Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа

/ Математика для техникумов АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ЧАСТЬ 1 ИЭДЯllие третье. переработанное Под редакцией Г. Н. Я...

4 downloads 425 Views 55MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

у нк ции 6. Данн ая ФУНК ЦИЯ явл яется обратн ои к Ф х = уЗ , У > О. Следовательно ,

или , в других обозначениях,

dz d z dy dX = dY ' dX · .

�; . :�

_ _ __I = _I_ = � х- 2 /З . А

_ _

производну ю функции f (х) �

П р и м е р 2. З

х)

- dy

•

_ У ( _Х_ ) ' - 3У dx - (

_

_

х+ l

(x + l)� - (x + l )4 ' -

3*. П роизводная обратной функции. Т е о р е м а . Если функция (х), х Е (а; Ь) , и ее обрат

ная функция

f f -� (у) иАtеют nроизводные, d t - J (у)

-cry

=

df

I

( х)

dX

то

1)

•

Опуская значения ар гУА1ентов , nолучае.Аt 1 dx , 1 или х = i7 . dy = dy dx

Рассмотри м сложную ФУНКЦИЮ ПО определению обратной ФУНКЦИИ , О

300

ной? К а к у ю функ цию назыв ают слож u нкци� . у ф ных слож fl р и ведите п ри меры ОДНОII слож нои функц ии. РОИ3В П о му теоре уйте р и ул 3 , Сформ одной обрат ной фун к ц и и. СфОР МУJl и р у йте теоре му о п роизв

4,

Уп ражнени я

h Н айти производну ю функции (х) =

6. Представим данную функцию �aK суперпозицию двух ФУНКЦИЙ z , уЗ И Y = X� I ' . . Согласно формуле ( 1 ) получим .а. h ' ( - dz dy 1 3х2 3) ' 2

f-� (f (х»

=х

f-� (f (х» , х Е (а ;

Ь) .

3

1. 2.

- �y . (2x + 3) = 2 (х2 + 3х + 1 0) (2х + 3). А

� ) ; = (Х I

3х 2/3

- 3y�

В оп росы для контроля

= (у2)' , (х2 + 3х + 1 0) ' = .

u

l dу dx - dx dy

6. Б удем рассматривать данную функцию KaIr сложную, а и менно, как суперпозицию функций z = у 2 И У = х2 + + 3х + 1 0. Тогда, согласно формуле ( 1 ) , получим

f' (х) =

у = х1/3 ,

ФУНКЦ ИИ

х > О.

f' (хо) = ер ' (уо) · g' (хо)

Найти

•

Отсюда и следует фор мул а ( 1 ) . П р и м е р'. Найт и произ воДную

Таким образом,

= (х2 + 3х+ 1 0)2.

df - 1 (у) df (х) = 1 . dx dy

l'

= 1т

П р и ме р 1.

о п р оизводной слож ной для любого х Е (а; Ь). По теореме ФУ НК ЦИ И и ме ем

6. 13. Для

и

h ( х) у Х+ - 'Г

ФУНКЦ IIЙ

зада н ных

�адаllН.�lе ф у н к ц и и

п РеC'ТБiX�ф У Н К Ц I iJ! :

LJ у

=

' (x) = x� + 3x - l , g (x) = lg ..x + 3 f (h), g (11) , g (f) , h (f) , h (g).

х- l f (g) , х2 + 1 CO�TaBbTe

у х2 + 3х + 4

и предс тавьте в в иде с у пе рп оз и ц и

;(]) У

4) У = Ig (3х2.+ х + 4 ) ;

5)

1 х2 + 5х + 1 ; 3) 1

У

У 3 - I g х ;.

УХ

у = Vх - 2

�у

х+ 1 , . '. 8 ) у = 7) у 4 - У x + lg ( 1 + :) - 3 + У x + lg х '

� Н а iiдите

-

1

более

Ух;

1 9 (x� + x3)

,

•

ии: произ водпые слеДУ ЮЩIIХ функц

�)C» У = (x� _ 3)3 ; X 3) у = ( �2� У ; 4) у = сзх��х у . X

CJ

y = (23 + 1 � +

ций § 32 . П роизв одны е некоторых элеме нтар ны х функ § 1 8 мы 1*. П редел ы , связа нные с числом е . В п . доказали , что 1 lim 1 +� п -+ '"

(

9

)п

существует, и этот предел обозн аЧИЛI l буквой е.

ЗОl

-

i,

Так как [z] � z � [z] + l , то, ПОЛОЖИВ n ЧИ М неравенства

= [z] ,

п олу-

( 1 + n� у ( 1 + + у � ( 1 + � ) ��: �� z > 1 . Отсюда и и з теоремы о пределе п ро- ' у ФУНКЦИИ, испол ьзуя результаты . 9 § 1 8 n+ 1

�

1

n

заключаем , что

г��\,, ( I + +Y = e.

,

(1)

Заменой пер емеННОlf у = -z из формулы ( 1 ) можно вывести •

У

( 1 + ..!.у . )' У = е.

lim

....

_

00

(2)

х

в фор мулах ( 1 ) 11 сделаем замены z = I/x и у = J /x соответственно. Так как --L 00 yl " при -.. О п ри z -.. --г у - 00 , то lim ( 1 + х) 1/Х = е.

(2)

-+

Х

(3)

И З формулы

....

__

(3)

о

следует, что I n ( l + x)

lim Х

=

х

.... О

•

1.

(4)

Действительно, так к ак . " 1 11 ( 1 + х) 1 1т l + x) I/X ' ( n l m i l = х х .....

О

х --r-

О

то, используя неп рерывность логар ифмической функции ' получим и формулу = Jn е 1 . lim 1 п ( l +

(3),

х)1/Х

" .... о

=

далее , из формулы ( 4 ) следует 1.

1

el - l

! 1т � О

....

= 1.

х) .

(5)

действительно , положн� t - In ( 1 + , получим . 1. х - 1• 1т -- = lim t х ""* 1 .... О О 1 11 ( 1 + х) , ,. 1 , ,. , 2. П роизводная показател � ной функции. Рассмотр им ФУН КЦИЮ f (х) = еХ, � Е R.

et_1

•

302

" .�

•

I

'

\ "

.

'

ет nроuзводную в каждой Т е о р е м а. Фун кция еХ име исляется по овой nрЯJ.tOй , и ее nроuзводная выч .

точке числ формуле

(еХ)' = еХ

•

( 1)

.

пр ямой . Тогда о Пус ть хо - некотора я точк а числ овой f (x) - f (xo) = l'1т e" - еХо • ' .t' (хо) = l 1т х- хо " .... х.

Исп ольз у я фор мул у

t'

х :- хо

(5)

п . 1 , отсюда полу чаем

t (хо) = еХо 11т ,

.

.

" .... х.

" .... ",

е,, - х. - l

х - хо

=ro•

Ита к, (хо) =еХо. числ овой п р я мой , Так как хо - прои звол ьная точка нить на х. Так им заме но мож то в последней фор мул е ХО обра зом, имее м = (еХ)' = еХ • • ",. аХ , х Е R , ция f с л е Д с т в и е. П ОJW.Заmeльн,ая функ ке число точ дой каж в где а > О, а =1= 1 , . дифференц ируема муле фор по тся сляе вычи вой прям ой, и . ее nроuзводн.ая (аХ ) ' = rr l п а. й слож ной фун кци и , О Исп оль зуя фор мул у про изводно а затем форм улу ( 1 ) , полу чаем = (& 1п а) ' = e� I n а (х In а)' = еХ 1п а l п а = аХ 1 п а.

f' (х)

(х)

(2)

f' (х)

Так им обра зом , (аХ) ' = а" l n a . • ую фун кци и У = е"' + 1 . П р и м е р J " Найти про изводн изводной сло жно й фун кци и . 6. Исп оль зуя фор мул у про ' дан ной фун ]{ци и: и фор мул у ( J ), нах оди м про изводну ю J;. е"' + 1 . ' у ' = ( е"' + 1 ) .,. &' +,1 ( х2 + 1 ) ' = l ть фу нкци ю у = 8"' + Х + . П р и м е р 2. ПР ОДld ффе рен цир ова нах оди м , исп ользуя кци и 6. Про извоДную дан ной фун кци и И фор мул у фор мул у прои зводной сложной фун 2 1 )' = у ' = ( 8 З" ' + Х + l ) ' = 8ЗХ' + Х + l l п 8 . ( 3х + Х = 8 ЗХ' +Х+ 1 1 п 8 . ( 6х 1 ). J;.

2х .

(2):

+

фун кци и П Р И м е Р 3. Най ти про изводну ю

+

6. Исщ>льзуя сначала формулы дЛЯ ПРОИЗI:!ОДНОЙ про изведени я и сложной функции, а затем формулу (2), получи м � �' + Х + З у = (хз + 4х + 1 6)' 4 ! .

( 4.!..' Х1+Х + З ) , (x3 + 4.-1 + 1 6) = 41 + Х + 3 . (3Х2 + 4) + 5 х2 + х + 3 ) (х3 + 4х + 1 6) =1 + 4�X2 � +f+ . 3 · 1 п 4 . (4 : X2+x.f 3 =4 С3х2 + 4 + ]П 4 ( � х + 1 ) (х3 + 4х + 1 6» ) . А

и

6 Использу я формулу пронзводной сложной функции формулу ( 1 ) , получаем

,

У =

+'

+

Ь х'

'

3. П роизводна.я логарифми ческо й функции. Рассмотри м

ФУНКЦ И Ю

.

y = ] oga x , x E ·R + , где а > О , а =1= 1 . Т е о р е м а . Л огаpt.lф.мическая функция дuфферен ц u pyeAta в своей области определения, и ее nроuзводная

вычН,сляется по фОРАlуле

(loga x)' = х1 1- . I1 а

О РаСС МОТРII М сначала ФУНКЦИ Ю у == 1 п х , x E R + . Най дем ее лрои зводну ю, исходя из определен и я и испол ьзуя форму лу (4) из п. 1 : У' = 1 i m 6.х

-+

-

111 (х + дх) - I I1 х

=

Нт 'н

-+

О

Jn

Таким образ ом,

--. ь'х

(1+ ) = ь'х

дх

О

х

(1пх)'

Нт

6Х -+

О

=J..х

(

� х .

)

1 11 (1 + �) = � . дх х ' х

=

(1)

Рассмотрим теперь логари фмичес кую функци ю у og х ] a , где а > О , а =1= 1 . Как известн о, ]oga X = In x и поэтому 111 а '

(1oga х)' =

J

l

_ _

х l1 а

••

П р и м е р 1 . ПродиФФеренцировать функцию 304

у ::::; l n (x� :,.

3х + 9).

(2)

2

(ln (х. + 3х + 9»

Приме

р

' _ '(х2 +зх + 9)' _ 2х + 3 х2 + 3х + 9 - х2 + 3х + 9

=

2. Найти произвоДную ФУЮЩIIi; у log2�x3 + 3х 2 + 4х + 2).

...

, _

6. Производную данной фУН КЦII И наХОДIlМ, IIСПОЛЬЗуя формулу ПРОИЗВОДНОЙ сложной функции И формулу у ' = ( l оgз (х3 + 3х2 + 4х + 2 » ' = 3х2 + 6х + 4 _ (х3 3х2 - (X3 T3X� r 4x -J. 2) 1 11 2 - (х3 + 3х2 + 4х + 2) 111 2 . А

(2):

+ г4х+2)'

_

П р н м е р 3. Найти производную функции у = (х2 + 3) lп (2х + 1 ).

6. Используя фор мулы для производной лроизведения и сложной функци й , а также формулу (·1 ) , получим у ' = (х2 + 3 ) ' l n (2х + 1 ) + (х2 + 3) О П (2х + 1 » ' ' = 2x ln (2x + 1 ) + (Х2 + з) =

(�:t?

=

(х = 2х l п (2х + l ) + 2 2х2++ 3 . А l

)

4. П роизводная степенной функции. Рассмотрим функ цию y = X:X-, x E R+ , где a E R. Т е о р е м а . Степенная фУI-lКЦUЯ дифференцируема

в своей области оnределеl-lия, по формуле

II

ее nр оизводная выч.исляется

(x�)' = axGt- 1• D Пусть у = ха , x E R+ , где a E R. Тогда icз. = еа l n х ,

и поэтому, согласно лраВIIЛУ дифференцирования сложной функции , (ха)' = (еа l� Х)' eGt ln Х (а ln х)' ха а/ = axa - 1 ,

т . е.

=

=

(1)

3 а м е ч а н и е . Для некоторых а, например натураль ных , степенная функци я определен'а на всей ч исловой 305

-

пр ямой . Положим X = - Z, z > О , получим x<-t = ( z)a = = ( _ I )o:za. Так как постоянный множитель можно выносить за знак производной , то, используя формулу (1) и теорему о производной сложной функци и , получаем (хО:)' = « _I )O:ZO:)' = (_1)0: (zO: {= (_ I)O:azO:-1z' = ' = (_1)0: . azCH • (-1 ) = (_I)'� - Jza-Ja. (�1 )2 = аха -\ т . е. I

Таким образом , и для этого случая верна формула П р и м е р ы. а) Пусть у = Х, тогда у' = (х) ' = l · x1-1 = 1 ; б) пусть y = x1 0 , тогда у' = (x1 0 )' = l'OX1 0 -1 = 10хВ;

( 1 ).

= (V:X) ' = ( x� )' =-}x+- 1 1 = '2I Х 2 = 2 УI 'Х ; г) если у = хVЗ , то у' = (ХУ З) ' = VЗ хVЗ - 1 ; д) если у = VX', то у ' = ( VX4)' = (хt/б ) ' = � Х - 1/б ; I ( I )' = тогда у = е) пусть у = З Ух + l ' З Ух + l ' t = � ( х + 1 )-+) = . � . - +) (х + 0 - +-1 (х + 1 ) ' = в) если

y = VX',

то

у'

(

I

I

из формулы ( 1 ) вила дифференци рован ия суммы следует, что м,ногочлен

есть дифференцируем,ая на числовой nРЯАtOй функция, nричем,

+ a1xn-1 + . . . + an_1x + а n ) ' = = naoxn-l + (n- l ) alxn-2 + . . . + an_. i' (2)

Так как рациональная функция представима в виде частного двух многочленов, то из формулы (2) и теоремы о п роизводно й частного следует, что рацuон.альная фун.кция

дифференцируема во всей своей области определения. П р и м е р ы. . а) Пусть у хз � + O�7 , тогда у'

б)

306

= + 3x 1 = 3�2+ 1 5х4+ 7 0хО; есл и у = 13� + x + � - �a ' то у ' = 52х3 + 1 х Х.

Т е о р е м а . Синус есть фун. кция, дифференuируеАtaя в каждой точке числовой прямой, и ее nроtlзводная вычис ляется по формуле

(sin х)' = cos х. О Н апомним (см. п . 1 § 26), что cos а < SIП < 1 , если О < I а I < 2' . Из этого неравенства п р и а О получ_аем s lп а = 1 . l lт ' О а ,

I

а

а

n

-+

(1)

--

а

.....

COfJIaCHO определению производной и меем

( S1П х) ' = lI.l '1тO sin (Х + ДдХХ) - SIП х . '

x .....

Заменим разность в числ � теле н а произведение по фор муле + � , a-� ' f.!. - s1П -- · = 2 cos as1П, а-S1ПJJ 2 2

Тогда

'

= -'6 (х + 1) - 3/2 . 1 = -в (х + 1)- �/2 . дл я случая а = n, где n E N , и пра

(аохn

5. П РОИ3 водн ая синуса. Рассмотр им функцию у = siп х,

x E R.

,

,

(s 1п х) = 11 m lI.x .....

--( 2 СОS

,

О

) -�-

ДХ Sin Х+ 2 -'---:-'-.uX

По теореме . о пределе произведеIlИ Я имеем

( S1П ' Х )'' = l '1т lI.x .....

O

cos ( х +

д х 2""

в силу непрерывности косинуса

)

дх , sш 2' ' l 1' т д- " Х lI.x _ O

cos (х + �x ) = cos Х. д ( 1 ) при СХг= тХ получаем

"2

Нт

ИЗ формулы

lI.x ..... О

дж

, Si n y

Нт -- = 1 . lI.x _ O

,

Следовател ьно,

� 2

(sin х)' = cos х. •

.

.

307

П р и м е р ы. а)

(sin 5х)' = cos 5х (5х)' = 5 cos 5х; б) (sin 3х2)' = cos 3x� (3х2)' = 6х cos 3х2 ; В ) (siпЗ 2х)' = 3 sin2 2х (sin 2х)' = = 3 sin2 2х cos 2х (2х)' = 6 sin� 2х cos 2х. 6. П роизводная косинуса. Рассмотри м , функцию у = = cos x, х Е R.

Т е о р е м а. Косинус есть функция, дифференцируемая в каждой точке числовой nрядtой, . и ее nроизводная вычисляется по формуле О Так

(cosx)' = - sin x. как cos х = sin (� -х) , то, использу я q.юрмулу

производной сложной функции , получаем

(cos x) ' = ( sin ( � -х) ) ' = ( � -х) ' cos ( � -х ) = -SiПХ. П р и м е р ы. а) б) В)

(cos 3х)' = - siri 3х (3х)' = -3 sin 3х; (cos 3х2) , = - sin 3х2 (3х2)' = -6х sin 3х2; (С082 3х)' = 2 cos 3х (cos 3х)' = = 2 соэ 3х (-'sin 3х) (3х) , = �3 sin 6х.

7. n роизводная тангенса. Рассмотрим функцию

f (х) = tg х, х Е R ,

х =1= ±

� + лn.

( tg x)' = -12-х ' соз _

По опреде.(Jению,

( )= �

Тогда )

( tg x '

'

v

-

_

uи ' - и и'

а!

о (3х) , - 3_ ' ( tg 3х)' , _ Зх 2х)' = 3 tg 2 2х ( tg 2х)' = 3 tg� 2х со з2

_ _

cos2 3х '

_ _

-

( tg З

8.

_

cos� х

=

cos 2х

+ 1)

cos � (3x� + х)

51п2 2х • со з 4 2х '

51п (3x� + x) соs З (3x� + x) .

П роизводная котангенса. Рассмотрим функцию

f (x) = ctg x, x E R, х =l= лn.

Т е о р е м а. Котангенс есть функция , дифференци руемая в сво.еЙ области определения, и ее nроизводная вычисляется по фор.муле

(ctg х)'=-+ . sш_ х

ctg x = tg (� -x) , (ctg х)' ( tg. ( �'-x ) ) ' = = 2 � ( � - х) ( = - � (2 - Х) D Так как

то

5

соs

1

. cos� х

�Х

•

П р rf M е р ы.

4 . I (ct g 4x) ' = - ---:-т4х (4х) ' = - � 4 ' б) (ctg3 5х)' = 3 c,tg2 5х (ctg 5х)' . = 3 сt g 2 5 - 1 (5х)' = - 1 5 В) (ctg� х2)' = 5 ctg 4 х2 (ctg х2)' = -x�.- 1-.' (х2) , = - 10х -.соs4 = 5 ctg4 х2 SШ" х2

а)

9.

('ОЗ Х cos x - sin х (- sin х)

�

(2х)' = =6 В ) ( tg2 (3х2 + х»' = 2 tg (3х2 + х) ( tg (3х2 + х» ' = = 2 tg (3x� + х) 1 ( 3х2· + х)' = 2 (6х б)

sш_ х

sш_

sm� 5x

о

и2

cos х (sm х) ' - sin х (cos х)' oo� x

=

cos �

П р и м е р ы.

X

sln x

tg x = -СО5 х .

Применим формулу

( tg x)' = _1,._х . •

=

Т е о р е м а. Тангенс есть функция, дифференцируе.мая в своей области определения, и ее nроизвЬдная вычисляется по формуле О

Таким образом,

cos2 5x . sm4 5x '

•

sш6 x�

.

П роизводная арксинуса, Рассмотрим функцию 1].

y = arcsin x, x E [-I;

Т е о р е'М а . А рксинус есть функция, дифференцируемая в каждой точке интервала ( - 1 ; 1 ) , и ее nРОllзводная 309

З08 ,

вычисляется по фор.муле

вЫЧLlсляется по фор.муле

(arcsin x)' = У 1 - x�

-1 _ . ,

о

Функция

о

y = arcsin x, x E [-1; 1], (1) является обратной к функции x = sin y, Y E [ - � ; �]. (2) Найдем производную функции (1) на интервале (- 1 ; 1) по правилу дифференцирования обратной функции: 1 ( аг сslП ' Х) ' = ( ' 1 , = -- . SlЛ ) cos ',Выразим теперь cos у �ерез х. Так как cos у = v 1 -s in 2 у, то, учитывая равенство (2), имеем cos у = v 1 -х2• Перед корнем . следует брать знак «+», потому что cos у на -интервале ( � ; �) положителен. .Таким образом, (агсsiп х) ' = У 1 1- x� • • П р и м е р ы. а) (arcsin VX)' = V 1(-У х)' = � ( Y x)2 2 Y x Y J - х -

У

У

.

-

1

б) (хз arcsin х) ' = (хЗ ) ' arcsin х + qO.

3 lO

в

2 У х ( l - х)

(arcsin х) ' хз = 3x2 arcsinx+ Y 1х3- x� Производная арккосинуса. Рассмотрим функцию у = arccos х, х Е [-1 ; 1]. .

Т ео

.мuя

-

р е M �.

Кllждоu

=

,

.

ApКJOOuнmeРfЮЛа CиHYC ес111Ь.(-фу1н; кц1 )и,я,и диеефференцuруе

точке

nроuзводная

Функция

(arccos х) ' =

_

У

1 1-

x�

:"

(1) У = arccosx, x E [-I', 1 1 является обратной к функции ( 2) x = cos y, у Е [ О; п] . Найдем производную функции (1) на интервале ( - 1 ; 1) по правилу дифференцирования обратной функции: 1 . ( arccos х) ' = (cosy-1 ) SIЛ у Выразим теперь sin у через х. Так как sin у = V 1 -cos2 у, то, учитывая. (2), имеем sin y = V 1 -x2• Перед корнем следует брать знак «+ » , потому что sin у на интервале, (О; п) положителен. Таким образом (arccosx)' = У 1 1'- x� • • П р и м е р ы. 2 а) (агссоsхЗ)' = Y(хJ з-) , хG = - Y 3хJ _ x6 .' б) « arccos х)З)' = 3 (arccos х) 2 (arccos х) ' = 3�r1c-cos x)� 1 1 . П роизводная арктангенса. Рассмотрим функцию y= arctg x, x E R. Т е о р е м а. А рктангенс есть функция, дифференцируе "

-

,' . = - , -

,-

�

_

.мая в каждой точке числовой прямой, вы'!Uсляется по фор�tуле

о

Функция

(arctg х) ' = 1 �x� .

. - у

= arctg х,

х Е п,

II

х2

•

ее nРОllзводная

(1) ЗI J

является обратной к функции х = tg у, У Е ( - � ; � ). (2) Найдем производную функции ( 1 ) по правилу дифферен цирования обратной функции: ( а гс tg �) - (t gI у}' cos2 у. Выразим теперь cos2 у через х, используя равенство (2). Из равенства 1 х2 = 1 + tg2 y = 1 С052 у , следует, что cos2 У = 1 Таким образом, ( arctg х)' = � • П р и м е р ы. а) ( агс tg \х 3» ' + (х:- 3)� ( х2 - 3) ' б) ( arc tg VX)3)' = 3 (arc tg VX)2 (a rctg Vx) ' = '

-

_

+

__

Выразим теперь sin2 у через х, используя равенство (2). Из равенства 1 + х2 = 1 + c t g2 У = 1 sin� следует, что sш 2 у = 1 Таким образом , (arcc t g х)' = - �X� • • П р и м е р ы. 1 (ХЗ )' ) (агсс tg x ) l +х6 ' -

•

1+ � x

У

•

1

а

З '

_

-

_

1 + x 3) � (

3x�

_

•

1

1 + x� '

J

j �-

-

X�

, 2х - x4 - 6х� + I О '

I

I

_

у"Х)2 (V - ' = ) J + ( Y x)2 Х , � 2 . П роизводная арккотангенса. 3 (aгctg

3 (arQt g

у х)2

2 Р + х) У х "

Рассмотрим функци ю y = arcctg x, x E R.

е о р е м а.

Арккотангенс есть функц ия, дифферен ц и руемая в каждой точке числовой ПРЯАtОЙ, и ее nРОllзводн.ая вычисляется по формуле

Т

(arcc t g х) ' ,

D Функция

-

J

�

x�

•

y = arcctg x, x E R, (1) является обратной к функции x = ct gy, У Е ( О ; :п:). (2) Найдем произ'водну ю ФУНJ{цIJ И (1) по правилу дифференцирования обратной функции : (агее.t g х) ' = с gI у) s ш, у.

312

.

! -,

-

(

= -

о

-

1 3. Таблица п роизводн ых. В этом пункте собраны вестные ' нам формулы дифференцирования. 1. (с ) = О (с - константа). 2. (�)' = CG�-l, где Е R., В частности, (х') = 1, (V-х) ' = 2 r CG

3. (аХ) ' = аХ

4. (Joga х)' = В

I

,/ _ '

х

Jn а.

В частности, чаСТНОСТИJ

(еХ)' = еХ• tJ

-

-

х па

•

(1пх)' = � ,

(sin х)' = cos х. (cos x)' = - sinx. ,_Jo-х . (tg x), = -С05': ,_10_' 8. (ctg x)' = _ _ х sш· 1 ' 9 . ( arC Si J1 x)' = V 1 - x� 1 0. ( arccos x)' = _ y J l- x� 1 1 . (a rctg x)' = l � X� '

5. 6, 7.

из

(Ig х) ' =

х l� 10 •

"

3 JЗ'

�

1 2. (arcctg х)' = - 1 x� . ' 1 3. (f (х) + g (х» ' = f ' (х) + g (х) . ' 1 4 . (f (х) g (х)) ' = f ' (х) g (х) + f (х) g (х) . ' (х) ' = " (х) g (х) - f (х) g' (х) . g g2 (

15

1 6.

1 7.

( ) (х)

d f (у) d f (g (х)) = dy dx df -1 (у) 1 ----сгу = df (х) dX

•

х) dg (х)

dx

=

=

,,,

( ) ( :� )� �

1 1 = х ' = - x� ' x y IV = = =

У

'

_

•

Пусть функция определена на интервале и пусть в каж дой rочке этого интервала она имеет производную f ' (х) ; тогда f ' (х) можно назвать первой nроuзводн'ОЙ (или про uзво.дН,оЙ первого порядка) данной функции. Рассмотрим фу н кцию g (х) = f' (х) , х Е (а; Ь) . Е сли g (х) имеет произ водную в 'rочке хо Е (а; Ь) , то эту производную называют второй nроuзводН,ой (или nроuзводн'ОЙ второго nоряд.каТ данной функции f (х) точке х, о и обозначают f" (хо) или D

d2f (хо)

(Гх2 '

Короче, вторая производная -зто ПР�ИЗВОДIlая. от пер вой производной, т. е. или у" = (у ' ) ' и' (х» ' = '" (х) или Производная от f" (х) , т. е. ([" (х» ' = [ ' " (х) , называется третьей nроuзводн'ОЙ (или nроuзводн.оЙ третьего порядка) данной функции f (х) и т. д. Вообще n-Й nРОU360дн'ОЙ (или nроuзводн.оЙ n-го порядка) функции у = f (х) в точке х (или . на некртором интервале (а; Ь» называется произ водная от производной (n- l )-ro порядка в этой точке х (или на этом интервале (а; Ь» . Она обозначается ' d"y d"f· у(lI) или [(11) (х) . • dx'" dx'" П р и м е р ы. а) Если f ( х) = хЗ + 3х2 + 1 , то f ' ( х) = 3�2 + .6х, f" (х) = 6х + 6, f ' " ( х) = 6 , [ l.V (х) = J V (х) = . . . = [(;n ( х) = '0;

:

j

:� ,

2 (-3) -2· 3 УV = xг- = � ,

1 4 . П роизводны е высших порядков. (а ; Ь) , у = f (х)

314

если у = х lп х, то ' у (х) ' ( 1п х) + х (ln х)' = 1 . ln х + Х · � = lп х + 1 у" ( 1 + lп х)' = ( 1 )' + (ln х)' = О + � = �,

б)

и

yVI = 2 (- 3) (- 4 ) x -� = 2 .�. 4 , . . . , х·

вообще

у

если n � 3.

(n)

_ (_1)" 1 · 2 · 3

-

. • .

(n - 2)

x" - l

,

в о п р о-с ы д л я к о н т р о л я '

1 . Сформулируйте теорему о производной noкаэатеJlЬНОЙ функции. 2. Сформулируйте теорему о производной .lIогарифмическоА функции .

'

3.

Сформули руйте теорему о п роизводной

5. 6. 7. 8. 9.

Сформулируйте теорему о производной косннуса.

степенной

функции.

4. Сформулируйте теорему о проиэводной сннуса.

10.

Сформулируйте теорему о п роизводной та н генса. Сформули руйте теорему о п роизводной кота нгенса. При ведите формулу для нахождени я производной арксинуса.

Приведите формулу для нахождени я -производной а рккосинуса. Приведilте формулу для

нахождения

п роизводной

арктан

генса.

11. генса .

12.

П р и в едите формулу для

нахождени я ПРОИЭВОАноii ар ккота н

Что называется

п роиэводной

второй

(ПРОИ9ВОДНО Й

второ го

пqpядка) данной функции?

13. Что называется n-й производной (производной n-го порядка ) Aa HHOJ1 функции?

Упражнен и я

6 . 1 6 . Н ай)\ите п роязводные сnе.цующих функций;

1) у = (х + l) еХ,; 4) y = x .'2 3X;tx2 ;

2+! , 2) у = х2 ех2+Зх ; 3)' у = х -;;5) У = (3x + 5x� + .r) .• X2• •

.

ЗI�

-X2 + 5x +� ВUL= (х� + хЗ + 1 ) 2 5;

9) у = (x� + x3 + 7х) 3ХЧ З .Х+lО. Найдите производные следующ их функций : Inx � x� У= (Х:" - 1 ) ln ._� rli\\ у = х-\::? ; у =-- ' -1 3 1п х ' 4) у = Х l n (x� + 4x + 1 2) ; 5) у = е.х + 1 ) Iп (х + 5) ' (13) У = (3х+4) 10g5 (х+ 1 + х2). ' '1f. 1 8. Найдите пронзводные следующих функций: 6

ff...U)

� \...J.4

а

"'- ; \:J'

2

y=x100; 2) у=_ х 5 ; 3) y = V X7 ; 1 x�+ 3x+x7 4) У = V х + у х; 5) у 5Y11x ; 6) у = y x� + l : 7/9/ V х+ v х у х 8) у = хуу '5 ; 9) у = хП ; 10 -

1)

7)

3

V ХУ Х3

V x� + 3x3 + x7) 5 ;

У= ( l n у х + V х4+ �� уо , 6. 1 9. Найдите пределы: sin 5х sin4х3х 5х 2) 11т -- ; 3) 11т -- • 1 ) ' 1Iт -х ... . sin 6х ... . о .... 4 s in� Х ' 1!; 2х 4) Х1-1....mо -; 6) 11т..... 1 -X�cos х Х2.- ; 5) l1т.... о -х о 6.20. Найдите производные следующих функций: 1 ) y = Sin 2x; 2) y= sin ax; 3) y = cos 3x; 4) y=cos ax; 5) y = Sin 2x - со s 3х; 6) у = х - соз 2х ; x 7) y = 2i! � 3 sin; 5x; 8) y = s�3 ; 9) У I - S in 2Х 2 1 0) у = ( 2 12)

Х

Х

1 1) у = (lg Ух + х 1/З + 1 211"2) Э /

о

х

о

•

•

х

Х

6.2 1 . Найдите производные следующих Функций : . 1) у = х соз х; 2) y = x sln x; 3) y = sln x cos x; ' 4) y = Sin x cos 3x; 5) .u.. = Sln ax cos bx; 6) y = sln! xl 7) у = co�; х; 8) у := соз� ах; 9) у = sin" 1 0) у = С05" ах, 6.22. Наидите производные следующих Функций : 1) y = tg 2x - ctg 2x; 2) y = x ctg x; 3) y = tg3 x + t g 3x; ах;

; 5) у=(si п x+cos х)2; ах; 8) y = sln (2x� - x) ; 9)6.23.У=Докажи СОЗ� (Х+Д); 1 0) У=Siл х+ соs 2х+tg 3х. формулу cos 2х= cos� x - sin� Х почленным диф ференцированием тетождеств а sln 2х = 2 sln Х cos Х. б) Найдите производные следующих функци й: , 1 V = 3 cos ; ;� y = '2 S in 3х; @ y = S i:ax ; 4) У=Х! соз (х-».; �=s in (3 + 2х) + со з (3 + 2х); ""f! у = 2 sln3 4х; 7»= t gззх ; Гв)уу = 2 tg 3х - 3 t g 2х; 9) у=2 tgЧх; 1 0) · y = 4 ctg3 2x. 4) y = ctg,,2x - 1g� 2х

6) y = sjn� x- cos2 х; 7) y = tg�

316

. f

Найдите производиые следующих функций: агс�ln 7х; 2) У = arcsin 3) у = arcsin nх, Дана функция У= arcsln X�. Найдите ее производную. 6.27. Дана функция y = arcsln х- 1/2• Найдите ее производную . 2x� ' 6.28. Найдите производную функции У = arcsln 1 +х6 6.29. Докажите, что (arcsin х)' + (arccos х) ! = О. 6 .30. Дано у = x� arcsln х. Найдите у'. 6 3 1 . Найдите проиэводные следующих функций:

6.25. 1) у;= 6.26.

ах �

.

1) у = a rccos

т

4х; 2) у = arccos ах; 3) У=;

rII

arocos nх

•

Дана 'функция У= ar os x�. Найдите ее производную, . 1 6 .33. Докажите-, что (arccos х-1)' = x� - l 1хI 6.34. Найдите производную функции У = x� arccos х, Найдите 6.35. Дано y r arcsin х+ а со з 9 -х2 ,у'.то у' 6х 6.36. Докажите, ч то если у = arccos ""'.(x""�:-+-:-= 9 + x� 9"")""l x""'l 6.37. Найдите производные следующих Функций: 1 ) y = arctg 3x; 2) y = arctg mx; 3) y = m arc1g nx, 6.38. Докажите, что (arotg х)' + (aroctg х)' = О. 1 6 . 39. Дано у = arotg х ' На йдите у', 6.40. !;Iаi'lДите прОliЭВОДНУЮ функции y=x� ar.ot g х2• 6.4 1 . Дана функция y =.arctg Jf 4x� - I. Найдите у '; х 6.42. Наi'lДите производную ФУНКЦIIИ у= arctg a - x� 6.13. Наiiдите производные следующих функций: 1) y = aroctg 2x; 2) y = arcc tg nx; 3) y = m arcctg nx. Найдите у' , 6. 44. Дано у = arcctg 6.45 . Наi'lДите производную функции У = (arc.ctg 2x)�. €.46. Дано у = х2 arc.ctg х. Найдите y�, 2х 6.47. Найдите прОII31ЮДIIУЮ Функции f (х) = aroctg 1 + х. 6.48. ДаllО y = arcsln 2x + ar cl g 3х + а гссоэ 2x + a rcctg 3x. Наl'дите у' , 6.49. Найдите пронзводные слеДУЮЩIIХ функций: . 6.32.

c.c

гс

,г у

х.

'

=

,г у 2

•

x-�.

2

,. ... L .r '2х2 + У Б

1) y = x� _ 6x4 -8x3 - 1 ; 2) у = -

гг: у

3) f ,х) = (зх � х� - хl0) ( ух + 3х7 - 8); 4) f (х) = (x�O + 3X�1+ {I x� ) l n х; 5) f (t) = (!

6.50.

+ уп et 2 _ � ;

х- 1

6) f (t) = ( l n t +

•

;

V�) e4t3,

НаЙДlIте пронзводные высших порядков:

3) y= cos x; J) y = sin xi 2) 5)y =у =(X+3)�; l +хБ + еХ ; 6) y = e�X + slD 3x.

4) у = еХ + х2 ;

ЗJ7

6.5 1 . Сколько раз нужно продЙфференцировать ФУНКЦIjЮ у = = (х2 + 1 ) 60, чтобы В результате получилс я многочлен 30-й степени? 6.52. Докажите, что для функции у = х; + еХ справедливо ра = УУ венство

ylV

•

чим , что дифференциал функции в точке выражается фор мулой Если функция f (х) имеет производную в каждой точке интервала (а; Ь), то

.

§ 33. Ди ффе ре н циал функции

df (х) = f ' (х) ш.

1 . Определение дифференциала функции. Согласно определению производной функции f в точке хо имеем !J.f (хо ) f ' (хо) ' - l 1т ,-,х 6 -+ О А

х

Из последнего равенства следует, что

(1)

•

Используя свойство предела, равенство записать в виде

f' (х) = dfd�) ,

можно

(1)

е. производная функции есть частное деления диф ференциала этой функции на дифференциал аргумента.

t1t (хо) = " (хо) t1x + а (�x) �x.

(2)

Из формулы (2) следует, что если функция f имеет производную в точке- хо, то :приращение этой функции в Хо можно представить в виде двух слагаемых . Пусть f' (хо) =F О. ,:Тогда первое слагаемое f' (хо) &х в формуле (2) ПРОПОРЩlOнально �x, так как f ' (хо) не З1;16И сит от �x, т. е. оно линейно отцосительно �x. Поскольку Нт " (хо) · �x О, то первое слагаемое есть бесконечно малая при t1x -+ О. Второе слагаемое в фор малая при �x -+ О, при : муле (2) также есть бесконечно (!J.x) /::"х чем такая, что отношение " (xo) !J.x снова есть бесконечно малая при �x -+ o, ибо =

6х -+ О

Рис. 98

.

Формула (3) позволяет вычислять дифференциалы функ ций, если известны их п роизводные. Так , например,

а

1·1т "

а

.

независимой переменной

318

,

м = (с)' dx = O ·dx = O,

( х х /::" ) 6. = О. . А uX (

хо) Поэтому перв слагаемое f ' (хо) �x является в случае, приращения функци и в когда f ' (хо) =FоеО, главной частью точке Хо. в точке хо и меет О п р е д е л е н и е сли функция производную f' (хо), .тоЕ произведение ff'(x()Ха) �x называется ди фференциалом функции f в точке хо и обозначается df (хо) . Т а�им образом,. dt (хо) =./' (хо) .1:.х: ' Заметив, что dx = x' t1x = t1;, опр;еде4� �" д�фференЦI;�Л 6х -+ О

��K ,\

.

j

•

•

•

где с- постоянная,

ш2 = (х2)' dx = 2х dx, d (ЗхЗ + 4х + 7) = (3xS + 4х + 7)' d.x = (9х2 + 4) dxf d (s i n x + хз) = (s i n x + хЗ)' dx = (cosx + 3x�)dx, d (еХ + cos 3х) = (еХ + cos 3х)' dx = (еХ - 3 s i n 3х) dx, d lп х = оп х)' dx = dxх .

.t. 1

,ее llрираLЦение. Тогда полу-

'

от

т.

М1:0) = f ' (хо) + а (Ах),

где а (�x) -+ О при Ах -+ О. Итак,

(3)

•

2 . ГеометричееNИЙ t:МЫСЛ Аифференциuа. дифференци руемую функцию У = f (х), х Е (о; Ь), 9В. из б р а ж е н на f::" M/(I,. имеем

которой о Из

рис.

�XL �= I ML � tg а.

Рассмотрим график З J9

Так как I ML I = �x и tg a =' f' (xo), то \ KL I = f' (xo) �' Следовательно, dy = \ KL \. Последнее равенство позволяет дать следующее"г е о м е т р и ч е с к о е и с т о л к о в а н и е д и ф ф е р е н ц и а л а: если функция f имеет производную в точке хо, то дифферен циа!l функции f в точке хо равек приращению ординаты касательной,� проведенной к графику данной. функции в точке с абсциссой хо, при переходе от точки касания в точку с абсциссой (хо + Дх). v 3 а м е ч а н и е. Легк<5 виден, (см. рис. 98), что диффе ренциал функции в точке, вообще говоря, не совпадает . с прпращением этой функции в той же точке: dY =l= �y, так как I KL I =I= I NL I. Однако при малых значениях дх. приращение функ ции приближенно равно дифференциалу функции, т. е. �y � dy. Это приближение широко используется как в самой математике, так и в ,ее приложениях, так как оно позволяет легко вычислять приращение функции с неболь шой погрешностью. Геометрически замена ,�y на dy озна чает замену дуги кривой MN отрезком прямой м к. Следовательно, на небольшом'участке изменения аргумента', всякую дифференцируемую функцию можно рассматривать как линейную. В заключение заметим, что дифференциал линейной функции совп'адает с ее приращением. В самом деле, d(kx + Ь) = (kx + Ь)' dx= kdx, д (kx + Ь) = [k (х + �x) + Ь] -(kx -1: Ь) = k �x = k dx, т. d (kx + Ь) = � (kx + Ь). 3. П РИЛШJ{ение диффе рен циала к приближенным вы числениям. Из определения дифференциала функции в точке хо следует, что �f (хо) -df (хо) =< а (�x) �, где Нт.... а (�x) О. Следовательно, df (хо) является приближением М (хо) в точке , хо, причем а�солютная погрешность такого при ближения стремится к нулю при дх О. Более того, если f' (хо) =1= О, то относительная погрешность также стремится нулю при � -+ O. е.

t. x

=

О

-+

320'

..

j{

В самом деле,

I

(хо) - оd' (хо) = l';� " (6.х) t.x = О. I df (х ) I (хо) 6.х I ", Все сказанное означает, ' что для дифференцируе�ой в точке хо функции f" у которой f' (хо) =1= О , при все: достаточно малых , �x имеет место следующая формула: М (хо) � df (хо) , т. е . М (Xo)' � f' (хо) �x. (11 Формула (1) является основной для простейших при . ближенных вычислений., П р и м е р 1. Пусть f (x) = V'X, х Е (О ; + 00 ). Так как для х =1= О n/ [' (х) = ..!. xn-1 = _ У_ Х nх ' n то, используя формулу (1), получим для xo =l= O и всех , достаточно малых �x �f (хо) = Vхо + дx � {Yхо � [1n хохо дх . Таким образом, для всех достаточно малых �x [1nхо- �x. (2) {ухо + дх � {ухо + � Пользуясь формулой (2), вычислим VЗ,998i . у '4 V з , 998 -- V4 -0 , 002 """""" V '4 + -0 ,002 2· 4 = 2-0,0005 = 1 ,9995. - также воспользуемся фордля вычисления V5/243,45 мулой (2): V24З,45 = V243 + 0,45 � V243 + 0,4�'.�243 0.45 .3 � 3 ' 001 . = 3 + :т.зs П р и м е р 2. Пусть f (x) :=1I siп х, х Е R. · Известно, что f' (х) = соs х. ' ПОЭТОМУ , используя формулу (1), получим дл <> бого х е: R и всех достаточно малых � д.f (хо) si n (хо + �) - s i n хо � c,?s хо д.х; Итак, всех достаточно малых д.х sin (хо + �x) � siп хо + cos хо �x. (3) Нт

t.x-+ О

6.'

t.

