Лабораторный практикум по курсу ''Численные методы анализа''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

М.А.Тынкевич

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по курсу

“ЧИСЛЕННЫЕ

МЕТОДЫ АНАЛИЗА”

для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике» Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 2 от 27. 09 . 2001 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 1 от 27. 09 . 2001

Кемерово 2002

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

1

Лабораторная работа 1 Действия над приближенными величинами Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение. Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами. Пример. 1. F=(a2+b3)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001 Абсолютные погрешности исходных данных: ∆a=0.02 , ∆b=0.01, ∆t=0.0001. Относительные погрешности исходных данных: δa=0.02 / 28.3=0.00071, δb=0.01 / 7.45= 0.00135, δt=0.0001/ 0.7854=0.00013. Находим оценки с учетом, что δ(xy)~δ(x/y)<δx+δy, ∆(x±y)<∆x+∆y, δ(x±y)<max(δx,δy) и ∆f(x)~f’(x) ⋅∆x: { δ a2=2⋅δa=0.00142 ; ∆a2 =809.9⋅ 0.00142=1.15006 } ; a2 =800.9 b3 =413.5 { δ b3=3⋅δb=0.00405; ∆b3=413.5⋅ 0.00405=1.67468 }; a2+ b3=1214.4 { ∆ (a2+b3)= ∆a2+∆b3=2.82474; δ (a2+b3)= 2.82474/1214.4=0.00233}; Cos(t)=0.7071 {∆ (Cos(t))= (Cos(t))′⋅∆t=Sin(t) ⋅∆t ~0.00007 ; δ (Cos(t))=d/dt(lnCos(t))⋅∆t=Sin(t)/Cos(t) ⋅∆t ~0.0001 }; 2 3 F=(a +b )/Cos(t) = 1214.4 / 0.7071 = 1717.44 , δF~0.00233+0.0001~0.0024(~0.24%); ∆F~ 1717.44 ⋅0.0024~4.12. Воспользуемся универсальными оценками для функции u(X) нескольких переменных:

∂F ∂a

=

∆u = ∑ ∂u ∆x i , δu = ∑ ∂ ln( u) ∆x i i ∂x i i ∂x i ∂F a 2 +b3 ∂F 2a 3b 2 = = − sin( t ) =1717.4; =80.05; =235.48; cos( t ) cos( t ) ∂t ∂b cos 2 t

∆F =

∂F ∂F ∂F ∆a + ∆b + ∆t =4.1275; ∂a ∂b ∂t

δF=∆F /F =0.0024 (~0.25 %).

Так как ∆F =4 < 0.5⋅10n-m+1 (m - число верных знаков, n=3 – порядок числа 1717.4 ) = 0.5⋅103-m+1 =0.5⋅104-m =5⋅103-m при m≤3, то m=3 (к такому же выводу можно прийти непосредственно из значения δF) и F=172 ⋅101 (общая погрешность=погрешности исходных данных

2

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

(∆F) + погрешность округления (|1717.44-1720| )= 4+3=7). 2. F=(a2+b3) / Cos(t) , a~28.3 , b~7.45 , t~0.7854 , m=5. Находим a2 =800.9, b3 =413.5, Cos(t)=0.7071, a2+ b3=800.9+ 413.5 =1214.4, F=(a2+b3)/Cos(t) =1214.4 / 0.7071 =1717.4 (полагаем все эти 5 цифр верными). Относительная погрешность δF=10-(m-1)/(2a1)=10-4/(2×1) =0.00005, абсолютная погрешность ∆F=F× δF=1714.4× 0.00005=0.008572. Для использования принципа равных влияний x ⋅∆ F ∆xi = i ∑ xi ∂ F ∂ xi i находим a×(dF/da)=2a2/cos(t)=1601.9 / 0.7071=2265.45, b×(dF/db)=2b3/cos(t)= 827.0 / 0.7071=1169. 57, t×(dF/dt)=t×(a2+b3)/cos2(t)×sin(t)=0.7071×1214.4/ 0.7071=1214.4, знаменатель ~2265.45+1169.57+1214.4=4649.4 ; отсюда допустимая погрешность исходных параметров равна: ∆a=28.3 × 0.008572 / 4649.4=0.00005 ; ∆b=7.45 × 0.008572 / 4649.4= 0.00001; ∆t=0.7071×0.008572/4649.4= 0.000001.

Варианты заданий № 1

2

F(a,b,c)

a

1

b

c

m

ab ( a + b ) sin( 3c ) 3c 2 a + b arcsin( c ) a −b

2456 ±0.0005 0.02456

0.00078 ±0.00003 0.007823

0.008 ±0.00013 0.8348

5

1

0.2456 ±0.0005 0.02456

0.20078 ±0.00003 0.007823

0.008 ±0.00013 0.8348

5

0.12456 ±0.0005

0. 0078 ±0.00003

0.008 ±0.00013

2 a +b arctg ( c )

0.02456

0.007823

0.8348

1

0.2456 ±0.0005

0.20078 ±0.00003

0.008 ±0.00013

[

]

( a +b )c 3 ln( 1 + c ) a −b

2 c3 ( a − b )7 cos( ac ) 13

3

1

ab ( a 3 3c

+ b ) sin 2 ( c )

a −b

4

3

 ( a +b )c  ln( 1 + c 2 )  a −b 2 

4

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

3

2 c2 ( a − b )3 cos( ac 2 )

