Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью

Алгебра и логика, 43, N 5 (2004), 551—564

УДК 512.552

КВАЗИАССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ С ПРОСТОЙ АРТИНОВОЙ НУЛЕВОЙ ЧАСТЬЮ∗) Х. АЛЬБУКЕРКЕ, А. П. САНТАНА Введение

В данной статье доказывается, что любая квазиассоциативная алгебра с простой артиновой нулевой частью изоморфна алгебре матриц Mn (∆), где ∆ — квазиассоциативная алгебра с делением. Определение квазиассоциативной алгебры введено в [1]. Пусть G — L конечная группа, K — поле, A = Ag — G-градуированная K-алгебра. g∈G

Говорим, что A — квазиассоциативная алгебра, если для однородных элементов x ∈ Ag , y ∈ Ah , z ∈ Al выполняется равенство (xy)z = φ(g, h, l)x(yz), где φ : G × G × G → K \ {0} — коцикл в G.

Напомним, что φ : G × G × G → K \ {0} является коциклом в G, если для любых f, g, h, l ∈ G выполняются равенства φ(f, g, h)φ(g, h, l)φ(f, gh, l) = φ(f g, h, l)φ(f, g, hl), φ(f, 1, g) = 1. Из определения коцикла легко видеть, что φ(1, f, g) = φ(f, g, 1) = = φ(f, 1, g) = 1 для любых f, g ∈ G. Вследствие этого, если алгебра A квазиассоциативна, то нулевая часть A1 является ассоциативной алгеброй, а Ag — ассоциативным A1 -бимодулем для любого g ∈ G. ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке CMUC-FCT.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

552

Х. Альбукерке, А. П. Сантана В данной статье изучаются квазиассоциативные алгебры с простой

артиновой нулевой частью. Доказывается, что любая такая алгебра изоморфна единственным образом определенной алгебре матриц над квазиассоциативной алгеброй с делением. Подход и техника подобны тем, которые использовались в [2]. Ранее были получены некоторые частные случаи нашего результата. Ассоциативные супералгебры с полупростой нулевой частью изучались в [3, 4]. Ассоциативные G-градуированные алгебры с простой артиновой нулевой частью изоморфны алгебрам матриц над ассоциативными G-градуированными алгебрами с делением (это следует из классификации G-градуированных колец с делением [5, 6]). В [2] показано, что неассоциативные Z2 -квазиалгебры с простой артиновой нулевой частью изоморфны алгебрам матриц над неассоциативными Z2 -квазиалгебрами с делением. Классификация квазиассоциативных алгебр с делением проделана в [7], она является обобщением описания квазиассоциативных супералгебр, полученного в [2]. (Заметим, что квазиассоциативные алгебры с делением имеют простую артинову нулевую часть.) Ради полноты изложения в данную работу (§ 1) включены необходимые результаты из [7]. На протяжении всей статьи G является конечной группой, а A = L = Ag — квазиассоциативной алгеброй над полем K. Ради простоты g∈G

считаем, что Ag Ah 6= 0 для любых g, h ∈ G.

§ 1. Квазиассоциативные алгебры с делением Квазиассоциативная алгебра A =

L

Ag называется квазиассоциа-

g∈G

тивной алгеброй с делением, если она унитальна (1 ∈ A1 ) и любой ненулевой однородный элемент имеет правый и левый обратные. Деформированные групповые алгебры KF G являются интересными примерами этих алгебр [1]. Композиционные алгебры над полем действительных чисел (R, C, кватернионы и октонионы), алгебры Клиффорда и строго альтернативные квазиассоциативные алгебры являются примерами алгебр KF G (см. [1, 8, 9]).

Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью 553 В данном параграфе предполагается, что A =

L

Ag является ква-

g∈G

зиассоциативной алгеброй с делением с коциклом φ. Правый обратный для элемента u (0 6= u ∈ Ag ) обозначим через u−1 , а левый обратный — через u−1 L . Поскольку A1 — ассоциативная алгебра с делением, у любого ненулевого элемента из A1 левый и правый обратные совпадают. ЛЕММА 1.1 [7]. Для любого ненулевого элемента u ∈ Ag элемен−1 = φ(g −1 , ты u−1 и u−1 L лежат в Ag −1 и выполняется равенство u

g, g −1 )u−1 L . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть [6], что для любого ненулевого элемента u ∈ Ag элементы u−1 и u−1 L лежат в Ag −1 . Из квазиассоциатив−1 = φ(g −1 , g, g −1 )u−1 . 2 ности алгебры A получаем u−1 = 1u−1 = (u−1 L u)u L

