreen函
数G(x,y)が
与 え ら れ る.
対 応 す る 前 掲 書[拡]の
定 理18.1の
証 明か ら わ か
に,(1.3.27)がAu=-fの
G(x,y)が(1.3.28)で でGreen函
定 義 さ れ る な ら ば,(1.3.29)が
数 を 扱 う と き は,こ
例 Ω=Rmに
だ しΓ(・)は
成 立 す る.第2章
の よ う な 場 合 を 考 え る も の とす る.
お い てA=△(普
で あ る か ら,m≧3な
と な る,た
有 界 な 解 を 与 え る よ う なGreen函
ら ば(1.3.28)に
通 の ラ プ ラ シ ア ン)の
よ りGreen函
ガ ン マ 函 数 で あ る.
場合 には
数 が 定 義 さ れ て,
数 §2.1
§1.4 調 和 函 数 の 性 質
こ の §では,領 域 Ω の 内 部 でAu=0,A*υ=0を
満 た す 函 数u,υ
の性質お
よび,そ れ らに 関 連 す るい くつ か の事 項 を 述 べ る.そ れ ら の性 質や 関 連 事 項 の うち,本 書 の 第2章 以 後 に 用 い られ る事 柄 を 記 述 す る こ とを お もな 目的 とし て い る の で,本
§全 体 とし ては 必 ず し も ま とま った 記 述 では ない.(特 に後 半 に お
い ては 断 片 的 な記 述 に な る.) この §で は,こ とわ りな けれ ば Ωの 有 界 性 も ∂Ω の 滑 らか さ も仮 定 し な い し, 偏 微 分 作 用 素A,A*は
Ω の 内部 に お い て の み,§1.1に
うに 定 義 され てい れ ば よい;A,A*の
述べた条件を満たす よ
中 の 係 数c(x)に
対 し て,常 に
(1.4.1) c(x)≦0
と仮 定 し てい る こ とを,念 領 域 Ω でAu=0を
満 たす 函 数uは
函 数 で あ る)と い う.A*-調 まずA-調
のた め 再 記 して お く. Ω でA-調
和 で あ る(あ るい はA-調
和(函 数)で あ る とい う こ と も同様 に定 義 す る.
和 函 数 に関 す る最 大 値 原 理,Harnackの
諸 定 理 お よび そ れ ら に
関 連 す る事 項 を述 べ る.最 大 値 原 理(次 に 述 べ る定 理1.4.1と (1.4.1)に 関 係す る性 質 で あ るた め,A*-調 で は成 立 しな い.一 方,Harnackの 性 質(定 理1.3.3)やGreen函
そ の系)は 条 件
和 函 数 に対 して は,そ
の ま ま の形
諸 定 理(後 述)は 楕 円 型 境 界 値 問 題 の解 の
数 の性 質(特 に 定 理1.3.5)な
れ る の で,こ の章 で 引用 し てい る[拡]に お い て はA-調
どに よ って証 明 さ
和 函数 につ い て のみ 述
べ て あ るHarnack諸
定 理 の多 くが(そ
る場 合 を 除 き)A*-調
和 函 数 に つ い て も成 立 す る;そ の こ とは,後 にHarnack
の証 明 の中 で最 大 値 原 理 を も使 っ て い
諸 定 理 を 述 べ る と こ ろ で 引用 す る[拡]の
中 のA-調
和 函 数 に 関 す る定 理 の証
明 を 見 れ ば 容 易 に わ か る.よ って,こ の あ とでHarnackの に は,後
和
の章 で 引用 す る必 要 に応 じ て,A*-調
諸 定 理 を述 べ る際
和 函 数 につ い て も併 記 す る こ と
に す る. Harnackの
定 理 を 用 い る と,有 界 とは か ぎ ら な い 領 域全 体 で正 の 値 を とる
A*-調 和 函 数 ωの 存 在が 示 され,こ の 函数 ω を用 い て,A*-調
和函数に関す る
最 大 値 原 理 に 相 等す る定 理 を 述べ る こ とが で き る(後 述 の 定理1.4.8). 定 理1.4.1 ⅰ)
函 数u(x)が
Ω の 内 部 に お い てuが か ぎ り,か
つ そ の と きuは
場合に
Ω に お い て 定 数 で あ る.
Ω に お い て 微 分 不 等式Au≦0を
満 た し,Ω の内 部にお い
負 の最 小 値 を とる こ とが で き る の は,c(x)≡0の
の と きuは
満 た し,
正 の 最 大 値 を と る こ と が で き る の は,c(x)≡0の
ⅱ) 函 数u(x)が てuが
Ω に お い て 微 分 不 等 式Au≧0を
場 合 に か ぎ り,か つ そ
Ω に お い て定 数 で あ る.
ⅲ) 初 め か らc(x)≡0と
仮 定 す れ ば,ⅰ)に お け るuの 最 大 値,ⅱ)に お け る
uの 最 小 値 の符 号に 関 す る仮 定 な し に,uは 系1 ⅰ) Ω でA-調
和 な 函 数uが,Ω
Ω に お い て 定 数 とな る.
の 内部 に お い て正 の最 大 値 また は 負 の
最 小値 を とる こ とが で き る の は,c(x)≡0の
場 合 に か ぎ り,か つ そ の と きuは
Ω に お い て 定数 で あ る. ⅱ) 初 め か らc(x)≡0と
仮 定 した 場 合 は,Ω でA-調 和 な 函 数uが
部 で最 大 値 また は 最 小 値 を とれ ば,uは 系2 Ω を有 界 領 域 とし,函 数uが き,Ω に お け る│u(x)│の な ら ば,Ω に お け るu(x)の
Ω の内
Ω に お い て定 数 で あ る. Ω でA-調
和,Ω
で 連続 とす る.こ の と
最 大値 を と る点 が ∂Ω 上 に 存 在 す る.特 に,c(x)≡0 最 大 値,最
小値 を と る点 が,い ず れ も ∂Ω 上 に 存
在 す る.― 上 の系1お 理1.4.1の
よ び系2の 事 実 をA-調
和 函 数 に 関す る最 大 値 原 理 と い うが,定
事 実 も含 め て そ う呼 ぶ こ と もあ る.ま た,系1の
お い てc(x)≡0の
事 実 お よび 系2に
場 合 の 事実 は 最 大値 ・ 最 小 値 原 理 と も呼 ば れ るが,特
にそれ
らを'最 小 値'に 関 す る命 題 と して 応用 す る場 合 に は,そ の こ とを 明示 す るた め に,単 に 最 小値 原 理 と呼 ば れ る こ と もあ る.(こ れ らの定 理 お よび証 明 につ い て は,[拡]の
定 理10.3,10.4,22.1お
の定 理1.4.1のⅱ),ⅲ)か
よ び そ れ ら の系 を 参 照.)次
ら直 ち に 出 る こ とで あ るが,こ
の系3は
上
れ に よ り二 つ の調 和
函 数 の領 域 内部 にお け る大 小 関 係 が境 界 上 で の大 小 関係 か ら導 かれ るの で,系 3の 事 実 を 比 較 定 理 と も呼 ぶ.領 域 の境 界 が適 当 に 滑 らか な らば,こ れ は定 理
1.3.3と
定 理1.3.4か
ら も 明 ら か で あ る が,こ
こでは 境 界 の滑 らか さ を 仮定 し
て い な い. 系3 Ω を 有 界 領 域 と し,函
数uが
で あ っ て,∂ Ω 上 でu(x)≧0な
Ω に お い てAu≦0を
ら ば,Ωにお
満 た し Ω 上 で連 続
い てu(x)≧0で
あ る.―
次の定理は最大値 ・ 最 小 値 原 理 の結 果 で あ っ て,普 通 の ラ プ ラシ アン の 場 合 に は よ く知 られ て い る.(本 書 に お け る偏微 分 作 用 素Aの 述 べ られ て い な い の で,こ 定 理1.4.2
場 合 に つ い て[拡]に
こで 証 明 を与 え て お く.)
Ω を 有 界 な 正 則 領 域 と し,Aに
u(x)は
Ω で 連 続 か つ Ω の 内 部 でA-調
u(x)が
∂Ω 上 で 最 小 値,最
お い てc(x)≡0と
和 で あ っ て,定
す る.函
数
数 函 数 で は な い と す る.
大 値 を と る 点 を そ れ ぞ れz1,z2と
す ると
(1.4.2)
証 明 第1の
式 を 証 明 す る.第2の
u(x)-u(z1)もA-調
式 も 全 く 同 様 に し て 証 明 さ れ る.ま
和 だ か ら,u(z1)=0と
し て 第1の
Ω0⊂ Ω な る 正 則 領 域 Ω0を と り,Ω0の Dirichlet問 1.3.4に
題 のGreen函
数 をG(x,y)と
よ りG(x,y0)>0だ
uに 対 す る 仮 定 と 定 理1.4.1の
系1に
も 正 で あ る.さ
ら,
式 を 証 明 す れ ば よ い.
内 部 に 一 点y0を す る と,x∈
と る.Ωにお Ω \{y0}な
は 正 で あ る.ま
か ら,
よ り,uは
た,
け る らば 定 理 た,函
数
Ω の 内部 で正 の 値 を と る か
て,
に対 し て と 定義 す る と,u-υ
は Ω\ Ω0に お い てA-調
和 で あ って
な らば ならば だ か ら,定
理1.4.1の
にu(z1)=υ(z1)=0だ
で あ る.よ
系3に か ら
っ て
よ り Ω\ Ω0に お い てu(x)-υ(x)≧0と と な る.一
が成 立 す る.
方,定
な る.特
理1.3.4に
よ り
次 にHarnackの
一 般 に,集
諸 定 理 を 述 ベ る.
合Eの
上 の 函 数 列{fn}(パ
で置 き替 え て も よい)が,あ
ラ メー タnを 連 続 的 に 変 化 す る実 数
る函 数fにEで
広 義 一 様 収 束 す る とは,Eの
任
意 の コン パ ク ト部 分 集 合 の上 で一様 収 束 す る こ とで あ る. 定 理1.4.3(Harnackの 2,…)は
Ω でA-調
第1定 和,Ω
理) Ω を 有 界 領 域 と し,函
で 連 続 と す る.こ
の と き,函
数un(x)(n=1,
数 列{un}が
∂Ω 上 で
一 様 収 束 す れ ば,
ⅰ ) {un}は
Ω で一 様 収 束 し,そ の 極 限 函 数uは
ⅱ) Ω に 含 まれ る任 意 の 座 標 近 傍Wと,そ 関 す る2階 以 下 の任 意 の 偏 微分 演 算Lに て広 義 一様 にLuに
Ω でA-調
和 であ る;
の 中 の 局 所 座 標(x1,…,xm)に
対 して,函
数 列{Lun}はWに
おい
収 束 す る.
([拡]定 理22.3参
照;な
お,同
Aの 係 数 がC∞ 級 な らば,上
書 に 述 ベ られ て い る よ うに,偏
のⅱ)のLは
微 分 作用 素
任 意 階 数 の 偏 微 分 演 算 で よい が,こ
の こ とを 今 後 本 書 に お い て用 い る機 会 は な い.) 定 理1.4.4 領 域 Ω でA-調
和 な 函 数 の 列{un}が
Ω 上 で一 様 有 界 な ら ば,
{un}の 適 当 な部 分 列 が Ω で広 義一 様 に 収束 す る. ([拡]定
理22.6;こ
定 理1.4.3のⅰ)の
の 定 理 をHarnackの
か し 定 理1.4.4に
お け るDirichlet問 調 和)函
数 をDの
参 照),A*-調和
お い て は,D⊂
題 のGreen函
Ω な る正則 有 界 領 域Dを
数GD(x,y)に
よ っ てA-調
函 数 に つ い て も定 理1.4.4は
成 立 す る.更
証 明 参 照)す
が 成 立 す る こ と が わ か る.以 し た も の の 変 形 と し て,A-調
れ ば,A*-調
上 の 考 察 に よ り,定
考 え,Dに 和(ま た はA*-
中 で 表 現 す る式 を 用 い れ ば よ い か ら([拡]定
理22.3のⅱ)の
定 理 が 成 立 す る.
Ω の内部において の
和 函数 に つ い て は この ま まの 形 で は成 立 しな
っ て Ω で 広 義 一 様 収 束 す る 部 分 列 に 対 し て,定 ([拡]定
理 と呼 ぶ こ と も あ る.)
証 明 は 最 大 値 原 理 に よ る の で,Aが
み 定 義 さ れ て い る 場 合 は,A*-調 い.し
第3定
理22.6の に 定 理1.4.4に
理1.4.3のⅱ)の
証明 よ
証 明 を適 用
和 函 数に つ い て も こ の 命 題 理1.4.3と
和 函 数 に つ い て もA*-調
定 理1.4.4を
合併
和 函 数 に つ い て も次 の
定 理1.4.5 あ っ て,Ω
領 域 Ω に お い てA-調
和(ま
た はA*-調
和)な 函 数 の 族{uλ}が
の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 な ら ば,函
{│〓uλ│}も
数 の族
Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で一様 有 界 で あ っ て,函
{uλ}の 適 当 な 部 分 列{uλν;ν=1,2,…}は あ る 函 数uに
広 義 一 様 に 収 束 し,更
値 函 数〓uに
広 義 一 様 に 収 束 す る.―
Ω でA-調
和(ま
た はA*-調
に ベ ク トル 値 函 数 の 列{〓uλν}は
下 の二 つ の 定 理 も,前 掲 書[拡]でA-調
数族 和)な
ベ ク トル
和 函 数 に つ い て 証 明 され てい る が,
A*-調 和 函数 に つ い て も同様 に 証 明 さ れ る. 定 理1.4.6(Harnackの
補 題) 領 域 Ω の 中 の 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Kに
対 し て,正
存 在 し て,Ω
の 定 数cK,c′Kが
値 を と る任 意 の 函 数uと,任
でA-調
和(ま
意 の 点x0,x∈Kに
コ ン パ ク ト集 合Kの
はA*-調
は 関 係 し な い こ と が 重 要 で あ る.
数uに
定 理1.4.7(Harnackの な 函 数 の 列{un}が 増 加 で あ り,か た はA*-調 でnに
つ
和)な
第2定 あ っ て,各 一点x0∈
函 数 に,Ω
み に 関 係 し,非
理) 領 域 Ω でA-調
点x∈
非負
不 等 式).―
こ こ で 定 数cK,c′Kが 和)函
和)で
対 して
(Harnackの
(1.4.3)
た はA*-調
負 値A-調
和(ま
た はA*-調
Ω に お い て{un(x)}はnに
Ωに お い て 有 界 な らば,{un}は
和(ま
た
和)
関 し て単 調 Ω でA-調
上 で 広 義 一 様 に 収 束 す る;{un(x)}が
和(ま
各 点x∈
関 し て 単 調 減 少 と し て も 同 様 で あ る.―
こ こで,Ω 上 で い た る と こ ろ正 の 値 を と るA-調 和 函数,A*-調
和 函数 の存 在
を 証 明 して お く. まず,一 点x0∈ Ω を 固 定 し,x0を
含 む 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}で,Dn⊂
Dn+1(n=1,2,…),
を 満 た す も の を 定 め て,各Dnに
chlet境
数GDn(x,y)を
4に
Ω
界 値 問 題 のGreen函
よ り,函
(1.4.4)
数
考 え る.定
理1.3.2と
お け るDiri 定 理1.3.
はDn上
で い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA-調
=un(x)/un(x0)はDn上
意 のnを
Harnackの
不 等 式 に よ りDnの
る か ら,定
理1.4.5に
固 定 す る と き,Dnの
上 の 函 数 列{ωk;k≧n}は
適 当 な 部 分 列 がDnでA-調
か ら,nに
の と き Ω 上 で ω(x)≧0か
和 な あ る函 数
関 す る 対 角 線 論 法 に よ り,初
{ωn}の 適 当 な 部 分 列 が Ω でA-調
め の函 数 列
和 な あ る 函 数 ωに Ω で広 義一 様 に 収 束 す つ ω(x0)=1で
あ る か ら,Harnackの
不等式
含 む 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 の 上 で ω は 正 の 最 小 値 を と り,従
Ω 上 い た る と こ ろ ω(x)>0と るA-調
満 た すA-
任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 で あ
よ り{ωk}の
に 広 義 一 様 収 束 す る.だ
に よ りx0を
か ら,函 数 ωn(x)
で い た る と こ ろ 正 の 値 を と り ωn(x0)=1を
調 和 函 数 で あ る.任
る.こ
和 函 数 で あ る.だ
な る.以
和 函 数 の 存 在 が 示 さ れ た.同
と 同 じGreen函
数GDn(x,y)を
って
上 に よ り Ω 上 い た る と ころ 正 の 値 を と 様 なA*-調
和 函 数 の 存 在 を 示 す に は,前
用 い て,(1.4.4)の
か わ りに
(1.4.4*)
な る函 数 を 定 義 す る と,こ れ はDn上
い た る と こ ろ正 の値 を と るA*-調
和函数
で あ るか ら,あ とは 上 と同 様 に 議 論 す れ ば よい. さて,Ω
で いた る とこ ろ正 の値 を と るA*-調
和 函数 ωを 用 い て,A*-調
数 に 関 す る最 大 値 原 理 に つ い て 述 べ る.ま ず Ω でC2級
の 函 数uに
和函
対 して
(1.4.5)
な る偏 微 分 作 用 素Aを
定 義 す る と,
な る こ と を 用 い て 計 算 す る こ と に よ り,A*とAと (1.4.6)
ω-1A*(ωu)=Au
な る 関 係 が あ る こ と が 示 さ れ る.だ u=υ/ω
がA-調
か ら 函 数 υ がA*-調
和 で あ る こ と と は 同 値 で あ る.と
わ し た と き のc(x)≡0な て,函
の間 に は
こ ろ がAはAの
る 条 件 を 満 た し て い る か ら,A*-調
数 υ/ω に 定 理1.4.1や
事 実 が 成 り立 つ;特
和 で あ る こ と と,函 数
そ の 系(い
に 系1のⅱ)に
ず れ もc(x)≡0の
よ り次 のこ と が い え る.
形 に書 き表 和 函数 υに対 し
場 合)を
適用 した
定 理1.4.8 る.υ
ω を 領 域 Ω の 上 で い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA*-調
が Ω 上 のA*-調
れ ば,υ
和 函 数 で,υ/ω
和 函 数 とす
が Ω の 内 部 で最 大 値 ま た は 最 小 値 を と
は ω の 定 数 倍 で あ る.―
このこ とか ら次 の最 大 値 ・最小 値 原 理 を得 る: 定 理1.4.9 ωを 前 定理 の通 りと し,Dが
Ω の 部分 領 域 で,そ
Ω に含 まれ る コン パ ク ト集 合 であ る とす る.函 数 υがDで 調 和 な らば,υ/ω はDに
の閉 包Dは
連 続 か つDでA*-
おけ る最 大 値 と最 小値 を いず れ もDの
境 界 ∂Dの 上
で と る.― Ω 上 い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA-調 式 的 に 共 役 なA*に
関 す る 議 論 を,c(x)≡0の
そ れ に は,p=logω,b=b+2〓pと
とす る と,A*はAの 別 の も の で あ る;念 に,簡
和 函 数 ω を 用 い て,Aお
よび そ れ と形
場 合 に 帰 着 さ せ る こ と も で き る.
定 義 し て,
形 式 的 共 役 作 用 素 で あ る.(こ の た め 注 意 し て お く.)こ
のAは
の と き,前
前 ペ ー ジ のAと
は
ペ ー ジ の 場 合 と同様
単 な 計 算 に よ って
(1.4.7)
な る 関 係 が 示 さ れ る か ら,u=ω-1u,υ=ω
とな り,AとA*に
υ とお け ば
関 す る議 論 が,AとA*に
関 す る議 論 に 帰 着 され る.こ の
とき,対 応 す る拡 散方 程 式 の基 本解 の 関 係 も重 要 で あ る が,こ
こで は 次 の章 で
用 い られ る下 記 の事 実 を 述 べ て お く. Dを そ の閉 包 が Ω に 含 ま れ る 正 則 有 界 領 域 と し,Dに ∂u/∂t=AuにDirichlet境
お け る拡 散 方 程 式
界 条 件 を 与 え た もの の基 本 解 をUD(t,x,y)(§1.1)
とす る と,函 数
はDに
お け る拡 散 方 程 式 ∂ω/∂t=Aω
の基 本 解 で あ る.こ の こ とは(1.4.7)を 次 に,調
にDirichlet境
界 条 件 を与 え た も の
用 い て 容 易 に 験 証 され る.
和 函 数 の 一 意 接続 定理 を 述 べ る.こ
の 定 理 は 局 所 的 な 性 質 で あ り,
偏微 分 作 用 素Aの 和 函 数 とA*-調
係 数c(x)に
対 す る仮 定(1.4.1)は
必 要 で な いか ら,A-調
和 函 数 との 間 に 本 質 的な 違 い は全 くな い.
複 素 平 面 内 の領 域Dで
正 則(ま た は調 和)な 函 数uが
な い 開 集合 に お い てu≡0と
な る な ら ば,D全
あ って,Dの
体 でu≡0と
中の空で
な る;こ の こ とは
一 致 の定 理 とし て よ く知 られ て い る.こ こで 調 和 函数 を ラ プ ラス方 程 式 △u=0 の解 と考 え る こ と に よ り,上 の 定 理 はm次
元空 間Rmの
中の 領 域 に お け る調
和 函数 に拡 張 され る.更 に ラプ ラシ ア ン △ の場 合 か ら変 数 係 数 の2階 楕 円型 偏 微 分 作 用 素Aの
場 合 に 拡 張 し た 定 理 が 一 意 接続 定 理 で あ っ て,Aronszajn
[2],Cordes[3]ら
に よ って 証 明 さ れ た;そ の 証 明 は,例 え ば 熊 ノ郷[4]の
§5.6に 詳 し く記 述 さ れ て い るの で,そ れ を 参 照 さ れ た い.こ 性 質 であ る こ とに よ り,Euclid空
の定 理 が 局 所 的
間 の中 の領 域 で も多 様 体 の 中 の領 域 で も証
明 は 同 じ で あ る.だ か ら下 記 の定 理 の Ω は 本 書 で 扱 って い る多様 体(§1.1)の 中 の領 域 と して 読 まれ た い. 定 理1.4.10(一 が あ っ て,Ω
意 接 続 定 理) 領 域 Ω でA-調
和(ま た はA*-調
の 中 の 空 で な い 開 集 合 に お い てu≡0な
ら ば,Ω
和)な
函 数u
全 体 でu≡0で
あ る. 上 記 の[2],[3]に
お い ては,'空
い'Ω の一 点 がuの ぼ 同 等 な 条 件)の
で ない 開 集 合 に お い てu≡0'と
い う条 件 よ り も弱
無 限位 の零 点 で あ る'と い う条 件(述 べ 方 は 少 し違 うが,こ れ とほ も とで証 明 され て い るが,本
書 で 応 用 す る に は上 の定 理 の 述べ 方 で 十
分 で あ るか ら,こ の よ うに 内 容 の わ か りや す い 述 べ 方 に して お く.([4]に
は 上 の定 理 に
述 べ た 形 で 証 明 され てい る.)
最 後 に,楕
円型 方 程 式Au=-fあ
る い はA*u=-fの'弱
下 記)と 真 の解 に関 す る定 理 を述 べ る.(こ
こで一 般 に は
い解'(定
義は
だ か ら,こ の 定
理 は 調 和 函 数 にか ぎ った 話 で は な い が,こ の §で 関 連 事 項 と し て 述 べ る.)こ こで も係 数c(x)に 方 程 式Au=-fに
対す る仮 定(1.4.1)は
不 要 で あ り,前 掲 書[拡]の
つ い て 述 べ て あ る定 理 が,方 程 式A*u=-fに
§23で
つ い て もそ
の ま ま成 立 す る. 定義 領 域 Ω で 局 所 可 積 分 な 函 数u(x)が で あ る とは,任 意 の ψ∈C∞0(Ω)に対 して
楕 円 型 方 程 式Au=-fの
弱 い解
(1.4.8)
が 成 立す る こ とで あ る.AとA*を
入れ 替 え て,楕
円型 方 程 式A*u=-fの
弱 い 解 を 同様 に 定義 す る. 弱 い解 に対 して,普 通 の 意 味 の(す な わ ち,そ の方 程 式 に 現 わ れ るす べ て の 偏導 函数 が 普通 の 意 味 で存 在 し て 連続 な)解 を 真 の 解 とい う.真 の解 が 弱 い解 で あ る こ とは,Greenの
公 式 に よ って 明 らか で あ る.
こ の と き 次 の 定 理 が 成 立 す る([拡]定 定 理1.4.11 分 な 函 数uが
函 数fは
理23.1参
領 域 Ω でHolder連
楕 円 型 方 程 式Au=-f(ま
に お け る そ の 方 程 式 の 真 の 解 υ で,Ω
照).
続 とす る.Ωにお
た はA*u=-f)の 上 でu(x)=υ(x)(a.e.)と
い て 局所 可積
弱 い 解 な ら ば,Ω な る もの が存
在 す る.―
拡 散 方 程 式 につ い て も同様 な定 理 が成 立 し,ま た それ らの方 程 式 が境 界条 件 を 伴 な う場 合 の 定 理 も あ る([拡]§23参 い か ら省 略 す る.
照)が,本
書 に お い て応 用 の機 会 が な
§1.5 ベ ク トル 解 析 に 関 連 した 事 項
この §の 内 容 は,偏 微 分 方程 式 に 関す る結 果 で はな いが,前
§ま で に述 べ た
事 項 の一 部 を用 い て,本 書 第5章 以 降 で必 要 な こ とを 準 備 す る.
Rの
部 分 領 域 Ω の 上 の 函 数uが
と は,uが
Ω で 連 続 で あ り,有
区 分 的 に 滑 ら か(piecewise
限 個 の 正 則 領 域 Ω1,…,Ωnが
∪ … ∪∂Ωn)の 各 連 結 成 分 でuがC1級
smooth)で
ある
存 在 し て Ω \(∂Ω1
な る こ と で あ る.
Ω 上 で い た る と ころ正 の値 を とるC2級
の 函 数ω が 与 え られ た とき, は 今 ま での 通 り)
な る測 度 を 定 義 し,こ れ に 関 連 した い くつ か の記 号 を 約 束 す る. ま ず,Ω
上 の ベ ク トル 場
(共変 成 分) に 対 し て,§1.1で
定 義 し た よ うに (Ω 上 の ス カ ラ ー 函 数)
と し,重
み ω を も つ 測 度dωxに
関 す る'内
積'と'ノ
と定 義 す る(各 式 の 右辺 が 意 味を もつ 限 り).例
ル ム'を
え ばuが
Ω 上 で 区分 的 に 滑 ら
か な 函 数 な らば
が 定 義 さ れ る.な
お,ω ≡1の
と き は 添 え 字 ω を 省 略 す る こ と が 多 い.
‖ Φ‖Ω,ω<∞ な る Ω 上 の ベ ク トル 場 Φ の 全 体 が 作 る 線 型 空 間 の'ノ ‖・‖Ω,ω に 関 す る完 備 化 をL2ω(Ω)と な る も の 全 体 をPω(Ω)と ト集 合Kに Pω(Ω;K)と
対 し て,函
数ψ
書 き,Ω 書 く;ま
上 で 区分 的 に 滑 ら か な 函 数 ψ で た,Ω
∈Pω(Ω\K)でψ│∂K=0を
書 く こ と に す る.
ル ム'
に 含 まれ る正 則 コン パ ク 満 た す もの 全 体 を
注 意 前 掲 書[拡]に 義 した が,こ
お い て領 域 Ω の境 界 ∂Ωが'区 分 的 に 滑 ら か'と い う言葉 を 定
れ は 上 に 述 べ た'函 数 が 区 分 的 に 滑 ら か'な
書に おい ては 前 掲 書[拡]の
こ と とは 別 の 概 念 であ る.本
意 味 で この 言葉 を用 い る こと は な い.
さ て こ こで前 掲 書[拡]§24の
結 果 を 引用 す るが,そ
の 内容 をす べ て,ω の
重 み をつ け て考 え る こ とが で き る.す な わ ち,測 度dxをdωxで 散 作用 素divをdivω る.[拡]§24の
置 き換え,発
Φ=ω-1div(ωΦ)で 定 義 され るdivω で置 き換え る の で あ
各 定 理(補 助 定 理,系 を 含 む)の 証 明 を この よ うな場 合 の形 に
修 正す る こ とが で き る. 例 え ば,Ω
で 連 続 な ベ ク トル 場 の 全 体 をC(Ω)と divωΦ=0な
(1.5.1)
を満 たす な らば,あ
書 く と き,Ψ
∈C(Ω)が
る 任 意 の Φ∈C10(Ω)に 対 し て
る ψ∈C1(Ω)が 存 在 し て
重 要 な 役割 を もち(cf.[拡]定
理24.2),こ
とな る,と い う事 実 は
の事 実 は次 の補 助 定 理 に帰着 され
る の で,そ の証 明(上 述 の よ うに'修 正'し た)の 概 略 を与 え て お く. 補 助 定 理1.5.1 Γ 線 と し,い
をΩ
た る と こ ろC1級
対 し て,t=t(x)をxに
の 内 部 に あ っ て 長 さ を も つ 向 き づ け られ た 単 純 閉 曲 で 有 限 個 の 点 を 除 きC2級と
お け るΓ
す る.各
た す任 意 のΨ ∈C(Ω)に 対 して 上 の 線 素 を 表 わ す.(cf.[拡]補
証 明 Γ が い た る とこ ろC2級 の領 域Tを,閉 この ときTの ε>0に対
包TがΩ
に
の 接 線 ベ ク トル で 単 位 の 長 さ を も ち,点x
に お け るΓ の 向 き づ け と 同 じ方 向 を も つ も の と す る.こ
dσ はΓ
点x∈Γ
の と き(1.5.1)を
満
が 成 立 す る;こ
こで
助 定 理24.2)
とし て証 明す れ ば よ い.Γ
を 内 部 に含 む管 状
の 内 部 の 有 限 個 の 座 標 近 傍 で 覆 わ れ る よ うに と る.
内 部全 体に一つ の 曲線 座 標 が構 成 で き るか ら,そ れ を 固 定 す る.
し て,Rmの
まれ
上 でC∞ 級 の非 負 値 函 数 ρεで,台
(dyは
普 通 のLebesgue測
度)な
が 原 点 の ε近 傍 に含
る も の を 定 め る.Tの
内
部 に 固 定 し た 曲 線 座 標 を 使 っ て ρε(x-y)(x,y∈T)を
考 え る と,xがΓ
動 くか ぎ り,十
函 数 と し て の ρε(x-y)
の 台 はTの
分 小 さ い す べ て の ε>0に
内 部 に 含 ま れ る.だ
か ら
対 し て,yの
上を
(1.5.2)
と 定 義 す る と Φε∈C10(Ω)で あ っ て,y∈Tな
と な る.一
方y∈Ω
と な る.こ
こ で ε ↓0と す れ ば ρεの 性 質 に よ り補 助 定 理 の 結 論 を 得 る.
更 に,[拡]定
\Tな
理24.3の
Ω で 区 分 的に滑ら
か'と
ら ばdivω
Φε=0は
らば
系 の 仮 定 の う ち'ψ
自 明 だ か ら,仮
∈C1(Ω)∩C0(Ω
い う条 件 で 置 き 替 え て も,同
れ は 同 書 の 補 助 定 理21.1と
補 助 定 理1.5.2
Φ∈C1(Ω)がΩ
す と し,ま
∈C1(Ω)と
たφ,ψ
上 に 述 べ た[拡]定 ペ ー ジ)と す る と,次 定 理1.5.1
理24.3の
上 でdivω
質 的 に は 次 の補 助 定
し て 証 明 さ れ て い る. Φ=0,∂Ω
上 で(Φ ・n)=0を
満た
系 に お い てΩ,Sを
そ れ ぞ れΩ \K,∂K(50
あ っ て,任 \K上
意 の ψ ∈Pω(Ω;K)に
対 し て
で 有 界 な 任 意 の ψ∈Pω(Ω;K)
が 成 立 す る.―
上 の 定 理 はK=φ
で も よ い;そ
の 場 合 は 次 の よ うに 書 け る.
Φ∈L2ω(Ω)で あ っ て,任
を 満 た す な ら ば,Ω 成 立 す る.
明の
す る と,
を 満 た す な ら ば,Ω
定 理1.5.2
は
の 定 理 が 得 ら れ る.
Φ∈L2ω(Ω\K)で
に 対 し て
∪S)'を'ψ
様 に 証 明 で き る;証
最 後 に あ る 内 積 の 式 を ω の 重 み つ き に 修 正 し た も の は,本 理 に 帰 着 さ れ,そ
定に よ り
意 の ψ∈Pω(Ω)に 対 し て
上 で 有 界 な 任 意 の ψ∈Pω(Ω)に 対 し て
が
§1.6 付記(測
度 の 漠 収 束,半 連 続 函 数)
本 章 の標 題 と した 偏 微 分 方 程 式 に関 す る こ とで は な い が,測 度 の 漠 収 束 の 概 念 と,半 連 続 函数 に 関 し て,本 書 で使 う事 柄 を念 の た め に述 べ て お く. Ⅰ. 測 度 の漠 収 束 に つ い て Ω をRの
部 分 領 域 と し,Ω上
で連 続 な 函 数 で,
台 がΩ の コン パ ク ト部 分 集 合 であ る もの全 体(§1.1でC00(Ω)と 単 にC0(Ω)と
書 く こ とに す る.Ω に お け るBorel集
合 族(Ω の 中 の開 集 合 全
体 で 生成 され る σ-加法 族)BΩ の上 で定 義 され た測 度 μで,任 集合K⊂Ω
に対 して μ(K)<∞
をBorel測 Borel測
と な る も の全 体 をMΩ
意 の コ ンパ ク ト
と書 き,測 度 μ∈MΩ
度 と呼 ぶ;今 後,特 に 指 定 また は こ と わ りな く'測 度'と い え ば 度 を 意 味 す る もの とす る.
{μn;n=1,2,…}⊂MΩ,μ
∈MΩ
で あ っ て,任
が成 立 す る とき,測 (vaguely
書 い た)を,簡
convergent)と
意 のf∈C0(Ω)に
度 の 列{μn}は
対
し て
測 度 μに 漠 収 束す る
い う.
{μn}が 漠 収 束 す れ ば,任 意 の コンパ ク ト集 合K⊂Ω 界 で あ る.な ぜ な らば,K⊂D⊂D⊂Ω
の 上 で{μn}は 一 様 有
な る開集 合DでDが
コン パ ク トな も
の を と り,函数f∈C0(Ω)で で
上 で
で あ り,数
な る も の を と る と, る か ら 有 界 で あ る.こ 定 理1.6.1
で 列
の 事 実 の(部 分 的 な)逆 と し て,次
測 度 の 列{μn}⊂MΩ
に対 して
が あ っ て,任
な ら ば,{μn}の
は収束す の 定 理 が 成 り立 つ.
意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂
Ω
適 当 な 部 分 列 が あ る測 度 μ∈MΩ に
漠 収 束す る. 証 明 各f∈C0(Ω)と 算 部 分 集合Dで,ノ 各f∈Dに
ル ム
対 し て,fの
と お く.C0(Ω)の
各 μnに対 して
に 関 し て稠 密 な も の が存 在 す る.
台 が コ ン パ ク トだ か ら,そ
こ と に よ り,{Ln(f)}n=1,2,…
可
の 上 で{μn}が一様有
界な
は 有 界 数 列 とな っ て 収 束 す る 部 分 列 を もつ.Dが
可 算 集 合 で あ るか ら,対 角 線 論 法 に よ り,自 然 数 の 部分 列{n′}を べ て のf∈Dに
対 し て{Ln′(f)}が
選 ん で,す
収束 す る よ うに で き る.こ の こ と と,Dが
C0(Ω)で ノル ム‖f‖∞ に 関 して 稠 密 な こ とに よ り,す べ て のf∈C0(Ω)に 対 し
て有限な極限値 はC0(Ω)の
が存 在 す る こ とが示 され る.こ の と きL(f)
上 の線 型 汎 函数(有 界 とは 限 らな い)で あ る.こ こで,Ω
域 の 列{Ωk}で,各Ωkは
コ ン パ ク トで あ っ て,Ωk⊂Ωk+1(k=1,2,…),
と な る も の を 固 定 す る.汎 く と,k
函 数L(f)のC0(Ωk)へ
ら ばL(l)はL(k)の
拡 張 で あ る.kを
は 有 界 で あ る か ら,L(k)はC0(Ωk)上 Markovの C0(Ωk)に
の部 分 領
定 理 に よ り,Ωk上
の 制 限 をL(k)(f)と
固 定 す る と き{μn(Ωk)}n=1 ,2,…
の 有 界 線 型 汎 函 数 で あ る.よ
のBorel測
書
度μ(k)が
っ てRiesz-
存 在 し て,す
べ て のf∈
対 して
(1.6.1)
が 成 立 す る.k
らばL(l)がL(k)の
らBΩlへ
の)で あ る.従
拡 張 で あ る こ と に よ り測 度 μ(l)は μ(k) っ て,Ω
上 のBorel測
拡 張 で あ る も の が 存 在 し て,す
度 μ で すべ て の
べ て のf∈C0(Ω)に
対 して
(1.6.2)
が 成 立 す る.こ
の こ と とLn(f)の
定 義 お よ び
に よ っ て,
{μn′}が μ に 漠 収 束 す る.
Ω のRに
おけ る閉 包 Ω が コ ン パ ク トな 場合 に は,上
Ω,BΩ,MΩ,C0(Ω)を それ ぞれΩ,BΩ,MΩ,C(Ω)(Ω
の漠収束 の 定義中の
上 の連 続 函数 の全 体)で 置 き
替 え る ことに よ り,Ω 上 の 測度 の 列 の漠 収 束 が 定 義 さ れ る.こ 1.6.1の 仮 定 に お い てKをΩ
の と き,定 理
とす る こ とに よ り,同 じ定 理 が成 立 す る.(こ の
場 合 の方 が 証 明は 簡 単 で あ る;部 分領 域 の 列{Ωk}を 考 え る必 要 が な い.)前 の 記 述 を こ の よ うな 場 合 に 修 正 す る こ とは 容 易 で あ る. 漠 収 束 の 概 念 は もっ と一 般 的 に定 義 され る こ とが 多い.す な わ ち,μ0∈MΩ
に対 し て
を μ0の 近傍 系 の基 と し
てMΩに
入 れ た位 相 を 漠位 相(vague
束 と呼 ぶ の で あ る.こ の と き,上 の 族(す な わ ちMΩ
topology)と
い い,こ
述 の 定 理1.6.1の
の 部 分 集 合)が,Ω
の 位相 に 関 す る収 束 を 漠 収
拡 張 と し て次 の こ とが い え る:測 度
の 各 コン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で一様 有 界 な らば,
漠 位 相 に 関 し て相 対 コ ンパ ク トで あ る.本
書 に お い て は,測
度 の漠 収 束 に 関 す る事 項 は
初 め に 述べ た よ うな 可 算 列 の場 合 に つ い て のみ 用 い る の で,一 般 的 な 位 相 の概 念 に は こ れ 以上 は立 入 らな い こと にす る. Ω 上 の有 界 な 測 度 μは,ノ ル ムを‖f‖∞=max│f(x)│で
定義 し た 線 型 ノル ム 空 間C0(Ω)
の 上 の 有界 線 型 汎函 数 で あ るか ら,函 数 解 析学 に お い て は,一
様 有 界 な測 度 の列 の漠 収
束 は汎 弱 収 束(汎 函 数 と して の 弱 収 束)と 呼 ば れ る.本 書に お い て 漠 収 束 の 概 念 を用 い る の は大 抵 は一 様 有 界 な 測 度 の 列 の 場 合 で あ るか ら,'漠 収 束'よ 耳 馴れ た読 者 が 多 いか も知 れ ない.し
り も'汎 弱収 束'の 方 が
か し 汎 弱 収 束 とい う言 葉 は,本
来 まず 線 型 ノル ム
空 間C0(Ω)が 前 面 に 出 て い て,そ の上 の汎 函 数 と して の 弱 収 束 とい う意 味 で あ る.一 方, 本 書 で は 多 くの 場 合,測
度 の列 が 考 察 の対 象 で あ り,そ れが漠 収 束す る場 合 に,そ の こ
とを あ る 特 定 の 連続 函 数 の積 分に 適 用 す るの で あ って,線 型 ノル ム空 間C0(Ω)を
主題 と
す る こ とは な い.だ か ら 今 後'漠 収 束'の 用 語 を 用 い る こ とに す る.
Ⅱ. 半 連 続 函 数 に つ い て 本 項 では,Rの また は± ∞ の値 を とる 函数 を考 え る.函 α に対 し て-∞<α<∞ Ω上 で-∞
中 の領 域 Ω で 定 義 さ れ た実 数値 数値 の 大 小 に つ い て は,任
意の実数
な る大 小 関係 を 規 約 し て お く.
≦f(x)≦ ∞ な る値 を と る函 数fが 下(に)半 連 続 であ る とは,任
意 の実 数 α に 対 して{x∈ 半 連 続 で あ る とは,任 こ とで あ る.fがΩ
Ω│f(x)>α}が
開集 合 で あ る こ とで あ り,上(に)
意 の実 数 αに 対 し て{x∈Ω│f(x)<α}が
で有 限 な値 のみ を とる場 合 に は,そ
開集 合 とな る
れが連続 で あ る こ と
と,下 半 連 続 か つ 上 半 連 続 であ る こ と とは同 等 であ る. fが 下 半 連 続 で あ る こ と と-fが
上 半 連 続 で あ る こ と とは 同 等 で あ るか ら,
そ れ ら の一 方 に関 す る性 質 か ら他 方 に関 す る性 質が 容 易 に導 かれ る.よ
って,
以 下 に お い ては,下 半 連 続 函 数 に つ い て 述 べ る こ とにす る. fがΩ
で 下 半 連 続 な こ と は,次
と定 義 し て も 同 等 で あ る こ と は,容
任 意 の点x∈ (1.6.3) [
て と き は,上
の(1.6.3)ま
た は(1.6.4)が
成 り立 つ こ と
易 に わ か る.
Ω と,xに
収 束 す る 任 意 の点 列{xn}⊂
た だ しf(xn)=-∞ の 下 極 限 は-∞
と 解 す る.
とな るnが
Ω に対 し 無限個あ る
任意 の点x∈ Ω と任 意 の ε>0に 対 し て,xの (1.6.4) [
とれ ば,y∈Wxな の
る か ぎ りf(y)≧f(x)-ε;た
と き は,∞-ε=∞,(-∞)-ε=-∞
次 の(1.6.5)は(1.6.4)を
適 当 な 近 傍Wxを だ しf(x)=±
∞
と 解 す る.
用 い て,コ
ン パ ク ト集 合 上 の 連 続 函 数 の 最 大
値 ・最 小 値 に 関 す る定 理 と全 く 同 様 に し て 証 明 さ れ る;ま
た(1.6.6)も
下半連
続 性 の 定 義 か ら 容 易 に 証 明 され る.
Ω で下 半 連 続 な 函 数 は,Ω (1.6.5) [
で 下 に 有 界 で あ り,K上
の任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合Kの で の 最 小値 を とる点 が あ る.
Ω で下 半 連 続 な函 数 の列{fn}が (1.6.6) [
上
あ って,Ω の 各 点 でnに
関 して
も Ωで下半連続であ
単 調 増 加 な らば,極 限 函 数 る.
従 っ て 特 に,
Ω で連 続 な 実 数 値 函 数 の 単 調 増 加 列 の 極 限 函 数 は,Ω で 下 半 連 続 (1.6.7) [
で あ る. (1.6.7) の 極 限 函 数f(x)は
明 らか に
Ω にお い て
(1.6.8)
を満 た す.逆 に,(1.6.8)を
満 た す 下 半 連 続 函 数fは
Ω で連続な函数の単調増
加 列 の極 限 函数 にな る こ とが 証 明 され るが,本 書 ではfが((1.6.8)よ
りも強
い 仮 定 とし て)Ω で下 に 有 界 な 場 合 に つ い て この事 実 を用 い るの で,そ
の 場合
を 次 の 定 理1.6.2に
述 べ て,証 明 を 与 え て お こ う.
そ の 証 明 中 に 使 うた め に,ま ず 次 の事 に 注 意す る;こ の事 実 は,下 半連 続 性 が(1.6.3)と
同等 な こ とを用 い て容 易 に 証 明 され る: fが Ω 上 の下 半 連 続 函 数 で,φ(λ)が-∞
(1.6.9) [
か つ 単 調増 加 な実 数 値 函 数 な ら ば,合
≦λ≦ ∞ に お い て連 続 成 函 数φ°fは
Ω 上 で下
半 連続 で あ る. 定 理1.6.2 Ω 上 で下 に 有 界 な下 半連 続 函 数fに 対 し て,Ω 単 調 増 加 列{fn}で,Ω 証 明 [第1段]
の各 点 で 函数fが 有 界 な 場 合.Rにお
上 の連 続 函 数 の
とな る も のが 存 在 す る. い て‖aij(x)‖ をRiemann
計 量 と考 え て距 離 を 定 義 し,二 点x,y∈Rの
距 離 を│x-y│で
表 わ す こ とに
す る.Ω 上 の 函 数fnを
と定 義 し,{fn}が まず 各fnが
定 理 の 条 件 を 満 た す 函 数 列 で あ る こ とを 示 そ う.
連 続 で あ る こ と を 示 す.任
お い て,│x-x′│<δ
意 の ε>0に
な る 任 意 の 二 点x,x′∈
対 し て δ=ε/(n+1)と
Ω を と る.こ
の とき
f(y)+n│x-y│
Ω が 存 在 し,従
って
とな る.上 の 議 論 でxとx′
を入 れ 替 え て も よいか ら fn(x)
も 成 立 し,│fn(x)-fn(x′)│<ε 次 に,fnの ら{fn}は ≦f(x)が
が 得 ら れ る.よ
っ てfnは
定 義 か らfn(x)≦fn+1(x)≦f(x)な 単 調 増 加 列 で あ っ て,そ
成 り立つ.よ
x∈ Ω を 定 め る と き,fnの
る こ とは 容 易 に わ か る.だ
の 極 限 函 数 をφ(x)と
っ てf(x)≧φ(x)な 定 義 に よ り 各nに
Ω で 連 続 で あ る. か
す る と Ω 上 でφ(x)
る こ と を 示 せ ば よ い.任
意 の点
対 して
(1.6.10)
とな るyn∈ Ω が 存 在 す る.こ の とき
が 成 り立 つ か ら,n→
∞
とす る と き│yn-x│→0と
な る.だ
か ら(1.6.10)と
fの 下 半 連 続 性 に よ り
を得 る.以 上 に よ りfが 有 界 な 場 合 に定 理 が 証 明 され た. [第2段]
函 数fが 有 界 で な い場 合.fは
上 で1≦f(x)≦ らな い.)函 数
下 に 有 界 と仮 定 し てあ るか ら,Ω
∞ と して 証 明す れ ば よ い.(下 半 連 続 性 は 定数 を 加 え て も変 わ
の とき の とき;た だ し 複号 同順 は-∞
≦λ≦∞ に お い て連 続 か つ 狭 義 単 調 増 加 で あ るか ら,開 区 間(-1,1)
で連 続 な 逆 函 数φ-1が 存 在 し,(1.6.9)に
より
g(x)=(φ°f)(x) は 下 半 連 続 函 数 で,1/2≦g(x)≦1と 数 の 単 調 増 加 列{gn}でgに ≧1/2と
し て よ い.こ
な る.だ
の と き Ω 上 でg1(x)
対 し てgn(x)<1な
求 め る も の で あ る.ま
が 存 在 す る 場 合 に は,1/2
に よ りΩ上の連続函
収 束 す る も のが 存 在 す る;こ
こ で す べ て のn,xに
で 定 義 さ れ る 函 数 列{fn}が
か ら 第1段
らば
た,gn(x)=1と
→1な
る 数 列{cn}を
な るn,x と る と
あ るか ら
で定 義 され る函数 列 が 求 め る もの で あ る. 半 連 続 函 数 は解 析 学 に お け る基 礎 的 な事 項 の一 つ で あ る が,最 近 は この こ と (特 に定 理1.6.2)に
関 す る講 義 が必 ず し も行 なわ れ て い な い よ うに思 わ れ る の
で,特 に この項 目を設 け て,本 書 に お い て必 要 最 小 限 度 の こ とを解 説 した.
第2章 優調和函数
§2.1 優 調 和 函 数 の 定義
本 章 では,Ω
は 任 意 の 領域 とす る;す な わ ち,有 界性 や 境 界 の 滑 らか さを 仮
定 しな い.Ωにお
い て,§1.1で
形 式 的 共 役 作用 素A*を
述 べ た 形 の楕 円型 偏 微 分 作用 素Aお
考 え る.
定義 Ω で 定 義 され た 函 数u(x)が,Ω
でAに
和)で あ る とは,次 の条 件ⅰ),ⅱ),ⅲ)が ⅰ) Ω に お い て-∞
よび そ の
∞
関 して 優 調 和(略 してA-優
調
成 立 す る こ とで あ る:
かつ
Ω に お い て 下 に 半 連 続 で あ る;
ⅲ ) DがD⊂
Ω な る 正 則 有 界 領 域 で あ り,w(x)がDで
調 和 で あ っ て,∂D上
でw(x)≦u(x)な
ら ば,Dに
連 続 か つDでAお い てw(x)≦u(x)が
成 立 す る. 上 の 条 件ⅲ)に
お い て'A-調
に 関 し て 優 調 和(略 まず,A-優 た め,次
和'を'A*-調
し てA*-優
調 和)な
調 和 函 数 はAu≦0を
の こ と に 注 意 す る.D⊂
お け るDirichlet問 続,DでC2級
題 のGreen函
和'と
書 き 換 え る こ とに よ り,A*
函 数 を 定 義 す る.
満 たす 函数 の概 念 の 拡 張 で あ る こ とを 示 す Ω な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに 数(§1.3)をGD(x,y)と
で あ っ て,AuがDで
対 し て,Dに
す る と,uがDで
有 界 な ら ば,Dに
連
おいて
(2.1.1)
が 成 立 す る.(定
理1.3.3に
よ る.)
定 理2.1.1 函
数u(x)が
Ω でC2級
な ら ば,uが
Ω でA-優
調和であ ること
とAu≦0を
満 たす こ と とは 同 等 で あ る.
証 明 まずuが
Ω でAu≦0を
満 た す な らばA-優
が 前 述 の定 義 の条 件ⅰ),ⅱ)を 満 た す こ とはC2級 件ⅲ)を 数wと
満 た す こ とを 示 せ ば よい.ⅲ)に を とる と,Dに
調 和 で あ る こ とを示 す.u
な る こ とか ら 自 明だ か ら,条
述 べ られ た よ うな任 意 の領 域Dと
お い てuは(2.1.1)を
函
満 た し,同 様 にwは
(2.1.2)
を 満 た す.(2.1.1)と(2.1.2)と
だ か ら,Dに
に お い て
お い てu(x)≧w(x)と
(の対 偶)を 示 す た め,Au(x0)>0と D⊂D⊂ 題:Dに
な り,ⅲ)が な る点x0∈
Ω な る よ うな あ る有 界 領 域Dに お い てAw=0,∂D上
の 仮定 を満 たす が,一 方Dに る か らu(x)<w(x)と
成 立 す る.次 に,逆
Ωが あ る と仮 定 す る と,x0∈
お い てAu>0と
でw=u,の
の命 題
な る.wを
解 とす る.こ の ときwは
おい て(2.1.1),(2.1.2)お
よびAu>0が
境界値問 条 件ⅲ) 成立す
な る,だ か らuは 条 件ⅲ)を 満 た さな い こ とに な り,A-
優 調和 で は な い. A-優 調 和 函数 の 例 領 域 Ω でA-調 和 な 函 数 がA-優 義 か ら明 らか で あ る.Ω に お い て,§1.3の 散 方 程 式 の 基 本解 か ら作 られ るGreen函 使 って,A-調
和 でな いA-優
調 和 で あ る こ とは,定
最 後 の ペ ー ジ に述 べ た よ うに,拡
数 の 存 在 を 仮 定 す れ ば,定 理2.1.1を
調和 函数が 次 の よ うに し て構 成 され る.
f(x)を Ω 上 で 非 負 値 を と るHolder連
続 な 函数 で,そ の 台 が Ω の 内部 に含
まれ る有 界 集合 で あ る とす る と,函 数 (2.1.3)
はAu=-fを 一般化 として (2.1.4)
満 た す か ら,定 理2.1.1に ,μ が Ω に お け るBorel測
よ っ てA-優
調 和 で あ る.こ
度 であ っ て函 数
の事 実 の
がΩ
で 恒 等 的 に ∞ で な い な らば,uはA-優
述 定 理2.1.4).従 てA-優
っ て 特 に,任
調 和 で あ る.(μが
一 点yに
注 意 偏 微 分 作 用 素Aの 的 に0で
意 のyを
場 合 に は,Ω
る こ と と,上
固 定 す る と きG(x,y)はxの
仮 定 し て い る)がΩ
述べ た よ う にGreen函
に お い て恒 等
数G(x,y)が
で 正 の 値 を と り定数 で な いA-優
の よ う なGreen函
函数 とし
集 中 し た 単 位 質 量 の 場 合 で あ る.)
係 数c(x)(≦0と
は な い な ら ば,§1.3で
が,c(x)≡0の
調 和 で あ る こ とが 証 明 さ れ る(後
存 在す る
調 和 函数 が 存 在 す
数 が 存 在 す る こ と と が 同 等 で あ る こ と を,次
の §2.2で 証 明 す る. 定 理2.1.2
函 数u1,u2がΩ
し てc1u1+c2u2はΩ
でA-優
証 明 u1,u2がΩ た す こ と,お
でA-優
調 和 な ら ば,任
調 和 な ら ば,c1u1+c2u2が お の お の がⅲ)を
函 数wと
函 数 の 列{u1n},{u2n}で
を と る.u1,u2の
∂D上
の 各 点 でnに
収 束 す る も の が あ る.任
意 の ε>0を
w1=u1n, w2=u2n,
す こ とに よ り,Dに
題 の 解)と す る.こ
のuに
仮定 の連 続 れ ぞ
つ い て単 調増加 で あ り,∂D あ る.こ
のnを
固定
条 件ⅲ)を
満 た
で それ ぞれ w0=1
の と き,u1,u2が
おいて
が 成 立 す る が,ε は 任 意 に 小 さ くとれ るか らu(x)≧w(x)が 条 件ⅲ)を
対 し てⅲ)の
与 え る と,
な るnが
和 で あ っ て ∂D上
と な る 函 数(Dirichlet問
満
つ い て 単 調 増 加 で あ っ て,そ
だ か ら,Sn=∂Dと
し,w1,w2,w0をDでA-調
定 義 の 条 件ⅰ),ⅱ)を
下 半 連 続 性 に よ り,∂D上
は ∂Dに お け る相 対 位相 で 開 集 合 で あ って,nに は コ ン パ ク トで
対
満 た す こ とは 明 らか で あ るか
満 た す こ とを 示 せ ば よ い.こ
を 満 た す 領 域Dと
意 の 正 の 定 数c1,c2に
調 和 で あ る.
よ びc1u1,c2u2の
ら,u=u1+u2がⅲ)を
れu1,u2に
でA-優
得 られ,函 数uは
満 た す.
定 理2.1.3
Ω でA-優
調 和 な 函 数 の 列{un}が
{un(x)}がnに
つ い て 単 調 増 加 で あ り,
あ っ て,各
点x∈
Ω において
がΩ で恒 等 的 に ∞ で
は な い な ら ば,uはA-優
調 和 で あ る.
証 明 uが 定 義 の条 件ⅰ),ⅱ)を 満 た す こ とは 明 らか であ るか ら,ⅲ)を ば よい.uに
対 し てⅲ)の
仮 定 を 満 た す 領 域Dと
函 数wと
示せ
を とる.un-wは
∂D上 で 下 に 半 連 続 で あ るか ら,任 意 の ε>0を 与 え る と,
は ∂Dに お け る 相 対 位 相 で 開 集 合 で あ る.よ 同 様 に し て,Dに
お い てu(x)≧w(x)と
こ こ で,§1.3の (2.1.4)の
っ て,あ
な る こ と が 示 さ れ る.
最 後 の ペ ー ジ に 述べ たGreen函
函 数uがA-優
と は 前 定 理 の 証 明 と全 く
数G(x,y)が
調 和 で あ る こ とを 証 明 し よ う.G(x,y)は,Ω
る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か
存在すれば にお け
ら
(2.1.5)
に よ っ て 得 ら れ た も の で あ った.だ
か らU(t,x,y)の
半 群性 に よ り
(2.1.6)
以 上 の こ と を 使 っ て,次 定 理2.1.4
μ がΩ
の 定 理 を 証 明 す る.
に お け るBorel測
度 で あ っ て,函
数
(2.1.7)
がΩ で恒 等 的 に ∞ で は な い な らば,uはΩ y∈Ω を 固定 す る と き,G(x,y)はxの
でA-優
調 和 であ る.特 に,任 意 の
函 数 と してΩ でA-優
証 明 まず,有 界 領 域 の列{Dn}でDn⊂Dn+1, し,各nに
対 し て 函数
な る も の を 固 定 す る.次
調 和 で あ る. なる も の を 固定
ωn∈C20(Ω)で
に 各nとt>0,y∈Ωに
対 して
(2.1.8)
は 非 負 値 で あ っ て,U(t,y,z)の
連続性 ・ 可 微 分 性に よ り,fn(t,y)はyに
ついて
C2級,従
っ て も ち ろ んHolder連
続 で あ る.だ
か ら函 数
(2.1.9)
はxに
つ い てAun(t,x)=-fn(t,x)≦0を
つ い てA-優
調 和 で あ る.ま
加 で あ る か ら,∞
満 た す か ら,定
たfn(t,x)は,従
理2.1.1に
っ てun(t,x)もnに
よ りxに
つ い て単 調 増
の値 を 許 す 函数
が 定 義 さ れ る が,(2.1.8),(2.1.9)お
よ び(2.1.6)に
よ り
(2.1.10)
と な り,従
っ て(2.1.5)に
と な る か ら,u(x)に
よ り
関 す る 仮 定 に よ り,各t>0に
て 恒 等 的 に ∞ で は な い.だ 調 和 で あ る.こ
はnに
こ でtn↓0な
か ら定 理2.1.3に る 数 列{tn}を
調 和 で あ る.特
つ い てA-優
とれ ば,(2.1.10)に
よ りu(tn,x)
だ か ら,再 に,一
点yを
に 集 中 し た 単 位 質 量 を 考 え れ ば,G(x,y)はxの
つい
よ りu(t,x)はxに
つ い て単 調 増 加 で あ って
よ りu(x)はA-優
対 し てu(t,x)はxに
び 定 理2.1.3に
固 定 し,(2.1.7)の
μ と し てy
函 数 と し てA-優調
和 であ
る. A*-優
調 和 函 数 に つ い て 今 ま でA-優
調 和 函 数 に つ い て 述べ た 事 項 は,A*-
優 調 和 函 数 に つ い て も そ の ま ま成 立 す る.た て は,xとyと
の 役 目 が 入 れ か わ る.例
だ し,Green函
数G(x,y)に
つ い
えば 定 理2.1.4の(2.1.7)は
(2.1.7*)
と 書 け ば よ い.な
お,§1.3の
の コ ン パ ク ト集 合E⊂ (2.1.11)
最 後 に 述 べ た(1.3.29),(1.3.28)に
Ω に対 し て
よ り,任
意
が成 立 す るか ら,μ が 有界 なBorel測 所 可 積 分,従
っ て
度 な らば(2.1.7*)で
対 応 す る定 理 は,次
とな る.だ か らA*-優
函 数υ はΩ でA*-優
度 な らば(2.1.7*)で
函 数 としてA*-優
調 和 であ る.―
い てbi(x)≡0,従
あ って,定 理2.1.4を
っ てA=A*の
定 理2.1.4*と
数 に 関す る大 抵 の文 献 で はA=A*の
場 合 に は,G(x,y)=
同 じ書 き方 に で き る.優 調 和 函
場 合(ま た は それ を 抽 象 化 した 形)が 扱
わ れ て い るが,本 書 に お い て は 特 に 断 わ らな い 限 り A-優 調 和 とA*-優 Aにお
定 義 され る
調和 で あ る.特 に,任 意 のx∈ Ω を 固定 す る と き,G(x,
偏 微分 作用 素Aにお G(y,x)で
調和 函 数 に 関 して 定 理2.1.4に
の形 で 述 べ て お く方が 使 い や す い こ とが 多 い.
定 理2.1.4* μがΩにお け る有 界Borel測
y)はyの
定 義 され るυ は 局
と して い るの で,
調 和 の概 念 を 区 別 す る.
い てc(x)≡0の
A-優 調 和 函 数 とA*-優
場 合 に は,い
わ ゆ る最 小値 原 理 が成 立す る;こ れ は
調 和 函 数 とに 関 し て,そ れ ぞ れ 次 の 定 理2.1.5,2.1.5*
の 形 に述 べ られ る. 定理2.1.5 偏 微 分 作 用 素Aの 係 数c(x)が
≡0な る とき,領 域Ω でA-優
調
和 な函 数 が Ω の 内部 で最 小 値 を とれ ば,そ れ は Ω に お い て 定 数 で あ る. 証 明 函数uが
Ω でA-優
c(x)≡0な らばuに
調 和 で あ っ て,Ω
で あ る と し て よい.uが
Ω に お い て 定 数 で な い とす る と,E={x∈Ω│u(x)=0}
はΩ の 真 部 分 集 合 で あ るか ら,Ω x0∈D⊂D⊂Ω
の 内 部 で最 小値 を と る とす る.
定 数 を 加 え て もA-優 調 和 性 は 変わ らな い か ら,最 小 値 が0
の 内部 にEの
な る正 則 な 有 界 領 域Dが
境 界 点x0が
とれ る.uの
上 で非 負 値 を と る連続 函 数 の 単 調増 加列{φn}で,∂D上 が あ る.Dに し て,Dに
お け るDirichlet問 お い てA-調
の解)をwnと
と な る か ら,n→
って
下 半 連 続 性 に よ り,∂D でuに
対
和 で あ っ て ∂D上 でφnに 等 し い 函数(Dirichlet問
題
∞ として
調 和性 に よ り
数 をGD(x,y)と
収束 す る もの し,各nに
す る と,uのA-優
題 のGreen函
存 在 し,従
(2.1.12)
が 成 立 す る.∂D上 ∂D\Eは
で ∂GD(x0,y)/∂nD(y)<0で
∂Dに
連 続 性 に よ りu(x0)=0だ
を と るA*-調
たDの
お け る相 対 位 相 で 空 で な い 開 集 合 で あ っ て,そ
で あ る か ら,(2.1.12)の
定 理2.1.5*
あ り,ま
右 辺 は 正 で あ る.一 か ら,こ
偏 微 分 作 用 素Aの 和 函 数 と す る.函
方x0∈
∂Eな
と り方 に よ り の 上 で はu>0
る こ と とuの
れ は 矛 盾 で あ る. 係 数c(x)が≡0と
数υ(x)が
領 域Ω
し,ω(x)をΩ でA*-優
上 でυ=Cω
注 意 Ω で 正 の 値 を と るA*-調
和 函 数 ω は 常 に 存 在 す る.(§1.4)
定 理2.1.5*の
の 函 数wに
対 して
で 定 義 さ れ る 偏 微 分 作 用 素Aを
考え る と,こ
れ とA*と
(2.1.13)
ω-1A*[ωw]=Aw
な る 関 係 が あ る(46ペ でA-優調
ー ジ).ま
ず,υ
和 で あ る こ と を 示 す.υ
がΩ
と な る 定 数Cが
でA*-優
る.こ
連 続 か つDでA-調
の と きωwはDで
り,∂D上 ωw≦υ,従
で ωw≦υ っ てw≦uと
和 で あ っ て,∂D上
連 続 で あ っ て,(2.1.13)に と な る か ら,υ な る.こ
がA*-優
れ でuがAに
の 仮 定 を 満 た す とす る と,函
数u=υ/ω
し た よ うに,uはΩ
調 和 で あ る.AはAの
数Cに
はΩ
っ てΩ 上 でυ=Cω
な る正 則 有 界 領 域 で あ でw≦uを
満 た す とす 和 であ おいて
て 函 数υが
満 た
定 理2.1.5*
の 内 部 で 最 小 値 を と り,上
理2.1.5に
が Ω
満 た せ ば,
よ りDでA*-調
調 和 で あ る.さ
る 条 件 を 満 た し て い る か ら,定
等 し い.よ
調 和 な ら ばu=υ/ω
つ い て 定 義 の 条 件ⅲ)を
でA-優
c(x)≡0な
の間には
調 和 な こ と に よ り,Dに
す こ と が わ か っ た か ら,uはΩ
でA-優
存 在 す る.