0.02456

0.007823

0.8348

5

1

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.078 ±0.0003 0.007823

0.2468 ±0.00013 0.835

4

0.2456 ±0.0005 0.02456

0.20078 ±0.00003 0.007823

0.008 ±0.00013 0.8348

5

a 2b ( 1 + b )Sin( 2c ) 3 c a + b ln( 1 + ac ) a −b

2456 ±0.0005 0.02456

0.00078 ±0.00003 0.007823

0.008 ±0.00013 0.8348

4

( a + b )c a −b

0.2456 ±0.0005 0.02456

0.20078 ±0.00003 0.007823

0.008 ±0.00013 0.8348

4

0.12456 ±0.0005 0.02456

0. 0078 ±0.00003 0.007823

0.008 ±0.00013 0.8348

4

0.2556 ±0.0005

0.50078 ±0.00003

0. 8 ±0.013

2 c 2 ( a − b ) cos( 1 + ac 2 ) 13

0.02456

0.007823

0.8348

4

1

0.2456 ±0.0005 0.02456

0.0078 ±0.00003 0.007823

8 ±1.23 0.8348

4

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

0.08 ±0.015 0.0348

5

0.2456 ±0.0005 0.02456

0.078 ±0.003 0.007823

8 ±1.25 0.8348

4

0.12456 ±0.0005

0.12078 ±0.00003

2.08 ±0.015

13

5

ab ( a + b ) 2 Sin( c ) 3c

2 a + b 2 arccos( c ) a −b

6

1

[

] ln( 1 + c )

( a + b )c 2 a −b

2 c 3 ( a − b )3 cos( a 2c ) 13 7

1 2

8

1 2

9

1 2

10

1

[

] ln ( 1 + c )

c 3 ( a − b )7 cos( ac ) 13 ab ( a + b )Sin( c ) 3 1+ c a + b arctg ( ac ) a −b 2  ( a +b 2 )c 

 a −b 2  11

2

2  ln( 1 + ac ) 

ab 2 ( a − b )Sin( cb ) 3 c

2 ( a + b )2

12

arcsin( ac ) a −b 1 a +b ( a 2 + b ) ln( 3 + c ) 3 a −b

2 13

1

a +b a −b ab 2 3 c

arccos( c )

Sin( cb ) + cb

2 c( a +b )2 14

1

+ arcsin( ac )

a −b a + b a ⋅ ln( a + c ) 3 a −b

4

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

2 15

1 2

16

1 2

17

18

19

20

1

a +b ( 1 + c + c 4 4! a −b

) lg( c )

a + b 2 a ⋅ ln( a + c ) 3 a −b a + a + b lg( ac ) a −b 2 a ⋅ ln( 2 a + c ) 3 a −b

2

a +b

1

a −b a + b a ⋅ ln( πc ) a −b

2

a + b lg(arccos( a + c )) a −b

2

− arcsin( a + c )

1

a +b ( a 2 ( ab )2

2

a + b ( 1 + a + c 4 ) lg( c ) 4! a −b a + b | sin(ln( a + c )) | ( a − b )2

1 2

21

a + b − arccos( a + c ) a −b a + b ( a − b ) ⋅ ln( a + c ) ( ab )2

− b ) ⋅ ln( a + c )

a + c ( 1 + c ) lg( bc ) a −b

1 a 2 +b ⋅ ln 2 ( a + c ) 2 ( ab )

2 a 2 +b ( 1 + bc ) lg( c )

0.02456

0.01823

0.0348

5

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 0. 348

5

0.1245 ±0.0005 0.02456

0.120 ±0.0003 0.01823

2.08 ±0.015 3.0148

4

0.12456 ±0.0005 0.2456

0.12078 ±0.00003 0.1823

2.08 ±0.015 0.0348

5

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 0.0348

5

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 0. 348

5

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 2. 348

4

0.12456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 0. 348

3

0.22456 ±0.0005 0.02456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 0. 348

3

0.12456 ±0.0005 0.12456

0.12078 ±0.00003 0.01823

2.08 ±0.015 2. 08

4

0.12456 ±0.0005

0.12078 ±0.00003

2.08 ±0.015

a −b

22

1 a −b 2 ⋅ ln( a + c ) 2 3

( ab )

2 a + b 2 ( 1 + c ) lg( c ) a −b

23

1 a −b 2 arctg(ln( a + c )) 2

2 24

( ab )2 a + b arctg (ln( a + c )) a −b

1 a 4 −b 4 ln(sin( a + c )) ( ab )2

5

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

2 25

1 2

a + b ln(sin( a + c )) a −b ln( a + b ) 2

( a − b ) ⋅ ln( ac )

( ab ) ln( a + b ) ( 1 + c ) ln( ac ) a −b

0.02456

0.01823

0. 348

5

0.12456 ±0.0005 0.12456

0.12078 ±0.00003 0.11823

2.08 ±0.015 2. 08

5

P.S. Если трансцендентные функции (sin, ln и т.п.) вычисляются с помощью библиотек компьютерных сред (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или калькулятора, погрешностью метода можно пренебречь (но не погрешностью исходных данных или округления).

Лабораторная работа 2 Пределы последовательностей и степенные ряды Задание 1. Найдите оценки пределов последовательностей {an},{bn}, если они существуют, с точностью ε.=10-2 и соответствующие порядковые номера N(ε). Изобразите графически характер поведения этих последовательностей. Найдите аналитическим путем истинное значение предела и порядок сходимости. Задание 2. Выберите любую из приведенных последовательностей c нулевым пределом и найдите сумму соответствующего ряда при n=1,2,... с точностью ε.=10-4 (или покажите, что ряд расходится) . Варианты заданий №

an

1

3 n /( 3 + n1 )n 2

bn (-1)n (1cos(1/n)) n

2

2

arctg(n )

(-1) n/(n +1)

3

1 /( 1 + n1 )n

( −1 )n ( n − n − 1 )

4 5

6 n2 +5 n3 +1 2

arctg(n +1)

(-1)n (1-21/n) ( −1 )n + 1 ( 2 n −1 )( 2 n −1 )!

№ 1 4 1 5

an 1 n

bn 1

sin( n1 )

( 2π )n n! ( 2 n )!

