Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 23-46
УДК 512.57
ХОРНОВЫ КЛАССЫ ПРЕДИКАТНЫХ СИСТЕМ И М Н О Г О О Б Р А З И Я Ч А С Т И Ч Н Ы Х АЛГЕБР*)
В- А. ГОРБУНОВ, М . С . Ш Е Р Е М Е Т
В работе предлагается подход, позволяющий для частичных алгебр применять методы теории квазимногообразий предикатных систем. Для всякой частичной алгебры Л рассматриваем два ее предикатных пред ставления. Первое — это график алгебры Л, в котором основными от ношениями являются графики ее основных операций. Второе получается из графика алгебры Л, если в качестве основных отношений добавляются области определения ее операций. Выбор представления зависит от рас сматриваемого типа вложения для частичных алгебр. Переход к графи кам сохраняет основные алгебраические конструкции и позволяет исполь зовать стандартные методы теории алгебраических систем. С другой сто роны, понятия подалгебры и конгруэнции, дословно переносимые с алгебр на предикатные системы, теряют свою силу. Более адекватное определе ние конгруэнции на алгебраической системе дано Горбуновым и Тумано вым в [1]. Понятие оператора порождения, вводимое в настоящей работе, для предикатных систем представляет собой возможный аналог обычной операции порождения для алгебр. Отметим, что существует другой подход, предложенный в работах Андрека, Немети [2] и Бурмайстера [3]. В его основе лежит идея переноса "' Работа выполнена при финансовой поддержке Госкомитета РФ по высшему обра зованию, проект 1998 г., совместной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 96-01-00097, и Немецкого научно-исследовательского общества, проект 436113/2670, а также при поддержке ФЦП "Интеграция", проект 274.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
24
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
существующей теории для полных алгебр на частичные с помощью тео рии категорий. При таком подходе главным становится вопрос о том, что является действительным аналогом обычных тождеств в случае частич ных алгебр. В [2, 3] было найдено несколько исчислений, для которых, в частности, доказаны теоремы полноты и аналоги HSP-теоремы Биркгофа. Те же исследования показали, что сходство между частичными и полны ми алгебрами достаточно ограниченно. И именно с точки зрения теории категорий частичные алгебры обладают многими "плохими64 свойствами, характерными для предикатных систем, а не для полных алгебр. Мы считаем, что в случае частичных операций возможно несколько в равной мере естественных интерпретаций равенства. Изучение частичных алгебр с различных точек зрения приводит к необходимости рассматри вать различные семантики равенства: семантика Эванса возникла в связи с исследованием проблемы равенства слов и связанной с ней проблемы вложения [4], истинность тождеств в семантике К лини связана со строе нием клонов частичных операций [5], а эквациональная логика в сильной семантике наиболее близка к эквациональной логике полных алгебр [2, 3]. Здесь предлагается некоторое общее определение семантики, охваты вающее такие примеры, как слабая семантика, семантика Эванса, семанти ка Клини, сильная семантика. На множестве всех семантик задается предпорядок по "силе"; доказывается, что некоторые свойства многообразий частичных алгебр в данной семантике определяются ее положением в этом множестве. Устанавливается, что в любой семантике каждому многообра зию частичных алгебр соответствует хорнов класс предикатных систем, допускающий оператор порождения и замкнутый относительно прямых пределов и ретрактов. Наконец, для таких классов доказываются аналоги теоремы Биркгофа о подпрямом разложении и теоремы Тейлора о резидуальной малости. Поэтому эти теоремы применимы и для многообразий частичных алгебр в произвольной семантике.
Хорновы классы предикатных систем
25
§ 1. Представления частичных алгебр Поскольку мы будем рассматривать лишь частичные алгебры и пре дикатные системы, условимся для краткости говорить "алгебра" вместо "частичная алгебра" и "система" вместо "предикатная система". Для си стем будем придерживаться понятий и обозначений, принятых в [1, б]. Пусть Q — некоторая функциональная сигнатура, u(f) — арность символа / Е Q. Далее под алгеброй А будем подразумевать алгебру сиг натуры £2, т. е. Л = (A; fA)
f
^, где А — непустое множество, носитель
алгебры Л, a fA} f € ft, — частичные отображения из A"W в А, основ ные операции алгебры Л, Через dom fA обозначается область определения функции / л , а через graph fA
- ее график:
graph/* 4 = { ( а 0 , . . . ,а п _1,а„) € А п : / л ( а 0 , . . . , a „ - i ) = «п}« Запись вида / л ( а о , . . . , a n - i ) = a n означает, что частичная функция
fA
определена на аргументах ао,.. • , a n _i и равна а п . Алгебра Л называется полной, если dom / = A r ^ , / E ft, и дискретной, если dom / = 0 , / G ft. Пусть Л, 3 — алгебры. Отображение <р : А —)• В называется гомо морфизмом, если для всех а о , . . . , ап £ А и / G ft / л ( а 0 , . . . ,а„-. г ) = а п
влечет
/ 3 (<^(а 0 ),... ,
Если (р обратимо и ^Р""1 : Ъ —>> Л — гомоморфизм, то уэ называется изо морфизмом. Алгебру Ъ назовем частичной подалгеброй в Л (обозначается В С Л ) , если В С А, а для всех Ь 0 ,... , Ьп £ В и / G ft имеет место экви валентность / s ( 6 0 , . . . , b „ - - i ) = bn
/ л ( Ь о , - . . A - i ) = bn.
<=*
Подмножество А С А (возможно, пустое) назовем замкнутым в А, если для всех Ь0>. • • 7 bn-i
£B,aeAnfeQ
f (Ь0, • •. , b n _i) = а
влечет
а £ В.
