Оглавление 1 Системы корней и группы Вейля §1 Системы корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 Функция длины . . ...
9 downloads
303 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Оглавление 1 Системы корней и группы Вейля §1 Системы корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 Функция длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3 Параболические подгруппы в группе Вейля . . . §4 Матрица Картана и диаграмма Дынкина . . . . . §5 Классификация неразложимых корневых систем §6 Диаграммы Дынкина подсистем . . . . . . . . . . §7 Классы сопряжённых элементов в группах Вейля §8 Ряды в группе Вейля . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
1 1 4 6 9 10 16 24 27
2 Введение в алгебраическую геометрию §1 Кольца и модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 Свойства целых расширений . . . . . . . . . . . . §3 Расширения полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4 Аффинные многообразия, топология Зарисского §5 Проективные многообразия . . . . . . . . . . . . . §6 Предмногообразия и многообразия . . . . . . . . §7 Размерность многообразий . . . . . . . . . . . . . §8 Морфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §9 Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . §10 Полные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
29 29 31 36 39 44 46 52 56 59 62
. . . . . . . . .
65 65 68 69 71 73 76 78 80 81
4 Строение алгебраических групп §1 Диагонализируемые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 Жёсткость диагонализируемых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3 Полупростые элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84 84 87 89
3 Линейные алгебраические группы §1 Алгебраические группы. Простейшие свойства . . . §2 Линейные алгебраические группы . . . . . . . . . . . §3 Действие алгебраической группы на многообразиях §4 Алгебра Ли алгебраической группы . . . . . . . . . . §5 Присоединённое представление . . . . . . . . . . . . §6 Дифференциал морфизма Ad. Некоторые следствия §7 Разложение Жордана-Шевалле . . . . . . . . . . . . §8 Теорема Шевалле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §9 Многообразие смежных классов . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
ОГЛАВЛЕНИЕ
ii §4 §5 §6 §7 §8 §9 §10
Сопряжённость подгрупп Бореля . . . . Связные разрешимые группы . . . . . . Нормализатор подгруппы Бореля . . . . Группы Вейля и действие торов на G/B Унипотентный радикал . . . . . . . . . . Одномерные T -инвариантные подгруппы Абстрактные корневые системы . . . . .
5 BN-пары и изоморфизм §1 Группы с BN-парой . . . . . . . . . . . . §2 Расщеплённые BN-пары . . . . . . . . . §3 Группы Кокстера . . . . . . . . . . . . . §4 BN-пары в алгебраических группах . . . §5 Фундаментальная группа . . . . . . . . . §6 Теорема об изоморфизме . . . . . . . . . §7 Изоморфизм полупростых групп ранга 2 §8 Существование простых групп . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
93 95 98 103 108 114 116
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
121 121 125 129 130 132 133 141 149
6 Подгруппы и автоморфизмы алгебраических групп §1 Разложение Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 Теорема Бореля-Титса . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3 Централизаторы полупростых элементов . . . . . . . . §4 Представления линейных алгебраических групп . . . . §5 Автоморфизмы линейных алгебраических групп . . . §6 Теорема Ленга-Стейнберга . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
150 150 151 152 154 155 159
7 Конечные группы лиева типа §1 Классы σ-инвариантных подгрупп . . . . . . §2 BN-пары в конечных группах лиева типа . §3 Порядок конечных групп лиева типа . . . . ′ §4 Строение группы Gσ /O p (Gσ ) . . . . . . . . §5 Простота групп лиева типа . . . . . . . . . . §6 Автоморфизмы конечных групп лиева типа §7 Задачи к экзамену . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
161 161 164 166 169 171 174 174
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Указатель терминов
175
Предметный указатель
178
Литература
179
ootSystemChapter}
Глава 1. Системы корней и группы Вейля В данной главе мы будем в основном следовать [4, Глава 2].
§1
Системы корней
tionOfRootSystem}
Определение 1.1.1. Пусть V — это евклидово пространство размерности ℓ. Тогда для каждого ненулевого вектора α ∈ V через wα мы обозначим отражение относительно гиперплоскости ортогональной вектору α. Отражение — это линейное преобразование, которое задаётся равенствами (α)wα = −α и (β)wα = β для всех векторов β, ортогональных вектору α, и продолжается по линейности на всё пространство. Для произвольного вектора v ∈ V мы имеем (α, v) · α. (v)wα = v − 2 (α, α) Отметим, что wα является ортогональным преобразованием пространства V . Определение 1.1.2. Подмножество Φ евклидова пространства V называется корневой системой если выполнены следующие аксиомы: (RS1) Φ является конечным множеством ненулевых векторов. (RS2) Φ порождает пространство V . (RS3) Если α, β ∈ Φ, то (β)wα ∈ Φ. (RS4) Если α, β ∈ Φ, то 2(α, β)/(α, α) целое. (RS5) Если α, λα ∈ Φ, где λ ∈ R, то λ = ±1. Заметим, что из аксиомы (RS3) следует что если α ∈ Φ, то и −α ∈ Φ. Элементы корневой системы Φ называются корнями. Размерность ℓ векторного пространства V называется рангом корневой системы Φ. Пусть Φ — корневая система. Через W (Φ) обозначим группу, порождённую отражениями wα для всех α ∈ Φ. Группа W (Φ) называется группой Вейля корневой системы Φ. Ввиду аксиомы (RS3), каждый элемент из W (Φ) оставляет корневую систему Φ инвариантной. Кроме того, ввиду аксиомы (RS2), W (Φ) действует точно на Φ. Поскольку Φ — конечное множество, отсюда следует, что W (Φ) — конечная группа. Далее мы построим в корневой системе Φ подмножество Π, которое состоит из линейно независимых векторов и любой корень из Φ представим в виде линейной комбинации элементов из Π, все коэффициенты которой либо неотрицательны, либо неположительны. Такое подмножество Π называется фундаментальным набором корней . Снабдим пространство V линейным порядком, удовлетворяющим следующим условиям:
2
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ 1. Если v ∈ V + и λ > 0, то λv ∈ V + . 2. Если v1 , v2 ∈ V + , то и v1 + v2 ∈ V + . 3. Для любого v ∈ V либо v ∈ V + , либо v ∈ (−V + ) = V − , либо v = 0.
Подобное упорядочение можно взять, например, выбрав базис v1 , . . . , vℓ пространства V и положив v ∈ V + в том и только в том случае, когда первый из ненулевых коэффициентов в разложении v = λ1 v1 + . . . + λℓ vℓ больше нуля. Определим теперь порядок ≻, полагая v1 ≻ v2 если v1 − v2 ∈ V + . Ясно что ≻ даёт нам линейный порядок на V , согласованный со сложением и умножением на скаляр из R. Подмножество Φ ∩ V + назовём положительным набором корней и обозначим его через Φ+ . Теперь мы докажем существование фундаментального набора корней в Φ. {FundSystExists}
Лемма 1.1.3. Любой положительный набор корней в Φ содержит фундаментальный набор. Доказательство. Пусть Φ+ — это положительный набор в Φ. Тогда существует некоторый линейный порядок на V для которого Φ+ = Φ ∩ V + . Пусть Π — это подмножество набора Φ+ , удовлетворяющее условиям: (1) Любой корень в Φ+ является линейной комбинацией корней из Π с неотрицательными коэффициентами. (2) Никакое собственное подмножество множества Π не удовлетворяет (1). Такое подмножество существует, поскольку само множество Φ+ удовлетворяет (1). Мы покажем, что подмножество Π, удовлетворяющее (1) и (2) является фундаментальным набором. Для этого достаточно доказать, что Π линейно независимо. Докажем сначала, что (α, β) 6 0 для любых двух различных корней α, β из Π. Предположим противное: для некоторых α, β ∈ Π справедливо неравенство (α, β) > 0. Тогда P (α,β) (β)wα = β − λα для λ = 2 (α,α) > 0. Если (β)wα ∈ Φ+ , то (β)wα = πi ∈Π λi πi , где каждый P λi > 0. Таким образом, β = λα + πi ∈Π λi πi , λ > 0, λi > 0. Коэффициент,Pстоящий перед β в правой части должен быть меньше 1, так как в противном случае 0 = λr+ πi ∈Π λi πi −β ∈ V + . Следовательно, β представим в виде линейной комбинации остальных корней из Π с неотрицательными коэффициентами, что противоречит минимальности Π. P Если −(β)w = λ π c неотрицательными λi (т. е. −(β)wα ∈ Φ+ ), то λα = β + α πi ∈Π i i P πi ∈Π λi πi , λ > 0, λi > 0 и мы вновь приходим к противоречию с минимальностью Π. Таким образом, для любых различных α, β ∈ Π справедливо неравенство (α, β) 6 0. ЕслиPнекотораяPлинейная комбинация элементов из Π равна 0, то её можно записать в виде λi πi P = δi ρi , где λi > 0,Pδi > 0 и πi , ρi — различные элементы из Π. Пусть P v = λi πi = δi ρi . Тогда (v, v) = i,j λi δj (πi , ρj ) 6 0. Следовательно, v = 0. Поскольку πi , ρiP∈ V + , это сразу влечёт, что λi = 0 и δj = 0 для всех i, j, так как в противном случае 0 = i λi πi ∈ V + . Лемма 1.1.4. Любой положительный набор корней из Φ содержит в точности один фундаментальный набор. Таким образом, существует взаимнооднозначное соответствие между положительными и фундаментальными наборами в Φ.
{FundSystIsUniqu
§1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
3
Доказательство. . . . , πℓ } и {ρ1 , ρ2 , . . . , ρℓ } — два фундаментальных набора PℓПусть {π1 , π2 , P + в Φ . Тогда πi = j=1 λij ρj , ρi = ℓj=1 δij πj , где λij > 0, δij > 0 и матрицы, составленные из λij и δij , являются взаимно обратными. Для любого i существует j такое, что λij 6= 0. P Поскольку ℓm=1 λim δmk = 0 для всех k 6= i, мы имеем, что δjk = 0 для всех k 6= i. В силу симметрии отсюда следует, что λik = 0 для k 6= j. Следовательно, δji 6= 0. Таким образом, (λij ) — мономиальная матрица. После перенумерации корней ρ1 , ρ2 , . . . , ρℓ можно считать, что (λij ) — диагональная матрица. Поскольку πi , ρi ∈ Φ+ , мы имеем λii > 0 для всех i. В силу свойства (5) корневых систем мы имеем λii = 1 для всех i.
ProdOfFundRoots}
Следствие 1.1.5. Если Π = {π1 , π2 , . . . , πℓ } — фундаментальный набор в Φ, то (πi , πj ) 6 0 для всех i 6= j.
Доказательство. Следствие справедливо для фундаментального набора, построенного в доказательстве леммы 1.1.3. Ввиду леммы 1.1.4 любой фундаментальный набор получается таким образом.
Выберем теперь фундаментальный набор Π и соответствующий ему положительный набор Φ+ , и зафиксируем их для последующих рассуждений. Корни из Φ+ будут называться положительными корнями, а остальные корни будут называться отрицательными. Корни из Π будут называться фундаментальными. Множество отрицательных корней обозначим через Φ− .
tsFundReflections}
SumOfFundRoots}
Лемма 1.1.6. Пусть α ∈ Π. Тогда wα переводит α в −α, но любой другой положительный корень переводит в положительный корень. P Доказательство. Пусть β ∈ Φ+ и β 6= α. Тогда β = πi ∈Π λi πi и λi > 0. Ввиду аксиомы (RS5), существует πi 6= α для которого λi > 0. Коэффициент корня πi в (β)wα, следовательно, также положительный. Значит, (β)wα ∈ Φ+ . Лемма 1.1.7. Любой корень из Φ является линейной комбинацией корней из Π с целыми коэффициентами. Доказательство. Лемму достаточно доказать лишь для векторов из Φ+ . Пусть α ∈ Φ+ . ЕслиP α ∈ Π, то результат, очевидно, верен, поэтому мы предполагаем, что α 6∈ Π. Тогда α = πi ∈Π λi πi , где все λi > 0 и по крайней мере два из них положительные. Далее существует πi ∈ Π для которого (πi , α) > 0. P Действительно, если бы для всех πi выполнялось (πi , α) 6 0, мы бы получили (α, α) = λi (πi , α) 6 0, т. е. α = 0. Выберем теперь πi ∈ Π (πi ,α) удовлетворяющий условию (πi , α) > 0. Тогда (α)wπi = α − 2 (π πi . Корень (α)wπi , предi ,πi ) ставленный в виде линейной комбинации фундаментальных корней, отличается от α лишь в одном коэффициенте. Следовательно, по крайней мере один из коэффициентов корня (α)wπi положительный и, значит, (α)wπi ∈ Φ+ . P Определим высоту корня α через h(α) = λi . Тогда h((α)wπi ) < h(α). Таким образом, для каждого положительного корня, неявляющегося фундаментальным, существует другой положительный корень меньшей высоты. Следовательно, положительные корни минимальной высоты — это в точности фундаментальные корни и их высота равна 1. Докажем теперь лемму индукцией по высоте корня. Она, очевидно, выполняется для корней высоты 1. Для данного корня α ∈ Φ+ \ Π выберем, как и раньше πi ∈ Π такой, что (α, πi ) > 0. Тогда (α)wπi является целочисленной комбинацией корней из Π по индукции. Следовательно, α также является целочисленной комбинацией корней из Π, поскольку α = (πi ,α) (πi ,α) πi и число 2 (π целое ввиду аксиомы (RS4). (α)wπi + 2 (π i ,πi ) i ,πi )
oeffic}
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
4
Следствие 1.1.8. В базисе Π пространства V каждый элемент из W представим в виде матрицы с целыми коэффициентами. Доказательство. Если πi ∈ Π, то (πi )w ∈ Φ, следовательно, является линейной комбинацией фундаментальных корней с целыми коэффициентами.
{FundReflections}
Лемма 1.1.9. Справедливы следующие утверждения. 1. Любой корень из Φ является образом некоторого корня из Π относительно некоторого элемента из W . 2. W порождена отражениями wπ , π ∈ Π. Отражения wπ , π ∈ Π называются фундаментальными отражениями. Доказательство. Пусть W0 — подгруппа группы W , порождённая фундаментальными отражениями. Мы покажем, что каждый корень из Φ имеет вид (π)w для некоторого w ∈ W0 , π ∈ Π. Пусть α ∈ Φ+ . Если h(α) = 1, доказывать нечего. Если теперь h(α) > 1, то существует корень πi ∈ Π такой, что (πi , α) > 0. Тогда (α)wπi ∈ Φ+ и h((α)wπi ) < h(α) (см. доказательство леммы 1.1.7). По индукции (α)wπi = (π)w ′ для некоторого w ′ ∈ W0 и π ∈ Π. Следовательно, α = (π)w ′wπi и w ′wπi ∈ W0 . Отрицательные корни можно записать следующим образом: −α = (−π)w ′ wπi = (π)wπ w ′wπi и wπ w ′ wπi ∈ W0 . Покажем теперь, что W0 = W . Поскольку W порождена отражениями wα при α ∈ Φ, достаточно доказать, что wα ∈ W0 . В силу доказанного выше, α = (π)w для некоторого π ∈ Π, w ∈ W0 . Следовательно, wα = w −1 wπ w. Действительно, (π, (β)w −1) (α, β) −1 −1 (β)w wπ w = (β)w − 2 π w =β−2 α = (β)wα. (1.1) (π, π) (α, α)
{wr=winvwsw}
Следовательно, wα ∈ W0 .
§2
Функция длины
В лемме 1.1.9 мы доказали, что любой элемент из W может быть представлен в виде произведения фундаментальных отражений wπ , где π ∈ Π. Обозначим через l(w) минимальную длину такого представления. Если w = w1 . . . wk , где все wi являются фундаментальными отражениями и k = l(w), то разложение w = w1 . . . wk называется приведённым. Определим также функцию n(w) = |Φ+ ∩ Φ− w −1 |, т. е. n(w) — это количество положительных корней, которые элемент w переводит в отрицательные. Наша задача доказать, что n(w) = l(w). {ProptiesOfnw}
Лемма 1.2.1. Пусть π ∈ Π и w ∈ W . Тогда (1) n(wπ w) = n(w) + 1 если (π)w ∈ Φ+ . (2) n(wπ w) = n(w) − 1 если (π)w ∈ Φ− . (3) n(wwπ ) = n(w) + 1 если (π)w −1 ∈ Φ+ . (4) n(wwπ ) = n(w) − 1 если (π)w −1 ∈ Φ− .
§2. ФУНКЦИЯ ДЛИНЫ
5
Доказательство. Ввиду леммы 1.1.6, элемент wπ меняет знак лишь у двух корней: π и −π. Таким образом, n(wπ w) = n(w) ± 1 и n(wwπ ) = n(w) ± 1. Далее, n(wπ w) = n(w) + 1 в том и только в том случае, если πw ∈ Φ+ , что доказывает (1) и (2), и n(wwπ ) = n(w) + 1 в том и только в том случае, когда π ∈ (Φ+ )w, что доказывает (3) и (4). Покажем теперь, что l(w) = n(w).
{lw=nw}
Теорема 1.2.2. Минимальная длина разложения элемента w в виде произведения фундаментальных отражений равна количеству положительных корней, которые элемент w переводит в отрицательные. Доказательство. Пусть w — какой-нибудь элемент из W , l(w) = k, и w = wπ1 ·wπ2 ·. . .·wπk , где πi ∈ Π, — приведённое разложение. По лемме 1.2.1 мы имеем n(w) 6 n(wπ1 w) + 1 6 n(wπ2 wπ1 w) + 2 6 . . . 6 k. Таким образом, n(w) 6 l(w). Предположим теперь, что n(w) < k. Тогда, существует такой индекс j 6 k − 1, что n(w1 . . . wj ) = n(w1 . . . wj+1 ) − 1 и лемма 1.2.1(4) влечёт, что (πj+1 )wπj wπj−1 . . . wπ1 ∈ Φ− . Следовательно, существует некоторое i < j такое, что (πj+1 )wπj . . . wπi+1 ∈ Φ+ и (πj+1 )wπj . . . wπi+1 wπi ∈ Φ− . Поскольку wπi меняет знак лишь у πi и −πi , отсюда следует (πj+1 )wπj . . . wπi+1 = πi . При доказательстве леммы 1.1.9 была получена формула (1.1) wβ = w −1 wα w если (α)w = β. Поэтому wπi = wπi+1 . . . wπj wπj+1 wπj . . . wπi+1 и, значит, wπi+1 . . . wπj+1 = wπi . . . wπj . Используя данное соотношение, мы можем теперь сократить разложение элемента w: w = wπ1 . . . wπk = wπ1 . . . wπi−1 wπi+1 . . . wπj wπj+2 . . . wπk . Таким образом, мы сумели найти разложение элемента w в виде произведения k − 2 фундаментальных отражений. Полученное противоречие завершает доказательство. {IdentEltOfW}
Следствие 1.2.3. Если некоторый элемент w ∈ W удовлетворяет условию (Π)w = Π, то w = e. Доказательство. Напомним (см. лемму 1.1.4), что между фундаментальными и положительными наборами существует взаимнооднозначное соответствие. Поэтому если (Π)w = Π, то (Φ+ )w = Φ+ , значит, n(w) = l(w) = 0 и w = e. Теперь мы обсудим связь между различными фундаментальными наборами в Φ.
dSystToEachOther}
Теорема 1.2.4. Если Π — это фундаментальный набор в Φ, то (Π)w — также является фундаментальным набором для любого w ∈ W . Более того, для данных двух фундаментальных систем Π1 и Π2 существует в точности один элемент w ∈ W такой, что (Π1 )w = Π2 . Доказательство. Пусть Φ+ — это положительный набор, содержащий Π. Тогда Φ+ = Φ ∩ V + для некоторого линейного порядка на V . Очевидно, что (V + )w также определяет линейный порядок на V и положительными корнями относительно этого порядка являются корни (Φ+ )w = Φ ∩ (V + )w. Так как w линейно, (Π)w, очевидно, является фундаментальным набором в (Φ+ )w.
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
6
Покажем теперь, что для любых двух фундаментальных наборов Π1 и Π2 существует + некоторый элемент w ∈ W для которого (Π1 )w = Π2 . Пусть Φ+ 1 и Φ2 — положительные − наборы, содержащие Π1 и Π2 соответственно. Будем использовать индукцию по n = |Φ+ 1 ∩Φ2 |. + Если n = 0, то Φ+ 1 = Φ2 и, значит, Π1 = Π2 . Таким образом, мы можем предполагать, что − + + n > 0. Тогда Π1 ∩ Φ2 непусто. Пусть π ∈ Π1 ∩ Φ− 2 . Тогда (Φ1 )wπ = (Φ1 \ {π}) ∪ {−π} — это множество корней, полученных из Φ+ 1 заменой корня π на корень −π. Следовательно, + − |(Φ1 )wπ ∩Φ2 | = n−1. Далее, по уже доказанному, (Π1 )wπ — это фундаментальный набор для ′ ′ (Φ+ 1 )wπ , следовательно, по индукции существует w ∈ W такой, что (Π1 )wπ w = Π2 . Таким образом, (Π1 )w = Π2 , где w = wπ w ′ . Докажем теперь единственность элемента w. Предположим, что (Π1 )w1 = Π2 и (Π1 )w2 = Π2 . Тогда (Π1 )w2 w1−1 = Π1 и, в силу следствия 1.2.3, справедливо равенство w2 w1−1 = e.
{NumberOfFundsy
Следствие 1.2.5. Количество фундаментальных наборов в Φ равно порядку группы W . Лемма 1.2.6. Пусть Φ+ — положительный набор в Φ и Φ− — соответствующий отрицательный набор. Тогда существует единственный элемент w0 ∈ W такой, что (Φ+ )w0 = Φ− . Более того, |w0 | = 2.
{EltOfMaximalLen
Доказательство. Пусть Φ+ — положительный набор в Φ, соответствующий некоторому полному порядку на V и Φ− — положительный набор, соответствующий обратному порядку. Ввиду лемм 1.1.4 и 1.2.4 существует единственный элемент w0 ∈ W такой, что (Φ+ )w0 = Φ− . Кроме того, w02 = e, поскольку (Φ+ )w02 = Φ+ . Определение 1.2.7. Элемент w0 , определённый в лемме 1.2.6, является элементом наибольшей длины в группе W . Он единственный и, ввиду теоремы 1.2.2, его длина l(w) = |Φ+ |.
§3
Параболические подгруппы в группе Вейля
В данном параграфе мы обсудим некоторые подгруппы группы Вейля, которые сами являются группами Вейля для некоторых подсистем корневой системы Φ. Пусть Π — фундаментальный набор в Φ и Φ+ — соответствующая ему положительная система. Пусть J — подмножество в Π. Определим VJ как подпространство пространства V , натянутое на J; ΦJ = VJ ∩ Φ и WJ — подгруппа группы W , порождённая отражениями в корнях r ∈ J. Лемма 1.3.1. Подмножество ΦJ является корневой системой в VJ . Множество J является фундаментальным набором в ΦJ . Группа WJ является группой Вейля для ΦJ . Доказательство. По построению ΦJ порождает VJ . Если α, β ∈ ΦJ , то элемент (β)wα = (α,β) β − 2 (α,α) α также лежит в ΦJ . Таким образом, ΦJ является корневой системой в VJ . Далее, J — линейно независимое множество и любой корень из ΦJ является линейной комбинацией элементов из J. Поскольку J является подмножеством множества Π, коэффициенты в такой линейной комбинации должны быть либо все неотрицательные, либо все неположительные. Таким образом, J является фундаментальным набором в ΦJ . Группа Вейля для корневой системы ΦJ порождена фундаментальными отражениями (см. лемму 1.1.9), следовательно, совпадает с WJ . Определение 1.3.2. Подгруппы WJ и сопряжённые с ними называются параболическими подгруппами группы W .
{SubsystemSubgrp
§3. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ В ГРУППЕ ВЕЙЛЯ
7
{Dist
Лемма 1.3.3. Подгруппы WJ различны для различных подмножеств J множества Π. Доказательство. Пусть J, K — различные подмножества из Π и предположим, что WJ = WK . Без ограничения общности можно предположить, что существует корень π ∈ K \ J. Тогда мы имеем (α)wπ − α = −2 (π,α) π. Далее wπ ∈ WJ и, значит, (α)wπ − α ∈ VJ для всех (π,π) α ∈ VJ . Выбирая α таким образом, что (α)wπ 6= α мы получаем π ∈ VJ . Ясно, что такой α может быть выбран, поскольку wπ ∈ WJ и существует вектор, который элемент wπ не стабилизирует. Но π ∈ VJ , что противоречит линейной независимости фундаментального набора.
pOfOrthogVectors}
Лемма 1.3.4. Пусть v ∈ V и w ∈ W выбраны так, что (v)w = v и (π, v) > 0 для всех корней из Π. Тогда w ∈ WJ , где J — множество корней из Π, ортогональных вектору v. Доказательство. Используем индукцию по l(w). При l(w) = 0 лемма очевидна. Если l(w) > 0, то существует корень π ∈ Π такой, что (π)w ∈ Φ− . Тогда 0 6 (π, v) = ((π)w, (v)w) = ((π)w, v) 6 0, поскольку (ρ, v) > 0 для любого ρ ∈ Π. Следовательно, (π, v) = 0 и (v)wπ = v. Теперь (v)wπ w = v и l(wπ w) = l(w) − 1 (см. лемму 1.2.1). Таким образом по индукции, wπ w ∈ WJ и w ∈ WJ . {OrthogReflect}
Следствие 1.3.5. Пусть v — произвольный вектор из V и w — элемент из W такой, что (v)w = v. Тогда w является произведением отражений в корнях, ортогональных вектору v. Доказательство. Пусть v ∈ V — некоторый вектор. Рассмотрим множество {(v)w | w ∈ W } и пусть v ′ = (v)w ′ — максимальный элемент этого множества относительно порядка ≺ (порядок, используемый, для построения Φ+ и Π). Тогда для любого π ∈ Π справедливо ′) (v ′ )wπ ≺ v ′ , т. е. (v ′)wπ = v ′ − 2 (π,v r ≺ v ′ и (π, v ′) > 0. Поэтому для вектора v выполне(π,π) ны условия леммы 1.3.4 если в качестве фундаментального набора корней взять множество (Π)(w ′ )−1 (по теореме 1.2.4, (Π)(w ′ )−1 вновь является фундаментальным набором).
tionsInOrthCompl}
Теорема 1.3.6. Пусть w ∈ W и U — подпространство пространства V , состоящее из всех векторов, неподвижных относительно w. Тогда w является произведением отражений в корнях, лежащих в ортогональном дополнении U ⊥ к подпространству U. Доказательство. Пусть v1 , . . . , vk — базис подпространства U. Нам нужно показать, что w является произведением отражений, соответствующих корням, ортогональным векторам v1 , . . . , vk . Докажем это индукцией по k. При k = 1 утверждение справедливо ввиду следствия 1.3.5. Выберем фундаментальный набор Π таким образом, чтобы (π, vk ) > 0 для любого π ∈ Π (как выбрать такой набор мы обсуждали в доказательстве следствия 1.3.5) и пусть J — это множество фундаментальных корней, ортогональных вектору vk . Рассмотрим разложение V = VJ ⊕ VJ⊥ и пусть vi = vi′ + vi′′ , где vi′ ∈ VJ и vi′′ ∈ VJ⊥ . Далее по лемме 1.3.4, w ∈ WJ и, следовательно, (vi′′ )w = vi′′ . Поскольку (vi )w = vi , отсюда следует, что (vi′ )w = vi′ . Теперь WJ — это группа Вейля, действующая на VJ и элемент w ∈ WJ оставляет неподвижными ′ векторы v1′ , v2′ , . . . , vk−1 . По индукции, w является произведением отражений, соответству′ ющих корням из VJ , ортогональным v1′ , . . . , vk−1 . Эти корни ортогональны также векторам v1 , . . . , vk , что завершает доказательство теоремы.
8
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
bgrps}
Теорема 1.3.7. Пусть J, K — подмножества фундаментального набора Π. Тогда h WJ , WK i = WJ∪K и WJ ∩ WK = WJ∩K . Доказательство. Равенство h WJ , WK i = WJ∪K , очевидно, следует из определения параболических подгрупп. Докажем теперь, что WJ ∩ WK = WJ∩K . Включение WJ ∩ WK ⊇ WJ∩K очевидно. Докажем теперь обратное включение. Пусть w ∈ WJ ∩ WK . Тогда (v)w = v для всех v ∈ VJ⊥ и для всех v ∈ VK⊥ . Таким образом, w ⊥ оставляет неподвижным любой вектор из VJ⊥ + VK⊥ . Далее VJ⊥ + VK⊥ ⊆ VJ∩K . Кроме того, dim(VJ⊥ + VK⊥ ) = dim VJ⊥ + dim VK⊥ − dim(VJ⊥ ∩ VK⊥ ) = dim VJ⊥ + dim VK⊥ − dim(VJ + VK )⊥ =
⊥ ℓ − dim VJ + ℓ − dim VK − ℓ + dim(VJ + VK ) = ℓ − dim(VJ ∩ VK ) = ℓ − dim VJ∩K = dim VJ∩K .
⊥ (Напомним, что ℓ = dim V .) Следовательно, Vj⊥ + VK⊥ = VJ∩K . Таким образом, w оставляет ⊥ неподвижным любой вектор из VJ∩K , значит, является произведением отражений, соответствующим корням из VJ∩K ввиду теоремы 1.3.6. Следовательно, w ∈ WJ∩K .
{LatticeOfParabSu
Следствие 1.3.8. Подгруппы WJ группы W образуют решётку из 2ℓ подгрупп. Далее мы обсудим некоторый естественный способ выбора системы представителей правых смежных классов WJ w подгруппы WJ в группе W . Пусть DJ — это множество элементов w ∈ W таких, что (π)w ∈ Φ+ для всех π ∈ J. Тогда DJ — это подмножество, хотя и необязательно подгруппа в W .
{LeftTransForWJ}
Теорема 1.3.9. Пусть J — подмножество фундаментального набора Π. Тогда любой элемент из W представим единственным образом в виде w = wJ dJ , где dJ ∈ DJ и wJ ∈ WJ . Более того, l(w) = l(dJ ) + l(wJ ). Доказательство. Покажем сначала, что любой элемент w ∈ W представим в виде w = wJ dJ , где dJ ∈ DJ , wJ ∈ WJ и l(w) = l(dJ ) + l(wJ ). Если l(w) = 0, т. е. w = e, то e = e · e — требуемая факторизация. Таким образом, можно предполагать, что l(w) > 0 и использовать индукцию по l(w). Если w ∈ DJ , то w = e · w — требуемая факторизация. Если w 6∈ DJ , то существует фундаментальный корень π ∈ J такой, что (π)w ∈ Φ− . Тогда l(wπ w) = l(w) − 1 (см. лемму 1.2.1). По индукции wπ w = wJ · dJ и l(dJ ) + l(wJ ) = l(wπ w). Таким образом, w = wπ wJ dJ , где dJ ∈ DJ , wπ wJ ∈ WJ и l(dJ ) + l(wJ ) + 1 = l(w). Заметим, что l(wπ wJ ) = l(wJ ) + 1. Действительно, если l(wπ wJ ) = l(wJ ) − 1, то существует разложение элемента w в виде произведения менее чем l(w) фундаментальных отражений. Следовательно, l(wπ wJ ) = l(wJ ) + 1 и l(w) = l(dJ ) + l(wπ wJ ). Докажем теперь единственность разложения w = wJ dJ . Предположим, что wJ dJ = wJ′ d′J , где dJ , d′J ∈ DJ и wJ , wJ′ ∈ WJ . Тогда d′J = (wJ′ )−1 wJ dJ . Предположим, что (wJ′ )−1 wJ 6= e. Ввиду леммы 1.3.1, WJ является группой Вейля для корневой системы ΦJ с фундаментальным набором J. Таким образом, существует π ∈ J такой, что (π)(wJ′ )−1 wJ ∈ Φ− J , следовательно, ′ −1 − ′ + (π)(wJ ) wJ dJ ∈ Φ . Однако (π)dJ ∈ Φ . Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Следствие 1.3.10. В каждом смежном классе WJ w лежит в точности один элемент из DJ . Его длина меньше длины любого другого элемента из WJ w.
§4. МАТРИЦА КАРТАНА И ДИАГРАММА ДЫНКИНА
§4
9
Матрица Картана и диаграмма Дынкина
Напомним, что ввиду свойства (4) из определения корневой системы, для любых двух (α,β) α, β ∈ Φ число 2 (α,α) , которое мы будем в дальнейшем обозначать < α, β > целое. Сейчас мы дадим геометрическую интерпретацию этого числа. Пусть πi , πj — два различных фундаментальных корня и θij — угол между ними. Поскольку (πi , πj ) 6 0 для любых двух фундаментальных корней (см. следствие 1.1.5), мы получаем, что < πi , πj >= −q 6 0 для любых двух фундаментальных корней. В частности, угол θij всегда тупой. Существует весьма ограниченное количество возможных значений для угла θij . Действительно, так как < πi , πj > и < πj , πi > — целые числа, то число 4(πi , πj )2 = 4 cos2 θij (πi , πi )(πj , πj ) также целое. Поскольку 0 6 cos2 θij 6 1, мы получаем, что 4 cos2 θij ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. В силу линейной независимости корней πi , πj , выполнено неравенство cos2 θij 6= 1, таким образом 4 cos2 θij ∈ {0, 1, 2, 3}. Обозначим nij = 4 cos2 θij . Получаем, что nij допускает разложение в виде произведения двух целых неположительных чисел < πi , πj > и < πj , πi >. Рассмотрим теперь возможные значения числа nij . 1. nij = 1. Тогда < πi , πj >=< πj , πi >= −1. Таким образом, (πi , πi ) = (πj , πj ) и корни . πi , πj имеют одинаковую длину, а угол θij равен 2π 3 2. nij = 2. Тогда одно из < πi , πj >, < πj , πi > равно −1, а второе равно −2, т. е. один из √ корней в 2 раз длиннее другого, а угол θij равен 3π . 4 3. nij = 3. Тогда одно из < πi , πj >, < πj , πi > равно −1, а второе равно −3, т. е. один из √ . корней в 3 раз длиннее другого, а угол θij равен 5π 6 4. nij = 0 и никакой информации об относительной длине корней получить нельзя. Обозначим числа < πi , πj > через Aij , полагая Aii = 2 для всех i. Матрица A, составленная из чисел Aij , называется матрицей Картана для корневой системы Φ. По фундаментальному набору Π мы можем построить граф, называемый диаграммой Дынкина следующим образом: вершины этого графа - это фундаментальные корни {π1 , . . . , πℓ } и вершины πi , πj соединены nij ребрами. Кроме того, в случае существования корней различной длины, указано, какой из корней длиннее. Определение 1.4.1. Система корней называется неразложимой, если её нельзя представить в виде объединения собственных взаимноортогональных подмножеств.
ystemIsConnected}
Лемма 1.4.2. Если корневая система Φ является неразложимой, то её диаграмма Дынкина связна. Доказательство. Предположим, что корневая система Φ неразложима, но её диаграмма Дынкина несвязна. Тогда множество фундаментальных корней Π раскладывается в объединение собственных взаимноортогональных подмножеств Π1 ∪ Π2 . Следовательно, для любых α ∈ Π1 , β ∈ Π2 мы имеем (α)wβ = α и (β)wα = β. Так как фундаментальные отражения порождают всю группу Вейля (см. лемму 1.1.9), то мы получаем, что все образы относительно группы Вейля корней из Π1 ортогональны всем образам относительно группы Вейля корней из Π2 . Значит, корневая система Φ распадается в объединение своих собственных взаимноортогональных подмножеств.
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
10
Определение 1.4.3. Две системы корней Φ1 и Φ2 называются эквивалентными, если существует биекция ϕ : Φ1 → Φ2 такая, что ((α)ϕ, (β)ϕ) = λ(α, β) для некоторого ненулевого скаляра λ, независящего от α, β.
{DynkinDyagramD
Лемма 1.4.4. Пусть Φ1 , Φ2 — неразложимые корневые системы, диаграммы Дынкина которых совпадают. Тогда корневые системы Φ1 и Φ2 эквивалентны. Доказательство. Пусть Π1 и Π2 — фундаментальные наборы в системах Φ1 и Φ2 соответственно и пусть π1 ∈ Π1 и π2 ∈ Π2 соответствуют одной вершине в диаграмме Дынкина. Умножив все корни систем Φ1 и Φ2 на подходящий скаляр можно считать, что длины корней π1 и π2 совпадают и равны 1. Тогда диаграмма Дынкина (в силу связности) однозначно задаёт матрицу скалярных произведений фундаментальных корней. Таким образом, Π1 и Π2 — два базиса евклидова пространства с одинаковыми матрицами скалярного умножения (матрицами Грамма). Из линейной алгебры известно, что линейное преобразование, переводящее Π1 в Π2 , является ортогональным. Таким образом, можно считать, что Π1 = Π2 . Далее, фундаментальными отражениями мы порождаем группы Вейля W1 и W2 корневых систем Φ1 и Φ2 , следовательно, W1 = W2 . Наконец, ввиду леммы 1.1.9, любой корень из Φi является образом некоторого фундаментального корня относительно некоторого элемента группы Вейля Wi , значит, Φ1 = Φ2 . Таким образом, для того, чтобы классифицировать неразложимые корневые системы достаточно классифицировать диаграммы Дынкина.
§5
Классификация неразложимых корневых систем
Как мы заметили в конце прошлого параграфа, для классификации неразложимых корневых систем достаточно классифицировать диаграммы Дынкина. Идея доказательства теоремы 1.5.1 взята из [14].
{IrredRootSystem
Теорема 1.5.1. Пусть Φ — неразложимая корневая система. Тогда её диаграмма Дынкина совпадает с одной из диаграмм таблицы 1.5.2. {Dyndiagr}
Таблица 1.5.2. Корневые системы и диаграммы Дынкина Тип Φ
An
Bn
Cn
Диаграмма Дынкина
π1
π2
π3
u
u
u
π1
π2
π3
u
u
u
π1
π2
π3
u
u
u
πn ppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppp
u
u
πn−1 ppppppppppppppppppp
u
i
h
πn u
πn u
§5. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕРАЗЛОЖИМЫХ КОРНЕВЫХ СИСТЕМ πn−1 Dn
E6
11
!u
πn−2!!!
