Точные решения уравнений эйнштейна

Под ред. Э.Шмутцера ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА Д.Крамер, X.Штефани, М.Мак-Каллум, Э.Xерльт, под ред. Э.Шмутцера М.: Энергоиздат, 1982, 416 стр.

Изложены важнейшие методы получения точных решений и основные способы классификации решений: групповые методы и классификации пространств по подвижностям, формализм Ньюмена — Пенроуза и алгебраические классификации по типам Петрова, тензорам энергии-импульса, и Риччи, метрическое соответствие Керра — Шилда и др. Дан практически полный перечень всех известных в настоящее время точных решений уравнений Эйнштейна: вакуумных, электровакуумных, с тензорами энергии-импульса, слыли и идеальной жидкости. Изложена проблематика дальнейших исследований. Для физиков-теоретиков, аспирантов, работающих над проблемами общей теории относительности, связи теории гравитации с физикой микромира и смежными вопросами. Содержание Предисловие редактора 3 Предисловие авторов 4 Обозначения 5 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 8 1.1. Что такое точные решения и зачем их исследовать? 8 1.2. Об истории предмета 10 1.3. Содержание и структура книги 11 1.4. Использование книги как каталога 14 Часть I ОБЩИЕ МЕТОДЫ 16 Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ БЕЗ МЕТРИКИ 16 2.1. Введение 16 2.2. Дифференцируемые многообразия 16 2.3. Касательные векторы 18 2.4. 1-формы 19 2.5. Внешнее произведение 19 2.6. Тензоры 20 2.7. Внешняя производная 22 2.8. Производная Ли 25 2.9. Ковариантная производная 26 2.10. Тензор кривизны 28 Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 29 3.1. Введение 29 3.2. Метрический тензор и изотропные тетрады 29 3.3. Вычисление кривизны по метрике 31 3.4. Бивекторы 33 3.5. Разбиение тензора кривизны 34 3.6. Спиноры 37 3.7. Конформные преобразования 40

Глава 4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕТРОВА 4.1. Задача на собственные значения 4.2. Типы по Петрову 4.3. Главные изотропные направления 4.4. Определение типа по Петрову Глава 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРА РИЧЧИ И ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 5.1. Алгебраические типы тензора Риччи 5.2. Тензор энергии-импульса 5.3. Энергетические условия 5.4. Условия Райнича 5.5. Идеальные жидкости Глава 6. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 6.1. Векторные поля и их инвариантная классификация 6.2. Векторные поля и тензор кривизны 6.2.1. Временно-подобные единичные векторные поля 6.2.2. Изотропные векторные поля Глава 7. ФОРМАЛИЗМ НЬЮМЕНА-ПЕНРОУЗА 7.1. Спиновые коэффициенты и уравнения поля 7.2. Коммутаторы и тождества Бианки 7.3. Модифицированное исчисление 7.4. Изотропные геодезические конгруэнции 7.5. Теорема Гольдберга — Сакса и ее обобщения Глава 8. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ 8.1. Введение. Группы Ли и алгебры Ли 8.2. Перечень различных групповых структур 8.3. Группы преобразований 8.4. Группы движений 8.5. Пространства постоянной кривизны 8.6. Орбиты групп изометрии 8.6.1. Просто-транзитивные группы 8.6.2. Кратно-транзитивные группы Часть II РЕШЕНИЯ С ГРУППАМИ ДВИЖЕНИЙ Глава 9. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИЙ С ИЗОМЕТРИЯМИ 9.1. Случаи, подлежащие обсуждению 9.2. Изотропия и тензор кривизны Глава 10. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА 10.1. Возможные метрики 10.2. Однородные вакуумное пространство-время и пространство-время с изотропным электромагнитным полем 10.3. Однородные неизотропные электромагнитные поля 10.4. Однородные решения с идеальной жидкостью 10.5. Другие однородные решения

41 41 42 45 48 49 49 52 54 55 56 57 57 60 60 62 62 62 65 67 68 69 71 71 73 75 76 78 80 81 82 86 86 86 87 91 91 93 95 96 99