О

а

1

_

�

\

\

=

для

11

Алrtбра.

ч.

1

321

В частности, при хо = О ИЗ формулы

(3)

получим

Глава

s in l1x � tu

для всех достаточно малых I1х. Если в формуле (3) положить х .:; , то получим s i n ( � + I1х ) � �2 ( 1 + I1х) для всех достаточно малых /).х. r р и м е р 3 " Есo/I И f (х) = lп х , х Е (О ; + qo), то f' (х) х ' Поэтому для хо > О согласно формуле ( 1 ) для всех достаточно малых tu будем иметь /).! (хо) = ] п (хо + I1х) - 1 п хо � дх т. е.

7

Й П Р ИЛОЖЕ Н И Я П РОИЗВ ОД Н О

=

>=

=

ХО

ln (хо + I1х) � ln хо + дх о х ф (4) хо = 1 l1x � /).x) ln ( 1 +

I

•

В частности, при

для всех достаточно малых В опросы

ДЛЯ

ИЗ ормулы

следует

(4)

§

� Касател ьная

� и норм�ль к кри вой

ли к криво й .

норма понятием кае ались встреч уже трии вы льная к окружс ности В курсе геоме касате о, именн а сательноЙ. пряма я, лежащая в одной плоскости с опред окруж лялась как точку . ю общу ую твенн единс ней ая с ностью и имеющ меним и неПР, льной касате е елени опред Однако такое льной кривой. Так, например, оси Охоидля Оу случа я П Р О,изво общей точке с параболой у х2 (рис. 99). имеют по одной ьная к параболе, а ось Оу не Однак о ось Ох -касател является касательной к ней. 1.

Определени е касате льной и

=

I1х. IJ

контроля

1. 2.

Что назыаетсяя диффереНЩJалом функции? В чем заключается геометрическцii смысл функции?

11

дифференциала

Упражнения 6.53. Докажите, что для всех достаточно малых значений х имеют ыесто следующие формулы: 3) arcsin Х i:::i х; 4) arotg Х i:::i Х. 1) еХ i:::i 1 + х; 2) t g Х i:::i х; 6.54 . Найдите приближенные значения:

VЗ:

1) V 9,02; 2) 3) V24; 6.55. В ычислите приближенно:

4) V 30;

5)

VЗ; 6) VOO.

1) V 65; 2) V 1000; 3) VS, 11 232-4; 4) sin 29"; 5) 'П 1 .051 6) cos 91°; 7) f g 44°; 8) Jo (e + O, l ) ; 9) Jo O,97.

322

Рис.

99

Рис.

100

Определим касательную к кривой l.J. в точке Мо в об щем случае. L, льная точка кривой Пусть М -некоторая произвораспола гаться на кривой которая отлична от Мо и отможет МоМ , нее (рис. 100). Прямаясекущей L как слева, так и справа называется , М и МО точки прt:ходяща я через кривой L. L, приближ ая Если точку М перемещатьМ поМ 'кривой ваться поворачи будет секущая то о Мо, к точке 1 1.

323

юr{р уг точки Мо,

заним а я соответствен но п оложе ния МоМ ' , МоМ Н И т. д. Если секущ а я МоМ будет стрем иться занять некот о1юе предел ьное положение МОТ при стремл ени и точки М вдоль КрИВО Й L к точке М о, то у п р яма я МОТ называ ется каса тельн ой к кривой L в точке М о ' Отметим , что не вс якая кри ва я в любо й точке имеет '(а сатЕ'Л ЬНУЮ . Простейш им п р и ме ром тако й КР ИВОЙ может служить г рафи к фу Н IЩИ И у = ' .х (см . рис. 40). Эта к рива я в точ -;;1 0 --------. ке (О; О ) не имеет ]{эсатеЛЬНОJ'i. :r Пряма я , прох одящ ая че Рис. IO! рез ТОЧ]<У Мо пе р пеНдl lКУЛ Я Р II О касат ельн ой к к р и во й L в точ ке М о , на зывае тся нормалью к кривой L в точке Мо. . Напр имер , если п р я ма я MuT - J<аса тельн а я к криво !" ! L в точке Мо, то п р ямая M oN ; MuN ..l МоТ (рис. 1 0 1 ) , Я l3л яется норма лью к л.Э JJНОЙ к ривой L в ТОЧJ<е �t1o'

М о М,

I

I

!I L

(

е П Усть тепер ь х ->- хо, т . е. абсцисса точки М пр иближ а тс я ся ит М , стрем точка и вательно О М следо , к абс циссе точки с таваясь на кривой [. П р и эти х условиях о М е о точк к , секущая М о М ' ' вообще говор я , мен яет свое положение, вращая с ь вокруг точки Мо, т. е. измен яется · у г ол 1-"А Если функци я f (х) дифференцируе ма в точке хо, то {' о lim f - f о Нm (х ) х х x -r x. х -+ х .

tg � ='

(х) (хо) =

и следова тельно, существует пряма я МОТ, явл яюща яся п едельным положен ием секущей при п р ибл ижении точ к и М по кривой к МО• Эта п р я ма я , как известно, будет касательн ой к К Р ИВОЙ L в точке М О ' Таким образом, если функция У f (х) дифферен ц и р уема в точке ХО, то ее график имеет касательну!? в точке u (Хо ; f (хо ))-, угловой коэфф Jщиент котор ои равен f (хо ) · Сказанное позволяет дать следующее геометр ическое истолкован ие производной: nроизводная фУНlщи tt f (х) в

р

=

u

точке хо равна угловому коэффициенту касаmелы.t,ои к графику функции в точке (хо; f ( Хо))' И

з 3. Уравнения касательной и нормали к к� ивои . курса геометр н и вы знаете, что в П Р Я МQ� ГОЛЬНОИ дека р то вой системе координат уравнение п рямои с у" г ловым ко)ф фнциентом проходящей через точку М О (хо; У о ) , имеет вид (1) u

. k,

y - yo = k (x-xo) '

f ' (-" о) , Поэтому ' положив в ураШIений ( 1 ) уо f (хо) и . к кр ивой [ . в то ч ке получим уравнение ка<;аТе.(IЬНОЙ (хо ; f (хо) :

=

k=

(2 )

Как и звестно, условием перfIендику лярности п р ямы х , задаваемых уравнениямr;r с углов � ми .коэффициентам!! СледС?вателblIO, ура - 1 . и является условие !k · нение нормали i< к риво й L в точке М о (хО'; t; (�o » имеет вид

k1 =

k1,

2. Геоме триче ский смысл п роизв одноЙ . Пуст ь к ривая L являе тся г рафи ком непрерывн ой функ ции у = (х) , х Е (а; Ь) (рис . . 1 02) . Н а КРИ ВОЙ L рассмотрим точки fМо (хо; Уо) и м (х; у) и п роведем секущую М оМ . Очеви дно, ' есJТИ k углово й коэффи циент, ТО f = (х) - f (хо) х- хо

= tg �� ee

824

tg �

(3) " (�o) (х - хо) · Уравнение (3) задает н ормаль к гра у ест

у -' (хо) =

Рис. 102

•

k B

-

3амеqа н ие 1. фик у L функции У = f (х) в точке (хо} f (х о» ' если, с щ вует отличная от н уля п роизводная f (Хо)' .Е сли f (хо) - О , то касательная к кривой L в такой точке будет пара,3 лельна ОСИ ОХ , а ее уравнение . (как это легко видеть из у р авнения (2» будет иметь В ИД у = ! (хо) . Из определ:н и я же н ормали следует , что норма ль к кривой L в такои точке

325

•

f)удет перпенднкулярна Ох, а ее уравнение имеет вид = Хо' Если же " (хо) = то касательная К НРИВОЙ L такой точке параллельна ОСИ Оу И имеет уравнение Х = Хо, а нормаль параллельна оси ОХ и имеет уравнение у = = ! (Хо)' В даль 3 а е ч а н и е 2. нейшем для вместо «касательная К графику ФУН К цИ И у = f (х») будем говорить «ка сательная к кривой у = 1 (х)>>. П р и м е р 1 . Найти уравне I,L-�f+.+x ---''-- ния касательных и нормалей к параболе у = х2 -2х + 5 в точ ках с абсциссами Х1 = 0,5 и Рис. 103 Х2 = 1 (рис. 103). ,--6 Найдем значения функции 1 (х) = х2 - 2х + 5 в задан ных точках. 1 (0,5) = 4,25, 1 (1) = 4. далее, так как l' (х) = = 2х - 2 = 2 (х - l ) , то 1 ' ( 0 , 5) = - 1 , t' ( I ) = O. оси

х

00 ,

8

м

K p aTKOCTII

у=4

ная, пря-' прямая у=-х+ 4,75-квасатель Следовательно, 4,25). точке параболе к аль 3,75-норм + х = У мая точке с абсциссой Х2 = 1: у-4 = 0 (х-(0,5; Таким l). В к параболе в точк� прямая У = 4 -касательная образом,' к параболе в этон нормаль 1 = х прямая значит, а 4), ; 1 ( точке . • е р 2. Найти уравнен ия касательных и норма Прим у = х3 В точках с абс циссами Х1 = - 1 , Х2 = О, лей к кривой (рис. 104). ХЗ =61 Найдем Х1 = - 1 , значения функции f=(х)O =и ХЗf ( I )при ! ак как . I = , I (O) t I = : l ) ( f = = з И 0 � Х2 ( 1 ) = 3. f и O = (O) f' t ' (x) = (.t3) ' = 3xS , то [ ' (- 1 ) = 3, а

у

, gJ.fif !/=о

!J=3l�

у

Рис. 105

у-о

y=-fz-: Рис. 104

•

Подставив найденные значения функции и ее прои� водной в (2) и (3), получим уравнения касательных и нор малей. с абсциссой В точке Х1 = 0,5 y - 4 ,25 = � 1 · (x-0,5), 1 y - 4 25 = (x-OJ5) . 326 l

-1

Подставив найденные значения функции и ее производ ной в (2) и (3), получим уравнения касательных и нор малей. Касательные и нормали имеют соответственно уравнения : а) в точке с абс циссой Х1 = - 1 : 4 1 у = 3х + 2 и y = - з Х - з ; б) в точке с абсциссоfl Х2 = О: у = о и х = О; В) в точке с абсциссой Хз = 1: 4 1 у = 3х - 2 и y = - з х + з · А П р и м е р 3. Найти уравнения касател ьных и норма лей к кривой у = vх2 В точках с абсциссами Xi = - 1 , Xi О и Хз 1 (рис. 1 05). 327 =

=

значения ФУНКЦИИ f (х) = V х2 В заданных ' 10чках: f (- I ) = I , f (O) = O И f2 �I) = l . Найдем производяуlO данной функции f' (х) = 'i И подсчитаем ее зна :t V x чения в заданных точках: f' (- 1 ) = - 2/3, f' (О) = 00 и " ( [ ) = 2/3. Подставив найденные значения функции и ее il РОИЗВОДНОЙ в (2) и (3) , найдем следующие уравнения асательных и нормалей: а) при x1 = 6, ВЫЧИСЛИМ

_

f

1

Y = - з2 Х + з1 н У = 23 Х + 25 ; б) при хз = [ У = з2 Х + з1 И Так как �' (O) = oo, то, согласно З а ме ч а н и ю 1 , пря мая х = О ( ось ординат)-касательная, а прямая у = о (ось аб цисс)-нормаль к данной кривой в точке (О; О) . " '

в ол росы Дл я контроля

1 . Какая пряма я называется касательной к кривой? 2. Какая лряма я - //азывается нормалью к кривой? 3. Сформулируйте, в чем состоит геометрический смысл проиэ•

ЕОД/IOЙ. 4. Запишите у равнение касатеЛЫ/L vривоЙ. 5. Запишите уравнение нормали к кривой. Упражнения

=

7.3. Найдите yгo� н �лона касатеJ!ЬНОЙ к кр�вой у = г в ;очках абсrrиссами Xl = - у 3/3, Х2 = О И Хз = У]/3. 7.4. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой y=X - X� в точках с абсциссами Xl = О И Х2 = 1 /2. 7 .5. 8 какой точке касатеЛЫIая к кривой у= 1п Х наклонена к оСИ ОХ под углом n14? 7.6. Под каким углом касательная к кривой у = еХ в точке (О '' 1) пересекает ось, ОХ? 7.7. Выч ислите угловые коэффициенты касательных к па раболе y = x� в точках ( 1 ; 1), (- 1 ; 1) ; (2; 4) и (- 2 ; 4) . . 4х - х2 - лроведены касательные в точках z:.t. у параболы У = -4 (О ; О), (2 ; 1) и (4; О). Найдите углы наклона касательных к ОСН ОХ. •

328

n рименения

п роизнодной

В

физике

о нахожде. рассмотрели задачи п. § 29 мы ужеи прямоли ия точки движен нейного скорост ной мгновен нии при решении которыхко ной величине тока, и о мгновен рим еще несколь ПРОlIзводная. Рассмот использовалась яется ПРОИЗВОДJlая. примен х которы и решени при задач, Задача о теплоемкости тела. Чтобы температура 1. в до 't гра градусо О от ась повысил в 1 г тела массой необход количество енное определ ь сообщит имо телу дусов, Я темпера туры 't, до кото тепла Q. Значит, Qся:естьQ =ФУНКЦИ РQЙ тело нагреваеттура телаQ ('t). повысилась с 1:0 дония,'t. Коли Пусть темпера нное для этого нагрева равно чество тепла, затраче Q ('t) -Q ('to)' Отнош ение В

1

Q (1') - Q

1' - 1'0

(1'0)

имо «в среднем» тепла, которое необход есть количество тела ии температуры на 10 при измененсреднеЙ ния для нагреваЭто теnлоем тся назь)вае ие отношен от 'to до 't . ['to; '(] т�е промежу урном температ в Te9Ia анного д k-остЬ/о И обозначается С(Р ' я теплоемкость не дает предста вления Тю< как средня любого значени я температуры 't, то о теплоемкости для кости при данной температуре вводитс я понятие1:" теплоем )' (В данной точке ю0 nри ' температуре "(о (в данной точке 'to) Теnлоемк-ость называется прер.ел "(о

7. 1 .) Найдите ураВlJения касательных и нормалей /{ пара60J!е . у 2х2 + 1 в ТОчках с абсциссами Xl = - 1 , Х2 = О И Хз = 1 . :.2. Найдите у равнения касательных и нормалей к кривой у х '= з - 2х2 + 3х + 1 в точках с абсциссами Xl = O, Х2 = I и Ха = 3. с

§ 35. Некоторые

Q (1'0) li т Сер = Нт Q (1')l'1'0 1: -+ 1 . 't -+ "'.

Q ' ('to )'

Итак, теплоемкость . С (.1:) при температуре есть про НЗВОДна я от количества тепла Q ('t), получаемого телом, по температуре т. е. С ('t) = d�;1') = Q ' ('t ) . 2 . Задача о ско рости химической реакции . Пусть не . Коли в химическую реакцию которое вещество вступает к мо реакцию в уже шее вещества, вступивчерез и). Таким образом чество , У менту ьремени t , обознач им НОЙ t. Пусть , т. е. перемеR У есть функци я времени ио; t) - некоторый промежуток времени, тогда У и) - У ио) равно количеству вещества, вступи вшего в реакцию за 't

't,

FP'

о

329

промежуток времени момента to до момента t , а отно- ' (l) t=10 (to) шеиие выразит среднюю скорость химической реакции за промежуток времени ио; '] . Для х арактерис тики скорости химической реакции в данныIй [о следует рассмотреть предел этого отношения примомент {О' t Следовательно, скорость химической реакции в дан ный момент времени t есть производная от количества вещества у (t) , участвующего реакции ' по времени (, � o- ; т . е . равна у , (t) . � 3 . З адач а о линейной 1� . �� ; �=lr плотности стерж н я . Пусть дан " �� ) стержень длины 1 (рис. 1 06) . Стержнем называют 106 физическое тело, котороетакое по форме приближает ся к от резку прямой линии, поперечное сечение его мало и оди наково на всем его протяжении. Каждому отрезку стержня длины х, О � х � [ , отмеряем ому от одного фиксирован ного конца, соответствует определен т, т. е. масса стержня есть функция его длины:наятмасса :;::::: т (х) , х Е [О; 1] . Стер?Кень называют однородным, если любые два его участка одинаков длины имеют одинаков ую массу. В этом случае отношениеой массы любого участка стержня к его длин: е<;,ть одна та же величина р, которую называю т линеuноu плотностыо стержня . Стержень называют не однородным, если на два участка одинаковой длины при ходятся, вообще говоря, различные массы. Таким обра зом, для неоднородного стержня изменени я массы стержня в встает BL с огoскорости Пусть т (х) - т (хо)-масса части стержня междудлины. ками) расположенным и соответственно на расстоян ииточХо и х от (х)начала отрезка, где О � Xo < Х � 1. Тогда отноше ние х--mхо (хо) называют средней линейной плотностью стержня на указанном участке и обознача ют рс ' р В случае H eOДHopOДHO�O стержня средняя линеlIна я Р плотность СР не может полностью характер изовать ско рость измене!шя массы стержня . Поэтому для неоднород ных стержнеи вводится понятие линейной плотности дан ной mO'tKe. Линейна я плотн ость р (Хо) стержня точке хо определяется следующим образом: от

у

->-

т(х)

В

,-= A ._ _ -.. _

г

------,

..

О

Рис.

'"

Ха

и

заВI!СИМОС ТИ

LJ(

�

т

Р(

330

Н С Н хо) = т Р Р = т х -+ х.

х -+ х.

в

т

(х) - m (хо) ). = т ' (хо х- хо

в

есть произ· Итак, линейная плотность стержня в(х)точке . водная по х от переменной массы 4 . Механичес ки й смысл второй п роизводной (ускоре ние). Пусть материальная точка движется прямолинейно и 5 5 (t), t Е [О; Т' ),- закон движения. Тогда скорость v (n равна -Jt

т

=

5' и) =

d��l)

•

Скорость движения (t) есть в свою очередь Функцю'l времени. Поэтому можно рассмотреть скорость изменения скорости d;N) . (t) ' (5 ' (1» ' = 5" (t) что 5" (1) есть Заимствуя термин из механики, получим, ускорение движения в рассматриваемый MOJ.teHm времени t. вре Итак, ускорение а и) движения в данный) момент времени, по скорости от и мени t есть производная или вторая производная от пути по временИ1 dv (t) d2 s(l) а (t) = dt dl! ' П р и м е р. Пусть точка совершает прямолиtIейное дви жение по закону v

=

v'

v

=

х = 5 + 3t + 2tЗ,

где t.....: время. Найти ускорение. !::::. Так как а = d2x d t" то a = 1 2t. A. В оп росы ДЛЯ контроля 1.

Что называется теплоемкостью в данной точке? По какой фор·

муле она 'jыq исляется?

2. Ч

называется

скорость\О х и мическоА реакции в данный мо-

мент времени? По какой формуле она вычисляется?

3.

Что называется линейиой плотностью стержня в данной точке?

По какой формуле она вычисляется?

4.

Сформулируйт е,

л роизвод ноЙ.

в

чем состоит

механический смысл второй

831

Уп ражнения 7.9. Тело движется ПРЯМОЛlIнейно по закону s (1) = 3 + 2t + /2 (м). Dпределите его скорость и ускорение в моменты времени t1 = 1 с I! (2 = 3 с. 7. 1 0. Скорость T�a, движущегося ПРЯМОЛИllейно, определяется гаконом v (t) = 4t + 5t_ (м/с). Какое ускорение будет иметь тело через 5 с после н а чала ДВllжения?

7. 1 1 . Докажите, что если тело движется по закону s (/) = ае' +

+ be- t

(м), то его ускорение равно пройденному пути .

7. 12. Точка движется прямолинейно п о закону S = у /. дока·

. жите, что ее ускорение п ропорционально кубу скорости . 7. 13. Тело, Ma�ca которого т = 0,5 кг, движется ПРЯМОЛИllейно по закону s и) = 2t _ + t- 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начаJU! движен ия. . 7. 14. Найдите величину силы Р, действующей иа TOtlKy мас сои. т. движущуюся по закону s (t) = t� - 4t4 (М), п р и t = 3 с. 7. 15. Точка массоЙ т движется по закону s (t) = 3t� + 7t + 9 (М). . Докажите, что сила , деиствующая на точ ку, постоянн а . 7. 1 6. В ращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозо�, за t секунд поворачивается на угол ер = а + Ы - ct�, где а, Ь и с положительные постоянн ые. Определите угловую скорость и ускоре ние вращения, а 'tЗкже через какое время колесо остановится. 7. 1 7. Количество электричества, протекшего через проводник, на чин! я с момента времени t = о, дается формулой q = 2 /; + 31 + 1 . На ндите силу тока в конце пятоii секунды. 7; 18. К оличество тепла: Q (Дж) , необходимого для нагреван и я 1 кг воды о т О ОС дО ос, оп ределяется формулой Q = t + O,00002t� + + О,ООООО03�З. Выч ислите теплоемкость воды для 1) t = 30 ос · 2) ·t -

t

'

= I OO �. 7. 19. 3звисимость �ежду количеством х вещества, получаемого .

t

в некоторои х имическои реакции, и временем выражается уравне. нием х = А ( 1 + е- М). Определите скорость реакции.

§ 36. П риложение п роизводной к исследованию возрастания и убывания ФУНКЦИИ

1 . Необходимые условия возра\.. _ ,,)( и убы вания ФУНК ЦИИ . ФУНl{цI1И 1 . Если ди фференцируе.мая функция f (х) х Е (а; Ь) , возрастает на интервале (а; Ь), то " (х) � <> для любого х из интервала (а; Ь). О ( а ; Ь) х > хо , f (х) � f (хо ) . х < хо , f (х) � � f (хо ) хо и х из (а; Ь) , х =1= хо,

докажем сначала теорему о необходимом' условии возрастания на интервале. Теорема

Согласно определению возрастающей на функ то ции , если а если то Следовательно, для любых справедливо неравенство О f (хх) -- хо! (хо) � :::-- . ·

832

Так как f (х) дифференцируема на (а; Ь), то, переходя пределу в последнем неравенстве при х хо , получим (xo) � O . • " (х) = Нт f (xх)-f - хо Расс�отрим теперь теорему о необходимом убывания функции на интервале. f (х) , Т е о р е а 2. Если дифференцируеАtaя функция (х) � О для

к

->-

Х -+ Х.

УСЛОВН II

х

м

Е (а; Ь) , убывает на интервале (а; Ь) , т о "

(х)-убывающая,. то фУНКЦIIЯ1 , Так как функция щая, теоремы -возрастаю и поэтому, в силуОтсюда (х) сле для любого х Е (а;Ь) Ь). •. (а; Е х любого для (х) что дует, возрастает . или Интервалы, H ;'I которых функция ости этой монотонн ми уБЬfвает, называютс я интервала . и функци . что если функция f (х) Заметим без доказателья)ства, (а; Ь) и непре интервале на ая (убывающа возрастающ ' ей (убы возрастающ будет она то и , а Ь точках в рывна [а; Ь]) . вающей) и на отрезке 2. Теорема Лагранжа . При доказател ьстве теорем ти функции сущест о достаточных условиях монотоннос венно используется следующая теорема, которая Ifа зы вается теоремой Лагранжа. Т о р е м а Л а г р а н ж а. Если функция f (х) , х Е [а; Ь ] ,

любого х из интервалq (а; Ь) . f О = (х) f Р Р' (х) = - t' (х) � О �О f'

.

е

непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема н а ин тервале (а; Ь) , то найдется точка с Е (а; Ь) ' mдкая, ttmo имеет место формула (1) f (Ь) - ' ( а) = f' (с) (Ь- а). фор формулой Лагранжа (1) мулой конечных nриращениЙ .

или Формулу назьmают по а без доказательства,1 07). Мы приводим теорему Лагранж смысл этой теоремыи (рис. ясним лишь геометрический точк А (а; f (а) На графике функц�и f (х) рассмотрим коэффициент угловой что видеть, и НЬ; f (Ь)) Легко се_.j,щеЙ А В., проходящей через точки А и В, равен f (bi=�(а) Запишем формулу ( 1 ) в следующем виде ! а) ( 2) f' (с) = f (b�=:( Вспоминая геом�трически Й смысл производной, можно сказать, что формула (2), а следовательно, и формула ( 1 )•

333

означает следующее: на и нтервале (а; Ь) найдется точка с та к а я , что угловои к оэфф и циент к асательной к графику функции t (x) в точке С с абсциссой , равной с, совпадает g

" (х) > О дл я I х I > 1 , то, согласно теорем е 1 , данна ,. функция оозрастает н а интервалах ( - 00 ; - 1 ) и ( 1 ; + (0). Так как f ' (х) О для I х I 1 , то, согласно теореме 2, данная функция убывает на интервале ( " 1 ; 1 ) . А . П р и м е р 2. Н а йти интервалы монотонности функции

<

<

,

f (х) = Зх + � х

+ 5.

6. Область определения функции - вся числовая п р ямая . к роме точки х = О , т. е. состоит нз и нтервалов (- 00 ; О) и (О ; + (0 ) . Найдем п роизводнУю:

3

о

f1

с

Рис.

Ю7

с угловы м коэффициентом секущей А В , т. е. существует касательная к графику данной функции , которая парал лельна секущей А В. 3. Достаточные условия возрастания и убы вания ФУНК ции . Сначала сформулируем и докажем теорему о доста точном услови и возрастан и я функции. Т е о р е м а 1 . Если функция f имеет неотрицательнуlO nроизеоднуlO в каждой точке интервала (а; Ь), то фУН-К ция f возрастает на интервале (а; Ь). О Пусть Х1 И х2 - две П Р О Ilзвольные точки интервала (а; Ь) , удовлетвор я ющие условию Х1 < Ха ' Тогда по тео реме Лагр анжа с уществует точка с Е (х1; х2) такая , что t (х2) - f (х]) = [' (с) ( Х2 х1 ) Так как по условию теоремы [' ( х) > О и Х2 - Х1 � О, ТО IIЗ последней формулы следует , ч то f (х2 ) � t ( х1) . П ослед нее, согласно определеНII Ю возраСТа'Ощей функци и , и озна чает, что функция t возрастает Не 1Нтервале (а; Ь) . • Аналогично ДОJ{азывается п СЛl .ующая теорема о до стаТОЧНО�f условии убывания функции. Т е о р е м а 2. Если функция f имеет неnоложитель ную nроuзводн-ую в каждой motlKE интервала (а; Ь), то функция f убывает н-а ин.теPf3але (а; Ь) . П р и м е р 1 . Н айти интервалы монотонности фУНКЦИII 2 • f (х) = з хЗ - 2х + 1 . -

.

6 Данная функция определ ена и дифференцируема на всей числовой п р я мой , пр ичем f' (х) = 2 (х2 - 1 ). Так как 334

2_ 1

х = 3' " (х) = 3 � -т Х2. Х.

Производная п редставляет собой дробь, знак которой бу дет определятьс я знаком числителя , так как знаменатель положителен. Таким образом , t' (х) < О для всех х из ин тервалов ( - 1 ; О) и (О ; 1 ) ; значит, согласно теореме 2 , на интервалах (- 1 ; О) и (О ; 1) да нная функция убывает. Так как t' (х) > О ДJl Я всех х из интервалов (- 00 ; - 1 ) и ( 1 ; + (0 ) , то, согласно теореме 1 , функция t (х) н а этих и нтер валах возрастает. Ита к , функция f (х) возрастает на и нтервалах (- 00 ; - 1 ) и ( 1 ; + (0 ) и убывает н а интерва лax (- 1 ; О ) и ( О ; 1 ). А Заметим, что есл и функция имеет п оложительную про изводпую в к аждой точке и нтервала , то она является строго возрастающей на этом и нтервале. Если же функция имеет отрицательную п роизводную в к аждой точке и нтер вала , то такая функци я будет строго убывающей на этом и нтервале. Указанные условия являются достаточным и , но н е будут необходимыми условиями. Действительно, функция f (х) = х3 строго возрастает на всей числовой оси , и в то же время в точке х = О ее прои зводная равна О. 4. П равило н ахождения и нтервалов монотонности. Сфr f мули руем теперь правило нахождени я интервалов м' iOтонности функции. 1) Вычисляем производную f ' (х) дан ной функции f (х) , а затем находим точки , в которы х " (х) равна нулю или не существует. Эти точк и называются критическими для функции f (х) . 2 ) Критическими точками обла{;ть определени я функ ции f (х) разбивается на интервалы, на каждом и з которы х производная f ' (х) сох раняет свой знак. Эти и нтервалы будут и нтер валами монотонности. 335

3) Оп ределя ем знак f' (х) на каждом из на йденных и н · тервалов. Если на рассматр иваемом и нтервале f' (х) � О , f' (х) � О , то на эtом и нтервале f (х) возрастает, есл и 10 на таком и нтервале f (х) убывает. П р и м е р. Найти и нтервалы монотонности ФУНКЦliII

)fS:e

f (х) = х lп х + 3х.

' 6. 1 ) Заданная функция определена и имеет производ "ую во всех точ!{ах и нтервала (О; (0 ) . Вычисляем произ водную данной ФУНКЦИjf : f' (х) = + lп х + 3 = 4 + lп х. Из уравнения f ' (х) = 4 + l� x = O следует, что x = e- 4 - еДIIН ственная к ритическая точка. 2) Так как х = е- , - критическая точка , то, следова тельно, и нтервалы (О; е-') и (е-'; + (0 ) являются и нтеlfвалами монотонности. ; I 3) Исследуем знак f (х) на каждом и з эти х и нтервалов, решая неравенства lп �' + 4 < О и lп х + 4 > О. Так как f' (х) < О для любого х Е (О ; е- 4 ) , то на ин тервале (О; е-4) данная функция убывает. Так как f' (х) > О дл я х > е-', то на и нтервале (е- 4 ; + (0 ) данная функци я возрастает . •

I

'

.

•

§ 37. И сследован ие экстреМУМ О8 функции 1 . О понятии экстремума функции . О п р е Д е л е н и е 1 . Точка хо называется точкой ми нимума функци и f (х), если существу:т такая окрестн ость точки' хо , что дл я всех х =1= хо из этои окрестности выполняетс я неравенство t (х) > f (хо) ' О п р е Д е л е н и е 2. 'Точка хо называется точкои АЮ- . ксим.Ума функции f (х), если существует така я окрестность точки хо . что дл я всех х =1= хо из этой окрестности вы полняется неравенство t (х) < f (Хо) ' "

!I

В о п р о с ы для к о н троля

1 . Сформулируйте необходимое условие возраста ния функции на интервале. . 2. Сформулируйте необходимое условие убывания ФУНКЦИИ на интервале. 3. Какие интервалы называются интервалами МОнотонности функции? 4. СфОРМУЛИРУI!те теорему ЛаrраюКа. Сформулируйте достаточное условие возрастания ФУ""" IIИ на интервале. 6. Сформулируйте д \статочное условие убывания Функции иа интервале. 7. Какие точки наЗbt lЮТСЯ критическими для функции? ' 8. Сфо рмулируйте правило нахождения интервалов монотонности.

5.

У п раж и ения .

1 ) f (х) = 5х - 2 ; 2) f (х) = 4-- 9х;

836

5

ll.

. х, ;Cz

$J

$ч

J}s '(св $7

$8

Рис. [08

Точки максимум а и минимум а функции называю тся точками экстремума данной функции , а ;mачени я функ ции в точках максиму ма и м и н и мума J-\азываются мак CUJ.tYMaмu и минимумами функции или экстрем.умами фун,кции. . Рассмотр им функцию f (х) , определе нную на отрезке [а; Ь] (рис. 1 08). Т очк и xi , ХЗ И х& - точки макс.имума , а х1" х и х7 -точк и минимума . Из графика даннои фУНКции видно, что м и нимум функции в точке х = Х4 больше максимум а ЭТQЙ функции в точке х = Xi ' Последнее обстоя тельство не противоре чит определен ию экстремум ов ФУН К ции , так Kal< в ' определен и и экстремум ов сравниваются значени я функции в точке со значениям и функции из некоторой окрестно сти этой точки . Таким образом, П О ll я'Гие .

7.20. Определите интервалы . монотонности следующих Фун.кциЙ: 4 4) f (х) = --

о

х

-

; 5)

[

3) f (х) = з; ;

f (х) = x!+x- l ; 6) f (х) = (х + l)ЭJ

•

337

экстр мума связан о с определенной окрестностью данно:и точкивсегда (опред еленн м) из области опреде ления функц ии, а не со ымвсейместо облас Поэтому иногда для обо.значе ния этого понятия употртью. ебляе тся терми н ло кальН ыи экстремум , е. экстре мум, связа нный с опреде ленны м местом. 3 а м е ч а н и е. Точки а и Ь (см. рис. 1 08) не отно сятся к экстр емаль ным точка м функц ии " так как у точе а и Ь не сущес твует б-окрестностей, принадлежа щих к об ласти определения данной функции. 2 . Необх е услов ие сущес твова ния экстре мума. Рассмотрим одимо снача ла необходимое условие существова ния экстремума для диффе руемой функции. Т е о р е м а Ф е р м а.ренци Если точка является точко экстремума функции у = f ( ) и в этой точке существуетй nроизводная " (хо) , то она равна нулю: " ( ) = О. о для еленности будем считать, что хо-точка макси мума.опред Согла определени ю это значи т, что сущест вует �-oKpeCТlH)(;TЬсноточки такая , что для всех =1= хо из Этои б-окрестности выполхоняетс енство ' (х) < ' (хо). По услов ию теоремы функц ияя нерав f (х) имеет в точке хо производну ю. Поэто му, одной стороны, � " (хо ) = l im f (х) - f (хо) ::--О, х - хо х -+ х. - о так как х - хо < О и f (х) -! (х ) < О для всех х Е Е (хо - б хо), а с другой стороны, t ' (хо) = lim f (х) - ! о(хо) -...-: �:: О , х- х . Х -+ Х. + О так как х -хо > О и t (x) - t (xo) < О для,.. всех х Е (х ; хо + б). След овате , t' (хо) = о. Доказ ательствольно для точки минимума проводится ана логич но. • 3 а м е ч а н и е. В теорем е Ферма устано влено лишь необх одимое условие существова ния экстремума . Это усло вие позволяет лишь выделить точки , в которых функц ия может иметь экстр Это значи т, что не ,- хая крити ческая точка являеемум. тся экстре мальн ой. Напри мер, функци я f (х) = им е. точк€: х = О производную , равную нулю, : но для этои Ф. цИИ то.чка х = О не является экстремальнои." Мы рассмотрели те критически е точки , в которых производна я функц ии равна нулю, эти точки иногда наЗЗ8 т.

хо

х

хо

х

С

;

о

о

___

хз

зыБютT стационарны/,си. Рассмотрим критические точка, функция не имеет производных. в кПоторых р и м е р 1 . Пусть t (х)_ = 1 х 1 (см. рис. 40) _ В п. � § 29 было установлено, что в точке х = О производнои существует. Следовательно, точка даннОЙ функции не точка. Так как t (x» O для всех x =O-акритическая t (О) = О , то , следовател ь но, t (х) > t ( О) дЛЯ всех х =1= О , х -;ь О . Последнее и означа!J о определению 1 , ет, согласн О есть точчто точка х =функ ции f (х) = ка минимума =I x l· П р и м е р 2. Пусть ( {х) = =3x-l x l (рис. 1 09). В точке х = О данная функция не имеет производной т. е. х = О - кри тическая точка данной функ ции. Так как для всех х < О f (х) < [ (О ) , а для всех х > О [ (х) > [ ( О) , то в точке х = О данная функция не имеет экст ремума. РИС. 3. Достаточиые условия существования экстремума. У словимся в следующей терминологии: будем говорить, что некоторая функция q> (х) меняет знак с· плюса на ми нус при переходе через точку хо, если существует такая б-окрестность ( о - б о б) ТОЧК\1 хо, что слева от точки Хо, т. е. для x E (xoх -б; ; хо)х +, функция <р (х) > О, а справа от точки , т. е. для х Е (Хо; хо + б), функция (х) < О. Ана логнчно уславливаются в терминологии оq>перемене зна ка функции с минуса на плюс при переходе через точ ку Т е о р е м а 1 . Пусть фУНКЦИЯ f (х) непрерывна в точке 1

х

1 09

хо.

ХО и в ее б-окрестности UAteem nроuзводную, кро,че, быть .может, СGlrЮЙ точки хо• Тогда если производная f' (х) при переходе !lерез точку ХО меняет знаК С плюса на AtUHYC, то точка хо является тО/IКОЙ АщксиМУ.ма функции [ (х); . если nРОllзводная [' (х) при переходе через точку хо меняет знак С минуса на плюс, то точка хо является т ОЧКОй MUHu),tYMa функt-{ии f (х) ; точки если СУЦ-{ествует окрестность хо - ; хо + хо, в которой nроизводная f' (х) сохраняет свой знак, то в mO'IKe хо данная функция f (х) не имеет экстреМУАta.

а)

б)

в)

(

б

б)

З39

-

6. 1 ) ВЫЧИСЛIIМ производную данной функции:

о Пусть п роизводная { ' (х) при переходе через точку хо

меняет знак с плюса на минус. Это значит, что сущест вует число б > такое, что {' (х) > О для всех х из ин тервала ( хо - б ; хо) и (х) < для всех х и з интервала (x�;. хо + б) . Так как для х Е (хо - б; х ) , то по (х) > теореме 1 из п. § следует, что на интервале (хо - б; хо) Ф У I� К ЦИ Я f (х) возрастает. Следовател ьно, f (х) < f для всех х из и нтер вала (хо - б; Хо) 'Так как (х) < для ' х Е (хо; хо + б) , то по теореме из п . § следует, что на интервале (хо: хо + б) функция f (х) убывает. Поэтому (х) < (хо) для всех х из и нтервала (хо; о + б) . ТЭI<им образом , < (хо) для всех х =1= хо и з интервала (хо - б; хо + б) , т. е. согласно определению 2 п . 1 точка хо есть точка максиму ма функци и f (х) . доказательство случаев б) и в) а налогично:. Сформулируем теперь достаточные условия существо ва н и я экстремума в терминах значени й проиэводной второго порядка. . т е о р е �� а 2. Если функция f (х) , определенная в ш которой окрестности точки хо, имеет первую и вторую nрои зводные и f ' (хо) = , а то в точке х (хо) =1= ct;,ункция (х) имеет экстремум, причем максимум , еслио f (x�) < и Аtинимум, если f" (хо) > доказательство этой теоремы аналогично доказатель ству теорем ы 1 . 4 . П равила нахождения экстремумов функции . П р а в и л о 1 . Пусть (х) определена и непрерывна в некотором и нтервале (а; Ь) , имеет производную всюду в интервале (а; Ь) , кроме, быть может, конечного ЧИСJlа точек , и имеет не более конечного числа стационарных точек. Тогда для нахождения экстремумов функции надо: 1 ) найти к р и�ические точки функции (х) , т. е. точки, в которых или f (х) = О или (х ) не существует; 2 ) исследовать знак производной (х) в некоторой б-окрестности каждой критической точки . При этом если f' (х) меняет знак при переходе через такую точ � у , то ФУН КЦИЯ f (х) в этой точке имеет экстремум . А именно, если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке минимум; если с плюса на минус, то S этой точке мак симум. Если же знак f ' (х) не меняется п р и переходе через рассмаТРИВ31емую точ.ку , то функци я f (х) не имеет экстремума в этои точке. П р и м е р 1 . Найти экстремумы функции

О

3 36

f' f'

О О

о

f' 3 36

2

f

f

f (х) f

f О,

'

0

О,

f"

О.

f

f'

340

f (х) = х2{З (х - 3),

f

f'

х Е R.

(хо) О

' . f ( Х) =

5х - 6

зVх

' (х) и найде м к ритичеСКllе точки: f ( х) = О , если х = б/ 5 ; не существует в точке Итак , критические точки : х \ = О И X't = б/ 5 . 2) И сследуем знак производной f (х) в некоторой окрестности каждой критической точки . ' ' И меем: f (х) > О для всех < и f (х) < О для все х Х .Е (О; 1 ) . Поэтому , согласно теореме 1 (см. п . 3), ТОЧI<а х = О является точ�ой максиму ма, п ричем максимум фун кции равен f и >О Далее, т ак как f ' (х) < О для всех х Е . . 6 для всех х > 5. ' то по теореме 1 (см. п . ) точка х == 5 я вляется точкой минимума, причем минимум ФУ НIЩШI

f'

х = О.

х О

( о; � ) f' (х)

(О) = О.

3

равен f

( � ) � -:2,03. &

6

Пусть функция f (х), х Е (а; Ь) , неп ре Правило рывна и и меет вторую производную всюду на (а; Ь), к р о ме, быть может, конечного числ а точек. Тогда, чтобы найти экстремумы функции , надо: 1 ) найти стационарные точки функции f (х) ; в каждой стационарн ой точке вычислить вторую п роизводную: если вторая производная .J]Q.оожительна , то эта точка -точка минимума данной функции , если вторая производная отрицательна, то эта точк а - точка макси мума; если вторая п роизводная равна нулю, то для уста новления экстремума необходимо использовать первое п ра вило. Пример Найти экстремумы функции

2.

2)

2.

.

х'

f (x) = t - 2ха + 5 .

6. 1 ) Вычисляем первую производную:

и

f' (х) = х3 - 4х = х (ха - 4) = 2. находим стационарные точки: Х1 = -2, Х2 = О, . 2 ) В ы числяем вторую п роизводную: f " (х) = 3х2 -4 и

подсчитываем

ее

ХЗ

значения в 'стационарных точк � х :

{" (-2) = 8 > О, f" (0) = -4 < 0, f" (2) = 8 > 0.

34 1

Следовательно, данная функция имеет: а) в точке х= -2 минимум, равный f (-2) = 1 ; б) в точке х = О максимум, равный f (О) 5; в) в точке 2 минимум, равный f (2) = 1 . • =

х=

В о п р ос ы Д Л Я ко н т р ол я

1. Какая точка называется точкой минимума функцин?

