جمهورية العراق وزارة الرتبية املديرية العامة للمناهج
الريا�ضيات لل�صف ال�ساد�س أالدبي ت أ�ليف د .مهــــد...
238 downloads
219 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
جمهورية العراق وزارة الرتبية املديرية العامة للمناهج
الريا�ضيات لل�صف ال�ساد�س أالدبي ت أ�ليف د .مهــــدي صـــادق عبـــاس د.طارق شعبان رجب احلديثي محمد عبد الغفـور اجلواهري حســـــــام علــــــي حيـــــــدر صبـــــــاح علـــــــي مــــــــراد سعد محمد حسـني البغدادي نظيـــــــــر حســـــن علــــــي
الطبعة األوىل
1431هـ 2010 -م
™Ñ£dG ≈∏Y »ª∏©dG ±öûŸG …ôgGƒ÷G QƒØ¨dG óÑY óªfi
™Ñ£dG ≈∏Y »æØdG ±öûŸG ™WÉc IOÉ°ùdG óÑY Aɪ«°T
ﺑﺴﻢ ﺍﷲ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ ﻣﻘﺪﻣـﺔ نظر ًا للﺘﻄور الﻜبير احلاصﻞ ﻓي اﳌواد الدراسيﺔ عامﺔ والرياﺿيات ﺧاصﺔ ُ ،ﺗعﻨﻰ وزارة الﺘرﺑيﺔ ﺑﺈعادة الﻨظر ﻓي الﻜﺘاب اﳌدرسي وﺗﻨﻘيحﻪ او إعادة ﺗﺄليفﻪ وﻓﻖ جلان مﺨﺘﺼﺔ ﺗﺆلﻒ لهﺬا الغرض. وﺗلﻘﻰ ﻛﺘب الرياﺿيات نﺼيبها الواﻓي من هﺬﻩ العﻨايﺔ. وهﺬا الﻜﺘاب الثالﺚ من سلسلﺔ ﻛﺘب الرياﺿيات للمرحلﺔ اﻹعداديﺔ للفرع اﻷدﺑي ،وﻗد رﺗبﻨا هﺬا الﻜﺘاب ﺑارﺑعﺔ ﻓﺼول ،يبدأ الفﺼﻞ اﻷول ﲟوﺿوع طراﺋﻖ العد ،الفﺼﻞ الثاني موﺿوع الغايات واﻹسﺘمراريﺔ ،أما الفﺼﻞ الثالﺚ ﻓيﺘﻨاول موﺿوع اﳌﺸﺘﻘات ،ويﻨﺘهي الﻜﺘاب ﲟوﺿوع الﺘﻜامﻞ ﻓي الفﺼﻞ الراﺑﻊ وﻗد راعيﻨا ﺑعﺾ الﺘﻄبيﻘات ﻓي اﳌﺸﺘﻘﺔ والﺘﻜامﻞ الﺘي ﺗﻨسﺠﻢ مﻊ الدراسﺔ اﻷدﺑيﺔ . لﻘد ﰎ وﺿﻊ هﺬا الﻜﺘاب وﻓﻘ ًا للمﻨهﺞ الدراسي اﳌﻘرر وحاولﻨا إن نسﺘﺨدم الﻄرق الﺘرﺑويﺔ احلديثﺔ ﻓﻘمﻨا ﺑهﺬا اﳌﺠهود واﺿعني نﺼب أعيﻨﻨا ﺗوﺿيﺢ وشرح اﳌادة العلميﺔ ﺑﻘﺼد اﻻﻓهام وﺗوﺧيﻨا اﻹﻛثار من اﻻمثلﺔ اﶈلولﺔ ومن الﺘمارين العمليﺔ الﺘي يﺼادﻓها الﻄالب ﻓي حياﺗﻪ العمليﺔ ،ومﺘدرجﺔ من السهﻞ إلﻰ الﺼعب . وﺧﺘام ًا نرجو إن نﻜون ﻗد وﻓﻘﻨا إلﻰ ﺧدمﺔ أﺑﻨاﺋﻨا الﻄلبﺔ ،ونرجو من إﺧوانﻨا اﳌدرسني أن يواﻓونا ﲟﻼحظاﺗهﻢ حول هﺬا الﻜﺘاب لﻜي نﺘﻼﻓﻰ الﻨﻘﺺ ﻓيﻪ والﻜمال ﷲ وحدﻩ.
3
∫h’G π°üØdG øjó◊G äGP áægÈe BIONOMIAL THEOREM CONTING METHODS FACTORIAL
Oó©dG Ühö†e ]1-2]
PERMUTATIONS
πjOÉÑàdG ]1-3]
COMBINATIONS
≥«aGƒàdG ]1-4]
BIONMIAL THEOREM
5
ó©dG ≥FGôW ]1-1]
øjó◊G äGP áægÈe ]1-5]
Counting methods
]ó©dG ≥FGôW ]1-1
من اﳌعلوم انﻪ من اﻻهداف الرﺋيسﺔلدراسﺔ الرياﺿيات ان يﺘعلﻢ الﻄالب العد ﲟهارة ﻓاﺋﻘﺔ وعاليﺔ جد ًا وسوف نﺘعلﻢ ﻓي هﺬا الفﺼﻞ ﺑعﻀا من طراﺋﻖ العد الﺘي ﺗﻘلﻞ من اجلهد وﺗﺨﺘﺼر الوﻗﺖ ﻓي ايﺠاد اعداد ﻛميات ﻛبيرة ،وهي: Funmdamental Counting Principle -1مبدأ العد اﻻساسي Permutations -2الﺘباديﻞ Combinations -3الﺘواﻓيﻖ
مثال 1
اعلن صاحب محﻞ لبيﻊ الدراجات الهواﺋيﺔ انﻪ يوجد لديﻪ ﺧمسﺔ انواع من الدراجات ومن ﻛﻞ نوع ﺗوجد ﺛﻼﺛﺔ احﺠام ومن ﻛﻞ حﺠﻢ يوجد سﺖ دراجات ﻓما عدد الدراجات ﻓي اﶈﻞ؟
احلﻞ
18
مﺨﻄﻂ الﺸﺠرة Tree Diagram عدد ) (6احلﺠﻢ الﺼغير الﻨوع اﻻول عدد ) (6احلﺠﻢ الوسﻂ عدد ) (6احلﺠﻢ الﻜبير عدد ) (6احلﺠﻢ الﺼغير الﻨوع الثاني عدد ) (6احلﺠﻢ الوسﻂ عدد ) (6احلﺠﻢ الﻜبير 18 عدد ) (6احلﺠﻢ الﺼغير الﻨوع الثالﺚ 18اﳌﺠموع =90 = 18+18+18+18+18 عدد ) (6احلﺠﻢ الوسﻂ عدد ) (6احلﺠﻢ الﻜبير 18 عدد ) (6احلﺠﻢ الﺼغير الﻨوع الراﺑﻊ عدد ) (6احلﺠﻢ الوسﻂ 18 عدد ) (6احلﺠﻢ الﻜبير عدد ) (6احلﺠﻢ الﺼغير الﻨوع اﳋامﺲ عدد ) (6احلﺠﻢ الوسﻂ =6
×3
عدد ) (6احلﺠﻢ الﻜبير عدد الدراجات = 90 = 6×3×5دراجﺔ
6
مثال 2 اعلن علي احد ﺑاﺋعي البدﻻت الرجاليﺔ ان لديﻪ اﻛبر ﺗﺸﻜيلﺔ من البدﻻت حيﺚ يوجد ﻓي محلﻪ )(5 موديﻼت ومن ﻛﻞ موديﻞ يوجد ) (10ﻗياسات مﺨﺘلفﺔ ومن ﻛﻞ ﻗياس يوجد ) (7الوان مﺨﺘلفﺔ ﻓما عدد البدﻻت اﳌوجودة ﻓي اﶈﻞ؟
احلﻞ ﳝﻜن ﺗوﺿيﺢ هﺬا اﳌثال ﲟﺨﻄﻂ ﻛما ﻓي اﳌثال اﻻول ويﻜون من السهﻞ حساب عدد البدﻻت ﻛما يلي : عدد البدﻻت = 7 10 5 ﺑدلﺔ =350 ونﺼادف ﻓي حياﺗﻨا ﻛثير ًا من هﺬﻩ احلاﻻت وواﺿﺢ أن الفﻜرة الﺘي اسﺘﺨدمﺖ ﻓي حﻞ هﺬين اﳌثالني هي واحدة .وعليﻪ ﳝﻜن اﺧﺬ العبارة اﻻوليﺔ اﻻﺗيﺔ الﺘي ﺗوﺿﺢ الفﻜرة الﺘي اسﺘﺨدمﺖ ﻓي حﻞ اﳌثالني الساﺑﻘني.
)مبدأ العد اﻻساسي(
عبارة اوليﺔ
لو ﻓرض انﻪ لديﻨا عدد من العمليات )اﻻﺧﺘيارات( مﻘدارﻩ ) (kامﻜن الﻘيام ﺑالعمليﺔ اﻻولﻰ ﺑعدد من الﻄرق مﻘدارﻩ ) (n1وامﻜن الﻘيام ﺑالعمليﺔ الثانيﺔ ﺑعدد من الﻄرق مﻘدارﻩ ) (n2والعمليﺔ الثالثﺔ ﺑعدد من الﻄرق مﻘدارﻩ ) ...(n3والعمليﺔ من الرﺗبﺔ ) (kﺑعدد من الﻄرق مﻘدارﻩ )(nk ﺑحيﺚ ان اجراء اي عمليﺔ ﻻيﺆﺛر ﻓي اجراء اي من العمليات اﻻﺧرى ﻓﺈنﻪ يوجد عدد مﻘدارﻩ: )) ((n1× n2× n3×...... ×nkمن الﻨﺘاﺋﺞ )الﻄرق( اﳌمﻜﻨﺔ عﻨدما ﲡرى جميﻊ العمليات )او اﻻﺧﺘيارات( الﺘي عددها ) (kمعاً.
7
مثال 3 اذا ﻛانﺖ لديﻨا احلروف أ ،ب ،جـ ،د ،هـ ،ز .ﻛﻢ ﻛلمﺔ )ﲟعﻨﻰ او ﺑدون معﻨﻰ( ﳝﻜن ﺗﻜويﻨها ﺑحيﺚ ﺗﻜون مﻜونﻪ من ارﺑعﺔ حروف علﻰ أن ﻻ يسمﺢ ﺑﺘﻜرار احلرف ﻓي الﻜلمﺔ الواحدة؟
احلﻞ عدد طرق اﺧﺘيار احلرف اﻻول = 6 عدد طرق اﺧﺘيار احلرف الثاني = 5 عدد طرق اﺧﺘيار احلرف الثالﺚ = 4 عدد طرق اﺧﺘيار احلرف الراﺑﻊ = 3 ∴ عدد الﻜلمات = 6×5×4×3 = 360
مثال 4 ﺑﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن ﺗﻜوين عدد رمﺰﻩ مﻜون من ارﺑعﺔ مراﺗب ﳝﻜن ﺗﻜويﻨﻪ من مﺠموعﺔ اﻻرﻗام } {1,2,4,6,7,8,9عﻨدما )أ( الﺘﻜرار مسموح؟ )ب( الﺘﻜرار ﻏير مسموح؟
احلﻞ ) (aالﺘﻜرار مسموح عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﻻحاد = 7
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﻻحاد = 7
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ العﺸرات=7
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ العﺸرات = 6
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﳌﺌات=7
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﳌﺌات = 5
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﻻلوف=7
عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﻻلوف = 4
∴ عدد الﻄرق الﻜلي = 7×7×7×7
8
) (bالﺘﻜرار ﻏير مسموح
= 2401
∴ عدد الﻄرق = 7×6×5×4 = 840
مثال 5 اذا ﻛان لدى ﻓﺘاة ) (6ﻗمﺼان مﺨﺘلفﺔ اﻻلوان و ) (7ﺗﻨورات مﺨﺘلفﺔ اﻻلوان ايﻀ ًا و ) (4احﺬيﺔ مﺨﺘلفﺔ ﻓبﻜﻢ زي مﺨﺘلﻒ مﻜون من ﻗميﺺ وﺗﻨورة وحﺬاء ﳝﻜن ان ﺗظهر ﺑﻪ الفﺘاة؟
احلﻞ عدد طرق اﺧﺘيار الﻘميﺺ الواحد = 6 عدد طرق اﺧﺘيار الﺘﻨورة الواحدة = 7 عدد طرق اﺧﺘيار احلﺬاء الواحد = 4 ∴ عدد اﻻزياء الﺘي ﺗظهر ﺑها الفﺘاة = 6×7×4 = 168
مثال 6
ﺑﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن ﺗﻜوين عدد ًا رمﺰﻩ من ) (3ارﻗام واﻗﻞ من ) (500ﳝﻜن ﺗﻜويﻨﻪ ﺑاسﺘﺨدام اﻻرﻗام 1,2,3,4,5,6,7اذا ﻛان:
)أ( يسمﺢ ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ )ب( ﻻيسمﺢ ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟
احلﻞ من الواﺿﺢ ان العدد الﺬي رمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام يحﺘوي علﻰ رﻗﻢ احاد ورﻗﻢ عﺸرات ورﻗﻢ مﺌات وعﻨدما يﻜون العدد اﻗﻞ من ) (500ﻓان رﻗﻢ مﺌاﺗﻪ اصغر من ) (5وعليﻪ يﻜون احلﻞ: ) (aﻓي حالﺔ السماح ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﳌﺌات = ) 4ﻻحﻆ اﻻرﻗام ﻓي اﳌثال( عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ العﺸرات = 7 عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﻻحاد = 7 ∴ عدد اﻻعداد = 7×7×4 = 196عدد ًا
9
) (bﻓي حالﺔ عدم السماح ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﳌﺌات = 4 عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ العﺸرات = 6 عدد طرق اﺧﺘيارات رﻗﻢ اﻻحاد = 5 ∴ عدد اﻻعداد = 5×6×4
مثال 7
= 120عدد ًا
ﻛﻢ عدد ًا مﻜون رمﺰﻩ من ﺛﻼﺛﺔ مراﺗب ﳝﻜن ﺗﻜويﻨﻪ ﺑاسﺘﺨدام اﻻرﻗام 1,2,3,4,5,6,7ﺑحيﺚ ) (aيﻜون العدد زوجي ًا وﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد ﻏير مسموح ﺑﻪ ؟ ) (bيﻜون ﻓردي ًا وﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد مسموح ﺑﻪ؟
احلﻞ ) (aالعدد الﺰوجي يﻜون احادﻩ عدد ًا زوجي ًا والﺘﻜرار ﻏير مسموح ﺑﻪ وعليﻪ يﻜون عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ اﻻحاد = 3 عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ العﺸرات = 6
ﳌاذا؟
عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ اﳌﺌات = 5 ∴ عدد اﻻعداد = 3×6×5 = 90عدد ًا ) (bالعدد الفردي يﻜون احادﻩ عدد ًا ﻓردي ًا والﺘﻜرار مسموح ﺑﻪ وعليﻪ يﻜون عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ اﻻحاد = 4 عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ العﺸرات = 7 عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ اﳌﺌات = 7 عدد اﻻعداد = 4×7×7 = 196عدد ًا
10
ﳌاذا؟
“(1-1) øjQÉ -1لدى احمد ) (5سﺘرات مﺨﺘلفﺔ ) (6ﺑﻨﻄلونات مﺨﺘلفﺔ ) (8ﻗمﺼان مﺨﺘلفﺔ ﻓبﻜﻢ زي مﺨﺘلﻒ يظهر ﺑﻪ احمد مﻜون من سﺘرة وﺑﻨﻄلون وﻗميﺺ ؟ -2اذا ﻛان لديﻨا احلروف أ -ل -ع -ق -ك -ب .ﻛﻢ ﻛلمﺔ مﻜونﺔ من ارﺑعﺔ احرف )ﲟعﻨﻰ او ﺑدون معﻨﻰ( من هﺬﻩ احلروف علﻰ انﻪ ﻻيسمﺢ ﺑﺘﻜرار احلرف ﻓي الﻜلمﺔ الواحدة ؟ -3ﺑﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن اﺧﺘيار ﺛﻼث اشﺨاص من ﺑني عﺸرة اشﺨاص لﺸغﻞ ﺛﻼﺛﺔ وﻇاﺋﻒ معيﻨﺔ مﺨﺘلفﺔ؟ -4ﻛﻢ عدد ًا مﻜون رمﺰﻩ من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام ﳝﻜن ﺗﻜويﻨﻪ ﺑاسﺘﺨدام اﻻرﻗام 3,4,5,6,7,8,9 (aعلﻰ ان يﻜون العدد ﻓردي ًا والﺘﻜرار ﻏير مسموح ﺑﻪ للرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ. (bعلﻰ ان يﻜون العدد زوجي ًا والﺘﻜرار مسموح ﺑﻪ للرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ. -5ﻛﻢ عدد ًا يﻜون رمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼث مراﺗب ﳝﻜن ﺗﻜويﻨﻪ ﺑاسﺘﺨدام اﻻرﻗام 1,2,3,4,5,6,7 ( aعلﻰ ان يﻜون العدد اﻛبر من ) (500والﺘﻜرار مسموح ﺑﻪ للرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ (bعلﻰ ان يﻜون العدد اصغر من ) (400والﺘﻜرار ﻏير مسموح ﺑﻪ للرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟
11
Factorial
]Oó©dG Ühö†e ]1-2 مثال
ليﻜن لديﻨا ) (nطالب ًا ]حيﺚ ) (nعدد صحيﺢ ﻏير سالب[ واردنا ان ﳒلسهﻢ علﻰ نفﺲ العدد من الﻜراسي الﺘي علﻰ اسﺘﻘامﺔ واحدة .من اﳌعلوم انﻨا نسﺘﻄيﻊ ان ﳒلﺲ اي واحد من الﻄﻼب وعددهﻢ )(n علﻰ الﻜرسي اﻻول وعلﻰ الﻜرسي الثاني ﳝﻜن ان ﳒلﺲ اي طالب من ﺑﻘيﺔ الﻄﻼب وعددهﻢ)(n-1وعلﻰ الﻜرسي الثالﺚ من اﳌمﻜن ان ﳒلﺲ اي طالب من ﺑﻘيﺔ الﻄﻼب وعددهﻢ ) ... (n-2وهﻜﺬا الﻰ ان نﺼﻞ الﻰ الﻜرسي اﻻﺧير الﺬي ﳝﻜن ان يﺠلﺲ عليﻪ الﻄالب الوحيد الﺬي ﺑﻘي واﻗف ًا ...وهﻜﺬا اذا اعﺘبرنا عمليﺔ جلوس الﻄﻼب ﺗﺘﻜون من ) (nمرحلﺔ ﻓعدد اﳋيارات ﻓي اﳌراحﻞ اﻻولﻰ والثانيﺔوالثالثﺔ ...اﻻﺧيرة هو علﻰ الﺘوالي: 1 , 2 , 3 , ..... , n-2 , n -1 , n وعلﻰ ما سبﻖ دراسﺘﻪ ﻓﺈن عدد ﺧيارات جلوسهﻢ هو: n (n-1)(n-2) ........ 1 وﻓي احيان ﻛثيرة ﻓي الرياﺿيات نحﺼﻞ علﻰ ﺿرب اﻻعداد الﺼحيحﺔ اﺑﺘداء ًا ﺑالعدد nوحﺘﻰ 1ويرمﺰ لهﺬا الﻀرب ﺑالرمﺰ ! nأو nويﻘرأ مﻀروب )او مفﻜوك() (nويعرف ﻛما يﺄﺗي: اذا ﻛان nعدد صحيﺢ ﻏير سالب ] nعدد طبيعي[ ﻓﺈن : عﻨدما n ≥ 2 n = n! = n (n-1)(n-2) ........ 1 1! = 1 0! = 1
من الﺘعريﻒ علم ًا ان ﻓمث ً ﻼ: 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 3628800
مثال 1 احلﻞ
12
!8 ـــــــــــــ او 8 اﻛﺘب ﺑاﺑسﻂ صورة 6 !6
8×7×6×5×4×3×2×1 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 6×5×4×3×2×1
=
= 8 × 7 = 56
8 6
مثال 2 احلﻞ
جد !9 ﳝﻜن الﻘول أنﻪ:
9! = 9×8×7×6×5×4×3×2×1 !9!= 9×8 !9!=9×8×7 أو !9!=9×8×7×6 أو
وهﻜﺬا وﺑﺼورة عامﺔ ﳝﻜن الﻘول أنﻪ:
أو وهﻜﺬا
مثال 3
∴ 9! = 362880 اذا ﻛان
!n ـــــــــــــــــــــــــ =6 !)(n-2
ﻓما ﻗيمﺔ n؟
احلﻞ
مثال 4 احلﻞ
!)n! = n(n-1 !)n!=n(n-1)(n-2
يهمﻞ ﻷنﻪ سالب اجلواب : اذا ﻛان
n ! = 720ﻓما ﻗيمﺔ n؟
!n ـــــــــــــــــــــــــ =6 !)(n-2 n(n-1)(n-2)! = 6 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ !)(n-2 n(n-1) = 6 n2 -n - 6 = 0 (n+2)(n-3) = 0 n = -2 n=3
ﺗﻜﺘب 720ﺑﺸﻜﻞ حاصﻞ ﺿرب اعداد مﺘﺘاليﺔ مبﺘدﺋﺔ من العدد 1وذلﻚ ﺑالﺸﻜﻞ:
ﻓيﻜون: 720 =1×2×3×4×5×6 != 6 n! = 720 !n! = 6 n =6
1 2 3 4 5 6
720 720 360 120 30 6 1
13
permutations
]πjOÉÑàdG ]1-3 مثال 1
لﻨفرض ان 7اشﺨاص يريدون اجللوس ولﻢ يﺠدوا امامهﻢ سوى ) (3ﻛراسي ﻓبﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن مﻞء هﺬﻩ الﻜراسي الثﻼﺛﺔ؟ لﺬلﻚ نﻘول: الﻜرسي اﻻول ﳝﻜن ملﺆﻩ ﺑﻄرق عددها ) (7ﻓﺈذا ماجلﺲ عليﻪ احدهﻢ امﻜن مﻞء الﻜرسي الثاني ﺑﻄرق عددها ) (6وﳝﻜن مﻞء الﻜرسي الثالﺚ ﺑﻄرق عددها ) (5وﺑﺬلﻚ يﻜون عدد ﻛﻞ الﻄرق اﳌمﻜن اجراؤها = 7×6×5 = 210 نﻼحﻆ أنﻪ يوجد لديﻨا ) (7اشﺨاص ُأﺧﺬ مﻨهﻢ ﺛﻼﺛﺔ ﺛﻼﺛﺔ للﺠلوس. 7 ﻓي مثﻞ هﺬﻩ احلاﻻت ﻓي الرياﺿيات نﻘول ﺗباديﻞ 7مﺄﺧوذة ﺛﻼﺛﺔ ﺛﻼﺛﺔ ويرمﺰ لها ﺑالرمﺰ p 3 وﻛان الﻨاﰋ: 7 p = 7×6×5 = 210 3
وﺑاﳌثﻞ اذا ﻛان لديﻨا ) (10اشﺨاص ﳌلﺊ ) (4اماﻛن يﻜون = 10×9×8×7 = 5040
10
p
4
ﺗعريﻒ )(1-1 n
ليﻜن ﻛﻞ من n , rعدد ًا طبيعي ًا r ≤ n ،ﻓﺈن prﺗﻘرأ ﺗباديﻞ nمﺄﺧوذة مﻨﻪ rﻓي ﻛﻞ مرة ويﻜون: !n
اذا ﻛان n = r
عﻨدما n (n-1)(n-2) ....(n-r+1) r < n عﻨدما r = 0 وﳝﻜن ان نﻀﻊ :
=
n r
p
1 !n !)(n-r
=
n r
p
ومن اﳌﻼحﻆ أن عدد ﺗباديﻞ ) (nمن العﻨاصر مﺄﺧوذة مﻨها ) (rمن العﻨاصر حيﺚ r < nيساوي عدد الﻄرق الﺘي نﺨﺘار ﺑها ) (rمن العﻨاصر من ﺑني ) (nمن العﻨاصر ﺑﻜﻞ الﺘرﺗيبات اﳌمﻜﻨﺔ.
14
مثال 2
أحسب ﻛ ً ﻼ ﳑا يﺄﺗي:
4
10
, p ,
p
4
0
احلﻞ
6
p
3
6
a) p = 6×5×4 = 120 3
4
b) p = 4! =4×3×2×1 = 24 4
=1
مثال 3
10
c) p
0
ما عدد طرق ﺗوزيﻊ ) (5اشﺨاص علﻰ ) (5وﻇاﺋﻒ مﺨﺘلفﺔ ﺑحيﺚ لﻜﻞ واحد مﻨهﻢ وﻇيفﺔ واحدة؟
احلﻞ
عدد الﻄرق يﻜون
5
!p = 5 5 = 5×4×3×2×1 = 120
مثال 4
n
جد ﻗيمﺔ nاذا ﻛان . p = 42 2
n
احلﻞ
مثال 5 احلﻞ
p = 42 2
)n(n-1 -1) = 42 n2 -n n - 42 = 0 )(n-7)(n+6 )(n+6) = 0 n=7 n = -6 يهمﻞ ﻻنﻪ سالب .p جد ﻗيمﺔ ﻛﻞ من .15 ، p8 5
7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = !8 8×7×6×5×4×3×2×1 ــــــــــــــــــــ = !)(8-5 3×2×1
8
p
5
= 8×7×6×5×4 = 6720 = 15×14×13×12×11×10×9 = 32432400
15
p
7
15
مثال 6 احلﻞ
اذا ﻛان
6
6
r
3
p = pﻓما ﻗيمﺔ )(r؟ ـــــــــــــــــــــ = !6 !6 ــــــــــــــــــــ !)(6-3 !)(6-r
ـــــــــــــــــــــ = !6 !6 ــــــــــــــــــــ !3 !)(6-r r=3
6-r = 3
!∴ (6-r)!= 3
مﻼحظﺔ :من اﳌثال الساﺑﻖ ﳝﻜن الﻘول ﺑﺼورة عامﺔ: n
اذا ﻛان = pr
6
6
p = p 3 r
n
p
k
ﻓﺈن
r=k
مثال 7
ما عدد اﻻعداد الﺘي رمﺰ ﻛﻞ مﻨها مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام مﺄﺧوذة من ﺑني اﻻرﻗام . 8،7،6،5،4،3 (aدون ﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد؟ (bﳝﻜن ﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد؟
احلﻞ
مثال 8 احلﻞ
(aaعدد اﻻعداد = p 3 = 6×5×4 = 120 6
(bعدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ اﻻحاد = 6 عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ العﺸرات = 6 عدد طرق اﺧﺘيار رﻗﻢ اﳌﺌات = 6 وﲟوجب مبدأ العد يﻜون عدد اﻻعداد = 6×6×6 عدد ًا = 216 ﻛﻢ ﻛلمﺔ ﳝﻜن ﺗﻜويﻨها مﻜونﺔ من ارﺑعﺔ حروف مﺨﺘلفﺔ مﺄﺧوذة من اﻻحرف أ ،ب ،جـ ،د ،هـ؟ عدد الﻜلمات يﻜون ﻛلمﺔ
16
5
p
4
5 !5 5×4×3×2 = 120 ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = p 4 !)(5-4 !1
“(1-2) øjQÉ -1احسب ﻗيمﺔ ﻛﻞ ﳑا يﺄﺗي: 7! (a ــــــــ !5 -2جد ﻗيمﺔ nاذا ﻛان :
ـــــــــــــ 9 - 10 (b ــــــــــــــ 5 6 a) n! = 5040 n
b) p2 = 72 n
n
c) p5 = 8× p4
!)(n+1 (n-1)! = 30
)d
-3اذا ﻛانﺖ لديﻨا اﳌﺠموعﺔ } x = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7ﻓﻜﻢ عدد ًا ﳝﻜن ﺗﻜويﻨﻪ اذا ﻛان: (aرمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام ﺑدون ﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ (bرمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام ويسمﺢ ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ (cرمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام اصغر من ) (400ﺑدون ﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ (dرمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام اﻛبر من ) (200ويسمﺢ ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ (eرمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام ويﻜون زوجي ًا ﺑدون ﺗﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ (fرمﺰﻩ مﻜون من ﺛﻼﺛﺔ ارﻗام ويﻜون ﻓردي ًا ويسمﺢ ﺑﺘﻜرار الرﻗﻢ ﻓي العدد نفسﻪ؟ ُ -4يﺠرى ﻓي احد الﺼفوف انﺘﺨاﺑ ًا علﻰ ﺛﻼﺛﺔ مراﻛﺰ ﻓي احدى جلان الﺼﻒ هي الرﺋيﺲ وناﺋب الرﺋيﺲ وامني السر ما عدد الﻨﺘاﺋﺞ الﺘي ﺗسفر عﻨها اﻻنﺘﺨاﺑات اذا علﻢ ان عدد الﻄﻼب اﳌﺸارﻛني ﻓي اﻻنﺘﺨاﺑات عﺸرة طﻼب؟ -5ﻛﻢ ﻛلمﺔ مﺨﺘلفﺔ احلروف مﻜونﺔ من ﺛﻼﺛﺔ حروف من ﺑني حروف ﻛلمﺔ )ذي ﻗار(؟ -6ﺑﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن أن يﺠلﺲ ﺧمسﺔ طﻼب ﻓي صﻒ من ﺛمانيﺔ ﻛراسي؟
17
Combinations
]≥«aGƒàdG ]1-4 مثال 1
اذا ﻛان لديﻨا اﳌﺠموعﺔ } x = { 1 , 2 , 3ﻛﻢ مﺠموعﺔ جﺰﺋيﺔ للمﺠموعﺔ xمﻜونﺔ من عﻨﺼرين؟
احلﻞ
نﻼحﻆ أن اﳌﺠموعات اجلﺰﺋيﺔ من xواﳌﻜونﺔ من عﻨﺼرين هي : }{1 , 2} ، {1 , 3} ، {2 , 3
ﻻحﻆ ﻓي هﺬا اﳌثال انﻪ ﻓي ﻛﻞ اﺧﺘيار لﻢ نﻀﻊ اعﺘبار ًا للﺘرﺗيب ﻓمث ً ﻼ اﻻﺧﺘيار } {1 , 2هو نفسﻪ } {2 , 1واﻻﺧﺘيار } {1 , 3هو نفسﻪ } {3 , 1واﻻﺧﺘيار } {2 , 3هو نفسﻪ } {3 , 2وأن عدد اﳌﺠموعات اجلﺰﺋيﺔ ﺛﻼث وليﺲ سﺖ. مثﻞ هﺬا اﻻﺧﺘيار وهو اﺧﺘيار عﻨﺼرين من ﺑني ﺛﻼﺛﺔ عﻨاصر دون مراعاة الﺘرﺗيب للعﻨاصر الﺘي ﰎ اﺧﺘيارها يسمﻰ )ﺗواﻓيﻖ( Combinationsوﻓي هﺬا اﳌثال يﻘال :ﺗواﻓيﻖ ﺛﻼﺛﺔ مﺄﺧوذة اﺛﻨني اﺛﻨني.
ﺗعريﻒ )(1-2 -1ﺗواﻓيﻖ مﺠموعﺔ مﻨﺘهيﺔ من العﻨاصر هو ﺗﻨظيﻢ لبعﺾ او لﻜﻞ هﺬﻩ العﻨاصر دون اعﺘبار )اﻻهﺘمام( للﺘرﺗيب الﺬي ﺗﻨﺘظﻢ ﺑﻪ هﺬﻩ العﻨاصر. -2عدد ﺗواﻓيﻖ ) (nمن العﻨاصرمﺄﺧوذة ) (rﻓي ﻛﻞ مرة حيﺚ r ≤ nوأن n , rاعداد صحيحﺔ ﻏير سالبﺔ هو عدد طرق اﺧﺘيار ) (rمن العﻨاصر دون اﻻعﺘبار )اﻻهﺘمام( لﺘرﺗيب هﺬﻩ العﻨاصر n ويرمﺰ لﺬلﻚ ﺑالرمﺰ C n :أو أو )C (n , r r r
)(
-3اذا ﻛان
اذا ﻛان
18
r
n = rأو r = 0
= P !n ـــــــــــــــ = ) ( ـــــــــــــــــــــ !r !)r! (n-r n
n
r
r
( )=1 n r
n
=
= Cr
n
Cr
وﻗبﻞ حﻞ ﺑعﺾ اﻻمثلﺔ يﺘوجب الﺘﺄﻛيد علﻰ أن الفرق الوحيد ﺑني الﺘباديﻞ والﺘواﻓيﻖ يﻜمن ﻓي اﻻهﺘمام )مراعاة( او عدم اﻻهﺘمام )عدم مراعاة( ﺑالﺘرﺗيب.