π1
π2
π3
u
u
u
π1
π3
π4
π5
π6
u
u
u
u
u
ppppppppppppppppppp
! u a aa π n aau
uπ
2
E7
π1
π3
π4
π5
π6
π7
u
u
u
u
u
u
uπ
2
π1
π3
π4
π5
π6
π7
π8
u
u
u
u
u
u
u
E8 F4 G2
uπ
π1
π2
u
u
π1 u
i
i
π3 u
2
π4 u
π2 u
Теорему 1.5.1 мы докажем следующим образом. Сначала для каждой из указанных в таблице 1.5.2 диаграмм Дынкина мы построим корневую систему, а затем докажем, что других диаграмм Дынкина не существует. Тип An . Рассмотрим евклидово векторное пространство размерности n + 1, и предположим, что e1 , . . . , en+1 — некоторый его ортонормированный базис. Рассмотрим подпространство V , состоящее из векторов, сумма координат которых равна 0. Тогда корневая система типа An будет порождать это подпространство V и её фундаментальные корни — это {e1 − e2 , e2 − e3 , . . . , en − en+1 }. Отражение wα в корне α = ei − ej переводит ei в ej , ej в ei , а остальные векторы базиса оставляет неподвижными. Таким образом, корневая система An состоит из векторов вида ei − ej , её группа Вейля изоморфна Symn+1 и действует на корнях, переставляя индексы. Тип Bn . В евклидовом пространстве размерности n фундаментальная система корней имеет вид e1 − e2 , . . . , en−1 − en , en . Группа Вейля состоит из линейных отображений, переводящих ei в ±ej и изоморфна 2 ≀ Symn (2n ⋋ Symn ), а корневая система Bn состоит из векторов вида ±ei ± ej , ±ei . Тип Cn . В евклидовом пространстве размерности n фундаментальная система корней имеет вид e1 − e2 , . . . , en−1 − en , 2en . Группа Вейля состоит из линейных отображений, переводящих ei в ±ej и изоморфна 2 ≀ Symn , а корневая система Cn состоит из векторов вида ±ei ± ej , ±2ei . Тип Dn . В евклидовом пространстве размерности n фундаментальная система корней имеет вид e1 − e2 , . . . , en−1 − en , en−1 + en . Группа Вейля состоит из линейных отображений, переводящих ei в ±ej , причём количество плюсов четно и изоморфна подгруппе индекса 2 в 2 ≀ Symn , а корневая система Dn состоит из векторов вида ±ei ± ej . Тип En , n = 6, 7, 8. Мы опишем, как получается корневая система E8 , а системы E7 и E6 получим как подсистемы. В качестве фундаментальной системы мы возьмём векторы
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
12
P π1 = − 12 8i=1 ei , π2 = e6 − e7 , π3 = e6 + e7 , π4 = e5 − e6 , π5 = e4 − e5 , π6 = e3 − e4 , π7 = e2 − e3 , π8 = e1 − e2 (нумерацияPвыбрана Q также, как в таблице 1.5.2). Корневая система E8 состоит из векторов ±ei ± ej , 12 8i=1 ǫi ei , 8i=1 ǫi = 1. Группа Вейля имеет порядок 214 · 35 · 52 · 7 и изоморфна группе 2.O8+ (2) : 2 (в обозначениях [8]). Фундаментальная система корневой системы E7 получается выбрасыванием P корня π8 , корневая система типа E7 состоит из векторов ±ei ± ej , i, j 6= 1, ±(e1 + e8 ), 12 8i=1 ǫi ei ; ǫi = Q P Q ±1, ǫ1 = ǫ8 = 1, 8i=1 ǫi = 1, − 21 8i=1 ǫi ei ; ǫi = ±1, ǫ1 = ǫ8 = 1, 8i=1 ǫi = 1. Группа Вейля имеет порядок 210 · 34 · 5 · 7 и изоморфна группе 2 × O7 (2) (в обозначениях [8]). Фундаментальная система корневой системы E6 получается выбрасыванием корней π7 , π8 из фундаментальной системы в E8 . Корневая из векторов ±ei ± ej , i, j 6= Q8 система E6 1состоит P8 P8 1 1, 2, 2 i=1 ǫi ei ; ǫi = ±1, ǫ1 = ǫ2 = ǫ8 = 1, i=1 ǫi = 1, − 2 i=1 ǫi ei ; ǫi = ±1, ǫ1 = ǫ2 = ǫ8 = Q 1, 8i=1 ǫi = 1. Группа Вейля имеет порядок 27 · 34 · 5 и изоморфна группе P Sp4 (3) : 2 (в обозначениях [8]). Тип F4 . Фундаментальная система состоит из векторов e1 − e2 , e2 − e3 , e3 , 21 (−e1 − e2 − e3 + e4 ). Вся корневая система состоит из векторов ±ei ± ej , ±ei , 21 (±e1 ± e2 ± e3 ± e4 ), группа Вейля разрешима и её порядок равен 27 · 32 . Тип G2 . Корневая система состоит из векторов ±π1 , ±π2 , ±(π1 + π2 ), ±(π1 + 2π2 ), ±(π1 + 3π2 ), ±(2π1 + 3π2 ) (более подробно её строение указано в следующем параграфе). Её группа Вейля разрешима и имеет порядок 12. Корневые системы типов An , Bn , Cn и Dn обычно называют корневыми системами классического типа, а остальные корневые системы называют системами исключительного типа. Покажем теперь, что других фундаментальных систем не существует. Рассмотрим два фундаментальных корня πi , πj таких, что nij 6= 0. Тогда в диаграмме Дынкина они связаны nij ребрами. Поскольку nij ∈ {0, 1, 2, 3}, получаем, что подграф, порождённый этими двумя корнями, совпадает с одним из следующих графов: πi u
πj
u диаграмма
πi A2 , u
πj
u диаграмма
πi B2 , u
πj
u диаграмма
G2 .
Таким образом, любая диаграмма Дынкина «собрана» из этих трех графов. Поддиаграммой диаграммы Дынкина мы будем называть любой её подграф. Теперь мы последовательно отбросим все невозможные конфигурации для диаграмм. Поскольку длина корней в диаграмме Дынкина однозначно определяется заданием длины одного из корней, будем считать, что самый короткий из корней πi , πj , без ограничения общности можно считать, что это корень πj , имеет длину 1. Шаг 1. Диаграмма G2 не является собственной поддиаграммой ни в какой диаграмме Дынкина. Действительно, предположим противное. Тогда существует поддиаграмма вида πi
πj
u
u
α
u или
πj
πi
α
u
u
u
(между α и одним из корней πi , πj не менее одного ребра). Рассмотрим первый случай (второй разбирается аналогично). Имеем 2(πi , πj ) = −3, (πi , πi ) = 3, (πi , α) 6 0 (напомним, что скалярное произведение любых двух фундаментальных корней не превосходит 0, как было показано в предыдущем параграфе). Далее, < πj , α > либо равно −1, либо равно −2, либо равно −3. В первом случае мы получаем, что (α, α) = 1 и 2(πj , α) = −1, во втором случае мы получаем, что либо (α, α) = 2 и 2(πj , α) = −2, либо (α, α) = 12 и 2(πj , α) = −1, в третьем
§5. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕРАЗЛОЖИМЫХ КОРНЕВЫХ СИСТЕМ
13
случае мы получаем, что либо (α, α) = 3 и 2(πj , α) = −3, либо (α, α) = 31 и 2(πj , α) = −1. В частности (α, α) + 4(πj , α) 6 −1. Рассмотрим вектор v = πi + 2πj + α. Тогда (v, v) = (πi , πi ) + 4(πj , πj ) + (α, α) + 4(πi , πj ) + 4(πj , α) + 2(πi , α) = 1 + (α, α) + 4(πj , α) + 2(πi , α) 6 (α, α) + 2(πj , α) 6 0, т. е. v = 0 и фундаментальные корни πi , πj , α оказываются линейно зависимыми. В случае смежности πi и α в качестве вектора v надо взять вектор 2πi + 3πj + α. Далее можно считать, что диаграмма Дынкина «собрана» лишь из поддиаграмм вида A2 или B2 . Шаг 2. Диаграмма Дынкина может содержать B2 в качестве поддиаграммы лишь один раз. В противном случае существовала бы поддиаграмма вида π1
π2
π3
u
u
u
πk−1 ppppppppppppppppppp
πk
u
u
С точностью до перенумерации корней возможны 3 случая: √ kπ1 k = 1, kπ2 k = . . . = kπk−1 k = 2, kπk k = 1, √ kπ1 k = 1, kπ2 k = . . . = kπk−1 k = 2, kπk k = 2, √ √ kπ1 k = 2, kπ2 k = . . . = kπk−1 k = 1, kπk k = 2. В первом случае рассмотрим вектор v = π1 + πk + (π2 + . . . + πk−1 ), во втором случае рассмотрим вектор v = 2π1 + πk + 2(π2 + . . . + πk−1 ), и в третьем случае рассмотрим вектор v = π1 + πk + 2(π2 + . . . + πk−1 ). Используя соотношения (πi , πj ) 6 0, 2(πi , πi+1 ) = −(πi , πi ) = −(πi+1 , πi+1 ) при i = 2, . . . , k − 2, легко проверить, что (π2 + . . . + πk−1 , π2 + . . . + πk−1 ) 6 (π2 , π2 ), откуда получаем, что во всех трёх случаях (v, v) 6 0, т. е. фундаментальные корни π1 , . . . , πk линейно зависимы. Шаг 3. В диаграмме Дынкина, содержащей поддиаграмму типа B2 не существуют циклов, содержащих поддиаграмму типа B2 . В противном случае, пройдя по этому циклу мы бы получили, что все корни в нём имеют одинаковую длину, что невозможно. Шаг 4. В диаграмме Дынкина, содержащей поддиаграмму типа B2 не существует точек ветвления. В противном случае, такая диаграмма Дынкина содержит поддиаграмму π1 u aa aa π3 au ! π2 !!! ! u
πk−1
π4 u
ppppppppppppppppppp
u
πk u
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
14
Рассмотрим вектор v = π1 + π2 + 2(π3 + . . . + πk ), если |πk−1| > |πk | и вектор v = π1 + π2 + πk + 2(π3 + . . . + πk−1 ) в противном случае. Вновь (v, v) 6 0, что противоречит линейной независимости фундаментальных корней. Шаг 5. Диаграмма π1 π2 π3 π4 π5 u
u
u
u
u
не может возникнуть как поддиаграмма. Возможны два случая √ kπ1 k = kπ2 k = kπ3 k = 2, kπ4 k = kπ5 k = 1, √ kπ1 k = kπ2 k = kπ3 k = 1, kπ4 k = kπ5 k = 2. В первом случае рассмотрим вектор v = π1 + 2π2 + 3π3 + 4π4 + 2π5 , а во втором — вектор v = π1 + 2π2 + 3π3 + 2π4 + π5 . В любом случае (v, v) 6 0. Шаги 2–5 показывают, что если диаграмма Дынкина содержит ребро «типа B2 », то она совпадает с диаграммой корневой системы Bn , Cn или F4 из таблицы 1.5.2. Таким образом мы можем считать, что наша диаграмма «собрана» только из ребер «типа A2 », т. е. все фундаментальные корни имеют одинаковую длину. Шаг 6. В диаграмме Дынкина не существует циклов. В противном случае рассмотрим v = π1 + . . . + πk — вектор, полученный из фундаментальных векторов, образующих цикл. Вновь получаем, что (v, v) 6 0. Шаг 7. Существует не более трёх конечных точек в диаграмме Дынкина (следовательно, существует не более одной точки ветвления). В противном случае существует поддиаграмма вида π π k−1
1
u aa aa π3 au !! ! u! !
!u πk−2!!! u ! a aa aau
π4 u
ppppppppppppppppppp
π2 πk Тогда для вектора v = π1 + π2 + 2π3 + . . . + 2πk−2 + πk−1 + πk получаем (v, v) 6 0. Шаг 8. Если существует точка ветвления, то одна из ветвей имеет длину 1. В противном случае существовала бы поддиаграмма вида π5 π2 π1 π3 π6 u
u
u
u
u
π4 u π7 u Тогда для v = 3π1 + 2(π2 + π3 + π4 ) + π5 + π6 + π7 получаем (v, v) 6 0. Шаг 9. Диаграмма π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 u
u
u
u
u
u
u
π8 u не может возникнуть как поддиаграмма. В противном случае для вектора v = π1 + 2(π2 + π6 + π8 ) + 3(π3 + π5 ) + 4π4 + π7 справедливо (v, v) 6 0. Шаг 10. Диаграмма π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 u
u
u
π9 u
u
u
u
u
u
§5. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕРАЗЛОЖИМЫХ КОРНЕВЫХ СИСТЕМ
15
не может возникнуть в качестве поддиаграммы. В противном случае для вектора v = 2(π1 + π7 ) + 3(π9 + π6 ) + 4(π2 + π5 ) + 6π3 + 5π4 + π8 выполнено (v, v) 6 0. Таким образом, шаги 6–10 показывают, что диаграммы, в которых все ребра имеют «тип A2 » совпадают с An , Dn , E6 , E7 или E8 , что завершает доказательство теоремы 1.5.1. В качестве следствий мы сформулируем следующие полезные леммы. {RootsLenghts}
Лемма 1.5.3. Пусть Φ — неразложимая корневая система. Тогда множество длин её корней состоит не более, чем из двух элементов и все корни делятся на длинные и короткие. В том случае, когда в корневой системе Φ все корни имеют одинаковую длину, будем говорить, что все корни являются длинными. Доказательство. Ввиду классификационной теоремы 1.5.1 множество длин фундаментальных корней состоит не более, чем из двух элементов. По лемме 1.1.9 любой корень относительно группы Вейля сопряжён с некоторым фундаментальным корнем. Так как группа Вейля состоит из ортогональных преобразований, отсюда следует лемма. Кроме того, мы получили, что все корни корневой системы Φ имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда все фундаментальные корни корневой системы Φ имеют одинаковую длину или, что эквивалентно, когда в диаграмме Дынкина нет кратных рёбер.
rpActsTransitively}
Лемма 1.5.4. Пусть Φ — неразложимая корневая система. Тогда группа Вейля действует транзитивно на множестве корней одинаковой длины. Доказательство. Ввиду леммы 1.1.9, любой корень в корневой системе является образом некоторого фундаментального корня относительно некоторого элемента группы Вейля. Таким образом, достаточно доказать, что группа Вейля действует транзитивно на фундаментальных корнях одинаковой длины. Пусть π, ρ — два фундаментальных корня одинаковой длины. Ввиду теоремы 1.5.1, получаем, что корни π, ρ связаны цепочкой рёбер «типа A2 ». Но любые два соседних корня этой цепочки πi , πi+1 переходят друг в друга под действием элемента wπi+1 wπi ∈ W . {TitsLem}
Лемма 1.5.5. (Лемма Титса) Пусть π, ρ ∈ Π и предположим, что π w = ρ, где w ∈ W . Тогда существуют корни π0 = π, π1 , . . . , πk = ρ ∈ Π и элементы w0 , w1 , . . . , wk−1 ∈ W , удовлетворяющие следующим условиям: (а) w = w0 · . . . · wk−1 ; (б) πiwi = πi+1 ; (в) для любого 0 6 i 6 k − 1, если πi 6= πi+1 , то wi ∈ hwπi , wπi+1 i, и если πi = πi+1 , то существует ρi ∈ Π, для которого wi ∈ hwπi , wρi i. Доказательство. Будем вести доказательство индукцией по l(w). В силу следствия 1.2.3, мы получаем, что если l(w) = 0, то w = e и доказывать нечего. Если l(w) > 0, то существует σ ∈ Π, для которого σ w — отрицательный корень. Положим π0 = π и рассмотрим подсистему Ψ полученную как пересечение линейной оболочки корней π0 , σ и Φ. Выберем в ней множество (Φ+ )w −1 ∩ Ψ = Θ в качестве множества положительных корней. Ввиду леммы 1.1.4 и теоремы 1.2.4 мы получаем, что существует такой w0 ∈ hwπ0 , wσ i, что (Θ)w0 = Ψ ∩Φ+ . Положим w ′ = w0−1w. Поскольку wπ0 и wσ стабилизируют Θ′ = Φ+ \ Ψ, мы получаем, что и элемент w0 стабилизирует множество Θ′ . Следовательно,
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
16 ′
для любого α ∈ Θ′ корень αw является положительным тогда и только тогда, когда корень αw является положительным. С другой стороны, для любого корня α из Ψ ∩ Φ+ мы имеем ′ αw > 0, в то время, как σ w < 0 по построению. Таким образом, количество положительных корней, которые элемент w ′ переводит в отрицательные, строго меньше, чем количество положительных корней, которые элемент w переводит в отрицательные. Ввиду теоремы 1.2.2 мы получаем, что l(w ′ ) < l(w). Определим π1 = π0w0 (= π w0 ). По условию, π0 ∈ (Π)w −1 , значит, π0 принадлежит фундаментальной системе (Π)w −1 ∩Ψ подсистемы Ψ, которая лежит в Θ = (Φ+ ∩Ψ)w0−1 . Следовательно, π0 ∈ (Π ∩ Ψ)w0−1 ⊆ (Π)w0−1. Значит, π1 является фундаментальным корнем и лежит в Ψ ∩ Φ+ . ′ Если π1 6= π0 , то это означает, что π1 = σ, значит, ρ = σ w . Индукция по длине элемента завершает доказательство.
§6
Диаграммы Дынкина подсистем
В данном параграфе мы приведём алгоритм описания корневых подсистем в различных неразложимых коневых системах. Данные результаты, в основном, были получены независимо в [2] и в [11]. Мы в нашем изложении будем в основном придерживаться [11]. Определение 1.6.1. Подмножество Ψ корневой системы Φ называется подсистемой, если оно само является корневой системой своей линейной оболочки.
{G2IsNotSubsyste
Лемма 1.6.2. Подсистема G2 не является собственной подсистемой никакой неразложимой корневой системы Φ. Доказательство. Пусть G2 — подсистема неразложимой корневой системы Φ. Тогда в кор√ невой системы Φ существуют корни, длина которых различается на 3. В силу классификационной теоремы 1.5.1 и леммы 1.5.3√единственной неразложимой системой, содержащей корни, длина которых различается на 3, является система G2 . Следовательно Φ = G2 . Сначала мы установим некоторые дополнительные свойства корневых систем. Пусть α и β — произвольные линейно независимые корни из Φ. Рассмотрим пересечение линейной оболочки корней α, β (в E ℓ ) и корневой системы Φ. Полученное множество Φ1 , очевидно, является подсистемой корневой системы Φ ранга 2. В силу классификационной теоремы 1.5.1, отсюда следует, что либо Φ1 неразложима и имеет тип A2 , B2 или G2 , либо Φ1 = A1 ∪ A1 . Лемма 1.6.3. Существуют такие целые неотрицательные числа p, q, что β + iα ∈ Φ для любого −p 6 i 6 q, но β + iα 6∈ Φ если i 6 −(p + 1) или i > q + 1. Более того, справедливо равенство p − q =< α, β >, и отражение wα переставляет корни вида β + iα, причём (β − pα)wα = β + qα. Доказательство. Напомним, что через Φ1 обозначена подсистема, полученная пересечением линейной оболочки корней α, β и корневой системы Φ. Поскольку корни вида β + iα лежат в Φ1 , можно считать, что Φ = Φ1 . В силу леммы 1.1.9 можно считать, что α — фундаментальный корень. Кроме того, заменяя, если необходимо, β на −β можно считать что β — положительный корень. Если Φ1 = A1 ∪ A1 , то утверждение леммы очевидно. Предположим, что Φ1 = A2 . В силу леммы 1.5.4 можно считать, что α = π (в обозначениях диаграммы для A2 ). Тогда либо β = ρ, либо β = π + ρ (мы вновь используем обозначения из диаграммы для A2 ). Если β = ρ, то p = 0, q = 1, p − q = −1 =< α, β >, если β = π + ρ, то
{rchainthroguhs}
§6. ДИАГРАММЫ ДЫНКИНА ПОДСИСТЕМ
17
p = 1, q = 0, p − q = 1 =< α, β >. Кроме того, отражение wα — это симметрия относительно прямой, перпендикулярной вектору α, и она переставляет друг с другом корни β и α + β. Пусть теперь Φ1 = B2 . Предположим сначала, что α = π (в обозначениях диаграммы для B2 ). Тогда при любом выборе корня β корни вида β +iα образуют множество {ρ, π+ρ, 2π+ρ}; отражение wα переставляет корни ρ и 2π + ρ и оставляет неподвижным корень π + ρ, откуда очевидно следует утверждение леммы. Предположим, что α = ρ. Тогда если β = π или β = π + ρ, то корни вида β + iα образуют множество {π, π + ρ}; отражение wα переставляет корни π и π + ρ и оставляет неподвижным корень 2π + ρ, откуда вновь следует утверждение леммы. Если β = 2π +ρ, то множество корней вида β +iα состоит из одного элемента {2π +ρ} и отражение wρ оставляет его неподвижным. Предположим, наконец, что Φ1 = G2 . Предположим сначала, что α = π (в обозначениях диаграммы для G2 ). Если β отличен от 3π + 2ρ, то корни вида β + iα образуют множество {ρ, π + ρ, 2π + ρ, 3π + ρ}; отражение wπ переставляет корни π + ρ и 2π + ρ, ρ и 3π + ρ, откуда следует утверждение леммы. Если же β = 3π + 2ρ, то множество корней вида β + iα состоит из одного корня {3π + 2ρ} и утверждение леммы также очевидно. Предположим теперь, что α = ρ. Если β = π или β = π + ρ, то корни вида β + iα образуют множество {π, π + ρ}; отражение wα переставляет корни π и π + ρ, откуда следует утверждение леммы. Если β = 3π + ρ или β = 3π + 2ρ, то корни вида β + iα образуют множество {3π + ρ, 3π + 2ρ}; отражение wα переставляет корни 3π+ρ и 3π+2ρ, откуда также следует утверждение леммы. Если β = 2π + ρ, то корни вида β + iα образуют множество 2π + ρ и утверждение леммы очевидно.
Для удобства читателя мы приведём здесь графическое изображение систем A2 , B2 и G2 , полагая π — коротким, а ρ — длинным фундаментальными корнями.
ρAKA
A A
π + ρ A A
A A
−π
−π − ρ
A A A A
A2
π A A
A A
A
A A −ρ U A
@ ρ I π+ρ 6 2π + ρ @ @ @ B2 @ @ @ @ @ @ π−π @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ −π − ρ −ρ −2π − ρ ? R @
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
18 3π + 2ρ 6 π+ρ ρ HH Y HH H HH
AK A
G2 2π + ρ
3π + ρ
* A HH A HHA π−π A H H H A H HH A HH A HH A HH A j H A A −3π − ρ −ρ U A A A
−π − ρ
−2π − ρ
−3π − 2ρ
?
Определение 1.6.4. Последовательность корней β + iα, определённая в лемме 1.6.3, называется α-серией корней, содержащей β. Из детального изучения всех систем ранга 2, проведённого в доказательстве леммы 1.6.3, вытекает следующее следствие.
{rchainforlongroot
Следствие 1.6.5. Пусть α, β — произвольные корни корневой системы Φ и α — длинный корень. Тогда длина α-серии корней, содержащей β, не превосходит 2. Более того длина α-серии корней, содержащей β, равна 2 тогда и только тогда, когда | < α, β > | = 1.
{nonfundroots}
Следствие 1.6.6. Если α — положительный нефундаментальный корень, то существует такой фундаментальный корень π, что α − π ∈ Φ. Доказательство. В доказательстве леммы 1.1.7 мы показали, что для любого положительного нефундаментального корня α существует фундаментальный корень π такой, что (π, α) > 0. Тогда (α)wπ = α− < π, α > π вновь является корнем. По лемме 1.6.3, отсюда следует, что α − π также является корнем.
{uniqueRootOfMa
Лемма 1.6.7. В любой неразложимой корневой системе Φ существует единственный корень α0 максимальной высоты. Для любого положительного корня α 6= α0 существует некоторый фундаментальный корень πi такой, что α + πi ∈ Φ. Доказательство. Достаточно доказать, что не существует двух различных корней α, β, удовлетворяющих условию α + π 6∈ Φ и β + π 6∈ Φ для любого фундаментального корня π. Предположим, что такие корни α, β существуют и их высота минимально возможная. Заметим, что если для некоторого π ∈ Π выполнено неравенство (π, α) < 0, то (α)wπ = α− < π, α > π = α + kπ ∈ Φ и k > 0. Ввиду следствия 1.6.6 получаем, что α + π ∈ Φ, что противоречит нашему предположению. Таким образом, (π, α) > 0 и (π, β) > 0 для любого фундаментального корня π. Далее, ввиду леммы 1.1.7, существуют такие целые
§6. ДИАГРАММЫ ДЫНКИНА ПОДСИСТЕМ
19
неотрицательные λ1 , . . . , λℓ и δ1 , . . . , δℓ , что α = λ1 π1 + . . . + λℓ πℓ и β = δ1 π1 + . . . + δℓ πℓ . Покажем сначала, что все λi и δj отличны от 0. Действительно, в силу неразложимости системы Φ мы получаем, что если какие-то из λi равны 0, то существует фундаментальный корень πi такой, что λi = 0, но (πi , πj ) < 0 для некоторого πj , для которого λj > 0. Следовательно, (πi , α) < 0, что противоречит доказанному ранее неравенству (πi , α) > 0 для всех фундаментальных корней. Аналогичными рассуждениями получаем, что все δj > 0. P Рассмотрим теперь (α, β). Имеем (α, β) = i λi (πi , β) > 0. Следовательно, (β)wα = β− < α, β > α = β −kα ∈ Φ, где k — некоторое положительное число. Ввиду леммы 1.6.6 получаем, что β −α ∈ Φ. Значит, α−β ∈ Φ. Таким образом, либо β −α, либо α−β является положительным корнем. Без ограничения общности можно считать, что α − β — положительный корень. Если α − β — фундаментальный корень, то мы получаем, что (α − β) + β ∈ Φ, что противоречит выбору β. В противном случае, как и при доказательстве леммы 1.1.7, мы получаем, что существует некоторый фундаментальный корень πi такой, что (α − β, πi ) > 0, следовательно, (α, πi ) > 0. Как и в доказательстве следствия 1.6.6, отсюда следует, что α − πi ∈ Φ и (α − β) − πi ∈ Φ. Заменяя корень α на корень α′ = α − πi и повторяя указанную процедуру, мы получим некоторый корень α ¯ такой, что α ¯ − β уже фундаментальный корень и (α ¯ − β) + β ∈ Φ, что противоречит выбору β. {CritOfSubSyst}
Лемма 1.6.8. Предположим, что для подмножества Φ1 корневой системы Φ и для любых двух корней α, β ∈ Φ1 справедливы утверждения α+β ∈ Φ ⇒ α+β ∈ Φ1 и α ∈ Φ1 ⇒ −α ∈ Φ1 . Тогда Φ1 является подсистемой корневой системы Φ. Доказательство. Выполнение всех аксиом корневой системы, кроме третьй, очевидно. По лемме 1.6.3 вся α-серия корней, содержащая β, лежит в Φ1 , следовательно, корень (β)wα = b− < α, β > α также лежит в Φ1 . Определение 1.6.9. Подсистема Φ1 , для которой верно условие леммы 1.6.8, т. е. в которой для любых двух корней α, β справедлива импликация α + β ∈ Φ ⇒ α + β ∈ Φ1 , называется аддитивно замкнутой. Не все подсистемы являются аддитивно замкнутыми, в конце параграфа мы подробно рассмотрим не аддитивно замкнутые подсистемы. Более того, в некоторых источниках (в частности в [2] и [11]) подсистема определяется именно как аддитивно замкнутая подсистема. Сейчас мы получим алгоритм для нахождения всех аддитивно замкнутых подсистем. Далее, пока мы не скажем особо, термин «подсистема» означает аддитивно замкнутую подсистему. Определение 1.6.10. Подмножество Ξ корневой системы Φ называется Π-множеством, если для любых двух корней α, β ∈ Ξ выполнено α − β 6∈ Φ. Из леммы 1.6.3 следует, что для любых двух корней α, β произвольного Π-множества Ξ справедливо неравенство (α, β) 6 0. Ясно, что фундаментальная система является Π-множеством. Более того, фундаментальная система любой подсистемы также является Π-множеством. С другой стороны, если Ξ — некоторое линейно независимое Π-множество, рассмотрим ZΞ ∩ Φ = Φ1 . Ввиду леммы 1.6.8 множество Φ1 является подсистемой корневой системы Φ. Кроме того, Ξ является фундаментальной системой для Φ1 . Действительно, надо проверить лишь, что любой корень из Φ1 представим в виде целочисленной линейной комбинации элементов из Ξ, все коэффициенты которой либо неположительны, либо неотрицательны.
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
20
Предположим противное, тогда существует такой корень β, что β = λi1 πi1 + . . . + λik πik − µj1 πj1 − µjm πjm , где все λis , µjt больше 0. Выберем среди таких корней тот корень, для которого сумма σ(β) =
k X
λis +
s=1
минимальна. Предположим, что
Pk
s=1 λis
>2и
m X
µj t
t=1
Pm
t=1
µjt > 2. Тогда для любого
π ∈ {πi1 , . . . , πik }
справедливо неравенство (β, π) 6 0. Действительно, если (β, π) > 0, то (β)wπ = β − kπ ∈ Φ1 . По лемме 1.6.3 корень β − π лежит в Φ1 , но для него σ(β − π) < σ(β) и при этом β − π является целочисленной комбинацией корней из Ξ с коэффициентами разных знаков, что противоречит выбору β. Аналогично, для любого π ∈ {πj1 , . . . , πjm } справедливо неравенство (β, π) > 0. Поэтому k m X X (β, β) = λis (β, πis ) − µjt (β, πjt ) 6 0, s=1
t=1
Pk
P т. е. β = 0, противоречие. Следовательно, P либо s=1 λis = 1, либо m t=1 µjt = 1. С точностью m до замены β на −β можно считать, что t=1 µjt = 1, т. е. β = λ1 π1 + . . . + λk πk − π, где P π 6∈ {π1 , . . . , πk }. Поскольку Ξ является Π-множеством, то ks=1 λi > 2. Минимальность σ(β) влечёт неравенства (β, πi) 6 0 при i = 1, . . . , k. Поскольку {π1 , . . . , πk , π} — это Π-множество, то для любого i = 1, . . . , k справедливо неравнество (π, πi ) 6 0, откуда (β, π) < 0. По лемме 1.6.3 мы получаем, что β + π ∈ Φ1 . Положим α = β+π. В силу леммы 1.6.2 подсистема, получаемая как пересечение линейной оболочки корней α и π, и корневой √ системы Φ имеет тип, отличный от G2 , и длины корней α и π отличаются не более, чем в 2 раз. Следовательно, π-цепь, содержащая α, состоит не более, чем из трёх корней. Поскольку α − πj ∈ Φ, то, в обозначениях леммы 1.6.3, p > 1, следовательно, q 6 1 и, значит, (π, α) > 0. С другой стороны (π, πi ) 6 0 для всех πi ∈ Ξ. Кроме того, можно считать, что (π, πi ) < 0 для некоторого πi ∈ {π1 , . . . , πk }. Действительно, покажем сначала что для некоторого πm ∈ {π1 , . . . , πk } справедливо неравенство (α, πm ) > 0. В противном случае мы бы имели (α, α) = λ1 (α, π1 ) + . . . + λk (α, πk ) 6 0, т. е. α = 0, что противоречит первой аксиоме корневой системы. Теперь, если для любого i справедливо (π, πi ) = 0, то (α − π, πm ) = (α, πm ) > 0. Значит, (α − π)wπm = α − π − lπm ∈ Φ1 для некоторого l > 0. По лемме 1.6.3 мы получаем α − π − πm ∈ Φ1 , поэтому, заменяя α на α − πm , мы получаем противоречие с минимальностью σ(β). Следовательно, (π, α) = λ1 (π, π1 ) + . . . + λk (π, πk ) < 0, что противоречит полученному ранее неравенству (π, α) > 0. Таким образом, нами доказана следующая
{PiSystemIsFundS
Лемма 1.6.11. Пусть Ξ — линейно независимое Π-подмножество корневой системы Φ и пусть Φ1 = ZΞ ∩ Φ. Тогда Φ1 является аддитивно замкнутой подсистемой системы Φ, Ξ является её фундаментальной системой корней. Обратно для любой аддитивно замкнутой подсистемы Φ1 системы Φ существует некоторое линейно независимое Π-подмножество Ξ такое, что Φ1 = ZΞ ∩ Φ и Ξ является фундаментальным набором корней системы Φ1 .
§6. ДИАГРАММЫ ДЫНКИНА ПОДСИСТЕМ
21
Значит, для классификации подсистем корневой системы Φ достаточно классифицировать линейно независимые Π-подмножества этой системы. Каждому Π-подмножеству мы сопоставим диаграмму, аналогичную диаграмме Дынкина. Т. е. любые два корня πi , πj из Πподмножества соединены < πi , πj > · < πj , πi > ребрами и указано, какой из корней длиннее. Такую диаграмму мы будем называть расширенной диаграммой Π-множества Ξ . {SubSetIsEnough}
Лемма 1.6.12. Пусть Ξ — некоторое Π-подмножество корневой системы Φ и Φ1 = ZΞ ∩ Φ. Тогда существует такое линейно независимое подмножество Ξ1 множества Ξ, что ZΞ1 = ZΞ. Доказательство. Ясно, что подсистему Φ1 можно считать неразложимой. Рассмотрим расширенную диаграмму для Ξ. Если расширенная диаграмма совпадает с диаграммой Дынкина, то матрица скалярных произведений векторов из Ξ является невырожденной, следовательно, корни из Ξ линейно независимы и доказывать нечего. В противном случае расширенная диаграмма содержит поддиаграмму одного из следующих видов:
1.
2.
vP P PP PP PP PP PP PP v v v ppppppppppppppppppp Pv v aa aa aav ! !! ! !! v
v
ppppppppppppppppppp
v
v
v
v
ppppppppppppppppppp
v
v
ppppppppppppppppppp
!v !! ! ! v ! aa aa aav
v
3.
4.
v aa aa aav !! ! ! ! v!
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v v
5. v
v
v
v
6. v
7.
v
v v
v
v
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
22 8. 9.
v
v
v
v
v
v
v
v
Пусть π1 , . . . , πk — корни, являющиеся вершинами одной из приведённых выше диаграмм. Как показано в доказательстве теоремы 1.5.1, для каждой из указанных выше диаграмм существует целочисленная линейная комбинация корней λ1 π1 + . . . + λk πk = 0, причём по меньшей мере один из λi равен 1. Следовательно, тот корень πi , для которого λi = 1, лежит в корневой системе, порождённой остальными корнями и мы можем рассмотреть Ξ1 = Ξ \ {πi }. Повторяя эту процедуру, мы получим линейно независимое множество Ξ′ , для которого Φ1 = ZΞ′ ∩ Φ.
{ExtentionOfPiSy
Лемма 1.6.13. Пусть Ξ — линейно независимое Π-подмножество, Φ1 = ZΞ ∩ Φ, причём Φ 6= Φ1 . Тогда существует α ∈ Φ \ Φ1 такой, что Ξ ∪ {α} вновь является Π-подмножеством. Доказательство. Дополним Ξ до базиса пространства V , порождённого корневой системой Φ, и выберем V + таким образом, что Ξ ⊂ V + . Пусть α — минимальный корень в Φ \ Φ1 . Тогда α − π ≺ α для любого π ∈ Ξ. В силу минимальности выбора α, мы получаем, что α − π не лежит в Φ. Таким образом, Ξ ∪ {α} является Π-подмножеством. Определение 1.6.14. Диаграмму, полученную из диаграммы Дынкина корневой системы Φ присоединением корня −α0 и соединением его с остальными корнями по обычному правилу, назовём расширенной диаграммой Дынкина. В таблице 1.6.15 приведены расширенные диаграммы Дынкина для всех неразложимых корневых систем, кроме того, указаны коэффициенты, с которыми фундаментальные корни входят в разложение корня α0 . {ExtDyndiagr}
Таблица 1.6.15. Расширенные диаграммы Дынкина Тип Φ
An
Расширенная диаграмма Дынкина −α0
vP P PP PP -1 PP PP PP π1 π2 π3 PP πn v v v ppppppppppppppppppp Pv
1 π1
Bn
Cn
1
v aa 1 aaa π2 av !! ! −α0!! 2 ! v
-1 −α0 v
-1
i
1 πn−1
π3 v
ppppppppppppppppppp
π2
v
v
2
v
2
2
π1 2
1
i
πn−1 ppppppppppppppppppp
v
2
h
πn v
2 πn v
1
§6. ДИАГРАММЫ ДЫНКИНА ПОДСИСТЕМ π1 v aa 1 aaa π2 av !! −α0!!! 2 ! v
Dn
-1
23 πn−1 !v
πn−2 !!! 1 !
π3 v
v ! aa aa πn aav
ppppppppppppppppppp
2
2
1
π1
π3
π4
π5
π6
v
v
v
v
v
1
2
2
1
3 2 v π2
E6
-1 v-α0
E7
E8 F4 G2
-α0
π1
π3
π4
π5
π6
π7
v
v
v
v
v
v
v
-1
2
3
4 2 vπ2
3
2
1
π1
π3
π4
π5
π6
π7
π8
-α0
v
v
v
v
v
v
v
v
2
4
6 3 vπ2 -α0
5
4
π1
π2
v
v
v
-1
2 -α0
3 π1
v
v
-1
2
3 i i
2
π3
π4
v
v
4 π2
-1
2
v
3
Теперь мы можем получить алгоритм описания диаграмм Дынкина аддитивно замкнутых подсистем корневой системы Φ. Пусть Φ — неразложимая корневая система и Ξ — Π-подмножество для которого Φ ⊆ ZΞ. Ввиду леммы 1.6.12 Ξ содержит фундаментальную систему Π корневой системы Φ. Ввиду следствия 1.6.6 и леммы 1.6.7 единственным корнем α, удовлетворяющим условию α − πi 6∈ Φ для любого πi ∈ Π является корень −α0 . Следовательно, либо Ξ = Π, либо Ξ = Π ∪ {−α0 }. Пусть теперь Φ1 — максимальная собственная аддитивно замкнутая подсистема корневой системы Φ и Π1 — её фундаментальная система. Ввиду леммы 1.6.13 существует корень α ∈ Φ\Φ1 такой, что Π1 ∪{α} = Ξ является Π-множеством. Более того ZΞ∩Φ = Z(Φ1 ∪{α})∩Φ равна Φ, ввиду максимальности подсистемы Φ1 . Как мы заметили выше, это означает, что либо Ξ = Π, либо Ξ = Π ∪ {−α0 }. Таким образом, алгоритм заключается в следующем. Из диаграммы Дынкина корневой системы Φ мы строим расширенную диаграмму Дынкина корневой системы Φ и выбрасываем из полученной расширенной диаграммы одну или несколько вершин. Потом для каждой из оставшихся компонент связности мы повторяем процедуру. Диаграммы, которые можно получить таким образом, дают нам диаграммы Дынкина всех аддитивно замкнутых подсистем системы Φ. Упражнение 1.6.16. Найти максимальные аддитивно замкнутые подсистемы во всех неразложимых корневых системах. Теперь найдём подсистемы, которые не являются аддитивно замкнутыми. Пусть Φ1 — подсистема системы Φ и α, β ∈ Φ1 таковы, что α + β ∈ Φ \ Φ1 . Предположим сначала, что
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
24
один из корней α, β, пусть, для определённости, это корень α, является длинным. Так как α + β ∈ Φ, то α-серия корней, содержащая β, состоит по крайней мере из двух корней. В силу следствия 1.6.5 мы получаем, что длина α-серии корней, содержащей β, равна 2 и < α, β >= −1. Значит, (β)wα = β + α ∈ Φ1 , что противоречит предположению. Таким образом, справедлива следующая
{SubsystemEqualR
Лемма 1.6.17. Пусть Φ1 — подсистема системы Φ, α, β ∈ Φ1 и α — длинный корень. Тогда α + β ∈ Φ в том и только в том случае, если α + β ∈ Φ1 . В частности, если все фундаментальные корни корневой системы Φ имеют одинаковую длину, то любая подсистема системы Φ является аддитивно замкнутой. Ввиду леммы 1.6.17 подсистемы, не являющиеся аддитивно замкнутыми, могут возникнуть лишь в системах, содержащих фундаментальные корни разной длины. Пусть α — произвольный корень корневой системы Φ. Обозначим через α ˇ = 2α/(α, α) кокорень корня α. Множество кокорней образует дуальную корневую систему, которую мы ˇ Поскольку wα = wαˇ и < α, ˇ действительно будем обозначать через Φ. ˇ βˇ >=< β, α >, то Φ является корневой системой.