Частичная подалгебра Ъ в Л называется подалгеброй в Л (обозначается В < Л), если JB является замкнутым в Л множеством. Заметим, что если
26
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
Л — полная алгебра, то это определение совпадает с обычным понятием подалгебры. Гомоморфизм <р : Л —> Ъ назовем {частичным)
вложением,
если (р — изоморфизм Л на (частичную) подалгебру в 23. Пусть (В)л обозначает наименьшее замкнутое в Л множество, со держащее В, В С А. Подалгебра в Л с носителем (В)А называется по далгеброй, порожденной в Л множеством В. Доказательства следующих утверждений стандартны (см., например, [3]). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.1. Пусть Л, Q - алгебры и В С А. 1) Если Л<е,
то (В)л = (В)е.
2) Если у ; Л -* 6 — гомоморфизм, то ip((B)j\) С (<^(В)) е . 3) Если Л порождается множеством В и гомоморфизмы tpo,
С совпадают на В, то <ро ~ <р\. 4) Выполняется | ( £ ) л | ^ |В| + \Q\ +u>. Другие конструкции, такие как прямые и фильтрованные произве дения, прямые и обратные пределы, даются для частичных алгебр так же, как и для систем. Точные определения можно найти в [3]. Отметим только, что в зависимости от выбора вложения получаются различные понятия подпрямого разложения. Гомоморфизм е : Л -> П Л, назовем (частичным) подпрямым разложением алгебры Л, если е является (частичным) вложением и все 7г,е сюръективны, где я*,- — проекция на г'-й множитель. Соответственно Л называется (частично) подпрямо V-неразложимой,
где
V — некоторый класс алгебр, если для любого (частичного) подпрямого разложения е : Л —У Д Л,, в котором все Л, принадлежат V, найдется г G I такое, что ще -~ изоморфизм. Сопоставим каждой частичной алгебре две предикатные системы. Пусть Q 0 = { Г / : / 6 fi} и ^ ! = fi0 U { А / : / G 12} — предикатные сигнатуры, в которых арности символов Г / и Д / равны соответственно i / ( / ) + l и ^ ( / ) . Для всякой алгебры Л определим на множестве А системы Го (Л) и Гх(Л) сигнатур QQ и ^ i соответственно, полагая основными отно шениями Г/Го<л> = Г/ Г *( л ) = graph fA, а Д / П И ) = dom / л , / € П. Пусть
Хорновы классы предикатных систем
27
UQ ~ квазимногообразие ^о-систем, определенное аксиомами (Vxyz)(r/(i,y)&r/(5,*)->y«z),
feil.
(1)
Пусть U i — класс ili-систем, определенный аксиомами (1), а также
(Vxy) (г/(г, у) -> д/(зг)) и (Vx) (Зу) (д/(аг) -> г/(г, у)), fen.
(2)
Обозначим через Р А класс всех алгебр. ПРЕДЛОЖЕНИЕ
1.2. 1) Соответствие Г 0 ( T i )
является
структурной эквивалентностг>ю между классами Р А и Uo ( U i ) , т . е . оно взаимно однозначно и для любых алгебр А, Ъ отображение <р : А —> J5 является гомоморфизмом из А в Ъ тогда и только тогда, когда <р явля ется гомоморфизмом из Го(Д) в Го(Ъ) (из Т\(А) в Ti(!B)). 2) Для любых алгебр А и Ъ соотношение А С Ъ (А <Ъ)
выполня
ется тогда и только тогда, когда Г 0 (Л) < Г 0 (В) (ГЦЛ) < 14(В)). 3) Соответствия То иТ\ перестановочны с фильтрованными про изведениями, прямыми и обратными пределами. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для Г 0 все утверждения следуют непосред ственно из определений. Рассмотрим случай соответствия Г\. 1) Ясно, что все системы вида Ti(A) удовлетворяют аксиомам (1) и (2). Обратно, если M G U I , то Г/-^ = g r a p h / ^ для некоторой алгебры А на множестве М. Поэтому AfM
= domfA согласно аксиомам (2). Далее,
всякий гомоморфизм из Го (Л) в Го (Б) будет гомоморфизмом из Ti(A) в Ti(3). Отсюда в силу свойств Го получаем утверждение о гомоморфизмах. 2) Пусть А < Ъ. Тогда по определению graph fA = graph /^ШзИ-^ 4 " 1 , а замкнутость А ъЪ означает, что dom fA = dom /ъ П AUW. Следователь но, Гх(Л) < Г Ц З ) . Аналогично и в обратную сторону. 3) Ограничимся случаем с обратными пределами. Пусть (/, Л^, tpij) — обратное семейство, тогда, согласно п. 1, (/,Г(Л,),<^) — также обратное семейство, и наоборот. Пусть множество А = {а € П А
:а
(0
=
¥4;(G(J)),
г ^ jf} непусто, т. е. оба предела Л = Цт Л,- и М = Нт Г^Л;) существуют. В силу свойств Го получаем, что Г ^ == graph fA.
Как нетрудно видеть,
28
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
множество А замкнуто в Ъ = П ^«- Следовательно, AfM совпадает с domfA.
= dom / ^ П А 1 ^ )
Таким образом, Ж = Гх(Л). •
§ 2, Семантики равенства на частичных алгебрах
2Л.
