Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 133—158

УДК 510.5+512.563

ВЫЧИСЛИМЫЕ ОДНОРОДНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ И ОДНА МЕТАТЕОРЕМА∗) П. Е. АЛАЕВ

В [1] описаны счетные однородные булевы алгебры с точностью до изоморфизма, и найден простой критерий существования сильно конструктивного (разрешимого) представления для такой алгебры. Вопрос о критериях существования конструктивного (вычислимого) представления остался открытым. Эту проблему поставил С. С. Гончаров в [2]. В [3] на нее дан частичный ответ. В данной работе предлагается некоторый критерий, сформулированный только в алгоритмических терминах и усиливающий результаты из [3]. Для этого вводится новая иерархия ∅(ω) -вычислимых функций и множеств, более тонкая, чем иерархия Фейнера из [4]. Доказывается также одна метатеорема, связывающая вычислимые булевы алгебры и их гиперарифметические фактор-алгебры, она, в частности, обобщает некоторые конструкции из [3, 5].

§ 1. Предварительные сведения и основная теорема Булевы алгебры рассматриваются как модели языка LBA = {0, 1, +, ·, C}, где + соответствует объединению элементов, · — пересечению, C — ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00593, гранта РФФИ—ИНТАС, проект 97-139, а также Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2112.2003.1. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

134

П. Е. Алаев

операции дополнения. Предварительные сведения о них можно найти в [6]. Алгеброй кратко называем счетную булеву алгебру. Если A, B — алгебры, то A 6 B означает, что A — подалгебра в B, A × B — их прямое произведение с носителем {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Запись A = A1 ⊕ . . . ⊕ An используется в случае, когда A1 , . . . , An — главные идеалы в A, A = A1 + . . . + An и Ai ∩ Aj = {0} при i 6= j. Через n, кроме натурального числа, обозначается также конечная алгебра с n атомами. Удобно считать, что множества элементов рассматриваемых алгебр являются подмножествами ω, а числа 1, 2, . . . , n — атомами алгебры n. Если a1 , . . . , an , b ∈ A, то a1 , . . . , an |b означает, что a1 + . . . + an = b, ai · aj = 0 при i 6= j. Выражение a − b равно a · C(b). Оператор T — это соответствие, которое каждой алгебре A сопоставляет идеал T (A) ⊳ A и при этом из того, что A, B — алгебры, a ∈ A, b ∈ B иa ˆ∼ = ˆb, вытекает соотношение a ∈ T (A) ⇔ b ∈ T (B). ЛЕММА 1. Если T — оператор, A — алгебра и A = A1 ⊕ A2 , то (1) T (A1 ) = A1 ∩ T (A); (2) T (A) = T (A1 ) + T (A2 ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Если a ∈ A1 , то a ˆ A1 = a ˆA , откуда a ∈ ∈ T (A1 ) ⇔ a ∈ T (A). (2) Легко следует из (1). Лемма доказана. Если A — алгебра, и T — оператор, то A/T — это фактор-алгебра A/T (A), F (A) = {a ∈ A | a = 0 или a — объединение конечного числа атомов}, S(A) = {a ∈ A | a = b + c, b — безатомный элемент, c ∈ F (A)}, I(A) = {a ∈ A | a = b+c, b — безатомный элемент, c — атомный}. Нетрудно заметить, что F , S, I являются операторами. Через {Ik (A)}k∈ω обозначается последовательность идеалов ЕршоS Ik (A); ch(A) = ва–Тарского, где I0 (A) = {0}, I1 (A) = I(A); Iω (A) = k∈ω

= (ch1 (A), ch2 (A), ch3 (A)) — элементарная характеристика алгебры A. В [1] с точностью до изоморфизма описаны однородные алгебры, предполагается знакомство читателя с этой работой. В частности, там введены следующие характеристики однородной алгебры A (их изложение

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

135

немного упрощено, так как нас интересуют только алгебры с ch1 = ∞; все остальные однородные алгебры обладают разрешимым представлением):   0, если      1, если t(A) =   2, если     3, если

ch1 (A) < ∞, A/Iω ∼ = 1, A/Iω ∼ = 2, A/Iω — ненулевая безатомная алгебра,

  0, если все атомные элементы A/In лежат в F (A/In ),      1, если существуют атомные a, b ∈ A/I такие, что n pn (A) =   a · b = 0, a, b 6∈ F (A/In ),     2 в противном случае,

где n ∈ ω.

ТЕОРЕМА [1]. Если A — однородная алгебра, ch1 (A) = ∞, то (1) pn (A) ∈ {0, 1} для всех n ∈ ω; (2) в классе однородных алгебр алгебра A с точностью до изоморфизма определяется последовательностью {t(A), pn (A)}n∈ω . Алгебру, порожденную линейным порядком L, обозначаем через BL , порядок на рациональных числах — через η. Предварительные сведения по теории алгоритмов содержатся, например, в [7]. Стандартную универсальную функцию, описывающую результат работы машины Тьюринга с номером y и оракулом X на входе z, обозначаем через ϕX y (z), результат работы машины после s шагов — через ϕX y,s (z). Все функции на натуральных числах по умолчанию предполагаются одноместными. Запись вида f (x1 , . . . , xn ) означает f (hx1 , . . . , xn i), где h. . .i — стандартная нумерующая функция, действующая либо из ω n в ω (при фиксированном n), либо из ω <ω в ω (при переменном n). В последнем случае f () равно f (hi). В [4] для каждой пары чисел a, b ∈ ω введен класс функций f ∼ (a, b), которые можно задать как всюду определенные (a+bx)

функции f (x) = ϕ∅ k

(x) для некоторого k ∈ ω. Построим некоторое

обобщение таких классов.

136

П. Е. Алаев Пусть g — вычислимая функция, g(x) > 1 для x ∈ ω. Класс ∆0ω,g

состоит из функций f : ω → ω таких, что при некотором k ∈ ω они могут быть заданы по схеме рекурсии:   f (0) = ϕ∅(g()−1) (), k  f (n + 1) = ϕ∅(g(f (0),...,f (n))−1) (f (0), . . . , f (n)). k

Класс Σ0ω,g состоит из множеств M ⊆ ω таких, что для некоторого k ∈ ω характеристическая функция χM может быть задана по схеме:   χ (0) = 1 ⇔ ϕ∅(g()−1) () ↓, M k  χM (n + 1) = 1 ⇔ ϕ∅(g(χM (0),...,χM (n))−1) (χM (0), . . . , χM (n)) ↓ . k

Пусть для любого оракула X ⊆ ω определено некоторое множество MX ⊆ ω. Выражение вида ”по y ∈ MX независимо от оракула X можно вычислить z такой, что . . .“ означает существование k ∈ ω, при котором ϕk (y) ↓= z и z — ”такое, что . . .“, если X ⊆ ω и y ∈ MX . Для работы с вычислимыми ординалами, следуя [7], вводим множество обозначений O с порядком 1) — вычислимый ординал, то можно ввести оракул X1 , соответствующий классу ∆0α (X). Он равен X (α) при α > ω и X (α−1) при α < ω. В этом случае f называется частичной ∆0α (X)-вычислимой 0 1 функцией, если f = ϕX k для некоторого k ∈ ω. Любое такое k — ∆α (X)-

индекс функции f , ∆0α (X)-индексом множества M ⊆ ω называется любой ∆0α (X)-индекс его характеристической функции. Подобные индексы стандартным способом можно определить и для других классов. Иногда ∆01 (∅)-индексы, или просто ∆01 -индексы, называем также вычислимыми 0 1 индексами. Выражение вида ϕX k (m) ↓ называем Σα (X)-условием, число

hk, mi — его Σ0α (X)-номером. Вычислимая алгебра (или ∆01 -алгебра) — такая алгебра, что ее носитель — вычислимое подмножество ω, а операции — вычислимые функции