が 優 調 和 性 の 定 義 の 条 件ⅰ),ⅱ)を
uも 同 じ条 件 を 満 た す こ と は 明 らか で あ る.DがD⊂Ω り,wがDで
で正の値
調 和 で あ っ て,υ/ω
が Ω の 内 部 で 最 小 値 を と れ ば,Ω
証 明 Ω でC2級
下半
に証 明
形 に 書 き表 わ し た と き の よ りuはΩ上
で あ る定
とな る.
次 の定 理 も,優 調 和 函数 の性 質 とし て興 味 あ る事 実 で あ り,§2.3と
§6.4で
利 用 され る.優 調 和 函数 は連 続 とは限 ら な い か ら,こ の性 質 は 自明 で は な い.
定 理2.1.6
領 域 Ω に お い て 函 数u,υ
優 調 和)で あ っ て,u=υ(a.e.)な 証 明 u,υ
がA*-優
し,u(y0)=υ(y0)を
と る.(u(y0)=∞
uの 下 半 連 続 性 に よ り,y0の の と き,Ω1はy0の Euclid空
\{y0}を
開 区 間(0,1)と
定 に よ りΩ1で <1)を
適 当 な 近 傍Ω1(⊂Ω)に
の 座 標 系 に 関 し,y0を 点 を'極
意 の 一 点y0∈
お い て α
調 増 加 列{φn}で
原 点 とす る)で
か ら,Fubiniの
球 の 内 部 をΩrと
表 わ す こ と に よ り,Ω1
単 位 球 面 と の 直 積 と 考 え る.Ω1の
と り方 と 定 理 の 仮
定 理 に よ り,適
Green函
数 をG(x,y)(定
と な る も の が あ る.Ωrに 理1.3.1,定
理1.3.3)と
当 なr(0
な る.(§1.1の
は ∂Ωr上 で 下 に 半 連 続 だ か ら,∂Ωr上
と な る.こ
中 心 とす る単 位 球 面 に な って い
中 心 と す る 半 径rの
座 標'(y0を
α<υ/ω(a.e.)だ
定 義 参 照.)υ
意 の実 数 α
の 中 で一 つ の局 所 座 標 系 を 固 定 し て
と れ ば ∂Ωrの 上 で 面 積 要 素 に 関 し て α<υ/ω(a.e.)と
dx,dSの
Ω を固定
の と き は α と し て 任 意 に 大 き い 実 数 を と る.)
間 に 埋 め 込 ん だ と き に,∂Ω1がy0を
す る.Ω1\{y0}の
にA*-
で あ る.
を 前 定 理 に 述 べ た 函 数 と し,任
座 標 近 傍 に 含 ま れ,そ
る と し て よ い.こ
調 和(ま た は,共
に お い てu≡υ
調 和 函 数 の 場 合 を 証 明 す る.任
示 せ ば よ い.ω
が 共 にA-優
ら ば,Ω
の連 続 関 数 の単
お け るDirichlet問
す る と,函
題 の
数 ω(y)はΩrに
おいて (2.1.14)
を 満 た す.こ
こ で 函 数wn(y)(n=1,2,…)を
(2.1.15)
に よ っ て 定 義 す る と,Ωrに ら,υ がA*-優
n→
∞
お い てA*wn=0,∂Ωr上
でwn=φn≦υ
とな るか
調 和 な こ とに よ り
と し て か ら,∂Ωr上
でυ/ω>α(a.e.)な
る こ と と(2.1.14)を
用 い て
以 上 に お い て α はu(y0)/ω(y0)に 得 ら れ る.uとυ
と を 入 れ か え て も 同 様 な 議 論 が で き る か らu(y0)≧υ(y0)が
ら れ,u(y0)=υ(y0)と u,υ
がA-優調
得
な る. 和 函 数 の 場 合 も,全
だ し,上 の 証明にお 函 数G(x,y)の
い くら で も 近 く と れ る か ら,υ(y0)≧u(y0)が
く同 じ 方 法 で 証 明 す る こ と が で き る.た
い て ω(x)を 定 数1で
置 き 換 え,(2.1.14)の
か わ りにGreen
性質
(2.1.14′)
を 用 い,ま
た 函 数wn(n=1,2,…)は
(2.1.15′)
と定 義 す れ ば よい. こ こで,Ω がEuclid空
間Rmの
中 の 任 意 の領 域(Ω=Rmで
も よい),A=△
(ラ プ ラシ ア ン)の 場 合 に,優 調 和 函 数 の 具体 例 を あ げ て お こ う.調 和 函 数 は 優 調 和 で あ る が,以 下 の例 はす べ て Ω で調 和 では ない 函 数 で あ る. 例1 yをRmの
任 意 に 固 定 した 点(y∈Ω
固 定 した 自然 数,aを
定 数,bを
は 優 調 和 で あ る(uは
い た る 所C2級
例2
yを 例1の
調 和 で あ る.y∈Ω
通 り,cを
で も
で も よい),kを
任意に
正 の定 数 とす る と き,
で △u=-2k(2k-1)b│x-y│2k-2).
正 の 定 数 と す る と き,υ(x)=c│x-y│-(m-2)は
の 場 合 はυ(y)=∞
と な る か ら,υ
はΩ 全 体 で はC2級
優 では
な い. 例3
例1のu,例2のυ
は 各u,υ で あ る.こ
の 形 の 函 数 を 有 限 個 作 っ て(点yや
ご とに 異 な る),そ の と き,υ
こ の 例3のwの
れ ら の 正 係 数 一 次 結 合 をwと
の 形 の 函 数 が ∞ に な る 点 で はw=∞
よ うに,w=∞
定 数k,a,b,c
す る と,wは
優調和
で あ る.
と な る 点 が Ω の 中 に 何 個 で も あ りえ る が,
更 に 次 の 例 の よ うに,Ω
の 中 の 可 算 無 限 個 の 点yν{ν=1,2,…)でw(yν)=∞
な る場 合 も あ る;こ
こ で 可 算 集 合{yν│ν=1,2,…}はΩ
こ の 例 を 見 れ ば,定
理2.1.6が
と
の 中 で 稠 密 で も よ い.
自 明 で な い こ と が,一
層 よ く認 識 さ れ る で あ ろ
う. 例4
例2の
形 の 函 数υν(x)=│x-yν│-(m-2)は
てKρ={x││x│≦
ρ}と し,球K1の
優 調 和 で あ る.ρ>0を
表 面 積 をaと
最 初 の不 等 式 ≦ で,{x││x-yν│<ρ}がΩ∩Kρ
与 え
す ると
を 含 む の で は な い が,函 数 値 の
比 較 か ら積 分 値 の大 小が わ か る.そ の次 の等 式 は 極 座 標(yν が原 点)へ の変 換 で あ る.よ る.
っ て
は局 所 可積 分,従
は 優 調 和 だ か ら 定 理2.1.3に
っ て ほ とん どい た る所 有 限 で あ
よ りwは
優 調 和 で あ る.
§2.2 正値A-優
調 和 函数 の 存 在 とGreen函
数の存在
この §で は,領 域Ω に お い て定 数 で な い 正値A-優 と,拡 散 方 程 式 の最 小基 本解U(t,x,y)か
調和函数が存在す る こと
ら
(2.2.1)
に よ っ て 定 義 され るGreen函 偏 微 分 作 用 素Aの 等 的 に0で G(x,y)が
数 の 存 在 と が,同
係 数c(x)(≦0と
は な い な ら ば,前 定 義 さ れ,従
u(x)≡k(定
数)と
よ り(2.1.3)で kc(x)と
っ て,前
§ の(2.1.3)で お け るf(x)と
よ っ てGreen函
定 義 さ れ る 函 数uは し てc(x)の
な る が,一
定 義 さ れ るu(x)はAu=-fを
数
非 負 値A-
定 数 倍 で ない も のを
方Green函
しも
数 の性 質 に
満 た す べ き で あ る か ら-f(x)=
と り方に 反 す る.
以 上 に よ り,c(x)が の こ と と な る.よ
に お い て恒
定 数 で な い こ と は 次 の よ う に し て 確 認 さ れ る.も
す る とAu(x)=kc(x)と
な り,fの
恒 等 的 に0で
っ て,以
は な い 場 合に は,初
下 こ の §で はc(x)≡0と
数 の最 大 値 ・ 最 小 値 原 理,A-優 こ こ で,最
仮 定 し て い る;§1.1)がΩ
に 述 べ た よ う に,(2.2.1)に
優 調 和 函 数 で あ る.(2.1.3)に と っ て お け ば,u(x)が
等 で あ る こ と を 証 明 す る.
め に 述 べ た事 実 は 自 明
す る.従
っ て,A-調
和函
調 和 函 数 の 最 小 値 原 理 が 成 り立 つ.
小 基 本 解U(t,x,y)が
有 界 領域 に お け る基 本解 の 極 限 と して 得 ら
れ た も の で あ る こ とを 想 起 し て お く.{Dn}n=1,2,…
を正則な有界領域の列 で
(2.2.2)
な る も の と し,各Dnに
対 し て ∂Dn上
き の 拡 散 方 程 式 の 基 本 解 をUn(t,x,y)と に 属 す る と き はUn(t,x,y)=0と は(0,∞)×
Ω ×Ω 上 でnに
(2.2.3)
と な る(第1章,§1.2).
でDirichlet境 す る.x,yの
定 義 し て お く と,函 関 し て 単 調 増加 で
界 条 件u=0を
与 えた と
少 な く と も 一 方 がΩ \Dn 数 列{Un(t,x,y)}n=1,2,…
今 後,記 号 の簡 便 の た め,ま ぎれ の起 る恐 れ が ない 場 合 に は,函 数 の値 を 表 わ す ときに 変 数 を 省 略 す る こ とが 多 い.例 え ば,Eが れ る集 合 であ る とき,'す べ て のx∈Eに を'Eに
お い てu=υ'と
書 き,ま
函数u,υ の定 義 域 に含 ま
対 してu(x)=υ(x)'が
た
を
成 り立 つ こ と と書 く;
等 も同様に 用 い られ る. こ の § の 目的 の た め,ま 則 有 界 領 域D0を ⊂D1な
ず 次 の よ うな 函 数 列{ωn}を
と り,(2.2.2)を
とな る 函 数 と し,更
D0でA-調
上 で ωn=0,∂Dnの
はωn=0,Ω
体 で 連 続 な 函 数 と し て お く.こ 補 助 定 理2.2.1 ⅰ)
をD0
対 し て ωnを
和,∂D0の にD0で
な る正
満 た す 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}n=1,2,…
る よ うに と る.各n≧1に Dn-D0でA-調
考 え る.D0⊂Ω
は ωn=1と
定 義 し て,Ω
全
の と き,
{ωn}はnに
和 な あ る 函 数 ω に,広
ⅱ) 上 記 の 函 数 ω は 領 域D0の
\Dnで
上 で ωn=1
関 し て 単 調 に 減 少 し,Ω
上 で 連 続 か つΩ \
義 一 様 に 収 束 す る. み に よ っ て 定 ま り,領 域 の 列{Dn}n=1,2,…
の
と り方 に は 関 係 し な い. ⅲ)
函 数 ω はΩ \D0に
る か の,い (D0に
お い て,恒
ず れ か で あ る.ど
等 的 に0と
ち ら が 成 り立 つ か は,D0の
お い て はⅰ)に よ り常 にω=0と
お い て ωn-ωn+1=0,∂Dnに
ωn-ωn+1はDn-D0でA-調 り,従 n≧n0な
ら ば ωnはDn0\D0でA-調
か ら,{ωn}はΩ 収 束 す る(第1章,定
ωn≦1で
ωn≧ωn+1(最 小 値 原 理)と な
関 し て 単 調 に 減 少 す る.任 和 で あ り,D0で
上 で 連 続 か つΩ \D0でA-調
あ る か ら,
お い て ωn-ωn+1≧0.
和 だ か ら,Dn-D0で
っ てΩ 全 体 で{ωn}がnに
と り方 に 関 係 し な い.
な る.)
証 明 ⅰ) 最 大 値 原 理 に よ り各 ωnは Ω 上 で0≦ ∂D0に
な るか 又 は 常 に 正 の 値 を と
意 のn0に
対 し て,
は す べ て の ωnが
和 な あ る 函 数 ω に,広
≡0だ
義一様 に
理1.4.7).
ⅱ) 上 に 述 べ た よ うな 領 域 の 列{Dn}と{D′n}が
あ る と し,対
{ωn},{ω′n}の 極 限 函 数 を そ れ ぞ れω,ω′ とす る.任
意 のnに
ン パ ク トだ か ら,Dn⊂D′n′
な るn′ が あ る.こ
応 す る 函数 列
対 し て,Dnが
コ
の と きⅰ)の 証 明 と 同 様 に し て Ω
上 で ωn≧ω′n′ とな る.ⅰ)に
よ りΩ上 で ω′n≧ ω′だ か らωn≧ ω′と な り,こ
n→ ∞ とす れ ば ω≧ ω′を 得 る.同 り,ω が{Dn}の ⅲ)
様 に し て ω≦ ω′も 示 さ れ る か ら,ω ≡ω′と な
と り方 に 関 係 し な い こ とが わ か る.
Ω\D0に
お い て,ω ≡0で
な い な ら ば ω が 常 に 正 で あ る こ と は,最
値 原 理 か ら 明 らか で あ る.上 に 述 べ た よ うなD0と 考 え,こ
小
同 じ 条 件 を 満 た す 別 のD′0を
れ に 対 し て 作 ら れ た{ω′n}の 極 限 関 数 を ω′とす る.D0∪D′0⊂Dな
DをD0と
同 じ 条 件 を 満 た す よ うに 作 り,D0とD,D′0とDに
つ い ても こ の 命 題 が 成 り立 つ.よ
か らD0⊂D′0と
ω′ ≡0と
仮 定 し て,ω ≡0と
たⅱ)に
てD′0⊂D1と
よ り,領
って 初 め
が 同等 な こ とを 証 明す れ ば 十 分 で
域 の 列{Dn}はD0とD′0に
共 通 に と っ て よ い;従
っ
し て よい.
ま ず Ω\D0にお
い て ω≡0な
ωn-ω′nはDn\D′0でA-調
ら ば ω′ ≡0な
る こ と を 示 す.D0⊂D′0に
だ か らDn\D′0に ω′ ≧0と
な る か ら,ω ≡0な
ら ば,Ω
\D′0に お い て ω′>0な 域D1\D0(⊃
収 束 す る か ら,あ
お い て ωn=ω′n=1
お い て ωn≧ω′n≧0;こ こ でn→
と な る.c0
ら ば ω′ ≡0で あ る.次
るn0が
\D0に
お い て ω>0な
と る と,コ ン パ ク ト集 合 ∂D′0の上 で ωnが ω に 一 様 ら ば ∂D′0の上 で ωn
な る.
和で
∂D′0にお い てω′n=0>ωn-c,∂Dnに
上 でn→
に,Ω
る こ とを 示 せ ば よい,
存 在 し て,n>n0な
ω′n-(ωn-c)はDn\D′0でA-調
特 に ∂D1の
∞ と す れ ばⅰ)に よ っ て ω≧
∂D′0)に 最 大 値 ・最 小 値 原 理 を 適 用 す れ ば,0
だ か ら,Dn\D′0に
よ り,
和 で あ って
∂D′0にお い てωn≧0=ω′n,∂Dnに
と お き,領
る
ついてそれぞれ
こ の 命 題 が 示 され れ ば,D0とD′0に
あ る.ま
こで
お い て ω′n=1>ωn-c
お い てω′n-(ωn-c)>0,従 ∞ と し て ω′ ≧ ω-cを
っ てω′n>ωn-c≧ 得 る か ら,cとc1の
従 っ て Ω\D′0に お い て
ω-cと
な る,
と り方 に よ り
と な る か ら,ω>0な
る こ
成 り立 つ な ら ば,Ω
におい
とが わ か る. 補 助 定 理2.2.2
前 の 補 助 定 理 のⅲ)で
て 定 数 で な い 正 値A-優
ω≡0が
調 和 函 数 は 存 在 し な い.
証 明 Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優 x1,x2∈
Ω
調 和 函 数uが
と正 数cをu(x1)
よ り,W={x∈
W0⊂Wだ
る よ うに と れ る.uの
Ω│u(x)>c}はx2を
な る 開 集 合W0が
あ る.D=Ω
あ る と 仮 定 す る と,点 下半連続性に
含 む 開 集 合 で あ る か ら,x2∈W0⊂W0⊂W \W0は
開 集 合 で あ っ てx1を
含 み,ま
た ∂D⊂
か ら,
(2.2.4)
一方
,ω=0が
成 り立 つ とい う こ と は 前 に 述 べ たD0の
ら,D0をD0⊂Wな
る よ うに と っ て,前
た と き に,{ωn}の
極 限 函 数 が ω≡0と
と お く と,(2.2.4)に
よ り α<β
と り方 に 関 係 し な い か
に 述 べ た よ うに{Dn}と{ωn}を
作 っ
な っ た と し て よ い.
で あ る か ら,各nに
対 して
の上 で ま た,∂Dnの
上 で はωn=1だ
か ら
の上 で だか ら の上 で とな る.函 D∩Dnの
数u-{(α-β)ωn+β}はD∩Dnに
お い てA-優
調 和 で あ るか ら
各 連 結 成 分 の上 で最 小 値 原 理 を 適 用 す れ ば に おい て
とな る.こ
こ でn→
∞ と す る と ω≡0に
て
を 得 る;こ
でな い 正 値A-優
調 和 函数 は 存 在 し ない.
さて,こ
れ は(2.2.4)と
よ り,Dに
お い て
矛 盾 す る.だ
従 っ
か ら Ω に お い て定 数
の §の初 め に 述 べ た よ うな 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}と,基
{Un(t,x,y)}を
考 え る.各 有界 領 域Dnに
本解の列
対 して は
(2.2.5)
が 定 義 さ れ て,Dirichlet境 関 し て 単 調 増 加 で あ る.よ に 対 して
界 値 問 題 のGreen函 っ て,Ω
数 と な り,{Gn(x,y)}はnに
上 で 有 界 か つHolder連
続 な 任 意 の 函 数f
(2.2.6)
で 定義 され る函 数unは (2.2.7) を 満 た し,特 る.(x∈
Dnに
お い てAun=-f,∂Dnの
にf≧0な
Ω\Dnに
ら ば,unは
補 助 定 理2.2.3 る.そ
の と き,f∈C10(Ω)か
Ω で連 続
こ で 次 の こ とを 証 明 す る.
つ Ω 上 でf≧0な
調和 函数 が存 在 す る とす
ら ば,(2.2.6)で
定 義 され る函数
を満 たす.
証 明 函 数fの
台 を 含 む よ うなDn0を
用 い て,n>n0な
定 理2.2.1に
関 し て 単 調増 加 で あ
定 義 す る こ と に よ り,unは
Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優
列{un}は
D0を
非 負 値 で あ っ てnに
対 し て はun(x)=0と
な 函 数 と考 え る こ と に す る.)こ
上 でun=0
るDnに
よ り函 数 列{ωn}は
す る.こ
の
対 し て 函 数 ωnを 前 の よ う に 定 義 す る と,補
助
Ω\D0でA-調
補 助 定 理2.2.2(の
対 偶)に よ り,Ω \D0で
とお き
とお く とγ>0で
とお く と,(2.2.7)と
と っ て 固 定 し,D0=Dn0と
和 な 函 数 ω に 収 束 し,仮 ω>0と
あ る.n>n0な
Ω\D0でf=0な
な る.だ る各nに
定 と
か ら,S=∂Dn0+1 対 し て
る こ とに よ り
に おい て の上 で の上 で だ か ら 最 小 値 原 理 に よ りDn\D0の でun≦cn(1-ω)と
上 でcn(1-ω)-un≧0と
な る.特
な るか ら
(2.2.8)
次 に,Dn0+1に の 上 でun0+1=0で
だ か ら (2.2.9)
お い てAun=Aun0+1=fに あ る か ら,最
よ りA(un-un0+1)=0,∂Dn0+1=S
大 値 原 理 と(2.2.8)に
よ り
と な り,こ
れよ り
にSの
上
を 得 る.一
方Dn\D0で
はAun=f=0,∂Dnの
上 で はun=0だ こ れ と(2.2.9)と
原 理 に よ り
を 得 る.こ
各nに
の 右 辺 はn(>n0)に
対 し て
べ て のnに
であ るか ら,上 の 結 果 か ら 以 上 の こ と を 用 い て,次 定 理2.2.1
係 数c(x)が 数G(x,y)が
要'性
ら(2.2.1)
定 義 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Ω
Ω で 恒 等 的 に0の 存 在 す れ ば,定
において
場 合 に証 明す れ ば よい
理2.1.4に
函 数 と し て Ω でA-優
は 明 ら か で あ る.よ
数G(x,y)が
た よ う に,Ω
はun=0
が 得 られ る.
Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優 Green函
つ い て Ω \Dnで
調 和 函 数 が 存 在 す る こ と で あ る.
す る と きG(x,y)はxの け る'必
る
の 定 理 を 証 明 し よ う.
数G(x,y)が
定 数 で な い 正 値A-優
Green函
た1≦n≦n0な
領 域 Ω に お け る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か
に よ っ てGreen函
証 明 Aの
大値
か ら
無 関 係 な 有 限 な 値 を と る.ま
は 有 限 で あ り,す
か ら,最
よ り,任
意 のy∈
調和 で あ る か ら,こ
っ て,'十
分'性
Ω を 固定 の定 理 に お
を 証 明 す る.
調 和 函 数 が あ る とす る.(2.2.1)に
定 義 さ れ る こ と を 示 す に は,第1章
の 内 部 に あ る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Eに
§1.4の
よっ て 最 後 に述 べ
対 して
(2.2.10)
な る こ と を 証 明 す れ ば よ い.Ω を 定 め,unを(2.2.6)に
こ こ でn→
あ る.こ
∞
つE上
よ っ て 定 義 す る と,補
す べ て のn,す と な るMが
上 でf≧0か
べ て のx∈
の と き(2.2.5)に
とす る と,Un(t,x,y)のnに
でf≧1と 助 定 理2.2.3に
な る 函 数f∈C10(Ω) よ り
Ω に 対 し てun(x)≦M<∞ よ り,任
意 のx∈
Ω に対 して
関 す る 単 調 性 と(2.2.3)に
に な る か ら(2.2.10)が
成 立 す る.
より
定 理2.2.2
前 定 理 のGreen函
述 べ た 通 り と す る と,函
数G(x,y)が
存 在 す る と し,Gn(x,y)を
数 列{Gn(x,y)}はnに
前に
関 し単 調 増 加 で
(2.2.11)
こ の 収 束 は,互 ×Fの
い に 交 わ ら な い 任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,F⊂
上 で 一 様 で あ る.ま
た 任 意 の 点z∈
Ω に 対 し て,E
Ω に対 し て
(2.2.12)
証 明 {Un(t,x,,y)}がnに (2.2.5)に つ.E,Fが
コ ン パ ク トでE∩F=φ
続 で あ る か ら,Diniの る.ま
関 し て 単 調 増 加 な こ と,お
よ り,{Gn(x,y)}はnに
G(x,y)が(2.2.12)を
な ら ば,Gn(x,y),G(x,y)はE×Fで
定 理 に よ り(2.2.11)の
た,Gn(x,y)が(2.2.12)を
よ び(2.2.1),(2.2.3),
関 し 単 調 増 加 で あ っ て(2.2.11)が
収 束 はE×Fの
満 た す(第1章,定
満 た す こ と が わ か る.
成 り立 連
上 で一 様 で あ
理1.3.8)こ
と か ら,
§2.3 優 調和 函数 の局 所 可 積 分 性 とRiesz分
解
この §で は領 域 Ω に お け るA-優 調 和 函数uに
対 して,ⅰ)局 所 可 積 分 性,ⅱ)
Ω 上 で非 負 値 を と る任 意 のf∈C20(Ω)に 対 して と,お ⅱ)は り,そ
よ びⅲ)Riesz分
Dが ∂D上
解 の 定 理(後 述 定 理2.3.4と
優 調 和 函 数uがSchwartzの の 意 味 で はⅲ)も
前 提 と し な い で,直
とな る こ 定 理2.3.5)を
超 函 数 の 意 味 でAu≦0を
超 函 数 の 理 論 に 含 ま れ る が,こ
証 明 す る.
満 た す こ とで あ
こで は 超 函 数 の 理 論 は
接 証 明 を 与 え る.
Ω に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ う な 任 意 の 正 則 領 域Dに でDirichlet境
UD(t,x,y)と
界 条 件 を 与 え た と き のDに
お け る拡 散方 程式 の基 本解 を
書 く こ と に す る.
補 助 定 理2.3.1
Ω0を Ω の 中 の 正 則 領 域 で,Ω0が
集 合 で あ る も の とす る.u(x)は と る 函 数 と し,υ(x)は は υ(x)=0と
対 し,
Ω でA-優
調 和 で あ っ て,Ω0の
Ω0の 上 で 連 続 か つ0≦
な る 函 数 とす る.こ
て
の と き,任
Ω に 含 まれ る コンパ ク ト
υ(x)0と
上 で正 の値 を
満 た し,∂ Ω0上 で 任 意 のx∈Ω0に
対 し
と な る.
証 明 領 域 Ω で正 の値 を と りAω=0を
満 た す 函 数 ωを 一 つ 固定 し,Aを
な る偏 微 分 作 用 素 と す る.こ の とき, §1.4(47ペ
ー ジ)で
述 べ た よ うに,
に お け る 拡 散 方 程 式 ∂w/∂t=Aw,にDirichlet境 で あ り,ま
たu=ω-1uと
優 調 和 な ら ばuはA-優 対 し てu=ω-1u,υ=ω-1υ
お く と,Au=ω-1Auと
界 条 件 を 与 え た もの の基 本 解 な る;こ
調 和 な る こ とが 容 易 に わ か る.こ
の 補 助 定 理 のu,υ
に
を示 お い てc(x)≡0と
した 形 で あ る
場 合 に この補 助 定 理 を 示 せ ば よい.以 下 この 場合 に
つ い て証 明 を述 べ る. そ こ で,
の こ とか ら,uがA-
と お い て
せ ば この補 助定 理 の結 論 を 得 るが,AはAに か ら,最 初 か らc(x)=0の
は Ω0
と お き,
あ るt>0,x∈
Ω0に 対 し てυ(t,x)≧u(x)
とな る こ と を 仮 定 し て 矛 盾 を 導 け ば よ い.ま
ずu(x)-υ(x)はΩ0に
お い て正 の
値 を とる下 半 連 続 関 数 であ るか ら (2.3.1) Ω0の
上 で0<υ(x)+δ
と な る 正 数 δを と る こ と が で き る.い
ま
があ る
とな る と お く と,t0>0で
あ る;こ
一様 に
の こ と は,基
と な る こ と と(2.3.1)に
性 質 に よ り Ω0で
よ っ て わ か る.ま
た,
な らば
(2.3.2)
だ か ら,x∈
本 解UΩ0(t,x,y)の
∂Ω0な ら ばυ(t,x)=0な
る こ と と,υ(t,x)の
連 続 性 お よ びu(x)の
下 半 連 続 性 に よ り, (2.3.3) と な る 点x0が
υ(t0,x0)=u(x0)<∞ Ω0の 内 部 に と れ る.更 Dに
に,x0∈D⊂
Ω0な る 正 則 領 域Dを
お い て υ(x)<υ(x0)+δ/3,u(x)>u(x0)-δ/3
とな る よ うに と れ る.こ
れ ら の 不 等 式 と(2.3.1)と
Dに
(2.3.4)
か ら
おいて
{un}を ∂D上 の連 続 函数 の単 調 増 加 列 で,∂D上
とな る も
で
の とす る と, (2.3.5)
な る こ とが,Diniの
定 理 の 証 明 と 同 様 に し て 示 され る;そ
辺 の 値 が ∞(す な わ ち ∂D上 でu(y)≡ をDirichlet境
場 合 も,本
の右
質 的 に 同 じ で あ る.wn
界 値 問 題: Dに
の 解 と す る と,uの
お い てAwn=0,∂Dの
優 調 和 性 に よ りDに
nに 関 し て 単 調 増 加 だ か ら,Dの (2.3.6)
Aに
∞)の
の 論 法 は,上
対 す る 仮 定c(x)≡0に
上 でwn=un お い てwn(x)≦u(x)で
あ り,{wn}は
各点 で
が存 在 して よ り,wnは
∂D上
で 最 小 値 を と る か ら,Dに
おい
て
と な る.従
Dに
(2.3.7)
一方 で,初
,wnをDに
よ り
おいて
お け る 拡 散 方 程 式 ∂wn/∂t=Awn(実
期 値wn(x),境
UD(t,x,y)(こ
っ て(2.3.5),(2.3.4)に
界 値un(x)を
は 両 辺 と も に0)の
と る も の と 考 え る と,Dに
解
お け る基 本 解
の §の 初 め に 述 べ た も の)を 用 い て
な る 関 係 が 得 ら れ る か ら,n→
∞ と す る と,(2.3.5)に
よ り
(2.3.8)
υ(t,x)を(0,∞)×Dに
制 限 した 函数 をDに
お け る拡 散 方 程 式 の 解 と考 え,
y∈ ∂Dに 対 す る υ(t,y)自 身 の 値 を 境 界 値 と考 え る と
特 にt=t0,x=x0と
す る と,(2.3.7),(2.3.2),(2.3.8)に
で あ るか ら,上 の 不 等 式 は(2.3.3)
基 本解 の 正 値性 に よ り と 矛 盾 す る.こ
れ で 補 助 定 理2.3.1が
注 意1 後 述 の 定 理2.3.1が 対 し て,集
合{x∈
よ り
示 さ れ た.
証 明 さ れ た な ら ば,Ω
Ω│u(x)=∞}は
でA-優
調 和 な 函 数uに
内 点 を も た な い こ と が わ か る.し
か し定 理
2.3.1の
証 明 が 終 る ま で は,こ
例 え ば(2.3.8)の
の こ と は 保 証 さ れ て い な い か ら,今
各 項 は ∞ か も知 れ な い.だ
の 有 限 な 実 数 は<∞,∞
か ら,上
な ど に よ っ て,∞
て も 上 の 証 明 の 各 段 階 は 正 当 化 さ れ る.定 の 証 明 中 の 式 に は,∞
のt>0,x∈
の証 明 に お い て は,任
意
≦ ∞ な ど の 約 束 に 従 っ て い る と 考 え る の で あ る が,基
本 解 の 性 質UD(t,x,y)≧0,
補 助 定 理2.3.2
の 段 階 で は,
理2.3.1が
の項 が あ っ
証 明 さ れ て し ま え ば,上
の 項 は な か っ た こ と に な る.
Ω0お よ びu(x)を
補 助 定 理2.3.1の
と お り と す る と,任
意
Ω0に 対 し て
(2.3.9)
と な る も の と し,
証 明 {Ωn}を Ωn⊂Ω0な る領 域 の 単 調 増 加 列 で 各nに
対 し て,φn(x)をΩ0上 x∈ Ωnな
で0≦
φn(x)≦1な
ら ばφn(x)=1,x∈
を 満 た す も の とす る.uはΩ0の
∂Ω0な ら ばφn(x)=0
上 で 正 の 値 を と る 下 半 連 続 函 数 だ か ら,Ω0で
非 負 値 を と る 連 続 函 数 の 列{un}で,nに も の が あ る.各nに
対 し,函
な お,次
こ でn→
∞
関 し て単 調 に 増 加 し てuに
数 υn(x)=un(x)φn(x)は
に 対 す る 仮 定 を 満 た す か ら,任
が 成 り立 つ.こ
る連 続 函 数 で
意 のt>0,x∈
収 束す る
補 助 定 理2.3.1の
函数 υ
Ω0に 対 し て
とす れ ば(2.3.9)を
得 る.
の 事 実 も 下 記 の 二 つ の 定 理 の 証 明 に 用 い る.
函数uが
領 域 Ω でA-優
調和 な ら ば,Ω0が
Ω に含 ま れ る コン
パ ク ト集 合 であ る よ うな 任 意 の 正 則 領 域 Ω0に 対 し て,Ω0で 連 (2.3.10)[
続 か つ Ω0でA-調和 u(x)+h(x)>0と こ の よ う な 函 数hは,例
Ω0でA-調
適 当に と れ ば,Ω0に
おいて
な る. え ば 次 の よ うに 定 義 さ れ る,uは
を と る か ら,そ れ を α とす る.α>0な る.wを
な 函 数hを
ら ばh≡0と
和 か つ ∂Ω0で 境 界 値w=1を
で 正 の 最 小 値 β を と る か ら,h(x)={1-(α/β)}w(x)と
Ω0の 上 で 最 小 値
す れ ば よい か ら,α ≦0と す と る 函 数 と す る と,ω
は Ω0
す れ ば よ い.(Aに
お
い てc(x)≡0は でw>0な
仮 定 し て い な い か ら,wに
ら ば Ω0でw>0と
とGreen函
な る こ と は,境
数 の 性 質(1.3.3*)か
定 理2.3.1 領 域 Ω でA-優 わ ち,D⊂
調和 な 函 数uは,Ω
和 だ か らu(x0)<∞
と り,函
あ る か ら,初
な る 点x0が
あ る.Ω0をD∪{x0}⊂
対 し て(2.3.10)の
数u1(x)=u(x)+h(x)がDで
め か ら Ω0にお い てu(x)>0と
を 示 せ ば よ い.こ
で局 所 可 積 分 で あ る.す な
対 し て
Ω0⊂ Ω0⊂ Ω な る正 則 有 界 領 域 とす る.Ω0に 函 数hを
界 値 問 題 の 解 を 与 え る式(1.3.5)
ら わ か る.)
Ω な る任 意 の有 界 領 域Dに
証 明 uはA-優調
最 小 値 原 理 は 適 用 さ れ な い が,∂ Ω0
よ うなA-調
和
可 積 分 な こ とを示 せ ば十 分 で 仮 定 し て,uがDで
の 仮 定 の も と で は 補 助 定 理2.3.2に
よ り,任
可積分 な こと 意 のt>0,x∈
Ω0に 対 し て (2.3.11)
t0>0を
ひ と つ 固 定 す る と,任
意 のx,y∈
Ω0に
対 し てUΩ0(t0,x,y)は
と な る.だ
値 を と る か ら,
か
正の
ら(2.3.11)に
とな り,uがDで
よ り
可積 分 な
こ と が 示 さ れ た.
定 理2.3.2 函数uが
領 域 Ω でA-優
調 和 な らば,Ω
で非 負 値 を と る任 意 の
f∈C20(Ω)に 対 して 証 明. fの 台 を含 む 有界 領 域 Ω0で Ω0⊂Ω な る もの を と り, (2.3.12)
を 示 せ ば よ い.Ω0に
対 し て(2.3.10)の
和 函 数hを
と な る.だ
き u(x)+h(x)に
よ うなA-調
か ら,函
を 証 明 す れ ば,uに
対 し て
(2.3.12)が
成 り立 つ こ と に な る.よ
(2.3.12)を
証明 す れ ば よ い.こ
な る こ とに よ り
と る.こ
っ て 初 め か ら Ω0でu(x)>0と
の と
数u1(x)=
対 して 仮 定 し て
の 仮 定 の も と で は 補 助 定 理2.3.2とf(x)≧0
(2.3.13)
一 方 ,基 本 解 の性 質 に よ り
(Aの
添 え 字xは,UΩ0(t,x,y)の
変 数xにつ
い てAを
施 す こ と を 示 す)と
な
る か ら,
がy∈Ω0に
つ い て有 界 収 束 で成 立 し,従 っ て
がy∈Ω0に
つ い て 有 界 収 束 で 成 立 す る.だ
てt↓0と
し た 極 限 を と れ ば,(2.3.12)が
定 理2.3.3 存 在 し て,任
Ω 上 のA-優
左 辺 をtで
割 っ
得 ら れ る.
調 和 函数uに
意 のf∈C20(Ω)に
か ら,(2.3.13)の
対 し て,Ω
に お け るBorel測度
μが
対 して
(2.3.14)
証 明 任 意 のf∈C0(Ω)に っ て 定 義 す る と,C0(Ω)は
対 し て,そ
線 型 ノ ル ム 空間 を な す.{Dn}n=1,2,…
界 領 域 の 列 でDn⊂Dn+1, 属 す る 函 数 で 台 がDnに C0(Dn)に
はC0(Ω)の
な る も の と し,各nに 含 ま れ る も の の 全 体 をC0(Dn)と
属 す る 関 数fは,Dnで
て,Ω-Dnで
はf(x)≡0と
の ノ ル ム を‖f‖=maxx∈
をΩ
よ
の中の有
対 し て,C0(Ω)に 書 く こ と に す る;
連 続 か つ ∂Dnでf(x)=0と
な るものであっ
し てΩ 全 体 に 拡 張 し た も の と考え て も よい.C0(Dn)
線 型 部 分 空 間 で あ り,ノ ル ム‖f‖ に 関 し て 完 備(従
間)で あ る.ま
Ω│f(x)│に
たC20(Dn)はC0(Dn)の
っ てBanach空
中 で ノル ム に関 し て稠 密 な 線 型 部分 空 間
で あ る.こ
こ で,任
意 のf∈C20(Ω)に
く こ と に す る と,L(f)はC20(Ω)の て 正 値 汎 函 数 で あ る;す (2.3.15) Ω 各nに
対 し て(2.3.14)の
上 の 線 型 汎 函 数 で あ り,ま
書
た前定理に よっ
なわ ち 上 でf(x)≧0な
対 し て,Ω
左 辺 の 値 をL(f)と
ら ばL(f)≧0.
上 でgn(x)≧0,Dn上
でgn(x)=1と
な るgn∈C20(Ω)を
一
つ 固 定 し て お く.ま ず (2.3.16)
任 意 のf∈C20(Dn)に
対 し て│L(f)│≦L(gn)‖f‖
と な る こ とを 示 そ う.(f∈C20(Dn)をΩ こ と に よ りf∈C20(Ω)と
\Dnに
考 え る.)gnの
-‖f‖gn(x)≦f(x)≦‖f‖gn(x)が
さ れ て│Ln(f)│≦L(gn)‖f‖ お け るBorel測度
(2.3.17)
次 に,測
正 値 線 型 汎 関 数 な る こ とに
れ は(2.3.16)を
を 満 た す.だ
任 意 のf∈C0(Dn)に
度 μn(n=1,2,…)をΩ
μm(Dn)≦ μm(Dm)<∞
が 得 ら れ る.以 μn(E)=μm(E)と
よ り,C20(Dn)の
上 で
一 意 的 に 拡 張
か ら,Riesz-Markovの
定 理 に よ り,
な る も のが 存 在 し て
対 して
上 の 一つ のBorel測
度 μ に 拡 張 す る.n<m
らば
中 で ノ ル ム に 関 し て 稠 密 で あ り,μn(Dn)<∞, だ か ら,上
の 式 か ら任 意 のf∈C0(Dn)に
上 に よ り,n<mな な る.だ
意 のn,任
意 味 す る.C20(Dn)は
上 の 正 値 線 型 汎 函 数Ln(f)に
と な る.C20(Dn)はC0(Dn)の
と な る.こ
ら ばΩ 上 で
μnで μn(Dn)≦L(gn)<∞
で あ っ てf∈C20(Dn)な
(2.3.18)任
定 め 方 に よ り,f∈C20(Dn)な
中 で ノ ル ム に 関 し て 稠 密 だ か ら,(2.3.16)に
考え た 線 型 汎 函 数LはC0(Dn)の
Dnに
定義す る
成 り立 つ か ら,Lが
よ り-‖f‖L(gn)≦L(f)≦‖f‖L(gn);こ C0(Dn)の
お い て はf(x)=0と
ら ば 任 意 のBorel集
か ら Ω に お け るBorel測 意 のBorel集
の と き任 意 のf∈C20(Ω)に
合E⊂Dnに 対 し て,fの
対 して
合E⊂Dnに
対 し て
度 μが 存 在 し て 対 し て μ(E)=μn(E) 台 を 含 むDnを
と れ ば,
(2.3.17),(2.3.18)に
よ
こ れ で(2.3.14)が
り
示 さ れ た こ と に な る.
次 にRiesz分
解 の 定 理 を 与 え る.D⊂Ω
るDirichlet境
界 値 問 題 のGreen函
定 理2.3.4
函 数uがΩ
D⊂Ω と,D上
数 をGD(x,y)と
に お い てA-優
な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに のA-調
な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに
和 函 数hDが
おけ
書 く.
調 和 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,
対 し て,Dに
存 在 し て,D上
お け る 有 界Borel測
度 μD
で 次 の 式 が 成 立 す る こ と で あ る:
(2.3.19)
こ の と き μD,hDはuとDに
よ り一 意 的 に 定 ま る;特
に よ っ て 定 ま るBorel測 い てuがA-調
度 μ のDへ
の制 限 で あ る.ま
和 な こ と と μ(Ω0)=0な
((2.3.19)をA-優
は領 域Dに
A*υ(y)=-1(y∈D),υ(y)=0(y∈
定 理 に よ り),従
理2.1.4(でΩ
をDと
定 理2.1.2に
f∈C20(Ω)と
お い てA-優
調 和 で あ る.A-優
意 のf∈C20(D)を
を 満 た し,A*fがDで
有 界 で あ る.こ
はDで
よ りwはDに
任 意 性 に よ り,uはΩ
考え て よ い.特
解 で あ る か らDで
可積分
っ て ほ と ん ど い た る 所 で 有 限 値 を と る.だ
す る)に
でA-優
と る;Ω \Dで にfをDで
連 続 だ か ら,定
お
お け る境 界値 問題:
数
よ りuもDでA-優
あ る か ら,Dの 必 要 性.任
∂D),の
に よ り,函
域Ω0(⊂Ω)に
解 とい う.)
証 明 十 分 性.函 数
(Fubiniの
た,領
に お い てu
る こ と と は 同 等 で あ る.
調 和 函 数uのRiesz分
の こ と と μD(D)<∞
に μDは,Ω
調 和,従
か ら定
っ て ま た,
調和性の定義は局所的で
調 和 で あ る. はf(x)=0と
考 え る と,∂Dの 理1.3.3に
す る こ と に よ り, 上 で 境 界 条 件f(x)=0
よ り
(2.3.20)
が 成 り立 つ.A-優
調 和 函 数uに
測度 μ が 存 在 し て(2.3.14)が
対 し て 定 理2.3.3に 成 立 す る か ら,こ
よ り,Ω
に おけ るBorel
れ を 上 に 述 べ たf∈C20(D)に
適
用 す る とき は,両 辺 の積 分 領 域 をDと
書 き,μ のDへ
の 制限 μDを 用 い て
(2.3.21)
と書 い て も よ い.こ
の 右 辺 のf(y)に(2.3.20)の
右 辺 を 代 入 し て,積
分 の順 序
を変 え る と
すなわ ち (2.3.22)
上 の 式 の{…}内
の 函 数 をh°D(x)と
で あ る か ら,h°D(x)はDで
可 積 分 で あ る.(2.3.22)に
弱 い 解 で あ る か ら,定
と ほ と ん ど い た る 所 一 致 し,従 と な る;こ x∈Dで
理1.4.11に
こ の 等 式 が 成 立 す る.以 意 のf∈C20(D)を
辺 の 第1項
が 得 ら れ る.こ μD(D)<∞
と り,(2.3.19)の
ま る.従
最 後 に,領
理2.1.6に
両 辺 にA*f(x)を
域Ω0でuがA-調 一 意 的 なRiesz分
で あ る.逆
に μ(Ω0)=0な
GD(x,y)の
性 質 か ら 容 易 に 示 さ れ る.
用 い る と,(2.3.21)
中 で一 様 収 束 位 相 で 稠 密 な こ と と 右 辺 の 積 分 の 値が す べ て のf∈C0(D) 度 μDがuに
よ り一 意 的 に 定
一 意 的 に 定 ま る.
和 な ら ば,任
てu=h0は
掛 け てDで
とな るか
よ り一 意 的 に 定 ま る か ら,Borel測 よ っ てhDも
よ りす べ て の
成 立 す る.
で 積 分 の 順 序 を 変 更 し て か ら(2.3.20)を
っ て(2.3.19)に
和 な あ る 函数hD
は
な る こ と に よ り,(2.3.21)の
に 対 し てuに
可積分
(a.e.)
上 に よ り(2.3.19)が
こ でC20(D)がC0(D)の
可積
よ りh°Dは 楕 円 型 方 程 式
よ りDでA-調
調 和 函 数 だ か ら,定
積分 す る.こ の とき 右 辺 の第2項 ら,右
よ りDで
っ て
の 等 式 の 両 辺 はA-優
一 意 性 .任
定 理2.3.1に
も,上 の十 分 性 の 証 明 で述 べ た よ うにDで
分 で あ り,
Ah°D=0の
お く.u(x)は
意 の 正 則 有 界 領 域D⊂Ω0に
解 で あ る か ら μ(D)=μD(D)=0,従 ら ば,uがΩ0でA-調
お い
っ て μ(Ω0)=0
和 な こ と は,Green函
数
Ω 全 体 で §2.2で 述べ た よ う なGreen函数G(x,y)が れ を 用 い て 定 理2.3.4は 後 述 の 注 意2を
見 よ.)そ
再 記 す る.{Dn}を Dnに
次 の 定 理2.3.5のⅰ)の
§2.2に
述 べ た よ うなΩ
述べ ら れ た 関 連 事 項 を
数 をGDn(x,y)と
し て,xま
た
す る と,
{GDn(x,y)}はnに
(定 理2.2.2).
お,
の 中 の 正則 有 界 領 域 の 列 と し,各
界 値 問 題 のGreen函
な ら ばGDn(x,y)=0と
(2.3.23)
よ う に 書 き 直 さ れ る.(な
れ を 示 す 準 備 と し て,§2.2に
お け るDirichlet境
は
定 義 さ れ る 場 合 は,そ
関 し単 調 増 加 で
こ こ で 次 の 補 助 定 理 を 証明 す る.
補 助 定 理2.3.3 ⅰ)
D⊂Ω
な る 有 界 領 域Dと,μD(D)<∞
な るBorel測
度
はΩ で局 所 可 積 分 であ る.
μDに 対 し て,
ⅱ ) 任 意 のf∈C20(Ω)に 対 して 証 明 ⅰ) Ω に 含 ま れ る 任 意 の コンパ ク ト集 合Eを ≧0か
つEの
上 でf(x)≧1と は,Ω
Dで
な るf∈C10(Ω)を
に お い てA*υ=fを
と り,Ω
定 め る.こ
満 た す か ら,特
に お い てf(x)
の と き函 数
に コンパ ク ト集 合
は 有 界 であ る.だ か らfの 定 め方 に よ り
よ ってwはΩ
で局 所 可 積 分 で あ る.
ⅱ) 領域Dnがfの と考え る と,Dnに
台 を 含 む な ら ば,fは
定 理2.3.5 ⅰ)
Borel測
∞ と す る と(2.3.23)に
函 数uがΩ
に お い てA-優
な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに 度 μDとD上
満たす
が 成 立 す る.A*f
お い て
は 有 界 で あ る か ら,n→
は,D⊂Ω
∂Dn上 で境 界 条件f=0を
のA-調
和 函 数hDが
よ っ て 結 論 の 式 を 得 る. 調 和 で あ るた め の必 要 十 分 条 件
対 し て,Dに
お け る μD(D)<∞
存 在 し て,任
意 のx∈Dに
な る 対 して
(2.3.19′)
が 成 立 す る こ と で あ る.こ μDに つ い て は 定 理2.3.4と ⅱ) 特 にuが
の と き μD,hDはuとDに
よ っ て 一 意 的 に 定 ま る;
同 様 で あ る.
Ω で 正 値A-優
調 和 な ら ば,Ω
に お け るBorel測
度 μ とΩ 上
のA-調
和 函 数hが,uに
よ っ て 一 意 的 に 定 ま っ て,任
意 のx∈Ω
に対 し て
(2.3.19″)
が 成 立 す る. ((2.3.19′),(2.3.19″)もRiesz分
解 と 呼 ば れ る.)
証 明 ⅰ) の 証 明 は 前 定 理2.3.4の
証 明 と全 く同 様 で あ る.す
性 の 証 明 に は 補 助 定 理2.3.3のⅰ)を
用 い,必
(2.3.20)の
か わ りに 補 助 定 理2.3.3のⅱ)を
こ の 定 理 のⅱ)を はΩ 全 体 でuに
証 明 す る.前
分
要 性 と 一意 性 の 証 明 に お い て は
用 い れ ば よ い.
定 理 に お い てD=Dnと
よ っ て 定 ま る 測 度 μ のDnへ
す る と き,測
度 μDn
の 制 限 で あ る か ら(2.3.19′)は
ただ し
(2.3.24)
と 書 け る.x∈ DnでA-調
な わ ち,十
∂Dnな
ら ばGDn(x,y)=0だ
和 だ か らhn(x)>0と
注 意 を 参 照.)(2.3.24)の (2.3.19″)の
な る.(定
右 辺 第1項
右 辺 第1項
か らhn(x)=u(x)>0と 理2.3.1の
は(2.3.23)に
な る.hnは
す ぐ前 に 括 弧 内 に 述 べ た よ りnに
関 して 単 調 増 加 で
に 収 束 す る か ら,
(a.e.). (2.3.24)の
左 辺 はnに
無 関 係 だ か ら,hn(x)はnに
hnはDnでA-調
和 か つ 正 の 値 を と る か ら,
束)が 存 在 し てΩ
でA-調
和 で あ る.だ
関 し て 単 調 に 減 少 す る.各
(Ω で 広義 一 様 収
か ら(2.3.24)でn→
∞ と す れ ば(2.3.
19″)を 得 る.
注 意2 領 域Ω に 有 界 で な いA-優
全 体 に お け るGreen函
数G(x,y)が
存 在 す る 場 合 で も,下
調 和 函 数 に つ い て は,(2.3.19″)の
よ う なΩ 全 体 で のRiesz
分 解 の 式 は 一 般 に 成 立 し な い.そ Ω=Rm(m≧3),A=△(普 =│x│-(m-2)はRmに お け るGreen函
の こ と を 示 す 例 を 述 べ よ う.
通 の ラ プ ラ シ アン)と す る.こ お い て 正 値 △-優 調 和 で あ り,定
数G(x,y)が
存 在 す る.Green函
の と き,函
理2.2.1に
数は
数w(x)
よ っ てRmに
(2.3.25)
G(x,y)=C/│x-y│m-2
な る 形 で,C=Γ(m/2)/2(m-2)πm/2(Γ(・)は Cが
は
ガン マ 函 数)で
正 の 定 数 で あ る こ と の み を 用 い る.さ
△u=-2m<0を
(2.3.19″)が
満 た す か ら,uは
て,定
理2.3.4の'一
A*,μDを (dxを
意性'の
そ れ そ れRm,△,μ
普 通 のLebesgue測
と な る が,右 あ る.よ
し も(2.3.19″)が
あ る とす る と,任
証 明 と 同 様 の 論 法 で,等 と書 く)が 導 か れ る.従
のuに
対 し ては
成 り立 つ よ うなRm 意 のf∈C30(Rm)に 式(2.3.21)(た
っ てGreenの
対 し だ しD,
公 式に よ り
度 と し て)
と な る か ら,fがC30(Rm)の中 だ か ら(2.3.25)に
こで は
て 函数
△-優 調 和 で あ る.こ
成 立 し な い こ と を 示 す.も
に お け る 測 度 μ と △-調 和 函 数hが
あ る が,こ
で 任 意 な こ と に よ りdμ(x)=2mdxが
得 ら れ る.
よ り(2.3.19″)は
辺 第1項
の 積 分 の 値 は すべ て のxに
っ て(2.3.19″)は
成 立 し 得 な い.
対 し て ∞ と な り,不 合 理 で
第3章
Martin境
界
§3.1 予 備 概 念
本 章 では,Rを 作 用 素Aが
向 きづ け られ たC∞ 級 多 様 体 と し,Rにお
与え られ て い る とし て,Aに
調 和 函数 の表 現 定 理 を述 べ る.Rは も よい が,そ
の場 合 で もR自
あ るC∞ 級 多 様 体Mの
ってR⊂Mの
界 の近 くで の 偏 微分 作用 素Aの 部分 集 合Eに
関 す るRのMartin境
閉 包E,Eの
多 様体Mの
外 の部 分 は
中 で考 え たRの
係 数 の挙 動 に つ い て は,何
対 し て,Eの
の章 に お い て,Rが
部分領域 で あ っ て
場 合 で も,Mの
の境 界 ∂Eな どの用 語 お よび 記 号 は,す べ てRの る.次
界 の構 成 と,
身 を ひ とつ の空 間 と して扱 い,R以
全 く考 慮 の対 象 とし な い.従
またRの
い て楕 円型 偏 微 分
境
の 仮 定 も設 け な い.
開 核(内 点 の全 体)E°,E 中 の 位 相 で 考 え る も の とす
部分 領 域 で あ って,そ の境 界 の一 部分
が 滑 らか な 場 合 に つ い て述 べ る. こ の 章 と次 の章 では,A*は をそ れ ぞれ'調 和','優 Martin境
考 え な いか ら,'A-調
和','A-優調
和'の
こと
調 和'と 書 く.
界 の理 論 は,正
値(優)調 和 函 数 の 表 現 定 理 が 主要 目的 の ひ とつ で
あ るか ら,Rに お い て定 数 で ない 正 値 優 調 和 函数 が 存在 す る こ とを前 提 とす る. だ か ら定理2.2.1に
述 べ たGreen函
数G(x,y)が
定 義 され て い る と し て話 を
進 め る. D0をRの
中 の正 則 有 界 領 域 とし,γ を そ の 台 がD0に
の非負値連続 函数で 体 を 通 して,上 の 領域D0と のMartin境
な る も の と す る.こ 函数γ を 固 定 して お くが,こ
界 は,上 の よ うなD0とγ
あ る こ とが 示 され る.(定 理3.2.3)
含 まれ る よ う なR上 の章 お よび 次 の章 全 の章 で構 成 され るR
の と り方 に は本 質 的 に無 関 係 な もの で
DがD0を D×Dで
含 む 領 域 であ る と き,Dで 定 義 され た 任 意 の 函 数H(x,y)に
定 義 され た任 意 の函 数u(x),お 対 し て,u(γ)お
よび
よびH(γ;y)を
そ れ ぞれ 次 の式 で 定 義 す る(い ず れ も右 辺 の 積 分 が 意 味 を もつ か ぎ り):
(3.1.1)
u(γ)は 定 数 で あ り,H(γ;y)はy∈Dの
函 数 で あ る が,い
ず れ も+∞
の値
を 許 す も の とす る. 次 に,Rの
中 の 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}n=1,2,…
で
(3.1.2)
とな る もの を ひ とつ 固 定 す る;D0は
前 ペ ー ジで 定 め た 正 則 有 界 領 域 で あ る.
Rの 中 の 任 意 の 正 則 有 界 領 域Ω に対 し て,∂Ω で 境 界条 件u=0を
与 えた と
きの,拡 散 方程 式 の基 本解 をUΩ(t,x,y),Green函
す る.こ
の と き,第1章
数 をGΩ(x,y)と
で 述 べ た よ うに
(3.1.3)
が 成 り立 つ.こ が,今
れ ら の 記 号 お よ び 上 の 関 係 式 は,今
後 本 書 全 体 を 通 し て,こ
程 式 の 最 小 基 本 解 をU(t,x,y)と
ま で に も使 っ た も の で あ る
と わ りな し に 用 い る.ま す る と,Green函
た,Rに
お け る拡 散 方
数G(x,y)が
(3.1.4)
で 定 義 さ れ て(定 理2.2.1),第2章 函 数 列{GDn(x,y)}n=1,2,…
はnに
の 結 果 を す べ て 使 う こ と が で き る .特
に,
関 して 単 調 増 加 で
(3.1.5)
が 成 立 し,こ
の 収 束 は,互
対 し て,E×Fの こ こ で,Dn×Dnの 核 函 数M(x,y)を,次
い に 交 わ ら な い 任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,F⊂Rに
上 で 一 様 で あ る(定 理2.2.2). 上 の 核 函 数Mn(x,y)(n=1,2,…)お の 式 で 定 義 す る:
よ びR×Rの
上の
(3.1.6)
(G(γ;y)等
の 定 義 は(3.1.1)に
よ る).こ
の と き(3.1.5)に
よ り
(3.1.7)
が 成 立 し,こ
の 収 束 は,互
対 し て,E×Fの
い に 交 わ ら な い 任 意 の コン パ ク ト集 合E,F⊂Rに
上 で 一 様 で あ る.
M(x,y)はMartinの
核〓 数 と呼 ば れ る.
以 下 に 述 べ るM(x,y)の Mn(x,y)の G(γ;y)は
性 質(3.1.8∼10)に
お い て,RをDnと
書 き直 せ ば
性 質 に な る. そ の 定 義 か ら 明 らかに,Rの
上 でyの
連 続 函数 で あ って 正 の 値 を
と る か ら,
任 意 のy∈Rを
固 定す る ときM(x,y)はxに
つ い てR\{y}で
正値 調 和 な 函数 で あ り,
(3.1.8) {
任 意 のx∈Rを
固定 す る ときM(x,y)はyに
つ い てR\{x}で (3.1.9) (3.1.10)
任 意 のz∈Rに
定 理2.2.2 か らわ か る
対 し て
す べ て のy∈Rに
対 し てM(γ;y)=1((3.1.6)に
次 の 補 助 定 理 は 定 理1.4.5(の 補 助 定 理3.1.1
連 続 な 函 数 で あ る;
領 域Dで
調 和 な 函 数 の 族{uλ│λ
あ っ て,Dの
数 族
補 助 定 理3.1.2
も め の 函数 族 の あ る部
数M(x,y)の
EはRの
次 の 性 質 を 証 明 す る.
コン パ ク ト部 分 集 合,FはRの(有
部 分 集 合 で あ っ て,E∩F=φ
な ら ば,次
界 とは限 らな
の こ とが 成 り立 つ:
(3.1.11)
(〓
任
調 和 な あ る 函 数 に 広 義 一 様 に 収 束 す る.―
こ の こ とを 使 っ て,函
い)閉
∈Λ}が
任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一様 有 界 で あ り,初
分 列 は,Dで
よ り).
一 部)を 再 記 し た も の で あ る.
意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 な ら ば,函 Dの
;
はM(x,y)の
変 数xに
証 明 (3.1.11)の
第1の
つ い て〓
を 作 用 す る こ とを 意 味 す る.)
不 等 式 を 証 明 す れば,{M(x,y)│y∈F}をR\Fの
上 でxの
函 数 の 族 と考え て補 助 定 理3.1.1を
適 用 す る こ とに よ り,第2の
等 式 が 得 ら れ る.よ って 第1の 不 等式 を 証 明す る.E⊂D0∪Ω な る正 則 有 界領 域Ω を 固 定 す る.任 意 のf∈C0(R\Ω)に はΩ で 調 和 で あ るか ら,x∈Ω
と な る.こ
れ は,x∈Ω
不
⊂Ω ⊂R\F
対 し て,函 数 な らば
な らば
が任 意 のf∈C0(R\Ω)に
対 し て成 り立 つ こ とを 意 味 す る か ら,x∈Ω
かつ
y∈R\ Ω な らば (3.1.12)
が 成 り立 つ.E∪Dと
∂Ωとは 互 いに 交 わ らな い コン パ ク ト集 合 で あ るか ら
任 意 のx∈E,z∈
∂Ω に 対 し て
(3.1.13) {
任 意 のz∈ ∂Ω に 対 し て と な る よ う な 定 数C1,C2が のx∈E,y∈F(⊂R\Ω)に
ら っ てK(x,y)(ま
適 用 す る と,任
意
対 して
と な る か ら,(3.1.11)の 注 意 Martinの
あ る.(3.1.12)に(3.1.13)を
第1の
式 が 成 立 す る.
核 函 数 は,Martinの た はK(P,Q)等)と
の 頭 文 字 を と っ てM(x,y)と
最 初 の 論 文(あ
とが き の[10])に
書 か れ る こ と が 多 い が,本 書 で はMartin
書 く こ と に す る.
な
§3.2 Martin境
領 域D0お
界の構 成
よ びDn(n=1,2,…)は
前 § で 固 定 し た も の とす る.特
に
(3.2.1)
な る こ とを 想 起 して お く. 任 意 の 点y1,y2∈Rに
対 して
(3.2.2)
と定 義 す る.こ
の と き,
補 助 定 理3.2.1 れ る 位 相 は,多
ρはRに
様 体Rの
お け る ひ とつ の 距 離 を 定 義 し,こ
本 来 の 位 相 と 同 じ で あ る.
証 明 ま ず ρが 距 離 の 公 理 を 満 た す こ と を 示 す.0≦ y1=y2な
ら ばρ(y1,y2)=0な
明 ら か で あ る.ま
る こ と,お
た 三 角 不 等 式 は,任
≧0に
易 に 示 さ れ る.よ
と ん どす べ て のx∈D0に
(3.1.6)に
よ りM(x,y)はxに
つ い てR\{y}で
対 し てM(x,y1)=M(x,y2)と
(定 理1.4.10)に
よ り,す
べ て のx∈R\{y1,y2}に
とな る.も
し も
M(x,y1)→
∞ と な りM(x,y2)は
す る と,(3.2.2)
とす る と,xがy1に
な る が,
調 和 だ か ら,す な り,従
る こ とは
対 し て
お い てM(x,y1)=M(x,y2)と
∈D0\{y1,y2}に
で あ っ て,
っ て,ρ(y1,y2)=0
る こ と を 証 明 す れ ば よ い.ρ(y1,y2)=0と
に よ り,ほ
y1=y2で
ρ(y1,y2)<∞
よび ρ(y1,y2)=ρ(y2,y1)な 意 の α≧0,β
な る こ と を 用 い て,容 な ら ばy1=y2な
の 距 離 で定 義 さ
べ て のx
って 一 意 接 続 定 理
対 し てM(x,y1)=M(x,y2) 近 づ く と き(3.1.9)に
有 界 で あ る か ら,こ
よ っ て
れ は 矛 盾 で あ る .だ
か ら
な け れ ば な ら な い.