Определение произвольной семантики и
некоторые
свойства. Пусть X — счетное множество переменных, а Г — множество всех термов сигнатуры Q над X. Нетривиальными называются термы, принадлежащие Т\Х,
т. е. те, в запись которых входит хотя бы один функ
циональный символ. Для всякого t £ Т обозначим через \t множество всех нетривиальных подтермов в t. Функцию F : Т х Т -± Р(Т) назовем семантикой, если для любой пары термов (s,t) множество F(s,£) является подмножеством в | s U \t} замкнутым относительно взятия нетривиальных подтермов. Будем гово рить, что в семантике F на алгебре А формула s & t выполняется при означивании а : X -> А, обозначается А |= (s &р t)[cr], если в А определены и совпадают значения s^[a], ^л[сг], как только все термы из F(s, t) или из F(£, s) определены в А при означивании а. Тогда — полагая S(Sjt) — 0 для всех s,t € Т, получаем сильное равен ство (см. [7]); — полагая Kl(s, t) = | s , получаем равенство Клини (см. [8]); — полагая Ev(s,t)
= Is U (it \ {£}), получаем равенство Эванса
(см. [4]); — наконец, W(s, t) = Is U ^ дает слабое равенство (см. [7]). Для произвольной семантики F рассмотрим следующие преобразо вания: Поворот •— выбираем произвольное множество U С Т х Т и опреде ляем новую семантику G, полагая G(syt) = F(t,s), если (s,£), (£,s) £ t/, и G(s,t) = F(s,£) в противном случае;
Хорновы классы предикатных систем Сдвиг — определяем новую семантику G, полагая G[s,t) =
29 F[s,t),
если F[s,t) ^ F(t,s), в противном случае в качестве G[s,t) выберем про извольное подмножество в is U It, содержащее F[t, s) и замкнутое относительно нетривиальных подтермов. Укажем несколько очевидных свойств этих преобразований. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.1. 1) Если F получается из G с помощью преобразования поворота [сдвига), moG получается из F преобразовани ем поворота [сдвига). 2) Композиция преобразований поворота [сдвига) является преобра зованием поворота [сдвига). 3) Если имеются преобразования F\ > F2 -> F3, то s г, сдвиг „, поворот возможны также преобразования Fi > Р'г > гз4) Если семантика F получена из G преобразованием поворота [сдвига), то А \= (s &р t)[a]
<==> А \= (s &Q t)[cr]
для любых термов s, t, алгебры А и означивания а : X —> А. Будем говорить, что семантики F и G подобны, и использовать обо значение F ~ G, если F можно получить из G с помощью преобразований поворота и сдвига. В силу предложения 2.1 отношение F ~ G является эквивалентностью. Семантику F назовем неприводимой, если для любых s,t £ Т вклю чение F[s, t) С F[t, s) влечет равенство F[s, t) = F[t, s). Поэтому неприво димые семантики подобны лишь тогда, когда они отличаются на преобра зование поворота. Ясно, что любую семантику можно привести к неприво димой с помощью преобразования сдвига — достаточно положить F[t, s) равным F[s, t) во всех случаях., когда F[t, s) D F[s, t). Определим на множестве семантик отношение <, полагая F < G в том и только в том случае, если для любой пары термов [s, t) выполняется G[s,t) D F[s,t) или G[s,t) D F(t}s). Л Е М М А 2.2. Пусть F < G.
30
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет 1) Для любых термов s, t, алгебры А и означивания а : X —> А Л\= (s &р t)[a] 2) Если F~F'
влечет
uG~G',moF'
А \= (s « G t)[o].
< G'.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Это утверждение следует непосредственно из определений. 2) Пусть в, t — произвольные термы. Обозначим PQ = F(s,t)}
Pi =
= F(£, s), Qo == <7(s, t), Qi = G(t, 5), тогда F < G означает, что
& V (<Ь2Р,-).
(*)
t=0,l j = o , l
Ясно, что это условие будет выполняться и при любой перестановке Ро С P I и Qo с Qi. Поэтому если Ff и С получены преобразованиями поворота из F и G соответственно, то F ' < G". Если PQ С P I , ТО (*) равносильно условию & (Qi Э PQ), В которое «=од не входит Pi. Если же Qo С Qi) то (*) равносильно условию V (Qo 2 Pj), в которое не входит Q\. Поэтому если F' и G1 получены преобразованиями сдвига из F и G соответственно, то снова имеет место Ff <
-Qo2Po*Qo2Pi* Построим алгебру А на множестве Т, полагая fA(ti,...
,£ n -i) = tn в том
и только в том случае, если терм tn равен /(*oi • • • »*n-i) и £„ Е Qo- Яс но, что тогда при тождественной подстановке а : X -± X в А будут определены все термы из G(s,t)
= Qo, но ни F(s,t), ни F(*,s) не бу
дут определены полностью. Кроме того, Qo ф is U Ji, поэтому хотя бы
Хорновы классы предикатных систем
31
одно из значений sA[cr] или И[<т] не определено. Получаем, что Л (= (s &p
&Ft)[a]HAft
(S«G t)M- D
Пусть теперь F < G и G < F , докажем, что F ~ G. По предположе нию, для любых термов s, £ при обозначениях PQ = F(s,t),
P\ = F(£, s),
Q 0 = G(s, t) и Qi = G(t, s) имеем
&
V (QilPi)
и
t=0,l j=o,l
&
V
ЙЭ*).
J=0,1 i=o,l
в частности, можно выбрать io, H,Jo,ii € {0,1} так, что Qo 2 -Fjo 2 Q*o
и
Qi 2 J J I 2 QM . В силу леммы 2.2 можно считать, что F и G неприводимы. Тогда QQ = Q io = Р Л и Qi = Q t l = Pjx. Если j 0 = j i , то Pi_ JO D QQ = Qi = = P J0 и в силу неприводимости все эти множества равны. Если же jo ф Зъ то {QQ, QI} = {Po, Pi}. В любом случае F ~ G. Будем говорить, что семантика F сильнее семантики G, a G слабее F , если для любых термов s, t, алгебры Л и означивания а : X —»• А А \= (s «jr *)[<т] влечет
Л |= (s &G t)[o].
Если F и слабее, и сильнее G, то будем говорить, что F и G эквивалентны. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.4. Семантика F сильнее семантики G то гда и только тогда, когда F < G. Семантики F uG эквивалентны в том и только в том случае, если F ~ G. 2.2. Многообразия частичных алгебр. Для данной семантики F многообразием называется класс К алгебр, аксиоматизируемый тожде ствами в семантике F , т. е. формулами вида (Vx) s &p £, где s, t — термы от переменных ~х. Л Е М М А 2.5. Для любого нетривиального терма t{x)} х = XQ, . . . ...,жп_),
существуют
V-формулы А£(ж) и А$(ж, ж„) сигнатуры
fij
и 3-формула Et(af, х п ) сигнатуры QQ такие, что для произвольных
ал
п
гебры А и элементов а 6 А , Ь 6 А выполняется t(a)A определено t(a)-A = & *=>
<£=> Гх(Л) [= А'е(а), Г1(Л)ИА«(а,Ь)
«=>
Г0(Л) И Е,(а,6),
32
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
причем ни одна из этих формул не содероюит символа равенства, а бес кванторная часть Et представляет собой конъюнкцию атомных формул. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по сложности терма t. Пусть t имеет вид /(ж), где / Е Q. Тогда полагаем Et(x, xn) = At(x, xn) = Г/(ж, хп),
A't(x) = Д / ( з ) .