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

137

на этом подмножестве. Это понятие также можно обобщить для произвольных оракула X и вычислимого ординала α. В этом случае ∆0α (X)индексом A называется набор из ∆0α (X)-индексов носителя и операций. ТЕОРЕМА 1. Если A — однородная счетная булева алгебра, ch1 (A) = ∞, то эквивалентны следующие условия: (1) существует вычислимая булева алгебра, изоморфная A; (2) {n | pn (A) = 1} ∈ Σ0ω,g , где g(ε0 , . . . , εk ) = 4+3(k +1)+ε0 +. . .+εk . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1)⇒(2). Пусть A вычислима. Легко проверить, что имеет место следующая ЛЕММА 2. Если C — ∆01 (X)-алгебра, то (a) идеал S(C) лежит в классе Σ03 (X); (b) идеал I(C) лежит в классе Σ04 (X); (c) C/S изоморфна некоторой ∆04 (X)-алгебре; (d) C/I изоморфна некоторой ∆05 (X)-алгебре; (e) условие p0 (C) = 1 является Σ04 (X)-условием. Более того, по ∆01 (X)-индексу C независимо от X можно вычислить ∆04 (X)-индекс C/S, ∆05 (X)-индекс C/I и Σ04 (X)-номер условия p0 (C) = 1. Отсюда нетрудно вывести, что {n | pn (A) = 1} ∈ Σ0ω,g . Пусть A(n) = A/In . Если известны ∆0m -индекс A(n) и pn , то при pn = 1 можно ∼ A(n) /I, а при pn = 0 определить ∆0 -индекс найти ∆0m+4 -индекс A(n+1) = m+3 (n+1) (n) ∼ A = A /S. Тем самым, зная p0 , . . . , pn , можно вычислить ∆01+3(n+1)+p0 +...+pn индекс алгебры A(n+1) и Σ04+3(n+1)+p0 +...+pn -номер условия pn+1 = 1. (2)⇒(1). Если (ε0 , . . . , εn ) ∈ {0, 1}n+1 , то говорим, что алгебра B имеет тип (ε0 , . . . , εn ), когда B однородна, pi (B) = εi для i ∈ [0, n] и B/In+1 ∼ = 1. Будем использовать два следующих факта, которые доказываются в § 4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. По ∆05 (X)-индексу алгебры B 6= 0 и Σ04 (X)номеру условия Φ независимо от X можно вычислить ∆01 (X)-индекс алгебры C со свойствами:

138

П. Е. Алаев (a) если Φ ложно, то C — типа (0); (b) если Φ истинно, то C/I ∼ = B и для любого a ∈ C, под которым

лежит бесконечно много атомов, найдутся такие атомные элементы b, c ∈ C \ F (C), что b · c = 0 и b, c 6 a. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. По ∆04 (X)-индексу алгебры B 6= 0 и Σ04 (X)номеру условия Φ независимо от X можно вычислить ∆01 (X)-индекс алгебры C со свойствами: (a) если Φ ложно, то C/I ∼ = B, p0 (C) = 0; (b) если Φ истинно, то C — типа (1).
Говорим, что (ε0 , . . . , εn ) ∈ {0, 1}n+1 — (k, m)-хороший набор, если (k+3(t+1)+ε0 +...+εt−1 )

εt = 1 ⇔ ϕ ∅ m

(ε0 , . . . , εt−1 ) ↓ для t ∈ [0, n].

ЛЕММА 3. По (k, m) ∈ ω 2 и (ε0 , . . . , εn ) ∈ {0, 1}n+1 можно вычислить ∆0k+1 -индекс алгебры C со свойствами: (a) если (ε0 , . . . , εn ) — (k, m)-хороший набор, то C имеет тип (ε0 , . . . , εn ); (b) если (ε0 , . . . , εs−1 , ε′s ) — (k, m)-хороший набор, ε′s 6= εs , s 6 n, то C имеет тип (ε0 , . . . , εs−1 , ε′s ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукцией по n будем одновременно описывать алгоритм вычисления ∆0k+1 -индекса C и доказывать, что C обладает требуемым свойством. Б а з и с и н д у к ц и и: n = 0. Если ε0 = 1, то, применяя к B ∼ = 1 и (k+3)

условию Φ = ϕ∅ m

() ↓ предложение 1, получим требуемую C. Если же

ε0 = 0, то к тем же B и Φ применим предложение 2. И н д у к ц и о н н ы й ш а г: n ⇒ n + 1. Пусть даны (k, m) и (ε0 , . . . . . . , εn+1 ). Найдем m1 такое, что ϕYm1 (ε1 , . . . , εt ) = ϕYm (ε0 , ε1 , . . . , εt ) для всех 1 6 t 6 n + 1, Y ⊆ ω. Применяя алгоритм, построенный на предыдущем шаге, к (k + 3 + ε0 , m1 ) и набору (ε1 , . . . , εn+1 ), получим ∆0k+4+ε0 -алгебру (k+3)

B. К этой B и условию Φ = ϕ∅ m

() ↓ применим предложение 1 при ε0 = 1

и предложение 2 при ε0 = 0, получим ∆0k+1 -алгебру C. Если (ε0 ) — (k, m)-плохой набор, то C обладает требуемым свойством. Если же (ε0 ) — (k, m)-хороший, то (ε0 , ε1 , . . . , εr+1 ) будет (k, m)-

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

139

хорошим тогда и только тогда, когда (ε1 , . . . , εr+1 ) является (k+3+ε0 , m1 )хорошим. Отсюда и из предположения индукции нетрудно вывести, что C вновь обладает требуемым свойством. Лемма доказана. Рассмотрим произвольное M ∈ Σ0ω,g , пусть   χ (0) = 1 ⇔ ϕ∅(3) () ↓, M m0  χM (n + 1) = 1 ⇔ ϕ∅(3+3(n+1)+χM (0)+...+χM (n)) (χM (0), . . . χM (n)) ↓ . m0

Для любого t ∈ {1, 2, 3} построим однородную вычислимую алгебру A, соответствующую последовательности {t, pn }n∈ω , где pn = χM (n). Для всех n ∈ ω и (ε0 , . . . , εn ) ∈ {0, 1}n+1 построим вычислимые алгебры B(ε0 ,...,εn ) , применяя лемму 3 к (0, m0 ) и (ε0 , . . . , εn ); образуем из них последовательность {Bk }k∈ω так, чтобы по k ∈ ω можно было вычислить ∆01 -индекс Bk . Ясно, что для любого начального отрезка (p0 , . . . , pn ) найдется алгебра Bk , имеющая такой тип, а любая Bk будет соответствовать некоторому такому отрезку. Найдем последовательность вычислимых линейных порядков с наименьшим элементом {Lk }k∈ω такую, что Bk ∼ = BLk . Для t = 1 в качестве P Lk , для t = 2 — квадрат такой алгебискомой A можно взять BL , L = k∈ω

ры. В случае t = 3 пусть f : η → ω — вычислимая в естественном смысле функция со свойством: f −1 (l) плотно в η для любого l ∈ ω. Положим P A = BL , где L = Lf (q) . Теорема доказана. q∈η

Говорим, что множество M лежит в классе ∆0ω,g , если χM ∈ ∆0ω,g . Тогда M ∈ Σ0ω,g . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть g, h — вычислимые функции, g(x) > > h(x) > 1 для x ∈ ω, а g(ε0 , . . . , εn−1 , εn ) > g(ε0 , . . . , εn−1 ) для любых n ∈ ω, εi ∈ {0, 1}. Тогда существует M ∈ ∆0ω,g \ Σ0ω,h . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используем диагонализацию и определим χM (k) индукцией по k. Пусть χM (k1 ) уже определены для k1 < k. Необходимо, зная χM (0), . . . , χM (k − 1) и используя оракул ∅(s) , где s = = g(χM (0), . . . , χM (k − 1)) − 1, определить χM (k). Сделаем это так, чтобы

140

П. Е. Алаев

M 6= N , где N — множество из Σ0ω,h с номером k, а именно:   χ (0) = 1 ↔ ϕ∅(h()−1) () ↓, N

k

 χN (m + 1) = 1 ↔ ϕ∅(h(χN (0),...,χN (m))−1) (χN (0), . . . , χN (m)) ↓ . k

Перебирая t = 0, . . . , k − 1, будем проверять, верно ли, что χM (t) = = χN (t). Это можно сделать с оракулом ∅(s) . В самом деле, если χM (r) = = χN (r) для r < t, то вычисление χN (t) использует оракул ∅(s1 ) , где s1 = h(χM (0), . . . , χM (t − 1)) − 1 < g(χM (0), . . . , χM (t − 1)) − 1 6 s. Если хотя бы одно равенство неверно, то M 6= N , и полагаем χM (k) = 0. Если же χM (t) = χN (t) для t ∈ [0, k − 1], то можно вычислить χN (k) и положить χM (k) 6= χN (k). Предложение доказано. СЛЕДСТВИЕ 1. Для любого k > 1 существует ∆0k+1 -вычислимая однородная булева алгебра, не имеющая ∆0k -представления. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При k = 1 однородная алгебра A, определяемая последовательностью {1, pn }n∈ω , где pn = χM (n), M ∈ Σ0ω,g \ Σ0ω,g0 , g(x) = g0 (x) + 1, g0 (ε0 , . . . , εm ) = 4 + 3(m + 1) + ε0 + . . . + εm , имеет ∆01 (∅′ )представление и не имеет ∆01 -представления в силу релятивизации теоремы 1. Следствие доказано.