2 . Какая точка называется точкоii максимума функции? 3 . Какие точки называются точками экстреМУА>lа Функц-ии?

4. Что называется максимумом функции? 5. Что называется мин имумом функции? 6. Какие зН'ачения функции называются экстремумами функции? 7. Сформулируйте Teo�eMY Ферма (необх одимое условие существо вания экстремума). . 8. Какие точк и называются стационарными? 9. Сформулируйте достаточное условие существова н и я экстремума с помощью производной первого порядка. 10. Сформулируйте достаточное условие существования экстре мума с помощью прои зводной второго порядка. Сформулируйте правило нахождения экстремума функции с помощью п роизводной первого порядка. 12. Сформулируйте правило нахождения экстремума Функции 'с помощью ПРОИЗВОДflОЙ второго порядка.

1 1.

У п ра жн е ни е

;1;2]) Найдите экстрем мы следующих функций:

@f (x) = 1 +4x-x2; 2 f (х) = З + х� - 6х ; С!!) ! (х) = � x4 - x� + 5 ; ®Jf (х)= � хЗ - х4 + 5 ; 5) t (х) = = + ; ; 6) f (х) = у х ; 7) t (х) = Ух; З/8) t (х) = V х2;

9) t (х) = х2е-Х ;

10) f (х) = еХ + е-х;

11) f (x)=x ln x; 12) f (x) = -1 + In x. х

§ 38. В ы пуклость графика функции 1 . О понятии выпуклости графика функции.

На рис. 1 1 0 изображены графики функций, каждая из которых явля ется возрастающей на отрезке [а; Ь] , однако хорошо видно различие в их поведении; в случае а) график функ . I. ии обращен вы.п уклостью вниз; в случае б) - выпук лостью вверх; в случае в) на интервале (а; с) графИ1�

342

е . а на юrrервал клостью вверх обращен выпу ф(с;ункЬ)ции зре точки ской триче геоме С вниз. -вы пуклостьюения «обращен выпу клостью вниЗ» и выраж вверх» ВПОЛ!-Jе понятен. Придадим ния смысл ью «обращен выпуклост этим выражени ям точны й математический смысл и дадим !J .

!J

!/

о

11

:r:

d.

Q

О

с

1 10 в какую сторону обращена выяснения того, крите рий дляграфи ии. выпуклость л е н ика 1функц . Графи к непре рывно диффе ренци руеОпре е ыn укл.ы.м вверх мой функци и f(а;(х) Ь), , х Е ( а ; Ь), называе тся в на убываетэтой (�) f' я водна произ если на интервале f' (х) возра ик граф то Ь), (а; на стает (а; Ь). А если функци и называется выnукл.ы.м вниз. Рис.

е

Д

!I

/1

о

I

tt

d

/;

:0

0

tt

111 клый к функции выпу что если тграфи Легко видетегоь, точки . касат его й ниже любо т касательвверх. то все так каклежа ель ициен коэфф ой углов . А если график выной (рис. 1 1 1 , а) , с возрастани ем х лежат выше лю ной уменьшается 1 1 1 , б) , то все пуклый вниз (рис. й (кроме, конечточки но, самой точки каса бой его касательно ния) . ых график рвалы , на котор н и е 2. Инте О п р е Д е л елый интерва аются назыв вниз, или функции выпук вверх ции. функ ика граф и л ами выпуклост Рис.

I

343

2. Достаточ ное условие ВЫ�клости графика ФУНКЦИИ

Т е о р е м а . Пусть функц ия { (х) , х Е (а; Ь), имеет пер : в�� и вторую nроизводн ые. Тогда, если {" (х) < О для всех х Е (а,. Ь) то на июnервале (а; Ь) график функции { (х) ; выnуклы и вверх, если же {" (х) > О для всех х Е (а'' Ь) , то график фун�ции f (х) вып уклый вн из на '(а; Ь) . О сли f (х) < О для всех х (а, Ь) , то, согласно тео - р еме из п . 3 § 36 , ФУНКЦИЯ f ' Е(х) убывает на интервале (а; Ь). Следовательно, согласно !I определению , трафи к фУН КЦII И f (х] на и нтервале (а; Ь) выпук лы и вверх. Если же {" (х) > О для всех х Е (а; Ь), то, соглас �IO теореме 1 из п. 3 § 36 f ФУНКЦИЯ { ' (х) возрастает на Иl! � z тервале (а, Ь). Т аким образом, 1 () согласно определению, график Рис. 1 12 ФУНКЦИ И f (х) на и'rпервале (а; Ь) выпуклый вниз . • Условие знакопостояriства второй производной явлл лсь достаточным условием выпуклости (вверх ил � вниз) графи ка функци и , не я вляется вместе с тем необходимы м у словием� Так, например , графи к . фУН КЦИ И f (х) = � + 1 ВрIПуклыи вниз на всей '!-исловой прямой, однако ее вто рая производна я f" (х) = 1 2х2 обращается в нуль в точке х = О (рис. 1 1 2)_ Сфермулируе м теперь правило нахождения интервал ов выпуклости графи ка функции . Пусть ФУН КЦI:IЯ У = f (х) , х Е (а ; Ь) , имеет в и нтервале (а; Ь) п роизводную второго порядка к роме бытI; может коне чного �исла то.ч ек , и f W (х) имеет не б�лее конечно г� числа нулеи в интервале (а; Ь). Toг�a д.gя нахождения и нтервалов выпуклости г рафи ка этои функции надо: 1 ) найти все точки, в которых или' f" (х) = О, или {" (х) не существует (эти точк и называются к ритическими точ ками функции по второй п ро изводной); 2) В каждом из и нтервалов, на которые разбивается и нтервал (а; Ь) к ритическими точками, найденными в пер вом пункте данного правила, установить знак f" (х). Если в рассматриваемом и нтервале f" (х) > О, то на этом интервале график функции выпуклый вниз ' если же {" (х) < О , то выпук лый вверх. П р и м е р 1 . Найти и нтервалы выпуклости графика ФУНКЦ ИИ { (х) = хЗ •

i

344

_

ой имеет 6. Данн ая функ ция на всей ч ислов ой прям н , име л овате 2 След ь о х. (х) И f = 6 3 ) п рои зводные f' ( х = х ' "

й п роизв одной . Она етс Я одна крити ческа я точка по второ нтерв ала ( - 00 ; О) и два на разбивает число вую пр ямую и (О; + (0 ) . всех Так как ' " (х) > О для всех х > О и f" (х) < О для але нтерв и на вниз I<ЛЫЙ ВЫПУ х < О , то графи к функ ции . (О; + (0 ) и выпу клыи ввер х на !J интер вале ( - 00 ; О) ( р и с. 1 1 3) . .. П р и м е р 2. Найт и и нтервалы В"Ш"J< ЛОСТИ графи ка функ !I � ;C 3 ции f (х) - хе.с.х. 6. Данн ая функ ция на всей число вой прямой имеет произ и водные f'(x) = е- Х ' ( l - х) кри " (х) дем Най 2). (хе Х = ' тически е точки функци и (по . --'--;;;� ;. �-'---....;x... вт орой п роизводной): х = 2. !J

1·

Рис.

1

1 13

JI � !/ =:cc2

z

Рис. 1 1 4

Точка х = 2 разбивает ч ислову ю пряму ю на два и нтер вала ( - 00 ; 2) и (2; + 00 ) . Т ак как f" (х) < О для всех х < 2, то н а и нтервале ( - 00; 2) график данной ФУН КЦИ И обращен выпуклостью 2, то на и нтервале в верх , а так как f" (х) > О дл я х >ю вниз (рис. 1 1 4) . " сть ф выпукло ) + обращен (2 ; 00 гра ик З. Точки п е региба . Как следует и з пример а 1 п реды дущего пункта , точка х = О для функции { (х) хз я вл яется одно временн о концом интерва ла выпуклости вверх и к онцом и нтерва ла выпукл ости вниз_ Анало гичным свойст xB-Х• = (х) f / вом обладает точка х = 2 дЛЯ ФУНКЦИИ О п р е д е л е н и е . Точка график а диффер енци руем ой фу н кции , абсцисс а которой являетс я одновреме нно концом JJ нтервала выпукл ости вверх и концом и нтервал а выпук ЛОСТ И вниз, называ ется точкой nерегиба график а этой фун кции . 345 =

Оч:видно. что в точк: перегиба касательная к графику должна, с стороны, находиться выше гра фика кривой , а с однои другой его, т. е. пересекать. кривую в этой точке (рис. ,1-ниже 1 5). Т е о р е м а 1 (н е об х од и м о е у с л о в и е). Пусть фун.кция f (х) н.а ин.тервале (а; Ь) имеет н.еnреры8.уlo nро азводн.ую второго а . Тогда, если точка с абсциссой хо Е (а; Ь) ,�вляеmсяпорядк точкой перегиба графика этой фун.к ции , то f (хо) = О . о Доказательст проводить методом от против ного. Допустим , чтово будем f" (хо) < О (или f" ( хо) > О) . В силу !I=Т(Х)'/ непрерывности второй произу водной найдется стность � точки хо такая , б-окре что f" (х) < О (соответственно {" (х) > О) всех х на но сти. По теоремеэтойиз окрест п. 2 данпараграфа график данI!О�о функц ��I:-!L...:-. нои ии на интервале б (хо; + хо б) будет ВЫПУК1 15 лый вверх етственно вниз) Последнее противоречит тому, что(соотв хо является точкои перег иба. Значи т, {" (хо) = О . • Т е о р е м а 2 (д о с т а т о ч н о е у с л о в и е). Пусть фун.кци я f (х) н.а ин.тервале (а; Ь) имеет производн.ую вто рого порядка. Тогда , если f" (х) мен.яет зн.ак п ри перехо де аргУАtен.та через хо Е (а, Ь), то хо является абсци ссой точ ки перегuба графика дан.н.оЙ фун.кц ии . О Пусть " (х) при перех оде через точку хо меняет знак с минуса на fплюс. Тогда в силу теоре мы из п. 2 точка хо такова, что, с одной сторо ны, от точки хо графи функ ции у = f (х) обращен выпук лостью вверх , а с кдруго сторо ны, от этои точки хо обращен выпук лостью вниз.й По.следнее , согласно опр'еделени ю, означает, что точка (хо, (хо» - 'FOчка перегиба график а функци и f (х). Анало гичноf доказывает что и в случае, когда {" (х) при пере ходе через точку ся, хо меняе с плюса на минус точка ( хо ; f (хо»- точка пер�гибат знак график функци и f (х) . • Сформу лируем правило нахожда ения точек перегиба графика функции . Пусть функци я y = f (x) , х Е (а ; Ь), имеет в ин ервале (а; Ь) производную второг о порядк а кроме быть тможет конечного :исла точек, и {" (х) имее; не 'бо�ее конеч ног� числа нулеи интервале (а; Ь). Тогда для нахожден ия точек перегибав графика этой функции нужно:

1 ) найти критические точки функции ПО второй про изводной; некоторой 2) исследовать знак второй производной окреспiости критической точки. Если {" (х) меняет знак при переходе аргумента через критическую точку хо, то (хо; f (хо» -точка перегиба гра- ' фика данной функции. П р и м е Найти точки перегиба графика функци и

!<РИ ВОII

в.

р.

6. Данная функция на всей числовой прямой имеет производные {' (х) = 4хЗ -6х2 , f" (х) = 1 2х (х , 1 ) . Найдем критические точки функции (по второй про изводной) из уравнения f" (х) = О, т. е. '12х (х- l) = О. Итак, Х1 О Х2 = l -критические точки данной функции. Выясним теперь знак у f " (х) в окрестности каждой кри тической точки Х1 = О Х2 = 1 . Если х < О , то {" (х) > О; если х Е (О; 1 ) , то 1" (х) < О . Таким образом, точка (х1; f (X1» = (О; 1 ) -точка перегиба . Если x E (I -б; 1 ) , то {" (х) < О, а если х Е ( I ; 1 + б) , то {" (х) > О . Следовательно , точка (х2; f (х2» = (1; 0) ТОЧI{а перегиба . • 4 . Исследование к вадратичной функции. Как известно, функция f (х) = ах2 + Ьх + с, где х Е R и а =1= О, называется квадратичн.оЙ , а многочлен ах2 + Ьх + с, а =1= О, часто назы вают К8адратн.ым трехчлен.ам. Квадратичная функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, т. е. для любого х из R. Производная этой функции f ' (х) = = 2ах + Ь существует при любом х Е R и обращается в нуль в единственнои точке хо = - 2аЬ ' В ычислим значение Уо функции I (х) в точке 'Хо! f (хо) = f ( - :а ) = - � ,

дЛЯ

{l

а

L-__

_ _ _

с

Рис.

_..

/z

I

.z;

=

.•

346

И

И

•

I

где D = Ь2 -4ас-дискриминант квадратного т рехчлена . Напомним, что знаком дискриминанта D определяется чи�ло и существование действительных корней квадратного трехчлена ax� + Ьх + Сl

I

347 j

а) есл� D > О , то трех член имеет два действит ельн ых корня : ь - уп и х2 = _ ь + у 15 .' 2а 2а

б) если D = О, то трех член имеет один дейс твительн ый кор ень : ь хо = - 2а ;

В) если D < О, то трех член не и меет дейс твит ельн ых

корн ей, т. е. не существует дейсfвителыю го ч исла ; я вля ющегоС� корн ем квад ратн ого трех член а. § , , Il

j

: I I I

.о>и

I I

Z

, -;;j-:"гт'-+-+о

' ,

O !/р

:JJI

,1It

':

1,

n ' :·: -Г- .:К7-:-I -�I1\-;-r,

\

t j I,Z

_N�"_-

:

:

.о-о

I

I

I

,

,

f � "_" _ _ � _ _ _ � w _ _ _ _ _ _

-�-------- ----"-�

,

.

:

'

,

IJ

: f

,

/J

:

11

:

,116

�

�

ЛI. . '

)

I

«>0

:

Рис.

<

fmax = t (хо) = Уо '

ГрафИl{ квадратичной функции не и меет точек переГl1ба, кю< f" (х) = 2а =1= О для любого х Е Он обращен, в ыпуклостью вниз, если а > О, и !J JI=:i-I;;;-.f ввер х, если а < О. , в зависимости от знака дис к риминанта D каждый из расcr-'отреННbJХ случаев разбивается .:с еще на три подслуча я , Графики l< аЖJ\ОГО из 6 ПОJ\случаев квадра тичной функции изображены на рис, 1 1 6. П р и м е р 1 . Построить гра фик функции f (х) = х2 - 4х- 5 . 1\ При построени и используем результаты п ронеденного исследор ие. J 1 7 ва н и л квадратичной функции . Так ,{ а к для н ашего случая а = 1 > О и D = Ь2 - 4ас = ( -4) 2 - 4 . 1 . (-5) = 36 > О, то мы и меем ' дело со случаем 1 1 ' На йдем координаты вершины пара болы, явля�щейс я графиком данной функции :

R'.

так

Ь

Il<О

1 16

Найдем и нтер валы моно тонн ости и экст рему мы квад рати чной функ ц и и , использу я ее прои звод ную. а) Есл и а > О, то f ' (х) < О п р и х хо и f ' (х) > О п р и х > хо · Следовательно , функ ция (х) <убывает н а и нтер . рале ( - � ;' хо) и возрастает наf интер вале (хо: + 00 ). , Так как f (хо) = О и прои зводн ая f ' (х ) п ри переходе х через точк у хо меня ет знак с минуса на плюо. ro функ ция f (х) и меет � точке хо мини мум, т. е. fmin = f (хо) Уо ' 848

-4

= хо - 2а = 2.1 = 2

_______ ___ � � � �. _ .

=

+

_,

.

( , I

�--- �-J- _.�-�-- -!!____ _�_L I

•

о

:

б) Если а < О , то /' (х) > О п р и х < хо и f' (х)' () п ри х > Хо' Поэто�у квадратичная функци я f (х) возрастает оо}. на и нтервале ( - 00 ; хо) и убывает на � нтервале (хо; Та к как f ' (хо) = О и п роизводная t ' (х) п р и переходе х через точку хо мен я ет знак с плюса н а lйинус , то функ Шi Я t (х) и меет в точке хо маl{СИМУМ, т. е.

и

'

Уо = f (хо) = f (2) = 22 - 4 · 2 - 5 = -9.

Таким образом, данная фУНIши я в точке хо = 2 имеет минимум , т . е. fmin f (2) = -9. Реша я у равнение х2 - 4х -5 ='0 , найдем абсциссы точек пересечени я графика функ ции с осью ОХ: х1 = - 1 и � = 5. На йдем значение функции в точке Х = О: f (О) = -5 . Следовательно, парабола- пересекает ось Оу в точке (О; -5) . График данной функции изображен на р ис . 1 1 7 . А Л Р и м е р 2 . Построить график функции (х) = = x� + 2х - З. =

�

.f

349

Так как а= - � < О и D = b!- 4ac= 2� -4 ( -�) (-3> = 4-4 = 0, то мы имеем дело со случаем3 I I аолож и� получим f (О) = -3, т. е . граф ик функци� пересекаетх =осьО, Оу в точке (О; -3) . Найдем координаты ВI;:РШ ИНЫ пара болы : хо = --2а = 3 ' Уо = f (3) = О. График данной функции изображен на рис . 1 1 8 . ... 6,

х

ь

//

!I i&

О

fjJ

f

4 . Сформулируйте достаточ ное условuе I!ЫПУКЛОСТИ графика функ ции . 5. СФормули рr йте правило на хождения и нтервалов выпуклосТ1l граф ика функции . 6. Какая точка называется точкой перегиба г рафика функции? 7. Сформулируйте необходимое условие существования точки перегиба графика функции. . В. Сформулируйте достаточное условие с.уществования точки пе· региба графика функции. 9. Сформулируйте п равило нахождения точек перегиба графика функ ции. У п ражнения

:с

7.22. Для графиков следующих функцик. найдите интервалы,

в

которых график функций обращен выпуклостыо вверх и вниз: 1) f (х) = х3 _ 6х2 + 1 2х+ 4 ; 2) f (х) = (х + 1 )4; ' (х) = х4 - 6х2 + 4 ; 4) ' (x) = x4 + Bx� + 1 6. 7.23. Исследуliте квадратичн ые функции и постройте их графики: 1) f (x) = x� + 2x - 3; 2) { (x) = 4x� - 6x - 7; 1 3) { (х) = 3 + 4х - х2 ; 4) ' (X) = - 4 x� + x - l : 1 5) { (x) = - 4x� + 2x - 1 ; 6) f (x) = - S" r. + 2x - 5;

3)

Рис. I I B

7) { (x) = x� + x - 2 ;

Рис. 1 1 9

е р 3. Построить график фун кции f (х) =-П3х2р и+м2хl. 6, В данном случ ае а = - 3 < О и D = b2- 4ac =22 _4 (- 3) (- 1 ) = -8 < О, по�том�имеет о случай I Iз. Положив х= О, лучи м f ( ) - . 1 , т. е. мест ик пересекает ось Оу в точке (g; - 1 ). Найдем теперь граф координаты верш ины параболы: хо = _ 2!:...а = _ 2�. (_-2_3) _- З1

=

и

Yo =f ( � ) = - 3 ( � / + 2 . +- 1 = - � . График данной функ ции изображен на рис. 1 1 9 . "

Вопрос ы для К О н т роля 1 . К акой график называется выпуклым вверх? 2. Какой график называется в ыпуклым вниз? 3. Какие интер вал ы называются и нтерв алами в ыпуклости графика функции?

350

В) { (x) = x� - 2x + 3.

§ 39. П остроен ие графиков фу н кций

Прямая у = kx + Ь называется. графика функции f (х) при х -- + 001 если . Нт (f (x) - kx - b) О. Таким образом, если прямая у = kx + Ь является асимп- ' тотой графика функции f (х) при х -- + ТО функция а (х) = f (x) - kx - b является бесконечно малой при х + Orсюда следует, что 1. Дсимптоты .

асимnто

той

=

х-+ + 00

00,

-+

k=

и

f (х) _ Ь + сх (х) х х

поэтому k

00 .

=

так как

Нт f

х.... + QO

Нт

(х) Х

Ь + сх (х) х

•

О. 351

/:). Т ак как

далее, b = f (x)- kx-a (x) и поэтому

Ь = Н т (f (x) -kx) . х-+ + о)

А н ало гично оп редел яется и нах Одитс я аси мптота гра фи к а функ ции п р и Х - - оо . м е р 1 . Най ти асим птоты граф ика фун кци и f (х)

3� �� Х /:). Так

'1= -

f (х)

=

как

3х9-+- = 3 k = li т f х(х) 1"1т х2. 3 i Ь = l т (f (x) - kx) = li т ( Х!+ 1 _зХ ) _ - l'1т -Х1 = 0' Х то п р ям а я у = Зх является аси мптото и гра фик а фун кци и f (х) п р и х -+ + легко убедитьс я , что эта же п р я мая Х-+ + '"

Х-+ + ОО

=r

Х-+ + ОО

1

Х-+ + '"

I

Ь=

k = l iт ' (хх) = ....Нт. х2x(х� ++ x1 ) = 2 , ( 2Хх2+·+1Х - 2х ) = = Нт -kx) (x) (f liт ..... = li т ( х +Х 1 ) = - 1 ' х-+±со

х

•

00.

±

'"

х-+± оо

± со

у = 2х- l

Х-+ ± '"

__

--+ +

являеТСi} асимптотой графика да н то п р ямая 00 . График и при Х и р п ной функции функции изображе н на рис. 1 2 1 . • П р и м е р 3. Пусть дана функци я

х --+ -оо

f (x) = � (Vx2 + x + l + VX2�x + 1) .

Х-+ + '"

.

х

Найти асимптоты. /:). Вычисли м п ределы: = , y x2 -I- х + I + У х2 - х + I " ! ' ) 1·1 I 1 1Л1 т (х

k = .... -Х = -2 . х Ь = Н т (t (x) -kx) =-} Н т (Vх2 + х + l + V�2-х+ I -2х} = О. Итак , п р ямая у = х явл яетс я аСИЩIТ01:0Й графика даН IlОЙ функци и при х- + Рассмотр им теперь пределы п р и х --+- оо: x k = lim ' (хх) = .!...2 l iт V 9 + x + I +х V x2 - х + l = - 1 , Ь = Нт (f (x) - kx) = = -}·. Н т (V х! + Х + 1 + V xZ-х + 1 + 2х) = о. Х

Х-++ '"

+ со

=

Х-+ + Ф

00 .

Х-+ _ 00

X-J>

•

х-+ _ 00

-,Ф

Х-+ - 00

Рис.

1 20

Рис.

121 -

у=-

у Зх я в�яется асцмптотой и при х Г раф ик фун�ции и зобра ен на рис. 1 20 . А � . _ 2x� �� м е р 2. НаИТИ ' асимлтоты графика ФУНlЩИИ f (Х) = . - Х::П- ' =

352-

-

00.

х я вляетс я асимптото!' ! Следователь но, п р яма я Изображе для графика данной функции ПрИ ние графика дано на рис. 1 22 . А Пр ямая а называетс я вертикал.ьноЙ асимптото й графика функции есЛИ

х - ":" оо.

х'==

1 2 ЛЛ! ебра ,

f (х), 11т f (х) х-+а- О

ч.

1

=

00

или

Н т f (х) =

х....а + О

00 .

853

Заметим , что п ри нахождении верти кальн ых асимп то1.1 графи ка ФУНКЦ ИИ' f (х) в качестве точк и а, через котор ую может п роходить верти кальн ая асимптота , следует р ае<> сматр ивать точ к и разры ва данно й функц ии f (х). П р и м е р 4. П усть f (х) = x� 4 ' Найти асимптоты. 4 6. Р"а ссмотр им точки х = 2 и х ==; -2. Имее� lim f (х) ==; lim

х-->- ± 2

�4 = 00 ,

х-->-± 2 Х_ -

и поэтому п рямые х = 2 и х = -2 являются вертик аль ными асимпт щами график а данной функци и .

!J

!J

)/ Il -z ;

Рис. 122

о

Рис. 1 23

:г

:с

'

4 Графи к функц ии f (х) = x� 4 изобр ажен на рис. 1 2 3 . А

--

l' 1 П р и м е р 5 . Пусть дана функц ия f (х) = 2" х . - (Х - l).2 ' Найти асимптоты . 6. Рассмотр им точк и х = О и х = 1 , где эта функ ция не определ ена. В этих точках

!�� C� - (x� l)�) = + 00 , �i�l (:� - (X� I)� ) = - 00 .

Следовательно , пр ямые х = О и х = 1 явля ются верти кальн ыми асимп тотам и графи ка данно й функ ци и . Кром е того, п р ямая у = О явля ется асим птотой графика функ ции при х -± оо . Изоб раже ние графи ка функ ции дано н а рис. 1 24 . ... 2 . П риме ры построени я г рафи ков функций . При по строе нии графи ков функ ций можн о использовать следую щую схему! з54

1 ) Найти область определения функци и , если она за. ранее не у казана. Проверить функцию на четность и нечетность. 2) 3 ) Исследовать функцию на периодич ность. 4) Найти точки пере· У ,: сечени я графика Функции с осями коорд инат. ! 5) Найти и нтервалы : знакопостоя нства функции. Найти асимптоты о графика функци и . 7 ) Исследовать функ цию на монотонност ь. 8) Найти точки экст ремума функции. . 9) Найти точк и пе региба и и нтервалы Рис. 124 графика выпуклости функции . . 1 0) Построить графи к . Отметим , что не всегда нужно точно следовать даннои схеме п р и построении графика функции. Иногда для по строен и я графика функции достаточно п п . 1 )-6). хз П р и м е р 1 . Построить график ФУНКЦИИ f (х) = х; - I . 6. 1 ) Область определени я функци и - вс я числовая п р яма я , к роме Х = + 1 , х = - I . 2 ) f (х) - нечетная функци я , так как f ( - х) = - f (х). Поэтому для построени я графика у ==; f (х) достаточно исследовать �e для х � О. , 3) Функция непериодическая. 4) График функции пересекает оси, координат только в точке (О; О). Точки х\ = -1 , xi = О и хз = 1 разбивают ч исловую прямую на четыре и нтервала :

.

6)

�

i:,

u

(-00; - 1 ), ( - 1 ; О), (О; ' 1 )

и

( 1 ; + 00).

5 ) Найдем знаки ФУН КЦИИ лишь в и нтервалах (О; 1) ( 1 ; + 00 ): f (х) < О для всех х Е (О; 1 ) , f (х) > О для всех х Е ( 1 ; + 00).

н

в силу нечетности данной функции имеем f ( x) < О для всех x E (-оо ; - 1 ) , t (x) > О для всех x E (- I ; О) .

35�

6) Так как

f (х) = ±оо и х= 1 и х= -1

Нт

х -+ + 1 ±О

то прямые асимптота м и . А так - K�II{

Нт

Х-+- } ±о

f (х) = ±оо , верти кальными_

я вл яются

х3 = 1 , ' = l1т Х (Х2. - 1 ) Н т (f (x)-kx) = Нт ( 2� I -X) = 0, х. графи к дан ной функции и меет асимптоту у = х. 7) Найдем прои зводпую: " (х) , х2(x�(х-2 -3) I)� • l'

Х-+ ± 00

то

t (х)

1т Х-+ ± ОО х

х-+ ± оо х-+±

00

Он'а существует во всех точках числовой п р ямой , кроме и р авна нулю в точках и Поэ тому l{ритическими точками функции будут

х= ±I, х = о х = ± Vз. х1 = - Vз, х2 = - 1 , хв = О, х4 = 1 , хб = vз. Изучи м поведение t ' (х) в о){ рестности J{аждой крит и чес){ой точи и . Вследствие нечетности f (х) достаточно рассмотреть зна к f' (х) на промежу тках ( - 1 ; О), (О; 1 ) , ( 1 ; Vз) 11

['

( V З; + оо ) . Резулыаты исследован и я запишем в табли цу

убывает

1

о нет экстремума

Х=

убывает

1.

j убывает

I

о минимум

3УЗ =2-

/

х '" (х)

I I

х= х ± х=

'" (х) =

•

х> 1

х<-I

-+ точка перегиба

f (х) выпук лость выпуклость вверх

вниз

I 1·

*

1

1

, t I

,

I

1/ /, // I / , " I I ,1 , I I "

в озрастает

Х=

2х � + 3) Г (х) = ( {x� ..... 11a

.

Рис,

/ /

,

J

1

выпук лость вниз

вып уклост ь вверх

'v:t

!I

+

-1 и 1. функция не и меет экстрему . В !оч){ а х м а , так как эти точки не принадлежа т области опреде лен и я дан ной функции . , В силу нечетности функци и можно утверждать, что п ри Х = - Vз данная функция имеет максим ум. 8) Чтобы исследовать график функции на выпуклост ь, на йдем в,!орую производную.

356

BOДH� �

х=о

(х)/

{(х)

и (по второй прои з и к р итические точ к и данн ой функц и О и '" (х) не существует п р и О при й ) .. ти 1 Одна ко точки = 1 не прина длеж ат облас быть т може ба и ег пер точка ому поэ , ии � преде�ения фущщ О. тол ько в точк е с а бсци ссои. ьтаты Иссл едуем знак второ И произ водно и и резул цу и табл в шем исследова н и я запи

/

/

/

/'

/

:t

/' -

.r;J / - - / 1/-хг-I

z

J

125

9) На осно ве п роведен ного строи м ее график ( р ис. 125), "

исследова н и я функ ции 357

П р и м е р 2. Постро ить график функци и f (х) =; 5 (х- 2) • х.2 6. Област ь опреде лени я ФУНКЦИИ - ВСЯ числов ая ось. кроме точк и х== о. 2) Функц ия не является н и четной , н и нечетн ой. 3 ) Ф ун кция непери одическ ая. 2) 4) Найде м н ули функц ии . Реши в уравне ние' 5 = 0. п олучи м х'= 2 . Таким образо м, графи к функц ии пересе кает ось а бсцисс в точке х = 2. Далее, так как х = О не входит в область определени я функц ии, то графи к функ ции ось ордина т не пересекает. 5) Точки х = О и х = 2 'разби вают ч ислову ю ось на три интерв ала (-00; о) , (о; 2) и (2 ; + 00 ), в каждом из кото рых значен и я функц ии -имеют посто я н ные знаки (см. табли цу):

1)

(:з

табли цу х

f' (х)

f (х)

\ \ I

- оо < х < О

убы вает

.\ \ I

0 < х< 4

х=4

+

О

воз р астает

I

MaKCJlMYM � 0,6

в

4 < х< + оо

1

убывает

в точке х = О функция не имеет экстремума, так Ka� эта точка не принадлежит области определе н и я даннои функци и . !I

х

f (х)

6)

Изучим п оведение фУНКЦИll на и нтер валах ( - 00 ; о) ,

(о; 4) и (4; + 00 ). Результаты исследова н и я запишем

+ .

о

f

Найдем асимптотЪ! графика ф ункции. Так как 2) 5 (х . 1 1т 2 f ( х) = \ 1т = О, ·

х_ ± оо

1·

1т

х...... ±
f (х)

-

х

=

х...... ±

оо

х.

- 2) llП 5 (х ' з = О, х

\.

х..... ± с.о

то п р я ма я у = о, т. е. ось абсци сс , являе тся гориз онтал ь ной асимптото й . так как

А

l i т f (х).

х...... ± о

==

- 2) l i m 5 (х .

х-+ ± о

x�

t' (х) = 5

1 26

00 ,

то п р яма ft х о , т . е . ось ордин ат, я вляется верти каль ной асимптотой . 7) Найдем п роизводн ую: =

Рис.

(�;x) ;

она существует и конеч на в области оп ределе ни я данно й ФУНКЦИ II . Поэтому крити ческим и точка ми функц ии t (по первой произв одной) будут Х1 = О И Х2 = 4. 3 58

(х)

8) Чтобы исследовать график ФУНlщии на выпуклость и определить точки перегиба , найдем вторую п роизвод ную: 10 f"(X) =

(�-6)

и критическ ие точк и данной фуuкции f (х) (по . второй п роиз водной): t " ( x) = о при х = и' f"(x) не существует в точке х = О . Так как точка х = О не п р инадлежит области определен и я данной функции , то точкой перегиба может оказаться лишь точка с абсциссой х = Исследуем знак

6

6.

35}

второй производноj:j и результаты исследован и й зап ишем в таблицу

{ '(х)

f (х)

11М

I

О вып уклость вверх

выпуклость вверх

+

точка перегиба

в ы п уклость

В I I И3

9) Используя результаты исследова н и я фУН К ЦИ11 , строее график ( рис . 1 26) . А У п ра ж нения 7·24. Найдите асимптоты графиков фун к ц и й :

1 хЗ -.--1 ; 1) У = -- ; 2) Y = -r хз ; 3) у = .Г х-2 х- I 1 + 6х - 5 х2 х 1 4) У = ; 5) Y= I х ( + X) 3 ; 6) у= I -xz ' -

7 . 25 . ИССJIeдуйте следующие функции и постр ойте и х графИl < И :

1 ) f .(х) = хЗ - 3х2 - х + 3 ;

3) ' (х) = -х4+ 2х2 + 3;

. 1 (х +· 1) (х - 2) , 7) f (x) = (X - I) Х - 2) ; 5) f (х)

}

2) f (х) = х4 - ТОх2 + 9; х- I 4) ' (х) 2 ( Х + l ) (2 - х) ; _ (X + l ) (2 - х) . 6) f (х) 2х + 3 ' 8) ' (X) =

�

X2 _ X + 6 ;

х2 -9 9) ' (х) = ""2А х - .. ; 1 0) ' (х) = 2 Х ; 1 1 ) f (x) = x ln x.

§ 4 0 . Р ешение зада ч на максимум и минимум

На практике часто приходится рассматр ивать зада чи, .связанные с нахожден ием наибольш его или наименьш его значени я из всех тех значен и й , которые Функuи я прини мает на некотором отрезке. Если из.вестно, что на отрез ке [а; Ь] функция f (х) м Онотонна, то наименьшее и l1aH большее значен и я достигаю тся в концах отрезка , а именно, если f (х) - возра стающа я функци я , то f (а) - наименьш ее з начение , а f (Ь) - наибольшее з начение функu и и f (х); есл и ж е f (х) - у бывающа я функци я , то f (а) - н а ибольшее зна чение, а f (Ь) - н аименьшее значение функции f (х). Н а пример , функци я f (х) = х2 , Х Е [ О ; l J , возрастает на отрезке 860

[ О; 1 ] . Следовательно, f ( О) ='0 - наименьшее значение функ ци и , а f ( 1 ) = I - наибольшее значение (рис. 127) . Пусть теперь f (х) не является монотоннои на отрезке [а; Ь] , };10 известно, что f (х) непрерывна на отрезке [a� Ь J и имеет п роизводную во всех !I точках отрезка [а; Ь] , за исклюI 1--------..... y = x Z чe�IИем, быть может, конечного числа точек , и и меет не более ко нечного числа стационарных то чеl<. Тогда наибольшее и наимень шее значени я на этом отрезке функuия принимает либо в одной f О нз критических точек , п р инадлеРис. 1 27 жащих (а; Ь)', либо на концах. от резка [а; Ь ] . П р и м е р 1 . Н айти наибольшее и наименьшее значе I I Н Я функции f (х) = х2/З (х - 2) на отрезках! а) [ - 8 ; - 1 ] 11 б) [ - 1 ; . 1 ] . 6. Функци я f (х) определена на всеи числовой пр ямой I 1 имеет п р.оИзводную х-4 , f (х) = 5 �Г3 V х u

на всей числовой п р ямой , к роме х = О. Критическими точками да нной функции будут х = О и х = О, 8. , а) На отрезке [ - 8; - 1 ] данная функция во.з раотает, так как ['(х) > О дл я любого х Е [-8; - 1 ]. . Следовательно , на отрезке [-8 ; - 1 ] Функuия п р и нимает наи меньшее значение при х = -8, а наибольшее значение при х = -;- I : _

{ ози .. = f (-8) = - 4 0 , [8а.6 = [ ( - I ) = -3. б) Обе критические точки функции п р и надлежат от резку [ - 1 ; 1 ] . Следовательно, наибольшее и наименьшее значения данной' функции на отрезке [ - � ; 1 ] находятся среди значений f (- I ) = -3, { ( О) = О , { (O,8)�- 1 ,03 и f ( I ) = - I , поэтому { наиб = О , {наим = -3. А П р и м е р 2. Н айтй наибольшее и наименьшее значе ния фун кции f (х) = 2хЗ- 9х2 + 1 2х - 3 па отрезке [О; 3] . 6. Решив уравнение f ' (x) = 6х2 - 1 8х + 1 2 = 6 (х- 1 ) (х - 2) = О, найдем к ритические ТОЧI{И х = 1 и х := 2.

и

368

_

f (0) = - 3, f � 1 ) = 2 , f (2) = 1 , f (3) = б будет наименьшиlvt ,:Значением, а наибольшее - наибольшим значением данной функции на отрезке [О; 3] . Поэтому fн!им = - 3 и fн аИб = б . & ?ассмотрим несколько задач с конкретным содержа н ием, для решен и я которых необходимо найти наибольшее или н аименьшее значе� ..;o. +-,," :C � +-h m-----,.,...",, '--r ние некоторой функции. П р и м е р 3. Какой из п р я моугольни ков с перимет ром 2р и меет наибольшую t::s площадь? 6. Прямоугольников с п е р и метром 2р имеется беско нечное множество. Н аша за fL'-
V (О) = О, V

(�)

У пражн ени я

2;;

7.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих . на отрезках -о 5' О 5 и [-1 ,5 ; 2] ; f (х) = х4 - 8х! - 9 на отрезках - 1 [О; 3] и [-3; 5] ; f (х) = - x4 + 2x� + 3 на отрезках - . 0 7 [-2; о], [-2;

фун � ий:

Щ f (х) = х3 - 3х

О) 2] (3) и [о; 4] ; 4) f (х) = Vx� (2 - х) на отрезках [ -6 ; - 1 ] и [-2 ; 1], 7.27. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см3• Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы

х

O � x � � и объем бака будет определяться по формуле

Таким образом, задача свелась к отысканию значен и я функции V (х) на отрезке [О; а/2] . 362

( � ) = 2;; и V ( � ) = О,

то функция V (х) п р и нимает наибольшее значение на от резке [О; а/2] в точке х = а/б. Ита к , при х = щ6 объем бака будет н аибольшим. .& Ответ: Vн аuб = V =

Так как S ' I р - 2х, то х = р/2 -· кр итическая точка этой функции . На [О; р/2 ] функци я S возрастает, а на [р/2 ; р] убывает. Следовательно, при = р/2 площадь S будет наибольшей. Ответ : и з п р я моугольников с периметром 2р наиболь'.; шую площадь имеет квадрат со стороной р/2. & ;с:;'.г -. П р и м е р 4. И з квадратного листа жести со CTOPOHOiVs' а надо изготовить бак с квадратным основанием без крыш - .....--... к и наибольшего объема. 6. Обозначим через х длину стороны вырезаемого квад рата (рис. 1 28). Так как в основании бака квадрат, то

% наибольшего

где О � х � а/2 .

- _;

Так как У'(х) = а2 - 8ах + 1 2х2, то, решив ураЩlение 1 2х2 - 8ах + а2 = О, найдем стационарные точки функции У (х): х = а/б и х = а/2. Рассмо�и м далее значения функци и V в точках x 1 = 0 , Х2 = а/б и хз = а/2. Так как

Н аименьшее и з ч исел

V (х) = (а- 2х)2 х,

'- .

.; ��

•

должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее ко личество мате риала? 7.28. Т ребуется ого родить п рово лочной сеткой. ДЛliНой. а п рямоуголь ный ytJacToK, ПРllлегающий к стене. На!!тн размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей. 7.29. Материальная точка совершает п рямолинейное движение по

2

закону s (t) = 5t + 2t� - з t3, где s путь в метрах, t - время в секундах. В какоН момент в ремени t скорость движения точки буде,. на ибольшей и какова величина этой наибольшеii скорости? 7.30. Из куска ка ртона 32 C�IX Х20 см требуется изготовить открыPIIC. 129 тую сверху коробку наибольшей выеСТIIМОСТИ , вырезая по углам квадраты 11 затем загибая выступы для образования боковых сторон коробки. I lа iiДlIте объем коробки . 7.3 1 . Сечение туннеля (или шлюзового канала) имеет форму п рямnуголЫlIIка , завершаемого полукругом (рис. 1 29) 1) Зная периметр сечения 2р, определите! п р и каком радиусе полу !{руга площадь се'lСНИЯ будет наибольшей. .

I

363

2) Зная площадь сечения S, определите, при каких условиях пе РШlетр сечения будет наименьшим. 7.32. Лампа висит над центром круглого стола радиуса R. При какой высоте лампы над столом освещенность п редмета , лежащего на к раю стола, будет наилучшей (освещенность rrpямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна к вад рату расстояния от источ ника света)? 7.33. Докажите, что из всех равнобедренных треугольников, впи санных в данный к руг, на ибольший периметр имеет ра вносторонний треугольник . 7.34. Найдите положительное число х, чтобы разиость x - x� бbJл'а на I1большеЙ. t.л-w -?' 7.35. Н айдите число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме наименьшее зна'lение. 7.36. Установлено, что энергия, отдаваемая элеКТРИ'lеским эле· E2R ментом, определяется по формуле W = (r + ) � ' где Е - электродви, R жущая сила элемента, г- внутреннее сопротивление, R - внешнее СОПРОТИВJlение. Каким должно быть сопроти вление цепи, чтобы отда ваемая элементом энергия W была на ибольшей? 7.37. Даны прямая и две точки С и О по одну сторону от п ря· мой. Найдите такую TO'U (вместе с промежутками между строками) S (см2) . Ширина лодей на страllице слева и справа должна быть равна К (см) , а сверху и снизу - d (см) . ЕСЛlI принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры стра ницы? 7.39. Определите сопротивление внешней цепи, при котором ба тарея из двух последовательно соеди ненных аккумуляторов сможет развить максимальную полезную мощность. ЭДС бата реl1 2,5 В, ВНУТ реЮlее сопротивление 0, 16 Ом. : Чему равна ма КСlIмальная: полезная МОЩНОСТЬ? 7.40. Найдите наибольшую площадь ПРЯМОУГОЛЫIИlса, верши·вы которого находятся в начале декартовой сltстемы коор.в.Иllат, на .оси х, . на оси у и на параболе y = 4 - x�.