1 6 1 7

1 /( 1 + 2n )n

1 8

( −1 )n +1 e − 2 n

1

n

n n +1

arctg(n2+1/n) 1

3 6

n +2

1 n

n⋅ln( πn ) 2

cos( n1 ( −1 ) n ) 1 ( 2 n − 1 )2

6

6 7 8 9 10 11 12

Лабораторная работа 2 . Пределы последовательностей и степенные ряды

1 − ln n + 2 n +1 n +1

( 2 n )! 2n

( 2π )

n!

1 sin ( −1 ) n n n+1

(-1)

ln(1+(1+n)1/n )

3

1

n

n+ 2

13 arcsin(1-1/n2)

/n

n⋅sin(2/n)

1

1

n+ 2

n sin(5/n)

2

e

2 / ln(12n-2) 1

n

1

3

n

n

n +2

n⋅ln( n ) n 3 + 2 n + 50

(1+

2 3 )n n2

1 9 2 0 2 1

n

∑ k1 − ln( n )

k =1

( −1 )n +1 ( 2 n −1 )

2 2 2 3 2 4 2 5

6 ( n −1 )( 5 n + 2 ) ( n +1 )( n + 3 )

2

e

−( 2 n −1 )2 π

2 8

(-1)n+1 /nn 1 n 1 n

n ( −1 ) n +1 5n!

tg( n1 )

− ln( 1 + n1 )2 n

( − )n n!( n1+1 )!

n ⋅ sin n1

( −1 )n ( 2 n +1 )( 2 n −1 )!

ln( n )

n3

( 3π )n n! ( 3 n )!

1

n 2 ⋅ln n

( −1 )n ( π / 2 )2 n ( 2 n )!( 4 n + 1 )

Лабораторная работа 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений Задание 1. Выполните обращение матрицы А и решение системы АХ=В методом Гаусса по любой из известных схем, ограничиваясь в записи чисел тремя знаками после запятой. Получите решение той же задачи в среде MatLab и сравните полученные результаты. Приняв найденное методом Гаусса решение за начальное приближение, выполните его уточнение до 4-5 знаков любым из итерационных методов. Задание 2. Решите систему СХ=D . Для несимметрической С воспользуйтесь методом Краута, для симметрической – методом квадратных корней. Сопоставьте полученные решения (треугольные матрицы и оценки Х) с получаемыми стандартными средствами MatLab. Варианты заданий

7

Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений

№

A

B

C

D

1

1 0.47 -0.11 0.42 1 0.35 -0.25 0.67 1 0.54 -0.32 -0.74

0.55 0.17 0.36 1

.1.33 1.29 2.11 0.10

1 2 3

2 3 5

3 5 9

13 4 17

2

0.63 0.17 0.31 0.58

1 0.11 0.34 1.18 -0.45 0.11 -0.15 1.17 -2.35 0.21 -3.45 -1.18

2.08 0.17 1.28 0.05

1 1 1

2 4 8

3 9 27

0.55 1.35 3.55

3

0.77 0.04 -0.21 -0.45 1.23 -0.06 -0.26 -0.34 1.11 -0.05 0.26 -0.34

0.18 0 0 1.12

1.24 -0.88 0.62 -1.17

0.42 1.43 0.27

1.43 0.27 -0.84 0.93 0.93 -0.48

1 2 3

4

0.79 -0.12 0.34 -0.34 1.18 -0.17 -0.16 -0.34 0.85 -0.12 0.26 0.08

0.16 0.18 0.31 0.75

-0.64 1.42 -0.42 0.83

0.64 0.54 -0.33 0.54 -0.92 0.24 -0.33 0.24 0.78

3 2 1

5

-0.68 -0.18 0.02 0.21 -1.83 0.16 -0.88 -0.14 0.27 0.65 0.37 0.27 -1.02 -0.24 -2.23 0.12 0.21 -0.18 -0.75 1.13

0.5 0.84 0.24

1.77 1.79 1.03

0.39 0.95 -0.41

1.5 2.5 3

6

-0.58 -0.32 0.03 0 -0.44 0.11 -1.26 -0.36 0 -1.42 0.12 0.08 -1.14 -0.24 0.83 0.15 -0.35 -0.18 0 1.42

0.19 0.51 0.86

0.51 0.32 0.95

0.86 0.95 -0.12

0.35 0.42 0.45

7

-0.83 0.31 -0.18 0.22 1.71 -0.21 -0.67 0 0.22 -0.62 0.32 -0.18 -0.95 -0.19 0.89 0.12 0.28 -0.14 -1 -0.94

0.64 1.54 -0.33 1.54 -0.92 0.24 -0.33 0.24 0.78

0.3 0.2 0.1

8

-0.87 0.27 -0.22 -0.18 -1.21 -0.21 -1. -0.45 0.18 0.33 0.12 0.13 -0.33 0.18 0.48 0.33 -0.41 0 -1 1.21

0.55 0.84 0.24

1.77 1.79 1.03

0.39 0.95 -0.41

1.5 2.5 3

9

-0.81 -0.07 0.38 -0.21 -0.22 -0.92 0.11 0.33 0.51 -0.07 -0.81 -0.11

0.59 0.84 1.24

1.77 1.79 1.03

1.39 0.95 -0.41

1.5 2.5 3

0.81 0.64 1.71

8

Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений

0.33

-0.41

0

10

-1 0.38 0.11 0.17

0.22 -0.11 0.31 -1 -0.12 0.22 0.23 1 -0.51 -0.21 0.31 -1

11

-0.93 -0.08 0.11 -1.18 0.51 0.18 -0.48 0 0.21 -1.17 0.13 0.31 -1 -0.21 1.02 0.08 0 -0.33 -0.72 0.28