{DualRootSystem}
Упражнение 1.6.18. Завершить доказательство того, что множество кокорней образует корневую систему, называемую двойственной или дуальной для Φ. Найти дуальные корневые системы для всех неразложимых корневых систем. ˇ 1 — подсистема системы Φ. ˇ Отметим, Кроме того, если Φ1 — подсистема системы Φ, то Φ что если в системе Φ существуют корни разной длины, то α является длинным корнем систеˇ Таким образом, мы Φ тогда и только тогда, когда α ˇ является коротким корнем системы Φ. ввиду леммы 1.6.17, если α, β — такие корни подсистемы Φ1 , что α + β ∈ Φ и α + β 6∈ Φ1 (т. е. ˇ и поэтому α ˇ 1 тогда α и β — короткие корни), то α ˇ и βˇ — длинные корни в системе Φ ˇ + βˇ ∈ Φ ˇ Используя это замечание можно найти все не аддитивно и только тогда, когда α ˇ + βˇ ∈ Φ. замкнутые подсистемы. А именно, нужно найти все аддитивно замкнутые подсистемы Ψ и ˇ соответственно. Тогда любая подсистема системы Φ совпадает либо с Θ в системах Φ и Φ ˇ некоторой подсистемой Ψ, либо с некоторой подсистемой Θ. Мы приведём здесь строение максимальных не аддитивно замкнутых подсистем в тех корневых системах, в которых они возникают. 1. В Bn множество коротких корней образует разложимую подсистему A1 ∪ . . . ∪ A1 . | {z } n раз
2. В Cn множество коротких корней образует неразложимую подсистему Dn .
3. В F4 множество коротких корней образует неразложимую подсистему D4 . 4. В F4 существует неразложимая подсистема C4 . 5. В G2 множество коротких корней образует неразложимую подсистему A2 .
§7
Классы сопряжённых элементов в группах Вейля
Материал данного параграфа взят в основном из [3, G] и [6]. Там же можно найти более подробное изложение и необходимые технические следствия о характеристических многочленах и допустимых диаграммах.
§7. КЛАССЫ СОПРЯЖЁННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГРУППАХ ВЕЙЛЯ
{ValueOflw}
CriteriaOfReducity}
25
Напомним, что группа Вейля порождается отражениями wα в корнях α ∈ Φ. Таким образом, для любого элемента w ∈ W существуют корни α1 , . . . , αk , для которых справедливо w = wα1 · wα2 · . . . · wαk . Обозначим через ¯l(w) минимальное такое k, что w представим в виде произведения отражений в корнях α1 , . . . , αk (отметим, что корни α1 , . . . , αk не обязательно являются фундаментальными). Лемма 1.7.1. ¯l(w) равно количеству собственных значений элемента w ∈ W , отличных от 1 (с учётом кратности). В частности, ¯l(w) 6 ℓ (напомним, что ℓ — это размерность векторного пространства V ). Доказательство. Предположим, что ¯l(w) = k и w = wα1 · . . . · wαk — соответствующее разложение элемента w в виде произведения отражений. Пусть Hαi — гиперплоскость, ортогональная вектору αi и положим U = Hα1 ∩ . . . ∩ Hαk . Тогда w оставляет неподвижным любой вектор из U и dim U > ℓ − k. Таким образом, кратность собственного значения 1 для w не меньше, чем ℓ − k, значит, существует не более k собственных значений, отличных от 1. Обратно, предположим, что w имеет k собственных значений, отличных от 1. Пусть V1 — подпространство векторов, неподвижных относительно w и пусть V1⊥ — его ортогональное дополнение. Тогда dim V1 = ℓ − k и dim V1⊥ = k. Поскольку w оставляет неподвижным любой вектор из V1 , из теоремы 1.3.6 следует, что w порождён отражениями в корнях из V1⊥ ∩ Φ. Если k ℓ, т. е. dim V1⊥ dim V , то мы можем использовать индукцию по размерности пространства и получить, что w является произведением в точности k отражений. Таким образом, достаточно доказать, что если элемент w не имеет неподвижных векторов на V , то он является произведением не более, чем ℓ отражений. Пусть α ∈ Φ. Поскольку w не оставляет неподвижным никакой вектор, w − 1 — невырожденное преобразование. Следовательно, существует вектор v такой, что v(w − 1) = α, значит, (v)w = v + α. Далее, ((v)w, (v)w) = (v, v). Таким образом, (v + α, v + α) = (v, v) и, значит, 2(v,α) = −1. Следова(α,α) тельно, (v)wα = v + α и (v)w = (v)wα. Поэтому v = (v)wwα. Ввиду следствия 1.3.5, элемент wwα является произведением отражений в корнях, ортогональных вектору v и мы можем применить индукцию. Определение 1.7.2. Выражение wα1 ·wα2 ·. . .·wαk называется общеприведённым, если ¯l(wα1 · wα2 · . . . · wαk ) = k. Лемма 1.7.3. Пусть α1 , α2 , . . . , αk ∈ Φ. Тогда выражение wα1 · wα2 · . . . · wαk является общеприведённым в том и только в том случае, если векторы α1 , α2 , . . . , αk линейно независимы. Доказательство. Пусть w = wα1 · wα2 · . . . · wαk , и предположим, что выражение общеприведённое. Тогда w имеет k собственных значений, отличных от 1. Как и при доказательстве леммы 1.7.1 мы получаем, что dim(Hα1 ∩ . . . ∩ Hαk ) > ℓ − k. Поскольку w имеет k собственных значений, отличных от 1, то dim(Hα1 ∩ . . . ∩ Hαk ) не может быть строго больше, чем l − k. Следовательно, векторы α1 , . . . , αk линейно независимы. Обратно, предположим, что векторы α1 , . . . , αk линейно независимы. Рассмотрим подпространство V (w − 1). Выберем вектор x так, что x ∈ Hα1 ∩ . . . ∩ Hαk−1 , но x 6∈ Hαk . Тогда вектор (x)w − x кратен αk (в силу нашего выбора, (x)wα1 · . . . · wαk−1 = x), таким образом, α1 ∈ V (w − 1). Далее выберем x ∈ Hα1 ∩ . . . ∩ Hαk−2 , но x 6∈ Hαk−1 . Мы имеем, что (x)w − x = λαk−1 + µαk и λ 6= 0. Значит, αk−1 ∈ V (w − 1). Продолжая рассуждения таким же образом, мы получаем, что α1 , . . . , αk ∈ V (w − 1). Следовательно, кратность собственного значения 1 для w не больше, чем ℓ − k, и по лемме 1.7.1, ¯l(w) > k.
tions}
26
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
Лемма 1.7.4. Любая инволюция w ∈ W может быть записана в виде произведения ¯l(w) отражений, соответствующих попарно ортогональным корням. Доказательство. Пусть V1 — это подпространство векторов, неподвижных относительно w, и V−1 — это подпространство векторов, для которых (x)w = −x. Поскольку w — инволюция, пространство V является прямой суммой V = V1 ⊕ V−1 . Если dim V1 > 0, мы можем использовать индукцию. В противном случае V−1 = V , т. е. w = −1. Пусть w = wα1 · wα2 · . . . · wαℓ — общеприведённое выражение. Рассмотрим вектор v, ортогональный корню αℓ . Мы имеем (v)w = −v и, значит, (v)wα1 · . . . · wαℓ−1 = −(v)wαℓ = −v. Таким образом, мы получили, что 2v = v − (v)wα1 · . . . · wαℓ−1 является линейной комбинацией векторов α1 , . . . , αℓ−1 . Поэтому α1 , . . . , αℓ−1 образуют базис гиперплоскости Hαℓ . Повторяя данные рассуждения, мы получаем, что векторы α1 , α2 , . . . , αℓ попарно ортогональны. Обозначим через W0 подмножество группы W , состоящее из элементов w, представимых в виде w = w1 · w2, причём w12 = w22 = 1 и V−1 (w1 ) ∩ V−1 (w2 ) = {0}. Ясно, что W0 инвариантно относительно сопряжений и потому является объединением сопряжённых классов группы W .
{RedlenghIsASum
Лемма 1.7.5. Пусть w ∈ W0 представлен в виде w = w1 · w2 , где w12 = w22 = 1 и V−1 (w1 ) ∩ V−1 (w2 ) = {0}. Тогда ¯l(w) = ¯l(w1 ) + ¯l(w2 ). Доказательство. Пусть x ∈ V выбран так, что (x)w = x. Тогда (x)w1 w2 = x и, значит, (x)w1 = (x)w2 . Таким образом, (x)w1 − x = (x)w2 − x. Далее, (x)w1 − x ∈ V−1 (w1 ) и (x)w2 − x ∈ V−1 (w2 ). Поэтому оба из этих векторов равны 0, т. е. V1 (w) = V1 (w1 ) ∩ V1 (w2 ). Далее, V−1 (w1 )⊥ = V1 (w1 ) и V−1 (w2 )⊥ = V1 (w2 ). Поскольку V−1 (w1 ) ∩ V−1 (w2 ) = {0}, мы имеем V1 (w1 ) + V1 (w2 ) = V . Таким образом, ¯l(w) = ℓ − dim V1 (w) = 2ℓ − dim V1 (w1 ) − dim V1 (w2 ) = ¯l(w1 ) + ¯l(w2 ), где мы воспользовались тем, что dim V1 (w) = dim(V1 (w1 )∩V1 (w2 )) = dim V1 (w1 )+dim V1 (w2 )− dim(V1 (w1 ) + V1 (w2 )) = dim V1 (w1 ) + dim V1 (w2 ) − ℓ. Пусть w ∈ W0 и w = w1 · w2 . Ввиду леммы 1.7.4 элемент w1 можно записать в виде w1 = wα1 · . . . · wαk , а элемент w2 можно записать в виде w2 = wrα+1 · . . . · wαm , где m = ¯l(w) и множества {α1 , . . . , αk }, {αk+1 , . . . , αm } состоят из попарно ортогональных корней. Таким образом, элементу w мы можем сопоставить диаграмму Γ, вершинами которой являются корни {α1 , . . . , αm } и корни αi , αj соединены < αi , αj > · < αj , αi > ребрами. Очевидно, что любой сопряжённый с w элемент из W имеет ту же диаграмму Γ. Таким образом, мы можем говорить о классе сопряжённых элементов, соответствующем диаграмме Γ. Отметим, что одному классу может соответствовать, вообще говоря, несколько диаграмм. Каждая диаграмма, получаемая таким образом, удовлетворяет следующим двум очевидным условиям: 1. Вершины диаграммы Γ соответствуют множеству линейно независимых корне. 2. Любой цикл в диаграмме Γ имеет чётное количество вершин. Любой граф, удовлетворяющий условиям 1 и 2 мы будем называть допустимой диаграммой. В [6] подробно изучены допустимые диаграммы для каждой неразложимой кр системы. В частности, если допустимая диаграмма не имеет циклов, то она является диаграммой
§8. РЯДЫ В ГРУППЕ ВЕЙЛЯ
27
Дынкина некоторой подсистемы. Кроме того, изучен вопрос о том, когда одному классу соответствуют разные допустимые диаграммы и о том, когда разным классам соответствует одна допустимая диаграмма. Последовательным перебором различных типов неразложимых корневых систем доказано, что W0 = W . Мы не будем здесь приводить все эти результаты ввиду громоздкости их изложения. Отметим лишь проблему, поставленную в [6]. Проблема. Найти прямое (без перебора корневых систем) доказательство равенства W0 = W .
§8
{WSeriesRho}
Ряды в группе Вейля
В данном параграфе мы рассмотрим следующую задачу. Пусть ρ — некоторое ортогональное преобразование евклидова пространства V = ZΦ⊗Z R, которое является симметрией диаграммы Дынкина. Тогда легко проверить, что ρ нормализует группу Вейля W и можно рассмотреть централизатор элемента ρ в W : CW (ρ) = Wρ = {w ∈ W |w ρ = w}. Рядом, соответствующим симметрии ρ (которая может быть тривиальной), относительно группы Вейля W называется следующий многочлен от переменной t: X tl(w) . (1.2) w∈Wρ
Заметим, что ρ 6= e существует лишь для следующих корневых систем (стрелками показано действие ρ на диаграмме Дынкина): 1. An , n > 2. ◦r
◦
◦
◦,
◦
◦V ◦??? ?? ?? ◦
2. Dn , n > 4. ◦ 3. D4 . ◦^ 4. E6 . ◦r
◦
◦1 ◦??? ?? ?? ◦
◦
◦
◦
◦,
◦ Ниже мы приведём основную теорему данного параграфа.
ulaeOfWSeriesRho}
Теорема 1.8.1. Во введённых выше обозначениях справедливо равенство: X
w∈Wρ
{Invariants}
l(w)
t
=
n Y 1 − λi tdi i=1
1 − µi t
,
где n = dim V , а числа λi , di, µi даны в таблице 1.8.2 Qn ниже. Заметим, что µ1 , . . . , µn — собственные значения преобразования ρ, поэтому i=1 (1 − µit) — характеристический многочлен преобразования ρ. В том случае, если ρ = e, справедливо λi = µi = 1 для всех i. Таблица 1.8.2. Инварианты группы Вейля и симметрий диаграммы Дынкина.
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И ГРУППЫ ВЕЙЛЯ
28 Φ An Bn Cn Dn D4 E6 E7 E8 F4 G2
{d1 , . . . , dn } {λ1 , . . . , λn } {µ1 , . . . , µn } {2, 3, . . . , n + 1} {1, −1, . . . , (−1)n+1 } {1, −1, . . . , (−1)n+1 } {2, 4, . . . , 2n} {2, 4, . . . , 2n} {2, 4, . . . , 2(n − 1), n} {1, . . . , 1, −1} {1, . . . , 1, −1} 2πi/3 4πi/3 {2, 4, 6, 4} |ρ| = 3, {1, e , 1, e } {1, e2πi/3 , 1, e4πi/3 } {2, 5, 6, 8, 9, 12} {1, −1, 1, 1, −1, 1} {1, −1, 1, 1, −1, 1} {2, 6, 8, 10, 12, 14, 18} {2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30} {2, 6, 8, 12} {2, 6}
Глава 2. Введение в алгебраическую геометрию В данной главе мы введём алгебраическую геометрию, определим линейные алгебраические группы и получим их основные свойства. Наше изложение в основном следует [20]. Заметим, что для понимания дальнейшего изложения достаточно знания понятий аффинного и проективного многообразия, размерности, касательного пространства и полных многообразий, т. е. прочтения параграфов §4, §5, §7, §9 и §10. Остальные параграфы, в основном, приведены для полноты изложения.
§1
Кольца и модули
{RingsModules}
Большинство результатов данного параграфа могут быть найдены в [1] и [12]. Если R — некоторое кольцо и T — переменная или элемент из некоторого кольца R1 , содержащего R, то через R[T ] обозначается множество многочленов с коэффициентами из R и переменной T . По индукции, R[T1 , . . . , Tk ] = R[T1 , . . . , Tk−1][Tk ] . Все кольца в данном параграфе предполагаются коммутативными. Если M ⊆ R, то через hMi (соотв. (M)) обозначено подкольцо (соотв. идеал), порождённое (соотв. порождённый) подмножеством M.
{CritNeter}
Определение 2.1.1. Говорят, что кольцо R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей или условию максимальности (является нётеровым), если любая цепочка вложенных идеалов I1 ≤ I2 ≤ . . . на некотором шаге стабилизируется. Лемма 2.1.2. Следующие условия для коммутативного кольца с единицей R эквивалентны: (а) кольцо R нётерово; (б) любой идеал кольца R конечнопорождён (как идеал); (в) всякое непустое множество S идеалов кольца R содержит максимальный по включению элемент. Доказательство. (а)⇒(б). Пусть I — некоторый идеал кольца R. Рассмотрим a1 ∈ I \ {0} и пусть A1 — идеал кольца R, порождённый элементом a1 . Далее рассмотрим a2 ∈ I \ A1 и пусть A2 — это идеал кольца R, порождённый элементами a1 , a2 . Повторяя данную процедуру, получим цепь вложенных идеалов A1 < A2 < . . .. Ввиду нётеровости кольца R, данная цепь на некотором шаге стабилизируется, т. е. для некоторого m справедливо Am = I. Но идеал Am конечнопорождён по построению.
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
30
(б)⇒(в). Пусть S — непустое множество идеалов и рассмотрим в нём идеал I1 . Если он немаксимален, то в S существует собственный идеал I2 , строго содержащий идеал I1 . Если идеал I2 немаксимален, то в S существует собственный идеал I3 I2 и т. д. Таким образом, если в S не существует максимального элемента, то мы получим строго возрастающую бесконечную цепь идеалов I1 < I2 < . . .. Рассмотрим идеал I, равный объединению всех Ij . Идеал I конечнопорождён, т. е. существуют элементы s1 , . . . , sk , которые порождают весь I. По построению, все si лежат в некотором Im . Но тогда Im < I 6 Im , что противоречит выбору строго возрастающей цепочки. (в)⇒(а). Очевидно. Далее в данном параграфе все кольца предполагаются нётеровыми. {HilbertBasis}
Теорема 2.1.3. (Теорема Гильберта о базисе) Пусть R — коммутативное нётерово кольцо. Тогда кольцо R[T ] многочленов над R от одной переменной тоже нётерово. Доказательство. Пусть I — идеал в R[T ]. Обозначим через Ai множество элементов a ∈ R, служащих старшими коэффициентами в многочленах a0 + a1 T + . . . + ai T i , лежащих в I (включая 0). Ясно, что Ai — это идеал в R. Кроме того, Ai ≤ Ai+1 , т. е. последовательность идеалов A0 ≤ A1 ≤ . . . — возрастающая. Действительно, если f (T ) ∈ I и его старший коэффициент равен ai ∈ Ai , то T f (T ) вновь лежит в I и его старший коэффициент равен ai ∈ Ai+1 . Так как кольцо R нётерово, последовательность идеалов {Ai } стабилизируется, т. е. существует k такой, что A0 ≤ A1 ≤ . . . ≤ Ak = Ak+1 = . . . Ввиду нётеровости кольца R, каждый из Ai конечнопорождён. Пусть ai,1 , . . . , ai,mi — множество порождающих для идеала Ai . Тогда {ai,j T i} — множество порождающих для идеала I, т. е. идеал I конечнопорождён. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Абелева группа M называется (правым) модулем кольца R, если для любых m ∈ M, r ∈ R единственным образом образом определён элемент rm ∈ M и справедливы следующие утверждения: 1. ∀m ∈ M, 1m = m. 2. ∀m ∈ M, ∀r1 , r2 ∈ R, (r1 + r2 )m = r1 m + r2 m, (r1 r2 )m = r1 (r2 m). 3. ∀m1 , m2 ∈ M, ∀r ∈ R, r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 . Модуль M называется точным, если rM = {0} ⇔ r = 0. Модуль M называется конечнопорождённым, если существуют такие элементы x1 , . . . , xn ∈ M, что hx1 , . . . , xn i = {a1 x1 + . . . + an xn | ai ∈ R} = M. Модуль M называется нётеровым, если любая цепочка подмодулей M1 ≤ M2 ≤ . . . стабилизируется на некотором конечном шаге. Аналогично лемме 2.1.2 доказывается {ModuleNeter}
Упражнение 2.1.4. Пусть M — модуль коммутативного кольца с единицей R. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (а) модуль M нётеров;
§2. СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ РАСШИРЕНИЙ
31
(б) любой подмодуль модуля M конечнопорождён (как R-модуль), в частности модуль M конечнопорождён;
NeterRingModule}
(в) любое семейство подмодулей модуля M содержит максимальный по включению элемент. Лемма 2.1.5. Пусть R — коммутативное нётерово кольцо с единицей и M — его конечно порождённый модуль. Тогда модуль M является нётеровым, в частности любой подмодуль модуля M конечнопорождён. Доказательство. Пусть x1 , . . . , xn — порождающие модуля M и пусть |R ⊕ .{z . . ⊕ R} прямая n раз
сумма n копий кольца R. Легко проверить, что отображение (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) 7→ xi (элемент 1 берётся на i-м месте) продолжается до гомоморфизма ϕ : R⊕. . .⊕R → M. Пусть I = Ker(ϕ). Тогда любая цепочка подмодулей модуля M соответствует цепи идеалов кольца R ⊕ . . . ⊕ R, содержащих I, а кольцо R ⊕ . . . ⊕ R является нётеровым.
§2
Свойства целых расширений
ExtensionOfRings}
Везде на протяжении данного параграфа фраза «R > S — расширение колец», означает, что кольцо S является нётеровым, ассоциативным и коммутативным. При этом, если S — кольцо с единицей, то R — тоже кольцо с единицей и единицы колец R и S совпадают. Определение 2.2.1. Пусть R > S — расширение колец. Элемент x ∈ R является целым над S, если существуют такие элементы a0 , a1 , . . . an−1 кольца S, что справедливо равенство xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0. Кольцо R называется целым над S, если каждый элемент из R является целым над S. {CritOfIntEleme}
Лемма 2.2.2. Пусть R > S — расширение колец, S — кольцо с единицей и x ∈ R. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (а) элемент x является целым над S; (б) подкольцо S[x] — это конечнопорождённый S-модуль; (в) кольцо S[x] действует точно на некотором конечнопорождённом S-модуле V . Доказательство. (а)⇒(б). Предположим, что справедливо равенство xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 и пусть s1 , . . . , sk — порождающие элементы кольца S (их конечное число, поскольку S нётерово). Тогда элементы s1 , . . . , sk ; s1 x, . . . , sk x; . . . ; s1 xn−1 , . . . , sk xn−1 порождают кольцо S[x] как S-модуль. (б)⇒(в). Кольцо S[x] является конечнопорождённым S-модулем и действует на себе точно левыми (или правыми) сдвигами. (в)⇒(а). Пусть M — конечнопорождённый S-модуль и {v1 , . . . , vn } — его порождающие. По лемме 2.1.5, для любого i подмодуль hvi , vi x, vi x2 , . . .i также конечно порождён (как S-модуль). Следовательно, существует такое ni , что vi xni = vi (a0,i + a1,i x + . . . + ani −1,i xni −1 ), т. е. элемент xni − ani −1,ixni −1 − . . . − a1,i x − a0,i отправляет vi в 0. В силу коммутативности кольца Q ni S и поскольку M является точным S[x]-модулем, отсюда следует, что i (x − an−1,i xni −1 − . . . − a1,i x − a0,i ) = 0. Из леммы 2.2.2 немедленно вытекает
32
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Ring}
Следствие 2.2.3. Пусть кольцо R порождается конечным числом элементов x1 , . . . , xk над нётеровым кольцом S. Тогда R является целым над S в том и только в том случае, если R является конечнопорождённым S-модулем. Кроме того, из леммы 2.2.2 и следствия 2.2.3 вытекает, что если R > S — расширение колец, то множество целых над S элементов кольца R образует подкольцо кольца R, которое называется целым замыканием кольца S в R. Если R — область целостности с полем частных F (определение поля частных см. чуть ниже) и R совпадает со своим целым замыканием в F , то кольцо R называется целозамкнутым. Кольцо R называется областью целостности или целостным кольцом, если R 6= {0} и R не содержит делителей нуля. Рассмотрим коммутативное кольцо R с единицей. Подмножество S кольца R называется мультипликативным подмножеством, если S содержит единицу и для любых двух x, y ∈ S элемент xy также лежит в S. Определим кольцо частных кольца R по мультипликативному множеству S следующим образом. Рассмотрим пары (r, s), r ∈ R, s ∈ S и введём на них отношение эквивалентности (r, s) ∼ (r ′ , s′ ), если существует такой t ∈ S, что t(s′ r − sr ′ ) = 0. Покажем, что введённое отношение действительно является отношением эквивалентности. Рефлексивность и симметричность очевидна. Покажем транзитивность. Пусть t(s′ r −sr ′ ) = 0 и t′ (s′′ r ′ − s′ r ′′ ) = 0, умножим первое равенство на t′ s′′ , второе равенство умножим на ts и сложим их. Тогда мы получим равенство (tt′ s′ )(s′′ r − sr ′′ ) = 0, значит (r, s) ∼ (r ′′ , s′′ ). Множество классов эквивалентности обозначается через S −1 R и элементы этого множества удобно записывать в виде «дробей» rs . Сложение и умножение дробей вводится обычным образом. Заметим, что если 0 ∈ S, то S −1 R состоит из одного элемента 01 , т. е., для того, чтобы избежать тривиального случая, можно считать, что 0 6∈ S. Очевидно, что относительно таким образом определённых операций множество S −1 R является кольцом. Кроме того, если в S не содержится делителей нуля кольца R (в частности, если кольцо R целостное), то вложение ϕ : R → S −1 R, заданное правилом ϕ : a 7→ a1 , является инъективным. Далее мы будем отождествлять целостное кольцо R и его образ в S −1 R относительно вложения. Упражнение 2.2.4. Проверить, что вложение ϕ : a 7→ a1 задаёт гомоморфизм колец, и что оно инъективно, если S не содержит делителей нуля кольца R.
{InclusionInLocali
Напомним, что собственный идеал I кольца R называется простым, если R/I — область целостности. Пусть I — простой идеал кольца R и S = R \ I. Тогда S является мультипликативным подмножеством кольца R. Действительно, если x, y ∈ S и xy 6∈ S, то xy ∈ I и, значит, (x + I)(y + I) = 0 + I. Поскольку R/I — целостное кольцо, это значит, что либо x + I = 0 + I, либо y + I = 0 + I. Тогда кольцо частных S −1 R обозначается RI и называется локальным кольцом по простому идеалу I или локализацией кольца R по простому идеалу I. Напомним, что кольцо называется локальным, если оно содержит единственный максимальный идеал. Легко проверить, что если I — простой идеал, то RI — локальное кольцо.
{R_IisLocalRing}
Лемма 2.2.5. Если I — простой идеал кольца с единицей R, то RI — локальное кольцо с единственным максимальным идеалом (R \ I)−1 I. Доказательство. Поскольку I — идеал кольца R, то (R \ I)−1 I является идеалом кольца RI . Кроме того, любой элемент rs ∈ RI \ (R \ I)−1 I обратим, значит, порождает идеал, совпадающий с RI .
§2. СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ РАСШИРЕНИЙ
33
{Corr
Упражнение 2.2.6. Пусть S — мультипликативное подмножество целостного кольца с единицей R и I — простой идеал кольца R, непересекающийся с S. Доказать равенство I = R ∩ S −1 I. В частности, отображение ϕ : I 7→ S −1 I задаёт биекцию между простыми идеалами в R, непересекающимися с S, и простыми идеалами в S −1 R, причём ϕ−1 : S −1 I 7→ R ∩ S −1 I (здесь R отождествляется со своим образом в S −1 R относительно вложения из упражнения 2.2.4. Если кольцо R является целостным, то S = R \ {0} — мультипликативное подмножество и, в силу леммы 2.2.5, кольцо S −1 R является полем, называемым полем частных кольца R.
lRingsAreIntergal}
Лемма 2.2.7. Пусть кольцо R является целым над кольцом с единицей S. Предположим, что P — простой идеал кольца S. Тогда (S \ P )−1 R является целым над SP . Доказательство. Пусть r ∈ R, тогда существуют такие элементы a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ S, что r n + an−1 r n−1 + . . . + a0 = 0. Следовательно, для любого s ∈ S \ P мы имеем r n s
т. е. элемент
{NakayamaLemma}
r s
+
an−1 r n−1 a0 + . . . + n = 0, s s s
является целым над SP .
Лемма 2.2.8. (Лемма Накаямы.) Пусть R — локальное кольцо с единицей, V — конечнопорождённый R-модуль и M — такой собственный идеал кольца R, что V = MV . Тогда V = 0. Доказательство. Пусть элементы v1 , . . . , vn порождают R-модуль V . Ввиду равенства V = MV для некоторых mi,1 , . . . , mi,n ∈ M справедливы равенства vi = mi,1 v1 + . . . + mi,n vn . Предположим, что элемент 1 − m1,1 необратим. Тогда он содержится в единственном максимальном идеале I кольца R. Поскольку m1,1 ∈ M ≤ I, мы получаем, что 1 ∈ I, противоречие. Значит, элемент 1 − m1,1 обратим и мы можем считать, что он равен 1. В частности, модуль V может быть порождён n − 1 элементом. Индукция по числу порождающих завершает доказательство.
dditionIsInvertible}
{TheoremUp}
Упражнение 2.2.9. Доказать, что если R — локальное кольцо с единицей и M — его единственный максимальный идеал, то любой элемент x ∈ R \ M обратим. Теорема 2.2.10. (Теорема о подъеме.) Пусть R > S — целое расширение колец, оба кольца R, S целостные, содержат единицу, причём единицы этих колец совпадают. Если P — простой (максимальный) идеал кольца S, то существует простой (максимальный) идеал Q кольца R, для которого Q ∩ S = P . Доказательство. Ввиду лемм 2.2.5 и 2.2.7, SP является локальным кольцом с единственным максимальным идеалом (S \ P )−1 P , и кольцо (S \ P )−1 R является целым над SP . Кроме того, единицы колец S и SP , R и (S \ P )−1 R совпадают (мы вновь используем вложения из упражнения 2.2.4) и кольца SP , (S \ P )−1 целостные. Покажем сначала, что P R 6= R. Для этого достаточно доказать неравенство P (S \ P )−1 R 6= (S \ P )−1 R 6. Таким образом, можно считать, что S — локальное кольцо с единственным максимальным идеалом P . Если P R = R, то справедливо равенство 1 = p1 r1 + . . . + pn rn , где pi ∈ P , ri ∈ R. Пусть R0 — S-подалгебра кольца R, порождённая (как S-подалгебра) элементами r1 , . . . , rn . Тогда кольцо R0 является
34
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
целым над S и, по лемме 2.2.2, является конечнопорождённым S-модулем. С другой стороны справедливо равенство P R0 = R0 и по лемме Накаямы 2.2.8 имеем R0 = 0, противоречие. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму /
S
R
/
SP
,
(S \ P )−1 R
где вложения S → SP и R → (S \ P )−1 R определены в упражнении 2.2.4. Поскольку P (S \ P )−1 R 6= (S \ P )−1 R, то P (S \ P )−1 R содержится в некотором максимальном идеале N кольца (S \ P )−1R. Переходя к прообразам, мы получаем, что прообраз N в SP есть идеал, содержащий (S \ P )−1P . Так как (S \ P )−1 P — максимальный идеал в SP , то N ∩ SP = (S \ P )−1 P . Пусть Q — прообраз идеала N в R. Тогда по упражнению 2.2.6 Q — простой идеал в R и Q ∩ S = P . Для доказательства теоремы для максимального идеала, покажем, что идеал Q максимален в том и только в том случае, если P максимален. Часть «только в том» очевидна. Предположим, что P максимален в S. Тогда S/P — поле и R/Q — кольцо, целое над S/P . Если a ∈ R/Q, то элемент a алгебраичен над S/P и, следовательно, S/P -алгебра, порождённая элементом a, является полем. Поэтому всякий ненулевой элемент из R/Q обратим в R/Q, т. е. R/Q — поле.
{CriterionOfExiste
Лемма 2.2.11. Пусть S ≤ R — расширение колец и P — простой идеал кольца с единицей S. Простой идеал Q кольца R, удовлетворяющий условию Q ∩ S = P , существует в том и только в том случае, если выполнено равенство P R ∩ S = P . Доказательство. Если Q — такой простой идеал кольца R, что Q ∩ S = P , то P R ≤ Q, значит, P ≤ P R ∩ S ≤ Q ∩ S = P . Обратно, пусть P R ∩ S = P и T = S \ P . Тогда P R (рассматриваемое как подмножество в T −1 R) не пересекается с T −1 , следовательно, P R порождает некоторый собственный идеал в T −1 R. В силу нётеровости кольца R и упражнения 2.2.6 кольцо T −1 R также является нётеровым. Следовательно, идеал, порождённый P R в T −1 R, содержится в некотором максимальном идеале M кольца T −1 R. Пусть Q = M ∩R. Тогда R/Q изоморфно подкольцу поля T −1 R/M, значит, в R/Q нет делителей нуля. Кроме того, R 6= Q, т. е. Q — простой идеал кольца R. По построению Q ∩ S ≥ P и Q ∩ T = ∅, значит, Q ∩ S = P . Для идеала I произвольного кольца R√множество {x ∈ R | ∃n ∈ N, xn ∈ I} называется радикалом идеала I и обозначается через I.
{RadicalIsIdeal}
Упражнение 2.2.12. Доказать, что для любого идеала I коммутативного кольца R его √ радикал I также является идеалом кольца R.
{IntegerClosureOf
Лемма 2.2.13. Пусть S ≤ R — расширение колец и T — целое замыкание кольца S в R. Предположим, что P — идеал целостного кольца с единицей S и P T — идеал, порождённый √ идеалом P в кольце T . Обозначим через Q целое замыкание идеала P в R. Тогда Q = P T . Доказательство. Если элемент x ∈ R цел над P , то справедливо равенство xn +an−1x√n−1 + n . . . + a0 = 0 для некоторых √ a0 , . . . , an−1 ∈ P . Следовательно, x ∈ T и x ∈ P T , т. е. x ∈ P T . Обратно, пусть x ∈ P T . Тогда существуют такие a1 , . . . , ak ∈ P , x1 , . . . , xk ∈ T и n > 0, что xn = a1 x1 + . . . + ak xk . В силу следствия 2.2.3 кольцо S[x1 , . . . , xk ] является конечно
§2. СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ РАСШИРЕНИЙ
35
порождённым S-модулем. Кроме того xn ∈ P S[x1 , . . . , xk ]. Пусть y1 , . . . , ym — порождающие модуля S[x1 , . . . , xk ]. Тогда для любого i мы имеем xn yi ∈ P S[x1 , . . . , xk ], следовательно, Pm n справедливы равенства x yi = j=1 P bi,j yj , где bi,j ∈ P . Перенося все слагаемые в левую часть m n получим эквивалентные равенства j=1 (δi,j x − bi,j )yj = 0, где δi,j — символ Кронекера. Рассмотрим матрицу B, присоединённую к матрице A = (δi,j xn −bi,j ). Тогда BA = det(δi,j xn − bi,j )E, где E — единичная матрица, и для любого i мы имеем BAyi = 0. Таким образом, det(δi,j xn − bi,j ) — нулевой элемент кольца P S[x1 , . . . , xk ]. Раскрывая этот определитель, мы получаем целое равенство для элемента xn над P , т. е. элемент x является целым над P .
lOfIntegerElement}
Лемма 2.2.14. Пусть S ≤ R — кольца, S является целостным, целозамкнутым, содержит единицу и R — целостное кольцо. Пусть P — идеал кольца S и элемент x ∈ R является целым над P . Тогда элемент x алгебраичен над полем частных F кольца S, а n n−1 коэффициенты a√ an−1 + . . . + a0 0 , a1 , . . . , an−1 его минимального многочлена f (T ) = T + T над F лежат в P . Доказательство. Элемент x алгебраичен над F по определению. Пусть L — поле разложения многочлена f (T ), содержащее элемент x и x1 , . . . , xk — все корни многочлена f (T ). Так как x является целым над P , то существуют такие p0 , . . . , pm−1 , что xm + pm−1 xm−1 + . . . + p0 = 0. Поскольку многочлен f (T ) является минимальным для x, то f (T ) делит T m + pm−1 T m−1 + . . . + p0 , значит, для каждого из xi справедливо то же целое уравнение над P , что и для x, поэтому они являются целыми над P . По теореме Виета элементы a0 , . . . , an−1 являются многочленами от x1 , . . . , xk , т. е. являются целыми над S и лежат в целом замыкании в R идеала P . В силу целозамкнутости кольца S это означает, что a0 , . . . , an−1 ∈ S √ поэтому по лемме 2.2.13 все они лежат в P . {TheoremDown}
Теорема 2.2.15. (Теорема о спуске.) Пусть целостное кольцо с единицей S целозамкнуто, кольцо R является целым над S , если P1 > P2 — простые идеалы кольца S и Q1 — простой идеал кольца R, для которого Q1 ∩ S = P1 , то существует простой идеал Q2 < Q1 кольца R, для которого Q2 ∩ S = P2 . Доказательство. В силу упражнения 2.2.6 и леммы 2.2.11 достаточно доказать равенство P2 RQ1 ∩ S = P2 . Любой элемент x ∈ P2 RQ1 имеет вид y/s, где y ∈ P2 R и s ∈ R \ Q1 . По лемме 2.2.13 элемент y цел над P2 и по лемме 2.2.14 минимальное уравнение для элемента y над полем частных F кольца S имеет вид y n + an−1 y n−1 + . . . + a0 = 0, где все ai лежат в P2 . Предположим теперь, что x ∈ P2 RQ1 ∩ S, т. е. x ∈ S и . В силу целостности кольца S существует поле частных F кольца S, которое можно вложить в (S \{0})−1R. Тогда s = yx−1 , где x−1 ∈ F , поэтому минимальное уравнение для элемента s над полем F из уравнения для элемента y получается делением на xn , т. е. равно sn + vn−1 sn−1 + . . . + v0 = 0, где vi = ai /xi . Следовательно, xi vi = ai ∈ P2 . Так как элемент s цел над S, то лемма 2.2.14 (с идеалом P = S) влечёт, что все vi лежат в S. Если x 6∈ P2 , то простота идеала P2 и равенства xi vi = ai ∈ P2 , i = 0, . . . , n − 1 влекут, что все vi ∈ P2 , значит, sn ∈ P2 R ≤ P1 R ≤ Q1 , что противоречит условию s 6∈ Q1 .
omomorphismsExt}
Теорема 2.2.16. (Теорема о продолжении гомоморфизмов.) Пусть R > S — целое расширение колец, кольцо S содержит единицу, и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда любой гомоморфизм ϕ : S → F продолжается до гомоморфизма ϕ : R → F.
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
36
Доказательство. Пусть P — ядро гомоморфизма ϕ. Мы имеем следующую коммутативную диаграмму: / (S \ P )−1 S = S S P
R
/
(S \ P )−1R
и ϕ может быть пропущен через канонический гомоморфизм S → (S \P )−1 S. Действительно, на SP гомоморфизм ϕ задан правилом (x/y)ϕ = (xϕ)/(yϕ). Кроме того, кольцо (S \ P )−1R — целое над (S \ P )−1 S (см. лемму 2.2.7). Таким образом, кольцо S можно считать локальным, более того, ядро гомоморфизма ϕ совпадает с единственным максимальным идеалом (S \ P )−1 P кольца SP . В силу теоремы о подъёме 2.2.10, существует максимальный идеал Q кольца (S \P )−1R лежащий над (S \P )−1P . Тогда (S \P )−1 R/Q — поле, являющееся алгебраическим расширением поля SP /((S \P )−1P ), которое, в свою очередь, является подполем поля F. В силу алгебраической замкнутости поля F, мы получаем гомоморфизм из (S \ P )−1R/Q в F, композиция которого с каноническим гомоморфизмом (S \ P )−1 R → (S \ P )−1 R/Q даёт нам требуемый гомоморфизм (S \ P )−1 R → F.