Пусть терм t имеет вид / ( з о ( я ) , . . . ,sit_i(a)), где / € 12, и для всех нетривиальных s,-, t < &, формулы Е,$., A5|. и А^. уже известны. Для определенности считаем, что в точности £ o , . . . , £ m - i нетривиаль ны. Пусть у = уо,... >Ут-1 ~ попарно различные новые переменные и $ = ^ о , . . . , sjb_i; тогда полагаем Et(^,x„)
=
А*(х, х„)
=
(Зу)( & Е,Дж,уО&Г/(у,5,а?„)); & А'#. (Х) & (Vy) ( & Е„(х, у,-) -> Г/(у, в, х п )); i<m
К(Ю
=
i<m
& A;,.(*)*(Vy)(& E„.(x,y,)->A/(y,s)).
(Строго говоря, эти формулы необходимо привести к форме с предваренными кванторами.) Нетрудно проверить, что указанные формулы облада ют требуемыми свойствами. П ЛЕММА
2.6. Пусть F — произвольная
семантика.
бых термов s(x), t{x) существуют V'-формула AAst(x)
Для
лю
сигнатуры Qi
и \/3-формула АЕ^(х) сигнатуры QQ такие, что для произвольных
ал
гебры А и означивания о : X -* А выполняется А (= {s » F t)[o)
<=» <=>
Ti(Л) (= (ААЛ & AAt8)[a) r0(A)\={AE8tbAEt8)[o].
Более того, формула АЕ5Дж) имеет вид (Vu) (3v) (Ф(ж, и) --» Ф(ж, и)), где Ф и Ф представляют собой конъюнкции атомных формул, аФ не содероюит символа равенства. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пользуясь леммой 2.5, условие "все термы из множества F{s,t) (Зи)Ф(х,и)
определены" можно выразить некоторой З-формулой
сигнатуры fio> г Д е Ф — конъюнкция атомных формул. Фор
мулой (3v) Ф (х, U) такого же вида (но, возможно, с равенством) можно
Хорновы классы предикатных систем
33
выразить условие "термы s, t определены и равны". С другой стороны, последнее условие можно также выразить V-формулой (Уй;)Ф,(ж, w) сиг натуры fii. Полагаем АА^(ж) =:(Vuw)($(x,u)
-* Ф'(ж,Ш)),
AEse(^) =(У5)(3|;)(Ф(г,В) -> Ф(х,!т)). Лемма доказана. П П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2*7. Пусть V — многообразие в некоторой се мантике. Тогда классы V, Г 0 (У) гх Ti(V) замкнуты относительно пря мых пределов, прямых произведений и ретрактов; кроме того, V за мкнут относительно подалгебр, a Ti(V) замкнут в Х5\ относительно подсистем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу предложения 1.2 достаточно прове рить только утверждения, касающиеся Fi(V). Нетрудно видеть, что класс U i замкнут относительно прямых про изведений. Согласно лемме 2.6, класс 14 (V) можно задать относительно U i V-формулами вида kkst или УЗ-формулами вида AE si . Поэтому r i ( V ) замкнут относительно подсистем в U i и прямых произведений. Более то го, в формулах вида AES* кванторы существования относятся только к заключению импликации. Следовательно, эти формулы устойчивы отно сительно прямых пределов [9]. Пусть теперь Т\(А) € Ti(V) и М - ретракт Т\{Л); тогда Ж является и подсистемой, и гомоморфным образом системы Л. Поскольку класс U i задается универсальными и позитивными аксио мами, то Ж £ U i . Класс Ti(V) замкнут относительно подсистем в U i , поэтому М б 1*1 (V). • 2.3. Дополнительные свойства замкнутости. Выясним, для ка ких семантик истинность тождеств сохраняется при переходе к частичным подалгебрам и гомоморфным образам. Для семантики Эванса и слабой се мантики лемму 2.6 можно несколько усилить. Л Е М М А 2.8. Пусть F = Ev или F = W. Тогда для любых тер мов s(aF)?£(#) £ Г существует универсальная хорнова формула Q^(af)
34
В. А. Горбунов^ М. С. Шеремет
сигнатуры По такая, что для произвольных алгебры Л и означивания а : X —> А выполняется A\=(s*tF
эквивалентность t)[a]
<=*
Г 0 (Л) (= (Qft 4 Q f j H -
Более того, символ равенства входит только в заключение
формул
<№)• ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть t(x) имеет вид f(t0(x),...
, t„_i(z)). В
силу леммы 2.5 следующие формулы обладают требуемыми свойствами:
QS"(a5) = (Vjft>...yn-i*) ( & Е,.(г,у,-)*Е.(г,*) -•r/(y 0 ...y f ,_i,z)); Q^(x) = ( V y 2 ) ( E e ( x , y ) & E t ( ^ z ) - > t / « Z ) . Лемма доказана. • П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.9. Для се.мшг?гшси F равносильны
следую
щие условия: 1) F > Ev; 2) любое многообразие в семантике F замкнуто относительно ча стичных подалгебр] 3) любое многообразие в семантике F замкнуто относительно ча стичных подпрямых произведений; 4) для любого многообразия V в семантике F класс To(V) является квазимногообразием. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) =• 4). Пусть F > Ev и V - многообразие в семантике F. Нетрудно видеть, что для любых термов s,t £ Т либо F(s,t)
= Ev(s,t),
либо F(s}t) = W(s,t).
Согласно лемме 2.8 класс r 0 ( V )
является квазимногообразием. 4) Ф> 2). Согласно предложению 2.7, класс To(V) замкнут относи тельно прямых пределов и прямых произведений. Следовательно, в си лу леммы 5.1 [1] класс To(V) является квазимногообразием тогда и толь ко тогда, когда он замкнут относительно подсистем. Согласно предложе нию 1.2 последнее равносильно замкнутости V относительно частичных подалгебр.