-0.93 -0.08 0.18 -0.48 0.13 0.31

0.11 0 -1

1.18 0.21 0.21

12

-0.95 -0.06 -0.12 0.04 -1.12 0.08 0.11 0.12 0 0.34 0.08 -1.06

0.14 0.11 1.03 0.14

2.17 1.4 0.8 2.1

-1 -0.07 0.21 1 0.03 -0.42 -0.03 1 -0.04

0.92 0.92 1.2

13

0 -0.19 0.27 -0.88 -0.33 -1 -0.07 0.21 0.11 0 1.03 -0.42 -0.92 -0.03 0 -0.04

1.2 0.92 0.92 1.2

-1 0.07 0.21

0.92 0.92 1.2

14

-0.88 -0.23 0.25 -0.16 1.24 0.33 0.03 -0.84 -0.32 -1.15 0.14 -0.66 -0.18 0.24 0.89 0.12 -0.05 0 -0.85 0.57

0.08 -0.12 -0.77 0.32 0.25 0.22 0.14 -1 -0.77 -0.14 0.06 -0.12

15

0.12 -1 0.32 -0.18 0.72 0.08 -0.12 -0.77 0.32 0.58 0.25 0.22 0.14 -1 -1.56 -0.77 -0.14 0.06 -0.12 -1.21

0.08 0.25 -0.77

0.25 0.22 0.14

16

-0.86 0.23 0.12 -1.14 0.16 0.24 0.23 -0.08

1 2 3

2 4 9

3 9 5

0.55 0.35 0.55

1 1 1

2 4 8

4 16 64

0.55 1.35 3.55

0.18 0.08 -1 0.05

-1

1.21 -2.7 1.5 1.2 0.17

0.17 1.42 0.09 0.83 -0.35 -1.21 -0.75 -0.65

17

76 12 16 23

21 -114 24 -8

6 8 -100 5

-34 9 -35 -75

-142 83 -121 85

18

-83 5 9 13

27 -68 54 27

-13 13 127 34

-11 24 36 156

142 26 23 49

1.42 1.43 0.27

1.43 0.27 -0.84 0.93 0.93 -0.48

-0.07 0.21 0.03 -0.42 0.42 -0.04

0.1 0.2 0.3

-0.77 0.32 0.14 -1 0.06 -0.12

0.64 0.53 -0.33 0.53 -0.92 0.23 -0.33 0.23 0.78

3 2 1

9

Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений

19

1 2 3 9

20

-1 0.52 0.17 0.11

21

2 1 9 1

3 9 1 3

9 4 4 4

1.11 1.16 1.24 1.55

5 3 1

3 5 3

1 3 5

11 17 19

0.28 -0.17 0.06 -21 -1 0.12 0.17 117 -0.18 -0.79 0 0.81 0.22 0.03 -0.95 -0.72

11 12 13

12 13 15

13 15 19

13 4 17

76 12 16 23

21 -114 24 -8

6 8 -100 5

-34 9 35 -75

142 83 121 85

1 2 3

2 4 6

4 7 14

0.55 1.35 3.55

22

-83 5 9 13

27 -68 54 27

-13 13 127 34

-11 24 36 156

142 26 23 49

23

25 5 3 4

3 4 25 5

5 3 4 25

4 25 5 3

1.11 1.16 1.24 1.55

24

0.12 -1 0.32 -0.18 0.72 0.08 -0.12 -0.77 0.32 0.58 0.25 0.02 0.14 -1 -1.56 -0.77 -0.14 0.06 -0.12 -1.21

25

-0.86 0.23 0.12 -1.14 0.16 0.24 0.23 -0.08

0.18 0.08 -1 0.05

0.17 1.42 0.09 0.83 -0.35 -1.21 -0.75 -0.65

1.64 0.53 -0.33 0.53 -0.92 0.23 -0.33 0.23 1.78 15 13 11

13 15 13

0.08 0.25 -1.77

0.25 0.22 0.14

11 21 31

21 41 91

11 13 15

3 2 1 11 17 19

-1.77 0.32 0.14 -1 0.06 -0.12 31 91 51

0.55 0.35 0.55

Лабораторная работа 4 Решение нелинейных уравнений Задание 1. Выполните отделение корней с использованием аналитических оценок и найдите один из корней методами дихотомии и хорд с относительной погрешностью до 0.1% . Сравните объем вы-

10

Лабораторная работа 4 . Решение нелинейных уравнений

числений при использовании указанных методов. Задание 2. Выполните отделение корней с использованием графической оценки и найдите один из корней методами Ньютона и простой итерации с относительной погрешностью до 0.1% . Сравните объем вычислений при использовании указанных методов. Задание 3. Выполните решение системы уравнений методом Ньютона с точностью 0.0001 . Наряду с “ручным” решением представьте решения, получаемые стандартными средствами MatLab. Варианты заданий №

1

2

3

1

3x4+4x3-12x2-5=0

ln(x)+(x+1)3=0

2

2x3-9x2-60x+1=0

x⋅2x=1

3

x4-x-1=0

x+cos(x)=1

4

2x4 - x2-10=0

x+lg(1+x)=1.5

5

3x4+8x3+6x2-10=0

lg(2+x)+2x=3

6

x4 -18x2+5x-8=0

2x+5x-3=0

7

x4+4x3-12x2+1=0

5x+3x =0

8

x4 - x3-2x2+3x-3=0

3ex=5x+2

9

3x4+4x3-12x2+1=0

5x=6x+3

10

3x4-8x3-18x2+2=0

2ex+5x-6=0

2x4-8x3+8x2-1=0

2arctg(x)-x+3=0

12

2x4+8x3+8x2-1=0

(x-3) ⋅ cos(x)=1

13

x4-4x3-8x2+1=0

xx= 20-9x

sin(x+1)-y=1.2 2x+cos(x)=2 tg(xy+0.4)= x2 0.6 x2 +2 y2=1 cos(x-1)+y=0.5 x-cos(x)=3 sin(x)+2y=2 cos(y-1)+x=0.7 cos(x-1)+y=1 sin(y)+2x=1.6 sin(x+1)-y=1 2x+cоs(y)=2 sin(x-y)-xy=0 x2- y2=0.75 sin(x+y)-1.5xy=0 x2+ y2=1 sin(x-y)- xy+1=0 x2- y2=0.75 y=1/(x3/2+1) x2+ y2=9 x2+ y2=9 y=1+ e-x x2+ y2=5 y=1-2 e-xy x2+ y2=5 y= e-xy

