Алгебра и ее приложения. Методические указания по типовому расчету

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

Составители: А.В.Анкилов Н.В.Савинов М.Е.Чумакин

Ульяновск 2001

УДК 517 (076) ББК22.143я73 Л59 Рецензент - кандидат физико-математических наук, доцент УлГПУ В.П. Глухов. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Линейная алгебра и ее приложения: Методические указания к типовому Л59 расчету / Сост. А.В.Анкилов, Н.В.Савинов, М.Е.Чумакин. - Ульяновск: УлГТУ, 2001.-48 с. Методические указания написаны в соответствии с программами математических дисциплин для инженерно-технических специальностей вузов, утвержденных Главным учебно-методическим управлением высшего образования 7 июля 2000 года. Изложена методика выполнения типового расчёта по теме «Линейная алгебра и её приложения» и даны образцы решения задач с предварительными пояснениями. Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ.

УДК 517 (076) ББК22.143я73

Учебное издание Линейная алгебра и ее приложения Методические указания к типовому расчету Составители: АНКИЛОВ Андрей Владимирович САВИНОВ Николай Васильевич ЧУМАКИН Михаил Егорович Редактор Н.А. Евдокимова Подписано в печать 18.06.01. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл.печ.л. 2,79. Уч.-изд.л. 2,70. Тираж 200 экз. Заказ 1823 Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 © Оформление УлГТУ, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Общие указания ................................................................. 4 2. Краткие сведения из теории и указания к решению задач ............. 5 2.1. Линейное векторное пространство. Указания к задаче 1 ...... 5 2.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Указания к задаче 2 .................................................... 7 2.3. Размерность и базис линейного пространства. Указания к задаче 3 ..................................................... 8 2.4. Связь между координатами вектора в различных базисах. Указания к задаче 4 ................................................... 11 2.5. Линейные операторы. Указания к задаче 5 ....................... 12 2.6. Действия над линейными операторами. Указания к задаче 6 .................................................... 14 2.7. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса. Указания к задаче 7 .................... 15 2.8. Матрица, область значений и ядро линейного оператора. Указания к задаче 8 ....................................................16 2.9. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Указания к задаче 9 .................................... 20 2.10. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Указания к задаче 10 ........................ 22 2.11. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Указания к задаче 11 ..... 25 2.12. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Указания к задаче 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Задания для типовых расчетов ............................................... 33 Список литературы ............................................................... 48

1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Математика является не только универсальным языком науки и мощным средством решения прикладных задач, но и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста. Успех учёбы по высшей математике в высшей школе зависит от высокой научной и педагогической квалификации преподавателей и организации самостоятельного учебного труда студентов. Только при систематическом самостоятельном учебном труде студентов информация, полученная ими на лекциях, может быть переработана в систему знаний, которая в ходе практических занятий преобразуется в соответствующую систему умений и навыков. Основными задачами самостоятельной учебной работы студентов являются: 1) творческое восприятие информации на лекции, её осмысливание и изложение содержания в конспекте лекции; 2) обобщение и переработка воспринятой информации в знания; 3) изучение учебной литературы и первоисточников, их конспектирование и доработка лекционных конспектов; 4) приобретение умений путём решения задач, выполнения расчётов и других практических заданий; 5) выработка навыков, развитие творчества путём применения полученных знаний к решению практических задач. Одним из видов самостоятельной учебной работы студентов является выполнение типовых расчётов. Система типовых расчётов активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса высшей математики. Предлагаемые методические указания служат для выполнения типового расчёта по теме "Линейная алгебра" из сборника типовых расчётов А.А.Кузнецова "Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты)", с. 152-166. В связи с недостаточным количеством экземпляров указанного сборника в конце данных методических указаний приводятся варианты контрольного задания из этого сборника. К выполнению типового расчёта следует приступить лишь после изучения теоретического материала, соответствующего этой теме. Весь теоретический материал для выполнения типового расчёта можно почерпнуть из учебников [1-6] или из конспекта лекций. В предлагаемых методических указаниях приводятся лишь краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Типовой расчёт содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчётные задания. Теоретические вопросы, теоретические

упражнения являются общими для всех студентов, задачи расчётных заданий - для каждого студента группы индивидуальные (каждая задача составлена в 31 варианте). Завершающим этапом работы над типовым расчётом является защита типового расчёта. Во время защиты студент должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения теоретических упражнений и задач, решать задачи аналогичного типа.