§ 2. Метатеорема для α-систем Далее нам понадобятся понятие α-системы и метатеорема, которая была впервые доказана в [8] и переработана в [9]. Вариант метатеоремы, используемый здесь, является комбинацией формулировок из [8, 10]. Чередующееся дерево на множествах L и U — это некоторое множество P , состоящее из непустых конечных последовательностей вида l0 u1 l1 u2 l2 . . . , где li ∈ L, ui ∈ U , и замкнутое относительно взятия начальных сегментов. Через P U, P L обозначаются множества элементов P четной и нечетной длины соответственно. Путь в P — это бесконечная последовательность π = l0 u1 l1 . . . , все начальные сегменты которой лежат в P . Для такого пути π через L(π) обозначается подпоследовательность элементов из L, т. е. l0 l1 . . . . Инструкцией для P называется такая

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

141

функция q : P L → U , что σq(σ) ∈ P , если σ ∈ P L. Исполнение пары (P, q) (q — инструкция для P ) — это путь π = l0 u1 l1 . . . в P , для которого q(l0 . . . un ln ) = un+1 , q(l0 ) = u1 . Если два вычислимых ординала α, β рассматриваются вместе и β < < α, то считаем, что соответствующие обозначения (которые подразумеваются под β, α) связаны отношением 1) — вычислимый ординал, то α-системой называется набор M = (L, U, P, ˆl, E, 6β )β<α , для которого выполняются свойства (1)— (5). (1) L, U — непересекающиеся в. п. множества, ˆl ∈ L, P — в. п. чередующееся дерево на L и U , все элементы которого начинаются c ˆl, E ⊆ L×ω — в. п. множество, 6β — рефлексивные и транзитивные бинарные отношения на L, которые в. п. равномерно по β < α. Если l ∈ L, то E(l) обозначает {n | (l, n) ∈ E}. Если π = l0 u1 l1 . . . — S E(li ). Для σ ∈ P через t(σ) обозначается последний путь в P , то E(π) = i∈ω

элемент из L, входящий в σ.

(2) Если γ < β < α, l 6β m, то l 6γ m. (3) Если l 60 m, то E(l) ⊆ E(m). (4) Если σu ∈ P U , k > 0, α > β0 > . . . > βk > 0, t(σ) = l0 6β0 l1 6β1 6β1 . . . 6βk−1 lk , то существует l ∈ L, для которого σul ∈ P , l0 6β0 6β0 l, . . . , lk 6βk l. (5) Если l, m ∈ L и . . . lum . . . ∈ P , то l 60 m. Определение α-системы естественно релятивизуется на случай произвольного оракула X. ТЕОРЕМА 2. Если α (> 1) — вычислимый ординал, M = (L, U, P, ˆl, E, 6β )β<α — α-система, q — ∆0α -инструкция для P , то существует ∆0α -исполнение π пары (P, q) такое, что E(π) в. п. Более того, для любого оракула X по α ∈ O, X-индексам всех составляющих α-системы и ∆0α (X)-индексу q можно независимо от X вычислить ∆0α (X)-индекс указанного π и X-в. п.-индекс E(π).

142

П. Е. Алаев ДОКАЗАТЕЛЬСТВО можно свести к использованию [10, теор. 2.1],

если положить Eβ равным E для 1 6 β 6 α и ⊆β равным 6β для 1 6 6 β < α. Замечание о равномерности результата по индексам составляющих содержится в конце доказательства указанной теоремы, релятивизация относительно оракула X тривиальна. Внимательный анализ упомянутого доказательства позволяет заметить равномерность конструкции и по α ∈ O, α > 1. Теорема доказана. Следующее предложение доказывается аналогично метатеореме из [8]. Оно является незначительным усилением теоремы 2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть α (> 1) — вычислимый ординал, M = = (L, U, P, ˆl, E, 6β )β6α — (α + 1)-система, q — ∆0 -инструкция для P . α+1

(1) Существуют α-система

M′

= (L, U ′ , P ′ , ˆl, E, 6β )β<α и ∆0α -

инструкция q ′ для P ′ такие, что для произвольного исполнения π ′ пары (P ′ , q ′ ) существует исполнение π пары (P, q), при котором L(π) — подпоследовательность в L(π ′ ) (тем самым, E(π ′ ) = E(π)). Более того, по индексу системы M и ∆0α+1 -индексу инструкции q можно вычислить индекс M′ и ∆0α -индекс q ′ , а по ∆0α -индексу π ′ — ∆0α+1 -индекс π с указанным свойством. (2) Если при этом в M справедливо ˆl 6α l для всех l ∈ L, то M′ обладает свойством: если ˆlu′ ∈ P ′ U ′ , l∗ ∈ L, γ < α, то найдется l ∈ L такой, что ˆlu′ l ∈ P ′ и l∗ 6γ l. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Положим U ′ = {l0 u1 l1 . . . un+1 ∈ P U | n > > 0, li 6α li+1 }, P ′ = {l0 σ1 l1 . . . | li ∈ L, σi ∈ U ′ , σi li ∈ P, t(σi ) 6α 6α li−1 , t(σi ) 6α li , li 60 li+1 , l0 = ˆl, σ1 = l0 u для некоторого u ∈ U }. При доказательстве того, что M′ является α-системой, не совсем тривиальна только проверка (4) из определения α-системы. Пусть τ l∗ σ ∈ P ′ , l∗ ∈ L, σ ∈ U ′ , α > β0 > . . . > βk , l∗ = l0 6β0 l1 6β1 . . . 6βk−1 lk . Докажем существование l с указанным в (4) свойством. Элемент σ равен ˆlu1 l1 . . . un ln un+1 . В силу свойств P ′ образуется цепочка ln 6α l0 6β0 6β0 l1 . . . 6βk−1 lk . Поскольку (4) верно для M, найдется l ∈ L такой, что σl ∈ P , ln 6α l, li 6βi l для i = 0, . . . , k. Тогда τ l∗ σl ∈ P ′ .