11

Лабораторная работа 4 . Решение нелинейных уравнений

14

2x4-9x3-60x2+1=0

x⋅ lg(x)=1

15

x5 +x2-5=0

tg3x=x-1

16

3x4+4x3-12x2-7=0

5x =1+e-x

17

3x4+8x3+6x2-11=0

5x =3-ex

18

x4 -18x3-10=0

arctg(x2+1/x)=x

19

3x4-8x3-18x2+2=0

tg(0.55x+0.1)=x2

20

x4 -18x -10=0

5x-6x =7

21

x4 +18x -10=0

5x-6x =3

22 23

x4 +18x3-6x2+x10=0 5 x +12x3-6x2+x10=0

5x =1+e-2x 7x-6x =2

24

3x5-8x3-18x2+2=0

5x =2+e-2x

25

x3 -18x -10=0

x⋅ 2x=3

11

sin(x-0.6)-y=1.6 3x-cos(y)=0.9 x2+ y2=6 y= e-x x3+ y3=6 y= e-x x4+ y4=5 y= e-x x2+ y2=1 sin(x+y)=1.2x x2+ y2=1 sin(x+y)=0.2+x x+cos(y-1)=0.8 y- cos(x)=2 x2+ y2=1 x3+ y3=2 x2+ y2=1 x - y3=0.5 x3+ y3=8 y=x3/2 x3+ y3=8 y=1+x3/2 x3+ y3=8 y=1-x3/2

Лабораторная работа 5 Аппроксимация функций Задание 1. Выберите таблицу 11 значений функции f(x), начиная с узла, равного номеру вашего варианта. Постройте таблицы конечных разностей. Выполните экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы. Задание 2. Для выбранной таблицы постройте интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найдите значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы. Задание 3. Для выбранной таблицы возьмите значение х в окрестности центрального узла таблицы и найдите значение f(x) с помощью формул Ньютона интерполирования вперед и назад. Найдите

12

Лабораторная работа 5 . Аппроксимация функций

оценку f′(x) и f″(x) с погрешностью, не превышаюшей O(h2). Задание 4. Для выбранной таблицы выполните квадратичную сплайн-интерполяцию (по 6 узлам). Проконтролируйте полученные оценки для промежуточных узлов. Задание 5. Считая выбранную таблицу заданной для диапазона от 0 до 2π, выполните среднеквадратическую аппроксимацию тригонометрическим многочленом (отрезком ряда Фурье) третьей степени. Задание 6. Для выбранной таблицы выполните аппроксимации алгебраическими многочленами различной степени и оцените их качество по отношению остаточного и исходного среднеквадратичного отклонений. Варианты заданий x

y(x)

x

y(x)

x

y(x)

x

y(x)

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3

0 0,324097 0,643881 0,922415 1,1253 1,224745 1,20301 1,054847 0,788625 0,425989 4,62⋅10-5 -0,44776 -0,87178 -1,2269 -1,47335 -1,58114 -1,53356 -1,3294 -0,98363 -0,52634 -0,00011 0,543966 1,051358 1,469572

4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3

0,000196 -5,19505 -10,3689 -14,959 -18,4126 -20,25 -20,1243 -17,8711 -13,5425 -7,41942 0 8,037451 15,89357 22,72513 27,73269 30,25 29,82532 26,2854 19,77381 10,75785 0,001176 -11,4973 -22,5932 -32,1089

7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3

0,00018 0,856485 1,640842 2,27459 2,692863 2,851227 2,730379 2,338403 1,710348 0,905108 -9,6⋅10-5 -0,91714 -1,75557 -2,43156 -2,8763 -3,04297 -2,91168 -2,49175 -1,82115 -0,96308 -10-13 0,97427 1,863736 2,579679

10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3

0,000108 -1,02845 -1,96638 -2,72032 -3,21408 -3,3964 -3,24618 -2,77495 -2,02598 -1,07035 -0,00023 1,080087 2,064282 2,854531 3,37121 3,560925 3,402017 2,90698 2,121544 1,120452 0,000357 -1,12952 -2,15806 -2,98314

Лабораторная работа 5 . Аппроксимация функций

3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 x 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 13,7 13,8 13,9 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 14,7 14,8 14,9 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,6 15,7 15,8 15,9 16,0 16,1 16,2 16,3

1,753617 1,870829 1,804553 1,556275 1,145949 0,610438 y(x) -0,00055 0,447264 0,871348 1,226577 1,473176 1,581139 1,533737 1,329751 0,984119 0,526919 0,000735 -0,54336 -1,05084 -1,46919 -1,75341 -1,87083 -1,80476 -1,55668 -1,14651 -0,61111 -0,00091 0,624825 1,203832 1,677044 1,994648 2,12132 2,040105 1,754519 1,288629 0,685062 0,001095 -0,6968 -1,33944 -1,86182

6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 x 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 17,6 17,7 17,8 17,9 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 18,7 18,8 18,9 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 19,7 19,8 19,9 20,0 20,1 20,2 20,3

-38,9547 -42,25 -41,4287 -36,3182 -27,1814 -14,7151 y(x) -0,00128 0,761981 1,462508 2,029831 2,405585 2,549509 2,443738 2,094918 1,533913 0,8131 0 -0,06906 -0,20633 -0,36975 -0,52416 -0,63728 -0,68247 -0,64188 -0,50883 -0,28908 -0,00059 0,328168 0,661197 0,95903 1,183327 1,301545 1,29113 1,142726 0,86201 0,46989 0,000974 -0,49956 -0,98043 -1,38957