10.6. Резюме Глава 11. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, ОДНОРОДНЫЕ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 11.1. Возможные метрики 11.2. Формулировка уравнений поля 11.3. Решения в вакууме, решения с Λ-членом и решения с электромагнитным полем 11.3.1. Решения с кратно-транзитивными группами 11.3.2. Пространства Эйнштейна с G3 на V3 11.3.3. Решения уравнений Эйнштейна—Максвелла с G3 на V3 11.4. Решения уравнений Эйнштейна с идеальной жидкостью, однородные на T3 11.5. Резюме по всем метрикам с G3 на V3 Глава 12. ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ 12.1. Введение 12.2. Космологические модели Робертсона—Уокера 12.3. Космологические модели с G4 на V3 12.4. Решения с G3 на S3 Глава 13. ГРУППЫ G3 С НЕИЗОТРОПНЫМИ ОРБИТАМИ V3 13.1. Метрика. Векторы Киллинга и тензор Риччи 13.2. Некоторые следствия существования группы изотропии 13.3. Сферическая и плоская симметрии 13.4. Вакуумные поля, поля Эйнштейна—Максвелла и чисто радиационные поля 13.4.1. Временно-подобные орбиты 13.4.2. Пространственно-подобные орбиты 13.4.3. Обобщенная теорема Биркгоффа 13.4.4. Сферически- и плоско-симметричные поля 13.5. Решения для пыли 13.6. Плоско-симметричные решения для идеальной жидкости Глава 14. СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 14.1. Статические решения 14.1.1. Уравнения поля и Первые интегралы 14.1.2. Решения 14.2. Нестатические решения 14.2.1. Основные уравнения 14.2.2. Решения без сдвига и растяжения 14.2.3. Бессдвиговые решения с растяжением 14.2.4. Решения со сдвигом, отличным от нуля

100 101 101 105 109 109 110 114 116 119 119 119 120 122 125 129 129 131 131 133 133 134 135 136 137 139 140 140 140 142 143 143 144 145 150

Глава 15. ГРУППЫ G2 И G1 С НЕИЗОТРОПНЫМИ 15.1. Групповые структуры G2 и групповые орбиты V2 15.2. Сталкивающиеся плоские волны 15.3. Замкнутые вселенные, построенные из гравитационных волн 15.4. Группа G1 с неизотропными орбитами Глава 16. СТАЦИОНАРНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ 16.1. Проекционный формализм 16.2. Тензор Риччи на Σ3 16.3. Конформное преобразование Σ3 и уравнения поля 16.4. Уравнения Эйнштейна в вакууме и уравнения Эйнштейна— Максвелла для стационарных полей 16.5. Собственные геодезические лучи 16.6. Статические поля 16.6.1. Определения 16.6.2. Вакуумные решения 16.6.3. Электростатические и магнитостатические поля Эйнштейна—Максвелла 16.6.4. Решения для идеальной жидкости 16.7. Конформно-стационарный класс полей Эйнштейна—Максвелла Глава 17. СТАЦИОНАРНЫЕ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ 17.1. Векторы Киллинга 17.2. Ортогональные поверхности 17.3. Метрика и проекционный формализм 17.4. Уравнения поля для стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна — Максвелла 17.5. Разные формы уравнений поля для стационарных аксиальносимметричных вакуумных полей Глава 18. СТАЦИОНАРНЫЕ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ВАКУУМНЫЕ РЕШЕНИЯ 18.1. Статические аксиально-симметричные вакуумные решения (класс Вейля) 18.2. Поля равноускоренных частиц 18.3. Класс решений с потенциалом U=U(ω) (класс Папапетру) 18.4. Класс решений при S=S(A) 18.5. Решение Керра и класс Томимацу—Сато 18.6. Остальные решения Глава 19. НЕВАКУУМНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ АКСИАЛЬНОСИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 19.1. Поля Эйнштейна—Максвелла 19.1.1. Электростатические решения 19.1.2. Общий класс и его предельные случаи 19.1.3. Решение Керра—Ньюмена

152 152 155 156 156 158 158 160 162 163 165 167 167 168 169 171 172 173 173 174 176 177 179 182 182 184 185 187 187 189 191 191 191 193 196