ЛЕММА 1.2 [7]. Для 0 6= u ∈ Ag и 0 6= w ∈ Ah справедливо (uw)−1 =

φ(h, h−1 , g −1 ) −1 −1 w u . φ(g, h, h−1 g −1 )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, из квазиассоциативности алгебры A получаем (uw)(w−1 u−1 ) = φ(g, h, h−1 g −1 )u[w(w−1 u−1 )] φ(g, h, h−1 g −1 ) u[(ww−1 )u−1 ] φ(h, h−1 , g −1 ) φ(g, h, h−1 g −1 ) −1 φ(g, h, h−1 g −1 ) uu = .2 = φ(h, h−1 , g −1 ) φ(h, h−1 , g −1 ) =

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1 [7]. A1 является ассоциативной алгеброй с делением, а Ag — A1 -бимодулем, удовлетворяющим Ag = A1 ug = ug A1 для любых ненулевого ug ∈ Ag и g ∈ G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого ненулевого ug ∈ Ag имеем ug A1 ⊆ ⊆ Ag . Далее, для любого wg ∈ Ag выполняется wg = (ug ug −1 )wg = φ(g, g −1 , g)ug (ug −1 wg ) ∈ ug A1 , таким образом, Ag ⊆ ug A1 . Аналогично, Ag = = A1 ug . 2 Итак, любая квазиассоциативная алгебра с делением над K имеет L вид A = Dug для ассоциативной алгебры с делением D = A1 и ненуg∈G

левых однородных элементов ug из Ag . Ради простоты полагаем u1 = 1A .

554

Х. Альбукерке, А. П. Сантана Для каждого g ∈ G определим отображение ψg : D → D при помощи

правила ψg (d) = (ug d)ug −1 , где d ∈ D. Из квазиассоциативности алгебры A и леммы 1.1 легко получается, что ψg является автоморфизмом алгебры D. Далее, пусть g, h ∈ G. Ненулевой элемент ug uh принадлежит Agh = = Dugh , поэтому существует ненулевой cg,h ∈ D такой, что ug uh = cg,h ugh . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2 [7]. Для любых g, h, l ∈ G автоморфизмы ψg и элементы cg,h ∈ D удовлетворяют следующим соотношениям cg,h cgh,l = φ(g, h, l)ψg (ch,l )cg,hl ,

(1)

ψg ψh = cg,h ψgh c−1 g,h .

(2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из квазиассоциативности алгебры A и определения отображения ψg следует (1). Чтобы доказать (2), рассмотрим произвольный d ∈ D. Имеем −1 −1 ψg ψh (d) = ψg ((uh d)u−1 h ) = [ug ((uh d)uh )]ug

=

φ(gh, h−1 , g −1 ) 1 −1 −1 −1 [(u (u d))u ]u = [ug (uh d)](u−1 g h g h h ug ) φ(g, h, h−1 ) φ(g, h, h−1 ) φ(gh, h−1 , g −1 )φ(g, h, h−1 g −1 ) ((ug uh )d)(ug uh )−1 (по лемме 1.2) φ(g, h, h−1 )φ(h, h−1 , g −1 )   φ(gh, h−1 , g −1 )φ(g, h, h−1 g −1 ) −1 −1 =1 = [cg,h (ugh d)](ugh cg,h ) т. к. φ(g, h, h−1 )φ(h, h−1 , g −1 )

=

= cg,h ψgh (d)c−1 g,h . Таким образом, ψg ψh = cg,h ψgh c−1 g,h . 2 Автоморфизмы ψg вместе с константами cg,h характеризуют алгебру A. В действительности умножение в A задается при помощи умножения в ассоциативной алгебре D и тождеств d1 (d2 ug ) = (d1 d2 )ug , (d1 ug )d2 = (d1 ψg (d2 ))ug , (d1 ug )(d2 uh ) = (d1 ψg (d2 )cg,h )ugh для произвольных d1 , d2 ∈ D и g, h ∈ G. Порядок элемента g ∈ G обозначим через o(g).

Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью 555 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3 [7]. Если ψg , g ∈ G, являются автоморфизмами алгебры D и удовлетворяют условиям (1) и (2) предыдущего предложения, то существуют bg ∈ D такие, что (ψg )o(g) (d) = bg db−1 g для всех d ∈ D. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим сначала, что ψ1 = id. Используя индукцию по n, легко показать, что i hQ n−2 (n−(i+1)) ψ (c ) cg,g(n−1) ψgn (cg,g(n−1) )−1 (ψg )n = i g g,g i=1 i−1 hQ n−2 (n−(i+1)) . ψ (c ) × i g,g i=1 g

Поскольку ψgo(g) = id, имеем (ψg )o(g) (d) = bg db−1 g , где

bg = ψg(o(g)−2) (cg,g )ψg(o(g)−3) (cg,g2 ) . . . ψg (cg,g(o(g)−2) )cg,g(o(g)−1) . 2 ТЕОРЕМА 1.1 [7]. Пусть D — ассоциативная алгебра с делением, G — конечная группа, φ : G × G × G → K ∗ — коцикл, а для всех g, h, l ∈ G существуют автоморфизмы ψg алгебры D и ненулевые элементы cg,h ∈ ∈ D такие, что ψg ψh = cg,h ψgh c−1 g,h и cg,h cgh,l = φ(g, h, l)ψg (ch,l )cg,hl . В L прямой сумме ∆ = Dug (она состоит из |G| экземпляров алгебры D, а g∈G

символ ug используется для обозначения соответствующего экземпляра алгебры D, u1 = 1) определим умножение: d1 (d2 ug ) = (d1 d2 )ug , (d1 ug )d2 = (d1 ψg (d2 ))ug , (d1 ug )(d2 uh ) = (d1 ψg (d2 )cg,h )ugh для произвольных d1 , d2 ∈ D и g, h ∈ G. Тогда при ∆1 = D и ∆g = Dug алгебра ∆ является квазиассоциативной алгеброй с делением. Обратно, любая квазиассоциативная алгебра с делением может быть получена данным способом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последнее утверждение теоремы следует из предыдущих результатов. Для проверки первого утверждения вначале необходимо проверить, что каждый ненулевой однородный элемент из ∆ имеет правый и левый обратные. Это вытекает из следующего факта: если даны два ненулевых элемента d1 ug ∈ ∆g и d2 ug−1 ∈ ∆g−1 , то

556

Х. Альбукерке, А. П. Сантана

(d1 ug )(d2 ug−1 ) = d1 ψg (d2 )cg,g−1 ; а элемент d1 ψg (d2 )cg,g−1 обратим, поскольку он является ненулевым элементом алгебры с делением D. Осталось доказать, что для любых d1 , d2 , d3 ∈ D и g, h, l ∈ G справедливо равенство [(d1 ug )(d2 uh )](d3 ul ) = φ(g, h, l)(d1 ug )[(d2 uh )(d3 ul )]. Действительно, (d1 ug )[(d2 uh )(d3 ul )] = (d1 ug )[(d2 ψh (d3 )ch,l )uhl ] = [d1 ψg (d2 ψh (d3 )ch,l )cg,hl ]ughl = (d1 ψg (d2 )ψg ψh (d3 )ψg (ch,l )cg,hl )ughl   1 −1 cg,h cgh,l ughl = d1 ψg (d2 )cg,h ψgh (d3 )cg,h φ(g, h, l) = =

1 (d1 ψg (d2 )cg,h ψgh (d3 )cgh,l )ughl φ(g, h, l)

1 1 [(d1 ψg (d2 )cg,h )ugh ](d3 u3 ) = [(d1 ug )(d2 uh )](d3 ul ). 2 φ(g, h, l) φ(g, h, l) Как уже упоминалось ранее, если дана коцепь F : G × G → K ∗ , то

алгебра KF G является квазиассоциативной алгеброй с делением. При этом определяющая ассоциативная алгебра с делением D является одномерной алгеброй, порожденной единицей группы G, константа cg,h совпадает с F (g, h) и ψg = id для всех g, h ∈ G. Обратно, предположим, что A =

L

Ag является квазиассоциатив-

g∈G

ной алгеброй с делением, а ее нулевая часть A1 действует коммутативно на Ag (т. е. x1 xg = xg x1 для любых x1 ∈ A1 , xg ∈ Ag , g ∈ G). Тогда A является алгеброй вида KF G. В этом случае, A1 (поскольку она является коммутативной ассоциативной алгеброй с делением) будет полем.