مثال 2
احسب :
13
10
C0 ، C5
20
C20
،
!n ! 13 ـــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــ = !)r! (n-r ! )5 !(13 - 5
احلﻞ
13
= P5 ـــــــــــــــ
!13×12×11×10×9×8 = 1287 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = !5×4×3×2×8
!5
=) ( 13 5
( ) =1
=
C0
( ) =1
=
C20
20
)c
0
20 20
مثال 3
جد ﻗيمﺔ ﻛ ً ﻼ من
15
15
C5
)a
)b
10
C 3 ، C12
=
13
10
ﺛﻢ ﻻحﻆ الﻨاﲡني .
احلﻞ !n !15×14×13×12 !15 ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = = 455ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = !)r!(n-r)! 12!×(15-12 !12!×3 ـــــــــــــــــــــــــ = !15 !15 ــــــــــــــــــــــ = = 455 !3!(15-3)! 3!×12 نﻼحﻆ أن :
15
15
C12 15
C3
15
C12 = C 3
ﳝﻜن اﻻسﺘﻨﺘاج ﺑﺼورة عامﺔ أن :
n
Cn-r
=
n
Cr 19
مثال 4
اذا ﻛان عدد اﻻسﺌلﺔ ﻓي الورﻗﺔ اﻻمﺘحانيﺔ ) (8اسﺌلﺔ واﳌﻄلوب اﻻجاﺑﺔ علﻰ ) (6مﻨها ﻓبﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن اﻻجاﺑﺔ؟
احلﻞ
الﺘرﺗيب ﻏير ﺿروري ﻓي اﻻجاﺑﺔ علﻰ اﻻسﺌلﺔ اﻻمﺘحانيﺔ لﺬا ﻓﺈن : عدد الﻄرق =
8
C6
ـــــــــــــــــــــــ = !8 !8×7×6 ــــــــــــــــــــــ !)6!(8-6 !6!×2 طريﻘﺔ 8×7 = 28 ـــــــــــــــ = 2×1
مثال 5 احلﻞ
مثال 6 احلﻞ
=C 6
ﻛﻢ ﻗﻄعﺔ مسﺘﻘيﻢ ﳝﻜن ﲢديدها ﺑﻨﻘاط من مﺠموعﺔ ﻓيها ) (6نﻘاط و ﻻ ﺗوجد ﺛﻼث مﻨها علﻰ اسﺘﻘامﺔ واحدة؟ عدد الﻘﻄﻊ اﳌسﺘﻘيمﺔ يﻜون :
6
ـــــــــــــــــــــــ = !6 !6×5×4 ــــــــــــــــــــــ = C 2 = 15 !2!(6-2)! 2×1×4
جد ﻗيمﺔ nاذا ﻛان ) ( = ) ( n+1 3
n 2
2
) (=) ( n+1 3
n 2
2
!)(n+1 ــــــــــــــــــــــــــ = !n ــــــــــــــــــــــ × 2 !)2!(n-2)! 3!(n+1-3 !(n+1)×n !n ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ × 2 !)2×1×(n-2)! 3×2 × 1(n-2
20
8
n+1 ⇒ n+1 = 6 ـــــــــــــــــــ = 1 6 n=5
مثال 7
ﺑﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن اﺧﺘيار جلﻨﺔ مﻜونﺔ من ) (5طالبات (7) ،طﻼب من ﺑني مﺠموعﺔ مﻜونﺔ من ) (8طالبات (10)،طﻼب؟
احلﻞ
ﻓي اللﺠﻨﺔ اﳌﻄلوﺑﺔ ) (5طالبات ﳝﻜن اﺧﺘيارهن من ﺑني ) (8طالبات وعليﻪ يﻜون : 8
عدد طرق اﺧﺘيار الﻄالبات = C 5
ـــــــــــــــــــــ = !8×7×6×5 طريﻘﺔ 8×7×6 = 56 ــــــــــــــــــــــــــ !5!×3 3×2
!8
8
= ــــــــــــــــــــ !)C 5 = 5!(8-5
و 7طﻼب يﺨُ ﺘارون من ﺑني ) (10طﻼب ﻓيﻜون: عدد طرق اﺧﺘيار الﻄﻼب
10
= C7
طريﻘﺔ 10×9×8 = 120 ـــــــــــــــــــــ = !10×9×8×7 ـــــــــــــــــــــــــــــ = !10 ــــــــــــــــــــ = 3×2×1 !7!×3 !)7!(10-7
10
C7
وﺑاسﺘﺨدام مبدأ العد اﻻساسي يﻜون : عدد طرق ﺗﻜوين اللﺠﻨﺔ = 120 × 56 = 6720
مثال 8
صﻨدوق يحﺘوي علﻰ ) (6ﻛرات حمراء (4) ,ﻛرات ﺑيﻀاء يراد سحب )اﺧﺘيار( ) (5ﻛرات ﺑﺸرط أن ﺗﻜون ) (3ﻛرات حمراء ﻓﻘﻂ ﺑﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن اجراء السحب ؟
احلﻞ
6
عدد طرق سحب ) (3ﻛرات حمراء = C 3 ــــــــــــــــــــــــــ = !6 !6×5×4×3 ــــــــــــــــــــ = طريﻘﺔ 3!(6-3)! 3!×3×2×1 = 20
6
C3
4
عدد طرق سحب ﻛرﺗني ﺑيﻀاء = C 2 ــــــــــــــــــــــــــ = !4 4×3×2×1 ــــــــــــــــــــ = !)2!(4-2 طرق 2!×2×1 = 6 عدد الﻄرق اﳌمﻜﻨﺔ = 6×20 = 120
4
C2 21
“(1-3) øjQÉ -1جد ﻗيمﺔ ﻛ ً ﻼ من :
]
7
P4
+
7 3
[P
)(70
1 ـــــــــــــ )d 210
)c
11
)b) C (18 , 18
5
a) C
-2جد ﻗيمﺔ nإذا ﻛان : n
n
C20 = C35 -3اي العبارات اﻻﺗيﺔ صاﺋبﺔ واي مﻨها ﺧاطﺌﺔ؟ 10
C4
=
P2 ــــــــــــــــــ
=
25
!2
اذا ﻛان ) ( = ) ( n
n
6
4
16
C6
25 23
b) C
n = 10
ﻓﺈن
)a
)c
(dعدد اﳌﺠموعات اجلﺰﺋيﺔ الﺘي ﲢﺘوي علﻰ ﺛﻼﺛﺔ عﻨاصر الﺘي ﳝﻜن ﺗﻜويﻨها من مﺠموعﺔ عدد عﻨاصرﻩ عﺸرة هو
10
C3
.
(eسبعﺔ اشﺨاص ليسوا مﺘمايﺰين يﻜون عدد طرق اﺧﺘيار ﺛﻼﺛﺔ مﻨهﻢ هو . P 7 3
(fعدد طرق اﺧﺘيار شﺨﺼني من ﺑني سﺘﺔ اشﺨاص دون مراعاة الﺘرﺗيب عﻨد اﻻﺧﺘيار = 15طريﻘﺔ. - 2 0 = -1 (g
3
P0
(hلﻜﻞ n , r ∈ Nاذا ﻛان
22
5
5
P r = Pn
ﻓﺈن n = r
-4اﺧﺘر اﻻجاﺑﺔ الﺼحيحﺔ ﻓي ﻛﻞ ﳑا يﺄﺗي : (aعدد طرق اﺧﺘيار جلﻨﺔ ﺛﻼﺛيﺔ من ﺑني ) (10اشﺨاص يساوي : !10 ـــــــــــــ )(3 ليﺲ اي ﳑا سبﻖ )(4 !3 (bاذا ﻛان ) (nعدد اﳌﺠموعات اجلﺰﺋيﺔ الثﻨاﺋيﺔ الﺘي ﳝﻜن ﺗﻜويﻨها من مﺠموعﺔ عدد عﻨاصرها )(6 ﻓﺈن nيساوي: (1) 15 (2) 6 (3) 4 (4) 2 10
C3
10
P3
)(2
)(1
(cعدد الﻘﻄﻊ اﳌسﺘﻘيمﺔ الﺘي ﳝﻜن ان ﺗﺼﻞ ﺑني اي رأسني من رؤوس مﻀلﻊ سداسي يساوي : (4) 6
6
6
(3) P 2
2
(2) C =
68
P8 ـــــــــــــــ 8
(3) 1
)(4
8 ـــــــــــــــ )(2 60
(eاذا ﻛان لديﻨا اﻻرﻗام 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ارﻗام مﺨﺘلفﺔ من ﺑني هﺬﻩ اﻻرﻗام هو : ليﺲ اي ﳑا سبﻖ )(4
4
)(3
(1) 6×6
( )÷ C
68
68
60
8
)d
(1) 68
ﻓﺈن عدد اﻻعداد اﳌﻜون رمﺰها من ارﺑعﺔ
) ( 9 4
)(2
(1) 9
-5يراد ﺗﺸﻜيﻞ جلﻨﺔ من سﺘﺔ اعﻀاء من ﺑني ) (5طﻼب (8) ،مدرسني ﻓبﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن أن ﺗﻜون اللﺠﻨﺔ محﺘويﺔ علﻰ مدرسني اﺛﻨني؟ -6صﻨدوق يحﺘوي علﻰ ) (4ﻛرات حمراء(8)،ﻛرات ﺑيﻀاء سحبﺖ ﺛﻼث ﻛرات مع ًا جد عدد طرق سحب: (1اﺛﻨﺘان حمراء و واحدة ﺑيﻀاء. (2علﻰ اﻻﻗﻞ اﺛﻨﺘان حمراء. -7اذا ﻛان عدد اسﺌلﺔ امﺘحان مادة ماهو ) (10اسﺌلﺔ وﻛان اﳌﻄلوب حﻞ ) (7اسﺌلﺔ مﻨها علﻰ أن نﺨﺘار ) (4من اﳋمسﺔ اﻻولﻰ ،ﻓبﻜﻢ طريﻘﺔ ﳝﻜن اﻻجاﺑﺔ ؟
23
Bionomial Theorm
]øjó◊G äGP áægÈe ]1-5 مبرهﻨﺔ ذات احلدين :
هي ﻗانون ﻻيﺠاد ناﰋ ﻗوى مﺠموع حدين اي مﻘدار مﻜون من مﺠموع حدين مثﻞ ) (x+yاذا رﻓﻊ الﻰ اي اس صحيﺢ موجب. لﻨﻼحﻆ اﳌثال الﺘالي: (x+y)2 = x2 + 2 x y + y2 2
2
2
2
1
0
= C x2 + C x y + C y2 2
C0 = 1
ﻹن
2
C1 = 2
،
2
C2 = 1
،
وﺑاﳌثﻞ يﻜون + y3 y3
3 3
3 x y2 3
C2
x y2 + C
+ 3 x2 y
+
3
C1
x y + 2
+
(x+y)3 = x3 3
C 0 x3
=
وﻛﺬلﻚ y4
4 x y3 + 4
x y3 + C y4 4
6 x2 y2 + 4 3
x2 y2 + C
4 x3 y + 4
C2
x4 + 4
C1
x3 y +
= (x+y)4 4
= C x4 + 0
وهﻜﺬا ﳝﻜن الﻘول ﺑﺼورة عامﺔ أنﻪ اذا ﻛان ) (nعدد صحيﺢ موجب ﻓﺈن: n
xn-2 y2 + ... + C yn n
يسمﻰ هﺬا الﻘانون ﺑﻘانون مفﻜوك ذي احلدين .
24
n
C2
xn-1 y +
n
C1
xn +
n
C0
= (x+y)n
N o t e s
مﻼحظـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــات من ﻗانون مفﻜوك ذي احلدين نﻼحﻆ : -1عدد حدود اﳌفﻜوك = n+1 -2مﺠموع اسﺲ x ، yﻓي ﻛﻞ حد من حدود اﳌفﻜوك = n -3معامﻞ ﻛﻞ حد رﺗبﺘﻪ rﻓي مفﻜوك (x+y)nهو (x+y)8هو
8
C4
n
C r-1
ﻓمث ً ﻼ معامﻞ احلد اﳋامﺲ ﻓي مفﻜوك
ويﻜون:
ـــــــــــــــــــــــــــــــ = !8 !8×7×6×5×4 ــــــــــــــــــــ = !)4!(8-4 !4!×4
8
C4
-4ﻓي مفﻜوك (x+y)nيﻜون اس احلد اﻻﺧير ) n = (yواس احلد اﻻول ). n = (x -5اس احلد اﻻول للمﺘغير xيبدأ ﺑالﺘﻨاﻗﺺ من nالﻰ 0واس احلد الثاني للمﺘغير yيبدأ ﺑالﺘﺰايد من 0الﻰ .n -6اذا ﻛان nعدد ًا زوجي ًا ﻓﺈن عدد حدود اﳌفﻜوك هو ) (n+1ﻓردي ًا ويﻜون هﻨاك حد ًا اوسﻂ رﺗبﺘﻪ n +1ــــــــ اما اذا ﻛان nعدد ًا ﻓردي ًا ﻓﺈن عدد حدود اﳌفﻜوك ) (n+1زوجي ًا ويﻜون هﻨاك حدان 2 )(n+1 ـــــــــــــــــــ )(n+1 ،ـــــــــــــــــــ اوسﻄان رﺗبﺘهما +1 2 2 n -7ﻓي مفﻜوك ) (x+yيﻜون ﻗانون احلد العام ] احلد الﺬي رﺗبﺘﻪ ): [(r x n-r+1 y r-1
n
C r-1
= Pr
-8مفﻜوك - n ) (x +yيﻜون ﺑالﺸﻜﻞ : n
n
xn-2 y2 - C 3 xn-3 y3 + .........+ C n (-y)n
n
y +C2
x
n-1
n
C1
xn
n
C0
نﻼحﻆ ﻓي هﺬا اﳌفﻜوك ﺗﻜون احلدود سالبﺔ او موجبﺔ علﻰ الﺘعاﻗب ويﻜون احلد اﻻﺧير موجب ًا اذا ﻛان nعدد ًا زوجي ًا وسالب ًا اذا ﻛان nعدد ًا ﻓردي ًا .
25
مثال 1
جد مفﻜوك (x - y)5
احلﻞ
5
5
5
5
5
5
C 0 x5 - C 1 x4 y + C 2 x3 y2 - C 3 x2 y3 + C 4 x y4 - C 5 y5
= (x - y)5
= x5 - 5 x4 y + 10 x3 y2 - 10 x2 y3 + 5 x y4 - y5
مثال 2 احلﻞ
جد مفﻜوك
4
4
(3a + b)4
4
4
4
4
C 0 (3a) + C 1 (3a) b + C 2 (3a) b + C 3 (3a)b + C 4 b 3
2
2
3
4
= )(3a + b 4
= 81 a4 + 108 a3 b + 54 a2 b2 + 12 ab3 + b4
مثال 3
اوجد احلد اﳋامﺲ ﻓي اﳌفﻜوك
احلﻞ
(x - 3y)8 8
Pr = Cnr-1 x n-r+1 (-3y)r-1 = C 4 x 4 (-3y)4 !8 4 4 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ) 4! (8-4)! x (81 y = 70×81 x 4 y 4 = 5670 x 4 y 4
مثال 4
جد احلد اﻻوسﻂ ﻓي مفﻜوك ( x - 3 )8 2 ∵ اﻻس عدد زوجي ﻓيوجد حد اوسﻂ واحد رﺗبﺘﻪ
احلﻞ
n
احلد العام هو:
C r- 1 x n-r+1 y r-1
= Pr
x ) C4(2
= P5
( 3 )5-1
احلد اﻻوسﻂ هو احلد اﳋامﺲ
26
= n+1 2 =8 +1 2 =5
x4ــــــــــــ P5 = 2835
8
⇒
8-5+1
8
ــــــــــــ × !8 x4 × 81 ــــــــــــــــ = !4! 4 16
مثال 5
جد احلدين اﻻوسﻄني ﻓي مفﻜوك
)
7
- 2 3a
( 3a 2
∵ اﻻس عدد ﻓردي ﻓيوجد حدان اوسﻄان رﺗبﺘاهما احلﻞ n+1 + 1 = 4 + 1 = 5 ــــــــــــــــــــ = n+1 ــــــــــــــــــــ 7+1 = 4 ، ـــــــــــــــــــ 2 2 2 3a )3 C 3 ( 2 ) ( -2 3a
∴ احلدان اﻻوسﻄان هما الراﺑﻊ واﳋامﺲ
4
7
= P4
ـــــــــــــــ × 7×6×5 ــــــــــــــــــ × 81 a4 -8 aــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــ = = -105 3 3×2×1 16 27a 2 3a )4 C 4 ( 2 ) ( -2 3a 3
7
= P5
ــــــــــــــــــ × 27a3 16 70 ـــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــ = 7×6×5×4 ــــــــــــ = 4 4×3×2×1 8 81a 3a
مثال 6
جـــد اﳌﻘدار (2+a)4 + (2-a)4إلﻰ اﺑسﻂ صورة ﺛﻢ جد ﻗيمﺔ اﳌﻘدار عﻨدما .a = √3 (2 + a)4 = p1 + p2 + p3 + p4 + p5
احلﻞ ﺑاجلمﻊ
(2 - a)4 = p1 - p2 + p3 - p4 + p5 )(2+a) + (2-a) = 2 ( p1 + p3 + p5 4
4
ﺿعﻒ احلدود الفرديﺔ الﺘرﺗيب ﻓي مفﻜوك (2+a)4 وعﻨدما ﺗﻜون a = √3ﺗﻜون ﻗيمﺔ اﳌﻘدار هي :
مثال 7 احلﻞ
2 [24 + C42 22 a2 +a4] = 2 [16 + 24 × 3+9] = 2 ×97 = 194 اﺧﺘﺼر اﳌﻘدار
(a + 1 )5 - (a - 1 )5 a a
إلﻰ اﺑسﻂ صورة.
ﺿعﻒ احلدود الﺰوجيﺔ الﺘرﺗيب ﻓي مفﻜوك (a + 1 )5 a 5 = (a + 1 ) - (a - 1 )5 a a )= 2 ( p2 + p4 + p6
] = 2 [ C15 a4 ( 1 ) + C53 a2 ( 1 )3 +C55 ( 1 )5] = 2 [ 5 a3 + 10 + 15 a a a a a
27
مثال 8 احلﻞ
جد احلد الﺬي يحوي ) (a 8ﻓي مفﻜوك ( 3 + a 2 )8ﺛﻢ جد معاملﻪ. نفرض أن رﺗبﺔ احلد الﺬي يحوي a 8ﻓي مفﻜوك ( 3 + a 2 )8هي ) (rﻓيﻜون : 8 Pr = C (3 )8-r+1 (a2)r-1 r-1
39-r a2r-2
8
C r-1
=
∴ a 8 = a 2r-2 2r-2 =8
رﺗبﺔ احلد الﺬي يحوي a 8هو اﳋامﺲ r = 5
2 r = 10 ⇒ r = 5 P5 = C 8 3 4 (a2)4 4
8×7×6×5 × 81 × a 8 ــــــــــــــــــــــــــــــ = 4×3×2×1 ﻗيمﺔ احلد
5670 a 8
=
اﳌعامﻞ = 5670
مثال 9 احلﻞ
جد احلد اﳋالي من ) (xﻓي مفﻜوك
.( x2 - 1 )15 x
نفرض أن رﺗبﺔ احلد اﳋالي من ] xاي يحوي علﻰ [ x 0هي ) (rﻓيﻜون: n 2 n-r+1 ( -1 )r-1 ) C r-1 (x x
(-1)r-1 (x-1)r-1
= Pr
)C r-1 (x
=
C r-1
=
C r-1
=
)2(15-r+1
15
x32-2r (-1)r-1 (x)-r+1
15
x33-3r (-1)r-1
15
∴ x33-3r = x 0 33 - 3r = 0 33 = 3r r = 11
28
احلد اﳋالي من ) (xهو احلد الﺬي رﺗبﺘﻪ ) (11ﻓيﻜون : (-1)11-1 (x)-11+1
15 2 15-11+1 ) C 10 (x 15
C 10
= P11 =
!15 ـــــــــــــــــــــ = !10!×5 ﻗيمﺔ احلد اﳋالي من x
مثال 10 احلﻞ
15×14×13×12×11 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = = 3003 5×4×3×2×1
جد ﻗيمﺔ .(101)3
)(101) = (1+100
3
3
= 1+ C 13 ( 100)1 + C 23 (100)2 + C33 (100)3 = 1 + (3) (100)+(3)(10000)+1000000 = 1030301
29
“(1-4) øjQÉ -1جد مفﻜوك ﻛﻞ ﳑا يﺄﺗي : a) (3a - b)4 b) (3x2 + 2y)3 c) (2x - 1 )6 2x
-2جد احلد الثالﺚ ﻓي مفﻜوك . (x - 3y2)7 2 x ( -3جد احلد السادس ﻓي مفﻜوك - x )8 . 2 3 2 12 -4جد احلد اﻻوسﻂ ﻓي مفﻜوك ) . (a - a
-5جد احلدين اﻻوسﻄني ﻓي مفﻜوك . (2a - 1)7 -6جد احلد الﺬي يحوي علﻰ x 4ﻓي مفﻜوك (1+ x2)6ﺛﻢ جد معاملﻪ . 3 2 9 -7جد معامﻞ x 2ﻓي مفﻜوك ) . (x + 2 x 2 2 10 -8جد احلد اﳋالي من ) (xﻓي مفﻜوك ) . (x + 3 x
-9جد ﻗيمﺔ ) (99)4ﺑاسﺘﺨدام نظريﺔ ذي احلدين(. -10جد ﻗيمﺔ .(102)4 - (98)4 -11جد ﻗيمﺔ .(2 + √3 )7 + (2 - √3)7
30
ÊÉãdG π°üØdG ájQGôªà°S’Gh äÉjɨdG Limits And Continuity
QGƒ÷G ]2]2-1] ádGódG ájÉZ ]2-2 ]2-2] x → a+ ÉeóæY ádGódG ájÉZ ]]2-3] 2-3 x → a- ÉeóæY ádGódG ájÉZ ]]2-4] 2-4 äÉjɨdG ‘ äÉægÈŸG ¢†©H ]2 ]2-5] 5 á£≤f óæY ádGódG ájQGôªà°SG ]2-6] ájQGôªà°S’G ‘ äÉægÈŸG ¢†©H ]2-7]
31
ájɨdG
Limit
áeó≤e
مفهوم الغايﺔ limitمن اﳌفاهيﻢ اﳌهمﺔ ﻓي الرياﺿيات وهي اﻻساس ﳌفاهيﻢ اﺧرى مثﻞ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ continuity of functionوﻛﺬلﻚ ﻓي حساب الﺘفاﺿﻞ differentiationوالﺘﻜامﻞ . integration
]QGƒ÷G ]2-1
Neighbuorhood
لﺘوﺿيﺢ مفهوم اجلوار نعﻄي هﺬﻩ اﳌفاهيﻢ البسيﻄﺔ وصو ًﻻ الﻰ مفهوم اجلوار . سبﻖ ان ﺗعلمﺖ الفﺘرات اﳌفﺘوحﺔ ﻓي اﻻعداد احلﻘيﻘﺔ وﰎ ﺗوﺿيحها علﻰ ﺧﻂ اﻻعداد مث ً ﻼ الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ) ( 1 , 3ﲤثﻞ علﻰ ﺧﻂ اﻻعداد ﺑالﺸﻜﻞ :
1 2 3 نﻼحﻆ ان العدد 2يﻨﺘمي للفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ) (1 , 3وﺗوجد ﻗيﻢ ﻓي الفﺘرة اﻛبر من العدد 2وﺗﻜبر اﻗﺘراﺑ ًا
للعدد . 3وﻛﺬلﻚ ﺗوجد ﻗيﻢ أصغر من العدد 2وﺗﺼغر اﻗﺘراﺑ ًا للعدد 1 هﺬﻩ الﻘيﻢ مث ً ﻼ 1.9 ، 1.99 ، 1.999 ، 1.9999ﺗﻘﻊ جوار العدد 2من اليسار وﻛﺬلﻚ الﻘيﻢ ،2.0001 2.1 ، 2.01 ، 2.001ﺗﻘﻊ جوار العدد 2من اليمني ﺗسمﻰ هﺬﻩ الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ) (1 , 3جوار ًا للعدد 2
ﺗعريﻒ )(2 - 1 اذا ﻛان aعدد ًا حﻘيﻘي ًا وﻛان ) ∈> 0يﻘرأ اﺑسيلون( ﺗسمﻰ ﻛﻞ ﳑا يﺄﺗي : (a - , a + ∈) -1جوار ًا للعدد a ) aﺗﻨﺘمي للفﺘرة ( ∈ (a - , a ) -2جوار ًا للعدد aمن اليسار ] aﻻ ﺗﻨﺘمي للفﺘرة [ ∈ (a , a + ∈) -3جوار ًا للعدد aمن اليمني ] aﻻ ﺗﻨﺘمي للفﺘرة [ لﺬلﻚ يوجد عدد ﻏير مﻨﺘهي من اجلوارات للعدد . aوحسب ﻗيﻢ ∈ اﳌوجبﺔ وﻛﺬلﻚ ليﺲ من الﻀروري أن aﺗﻨﺘمي جلوارها.
32
مثال 1
اذا ﻛان 1 ، a = 2 ــــــــ = ∈ اﻛﺘب جوار ًا للعدد aﺛﻢ اﻛﺘب جوار اليسار وجوار اليمني. 2
احلﻞ
ـــــــــ 1 , 2 + جوار العدد a = 2هو الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ) 1 ـــــــــ ( 2 - 2 2 ـــــــــ 3 , ∴ جوار العدد a = 2هو الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ) 5 ـــــــــ ( 2 2 جوار اليسار للعدد a = 2هو الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ) 1 , 2 ـــــــــ ( 2 - 2 ∴ جوار اليسار للعدد aهو الفﺘرة ) 3 , 2 ـــــــــ ( 2 جوار اليمني للعدد aهو الفﺘرة 1 )ــــــــــ ( 2 , 2 + 2 ∴ جوار اليمني للعدد aهو الفﺘرة 5 )ــــــــــ ( 2 , 2
مثال 2 اذا ﻛان a = 1اﻛﺘب ﺛﻼث جوارت للعدد . a
احلﻞ
) a = 1 ∵ (1ﳝﻜن ان نﺨﺘار 2 ـــــــــ = 5 ـــــــــ ( = ) 2 ـــــــــ 3 , ـــــــــ 2 , 1 + ∴ جوار العدد 1هو الفﺘرة ) 7 ـــــــــ (1 - 5 5 5 5 ) a = 1 ∵ (2نﺨﺘار 3 ـــــــــ = 4 ـــــــــ ( = ) 3 ـــــــــ 3 , 1 + ـــــــــ 1 , ∴ جوار العدد 1هو الفﺘرة ) 7 ـــــــــ (1 - 4 4 4 4 ) a = 1 ∵ (3ﳝﻜن ان نﺨﺘار 1 ـــــــــ = 4 ـــــــــ ( = ) 1 ـــــــــ 3 , ـــــــــ 1 , 1 + ∴ جوار العدد 1هو الفﺘرة ) 5 ـــــــــ (1 - 4 4 4 4
33
]ádGódG ájÉZ ]2-2
Limit of Function
ﺗوجد ﺑعﺾ اﳌفاهيﻢ ﳝﻜن ﺗوﺿيحها ﻗبﻞ الدﺧول ﻓي ﻏايﺔ الدالﺔ والﺘي هي : xﺗعﻨي ان ﻗيﻢ xهي اﻻعدد احلﻘيﻘﺔ الﻘريبﺔ جد ًا من العدد aﳝيﻨ ًا ويسار ًا ﳝﻜن ان نﻘول ان ﻗيﻢ a -1 xهي اﻻعداد الﺘي ﺗﻨﺘمي الﻰ جوارات العدد .a مث ً xﺗعﻨي ان ﻗيﻢ xهي 2.1 ، 2.01 ، 2.001 ، 2.0001 ، .... ﻼ2 وﻛﺬلﻚ هي 1.9 ، 1.99 ، 1.999 ، 1.9999 ، ... xﺗﻘرأ xﺗﻘﺘرب من aمن جهﺔ اليمني اي ان ﻗيﻢ xﺗﻘﺘرب اﻛثر ﻓﺄﻛثر من العدد aﺗﻘﻊ ﻓي a+ -2 جهﺔ اليمني اي اﻛبر من .a مث ً xﺗعﻨي ان ﻗيﻢ xهي 1.1 ، 1.01 ، 1.001 ، 1.0001 ،.... ﻼ 1+ ـ
a -3
xﺗﻘرأ xﺗﻘﺘرب من العدد aمن جهﺔ اليسار اي ان ﻗيﻢ xﺗﻘﺘرب اﻛثر ﻓﺄﻛثر من العدد aﺗﻘﻊ
ﻓي جهﺔ اليسار اي اصغر من .a مث ً xﺗعﻨي ان ﻗيﻢ xهي 1.1 ، 1.01 ، 1.001 ، 1.0001 ،.... ﻼ 1+ مث ً xﺗعﻨي ان ﻗيﻢ xهي 0.9 ، 0.99 ،.......، 0.999 ،.... ﻼ 1-
مثال 1 اﻵن سﻨوﺿﺢ ﻓﻜرة ﻏايﺔ الدالﺔ ﺑﺄسﺘﺨدام الﺘمثيﻞ البياني للدالﺔ موﺿح ًا ﺑالﺸﻜﻞ ) (2 - 1نﻼحﻆ xمن جهﺔ اليسار )أﻗﻞ من العدد (2 هﻨدسي ًا ان مﻨحﻨﻰ الدالﺔ fمﻨفﺼﻞ عﻨد x = 2نﻼحﻆ عﻨدما 2 ﻓﺈن ﻗيﻢ ) y = f (xﺗﻘﺘرب من 2ايﻀ ًا ﻓيﻘال ان lim f(x) = 2 + 2
x
xمن جهﺔ اليمني ) اﻛبر من العدد ( 2ﻓﺈن ﻗيﻢ ) y = f(xﺗﻘﺘرب من وﻛﺬلﻚ نﻼحﻆ عﻨدما 2 )y = f(x 4ﻓيﻘال ان lim + f(x) = 4وﺗﻘرأ ﻏايﺔ الدالﺔ fمن اليمني ﺗساوي 4أي ان 4 x 2 x عﻨدما 2+
34
Y
4 2
X
2
الﺸﻜﻞ )(2 - 1
مثال 2
ﻻحﻆ الﺸﻜﻞ اﻻﺗي ):(2-2
Y
6
X
3
الﺸﻜﻞ )(2 - 2 انﻪ عﻨدما 3
xﳝيﻨ ًا ويسار ًا ﻓﺈن) y = f (xﺗﻘﺘرب من العدد 6ﻓيﻘال من ان lim f(x) = 6ﺗﻘرأ
ﻏايﺔ الدالﺔ fمن اليمني واليسار وﺗساوي 6عﻨدما 3
2
x
xﻻحﻆ ﻓي الﺸﻜﻞ ) (2 - 1لﻢ نﺘﻄرق عﻨدما
x = 2الدالﺔ معرﻓﺔ اوﻏير معرﻓﺔ واﳌهﻢ ان الدالﺔ معرﻓﺔ ﺑﺠوار العدد 2وﻛﺬلﻚ ﻓي الﺸﻜﻞ ).(2-2 واﻵن سﻨوﺿﺢ ﻓﻜرة ﻏايﺔ الدالﺔ ﺑﺼورة آﺧرى .