9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 x 21,0 21,1 21,2 21,3 21,4 21,5 21,6 21,7 21,8 21,9 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 22,5 22,6 22,7 22,8 22,9 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 23,8 23,9 24,0 24,1 24,2 24,3

3,049516 3,224158 3,083118 2,636854 1,926069 1,01801 y(x) -0,00133 0,643412 1,250753 1,757043 2,106558 2,257585 2,187247 1,894532 1,401147 0,750042 0,001688 -0,77156 -1,49251 -2,08686 -2,49087 -2,6582 -2,56506 -2,21332 -1,63099 -0,87009 -0,00046 0,309544 0,591083 0,816324 0,962789 1,015605 0, 969005 0,826959 0,602835 0,318152 0,000505 -0,3191 -0,60929 -0,84138

12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 x 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 25,5 25,6 25,7 25,8 25,9 26,0 26,1 26,2 26,3 26,4 26,5 26,6 26,7 26,8 26,9 27,0 27,1 27,2 27,3 27,4 27,5 27,6 27,7 27,8 27,9 28,0 28,1 28,2 28,3

13

-3,52184 -3,71872 -3,55153 -3,03371 -2,21331 -1,16858 y(x) -0,00055 0,328549 0,627288 0,866148 1,021332 1,077122 1,027476 0,876673 0,638952 0,337172 -0,00055 0,328549 0,627288 0,866148 1,021332 1,077122 1,027476 0,876673 0,638952 0,337172 0,000606 -0,33789 -0,64508 -0,89064 -1,05011 -1,10737 -1,05623 -0,90112 -0,65672 -0,34653 -0,00066 0,347125 0,662688 0,914876

14

Лабораторная работа 5 . Аппроксимация функций

16,4 16,5 16,6 16,7 16,8 16,9

-2,20969 -2,34521 -2,25098 -1,93222 -1,41658 -0,7518

20,4 20,5 20,6 20,7 20,8 20,9

-1,67979 -1,8141 -1,77023 -1,54364 -1,14883 -0,6186

24,4 24,5 24,6 24,7 24,8 24,9

-0,99223 -1,04654 -0,99841 -0,85196 -0,62099 -0,32771

28,4 28,5 28,6 28,7 28,8 28,9

1,078594 1,137301 1,084682 0,925319 0,674301 0,355793

Лабораторная работа 6 Численное интегрирование Задание 1. Выберите интегралы в соответствии с вашим вариантом.. Задание 2. Для первого из выбранных интегралов найдите оценки: - по формулам прямоугольников (с центральным узлом) b

N

a

i =1

∫ f ( x )dx ≅ h ∑ f ( a + 2i2−1 h ),

h = bN−a ,

- трапеций

f ( a ) + f ( b ) N −1 + ∑ f ( a + ih ), ∫ f ( x )dx ≅ h [ 2 i =1 a

b

h = bN−a ,

- Симпсона b

N−1

a

i=1

∫ f ( x )dx ≅ h[ f ( a ) + f ( b ) + ∑ f ( a + ih ), h = bN−a ,

- Гаусса b

∫ a

N

f ( x )dx ≅ b−a ∑ C i f ( a +b + b−a t i ) 2 i =1 2 2

(например, при N=5 - C1 = C5 = 0.23693, C2 = C4 = 0.47863, C3 = 0.56889, -t1 = t5 = 0.90618, -t2 =t4 = 0.5384693, t3 = 0) при фиксированном числе разбиений интервала N (например, N=5). Попытайтесь найти точное его значение по формуле НьютонаЛейбница b

∫ f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ),

F ′(x) = f(x) .

a

Задание 3. Для второго из выбранных интегралов найдите оценку с заданным числом верных знаков (не менее 6) по формулам Симпсона и Гаусса в системе двойного пересчета, оцените соответствующие объемы вычислительной работы и объясните причины обнаруженных явлений.

Лабораторная работа 6 . Численное интегрирование

15

Задание 4. . Для второго из выбранных интегралов найдите оценку с заданным числом верных знаков (не менее 6) по 8точечной формуле Ньютона-Котеса в среде MatLab с помощью функции quad8. Варианты заданий 1

1 .6

∫

π

∫

π

4

0 1

0 .5 1

tg ( x +0.5 ) − x e dx x 0 .5 1 cos( x ) − x ∫ x 2 +1 e dx 0 .5 1 cos( x 2 + 2 ) dx ∫ x 0 .5 1 ln( x +1 ) − x ∫ x e dx 0 1 2 ln ( x +1 ) − x ∫ x e dx 0 1 ln( x +1 ) − x 2 ∫ x e dx 0

x 2 +π dx

∫

x 2 +π 2

2 −x ∫ x e dx

0 .5

5

1

2

3 −x ∫ x e dx

0.

6

0.6

2 ∫ x ⋅ tg ( x + 1 )dx

0

7

1

x +1

∫

2

x +1

0

8

1

9

0 1

10

∫

∫

0 1

∫

0

11

x +1 x 2 +4 x +1 2

x +4 x 2 +1 x2 +4 1

∫

0

12

1

e − x dx

sin( πx )dx

0.5

2 ∫ x ⋅ tg( x + 1 ) ln( x + 1 )dx

0

1

cos( πx )dx

x +1

∫

x2 +4

0

cos( πx )dx

1

∫

0

arctg ( x ) 2

x +1

dx

x +1 x 2 +4 1

∫

0 −x

∫ x ⋅ ( 2 − x )e dx

0

sin( x + 2 ) dx x

∫

dx

0

3

∫( x + 1)