§ 2. Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью Далее предполагаем, что A =

L

Ag является квазиассоциативной

g∈G

алгеброй над полем K с простой артиновой нулевой частью B = A1 .

Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью 557 Известно [10], что если V является простым B-модулем (единственным с точностью до изоморфизма), то D = EndB (V ) является кольцом с делением, а V — (B, D)-бимодулем (записывая элементы из D как правые операторы на V ), конечномерным как D-векторное пространство, и B может быть отождествлена с EndD (V ). Пусть V ∗ = HomD (V, D), тогда V ∗ является (D, B)-бимодулем ((f b)(v) = f (bv) и (df )(v) = df (v) для любых f ∈ V ∗ , b ∈ B, d ∈ D, v ∈ V ). Следующие изоморфизмы D-бимодулей и B-бимодулей, соответственно, будут использоваться далее: V ∗ ⊗B V → D, χ ⊗ v 7→ χ(v), V ⊗D V ∗ → B ∼ = EndD (V ), v ⊗ χ 7→ v.χ : w 7→ v(χ(w)). Для данных ненулевых v ∈ V и χ ∈ V ∗ определим I = {r ∈ B : rv = 0} и J = {r ∈ B : χr = 0}. Тогда {r ∈ B : Ir = 0 = rJ} = v, (Dχ) ∼ = v ⊗ Dχ (см. [2, лемма 8]). Известно [2], что любой унитальный B-бимодуль изоморфен V ⊗D ⊗D W ⊗D V ∗ для некоторого D-бимодуля W . Применяя этот результат к B-бимодулю Ag (для любого g ∈ G), получаем существование D-бимодуля Wg такого, что Ag ∼ = V ⊗D Wg ⊗D V ∗ . m

Умножение Ag ⊗ Ag−1 −→ B поднимается до гомоморфизма Bбимодулей ηg,g−1 , который делает коммутативной следующую диаграмму: m (V ⊗D Wg ⊗D V ∗ ) ⊗B (V ⊗D Wg−1 ⊗D V ∗ ) −→ B ∼ = V ⊗D V ∗

ց πg,g−1

ր ηg,g−1

(3)

V ⊗D Wg ⊗D Wg−1 ⊗D V ∗ . Здесь изоморфизм πg,g−1 задается с помощью равенства πg,g−1 = [(v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 ) ⊗ (v2 ⊗ w2 ⊗ χ2 )] = v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 ⊗ χ2 для любых v1 , v2 ∈ V , χ1 , χ2 ∈ V ∗ , w1 ∈ Wg , w2 ∈ Wg−1 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Для любого g ∈ G существует отображение fg,g−1 : Wg ⊗D Wg−1 → D, удовлетворяющее равенствам

558

Х. Альбукерке, А. П. Сантана 1) ηg,g−1 (v ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ) = vfg,g−1 (wg ⊗ wg−1 ) ⊗ χ, 2) fg,g−1 (dwg ⊗ wg−1 ) = dfg,g−1 (wg ⊗ wg−1 ), 3) fg,g−1 (wg ⊗ wg−1 d) = fg,g−1 (wg ⊗ wg−1 )d

для любых 0 6= v ∈ V , wg ∈ Wg , wg−1 ∈ Wg−1 , 0 6= χ ∈ V ∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Для данных ненулевых v ∈ V и χ ∈ V ∗ рассмотрим множества I и J, определенные выше. Для любых wg ∈ Wg , wg−1 ∈ Wg−1 , c ∈ J, b ∈ I имеем bηg,g−1 (v ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ) = ηg,g−1 (bv ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ) = 0, ηg,g−1 (v ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ)c = ηg,g−1 (v ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χc) = 0. Таким образом, ηg,g−1 (v ⊗D Wg ⊗D Wg−1 ⊗D χ) ⊆ v.(Dχ) ∼ = v ⊗D Dχ. Следовательно, существует отображение fg,g−1 : Wg ⊗D Wg−1 → D, для которого выполняется ηg,g−1 (v ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ) = vfg,g−1 (wg ⊗ wg−1 ) ⊗ χ. Заметим, что fg,g−1 не зависит от v и χ. Можно считать, что V = Bv и V ∗ = χB, поскольку V и V ∗ являются простыми левым и правым Bмодулями, соответственно. Поэтому для любых v ′ = bv и χ′ = cχ (b, c ∈ B) справедливо ηg,g−1 (v ′ ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ′ ) = bηg,g−1 (v ⊗ wg ⊗ wg−1 ⊗ χ)c = bvfg,g−1 (wg ⊗ wg−1 ) ⊗ χc = v ′ fg,g−1 (wg ⊗ wg−1 ) ⊗ χ′ . 2) Заметим, что vfg,g−1 (dwg ⊗ wg−1 ) ⊗ χ = ηg,g−1 (v ⊗ dwg ⊗ wg−1 ⊗ χ) = ηg,g−1 (vd⊗wg ⊗wg−1 ⊗χ) = vdfg,g−1 (wg ⊗wg−1 )⊗χ = v(dfg,g−1 (wg ⊗wg−1 ))⊗χ. Таким образом, dfg,g−1 (wg ⊗ wg−1 ) = fg,g−1 (dwg ⊗ wg−1 ).

Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью 559 3) Доказывается аналогично. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Для любого g ∈ G существует такой элемент ug ∈ Wg , что Wg = Dug = ug D. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим χ1 , χ2 , χ3 ∈ V ∗ , v1 , v2 , v3 ∈ V и w1 ∈ Wg , w2 ∈ Wg−1 , w3 ∈ Wg . Из (3) следуют равенства [(v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 )(v2 ⊗ w2 ⊗ χ2 )](v3 ⊗ w3 ⊗ χ3 ) = = ηg,g−1 (v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 ⊗ χ2 ))(v3 ⊗ w3 ⊗ χ3 ) = (v1 fg,g−1 (w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 ) ⊗ χ2 )(v3 ⊗ w3 ⊗ χ3 ) = v1 fg,g−1 (w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 )χ2 (v3 ) ⊗ w3 ⊗ χ3 = v1 ⊗ fg,g−1 (w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 )χ2 (v3 )w3 ⊗ χ3 . С другой стороны, (v2 ⊗ w2 ⊗ χ2 )(v3 ⊗ w3 ⊗ χ3 ) = v2 fg−1 ,g (w2 ⊗ χ2 (v3 )w3 ) ⊗ χ3 , поэтому (v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 )[(v2 ⊗ w2 ⊗ χ2 )(v3 ⊗ w3 ⊗ χ3 )] = = v1 ⊗ w1 ⊗ (χ1 (v2 )fg−1 ,g (w2 ⊗ χ2 (v3 )w3 )χ3 ) = v1 ⊗ w1 χ1 (v2 )fg−1 ,g (w2 ⊗ χ2 (v3 )w3 ) ⊗ χ3 ). Из квазиассоциативности вытекает, что v1 ⊗ fg,g−1 (w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 )χ2 (v3 )w3 ⊗ χ3 = = φ(g, g −1 , g)(v1 ⊗ w1 χ1 (v2 )fg−1 ,g (w2 ⊗ χ2 (v3 )w3 ) ⊗ χ3 . Полагая χ1 (v2 ) = χ2 (v3 ) = 1, получаем v1 ⊗ fg,g−1 (w1 ⊗ w2 )w3 ⊗ χ3 = φ(g, g −1 , g)v1 ⊗ w1 fg−1 ,g (w2 ⊗ w3 ) ⊗ χ3 для любых w1 ∈ Wg , w2 ∈ Wg−1 , w3 ∈ Wg , v1 ∈ V , χ3 ∈ V ∗ . Таким образом, fg,g−1 (w1 ⊗ w2 )w3 = φ(g, g −1 , g)w1 fg−1 ,g (w2 ⊗ w3 ). Поскольку w1

и

Ag Ag−1 w2

так,

6= чтобы

0,

можно

fg,g−1 (w1

⊗

(4) выбрать

w2 )

=

= 1. Тогда w3 = w1 φ(g, g −1 , g)fg−1 ,g (w2 ⊗ w3 ),

(5)