35
مثال 3
xﻛما وﺿحﻨا ساﺑﻘ ًا ﺗعﻨي ان xعﻨدما يﻘال 4 f (x) = x+3نبحﺚ ﻏايﺔ الدالﺔ fعﻨدما 4 ﻗيﻢ xﻗريبﺔ جد ًا جد ًا من العدد 4وﲤثﻞ جوارات العدد 4ﳝيﻨ ًا ويسار ًا وعﻨد ﺗعويﺾ هﺬﻩ الﻘيﻢ ﻓي الدالﺔ نحﺼﻞ علﻰ ﻗيﻢ للدالﺔ ) f (xﻛما ﻓي اجلدول اﻵﺗي: x 4x 4+ 4.1
4.01
4.001
........ 4.0001
4
.......
3.9999
3.999
3.99
3.9
7.1
7.01
7.001
........ 7.0001
7
.......
6.9999
6.999
6.99
6.9
)f (x 7 من اجلدول اﻻﺗي يﺘبني لﻨا عﻨدما
)f (x 7 xﳝيﻨ ًا ويسار ًا ﻓﺈن 7 ) f (xﳝيﻨ ًا ويسار ًا وﺗﻜﺘب
4
lim f(x) = 7وﺗﻘرأ ﻏايﺔ الدالﺔ fﺗساوي 7عﻨدما 4 4
x )f (x
x
x
مثال 4
لﺘﻜن x2 - 4 ــــــــــــــــــ = ) f (xحيﺚ x ≠ 2نبحﺚ وجود ﻏايﺔ fعﻨدما 2 x-2 سﻨوﺿﺢ ذلﻚ ﻓي اجلدول ﺑعد آﺧﺬ ﻗيﻢ xﻗريبﺔ جد ًا جد ًا من العدد 2ﳝيﻨ ًا ويسار ًا اي انﻪ جوارات العدد x
2ونعوﺿها ﻓي الدالﺔ x2 - 4 ـــــــــــــــــ = ) f (xوﳒد ﻗيﻢ ) f (xﻛما ﻓي اجلدول اﻵﺗي: x-2 x 2x 2+ 2.1
2.01
2.001
2
.......
1.999
1.99
1.9
4.1
4.01
4.001
4
.......
3.999
3.99
3.9
4
)f (x
نﻼحﻆ ﻗيﻢ ) f (xﺗﻘﺘرب من العدد 4عﻨدما ﻗيﻢ 2
4
x )f (x
)f (x
xويرمﺰ لها . lim f(x) = 4 2
x
مﻼحظﺔ :ﻓي اﳌثالني لﻢ نﺘﻄرق للعدد 2اي انﻪ x = 2ليﺲ مهما ان ﺗﻜون fمعرﻓﺔ او ﻏير معرﻓﺔ عﻨدﻩ واﳌهﻢ ان fمعرﻓﺔ جوار العدد .2
36
]x → a+ ÉeóæY ádGódG ájÉZ ]2-3 احيان ًا ﺗﻜون الدالﺔ fمعرﻓﺔ عﻨد جوار اليمني للعدد aﻓﻘﻂ ﻓيمﻜن ايﺠاد ﻏايﺔ الدالﺔ fمن اليمني ﻓﻘﻂ وسﻨوﺿﺢ ذلﻚ من ﺧﻼل اﳌثال اﻵﺗي :
مثال 5 لﺘﻜن f (x) = 2 xحيﺚ ﻗيﻢ x ≥ 1لﻨﺠد ﻏايﺔ fعﻨدما 1+
xنسﺘﺨدم اجلدول اﻵﺗي لﺘوﺿيﺢ
سلوك الدالﺔ fعﻨدما ﻗيﻢ xﺗﻘﺘرب من 1من جهﺔ اليمني ﻓﻘﻂ x
1+ 1
.......
1.0001
1.001
1.01
1.1
x
2
.......
2.0002
2.002
2.02
2.2
)f (x
2
)f (x
Y
2 X
1 الﺸﻜﻞ )(2 - 3
ﻓيﻘال ان ﻏايﺔ fﺗساوي العدد 2عﻨدما 1+
xالغايﺔ ﻓي اليمني ﻓﻘﻂ وﺗﻜﺘب lim f(x) = 2 + 1
x
37
]x → a - ÉeóæY ádGódG ájÉZ ]2-4 احيان ًا ﺗﻜون الدالﺔ fمعرﻓﺔ عﻨد جوار العدد aمن اليسار ﻓﻘﻂ ﳝﻜن ايﺠاد ﻏايﺔ الدالﺔ fمن اليسار ﻓﻘﻂ سﻨوﺿﺢ ذلﻚ من اﳌثال اﻵﺗي :
مثال 6 √ = ) f(xنبحﺚ ﻏايﺔ الدالﺔ fعﻨدما 1- لﺘﻜن 1 - x نﻼحﻆ ان اوسﻊ مﺠال للدالﺔ fهو } R x ≤ 1
x
{ x : xاي انﻪ الدالﺔ fمعرﻓﺔ يسار العدد)1اجلوار
اﻻيسر للعدد (1ﻓﻘﻂ ﻓي اجلدول اﻵﺗي نوﺿﺢ ﻛيفيﺔ ايﺠاد ﻏايﺔ الدالﺔ fمن اليسار ﻓﻘﻂ. 1
x
-
1
......
0.999999991
0.9991
0.91
0
......
0.0003
0.03
0.3
0
ﻓيﻘال ان ﻏايﺔ fﺗساوي العدد 0عﻨدما 1-
x )f (x
)f (x
xمن اليسار ﻓﻘﻂ .وﺗﻜﺘب f(x) = 0
مثال 7
. lim
-1
x
لﺘﻜن 1 ــــــــ = ) f(xحيﺚ x ≠ 0لﻨدرس سلوك الدالﺔ x x xوهﻞ للدالﺔ fﻏايﺔ عﻨدما 0 عﻨدما 0 عﻨدما x ≠ 0ﺗعﻨي أن ﻗيﻢ x < 0أو x < 0 اﻵن ندرس سلوك الدالﺔ عﻨدما x < 0اي انﻪ0 +
اﻵﺗي يوﺿﺢ ذلﻚ:
0+
x
0
.......
0.0001
0.001
0.01
0.1
x
؟
.......
10000
1000
100
10
)f (x
) f (xﻗيمها ﺗﺘﺰايد وﺗﻜبر وﻻﺗﻘﺘرب من عدد ما 0-
0
.....
- 0.01 - 0.001 - 1000
اجلدول اﻵﺗي يوﺿﺢ سلوك الدالﺔ xاﻻﻗﺘراب من اليسار عﻨدما 0- ﺑﺄﲡاﻩ العدد 0
x - 0.1
x
- 10
)f (x
؟ ) f (xﻗيمها ﺗﺘﻨاﻗﺺ وﺗﺼغر وﻻﺗﻘﺘرب من عدد ما .....
38
xاﻻﻗﺘراب من اليمني ﺑﺄﲡاﻩ العدد 0اجلدول
- 100
من اجلدولني يﺘﻀﺢ لﻨا ان الدالﺔ f ليﺲ لها ﻏايﺔ عﻨدما 0
x
N o t e s
مﻼحظات مهمﺔ ﻓي الغايات للدوال -1نحدد مﺠال الدالﺔ . f
xﻻيﺠاد ﻏايﺔ الدالﺔ fليﺲ من الﻀروري ان ﺗﻜون aﺗﻨﺘمي ﳌﺠال الدالﺔ اي انﻪ
-2عﻨدما a
) f(aمعرﻓﺔ او ﻏير معرﻓﺔ ذلﻚ ﻏير مهﻢ ،اﳌهﻢ أن الدالﺔ معرﻓﺔ جوار العدد aمن اليمني او من اليسار.
-3اذا ﻛانﺖ xlima+f(x) = L1وﻛانﺖ xlim a-f(x) = L2موجودﺗني . يﻘال ان للدالﺔ fﻏايﺔ عﻨد L1 =L2 ⇔ a ويﻘال ان الغايﺔ ﻏير موجودة للدالﺔ fعﻨد L1 ≠L2 ⇔ a
]äÉjɨdG ‘ äÉægÈŸG ¢ü©H ]2-5 -1ﻏايﺔ الدالﺔ ) f(xان وجدت ﻓهي وحيدة وﺗعﻨي : lim f(x) = L lim f(x) = L اذا ﻛان 2
ﻓﺈن
a+
x
a++
1
x
L1 =L2
-2اذا ﻛانﺖ f(x) = cحيﺚ c ∈ Rعدد ﺛاﺑﺖ ﻓﺈن ) xlima f(x) = xlima c = cﻏايﺔ الدالﺔ الثاﺑﺘﻪ = الثاﺑﺖ نفسﻪ عﻨد اي ﻗيﻢ ﺗﻘﺘرب مﻨها (x
مث ً ﻼ
ــــــ = 1 1 ــــــ ، c) lim x -1 2 2
، b) lim 3 = 3 0
x
√2 =√2
a) lim
1
x
-3اذا ﻛانﺖ f(x) = xﻓﺈن lim f(x) = a x a اي انx = a :
مث ً ﻼ
lim
a
x
1 ــــــ = ، c) lim 1 x ــــــ x 4 4
x = √3
، b) lim
√ 3
x
x =-2
-2
a) lim x
39
: موجودﺗني ﻓﺈنlim g(x) ، lim f(x) اذا ﻛانﺖ-4 x
x
a
a
- g(x) ] = lim f(x) - lim lim [ f(x) + + x ag(x) x a x a a)
ً مث ﻼ
lim (x+4) = lim x + lim 4 1 x 1
x
x
1
=1+4=5 b)
lim (x-3) = lim x - lim 3 -5 x -5 x -5
x
= -5 - 3 = -8 : عدد ﺛاﺑﺖ ﻓﺈنc موجودة وﻛانﺖlim f(x) اذا ﻛانﺖ-5 x
lim c f(x) = c . lim f(x) a x a
a
x
a) b)
ً مث ﻼ
lim 4x = 4 . lim x = 4 . (2) = 8 x 2 x 2 lim -3x = -3 lim x = -3 (0) = 0 0 x 0
x
: موجودﺗني ﻓﺈنlim g(x) ، lim f(x) اذا ﻛانﺖ-6 x
a
x
a
lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) lim g(x) . x a a x a
x
a) b)
lim x2 = lim x . lim x = 2 ×2 = 4 2 x 2 x 2
x
(lim x) .( lim (x+2 )) = ( lim x)( lim x + lim 2 ) = 1 . (1 + 2 ) = 3
lim x (x+2) = 1
x
x
1
x
1
x
x
1
1
عدد صحيﺢ موجبn c)
ً مث ﻼ
lim x
-3
x3
x
1
lim xn = an
x
a
اسﺘﻨﺘاج
= (-3)3 = -27
40
-7اذا ﻛانﺖ ) lim g(x) ، lim f(xموجودﺗني وإن g(x) ≠ 0 limﻓﺈن: x a x a a
x
)lim f(x
x a ـــــــــــــــــــــ
)lim g(x a
مث ً ﻼ
lim x + lim 2
x 1 x 1 ـــــــــــــــــــــــــــ
lim x+ lim 1 1
1
x
=
x
x
)lim (x + 2
x 1 ـــــــــــــــــــــ
)lim (x + 1 1
3 ــــــــــ 2
=
1+2 ــــــــــــــــ
x
x
x 3 x 3 ـــــــــــــــــــــــــــ = lim x+ lim 2 )lim (x + 2 3
x 3 ـــــــــــــــــــــ 3
7 ــــــــــ 5
=
3 -2 ــــــــــــــــ 2
3+2
مﻼحظﺔ :هﺬﻩ اﳌبرهﻨات ﺗبﻘﻰ صحيحﺔ عﻨدما a
)g(x
x+2 ــــــــــــــــ x+1
lim
a
x
lim
1
x
)a
=
1+1
lim x2- lim 2 x
=
ــــــــــــــــ
x
)lim (x2 - 2
3
=
)f(x
=
x -2 ــــــــــــــــ 2
x+2
lim
3
x
)b
=
xمن اليمني واليسار وﳝﻜن حﻞ الﺘمارين
واﻻمثلﺔ ﺑﺄسﺘﺨدام هﺬﻩ اﳌبرهﻨات ﻛﻘواعد للحﻞ.
مثال 8 )(x3 +2x
جد ﻗيمﺔ ما يلي :
lim
-3
x
)1
احلﻞ 2x = (-3)3 + 2 . lim x -3
x
lim x3 + lim
-3
x
-3
x
= -27 + 2(-3) = -27 - 6 = -33
41
lim x2 + lim 5 x 0 x 0
)lim (x2 + 5 x 0
x
x
x +5 ــــــــــــــــ 2
lim
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = 2x + 1 lim (2x + 1) lim 2x + lim 1 0
x
0
0
0 +5 ــــــــــــــــ 2
= 5
مثال 9
لﺘﻜن
x ≥1 x <1
هﻞ للدالﺔ ) f (xﻏايﺔ عﻨدما 1
2(0) + 1
x2+1
0
x
=
= )f (x
2x x
احلﻞ
Y
)(2 , 5
ﳝﻜن ان ﲤثﻞ الدالﺔ ﺑياني ًا ﻛما ﻓي الﺸﻜﻞ )(2-4
)(1 , 2 عﻨدما 1+
xمن اليمني ﻓﺈن
X
)f (x) = (x2 + 1 الﺸﻜﻞ )(2 - 4
من ﺗعريﻒ الدالﺔ ﻓي السﺆال لﺬلﻚ
)lim +f (x) = lim + (x2 + 1 1
1
x
x
= lim + x2 + lim + 1 = 12 + 1 = 2 = L1 1
عﻨدما 1-
x
1
x
xمن اليسار ﻓﺈن f (x) = 2xمن ﺗعريﻒ الدالﺔ ﻓي السﺆال lim -f (x) = lim -(2x) = 2 . lim - x = 2 . 1 = 2 = L2 1
42
1
x
x
∵ L1 = L2 ∴ lim f (x) = 2موجودة 1
x
1
x
)2
مﻼحظﺔ :اذا ﻛانﺖ fدالﺔ وأن ) xlima f(xموجودة ﻓﺈن : )lim f(x a
n
x
n
= )f(x
lim
x
a
حيﺚ nعدد صحيﺢ اﻛبر من 1اي انﻪ n ، n >1عدد صحيﺢ وان lim f(x) ≥ 0 a
عﻨدما nعدد زوجي
مثال 10 جد ﻗيمﺔ
lim
4x + 5
1
حيﺚ
x
احلﻞ
-5 4
≥ x
)lim (4x + 5 1
x
=
x
=
lim 4x + lim 5 1 x 1 9 =3
x
= 4(1) + 5
4x + 5
lim
1
x
=
مثال 11 = ) f(xجد )f(x
اذا ﻛانﺖ f : { x : x ≥ -2 ، x ∈ R } → Rوان x + 2
احلﻞ
x
-2
lim x + lim 2 -2
-2
x
حسب مﺠال الدالﺔ f f(x) = lim
x+2 x
lim
-2
x
= 0 =0
x
-2
) lim ( x + 2
=
= -2 + 2
=
-2
x
∴ lim
-2
x
43
مثال 12
جد ﻗيمﺔ x + 1 - 2 ــــــــــــــــــــــــــــ limحيﺚ x ≥ -1 x-3 x 3 لو عوﺿﻨا ﻗيمﺔ x = 3ﻓي البسﻂ واﳌﻘام مباشرة نحﺼﻞ علﻰ ﻗيمﺔ اﳌﻘدار = 0 احلﻞ ـــــــ وهي 0 معرﻓﺔ لﺬلﻚ نﻀرب البسﻂ واﳌﻘام ﺑالعامﻞ اﳌراﻓﻖ للبسﻂ ]لوجود اجلﺬر ﻓي البسﻂ[. ﻛميﺔ ﻏير ّ أي انﻪ:
x+1+2
.
x+1+2
x+1 -2 x-3
lim
3
)(x - 3 x+1-4 = lim ( )x 3 (x - 3 ) (x - 3) ( x + 1 + 2 ) x+1+2 1 ( lim
x + 1 ) + lim 2 3
x
1 4
مثال 13
احلﻞ
لﺘﻜن
3
=
x ≤2 x >2
x
1
=
3+1 + 2
1-x x+1
=
x
= lim x
3
lim 1 3
x
)x + 1 +2
( lim 3
x
1 lim x + lim 1 + 2 3
x
3
=
=
x
= ) f (xهﻞ للدالﺔ ) f (xﻏايﺔ عﻨد 2؟
عﻨد ﲤثيﻞ الدالﺔ ﺑياني ًا ﻛما موﺿﺢ ﻓي الﺸﻜﻞ ) (2-5نﻼحﻆ ان الغايﺔ ﻏير موجودة سﻨوﺿﺢ ذلﻚ ﻛما يلي: ﳒد الغايﺔ من اليمني عﻨدما 2+
xﻓﺈن f (x) = x +1من ﺗعريﻒ الدالﺔ ﻓي السﺆال ∴ lim f (x) = lim (x+1) = lim x + lim 1 + + + x 2 2
44
x
2
x
= 2 + 1 = 3 = L1
2
x
Y
)(3 , 4
3
)(2 , 3
)(0 , 1
X
)(1 , 0
-1
)(2 , -1
الﺸﻜﻞ )(2 - 5 ﳒد الغايﺔ من اليسار xﻓﺈن f (x) = 1 - xمن ﺗعريﻒ الدالﺔ ﻓي السﺆال
عﻨدما 2-
lim f (x) = lim (1-x) = lim 1 - lim x x 2 x 22
2
x
x
= 1 - 2 = -1 = L2 ) lim f (xﻏير موجودة ﻻن L1 ≠ L2 2
مثال 14
احلﻞ
لﺘﻜن
x
x ≤1 x >1
)lim f (x 1
x
x2+2 2 x+a
= ) f (xوأن ) lim f (xموجودة جد ﻗيمﺔ a 1
x
موجودة ﻓﺈن الغايﺔ من اليسار L1 = L2الغايﺔ من اليمني )lim +(2x+a) = lim (x2+2 1-
x
1
x
lim +2x + lim +a = lim x 2 + lim 2 1 x 1x 1x 1
x
2(1) + a = 12 + 2 2+a=3⇒a=1
45
موجودة وانlim f (x) وﻛانﺖf (x) = x -1
>1
x2 + a
x
b - 2x
x ≤1
لﺘﻜن
15 مثال
. a ، b ∈ R جد ﻗيمﺘيlim f (x) = 5 x
-1
f (x) = b - 2x ﻓﺈن-1 ∈ { x : x ≤ 1} وانlim f (x) = 5 x
-1
احلﻞ
lim ( b - 2x ) = 5
x
-1
lim b - lim 2x = 5
x
-1
x
-1
b - 2 (-1) = 5 b+2=5
b=3 موجودةlim f (x) x
1
وﻛﺬلﻚ
L1 = L2 هﺬا ﺗعﻨي ان من اليمنيlim + f (x) = lim - f (x) من اليسار x 1 x 1 lim (x2 + a) = lim (b - 2x)
x
1
x
1
lim x2 + lim a = lim 3 - lim 2x
x
1
x
1
x
1
x
1
12 + a = 3 - 2 (1) 1+a=1 ∴a=0
46
مثال 16
2 اذا ﻛانﺖ lim x + 3x - 1 = 2a+ 3جد ﻗيمﺔ . a x+2 x 1
) lim ( x2 + 3x - 1 1 = 2a+ 3 ) lim ( x + 2
احلﻞ
x
x
1
lim x2 + lim 3x - lim 1 1
= 2a+ 3
1
x
1
x
x
lim x + lim 2 1
1
x
x
12 + 3 - 1 = 2a+ 3 1+2 3 = 2a+ 3 3 1 = 2a+ 3 1 - 3 = 2a
مثال 17
احلﻞ
جد ﻗيمﺔ
x2 - 9 x-3
3
a = -1
. lim
2a = -2
x
اذا عوﺿﻨا عن x = 3ﻓي البسﻂ واﳌﻘام مباشرة نحﺼﻞ علﻰ :
0 9 -9 = 0 3-3 لﺬلﻚ يﺠب ان نبسﻂ الدالﺔ وﻛما يلي :
وهﺬا ﻏير معرف x2 - 9 x 3 x-3 ) (x - 3) ( x +3 lim x 3 )(x - 3 lim ( x +3 ) = 3 + 3 = 6 lim
مثال 18
جد ﻗيمﺔ
x3 - 8 x2 - 4
1
3
lim
x
x
احلﻞ نحلﻞ البسﻂ واﳌﻘام ﻗبﻞ ﺗوزيﻊ الغايﺔ وﻛما يلي : ) lim ( x2 +2x +4 ) (x - 2) ( x2 +2x +4 22 + 2(2)+ 4 x 2 lim = = = 3 x 2 ) (x - 2) ( x + 2 2+2 ) lim ( x + 2 2
x
47
(2-1) øjQÉ“ : جد ﻗيمﺔ ﻛﻞ ﳑا يﺄﺗي-1 1) lim (x3 + 2x + 3) x
-1
4 2) lim x + 1 x 0 x+1
x2 + 2x x2 - x - 6 x4 - 1 x-1
3) lim x
-2
4) lim x
1
x3 - 27 x 3 x2 +2x - 15 2 6) lim x - 2 - 2 x 2 x5) lim
7)) lim x
1
8)) lim x
9)
-2
lim
x
10) lim x
11) lim x
1 1
-1
x3 + 7x2 - 8x 3x2 - 3 x3 + 8 x4 - 16 x2 - 1 x-1 x2 - 9 3x - 3 x2 + 17 x + 10 + 3
. a ∈ R حيﺚa جد ﻗيمﺔlim x
4
x2 - 2x + 6 x+3
= 3a - 4
إذا ﻛانﺖ-2
x2 - a2 . a ∈ R ، a جد ﻗيمﺔlim إذا ﻛانﺖ-3 x-a =8 x a
48
-4اذا ﻛانﺖ f (x) = ax2 + bxوﻛانﺖ lim f (x) = 8 ، lim f (x) = 5جد ﻗيمﺘي a ، b 1
احلﻘيﻘيﺘني .
>2 x ≤2
x
-5لﺘﻜن
x2 - 3 2 - 2x
x
-2
x
= )f (x
(aهﻞ للدالﺔ fﻏايﺔ عﻨد 2؟ ﺑني ذلﻚ. (bجد )lim f (x 1
x
≥2 x < 2
x
-6لﺘﻜن
هﻞ للدالﺔ fﻏايﺔ عﻨدما 0
2-x
= )f (x
x؟ ﺑني ذلﻚ
≤ -1 x > -1
x
-7لﺘﻜن
x2 + 1
a + 2x 3 - x2
= )f (x
وﻛانﺖ ) lim f (xموجودة جد ﻗيمﺔ aحيﺚ . a ∈ R -1
-8لﺘﻜن
x
≥2 x < 2 x
3x + a x -b 2
= )f (x
وﻛانﺖ ) lim f (xموجودة وأن f ( 2) = 5جد ﻗيمﺔ .a ، b ∈ R x 2
49
]á£≤f óæY ádGódG ájQGôªà°SG ]2-6 Continuity of a function at point Y
ﳝﻜن ان نوﺿﺢ ﻓﻜرة اسﺘمراريﺔ الدالﺔ عﻨد نﻘﻄﺔ من
b
ﺧﻼل اﻻشﻜال البيانيﺔ للدوال اﻵﺗيﺔ عﻨد الﻨﻘﻄﺔ اﳌبيﻨﺔ ﻓي ﻛﻞ شﻜﻞ ﻓفي الﺸﻜﻞ ) (2 - 6نﻼحﻆ عﻨدما نﻀﻊ الﻘلﻢ ﻓي اﻗﺼﻰ اليسار عﻨد الﻨﻘﻄﺔ cونحرك الﻘلﻢ ﺑﺄﲡاﻩ الﻨﻘﻄﺔ b مرور ًا ﺑالﻨﻘﻄﺔ )). ( a , f (a
)f (a
))c(a, f (a X
a
انﻨا ﻻ نرﻓﻊ الﻘلﻢ اي انﻪ احلرﻛﺔ ﺗﺘﻢ ﺑدون رﻓﻊ الﻘلﻢ.
c
الﺸﻜﻞ )(2 - 6 Y
b وﻓي الﺸﻜﻞ ) (2 - 7اذا ﲢرﻛﻨا من الﻨﻘﻄﺔ cالﻰ الﻨﻘﻄﺔ bﻓﺄنﻨا ﳒد ﻓﺠوة ﻓي الﻨﻘﻄﺔ )) (a , f (aنﻀﻄر لرﻓﻊ الﻘلﻢ
X
a
عبر الفﺠوة للﺬهاب الﻰ .b
c
الﺸﻜﻞ )(2 - 7 Y
b وﻛﺬلﻚ الﺸﻜﻞ ) (2 - 8عﻨدما نﺘحرك من الﻨﻘﻄﺔ c الﻰ الﻨﻘﻄﺔ bنﻀﻄر لرﻓﻊ الﻘلﻢ مساﻓﺔ لوجود انﻘﻄاع ﻓي اﳌﻨحﻨي عﻨد الﻨﻘﻄﺔ . x = a
X
a c الﺸﻜﻞ )(2 - 8
50
من اﻻشﻜال الثﻼث نﻼحﻆ ان الﺸﻜﻞ ) (2 - 6يﻜون اﳌﻨحﻨي مسﺘمر ﻓي الﻨﻘﻄﺔ x = aﻓيﻘال ان الدالﺔ مسﺘمرة عﻨدما x = aﺑيﻨما ﻓي الﺸﻜلني اﻻﺧرين وجود ﻓﺠوة وانﻘﻄاع ﻓي اﳌﻨحﻨي عﻨدما x = aﻓيﻘال ان الدالﺔ ﻏير مسﺘمرة عﻨد x = aسﻨوﺿﺢ ذلﻚ ﺑالﻄريﻘﺔ الﺘاليﺔ وﺑﺄسﺘﺨدام الﺘعريﻒ.
ﺗعريﻒ )(2-2 اذا ﻛانﺖ fدالﺔ وﻛان العدد aيﻨﺘمي الﻰ مﺠال الدالﺔ fوﲢﻘﻖ ما يلي : موجودة وحﻘيﻘيﺔ )1- f (a موجودة وحﻘيﻘيﺔ )2- xlima f (x )3- xlima f (x) = f (a
ﻓيﻘال ان الدالﺔ fمسﺘمرة عﻨد الﻨﻘﻄﺔ x = aواذا لﻢ يﺘحﻘﻖ اي شرط من الﺸروط الثﻼث اعﻼﻩ ﻓالدالﺔ fﻏير مسﺘمرة عﻨد x = a
Y
Y
X
a
X
x=a
الﺸﻜﻞ )(2 - 10 fدالﺔ ﻏير مسﺘمرة عﻨد x = aﻻنﻪ ) f(aﻏير fدالﺔ ﻏير مسﺘمرة عﻨد x = aﻻنﻪ معرﻓﺔ او aﻻﺗﻨﺘمي ﳌﺠال الدالﺔ أي ان الﺸرط )lim + f (x) = L ≠ L = lim - f (x 1 2 x a x a اﻻول ﻏير مﺘحﻘﻖ ﻓي ﺗعريﻒ ).(2-2 أي ان الﺸرط الثاني ﻏير مﺘحﻘﻖ ﻓي ﺗعريﻒ )(2-2 الﺸﻜﻞ )(2 - 9
51
Y
Y
)f(a X
X
a
a
الﺸﻜﻞ )(2 - 11 fدالﺔ ﻏير مسﺘمرة عﻨد x = aﻻنﻪ )lim f(x) ≠ f(a
الﺸﻜﻞ )(2 - 12 fدالﺔ مسﺘمرة عﻨد x = a
a
مثال 1
احلﻞ
x
اذا ﻛانﺖ f (x) = x2 + 3هﻞ أن fمسﺘمرة عﻨد x = 1؟ fﻛثيرة احلدود ﻓﺈن اوسﻊ مﺠال للدالﺔ : R f (1) = 12 + 3 = 4
)1
)lim f (x) = lim (x2 + 3
)2
1
x
1
x
= lim x2 + lim 3 = 12 + 3 = 4 1
x
1
x
)3) ∴ lim f (x) = f (1 1
∴ fمسﺘمرة عﻨد x = 1
52
x
]ájQGôªà°S’G ‘ äÉægÈŸG ¢†©H ]2-7 اذا ﻛانﺖ ﻛﻞ من الدالﺘني g , fمسﺘمرﺗني عﻨد x = aﻓﺈن g +مسﺘمرة عﻨد x = a الدالﺔ - f
الدالﺔ g . fمسﺘمرة عﻨد x = a الدالﺔ fgمسﺘمرة عﻨد x = aﺑحيﺚ g (a) ≠ 0
مثال 2
احلﻞ
اﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ حيﺚ x ـــــــــــ = ) f (xعﻨد . x = 3 x+1 اوسﻊ مﺠال للدالﺔ = }.R \{-1
ــــــ = 3 الدالﺔ معرﻓﺔ عﻨد x =3وأن 3 ــــــــــــــ = )f (3 3+1 4 وﻛﺬلﻚ نبحﺚ وجود الغايﺔ lim x x x 3 ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ lim f (x) = lim x 3 x 3 x+1 )lim (x+1 3
)1
)2
x
3 ــــــ = 3 ــــــــــــــ = 4 3+1
∴ fمسﺘمرة عﻨد x = 3
مثال 3
احلﻞ
3) ∴ lim f (x) = f (3) = 3 x 3 4
اﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ f (x) = x3 + xعﻨد . x = 1 اوسﻊ مﺠال للدالﺔ = R ∴ fمعرﻓﺔ عﻨد x = 1وان f (1) = 13 + 1 = 2
)1
53
lim f (x) = lim (x3 + x) = lim x3 + lim x 1
x
x
1
x
1
1
x
)2
= 13 + 1 = 2 lim f (x) = f (1) = 2 1
x
)3
∴ fمسﺘمرة عﻨد x = 1
مثال 4
احلﻞ
لﺘﻜن f (x) = 3x + 2هﻞ fمسﺘمرةعﻨﻪ x = a؟ ﺑني ذلﻚ. اوسﻊ مﺠال للدالﺔ fهو Rلﻜﻞ a ∈ Rلﻨبرهن fمسﺘمرة عﻨد . x = a )1
f (a) = 3a + 2 ) lim f (x) = lim ( 3x + 2 a
x
a
x
)2
= lim 3x + lim 2 a
a
x
x
= 3a + 2 )3) ∴ lim f (x) = f (a x a ∴ الدالﺔ fمسﺘمرة عﻨد x = a ∴ الدالﺔ fمسﺘمرة
مثال 5
احلﻞ
لﺘﻜن
x< 0
x ≥ 0
2x + 3
= ) f (xهﻞ fمسﺘمرة عﻨد x = 0؟
x2 + 1
عﻨد x = 0ﻓﺈن f (x) = x2 + 1 ∴ f (0) = 0 2 + 1 = 1
54
لﻨبحﺚ وجود )lim f (x 0
x
)1
أو ًﻻ lim + f (x) = lim + ( x 2+ 1 ) = lim + x 2 + lim + 1 0
0
x
0
x
الغايﺔ من اليمني
0
x
x
= 02 +1 = 1 = L1 ) lim - f (x) = lim - ( 2x+ 3 0 x 0
ﺛاني ًا
x
= xlim0- 2x + xlim0- 3 = 2(0) +3 الغايﺔ من اليسار
= 3 = L2
∴ L ≠L 1 2 الغايﺔ ﻏير موجودة عﻨد x = 0 ∴ fﻏير مسﺘمرة عﻨد x = 0
مثال 6
احلﻞ
x < -1
لﺘﻜن
2- x
x ≥ -1
= ) f (xاﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ fعﻨد x = -1
2x2 + 1
عﻨد x = -1ﻓﺈن
f (x) = 2x2 + 1
1) ∴ f (-1) = 2(-1)2 + 1 = 2(1) + 1 = 3 lim
لﻨبحﺚ وجود )(-1)+ f (x
أو ًﻻ
x
) f (x) = lim + ( 2 x2 +1 x )(-1
)2 lim
(-1)+
x
الغايﺔ من اليمني = 2 (-1)2 +1 = 2(1) + 1 = 3 =L1
55
ﺛاني ًا
) f (x) = lim - (2 - x x )(-1
lim
x
(-1)-
الغايﺔ من اليسار = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 =L2 L1 = L2 = 3 ∴ xlim(-1)- f (x) = 3 ∴ 3) ∴ xlim -1 f (x) = f (-1) = 3 ∴ fمسﺘمرة عﻨد x = -1
مثال 7
لﺘﻜن
x+3 x2 + 1
= ) f (xاﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ عﻨد . x = 1
احلﻞ )f (1
= 4 =2 2
معرﻓﺔ حيﺚ
1+3 12 + 1
=
1+3 12 + 1
= )f (1
4 =2 2 x+3 x2 + 1
= )f (1 1
lim f (x) = lim x
)lim (x + 3 1
x
)lim (x2 + 1 1
1
x
)2
=
x
f (x) = f (1) = 2
56
)1
1
lim
∴ fمسﺘمرة عﻨد x = 1
x
)3
مثال 8
-1
لﺘﻜن
-1
≥
x
< x
3x +1 x
2
= ) f (xاﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ عﻨد . x = -1
احلﻞ ∴ ⇐ x = -1
)1
f (x) = 3x + 1 f (-1) = 3 (-1) + 1 = - 3 + 1 = -2 )f (x
لﻨبحﺚ وجود لﺘﻜن x → -1من اليمني
-1
)2
lim
x
f (x) = lim (3x +1) = 3 (-1) + 1 x (-1)+
∴ lim x
(-1)+
= L 1
= -3 + 1 = -2
وﻛﺬلﻚ x → -1من اليسار = L 2
x2 = (-1)2 = 1 f (x) = lim x (-1)-
الغايﺔ ﻏير موجودة
∴ lim
(-1)-
x
L1 ≠ L2
∴
∴ fﻏيرمسﺘمرة عﻨد x = -1
57
“(2-2) øjQÉ -1لﺘﻜن f (x) = x3 +x2 +3اﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ عﻨد x = 3 x2 -2لﺘﻜن 2 x +1
= ) f (xاﺛبﺖ fمسﺘمرة ﻓي مﺠالها.