Хорновы классы предикатных систем
35
4) Ф» 3). Аналогично. 2) => 1). Пусть F ^ Ev, т. е. для некоторых (не обязательно раз личных) термов s и t имеем F(s, £) 2 Ev(s,t)
и F(s,£) 2 Ev(t,s),
откуда
E($)t) С (^s U | t ) \ {s,£}. Заметим, что 5 и £ не могут быть тривиальны ми одновременно, так как в противном случае получили бы F(s, t) Э 0 = = Ev(s,t)
= Ev(t,s),
что противоречит выбору s nt.
Рассмотрим многообразие V полных алгебр, определенное тожде ством 5 & £. Пусть Л — это V-свободная алгебра со свободным ба зисом X. По определению любые два различных терма из множества X U ((is U it) \ {б', t}) задают различные элементы в Л, поэтому можно считать, что F(s, t) С А. Пусть Ъ — частичная подалгебра в Л на мно жестве В = F(s,t) U А*. По построению, тождество 5 «i? t истинно на Л, но ложно на В, поскольку в Ъ не определен хотя бы один из термов s и t (тот, который не является тривиальным) при тождественном означивании Х-~>Х. • Внутри класса полных алгебр всякий инъективный гомоморфизм яв ляется вложением. Для класса частичных алгебр это, как нетрудно видеть, уже не так. Алгебра Л называется слабой подалгеброй в В, если А С В и тождественное отображение из А в В является гомоморфизмом. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2,10. Для семантики F равносильны следую щие условия: 1) F = W; 2) любое многообразие в семантике F замкнуто относительно сла бых подалгебр. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) => 2). Пусть V - многообразие в слабой семантике. Из доказательства леммы 2.8 следует, что To(V) можно задать предложениями вида (Wyz) (^ЕДя, у) V -Et{x, *) V (у « z)). Поскольку формулы Е*, t Е Т, позитивные, класс To(V) замкнут относи тельно прообразов по инъективным гомоморфизмам. Так как Го — струк турная эквивалентность, V замкнуто относительно слабых подалгебр.
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
36
2) =» 1). Пусть F ф W, т. е. F{s,t) ф (4,sU4*) для некоторых s,t
еТ.
Пусть V — многообразие полных алгебр, определенное тождеством s « £, и пусть Л — это V-свободная алгебра со свободным базисом X. Как и раньше, можем считать, что F(s, t) С Л. Поскольку F(s, t) замкнуто отно сительно подтермов, на множестве А можно определить алгебру !В, пола гая /ъ(и)
— / ( ¥ ) , если / ( ¥ ) € F(s,£), и считая, что /ъ(и)
не определено в
противном случае. Алгебра Ъ будет слабой подалгеброй в А и Л [= s « F £. Поскольку не все термы из \.s U \t определены в 23, то Ъ |£ 5 «/г *• ° Рассмотрим сильную семантику: S(s, £) = 0 , 5, t 6 Т. Непосредствен ным следствием леммы 2.5 является Л Е М М А 2.11. Для любых термов s,t £ Т, алгебры А и означива ния а : X --» А выполняется At=(sns
t) [<т] «=>
Г 0 (Л) И (Зу) (Е, (ж, у) & Е* (х, у)) [<т].
Пусть S — множество всех семантик F , для которых /
F{s,t) = {
0,
если 5 =^ £,
0 или |£
в противном случае.
П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.12. Для семантики F равносильны следующие условия: 1) F ~ G для некоторой G Е S; 2) любое многообразие в семантике F замкнуто относительно го моморфных образов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) => 2). Из леммы 2.11 следует, что для вся кого многообразия V в семантике 5 класс I\)(V) замкнут относительно гомоморфных образов. Следовательно, V гомоморфно замкнуто в силу предложения 1.2. Пусть F ~ G, для некоторой G е §. Можно считать, что F неприводима. Поскольку преобразование поворота не меняет G, то F = G. Пусть s,t £Т. Если F(s: i) = 5(5, £) = 0 , то по доказанному тожде ство s ttp t устойчиво относительно гомоморфизмов. Если же F(s, t) ф 0 , то 5 = t и F(s, £) = Ji, т. е. тождество t «j? £ истинно на всех алгебрах. 2) => 1)* Пусть F не подобна никакой семантике из S, тогда возможны два случая.
Хорновы классы предикатных систем С л у ч а й 1: F(s)t)
ф 0 и F(t,s)
37
ф 0 для некоторых различных
термов s и t. Пусть 7 — полная алгебра термов над множеством X, a 7d — дискретная алгебра с тем же носителем Т. Тогда тождество s &p t истинно на 7d) но ложно н а Т и , как нетрудно видеть, тождественное отображение на Г является гомоморфизмом из 7d на 7. С л у ч а й 2: 0 С F(t,t)
С U для некоторого терма t. Рассмотрим
алгебры Л и Ъ на множестве Г, где Л дискретная, а операции на Ъ опреде лены по правилу: /ъ(й)
= /(w), если f(u) £ F ( t , t ) , и /®(tF) не определено
в противном случае. Тогда, по построению, Ъ — гомоморфный образ Л, тождество t «/г £ истинно на Л, но ложно на Ъ. • В частности, из предложений 2.10 и 2.12 следует, что во множестве всех семантик не существует "универсальной64, в которой каждое многооб разие было бы замкнуто относительно частичных подалгебр (равносильно, частичных подпрямых произведений) и гомоморфных образов одновре менно.