{UnionOfPrimeIde
Лемма 2.2.17. Пусть P1 , . . . , Pn — простые идеалы кольца R и некоторый идеал I кольца R содержится в ∪ni=1 Pi . Тогда существует j, для которого I ⊆ Pj . Доказательство. Индукцией по n мы докажем следующее утверждение: если I 6⊆ Pi при i = 1, . . . , n, то I 6⊆ ∪ni=1 Pi . При n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что утверждение доказано для n − 1. Тогда для любого i справедливо I 6⊆ ∪j6=i Pj , т. е. для любого i существует такой элемент xi , который не лежит ни в одном Pj при j 6= i. Если для какого-то i элемент xi не лежит P в Pi , то мы получаем требуемое утверждение. В противном случае рассмотрим элемент y = ni=1 x1 . . . xi−1 xi+1 . . . xn . Поскольку все идеалы являются простыми, то элемент x1 . . . xi−1 xi+1 . . . xn не лежит в Pi (а сумма остальных элементов лежит), значит, для всех i элемент y не лежит в Pi .
§3
Расширения полей
Пусть F — произвольное поле и поле L содержит поле F как подполе. Тогда поле L называется расширением поля F и этот факт мы будем записывать как L/F. Элемент x ∈ L называется алгебраическим над F, если существует многочлен f (T ) ∈ F[T ], корнем которого является элемент x. В противном случае элемент x называется трансцендентным. Расширение L/F называется алгебраическим, если любой элемент из L алгебраичен над F. Размерность поля L как векторного пространства над полем F называется степенью расширения поля L над F и обозначается |L : F|. Для расширения полей L/F и элементов {xi ∈ L | i ∈ I} через F[xi | i ∈ I] (cоотв. F(xi | i ∈ I)) обозначим подкольцо (соотв. подполе) поля L, порождённое полем F и элементами xi , i ∈ I. Если F ≤ L, K ≤ E, то подполе поля E, порождённое подполями K и L, называется композитом полей L и K (он обозначается через KL). В курсе алгебры доказываются следующие простые свойства расширения полей.
{SimpleProperties
Лемма 2.3.1. Справедливы следующие утверждения.
§3. РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
37
(1) Если K ≥ L ≥ F, то расширение K/F алгебраично тогда и только тогда, когда K/L и L/F алгебраичны. (2) Если K ≥ L ≥ F, то |K : F| = |K : L| · |L : F|. (3) Множество {xi | i ∈ I} состоит из алгебраических над F элементов тогда и только тогда, когда расширение F(xi | i ∈ I)/F является алгебраическим. (4) |F(x1 , . . . , xn ) : F| < ∞ тогда и только тогда, когда каждый из xi алгебраичен над F. (5) F(xi | i ∈ I) = F[xi | i ∈ I] (множество I конечно) в том и только в том случае, если F(xi | i ∈ I)/F является алгебраическим расширением. Пусть L/F — расширение поля F. Элементы x1 , . . . , xm ∈ L называются алгебраически независимыми над F, если для любого ненулевого многочлена f (T1 , . . . , Tm ) ∈ F[T1 , . . . , Tm ] справедливо неравенство f (x1 , . . . , xm ) 6= 0. Максимальное множество алгебраически независимых элементов поля L над полем F называется базисом трансцендентности.
mmaOZameneField}
ebraicDependence}
Лемма 2.3.2. (Лемма о замене для полей) Пусть F(x1 , . . . , xn )/F — расширение полей и {xi1 , . . . , xid } — некоторое максимальное алгебраически независимое подмножество множества {x1 , . . . , xn }. Предположим, что элементы y1 , . . . , ym алгебраически независимы над F и лежат в F(x1 , . . . , xn ). Тогда какие-то m элементов множества {xi1 , . . . , xid } можно заменить на элементы y1 , . . . , ym (с точностью до перенумерации будем считать, что заменили первые m элементов) так, что полученное множество будет алгебраически независимым и расширение F(x1 , . . . , xn )/F(y1, . . . , ym , xim+1 , . . . , xid ) является алгебраическим. В частности, d > m. Доказательство. По индукции можно считать, что m = 1, т. е. элемент y является трансцендентным над F. Поскольку множество {xi1 , . . . , xid } является максимальным алгебраически независимым, то по лемме 2.3.1(4) расширение F(x1 , . . . , xn )/F(xi1 , . . . , xid ) является конечным алгебраическим расширением. В частности, элемент y алгебраичен над F(xi1 , . . . , xid ). Тогда существуют такие f1 , . . . , fk , g1 , . . . , gk ∈ F[T1 , . . . , Td ], что выполнено равенство f1 (xi1 , . . . , xid ) k−1 fk (xi1 , . . . , xid ) yk = y + ...+ . g1 (xi1 , . . . , xid ) gk (xi1 , . . . , xid ) Домножив обе части этого равенства на g1 (xi1 , . . . , xid ) · . . . · gk (xi1 , . . . , xid ) мы получим равенство y k G(xi1 , . . . , xid ) − F1 (xi1 , . . . , xid )y k−1 − . . . − Fk (xi1 , . . . , xid ) = 0. (2.1) Поскольку элемент y является трансцендентным над F, то не все многочлены являются скалярами из F. Следовательно, существует элемент xij ∈ {xi1 , . . . , xid }, который входит в полученное равенство с ненулевой степенью. Пусть, для простоты обозначений, это элемент xid . Тогда для некоторого s и некоторых h1 , . . . , hs ∈ F[T1 , . . . , Td ] равенство (2.1) можно переписать в виде h1 (xi1 , . . . , xid−1 , y) + . . . + hs (xi1 , . . . , xid−1 , y) = 0, xis−1 d где h1 (xi1 , . . . , xid−1 , y) 6= 0. Значит, элемент xid алгебраичен над F(xi1 , . . . , xid−1 , y) и по лемме 2.3.1(3,4) расширение F(x1 , . . . , xn )/F(xi1 , . . . , xid−1 , y) является алгебраическим.
38
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Кроме того, если множество {xi1 , . . . , xid−1 , y} является алгебраически зависимым, то элемент y алгебраичен над F(xi1 , . . . , xid−1 ), следовательно, по лемме 2.3.1(1) элемент xid алгебраичен над F(xi1 , . . . , xid−1 ), что противоречит алгебраической независимости элементов xi1 , . . . , xid .
{MaximalSetOfTra
Следствие 2.3.3. Количество элементов в базисе трансцендентности не зависит от выбора базиса и называется степенью трансцендентности. Обозначать мы её будем tr.degF L. Если L = F(x1 , . . . , xm ) и x1 , . . . , xd — базис трансцендентности, то поле F(x1 , . . . , xd ) называется чисто трансцендентным расширением над F и L есть конечное алгебраическое расширение над F(x1 , . . . , xd ) {NormNeter}
Теорема 2.3.4. (Теорема Нётер о нормализации.) Пусть F — поле, R = F[x1 , . . . , xn ] — конечнопорождённое целостное кольцо с полем частных K и d = tr.degF K. Тогда существуют y1 , . . . , yd ∈ R такие, что кольцо R цело над F[y1 , . . . , yd] и элементы y1 , . . . , yd алгебраически независимы над F. Доказательство. Если x1 , . . . , xn алгебраически независимы над F, то доказывать нечего. В противном случае существует такой многочлен f (T ) ∈ F[T1 , . . . , Tn ], что f (x1 , . . . , xn ) = 0. mn 2 i Пусть m2 , . . . , mn ∈ N, положим y2 = x2 −xm и подставим xi = yi +xm 1 , . . . , yn = xn −x1 1 ,2 6 i 6 n в равенство f (x1 , . . . , xn ) = 0. Тогда многочлен f (x1 , . . . , xn ) можно записать в виде f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 ) + h(x1 , y2 , . . . , yn ) и у многочлена h(x1 , y2 , . . . , yn ) уже нет одночленов, являющихся степенью x1 . Пусть теперь m на 1 больше, чем степень многочлена f (T1 , . . . , Tn ) и выберем m2 = m, m3 = m2 , . . . , mn = mn−1 . При таком выборе старшая степень переменной x1 окажется в многочлене g(x1 ) и коэффициент перед ней будет скаляром из F. Кроме того, не все коэффициенты многочлена g(x1 ) будут равны 0, следовательно, мы получаем целое уравнение для x1 над F[y2 , . . . , yn ]. Индукция по числу порождающих завершает доказательство. Определение 2.3.5. Алгебраическое расширение E поля F называется сепарабельным, если либо характеристика поля F равна 0, либо она равна p > 0 и p-е степени линейно независимых элементов над F вновь являются линейно независимыми. Расширение E поля F называется сепарабельно порождённым, если существует такой базис трансцендентности, t1 , . . . , tn поля E, что E есть сепарабельное расширение трансцендентного расширения F(t1 , . . . , tn ) поля F. Если E/K и K/F — сепарабельные алгебраические расширения, то E/F также является сепарабельным алгебраическим расширением. Расширение K называется линейно свободным от L над k, если всякое конечное множество элементов из K, линейно независимое над k, линейно независимо и над L.
{SeparableGenerat
Лемма 2.3.6. Пусть E/F — расширение полей и p — характеристика поля F. Тогда если E линейно свободно от F1/p , то любое подполе K поля E, содержащее F, является сепарабельно порождённым. В частности, если поле F совершенно (т. е. Fp = F), то любое расширение поля F является сепарабельно порождённым. Доказательство. Очевидно, можно предполагать, что E конечно порождено над F, скажем E = F(x1 , . . . , xn ). Пусть степень трансцендентности этого расширения равна r. Если r = n, то доказывать нечего. В противном случае пусть x1 , . . . , xr — базис трансцендентности. Тогда элемент xr+1 алгебраичен над F(x1 , . . . , xr ). Пусть f (T1 , . . . , Tr+1 ) — многочлен
§4. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ТОПОЛОГИЯ ЗАРИССКОГО
39
наименьшей степени, для которого f (x1 , . . . , xr+1 ) = 0. Покажем, что не все xi (i = 1, . . . , r+1) встречаются P в этомp многочлене в степени кратной p. В противном случае можно записать f (T ) = Cα gα (T ) , где gα (T ) — одночлены от T1 , . . . , Tr+1 и Cα ∈ F. Это значит, что элементы gα (x1 , . . . , xr+1 ) линейно зависимы над F1/p . Однако элементы gα (x1 , . . . , xr+1 ) линейно независимы над F (иначе уравнение для x1 , . . . , xr+1 имело бы меньшую степень) и мы таким образом получаем противоречие с линейной свободой F(x1 , . . . , xn ) над F1/p . Итак, скажем, T1 встречается не только в степени, кратной p. Далее, f (T ) неприводим в F[T1 , . . . , Tr+1 ], следовательно, f (T ) = 0 — неприводимое уравнение для x1 над F(x2 , . . . , xr+1 ). Так как T1 встречается не только в степени, кратной p, то это уравнение есть сепарабельное уравнение для x1 над F(x2 , . . . , xr+1 ), значит, x1 — сепарабельный алгебраический элемент над F(x2 , . . . , xn ). Индукция по числу порождающих завершает доказательство. Если F ≤ L ≤ E — алгебраические расширения полей и E/F сепарабельно, то и L/F сепарабельно. Кроме того, если L/F и E/L алгебраичны и сепарабельны, то и E/F сепарабельно. Для конечного расширения E/F сепарабельной степенью расширения (обозначается через |E : F|s ) называется количество различных вложений поля E в алгебраическое замыкание поля F. Конечное расширение E/F является сепарабельным тогда и только тогда, когда |E : F|s = |E : F|. В общем случае |E : F|s делит |E : F| и |E : F|/|E : F|s = |E : F|i = pµ , где p — характеристика поля F.
entSeparableFinite}
Упражнение 2.3.7. Доказать эквивалентность двух определений сепарабельного расширения и равенство |E : F|/|E : F|s = |E : F|i = pµ . Для конечного (не обязательно сепарабельного) расширения E/F пусть σ1 , . . . , σs — все различные вложения поля E в алгебраическое замыкание поля F. Нормой произвольного элемента α ∈ E над F называется элемент NE/F (α) =
s Y i=1
{ValueOfNorm}
ασi
!|E:F|i
.
Ясно, что NE/F (α1 )NE/F (α2 ) = NE/F (α1 α2 ) и, если α ∈ F, то NE/F (α) = α|E:F|. Упражнение 2.3.8. Если f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 , — минимальный многочлен для α, то NE/F (α) = ak0 для некоторого натурального числа k.
§4
Аффинные многообразия, топология Зарисского
{AffineVariety}
В данном параграфе мы определим аффинные многообразия, топологию Зарисского, а также установим ряд основных свойств аффинных многообразий.
{HilbertNull}
Определение 2.4.1. Пусть F — алгебраически замкнутое поле. Множество Fn = F×F×. . .× F называется аффинным пространством и обозначается через An . Если I — идеал в кольце многочленов F[T1 , . . . , Tn ] от n переменных над F, то через V(I) мы будем обозначать множество нулей идеала I в An . Множество V(I) называется аффинным многообразием. Обратно, если X ⊂ An , то через I(X) будет обозначаться множество многочленов, обращающихся в 0 на любом элементе из X. √ Теорема 2.4.2. (Гильберта о нулях.) Если I — идеал в F[T1 , . . . , Tn ], то I = I(V(I)).
40
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Доказательство. Ввиду конечной порождённости идеала I (по теореме Гильберта о базисе 2.1.3, кольцо F[T1 , . . . , Tn ] нётерово), теорема эквивалентна следующему утверждению: для любых многочленов f (T ), f1 (T ), . . . , fs (T ) ∈ F[T ], таких что f (T ) обращается в 0 в каждой точке x ∈ An , в которой обращаются в ноль все многочлены f1 (T ), . . . , fs (T ), существуют k > 0 и многочлены g1 (T ), . . . , gs (T ), удвлетворяющие соотношению f (T )k = Ps i=1 gi (T )fi (T ). Здесь и далее T используется для замены набора переменных T1 , . . . , Tn . Покажем сначала, что достаточно доказать следующее утверждение: если V(I) = ∅, то I = F[T ].
(2.2)
{IdealOfEmptysetI
Действительно, введём новую переменную T0 и рассмотрим совокупность многочленов от (n+1)-й переменной: f1 (T ), . . . , fs (T ), 1−T0f (T ). Они не имеют общих нулей в An+1 , поскольку f (T ) обращается в 0 во всех точках, в которых в 0 обращаются многочлены f1 (T ), . . . , fs (T ). Из (∗) следует, что они порождают кольцо F[T, T0 ]. Найдем многочлены h1 (T0 , T ), . . . , hs (T0 , T ), h(T0, T ), для которых 1 = h1 (T0 , T )f1 (T ) + . . . + hs (T0 , T )fs (T ) + (1 − T0 f (T ))h(T0 , T ). Теперь подставим вместо T0 выражение 1/f (T ) и затем умножим на достаточно большую степень f (T )k , чтобы избавиться от знаменателей. Таким образом получим требуемое соотношение. Остается доказать утверждение (2.2) или, что эквивалентно, что любой собственный идеал I в F[T ] имеет по меньшей мере одну точку (x1 , . . . , xn ) ∈ Fn , в которой все многочлены этого идеала обращаются в 0. В силу нётеровости кольца F[T ], любой идеал I лежит в некотором максимальном идеале J кольца F[T ]. Таким образом, можно считать идеал I максимальным. Тогда L = F[T ]/I — это поле; более того, если x1 , . . . , xn — образы переменных T1 , . . . , Tn относительно естественного гомоморфизма F[T ] → F[T ]/I, то по лемме 2.3.1(5) L = F[x1 , . . . , xn ] — алгебраическое расширение поля F. Ввиду алгебраической замкнутости поля F, мы получаем, что L = F, т. е. x1 , . . . , xn ∈ F. Кроме того, для любого f ∈ I справедливо равенство f = f (T1 , . . . , Tn ) ∈ I, т. е. f (x1 , . . . , xn ) = 0. Упражнение 2.4.3. Для любых идеалов I, J кольца F[T1T , . . . , Tn ] и любого P семейства идеалов {Ii } справедливы равенства V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J) и i V(Ii ) = V( i Ii ).
Определение 2.4.4. Определим топологию на An , в которой замкнутыми множествами являются аффинные многообразия. Очевидно, что пустое множество и всё множество An являются замкнутыми. В силу упражнения 2.4.3, объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто и пересечение любого числа замкнутых множеств тоже замкнуто. Таким обазом, мы действительно получаем топологию, называемую топологией Зарисского.
Пусть X — топологическое пространство. Пространство X называется неприводимым, если X нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств. Пространство X называется связным, если X нельзя представить в виде объединения двух собственных непересекающихся замкнутых подмножеств. Подмножество Y топологического пространства X будем называеть топологическим подпространством (или просто подпространством), если топология на Y является индуцированной топологией пространства X, т. е. замкнутые и открытые подмножества пространства Y — это в точности пересечения замкнутых и открытых подмножеств пространства X с Y . Для произвольного подмножества Y пространства X через Cl (Y ) обозначим замыкание подмножества Y в X, т. е. пересечение всех замкнутых подмножеств пространства X, содержащих Y . Заметим, что непосредственно из определения вытекает следующая
{IntersectionAndU
§4. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ТОПОЛОГИЯ ЗАРИССКОГО
41
{Crit
Лемма 2.4.5. Пусть X — топологическое пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (1) Пространство X неприводимо. (2) Любые два непустые открытые подмножества из X имеют непустое пересечение. (3) Любое непустое открытое множество плотно в X. Доказательство. (1) ⇒ (2). Предположим, что существуют непустые открытые подмножества U, V пространства X, пересечение которых пусто. Тогда X \ U и X \ V — собственные замкнутые подмножества множества X и X = (X \ U) ∪ (X \ V ), что противоречит неприводимости пространства X. (2) ⇒ (3). Если U — непустое открытое подмножество пространства X, которое не является всюду плотным, то V = X \ Cl (U) — непустое открытое подмножество множества X и U ∩ V = ∅. (3) ⇒ (1). Предположим, что существуют два собственных замкнутых подмножества X1 , X2 пространства X, для которых справедливо равенство X1 ∪X2 = X. Тогда U = X \X2 — непустое открытое подмножество пространства X и Cl (U) ⊆ X1 6= X.
SpaceIsIrreducible}
Упражнение 2.4.6. Доказать, что открытое подмножество неприводимого пространства неприводимо (относительно индуцированной топологии). Пусть X, X ′ — топологические пространства. Отображение ϕ : X → X ′ называется непрерывным, если прообраз любого открытого подмножества пространства Xϕ (в индуцированной топологии) является открытым подмножеством пространства X или, что равносильно, если прообраз любого замкнутого подмножества пространства Xϕ (в индуцированной топологии) есть замкнутое подмножество пространства X.
erOfIrredSubspace}
Лемма 2.4.7. Пусть X — топологическое пространство. Тогда (1) Подпространство Y пространства X неприводимо в том и только в том случае, если замыкание Cl (Y ) неприводимо. (2) Если ϕ : X → X ′ — непрерывное отображение и пространство X неприводимо, то и пространство (X)ϕ неприводимо. Доказательство. (1) Ввиду леммы 2.4.5 подпространство Y неприводимо тогда и только тогда, когда для любых двух открытых подмножеств U, V пространства X из того, что U ∩ Y 6= ∅ и V ∩ Y 6= ∅ следует, что (U ∩ V ) ∩ Y 6= ∅, это же справедливо и для Cl (Y ). По определению замыкания, для любого открытого подмножества U пространства X пересечение U ∩ Y пусто в том и только в том случае, если Y ∩ Cl (Y ) пусто. (2) Пусть U, V — такие открытые подмножества пространства X ′ , что U ∩ (X)ϕ 6= ∅ и V ∩ (X)ϕ 6= ∅. По лемме 2.4.5 достаточно доказать, что (U ∩ V ) ∩ (X)ϕ 6= ∅. Поскольку отображение ϕ непрерывно, то прообразы (U ∩ (X)ϕ)ϕ−1 и (V ∩ (X)ϕ)ϕ−1 являются открытыми подмножествами множества X, а потому, в силу неприводимости пространтсва X, их пересечение W непусто. Но тогда ∅ 6= W ϕ ⊆ (U ∩ V ) ∩ (X)ϕ. Определение 2.4.8. Топологическое пространство называется нётеровым если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
42
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ 1. Открытые множества удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей. 2. Любая совокупность открытых множеств имеет максимальный элемент. 3. Замкнутые множества удовлетворяют условию обрыва убывающих цепей. 4. Любая совокупность замкнутых множеств имеет минимальный элемент.
{NeterIrredSubspa
Лемма 2.4.9. Пусть X — нётерово топологическое пространство. Тогда X обладает лишь конечным числом неприводимых максимальных подпространств (в силу леммы 2.4.7 обязательно замкнутых). Более того, их объединение совпадает с X. Доказательство. Рассмотрим совокупность A всех конечных объединений замкнутых неприводимых подмножеств пространства X. Тогда A непусто (например, ∅ ∈ A). Если X 6∈ A, то в силу нётеровости пространства X существует замкнутое подпространство Y , являющееся минимальным среди замкнутых подпространств непринадлежащих A. Тогда Y не является пустым и не является неприводимым множеством, следовательно, Y = Y1 ∪ Y2 , где Y1 , Y2 — собственные замкнутые подмножества множества Y , следовательно, Y1 , Y2 ∈ A. Но тогда, по построению, Y ∈ A. Запишем теперь X = X1 ∪. . .∪Xn , где все Xi — неприводимые замкнутные подмножества. Если Y — некоторое максимальное неприводимое замкнутое подмножество, то Y ⊆ ∪ni=1 (Xi ∩ Y ), все Y ∩ Xi неприводимы и замкнуты, следовательно, Y ∩ Xi = Y , т. е. Y = Xi . Максимальные неприводимые замкнутые подмножества нётерова пространства X называются неприводимыми компонентами пространства X. Лемма 2.4.10. Пусть X ⊆ An — аффинное многообразие. Тогда
{AffineVarietyIsQu
(а) точки многообразия X являются замкнутыми подмножествами; (б) любое семейство замкнутых подмножеств многообразия X содержит минимальный элемент; (в) многообразие X удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для замкнутых подмножеств; (д) многообразие X квазикомпактно, т. е. из любого покрытия множества X открытыми подмножествами можно выбрать конечное подпокрытие. Доказательство. (а) Любая точка x = (x1 , . . . , xn ) является единственным нулём идеала, порождённого многочленами T1 − x1 , . . . , Tn − xn . Утвеждения (б) и (в) следуют из теоремы Гильберта о базисе S 2.1.3. (д) Пусть X = i∈I Ui — покрытие многообразия X открытыми S множествами. Обозначим через Z замкнутое множество X \ U . Тогда равенство X = раi i∈I Ui эквивалентно T i P венству i∈I Zi = ∅. По P теореме Гильберта о нулях 2.4.2 мы получаем, что i∈I I(Zi ) = F[X], в частности, 1 ∈ конечное число индексов i∈I I(Zi ). Следовательно, существует Pk i1 , . . . , ik , для которых справедливо включение 1 ∈ j=1 I(Zij ), откуда вытекает равенTk Pk ство j=1 I(Zij ) = F[X], а значит, j=1 Zij = ∅.
Лемма 2.4.11. Замкнутое множество X пространства An неприводимо тогда и только тогда, когда F[X] = F[T1 , . . . , Tn ]/I(X) не имеет делителей нуля. В частности, An неприводимо.
{IrredCloseSubspa
sTopologyProduct}
§4. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ТОПОЛОГИЯ ЗАРИССКОГО
43
Доказательство. Пусть I = I(X) и X неприводимо. Предположим, что f1 (T ) · f2 (T ) ∈ I (т. е. образ их произведение равен нулю в R[T ]/I). Тогда каждая точка x ∈ X является либо нулем для f1 (T ), либо нулем для f2 (T ). Пусть I1 — идеал, порождённый многочленом f1 (T ) и I2 — идеал, порождённый многочленом f2 (T ). Тогда X ⊆ V(I1 ) ∪ V(I2 ). В силу неприводимости множества X получаем, что либо X ⊆ V(I1 ), либо X ⊆ V(I2 ), т. е. либо f1 (T ), либо f2 (T ) лежит в I. Обратно, пусть I — радикальный идеал, F[T ]/I не имеет делителей нуля, и предположим, что V(I) = X = X1 ∪ X2 , где каждое из Xi замкнуто. Если X 6= X1 и X 6= X2 , то существуют f1 (T ) ∈ I(X1 ) и f2 (T ) ∈ I(X2 ) такие, что f1 (T ), f2 (T ) 6∈ I, но f1 (T ) · f2 (T ) ∈ I, что противоречит отсутствию делителей нуля в факторкольце F[T ]/I. Пусть X ⊆ An , Y ⊆ Am — замкнутые множества. Определим топологию Зарисского на X ×Y следующим образом: мы вкладываем множество X ×Y в An+m и снабжаем его индуцированной топологией пространства An+m . Тогда X × Y будет замкнуто как множество нулей многочленов f (T1 , . . . , Tn ), g(U1, . . . , Um ) (рассматриваемых как многочлены от n + m переменных), где f (T ) ∈ I(X) и g(U) ∈ I(Y ). Таким образом определённая топология называется топологией Зарисского произведения. Лемма 2.4.12. Пусть X ⊆ An , Y ⊆ Am — замкнутые неприводимые подмножества. Тогда множество X × Y замкнуто и неприводимо в Am+n . Доказательство. Выше мы уже отечли замкнутость множества X × Y , таким образом, нам осталось доказать его неприводимость. Предположим, что X × Y = Z1 ∪ Z2 , где Z1 , Z2 — замкнутые подмножества в An+m . Если x ∈ X, то множество {x} × Y замкнуто. Покажем, что это множество неприводимо. Предположим, что {x} × Y = U1 ∪ U2 , где U1 и U2 — замкнутые подмножества. Тогда каждое из Ui можно записать в виде {x} × Vi , где Vi — подмножество в Y . Заметим, что V1 , V2 — замкнутые подмножества в Y . Действительно, поскольку U1 , U2 — замкнутые подмножества множества {x} × Y ⊂ An+m , то существуют конечные семейства многочленов {f1 , . . . , fk }, {g1 , . . . , gl }, где fi , gj ∈ F[T1 , . . . , Tn , S1 , . . . , Sm ], такие что U1 = V(f1 , . . . , fk ), U2 = V(g1 , . . . , gl ). Тогда V1 = V(f1 (x1 , . . . , xn , S1 , . . . , Sm ), . . . , fk (x1 , . . . , xn , S1 , . . . , Sm )) и V2 = V(g1 (x1 , . . . , xn , S1 , . . . , Sm ), . . . , gl (x1 , . . . , xn , S1 , . . . , Sm )) — замкнутые подмножества множества Y что противоречит неприводимости множества Y (здесь (x1 , . . . , xn ) = x ∈ X ⊆ An ). Таким образом, для любого x ∈ X имеем {x} × Y ⊆ Zi для подходящего Zi . Тогда X = X1 ∪ X2 , где Xi = {x | {x} × Y ⊆ Zi }. Заметим, что каждое множество Xi замкнуто в X. Действительно, как и выше можно доказать, что множество (X×{y}) замкнуто (i) для любого y, поэтому множество (X × {y}) ∩ Zi = Xy × {y} замкнуто. Наконец, Xi = (i) ∩y∈Y Xy . Таким образом, X представимо в виде объединения двух замкнутых подмножеств, следовательно, либо X = X1 , либо X = X2 . Пусть X ⊆ An — замкнутое подмножество. Тогда каждый многочлен f (T ) ∈ F[T ] определяет функцию на X со значениями в F по правилу x 7→ f (x). Очевидно, что кольцо таких функций изоморфно F[T ]/I(X). Обозначим это кольцо через F[X] и будем называть его аффинной алгеброй множества X (или алгеброй полиномиальных функций на X). Поскольку F[T ] нётерово, кольцо F[X] также нётерово и конечно порождено. Если множество X неприводимо, то по лемме 2.4.11 F[X] — это целостное кольцо, и у него существует поле частных F(X), которое называется полем рациональных функций на X. Размерностью dim(X) аффинного многообразия X называется трансцендентная степень расширения tr.degF (F(X)) поля F(X) над полем F.
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
44
Рассмотрим множество Xf = {x ∈ X | f (x) 6= 0}, где f ∈ F[X]. Ясно, что Xf — откытое множество в X. Более того, семейство {Xf | f ∈ F[X]} образует базис топологии Зарисского на X. Множество Xf называется главным открытым множеством. Лемма 2.4.13. Если f, g ∈ F[X] и Xf ⊆ Xg , то для некоторого n > 1 справедливо включение f n ∈ gF[X].
{InclusionOfPrinc
Доказательство. По определению, включение Xf ⊆ Xg справедливо тогда и только тогда, когда V((g)) ⊆ V((f )). В силу теоремы Гильберта о нулях 2.4.2 2.4.3 включение p и упражнения p V((g)) ⊆ V((f )) справедливо тогда и только тогда, когда f F[X] ⊆ gF[X], откуда следует требуемое утверждение. По теореме Гильберта о нулях 2.4.2 замкнутые подмножества множества X находятся во взаимно однозначном соответствии с радикальными идеалами кольца F[X], неприводимые подмножества соответствуют простым идеалам кольца F[X], а точки пространства X соответствуют максимальным идеалам кольца F[X] или гомоморфизмам F-алгебр F[X] → F. Таким образом, пространство X восстанавливается по F[X]. Определение 2.4.14. Кольцо R называется приведённым, если оно не содержит нетривиальных нильпотентных элементов. Заметим, что факторкольцо F[T ]/I алгебры многочленов F[T ] является приведённым тогда и только тогда, когда идеал I радикальный. В частности, аффинная алгебра F[X] любого аффинного многообразия X является приведённой. Пусть теперь R — произвольная приведённая коммутативная конечно порождённая алгебра над полем F, скажем, R = F[t1 , . . . , tn ] (число n и выбор образующих неединственны). Тогда R — это гомоморфный образ алгебры F[T1 , . . . , Tn ] с ядром I и, в силу сказанного выше, I — радикальный идеал. Таким образом, R ≃ F[X], где V(I) = X ⊆ Fn . Пусть теперь X ⊆ An , Y ⊆ Am — произвольные аффинные многообразия. Морфизмом многообразий называется отображение ϕ : X → Y , заданное правилом (x1 , . . . , xn )ϕ 7→ (ψ1 (x), . . . , ψm (x)), где ψi ∈ F[X] для всех i. Очевидно, морфизм X → Y всегда индуцирован некоторым морфизмом An → Am , морфизм X → A1 — это полиномиальная функция на X. Кроме того, морфизм является непрерывным отображением в топологии Зарисского, т. е. прообразы открытых множеств открыты.
{MorphismIsNepre
Упражнение 2.4.15. Доказать, что морфизмы являются непрерывными отображениями. Построить пример непреревного отображения, которое не является морфизмом. Морфизму ϕ : X → Y соответствует коморфизм аффинных алгебр ϕ∗ : F[Y ] → F[X], ∗ определяемый соотношением f ϕ = ϕ ◦ f , т. е. композиция морфизма ϕ и функции f . Морфизм ϕ : X → Y называется изоморфизмом аффинных многообразий, если его коморфизм ϕ∗ : F[Y ] → F[X] — это изоморфизм F-алгебр.
§5
Проективные многообразия, произведение проективных многообразий
Определение 2.5.1. Рассмотрим множество Fn+1 \{(0, 0, . . . , 0)} и введём на нем следующее отношение эквивалентности: (x0 , x1 , . . . , xn ) ∼ (y0 , y1 , . . . , yn ) если существует a ∈ F \ {0} = F∗ такой, что axi = yi для всех i. Множество классов эквивалентности обозначается Pn и называется проективным пространством размерности n. Если V — это векторное пространство
{ProjectiveVariety
§5. ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
45
размерности n + 1, то Pn — это множество прямых, проходящих через начало координат и обозначается обычно P(V ). Точки проективного пространства задаются однородными координатами (x0 , x1 , . . . , xn ), которые определяются с точностью до ненулевого множителя из F. Полином f (T0 , T1 , . . . , Tn ) называется однородным P степени d, если он есть линейная комбинация одночленов вида T0i0 · T1i1 · . . . · Tnin , у которых nj=0 ij = d (или если f (aT0 , aT1 , . . . , aTn ) = ad f (T0 , T1 , . . . , Tn )). Введём на Pn топологию Зарисского, выбирая в качестве замкнутых множеств нули системы однородных многочленов (или идеала, порождённого этими многочленами). Как и в аффинном случае определим V(I) и I(X) для идеала I и замкнутого множества X соответственно. Замкнутые множества называются проективными многообразиями. Как и в аффинном случае идеал I(X) является радикальным. Кроме того, имеет место аналог теоремы Гильберта о нулях.
lbertNullPojective}
Упражнение 2.5.2. Операторы V и I устанавливают взаимно однозначное соответствие (с изменением включения) между замкнутыми подмножествами пространства Pn и однородными радикальными идеалами кольца F[T0 , T1 , . . . , Tn ], отличными от I0 = hT0 , T1 , . . . , Tn i. Пусть Ui — множество точек пространства Pn с ненулевой i-ой координатой. Тогда отображение xi−1 xi+1 xn x0 , 1, ,..., ) (x0 , x1 , . . . , xn ) 7→ ( , . . . , xi xi xi xi задаёт биекцию Ui → An . Координаты ( xx0i , . . . , xxi−1 , 1, xxi+1 , . . . , xxni ) называются аффинныi i ми координатами множества Ui . Заметим, что множества Ui накрывают все Pn . Более того, при таком соответствии согласуются также и топологии Зарисского. Действительно, каждому многочлену f (X1 , . . . , Xn ) можно сопоставить однородный многочлен deg(f ) Ti f (T0 /Ti , . . . , Ti−1 /Ti , Ti+1 /Ti , . . . , Tn /Ti ), где deg(f ) — наибольшая степень одночленов, входящих в f (X). Тогда если X ⊆ An — множество нулей некоторых многочленов {f (X1 , . . . , Xn )}, то образ множества X в Ui есть пересечение множества Ui с множеством нулей в Pn соответствующих однородных многочленов. Обратно, пусть X ⊆ P n — множество нулей некоторой совокупности однородных многочленов f (T0 , . . . , Tn ). Для каждого i рассмотрим многочлен f (T0 /Ti , . . . , Ti−1 /Ti , 1, Ti+1 /Ti , . . . , Tn /Ti ) = f (X1 , . . . , Xn ). Ясно, что множество X ∩ Ui соответствует множеству нулей в An многочленов {f (X1 , . . . , Xn )}. Определение 2.5.3. Подмножества Ui пространства Pn называются аффинными открытыми подмножествами.
nProjectiveVariety}
Упражнение 2.5.4. Подмножество X пространства Pn замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с любым аффинным открытым подмножеством замкнуто. Пусть теперь X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm — два проективных многообразия. Рассмотрим вложение ϕ : Pn × Pm → Pq , где q = (n + 1)(m + 1) − 1, задаваемое соотношением ((x0 , x1 , . . . , xn ), (y0, y1 , . . . , ym )) 7→ (x0 y0 , . . . , xn y0 , . . . , xn ym ). Заметим, что (Pn × Pm )ϕ замкнуто в Pq . Действительно, пусть однородные координаты в Pn обозначены через Xi , однородные координаты в Pm — через Yj , в Pq — через Zi,j . Пусть q Pni , Pm j , Pi,j — аффинные открытые множества, соответствующее координатам i, j, (i, j) и q пусть Si , Tj , Ui,j — их аффиные координаты. Ясно, что ϕ отображает Pni × Pm j в Pi,j . Разберём случай i = j = 0. В аффинных координатах ϕ отображает ((s1 , . . . , sn ), (t1 , . . . , tm ))
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
46
q в (. . . , uk,l, . . .), где uk,l = sk · tl . Следовательно, образ Pn0 × Pm 0 в P0,0 является множеством решений уравнений Uk,l = Uk,0 · U0,l и, значит, является замкнутым множеством. Упражнение 2.5.4 влечёт, что образ множества Pn × Pm замкнут в Pq и на нём задана индуцированная топология Зарисского. Мы получили следующую лемму. {ZarTopProdPoj}
n
m
nm+n+m
Лемма 2.5.5. Отображение ϕ : P × P → P , заданное выше, является биекцией на замкнутое множество. Если множество X замкнуто в Pn , а Y замкнуто в Pm , то множество (X × Y )ϕ замкнуто в Pnm+n+m .
§6
Предмногообразия и многообразия
{PrevarietiesAndV
Рассмотрим неприводимое аффинное многообразие X и его поле функций F(X) (в силу леммы 2.4.11 алгебра F[X] является областью целостности и потому мы можем построить поле частных F(X)). Пусть x ∈ X и рассмотрим рациональные функции вида f = { hg | h(x) 6= 0}. Эти функции образуют кольцо Ox , называемое локальным кольцом в точке x. Заметим, что Ox является локализацией алгебры F[X] по простому идеалу I(x) и mx = { hg | g(x) = 0} — единственный его максимальный идеал кольца Ox (см. упражнение 2.2.5). Упражнение 2.6.1. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие и F(X) — поле частных алгебры F[X]. Пусть f ∈ F(X) — произвольная функция из F(X). Тогда {y | f (y) определена} — открытое подмножество в X. Лемма 2.6.2. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие. Тогда F[X] = (т. е. локальные кольца определяют алгебру F[X]).
T
{F[X]IsIntersection
x∈X Ox
T Доказательство. Очевидно,Tчто F[X] ⊆ x∈X Ox . Обратно, предположим, что некоторая функция f из F(X) лежит в x∈X Ox , т. е., для любого x ∈ X, функция f представима в виде f = hg для некоторых функций g, h ∈ F[X], причём h(x) 6= 0 (очевидно, что данное представление неединственно). Рассмотрим идеал I, порождённый всеми возможными знаменателями. Если I — собственный идеал алгебры F[X], то, по теореме Гильберта о нулях 2.4.2, мы получаем, что существует x ∈ V(I), что противоречит построению идеала I. СлеP gi довательно, I = F[X] и существуют такие gi , hP i , ti ∈ F[X], что f = hi и i hi ti = 1. Умножая второе равенство на f , мы получаем, что f = i gi ti ∈ F[X]. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие, сопоставим каждому непустому открытому подмножеству U множества X подкольцо поля F(X), состоящее из всех T регулярных (т. е. всюду определённых) функций на U следующим образом: OX (U) = x∈U Ox . Ввиду леммы 2.6.2 мы получаем, что OX (X) = F[X]. Отображение OX : U 7→ OX (U), определённое выше, будем назвать пучком функций неприводимого аффинного многообразия
{MainOpenSetsAffi
Упражнение 2.6.3. Доказать равенства OX (Xf ) = F[Xf ] = F[X]f , где F[X]f — локализация кольца F[X] по мультипликативному множеству {f n | n = 0, 1, . . .}. Отображение OX , переводящее открытые подмножества многообразия X в подкольца поля F(X) служит примером пучка функций на X. Определим пучок функций на топологическом пространстве как отображение J , переводящее каждое открытое подмножество U пространства в некоторую F-алгебру J (U), состоящую из функций на U со значениями в F, причём выполнены следующие два требования.
ForAffineIsCorrect}
LocaRingsGeneral}
§6. ПРЕДМНОГООБРАЗИЯ И МНОГООБРАЗИЯ
47
(ПФ1) Если U ⊆ V — два открытых множества и f ∈ J (V ), то ограничение функции f на U лежит в J (U). (ПФ2) Пусть U — открытое подмножество, покрытое открытыми подмножествами Ui , i ∈ I. Для данного fi ∈ J (Ui ) предположим, что fi согласуется с fj на Ui ∩Uj для всех i, j ∈ I. Тогда существует f ∈ J (U), ограничение которой на Ui совпадает с fi для всех i ∈ I Лемма T 2.6.4. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие. Тогда отображение OX : U → x∈U Ox , определённое выше, является пучком функций на многообразии X. Доказательство. Пусть U ⊆ V — два открытых подмножества. Тогда из того факта, что T T f ∈ x∈V Ox немедленно вытекает, что f ∈ x∈U Ox , т. е. f |U ∈ OX (U) и (ПФ1) T аксиома T справедлива. Аксиома (ПФ2) следует из определения, поскольку OX (U) = i ( x∈Ui Ox ).