次 に,Rの 対 し てDnの
本来 の 位 相 とρ に よ る位 相 が 同 じ で あ る こ と を 示 す.任 上 で 両 位 相 が 一 致 す る こ とを 示 せ ば よ い が,Dnは
コン パ ク トで あ る か ら,本
来 の 位 相 を も つDnか
意 のnに
本来 の位 相 で
ら ρに よ る 位 相 を も つDnへ
の 恒 等 写 像 が 連 続 で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.い
が点y0∈Dnに
が
本来 の位 相 で収 束 し て い る な らば,
ほ と ん どすべ て のx∈D0で
成 り立 つ;実
に 対 し て は た し か に 成 立 し て い る .だ な り,写
ま 点 列{yν}ν=1,2,…⊂Dn
は 少 な く と もx∈D0\{yν}ν=0,1,2,…
か ら(3.2.2)に
よ り
と
像 の 連 続 性 が 証 明 さ れ た.
補 助 定 理3.2.2
Rは
距 離 ρに 関 し て 全 有 界 で あ る.
証 明 任 意 の 無 限 点 列{yn}⊂Rが
ρに 関 す るCauchy列
ば よ い.補
ρ に 関 し て も コン パ ク トだ か ら,yn∈D1
な るnが
助 定 理3.2.1に 無 数 に あ れ ば,そ
よ りD1は
の 中 にCauchy列
し て{yn│n≧n0}⊂R\D1と D1と
な る な らば,補
し て み れ ば わ か る よ うに,xの
ト集 合D0の
点 列{yn}の
し も あ るn0に
対
助 定 理3.1.2でE=D0,F=R\ コン パ ク
上 で 一 様 有 界 か つ 同 等 連 続 だ か ら,Ascoli-Arzelaの
定理に よ り
適 当 な部 分 列{yn(ν)}に 対 して,D0の っ て(3.2.2)に
な る か ら,{yn(ν)}はCauchy列
上 で一 様 に と
よ り
で あ る.
距離 ρに よる完 備 化 をRと
コン パ ク ト距 離 空 間 であ る.ρ はRの れ るが,そ
が 含 ま れ る.も
函 数 の 族{M(x,yn)│n≧n0}は
と な る.従
空 間Rの
を 含 む こ とを示 せ
す る と,補 助 定 理3.2.2に
よ り,Rは
上 の距 離 に 自然 な方 法 で一 意 的 に拡 張 さ
の拡 張 を 同 じ記 号 ρで 表 わす こ と に し て も混 乱 は 起 こ らな い か ら,
以 後 そ うす る こ とにす る.ま ず 次 の定 理 を証 明す る. 定 理3.2.1 ⅰ) 多 様 体Rは
コ ン パ ク ト距 離 空 間Rの
中 に 同相 に埋 め 込 ま
れ て い る. ⅱ) R\RはRの
閉 部分 集合 で あ って,内 点 を もた な い.
証 明 ⅰ)は上 の 二 つ の 補 助 定理 か ら 明 ら か で あ る.ま
たR\RがRに
お
い て 内点 を もた な い こ とも,完 備 化 の 定 義 か ら 自明 で あ る か ら,R\RがR の 中 で 閉 集合 で あ る こ とを 示 せ ば よい.そ れ を 否 定 す る と,あ る点y∈Rに 束 す る点 列{ξn}⊂R\Rが
存 在 す る.こ の ときy∈Dn0な
上 の 点 列 の 各 点 ξnに対 して,Rの
収
るn0が あ る.一 方,
中 の点 列{ynν}ν=1,2,…で
とな る もの が あ り,こ の点 列 はDn0+1の
中 に 集積 す る こ と は な い か ら,
か つ と お く と,n→
∞
な る 番 号νnが
れ は,
盾 す る.以
上 に よ りR\RはRの
張 さ れ る.拡
対 し てyn=ynνn
のとき
と な り,こ
定 理3.2.2
あ る.各nに
かつy∈Dn0で
し か もDn0⊂Dn0+1な
中 で 閉 集 合 で あ る.
函 数M(x,y)は(R×R)\{(z,z)│z∈R}の 張 され たM(x,y)は,任
と し てR\{y}で
る こ と と矛
上 の 連続 函 数 に 拡
意 のy∈Rを
固 定 す る と き,xの
調 和 で あ る.
証 明 ま ず 函 数M(x,y)を
拡 張 す る.そ
な る 点 列{yk}⊂Rを 対 し てyk∈R\Dn+1と
でE=Dn,F=R\Dn+1と
す る と,函
有 界 か つ 同 等 連 続 で あ る か ら,適
の た め 任 意 の ξ∈R\Rに と る.各Dnに
を と れ ば,k≧knに
な る.こ
助 定 理3.1.2
数 族{M(・,yk)│k≧kn}はDnで
一様
収 束 す る.だ
適 当 な 部 分 列{yk(ν)}を
な る 点 列{zk}⊂Rを
と る と き,そ
調和 で の部 分 列
(Rで 広 義 一 様 収 束)が 存 在 す る とす
{zk(ν)}に 対 し て る.こ
か らn
選 べ ば,
(Rで 広 義 一 様 収 束)が 存 在 し,こ の極 限 函数υ はRで に
対 して
対 し て 適 当 な 番 号kn の と き,補
当 な 部 分 列 がDnで一様
に 関 す る 対 角 線 論 法 に よ り,{yk}の
あ る.別
函数
の と き 函 数wもRで
調 和 で あ る.そ
して
だ か ら,有 界 収 束 定理 に よ り
と な る.よ よ りR全
っ てD0に
お い てυ=wと
体 でυ ≡wと
な る.以
意 の 点 列{yk}に
対 し て,部
な るか ら,一
意 接 続 定 理(定 理1.4.9)に
上 の 議 論 に よ り,ρ に 関 し て ξに 収 束 す る 任
分 列 を と る こ と な く,
が存在
し てRで
調 和 な 函 数 で あ り,そ
方 に は 関 係 し な い.よ
っ て,そ
の 函 数 は ξ の み に よ っ て 定 ま り,{yk}の の 値 をM(x,ξ)と
書 く こ と に す る と,
点 ξ∈R\Rと (3.2.3) [
し て,xに
と な る.こ (3.2.3)で
な る 任 意 の 点 列{yk}⊂Rに
つ い てR上
点 列{yk}⊂Rを{ξk}⊂R\Rと
定 義 さ れ た.更 し て も よ い;す
点 ξ∈R\Rと
と な る.な
つ い てR上
ぜ な ら ば,任
意 のDnを
適 当 なyk∈Rを
に,
なわち
な る 点 列{ξk}⊂R\Rに
て,xに
対
広義 一様 に
う し てM(x,y)が(R×R)\{(z,z)│z∈R}で
(3.2.3′) [
とり
対 し
広義一様 に と る と き,各
点 ξkに 対 し て(3.2.3)に
よ り
とれ ば
かつ が成
り 立 つ.k→
(3.2.3)に
∞
とす る と き
と な る か ら,
従 って
よ っ て
と な り(3.2.3′)が
成 り立 つ.以
上 に よ り,拡
張 され たM(x,y)は
任 意 のx∈Rを
固定 す る とき,yに つ い てR\{x}で
連続 であ り,
任 意 のy∈Rを
固 定 す る と き,xに つ い てR\{y}で
調 和 であ る.
(3.2.4) {
最 後 に,M(x,y)が(R×R)\{(z,z)│z∈R}で わ か る.点
パ ク ト集 合 で あ る も の を と り,ま と る.こ
す る.x0の
定 義 か ら明
近 傍WでWがRの
中 の コン
た ρ(xk,x0)→0,ρ(yk,ξ0)→0と の と き,{xk}⊂Wか
し て よ い か ら,(3.2.3),(3.2.3′),(3.2.4)に
と な っ て,点(x0,ξ0)に
の よ うに し て
に お け る 連 続 性 はM(x,y)の
ら か で あ る.x0∈R,ξ0∈R\Rと
列{xn}⊂R,{yk}⊂Rを
連 続 な こ と は,次
よ りk→
お け る 連 続 性 が 示 さ れ た.
な る任 意 の点
つ{yk}⊂R\Wと ∞
の とき
系 EがRの
中 の コ ン パ ク ト集 合,FがRの中
の閉 集 合 でE∩F=φ
なら
ば ⅰ )
ⅱ) M(x,y)はE×Fの
上 で 距 離 ρに 関 し て 一様 連 続 で あ る.
証 明 ⅰ)は 補 助 定 理3.1.2と(3.2.3)か 与 え られ たRとRの 定 理3.2.3
直 積 空 間 の 中 で,E×Fが
Rは
次 の 意 味 で,前
関 係 で あ る.D0とD0をRの
連 続 函 数 で,台
中 の 正 則 有 界 領 域 と し,γ
とγ をR上
の非 負値
含 まれ, を用い て
定義 し た距 離 を それ ぞれ ρ,ρとし,こ
同 相 写 像 はRに
函 数γ の 選 び 方 に 無
に
備 化 を それ ぞれR,Rと
離 ρを
コ ン パ ク トな こ と に よ る.
§で 与 え た 領 域D0と
が そ れ ぞれD0とD0に
と な る も の と す る.更
(3.2.2)で
ら 容 易 に わ か る.ⅱ)は,距
れ らの距 離 に 関す るRの
す る.こ の と きRとRと
完
は 一 様 同相 で あ っ て,そ の
お い て は恒 等 写 像 で あ る.
証 明 距 離 ρと ρはRに
お い て はR本
来 の位 相 と同 じ位相 を与え るか ら,R
の 任 意 の コ ンパ ク ト部分 集 合 に お い て は 互 い に 同値 な 一 様 位 相 を 定 義 す る.だ か ら,DがRの がR\Dで
コン パ ク ト部 分 集 合 であ る ひ とつ の領 域Dに
対 して,ρ
互 い に 同値 な 一 様 位 相 を 定 義 す る こ とを 示せ ば,R全
とρ
体 で互 い に
同値 な一 様 位 相 を与 え る こ とに な り,一 様 空 間 の完 備 化 の一 意 性 に よ り,Rと Rは 一 様 同 相 とな る.D⊃D0∪D0な 集合 で あ る もの を と って,R\Dで
る領 域Dで,DがRの
コン パ ク ト部 分
ρ と ρが 同 値 な 一 様 位 相 を 与 え る こ とを示
す. まず 前 定理 の 系 のⅰ)に よ り (3.2.5)
は有 限 で あ る.次 に ε>0に 対 して (3.2.6)
と定 義 し,上
の 式 のM(x,y),D0を
を 定 義 す る と,前
定 理 の 系 のⅱ)に
そ れ ぞ れM(x,y),D0で よ っ て,ε
↓0の
置 き 替 え て δ(ε)
と き δ(ε)→0,δ(ε)→0と
な る.以
下 に お い て は,xはD0∪D0を,y1,y2はR\Dを
こ の と き,M(x,y),M(x,y)の
動 く も の とす る.
定義か ら M(x,y)M(γ;y)=M(x,y)
と な る か ら, (3.2.7)
またM(γ;y)M(γ;y)=1だ
これ を(3.2.7)の
か ら,上 の式 で最 後 の絶 対 値 記 号 の部 分 は
最 後 の 項 に 代 入 す る と,x∈D0か
(3.2.5),(3.2.6)お
以 上 に お い てD0とD0,γ
ρ(y1,y2)<ε
ならば
な る こ とに よ り
よ び
と な る か ら,ρ(y1,y2)の
つ
定 義に よ り
とγ,MとMを
そ れ ぞ れ 入 れ替 え て 同様 の 推 論
をす る と, な らば と な る こ とが 示 さ れ る.こ はR\Dに Rに
こ で ε↓0の
と き δ(ε)→0,δ(ε)→0だ か ら,ρ
お い て 同 値 な 一 様 位 相 を 定 義 す る.
お け る楕 円 型 偏 微 分 作 用 素Aが
与 え られ る と,拡 散 方 程 式 の 最小 基 本 解
U(t,x,y)が
一 意 的 に 定 ま る(定 理1.2.6)か
るGreen函
数G(x,y)を
理3.2.3に
と ρ
ら,そ
用 い て 本 § の 方 法 で 構 成 し たRの
よ り本 質 的 に た だ 一 通 りで あ る.R\Rは
持 た な い 閉 集 合 で あ る か ら,Rの'境 次 の 定 義 を 与 え る.
れ か ら(3.1.4)で
界'と
与 え られ
完 備 化Rは,定
定 理3.2.1に
よ り内 点 を
考 え る こ とは 自 然 で あ る.そ
こで
定 義 こ の §に 述 べ た よ うに し て構 成 し たRをRの(楕 に 関 す る)Martinコ Martin境
関 す る)
理 想 境 界 と い う.
よ り任 意 の 点 ξ∈Sに
和 函 数 で あ る が,S上 た め,そ
ン パ ク ト化 と い い,S=R\RをRの(Aに
界 ま た はMartin型
定 理3.2.2に
円 型 偏 微 分 作 用 素A
対 し てM(x,ξ)はxに
つ い てR上
の調
の 相 異 な る二 点 は 相 異 な る調 和 函 数 を与 え る こ とを 示 す
の 対 偶 と し て の 次 の 定 理 を 証 明 す る.
定 理3.2.4
Sの
上 の 点 ξ,η に 対 し て,定
て の 点x∈RでM(x,ξ)=M(x,η)と 証 明 Rの
理3.2.2の
な る な ら ば,ξ
函 数M(x,y)が
中 の 点 列{xn},{yn}で
も の を と る と,ρ の 定 義 と 定 理3.2.2の
と な る か ら,ξ=η
で あ る.
すべ
と ηは 同 じ 点 で あ る.
なる 系 と有 界 収 束 定 理 に よ り
§3.3 正 値 調 和〓 数 の積 分 表 現
今 後Rは
前 §に 述 べ たRのMartinコン
界:S=R\R,と
す る.Rの
パ ク ト化,SはRのMartin境
部分 集 合Eに
対 し て,Rの
包,開 核(内 点 の全 体)を そ れ ぞ れEa,Eiと に対 し て,Rの
中 で考 えたEの
閉 包,開
書 く ことに す る.Rの
核 を そ れ ぞ れE,E°
今 まで と同 じで あ る.な お,例 え ば'Γ はSの Sで
あ ってΓ がRで
SはRの
中 で考 えたEの
閉
部 分 集 合E
と書 く ことは,
閉 部分 集 合'と い うのは,Γ ⊂
閉集 合 で あ る こ とを意 味 す る;S∩R=φ
で あ り,ま た
中 で閉 集 合 で あ るか ら,こ の よ うに解 釈 す る こ とは 自然 で あ るが,念
のた め に 述 べ た. まず 次 の こ とを 証 明 す る. 補 助 定 理3.3.1 DをRの ン パ ク ト集 合 と し,uをDに υをD\F° υ=0と
で 連 続,D\Fで
中 の 正則 有界 領 域,FをDに
含 ま れ る正 則 な コ
お い て 正 値 優調 和 かつDで 調 和 で あ っ て,∂Fの
連 続 な 函数 とす る.
上 でυ=u,∂Dの
上で
な る函数 とす る と,
(3.3.1)
で 定 義 され る函数uDFは,Dで 証 明 uDFがDで
連 続 か つ 優 調 和 で,
連続 で あ って
な る こ とは 明 ら か で あ る.Wを
W⊂Dな
る正 則 領域 と し,wをWで
w≦uDFと
な る函 数 とす る.W⊂Fま
w≦uDFと
な る こ とは 明 らか で あ る.WがF°
にw≦uDFと
≧0だ
∩(D\F)で u-wは
連 続 か つWで
が 成 立 す る.従
はD\Fで
か ら,D\Fでu-υ
っ てW∩
い てw≦uと ∂Fでw≦u=υ
な ら ばWに
とD\Fの
また ∂W∩Fで
優 調 和 だ か ら,Wにお
調 和 で あ って ∂Wで
た はW⊂D\F°
な る こ とを 示 す.ま ずu-υ
u-υ=0,∂Dでu-υ
を 満 た す.
おい て
双方 と交 わ る 場 合
優 調 和 で あ って,∂Fで ≧0で あ る.従
は な り,特 と な り,ま
っ て ∂W
であ っ て,Wで にW∩Fでw≦uDF た ∂W∩(D\F)で
で あ っ てW∩(D\F)でυ-wは , 以 上 に よ りWに
調 和 だ か ら,W∩(D\F)で
お い てw≦uDFと
な る か ら,uDFがDで
優調和
な こ とが 示 され た. さ て,uをRに ト集 合F,正
お い て 連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 と し,Rの
則 な開 集 合Ω,お
よ びSの
中 の 正 則 な コン パ ク
閉 部分 集 合Γ に対 し て,uF,uΩ,uΓ
な る函 数 を,以 下 の よ うに 順 次 定 義 す る. 1°) Rの 中 の 正則 な コ ンパ ク ト集 合Fに DF={Rの とし,D∈DFに
中 の 正 則有 界 領 域 でFを
対 してuDFを 補 助 定 理3.3.1で
(3.3.2) uDFはDで と な る が,更
対 して 含 む も の の全 体} 述 べ た も の とす る と,
連続かつ優調和であ って
に
(3.3.3)
D1,D2∈DF,
が 成 立 す る.な
D1⊂D2な
ぜ な ら ば,D1,D2に
υ を そ れ ぞ れυ1,υ2と
ら ばD1に
す る と,D1\Fで
∂Fの 上 で はυ1=u=υ2, と な る か ら,D1\Fに
い て は
お い て
対 し て 補 助 定 理3.3.1の
お い てυ1≦υ2,従
はυ1,υ2と ∂D1の
よ うに 定 義 し た
もに 調 和 であ っ て
上 で はυ1=0≦υ2
っ て
と な る.一
方Fに
お
で あ る.
こ こ で,R\Dで
はuDF=0と
定 義 し て お い て,x∈Rの函
数uDFを
(3.3.4) と 定 義 す る.こ
の と き,
(3.3.5)
Rに
(3.3.6)
お い て0≦uF≦u, F1⊂F2な
{Dn}⊂DFが
ら ばRに
特 にFの
上 で はuF=u;
お い てuF1≦uF2;
な ら ば,Rにお
単 調 増加 列 で
いて
(3.3.7)
従 ってuFはRで (3.3.5)はuDF,uFの
D∈DF2に り,F1上
定 義 と(3.3.2)か
対 し て,D\F1に で
優 調 和,特 にR\Fで ら明
は調 和 で あ る.
ら か で あ る.次
お い てuDF1は 調 和 だ か ら
∂D上 で
だ か ら,Dに
に,F1⊂F2な
ら ば
は優 調 和であ お い て
と な る.こ
の こ と と(3.3.3),(3.3.4)か
(3.3.3)に
よ り
に 対 し てDは
が 存 在 し て ≦uF(x)と
コ ン パ ク トで
か ら(3.3.3)に
な る.一
.7)の
方,任
るnが
っ て(3.3.2)お
よ び 定 理2.1.3,定
れ で(3.3.7)の 理1.4.7に
証 明:
意 のD∈DF
この 左 辺 のD∈DFに関 と な る か ら,こ
で あ り,R\Fで
わ か る.(3.3
だ か ら,D⊂Dnな
よ り
とれ ば た.従
ら(3.3.6)が
あ る.だ
す る上限を
中 の 等 式 が 示 され
よ り,uFはRで
優調和
は 調和 で あ る.
2°) Rの 中 の 正 則 な 開 集合Ω(有 FΩ={Rの とし,x∈Rの
界 とは か ぎ らな い)に 対 して,
中 の正 則 コン パ ク ト集 合FでF⊂Ω
な る もの の 全 体}
函 数uΩ を
(3.3.8)
と定 義 す る.こ
の と き,
(3.3.9)
Rに
お い て0≦uΩ
(3.3.10)
Ω1⊂Ω2な ら ばRに
また,{Dn}を
が 単 調 増 加 でFn⊃Ω
∩Dn(n=1,2,…)な
らば
Rにお い て
(3.3.11)
従 っ てuΩ はRで 定 義 と(3.3.5)か
な る こ と に よ る.(3.3.11)の
{Fn}の
お い てuΩ1≦uΩ2;
§3.1で 固 定 した 正 則 有 界領 域 の 列 とす る とき, {Fn}⊂FΩ
(3.3.9)は
≦u, 特 にΩ の 上 でuΩ=u;
存 在 は,Ω
優 調 和,特
Ω で は 調 和 で あ る.
ら わ か る.(3.3.10)はΩ1⊂Ω2な 証 明:ま
が 正則 な こ と か ら わ か る.(3.3.6)に
な り,従
るDnが
と な る.あ
と し,x∈Rの
Rの 中 の 開 集合Δ で,Γ を 内 部 に 含 み,Δ ∩R 中 の 正則 開集 合 で あ る よ うな も の の全 体
{がRの 函数uΓ
を
あ るか ら
と は(3.3.7)
結 論 を 得 る.
3°) Sの 閉部 分 集 合Γ に対 して, OΓ=
ト集 合 の 列
が存
よ り
に 対 してF⊂Dnな
っ て
の 証 明 と全 く同 じ 論 法 で(3.3.11)の
ら ばFΩ1⊂FΩ2
ず こ の よ うな 正 則 コ ン パ ク
在 し て ≦uΩ(x)と な る.任 意 のF∈FΩ F⊂ Ω ∩Dn⊂Fnと
にR\
}
(3.3.12)
と 定 義 す る.こ
の とき
(3.3.13)
Rに
(3.3.14) Γ1∪Γ2な
お い て0≦uΓ
ら ばRに
≦u;
お い てuΓ1≦uΓ2;
{Δn}⊂OΓ が 単 調 減 少 で
な ら ば,Rに
おい て
(3.3.15)
従 っ てuΓ はRに (3.3.13)は
定 義 と(3.3.9)か
な る こ と に よ る.(3.3.15)の の 存 在 は,Rが
お い て 調 和 で あ る. ら わ か る.(3.3.14)は,Γ1⊂
Γ2な ら ばOΓ1⊃OΓ2
証 明:ま
中 の 開 集 合 列{Δn}
ず こ の よ う なRの
距 離 空 間 で あ る こ と を 用 い て 示 さ れ る.(3.3.10)に が 存 在 し て ≧uΓ(x)と
な る.ま
よ り
た 任 意 のΔ ∈OΓ に 対 し て
で あ っ て,Rに
お い てR\
Δ,R\
Δanは
そ れ ぞ れ コ ンパ ク ト集 合,開 集 合 で あ るか ら,十 分 大 な るす べ て のnに 対 し て R\ Δ ⊂R\
Δan,従 っ て Δ⊃ Δan⊃Δnと な る.よ
っ て
とな り,こ の 左 辺 のΔ ∈OΓ に 関 す る下 限 を と れ ば る か ら,初 め の 結 果 と 合 わ せ て(3.3.15)の と定 理1.4.7に な お,上
よ りuΓ はRに
て,今
を 考 え る.(閉 Γ=φ
っ て 正則 領 域)で
後Δ ∈OΓ と し て は,Δ 集 合 Γ ⊂Sは
の と き はΔ=φ
行 な うべ き 修 正 は,各
中 の 等 式 が 得 ら れ,従
っ て(3.3.11)
お い て 調 和 で あ る.
の 議 論 か ら わ か る よ う に,uΓ
R\ Δaが 連 結(従
とな
もR\
の 決 定 に 参 加 す る Δ∈OΓ
とし て は
あ る も の の み 考 え て も 同 じuΓ を 得 る.よ Δaも 空 で な く てR\
っ
Δaが 連 結 な も の の み
連 結 とは 限 ら な い か ら Δ も 連 結 とは 限 ら な い.
も 考 え る こ と に な る が,以
下 の 議 論 で Γ=φ
場 合 ご と に お お む ね 容 易 で あ る か ら,い
の場 合 に
ち い ち この場 合
の た め の 但 し 書 き を 記 述 し な い.) {Dn}を 対 し てΩ=Δ
§3.1で ∩Rと
も に 空 で な い.そ
固 定 し た 正則 有 界 領 域 の 列 とす る.上 お く と,十 の よ うなnに
分 大 き いnを 対 して
に 述 べ た よ うな Δ に
とれ ばDn∩Ω,Dn∩(R\Ω)が
と
な る正 則 領 域D′n(右 図)が 存 在 す る.こ の と と な り,ま た,D′nはR\
き
Ω
に お け る 相 対 位 相 に 関 す るD′n+1の 内 部 に 含 ま れ る.だ
か ら 十 分 大 き いnに
域D′nに お け るDirichlet問 GD′n(x,y)が
対 し て,領
題 のGreen函
存 在 し,nに
数
関 し単 調 増 加 で
が存 在 してR\ Ω に お け るGreen函
数 に な る.こ
x∈R\
Ω,z∈
の とき
∂Ω に 対 し て
は 正 で あ り,
(3.3.16)
nに 関 し単 調 に増 加 し て が 成 立 す る.(定
理1.3.4,定
理1.3.7参
照;な
お,記
号nΩ は Ω か ら 見 て 外 向
き の 法 線 単 位 ベ ク トル を 表 わ す と い う規 約 に よ り,§1.3の 符 号-が
記 述 に あ った 負 の
こ こ に は つ い て い な い.)
これ ら の 概 念 と記 号 を 用 い て,以
下 の 補 助 定 理 を 証 明 し て か ら,本
§の主 要
定 理 と そ の 証 明 を 与 え る. 補 助 定 理3.3.2 数GR\Ω(x,y)を
uをRで
連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 と し,Ω
上 に 述 べ た 通 り とす る と,R\
お よ びGreen函
Ω において
(3.3.17)
証 明 任 意 のF∈FΩ 分 大 き く とれ ば,Dn∩ nに 対 し て 函 数 お
を と っ て,一 Ω ⊃Fか
応 固 定 す る.前
つ
よ びGreen函
ペ ー ジ の{Dn}でnを と な る か ら,こ
数GD′n(x,y)を
考 え る.ま
の よ うな
ず 函数
(3.3.18)
はD′nで 正 値 調 和 で あ っ て ∂D′n上で で あ っ て, (3.3.18′)
と な る.R\Dnで だ か ら,(3.3.18)は
十
は
と も 書 け る(右 次 に,函
辺 の 符 号 に つ い て は 前 ペ ー ジ(3.3.16)の
あ と の 記 述 を 参 照).
数wFを
(3.3.19)
と 定 義 す る と,(3.3.3),(3.3.7),(3.3.16)に
よ り
(3.3.20)
と な る.一
方,
はDn\Ω
では 調 和 で あ って
の上 で で あ るか ら,Dn\Ω
の上 で
に お い て
か らD′nにお い て
また ∂D′nの上で
だ
とな る.よ って におい て
と な る か ら,n→
∞
と す る と(3.3.7)と(3.3.20)に R\
と な り,こ
れ と(3.3.19)と
を 得 る.こ
こ でFと
がnに
か ら
お け るFnを
よ っ て(3.3.17)を
よ びun(n=1,2,…)がRで
関 し て単 調 減 少 で
に 対 し て,Rの
上 で
証 明 (3.3.17)のuにunを を 得 る が,Ω
ら,Rに
に お い てuF=wF
し て(3.3.11)に
(3.3.11)と(3.3.9)に 系 uお
Ω
よ り
∞
と す る と,
得 る. 連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 で あ っ て,{un}
な らば,上
の補 助 定 理 に お け る 開集 合 Ω
が 成 立 す る. 代 入 し て,n→
∞
に お い て は(3.3.9)に
とす れ ば,R\
Ω において
よ り(un)Ω=un,uΩ=uだ
か
が成 立 す る.
お い て
補 助 定 理3.3.3
uは 補 助 定 理3.3.2と
る.Ω1,Ω2がRの
中 の 正 則 開 集 合 で Ω1⊃ Ω2な
証 明 任 意 のF∈FΩ2を もRで
代 入 し,n→
と っ て か ら,任
同 様Rで
連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 とす ら ば(uΩ2)Ω1=uΩ2.
意 のD∈DFを
連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 で あ る.uDF≦uFだ
か ら,uDFの
と る.uDF,uF,uΩ2 定 義(補
助定理
3.3.1)に
と な る.FはFΩ1に
よ っ て
果 に(3.3.4),(3.3.8)とuF≦uΩ2な
と な る.こ
の結
る こ とを 順 次 適 用 す る と
の 式 の 左 端 辺 のD∈DFに
る 上 限 を と れ ばuΩ2≦(uΩ2)Ω1を る か ら,証
も属 す る か ら,上
関 す る 上 限 を と っ て か らF∈FΩ2に
得 る.一
方(3.3.9)に
関す
よ り(uΩ2)Ω1≦uΩ2で あ
明 す べ き 等 式 が 成 立 す る.
補 助 定 理3.3.4 uは
前 の 補 助 定 理 の 通 り とす る.Ω,Ω1,Ω2がRの
中の正則
開 集 合 で Ω1∪ Ω2⊃ Ω な ら ばuΩ1+uΩ2≧uΩ. 証 明 ま ずF,F1,F2が uF1+uF2≧uFと
正 則 コ ン パ ク ト集 合 で あ っ てF1∪F2⊃Fな
な る こ と を 示 す.任
る.uDF1,uDF2,uDFは
意 のD∈DF1∪F2を
い ず れ もD\(F1∪F2)で
らば
と る とD∈DFで
もあ
調 和 で あ っ て,(3.3.2)に
よ り
の上 で の上 で の上で と な るか ら,D\(F1∪F2)に
が 成 立 す る.一
お い て
では で あ る か ら,F1∪F2で 立 す る.こ
で成 立 す る.さ
し てn→
て,こ
る と,F1∪F2⊃Fな
では が 成 立 し,結
も
こ でD=Dnと
るF1∈FΩ1とF2∈FΩ2が な り,こ
対 し て,任
成
意 のF∈FΩ
を と
存 在 す る か ら,(3.3.8)と
上 の
の 右 端 辺 にお い てF∈FΩ
に関
す る 上 限 を と れ ば,証
明 す べ き 不 等 式 が 得 られ る.
補 助 定 理3.3.5 uお
よ び Ω を 補 助 定 理3.3.2の
度 μΩ で
局 この 不 等 式 はDで
∞ の 極 限 を と れ ば,uF1+uF2≧uFがR
の 補 助 定 理 の Ω,Ω1,Ω2に
結 果 か らuΩ1+uΩ2≧uF1+uF2≧uFと
るBorel測
方,
通 り と す る と,Ωaに
な る も の が 存 在 し て,R\
おけ
Ω において
次 の 等 式 が 成 立 す る:
(3.3.21)
証 明 任 意 のF∈FΩ
を と り,任
意 のD∈DFを
と る.函
数uDFはDに
おい
て 正 値 優 調 和 で あ るか ら,Riesz分 測 度 μDFと調 和 函 数hDFが
解 の 定 理2.3.4に
よ り,Dに
お け るBorel
存 在 し て,
(3.3.22)
が 成 立 し,D\Fに
お い て はuDFは
だ か ら(3.3.22)の
右 辺 第1項
GD(x,y)の
性 質 に よ り,xが
は0に
近 づ く.一
∂D上
で 境 界 値0を
方uDFも
で 固 定 し たDnを
調 和 で あ る か ら μDF(D\F)=0で
はFの
上 の 積 分 と な る.従
っ て,Green函
∂D上 の 点 に 近 づ く と き(3.3.22)の
∂D上
で 境 界 値0を
と る か ら,D上
と る こ と に な り,hDF≡0で と り,Fの
あ る.こ
あ る. 数
右 辺 第1項
の 調 和 函 数hDFが こ でDと
し て §3.1
上 の 測 度 μ(n)Fを
よ っ て 定 義 す る と,(3.1.6)に
よ り(3.3.22)は
に 次 の よ う に な る:
(3.3.22′)
こ の 両 辺 にγ(x)を ≡1な
掛 け て 体 積 要 素dxに
つ い てD0で
積 分 す れ ば,Mn(γ;y)
ることに よ り
(3.3.23)
す な わ ち{μ(n)F}は
コ ン パ ク ト集 合Fの
上 で 一様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る か ら,
適 当 な 部 分 列 を と れ ばFの
上 の μF(F)≦u(γ)な
方(3.3.22′)を
等式
用 い る と,不
が 成 立 す る が,点x∈R\ n→ ∞
Ω を 定 め る と,y∈Fの
の と きM(x,y)にFの
る((3.1.7),(3.1.8)参 分 列 だ け を 考 え てn→ ま た 第2項
る測 度 μFに 漠 収 束 す る.一
函 数 と し てMn(x,y)は
上 で 一 様 収 束 し,M(x,y)はFの 照).だ
∞
か ら,上
と す る と,上
に 述 べ た{μ(n)F}が
上で連続であ μFに 漠 収 束 す る 部
の 不 等 式 の 右 辺 の 第3項
は μ(n)Fの一 様 有 界 性(3.3.23)とMn(x,y)の
は0に
収 束 し,
一 様 収 束 に よ り,第1
項 は(3.3.7)に
よ り,い
な け れ ば な ら な い;す
ず れ も0に
な わ ち,任
収 束 す る.よ
っ て 上 の 不 等 式 の 左 辺 は0で
意 のx∈R\Ω
に対 し て
(3.3.24)
が 成 立 す る.こ 合E⊂
こ でFと
Ωa\Fに
し て(3.3.11)の
対 し て μFn(E)=0と
よ うなFnを
と り,任
定 義 す る と,{μFn}は
Ωaに お け る 一 様 有 界(μFn(Ωa)≦u(γ))な
意 のBorel集 コ ン パ ク ト集 合
測 度 の 列 と な る か ら,適
当な部分列が
Ωaに お け る μΩ(Ωa)≦u(γ)な る 測 度 μΩに 漠 収 束 す る.M(x,y)はx∈R\
Ω
な ら ばyに
記
つ い て Ωaで 連 続(定
の 部 分 列)と
お い てn→
∞
理3.2.2)だ
か ら,(3.3.24)でF=Fn(上
とす れ ば(3.3.21)を
得 る.
以 上 の こ とを 用 い て,本
§の 目 的 で あ る 次 の 三 つ の 定 理 を 証 明 す る.
定 理3.3.1
連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 と し,Γ,Γn等
境 界Sの
u,υ はRで
閉 部 分 集 合 とす る.こ
の と き,Rに
はMartin
お い て 以 下 の 等 式 また は不 等式 が
成 立 す る: (a) uΓ は 調 和 函 数 で あ っ てu≧uΓ (b) Rに (c)
お い てu≧υ
(u+υ)Γ=uΓ+υ
≧0;
な ら ばuΓ ≧υΓ; Γ;
(d) 任 意 の 定 数c≧0に (e)
uΓ1∪ Γ2≦uΓ1+uΓ2;
(f)
Γ1⊃ Γ2な
対 し て(c・u)Γ=c・uΓ;
ら ば(uΓ2)Γ1=uΓ2;
な らば
(g) {Γn}n=1,2,… が 単 調 減 少 列 で (h) uがRで
正 値 調 和 な ら ばuS=u.
証 明 (a)は(3.3.13)と(3.3.15)に 1°),2°),3°)に
お け るuF,uΩ,uΓ
述 べ ら れ て い る.(b),(c),(d)は の 構 成 の 手 順 と(3.3.7),(3.3.11),(3.3.15)
か ら 容 易 に わ か る か ら,(e)∼(h)を
(e) 任 意 の Δ1∈OΓ1,Δ2∈OΓ2を
証明
す る.
と る と,Γ1∪
Δ1∪Δ2に 含 ま れ る Δ∈OΓ1∪Γ2が 存 在 す る.だ 3.3.4に
よ り
前 記
Γ2⊂ Δ1∪Δ2が 成 り立 つ か ら, か らuΓ1∪ Γ2の 定 義 と補 助 定 理
こ こ で Δ1と Δ2と は 互 い に 無 関 係
に と れ る か ら,Δ1∈OΓ1,Δ2∈OΓ2に ≦uΓ1+uΓ2を
関 す るuΔ1∩R,uΔ2∩Rの 下 限 を と れ ばuΓ1∪ Γ2
得 る.
(f) 任 意 の Δ∈OΓ1を
と る と Δ∈OΓ2で
の 仮 定 を 満 た す 列{Δn}⊂OΓ2を き 補 助 定 理3.3.3に
(g)
が 成 り立 つ か ら,n→
補 助 定 理3.3.2の
系 に よ り(uΓ2)Δ ∩R=uΓ2を
関 す る 下 限 を と れ ば(uΓ2)Γ1=uΓ2と
仮 定 と(3.3.14)に
てuΓn≧uΓ
対 し て(3.3.15)
Δn⊂Δ な る よ うに と る こ とが で き る.こ
よ り
と る と(3.3.15)と 辺 の Δ∈OΓ1に
も あ る か ら,Γ2に
の極 限 を
得 る.こ
の左
な る.
よ り,{uΓn}はnに
関 し て 単 調 減 少 で,各nに
が 存 在 し てυ ≧uΓ と な る.ま
だ か ら,
∞
の と
対 し
た,任
意の
Δ∈OΓ に 対 し て
で あ っ て,Rに あ る か ら,十 と な る.こ n→ ∞
お い てR\
Δ,R\
Γnは
分 大 な るす べ て のnに の こ と と Δ∈OΓ
と し てuΔ ∩R≧υ
そ れ ぞ れ コ ン パ ク ト集 合,開
対 し てR\
と か ら Δ∈OΓnが
を 得 る.こ
Δ ⊂R\
Γn,従
§3.1で
の 左 辺 の Δ∈OΓ に 関 す る 下 限 を と れ ば を 得 る.
固 定 し た 正 則 有 界 領 域 の 列 と し,n=1,2,…
Δn=R\Dn,Fn=Dn+1\Dnと
お く.Dn+2⊃Fnで
お い て 調 和 で あ り,∂Dn(⊂ に お い て 相 等 し い.ま
っ て Δ⊃ Γn
わ か る か らuΔ ∩R≧uΓnと な り,
uΓ≧υ とな るか ら,初 め の 結 果 と合 わ せ て (h) {Dn}を
集合 で
あ っ て,
に対 して
とuはDnに
∂Fn)の 上 で は こ の 二 つ の 函 数 は 相 等 し い か ら,Dn
た,Dn+2∈DFn,Fn∈FΔn∩Rだ
か ら,
に おい て こ の と き{Δn}⊂OSか に お い てn→ 方(a)に
つ{Δn}は
∞ と す る と(3.3.15)に
よ りu≧uSだ
定 理3.3.2
uをRで
か ら,u=uSが
よ り,Rに
お い てu≦uSが
の不等式
成 立 す る.一
得 ら れ る.
連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 とす る と,Martin境
意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,Γ も の が 存 在 し て,uΓ(x)は
だ か ら,上
単 調 減 少 で
上 のBorel測度
次 の 式 で 表 わ さ れ る:
界Sの
μΓで μΓ(Γ)=uΓ(γ)<∞
任 なる
(3.3.25)
な る も の を と り,
証 明 OΓ に属 す る集 合 の単 調 減 少 列{Δn}で Ωn=Δn∩Rと Borel測
お く と,各
Ωnに 対 し て 補 助 定 理3.3.5に
度 μnで
よ り,Ωanに
な る も の が 存 在 し て,R\
Ωnに
おけ る
おいて
(3.3.26)
が 成 立 す る.{μn}は れ る か ら,適 す る.任
コ ン パ ク ト集 合Ωa1の 上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 と 考 え ら
当 な 部 分 列{μn′}が
意 のn0を
Ωa1に お け る あ るBorel測
固 定 す る と き,n′ ≧n0と
な る 部 分 列 の 測 度 μn′を 考 え る と
で あ るか ら,
と な る.こ
く と れ る か ら μΓ(Ωa1\ Γ)=0.よ 意 のx∈Rに
3.2.2の
よ りM(x,y)はyに
対 し て,
上 の こ と と(3.3.15)に
ば(3.3.25)が
得 ら れ,そ
掛 け てRの
界Sの
度 と考 え る
あ る か ら,定
→∞
体 積 要 素dxに
理 上で
とす れ ついて
よ りuΓ(γ)=μ Γ(Γ)が 得 ら れ る.
値 調 和 函 数 の 表 現 定 理) Rに
対 し て,Martin境 て,u(x)は
な るn1が
よ り,(3.3.26)でn=n′
の 両 辺 にγ(x)を
積 分 す れ ば,M(γ;y)≡1に
定 理3.3.3(正
任 意 に大 き
つ い て コ ン パ ク ト集 合R\Ωn1の
連 続 で あ る.以
D0で
こ でn0は
っ て μΓ は Γ に お け るBorel測
こ と が で き る.任 系ⅱ)に
度 μΓ に 漠 収 束
上 のBorel測
お け る 任 意 の 正 値 調 和 函 数uに
度 μ で μ(S)=u(γ)な
る も のが 存 在 し
次 の 式 で 表 わ さ れ る:
(3.3.27)
逆 に,Sの
上 の0<μ(S)<∞
義 さ れ るuは
な る 任 意 のBorel測
×Sで
定
正 値 調 和 函 数 で あ る.
証 明 前 半 は 定 理3.3.1の(h)と し よ う.任
度 μ に 対 し て(3.3.27)で
意 のDn(§3.1)に
定 理3.3.2か
対 し て 定 理3.2.2の
一 様 連 続 で あ る か ら,(3.3.27)の
ら 明 ら か で あ る.後 系ⅱ)に
右 辺 の 積 分 は,S上
半 を証 明
よ りM(x,ξ)はDn におけ る
(3.3.28)
な る 形 の'Riemann式
近 似 和'に
よ り,Dn上
で 一 様 近 似 さ れ る.(3.3.28)
は 定 理3.2.2に もDnで uはRで
よ りxの
函 数 と し てDnで
調 和 で あ る.こ
こ でDnの
調 和 で あ る.uは
よ りu(γ)=μ(S)>0だ
調 和 で あ る か ら,そ
任 意 性 に よ り,(3.3.27)で
の一様収束極限 定 義 され る函 数
明 ら か に 非 負 値 で あ り,(3.3.27)とM(γ;y)≡1に
か ら
正 値 優 調 和 函 数 の 表 現 定 理 は,次
;従 っ てuは
正 値 調 和 で あ る.
の § の 最 後 に 述 ベ る.
[
§3.4 極 小 函数,標
準 表 現 とそ の 一 意 性
正値 調 和 函 数 の標 準 表現 とそ の 一 意性 を述 べ る た め,ま ず 極 小 函 数 の概 念 を 導 入 す る. 定 義1 R上
の正 値 調 和 函数uが,
(3.4.1) R上 でυ ≦uな
る正 値 調 和 函 数υ は,uの
とい う条 件 を 満 た す と き,uを
極 小 正 値 調 和 函 数 ま たは 単 に極 小 函 数 と呼 ぶ.
す なわ ち,正 値 調 和 函数uが'極 函 数υ で,R上
で0≦υ ≦uと
上 の条 件(3.4.1)は
正 の定 数 倍 にか ぎ る
小'で
あ る とは,uと
線 型 独 立 な正 値 調 和
な るも の は存 在 し な い,と い うこ とで あ る.
次 の(3.4.2)と
同値 であ る:
uが 二 つ の 互 い に 線 型 独 立 な 正 値 調 和 函数u1,u2の (3.4.2)
凸 結 合 な ら ば,uはu1,u2の な ぜ な ら ば,正
い ず れ か に 一 致 す る.
値 調和 函 数uが(3.4.1)を
満 た す と し,
u1,u2は
と す る と,u≧ c1,c2が
λ1u1か
つu≧
存 在 す る.従
λ2u2だ
な い か ら,λ2=0ま
た はu=u2と
な る か ら,(3.4.2)が
正 値調 和 函 数 でυ ≦uと と な る.こ
の と き,u=υ
と な り,(3.4.1)が よ っ てυ とwは
か ら,u=c1λ1u1,u=c2λ2u2な
っ てc1λ1u1=c2λ2u2と
c1,c2は0で
正 値 調 和 函数,
た は
な る が,u1とu2と λ1=0と
な り,そ
成 立 す る.逆
す る と,w=2u-υ ま た はu=wと
成 立 す る.u=υ
は 線 型 独 立 で
れ に 従 っ てu=u1ま
に(3.4.2)を
仮 定 す る.υ
が
も正 値 調 和 函数 で す る と,ど
で もu=wで
線 型 従 属 で あ る か ら,w=cυ
とな って(3.4.1)が
る正 の定 数
ち ら の 場 合 もu=υ=w
も な い と す る と,(3.4.2)に な る 正 数cが
あ り,
成 立 す る.
調 和 函 数 の全 体 は 線 型 空 間 を な し,そ の 中 で正 値 調 和 函数 の全 体 は 凸集 合 を なす が,上 の(3.4.2)に
よ り,uが
線 型 独立 な 正値 調和 函数u1,u2を
極 小 函数 で あ る こ とは,uが 結 ぶ'線 分'の
二 つ の互 いに
内点 に は な ら ない こ と と同等
で あ る.よ
っ て,極
小 函 数 の こ とを 端 点 的 函 数 と も い う.
任 意 の ξ∈Sを
固 定 し てM(x,ξ)をx∈Rの
3.2.2に
の 正 値 調 和 函 数 で あ る.よ
よ りR上
と し て,前 で,xの
§ で 連 続 正 値 優 調 和 函 数uに 函 数M(x,ξ)に
函 数 と 考 え る と,こ っ て,Sの
れは定理
任 意 の 閉部 分 集 合 を Γ
対 し てuΓ を 定 義 し た の と 同 様 の 方 法
対 し てMΓ(x,ξ)を
定 義 す る;す
なわち
MΓ(x,ξ)=M(・,ξ)Γ(x). 特 に,Γ={ξ}(一 こ とに す る.以
点 ξか ら成 る集 合)の 上に お い て ξはSの
(3.4.3)
と き はMΓ(x,ξ)をMξ(x,ξ)と
任 意 の 点 で あ る か ら,
ψ(ξ)=Mξ(γ,ξ) ((3.1.1)参
と お い て ψ(ξ)をSの
書 く
上 の 函 数 と 考え る.こ
照)
の 函 数 は 本 §に お い て 重 要 な 役 割
りを す る. 補 助 定 理3.4.1
BをSの
測 度 で μ(B)>0と
す る.R上
中 のBorel集
合 と し,μ をBで
の 正 値 調 和 函 数uが
定 義 さ れ たBorel
極 小 函 数 で あ っ て,R上
で
(3.4.4)
を 満 た す な ら ば,一
点 ξ0∈Bが
存 在 し て,R上
でu(x)=u(γ)M(x,ξ0)が
成立
対 し てM(γ;ξ)=1だ
か ら,
す る. 証 明 (3.1.10)と(3.2.3)に (3.4.4)に
よ りu(γ)≧ μ(B)>0と
の 正 則 性 に よ り,Sの μ(Γ)>0な
る も の が あ る.一
>0,ρ-diam(Γ1)<1を 適 用 す る と,コ
っ て,距
離 空 間 に お け るBorel測
っ て コ ン パ ク ト集 合)Γ
度 つ
る も の が 存 在 し,従
∩Δaνと お く と,こ 満 た す.初
る 有 限 個 の 開 集 合Δν(ν=1, っ て そ の 中 に μ(Γ∩Δaν)>0な
れ はSの
コ ン パ ク ト部 分 集 合 で μ(Γ1)
め の Γ に 対 し て 行 な っ た 議 論 を こ の Γ1に
ン パ ク ト集 合 Γ2⊂ Γ1で,μ(Γ2)>0か
るも の が 得 られ る.以
で Γ ⊂Bか
般 に 集 合Δ の 距 離 ρ に 関 す る直 径 を ρ-diam(Δ)
中 の ρ-diam(Δν)<1な
Γ ⊂Δ1∪ … ∪Δmな
るΔνが あ る.Γ1=Γ
な る.従
閉 部 分 集 合(従
と書 く こ と に す る と,Rの …,n)で
よ り任 意 の ξ∈Sに
下 同 様 の 論 法 で,μ(Γn)>0か
る コ ン パ ク ト集 合 の 単 調 減 少 列{Γn}が
得 ら れ る.こ
つ
ρ-diam(Γ2)<1/2な
つ ρ-diam(Γn)<1/nな の と き,す
べ て の Γnの
共通 部分 は丁 度1個
の点 か ら成 るか ら,そ
の点 を ξ0とす る.こ
こで,各nに
対して
(3.4.5)
と 定 義 す る と,定 ≦u(x)と
理3.3.3に
な る.uは
存 在 す る.測
よ りunは
正 値 調 和 函 数 で あ っ て,R上
極 小 函 数 で あ るか ら,un(x)=cnun(x)な
度 μnを
でun(x)
る正 の 定 数cnが
と 定 義 す る と,(3.4.5)に
よ り
(3.4.6)
と な り,従
っ て μn(Γn)=u(γ)<∞
列{μn}の
適 当 な 部 分 列 は,あ
度 で あ る か ら,μ0は
と な る か ら,コ
ン パ ク ト集 合S上
る 測 度 μ0に 漠 収 束 す る.各
点 ξ0に お け る 点 質 量 で あ る.そ
お い て 上 記 の 部 分 列 の 極 限 を と る とu(x)=cM(x,ξ0)と
=1に
よ りu(γ)=cを
得 る か ら,u(x)=u(γ)M(x,ξ0)が
系1 uが 極 小 函 数 な ら ば,u(x)=cM(x,ξ0)と 定 数cが
し,(3.
な り,M(γ;ξ0)
成 立 す る. な る よ うな 点 ξ0∈Sと
正 の
存 在 す る.
証 明 uは 定 理3.3.3の(3.3.27)の に お い てB=Sと 系2
μnは Γnの 上 の 測
の 質 量 の 値 をcと
4.6)に
の測 度 の
ξ1をSの
す れ ば,こ 一 点,Γ
形 に 表 現 さ れ る か ら,補
の 系1が
をSの
数 で あ っ てMΓ(x,ξ1)>0な
と な る か ら,補
と な る.だ
定 理3.4.1
(3.4.3)の
極小函
ら ば,ξ1∈ Γ で あ る.
るBorel測
助 定 理3.4.1に
か ら 定 理3.2.4に
得 ら れ る.
閉 部 分 集 合 とす る.M(x,ξ1)がxの
証 明 xの 正 値 調 和 函 数M(x,ξ1)に 義 さ れ た0<μ(Γ)<∞.な
助 定 理3.4.1
よ り点
定 理3.3.2を
適 用 す る と,Γ
度 μ が 存 在 し て,Rの
の上で定
上で
ξ0∈Γ が 存 在 し て
よ り ξ1=ξ0,従 函 数 ψ(ξ)は0と1の
っ て ξ1∈Γ と な る. 値 の み を と り,M(x,ξ)がxの
極 小 函 数 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は ψ(ξ)=1な る こ とで あ る. 証 明 任 意 の 正 値 調 和 函 数uに 対 し て,定 理3.3.2で
Γ={ξ}(一
点 ξか ら
成 る集 合)と お くと (3.4.7)
が 成 立 す る か ら,特
にu(x)=M(x,ξ)と
す ると
(3.4.8)
と な る.こ
の 式 と 定 理3.3.1の(f),(d)と
か ら
を 得 るか ら,こ の両 端 辺 に γ(x)を 掛 け て体 積 要 素dxで
積分すれば
す なわち と な る.よ
っ て ψ(ξ)の 値 は0ま
次 に ψ(ξ)=1な M(x,ξ)な
た は1で
ら ばM(x,ξ)がxの
あ る. 極 小 函 数 で あ る こ と を 示 す.u(x)≦
る 任 意 の 正 値 調 和 函 数uを
と り,υ(x)=M(x,ξ)-u(x)と
υ も正 値調 和 函 数 で あ る.
だから
と 従 っ て こ の 式 の 不 等 号 の 所 は 実 は 等号 が 成 立 し,特 ば な ら な い.こ
お く と,
の こ と と(3.4.7)と
u{ξ}(γ)は正 の 定 数 で あ る か ら,こ
に よ り
にu(x)=u{ξ}(x)で
か らu(x)=u{ξ}(γ)M(x,ξ)を の 結 果 はM(x,ξ)がxの
な けれ
得 る.こ
こで
極 小函数であ るこ
と を 示 し て い る. 逆 にM(x,ξ)が
極 小 函 数 な ら ば ψ(ξ)=1な
る こ と を 示 そ う.Sの
閉 部分 集
合 Γ で,Sに
お け る 相 対 位 相 に 関 し て ξを 内 点 に 含 む も の を 任 意 に と っ て,B
=(S\
お く.こ
3.4.1の
Γ)aと 系2に
の と き,も
よ り ξ∈Bで
し もMB(x,ξ)>0と
す る と前 述 の 補 助 定 理
な け れ ば な ら な い か ら,MB(x,ξ)≡0で
の こ と と定 理3.3.1の(h),(e),(a)に
あ る.こ
よ り,す べ て のx∈Rで
従 っ て こ の 式 の 不 等 号 は す べ て 等 号 と な り,特にMΓ(x,ξ)=M(x,ξ)を
得 る.
初 め に述 べ た よ うな集 合 Γ の 単調 減 少 列 で 定 理3.3.1の(g)に
な る もの を と れ ば, と な る か ら,
よ り
が 得 ら れ る.
定 義2
と お く.S1を(本
お い て は)Martin境
界Sの
書に
本 質 的 部 分 と 呼 ぶ.(そ
の 理 由 は 後 述 の 定 理3.4.3
お け るFσ 集 合 で あ る.(一
般 に 距 離 空 間 に お い て,閉
に よ る.) 定 理3.4.2
S0はSに
集 合 の 高 々 可 算 個 の 和 集 合 と し て 表 わ さ れ る 集 合 をFσ 集 合 と い う;閉 空 集 合 もFσ 集 合 で あ る.本 の 定 理 は'S0はRに
章 に お い て はSはRの
お け るFσ 集 合 で あ る'と
函 数M(x,ξ)(ξ
函 数 をMDF(x,ξ),MF(x,ξ),MΩ(x,ξ)等 m=1,2,…
閉 部 分 集 合 で あ る か ら,こ い うの と 同 等 で あ る.)
証 明 前 §に お い て 正 値 優 調 和 連 続 函 数uに 義 し た の と 同 様 に し て,xの
対 し てuDF,uF,uΩ は 任 意 に 固 定)に
お い て 考 え て い る こ とを,念
こ こ で Γmは 空 集 合 の こ と も あ る.集
て,F⊂Dnな ら,MDnFの
るnの
単 調 増 加 な こ とは 明 らか で 意 の 正則 開 集 合 Ω⊂Rに
§3.1の
Ω に含 ま
初 め に 固定 し た正 則 有 界 領 域 の列 とし
み を 考 え る.M(x,ξ)はF×Sの
上 で一 様 連 続 で あ るか
定 義 と 調 和 函 数 の 最 大 値 原 理 に よ り,MDnF(x,ξ)はD0×Sの
で 一 様 連 続;従
っ て,MDnF(γ;ξ)は
(3.3.3)と(3.3.7)に
(3.3.11)の
合 列{Γm}が
下 半 連 続 な 函 数 で あ る こ と示 す.Fを
れ る コ ン パ ク ト集 合,{Dn}を
核を表わ
とな る
ず 各 Γmが 閉 集 合 で あ る こ と を 示 す た め,任 ξ∈Sの
こ で 閉 包,開
な る か ぎ り,
に対 して
対 し て,MΩ(γ;ξ)が
対 して 定 義 し た
の た め 再 記 し て お く):
が
あ る.ま
等の函数を定
で 表 わ す こ とに す る.
に 対 し て 集 合 Γmを 次 の 式 で 定 義 す る(こ
すa,iはRに
集合や
ξ に つ い てSの
よ り
仮 定 を 満 た す 集 合 列{Fn}を
(単 調増 加 で収 束).従
って
考 え る と
上
上 で 連 続 で あ る.一
方
(単調 増 加 で収 束).ま
た
が い ず れ も単 調 増 加 の 収 束 で 成 立 し,MDnF(γ;ξ)の MΩ(γ;ξ)はSの
上 で 下 半 連 続 で あ る.さ
し,Δ ∈O({ξ})か
つ ρ-diam(Δ)<1/mと
と な る か ら,Ω=Δ
∩Rに
任 意の
対 し てMΩ(γ;ξν)≦1/2と
こ で
理3.4.1に
さ れ た.次
に 任 意 の ξ∈S0を
よ り ψ(ξ)=0.よ
ら ば,Ω=Δ
∩Rは
従 っ てS0は [11]に
ξ∈S0と
集 合 で あ ろ う,と
上 のBorel測
が示
な り,
す る と(3.3.
あ る.Δ ∈O({ξ})か
つ ρ-diam(Δ)<1/mな って
が示 され た か ら,前
れ で
が 得 られ た.
よ っ て 示 さ れ,Martinの
か ら,Sの
定義に よって
と
る こ と が わ か っ た.こ
上 の 定 理 に よ りS0は,従
と っ て,
単 調減 少 で
の 証 明 中 の 各 ΓmはSの 第1類
のmを
だ か ら,Ωn=Δn∩Rと
るmが
の結 果 と合 わ せ て Martinは,上
っ て
集 合 に な る.
Ωmに 含 ま れ る か らMΩ(x,ξ)≦MΩm(x,ξ),従
と な り,ξ ∈ Γmな
あ る.こ
閉集合 で
と り,
よ りMΩn(γ;ξ)は
だ か らMΩm(γ;ξ)≦1/2な
るmが
す る と,Γmの
単 調 減 少 で
10),(3.3.15)に
収束
か らMΩ(γ;ξ)
な り,Γmが
を 示 せ ば,S0がFσ
Ω=Δ ∩Rと
と な り,定
点 ξ∈Sに
な る.だ
っ て ξ∈ Γmと
を と る と,ξ ∈Γmな
お くと,{Δn}は
て 点 列{ξν}⊂ Γmが
す る と,ν が 十 分 大 な ら ばΔ ∈O({ξν})
の 下 半 連 続 性 に よ りMΩ(γ;ξ)≦1/2,従 あ る こ と が 示 さ れ た.そ
ξに 関 す る 連 続 性 に よ り
中 の 相 対 位 相 で 疎 集 合(nowhere 予 想 し た が,最
近Sa1〓Sな
る 例 がA.
dense
set) ,
Ancona
予 想 は 否 定 さ れ た.
っ てS1=S\S0も,Sの 度 がS0,S1の
中 のBorel集
上 で 考 え ら れ る.よ
合 である
っ て次 の定 義 を述
べ る こ と が で き る. 定 義3 Sの と 呼 ぶ.正
上 の 有 界Borel測
度 μ がオ(S0)=0を
値 調 和 函 数 の 表 現 定 理(定
理3.3.3)に
満 たす とき μを 標 準 測 度 お け る測 度 μが 標 準 測 度 で
あ る と き に,そ
の 表 現(3.3.27)を
以 下 の 補 助 定 理 は,標
標 準 表 現 と い う.
準 表 現 の 存 在 と 一 意 性(後
述 の 定 理3.4.3)を
示すた
め の 準 備 で あ る. 補 助 定 理3.4.2
{Γm}を
定 理3.4.2の
上 の 任 意 の 正 値 調 和 函 数uと,任 証 明 Γmは mな
意 の,mに
コ ン パ ク トだ か ら,Sの
る も の の 有 限 個 で 覆 わ れ る.そ
つ い て,uΓ(x)≡0と
証 明 中 に 述 べ た 閉 集 合 列 とす る と,R 対 し て,uΓm(x)≡0で
中 の 相 対 開 集 合Δν で ρ-diam(Δν)<1/2 の よ うなΔν の 一 つ のSに
な る こ とを 示 せ ば よ い(定
Γ に 対 し て,ρ-diam(Δ)<1/mな
あ る.
るΔ ∈O(Γ)を
の 定 義 に よ り,ξ ∈ Γ な ら ばMΩ(γ;ξ)≦1/2と
お け る 閉 包Γ
に
よ り).こ
の
理3.3.1の(e)に
と り Ω=Δ ∩ Γ と す る と,Γm な る.こ
こで まず
(3.4.9)
な る 形 の 任 意 の 函 数 υに 対 し て,M(γ;ξ)≡1を
用 いて
(3.4.10)
一 般 に ,Γ
の 上 のBorel測
度 μに よ って
(3.4.11)
の 形 に 表 わ さ れ る 函 数 が,各
点xで(3.4.9)の
さ れ る こ と は 明 ら か で あ る が,実 列 で 近 似 さ れ る;も (3.4.12′)の
(3.4.12)
は す べ て のx∈Rに
っ と精 確 に は,次
略 証 を,こ
右 辺 の 形 のRiemann和
Rの
の(3.4.12),
の 補 助 定 理 の 最 後 に 付 記 し て お く.)
各 点xで(3.4.11)の
[ xがRの
共 通 なRiemann和
の よ うに 述 べ ら れ る.(次
の 形 の 函 数 υnを 適 当 に 定 め る と,n→
∞
の と きυn(x)は
函 数 υ(x)に 収 束 す る.
コ ン パ ク ト部 分 集 合 を 動 くか ぎ り,(3.4.12)の
(3.4.12′)
函 数 列{υR}は
一 様 有 界 で あ る.
で近 似 の
(3.4.11),(3.4.12)の
し,そ
函 数υ,υnに
対 し て 補 助 定 理3.3.2の(3.3.17)が
の 式 に お い て
とLebesgue積
だ か ら,(3.4.12)
分 論 に お け るFatouの
補題 によ り
こ の 両 辺 に γ(x)を 掛 け て 積 分 す る と,再
ま た(3.4.12′)に
各υnに
よ り{υn}はD0で
対 し て は(3.4.10)が
特 にuΓ(x)は の(f)と
成 立
びFatouの
一 様 有 界 だ か ら,(3.4.12)に
成 立 す る か ら,(3.4.11)の
定 理3.3.2に
補 題 に よ って
よ り(3.4.11)の
よ り
υに 対 し て
形 に 表 現 され る か ら,定
理3.3.1
上 の結 果 か ら 従 っ てuΓ(γ)=0.
だ か ら 定 理3.3.2に
お い て
μΓ(Γ)=0,従
念 の た め に,(3.4.12),(3.4.12′)の
と お く と,各xに
っ てuΓ(x)≡0と
略 証 を 与 え て お く.δ>0に
対 し てM(x,ξ)が
Riemann積 Fを
対 し て υn(x)→υ(x)(n→
分 の 場 合 と 同 様 に 示 さ れ る.特
動 くか ぎ り,M(x,ξ)はF×
る と,任
関 し て 一 様 で は な い).そ
る{Δnν}1≦ν ≦nに 分 割 し て,各Δnν
cnν=μ(Δnν)と お け ば,各xに
意 のnと
す な わ ち{υn(x)}はFの 補 助 定 理3.4.3 uがR上
にxがRの
Γ 上 で 有 界 だ か ら,そ
任 意 のx∈Fに
対 し て
ξに つ い て 連 続 な こ と に よ り,δ ↓0の
き εδ(x)→0と な る(こ の 収 束 は 一 般 にxに ρ-diam(Δnν)<1/nな
な る.
と
こで Γ を
の 中 に 点ξnνを と り, ∞)な
る こ とは 普 通 の
コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 値 の 上 限 をKと
す
対 して
上 で 一 様 有 界 で あ る. の 正 値 調 和 函 数 な ら ば,任
意 の ε>0に
対 し て,
S1の 閉 部 分 集 合Γ
を 適 当 に と っ て,u(γ)≦uΓ(γ)+ε
な る よ うに で き る.