§ 3. Подпрямо неразложимые частичные алгебры 3.1. Теорема о подпрямом разложении. Напомним (см. [1]), что прямой предел называется надпрямым, если в соответствующем прямом семействе все гомоморфизмы сюръективны. Т Е О Р Е М А 3.1 [10]. Пусть К — класс систем, замкнутый от носительно надпряжых пределов. Тогда всякая система из К
является
подпрямым произведением подпрямо "К-неразложимых систем, С Л Е Д С Т В И Е 3.2. Пусть V — многообразие частичных алгебр в некоторой семантике. Тогда всякая алгебра из V является
(частичным)
подпрямым произведением (частично) подпрямо ~V-неразложимых ал гебр, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу предложения 1.2 алгебра Л € V имеет частичное подпрямое разложение е : Л —> fj Л;, где Л% 6 V', тогда и только »€/
тогда, когда е : Го (Л) —> ЦГо(Лё) — подпрямое разложение в X\)(V).
38
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
Аналогичное соответствие имеется между подпрямыми разложениями в V и в Ti(V). Согласно предложению 2.7 классы To(V) и Fi(V) замкнуты относительно надпрямых пределов. Требуемое теперь следует из теоремы 3.1. Q ЗАМЕЧАНИЕ. Следствие 3.2 для случая частичных подпрямых раз ложений известно (см. [10, теор. 5.8]). В случае подпрямых разложений оно было доказано только для класса всех частичных алгебр [11, теор. 5.8, замеч. 5.9]. 3.2. Характеризация резидуально малых многообразий. Со гласно [12], многообразие V полных алгебр называется резидуально ма лым, если мощности всех подпрямо V-неразложимых алгебр ограничены некоторым кардиналом. Для частичных алгебр имеет смысл рассматри вать также свойство ограниченности мощностей частично подпрямо нераз ложимых алгебр. Докажем, что в обоих случаях резидуально малые мно гообразия частичных алгебр имеют характеризацию, которая аналогична полученной Тейлором для полных алгебр. Чтобы охватить оба случая од новременно, перейдем к рассмотрению предикатных систем. Пусть К — класс систем, Л Е К и Ъ < Л. Система Л называется существенным К -расширением системы Ъ, если всякий гомоморфизм ip из Л в некоторую систему 6 G К такой, что ц>\В является вложением, сам будет вложением. Пусть Ек(А) обозначает класс всех существенных К-расширений Л. Следующая лемма легко следует из определений. Л Е М М А 3.3. 1) Объединение любой цепи из Ек{Л), щее К, лежит в
принадлежа
EJC(A).
2) Если Ъ е ЕК(А),
то ЕК(Ъ) С
ЕК{А).
Пусть для каждой системы Л из К задан некоторый оператор за мыкания GA на множестве А. Совокупность G = {GA ' А Е К } назовем оператором порождения на К, если выполняются следующие условия: G1) для всех Л € К и В С А подсистема SA (В) < А принадлежит К; G2) если Л <Е К, В С А и С = 3 Л (В), то С = З е (В);
Хорновы классы предикатных систем
39
G3) если Л, C G К, <р : А —» С — гомоморфизм и В С А, то
(p{GA(B))CGe(v(B)); G4) если Л Е К и Л = 9л(В), то любые два гомоморфизма С Е К, совпадающие на В, совпадают и на Л; G5) для всякого множества В мощности систем Л Е К таких, что Л = 5л(В), ограничены. Говорим, что класс К допускает оператор порождения, если для К существует некоторый оператор порождения G. Если такой G задан и Л = = Зл (В), Л Е К , то говорим, что система Л порождается множеством В. Л Е М М А 3.4. Пусть класс систем К замкнут относительно пря мых пределов и допускает оператор порождения. Тогда для любых си стем А Е К и Ъ < Л найдутся существенное К-расширение С системы Ъ и тождественный на В гомоморфизм <р : А —> С такие, что С по рождается множеством <р(А). В частности, Ъ имеет существенное
В-порожденное
К-расгиирение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условия Gb в классе всех гомомор физмов (р : Л —>• С таких, что Ъ < С Е К, <р тождественный на В и <р(А) порождает С, существует максимальное подмножество (pi : А —> Л;, г Е I, элементы которого попарно неэквивалентны. S < Л; Е К, Гомоморфизмы (р : А -ч* Q и Q* мы считаем эквивалентными, если <р' = а<£ для некоторого изоморфизма се из С на С. Определим предпорядок *$ на / , полагая г <^ j
<=ф Л^.
Заметим, что поскольку у?,'(А) порождает Л,, то, согласно условию G3, ес ли гомоморфизм (pij существует, то он единственный. Отсюда, для всех i £ I гомоморфизм (ри может быть только тождественным, а при г ^ j ^ k выполняется
E / . Тогда j,- = Vji> т. е. у>у и
мы. Согласно выбору множества / получаем, что г = j . Следовательно, отношение ^ является частичным порядком.
40
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет Заметим также, что в J существует наименьший элемент 0, дая ко
торого Л = Ло. Можно считать, что Л = Ло, а <^о — тождественное ото бражение; тогда (fi = <р,о, г 6 J. Покажем, что множество / удовлетворяет условиям леммы Цорна. Пусть J — непустая цепь в /; найдем в / верхнюю грань для J . Все гда можно предполагать, что 0 £ J. Поскольку J является цепью, то {J,Aj, С — соот ветствующие гомоморфизмы. Поскольку С = (J ^j(Aj) и Л^ порождается множеством ^ ' = V^oi- Тогда С G К, ^ - гомоморфизм из Ло в С', ^'|\В — вложение и, согласно условию G2, ^'(Ао) порождает С. Следовательно, найдутся г £ J и изоморфизм а : С' -» Э; такие, что <poi = <*'. Тогда <£>о* = («WOvoi? т. е. г ^ 1. Отсюда г — 1, Лх = & < С и ^ — вложение. Для доказательства частного утверждения достаточно вместо Л взять ее В-порожденную подсистему. • Система Л называется атомно компактной, если в Л выполнимо вся кое множество Е атомных формул с константами из Л и от произвольного числа переменных такое, что каждая конечная часть Е выполнима в Л. Известен следующий критерий атомной компактности (см., например, [13, теор. 85.1]). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3,5. Система А атомно компактна тогда и только тогда, когда А является ретрактом любой своей ультрастепени.