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

143

Определим инструкцию q ′ . Пусть q(σ) = lim qs (σ), где qs (σ) — ∆0α s→∞

функция. Можно считать, что σqs (σ) ∈ P для любого s, если σ ∈ P L. Пусть τ = l0 σ1 l1 . . . σn ln ∈ P ′ L, определим q ′ (τ ). Если τ = l0 , то q ′ (τ ) = = l0 q0 (l0 ). Пусть n > 1, σn = l0∗ u1 l1∗ . . . um . Возможны два случая. ∗ ). Тогда q ′ (τ ) = (a) Для всех i 6 m выполняется ui = qn (l0∗ u1 l1∗ . . . li−1

σn ln qn (σn ln ). ∗ ). Пусть i — (b) Для некоторого i 6 m имеем ui 6= qn (l0∗ u1 l1∗ . . . li−1 ∗ ). Тогда наименьший, обладающий таким свойством, u′i = qn (l0∗ u1 l1∗ . . . li−1 ∗ u′ . q ′ (τ ) = l0∗ u1 l1∗ . . . li−1 i

Очевидно, что q ′ — ∆0α -вычислимая функция. Нетрудно проверить, что она является инструкцией для P ′ . Пусть π ′ = l0 σ1 l1 . . . — исполнение пары (P ′ , q ′ ). Докажем существование такого исполнения π пары (P, q), что L(π) является подпоследовательностью в l0 l1 . . . . (i) (i) (i)

(i)

(i)

Пусть σi = l0 u1 l1 . . . uri . Легко проверить, что ri → ∞ и ut → u∗t при i → ∞ для каждого фиксированного t, это можно доказать индукцией (i) по t. Отсюда следует, что l → l∗ при i → ∞, и что π = ˆlu∗ l∗ u∗ l∗ . . . — t

t

1 1 2 2

исполнение пары (P, q). Для данного t > 1 рассмотрим первый шаг i, на (i)

(i)

котором ri > t и все u1 , . . . , ut окончательно стабилизировались. В этом (i) (i) (i)

(i)

случае σi = l0 u1 l1 . . . ut

и li = lt∗ . Поэтому L(π) — подпоследователь-

ность в L(π ′ ). Если при этом π ′ является ∆0α -путем, то π, как предел σi , будет ∆0α+1 -путем в P . (2) Если lσ ∈ P ′ , то σ = ˆlu, u ∈ U . Поскольку ˆl 6α l∗ , существует l ∈ L такой, что ˆlul ∈ P , l∗ 6γ l. Тогда ˆlσl ∈ P ′ . Предложение доказано. Заметим, что теорема 2 для конечных ординалов α вытекает и из предложения 4 с помощью индукции по α, так как для α = 1 она легко доказывается. § 3. Метатеорема для фактор-алгебр Пусть A, B — алгебры, T — оператор. Изоморфное вложение f : A → → B назовем T -стабильным, когда выполняются свойства: (1) если a ∈ T (A), то f (ˆ a) = fd (a);

144

П. Е. Алаев (2) если a 6∈ T (A), то f (a) 6∈ T (B). Из T -стабильности вложения f : A → B следует, что a ˆ ∼ (a) при = fd

a ∈ T (A) и T (A) = f −1 (T (B)).

Если A0 , A1 , . . . — последовательность алгебр, hi : Ai → Ai+1 — изоморфные вложения, то через Lim{Ai , hi }i∈ω обозначается прямой предел этой последовательности. Если Ai 6 Ai+1 , hi = IdAi , то этот предел обоS значаем также как Ai . i∈ω

Пусть даны последовательность алгебр B0 , B1 , . . . и T -стабильные

вложения hi : Bi → Bi+1 , а B = Lim{Bi , hi }i∈ω . Тогда определены стандартные вложения gi : Bi → B. Назовем оператор T стабильным, если для любых таких последовательностей {Bi }i∈ω и {hi }i∈ω отображения gi : Bi → B также являются T -стабильными. ЛЕММА 4. Операторы S, I и F являются стабильными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если a ∈ T (Bi ), то hi изоморфно отображает a ˆ на h[ ˆ на g[ i (a) и hi (a) ∈ T (Bi+1 ). Отсюда gi изоморфно отображает a i (a) и gi (a) ∈ T (B). Докажем, что a ∈ T (Bi ), если a′ ∈ T (B) и a′ = gi (a), где T равно I, F или S. Рассмотрим только случай T = I, остальные аналогичны. Допустим противное, т. е. a′ ∈ I(B) и a 6∈ I(Bi ). Тогда a′ = b′ + c′ , b′ — безатомный элемент в B, c′ — атомный. Пусть j ∈ ω, b, c ∈ Bj таковы, что j > i, gj (b) = b′ , gj (c) = c′ . Положим hij = hj−1 ◦. . .◦hi , hij = IdBi при i = j. Нетрудно проверить, что hij : Bi → Bj является T -стабильным вложением, gi = gj ◦hij , откуда hij (a) = b+c и hij (a) 6∈ T (Bj ). Следовательно, либо b не является безатомным в Bj , либо c не будет атомным. Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично. В Bj существует атом d 6 b. Значит, d ∈ T (Bj ), gj изоморфно отображает dˆ на g[ j (d), поэтому gj (d) (6 b′ ) — атом в B, получаем противоречие. Лемма доказана. Пусть A — ненулевая конечная алгебра, B — алгебра, {p1 < . . . < < pk } — все атомы A. Положим B · A = (B × {p1 }) × . . . × (B × {pk }), где B × {pi } — изоморфная копия B, образованная естественным переносом структуры алгебры с B на множество B × {pi }. В этом случае B × {pi } естественно отображается на главный идеал в B · A, наибольший элемент

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

145

этого идеала обозначим 1pi . Тем самым, B · A = ˆ1p1 ⊕ . . . ⊕ ˆ1pk . Пусть T — оператор, B — алгебра, B/T ∼ = 1, A1 6 A2 — конечные ненулевые алгебры. Определим каноническое вложение h : B ·A1 → B ·A2 . Если {p1 , . . . , pk } — атомы A1 , то B·A1 = ˆ1p1 ⊕. . .⊕ ˆ1pk , и достаточно задать h на ˆ1p1 , . . . , ˆ 1pk . Зададим его на ˆ 1p1 . Пусть {q1 , . . . , qn } — атомы в A2 такие, что q1 , . . . , qn |p1 и q1 < q2 < . . . < qn . Тогда B · A2 = ˆ1q1 ⊕ . . . ⊕ ˆ1qn ⊕ D. Пусть a = 1q1 + . . . + 1qn , r — естественный изоморфизм ˆ1p1 и ˆ1q1 . Если x ∈ T (ˆ 1p1 ), то h(x) = r(x). Если x ∈ ˆ1p1 \ T (ˆ1p1 ), то h(x) = a − r(1p1 − x). ЛЕММА 5. Если B/T ∼ = 1, то h — изоморфное T -стабильное вложение B · A1 в B · A2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим только случай, когда A1 = {0, p}, p — атом A1 . Общий случай будет следовать отсюда. Можно считать, что B · A1 = B, B · A2 = B ⊕ C. Если 1C — наибольший элемент в C, то   x, если x ∈ T (B), h(x) =  x + 1C в противном случае. Легко показать, что h является гомоморфизмом. Равенство h(x · y) = = h(x)·h(y) следует из того, что x·y 6∈ T (B), если x, y 6∈ T (B); Ker(h) = {0}. Очевидно также, что h является T -стабильным. Лемма доказана. Ниже нам понадобится критерий Воота изоморфизма алгебр: ЛЕММА 6. Пусть A, B — алгебры, N ⊆ A × B, причем (1) ha, 0i ∈ N ⇔ a = 0; (2) h0, bi ∈ N ⇔ b = 0; (3) если ha, bi ∈ N , x1 , x2 |a, то существуют ha1 , b1 i, . . . , han , bn i ∈ ∈ N такие, что a1 , . . . , an |a, b1 , . . . , bn |b и x1 , x2 представимы как суммы некоторых поднаборов из {a1 , . . . , an }; (4) если ha, bi ∈ N , y1 , y2 |b, то существуют ha1 , b1 i, . . . , han , bn i ∈ ∈ N такие, что a1 , . . . , an |a, b1 , . . . , bn |b и y1 , y2 представимы как суммы некоторых поднаборов из {b1 , . . . , bn }; (5) существуют a1 , . . . , an |1 в A, b1 , . . . , bn |1 в B такие, что hai , bi i ∈ ∈ N для i ∈ [1, n]. Тогда A изоморфна B.