証 明 Γmを 前 の補 助定 理 の通 りとし, と お く.各Γmnは Γmn↓Γmと
な る.だ
て 適 当 なnmを Bm=B1∪
閉 集 合 で,mを
任 意 に 固 定 し てn→
か ら 定 理3.3.1の(g)と
前 の 補 助 定 理 に よ り各mに
と れ ば 集 合Bm=ΓmnmがuBm(γ)<ε/2mを
…∪Bmは
列 で あ っ て,
は 閉 集 合 で あ る.Δmの
だ か ら,す
対 し て Γ ∩Γm=φ
3.4.2の
証 明 参 照)だ
示 す.上
か ら,Γ
⊂S1で
か ら,定
ここ でm→
∞
対 し の と き
単調減少
定 義 に よ り ρ(Δm,Γm)>1/nm
あ る.こ
(定 理
方
の Γ が求 め る もの で あ る こ とを よ り
理3.3.1の(h),(e)に
とす る と定 理3.3.1の(g)に
お く と{Δm}は
と な る.一
の Γ の 構 成 法 と 定 理3.3.1の(e)に
Δm∪Bm=Sだ
満 た す.こ
閉 集 合 で あ る.Δm=(S\Bm)aと
べ て のmに
∞ とす る と き
よ り
より
u(γ)≦uΓ(γ)+ε を 得 る. 補 助 定 理3.4.4 る.こ
Γ0,Γ1がSの
の と き 任 意 の ε>0に
⊃Γ0,か
閉 部 分 集 合 で,Γ0∩
対 し て,Rの
す
中 の 開 集 合 Ω を 適 当 に とれ ば,(Ωa)i
つ 任 意 の ξ∈ Γ,に 対 し てMΩ(γ;ξ)<ε
証 明 R\D0に
Γ1=φ,Γ1⊂S1と
と な る.
含 ま れ る 開 集 合 の 単 調 減 少 列{Ωn}で,(Ωan)i⊃
Γ0が つ
な る もの が とれ る.こ の補 助 定理 の結 論 を否 定 す る と,適 当 な 正数 εを とれ ば,各nに
対 し てMΩn(γ;ξn)≧
定 理3.3.5のu,Ω
と し て こ こ のM(x,ξn),Ωnを
測 度 μnで
μn(Ωan)≦M(γ;ξn)=1な
ε と な る ξn∈Γ1が 存 在 す る.補 と る と,Ωanに
助
お け るBorel
る もの が存 在 し て
(3.4.13)
{μn}を
コ ン パ ク ト集 合 Ωa1の上 の 測 度 の 列 と 考 え る と,
に
よ り,適
当 な 部 分 列 はΩa1の 上 の あ る 測 度 μ0に 漠 収 束 す る.ν ≧nな
Ωanの上 の 測 度 だ か ら,μ0はΩanの
上 の 測 度 で あ り,nは
ら μ0はΓ0の
の 部 分 列 の 番 号 に 対 応 す る{ξn}は
上 の 測 度 と な る.上
ト集 合Γ1の 束 す る.こ
上 の 点 列 だ か ら,更
ら ば μνは
任 意 に大 き くとれ るか コン パ ク
に 部 分 列 を と る こ と に よ りΓ1の 一 点 ξ0に 収
うし て 得 ら れ た 部 分 列 に 対 応 す る も の を,あ
{ξn}と 書 く こ と に す る.各x∈Rに
対 し て,nが
か ら,(3.4.13)とM(x,y)のy(∈R\{x})に
ら た め て{Ωn},{μn};
十 分 大 な ら ばx∈R\
Ωnだ
関 す る連 続 性 に よ り
(3.4.14)
こ の 最 後 の 積 分 はxの ≡0と
函 数 と し て ≡0で
す る と,M(γ;ξ)≡1に
は な い.な
よ り μ0(Γ0)=0と
ぜ な ら ば,も
な る が,一
し も この 値 が
方(3.4.13)か
ら
だ か ら,μ0の 構 成 法 に よ り μ0(Γ0)≧ εで な け れ ば な ら な い.よ
一 方 この積 分 の値 はxの
っ て
だ か ら,そ
れ が〓0な
M(x,ξ0)は
正 値 調 和 函 数 で あ り,ξ0∈Γ1な
義 に よ りM(x,ξ0)は のuに
ら ば い た る所 正 の 値 を と る.だ
か ら(3.4.14)に
る こ と と定 理3.4.1お
極 小 函 数 で あ る.(3.4.14)はM(x,ξ0)が
対 す る 仮 定 を 満 た す こ とを 示 し て い る か ら,一 と な る.だ
=ξ′0∈Γ0と な り,ξ0∈Γ1な
非 負値 調 和 函 数
よ びΓ1の
定
補 助 定 理3.4.1 点 ξ′0∈Γ0が存 在 し て
か ら 定 理3.2.4に
る こ と と 矛 盾 す る .以
よ り
よ っ て
ξ0
上 に よ り補 助 定 理3.4.4が
成 立 す る. 補 助 定 理3.4.5 Γ っ て,B∩Γ=φ
はSの
閉 部 分 集 合,BはS1に
とす る.R上
の 調 和 函 数uが,Bの
含 ま れ るBorel集
合 であ
上 の 測度 μに よ って
(3.4.15)
と表 現 され るな らば,uΓ(x)≡0で 証 明 まずBがS1に
あ る.
含 まれ る コンパ ク ト集 合(従
っ てSの
閉 部 分 集 合)の
場 合 を 考 え る こ とに し,次 の よ うに 表 わ され る函 数υ を考 え る:
(3.4.16)
任 意 の ε>0を
と り,補
助 定 理3.4.4でΓ0,Γ1を
Ω を 考 え る と,MΩ(γ;ξν)<ε じ計算(た
だ か ら 補 助 定 理3.4.2の
だ し1/2の か わ りに ε と書 く)に
の 積 分 をRiemann和 の 列{υn(x)}で
こ こ のΓ,Bと
で 近 似 す る こ と に よ り,u(x)は(3.4.16)の 近 似 さ れ る か ら,補
助 定 理3.4.2の
は 任 意 の 正 数 だ か らuΓ(γ)=0;従
次 に,Bを
任 意 のBorel集
な る コン パ ク ト集 合Γ1⊂Bが
と 表 わ さ れ,u1は
合 とす る.任
あ る.一
方u2に
っ てuΓ(x)≡0と 意 の ε>0に
以 上 の 準 備 を し て,標 R上
形の函数
な る.
対 し て μ(B-Γ1)<ε
函 数uは
コン パ ク トの 場 合 の 仮 定 を 満 た し て い る ついては
が 成 立 し,ε は 任 意 の 正 数 だ か ら(u2)Γ(γ)=0;従 か らuΓ(x)=(u1)Γ(x)+(u2)Γ(x)≡0が
同
証 明 と同 様 に
存 在 す る.(3.4.15)の
上 に 証 明 し たBが
か ら(u1)Γ(x)≡0で
す な わ ち,正
証 明 中 の(3.4.10)と
よ りυΩ(γ)≦ευ(γ)を 得 る.(3.4.15)
が 得 ら れ,ε
定 理3.4.3
し た とき の
っ て(u2)Γ(x)≡0と
な る.だ
得 ら れ る.
準 表 現 の 存 在 と 一 意 性 を 証 明 す る.
の 任 意 の 正 値 調 和 函 数 は,た
値 調 和 函 数uに
対 し て,S1の
だ 一 通 り の 標 準 表 現 を も つ.
上 の 有 界Borel測
度 μが 存 在 し て
(3.4.17)
が成 立 す る;こ の よ うな 標 準 測 度 μはuに (3.4.18)
任 意 の 閉 集 合Γ
⊂Sに
よ って 一 意 的 に 定 ま り
対 し て
な る こ とに よ り特 徴 づ け られ る. 証 明 まず 標 準 表 現 の存 在 を 証 明 し よ う.uを
正値 調 和 函数 とす る.任 意 の
ε>0に
対 し て,補
助 定 理3.4.3に
よ り,S1の
u(γ)≦uΓ(γ)+ε な る よ うに で き る.こ
と 分 解 す る と,uΓ(x)は て μΓはΓ(⊂S1)の る.一
方u-uΓ
て,任
意 の 正 値 調 和 函uと
を 適 当に と っ て
の と きuを
定 理3.3.2の(3.3.25)の 上 のBorel測
閉 部 分 集 合Γ
形 に 表 現 さ れ,そ
度 だ か ら,(3.3.25)はuΓ
は 非 負 値 調 和 函 数 で あ っ てu(γ)-uΓ(γ)≦ 任 意 の ε>0に
対 し て,次
の式におい
の標 準 表 現 で あ ε と な る.こ
の よ うなuの
うし
分解 が存
在 す る こ と が わ か っ た: u=υ+υ′;υ さ て{εn}を
は 標 準 表 現 を も ち,υ′ はυ′(γ)≦ε を 満 た す.
単 調 減 少 で0に
収 束 す る 正 数 列 と し,初
u=u1+u′1;u1は標準
な わ ち,一
標 準 表 現 を も ち,u′2(γ)≦ε2,… … 般 に
u′n-1=un+u′n;unは と す る.こ
の と き任 意 のmに
ら出発 して
表 現 を も ち,u′1(γ)≦ε1,
u′1=u2+u′2;u2は と順 次 繰 返 す.す
め のuか
標 準表 現 を も ち,u′n(γ)≦εn
対 して
が存在
とな る.{u′m}は 非 負値 調 和 函数 の単 調 減 少 列 だか ら し て 非 負 値 調 和 函 数 とな る が,{εn}が0に ≡0と
な る.だ
収 束 す る か らu′(γ)=0,従
っ てu′
か ら
(3.4.19)
各nに 対 し てunを 表 現す る標 準測 度 を μnと し,測 度 の無 限級 数 る.こ の級 数 の任 意 の部 分 和 は,(3.4.19)の 測 度 で あ る.(3.4.19)の
部 分 和 はuを
測 度 の 級 数 の 部 分 和 に つ い て は,全 度 の 無 限 級 数 は,あ
る有 界Borel測
を考 え
右 辺 の対 応 す る部 分 和 を 表 現 す る
超 えな い正 値 調 和 函 数 で あ るか ら,上 の
測 度 がu(γ)を 超 え な い.だ か ら,こ の 測 度 μを定 義 す る.各
μnがS1の
だ か ら,μ もS1の 上 の測 度,す なわ ち標 準測 度 で あ る.そ して
上の測度
と な る か ら,uの
標 準 表 現(3.4.17)が
次 に(3.4.18)を
示 せ ば,Sの
よ り μ(Γ)が 定 ま る か ら,距 意 のBorel集
合E⊂Sに
た こ と に な る.以
得 られ た.
任 意 の 閉 部 分 集 合Γに 離 空 間 に お け るBorel測
対 し て μ(E)が
下 は(3.4.18)の
定 ま り,標
とす る.記
と な る.補
をSの
中 のBorel集
合)
か ら
任 意 のBorel集
が 成 立 す る.Γ
準測 度 の一 意性 が示 され
号 の簡 便 の た め
(EはSの
(3.4.20)
度 の 正 則性 に よ って任
証 明 で あ る.
uを 表 現 す る 一 つ の 標 準 測 度 をμ
と お く.μ(S\S1)=μ(S0)=0だ
対 し て μ(Γ)=uΓ(γ)に
合E⊂Sに
対 し てu(E;x)=u(E∩S1;x)
閉 部 分 集 合 とす る と,集
助 定 理3.4.5のBと
Γ を と る と,uΓ(S1\Γ;x)≡0を
合 に関 す る積 分 の加 法 性 に よ り
し て こ こ のS1\Γ 得 る.だ
を と り,Γ
とし て は ここ の
か ら上 の等 式 か ら
(3.4.21)
が 得 ら れ る.い
ま
と お く と,ΓnとBnはSの 補 助 定 理3.4.5のBと
閉 部 分 集 合 でΓn∪Bn=S,Γ し て こ こ のS1∩Γ
とuBn(S1∩Γ;x)≡0と
な る か ら,
n→ ∞
と な る か ら,定
と す る とΓn↓Γ
(3.4.22) (3.4.21),(3.4.22),(3.4.20)に
よ り
を と り,Γ
理3.31の(g)と
∩Bn=φ
と な る.
と し て こ こ のBnを
上 の不 等 式 か ら
とる
u(E;x)の
定 義 に よ り,上 の式 は(3.4.18)を
示 し て い る.
系1 Sの す べ て の 閉 部 分 集 合Γ に対 し て定 義 され て い るuΓ(x)は,Sの のBorel集
中
合 全 体 の上 で定 義 され た可 算 加 法 的 集 合 函数 に拡 張 され る.
(上 の 証 明 中 のu(E;x)を
考 え れ ば よい.)
系2 R上 の任 意 の正 値 調 和 函数 に対 し て定 理3.3.3の た め の必 要 十 分 条 件 は,S0=φ
表 現が一 意 的 で あ る
な る こ とで あ る.
(S0=φ
な らば,す べ て の 表 現 は 標 準 表 現 であ るか ら一 意 的 で あ る.
な らば,そ
の中 の一 点 ξ0をと る と,函 数u(x)=M(x,ξ0)は
るか ら標 準 表 現 を も つ.ま たuは は 標 準 測度 で は な い―
正 値 調 和 函数 で あ
一 点 ξ0に点 質 量1を 与 えた 測 度 μ0―
これ
を用 い て も表 現 され る.だ か らuの 表 現 は一 意 的 で な
い.) 最 後 に,R上
の正 値 優 調 和 函 数 の 表 現 定 理 を 与 え る.次 の定 理 でG(x,y)は
§3.1で 述 べ たRに
お け るGreen函
数 であ る.
定 理3.4.4 R上 の 任 意 の正 値 優 調 和 函 数uに 度 μ0と,RのMartin境
界 の本 質 的 部 分S1の
意 的 に 定 ま って,Rの
対 して,Rに
お け るBorel測
上 の有 界Borel測
度 μ1とが 一
上で
(3.4.23)
が 成 立 す る. 証 明 ま ず §2.3のRiesz分 Rに
お け るBorel測
定 ま っ て,任
解 の 定 理2.3.5(Ω
度 μ0とR上
意 のx∈Rに
をRと
の 調 和 函 数hが,函
す る)のⅱ)に
数uに
よ り,
よ っ て一 意 的 に
対 して
(3.4.24)
が 成 立 す る.こ 恒 等 的 に0で
の と き,定
証 明 か ら わ か る よ う に,函
な い 限 り正 値 調 和 函 数 で あ る.だ
上 の 有 界Borel測 (3.4.25)
理2.3.5のⅱ)の
度 μ1が 一 意 的 に 定 ま っ て,任
か ら 定 理3.4.3に 意 のx∈Rに
数hは
よ り,S1の 対 して
が 成 立 す る.(3.4.24),(3.4.25)に 意 性 も上 の 記 述 か ら(す
よ り(3.4.23)が
な わ ち 定 理2.3.5と
成 立 す る.こ
定 理3.4.3に
の 表現 の一
お け る 一 意 性 か ら)
明 ら か で あ る.
定 理3.4.4は
標 準 表 現 の 定 理3.4.3とRiesz分
の 帰 結 で あ っ て,こ 系1と
定 理3.4.1(お
数M(x,ξ)は る.だ
の 章 の 主 要 定 理 は 定 理3.4.3で よ びS1の
定 義)か
極 小 函 数 で あ り,任
か ら 定 理3.4.3は,任
せ る こ と に よ っ て 表 わ さ れ,そ
解 の 定 理2.3.5か あ る.補
ら の 当然
助 定 理3.4.1の
ら わ か る よ うに,ξ ∈S1な
ら ばxの
函
意 の 極 小 函 数 は この 形 の も の の 定数 倍 に 限
意 の正 値 調 和 函 数 が 極 小 函 数 を積 分 的 に 加 え 合 わ の 表 わ し 方 が 一 意 的 で あ る こ と を 示 し て い る.
第4章
滑 らか な境 界 のMartin境
界 へ の埋 め 込 み
§4.1 埋 め 込 み の 定 理
この章 で は,Rが
多 様体Mの
部 分領 域 で あ って,そ
の境 界 の一 部(境 界 全
体 で も よい)が 適 当 に滑 らか な場 合 に は,そ の部 分 がRのMartin境
界 の中 へ
同相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 す.こ
界 ∂E等
の用 語 ・記 号 は,Mに 境 界Sや,そ ってMは
こで は,集 合E⊂Mの
閉 包E,境
お け る位 相 で考 え る もの と す る.た だ し,RのMartin
の 本 質 的 部 分S1な
どは,Rに
対 して 第3章
で構 成 した も の(従
考 慮 し て い な い もの)を 意 味す る.
この章 の結 果 を 次 の二つ の定 理 として 述 べ,証 明 は 次 の §で与 え る. 定 理4.1.1 Rが
向 きづ け られ たm次
の境 界 ∂Rの 一 部 分Sがm-1次 用 素Aの
元C∞級
元C3級
多様 体Mの
部分 領 域 で,そ
単 純 超 曲面 か ら成 る とし,偏 微分 作
係数aij(x),bi(x)はR∪SでC2級,c(x)はR∪SでHolder連
す る.こ の とき,∂Rに る と,SはRのAに
お け る相対 位相 で 考え たSの
続と
内部 をSと
書 くこ とに す
関す るMartin境
界 の本 質 的 部 分S1の
中 へ 同 相 に埋 め
込 まれ る;も っ と正 確 に述 べ る と,Sの
各 点zに 対 してS1の
点 ξzが一 対 一 に
対 応 し, の とき (4.1.1) {
の とき
で 定 義 さ れ る写 像 φ は,多 コン パ ク ト化R(そ
様 体Mの
部 分 空 間 と し て のR∪Sと,RのMartin
れ は コ ン パ ク ト距 離 空 間 で あ る)の
部 分 空 間 と し て のR∪
φ(S)と の同 相 写 像 を 与 え る.(φ(S)={ξz│z∈S}.)― ま た,x∈Rとz∈Sに たGreen函
数G(x,y)と
対 す るMartin核 の 関 係 と し て,次
函 数M(x,ξz)と,§3.1で の 定 理 が 成 り立 つ.
定義 し
定 理4.1.2前
定理 の 仮定 の も とで,任 意 のx∈Rとz∈Sに
対 して
(4.1.2)
が 成 立 す る.従
っ て,任
極 小 函 数 で あ る.
意 のz∈Sに
対 し て
はxの
函 数 と して
§4.2 埋 め 込 み 定理 の証 明
こ の §で は 前 述 の 定 理4.1.1,定 助 定 理 と し て 述 べ,そ
理4.1.2を
証 明 す る が,証
れ ら を 証 明 し て い くこ と に よ り定 理 の 証 明 を 完 成 す る.
以 下 に お い て は 常 に 定 理4.1.1の
仮 定 が 満 た さ れ て い る も の と し,Riemann
計 量‖ αij‖に よ っ て 定 義 さ れ る二 点x,y∈R∪Sの に す る.ま
た,ρ は §3.2に
補 助 定 理4.2.1
明 の 各段 階 を補
お い てRで
任 意 のx∈Rを
の 核 函 数M(x,y)は,z∈Sに
距 離 をdis(x,y)と
書 くこ と
定 義 さ れ た 距 離 を表 わ す.
固 定 す る と き,§3.1で
定 義 し たMartin
対 して
(4.2.1)
と 定 義 す る こ と に よ り,yに 証 明 Sの
つ い て(R∪S)\{x}で
上 に 任 意 の 一 点z0を
中 で の 局 所 座 標 系(x1,…,xm)を
連 続 な 函 数 に 拡 張 さ れ る.
と っ て 固 定 す る と き,z0の 適 当 に と っ て,次
近 傍Wと,そ
のⅰ),ⅱ),ⅲ)が
の
成立す る
よ うに で き る;
ⅰ) W∩ ∂R⊂Sで ⅱ) W∩Rに
あ って,W∩Sは
方 程 式x1=0で
表 わ され る;
おい てx1>0;
ⅲ ) f∈C1(W)な
らば 任 意 のz∈W∩Sに
お い て
またΩ を,そ の 閉包Ω が コンパ ク トであ る正 則 領 域 で (4.2.2)
を 満 た す も の と す る.(D0は Green函 ら,任
数G(x,y)は
第3章
意 のf∈C10(R)に
第1章
の 初 め に 固 定 し た 領 域.)
の §1.3で 述 べ た 性 質(定
理1.3.9)を
もつ か
対 し て,
(4.2.3)
で定 義 され る函 数υ は Rに を 満 た す.だ
か ら,有
お い てA*υ=-f,Sの
上 でυ=0
界 正 則 領 域 Ω に お け るGreen函
数GΩ(x,y)の
性 質(定
理1.3.3)に
よ り,z∈
が 成 立 す る.こ
と な り,fの
Ω ∪(W∩S)な
らば
の 式 のυ に(4.2.3)の
任 意 性 に よ り任 意 のx∈
右 辺 を代 入す る と
Ω,z∈
Ω ∪(W∩S)に
対 して
(4.2.4)
を 得 る.一 っ て,x∈
方GΩ(x,z)は(x,z)∈(Ω Ω か つz∈
か つz∈W∩Sな
×Ω)\{(y,y)│y∈Ω}に
∂Ω な ら ば
ら ば,(4.2.2)の
て 正 の 値 を と る.だ
が 成 立 す る.ま 第2式
か ら(4.2.4)に
関 し てC1級 たy∈
∂Ω\S
が存在 し
に よ っ て,
よ り,D⊂Ω
であ
な る 任 意 の 領 域Dに
対 して
次 の こ と が わ か る: G(x,z)は
に 関 し てC1級
任 意の
で,
に 対 して
(4.2.5) {
G(γ;z)は
任意 の さ て,任
に 関 してC1級 に 対 して
意 の 点z∈W∩Sは,初
てz=(0,z2,…,zm)と
l'Hospitalの
のzに
Ω を 考 え る と,局
お け る局 所 座 標 系 に よ っ
対 し てzλ=(λ,z2,…,zm)(λ>0)で 所 座 標 系 の 性 質ⅲ)と(4.2.5)と
定理に よ り
し か も,l'Hospitalの 収 束 は,W∩Sの
め に と っ たWに
表 わ さ れ る.こ
表 わ さ れ る 点zλ ∈W∩
で,
定 理 の 証 明 法 と(4.2.5)か 上 でz0に
近 い 範 囲 を 動 くzに
ら 容 易 に わ か る よ う に,上 関 し て 一 様 で あ る.一
方zが
の
W∩Sを y∈W∩
動 く とき
はzに
Ω がz0に 近 い範 囲 の 点z∈W∩Sに
が 成 立 す る.以
上 に お い てz0はSの
閉 包 を も ち(4.2.2)を
上 の 任 意 の 点 で あ り,Ω
定 義 す れば,核
任 意 の 点z∈Sに
つ か つ 唯 一 つ対 応 して,Rの
函 数M(x,y)はyに
対 し て,Martin境
つ い て(R∪
上 の 点 ξzが 一
とな る よ うな任 意 の点 列
と な る.
証 明 任 意 の点z∈Sに と る.こ の 点 列 はRに
お け る距 離 ρに 関 す る 集 積 点 をRの
れ ば
と な る.い と る と,補
とな る よ うな 任 意 の 点 列
対 して
と な る.こ
とな り,従
よ っ て
の こ と は ま た,初
が 成 り立 つ こ と と,点
ξ∈Sが
め の 点 列{zn}に
点z∈Sに
と り方 に は 関 係 し な い こ とを 意 味 す る.だ 助 定 理4.2.2が
系 任 意 のx∈Rとz∈Sに
よ って のみ 定 ま り
か ら そ の 点 ξ をξzと 書
対 して
補 助 定 理4.2.3 ⅰ) EがR∪Sの
っ
対 して も
証 明 さ れ た こ と に な る.
こ の こ とは 上 の 二 つ の 補 助 定 理 と定 理3.2.2か
の 部 分 集 合 で あ っ てRの
一 点 ξを 適 当 に と
よ り
離 ρ の 定 義(3.2.2)に
く こ とに す れ ば,補
中 に は も た な い.R
部 分 列{znν}とSの
ま
助 定 理4.2.1に
任 意 のx∈D0に
て
と な る 点 列{zn}⊂Rを
対 し て,
は ρに 関 し て コ ン パ ク トだ か ら,{zn}の
とな る か ら,距
界Sの
中 の
{yν}に 対 し て
点 列{zn}の
も コ ン パ ク トな
連 続 と な る.
補 助 定 理4.2.2
{yν}⊂Rを
近 づ く とき
満 た す 正 則 領 域 と し て 任 意 に 大 き く とれ る か ら,点z∈S
に 対 し てM(x,z)を(4.2.1)で S)\{x}で
つ い て 連続 で あ る.だ か ら点
ら直 ち に わ か る.
コ ン パ ク ト部 分 集 合,FがR\(E∪D0)
中 で 閉 集 合 な る も の とす る と,M(x,y)はE×Fの
上 で 有 界 で あ る.ⅱ)
z∈Sと
中 か らdis(xn,z)→0の と な る.更
し,{xn}をzにお
意 味 でzに
に,ⅱ′) z′をzと
あ っ て
法 線 に 沿 っ てRの
近 づ く点 列 と す る と,
異 な るS上
の 点 と し,{xn}がRの
な ら ば,
証 明 ⅰ) 集 合E,Fに
中 の点 列 で
と な る.
対 す る仮 定 に よ り,コ ンパ ク トな 閉包Ω を もつ 正 則
領 域 Ω で, あ る.補
け るSの
かつ
助 定 理4.2.1の
な る も のが
証 明にお け る と 同 様 に,任
数
意 のf∈C10(R)に
対 して函
が Rに
を 満 た す(定
お い てAu=-f, Sの
理1.3.9)こ
と か ら,任
上 でu=0
意 のx∈
Ω,y∈R∪Sに
対 して
(4.2.6)
を導 くこ とが で き る;た だ し (4.2.7) とす る.こ
(x,y)∈ Ω ×([R∪S])\ こ で,適
(4.2.8)
当 な 定 数C1,C2を
任 意 のx∈E,z∈
Ω)に 対 し て はGΩ(x,y)=0 とり
∂Ω \Sに
対 し て
かつ (4.2.9)
任 意 のz∈
∂Ω\Sに
な る よ うに で き る.(4.2.6∼9)に
従 っ てM(x,y)はE×Fの
よ り,x∈Eか
考え,E∪D0を
ク トな 閉 包 Ω を も つ も の を と り,こ 用 い る こ と が で き る.(以
て 用 い る.)更
に
つy∈R\
Ω な らば
上 で 有 界 で あ る.
集 合E={z,x1,x2,…,xn,…}を
9)を
対 し て
含 む 正 則領 域 Ω で コ ンパ
の Ω に 対 す るGΩ(x,y)を
下 に お い て は(4.2.6∼9)でyとzを
は 非 負 値 を と り,点zの
函 数 とし て 有 界 で あ るか ら,適 当 な定 数C3を
とれ ば
考 え て(4.2.6∼ 入 れ か え
近 傍 を除 い た所 でyの
任 意 のy∈ ∂Ω\Sに と な る.だ
か ら補 助 定 理4.2.2の
対して 系 と(4.2.6∼9)に
よ り不 等 式
(4.2.10)
が 得 ら れ る.一
方Green函
数GΩ(x,y)の と な る.こ
か ら
性 質(第1章,定
理1.3.8)に
よ り
の こ と と(4.2.10)に
お け る上 の 不 等 式 と
考 え,ⅱ)の
証 明 と同 様 に Ω お よ
を 得 る.
ⅱ ′) 集 合E={z,z′,x1,x2,…,xn,…}を びGΩ(x,y)を
考 え る と,(4.2.10)ま
で は 上 と 同 様 に し て 得 ら れ る.一
含 ま な い よ う な ∂Ω の 任 意 のコ ン パ ク ト部 分 集 合Bに y∈Bに と な る.こ
補 助 定 理4.2.4
対 し て, (定 理1.3.8)
つ い て 一 様 に
れ を(4.2.10)の
を 得 る.
下 の 不 等 式 に 適 用 す れ ば
{yn}⊂R,z∈Sで
証 明 まず,点 列{yn}はRの
方,zを
ならば
あ っ て
中 に集 積 点 を もた な い;な ぜ な らば,Rに
い ては 本 来 の位 相 と距 離 ρに よ る位 相 とが 一 致 す る こ と(補 助 定 理3.2.1)に り,点 列{yn}がRの す る か ら で あ る.従
中 に 集 積 点 を もつ こ とは っ て ま た,コ
み が 含 ま れ る か ら,こ て も よ い.よ
っ て{y1,y2,…}∩D0=φ
否 定 す る と,点zの ∩D0の
に は 高 々 有 限 個 のynの
れ ら の 有 限 個 のynを
と仮 定 す る.こ
あ る 近 傍U(z)と,点
列{yn}の
{z,x1,x2,…},F={yn1,yn2,…}に
除外 し
の仮 定 の も とで結 論 を
あ る部 分 列{ynν}でU(z)
外 部 に あ る も の とを 選 ぶ こ とが で き る.U(z)∩Rの
Sの 法線 に沿 った点 列{xm}で
よ
な る仮 定 に 反
ン パ ク ト集 合D0の中
の 補 助 定 理 の 証 明 に は,そ
お
中 に,zに
な る も の を と る と,集 補 助 定 理4.2.3のⅰ)を
おけ る 合E=
適 用 す る こ とに よ り
す べ て のm,ν
とな る よ うな 定数Cが
に 対 し てM(xm,ynν)≦C
存 在 す る.
固 定 す る と きy∈R\{x}に
で あ っ て,M(x,y)はxを
つ い て ρ に 関 し て 連 続(定
理3.2.2)だ
か ら,上
の
不 等 式 でν → ∞ とす る と す べ て のmに と な り,補
助 定 理4.2.3のⅱ)に
対 し て M(xm,ξz}≦C 反 す る.よ
っ て 補 助 定 理4.2.4が
成 立 す る.
こ の 補 助 定 理 か ら 直 ち に 次 の こ と が わ か る. 系 z,z′ がSの
相 異 な る 二 点 な ら ば,
に 対 し て,ξ=ξzと
な るz∈Sは
補 助 定 理4.2.5
任 意 の 点z∈Sに
で あ る.従
っ て,任
意 の ξ∈S
た か だ か 一 点 で あ る. 対 し て,点
ξz∈Sが 一 対 一 に 対 応 し,
の とき (4.2.11)
(こ れ は(4.1.1)と
の とき
で 定 義 さ れ る写 像 Φ は,Mの
部 分 空 間 と し て のR∪Sか
同 じ)
らRの
中 へ の 同相 写
像 を 与え る. (注 意 こ の 補 助 定 理 でSをS1と の も の に な る.我
す る こ と が で き れ ば,こ
々 は ま ず こ の補 助 定 理 を 証 明 し,こ
れ は 定 理4.1.1そ
れ を 用 い て次 の二 つ の補
助 定 理 を 証 明 す る と,そ
の 結 果 と し て Φ(S)⊂S1な
る こ と が わ か る.こ
と上 の 補 助 定 理4.2.5と
を 合 わ せ て,定
得 ら れ る の で あ る.)
証 明 任 意 のz∈Sに
対 し て,補
∈Sが
一 つ か つ 唯 一つ 対 応 す る.こ
(4.2.11)はR∪Sか
らRの
理4.1.1が
助 定 理4.2.2に
のこ と
述 べ ら れ た 性 質 を も つ 点 ξz
の こ と と補 助 定 理4.2.4の
系 に よ り,上
中 へ の 一 対 一 の 写 像 Φ を 定 義 す る.ΦがRに
い て 同 相 写 像 で あ る こ と は 自 明 だ か ら,任
意 の 点z∈Sに
の お
お け る Φ の両 連 続 性
を 証 明 し よ う. 任 意 の 点z∈Sと
対 し,補
助 定 理4.2.2と
補 助 定 理4.2.4
と
に よ り, あ る.だ
点 列{xn}⊂Rに
か ら,{z,z1,z2,…,zn,…}⊂Sな
とは 同値 で る と き に,
とが 同値 で あ る こ とを証 明す れ ば よい.各 点zn∈Sに 助 定 理4.2.2に
より
と
対 し て,補
かつ と な る よ う な 点xn∈Rを
と る こ とが で き る か ら,
と な る.
と
4.2.4に
よ り)だ
か ら,上
とは 同 値(補
助 定 理4.2.2と と
の 不 等 式 に よ っ て
と が 同 値 で あ る こ と が わ か る. こ の 補 助 定 理4.2.5に お い て は,Sの
意 のz∈Γ
をSの
証 明 Γ をSの
下に
コ ン パ ク ト部 分 集 合 と も考 え る.
コ ン パ ク ト部 分 集 合 と し,uをR上
の正 値 調 和 函
を満 たす もの とす る と,uを
に 対 し て
す る 標 準 測 度 μ は μ(Γ)=0を
表現
満 た す.
コ ン パ ク ト部 分 集 合 と 考 え る と,任
の 中 の 正則 開 集 合 Ω で{Ωa)i⊃Γ 参 照―
中 へ 同相に 埋 め 込 まれ る か ら,以
コ ン パ ク ト部 分 集 合 をSの
補 助 定 理4.2.6 Γ 数 で,任
よ り,SはSの
な る も の―
意 の ε>0に
対 し て,R
す な わ ち Ω ∈OΓ;§3.3の3°)
を適 当 に とれ ば
(4.2.12) と な る.次 Fを 含 むRの
x∈ Ω な ら ばu(x)<ε にF⊂Ω
な るRの
中 の 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Fを
中 の 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dを
§3.3の1°),2°)参
照―.函
数uに
と る―
と り,更
に
す な わ ちF∈FΩ,D∈DF;
対 し て §3.3に 述べ た よ う に 函 数uDF,uF,
uΩ,uΓ を 順 次 定 義 す る と,(4.2.12)と
こ れ ら の 函 数 の 定 義 か ら,
の上で な る こ と が こ の 順 に 示 さ れ,従
っ てuΓ(γ)≦ ε と な る.一
け る(3.4.18)とM(γ;ξ)≡1な
を 満 た す.だ
る こ と に よ り,uに
か ら μ(Γ)≦ε とな り,こ
方,定
理3.4.3に
お
対 す る標 準 測 度 μ は
こ で ε は 任 意 の 正 数 だ か ら μ(Γ)=0が
得 ら れ る. 補 助 定 理4.2.7
任 意 のz0∈Sに
対 し て,xの
函 数u(x)=M(x,ξz0)は
極小
函 数 で あ る. 証 明 u(x)は る.uが
正値 調 和 函数 で あ るか ら,そ れ を 表 現 す る標 準 測 度 を μ とす
極 小 函 数 で な い と仮 定す る と,ξz0∈S0(S0の
定 義 と定 理3.4.1参
照)
だから (4.2.13) Ω をMの
中 の 開 集 合 でz0を
S∩ Ω ⊂Sを 合Γ
μ({ξz0})=0({ξz0}は 含 み,そ
満 た す も の とす る.(S∩
を と る と,z∈Γ
な る か ら,補
の 閉 包 Ωが Ω)\{z0}に
ン コパ ク トで あ っ て,か
ら μ((S∩ Ω)\{z0})=0と
よ っ て μ(Γ)=0で な る.こ
つ
含 ま れ る 任 意 の コ ン パ ク ト集
な ら ば 補 助 定 理4.2.3のⅱ′)に
助 定 理4.2.6に
を 得 る か ら,uの
一 点ξz0か ら な る 集 合).
よ り
あ り,Γ
の 結 果 と(4.2.13)と
と
の と り方 の 任 意 性 か に よ っ て μ(S∩ Ω)=0
標 準 表 現 は 次 の よ う に 書 け る:
(4.2.14)
こ こ で,{xn}をR∩ を(R\
Ω に 含 まれ る 点 列 で
Ω)\D0に
含 ま れ る 閉 集 合 とす る と,補
M(xn,y)は
方uの
な る.こ
対 し て点
理4.1.2の
ξz∈Sが
z∈Sに
対 し て,xの
ら,定
理3.4.1とS1の
か らuは
らR=R∪Sの
理3.2.2)に
よ っ て
よ り よ り
と な り,
極 小 函 数 で な け れ ば な ら な い. よ り,任
意 の 点z∈Sに
定 義 さ れ る 写 像 Φ はMの
中 へ の 同 相 写 像 を 与 え る.更 補 助 定 理4.2.7に
助 定 理4.2.2の
成 立 す る こ と が わ か る.
に,任
部分 意 の
よ り極 小 函 数 で あ る か
定 義 に よ り ξz∈S1な る こ と が わ か る.よ っ て ま た,補
よ り
よ びM(γ;ξ)≡1に
証 明 補 助 定 理4.2.5に
函 数M(x,ξz)は
の 結 論 が 得 ら れ る.従 理4.1.2が
の こ と と(4.2.14)お
一 対 一 に 対 応 し,(4.1.1)で
空 間 と し て のR∪Sか
り,定
連 続 性(定
定 義 と補 助 定 理4.2.3のⅱ)に
こ れ は 上 の 結 果 と矛 盾 す る.だ 定 理4.1.1,定
助 定 理4.2.3のⅰ)に
有 限 で あ る か ら,M(x,y)の
M(xn,ξ)≦Cと
を 得 る.一
な る も の と し,F
っ て 定 理4.1.1
系 と補 助 定 理4.2.7に
よ
第5章 楕 円型偏微分作用 素に関す る正則写像
§5.1 正 則 写 像 の た め の 予 備概 念 と 記 号
この 章 お よび 次 の 章 で は,第3章 し,Rに
と同 様 にRを
向 きづ け られ たC∞ 多 様体 と
お い て定 義 され た楕 円型 偏 微 分 作用素A:
(す なわ ち,第1章
で述 べ たAでc(x)≡0と
した も の)の 形 式 的 共役 偏 微分 作
用 素A*:
を 考え る.ま
た,係
数 の ベ ク トル 場bに
対 し て,後
述 の'条
件(A)'を
常に仮
定 す る. 章 の 標題 に あ る'正 則写 像'は(定 ンパ ク ト領 域Kの
義 は §5.3で 与 え るが),b≡0の
境 界 上 の 連 続 函 数φ に 対 し て,Kの
境 界値φ を と る も のの うちDirichlet積 て,次
の章 に お け るNeumann型
我 々は ator,山
分 が 最 小 に な る もの を,対 応 させ る 写 像 で あ っ
理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成 に重 要 な 役 割 りを果 た す.
の場 合 を 扱 って い る た め,Dirichlet積
念 を導 入 し た が,'正 則 写 像'な 口博 史 氏 のregular
場 合 に は,正 則 コ
外 部 領 域 に お け る 函数 で ∂Kで
分 そ の もの は使 え ない の で新 し い概
る 名称 は,Ahlfors-Sarioの
operator(本
概 念か ら派 生 し た もの と し て,regular 否 は読 者 の批 判 に俟 ち たい が,本
書 物 に あ るnormal
書 の 「あ とが き」 の 文 献[6],[13]参 mappingと
書 では,上
oper 照)の
名付 け た もの で あ る.こ の 名称 の 当
記 各氏 の書 物 や 論 文 の結 果 を証 明 な し に用
い る ことは 全 くし な い で記 述 す る.だ か ら本 書 を 読 む た め に そ れ らの 文 献 を 前 も っ て見 て い た だ く必 要 は な い. Ω 上 で い た る と こ ろ 正 の 値 を と る 函 数 ω が 与 え ら れ た と き,'測 ω(x)dxに
度'dωx=
関 す る ベ ク トル場 の 内 積(Φ,Ψ)Ω,ω,ノ ル ム‖Φ‖Ω,ω お よび 函 数 空 間
L2ω(Ω),Pω(Ω),Pω(Ω,K)(Kは の 初 め に 述 べ た 通 り定 義 す る.
Ω に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合)等
を,§1.5
Rの 一 点x0を
と り,以 下 本章 お よび 次 の章 全 体 を通 し て,こ
て お く.こ の 点x0は,す
の点 を 固定 し
ぐ下 に 述べ る境 界 値 問題 の解 を規 格 化 す るた め に用
い る もの で,以 下 に 述べ るす べ て の結 果 は,こ の点 の選 び方 に 関係 し な い.
DをRの
中 の正 則 領 域 で,x0を
の と き,Dに
含 み か つDで
コン パ ク トな もの とす る.こ
お け る楕 円型 境 界 値 問 題
(5.1.1)
の解wが
存 在 し て,定
あ る;こ のwは
数倍 を除 い て一 意 的 に定 ま り,Dに
おいて符号一定で
実 は §1.3に 述 べ た不 変 測 度 の密 度 函 数 の定 数 倍 で あ る.こ の
よ うな函 数wでw(x0)=1と
規 格 化 した も のが 一 意 的 に 定 ま っ て,D上
値 を とるか ら,そ れ を ωDと 書 くこ とに し,pD=logωDと
で正 の
お く.こ の と き
従 って
(5.1.2)
な る こ とは 明 らか で あ る.更 に,任 意 の ψ∈PωD(D)に 対 して (5.1.3) (5.1.4)
(5.1.3)の
証 明 は,左
辺 のpDに(5.1.2)の
第1式
を 代 入 し,(5.1.1)(wを
ωDと す る)を 用 い て 部 分 積 分 を 行 な え ば よ い.(5.1.4)は(5.1.3)を
用 いて次
の よ う に 示 さ れ る: (5.1.5)
今 後,偏 微 分 作用 素A*の 条 件(A)
係数bは,次
Rの 中 の コ ンパ ク トな 閉 包Dを
考 え る と き,函 数q∈C1(R)とR上 (5.1.6)
(5.1.7)
が成 立 す る.
の 条 件(A)を
満 た す もの とす る:
もつ 正 則 領 域Dの
で正 の値 を と る函 数wが
全 体{D}を
存在 して
(5.1.7)は
次 の こ と と 同 等 で あ る:上
な る適 当 な 列{Dn}を
の 領 域 の 族{D}か
らDn⊂Dn+1,
とれ ば
(5.1.8)
(5.1.8)は
函 数 ωDnと 函 数wと
につ い て 一 様 に 有 界 で,か (5.1.6)は,ベ
つ 一 様 に0か
ク トル 場bが
こ と を 意 味 し て い る.特 合 は,境
数p∈C3(R)が
あ っ て
満 た さ れ る と い う こ と が,前
ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D0を 数c,c′ が 存 在 し て,D0を
る程 度 近 い
と 表 わ さ れ る場 あ り,
に 固 定 し た 点x0の
外 の 一 点x1を
と り,こ
固 定 す る と,Harnackの
含 む 領 域 でA*-調
(5.1.9)
選び方
の二点を含み コ
補 題 に よ り,正
和 な 任 意 の 函 数uに
の定
対 して
cu(x0)≦u(x1)≦c′u(x0)
が 成 立 す る.D⊃D0な
点x0に
勾 配 に,あ
方
し て 明 らか に 成 立 し て い る.
に 関 係 し な い こ と を 示 し て お く.x0以
(5.1.9)を
ら 離 れ て い る こ と を 意 味 す る.一
解 の 一 意 性 に よ っ て ωD(x)=ep(x)-p(x0)で
条 件(A)はq=p,w=ep-p(x0)と 件(A)が
っ て ま た 函 数 ωDn相 互 の 比 が,x
ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ルqの
に,函
界 値 問 題(5.1.1)の
こ こ で,条
の 比 が,従
るDに
満 た し,各Dに
お け る境 界 値 問 題(5.1.1)の
つ い て は 定 数 倍 を 除 い て一 意 的 で あ る.だ
お い て 規 格 化 し た 解w(x)/w(x0)と,点x1に
w(x)/w(x1)と
の 比 は,Dの
はc≦w(x1)/w(x0)≦c′ る こ とか ら,x0にお つ こ と と,x1にお
解wは明
こ でc,c′ がDに
い て規 格 化 し た 函数 族{ωD}に
か ら,
お い て 規 格 化 した 解
み に 関 係 す る定 数w(x1)/w(x0)で
を 満 たす.こ
らか に
あ り,そ
の値
無 関 係 な正 の定 数 で あ
つ い て条 件(A)が
い て規 格 化 した 函数 族{ωD}に つ い て 条 件(A)が
成 り立
成 り立 つ
こ と とは,同 値 で あ る こ とが わ か る. 以 上に よ り,条 件(A)の 仮 定 と も思 え るの で,こ
意 味 は 了解 され た で あ ろ う.こ
の条 件 は 技 術 的 な
の 条 件 を 除 い て 本 書 に お け る以 下 の理 論(第5∼7章)
を 構 成 す る のが 望 ま しい こ とであ るが,そ れ は 現 在 の とこ ろ未 解 決 の問 題 で あ る.
§5.2 作 用 素A*に
よ る境 界 値 問 題 の 解 に関 す る準 備
Rの 中 の 正 則 コンパ ク ト集 合Kを一つ
固 定す る.ま た,DはKを
含み コン
パ ク トな 閉 包 を もつ 任 意 の 正則 領 域 とす る. fをD\K° Holder連
でHolder連
続 な 函 数 と し,φ,φ1を
続 な 函 数 とし て,D\Kに
そ れ ぞ れ ∂K,∂Dで
お け る楕 円型 境 界 値 問 題
(5.2.1)
お よび (5.2.2)
を 考 え る.境
界 値 問 題(5.2.1)のGreen函
問 題(5.2.2)の
核 函 数 をND,K(x,y)と
第1章 で はNeumann問 題(5.2.2)の
数 をGD\K(x,y)と 書 く こ と に す る(第1章
題 の核 函数 のみN(x,y)で
ND,K(x,y)な
る記 号 を用 い た の は 次 の理 由 に よ る:第1に,こ
のGreen函
数 との 性 格 の 相 異(∂Dに
お い てはNeumann条
の 章 でNeumann型
N(x,y)が
上 記 のND,K(x,y)の
第1章
で 述 べ た よ う に,GD\K(x,y)は(5.2.1)と
参 照).
用 い る こ とに な る が,こ
数 で も あ り,ND
件 で あ る こと)を 印象 づ
理 想 境 界 の 理 論 に 用 い られ る核 函 数
極 限 函 数 と して 構 成 され る(本 章 §5.5)か ら で あ る. 共 役 な境 界 値 問題
,K(x,y)は(5.2.2)と
共 役 な境 界値 問 題
(5.2.2*)
の 核 函 数 で も あ る;こ
こで
の §の 記 述 では,(5.2.1)
(5.2.1*)
のGreen函
界値
表 わ し た か ら,混 合 型 境 界 値 問
核 函 数 は 第1章 の 慣 例 に 従 え ばG(・,・)を
け た い た め で あ り,第2に,次
書 き,境
の 意 味 は,例
え ば(5.2.2*)の
(5.2.3)
で与 え られ る こ とであ る. 下記 の各 補 助 定 理 の結 果 は,次
の §で用 い られ る.
一 意 的 な 解υ が
補 助 定 理5.2.1 Ω,Ω1は Ω ⊃ Ω1⊃ Ω1⊃Kな
コン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 で あ っ て,
る も の とす る.こ
つ 任 意 の 正 則 領 域Dを
と る と,任
の と き,Ω
意 のx,y∈
を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も Ω1\K°
に対 し て
(5.2.4)
証 明 任 意 のf∈C10(D)を
をΩ \K°
と る と き,函 数
に 制 限 し た も の は,境
φ ≡0,φ1=u│∂
界 値 問 題(5.2.1)でDをΩ
で 置 き換 え,
Ω と し た も の の 解 で あ る か ら,Green函
数GΩ
\K(x,y)を
用
いて
と表 わ さ れ る.こ
こ でfの
任 意 性 に よ り,x,y∈
Ω \K°
な らば
(5.2.5)
が 成 立 す る.ま
のΩ1\K°
た,任
意 のf∈C10(D\
へ の 制 限 を(5.2.1*)の
考 察 す る と,z∈
Ω\ Ω1,y∈Ω1\K°
Ω1)に 対 し て,函
数
型 の 境 界 値 問 題 の 解 と 考 え て,上 な ら ば(f(y)=0に
と同様 に
よ り)
(5.2.6)
が 成 立 す る.(5.2.5)の (5.2.4)が
右辺 を 代 入 す れ ば
得 ら れ る.
補 助 定 理5.2.2 Dは
右 辺 のND,K(z,y)に(5.2.6)の
Kを
含 みコン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 Ω を 固 定 し,
Ω を 含 み コン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域 とす る と き
証 明 領 域 Ω\Kに
お け る境 界 値 問 題Au=0,u│∂K=1,u│∂
Ω=0の
解 をu
とす る と,コ
ン パ ク ト集 合 ∂Ω の 上 で い た る 所
∂u/∂nΩ<0だ
か ら
(5.2.7)
x∈D\
Ω を 任 意に 固 定 す る と き,y∈
成 立 す る か ら,Greenの
Ω\Kに
お い て はA*yND,K(x,y)=0が
公式に よ り
(5.2.8)
を 得 る.ま
た,函
数w≡1はD\Kに
(∂w/∂nD)│∂D=0の
お け る 境 界 値問 題Aw=0,w│∂K=1,
解 で あ る か ら,任
意 のx∈D\Kに
対 して
(5.2.9)
(5.2.7∼9)に
よ り任 意 のD⊃Ω
と任 意 のx∈D\Ω
に対 して
とな るが,積 分 論 に お け るFatouの
補 題 に よ り,上
成 立 す るか ら,こ の補 助 定理5.2.2が
成 立 す る.
補 助 定 理5.2.3
に 含 まれ る コンパ ク ト集 合 で 互 い に交 わ
EとFをR\K°
らな い も の とし,K∪E∪Fを
の不 等 式 はx∈
∂Ω で も
含 む 正 則領 域 Ω で コン パ ク トな 閉 包 を もつ も の
を 定 め る と き,次 の 函数 族 はE×Fの
上 で 一様 有界 か つ 同 等 連続 で あ る: Dは Ω を 含 み コン パ ク トな 閉包 を もつ 正 則 領 域 の全 体 にわ た る
証 明 Ω1をK∪E∪F⊂ 任 意 のDに (5.2.4)の
Ω1⊂ Ω1⊂ Ω な る 正 則 領 域 と す る と,上
対 し て 補 助 定 理5.2.1が 右 辺 のND,K(z,z1)に
っ て 補 助 定 理5.2.3が 補 助 定 理5.2.4
適 用 さ れ る か ら が,(5.2.4)が
補 助 定 理5.2.2(Ω
と
記 の よ うな 成 立 す る.
をΩ1と す る)を 適 用 す る
が 得 ら れ る か ら,こ
れ と(5.2.4)に
よ
成 立 す る. FをR\K°
に 含 ま れ る コン パ クト 集 合 と し,K∪Fを
む 正 則 領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包 を もつ も の を 定 め,ま 函 数φ を 与 え て お く.Kを
たC1(∂K)に
含 属す る
含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正則 領 域Dに
{υD,〓υD│
対 し て,D\Kに
お け る 境 界 値 問 題(5.2.2*)でf≡0,φ1≡0と
に 与 え ら れ た も の と し た 時 の 解 をυDと はFの
し,φ
書 く こ と に す る.こ
を上
の と き次 の函 数 族
上 で 一 様 有 界 か つ 同 等 連 続 で あ る:
Dは Ω を含 み コン パ ク ト閉 包 を もつ 正則 領 域 の全 体 にわ た る}. 証 明 K∪F⊂ h=1,R\
Ω1⊂Ω1⊂Ω2⊂Ω2⊂Ω
Ω2でh=0と
な る 正則
な る 函 数h∈C30(R)を
る境 界 値 問 題A*u=0,u│∂K=φ,u│∂Ω=0の
領 域Ω1,Ω2を 固 定 す る.uを
と り,Ω1で Ω \Kに
おけ
解 と し,
のとき の とき と お く と,A*w∈C01(R\K)で 意 のD⊃Ω た し,境
に 対 し て,函
あ っ てA*wの
台 はΩ2\
Ω1に 含 ま れ る.任
数υD-wはD\KでA*(υD-w)=-A*wを
満
界条件
を 満 た す か ら,公
が 成 立 す る.こ
式(5.2.3)に
よ り,任
の 右 辺 のND,K(x,y)に
を 適 用 す れば,補
助 定 理5.2.4が
補 助 定 理5.2.5 υDを
意 のy∈
Ω\Kに
対 して
補 助 定 理5.2.3(E=Ω2\
Ω1と す る)
成 立 す る こ と が わ か る.
前 の 補 助 定 理5.2.4の
通 り と し,ωDを
前 §で定 義 し
た 函 数 とす る と, (5.2.10)
証 明 D\Kに
お い てυD(y)は
公 式(5.2.3)でf≡0,φ1≡0と
お くこと
に よ り 表 わ さ れ る か ら,
(5.2.11)
ωD(y)も
∂D上 で は 同 じ境 界 条 件 を 満 た す か ら,D\Kで
は
(5.2.12)
(5.2.11)に
お い て
向 き 法 線 で あ る こ と に よ り,こ 中 で ωD(x)>0だ
か ら,y∈D\Kな
(定 理1.2.3参 こ で は 負 号-がつ
照;nKはKか か な い)で
あ り,ま
らば
((5.2.12)に
従 っ て
ら見 て外
と な り,こ
よ り).
れ か ら(5.2.10)を
得 る.
たDの
§5.3 正 則 写 像
今 後Dは
コン パ ク トな 閉 包 を もつ 正 則写像 と し,{ωD}を
§5.1で 与 え られ
た函 数 族 とす る.こ の §では,ま ず 次 の二 つ の定 理 を証 明 し,そ の 結 果 を 用 い て,Rの
中 の 任 意 の コン パ ク ト集 合Kに
対 し てC1(∂K)か
A*-調 和 函数 の集 合 の 中へ の写 像 を 定 義 し,そ 定 理5.3.1
次 の 性 質(B)を
らR\Kに
おけ る
れ を'正 則写 像'と 名 付 け る.
もつ 函数 ω∈C2(R)が
存 在 し て,一
意的であ
る: Rの 上 で
特に で あ って
と お く と き,
(B)
に対 し て
任意 の こ の 函 数 ω はRに
お い てA*-調
の領 域 の 列{Dn}に
和 で あ り,条
件(A)の(5.1.8)を
対 して
満たす任意
がR上
の広 義 一 様
収 束 で成 立 す る. 定 理5.3.2
ω,pを
則 コ ン パ ク ト集 合Kと,任
前 の 定 理 に 述 べ られ た 函 数 と す る.Rの 意 の 函 数φ ∈C1(∂K)に
も つ 函 数u∈C0(R\K°)∩C2(R\K)が
存 在 し て,一
対 し て,次
中 の任 意 の正 の 性 質(C)を
意 的 で あ る:
(C)
に対 して
任 意 の こ の 函数uはR\KでA*-調
た す.ま た,Kを
を満
和 で あ っ て,
含 む 任 意 の 正 則 領 域Dに
対 し て,D\Kに
お け る境 界 値
問題
の 解 をυDと
す る と,(5.1.8)を
がR\K°
満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に
対 し て.
上 の広 義 一 様 収 束 で成 立 す る.
補 助 定 理5.3.1
Kを
正 則 コン パ ク ト集 合 と し,{Dn}はKを
で 条 件(A)の(5.1.8)を
各nに
満 た す も の と し て,ωn=ωDn(n=1,2,…)と
対 し て
に,極
限
の上 の広 義 一 様 収 束 で存 在 す る と 仮
に対 して
任意 の
が 成 立 す る.こ
の 命 題 はKが
そ れ ぞ れPωn(Dn),Pω(R)と
空 集 合 の 場 合 に も,Pωn(Dn;K),Pω(R;K)を 読 み 替 え る こ と に よ り成 立 す る.
の 場 合 の 証 明 を 述 べ る;K=φ 下 の 記 述 の 便 宜 上,R\Dnで
これ に よ り ωn,Φnが き(5.1.8)に
とす る.更
対 して
の とき
(5.3.1)
で あ る.以
た
がR\K°
函数
証 明
お く.
が あ っ て,任 意 の ψ∈Pωn(Dn;K)に を 満 た し,ま
定 す る.こ
含 む領 域 の 列
∂Dn上
よ り定 数M≧1が
の 場合 へ の 証 明 の修 正 は 容 易
は ωn=0,Φn=0と
約 束 し て お く;
で 不 連 続 と な る こ と は 全 く差 支 え な い.こ 存 在 し て,R上
の と
で
従 って
(5.3.2)
(5.3.3)
が 成 立 す るか ら, り
ち
であ る.だ 従 っ てFatouの
対 して,こ れ をDn\K
属 す る か ら
また 任 意 の ε>0に 対 し て十 分 大 きいD⊃Kを
とな る(上 の左 辺 の(…)内
す なわ
補 題 に よ り
を 得 る.次 に 任 意 の ψ∈Pω(R;K)に
に 制 限 し た も の はPωn(Dn;K)に
ば
か ら,こ の 補 助 定理 の 仮 定 に よ
でR\DをR\Kと
が い くら で も 小 さ く な る).だ
と な る.
とれ ば
し て お い て,Dを か ら,Dn⊃Dな
らば
大 き くす れ
n→ ∞
とす る とD上
で は 一 様 に
ωn→ω,Φn→Φ
と な り,ε は 任 意 の 正 数 だ か ら 補 助 定 理5.3.2
を 得 る.
ω1,ω2∈C2(R)で
あ っ て,い
満 た す と し,ω=ω1+ω2,p=logω
く)を
満 た し,各
(5.3.4)
だ か ら
ず れ も 定 理5.3.1の(B)を
と お く 、 こ の と き ω も(B)(ω(x0)=1を
ων(ν=1,2)に
任 意 の ψ ∈Pω(R)に
つ い て
除
であ って
対 し て
証 明 まず 簡 単 な 計算 に よ り,R上
で 次 の 不 等 式 が 成 立 す る:
(5.3.5)
この 不 等 式 は,両 辺 の 差 を 通 分 して
を 用 い れ ば 容 易 に 示 さ れ る.(5.3.5)と
とな るか ら,両 端 辺 をR上
に より
で 積分 す れ ば
(5.3.6)
す な わ ち
両 端 辺 をR上
が 示 され た.次 に,任 意 の ψ∈Pω(R)に 対 し て
で積 分 す る と,
の 各 項 の 積 分 は0に を(ω(x0)=1を (5.3.7)
な る か ら
除 き)満
た す こ とが 示 さ れ た.ま
な る こ と に よ り,右 を 得 る.こ たν=1,2に
端辺
れ で ω が(B) 対 して
従 って が 成 り立 つ か ら,両
辺 の2乗
こ う し て
をR上
で 積 分 す れ ば,仮
が 示 さ れ た.こ を 得 る.だ
の こ と と(5.3.6)と
れ で 補 助 定 理5.3.2が
以 上 の 補 助 定 理 を 用 い て,定 定 理5.3.1の と お く と,定 (5.3.2′) 任 意 のkに
で あ る か ら,定
な 部 分 列 を,Rに
対 応 す る 領 域Dnの
数 列{ωn;n≧k}はDkで
か らkに
と り,ωn=ωDn
るA*-調
和函数の列
和 函 数 にDkで
関 す る対 角 線 論 法に よ り,{ωn;n≧1}の 和 な 函 数 ω にRで
々 は し ば ら く の 間,こ
た(5.3.2′)に
(5.3.8)
更 に 定 理1.4.5に
証 明 す る.
一 様 有 界 なA*-調
よ り適 当 な 部 分 列 が,あ
部 分 列 を 単 に{Dn}と
あ り,ま
よ び5.3.2を
満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を
お い てA*-調
選 ぶ こ とが で き る.我
ω(x0)=1で
理5.3.1お
おいて
理1.4.5に
義 一 様 に 収 束 す る.だ
仮 定 に よ って
存 在 し て,
Dnに
対 し て,函
し て(5.3.4)
示 さ れ た.
証 明 (5.1.8)を 数M≧1が
よ り,
か ら
か ら 任 意 の ψ∈Pω(R)⊂Pων(R)に対
の 等 式 の 左 辺 は 意 味 を も ち,(5.3.7)と
と な る.こ
定 と(5.3.6)に
適当
広 義 一様 に 収 束 す る よ う に
の 部 分 列 を 単 に{ωn}と
書 く こ と に す る.こ
よ りRに
広
書 き,
の とき 明 らか に
おいて
従 って よ り
(Rで 広 義 一 様 収 束)が 成 立 す るか ら,
とお く と
(Rで 広 義 一 様 収 束).
(5.3.9)
ま た(5.1.4),(5.3.2′),(5.1.6)に
よ り
で あ り,(5.1.3)に と な る.そ
よ り任 意 の ψ ∈Pωn(Dn)に
とお くと,補 助 定 理
こ で
5.3.1(K=φ
の 場 合)が
次 に,性
対 し て
質(B)を
適 用 さ れ るか ら,ω が 性 質(B)を
も つ 函 数 の 一 意 性 を 証 明 す る た め,ω1と
も つ と し,ω=ω1+ω2,p=logω 数 列{ωn}の
と お く.(一
中 の 函 数 で は な い.)こ
対 し て
ω2が 性 質(B)を
意 性 の 証 明 中 は ω1,ω2は 前 の 函
の と き 補 助 定 理5.3.2に
よ り,ν=1,2に
とお い て
従 っ て(5.3.4)で
を 得 る.だ
もつ こ と が わ か る.
か ら
(5.3.10)
ま た,ω
が 性 質(B)を
も つ か ら,
に定 理1.5.2が
と
適 用 され て (5.3.11)
と な る.(5.3.10)と(5.3.11)と
はRで
定 数 と な り,ω1(x0)=ω2(x0)=1に
こ こ で 再 び{Dn}を,初 る.前
を 得 る か ら,
か ら
に 述 べ た(B)を
の 部 分 列 の 中 に,適 が そ れ ぞれ
めに と っ た よ うに(5.1.8)を
当 な 部 分 列{D(ν)}を
意 性 に よ り,{Dn}に
広 義 一 様 に 収 束 し,こ
も 関 係 し な い と こ ろ の,あ
がR上
固 定 し,ま
と っ て,対
満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に
定 理5.3.2の
満 た す領 域 の 列 とす
満 た す 函 数 の 存 在 証 明 か ら わ か る よ うに,{Dn}の
ω,〓 ω にRで
ら(5.1.8)を
よ り ω1≡ω2を 得 る.
証 明 Kを
こ で ω は,上
ωD(ν)}
に 証 明 した 一
る定 ま っ た 函 数 で あ る.だ
対 し て,部
か
分 列 を と ら ず に,
広 義 一 様 収 束 で成 立す る.