2 x 2 +1

0.8

2

1

dx

1

arctg ( x )dx

cos( πx )e − x dx

x 2 +1 x 2 +4

ln 22+− xx dx

3 x ∫ x ⋅ ( 2 − x )e dx

0

16

Лабораторная работа 6 . Численное интегрирование

13

1

0 .9

dx ∫ 1− x 2 0

14

0 1

1

x ∫ x ⋅ ( 2 + x )e dx

π

∫

0 xx

0

16

arctg ( x ) sin( πx ) e dx x

∫

0

15

π

∫ dx cos x( 1+ cos x )

dx

1+ x x

arctg ( x ) − x e dx x

∫

0

π

0.5

2 ∫ x ⋅ tg ( x + 1 )dx

∫ dx 1+ln( x )

0

π

17

e− x

∫

0

π

18

∫

dx

1

19

1

0 .5

∫

1− x 2

21

0 .5

∫

0

2π

22

∫

x − 1− x 2

∫

0

25

2

1− x

∫

0 .5

2

1 x 2 ⋅ln( 1+ 2 x ) 1+ 2 x

1− x 2

e

dx

1+ sin( x )dx

e

dx

x 2 ∫ x ⋅ tg ( x + 1 )dx

dx

0 2π

∫ sin( x ) ⋅ e

dx

dx

e− x

1− x 2

0 0 .6

0 0 .5

∫ cos( 9 ⋅ arccos x )dx ∫

x( 1+ ln( x ))dx

sin( x ) −( 1+ x )

∫

0 .5

0

arcsin( x ) − x

π

∫

0 .5

−x

1+ e − x

sin( x ) −( 1+ x )2 1− x 2

0

0

26

∫

1 0 .5

− x dx

0 x + 1− x 0 .5 arcsin( x )

24

−x

0

∫

1+ e

∫e

dx

e− x

0 0 .5

23

1− x 2

dx

−0.5

sin( x )

dx

x( 1+ln 2 ( x ))

π

dx

1+ e − x

−x

1

dx

arcsin( x )+1

0

∫e

x( 1+ln( x ))

−x

0

π

x 2 +4

0

∫e

− x dx

x +1

∫

20

1+ e

π

1

2

e

dx

dx

1+ x ⋅ cos( 7 ⋅ arccos x )dx ∫e

0

17

Лабораторная работа 6 . Численное интегрирование

27

π

∫

ln( x )dx

1

28

x( 1+ln 2 ( x ))

1 x 3 ⋅ln( 1+ 3 x )

∫

1+ 3

0

29

3

∫

0

30

0.75

2

x

∫

sin 2 ( x ) −( 1+ x ) 1− x 2

0

e

dx

1

x x ∫ x ⋅ tg ( x )dx

dx

0

arcsin( x ) 1− x

2

1 x x ⋅ln( 1+ x x )

∫

dx

0

0 .5

1

0

0

∫ cos( 13 ⋅ arccos x )dx

1+ x x

dx

x x ∫ x ⋅ ln( 1 + x )dx

Лабораторная работа 7 Поиск собственных значений и векторов Задание 1. Выберите матрицу 3-го порядка, приведенную в задании 3. Задание 2. Постройте характеристическое уравнение AX=λX; известными вам методами найдите его решения и постройте соответствующие собственные векторы. Задание 3. Для выбранной матрицы найдите максимальное по модулю собственное число и соответствующий собственный вектор степенным методом (в случае симметрических матриц - методом скалярных произведений). При выборе начального приближения результатами задания 2 не пользоваться. Можете ограничиться 1%ой точностью (покажите результаты первых 10 итераций). Задание 4. Выполните построение характеристического многочлена в среде MatLab с помощью функции poly(A), найдите его корни обращением к функции roots(P) и постройте соответствующие собственные векторы. Задание 5. Найдите решение задачи посредством функции поиска собственных чисел и векторов [X,λ] =eig(A). Задание 6. Ознакомьтесь со специальным средством MatLab для решения полной проблемы собственных значений, состоящей в поиске значений параметра λ, при которых существуют ненулевые решения системы уравнений (A0+λA1+λ2A2+...+λpAp)⋅X=0,

18

Лабораторная работа 7. Поиск собственных значений и векторов

где A0, A1, A2, ... Ap – n-мерные квадратные матрицы: [X, λ]=polyeig(A0, A1, A2, ... Ap) , где λ - вектор собственных значений (n×p), X- матрица собственных векторов размерности n× (n×p). При р=0 polyeig(A )≡ eig(A), при n=1 - polyeig(A0, A1, A2, ... Ap) ≡ roots(Ap, Ap-1,... A0). Например, a= 1 2 3 1

[r,d]=polyeig(a)

r = 0. 6324 0.7745 0.6324 0.7745

d = -1.4494 3.4494

Решите задачу при р=1, где А0 – выбранная матрица и A1 - единичная. Проверьте правильность полученных решений..

Лабораторная работа 8 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Задание 1. Рассмотрите задачу, состоящую в поиске решения dy

обыкновенного дифференциального уравнения dt = f ( t , y ) для t от t0 до tk с шагом ∆t при начальном условии y(t0)=y0 (задачу Коши). Выясните возможность аналитического решения задачи. Задание 2. Для выбранной задачи выполните решение модифицированным методом Эйлера y n+ 1 = y n + ∆2t ⋅ f ( t n , y n ) 2

y n+1 = y n + ∆t ⋅ f ( t n+ 1 , y n+ 1 ), n = 0 , 1, 2 , ... 2

2

и методом Рунге-Кутты y n+1 = y n + 61 ⋅ [ k 1 + 2 ⋅ k 2 + 2 ⋅ k 3 + k 4 ], k

k 2 = ∆t ⋅ f ( t n + ∆2t , ∆ , y n + 21 ),

k 1 = ∆t ⋅ f ( t n , y n ), k

k 3 = ∆t ⋅ f ( t n + ∆2t , y n + 22 ), k 4 = ∆t ⋅ f ( t n + ∆t , y n + k 3 ) с фиксированным шагом ∆t (значение ∆t возьмите равным десятой доле интервала интегрирования) . Задание 3. Любым из вышеуказанных методов найдите решение с заданной точностью в системе двойного просчета и сопоставьте с полученным в задании 2. Задание 4. Выполните решение задачи в среде MatLab стандарт-