Г л а в а

8

Н ЕОП РЕДЕ Л Е Н Н Ы Й И НТ Е Г РА Л

§ 4 1 . Неопределенный интеграл и его свойства Первообрэзная и неопределенны й интеграл. В

диф и о)кдени х а н задачу и л а реш мы и и н ле с и ч с и льном (i)ерцщиа I\РОИЗВОДIIОЙ или дифференциала зада llНОЙ фу н к ци и . В ма тематике и ее п р иложен и я х часто п р и х одитс я решать обратнУЮ зада ч у : по зада н ной п р оизводной н а х однть новую фу н к ци ю , п роизводна я которой р а в н а зада н н о й фун к ц и и . 1.

Н а l l р и м е р , если н а м известна CJ{OPOCTb V = V ( t) , t E [a; bJ , I I р я м ол и не й н о г о движен и я м атери альной точк и , а мы долж ны УЗl18ТЬ п уть S, п ройден н ы й этой точ кой , то, зн а я , . что

... = и, !!!. dt. . . ной

.:�

'м ы к а и раз должны будем по зада н н о й п ро и звод =v

и)

н а йти фун к ц ию s. Н а х ожде н и е фун к ц и и п о

е е П РОИЗВОДIIОИ и л и дифференци алу р ассматр и вает� я в и нтеграл ь н ом исчисл ен и и . Ф у н к ц и ю , восста ilавли ваемую по зада нн о й ' ее п роизводiIOЙ ' , и л и Д}1фференциал у, называют п е р вообразноЙ . . " о n р е Д е л е н и е 1 . Ф У ШЩ И и F (х) н азываетс я nервооб разн,ой дл и ф у н к ц и и f (х) н а HeJ{QTopOM п ромежутке, ссли для всех значен и и х из этого п ромежутка выполн яетс я р а вснство

Р' (х) = [ (х). Н а п р и м � р , Д Л Я фу ющ и и [ (х) = 3х2, x E R, ' пер вообр эз нои во всех точк а х действительной оси будет ФУНКЦИЯ F (х) = х3, т а к к а к F ' (х) = 3х2 = f (х) д л я I<аждого х Е R. Заметим , что F1 (x) = X3 + 1 , и л " Р (х) = х3 - 5 , или, вооб 2 п р о изволь н а я к о н ст а нта , та кже ще , F s (х) = хВ + С, где С я вл я ются п е р вообраЗНЫМII для фун к ц и и f (х) = 3х2, Х Е R , так к а к эти фу н кц и и и меют одну и ту же п р оизводну ю , р а вную 3�2. Т а к и м образом , фу н к ци я [ (х) = 3х2, x E R , имее:г бес коне ч н ое м н ожество пер в ообр а з н ы х . Следующа я теорема -

364

3б5

показывает, как найти все первообразные заданной функ ции, зная одну из них. \} Т е о р е м а. Если функция F (х) является nервообразной

для функции f (х) на некоmором nРО.межуmке, то .множе ство всех nервообразных для функции f на это,'d. np 0Jo./e жутке задается ФОРА1УЛ ОЙ F (х) + С , С Е R. у С ФУI!КЦИЯ F (х) + С , О f (х).

где -некоторая Любая вида постоянная, является первообразной для действи тельно, (Р (х) + С) ' = Р' (х) = f (х):

Докажем теперь, что любая первообразная для f пред ставима в виде F (х) + С , где С - некоторое число. Пусть Ф (х)-первообразная для f (х) , т. е. (х) = f (х). Рассмотрим вспомогательную функцию ер (х) =фФ' (х) - р (х) и покажем, что она является постоянной. ' Пусть И х2 две произвольные точки рассматри ваемого промежутка-;- и пусть, например, Х1 < х2 • ПQ тео реме Лангранжа найдется точка с Е (x1 ; ха) такая, что Xi

ер (ха ) - ер ( x1) = ер ' (с) (х2 - х1 ) . (р' (Х) = ф' '(х) - Р ' (х) = f (х) - f (х) = О х ер (х2 ) = ер (x1 ) ер (с) = О , ер (х) = С, Х1 х2• ер (х2) = ер (х1) СФ (х) = F (х) + С . •

Так как для всех и, в частности, то . Итак, для любых и Следовательно, где некоторое число, т. е.

ИЗ доказанной теоремы следует, что графики первооб разных функции у = f (х) получаются из графика какой нибудь одной первообразной F (х) параллельным перено сом графика функции у = F (х) вдоль оси ординат. П р и м е р. для функции f (x) = � , х Е ( О; + 00 ) , найти первообразную F (х) , график которой проходит через точку (2; 2). 6 Так как при всех х Е (О; + 00) верно равенство (ln x)' = � , то lпх-одна из первообразных ФУ НКЦИИ f (х) = � . По доказанной теореме искомая первообразная F (х) должна иметь вид F (х) = ln х + С, где С - некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F (2) = 2 , т. е. ln 2 + C = 2, откуда C = 2 - 1n 2. Следовательно, F (x) = ln x + 2 - 1n 2 = ln

Зб6

� + 2 . ..

п р е е л е н и е Множество всех первообразных на некотором промежутке называется неоn от функции f (х) на этом проме жутке и обозначается символом

о Д 2. ФУН КЦИИ f (х) ределенным интегралом

� f (х) dx.

(1)

Этот символ читается так: «интеграл от Таким образом, согласно определению,

f (х)

по dx» .

� f (х) dx = { Р (х) + С } ,

( 2)

где F (Х)-I<акая-либо первообразная функции f (х), а С произвольная постоянная. Формулу (2) принято записы вать без фигурных скобок, опуская обозначение множе ства � f (x) dx= F (x) + C.

Символ � называется знаком интеграла,

f (х) -подынтег ральной функцией, f (х) dx - nодынтегральныAt выраже· нием, х - nеременной интегрирования. ФУНКЦИИ интегрированием функции.

Нахождение по ее производной или по ее дифференциалу называется Интегрирование-действие, обратное дифференцированию. ПраВИЛbJЮСТЬ интегрироваНИ$I можно проверить диффе ренцированием. Например, � (2х + 3) dx = х2 + �x + С, так как (х2 + 3х + С ) " = 2х + 3.

2 . Основные свойства неопределенного интеграла. 1. f (х) , t (x) dx = f (X) , d t (x) dx = f (x) dx.

Если функция O

)

имеет первообразную, то O

)

о Пусть F (х) -одна из первообразных функции тогда, по определению,

(1)

f (х),

� f (х) dx = F (х) + С,

где Р ' (х) = f (х) или dF (х) = f (х) dx. Следовательно, ( � f (х) d.x)' = ( Р (х) + С )' = F ' (х) = f (х), d ( � f (х) dx ) = d (Р (х) + С) = d.F (х) = f (х) dx . •

36

И спользуя это соображение и таблицу п роизводных , соста вим таблицу неопределенных и нтегралов.

2. Если f (х} - дифференцируемая функци я , то

�

, t' (x) dx = f (x) + C ,

� df (x) = f (x) + C .

( 2)

� О ш = С, С - константа: х'Иl + С , а =1= - 1 . 2 . 5 XX' dx = а+l -З. S d: = ln l x l + C. .� а 4. 5 Х dx = l лХа + С , а > О, а =1= 1 . а В частности, � dx = еХ + С. 5. � cos x dx = sin х + С . 1.

о Так как df (х) = f ' (х) dx и f является первообразной

для своен производной f' , то

� df (х) = � f' (х) ш = f (х) + С. •

,"

3. Если функция f (х) имеет первообразную, то п р и а =1= О верно равенство

� af (х) dx = a � f (x) ш.

_

еХ

(3)

,

Это свойство означает, что постоянный отличный от нул я множитель можно выносить за знак и нтеграла . 4. Если функции f (х) и g (х) имеют первообразные, то (4) (f (x) + g (x» dx = f (x) dx + g (x) dx.

�

7.

�

�

Это свойство означает, что интеграл от суммы двух ФУНК ций равен с умме и.нтегралов от этих фун кци й . Доказательство свойств 3 и 4, аналогично доказатель' ству первых двух свойств. Формула (4) естественным образом обобщается на слу чай суммы n (n > 2 ) функци й. П р и м е р . Найти (2 sin х + 3е-х) dx. 6. Согласно свойствам 4 и 3 неопределенного и нтеграла получаем

�

�

'

368

� f (x) dx = F (x) + C.

х+ а

г

lП

ot

I

-

Последнее раве нство следует из известных формул: ( -cos x)' = sin x и ( -е-Х ) ' = е-Х. А

может быть записана в виде и нтегральной формульr:

С,

x� + at

e-х dх = -2 соs х - 3е- х + С.

�. Таблица неопределенных интегралов. ИЗ определе н и я и нтеграла следует, что всякая формула для п роиз, водной конкретной функци и , т. е. формула вида F ' (х) = f (х) ,

.

x2 - � - 2a

� (2 sin x + 3е-Х ) ш � � 2 sin x dx + ) 3e-x dx = s i n x dx + 3

cos 2

-

х

�

=2

� s l n x dx = -cos x + С.

5 dx х = tg Х + С dx 8. 5 stл 2 х = - сtg х + С. dx 1 а =1= О . 9 .. 5 а' + х2 = a- arctg -a + 10 . 5' dx - ( I n I х - а I +' С , а =1= О. dx_ 3 = а сs. ах + С а =1= О . 1 1. а2 , 1 S V ·dx х I n (х + V·x! + а ') + С . а =1= О. 1 2. , SV dx- а' = I n / x + Vx' - а' \ + С , а =1= О. 1 3. х2 V S 6.

1 j

Кажда я из формул 1 - 1 3 СПР'8веДЛИВ1i на каж ом п ромежут�е, принадлежащем облас'Ги определеиия� n ,J. и нтегральной функции. Спра-ведли-вость К8ЖД@Й п 111rи веденных формул можно установить дифференцированием. Проверим, например , формулу 3. Здесь надо рассмотреть два случа я . 1 ) Пусть х > О ; тогда I х I = х и формула 3 примет вид

5 d: = lп х + С.

Дифференцируя , получим

_

i � � �L

3

:?>

3

( l n x + C) ' =

�+0=� .

�

-�---------'L---------

=-

---

-

2) Пусть х

< О;

тогда I х

1 = -х и фор мула 3 имеет вид

S � = l n (-х) + С.

Дифференцируя , будем иметь

(1п ( -х) + С) '

.

= + О = �х . -1 -х

И нтегралы, приведенные в р ассмотренной выше табли це, получили н азван ие табличных инmегРШlOв.

§ 42. Методы Jlнтегрирования 1 . Метод н епосредственн'ого интегрирования. Неnосред cmeeHHbt,l,t интегрированием lIазывается такой метод вы числения и нтегралов , при котором они сводятс я к та б личным путем применения к ним основных свойств неопре деленных и нтегралов. ПРI! этом подынтегральную функцию обычно предвар ительно соответствующим образом п реоб разуют. П р н м е р 1 . Н айти ( l + 6. Преобразовав подынтегральную фУЮ{ц И Ю и восполь и нтеграл а , н аходим и З0В � ВШ И СЬ свойствами

�

VX)2 dx.

4 3 � ( 1 + VX')2 dx = � ( 1 + 2 VX' + х) dx = = S dx + 2 S VX'dx + S xdx = x + 4х[х + х; + С.

Последнее равенство получено с помощью табличного J 1. • СХ = '2 и и нтеграла 2 соответственно п р и

370

П р и м е р 2 . Найпi

сх = О, S 2�x4 dx.

СХ =

-

-

- --

�

-------""-

-----

-

6. И нтеграл сводится к табл ичным и нтегралам 3 = (сх 3): S 2�х4 dx = 2 S d: + S хз dx = 2 1 n I х I + � + С . • П р и мер

2

и

� 3х . 42Х dx.

3.

Найти 6. Преобразовав подынтегральную функцию, п риводим (а и нтеграл к табличному и нтегралу

4 = 48): S 3х . 42Х dx = S 3х 1 6x dx = S 48х dx = J�B:B + С . А П р и м е р 4. Н айти S cos2 i dx. 6. Так как 2 cos2 i = 1 + cosx, то S cos2 i dx = +S ( 1 + cos x) dx= + (х + siп х) + С А

В оп р ос ы дл я ко н тр о л я

1 . Ка ка я Функ ц и я наз ывается первообразной дл я функц и и t (х), х Е (а; Ь)? 2. Что назы ваетс я неопределенным и нтегралом функции t (х)? 3. Вер!"'ы ли утверждени я : а) первообразна я суммы двух функ ц ий равна сумме первообраЗIIЫХ этих фун к ций; б) неопределенный интеграл разности двух функций равен соответствующей разности . интегралов от этих функ ц ий? 4. Почему формула (3) неверна при а = О? 5. Докажите справедливость формул 1 0 - 12 дл я табличных ин тегралов.

- _.

..

П ри ме р

5.

Н айти

S 25�4X�. '

(а = � )

простых преобразован и й подынтегрально й : функц и и приходим к табличному интегралу 9 6. Путем

r J

dx =. r

25 + 4x�

J4

dx

(�+ x� )

=

1 r "4 J

dx

( � у + x� =

= '41 ' s1 arctg sх + C = 110 з.гсtg 2хs + С . ... '2

'2

x� dx П р и м е р 6 Н айти . 3 + x� ' 6. Интеграл п риводится к табличному и нтегралу 9 V3): 3 х -3 dx 3 + х2 - 3 dx 3 + х2 3+ + х22 3+ � 3 +x� =

S

(а = 5 х2

= dx+ S S x dx = S = S ш- 3 S 3�X� = х - 3 . ;3 arctg VЗ + С = = x - VЗагсtg

и dX П р и м е р 7 . н аити S 3x� - 5 '

;3

-1 С . ..

87 1

6 И нтеграл

(а = с dx = J 3х2 - 5

У% )r : J

dx

2 -. / 5 У. 3

1

(а

П

=

3 ( x� - % )

=3 '

Р

1

" и м е р 8 . Н а ити

. +)

6 Сводим

к

СВОДИТС Я

и нтеграл

.

S

[ 3J 1

1п

1' 1

'-. / dx I 2

1

- x�

•

х

+с

.t. 1

и нтегралу

3

.

С.

= з а г сs l П 3х + : . I

Yx2 + 4 - 4 Y X2 - 4

1 3 (а = 2) :

+. С . "

у x4 - t6

dх.

А А

6 Данный и нтеграл сводится к табличным и нтегралам

r у'Х2+'4 - 4 УХС4 ш ' r dx - 4 r dx _ J . у х4 - 1 6 J У х2 - 4 J У x� + 4 11

= lp l x +

V х2 - 4 1 - 4 1 п (х + Vх2 + 4) + С . А.

П р и м е р 1 0 . Найти

5 Sin2 :�OS2 X •

6 Так как s i n2 х + cos2 Х = 1 , то I sin� х cos� х

.sin2 х+ cos2 х 1 = siл� х cos2 х = cos2 Х

+

) siл� х'

.

372

dx = х cos� х

5

dx -cos2 Х

+5

где F (t) - какая-либо первообразная фующи и f (t ) , t = g (х) . Действительно, согласно этому правилу получаем = Р ' (g (х» g' (х) = f (g (х» g ' (х). (Р (g (х» +

С)'

Правую часть формулы ( 1 ) обычно записывают в виде

� f (t) dt,

(2)

где t = g (x) . Из формулы ( 1 ) следует, что есл и подынтегральное выр·ажение имеет вид f (g (х) g ' (х) dx = f (g (х» dg (х) (3) g ' (х) dx

МОЖliо свести к и нтегралу (2) с помощью замены пер� · менной , положив t = g (х) . П р и м е р 1 . Найти cos (5х + 3) dx. 6 Подынтегральное выражение пр нводится к виду (3) .

�

cos (5х +

3) dx = '5 cos (5х + 3) d (5х + 3) I

(здесь f (х) = cos (5х + 3) , g (х) = 5х + 3). Сделав замену переменной t = 5х +. 3 , получим А sin t sln (5х + 3) . 1 cos (5х + 3) dx = = '5 cos t dt

5

5

П р и м е р 2. Найти (::.. Так как

то , положив t = 2х

•

dx -- = t x - ct g х + sш� х .

g

� f (g (х»

+ с.

= -5- + С

� (2х + 1 )10 dx.

5

(2х + 1 )1° dx = -} (2x + 1 )10 d (2x + 1 ) ,

Таким образом , и нтеграл СВОДIIТСЯ к табличным интегра лам 7 и 8:

5 sш3-'

(1)

или приводится К. этому виду , то интеграл

= з а ГСS I П -I

" П р и м е р 9. Н аити

� f (g (х)) g' (х) dx = F (g (х» + С,

3

таБЛИЧ !l О МУ

�'" V

12

1

2 . И н тегрирован ие Мt:ТОДОМ замен ы переменной (метод п 6дстановки). в основе метода п одстановки (или метода замены перем�нной) вычислен ия неопределенных интегра лов лежит следующая формула , являющаяся ПРОСТЫ\1 следствием правила дифференцирования сложной функцин:

�

ху У 1 = 2 Y 1 5 n 1 х Уз 3 + У55 1 dx ,rг 1 - 9х2 .

. ) J!,(}--'r ) . I =3j (3 ) j

)

х+

-

dx

ПУ vf + С ==> v�

x� - ( x

l{

1

10

табличному и нтегралу

с . ..

S

(2х + l ) lO dx = -}

5

+ 1,

получим

(2х + 1 )l° d (2x + I ) = . �

S t1o dt =

=w+ c= t11'

(2х + 1 ) 1 1 22

+ с.

373

П р и м е р 3. Найти � хех2 м. 6. Положив t = х2, находим 5 хех2 dx = i 5 ех2 м2 = -} 5 et dt = -} et + С � + С. & х2 dx З ' П р и м е р 4. Найти 5 4+ 3х 6. Подынтегр ,:л ьное выражен ие приводится к . виду . 1 d (4 + 3х3) 9 ' 4 +3x� , t = 4 + 3х3 , получим 5Положив 2.dx x � S d (4+ 3x3) � s 4 + Зх� = 9 4 +3х3 = 9 �t -_ 1 1 = 9 1 п l t l + C = 9 1 n I 4 + 3xS I + С . & =;

ех&

'"

П р и м е р 5. Найти 5 � х. е 1/Х м. 6. Положим t = X-1 тогда Х = 71 и dx = - (fdt ' образом, 5 �� e1/X dx = 5 t2et ( - :: ) = - 5 et dt = '

.

I

Таким

= - еt + С = � еl/X + С . &

П р и м е р 6. Найти S V l l +dxJOx -х� , . 6. Так как 1 1 1 0х - х2 = 36 - (х - 5)2, то С помощью замены переменнои:;Г t = х - 5 интеграл сводится к таблич ному иптегралу! dx dx d (х -5) S' VlJ + IOx- х� S УЗ' 6 -(х-5)�. =t S Y6�-(x.-х5)�-5= = S V6� - t� а rсsш 6' + С = а rсsш -6- + С . & П р и м е р 7. Найти � х V 1 - х2 м. 6. Сделаем подстановку t = l -х2, тогда dt = - 2х м, dt т. е. х м = - т , Поэтому 5 х V 1 - х2 dx = S Vt ( - �t ) = --} 5 Vt dt = а!

=

874"

-� , �

t 3/ 2 + C = _

�

( 1 - X2_)3/2 + C. A

П р и м е р 8. Найти � siп х соs7 х dx. Положим t = cos х, тогда dt = - sin х dx. СледовательНО, соэ8х- + С. & 5 s inx cos7xdx = - 5 t7 dt = - stB + С = - s dx П р и м е р 9. Найти 5 slЛХ . 6. П е р в ы й с п о об. Преобразовав подынтегральное выражение dx sin x dx - d cos x SiJjX = sin2 х = 1 - соэ2 Х И положив t = cos х, приходим К табличному интегралу 1 О: = �2 l n l t' +- 11 1 + С = ..!.2 1п 1I +- сcoоэs хx + С. = S (�� 5� -1 sin х В т о р о й п о о б. Преобразуем подынтегральное вы ражение следующим образом: d .2. d .2. d .2. 2 2 ах ' 2 . -= = = SiJjX х х х х х s ш - со s tg g соэ� 6.

.

с

с

.

с

--

.

·2 2 х tg '2 '

t T

--

tg

'2

T

положим u = Тогда получим 5 s�x = S d: = l n l u l + c = ln l tg � ' + с . &: х П р м е р 1 0 . Наити S Varcsin2 l - x� dx. dx 6. Положим t = arcsin x, тогда dt = V х; . Таким образом, . S a s n2 х dx = S t2 dt = .Е... + С = (arosin х)3 + 9. & 3 3 V l - x� d П р и м е р 1 1 . Найти S 1 + V х · 6. Сделаем замену переменной , положив х = t2, t � О. Тогда, так как dx = 2 t dt, получим 1 S 1 +dxу х = 2 S .!.!!:!. . = 2 S + - 1 dt = 1 +' 1+' = 2 5 dt -2 5 l�t = 2t -2 111 (l + t ) + С = = 2 Vx - 2 1 п ( 1 + V'X) + С . А 375

И

u

rc

1-

i

t

П р и м е р 1 2 . Найти

S YeXdx- I '

= [2, t > О, тогда 2! dt еХ d.x = 2! dt , d.x= + t� l '

6 Положим еХ - 1

1•

.

dx = 2 S � = 2 arctg t + с = 1 t�+l

Следовательно,

SV

еХ _

.

= 2 arc tg VеХ - 1 + с . ... П р и м е р 1 3. Найти � V4-x2d.x. " 6 Положим x = 2 sin t, I t l � ; , тогда d.x = 2 cos t dt t = arcsin ; . Следовательно, V 4 - х2 = V 4-4 sin2 t = 2 Vl -siпЧ = 2 cos '.

I!

u = (а + ь) х во ВТОРОМ , найдем mt \ sin (a-b) xdx = S аs-Ь dt = J - Ь) х + С cos t + С1 . _ cos а(а-Ь . = _ а-Ь S sin (a + b) xdx = S ;�� du = o (a +b) x + с ' =-� а+ Ь + C2 = - c s а+Ь 2 ра ле и

(а+ЬЬ) Х) + с. (а -ЬЬ) х + cos а+ 5 sin ax cos bxdx = 2 ( cos а-

Следователь но, если а ± ь >=1= О, то � -

При

� V 4 - х2 dx = � 2 cos [ . 2 cos t dt = 4 � cos2 t dt = 2 � ( 1 + cos 2t) dt ...:.. 2t + sin 2! + с.

Так как

sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t V 1 - sin2 t = = 2 . ; У 1 ( i ) 2 = � V4 - x2 , -

S V4- Х2 dx = 2 аГСSiП ; + ; V4 - х2 + С . А 1 4. Найти � sin ax cos bxdx, а ::;6 0, Ь ;z!= 0.

Пример 6 П р еобразовав трн гонометрич еСJ< l I Х пронзведеlIие функции в сумму согласно IIзвестной формуле

sin cos Ьх = s in (а -Ь) x + sin (а+ Ь)

S sin

ах

ах

cos bxd.x = + S sin

' (а - ь)х

Если а ± Ь ::;6 О , ТО, П ОЛожив

376

=О

и нтеграл вычисл яется. еще проще:

cos 2ах + С 5 S .l П ах соs ах dХ = 2 5 S l П 2�x dx = -� 1

.

� sin sin Ьх d.x, � cos ах cos Ьх dx, ах

=

получим

ь

Аналогично вы.числяются и нтегралы

Таким образом,

то

а ±

t

2

х

'

dx + � S � in (а + ь) х = (а -Ь) х в первом и ш егdx .

а =1- О,

'"

. •

Ь =i= О.

П р и м е р 1 5 . Найти и нтегралы от рациональ ных Функ Ц!I Й :

l 2) 5 х2 +7х2х + 1 d.x; 2 хЗ х 3 4) 5 x2 +x+_.I 2 dx. · 3 ) 5 x2_ 4x +5 dx;

6 В этом примере все подынтегральные функции имеют

П I IД

г,з,е Р" (х) - многочлен степени n . Способ и нтегрирова н и я таких дробей зависит от того, имеет ли корни знаменатель дроби и является ли рациональная дробь правильной или неправильной (n � (n < 1 ) Здесь подынтегральная функция явл яется правиль ной рациональной дробью, знаменатель имеет два корня : х -5. Представим подынтегральную функцию в виде .л сум мы:

2).

2)

=

2, =

3х+ 5

А

В

х-2 +х+5

377

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю: А (х + 5) + 8 (х - 2) 3х + 5 х2 -т- 3х - l 0 х2 + 3х - 10 _

ИЗ

3х + 5 = А (х + 5) + В (х - 2).

Полагая в полученном тождестве х = 2, находим 7А = 1 1 ' 11 получаем - 7В = - 1 0 , B = � ' Полагая х = -5, А =, 7

7 .

функция представима

J 1 /7 + 1 0/7 3х + 5 = х2 + 3х - 10 х -2 х + 5 '

Поэтому

2) В этом случае знаменатель рациональной дроби имеет l{ратный корень х'= - 1 . Предста вим подынтегральную функцию в виде суммы: 7х - I А + 8 = (х + 1)� х+ l x� + 2x + 1

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю: х2 + 2х + 1 7х - l

ИЗ

=

х2 + 2х + 1

А (х + 1) + 8

Полагая здесь , например , х = 2 , а затем х = О , получим 3 В = 4 и - 4А + В = -2, т. е. А = 2" Следовательно,

S

3 3х - 2 = x� � 4x + 5 dx '2

7 х= x� + 2x + l d

378

х- l

=

7 1п I

(x - 2)� + 1

=

= '2 n (х2 - 4х + 5) + 4 arctg (х - 2) + 1 •

С.

3х - l = А (х + 2 ) + В (х - 1 ) ;

при х = 1 получае� А = 3" ' при х = -2 получаем В = 3" Таким образом, 2

� + С. 1

7

3 2/3 .ХЗ + 1 + 7/ = х- l + х +2 х- l X� +,x - 2

Следовательно, х+ 1 1 + х

x S d

Многочлен х2 + х - 2 = (х - l ) (х + 2 ) имеет два кор н я : х = 1 и х = -2 . Поэтому далее поступаем так же, как и при решении п римера 1 ) ,

8

' (х + 1 ) 7 S �8 S d(x + l )� х+ l

(х2 - 4х + 5) + 4 x� - 4x + 5 3

3х - l .хЗ + l 1 + x� + x - 2 ' x� + x _ 2 = X -

x� + 2x + 1 = х + 1 - (х+ l)�'

S

d

А 3х - l В X� + х - 2 = х- I + х + 2 '

Полагая в нем х = - l , находим В = -8 ; полагая х = О , получаем А + В = - 1 , т. е. А = 7. Следовательно, Поэтому

S

4) Подынтегральная функция не я вляется правильной рациональной дробью, так как степень числителя равна 3. В таких случаях следует, разделив числитель на знаме натель, представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. В дан ном случае, после делен и я многочлена хз + 1 на многочлен х2 + х - 2 , получим

•

7x - 1 = А (х + 1 ) + В. 7

1 (x� - 4x + 5)� + В x� - 4x + 5 ' x� - 4x + 5

3х - 2 = А (2х - 4) + В.

полученного равенства следует тождество

7х - I

А

3х - 2 x� - 4x + 5

Для определени я коэффи циентов А и В получаем тождество

этого р авенства следует тождество

Следовательно, подынтегральная в виде

3) З наменатель рациональной функции не и'меет корней. Представим подынтегральную функцию в виде суммы.

.ХЗ+ I

'

7

S х� + х _ 2 dХ = 2 - Х + 3' l п l х - 1 1 + 3' ln I x + 2 1 + С . & x�

2

37!)

I

3*. И нтегрирование по частям. Согласно правилу диф �ренцирования п роизведени я имеем

общее правило для определения того, какой сомножитель в подынтегральном выражении следует обозначать через и н какой через dv. Ограничимся поэтому следующими ре [{омендациямн : 1 ) Применение формулы и нтегр ирования п о чаGТ Я М целесообразно в тех случаях , когда подынтегральное вы ражение удается представить в виде произведения двух множителей и и dv таким образом, чтобы и нтегрирова ние выражений dv и v du было более простой задачей , чем интегрирование исходного выражения и dv. 2) При вычислении и нтегралов вида

d (uv) = v du + u dv.

Поэтому

: Интегрируя

и dv = d ( ии) -и dи-.

обе части этого равенства , получим . u dv = d (uv) - и dи.

�

�

�

Используя свойство неопределен ных и нтегралов! получим формулу

� d (и и) = ии + С ,

� u dv = uv - � и dи.

� р (х) lп х dx, � Р (х) arcs i n х dx, � Р (х) arc tg х dx,

где р (х) - многочлен , за функцию и принимается СООТ B�TCTBeHHO 111 х , аrсsiп х, arctg х (см. п римеры 2 , 4 ) . 3 ) .пр и В �IЧ J:l слении и нтегралов вида ,

(1)

Эта формула называется формулой интегрирования п о /(асmям.

П р и м ё Р 1 . Найти !::. ПоЛ(�жим

q'огда

� Р (х) еа'Х dx, � Р (х) s i n ах dx, � Р (х) co_s ах di,

� хе" dx.

du ='dx,

V

и

�

Таким образом, используя формулу ( 1 ), будем иметь

� хе" dx = xe" � е" dx = �e" _е" +'с.

3 а м е ч а н и е. Если Прff решени и этого примера мы ' положили бы , u = е" , и, следоват�льно,

380

� еа;< cos Ьх dx,

. а2 + Ь 2 =1= О,

и = 1п х, dv = dx,

-} 5 х2е" dx,

е . и нтегрирова ние по частям привело б!>I к интегралу более сложному, чем исходный . ... При использовании формулы и нтегрирования по частям для Н,а х.ождения и нтегралов от произведения нельзя дать

т.

Ьх dx,

�

x� и = т,

то, применив формулу ( 1 ), получили бы -

еах' s i n

формула и нтегри роваН!1 Я 'по частям п римен·яется последо вательно два раза , причем оба раза за и выбирается либо показательная функци я , либо тригонометрическая. После дву кратного и нтегр и рования по частям п олучается ЛЙнеЙ. ное уравнение ОПlOсительно искомого и нтеграла (см. при мер 6). П р и м е р 2. НаЙТI;J lп х dx. 6. Положим

-

5 хе" dx = �� е"

=1= О ,

принимается м ногочлен Р (х) (см. примерь� . 1 , ' 3) . Если многочлен Р (х) выше первой степени , ' то ' опера цию интегри рован и я по частям следует п рименить нес колько раз (см. пример 5) . 4) При вычислени и и нтегралов вида

за

= е".

dи = e" dx,

а

тогда ., du = .!!!. х

v = х.

Отсюда , согласно формуле ( 1 ), I

5 lп х dx = х lп х 5 х d: = х lп, х -

-

5 dx

='

= х lп х -х + С .... 38 1

S

.Для вычислени я п оследнего .интеграла еще раз п рименим интегрирование по частям, положив dv = cos 2x dx. и = 2х - 5,

П р и м е р 3. Найти x cos x dx. /:). Положим и = х, dv =< cos x dx, · rrогда du = dx, v = sin x.

Т ак

S (2х - 5) соэ 2х dx =

Поэтому , и спользуя формулу ( 1 ) , имеем'

S x cos x dx = x sin x - S sin x dx = x sin x + cos x + C . •

S

Следовательно,

S x arc tg х dx = T x�

x� - 5x "'" - -2

S

х2 dx l + x�

=

S

I + X� - 1

/:).

X� dX arc t g x - '2 S l + x �' l

l + x;

dx l + x�

1

x (x - 5) sin 2x dx.

тогда du = (2х - 5) dx,

По формуле ( 1 ) получаем

S x (x - 5) Sin 2x dx = ::=

ЗВ2

.

�

2х

2

5

sin �x +

cos 2x 2

+ C!J

.

2х- 5

I + 1 0x - 2x�

4

\

1

.

2х- 5

cos 2x + 4- siп 2х + С . •

dv = sin 2x dx, u = еЗХ, os 2х du = 3еЗХ dx, v = c 2 _

По формуле ( 1 ) получаем

х

х2 + =2 - arct g x - '2 + C ,

S

Положим

тогда

Р (х) = -

= x - агсtg х + С.

Ит ак , 1 х" х x arctg x dx = -i агсtg х- '2 + т агсtg х + С = П р и м е р 5. Найти /:). Полож им

S

sin 2х - sin 2х dx =

П р и м е р 6. Найти Р (х) = S еЗХ sin 2х dx.

x�

и=т·

dx = S dx - S

5

соэ 2х + -4- SШ 2х + '4 соэ 2х + С = ::=

Вычислим отдельно последний интеграm S

2

x (x- 5) sin 2x dx =

I

dx 1 + x� '

2х

Таким образом,

П р и м е р 4. Найти S х arctg х dx. /:). Положим U = arctg х, dv = x dxi тогда dи =

sln 2х

как dи = 2dx, и = -2- I то

� е3Х соэ 2х � s еЗХ cos 2x dx. +

Для нахождения последнего и нтеграла применим еще раз формулу и нтегрирования по частям: dv = соэ 2х dx, u = е3Х, •

,

dv = sin 2х dx, cos 2х ' и = - -2

du = 3е3Х dx, и=

-} sin 2х.

S еЗХ соs 2х dx = � еЗХ siп 2х - { S esx sin 2x dx =

Тогда

1 3 ' 2х - '2 = '2 еЗх sш Р (х) .

Т аким образом, для Р (х) получаем уравнени е Р (х) = -

-} е3Х cos 2х + � ( -} еЗХ srn 2х - { Р (х) )

t

из к оторого находим х2 - 5х

- -2- <;оэ 2х + '2 S (2х - 5) соэ 2х dx. I

F (х) =

fз еSх (3 sin 2х - 2 cos 2х) + С.

А 383

3 а м е ч а н и е. Выше мы позна комил ись с некот ор и п риема ми вычисл ени я неопределен ных и нтегра лов. ым Сле дует иметь в виду, что не у всяко й элементарн ой фун ции первоо6раз ная есть элементарн ая фун кция . ' В к случае, когда перво образ ная некоторой элементарнтом функц ии f, яляет ся элементарн ой функ цией , говор ят, ой что и нтегр ал f (х) dx выражается через элементарн ые функ ци и или что этот и нтегра л можно найти или вычис лить. Есл же и нтегр ал не выраж ается через элеме нтар ные функ ции,и то говор ят, что и нтеграл нельз я найти или что и нтегр а нельз я вычис лить. В следующей главе будет доказ ано л п . 6 § 44) , что для всякой непре рывн ой функ ции f(см. первообраз ная существует , т. е. существует неопределе(х) нный интег рал f (х) dx. Одна ко первообраз ная функц ии f (х) может быть функ цией неэлемента рноЙ. Так, например , для следующ их фун кций 1� + а -ха sln x I

�

�

r 1 т Х' , е

' -х- ,

'п

х

первообраз ная существует на любом промежутк функция непрерывн а. Но, как можн о доказ ать, е, где перво образная каждой из этих функц ий есть функц ия неэле ментар ная. Поэтому про и нтегра лы

S V l + хЗ dx, S е-хl

dx ,

S S l: х dx, S (:х

говор ят, что они не выра жаются через элеме фу нкции или что их нельз я найти , нельз я вычис лнтарн ые ить. У п р аж нени я

F (х)' является лервообразноtl для: f (х) на всей числовой прямой : 3 1) F (х) =2х3+4' х4+5, f (х) = 3 (х + 2) х!; 2) F (х) =2x +�x, f (х) = 2 (1 +e�'�); З) F (х) = sln х cos х, f (х) = 2х ; 4) F (x) =x- ln (l + x2), / (х)= (l1 +_ xх2)2 ' 8.2. Докажите, ч1'О на указа ll lЮМ промежуТ\(е ФУНКЦ IIЯ F (х) явля ется первообразно й для функци и f (х): 1 1) Р (Х) = Х + l (х) = I - зх1 , х > о; 2х. 2) F {х} = 2 ух + � х3/2 f (х) 1х1 , х > о ; 8. 1 . Докаж ите, что функц ия

фу"кци и

F (х) = 2'1 t.g, х, 4) F (х) = агсооэ -х1 ,

f

f (х):

sln х х I I < 2; (х) = 1t

OOS3 Х

'

(х) = х rг x�1 - 1 .

.

'

Х

> 1.

f (х) = sln х 3х; f (х) = 2s1 х; f (х) = f (х) = ОО;?

1) F (х) = 2х F (х) = 3) F (х) =arclg x + arcctg х, 4) F (х) = sign х, 8.4. Квкая: из функций

F (х)

Fi = 2"1 sln2. х + 1 , F2 = 3 - 21 соэ2 Х' Fз = 4 - 41 является первообразной для функции f = sin х cos х?

соэ

псрво-

2х

график кота· (хо ; УУо):= f (х) первообрззнуlO, 1 2) У= 1) y =2X- 3, (3; 3); х - 2 , х 2, (4 ', о)·, 4) Y = � ' Х < о, (-3 ; 4) ; 3) у=х2 , (2 ; 3) ' 2

8.5. Найдите для: функции рой проходит через точку

>

,

х

+ s ln (l +x), ( 1 ; 1) ; 6) Y = l x \, (-2; 4). 2 .�_ r х 8.6. Пусть функция F (х) является первообразной функ� ии f (х) на всей числовой прямой. Верны ли следующие утверждения. если f (х) - периодическая функция, то F (х) - периодическа я ., еслн f (4 - не'Iетная функция, то F (х) - четная ; 2)3)1) если f (х) - четиая: функци я , то F (х) - нечетная? 8. . Найдите какую-либо первообраЗIlУЮ функции f (х): 7 1) f (х) = 1 +х4 ; 2) f (х) =х3 (х2 - 1); 3) f (х) = (x� - 1)�; 4) f (х) = 2х3 - 5х2 - 7х - 3; 4+х2 ' х > о; 6) f (х) = 4 + 2 + 1 х < о ; 5) f (х) = -Т х3 x� х ' 1 х х+ 1 8) f (х) = 2 -ух f (х) = у х 7 ) v-; : 5) У =

_

'

j{];)Наilдите неопределенные IIlIтегра.1Ы:

5 (ax2 + bx +c) dx; 4) � х (х+ 1 ) (х +2) dx ; х _ 3х·_ х2 + 1 dx' 6) r 8 J (х+.. 1 ) (х---'- l dx. 7) -i; 2 -3) d»', 8) � хЗ- 3хх22-+3Х � ...o.-'--"'Х х2, 8.9. Найдите неопределенные интеграЛj>l: x� + УХЗ+ 3 dx; 2) 1) х v- ' ух

� (ax + b) dx; {з � (7 _3х _ х3) dx; 1 )i �г,5) r ( Х\О - 1О х dx: J 1)

2)

_

хЗ

.

2 '

З8'1

f

.

8.3. Является ли на всей числовоii прямой ФУНКЦIIЯ: образной для функции 8 cos 2 соэ соэ 4х, 2s 1l1 Х , n х cos 2)

cos

г.

I

�

=

5�, ]с

11

Алгебра.

ч.

1

�

'

) "Г,/ ',.7 <:'" � ;y ' р" , �

385

(

�, '

--<

-J-

!

•

3) j YXVX YXdx; j (х2 + 1) (x�- 2) dx. V x� 8. 10. Найдите неоп ределенн)ые интеграл 4 ы: ,1) � (3ex + 5cos x) dx; 2) � (2 sin x + 2X) dx; 3) 5 Ц /-; + 7Х) dx ; 4) 5 2Х;t}X dx; 5) j(' 2X3�x dXJ 6) 5 S j� 2х $ш х dXJ ' 7) S, Siл2 .::. dx' 8) � ctg2 Х dx. 2 ' 8. 1 1 . Найдите неоп ределенные ин�еграл ы: 5 1) 5 16�9X2 ; 2) 5��X2 ; 5 х3 + 2х2 + 5х+ 1 3 3) х2 + 5 dх,. 4) 5 +dx4x� '., dx 5) S У' 9dx- '4х2 . 6) S У7х2 - 8 У I +Ух2 + Y I - x2 dx У х2 -У3-3 Yx� +3 . 7) ; 8) S dx l - x4 S х4 - 9 8. 1 2. При мен яя подходящве лодстано вки, найдите интегралы: .!.! � (3x- l)bdx ; � � (2х+ 7)8 dx; 5 (хxdx 3) 5 хЗх +dx3 ; 4) - 1 ) 12 ; 5 5 5) х2 + I�� + 4 1 ; 6) X2 +�;_ 8 ; 5 ),;2 +:;+25 ; 8) 5 7) 5 _ I:XX_ 9x� ' 8.� Прн мен яя подходящие подстаllО ВКИ, найдите интегралы/ xdx 1) 5 ( 1 x-dxx2)� ; .3) 5 6х + 7 dx r:..2) 5 x43х2+ 6x�1 + 5 ; 3х2+ 7х + 4 ; \!);5 х3 х + dXJ 5 (З��:S) 1 � 5 7��l (6D x7 dx � I ,7) 5 �6 8) S X4 + d». x +1 х +1 8. 1 4'. ПРl1мен яя подходящие подстано вки, dx v ,r (2 -1)� У 2 - 5xdx; �J l+х xdx � dx; x 4) S У 2--'1 3) S У2х + 3 •

х4

'

I

-

-

-

;

1

;

J

з86

J

наАдите интеграm;n

б) 7)

dx

SУ S v x�

27 + 6х dx

x� •

•

_

х-

S dx . 7 8) S V х2 + dx

6)

V x� + 4х +

'

Эх

У3х2 - 1 dx; 10) � х' V х3 + 1 dx. (8. 15 Применяя подходящие подстаllОВК , найдите 1) J(' хе-Х! dXi �� ХЗех4 dx; \.... , I 3) S 1 +dxе3Х ; 14 а �r�x dx; ) 5) S Ye4'�-dxе'Х ,' 6) S .redxx + 1 8. 16. Прнменяя подходяЩие подстан овкн, 1 ) S ( sin 7Х+С05 "9X ) dХ ', 2) S Sln (Ct>t + f.. O; 4) (' соз 8х 3) � sln х sш. 3х dх," j5 х 3хХ dx; х cos '3 dX,. 6) Б) SШ С05 з S з 2 Х, 7) j(' SlnCt>tSin(Ct>t+q>� dt ..J.. O·, 8) J(' х \О) (' соsЗ х dx; 9) (' sin3 х dx; j j 1 2) j(' CO S _x_' 1 1) S cosbx sin x dx; 14) (' V 1 + С05 13) ('j ctg х dx; j _ Vх . 16) S V х х dx; 15) � 8. 17. П рименя подходящие подстанов ки, найдите r .' х dx х 2) 1) S lп: dx; I х х 1 + n V J у агс. tg 2 х dx r 4 ) 1 +_4х2 х, х aretg х2) S 3) J (1 + . yarccos х aroslns х dx ' 6) Б) I S I- x. S функци : рациональных от алы г . ин'те р 8. 1 8. Н аидите (х + 3) dx 1) S x �5�X+ 6 2) 5S x�-4x+4 х2 dx (х +x+ 2) dxl 4) x�-4x+ 3) S x�+ 3 J

9) (' х

иитеt;,p!lJ1 hl'

и

у_

r

r

d '

Х

1 I а ilдите и нтег раЛ:'I:

2 С05 sin2

, Ы .,...

dx

,

eCOS Х sln

соз

dx;

.