-3لﺘﻜن f (x) = x3اﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ ﻓي مﺠالها .
-1
-4لﺘﻜن
-1
≥ < x
x2 - 2
x
= ) f (xاﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ عﻨد . x = -1
3x + 1
-5لﺘﻜن | f (x) = | x - 2اﺑحﺚ اسﺘمراريﺔ الدالﺔ عﻨد . x = 2
2
-6لﺘﻜن
-7لﺘﻜن
-8لﺘﻜن
58
2 1 1
≤ > x
1 - 2x
x
≥ < x
x
= ) f (xاﺛبﺖ ان fمسﺘمرة عﻨد . x = 2
1 - x2 ax +3
= ) f (xجد ﻗيمﺔ a ∈Rاذا ﻛانﺖ fمسﺘمرة عﻨد.x =1
3x +1 2
≤ -1 x > -1
x
2x+b x2+a
عﻨد x = -1وان . f (2) = 7
= ) f (xجد ﻗيمﺘي b ، a ∈Rاذا ﻛانﺖ fمسﺘمرة
ådÉãdG π°üØdG ¥É≤à°T’G E Differentiation
á≤à°ûŸG ]3-1] ádGódG á≤à°ûŸ »°Sóæ¡dG Ò°ùØàdG ]3-2] á≤à°ûŸG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£àdG ¢†©H ]3-3] á≤à°ûŸG óYGƒb ]3-4] á≤à°ûŸG óYGƒb ΩGóîà°SÉH ájhÉjõ«ØdGh á«°Sóæ¡dG äÉ≤«Ñ£àdG ]3-5] OÉ°üàb’G ‘ á≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J ¢†©H ]3-6] iô¨°üdGh ≈ª¶©dG äÉjÉ¡ædG ]3-7] ÜÓ≤f’GE •É≤fh ÜóëàdGh ô©≤àdG ]3-8] ádGódG º°SQ ]3-9] iô¨°üdGh ≈ª¶©dG äÉjÉ¡ædG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J ]3-10] 59
]á≤à°ûŸG ]3-1 ﺗعريﻒ )(3 - 1 يﻘال للدالﺔ احلﻘيﻘيﺔ ) y = f (xإنها ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق عﻨد x0ﻓي مﺠال الدالﺔ إذا ﻛانﺖ الغايﺔ اﻵﺗيﺔ موجودة )f (x0+∆x) - f(x0 lim ∆x 0 ∆x وان ﻗيمﺔ الغايﺔ ﺗسمﻰ مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ ﻓي ﺗلﻚ الﻨﻘﻄﺔ ويرمﺰ لها ﺑالرمﺰ ) f(x0او dyاو y dx أي ان :
)f (x0+∆x) - f(x0 ∆x
0
f(x0) = lim ∆x
مثال 1
إذا ﻛان f(x) = x2جد )f(3
احلﻞ
ﺑاسﺘﺨدام الﺘعريﻒ.
)f (x0+∆x) - f(x0 ∆x )f (3+∆x) - f(3 ∆x
0
(3+∆x)2 - (3)2 ∆x
0
9+6(∆x) + (∆x)2 - 9 ∆x
60
0
0
f(x0) = lim ∆x
f(3) = lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
f(3) = lim ∆x
6(∆x) + (∆x)2 ∆x
0
∆x (6 + ∆x) ∆x
0
=6+0=6
2 مثال . ﺑاسﺘﺨدام الﺘعريﻒf(2) جدf(x) = x2+ x + 1 إذا ﻛان
f(2) = lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
f (2+∆x) - f(2) ∆x
0
0
(2+∆x)2 + (2 + ∆x ) + 1 - (4 + 2 + 1) ∆x
0
4+4(∆x) + (∆x)2 + 2 + ∆x + 1- 7 ∆x
0
5(∆x) + (∆x)2 ∆x ∆x(5+ ∆x)
0
f(2) = 5 + 0 = 5
61
احلﻞ
∆x
3 مثال
1 f(x) = ـــــــــ جد مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ x
.مسﺘﺨدم ًا الﺘعريﻒ f(x) = lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
f(x) = lim ∆x
0
1 x+∆x 0
0
0
احلﻞ
f (x+∆x) - f(x) ∆x 1 x
∆x
x - x - ∆x x (x + ∆x ) ∆x - ∆x ∆x (x +∆x) x
= -12 x
4 مثال . مسﺘﺨدم ًا الﺘعريﻒf(x) = f(x) = lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
f(x) = lim ∆x
0
0
0
0
x جد مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ
احلﻞ
f (x+∆x) - f(x) ∆x x+∆x ∆x
x
x+∆x ∆x
x
×
x+∆x +
x
x+∆x +
x
∆x ∆x (
x + ∆x +
x)
1 0
( x + ∆x +
x)
=
2 x
1
62
]ádGódG á≤à°ûŸ »°Sóæ¡dG Ò°ùØàdG ]3-2 Y ) Q ( x1 + ∆x , y1 + ∆y X
) P( x1 , y1
x1 + ∆x
∆x
x1
الﺸﻜﻞ )(3 - 1 لﺘﻜن ) y = f (xدالﺔ حﻘيﻘيﺔ p (x1 , y1) ،نﻘﻄﺔ معيﻨﺔ علﻰ مﻨحﻨي الدالﺔ وﻛانﺖ )Q (x2 , y2 نﻘﻄﺔ اﺧرى علﻰ اﳌﻨحﻨي ﻓﺈن:
x2 = x1 + ∆x y2 = y1 + ∆y
الﻨﻘﻄﺔمن الرسﻢ يﺘﻀﺢ : ﺑالﻄرح
)Q (x2 , y2) = Q (x1 + ∆x , y1 + ∆y )y1 + ∆y = f (x1 + ∆x )y1 = f (x1 )(x1 + ∆x)- f (x1
ﺑالﻘسمﺔ علﻰ واذا ﻛانﺖ x1
∆y = f
)f (x1 + ∆x)- f (x1 ∆x ∆x
∆x≠0
=
معيﻨﺔ واﺧﺬنا ∆ x
∆y
ﺗﺼغر شيﺌ ًا ﻓﺸيﺌ ًا وﺗﻘﺘرب الﻰ الﺼفر عﻨدها اﳌيﻞ ) (mيﻘﺘرب الﻰ
ﻗيمﺔ معيﻨﺔ نﻘول عن ﺗلﻚ الﻘيمﺔ ﻏايﺘها وعليﻪ سيﻜون ميﻞ اﳌماس للمﻨحﻨي ﻓي الﻨﻘﻄﺔ p )f (x1 + ∆x)- f (x1 ∆x
0
lim
∆x
وهي ﲤثﻞ ميﻞ اﳌماس عﻨد الﻨﻘﻄﺔ Pويعبر عﻨها ﺑاحدى الﺘعاﺑير اﻻﺗيﺔ dy : dx ∴ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ للدالﺔ عﻨد نﻘﻄﺔ الﺘماس = ميﻞ اﳌماس عﻨد ﺗلﻚ الﻨﻘﻄﺔ
= f(x) = y
63
á£≤f óæY ádGódG »æëæŸ ¢SɪŸG ádOÉ©e اذا ﻛانﺖ ) y = f(xدالﺔ ولﺘﻜن ) (x1 , y1نﻘﻄﺔ علﻰ مﻨحﻨي ﻓﺈن معادلﺔ اﳌسﺘﻘيﻢ اﳌماس ﳌﻨحﻨي الدالﺔ ) y = f(xواﳌار ﺑالﻨﻘﻄﺔ ) (x1 , y1ﺗﻜون: )y - y1 = m (x - x1
مثال 5 اذا ﻛان f(x) = 2x2 + 3x + 1جد ﺑاسﺘﺨدام الﺘعريﻒ ) f(2ﺛﻢ جد معادلﺔ اﳌماس للمﻨحﻨي عﻨد هﺬﻩ الﻨﻘﻄﺔ .
احلﻞ
)f(2) = 2(2)2 + 3(2) + 1 = 15 ⇒ (2,15 )f (x0+∆x) - f(x0 ∆x )f (2+∆x) - f(2 ∆x
0
0
2 (2+∆x)2 +3 (2 + ∆x) + 1 - 15 ∆x
0
8 +8∆x +2 (∆x)2 +6 +3 (∆x) + 1- 15 ∆x
0
11(∆x) +2 (∆x)2 ∆x
0
f(x0) = lim ∆x
f(2) = lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
= lim ∆x
= lim (11 +2 (∆x)) = 11 + 0 = 11 ميﻞ اﳌماس للمﻨحﻨي عﻨد )(2,15
64
0
∆x
)y -y1 = m (x - x1) ⇒ y - 15 = 11 (x - 2
معادلﺔ اﳌماس ⇒ 11x - y - 7 = 0
]á≤à°ûŸG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£àdG ¢†©H ]3-3 اﻻزاحﺔ والﺰمن مﻘادير ﻓيﺰياﺋيﺔ اساسيﺔ ﺗسﺘﻄيﻊ ﻗياسها. نفﺘرض ﻓي زمن ) (tان جسم ًا ﻛان ﻓي اﳌوﻗﻊ )s = f(t وﻓي زمن t + ∆tاجلسﻢ يﻜون ﻓي اﳌوﻗﻊ: )s + Δs = f (t + Δt ﺑالﻄرح
)Δs = f (t + Δt) − f (t
ﲟا ان معدل السرعﺔ هو الفرق ﺑني اﳌساﻓﺘني مﻘسوم علﻰ الفرق ﺑني الﺰمﻨني وعليﻪ ﳝﻜن ان نﻘول ان معدل السرعﺔ ﺗﻜون ∆sمﻘسوم ًا علﻰ ∆t ∴ السرعﺔ =
)Δs f (t + Δt) − f (t = Δt Δt
ﻓي هﺬا الﻘانون عﻨدما ∆tﺗﺼغر وﺗﻘﺘرب الﻰ الﺼفر ﻓﺈن معدل السرعﺔ ﺗﺼبﺢ السرعﺔ اﻵنيﺔ للﺠسﻢ ﻓي ) f ( t+ t ) - f ( t ونرمﺰ لها ﺗلﻚ اللحظﺔ . ﺑالرمﺰ ) v ( t = lim t → 0 t اي ان :
) Δs f (t( +t+Δt)t− )f -(t)f ( t =v ( t ) = lim t → 0 Δt Δt t
لﻜن اﳌعادلﺔ اﻻﺧيرة هي نفﺲ ﺗعريﻒ اﳌﺸﺘﻘﺔ. ds ) = f ( t dt
= ) v( t
وﲟا ان الﺘعﺠيﻞ ﳝثﻞ معدل السرعﺔ ﺑالﻨسبﺔ للﺰمن ﻓﺈن مﺸﺘﻘﺔ السرعﺔ اﻻنيﺔ يﻜون ﺗعﺠيﻞ اجلسﻢ ))(a(t
)
ds
) s + t )d-s ( t = = f ( t v) d d vv ( t ) Δs )t+ )Δt )= −( vft(t ( =t f) (=t ) = f ( t = ) a( t = lim=d =tvf (t( lim d t t 0 dt t dt t 0 Δt Δt
65
مثال 6
حرﻛﺔ جسﻢ ﻓي اي حلظﺔ ﺑاﻻمﺘار جد موﻗﻊ اجلسﻢ وسرعﺘﻪ لﺘﻜن = f(t) = 2 t2 + 3ﲤثﻞ )s (t ﺑعد 2ﺛانيﺔ من ﺑدأ احلرﻛﺔ.
احلﻞ
f(t) = 2 t2 + 3 f (2) = 2 (2)2 + 3 موﻗﻊ اجلسﻢ
مﺘر = 8 + 3 = 11
مثال 7
)f (2+∆t) - f(2 ∆t
0
8 + 8∆t +2(∆t)2 - 8 ∆t
= ∆tlim 0
))∆t (8 + 2(∆t ∆t
= ∆tlim 0
0
a(2) = v (t) = lim ∆t
12 + 12 (∆t) + 3 (∆t)2 - 12 ∆t
66
∆t
= ∆tlim 0
3 (2+∆t)2 - 3 (2)2 ∆t
م/ﺛا 2الﺘعﺠيﻞ
= lim
جد الﺘعﺠيﻞ ﺑعد 2ﺛانيﺔ.
)v (2+∆t) - v(2 ∆t
احلﻞ
0
∆t
2 (2+∆t)2 + 3 - 11 ∆t
مﺘر /ﺛا = 8 + 2 (0) = 8 سرعﺔ اجلسﻢ ﺑعد 2ﺛانيﺔ لﺘﻜن v (t) = 3 t2
)f (t+∆t) - f(t ∆t
f(t) = lim
∆t(12 +
))3 (∆t = 12 + 0 = 12 ∆t
= ∆tlim 0 = ∆tlim 0 = ∆tlim 0
“(3-1) øjQÉ -1جد مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ f (x) = x2 +5xﺑاسﺘﺨدام الﺘعريﻒ ﺛﻢ احسب )f (0) , f (3 -2جد اﳌﺸﺘﻘﺔ ﺑﻄريﻘﺔ الﺘعريﻒ لﻜﻞ ﳑا يﺄﺗي : (a
3 x-1
x +1 (b -3اذا ﻛانﺖ
= )f (x f (x) = x2 -3x - 4
جد ) f (xمسﺘﺨدما الﺘعريﻒ ﺛﻢ جد معادلﺔ اﳌماس
ﳌﻨحﻨي الدالﺔ عﻨد . x = 1 -4جسﻢ يﺘحرك وﻓﻖ العﻼﻗﺔ حيﺚ fاﻻزاحﺔ ﺑاﻻمﺘار معﻄاة ﺑالعﻼﻗﺔ f (t) = t2 +2t + 1 جد سرعﺔ اجلسﻢ ﺑعد 3ﺛواني من ﺑدأ احلرﻛﺔ. ) v ((tم/ﺛا .جد الﺘعﺠيﻞ عﻨد t = 1ﺛانيﺔ . -5اذا ﻛانﺖ السرعﺔ معﻄاة ﺑالعﻼﻗﺔ t) = t2 + t + 1
67
á≤à°ûŸG óYGƒb ]3-4] : ¤h’G IóYÉ≤dG
الدالﺔ الثاﺑﺘﺔ ﺗﻜون داﺋما ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق وان مﺸﺘﻘﺘها صفرا Cc ∈rR دالﺔ ﺛاﺑﺘﺔy = f (x) = C اي اذا ﻛانﺖ dy df d = = (Cc ) = 0 dx dx dx
ﻓان
:f (x) جد
a) f (x) = 3 ⇒ f (x) = 0
b) ff (x) (x) == 55 ⇒ ⇒ ff (x) (x) == 00 b)
8 مثال
f f(x) ==3=0=⇒ b) ff (x) 00 f (x) = 0 a) (x) == 3 5a) ⇒ (x) c ff (x) b) 5⇒ ⇒ (x)
: á«fÉãdG IóYÉ≤dG f (x) = x n d n (x ) = nx dx
اذا ﻛانﺖ n−1
: ﻓﺈن : جد مﺸﺘﻘﺔ الدوال اﻵﺗيﺔ
9 مثال
a) f (x) = x 5 ⇒ f (x) = 5x 4 b) f (x) = x −3 ⇒ f (x) = −3x −4 =
−3 x4
5 23 c) f (x) = x ⇒ f (x) = x 2 5 2
d) f (x) = x
−
1 2
1 −32 −1 ⇒ f (x) = − x = 3 2 2x 2
1 − 45 1 e)g(t) = t ⇒ g(t) = t ⇒ g(t) = t = 4 5 5t 5 5
1 5
68
: áãdÉãdG IóYÉ≤dG
مﺸﺘﻘﺔ مﻘدار ﺛاﺑﺖ ﻓي دالﺔ ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق ﺗساوي الثاﺑﺖ ﻓي مﺸﺘﻘﺔ ﺗلﻚ الدالﺔ . حيﺚ ان Cعدد حﻘيﻘي)f (x) = cg(x) ⇒ f (x) = cg(x
مثال 10
جد ):f (x
a) f(x) = 3x2 ⇒ f (x) = 3 (2x) = 6x )b) f (x) = 5x 4 ⇒ f (x) = 5(4x 5 (4x3=) 20x = 20x3
: á©HGôdG IóYÉ≤dG
مﺸﺘﻘﺔ مﺠموع عدد مﻨﺘهي من الدوال الﻘاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق ﺗساوي مﺠموع مﺸﺘﻘات ﺗلﻚ الدوال )f (x) = g(x) + h(x
اذا ﻛان
)f (x) = g(x) + h(x
ﻓﺄن
مثال 11
a) f (x) = 3x 5 + 7x ⇒ f (x) = 15x 4 + 7
جد ):f (x
1 1 x ⇒ f (x) = 4x + 2 2
b) f (x) = 2x 2 +
1 1 4 4 3 ⇒ c) f =(x) =x 2 −x 2 −x 3 = 4x x +-2 4x 2 )c) f (x (x)f =(x)x + ⇒+x9 f 2 2 3 3
: á°ùeÉÿG IóYÉ≤dG
مﺸﺘﻘﺔ حاصﻞ ﺿرب دالﺘني ﻗاﺑلﺘني لﻼشﺘﻘاق يساوي الدالﺔ اﻻولﻰ × مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ الثانيﺔ +الدالﺔ الثانيﺔ × مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ اﻻولﻰ اذا ﻛانﺖ
ﻓﺈن :
)f (x) = g(x)⋅ h(x
)f (x) = g(x)⋅ h(x) + h(x)g(x
69
a) f (x) = (x 4 −4 x 2 +2 1)(5x 6 −6 3x) :f (x) جد12 مثال a) f (x) =4 (x − x + 1)(5x − 3x) 6 3 a) f (x) = (x−44 x−4 2x+22 1)(30x +2 1)(5x5 6−5− 3x) f (x) = (x 3) + (5x − 3x)(4x −3 2x) 6 6 f (x) = (x − x + 1)(30x − 3) + (5x − 3x)(4x − 2x) a) f (x) =4 (x 2− x 4+ 1)(5x − 3x)61 6 3 25 f (x) = a) (x f − x + 1)(30x − 3) + (5x − 3x)(4x − 2x) (x) = (x − x +5 1)(5x 2 −1 3x) b)ff(x) (x) == (x x4 −( xx+2 + 6 )1)(30x ⇒ f ( x−) =3)x+1 (5x x +6 6−)3x)(4x 3 − 2x) ( 2 b) f (x)f (x) = =x (x f ( x ) =5 2− x 3)( x++(5x 6 )6 − 3x)(4x 3 − 2x) ( x4+−6x)2⇒ + 1)(30x 1 1 1 b) f (x) = x ( x + 6 ) ⇒ ⎛f1( x )− =⎞ x ( x + 6 ) f b) = x=21 (121)x+( x( x++66) )⇒ ( xf) (x) ⎛f x1( x21)−⎟=12 ⎞x 2 ( x + 126 ) ⎜ f ( x )b) = xf (x) ⎠f ( x) = x ( x + 6 ) −x ⎞ (1=) + (xx (+x6+⎛⎝)216 ) ⇒ f ( x1) = x 2 1(11) + ( x1 + 6 ) ⎜ ⎛⎜⎝ 1x2 2−⎟1 ⎞⎟⎠ f (2 x1) 1= x22 (11) +−12 (2 x1+ 6⎝) 2⎜ x ⎠⎛2 ⎟1 − 12 ⎞ = x 1 +2 f x1 ( x )+=3xx − 1(−12) + ( x⎝ +2 6 ) ⎜ ⎠ x ⎟ 2 12x 2 + 3x = 2x + 1 ⎝2 ⎠ 1 1 3x 2 1 2 = x3 + x + − 13 1 − = = x32x+2+ x12 23+13x12 2 2 =2 3 =x2x+3x+ 2 x + 3x = 32 x + 3x =2 x +3 x 3 2 = x+ 2 x
: á°SOÉ°ùdG IóYÉ≤dG
مﺸﺘﻘﺔ ﻗسمﺔ دالﺘني ﻗاﺑلﺘني لﻼشﺘﻘاق يساوي دالﺔ البسﻂ × مﺸﺘﻘﺔ دالﺔ اﳌﻘام- دالﺔ اﳌﻘام × مﺸﺘﻘﺔ دالﺔ البسﻂ مرﺑﻊ دالﺔ اﳌﻘام f (x) =
g( x) h( x)
وانh(x) ≠ 0
اذا ﻛان
h ( x ) .g ( x ) − g ( x ) h ( x ) .g ( x ) − g ( x ) : ﻓﺈن f (x) =33 f (x) = 2 xx ++11 [ h ( x )2]2 h( x) )x( 44 ff )x( xx ++11 3x22 −− xx33 ++11ﻛانﺖ 4xاذا33 x =1 جد مﺸﺘﻘﺔ الدالﺔ عﻨد13 مثال xx4x4 3+++111 3x 4x 3x 33 + 331 3 (ffxx)x( )x=+=4=xx1+ +1+xx141++11 44 22 ffff)x( f )x( )x( )x( 441 4 x 4xxf+4x)x( +1+x131 + 1 xx ++11 x1++ 33 3 x4 +44+1143x 2 22222− 3 3333 33 2 3x 31 34x + 3+1 3+1 2+ 3 x141xx44+4x++ 11333x 3x − − x − x x 1 + + 1 4x 1 4x f )x( x41+11+1+x3x 3x − x + 1 4x 111) 3x −− 11 − x44(+114x ( ) + 1 4x f x = ( ) f (fffx((f)f11x(= )()xx=x==f)3)=(+=x1)x= + 14 x 4xx+44x441++1+4+141+122221224 22 23 f )x( 4 x + 11)1(x3x+x1 ) −+(1x + 1) ( 4 x 3 ) xf ( x+)1= ( 3+13+1 2 3 33 33 2 22 22 3+1 4144 4+ 441 4 3 (1 43+1 3+143+1 2−2 28 − 1 ) −(1+ 2 × 4 6 − 8 22 ×× 331− 2 × 4 6 − −2 1141())x(113)4))(1)3 x 11)1()41((4 1 1 + + 1 3 1 3 1 3 1 1 − − 1 − 1 1 + 1 3 1 − ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) x + 1) (+3x −((1()x 311+− +4 ) 1 3 f= (f=f1(()f1f1x=())(1)1==)=f)=2(2=122) = 4== 444+1444+1+142=4=+1+12224242 ==2 −−3+122 (1 + 1()x11311+(11)1) 4 +1− (1 ) 4 (1)3 f (1) = 28 43+1 +1 2 1 2 × 33×−23−31− 2×24−× 44×44636−6(1− −2 2 × 2 2 3 × − × 2 4 × × 6 8 − − 8 8 −2 −2 −2 14 1(111)3 1 2 2 6 − 8 −2 1 + 1 − 1 ) ( ) ( ) ( 2 × 3 − 2 × 4 6 − 8 −2 = = = = − = =f =(=1) =22 22 22 = = == 4 == = ==4= == −=− =−2−= − 2 2 2 22 2×2 3 − 4 4 4 4 4 4 2 4 4 2 2 × 4 4 +16 −4 8 −2 4 2 22 21
(
)( ) ( )( ) ( ) ( (( (( )()()(())(() ))()())(((() ))(() ())(() )))( )) ) ( ( ((( )()) )) ) ( ( (( )(() ())(( ))() ())( (()) () (())(( ))() )) ) ( ( ((() )())) ) ( )
(
)
(
)
1= = = =− 2 2 4 4 2 2 × 3 − 2 × 4 6 − 8 −2 1 = = = =− 22 4 4 2
(
)
70
: á©HÉ°ùdG IóYÉ≤dG
مﺸﺘﻘﺔ دالﺔ مرﻓوعﺔ الﻰ اس حﻘيﻘي ﺗﻜون ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق حيﺚf (x) ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق ﻓان الدالﺔh ( x ) اذا ﻛانﺖ الدالﺔ f ( x ) = ⎡⎣ h ( x ) ⎤⎦
n
f ( x ) = n ⎡⎣ h ( x ) ⎤⎦
n−1
⋅ h ( x)
( n) جد (ـ: ﻓي) ﻛﻞ ﳑا يﺄﺗيf (x) f ( x ) = 5 ( x + x + x + 1) ( 3x + 2x + 1) a) f ( x ) = ( x 3 + x 2 + x + 1) a) f ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 3
4
2
b) f ( x ) = x 2 − 2x + 1 4
(
)(
2
)
2 f ( x ) = 5 x 3 + x 2 + xf +( x1) = ( x 3x − 2x + + 12x ) +1 1 2
2
b) f ( x ) = x 2 − 2x + f1( x ) = 1 ( x
(
)
f ( x ) = x − 2x + 1 2
1 2f
2
( x) =
2
1 2
) ( 2x − 2)
− 2x + 1
−
( x − 1) x 2 − 2x + 1
1 − 1 2 f ( x ) = x − 2x + 1 2 ( 2x − 2) 2 ( x − 1) f ( x) = x 2 − 2x + 1 3 ⎛ x ⎞ ( x + 1) (1) − x (1) f ( x) 4 ⎜ 4 ⎟ 2 ⎛ x⎝ x⎞ + 1 ⎠ x + 1 ( ) ، x = 1 عﻨد نﻘﻄﺔf ( x ) جد c) f ( x ) = ⎜ ⎝ x + 1 ⎟⎠ 3 2−1 ⎛ 1 ⎞ = 4⎜ × ⎝ 1 + 1 ⎟⎠ (1 + 1)2
(
)
− x−(1x)(1) 1) (1) ⎛ ⎛x 1 x⎞ 1(⎞x +(1x31)+(1) f ( xf )(4=x⎜)44×⎜ ⎛⎟× x⎟ =⎞ ( x + 12) (1) − x (1) f ⎝( x )⎝+48x1⎜+⎠ 14⎠ ⎟8( x +( x1)+ 1)2 2 ⎝ x + 1⎠ ( x + 1) 3 3 ⎛ ⎛1 1⎞ ⎞ 3 23−21− 1 = 4=⎜ 4 ⎜⎛ ⎛⎟x 1×⎟⎞ ⎞×( x + 122) (1) −2 1− x (1) 3 f x 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x + 1 (1) − x 1 x = 4 × ( ) ( ) 1 +⎜11⎜+ 1 ⎟(1⎟ +(11)+ 1) 22 ⎞ ⎝ x⎝ +1 1+⎠1 ⎠ ((1x++11)) ( x ) 4 ⎛⎜⎝ ⎟⎠ 2 x+1 x + 1 ( ) 1 113 113 1 = 4 × = 4 ⎞ =12( x−+111) (1) − x (1) 3 1⎛4× ×⎞x×1= × ⎛) 4=8× 3 f x x + 1 (1) − x 1 4 x ( ) ( 8 4 ⎛ ⎞ = 4 × ⎜ 2−1 ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ ⎝ x⎟⎠+81 ⎟⎠8 4 8= 8(2x + 1)2 = (4x⎜) 4 ⎜⎝ ⎟ ×⎟⎠ 1+ 1 2 (1 + 1) ⎝ 1 + 1x⎠+ 1 (1 + 1)(2x + 1) 3 ⎛ 11 ⎞1 1 2 − 1 3 71 = 4 ⎜× × ⎟ =× ⎛ 11 ⎞1 1 2 − 1 = 4 ⎜× × ⎟ =× ⎝ 18+ 1 ⎠4 8(1 + 1)2 2 ⎝ 18+ 1 ⎠4 8(1 + 1) 1 1 1 3
3
14 مثال
مﻼحظﺔ
وهي دالﺔf (x) ويﻄلﻖ عليها اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ للدالﺔf (x) دالﺔ مﺸﺘﻘﺘهاy= f (x) لﺘﻜن d2 y , y, f ( x ) وعليﻪ ﻓان اﳌﺸﺘﻘﺔ الثانيﺔ هي مﺸﺘﻘﺔ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ ويرمﺰx لﻨفﺲ اﳌﺘغير 2 dx f ( x ) = 2x 3 + 4 + 3x −1 3 f ( x ) = 6x 2 − 3x −2 ⇒ f ( x ) = 6x − 2 4 y, y جدxy = x + 5x 3 + 3 اذا ﻛانﺖ 6 f ( x ) = 12x + 6x −3 ⇒( −1 f ()x3) = 12x + 3 ∴ fy(=−1x)4 += 5x 123(+−1 3 ) + 6 = −12 − 6x = −18 6 ∴ fy(=−14x =3 + 1215x −12 ) + = −12 − 6x= −18 ) ( f ( x ) = 12x + 6x −3 ⇒( −1 f ()x3 ) = 12x + 3 6 y = 12x 2 + 30x x f ( x ) = 6x 2 − 3x −2 ⇒ f ( x ) = 6x − 2 3 3 −1 f ( xf) (=x )2x= 2x + 4 ++ 43x+ 3x 3
احلﻞ
−1
3 3 3 f ( x )f =( −1 6x) , −f (3x ⇒ f x = 6x − ( ) x ) , f ( x ) جدf ( x ) x=2 2x + 4 + x 6 f ( x ) = 12x + 6x −3 ⇒( −1 f ()x3) = 12x + 3 ∴ ff ((x−1 4 +) +3x −16 = −12 − 6x = −18 ) =) =2x123 +( −1 6 ∴ f ( −1) = 122 ( −1)−2+ = −12 − 6x3= −18 3 x = 6x − 3 6x+ −6x3x ⇒⇒ f ( ( ) f (fx()x=) =12x f x ( −1) =) 12x + 6x 2 −3 x2 6 + 6x −3⇒⇒f (fx()x=) =6x12x + f (fx()x=) =6x12x − 3x − 2 −2 3 x3 ( x )f =( −1 f∴ 2x)3=+12 4 +( −1 3x)−1+ 6 = −12 − 6 = −18 ( −1)3 2
15 مثال
−2
اذا ﻛانﺖ
16 مثال
احلﻞ
72
“(3-2) øjQÉ -1جد ﺑاسﺘﺨدام الﻘواعد مﺸﺘﻘﺔ ﻛﻞ من الدوال الﺘاليﺔ عﻨد العدد اﳌﺆشر ازاﺋها: ,x=1 ,x=2
a) f ( x ) = x 3 − 4x 2 + x − 1
)
, x = -1 ,x=0 , x = -1
-2اذا ﻛانﺖ
-3اذا ﻛانﺖ
4
3 2
)
)
(
b) f ( x ) = ( 4 − x ) x 2 + 3 4 − 5x x2 + x + 1 1 = ) d) f ( x 2x + 1 3 e) f ( x ) = x + 2 x +2 = ) c) f ( x
(
f ( x ) = x 2 − 3جد ) f ( x ) , f ( xعﻨد . x =2
(
f ( x ) = x + 3x − 3جد ) f ( 2) , f ( x 2
3
73
óYGƒb ΩGóîà°SÉH ájhÉjõ«ØdGh á«°Sóæ¡dG äÉ≤«Ñ£àdG ]3-5] á≤à°ûŸG 2 f .( x )=1 = xعﻨد − 5x f (+x )2= x 2 − 5x + 2 جد معادلﺔ اﳌماس ﳌﻨحﻨي الدالﺔ
f ( xf )f(=x( x)2x 5−⇒ −55⇒ f⇒ 5==−3 −3 )==−2x2x (1f)f(=1(1)2)=(=12)2(−1(1)5−)=−5−3 22 f (1f)f(=1(1)1)=2 =−11 5−(−15)5(+1(1)2+ 2==−2 −2 )=+2−2
fy−(−= xy1 )m==(2x y −yy1 y1 m xm −(−x(x1 x5−−)⇒ x1x1) f) (1) = 2 (1) − 5 = −3 2 y −y2fy−=(−1 2−3 2)===(−3 −(−x(1x5− 1x−3 ) −(111) )+ 2 = −2
y +y2yy+= 2=1== −3x −3x +m3(+⇒ yx1 ⇒ +1y)3x y++− 3x3x 1−=−101==00 −+2−3x y1 x+3−3⇒ y+ − 2 = −3 ( x − 1) y + 2 = −3x + 3 ⇒ y + 3x − 1 = 0 . x =5 عﻨد
احلﻞ
(1 ,- 2) ∴ الﻨﻘﻄﺔ
معادلﺔ اﳌماس
f ( x ) = 3 x + 3 جد معادلﺔ اﳌماس ﳌﻨحﻨي الدالﺔ -2
1 3
1 ∵ f (x) = = (x 3)23 (1) x +−3) 5x +⇒ 2ff(( x) == x32 −(x5x+ + 2
ميﻞ اﳌماس
17مثال
18 مثال
احلﻞ 2 f ( x )==5 xاﻻصليﺔ − 5xاﳌعادلﺔ + 2 نعوض ﻓي
f (5) = 3 5 + 3 = 2 ∵f x = ( )
1 3 ( 5x + 3)
2 3
=
⇒
(5,2) ∴ الﻨﻘﻄﺔ
1 1 = 3 × 4 12
ميﻞ اﳌماس عﻨد ايﺔ نﻘﻄﺔ
1 1 1 11 1 1 111 11 = f ( x )f =( x ) = ff ((5xx2)) == 325=+ 3==2222== 2 = 3×××8443 12 12 43 33 12 12 54++33× 3))12 33 3(5 + 3 (35) 3+ 3)33333((×5(5+3) y − y11 = m( x − x11 ) 1 y − 2 = ( x − 5 ) ⇒ 12y − 24 = x − 5 12 معادلﺔ اﳌماس ⇒ 12y − x − 19 = 0
m = f ( 5 ) حيﺚ ان
74
y=
2x + 1 3− x
y=5 عﻨدما جد معادلﺔ اﳌماس والعمود علﻰ اﳌماس للمﻨحﻨي 2x12x +2x 1++11 2x +2x1+ 2x +=2x 1− −15 5x == 2x 2x +=+5x 115 == 15 −−5x 5 =5 =5 =55⇒ =⇒ ⇒ +⇒ 2x1⇒ + 115 15 − 5x 1 3 − x 2 − 2x + −1 75x ( ) ( ) ( ) ( ) 3x 3x 3x 3x 3x y= = =7 2 2 14 14 14 14 3 − x 3 − x ( ) ( ) x⇒ ⇒⇒ x =⇒ ==x2x===2=142==22 x =⇒ 7 7 7 77
19 مثال احلﻞ
2x + 1 −1))− 5x 77 ( 2x+ 1)+()=−1 (15 2x 3y −5= =x( 3) −( 2x) (−2⇒)( −2x ( = =(2,5) 7= 7 ∴ الﻨﻘﻄﺔ 3x y= = 2x ) 2 3 − 3 − x ( ( ) 3 − x) (14 (3 − x) ⇒x= =2 2
2
7
1 1 = xx+))(2(2−1 ) −) (=2x +=)f7( −1 ) ==73 71 == 1 = 1 x 5 = 5 +) 3 =2 22 7 3 − x 2 − 2x ) 3 × 4 12 ( ) ( ) ( 3) 3( 3 − x )2( 3 − x )22 (+3)−((−1 = 7 )12 7 3x )−( 2x=) − ( 2x3+×) (4=−1 = =7 ( 3 −yx=) 3 ( 5 + 3)(33 −2x )2 2 (3 − x) (3 − x) 1 1) yy−− y1 y1== m m((xx −− x1 x1 ) y − y1 =−1 m( x − x1) −1( x − 2) ⇒ 7y − 35 = −x + 2 ⇒ 7y + x − 37 = 0 yy−− 55 == −1 − 35 = −x + 2 ⇒ 7y + x − 37 = 0 ( x − 2) ⇒ 7y y -−535= =7x−x - 14 ⇒ 7yy +- x7x− +9 = 00 y − 5 = 77 ( x − 2) ⇒ 7y +2⇒ 37 = 7
ميﻞ اﳌماس
معادلﺔ اﳌماس
y − y11 = m( x − x11 ) y− 5 =
−1 ( x − 2) ⇒ 7y − 35 = −x + 2 ⇒ 7y + x − 37 = 0 7
−1 = ميﻞ العمود 7 معادلﺔ العمود
75
مثال 20
جد معادلﺔ اﳌماس للمﻨحﻨي y= x2 + 1عﻨد نﻘﻄﺔ ﺗﻘاطعﻪ مﻊ محور الﺼادات
احلﻞ
نﻘﻄﺔ الﺘﻘاطﻊ مﻊ محور الﺼادات يعﻨي x = 0 ∵
y=0+1=1 الﻨﻘﻄﺔ هي )(0,1
ميﻞ اﳌماس للمﻨحﻨي
y = 2x = 2 (0) = 0 )y − y11 = m( x − x11
yy -− 15 == 0−1 (x( x- −02)) ⇒ 7y − 35 = −x + 2 ⇒ 7y + x − 37 = 0
∴ معادلﺔ اﳌماس
مثال 21
y-1=0
7
جد نﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘمي الﻰ اﳌﻨحﻨي f ( x ) = x 2 − 4x + 5والﺘي عﻨدها اﳌماس يوازي اﳌسﺘﻘيﻢ الﺬي معادلﺘﻪ y + 2x + 3 معامﻞ xميﻞ اﳌسﺘﻘيﻢ اﳌعلوم = معامﻞ y
احلﻞ ∵
ميﻞ اﳌسﺘﻘيﻢ ميﻞ اﳌماس
2 = 1
−
= -2ميﻞ اﳌسﺘﻘيﻢ اﳌعلوم ،ﻻنهما مﺘوازيان f ( x ) = 2x − 4 2x − 4 = −2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
نعوض ﻓي اﳌعادلﺔ اﻻصليﻪ ﻻسﺘﺨراج ﻗيمﺔ y
∴ الﻨﻘﻄﺔ )(1,2
76
y = 12 2− 4 (1) + 5 y = 1 − 4 (1) + 5 y+ 22 yy=+12 − 4 (1) + 5 y+ 2
مثال 22
اذا ﻛانﺖ الدالﺔ f ( x ) = x 2 + ax + bوﻛان ميﻞ اﳌماس للمﻨحﻨي عﻨد x= -1هو 4 وﻛان اﳌﻨحﻨي ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺔ ) ( −3, 2جد ﻗيمﺔ b , aاحلﻘيﻘيﺘني .