19.1.4. Изотропные поля и поля чистого излучения 19.2. Решения для идеальной жидкости 19.2.1. Общая метрика для пыли 19.2.2. Пыль, вращающаяся как твердое тело, и решения для идеальной жидкости Глава 20. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ 20.1. Общие замечания 20.2. Стационарные цилиндрически-симметричные поля 20.3. Вакуумные поля 20.4. Поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого излучения 20.5. Решения для идеальной жидкости Глава 21. ГРУППЫ С ИЗОТРОПНЫМИ ОРБИТАМИ. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 21.1. Введение 21.2. Группы G3 на N3 21.3. Группы G2 на N2 21.4. Изотропные векторы Киллинга (G1 на N1) 21.5. Плоско-фронтовые гравитационные волны с параллельными лучами (pp-волны) Часть III АЛГЕБРАИЧЕСКИ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ Глава 22. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИ СПЕЦИАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ. РЕШЕНИЯ НЬЮМЕНА— ТАМБУРИНО 22.1. Решения типа II, D, III или N по Петрову 22.2. Конформно-плоские решения 22.3. Решения Ньюмена — Тамбурино Глава 23. ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МЕТРИК С κ=σ=0=R11=R14=R44=0, Θ+iω≠0 23.1. Интервал в случае лучей с вращением (ω≠0) 23.1.1. Выбор изотропной тетрады 23.1.2. Система координат 23.1.3. Допустимые тетрадные и координатные преобразования 23.2. Интервал в случае лучей без вращения (ω=0) Глава 24. РЕШЕНИЯ РОБИНСОНА—ТРАУТМАНА 24.1. Вакуумные решения Робинсона—Траутмана 24.1.1. Полевые уравнения и их решения 24.1.2. Частные случаи и точные решения 24.2. Решения Робинсона — Траутмана для полей Эйнштейна 24.2.1. Интервал и полевые уравнения 24.2.2. Решения типа III, II и 0 24.2.3. Решения типа D 24.2.4. Решения типа II 24.3. Решения Робинсона — Траутмана для чистого излучения

198 198 198 200 203 203 204 208 209 212 213 213 213 215 216 219 223 223 223 227 228 229 229 229 231 233 233 234 234 234 236 239 239 241 241 242 245

24.4. Решения Робинсона — Траутмана с космологическим членом Λ Глава 25. ВАКУУМНЫЕ РЕШЕНИЯ С ВРАЩЕНИЕМ 25.1. Вакуумные решения с вращением—уравнения поля 25.1.1. Структура полевых уравнений 25.1.2. Интегрирование главных уравнений 25.1.3. Оставшиеся уравнения поля 25.1.4. Свобода в выборе координат и трансформационные 25.2. Некоторые общие классы решений 25.2.1. Характеристика решений 25.2.2. Случай ∂ ζ I = ∂ ζ (G 2 − ∂ ζ G ) ≠ 0 25.2.3. Случай ∂ ζ I = ∂ ζ (G 2 − ∂ ζ G ) ≠ 0 , L,u = 0

25.2.4. Случай I=0 25.2.5. Случай I=0=L,u 25.2.6. Решения, не зависящие от ζ и ζ 25.3. Решения типа N (Ψ2= Ψ3=0) 25.4. Решения типа III (Ψ2=0, Ψ3≠0) 25.5. Решения типа D (3Ψ2 Ψ4=2 Ψ23, Ψ2≠0) 25.6. Решения типа II Глава 26. РЕШЕНИЯ С ВРАЩЕНИЕМ. В СЛУЧАЕ ПОЛЕЙ ЭЙНШТЕЙНА—МАКСВЕЛЛА И ЧИСТОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 26.1. Структура полевых уравнений Эйнштейна—Максвелла 26.2. Определение радиальной зависимости метрики и поля 26.3. Оставшиеся уравнения поля 26.4. Заряженные вакуумные метрики 26.5. Замечания относительно решений других типов по Петрову 26.6. Поля чистого излучения 26.6.1. Уравнения поля 26.6.2. Получение решений в случае полей чистого излучения из вакуумных метрик с помощью изменения P 26.6.3. Получение решений в случае полей чистого излучения из вакуумных метрик с помощью изменения m Глава 27. РЕШЕНИЯ С НУЛЕВЫМ. РАСШИРЕНИЕМ (КЛАСС КУНДТА) 27.1. Введение 27.2. Интервал для метрик с Θ+iω=0 27.3. Компоненты тензора Риччи 27.4. Структура вакуумных уравнений и уравнений Эйнштейна — Максвелла 27.5. Вакуумные решения 27.5.1. Решения типа III и N 27.5.2. Решения типов D и II 37.6. Изотропные поля Эйнштейна — Максвелла и поля чистого