146

П. Е. Алаев ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть A0 6 A1 6 . . . — последователь-

ность ненулевых конечных алгебр, T — стабильный оператор, B — алS Ai , C = Lim{B · Ai , hi }i∈ω , где hi : B · Ai → гебра, B/T ∼ = 1. Пусть A = i∈ω

→ B · Ai+1 — канонические вложения. Тогда A ∼ = C/T .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существуют естественные вложения gi : B · Ai → C, которые в силу условия будут T -стабильными. Если {p1 , . . . . . . , pk } — все атомы Ai , то положим B · Ai = ˆ1i,p1 ⊕ . . . ⊕ ˆ1i,pk . Воспользуемся критерием Воота: положим N = {hp, gi (1i,p )/T (C)i | i ∈ ω, p — атом в Ai } ∪ {h0, 0/T (C)i}. Проверим свойства из леммы 6. (1) 1i,p 6∈ T (B · Ai ), поэтому gi (1i,p ) 6∈ T (C). (2) Следует непосредственно из определения. (5) Если {p1 , . . . , pk } — все атомы A0 , то p1 , . . . , pk |1 в A0 , 10,p1 , . . . . . . , 10,pk |1 в B · A0 . (4) Пусть hp, gi (1i,p )/T (C)i ∈ N , gi (1i,p )/T (C) = x′ /T (C) + y ′ /T (C), x′ /T (C) · y ′ /T (C) = 0. Можно считать, что gi (1i,p ) = x′ + y ′ , x′ · y ′ = 0. Рассмотрим только случай x′ , y ′ 6∈ T (C). Пусть j > i, x, y ∈ B · Aj таковы, что x′ = gj (x), y ′ = gj (y). Положим hij = hj−1 ◦ . . . ◦ hi . Тогда gi = gj ◦ hij , hij (1i,p ) = x + y. Дальнейшие рассуждения ведем в B · Aj . Если q1 , . . . , qn — атомы Aj , q1 , . . . , qn |p, то из определения hs следует, что h\ 1j,q1 ⊕. . .⊕ ˆ 1j,qn . Для каждого t ∈ [1, n] либо x·1j,qt ∈ T (B·Aj ) ij (1i,p ) = ˆ и y · 1j,qt 6∈ T (B · Aj ), либо, наоборот, x · 1j,qt 6∈ T (B · Aj ) и y · 1j,qt ∈ ∈ T (B · Aj ). Отсюда x/T (B · Aj ) и y/T (B · Aj ) могут быть представлены как суммы поднаборов из {1j,q1 /T (B · Aj ), . . . , 1j,qn /T (B · Aj )}. В силу T стабильности gj аналогичное верно для x′ /T (C) и y ′ /T (C). Тем самым {hqt , gj (1j,qt )/T (C)i | 1 6 t 6 n} — требуемый для свойства (4) набор. (3) Если hp, gi (1i,p )/T (C)i ∈ N , x, y|p в A, то существуют j > i и q1 , . . . , qn — атомы в Aj такие, что q1 , . . . , qn |p, x, y представимы как суммы поднаборов из {q1 , . . . , qn }. Дальнейшие рассуждения аналогичны доказательству свойства (4). Предложение доказано. ЛЕММА 7. В условиях предложения 5 также выполняются и следующие свойства:

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

147

(1) если x ∈ C \ T (C), то существуют a ∈ B \ T (B), y 6 x и T стабильное вложение f : a ˆ → yˆ; (2) если x ∈ T (C), то существуют такие a1 , . . . , an ∈ T (B), что x ˆ∼ ˆ1 × . . . × a ˆn . =a ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть x ∈ C \ T (C). Тогда существует i ∈ ω такое, что x = gi (z), z ∈ B · Ai . Если p1 , . . . , pk — все атомы из Ai , то B · Ai = ˆ 1i,p1 ⊕ . . . ⊕ ˆ 1i,pk . Поскольку z 6∈ T (B · Ai ), найдется t такое, что z · 1i,pt 6∈ T (B · Ai ). В качестве y возьмем gi (z · 1i,pt ), тогда gi будет T ∼ ˆ1i,p , получаем стабильно вкладывать z\ · 1i,p в yˆ. Отсюда, используя B = t

t

требуемое. (2) Доказывается аналогично. Лемма доказана. Если фиксирован язык, то Σα - и Πα -формулы этого языка для ординалов α определяем как в [8]. Через Πα (M) обозначается множество всех Πα -предложений, истинных в модели M, запись M 6α N означает, что Πα (M) ⊆ Πα (N). Назовем M моделью простого типа, если для любого n ∈ ω число конечных бескванторных формул от переменных v1 , . . . , vn , неэквивалентных в M, конечно. ЛЕММА 8. Если M, N — счетные модели одного языка, M — модель простого типа, ординал α > 1, то эквивалентны следующие условия: (1) M 6α N; (2) для любых b1 , . . . , bn ∈ N, любого β < α найдутся a1 , . . . , an ∈ M такие, что (N, b1 , . . . , bn ) 6β (M, a1 , . . . , an ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Лемму можно проверить подобно [9, лемма 1] или непосредственно, рассматривая случаи α = 1 и α > 1. Если A — алгебра, a ¯ — конечный набор из A, то (A, a ¯) — модель простого типа. Для каждого n ∈ ω зафиксируем некоторый порядок на {0, 1}n . Если a ¯ = (a1 , . . . , an ) — набор элементов из алгебры A, то положим a ¯⊥ = {aε11 · . . . · aεnn }(ε1 ,...,εn )∈{0,1}n , где a1 = a, a0 = C(a). Ясно, что a ¯⊥ |1 в A. ЛЕММА 9. Пусть A, B — алгебры, a1 , . . . , an ∈ A, b1 , . . . , bn ∈ B, α — ординал. Тогда (1) (A, a ¯) 6α (B, ¯b) равносильно (A, a ¯⊥ ) 6α (B, ¯b⊥ );

148

П. Е. Алаев

(2) если a1 , . . . , an |1, b1 , . . . , bn |1, то (A, a ¯) 6α (B, ¯b) равносильно тому, что a ˆi 6α ˆbi для i ∈ [1, n]; (3) A 6α+1 B тогда и только тогда, когда для любых b1 , . . . , bn |1 из B существуют a1 , . . . , an |1 из A такие, что ˆbi 6α a ˆi для i ∈ [1, n]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Следует из того, что элементы a ¯иa ¯⊥ выражаются термами друг через друга. (2) Случай α = 0 разбирается на основе того, что в классе моделей вида (C, c1 , . . . , cn ), где C — алгебра, c1 , . . . , cn |1, все конечные бескванторные предложения эквивалентны пропозициональным комбинациям предложений ”c1 = 0“, . . . , ”cn = 0“, просто в C — предложения ”0 = 1“. Случай α > 0 можно доказать несложной индукцией по α, пользуясь леммой 8. Из рассуждений для (1) следует, что в п. (2) леммы 8 для N = = (C, c1 , . . . , cm ), где C — алгебра, можно рассматривать только b1 , . . . . . . , bn |1. (3) Непосредственно следует из предыдущих. Лемма доказана. Сформулированная ниже теорема 3 является для булевых алгебр некоторым аналогом теоремы 1 из [11], которая относится к линейным порядкам. Запись f : X →p Y означает, что f : X0 → Y — разнозначное отображение, X0 — некоторое конечное подмножество в X (может быть, пустое). Пусть L∗ = {(f, C) | C — алгебра, f : ω →p C}, LBA ∪ ω — язык LBA , в который добавлена константа для каждого элемента ω. Если l1 , l2 ∈ L∗ , l1 = (f1 , C1 ), l2 = (f2 , C2 ), γ — ординал, то l1 6γ l2 означает, что dom(f1 ) ⊆ dom(f2 ), и если dom(f1 ) = {a1 , . . . , an }, то (C1 , f1 (a1 ), . . . , f1 (an )) 6γ (C2 , f2 (a1 ), . . . , f2 (an )). В случае f1 = ∅ это означает C1 6γ C2 . Если l ∈ L∗ , l = (f, C), то E(l) = {ψ(a1 , . . . , an ) | ψ(v1 , . . . , vn ) — атомарная формула LBA или отрицание атомарной формулы, a1 , . . . , an ∈ ∈ dom(f ), C |= ψ(f (a1 ), . . . , f (an ))} — это множество предложений языка LBA ∪ ω. В теории булевых алгебр для фиксированного n ∈ ω существует лишь конечное число неэквивалентных атомарных формул от перемен-