Лабораторная работа 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 19

ными средствами (например, функцией odu45); нарисуйте график найденного решения. Задание 5. Рассмотрите задачу выравнивания цен по уровню актива в следующей постановке[2,4]. Предположим, что изменение уровня актива у пропорционально разности между предложением s и спросом р, т.е. y’=k(s-d), k>0, и что изменение цены z пропорционально отклонению актива у от некоторого уровня y0, т.е. z’=-m(y-y0), m>0. Естественно, что предложение и спрос зависят от цены, например, s(z)=az+s0, d(z)= d0 - cz. Соответственно возникает система дифференциальных уравнений y’ = k⋅(s(z)-d(z)) z’ = - m⋅ (y-y0) , относящаяся к т.н. автономным (или динамическим), ибо независимая переменная в систему явно не входит; линия y=y(t), z=z(t) определяет фазовую кривую (траекторию) системы в параметрическом задании (гладкую кривую без самопересечений, замкнутую кривую или точку), которая позволяет судить об устойчивости системы. Пример. Вычисление правых частей оформляем функцией: function f=odu2(t,X) y=X(1); z=X(2); a=20; c=10; s0=10; d0=50; k=0.3; s=a*z+s0; d= d0-c*z; y0=19; f(1)=k*(s-d) ; f(2)=-m*(y-y0); f=f';

Если выполнить решение при y0= 19, z0=2

» [T,Y]=ode45('odu2', [0:0.3:9],[19 » [T Y] » plot(T,Y)

m=0.1;

2]);

будет выведена таблица значений искомых функций ans =

0 0.30000000000000 0.60000000000000 0.90000000000000 1.20000000000000 1.50000000000000

19.00000000000000 20.77579841500000 22.41015259082511 23.76867894580835 24.74271295061668 25.25696216194586

2.00000000000000 1.97318165951000 1.89494628346288 1.77145673174048 1.61260089471649 1.43132879958977 ...

и их графики (рис. 1). Если же предварительно установить опции построения двумерного фазового портрета (функция odephas2) и номера соответствующих пе-

ременных состояния » opt=odeset('OutputSel',[1 2], 'OutputFcn','odephas2');

20 Лабораторная работа 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

2 30

1.8 25

1.6 20

1.4 15

1.2

10

1

5

0

0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.6 12

9

14

16

Рис.1 » [T,Y]=ode45('odu2', [0:0.3:9],[19

18

20

22

24

26

Рис.2 2],opt);

то будет выведен фазовый портрет системы, свидетельствующий о ее устойчивости – гармонии между активом и ценами (рис.2). Выясните, как сказывается на решении соотношение между d0 и s0.

Варианты заданий №

f(t,y)

1

t 3 ⋅ cos

2

ln t ⋅ cos 3

3

− t ⋅ tg 3

4

ln t / sin 2

5 6

y 5

y

y

ty 2

t −4 ty 2 2

t −4

y 3

t0

tk

y0 №

f(t,y)

t0

tk

y0

0

1

3

14

ln t ⋅ sin 3y

1

2

0

1

2

0

15

0

0.5

1

0

2

1

16

y 2t

0

2

1

1

2

0

17

ye −2 t

0

1

1

2

3

1

18

tye −2t

0

1

1

2

3

1

19

t 2 ye −2t

0

1

1

π/4 1

1 1

20 21

tg(t)/y y2t2

0 0

π/4 1

1 1

y

1− t 2

7 8

tg(t)/y2 ye 2t

0 0

9

y 11+−tt

0

1

1/e 22

y2/t2

1

3

1

10

t2 y 1+t

0

1

1/e 23

y ln(t) / t

1

3

1

11

33 y 2

0

1

y2 ln(t) / t

1

3

1

0

24

Лабораторная работа 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 21

12

t ⋅ 2 −t 2 y ( 1−t )2

13

t 3 sin

y 5

0

0.9

0

25

yet / 2

0

1

2

0

1

3

26

ctg(t)/y2

π/4

π/2

1

Лабораторная работа 9 Методы оптимизации Задание 1. Выберите функцию из заданий к лабораторной работе 4, постройте ее график средствами MatLab’а в разумном диапазоне для поиска точек ее экстремумов (наибольшего и наименьшего значений) с заданной точностью (порядка 5 верных знаков) . Задание 2. Для выбранной функции найдите наибольшее значение взятием производной и решением возникающего уравнения f’(x)=0. Задание 3. Для выбранной функции найдите наибольшее значение методом чисел Фибоначчи. Задание 4. Для выбранной функции найдите наименьшее значение методом наискорейшего спуска. Задание 5. Рассмотрите решение поставленных задач стандартными средствами оптимизации MatLab’а.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Тынкевич М.А. Численные методы. – Кемерово: КузГТУ. 1997. – 122 c. 2. Тынкевич М.А. Система MATLAB.Справочное пособие к курсу “Численные методы анализа”– Кемерово: КузГТУ. 2001. – 47 c. 3. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. В 2-х т. –M.: ДИАЛОГ-МИФИ. 1999. – 670 c. 4. Плис А.И., Сливина Н.А. MATHCAD 2000. Практикум для экономистов и инженеров. -M.: Финансы и статистика. 2000. – 656 c. 5. Бахвалов Н.С. , Жидков Н.П. , Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука ,1987. 6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. 7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980.

21

Лабораторная работа 9. Методы оптимизации

8. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990. 9. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972. 10. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. –М.-СПб.-Киев: Вильямс, 2001.

Составитель Моисей Аронович Тынкевич Лабораторный практикум по курсу “Численные методы анализа” для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике»

ЛР № 020313 от 23.12.96 Подписано в печать 29.10. 2001. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 150 экз. Заказ 437. Отпечатано на ризографе. Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д.Бедного, 4А.