احلﻞ
f ( x ) f=(2x x ) =+ a2x + a x )f+ =(a2x 4 = 24( −1 =) a ⇒=a 2 ⇒ +6a = 2)4+( −1 ⇒ = 6a = 6 ) (+−1 2 2 (xx())−3 =( 2ff + 6a)a(2 −1 =2++ −3 +b6) (+−1 )2x 2===2x + 6))+( −1 نعوض ) ( −3, 2ﺑالدالﺔ اﻻصليﺔ b ) + b ( −3 += 9222(−(−1 −1 ⇒a69 ⇒ =6 6−1 + =−−1 2++ b = −1 = 424 ⇒=a6ab ⇒))+6189 −+ab 11 22
مثال 23
−3)) ++ 66((−1 −1))++ bb 22 == ((−3 3 2 s t = t + 3t جسﻢ يﺘحرك علﻰﺧﻂ مسﺘﻘيﻢ وﻓﻖ العﻼﻗﺔ + 4t + 1 ( ) حيﺚ ) s ( t ⇒ bb == −1 −1 ⇒ 22++ 99 −− 66 ﺗﻘاس ﺑاﻻمﺘار والﺰمن ﺑالدﻗاﺋﻖ جد موﺿعﻪ وسرعﺘﻪ وﺗعﺠيلﻪ ﺑعد ) (5دﻗاﺋﻖ من ﺑدأ حرﻛﺘﻪ .
احلﻞ
2
2 33 2 =))ss((55 ++(115 ) + 1 s=(55 ) +=+353(3(55+))3+(+544)((55+))4 3 + 20 +2 1 = 221 = مﺘر 75 20 1 =4+(221 s=(125 5125 575 ++375 + 51)=+221 1 ) =++125 ( 5 )++ 20
اﳌوﻗﻊ السرعﺔ
22 v=v((125 tt))=v=+(sst75 6t ++446t + 4 ()(tt=))+=s=20 =6t2221 t )+=+1+3t (3t3t
2 22 =)=)vv((t55)))=v==(s353(()(t55 ++6x5 4+4=4=+75 م/دﻗيﻘﺔ 6x5 75 30+++430 4==+109 109 )32 +3t 4 +=+30 75 4 = 109 (+56x5 ) ++6t ava((5tt)) =a= (v3vt()(t5t=))=v2=+(6t 6t t6x5 )++=666t+ 4+ =6 75 + 30 + 4 = 109
=)aa((t55)))=a==(v656(()t(5 5)=)6++6t 36 م)/دﻗيﻘﺔ(6 = 36 2 (665+=)=+636
الﺘعﺠيﻞ
مثال24
a ( 5 ) = 6 ( 5 ) + 6 = 36 يﺘحرك جسﻢ علﻰ ﺧﻂ مسﺘﻘيﻢ وﻓﻖ العﻼﻗﺔ s ( t ) = t 2 − 20t + 120حيﺚ يﻘاس البعد ﺑالﻜيلو مﺘرات والﺰمن ﺑالساعﺔ .احسب :
(1السرعﺔ ﺑعد ﺧمﺲ ساعات . ُ (2ﺑعدﻩ عﻨدما ﺗﺼبﺢ سرعﺘﻪ صفرا.
1)v ( t ) s ( t ) = 2t − 20
احلﻞ
1)v −20−20 1)v v1)v −10 =−2t 2t −=20 20 ( 5t()(tst=))(ss2t()(×t=t))5=2t )السرعﺔ(
ﻛﻢ/ساعﺔ v (v5 ===−10 22)2t 20 ×=v(()55=))=2 2×5×5−5−−20 −20 20 =0−10 −10 ⇒ t = 10
2)2t2)2t −2)2t 20− 2)2t ⇒t −)0=10 20 =− 0 ساعﺔ )= t 20 ⇒= t10 =20 10 −(010 20 ⇒0=2 ⇒t =(10 =s +10120
2 2 s (10 20−)(20 +(10 120 s=−)(10 10 10 − 20 120 (120 )=+20 s ()10 )210 (2)10 )++)120 100 200 s10 −−20 +10120 (10 = 100 200 120 20 = 200 100 − 120 200 + 120 ُ = 100 − + = 20 =−100 −+200 +=120 البعد ﻛﻢ = 20= 20
77
مثال25
يﺘحرك جسﻢ علﻰ ﺧﻂ مسﺘﻘيﻢ وحسب العﻼﻗﺔ s ( t ) = 2t + 1اوجد الﺰمن الﺬي يسﺘغرﻗﻪ حﺘﻰ ﺗﺼبﺢ سرعﺘﻪ 1م/ﺛا . 3
احلﻞ
1 2
)s ( t ) = ( 2t + 1
−1 1 v ( t ) = s ( t ) = ( 2t + 1) 2 × 2 s ( t ) = ( 2t + 1) 2 1 1 1 −1 1 =) 2 × 2 1 ⇒( v ( tv)(=t )s ( t ) = 1 2t + 1 3 2 ( 2t + 1) 2 ( 2t + 1) 2 11 1 1 ) v (t ⇒ = ﺑالﺘرﺑيﻊ 1 ( 2t + 1) 2 =12 3 3 )( 2t + 1 ( 2t + 1) 2 ﺛانيﺔ 2t + 11 = 9 ⇒ t = 4 ( 2t + 1) 2 = 3 1 2
مثال 26
2t + 1 =2 9 ⇒ t = 4 ﻗﺬف جسﻢ نحو اﻻعلﻰ عن سﻄﺢ اﻻرض ﺑﺄزاحﺔ معﻄاة وﻓﻖ العﻼﻗﺔ s ( t ) = 96t − 16t حيﺚ ان ) s ( tاﻻزاحﺔ ﺑاﻻمﺘار t ،ﺑالثواني .احسب :
(1سرعﺔ اجلسﻢ ﺑعد ﺛانيﺘني . (2مﺘﻰ يﺼﻞ اجلسﻢ الﻰ اعلﻰ نﻘﻄﺔ ؟
احلﻞ
(1
s ( t ) = 96t − 16t 2 v ( t ) = s ( t ) = 96 − 32t السرعﺔ ﺑعد 2ﺛانيﺔ
م/ﺛا s ( 2) = 96 − 32 × 2 = 32
(2اﻗﺼﻰ ارﺗفاع يﺼﻞ اليﻪ اجلسﻢ عﻨدما ﺗﺼبﺢ سرعﺘﻪ = صفر v ( t ) = 96 − 32t 0 = 96 − 32t
78
96 ﺛانيﺔ = 3 32
= 32t = 96 ⇒ t
مثال 27
اذا ﲢرك اجلسﻢ وﻓﻖ العﻼﻗﻪ s ( t ) = t 3 − 6t + 18t + 12حيﺚ ) s ( tﺑاﻻمﺘار t ،الﺰمن ﺑالثانيﻪ احسب ﺑعد اجلسﻢ عن نﻘﻄﺔ ﺑدايﺔ احلرﻛﻪ وسرعﺘﻪ عﻨدما يﺼبﺢ ﺗعﺠيلﻪ صفرا .
احلﻞ 3 t33 −26t22 + 18t + 12 ==s ( tss)((=tt))t −t 6t + 12 − 6t+3 18t + 18t + 12 2 3t ) = t 22 − 6t 2 s + 18t + 12 ( 218t + + 12 3 3t 2 12t = − + 18 v ( tsvv)(((t=tt)))s===s(t(tsst)()(−=tt=))6t 3t − 12t + 18 = 3t − 12t + 18 t − 6t +218t + 12 v t = s 3t −+ 12t + 18 ( ) (t )2 =− 3t ==v=s− t = 12t2 − 18 + 6t − 12 ( ) v (vtvv)(((t=tt)))6t 12 s ( t ) = 3t 12t 18 (6tt ) −= 12 v t = 6t − 12 ( ) 12 v ( t ) =v 6tt −=12 12 12 6t − 12 ( ) 6t − 12 = 0 ⇒ t = 6t − ⇒== 0 t =t = = 2== 12 6t12 − 12 ⇒0 ﺛانيﺔ22 6 12 = 6t ⇒6t=− 012⇒= t0=6 =2 6t − 12 = 12 = 26 2 3 2 3 2 6t − 12 = 0 ⇒ t = 2 )+18(2 )18(2 +12 12 6 )s ( 2ss)((2=2))2== 2−236−−( 626)((22+)) 18(2 + 12 + + 6 2 3 3) = 2 −26 ( 2 ) + 18(2) + 12 s 2 ( 2 = 8 − 24 + 36 + 12 = 32 s 2 = 2 − 6 2 + )18(2 + 12 + 12 )−s24 (3+−12 )=632 = 8=(−824 +( 236 +212 + =232 )+ 18(2 ) =36 ( ) ﺑعد اجلسﻢ عن نﻘﻄﺔ ﺑدايﺔ احلرﻛﺔ =248+−2 36 24 +12 36=+ 32 مﺘر 12 = 32 +−+ 2 + 18 ))2212 ( ) =(v ==2vv)((82=2−))3 2 + 18 ( 2383)(−(22−24 ( ) 36 = 32 − 12 + 18 ( 2)12 2 23 ( 2 ) − 12 ( 2 ) + 18 v 2 = ( ) 18 = 626( 2) + 18 v==(12 212 = 324 2++ 12 = 12 −)24 +2()18 = −v−(24 = =)18 3−(62 ) − 12 ( 2) + 18 = 12 − 24 + 18 = 6 = 12 −=24 + 18 = 6 السرعﺔ مﺘر/ﺛا 12 − 24 + 18 = 6
79
]OÉ°üàb’G ‘ á≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J ¢†©H ]3-6 ﻓي اﻻﻗﺘﺼاد ﳝﻜن اعﺘبار ﻛميﺔ ما ﻛالدالﻪ ﳌﺘغيرمسﺘﻘﻞ واحد ﳝثﻞ ﻛميﺔ اﻗﺘﺼاديﺔ ﻓمثﻼ دالﺔ الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ ) (total cost functionوسﻨرمﺰ لها ) ، c ( xوهي دالﻪ ﳌﺘغير xﳝثﻞ حﺠﻢ اﻻنﺘاج .ويﻄلﻖ علﻰ ) c ( xدالﻪ الﻜلفﺔ احلديﺔ وسﻨرمﺰ لها MCاما معدل الﻜلفﺔ سﻨرمﺰ لها ACوﺗساوي ) c ( x x dy d اما معدل الﻜلفﻪ احلديﺔ ﻓهي ) ac (AC dx
مثال 28
لﻨفرض ان دالﺔ الﻜلفﺔ الﻜليﺔ ﻻنﺘاج سلعﺔ ما c ( x ) = 3x 2 − 60x + 1200جد :
) (aدالﺔ الﻜلفﺔ احلديﺔ. ) (bدالﺔ معدل الﻜلفﺔ . ) (cدالﺔ معدل الﻜلفﺔ احلديﺔ . ) (dحﺠﻢ اﻻنﺘاج الﺬي يعﻄي اﻗﻞ معدل ﻛلفﺔ .
احلﻞ
x ) −= 60 6x − 60 دالﺔ الﻜلفﺔ احلديﺔ MCa)mc a)mc = c ( x=) c=(6x
2 x ) 2 −3x + 1200 c ( x ) c ( 3x 60x−+60x 1200 = = = b)ac = AC b)ac x x x x 1200 1200 دالﺔ معدل الﻜلفﺔ 3x +− 60 + = 3x −= 60 x x ⎛d d d⎛ d دالﺔ معدل الﻜلفﺔ 1200 1200 ⎞ 1200 1200 احلديﺔ 3x +− 60 + ⎞⎟ = 3⎟− = 32− )c) c ac ) =( ac ) ⎜=3x −⎜60 (AC x2 ⎝ dx dx dx ⎝ dx x ⎠x ⎠ x
ﻻيﺠاد حﺠﻢ اﻻنﺘاج الﺬي يعﻄي اﻗﻞ معدل ﻛلفﺔ ﳒعﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰلـ ACصفر ًا 1200 = 0 ⇒ 3x 2 − 1200 = 0 ⇒ x = 20 2 x
3−
والﻜلفﺔ الﻜليﺔ 2
c ( 20 ) = 3 ( 20 ) − 60 ( 20 ) + 1200 = 1200
80
“(3-3) øjQÉ -1جد معادلﺔ ﳑاس اﳌﻨحﻨي f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 9x + 5عﻨد . x = 0 -2جد معادلﺔ ﻛﻞ من اﳌماس والعمود علﻰ اﳌماس للمﻨحﻨي y = ( x − 3)3عﻨد . x = 2 -3جد معادلﺔ اﳌماس للمﻨحﻨي 3 x2 + 2 -4جد الﻨﻘﻂ علﻰ اﳌﻨحﻨي f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9x + 4ﺑحيﺚ يﻜون عﻨدها اﳌماس موازي ًا ﶈور f ( x ) = x 3 − 2x +عﻨد . x = −1
السيﻨات. -5جد الﻨﻘﻂ علﻰ اﳌﻨحﻨي f ( x ) = x 2 − 4x + 5عﻨدما يﻜون ﳑاس اﳌﻨحﻨي يوازي اﳌسﺘﻘيﻢ 2x - y= 0 -6جسﻢ يﺘحرك علﻰ ﺧـــﻂ مسﺘﻘيﻢ ﺑحيﺚ ان ﺑعدﻩ ﺑاﻻمﺘار والﺰمن ﺑالثواني معﻄﻰ ﺑالعﻼﻗﺔ 2 2t2+18 + 18 s ( t ) = 2tاحسب ﺑعدﻩ عﻨدما ﺗﺼبﺢ السرعﺔ1مﺘر/ﺛا .
الﺰمن ﺑالثواني احسب ﺑاﻻمﺘار )s ( t ، ﺑعدﻩ= t 3 − ان 6t 2s حيﺚ(+t -7اذا ﲢرك جسﻢ وﻓﻖ العﻼﻗﻪ )9t=+ts37(−t )6t=2 t+3 −9t6t+ 27+ 9t + 7 (aﺑعد اجلسﻢ من نﻘﻄﺔ ﺑدايﻪ احلرﻛﺔ عﻨدما ﺗﺼبﺢ سرعﺘﻪ صفر ًا . (bﺑعد اجلسﻢ من نﻘﻄﺔ ﺑدايﻪ احلرﻛﺔ عﻨدما يﺼبﺢ الﺘعﺠيﻞ صفر ًا . -8لﻨفرض ان الﻜلفﻪ الﻜليﻪ لﺼﻨﻊ xمن وحدات سلعﺔ ماهي . c ( x ) = 1500 + 30x + 20 x جد الﻜلفﻪ احلديﻪ واحسب الﻜلفﻪ احلديﻪ عﻨدما يﻜون عدد الوحدات اﳌﺼﻨوعﺔ .50 -9لﺘﻜن دالﺔ الﻜلفﻪ الﻜليﻪ c ( x ) = 1 x 2 − 2x + 5جد دالﺔ الﻜلفﺔ احلديﺔ ،دالﺔ معدل الﻜلفﺔ 2 الﻜليﺔ.
81
]iô¨°üdG h ≈ª¶©dG äÉjÉ¡ædG ]3`7 ﻏالبا مانﺼادف ﻓي حياﺗﻨا العمليﻪ مساﺋﻞ يسﺘوجب اﳒازها ﻻيﺠاد الﻨهايات العظمﻰ أوالﻨهايات الﺼغرى وﻛﺬلﻚ ﳝﻜن اسﺘﺨدامها ﻓي رسﻢ مﺨﻄﻂ ﺑعﺾ الدوال .
ﺗعريﻒ )(3-2 لﺘﻜن ) f ( xدالﺔ معرﻓﻪ علﻰ ﻓﺘرة .عﻨدﺋﺬ -1يﻘال ان الدالﻪ ) f ( xمﺘﺰايدة ) (Increasingعلﻰ الفﺘرة ﻻي عددين x2 , x1ﻓي الفﺘرة <<x2 ⇒ << fx2 ⇒ x1f f<((x1 x2 x1 f((x2 x2 x1 )f ( )x2<) f ( x2 (x (x ⇒))1 xx1 x1 ⇒)2))f<( x1 xx2 ∀ x1 1 2
-2يﻘال ان الدالﻪ ) f ( xمﺘﻨاﻗﺼﻪ ) (Decreasingعلﻰ الفﺘرة ﻻي عددين x2 ,x1ﻓي الفﺘرة xx2 x1 <<
Decreasing
y
Increasing
x1 < x2 ⇒ f ((xx11))x1 << f (x2 ⇒x2 ) f (x )( x12)) < f ( x2
x
x2
x1
x1 <<
82
y
x1 < x2 ⇒ f ((xx11))x1 << f (x2 ⇒x2 ) f (x )( x12)) < f ( x2
x
x2
x1
x1 <<x2 ⇒ << fx2 ⇒ x1f f<((x1 x2 x1 f((x2 x2 x1 )f ( )x2<) f ( x2 (x (x ⇒))1 xx1 x1 ⇒)2))f<( x1 xx2 1 2
ﺗعريﻒ )(3-3 لﺘﻜن fدالﺔ x1عﻨﺼر ﻓي مﺠالها ﻓﺄن الﻨﻘﻄﺔ )) ( x1,1 f ( x11ﺗسمﻰ حرجﺔ ⇔ اما x11))== 00 ff ((x1او
أن الدالﺔ fﻏير ﻗاﺑلﻪ لﻼشﺘﻘاق عﻨد . x1
اﻻ أنﻨا سوف ندرس الﻨﻘاط احلرجﺔ الﺘي ﺗﻜون عﻨدها الدالﺔ ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق وﻗيمﺔ اﳌﺸﺘﻘﺔ عﻨدها ﺗساوي صفر ًا .
مثال29
جد الﻨﻘاط احلرجﺔ للدالﺔ
احلﻞ
f ( x ) = 3x 2 − 3 3 f (fx()x=) 0= x − 3x + 6
⇒ )3x 2 − 3f =( x0 x 22 −−13⇒ x 2 = 1 ⇒ x m1 = 3x f ( x ) = f3x ( x2 )−=33x 2 − 3f (1) = f1(3 x−) 3=(01) + 6 = 4
2 2 2 2 f ( x ) = f0( x ) =f0( x ) = 3x ⇒( − )33 =− 03 f ( −1−)33x = ( −1 −1x) +−61 ⇒ x = 1 ⇒ x m1 2 2 =3⇒= =1 0x−1 ⇒) +31(x1m1 3x 2 − 33x ⇒= 20− 3f=x(2x0− ⇒x−+1=f3 x)62==x=x18m1 ⇒1− ⇒(1+1 )+ 6 = 4
−4 )1=⇒( −1 ⇒x )3=−13 f (1) = 1f 3(1−) 3=f(3x 1( 3)x+ =(1=−1,8 63)=,f(x(1, 4−1 )−−=633(3x ⇒)420+− +6 ( −1x )m1 2
2
2
3 3 (=1))−1 ))(==−1 f ( −1) =f ( −1)f=f(−(x(13−1 ++ 66+ =3 +4 6 = 8 )301−) +−36(3−1 3
2 2 −63)==8(0−1 ⇒) (x− = = −1 + 3 +−16 +3x =3f82(+−1 3−(1−1 −1,8 , ()1,+x46)= 1 ⇒ x m1 ⇒)
1, 4 ))f=,(11, الﻨﻘاط4=+) 133 +− −1 63 (=1)8+ 6 = 4 ( −1,8 ) (, (−1,8 احلرجﺔ) ) , (1,−14))3 − 3 ( −1) + 6 f((−1,8 = )−1
ﻻيﺠاد الﻨﻘاط احلرجﺔ لدالﺔ معلومﺔ
= −1 + 3 + 6 = 8
) ( −1,8 ) , (1, 4
-1ﳒد ) f ( x
-2ﳒد ﻗيﻢ xالﺘي ﲡعﻞ f ( x ) = 0إن امﻜن -3لﻜﻞ ﻗيمﺔ للمﺘغير xحﺼلﻨا عليها من ) (2ﳒد ) y = f ( xوﺑﺬلﻚ نحﺼﻞ علﻰ الﻨﻘاط احلرجﺔ .
83
مثال 30
لﻜﻞ من الدوال اﻻﺗيﺔ جد ان وجدت الﻨﻘاط احلرجﺔ ومﻨاطﻖ الﺘﺰايد ومﻨاطﻖ الﺘﻨاﻗﺺ f ( x ) = x22 -− 4x 4x ++ 3
احلﻞ
ﳒد=4 =+03⇒f x( x=) 2 ∴ )f ( x = 2x x − 4x x − 4x + 3 2
2
ﳒعﻞ f ( x ) = 0
∴ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2
ﳒد احداﺛيها الﺼادي y
f ( 2 ) = y = 2 − 4 ( 2 ) + 3 ⇒ y = −1 2
∴ الﻨﻘﻄﺔ ) ( 2,−1هي نﻘﻄﺔ حرجﺔ وﻻيﺠاد مﻨاطﻖ الﺘﺰايد أو الﺘﻨاﻗﺺ نعني اشارة ) f ( xوذلﻚ ﺑاﻻسﺘعانﻪ ﺑﺨﻂ اﻻعداد احلﻘيﻘيﻪ ﺑالﻄريﻘﺔ اﻻﺗيﺔ : نرسﻢ ﺧﻂ اﻻعداد ونعني عليﻪ ﻗيﻢ ) (xالﺘي عﻨدها نﻘﻂ حرجﺔ وعﻨدها يﻨﻘسﻢ ﺧﻂ اﻻعداد الﻰ مﺠموعات. ﺛﻢ نﺨﺘار عﻨﺼر من ﻛﻞ مﺠموعﺔ ونعوﺿﻪ ﻓي ) f ( xﻓﻨحﺼﻞ علﻰ شارة ) f ( xﻓي ﺗلﻚ اﳌﺠموعﺔ الﺘي اشارة اﺧﺘرنا ﻓيها العﻨﺼر .وﻓي هﺬا اﳌثال ناﺧﺬ عدد اﻛبر من ) (2ليﻜن x = 3ونﻼحﻆ موجبﺔ= y = 2 2 − ⇒)4 ( 2 )f+( x3 −1ان= > 0y ﻓﺘﻜون f ( x ) > 0لﻜﻞ ∴ ، x > 2الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي هﺬﻩ اﳌﺠموعﺔ. ونﺨﺘار عددا اصغر من ) (2ليﻜن x=1نﻼحﻆ اشارة ) f (1سالبﺔ اي ان f ( x ) < 0 لﻜﻞ ∴ ، x < 0الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي هﺬﻩ اﳌﺠموعﺔ. 2 x<2 x>2 ﻻحﻆ الﺸﻜﻞ: اشارة ) f ( x -----++++++ >x {x{:xx: ∈r, xR ∈r, (1الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي }x >2}2 >x}2 مﺘﻨاﻗﺼﺔ ∈ (2الدالﺔ { x : x {x{:xx: ∈r, xR ∈r, ﻓيx >2}x2}, r
احلﻞ
f ( x ) = x 3 − 3x + 2 (2
f ( x ) = f3x ( x )−=33x 2 − 3 2
ﳒعﻞ
f ( x ) = f0( x ) = 0
-1 x = m1 2 3x 2 − 3− ⇒=⇒ =x 20 ⇒1 ⇒ x =1 m +1 =3x −0 3− = x2 3 f (1) = 1 f (1−) 3=(13) +− 23 (=1)0+ 2 = 0
3 3 )f ( −1) =f ((−1 3 ( −1 ) +32( −1) + 2 )−1) =−(−1 −
= = −1 + 3 +−12+=34+ 2 = 4
84
الﻨﻘاط احلرجﺔ
) 1,04)) , (1,0 ( −1, 4 ) (, (−1,
نرسﻢ ﺧﻂ اﻻعداد ونعني عليﻪ x = −1, x = 1 x < −1
x>1 1−1−1− < <x1− <xxx<> x1 1 −1 ++++++++ ++++++++ ---------
اشارة ) f ( x
ﺗﺰاﻳﺪ
ﺎﻗﺺ
ﺗﺰاﻳﺪ
ﺗﻨ
1)1){{xx: :xx∈r, }}R xx>>11 ∈r, )2 2){{xx: :xx∈r, ∈r, }}−1 R xx<<−1
الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي
الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ )( −1,1
احلﻞ
(3
3
)f ( x) = (2 − x 2
)f ( x ) = 3 ( 2 − x ) ( −1 2
f ( x ) = 0 ⇒ −3 ( 2 − x ) = 0 2
⇒ (2 − x) = 0 ⇒ 2 − x = 0 ⇒ x = 2 3
f ( 2) = ( 2 − 2) = 0
∴الﻨﻘﻄﻪ ) ( 2,0نﻘﻄﺔ حرجﺔ اشارة ) f ( x
نﻼحﻆ الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي
x<2 x>2 2 ----------------------اﻗﺺ اﻗﺺ ﺗﻨ ﺗﻨ
}R x > 2 1) { x : x ∈r,
}R x < 2 2) { x : x ∈r,
85
iô¨°üdG hGC ≈ª¶©dG äÉjÉ¡ædG OÉéjG (1ﳒد الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ ان وجدت ﻛما مرﺑﻨا ساﺑﻘ ًا ] ،اذا ﻛانﺖ الدالﺔ ﻻ ﲤﺘلﻚ نﻘﻄﺔ حرجﺔ ﻓليﺲ لها نﻘاط نهايات عظمﻰ محليﺔ او نﻘاط نهايات صغرى محليﺔ[. (2نعني مﻨاطﻖ ﺗﺰايد الدالﺔ ومﻨاطﻖ ﺗﻨاﻗﺼها ان وجدت . (3اذا ﻛانﺖ الدالﺔ مﺘﺰايدة ]اي اشارة اﳌﺸﺘﻘﺔ للدالﺔ موجبﺔ[ ﻗبﻞ الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ ومﺘﻨاﻗﺼﺔ ﺑعدها] ،اي اشارة اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ للدالﻪ سالبﺔ ﺑعد الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ[ ﻓالﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ عﻨدﺋﺬ هي نﻘﻄﺔ نهايﺔ عظمﻰ محليﺔ. (4اذا ﻛانﺖ الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ]اي اشارة اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ للدالﺔ السالبﺔ [ ﻗبﻞ الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ ومﺘﺰايدة ﺑعدها ]اي اشارة اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ للدالﺔ موجبﺔ ﺑعد الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ [ ﻓالﻨﻘﻄﻪ احلرجﺔ عﻨدﺋﺬ هي نﻘﻄﺔ نهايﺔ صغرى محليﺔ. (5اذا لﻢ يحدث ﺗغير ﻓي اشارة ) f ( xمرورا ﺑالﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ عﻨدﺋﺬ الدالﺔ ﻻ ﲤﺘلﻚ نﻘﻄﺔ نهايﺔ عظمﻰ محليﺔ .او نﻘﻄﺔ نهايﺔ صغرى محليﺔ .وﺗﻜون الﻨﻘﻄﺔ حرجﺔ ﻓﻘﻂ .