246 246 247 247 247 249 251 252 252 253

254 255 257 258 259 260 260 262 263 263 264 265 266 268 269 269 270 272 273

273 274 276 277 279 279 281 282

27.7. Неизотропные поля Эйнштейна — Максвелла Глава 28. МЕТРИКИ КЕРРА — ШИЛДА 28.1. Общие свойства метрик Керра—Шилда 28.1.1. Возникновение метрического соответствия Керра—Шилда— Траутмана 28.1.2. Тензор Риччи, тензор Римана и тип по Петрову 28.1.3. Уравнения поля и тензор энергии-импульса 28.1.4. Геометрическая интерпретация подхода Керра—Шилда 28.1.5. Формализм Ньюмена—Пенроуза для бессдвиговой и геодезической метрики Керра — Шилда 28.2. Применение подхода Керра — Шилда к полевым уравнениям Эйнштейна в случае вакуума 28.2.1. Случай ρ=-(Θ+iω)≠0 28.2.2. Случай ρ=-(Θ+iω)=0 28.3. Применение подхода Керра — Шилда к уравнениям Эйнштейна — Максвелла 28.3.1. Случай ρ=-(Θ+iω)≠0 28.3.2. Случай ρ=-(Θ+iω)=0 28.4. Применение подхода Керра — Шилда к полям чистого 28.4.1. Случай ρ≠0, σ=0 28.4.2. Случай σ ≠0 28.4.3. Случай ρ=σ=0 28.5. Обобщения подхода Керра — Шилда Глава 29. АЛГЕБРАИЧЕСКИ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 29.1. Обобщенные решения Робинсона—Траутмана 29.2. Решения с геодезическим, бессдвиговым, нерасширяющимся кратным изотропным собственным вектором 29.3. Решения типа D 29.3.1. Решения с κ=ν=0 29.3.2. Решения с κ≠0, ν≠0 29.4. Решения типа III и N Часть IV СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Глава 30. ТЕХНИКА ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ 30.1. Введение 30.2. Пространство потенциалов 30.3. Преобразования симметрии для полей Эйнштейна—Максвелла 30.3.1. Пространство потенциалов и его группа симметрии 30.3.2. Частные случаи преобразований симметрии 30.3.3. Группа SU(2, 1) 30.3.4. Подгруппы группы SU(2, 1) и подпространства пространства потенциалов 30.3.5. Комплексные преобразования симметрии

283 285 285 285 286 288 278 290 292 292 294 294 294 296 298 298 301 302 302 303 303 305 307 307 308 309 311 311 311 34 314 314 317 318 319 321

30.4. Генерационные теоремы для полей Эйнштейна — Максвелла, допускающих абелеву группу G2 30.5. Применения 30.5 1. Построение новых вакуумных полей из известных вакуумных полей 30.5.2. Построение полей Эйнштейна—Максвелла из вакуумных полей 30.5.3. Обобщение преобразования симметрии 30.5.4. Заключительные замечания 30.6. Другие методы построения решений 30.6.1. Процедуры предельного перехода в метриках 30.6.2. Прием перехода на комплексную плоскость Глава 31. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ 31.1. Римановы пространства, допускающие постоянные векторные и тензорные поля 31.1.1. Постоянные векторные поля 31.1.2. Постоянные тензорные поля 31.2. Комплексно-рекуррентные, конформно-рекуррентные, рекуррентные и симметрические пространства 31.2.1. Определения 31.2.2. Пространства типа D по Петрову 31.2.3. Метрики типа N 31.2.4. Метрики типа 0 31.3. Тензоры Киллинга второго порядка 31.3.1. Основные определения 31.3.2. Свойства метрик, допускающих существование тензоров Киллинга 31.3.3. Теоремы о тензорах Киллинга в четырехмерных римановых пространствах 31.4. Некоторые замечания относительно метрик с другими специальными свойствами Глава 32. ЛОКАЛЬНОЕ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ВЛОЖЕНИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 32.1. Необходимость вложения 32.2. Основные формулы, управляющие вложением 32.3. Некоторые теоремы о локальном изометрическом вложении 32.3.1. Общие теоремы 32.3.2. Векторные и тензорные поля и класс вложения 32.3.3. Группы движений и класс вложения 32.4. Точные решения в случае класса вложения один 32.4.1. Уравнения Гаусса-Кодацци и возможные типы тензора Ωab 32.4.2. Конформно-плоские решения для случая идеальной жидкости класса вложения один

322 326 326 327 329 331 331 331 332 334 334 334 335 336 336 337 337 338 339 339 340 340 342 343

