Основы теории чисел

А.Вейль ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», МОСКВА 1972

Монография одного из крупнейших современных математиков, написанная на основе курса лекций, прочитанного автором в Принстонском университете. Содержит изложение теории алгебраических чисел, в том числе теории полей классов, являющееся, по-видимому, на много лет окончательным. Книга представляет интерес не только для специалистов по теории чисел, но и для математиков, занимающихся алгебраической геометрией, теорией автоморфных функций и т. д. Она написана очень четко и доступна студентам старших курсов. ОГЛАВЛЕНИЕ От издательства 5 Предисловие к русскому изданию 7 Предисловие 9 Хронологическая таблица 12 Предварительные сведения и обозначения 13 Список обозначений 18 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГЛАВА 1. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ 23 § 1. Конечные поля 23 § 2. Модуль в локально компактном поле 26 § 3. Классификация локально компактных полей 33 § 4. Структура p-полей 37 ГЛАВА 2. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ 51 ПОЛЯМИ § 1. Нормы 51 § 2. Решетки 55 § 3. Мультипликативная структура локальных полей 61 § 4. Решетки над R 65 § 5. Двойственность над локальными полями 68 ГЛАВА 3. ТОЧКИ A-ПОЛЕЙ 74 § 1. А-поля и их пополнения 74 § 2. Тензорные произведения коммутативных полей 80 § 3. Следы и нормы 85 § 4. Тензорные произведения A-полей и локальных полей 90 ГЛАВА 4. АДЕЛИ 93 § 1. Адели A-полей 93 § 2. Основные теоремы 99 § 3. Идели 108 § 4. Идели A-полей 113 ГЛАВА 5. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 120 § 1. Порядки в алгебрах над Q 120 § 2. Решетки над полями алгебраических чисел 122 § 3. Идеалы 127

§ 4. Фундаментальные множества ГЛАВА 6. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА ГЛАВА 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ A-ПОЛЕЙ § 1. Сходимость эйлерова произведения § 2. Преобразования Фурье и стандартные функции § 3. Квазихарактеры § 4. Квазихарактеры A-полей § 5. Функциональное уравнение § 6. Дедекиндова дзета-функция § 7. L-функции § 8. Коэффициенты L-рядов ГЛАВА 8. СЛЕДЫ И НОРМЫ § 1. Следы и нормы в локальных полях § 2. Вычисление дифференты § 3. Теория ветвления § 4. Следы и нормы в A-полях § 5. Расщепимые точки в сепарабельных расширениях § 6. Применение к несепарабельным расширениям ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ ГЛАВА 9. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ § 1. Структура простых алгебр § 2. Представления простой алгебры § 3. Системы факторов и группа Брауэра § 4. Циклические системы факторов § 5. Специальные циклические системы факторов ГЛАВА 10. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ § 1. Порядки и решетки § 2. Следы и нормы § 3. Вычисление некоторых интегралов ГЛАВА 11. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД A-ПОЛЯМИ § 1. Ветвление § 2. Дзета-функция простой алгебры § 3. Нормы на простых алгебрах § 4. Простые алгебры над полями алгебраических чисел ГЛАВА 12. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ § 1. Формализм теории полей классов § 2. Группа Брауэра локального поля § 3. Канонический морфизм § 4. Ветвление абелевых расширений § 5. Перенос ГЛАВА 13. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ § 1. Каноническое спаривание § 2. Одна элементарная лемма § 3. Закон взаимности Хассе

131 140 148 148 151 163 167 171 179 183 188 193 193 198 203 209 216 217 223 223 230 233 246 252 256 256 263 265 273 273 274 279 284 288 288 298 304 310 322 327 327 335 338

§ 4. Теория полей классов для Q § 5. Символ Гильберта § 6. Группа Брауэра A-поля § 7. p-символ Гильберта § 8. Ядро канонического морфизма § 9. Основные теоремы § 10. Локальное поведение абелевых расширений § 11. «Классическая» теория полей классов § 12. «Coronidis loco» ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Приложение I (к гл. XII-5 и XIII-9) Приложение II. W-группы для локальных полей Приложение III. Теорема Шафаревича Приложение IV. Теорема Хербранда для неабелевых расширений Предметный указатель ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

344 347 353 357 363 368 370 375 383 388 390 391 398 403

В этот указатель включены все понятия и термины, определение которых дается или упоминается в тексте, даже если это не было сделано в виде формального определения.