560

Х. Альбукерке, А. П. Сантана

и w3 ∈ w1 D. Следовательно, Wg ⊆ w1 D ⊆ Wg и Wg = w1 D. Полагая w3 = w1 в (5), получаем w1 = w1 φ(g, g −1 , g)fg−1 ,g (w2 ⊗ w1 ). Тогда φ(g, g −1 , g)fg−1 ,g (w2 ⊗ w1 ) = 1. Меняя роль w1 и w3 в (4), имеем fg,g−1 (w3 ⊗ w2 )w1 = w3 для любого w3 , т. е. Wg ⊆ Dw1 ⊆ Wg . Итак, Wg = = Dug = ug D при ug = w1 . 2 Рассмотрим множества I и J, определенные ранее, и положим Lg = {c ∈ V ⊗D Wg ⊗D V ∗ : Ic = 0 = cJ}. ЛЕММА 2.1. Пусть 0 6= v ∈ V и 0 6= χ ∈ V ∗ . Тогда Lg = v ⊗Wg ⊗χ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как I(v ⊗ ug ⊗ χ) = Iv ⊗ ug ⊗ χ = 0 и (v ⊗ ug ⊗ χ)J = v ⊗ ug ⊗ χJ = 0, имеем v ⊗ Wg ⊗ χ ⊆ Lg . Пусть {v = = v1 , v2 , . . . , vn } является D-базисом для V . Тогда {v ⊗ ug , v2 ⊗ ug , . . . , vn ⊗ ⊗ug } образует D-базис для V ⊗Wg , и при любом c ∈ V ⊗Wg ⊗V ∗ существуn P vi ⊗ ug ⊗ χi . ют такие однозначно определенные χ1 , χ2 , . . . , χn , что c =

Предположим, что c ∈ Lg . Тогда cb =

n P

i=1

vi ⊗ ug ⊗ χi b = 0 и χi b = 0 для

i=1

любых b ∈ J, i = 1, . . . , n. Следовательно, χi J = 0, а значит, χi ∈ Dχ. n n n P P P vi ⊗ d′i ug ⊗ χ = vi ⊗ u g d i ⊗ χ = vi ⊗ u g ⊗ d i χ = Поэтому c = i=1 i=1 i=1 n  P ′ vi di ⊗ ug ⊗ χ = v ′ ⊗ ug ⊗ χ для некоторого v ′ ∈ V . С другой сторо= i=1

ны, 0 = Ic = Iv ′ ⊗ ug ⊗ χ влечет Iv ′ = 0 и потому v ′ ∈ vD. Таким образом, c ∈ vD ⊗ ug ⊗ χ и Lg ⊆ v ⊗ Wg ⊗ χ. 2

Рассмотрим g, h ∈ G. Сейчас можно определить отображение fg,h : Wg ⊗D Wh → Wgh подобно тому, как это было сделано ранее для отобm

ражения fg,g−1 . Умножение Ag ⊗ Ah −→ Agh определяет B-бимодульный гомоморфизм ηg,h , для которого коммутативна следующая диаграмма: m

(V ⊗D Wg ⊗D V ∗ ) ⊗B (V ⊗D Wh ⊗D V ∗ ) −→ V ⊗D Wgh ⊗D V ∗ ց πg,h

ր ηg,h

V ⊗D Wg ⊗D Wh ⊗D V ∗ . Изоморфизм πg,h задается равенством πg,h = [(v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 ) ⊗ (v2 ⊗ w2 ⊗ χ2 )] = v1 ⊗ w1 ⊗ χ1 (v2 )w2 ⊗ χ2

(6)

Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью 561 для любых v1 , v2 ∈ V , w1 ∈ Wg , w2 ∈ Wh , χ1 , χ2 ∈ V ∗ . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Для любых g, h ∈ G существует отображение fg,h : Wg ⊗D Wh → Wgh , удовлетворяющее равенствам 1) ηg,h (v ⊗ wg ⊗ wh ⊗ χ) = vfg,h (wg ⊗ wh ) ⊗ χ, 2) fg,h (dwg ⊗ wh ) = dfg,h (wg ⊗ wh ), 3) fg,h (wg ⊗ wh d) = fg,h (wg ⊗ wh )d для любых v ∈ V , χ ∈ V ∗ , wg ∈ Wg , wh ∈ Wh , d ∈ D. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО осуществляется как в предложении 2.1, используя Lg вместо v ⊗ Dχ. 2 Поскольку Wg = Dug = ug D, можно определить γg : D → D при помощи ug d = γg (d)ug для любого d ∈ D. Очевидно, γg является автоморфизмом кольца D для всех g ∈ G. Для любых g, h ∈ G определим также ненулевой элемент cg,h ∈ D посредством fg,h (ug ⊗ uh ) = cg,h ugh . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Для любых g, h, l ∈ G справедливы следующие равенства: 1) cg,h cgh,l = φ(g, h, l)γg (ch,l )cg,hl , 2) cg,h γgh cg,h −1 = γg γh . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любых ненулевых v1 , v2 , v3 ∈ V , χ1 , χ2 , χ3 ∈ V ∗ имеем [(v1 ⊗ ug ⊗ χ1 )(v2 ⊗ uh ⊗ χ2 )](v3 ⊗ ul ⊗ χ3 ) = = ηg,h (v1 ⊗ ug χ1 (v2 ) ⊗ uh ⊗ χ2 )(v3 ⊗ ul ⊗ χ3 ) = (v1 ⊗ fg,h (ug χ1 (v2 ) ⊗ uh ) ⊗ χ2 )(v3 ⊗ ul ⊗ χ3 ) = (v1 ⊗ fg,h (γg (χ1 (v2 ))ug ⊗ uh ) ⊗ χ2 )(v3 ⊗ ul ⊗ χ3 ) = (v1 ⊗ γg (χ1 (v2 ))fg,h (ug ⊗ uh ) ⊗ χ2 )(v3 ⊗ ul ⊗ χ3 ) = (v1 ⊗ γg (χ1 (v2 ))cg,h ugh ⊗ χ2 )(v3 ⊗ ul ⊗ χ3 ) = ηgh,l (v1 ⊗ γg (χ1 (v2 ))cg,h ugh χ2 (v3 ) ⊗ ul ⊗ χ3 ) = v1 ⊗ fgh,l (γg (χ1 (v2 ))cg,h ugh χ2 (v3 ) ⊗ ul ) ⊗ χ3 = v1 ⊗ γg (χ1 (v2 ))cg,h fgh,l (ugh χ2 (v3 ) ⊗ ul ) ⊗ χ3 = v1 ⊗ γg (χ1 (v2 ))cg,h fgh,l (γgh (χ2 (v3 ))ugh ⊗ ul ) ⊗ χ3 = v1 ⊗ γg (χ1 (v2 ))cg,h γgh (χ2 (v3 ))cgh,l ughl ⊗ χ3 .

562

Х. Альбукерке, А. П. Сантана

Подобным образом, (v1 ⊗ ug ⊗ χ1 )[(v2 ⊗ uh ⊗ χ2 )(v3 ⊗ ul ⊗ χ3 )] = = v1 ⊗ γg (χ1 (v2 )γh (χ2 (v3 ))ch,l )cg,hl ughl ⊗ χ3 . Используя квазиассоциативность и тот факт, что v1 , χ3 6= 0, получаем γg (χ1 (v2 ))cg,h γgh (χ2 (v3 ))cgh,l ughl = φ(g, h, l)γg (χ1 (v2 )γh (χ2 (v3 ))ch,l )cg,hl ughl , т. е. γg (χ1 (v2 ))cg,h γgh (χ2 (v3 ))cgh,l = φ(g, h, l)γg (χ1 (v2 )γh (χ2 (v3 ))ch,l )cg,hl . Выбирая χ1 , χ2 , v2 , v3 так, чтобы χ1 (v2 ) = 1 = χ2 (v3 ), получаем cg,h cgh,l = φ(g, h, l)γg (ch,l )cg,hl . Рассмотрим произвольный d ∈ D. Тогда cg,h γgh (d)ugh = cg,h ugh d = fg,h (ug ⊗ uh )d = fg,h (ug ⊗ uh d) = fg,h (ug γh (d) ⊗ uh ) = fg,h (γg γh (d)ug ⊗ uh ) = γg γh (d)fg,h (ug ⊗ uh ) = γg γh (d)cg,h ugh . Следовательно, cg,h γgh (d) = γg γh (d)cg,h и γg γh = cg,h γgh c−1 g,h . 2 Сейчас выполняются условия теоремы 1.1. При ∆1 = D, ∆g = Dug = = Wg и умножении, определенном по правилу

∆=

L

    d1 (d2 ug ) = (d1 d2 )ug , (d1 ug )d2 = (d1 γg (d2 ))ug ,    (d1 ug )(d2 uh ) = (d1 γg (d2 )cg,h )ugh ,

∆g является квазиассоциативной алгеброй с делением.

g∈G

Таким образом, доказана следующая ТЕОРЕМА 2.2. Любая квазиассоциативная алгебра A =

L

Ag с

g∈G

простой артиновой нулевой частью изоморфна V ⊗D ∆ ⊗D V ∗ , где ∆ — квазиассоциативная алгебра с делением, V — простой ∆1 -модуль и D = = End∆1 (V ).