343 344 345 346 346 348 348 348 350

32.4.3. Решения для случая идеальной жидкости типа D класса 352 вложения один 32.4.4. Решения класса вложения один для поля чистого 353 32.5. Точные решения класса вложения два 355 32.5.1. Уравнения Гаусса—Кодацци—Риччи и теоремы о метриках 355 класса вложения два 32.5.2. Вакуумные решения класса вложения два 357 32.5.3. Конформно-плоские решения 358 32.6. Точные решения, имеющие класс вложения p>2 361 32.7. Замечания по вопросу глобального вложения 361 Часть V ТАБЛИЦЫ 362 Глава 33. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ГЛАВНЫМИ 362 КЛАССИФИКАЦИОННЫМИ СХЕМАМИ 33.1. Введение 362 33.2. Связь между типами по Петрову и группами движений 363 33.3. Таблицы 367 Послесловие редактора перевода 372 Список литературы 376 Алфавитно-предметный указатель 406 Алфавитно-предметный указатель - дуальный 33 Абелева группа 73 - определяющий поверхность 174 Автомодельное пространство-время - постоянный 335 154 - простой 33 Аксиальная симметрия 173 - самодуальный 33, 34 Аксиально-симметричное - спинорный эквивалент 38 стационарное пространствоБиркгоффа теорема 135 время 173, 323, 363 Боннора решение с магнитным Алгебраически специальные диполем 192, 328 гравитационные поля 44, 69, - преобразование 181, 323 223 Брилла решение 110, 327 Атлас 17 Буст 31 Аффинный параметр 27 Буст-весовой скаляр типа (p, q) 67 Базис: векторного пространства 18 Бухдала теорема 317 - координатный 18, 31 Бэклунда преобразования 324, 336 - ортонормированный 30 Вайдьи решение 134, 136, 246, 289 - преобразования 19, 21 Вакуумная метрика с зарядом 266 Беля — Секереша метрика 156 Вакуумные решения: алгебраически Бертотти — Робинсона решение 95, специальные 370 155, 283, 338, 359 - и группы движений 366 Бесконечно-параметрическая группа - с изотропным вектором Киллинга 324 217 Бианки: тип группы G_ 3, 74, 83 - класса вложения два 357 - тождества 28, 38, 66, 70 - однородные 93 Бивектор 33

- на гиперповерхностях 109 - плоско-симметричные 135, 137 - стационарные 164 - аксиально-симметричные 182, 326 - цилиндрически-симметричные 204 - сферически-симметричные 135 Вальквиста решение с идеальной жидкостью 201 Ван-Стокума решение: - вакуумное 187, 218, 282, 326 - с пылью 201 Вейля: вакуумные решения 179, 182, 186, 326, 328 - - и вложение 361 - главная тетрада 41 - канонические координаты 177, 187 - тензор 35 - алгебраически общий, специальный 46 - классификация 41 - нормальные формы 43 - самодуальный 35, 61 - спинорный эквивалент 39 - «электрическая» и «магнитная» части 36 Вектор 18 вращения 207 Векторные ноля 18 - временно-подобные единичные 58, 60 - и тензор Риччи 60 - геодезические изотропные 59 - киллинговы 58 - коммутирующие 26 - невращающиеся 57 - нормальные 57 - образующие поверхность 53, 174 - ортогональные к гиперповерхности 57 - постояннее 334 - правоннвариантные 72 - с вращением 60, 62 - с растяжением 60, 62 - о расходимостью 60, 62, 68

- со сдвигом 60, 62, 68, 69 Векторное пространство 18 Виникура решения с вращающейся пылью 198 Вложение 343 - глобальное 361 - и группы движений 348 - класс 344 - локально-изометричное 346 Внешнее произведение 19 Внешняя производная 22 Волновые поверхности 275 Волны: гравитационные плоскофронтовые (рр-волны) 219 - и вложение 360 - и классы симметрии 221 - линейно-поляризованные 221 - плоские 94, 215, 221 - сталкивающиеся 155 Вращение: дифференциальное 193 - единичного временно-подобного векторного поля 58 Вращения ось 173 Вращение твердотельное 200 Вытянутые эллипсоидальные координаты 183 Гамильтона - Якоби уравнение 194, 203, 340 Гаррисона решение 157 - преобразование 317 Гаусса уравнения 345 Гауссова кривизна 78, 129, 276 Гёделя решение 97 Геодезическая 27, 340 Главные изотропные направления 46 - кратные 46 Главные уравнения 247, 248 Гольдберга — Сакса теорема 69 Голономный репер 18, 31 Гомотетические движения 342 Гоуди решение 156 Граница многообразия 24 Группа: бесконечно-параметрическая 324