مثال 31
اذا ﻛان f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9x + 7جد نﻘاط الﻨهايات العظمﻰ والﺼغرى ان وجدت
احلﻞ
==)ff 3x 3x 6x f ( xf )(fx=()x3x 9−−9−6x ((x−x3x )6x )=−=6x −3x6x 9 −f−(99x ) = 3x − 6x − 9 22 2
2
ﳒعﻞ
2
2
2
f ( xf )(fx=()x0=)ff(0 =(xx0) )==00
f ( x) = 0
2 2 2 2 22 2 − 3x 6x = 0 = x020x2x ⇒ = 2x 3x 23x−3x 6x 922−2−=9−6x 06x 2x − 3−x=−x3−2x 06x −3x6x ⇒9 ⇒=−9 ⇒=0x92 2x 30 =−−3093===000 ⇒ x 2 2x − 3 = 0 3x − ⇒ −
⇒⇒ )==0(0x − 3) ( x + 1) = 0 ⇒)x ⇒( x⇒(−x3(− ⇒)(3−x()3(x+x)−1(−+x)33=1+))(01(x=)x+0=+101 x = 3, x = −1 22
3,=3, xx−1 ===x −1 3,3,−1 xx==−1 −1 =x =x3,=x x 2
2
=f ( 3f )(f3=()3=)f3 f (3−(333)−)3(=3=−3)(33333−()−3−93)−3((39−(33)()92+3)f ()−733−+9)97+(=(3733) )+3 +−773 ( 3) − 9 ( 3) + 7 == 27 −==27 27 −−−27 27 7+27 27 =+ −20 +=7−20 727 = 27 − 27 27 27 7+−=− −20 −−27 27 −+27 27 7 = −−20 27 − 27 + 7 = −20 ==−20 2
22
2
2
323
3
3
3 f (f)−1 f)((−1 3−()3)−1 9−()92)−1 −)(79−1 +9)(7(+ −1 +7(7−1) − 9 ( −1) + 7 f ( −1 − −1 −) 3f93)− −1 )(f=−1 )==3)−((−1 ((−1 =−1 7)−)+3 =(+−−1 ) ()−1 (=−1 (−−1 )−1 == −1 ++79912 12 − 3 + 9 + 7 + 12 = −1 − −1 3−=+=3−−1 9+−1 3+9+−7−+93+37+12 +++12 −1 77+=+12 2
3
2
3
نﻘاط 3,−20 , ()−1,12 ( 3,−20 )−1,12 )−1,12 , ( −1,12 ( 3,−20 ) ,(((3,−20 ( 3,−20 حرجﺔ) )()3,−20 ) , ( −1,12 ) ) ), (, (−1,12
86
x < −1 −1 < x < 3 x>3 ++++++++++−1 ------------ 3 ++++++++++ ﺗ اﻗﺺ ﺗﺰايد ﺰايد ﺗﻨ
اشارة ) f ( x
}R x > 3 1) { x : x ∈r,
ﻓي1) { x : x ∈r, x > 3 الدالﺔ مﺘﺰايدة }
}R x < −1 2) { x : x ∈r,
}2) { x : x ∈r, x < −1
ومﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ )( −1,3
)( −1,3
∴ نﻘﻄﺔ نهايﺔ صغرى ) ( 3,−20 ∴ نﻘﻄﺔ نهايﺔ عظمﻰ )( −1,12
مثال 32
لﺘﻜن f ( x ) = x 4 − 2x 2 + 1جد نﻘاط الﻨهايات العظمﻰ والﺼغرى ان وجدت. }1) { x :2x ∈r, x > 3 f ( x ) =2)4x }{x : x−∈r,4xx < −1
احلﻞ
22) 2 −1,3 224x =0 )=x===(4x − 4x )4x 4x 4x 4x 4x 4x =())fff(ff(x((xfx)xx −−−−4x 3 ⇒2 x 3 − x = 0 f(f(x((xfx)x))(− ff4x =)=xf==4x 0)(00x0=)=0=04x − 4x
) ( ) ))) ( ((( f==(=x0, 00, 0x=x1,1, ⇒ =+=1−10 = = ⇒)x 0, −1 x=x0, 0, ===x −1 =xxxx 1−1 (1,1,2=xx(x1,x=0=−=)=x−1 ) 1 x ( x − 1)( x + 1) = 0
33 3 33 3 334x ⇒33 ⇒ x − 1 = 0 (=x==x00−00=10) ( x + 1) = 0 − 4x = 0 ⇒ 4x 4x = 0 ⇒ x 4x 4x = 0 ⇒ x 4x 4x = 0 ⇒ x 4x −x−−−4x = 0 ⇒ x =f ( x ) = 0 −−x−−xxxx− 22 2 ⇒=x x −1 3− =x ⇒0 ⇒ −−1−111, ⇒ ⇒ xxx0, xx2x2x− ⇒ xx(x(x((xx3x−−(− ⇒ 1−4x ⇒ )())(=x(1(xxx)+0+(++1x11)1+))=)=1==0)000= 0 ⇒ x4x ==x=1==0 ⇒x ⇒==000 0 −−1x11)x1− 2
2
22
4
2
44 4 2 2 +===1=11−1 11=1= 01 fff(f(0((00f1 =++)+)+1x11+1 )0)()==0x==0)=00140=420,4220(2−(x0((020)0=)2())101, 2
2
2
4
2 +=+==)100100=+=011= 1 =121 )()(+12+0+)+(1)1−1 −=222(2−0)(1((141)21)2− ))=()=1=f=)1)1(=1410=4 −4()−1−−1 fff(f(1((11)f1−1 2
222
4
4
4
4 4 f−1 21−1 −1 −1 −1 ((−1 )f=)==(=(1)(−1 ()(=−1 ))−−−)−222(2−(−1 ((−1 ))+++)+1111=+===110111= 1 −1 fff(f(−1 )()−1 )()2−1 =)()−1 1 2
الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ )(0,1 الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ ) (1,0 الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ ) ( −1,0 اشارة ) f ( x
222
444
4
f ( −1) = ( −1) − 2 ( −1) + 1 = 1
x>1
+++++++ ﺗﺰاﻳﺪ
1
0< x<1 --------ﺗ
ﻨﺎﻗﺺ
0
1−1 >1x > 0x x < −1 −1 --------- +++++++ 1
ﺗﺰاﻳﺪ
ﻗﺺ
ﺗﻨﺎ
87
الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي وﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي وﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ∴ الﻨﻘﻄﺘان )0,1 ( −1,0 )(،−1,0نهايﺔ صغرى محليﺔ ((−1,0 ) ) ( 0,1نهايﺔ عظمﻰ محليﺔ
مثال 33
لﺘﻜن ) f ( x ) = x 3 ( −4 + x
1)1){{xx: :xx∈r, ∈r, }R xx>>1}1 2)2)( −1,0 ) )( −1,0
1)1){{xx: :xx∈r, R xx<<−1 ∈r, }}−1 )2 2)((0,1 ))0,1
جد نﻘاط الﻨهايات العظمﻰ والﺼغرى ان وجدت.
احلﻞ
3 3 4 4 f (fx()x=) −4x + x+ x = −4x 2 2 3 3 f (fx()x=) −12x + 4x = −12x + 4x 2 2 3 ( −3( −3 f (fx() x4x =) 4x −4x ) + x+4)x
ﳒعﻞ 0= 0 2 + 4x 3 f (fx() x=) −12x 2 2 2 4x +(x−3 +)x=+) 0=x )0 f (4x x()−3 4x ( −3 2 2 4x x =x 0= 0 ⇒0 f (4x ⇒x )==0=0 2+ x = 0 ⇒ x = 3 −3−3 + x+=x )0=⇒0 x = 3 4x ( −3
نعوض ﻓي اﳌعادلﺔ اﻻصليﺔ نﻘﻄﺔ حرجﺔ ) (0,0 نﻘﻄﺔ حرجﺔ ) ( 3,−27 اشارة ) f ( x
x>3 3 ++++++++
=(f (2f0 +00+)0=) 0= 0 )0=0) 0=⇒30( 3−4 4x x(=−4 3 ⇒(f (f3+()3x=)=3=03 3 −4 = 27 ( −4 −3 x+ =3+)33=)-27 f ( 0 ) = 0 3 ( −4 + 0 ) = 0 f ( 3) = x33<( −4 0 + 3) = 270 < x < 3 ---------- 0 ----------
ﺗﺰاﻳﺪ
88
الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي وﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ ∴ الﻨﻘﻄﺔ ) ( 3,−27نهاي صغرى محليﺔ الﻨﻘﻄﺔ ) ( 0,0نﻘﻄﺔ حرجﺔ وليسﺖ نهايﺔ الدالﺔ ﻻﲤﺘلﻚ نهايﺔ عظمﻰ
ﺗ
ﻨﺎﻗﺺ
ﻨﺎﻗﺺ
ﺗ
{{xxx: :x: xx∈r, ∈r, }R xxx>>>33}3 ∈r, )1)1 1){{xxx: :x: xx∈r, ∈r, }}R xxx<<<000 ∈r, )2)2 (0,3 )) )2 0,3 (0,3
مثال 34 اذا ﻛانﺖ f ( x ) = x 3 + ax + 5لها نﻘﻄﺔ نهايﺔ محليﺔ عﻨد x = 1جد ﻗيمﺔ ) (aوﺑني نوع الﻨهايﺔ.
احلﻞ
f ( x ) = 3x 2 + a ⇒ 3x 2 + a = 0 2
⇒ 3 (1) + a = 0 ⇒ a = −3
ﳌعرﻓﺔ نوع الﻨهايﺔ
f ( x ) = f3x − 33x =20− 3 = 0 ⇒ ( x2)−=33x⇒2 −3x32
∴ الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ )(1,3
+1 ⇒ ⇒ x 2 =⇒1 ⇒= x 2 =x 1 -m1 x = m1
f (1) = f1(3 1−) 3=(13) − +3 5 (=1)3+ 5 = 3 3
الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ ) ( −1,7
x −1 >3
f ( −1) =f (−1 −1) =−( −1 3 ( −1 )3 −) +3 (5−1) + 5 = −1 + =3 +−15+=37+ 5 = 7
−1 3 > x3 >−13x
x3 > 3−1 x
+++++++++ −1-------------- 1+++++++++ اشارة ) f ( x ﺗ ﻨاﻗﺺ ﺰايد ﺗﺰايد ﺗ 1){{{xxx: :x:xx∈r, ∈r, )1)1 ∈r, }}R xxx>>>11}1 2){{{xxx: :x:xx∈r, ∈r, −1 )2 )2 ∈r, −1 }}} R xxx<<<−1
الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي
الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ )( −1,1 ∴ الﻨﻘﻄﺔ ) ( −1,7نهايﺔ عظمﻰ محليﺔ
الﻨﻘﻄﺔ )(1,3
نهايﺔ صغرى محليﺔ
89
35 مثال
( ﻓما ﻗيمﺔ ﻛﻞ1,−2 ﲤﺘلﻚf ( x ) وﻛانﺖf ( x ) = ax 3 + bx اذا ﻛانﺖ ) نهايﺔ محليﺔ عﻨد الﻨﻘﻄﺔ 3 3 f ( x ) ax + bx ⇒ −2 = a ( −1) + b(1) وما نوع هﺬﻩ الﻨهايﺔ ؟a,b ∈R من ⇒ −2 = a + b − c 3a +f (bx=) =0.......1 ax 3 + bx ma f+(bx = 3ax 2 + b ) =m2.......2 2a f=(2x )⇒ = 0a = 1
احلﻞ 2 نعوﺿها f ( x ) =ﻓي3ax + b x =1
3a (1) + b = 0 ⇒ 3a + b = 0 ............ ① 3(1) + b = 0 ⇒ b = −3 2 f ( x ) =الدالﺔ 3axمعادلﺔ + b( ﲢﻘﻖ1,−2) الﻨﻘﻄﺔ 2
3 f ( xf) (ax bx = a−2 b()13 )++bx ( −1=f )(ax+()−1 x+)2x ax33⇒ bx ⇒ b(1⇒ ax ) −2 = a ( −1)3 + b(1) xf )( = −+ −2 3x 3 2 + ②=)3a++b ax ⇒c −2 ⇒ = a−2 )+6x ( −1 ⇒ −2 = b=3− a−c+bx − fb(1− x)cax 3 + bx ⇒ −2 = a ( −1) + b(1) f (⇒ xf )(ax=−2 3b............ 3
3
−2 + b − c 3a + b = 0.......1 3a + b⇒ = 0.......1 3a + b==a0.......1 ⇒ −2 = a + b − c 3 -2 bb== 0.......1 ma + b3a m=a+m +2.......2 m 2.......2 f (m + b3 += bx m2.......2 3a bﺑالﻄرح == 0.......1 xa) ax ⇒+−2 a ( −1) + b(1) a +=ab2==⇒ 2a = 2m ⇒ 1ma2.......2 2a = 1 ⇒2a −2==2a⇒ + bam −=ac1+ b = m2.......2 نعوض ﺑاحدى 3① اﳌعادلﺘني ولﺘﻜن 2a = 2 ⇒fa( x=)1ax 3 3a =3 +2)⇒ ⇒ a(1==−2 + bx f =( x−2 aax +( −1 bx + −2 b ) 1a =( −1a ()3−1+)b3 (+1)b(1) + b⇒ 0.......1 f) ax bx ⇒ (=x )32a 3(1) + 3b(1=)0+ ⇒ b0=−2 −3b b =⇒ ⇒ 3b b⇒ ==−2 0a⇒ b+ ) +c=−2 = =am+a−3 −=b c−3 +(1−b⇒ m2.......2 =+ ab −c 2 الدالﺔ اﳌعادلﺔ f x = 3ax + b ﺗﺼبﺢ ( ) 3(1) + b =3a 0+ ⇒bb==2a −3 3 1 + b = 0 ⇒ b = −3 ( =) 0.......1 0.......1 3a +3aab 3+= b10.......1 3 3 ⇒ 3= 2 3 3 f ( x⇒ +=)bx ⇒ a1() −1) + b(1) f ( x ) axf ( x3+)bx ⇒+ −2 =) aax b()1−2 ( −1 )3+−=b3x bx −2 a+( −1 ( f ( x ) =f 2x 2xm3a−+3x f x = 2x ( x ) =−ax3x ( ) b = m2.......2 ma +mab += bm2.......2 = m2.......2 −2c = a + b − c 2 ⇒ −2 ⇒ = a2−2 + b=−a32c+⇒ b − 3 -=3 +13 bx f ( x ) =ff (6x 32a−−=3x 6x 32 ⇒3(a1f)=(+x12a ff− =−3 2x − 3x ===2a 6x 3x=)=ax (xx)) ==− 2x ⇒ −2 = a ( −1) + b(1) ) b 02 ⇒ =⇒ 2(bax⇒ a1+ 3a + b = 0.......1 3a + b3a = 0.......1 + b = 0.......1 2 f ( x ) = 6x 2 − 3 ⇒ a+ f ( x−2 ==6x −b 3− c ) m a + b = m 2.......2 ma + bm =a m +2.......2 b = m2.......2 3(1) + b =f 0( x⇒ 3b(2x 1=)3+3(−3 b 3a = b0+=⇒ = b−3= −3 b0=b⇒ 0.......1 = 3x ) x>1 2a = 2 ⇒ a = 1 1−) + x < 1 x < 1 2a = 2++++ ⇒ a = 1 2a = 2 ⇒ ----------a =1 ++++++++ f x اشارة f ( x ) = 6x 2 − m 3a + b = m2.......2 ( ) 3 3 3 ⇒ a =1 2a =−3 23x 3 f ( x ) =ﺺ2x − 3x f ( xf)f(=(xx2x = 2x − ) ﺗ ﺰ ﺗ ax + bx3x ⇒ −2 = a ( −1) + b(1) ﻗ ا ) ﺰ 1)b+=ﺎbﺗﻨ−3 = 0 ⇒ b = −3 (−3 3(1) + 3b(= 1ﻳ)ﺪ0+ ⇒ b =b0=3⇒ اﻳﺪ f ( x ) = 6x 2 − 3f ( xf)⇒ 6x −a32+−b3− c (=x−2 ) =2=6x 3(1) + b = 0 ⇒ b = −3 x ) = 2x 3 − 3x3a + b = 0.......1 f ( x ) =f 2x 2x 3 f−(3x ( x )3 =− 3x :xx∈r, ∈r, {{xx:2.......2 R xx>>11}} الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي 2 f ( x ) =f 6x ( x 2) =− 36x 2 f−( 3x ) = 6x − 3ma +f b( x=) m 3 =R 1x13x }< 1} الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي ∈r, x=-x∈r, <x1<1− <} x∈r, :a2x 2a{{x=x:2x: {x⇒ 2 صغرى f ( محليﺔ x ) = 6x − نهايﺔ 3 (1 >, −2) ∴ الﻨﻘﻄﺔ 3(1) + b = 0 ⇒ b = −3 f ( x ) = 2x 3 − 3x f ( x ) = 6x 2 − 3
90
“(3-4) øjQÉ -1جد نﻘﻄﺔ الﻨهايات العظمﻰأو الﺼغرى اﶈليﺔ لﻜﻞ من الدوال اﻻﺗيﺔ : a) f ( x ) = x 4 − 1 b) f ( x ) = x 3 3
)c) f ( x ) = ( x − 1
d) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x e) f ( x ) = x 4 − 2x 2 − 3
f ) f ( x ) = 5 + 4x 3 − x 4
g) f ( x ) = 3x 4 + 4x 3
2
-2اذا علمﺖ ان الﻨﻘﻄﺔ ) ( 2,1هي نﻘﻄﺔ الﻨهايﺔ الﺼغرى اﶈليﺔ للدالﺔ ). f ( x ) = a + ( x − b ﻓﺠد ﻗيمﺔ ﻛﻞ من . a,b ∈R -3اذا ﻛانﺖ الﻨﻘﻄﺔ ) (1, 4نﻘﻄﺔ حرجﺔ للدالﺔ f ( x ) = 3 + ax + bx 2ﻓما ﻗيمﺔ a,b ∈Rوما نوع الﻨﻘﻄﺔ احلرجﺔ .
91
]ÜÓ≤f’G •É≤fh ÜóëàdGh ô©≤àdG ]3-8 نﻘﻄﺔ اﻻنﻘﻼب :ـ هي نﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘمي ﳌﻨحﻨي الدالﺔ ويﺘغير عﻨدها اﳌﻨحﻨي من حالﺔ ﲢدب الﻰ حالﺔ ﺗﻘعر أو من حالﺔ ﺗﻘعر الﻰ حالﺔ ﲢدب. ﳌعرﻓﺔ مﻨاطﻖ الﺘحدب والﺘﻘعر
ﺗعريﻒ )(3-4
اذا ﻛانﺖ ) y = f ( xدالﺔ ﻗاﺑلﺔ لﻼشﺘﻘاق حﺘﻰ اﳌﺸﺘﻘﺔ الثانيﺔ ﻓان: (1يﻜون مﻨحﻨي الدالﺔ ) f ( xمحدﺑ ًا ﻓي ﻓﺘرة مفﺘوحﺔ اذا ﻛانﺖ f ( x ) >< 0 (2يﻜون مﻨحﻨي الدالﺔ ) f ( xمﻘعر ًا ﻓي ﻓﺘرة مفﺘوحﺔ اذا ﻛانﺖ ff ( xx) >> 00
(3ﻛﻞ نﻘﻄﺔ انﻘﻼب ﺗﻜون اﳌﺸﺘﻘﺔ الثانيﺔ ﻻ ﺗساوي صفر أو ﻏير معرﻓﺔ. اﻻ انﻨا سوف ندرس نﻘﻄﺔ اﻻنﻘﻼب الﺘي ﺗﻜون عﻨدها اﳌﺸﺘﻘﺔ الثانيﺔ صفر. وﻻيﺠاد مﻨاطﻖ الﺘﻘعر أو الﺘحدب ونﻘﻄﺔ اﻻنﻘﻼب نﺘبﻊ اﳋﻄوات (1ﳒد ) f ( x
(2ﳒعﻞ f ( x ) = 0وﳒد ﻗيﻢ xالﺘي ﺗﻨﺘمي ﳌﺠال الدالﺔ . (3نحدد اشارة ) f ( xﺑاسﺘﺨدام ﺧﻂ اﻻعداد احلﻘيﻘيﺔ (4ﺗﻜون الﻨﻘﻂ الﺘي ﺗﻨﺘمي ﳌﻨحﻨي الدالﺔ والفاصلﺔ ﺑني مﻨاطﻖ الﺘﻘعر والﺘحدب هي نﻘاط اﻻنﻘﻼب
مثال 36
احلﻞ
جد نﻘاط اﻻنﻘﻼب للدالﺔ . f ( x ) = x 2 − 4x + 2
f ( x ) = x − 4x + f2( x ) = 2x − 4 f ( x ) = 2x 4 +2 x 2 − 4x f ( x) = 2 ≠ 0 f ( x) = 22x≠−04 f ( x) = 2
92
2
ﻻ ﺗوجد نﻘاط انﻘﻼب ﻻن اﳌﻨحﻨي مﻘعر ﻓي R
f ( x) = 2 ≠ 0 f ( x) = 2 f ( x) = 2
مثال 37
لﺘﻜن f ( x ) = x 3 − 3x + 2جد نﻘاط اﻻنﻘﻼب
احلﻞ
f ( x ) = x 3 − 3x + 2 f ( x ) = 3x 2 − 3 f ( x ) = 6x
ﳒعﻞ
f ( x) = 0 ∴ 6x = 0 ⇒ x = 0
f (0 ) = 0 3 − 3 (0 ) + 2 = 2
)(0,2 اشارة ) f ( x
}{x : x ∈r, x < 0 }x > 0 {x : x ∈r, x < 0} {x0 : x ∈r, +++++++ --------}{x : x ∈r, x > 0 ﺗﻘﻌﺮ
مﻨﻄﻘﺔ الﺘحدب مﻨﻄﻘﺔ الﺘﻘعر
ﲢﺪب
{{xx::xx∈r, }}R xx<<00 ∈r, {{xx::xx∈r, }}R xx>>00 ∈r,
∴ ) ( 0,2نﻘﻄﺔ انﻘﻼب
93
(3-5) øjQÉ“ : لﻜﻞ من الدوال اﻻﺗيﺔ عني ان وجدت نﻘاط اﻻنﻘﻼب ومﻨاطﻖ الﺘﻘعر والﺘحدب
1) f ( x ) = 2x 2 − 4x + 5 2 3 +5 1) 2)ff ((xx)) == 2x 3x −−x4x 2 3 3 −−x4x 1) f x = 2x ( ) 2) 3x 3) f ( x ) = x − 3x 2 + 5 2 35 − 4x 1) ff ((xx)) == 2x 2) 3x x3 2 + 5 3) x 4) f ( x ) = x 2− 3x 3 2 1) ff ((xx)) == 2x 4x +5 2) 3x 3 3) x 35 −−−x3x 4) 5) f ( x ) = ( 3x2− 23) 2 + 3 1) 2) x4x3 + 5 3) == 2x x3x5 −−3x 4)ffff (((xxxx))) = 5) = (x1x2−4 2)3 3+ 32 1) 6)ff((xx))==2x 2) 3x53 x−−3x x−4x32 +x 5 3) 4) 5) ff ((xx)) == x(14x −4 2)3 32+ 32 35 x x 6) ff ((xx)) == 3x − 322 x 2) 3) 4) 7) ff ( xx) == (xx1 3x 5) ) 32++323x + 1 4x3 −−+4 23x 35 x − 2 x 6) f x = ( ) 3 3) −+ 23x 4) ff (( xx)) == (xx14x − 7) 3x322 ++233x + 1 5) 4 )3 6) f ( x ) = 53x − 32 x 4) ff (( xx )) = 7) 5) = (x41x −+4 23x ) 23++33x + 1 6) f ( x ) = 3 x − 32 x 2 7) +4 23x) 3 4x − 2++ 323x + 1 5) ff ( xx) == (x1 6) f ( x ) = 3 x − 2 x 7) f ( x ) = x4 1 + 3x2 3 + 3x + 1 6) f ( x ) = 3 x 4 − 2 x 2 7) f ( x ) = x4 + 3x2 + 3x + 1 7) f ( x ) = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
94
]∫GhódG º°SQ ]3-9 لﻜي نرسﻢ اي دالﺔ نﺘبﻊ اﳋﻄوات الﺘاليﺔ : (1ﳒد نﻘاط الﺘﻘاطﻊ مﻊ اﶈورين ان امﻜن . (2نعني مﻨاطﻖ الﺘﺰايد والﺘﻨاﻗﺺ ومﻨها نحدد نوع الﻨﻘﻂ احلرجﺔ. (3نعني مﻨاطﻖ الﺘﻘعر والﺘحدب ومﻨها نﻘﻂ اﻻنﻘﻼب . (4ﳒد نﻘﻂ اﺿاﻓيﺔ اذا احﺘﺠﻨا اليها.
مثال 38
ارسﻢ مﻨحﻨي الدالﺔ f ( x ) = x 2 + 4x + 3
احلﻞ
f ( x ) = x + 4x + 3 2
(1الﺘﻘاطﻊ مﻊ اﶈورين نعﻄي ) x = 0ﺗﻘاطﻊ مﻊ محور الﺼادات(.
f (0 ) = 0 2 + 4 (0 ) + 3 = 3
نﻘﻄﺔ الﺘﻘاطﻊ ) ( 0,3مﻊ محور الﺼادات نعﻄي ) f ( x ) = 0ﺗﻘاطﻊ مﻊ محور السيﻨات(.