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

149

ных v1 , . . . , vn , и этот набор формул можно эффективно построить по n. Зафиксируем такое построение, и будем рассматривать E(l) как конечное множество, построенное только из таких формул. Используя геделевскую нумерацию формул языка LBA ∪ ω, можно также считать E(l) подмножеством в ω. ЛЕММА 10. Пусть k > 1, ординалы γ1 > γ2 > . . . > γk > 0, l1 , . . . , lk ∈ L∗ , li 6γi li+1 для i ∈ [1, k − 1], l1 = (f1 , C1 ). Тогда существует l ∈ L∗ , l = (f, C1 ) такой, что f1 ⊆ f , li 6γi l для i ∈ [1, k]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по k, подобно [9, лемма 3], с использованием леммы 8. Последовательность алгебр {An }n∈ω называется вычислимой, если An — вычислимые алгебры, а индекс An вычисляется по n ∈ ω. Если α — вычислимый ординал, то вычислимая последовательность {An }n∈ω Q Q ¯) ⊆ β (Am , ¯b) на является α-дружественной, если отношение β (An , a n, m ∈ ω, a ¯ ∈ An , ¯b ∈ Am , |¯ a| = |¯b|, и β < α, является в. п. Индексом α-дружественного семейства {An }n∈ω называется пара из индекса вычислимой функции, которая по n ∈ ω вычисляет индекс An , и в. п.-индекса указанного отношения. ТЕОРЕМА 3. Пусть B — бесконечная вычислимая булева алгебра, T — стабильный оператор, B/T ∼ = 1, T (B) — вычислимое подмножество в B. Пусть также α (> 1) — вычислимый ординал, a ˆ 6γ a ˆ × B для любых γ < α и a ∈ B\T (B), а {B n }n∈ω является α-дружественным семейством. Тогда для любой ∆0α -вычислимой булевой алгебры A 6= 0 существует вычислимая булева алгебра C со свойствами: (1) C/T ∼ = A; (2) если x ∈ C \ T (C), то существует a ∈ B \ T (B), y 6 x и T стабильное вложение f : a ˆ → yˆ; (3) если x ∈ T (C), то существуют такие a1 , . . . , an ∈ T (B), что ˆ1 × . . . × a ˆn . x ˆ∼ =a Более того, по α ∈ O, индексам B, T (B), α-дружественного семейства {B n }n∈ω и ∆0α -индексу A можно вычислить индекс C.

150

П. Е. Алаев ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим α-систему M. Определим компо-

ненты: L = {(f, C) ∈ L∗ | C = B · A∗ , A∗ — ненулевая конечная алгебра} (ясно, что L можно считать в. п. множеством); U = {A∗ | A∗ — ненулевая конечная алгебра}; ˆl = (∅, B · 1), E = {(l, n) | n ∈ E(l)}; отношения 6β на L индуцируются соответствующими отношениями 6β на L∗ . Определим дерево P как множество всех конечных последовательностей l0 u1 l1 u2 l2 . . . , для которых ui ∈ U , li ∈ L, l0 = ˆl и верны указанные ниже свойства (a)—(e). Пусть li = (fi , B · Ai ), hi : B · Ai → B · Ai+1 — канонические вложения. (a) ui = Ai ; (b) Ai 6 Ai+1 , li 60 li+1 ; (c) dom(fi+1 ) содержит [0, i]; (d) если i < j, hij = hj−1 ◦ . . . ◦ hi , то hij (B · Ai ∩ [0, j]) ⊆ ran(fj ); (e) hi ◦ fi ⊆ fi+1 . Легко проверить, что M является α-системой. То, что P — в. п. дерево, следует из того, что каноническое вложение hi : B ·Ai → B ·Ai+1 вычислимо при вычислимых B и T (B). Проверим свойство (4) из определения αсистемы: пусть σl0 u ∈ P , α > β0 > . . . > βk > 0, l0 6β0 l1 6β1 . . . 6βk−1 lk , lj ∈ L. Докажем существование l ∈ L такого, что σl0 ul ∈ P , lj 6βj l для j ∈ [0, k]. Пусть l0 = (fi , B · Ai ), u = Ai+1 . По лемме 10 существует f : ω →p B · Ai , f ⊇ fi , такое, что lj 6βj (f, B · Ai ) для j ∈ [0, k]. Положим g0 = hi ◦ f , в качестве l возьмем (g, B · Ai+1 ), где g — расширение g0 , которое удовлетворяет свойствам (c) и (d). Если (f, B · Ai ) 6β0 (g0 , B · Ai+1 ), то все требуемые свойства l будут выполняться. Достаточно показать (B · Ai , a ¯) 6β0 (B · Ai+1 , hi (¯ a)) для любого a ¯ из B · Ai . В силу леммы 9 можно считать, что a ¯|1. Если B · Ai = ˆ1p1 ⊕ ⊕ . . .⊕ ˆ 1pk , то вместо a ¯ можно взять всевозможные произведения элементов a ¯ и 1pj , а затем вновь пользуясь леммой 9, свести задачу к тому, что (B · ·1, a ¯) 6β0 (B · n, h(¯ a)) для любого a ¯|1 в B · 1, если h — каноническое вложе-

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

151

ние B · 1 в B · n, n > 1. Пусть a ¯ = (a1 , . . . , am ), a1 ∈ 6 T (B · 1), aj ∈ T (B · 1) [ [ ∼ ˆj для j > 2. По условию ∼ ˆ1 × B n−1 и h(a для j > 2. Тогда h(a j) = a 1) = a [ a ˆ1 6β a ˆ1 × B, отсюда a ˆ 1 × B 6β a ˆ1 × B 2 и т. д. Получаем, что a ˆi 6β h(a i) 0

0

0

для i ∈ [1, m]. То, что отношения 6β в. п. на L, следует из α-дружественности {B n }n∈ω , поскольку B · A∗ ∼ = B n . Построение M закончено. Определим инструкцию q. Если A — ненулевая ∆0α -вычислимая алгебра, то существует ∆0α -вычислимая последовательность конечных алгебр ∼ S Ai , 1 6 Ai 6 Ai+1 . Если σ ∈ P L, σ = l0 u1 l1 . . . uk lk , Ai такая, что A = i∈ω

то положим

  u , если uk 6= Ak , k q(σ) =  Ak+1 , если uk = Ak , q(l0 ) = A1 .

Согласно теореме 2 у (P, q) существует исполнение π = ˆlu1 l1 u2 l2 . . . S E(li ) в. п. Из определения P следует, что D будет диатакое, что D = i∈ω

граммой алгебры, изоморфной Lim{B · Ai , hi }i∈ω . Обозначим эту алгебру как C. В силу предложения 5 она удовлетворяет п. (1) теоремы. (2), (3). Непосредственно следуют из леммы 7. Теорема доказана. Приведенное ниже следствие является известным (см. [3, 5]) и может также быть доказано с использованием линейных порядков и теорем из [11]. Однако в некоторых случаях сведение задач для алгебр к задачам для порядков может вызвать трудности, так как отношения 6α в порядках устроены сложнее (уже полное описание 62 — не очень простая задача), и выбор порядка для алгебры неоднозначен. СЛЕДСТВИЕ 2. (1) Если A 6= 0 — ∆03 -алгебра, то существует ∼ A. атомная ∆0 -алгебра C такая, что C/F = 1

(2) Если A 6= 0 — ∆04 -алгебра, то существует ∆01 -алгебра C такая, что C/S ∼ = A, p0 (C) = 0. (3) Если A 6= 0 — ∆05 -алгебра, то существует ∆01 -алгебра C такая, что C/I ∼ = A и для любого a ∈ C, под которым лежит бесконечно много атомов, найдутся такие атомные элементы b, c ∈ C \ F (C), что b · c = 0

152

П. Е. Алаев

и b, c 6 a. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выбирая (в теореме 3) B = Bω , Bω+η или Bω×η+η , T = F, S или I, α = 3, 4 или 5, получаем соответственно пп. (1), (2) или (3). Опираясь на лемму 11, нетрудно выбрать для B такие вычислимые представления, что семейства {B n }n∈ω станут α-дружественными. Покажем, что p0 (C) = 0 в (2). Пусть x — атомный и x ∈ C \ F (C). Тогда x 6∈ S(C) и согласно п. (2) теоремы 3 в x ˆ содержится почти весь идеал S(B), в частности, некоторый безатомный элемент, получаем противоречие. Аналогично доказываются (1) и (3). Следствие доказано.