Квазиассоциативные алгебры с простой артиновой нулевой частью 563 Из B-бимодульного изоморфизма Ag ∼ V ⊗D Wg ⊗D V ∗ получаем =! ! BL L Wg ⊗D V ∗ = V ⊗D ∆g ⊗D бимодульный изоморфизм A ∼ = V ⊗D g∈G

g∈G

⊗D V ∗ = V ⊗D ∆ ⊗D V ∗ .

ТЕОРЕМА 2.3. Любая квазиассоциативная алгебра A с простой артиновой нулевой частью изоморфна алгебре матриц Matn (∆) для некоторых натурального числа n и квазиассоциативной алгебры с делением ∆. Число n однозначно определяется алгеброй A, а алгебра с делением ∆ единственна с точностью до изоморфизма. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предыдущей теореме любая квазиассоциативная алгебра с простой артиновой нулевой частью изоморфна V ⊗D ⊗D ∆ ⊗D V ∗ , где ∆ — квазиассоциативная алгебра с делением. Таким образом, достаточно показать изоморфизм алгебр V ⊗D ∆ ⊗D V ∗ и Matn (∆). В алгебре V ⊗D ∆ ⊗D V ∗ умножение определяется по правилу (v ⊗ a1 ⊗ χ)(v ′ ⊗ a2 ⊗ χ′ ) = v ⊗ γg (χ(v ′ ))a1 a2 ⊗ χ′ для v, v ′ ∈ V , χ, χ′ ∈ V ∗ , a1 ∈ ∆g , a2 ∈ ∆h , а далее продолжается по линейности. Рассмотрим D-базис {v1 , . . . , vn } в V и его дуальный базис {χ1 , . . . . . . , χn } в V ∗ . Любой элемент из V ⊗D ∆ ⊗D V ∗ имеет единственное предP vi ⊗ wij ⊗ χj , где wij ∈ ∆. Таким образом, можно определить ставление ij ! P P σ : V ⊗D ∆⊗D V ∗ → Matn (∆) при помощи σ vi ⊗ wij ⊗ χj = Fij wij , ij

ij

где Fij — n × n-матрица с 1 на месте (i, j) и нулями на остальных. Легко понять, что σ является изоморфизмом K-алгебр.

Доказательство единственности n и ∆ опускается, поскольку оно аналогично доказательству подобного утверждения в [2]. 2

ЛИТЕРАТУРА 1. H. Albuquerque, S. Majid, Quasialgebra structure of the octonions, J. Algebra, 220, N 1 (1999), 188—224.

564

Х. Альбукерке, А. П. Сантана 2. H. Albuquerque, A. Elduque, J. Perez-Izquierdo, Z2 -quasialgebras, Commun. Algebra, 30, N 5 (2002), 2161—2174. 3. H. Albuquerque, A. Elduque, J. Perez-Izquierdo, Superalgebras with semisimple null part, Commun. Algebra, 25, N 5 (1997), 1573—1587. 4. C. Draper, Super´algebras asociativas, Tesina de Licenciatura, Universidad de M´alaga, 1997. 5. N. Jacobson, Structure of rings (Colloq. Publ., Am. Math. Soc., 37), revised edition, Providence, RI, Am. Math. Soc., 1964. 6. C. Nastasescu, Graded ring theory, Amsterdam, North-Holland Publ. Co, 1982. 7. H. Albuquerque, A. P. Santana, A note on quasiassociative algebras (Textos Mat., 32), The J. A. Pereira da Silva Birthday Schrift, 5—16. 8. H. Albuquerque, S. Majid, Clifford algebras obtained by twisting of group algebras, J. Pure Appl. Algebra, 171, N 2-3 (2002), 133—148. 9. H. Albuquerque, A. Elduque, J. Perez-Izquierdo, Alternative quasialgebras, Bull. Aust. Math. Soc., 63, N 2 (2001), 257—268.

10. R. Pierce, Associative algebras (Grad. Texts Math., 88), New York, SpringerVerlag, 1982.

Поступило 11 марта 2003 г. Адреса авторов: ALBUQUERQUE Helena, Apartado 3008, Departamento de Matem´atica, Universidade de Coimbra, Coimbra, 3001-454, PORTUGAL. e-mail: [email protected] SANTANA Ana Paula, Apartado 3008, Departamento de Matem´atica, Universidade de Coimbra, Coimbra, 3001-454, PORTUGAL. e-mail: [email protected]