∴ x 2 + 4x + 3 = 0
( x + 3) ( x + 1) = 0 x = −3, x = −1
نﻘاط الﺘﻘاطﻊ ) ( −3,0 ) ( −1,0مﻊ محور السيﻨات . (2الﻨهايات العظمﻰ والﺼغرى f ( x ) = 2x + 4 −4 = −2 2 2 f ( −2) = ( −2) + 4 ( −2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
= 2x + 4 = 0 ⇒ x
)( −2,−1
95
}{x : x ∈r, x > −2 }x > −2 {x : x ∈r, x < −2} {x :−2x ∈r, ++++++++ ----------}{x : x ∈r, x < −2
اشارة ) f ( x
ﺗﻨﺎﻗﺺ
ﺗﺰاﻳﺪ
∈r, }}−2 {{xx: :xx∈r, R xx>>−2 ∈r, }}−2 {{xx: :xx∈r, R xx<<−2
مﻨﻄﻘﺔ الﺘﺰايد مﻨﻄﻘﺔ الﺘﻨاﻗﺺ ∴ الﻨﻘﻄﻪ ) ( −2,−1نهايﺔ صغرى محليﺔ 2ﳒد= ) f ( x الدالﺔ مﻘعرة ﻓي مﺠالها و ﻻ ﺗوجد نﻘاط انﻘﻼب
f ( x) = 2
y y
x
0 -1 0 3
-3 -2 -1 0
)(-1,0
x
)( −2, −1
مثال39
ارسﻢ مﻨحﻨي الدالﺔ f ( x ) = x 3 − 3x
احلﻞ (1ﳒد نﻘﻂ ﺗﻘاطﻊ اﶈورين نعﻄي x=0 ∴ نﻘﻄﺔ الﺘﻘاطﻊ ) (0,0 نعﻄي f ( x ) = 0
96
) ( −3, 0
)
f ( x ) = x 3 − 3x ) f (0 ) = 0 3 − 3 (0
= -+∴ x xx33 −−3x ⇒3x=x=300− ⇒ ⇒3xxx=xxx3022− −−3x ∴33x ===x0020 − ⇒ ∴ ∴3xx===x02 3xxx===0mاو− m 33
)
()
∴ نﻘاط الﺘﻘاطﻊ 3 ,0 − 3 ,0
( ) (0,0
()
())
((
f ( x ) = 3x 2 − 3
(2ﳒد الﻨهايات العظمﻰ والﺼغرى
f (fx()x=) =3x3x− −3f3( xf) (=x 3x ) = 0− 3 2
2 2
f ( x3x ) =2 −0 3 = 0 ⇒ x = m1 ﳒعﻞ
f (fx()x=) =0 0
22 2 3 3x )1 f (1) = −2∴ (1,−2 3x3x ⇒⇒− −3 3= =0 0 x x=f−=m ⇒1m)1==01 = − x3 (1m ⇒) +(3 3 3 ⇒1) )f ∴3=−2 ∴=) −2 ∴(1)−2 ) −⇒(31,−2 ⇒ )(1 )) ( −1,2 ⇒(f (f1()1=) =131−3 −3 (31f()1 (f1,−2 −1 حرجﺔ( f −1(1,−2 ∴2 (=f11()f1=()1−(=)−1 نﻘﻄﺔ= )
( −1,2حرجﺔ ) نﻘﻄﺔ ⇒ )= −( −1 3)(=)−1 ⇒( −1,2 )( −1 ()−1 ∴)2 ∴( −1) ))= 2 f (f1()1=) =( −1 ) )−3 f−3((31−1 ⇒f) (f−1 ∴=2 ( −1 (f−1,2 }1) { x : x ∈r, x > 0} 1) { x : x ∈r, x > 0 x∈r, >)(0x−1,1 )2) { x : x ∈r, x <(1 0}{ x2)):−1 })> 0 }< 0)}1) {x1 : x ∈r,(x−1,1 :(x−1,1 −1,1 {xx∈r, 3
اشارة ) f ( x
++++++++++
++++++++++ ------------
}2) { x : x ∈r, x < 0
ﺗﺰايد
3
}2) { x : x ∈r, x < 0
ﺗﻨ
اﻗﺺ
ﺗ
ﺰايد
1)1){{xx: :xx∈r, })}>>00 R x(x−1,1 ∈r, 2)2){{xx: :xx∈r, R xx<<(0−1,1 ∈r, ) }}0
∴ الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي
الدالﺔ مﺘﻨاﻗﺼﺔ ﻓي الفﺘرة اﳌفﺘوحﺔ )( −1,1 ∴ الﻨﻘﻄﺔ ) (1,−2نهايﺔ صغرى محليﺔ الﻨﻘﻄﺔ ) ( −1,2نهايﺔ عظمﻰ محليﺔ (3ﳒد نﻘاط اﻻنﻘﻼب
f ( x ) = 6x f ( xf)(=x )0= 6x
6x =f 0 = 0x = 0 ⇒) ( x
)= 0 f ( 06x ∴ (x0,0 ⇒ ) == 0 ) f ( 0 ) = 0 ∴ ( 0,0
اشارة ) f ( x
}{x : x ∈r, x > 0 }∈r, x > 0 {0x : x +++++++ >x {xx :: xx ∈r, ∈r,r }< 0 --------}{x : x ∈r,r < 0 }{x : x ∈r,r < 0 ﺗﻘﻌﺮ
مﻨاطﻖ الﺘﻘعر مﻨاطﻖ الﺘحدب
ﲢﺪب
{{x{{xx:x:x::xx∈r, >R xxx ∈r, x∈r, ∈r, }}}x>>>00}00 {{x{{xx:x:x::xx∈r,r ∈r,r ∈r, R x∈r,r }}}∈r,rx<<<><00}00 }{x : x ∈r,r < 0
97
Y )( −1,2
X
) (0,0 )(1,−2
مثال40
ارسﻢ مﻨحﻨي الدالﺔ f ( x ) = ( x + 1) − 1 3
احلﻞ 3
f ( x ) = ( x + 1) − 1
(1نﻘاط الﺘﻘاطﻊ نعﻄي x = 0 نﻘﻄﺔ الﺘﻘاطﻊ ) (0,0 نعﻄي f ( x ) = 0
3
f ( 0 ) = ( 0 + 1) − 1 = 0
( x + 1)3 − 1 = 0 ⇒ ( x + 1)3 = 1 ⇒ x = 0
(2ﳒد نﻘاط الﻨهايات
2
)f ( x ) = 3 ( x + 1) (1 2
3 ( x + 1) = 0 ⇒ x = −1 3
f ( −1) = ( −1 + 1) − 1 = −1
∴ ) ( −1,−1نﻘﻄﺔ حرجﺔ الدالﺔ مﺘﺰايدة ﻓي مﺠالها
98
اشارة ) f ( x
= }{x : x ∈r, x > −1 = }x ∈r, x > −1 {}x =: −1 x < −1 {x : x ∈r, +++++++ +++++++ x : x ∈r, = }x < −1 { ﺗ
ﺰايد
ﺗ
ﺰايد
(3ﳒد نﻘاط اﻻنﻘﻼب
)f ( x ) = 6 ( x + 1 f ( x) = 0 6 ( x + 1) = 0 ⇒ x = −1
∴الﻨﻘﻄﺔ )( −1,−1
اشارة ) f ( x
= }{x : x ∈r, x > −1 = }: x ∈r, x > −1 x < −1} = { x−1 {x : x ∈r, +++++++ --------= }{x : x ∈r, x < −1 ﺗﻘﻌﺮ
ﲢﺪب
∈r, −1 R xx>>−1 {{xx: :xx∈r, ==}} ∈r, −1 R xx<<−1 {{xx: :xx∈r, ==}}
مﻨﻄﻘﺔ الﺘﻘعر مﻨﻄﻘﺔ الﺘحدب نﻘﻄﺔ انﻘﻼب )( −1,−1
y 0 -1 -2 7
x 0 -1 -2 1
Y
X
) ( 0, 0 )( −1, −1
99
(3-6) øjQÉ“ : ﺑاﻻسﺘعانﺔ ﺑالﺘفاﺿﻞ ارسﻢ مﻨحﻨي الدوال الﺘاليﺔ 1) f ( x ) = 4 − 6x − x 2 2)ff((xx))== 43x− −6xx−3 x 2 1) 3
3)fff(((xxx)))===43x ( −x −6x1x)−3 x 2 2) 1) 3 233 4) 2) 3) 1x6x )−+−x12x 2 1) = 4(xx4−−2x 1)ffff((f(xxx(x))x)= −6x )===3x 3 23 4)2)fff (f(xxx()x) == = x 2x 3) x − 1 ( 2) 3x − x ) = 3x −)3x+3 1 3 2 3 3 4) 3)3)ff ((f xx())x== x−−1)1+) 1 ) =(xx( 2x
3 2 2 4) 1)4)f (f x( )x = 6x 2x +−+1x12 ) =x43x−2x
2) f ( x ) = 3x − x 3 3) f ( x ) = ( x − 1)
3
4) f ( x ) = x 3 2x 2 + 1
100
]iô¨°üdGh ≈ª¶©dG äÉjÉ¡ædG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J ]3-10 ان للرياﺿيات دورا مهما ﻓي احلياة العمليﻪ ﻓﻜثيرا ما ﺗﺼادﻓﻨا مﺸﻜﻼت نحﺘاج ﻓيها اﻛبر ﻗيمﺔ اواصغر ﻗيمﺔ لدالﺔ ما ،مثﻞ معرﻓﺔ اﻛبر مساحﻪ او اﻗﻞ زمن او اﻗﻞ ﺗﻜاليﻒ ﲢﺖ شروط معيﻨﺔ حلﻞ هﺬﻩ اﳌساﺋﻞ.
πFÉ°ùŸG √òg πM ∫ƒM äɶMÓe -1ﻓي اﻻسﺌلﺔ الهﻨدسيﺔ ،نرسﻢ شﻜﻼ ﺗوﺿيحيا ﺛﻢ نعني الرموز اجلبريﺔ لﺘلﻚ اﳌﺘغيرات . -2نﻜﺘب الﻘانون اﳌﺘعلﻖ ﺑالسﺆال واذا ﻛانﺖ اﳌﺘغيرات اﻛثر من واحد عﻨدﺋﺬ نلﺠاء الﻰ ايﺠاد عﻼﻗﺔ ﺑني هﺬﻩ اﳌﺘغيرات . -3ﳒد الﻨﻘاط احلرجﺔ ﺑايﺠاد ) f ( xﺛﻢ ﳒعﻞ f ( x ) = 0ونفحﺺ اﳌﺸﺘﻘﺔ ﻛﻞ ما امﻜن ذلﻚ.
مثال 41
جد عددين مﺠموعهما يساوي 20اذا ﻛان :
(aحاصﻞ ﺿرﺑهما اﻛبر ماﳝﻜن. (bمﺠموع مرﺑعيهما اصغر ماﳝﻜن .
احلﻞ
x + y = 20 ⇒ y = 20 − x
∴ m = x ( 20 − x ) ⇒ m = 20x − x 2 m = 20 − 2x m= 0
(aنفرض العدد اﻻول = x العدد الثاني = y 20 ⇒20 − 2x ⇒0 x + y = 20 y ==20 − xx = 2 = 10 xy = m xy = m ﺿرب= xy حاصﻞ m ∴ m = x (y20 −20x − = 20x − x 2 ① =.......... 10 m = 10 ⇒) نعوض① ﻓي ②
mx=+ 20 ② 2x⇒ y = 20 − x .......... y =−20 m∴=m0= x ( 20 − x ) ⇒ m = 20x − x 2 20 20=−02x 20m−=2x =⇒x = 10 ﳒعﻞ 2 m= 0 y = 20 − 10 = 10 20 = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10 2 y = 20 − 10 = 10
101
وللﺘﺄﻛد من صحﺔ احلﻞ ندرس )وهو لﻼطﻼع جلميﻊ اﻻمثلﺔ(. اشارة m
-----------ﻨاﻗﺺ ﺗ
10
+++++++++
ﺗ
ﺰايد
نهايﺔ عظمﻰ
h = x 2 + y2 2
) h = x 2 + ( 20 − x
h = x 2 + 400 − 40x + x 2 ⇒ h = 2x 2 − 40x + 400 h = 4x − 40 ⇒ 4x − 40 = 0 40 العدد اﻻول =⇒x = 10 4 العدد الثاني y = 20 − 10 = 10
h = x 2 + y2 2
) h = x 2 + ( 20 − x
اشارة = h x 2 + 400 − 40x + x 2
⇒ h = 2x 2 − 40x + 400
10
+++++++++ ﺗ ﺰايد
-----------ﻨاﻗﺺ ﺗ
نهايﺔ صغرى
h = 4x − 40 ⇒ 4x − 40 40 ⇒ اﺑعاد اﻛبر مسﺘﻄيﻞ محيﻄﺔ 40مﺘر . x 42جد مثال = = 10 4 x + y = 20 ⇒ y y= =2020 − −x 10 = 10 احلﻞ ⇒ ) ∴ m = x ( 20 − x m = 20x − x 2
m = 20 − 2x نفرض ان طول اﳌسﺘﻄيﻞ = m = x0 20 اﳌسﺘﻄيﻞ =y2x عرض 20 − = 0 ⇒ x = = 10 x + y = 20 ⇒ y = 20 − x 2 10m = 10 ① ∴ m = x (y20=.......... ⇒−20x )− اﳌساحﺔ = 20x − x2
m = 20 محيﻂ اﳌسﺘﻄيﻞ = )الﻄول − 2x +العرض( 2 m= 0 = )2(x + y 20 102 = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10 2 y = 20 − 10 = 10
)b
) ∴ m = x ( 20 − x m = 20x − x 2 m = 20 − 2x ⇒ 20 − 2x = 0 yxy)+ 40 = 240 40 = ⇒+2y2(x)(xx 40 ⇒= y2=xx( +x20 =++yy y=)20 ⇒ 20 x + y = 20 =++10 ⇒=( x ⇒) xx y = 20 − x ⇒= ⇒ y ⇒ 20yy−==x20 ⇒20−−
نعوض① ﻓي ②
y===−xx20 (x(20 ∴= ∴ m ∴xm 20 −mxx)=) 10 ) x ( 20 − x (m20 )−∴−10
2 m −−xm m = 20x ==m −20x x20x x22 = 20x − x 2 m 20 −−2x 20 m = 20 m−==2x ⇒20 20 2x ⇒m − ⇒ =2x 20=−−02x =2x ⇒ =0020 − 2x = 0 x = 10مﺘر ⇒= ⇒ x ⇒ 10xx==10 ⇒ 10
20 10 y = 20yy−==10 20=−−10 10y===10 10 مﺘر20 − 10 = 10
------------
اشارة m
ﺎﻗﺺ
ﺗﻨ
10
نهايﺔ عظمﻰ
+++++++++ ﺗ
ﺰاﻳﺪ
مثال 43
من مسﺘﻄيﻞ محيﻄﺔ (120 ) cmﻗﻄعﺖ مﻨﻄﻘﺔ علﻰ شﻜﻞ نﺼﻒ داﺋرة يﻨﻄبﻖ ﻗﻄرها علﻰ احد الﻀلعني الﺼغيرين للمسﺘﻄيﻞ مااﺑعاد ذلﻚ اﳌسﺘﻄيﻞ لﻜي ﺗﻜون اﳌساحﺔ اﳌﺘبﻘيﺔ ﺑعد الﻘﻄﻊ اﻛبر ماﳝﻜن؟
احلﻞ
نفرض طول الﻀلﻊ الﺼغير للمسﺘﻄيﻞ = 2x
طول الﻀلﻊ اﻻﺧر = y
y x 2x x y
103
2xy = مساحﺔ اﳌسﺘﻄيﻞ
(2x ) اﳌساحﺔ اﳌﻘﻄوعﺔ = نﺼﻒ داﺋرة ﻗﻄرها
1 2 22 x π = ∴ اﳌساحﺔ اﳌﻘﻄوعﺔ x 2 7 1 2 11 2 x 22 ( 22x)7 = x 22 m = 120 − 8x − 2 7 − x=0 7 7 1 2 1 22 ( 2x 11 22)+7x 2y=) 11 x 2 x ( 22)7x =(22 22 22x = 0 ∴120 2 − 8x 77x = 0 7 2 −2 ( 2x 7 + y) = 120 840 2140 ( 2x +cm2y1)(1−m 2222 2x2 2++yy) = 6011 11 2 ⇒ = 120 − 8x − x 60 − 2x ⇒x= = − 56x 840 22x = 0 22 7 = ( ) m x=2x 120 − 8x − x ( 22)7 = xxyx2 =.......... ① 7 78 2 (13 2 7 7 2 7 2x + 2y)( 2x = 120 + y)840 = 120 140 11 m =+=yy2x 60 −−222x −cm x 2 ( ) 22 2 2x + 78x = y840 ⇒ x = ( ) 2 2x y ( ) 2x + =∴120 60 ⇒ = 60 2x 2x∴120 + y −= 8x −60 8x − yx=13 = −⇒ =x60 0 −072x 78 7 7 120 ∴ محيﻂ اﳌسﺘﻄيﻞ 1202 2 11112 2 (2x2x++yy) )==11 2x = ∴ 22(840 −(120x 56x −2x m = 2x 840 60=m −2x= 2x −−−22x x4x (m )60 60 −22x )=−==0−600x− x2x 56x 2x + y = ⇒ y 2x + y = 60 ⇒ y =7607 − 2x .......... ② 7 280 840 140 140 = 840 = 11⇒ 78x = x =1111 2 840 11 78x = 840 ⇒ x cmcm 22= 2=2 = 13 2 m = 120x − 4x − x m = 120x − 4x − x m = 2x 60 − 2x − x ( ) 78 13 m = 2x 60 − 2x − x ( ) 500 ① نعوض ② ﻓي 7 77877 13 60 − 2x = y2x= = 2x = 13 2 2 11 280mm 500 = 120x − 4x −− 11xx2 2 = 120x − 4x 280 60 − =280 = 77 = 13 1313 13 60 −120 2x 60m −=2x = =y−=y8x=− 22 x 280 500 5007 280 6060 − − = = 22 (7) طرﻓي اﳌعادلﺔ ﺑﻀرب 22 1313 ∴120 − 8x 13 − 13 x = 0 22 m = 120 − 8x − 7 m = 120 xx 22− 8x − 7 22 m = 120 − 8x − x 7 m = 120 − 8x − 7x 840 − 56x − 22x = 0 22 7 22 ∴120 ∴120 22−−8x8x−− x x==00 840 140 ∴120 − 8x 22 − x = 0 77 78x = 840 ⇒ x = = ∴120 cm − 8x − x = 0 7 56x 78 13 840 22x==00 7 −−56x 840 −−22x 840 − 56x − 22x = 0 2x = 840 − 56x − 22x = 0 840 140 78x==840 840 =840 ==140 cm cm 78x ⇒⇒x x=140 840 280 78 13 840 140 78x = 840 ⇒ x = = cm = 78 13 78x = 840 ⇒ x = الﺼغير = الﻀلﻊ cm ∴ 78 13 13 طول 13 2x2x== 78 2x = 60 − 2x = y = 2x = 280 280 == 280 280 500 13 280 = 13 60 − = 13= 13 13 60−−2x2x=الﻜبير =yy==طول الﻀلﻊ 13 60 60 − 2x = y = 60 − 2x = y = 280 280 500 500 60−500 − == 28060 13 60 280 − =500 13 13 60 − 13= 1313 13 13
x−
104
مثال 44
جد العدد الﺬي زيادة ﺛﻼﺛﺔ امثال مرﺑعﺔ علﻰ مﻜعبﺔ اﻗﻞ ما ﳝﻜن .
احلﻞ
نفرض العدد = x ﺛﻼﺛﺔ امثال مرﺑعﺔ = 3x 2 مﻜعب العدد = x 3 m = 3x 2 − x 3 m = 6x − 3x 2 ⇒ 6x − 3x 2 = 0 ÷ 3
يهمﻞ
اشارة m
-----------ﻨاﻗﺺ ﺗ
2
2x − x 2 = 0 ⇒ x ( 2 − x ) = 0 x=0 العدد x = 2
+++++++++
نهايﺔ عظمﻰ
ﺗ
ﺰايد
مثال 45
− x3
− 3x 2 ⇒ 6x − 3x 2 = 0 ÷ 3
يراد صﻨﻊ حوض علﻰ شﻜﻞ مﺘوازي مسﺘﻄيﻼت ﺑدون ﻏﻄاء ﻗاعدﺗﺔ مرﺑعﺔ الﺸﻜﻞ وحﺠمـــــﻪ) m
(
= 0 ⇒ x ( 2 − x ) =864 0
اوجد اﻗﻞ مساحﺔ من اﻻلواح ﳝﻜن ان ﺗسﺘﺨدم ﻓي صﻨعﻪ.
احلﻞ
نفرض طول ﺿلﻊ احلوض = x ارﺗفاع احلوض = y مﺲ الﻜليﺔ = اﳌساحﺔ اجلانبيﺔ +مساحﺔ ﻗاعدة واحد )ﻻنﻪ ﺑدون ﻏﻄاء( اﳌساحﺔ اجلانبيﺔ = محيﻂ الﻘاعدة × اﻻرﺗفاع اﳌساحﺔ الﻜليﺔ = h 2 ① h = 4xy + x .......... h = 4xy + x 2
حﺠﻢ اﳌﺘوازي = مساحﺔ الﻘاعدة × اﻻرﺗفاع
v = x 2y 2 2y h = + x 2 4xy v x ∴ x y = 864
2 ∴ x864 y = 864 y = 2y2 v = x864 y =2 x 2 ∴ x yx= 864
105
v = x 2y ∴ x 2 y = 864 864 .......... ② y= 2 x 864 ∴ h = 4x 2 + x 2 x h = 4 ( 864 ) x −1 + x 2
① نعوض ② ﻓي
h = −4 ( 864 ) x −2 + 2x
ﳒعﻞ
h=0
y
x x −4−4 ( 864 )) ( 864 + 2x = 0= 0 + 2x x2 x2 −4 ( 864 ) + 2x = 0 −1728 −1728 - 3456 −1728 −1728 = 0= ⇒ +x=0 x2 2 + 2x + 2x 0 ⇒ x x2 x2 x2 + x = 0 −1728 3 −1728 + 2x = 0 ⇒ + x = 0 x 2 نﻀرب طرﻓي اﳌعادلﺔ ﻓي 3 −1728 + x+ x= 0= ⇒ x 3 x=321728 2 −1728 0 ⇒ = 1728 x x x−1728 =x 2= ×2+2×x×23 3×==3012m 3 =⇒12m x = 1728 864 864 2 ×2864 2=× =3864 =864 12m yx =y = = = 864 = 6m 2 = 6m 2 144 x x 2 (12 ) 144 (12) 864 864 864 y= 2 = 2 2 2 = = 6m h =h 4xy + x+(12 144 =x4xy x ) 2
h (412(+12 ) xx6)2 x6+ (+12(12 ) )2 h= = 4xy h4 = 2 = 435m h= 4435m (12)2x6 + (12)2 432 = 435m2
106
اشارة اﳌﺸﺘﻘﺔ
+++++++++
12
-----------ﺎﻗﺺ
ﺗ
ﺰاﻳﺪ
ﺗﻨ
نهايﺔ صغرى
مثال 46
اذا ﻛانﺖ دالﺔ الﻜلفﺔ الﻜليﺔ ﻻنﺘاج سلعﺔ معيﻨﺔ هي
1 c ( x ) = x 2 + 6x + 100 9
جد حﺠﻢ اﻻنﺘاج الﺬي عﻨدﻩ يﻜون معدل الﻜلفﺔ اﻗﻞ ماﳝﻜن.
احلﻞ ﳒد معدل الﻜلفﺔ c ( x) 1 100 ac 6 + 100 c ( x=)c ( x1) = 1 x +100 ac = ac = =x x=+96x++ 6 + x AC x x9 9 x x d ( ac ) 1 100 − 100 ⇒ x22 = 900 ⇒ x = 30 d (AC acd) ( ac1) = 1100 2 2 dx = 0x ⇒= x900 ⇒ = −= 9 − x = 30 ⇒= ⇒ 900x x = 30 dx dx 9 x92 = x02 = 0
عﻨدما x = 30ﻓان الﻘيمﺔ الﺼغرى ﳌعدل الﻜلفﺔ ﲢﺼﻞ عﻨدما يﻜون حﺠﻢ اﻻنﺘاج 30وحدة
اشارة اﳌﺸﺘﻘﺔ
+++++++++
30
-----------ﺎﻗﺺ
ﺗ
ﺰاﻳﺪ
ﺗﻨ
نهايﺔ صغرى
107
“(3-7) øjQÉ -1جد عددين مﺠموعهما 20وحاصﻞ ﺿرﺑهما اﻛبر ماﳝﻜن . -2ما العدد الﺬي زيادﺗﻪ علﻰ مرﺑعﻪ اﻛبر ماﳝﻜن؟ -3جد عددين موجبني مﺠموعهما ) (15وحاصﻞ ﺿرب مرﺑﻊ احدهما ﻓي مﻜعب اﻻﺧر اﻛبر ماﳝﻜن. -4جد عددين مﺠموعهما 10وحاصﻞ ﺿرب مرﺑﻊ احدهما ﻓي مرﺑﻊ اﻻﺧر اﻛبر ماﳝﻜن. -5ﻗﻄعﺔ ارض مسﺘﻄيلﺔ الﺸﻜﻞ يحدها نهر من احدى جهاﺗها جد اﻛبر مساحﺔ من اﻻرض ﳝﻜن ﺗسييﺠها ﺑسياج طولﻪ ) (100مﺘر. 23
-6حوض علﻰ شﻜﻞ مﺘوازي مسﺘﻄيﻼت ﺑدون ﻏﻄاء ﻗاعدﺗﻪ مرﺑعﺔ وحﺠمﻪ (108 ) mجد اﺑعادﻩ ﺑحيﺚ ﺗﻜون مساحﺔ اﻻلواح اﳌسﺘﺨدمﺔ ﻓي صﻨعﺔ اﻗﻞ ماﳝﻜن. -7اطلﻘﺖ رصاصﺔ الﻰ اﻻعلﻰ وﻛان ارﺗفاعها ) (mمﺘر ﻓي نهايﺔ tمن الثواني ﺑحيﺚ ان m = 224nt − 16nt 2
احسب اﻗﺼﻰ ارﺗفاع ﺗﺼﻞ اليﺔ الرصاصﺔ . -8ناﻓﺬة علي شﻜﻞ مسﺘﻄيﻞ يعلوﻩ نﺼﻒ داﺋرة ﺑحيﺚ يﻨﻄبﻖ ﻗﻄرها علﻰ احد اﺑعاد اﳌسﺘﻄيﻞ ﻓاذا ﻛان محيﻂ اﳌسﺘﻄيﻞ (8)mجد اﺑعاد اﳌسﺘﻄيﻞ لﻜي ﺗﻜون مساحﺔ الﻨاﻓﺬة اﻛبر ما ﳝﻜن. -9ﻓي ورشﺔ للﻨﺠارة يراد صﻨﻊ صﻨدوق من اﳋﺸب علﻰ شﻜﻞ مﺘوازي السﻄوح ﻗاعدﺗﺔ مرﺑعﺔ الﺸﻜﻞ ولﻪ ﻏﻄاء ﻛامﻞ .جد اﺑعاد الﺼﻨدوق لﻜي ﺗﻜون مساحﺔ اﳋﺸب اﳌسﺘعمﻞ اﻗﻞ ماﳝﻜن علما ان سعﺔ 3 الﺼﻨدوق . ( 27 ) m
-10اذا ﻛانﺖ دالﺔ الﻜلفﺔ ﻻنﺘاج سلعﺔ ما هي c ( x ) = 1 x 2 + x + 40 :جد حﺠﻢ اﻻنﺘاج الﺬي يﻜون 2
عﻨدﻩ معدل الﻜلفﺔ اﻗﻞ ماﳝﻜن .
108
™``HGôdG π°üØdG πeɵàdG Integration
π°VÉØàdG ¢ùµY ]4-1] OóëŸG ÒZ πeɵàdG óYGƒb ]4-2] OóëŸG ÒZ πeɵàdG äÉ≤«Ñ£J ¢†©H ]4-3] πeɵà∏d »°Sóæ¡dG ≥«Ñ£àdG ]4-3-1] πeɵà∏d …OÉ°üàb’G ≥«Ñ£àdG ]4-3-2]
OóëŸG πeɵàdG ]4-4] »æëæŸG â– äÉMÉ°ùŸG ]4-5] äÉæ«°ùdG Qƒfih ádGO »æëæà IOóëŸG áMÉ°ùŸG ]4-5-1] ÚàdGO »æëæe ÚH áMÉ°ùŸG ]4-5-2]
109
]π°VÉØàdG ¢ùµY ]4-1 ﺗوجد ﻓي الرياﺿيات الﻜثير من العمليات العﻜسيﺔ ،الﻄرح عﻜﺲ اجلمﻊ ،الﻘسمﺔ عﻜﺲ الﻀرب، والﺘﺠﺬر عﻜﺲ الرﻓﻊ حيﺚ ان ﻛﻞ مﻨها ﺗﺰيﻞ ﺗﺄﺛير اﻻﺧرى . وﻓي هﺬا البﻨد سﻨدرس عمليﺔ عﻜﺲ اﻻشﺘﻘاق وﺗدعﻰ عمليﺔ الﺘﻜامﻞ ولﺘوﺿيﺢ ذلﻚ : ليﻜن
f1 (x) = x2 ⇒ f1 (x) = 2x f2 (x) = x2 + 2 ⇒ f2 (x) = 2x f3 (x) = x2 - 7 ⇒ f3 (x) = 2x .. .. ..
.. .. ..
fn (x) = x2 + c ⇒ fn (x) = 2x حيﺚ C ∈ Rعدد ﺛاﺑﺖ Y f2
f1
f3
X
الﺸﻜﻞ )(4 - 1 نﻼحﻆ ان مﺸﺘﻘﺔ ﻛﻞ دالﺔ من ﺗلﻚ الدوال ﺗساوي .2xوالﺘي ﲤثﻞ ميﻞ اﳌﻨحﻨي عﻨد ﻛﻞ نﻘﻄﺔ من نﻘﻄﻪ. ان عمليﺔ ارجاع هﺬﻩ اﳌﺸﺘﻘﺔ الﻰ الدالﺔ الﺘي ﰎ اشﺘﻘاﻗها ﺗسمﻰ عمليﺔ الﺘﻜامﻞ .