Хорновы классы предикатных систем
41
Следующая теорема была доказана Тейлором [14]. Т Е О Р Е М А 3.6. Пусть К — класс сштем сигнатуры А, замкну тый относительно ретрактое и прямых произведений, |Л|| = |Л| + и. Существует множество Ко С К мощности не больше 2»л1 такое, что все системы из Ко атомно компактны, их мощности не превосходят 2 ' л ' и любая атомно компактная система из К является
ретрактом
прямого произведения систем из Ко. Пусть К — класс систем, Л Е К называется К-абсолютным ретрак том, если для любого расширения А < Ъ € К система А является ретрак том S. Т Е О Р Е М А 3.7. Пусть К — аксиоматизируемый
класс систем
сигнатуры А, замкнутый относительно прямых произведений,
прямых
пределов и ретрактое. Если К допускает оператор порождения, то рав носильны следующие условия: 1) мощности подпрямо К-неразложимых
систем ограничены;
2) мощности подпрямо VL-неразложимых систем не превосходят 2|А|.
3) для любой системы А
€ К мощности систем из
Ек(А)
ограничены] 4) для любой системы Л 6 К и ее существенного К.-расширения Ъ справедливо \В\ ^ 21Л1+1Л|; 5) любая система из К вложима в ~К-абсолютный ретракт; 6) любая система из К вложима в атомно компактную
систему
из К . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) => 3). Предположим, что мощности под прямо К-неразложимых систем ограничены некоторым кардиналом Л. Пусть Л Е К И В ™ существенное К-расширение Л. В силу теоремы 3.1 S является подпрямым произведением подпрямо К-иеразложимых систем Si, г G I . Пусть А (= ^р(а) для некоторых р £ AU {«} и последователь ности а элементов из А. Тогда существует j = j(p,a) 4
в I, для которого
S j (= " p(iTj(a))i где Kj — проекция из S на S j . Пусть J — множество всех
42
В. А. Горбунов} М. С. Шеремет
элементов j(p, а), для которых Л (= ~>(а). Тогда | J | < | Л | + |А|. Рассмотрим гомоморфизм ф : Ъ -± Д ®л определенный как ^(Ь) = = {Фэ{Ъ) : j € J), b € В. По построению ^ вкладывает Л в fj B j . СледоieJ вательно, ф — вложение и |JB| ^ А1Л1+1А1 2) => 4). В силу доказанного выше достаточно заметить, что A
(2l l)IA|+HI = 2l A l+W. 3) =» 5). Допустим, что мощности систем из Ек(Л) ограничены. То гда по лемме 3.3 можно найти максимальную по вложению систему £ в Ек{Л). В силу максимальности £ и той же леммы £ не имеет отличных от себя существенных К-расширений. Предположим, что £ < D £ К . Приме няя лемму 3.4, найдем гомоморфизм из D в £, тождественный на £, т. е. ретракцию. Таким образом, £ является К-абсолютным ретрактом. 5) => 6). Следует из предложения 3.5. 6) => 2). Следует из теоремы 3.6. Импликации 2) =Ф 1) и 4) =>• 3) очевидны. • Пусть V — многообразие алгебр в какой-либо семантике, KQ = I\)(V) и K i = Ti(V). В силу предложения 2.7 классы Ко и K i замкнуты относи тельно прямых произведений, прямых пределов и ретрактов. Более того, Ко и K i допускают (общий) оператор порождения. Действительно, доста точно рассмотреть для всех Л € V естественный оператор порождения X ь-> (-Х"Хд, X С А. Поскольку Го и I \ — структурные эквивалентности, то условия G1—G5 выполняются в силу предложения 1.1. Применяя теорему 3.7 к классам Ко и K i , мы получаем различные следствия дая многообразия V (различие состоит в выборе типа вложения для алгебр). Определим V 5 / = {Л : Го (Л) подпрямо Ко-неразложима}, V^/ = {Л : Гх(Л) подпрямо Ki-неразложима}; V^R = {Л : Го (Л) является Ко-абсолютным ретрактом}, VAR
= {Л : Г1(Л) является Ki-абсолютным ретрактом}.
Как мы уже видели, V$j и V^/ — это, соответственно, класс частично
Хорновы классы предикатных систем
43
подпрямо V-неразложимых и класс подпрямо V-неразложимых алгебр. Определим также для любой Ъ Е V Еу(Ъ) = {А : Го (Л) -~ существенное Ко-расширение Го(В)}, EvCB) = {А : Тх(А) — существенное Ki-расширение ri('B)}. ТЕОРЕМА 3*8, Пусть V — многообразие алгебр в некоторой се мантике и е - любое из отношений С и <. Тогда равносильны следующие условия: — класс V | j является множеством] — Еу(А)
— множество для всех A Е V;
— |В| ^ 2^+\А\
для всех Л Е V иЪе
Е§(А);
— для любой Л 6 V существует Ъ Е V ^ такая, что
АеЪ\
n
— \А\ ^ 2l i для всех Л Е V f 7 . 3,3, Эпи-подпрямые разложения. Пусть А, Ъ — алгебры, (р : Л -> -> S — гомоморфизм и С из ^oV = ^i¥> следует Внутри класса полных алгебр всякий эпиморфизм является сюръективным, поэтому следующая конструкция обобщает понятие подпрямого разложения с полных алгебр на частичные. Пусть V — класс алгебр и Л, Л,- (г Е / ) — алгебры из V. Согласно [11], вложение е : Л —> Д Л, называется эпи-подпрямым V-разложением,
если
тг,е(А) порождает Л; для всех г Е /• Алгебра Л называется эпи-подпрямо V-неразложимой, если для любого эпи-подпрямого V-разложения е : Л -~» "~~^ П ^* найдется г Е / такое, что 7г,е — изоморфизм. Всякое подпрямое разложение является эпи-подпрямым, и в [11] вы сказывалось предположение, что при таком более широком понятии раз ложимости число неразложимых алгебр должно уменьшиться. Действи тельно, примеры из [11, 15] показывают, что класс эпи-подпрямо неразло жимых моноунарных алгебр (алгебр с одной унарной операцией) строго содержится в классе подпрямо неразложимых моноунарных алгебр. Тем