2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 2.1.Линейное векторное пространство. Указания к задаче 1 Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами, если: а) Задано правило (операция сложения), по которому любым двум элементам х и у из L сопоставляется элемент из L, называемый их суммой и обозначаемый х + у. б) Задано правило (операция умножения на число), по которому элементу x из L и числу а сопоставляется элемент из L, называемый произведением х на а и обозначаемый сое. в) Для любых элементов х, у и z из L и любых чисел а и /3 выполнены следующие требования (аксиомы): 1. х + у = у + х; 2. (x + y) + z = x + (y + z ) \ 3. Существует в L так называемый нулевой элемент 0 такой, что для каждого элемента х из L выполнено равенство х + О = х; 4. Для каждого элемента х из L существует в L так называемый противоположный элемент - jc такой, что х + (-х) - О ;

Если числа, участвующие в определении, вещественные (действительные), то L называется вещественным линейным векторным пространством; если — комплексные, то L называется комплексным. В дальнейшем мы будем обозначать векторы (элементы) строчными латинскими буквами, а числа греческими.

Пример 2.1.1. Образует ли линейное пространство множество L всех квадратных матриц п- го порядка с обычными (почленными) операциями сложения матриц и умножения матрицы на число? Решение. Из правил сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что сумма любых двух квадратных матриц и- го порядка и произведение любой такой же матрицы на число будет квадратной матрицей п- го порядка, а значит, условия а) и б) определения линейного пространства выполняются. Кроме того, если в качестве нулевого элемента возьмём квадратную матрицу п- го порядка, состоящую из чисел, равных нулю, а в качестве противоположного элемента к матрице

— матрицу

то непосредственно из тех же правил вытекает справедливость требований 1-8 для любых элементов х , у и z из L и любых чисел а и /3. Следовательно, множество L всех квадратных матриц п- го порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число является линейным векторным пространством. Пример 2.1.2. Образует ли линейное пространство множество L квадратных матриц, элементами которых являются лишь целые числа, с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число? Решение. Обе операции определены во всём множестве!. Но результат умножения матрицы на число может не быть матрицей из L, например:

Следовательно, множество L целочисленных квадратных матриц я- го порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число не является линейным векторным пространством.

2.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Указания к задаче 2.

Мы получили систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными, которая имеет бесконечное множество ненулевых решений (-Зс,-2с, с), где с произвольное число, не равное нулю. Следовательно, данная система векторов линейно зависима. 3) Продифференцировав тождественное равенство

2.3. Размерность и базис линейного пространства. Указания к задаче 3 Линейное пространство называется п -мерным, если в нём существует п и не более п линейно-независимых векторов. Система п линейнонезависимых векторов в n-мерном линейном пространстве называется базисом этого пространства. Каждый вектор n-мерного линейного векторного пространства можно представить как линейную комбинацию базисных векторов, причём это представление единственное. Рассмотрим множество Rn = {х = ( x l . x 2 . . . . . x n )} всевозможных

Вычеркнем из полученной системы те уравнения, в которых все коэффициенты при неизвестных равны нулю, если они имеются. В дальнейшем первое уравнение системы (2.3.2) оставим без изменения, а к системе остальных уравнений (если они есть), применяем указанную выше процедуру. В полученной системе фиксируем два первых уравнения и к совокупности остальных снова применим указанную процедуру. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока это возможно. Если в итоговой системе число уравнений равно числу неизвестных, то она, а значит, и исходная система имеет лишь нулевое решение. Следовательно, размерность пространства решений в этом случае равна 0. Если в итоговой системе число уравнений меньше числа неизвестных (r < п), то она имеет вид:

Исключим х2 из всех уравнений, кроме первых двух:

Исключим х4 из четвёртого уравнения

или

Мы видим, что число свободных неизвестных равно 2=5-3. Следовательно, размерность пространства решений системы равна двум. Положив х 3 =1 и х 5 = 0 , найдем x 4 =0, x 2 =-2,х1 =1. следовательно, первым базисным решением является решение (1,-2,1,0,0). Аналогично, положив х3 = 0 и х5 = 1, получим второе базисное решение: (15,—12,0,1,1). Таким образом, в качестве базиса можно взять решения: (1,-2,1,0,0) и (15-12,0,1,1).

2.4. Связь между координатами вектора в различных базисах. Указания к задаче 4

Матрица

2.5. Линейные операторы. Указания к задаче 5

Линейным оператором (преобразованием) в линейном пространстве L называется любое отображение А пространства L в себя, обладающее свойствами:

Решение. Для установления линейности преобразования достаточно проверить, что связь координат, определяемая данным преобразованием, имеет вид (2.5.1). Преобразование А линейное, так как выражение для координат вектора Ах имеет вид (2.5.1). Выражение x3 +1 для второй координаты вектора Bх имеет вид, не предусмотренной формулами (2.5.1), а значит, преобразование B не является линейным. Преобразование С также нелинейное, так как выражение х21 для первой координаты вектора Сх не имеет вида (2.5.1).

2.6. Действия над линейными операторами. Указания к задаче 6

Над линейными операторами, действующими в данном пространстве L, вводятся следующие операции: 1) сложение операторов по формуле (А + B)х = Ах + Bх 2) умножение оператора на число по формуле (лА).х = л(Ах); 3) умножение операторов по формуле (АВ}х = А(Вх). Если фиксирован базис пространства и матрицы операторов заданы в этом базисе, то при сложении линейных операторов их матрицы складываются, при умножении оператора на число его матрица умножается на это число, а при умножении операторов их матрицы умножаются. Обратным к оператору А называется оператор А-1, удовлетворяющий условию АА-1= А -1А = е, где е - единичный оператор, реализующий тождественное отображение еx = x. Оператор А-1 имеет обратный А -1 тогда и только тогда, когда его матрица А имеет обратную А -1, причём матрица А-1 является матрицей оператора А-1.

Решение.

Пользуясь

условием

следовательно, матрица оператора А равна

Аналогично для оператора В имеем:

представление оператора А :

задачи,

запишем

координатное

то ранг матрицы равен 2, и, в качестве оазиса системы столбцов можно взять, например, столбцы

или

а в качестве базиса в Np можно взять фундаментальную систему решений. Последнюю систему перепишем в виде

отсюда, полагая z = 3, получим х - 2 и у = 1. Найденное решение

2.9. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Указания к задаче 9

определить ее тип и найти каноническую систему координат. Изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением. Решение. Будем считать, что данное уравнение определяет кривую второго порядка на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат (0,i,j). Матрица квадратичной формы 5х2 +6ху+5у 2, входящей в левую часть данного уравнения, равна

3. Задания для типовых расчётов Теоретические вопросы 1. Линейное пространство. Базис. Координаты. 2. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. 3. Линейный оператор. Матрица оператора. 4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису. 5. Действия над линейными операторами. 6. Собственные векторы и собственные значения. 7. Евклидово пространство. Неравенство Коши - Буняковского. 8. Сопряжённые и самосопряжённые операторы. Их матрицы. 9. Ортогональное преобразование; свойства; матрица. 10.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Теоретические упражнения

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Список литературы 1. Апатенок Р.Ф. Элементы линейной алгебры. Минск: Высшая школа, 1997. 2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:Наука, 1980. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:Наука, 1984. 4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. М.:Наука, 1979. 5. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Л.:ЛГУ, 1977. 6. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.:Наука, 1975. 7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты). М.: Высшая школа, 1983.