Если X — произвольное аффинное многообразие, потребуем дополнительно, чтобы для любого открытого подмножества U аффинного многообразия X алгебра функций OX (U) состояла из регулярных функций (такой пучок функций далее мы будем называеть пучком функций аффинного многообразия). Функция f ∈ OX (U) называется регулярной, если для любой точки x ∈ U существует окрестность V и функции g, h ∈ F[X] такие, что для любой точки y ∈ V справедливо равенство f (y) = g(y)/h(y). Пусть X — произвольное аффинное многообразие и X = X1 ∪ . . . ∪ Xn — его единственное представление в виде объединения неприводимых компонент. Определим OX как расширение пучков OXi (при этом пучок функций OXi является пучком функций неприводимых аффинного многообразия, определённым выше). Из определения и леммы 2.6.4 следует, что OX задаёт пучок функций на X. Кроме того, существует естественное вложение ϕ : F[X] → OX (X). Покажем, что вложение ϕ является изоморфизмом F-алгебр (в частности, можно считать, что справедливо равенство OX (X) = F[X]). Лемма 2.6.5. Отображение ϕ : F[X] → OX (X) является изоморфизмом. Доказательство. Достаточно доказать, что отображение ϕ сюръективно. Пусть f ∈ OX (X). Для любого x ∈ X существует окрестность Ux точки x и gx , hx ∈ F[X] такие, что hx не обращается в ноль ни в какой точке окрестности Ux и для любого y ∈ Ux справедливо равенство f (y) = gx (y)/hx (y). Главные открытые множества образуют базис топологии на аффинном многообразии X, кроме того для любых u, v ∈ F[X] справедливо равенство Xuv = Xu ∩ Xv . Поэтому можно считать, что Ux = Xax для некоторого ax ∈ F[X]. Далее Xax ⊆ Xhx и лемма 2.4.13 влечёт существование таких h′x ∈ F[X] и nx > 1, что anx x = hx h′x . Поэтому ограничение функции f на окрестность Ux равно gx h′x (anx x )−1 . Поскольку Xax = Xanx x , можно считать далее, что hx = ax . Поскольку многообразие X квазикомпактно (см. лемму 2.4.10) cуществует конечное подмножество {h1 , . . . , hk } множества {hx | x ∈ X}, для которого справедливо равенство Sk i=1 Xhi = X. Выберем элементы g1 , . . . , gk ∈ F[X] так, чтобы ограничение f |Xhi совпадало с gi /hi . По условию ограничения функций gi /hi и gj /hj совпадают на Xhi ∩ Xhj , в то время как hi hj по построению обращаются в ноль на множестве X \ (Xhi ∩ Xhj ). Поэтому hi hj (gi hj − gj hi ) = 0. По теореме Гильберта о нулях 2.4.2 идеал, порождённый h21 , . . . , h2k совпадает с F[X], поскольку множества Xhi покрывают многообразие Pk X. 2Значит, существуют элементы b1 , . . . , bk ∈ F[X], для которых справедливо равенство i=1 bi hi = 1. Пусть x ∈ Xhi . Тогда k k X X h2i (x) bj (x)gj (x)hj (x) = bj (x)h2j (x)hi (x)gi (x) = hi (x)2 f (x). j=1
j=1
48
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
P Следовательно, f = ( kj=1 bj gj hj )ϕ, что доказывает сюръективность.
Определим предмногообразие X как нётерово топологическое пространство, снабжённое пучком функций OX со значениями в F и такое, что X является объединением конечного числа открытых подмножеств Ui , каждое из которых изоморфно аффинному многообразию (как топологическое пространство), а ограничение OX |Ui является пучком функций аффинного многообразия. Заметим, что в том случае, когда X неприводимо из упражнения 2.4.6 следует, что каждое из открытых аффинных подмножеств Ui неприводимо. Элементы из OX (U) называются регулярными функциями на открытом подмножестве U. Алгебра OX (X) = F[X] называется алгеброй регулярных функций предмногообразия X. n
{ProjectiveVariety
Упражнение 2.6.6. Доказать, что проективное многообразие P является предмногообразием. Если X — неприводимое предмногообразие, покрытое аффинными открытыми подмножествами Ui (каждое из которых неприводимо ввиду упражнения 2.4.6), то, в силу неприводимости X, пересечение Ui ∩ Uj непусто и пучки функций согласуются на этом пересечении. Поэтому каждое из аффинных открытых подмножеств имеет одно и то же поле функций, которое мы будем называть полем функций предмногообразия X и обозначать F(X). Его трансцендентная степень tr.degF F(X) называется размерностью предмногообразия X (обозначается dim X). Кроме того, если x ∈ X, то Ox — это подкольцо поля F(X), состоящее из функций, определённых в точке x, а mx — единственный максимальный идеал этого кольца, состоящий из функций, обращающихся в нуль в точке x. Пусть X, Y — два предмногообразия. Отображение ϕ : X → Y называется морфизмом, если выполнены следующие утверждения: (МПМ1) Отображение ϕ непрерывно. (МПМ2) Если множество V ⊆ Y открыто и U = (V )ϕ−1 , то для любой функции f ∈ OY (V ) справедливо ϕ ◦ f ∈ OX (U).
{EquivalenceOfDe
Упражнение 2.6.7. Доказать, что если X, Y — аффинные многообразие, то определение морфизма предмногообразий эквивалентно определению морфизма аффинных многообразий, данному в §4. Условие (МПМ2) задаёт отображение ϕ∗ : OY (V ) → OX (U), называемое коморфизмом морфизма ϕ. Отметим, что в определении коморфизма ϕ∗ , вообще говоря, участвует множество V , и следовало бы использовать запись ϕ∗V , но мы не будем этого делать, чтобы не загромождать обозначений. В каждом конкретном случае будет ясно, о каком открытом подмножестве идёт речь. Если ϕ : X → Y — морфизм, предмногообразия X и Y неприводимы и Xϕ плотно в Y , то коморфизм ϕ∗ можно продолжить до инъективного вложения ϕ∗ : F(Y ) → F(X) и считать поле F(Y ) подполем поля F(X).
{AffineCriterionM
Лемма 2.6.8. Пусть X, Y — предмногообразия и ϕ : X → Y — отображение. Предположим, что V1 , . . . , Vn — аффинные открытые подмножества, покрывающие предмногообразие Y , и имеются открытые подмножества U1 , . . . , Un , покрывающие предмногообразие X, такие, что выполнены следующие два условия. (1) Ui ϕ ⊆ Vi .
VarietiesIsCorrect}
§6. ПРЕДМНОГООБРАЗИЯ И МНОГООБРАЗИЯ
49
(2) Для любых i = 1, . . . , n и f ∈ OY (Vi ) справедливо ϕ ◦ f ∈ OX (Ui ). Тогда ϕ является морфизмом. Доказательство. Покажем сначала, что множества Ui также можно считать аффинными. Пусть U — аффинное открытое подмножество предмногообразия X, имеющее непустое пересечение с Ui . Тогда условие (2) леммы определяет отображение из OY (Vi ) = F[Vi ] в OX (Ui ) ≤ OX (U ∩ Ui ) ≥ OX (U) = F[U]. Поскольку предмногообразие X покрыто конечным множеством аффинных открытых подмножеств, то расширяя, если необходимо, количество индексов (при этом различным индексам могут соответствовать одинаковые аффинные открытые подмножества Vi ), мы получаем, что все Ui также можно считать аффинными. Обозначим через ϕi ограничение ϕ|Ui . Условие (2) леммы означает, что ϕ∗i : F[Vi ] → F[Ui ] является гомоморфизмом алгебр. Если Vi ⊆ Ami , то F[Vi ] порождается образами t1 , . . . , tmi переменных T1 , . . . Tmi относительно гомоморфизма F[T1 , . . . , Tmi ] → F[Vi ]. Определим ψi,1 , . . . , ψi,mi ∈ F[Ui ] как ψi,j = ϕ∗ (ti,j ). Тогда ϕi : Ui → Vi можно задать правилом ϕi (x) = (ψi,1 (x, . . . , ψi,mi (x)), т. е. отображение ϕi является морфизмом. В частности, каждое из отображений ϕi , а, значит, и отображение ϕ, являются непрерывными и справедлива аксиома (МПМ1). Проверим (МПМ2). Пусть V ⊆ Y — открытое подмножество и U = (V )ϕ−1 . Если f ∈ OY (V ), то ввиду (2) мы имеем ϕ ◦ f ∈ OX ((V ∩Vi )ϕ−1 ), но (V ∩Vi )ϕ−1 ⊇ U ∩Ui , так что ϕ ◦ f ∈ O(U ∩ Ui ) для всех i. Поскольку U = ∪i (U ∩ Ui ) и так как OX — пучок, то ϕ ◦ f ∈ OX (U).
Пусть X, Y — два предмногообразия. Предмногообразие Z называется произведением предмногообразий X, Y (обозначается X × Y ), если существуют морфизмы π1 : Z → X, π)2 : Y → Y , называемые проекциями и для любого предмногообразия W из существования морфизмов ϕ1 : W → X, ϕ2 : W → Y следует, что существует морфизм ψ : W → Z, делающий диаграммы WB
ψ
BB BB ϕ1 BBB
X
/Z ~ ~~ ~~π1 ~ ~~
WA
ψ
AA AA ϕ2 AAA
Y
/Z ~ ~~ ~~π2 ~ ~
коммутативными. Таким образом, если произведение предмногообразий существует, то оно являеется единственным. Покажем, что для любых двух предмногообразий произведение существует. Отметим, что как множество предмногообразие Z должно быть изоморфно декартову произведению множеств X, Y . Действительно, если W — многообразие, состоящее из одной точки, x ∈ X, y ∈ Y , рассмотрим морфизмы ϕ1 : W → {x} и ϕ2 : W → {y}. В силу универсальности существует морфизм ψ : W → Z, образ которого является точкой (x, y) предмногообразия Z. Покажем сначала, что произведение аффинных многообразий, определённое в §4, согласуется с определением произведения предмногообрази. Лемма 2.6.9. Пусть X ⊆ An , Y ⊆ Am — аффинные многообразия и R = F[X], S = F[Y ]. Также как в §4 снабдим X × Y топологией Зарисского произведения. Тогда справедливы следующие утверждения. (1) X × Y вместе с проекциями π1 : X × Y → X, π2 : X × Y → Y является произведением предмногообразий и F[X × Y ] ≃ F[X] ⊗F F[Y ].
50
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
(2) Если (x, y) ∈ X × Y и многообразия X, Y неприводимы, то O(x,y) является локализацией кольца Ox ⊗F Oy по максимальному идеалу mx ⊗F Oy + Ox ⊗F my . Доказательство. По определению R = F[T1 , . . . , Tn ]/I(X), S = F[U1 , . . . , Um ]/I(Y ), F[X × Y ] = F[T1 , . . . , Tn , U1 , . . . , Um ]/I(X × Y ). Определим отображение ϕ : R ⊗F S → F[X × Y ], правилом ϕ : (f (T1 , . . . , Tn ) + I(X)) ⊗F (g(U1 , . . . , Um ) + I(Y )) 7→ f g + I(X × Y ) и продолжим его линейно на всю алгебру F[X ×P Y ]. Для проверки корректности отобраP жения необходимо убедиться, что если элемент f ⊗ g равен 0, то ( f ⊗ g ) i i ϕ = 0. i i i i Пусть V — подпространство алгебры F[X], порождённое элементами fi , U — подпространство алгебры F[Y ], порождённое элементами gi . Тогда V, U конечномерны, обозначим через v1 , . . .P , vn , u1 , . . . , uk их базисы. Тогда V ⊗F U — конечномерное векторное пространство, элемент i fi ⊗ gi лежит в V ⊗F U и, в силу [12, следствие, P стр. 463], множество vi ⊗ uj образует базис пространства V ⊗F U.P Раскладывая элемент ( i fi ⊗ gi )ϕ по базису и применяя линейность легко доказать, что ( i fi ⊗ gi )ϕ = 0, что завершает проверку корректности. Поскольку любой многочлен из алгебры F[T1 , . . . , Tn , U1 , . . . , Um ] можно представить в виде конечной линейной комбинации многочленов вида f (T1 , . . . , Tn )g(U1 , . . . , Um ) и поскольку многочлены из множества F[T1 , . . . , Tn ]I(Y ) + I(X)F[U1 , . . . , Um ] лежат в I(X × Y ), то данное отображение является сюръективным гомоморфизмом. Pr Покажем теперь, что построенное отображение ϕ инъективно. Пусть для некоторого f = i=1 fi ⊗ gi мы имеем f ϕ = 0 и r — это минимальная длина разложения элемента f . Если f 6= 0, то r = 1. Действительно, поскольку giP ∈ F[Y ] для всех i, то существует такой y ∈ Y , что не все элементы gi (y) равны 0. Но тогда gi (y)fi — это линейная комбинация функций fi , значит, мы можем уменьшить их количество, что противоречит минимальности выбора r. Следовательно, f = f1 ⊗ g1 и для любой точки (x, y) ∈ X × Y мы имеем f (x, y) = f1 (x)g1 (y) = 0. Отсюда следует, что f1 = 0 и g1 = 0. Для завершения доказательства утверждения (1) леммы осталось проверить свойство универсальности. Пусть W — некоторое предмногообразие и заданы морфизмы ϕ1 : W → X, ϕ2 : W → Y . Существует единственное отображение множеств ψ : W → X × Y такое, что ϕi = ψ ◦ πi . Покажем, что отображение ψ является морфизмом. Поскольку множество X × Y аффинно, в силу леммы 2.6.8 достаточно проверить, что ψ ∗ переводит полиномиальные функции на X × Y в регулярные функции на W . В силу доказанного выше, кольцо F[X × Y ] порождается образами функций из F[X], F[Y ] относительно коморфизмов π1∗ , π2∗ соответственно. Поскольку ϕ∗i = πi∗ ◦ ψ ∗ , мы получаем, что ψ ∗ — переводит полиномиальные функции в регулярные. (2) Если многообразия X, Y неприводимы, то многообразие X × Y также неприводимо (см. лемму 2.4.12). В силу доказанной части (1) кольцо R ⊗F S целостное с полем частных, изоморфным F(X × Y ). Таким образом, справедливы включения R ⊗F S ≤ Ox ⊗F Oy ≤ O(x,y) . Поскольку кольцо O(x,y) является локализацей кольца R ⊗F S относительно идеала m(x,y) , то оно совпадает с локализацией кольца Ox ⊗F Oy относительно идеала m функций, обращающихся P в 0 в точке (x, y). Включение mx ⊗F Oy + Ox ⊗F my ≤ m очевидно. Обратно, пусть f = ri=1 fi ⊗ gi ∈ m, где fi ∈ Ox , gi ∈ Oy . Если fi (x) = ai и gi (y) = bi , то X X X f− ai bi = (fi − ai ) ⊗ gi + ai ⊗ (gi − bi ) ∈ mx ⊗F Oy + Ox ⊗F my .
§6. ПРЕДМНОГООБРАЗИЯ И МНОГООБРАЗИЯ P Следовательно, ai bi = 0 и f ∈ mx ⊗F Oy + Ox ⊗F my .
51
Рассмотрим теперь случай неприводимых предмногообразий X, Y . Пусть U ⊆ X, V ⊆ Y — открытые аффинные подмножества и {fi | i ∈ I} ⊆ F[U], {gi | i ∈ I} ⊆ F[V ] — конечные множества полиномиальных функций. Рассмотрим главное открытое множество (U × V )P fi ⊗gi в U × V . В силу разобранного аффинного случая пересечение двух таких главных открытых множеств вновь будет главным открытым множеством (см. упражнение 2.4.3). Упражнение 2.4.3 и лемма 2.6.9(1) показывают, что эти главные аффинные множества образуют базу топологии на U × V . Кроме того, рассматривая различные открытые аффинные подмножества мы получим, что множество соответствующих главных открытых подмножеств по прежнему будет замкнуто относительно конечных пересечений. Таким образом, множество главных открытых помножств, полученное при рассмотрении всех аффинных подмножест предмногообразий X, Y , является базой некоторой топологии. Определим топологию на X × Y как топологию, порождённую этой базой. Тогда для любых двух открытых подмножеств U ⊆ X, V ⊆ Y эта топология на U × V совпадает с топологией Зарисского произведения.
rietiesIsIrreducible}
Упражнение 2.6.10. Доказать, что если X, Y — неприводимые, то X × Y — также неприводимое предмногообразие. Определим поле функций для произведения X × Y как поле функций целостного кольца F[U] ⊗F F[V ] для аффинных открытых подмножеств U ⊆ X, V ⊆ Y . В силу замечания после упражнения 2.6.6, поле функций не зависит от выбора аффинных открытых подмножеств. Обозначим это поле через F(X × Y ) (пока формально). Определим O(x,y) как локализацию подколца Ox ⊗F Oy поля F(X × Y ) по максимальному идеалу mx ⊗F Oy + Ox ⊗F my . Лемма 2.6.9(2) показывает, что данное определение согласуется с определением O(x,y) для открытых подмножеств. Кроме того, определив OX×Y (W ) = ∩(x,y)∈W O(x,y) мы получаем пучок функций, согласованный на аффинных открытых подмножествах. Используя аффинный критерий морфизма, мы получаем, что проекции являются морфизмами.
IrreducibleVariety}
VarietiesConstruct}
Упражнение 2.6.11. Проверить выполнение свойства универсальности для произведения неприводимых предмногообразий. Для произвольных предмногообразий X, Y с неприводимыми компонентами Xi , Yj мы образуем произведения Xi × Yj также, как это было выше и определяем топологию и пучок функций, используя топологию и пучки функций на множествах Xi × Yj . Упражнение 2.6.12. Провести построение произведения предмногообразий в общем случае и проверить выполнение свойства универсальности. Таким образом, нами получена следующая
uctVarietiesExists}
Теорема 2.6.13. Произведение предмногообразий существует.
tiveVarietyCorrect}
Упражнение 2.6.14. Проверить, что определение произведения проективных многообразий, данное в §5, согласуется с определением произведения предмногообразий. Предмногообразие X называется многообразием, если диагональ {(x, x) | x ∈ X} ⊆ X ×X замкнута в X × X. Поскольку диагональ для аффинного многообразия задаётся полиномиальными уравнениями, то любое аффинное многообразие является многообразием.
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
52
xiom}
Упражнение 2.6.15. Проверить, что условие замкнутости диагонали в случае тихоновской топологии произведения эквивалентно аксиоме Хаусдорфа. Следующая лемма даёт удобный критерий проверки, является ли предмногообразие многообразием.
{CriterionOfVariet
Лемма 2.6.16. Пусть X — предмногообразие и предположим, что любые два элемента x, y ∈ X лежат в некотором открытом аффинном подмножестве предмногообразия X. Тогда X является многообразием. Доказательство. Пусть задано предмногообразие Y , морфизмы ϕ : Y → X и ψ : Y → X, определим Z = {y ∈ Y | yϕ = yψ}. Достаточно доказать, что Z замкнуто в Y . Рассмотим z ∈ Cl (Z) и пусть x1 = zϕ 6= x2 = zψ. По условию существует открытое аффинное подмножество V ⊆ X, содержащее x1 и x2 . Тогда U = V ϕ−1 ∩ V ψ −1 — открытая окрестность точки z, следовательно, Z ∩ U 6= ∅. Множество Z ∩ U = {y ∈ U | yϕ = yψ} является прообразом диагонали в V × V . Так как V — многообразие, то диагональ в V × V замкнута, и потому множество Z ∩ U тоже замкнуто (как прообраз замкнутого множества относительно морфизма ϕ). Следовательно U \ (Z ∩ U) — открытое подмножество, непересекающееся с Z, а, значит, непересекающееся с Cl (Z). В частности, z 6∈ U \ (Z ∩ U), т. е. z ∈ Z.
{ExamplesVarietie
Следствие 2.6.17. (1) Подпредмногообразие многообразия является многообразием. Оно называется подмногообразием. (2) Если X, Y — многообразия, то X × Y — многообразие. (3) Проективное многообразие является многообразием.
{MorphismOnDen
Лемма 2.6.18. Пусть Y — многообразие, X — произвольное предмногообразие. Тогда справедливы следующие утверждения. (1) Если ϕ : X → Y — морфизм, то график Γϕ = {(x, xϕ )|X ∈ X} замкнут в X × Y . (2) Если ϕ, ψ : X → Y — морфизмы, совпадающие на некотором плотном подмножестве предмногообразия X, то ϕ = ψ. Доказательство. (1) Граик морфизма Γϕ есть прообраз диагонали произведения Y × Y в предмногообразии X × Y относительно морфизма ϕ : (x, y) 7→ (xϕ, y). (2) Поскольку Y — многообразие, то множество {x ∈ X | xϕ = xψ} является пробразом диагонали относительно морфизма ϕ×ψ : x 7→ (xϕ, xψ), и потому замкнуто в X. По условию, оно плотно в X, следовательно, совпадает с X.
§7
Размерность многообразий
Пусть X — неприводимое многообразие и F(X) — его поле частных. Напомним, что tr.degF F(X) называется размерностью многообразия X (обозначается dim X), она совпадает с размерностью любого открытого аффинного подмножества многообразия X. Для призвольного многообразия размерностью называется максимум размерностей его неприводимых компонент. Поскольку размерность конечна, она является удобным индуктивным инструментом.
{Dimention}
§7. РАЗМЕРНОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ
53
{Dim
Лемма 2.7.1. Пусть X, Y — неприводимые многообразия размерностей m и n соответственно. Тогда dim X × Y = m + n. Доказательство. Пусть U — открытое аффинное подмножество многообразия X, V — открытое аффинное подмножество многообразия Y . Тогда U ×V — открытое аффинное подмножество многообразия X × Y , и справедливы равенства dim(X) = dim(U), dim(V ) = dim(Y ), dim(U × V ) = dim(X × Y ). Поэтому можно считать, что X, Y — аффинные многообразия. Пусть X ⊆ Ap и Y ⊆ Aq . Пусть S1 , . . . , Sp и T1 , . . . , Tq — переменные аффинных колец F[Ap ] и F[Aq ] соответственно. Тогда их ограничения si , tj на кольцах F[X], F[Y ] порождают поля F(X), F(Y ) соответственно. С точностью до перенумерации мы можем выбрать базисы трансцендентности s1 , . . . , sm и t1 , . . . , tn . Очевидно, что F(X × Y ) = F(s1 , . . . , sp , t1 , . . . , yq ) и что поле F(X × Y ) алгебраично над F(s1 , . . . , sm , t1 , . . . , tn ). Таким образом, достаточно доказать, что s1 , . . . , sm , t1 , . . . , tn алгебраически независимы над F. Предположим, что существует полиномиальное соотношение f (s1 , . . . , sm , t1 , . . . , tn ) = 0. Тогда для любого фиксированного набора x1 , . . . , xm ∈ X мы имеем f (x1 , . . . , xm , t1 , . . . , tn ) = 0. Но t1 , . . . , tn алгебраически независимы, следовательно, все коэффициенты многочлена f (x1 , . . . , xm , t1 , . . . , tn ) равны 0. Кроме того, коэффициенты этого многочлена — это многочлены от s1 , . . . , sm , следовательно, они тоже все равны 0. Значит, f (x1 , . . . , xm , t1 , . . . , tn ) — нулевой многочлен.
nsionOfSubvariety}
tsOfMainOpenSet}
Лемма 2.7.2. Пусть X — неприводимое многообразие и Y — собственное замкнутое неприводимое подмногообразие. Тогда dim Y < dim X. Доказательство. Пусть U — открытое аффинное подмножество многообразия X, тогда V = Y ∩ U — неприводимое замкнутое подмножество в U, т. е. V также является аффинным многообразием. В силу леммы 2.4.5(3) справедливо равенство Cl (V ) = Y . Тогда U — неприводимое аффинное многообразие, V — его собственное замкнутое аффинное подмногообразие и достаточно доказать, что dim(V ) < dim(U). Поэтому можно считать, что X, Y — аффинные многообразия и dim(X) = d. Пусть R = F[X] и R = F[Y ] = R/P , где P = I(Y ) — ненулевой простой идеал кольца R. В силу теоремы Нётер о нормализации 2.3.4, мы можем выбрать базисы трансцендентности полей F(X) и F(Y ) в кольцах F[X] и F[Y ] соответственно. Предположим, что dim Y > d и выберем алгебраически независимые элементы x1 , . . . , xd поля F(Y ), лежащие в F[Y ]. Пусть x1 , . . . , xd — их прообразы в кольце F[x]. Рассмотрим f ∈ P — произвольный ненулевой элемент. Так как d = tr.degF (F(X)), существует такой многочлен g(T0 , T1 , . . . , Td ), что g(f, x1 , . . . , xd ) = 0. Поскольку f 6= 0 и f, x1 , . . . , xn ∈ F(X), то можно предположить, что g(T0 , T1 , . . . , Td ) 6= T0 g ′(T0 , T1 , . . . , Td ), т. е. h(x1 , . . . , xd ) = g(0, x1 , . . . , xd ) 6= 0. Но тогда h(x1 , . . . , xd ) = 0, противоречие. Пусть Y — подмногообразие многообразия X. Коразмерностью подмногообразия Y в многообразии X называется разность codim(Y ) = dim(X) − dim(Y ). Лемма 2.7.3. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие, Y — замкнутое неприводимое подмножество коразмерности 1. Тогда Y является неприводимой компонентой подмногообразия V(f ) для некоторой полиномиальной функции f ∈ F[X]. Доказательство. Поскольку Y 6= X, теорема Гильберта о базисе 2.4.2 влечёт существование такой полиномиальной функции f ∈ F[X], что Y ⊆ V(f ). Пусть Z — неприводимая компонента подмногообразия V(f ), содержащая Y . Тогда по лемме 2.7.2 мы имеем
54
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
dim(X) − 1 = dim(Y ) ≤ dim(Z) < dim(X), откуда dim(Y ) = dim(Z) и, вновь применяя лемму 2.7.2, получаем Y = Z. Лемма 2.7.3 показывает, какое строение должны иметь подмногообразия коразмерности 1, если они существуют. Нашей следующей задачей будет доказательство существования подмногообразия коразмерности 1, а значит, и любой возможной коразмерности.
{HypersurfaceInA
Лемма 2.7.4. Пусть f (T1 , . . . , Tn ) ∈ F[T1 , . . . , Tn ] — некоторый многочлен. Тогда V(f ) имеет коразмерность 1 в An . Доказательство. Пусть f = f1 . . . fn — разложение многочлена f на неприводимые множители. Тогда V(f ) = V(f1 ) ∪ . . . ∪ V(fn ) и dim(V(f )) = max(dim(V(f1 )), . . . , dim(V(fn ))). Поэтому можно считать, что многочлен f неприводим. С точностью до перенумерации можно считать, что переменная Tn входит в многочлен f . Пусть X = V(f ), по лемме 2.4.11 многообразие X неприводимо. Пусть t1 , . . . , tn — образы переменных T1 , . . . , Tn в F(X), так что F(X) = F(t1 , . . . , tn ). Предположим, что элементы g1 , . . . , gn−1 алгебраически зависимы. Тогда существует такой многочлен g(T1 , . . . , Tn−1 ) ∈ F[T1 , . . . , Tn−1 ], что g(t1 , . . . , tn−1 ) = 0. Следовательно, g(T1 , . . . , Tn−1 ) ∈ I(X) = (f (T1 , . . . , Tn )), в частности, g(T1 , . . . , Tn−1 ) делится на f (T1 , . . . , Tn ). Но это невозможно, поскольку Tn входит в f и не входит в g.
{HypersurfaceAffin
Теорема 2.7.5. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие, 0 = 6 f ∈ F[X] — необратимая полиномиальная функция, и Y — неприводимая компонента многообразия V(f ). Тогда codim(Y ) = 1. Доказательство. Пусть P = I(Y ), Y1 , . . . , Yt — неприводимые компоненты многообразия V(f p ), отличные от Y и Pi = I(Yi ). По теореме Гильберта о нулях 2.4.2 справедливо равенство (f ) = P ∩ P1 ∩ . . . ∩ Pt . Выберем элемент g ∈ P1 ∩ . . . ∩ Pt \ P . Тогда Xg — главное открытое неприводимое подмногообразие многообразия X и V(f ) ∩ Xg = Y ∩ Xg — главное открытое подмножество в Y . Следовательно, достаточно доказать, что dim(Xg ) − dim(Y ∩ Xg ) = 1, p поэтому можно предполагать, что Y = V(f ), P = (f ). В силу леммы Нётер о нормализации 2.3.4 кольцо R = F[X] является целым над некоторым подкольцом S изоморфным F[T1 , . . . , Td ], где d = dim(X). Пусть E = F(X), K — поле частных целостного кольца S, следовательно, расширение E/K конечно. Заметим, что для любого h ∈ R элемент NE/K (h) лежит в S. Действительно, по лемме 2.2.14, минимальный многочлен для элемента h имеет старший коэффициент 1, а его остальные коэффициенты лежат в S. По упражнению 2.3.8, элемент NE/K (h) является степенью свободного члена, значит, лежит в S. p (f ) = P . Запишем равенство f n + Рассмотрим f0 = NE/K (f ) и покажем, что f0 ∈ n−1 n n−1 an−1 f + . . . + a0 = 0, где x + an−1 x + . . . + a0 — минимальный многочлен для f над K. Как мы отмечали выше, все коэффициенты этого многочлена лежат в S и f0 = am 0 для некоторого натурального m. Умножая обе части равенства на am−1 , мы получаем, что 0 p f (−am−1 f n−1 − am−1 an−1 f n−2 − . . . − am−1 a1 ) = am (f0 ) ≤ S ∩ P (здесь 0 0 0 0 = f0 . Таким образом, (f0 ) — идеал кольца S, порождённый элементом f0 ). Покажем обратное включение. Пусть g ∈ P ∩ S, т. е. для некоторого натурального l и h ∈ R справедливо равенство g l = f h. Поскольку g ∈ S ⊆ K, то g l|E:K| = NE/K (g l ) = NE/K (f )NE/K (h). Поскольку NE/K (h) ∈ S, то p g l|E:K| = f0 NE/K (h), т. е. g ∈ (f0 ).
§7. РАЗМЕРНОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ
55
Поскольку S ≃ F[T1 , . . . , Td ], то pS является кольцом с однозначным разложением на мно(f0 ) — простой идеал, то f0 является степенью некоторого жители. В частности, поскольку p простого многочлена p, (f0 ) = (p) и элемент p не скалярен. Пусть Z = Ad и рассмотрим S как F[Z]. По лемме 2.7.4 множество нулей многочлена p в Z является неприводимым (поскольку p — простой многочлен) подмногообразием коразмерности 1. Следовательно, поле частных факторкольца S/(P ∩ S) имеет степень трансцендентности d − 1. Поскольку поле R является целым над S, то R/P является целым над (S + P )/P ≃ S/(P ∩ S), в частности, их поля частных имеют одну и ту же степень трансцендентности d − 1. В качестве следствия из теоремы 2.7.5 сформулируем несколько упражнений.
varietiesOfCodim1}
Упражнение 2.7.6. Пусть X — произвольное неприводимое многообразие, f ∈ OX [X] — произвольная функция. Тогда каждая неприводимая компонента подмногообразия V(f ) имеет коразмерность 1 в X. {ChainOfCodim1}
Упражнение 2.7.7. Пусть Y — неприводимое подмногообразие связного многообразия X и codim(Y ) = r. Тогда существует цепочка неприводимых подмногообразий Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . . ⊃ Yr = Y , в которой для любого i справедливо равенство codim(Yi ) = i.
mIsMaximalChain}
Упражнение 2.7.8. Пусть X — неприводимое многообразие. Тогда dim(X) — это максимальная длина цепочки непустых неприводимых подмногообразий Y1 ⊂ Y2 ⊂ . . . ⊂ Yk = X. В частности, в произвольном многообразии X замкнутые неприводимые подмногообразия удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей.
{DimOfSetOfZeros}
Упражнение 2.7.9. Пусть X — неприводимое многообразие, f1 , . . . , fr ∈ OX (X). Тогда каждая неприводимая компонента множества V(f1 , . . . , fr ) имеет коразмерность не больше, чем r.
tructureOfCodimr}
Лемма 2.7.10. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие, Y — замкнутое неприводимое подмножество коразмерности r > 1. Тогда Y является компонентой подмножества V(f1 , . . . , fr ) для некоторых функций f1 , . . . , fr ∈ F[X]. Доказательство. Ввиду упражнения 2.7.7 достаточно доказать, что для замкнутых неприводимых подмножеств Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . . ⊃ Yr , удовлетворяющих условию codim(Yi ) = i, существуют такие функции f1 , . . . , fr ∈ F[X], что все компоненты множества V(f1 , . . . , fj ) имеют коразмерность j в X и Yj является одной из таких компонент (здесь j = 1, . . . , r). Докажем это утверждение индукцией по j (r фиксировано). Для j = 1 существование функции f1 следует из леммы 2.7.3. По теореме 2.7.5 мы получаем, что любая неприводимая компонента подмногообразия V(f1 ) имеет коразмерность 1. Предположим, что функции f1 , . . . , fj−1 построены. Пусть Z1 = Yj−1, Z2 , . . . , Zm — все неприводимые компоненты подмногообразия V(f1 , . . . , fj−1 ). В силу индукционного предположения каждая из них имеет коразмерность j − 1 в X, следовательно, по лемме 2.7.2, ни одна из них не лежит в Yj . Значит, I(Zi ) не содержит I(Yj ). По лемме 2.2.17 идеал I(Yj ) не содержится в объединении идеалов I(Zi ), следовательно, существует g = fj ∈ I(Yj ) \ (∪i I(Zi )). По теореме 2.7.5 мы получаем, что любая неприводимая компонента подмногообразия Zi ∩ V(f1 , . . . , fj ) имеет коразмерность 1 в Zi , откуда следует лемма.
hisms}
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
56
§8
Морфизмы
Пусть ϕ : X → Y — морфизм многообразий. Замкнутые подмножества yϕ−1 называются слоями морфизма ϕ. Если морфизм ϕ отображает каждую компоненту многообразия X на плотное подмножество некоторой неприводимой компоненты многообразия Y и множество Xϕ плотно в Y , то морфизм ϕ называется доминантным. Если ϕ : X → Y — доминантный морфизм и W — замкнутое неприводимое подмножество многообразия Y , то ограничение ϕ на неприводимую компоненту множества W ϕ−1 не обязано быть доминантным морфизмом. Если существует компонента множества W ϕ−1 , ограничение на которой морфизма ϕ является доминантным морфизмом, то мы будем говорить, что эта компонента доминирует подмногообразие W .
{DominantComorp
Упражнение 2.8.1. Если ϕ : X → Y — доминантный морфизм и X, Y — неприводимые многообразия, то ϕ∗ индуцирует вложение поля F(Y ) в поле F(X), в частности, dim(X) > dim(Y ) и отображение ϕ∗ инъективно.
{DimentionOfDom
Теорема 2.8.2. Пусть ϕ : X → Y — доминантный морфизм неприводимых многообразий, r = dim(X) − dim(Y ). Пусть W — замкнутое неприводимое подмножество многообразия Y . Если Z — неприводимая компонента множества W ϕ−1 , которая доминирует W , то dim(Z) > dim(W ) + r. В частности, если y ∈ Xϕ, то размерность каждой неприводимой компоненты множества yϕ−1 не менее r. Доказательство. Если U — аффинное открытое подмножество множества Y и U ∩W 6= ∅, то U ∩W плотно в W . Для сравнения размерностей можно заменить Y на U, а X на неприводимую компоненту прообраза Uϕ−1 , доминирующую U. Таким образом, можно предполагать, что Y аффинно. Пусть s = codim(W ). По лемме 2.7.10 подмножество W является компонентой множества V(f1 , . . . , fs ) для некоторых f1 , . . . , fs ∈ F[Y ]. Полагая gi = fi ϕ∗ ∈ OX (X), мы получаем, что Z лежит в V(g1 , . . . , gs ). Поскольку Z неприводимо, сущетсвует компонента Z0 множества V(g1 , . . . , gs ), содержащая Z. По условию W = Cl (Zϕ) и Cl (Zϕ) ⊆ Cl (Z0 ϕ) ⊆ W , откуда Z0 ⊆ W ϕ−1 . Но Z — компонента множества W ϕ−1, следовательно, Z = Z0 . Таким образом, Z есть компонента множества V(g1 , . . . , gs ) и, по упражнению 2.7.9, мы имеем dim(Z) > s.
Данная теорема показывает, что размерности слоёв не могут быть меньше некоторого фиксированного числа dim(X) − dim(Y ). Далее мы займёмся проверкой того факта, что это число действительно достигается. Сначала мы рассмотрим некоторую частную ситуацию. Пусть ϕ : X → Y — морфизм аффинных многообразий. Если кольцо F[X] является целым над кольцом F[Y ]ϕ∗ , то морфизм ϕ называется конечным. В общем случае доминантный морфизм ϕ : X → Y называется конечным, если F(X) является алгебраическим расширением поля F(Y )ϕ∗ . Если многообразия X, Y неприводимы и ϕ является доминантным конечным морфизмом, то F(X) является алгебраическим расширением поля F(Y )ϕ∗ , так что dim(X) = dim(Y ).
{FiniteDominantM
Лемма 2.8.3. Пусть ϕ : X → Y — конечный доминантный морфизм аффинных многообразий. (1) Если множество Z замкнуто в X, то множество Zϕ замкнуто в Y и ϕ|Z является конечным морфизмом. В частности, морфизм ϕ сюръективен. (2) сли X, Y неприводимы, W замкнуто и неприводимо в Y , и Z — любая компонента множества W ϕ−1 , то Zϕ = W .