_ _

x s ln x dx;

5 1п

Я

dx

интегралы' �

.�� ,

In

d .

_ _

.r ----z r �

"

_

I

x�

d» .

й

i

1.. 'z

387

8. 1 9*.

�

Прнменяя

теграл ы : 1)

3) 5)

7)

�)

xe-�x dx;

2)

х sin х dx;

4)

� (3х- 4) 1 11 х dx; arccos

8.20*.

5)

S

� dx;

dx;

2)

1112 Х dx;

4)

еХ cos х dx;

6)

.�.

8 2 1 * П рименяя х3е - х2 dx ', 1)

) х2Х dx;

�� х cos (5Х- 7) a rcsJn х dXi

5

х2 sln

по частям, найдите и н -

х dx;

arocos2 х dx ; еЗ'� s ln

( 2х - "::4 /)

dx.

раЗЛJl Ч Н ые методы , найдите интегралы! ,

З) S VХ SiП V Х dх', 5) S х ar.:tg x� dx)'

2)

4) 6)

Г л а в а 9 РА Л Й О П РЕ ДЕ Л Е Н Н Ы И I:IТ Еr

dx,

интегрироваНllЯ

)�

по частям. найдите ин-

•

� arctg х dx.

8)

метод

х

интег рирования

6)

Применяя

� 1 ) х2е �

Тегралы:

3)

метод

й ной тра пеЦ ИII § 4 3 . Пл ощ адь к ри вол и не

нео три цат елы lюю неп рер ыв Рас смотри м каКУЮ-НJl буд ь Ь ную фу нкц ию f (х) , х Е [а;30)],. огр ани чен ная отрезком ос и 1 с. (ри ЬВ Аа а Фи гур аль ных пр ямы х х = а и х = Ь абс циС С , отр езк ами вер тик ии , назыв аете я �ри80лltн.еЙн.оЙ и гра фи ком заданной фу нкц

jr еI/ x dx ;

S S

в

ln ln x dx; -х .

1 x a rcros - dx х > 1 . х '

о

а

в

!f

:z:

Рас . 130

о

а

:&,

Х2

Рис .

XJ

131

Ь

Х

гра фик ом фун кци и У = I (х) , трапе цие й, опр еде ляе мой . х Е [а; Ь] . й ная тра пец и я - это мно ине вол кри , и вам сло в Др уги ми рди нат ы которы х х, у удо жество точ ек пл()ск ост и, коо летвор яlOТ усл ови ям

a � x � b, O � y � f (х) .

я иволи ней ной тра пеции. дл На йдем площадь этой кр этого отрезок [ а; Ь] точ кам и Ь - а t. , i = O, . . . , n,

xj = a + n-

1,

рав ны х по дли не отр езк ов Ь) [а ; хl] ; [х1; Х2] , • • • ) [Xn _I; этом тик аЛЬ 1lы е пр ям ые. Пр ич аст ей н I1ро ведем чер ез точ ки вер n на я етс обь раз А аЬВ к риволи ней ная тра пеция пл ощадь i-й час ти не ме ньш е м иче пр 4), = n , (ри с . 1 3 1 38)

разобьем на

n

m i (X, - Х /_ 1 ) и не больше M i (xi - X1_1), где т , и М/ соответственно н а и меньшее и н а ибольшее значения фун к ции f (х) н а отрезке [хн; 'х а, i = 1 , 2, " ' , n . Следовательно, площадь всей к р и волинейной тра пеци и А аЬВ не меш ше суммы

т 1 дХ1 +

. . . -!

n

6. д анный треугол ьник я вл яетс я КР ИВОЛlIн ейной тра· y = f (x) = Отрезок

т" дх" = � т, дx,

[О; а]

и не больше суммы n

1= 1

где �X , = Xi- Xi_!. О бозначив эти суммы соответственно 5" и S". п олучим, что площадь SАаЬЛ кри воли ней ной тр а пеЦl!l1 АаЬВ удовлетвор яет нер авенствам 5" � S А'а ь в � S" .

Здес ь 511 - площадь ступенчатqй фигуры, которая содер житс я в да нной I<Р l1 волиней ной трапец и и , а S,, - площадь сту пенчатой фигур ы , . которая содерж ит да нную кри воюг неI1 ную тр апецию_ При достаточ но мелком разбиеН И l l от резка [а; Ь) , т . е . при достаточно большом n , площади эти х фигур мало ОТЛll чаютс я др уг от друга и от площади криволинейной трапеции. Следовательно, мож но считать , что последоватеЛ ЬНОСТ�1 (5/1) и (S,,) и меют один и тот же п редел и этот предел равен площади фигуры А аЬВ. Это УТВерждение п олучено в п редположен и и сущест вова ния площади у рассматриваемо й криволи ней ной тра пеци и , одн ю �о мы еще не даЛII определения этого ГЮН ЯТИ Я , ПроведеЩIЫЕ; рассуждения делают естественным следую щее определение. О п р е Д е:л е'н и е . . Пусть задан а неryрерывная неотр и цательная ФУНКЦИЯ f (Х) , Х Е [а; Ь) . Т огда , если пределы п оследовательн остей :(5,,) И (S,,) существуют и равны, то их общее значение н азываетс я площадью криволинейной тр апеции , заданцой графиком этой функции. В следующем парагр афе будет сфОР МУЛll ровано утверж ден и е , из которого следует, что Jlюба я криволиней н а я тра пеци я и меет площадь . П р и м е р ] . Показать, что п лощадь п рямоу гольного треугольника (рис . 1 32) с вершинами в точка х (О; О), т.

390

(а; Ь)

согласно данному определению равна е. вычисл яется по известной формуле. и

точками

х Е [О ; а) .

х, = � i , i = O, 1 ,

�

.

mi = f (x '-l) =

М 1 дхL + · · · + М" дХ" = � M , дx"

(а; О)

'

% x,

делим на n отрезков дл ины

;= 1

{ аЬ,

ФУНКЦИ И

пеЦllей , определ яемой графи ком

и

поэтому 5 11 =

"

' , n,

раз·

Тогда (см. рис. 1 32 , n = 4)

* и - 1 ),

M i = f (x,) = � i ,

L-n �Ь (t. - 1 ) -а = а2Ь ' (n- I ) n _ ab2 ( 1 -J.. ) ' 1= 1

Sn =

п

i: � i *' [= !

п

=

Отсюда видно, что

п.

2

n

-

�� , n (n2+ 1 ) = � ( 1 + � ) .

аЬ ·т Нт 5/! = 1 1 S ,, = '2 '

n�ф

n� CXI

Т аким образ ом , док азано , что площадь да н ного треуг оль ника р авна '2 аЬ. А

I

!J

о Рис,

132

Рис,

133

а

.:т:

S фигур ы, огра ни ченной П р и м е р 2. Н айти площадь п рямых у = О и х - а, ами отрезк И х3 у ы частью п а рабол = . . 33 1 . с и ) р ( а> О точк ами а] [О; юк отре; t f). К ак и в п р и мере 1 . а . &. - о , 1 , " " n , разделим н а n отрезков ДЛИН Ы -n ' -== ёi t,

\=

_

391

Тогда Sn =

в

п.

Таким образом,

"

n

1 § 8

n

� L х1-1 = �: L и- l )', {= 1 n

1= 1

Следовательно, Sn = .E:: nз s =� n nз

�

n (n + 1) (2n + 1 ) 6

. n (n + l ) (2n + l) = � 6 3 . (n - l ) n (2n - l) 6 3

1<

•

В о п р о с ы дл я к о н т р о л я

( I + �n ) ( I + _2n1 ) ' 1 _ __

)

2n '

аЗ

(кв. ед.). А 3 а м е ч а н и е 1 . Рассмотрим снова криволинейную тра �ецию А аЬВ и, как и обычно, отрезок [а; Ь] точками Х/' L = О, 1 , разобьем на отрезков равной длины На I< аждом отрезке [Xi_i ; X 1 ] произвольным образом вы. берем HeKoTopYIQ точку и обозначим ее С/. Если, как и выше, т/ и М / - наименьшее и наиболь шее зн�чения функции t на отрезке [xt_1; Хl], то, очевидно, т, :::;;; t (С,) :::;;; М [ , Умножим каждое из этих неравенств где i = 1 , на f:..x/ = Xi-Xl_i И полученные неравенства почленно сло жим. Тогда получим следующее неравеНСТВОI � m{ f:..x / :::;;; � ! (с{) f:..X { :::;;; � Mj f:..x{. 1= 1 (= 1 '= 1 Отсюда следует, что предел s = l'lm Sn = lim S" = T

"

. "

п

'

,

n-+ Ф

n,

n

, n.

п

liт

п

�J t ( С,) f:..x, n

n-+ ф 1 =

существует, не зависит от выбора точек и всегда равен площади фигуры АаЬВ . 392

(1)

11

Та/<И Х ,

� ( 1 _�n ) ( 1

n-J.-Ф

н и

ч

n

было доказано, что _

n

[а; Ь] разбива лся на а м е а е 2. Вы ше отрезок ь, что фор Можно в. отрезко равных по длинесправеДЛ IJВОЙ и в доказат том случае, если мула ( 1 ) остаетсяразбива произвольной ть на отрезков этих отрезок [а ; Ь] чт<э наибольш отрезков длин из ая длины, но . 00 --+ n при нулю с стремит я 3

n

� � = a8 � i2 Sn = � � n 1 .. 1 XI n з � • . 1= 1 � '2 � t

� f (с{) f:..x 1 = S АаЬВ'

п -+ Ф . ' = 1

{= 1

n

и поэтому

lirn

С.

1 . Что называетс я площадью к риволиней ной трапеции, заданной графиком функции У = ' (х) , х Е [а; Ь)? 2 . Изобразите к риволине йную трапецию , заданную графиком фу Нl Щ ИИ -х, если x E [- n; О ), у = s1" х, если х Е (О; n).

{,

3. Я вляется ли фигура, оп ределяемая неравенствами

О .;;;; х ';;::;;; n,

srn х ';;::;;; У ';;::;;; х /

криволинейной трапецией? У п раж н ен и я

9 . 1 . Исходя нз опреде.1е ния п лощади криволин ейной трапеции , еХ. вычислите площадь фигуры, ограниче нной графиком функции У = осью абсцисс и пр ямыми х = о И х = 1 . членов геоУ к а з а н и е. Восполь зуйтесь формуло й для суммы ии. метрической прогресс и, 9.2. Исходя из определе ння площади КРИ 130линеи ной трапеци У = sln Х1 вычислите площадь фигуры, ограниче нной граФИ К9М функции . х Е [О; 1 ] , осью аБСll1lСС и пря.моЙ х = 1 . . у к а з а 11 и е. ВОСПОЛЬЗУl!Тесь формуло и •

n

L srn * = 1= J

cos

�

2

- cos

( + 2� ) 1

1

2 sin 2n

§ 44. ОпреДeJIеННbJЙ интеграл

цию f (х), Рассмот рим функ Как и в §. 43, отрезок = о, 1 x{ = a + n- t , L разобьем на равных по длине отрезков. 1 . ОпреДeJIе ние инт�г рала.

определенную на отрезке [а; Ь] точками Ь-а .

n

[а; Ь] . .

,

• •

'

)

N,

393

I

В каждом и з ·эти х отрезков [ х'. прОIlЗВОЛЬН ЫМ образом выберем по о '111М и х Ci • . Тогда сумма

х ] i= ]

� ой l �очке

lt

.

�

�б��И��

Геометри ческ и й смысл и нтеграл а для непрер ывной не отр иuатель ной ФУНКЦИ Il f (х) за ключает ся в том, что ин теграл ь

� f (х) dx

n

f (С1) D.Xi. + . . . + f (Сп ) D.xn = .� f (CI) D.x ' l

а

где D.x{ = Х; - Х{ _ l ' называется � нтеграЛЫ-tОЙ су.ммоЙ ФУНК цИ И f. Очевидно, эта сумма зависит и от того как разбит отрезок [а; Ь] , и от того, как выбраны точк � С/ . О п Р е Д е л е н и е . Если предел ,= 1

n

li m � f (Cj)

D.xl

равен площад и кривол инейно й трапец ии , определяемой , функц ией ' (х) , х Е [а ; Ь] . Выше мы предпо лагали , что н и ж н и й предел и нтегри ровани я меньше верх него. Такое ограни чение и ногда вы зывает некото рые неудобства . Ч тобы освободиться от этого ограни чени я , полагают по опреде'лению: если а = Ь, то

� f (х) dx = О; ь

(1)

n-н" 1= 1

существует называется называется отр езке [а;

и н е зависит �T выбора точек С / ' то функция f и нтегрируемо и н а отрезке [а' Ь] а предел ( 1 ) оnределенны.м интегралом o � ункции f н а Ь] и обозначается

ф

ь

� f (х) dx.

а

Это обозначение читается так : «интеграл ОТ а до Ь o� фу нкции f (Х) по ш» и л и , короче, «интеграл ОТ а до Ь от f (х) dX» . н азывается знаком интеграла, функция f Знак подынтегральн ой функцией , переменная х - nеременной интегрирования , выражение f (Х) dx - nодынmeгральныJrt вы ражением . Ч исла а и Ь называютс я nределшш интегри рования, соответствен но нижним и верхним. Таким образом, Согласно определени ю,

�

} f (х) dx =l�� (� f (С/) D.xj • ь

(2)

Если f (х) - неотрицательная непрерывная функция то, с р авнива я форм у лу (2) с формулой ( 1 ) § 4 3 , получае�

ь SAabB = f (x) �,

�

а

(3)

е. задача о нахожден ии площади криволин ейной тра пеци и АаЬВ (см . рис. 1 30) сводится к вычислению опре деленного и нтеграла. 394 т.

- (4 )

а

если а > Ь, то ь

�

а

а

�

f (х) dx = - f (х) dx .

(5)

ь

Последн.я я форму ла означает, что если в и нтегра ле л . поменя ть местам и пределы и нтегр и ровани я , то и нтеr'ра и зменит знак . Форму лы (4) и (5) позвол я ют нам всюду в дальне йшем считат ь , что нижни й предел интегр ирова н и я меньш е верх него. З
ь

� f (х) dx �

а

=

а

ь

�

f ( 1) d t = f (и) du. а

Приведем без доказа тельств а следую щую теорему , даю на щую достаточное услови е и нтегри р уемост и функц ии отрез ке. Т е о р е м а. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] , то она интегри руема на этом отрезке . ся Замет им, что ограни ченны е функц ии , встреч ающие е, отрезк любом а н руемы нтегри и о,· правил ак к н а практи ке, н а котор ом они задан ы. Можн о доказ ать, напри мер , что о 1) если ФУНКЦllЯ огран ичена и непрерывна на некот то , точек числа ром отрезке, за исключение!.t конеч ного она интегрируема на этом отрезке;

395

2) если фуnкцuя моnотоnnа на некоmoром отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. 2 * . П ример неинтегрируемой функции. На отрезке [О; 1 ] рассмотрим фу.нкцию Дирихле. Она равна в рациональ ных точках и нулю в иррациональных точках. Поэтому , если в интегральных суммах в качестве точек С ! выбирать li.рращ!ОнаЛЫIые ТОiJКИ, то

1

n

n

i= 1

i= 1

� t (Ci) tHi = � O ' � X, = O

+

и , слеДО13ательно, предел этих сумм при n -+ 00 равен О. А если в качестве С, выби рать рациональные точки , то п

п

п

i= 1

i=1

;= 1

о

n

и поэтому

i=1

1= 1

Ит n-+ оо

-

n

� а! (С, ) �x/ = а

i= 1

3. Основн ы е свойства определенных интегралов. С в о й с т в о 1 . Для любого действительного числа а (1)

Нт � f ( с{ ) � x i = а � f (х) dx,

n-+оо

i= 1

� (f (х) + g (х»

а

ь

ь

а

а

самом деле, для любой интегральной суммы функ ции t (х) = а, х Е [а; Ь] , имеем n

� ! (CI) �XI = � a �Xl = а � �X; = a (b - а) ,

и

1= 1

..

поэтом.У

а (Ь - а) .

i=1

предел !аких

;= 1

сумм

при

n -+ 00

ь

�

(f (х) + g (х» dx

а

=

l im

=

n

.� (f (с;)

n�oo l = 1

n

+ g (с,»

. ь

� а! (х) dx = а � f(x) dx,

а

равен

(2 )

а

е. постоянный миожиmель АiОЖНО выносить за знак интеграла. m.

396.

�Xi =

"

lim � f (С,) �x! + li т � g (С/ ) �X; =

IJ -J>- CO i=

I

n-»ф

i= 1 Ь

Ь

� f (х) dx + � g (х) dx.

а

.

а

С в о й с т в о 4 . Если на ' отрезке [а; Ь] функции f (x) и g (х) июnегрируеАibt и f (х) � g (х) ,

С в о й с т в о 2. Если функtjия ! (х) интегрируеАЮ на отрезке [а; Ь] , то для любого действительного числа ct функция а! (х) также интегрируема н а [а; Ь] и ь

(3)

т . е . интеграл от ' суммы ра6еn сумме интегралов. О Действительно,

=

о в

�

а

dx = � f ( х) dx + � g (х) dx,

а

n

�

n

а это и означает, что функция а! (х)' и нтегрируема на [а; Ь] и справедлива формула (2). С в о й с т в о 3 . Если функции f ( х) и g ( х) интегра pyeAtbt на отрезке [а; Ь] , то их сумма f (х) + g (х) также интегрируеАЮ на [а; Ь] и ь

1 1 , следовательно, предел эти х сумм рав е н 1 . Таким Qбразом, для функции Дирихле на отрезке [О; 1 ] предел интегральных сумм зависит от выбора точек Cj' Это и означает, что функuия Дири хле не я вляе1СЯ инте грируемой .

� a dx = a {b - a).

n

� а! (С,) �X; = а � f ( с{ ) �iI

� t (Ci) tHi = � 1 ' �Xi = � �i = 1

ь

Для любой интегральной суммы функции а! (х) имеем

-

то справедливо H epaeeHCtn80 ь

ь

� f (x) dx � � g (x) dx.

а

(4)

а

о в самом деле, из неравенства r f (х) � g (х) следует, что для любых интегральных сумм для фу нкций f (х) 1 1 g (х) выполняется неравенство n

n

1= 1

;= 1

� f (Cl ) �Xi � � g(CJ �XI' 397

из которого в пределе при n -+ + 00 получается н'ера вепство (4) . • Следующее свойство при ведем без доказательства . С в о й с т в о ' 5. Если фун.кция f (х) интегрируе,ма на

отрез�ах [а; с] и [с; Ь] , то ь

�

а

� f (x) dx + � f (x) dx.

f (x) dx =

а

( 5)

с

4 . Следстция из основных с в ойств определенных ШI тегралов. С л е Д с т в и е 1 . Если на отрез� [а; Ь] функции f (х) , g (х) и ер (х) интегрируемы и то

ь

т

т ер (х) � f (х) � Mg (х) ,

ь

ь

•

� ер (х) dx � � f (х) dx � М � g (х) dx.

а

а

л

В частности, если т � f (х) � М , то ь т (Ь - а ) � f (х) dx � М (Ь - а).

то

1f

S 2 +dxcos x' о

O � cos x � 1 , поэтому для подынтегральной функции справедлива оцен ка 1 1.. & & 23 --' 2 + cos x --' 2 '

Положив

в

формуле

1 (2) f (х) = + cos 2 х'

1 1 т = з, М = 2' получим

n

1 f

f (х) dx �

о Из

м

g (х) dx

.

l

f (X) dx � M (ь - а).

неравенства I f (х)1 � м g (х) следует, что

(3)

(4)

Mg (х) dx � f (х) dx � Mg (х) dx и поэтому (см. следствие 1 при тер (х) = - Mg (х» ь ь ь - М g (х) dx � f (х) dx � М g (х) dx, -

�

�

а

а

�

а

а это и означает, что выполняется неравенство (3). Не р авенство (4) является частным случаем неравенства (3) при g (x) = l . • 5. Теорема о с реднем. дл я непрерывной функции справедлива следующая теорема, которая называется те

оремой о среднем для оnределенн.ого ин.теграла. т е о р е м а. Если фун.кция f (х) н.еnрерывна на отрезке [а; Ь] , то н.а этом отрезке сущесnюует такая точ�а с, чт(

ь

� f (х) dx = f (с) (Ь - а).

а

398

у з � 0,60. А

I f (х)1 � Mg (х) ,

11

(2)

=

[о; �] верно неравенство

3

В частности, если I f (х)1 � М , то

gt/2

отрезке

n

С л е Д с т в и е 2. Если на отрезке [а; Ь] фун�цuи f (х) и g (х) UHтeepupyeMbi и '

(1 )

о Неравенство ( 1 ) является непосредственным след ствием свойства 4 и свойства 2. Неравенство (2) следует из неравенства ( 1 ) при ер (х) g (х) 1 и с войства 1 . П р и м е р 1 . Найти приближенное значение и нтеграла

t;, Н а

24 � 0, 1 3.

В примере 5 п . 2 § 45, равно

а

=

=

Точное значение данного интеграла, как будет показано

а

�

5л

4- 24

Ь

с

Следовательно, ,за приближенное значение интеграл;з 1t/6+ п'4 = 5л можн о взять числ о 2 24 � 0,65. При этом погрешность не будет превышать

(1) 399

о Обозначим через т и М соответственно на именьшее наибольшее значени я функuии f (х) на отрезке [а; Ь] . Тогда m � f (x) '� M для любого x � [a; Ь] , и поэтому I1

т (Ь - а ) �

� f (х) dx � М (Ь - а). ь

а

Разделив почле нно это неравенств о на Ь - а > О , по лу чим нераве нство

т�

�

b

a

ь

S

.

f (x) dx � M.

а

Отсюда и следует форму ла ( 1 ). Дейст вител ьно, так ' ка к t (x) непрер ывна н а [ а ; Ь] , т о она принимает любое зна чение на отрез ке [т; М] и , в частн ости , зна чение , равное

�

b

S t (х) dx, т. е . существует так а я точка с 1 S t (х) . • t (с) =, ь

a

а

Ь

а

ь

� [а; Ь] , что

dx

а

для неотри uатель ной функци и теорема о средне м имеет простое геомет ри ческое истолк ование J площадь кри волинейной трапеции , соответ!J ствую щей функ ции: " равна площа ди п р ямоуг ольни ка , у котор ого основ ание равно ос нован ию трапеции , а высота , равна одному из значе ний фун к ц и и (рис. 1 34) . х h с О а З а м е ч а н и е. Ф ормул а ( 1 ) Рис. 1 34 справедлива не только для интеграл ов, у которы х нижни й предел и нтегр и рован и я меньш е верхн его, но и для интегра лов , у к оторы х нижн ий предел больше верх него для доказ ательства следует воспо льзов аться формулой . (5) п. 1 . 6 . Оп ределе нный и нтеграл с переме нным верхн им п ре делом. Пусть функц ия f (х) непре рывна на отрезке [а; Ь] . Тогда она интег рируема на любом отрезке [а; 'х] , ГДf.. х Е [а ; Ь] . Рассм отрим функц ию Ф (х) 400

х

= � f (t) dt, а

.

Х Е [а; Ь] .

(1 )

функци я называе1'СЯ lUlтеграло,М, с nepeMeliHbl),t верх· ни'м' пределом . Т е о р е м а. Если функция f (х) непрерывна па отрезке [а; Ь] , то функция · ( 1 ) имеет nроuзводную на этом от резке и )(. т е ( 1) dt = f (х) . . . (2 ) ' ф' (х) = t (х),

Эта

.

'

d� �. !

.

а

Эта теорема называетс я теоремой о дифференцировании интеграла по верхнеJИУ пределу. . Кратко ее можно 'с формулир овать с�едующи м образом. верх nроизводная интеграла от неnреРЬ/8нои функции по . нему пределу равна подынтеграль ной фующии . О Из определен и я функции Ф (х) и свойств и нтеграла (см. сеойство 5) следует, что Ф (х) - ф ( хо) =

х

ХО

х

а

хо

� f ( 1) dt - � f ( t) dt = � f и) dt

а

дл я любых х и хо из [а; Ь] . К последнему и нтегралу применим теорему о среднем (см. также замеч а н и е в кон це п . 5) . Тогда ф ( Х) --;, Ф (хо) = f

(с) (х -хо), с Е [х; хо ] . ес,:Ли х < Хо'

где с Е [хо; х] , если х. < х, и Та ким образом , дл я любого х =1= Ха наидется такое лежащее между .х и хо. что Ф (х) - ф х - хо

с,

(Ха) = f (с).

. По определ ению производной находим ф' (хо)

.

lim = Х4Хо

ф (х)

=� (хо)

х

О

= l i m f (с) = f (Хо) ' Х-4Хо

Последнее равенство получено и з предположени я . что функция f (х) непрерыв на на отрезке [а; Ь] и , следова тельно, непрерыв на в точке хо; Так !{ак хо - произвол ь� ная точка отрезка [а; Ь] , то Ф (х) = f (х) . что и требова лось доказать . • С л е Д с т в и е. Для каждой непрерывн ой на отрезке функции существует первообразная . О В силу доказанной теоремы, если' функция f (х) , х Е [а; Ь] , непрерыв на , то первообр азной для нее является 14 Алгебра,

ч.

I

40 1

функция

х

� f (х) dx, а

" 1

х Е [а ; Ь) . •

•

• .�

{'

3)

В оп р ос ы дл я ко н т р ол я

1 . Что назы в ается определенны м Иl,Jтег р алом от фу щ<.ц и и f на ()трезке [а; Ь]? 2. В чем заключается геометр ический смысл оп ределен ного и н. . Ter.PM.8 . cn: �еПР�РЫВIJОЙ не�трицателыюй функции? 3. Исходя из геометрического смысла определенного НlIтегра л�, покаж ите, 'ITO 1)

l'

5

-1

у 1 - х2

dx = � ;

2)

2

5 / x- 1 / dХ= I : о

4. Какие из следующих утверждений верны:

а) если функци я непрер ывна на' некотором отрезке , то она и н тегри руема на нем ; б) если функци я интегри руема на некотором отрезке , то она непреры вна на этом отрезке ; . В) если функци я и нтегрир уема на некотором отрезке, то она ог ра llичена на нем? 5. Перечислите основн ые свойства опреде ленного интегра ла. 6. Докажите нера венства

5

<

1

� V 8 +хЗ dх

-1

<

6.

7. С помощью Q'ормулы (3) п . 4 докажите для любой интегри ру емой функции f (х), х Е [а ; b j, неравенство

1ft (x� dx I

�

J

/,

(х) l dJD

(модуль и нтегра ла не п ревосходит интеграла от модуля) . Сформ улиру йте теорему о среднем. В чем состои т геометри ческий смысл этой теоремы в случа е неотри цател ьной функц ии? 9. Сформ улнру йте теорему о дифференцировании интеграла по верхнему п ределу.

8.

У п ражиени я

. 9.3. Выясн ите, какой из и нтегр алов больш е: 1)

4.02

1

� sln x� dx

о

или

У'2'

� sfn x� dx;

о

2)

4)

J

�

о 1

�

о 2

stn x� dx e�

'

dx

� еХ ' dx

I

� slл "

ияи

1

�

или

о 2

о

e�

dx;

dXf

� еХ dx.

или

1

1

9.4. Запишите в виде интеграла с переменным верхним п редеJlОJv. ту первообразную Функции которая проходит через задан ную 'Точку: 1)

у = x�,

у = ' (х), slл х 2) У=--' х

( - 1 ; О) ;

( 1 ; 2).

9.5. Найдите п роизводные: ь

:х 5 s ln х2 dx; а . d 3) da 5 s lп х2 dx. 1)

2)

Ь

ь

: 5 s[л х2 qx; Ь

а

а

§ 45. Методы вычисления оп ределе.нных и нтегралов

1 . Формула Н ьютона- Лейбница. Т е о р е м а. Если функция f (х) непрерывна H:Z отрезке [а; Ь) , а функция F (х) является nервообразнои для f (х) Н'f, этом отрезке, то справедлива формула .

ь

� { (х) dx = F (Ь) - F (а).

. ( 1')

а

Эта формула называетс я формулой Ньютон.а-ЛеЙб ница . О Из теоремы о дифференцировании и нтеграла по в ерх H�MY пределу следует, что функция Ф (х) =

х

� f (t) dt

является первооб раЗIIОЙ для функции f (х) на отрезк� [ а; Ь] . Так как и функция F ( х) явл яетс я пер аообразнои для ( (х). на [а; Ь] , то разность Ф (х) - F (х) равна неко торой постоянной С на всем отрезке [а; Ь] , т. е . Ф (х) = F (х) +. С. 403

Положив здесь сначала' х = а, а затем Ф (а) = F (а) + С,

х == Ь ,

Ф (Ь) = F (iJ) + С.

получим

n

� siп х dx = F (n) - F (О) = -соs п + соs О = - (- I ) + 1 = 2, &

Так как Ф (а) = О, то С = � p (а) , и поэтому Ф (Ь) = F (Ь) - Р (а) , но Ф (Ь) =

Слсдова �ельно,

ь

для функции s i n х пе(Эвообразной ЯВJlяется функция - cos х. По формуле Ньютона -Лейбница находим

6. F (х) = о

П р и м е р 2, В ы числить jr I dx+ х 6. Первообразной для под нтегральной ФУН[( цI4 И явля ется функция F (х) = 'l n ( 1 -+ х)ы . : Пр' именяя формул у (2) , получаем = F (х) \\ = l п ( 1 х) 11 = lп 2. А I +х S�

� f (х) dx.

а

1

,

а

� f (х) dx = F (х) Ig,

( 2)

а

Как уже отмечалось, формула ( 1 ) называется форму лой Ньютона-Jlейб ница, .Она названа двух ве ликих �оздателей дифференциаль ного ив честь интегрального исчислений И. Ньютона и Г, Лейбница. Два исчислеJIИЯ, дифференциальное и интегральное, развиваемые незаВИСI! мо, с получением этой формулы оказываются тесно занными и объединяются в единую теорию-матемСВ5I ческий анализ, так что формула Ньютона-Дейбницаат/! по праву может быть названа центральной теоремой матема тического анализа. Формула Ньютона-Лейб позволяет вычислять определенные интегралы без ница интегра{lЬНЫХ сумм· и пре дельного перехода в тех случ аях, когда известна хоти бы одна первообразная подынтегральной функции . Фор мула Ньютона-Лей бница дает возможность вычислять определенные интегралы с помощью неопределенны Ме тоды нахождения неопределенных интегралов былих. рассмотрены в главе 8. I

П р и мер

404

1.

"

Вычислить � sin x dx. о

о

о

М

-j-

о

S �,\t' ' х С, d arctg S ;Х!

П р и е р 3. Вычислить 6. Tt!K как

Разность F ( ) - F ( а) часто записывают с помощью знака ДВОЙ НОЙ Ьподстановки: F (х) Ig, и тогда формула ( 1 ) принимает вид •

'

о

ь

� f (x) dx = F (b) - F (а ) ,

ь

•

1

I

1

О

I

=.-=

-+

то по формуле (2) находим

S � = arctg x + С 1\ = arc tg 1 1

О

I + х2

О

-+ C - arctg О - С =

т' А

П р и м е р 4 . Найти площадь S фигуры, ограниченной частью параболы у = х2 и отрезками прямых у = О и х = а а > о (см. рис, 1 33). 6. Эта задача была решена в § 43 (пример 2) путем составления интегральных сумм с последующим предель ным переходом. Развитая после этого теория позволяет проще. �аданная фигура я в решить криволинейной эту задачу гораздо ляется трапецией, и, следовательно, ее площадь равна определенн.ому интегралу ,

так как

S х2 dx = �З + С, то s=

�

x2 dx =

; 1: 'а; (кв, ед.). &

405

2 52

П р и м е р 5. Вычислить интегралы:

1)

1 1 1

-� �'dx;

2)

Д d� 4) 5 4 6.

о

1)

,

5)

+3хЗ;

8ЫЙ и нтеграл

5

'112 /4 5

s in 2

dx

х С052

.

х'

V 4-x2 'dx;

о

2

В пр.имере

'11/3

1

п.

§

42

j ' dx; 6) S I11 X dx. о

3) .

хе х

ПОэтому

2

'

-1 е

, J'

2 +-х4 dx = 2 JI1 / х l + 4х4 12 = 2 1 11 2 + 4- 1 = 4J 5 + 2 111 2. 5х 4 1

2) Соответст вующий неопределенный интеграл был БЫ числен ранее (см. пример 1 0 п. 1 § 42):

dx х С052 х = tg Х - сt g х + С . формулу (2), получаем

s in 2 х С052

sin 2

х

-

1

g х

сi g х

2 /nn/l43 = v -3 � уз = уЗ'

Следовате льно,

5

о

-1 п.

406

5

' хеХ

хех '

4) Неопределенный 2 § 42:

S

x2 dx

4 + 3 хЗ

dx = -} ex' + С.

dx = J.2 ех "

о

-1

---

вычисляем определенный и нтеграл

Заметим, что с геометрической ТОЧКII зрени я получен ный результат очевиде н , так как данный и нтеграл равен площади четверти к руга радиуса 2. 6) НеопределенН,ый и нтеграл был уже найден методом и нтегр ирован и я по частям (см . п ри мер 2 п . 3. § , 42):

� I11 Х dx = Х In x-x + С. � ln x dx = x In x -xle = е I n e - e + 1 = 1 . " е

1

1

п.

2

П р и 'М е р 6. Вычислить

'115/6 о

1

::0-

х'

6. Найдем неоп ределенный интеграл

5 d 5 1 + :05 х = 5 2 С05dx2 -х = d tg � = tg ; + С. 2

=J2 ' -

8

ИlIlJ'еграл был н а йден I

(2)

По формуле Ньютона -Лейбница вычисляем определен ный и нтеграл

1

З) С помощью замены переменн ой в п р и мере 3 . § 42 был найден !1 нтеграл

s

О

1

_

n 1 4 + 3х /110 = 9t I п 4, 7 х

2

2

n/3(' dx i;�

t

=9 I

5 v 4 - x2 dx = 2 arcsin i + ; V 4 _x2 1 � = 2 arcsin 1 = п.

При меня я формулу Ньютона - Л ейбница , получаем

Применя я

dx

.,

--x 5 V 4 - х2 м = 2 a rcsin T + T v 4 - xt + С,

По формуле

x

5

о

х'

4 + 3xs

1.1

5) Неопределенный и нтеграл был найден в п римере 1 3 с помощью замены переменной:

был найден неопределе н-

+.-1.'4 dx = 2 111 / x l + 4х4 + С ' 5 2-

t

2 § 42

п.

1

5·

.

= 9 1 11 1 4 + ЗхЗ / + о.

'115'12 dx 'Л/2 l + cos x = g 2 0 = tg 4 = 1 . ..

'

Примен я я формулу Ньютона - Л ейбница, получаем в

п римере

4

о

t

�

П р и м е р 7 . Вычислить

�

� (V2x + V'X) d.x. 8

о

407

)1

6 ИСIЮльзуя свойства 3 и 2 определенного и нтеграла формулу Н ьютона - Л ейбн и ца , находим

� (V2x + VX) dx = V� � X1/2 dx + � х 1/З dх = 8

о

8

8

О

О .г -

/8 /8 3 /84 = = V2 . хЗ/2 + � Х 4/З = � V 8З + � V ,2

_

Пр

н

3

8.

мер

4

О

f

Вычислить

(х) =

{

3

О

4

=

6з4 + 12 =�.Q. А

� t (х) dx, где если х Е [О; 1], еСЛJl х Е О ; 2].

6. Так K a l{ и нтеграл от О до 2 равен сумме интегря лов от О до 1 н от ДО 2 (согласно свойству 5 OГlPCд�ленных и нтегралов) , то .

2

1

� f (х) dx = � е

О

О

Х

2 1

� еХ

+ х2 21 О

11

1

=

= е- + 4 """"': 1 = е + i А

1

П р и м е р 9. Доказать неравенства 1

300 < 6 На отрезке [О ;

5

1 00 О

100]

е - Х dx

1

х + 1 00 < 1 00 '

Поэтому для подынтегральной функции и меем oцeНl
200 � х + 100 � 100 •

(1)

е- Х

п . 4 § 44

{ (Х) = Х + I 00 ' 1

т = 200 ' 408

1 00

М

1

О

а'= О,

5 е-Х dx � 1 00 О

1 _ е - 1 ОО

200

5 < Х

00

1 00

•

' + 1 00 � .

Учитывая очевидные неравеllства 1 > 300 ' пол у чаем

1 300 <

5

1 00 о

е- Х

х+

roo

S

е

-Х

dx.

О

= 1 _ e - 100 , то

е - Х dx

О

1

х + 1 00 � 1 0е

� е -Х dx = - е -Х I�

О

dx

dx

l _ e- 100

100

l _ е - 1О ,

100

<

. 1

100 '

l _ е - 1О О

200

)

1

1 00 < 1 00 ' А

2 . В ычисление оп ределен н ы х и нтегралов методом под становки. П р и ВJ:;Jчислении определенных и нтегралов , К (I [( и неопределенных , ши роко испол ьзуется метод подста н овки -или метод замены перемеНJJОЙ и нтегрирования . Т е о р ё м а . Пусть функция t (х) неnрерывн.а в любой и пуст ь а = ер (а) , b = ep ( �). точк,е x = ep ( t ) , где Тогда, если фун.к,ЦLlЯ (р (1) и меет н.еnрерblвн.ую nроuзводную, пю справедлива следующая формула: ь fI t (х) dx = t « (р ( t» ер ' ( t ) dt.

' Е [а; �], �

(1)

а

Эта формула н азываетс я ФОРАtулоЙ ЗGАtеНbl nереJ..! енноЙ uнтегрироваНllЯ в оnределеННОА! интеграле. О Так как функция f (х) непрерывна , то она имеет первообразную , Обозначим ее F (х) . Тогда сложная функ· ция F (ер ( t» будет первообра зной для функции f (ер ( t» ер' и) · Вычислим теперь и нтегралы от функци и f (х) и ФУНlЩИ II f ( ер и » (р' и ) по формуле Н ыотона - Л е й БН l ща :

ь

ер (x) = g (x) = e -x,

= 100 '

-Х

�

и меют место неравенства

1 1 1 200 � х + 1 00 � 100 '

Положив в q:ормуле

Так как

1 00

1

� 2х dx

dx +

5 200 е 1

2

о

ех, 2х,

приходим К неравенствам

Ь=

100,

� f (x) dx = F (b) - F (а) , а

fI

� t (ер ((»

а.

ер ' ( t ) dt. = � ( ер ф» - Р.(ер (а» .

(2)

( 3) 40�

'

По условию, Ь = q> (�) , а а " q> (а), и поэтому правые части 13 формулах ( 2 ) и (3) равны. Следовате,[lЬНО, равны . и леI3bte части , Т. е. справедли ва формула ( 1 ). . Формулу ( 1 ) можно записать в следующем виде: 11

� { (x) dx = � { (q> ( t » ь

а

а

dq> и)·

(4)

Таким образом, п р и замене переменной интегрирова н и я х = q> (t) следует под знаком и нт�грала всюду заме нить х на q> (t) и соответствующим образом изменить пре делы и нтегрирования . При вычислении определенны х интегралов формулы ( 1 ) и (4) пр именяют не только слева направо, но и справа налево (см. п р имер 2). ПР

11

М е р 1 . Вычислить

3

� х V 1 + х dx.

6. ПримеНIIМ формулу (4), положив Х = 1 2 _ 1 , t > '0. На х одим dx = 2 1 dt, V I + Х = t , новые пределы интегри о

рования а = 1 , � = 2. Следовательно, 3 2 Х V 1 + Х dx = 2 1 2 и 2 - 1 ) dt =

�

о

=2

1

2

36 = 2 ( 32 - 1 _ 8 - 1 ) 5 3 11 5 . А 1

1

2

1

=

П р и м е р 2. Вычислить 1 e5/n t cos t dt. .

о

6. За п и шем подынтегральное выражеНIIе �n f c os t dl = es1n I d s i n t.

n

� es1n

о

f

cos t d t =

1

� еХ dx = I�

о

.

П р и м е р 3. Пусть функция резке [ - 1; 1] . доказать, что 410

еХ

f ( х)

=

Dиде

е- 1 . А

,1

2) если { (х) - четная функци я , то

� f (х) dx = 2 � f (х) dx. 1

1

(6)

О

_/

6. Представим интеграл в виде суммы и нтеграЛОВI

� f (х) dx 1

1

-

=

о

1

� { (х) dx + � { (х) dx. О

-1

в и нтеграле по отрезJ
� f (х) dx = - � f ( - i) dt = � f ( - ') dt. о

о

-1

Следовате льно,

О

1

1

1

-1

О

l

l

О

О

'

непрерывна на от

dx.

Если - нечетная функци я , то { ( - х) + f (х) = О и фо р муЛ:1 (5) доказана. Если f (х) - четная функция , то / ( - х) + + ! (х) = 2{ (х) и формула ( 6) доказана. "

f (х)

П р и м е р 4 . Вычислить

� (х cos х + sin х + хlO) dx. 1

-1

Полагая s i n t = Х согласно формуле ( 4 ) , пр именяя е е спра ва налево, получим :rt/2

I

- 1-

1

5 t4 dt. - 2 5 { 2 dt = 2 �5 I Z - 2 �3 12 = 2

;

�

� f (х) dx = � { ( - х) dx + � { (х) dx = � (f (-'х) + f (х»

� J

1 ) еСЛ J:l ; f (Х),� нечетна я фуцкци я , то " 1 , . . . { (х) dx = О; .

_

6. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов. J

�

-1

(х cos х + sin х) dx

и

1

� хl O dx.

- 1

Первый и нтеграл равен нулю, так как п одынтегральная функция нечетная и отрезок и нтегр ировани я с имметричен относител ьно точки х = О. Учитывая еще , что функци я x 1Cl- четная , на х.одим

S (х cos.x + sin x + x10) dx = 2 S х\О dx = 2 4;-.\ � = ;1 . .. 1

1

_1

О

41 1

При

М

ер

11/2

Б.

Вычислить

S

о

dx 2 + cos x '

:r./2

6. Для вычисления интеграла положим

tg 'огда

;="

2 х

1

=

l - {� l + /� '

dt

=:=

О

1

dx + co� х

О

+ /2 + 2t� +

2S

�

.

dt _ 1 + '! -

-

1

О

dt З + t�

уз 2

-

-

.