§ 4. Некоторые вспомогательные факты Пусть B0 = Bω+η , B1 = Bω×η+η . Предполагаем, что для B0 и B1 зафиксированы некоторые вычислимые представления. Докажем одно предложение из § 1. Переформулируем его как ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2′ . По ∆04 (X)-индексу алгебры A 6= 0 и Σ04 (X)номеру условия Φ независимо от X можно вычислить ∆01 (X)-индекс алгебры C со свойствами: (1) если Φ ложно, то C/S ∼ = A, p0 (C) = 0; (2) если Φ истинно, то C ∼ = B1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим 4-систему M. Пусть X = ∅. Положим U = {⊤} ∪ {A∗ | A∗ 6= 0 — конечная алгебра}, L = {(f, D) ∈ L∗ | D = B1 или D = B0 · A∗ , A∗ 6= 0 — конечная алгебра}. Отношения 6γ , γ ∈ [0, 3], и E переносятся на L из L∗ , ˆl = (∅, B0 · 1). Дерево P будет сходно с деревом из теоремы 3. Оно состоит из всех конечных последовательностей l0 u1 l1 . . . , где ui ∈ U , li ∈ L, l0 = ˆl и справедливы свойства (a)—(j) ниже. Пусть li = (fi , Di ). (a) Если ui = ⊤, то Di = B1 и ui+1 = ⊤; (b) если ui 6= ⊤, то Di = B0 · ui ;

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

153

(c) li 60 li+1 ; (d) dom(fi+1 ) ⊇ [0, i]; (e) если ui = ⊤, то ran(fi ) ⊇ B1 ∩ [0, i]; (f) если ui , ui+1 = ⊤, то fi ⊆ fi+1 ; (g) если ui , ui+1 6= ⊤, то ui 6 ui+1 . Пусть i < j, ui , ui+1 , . . . , uj 6= ⊤, lt = (ft , B0 · At ) для t ∈ [i, j], ht : B0 · At → B0 · At+1 — канонические вложения, hij = hj−1 ◦ . . . ◦ hi . (h) Справедливо ht ◦ ft ⊆ ft+1 для t ∈ [i, j − 1]; (j) hij (B0 · Ai ∩ [0, j]) ⊆ ran(fj ). Система M построена. Отношения 6γ , γ ∈ [0, 3], в. п., поскольку можно, используя лемму 11, так выбрать вычислимые представления для B0 и B1 , что семейство {B1 , B0n }n∈ω будет 4-дружественным. Проверка того, что M — 4-система, сводится к проверке (4) из определения α-системы. Пусть n ˆlu1 l1 . . . uk lk u ∈ P U , lk = l0 6β l1 . . . 6β 0 n−1 l , 4 > β0 > . . . > βn > 0, lk = (f0 , D0 ). Используя лемму 10, находим f ⊇ f0 такое, что li 6βi (f, D0 ) для i ∈ [0, n]. Возможны три случая. (i) Пусть u = ⊤, uk = ⊤. Расширяя f так, чтобы выполнить (d) и (e), получим требуемое l. (ii) Пусть u 6= ⊤ и (uk 6= ⊤ или k = 0). Действуем, как в теореме 3, полагая B = B0 , T = S. Это возможно, так как a ˆ 63 a ˆ × B0 , если a ∈ ∈ B0 \ S(B0 ). (iii) Пусть u = ⊤ и (uk = A∗ 6= ⊤ или k = 0). В этом случае D0 = B0 · ·A∗ . В силу леммы 11, B1 64 B0 · A∗ . Пусть dom(f ) = {y1 , . . . , ym }. Найдутся b1 , . . . , bm ∈ B1 такие, что (B0 · A∗ , f (y1 ), . . . , f (ym )) 63 (B1 , b1 , . . . , bm ). Если g : dom(f ) → B1 , g(yi ) = bi , то (f, B0 · A∗ ) 63 (g, B1 ). Расширив g так, чтобы выполнялись (d) и (e), получим искомое l. S Ai , {Ai }i∈ω — ∆04 -выОпределим инструкцию q. Пусть A ∼ = i∈ω

числимая последовательность ненулевых конечных алгебр, 1 6 Ai 6 (3) 6 Ai+1 . Пусть σ = ˆlu1 l1 . . . uk lk ∈ P L, условие Φ имеет вид ϕ∅ m (n) ↓. Положим

154

П. Е. Алаев

q(σ) =

    ⊤,   

uk ,

(3)

если uk = ⊤ или ϕ∅ m,k (n) ↓, (3)

если uk 6= ⊤, ϕ∅ m,k (n) ↑ и uk 66 Ak+1 , (3)

Ak+1 , если uk 6= ⊤, ϕ∅ m,k (n) ↑ и uk 6 Ak+1 , q(ˆl) = A1 .

Пусть π = ˆlu1 l1 . . . — исполнение пары (P, q), и E(π) является в. п. Если Φ ложно, то E(π) будет вычислимой диаграммой искомой алгебры C, как показано в доказательствах теоремы 3 и следствия 2. Если же Φ истинно, то E(π) — диаграмма B1 . Предложение доказано. Другое предложение можно переформулировать как ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1′ . По ∆05 (X)-индексу алгебры A 6= 0 и Σ04 (X)номеру условия Φ независимо от X можно вычислить ∆01 (X)-индекс алгебры C со свойствами: (1) если Φ ложно, то C ∼ = B0 ; (2) если Φ истинно, то C/I ∼ = A, и если под a ∈ C лежит бесконечно много атомов, то найдутся такие атомные элементы b, c ∈ C \ F (C), что b · c = 0 и b, c 6 a. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Считаем, что X = ∅. Полагая B = B1 , T = I, α = 5 в условии теоремы 3, построим 5-систему M0 и инструкцию q0 в точности так, как указано в доказательстве этой теоремы. Пусть M0 = = (L0 , U0 , P0 , ˆl0 , E0 , 6∗β )β<5 . Напомним, что L0 = {(f, B1 · A∗ ) ∈ L∗ | A∗ 6= 6= 0 — конечная алгебра}, ˆl0 = (∅, B1 · 1). Если π0 — исполнение пары (P0 , q0 ), то E(π0 ) — диаграмма алгебры C со свойствами, указанными в (2). Согласно предложению 4 по 5-системе M0 и инструкции q0 можно построить 4-систему M1 = (L0 , U1 , P1 , ˆl0 , E0 , 6∗ )β<4 и ∆0 -инструкцию q1 β

4

так, чтобы любое исполнение π1 пары (P1 , q1 ) порождало исполнение π0 пары (P0 , q0 ) со свойством E(π1 ) = E(π0 ). Построим новую 4-систему M = (L, U, P, ˆl, E, 6β )β<4 . Положим U = U1 ∪ {⊥}, L = L0 ∪ {(f, B0 ) | (f, B0 ) ∈ L∗ }. Отношения E и 6β , как всегда, переносятся на L из L∗ , ˆl = (∅, B0 ).