内 部 に 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D0を
た 函 数u0∈C10(R}でu0│∂K=φ
の を 一 つ 固 定 す る.前
応 す る{ωD(ν)},{〓
任意
を 満 た し,台
がD0に
に 定 義 し た 函 数 ωDに 対 し てpD=logωDと
一つ
含 まれ る も す る と,
Dに
お い て
∂D上 で
が 成 立す る.こ の こ と と,定 理 に述 べ られ た 函 数υDの 性 質 か ら,D⊃D0な
ら
ば 部 分積 分 に よ って
(こ の 式 は 定 理1.5.1と
本 質 的 に 同 じ で あ る)お
よび
が 示 され る.だ か ら
とな り,こ の 不 等 式 か ら
従 って (5.3.12)
を 得 る.ま
た 補 助 定 理5.2.5に
よ り次 の 不 等 式 が 成 り立 つ:
(5.3.13)
さ て,(5.1.8)を 定 理1.4.5に
満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を よ り,{Dn}の
{〓υD(ν)}がR\K°
が(5.1.8)を 定 理5.3.1の
適 当 な 部 分 列{D(ν)}に
で 広 義 一 様 に 収 束 す る.定
部 分 列 で 成 立 す れ ば,後
と る と,補
で 示 す(C)を
満 た す 任 意 の 列{Dn}で(部
対 応 す る{υD(ν)}お
理5.3.2の
満 た す 函 数uの
書 い て,{υDn}の
よび
最 後 の命 題 が こ の
一意 性 に よ り,そ の 命 題
分 列 を と ら ず に)成
証 明 の 最 後 の 部 分 と 同 様 に し て 証 明 さ れ る.だ
{D(ν)}を 単 に{Dn}と
助 定 理5.2.4と
極 限 函 数uが(C)を
り立 つ こ と が,
か ら,上
の 部分 列
満 た す こ とを示
せ ば 十 分 で あ る.記
号 の 簡 単 化 の た め υn=υDn,ωn=ωDnと
た こ と と定 理5.3.1に
がR\K°
よ りuはR\Kに
お い てA*-調
ク トで あ る こ と と,(5.3.12),(5.3.13)お Fatouの
っ てu│∂K=φ
和 で あ る.函
で あ り,ま
数u0の
よ びLebesgue積
た
台 が コン パ
分論にお
け る
補題に より
更 に υn(=υDn)の
が 成 立 す る.だ
と お く と,補
定 義 に よ り,任
か ら,p=logω
助 定 理5.3.1が
性 質(C)を 次 に,こ
に述べ
よ り
に お け る広 義 一 様 収 束 で 成 立 す る.従
定 理1.4.5に
お く と,上
意 の ψ∈Pωn(Dn;K)に対
して
と して
適 用 さ れ て(5.3.1)が
成 立 す る.以
上に よ りuは
も つ. の よ うなuの
に 対 し て,uと
一 意 性 を 証 明 す る た め,与
υ が 共 に 性 質(C)を
もつ とす る.こ
え られ た函 数
φ∈C1(∂K)
の と き定 理1.5.2に
おい て
とす る こ とが で き るか ら
と な る.こ
の 式 と,u-υ
を 得 る.こ
こ で ∂K上
定 理5.3.1お
も性 質(C)(た
で はu=υ=φ
だ し φ ≡0)を
よ び5.3.2に
よ り,Rの
だ か ら,R\Kでu=υ
もつ こ とに よ り
と な る.
中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Kを
与 えた
と き,C1(∂K)で
定 義 さ れ た 一 意 写 像L≡LKで,φ
でA*-調
∂K上
和 かつ
が 性 質(C)を
含 む 集 合(例
え ばR\K°
義 さ れ た 函 数wでw│∂K∈C1(∂K)な 像 を 簡 単 にLwと
の 写 像Lを
で も,R全
理5.3.2か
則 写 像L≡LKが
正 則 写 像 と呼
体 で も よ い)で
る も の に 対 し て,w│∂Kの
書 く こ と に す る.正
も つ こ と は,定
対 し てR\K
で 境 界 値 φ を と る 函 数 を 対 応 さ せ る も の を,u=LKφ
も つ よ うに 定 義 す る こ とが で き る.こ
ぶ こ と に す る.∂Kを
17)を
∈C1(∂K)に
写 像Lに
定 よる
次 の 性 質(5.3.14∼
ら 容 易 に わ か る(以 下 φ,φ1,φ2∈C1(∂K)
とす る): (5.3.14)
Lω=ω,
(5.3.15)
(c1,c2は
(5.3.16)
φ ≧0な
で あ っ て,ψ
ら ばLφ
≧0,
に属し
が
か つ
(5.3.17)
定 数),
な らば
こ こで ψ≡1と す る と,u=Lφ
が次 の式 を満 たす こ とが わか る:
(5.3.18)
ま た,(5.3.14∼16)か
ら 次 の 式 は 容 易 に 導 か れ る:
(5.3.19)
特 にb≡0(従
っ てA=A*)の
り ω≡1と な る.従
っ てp≡0と
と き は,定理5.3.1に な る か ら,(5.3.17)の
お け る ω の一 意 性 に よ 最 後 の等 式 は
(5.3.20) と な る.こ し て
の こ と か ら,
か つυ│∂K=0を
満 た す 任 意 の υに 対
とな るか ら
が成 立 す る.だ か らu=Lφ
は,∂K上
で 境 界値 φを とる函 数 の うち でR\K
に お け るDirichlet積 以 上 に 述 べ たLの normal
operator,山
が わ か る.
分 が 最 小 な も の と し て,一 各 性 質 に よ り,こ
意 的 に 定 ま る 函 数 で あ る.
のLがAhlfors-Sarioの
口 博 史 氏[13]のregular
operatorの
書 物[6]の 拡張 である こと
§5.4 正 則 写 像 の 定 義 の 拡 張 と基 本 的 性 質
KをRの
中 の正 則 コンパ ク ト集 合 とし,L≡LKを
とす る.点y∈R\K°
前 §で 定 義 した 正 則 写 像
を 任 意 に と って 固 定 す る と き,任 意 の φ∈C1(∂K)に
対 して (5.4.1)
が 成 立 す る.こ
像(yは
の こ と と(5.3.15),(5.3.16)に
固 定)はC(∂K)上
な る写
よ り,
の有 界正 値 線 型 汎 函 数 で(5.4.1)を
一 意的に 拡 張 され る.だ か ら ∂Kの 上 のBorel測 の が存 在 し て,任 意 の φ∈C1(∂K)に
度μyKで
満 た す もの に
μyK(∂K)≦1な る も
対 して
(5.4.2)
が 成 立 す る. ∂Kに お い て下 半連 続 な 任 意 の 函 数 φ に対 し て,(LKφ)(y)を(5.4.2)),に り定義 す る.任
意 の下 半 連 続 な 函 数 は 連続 函 数 の,従
ってC1級
調 増 加 列 の極 限 函 数 と し て 表 わ さ れ る か ら,(LKφ)(y)はyの R\Kに
お い てA*-調
よ
の 函数 の,単 函数 と し て,
和 な 函数 の単 調 増 加 列 の極 限 で あ る.だ か ら定 理1.4.7
に よ っ て次 の定 理 が 得 られ る. 定 理5.4.1
∂Kに お い て下 半 連 続 な 任 意 の 函数 φ に 対 し て,R\Kの
結 成 分 に お いてLKφ
は,そ
こで恒 等 的 に ∞ で ない か ぎ りA*-調和
こ うして 正 則 写 像LKが,∂Kに 各 連 結 成 分 でA*-調 に 拡 張 され た.こ
で あ る.
お い て 下 半 連 続 函 数 の全 体 か ら,R\Kの
和 また は恒 等 的 に ∞ で あ る よ うな 函数 の集 合 の中 へ の写 像
の よ うに 拡 張 され た写 像LKも
この 拡 張 され たLKに
つ い て も,前
る集 合 で下 半 連 続 函 数wに とにす る.
各連
§のLKの
対 し て,LK(w│∂K)の
正 則 写 像 と呼 ぶ. 場 合 の よ うに,∂Kを
含む あ
こ とを簡 単 にLKwと
書 くこ
こ こ で 次 の 定 理 を 証 明 し て お く. 定 理5.4.2
K1,K2をRの
とす る と,∂K1に
中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な
お い て 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R\(K2)°
てLK2(LK1φ)=LK1φ
対 し て こ の 定 理 が 成 立 す れ ば,前
写 像 の 拡 張 の 定 義 に よ り,∂K1で こ とが わ か る.φ ∈C1(∂K1)な
(C)でK=K2,φ=u│∂K2と
ら ば,u=LK1φ
と定 義 す る と,ψ
は 定 理5.3.2の(C)(K=K1と
な る.従
っ て υ=LK2uは
し た も の を 満 た す.任
の 上 の 函 数ψ
す る)に
意 の ψ ∈Pω(R;K2)に
で 連 続 で あ り,〓ψ
を 満 た す,従
性 質(C)(K=K1と
定 理5.3.2の 対
を
はR\(K1)°
さ れ て
ペ ー ジに述 べ た 正 則
下 半 連 続 な任 意 の函 数 φ に対 し て 成 立 す る
満 た し,u│∂K2∈C1(∂K2)と
し て,R\(K1)°
におい
が 成 立 す る.
証 明 φ∈C1(∂K1)に
す る)を
る もの
はR\(K1∪
っ て ψ ∈Pω(R;K1)と
∂K2)で
定義
な る か ら,uの
よ り
を得 る.こ の式 はψ の定 義 に よ り次 の式 と同 じ であ る:
だ か らuは
定 理5.3.2の(C)でK=K2,φ=u│∂K2と
っ て,定
理5.3.2に
てu=υ
と な るか ら,定
お け る(C)を 理5.4.2が
こ こ で,Ahlfors-Sarioの ence
theorem)と
掲 書[6]に
満 た す 函 数 の 一 意 性 に よ りR\(K2)°
におい
成 立 す る.
書 物[6]に
呼 ん で い る 定 理(同
(後 述 の 定 理5.4.3).こ
し た も の を 満 た す.よ
お い て'主 書p.154)に
存 在 定 理'(main
exist
対 応 す る定理 を証 明 し よ う
の 定 理 は 本 書 に お い て 今 後 応 用 す る 機 会 は な い が,前
お い て 主 存 在 定 理 が 重 要 な 基 本 定 理 の 一 つ で あ る こ と か ら も,ま
た 本 書 の 正 則 写 像 が[6]のnormal
operatorの
拡 張 で あ る こ とを 更 に 明 確
に す る た め に も,こ R\KでA*-調 く と,前
の 定 理 を 述 べ る こ と は 無 駄 で は あ る ま い. 和 で あ っ てR\K°
で 連 続 な 函 数 の 全 体 をH(R\K)と
§で 定 義 し た 正 則 写像L≡LKはC1(∂K)か
写 像 で あ っ て,次
の 性 質 を も つ;こ
らH(R\K)の
こ で φ,φ1,φ2∈C1(∂K)と
(L.1)
(Lφ)│∂K=φ,
(L.2)
Lω=ω,
(L.3)
(c1,c2は
(L.4)
φ≧0な
ら ばLφ
書 中への
す る:
定 数),
≧0,
とす る と
(L.5)
今 後 こ の §に お い て は,LはC1(∂K)か (L.1∼5)を
満 た す も の と し,そ
用 い な い.上
らH(R\K)の
中 へ の写 像 で あ っ て
れ が 前 §で構 成 され た 正 則 写 像 で あ る こ とは
の 性 質(L.2∼4)か
ら,次
の(L.6)は
容 易 に 導 か れ る:
(L.6)
Ahlfors-Sarioの を す る.ま
ずKを
つ 定 め て お く.任
主 存 在 定 理 に 対 応 す る定 理5.4.3(後 含 む 正 則 領 域D⊂Rで
対 し て,Dに
こ で φ,φ1,φ2∈C1(∂D)と
(G*.2)
書 く と,写
(G*.5)
(G*.6)
お け るDirichlet境
像G*は
(G*φ)│∂D=φ, G*ω=ω, (c1,c2は
φ≧0な
ら ばG*φ
とす る と
≧0,
界値 対 し
次 の 性 質 を も つ;こ
す る:
(G*.3)
(G*.4)
もつ も の を 一
解 が 一 意 的 に 存 在 す る か ら,φ ∈C1(∂D)に
て こ の 解 υ を 対 応 さ せ る 写 像 をG*と
(G*.1)
コ ン パ ク トな 閉 包Dを
意 の φ∈C1(∂D)に
問 題:A*υ=0,υ│∂D=φ,の
述)を 示 す た め の 準 備
定 数),
(G*.1)は
明 ら か.(G*.2),(G*.3)は
か る.(G*.5)はDに
お い てA*υ=0な
れ る.(G*.4),(G*.6)はA*-調 な お,写
像Lに
し,L(w│∂K)が G*に
境 界 値 問 題 の解 の一 意 性 に よ って わ る こ と とGreenの
和 函 数 に 関 す る 最 大 値 原 理 の 結 果 で あ る.
つ い て,∂Kを
含 む あ る 集 合 で 定 義 さ れ て い る 函 数wに
定 義 さ れ る な ら ば そ れ を 単 にLwと
え ば,wが
像
は この意 味 で使 っ
∂Kを 含 む 集 合 で 定 義 さ れ てw│∂K∈C1(∂K)な
(L.1′)
対
書 くこ と に し た が,写
つ い て も 同 様 で あ る.(L.2)のLω,(G*.2)のG*ω
て い る.例
公 式 に よ り導 か
らば
LLw=Lw
が 成 り立 つ こ とは,(L.1)か
ら直 ち に わ か る.G*に
関 し て も同様 の こ とが い
え る. こ こで い くつ か の補 助 定 理 を 準 備 す る. 補 助 定 理5.4.1
コン パ ク ト集 合Kと
のみ で 定 ま る正 の定 数k<1が 一 定 で な いす べ て の函 数uに
それ を 含 む領 域 Ω に対 し て,Kと
存 在 し て,Ω でA*-調
和 であ ってKの
Ω
上で符号
対 し て次 の不 等 式 が成 立 す る:
(5.4.3)
証 明 合 はuに
が0ま
た は ∞ な ら ば(5.4.3)は
自 明 で あ る.そ と し て よ い.こ
正 の 定数 を掛 け る こ とに よ り
定 数k<1が
存 在 しな い と す る と,Ω でA*-調
和 か つK上
が Ω で一 様 有 界 だ か ら{un}の の 極 限 函 数uは
Ω でA*-調
りu≡ ω ま た はu≡-ω
て{un}の
で 符 号一 定 で な い
適 当 な 部分 列 が Ω で 広 義 一 様 に 収 束
和 で あ る(第1章,定
と な る か ら,最
ば,各unはKで
理1.4.5).こ
大 値 原 理(第1章,定
と な る べ き で あ るが,こ
部 分 列 の 極 限 函 数uも
け るDirichlet境
KとDは
の とき
理1.4.8)に
れ は 不 可 能 で あ る.な
符 号 一 定 で な い か ら
補 助 定 理5.4.2
の よ うな
な る も の が 存 在 す る.
函 数 の 列{un}で,
し,そ
れ 以 外 の場
よ ぜ なら
を 満 た し,従
っ
Ω ≡D\Kに
お
解 と す る.こ
のと
同 じ 性 質 をも つ か ら で あ る.
前 に 述 べ た 通 り と し,ψ
界 値 問 題:Aψ=0,ψ│∂K=0,ψ│∂D=1,の
を 領域
ⅱ
き Ω でA*-調
和 か つ Ω でC1級
の 函 数wに
対 し て,次
の(5.4.4)と(5.4.5)
は 同 値 で あ る: (5.4.4)
(5.4.5)
証 明 Ω に お い てA-調 て,Greenの
こ でu≡1ま
た はu=ψ
補 助 定 理5.4.3 数uは
とお く と,そ
K,D,Ω
Ω でA*-調
の二 つ の
同 値 な こ と が わ か る. お よ び 函 数ψ は 上 の 補 助 定 理 の 通 り と す る.ま
和,Ω
でC1級
で あ る とす る.こ
の と き 次 のⅰ),ⅱ)
が 成 立 す る: ⅰ )
と 仮 定 し,υ=Lu,w=u-υ
と お く と,
(5.4.6)
(5.4.7)
更に )
(5.4.8)
対し
れ ぞ れ 次 の 等 式 に な る:
ら 見 て 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トル で あ る こ と に 注 意).こ
式 か ら直 ち に(5.4.4)と(5.4.5)が
た,函
の 補 助 定理 の 函 数wに
公式に よ り
が 成 り立 つ.こ
(nKはKか
和 な任 意 の 函数uと,こ
と仮 定 す る と,
と 仮 定 し,υ=G*u,w=u-υ
と な る.
と お く と,
(5.4.9)
更 に
と 仮 定 す る と,
証 明 ⅰ) ま ず
υ=Luは,写
像Lの
と な る.
性 質(L.5)に
よ って
(5.4.10)
を 満 た し,ま
た υ∈H(D\K)だ
を 満 た す か ら,(5.4.6)が び,(L.1)に ら,前
か ら,Greenの
成 立 す る.次
よ っ てw│∂K=0と
公 式 に よ って
に,uに
対 す る 仮 定 と(5.4.10)お
な る こ と に よ り,wは(5.4.4)を
の 補 助 定 理 に よ っ て(5.4.7)を
得 る.更
満 たす か
と仮定す
に
と な る か ら,(5.4.7)と
る と,(L.1)に
よ っ て
υ は(5.4.4.)に
お け るwと
用すれば
同 じ 条 件 を 満 た す.だ
よ
合わせ ると
か ら前 の 補 助 定 理 を υ に 適
が 得 ら れ る.
ⅱ) も前 の補 助 定 理 を使 っ て全 く同様 に証 明 され る;上 のⅰ)の 証 明 に お い て ∂Kと
∂Dの 役 目を 入れ 替 え,写 像Lの
性 質 の か わ りに,写 像G*の
対応す る
性 質 を 使 え ば よい. 補 助 定 理5.4.4 調 和,D\K° る.υ0=u-Luと す る.こ
K,Dを
でC1級
前 の補 助 定 理 の通 り とし,函 数uはD\KでA*を 満 た す もの とす
で あ っ て,
定 義 し,n≧1に
の と き 正 の 定 数k<1が
対 し てun=G*υn-1,υn=Lunと 存 在 し て,す
べ て のn≧1に
逐次定義 対 して
(5.4.11)
が 成 立 す る.従 っ て無 限 級 数 証 明 ま ず ψ を 前 の 補 助 定 理 の 通 り,す 境 界 値 問 題Aψ=0,ψ│∂K=0,ψ│∂D=1,の (5.4.12)
∂K上 で常 に
は ∂Dの 上 で一 様 収 束 す る. な わ ちD\Kに 解 と す る と,
お け るDirichlet
と な る こ と に 注 意 す る(第1章,定
理1.4.2).次
を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 し よ う.それに [Vn-1]⇒[un],[un]⇒[Vn]を [V0]の
証.こ
定 を 満 た し,そ っ て[V0]が
は,ま
に,命
題
ず[V0]を
示 し,n≧1に
示 せ ば よ い.
の 補 助 定 理 のuは,前 こ で のwの
の 補 助 定 理 のⅰ)のuに
ぞ れ υn-1,unと
こ う し て,す
べ て のn≧1に
ら,(5.4.12)に
よ り各unは
ま たun=G*υn-1はDに りKとDの
得 られ る.[un]⇒[Vn]の
を そ れ ぞ れun,υnと
をそれ
証 も 同 様 に,前
の
な る こ とが示 され た か
上 で,従
お い てA*-調
こ で のu,υ
前 の
考 え れ ば よ い.
対 し て ∂Kの
よ
証.υn-1は
対 す る す べ て の 仮 定 を 満 た す か ら,そ
考 え れ ば[un]が
補 助 定 理 のⅰ)のu,υ
対 す る最 初 の 仮
定 義 は 上 の υ0の 定 義 と 同 じ だ か ら,(5.4.7)に
成 り立 つ こ とが わ か る.[Vn-1]⇒[un](n≧1)の
補 助 定 理 のⅱ)のuに
対 して
っ てKの
和 で あ る.だ
み で 定 ま る 正 の 定 数k<1が
上 で 符 号 一 定 で な い. か ら補 助 定 理5.4.1に
存 在 し て,す
べ て のn≧1に
よ
対 して
(5.4.13)
が 成 り立 つ.(L.6),(5.4.13),(G*.6)を
が 得 ら れ る か ら,(5.4.11)が LG*υn-1,k<1だ
す べ て のn≧1に
wがRに
お い てA*-調
る た め の 必 要 十 分 条 件 は,w=cω(cは 証 明 w=Lwと
RでA*-調
す る と(L.6)に
和 な函 数wに
大 値 原 理 に よ りwは
対 し
対 し て 成 立 す る.こ
こ で υn=
は ∂Dの 上 で一 様 収 束 す る.
か ら,
補 助 定 理5.4.5
順 次 用 い る と 各n≧1に
和 とす る.こ
定 数)が
な
成 り立 つ こ と で あ る.
よ り
対 し てw/ω が そ の最 大値 をKの
ω の 定 数 倍 で あ る.逆
の と きw=Lwと
は(L.2)に
と な る か ら,
上 で とる.だか
ら最
よ り明 ら か で あ る.
以 上 の準 備 を し て,'主 存 在 定 理'に 対 応 す る次 の 定 理 を 証 明 し よ う. 定 理5.4.3
R\K°
で 連続,か
た とす る.こ の とき,RでA*-調 (5.4.14)
R\Kに
つR\KでA*-調
和 な函 数uが
与 え られ
和 な 函 数wで お い てw-u=L(w-u)
を満 た す もの が 存 在 す るた め の 必要 十分 条件 は,uがR\K°
でC1級
で あ って
(5.4.15)
を 満 た す こ と で あ る.こ で あ る.そ
の と きwは,ω
し て,u=Luの
と き,そ
証 明 函 数wがRに
お け るGreenの
公 式 をwに もR\K°
り明 ら か で あ る.以 Kを す る.こ
でC1級
で あ っ て(5.4.15)が
一 意 性 と,定 下 に お い て,そ
成 り立 つ とす る.こ
の よ うなwの の 閉 包Dが
(5.4.16)
∂Dの
上 で
(5.4.17)
∂Kの
上 でf=G*φ
の と き,
助 定 理5.4.5に
よ
存 在 を 証 明 す る. コ ン パ ク トな も の を 一 つ 固 定 適 当 に 定 め て,
φ-u=L(f-u),
が 成 り立 つ よ うに で き る こ と を 示 そ う.(5.4.17)を(5.4.16)に
代入す る と
φ-LG*φ=u-Lu
と な るか ら,υ0=u-Luと
お い て(5.4.18)を
関 す る線 型 方 程 式 と考 え る と,そ
で 与 え ら れ る が,補
で
満 た す.
理 の 最 後 の 主 張 は,補
数 φ∈C1(∂D)とf∈C1(∂K)を
(5.4.18)
でC1級
と な る.だ
で あ っ て(5.4.15)を
内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,そ の と き,函
満 た す とす る.
はR\K°
適 用 す る と
でC1級
定 理 に 述 べ ら れ たwの
か ら,υ
が成 り立 つ.一 方,領 域K° に
よ り
逆 にuがR\K°
定 数)と な る.
和 で あ っ て(5.4.14)を
お く と,υ=L(w-u)だ
あ っ て(L.5)に
か らu=w-υ
の と き に か ぎ り,w=cω(cは
お い てA*-調
こ の と き υ=w-uと
の 定 数 倍 を 加 え る こ とを 除 い て 一 意 的
助 定 理5.4.4に
線 型 空 問C1(∂D)に
の 解 は 形 式 的 に はNeumann級
よ り こ の 無 限 級 数 は ∂Dの
おけ る φに 数
上 で 一様 収 束 す
る.従
っ てφ=LG*φ+υ0と
て(5.4.18)を φ,fが
な り,φ
満 た す.よ
は ∂D上 でC1級(実
っ てf=G*φ
はC2級)で
とお け ば(5.4.16∼17)を
あ っ
満たす函数
得 ら れ た こ とに な る.
さ て,∂D上
で はG*φ=φ
4.16),(5.4.17)か
で あ り,∂K上
で はLf=f,Lu=uだ
ら そ れ ぞ れ 次 の こ とが わ か る:
(5.4.16′)
∂Dの
上 でG*φ=φ=Lf-Lu+u,
(5.4.17′)
∂Kの
上 でG*φ=f=Lf-Lu+u.
い ま,函
数w1,w2を Dに
そ れ ぞれ
お い てw1=G*φ,R\K°
と定 義 す る と,w1,w2は 特 にD\Kに ∂(D\K)に
か ら,(5.
に お い てw2=Lf-Lu+u
そ れ ぞ れ の 定 義 域 の 内 部 の 領 域 でA*-調和
お い て はw1,w2と お い てw1=w2な
意 性 に よ りD\Kに
も にA*-調
る こ と を 示 し て い るか ら,境
お い てw1=w2が
る 一 意 接 続 定 理(第1章,定 Dに
和 で あ っ て,(5.4.16′
成 立 す る.だ
理1.4.9)に
お い てw=w1,R\Kに
と な る も の が 存 在 す る.こ
∼17′)は
界 値 問題 の解 の一
か らA*-調
よ り,RでA*-調
で あ る.
和 函数 に関 す
和 な 函 数wで
お い てw=w2
の と きw2の
定 義 に よ り,R\Kに
おいては
w-u=w2-u=L(f-u) と な る か ら,(L.1′)(157ペ
ー ジ)に
よっ て
L(w-u)=LL(f-u)=L(f-u)=w-u が 得 ら れ る;す
な わ ちwは(5.4.14)を
注意 156ペ ー ジ で写 像G*の
定 義 と性 質 を 述べ る 際 に,Dは'Kを
が,こ れ は本 §の補 助 定 理5.4.2以 ペ ージ に 述 べ たG*の
満 た す.
降 でG*を
定 義 と性 質 で はKは
含 む'と 書 い た
用 い る こ とを意 識 した か らで あ って,156
全 く用 い てい ない か ら,'D(⊂R)は
コ ンパ ク
トな 閉 包 を もつ 正 則 領域'と し て おけ ば よい ので あ る.一 方,こ の よ うな 意 識(補 助 定理 5.4.2以 後 に用 い る こ と)か らす れ ば,補 助 定 理5.4.1も
他 の補 助 定 理 と 同 じKとDに
つ い て示 せ ば よか った とい え るが,こ の 補 助 定 理 の 性 格 上,任 意 の コ ンパ ク ト集 合Kと そ れ を 含 む任 意 の領 域 Ω に つ い て 示 し て お くのが 適 当 と考 え られ,証 る か ら,こ の よ うに一 般 的 な 記述 に した.そ も,証 明 を 見 れ ばわ か る.
こで はKが'正
明は 全 く同 じで あ
則'で あ る必 要 は な い こ と
§5.5 Neumann型
核 函 数N(x,y)
こ の § で 構 成 す る 核 函 数N(x,y)は,第3章 でMartinの
核 函 数M(x,y)が
に お け るMartin境
演 じ た の と 同 じ 役 割 りを,次
界の理 論
の 第6章
で演 じ
る も の で あ る. こ の §全 体 を 通 し て,一 K0を
つ の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K0⊂Rを
含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域Dに
たD\K0に
固 定 し て お く.
対 し て,§5.2で
お け る 境 界 値 問 題(5.2.2)(でK=K0と
ND,K0(x,y)を,ND(x,y)と 対 し て,xを K(x)と
書 く こ と に す る.ま
内 点 に も ちR\K0に
述べ
し た も の)の た,任
核 函数
意 の 点x∈R\K0に
含 ま れ る 全 て の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 の 族 を
書 く.
KをR\K0に
含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,K∪K0を
トな 閉 包 を も つ 任 意 の 領 域Dを
考 え る.任
含 み コ ンパ ク
意 の φ∈C1(∂K)に
対 し て,φ
とは
(5.5.1)
な る ∂K∪ ∂K0上
の 函 数 の こ と とす る.D\(K∪K0)に
お け る境 界値 問 題
(5.5.2)
の解を
υ=LDKφ
と書 く と,補
助 定 理5.2.5に
よ り
(5.5.3)
ま た §5.3で
定 義 し た 正 則 写 像LK∪K0を
の 列{Dn}で(5.1.8)を
考 え る と,K∪K0を
満 た す も の を 任 意 に と る と き,定
(R\(K∪K0)°
(5.5.4)
含む正則領域 理5.3.2に
よ り
で広 義 一様 収 束)
が 成 立 す る. 上 の 函 数 υ=LDKφ K∪K0,φ
は 正則 写 像 の 性 質(C)に
お い てR,K,φ
と読 み 替 え た も の を 満 た し て い る か ら,Dにお
え て υ=LDK∪K0φ
と 書 い て も よ い わ け で あ り,こ
を そ れ ぞ れD, け る正 則 写像 と考
の 記 号 の 方 が 性 質(5.5.4)
が 自然 に 見え る.ま うに,∂Kで
た 正 則 写 像LDK∪K0と
考 え る こ と に よ り,前
下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に ま で,こ
扱 う こ と が で き る.し
か し こ こ で はK0は
に よ っ て 定 ま る 函 数 で あ る か ら,LDKφ べ た よ うに ∂Kで
§に 述 べ た よ
の 写像 の 定 義 を拡 張 して 取 り
固 定 さ れ て お り,φ
は(5.5.1)で
な る 表 現 を 用 い る こ と に し た;上
下 半 連 続 な 函 数 の 全 体 に 拡 張 し た 写 像 も ,同
φ に述
じ 記 号LDKで
表 わ す. 今 後,任
意 のx∈D\K0を
と き の,写
像LDKに
固 定 し てND(x,y)をy∈
よ る 像 をLDKND(x,y)と
た よ うに 拡 張 さ れ た 写 像 と 考 え る.な す るLK∪K0N(x,y)(LK∪K0は す る も の と す る.以 の 変 数x,yを
∂Kの
書 く;x∈
お,あ
∂Kの
函 数 と考 え た
場 合 は 上 に述 べ
と で 定 義 す る 核 函 数N(x,y)に
§5.3,§5.4で
定 義 し た 正則 写 像)も
対
同様 に解
下 に お い て 記 号 の 繁 雑 を 避 け る た め,ND(x,y)やN(x,y)
省 略 し て 書 く こ と が あ るが,例
え ばLK∪K0Nは
で のLK∪K0N(x,y)を
表 わ す も の と理 解 せ ら れ た い.
核 函 数ND(x,y)の
性 質 の うち,特
a) 台 がD\K0に
含 ま れ てHolder連
上に述べた意味
に 次 の こ と に 注 目 す る. 続 な 任 意 の 函 数f(x)に
対 し て,
函数
は,D\K0に
お い てA*υ=-fを
b) 任 意 のx∈D\K0を 上 で φ(y)=ND(x,y)と
満 た し境 界条 件
固 定 し,コ
υ│∂K0=0を
ン パ ク ト集 合K∈K(x)を
定 義 す る と,υ(y)=ND(x,y)をD\(K∪K0)°
た も の は 境 界 値 問 題(5.5.2)の
満 た す. 与 え て ∂K で考 え
解 で あ る か ら,
任 意 のy∈D\(K∪K0)°
に 対 し てLDKND(x,y)=ND(x,y)
が 成 立 す る. こ れ ら の 性 質 を 考 慮 す る と,次
の 定 理 で 存 在 と 一 意性 が 示 さ れ る と こ ろ の 函
数N(x,y)を,核
函 数ND(x,y)のD=Rの
自 然 で あ ろ う.我
々 は こ の 函 数N(x,y)をNeumann型
す る.
場 合 へ の 一般 化 と考 え る こ とは 核 函 数 と呼 ぶ こ と に
定 理5.5.1
R×Rの
部分 集 合
(5.5.5)
で 連 続 な 函 数N(x,y)で
次 のⅰ),ⅱ)を
ⅰ) 台 がR\K0に
満 た す も の が,た
だ 一 つ 存 在 す る.
含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ うな 任 意 のHolder連
続 な 函 数f(x)に
対 し て,函
数
(5.5.6)
はR\K0に
お け る 次 の 楕 円 型 方 程 式 と境 界条 件 を 満 た す:
(5.5.7)
A*υ=-f,υ│∂K0=0.
ⅱ) 任 意 のx∈R\K0を (5.5.8)
固 定 す る と き,任
R\(K∪K0)に
更 に,条
件(A)に
対 し て,集
合(5.5.5)に
意 のK∈K(x)に
対 して
お い てLK∪K0N(x,・)=N(x,・).
お け る(5.1.8)を
満 た す よ う な 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に
お け る広 義 一 様 収 束 で
(5.5.9)
が 成 立 す る. 証 明 条 件(A)に
お け る(5.1.8)を
と っ て お く.函 数ND(x,y)は
§5.2のND,K0(x,y)の
定 理5.2.3とAscoli-Arzelaの とれ ば,集
合(5.5.5)に
満 た す よ う な 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を こ と で あ る か ら,補
定 理 に よ り{Dn}の
助
適 当 な 部 分 列{D(ν)}を
お け る広 義 一様 収 束 の極 限 函 数
(5.5.9′)
が 存 在 し,集 書 き,対
合(5.5.5)で
連 続 で あ る.こ
応 す る 函 数 ωD(§5.1)の
定 義 し た)の
部 分 列{ωD(ν)},写
部 分 列{LD(ν)K}を,そ
Ω,Ω1で
助 定 理5.2.1の(5.2.4)でK=K0,D=Dν
(5.5.9′)に (5.5.10)
よ り任 意 のx,y∈ N(x,y)=GΩ
像LDK(こ
れ ぞ れ{ων},{LνK}と
コ ン パ ク トな 閉 包 を もつ 正 期 領 域 り,補
の 部 分 列{D(ν)}を単
Ω1\(K0)° \K0(x,y)
に{Dν}と の §の 初 め に
書 く こ と に す る.
Ω ⊃ Ω1⊃ Ω1⊃K0な と し てν → ∞ に対 して
る もの を と と す る と,
こ の 式 とGreen函
数GΩ
\K0(x,z),GΩ1\K0(z1,y)の
理 のⅰ)が 成 立 す る こ と が わ か る.定 と集 合K∈K(x)と
理 のⅱ)を
を 固 定 し,NDν(x,y),N(x,y)を
LνK(=LD(ν)K)が(5.5.3)を
そ れ ぞ れ 単 にNν,Nと
も つ こ と に よ り,y∈R\(K∪K0)°
ν→ ∞
と す る と,(5.5.9′)が
つ い て,{NDn}の
と に よ り,一
意 的 な 函 数Nに
わ か る.だ
か ら(5.1.8)を
と ら ず に(5.5.9)の さ て,ⅰ)とⅱ)を る た め に,ま Holder連 と,fの
集 合(5.5.5)の
この 定理 の前 に 述 べ た 性 質
上 の広 義 一 様 収 束 で成 立 す る こ
得 ら れ,ⅱ)が
ぐあ とに 証 明 す るNの
意 の{Dn}に
像
な るか ぎ り
よ りLK∪K0N=Nが
上 の 記 述 と,す
ー ジ 前 の 記 述 を 参 照),写
満 た し,Nν(=ND(ν))が
(b)を
よ り,定
証 明 す る た め に,点x∈R\K0
書 く こ と に す る と(下 の 式 の 各 項 に つ い て は2ペ
と と(5.5.4)に
性 質(第1章)に
証 明 さ れ た.
一 意 性 に よ り,(5.1.8)を
満たす任
任 意 の部 分 列 か ら更 に 適 当 な 部 分 列 を 選 ぶ こ 集 合(5.5.5)の
上 で 広 義 一様 に 収 束 す る こ と が
満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に
つ い て,部
分列を
広 義 一 様 収 束が 成 立 す る. 満 た し 集 合(5.5.5)で
ず 次 の こ と を 示 す:R\K0に
続 な 任 意 の 函 数f(x)に
連 続 なN(x,y)の
含 まれ る コ ン パ ク トな 台 を も ち
対 し て,函
台 を 内 部 に 含 み か つR\K0に
一 意 性 を 証 明す
数 υ(y)を(5.5.6)で
定義す る
含 ま れ る 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K
に対 して (5.5.11)
が 成 立 し,ま
R\(K∪K0)に
た 任 意 のψ
∈Pω(R;K0)に
お い てLK∪K0υ=υ
対 して
(5.5.12)
が 成 立 す る.(5.5.11)は(5.4.2),(5.5.6),(5.5.8)を さ れ る:y∈R\(K∪K0)な
らば
用 い て次 の よ うに示
(5.5.12)を
証 明 す る た め に,函
数h∈C10(R)でKの
上 で はh=1と
なるもの
を と り, ψ=ψ1+ψ2,こ
こに
と お く と,(5.5.7)とKがfの
ψ1=ん
ψ,Ψ2=(1-h)ψ,
台 を含 む こ とに よ り
(5.5.13)
一 方(5
.5.11)と
ψ2∈Pω(R;K∪K0)な
る こ とに よ り
(5.5.14)
と な る か ら,(5.5.13)と(5.5.14)と 以 上 の こ と を 用 い てN(x,y)の と も にⅰ),ⅱ)を
満 た し,集
か ら(5.5.12)を
得 る.
一 意 性 を 証 明 し よ う.N1(x,y),N2(x,y)が
合(5.5.5)で
連 続 と 仮 定 す る.fをR\K0に
ま れ る コ ン パ ク トな 台 を も つ 任 意 のHolder連
含
続 な 函 数 と し,
(5.5.6′)
と お く と,各 LK∪K0の R\K0に と
υν が(5.5.7)お
値 域 に 属 す る)を
よ び(5.5.11)(υν
お い て 有 界 で あ る;従 と に 定 理1.5.1が
方(5.5.12)に
の制限は
満 た す こ と に よ り,υν/ωはPω(R;K0)に
(5.5.15)
を 得 る.一
のR\(K∪K0)へ
よ り
っ て 適 用 され るか ら
も 同 じ 性 質 を も つ.こ
属 し, の ψ
だ か ら, (5.5.16)
(5.5.15)と(5.5.16)か
υ1=υ2=0な
る こ と に よ りR\K0に
任 意 性 とN1,N2の 函 数N(x,y)の 系1 ⅰ)
を 得 るか ら,∂K0の
ら
お い て υ1=υ2と な る.だ
連 続 性 に よ り,集 合(5.5.5)に
か ら,函
お い てN1≡N2と
上では 数fの な り,
一 意 性 が 証 明 さ れ た. 任 意 のy∈R\(K0)°
を 固 定 す る と き,xの
函 数N(x,y)は
について (5.5.17)
を満 たす.ま
において た任 意 のf∈C30(R\K0)に
対 して 次 の 等 式 が成 り立 つ:
(5.5.18)
ⅱ ) 任 意 のx∈R\(K0)°
を 固 定 す る と き,yの
函 数N(x,y)は
につい て (5.5.17*)
において
を 満 た す.ま た 任 意 のf∈C30(R\K0)に
対 して 次 の 等 式 が 成 り立 つ:
(5.5.18*)
こ の 系1は,(5.5.10)に 函 数GΩ
お い て Ω,Ω1が 任 意 に 大 き く と れ る こ と と,Green
\K0(x,y),GΩ1\K0(x,y)の
性 質(第1章)に
よ っ て,容
易 に 証 明す る こ
と が で き る. 系2
任 意 のx∈R\K0に
対 して
(5.5.19)
証 明 定 理5.5.1の(5.5.9)に
お け るNDn(x,y)は,こ
た よ うに,境
お い てK=K0,D=Dnと
界 値 問 題(5.2.2)に
数 で あ る.u≡1な
る 函 数 は,こ
合 の 解 で あ るか ら,第1章
の 境 界 値 問 題 でf≡0,φ
で 述 べ た よ うに,任
の §の 初 め に 述 べ し た もの の核 函 ≡1,φ1≡0と
意 のx∈Dn\K0に
した 場 対 して
(5.5.20)
が 成 立 す る.こ
こ でn→
微 分 係 数 のy∈
∂K0に
系3 ⅰ)
∞ と す る と(5.5.9)と(5.2.4)に 関 す る一 様 収 束 が いえ て,(5.5.19)が
任 意 の 点z0∈R\K0に
ⅱ) FをR\(K0)° 集 合 でE∩F=φ
よ り上 の 式 の 法 線 得 ら れ る.
対 し て
に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 と し,EAR\K0の
閉部分
な る も の と す る と,
(5.5.21)
(〓yはN(x,y)の
変 数yに
証 明 初 め に,ⅰ)とⅱ)の
つ い て〓
を 作 用 す る こ と を 意 味 す る.)
証 明 に 共 通 に 用 い る 事 項 を 準 備 す る.集
合K0を
含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域D⊂Rに
対 し て,§5.2で
た 境 界 値 問 題(5.2.1)お
す る)のGreen函
GD\K0(x,y)を
よ び(5.2.1*)(KをK0と
考 え る.ま
た,R上
でHolder連
続 で あ っ て,台
コ ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る よ う な 任 意 の 函 数f(x)に さ れ る 函 数 υ は,R\K0にお か ら,特
にy∈D\(K0)°
(x∈R\Dに
対 し て はGD\K0(x,y)=0と
υ の 定 義 式(5.5.6)を と,任
意 のy∈D\(K0)°
数
がR\K0の
対 し て,(5.5.6)で
け る 楕 円 型 方 程 式 と境 界 条 件(5.5.7)を な ら ば 上 のGreen函
述べ
定義 満たす
数を用いた次の式が成立す る
考 え る):
上 の 式 に 代 入 し て,右
辺 第2項
の積分の順序を変 える
に対 して
を 得 る.こ こ でfは 初 めに 述べ た よ うな任 意 の 函数 だ か ら,任 意 のx∈R\K0 とy∈D\(K0)°
に 対 し て次 の式 が 成 立 す る:
(5.5.22)
以 上 の こ とを 用 い てⅰ)とⅱ)を
証 明す る.
ⅰ) の 証 明.Dと z0に
し て 点z0を
十 分 近 く(従
内 部 に 含 む も の を と っ て お く と,xとyが
っ てD\K0に
属 し)か
と な る か ら,(5.5.22)の な る.こ
の こ と とGreen函
ⅱ) の 証 明.初
つz∈∂Dな 右 辺 第2項
数 の 性 質(第1章,定
共に
ら ばN(x,z)≧0, の 被 積 分 函 数 は ≦0と
理1.3.8)に
よ り
め に 準 備 し た 事 項 に お い て,DをK0∪F⊂D⊂D⊂R\E
な る よ う に と る.x∈R\Dな す る の だ か ら,任
ら ば,GD\K0(x,y)=0と
意 のy∈D\(K0)°
し て(5.5.22)が
成立
に 対 して
(5.5.22′)
が 成 立 す る.一
方,定
理5.5.1に
て の み 考 え る こ と に す る と,こ あ る こ とを 想 起 す れ ば,補
だ か ら,定
お け る{Dn}の
中 でDn⊃Dな
こ で のNDn(x,y)が
助 定 理5.2.2に
る も のに つ い
§5.2のNDn,K0(x,y)で
よ り
理5.5.1の(5.5.9)とFatouの
補 題 に よ り
(5.5.23) ∂DとFと
は 互 い に 交 わ ら な い コ ン パ ク ト集 合 だ か ら,(5.5.22)に は ∂D×F上
(5.5.23)と
か ら(5.5.21)が
次 の 定 理 は,定 定 理5.5.2
が 成 立 し,特
述 べ たN(x,y)の
る か ら,x∈R\Kの
性 質ⅱ)の
と,R\K0に
固 定 す る と き ,R\(K∪K0)に
証 明 x∈K°
x∈R\Kと
理5.5.1に
にx∈K°
の ことと
得 ら れ る.
任 意 の 点x∈R\(K0)°
パ ク ト集 合Kを
で 有 界 で あ る.こ
おいて
一 般 化 で あ る.
含 ま れ る 任 意 の 正則 コ ン
お い てLK∪K0N(x,・)≦N(x,・)
な ら ば 等 号 が 成 立 す る.
の 場 合 は,こ
の 定 理 の 事 実 は 定 理5.5.1のⅱ)に
場 合 とx∈
∂Kの
述 べ られ て い
場 合 に つ い て 証 明 す れ ば よ い.
す る.正 則 写像 の性 質 に よ り
が
成 立 す る か ら,K1⊂R\(K∪K0)な 函 数LK∪K0NはK1に K2⊂K1な
お い て 有 界 で あ る.一
るK2∈K(x)を
き くな る.だ
y∈K2に
∂(K∪K0)な
方,前
一 つ 固 定 す る と き,yの 定 理 の 系3のⅰ)に
十 分 小 さ く と れ ばinfy∈K2N(x,y)は
か ら 適 当 なK2∈K(x)を
(5.5.24) ま たy∈
るK1∈K(x)を
よ り,
い くらで も大
一 つ 定 め る と,
対 し て はLK∪K0N(x,y)≦N(x,y).
ら ばLK∪K0N(x,y)=N(x,y)だ
か ら
な らば 最 後 の=はx∈(K∪K2)°
な る こ と に よ る.上
の 不 等 式 と 定 理5.4.2に
より
ならば と な る か ら,(5.5.24)と N(x,・)が
合 わ せ て,R\(K∪K0)に
お い てLK∪K0N(x,・)≦
成 立 す る.
次 にx∈
∂Kの
値 を 許 す)と
場 合 を 考 え る.N(x,y)を
考え
た も の は,∂K∪
{φn}の 極 限 で あ る.こ
∂K∪∂K0の
∂K0の
の と き,§5.4で
上 のyの
函 数(∞
の
上 の非 負 値 連 続 函数 の単 調 増 加 列
拡 張 さ れ た 正 則 写像 の 定 義 に よ り
(5.5.25)
LK∪K0φnはR\(K∪K0)°
の 上 で 連 続 で あ って
∂(K∪K0)の
上 で はLK∪K0φn≦
だ か ら,各nに
対 してK∪K0を
と れ ば,∂Fnの
上 で
る よ うに で き る が,更 の と きx∈ 定 理5.4.2と
∂K⊂(Fn)°
こ でn→
R\(K∪K0)でLK∪K0N≦Nが 以 上 で 定 理5.5.2が
内 部 に 含 む 正 則 コン パ ク ト集 合Fnを (ωは 定 理5.3.1に
に
よ りR\Fnに
∞
適 当に
述 べ た 函 数)と
な
も同時 に 成 り立 つ よ う に で き る.こ
に よ っ て,R\Fnに
定 理5.5.1に
が 成 立 す る.こ
φn≦N
お い てLFnN=Nと おいて
とす る と,(5.5.25)と{Fn}の 成 り立 つ こ と が わ か る.
証 明 さ れ た.
な る か ら,
と り方 に よ っ て,
§5.6 核 函 数N(x,y)と
こ の § で は,外 い て 流 量 が0に を 述 べ る.こ
あ る境 界 値 問 題
部 領 域 に お け るDirichlet境 な る'も
の が,前
界 値 問 題 の 解 で'無
§の 核 函 数N(x,y)を
用 い て表 わ され る こ と
の 結 果 は 本 書 に お い て 今 後 用 い る こ と も な い し,ま
値 問 題 に 関 す る 結 果 と し て も 特 に 注 目 に 値 す る こ と で も な い が,前 N(x,y)の
一 つ の 性 質 と し て,結
K0をRの
の 台 がR\(K0)°
∂K0の 上 でHolder連
た 楕 円型 境 界 §の核 函 数
果 と 証 明 の 概 略 の み を 述 べ て お く.
中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合,f(x)をR\(K0)°
函 数 で あ っ て,そ
限遠点にお
でHolder連
続 な
の コ ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る も の,φ(x)を
続 な 函 数 と す る.こ
の と き 次 の(5.6.1∼2)を
満たす函
数 υ(x)を 求 め る 問 題 を 考 え る: (5.6.1)
(5.6.2)
R\K0に
お い てA*υ=-f,υ│∂K0=φ;
任 意 の ψ ∈Pω(R;K0)に
た だ しDは,K0を
含 み,Rの
(函 数 ω お よ びPω(R;K0)は 上 述 の よ う な 領 域Dを
対 し て
中 に コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 とす る. §5.3で 述 べ た も の で あ る.)
一 つ 固 定 し て,(5.6.2)に
(5.6.2′) 任 意 の ψ ∈Pω(D;K0)に
類 似 の 条 件:
対 して
を考 え る と,こ れ は 次 の 条件 と同値 で あ る: (5.6.3)
ベ ク トル値 函数bυ-〓 ([1]の 序 章 参 照),拡
∂Dの
上 で
υ は拡 散 問題 に お け る 用 語 で 流 量(flux)と 散物 質 の移 動 を 表 わ す か ら,
境 界 ∂Dの 上 で の流 量 の法 線 成 分 を 表 わ す.従
って(5.6.3)は
は領域Dの 拡 散 物 質 の境 界
に お け る 出 入 りがな い こ とを表 わ し て い る.だ か ら条 件(5.6.2)は'無 点 に お け る流 量 が0'す
呼 ばれ
限遠
なわ ち無 限 遠 点 にお い て拡 散 物 質 の出 入 りが ない こ と
を表 わ し て い る,と 考 え る の は 自然 で あ ろ う.
本 §で は,函
数
る も の の 全 体 をDと 定 理5.6.1 たK0を
か つ
υ∈C1(R\K0)で 書 く こ とに す る.こ
函 数f,φ
な
の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ:
を 前 ペ ー ジ に 述 べ た 通 り と し,N(x,y)を,与
用 い て 前 §で 述 べ た よ う に 定 義 さ れ た 核 函 数 とす る.こ
え られ の と き,
(5.6.4)
で 定 義 さ れ る 函 数 υ はDに 数 υ で(5.6.1∼2)を
満 た す.ま
た,Dに
属す る函
満 た す も の は 一 意 的 で あ る.―
こ の 定 理 の 証 明 は,本 る が,以
属 し,(5.6.1∼2)を
質 的 に は 定 理5.5.1の
証 明 の中 に 含 まれ てい る とい え
下 に こ の 定 理 の 証 明 の 概 略 を 述 べ て お く.
函 数 υ を(5.6.4)で GΩ1\K(x,y)の 分 集 合Kに
定 義 す る と,(5.5.10)とGreen函
性 質 に よ り,υ は(5.6.1)を
数GΩ
満 た し,Rの
\K0(x,y),
任 意 の コ ン パ ク ト部
対 して υ お よ び│〓
(5.6.5)
更 に,K0お
υ│はK\K0で
有 界 で あ る.
よび 函 数fの 台 を 内部 に 含 む 任 意 の 正 則 コンパ ク ト集 合Kに
対し
て (5.6.6)
R\Kに
が 成 立 し,任
お い て LKυ=υ
意 の ψ ∈Pω(R;K0)に
対 し て 次 の 等 式 が 成 立 す る:
(5.6.7)
こ れ ら の 事 実 の 証 明 は(5.5.11),(5.5.12)の 理5.3.2に
よ り(5.6.6)か
証 明 と 本 質 的 に 同 じ で あ る.定
ら
(5.6.8)
と な るか ら,(5.6.5)と(5.6.8)に K0お
よび 函 数fの
す る と,任 びGreenの
よ っ て υ∈Dが
わ か る.従
っ て,Dは
台 を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 を 表 わ す も の と
意 の ψ ∈Pω(R;K0)に 公 式 に よ り,次
対 し て,υ
がA*υ=-fを
の 等 式 が 成 り立 つ:
満 たす こ とお よ
(5.6.9)
(5.6.7)と(5.6,9)か
ら(5.6,2)が
一 意 性 の 証 明:uと u-υ
に(5.6.9)を
でu=υ
υ が と も にDに 適 用 す る と,任
が 得 ら れ,∂K0の
得 られ る.
上 で はu=υ=φ
属 し て(5.6.1∼2)を
満 た す と す る.
意 の ψ ∈Pω(R;K0)に
で あ る か ら,定
対 して
理5.3.2に
よ っ てR\K0
と な る.
上 の 定 理 の'一
意 性'の
部 分 か ら,境
界 値 問 題(5.6.1∼2)の
核 函 数 の一 意
性 に 関 す る 次 の 定 理 が 容 易 に 導 か れ る. 定 理5.6.2
N(x,y)をR×Rの
で 連 続 な 函 数 と す る.R\(K0)°
部分集合
でHolder連
続 で あ っ て 台 がR\(K0)°
の コ
ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る よ う な 任 意 の 函 数fに
対 し て,函
数
がDに
満 た し,か
つ 境 界 条 件 υ│∂K0=0
属 し,R\K0に
と(5.6.2)を N(x,y)に
お い て,A*υ=-fを
満 た す と す る と,函 一 致 す る.―
数N(x,y)は
前 §で 定 義 さ れ た 核 函 数
第6章
Neumann型
§6.1 Neumann型
理 想 境 界(倉
持 境 界)
理想境界のための予備概念
前 章 の 冒 頭 に 述 べ た よ うに,本 章 で も,向 きづ け られ たC∞ 多 様 体Rに
おい
て,与 え られ た 楕 円 型 偏 微 分 作用 素A: Au=div(〓u)+(b・〓u)
の形 式 的 共 役 偏 微 分 作用 素A*: A*υ=div(〓υ-bυ) を 考 え る.Rお
よ びAに
つ い て の 仮 定 は,c(x)≡0な
全 く同 じ で あ る.§5.1で で は,A*に と,全 素(Aで
は な く)A*を
第3章
・第4章
A-調 和,A-優 (第3章
約 束 し た 諸 記 号 を 本 章 で も そ の ま ま 用 い る.こ
関 す るRのNeumann型
優 調 和 函 数(定
和','A*-優
義 は §6.3で 与 え る)の 扱 う理 由 は,§0.2で
で は 偏 微 分 作 用 素Aの
と は 反 対 に)A*の
調 和'の
も つ 正 則 領 域D⊂Rに
満 た す も の を,前 138ペ
で は,x0を
R\K0で
あ る.今
構成
微分作用
考 え な か っ た か ら,
調 和 と書 い た が,こ
の 章 と 次 の 章 で は,
扱 わ な い か ら,'A*-調 調 和'と
そ の ま ま用 い る.x0を
界 値 問 題(5.1.1)の た,偏
書 く こ と に す る.
含 み コ ン パ ク トな 閉 包 解 でw(x0)=1を
微 分 作 用 素A*の
満 た す も の とす る.更
に,こ
含 む 正 則 コ ン パ ク ト集 合K0⊂RでR\K0が
一 つ 固 定 し ,K0を
の章
み を 扱 っ てA*を
章 と 同 じ く ωDと 書 く.ま
ー ジ に 述 べ た 条 件(A)を
と
説 明 し た こ と に よ る.
み を 扱 っ てAを
対 し て,境
持 境 界 と も い う)の
表 現 定 理 を 述 べ る;偏
こ と を そ れ ぞ れ'調 和','優
前 の 章 で 固 定 し た 点x0∈Rを Dを
理 想 境 界(倉
調 和 を そ れ ぞ れ 調 和,優
・第4章
る こ と以 外 は,第3章
含 む 任 意 の 領 域 Ω に 対 し て Ω′=Ω \K0と
係 数bは
の 章 お よび 次 の 章 連 結 で あ る もの を お く;特
後 Ω′,R′な る 記 号 は 常 に こ の 意 味 に 用 い,他
にR′=
の意 味 に は 用
い な い.前 章 の 正 則 写 像 お よび そ れ に 関連 し た結 果 は そ の ま ま用 い るが,上 に 固 定 し た コ ンパ ク ト集 合K0が
特 別 の 役 目を果 たす の で,そ れ に伴 っ て修 正 の
必要 な 記 号 や 定 理 等 を 以 下 に 記 述 し て お く. まず,定 理5.3.1は
そ の まま の形 で用 い るが,本 章 全 体 で重 要 な 役割 りをす
る函 数 ω(x)の 存 在 と一 意 性 を述 べ た 主要 な定 理 で あ る か ら,こ (下 記 定 理6.1.1).定
理5.3.2は
定理6.1.1 次 の 性 質(B)を Rの 上 で
後 述 の定 理6.1.2の もつ 函数 ω∈C2(R)が
域 の列{Dn}に
存 在 し て一 意 的 で あ る:
で あ って
に対 して
任意の こ の 函 数 ω はRに
形 に 修 正 し て用 い る.
特に
と お く と き,
(B)
こに再 記 す る
お い て 調 和 で あ り,条
件(A)の(5.1.8)を
満 た す 任 意 の領
がR上
の広 義 一 様 収 束 で
前 の 定 理 に 述 べ ら れ た 函 数 とす る.任
意 の正 則 コン パ ク
対 して
成 立 す る. 定 理6.1.2
ω,pを
ト集 合K⊂R′
と,任
u∈C0(R′
\K)∩C1(R′
(C′)
任意 の
意 の φ ∈C1(∂K)に \K)が
対 し て,次
存 在 し て,一
の 性 質(C′)を
もつ 函 数
意 的 で あ る:
に対 して
こ の函 数uはR′
\Kで
調 和 で あ っ て,
また,K∪K0を
含 む 任 意 の 正 則 領域Dに
を 満 た す. 対 して,D\(K∪K0)に
お け る境 界
値 問 題:
の 解 を υDと す る と,(5.1.8)を
満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に
がR′ \Kの こ の 定 理 は,定
理5.3.2に
対 し て,
上 の広 義 一 様 収 束 で成 立 す る.
お け る コ ン パ ク ト集 合KをK∪K0で
置 き替 え,
函 数 φ を φ(x)=φ(x)(x∈
∂K),=0(x∈
∂K0)な
る φ で 置 き替 え る こ とに よ
り得 ら れ る. こ の 定 理 に よ り,C1(∂K)か
らR′ \Kに
繰L0Kを,u=L0Kφ
が 条 件(C′)を
後 こ の 写 像L0Kも
正 則 写 像 と 呼 ぶ;こ
LK∪K0を,φ│∂K0=0を
お け る調 和 函数 の空 間 の 中 へ の写
満 た す も の と し て 定 義 す る こ とが で き る.今 の 写 像 は,前
満 た す 函 数 φ∈C1(∂K∪
の章 で定 義 した 正 則 写 像
∂K0)の
全 体 の上 に制 限 し た も
の で あ る. 正 則 写 像L0Kは,前 ら ばL0Kφ ≧0を (6.1.1)
章 の 意 味 のLK∪K0と
満 た す.ま
た 任 意 のy∈R\[K°
任 意 の φ∈C1(∂K)に
Borel測
∪(K0)°]を 固 定 す る と き
対 して
が 成 立 す るか ら,写 像 線 型 汎 函 数 で(6.1.1)を
同 様 に 線 型 写 像 で あ っ て,φ ≧0な
(yは 固 定)はC(∂K)上 満 た す も の に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.だ
度 μyKで μyK(∂K)≦1な
る も の が 存 在 し て,任
の有界正値 か ら ∂K上
意 の φ ∈C1(∂K)に
の
対 して
(6.1.2)
が 成 立 す る. ∂Kで 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φに 対 し て,(L0Kφ)(y)を(6.1.2)で
定義 す る と,
§5.4に お け る と 同 様 に し て 次 の 定 理 が 得 ら れ る. 定 理6.1.3
∂Kで 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R′
に お い てL0Kφ
は,そ
前 章 と 同 様 に,上 ∂Kを
の よ うに 拡 張 さ れ たL0Kも
へ の 制 限w│∂KのL0Kに
よ る 像L0K(w│∂K)の
の と き 次 の 定 理 が 成 立 す る(cf.定
定 理6.1.4 す る と,∂K1に
K1,K2をR′
ま た 正 則 写 像 と 呼 ぶ こ と に し,
こ と も,簡
し て,そ
単 にL0Kwと
の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な
が 成 立 す る.
れ の ∂K 書 くこ と
理5.4.2).
お い て 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R′
L0K2(L0K1φ)=L0K1φ
各連結成分
こ で 恒 等 的 に ∞ で な い か ぎ り調 和 函 数 で あ る.
含 む あ る 集 合 の 上 で 定 義 さ れ て 下 半 連 続 な 函 数wに対
に す る.こ
\Kの
るもの と
\(K2)° に お い て
次 の 定 理 は,定 あ る.前
理5.5.1の
前 半 を 本 章 のL0Kの
の 章 と 同 様 に,任
意 の 点x∈R′
に 対 し て,xを
れ る す べ て の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 の 族 をK(x)と 定 理6.1.5
R×Rの
定 義 に合 わ せ て書 い た もの で 内 点 に も ちR′
に含 ま
書 く.
部分集合
(6.1.3)
で 連続 な 函数N(x,y)で ⅰ) 台 がR′
次 のⅰ),ⅱ)を 満 たす も のが た だ一 つ 存 在 す る.
の コ ンパ ク ト部 分集 合 で あ る よ うな任 意 のHolder連
続 な函 数
f(x)に 対 し て,函 数 (6.1.4)
はR′
に お け る 次 の 楕 円 型 方 程 式 と境 界 条 件 を 満 た す:
(6.1.5)
A*υ=-f,υ│∂K0=0.
ⅱ) 任 意 のx∈R′ (6.1.6)
R′\Kに
上 のN(x,y)は x∈R′
を 固 定 す る と き,任
意 のK∈K(x)に
お い てL0KN(x,・)=N(x,・).―
定 理5.5.1のN(x,y)そ
か つy∈
∂K0な
対 して
の も の で あ り,(5.5.17*)に
ら ばN(x,y)=0で
あ る.だ
か ら(5.5.8)に
おけ る
こに 再 記
LK∪K0をL0Kと
書 い た(6.1.6)が
成 立 す る.
定 理5.5.1の
系1,2,3は,そ
の ま ま の 形 で 今 後 引 用 す る の で,こ
し な い.下
記 の 定 理6.1.6は
で あ る が,LK∪K0とL0Kと
上 のⅱ)の
定 理6.1.6
一 般 化 で あ り,定
理5.5.2と
の 違 い が あ る の で こ こ に 書 い て お く;そ
上 に 述 べ た(5.5.8)が(6.1.6)に
同 じこと の 事 情 は,
な っ た の と 同 じ で あ る.
任 意 の 点x∈(R′
を 固 定 す る と き,R′ \Kに
よ り,
∪∂K0)と
任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合KUR′
お い てL0KN(x,・)≦N(x,・)が
成 立 し,特
にx∈
K° な ら ば 等 号 が 成 立 す る. 今 後N(x,y)をR′ に お け る任 意 のBorel測
に お け る ポ テ ン シ ャ ル の 核 と し て 用 い る.す 度 μ に 対 し て,そ
な わ ち,R′
の ポ テ ン シ ャ ル μNを
(6.1.7)
で 定 義 す る;た
だ し μNは(6.1.7)の
右 辺 の 積 分 の 値 がyの
函 数 と し てR′
に
お い て 恒 等 的 に ∞ で な い か ぎ り定 義 さ れ る も の と す る.よ シ ャ ル μN'と
書 い た と き は,R′
え て い る も の と し,そ
に お い て
後'ポ
テン
と な る よ うな 測 度 μ を 考
の こ と を 毎 回 こ とわ ら な い.
R′ で 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 υ と,任 て,函
っ て,今
意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
に対 し
数 υKを 次 の よ うに 定 義 す る: の と き,
(6.1.8)
の と ぎ.
ま た,任
意 のx∈R′
∪ ∂K0を
(6.1.9)
固 定 す る と き,
NK(x,y)=[N(x,・)]K(y)
と定 義 す る.こ
の と き(6.1.2)に
よ っ て,y∈(R′
こ で μyKは ∂K上
のBorel測
∪∂K0)\Kに
対 して は
(6.1.10)
(6.1.11)
が 成 立 す る;こ あ る.ま
た 定 理6.1.4と(6.1.8)に K1,K2がR′
(6.1.12)
特 に,函
度 で μyK(∂K)≦1を
満たす もので
よ り次 の こ と が 成 り立 つ:
の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な
らば
において 数 ω はR′
∪ ∂K0に
(6.1.13)
を 満 た す.な
おいて ωK(y)≦
ぜ な ら ば,y∈(R′
と な り,y∈Kな
ら ば(6.1.8)に
注 意1 N(x,y)を
∪ ∂K0)\Kな
ω(y)
ら ば(6.1.10)に
よ っ て ωK(y)=ω(y)で
あ る.