у=х2 V9-x2, х Е [-3;

3] .

Поэтому

S = � x2 V9-х2 dх. -3

.

Так как подынтеграль ная функция четная , то (см. п р и мер 3) 3

S = 2 � х2 V9-x2dx. Для выч исления dx = 3

О

cos t dt, V9 -х2 = cos

412

Х= sin t,

и нтеграла положи м 3 тогда 3 t , новые пределы интегр и-

ед. ) . ., ,

.1

' 3* . ' Формула I;1 нтеr ри роваЩIЯ по ч аСТ!tМ для .Qп реде имеют не ( х ), ленного и нтег рала. Пусть фу нкции , K a l< Тогда . ] Ь [а; отрезке на е пр рывные производны известно, с п ра ведл и во . p a BeH�TBO .

v (х)

и

(ии)' = Il'и иv'. +

ИЗ него IIнтегр ированием по

х

от а до Ь находим

� (ии)' dx = иv \: = � и'иах + � ии' Ь

ь

h

а

а

а

ах .

Из последнего равенства полу чаем формулу

� U dv - ии \: � и du. h

ь

n

криволинейной трапецией ' соответствующей графику функции

3

о

о

_

t

=

'11/2 1 8 tdt = S=2·3' S sin2 t cos2 2 S sin2 2t dt = n/2 4t dt = �4 ( t _SiП4 4t )' IЛ0 /2 = � n (кв . = �2 S I - Соs 2 8

d уt_ з

SО 1 + ( _1уз_ )2 = 2 уз �rctg у з I 0l = уз2 arctg узI = з уз . "П р и м е р 6. Вычислить площадь S фигуры, ограни ченной графиком функции у = х2 V9-x2 И оськУ абсцисс . L. Данная фигура является =

1

Следовательно,

о

2 = x = 2 arctg t, М l + t� ' + tg� "2 Находим новые пределы интегр ирова н и я : tg О О, tg : = 1 . Следовательно, 11/2 S 2 - 2 S 2 1 1 t� • I - tg�

соз х =

х

1t

роваНIlЯ : О и 2"

-

а

(1 )

а

Эта фор му ла называетс я фор.иулой UN.I1U!грuрованuя по

частям для определен ного UN.11U!грала. Фор мула интегриро вания по ч астя м сводит вычислени е одного и нтеграла к вычислени ю другого и нтеграла . При использовании формулы ( 1 ) следует иметь в виду все те относи реI<омендации , которые был и даны в п. 3 § тельно п рименени я формулы интегр ирования по частям для неопределенного интеграла .

42

П р и М е.р 1 . Выч ислить ь. Положим

1

О

тогда 2х

� 1 п ( 1 + х2) ах.

00 = l + x� ах,

dv =dx, и =х.

413

П ри ме и я я формулу интегрировани я ' no определенного интеграла , получаем

частям

I

= 1п2-2 S tt�; t dx = l n 2 - 2 S dx + 2 S 1�XI t

\

I

�

о

о

J

10

2 .•

4.

' d�= ln l x l х :

1

"

l

\

-1

l

� ,

'

,

'

.

5,

�V 2

О

l - х! х dx

х = s!n t. Объясните, почему верно равенство

S l + x� dх = 0 \

Х co s Х

,

- \

6. Запи шите формулу интег рирова ния по частя�

ного интеграла.

� x2 cos x dx � x2 s i n x l� - 2 � х S,i � х �х == -2 � x sin x dx. :n

о

{ 9 . 6, Выч ислите интег р алы:

о

и = х, du :;: sin x dx, тогда

v=

du = dx,

и, следовательно, :n

,

-

cos x

� Х s i n x dx = - x cos x '� + � cos x dx =

о

о

Таким образом, :n

= - 3't СОS 3't + sin x l� = 3't.

� х' cos x dx = - 2л: . •

414

n

2 2 5 5 (� + � )d� З @S dх; х) ( х ® (2x + l) dx; ®

�2 '

.

J

о

\

' S 1�х ; 5) 5 �x� ; 6) S x�d� 5 x� +�: + 5 ; 8) S x� -�: + 2 ' fg:7.\ V4 5 Г� y'X dx ; ® 5 ;�� dXI 5 уt.=Зx ; ) VJ 5 dx . 5) 5 dx 5 dx 4)

7)

:n

,4.1В ОПf'8A�

У пра Ж l!ения

'

полученн ому интегралу снова п р и меним формулу инте грирован ия по частям . Полож им К

.5},М "c.t.:.,..,

вe..I ЬЗ _

Согласно формуле ( 1 ) находим :n

.\

:1

= In l - In l =o (),

Объясните, почему интеграл

с по м ощью подстановки

v = sin х.

:n

'

. ',

Объясните, почем,у веверен следующий реэУJll:тат:

dv = cos x dx,

dll � 2x 'dx,

,

)f) Ч

З , в' чем заключается формула заменЫ перемевво!! IIвnr pl!posa-. ния в определенном и нтеграле?

о

6. Положим

2.

S

� х2 cos Х dx. :n

,{G

" �' " 1 , Запишите qормулу Ныотонз ":"' Ле Абница: -

==

'

/�1/

/ ..> .р "" n я , 11 0, ", т, р о n я

1

= ln 2 -2 + 2 aгctg x l ' = ln 2 - 2 + '::

П р и м е р 2. Вычислить

тогда

1 2 � � P Q c bl , 1' �

ДЛ Я

J In (l + x') dx = x l� ( l + х') 1 : -2 f I':XII dx == \

11/ !! г.;/

4)

7)

)

)

о

-1

\

о

1

1 J

-3

4

3

Вычислите и нтегралы: 9

2

5

1

\6

0.5 1

о

-2

У5

-

2х

I

О

ух+9

8) dx У x� + 2x + 2 '

з)

1

о

•

y:i •

dж

� У5 + 4х - х!

3 ,5

-

dx

4

6)

О

1+

У

..

I

•

.

�

,

9.а. Выч ислите интегралы:

S sln 4х d�;

1)

П{4

4)

о

.

2)

о

1({2

�

S

п

2х dx; 3)

slл

о

S cosslnsх x1х '.

�

п/6

1)

.

О

� е2" dx;

о

2)

.1

r

�

sln ,1f·cos! х dx; 6)

тl

,

2

� (е" - l)� е" dx;

3)

о

3)

е

S I nхх dx' 1 е

S

tg

S 1

2)

dx x ( I + l n2 x) '

'

4)

е'

S х dxIn х

� dx;

1)

3) е" d x

е" -

1

. '

S I

4 )

е" dx

1 + e�"

•

4)

•

� ( I - х) e - X' dx;

4)

1)

�

о 1

�

о

9. 1 2.

� x sln x dx;

2)

о

a r c tg

ух dx;

1(

� е" sln x dx.

8)

�

3)

�

1

� arccos x dx; о

Вычислите интегралы:

sln рх sln qx dx; 2)

2п

� cos рх cos qx dx;

о

9. 1 3 . До кажи те, что если f (х), х Е (- со ; со), - непрерывная периодичес к а я с пер и одом т функц и я , то ДЛЯ любого числа а верно ра венство

+

416

а

f (х) dx =

п/2

V �1 .\ <

П/6

Т

� f (х) dx.

о

О

J . dx < 20 ; •

3 dx < ..V/ 1 0 ' у l O + co s х siл 2 Х

-а

siл рх cos qx dx, р, q Е N.

�

о

Ь n- t. , xj = a + -

о

а + Т

n dx < ( l O + s lл х) ( 1 + х2) зо ;

S

S

х19

.r r 1 + х2

На ПРЮПlIке часто требуетс я вычислять определенные и нтегралы от функций , для которых не удается найти первообраЗllЫХ . В такиХ случая х , I< а l< правило, ог рани ч иваются н а хождением лишь пр иближенного значения рассматр иваемого интеграла . В этом параграфе п р и ведем две простейшие формулы пр и ближенного вычислени я определенных интеграло в формулу П Р Я МОУ ГОЛЫН!l<ОВ и формулу трапеuиЙ . 1 . Формула п рямоугольников. П усть требуетс я вычис Л IIТЬ и нтеграл от а до Ь от ФУНКUIIИ f (х) . К ак обь!чно, отрезок [а; Ь] точкам и

о

о

2л

о

6)

о

2п 1)

� х2 slл х dx;

3)

� x l n ( l + x2) dx;

5)

< 33 n

о VЗ

1

§ 46. П риближен ные методы вычисления оп ределенных интег ралов

п{2

1

sln y x d x ;

S

1 e -�" dx 0,005; 2 ) --:;r20 + x < 20 r 2 <

[о ; �J .

е

п/2

о п'/I

200

y = sin х, х Е [ О; n]; 2) у = 4 х - х2 , х Е [О; 4) ; 1 3) у = х (х- l) (х- 2), х Е [О; 1 ) ; 4) у= - , Х Е [ 1 ; е]; х 5) у = г", х Е [О ; 1 ] ; 6) y = tg x, х Е

1

1)

0<

1)

;

9. 1 1 * . Выч ислите и н тег рал ы : I

У 1 - cos 2х dx.

Р

9 . 16. На йдите площадь к р и вол инеЙ II�({ трапеци и, соответствующей графику функц и й :

S. cosхI n Х dx.

1

�

9. 1 5 . Докажите неравенства:

-п

9. 10. ВЫЧИСJiите интег ралы:

1)

•

х dx S 6 - 5 cos SIП Х + Slл� Х '

9.9. Выч ислите интегралы:

1

S siл� ; dx;

1 0 Ол

9. 1 4 . ВЫ'I ИСЛ И те

n

-п

п{2

8)

-

п

slл� х cos х dx; 5)

1) п{2

.

1

t = о, .

1,

"

' , n,

(1)

р азобьем н а n равных п о длине отрезков. В каждом от резке [x l_1; X ll через С , обозначим середину отрез ка : Х · +Х· С i = { -� I i = 1 ; . . n , и составим и нтегральную сумму

.

( 2)

417

, ·, Бела фующия I

(х)

интегр и.р уема; н,а ,отрезке [а ; bJ , то

Н т � t (с,.) D.x; = � t (х) Ш. Ь

n

'1 -+ CJ? i F I

I

I

\

•

,. , .

й,

�

..

( 3)

разооьеМ на rt р а вн ы х

интегральные суммы

n

, 5 t (х) dx � ь-;;а � t (X;_ t/x}

а

,= 1

'

L. f (Xi-1) �X; = ь-;:а L. f (Xi -l),

=

. ь

n

5 t (х)ш- ь-;:а L. t ( X/ - t2+Хi ) 1=

< м �4;a)3 ;

(5)

где М - наибольшее значе ние функции I 'Н (Х) I н а отрезке [ а; Ь) . Из фор мулы ( 1 ) следует, что . 1 -а Следовательно, формулу ПРЯМОУ ГОЛЬJ:lИКОВ можно запис ать в следующем виде: а

X;_i+X 2 /

ь

1

_

+ Ь --а ( - ) -n t 2 .

n

S t (х) dx � Ь-;:а L. { (а + Ь n a (i -{) ). а

/=

1.

(6)

Формула трапеций. Пусть, как и выше , требуется вычислить интеграл от до Ь ОТ функции Отрезок [8; Ь] точками 2.

4 1.8

а Ь -n-а t. , t. = о , x; =a+ -

t (х].

1 , . . . , n,

(1)

1= 1 n

(=I n

L. f (Х;) �X; = Ь-;;а L. f (х;) .

( 4)

для неотрицательных функций это означает (рис. 1 35 , n 4), ч т() и нтеграл по отреЗI<У [X; _ l ; Х; ) , равный площади соответствующей К Р И ВОЛИ !J нейной трапеции , заменяется площадью прямоугольника с тем же основанием и ВЫС О1;ОЙ f (с; ) . Поэтому формула (4) на зьiвается формулой nрямоугольх ников для п р и ближенного вы О а с, Х, С2 Х2 СЗ Хз C� Ь числен ия оп ределенных и нтегРис. 135 ралов . Приведем без доказательства оценку дл я абсолютной погрешности п риближени я , полу чаемого по формуле п р ямоугольник ов, для функци й , имею щих непрерыв ную 6ТОрую п р оизводную :

n

n

.

Поэтому п р и 'достаточно большом n интегральную сумму (2) мож но п ринять за п риближеJ,l ие искомого интеграла : ь

- по nJl'ине отрезков- и состав и м

1= 1

Если функция

� fL

. l im

n -i" сю i = l

f (х)

(2)

(= I

и нтегрируема на отрезке [а; Ь) ,

f (Xi-l) �;;; =

� n

li т

n -+- oo i = l

Ь

f (х,) �X; = � f (х) dx.

то

а

Поэтому .пр и до:таточно большом n каждую и з интег ральных сумм ( 1 ) , ( 2) можно п р и н �ть за п р иближен и е искомого и нтеграла. Однако в общем слу.чае более точное приближение дает среднее ар ифметическое ' этих сумм:; n

b - a � f (X;_t) + f (x;) n

2

� (=I

.

Таким образом, имеет место фор мула ь

n

'\.� f (x; _ l) + f (x;) S t (Х)dX � b--n-a � 2 i= 1

а

(3)

•

Эта формула называется формулой трапеци й для п р и ближенного вычислени и определенных и нтегралов. для неотр ицательной функции f (х) эта формула и меет простой геометр ический смысл. И менно, отрезок [а; Ь] разби !I вается. на 11 равных по длине отрезков и площадь каждого к усочка к р и волинейной тра пеции замен яется площадью трапеции с основа н и ям и (X i-1), х о а (X j) и высотой (рис. 1 36, Рис. 1 36 n 4 . Оценка абсолютной погрешности п р иближени я , получаемого по формуле трапеций , дается неравенством

f

t

Ь-;:а

= )

S f (x)dx - Ь-;;а L. f (XI-I)2+ f (Х;) ь

а

n

1= 1

< М \b2�a)a

I

(4 ) 419

Рде М - нйи60льшее зн а 'lе'ще функции' If" {XJ l ' на Ьтрезке

la; Ь) .

Так к а к "

�

1=1

� I (х,) .

i = l

13

�

I (x1 ) + .

.

.

+ ., (Xn _ l ) + f (Ь),

Таким образом, формулу трапеций можно записать следующем виде:

�

r (x) dx '" ь 2n

П р и ме р

1.

а(!

�

( а) + "Ь) + 2

Вычислить

1

� �2 dX

r

(а + '-;;а i) ) -

(5 )

f ' (х) = 2хеХ" ,

Следовательно, на отрезке [О;

f" (х) = 4х2еХ ' + 2еХ 2 •

1]

,

-

=

получаем

=

-} { f ( /8) + f (fв) + f ( �8) + f. (�) + + f ( (8) + f ( Ы) + f ( :; , + f (��) + f (��) }. .= 1

с точностью до 1 0- 2. Чтобы получ ить окончателы+ый ртвет, нужно еще вы' числить значение функции f (х) = еХ в у казанных точка х . С помощью микрок алькул ятора в итоге получ им 1 ,46. ' Применим тепер ь формулу трапеци й . В этом случае должно выполнятьс я неравенство

'�� < 10-\

т . е . 5 V 2e � 1 1 ,5. По формуле ( 5) п . 2 п р и n = 1 2 находим

с точностью до

Поэтому n должно удовлетвор ять неравенству Решая это неравенст во, находим

1 0- 2. А

6е

n � 5 Ve � 8 ,2. Таким образом , для достижени я нужной точност и до/ статочно взять n = 9.

� Vх2 + 1 sil1 Х dx

по формуле

о

п р ямоу.гольников и формуле трапеций с точностью до 6. Здесь f ( х) = V х2 + 1 х . Находим

f" (х) = далее,

24 n2 < 1 0-2,

1

П р и М е р 2. Вычислить

Il MeeM

I [" (х) I < 6е .

420

9

по формуле п р я мо

о

угольников и формуле трапеций с точностью до 1 0-2. 6. ПРИll!еним сначала формулу п р я моугольник ов. Опре дел им с помощью неравенств а ( 5) п . 1 , на сколько часте l"' нужно разделить отрезок [О; 1 ] дл}! достнжеН I1Я задаlIНОЙ точности. ВЫЧ ИСЛИМ вторую п роизводну ю подынтегр аль lЮЙ , функци и :

f (х) = еХ2,

1

S еХ2 dx � � � f ( � ( i { ) ) о

f (xi-1) = r (a) + f ()( t) + . · · + f (xfl - 1 ) ,

fI

то

Согласно формуле (6) п. I

2х ,г " х2 + 1

sin cos

х+

х'

( ' +х2)

1 0-2.

,

3/ 2

SIl1 Х.

4

4х2 х;'3Х2)З < .. / 4 I f " (x) l < ..V, / x� + 1 + ( l + V х2 + ' + l '< < V 4 2 + 1 = VЗ. -

Следовательно, в формуле пр нмоугольников n должно удовлетвор ять неравенству

з

v 24n�

_____

�

1 0-2 ,

т.

е.

n ---:?

v12 5

,....,

'"

2 ,7 .

42 1

По формуле-.(6..) .,JJ.�" J · при . n =.3 .с,·�ада и нОЙ ,.
5 v х2 + 1 s i n х dx � + � f ( + ( i � � ) ) = З

1

.:

'� '3\ { ( 1 ) + "f ( 3 ) + f' ( 5 )} �." 0, 56. 1= 1

о

6'

6'

6'

"

В формуле трапеций n должно удовлетвор ять' нера венству

у з ___ 1 0 - 2 , 1 2N2. �

т.

-

I

е.

n>

5

V

З

По формуле (5) п р и n = 4 с ТОЧНОСТЬЮ 1 0 - 2 находим

�

� {{ V2" s i n 1 + f ( + ) + f ({ ) + f ( � ) } � 0, 56. А

Упражнени я

5 J�X I

9. 1 7. Найдите приближенное значение интеграла

по фор

о

муле п рямоугольников, разделив отрезок интегрирования на 1 0 частей. 9. 18. Найдите приближенное значение интеграла 1

� (4х- 3х2) dx

О

по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 10 частей. I1aйдите точное значение интеграла, 9. 1 9. Определите, на сколько частей достаточно разделить отрезок [ О ; J ), чтобы абсолютная погрешность при вычислении интеграла I

� У I +xdx

о

по формуле прямоугольников не п ревысила 1 0 - 3, 9.20. Определите, на сколько частей достаточно разделить отрезок [О; J ), чтобы абсолютная погрешность п р и вычислении интеграла

� e-x2dx I

О

по формуле трапеций не превысила

422

I'O -!.

2

1)

S

ВЫ'Iис.лите с' 'fО'l ностью ДО · 10-:-2 "к"еграхы:

cos ,t ,t-

dx;

п/2

2)

1

9.22. Вычислите с 9.23. Вычислите 1)

с

S О

COS ,t

I +х

I

ТО'l ностью ДО ТО'lRОСТЬЮ

2)

: 1 :

dx .

5 Y l + x3 dx; 5 I�XX ' 2

о

� 3, 8.

� v x� + 1 s i n x dx �

о,

од • .

!t

2

10-'

., теграл ' ИI

r

J

о

до 1 0 - ' интег ралы :

е-Х· dx.

Г л а в а 1.0

П Р И ЛО Ж Е Н И Я О П РЕДЕЛ Е Н НОГО И Н Т Е Г РА Л А

6. Данная фигура предстам яет собой }( Р ИБол инейнуlO траflецию, поэтому ее площадь вычисляетс я ло фор муле ( 1 ):

s=

-1 2

Пусть теперь у = f (х) , х Е [а; Ь] ,- неположительная непрерывн а я ФУНКЦIl Я . В этом случае г рафик Э'Fой функцпи расположен под оню Ох (рис. !J 1 39) и

§ 47. В ычисление площа деl1 IМОСЮfХ ' фигур с помощ ью оп ределе нного интегр ала

И sпольз уя понят ие определенн ого и нтегра ла , даДIlМ общи,И метод В\>I числен ия площадей плос/ <их Фl/ГУР . Ка!( и �вестно (§ 44) , определенн ый интегр ал от неотр ицатеЛ ЫlOii . непре рывн?й фу нкции есть площадь соотве тствую щеll криво� и неинои трапец и и . В этом заклю чается геомет р" чес к и и смыс л ОП.ределенн ог.о !J и нтегр ала , l I а , этом основ ано его приме нение '{ выч ислен и ю 5 п лощадей плос к и х' фигур . u

!J

ь

� f (х) dx � О.

а

Рассмотр им вспомогательную

ФУ НК Ц JJ Ю y = - f (x) , х Е [ а; Ь ] .

Площадь криволиней ной трапе ции аА ' В'Ь, ограни ченной гра фи ком фУ II.КЦИИ У. = - f (х) , от резком [а; Ь ) ОСII ОХ, отрезка ми п,р ямых х = а и х = Ь, ВЫЧ I I с л яется по формуле ( 1 ) , т. е . S=

, Рис. IЗ7

Рис. I З8

в § 44 доказано, что площадь криволиней ной тра пец и и аА ВЬ (рис. 1 37) , огр а н и ченной графиком неОТРllца тельной непрерывной функц и и у = t (х), Х Е [а; Ь) , отрез ком [а; Ь] оси Ох, отрезками пр ямых х = а и х = Ь, вы ч исляется по формуле

(1) П р и м е р 1 . Вычисл ить площадь плоско й фигуры ограни ченной л и н и я м и у = t (х) = х2 - 2х + 2 , х = - 1 , х = 2 и отрезко м [- 1 ; 2] оси Ох (рис. 1 38).

424

� (x2---; 2x + 2) dx = �З '� ] - x2 1 � 1 + 2x l � 1 = 6. &

h

-

:

� f (х) dx .

о

Рис. IЗ9

(2)

а

Так как фигуры аА ' В'Ь и аА ВЬ си мметричны относи тельно оси Ох, то их площади равны. СледователЫIO, площадь фигуры аА ВЬ может быть вычислена по фор муле (2). П р 1 1 М е р 2. Вычислить площадь фи гур ы , ограниченной лини ям/! y = f (x ) = v3 / X, х = - I и у = О (рис. 1 40). 3/х, х Е [ - 1 ; О ) , расположен 6. Графи к функции у = v под осью Ох, поэтому для вычислени я площади дан ной фи гур ыI п р " ме юш формулу (2): о

s=- r

J

-1

vх�=- � х4/ З I О 4

- ]

=�.A 4

Пусть теперь f (х) , х Е [а; Ь] , - непрерывн а я н а отрезке [а; Ь) функци я , график которой пересекает отрезок [а; Ь] Б конеч ном числе точек. Из формул ( 1 ) и (2) следует, что п лощадь плоской фигуры, ограни ченной графиком функ ц ии f (х), отрезком (а; Ь] оси Ох, отрезками п рямых х= а 425

'( 'Х =

Ь,

в ы qfIс :n яетс я

ь

�

S = I f (х) I dx.

(3)

а

нои u

11

Р и м е р - 3. Вычислить площадь ф и гуры , ограниченотрезком - т ; 1t оси Ох, графи ком функции

r 5л

]

Ij = cos x, отрезками I!РЯМЫХ !I

Х=

li аЙД�м . абсцисс ы х +�.=;= х? + ] й и в кц рафи и ко 11 и 1 2 : фу н точ е н пересече н и г площадь фи лим и вы 4), л рм з я Испол 2 = ч у с ( ь у фо. ' у . I-! х2 6. Реша я у рав н ение

по ' �рм'уле

5л х=п -т и

!I

({х) =У.;

( р ис . 1 4 1 ) .

,_

- ,

i'YPbI : 2

S -,

х1 = - 1

-

2

� - � - �x + a-=- -(i2 + -1 )) dx � (-х2 + х +2) ах ' - t ·,

, - -

-1

,

-

-

-

. = (-+ХЗ + + Х2 + �Х) '�1 �{ . А _

Есл и требуетс я вычисл ить площадь более сложной ФИ ГУ РЫ, то стар аютс я представ ить ис к омую площадь в виде !I

Рис. t40

'

, /

6. ГрафИI{ ' фу,н К Ц'-I-Ш У =

пересекает ось Ох в точках

cos х

По формуле '(3) находим

l-ra

Рис. 1 4 1

отрезке

X1 = - ; ,

Х2

=

i.

[ _ �л ;

'

1t

]

Рис. 142

n

S= -

� I cos х I dx =

51t/6

= -:-

n/2

- тс12

n

� " ;cos X dx + � cos xdx-, � cos xdx = л/2 - тс/2 2 2� s i n Л/ + S i п Il / / I х _ i �� l = � , А = х - 5 n/6 1t/2 Т!-/2 2

!J

- 5n/6 :

S l

n

Рассмотр им теперь фигуру, огра нич�нную г рафиками неотрицательных неп рерывных ФУ Н КЦ И I{, {l (х) , х Е [а ; Ь ] , и {.2 (Х) , х Е [а ; Ь] , и отрезками п р я мы х х=а , х=Ь (рис. Площадь S этой фигур ы равна разности п лощадей криво ли нейных трапеций аА ВЬ и aMNb . Следовательно,

142).

ь

S=

Рис. 1 43

у

- .

�

а

ь ь х х {l ( ) dx - fs ( ) dx = ({l (х) - {Е( х) dx.

�

а

�

а

(4)

П р и м е р 4. Вычислить площадь фигуры, огран ичен НОй л и н иями у = fl (Х) = Х + 3 и Y = f2 (X) = X' + 1 (р ис. 1 43). 426

о

о Рис, 1 44

Рис. 145

алгебраическ ой суммы пл ощадей криволине йных Тр:1 П Р'. ций. Так , наприме р , площадь фигуры, и зображенной }Н р ис. 1 4� , вычисл я ется по формуле

, S = SаАвь - SаАСс - SсСВЬ'

-

М е р 5 . � ы� ислить площадь фигуры, ограничен II ОИ Лини ями y = Vx, х Е [ О ; 1 ] , y = xt, x E ( I ' 2] и у ",, - х2 + 2х + 4, х Е '[О; 2] (рис. 1 45 ). u 6. Для вычислеиия площади да нной фигуры достаточно flаити площадь криволинейной трапеции , соответствующеl1 графику функции у = - х2 + 2х + 4, х Е [О; 2] , uП р

11

вычесть ИЗ нее площади криволине�ных тра пеци й , обра зованных графиками функций у = V х ' х Е [О', 1 ] , и- у - х2·, х Е [ 1 ; 2] . Поэтому

.

и

S

_

�2

(

-

-S V:X - s х2 dx = (_ �З + х2 + 4Х ) j102 _�XVXll 12 = �

.

1

х2 + 2х + .() d.x =

�

о

2

•

х3

3

о

_

'3

1

3 '

... -

У п ра жнения

1 0. 1 . Вычислите площадь фигуры, о'г р ани tr е шlOЙ лини ям и '.

]) 2) 4) 5)

1/ =x2 + ] , у = о, х = о, х = 2 ; у = 6х - х2, у = о; 3) у = хЗ - 4х, у = о; у = У х - 2, у = о, х = 6 ; у = ]п х, у = о, х = 2, х = В;

6) y = a гcsln х, у = о, х =

10.2.

{

Вычислите площадь фигуры , ог раниченной лини ям и ;

: 0'З ' Н айди �е площадь фигуры, о гр аllичённой параболо й и пр ямой'. _ 2х - х , у = х; 2) у = 2х - х2 " У = - Х ' ) у2 3) у = � , у = 2 - � х; 4) у = 6х - х2 - 7, у = х - 3; �

�

�

5) y = B + 2x - х2 , у = 2х + 4 ; 6) у2 - 4х = 0 х - у = о

10.5.

Н айдите пл щадь фигуры , огр а ничен ой параб ла мю

Выч ислите площадь фигуры , огр аниченной л. ини ями:

1) y = B - 7х - х2, у = 2х + ] 6 , х = О; 2) У = ХЗ, х + у = 2, у = О; ха 3) у= 2х2 , у = хЗ ; 4) у =У = ] +1 x� , з 2 ' -у = х - 2, х = О; 6) У х + Уу = 1 , х + у = 1 1 5) у =

;Х,

--

7) у = 1t х y = s in x х >- о· t

I

�

J

.

параболой !I = 10.6. Н а ЙДlIте площадь cj'игу р ы, огранич енной и ос ями координ а т, =x� - 2x + 3, касател ьноi'1 к неi'l в точке (3; 6) ой у 10.7. Н айдите площадь фигуры, ог ра н иченной ь парабол рдина т . о ю ос и 5) (3; точке в ней к ноi'l касатель x� - 2x + 2, и ям 10.8. Найдите площадь фнгуры, огранич енной п р ой х = 1 , г ; 1 ,5). перболой у = 1 + ..!.. и касатеЛ ЬНОI". к ней в точке (2 =

=

х

.

. § 48. П римен ение определенного интег рала при решен ии фи-зич еских задач 1 . Задач а о вычислении пути . Пусть матер иальн ая стыо точка движе тс я П Р Я МОЛlI нейно с некоторой скоро т ЭТt! пройде й которы , v = v (t). Требуется найти путь Ь. = / до а = t от ни време ток точка За п р омежу I

С1

Q

Ct о

Ь

J

Рис.

.

1) у = - х2, у = х- - 2х - 4 ' 2) 2y = x� + x - 6, 2у = 6 + Зх - х2•' - 3) У = GХ, х2 = Ьу, G > о, Ь > О.

9) У = sin2 Х, У = х siл х, х Е [ О ; п] ; 1 0) у = а гсsiп х, y = arccos х, у = О.

о

] ) у = х2 - 5х + 6, у = О ; 2) у = cos х, у = о, х = о, х = 2п.

10.4.

т1 ;

i

'

8) У = � In х, у = �os Х, х Е о ;

"

о

I

t·L

146

В простей шем случае, если скорость п остоянна, т. е. v (t) = Vo = const, то путь, пр ойденный точкой , равен (по опр.еделению, известному из курса физики) прои зведению скорости на время движени я ; s

= vo (b -a).

В общем случае , !<огда с корост ь непостоянна , посту п ают следу ющи м образ ом. = а, Промежуток време ни [а; Ь] разби вают точ к ам и /0 оди !<ов отрез n на . . t,,) < < i t < t 1 , . . , t " _ 1 ' /n = Ь и о равна а отрезк о аждог к Длина 46). 1 (рис. длины ой наков

.

Ь- а

.

-, M j = t j - t i- i = n

i = l , 2,

о

• •

, n.

Выбрав на каждом отрезк е ( tt-I; t;] п роизво льную Т ОЧI<У С{, соста вляют сумм у

� v (c{) Mi• {=( tl

(1 )

ое Каждое слага емое этой суммы дает п рибли женн я врем за точкой льной материа ного значени е пути , пройден

I

до , = ' . Следовiпельно, весь путь, npoifдeн HьtI% точкои за вр:мя от [ = а до t = Ь, �риближеНf(О выра жается суммои (1). Это - приближение будет тем лучше, ч е� мельч: отрезки разбиения. Поэтому п уть пройден ныи точкои за <лрезок времени [а; Ь], определяется как предел суммы ( 1 ) при n -+ от , и " - i

,

5,

00 : n

5

= n liт � v (е;) М,. -+ Ф , = J I

Как известно (§ 44), этот п'редел есть определенный интеграл от функции u и) на отрезке [а; Ь]. Таким обра- ' зом, путь 5 , пройденный за отрезок времени от t = а до Ь материальной точкой, движущейся прямолинейно со скоростью v (1), вычи�ляется по формуле t=

:

5

ь

= � V (t) dt.

(2)

а

П р и м е р 1 . Тело движется' прямолинейно со скоро ст�ю v (t) = (3t2 + 4! + 1) (м/с). Найти путь, пройденный телом за первые 3 6. По формуле (2) получим f (3t2 +-4! + 1) d[ = (t3 + 2[2 + ') 48 (м). А , П р и м е р 2, Тело движется прямолинейно со скоро стрю v (t) = (t + бt2) (м/с). Найти путь, пройденный телом за третью секунду. 6. По формуле (2) находим 5 (t + 6t2) dt ( + [2 + 2 ( 3 ) = 40,5 (м), А С.

5 =

s

13

о

=

о

2

=

-

13 2

,

П р и м е р 3, Определить, на какую максимальную высоту поднимется камень, брошенный от поверхности Земли вертикально вверх со скоростью если не учи тывать сопротивление воздуха. случае скорость камня равна v (t) = vo-gt, 6. В где g-ускорение свободного падения. Камень будет лепока v (t) � О, т. е. до момента времени t =.:!.g . теть вверх, , Положив в формуле (2) v (t) = vo -gt, а = О , Ь -- .!:!!" Э10М

430

"

! I. 5

", I

,

, .!

� ' : ", j :

o./g О

'

t

•

,t

' , tl

,.

:.

:\ :

.

о'

-,

' ,

,

. j

Ii� ' , " А .' 2g

Пусть пластинао верти кальн жена погру ции ной трапе в виде криволиней остью плотн с в жидкость ее боковые стотак, что ельны поверх- --'-,о-t---------1!�!I роны пар алл и находятся н.ости жидкостия соотв етствен- /Ео =аг---...... уровн ее ниже янии и е-Ь но на рассто 4Х. (рис. 147). Требуется опред лить силу давле ни я жидкости :I:;; на пласт ину. находится :cn'=br----' сли пласт ина полож Е ении онтальном в гориз глубине h поверхно на Рис. 147 сти жидкости, то сила дав ления Р жидкости в ньютое а жидкO€ти, имеющ равна весу столб нах на нее будет h, у глубин Й ВЫСОТО а у, ластин п ' ю данну нием го основа е. (1) I

'2 .

. Зада ч а о .силе давле н и я ж идкос т и

р

,

,

gt2 ) v./g " , ',' : ' . ; , (v," �gJ), d( ( vq,t.-, y I S

np.J;I;Y.?J1,J.4. .

ио ,

а

от

-

т.

P = gphS,

где S площадь пластины, жена в жидкость верти кально, пластина погру Если же ле может сти на нее не жидко (1) давлениеэтомжидко форму то по ние давле е случа так как в ны измен яется с глубиной-' быть вычислено, ди пласти сти на едини цут. площа зависи е. ения, погруж и жидкости. т от расстояния площадки до повер хност ии задачи будем учитывать тот факт, что При решен давление в жидкости передается оди по закону Паскалянапра числе и на вертинаково во всех у. влени ях, в том ' кальную площадк ину на частей и разобьем пласт для решен ия задач лельными ми, прямы ок) ьных полос Ilараллельныпарал (малых горизонтал Оу) и оси ми е. (т. сти поверхности жидко проход ящими через точки ХО = Х1 , ' X,,_i, Х" Ь, где xj = a :7- b-;:a i , i = O, 1 , 2 , . . . Выделим одну из полосок (на рис . 147 она заштри· хована), находящуюся на глубин е ,Xj• Для достаточно -

n

а,

"

,

, 'п .

-:

.31

М ка , поэтОму f (х) = 0 ,7 , Стен к а4им, еептрфе орелмыу ПиРнЯтеО/ргиорлоьвнаин и я а = О и Ь - 0 , 4 . д х Е (О'' О , 1 Сл е довател ь н о , 56 .

узкой полосю! :давлени е ЕЮ всех ее частях можно i lриБЛllженно одии ак 0f3ЫМ , а саму полоск у можно считать при н ять за прямоугольн ик с высотои ,uА.xi = Xi -Хj_1 = Ь - а и осн о--п ван ием , p a Bl1bIM нижнему основа н ию полоски. Л егко в идеть , что длина основан ия прямоуг ольника является функцие и ()т х. Обозн ачим эту функц ию через f (Х) , . Х.Е [а; Ь ] . Таким образом , силу давлени я Р ; на i - ю полоску можно приближ енно вычисли ть по формуле ( 1 ) , т. е. Р; � gpf (Х,) xr I1X,.. Лросум мировав силы ,г;авлени я жи�кости на все по лоск и , найдем пр иближе нное значени е силы давлени я жидкости на всю пласти ну:

0.4

а .!:.. . x dx = 7 00 ",, � р = 1 000g .)(' 0 , 7

u

•

-

О

\0.4

_

=

g

О

е P�54 8 , 8 Н . .. тыва � е �T02 � �п9р�8демли/с2;ь псиоллууч адам�Л�Нс�� :;,С��е(плотющу ю р и 900 кг/м!' ) н а верти к ал ы у .н

У чи п

lIOCTb масл а

n

Р � � gp[ (Х,, ) Х; I1X".

:z;

' = 1

Точность приqлиж енного равенств а тем больше, чем роче отрезки , на которые разбит отрезок [а; Ь] . Таким образом, точное значение с илы давл ения }j кости на пластину определяе тся по формуле

J

,

n

Р = Нт � gpf (Х,.) х,. I1x,.. n � '"

;=1

Как известно (§ 44) , этот предел есть определен и нтеграл от функци и gpxf ( Х) на отрезке [а; 1:1]. Таким образом, сила давления Р жидкости на B e V кально погружен ную в нее пластину, имеющую фо l<риволин ейной трапеции , соответствующей графику фу ции y = f (x) , х Е [а; Ь] , вычисл яется по формуле

=

м

2g . 900 � x V 52 -

-,

_

d

\0

5

�

а

,

_

= 600g . 53 = 7 5 000 g.

О

K H·. .. 8 м /с 2 , то P �735 , льн а я тоист ;к а а к аg �9 Т3.а кРакбот ь м атериа П уст ои п еременн д �� п й. Если е е я о п рямо , од де йств и ем сил ы F дв а про й денн ы й пу т ь pa�eH s , тор оя ннсаа , Фнзи ки , р абота А эгои сил ы л а пост у юща я си вкак кур з и стнО ычиизслявеетс я по фор муле (1) A = P , s. луоты А си лы F в с риб ра та подс ч е ля д П мат ь Л е й ем фОсиР МлУа �е я вляетс я посто я нно . де . УC ст ем ('илы , Вч аеыведкогда ТВИ Б удем Ох поД а дв �[жетс я по Ооси х есть фу н к ц и я от Х . а я точкКОТО апл�нкциЯ сь о 433 рое Р ОИ н а u

Р = gp xf (x) dx,_

432

Которого н а полукрп у г ар ран дитуса R = 5 , диамет р о_н5а х осм уИ к��C�� I{�С Я н а о весист е T ерсть H aTп олтау крк ,уг, карак дпиуоказан са R - , � В ыбе р е м 1 49 . T� C eHK� ьзуемс Я дл я нсалхучожа я л В п о ос (О 2 Х x Е 5 (х) = { � - , , 51· (2). Дл я данногО яi силы даавл=ено и, яь фОlМ�олоэтйому 900 кг/м3, 2 ( 52 _ Х2)3 / 2 Х2 x = 900g · '3

)м

5

ь

где g - ускорение с илы тяжести , р - плотность жидкости П р и м е р 1 . Аквариум и меет форму п р ямоугольн ого параллеле пипеда. Найти силу давлени я воды (плотность воды J OOO кг/мЗ), наполняющей аквариум, на одну из его вертикаль ных стенок , размеры которой 0 , 4 м Х 0 , 7 м. 6 Выберем систему координат так , чтобы оси ау и Ох соответстве нно содержали верхнее основание и вертикаль ную стенку аквариума (рис. 1 48). для нахождени я силы давления воспользуем ся формулой (2).

Р ис. 1 49

t- ис. 1 48

�I

1 5 Алгебра,

ч.

1

/

обозначать ее через f (Х) и предполагать, что f есть не. п рерывна я функц и я . Пусть под действием с илы F мате риальн а я точка переместилась из точ к и (а) в точку М (Ь) (рис. 1 50) . Р азобьем отрезок [ а ; Ь] точками Х ,· = а + i на n n

М

Ьчастеи [Xi _ 1 ; xi] одинаковои длины ДХ . = --а .

Ь -а

На каждом , n отрезке [Xi _ l ; Xj] работу силы можно п риближенно вычи слять по формуле ( 1 ) , т . е. считать ее р авной f (cj) tllj , u

u

о

М(а)

Н(Ь)

I

I

ь

а

х.

Рис. 1 50

где сj - некотора я точка отрезка [xj _ t ; xj] . Тогда работа с илы на отрезке [а; Ь ] будет пр ибли женно выражаться по формуле А�

� n

i = 1

f (с,о) tllj •

ТОЧII�Т� п риближен и я будет тем лучше , чем короче резки , на которые р азбит отрезок [а; Ь] . Поэтому Т04 значен и е работы А определ яетс я формулой

� "

А = jiш

I

n ......

00 t= I

t (С,) дХj'

\�_ 1" \

'

1

Права я часть формулы (2) я вл яется интегральной CYMMv ФУШЩШJ f (х) на отреЗl\е [а; Ь] . Следовательно , переходя в равенстве (2) к предеJ1 Прll n -+ 00 , получим А=

ь

� f (х) dx. а

П Р И М е Р 1 . К акую работу н адо затратить, чтобы растя нуть П РУЖIiНУ на 0,05 м, если сила в 1 Н раёТЯГIJвает ее на 0,0 1 м? 6. По закону Гук а сила Р , растяги вающая пружину, пропорuиональна раст яжеНIJЮ пружин ы , т . е . F = kx, где х-величина растяжен и я , k - КОЭффициент ПрОПОрЩlOналь IIOСТ И . Следовательно, в нашем случае 1 H = /� . O ,O l �I , откуда k = 1 00 IJ F· = f ('() = 1 00х. Р аботу, которую Heon ХОДИМО затратить для растяжен и я пружины на 0,05 м , <134

•

0.�05

наход им п о форм уле (3): А =

1 ООх dx = 50х2

о

1 0.05 о

О , 1 25 (Дж) . JJ..

=

П р и м е р 2 . Пружина имеет длину 20 см. СИJ\а в 1 О кг растягивает ее на 2 см. Определить р аботу, затраченную н а растяжение пружины от 25 см до 35 см. 6. Вырази� данные задачи в еди н ицах системы СИ : 2 см = 0 , 02 м, 20 см = 0,2 м, F = 1 0 кг = 98, 1 Н, 25 с м = 0 , 25 м и 35 см = 0 , 35 м. Использу я услови я задачи и закон Гука , получ им 98, 1 Н = k · 0,02 м, т. е. k = 4905. Следовательно, F = f (х) = 4905х. Так как дл я да нного случ а я а = 0,25 - 0,2 = 0,05 и b = 0 , 35 - 0 ,2 = 0, 1 5, то, используя фор мулу (3), получим А = 4905

155 0.05

·о

х dx = 4905

x�2

10. 1 5 0.05

� 49,05 (дж) . ..