DimentionIsExact}
§8. МОРФИЗМЫ
57
Доказательство. Пусть R = F[X], S = F[Y ]. В силу упражнения 2.8.1 коморфизм ϕ∗ : S → R инъективен. Для упрощения обозначений мы будем отождествлять кольцо S и его образ S ∗ и считать, что S является подкольцом кольца R. Тогда для любого идеала I кольца R подкольцо (S + I)/I факторкольца R/I канонически изоморфно факторкольц S/(S ∩ I) и мы будем рассматривать S/(S ∩ I) как подкольцо кольца R/I. Кроме того, очевидно, что R/I является целым над S/(S ∩ I) (1) Пусть Z = V(I) — замкнутое подмножество в X, где I = I(Z). Тогда ϕ отображает Z в множество Z ′ нулей идеала I ′ = I ∩ S. Кроме того, I ′ является радикальным идеалом, значит, совпадает с I(Z ′ ). Аффинные алгебры для Z и Z ′ совпадают с R/I и S/(S ∩ I) соответственно. В силу прыдыдущих замечаний морфизм ϕ : Z → Z ′ является конечным. Для того, чтобы доказать равенство Zϕ = Z ′ и, тем самым, доказать замкнутость множества Zϕ достаточно доказать сюръективность отображения ϕ. Пусть y ∈ Y . Если существует x ∈ X, для которого xϕ = y, то Oy ϕ∗ ≤ Ox . Включение Oy ϕ∗ ≤ Ox эквивалентно тому, что максимальный идеал M ′ кольца S, состоящий из функций, обращающихся в 0 в точке y, под действием ϕ∗ переходит в максимальный идеал M кольца R, состоящий из функций, обращающихся в 0 в точке x. Обратно, если M ′ ϕ содержится в некотором максимальном идеале M, то множество нулей идеала M является точкой x и xϕ = y. Таким образом, достаточно доказать, что любой максимальный идеал M ′ кольца S переходит в некоторый максимальный идеал кольца R или, пользуясь отождествлением колец S и Sϕ∗ , что M ′ содержится в некотором максимальном идеале M кольца R. Поскольку R является целым над S, то существование максимального идеала M теоремы о подъёме 2.2.10. (2) В силу утверждения (1) ограничение ϕ|Z является конечным морфизмом, а Zϕ замкнуто и неприводимо. Поэтому достаточно доказать, что dim(Z) = dim(W ), но это равенство вытекает из конечности морфизма ϕ|Z . Рассмотрим два конечнопорождённых целостных кольца S ≤ R, являющихся F-алгебрами, обозначим через E, K поля частных колец S, R соответственно. Кроме того, пусть R′ = (S ∗ )−1 R — локализация кольца R по множеству ненулевых элементов кольца S. Тогда R′ — целостное кольцо и K — его поле частных. Поскольку E ≤ R′ и кольцо R являтся конечнопорождённым, то R′ есть конечнопорождённая E-алгебра. В силу леммы Нётер о нормализации 2.3.4 существуют такие алгебраически независимые над E элементы x1 , . . . , xn из R′ , что кольцо R′ является целым над E[x1 , . . . , xn ]. Поскольку все знаменатели кольца R′ лежат в S (и, значит, в E), то можно считать, что x1 , . . . , xn ∈ R. Кроме того, справедливо равенство n = tr.degE (K). Рассмотрим (не обязательно целое) расширение S[x1 , . . . , xn ] ≤ R. Кольцо R конечно порождено над S и любой порождающий элемент является целым над E[x1 , . . . , xn ]. Следовательно, можно выбрать такой элемент f ∈ S, что любой порождающий будет целым над Sf [x1 , . . . , xn ], где Sf — локализация кольца S по мультипликативному множеству {f k | k = 0, 1, . . .}. При таком выборе элемента f кольцо Rf будет целым над Sf [x1 , . . . , xn ]. Теорема 2.8.4. Пусть ϕ : X → Y — доминантный морфизм неприводимых многообразий, r = dim(X) − dim(Y ). Тогда существует такое непустое открытое подмножество U ⊆ Y , что справедливы следующие утверждения. (1) U ⊆ Xϕ. (2) Если W ⊆ Y — неприводимое замкнутое подмножество, W ∩ U 6= ∅ и Z — такая компонента множества W ϕ−1 , что Z ∩ Uϕ−1 6= ∅, то dim(Z) = dim(W ) + r.
58
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Доказательство. Пусть V ⊆ Y — открытое аффинное подмножество. Поскольку Xϕ плотно в Y , то Xϕ ∩ V плотно в V . Кроме того (Xϕ ∩ V )ϕ−1 — непустое открытое (и потому неприводимое) подмножество множества X. Таким образом, заменяя X на (Xϕ ∩ V )ϕ−1 и Y на V , можно считать, что Y — аффинное многообразие. Кроме оо, если X1 ∪ . . . ∪ Xn — покрытие множества X открытыми аффинными подмножествами, и для каждого i существует подмножество Ui ⊆ Y , удовлетворяющее утверждениям (1) и (2) теоремы, то U = ∩i Ui удовлетворяет утверждениям (1) и (2) теоремы. Таким образом, многообразие X также можно считать аффинным. Пусть R = F[X], S = F[Y ]. Тогда вложение ϕ∗ : S → R инъективно (см. упражнение 2.8.1) и мы будем отождествлять S с подкольцом Sϕ∗ кольца R. Также, как и в замечании до формулировки теоремы 2.8.4 найдём такие элементы x1 , . . . , xn ∈ R, f ∈ S, что кольцо Rf цело над подкольцом Sf [x1 , . . . , xr ], изоморфным кольцу многчленов от r переменных над Sf . В силу упражнения 2.6.3 кольца Sf и Rf являются аффинными алгебрами главных открытых множеств Yf и Xf соответственно. Значит, Sf [x1 , . . . , xr ] является аффинной алгеброй афинного многообразия Yf × Ar . Ограничение морфизма ϕ|Xf можно записать как последовательность морфизмов Xf
ψ/
Y f × Ar
π1 /
Yf ,
где ψ — конечный доминантный морфизм (морфизм ψ строится по коморфизму ψ ∗ : Sf [x1 , . . . , xr ] → Rf также, как в доказательстве леммы 2.6.8). Положим U = Yf , тогда Uϕ−1 = Xf . В силу леммы 2.8.3 морфизм ψ сюръективен, проекция π1 , чевидо, такж сюръективна, следовательно, U ⊆ Xϕ, что доказывает (1). Для доказательства (2) положим X = Xf , U = Y = Yf , и рассмотрим ϕ как композицию ψ ◦ π1 . Если W — замкнутое неприводимое подмножество многообразия Y и Z — некоторая неприводимая компонента множества W ϕ−1, то по лемме 2.8.3, подмножество Z является компонентой множества (W × Ar )ψ −1 и Zψ = W ×Ar , причём ψ|Z — конечный морфизм. В частности, dim(Z) = dim(Zψ) = dim(W ) + r.
Подмножество топологического пространства называется локально замкнутым, если оно является пересечением некоторых открытого и замкнутого подмножеств. Конечное объединение локально замкнутых множеств называется конструктивным. Заметим, что конструктивное множество всегда содержит плотное открытое подмножество своего замыкания.
{ImageOfMorphism
Теорема 2.8.5. Пусть ϕ : X → Y — морфизм многообразий. Тогда ϕ переводит конструктивные множества в конструктивные. В частности, образ X ϕ является конструктивным множеством. Доказательство. Поскольку любое локально замкнутое множество само является многообразием, достаточно доказать, что множество Xϕ конструктивно. Кроме того, достаточно доказать, что образ любой неприводимой компоненты конструктивен, т. е. можно считать, что X, а, значит, и Y неприводимы. Доказательство будем вести индукцией по dim(Y ). Если dim(Y ) = 0, то любое подмножество множества Y является конструктивным и доказываеть нечего. Если dim(Cl (Xϕ)) < dim(Y ), то утверждение теоремы следует из предположения индукции. Таким образом, можно считать морфизм ϕ доминантным. По теореме 2.8.4 существует открытое подмножество U множества Y , содержащееся в Xϕ. Пусть W1 , . . . , Wn — неприводимые компоненты замкнутого подмножества W = Y \ U. По
§9. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
59
лемме 2.7.2 размерность каждого из Wi меньше, чем dim(Y ). По предположению индукции различные компоненты Zij множества Wi ϕ−1 имеют конструктивные образы в Y . Поскольку Xϕ является объединением множеств Zij ϕ и U, то Xϕ также конструктивно. В конце данного параграфа мы сформулируем и докажем одну важную лемму.
mentionAreClosed}
Лемма 2.8.6. Пусть ϕ : X → Y — доминантный морфизм неприводимых многообразий. Для любого x ∈ X через εϕ (x) обозначим dim((xϕ)ϕ−1 ). Тогда для всех n ∈ N подмножество {x ∈ X | εϕ (x) > n} замкнуто в X. Доказательство. Доказательство будем вести индукцией по dim(Y ). Пусть U — открытое подмножество в Xϕ, существование которого утверждается в теореме 2.8.4, обозначим через r = dim(X) − dim(Y ), En (ϕ) = {x ∈ X | εϕ (x) > n}. По теореме 2.8.2 для любого элемента x ∈ X справедливо неравенство εϕ (x) > r, следовательно, для любого n 6 r множество En (ϕ) замкнуто. С другой стороны, та же теорема 2.8.4 утверждает, что для любого n > r множество En (ϕ) содержится в X \ Uϕ−1 . Пусть W1 , . . . , Wm — неприводимые компоненты множества Y \ U, Zij — неприводимые компоненты прообразов Wi ϕ−1 и ϕij = ϕ|Zij . По лемме 2.7.2 для всех i справедливо неравенство dim(Wi ) < dim(Y ), следовательно dim(Zij ϕij ) < dim(Y ), и каждый из ϕij является доминантным морфизмом. По индукции En (ϕij ) замкнуто, следовательно, En (ϕ) = ∪i,j En (ϕij ) также является замкнутым.
§9
Касательное пространство
{TangetSpace}
Все многообразия в настоящем параграфе, если не оговорено противное, предполагаются неприводимыми. Предположим, что X ⊆ An и X = V(I). Для любого f ∈ F[T1 , . . . , Tn ] определим n X ∂f dx f = (x)(Ti − xi ), ∂Ti i=1
дифференциал многочлена f в точке x. Пусть J — это идеал, порождённый многочленами dx f по всем f ∈ I для некоторой фиксированной точки x и рассмотрим Tan(X)x = V(J). Многообразие Tan(X)x называется касательным многообразием в точке x.
tionTangentSpace}
Упражнение 2.9.1. Во введённых обозначениях пусть f1 , . . . , fk — порождающие элементы идеала I. Доказать, что элементы V(dx f1 , . . . , dx fk ) = Tan(X)x . Если X — произвольное (не обязательное аффинное многообразие), то данная процедура зависит от выбора аффинной открытой окрестности точки x, поэтому мы приведём эквивалентное определение касательного пространства. Пусть X ⊆ An — неприводимое аффинное многообразие, R = F[X] = F[T ]/I(X) — его алгебра полиномиальных функций, x ∈ X — произвольная точка и M = I(x) R — максимальный идеал, состоящий из функций, равных нулю в точке x. Тогда R = F ⊕ M (прямая сумма подпространств), R/M ≃ F и M/M 2 — конечномерное векторное пространство над F (напомним, что из нётеровости R следует, что M есть конечнопорождённый R-модуль). Ясно, то Tan(X)x можно записать в виде x + U, где U — подпространство векторного пространства Fn = An и для произвольной функции f (T ) ∈ F[T ] дифференциал dx f является линейной функцией на подпространстве U (при этом dx f (u) по определению равно dx f (x + u)). В силу
60
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
определения многообразия Tan(X)x , для любой функции f ∈ I(X) её дифференциал dx f обращается в нуль на всём многообразии Tan(X)x . Таким образом, дифференциал dx f одозначно определяется образом функции f в кольце R и можно рассматривать дифференциал от элементов кольца R. При таком отождествлении дифференцирование является F-линейным отображением из R в дуальное пространство U ∗ , которое мы будем также обозначать (Tan(X)x )∗ . Данное отображение сюръективно, поскольку dx любой многочлен dx f вновь переводит в dx f . Поскольку справедливо разложение R = F⊕M и дифференциал от константы равен нулю, то dx является отображением из M на (Tan(X)x )∗ . Покажем, что Ker(dx ) = M 2 . Включение M 2 ⊆ Ker(dx ) очевидно, покажем обратное включение. Предположим, что для некоторой функции f ∈ M её образ dx f обращается в нуль на всех элементах из Tan(X)x и f является образом некоторой (отличной от константы) функции f (T ) ∈ F[T ]. Пусть f1 (T ), . . . , fk (T ) — порождающие элементы идеала I(X). Тогда Tan(X)x совпадает с множеством нулей линейных многочленов dx f1 , . . . , dx fk (см. упражнение 2.9.1). Из линейной алгебры следует, что Pk существуют такие элементы P α1 , . . . , αk ∈ F, что справедливо равенство dx f = i=1 αi dx fi . Положим g(T ) = f (T ) − αi fi (T ). По построению dx g обращается в нуль на всём многообразии An . Кроме того, поскольку f не являлся константой в R, то и g(T ) не является ∂g константой в F[T ]. Следовательно, для любого i справедливо равенство ∂T (x) = 0, т. е. g(T ) i не содержит одночленов степени меньшей, чем 2 и, значит, g(T ) принадлежит квадрату идеала (T1 , . . . , Tn ). Поскольку образы элементов f (T ) и g(T ) в R совпадают, а образ квадрата идеала (T1 , . . . , Tn ) равен M 2 , то мы получаем, что f ∈ M 2 . Рассмотрим теперь локальное кольцо Ox = R(R \ M)−1 и его максимальный идеал mx = M(R \ M)−1 . Тогда включение R → R(R \ M)−1 (см. упражнение 2.2.4) индуцирует изоморфизм R/M-модуля M/M 2 на Ox /mx -модуль mx /mx2 . Определим касательное пространство T (X)x как дуальное векторное пространство (mx /mx2 )∗ . Как мы показали выше, в случае, когда X — неприводимое аффинное многообразие данное определение согласуется с определением многообразия Tan(X)x . В случае, когда X является произвольным неприводимым многообразием, определение уже не зависит от выбора открытой аффинной окрестности точки, и мы будем использовать его для произвольного многообразия. Линейное отображение δ : Ox → F называется дифференцированием, если (2.3)
{DefinitionOfDifer
для всех f, g ∈ Ox . Обозначим через Dx (X) множество дифференцирований кольца Ox в точке x. Покажем, что множество дифференцирований Dx (X) изоморфно касательному пространству T (X)x . Действительно, если f ∈ Ox является константой или лежит в mx2 , то соотношение (2.3) показывает, что f δ = 0. Следовательно, отображение δ полностью определяется своим индуцированным действием на mx /mx2 , что даёт вложение Dx (X) → T (X)x . С другой стороны, любое линейное отображение из mx /mx2 в F, используя композицию с естественным гомомрфизмом mx → mx /mx2 , разложение Ox = F ⊕ mx и определяя отображение равным нулю на константах, может быть продолжено до дифференцирования δ : Ox → F. Таким образом, Dx (X) ≃ T (X)x и мы получаем ещё одно эквивалентное определение касательного пространства. Если многообразие X не является неприводимым, но его можно представить в виде объединения X1 ∪ . . . ∪ Xk непересекающихся неприводимых компонент, то любой x ∈ X лежит лишь в одной компоненте Xi и мы определяем T (X)x = T (Xi )x .
{TangentSpaceOfD
(f g)δ = (f δ) · g(x) + f (x) · (gδ)
Лемма 2.9.2. Пусть X, Y — неприводимые многообразия, x ∈ X, y ∈ Y . Тогда T (X × Y )(x,y) ≃ T (X)x ⊕ T (Y )y .
§9. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
61
Доказательство. силу леммы 2.6.9 и рассуждений после неё для произвольного предмногообразия (см. §6) справедлив изоморфизм O(x,y) ≃ Ox ⊗ Oy с максимальным идеалом mx ⊗ Oy + Ox ⊗ my . Кроме того, Ox = F ⊕ mx , Oy = F ⊕ my и (mx ⊗ Oy + Ox ⊗ my )2 = mx2 ⊗ Oy + Ox ⊗ my2 + mx ⊗ my , откуда следует изоморфизм (mx ⊗ Oy + Ox ⊗ my )/(mx ⊗ Oy + Ox ⊗ my )2 = (mx /mx2 ) ⊗ F + F ⊗ (my /my2 ) ≃ (mx /m2x ) ⊕ (my /my2 ), доказывающий лемму.
HypersurfaceAffine}
Лемма 2.9.3. Пусть X — неприводимое подмногообразие аффинного многообразия An коразмерности 1. Тогда dim(T (X)x ) > dim X, причём равенство достигается на некотором открытом подмножестве из X. Доказательство. По лемме 2.7.3 существует такая полиномиальная функция f (T1 , . . . , Tn ) ∈ F[T1 , . . . , Tn ], что X является неприводимой компонентой множества V(f ). Если f приводима и f = f1 . . . fk — разложение на неприводимые множители, то V(f ) = V(f1 ) ∪ . . . ∪ V(fk ), все V(fi ) неприводимы (см. лемму 2.4.11) и X совпадает с одним из V(fi ). Таким образом, можно считать, что f неприводим и X = V(f ). Если x = (x1 , . . . P , xn ) ∈ X — некоторая точка, то Tan(X)x — это множество решений линейного ∂f уравнения i ∂Ti (x)(Ti − xi ) = 0. Поскольку dim(X) = n − 1, то для любой точки x мы имеем dim(T (X)x ) > n − 1 = dim(X). При этом выполнено строгое неравенство лишь в том случае, когда все частные производные в точке x обращаются в 0. В силу неприводимости многочлена f , в характеристике 0 все частные производные тождественно равняться нулю не могут. Если характеристика поля F равна p, то все частные производные тождественно равны нулю лишь в том случае, когда степени всех переменных делятся на p, но тогда f = g p для подходящего многочлена g, что противоречит неприводимости многочлена f . Таким образом, не все частные производные равны нулю и множество точек, в которых выполнено равенство, содержит открытое подмножество множества X.
{smoothpoints}
Теорема 2.9.4. Пусть X — неприводимое многообразие. Тогда dim T (X)x > dim X, причём равенство достигается на некотором открытом подмножестве из X. Точки, в которых равенство достигается, называются простыми, и если все точки некоторого многообразия являются простыми, то многообразие называется гладким. Доказательство. По лемме 2.3.6 поле F(X) является сепарабельно порождённым над F, т. е. существует такой базис трансцендентности t1 , . . . , tn (здесь n = dim(X)), что F(X) сепарабельно над F(t1 , . . . , tn ). Поскольку F(X) является конечно порождённым над F, то расширение F(X)/F(t1 , . . . , tn ) конечно, следовательно, существует такой алгебраический над F(t1 , . . . , tn ) элемент t0 , что F(X) = F(t0 , t1 , . . . , tn ). Пусть f (T0 ) — минимальный многочлен элемента t0 над полем F(t1 , . . . , tn ). Тогда f (T0 ) можно записать как рациональную функцию f (T0 , T1 , . . . , Tn ) от переменных T0 , T1 , . . . , Tn . Рассмотрим многообразие An+1 и пусть Y — множество нулей функции f (T0 , T1 , . . . , Tn ). Поскольку многочлен f (T0 ) неприводим, то Y является неприводимой гиперповерхностью коразмерности 1 в An+1 и F(Y ) изоморфно F(X). Рассмотрим некоторое открытое аффинное подмножество U многообразия X. Тогда F(U) = F(X), F(U) = F(T0 , T1 , . . . , Tn ). Пусть ψ : F(U) → F(Y ) — изоморфизм полей. Тогда подмножество W многообразия Y , на котором все Ti ψ определены, является открытым, его алгебра F[W ] порождается функциями f0 , f1 , . . . , fk . Обозначим через gi прообраз fi ψ −1 . Тогда подмножество U1 множества
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
62
U, на котором функции f0 , . . . , fk определены, является открытым. Рассмотрим вложение ϕ∗ : F[W ] → F[U1 ], индуцированное отображением ϕ∗ : gi 7→ fi . Также, как в §6 можно построить морфизм ϕ : U1 → W , для которого ϕ∗ будет коморфизмом. Тогда ϕ : U1 → W — конечный морфизм и, заменив W на Cl (U1 ϕ), можно считать, что ϕ — доминантный морфизм. В частности, по лемме 2.8.3(1), U1 ϕ = W . По построению коморфизм ϕ∗ индуцирует изоморфизм локальных колец ϕ∗ : Oxϕ → Ox . В частности, если точка xϕ является простой в W , то и точка x является простой в U1 . По лемме 2.9.3 множество простых точек образует открытое плотное подмножество в W , следовательно, его прообраз является открытым плотным подмножеством в U1 , значит, и в X. Таким образом, равенство dim(T (X)x ) = dim(X) = n выполнено на некотором плотном открытом подмножестве множества X. Для доказательства того факта, что dim(T (X)x ) > n можно считать, что X — аффинное многообразие. Тогда X является замкнутым подмножеством некоторого пространства Am (m > n). Рассмотрим подмножество T = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Tan(X)x } произведения X × Am . Поскольку условие (x, y) ∈ T задаётся полиномиальными уравнениями, то T — замкнутое подмножество в X ×Am . Проекция π1 : T → X определяет морфизм, слой которго xπ1−1 имеет размерность dim(T (X)x ). В силу леммы 2.8.6 множество Xk = {x ∈ X | dim(T (X)x ) > k} замкнуто в X. Но в силу доказанного выше Xn плотно в X, значит, X = Xn . Пусть ϕ : X → Y — морфизм неприводимых многообразий. Если x ∈ X и y = xϕ ∈ Y , то ϕ∗ отображает (Oy , my ) в (Ox , mx ). Таким образом, если t — линейная функция на mx /m2x , то ϕ∗ ◦ t = dϕx (t) является линейной функцией на my /m2y и мы получаем отображение dϕx : T (X)x → T (Y )y , называемое дифференциалом морфизма ϕ в точке x. Заметим, что если Y является подмногообразием многообразия X, y ∈ Y , то морфизм включения ι : Y → X индуцирует включение dιy : T (Y )y → T (X)y .
§10
Полные многообразия
{CompleteVariety}
Определение 2.10.1. Многообразие X называется полным, если для любого многообразия Y проекция π : X × Y → Y является замкнутым отображением, т. е. замкнутые множества переводит в замкнутые. Отметим простые свойства полных многообразий.
{SimpleProperties
Лемма 2.10.2. Пусть X, Y — многообразия. (1) Если X полно и Y замкнуто в X, то Y полно. (2) Если X, Y полны, то X × Y полно. (3) Если ϕ : X → Y — морфизм и X — полное многообразие, то Xϕ замкнуто и полно. (4) Если Y — полное подмногообразие многообразия X, то Y замкнуто. (5) Если X — полное аффинное многообразие, то dim X = 0. (6) Если X — открытое подмножество проективного многообразия и X полно, то X является проективным многообразием.
§10. ПОЛНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
63
Доказательство. (1) Рассмотрим X × Z, где Z — произвольное многообразие и пусть W — замкнутое подмножество многообразия Y × Z. Тогда существует такое замкнутое подмножество W1 многообразия X × Z, что W = W1 ∩ Y × Z, следовательно, W — замкнутое подмножество многообразия X × Z. Но тогда в силу полноты многообразия X мы получаем, что проекция W π2 замкнута. (2) Очевидно следует из определения. (3) Рассмотрим подмножество Z = {(x, xϕ) | x ∈ X} в произведении X × Y . Поскольку X — многообразие, то лемма 2.6.18(1) влечёт, что Z замкнуто в X × Y . Следовательно, проекция Zπ2 = Xϕ замкнута в Y . Если теперь W — произвольное многообразие и W1 — замкнутое подмножество в Xϕ × W , то его прообраз в X × W относительно морфизма ϕ × id, где id — тождественное отображение, также замкнут. Значит, проеция π2 : W1 → W может быть получена как проекция π2′ : W1 (ϕ × id)−1 → W , cледовательно, W1 π2 замкнуто в W . (4) Следует из (3) если рассмотреть морфизм включения Y → X. (5) Рассмотрим в A1 × A1 множество нулей уравнения T1 T2 = 1. Тогда проекция этого замкнутого множества будет совпадать с открытым множеством A1 \ {0}, т. е. является открытой. Значит, A1 не является полным многообразием. Если теперь X — неприводимое полное аффинное многообразие и f ∈ F[X], то f : X → A1 — морфизм и по (3) Xf является полным и замкнутым. Так как X неприводимо, то Xf также неприводимо, значит, Xf — точка. В силу произвольноти выборо функции f отсюда следует, что множество X также является точкой. (6) Следует из (4). {ProjectiveIsFull}
Теорема 2.10.3. Любое проективное многообразие полно. Доказательство. Ввиду леммы 2.10.2(1) достаточно доказать, что многообразие Pn является полным, т. е. достаточно доказать, что для любого многообразия X проекция π2 : Pn × X → X замкнута. Ясно, что X можно считать аффинным многообразием, пусть R = F[X] — его аффинная алгебра. Рассмотрим покрытие произведения Pn × X открытыми аффинными множествами Ui = Pni × X. Если T0 , T1 , . . . , Tn — онородные координаты на Pn , то аффинная алгебра Ri множества Ui может быть записана в виде Ri = R[T0 /Ti , . . . , Tn /Ti ], где T0 /Ti , . . . , Tn /Ti — аффинные координаты множества Pni (см. §5). Пусть Y — замкнутое подмножество в Pn ×X. Для того, чтобы доказать, что Y π2 замкнуто в X нужно для любой точки x ∈ X \ Y π2 построить такую открытую окрестность W , что W ∩ Y π2 = ∅. Для этого достаточно указать такую функцию f ∈ R, что f (x) 6= 0, и f тождественно равна нулю на Y π2 , в этом случае главное открытое множество Xf будет искомым. Рассмотрим ограничение π2 на Ui (которое мы для упрощения обозначений также будем назыать π2 ). Тогда услвие, что f обращается в нуль на Y π2 эквивалентно тому, что f π2∗ ∈ Ri обращается в нуль на любом Yi = Y ∩ Ui . Рассмотрим кольцо S = R[T0 , T1 , . . . , Tn ] и пусть I — такой однородный идеал кольца S, что Im = I ∩ Sm = {f (T0 , . . . , Tn ) | ∀i, f (T0 /Ti , . . . , Tn /Ti ) ∈ I(Yi )}. Зафиксируем некоторое i и возьмём g(T0 /Ti , . . . , Tn /Ti ) ∈ I(Yi ). Покажем, что при умножении на степень переменной Ti функция g попадёт в I. Действительно, поскольку g является многочленом от T0 /Ti , . . . , Tn /Ti , то при умножении на степень переменной Ti , равную deg(g), (скажем, для определённости, на Tik ) многочлен Tik становится однородным многочленом (степени k) от переменных T0 , . . . , Tn . Тогда (Tik /Tjk )g обращается в нуль на множестве Yi ∩ Uj = Yj ∩ Ui , в то время, как многочлен (Tik+1/Tjk+1 )g обращается в нуль на Yj \ Ui . В силу произвольности выбора j, мы получаем, что Tik+1 g ∈ I.
64
ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Далее Yi и Pni × {x} — непересекающиеся замкнутые подмножества аффинного многообразия Ui . В силу упражнения 2.4.3 мы получаем, что радикал идеала, порождённого идеалами I(Yi ) и I({x})Ri совпадает с Ri . В частности, P существуют такие fi ∈ I(Yi ), mi,j ∈ I({x}), gi,j ∈ Ri , что справедливо равенство 1 = fi + j mi,j gi,j . В силу сказанного выше, умножением на достаточно высокую степень переменной Ti , можно добиться того, чтобы Tik ∈ Ik + I({x})Sk для всех i. Увеличивая, если необходимо, степень мы получим, что все одночлены степени k от T0 , . . . , Tn лежат в Ik + I({x})Sk , следовательно, Sk = Ik + I({x})Sk . Применим теперь лемму Накаямы 2.2.8 к конечно порождённому R-модулю Sk /Ik , удовлетворяющему условию I({x})Sk /Ik = Sk /Ik . Значит, существует такая функция f , что f аннулирует Sk /Ik , f ∈ R и f 6∈ I({x}). Таким образом, f Sk ⊆ Ik , значит Tik f ∈ Ik и f обращается в нуль на Y π2 .
Глава 3. Линейные алгебраические группы §1
Алгебраические группы. Простейшие свойства
Определение 3.1.1. Пусть G — многообразие, на котором задана групповая операция и предположим, что отображения µ : G×G → G и ι : G → G, заданные правилом (x, y)µ = xy и xι = x−1 — это морфизмы. Тогда группа G называется алгебраической группой. Если группа P µ∗ G является аффинным многообразием и f ∈ i fi ⊗ gi , причём f (xy) = P P P F[G], то f = i fi (x) · gi (y). В частности, f = i gi (e)fi = i fi (e)gi . Пусть G — алгебраическая группа. Тогда e (единичный элемент группы G) содержится лишь в одной из неприводимых компонент. Действительно, пусть X1 , . . . , Xm — все неприводимые компоненты группы G, содержащие e. Тогда многообразие X1 × . . . × Xm неприводимо (см. лемму 2.4.12) и его образ X1 · . . . · Xm при морфизме произведения является неприводимым (хотя может и не быть замкнутым). Тогда X1 · . . . · Xm содержится в одном из Xi . Очевидно также, что любое из Xi лежит в X1 · . . . · Xm. Следовательно, m = 1. Единственную неприводимую компоненту группы G, содержащую e, мы будем обозначать G0 и называть компонентой единицы группы G.
{CompOfUnit}
Лемма 3.1.2. Пусть G — алгебраическая группа. Тогда (а) G0 — нормальная подгруппа группы G конечного индекса, смежные классы по которой являются неприводимыми компонентами группы G; (б) каждая замкнутая подгруппа конечного индекса группы G содержит G0 . Доказательство. (а) Для любого x ∈ G0 множество x−1 G0 — это неприводимая компонента группы G, содержащая e, так что x−1 G0 = G0 и (G0 )−1 = G0 . Аналогично G0 · G0 = G0 , следовательно, G0 — подгруппа группы G. Более того x−1 G0 x — неприводимая компонента группы G, содержащая e, так что G0 — это неприводимая подгруппа группы G. Левые (или правые) смежные классы подгруппы G0 в G также являются неприводимыми омпонетами. Ввиду леммы 2.4.9 их конечное число, так что индекс |G : G0 | конечен. (б) Пусть H — замкнутая подгруппа группы G конечного индекса. Тогда каждый из конечного числа левых смежных классов группы G по H является замкнутым множеством и все они не пересекаются. Тогда G0 = ∪(G0 ∩ gH) представимо в виде конечного объединения замкнутых подмножеств. Следовательно, G0 содержится в одном из gH и, так как G0 ∩H 6= ∅, мы получаем, что G0 ≤ H.
66
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Определение 3.1.3. Далее мы увидим, что любая аффинная алгебраическая группа является линейной. Для линейных групп термин «связная» уже занят для других целей. С другой стороны, лемма 3.1.2 показывает, что алгебарическая группа неприводима как топологическое пространство тогда и только тогда, когда она связна как топологическое пространство (поскольку смежные классы по любой подгруппе не пересекаются). Поэтому алгебраическую группу, неприводимую как топологическое пространство (т. е. группу, в которой G = G0 ), мы будем называть связной.
{ProductOfTwoOp
Лемма 3.1.4. Пусть U, V — два плотных открытых подмножества алгебраической группы G. Тогда G = U · V . Доказательство. Так как взятие обратного элемента и умножение на любой элемент — это гомеоморфизмы группы G как многообразия, мы получаем, что для любого x ∈ G множества V −1 и xV −1 — плотные открытые множества. Следовательно, U ∩xV −1 6= ∅, откуда x ∈ U · V .
{ClosureOfSubgro
Лемма 3.1.5. Пусть H — подгруппа алгебраической группы G. Тогда (а) Cl (H) является подгруппой группы G; (б) если множество H конструктивно, то H = Cl (H). Доказательство. (а) Поскольку взятие обратного элемента — гомеоморфизм группы G, мы получаем, что Cl (H)−1 = Cl (H −1) = Cl (H). Аналогично для любого x ∈ H мы имеем xCl (H) = Cl (xH) = Cl (H). Следовательно, для любого x ∈ Cl (H) справедливо Hx ⊆ Cl (H) и, значит, Cl (H)x = Cl (Hx) = Cl (H). (б) Поскольку H — конструктивное множество, оно содержит плотное открытое подмножество U своего замыкания Cl (H). Ввиду леммы 3.1.4 мы получаем Cl (H) = U · U ⊆ H.
{ClosureOfAbelian
Упражнение 3.1.6. Пусть A — абелева (соотв. нильпотентная, разрешимая) подгруппа алгебраической группы G. Тогда Cl (A) — абелева (соотв. нильпотентная, разрешимая) подгруппа группы G. Следствие 3.1.7. Пусть A, B — замкнутые подгруппы алгебраической группы G. Если B нормализует A, то AB — замкнутая подгруппа группы G. Доказательство. Очевидно, что AB — подгруппа группы G. Кроме того, она является конструктивной как образ конструктивного множества A × B относительно морфизма произведеия µ : G × G → G (см. теорему 2.8.5). Ввиду леммы 3.1.5(б) подгруппа AB замкнута. Если G, H — алгебраические группы, то отображение ϕ :→ H называется морфизмом алгебраических групп, если отображение ϕ является морфизмом многообразий и гомоморфизмом групп.
{MorphismGroups
Лемма 3.1.8. Пусть ϕ : G → H — морфизм алгебраических групп. Тогда (а) Ker(ϕ) = {x ∈ G | xϕ = e} — замкнутая подгруппа группы G; (б) Im(ϕ) = {xϕ | x ∈ G} — замкнутая подгруппа группы H;
§1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
67
(в) G0 ϕ = (Gϕ)0 ; (г) dim(G) = dim(Ker(ϕ)) + dim(Im(ϕ)). Доказательство. Множество Ker(ϕ) замкнуто как прообраз замкнутого множества {e}. Далее, Im(ϕ) является конструктивным множеством и подгруппой в H, следовательно, по лемме 3.1.5(б), замкнуто. Таким образом, (а) и (б) доказаны. (в) Группа G0 ϕ замкнута и связна, следовательно, лежит в (Gϕ)0 . Кроме того, индекс |(Gϕ)0 : G0 ϕ| конечен, в силу леммы 3.1.2(б), получаем, что G0 ϕ = (Gϕ)0 . (г) Для любого x ∈ Im(ϕ)), обозначая через y некоторый прообраз элемента x, мы имеем −1 xϕ = Ker(ϕ)y, следовательно, dim(xϕ−1 ) = dim(Ker(ϕ)).
ubsetIsASubgroup}
Упражнение 3.1.9. Пусть H — замкнутое подмножество алгебраической группы G, замкнутое относительно умножения. Доказать что H является подгруппой. Пусть M — произвольное подмножество группы G. Обозначим через A(M) пересечение всех замкнутых подгрупп группы G, содержащих множество M. Тогда A(M) является замкнутой подгруппой, порождённой множеством M или групповым замыканием множества M.
IrreducibleSubsets}
Теорема 3.1.10. Пусть G — алгебраическая группа, I — множество индексов и fi : Xi → G (i ∈ I) — семейство морфизмов связных многообразий Xi в G таких, что e ∈ Yi = (Xi )fi для всех i ∈ I. Пусть M = ∪i∈I Yi . Тогда (а) A(M) — связная подгруппа группы G; (б) для некоторой конечной последовательности индексов (a(1), . . . , a(n)) индексов из I ε1 εn мы имеем A(M) = Ya(1) · . . . · Ya(n) , где εi = ±1. Доказательство. Расширим множество индексов и семейство морфизмов таким образом, чтобы оно содержало все морфизмы вида x 7→ (xfi )−1 . Для каждой конечной последовательности a = (a(1), . . . , a(n)) положим Ya = Ya(1) · . . . · Ya(n) . Множество Ya конструктивно и связно как образ связного многообразия Xa(1) × . . . × Xa(n) относительно композиции морфизма fa(1) × . . . × fa(n) с морфизмом умножения в группе G. Следовательно, Ya — замкнутое связное подмножество в G, содержащее e, поэтому кадое из Ya содержится в G0 . Ввиду нётеровости G0 как топологического пространства, существует такая последовательность a, что множество Ya максимально. Пусть b, c — две произвольные последовательности индексов из I, покажем, что Yb · Yc = Y(b,c) . Действительно, если x ∈ Yc , то гомеоморфизм y 7→ yx переводит Yb в Y(b,c) , следовательно, он переводит Yb в Y(b,c) . Таким образом, элемент x ∈ Yb ереводт Yc в Y(b,c) , следовательно, переводит Yc в Y(b,c) , откуда Yb · Yc = Y(b,c) . Ввиду максимальности множества Ya мы получаем, что Ya · Ya = Ya . Кроме того, мы −1 можем взять множество индексов b таким образом, чтобы Yb = Ya . Следовательно, Ya — замкнутая связная подгруппа группы G. Более того, множество Ya конструктивно, поэтому содержит открытое подмножество U группы Ya . По лемме 3.1.4 мы имеем Ya = U · U ⊆ Ya · Ya = Y(a,a) , т. е. Ya = Y(a,a) .
bgrps}
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
68
Следствие 3.1.11. Пусть G — алгебраическая группа, Yi — семейство замкнутых связных подгрупп группы G, которые порождают G как абстрактную группу. Тогда группа G связна.
ntial}
Упражнение 3.1.12. В теореме 3.1.10 условие e ∈ Yi является существенным. Рассмотреть аддитивную группу поля C и в ней в качестве Yi взять любой ненулевой элемент. Пример 3.1.13. Если F — произвольное алгебраически замкнутое поле, то его аддитивная и мультипликативная группы являются связными группами размерности 1. В дальнешем аддитивная и мультипликативная группы поля будут обозначаться через F+ и F∗ соответственно. Пример 3.1.14. Рассмотрим группу всех невырожденных матриц GLn (F). Она является главным открытым множеством в алгебре матриц Mn (F), соответствующая множеству ненулей многочлена det. Её аффинная алгебра F[GLn (F)] является локализацие кольца многочленов от n2 переменных F[T1,1 , T1,2 , . . . , Tn,n ] по мультипликативному множеству {detk | k = 0, 1, . . .}. Таким образом, F[GLn (F)] = {f / detk | f ∈ F[T1,1 , T1,2 , . . . , Tn,n ], k = 0, 1, . . .}. Известные формулы умножения матриц и взятия обратной матрицы показывают, что отображения µ и ι являются морфизмами.
§2
Линейные алгебраические группы
Далее мы будем рассматривать лишь аффинные алгебраические группы и термин «алгебраическая группа» всегда будет означат «аффинная алгебраическая группа». Пусть G — алгебраическая группа, рассмотрим её аффинную алгебру F[G]. Для каждого элемента x ∈ G определим ρx и λx , соответственно правый и левый сдвиги, действующие на алгебре F[G], следующим образом: (f ρx )(y) = f (yx) и (f λx )(y) = f (x−1 y). Таким образом мы получаем правое или левое регулярное представление группы G.