核 とす る質 量分 布 μ の ポ テ ン シ ャル は
(cf.(6.1.7))
(6.1.7′)
な る 形 に 書 か れ る の が 普 通 で あ る;偏 微 分 作 用 素Aが わ ちA=A*:通 称:N(x,y)=N(y,x),で
よ って
常 のLaplace-Beltrami作
用 素)の
形 式 的 に 自 己 共 役(す 場 合 は,核N(x,y)は
あ る か ら(6.1.7)と(6.1.7′)と
な 対
は 同 じ式 で あ り,
(6.1.7′)の
よ う に書 くの が"常
に 自 己 共 役 で な い,従 (6.1.7)の
識 的"で
っ てN(x,y)が
あ ろ う.し か し 本 書 で はAが
対 称 で な い 点 に 主 眼 を お い て い る の で,
形 を 用 い る 必 然 性 が あ る.こ
の ポ テ ン シ ャ ル を 定 義 す る(6.1.7)の
右 辺 で は,N(x,y)の
左 の 変 数xに
す 左 辺 の 記 号 もNの
左 側 に μ を 書 く こ と に し た.
注 意2
定 義 さ れ る 記 号NK(x,y)は(6.1.8)の
の で,今
(6.1.9)で 後NKは
ら れ たGreen函
数GD(x,y)のDと
ωKの 添 え 字Kに
た ωDのDと
は 異 な る.
最 後 に,核
函 数N(x,y)を
述 べ る.こ 函
つ い て 測 度 μ で 積 分 す る の で,そ
こ の 意 味 に の み 用 い ら れ る.添
(6.1.13)の
え 字Kの
意 味 が,前
用 い た 場 合 の,優
定 理6.1.7は
調 和 函 数 のRiesz分
解 の定 理 を
解 の 定 理 を 述 べ,そ
定 理2.3.5のⅰ)の'必
み を 述 べ(定
理6
要'の
.1.8),与
般 の 場 合 の'存
在'を
下 本章 記の
部 分 に 対 応 す る も の で あ る が,そ 解 に つ い て は,存
の
在 す る場 合 の
え られ た優 調和 函数 が Ω の コン パ ク ト 解 の 存 在 を 示 す(定
述 べ る た め に は,§6.3で
調 和 函 数 の 概 念 が 必 要 で あ る か ら,こ
こ で は,以
の 証 明 の 概 略 を 記 す.下
部 分 集 合 の 外 で は 調 和 で あ る 場 合 に つ い て の みRiesz分 理6.1.9).一
はGreen
ポ テ ン シ ャル の 核 と し た 形 で 述 べ て い る の で,
定 理 のⅱ)に 対 応 す る領 域 Ω 全 体 で のRiesz分 '一意 性'の
た
章 お よ び こ の §の 初 め に 用 い
定 理 の 述 べ 方 も証 明 の 方 法 も形 式 的 に 多 少 の 差 違 が あ る.こ に お い て 用 い る 形 でRiesz分
に用 い
は 異 な る こ と に 注 意 せ ら れ た い.ま
つ い て も 同 様 で,前
た はG(x,y)を
れを表わ
υKに 合 わ せ た も
れ は 本 質 的 に は §2.3に 述 べ た こ と に 含 ま れ る が,§2.3で
数GD(x,y)ま
形式 的
の 場 合 のRiesz分
導 入 され る全 優
解 は 定 理6.3.3で
与 え
ら れ る. 下 記 の 定 理 の 証 明 の 概 略 を §2.3の 記 述 と 対 比 し な が ら 述 べ る か ら,§2.3で はA-(優)調
和 函 数 を 扱 っ て い る の に 対 し て,こ
い え ば'A*-(優)調 定 理6.1.7
和'の
意 味 で あ る こ と を,念
度 μ とD上
の 調 和 函 数hDが
和'と
の た め も う一 度 注 意 す る.
Ω をR′ の 中 の 任 意 の 領 域 と し,Dを
が Ω の コ ン パ ク ト部 分 集 合 な る も の とす る.Ω に お け るBorel測
の 章 で は 単 に'(優)調
Ω の 部 分 領 域 で あ っ てD
上 の 優 調 和 函 数 υ に 対 し て,Ω 一 意 的 に 存 在 し て,Dに
おい
て 次 の式 が 成 立 す る;こ
こで μはDに
無 関 係 で あ る:
(6.1.14)
特 に υ が 領 域Dで
調 和 な ら ば μ(D)=0で
証 明 の 概 略 ま ず,こ 存 在 し て,任
あ る.
の 定 理 の 函 数 υ に 対 し て Ω に お け るBorel測度
意 のf∈C20(Ω)に
対 し て(cf.定
μが
理2.3.3)
(6.1.15)
が 成 立 す る;そ
の 証 明 は §2.3の 定 理2.3.1∼3の
入 れ 換 え,UΩ0(t,x,y)の のf∈C20(D)に
変 数xとyの
対 し て 定 理5.5.1の
証明 に お い て,AとA*を
役 目 を 入 れ 換 え れ ば よ い.特
系1に
に,任
意
よ り
(cf.(2.3.20))
(6.1.16)
が 成 立 す る か ら,こ
れ を(6.1.15)の
右 辺 に代 入 す る と
(cf.(2.3.22)) が 得 ら れ,こ
れ か ら 定 理2.3.4の
用 い て 上 の 式 の{…}の る.μ A*を
とhDの
中 がDに
証 明 と 同 様 に,定
お け る 調 和 函 数hD(y)に
一 意 性 の 証 明 は 定 理2.3.4の
入 れ 換 え,(2.3.20)の
と,N(x,y)>0な
定 理2.1.6を
な る こ とが 示 され
証 明 と全 く同 じ 論 法 に よ る;Aと
か わ りに(6.1.16)を
る こ とか ら,υ がDで
上 の 一 意 性 の 証 明 はDが
理1.4.10と
用 い れ ば よ い.こ
調 和 な ら ば μ(D)=0で
コ ン パ ク トで な くて も よ い か ら,次
の一意性
あ る. の定理が成立
す る. 定 理6.1.8
領 域 Ω(⊂R′)の 上 の 優 調 和 函 数 υ が,Ω
と Ω 上 の 調 和 函 数hに
よ っ てυ=μN+hと
とhは
υ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る;特
=0で
あ る.―
最 後 に,優 合 の,Ω
表 わ さ れ る な ら ば,こ
度 μ
の よ うな μ
に 領 域 Ω1(⊂ Ω)で υ が 調 和 な ら ば μ(Ω1)
調 和 函 数 υ が Ω の あ る コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 外 で 調 和 で あ る場
全 体 で のRiesz分
定 理6.1.9
に お け るBorel測
Kを
領域
解 の 定 理 を 証 明 し よ う. Ω(⊂R′)の
コ ン パ ク ト部 分 集 合 と す る.υ
が Ω 上の
優 調 和 函 数 であ って,Ω \Kに で 台 がKに
含 まれ る もの と,Ω 上 の 調 和 函 数hが
い て υ=μN+hが
の閉 包Dが
度μ
一 意 的 に存 在 し て,Ω に お
Ω の コン パ ク ト部 分 集 合 で あ る も
とつ 固 定す る.こ
の と き 定 理6.1.7に
関 係 しな い)とD上
の 調 和 函数hDが
μ(Dに
に お け るBorel測
成 立 す る.
証 明 Kを 含 む 領 域Dで,そ の を,ひ
お い て調 和 な らば,Ω
よ り,Ω に おけ るBorel測 一 意 的 に 存 在 して,Dに
度
お いて
次 の式 が成 立 す る: (6.1.17)
更 に,υ
がD\Kで
調 和 な こ と に よ り μ(D\K)=0で
あ る.こ
こ で,Dが
Ω
に 含 ま れ る コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ か ぎ り任 意 に 大 き く とれ る こ と と,μ がD に 無 関 係 な こ と に よ り,μ
の 台 はKに
含 ま れ る.だ
か ら(6.1.17)の
項 の 積 分 範 囲 を Ω と書 い ても よ い か ら,(6.1.17)をυ=μN+hDと こ と に す る.い
ま,D\Kに
右 辺 第1 簡 単に書 く
おい て h=υ-μN
と 定 義 す る と,hは な る か ら,一
意 接 続 定 理(定
る こ と に よ りhは +hが
Ω \Kに
理1.4.10)に
よ っ て,Kの
Ω 上 の 調 和 函 数 と な る.こ
成 立 す る.hの
っ て 明 ら か で あ る.
お い て 調 和 で あ り,D\Kにお
一 意 性 も,hDのDに
い て はh=hDと
上 で もh=hDと
定義す
の と き明 ら か に Ω 全 体 で υ=μN お け る 一 意 性 と一 意 接 続 定 理 に よ
§6.2 Neumann型
K0を
理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成
前 § で 固 定 し た 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,こ
Neumann型
核 函 数 をN(x,y)と
す る.こ
のK0を
用 い て構 成 した
の核函数は
(6.2.1)
に お い て 定 義 さ れ て い て 連 続 で あ り,こ に あ れ ばN(x,y)=0で
あ る.そ
(6.2.2)
意 のy∈R′
一 方 が ∂K0の 上
こで
x∈K0,y∈R′
と 定 義 す る と,任
の 集 合 の 中 でx,yの
に 対 し て はN(x,y)=0
を 固 定 す る と き,N(x,y)はxに
つ い てR\{y}
の 上 で 連 続 な 函 数 と な る. Rの
一 点 コ ン パ ク ト化(one-point
ン パ ク ト空 間 で あ る か ら,そ ク ト集 合K0を
compactification)は
距離づけ可能 な コ
の 位 相 を 定 義 す る 距 離 の 一 つ を ρ0とす る.コ ン パ
含 む 領 域D0で,そ
の 閉 包D0が
コ ン パ ク トで あ る も の を 一 つ 固
定 す る. 任 意 の 二 点x1,x2∈Rに
対 し て,上
に 述 べ た 距 離 ρ0(x1,x2)と
(6.2.3)
と を 用 い て, (6.2.4)
と 定 義 す る. 我 々 は こ の ρを 用 い て,§3.2に を 進 め る こ と が で き る.以 定 理6.2.3,定
理6.2.5を
界 の 構 成 と 全 く並 行 に 議 論
下 に 述 べ る 定 理 や 補 助 定 理 は,定 除 き,§3.2に
同 じ 方 法 で 証 明 さ れ る.だ 理6.2.5以
お け るMartin境
理6.2.2の
系2,
お け る 対 応 す る 定 理 や 補 助 定 理 と全 く
か ら こ の §で は,定
外 の 各 定 理 や 補 助 定 理 は,§3.2と
理6.2.2の
系2,定
理6.2.3,定
同 じ順 序 に 従 っ て記 述 す るだ け
と し,そ れ ら の 証 明(そ れ は §3.2と 本 質 的 に 同 じ 議 論 の 繰 返 し に な る)は 記 述 し な い;た
だ,§3.2の
記 述 と形 式 的 に 多 少 の 違 い の あ る 部 分 に つ い て の み,前
も っ て 注 意 を 述 べ て お く に 止 め る.読
者 諸 氏 が §3.2に な ら っ て 各 定 理 を 験 証
さ れ る こ と は 容 易 で あ ろ う. ま ず §3.2の 偏 微 分 作 用 素A,核 な っ て お り,核
函 数M(x,y)が
函 数 の 変 数xとyの
役 目 が 入 れ 替 っ て い る.次
お い て は 必 要 の な か っ た コ ン パ ク ト集 合K0が (6.2.3)で
定 義 し た ρ1はx1,x2∈K0に
合 に お け る位 相 的 な 議 論 で は,§3.2に
Rを
こ の 章 で 用 い ら れ て い る た め,
の こ と はRの
れ
中 の コ ン パ ク ト集
おけ る論 法 に本 質 的 な影 響 を与 え な い
距 離 ρ に よ っ て 完 備 化 し た 後 の 理 想 境 界 の 近 傍 に お け る 議 論 に 対 し て も, 助 定 理3.2.1の
記 の 補 助 定 理6.2.1の
補 助 定 理3.2.2お
理5.5.1の
証 明 の 中 で(3.1.9)を
証 明 で は 定 理5.5.1の
よ び 定 理3.2.2と
部 分 に つ い て は,下 は,定
に
点 コ ン パ ク ト化'の 位 相 を 与 え る 距 離 で あ る こ と に よ り,
ρ0は 影 響 を もた な い.補 し,下
に,第3章
対 し て は 距 離 の 性 質 を も た な い.そ
ゆ え 距 離 ρ0を ρ1に 加 え て ρを 定 義 し た が,こ
し,ま た ρ0がRの'一
こ こ で はA*,N(x,y)に
用 い る.ま
そ の 系 の 証 明 中 に 補 助 定 理3.1.2を
記 の 補 助 定 理6.2.2お 系3のⅱ)を
用 いた の に対
系3のⅰ)を
用 い る.以
よ び 定 理6.2.2と
た,
用 いた
そ の 系1の
証明で
上 の こ と に 注 意 す れ ば,Neumann
型 理 想 境 界 の 構 成 が 下 記 の 手 順 で 進 め ら れ る. 補 助 定 理6.2.1
(6.2.4)で
与 え た ρ はRに
こ の 距 離 で 定 義 さ れ る 位 相 は,多 補 助 定 理6.2.2
Rは
本 来 の 位 相 と 同 じ で あ る.
上 に 述 べ た 距 離 ρに 関 し て 全 有 界 で あ る.
こ の 補 助 定 理 に よ り,空 間 で あ り,ρ はRの
様 体Rの
お け る ひ と つ の 距 離 を 定 義 し,
間Rの
距 離 ρ に よ る 完 備 化Rは
コ ン パ ク ト距 離 空
上 の 距 離 に 自然 な方 法 で 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.そ
れ た 距 離 を 同 じ 記 号 ρで 表 わ し て も 混 乱 は 起 こ ら な い か ら,以
の拡 張 さ
下 そ うす る こ と
に す る. こ の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ: 定 理6.2.1 ⅰ)
多 様 体Rは
コ ン パ ク ト距 離 空 間Rの
中 に 同 相 に 埋 め 込 まれ
て い る. ⅱ) R\RはRの 定 理6.2.2
閉 部 分 集 合 で あ っ て,内 核 函 数N(x,y)は
点 を も た な い.
ⅱ
の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ る.拡 る と き,yの 系1
張 さ れ たN(x,y)は,任
函 数 と し てR′ \{x}で
EがR\K0の
っ て,E∩F=φ
意 のx∈Rを
固定 す
調 和 で あ る.
中 の 閉 集 合,FがR′
∪ ∂K0の
中 の コ ン パ ク ト集 合 で あ
な らば
ⅰ )
) N(x,y)はE×Fの
上 で 距 離 ρに 関 し て 一 様 連 続 で あ る.
系2 任 意 のx∈R\K0に
対 し て,N(x,y)のyに
微分 こ の 系2に
界 の 場 合 の 定 理3.2.3の
界 の 構 成 ま で 述 べ た あ と で,上 の 系2はx∈R′
の 系2の
Rは
た 次 の 定 理6.2.3の
証 明 と は 事 情 が 異 な る か ら,理 証 明 と 次 の 定 理6.2.3の
の 場 合 は 定 理5.5.1の
の §で 証 明 す る の はx∈R\Rの 定 理6.2.3
系2に
方 に 無 関 係 で あ る.K0とK0をRの
ン パ ク ト集合K0,距
離 ρ0,領 域D0の
れ ぞ れK0,K0を
し,(6.2.3)と(6.2.4)に
よ っ てN(x,y),ρ0を
用 い て ρを 定 義 す る.距 す る.こ
用 い て §5.5で
述 べ た よ うに 構 成
用 い て ρ1,ρ を 定 義 し,同
離 ρ,ρ に 関 し てRを
の と き,RとRは
函
様
完 備 化 した 距
一 様 同相 で あ っ て,そ
の
お い て は 恒 等 写 像 で あ る.
こ の 定 理 に よ り,上
に 述 べ た 方 法 で 構 成 さ れ るRの
は た だ ひ と 通 りで あ る.§3.2の 合 で あ る か ら,こ
そ れ ぞ れK0とK0
コ ン パ ク トで あ る とす る.核
数N(x,y),N(x,y)を,そ
同 相 写 像 はRに
選び
中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合,ρ0とρ0をR
れ ら の 閉 包D0,D0は
離 空 間 を そ れ ぞ れR,Rと
証 明 を 与 え る.
ほ か な ら な い か ら,こ
の 一 点 コ ン パ ク ト化 の 位 相 を 与 え る 距 離 と し,D0とD0は
にN(x,y),ρ0を
想境
場 合 で あ る.
次 の 意 味 で,コ
を 含 む 領 域 で あ っ て,そ
上 で の法 線
が 成 り立 つ.
対 応 す る も の は §3.2に は 存 在 し な い し,ま
証 明 はMartin境
な お,上
関 す る ∂K0の
が 存 在 して,
れ をRの
場 合 と 同 様 に,R\Rは
完 備 化Rは,本
質的に
内 点 を もた な い 閉 集
境 界 と考え て 次 の 定 義 を 与 え る.
定 義 こ の §に 述 べ た よ うに 構 成 し たRをRの(楕
円 型 偏 微 分 作 用 素A*に
関 す る)Neumann型 をRの(A*に
コ ン パ ク ト化 ま た は 倉 持 コン パ ク ト化 とい い,S=R\R
関 す る)Neumann型
定 理6.2.2に
理 想 境 界 ま た は 倉 持 境 界 と い う.
よ り任 意 の 点 ξ∈Sに
函 数 で あ る が,定
理3.2.4に
対 し てN(ξ,y)はyに
つ い てR上
対 応 す る次 の 定 理 に よ り,S上
の調和
の相 異 な る二 点 は
相 異 な る調 和 函 数 を 与 え る. 定 理6.2.4 の 点y∈R′
S上
の点
ξ,ηに 対 し て,定
でN(ξ,y)=N(η,y)と
理6.2.2の
な る な ら ば,ξ
系2と
定 理6.2.2の
証 明 前 ペ ー ジ に 述 べ た よ うに,x∈R\Rの
明 す れ ば よ い.K0を
証 明 し よ う.
内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,そ
ト部 分 集 合 で あ る も の を 一 つ 固 定 す る と,任 (n→ ∞)な る 点 列{xn}⊂R\Dが Green函
数GD\K0(x,y)を
任 意 のxnと
任 意 のy∈D\(K0)°
場 合 に証
の 閉 包DがRの
意 のx∈Rに
存 在 す る.定 考 え る と,そ
すべ て
と η は 同 じ 点 で あ る.
こ こ で 定 理6.2.2の 系2の
定 理6.2.3を
函 数N(x,y)が
理5.5.1の
コン パ ク
対 し て ρ(xn,x)→0 系3の
証 明 中 と同 じ
の 証 明 中 に 示 し た(5.5.22′)に
よ り,
に 対 して
(6.2.5)
∂Dと
∂K0と
は 互 い に'離
れ た'コ
ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,上
の式 か ら
(6.2.6)
(6.2.5)でn→
∞
と す る と,定
と な るか ら,N(x,y)のyに
理6.2.2の
系1のⅱ)に
よ り
関 す る ∂K0上 で の 法 線 微 分 が 存 在 し て
(6.2.7)
定 理6.2.2の
系1のⅱ)に
よ り(6.2.6)と(6.2.7)でz∈
と な る か ら, し て 一様 収 束)が
成 立 す る.こ の こ と と,xn∈R′
て い る こ とか ら,x∈R\Rに対
し て も成 立 す る.
∂Dに
関 し て一 様 に
(y∈ ∂K0に に 対 し て は こ の 系2が
関
成 立し
こ こ で 定 理6.2.3の 補 助 定 理6.2.3
定 理6.2.3の
に お け る §5.2の の と き,ⅰ)任
証 明 に 用 い る次 の 補 助 定 理 を 示 す. 仮 定 の も と で 更 にD0⊂K0と
境 界 値 問 題(5.2.1)のGreen函
数 をGD0\K0(x,y)と
意 のx∈R\D0,y∈D0\K0に
対 して
含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域Dを
に お け る §5.2の
境 界 値 問 題(5.2.2)の
核 関 数ND,K0(x,y)を
§5.5以 降 の よ う にND(x,y)と
書 く.K0をK0で
核 函 数 をND(x,y)と
意 のy∈D0\N0を
D\(K0)°
書 く.任
に お け るxの
D\K0に
と る.D\K0 考 え,こ
れを
置 き 換 え て同 様 に 定 義 し た 固 定 し て,ND(x,y)を
函 数 と考 え る と,
お い てAxND(x,y)=0,∂Dの
を 満 た す.ND(x,y)が
す る.こ
対 して
ⅱ ) 任 意 のx∈R\D0,y∈D0\K0に
証 明 D0を
し,ま たD0\K0
上 で
境 界 値 問 題(5.2.2)(K=K0)の
核 函数 であ るか ら
(6.2.8)
が 成 立 す る.ま お け るyの
た,任
意 のx∈D\D0を
固 定 し て,ND(x,y)をD0\(K0)°
函 数 と考 え る と
D0\K0に
お い てA*yND(x,y)=0,∂K0の
を 満 た す.GD0\K0(x,y)が(5.2.1*)のGreen函
が 成 立 す る.従
っ て 特 にz1∈
が 成 立 す る.こ
れ を(6.2.8)の
入 す る と,次
に
の 等 式 を 得 る:
∂K0に
上 でND(x,y)=0 数 で もあ るか ら
対 して
右 辺(に
お い てzをz1と
書 き 直 し た 式)に
代
(6.2.9)
こ こ で 定 理5.5.1に
お け る よ うに,(5.1.8)を
な る よ うに と る と,定
理5.5.1に
満 た す 領 域 の 列{Dn}をD0⊂D1
述 べ た 領 域 に お け る広 義 一 様 収 束 で
(6.2.10)
が 成 立 す る.(6.2.9)に
お い てD=Dnと
し てn→
∞
とす れ ば(6.2.10)に
よ
りⅰ)の 結 論 を 得 る. 次 にⅱ)を
証 明 し よ う.Dを
∈C10(D\K0)を
初 め に 述 べ た よ う な 正 則 領 域 とす る.任
と っ て,y∈D\(K0)°
意 のf
に対 して
(6.2.11)
と おくと,υ
は D\K0にお
を 満 た し,y∈
∂K0な
い てA*υ=0,∂Dの ら ばND(x,y)=0で
上 で あ る か ら,
(6.2.12)
と な る.§5.2に あ る か ら,任
述 べ た よ うにND(x,y)は 意 のy∈D\(K0)°
が 成 立 す る.こ
はxに
核函数 で も
に対 して
の 式 の 左 辺 の υ に(6.2.11)を,右
る こ とが で き る か ら,代
特 にx,yが
境 界 値 問 題(5.2.2*)の
辺 の υ に(6.2.12)を
代入す
入 して か ら右 辺 の積 分 の 順 序 を 変 え る と
そ れ ぞ れD\D0,D0\K0を
つ い て 連 続 で あ る か ら,fの
動 くな ら ば,上 任意性に よ り
の 両 辺 の{…}の
中
(6.2.13)
が 成 立 す る.(5.2.4)と(5.5.10)に 分 を 考 え,Dと K0を
お い て,xに
し てⅰ)の 証 明 中 と 同 じDnを
固 定 す る と き,(6.2.10)の
第1式
関 す る ∂K0の
と っ てn→
に よ りx∈
∞ とす る と,y∈D0\
∂K0に
が 成 立 す る か ら,(6.2.9)か の と 同 様 に し て(6.2.13)か
らⅱ)の
こ の 補 助 定 理 を 用 い て,定
がRに
関 す る一 様 収 束 で
らⅰ)の 結 論 を 導 い た
結 論 が 導 か れ る.
理6.2.3の
ま ず こ の 定 理 は,D0⊂(K0)°
上 で の法 線 微
証 明 を 与 え よ う.
と し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.距
お い て 同 値 な 距 離 で あ る こ とは 明 ら か で あ る.ま
たRの
離 ρ0とρ0と 任 意 の コン パ
ク ト部 分 集 合 に お け る 二 つ の 距 離 ρ と ρ の同 値 性 も 明 ら か で あ る.よ を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D⊂Rを
一 つ と っ て,R\Dに
と ρ1が 互 い に 同 値 な 距 離 を 与 え る こ と を 示 せ ば,ρ 距 離 と な る か ら,距 が わ か る.ρ1と K0⊂Dな
お い て 同値 な
離 空 間 の 完 備 化 の 一 意 性 に よ り定 理6.2.3が
成立す る こと
る こ と と,補
x1,x2∈R\Dと
お い て は'距
助 定 理6.2.1に
す る.補
助 定 理6.2.3に
(6.2.14)
(6.2.15)
が 成 立 す る.こ
こで
らば
離'の
条 件 を 満 た す こ と は,K0∪
対 応 す る 補 助 定 理3.2.1の
っ て ρ1とρ1のR\Dに
が 成 立 し,y∈D0\K0な
お い て ρ1
と ρ がRに
ρ1がR\Dに
ば 容 易 に わ か る.よ
っ て,D0
証 明 を見 れ
お け る 同 値 性 を 証 明 す る. よ り,y∈D0\K0な
らば
と お く;C1,C2が
有 限 な こ と は ∂D0,∂K0,D0が
互 い に交 わ ら な い コン パ ク
ト集 合 で あ る こ とか ら 明 ら か で あ り,C3が
有 限 な こ と は,定
中 の(5.5.10)を
て 任 意 の 正 数 ε>0に
用 い て 容 易 に 示 さ れ る.さ
と お く と,ρ1の
定 義 と(6.2.14)か
ら
が 導 か れ,ρ1の
定 義 と(6.2.15)か
ら,同
が 導 か れ る.N(x,y),N(x,y)は
理5.5.1の
証 明
対 して
様 に して
定 理6.2.2の
系1のⅱ)に
と な る.以
続 性 を もつ か ら,
述 べ られ た 一 様 連
上 に よ り,ρ1と
ρ2が 同
値 な距 離 で あ る こ とが わ か る. 最 後 に,核 理6.2.2に Borel測
函 数N(x,y)に よ り,(6.1.7)で
NK(x,・)≦N(x,・)が 対 し て は,点
と きR\(K0∪K)にお す る と(6.1.11)と
列{xn}⊂R′
μNが
∪Sの
上 の 任 意 の
成 立 す る;特
に 対 し て,R\(K0∪K)に
にx∈K°
に測度
\Kでxに
おいて
な ら ば 等 号 が 成 立 す る.任
意の
収 束 す る も の が 存 在 す る.こ
い てNK(xn,・)≦N(xn,・)が
成 立 す る か ら,n→
有 界 収 束 定 理 に よ りNK(x,・)≦N(x,・)を
に 含 ま れ るBorel測
上 の
号 が 成 立 す る.
よ り任 意 のx∈R′ 成 立 し,特
と,R′
お い て(μN)K≦
内 部 に 含 ま れ る な ら ば,等
証 明 定 理6.1.6に
μ を 台 がK°
\Kに
∪Sの
れ に つ い て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.
任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
度 μ に 対 し て,R′
μ の 台 がKの
x∈Sに
定 義 さ れ た ポ テ ン シ ャ ル μNが,R′
度 μ の 場 合 に 拡 張 さ れ る.こ
定 理6.2.5 Borel測
関 す る ポ テ ン シ ャ ル の ひ とつ の 性 質 を 述 べ る.定
度 とす る と,初
の
∞ と
得 る.さ
め に 述 べ た 事 実 と(6.1.10),
て
(6.1.11)を
用 い て,任
意 のy∈R\(K0∪K)に
対 し て 次 の 計 算 が で き る:
測 度 μ の台 に 条 件 を つ け な い 場 合 は,上 の 計 算 で μに 関 す るK° の上 の積 分 が R′∪Sの 上 の 積 分 とな り,不 等 式NK(x,y)≦N(x,y)に か ら2番
よ り,上 の 計算 の最 後
目の等 号 が 不 等 号 ≦ とな るか ら,(μN)K(y)≦(μN)(y)が
今 後,Rの
任 意 の 部 分 集 合Eに
の 閉包,内 部 を それ ぞれEa,Eiと Rで 考え たEの
閉 包,内 部 は,今
記 号 の用 法 は,第3章
得 られ る.
対 し て,コ ン パ ク ト距離 空 間Rで 書 く.集 合E⊂Rに
対 し て,も
ま で通 りそ れ ぞ れE,E°
の場 合 と同様 で あ る.)
考 え たE との 多様 体
と書 く.(こ れ らの
§6.3 全 調 和 函 数 と全 優 調 和 函数
Martin境
界 の理 論 に お い て は,核
函 数 と正 の 測度 を用 い て積 分 表現 さ れ る
函 数 は 正値(優)調 和 函 数 で あ った が,倉持
境 界 の理 論 に お い て,同 様 な積 分 表
現 を もつ 函 数 の 特徴 づ け とし て,全(優)調
和 函 数 の概 念 を導 入す る.
下 記 の 定 義 に お い て は,υ は常にR′
に お い て非 負 値 か つ 下 半 連 続 で あ って
恒 等 的 に ∞ で は な い 函数 を表 わ す とし,任 意 の正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ 対 し て,υKは(6.1.8)で
定 義 され た 函数 とす る.こ の とき υKはR′にお
に いて
下半 連続 で あ る. 定 義 ⅰ) 任 意 の正 則 コンパ ク ト集合K⊂R′に
対 して,R′ 上 で υK≦υな る
とき,υ をR′ 上 の全 優 調 和 函 数(full superharmonic 函 数 と呼 ぶ;そ (full harmonic
function)ま
の よ うなυ が 更 にR′ で調 和 で あ る と き,R′ function)ま
ⅱ ) υ がFSH函
た はFH函
上の全調和函数
数 と呼 ぶ.
数 で あ っ て,(Kn)°
⊃Kn+1(n≧1)か
満 た す 任 意 の 正 則 コン パ ク ト集 合 の 列{Kn}n≧1に とな る と き,υ をR′ 上 のFSH0函 R′ で調 和 で あ る と き,R′ 上 のFH0函
た はFSH
つ
を
対 してR′ の 各 点にお
数 と呼 ぶ;そ
数 と呼 ぶ.(K0は
いて
の よ うな υが 更 に
本 章 の 初 めに 固 定 し
た 正 則 コ ンパ ク ト集 合 で あ る.) 注 意1 FSH函
数 が 優 調和 で あ る こ とは上 の 定義 中 に 直接 は述 べ られ て い な
い が,実 は 優 調 和 で あ る(後 述 の補 助 定理6.3.1). 注 意2 FH0函 FSH0函
数 は ∂K0上 で境 界値0を
とる(後 述 の定 理6.3.2の
系2)が,
数 は ∂K0上 で 有限 な境 界値 を もつ こ とす ら保 証 され な い.後 述 の定 理
6.3.1を 使 えば,∂K0上
で 有 限 な 境 界値 を もた な いFSH0函
数の例を次 のよ う
に構 成 す る こ とが で き る. 二点x0∈ ∂K0,y0∈R′ を 固 定す る.{xn}n≧1をR′ で,ど の点xnもy0に
の 中 か らx0に 近 づ く点 列
一 致 し な い も の とす る.cn=N(xn,y0)と
と定 義 す る と,υ はR′
お き,
で 恒 等 的 に ∞ で は な い(υ(y0)=1で
あ
る).各
点xnに
点 質 量(2ncn)-1を
ら,定
理6.3.1に
与 え た 測 度 を μ と す る と,υ=μNで
よ り υ はFSH0函
数 で あ る.一 方,定
理5.5.1の
あ るか
系3に
よ り
とな る.す なわ ち υは 点x0∈ ∂K0で 有 限 な 境 界 値 を もた な い. こ こ でFSH函
数,FH函
界 論 の §3.3に
お け る 函 数uΩ,uΓ
補 助 定 理6.3.1 証 明 FSH函 な い.コン
数 等 の い くつ か の 性 質 を 述 べ,続
FSH函
等 に 対 応 す る 函 数 を 定 義 す る.
数 はR′
数 υ は,そ
い てMartin境
に お い て 優 調 和 で あ る.
の 定 義 に よ り,下
半 連 続 で あ って恒 等 的 に ∞ で は
パ ク トな 閉 包 Ω⊂R′ を も つ 任 意 の 正 則 領 域 Ω を と る と,Ω
て υ∂ Ω≦υ と な る;こ
の こ とか ら,υ
におい
が 優調 和 函 数 の 条 件 を 満 た す こ とが 容 易
に導か れ る. 補 助 定 理6.3.2
R′ に お け るFSH函
数 の 列{υn}が
あ っ て,R′
の各点で
が存 在 し,υ が 下半 連続 で あ って恒 等 的 に ∞ で は な い な らば,υ は R′ に お い てFSH函
数 で あ る.
証 明 任 意 の 正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ を(5.4.2)に
と 任 意 の 点x∈R′
述 べ た 測 度 とす る と,Lebesgue積
\Kを
と り,μyK
分 論にお け るFatouの
補 題に
よ り
が 成 立 し,υ
がFSH函
補 助 定 理6.3.3
数 で あ る こ とが わ か る. R′ に お け るFSH0函
数 の 列{υn}が
あ っ て,R′
が 存 在 して 下 半 連 続 で あ り,R′ でυ ≦uと な るFSH0函 す る な ら ば,υ
はR′ に お い てFSH0函
数uが
よ りFSH函
数 で あ る.{Kn}を
前 ペ ー ジ の 定 義 のⅱ)に
述 べ た よ うな コン パ ク ト集 合 列 と す る と,す
に 対 し てυ∂Kn≦u∂Knが
成 り立 ち,n→
っ て υ はFSH0函
定 理6.3.1
R′ ∪Sに
存在
数 で あ る.
証 明 こ の 補 助 定 理 のυ は 補 助 定 理6.3.2に
な る.よ
の各点で
∞ の と きu∂Kn→0だ
べ て のn
か ら υ∂Kn→0と
数 で あ る. お け る 任 意 のBorel測
度 μ に 対 し て,そ
の ポ テン シ ャ
ル μNはFSH0函
数 で あ る.
証 明 まず 函数 υ=μNの
下 半 連 続 性 を 示 す.任 意 の 点y0∈R′
を含 むR′ の 中 の 開集 合 の単 調 減 少 列{Ωn}で る 集 合)な る も の を と る.測
と定 義 す る;{υn}はnに し,υ=υ∞+υ0と
つ い て 単 調 増 加 で υn≦υ だ か ら,極 函 数Nの
α<υ ∞(y0)(≦ ∞)に 対 し て υn(y0)>α
る.よ
か ら,y0の
っ てυ∞ はy0で
次 に,任
す に は,前
下 半 連 続 と な る.任
あ り,υnはΩnの
あ る 近 傍 で υn>α
と な り,従
っ てυ はFSH函
に 対 し て,定
数 で あ る.υ
がFSH0函
び 任 意 の 点y0∈R′
と し て よ い.測
定 理6.2.5に
内部 で 連 続 っ てυ∞>α
とな
よ っ て,
数 で あ る こ とを 示
定 義 のⅱ)に を 証 明 す る.こ
の 制 限 を μnと す る と,n→
対 し て(μn0N)(y0)<ε
べ て のnに
の 上 で は(μ-μn0)N=0で
理6.2.5に
を と っ て 固 定 し,{Kn}を
度 μ のKnへ
意 の ε>0に よ り,す
意 の
述 べ た 条 件 が 満 た さ れ る こ と を 示 せ ば よ い.
べ た よ うな コン パ ク ト集 合 の 列 と し て,
と な る か ら,任
下半連続だか
下 半 連 続 で あ る.
の 定 義 のⅱ)に
そ の た め,再
がy0で
な るnが
意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
υK≦ υ と な る.よ
ら成
限 函 数 υ∞は 存 在
性 質 に よ り υ0は 点y0で
下 半 連 続 な こ と を 示 せば,υ
(∵ μn(Ωn)=0)だ
(一 点y0か
度 μ の(R′ ∪S)\ Ωnへ の 制 限 を μnと し,
な る.核
ら,υ ∞ がy0で
を と り,y0
と な るn0が
対 し て(μn0N)∂Kn(y0)<ε
述 こで
∞ の とき
あ る.こ
と な る.一
あ る か ら
の とき 方,∂K0 と な る.
だか ら
とな り,ε は 任 意 の正 数 だ か ら
を 得 る.以
上 に よ りυ はFSH0
函 数 で あ る. 定 理6.3.2
υ をFSH函
す る と,υKは
台 がKに
数 と し,KをR′
に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と
含 まれ る適 当 な 測 度 μ の ポ テン シ ャ ル μNに
等 し い.
証 明 まず υKが 優 調 和 で あ る こ と を 証 明 す る.そ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 領 域Wを
と り,函
れ に は,R′
数wがWで
υKを 満 た す な ら ばWに
に 含 まれ る コ 連 続 か つWで
調 湘 で あ っ て ∂Wの
上 でw≦
と を 示 せ ば よ い.(そ
の 他 の 優 調 和 函 数 の 条 件 は 明 ら か で あ る.)FSH函数υ
前 定 理 に よ りR′ で 優 調 和 だ か ら,υ-wはWで で υK≦ υ を 満 た す か ら,∂Wの い てw≦υ
と な る.従
にお い てw≦υKと
υK-wは りWに
っ てW∩Kに
な る.ま
か ら,∂[W∩(R′
上 で はw≦
\K)]の
お い てw≦
μ で 台 がKに
υKと な る.一
\K)に
お い てw≦
υKと な り,υKがR′
そ こ で υKにRiesz分
υK≦ υが 成 り立 つ.だ
た ∂W∩(R′ \K)に
調 和 だ か ら,W∩(R′
υKと な る こ
優 調 和 で あ る.ま
お い て はw≦
上 でw≦
お い てw≦
た υはR′
か らWに
υKが 成 立 し,特 お い て はw≦
は
にW∩
お ∂K
υKが 成 り立 つ
方W∩(R′\K)に
おいて
υKが 成 立 す る.以
上に よ
に お い て 優 調 和 な こ とが わ か っ た.
解 の 定 理6.1.9を
適 用 す る と,R′
含 ま れ る も の と調 和 函 数hが
存 在 し て,R′
に お け るBorel測
度
において
υK=μN+h が 成 立 す る.い 定 理6.1.4と
ま(K1)° ⊃Kな
定 理6.2.5に
る 正 則 コン パ ク ト集 合K1⊂R′
よ り,
とな るか
が成 り立つ.一
ら,正則 写 像 の 性 質 に よ り 原 理(定 理1.4.9)に る 調 和 函 数hに に な り,h/ω =μN=0だ
つ い て,h/ω はR′
方,最 大 値
が成 り立 つ か ら,R′にお
よ り
け
がR′ の 内 部 に あ る ∂K1の 上 で 最 大 値 を と る こ と
上 で 定 数 で あ る(定 理1.4.8).と
か らh=0と
を 一 つ と る と,
な る.だ
こ ろ が ∂K0の
か らR′ に お い てh≡0と
上 で は υK
な り,υK=μNが
得 ら れ る. 系1
上 の 定 理 の υKはFSH0函
数 で あ る.
こ の こ とは 上 の 二つ の 定 理 か ら 明 らか で あ る. 系2 υ
がFH0函
数 な ら ば,υ
証 明 前 の 定 義 のⅱ)に のn≧2に Borel測
対 し て,υ
は ∂K0に
お い て境 界 値0を
と る.
述 べ た よ うな コン パ ク ト集 合 列{Kn}を
が 調 和 な こ と と上 の 定 理 に よ り,∂K1∪
度 μnが 存 在 し て,K1\(Kn)°
において
∂Knに
と る.任
意
台 を もつ
υ=υ ∂K1∪∂Kn=μnN
が 成 立 す る.μ
の ∂K1,∂Knへ
ば,R\Kn-1に
の 制 限 を そ れ ぞ れμ′n,μ″nとす る.n<mな
ら
お い ては
(最 初 の 等 号 は 定 理6.2.5に υ∂Kn-1→0,従
よ る).υ
はFH0函
数 で あ るか ら,n→
っ て 上 の 式 に よ り μ″nN→0と な る.υ=μ′nN+μ″nNだ
の と きK1\K0に
お い て μ′nN→υ と な る.一
点y0∈K1\K2を
∞
の とき
か ら,n→
∞
固 定 す る と き,
と な る か ら,{μ′n(∂K1)}n≧1は 界 で あ る.だ
か ら,コ
ン パ ク ト集 合∂K1の
{μ′nv}が,v→ ∞ の と き ∂K1の K1\K0の
上 でυ=μNと
定 理6.3.3
任 意 のFSH函
上 のFH函数uが
っ て∂K0の
数 υ に 対 し て,R′
存 在 し て,υ=μN+uが
証 明 {Dn}を,閉
上 の 測 度 の 列{μ′n}の 適 当 な 部 分 列
上 の あ る 測 度 μ に 漠 収 束 す る.以
表 わ さ れ,従
包DnがR′
Borel測
上 に よ り υは
上 で 境 界 値0を
と る.
に お け るBorel測
成 立 す る.(Riesz分
度 μ とR′
解)
の 中 の コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ うな 正 則 領 域
の 列 で,Dn⊂Dn+1(n=1,2,…),
に お い てK上
を 満 た す も の と す る.定
で は υK=υ
な る こ とを 考 慮 す る と,各nに
度 μnが 存 在 し て,Dn上
有
で は υ=μnNと
理6.3.2
対 し てDnの
上 の
な る.こ の 測 度 μnのDn,∂Dn
へ の 制 限 を そ れ ぞ れμ′n,μ″nと す る と (6.3.1)
μn=μ′n+μ″n,従
と な る.更にm>nに
対 し て,測
っ てDn上
で
υ=μ′nN+μ″nN
度μ′mのDn,Dm\Dnへ
μ′mn,μ″mnと す る と,μ′m=μ′mn+μ″mnで あ っ て,Dmの
の制限をそれぞれ 上で
(6.3.2)
と な る.(6.3.1)と(6.3.2)をDn(n<m)の +μ″mNはDnに Riesz分
お い て 調 和 だ か ら,μ′nNとμ′mnNは
解 の ポ テ ン シ ャ ル 部 分 で あ る.従 っ てRiesz分
に よ りμ′nはμ′mのDnへ (n,m)に
上 で 考 え る と,μ″nNお
の制限 で あ る.こ
つ い て い え る か ら,R′
対 し てμ′nは μ のDnへ
共 に υ のDnに
の 制 限 に な っ て お り,R′
おけ る
解 の 一 意 性(定 理6.1.8)
の こ とがn<mな
に お け るBorel測
よ びμ″mnN
るす べ て の組
度 μ が 存 在 し て,各nに の 各 点 でμ′nNはnにつ
い て
単 調 に 増 加 し て μNに
収 束 す る.ま
た(6.3.1)と(6.3.2)のDnに
な 部 分 を 比 較 す る こ と に よ り,m>nな
と な る.従 数uに
っ てμ″nNはR′
収 束 す る.定
6.3.2に
の 各 点 でnに
理6.3.1に
よ りuはFSH函
Sの
をR′
で
関 し て 単 調 に 減 少 し て,あ
よ りμ″nNはFSH函
数,従
る こ と に よ り,υ=μN+uが さ て,υ
らばDn上
っ てFH函
る調 和 函
数 で あ る か ら,補
数 で あ り,(6.3.1)でn→
助定理 ∞
とす
の 中 の 正 則 な 開 集 合 Ω,お
よび
得 ら れ る.
に お け るFSH函
数 と し,R′
閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,υ Ω,υΓ な る 函 数 を,以
義 す る.こ
おいて調和
の 手 順 は §3.3の2°),3°)とおお
下 の1°),2°)の
手順で定
む ね 平 行 に 進 め ら れ る.
1°) R′ の 中 の 正 則 な 開 集 合 Ω に 対 し て H(Ω)={Ω と し,R′
に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集合 の 全 体}
に お け るFSH函
数 υ に 対 し て,R′
上 の 函 数υΩ を
(6.3.3)
と定 義 す る.こ
の と き,
(6.3.4)
R′ に お い て0≦
(6.3.5)
υΩ≦ υ,特 に Ω の 上 で はυΩ=υ;
Ω1⊂Ω2な ら ばR′ に お い て υΩ1≦υΩ2; な ら ば,
(6.3.6)
R′ に お い て{υKn}はnに
(6.3.4)は Ω1⊂Ω2な
各K∈H(Ω)に
対 して
ら ばH(Ω1)⊂H(Ω2)な
ば,定
理6.1.4と(6.3.3)に
はnに
関 し て単 調 増 加 で
る と,任
υK≦ υ な る こ と か ら 明 ら か.(6.3.5)は,
る こ と に よ る.(6.3.6)の よ り
が成 立す る.任 意 の 点x∈R′
対 し て υKn(x)>α
と な るK∈H(Ω)が
更に,次
の こ とが 成 り立 つ:
ら
を固定す
存 在 し,K⊂
と な る か ら,
は υΩ(x)に 任 意 に 近 く とれ る か ら,上
が 得 ら れ る.
証 明:m>nな と な る か ら,{υKn}
意 の α<υ Ω(x)に 対 し て υK(x)>α
(Kn)° な る す べ て のnに す る.α
関 し て単 調 増 加 で
の 結 果 と合 わ せ て
が成立
(6.3.7)
u,υ がFSH函
任 意 のFSH函 (6.3.8)
数 な ら ば(u+υ)Ω=uΩ+υΩ;
数 υに 対 して υΩはFSH函
特 に
(6.3.9)
な らばυΩ はFSH0函
Ω1⊂ Ω2な
ら ば 任 意 のFSH函
(6.3.7)は(6.3.6)か (6.3.8)の
半 は(6.3.6)と
を 証 明 し よ う.Ω ∩K0=φ
Ω\K0で
義 に よ り υ∂Fは ∂K0の
る.Ω1の
∩F=φ
だ か ら,任
っ て(6.3.3)に
に お い て0≦υKn 則写 像 の 定
上 で 境 界 値0を
よ りFSH函
数 だ か ら(υΩ1)Ω2が定 義 さ れ
意 のK∈H(Ω1)に
対 し てR′ 上 で(υΩ1)K=
よ り(υΩ1)Ω1=υΩ1を得 る.こ 方,任
れ と(6.3.5)に
意 のK∈H(Ω2)に
中 で 考え たSの
よ り(υΩ1)Ω2≦υΩ1がR′ で 成 立 す る.以
上に よ
任 意 の閉 部分 集合 Γ に対 し て
中 の 開集 合Δ で, で あ っ て, がR′ の 中 の 正 則 開 集 合 とな る もの の全 体
に お け るFSH函
数 υ に 対 し て,R′
上 の 函 数 υΓ を
(6.3.10)
と 定 義 す る.こ (6.3.11) (6.3.12)
の と き 次 の(6.3.11∼15)が R′ に お い て0≦ Γ1⊂ Γ2な
成 立 す る: υΓ≦ υ;
ら ばR′ に お い てυ Γ1≦υΓ2;
が単調減少 で (6.3.13)
はnに
関 し て単 調 減 少 で
な ら ば,R′
よ
対 して
成 り立 つ.
Rの
と し,R′
る 正則 コ ン
数 で あ る こ と が 導 か れ る.
(υΩ1)K≦υΩ1だ か ら,(6.3.3)に
2°) Rの
⊃K0な
と る か ら,υ Ω も ∂K0の
りR′ 上 で υΩ1=(υΩ1)Ω1≦(υ Ω1)Ω2とな る.一
り(6.3.9)が
か つF°
半
仮 定 を 満 た す コ ン パ ク ト集 合
よ り0≦υΩ ≦ υ∂Fが 成 立 す る.正
証 明. υΩ1は(6.3.8)に
中 で はυΩ1=υ
ら 直 ち に わ か る.後
は 調 和 で あ る か ら,F\(K0)°
上 で 境 界 値0を
っ て υΩがFSH0函
υKと な り,従
補 助 定 理6.3.2か
とす る と,Ω
=(υKn)∂F≦ υ∂F,従 っ て(6.3.6)に
(6.3.9)の
数 υ に 対 し て(υ Ω1)Ω2=υΩ1.
とれ る.{Kn}を(6.3.6)の
の 列 と す る と,υKnが
と り,従
数 で あ る;
ら 明 ら か で あ る.
証 明.前
パ ク ト集 合F⊂Rが
数 で あ る;
にお い て
(6.3.14)
υΓ はFH0函
(6.3.15)
u,υ
(6.3.11)は
がFSH函
数 で あ る;
数 な ら ば(u+υ)Γ=uΓ+υ
Γ.
定 義 か ら 明 ら か;(6.3.12)はO(Γ1)⊃O(Γ2)か
(6.3.13)に
お い て,{υΔn∩R}が
単 調 減 少 な る こ と は,(6.3.5)か
な る こ と は,第3章
あ り,
ら わ か る. ら 明 らか で
に お け る(3.3.15)(103ペ
ー ジ)の 証
明 と 全 く同 じ 方 法 で 示 さ れ る. (6.3.14)の
証 明.(6.3.13)に
数 で あ り,特にR′ 数 で あ り,し
お い て Ωn=Δn∩Rと
\ Ωnで は 調 和 だ か ら,υΓ は 補 助 定 理6.3.3に
か もR′ で 調 和,す
な わ ちFH0函
(6.3.15)は(6.3.7)と(6.3.13)か 定 理6.3.4
お く と,υΩnはFSH0函
任 意 のFH0函
証 明 {Dn}をRの
よ りFSH0函
数 で あ る.
ら 直 ち に わ か る. 数 υ に 対 し て,R′
上 で υS=υ が 成 立 す る.
中 に コ ン パ ク トな 閉 包Dnを
も つ 正則 領 域 の 列 で あ っ て
な る も の と し,Δn=R\Dn,Ωn=Δn∩ R,Kn=Dn+2\Dn+1と
お く.こ
の と き 各nに
R′ で υKn≦ υΩn≦υが 成 立 す る.一 ま た 定 理6.3.2の
系2に
方,∂Dn+1(⊂
よ り ∂K0の
対 し てKn∈H(Ωn)で
あ る か ら,
∂Kn)の 上 で は υKn=υ で あ り,
上 で は υ=0=υKnで
あ っ て,υ
と υKnは
D′n+1で は と も に 調 和 で あ る か ら,D′n+1に お い て υKn=υ が 成 立 す る.だ の 結 果 と合 わ せ て,D′n+1に
に お い て Γ=Sと 成 立 し,従
と な る.ま
た 上 の{Δn}は(6.3.13)
した 場 合 の 仮 定 を 満 た す か ら,R′ に お い て
っ てυS=υ
次 の 補 助 定 理6.3.4お が,上
お い てυΩn=υ
か ら上
が 成 立 す る. よ び 補 助 定 理6.3.5は
に 定 義 し た υΓ の 性 質 と し て,こ
補 助 定 理6.3.4 ⅰ)
が
定 理5.3.1の
ⅱ) R′ 上 の 任 意 のFSH函
後 の §6.5で 用 い る 事 柄 で あ る
の §で 証 明 し て お く.
函 数 ω はR′ 上 のFH函
数 υ とSの
数 で あ る.
任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,R′
に
お い て(υ Γ)Γ ≦ υΓ が 成 り立 つ. ⅲ)
特 にⅱ)で
υ がFH函
数 で あ っ て,Γ
に 対 し て ωΓ≡0と な る な ら ば,
R′ に お い て(υ Γ)Γ=υΓが 成 り立 つ. 証 明 ⅰ) ω はR上
で 正 の 値 を と る 調 和 函 数 で,任
意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合
K⊂R′
に 対 し て(6.1.13)に
よ りR′ の 上 で ωK≦ ω を 満 た す か ら,R′
上 のFH
函 数 で あ る. ⅱ) υΓはFH函
数 で あ る か ら,(6.3.11)に
ⅲ) の 証 明 を 次 の3段 [第1段] K1\Kな
階 に 分 け る.
K,K1,K2がR′
の 中 の 正 則 コン パ ク ト集 合 で あ っ て,K2⊂
る も の と し,ま
R′\(K∪K2)に
よ りR′ で(υΓ)Γ≦ υΓ と な る.
た
と お く.こ
のとき
おい て
(6.3.16)
と な る こ と を 示 す.上
の 式 の 左 辺 の 函 数 をwと
連続 だ か ら,(υK1-υK2)Kが 定 義 さ れ る.∂Kの らw│∂K>0と
は
な る.ま
た,正
に ∂K2の
\Kに
よ りR′ \(K∪K2)に
上 に よ りw│∂K∪ ∂K2≧0が
KをR′
わ か った か
な る.と
ころ
おいて
お い てw≧0;す
な わ ち(6.3.16)が
成 立 す る.
の 中 の 正則 コ ン パ ク ト集 合 と し,Ω1,Ω2はR′
正則 開 集 合 で Ω2⊂Ω1\Kな R′\(K∪
お い てwK∪K2≧0と
た ∂K2で
数 だ か ら(υK1)K∪K2≦ υK1と な る こ とに よ る).以
上 に よ りR′ \(K∪K2)に [第2段]
か
おいて
と な る.ま
か ら,w│∂K2≧0.以
(最 後 の ≦ は,υK1がFSH関
っ て ま たwKが
あ りMKωK2>0だ
上 で は
則 写 像 の 性 質 に よ りR′ \(K∪K2)に
が(6.1.12)に
で
則 写 像 の 性 質 に よ りR′ 上 で υ≧υK1≧ υK2≧0,
υ だ か ら,R′
υK1=υK2(=υ)だ
ら,正
で 連 続 で あ り,従
上 で は(υK1-υK2)K=υK1-υK2で
従 っ て0≦υK1-υK2≦
と な り,特
定 義 さ れ てR′
書 く;υK1,υK2,ωK2はR′
る も の と し て,MKを
第1段
の中の
の よ うに 定 義 す る と,
Ω2)に お い て
(6.3.17)
と な る こ と を 示 す.Ω1,Ω2に
対 し て(6.3.6)を
⊂H(Ω1),{K2n}⊂H(Ω2)を
と る と,任
満 た す コ ン パ ク ト集 合 列{K1m}
意 のnを
与 え た と き
((6.3.6)を な る.こ
見 よ)と
な る か ら,十
の と き三 つ 組K,K1m,K2nは
た す か ら,(6.3.16)に
分 大 な るmを
第1段
よ りR′ \(K∪
とれ ばK2n⊂K1mと
のK,K1,K2に
対 す る仮 定 を満
Ω2)に お い て
(6.3.18)
が 成 り立 つ.こ
こ で ま ずm→
∞ と し て か らn→
υK1m→ υΩ1,υK2n→ υΩ2(単 調 収 束)だ コ ン パ ク ト集 合Kの
上 で 一 様 で あ る.だ
υΩ2)Kに 各 点 収 束 し,従
[第3段]
っ てR′ \(K∪
ωΓ ≡0と な る よ う なSの
(6.3.19)
証 明 で あ る.任
の 開 集 合Δ ∈O(Γ)を る;こ
R′\(K∪
の ときそ れ ぞ れ
定 理 に よ りこれ ら の収 束 は
か ら(6.3.18)の
左 辺 の 函 数 は(υΩ1-
Ω2)に お い て(6.3.17)が
成 立 す る.
閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,R′
上 で
結 果 と合 わ せ て(υΓ)Γ=υΓ が 得 ら れ る.以
意 の 正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ と り,更
に(6.3.13)の
の と き Δn⊂Δ\K(n=1,2,…)な
Ωn=Δn∩Rと
とす る;こ
(υΓ)Γ ≧ υΓ
と な る こ と を 示 せ ば,ⅱ)の 3.19)の
か ら,Diniの
∞
お く と,Ωn⊂
と,Rに
下 は(6.
お け る任 意
仮 定 を 満 た す 開 集 合 列{Δn}を
る よ う に と る こ と が で き る.Ω=Δ
Ω\K(n=1,2,…)と
な る か ら,第2段
と ∩R,
に よ り
Ωn)の 上 で
(6.3.20)
が 成 り立 つ.こ Kの
こ でn→
上 で 一様 で あ り,従
っ て ωΩn→ωΓ≡0と
∞ とす る と υΩn→υΓ(単 調 収 束)だ
か ら,こ
っ て(υΩ-υ Ωn)K→(υΩ-υΓ)Kと な る.一
な る か ら,(6.3.20)か
らR′ \Kの
上 で
方,仮
の収束は 定に よ
(6.3.21)
(υΩ-υ
を 得 る.こ
の 不 等 式 はKの
る.従
て(6.3.9)に
数 で あ る こ とを 示 し て い の左辺におい の
対 し て(υΓ)Δ∩R≧uΓ な る こ と を 示 し て お り,こ
こ
の 不 等 式 の 左 辺 で Δ∈O(Γ)に
対 す る下 限 を
得 られ る.
補 助 定 理6.3.5
υ がR′
上 のFSH函
数,Γ1,Γ2がSの
閉部分集合な ら
上 で υΓ1∪ Γ2≦υΓ1+υ Γ2が 成 り立 つ.
証 明 ま ずK1,K2,K3がR′ な ら ば,R′
の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK3⊂(K1∪K2)°
上 で υK3≦υK1+υK2と
K1の
な る こ と を 示 す.
上 で は
か つ
だか ら
K2の 上 で は
か つ
だか ら
K3⊂(K1∪K2)° υK2はR′
な る 仮 定 に よ り υK3はR′ \(K1∪K2)°
で 下 半 連 続 で あ る か ら,υK1+υK2-υK3はR′
続 で あ る.だ
か ら 上 に 述 べ た 不 等 式 に よ り,K1∪K2を
中 で υK1+υK2-υK3>0と が 存 在 し,こ
のKの
な る.K1∪K2⊂K⊂
上 でυK1+υK2>υK3が
よ りR′ に お い て(υK1+υK2)K≧(υK3)Kが い て は(6.1.12)に
と な る か ら,R′
で 連 続 で あ り,υK1と \(K1∪K2)°
で下 半 連
含む適当な開集合 Ω の
Ω な る 正 則 コ ン パ ク ト集 合K 成 り立 つ か ら,正
成 り立 つ.従
則 写 像 の性 質 に
っ て また,R′
\Kに
お
よ り
に お い て υK3≦ υK1+υK2が
次 に,Ω1,Ω2,Ω3がR′
成 り立 つ.
の 中 の 正 則 開 集 合 で あ っ て Ω3⊂ Ω1∪ Ω2な ら ば,R′
上 で υΩ3≦υΩ1+υΩ2と な る こ と を 示 す.こ K(Ω3)に
の中 の 任 意 の正 則 コン パ ク ト
の 式 か ら(υ Γ)Ω ≧υΓを 得 る.こ
数 で あ る か ら,上
とれ ば(6.3.19)が
た υΩ-υΓ がR′ 上 で
よ り(υ Ω-υ Γ)Ω ≦ υΩ-υΓ が 成 立 す る.こ
意 の Δ∈O(Γ)に
で υΓ はFH函
Γ
上 のFSH函
よ り(υΩ)Ω=υΩで あ る か ら,上
結 果 は,任
ば,R′
こ でKはR′
の 結 果 は υΩ-υΓ がR′
っ て(6.3.4)に
υΩ-υ
上 で は 等 式 と し て 成 立 し,ま
下 半 連 続 な こ と は 明 ら か で あ る.こ 集 合 だ か ら,上
Γ)K≦
対 し て,K3⊂(K1∪K2)°
存 在 す る こ とは 容 易 に 示 さ れ る.だ
の 仮 定 の も と で は,任
意 のK3∈
と な る よ う なK1∈K(Ω1)とK2∈K(Ω2)が か ら上 に 示 し た こ とに よ り
と な り,こ さ て,Sの る と,
の 左 端 辺 のK3∈H(Ω3)に
関 す る 上 限 を とれ ば 所 要 の 不 等 式 を 得 る.
閉 部 分 集 合 Γ1,Γ2に 対 し て,任 な るRの
の 中 の 正 則 開 集 合 と な る も の が あ る.こ
か ら,上
中 の 開 集 合 Δ3で,Δ3∩R′
の と き Δ3∈O(Γ1∪ Γ2)で
と な る か ら,上
こ こ で Δ1,Δ2は そ れ ぞ れO(Γ1),O(Γ2)の
意 の Δ1∈O(Γ1),Δ2∈O(Γ2)を
と がR′
あ り,か
つ
に 示 し たこ とに よ り
中 か ら互 い に 無 関 係 に 任 意 に 選 べ る
の 式 の 右 端 辺 各 項 の 下 限 を と れ ば υΓ1∪ υΓ2≦υΓ1+υ Γ2を 得 る.
§6.4 FH0函
数 とFSH0函
数の積分表現
ま ず 前 §の 結 果 か ら次 の 定 理 が 証 明 さ れ る. 定 理6.4.1 ⅰ) Borel測
R′ 上 の 函 数uがFH0函
度 μ の ポ テ ン シ ャル μNと
ⅱ) R′ 上 の 函 数 υ がFSH0函 度 μ の ポ テ ン シ ャ ル μNと 証 明 ⅰ) uをFH0函
一方
系2)な
,定
成 り立 つ.だ (5.5.19)
し て 表 わ さ れ る こ と と 同 等 で あ る.
数 で あ る こ と は,υ
数 と し,{Dn}を
よ り ∂Dnの
か ら,D′nに
上 のBorel測
お い てu=μnNと
の 適 当 な 部 分 列 はRの
任 意 のy∈R′
表 わ さ れ る な ら ば,定
FSH0函
存 在 し て υ=μ0N+uと 数 だ か ら,uはFH0函
測 度 μ1が 存 在 し てu=μ1Nと
に 対 し てxに
か ら μ ついて
お い て上 に述 べ た 部分 列 に 関 す
理6.3.1に
の 解 な る こ と が 示 さ れ る か ら,uはFH0函
函 数uが
成 り立 つ.だ
な る こ と が わ か る.
用 い てuがA*u=0の
数 な ら ば,定
こ
の測度の列であ る
っ て μ(R\R)=0が
に お い てu=μNと
た 定 理6.2.2を
ⅱ) υ がFSH0函
性 質
度 μ に 漠 収 束 す る.と
コ ン パ ク ト集 合R\Dn上
度 で あ る.N(x,y)は
る 極 限 を と れ ば,R′
あ り,ま
函 数Nの
上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る.
お い て 連 続 で あ る か ら,u=μnNに
逆 にu=μNと
っ て,核
上 の あ るBorel測
対 し て{μk}k>nは
上 のBorel測
R\{y}に
な る.
度 μnが 存 在 し てu∂Dn=μnNが な る.従
コ ン パ ク ト空 間Rの
か ら,μ(R\Dn)=0(n=1,2,…),従 はSの
お い て はu=u∂Dnと
理
この式 の左辺はnに 無 関係な有 限
値 で あ る か ら,{μn}は
ろ が 任 意 のnに
証 明 中 に用 い た
お い て 調 和 でu│∂K0=0(定
定 義 に よ り,D′nに
に よ り
従 っ て,そ
がR′ ∪Sの 上 のBorel測
前 § の 定 理6.3.4の
対 し て,uがD′nに
る こ と とu∂Dnの
理6.3.2に
上 の
し て 表 わ さ れ る こ と と 同 等 で あ る.
正 則 領 域 の 列 と す る.各nに 6.3.2の
数 で あ る こ と は,uがSの
理6.3.3に な り,こ 数 と な る.だ
よ っ てuはFSH0函
弱 い 解(§1.4参
数で
照),従
って 真
数 で あ る. よ りR′ 上 のBorel測 の と き μ0Nは
定 理6.3.1に
か ら 上 のⅰ)に よ りSの
な る か ら,μ=μ0+μ1と
度 μ0とFH よ り
上 のBorel
す れ ば υ=μNを
得 る.
逆 は 定 理6.3.1そ
の も の で あ る.