П р и м е р 3. Оп ределить работ у, котор ую необх одимо ь с позатрат ить для того, чт.обы тело массы т поднят h. высоту на , R ОТОРОЙ I{ с радиу , верх ности Земл и 6. Согла сно закон у всеми рного тигот ени я сила Р, деи ствующая на тело массы т , равна u

mМ

, F = k ---т х.

массы т - масса Земл и , х - расст ояни е от тела где я . Так нна я посто нная тацио до центр а Земл и , k - грави · то mg, = F , R = х емли З ности х как па повер

М

mg =

k

и , следо вател ьно,

mМ R�

, откуда k M = gR3 ,

_

х F-f ( )

1:1gR' х!

'

Искомую работу находиМ по формуле (З), п ол ожив в ней a = R, b = R + hi А = mgR2

R+h

S t(

dx

x�

э

1

I

. R

= mg R х

R +1.i

тgRlI

=R

+h .

.A. 435

·

!

ОТ В ЕТЫ

У п р ажнен и я v 10.9. Тело движется прямолинейно со скоростью (1 (1) = (2t! + 1) . (м/с). Найдите путь, пройденный телом з а первые 5 с. V 1 0. 1 0. Тело движется прямолинеi!но со скоростью tI (t) = (2t�+ 1) (м/с). НаilДите путь, пройденный телом з а промежуток времени от t = 1 с до t = 3 с. v 10. 1 1 . Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается фор мулой tI (t) = ( 1 2/ - 3t�) (м/с). Найдите путь, пройденный телом от на чала его движения до остановки. 10. 1 2. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении соответственно со СКО. ростями tl1 (t) = (б t� + 4/) (м/с) и tl2 (/) = 4/ (м/с). . Через СКОлько секунд расстояние между ними будет равно 250 М? 10.13. Тело движется прямолинейно со CI{OPOCTbIO (1 (t) =(4t+a)(M/C) . Найдите а, если известно, ЧТО путь, пройденный iелом за 2 с от на чала движения, равен 48 м. 1 0 . 1 4 . Тело движется по прямой со скоростью tI (t) (6/ + 4) (м/с). Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду. 1 0. 1 5. �айдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t = О о до t = 5 с, еслн точка двигалась прямолинейно со скоро стью tI (t) = (9,8t - 0,OD3t�) (м/с). 10. 1 6. Скорость движущейся по прямой тоqки меняется по закону tI (1) = ( Ю + а У !) (м/с). Найдите путь, пройденный этой точкой эа промеЖУТОI{ времени от t = О с до t = 4 с. 10. 17. Определите давление воды на стенку шлюза, длина кото, рой 20 м и высота 5 м, считая шmоз доверху заполненным водой. 10. 18. Вычислите давление воды на плотину, имеющую форму трапеции, верх нее основание которой равно а, нижнее Ь (а > Ь), вы. сота h. Предполагается, что поверхность воды достигает верхнего края плотины. Подсчитаli те давление для случая а = 400 м, Ь = 200 м, h = 20 м. 10. 1 9 . Определите силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса 'R = 6 м, диаметр которого нахо дится на поверхности воды. ' О . 2(). Определите давление ноды Ila вертикальный прямоугольны й шлюз С основанием 1 0 М и высотой 6 м. Определите также дав леllие на нижнюю половину шлюза. 10.21 . Вычислите силу давлен ня воды lIa треугольную пластину с OC HOBa l l lieM а и высотой h, вертикально в нее погруженную (осно ваllие совпадает с уровнем воды). 1 0.22. Выч ислите снлу давления воды ua вертикальную заслонку, ЗЗl<рывающую трубу , если труба, лежащая горизонтально. наполовин у на полнена водой . Известн о, что поперечным сечением трубы является круг диаметром 6 м. . V 1 0.23. ВЫЧИСЛllте работу, которую надо затратит� на сжатие пружины на 0, 1 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сида в 78 Н . ' 1 1 0. 24. Какую работу надо затратить н а сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см? 10.25. Сила в 6 Н растягивает п ружину на 2 см. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 6 см? 10.26. Электриqеский заряд ео, сосредоточенный в точке Х= О, отталкивает заряд е из ТОЧI{И х = а в точку х = Ь . Выч ислите работу силы отталки вания. у к а з а н и е. По закону Кулона сила взаимодействия зарядов в вакууме равна F = toe/x!, где х- расстояние между зарядами.

Г Л А В А

436

_

{- 3; - 2; - (; 1 }. {О ; - 1 ; 1 ; - 2; 2}. - 1. 0, {3}, {4} , {5} . {3; 4} , {3; 5} , { 4 ; 5} , { 3 ; 4; 5}. 1) 2; �) 4 ; 3) 8; 4) 2Б = 32; 5) 2 0 = 1024. Ц. 1 .6. 1) А П В = {3; 5}; 2) А П В = {О}; 3) А П В = Q1 ; 4) А П В = А = { l ; 2; 3} . 1 .7. М П А � Q1 , М П В = {О; - J }, М П С = {- J }. 1 .8. 1) A U B = 3 ; 4; 5; 6}; 2) A U B = {- 7; О; J ; 6; 7; 8; 9}; 3) A U B = 1 ; 2 ; 3; 4; 5; 6; 7; 8 } ; 4) A U B = {- I ; О; 1 ; 2 ; 1 .9. 1) А"в = 4}, в"А = {6}; 2) А В = 1 ; 7; 8}, в"А = {- 7; 6; 9 } ; 3) A"B = A = f I ; 3; 5; 7}, в"А = В = {2; 4; 6; 8}; 4) А"в = Q1, в"А = {- 1 ; О}. 1 . 10. А М = А = { I ; 2; 3}, В"М = { I }, c"M = {- 2; ' }. 1 . 1 1 . (A"M ) U (B"M) U (C"M) = { I ; 2 ; 3; - 2}. О; 4 ; 3) {- 1 ; - 2}. 1 . 12. 1) {О; 5}; 2)

1.1. 1 . 2. 1 .3. 1 .4.

=

..

•

1

/

1

••

3}.

{-} ; }

. 1 . 13. A U B = B, А П В = А, А В = 0· 1 . 1 4 . A U B = - 4; - 3 ; - 2 ; - 1 ; О; 1 ; 2 ; 3; 4} .= С, А П В = - 2; - 1 ; О; 1 ; 2}, A U C = , А П С.= А , B U C= C, В П С = В. 1 . 15. A U B U C = C, А П В П С = А П В = {- 2; - 1 ; О; 1 ; 2} 1 . 16. А П N= { I ; 2}. В П Z =r В , B U Z = Z, NП Z = N. (А П В) П N= { I ; 2}. 1 . 17. N c Z c Q c R. , Е = { I ; 2; 3; 4; 5: 6; 7 } . 1 . 18. M =

{� }

1 . 19. F1 П F2 = f2 ; F2 П Fз = F4 ; F2 U Fз U F4 U F1 = Р1 ; Р 1 П F2 П Fз П Р4 = Р4• 1 .2 1 . 2 1 ; 24; 27; 30; 33; 36; 39. 1 . 22. 1 1 ; 1 3 ; 1 7 ; 19; 23; 29. 1 . 23. Не существует. 1 . 21. - 2; - 1 ; О; 1 ; 2; 3; 4. 12 1 9 627 7 . 1 3 1 39 1 .25. 1 ) ]" , 7" . 79 '. 2) 5" 30 ; 1090 ' 1 . 26. 12; 24 ; 300. 1 . 27. 1) 100; 2) 60; 3) 12. 17 27 дробя ми. 1.28. Дроби 20 ' 125 ' представимы конечf1ьlми десят ичным и

437

4 (4); 3 = 1 =0,05; -з=-0, 1 2 1) 9=0, (1); 9=0, (6); 50Ы = 0,261 60 20 1 1 ' (6) ; 13 =0,21 (6); п= 13 I, (18) J 2) 307 =0,2 (3); 3=3 60 11 1 з =0, (846153) 1.30. 1) 0, (51) = 9951 = 3317 ; 1 , (13) = 1 9913 ; - O, (25) = - 2599 125 ; (1 13) = - 1 13 ; 2, (125) = 2 999 999 351 58 16 1 348 3 2) 0,3 (5 1) = --тo.gg = 990 = 330 = 165 ; 123- 1 -тo:gg = 2 61 ; 0,2 ( 125) = 2125-2 2123 2,1 (2?) 2 + -495 10 . 999 9990 ; _ 1 3081 . - 1 ,31 (12) = - 1. 3112-31 9900 9900 ' 2513-25 2488 1244 = 1 622 1 ,25 (13) = + 9900 1 9900 = 4950 2475 1 .3 1 . 1) а+Ь = 2, (1); а-Ь = - 1, (4); 2)3) a+b = - О,(6);(65);a-Ь=w a-b=a+b�2,2 О, 1 (7).I , (76); 200 а 24 а 3 1 .32. 1) аЬ = 16 ; ь 27 = Т6 ; 2) аЬ= - 297 ; ь = - тт ; а 55 3) аЬ = 517 405 ; 7) = 4'7 ' 1 .36. 1 ) -0,34919756; -0,35102038; -0,38888887; -2,4142152 ; 226,045; 2) 3,6124434; 1 ,3065388; 1 ,3015873; 1 ,0355339; 6,0923893. 1 .40. 1 ) У2+ v з ;:::: 3,15; У2- VЗ ;:::: -0,32; 2) У Б +О, (15) ;:::: 2,39; УБ-О, (15) ;:::: 2,08; ;:1) Уз+ У5 ;:::: 3,97; Vз - vs ;:::: �O,50; 4) Vб+1,1 (2) ;:::: 3,57; У6- 1 ,I. '12) ;:::: 1 ,33. 1 з ::::: 0,82; 1.41. 1) r 2' r 3 ;:::: 2,45; ]У2 2) r 5·0, (15) ;:::: 0,34;" О,У(15)Б ;:::: 14,79; 3) r 3 ' r 5 ;:::: 3,87; УУ БЗ ;:::: О,?,?; 4) У 6+ 1 , I (2) ;:::: 3,57; У6- 1,1 (2) ;:::: 1 ,33. 1.44. 1) ДХ = iБ1 ; I дх 1 = 151 ; 2) ДХ = - 1 501 ; I Llx l = 1 501 ' 1 . 29.

.•

i

- о,

=

1

,r - ,r ,r ,r-

4138

,r -

1

•

j.

x= I ,23 ± O,002; 1.45. 2)1) x=-O,127 ± 0,001; 3) х = 2,865 ± 0.0004. 1 .46. 1) 22,5 .,;;; x � 23,5; . 2)3) -1 ,492 , �42 �x�x �I ,51-;2,22; 4) 4,5�x� 4,6. 1 = 1 =1 1 .47. 1) 3 . 8 24 ; � , ' 1 1 2) 150 . 1,66 3.83 = 249 ' 1.48. 1). o;�g� = �2� = O,OOI626, 0,1 7%; 2) �:�� = 1�7 =o,007874, 0,8%; 3) 0,0004 2865 =O'0001396 0 02 % . 2,865 = � 1 .49. 1 ) 0,55; 2) 0, 1 3 ; 3) 2,37; 4) 0,00149. 1 . 52. 1) х+у= 1 1,2 ± 0,1 ; 2) х+у=- 1,1 ± 0,03; 3) х+у= 2,27 ± 0,07; 4) х+у= 13,3 ± 9,2. 1 . 53. 1) х-у= 4,4 ± 0,1 ; 2) х-у=- 4,1 ± 0,03; 3) x-у=О,23 ± 0,07; 4) x-у=О,9 ± 0,2. IIОСТЫО до 1,5%, xy= 6,52 ± 0, 1 13; 7,52 ссТОЧТОЧНОСТЫО 1.54. 2)1) хуху ;:::;::::: 4,305 ху=4,31 ,85± ±О,07; 0,0204. 3) ху ;:::: 1,849 с точностью додо 11,1,5%,%, ху= х 1 .55. 1) � = 1,36 ± 0,0204; 2) =2,85 ± 0,05; у у 3) � = 0, 1 ± 0,00 1 1 . 1 .56. С точ IIостыо 1 ,5 % . . 1 .57. С ТОЧ НОСТЫО до 0,13%; ,00 76 = 2 ,9776 ± 0,00377= 2,978 ± 0,00417 = 0 ± 2,97761 = 2,978 ± 0,0042 2 , 98 ± 0.0062. 1 .58. С ТОЧIIОСТЫО дО 0,02 см. 1 1 .59'. С ТОЧ IIОСТЫО дО 3' %. 1 .60. С ТО'I НОСТЫО дО 0,25 м м ; т р и дес ятич flblX 31lака. 1 .6 1 . 5 ,23 10-1; 3, 1 · \0-2; 3,0225· 102; 3,74· 10· ; 3 . 10-3 ; 1 , 2 · 1 0 -' . - : . 2' 5 - 3' 2 1 62 - l ' 1 :63 : 1) ц и фры' 1,' 2 'вер нЬ:е; ц ифры 5, 6 сомнительные; 2) все ц и фры верные; 3) ц и фры О, О, 3 верные ; ц и фра 6 сомнителыrая; 4) все ц ифры верные. 1 .64. x = I ,25 ± O , O I y = (1 ,25 ± O,O I ) . 1 02 = 1 25 ± 1 ; = (1,51 ± 0, 0 1 ) . \О-В. z = 13,20 ± 0,0 1 ; 1 .65. х= 1 .25 ± 0.005; у = (1 .25 ± 0,005) · 1 0! = 1,25 ± 0,5; z = 1 3,2 ± 0,005; u = (I,51 ± О,05) . I(}-З. 1 ) 3,64; 2) 1 0,0; 3) 2 , 1 · 1 03; 4) 1 ,7 · 1 0'. 11 .66. .67. 1) - 0 ,96 2) - 1 ,4; 3) 1 ,9' 105; 4) 1 .7 · 1 0�. "

у

О

до 3

s

l'

о·

;

;

=

и

439

цифры зиачащие; у все цифры зиачащие; цифры 2,7, хО,1 , всеОО значащие; цифры 1, 5, О зна1ЫJщие; цифры 2, , значащие. 1 .69. 1 ) Цифры 2 и 1 эна'lащне; 2) цифры 2, О, 1 значащне; 3) цифры 1 и 5 значащие; 4) цифры 2 и 7 значащие. 1 .70. 1) 26 ,5 ; 2) 3,6 · 1 0&; 3) 3 1 ,6; 4) 6,4. 1 . 7 1 . 1) 6,00; 2) 0,04 ; 3) 20 ,9; 4) 3,61 . 1 04. 1 .72. 1) 0,162; 2) 0,04 ; 3) 0 ,0478 ; 4) 2 ,8 . 1 0 - &.

1 .68. У

у

Г Л А В А 2. 1 .

2

Истинно;

,ц

у

у

2) ложно; 3) н е является

4) истинно; 5) истинно; 6) истннно; 7) 1)

у

v

z

3 .5.

2)

ИСТИIНIO.

3.4. 440

-

1 " 3) ± 2 ; '") ± J :, ' ±

1

2

; 1.

'1 / з] ', 5) у

4 ,'

9.'

1) (3; (О; (- 3; 4) ; (3 ; 4) ; 3) (- 5; - 7) ; (7; 4) (- 3; - 4) ; (4 ; 3) ; 5) (8 ; 6) ( 8; -

2); 2)

=

(n =25). 2)

-5);

] 2);

- ] 2);

-

(0,2;

х;

t#

5; 6; 2) 1 ] ; 8 ; 3) 3; - 1 1 ; 4) 4 ; - 8; 5) -9; 1 5 ; 6)_3; � ; 16 1 ; 7) - з ; О; 8) - 1 ; 5; 9) ± 2; ± r 3; 1 0) ± r 2; ± У2 1 1 ) ± У 2; 12) нет корней; 1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) пет; 6) нет; 1 1 ) 3; 2) нет корней; 3) 6; -2,2; 4) - 1 ; з ; 2 ' 75 1 ) \О; 2) 3; 3 ) 5; 4 ) 7" ; 5) �; 6) 6; 7) 4 ; 8 ) 3; ] 8 ; 9) 5; 1 0) 5 ; 1 7; 1 1 1) 1 0; 12) 4; ] 3) 5; 1 4) О; 2 ' 1)

,r

3.2. 3.3.

1

У5;

�

5.

Г Л А В Л 3 3.1.

± 2; ±

:

ВЫСI{азыванием;

2

1

. 2)

5); 1 ); (0 ,4 ; - 0 , 5) ; 7) ( - � ; 5 ) ; ( � ; -,�) 8) (- 5 ; - 3) ; (3; 5) ; 9) ( 1 ; О) ; (-{ ; �b) ; 1 0) ( 1 ; -2): (- 1 ; -2). 3.7. 1 ) 29; 2) 1 8 ; 3) 12; 4) 6; 5) 20; 6) - 4. , 1 1 3.8. 1) 9; 2) - '2 ; 3) 9; 4) - 2" 3.9. k=- 4 . 3. 10. 1 ) -5; 3; 2) - 4 ; 5 ; 3 ) 4 ; 5; 4 ) -2; - 1 . 3. 1 1 . 1) (3 ; 2); 2) (4 ; 1 ) ; -3) (5; 3) ; 4) (2; 2); 5) (3; О); 6) (х; � (4х3. 1 2. 1 ) (0 ; 0) ; �x; �) , де x E R; 3) (0; 0) ; 4) (О ; О) ; 5) (x; �) , . , где x E R ; 3 . 1 3. 1) (4 ; 3) ; 2) (5 ; 4) . ( 3Х - 7 - ) , где x E R. 3 . 1 4 . 1) (2; 1 ) ; 2) нет решени й ; 3) (3 ; -2) ;4) 4 1 1 3. 15. 1) k - 2' ; 2) k=2" 3. 16. 1 ) - 1 0,5: 2) kER, k f:. 9. , 3. 17. При aER, а f:, -3, а f:, 2 eД�. HCTBeIlHoe решенне; при .. а = -3 бесконечное множество решении; при а = 2 нет решении. 3 а 3. 18. При а = - I нет решений; если a f:, 2, a f:. -I, то Х= а +1 ' 2 У = - -- ; если а = 2, то х=с, y=c-l, где cE R. а+ 1 1 3. 19. 1) - 1 8; 2) - 2' ; 3) -92; 4) 165. 11 1 3 11 3.2 ] . 1 ) - 7 ; 2; 2) 2 ; 2 ; 3) - "7 ; 2. 3.22. 1) О; 2; 2) -3; 6. 3.24. 1 ; 2; 3. 3.25. -3 ; О. 3.26. 1 ) ( 1 ; 4; 5); 2) (2; 3; 1 ) ; ( 1 ; у; у - 3) , где yER; 4) (2; 4 ; 1 ) . 5). 3.27. 1 ) (4 ; 3 ; 2); 2) (5; 3; 1 ) ; 3) (3; 5; 4) ; 4) (6; 3.28. 1 ) Имеет; 2) не имеет. 3.29. Проходит. 3.30. 1 ) (3; 1 ; 4; 6); 2) (О; О ; О; О); 3) (8; 6 ; 4; 2); 4) ( 1 ; 2 ; 3; 4) . 3.3] . а f:, - 1 . 3.32. а=2; а=-4 . 3.33. 1) (-2,5; + 00 ) ; 2) (0,75; + 00); 3) (- 00 ; 4) ; 4) (- 00 ; -9, 75). 3.6.

5; 6}; 9; 2)

6 6;

2

± 3;

6) 9' ; 7) - 4 ; 1 ; 8)

2.2. р- «число ] 74 не делится на 3» ; q- « нет дождя». 2.3. Роман , Юрий, Виктор, Сергей. 2.4. Черный. 2.5. 1 ) {3; {3; 4 ; 3) {4; 5; 7; 8 ; 10; 1 1 }; 4) {7; $ ; 1 0 ; 1 1 ; 12}. высказывание, ложно; 2.6. 1) Не является высказыванием; 3) высказывание, истинно. 2.7. ]) а f:, - 2/3; 2) а - любое. 2. ,1 3. Если четырехугольник - ромб, то его диагонали взаНМIIО пер пеllДИКулярны. Если четырехугольник - не ромб, то его диаго наЛlJ не перпендикулярны. Первая теорема верна, вторая ве верна. 2. 14. Взаимно обратные теоремы 1 и 4, и 5; взанмно противополож противоположные обратным 1 и 6, 3 и ные и 3, 4 и Теоремы ] и верны, остаЛЫJые неверны. '. 2. 16. Прямая и противоположная обратной верны; обрат н а я и проти воположная неверны. 2. 17. Теорема неверна , обратная и противоположная теоремы верны, противополож ная обратной неверна. 2. 18. 1) НеОбходимо и достаточно; lIеОбходимо, но недостаТОЧIIO. 2. 19. 1) Верно; неверно

6; 9; ] 2}; 2)

1)

-

.r

-

,

i

2;

44 1

1 ; 2) х < 2; 3) 2 1 5) х > - 2 ; 6) - t < х < :.

3.34. 1) х < -

3.35. 1) х < -3

5) 8)

3.36. 1)

4)

1 <

х

<

4; 4) х

<

1 ) ; 2); 5); 6)j 7); 8); 10); не ограничены: 3); 4) ; 9) ; 1 1). 4.30. n > 9; n > 99. 4 . 3 1 . n > 28; n > 2998. 4.32. n > 26; ,1 > 251 . 4.33. Последовательностн 1 ) ; 3); 6) сходящиес я ; 2) ; 4) ; 5) расходящиес я . 1 2 1 1 3 ; 2) О; 3) - 2 ; 4) - Т , 5) - 2'j ; 6) 3 ; 7) 2; 8) 2 ; 4 . 34 . 1 ) 2 4 9) 3 '

4.24.

80 40 и х> 3; 3

1 х > 2 ; 2) х Е R ; 3) 3 <: х

< 6; 4) нет решен и й ; 5 -=;;; х -=;;; 1 ; 6) х -=;;; I I1 x � 4; 7) '2 -6 < х < 2. 5 3 1 < х < 1 ,5; 2) -2,5 < х < 2; 3) х < i4 И Х > "8 ; 4 0,5 < х < 3 ; 5) - 1 ,25 < х < 0,75; 6) х < 5,4 и х > 6. 11

1

4 .35. 1); 2), 4.36. Существует

1); 2) ; 3) ; 4); 5) ; 6); 9) ; 1 0) ; не 18 3 4 . 37. 1 ) 3 ; 2) 3 ; 3) "8 ; 4) - 5" . 10

28

26

4.38. 1 )

3.37. 1 ) х < - 2 ; 2) х > 4; 3) -5,25 < х < 2; 4) - 3 < х < 5 ' ;3.39. 5 = 21 . 3.40. 5 = 12.

3.4 1 .

I

ХлебозавОд . I

М I М 2

Населеllllbl" nYIIIIT --,- -......

20 10

_ -

-

-

20

т т

О

3

О 10

т

т

125; - 1 ;

4.5. 4.6.

4.7. 4 .8.

а , в.

.J

1)

1 2 у= З Х+3 ;

5+х х

"

4х + 5 ; 4) х+2

..

нет обраТIiОIl

функц и и ; 5) нет обратной ФУНКЦ И И ; 6) нет обратной ФУНКЦИИ. 1 ) Четн а я ; 2) ни четна я . н и нечеТllа я ; 3) ни четная, Нfl не чет н а я ; 4) нечетн а я ; 5) ч ет н а я ; 6) ни четна я . ни нечетllа я ; 7) ни четная. ни нечет на я ; 8) II И четная, ни нечетна я . 1) Да; 2) да ; 3) нет ; 4) нет. 1 ) и 2) .

4.9. 4. 10. 1) и 3). 4 . 1 1 . а ; в; Д н е. 4. 15. 1) Да; 2) да ; 3) нет; 4) пет. 4. 1 6. 1) n = 2; n = 15; 2) n = 8 н n = 9; 3)

�

; 4) 4. 1 9. 1) (2n + l) 2n ; 2) : ; 3) n (n I ) 2 2n 1 5) n n 4.2 1 . МО�lOтонные: 1); 2) ; 5); 6); 7) ; 1 0); 1 1 ) ; немонотонные: 3) ; 4) ; 8) ; 9) ; 1 2). 442

нет.

(

:

У;

909

1 1 00 ; 2)

Не существует в точке О, существует в осталь ньJ.Х точ ках; не существует в ТОЧI(е О, существует в остальных TO'I K a x ; не существует ни в одной 113' данных точек; 4) не существует в точке О, существует в остал ьных точ к а х ; 5) не существует 111-1 в ОДIIO�i из дан ных точе к ; 6) не существует в точке 2, сущест вует в остадьных точках.

2) 3)

I

2) у= -- ; 3) у =

� ; 4) _� .

4 .42. 1)

о

--

:

3 3; 3)

7); 8) .

1

1

-

-

существует у

1 0) 3 '

1 ; - 9.261 ; 2) 7 ; 1 ; 2 з ; -0. 1 ; 3) 5 1 ; 9 ; - 3 ; 27 1 3 30 зт 24,73; 4) т ; - 1 2 ; 4.2. 1 ) R ; 2) R ; 3) �{3} ; 4) R"'-{ I }; 5) R"'-{ I ; 4 } ; 6) [О ; + 00 ). 1)

� ; 2)

у

4

151 919 1 0 67 ; 5) -32 1 4 ; 6) 3 1 79 . 13 1 1 ; 3) 8 ; 4 00 1980 330 ) -=- 1 85 55 11 I () 4.4 1 . 1 ) 253; 2) - 13 ; 3) 12; 4) 4 ; 5) 3; 6) О; 7) 1 0; 8) '9 ; 9) 2 ' 4.39.

Г Л А В А 4

4. 1 .

Огра ничены:

;

•

4.43. О; 1 .

1

4 .44. '2 ; О. 4 .45. 4.46. 3.

3 3 ; 2) 7' ; 3) 1 ; 4) О; 5) 1 . 2

1 4.47. 1) 5 ; 2) О; 3) 2' '

4 .48. 1)

Непрерывна в обеих точк а х ; 2) разрывна в точке Х = О, не прерывна в остал ьных точ ках; 3) Р;'ЗРЫБна в точке х = О, непрерывна в остальных точках; 4) непрерывна во всех данных точ к а х ; 5) разрывна в точке х = - I , непрерывна в остальных точ к а х .

1

1 1 ; 7) 3 ; 8) 2; 9) 2 . 1 1 1 10) т ; 1 1) Т2 ; 12) 3; 13) у .з:- � ; 14) 4; 15) - У5; 16)

4 .49. 1) -3; 2) 5; 3) - 5" ; 4) О; 5) 4; 6) -

Г Л А В А

5. 1 .

5.2.

3

'4 '

1

Т'

'

5

1 ) 150; 2) 4800; 3) 60; 4) 180; 5) 30 ; 6) 0, 3 ; 7) 5 ; 8) 0,06. 1 2 4 3 1) 3 ; 2) б ; 3) 3 ; 4) 2 ; 5) 2 ; 6)' 4 ; 7) 3; 8) 2 ; 9) 2 ; 10) 0,3. 443

.

5.3. 5.4. 5.5.

1 ) 5 ; 2) 3; 3) 2 ; 4) 2 ; 5) 8; 6) 5.

._ & +( + ) 1) 8;

2) 4; 3) 3;

4) 1 25 ;

10) 2 1 6

1) а

а

1

-1

; 2) 5а

4) 5х 3 (2x - I ) .

. 1

5.7.

l

1 ) 2; 2) 4 ; 3) 1 : 4) 1 ,5; 5) 500; 6) 288; 7) 2 ; 8)

2

1) х3 ; 2) ь5

•

2

8 ; 6) 27

5)

12

'

; 9) 2;

1

1)

1 0 з '

1 1

1

-2 (�y,7 ( � у'в ; 5.9. 95 зз, 1 4; (� у.rз ( + У5 ; ( + у': ( + ) ( � ) �7+ 2 ( � )3 VS- l (�Y (� ) 5. 10. 1) УЗ , 5. 1 1 . -1; -У2 11) �2 ; � ; 5. 12. 1 5 . 1 3. 3 3 3 � а ь 2х . ' 1 ) 2а3 ь3 .' 2) -Ь - а ' 3) х + у 4) х 3

1 1

5 . 8.

1) 95 <

4

; 2) 2 1,7 > 2 0 , 8 ; 3)

4) 4Vii2 > 4VБ7 ;

48

41; 2) 4; 3) 48; 4) 25 ; 5) -6; 6) 4§ ' 1

8)

.

� 3 ; 3) 9)

;

<

7- 3 < I ,

3

1) 2 ; 2)

3Л >

6)

8)

V 8- 2 < 1 ; 10)

9)

�

уЗ .

>

Vз ;

<

7)

_

<

5)

4) О;

5)

1 0) нет корней;

3

2-

3n 6) 5" ; 7)

О; 1 2) О.

1) 2; 2) 4; 3) - 4 ; 4) - 4 ; 5) 3; 6) - 4 . 10 9 7 1) 5; 2) 3 ; 3) - 2 ; 4) 5 ; 5) 2 ; 6) 4; 7) 10) 200.

9

-

1)

0,682 ; 2) 2 ,322; 3) 0,307 ; 4) 0 ,352.

5. 16. 1) -

5. 1 9.

444

} < X ,;;;;; 4 ; 2)

- 00 < х <

3 7 4) - 5 < х < 2 ' 1 ) Область оп ределен и я - R, 2) область оп ределеll и я - R, 3) область определения - R, 4) область оп ределеllll я - R, 5) область оп ределени я - R ,

{

5.26. 5.28. 5.29. 5.30. 5.3 1 .

- 00 ) ; - + 00).1);

м н ожество значений - [ 1 ; + 00) ; мн ожество значен и й - (- 00 ; О) ; множество значений (О; + множеСТВQ эначени й - [ 1 ; + 00 ) ; мн ожество значеllНЙ - (- 1 ; О] ; п) область определен и я - R, множество эначен и й - (-00 ; 7 ) область опр�делеш! Я - R , множество � н а ч ен и й (-2 ;

-1;Ya� - I).

,

-2 ;

7; 5) - 1 ; 6) 1,5; 7)

'

-2:

где а ;;;;. 1 ,

3) О; 4) О; 4; .5) ± УЗ ; 6) ± У З ;:7) -7. 65 1) -:- 1 ; 2) О; 3) 1 ; 2 ; 4) ; 5) 5; 6) 1 ; 2; 7) 30 ; 100; 8) 33 9) УЗ; 9 ; lG) 2 ; 4 . 1

2 ; 3) 10

2) 1 0 ; 10

9)

1

2;

10- 1 ; 4)

-2; 3; 5) 7; 6)

2; 1 0) 0,01 ; 1 0 ; 1 1) 2; 1 2) 30; 3"

-1.

•

8) 2 ;

1;

10;

-2 ;

10

х > 3; 2) х > - 1 ; 3) х > и х > 1 ; 6) х < log2 3; 7) х <

--

1 3 ; 4) х < 1 и х > З; 5) х < О. и х :> 2; 8) х Е R. 1) ( 00 ; 2]; 2) [ 1 ,5; + (0 ) ; 3) ( 00 ; -2 ] ; 4) (2 ; 3) ; 5) (- 1 ; 1 ) ; . 6) (О; 2).

5 .35. 1)

-

х <:

2

7

Jogr 1

. 11

- "5 ; 2) 1 24 "'; Х < J 3 ; 3) Х ";;;;; i6 ;

4)

-5 <: х < 7,5;

6) 0,4 <:: х < 0,6; 7) 2 ..;;;; х < 2,5; 8) 0 , 2 <:х < 0,4; 5) х � -0,05; ,

5.36.

1

9) -7 < х < l з ; 1 0) I , 42 C;;;;; x < I ,5; 1 1 ) -6 � х < -4 и 2 < < х ..;;; 4; 1 2) - 00 < х � - 1 и 4 <:: х < + 00 ; 1 3) -0,58 < х � ";; -0 , 4 ; 1 4) - 1 ,25 < х <; -1 ,23 и х > - 1 . 1 ) х > 8 ; 2) х � 0; 3) < i < 2 ; 4) х > 4;

1

1

5) О < х < 2; 6) О < х <

5.38.

5.39.

1) (- 1 ;

5) (

1)

О) ;

2)

и

х

> 32;

1

( �2 ; �.2) ; ( �2 ; �2) ; ) ) (

(О; _ 1 ) ; 3)

Yf , У Т 2- ' -2--

, , 6

)

4)

УЗ .

_

1

- Т, У .

n k E Z; 3) y + nk, 4) n + 2nk, k E Z ; 5) nk, k E Z; 6) nk, k E Z. n - 2 + 2:n:k,

1

5.40. 1) 2 ; 2) 4;

5.4 1 .

Ь

< х < t3; 2 < х < 3; 8) х > 1 ; 9) 1 1 1 1 1 1) 0 < х < 1 0) '9 < х <: 3 и х > 1 ; и х > 3' 15 1 ) 1 ,39; 1 , 1 3 ; 1 ,75; 2 , 79 ; 4,27; 2,55; 0 ,47; 0,75; 2) 22,5°; 1 08°; 2290; 89,90; 36,7°; 208°.

7)

5.37.

+ < х < 6;

"2

9) Jog 2 (а ± 1) 3; 2)

7) 7 ; 8) 1 3 ;

5.34.

Е

1) 9; 2) 1 ; - '3 ; 3) 1 ; 4)

5.33. 1)

1 6; 8) 9" ; 9) 25;

; 2 � x � 3 ; 3) -

-

5.32. 1) 1 ;

'

8 3 5 . 1 4 . 1 ) О; 2) 3 ; 3) 2; 4) 1 ; 5) 2; 6) 2 '

5. 15.

2)

3 ; 7) 9" ; 8) 4 ; ?) 1 08;

+ ь+ ( 3а+ + ь+ ) ; 3) x � С �-z+) ;

Область определення х(Е R, х :;!: О; множество значеннА - R; область определения х R. х :;!: О; множество значениii - R ; 3) область определеНRя - R+ ; м ножество значениА - (О; + 00 ) : 4 ) область определеНR я - R+ ; МНОЖество значею!й - [О; + 00 ) ; 5) область определения (- 00 ; О) ; м н ожество значений - R; 6) область определения - ( оо ; О) ; множество знаЧе ни й - R + , Нет, ' 3 1) О ; 2) О; 3) О; 4) 3; 5) 3 ; 6) 2 ; 7) 2.5j 8) "4 ; 9) О ; -2; 1 0)

5.23, 1)

3)

где

k E Z;

2)

nk,

k E Z;

� -1.

1) i + 2nk , k E Z j 2) 2nk, k'E Z;

'

-

445

:rt 2:rt 4) 3+3 k, kEZ. 5.42. 1 ) -0,6018; 2) -0,8660; 3) 1 , 1578; 4) 0,6494; 5) 0,5878; 6) -0,8090. 4 3' 5. 4 3. соз а = -О, 6 ; tg а = - "3 ; c!g а = - 4 :rt З) 2" k, k E Z ;

,4

-

22

З) '4 ( 1 :rt

, У _ . 5 5,48. - 122 '

5 47.

с

Ь

Ь

�

соз 3а; 36 5.54. 5' . 856 5.55 . 65' 63 и 33 5.56. 65 65 '

-

4)

да ;

з)

5) нет.

Б) 7)

2'-

У2 . 2 ' 2 ; 2) 1)

5.53. 1)

да;

1 ; 3) slПI а ; 4) 1 , 2) l' 3) .!. ' · 4) уз . 5) У 2 + У б . 6) У , 2 ' 2 ' 4 '

5.50. 1) 2; 2) 5. 5 1 . 1 )

З)

да ;

2:rt 5'" k,

О; 3) 1 2) 2" ;

1; 4) � 3)

;

5) 1 ; 6) О.

1 ; 4) .rГ3 соз а;

5)

6. 71.

24

У

6.72.

б

tg а ctg �; 6) cos 2� cos 3�.

kE

:rt

5. 59.

0

5.6 1 . 1 . 1 5.62. Т .

1

5.<13. 1) - 2 ; 2)

�

.

уз 3) 1 ; 4) - 1 ; 5) 21 ; 6) -уз; 7) -21 2 ;

--

8) 1 ; 9) 2; 1 0) 5.

5.65. 5.66.

5.67. 5.69. 446

1

. 3

--- . у ТО ' ylO '

1

У 10 ; У 10 ; З '

3

1

.

3'

2) 4n

k 2n +8nk kEZ; и

и

,

1,

2) '21 (sln 75°+sln 1 5j;

У21 vз : 4)

3)

VЗ 6) vз4 - 1 , 4 ' 1 VЗ 1) -4- ; 2) 2 ; 3) а; 4) sln 2а.

5)

-Q .

соз

V2 + V3 ;

2)

О; З)

�;

· 4)

-

��

;

5)

Y�

-1

;

V2+ V 3 ;

10) V ti 7) 0;. 8) - V 2- 3 ; 9) - -У2 2- ; 1) VЗ соз а; 2) sln а; 3) соз а; 4) - VЗ sin 5) ctg 2а; 6 ) s!n 5.76. 1) 4 s!n ( 45" + % ) ( 15° - f ) ; 2) 4 Sln 150 _ ! ) COS ( 1 50 + ! ) ; 3) 2 s/n 30· + 2" ) ( 300 - 2" ) ; 4) 1 sln зо� -% ) соs (30' + �) ; ( 300 + � ) ( 300 - % ) ; 5) 2 6) -2 sill ( 300 + � ) s!n ( 30' - � ) ; 7) 2 со,· "2 8) . '2 ' 5.78. О, 2п + 2.'/1, E Z. 1) "3 T + � k, k E Z; 2) "3

1

5.75.

,Г r

а.

л

соз

.

If

s IП.,"

71'

а

:t

J + 2з, k :t + :l:tk, k E Z; -1) � 5) ..;т + Ъ:k, k E Z ; б) :-t+2лk, k E Z.

3)

5.ео. 1) 5 "r з .

k

а:

со:,

., а ;

5. 79.

5)

3

2

с о :,

slп а;

т.

/.

- . - -

соз

СО:;

;

kEZ.

У21 УЗ ;

2)

6) О ;

1

1) ctg! а; 2) s/n 2а; 3) tg � ; 4) 1) n + 2nk 4nk , k E Z ;

4) :rtk,

{ (Sln 600-sin l0j; 4) { (СОs 750+соs З5j; 1 1 2 (cos 2a-cos 2х); 6) '2 (sln 2x+sln 2а); 1 '2 (cos 2х+ cos 2а).

2 1 ) 1 +4У ;

5.74. 1)

Z ; �) nk, k EZ; 3) n + 2nk, kEZ; 4) "2 k, k E Z. 1) уз; 2) -tg 22 -0,4040; 3) 1 ; 4) 1 . 5.60. Не существует.

5.58. 1)

+2k), kEZ;

1.70. 1) '21 (cos 100- cos 30j;

sin a=O,6; cos a=-O,8; tg a=- �.

5.44. 5 Б . 1 ) Д а ; 2) 5.46. ± 0 ,6572 .

5.52.

,-

11

2а ; 2)

.

2

С()5

б) t'O,;l а ;

'Х;

3)

-2 in

а:

i)

1.

.'< , k E ':;

_-

.!

1 f r.

'Х

;

7) sin1 8) О; 9, О;· 10) ·- 1 . а;

•

447

.

5.85. 1) nk, k E Z; 2) 2nk, k E Z;

7л 1 1n n 5 . 1 03. 2" ; 12 ; /76 '

k, k E Z. 3) .:: + .:: k, k E Z; 4) 2 . . 4 1 - соэ (900 + а) . 1 + соэ 300 . 1 - cos 3a . ' 2) 5.86. 1) ' 3) 2 2 2

i+�

1 + cos

4)

(

2а -

2

�)

'

5. 1 04'

5 . 106. 1 ) � + 2nk, k E Z; 2) п + nk, k E Z; 3) ( - ' ) Il . . ......,. . -.. �

4) (- 1 ) 1l + l ':: + nk, k E Z; 5) 4

n

�

.k , k E Z; 3) 2nk, k E Z; 4) 2" k, k E Z. , 5.87. 1 ) - + nk, k E Z; 2) . 2 tg 34° 2 0 ; 5.88. 1 ) 2 sln 27° соэ 27°; 2) cos2 53° - sln2 53° ; 3) 1 _ t g 34

�

4) 2 sln 2� соэ 2�; 5) соэ2 i ,5"а - s ln� ' ,5а ; 6) 2 sln: х cos

(т �)

; 7) cos 2

�

Х cos i;, 9) cos 2

(� )

� - Sln2 � ; 1 0) 2 Sin

+а

�

; 8) 2 s ш

соэ

1 . 6) - у з

_

- 16 V 105 1 69 ' , 5.93 . 2 sln а > sln 2а.

( � �)

х

(� ) � ( �-� ) ( � - � ) .

+ а - s ln�

Y..J . 1 У"2 5.89. 1 ) 2 ; 2) 1 ; 3) -2- ; 4) - -2- ' 5) 2 ' 7 . 24 �. � .. 5.90. 1 ) 25 .' 2) ' З) 7 ' 4) 4 25 7 24 5.9 1 . cos 2а = - 2;5 ; tg а = - . у

,

УЗ;

3) cos 2а; 4)

�З ,

п n п n n· п ; 7) О "4 ; 6) 5.96. 1 ) - "2 ; 2) 2 ; 3) - 3 ; 4) 3 ; 5) 4" . 5n n 2n n n 5.97. 1) n; 2) О; 3) ""6 ; 4) б ; 5) 3 ; 6) "3 ; 7) 2 ' �

п

п

5. 1 02. 1 )

448

-

�"2 ;

2)

3 -+-

[-З ;

3� - 2

у"2 ;

4)

Jf з - з 3

5. 1 07. 1)

+ :rтk ,

kEZ;

.'

(- I ) 1г Т; + Т /l , k E Z; 6) (- 1 ) 1l+ 1 Х �

�

,

(- ')Il arosin

)

-

�

+ 2лk, k E Z; 2)

;

5

i +nk,

k EZ; 1 0)

(;- 1 )l l+ i X

+ nk, k E Z; 3) ± т + 2nk,

k E Z;

n 2n 5n 2n 3 4) ± T + 2nk, k E Z; 5) ± тв + з k , k E Z; 6) ± 18 + з k, n -n 4n k Е Z; 7) 1 ± з + 2nk, k E Z; 8) 2 ± з + 4лk, k Е Z; , 1 n - а госоэ '4 + т k, k Е Z. 9) ± 4агссоэ +8nk, k E Z; 1 0) ± 4

..

5. 108· ! ) i + � k,

{

,k E Z;

2)

л л - 6 + 2 k,

k E Z;

3)

л з k,

k E Z;

25.