- голономий 342 - гомотетий 154 - движений 76 - и тензоры энергии-импульса 368, 369 - и типы по Петрову 363, 366, 367 - изометрий 76 - изотропии 77, 92, 131, 132 - и тип по Петрову 363 - интегрируемая 73 - интранзитивная 76 - канонические координаты 73 - кратно-транзитивная 76, 81 - обобщённая ортогональная 77 - ортогонально-транзитивная 153 - параметрическая 72 - полупростая 73 - преобразований 75 - производная 73 - простая 73 - просто-транзитивная 76, 81 - разрешимая 73 - стационарная 76 - тип по Бианки 74, 83 - транзитивная 76 - эффективная 75 Дарбу теорема 23 Дармуа решение 184 Движения 76 - жёсткие 61 - изэнтропические 56 - конформные 342 - твёрдотельные 61 Де Ситтера пространство-время 79 Дефриза метрика 92 Диада 38 Диадный формализм 165 Дифференциал 19 Дополнительные условия 247 Дуальное пространство 19 Дуальный поворот 56, 316 «Жесткая материя» 57 Жесткий репер 31

Заряженная идеальная жидкость и инвариантные преобразования 329 - пыль сферически-симметричная 138 Идеал 73 Идеальная жидкость 53, 56 Излучение некогерентное 57 Изотропная: жидкость 12 - пыль 12 - тетрада 30 - параллельно переносимая 68 Изотропно-однородное пространство-время 86, 213, 214 Изотропные: векторные поля 29 - вращения 31 - в качестве группы изотропии 104 - геодезические поля 59 - бессдвиговые 69 - ковариантно постоянные векторы поля 219, 334 - координаты 142 - орбиты 213 Инвариантная плоскость, 2, 50 Казнера решение 112, 137, 238 Канонические координаты группы Ли 73 Кантовского — Сакса решения 123, 307 Карта 17 Картана: метод 31 - уравнения 28 Касательное векторное пространство 18 Касательный вектор 18 Керзона — Шази решение 183, 185, 190 Керра решение 187, 188, 197, 257, 261, 293 - излучательное 271 - «намагниченное» 327 - предельное 188 - суперпозиция 327 Керра теорема 291 Керра — НУТ решение 257, 261

Керра — Ньюмена решение 197, 267, 269, 296, 327, 333 - суперпозиция решений 197 Керра — Шилда метрики 258, 271, 285 - вакуумные 292 - геометрическая интерпретация 288 - частного вида 290 - и Эйнштейна — Максвелла поле 294, 296 Киллинга: вектор изотропный 216, 282 - с вращением 306 - векторное поле 58, 77 - тензор 339, 340 - вакуумного решения типа D 341 - конформный 339 - в потенциальном пространстве 312 - уравнения 76 - условия интегрируемости 77 Киллинга — Яно тензор 339, 341 - вакуумного решения типа D 341 Киннерсли фотонная ракета 289 Клиновое произведение 19 Ковариантная производная 26 Кодацци уравнения 345 Коллинеации: аффинные 342 - кривизны 342 - проективные 342 Риччи 342 Коммутатор 18, 26 Коммутационные: коэффициенты 18 - соотношения в формализме Ньюмена — Пенроуза 65 Комплексная: метрика 321 - подстановка 181, 211, 322 Комплексно-рекуррентное пространство-время 336 Комплексные преобразования координат 321, 333 Конформно-плоские: пространства 35, 40, 227, 346, 358 - решения 227, 350, 358

Конформное рекуррентное пространство - время 336 - симметрическое пространство время 336 - статическая метрика 168 - стационарная метрика 172 - преобразование 40, 162 Координаты: вытянутые эллипсоидальные 183 - локальные 17 Космологическая постоянная 53 Коттона — Йорка тензор 40 Коэффициенты связности 27, 31 Кратное главное изотропное направление 46 Кривая 17 Кривизна в двумерном направлении 78 Кривизны форма, 2, 28, 31 Кристоффеля символы 31 Кундта класс решений 111, 274 Кундта — Томпсона теорема 70 Кустанхеймо — Квиста класс решений 146 Лагранжиан для стационарных полей Эйнштейна — Максвелла 312 Леви-Чивиты: решение 205 - тензор 33, 159 «Лезвие» 44 Ли: алгебра 72 - группа 71 - производная 25 - теоремы 76 Линейный функционал 18 Лиувилля уравнение 284 Локально вращательносимметричное (ЛВС) пространство-время 68, 101, 123, 308 Лоренца: метрика 29 - преобразования 30 Льюиса класс решений 187 Маджумдара — Папапетру решения 172, 179