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

155

Определим P как множество всех конечных последовательностей l0 u1 l1 u2 l2 . . . , где ui ∈ U , li ∈ L, l0 = ˆl и выполняются указанные ниже свойства (a)—(e). Пусть li = (fi , Di ). (a) Если ui = ⊥, то Di = B0 и ui−1 = ⊥ (при i > 1); (b) li 60 li+1 ; (c) dom(fi ) ⊇ [0, i], ran(fi ) ⊇ B0 ∩ [0, i] при ui = ⊥; (d) если ui , ui+1 = ⊥, то fi ⊆ fi+1 ; (e) если существует i, для которого ui 6= ⊥, то ˆl0 σ ∈ P1 , где σ = = ui li ui+1 li+1 . . . и i — наименьшее из упомянутых. Вновь проверяем только (4) из определения α-системы: пусть ˆlu1 l1 . . . . . . uk lk u ∈ P U , 4 > β0 > . . . > βn > 0, lk = l0 6β0 l1 6β1 . . . 6βn−1 ln , lk = = (f0 , D). Используя лемму 10, найдем такую f ⊇ f0 , что li 6βi (f, D) для i ∈ [0, n]. Укажем способ отыскания требуемого l. Возможные следующие случаи: (i) Пусть uk 6= ⊥, u 6= ⊥. Пусть i — такое наименьшее число, что ui 6= ⊥, и σ = ui li . . . uk lk u, тогда ˆl0 σ ∈ P1 и (f, D) ∈ L0 . Поскольку lk = l0 6β (f, D), и M1 — 4-система, найдется такой l ∈ L0 , что ˆl0 σl ∈ P1 , 0

l0

6β0 l и (f, D) 6β1 l. (ii) Пусть u = ⊥ и (uk = ⊥ или k = 0). Расширяя f так, чтобы

выполнить (c), получим l. (iii) Пусть u 6= ⊥ и (uk = ⊥ или k = 0). Тогда lk = (f0 , B0 ). Пусть dom(f ) = {y1 , . . . , ym }. Поскольку B1 · 1 64 B0 , найдутся b1 , . . . , bm ∈ B1 · 1 такие, что (B0 , f (y1 ), . . . , f (ym )) 63 (B1 · 1, b1 , . . . , bm ). Пусть g : dom(f ) → → B1 · 1, g(yi ) = bi , l′ = (g, B1 · 1). Заметим, что M0 удовлетворяет п. (2) предложения 4. Поэтому найдется l ∈ L0 такой, что ˆl0 ul ∈ P1 , l′ 63 l. Тогда ˆlu1 l1 . . . uk lk ul ∈ P . (3) ˆ Инструкция q: пусть условие Φ имеет вид ϕ∅ m (n) ↓, τ = lu1 l1 . . .

. . . uk lk ∈ P L. Если существует i такое, что ui 6= ⊥, то пусть i — наименьшее из них, а σ = ui li . . . uk lk . Положим  (3)  если uk = ⊥, ϕ∅  m,k (n) ↑,  ⊥, (3) q(τ ) = q1 (ˆl0 ), если uk = ⊥, ϕ∅ m,k (n) ↓,    q1 (ˆl0 σ), если uk 6= ⊥,

156

П. Е. Алаев q(ˆl) = ⊥. Пусть π — исполнение (P, q). Если Φ ложно, то E(π) — диаграмма

B0 . В противном случае с некоторого шага π будет соответствовать исполнению (P1 , q1 ), а E(π) даст диаграмму алгебры C с указанными в (2) свойствами. Предложение доказано. В заключение опишем на алгебрах отношения 6α для α 6 4. Через at(A) обозначим множество атомов алгебры A, |A| — мощность A, θ(A) = = sup{n ∈ ω | существуют атомные элементы a1 , . . . , an ∈ A \ F (A) такие, что ai · aj = 0 при i 6= j} — эта характеристика принимает значения в ω ∪ {∞}. ЛЕММА 11. Отношения 60 , . . . , 64 на алгебрах могут быть описаны следующим образом. (0) A 60 B равносильно A = 0 ⇔ B = 0. (1) A 61 B равносильно |A| > |B| и (A = 0 ⇔ B = 0). (2) A 62 B равносильно |A| = |B| и |at(A)| > |at(B)|. (3) A 63 B равносильно |A| = |B|, |at(A)| = |at(B)|, |A/F | > |B/F | и (A атомная ⇒ B атомная). (4) A 64 B равносильно выполнению следующего списка условий: (a) |A| = |B|; (b) |at(A)| = |at(B)|; (c) |A/F | = |B/F |; (d) A — атомная ⇔ B — атомная; (e) |at(A/F )| > |at(B/F )|; (f) |A/S| > |B/S|; (g) θ(A) > θ(B); (h) B/I = 0 ⇒ A/I = 0; (i) (B/I = 0 и |B/S| < ∞) ⇒ |A/S| = |B/S|. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Описание отношений 6i для i = 0, . . . , 3 — несложное упражнение, каждое следующее выводится из предыдущего на основе леммы 9. Сделаем некоторые комментарии к переходу от 63 к 64 . Н е о б х о д и м о с т ь списка условий. Если A 64 B, то A 63 B и

Вычислимые однородные булевы алгебры и одна метатеорема

157

B 63 A, отсюда сразу следуют пункты (a)—(d). Условие |B/S| > 2n , n ∈ ω, равносильно существованию b1 , . . . , bn |1 в B таких, что ˆbi содержат бесконечное количество атомов. Условие |at(B/F )| > n — существованию b1 , . . . , bn ∈ B таких, что bi — атомные элементы, bi · bj = 0 при i 6= j и ˆbi /F ∼ = 1. Исходя из описаний такого вида, нетрудно проверить необходимость каждого из условий (e)—(i). Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть b1 , . . . , bn |1 в B. Покажем, что существуют a1 , . . . , an |1 в A такие, что ˆbi 63 a ˆi . Можно считать, что набор b1 , . . . , bn разбивается на четыре части: b∗1 , . . . , b∗s — элементы с конечным числом атомов; b′ , . . . , b′ — атомные элементы, ˆb′ /F ∼ = 1; b′′ , . . . , b′′ — атомные 1

i

k

1

m

′′′ элементы, |ˆb′′i /F | = ∞; b′′′ 1 , . . . , bl — неатомные, с бесконечным числом

атомов под ними. Тогда |at(B/F )| > k, θ(B) > k + m, |B/S| > 2k+m+l , и для A верны аналогичные неравенства. Рассмотрим только случай l 6= 0, как наиболее сложный. Стратегия выбора a1 , . . . , an такова: 1) a′1 , . . . , a′k ∈ A — атомные элементы такие, что a ˆ′i /F ∼ = 1. Если A = (a′ +\ . . . + a′ ) ⊕A1 , то θ(A1 ) > m, |A1 /S| > 2m+l ; 1

2)

k ′′ ′′ a1 , . . . , am

— такие атомные элементы из A1 , что a′′i 6∈ F (A), и если

A1 = (a′′1 +\ . . . + a′′m ) ⊕ A2 , то |A2 /S| > 2l — такой набор всегда можно найти; ′′′ 3) A2 нетрудно разделить на элементы a∗1 , . . . , a∗s и a′′′ 1 , . . . , al с тре-

буемыми свойствами, так как A2 не является атомной. Для завершения доказательства необходимо еще рассмотреть несложные случаи l = 0, m 6= 0 и l = 0, m = 0. Лемма доказана. Автор благодарен С. С. Гончарову за указание на некоторые неточности и ценные советы в ходе обсуждения работы.

ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Морозов, Счетные однородные булевы алгебры, Алгебра и логика, 21, N 3 (1982), 269—282. 2. Логическая тетрадь. Нерешенные вопросы математической логики, под ред. Ю. Л. Ершова, С. С. Гончарова, Новосибирск, Институт математики СО АН СССР, 1986.

158

П. Е. Алаев 3. С. Ю. Подзоров, Рекурсивные однородные булевы алгебры, Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 174—191. 4. L. Feiner, Hierarchies of Boolean algebras, J. Symb. Log., 35, N 3 (1970), 365— 374. 5. C. П. Одинцов, В. Л. Селиванов, Арифметическая иерархия и идеалы нумерованных булевых алгебр, Сиб. матем. ж., 30, N 6 (1989), 140—149. 6. С. С. Гончаров, Счетные булевы алгебры и разрешимость, Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 7. Х. Роджерс, Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, Москва, Мир, 1972. 8. C. J. Ash, Recursive labelling systems and stability of recursive structures in hyperarithmetical degrees, Trans. Am. Math. Soc., 298, N 2 (1986), 497—514. 9. C. J. Ash, Labelling systems and r.e. structures, Ann. Pure Appl. Logic, 47, N 2 (1990), 99—119.

10. C. J. Ash, J. F. Knight, Ramified systems, Ann. Pure Appl. Logic, 70, N 3 (1994), 205—221. 11. C. J. Ash, A construction for recursive linear orderings, J. Symb. Logic, 56, N 2 (1991), 673—683.

Поступило 23 апреля 2002 г. Адрес автора: АЛАЕВ Павел Евгеньевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]