補 助 定 理6.4.1
υ をR′ 上 のFSH函
Ω ∩K0=φ
な る も の とす る と,台
R′ に お い て υΩ=μNが
数 と し,Ω
よ り,各nに
に お い てυKn=μnNが
よ うな コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}を
対 し てKnの 成 立 す る.従
上 のBorel測 っ て,核
と な る.K0⊂K° Kを
ひ とつ 固 定 す る と,∂K0の
υ∂Kで あ っ てK° \K0で υ∂Kと な り,従
っ て ∂K0上
性 質(5.5.19)に
υ∂Kも 調 和 だ か ら,K°
度 μ に 漠 収 束 す る.今
っ て,そ
と し,更
度 μnの(Kn)°
にν の(Kn)°,Ω
書 き,対
任 意 のy∈R′
に つ い て Ωaに お い て 連 続 で あ る か ら,υKn=μnNに よ りR′ \ Ω に お い て υΩ=μNが
コ ン パ ク ト集 合 Ωa
の 適 当 な 部 分 列 が Ωaの 上 の あ
後 こ の 部 分 列 を{μn}と
書 く こ とに す る.N(x,y)は
と な る こ と を 示 す.測
お い て υKn≦
を得 る.だ か ら上 の結 果 と合 わ せ
で
の 上 の 一様有 界 な 測 度 の 列 で あ る.従
(6.3.6)に
上 で υKn≦ υ=
\K0に
と な り,{μn}は
の 部 分 列 を{Kn}と
より
Ω な る正 則 コ ン パ ク ト集 合
上 で は υKn=υ ∂Kで あ り,∂Kの
は υKnも
と る.
度 μnが 存 在 し て,R′
函 数Nの
⊂K⊂R\
て
るBorel測
μが 存在 し て
成 立 す る.
証 明 開 集 合 Ω に 対 し て(6.3.6)の 定 理6.3.2に
をR′ の 中 の 正則 開 集 合 で,
が Ωaに 含 ま れ るBorel測度
応 す る{Kn}
\ Ω に 対 し てx
お い てn→
∞
とす る と
得 られ る.次 に Ω に お い て υΩ=μN
へ の 制 限,μ の Ω へ の 制 限 を そ れ ぞ れνn,ν
\(Kn)° へ の 制 限 を そ れ ぞ れν′n,ν″nと す る.こ
の とき
(Kn)° に お い て Ω に お い て が 成 立 す るか ら,νnNとν′nNは ン シ ャ ル 部 分 で あ る.だ てνn≦ν(Ω る か ら,測
と も に(Kn)°
か らRiesz分
上 の 測 度 と 考え て).同 度νnはnに
に お け る υ のRiesz分
解 の 一 意 性 に よ りνn=ν′nと な り,従 様 に し てn1
ら ばνn1≦νn2が
関 し て 単 調 に 増 加 し てν に 漠 収 束 す る.従
は μ-ν に 漠 収 束 す る.だ
解 の
か ら Ω において
ポテ っ
示 され
っ て μn-νn
が 成 立 す る.以
上 に よ り Ω ∪(R′\ Ω)に お い て υΩ=μNな
Ω は 正 則 開 集 合 で あ る か ら,R′ 除 き υΩ=μNが μNは
る こ と が 示 され た.
に お け る 体 積 要 素 に 関 す る 零 集 合 ∂Ω の 上 を
成 立 す る.(6.3.8),定
優 調 和 函 数 で あ る か ら,定
理6.3.1と
理2.1.6に
補 助 定 理6.3.1に
よ り υΩ,
よ りR′ の 上 い た る 所 υΩ=μNが
成 立 す る. §6.1で 述 べ た よ うに,任 考 え た と き,正 NK(x,y)と
意 のx∈Rを
固 定 し てN(x,y)をy∈R′
則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
の函 数 と
に 対 し て,〔N(x,・)〕K(y)の
書 く.正 則 開 集 合 Ω ⊂R′ お よ び 閉 集 合 Γ ⊂Sに
か ら υΩ,υΓ を 定 義 し た の と 同 様 に し てNΩ(x,y),NΓ(x,y)を
こ とを
対 し て,前
§で υK
定 義 す る.こ
の
と き 次 の こ と が い え る. 補 助 定 理6.4.2 のBorel測
Ω をR′
の 中 の 正 則 開 集 合 と す る と,R′
度 μ に 対 し て,R′
に お い て(μN)Ω=μNΩ
証 明 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Kに y∈R′ \Kな
Kと り,ま
た 各 点x∈R′
お け るKnを ∪S,y∈R′
近 づ くか ら,R′
に お い て(μN)Ω=μNΩ
て,台
(6.4.2)
が 成 立 す る.
∞
よ り,
とす る と,(μN)Kn→(μN)Ω
\ Ω に 対 し てNKn(x,y)はnに \ Ω に お い て μNKn→
が 成 立 す る.一
R′ 上 の 任 意 のFSH函
が Γ に 含 ま れ るBorel測
(6.4.1)
が 成 立 す る.
対 し て(6.1.10),(6.1.11)に
と りn→
で あ る か ら,R′ 定 理6.4.2
お け る任 意
らば
し て(6.3.6)に
加 でNΩ(x,y)に
∪Sに
方y∈
関 して 単 調 増 μNΩ と な り,R′ \ Ω
Ω な ら ば 明 ら か に
で(μN)Ω=μNΩ 数 υ と,Sの
度 μが 存 在 し て
R′ に お い て
とな
が 成 立 す る. 任意の閉部分集合 Γ に対 し
証 明 Γ に 対 し て(6.3.13)に Δn∩Rと
す る.こ
理6.4.1に
の と き 各nに
よ り,台
υΩn=μnNが
お け る 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を 対 し てΩn∩K0=φ
が Ωanに 含 まれ るBorel測
成 立 し,補
助 定 理6.4.1の
か ら{μn}の
理6.2.1の
定 理6.4.3
Γ をSの
度 μ に対 し て,R′
お い てn→
⊂K
∞ と す る と,
関 す る 連 続 性 に よ っ て(6.4.1)を よ り(6.4.2)を
閉 部 分 集 合 と す る と,R′ ∪Sに
に お い て(μN)Γ=μNΓ
補 助 定 理6.4.2に
得 る.
得 る. お け る 任 意 のBorel測
が 成 立 す る.
証 明 前 定 理 の 証 明 中 と同 じ 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を く と,(6.3.13)と
におい て
とな
の 部 分 列 に つ い て υΩn=μnNに
系2に
助定
に 台 が含 まれ るあ るBorel測
(6.3.13)とN(x,y)のx(∈R\{y})に 従 っ て,定
度μnが 存 在 し て,R′
対 して
適 当 な 部 分 列 が,
度 μ に 漠 収 束 す る.こ
と し て よ い か ら,補
証 明 か ら わ か る よ う に,K0⊂K°
⊂R\ Ω な る正 則 コ ンパ ク ト集 合Kに る.だ
と り,Ωn=
よ り,R′
と り Ωn=Δn∩Rと
お
に お い て
が 成 立 す る. 定 理6.4.1のⅰ)は,R′
上 の 任 意 のFH0函
と表 わ され,逆
度 μ を用 い て 数uはFH0函 Γ=Sと
数 で あ る こ と を 述 べ て い る.定 し た 場 合 も,FH0函
現 の 概 念 を 導 入 し,そ
数uがSの
上 の 適 当 なBorel測
に この形 に 表 わ され る函
理6.4.2で
υ をFH0函
数 の 同 じ積 分 表 現 を 与 え る.後
の 存 在 と一 意 性 を 証 明 す る.
数 と し,
に §6.6で 標 準 表
§6.5 理 想境 界 上 の 点 の 分 類
R′上 の区 分 的 に 滑 らか な 函 数 υで,条 件 (6.5.1)
を 満 た す も の 全 体 をDと
書 く こ と に す る.υ ∈Dな
理5.3.2参
意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
照)に よ り,任
定 義 し た υKもDに υ がDに
則 写 像 の 性 質(定 に 対 し て,§6.1で
属 す る.
属 す る 函 数 で ∂K0ま
と し,KをR′
ら ば,正
で 込 め て 連 続 で あ っ て υ│∂K0=0を
の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と す る.こ
満 たす もの
の と き 定 理1.5.1に
おい
とお くこ とが で き るか ら
て Φ=b-〓p,
(6.5.2)
ま た 正 則 写 像 の 性 質 と,K上
で は υK=υ
な る こ とに よ り
(6.5.3)
(6.5.2),(6.5.3)に
と な り,こ
よ っ て
の不 等 式 か ら
従 って (6.5.4)
を 得 る.(以
上 の 手 順 は 定 理5.3.2の
証 明 の 冒 頭 の 部 分 と全 く 同 じ で あ る.)
補 助 定 理6.5.1 合 で Ω ∩K0=φ
υ をDに
属 す るFSH函
な る も の とす る.こ
ⅰ) υΩ(§6.3参
照)はDに
数 と し,Ω
をR′
の中の正則開集
の と き,
属 す るFSH0函
数 で あ る;
ⅱ) 適 当 な コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂K(Ω)(§6.3参
照)を
とれ ば
(6.5.5)
証 明 まず 初 め に,こ
の 補 助 定 理 を υ が ∂K0上
す と し て 証 明 す れ ば よ い こ と を 示 す.Ω
∩K0=φ
トな 閉 包 を も つ 正 則 開 集 合 Ω0で,Ω0∩
と定 義 す る と,υ がFSH函
Ω0で はuK≦uと
て,∂ Ω0でuK≦
な る.K上
り,uはFSH函 だ か ら,任
に 対 し て,R′
な る.ま
υK≦ υ=u,∂K0∪
い てuK≦uと
か ら,結
Ω と な る.だ
つ υ│∂K0=0だ
局R′ に お い てuK≦uと
な
こ ろ が,Ω
って Ω に つ い て も
か ら(6.5.4)に
中 の 有 界 集 合 で あ る.だ
か ら,
は あ る函 数 Φ∈L2ω(R′)に 弱収 束 す る;
(
(6.5.7)
す る.
よ りR′ 上 の ベ ク トル 値 函 数 の 族
す なわち
.3.4),(6.3.6)と(6.5.1)に
に お い てu=υ
っ て 初 め か ら υ│∂K0=0と
そ の 中 の適 当 な 函数 列
― 方(6
調和 であ っ
対 し て 上 の 補 助 定 理 を 証明 す れ ば,υ
はHilbert空間L2ω(R′)の
(6.5.6)
っ
お
対 し てR′ の 上 でuK=υK,従
に 対 し て 同 じ 結 果 を 得 た こ と に な る.よ ⅰ) υ∈Dか
か ら任 意 の
か ら,Ω0\(K0∪K)に
満 た す.と
が らuに
数uを
υK≦ υ と な り,従
はuKもuも
∂KでuK=uだ
で はuK=uだ
意 のK∈K(Ω)に
υ と な る.だ
に お い てuK≦
満 た
含 み コ ンパ ク
な る も の が と れ る.函
た Ω0\(K0∪K)で
数 で あ っ てu│∂K0=0を
R′ の 上 でuΩ=υ
だ か ら,K0を
数 で あ る か らR′ 上 でu≦
正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′ てR\
Ω=φ
で 境 界 条 件 υ│∂K0=0を
w-limはHilbert空
間
L2ω(R′)に お け る 弱 収 束) よ
り
R′ で 有 界 収 束.
だ か ら,任
意 のΨ ∈C10(R′)に 対 し て
Ω は 正 則 開 集 合 で あ っ て Ω 上 で は υΩ=υ,R′ \ Ω で は υΩは 調 和 で あ る か ら,
υΩは 区 分 的 に 滑 らか とな り,上 の式 で最 後 の
は 意 味 を も つ.C10(R′)は
L2ω(R′)の中 で 稠 密 で あ るか ら,上 の式 か ら り,(6.5.7)と
合 わ せ て υΩ∈Dが
な る こ とがわ か
い え る.υ Ω がFSH0函
数 な る こ と は(6.3.8)
で 述 べ た. ⅱ ) まず,K⊂K1⊂R′
な る 正 則 コ ン パ ク ト集 合K,K1に
対 して
(6.5.8)
な る こ と を 示 す.υ ∈Dな で 置 き 換 え る;こ っ て(6.5.8)が
ら ば υK1∈Dで
の と き,K1上
得 ら れ る.次
あ る か ら,(6.5.3)に
で は υK1=υ だ か ら,R′ に,{Kn}をⅰ)の
上 で(υK1)K=υKと
Φは
で あ る か ら,
(L2ω(R′)にお け る弱 収 束)
(6.5.9)
が 成 立 す る.こ
の と き(6.5.7)も
な る こ とに よ り (6.5.10)
(6.5.9)と(6.5.10)に
よ り
(6.5.11)
方(6.5.3)に
よ っ て
な
証 明 中 に 述 べ た コ ン パ ク ト集 合
列 とす る と,そ の 証 明 か ら わ か る よ う に(6.5.6)の
を 得 る.一
お い て υ を υK1
成 立 す る か ら,
(定 理6.1.1)
と な る.こ
こ でn→
∞
辺 は(6.5.9)と(6.5.10)に
とす る と き,左
は(6.5.11)に
よ り,右
端
よ り,い ず れ も 極 限 値 が 存 在 す る か ら,左 端 辺 の 第
1項 に つ い て も だ か ら(6.5.8)に
端 辺 の 第2項
が 存 在 す る.次 お い てK,K1を
にn<mと
そ れ ぞ れKn,Kmと
す る と,Kn⊂Km す る こ と が で き る.従
って
こ こ でm>n→
∞
と す る と,第2項
と 第4項
は と も に(6.5.11)の
右 辺 に 収束
す るか ら (6.5.12)
を 得 る.こ
の 事 実 と,恒
等式
とか ら (6.5.5)が
と な る か ら,こ
の 結 果 と(6.5.9)と
か ら
得 ら れ る.
系 上の補 助 定理 と同 じ仮 定 の も とで (6.5.13)
更 に Ω1もR′
の 中 の 正 則 開 集 合 で Ω ⊂ Ω1,Ω1∩K0=φ
ならば
(6.5.14)
証 明 (6.5.4)のKと す る と,(6.5.5)に Knの
し て 上 の 補 助 定 理 のⅱ)の よ うなKnを よ っ て(6.5.13)が
上 で は υΩ1=υ,従
理 のⅰ)に す る と,上
よ り(6.5.3)の
得 られ る.ま
っ てR′ 上 で(υΩ1)Kn=υKnと
∞ と
た,Kn⊂
Ω ⊂Ω1だ か ら,
な る.一
方,上
υを υΩ1と す る こ と が で き る.そ
に 述 べ た こ とに よ り
と り,n→
の補 助 定
の 式 でKをKnと
こ こ でn→
∞
と す る と(6.5.5),(6.5.7)に
補 助 定 理6.5.2 る.こ
υ をDに
よ り(6.5.14)を
属 す るFSH函
数 と し,Γ
得 る.
をSの
閉 部 分 集 合 とす
のとき
ⅰ) υΓ(§6.3参 ) Rの
照)はDに
属 す るFH0函
数 で あ る; ⅱ
中 の 適 当 な 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)(§6.3参
照)を
とれ ば
(6.5.15)
証 明 は 補 助 定 理6.5.1と よ う な{Δn}と
全 く 同 様 に 行 な わ れ る.ま
し てΔ1a∩K0=φ
な る も の を と れ る か ら,補
明 の 最 初 に 注 意 し た こ と は,今 よ び(6.5.8)の
(6.5.14)を
用 い る こ と に し て,補 助 定 理6.5.1の
成 り立 つ
助 定 理6.5.1の
回 も そ の ま ま 適 用 さ れ る.あ
(6.5.4)お
よび
証明 中 の υKn,υ Ω を そ れ ぞ れ
の ま ま 補 助 定 理6.5
と きKm⊃Kn,Δm⊂Δnと
証
と は(6.3.6),
か わ り に そ れ ぞ れ(6.3.13),(6.5.13)お
υΔn∩R,υΓ と 書 き 直 せ ば,そ m>nの
ず(6.3.13)が
.2の
証 明 に な る.(な
い う包 含 関 係 の 違 い は,(6.5.12)に
る式 の 証 明 や そ の あ た り の 推 論 に は 影 響 し な い;念
お,
対応 す
の た め 注 意 し た.)
系 上 の補 助 定 理 と 同 じ仮 定 の も とで (6.5.16)
証 明 (6.5.13)の
Ω と し て 上 の 補 助 定 理 のⅱ)に お け るΔn∩Rを
と す れ ば,(6.5.15)に υ がDに 集 合,Γ
よ っ て(6.5.16)を
属 す るFSH函 がSの
で あ っ て,R′
得 る. がΩ
閉 部 分 集 合 な ら ば,§6.3で に お い て0≦
13),(6.5.16)に
∩K0=φ
な るR′
助 定 理6.5.1の
属 す る.Ω1を Ω を Ω1と し,υ
の と き 補 助 定 理6.5.1の
の 中 の正 則 開
述 べ た よ うに υΩ,υ Γ はFSH0函
υΩ≦ υ,0≦ υΓ≦ υ が 成 り立 つ.こ
よ り υΩ,υΓ もDに
開 集 合 と し て,補 を 考 え る.こ
数 で あ り,Ω
と りn→ ∞
の こ と と(6.5.
上 の Ω と同 じ条 件 を 満 た す を υΩ ま た は υΓ と し た 場 合
証 明 か ら わ か る よ う に,υ=υΩ
ⅱ)の よ う に 選 ん だ コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂H(Ω1)の
数
の 場合 に
更 に 部 分 列 を と っ て υ=
υΓの 場 合 の(6.5.5)が ⊂H(Ω1)を
成 り立 つ よ うに で き る か ら,結 局υΩ と υΓに 共 通 の{Kn}
と る こ と が で き る.以
補 助 定 理6.5.3
υ お よ び Γ を 補 助 定 理6.5.2の
い て(υ Γ)Γ=υΓ が 成 り立 つ.従 証 明 Ω,Ω1をR′ の と す る.こ ⊂H(Ω1)を
っ て 特 に,R′
選 ぶ と,(6.5.5)が
に お
で(ωΓ)Γ=ωΓ が 成 り立 つ.
の と き 上 に 述 べ た 事 実 に よ り,適
べ て のKnに
と お り とす る と,R′
の 中 の 正則 開 集 合 で Γ ⊂Ωa1か つ
た 函 数 υΩ-υΓ もDに
こ こ でn→
上 の 事 実 を 次 の 補 助 定 理 の 証 明 に 用 い る.
Ω1⊂Ω ⊂Ω ⊂R′ な る も
当 な コ ン パ ク ト集 合 の 列{Kn}
υ=υ Ω と υ=υ Γに 対 し て同 時 に 成 立 す る.ま
属 し(υΩ-υ Γ)│∂K0=0を
満 た す か ら,(6.5.4)に
よ りす
対 して
∞
と す る と 上 に 述 べ た よ う に
(L2ω(R′)で強 収 束)と
な る が,更 に,Ω
に お い て は υΩ=υ な る こ と に よ り(υΩ)Ω1
=υ Ω1が成 り立 つ か ら,次 の 不 等 式 を 得 る:
さ て 補 助 定 理6.5.2に
よ り,υ Γ はDに
ジ に 述 べ た 事 実 と 同 様 に し て,適
属 す るFH0函
数 で あ る か ら,前
当 な 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を
(6.5.15)お
よ び そ の υ を υΓ で 置 き 換 え た 事 実 が 成 り立 つ.ま
=Δn∩Rと
お く と,
ら ば Ωn⊂ Ωmだ
と な り,こ
こ で ま ずn→
∞ と し て か らm→ を 得 る.一
上 で は と も に0に
に ω は 補 助 定 理6.3.4のⅰ)に
を 満 た す か らDに 補 助 定 理6.5.4
た こ の と き,Ωn
の不 等 式 に よっ て
よ っ て
立 す る.特
選 ぶ こ とに よ り
(R′上 で有 界 収 束)も 成 立 す る.n>mな
か ら,上
連 続 で あ っ て ∂K0の
ペー
属 す る.よ
∞ 方
と す る と,上 υΓ,(υ Γ)Γ はR′
な る.だ か らR′ よ りFH函
に述べた各事項 に ∪ ∂K0に
お い て
の 上 で(υ Γ)Γ=υΓが 成
数 で あ り,明 ら か に(6.5.1)
っ てR′ 上 で(ω Γ)Γ=ωΓが 成 り立 つ.
υ がR′ 上 のFSH函
数,Γ
がSの
閉 部 分 集 合 で ωΓ≡0と
な る も の とす る と,R′
上 で(υ Γ)Γ=υΓが 成 立 す る.
証 明 ま ず 定 理6.3.3に
よ りR′ に お け るBorel測
uが 存 在 し て υ=μN+uが
成 立 す る.だ
度 μ とR′ 上 のFH函
か ら 定 理6.4.3に
数
よ って
(6.5.17)
が 成 立 し,従
っ て ま た 補 助 定 理6.3.4のⅲ)に
よ って
(6.5.18)
と な る.だ
から
(6.5.19)
(μNΓ)Γ=μ(NΓ)Γ,(NΓ)Γ=NΓ
を 証 明 す れ ば,(6.5.18)の
右 端 辺 は(6.5.17)の
両 式 の 左 端 辺 も 互 い に 等 し い こ とが わ か り,こ は(6.5.19)の
μが 一 点xに
ら 直 接 に も い え る.)だ
数
集 中 し た と 考 え て も よ い し,ま
た
か ら(6.3.14)に
よ りNΓ
はFH0函
た 補 助 定 理6.4.2の
に対 し て
証 明 と全 く 同 様 に し て(NをNΓ
と書 く だ
において
(6.5.21)
(μNΓ)K=μ(NΓ)K
な る こ とが 示 さ れ る か ら,(6.5.20)と μNΓ が 下 半 連 続 な こ と も,定
NΓ(x,y)(xを
固 定 し てyの っ て,任
ト集 合 列{Kn}を
合 わ せ て(μNΓ)K≦
理6.3.1に
同 様 に し て 示 さ れ る か ら,μNΓ
お け る μNの
はFSH函
μNΓ を 得 る.更
数 で あ る.以
函 数 と考え る)お
上 に よ りFSH函
に お い てnに
が 成 立 し,第1の
数
よ び μNΓ に §6.3の 結 果 を 適 用
意 の 正 則 開 集 合 Ω⊂R′ に 対 し て(6.3.6)の と れ ば.R′
に
下半連続性 の 証 明 と
関 す る単 調収束
よ うな コン パ ク
で
(6.5.22)
(6.5.23)
数で
(NΓ)K≦NΓ
が 成 立 す る.ま
で き る.よ
函 数 と考 え た も の はFSH函
っ て 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
(6.5.20)
け で)R′
下
を 固 定 し てN(x,y)をyの
れ は 定 理6.3.1で
定 理6.1.6か あ る.従
の 補 助 定 理 の 証 明が 終 る.以
二 つ の 式 の 証 明 で あ る.
ま ず 任 意 のx∈R′ で あ る.(こ
右 端 辺 と 同 じ に な る か ら,
式 は上 に 述 べ た 意 味 で 任 意 のxに
対 して成 立 す るか ら
も 成 立 す る.ま 列{Δn}を
たSの
任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て(6.3.13)の
と り Ωn=Δn∩Rと
お く と,R′
上 でnに
よ うな 開集 合
関 す る単 調 収 束 で
(6.5.24)
が 成 立 し,第1の
式 は 上 に 述 べ た 意 味 で任 意 のxに
対 し て成 立 す るか ら
(6.5.25)
も 成 立 す る.そ
こ で(6.5.21)に
る よ う なKnを
と っ てn→
て(6.5.24),(6.5.25)が の 第1の
お い てKと
し て(6.5.22),(6.5.23)が
∞ と す れ ば(μNΓ)Ω=μ(NΓ)Ω が 得 ら れ,次 成 立 す る よ う な Ωnを と っ てn→
成立す に Ω とし
∞ とす れ ば(6.5.19)
式 が 得 ら れ る.
次 に(6.5.19)の
第2の
数 と考 え る こ と に し,ま 固 定 す る と,定
っ て(6.3.13)に
よ りR′ \Kに
Ω ⊂R′ \Kに
よ り(N∂K)Γ=NΓ
か ら,補
点x∈R′
を 固 定 し てN(x,y)をyの
た コ ン パ ク ト集 合K∈K(x)(§5.5に
理6.1.6のⅱ)に
か ら任 意 の 正 則 開 集 合
N∂K∈Dだ
式 を 示 す,一
対 し てR′
助 定 理6.5.3に
述 べ た)を
お い て はN∂K=Nと で(N∂K)Ω=NΩ
が 成 立 す る.一
函
方,正則
よ り((N∂K)Γ)Γ=(N∂K)Γ
一 つ
な る.だ が 成 立 し,従
写 像 の 定義 に よ り が 成 り立 つ.だ
か ら
と な り,(6.5.19)の
第2の
式 が 得 ら れ た.
さ て,任
意 の 一 点 ξ∈Sを
Γ={ξ}(一
点 ξか ら成 る 閉 集 合)と す る と,(6.4.2)の
とな る か ら,こ (6.4.2)は
固 定 し て,定
理6.4.2で
れ を α(ξ)と 書 く こ と に す る.こ
υ(y)=N(ξ,y)を
考 え,
μ(Γ)の 値 は 点 ξの 函 数
の と き 定 理6.4.2の(6.4.1),
そ れ ぞ れ 次 の よ うに な る:
(6.5.26)
す べ て のy∈R′
に 対 し てN(ξ)(ξ,y)=α(ξ)N(ξ,y),
(6.5.27)
こ こ で 次 の 事 実 を 証 明 す る. 補 助 定 理6.5.5
函 数 α(ξ)はSの
上 で0と1の
証 明 ω{ξ}≡0な る 点 ξに つ い て は,補
値 の み を と る.
助 定 理6.5.4と(6.5.26)に
よ って
従 っ て α(ξ)=α(ξ)2が ξ に つ い て は,定 とc>0で (6.5.26)と
成
り 立 つ か ら α(ξ)=0ま
理6.4.2に
あ る.こ
お い て
の と き(6.4.1)は
補 助 定 理6.5.3に
が 成 り立 つ.よ
な る か ら,こ
お く の こ と と
よっ て
数 υ とSの
で ≧0だ
な け れ ば,R′
定 義 S0={ξ
な る点
し て,c=μ({ξ})と
ω(ξ)=μN=cNと
注 意 一 般 にFSH函
補 助 定 理6.5.5に
あ る.ω{ξ}>0と
υ=ω,Γ={ξ}と
っ て こ の 場 合 は α(ξ)=1で
か ら,υ Γ=0で
た は1で
あ る.
閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,υ Γ はR′ 上 で υΓ>0で
で調 和
あ る.
よ り次 の 記 号 と用 語 を 定 義 す る こ と が で き る.
∈S│α(ξ)=0},S1={ξ
い て は)Neumann型
∈S│α(ξ)=1}と
理 想 境 界Sの
述 べ る定 理6.6.1と
定 理6.6.3に
書 にお
の 理 由 は 次 の §で
よ る.)
こ の と き(6.5.26)か
ら 直 ちに 次 の 定 理 が 得 ら れ る.
定 理6.5.1
た は ξ∈S1に
ξ∈S0ま
お く.S1を(本
本 質 的 部 分 と呼 ぶ.(そ
N{ξ},(ξ,y)=0ま
従 っ て,す
べ て のy∈R′
に対 して
た はN{ξ}(ξ,y)=N(ξ,y)
が成 立す る.― こ こ でMartin境 を 証 明 す る た め,い
界 の 場 合(定
理3.4.2)と
同 様 にS0がFσ
集 合 であ る こ と
くつ か の 補 助 定 理 を 準 備 す る.
補 助 定 理6.5.6
KをR′
(n-1,2,…)はR′
に お け るFSH函
に 収 束 し て い る とす る.こ
に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,υ 数 で あ っ て,{υn}は
∂Kの
お よ び υn
上 で一 様 に υ
の と き,次 の 式 が ∂K0の 上 の 一 様 収 束 で 成 立 す る:
(6.5.28)
証 明 K0を
内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,D∩K=φ
あ る も の を 一 つ と り,D\K0に 函 数 をGD\K0(x,y)と
な らば
す る.こ
お け る §5.2の の と き,正
か つDが
コ ン パ ク トで
境 界 値 問 題(5.2.1)のGreen
則 写 像 の 性 質 に よ り,y∈D\(K0)° と な る か ら,Green函
数の性
ⅱ
が存在 して
質 に よ り ∂K0上 の 各 点yで (6.5.29)
が 成 立 し,ま
た(υn)K(y)に
{υn}が υ に ∂K上 ∂D上
つ い て も 同 様 な 式 が 成 立 す る.一
で 一 様 収 束 す る か ら,正
で 一様 収 束 す る.こ
補 助 定 理6.5.7 ⅰ) し,K1,K2∈H(Ω)か
か ら(6.5.28)が
の 中 の 正 則 開 集 合 でΩ
つK1⊂K2と
定に よ り
則 写 像 の 性 質 に よ り(υn)Kが
の こ と と(6.5.29)と
Ω をR′
方,仮
す る と,任
得 ら れ る.
∩K0=φ
意 の ξ∈S,y∈
υKに
な る もの と
∂K0に
対 して
(6.5.30)
) Γ をSの と,任
閉 部 分 集 合 と し,Δ1,Δ2∈O(Γ),Δ1⊃Δ2,Δa1∩K0=φ
意 の ξ∈S,y∈
∂K0に
とす る
対 して
(6.5.31)
証 明 ⅰ) (6.5.30)の て 示 さ れ る.ま
で あ っ て,特
た,ξ ∈S,y∈(R′
にy∈
と な る か ら,任
各 法 線 微 分 の 存 在 は 補 助 定 理6.5.6の
∂K0な
\Ω)∪ ∂K0な
証 明 と同 様 に し
らば
らば
意 の ξ∈S,y∈
∂K0に
対 し て(6.5.30)が
成 立 す る.
ⅱ)も 同 様 に し て 証 明 さ れ る. 補 助 定 理6.5.8 ⅰ) し,(6.3.6)の の と き,任
Ω をR′
の 中 の 正 則 開 集 合 でΩ
∩K0=φ
仮 定 を 満 た す 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂H(Ω)を 意 の ξ∈S,y∈
∂K0に
な る もの と と る.こ
対 して
(6.5.32)
) Γ をSの {Δn}⊂O(Γ)を (6.5.33)
閉 部 分 集 合 と し,(6.3.13)の と る.こ
の と き,任
仮 定 を 満 た す 任 意 の開 集 合 の列
意 の ξ∈S,y∈
∂K0に
対 して
証 明 ⅰ) 任 意 の ξ∈Sを 助 定 理6.4.1を
適 用 す る と,コ
ぞ れBorel測 ∪∂K0に
固 定 し て,yの
度 μn,μ(い
函 数N(ξ,y)に
定 理6.3.2お
ン パ ク ト集 合Kn(n=1,2,…),Ωaの
ず れ も ξに 関 係 す る)が
よび 補 上にそれ
存 在 し て,任
意 のy∈R′
対 して
が 成 り立 つ.だ
か ら,Ω
∩K0=φ
な る こ とに よ り
(6.5.34)
こ こ で,補
助 定 理6.4.1の
ト集 合Ωaの
証 明 か ら わ か る よ う に,測
上 で 一様 有 界 で あ っ て,そ
っ て 初 め か ら{μn}が た
る.だ
か ら(6.5.32)に
漠 収 束 す る よ うな 部 分 列{Kn}⊂H(Ω)が
て は 各 点y∈
よ り,上
は 各 点 ξ∈S,y∈
成 立 す る.と
∂K0に 対 してnに
初 め の コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}に ξ∈S,y∈
∂K0に
と って あ る とす
上 で 連 続,従
の よ うな 部 分 列{Kn}(ξ
∂K0で(6.5.32)が
こ ろ が,補
って 有 界 で あ
に 関 係 す る)に
対 し
助 定 理6.5.7に
よ り
関 し単 調増 加 で あ る.だ か ら
対 し て(部 分 列 を と ら な く て も),す
お い て(6.5.32)が
コ ンパ ク
の 適 当 な 部 分 列 が μ に 漠 収 束 す る.よ
は コ ン パ ク ト集 合 Ωa× ∂K0の
る.ま
度 の 列{μn}は
べての点
成 立 す る.
ⅱ )も 全 く同様 に し て証 明 され る. さて こ こで,Rの
中 の 開集 合Δ でΩ=Δ∩R′ がR′ の 中 の正 則 開集 合 とな る
もの に 対 して,Sの
上 の 函 数 αΔ(ξ)を
(6.5.35)
と 定 義 し,ま
たSの
置 き 換 え て 函数
閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,上
αΓ(ξ)を 定 義 す る と,(6.5.31)と(6.5.33)に
と な る.特
に
Γ={ξ}(一
点 の 集 合)と
で定 義 され た α(ξ)にほ か な らな い か ら,上 立 つ.
の 式 のNΩ(ξ,y)をNΓ(ξ,y)で よ っ て
し た と き の α{ξ}(ξ)は(6.5.27)
の結 果 に よ り次 の補 助 定 理 が 成 り
ⅰ
補 助 定 理6.5.9
任 意 の 一 点 ξ∈Sを
に 関 し て単 調 減 少 か つ
固 定 し,{Δn}をO({ξ})に
含 ま れ てn
を満 たす 任 意 の 開 集 合 列 とす る と
(6.5.36)
以 上 の こ と を 使 っ て 次 の 定 理 を 証 明 す る. 定 理6.5.2
S0はSに
お け るFσ 集 合 で あ る.
証 明 任 意 の ξ∈Sと
と お き,ま
δ>0に
た αΔ(ξ)を(6.5.35)で
対 して
定 義 す る.m=1,2,…
な る任 意 の に対 して
(6.5.37)
と お き,次
のⅰ),ⅱ)を 証 明 す る:
ⅱ) 各 ΓmはSの
)
ⅰ )の 証 明.ξ ∈S0と
す る と α(ξ)=0だ
U(ξ,1/m)な
る 任 意 のΔ ∈O({ξ})に
中 の 閉集 合 で あ る.
か ら,補
と な る.従
{Δn}に 対 し て
る.逆
助 定 理6.5.9の
っ て,mが
証 明.点
と な る か ら,補
U(ξ0,1/m)な
な わ ち ξ∈S0と
列{ξν}⊂ Γmが
な る.こ
点 ξ0∈Sに
る 任 意 のΔ ∈O({ξ0})を
し て 適 当 なν0を
十 分 大 な る と き,Δa⊂
と っ て,こ
得
定 義 に よ り補 助 定 理6.5.9の
定 を満 たす{Δn}に 対 して に よ っ て α(ξ)=0,す
よ うな任 意 の
対 し て αΔ(ξ)≦1/2と な り ξ∈ Γmを
に ξ が あ る Γmに 属 す る な ら ば,Γmの
ⅱ)の
に 対 して
れ で
仮
助 定 理6.5.5 が 示 さ れ た,
収 束 し て い る と す る.Δa⊂ れ を 一 応 固 定 し,こ
のΔ に 対
とれ ば,ν ≧ν0な る か ぎ りΔ ∈O({ξν})か つΔa⊂U(ξν,1/m)
とな るか ら (6.5.38)
αΔ(ξν)≦1/2
が 成 り立 つ.Ω=Δ 8のⅰ)を
適 用 す る と,任
意 の ξ∈Sに (6.5.39)
∩Rと
対 して
お き,こ
の Ω に 補助 定 理6.5.7のⅰ)と
意 の ε>0に
対 し て 適 当 なK∈H(Ω)を
補 助 定 理6.5. と れ ば,任
が 成 り立 つ.更 N(ξ,y)が
に,υν(y)=N(ξν,y)(y∈R′∪
コ ン パ ク ト集 合S×
上 で 一 様 に υ0に 収 束 す る.だ
∂Kの
∂K0,ν=0,1,2,…)と
お く と,
上 で 一 様 連 続 な こ と に よ り,{υν}は
か ら 補 助 定 理6.5.6に
よ り次 の 式 がy∈
∂K
∂K0に
関 す る 一 様 収 束 で 成 り立 つ: (6.5.40)
さ てν ≧ν0な ら ば(6.5.38)お
よ び(6.5.39)の
こ でν → ∞
(6.5.40)お
よ び(6.5.39)の
を 得 る.こ
こ で εは 任 意 の 正 数 だ か ら αΔ(ξ0)≦1/2と な り,Δ の と り方 に よ り,
こ う し てS0がFσ
第2の
分 論 に お け るFatouの
不等式に よ り
と な る.こ
これ は ξ0∈Γmな
と し て,積
第1の
補 題 を 用 い る と,
不等 式 に よ り
る こ と を 意 味 す る.以
上 に よ り Γmは 閉 集 合 で あ る.
集 合 で あ る こ と が 証 明 さ れ た.
§6.6 極 小FH0函
FH0函
数,標 準 表 現 と その 一 意 性
数 の 標 準 表 現 とそ の 一 意 性 を 述 べ るた め,ま ず 極 小FH0函
を 導 入 す る.こ
の 概 念 は §3.4に お け る極 小 正値 調 和 函 数 と同 じ考 え で あ る.
定 義1 R′ 上 のFH0函
数uが
R′ 上 のFH0函 (6.6.1)[
数 υ で,u-υ
で あ る よ うな も の は,uの
とい う条 件 を 満 た す と き,uを す な わ ち,FH0函 u-υ
もFH0函
数の概念
数 が'極
極 小FH0函 小'で
も ま たFH0函
数(ま
た は 単 に 極 小函 数)と
あ る と は,uと
次 の(6.6.2)と
呼 ぶ.
線 型 独 立 なFH0函
数 と な る よ うな も の は 存 在 し な い,と
上 の 条 件(6.6.1)は
数
正 の定 数 倍 に 限 る
数 υ で,
い う こ と で あ る.
同 等 で あ る:
uが 二 つ の 互 い に 線 型 独 立 なFH0函
数u1,u2の
(6.6.2)[
凸 結 合 な ら ば,uはu1,u2の こ の 性 質 に よ り,極 的 函 数)と
小FH0函
数 の こ と を 端 点 的FH0函
の 場 合(112ペ
あ る い は,む
の § で は'u-υ
だ し,例
がFH0函
し ろ 函 数 の 半 順 序 関 係>を'u>υ
定 義 し て お い て,112ペ
た は単 に 端 点
和 の 意 味 に 使 っ て い る;念
点 的 函 数'な
味 に 使 わ れ る こ とが 多 く,こ
数'と
ー ジ でu≧
υと
読 み 替 え る も の とす る.
と はu-υ
がFH0函
柄 の 本 質 が よ くわ か り,見
に こ とわ っ て あ る よ う に,'調
'極 小 函 数','端
極 小正 値 調 和 函数
えば112ペ
数 な るこ
ー ジ の 記 述 に お け る不 等 号≧ を す べ て 半 順 序 関
置 き替 え て 読 め ば,事
な お,前 A*-調
同 値 な こ と の 証 明 は,§3.4の
ー ジ)と 全 く同 様 で あ る.た
記 さ れ た と こ ろ は,こ
係>で
数(ま
呼 ぶ こ と も あ る.
上 の(6.6.1)と(6.6.2)が
と'と
い ず れ か に 一 致 す る.
和'は
第3章
通 し も よ い で あ ろ う.
で はA-調
和,こ
の章では
の た め に 注 意 し て お く.
る用 語 は,こ
とわ りな け れ ば §3.4に
の § の 意 味 に 使 う の は,前
述べ た 意
後 関 係 か ら誤 解 の 恐 れ
が な い 場 合 に 限 るの が 普 通 の よ うで あ る.本 小 正 値 調 和 函 数 を 第3章
書 に お い て は,§3.4に
述べ た 極
・第4章 で 単 に'極 小 函 数'と 呼 ん だ が,こ の §の 意
味 の 極 小 函 数 の こ とは,混 乱 を避 け る た め,今 後 必 ず'極 小FH0函
数'と 呼 ぶ
こ とに し て お く.
次 にFH0函
数 の 標 準 表 現 を 定 義 す る.前
のBorel集 Borel測
§ の 定 理6.5.2に
合 で あ る か ら,S1=S\S0もBorel集 度 がS0,S1の
定 義2 Sの
上 で 考 え ら れ る か ら,次
上 の 有 界Borel測
と呼 ぶ.R′ 上 のFH0函
よ りS0はSの
合 で あ る.よ
っ てSの
中 上 の
の定 義 を 述 べ る こ とが で き る.
度 μ が μ(S0)=0を
満 た す とき μを 標 準 測 度
数uが 標 準 測度 μ を 用 い て
と
表 わ され る と き,こ の積 分 表 現 を 標 準 表 現 とい う. 以 下 に お い て,ま ず 標 準 表 現 の存 在(定 理6.6.1)を FH0函
示 し,そ れ を 用 い て極 小
数 の特 徴 づけ お よび理 想 境 界 上 の集 合S1と 極 小FH0函
数 の集 合 と の関
係(定 理6.6.2)を 示 し,更 に そ の結 果 を利 用 し て標 準 表 現 の一 意 性(定 理6.6.3) を 証 明す る.ま ず 次 の補 助 定 理 か ら始 め る. 補 助 定理6.6.1 υ をR′ 上 のFSH函 て,S0に
閉部分集合 であ っ
含 まれ る もの とす る と,R′ に お い て υΓ≡0で あ る.
証 明 [第1段]Γ
をSの
増加列 で
な る も の と す る.こ
υΓ=0と
数 と し,Γ をSの
閉部 分 集 合 とし,{Bm}をSの
閉 部分 集 合 の単 調
の と き υBm≡0(m=1,2,…)な
らば
な る こ と を 示 す.
任 意 のy∈R′ ∈O(Bm)を
と 任 意 の ε>0を
と る.各mに
適 当 に と り,υΔm∩R(y)<ε/2mな
で
だ か ら,
るΔ ∈O(Γ)が
存 在 す る.Ω=Δ
R′上 で
対 し て,yを
る よ うに で き る.Γ な るpが
∩R,Ωm=Δm∩Rと
が 成 立 す る.(p=2の
あ り,従
上 でyと
は コンパ ク ト
っ て
お く と
場 合 が 補 助 定 理6.3.5の
し てあ るか ら,任 意 のpに 対 し て成 立 す る.)特 に 点yに
と な り,以
含 ま な い 集 合Δm
な だ か ら, 証明中に示
お い ては
εは 互 い に 無 関 係 に 任 意 に と れ る か ら υΓ≡0で
あ る.
[第2段]
Sの
閉 部 分 集 合 で あ っ てS0に
=υ Γが 成 り立 つ な ら ば,そ
の よ う な Γ に 対 し てυ Γ≡0で あ る こ と を 示 す.
Γmを 前 §定 理6.5.2の が 一 つ の Γmに
含 ま れ る 任 意 の Γ に 対 し て(υ Γ)Γ
証 明 中 に(6.5.37)で
定 義 し た 集 合 とす る.ま
含 ま れ て ρ-diam(Γ)<1/2mの
場 合 を 考 え る.δ>0に
対 して
な るΔ ∈O(Γ)を
と る と,
と定 義 し,Δa⊂U(Γ,1/2m)と ξ∈ Γ な らばΔa⊂U(ξ,1/m)と ≦1/2.一
方,定
υΓ=μNと
な る.だ
理6.4.2に
な る か ら,こ
よ り,台 の 第2段
ず,Γ
か ら Γmの 定 義 に よ り,Γ
が Γ に 含 ま れ るBorel測
の 仮 定 と 定 理6.4.3お
の 上 で αΔ(ξ)
度 μが 存 在 し て
よ びΔ ∈O(Γ)な
るこ
とによ り
こ の 式 と υΓ│∂K0=(μNΔ
∩R)│∂K0=0と
定 理6.4.2の(6.4.2)お
よ び αΔ(ξ)の 定 義(6.5.35)に
(最後 の 不 等 式 は,上 従 っ て υΓ≡0と
な る.各
る 閉 集 合 Γmkの
の と き,上
助 定 理6.3.5に
よ っ て υΓm≡0と
の 結 果 に よ り各kに
任 意 の Γ に 対 し て,Bm=Γ
り υΓ≡0と [第3段]
か ら μ(Γ)=0で
Γmは 距 離 ρに 関 し て コ ン パ ク ト,従
表 わ さ れ る.こ
に よ り0≦
よ り
に 示 し た αΔ(ξ)≦1/2に よ る).だ
る か ら,ρ-diam(Γmk)<1/2mな
だ か ら,{Bm}も
を 得 る か ら,
か ら
な る.さ
∩Γmと
υBm≦ υΓm≡0,す
とし て
対 し て υΓmk≡0で あ る か ら,補
て,Sの
閉 部 分 集 合 でS0に
と な る.一
な わ ち υBm≡0で
って全 有 界 で あ
有 限 和
お く と,{Γm}は
単 調 増 加 列 で
あ る.だ
含 まれ る
単 調 増 加 列 で 方,上
の 結 果 と(6.3.2)
か ら 第1段
の結 果 に よ
な る. 補 助 定 理6.6.1の
証 明.ま
ず 補 助 定 理6.5.3に
よ り,函
の 任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し てR′ 上 で(ω Γ)Γ=ωΓ を 満 た す か ら,特 な らば 第2段
あ り,
に よ り ωΓ≡0で
あ る.だ
か ら,そ
数 ω はS に Γ ⊂S0
の よ うな Γ に 対 し て は,R′
の
上 の 任 意 のFSH函
数 υ に 対 し て 補 助 定 理6.5.4に
っ て こ の υ に 第2段
を 適 用 す る こ とが で き て,R′
こ こ で,標
数,Γ
含 ま れ るBorel測
をSの
閉 部 分 集 合 とす る と,定
度 μ が 存 在 し て,R′
証 明 の よ うに,(6.3.13)に
Δn∩Rと
で υΓ≡0と な る.
準 表 現 の 存 在 を 示 す た め の 一 つ の 準 備 を す る.
υ をFSH函
6.4.2の
よ り(υΓ)Γ=υΓ と な り,従
す る と,各nに
測 度 μnが 存 在 し て,R′
で υΓ=μNが
対 し て 補 助 定 理6.4.1に にお い てυΩn=μnNが
適 当 な 部 分 列 で 置 き換 え る こ と に よ り,測 の よ うに と っ た 各nに
合 列{Knm}m=1,2,… Borel測
⊂K(Ωn)を
度 μnmが 存 在 し て,R′
補 助 定 理6.4.1の
成 立 す る.こ
成 立 す る.こ
理
と り Ωn=
の と き 定 理6.4.2
一 様 有 界 で あ り,{Δn}を 測度 μに漠収束す る
対 し て,(6.3.6)の
と る と,定
こ で,定
よ り台 がΩanに 含 ま れ るBorel
度 の 列{μn}が
理6.3.2に
よ うな コ ン パ ク ト集
よ り 台 がKnmに
に お い て υKnm=μnmNが
証 明 か ら わ か る よ う に,Ωanの
一様有界であ り ,適
よ り台 が Γ に
お け る 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を
の 証 明 か ら わ か る よ うにΔa1の 上 の 測 度 の 列{μn}は
と し て よ い.そ
理6.4.2に
含 まれ る
成 立 す る .こ
の と き,
上 の 測 度 の 列{μnm}m=1,2,…
当 な 部 分 列 で 置 き換 え る こ と に よ り,測
度
は
μnに 漠 収 束 す
る と し て よ い.
次 に,Δ
をRの
る.各nに
対 し て,{νnm}m=1,2,…
列 で あ る か ら,再
中 の 開 集 合 と し,測
度 μnmを
は コ ン パ ク ト集 合 Δaの 上 の 一 様 有 界 な 測 度 の
の と きνn(Δa)≦ μn(Δa∩Ωn)で
集 合 Δaの 上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る.よ
い て は,開 り,更
あ る か ら{ν n}は
っ て,そ
コン パ ク ト
の部 分 列 で置 き換 え る
Δaの 上 の あ る測 度ν に 漠 収 束 す る と し て よ い.以
集 合 列{Δn}は
に そ の 各nに
す
び 適 当 な 部 分 列 で 置 き 換 え る こ と に よ り,Δaの 上 の あ る 測 度
νnに 漠 収 束 す る.こ
こ と に よ り,{νn}は
Δ に 制 限 し た も の をνnmと
測 度 の 列{μn},{νn}が
対 し て,コ
漠 収 束 す る よ うに 選 ば れ て お
ン パ ク ト集 合 列{Knm}mは
{νnm}mが 漠 収 束 す る よ うに 選 ば れ て い る も の と す る.
こ の と き 次 の 補 助 定 理 が 成 り立 つ.
下にお
測 度 の 列{μnm}m,
補 助 定 理6.6.2
FSH函
り とす る.Δ0がRの
数 υ,開 集 合Δ(⊂R)お
中 の 開 集 合 でΔaを
よ び 測 度ν を 上 に 述 べ た 通
含 み,Ω=Δ0∩R′
が 正則 開集 合 な る
も の とす る と, (6.6.3)
R′ \Ω
に お い てνN≦
υΩ
が 成 立 す る. 証 明 コ ン パ ク ト集 合 の 列{Kl}⊂K(Ω)でKl⊂(Kl+1)°,
なる
も の を と る.νnmNはFSH函
よ り
数(定 と な る.一
理6.3.1)で 方,測
あ る か ら,(6.3.6)に
度νnmの
台 は コ ン パ ク ト集 合Knm
∩Δaに 含 ま れ,
と な る か ら,l0≡l0(n,m)
を 十 分 大 き く とれ ば,す べ て のl≧l0に れ る.だ
か ら 定 理6.2.5と
が 成 立 す る.こ {νnm},{νn}の
こ でm→
台 がKlの
上 に 述 べ た 事 実 に よ っ て,R′ \Knmに
∞
と し て か らn→
漠 収 束 に よ り(6.6.3)を
補 助 定 理6.6.3
対 し て 測度νnmの
開 集 合Δ(⊂R)お
Δ の 内 部 に お い て は μ≡ν(Borel測
∞
とす れ ば,Δaの
内部に含 ま おい て
上 の測 度 の列
得 る. よ び 測 度 μ,νを 前 に 述べ た 通 り とす る と,
度 と し て 同 じ)で
あ る.
証 明 Δ の 上 の 連 続 函 数 で 台 がΔ の 内 部 に 含 まれ る も の の 全 体C0(Δ)を る.測
度νnmは
測 度 μnmのΔ
へ の 制 限 で あ る か ら,任
が 成 立 す る.こ 測 度 の 列{μnm},{νnm},{μn},{νn}の
が 得 ら れ る か ら,Δ
こ でm→ 漠 収 束(前
意 のf∈C0(Δ)に
∞ と し て か らn→ 述)に
考え 対 して
∞ とす る と,
よ り
の 内 部 で は μ≡ν で あ る.
以 上 の こ と を 用 い て 標 準 表 現 の 存 在 を 証 明 す る. 定 理6.6.1 Borel測
υ がFSH函
数,Γ
がSの
度 μ が 存 在 し て,
函 数uは,S1の る(標 準 表 現).
上 のBorel測
閉 部 分 集 合 な ら ば,Γ
∩S1の
が 成 立 す る.特 度 μ に よ り
上 の
にFH0
と表 わ され
証 明 ま ず 定 理6.4.2に R′ でυ Γ=μNが よ い.一
方,定
よ り,台
成 立 す る か ら,定 理6.5.2に
=Δ0∩R′
固 定 す る と,任
閉 部 分 集 合 の 列{Γp}p=1
対 し て μ(Γp)=0を
今 後 一 つ の Γpを 固 定 す る.補
助 定 理6.6.1に
意 の ε>0に
ら 測 度 の 列{μn},{μnm},{νnm},{νn}お よ り(νN)(y0)≦
6.6.3に
よ り
が 得 られ る.こ そ れ は0で
の と き
あ る.以
上 に お い てy0はR′ と な る.だ
中 の
に述 べ た よ うに し て測 度 μか
か ら,Γp⊂
助定理
Δ な る こ と と補 助 定 理
か ら 定 理6.2.2の
半 に お い て Γ=Sの
場 合 を 考え て 定 理6.3.4を
上 の 定 理 か ら,補
助 定 理6.5.3お
υ に 対 し て(υ ∈Dあ
半 のFH0函
よ って
数uに
対 し て は,前
用 い れ ば よ い.
よ び6.5.4の
る い はω Γ≡0の
系2に
結 論 が,す
べ て のFSH函
よ うな 付 帯 条 件 な し に)成
数
立す る こ とが
れ を 少 し 一 般 化 し た 次 の 系 を 示 す.
系 υ をFSH函
数,Γ
閉 部 分 集 合 で Γ ⊂ Γ1な Ω=Δ ∩Rな
と し て よ い.Rの
∪ ∂K0の 任 意 の 点 だ か ら,R′ ∪ ∂K0に
れ で 定 理 の 前 半 が 証 明 さ れ た.後
導 か れ る.そ
点y0∈
とれ ば ,Ω
よ び 測 度ν を 順 次 定 め る と,補
υΩ(y0)と な る.だ
っ て,
こ で εは 任 意 の 正 数 だ か ら,左 端 辺 は εに 無 関 係 な こ と に よ り,
おい て
と な り,こ
,2,…が 存 在 し て
よ り υΓp≡0だ か ら,一
開 集 合 Δ で Γp⊂ Δ⊂ Δa⊂Δ0な る も の を と り,前
示 せば
示 せば 十 分 で あ る.よ
対 し て 適 当 な Δ0∈O(Γp)を
に 対 し て υΩ(y0)<ε と な る .こ
6.6.2に
度 μ が 存 在 し て,
理 の 前 半 を 示 す の に は μ(S0)=0を
よ り,Sの
と な る か ら,各pに
R′ ∪∂K0を
が Γ に 含 まれ るBorel測
をSの
閉 部 分 集 合 と す る.こ
の と き,ⅰ)Γ1がSの
ら ば(υ Γ)Γ1=υΓ が 成 り立 つ;ⅱ)Δ
ら ば(υ Γ)Ω=υΓ が 成 り立 つ.
∈O(Γ)で
あ って
証 明 ⅰ) 上 の 仮 定 に よ り Γ ∩S1の ま た,ξ ∈ Γ ∩S1な
ら ば 定 理6.5.1に
上 の 測 度 μ が 存 在 し てυ Γ=μNと よ り,す
べ て のy∈R′
と な る か ら,NΓ1{ξ,y)=N(ξ,y)が
成 り立 つ.以
ⅱ)の 証 明 も全 く同 様 で あ る.す
な わ ち,上
定 理6.4.3の 次 に,極
か わ りに 補 助 定 理6.4.2を 小FH0函
な る.
に対 し て
上 の こ と と定 理6.4.3か
ら
のⅰ)の 証 明 中 の Γ1を Ω と書 き,
使 えば よ い.
数 の 特 徴 づ け お よ び 集 合S1と
の関 係 を 示 す た め の補 助 定
理 を 準 備 す る. 補 助 定 理6.6.4
極 小FH0函
数uが,Sの
に よ っ てu=μNと
表 わ さ れ る な ら ば,μ
中 のBorel集 は 一 点 ξ0∈Bに
合Bの
上の測度 μ
お け る点質量
で,
(6.6.4)
が 成 立 す る. 証 明 仮 定 に よ り μ(B)>0で >0か
つ ρ-diam(Γ1)<1な
で,μ(Γ2)>0か
あ る か ら,Bに
含 ま れ る 閉 集 合 Γ1で,μ(Γ1)
る も の が 存 在 す る.次
つ ρ-diam(Γ2)<1/2な
に Γ1に 含 まれ る 閉 集 合
る も の が 存 在 す る.以
に 含 ま れ る 閉 集 合 の 単 調 減 少 列{Γn}で,各nに ρ-diam(Γn)<1/nな
る も の が 得 られ る.Rが
ン パ ク トで あ り,従
っ て
で あ っ て,こ よ り,
よ り,
あ って
コ ン パ ク ト空 間 だ か ら 各 Γnは ら成 る 集 合{ξ0}で
数 だ か ら,uが
と な る 定 数cn≧1が
含 ま れ る 測度 μnが 存 在 し てu=μnNが
下 同 様 に し てB
対 し て μ(Γn)>0で
は 一 点 ξ0∈Bか
の 右 辺 の 各 項 はFH0函
Γ2
成 立 し,こ
極 小FH0函 あ る.従
あ る.一
コ 方
数 な る こ とに っ て,台
の と き 定 理6.2.1の
が Γnに 系2に
(nに 無 関 係)と な る.だ か ら{μn}の 適 当な 部 分
列 が 点 ξ0に お け る 点 質 量 に 漠 収 束 し,従
っ て(6.6.4)が
μ が こ の 点 ξ0に お け る 点 質量 で あ る こ と を 示 そ う.も
成 立 す る.初
め の測 度
し そ う で な い とす る と,
B\{ξ0}に Bと
含 まれ る閉 集合
同 様 に 扱 っ て,上
cN(ξ1,y)と
Γ で μ(Γ)>0な
の 議 論 を 繰 り返 す と,一
な り,こ のcは(6.6.4)のcと
≡N(ξ1,y)と
な り,従
小FH0函
の Γ を初 めの
点 ξ1∈Γ が 存 在 し てu(y)=
同 じ で あ る.だ か らR′ 上 でN(ξ0,y)
っ て 定 理6 .2.4に
ら μ は ξ0に お け る 点 質 量 で あ り,そ
次 の 定 理 は,極
る も の が あ る .こ
よ り ξ0=ξ1と な っ て 矛 盾 で あ る.だ
の 質 量 の 値 は(6.6.4)のcに
数 を 特 徴 づ け,集
合S1と
か
等 し い.
極 小FH0函
数 の全 体 と
の 関 係 を 示 す. 定 理6.6.2 ⅰ)
R′ 上 の 任 意 の 極 小FH0函
的 に 定 ま っ て,uは
次 の 式 で 与え ら れ る:
u(y)=cN(ξ0,y),こ
(6.6.5)
ⅱ) y∈R′
数uに
対 し て,点
ξ0∈S1が 一 意
こで
の 函 数N(ξ,y)は
ξ∈S1の
と き,そ
の と き に 限 り極 小FH0函
数
で あ る. 証 明 ⅰ) 定理6.6.1に
よ りS1の
な る か ら,補
助 定 理6.6.4(B=S1と
(6.6.4)が,す
な わ ち(6.6.5)が
定 ま る か ら,定
理6.2.4に
ⅱ) ξ∈S1と
仮 定 し,yの
上 のBorel測 す る)に
成 立 す る.こ
と な る が,一 ら な い.定
と 表 現 さ れ る か ら,こ を 意 味 す る.だ
υ が と も にFH0函
の と き(6.3.15)と
よ って一 意 的 に
定 理6.5.1に
数
よ り
はu{ξ}=u,υ{ξ}=υ
で なけ れ ば な
よ り υ{ξ}は一 点 ξに 台 を も つ 測 度 μ を 用 い て υ{ξ}=μN の こ と は υ{ξ}=cN(ξ,・)な
か らN(ξ,y)はyの
逆 にN(ξ,y)がyの
の と きcはuに
存在 して
函 数N(ξ,y)が
方u{ξ}≦u,υ{ξ}≦ υ だ か ら,実 理6.6.1に
点 ξ0∈S1が
よ り ξ0も 一 意 的 に 定 ま る.
N(ξ,・)=u+υ,uと
と 表 わ さ れ た と す る.こ
度 μ が 存 在 し てu=μNと よ り,一
極 小FH0函
極 小FH0函 数 な ら ば,上
る 定 数c≧0が
存 在す ること
数 で あ る. に 証 明 し たⅰ)に
より
とな る ξ0∈S1が る.従
一 意 的 に 定 ま る.こ
っ て す べ て のy∈R′
6.2.4に
よ り ξ=ξ0∈S1と
こ で 定 理6.2.2の
系2に
に 対 し てN(ξ,y)=N(ξ0,y)が
よ りc=1で
あ
成 立 す るか ら,定
理
な る.
次 に 標 準 表 現 の 一 意 性 を 示 す た め の 準 備 を す る. 任 意 の ξ∈Sを
固 定 す る と き,yの
意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′ がKに
函 数N(ξ,y)はFH函
に 対 し てNK(ξ,・)は,定
含 ま れ る 適 当 な 測 度 μ の ポ テ ン シ ャ ル μNに
μ を μξ,Kと 書 く こ と に す る と,任
数 で あ る か ら,任
意 のy∈R′
理6.3.2に
等 し い.よ
よ り台
っ て こ の測 度
に 対 し て 次 の 式 が 成 り立 つ:
(6.6.6)
NK(ξ,y)≦N(ξ,y)で る.こ
あ っ て,y∈
の こ と と(6.6.6)お
∂K0な
ら ば こ の 不 等 式 の両 辺 は と も に0で
よ び 定 理6.2.2の
系2に
あ
よ り
(6.6.7)
が 成 り立 つ. Rの 中 の コン パ ク トな 閉包Dnを
もつ 正 則領 域 の 列{Dn}で
を 満 た す も の を 一 つ 固 定 し,(6.6.6)でK=∂Dnと μξ,nと書 く こ と に す る.こ 任 意 の ξ∈S1,y∈R′
し た 場 合 の 測 度 μξ,∂Dnを
の と き,μ ξ,nは台 が ∂Dnに
含 まれ る測 度 で あ っ て,
に対 して
(6.6.8)
こ こで定 め た記 号 似 て い る の で,混
μξ,K,μξ,nは §6.1で
定 め た 正 則 写 像 を 与 え る 測 度 μyKと
同 し な い よ う に 注 意 せ ら れ た い.
こ の と き次 の 二 つ の 補 助 定 理 が 成 立 す る. 補 助 定 理6.6.5
函 数fに 対 し て,
任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′
と,R上
の連 続 函 数 で あ る.
の 任 意 の連 続
証 明 ま ずf∈C30(R′)と
す る.こ
が 成 立 す る か ら,Fubiniの
の と き 定 理5.5.1の
定 理 と(6.6.6)に
系1のⅱ)に
より
よ って
(6.6.9)
と こ ろ が,正
則 写 像 の 性 質(定
こ れ を(6.6.9)の
よ り任 意 の ξ1,ξ2∈Sに 対 し て
右 端 辺 に 適 用 す る と,N(ξ,y)がS1×
こ と(定 理6.2.2の
次 にR上
理6.1.2)に
系1)に
よ り
の任 意 の連 続 函 数fに
∂Kの
上 で一 様 連 続 な
は ξ∈Sに つ い て 連続 で あ る.
対 し て,R′ の任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合 上 で
fに 一様 収束 す る函 数 列{fn}⊂C30(R′)が 存 在 す る.(fのR\K上 に影 響 し ない か ら,{fn}がR\R′ だ か ら(6.6.7)に
とな る.前
でfに 収 束 し ない こ とは 全 く差 し支 えな い.)
よ り,n→ ∞ の と き ξ∈Sに 関 して 一 様 に
に 示 し た よ うに
は ξの連 続 函 数 で あ るか ら,上 に
述 べ た 一 様 収 束 に よ り 補 助 定 理6.6.6 パ ク ト空 間Rの
ξ∈S1な
こ こ でn=nkと
らば,前
に 述 べ た 測 度 μξ,nはn→
上 の 測 度 の 列 と考 え る と(6.6.8)に
当 な 部 分 列{μ ξ,nk}がRの
束 す る が,nk>nな 含 ま れ る.任
も ξの連 続 函数 で あ る. ∞ の と き,コ
ン
上 の 測度 と して 点 ξに お け る単 位 質量 に漠 収束 す る.