{CriterionOfSubgr
Лемма 3.2.1. Пусть H — замкнутая подгруппа аффинной алгебраической группы G и пусть I = I(H). Тогда H = {x | Iρx ⊆ I}. Доказательство. Пусть x ∈ H, рассмотрим f ∈ I. Тогда для любого y ∈ H справедливо (f ρx )(y) = f (yx) = 0, т. е. f ρx ∈ I. Обратно, пусть Iρx ⊆ I. Тогда 0 = (f ρx )(e) = f (x), значит, x ∈ H. Определение 3.2.2. Морфизм ϕ : G → GLn (F) называется рациональным представлением алгебраической группы G. Если Ker(ϕ) = {e}, то представление называется точным. Лемма 3.2.3. Пусть G — аффинная алгебраическая группа, R — конечномерное подпространство алгебры F[G] и рассмотрим правое регулярное представление G → GL(F[G]). Тогда существует конечно мерное G-инвариантное подпространство E алгебры F[G], содержащее R. Пусть µ : G × G → G — морфизм произведения, тогда µ∗ : F[G] → F[G] ⊗ F[G]. Подпространство R является G-инвариантным тогда и только тогда, когда Rµ∗ ⊆ R ⊗F F[G]. Доказательство. Можно считать, что подпрстрансто R порождено одним элементом (в конце сложить все полученные пространства E). Запишем (вообще говоря, неоднозначно)
{InvariantSubspac
§3. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ 69 P P f µ∗ = fi ⊗ gP j . Тогда для любых двух x, y ∈ G справедливо f ρx (y) = f (yx) = i fi (y)gi(x), откуда f ρx = fi gi (x). Следовательно, функции fi порождают над F конечномерное пространство, которое содержит все сдвиги функции f . Таким образом, в качестве E нужно взять подпространство, порождённое функциями {f ρx |x ∈ G}. Предположим теперь, что пространство R является G-инвариантным и рассмотрим базис ∗ {fi } пространства R. Дополним его до базиса {fi } ∪ {gi } пространства F[G]. P P P P Если f µ = fi ⊗ rl + gi ⊗ sm для некоторого f ∈ R, то мы имеем f ρx = fi rl (x) + gi sm (x). Левая часть последнего равенства лежит в R, поэтому функции si должны обращаться в 0 на всей группе G, откуда Rµ∗ ⊆ R ⊗F F[G]. Обратно, если Rµ∗ ⊆ R ⊗F F[G], то, как показывает доказательство первой части леммы, все функции fi можно взять из R.
neAlgebraicGroup}
Теорема 3.2.4. Пусть G — аффинная алгебраическая группа. Тогда G изоморфна некоторой замкнутой подгруппе группы GLn (F) для некоторого n. Доказательство. Выберем в аффинной алгебре F[G] порождающие f1 , . . . , fn . Ввиду леммы 3.2.3, применённой к линейной оболочке R элементов f1 , . . . , fn , мы можем считать, что R является G-инвариантным подпространством алгебры F[G]. С точностью до переобозначения можно считать, что f1 , . . . , fn — базис пространства R (и, по-прежнему, F[G] порождается элементами f1 , . . . , fn как F-алгебра). Вновь в силу предыдущей P P леммы мы имеем ∗ fi µ = P fj ⊗ mi,j , где mi,j ∈ F[G]. Тогда (fi ρx )(y) = fi (yx) = fj (y)mi,j (x), откуда fi ρx = mi,j (x)fj . Другими словами, матрица ограничения оператора ρx на R в базисе f1 , . . . , fn равна (mi,j (x)). Таким образом, отображение ψ : G → GLn (F), заданное правилом ψ : x 7→ (mi,j (x)), является морфизмом P алгебраических групп.P Заметим, что fi (x) = fi (ex) = mi,j (x)fj (e), значит, fi = fj (e)mi,j , т. е. функции mi,j также порождают алгебру F[G]. В частности, морфизм ψ инъективен, так как в противном случае мы бы получили, что функция gi = fi −fi (e) зануляется на любом элементе x из ядра. Ввиду леммы 3.1.8(б) образ H = Gψ — замкнутая подгруппа в GLn (F). Осталось убедиться, что ψ — изоморфизм многообразий. Действительно, ограничения на H координатных функций Ti,j отображается коморфизмом ψ ∗ в функции mi,j , которые, как мы только что показали, порождают F[G]. Следовательно, коморфизм ψ ∗ сюръективен и потому является изоморфизмом F-алгебр F[H] и F[G].
§3
Действие алгебраической группы на многообразиях
Напомним, что если G — группа и X — некоторое множество, то отображение ϕ : X ×G → X, обозначаемое для краткости (x, g)ϕ = xg = xg , называется действием группы G если для любых g1 , g2 ∈ G и x ∈ X справедливо 1. (xg1 )g2 = x(g1 g2 ). 2. xe = x. Отображение ϕ является гомоморфизмом из G в Sym(X). В дальнейшем через XG будет обозначаться множество точек, неподвижных относительно действия группы G. Если Y, Z — подмножества множества X, то TranG (Y, Z) = {g ∈ G | Y g ⊆ Z} называется транспортёром. Если теперь G, X — многообразия и отображение действия ϕ : X × G → X является морфизмом, то будем говорить, что группа G действует морфизмами на X. Отметим некоторые простые свойства действия морфизмами.
70
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
ction}
Лемма 3.3.1. Пусть алгебраическая группа G действует морфизмами на многообразии X. Пусть Y, Z — подмножества множества X, причём Z замкнуто. Тогда (а) TranG (Y, Z) — замкнутое подмножество группы G; (б) для каждого x ∈ X группа StG (x) замкнута в G, в частности, группа StG (Y ) замкнута; (в) множество неподвижных точек любого элемента g ∈ G замкнуто в X, поэтому XG замкнуто; (г) если группа G связна, то любая связная компонента множества X является G-инвариантной, в частности, группа G действует на X тривиально, если X конечно. Доказательство. (а), (б) Заметим, что для любого x ∈ X орбитное отображение ϕx : G → X, заданное правилом ϕx : g 7→ yg, есть композиция отображения g 7→ (x, g) и ϕ, следовательно, является морфизмом. Если y пробегает множество Y , то прообразы ϕ−1 y (Z) замкнуты в G (так как Z замкнуто), поэтому пересечение этих празов, равное TranG (Y, Z), замкнуто в G. Кроме того, StG (x) = TranG ({x}, {x}), следовательно, группа StG (x) замкнута в G. (в) Выберем g ∈ G и рассмотрим морфизм ψ : X → X × X, заданный правилом ψ : x 7→ (x, xg). Множество неподвижных точек элемента g — это в точности прообраз диагонали относительно отображения ψ и это множество замкнуто, поскольку замкнута диагональ. (г) Пусть G — связная группа, X = X1 ∪. . .∪Xk — объединение связных компонент. Тогда H = StG (Xi ) — замкнутая подгруппа в G. Так как группа G перемещает между собой лишь конечное количество компонент, мы получаем, что индекс |G : H| конечен. Ввиду леммы 3.1.2, G = H.
{NormalizersAndC
Упражнение 3.3.2. Пусть G — алгебраическая группа и H — её замкнутая подгруппа. Тогда NG (H) и CG (H) являются замкнутыми подгруппами группы G. Кроме того, для любого x ∈ G централиатор CG (x) является замкнутой подгруппой.
{FiniteNormalSub
Упражнение 3.3.3. Доказать, что любая конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы G лежит в Z(G). Пусть X, Y — два многообразия на которых алгебраическая группа G действует морфизмами и предположим, что существует морфзим ϕ : X → Y . Морфизм ϕ называется G-эквивариантным, если для любого лемента g ∈ G и для любого x ∈ X справедливо равенство (xg)ϕ = (xϕ)g. {ClosedOrbits}
Лемма 3.3.4. Пусть алгебраическая группа G действует морфизмами на непустом многообразии X. Тогда каждая G-орбита есть конструктивное подмножество многообразия X, граница которого является объединением орбит строго меньшей размерности. В частности, орбиты минимальной размерности замкнуты и всегда существуют. Кроме того, каждая G-орбита является открытым подмножеством своего замыкания. Доказательство. Пусть Y = y · G — орбита элемента y ∈ X. Как образ группы G относительно орбитного отражения ϕy , построенного в доказательстве леммы 3.3.1, орбита Y является конструктивным множеством (ввиду теоремы 2.8.5 образ конструктивного множества
ertiesOfLiAlgebra}
§4. АЛГЕБРА ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
71
конструктивен) и, следовательно, Cl (Y ) содержит открытое плотное подмножество U ⊆ Y . Но группа G действует транзитивно на Y , оставляя множество Cl (Y ) инвариантным, так что множество Y содержит открытую окрестность (в Cl (Y )) каждой своей точки. Поэтому множество Y открыто в Cl (Y ), а множество Cl (Y )\Y замкнуто и его размерность строго меньше размерности множества Y . Поскольку множество Cl (Y ) \ Y является G-инвариантным, оно является объединением G-орбит. Предположим теперь, что алгебраическая группа G действует морфизмами на алгебраической группе N. Тогда можно рассмотреть полупрямое произведение N ⋋G со стандартным определением умножения элементов. Нетрудно проверить, что построенная таким образом группа вновь является алгебраической группой, она наследует топологию Зарисского произведения многообразий (N × G).
§4
Алгебра Ли алгебраической группы
Определение 3.4.1. Пусть A — некоторая ассоциативная F-алгебра. Определим алгебру Ли для A как подпространство, порождённое всевозможными скобочными умножениями [x, y] = xy − yx, где x, y ∈ A и замкнутое относительно скобочного умножения. Пусть теперь G — алгебраическая группа и R = F[G]. Как мы уже отмечали выше, группа G действует на R правыми и левыми сдвигами. Пусть δ, σ — два произвольных дифференцирования алгебры R (напомним, что дифференцирование δ — это F-линейное отображение, удовлетворяющее равенству (f g)δ = f ·(gδ)+(f δ)·g). Тогда [δ, σ] — это вновь дифференцирование алгебры R. Следовательно, множество дифференцирований алгебры R, обозначаемое Der(R), является алгеброй Ли. Алгеброй Ли группы G будем называть подпространство L(G) алгебры Ли Der(F[G]), состоящее из всех правоинвариантных дифференцирований, т. е. L(G) = {δ ∈ Der(R) | ∀x ∈ X, δρx = ρx δ}. Легко понять, что L(G) действительно является алгеброй Ли. Рассмотрим пространство T (G0 )e ≃ De (G0 ) и обозначим его через g. Определим отображение θ : L(G) → g правилом f (δθ) = (f δ)(e), где f ∈ F[G], δ ∈ L(G). Далее мы покажем, что отображение θ является изоморфизмом векторных пространств и, следовательно, позволяет определить на g структуру алгебры Ли. Пусть ϕ : G → H — морфизм алгебраических групп. Тогда d(ϕe ) : g → h является линейным отображением векторных пространств. Более того, в теореме 3.4.2 будет доказано, что отображение d(ϕe ) является гомоморфизмом алгебр Ли. Далее мы будем писать d(ϕ) вместо d(ϕe ). Теорема 3.4.2. Пусть G, H — алгебраические группы, g = T (G0 )e = De (G0 ), h = T (H 0)e = De (H 0 ) и ϕ : G → H — морфизм алгебраических групп. Тогда (а) θ : L(G) → g является изоморфизмом векторных пространств; (б) d(ϕ) является гомоморфизмом алгебр Ли. Доказательство. Для доказательства (а) мы построим обратное отображение η : g → L(G), отображающее дифференцирование x в точке e в дифференцирование ∗x, задаваемое
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
72
правилом (f ∗ x)(x) = (f ρx )x, где x ∈ G, f ∈ A. Дифференцирование ∗x называется конволюцией. Покажем, что ∗x — правоинвариантное дифференцирование алгебры A. Пусть x, y ∈ G, f, g ∈ A, тогда мы имеем: (f · g ∗ x)(x) = ((f · g)ρx ) x = ((f ρx ) · (gρx )) x = (f ρx · g(x))x + f (x) · (gρx )x = ((f ∗ x)g + f (g ∗ x)) (x), т. е. ∗x является дифференцированием; ((f ∗ x)ρy ) (x) = (f ∗ x)(xy) = (f ρxy )x = ((f ρy )ρx ) x = ((f ρy ) ∗ x) (x), т. е. дифференцирование ∗x правоинвариантно. Ясно, что η : g → L(G) является линейным отображением. Чтобы доказать биективность, найдем η ◦ θ и θ ◦ η. (f ∗ δ θ )(x) = (f ρx )δ θ = ((f ρx )δ)(e) = ((f δ)ρx )(e) = (f δ)(x), т. е. δ η◦θ = δ для всех δ ∈ L(G). Обратно, f (∗x)θ = (f ∗ x)(e) = (f ρe )x = f x, т. е. xθ◦η = x для всех x ∈ g. Для доказательства (б) осталось показать, что если ϕ : G → H — морфизм алгебраических групп, то d(ϕ) : g → h сохраняет скобочное умножение. Для x, y ∈ g положим x′ = xd(ϕ) , ∗ y′ = yd(ϕ) . Пусть f ′ ∈ F[H], положим f = (f ′ )ϕ . По определению, ∗
∗
(f ′ )[x′ , y′ ] = (f ′ ∗ x′ ∗ y′ )(e) − (f ′ ∗ y′ ∗ x′ )(e) = (f ′ ∗ x′ )y′ − (f ′ ∗ y′ )x′ = ((f ′ ∗ x)ϕ )y′ − ((f ′ ∗ y)ϕ )x′. С другой стороны, [x, y]d(ϕ) отображает f ′ в (f ∗ x ∗ y)(e) − (f ∗ y ∗ x)(e) = (f ∗ x)y − (f ∗ y)x. ∗
∗
∗
∗
Покажем, что f ∗ y = (f ′ ∗ y′ )ϕ , а f ∗ x = (f ′ ∗ x′)ϕ или, эквивалентно, (f ′ϕ ) ∗ x = (f ′ ∗ xd(ϕ) )ϕ . Обе части последнего равенства являются функциями на G, так что достаточно сравнить ∗ ∗ их значения на элементах x ∈ G. Получаем ((f ′ )ϕ ∗ x)(x) = ((f ′ )ϕ ρx )x. Остается показать, ∗ ∗ что (f ′ )ϕ ρx = (f ′ ρxϕ )ϕ . Для этого вычислим значения правой и левой частей последнего равенства в точке y ∈ G. С одной стороны мы имеем ∗
∗
((f ′ )ϕ ρx )(y) = (f ′ )ϕ (yx) = f ′ ((yx)ϕ ). С другой стороны, ∗
(f ′ ρxϕ )ϕ (y) = (f ′ ρxϕ )(y ϕ ) = f ′ (y ϕ xϕ ) = f ′ ((yx)ϕ ), что даёт нам требуемое утверждение. Введём ассоциативное умножение элементов касательного пространства g = T (G0 )e внутренним образом и покажем, что оно согласуется с умножением, индуцированным изоморфизмом θ. Пусть x, y ∈ g, определим x ⊗ y : F[G] ⊗ F[G] → F правилом (f ⊗ g)(x ⊗ y) = (f x) · (gy). Тогда x · y = (x ⊗ y) ◦ µ∗ : A → F. Покажем, что при таком определении ((∗x)(∗y))θ = x · y.
§5. ПРИСОЕДИНЁННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 73 P P ∗ Для этого заметим сначала, что если f µ = i fi ⊗ gi , то f ∗ x = i (fi x)gi . Действительно, (f ∗ x)(x) = (f ρx )x. Далее X (f ρx )(y) = f (yx) = fi (y)gi(x), i
P
P следовательно, f ρx = i fi gi (x) и, кроме того, f ρe = i fi (e)gi . Таким образом (f ρx )x = P ( i fi gi (x)) x. С другой стороны, ! ! X X X (fi x)gi (x) = (fi x)gi(x) = fi gi (x) x. i
i
i
P Теперь, по определению, мы имеем f (x · y) = i (fi x) · (gi y). С другой стороны, ! ! X X X ((f (∗x) · (∗y))(e) = (fi x) · (gi y). fi (gi y) ∗ x (e) = (fi ∗ x)(e) · (gi y) = i
i
i
Рассмотрим группу G = GLn (F), являющуюся главным открытым множеством в кольце 2 матриц Mn (F) = An . Тогда касательные пространства в точке e для GLn (F) и Mn (F) сов2 падают. Функции Ti,j образуют базис алгебры F[An ], запишем произвольный x ∈ g = L(G) вектором xi,j = (Ti,j )x. Из полученного правила следует ! ! X X x·y = Ti,h ⊗ Th,j (x ⊗ y) = xi,h yh,j . h
i,j
h
Иными словами, отображение x 7→ (xi,j ) является изоморфизмом алгебр g и Mn (F). Пусть H — замкнутая подгруппа алгебраической группы G. Включение η : H → G является изоморфизмом на замкнутую подгруппу и d(η) : h → g вятся вложением алгебры Ли подгруппы H в алгебру Ли группы G. Если I = I(H 0 ) — идеал в F[G], то, поскольку F[H 0 ] = F[G0 ]/I, то T (H 0 )e совпадает с подпространством пространства T (G0 )e , состоящим из тех x, для которых Ix = 0. Таким образом, мы получаем следующую лемму.
itOfLieSubalgebra}
Лемма 3.4.3. Пусть H — замкнутая подгруппа группы G и пусть I — идеал алгебры F[G], состоящий из функций, обращающихся в 0 на H. Тогда h = {x | I ∗ x ⊆ I}. Доказательство. Пусть x ∈ h. Если f ∈ Iи x ∈ H, то f ∗ x(x) = (f ρx )x = 0, поскольку f ρx ∈ I (см. лемму 3.2.1) и Ix = 0. Таким образом, f ∗ x ∈ I. братно, пусть элемент x ∈ g удовлетворяет условию I ∗ x ⊆ I. Если f ∈ I, то (f ∗ x)(e) = f x = 0, т. е. x ∈ h.
§5
Присоединённое представление
Пусть G — алгебраическая группа. Рассмотрим внутренний автоморфизм Intx (y) = x−1 yx. Его дифференциал обозначается Ad(x). Поскольку справедливо Ad(x) · Ad(y) = d(Intx ) ◦ d(Inty ) = d(Intx ◦ Inty ) = d(Intxy ) = Ad(xy), то Ad : G → Aut(g) ≤ GL(g) — гомоморфизм абстрактных групп, называемый присоединённым представлением группы G.
omial}
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
74
В данном параграфе мы докажем, что присоединённое представление, определённое выше, является рациональным представлением и найдем некоторые его свойства. Как обычно, G — алгебраическая группа. Вычислим сначала P дифференциал морфизма P умножения µ∗ µ : G × G → G в точке (e, e). Напомним, что f = i fi ⊗ gi , причём f (xy) = i fi (x) · gi(y). В частности, X X f= gi (e)fi = fi (e)gi . (3.1) i
0
0
i
0
0
Кроме того, T (G × G )(e,e) ≃ T (G )e ⊗ T (G )e (см. лемму 2.9.2) и T (G0 )e ⊗ T (G0 )e ≃ g ⊕ g, где g = L(G). Пусть (x, y) ∈ T (G0 × G0 )(e,e) , обозначим через z = (x, y)d(µ(e,e) ). Тогда, по определению дифференциала, мы получаем, что для любого f ∈ F[G] выполнено ! X X X fz = fi ⊗ gi (x, y) = (fi x)gi (e) + fi (e)(gi y). i
i
i
Используя равенство (3.1), мы получаем тот же результат, для f (x + y). Следовательно, (x, y)d(µ(e,e)) = x + y. Вычислим теперь d(ιe ) : g → g. Рассмотрим отображение (1,ι)
µ
G −−→ G × G − → G. Композиция этих отображений преобразует каждый элемент x в e, следовательно, дифференциал отображает каждый элемент x ∈ g в 0. Далее, d(1) = 1 и d(1, ι) = (d(1), d(ι)), таким образом, справедлива следующая цепочка равенств 0 = d(µ ◦ (1, ι))(x) = d(µ)(d(1, ι)(x)) = d(µ)(x, d(ι)(x)) = x + d(ι)(x). Следовательно, d(ι)(x) = −x. Рассмотрим теперь коммутаторный морфизм относительно x, γx : y 7→ x−1 y −1 xy. Чтобы найти дифференциал этого морфизма, рассмотрим цепочку (ι◦Intx ,1)
µ
G −−−−−→ G × G − → G. Очевидно, что γx = (ι ◦ Intx , 1) ◦ µ, поэтому мы получаем, что d(γx ) = 1 − Ad(x). Таким образом, справедлива следующая лемма.
{DifferentialOfMo
Лемма 3.5.1. Пусть G — алгебраическая группа. Тогда для любых x, y ∈ g справедливо (а) (x, y)d(µ(e,e)) = x + y. (б) xd(ιe ) = −x. (в) (x)(d(γx ))e = x − (x)Ad(x). Следующая лемма устанавливает связь между действием алгебраической группы и её алгебры Ли на аффинной алгебре F[G]. Заметим, что произвольный элемент x ∈ g можно рассматривать как отображение аффинной алгебры F[G], заданное правилом x : f 7→ f ∗ x. Лемма 3.5.2. Любое G-инвариантное подпространство алгебры F[G] (относительно действия левыми сдвигами) является g-инвариантным. Более того, если E — G-инвариантное конечномерное подпространство и ϕ : G → GL(E) — рациональное представление, то дифференциал левого сдвига есть конволюция.
{AffaineAndLeAlg
§5. ПРИСОЕДИНЁННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
75
Доказательство. Пусть E — G-инвариантное подпространство алгебры F[G], с базисом {fi }, x ∈ G. Поскольку по лемме 3.2.3 любое конечномерное пространство содержится в некотором G-инвариантном конечномерном подпространстве, мы можем считать, что E конечномерно. По той же лемме P мы получаем, что Eµ∗ ⊆ F[G] ⊗F E. В частности, P ∗ fi µ = j mi,j ⊗ fj . Тогда fi λx−1 = j mi,j (x)fj и отображение ϕ : x 7→ mi,j (x) является морфизмом ϕ : G → GL(E) = GLn (F). Вычислим дифференциал морфизма dϕ : g → gln (F), где gln (F) = L(GLn (F)). Если x ∈ g, то, по определению, матрица (x)dϕ на месте (i, j) имеет результат применения x к коорϕ динатной функции Ti,j . Но мы заметили выше, что Ti,j = mi,j , поэтому (x)dϕ = (mi,j )x. С другой стороны, элемент x на базисе {fi } пространства E действует как (fi ∗ x)(x) = (fi ρx )x = P (m i,j ) ∗ xfj (x), т. е. x оставляет пространство E инвариантным и его матрица равна (mi,j )x j в базисе {fi }.
Пусть G — алгебраическая группа и g — её касательное пространство. Если мы будем рассматривать g как алгебру Ли L(G) правоинвариантных дифференцирований, то тогда Ad(x) действует по правилу δ 7→ λx−1 δλx . Рассмотрим сначала частный случай G = GLn (F) и g = gln (F). Мы точно вычислим действие группы G и алгебры g на F[G] сдвигами и конволюциями соответственно. Для этого достаточно рассмотреть действие на координатных функциях Ti,j . Обозначим через T матрицу, чья (i, j)-ая координата равна Ti,j .
ctionOftranslation}
Лемма 3.5.3. Пусть x ∈ GLn (F), x ∈ gln (F). Тогда Ti,j ρx (соответственно, Ti,j λx и Ti,j ∗ x) равна (i, j)-ому элементу матрицы T x (соответственно, x−1 T и xT ). Доказательство. Если y ∈ GLn (F), то (Ti,j ρx )(y) = Ti,j (yx) =
X
yi,k xk,j = (T x)ij (y).
k
Аналогичное равенство мы получаем для левого сдвига. Из полученных тождеств вытекает, что ! X X (Ti,k x)yk,j = Ti,k yk,j x = (Ti,j ∗ x)(y) = (Ti,j ρy )x = k
k
X
xi,k yk,j =
k
что завершает доказательство леммы. {ActionOfAd}
X
xi,k Tk,j (y) = (xT )i,j (y),
k
Лемма 3.5.4. Пусть x ∈ GLn (F), x ∈ gln (F). Тогда (x)Ad(x) = x−1 xx (как произведение матриц). Доказательство. Достаточно проверить, используя лемму 3.5.3, как каждая из частей нашего равенства действует на Ti,j . (x)Adx
Ti,j
λ
= Ti,jx−1
(∗x)λx
=
X k
xi,k Tk,j
!(∗x)λx
=
l
XXX m
что и требовалось.
XX
l
k
k
xi,l xl,k Tk,j
!λx
=
−1 x−1 xx x−1 , i,m xm,l xl,k Tk,j = x xxT i,j = Ti,j
Из точной формулы, полученной в лемме 3.5.4 немедленно вытекает
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
76
hism}
Следствие 3.5.5. Отображение Ad : GLn (F) → GLn2 (F) является морфизмом алгебраических групп независимо от выбора базиса в gln (F).
{AdjointRepresent
Теорема 3.5.6. Пусть G — алгебраическая группа. Тогда отображение Ad : G → GL(g) является морфизмом алгебраических групп. Если G является замкнутой подгруппой группы GLn (F), то Ad(x) есть сопряжение элементом x. Доказательство. По теореме 3.2.4 группа G изморфна замкнутой подгруппе группы GLn (F) для подходящего n. Этот изоморфизм задаёт изоморфное вложение алгебры Ли g в gln (F). Тогда отображение Ad(x) алгебры g есть ограничение отображения Ad(x) алгебры gln (F), откуда следует лемма.
§6
Дифференциал морфизма Ad. Некоторые следствия
Как мы доказали в теореме 3.5.6, отображение Ad : G → GL(g) является морфизмом алгебраических групп. Обозначим через ad дифференциал морфизма Ad. Таким образом, ad : g → gl(g) является гомоморфизмом алгебры Ли g.
{ActionOfad}
Теорема 3.6.1. Для любых x, y ∈ g справедлива следующая формула y(x)ad = [y, x] = yx − xy. Доказательство. Как и в предыдущем параграфе рассмотрим сначала частный случай G = GLn (F), g = gln (F). Если x ∈ G, то Ad(x) есть образ элемента x относительно композиции отображений (ι,1)
σ×τ
µ
G −−→ G × G −−→ GL(g) × GL(g) − → GL(g),
где σ и τ — морфизмы умножения слева и справа соответственно. Покажем, что σ и τ действительно морфизмы и вычислим их дифференциалы. Рассмотрим стандартный базис ei,j алгебры gln (F)(= Mn (F)) из матриц, содержащих 1 на месте (i, j) и 0 на всех остальных местах. На месте (i, j) матрицы xel,m стоит элемент xi,l , если m = j и 0 в противном случае. Следовательно, матрицу xσ в GLn2 (F) можно разбить на блоки размера n × n, каждый из которых содержит некоторый столбец матрицы x в качестве одного из столбцов и 0 на остальных местах. Таким образом, σ действительно является морфизмом и, более того, многочлены, задающие xσ имеют очень простой вид и могут быть явно вычислены. Отсюда следует, что y(x)dσe = xy. Аналогичные рассуждения справедливы и для морфизма τ . Тогда ad = d(Ad) можно получить как последовательность отображений x 7→ (−x, x) 7→ левое умножение на −x плюс правое умножение на x, т. е. y(x)ad = −xy + yx = [y, x]. В общем случае, применяя теорему 3.2.4, мы вкладываем группу G в GLn (F) и применяем полученную формулу, для ограничения морфизма. Нетрудно заметить, что Ker(ad) — это в точности центр z(g) = {x ∈ g | ∀y ∈ g, [x, y] = 0} алгебры g. С другой стороны, если x ∈ Z(G), то Intx = 1, следовательно, Ad(x) = 1, т. е. Z(G) ≤ Ker(Ad). В характеритке 0 на амм деле справедливо равенство, но равенства нет в общем случае.
{LieAlgOfNormSu
Следствие 3.6.2. Пусть H — замкнутая нормальная подгруппа алгебраической группы G и h — алгебра Ли группы H. Тогда h является идеалом в g, т. е. для всех x ∈ g, y ∈ h выполнено [x, y] ∈ h.
mmutatorSubgroup}
tesimalCentralizer}
nectedCentralizers}
§6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ МОРФИЗМА AD. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
77
Доказательство. Поскольку подгруппа H нормальна, мы получаем, что для любого x ∈ G морфизм Intx стабилизирует H, следовательно, Ad(x) стабилизирует h. Значит, для любого x ∈ g мы получаем y(x)ad ∈ h. В силу теоремы 3.6.1 справедливо равенство y(x)ad ∈ h = [y, x] = −[x, y]. Следствие 3.6.3. Пусть H — замкнутая подгруппа алгебраичекой группы G, N = NG (H) — её нормализатор, h и n — алгебры Ли групп H и N соответственно. Тогда n ≤ ng(h) = {x ∈ g | [x, h] ≤ h}.
Вновь если характеристика поля F равна 0, то включение превращается в равенство, но равенства нет в общем случае.
Упражнение 3.6.4. Пусть G — замкнутая подгруппа группы GLn (F) и g ≤ gln (F) — её алгебра Ли. Если G оставляет неподвижным некоторый вектор v, то g переводит этот вектор в 0. Лемма 3.6.5. Пусть A, B — замкнутые подгруппы алгебраической группы G и пусть C — замыкание взаимного коммутанта [A, B], обозначим через a, b и c алгебры Л групп A, B и C соответсвенно. Тогда для любых x ∈ a, y ∈ b, x ∈ A, y ∈ B алгебра c содержит элементы y − (y)Ad(x), x − (x)Ad(y), [x, y].
Доказательство. Если x ∈ A, то отображение γx переводит B в C, следовательно, его дифференциал 1 − Ad(x) переводит b в c, откуда следует, что y − (y)Ad(x) ∈ c. Аналогичные рассуждения показывают, что x − (x)Ad(y) ∈ c. Далее, для x ∈ a рассмотрим морфизм ϕ : B → c (c можно рассматривать как аффинное многообразие), заданный правилом y ϕ = x− (x)Ad(y). Поскольку ϕ переводит e в 0, мы можем найти dϕe : b → c (c является собственным касательным пространством в точке 0). Поскольку d(Ad) = ad, мы получаем, что ydϕe = −y(x)ad = [x, y] лежит в c. Следствие 3.6.6. Пусть G — алгебраическая группа, H — замыкание коммутанта [G, G] и h — алгебра Ли группы H. Тогда h ≥ [g, g] = h[x, y] | x, y ∈ gi.
Лемма 3.6.7. Пусть G — алгебраическая группа, x ∈ G. Тогда L(CG (x)) ≤ cg(x) = {x ∈ g | x = (x)Ad(x)}. Если G = GLn (F), то справедливо равенство. В частности, для любого x ∈ GLn (F) централизатор CGLn (F) (x) связен.
Доказательство. Рассмотрим отображение γx : G → G. Тогда CG (x) — это слой (e)γx−1 . Поскольку по лемме 3.5.1(в) справедливо d(γx )e = 1 − Ad(x), то L(CG (x)) ≤ cg(x) = {x | (x)Ad(x) = x}. Если G = GLn (F), то лемма 3.5.4 влечёт cg(x) = {x | x−1 xx = x}, т. е. cg(x) — это в точности множество матриц, перестановочных с x. При этом CGLn (F) (x) = cg(x) ∩ GLn (x) — главное открытое подмножество в cg(x). Следовательно, dim(CGLn (F) (x)) = dim(cg(x)), откуда мы получаем равенство L(CGLn (F) (x)) = cg(x). Поскольку cg(x) является конечномерным векторным пространством над F, то как многообразие алгебра cg(x) изоморфна Ak и потому связна. Значит, и CGLn (F) (x) связен, как главное открытое подмножество связного многообразия. 1 1 Упражнение 3.6.8. Пусть G = SL2 (F) и x = ; или G = PGL2 (F ), char(F) 6= 2 0 1 1 0 . Доказать, что в обоих случаях и x является проективным образом матрицы 0 −1 централизатор CG (x) несвязен.
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
78
§7
Разложение Жордана-Шевалле
Рассмотрим сначала произвольное векторное пространство V размерности n над полем F и пусть x ∈ Mn (F) = M(V ). Элемент x называется полупростым, если его минимальный многочлен не имеет кратных корней. Это эквивалентно тому, что матрица элемента x подобна диагональной. Напомним, что элемент x является нильпотентным, если xk = 0 для некоторого k. Из курса линейной алгебры хорошо известно, что справедливо следующее аддитивное разложение Жордана.
{JordanClassicDec
Лемма 3.7.1. Пусть x ∈ Mn (F). Тогда: (а) существуют единственные элементы xs , xn ∈ Mn (F), удовлетворяющие x = xs + xn , xs полупрост, а xn нильпотентен и xs xn = xn xs ; (б) существуют многочлены p(T ), q(T ) от одной переменной без свободного члена, для которых xs = p(x), xn = q(x). В частности, xs , xn перестановочны с любым элементом из Mn (F), с которым перестановочен x; (в) если U, W ≤ V — подпространства и Ux ≤ W , то Uxs ≤ W и Uxn ≤ W ; (г) если xy = yx для некоторого y ∈ Mn (F), то (x + y)s = xs + ys и (x + y)n = xn + yn . Если x ∈ GLn (F), то все его собственные значения отличны от 0, поэтому элемент xs невырожден и мы можем рассмотреть элемент xu = 1 + x−1 s xn , представимый в виде суммы единичного и нильпотентного преобразования. Тогда x = xs xu называется мультипликативным разложением Жордана. В общем случае элемент x ∈ GLn (F) называется унипотентным, если x − 1 ∈ Mn (F) — нильпотентный элемент. Из леммы 3.7.1 сразу следует аналогичная лемма для мультипликативного разложения Жордана.
{JordanMultDecom
Лемма 3.7.2. Пусть x ∈ GLn (F). Тогда: (а) существуют единственные элементы xs , xu ∈ GLn (F), удовлетворяющие условиям x = xs xu , xs полупрост, xu унипотентен и xs xu = xu xs ; (б) элементы xs , xu перестановочны с любым элементом из Mn (F), перестановочным с x; (в) если U — x-инвариантное подпространство пространства V , то U является xs - и xu - инвариантным; (г) если xy = yx для некоторого y ∈ GLn (F), то (xy)s = xs ys и (xy)u = xu yu . Данные нами определения справедливы лишь для конечномерных пространств. Если же мы рассматриваем бесконечномерное пространство V , то элемент x является полупростым (соответственно, нильпотентным, унипотентным), если ограничение элемента x на каждое конечномерное x-инвариантное подпространство является полупростым (соответственно, нильпотентным, унипотентным) элементом. Определение 3.7.3. Пусть теперь G — алгебраическая группа. Мы будем говорить, что элемент x группы G является полупростым (соответственно, унипотентным), если преобразование ρx аффинной алгебры F[G] является полупростым (соответственно, унипотентным). Аналогично элемент x алгебры Ли g называется полупростым (соответственно, нильпотентным), если ∗x является полупростым (соответственно, нильпотентным) преобразованием аффинной алгебры F[G].
§7. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНА-ШЕВАЛЛЕ
79
{Jord
Лемма 3.7.4. Пусть G = GLn (F), g = gln (F). Тогда для элементов x ∈ G, x ∈ g разложения ρxs ρxu и (∗xs ) + (∗xn ) являются разложениями Жордана элементов ρx и ∗x соответственно. Доказательство. Дотаточно показать, что элементы ρxs , (∗xs ) полупросты, элемент ρxu унипотентен, а элемент (∗xn ) нильпотентен, так как проверка справедливость остальных свойств разложения Жордана очевидна. Рассмотрим G-инвариантное подпространство E и представления ϕ : G → GL(E) и dϕ : g → gl(E). Очевидно, что образ нильпотентного элемента при любом гомоморфизме нильпотентен, откуда следует, что элемент ∗xn нильпотентен. Кроме того, элемент xu − e нильпотентен, следовательно, элемент xϕu − eϕ нильпотентен и потому элемент ρxu является унипотентным. Далее полупростой элемент xs переходит в ограничение правого сдвига ρxs на E. Пусть p(T ) — минимальный многочлен элемента xs и q(T ) — минимальный многочлен элемента ρxs . Очевидно, что q(T ) делит p(T ) и, поскольку p(T ) без кратных корней, то q(T ) тоже без кратных корней. Аналогичное рассуждение показывает, что элемент (∗xs ) полупрост.
danDecomposition}
Теорема 3.7.5. Пусть G — алгебраическая группа, g — её алгебра Ли, x ∈ G, x ∈ g. Тогда: (а) существуют единственные элементы s, u ∈ G такие, что x = su = us, причём s полупрост, а u унипотентен; элементы s, u называются полупростой и унипотентной частью элемента x соответственно и обозначаются xs , xu ; (б) существуют единственные элементы s, n ∈ g такие, что x = s + n, [s, n] = 0, причём s полупрост, а n нильпотентен; элементы s, n называются полупростой и нильпотентной частью элемента x соответственно и обозначаются xs , xn ; (в) если ϕ : G → H — морфизм алгебраических групп, то (xϕ )s = xϕs , (xϕ )u = xϕu , (xdϕe )s = dϕe e xdϕ )n = x n . s , (x Доказательство. Для доказательства утверждения (a) теоремы достаточно доказать существование, поскольку остальные утверждения легко следуют из лемм 3.7.1, 3.7.2 и 3.7.4. Пусть ϕ : G → GLn (F) — точное рациональное представление группы G и x = su — разложение Жордана элемента x в группе GLn (F). Пусть I — аннулятор подгруппы G в F[GLn (F)]. Тогда по лемме 3.2.1 элемент x лежит в G в том и только в том случае, если Iρx лежит в I. В силу леммы 3.7.4 справедливы равенства (ρx )s = ρs и (ρx )u = ρu . Поскольку (ρx )s и (ρx )u являются многочленами от ρx и Iρx ⊆ I, то справедливы включения I(ρx )s ⊆ I и I(ρx )u ⊆ I, откуда лемма 3.2.1 влечёт, что s, u ∈ G. Аналогично, используя лемму 3.4.3, доказывается утверждение (б). Пункт (в) теоремы следует из леммы 3.7.4.
danDecomposition}
Пример 3.7.6. Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, λ — элемент бесконечного порядка из F∗ и λ 0 0 x = 0 1 1 ∈ GL3 (F). 0 0 1 Тогда в группе G = hxi для элемента x не существует разложения Жордана.
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
80
§8
Теорема Шевалле
Введём сначала одно специальное многообразие, которое будет играть важную роль в данном параграфе. Пусть V — векторное пространство размерности n над F и рассмотрим V d = V ⊗F . . . ⊗F V , {z } | d раз
тензорную степень пространства V . Пусть W — подпространство в V d , порождённое элементами, содержащим выражение вида v ⊗ v для некоторого v ∈ V . Тогда пространство ∧d V = V d /W называется внешней d-ой степенью пространства V . Легко видеть, что ∧0 V ≃ F, ∧1 V ≃ V . В общем случае, если v1 , . . . , vn — упорядоченный базис пространства V , то nd внешних произведений вида vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ∧ vid (i1 < i2 < . . . < id ) являются базисом пространства ∧d V . В частности, размерность пространства ∧n V равна 1. Пусть W — подпространство размерности d пространства V . Тогда ∧d W является одномерным подпространством пространства ∧d V . Следовательно, существует биекця из множества всех d-мерных подпространств пространства V (обозначаемое Sd (V )) в проективное пространство P(∧d V ). Более того, фиксируя базис v1 , . . . , vn пространства V , мы получаем, что P(∧d V ) — проективное многообразие и, следовательно, Sd (V ) также является проективным многообразием. Ввиду леммы 2.10.2 мы получаем, что S0 (V ) ×S1 (V ) ×. . . ×Sn (V ) также является проективным многообразием. Последовательность строго вложенных подпространств 0 < V1 < . . . < Vk = V пространства V называется флагом пространства V . Флаг называется полным, если k = n = dim V , т. е. если dim Vi+1 /Vi = 1 для всех i. Множество всех полных флагов пространства V будем обозначать F (V ) и называть многообразием флагов. Ясно, что F (V ) вкладывается в проективное многообразие S0 (V )×S1 (V )×. . .×Sn (V ). Более того, нетрудно заметить, что его образ при этом вложении является замкнутым множеством, поэтому ввиду леммы 2.10.2 является проективным многообразием. Рассмотрим теперь алгебраическую группу GLn (F), её алгебру Ли gln (F) и их действие на пространстве V и на его d-мерном подпространстве W . Мы получаем индуцированное действие на ∧d V следующим образом, если v1 , . . . , vn — фиксированный упорядоченный базис пространства V , x ∈ GLn (V ) и x ∈ gl(V ), то (vi1 ∧ . . . ∧ vid )x = vix1 ∧ . . . ∧ vixd ; (vi1 ∧ . . . ∧ vid )x =
d X j=1
vi1 ∧ . . . ∧ vixj ∧ . . . ∧ vid .