Максвелла: тензор 52 - тетрадные компоненты 53, 65 - уравнения 55, 65 Мелвина решение 205, 327 Метрика: вакуумная с зарядом 266 С-метрика 169, 195, 238, 259 - с вращением 259, 261 - с зарядом 242 Метрический тензор 29 Мизнера способ параметризации 106 Многообразие 16 - дифференцируемое 17 - ориентируемое 17 Монада 59 Монадный формализм 159 «Наклонные решения 120 Ньюмена — Пенроуза: спиновые коэффициенты 62 - уравнения 64 - формализм 62 Ньюмена — Тамбурино решение 228 Ньюмена — Унти — Тамбурино (НУТ) решение 110, 186, 257, 261 Однородные на гиперповерхности пространства 86, 101, 117, 118 - алгебраически специальные 363, 364 Ожвата однородные решения 98 Оператор 18 Ороиты: групп изометрий 81 - группы 75 Ортогональные: векторы 29 - поверхности 129 Отображения: дифференцируемые 17, 158, 159 - тензоров 21 Папапетру класс решений 185, 327 Параметрическая группа 72 Пенроуза диаграмма 47 Петрова: однородное вакуумное решение 95 - типы 42, 43, 48 - вырожденные 44

- и группы движений 363, 366, 367 Плебаньского обозначения 50 Плоская симметрия 131 Подгруппа: инвариантная 73 - линейной изотропии 77 - нормальная 73 Поля: гравитационные алгебраически специальные 44, 69, 228 - постоянные — бивекторные 335 - векторные 334 - тензорные 335 - радиационные — некогерентные 57 - чистые 12, 53, 54 - статические 167 - и типы по Петрову 363 - стационарные аксиальносимметричные 173, 323 - и типы по Петрову 363 - экстремальные 55, 87 Предельные переходы 190, 193, 331 Приводимые пространства 335 Проектирования тензор 159, 323 Проекционный формализм: стационарное аксиальносимметричное-пространствовремя 176 - стационарное пространство-время 158 Пространство-время: ЛВС 88, 101, 123, 308 - однородное 77, 86 - постоянной кривизны 80 Пространство: дуальное 19 - потенциалов 311, 315 - подпространство 319 Пуанкаре теорема 23 Пыль 54 - сферически-симметричная заряженная 138 Пфаффова форма 19 Равномерно ускоренные частицы 184 Райнича: «исконно единая теория поля» 55, 87 - - - - геометрия 53

- условия 55, 95 Райсснера — Нордстрема — Вейля решение 110, 134, 192, 197, 241, 289, 321 Райчаудури уравнение 61 Ранг формы, 2, 23 Растяжение: геодезического изотропного векторного поля 60, 62 - единичного временно-подобного векторного поля 58 Регулярности условие 172, 173, 182, 200 Рекуррентный: вектор 58, 336 - пространство-время 31, 336 Решения с идеальной жидкостью: алгебраически специальные 307 - и группы движений 368, 369 - класса вложения один 350, 352 - конформно-плоские 203, 350, 358 - однородные 96 - на гиперповерхности 116, 118 - плоско-симметричные 139 - статические вырожденные 171 - сферически-симметричные 143 - стационарные осесимметричные 198 - конформно-плоские 203 - сферически-симметричные нестационарные 143 - с твёрдотельным вращением 200 - цилиндрически-симметричные 212 - статические 206 - типа N 310 - типа D 307 Решения однородные 77, 86, 91, 100 Решения с пылью: алгебраически специальные 303 - бессдвиговые 119 - конформно-плоские 352 - принадлежащие классу Эллиса 116 - со стационарным вращением 199 - стационарные цилиндрическисимметричные 206