44
В. А. Горбунов, М. С. Шеремет
не менее, как видно из следующей теоремы, свойство "быть резидуально малым многообразием" не зависит от выбора между этими двумя поняти ями разложимости. Т Е О Р Е М А 3.9* Пусть V — многообразие алгебр в некоторой се мантике, тогда равносильны следующие условия: 1) мощности подпрямо \ -неразложимых алгебр ограничены; 2) мощности эпи-подпрямо V-неразложимых алгебр ограничены. Обозначим: Q = Fi(V) и S(Q) = {Ж : Ж < Ж' для некоторой Ж* € Q } . Для доказательства теоремы нам потребуются два следующих результата, Л Е М М А 3.10, Для алгебры А 6 V равносильны следующие усло вия: a) А — эпи-подпрямо V-неразложима; b) Т\(А) — подпрямо S(Q) -неразложима; c) Т\(А)
— существенное Q-расширение подпрямо
Б(($)-иеразло-
жимой системы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) & Ь). Нетрудно видеть, что всякому подпрямому разложению Т\(А) < YI Ж{) где Жi < T\(Ai) 6 К, соответствует •€/
эпи-подпрямое разложение А < Д В,, где В,- — подалгебра в Л,, поро ге/ жденная множеством М,-. Обратно, по эпи-подпрямому разложению А < П В,, где В,- £ V, •€/
можно указать подпрямое разложение Ti(A) < Д М,, где 3VC, — подсисте ме/ ма в 14 (В,) с носителем тгг(А), т. е. Ж{ G S(Q). Ясно, что соответствующие разложения тривиальны (или нетриви альны) одновременно. Ь) <=> с). Следует из определения существенного расширения. • П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.11 [15]. Любая алгебра из V
представима
в виде эпи-подпрямого произведения эпи-подпрямо V-неразложимых ал гебр. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 3.1 существует подпрямое
Хорновы классы предикатных систем
45
разложение Т\(А) < П 3VC,-, где все М,- подпрямо S(Q)-нepaзлoжимы. По лемме 3.4 для каждого i € I существует Mj-порожденное существенное Q-расширение Ж\ системы JvCt. Пусть Ж[ = 14 (Л,), где Л, € V, г € / . Тогда согласно предложению 1.2 имеем эпи-подпрямое разложение Л < Ц Л^, а по лемме 3.10 все Л,- являются эпи-подпрямо V-неразложимыми. • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.9. Импликация 2) => 1) следу ет из того, что всякая эпи-подпрямо V-неразложимая частичная алгебра является подпрямо V-неразложимой. Обратно, предположим, что мощности эпи-подпрямо V-неразложимых алгебр ограничены. В силу свойств соответствия Т\ достаточно прове рить, что мощности подпрямо Qi-неразложимых систем также ограничены. Согласно лемме 3.4 всякая подпрямо 8(С2)-неразложимая систе ма имеет существенное Q-расширение, которое по лемме 3.10 является Ti-образом подпрямо V-неразложимой алгебры. Следовательно, S(Q) — резидуально малое квазимногообразие. Поэтому согласно теореме 3.7 вся кая система из S(Q) вложима в 8(<3)-абсолютный ретракт. Так как Q замкнут относительно ретрактов, всякий S(Q)-a6cajiioTHbiii ретракт при надлежит Q. Следовательно, всякая система из Q вложима в Q-абсолютный ретракт. По теореме 3.7 получаем, что мощности подпрямо Q-неразложимых систем ограничены. •
ЛИТЕРАТУРА 1. В. А. Горбунов, В. И. Туманов, Строение решеток квазимногообразий, в кн. "Математическая логика и теория алгоритмов" (Труды Ин-та матем. СО АН СССР, 2), Новосибирск, Наука, 1982, 12-44. 2. Я. Andreka,
L Nemeti,
Generalizations of the concept of variety and
quasivariety to partial algebras through category theory, Diss. Math., 204 (1983). 3. P. Burmeister, A model-theoretic oriented approach to partial algebras, part I, Berlin, Akademie-Verlag,, 1986. 4. 1\ Evans, The word problem for abstract algebras, J. Lond. Math. Soc, II. Ser., 26 (1951), 6 4 - 7 1 .
46
В. А. Горбунов,
М. С. Шеремет
5. F. Borner, Varieties of partial algebras, Beitr. Algebra Geom., 37, N 2 (1996), 259-287. 6. В. А. Горбунову Строение решеток многообразий и решеток квазимногооб разий: сходство и различие, I, Алгебра и логика, 34, N 2 (1995), 142—168. 7. Н. Hoft, Weak and strong equations in partial algebras, Algebra Univers., 3, N 2 (1973), 203-215. 8. # . Andreka, W. Craig, I. Nemeti, A system of logic for partial functions under existent dependent Kleene equality, J. Symb. Log., 53, N 3 (1988), 834—839. 9. Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн, Теория моделей, М., Мир, 1977. 10. А. И. Мальцев, Подпрямые произведения моделей, Докл. АН СССР, 109, N 2 (1956), 264-266. 11. P. Burmeister,
M. Siegmund-Schultze,
Subdirect representations of partial
algebras, Techn. Univ. Darmstadt, 1984, preprint 867. 12. W. Taylor, Residually small varieties, Algebra Univers., 2, N 1 (1972), 3 3 - 5 3 . 13. G, Grdtzer, Universal algebra, 2nd ed., New York, Springer-Verlag, 1979. 14. W. Taylor, Some constructions of compact algebras, Annals Math. Logic, 3, N 4 (1971), 395-436. 15. P. Burmeister, Subdirect representations by epimorphisms in quasi varieties of partial algebras, Techn. Univ. Darmstadt, 1998, preprint 2010.
Адрес автора: Ш Е Р Е М Е Т Михаил Сергеевич, РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики С О РАН. e-mail: [email protected]
Поступило 2 сентября 1999 г.