110
يﻘال للدالﺔ ) F (xانها عﻜﺲ مﺸﺘﻘﺔ للدالﺔ ) f (xﻓي ﻓﺘرة معيﻨﺔ H )F (x) = f(x
اذا ﻛانﺖ : واذا ﻛانﺖ
علﻰ الفﺘرة اﳌعﻄاة حيﺚ cعدد ﺛاﺑﺖ
G(x) = F (x) + c ، c ∈ R
ﻓان
∀x∈H
)G (x) = F (x) = f (x
وﺑﺬلﻚ يﻜون ) G (xهي ايﻀ ًا عﻜﺲ مﺸﺘﻘﺔ )f (x
وﺑﺬلﻚ نسﺘﻨﺘﺞ ان هﻨاك عدد ﻏير مﻨﺘﻪ
من الدوال ﻛﻞ مﻨها عﻜﺲ مﺸﺘﻘﺔ ) . f (xﺑعد هﺬا اﳌوجﺰ نﻘﺼد ﺑعﻜﺲ اﻻشﺘﻘاق عمليﺔ ايﺠاد الﺼيغﺔ العامﺔ للدالﺔ الﺘي اعﻄيﺖ مﺸﺘﻘﺘها .ويرمﺰ لهﺬﻩ العمليﺔ ﺑالرمﺰ ”∫“ ونعبر عن عمليﺔ عﻜﺲ اﻻشﺘﻘاق للدالﺔ
) f (xﺑاسﺘعمال هﺬا الرمﺰ ﺑالﺼورة: ∫ f (x) dx = F(x) + c
وﻓي هﺬﻩ احلالﺔ يﻘال ان الدالﺔ ) f (xﻗاﺑلﺔ للﺘﻜامﻞ ﺑالﻨسبﺔ الﻰ xاي ان ∫ f (x) dxموجودة ﻓاذا ﻓرﺿﻨا ان f (x) = xnﻓان
ﻓيﻜون:
xn+1 ــــــــــــــ = )F(x n+1
حيﺚ
n ≠ -1
) (
xn+1 ــــــــــــــ = f(x) = xn n+1
ﺑﺄﺧﺬ ﺗﻜامﻞ الﻄرﻓني يﻨﺘﺞ:
cﺛاﺑﺚ حﻘيﻘي n ≠ -1 ,
,
xn+1 + c ـــــــــــــــــ = ∫ xn dx n+1
111
]OóëŸG ÒZ πeɵàdG óYGƒb ]4-2 اذا ﻛان ﻛﻞ من ∫ g (x) dx ، ∫ f (x) dxموجود ًا علﻰ ] [a , bوالثاﺑﺖ c ∈ Rﻓﺈن: 1) ∫ c f (x) dx = c ∫ f(x) dx - g ] dx = ∫ f(x) dx + - ∫ g (x) dx 2) ∫ [ f (x) + [ f (x)]n+1 + c ــــــــــــــــــــــــــ = 3) ∫ [ f (x)]n f (x) dx n+1
مثال1
جد ﻛﻼ من الﺘﻜامﻼت اﻻﺗيﺔ ﺿمن مﺠال الدالﺔ وﺑالﻨسبﺔ الﻰ :x
احلﻞ
1) ∫ (3x2 +5 ) dx = 3 ∫(x2) dx + 5 ∫ dx x3 x1 =3. +5. +c 3 1 = x3 + 5 x + c 2) ∫ (x2 + 1 )(2x - 3 ) dx = ∫( 2 x3 - 3x2 +2x - 3 ) dx = 2 ∫ x3 dx - 3 ∫ x2 dx +2 ∫ x dx - 3 ∫ dx
4 3 2 1 x x x x = 2 . - 3 . +2 . - 3 +c 4 3 2 1 = 1 x4 - x3 +x2 - 3 x + c 2 ﳝﻜن ان نﻜامﻞ مباشر ًة ﻛما ﻓي اﻻمثلﺔ الﻼحﻘﺔ:
3) ∫ ( x - 3 - 1 ) dx = ∫( x2 - 3x-23 - 1 ) dx 3 x2 1
1 3
112
3 2
x x ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ - 3 -x+c 3 1 2 3 = 2 x3 - 9 3 x - x + c 3
4 )x(x3 - 8 x 8x dxــــــــــــــــــــــــ ∫ = dxــــــــــــــــــــــــ ∫ )(x -2 x -2
)4
)x(x - 2)(x2+ 2x+4 dxـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ = )(x -2 = ∫ (x3+ 2x2+4x)dx 4 3 2 = x + 2x + 4x + c 4 3 2
= 1 x4+ 2 x3+ 2x2 + c 4 3 ∫ (x3 + 7)5 x2 dx = 1 ∫( x3 + 7)5 (3x2) dx 3 (x3 + 7)6 + cـــــــــــــــــــــ . 6
)5
1 = 3
= 1 (x3 + 7)6 + c 18 )(x -2 dx = ∫ (x2 - 4x + 5)-2 (x -2) dxــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ (x2 - 4x + 5)2
)6
1 ∫ (x2 - 4x + 5)-2 (2x -4) dx ــــــــ = 2 (x2 - 4x + 5)-1 1 + cــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ .ــــــــ = 2 -1 -1 + cـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = )2(x2 - 4x + 5
113
-1 x3 ـــــــــــــــــــــــــــــ ∫ dx = ∫(5 - x4)5 x3 dx 5 5 - x4
)7
-1 = -1 ∫(5 - x4)5 (- 4x3) dx 4 4
(5 - x4)5 + c ـــــــــــــــــــــــ = -1 . 4 4 5 = -5 .5 (5 - x4)4 + c 16 ∫ 3 3x3 - 5 x5 dx = ∫ 3 3x3 - 5 x5 dx
)8
1
= ∫ (3 - 5 x2)3 x dx 1 -1 2 3 = ∫ (3 - 5 x ) (-10x) dx 10 4
(3 - 5 x2)3 = -1 . +c 10 4 3 = -3 . 3 (3 - 5 x2)4 + c 40 -1 5
= ∫ (x - 14x + 49) dx 2
-1 2 5
= ∫ [(x - 7) ] dx -2
= ∫ (x - 7)5 dx 3
114
(x - 7)5 = +c 3 5 = 5 5 (x - 7)3 + c 3
dx ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ 5 x2 - 14x + 49
)9
( 3x2 - 4)2 - 16 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ dx 2 x
)10
[( 3x2 - 4) - 4] [3x2 - 4) + 4] dx ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ = x2 )( 3x2 - 8) (3x2 dxــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ = x2 = ∫ (3x2 - 8) (3) dx = ∫ (9x2 - 24) dx 3 = 9x - 24x + c 3
= 3 x3 - 24x + c
∫ z2 + 3 z + 2 dx z2 + 3 z + 2 ∫ dx
)11
=
)= z2 + 3 z + 2 .( x + c حيﺚ z2 + 3 z + 2
يعﺘبر ﺛاﺑﺖ ﺑالﻨسبﺔ للمﺘغير x
115
(4-1) øjQÉ“ : x جد ﺗﻜامﻼت ﻛﻼ ﳑا يﺄﺗي ﺑالﻨسبﺔ الﻰ 1)
∫ (6x2 - 4x + 3) dx
2)
∫ (3x - 1) ( x + 5) dx
3)
∫ x ( x + 1)2 dx
4)
x 3 + 27 ∫ dx x+3
5)
x 3 - 2x2 + 1 ∫ dx 5x5
6)
∫
7)
∫
8)
∫
x 2+ 2 3
x + 6x + 1 3
3
5
x 2+ 2 3 x
dx
dx
dx x 2 + 16x + 64
116
9)
∫
7
2 x 9 - 3x7 dx
10)
∫ (3 x 2 + 1 ) dx x
11)
∫
ydx 1 3
(19 - 2y ) 2
117
12)
x4 - 16 ∫ dx x+2
13)
∫ (3 x - 3
14)
∫
15)
∫ x2 x3 + 4 dx
16)
∫(z2 z3 + 4 ) dx
5
1 ) dx x
(1- 3x)2 dx
]OóëŸG ÒZ πeɵàdG äÉ≤«Ñ£J ¢†©H ]4-3 ﺗعلمﻨا ان :
∫ f (x)dx = F(x) + c
حيﺚ ) c ، F (x) = f(xﺛاﺑﺖ حﻘيﻘي ولهﺬا الثاﺑﺖ اهميﺔ ﻛبيرة ﻓي ﺗﻄبيﻘات عمليﺔ واليﻚ ﺑعﺾ هﺬﻩ الﺘﻄبيﻘات :
]πeɵà∏d »°Sóæ¡dG ≥«Ñ£àdG ]4-3-1 مثال1 اذا ﻛان ميﻞ اﳌﻨحﻨي عﻨد ﻛﻞ نﻘﻄﺔ ) (x , yمن نﻘاطﻪ هو) (3x2 - 2x + 1جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺔ ). (2 , 3
احلﻞ
لﻘد ذﻛرنا ﻓي الفﺼﻞ الثالﺚ ان مﺸﺘﻘﺔ مﻨحﻨي ﳝثﻞ ميﻞ اﳌﻨحﻨي ﻓي ﺗلﻚ الﻨﻘﻄﺔ. y = ∫ f (x) dx y = ∫ (3x2 - 2x + 1) dx y = x3 - x2 + x +c
اﳌﻨحﻨي ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺔ ) ، (2 , 3ﻓهي ﲢﻘﻖ اﳌعادلﺔ
معادلﺔ اﳌﻨحﻨي
118
3=8-4+2+c c = -3
∴ y = x3 - x2 + x - 3
مثال 2
مﻨحﻨي ميلﻪ عﻨد ايﺔ نﻘﻄﺔ ) (x , yيساوي . x x2 + 9جد معادلﺘﻪ اذا ﻛان ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺔ ). (0 , 7
احلﻞ
y = ∫ x x2 + 9 dx 1 1 2 =y ∫ (x + 9)2 (2x) dx 2
+c +c (0 + 9)3 + c ⇒ c = -2 ∴ معادلﺔ اﳌﻨحﻨي
-2
3 2
)(x + 9 1 . 3 2 2 y = 1 (x2 + 9)3 3 1 = ∵(0 , 7) ∈ y = f(x) ⇒ 7 3 y = 1 (x2 + 9)3 3 2
=y
مثال 3
جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي ميلﻪ عﻨد ايﺔ نﻘﻄﺔ ) (x , yمن نﻘاطﻪ هو 2x - 4وﻛان للمﻨحﻨﻰ نهايﺔ صغرى ﻗيمﺘها ). (-3
احلﻞ ﲟا ان للمﻨحﻨي نهايﺔ صغرى :
f (x) = 0
2x - 4 = 0 ⇒ x = 2 ، y = -3 ∴ ) ( 2 , -3نهايﺔ صغرى للمﻨحﻨي ﻓهي ﺗﻘﻊ علﻰ اﳌﻨحﻨي y = ∫ (2x - 4) dx ⇒ y = x2 - 4x + c ﺑﺘعويﺾ )⇐ ( 2 , -3
∴ معادلﺔ اﳌﻨحﻨي هي :
-3 = 4 - 8 + c ∴c=1 y = x2 - 4x + 1
119
مثال 4
جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي ميلﻪ عﻨد ايﺔ نﻘﻄﺔ ) (x , yمن نﻘﻄﻪ هو x2 - x -2وﻛان للمﻨحﻨي نهايﺔ عظمﻰ ﺗﻨﺘمي ﶈور السيﻨات.
احلﻞ
ﲟا ان للمﻨحﻨي نهايﺔ عظمﻰ ﺗﻨﺘمي ﶈور السيﻨات ⇐ f (x) = 0 ، y = 0 x2 - x - 2 = 0 ⇒ (x - 2) (x + 1) = 0 ⇒ x = 2 , x = -1 +++
∴ ) (-1 , 0نهايﺔ عظمﻰ
2
صغرى
-1
+++
عظمﻰ
اشارة
y = ∫ (x2 - x - 2) dx 1 3 1 2 xx - 2x + c 3 2
=y
-1 1 +2+c 3 2
=0
ﺑالﺘعويﺾ ) (-1 , 0
-7 ـــــــ = c 6 y = -1 x3 - 1 x2 - 2x - -7 3 2 6
معادلﺔ اﳌﻨحﻨي
مثال 5
d2y dy ــــــــــ جد الدالﺔ الﺘي ﲢﻘﻖ = 12x2 - 2 : ــــــــــ = عﻨد الﻨﻘﻄﺔ ). (1 , 2 5، 2 dx dx
احلﻞ
y = 12x2 - 2 ⇒ y = ∫ (12x2 - 2) dx ∵ y = 5 , x= 1
y = 4x3 - 2x + c1
∴ 5 = 4 - 2 + c ⇒ c = 3 ⇒ y = 4 x3 - 2x + 3 1 1 y = ∫ (4x3 - 2x + 3) dx ∵x=1 , y=2
y = x4 - x2 + 3x + c2
∴ 2 = 1 - 1 + 3 + c2 ⇒ c2 = -1
120
∴ معادلﺔ اﳌﻨحﻨي هي :
y = x4 - x2 + 3x - 1
)f ( x
مثال 6
جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي مﺸﺘﻘﺘﻪ الثانيﺔ ) (6xوالﺬي ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺘني ).(-1 , 6) ،(1 , 6
احلﻞ
y = 6x ⇒ y = ∫ 6x dx ⇒ y = 3x2 + c1 y = ∫ (3x2 + c1) dx ⇒ y = x3 + c1x+ c2
نعوض الﻨﻘﻄﺔ )(1 , 6
6 = 1 + c1+ c2 ① 5 = c1+ c2 ........ 6 = - 1 - c1+ c2
نعوض الﻨﻘﻄﺔ )⇐ (-1 , 6
② 7 = - c1+ c2 .......
ﺑاجلمﻊ وﺑالﺘعويﺾ ﻓي ① ⇐
① 5 = c1+ c2 ........ 12 = 2 c2 ⇒ c2 = 6
c1 = -1
∴ معادلﺔ اﳌﻨحﻨي هي :
y = x3 - x + 6
مثال 7
اذا ﻛان ميﻞ مﻨحﻨي عﻨد ) (x , yهو ax - 3x2وﻛان اﳌسﺘﻘيﻢ 9x - y - 4 = 0ﳑاس ًا عﻨد ) . (1 , 5جد معادلﺘﻪ.
احلﻞ y = ax - 3x2 من اﳌسﺘﻘيﻢ ⇐ 9x - y - 4 = 0
-9 = 9 ـــــــــــ = slopeاﳌيﻞ -1 ∴ 9 = a(1) - 3(1)2 ⇒ a = 12
∴ y = 12x - 3x2 ⇒ y = ∫ (12x - 3x2) dx
121
مﺠموعﺔ مﻨحﻨيات
y = 6x2 - x3 + c
نعوض الﻨﻘﻄﺔ )⇐ (1 , 5
5=6-1+c ∴ c=0
معادلﺔ اﳌﻨحﻨي
∴ y = 6x2 - x3
مثال 8
جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي ميلﻪ عﻨد ايﺔ نﻘﻄﺔ هو ) (ax2 - 6x - 9وللمﻨحﻨي نﻘﻄﺔ اﻻنﻘﻼب )(1,-6
احلﻞ y = ax2 - 6x - 9 ⇒ y = 2ax - 6 ﲟا ان الﻨﻘﻄﺔ ) (1 ،-6نﻘﻄﺔ انﻘﻼب ∴ y = 0 ⇒ 0 = 2a (1) - 6 ⇒ a = 3 ∴ y = 3x2 - 6x - 9 ⇒ y = ∫ (3x2 - 6x - 9) dx مﺠموعﺔ مﻨحﻨيات نعوض الﻨﻘﻄﺔ )(1 ،-6 معادلﺔ اﳌﻨحﻨي
122
y = x3 - 3x2 - 9x + c - 6 = 1 - 3 - 9 + c ⇒ c = 5 y = x3 - 3x2 - 9x + 5
]πeɵà∏d …OÉ°üàb’G ≥«Ñ£àdG ]4-3-2 عمليﺔ الﺘﻜامﻞ ﻏير اﶈدد هي عﻜﺲ عمليﺔ اﳌﺸﺘﻘﺔ ،وحيﺚ ان اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻولﻰ ﻻيﺔ دالﺔ اﻗﺘﺼاديﺔ ﺑالﻨسبﺔ ﻷي مﺘغير ،ﺗعﻄيﻨا الﺘغير احلدي ) (The Marginal Changeلﺬا ﻓﺈنﻪ ﺑاجراء العمليﺔ العﻜسيﺔ لدالﺔ الﺘغير احلدي يﻨﺘﺞ لديﻨا الدالﺔ اﻻصليﺔ .ﻓمثﻼ ،ﺗﻜامﻞ الﺘﻜلفﺔ احلديﺔ يعﻄيﻨا الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ وﺗﻜامﻞ اﻻنﺘاج احلدي يعﻄيﻨا اﻻنﺘاج الﻜلي ،وهﻜﺬا ....وﻓيما يلي ﺑعﺾ اﻻمثلﺔ الﺘي ﺗوﺿﺢ ذلﻚ :
مثال 1
اذا ﻛانﺖ دالﺔ اﻻيراد احلدي هــــــــــي M = 8 - 6v- 2v2حــــــيﺚ vحﺠﻢ اﻻنﺘاج . جد دالﺔ اﻻيراد الﻜلي ودالﺔ السعر.
احلﻞ
ﲟـــــــا ان M = 8 - 6v- 2v2دالﺔ اﻻيراد احلدي ﻓﺈن دالﺔ اﻻيراد الﻜلي Mهي: M = ∫ (8 - 6v- 2v2) dv M = 8v - 3v2 - 2 v3 + c 3
وعﻨدما يﻜون حﺠﻢ اﻻنﺘاج M = 0 ، v = 0ﻓﺈن c = 0لﺬا ﻓﺈن )اي مايﻨﺘﺞ يباع( M = 8v - 3v2 - 2 v3 3
دالﺔ اﻻيراد الﻜلي
وحيﺚ ان اﻻيراد = Mالﻜميﺔ اﳌباعﺔ × السعر للوحدة M ∴ ﻓان دالﺔ السعر = ــــــــــــــــــــــــــــــ الﻜميﺔ اﳌباعﺔ 8v - 3v2 - 2 v3 3 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = v = 8 - 3v - 2 v2وذلﻚ ﺑفرض ان ما يﻨﺘﺞ يباع 3
123
مثال 2
اذا ﻛانﺖ دالﺔ الﺘﻜلفﺔ احلديﺔ Tهي :
T = 2 + 60v- 5v2
حيﺚ vحﺠﻢ اﻻنﺘاج
جد دالﺔ الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ .علم ًا ان . T = 65
احلﻞ
ﲟا ان دالﺔ الﺘﻜلفﺔ احلديﺔ
T = 2 + 60v- 5v2ﻓﺈن دالﺔ الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ Tهي :
T = ∫ (2 + 60v- 5v2) dv T = 2v + 30v2- 5 v3+ c 3 ﻓاذا ﻛانﺖ الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ = 65عﻨدما حﺠﻢ اﻻنﺘاج V = 0 ﻓان C = 65 ∴ دالﺔ الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ هي : T = 2v + 30v2- 5 v3 + 65 3
124
“(4-2) øjQÉ -2 -1جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي ميلﻪ عﻨد) (x , yيساوي ـــــــــــــ وﻛان اﳌﻨحﻨي ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺔ ). (1 , 3 x3 -2جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي ميلﻪ عﻨد ) (x , yمن نﻘاطﻪ هي 3x2 - 6x - 9وﻛان للمﻨحﻨي نهايﺔ عظمﻰ ﻗيمﺘها ).(10 -3جد معادلﺔ اﳌﻨحﻨي الﺬي مﺸﺘﻘﺘﻪ الثانيﺔ = 6x - 2وﻛان ميلﻪ عﻨد الﻨﻘﻄﺔ ) (2 , 5يساوي ). (-1 -4مﻨحﻨي ﳝر ﺑالﻨﻘﻄﺘني ) (-1, 9) ، (2 , -3وميلﻪ عﻨد ) (x , yيساوي ax - 5جد معادلﺘﻪ حيﺚ . a ∈ R -5اذا ﻛانﺖ دالﺔ اﻻيراد احلدي هي : M = 12 - 8v + v2 ﻓﺄوجد دالﺔ اﻻيراد الﻜلي ودالﺔ الﻄلب )السعر( ﺑفرض ان ما يﻨﺘﺞ يباع. -6اذا ﻛانﺖ دالﺔ الﺘﻜلفﺔ احلديﺔ هي : T = 1000 - 5v حيﺚ vحﺠﻢ اﻻنﺘاج ،ﻓاوجد دالﺔ الﺘﻜلفﺔ الﻜليﺔ مﻊ العلﻢ ان الﺘﻜلفﺔ الثاﺑﺘﺔ = . 150
125
]OóëŸG πeɵàdG ]4-4
The Definite Integral
يعﺘبر الﺘﻜامﻞ اﶈدد من اهﻢ مواﺿيﻊ الرياﺿيات الﺘﻄبيﻘيﺔ ﳌا لﻪ من ﺗﻄبيﻘات ﻛثيرة ﻓي مﺨﺘلفﺔ العلوم. ﻓي هﺬا البﻨد سﻨعﻄي الﻨظريﺔ اﻻساسيﺔ للﺘﻜامﻞ وﺑعﺾ ﺗﻄبيﻘات اﳌساحات واحلﺠوم.
πeɵà∏d á«°SÉ°S’G ájô¶ædG
The Fundamental Theorem of Calculus
اذا ﻛانﺖ ) f (xدالﺔ مسﺘمرة ﻓي الفﺘرة ] [a , bوﻛانﺖ ) F (xعﻜﺲ مﺸﺘﻘﺔ ) f (xاي ان ) F (x) = f (xﻓﺈن : b b )∫ f(x) dx = [ F(x)] = F(b) - F (a a
a
يﻄلﻖ علﻰ aاحلد اﻻسفﻞ وعلﻰ bاحلد اﻻعلﻰ للﺘﻜامﻞ. مﻼحظﺔ :ﻗواعد الﺘﻜامﻞ اﶈدد هي نفﺲ ﻗواعد الﺘﻜامﻞ ﻏير اﶈدد .
امثلﺔ
جد ﻗيمﺔ الﺘﻜامﻼت اﻵﺗيﺔ: 2 3 2 2x 3x [ = ∫ (3x + 2x - 2) dx + ]- 2x 2 3 1 1 2
2
)1
2
]= [ x3 + x2 - 2x
1
= [ 8 + 4 - 4] - [ 1 + 1 - 2] = 8 -1
3 2x ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∫ dx = ∫ (x2 + 16)2 (2x) dx 0 0 x2 + 16 3
3
0
0
] ] = [ 2 x2 + 16
126
3
1 2
)(x + 16 1 2 2
[=
= [2 9 + 16 ] - [ 2 0 + 16 ] = 2
)2
3)
0
4
4
0
∫ x ( x - 1) ( x - 2) dx = - ∫ ( x3 - 3x2 + 2x ) dx 4 4 x = - [ - x3 + x2 ] 4 0
= - [ 64 - 64 + 16 ] + [ 0 ] = - 16 a
b
b
a
∫ f (x) dx = - ∫ f(x) dx
4)
125
125
1
1
: ﻻحﻆ
-2
3 x-1 ∫ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ dx = ∫ (x3 - 1)2 x3 dx 1 1 3 x2
125
-2 1 = 3 ∫ (x - 1) x3 dx 3 1 1 3
1 2
3 2
( x - 1) 3 2 3
=[3.
= [ 2 ( x - 1) 3
3
125
]
1
125
]
1
= [ 2 (3 125 - 1)3 ] - 2 (3 1 - 1)3 = 16 - 0 = 16 5)
127
4
4
1
-1
∫ ( 1 + x) dx = ∫ ( x2 + x2 ) dx 1 x 1 =[2 x+
2 3 4 x ] 3 1
= [2 4 +
2 3
20 (4)3 ] - [ 2 + 2 ] = 3 3
]
a
6)
∫ ( 2x - 1) dx = 42 اذا علمﺖ انa ∈ R جد ﻗيمﺔ 0
a
∫ ( 2x - 1) dx = 42 0
a
[ x2 - x ] = 42 ⇒ [ a2 - a ] - [ 0 ] = 42 0
a2 - a - 42 = 0 ⇒ ( a - 7 ) ( a + 6 ) = 0 a=7 7)
-5
∫
-6 -5
∫
3
x2 + 12 x + 36 dx
3
(x + 6 ) dx ⇒ ∫ (x + 6
-6
-5
2
-6
(x +6) =[ 5 3 =[
a = -6 يهمﻞ
or
3 5
3
5 3 -5
] =[ -6
3 5
(-5+6)5 ] -[
3
2 )3
dx -5
(x+6)5 ]
-6
3 5
3
( -6 + 6 ) 5 ]
3 =[ ] -[ 0 ] 5 =
3 5
128
(4-3) øjQÉ“ :جد ﺗﻜامﻼت ﻛﻼ ﳑا يﺄﺗي 1)
∫ (2 x + 5) (x+1) dx
2)
1
3)
4)
-1
∫ x ( x + 5) dx 4
∫ x ( x + 1)2 dx
0
5)
∫ x ( x + 2)2 dx
6)
x3 - 27 ∫ dx x-3 -1
7)
x4 - 1 ∫ dx x-1
8)
9)
129
∫ (x2 + 3) (x - 2) dx
0
x dx x2 + 1
1
∫
0
∫
3
x2 + 1 x3 + 3x + 1
10)
11)
3
∫ 3 (3 x - 1)2 dx
0
∫
12)
∫
13)
∫
3
x+1 dx 3 2 x x-1
3
x
dx
x4 a2 x5 + b2
5
8
14)
∫ x2 - 14x + 49
15)
∫
16)
1
17)
dx
0
∫
dx 4x - 12x + 9 2
3x5 - 2x7 dx
5
-1
∫
3
2x5 - 7x3 dx
130
]»æëæŸG â– áMÉ°ùŸG ]4-5 من الﺘﻄبيﻘات اﳌهمﺔ للﺘﻜامﻞ اﶈدد هو ايﺠاد اﳌساحﺔ ﲢﺖ مﻨحﻨي الدالﺔ ) y = f (xحيﺚ ) f (xدالﺔ مسﺘمرة ﻓي الفﺘرة ].[a,b
]äÉæ«°ùdGQƒfih y = f (x) ádGódG »æëæà IOóëŸG áMÉ°ùŸG ]4-5-1 x = b , x = a Úª«≤à°ùŸGh x-axis * عﻨدما ” f (x) > 0اي اﳌﻨحﻨي ﻓوق محور السيﻨات“ ﻓﺈن اﳌساحﺔ اﶈددة ﲟﻨحﻨي الدالﺔ ومحور السيﻨات واﳌسﺘﻘيمني والﺘي يرمﺰ لها ﺑالرمﺰ A b
A = ∫ f (x) dx a
* عﻨدما ” f (x) < 0اي اﳌﻨحﻨي ﲢﺖ محور السيﻨات“ ﻓﺈن: b
A = - ∫ f (x) dx a
Y
X
b
Y
a
X
b
a
131
Y
d
X
c
b
a
واﻻمثلﺔ اﻵﺗيﺔ ﺗوﺿﺢ ذلﻚ :
مثال 1
جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﲟﻨحﻨي الدالﺔ y = f(x) = x2 -2x - 3ومحور السيﻨات وعلﻰ الفﺘرة ].[-1,3
احلﻞ
ﺗﻘاطﻊ اﳌﻨحﻨي مﻊ محورالسيﻨات اي ﳒعﻞ y = 0ﳌعرﻓﺔ f (x) > 0أو f (x) < 0 x2 -2x - 3 = 0 ⇒ (x -3) (x+1) = 0 x = 3 , x = -1 اﳌوﻗﻊ ﲢﺖ
اشارة )f(x
(0)2 -2(0) - 3 = -3 < 0
للفﺘرة ∈ x x=0
الفﺘرة
][-1,3 3
132
x3 + x2 +3x ]3 ـــــــ A = - ∫ (x2 -2x - 3) dx = [ - -1 -1 3 ] = [ - 9 + 9 +9 ] - [ 1 + 1 - 3 3 5 32 = 10 2 unit2 = = [ 9 ] - [ -5 ] = 9 + 3 3 3 3
مثال 2
جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﺑالدالﺔ y = f(x) = x -xومحور السيﻨات. 3
احلﻞ
الﺘﻘاطﻊ مﻊ محورالسيﻨات ⇐ y = 0 x3 -x = 0 ⇒ x (x2 -1) = 0 ⇒ x = 0 , x = -1 , x = 1 للفﺘرة ∈ x
الفﺘرة
ﻓوق
-1 + 1 > 0 8 2
x = -1 2
][-1,0
ﲢﺖ
1-1 <0 8 2
x= 1 2
][0,1
اشارة )f(x
اﳌوﻗﻊ
1
0
A = A1 + A2 = ∫ (x -x) dx + ∫ ( - x3 +x ) dx 3
0
-1
4 2 0 4 2 1 ] = [ x - x ] + [- x + x 4 2 -1 4 2 0
1 = ]= [0] - [ 1 - 1 ]+[- 1 + 1 ] - [0 unit2 4 2 2 2 4
مثال 3
جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﺑالدالﺔ x + 1
احلﻞ
= ) y = f(xومحور السيﻨات واﳌسﺘﻘيمني . x = 0 , x = 3
y = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = -1 ⇒ -1 الﺘﻘاطﻊ :وان ]∌ [0,3 اﳌوﻗﻊ ﻓوق
للفﺘرة ∈ x
اشارة )f(x
1 +1 = 2 > 0
الفﺘرة
][0,3
x=1 1 2
3
2 (x +1)3 ]3 ـــــــ [ = A = ∫ (x + 1) dx ⇒ A 0 3 0 ] (1)3
2 ـــــــ 3
4 2 unit2 3
[ 2 (4)3 ] - ـــــــ [ = 3 = = 16 - 2 = 14 3 3 3
133
]ÚàdGO »æëæe ÚH áMÉ°ùŸG ]4-5-2 لﺘﻜن ﻛﻞ من ) g (x) ، f (xدالﺔ معرﻓﺔ علﻰ الفﺘرة ][a,b ﻓاﳌساحﺔ اﶈددة ﺑني الدالﺘني واﳌسﺘﻘيمني x = b , x = aوالﺘي هي يرمﺰ لها ﺑالرمﺰ : A * عﻨدما ) f (x) > g (xﻓﺈن: * عﻨدما ) f (x) < g (xﻓﺈن:
b
A = ∫ [ f (x) - g (x) ] dx a
b
A = ∫ [ g (x) - f (x) ] dx a
مثال 4 جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﺑني مﻨحﻨي الدالﺘني. y = g (x) = x3 ، y = f (x) = x
احلﻞ
نولد الدالﺔ اجلديدة ولﺘﻜن :
)R(x) = f (x) - g (x R(x) = x - x3
نﻘاطﻊ الدالﺔ ) R (xمﻊ محور السيﻨات ⇐ y = 0 -1 x - x3 = 0 ⇒ x (1- x2) = 0 ⇒ x = 0 , x = + ][-1,0] , [0,1 اﻛمﻞ احلﻞ ﻛما جاء ﻓي مثال )(2
134
مثال 5
x
لﺘﻜن y = f (x) = xوعلﻰ الفﺘرة ]، [-1,1 ] [-1,1جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﲟﻨحﻨي الدالﺘني .
احلﻞ
نولد الدالﺔ ) R (xحيﺚ :
3
= ) y = g (xوعلﻰ الفﺘرة
)R(x) = f (x) - g (x R(x) = x - 3 x
الﺘﻘاطﻊ :
y = 0 ⇒x - 3 x = 0 ⇒ x3 = x ⇒ x 3 - x = 0 -1 x (x2- 1) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0 , x = + ][-1,0] , [0,1 للفﺘرة ∈ x
الفﺘرة
-18
x = -1 8
][-1,0
18
x= 1 8
][0,1
اشارة )f(x
اﳌوﻗﻊ ﻓوق
-1 >0 8
ﲢﺖ
1<0 8
3
3
1
1
1
0
A = ∫ [x -x3 ] dx + ∫ [ x3 - x ] dx 0
1 ] x4 - 12 x2 0
3
0 x4 ] + [ 3 4 -1
-1
3
= [ 1 x2 - 34 2
]= [0] - [ 1 - 3 ]+[ 3 - 1 ] - [0 2 4 4 2 = 1 + 1 = 1 unit2 4 4 2
135
“(4-4) øjQÉ -1جد اﳌساحﺔ ﺑني مﻨحﻨي الدالﺔ ) f (xومحور السيﻨات واﳌسﺘﻘيمني x = 2
,
x = -2حيﺚ
y = f (x) = x3 - 4x -2جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﲟﻨحﻨي الدالﺔ y = f (x) = x4 - x2ومحور السيﻨات وعلﻰ الفﺘرة ]. [-1,1
-3جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﺑالدالﺔ y = f (x) = x3 - 3x2 + 2xومحور السيﻨات.
-4جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﲟﻨحﻨي الدالﺘني
g(x) = 1 x , f (x) = x - 1 2
x=2 , x=5 -5جد اﳌساحﺔ اﶈددة ﲟﻨحﻨي الدالﺘني y = x2 , y = x4 - 12
136
واﳌسﺘﻘيمني
äÉjƒ`````````àëŸG 5
137
øjó◊G äGP áægÈe : ∫h’GC π°üØdG
6
ó©dG ≥FGôW ]1‐1]
12
Oó©dG Ühö†e ]1‐2]
14
πjOÉÑàdG ]1‐3]
18
≥«aGƒàdG ]1‐4]
24
øjó◊G äGP áægÈe ]1‐5]
31
ájQGôªà°S’E Gh äÉjɨdG : ÊÉãdG π°üØdG
32
QGƒ÷G ]2‐1]
34
ádGódG ájÉZ ]2‐2]
37
x
a+ ÉeóæY ádGódG ájÉZ ]2‐3]
38
x
a‐ ÉeóæY ádGódG ájÉZ ]2‐4]
39
äÉjɨdG ‘ äÉægÈŸG ¢†©H ]2‐5]
50
á£≤f óæY ádGódG ájQGôªà°SEG ]2‐6]
53
ájQGôªà°S’E G ‘ äÉægÈŸG ¢†©H ]2‐7]
äÉjƒ`````````àëŸG 59
¥É≤à°T’E G : ådÉãdG π°üØdG
60
á≤à°ûŸG ]3‐1]
63
ádGódG á≤à°ûŸ »°Sóæ¡dG Ò°ùØàdG ]3‐2]
65
á≤à°ûŸG ⋲∏Y äÉ≤«Ñ£àdG ¢†©H ]3‐3]
68
á≤à°ûŸG óYGƒb ]3‐4]
74
á≤à°ûŸG óYGƒb ΩGóîà°SEÉH ájhÉjõ«ØdGh á«°Sóæ¡dG äÉ≤«Ñ£àdG ]3‐5]
80
OÉ°üàb’E G ‘ á≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J ¢†©H ]3‐6]
82
iô¨°üdGh ⋲ª¶©dG äÉjÉ¡ædG ]3‐7]
92
ÜÓ≤f’E G •É≤fh ÜóëàdGh ô©≤àdG ]3‐8]
95
ádGódG º°SQ ]3‐9]
101
iô¨°üdGh ⋲ª¶©dG äÉjÉ¡ædG ⋲∏Y äÉ≤«Ñ£J ]3‐10]
109
πeÉμàdG : ™HGôdG π°üØdG
110
π°VÉØàdG ¢ùμY ]4‐1]
112
OóëŸG ÒZ πeÉμàdG óYGƒb ]4‐2]
118
OóëŸG ÒZ πeÉμàdG äÉ≤«Ñ£J ¢†©H ]4‐3]
126
OóëŸG πeÉμàdG ]4‐4]
131
»æëæŸG â– äÉMÉ°ùŸG ]4‐5]
138
…õ«∏μfG
äÉë∏£°üŸG ∫hóL
Integration
»HôY πeÉμàdG‐1
Margina Integral
…ó◊G Ò¨àdG‐2
Defenite Integral
OóëŸG πeÉμàdG‐3
Fundamental theorem of Calculus Differentiation Total cost function
πeÉμà∏d á«°SÉ°S’GC ájô¶ædG‐4 ¥É≤à°T’E G‐5 á«∏μdG áØ∏μdG ádGO‐6
Increasing
ójGõJ‐7
Decreasing
¢übÉæJ‐8
Limit Continuity Continuity of function Neighbourhood Bionnomial Theorem Counting methods Fundamental Counting Principle
ájɨdG‐9 ájQGôªà°S’E G‐10 ádGódG ájQGôªà°SEG‐11 QGƒ÷G‐12 øjó◊G äGP áægÈe‐13 ó©dG ≥FGôW‐14 C »°SÉ°S’GC ó©dG GóÑe‐15
Permutations
πjOÉÑJ‐16
Combinations
≥«aGƒJ‐17
Tree Diagram
Iôé°ûdG §£‐18
Factoreal
Oó©dG Ühö†e‐19
139
140