証 明 {μξ,n}nをRの あ る か ら,適
の値は結論
上 の あ る 測 度 μ0(ξ に 関 係 す る)に 漠 収
ら ば μξ,nkの台 はR\Dnに
意 のy∈R′
し てk→
に 対 し て,y∈D′nな
∞
よ り μξ,n(R)≦1で
含 ま れ る か ら,μ0の るnを
とれ ば(6.6.8)に
と す る と,μ ξ ,nk→ μ0(漠 収 束)だ
か ら
台 はSに よ り
ξ∈S1な
る 仮 定 に よ りN(ξ,y)は
極 小FH0函
数(定
理6.6.2)だ
6.6.4に
よ っ て 上 の 式 の 測 度 μ0は あ る 一 点 ξ0∈Sに
お け る 点 質 量 で あ り,そ
で あ る.従
の 質 量 の値cは, 対 し てN(ξ,y)=N(ξ0,y)と
な るか ら,定 理6.2.4に
か ら,補 助 定 理
っ て 任 意 のy∈R′
に
よ って ξ0=ξ で あ る.だ
か ら μ0は 点 ξに お け る単 位 質 量 で あ る;そ れ を μξと書 く.初 め の{μ ξ,n}nの 任 意 の部 分 列 が,上
と 同 じ議 論 に よ り,同 じ μξ に漠 収 束 す る部 分 列 を 含 む か
ら,初 め の列{μ ξ,n}nが μξに 漠 収 束 す る. 以 上 の こ とを 用 い て標 準 表 現 の一 意 性 を 証 明 す る. 定理6.6.3 FH0函
数 の 標 準 表 現 は 一 意 的 で あ る.任 意 のFH0函
数uと,S
の任 意 の 閉 部分 集 合 Γ に対 して,uΓ を 表 現 す る標 準測 度 の 台 は Γ に含 まれ る. 証 明 [第1段] ちu=μNが
FH0函
数uを
表 現 す る一 つ の 標 準 測 度 μ を と る;す な わ
標 準 表 現 で あ る とす る.こ の とき
(6.6.10)
で あ る.μ ξ,nを(6.6.8)に 対 し て,汎
現 わ れ る ∂Dnの
上 の 測 度 と し,任
意 のf∈C(R)に
函 数Lμ,nを
(6.6.11)
に よ り定 義 す る;上 あ る か ら,上 (6.6.10)に
の{…}の
中 は 補 助 定 理6.6.5に
の 右 辺 の 積 分 は 意 味 を も ち,(6.6.8)に よ り,Lμ,nはC(R)の
の 上 のBorel測
度 μnが 存 在 し て,任
よ り ξ∈Sの
連続函数 で
述 べ た μξ,n(∂Dn)≦1と
上 の 正 値 有 界 線 型 汎 函 数 で あ る.だ 意 のf∈C(R)に
か らR
対 して
(6.6.12)
が 成 り立 つ が,∂Dnの か ら,測 (6.6.13)
上 でf(x)≡0な
ら ば(6.6.11)に
度 μnの 台 は コ ン パ ク ト集 合 ∂Dnに
よ りLμ,n(f)=0と
含 ま れ る.こ
な る
の と きR′ の 上 で
が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.任 性 質 に よ り,xの N(x,y)=0と N(x,y)に
意 のy∈R′
を 固 定 す る と き,核
函数fk(x)=min{N(x,y),k}(た
定 義 し て お く)はC(R)に 近 づ く.と
こ ろ がfkに
函 数N(x,y)の
だ しx∈K0の 属 し,kに
と きは
関 し て単 調増 加 で あ っ て
対 し て は(6.6.12)と(6.6.11)に
よ り
が 成 り立 つ か ら,k→ ∞ とす る と積分 の単 調 収束 定 理 に よ り
こ の 右 辺 に(6.6.8)と 順 次 適 用 す る と,任
補 助 定 理6.4.2の 意 のy∈R′
が 得 ら れ,(6.6.13)が [第2段]
証 明 中 に 示 し た 等 式(μN)K=μNKを
に対 して
成 立 す る.
(6.6.11)で
定 義 さ れ るLμ,n(f)に
対 して
(6.6.14)
が 成 立 す る.な
ぜ な ら ば μξ,n(∂Dn)≦1な る こ と と 補 助 定 理6.6.6に
が 成 り立 つ か ら,(6.6.11)に よ っ て(6.6.14)が [第3段]
お い てn→
とす る と,積
分 の有界収束定理に
得 られ る.
定 理 の 証 明.FH0函
し てu=μN=νNと
数uに
対 し て 標 準 測 度 μ お よ びν
な っ た とす る.測 度 μ,νか ら 第1段
Lμ ,n,Lν,nお
よ び 測 度 μn,νn(n=1,2,…)を
(6.6.13)に
より
が 成 り立 つ.こ
∞
より
もR′ 上 の 優 調 和 函数u∂DnのRiesz分
で 述 べ た よ うに汎 函 数
定 義 す る と,第1段
こ で 測 度 μn,νnの 台 は ∂Dnに
が存在
含 ま れ る か ら,上
で 証 明 し た
の式 は い ず れ
解 を 与 え る 式 と 考 え ら れ,Riesz分
解 の
一 意 性 に よ りμ n≡νnで あ る.従 てLμ,n(f)=Lν,n(f)と
っ て(6.6.12)に
な る.コン
上の 任 意 の 連 続 函 数hは,Rの
よ りす べ て のf∈C(R)に
パ ク ト距 離 空 間Rの 上 の 連 続 函 数fhに
対 し てLμ,n(fh)=Lν,n(fh)が
成 り立 つ か ら,n→
だ か ら μ=ν と な り,uに
対 し
閉 部 分 集 合 で あ るSの
拡 張 され て,す
べ て のnに
∞ とす る と(6.6.14)に
対 す る 標 準 測 度 の 一 意 性,す
な わ ちuの
よ って
標準表現の
一 意 性 が 示 され た . こ の こ と と 定 理6.6.1に 最 後 にFSH0函
よ り,定
理6.6.3の
後 半 は 明 ら か で あ る.
数 の 一 意 的 な 積 分 表 現 の 定 理 を 述 べ る.
定 理6.6.4
任 意 のFSH0函
S1の 上 のBorel測
度(す
数 υ に 対 し て,R′
な わ ち 標 準 測 度)μ1が
に お け るBorel測
一 意 的 に 定 ま っ て,任
度 μ0と, 意 のy∈
R′ に 対 し て (6.6.15)
が 成 立 す る. 証 明 FSH0函 FH函 FSH0函
数uが
数 υ に 対 し て,定
存 在 し てυ=μ0N+uと
数 だ か ら,uはFH0函
数uの
こ で μ0Nは
よ り
の 式 は 優 調 和 函 数 υ のRiesz分
よ り μ0とuは
上 に よ り,FSH0函
度 μ0と
定 理6.4.1に
υ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.
標 準 表 現 の 存 在 と 一 意 性 に よ り,u=μ1Nと
μ1が 一 意 的 に 定 ま る.以 測 度 μ0とS1の
よ りR′ 上 のBorel測
な る が,こ 数 で あ る.こ
解 を 与 え て い る か ら,定 理6.1.8に だ か らFH0函
理6.3.3に
数 υ に 対 し てR′
上 の 標 準 測 度 μ1が 一 意 的 に 定 ま っ て(6.6.15)が
な る標 準測 度 に お け るBorel 成 立 す る.
第7章
滑 ら か な 境 界 のNeumann型 理 想 境 界 へ の埋 め込 み
§7.1 埋 め 込 み の定 理
第4章 に お い て,Rが
多 様 体Mの
部 分 領 域 で あ っ て,そ の境 界 の一 部(境 界
全 体 で も よい)が 適 当 に 滑 らか な らば,そ の 部分 がRのMartin境
界の中へ同
相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 した.こ の 章 で は,そ の よ うな 滑 らか なRの 境 界 の 部 分 が,偏
微 分 作 用 素A*υ=div(▽
υ-bυ)に 関 す るRのNeumann型
境 界 の中 へ 同相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 す.よ に,集 合E⊂Mの
閉 包E,境
理想
って,こ の 章 で も第4章
界 ∂E等 の用 語 や 記号 は,Mに
と同 様
お け る位 相 で 考
え る も の とす る. こ の章 は 全 く前 の章 の'続 き'で あ るか ら,前 の章 で約 束 し た 記 号 ・条 件 等 を そ の ま ま用 い る.例 え ば,一 点x0∈Rと が 固 定 され てい る こ とや,条
件(A)な
それ を含 む 正 則 コン パ ク ト集合K0
ど,§6.1に
述 べ た通 りで あ る.(条 件
(A)に つ い ては §5.1を 参 照.) こ の章 の結 果 を 下 記 の 二 つ の定 理 と し て述 べ,証 明は 次 の二 つ の §で与 え る. 定 理7.1.1 Rが
向 きづ け ら れ たm次
の境 界 ∂Rの 一 部分Sがm-1次 用 素A*の
元C∞ 級 多 様 体Mの
元C3級
単 純 超 曲 面 か ら成 る と し,偏
微分作
係 数aij(x),bi(x)はR∪SでC2級
であ り,b(x)=‖bi(x)‖
が条件
(A)を 満 た す とす る.こ と書 くと,SはRのA*に
の と き,∂Rに
お け る相 対 位 相 で考 えたSの
関 す るNeumann型
へ 同 相 に 埋 め 込 まれ る;正 確 に 述 べ る と,Sの 対 一 に 対 応 し, のとき (7.1.1) {
部 分 領 域 で,そ
の とき
内 部 をS
理 想 境 界 の 本 質 的 部分S1の 各点zに
中
対 してS1の 点 ξzが一
ⅲ
で 定 義 さ れ る 写 像 φ は,多 ク ト化R(そ のR∪
様 体Mの
部 分 空 間 と し て のR∪Sと,Rの
れ は コ ン パ ク ト距 離 空 間 で あ る;§6.2参
φ(S)と
部分 空 間 と して
の 同 相 写 像 を 与 え る.(Φ(S)={ξz│z∈S}.)―
こ の 定 理 の 仮 定 の も と で は,領 外 法 線nR≡nR(z)お が で き る.こ
照)の
コ ンパ
域Rの境
よ びb(z)の
界 点 と し て の 点z∈Sに
お け る単 位
法 線 成 分 βR(z)≡(b(z)・nR(z))を
考 え ること
の こ と を 用 い て 次 の 定 理 が 述 べ ら れ る.
定 理7.1.2
前 定 理 の 仮 定 の も と で,核
函 数N(x,y)は
(7.1.2)
の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ,次 ) 任 意 のz∈Sに
のⅰ),ⅱ),ⅲ)が
対 し て,N(z,y)はy∈R′
ⅱ) 任 意 のy∈R∪Sと
上 の 定 理 で,xとyの
N(x,y)=0と
し て い る.
注 意2
核 函 数N(x,y)は
の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ て い る;注
れ ば,定
理7.1.2を
対 して
少 な く と も 一 方 がK0に
定 理6.2.2に
理7.1.1の
数 で あ る;
対 して
任 意 のz∈S\{x}に
注 意1
か ら,定
の 極 小FH0函
任 意 のz∈S\{y}に
) 任 意 のx∈R∪Sと
と が で き る.だ
成 り立 つ: ⅰ
属 し
な ら ば,
よって
意1に
よ り上 のR′ ∪∂K0をRと
意 味 で 点z∈Sと
点 ξz∈S1と
書 くこ を 同一 視 す
述 べ る前 にN(x,y)は
を 含 む 集 合 に ま で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て い る が,定 応(R×R)\{(z,z}│z∈R}の
理7.1.2で
はN(x,y)を
上 で 定 義 さ れ て い る も の と し て,そ
1.2)に
拡 張 す る と 考え る.定
理7.1.2が
z∈S)と
定 理6.2.2のN(ξ,y)(y∈R,ξ
対 応 と連 続 性 に よ りN(z,y)=N(ξz,y)な
証 明 さ れ れ ば,こ ∈ φ(S)⊂S)と
一
れ を(7.
のN(z,y)(y∈R,
の 間 に,(7.1.1)に
る 関 係 が あ る こ と は 当 然 で あ る.
よる
§7.2 核 函 数N(x,y)の
滑 らか な境 界上 へ の拡 張
この §で は 核 函 数N(x,y)をS上
の点 ま で連 続 的 に拡 張 す る.そ の た め に,
まず 境 界値 問 題 に 関 す るい くつ か の 準 備 をす る. Mの
中 の 正 則領 域 Ω で,K0を
含 み,そ
の 閉 包 Ω が コン パ ク トな もの を 考
え る.こ の よ うな 任 意 の Ω に 対 し て,Ω′=Ω \K0に
お け る境 界 値 問 題
(7.2.1)
の 核 函 数 を,§5.5に に お け る(7.2.1)と
お け る と 同 様 にNΩ(x,y)と
書 く,こ
の 函 数 は ま た,Ω
′
共 役 な 境 界値 問題
(7.2.1*)
の 核 函 数 で も あ る.(第1章,定 (7.2.2) のGreen函
理1.3.2)ま
Au=-f,u│∂K0=φ0,u│∂Ω=φ1 数 をGΩ(x,y)と
(7.2.2*) のGreen函
た,Ω′ に お け る 境 界 値 問 題
す る と,こ
れ は(7.2.2)と
A*υ=-f,υ│∂K0=φ0,υ│∂
共役な境界値問題
Ω=φ1
数 で あ る.
前 の 二 つ の 章 で 用 い た 条 件(A)を 列{Dn}n=0,1,2,…
でD0⊃K0な
こ の と き 定 理5.1.1に
考 え,そ
の 中 の(5.1.8)を
る も の を 一 つ と っ て,今
よ り,集
満たす領域 の
後 こ れ を 固 定 し て お く.
合
(7.2.3)
(R′=R\K0)に
おけ る広 義 一 様 収 束 で
(7.2.4)
が 成 立 す る. x,yの
少 な く と も一 方 がK0に
と に よ り,函 (7.2.5)
数N(x,y)は
属 し
集合 [R×R]\{(z,z)│z∈R}
な ら ばN(x,y)=0と
定義す るこ
の 上 で 連 続 な も の と し て 扱 う こ と が で き る. Mの
中 の 正則領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包 Ω を も ち,
(7.2.6)
D0⊂
な る も の を と る.今
Ω ⊂R,∂
後 し ば ら く,こ
∂Ω ′の 上 の 函 数 α(x)を
Ω ∩S⊂S
の よ うな Ω を 一 つ 固 定 し て 準 備 を 進 め る.
次 の よ うに 定 義 す る:
(7.2.7)
ここ で まず,境 界 値 問 題 Ω ′にお い て (7.2.8) {
∂Ω′に お い て
お よび Ω ′に お い て (7.2.8*) {
∂Ω′に お い て のGreen函
数G(x,y)を
こ の よ うなGreen函
構 成 す る.α(x)は 数 の 存 在 は 第1章
に 述 べ る よ うに し てG(x,y)を αn(z)を
∂Ω′の 上 で0≦
に は 述 べ ら れ て い な い が,我
る 値 を と るC2級
の上 では
とな る もの と し,境 界 値 問 題
々は 以 下
構 成 す る こ とが で き る.
αn(z)≦1な
(7.2.9) {
∂Ω′の 上 で 連 続 で は な い か ら,
の上では
の 函数 で あ っ て
Ω′に お い て (7.2.10) {
∂Ω′に お い て のGreen函
数 をGn(x,y)と
す る と,こ
れ は(7.2.10)と
共 役 な境 界 値 問 題
Ω′に お い て (7.2.10*) {
∂Ω′に お い て のGreen函
数 で も あ る.(第1章,定
理1.3.2)こ
の と き,函
数列
{αn(z);n=1,2,…} は ∂Ω′の 上 でnに
関 し て 単 調 増 加 で あ る か ら,第1章
は (7.2.11) {
)でnに
の 定 理1.3.5に
より
の 上(た だ し
関 し て単 調 増 加 で あ る;
従 って (7.2.12)
が 存在 す る;
極 限 函 数 xとyの
少 な く と も 一 方 が
属 し,か
つ
に
(7.2.13) [
こ のG(x,y)が ずx,y∈
所 要 のGreen函
Ω′か つ
な ら ば,
と な る.
数 に な る の で あ る が,そ
れ を 示 す た め,ま
ならば
(7.2.14)
お よび
(7.2.15)
が 成 り立 つ こ と を 示 そ う. Ω′でHolder連
続 な 任 意 の 函 数fを
と り,函
数
(7.2.16)
を(7.2.2*)の て は υ=0で
形 の 境 界 値 問 題 の 解 と 考 え る;た あ る.だ
か ら υ はGΩ(x,y)を
だ し(∂ Ω ∩Dn)∪ ∂K0に
用 いて
お い
と 表 わ され る.こ
の 両 辺 の υ に(7.2.16)の
任 意 性 に よ り,す
べ て のx,y∈
と が わ か る.(7.2.15)も さ て(7.2.14)に Ω′\S(
Ω′(
右 辺 を 代 入 し た 式 を 書 け ば,fの )に
対 し て(7.2.14)が
成 り立 つ こ
同 様 な 方 法 で 証 明 さ れ る.
お い てn→
∞
と す る と,(7.2.12)に
よ り任 意 のx,y∈
)に 対 し て
(7.2.17)
が 成 立 し,従
っ て ま た,任
意 のx∈
Ω′,y∈ ∂Ω\Sに
対 して
( nに 関 し て 単 調 (7.2.18)
増 加 で収 束 す る)
そ こ で,(7.2.15)にお に よ り,任
意 のx,y∈
い てn→
∞
と す る と(7.2.12),(7.2.13)お
Ω′∪ ∂K0∪(Ω
∩S)(
)に
よ び(7.2.18)
対 し て
(7.2.19)
を 得 る.GΩ(x,y)とNΩ(x,y)の G(X,y)は ら,従
連 続 性 お よ び(7.2.17),(7.2.19)に
任 意 の
より
で 連 続 な こ と が わ か るか
っ て ま た(7.2.17),(7.2.19)が
す べ て のx,y∈
Ω′(
)で 成 立 す る
こ と が わ か る. 以 上 の 推 論 で,xとyの (
)に対
役 目を 入 れ 替 え る こ と に よ り,す
べ て のx,y∈
Ω′
して
(7.2.20)
(7.2.21)
が 示 さ れ る. GΩ(x,y),NΩ(x,y)の に よ っ て,G(x,y)が
性 質 と(7.2.17),(7.2.19),(7.2.20)お 境 界 値 問 題(7.2.8)お
よ び(7.2.8*)のGreen函
よ び(7.2.21) 数 に な
る こ と が 験 証 さ れ る.特 z∈ ∂Ω \(∂Ω\S)に
に 次 の 性 質 を 記 し て お く:任
意 のx,y∈
Ω′∪ ∂K0と
対 して
(7.2.22)
こ こ で 核 函 数NDn(x,y)(n=1,2,…)に 補 助 定 理7.2.1 ⅰ)
x,y∈
つ い て 次 の こ と を 示 そ う.
Ω ∩D′n,
な らば
(7.2.23)
ⅱ ) x∈Dn\
Ω,y∈Dn∩
Ω′ な ら ば
(7.2.24)
ⅲ) 領 域 Ω の み に 関 係 す る正 の 定 数CΩ と番 号nΩ が存 在 し て,す n>nΩ
べ ての
に対 して
(7.2.25)
証 明 ⅰ) 任 意 の 函 数f∈C10(D′n),h∈C10(Ω′)を
と り
(7.2.26)
な る 函 数u,υ
を 定 義 す る と, D′nに お い て
(7.2.27)
Ω′に お い て 領域
Ω ∩D′nに お け るGreenの
公式に よ り
右 辺 の 境 界 積 分 に お い て,(7.2.27)に 上 の 積 分 は 全 く消 失 す る か ら,積
よ り
の 項 は 消 失 し,ま
分 範 囲 は ∂(Ω∩Dn)と
た ∂K0の
書 い て よ い.よ
って
こ の 式 のu,υ
に(7.2.26)の
(7.2.23)がx,y∈
定 義 式 を 代 入 し,函
Ω ∩D′n,
A*υ=0な ⅲ)
域
Ω と 任 意 の 函 数f∈C10(Ω
Ω ∩D′nに お け るGreenの
る こ と に よ り,ⅰ)の ま ずu0(x)≡1な
の 解 で あ る か ら,核
任 意 性 を 考 え れ ば,
に 対 し て 成 り立 つ こ と が わ か る. ⅱ
) 任 意 に 固 定 し た 点x∈Dn\
に 対 し て,領
数f,hの
公 式 を 適 用 す れ ば,こ
証 明 と 同 様に し てⅱ)の
る 函 数 は,D′nに
函 数NDn(x,z)を
′)を と り,函
数
の領 域 で は
結 論 を 得 る.
お け る 境 界 値 問 題:
用い て
(7.2.28)
と表 わ さ れ る;す
な わ ち,任
意 のx∈D′nに
対 し て 上 の 等 式 が 成 立 す る.次
領 域 Ω′に お け る 境 界 値 問 題(7.2.2)のGreen函 を 定 義 す る と,こ w│∂ Ω=0,w│∂K0=1を に よ り
満 た す.従
数GΩ(z,y)を
に,
用い て函数
の 函 数 は Ω′に お い てAw=0,
っ て 調 和 函 数 の 性 質(第1章,定
理1.4.2)
は ∂Ω の上 で,い た る と こ ろ正 の値 を と る連 続 函 数 であ るか ら,
正 の最 小値 を とる.nが くか ら,∂Dn∩
増 大 す る と き ∂Dn∩ Ω は ∂Ω∩Sに 一 様 に近 づ い て い の最 小値 も,あ
Ω の 上 で の
ら適 当 なnΩ とCΩ を とれ ば,す べ て のn>nΩ
る正 の値 に近 づ く.だ か
に対 し て
(7.2.29)
と な る.さ
て,任
意 のn>nΩ
函 数 υ(z)=NDn(x,z)と るGreenの
を と っ て か ら,任
上 に 定 義 し た 函 数w(z)に
公 式 を 適 用 す る と,υ
とwが
意 の 点x∈Dn\Ω 対 し て 領 域Ω
を 定 め, ∩D′nに お け
満 た す 方 程 式 と境 界 条 件 に よ って
が 得 られ る;す な わ ち
だ か ら(7.2.28),(7.2.29)に
と な る.こ
よ っ て
こ でxはDn\
Ω の 任 意 の 点 で あ る か ら(7.2.25)が
次 に,K0⊂
Ω0⊂Ω0⊂Rか
た と し,Ω0に
お け る 境 界 値 問 題(7.2.2)のGreen函
次 の 補 助 定 理 のⅰ),ⅱ)は
成 り立 つ.
つ Ω0が コ ン パ ク トで あ る 正 則 領 域Ω0が 数GΩ0(x,y)を
そ れ ぞ れ 前 の 補 助 定 理7.2.1のⅱ),ⅲ)と
与 え られ 考 え る と, 全 く同 じ
方 法 で 証 明 さ れ る. 補 助 定 理7.2.2 ⅰ)
Dn⊃Ω0,x∈Dn\
Ω0,y∈Dn∩
Ω′0なら ば
(7.2.30)
ⅱ) Dn0⊃ Ω0な
るn0を
とる と
(7.2.31)
系 Dn0⊃ Ω0で あ っ て,Fが
領 域 Ω0に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 な ら ば
(7.2.32)
こ の 系 は,(7.2.30)の
な る こ と と(7.2.31)を 今 後,R∪Sを
右辺において
用 い れ ば,容
簡 単 にRと
に お け る 相 対 位 相 に 関 す るEの
書 く こ と に し,任 内 部 をIntR
正 則 領 域 Ω を 含 む 正 則 領 域 Ω1で,次 (7.2.33) Ω1は
易 に 示 さ れ る.
Eで
意 の 集 合E⊂Rに 表 わ す.前
対 し て,R
か ら固定 し て い る
の 条 件 を 満 た す も の を 一 つ 固 定 す る:
コ ン パ ク トで Ω1⊂Rか
つ Ω ⊂IntRΩ1.
前 の 領 域 Ω に 対 す る 境 界 値 問 題(7.2.8),(7.2.8*)のGreen函 を 構 成 し た よ うに,Ω1に そ れ をG1(x,y)と
対 す る 同 様 な 境 界 値 問 題 のGreen函
書 く.こ
き 直 し て お く:x,y∈
数G(x,y)
のGreen函
Ω1∩D′n,
数 を 構 成 し て,
数 を 用 い て(7.2.23)を
次 の よ うに 書
な らば
(7.2.23′)
こ こ で,(7.2.23)に z∈ ∂Ω1∩Dnな
お け る 積 分 の 範 囲 を ∂Ω1∩Dnと
ら ばG1(x,z)=0な
る こ と を 用 い た.(7
積 分 範 囲 を 分 け る と次 の よ う に な る:x∈Dn\Ω,y∈Dn∩
∂D n∩ Ω1と に 分 け, .2.24)も
同様に右辺の
Ω′な ら ば
(7.2.24′)
さ て,任 7.2.2の る.そ
意 の コ ン パ ク ト集 合E⊂Ω′1お
よびF⊂
Ω′ を と る と き,補
前 に 述 べ た 条 件 を 満 た す 領 域 Ω0でF⊂Ω0⊂Ω0⊂ こ でDn0⊃
に よ り,(7.2.23)の
Ω0∪Eな
るn0を
最 後 の 積 分 に お け る{…}内
∂Dn∩ Ω1に 関 し て 有 界 で あ っ て,n→ NDn(z,y)の
と れ ば(7.2.32)が
有 界 性(7.2.32)に
∞ の と き0に
よ り,x∈E,y∈Fに
助 定理
Ω と な る も の が あ
成 立 す る.一
方(7 .2.22)
の 式 はn>n0,x∈E,z∈ 収 束 す る .こ
の こ と と
対 して
(7.2.34)
が 導 か れ る.(7.2.24′)の (7.2.22)を
用 い て,y∈Fに
最 後 の 積 分 に つ い て も 同 様 に し て,(7 対 して
(7.2.35)
が 示 され る. 以上 の こ とを用 い て,次 の補 助 定 理 を 証 明す る.
.2.31)と
補 助 定 理7.2.3
領 域 Ω,Ω1お
述 べ た 通 り とす る と,コ 測 度 μ が 存 在 し て,核
よ びGreen函
数G(x,y),G1(x,y)を
ン パ ク ト集 合(∂Ω1\S)×(∂Ω\S)の 函 数N(x,y)は,x∈
上 に
上 の 有 界 なBorel
Ω′1,y∈Ω′, に
対 して
(7.2.36)
証 明 E⊂ Ω′1,F⊂ Ω′,E∩F=φ 任 意 の(x,y)∈E×Fに 合E,Fに
な る任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,Fを
対 し て(7.2.36)が
成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.こ
対 し て 上 に 述 べ た 条 件 を 満 た す 領 域 Ω0と 番 号n0を
対 し て(7.2.23′),(7.2.24′),(7.2.34),(7.2.35)を (7.2.23′)と(7.2.34)の z1と
書 き 直 す と,こ
文 字zをz1と
右 辺 第2項
が 成 立 す るz1の
範 囲 に 含 ま れ る.よ
に(7.2.24′)(xがz1に
用 い る こ と に す る.ま
書 き,(7.2.24′)と(7.2.35)の
に お け る 積 分 変 数z1の
ず
文 字xを 対 して 成 立
変 域 は(7.2.24′),(7.2.35)
っ て(7.2.23′)の
な っ て い る)の
の集
と り,n>n0に
れ ら の 四 つ の 等 式 は す べ て の(x,y)∈E×Fに
し,(7.2.23′)の
と り,
右 辺 第2項
右 辺 を 代 入 す る と,次
のNDn(z1,y)
の 等 式 を 得 る:
(7.2.37)
こ こ で,右
辺 の 第2項,第3項,第4項
I(3)n(x ,y)と
書 き,各
I(1)n(x,y)に Borel測
項 に つ い てn→
つ い て.コ
度 μnを
を そ れ ぞ れI(1)n(x,y),I(2)n(x,y), ∞
の と き の 極 限 を 考 え る.
ン パ ク ト空 間Ⅱ≡(∂
Ω1\S)×(∂
Ω \S)に
お け る 次 の
考 え る:
にお い ては の外 部 の μn測度 は0. こ の と きI(1)n(x,y)は
コ ン パ ク ト空 間Ⅱ
の 上 の 測 度 μnに よ る 積 分 と考 え ら れ
る.(7.2.25)に
よ り,n1=max{n0,nΩ}と
で あ る か ら,測
度 の 列{μn}は
す る と
コ ン パ ク ト空 間Ⅱ
ら 適 当 な 部 分 列{μnν}を
と れ ば,こ
測 度 μ に 漠 収 束 す る.任
意 の(x,y)∈E×Fに
の 上 で 一 様 有 界 で あ る.だ
か
の コ ン パ ク ト空 間 上 の あ る 有 界 なBorel
式の'被 積分 函数'
対 し て,I(1)n(x,y)を は(z,z1)に
つ い てⅡ
定義す る
に お い て連 続
で あ るか ら,上 に述 べ た 測 度 の部 分 列 の漠 収 束 に よ り (7.2.38)
を得 る.こ
の右 辺 は(7.2.36)の
最 後 の 項 と同 じで あ る;上 の 式 で もⅡ が 二 つ
の超 曲面 の直 積 で あ る こ とを 意 識 す るた め に,積 分 記 号 を2重 に 書 い て お く. I(2)n(x,y),I(3)n(x,y)に の
つ い て.I(2)n(x,y)を
はx∈E,z1∈
∂Ω1∩Dnに
定 義 す る 式 の 被 積 分 函 数 の中
関 し て 有 界 だ か ら,(7.2.35)(xをz1
と書 き直 した も の)に よ っ て は
が 得 ら れ る.ま
を意 味 す る.
以 上 に よ り,(7.2.37)に
お い て(7.2.38)が
考 え てν → ∞
辺 は(7.2.4)に
とす れ ば,左
任 意 の(x,y)∈E×Fに
対 し て(7.2.36)が
成 立 す る よ うな 部 分 列{nν}を よ っ てN(x,y)に 得 られ る.こ
が 示 さ れ た. 補 助 定 理7.2.4 ⅰ)
核 函 数N(x,y)は
集合
(7.2.39)
の上 の連 続 函数 に拡 張 され る. ⅱ) 上 の拡 張 され たN(x,y)は (7.2.40)
(7.2.41)
た,(7.2.34)
次 の境 界 条 件 を 満 た す:
任 意 のx(≡S,y∈(R∪S)\{x}に
対 して
任 意 のy∈S,x∈(R∪S)\{y}に
対 して
収 束 す るか ら, れ で 補 助 定 理7.2.3
証 明 ⅰ) Sに 含 ま れ る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 Γ と 任 意 のDn0と こ の と き 領 域 Ω と Ω1を,前 よ う に とれ る.こ え る と,補 Borel測 IntRΩ
に 述 べ た 条 件 を 満 た し か つIntRΩ
の Ω,Ω1に
助 定 理7.2.3に
対 応 す るGreen函
⊃ Γ な る こ と に よ り,コ
積 分 変 数z1,zの は(x,y)に
⊃Dn0∪
Ω′,
Γ な る
数G(x,y),G1(x,y)を
述 べ た よ う に(∂ Ω1\S)×(∂ Ω\S)の
度 μ が 存 在 し て,x,y∈
を 与 え る.
に 対 し て(7.2.36)が
考
上 の有 界 な 成 立 す る.
ン パ ク ト集 合 Γ の 適 当 な 近 傍 は,(7.2.36)の
変 域 ∂Ω1\S,∂ Ω\Sか
ら 離 れ て い る か ら,(7.2.36)の
右 辺
ついて 集合
(7.2.42)
の 上 で 連 続 な 函 数 を 表 わ し て い る.だ (7.2.42)の
か ら こ の 式 に よ り核 函 数N(x,y)は
上 の 連 続 函 数 と し て 定 義 さ れ る.x,y∈R′
の 値 は 初 め か ら 定 ま っ て い る か ら,こ と り方 に は 関 係 し な い.こ
集合
に 対 す るN(x,y)
の 連 続 的 拡 張 の Γ 上 で の 値 は Ω,Ω1の
こ で Γ はSの
中 で 任 意 に 大 き く と る こ と が で き,
n0も 任 意 に 大 き く とれ る か ら,N(x,y)は
集 合(7.2.39)の
上 の連 続 函数 に拡
張 さ れ る. ⅱ) 上 のⅰ)の 証 明 か ら わ か る よ うに,集 し てN(x,y)が(7.2.36)で れぞれ
Ω,Γ
合(7.2.42)に
と し た 場 合 に つ い て 証 明 す れ ば よ い.こ
の 変 域 ∂Ω1\S,∂ Ω \Sか 境 界 条 件(7.2.22)を
属 す る(x,y)に
表 わ さ れ て い る と し,(7.2.40∼41)のR,Sを の 場 合 に は,Γ
ら離 れ て い る こ と と,G(x,y)お
満 た す こ と に よ り,(7.2.40∼41)が
対 そ
がz1,z
よ びG1(x,y)が 成 り立 つ こ と は 容 易
に わ か る.
以 上 で,N(x,y)が (7.1.2)と れ た が,こ
同 じ)ま
集 合(7.2.39)(そ
れ は 前 § に 述 べ た 定 理7.1.2の
で 拡 張 さ れ て 定 理7.1.2のⅱ),ⅲ)が
の § の 結 果 で は,Sは
こ の §の 結 果 を 用 い て 次 の §で'埋 の §の 結 果 と を 合 わ せ て,定
ま だ 理 想 境 界S1に め 込 み'の
理7.1.1と
成 り立 つ こ と が 示 さ 埋 め 込 ま れ て は い な い.
写 像 の 存 在 が 示 さ れ,そ
定 理7.1.2の
下 記 の 補 助 定 理 は 次 の §で 用 い る も の で あ る が,こ
集合
れ と こ
証 明 が 完 成 す る.
の §で 準 備 し た こ と か ら
直 接 的 に 導 か れ る ので,こ
こで 証 明 し てお く.
補助 定 理7.2.5 EがR′
∪Sの
パ ク ト集 合 で あ っ てE∩F=φ N(x,y)はE×Fに 証 明 E,Fに
閉 部 分 集 合,FがR′ な らば,前
∪Sに
含 まれ る コン
の 補 助 定 理 で 拡 張 され た 核 函 数
お い て 有 界 で あ る. 対 す る仮 定 に よ り,次 の条 件 を 満 た す 正 期 領 域 Ω で,コ
ンパ
ク トな 閉包 Ω を もつ ものが 存 在 す る: (7.2.43)
K0⊂
Ω ⊂Ω ⊂R,IntRΩ
こ の よ うな Ω を 一 つ 固 定 し,こ と,(7.2.24′)と(7.2.25)が y∈Dn∩
⊃F,Ω
∩E=φ.
れ に 対 応 す るGreen函
成 立 す る.(7.2,24′)を
数G(x,y)を
考 える
再 記 す る と:x∈Dn\
Ω,
Ω′ な ら ば
(7.2.24″)
ま た(7.2.25)に
よ り
(7.2.25′)
(7.2.43)
で あ る か ら,(7.2.25′)と
に よ り
(7.2.24″)の
右 辺 第1項
に 対 して
と な る 定 数C′Ωが 存 在 す る.一 F∩Dn1と (7.2.35)が
方,任
意 の 番 号n1を
Ω0⊂Ω0⊂ Ω な る 正 則 領 域 Ω0を と る と,任 成 立 す る か ら,(7.2.24″)の
が 成 立 す る.だ
合 わ せ て,
か ら(7.2.24″)に
右 辺 第2項
お い てn→
∞
と っ て 一 応 固 定 し て お き, 意 のy∈F∩Dn1に に対 し て
とす れ ば
対 して
が 任 意 のx∈E∩R,y∈F∩Dn1に れ る か ら,こ (7.2.4)に
対 し て 成 立 す る が,n1は
の 式 は 任 意 のx∈E∩R,y∈F∩Rに
よ りN(x,y)≦C′Ω
7.2.4に
よ りN(x,y)が
E×Fの
上 でN(x,y)≦C′Ω
補 助 定 理7.2.6 (7.2.44)
と な る.こ
Ω はMの
D0⊂ Ω⊂R,∂
を 満 た す も の と す る.ま
対 し て 成 立 す る.だ
が(E∩R)×(F∩R)の
集 合(7.2.39)ま
任意に大 き くと
上 で 成 立 し,補
か ら 助定理
で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て い る か ら, れ で 補 助 定 理7.2.5が
証明 さ れ た.
中 の 正 則 領 域 で コ ン パ ク トな 閉 包Ω を も ち, Ω ∩S⊂S
(こ れ は(7.2.6)と
た 函 数wはRでC2級
同 じ 条 件)
で あ っ て,
では
(7.2.45)
とな る もの とす る.こ の と き任 意 のx∈R′
に対 し て 次 の 式 が成 立 す る:
(7.2.46)
証 明 任 意 の 函 数h∈C10(R′)を
とり
(7.2.47)
と 定 義 す る.函
数hの
台 と 領 域 Ω と を 含 む 正 則 領 域 Ω1で 条 件(7.2.33)を
た す も の を と り,Ω,Ω1に を 考 え る.こ
対 応 す る前に 述 べ たGreen函
の と き 函 数N(x,y)(x∈
れ る か ら,(7.2.47)で
数G(x,y),G1(x,y) )が(7.2.36)で
定 義 さ れ た 函 数 υは Ω′に お い てA*υ=-hと を 満 た す.一
を 満 た し,wとAwの
っ て(7.2.47)に
方wは(7.2.45)に
台 は Ω′に 含 ま れ る.だ
式 に よ って
と な り,従
Ω′1,y∈Ω′,
よ り
満
表 さ な り
よ って
か ら Ω′に お け るGreenの
公
を 得 る.こ
こ でhがC10(R′)に
対 し て(7.2.46)が
成 立 す る.
属 す る 任 意 の 函 数 で あ る か ら,任
意 のx∈R′
に
§7.3 埋 め 込 み 定 理 の 証 明
こ の §で は 前 述 の 定 理7.1.1,定 で,証
理7.1.2を
証 明 す る が,§4.2と
同 じ形 式
明 の 各 段 階 を 補 助 定 理 と し て 述 べ て,そ れ ら を 証明 し て い く こ と に よ り,
前 述 の 定 理 の 証 明 を 完 成 す る.従
っ て 定 理7.1.1の
も の と し て 議 論 を 進 め る.Riemann計 y∈R∪Sの
距 離 をdis(x,y)と
量‖aij‖
仮 定 は 常 に 満 た され て い る に よ っ て 定 義 され る二 点x,
書 く こ と に す る.ま
た,ρ
は §6.2に お い てR
で 定 義 さ れ た 距 離 を 表 わ す. 補 助 定 理7.3.1 応 し て,Rの
任 意 の 点z∈Sに
対 し て,点ξz∈Sが
一 つかつ 唯一つ 対
とな る よ うな任 意 の 点 列{xν}に
中 の と な る;こ
が 成 り立 つ.(N(ξz,y)は
の と き 任 意 のy∈R′
に 対 し てN(ξz,y)=N(z,y)
前 章 の 理 想 境 界 の 構 成 で 定 理6 .2.2に
れ た も の で あ り,N(z,y)は
対 して
前 §で 補 助 定 理7.2.4の
よ って 定 義 さ
結 果 とし て与 え られ た も
の で あ る.) 証 明 任 意 の 点z∈Sを
与 え る と,こ
れ に 対 し てRに
と な る も の が と れ る.Rは
り,点 列{zn}はRの 部 分 列{znν}がSの
まRの
上 の 一 点 ξに,ρ
連 続 性(補
任 意 のy∈R′ か ら §6.2に
に 関 し て 収 束 す る:
を 満 た す 任 意 の点 列{xν}を
け る 拡 張 さ れ たN(x,y)の
と な る.だ
距 離 ρに 関 し て コ ン パ ク トで あ
中に は ρに 関 す る集 積 点 を も た な い か ら,そ の適 当 な
中 に
(7.3.1)
含 ま れ る 点 列{zn}で
助 定 理7.2.4)に
こ こ で{xν}がdis(xν,z)→0な
と る と,前
§に お
よ り
に対 し て
お け る 距 離 ρの 定 義((6
に よ っ て
い
.2.3)お
よ び(6.2.4)を
見 よ)
とな り,上 の結 果 と合 わ せ て
る任 意 の点 列 で あ る こ とに よ り ,点
ξ∈Sは
点z∈Sに
よ っ て 一 意 的 に 定 ま る こ とが わ か る.よ で あ り,ま
=N(z,y)を
た(7.3.1)に
っ て こ の ξを ξzと 書 け ば
よ り 任 意 のy∈R′
に 対 し てN(ξz,y)
得 る.
補 助 定 理7.3.2
z∈S,{yn}⊂R′
な ら ば,
で あ っ て
と な る. 証 明 前 §の 補 助 定 理7.2.4の 函 数N(x,y)は(7.2.36)の
証 明 か ら わ か る よ うに,集
表 現 式 を 用 い て 定 義 さ れ る も の で あ り,そ
域 Ω の 閉 包Ω が 点zお
よ び 点 列{yn}を
含 む と し て よ い.(7.2.36)に
で あ るか ら,x,y∈ N(x,y)≧G1(x,y)が
成 り立 つ.一
(Ω をΩ1と
し た も の)がx,y∈Ω′1
GΩ1(x,y)が
成 り立 つ.GΩ1(x,y)は
Green函
合(7.2.39)の
数 で あ る か ら,こ
Ω′(ただ し
方G1(x,y)に
上 の こ で領 おい て
)に 対 し て
つ い て は(7.2.17)と
同 じ式
に 対 し て 成 立 す る か らG1(x,y)≧ 第1章
で 述 べ ら れ たDirichlet問
の 補 助 定 理 に お け るzと{yn}に
題の
対 し て 定 理1.3.8
に より
と な る.こ
の こ と と 前 の 補 助 定 理7.3.1と
補 助 定 理7.3.3
z∈S,{xn}⊂R′
か ら 直 ち に こ の 補 助 定 理 を 得 る.
で あ
な らば
っ て
で あ る. 証 明 結 論 を 否 定 す る と,Mに 列{xnν}が
存 在 し て,す
∩S⊂Sと
し て よ い.ま
た こ の と き,R′USに
∪Sに
(R′ ∪S)\W(z)はR′
∪Sの
上 でN(x,y)≦Cと
が 成 り立 つ.仮
点 列{xn}の
と な る.こ
含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ り,一 閉 部 分 集 合 で あ る か ら,補 な る 定 数Cが
す べ て のν,nに
定 に よ り
固 定 す る と き距 離 ρ に 関 し てx∈Rの
あ る.従
部分
こ でW(z)
お け る 開 集 合W(z)∩R′
と な る も の が と れ る.点zと
か ら 成 る 集 合FはR′
(7.3.2)
近 傍W(z)と
べ て のν に 対 し て
れ る点 列{yn}で,
E×Fの
お け る 点zの
に含 ま 点 列{yn}
方,集
助 定 理7.2.5に
合E= よ り,
って
対 し てN(xnν,yn)≦C
で あ り,N(x,y)は
任 意 のy∈R′
連 続 函 数 で あ る か ら,(7.3.2)に
を
お いて
ν→ ∞
とす る と す べ て のnに
と な る.こ
対 し てN(ξz,yn)≦C
れ は 補 助 定 理7.3.2に
補 助 定 理7.3.4
反 す る.よ
任 意 の 点z∈Sに
っ て 補 助 定 理7.3.3が
対 し て,点ξz∈Sが
成 立 す る.
一 対 一 に 対 応 し,
の とき (7.3.3)
の とき
で 定 義 され る写 像 Φ は,Mの
部 分 空 間 と して のR∪Sか
らRの
中への同相写
像 を 与 え る.― こ の 補 助 定 理 に お い てSをS1と の も の に な る.我
す る こ と が で き れ ば,こ
々 は ま ず こ の 補 助 定 理 を 示 し,こ
れ は 定 理7.1.1そ
れ を 用 い て次 の補 助 定 理 を
証 明 す る と,そ
の 結 果 と し て Φ(S)⊂S1な
る こ と が わ か る.こ
助 定 理7.3.4と
を 合 わ せ て,定
得 られ る の で あ る.こ
方 はMartin境
界 に 対 す る §4.2と 全 く同 じ で あ る が,更
明 は 補 助 定 理4.2.5の
異 な る だ け で あ る.よ
れ る こ とは,補
らR(=R∪S)の
助 定 理7.3.1に
は 自 明 で あ る.任
意 の 点z∈Sに
像 Φ がRに
の 写 像 が 一対 一 で あ る こ と は お い て 同相 写 像 で あ る こ と
お け る Φ の 両 連 続 性 の 証 明 は 補 助 定 理4.2.5
に お け る 証 明 と全 く同 文 と な る.(引 用 す る 補 助 定 理4.2.2,補 そ れ ぞ れ 補 助 定 理7.3.1,補
助 定 理7.3.3と
こ の 補 助 定 理 に よ りSはSの
助 定 理4.2.4を,
読 み 替 え る だ け で よ い.)
中 へ 同 相 に 埋 め 込 ま れ る か ら,以
コ ン パ ク ト部 分 集 合 をSの
証 明 ま ず,Sに
意味が
中への一意写像 Φが定義 さ
よ っ て 示 さ れ,そ
よ っ て 示 さ れ る.写
函 数 と し て 極 小FH0函
号S,Rの
明の記述
っ て 証 明 の 筋 道 の み を 述 べ て お く.
よ りR∪Sか
補 助 定 理7.3.5
に 上 の補 助 定 理 の 証
用 す る 補 助 定 理 や 式 の 番 号 と,記
補 助 定 理7.3.3に
はSの
の 議論 の進 め
証 明 と全 く同 じ考 え 方 で あ る ば か りで な く,証
も ほ と ん ど 同 文 に な る;引
ま ず(7.3.3)に
理7.1.1が
の こ と と上 の補
下において
コ ン パ ク ト部 分 集 合 と も考 え る.
任 意 のz∈Sに
対 し て,ξz∈S1で
あ り,N(ξz,y)はyの
数 で あ る. お け る 相 対 位 相 に 関 す る 開 集 合S\{z}に
コ ン パ ク ト集 合 Γ を と る.Sを
補 助 定 理7.3.4に
含 まれ る任 意 の
よ っ て Φ(S)と
同一視す る
と,Sの
上 で非 負値 を とる連 続 函数 φ で次 の条 件 を 満 た す もの が 存 在 す る: Γ の 上 で は φ(ξ)>0で
あ り,台
がs\{z}に
含 ま れ る;
(7.3.4){
Sに 次 に,Mの
お い て はC2級
で あ る.
中 の 正 則 領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包Ω
の 仮 定(7.2.44)を に お い てC2級
満 た し て,か の 函 数wで
助 定 理7.2.6 の と きR∪S
次 の 条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る;
では
(7.3.5)
(D0は
を も ち,補
つ ∂Ω ⊃ Γ な る も の を と る.こ
前 §参 照).更
にS\Sに
(7.3.6)
Rに
よ っ てwは
補 助 定 理7.2.6に
お い て はw(ξ)=0と
お い て 連 続 で あ っ て,w│s=φ
R′ に 対 し て(7.2.46)が
を 満 た す.
お け る 仮 定(7.2.45)を
成 立 す る;す
定 義 す る と,wは
満 た す か ら,任
意 のx∈
なわち
(7.3.7)
と こ ろ が,こ
の 式 の 右 辺 はxに
含 む 領 域 Ω1,Ω2を (7.2.36)の
前 §の Ω,Ω1の
た,Awの
性 に よ っ て,(7.3.7)の
台 がΩ
右 辺 のR\Ω
理6.4.1のⅰ)でμ
ら,yのFH0函
数 で あ る.だ
∪Sに
お け る(7.3.7)の
右 辺 の連 続
に お け る 連 続 性 が 示 さ れ る.)函 任 意 のx∈Rに
を
れ を 用 い てN(x,y)を
に 含 まれ る こ と と核 函 数N(x,y)の
お い て 連 続 で あ る か ら,(7.3.7)は
てN(ξz,y)は,定
連 続 な 函 数 を 表 わ し て い る.(Ω
よ う に と り,そ
形 に 表 現 す る こ と に よ り,R′
性 が 示 さ れ る.ま
Rに
つ い てRで
連続 数wも
対 し て 成 立 す る .さ
が 一 点 ξzに お け る点 質 量 の 形 で あ る か
か ら定 理6.6.1に
よ り標 準 表 現
(7.3.8)
を も つ;μ1はS1の
上 の 測 度 で あ っ て,定
理6.4.2と
定 理6.2.2の
(7.3.9)
を 満 た す.こ
の と き(7.3.6),(7.3.7),(7.3.8),(7.3.4)に
よ り
系2に
よ り
と な る か ら,φ り,Γ
が 非 負 値 で あ っ て Γ の 上 で は 正 な る こ と に よ り μ1(Γ)=0と
の と り方 の 任 意 性 に よ り μ1(S\{z})=0と
と 書 く こ と が で き る.こ
こ で(7.3.9)に
な る.だ
よ りc≦1で
な
か ら(7.3.8)を
あ り,上
の式か ら
(7.3.10)
c<1と
仮 定 す る と,yが
よ っ て ∞ に な る.一 よ う に と る と,補 界 で あ る か ら,連 (7.3.10)の
方,Mに
お け るzの
助 定 理7.2.5に
よ りN(ξz,y)はyの
よ り μ1(S1\S)=0と
な る.す
な わ ち,補
函 数 と し て 極 小FH0函
か ら 定 理7.1.1が 定 理7.1.2に
助 定 理7.3.4の
成 立 し,ま
な る.
っ てc=1で
な る.以
か ら ξz∈S1と
以 上 の 結 果 を ま と め る と 定 理7.1.1,定
上 で有
お い て も有 界 で あ る.従
ξzに 近 づ く と き 有 界 で あ る.よ
か ら(7.3.9)に
な る
よ りN(x,y)は(R′\Ω)×W(z)の
μ1は 点 ξzに お け る 点 質 量 で あ る.だ のⅱ)に
の 式 の 左 辺 は 補 助 定 理7.3.2に
近 傍W(z)をW(z)⊂IntRΩ
続 性 に よ り(S\S)×W(z)に
右 辺 はyが
な ら な い.だ
ξzに近 づ く と き,上
理7.1.2の
なければ
上 に よ り標 準 測 度
な り,従
っ て 定 理6.6.2
数 で あ る. 証 明 が 得 られ た こ とに
ξzが 補 助 定 理7.3.5に
た 補 助 定 理7.2.4と
って
よ っ てS1に
補 助 定 理7.3.5を
属す る
合 わせ ると
あ と が き,文
献 な ど
本 書 を 執 筆 す る に 当 っ て 直 接 参 考 に し た 文 献 と,本
書 の内 容 に関 連 す る書 物
の う ち 比 較 的 入 手 し や す い も の を い く つ か あ げ よ う.関
係 書 の完 全 な リス トで
は な い こ と を お 断 り し て お く. 本 書 を 読 む た め の 予 備 知 識 と し て は,一 系 の 教 養 課 程 修 了 程 度)と 容 の 性 格 上,2階 [1]
般 的 事 項 は 解 析 学 の 基 礎(大
学理 工
函 数 空 間 の 入 門 部 分 程 度 で 十 分 で あ る が,本
書 の内
の楕 円 型 お よび放 物 型 偏 微 分 方程 式 に 関 して本 叢 書 中 の 拙 著
伊 藤 清 三:拡
散 方 程 式(紀
伊 國 屋 数 学 叢 書),1979
に 述 べ られ た 事 項 を 随 時 引 用 し た.そ
れ ら の 事 項 は,古
場 合 に つ い て は よ く知 ら れ た事 実 ば か りで あ る が,本
典的 なラプラシアンの
書 で 取 扱 う変 数 係 数 の 楕
円 型 偏 微 分 作 用 素 に 適 合 した 形 で 述 べ ら れ た 結 果 を 引 用 す る 方 が 便 利 で わ か り や す い と考 え た の で,[1]を
引 用 す る こ と に し た.そ
ち 本 書 で 直 接 引 用 す る事 項 を ま と め て,第1章 られ て い な い こ と で,あ 証 明 を 与 え て あ る.た
だ し,楕
は 下 記[2],[3],[4](§5.6)の N.Aronszajn:A
tic equations
に記 述 し た.更
と で 必 要 に な る 事 項 を も 追 加 し て,そ
数 の 一 致 の 定 理 に 相 当 す る)は
[2]
の た め に,[1]の
内容 の う
に,[1]に
述 べ
れ らは ほ とん ど
円 型 偏 微 分 方 程 式 の解 の 一 意 接 続 定 理(調 紙 数 の都 合 で 証 明 を省 い た の で,こ
和函
れ に関 して
い ず れ か を 参 照 さ れ た い: unique
or inequalities
continuation
theorem
for solutions
of second order,J.Math.Pures
of ellip Appl.,36
(1957),235-249; [3]
H.O.Cordes:Uber
tischer
die eindeutige
Differentialgleichungen
durch
Bestimmtheit
der Losungen
ellip
Anfangsvorgaben,Nachr.Akad.
Wissenseh.Gattingen,Math.-Phys.Kl.IIa:Nr.11(1956),239-258; [4] 第2章
熊 ノ郷 準:偏 で は,ポ
微 分 方 程 式(共
立 数 学 講 座),1978.
テ ン シ ャ ル 論 に お け る基 礎 的 事 項 の う ち 本 書 に お い て 必 要 最
少 限 度 の こ と を,一
般 の 楕 円 型 偏 微 分 作 用 素 に つ い て や や 詳 し く 述 べ た.古
的 結 果 やRiemann面
の 場 合 に つ い て は 多 く の 文 献 が あ る が,次
て お こ う([7]は [5]
本 書 の 主 要 部 で あ る 第3章
M.Brelot:Elements
de
Documentation [6]
・第6章
la theorie
classique
Universitaire,Paris,3e
典
の もの を あ げ
に も 密 接 に 関 係 す る): du
potential,Centre
de
ed.1965;
L.V.Ahlfors-L.Sario:Riemann
surfaces,Princeton
Univ.
Press,
1960; [7]
C.Constantinescu-A.Cornea:Ideale
Rander
Riemannscher
Flachen,
Springer,1963; [8]
L.Sario-M.Nakai:Classification
theory
of
Riemann
surfaces,
Springer,1970; [9]
中 井 三 留:リ
第3章
ー マ ン 面 の 理 論(森
はMartinの
下 記 の論 文 にお け る理 想 境 界 の構成 を楕 円 型 偏微 分 作 用
素 に 適 用 し た も の で,こ [10]
北 出 版),1980.
の 論 文 は 本 書 の 意 味 の 理 想 境 界 の 理 論 の 最 初 で あ る:
R.S.Martin:Minimal
positive
harmonic
functions,Trans.Amer.
Math.Soc.,49(1941),137-172. こ の 論 文 中 に 述 べ ら れ た 理 想 境 界 の 位 相 に つ い て の 予 想 に 対 す る 反 例 が, [11]
A.Anocona:Une
propriete
de
la
compactification
d'un
domaine
euclidien,Ann.Inst.Fourier,29(1979),71-90 に 与 え ら れ て い る.Martin境
界 が通 常 の滑 らか な境 界 を含 む こ とは 当然 期 待
さ れ る べ き こ と で あ る か ら,そ
の 証 明 を 次 の[12]に
[12]
S.Ito:Martin
second 第5章
order は,第6章
も の で,[6]の [13]
boundary in
a
linear
elliptic
の 準 備 を お も な 目 的 と し,い
第3章
お よ び 下 記[13],[14]に
finite Dirichlect
Univ.,8(1968),169-198;
differential
で 与 え た: operators
of
manifold,J.Math.Soc.Japan,16(1964),307-334.
H.Yamaguchi:Regular
with
for
従 っ て 第4章
operators integral
on
open
くつ か の関 連 事 項 を付 記 した
従 っ て 記 述 さ れ て い る: and
spaces
Riemann
of
harmonic
functions
surfaces,J.Math.Kyoto
[14]
S.Ito:Regular
of second
mapping
order
associated
with
elliptic
differential
operators
in a manifold,J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,Sec.I,16(1969),
203-227. 第6章 [15]
の 倉 持 境 界 の 理 論 は,そ Z.Kuramochi:Mass
Riemann
distribution
surfaces,II,Osaka
に よ っ て 創 始 さ れ,[7]に [16]
の名 称 の通 り on
the
ideal
boundaries
Math,J.,8(1956),145-186
お い て 詳 し く 論 じ ら れ て い る が,[15]の
M.Ohtsuka:An
elementary
J.Sci.Hiroshima
introduction
of
Kuramochi
書 第6章
で は,大
筋 は[16]に
作 用 素 が 形 式 的 自 己 共 役 で な い た め の 技 術 的 な 点 は 第5章 S.Ito:Ideal
differential
主要 部 分 は boundary,
Univ.,Ser.A-I,28(1964),271-299
に よ っ て 易 し く 書 き 改 め ら れ た.本
[17]
of abstract
boundaries operators
of
of second
Neumann
type
従 い,偏
微 分
の 結 果 を 用 い て,
associated
with
elliptic
order,J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,Sec.
I,17(1970),167-186 に 従 っ て 記 述 し た.第7章
はMartin境
界 に 対 し て 果 た す も の で,[17]の Martin境 係 し,こ
界
界 に 対 す る 第4章
続 篇(同
巻519-528ペ
・倉 持 境 界 は 確 率 論 に お け るMarkov過
の 方 面 の 文 献 も 多 い が,例
ー ジ)に
従 っ た.
程 の 理 論 に も密 接 に 関
え ば[17]のReferences中
M.Fukushima,T.Shiga-T.Watanabeに 倉 持 境 界 の 高 次 元 へ の 拡 張 は,同
と 同 じ役 目 を 倉 持 境
のM.G.Sur,
よ る 各 論 文 を 見 ら れ た い.な じ く[17]のReferences中
お,
のF.-Y.Maeda
の 論 文 に も 扱 わ れ て い る. ポ テ ン シ ャ ル 論 やRiemann面
に 関 す る 理 論 の 解 説 書 と し て は,上
記[5]∼[9]
の 他 に, [18]
岸 正 倫:ポ
[19]
倉 持 善 治 郎:リ
な ど が あ り,そ
テ ン シ ャ ル 論(森 ー マ ン 面(共
北 出 版),1974; 立 出 版),1978
れ ら の 巻 末 に は こ の 方 面 の 詳 し い 文 献 表 が 与え
ら れ て い る.
索
引
検 索 の便 宜 の た め,一 部 の術 語 は2箇 所 に採 録 す る.
A A-調 和(函 数) 17,41
H 半群 性
A*-調 和(函 数) 41
(基本 解 の) 21
A-優 調 和 59
(最小 基 本 解 の) 26
A*-優 調 和 59
半連 続(函 数) 55 B
Harnackの
補 題 45
Harnackの
定理
漠 収 束 53
―
第1定 理 44
Borel測 度 53
―
第2定 理 45
比 較 定 理 42 D
本質的部分
楕 円型(偏 微 分)方 程 式 17
(Martin境
楕 円型 偏 微 分 作 用 素 14
(Neumann型
楕 円型 境 界 値 問 題 17,29
界 の) 116 理 想 境 界 の) 216
表現定理
Dirichlet境 界 条 件 17,19
正 値 調 和 函 数 の―
Dirichlet(境 界 値)問 題 17
正 値 優 調 和 函 数 の―
110 125
標準測度 F FH函
数 192
FH0函
(Martin境
数 192
理 想 境 界 の場 合) 222
標 準 表現
不 変 測 度(基 本 解 の) 37
(Martin境
FSH函
(Neumann型
FSH0函
界 の場 合) 117
(Neumann型
数 192
界 の場 合) 118 理 想境 界 の 場 合) 222
数 192 I
Fσ 集 合 116 一 意 接 続 定 理 48 G Green函
数 30,39
Greenの
公 式 16
K 核 函 数(Martinの) 核 函 数(Neumann型)
91 164
拡 散 方 程式 19 (形式 的)共 役 偏微 分 作 用 素 15
基 本 解(拡 散 方 程式 の) 19
S
基 本 解 の 半群 性 21
最 大値 原 理(調 和 函 数 の) 42
広 義 一様 収束 44
最 大値 ・最 小 値 原 理 42,47
区 分 的 に滑 らか(函 数 が) 50
最 小 基 本 解 26
倉 持 コ ンパ ク ト化 186
最 小値 原 理
倉 持 境界 186
(調和 函数 の) 42
境 界条 件 15,17,18 極 小(FH0)函
(優調和 函 数 の) 64
数 221
極 小(正 値 調和)函 数 112
正 則(な 集 合) 13 正 則 写 像 152,154,177 真 の解 49
M Martin型
理 想 境 界 99
Martinコ
ンパ ク ト化 99
Martin境
界 99
下(に)半 連 続 55 初 期 条 件 17,18
T 端 点 的(FH0)函 N
Neumann型
核 函 数 164
Neumann型
コ ンパ ク ト化 186
Neumann型
理想 境 界 186
Neumann函
数 38
Neumann境
界条 件 17,19
Neumann(境
数 221
端 点 的 函 数 113
界値)問 題 17
U 上(に)半 連 続 55
Y 弱 い解 48,49 優 調 和(函 数) 59
P ポ テ ンシ ャ ル 178
Z
ポ テ ンシ ャ ル の核 178
全 調 和 函 数 192 全 優 調 和 函 数 192
R Riesz分
解 83,86,196
伊
著
者
藤
清
三
1927年 三重 県に生 まれ る.1950年 名古 屋 大学 理学部数 学科卒業. 現在,東 京大学名誉教授,杏 林 大学教授, 理学博 士. 主な著書:ル ベーグ積分入 門(裳華房数 学 選書),偏 微 分方程式(培 風館新 数学 シ リ ーズ),関 数解析Ⅲ(岩 波講座基礎数 学), 拡散 方程式(紀 伊國屋数学叢書).
優 調 和 函 数 と理 想 境 界 1988年10月18日
第1刷
発行
発行所
株式 会社
紀伊 國屋書店
東 京 都 新宿 区 新 宿3の17の7 電 話 03(354)0131(代 振 替 出 版 部 東 電
C Seizo Ito PRINTED
1988 IN
JAPAN
口 座
表)
東 京9-125575
京 都 世田 谷 区 桜丘5の38の1 話 03(439)0125(代 表) 郵 便 番 号 156
印 製
刷 研 究 社 印 刷 本 三 水 舎
紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て
数 学 を学 ぶ には い ろ い ろの 段 階 が あ るが,いず
れ の場 合 で も書 物 な ど
に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい う よ うな受 動 的 な勉 強 だ け で は,は な は だ 不 十 分 で あ る. み ず か ら学 ぶ た めに 現在 い ろ い ろ な 数学 書 が 出 版 され て い る.し
か
し,数 学 の 進 歩 は 極 め て基 礎 的 な 考 え方 に 対 して さえ 常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな 段 階 の 勉 強 で あ って も,常 に 新 しい考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新
しい
視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立 場 で 書 かれ た書 物 が 要 望 され て い る. 本 叢 書 は この よ うな 要 望 に応 え て 企画 さ れ た もの で あ って,各 巻 が大 学 理 工 学 系 の 専 門 課 程 の 学 生 また は 大学 院 学 生 が それ ぞれ の分 野 で の話 題,対 象 に つ い て入 門 の 段 階 か らあ る程 度 の深 さま で勉 学 す る た め の伴 侶 と な る こ と を 目指 して い る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の 発 展 に とっ て重 要 で あ り,ま た既 刊書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に 執 筆 をお 願 い し てい る. 学 生 諸 君 お よび 数 学 同 好 の方 々が,こ の 叢書 に よっ て数 学 の種 々の分 野 にお け る基 本 的 な 考 え方 を理解 し,ま た 基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代数 学 の 最 先 端へ 向 か お う とす る場 合 の基 礎 と もな る こ と を望 み た い.