•

n

n

�

- л 5n л 4) - � + з k, 'k E Z; 5) з + 2nk . k E Z; 6) з + 2Лk, k Е Z; . n + �. k, k E Z; 8) 45° + 90 0k, k E Z; 9) з + а гсtg 3 + nk, k E Z; 7)

У"2 У "2 1 r 3 ;. , n; 3) -т ; 4) '2 ; 5) V -З ; 6) .r r 3 ; 7) -2- ; 8) .r-

9) з ; 10) - "4 ' :rт

k E Z; 9)

1 x a rosln - + nk, k E Z, . 4

.

5. 100. 1 ) 55° 1 8' ; 2) -23°54'; 3) 24°6' ; 4) 1 66°; 5) 65°30' ; 6) - 82047'; 7) 1 5°6' ; 8) 1 79°50 ' .

�)

+ 2nk,

Х

n 5n n :rт 2n n 5.99. 1 ) "4 ; 2) '2 ; 3) 3 ; 4) 3 ; 5) 6 ; 6) 6'

5. 1 0 1 . 1) 2 �;

- V "·

x � + T k , k E Z; 7 ) (- I) � H з + 2nk, /l E Z; 8 ) (- 1 ) 1г 3 +

5.98. 1) 4' ; 2) - 4" ; 3) - 6 ; 4) 6" ; 5) О . п

�

.

5.92.

5.94. 1) sln 80°; 2)

n n .1 1 n 7n - 12 ; 12 ; - 6 ' ""6 ;

1 0) '::' + a гcctg 2 + лk, k E Z, 6

n 2n 5 . 1 09, 1 ) - ':: + 2nk, k E Z; 2) ± - + 2лk, k E -Z; 3) ,± - + 2лk, 3 2 3 " _ - _ . 1 k E Z; 4} т + лk и - a гot g 3 + nk, k E Z; 5) 2" aгcctg 2 + лk и

/'

.1n + ':: k k E Z ' 6) ± � + nk, k E Z; 7) ± i + Лk, 4 8 2 ' . '

8) ± i + лk, k E Z; 9) ± % + лk , k E Z.

5. 1 1 0, 1) nk, k E Z; 2) i + nk, л k E Z; 4) 2 k

и

n

n

k E Z;

k E Z;

1 0)

k E Z;

± а гсtg 2 + лk ,

± i + 2Лk, k E Z; 3)

. ' Z ; 5) .:: + 6" + "3 k' k Е

5

2л k 5

и

i k,

2n з k, k Е Z;

449

п 2n 3) з +лk и ± +2пk, k E Z; з n 4) nk и (-I)R + 1tk, k E Z; в п п 5) т + лk и ± +2nk, k E Z; з n n 7) - 4 + :тtk и 8 (4k + 3) , k E Z;

n n п п п 2n k, k E Z; 7) "4 + k и 8 + 4 k, k E Z; 8) "2 k, k e Z, T T n п п п 9) 4 k, k E Z; 10) - 4 + nk н 8+ "2 k, k E Z.

б)

5. 1 1 1 . 1 )

n 4 + nk,

n з + nk,

k E Z; 2)

arotg 2 + л:k

3)

k E Z:

и

n 1 1 n агсtg з + + nk, k � Z: 4) 4 + М и arot g 'j +nk, k E Zj 5) 4+

+ nk

1

n

б) 4 + М

и - a rotg з + пk, k E Z:

п

п

1) ± з + nk, k E Z; 8) 'j + nk

н

1 2) п + 2лk

п 15. 1 12. 1 ) з k, k

+3

E Z; 2) 2п k и

и arctg 3 + nk, k E Z:

П k ' k Е Z;

и ±

"8 4 n k E Z; б) лk, k E Z; 7) 2 k, k E Z.

) Т1t + 21t п,

1t п ' 15 . 1 1 3. 1 ) 8 + 2 k, k E Z; k E Z; 5) 1tk

n ± в -j- лk, k Е Z; .б) 2nk, k E Z;

и

л ± з + Пk,

л

5. 1 14. 1) 2 k, k E Z; 2) 4) -

kEZ

1 :2

1t

Iг E Z; 3) ± в + лk, k E Z; 4) nk,

I х а гсslл з + 1tk, k f:; Z.

n

2

.

л

k E Z;

3)

±

' :t l.·" 5. 1 1 5. 1 ) ( - I J �" + I Л , G

2) (- I)/l i + л�,

h'

k E Z;

б) - � + i[k

,i

':;' + Лk

::- ) _

2) 450

:1 + 2лk

:1

aJ cl <; T + .1k,

G

IJ ±

-}

f

-.

I

"

k E Z'

- 1" + 2:tk. I. E. Z ;

a r c! g 2 + .'tk,

5. 1 1 6. 1) 'j + nk и 1I I- � k , rr

3) � + 2з, I?,

�

11

1t

k E Z;

± "1 + 2:1п,

.

k E Z.

6

,;

�

6) - 3x�; -3; -75 ; 7) 2) 2x + l ;

6.7. 1) 1 ;

�

2 ухо

'7 ; E�

"' E Z; k E -�.

'. Е !'� ;

-

3) � + 2x' 2 Ух '

1

2xo ' '

_

�.

2 ' 2

1

_ - 1 0.

УБ

_

I_ . 4) 3x2 + _ 2 УХ '

; 6) 4 + 3х2; 7) 3 +2x + 3x�. 2 Ух 1 4 3 6.8. 1 ) -8 ; '2) 5 ; 3) - 9 ; 4) 3 + - 6х ; 2 ух 5) 3х2 + 2х +

5) -5 - 9х2 +

8) х2 _ 6. 1 1 . 1 )

17 ; &Т

2

_; ,; r х

./ -

х; 7 r 2)

6) 2х - 8; 7) 4x·j - 2.. х2 Ух'

2

{ (II) =

1 -= �_

3)

-=�� , �)

1

4;

5

5) '- 8 ;

( Yx+ ;�\) � +з ( VX+ ;�\) _ I, ( Ух +;+\) У �t�2�� h

g (h) = Ig

+ 3,

6. 14. Y = f (g) , где 1 ) { (х) = у х, g (x) = x2 + 5x + l ;

11

6) - 4 '

g ff) = 19 (XZ + 3X _ I ) + 3,

х% + 3х - 1 + 2 (X Ig x + 2 + lg2 X + 6 I g x + l O '

h (j) =

'

9) 1 + 26X - 3х2 + 36Х3 _ 1 5х4.

6. 1 3. f (g) = Ig2 x + 9 lg х + 1 7,

E Z;

k E Z;

4) л (2k + 1 ) ,

7)

1t

в + лk,

+ Лk, k E Z; 5) ( - I ) l< fj + лk, k E Z; 6)

.

7) (- l )I< X

;

2 (:тtk - arctg 3) ,

720 КМ/'1. 50 КМ/'1. 1) ио м/с: 2) ио + а'о м/с. 1) -2 м/с; 2) 28 м/с; 3) 1 0 м/с. 1 6.5. 1) _ ; 2) 2 ; 3) З t8 + _, (з + , о ) r 'о 2 ,r to 6.6. 1) 2хо ; 2; 1 0 ; 2) 4хо.; 4; 20; 3) 2 (Хо + 3) ; 8; 1 6; 2 1 I 1 4) , 3хо + 2; 5 ; 77 ; 5) ----=- ; _ ; ---= ; 2 2 У 5 2 У хо 6. 1 . 6.2. 6.3. 6(4.

k E Z:

п n п л 6+ + + nk, k E Z; 3) 6 g Tk и n - а гссо s О,75 n n 4) + k k E Z; 5) ± + лk I '

и

Г Л А В А

п п з + лk, k E Z; 9) пk и з+пk,

п + 21tk, k E Z; 1 1 ) 2м и 'j - 2 arolg О,75 + 2лk, k E Z.

п k E Z; 1 0) nk и 4 + nk,

8) 2nk

п

6) (- I ) ll+ l fi + 2nk, k E Z;

+

�

l '

(g) = V lg х + 3 +

(X) = X2 + 3X + 4;

З) { (x) = Yx�- 2x,

g (х) =

2) ' (x) =

Ух;

�

,

45 1

+ J 5 sin 1 0х ; 7) 6x2 х; 2JslП х+х

6) 1 + 2 srn 2x;

6.21 . 1) CDS х-х sin х;

COS

8) cos 3x;

9) - соз 2х.

3) cos 2х; 4) 2 cos 2х cos 3х - 3 siл 2х sin 3х; 5) а cos ах cos Ьх - Ь sin ах sm Ьх; 6) sin 2х ; 7) - 3 cos2 Х sln х; 8) - а sin 2ах ; 9) па sin " - 1 ax cos ах; 1 0) - па cosn - 1 ax sin ах. 6.22. 1 ) 4 + 2 t g2 2x + 2 ctg2 2x; 2) ctg x - x ( l + ctg2 x) ; 3) 3 tg2 Х ( 1 + t g2 х) + 3 ( 1 + t g2 3х) ; 4) -2 ( 1 + ctg2 2х) - 4 tg 2х ( 1 + tg2 2х) ; 2 cos 2х; 6) 2 sio 2х; 2a tg ax ( l + tg2 ax) ; 8) (4x - l ) cos (2x2 - x) ; 9) - s in 2x; 1 0) cos x - 2 Sin 2x + 3 ( 1 + t g2 3x) .

5)

7)

6.24. 1 ) - sin

6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.ЗО. 6. З I . 0. 1 8. 1 ) 1 00xU9;

2) _ 5х4; 3)

10

� X)4' ( I + � �x}

5 V (x y 6хВ + 7 х6 + хН + 2х + 3 6) af (x� + 1 )�

4)

V

1 0/

8) Y5x V S - J ; 10) 5 (2

9)

;

7)

nx 1t - 1 ;

Х&

; 5)

6.З2. . I ()�

42х 4Vx�g 29

af l l x ' 2 3х

�I x�

VХ�+3хЗ + Х7)4 Сз V� +9X2+7Xb) ; 3 (Jg afх + хJ/З + 1 2 У 2) 2 ( Г+W + 3� ) х n 3 у x� 10 (Jп ух+ V� + �� У ( � + V-:;-:� ) ' 51 5 3 6. 19. 1 ) 5; 2) 4 ; 3) 6" ; 4) 4; 5} 2; 6) 2' G.20. 1) 2 соз 2х; 2) а cos ах; 3) - 3 sln 3х; 2х + 3 sш 4) - а sin ах; 5) 2 1 1)

12)

452

cos

З:Х;

�;

{

2) cos 3х; 3) со:> ах; 4) 2x cos (x - I ) - x2 sin (x - I ); 5) 2 cos (З+ 2х) - 2 SI П (3 + 2х) ; 6) 24 sin2 4х cos 4х; 7) 1 + tg2 3х; 8) 6 (tg2 3х- t g2 2х) ; 9) 24 tg2 4х ( 1 + t g2 4х); 10) -24 ctg2 2х ( 1 + ctg2 2х). 7 а mп 1) ,Г ; 2) ,г . ; 3) n 2x2 1 49x� l a2x2 V l r r . 2х . ,г r I - x" "':"' 1 = =� 2х У х - I 6х2 1 1 _ х6 1 1 � x12 х2 2х aгcsin х+ , Г -' r l - x2 4 а mп 2) 1) 3) Y I - 1 6x2 ' V I - a2x� Y I - n2 x2 . 2х

-

х2 - , r 1 - х2

6.З4. 2х aгccos х - , г

6.З5. О.

· 6.З7. 1 ) 6.З9.

-

_

� 9 ; 2' 1 + х2

-�

х2

1

:J

l +m2X2 .' т

3)

т _ _о

1 + n2x�

' x :j:: О.

6.40. 2х aгotg х2+

�X4'

1 1 6.4 1 . --==== х V 4х2 - 1 1 6.42. ,г r а2 _ х2 2 n 6 . 4З . 1 ) - + 2 ; 2) 1 + n2x� ; 3) 1 4х •

1

6.44. 1 +

2 '

х"

тп 1 + n2x� '

x :j:: О. .

453

.

6 .4 5

.

7 . 10. 54 (м/с2) . 7. 13. 2 1 0,25 (Дж). 7 . 14. 430 m .

4 arotg 2'х

1 + 4x� '

6.46. 2х arcctg х - + "'� . 1

2 (х2 _ J )

х-

6.47. x4 + 6x� + 1 ' 6.48. О. 6.49. 1 ) 5х4 - 24хЗ - 24х2 ; 2)

�( 56X7 + 2x ( у xl_ 1 ) 2

�

ь 7. 16. (J) = -2cl + b ; � = -2c; ( = ' 2с 7. 17. 23 А . 7. 18. 1 ) 1 ,00201 Дж/(кг · ОС); 2) 1 ,0 1 3 Дж/(кг . ОС). 7 . 1 9. v = - kАе - "t . 7. 20. Возрастает н а R; 2 ) убывает на R ; 3 ) убывает

Y 2) ( yx - l ) � -

,1г_ (7х8 + У2 x� + УБ» 2 r х

3) (3 ;- x - l Ox9) ( Ух+3х 7 - 8) + (3Х - х2 _ ХlО) (

4)

(

JOxD + 33x10 +

6.50. J )

( ++

3

Vt + 1 2[2

�T ) ��I1 V(2))

2

x

+

t+

7 . 21 . 1 )

yJ v = 24 ,

Е N.

. • .

7

.

13

7. 1 . У = -4х - l , у = - х + - '' у - о ·, - l, х4 4 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9 . 454

у = 4х - l , У = 3х +

I

1 4

13

у = - - х +'1

1 , у= - 3 х+ 1 ; I

.

45°; 0°; 45°, J ; О. ( l ; О) . 45°. 2 ; -2; 4 ; -4. 45° ; 0°; 1 35°. 4 (м/с), а ( 1 ) = 2 (м /с2) ; v {l =

.

7

У=3

(3) = 8 (м/с) ,

.. .

а

(3) = 2 (. м/с2).

; ; + (0 ) ;

6)

возра.

(�

(1; )

; + 00 )

; 1 1)

убывает на ( - 00 ;

(/\ + 1);

�)

- 00 ;

-1)

и

Н1

1 2) возрастает на (- 00 ; 1 )

)

3 ' убывает на \ "2 ; + 00 . 2

(

.

�

7.22. 7. 23.

точка минимума, fm in = f (- I ) = -4; 2) убывает Ila возраста ет и а =I

' х = 1 ; У = 1 , х = 3.

-

1 1) ми нимум при х = - ; 1 2) мини мум при х= 1. е 1) Выпукла вверх на (- 00 ; 2) . выпукла вниз на (2 ; + (0 ) ; 2) выпукла ввиз на R ; 3 ) выпукла ВНJlз на (- 00 ; - 1 ) и ( 1 ; + 00) , выпукла вверх н а (- 1 ; + 1 ) ; 4) ВЫDукла вниз на R. 1) Убывает на (- 00 ; - 1 ) , возрастает на (- 1 ; + (0 ) . x = - -

(�)

=-

({ ;

3; ;

+ 00

3)

)

, х=

� - точ ка

возрастает

на

(- 00; �), I

м ивн му ма ,

(- 00 ;

'mln =

2), убывает

на

(2 ; -"+ (0) , х = 2 - точ к а максимума , f mзх = f (2) = 7 ; 4) воз растает (2 ; + 00 , х = 2 - точка tЭКСlfмума, Н3 (- 00 ; 2), убывает lIа

f шах = f (2) = О;

(�; + 00 )

6) tI

)

(

экстремумов; 7) нет экстремумов; 8) минимум при х = 0; '9) мини мум при х = О; MaKC MYM при х = 2 ; 1 0) МИ НRМУМ при х = О;

=ex;

6.51 . 70. 6 .54. 1) 3,003; 2) 1 , 4435; 3) 2.89; 4) 3 , 1 1 ; 5) 1 ,442 ; 6) 3,08 . 6.55. J ) 4,0208; 2) J ,995 ; 3) 5 ,00 1 77; 4) 0,484 ; 5) 0,05 ; 6) -0,0 1 75 ; 7) 0,965 ; 8) 1 ,037; 9) -0 , 03 . Г Л А В А

и возрастает на

Максимум при х = 2; 2) минимум при х = 3 ; 3) МНШfМУМ при х = - У2 и х = У2, максимум при х = О ; 4) мзксимум при . 1 Х = 4" ; 5) максимум при х = - 4 , МИ Н И МУМ при х = 4 ; 6) нет

yV = yVI = . . . = o;

,

tl

-{)

( 1 ; + (0), убывает на (- 1 ; 1 ) ; 1 0) возрастает на

и на

y ' ' ' = 6�x2 + eX, yJ V = 1 20x + ex , yV= J 20 + ex, УУ! = yV I l =

sin ( зх + n;) ,

00 ;

и убывает на

З е4 ( ,

' 3) c o s f! Е N; 4) у = е Х + 2х, у" = еХ + 2, y ' ' ' = yl V = . . . = еХ ; 5) у' = Бr + ех у" = 20хЗ + ех , 6) 2nе2Х + 3"

-

( 1 ; + (0), возрастает на

' у = 4 (х + 3)З,

у " ' = 24 (х + 3) ,

(х+ n;) ,

(

стает на (- 00 ; + (0 ; 7) убывает на (- 00 ; -1) и возрастает на (- 1 ; + (0 ) ; 8) убывает на (- 00 ; - 1 ) и на (о; 1 ) , во зрастает на (- J ; О) и на ( 1 ; + (0 ) ; 9) возр,гстает на ( - 00 ; - 1) и на

eI2 - 1 ;

(sin х + n2л ) , n Е N; 2)

у" = 1 2 (х + 3)2 ,

на

;

� 2 IХ6) ;

� Х- б/7 ) 111 x + x9 + 3xIO + X- �/7;

5) ( 2[� + 2! у7+ 1 +

6)

2

на (- 00; о) U U (O ; + (0 ) ; 4) возрастает на ( - 00 ; 5) U (5 ; + (0 ) ; 5) убывает

5)

, х=

{-

возрастает

;13

)

( 00; {- ) , ({-) � + (0) , ( -i) , -

- то ч ка ма ксимума , fшах = f

возрастает Аа (- 00 ; 5), убывает ва (5;

максимума, fшах = f (5) = 0 ; 7) убывает на растает на

(

-

убывает на

� ; + 00 )

I

Х=-

=_

;

х = 5 - то,/ка

- 00 ;

воз-

� - то чка минн мума, fm\n = 455

, =f

( ;) -=--

��

� ; ' 8)

убываеТ ' на (- СО ; 1),

возрастает

,

растает, на каж)юм

на

х = l -точка минимума, !min = f ( J ) � 2. 7.24. 1 ) х = 2; у = О; 2) x = l ; 3) у = - х при х -+ - оо и у = х при х -+ + оо ; 4) х = О и у = х + 6; 5) х = - I и у = х - 3; 6) х = 1 , х = - l и у = О, f , 7.25. 1 ) Область определени я : R; функция не является ни четной, и н нечетной ; функция непериодическая ; график пересекает ось абсцисс в точках (- 1 ; О), ( 1 ; О), (3; О) и ось орди нат в точке (О; 3) ; f (х) > О на (- 1 ; 1) и (3; + 00 ) f (х) < О на ( 00 ; - 1 ) 2 УЗ и ( 1 ; 3) ; аси мптот нет; возрастает на ( - 00 ; 1 - -- ) з 2 УЗ 2 УЗ 2 УЗ 1 + -- ; + 00 ) , убывает на 1 - -- ; 1 + -- ) ; и з з з 2 УЗ IIмеет м.зксимум в точке х = 1 - -- , !тах � 3,06, и минимум з 2 УЗ в точке х = 1 + -- ' fmin � - 3,06; выпукла вверх на (- 00 ; 1 ) 3 и вниз н а ( 1 ; + 00 ) ; х = I - точка перегиба ; @ область опреде лен и я : R; функция четная ; фу нкция непериодичес к а я ; графи к пе ресекает ось абсцисс в точ к а х (-3; О), (- 1 ; О) ; ( 1 ; О), (3; О) и ось ординат в точке (О; 9) ; ' (х) > О на (- 00 ; -3), (- 1 ; 1 ) и ·(3; + 00 ), f (х) < О на (-3; - 1 ) и ( 1 ; 3) ; асимптот нет; воз растает на (- У5; 0) и ( У5; + оо ), убывает на (- оо ; - У'Б ) и (О; У 5 ) ; имеет максимум в точке х = О; 'тах = 9', и ми нимум в точ ках х = ± У 'Б, fmil1 = - 1 6; выпукла вверх "а

(1;

+ 00),

,

(

,

,

( у; ; y � ) у� ( v � 00 ) и

-

; +

вниз

( - ; ; хо ) и (2;

( -� ) ; �) , о;

(-1;

V� -�) U ( -� ; 2 ) U

и вниз на (- I / УЗ ; I / УЗ); х = ±

( - �) ; ( (- � )

4) область определени я :

- 00 ;

- точки

функци я не является ни четной, ШI нечетной ; функция неперио дическая; график пересекает ось абсцисс в точке ( 1 ; О) и ось орди нат в точке

f (х) < О на

456.

1 x�- 2

о;

; 1

н

f (х) > О на

(2;

(

- 00 ;

--} )

и ( 1 ; 2),

+ (0 ) ; верти кальные асимптоты:

и х = 2; прямая y = O - аСlIмптота при х -+ ± 00 ; воз'

О,8З - точка

переги6а ;

вверх

на

5) область

f (х) > О на (- 00 ; - 1) и (2; + 00 ) , f (х) <

О lIа

убывает на ( ; ; 2 ) и (2 ; + 00 ) ; имеет максимум

4 1 'т .. = - '9 ; выпукла вниз на (- 00 ; - 1 ) и 2" (2; ' + 00 ) и вверх на (- 1 ; 2) ; точек перегиба нет; 6) область оп ределения:

( - 00 ;

- �) U - � ;

+ 00

(

)

; Функци я не яв·

'л яется IIИ четной, ни нечетной ; функци я непериодическая , гра. О) и ось фи'( пересекает ось абсц исс в точках (- 1 ; О) и

(?; � ) ; (- �

орди нат в точке f (х) < О на Х=-

y(jbiBaeT

(

-

3+ У 7 2

,

-

�)

-

и (- 1 ; 2),

3+

и

-3 + У7

'

2

3 + У7 2

-3

( � -

�

; + 00

У7

)

'

; + 00 ) ; имеет

4 - У7 ' и ми нимум 2

Iта х

, Im ln

и вверх на

при x � ± 00 ;

3 3 . -3+ У 7 ) и (2" 2 2'

(7 ) (

на ( - 00 ;

в ТО чке х = -

� oo ;

�;

-� )

; - 1 ) и (2 ; + 00 ) ; веРТИJ!:альная асимптота:

максимум в точке х

(

f х) > О на ( - 00 ; (

3 1 5 ' прямая У = - Х + - асимптота '4 2' 2

возрастает на

псреГ llба;

(2; + (0 ) ;

и (хо; 2) и

в точке Х =

- у -})

; х= ±

�

определени я ; экстре.

(- 1 ; 2); вертикальн.ые асимптоты: x+ I = O и х = 2, прямая y = O - асимптота при Х -+ ± оо ; возрастает на (- 00 ; - 1 ) и

- точк и пере г н а ; облас ь б @) т определения : R; фу нкци я четная; функци я непериодическая; график пересекает ось абсцисс в точ к а х (- УЗ ; о) и ( у з; О) и ось ординат в точ ке (О; 3) ; f (х) < О на ( - 00 ; - уз ) и ( уз; + 00 ), ' (х) > 0 на (- уз; УЗ); асимптот_ нет ; воз растает на (- 00 ; - 1 ) и (О; 1 ) , убывает на (- 1 ; О) и ( I ; + оо ) ; IIмеет максимумы в точках х = ± 1 , 'та х = 4, и ми нимум в ТОЧ I<е X = 0: fmll1 = 3; выпукла вверх на ( - 00 ; - I / уз) и ( l i УЗ; + (0 ) и

хо

'

1

00 ; -2"

+ 00 ) ; функция не яв, определен и я : л яется ни четной, ни нечетной ; фу нкция непериодическа я ; гр а . фик не пересекает ось абсцисс и пересекает ось орди нат в точке

-

(- 00 ;

+ (0 ),

(

-

(-00 ; - I) U (- I ; 2) U (2;

(

на

)

интервале своей области

�IYMOB нет; выпукла вниз на

)

выпукла вниз на ; точек перегиба нет ; -

7) область определения: (- 00 ; O) U (O; + 00 ) ; функци я не яв, ляется ни четной, ни нечетной ; функu"я непериодическая; г ра. фик пересекает ось абсцисс в точках ( 1 ; О) ; (2 ; О) и не пересе, кает ось орди нат; { (х) > О на (О, 1 ) и (2; + 00 ) , { ( х) < О н а (- 00 ; О) и ( 1 ; 2) ; верти кальная асимптота: х = о, прямая у=х - 3 является асимптотой при Х -+ ± 00 ; возрастает на (- 00 ; - У 2) и ( У 2 ; + 00 ), убывает на (- У 2; о)

н

(О; У2); имеет

MaKcll

мум в точке х = - У2, Ima x = - (2 У 2 + 3) , и мини мум в точке

х = У'"2, fmlп = 2 У 2 - 3; выпукла ВН IIЗ на (О; + 00 ) и вверх 8) область оп редел�на (- 00 ; О), точек переги6а нет;

4J7

IIИЯ: (-00 ; 2) U (2; 3) U (3; + (0 ) ; функ ц и я не явл яется ни чет г.р афик непериодическаЯI фун к ц и я ной , ни нечетной; не ось абсцисс и пересекает ось ординат в точке пересекает

О

( о; � ) ; ' (х»

на

(- 00 ; 2)

uертикаЛ;'!iые асимптоты: при

х -+ ± 00 ;

(� ; :3)

возрастает на

(3; + (0 ) ;

Ii

х=2

и и

7.28 . 7.29. 7.30.

(3; + (0 ) , l (х) < О на (2 ; 3) ;

х = 3;

(- 00 ; 2)

имеет максимум

в

( �) , �

7.31 ,

п р ям а я y = O - асимптота и

2;

точке

Х=

00

в точ к �

(о; �-

) ; I (Х) > О

на

(- 00; -3) ; (-2; 2)

нимум

.

(3; + (0 ) ,

7.37. 7.38.

(- 00 ; -2)

00 ;

(- lп У 2; о)

на ( о; + ) , возрастает на

мума ,

'ml" =

_ ..!. е

; х=

; Вbl П У J< ла вииз н а все й

точек перегиба вет.

+

обл асти

а

,

[о; 3J: IHa"ti. = 1 (3) = 0, Ihahm. ;;"-! (2J== - ; на 1-3 ; 5[: иа !наиб. = 1 (5) = 4 16, 'н" ". = f (-2) = 1 (2) = -25; 3) иг' (-о 5· Q 7); (-2; О ) : '",нб.= Iнаvб. = 1 0,7 = 3 ,7399' Iнанб.= к,им. = (-2) = (2) = -5 ; на [-2; 2] : - , = 1 1 ) = / (- 1 ) = 4, . lизим. = f ( -2) = f (2) = -5; на [о; 4 J : fн а к б. = / ( I ) = 4, 'н,и ... = / (4) = -22 1 ; 4) н а [-6; - 1 ] : I"анб.=

= { (-6) = 8

=4

7.27. 458

V 1,

V З6, Ihak .. . = f (- I) =3; на

fllаllи. = / (О) = О .

[-2; 1 ] : {Н.II6. = ' (-2) = .-

..

)

16

__ _ -

зу 3

при

8

- со s (х + I ) + соs 2 ; 6)

8.6. 1) 8.7. 1 )

Нет ; 2)

да ; 3) н ет .

с данной

прямой

Х = у2з '

; 1 + 6.

l

•

1

2Х

•

x

х5 ха х4 • х5 2хЗ х4 5х3 7x� х + т ' 2) 6 - Т ' 3) T - з+Х; 4) - зх ; т - --т з

1

5) - 2 - """i'

о п р едел е н и я ;

2) н а [ - 1 ; 1 J : fн.нб. = f (0) = -9 , '", им. = I ( I } = f (- I ) = - 1 6;

KD должны обр азо выв ать

/ dS V т ; y = 2k + ..V/'kS ([ . .

•

M " " II -

7.26. 1 ) На [ -0 , 5 ; 0,5): {н,кб. = 1 (-0,5) = 1 .375, {"а н>!. = f (0,5) = = - 1 , 3 75 ; н а {-,- 1 ,5 ; 2J: f" а н б. = f (- I ) = 2 f .. ahm. = f ( I ) = -2;

x = 2d +

электрически м элементом, будет наиболь.

8.3. J) Да ; 2) нет; 3) да ; 4) нет. 8.4. Ft, F2 и Fз. -2 хЗ .+ 1 " 11 1 8.5. 1 ) х- - 3:с + 3; 2.) ' П х2- " З) 1/' . 4) З 3 - Х- ' 5) r х -

- I n У 2)

- то ч к

углы.

Г Л А В А

+ 00);

(� ; + 00 )

равные

R

x = - l п У 2 - то ч к а пере и (О; гиба; 1 1 ) область о п ределени я : (О; + 00 ) ; функция не явл яется ни четной, ни нечетНОfl ; фУ Нl щ и я непер иоди ческ а я ; графи к п е р е секает ось абсцисс в точ ке ( 1 ; О) и н е пересе!(эет ось орД I I н а т ; I (х) < О на (О; 1 ) , ' (х) > О на ( 1 ; + 00 ) ; асим птот нет; уб!Jlв.а ет

и вниз на

ше й , когда R = т . Обе п р ямые СК и

7.40. Наибольшая площадь равна

но й , ни нечетно й ; функr�ия непериоди ческа я ; график не пересс. кает ни ось абсцисс, ни ось орди нат; 1 (х) > О "а всей о()ласти определе н и я ; x = O - вертикальная асимптота, у = I - аси мптот а п ри х -+ ± 00 ; убывает иа !(аждом интервалс своей области

нет; выпукла вверх на ( -

1

7.39. W = ( + r � ; R = r = O, 1 6 0M, Wmax = 9,8 Вт.

и

определени я , экстремумов

'

l

E2 R

9

(2; + (0 ) ; точе!( перегиба нет; 1 0) обла� ть о п ределе н и я : (- 00 ; О) U (О; + 00 ) ; фу н к ц и я не является 1 1 11 ч ет на

2

7.35. - -2' 7.36. Энергия, отдаваемая

Х = О , Imiп = -т ; вы пукл а вниз на (-2; 2) и ввср х

при

2р

1 ) 11: +4 ;

7.34. 2 '

и ( 2 ; 3) ; верти ка л ь н ые асим гпот ы : Х = -2 и х = 2 ; пря�.!а я y = l - аСИМПТОТд при Х -+ ± оо ; возрастает н а (О; 2) и (2; + 00), убывает н а (- 00 ; -2) и (-2 ; О) ; имест м и -

I (Х) < О на (-3 ; -2)

1 с ; 7 м/с. 5 1 2 СМ З •

2

, lmax = -4;

и

а

Х '2'

У- ' 7.32. R -

убывает на

(- 00 ; 2) и (3; + (0 ) и вверх на (2 ; 3) ; TO'ICK . .;!·,·С)а нет; 9) область оп ределен и я : (- 00 ; -2) U (-2; 2) U U (2 ; + (0 ) ; фун к ц и я четна я ; Фун к ц и я непер иоди ческая ; график пересе!(аст ось абсцисс в ТО'II(а х (-3; О) и (3; О) и ось орди нат ! "_�П: к л а . низ н а

а

-Т

Х

;

2 2 . 6) I п I x l - - - х_2 ' Х

8.8.

8.9.

6 см х 6 с м Х 3 см.

459

'. 10. 1 ) 3ex + 5 s 1 n

4)

x +C; -Х

. 7х 7 /х . 7Х 2х + С; + 2) -2 соs х + +G; 3) lп 7 1п 2 . x - sln х 5) + С; 2 sln х + С; 7) 2. .

2 +C; ТrilВ + C ; 6) - ТnS - Тri2

5 -Х

18х

8) - х - сtg х + С. arctg Зх +C; 2)

1. 1 1 . 1 )

�

1

У2+ УБ j + С ; I x Y 2- У 5 х

1

4'

12

2 Y IO 'П Х + С ; 4)

З - iiX. - s агоtg 2х +С1 arctg У Б УБ б) } ar OS ln � +c ; 6) � In l x + -(x� - � I + C ; 7 rr) aгcsln х+ Iп (х + V 1 +х2) + С ; 8) Iп (х+ Ух2. +З)- З lп l х+ Ух2 -з l+с. З� I . 2) 1. 12. 1) 18 (Зх- l) 6 +С; 18 (2х + 7)9 + С; З) З - --2 + 9х +С; 4) - 27 Iп l х+З I+С; х 1 + 4 X- I х +5 б) '4 arctg -4- + С; 6) 9 1 п I х+ 8 I +С} 7) 3 arctg -З-+С; 1 + С. 8) 181 1 п l 'зх-t-5 l - Зх '.13. 1) ; ( I - X2 - 1 + 2) х2

3) -i + 2x +

(X + 1 ) - lО 10

З)

7)

9)

1

8) 8. 14.

1)

3)

у2

-=-

8. 17. J)

З)

15

5) агosrn

Х-З +с; 6

2

8. 15.

460

4)

З)

-х'

+ С,

соз (

+С.

:+ <р) + С;

00

4) sln1 05х + sш221 1х

+ С.

•

х 5х З 6) 5' Slп -в + З SШ в + Сj

(oot+
8)

•

;e In8 -з- +С1

12) 1 !1

4

slnu x

1 t g (т+ : ) I +C:

. З 1 4) - т ( I + СОS Х)4fЗ + С)

2

1 6) -2 соз

Ух + С.

ln x + C ; 2) 3 (lп х - 2) .г 1 +J' 1

In I arotg х I + С; агсзln4 х+С;

4) 3 (arct g 2х)З/2 +С�

6) -32 (агосоз х)З/2 + С. 2)

5 In l x- 2 1 _':"'""" "";\' + C; x-�

� lп (x� +x + l) + УЗагоtg 2;".il + С:

8.19*. 1) _ 2

+

1 0)

+

х'

l

x + l e - х + С : 2) х J п 2 - 1 2х + С ' I n� 2 4

2

3) Sln x - х соs х + С;

5)

6) I п (х + 2 + Ух2 + 4х + 7) + С ; .

arosln (2x- I) +C; 1

_

1) 3 Jп l х -.- З I - 2 Iп l х_ 2 1 + С:

2 (3х2 + 8х + 32) Y 2 - х + С ; 15

8) Iп l х � + v Х2 + зх l + с; � (хЗ+ 1 )3/2 С. 9) � ( 3х2 _ 1 )3/ + С ; . 9 1 е + С .. . . 2) 4' 1) - 2' е 3) х- + Iп (1 +е9 Х) + С ; 4) 2el't + С;

7)

2)

+ С;

8

х

2) i ( 1 + х) 2/3 + С ; .

� (х - З) У2х+З+ С;

вln 4х

УёХ+/- I1

УеХ + l +

9 1 4) x + 2" l n l - З I - 2' l п x - l l + С ,

_- +C. aгotg--

У2

_

�

In

соз ш q> ( - s � - �+Ci 2 . 400 2. сos8 х -сos х + з- + с: . 1 0) s ln х - -з- +сi

1 5) 4'

1

Jt - -;

- � (2 - 5х)З/2 + С ;

2

4

6)

o 7;е c + С:

1 5) _есо ! х + С:

1

1

_

С;

IЗ) In l s!n x l + C;

g arctg х8 + С ;

7)

sш х

+

1 1) -CO�6 Х + С ;

8. 18.

6) - 90 (З + 5х3)U + С ;

X � 2

. 1 х 3 5) 2 cos 3 - '2 сos х + Сf

{Х + l ) - ll 11

C;

)

SШ

�

1

arcsttJ

8.16. 1) 9 -§-

1

1

I

1

5)

.

(�

х2 - 4Х

) Jn

х-

•

х

4) 5' sш (5х - 7) + 2'51 соз (5х- 7) + С, � x� + 4X +CI

6) х агсsln х+ У l - х! + С; 7) х агссоs х - У I _ х! + С� 8) x arotg Х - 2 I +х!) + С. I

n

(1

8. 20*. 1) - (х! + 2х + 2) е - х +С; 2) (2 - х�) соs х + 2х sш х+С; З) х О п! х -'2 l п х + 2) + С; 4) х агссоз! х - 2 Y I - х� аГСС ОЗ Х - 2х + С ; 1 s In 2х - 5 соз 2х еЗ Х С (зln х + соз х) е Х + С: 5) + . 2 ; lЗ V 2

6)

461

- x�t 1 е-Х' +С; 2) 2 ( Ух - 1 ) еУХ+ С ; 3) 2 (2-х) cos Ух +4 Ух sln Ух +С; 1 x2 aгctg Х�- 1 1п ( 1 +х4) +С; 4) (ln [п х- 1) Iп х+С; 5) 2" 4 У { ( х� агс.соз � x� - 1 )+с. 6) •

-

ГЛАВА 9 11. 1. (e - I) кв. ед. (I - cos 1 ) кв. ед. 1) Второй; 2) второй; 3) второй; 4) nepBbIii 11.4. 1) S x� dx; 2) S Sl� х dx + 2. 1) О; 2) sln b�; 3) -вln a�, 11.6. 1) 4; 2) 310 ; 3) "821 ; 4) ln 2 ; 5) т ; 6) 2"1 [п 2"3 ; ' 4 7) arotg 3 aгatg 2 ; 8) [п '3 ' 28 ; 3) 32 ; 4) 1 ; 5) 1 2 ; 6) 4 - 2 1п 3; 14 0.7. 1) з , 2) з 2 + У5 у'-- 8) 7) [п t+ 2 11.8. 1) 2'1 ; 2) О; 3) 4) 31 ' 5) О: 6) О; 7) '23 ; 8) [п 34 . 1 е 1 )� : 3) [п (1 + е); 4) aгctg е- � 2) ( 1) e�; '.9. 5 '.10. 1) 2"1 ; 2) Iп 2; 3) Т • 4) sln 1 . 1 2) 1 1 3) n- 2! 4) 2; 5) [п 2 - 1 ; 6} 1 :, 1} Т 8) e1ttl . 7) � если р ес и 2) О, если р уЕ: 0. 1 2. 1) О, если р 11.2. 11.3.

lI.a.

Х

Х

- 1

1

11:

-

i

1

8. Н*,

'. 14.

'.16.

..Ш

п:

- 11

p - q;

3) О.

200 У2. 1)

2

кв.

е•. ;

.) (1-�)

•

•

11:

I

0,694. 11. 18. 0,995:

9. 17.

11:

6 -

:;i: q;

32 2) '3 КВ.

I

11:

ед. ;

=

1

к в.

ед. ;

6) In 2

q;

3) "41

q;

к в.

кв. ед.

ед. ;

4) 1

кв.

n,

1 1. 4. 1) 0,09; 2) 0,67. 9.21 . 0.746 . 9.22. 184 . .23. 1) 3,2413; 2) 1,1 А В А 10 16 кв. ед. ., 2 ед. ; 3) 8 кв. ед.; ) 4) 3 кв. 36 2) ; ед. кв. 10.1 . 1) 3 у _ - 1 .кв. ед. � + ( 11: 6) ; 12 2 . . 5) (22 1п 2-6) кв. ед. 10.2 . 1) i кв. ед. ; 2) 4 кв. ед. [25 9 12 кв. ед. ! 10.3. 1) 6'I кв. е . , 2) -2 кв. ед. ', 3) 8 . 2 4) "29 кв. е . , 5) 3-3 кв. ед ' 6) -3 кв. ед. 125 10.4 . 1) 9 кв. ед. ; 2) 6" кв . ед ' 3) --3 кв. ед. ("::" _ ..!.. ) кв. ед. : 3 10.5. 1) 76'7 кв. ед. ', 2) "4 кв. ед. : 3) 36 кв. ед. .. 4) 2 3 5) '316 кв. ед" ' 6) � кв. ед. ; 7) (1 - � ) кв. ед.; ед. 8) ( у 2 - 1 ) кв. ед. ; 9) � кв. ед.; 10) ( у2 - l) кв. 10.7. 9 кв. ед. 10.6. '29 кв. ед. 265 3 . 10.9 ед. кв. �) 2 (IП . 10.8 10. 11. 32 20. 10.10. 5·42с. 10.1 3. ,375 10. 12. 19 10. 15. 122 10. H. 10. 17. 2,45 10. 16. (8R + l�a )

9. 1 9. 9.20.

8 . 2 1 *. 1)

л

л

Д •

.!

Д •

. •

аЬ

м.

м.

м.

а=

и.

м.

\0. 18. a�2 Ь /12, 523 МН .

10. 20. 1,8 1724,8 10.224.2. 0,16 10.

]\\Н ,

ед. ;

�.

10

1.

)

Н.

Дж.:.,...

1,3)

,\\Н .

eoi( � --}) .

ah2

м.

МН .

10. 19. 1 .4 1'1Н .

10. 2 1 . т ·

10.23. ДЖ. -1..Q.,2, 5. о.54'д"ж. З�

463

-

__

--- -- �

--�--

------�r---�--------------�----------------------�--

--

--

,

Мечислав И гнатьевич Каченовский, Юрий М и ха йлович Коляги н , Александр Дмитриевич Кутасов. Геннадий Лаврович Л ука н к н н , Вачаган Арташесович Оганесян, Геннаднй Н и колаевич Яковлев АЛГЕБРА

И

НАЧАЛА АНАЛИЗА

Ч а сть Редактор Т. А. П ан ькова Художест.венныЙ редактор Т. Н. Кольченко ТеХflИческий редактор А. П . Колесникова Корректоры Г. В. Подвольская, Н . Б. р у м я н цева И В N9 82325

Сдано в набор 23. 1 2.86. Подписано в печать 05.06.87. Форма'!' 84х 108'/". Бумага тип. N9 3 . Литературная гарнитура. Печать высо Kail. Усл. печ. л. 24.36. Усл. Кр. -отт: 24.57: уч:-изд: Л : 25,56: Тираж 370 000 экз. (l-й завод 1 - 150 000 ЭКЗ.). З ак з М 784 1 . Цена 95 коп.'

а

Ордена Трудового Красного Знамени издательство сНаука. Главная редакция физико-математической литературы 1 1 707 1 , Моснва. В-7. 1 . Ленинский проспеftт, 15

Октябрьской Революции и о р Набрано и сматрицировано в орден ден а Трудового Красного Знамени МПО сПервой Образцоаой типо графии� имени А . А. Жданова Союзполиграфпрома при Государст венном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и ftИИЖ· НОЙ торговли. 1 1 3054, Москве, М - 5 4 , Валовал, 28 ОтпечатаНQ в тиrIOгр фин издательства спеит Р&В6л юции , 39.

сКоммун а . , Г, воронеж, про

Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа

Recommend Documents