- сферически-симметричные 138 - с твёрдотельным вращением 200 Решения с равным нулю ускорением 352 Решения сферически-симметричные 131, 139 - с равномерным распределением вещества 148 - с p=p(\mu) 149 Решения с \Lambda-членом однородные 99 - однородные на гиперповерхности 111, 363 - стационарные аксиальносимметричные 193, 195, 333 - сферически- и плоскосимметричные 135, 136 Римана тензор 28 - для пространств однородных на гиперповерхностях 82 - разбиение 34 - спинорный эквивалент 39 Риччи: главная тетрада 51 - коллинеации 342 - рекуррентное пространство-время 336 - тензор 28 - алгебраические типы 50 - бесследовая часть 35 - вырожденный 51 - спинорный эквивалент 39 - тождество 28 - уравнение 345 Робинсона — Траутмана решения 234 - вакуумные 234 - и группы движений 365 - с космологической постоянной 246 - с чистым излучением 245 - уравнения поля 235 Робертсона — Уокера космологические модели 120, 346 - обобщённые 352

Свертка 19 Сдвиг: изотропного геодезического векторного поля 60, 62, 68 - единичного временно-подобного, векторного поля 58 Сегре обозначения 49 Секереша решение с пылью 308 Симметрии преобразования 316 - комплексные 321 Симметрическое пространство-время 336 Симметрия цилиндрическая 203 Скалярное произведение 29 Собственные геодезические лучи стационарных полей 165 Солитонные решения 329 Сопутствующая система отсчёта 131 Спин-тензоры 37 Спиновые коэффициенты 60, 62 Спиноры 37 Статические поля 167 - и типы по Петрову 61, 363 Стационарные аксиальносимметричные поля 173, 323 - и типы по Петрову 363 Стокса теорема 24 Структурные константы 72 - канонические формы 74 Тензор: «единичный» 35 - компоненты 18, 20 Тензорные поля 22 - постоянные 335 Техника построения новых решений 181, 270, 279, 311, 331 Токи 165 Толмена — Бонди решение 124, 138 Томимацу — Сато класс решений 187 - с зарядом 328 - обобщенный 327 Трансляции 71 Триада 165 Тривиальное уравнение 247 Трубки 237

Уравнения: геодезических в пространстве потенциалов 313 - состояния — жёсткой материи 57 - идеальной жидкости 57 - некогерентного излучения 57 - пыли 57 Условия: дополнительные 247 - изотропии давления 141 - на метрику 31 Ускорение 59 Фаза 56, 87 Фактор-пространство 158 Фансворта — Керра класс решений 74, 98 Фоновая метрика 252, 279 Фоновое уравнение 254 p-форма 19 - простая 20 форма, 1, 19 связности 27, 31, 63 Фридмана Вселенная 120, 138 Фробениуса теорема 23 Фубини теорема 81 Функции композиционные 71 Функция, порождающая новые решения 324 Характеристическое уравнение 42 Хронометрических инвариантов метод 162 Цилиндрическая симметрия 203 Циркулярности условие 175 Шази — Керзона решение 183, 185, 190 Шварцшильда решение 110, 134, 136, 183, 188, 238, 261, 289 - внутреннее 142 - обобщенное 351 Шиклоша метод 82 Шмидта метод 82 Эйнштейна: Вселенная 96, 351 - пространства 53, 88, 363 Эйнштейна — Максвелла поля: аксиально-симметричные электростатические 191

- алгебраически специальные 370, 371 - с вращением 263 - и группы движений 368, 369 - с изотропным вектором Киллинга 218 - класса вложения один 354 - конформно-плоские 222, 359, 360 - конформно-стационарные 172, 197 - однородные 93, 95 - на гиперповерхности 109 - плоско-симметричные 137 - принадлежащие к типу Керра — Шилда 294 - принадлежащие к типу Робинсона — Траутмана 239 - расходящегося типа D 241, 268 - расходящегося типа N 269 - без расширения 283 - статические цилиндрическисимметричные 204 - стационарные 163, 314 - аксиально-симметричные 178, 193, 196

- сферически-симметричные 136 - цилиндрически-симметричные 211 - с электромагнитным изотропным полем 54 - с электромагнитным неизотропным полем 53 Эйнштейна — Розена волны 209 Эйнштейна уравнения 7, 8, 52, 266, 269, 270, 278 Экстремальное поле 55, 87 Электромагнитное поле 52 - изотропное 53 - неизотропное 53 - с изометриями 87, 321 - чисто радиационное 223, 224 Элементарные делители 42 Элерса теорема 317 Эллиса класс решений 102, 116 Энергетические условия 54, 214 Энергии-импульса тензор 52 Эрнста: потенциал 163, 314, 324 - уравнение 179 Якоби тождество 19, 72