автоморфизм 15 — Фробениуса 46, 299, 331, 379, 380 адель 94 алгебра неразветвленная в точке 273 — разветвленная в точке 273 алгебраическое двойственное 70 аннулятор 223 ассоциированность по двойственности 69 базисный характер 72 бесконечный простой 378 биаддитивность 17 билинейность 17 ведущий дивизор квазихарактера 187 — идеал 167 — — квазихарактера 187 взаимная простота 190 вложение 16 вполне несвязная группа 163 — разветвлено 40 — расщепимая точка 216 высшие группы ветвления 206 гиперплоскость 53 главный дивизор 141 гомоморфизм 15

группа Брауэра 234 — главных дивизоров 141 — инерции 206 — классов иделей поля 167 двойственная когерентная система 144 — мера 152 двойственность 70 дедекиндова дзета-функция 181 дивизор 140 — главный 141 — канонический 146 — характера 146 дискриминант поля 133, 200, 214 дистрибутивность 17 дифферента поля 195, 210, 211 дифферентный идель 162 для почти всех = почти для всех 79 допустимая функция 152 дробный идеал 127 — — главный 129 — — целый 127 естественное вложение 212 естественный морфизм 234 закон взаимности 254

— — Артина 342 — — Хассе 342 знаменатель дробного идеала 129 — элемента 129 идель 109 — дифферентный 162 идельная группа 109 изоморфизм 15 инвариант Хассе 298, 302, 338 канонический дивизор 146 — класс 146 — морфизм 291, 302 каноническое вложение 95, 124, 125 — спаривание 290, 302, 328 квазихарактер 164 — главный 164 — неразветвленный 167 квазикомпактная группа 164 квазисомножитель 94 класс дивизора 141 — идеалов поля 129 — факторов 240 — — относящийся к A 240 — — связанный с A 240 — циклический 247 ковариантное отображение 235 когерентная система 142 когерентные меры 158 кограница 239 кольцо аделей 94 — p-адических целых чисел 35 конгруэнцгруппа 376 конгруэнцгруппы эквивалентные 377 кондуктор 378 константное расширение 331 корень из единицы 15 — — — примитивный 15 левый порядок 261, 286 лежит над 76 — под 76 локальное поле 47 мера Тамагавы 161 многочлен Эйзенштейна 203 модуль автоморфизма 26

— поля 38 морфизм 15 — ограничения 237, 324 — переноса 323 мультипликативный характер 335 над 76 неразветвленная алгебра 273 неразветвленный квазихарактер 167 — характер 299 неразветвлено 40 норма 86, 212 — дробного идеала 130 — приведенная 232 нормальная решетка 263, 286 нормальный дробный идеал 286 — идеал 286 образ меры 66 определяющая группа 376 ортогональность 53 отделимость 15 открытый гомоморфизм 15 под 76 подобные алгебры 233 показатель дифференты 195 поле алгебраических чисел 74 — классов 309 — констант 116 — p-адических чисел 35 полиномиальная функция 86 полиномиальное отображение 85 полулинейность 72 пополнение поля 75 — — в точке 75 порядок 121 — ветвления поля 40 — левый 261 — правый 261 — характера поля 73 — элемента группы- 15 почти всюду 79 — для всех 79 правый оператор 16 — порядок 261, 286 представление 15 преобразование Фурье 151

— — обратное 152 приведенная норма 232 приведенный след 232 принадлежат одному классу (об алгебрах) 234 продолжение полиноминального отображения 86 проекция на квазисомножитель 94 простая алгебра 223 простое кольцо 16 простой многочлен 77 — элемент поля 38 — A-модуль 223 противоположная алгебра 226 разветвленная алгебра 273 ранг модуля 60 распределение Хербранда 209, 320 расширение Артина — Шрейера 252 — Куммера 252 — поля 331 регулярная норма 86 регулярное представление 86 регулярный след 86 регулятор поля 138 род поля 145 самодвойственная мера 152 сепарабельно алгебраически замкнутое поле 85 символ Артина 380 — Гильберта 253 система свободных образующих 137 — факторов 234, 239 — — тривиальная 239 — — циклическая 247 след 86 — приведенный 232 собственные вложения 82 собственный над K изоморфизм 82 стандартная функция 154, 156, 158 — — связанная с квазихарактером 184 степень дивизора 141 — полиномиальной функции 86 — точки 140

теорема об арифметических прогрессиях 386 — Римана — Роха 146 — Сколема — Нётер 229 топологическая двойственная группа 69 топологический коммутант 289 точка, лежащая над 76 — — под 76 — поля 75 — — бесконечная 75 — — вещественная 75 — — конечная 75 — — мнимая 75 точный модуль 223 треугольная матрица 266 тривиальная алгебра 234 — система факторов 239 тривиальный характер по модулю т 335 ультраметрическое неравенство 32 ультраметричность 32 унитарный гомоморфизм 15 — многочлен 14 формула произведения Артина 114 — суммирования Пуассона 153 фундаментальное множество 131 фундаментальный порядок 132 характер 15, 68 — базисный 72 — мультипликативный 335 — неразветвленный 299 — по модулю т 335 — — — — тривиальный 335 — порядка 335 — тривиальный 69 характеристика кольца 16 хаусдорфовость 15 хорошо разветвлено 197 целый 49 центральная алгебра 223 циклическая алгебра 251 — система факторов 247 циклический класс факторов 247

числитель дробного идеала 129 — элемента 129 число Тамагавы 275 эйлерово произведение 148 эквивалентные конгруэнцгруппы 377 — пополнения поля 75 — собственные вложения 82 эндоморфизм 15 эрмитова форма 269 A-поле 74 C-регулярное отображение 235

K-норма 51 K-решетка 56 k-решетка 124 L-представление 231 N-ортогональность p-адические числа 35 p-адическое нормирование 35 p-поле 37 Q-решетка 120 R-решетка 65