Лемма 3.8.1. В ведённых выше обозначениях пусть x ∈ GLn (F) и x ∈ gln (F). Тогда (а) (∧d W )x = ∧d W в том и только в том случае, когда W x = W ; (б) (∧d W )x ≤ ∧d W в том и только в том случае, когда W x ≤ W ; Доказательство. Достаточность очевидна, так что мы докажем лишь необходимость. Для доказательства (а) выберем базис v1 , . . . , vn пространства V таким образом, чтобы v1 , . . . , vd порождали подпространство W и существовало l, для которого vl+1 , . . . , vl+d порождают подпространство W x . Достаточно доказать, что l = 0. Действительно, ∧d W порождено вектором v1 ∧ . . . ∧ vd и, по предположению, элемент x переводит v1 ∧ . . . ∧ vd в αv1 ∧ . . . ∧ vd . С другой стороны, по построению, (v1 ∧ . . . ∧ vd )x = βvl+1 ∧ . . . ∧ vl+d , откуда следует, что l = 0.
{CriterionOfInvari
§9. МНОГООБРАЗИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
81
Для доказательства (б) выберем базис v1 , . . . , vd таким образом, чтобы для первых k векторов выполнялось vix ∈ W , а начиная с k + 1-ого номера vjx 6∈ W ; и дополним его до базиса всего пространства. Теперь рассмотрим y ∈ gln (F) такой, что vix = viy при i 6 k и viy = 0 при i > k. Ясно, что W y ≤ W , поэтому (∧d W )y ≤ ∧d W . Следовательно, после замены элемента x на элемент x − y, мы можем считать, что W ∩ W x = {0}. Рассмотрим теперь базис w1 , . . . , wd пространства W такой, что векторы w1x , . . . , wcx образуют базис в W x , x а wc+1 = . . . = wdx = 0. По определению, (w1 ∧ . . . ∧ wd )x =
d X i=1
w1 ∧ . . . ∧ wix ∧ . . . ∧ wd .
По предположению, (w1 ∧ . . . ∧ wd )x равен αw1 ∧ . . . ∧ wd . Но векторы w1 ∧ . . . ∧ wix ∧ . . . ∧ wd либо линейно независимы, либо равны нулю и ни один из них не равен w1 ∧ . . . ∧ wd . Поэтому wix = 0 и W x ≤ W .
ChevalleyTheorem}
Теорема 3.8.2. (Теорема Шевалле) Пусть G — алгебраическая группа, H — её замкнутая подгруппа. Тогда существуют рациональное представление ϕ : G → GL(V ) и одномерное подпространство L ≤ V такие, что H = {x ∈ G | L(x)ϕ = L} и h = {x ∈ g | L(x)d(ϕ) ≤ L}. Доказательство. Пусть I = I(H) — идеал алгебры F[G]. Тогда идеал I конечно порождён и линейная оболочка порождающего множества содержится в конечномерном G-инвариантном подпространстве V алгебры F[G] (см. лемму 3.2.3). Пусть W = I ∩ V (значит, W порождает I как алгебру). Ввиду лемм 3.2.1 и 3.4.3 мы получаем, что H = {x ∈ G | W x = W } и h = {x ∈ g | W ∗ x ≤ W }. Если теперь dim W = d, то рассмотрим представления ϕ : G → GL(∧d V ) и dϕ : g → gl(∧d V ). По лемме 3.8.1 мы получаем, что H = {x ∈ G | (∧d W )(x)ϕ = ∧d W }, h = {x ∈ g | (∧d W )(x)d(ϕ) ≤ ∧d W } и ∧d W — одномерное подпространство в ∧d V .
§9
Многообразие смежных классов
Если H — замкнутая подгруппа алгебраической группы G, то множество её (правых) смежных классов G : H является факторпространством группы G, рассматриваемой как топологическое пространство. В настоящем разделе мы определим топологию на G : H, совпадающую с топологией факторпространства и покажем, что если H нормальна в G, то G : H = G/H является аффинным многообразием, и потому G/H есть алгебраическая группа. Пусть H — замкнутая подгруппа алгебраической группы G. В силу теоремы Шевалле 3.8.2 существует рациональное представление ϕ : G → GL(V ) и прямая L в пространстве V такие, что H совпадает со стабилизатором прямой L в группе G. Рассмотрим проективное пространство P(V ), на котором группа G действует естественным образом. Тогда H является стабилизатором точки [L], следовательно, орбита точки [L] (теоретико-множественно) соответствует множеству смежных классов G : H, где соответствие задаётся правилом [L]g 7→ Hg. Ясно также, что группа G действует морфизмами на P(V ). По лемме 3.3.4 орбита [L]G является открытым множеством в своём замыкании Cl ([L]G), которое в свою очередь является проективным многооразием. Рассмотрим морфизм π :→ P(V ), заданный правилом x 7→ [L](x)ϕ = [L(x)ϕ]. Пусть v — любой порождающий вектор прямой L, рассмотрим орбитное отображение ω : GL(V ) → V ,
82
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
задаваемое правилом (x)ω = (v)x. В базисе v = v1 , v2 , . . . , vn пространства V отображение ω сопоставляет матрице x её первый столбец. В частности, отображение ω задаётся линейными многочленами. Следовательно, дифференциал d(ω) также задаётся правилом (x)d(ω) = (v)x, где x ∈ gl(V ). Таким образом, дифферециал d(π) отображает элемент x ∈ g в образ элемента (v) ((x) d(ϕ)) в касательном пространстве к многообразию P(V ). В силу теоремы Шевалле 3.8.2, алгебра Ли h подгруппы H совпадает с Ker(d(π)). Очевидно также, что морфизм π является G-эквивариантным относительно действия группы G правыми сдвигами. Следующая теорема показывает корректность определения. Её доказательство носит технический характер и использует ряд сложных результатов о сепарабельных расширениях полей. Поэтому мы его не будем приводить, заинтересованный читатель может найди доказательство в [20, § 12].
{DefinitionOfCose
Теорема 3.9.1. Во введённых выше обозначениях пусть Y — G-орбита точки [L] в P(V ), т. е. Y = [L](Gπ). Предположим, что X — непустое многообразие и ϕ : G → X — такой морфизм, что непустые слои морфизма ϕ являются объединением смежных классов Hx. Тогда существует единственный морфизм ψ : Y → X такой, что π ◦ ψ = ϕ. Кроме того, отображение π : G → Y является открытым. Теперь мы рассмотрим случай, когда H является нормальной подгруппой группы G и покажем, что в этом случае многообразие G/H является аффинным. Морфизм, являющийся гомоморфизмом, χ : G → F∗ называется характером алгебраической группы G. Если χ1 , χ2 — два характера группы G, то их произведение задаётся правилом (x)(χ1 ·χ2 ) = ((x)χ1 )·((x)χ2 ). Множество X(G) всех характеров группы G относительно таким образом определённого сложения образует абелеву группу. Ясно, что X(G) можно рассматривать как подмножество алгебры F[G]. Отметим, что таким образом заданное произведение согласуется с произведением в алгебре F[G]. Если G ≤ GL(V ), то для каждого характера χ ∈ X(G) определим Vχ = {v ∈ V | ∀x ∈ G, vx = ((x)χ)v}. Очевидно, что Vχ является G-инвариантным подпространством пространства V (возможно, нулевым). Любой ненулевой элемент v подпространства V χ называется полуинвариантом группы G веса χ. Обратно, если v — некоторый ненулевой вектор пространства V , порождающий G-инвариантную прямую, то соотношение vx = ((x)χ)v определяет характер χ группы G. В общем случае если ϕ : G → GL(V ) — рациональное представление, то полуинвариантами группы G в пространстве V называются полуинварианты группы Gϕ. Характеры, для которых пространство Vχ не является нулевым называются весами представления G → GL(V ) (при этом χ ∈ X(G) для каждого подпространства Vχ определяется также, как и для линейной группы). С другой стороны, для любого χ ∈ X(Gϕ) отображение ϕ ◦ χ является характером группы G. Упражнение 3.9.2. Пусть ϕ : G → GL(V ) — рациональное представление алгебраической группы G. Тогда сумма подпространств Vχ (χ ∈ X(G)) прямая; в частности, только конечное число таких подпространств отлично от нуля. Пусть H — замкнутая нормальная подгруппа группы G. Тогда для любого χ ∈ X(H) и для любого g ∈ G отображение (h)χ′ = (ghg −1)χ является характером группы H. Покажем, что Vχ (gϕ) = Vχ′ . Действительно, можно считать, что G ≤ GL(V ). Тогда для любых g ∈ G, h ∈ H, v ∈ Vχ мы имеем (vg)h = v(ghg −1)g = ((ghg −1)χ)(vg). Таким образом, группа G действует естественным образом на группе характеров X(N), в дальнейшем мы будем использовать обозначение χ′ = χg
{SemiinvariantsAr
§9. МНОГООБРАЗИЕ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ
83
{Fact
Теорема 3.9.3. Пусть H — замкнутая нормальная подгруппа алгебраической группы G. Тогда существует такое рациональное представление ψ : G → GL(W ), что H = Ker(ψ) и h = L(H) = Ker(d(ψ)). Доказательство. В силу теоремы Шевалле 3.8.2 существуют рациональное представление ϕ : G → L(V ) и прямая L в пространстве V , стабилизатор которой в G (соответственно в g) совпадает с H (соответственно с h). Пусть l — некоторый порождающий вектор прямой L. Поскольку прямая L является H-инвариантной, то отображение lx 7→ ((x)χ0 )l задаёт характер χP 0 группы H. В частности, подпространство Vχ0 ненулевое. Рассмотрим подпространство χ∈X(H) Vχ пространства V . Ввиду упражнения 3.9.2 эта сумма прямая (так что она содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых) и, поскольку Vχ0 6= {0}, то эта сумма также ненулевая. P Как мы заметили выше, группа Gϕ переставляет подпространства V , следовательно, χ∈X(H) Vχ является G-инвариантным подпространством. Заменяя V на Pχ P χ∈X(H) Vχ можно считать, что V совпадает с χ∈X(H) Vχ . Пусть теперь W — подпространство пространства End(V ) = M(V ), состоящее из всех тех эндоморфизмов, которые оставляют инвариантным каждое подпространство Vχ , χ ∈ X(H). Тогда в подходящем базисе пространтва V подпространство W пространства End(V ) состоит из блочно-диагональных матриц размеров dim(Vχ ). Рассмотрим End(V ) как алгебру Ли gl(V ); группа GL(V ) действует на ней сопряжениями, т. е. присоединённым представлением Ad : GL(V ) → GL(gl(V )). Поскольку группа Gϕ переставляет подпространства Vχ , то группа (Gϕ)Ad оставляет инвариантным подпространство W . Обозначим через ψ композицию ϕ ◦ Ad. Тогда ψ : G → GL(W ) — рациональное представление. Покажем, что Ker(ψ) = H и Ker(d(ψ)) = h. Если h ∈ H, то на каждом из Vχ элемент h действует как умножение на скаляр, и потому централузует любую матрицу из W . Следовательно, H ≤ Ker(ψ). Обратно, лемма Шура влечёт, что только скалярные матрицы центализуют все элементы из M(Vχ ), значит, если x ∈ Ker(ψ), то на каждом из Vχ элемент x действует как умножение на скаляр. В частности, элемент x стабилизирует прямую L, следовательно, по построению, элемент x лежит в H. Аналогичные доказывается справедливость равенства Ker(d(ψ)) = h. Таким образом, для любой нормальной замкнутой подгруппы H группы G существует морфизм ϕ : G → G/H. В силу теоремы 3.9.1 мы получаем, что данный морфизм определён единственным образом, в частности, многообразие G/H является аффинным.
Глава 4. Строение алгебраических групп В настоящей главе будут получены структурные результаты о линейных алгебраических группах, мы докажем сопряженность максимальных торов, максимальных унипотентных подгрупп и подгрупп Бореля, введём параболические подгруппы, корневые подгруппы и систему корней полупростой линейной алгебраической группы. Как и раньше, под термином «алгебраическая группа» всегда понимается линейная алгебраическая группа (= аффинная алгебраическая группа).
§1
Диагонализируемые группы
За основу изложения данного параграфа взят [20, § 16]. Напомним, что произвольный элемент замкнутой алебраической группы представим в виде произведения коммутирующих полупростого и унипотентного элементов (см. теорему 3.7.5). Алгебраическая группа G называется диагонализируемой, если она изоморфна (как алгебраическая группа) подгруппе группы Dn (F). Ясно, что подгруппы и гомоморфные образы диагонализируемых групп вновь являются диагонализируемыми группами.
{CharactersAreInd
Лемма 4.1.1. Пусть G — (абстрактная) группа, X — множество всех гомоморфизмов G → F∗ . Тогда X — линейно независимое подмножество пространства всех функций на G со значениями в F (сложение и умножение на пространстве функций задаётся обычными правилами (g)(χ1 + χ2 ) = (g)χ1 + (g)χ2 и (g)(χ1 · χ2 ) = (g)χ1 · (g)χ2 ). Доказательство. Предположим противное, пусть χ1 , . . . , χn ∈ XP— линейно зависимые n−1 функции, причём n > 1 выбрано наименьшим возможным. Запишем i=1 ai χi + χn = 0 (ai ∈ F). Так как χ1 6= χn , существует такой элемент y ∈ G, что (y)χ1 6= (y)χn . Для произвольного элемента x ∈ G мы получаем два равенства: n−1 X
ai ((x)χi )((y)χi) + ((x)χn )((y)χn ) = 0 =
i=1
n−1 X
ai ((x)χi )((y)χn ) + ((x)χn )((y)χn ).
i=1
Вычитая второе уравнение из первого и пользуясь произвольностью x, мы получаем: n−1 X i=1
ai ((y)χi − (y)χn )χi = 0.
Но, ввиду выбора n, все χi при 1 6 i 6 n − 1 линейно независимы, значит, (так как χ1 (y) 6= χn (y)) a1 = 0, т. е. χ2 , . . . , χn линейно зависимы, что противоречит минимальности n.
{DerivedSubgroup
Упражнение 4.1.2. Если G — алгебраическая группа и G = [G, G], то X(G) = {e}.
§1. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ
85
Будем говорить, что алгебраическая группа G является d-группой , если в алгебре F[G] существует базис, состоящий из характеров, т. е., ввиду леммы 4.1.1, если X(G) — базис алгебры F[G].
DiaggrpsAredgrps}
{ClosedSbgrOfdgr}
Пример 4.1.3. Рассмотрим подгруппу диагональных матриц Dn (F) группы GLn (F) и покажем, что Dn (F) является d-группой. Действительно, F[G] = F[T1 , . . . , Tn , T11 , . . . , T1n ], где Ti — выбор iого диагонального элемента. Поэтому любой одночлен вида T1m1 · . . . · Tnmn , где mi ∈ Z, является характером группы Dn (F). Заметим также, что X(Dn (F)) ≃ Zn . Если G1 , G2 — d-группы, то морфизм ϕ : G1 → G2 алгебраических групп индуцирует групповой гомоморфизм ϕ0 : X(G2 ) → X(G1 ), который является сужением коморфизма ϕ∗ : F[G2 ] → F[G1 ]. Обратно, гомоморфизм групп X(G2 ) → X(G1 ) продолжается до гомоморфизма F-алгебр F[G2 ] → F[G1 ] (поскольку X(G1 ) и X(G2 ) порождают F[G1 ] и F[G2 ] соответственно) и, в свою очередь, определяет гомоморфизм G1 → G2 . Лемма 4.1.4. (а) Если H — замкнутая подгруппа d-группы G, то H также является d-группой, совпадающей с пересечением ядер некоторых характеров группы G. В частности, диагонализируемые группы являются d-группами. (б) Любая d-группа диагонализируема. Доказательство. (а) Канонический гомоморфизм F[G] → F[H], индуцированный ограничением функций, сюръективен. Очевидно, ограничение на H характера группы G есть характер группы H, так что пространство F[H] порождается группой X(H), P т. е. H является d-группой. Пусть, P далее, f ∈ I(H). Так как G — d-группа, имеем f = ai χi , где ai ∈ F и χi ∈ X(G). Пусть bi χi ∈ I(H). ВвидуPлеммы 4.1.1 (применённой к H), мы получаем, что все χi совпадают на H, следовательно, bi = 0. Поэтому справедливо равенство ! m m X X −1 bi χi = χ1 bi (χ1 χi − 1) . i=1
i=2
Отсюда следует, что I(H) порождается как идеал всевозможными элементами θ − 1, где θ = −1 χ−1 1 χi ∈ X(G), т. е. H является пересечением ядер характеров χ1 χi . Наконец, так как Dn (F) является d-группой (см. пример 4.1.3), то мы приходим к выводу, что диагонализируемые группы являются d-группами. (б) Пусть G — d-группа. Так как F[G] — конечно порождённая F-алгебра, натянутая на X(G), то как F-алгебра она порождается некоторым конечным множеством характеров χ1 , . . . , χn . Определим отображение ϕ : G → |F∗ × .{z . . × F}∗ ≃ Dn (F), полагая n экземпляров
xϕ = (xχ1 , . . . , xχn ). Очевидно, ϕ — морфизм алгебраических групп с тривиальным ядром (так как χ1 , . . . , χn порождают F[G]). В частности, группа G должна быть коммутативной и состоять из полупростых элементов, т. е. группа G диагонализируема.
Замечание. Заметим, что построенный выше морфизм является изоморфизмом абстрактных групп, но может не являться изоморфизмом алгебраических групп, так как коморфизм моет иметь етрииальное ядро. Смотри упражнение 4.1.11.
FinitelyGenerated}
Лемма 4.1.5. Пусть G — d-группа. Тогда X(G) — конечно порождённая абелева группа.
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
86
Доказательство. Ввиду леммы 4.1.4 мы можем считать, что G является замкнутой подгруппой группы Dn (F). Ввиду примера 4.1.3 мы получаем, что X(Dn (F)) ≃ Zn . Таким образом, X(G) есть гомоморфный образ группы X(Dn (F)).
rated}
Упражнение 4.1.6. Пусть G — алгебраическая группа, H = (а) H — замкнутая подгруппа группы G;
T
χ∈X(G)
Ker(χ). Доказать, что
(б) группа G/H диагонализируема; (в) X(G) ≃ X(G/H). В частности, группа X(G) конечно порождена. Описать группу X(GLn (F)).
{ConnecteddgrpHa
Лемма 4.1.7. Если G — связная алгебраическая группа, то группа X(G) не имеет элементов конечного порядка. Доказательство. Для χ ∈ X(G) обаз Gχ группы G в F∗ связен. Единственные связные подгруппы группы F∗ — это она сама и единичная подгруппа. Отсюда следует, что χn 6= 1, если χ 6= 1. Алгебраическая группа, изоморфная Dn (F), называется тором.
{ExistsElementHa
Лемма 4.1.8. Пусть T — тор. Если характеры χ1 , . . . , χr ∈ X(T ) линейно независимы (над Q как элементы группы Zn ) и c1 , . . . , cr ∈ F∗ , то существует элемнт t ∈ T , для котороо tχi = ci для 1 6 i 6 r. Доказательство. Заметим, что понятие линейной независимости для характеров имеет смысл, поскольку X(T ) — свободная абелева группа конечного ранга. Определим морфизм ϕ : T → |F∗ × .{z . . × F}∗ формулой tϕ = (tχ1 , . . . , tχr ). Так как характеры χ1 , . . . , χr линейно r экземпляров
Q независимы, то функции ri=1 χimi линейно независимы над F в F[T ] для всех mi ∈ Z (см. лемму 4.1.1). Следовательно, характеры χ1 , . . . , χr алгебраически независимы в F(T ), так что коморфизм ϕ∗ инъективен, значит, ϕ сюръективен. Теорема 4.1.9. Пусть G — произвольная d-группа. Тогда G = G0 × H (прямое произведение алгебраических групп), где G0 — тор и H — конечная группа, порядок которой взаимно прост с p (= char F). В частности, связная d-группа есть тор.
Доказательство. В силу леммы 4.1.4 можно считать, что G — замкнутая подгруппа некоторой группы D = Dn (F). Пусть ранг без кручения группы X(G) равен r (= dim G ввиду леммы 4.1.7). Если r = 0, то группа G конечная и доказывать нечего. В общем случае вложение G0 ֒→ D индуцирует сюръективный гомоморфизм ограничения ϕ : Zn = X(D) → X(G0 ) = Zr . Тогда Ker(ϕ) — подгруппа группы Zn ранга n − r, и в силу [7, теорема 8.1.1] существует набор свободных порождающих χ1 , . . . , χn группы Zn и натуральные числа m1 , . . . , mn−r mn−r 1 такие, что элементы χm 1 , . . . , χn−r являются свободными порождающими группы Ker(ϕ) и Zn /Ker(ϕ) ≃ Zm1 × . . . × Zmn−r × Z × . . . × Z. Поскольку Z/Ker(ϕ) ≃ Zr , то мы получаем, что существует расщепление X(D) = Ker(ϕ)⊕Zr и ядро Ker(ϕ) имеет базис χ1 , . . . χn−r , дополненный базисом χn−r+1 , . . . , χn группы Zr (отображение ϕ переводит этот базис в базис группы X(G0 )). Ясно, что отображение x 7→ diag(xχ1 , . . . , xχn ) определяет автоморфизм группы D (см. лемму 4.1.7), преобразующий группу G0 в подгруппу диагональных матриц, у которых
{StructureOfdgrps
§2. ЖЁСТКОСТЬ ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫХ ГРУПП
87
первые n−r координат равны 1 (в частности, G0 — тор). Если D ′ — подгруппа диагональных матриц, у которых последние r координат равны 1, то D = D ′ × G0 (прямое произведение алгебраических групп). Следовательно, G = H × G0 , где H = D ′ ∩ G ≃ G/G0 . Наконец, порядок группы H взаимно прост с p, поскольку в группе F∗ нет элементов порядка p.
ectMultiplierTorus}
entialOfCharacter}
Упражнение 4.1.10. Пусть T — d-группа и S ≤ T — тор. Тогда существует такая подгруппа D группы T , что T = S × D, т. е. тор в d-группе всегда выделяется прямым множителем. Упражнение 4.1.11. Дифференциалом характера χ : G → F∗ является линейная функция dχ : g → F. Доказать, что если G — тор P и χ1 , . . . , χn — базис группы характеров X(G), то dχ = 0 тогда и только тогда, когда χ = p ni=1 ai χi , где ai ∈ Z и p = char F.
§2
Жёсткость диагонализируемых групп
Основной задачей этого параграфа будет доказательство, так называемой, жёсткости dгрупп (см. лемму 4.2.2 ниже). Для доказательства этого факта нам потребуются следующие факты об элементах конечного порядка в d-группах: (а) элементы конечного порядка образуют плотное множество; (б) имеется лишь конечное число элементов данного конечного порядка. В силу теоремы 4.1.9 утвержения (а) и (б) достаточно доказать лишь для связной d-группы (т. е. тора). Поскольку Dn (F) ≃ F∗ × . . . × F∗ , достаточно рассмотреть лишь случай G = F∗ . Элементы группы F∗ , имеющие порядок m — это в точности mые корни из 1 в поле F. Поэтму для каждого m ∈ N существует лишь конечное число таких корней и для всех m взаимно простых с характеристикой существует в точности m таких корней (ввиду алгебраической замкнутости поля F). Следовательно, в F∗ существует бесконечно много элементов конечного порядка, которые образуют плотное подмножество, ввиду связности группы F∗ . {IdentityMap}
Теорема 4.2.1. Пусть ϕ : V × G → H — морфизм многообразий, причём выполнены следующие условия: (а) G — алгебраическая группа, элементы конечного порядка которой образуют плотное подмножество; (б) H — алгебраическая группа, содержащая лишь конечное число элементов данного порядка m для каждого m > 0; (в) V — связное многообразие; (г) для каждого элемента x ∈ V морфизм ϕx : G → H, заданный правилом ϕx : y 7→ (x, y)ϕ , есть гомоморфизм групп. Тогда отображение x 7→ ϕx является постоянным отображением (т. е. для всех x, z ∈ V выполнено ϕx = ϕz ). Доказательство. Пусть y ∈ G положим ψy : x 7→ (x, y)ϕ , так что ψy : V → H — морфизм. Если порядок элемента y конечен, то образ морфизма ψy также конечен ввиду (б) и (г). Но многообразие V связно ввиду (в), поэтому его образ должен быть точкой. Другими словами,
88
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
для каждого элемента y конечного порядка в группе G мы имеем (x, y)ϕ = (z, y)ϕ для всех ϕz ·ϕ−1 x x, z ∈ V , т. е. y ϕx = y ϕz . Следовательно ϕz · ϕ−1 = y ϕz · (y −1 )ϕx )) отображает плотное x (y подмножество элементов конечного порядка группы G в e, и ϕx = ϕz для всех x, z ∈ V .
idity}
Лемма 4.2.2. (лемма о жёсткости d-групп) Пусть D — диагонализируемая замкнутая подгруппа алгебраической группы G. Тогда NG (D)0 = CG (D)0 . Доказательство. Возьмём G, H из теоремы 4.2.1 равными T , так что условия (а) и (б) выполняются. Положим V = NG (D)0 и зададим морфизм ϕ : V × D → D соотношением ϕ : (x, y) 7→ x−1 yx. Очевидно, условия (в) и (г) выполняются. Из того, что отображение ϕx постоянно, следует, что ϕx = ϕe , т. е., что все элементы группы NG (D)0 на самом деле централизуют D. Обратное включение CG (D)0 ⊆ NG (D)0 очевидно.
В конце данного параграфа мы приведём одну конструкцию, основное применение которой будет позже, а сейчас мы получим одно важное следствие. Пусть D — некоторая диагонализируемая подгруппа алгебраической группы G. Тогда для любого x ∈ D отображение Intx является автоморфизмом группы G и его дифференциал Ad(x) — есть автоморфизм алгебры Ли g. Так как ввиду теоремы 3.5.6 отображение Ad является морфизмом алгебраических групп, мы получаем, что (D)Ad является диагонализируемой подгруппой группы Aut(g) ≤ GL(g). Напомним, что для любой диагонализируемой подгруппы H группы GL(V ) пространство V можно записать в виде прямой суммы весовых подпространств Vα , где α ∈ X(H) и Vα = {v ∈ V | (v)x = ((x)α)v для всех x ∈ H}. В частности, возвращаясь к ситуации D ≤ G, (D)Ad ≤ GL(g), мы получаем веса группы D (точнее, её образа (D)Ad) в g. Нетривиальные веса называются корнями группы G относительно D. Множество корней группы G относительно d-подгруппы D обозначается через Φ(G, D) или просто через Φ, если не возникает путаницы. Отметим, что в силу леммы 4.1.1 множество Φ(G, T ) конечно. Если d — алгебра Ли группы D, то весу 0 (в аддитивной терминологии) соответствует некоторая подалгебра g0 алгебры g, содержащая (но, возможно, б´ольшая, чем) d. В этих обозначениях мы можем записать X g = g0 ⊕ gα . α∈Φ(G,D)
Позднее мы покажем, что если группа G полупроста (определение будет дано позднее), то данное сейчас определение согласуется с определением корневой системы, данным в главе 1. Далее для операции в группе характеров X(G) алгебраической группы G мы будем использовать аддитивную запись. Таким образом, если χ1 , χ2 — элементы из X(G), то χ1 +χ2 — это элемент χ1 · χ2 в аффинной алгебре F[G] (напомним, что X(G) ⊆ F[G]). Лемма 4.2.3. Пусть D — тор алгебраической группы G, H — замкнутая D-инвариантная подгруппа группы G (т. е. D ≤ NG (H)). Тогда существует элемент x ∈ D такой, что CH (x) = CH (D) и ch(x) = ch(D). В частности, CG (D) совпадает с централизатором некоторого элемента группы D. Доказательство. Можно предполагать, что G = GL(V ). Запишем V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vr , где пространство Vi соответствует весу αi ∈ X(D). Так кк группа D вязна, то подгруппа Ker(αi − αj ) (по всем i 6= j) имеет коразмерность не менее 1 в D; следовательно, найдётся элемент x ∈ D, не принадлежащий ни одной из этих подгрупп (число которых конечно). Рассмотрим группу M = GL(V1 ) × . . . × GL(Vr ) как замкнутую подгруппу группы GL(V ).
{CentralizerOfTor
§3. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
89
Тогда CGL(V ) (x) = CGL(V ) (D) и cgl(V ) (x) = cgl(V ) (D), поэтому справедливы равенства CH (x) = M ∩ H = CH (D), ch(x) = L(M) ∩ h = ch(d). Упражнение 4.2.4. Пусть D — произвольный тор алгебраической группы G. Доказать, что множество X = {x ∈ D | CG (x) = CG (D)} содержит открытое подмножество тора D и потому плотно в D.
§3
Полупростые элементы
Пусть s ∈ G — поизвольный полупростой элемент группы G. Тогда его образ Ad(s) является полупростым автоморфизмом алгебры Ли g, следовательно, мы можем записать разложение g = cg(s) ⊕ n, где n — сумма собствнных подпространств автоморфизма Ad(s), отвечающих собственным значениям отличным от 1. Пусть H — замкнутая подгруппа группы G = GLn (F), которая нормализуется некоторым полупростым элементом s ∈ G. Очевидно, CH (s) = H ∩ CG (s), откуда следует, что L(CH (s)) ≤ h ∩ L(CG (s)) = h ∩ cg(s) = ch(s) (равенство L(CG (s)) = cg(s) в том случае, когда G = GLn (F) доказано в лемме 3.6.7). Мы хотим доказать обратное включене и, тем самм, доказать равенство. Для доказательства обратного включения надо доказать, что dim(ch(s)) 6 dim(L(CH (s))). Поскольку элемент Ad(s) полупрост, мы имеем разложение h = ch(s) ⊕ n′ , где n′ — сумма нетривиальных собственных подпространств. Ввиду теоремы 2.8.4 и леммы 3.3.4 класс сопряжённости sG — это локально замкнутое множество размерности, дополнительной к размерности централизатора CG (s) (в обозначеϕ ниях теоремы 2.8.4 мы имеем X = G, Y = sG , ϕ : X → Y действует по правилу g 7→ sg ). Его сдвиг M = s−1 sG содержит e, так что мы можем рассмотреть его касательное пространство T (M)e = m как подпространство в T (G)e = g. Мы увидим ниже, что m совпадает с пространством n, определённым ранее. Далее, M ∩ H ⊇ M ′ = s−1 sH , коразмерность многообразия M ′ в H равна dim CH (s) и его касательное пространство m′ лежит в m ∩ h = n ∩ h = n′ . Таким образом, если мы покажем, что m = n, то из включения m′ ≤ n′ следует, что коразмерность CH (s) в H равна dim(M ′ ) 6 dim(n′ ) и равна коразмерности ch(s) в h, откуда dim(ch(s)) 6 dim(CH (s)) = dim(L(CH (s))). Остается показать, что m = n. Напомним, что морфизм γs : G → G, определённый правилом xγs = s−1 x−1 sx имеет своим дифференциалом линейное отображение 1 − Ad(s) : g → g (см. лемму 3.5.1). Очевидно, M = Gγs , так что g(1 − Ad(s)) ≤ m. С другой стороны ясно, что Ker(dγs ) = cg(s) и Im(dγs ) = n, так что, в частности, n ≤ m. Поскольку cg(s) = L(CG (s)), то dim(m) = dim(M) = dim(G) − dim(CG (s)) = dim(g) − dim(cg(s)) = dim(n). Следовательно, n = m. Таким образом, мы получили следующую лемму.
osedSubgrpsOfGL}
Лемма 4.3.1. Пусть H — замкнутая подгруппа группы GLn (F), которая нормализуется полупростым элементом s ∈ GLn (F). Тогда ch(s) = L(CH (s)) и сумма всех нетривиальных собственных подпространств оператора Ad(s), соответствующий собственным значениям, отличным от 1, в h есть касательное пространство многообразия s−1 sH . Упражнение 4.3.2. Показать, что лемма 4.3.1 неверна в общем случае.
leElementIsClosed}
Лемма 4.3.3. Пусть H — замкнутая подгруппа группы G = GLn (F), нормализуемая полупростым элементом s ∈ G. Тогда класс сопряжённости sH замкнут.
90
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Доказательство. Если x — эндоморфизм конечномерного векторного пространства и T — переменная, обозначим через µ(x, T ) минимальный многочлен элемента x, а через χ(x, T ) — характеристический многочлен элемента x. Напомним, что x полупрост тогда и только тогда, когда µ(x, T ) не имеет кратных корней. Положим теперь W = {x ∈ NG (H) | µ(s, x) = 0 и χ(Ad(x)|h, T ) = χ(Ad(s)|h, T )}. Очевидно, что W — замкнутое подмножество в NG (H) (и, следовательно, в G), инвариантное относительно сопряжения элементами из H. Первое условие в определении множества W требует, чтобы каждый элемент x ∈ W аннулировал минимальный многочлен элемента s, который, по предположению, не имеет кратных корней. Следовательно, элемент x также полупрост. Применим теперь к действию элемента x на H лемму 4.3.1, получим dim(xH ) = dim(H) − dim(CH (x)) = dim(h) − dim(ch(x)) = dim(h) − m1 (x), где m1 (x) — кратность собственного значения 1 для оператора Ad(x)|h. Но второе условие в определении W даёт m1 (x) = m1 (s), откуда следует, что все H-орбиты в W имеют равные размерности. Ввиду леммы 3.3.4 все орбиты xH замкнуты в W и, следовательно, в G. В частности, орбита sH замкнута. Упражнение 4.3.4. Построить элеметы группы GLn (F), класс сопряжённости которых незамкнут.
{ConnectedComm
Лемма 4.3.5. Пусть A, B — замкнутые подгруппы алгебраической группы G и группа A связна. Тогда коммутант [A, B] замкнут и связен. Доказательство. Очевидно, что [A, B] порождается множествами {Aγb | b ∈ B}. Так как группа A связна, то и её образ Aγb связен для любого b ∈ B, кроме того, он содержит единицу. По теореме 3.1.10 группа [A, B] замкнута и связна. Отметим, что если ни одна из подгрупп A, B не является связной, то коммутант [A, B] может быть незамкнутой подгруппой. Тем не менее, справедливо следующее утверждение.
{DerivedSubgroup
Упражнение 4.3.6. Если подгруппы A, B замкнуты и нормальны в G, то коммутант [A, B] всегда замкнут (и нормален) в G. В частности, коммутант [G, G] алгебраической группы G всегда замкнут. (Указание: воспользоваться известным результатом из теории групп о том что из конечности индекса |G : Z(G)| следует конечность коммутанта [G, G].)
{CenterOfNilpSub
Следствие 4.3.7. Пусть G — связная нильпотентная алгебраическая группа. Тогда dim Z(N) > 0. Доказательство. Действительно, нижний центральный ряд состоит из связных подгрупп (по лемме 4.3.5) и последний неединичный член этого ряда содержится в центре.
{UnitriangularMat
Упражнение 4.3.8. Пусть UTn (F) — группа верхнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали. Доказать, что группа UTn (F) нильпотентна.
{UnipotenSubgrou
Теорема 4.3.9. Пусть U — связная замкнутая унипотентная подгруппа алгебраической группы G, и пусть s ∈ G — полупрстой элемент, нормализующий U. Положим xγs = s−1 x−1 sx, где x ∈ G; M = U γs , C = CU (s). Тогда: (а) C — замкнутая подгруппа и M — замкнутое связное подмногообразие в U; (б) морфизм произведения τ : C × M → U биективен и, следовательно, группа C связна;
§3. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
91
(в) γ = γs |M — биекция многообразия M на себя. Доказательство. (а) Замкнутость подгруппы C следует из леммы 3.3.1, замкнутость многообразия M следует из леммы 4.3.3. Многообразие M связно как образ связного многообразия U относительно морфизма γs . (б) Разобьем рассуждение на несколько шагов, из которых первый тривиален. 1. Если x ∈ C, y ∈ U, то (xy)γs = xγs = xγs y γs . 2. Если x ∈ Z(U), y ∈ U, то (xy)γs = xγs y γs , откуда (x−1 )γs = (xγs )−1 . Действительно, запишем (xy)γs = s−1 y −1x−1 sxy = s−1 x−1 y −1syx = (s−1 x−1 s)(s−1 y −1sy)x = (s−1 x−1 sx)(s−1 y −1sy) = xγs y γs . 3. Если группа U абелева, то морфизм τ биективен. Так как U = Z(U), то шаг 2 показывает, что γs : U → U — гомоморфизм групп. Его образ по определению совпадает с M, а ядро, очевидно, совпадает с C. Так как в этом случае M является группой, то если мы докажем, что M ∩ C = {e}, отсюда будет следовать и инъективность, и сюръективность. Предположим z ∈ C ∩ M, тогда, записывая z = uγs для некоторого u ∈ U, мы имеем zs = u−1su. Но элементы z и s коммутируют, так что левая часть равенства есть разложение Жордана полупростого элемента u−1 su, откуда z = e. Следовательно, морфизм τ инъективен и сюръективен. 4. Морфизм τ всегда биективен. Докажем этот шаг индукцией по dim(U). Поскольку группа U нильпотентна, в силу следствия 4.3.7 справедливо неравенство dim(Z(U)) > 1. В частности, V = Z(U)0 — связная s-инвариантная нормальная подгруппа группы U. Если V = U, то τ биективен ввиду шага 3. В противном случае, U ′ = U/V является связной унипотентной группой размерности меньшей, чем dim(U). Заметим, что как s, так и U принадлежат замкнутой подгруппе NG (V ) группы G, в которой группа V нормальна. Если π : NG (V ) → NG (V )/V — канонический гомоморфизм, то мы можем положить s′ = sπ , G′ = (NG (V ))π . Тогда тройка (G′ , U ′ , s′ ) удовлетворяет исходным предположениям относительно (G, U, s), так что, по индукции, морфизм произведения τ ′ : CU ′ (s′ ) × M ′ → U ′ биективен. Заметим, что ввиду шага 2 справедливы равенства M ′ = (U ′ )γs′ = M π . Кроме того, ввиду шага 3 отображение τ0 : CV (s) × V γs → V является биективным морфизмом. Теперь мы можем доказать, что морфизм τ инъективен. Пусть z1 x = z2 y (z1 , z2 ∈ C, x, y ∈ M) или, равносильно, z·x = y (z = z2−1 z2 ∈ C). Применим к последнему равенству морфизм π; так как z π ∈ CU ′ (s′ ) и xπ , y π ∈ M ′ , то инъективность морфизма τ ′ даёт z π = e, т. е. z ∈ V . Запишем x = uγs , y = v γs , так что (u−1 su)z = v −1 s−1 v. Поскольку z ∈ C, левая часть есть разложение Жордана полупростого элемента v −1 s−1 v, откуда z = e x = y. Остается показать, что морфизм τ сюръективен. Заметим сначала, что V γs ≤ M ∩ V (поскольку V является s-инвариантной). Обратно, любой элемент v ∈ V имеет вид zy, где z ∈ CV (s) и y ∈ V γs (поскольку морфизм τ0 сюръективен). Кроме того, если v ∈ M, то из шага 3 следует, что M ∩ C = {e}, значит, v = y ∈ V γs , так как морфизм τ0 инъективен. Таким образом, верно равенство V γs = V ∩ M. Пусть элемент x′ = xπ
92
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП для некоторого x ∈ U перестановочен с элементом s′ = sπ . Тогда (x′ )γs′ = e или xγs ∈ V ∩ M = V γs . В частности, существует такой v ∈ V , что xγs = v γs . Но V ≤ Z(U), так что из шага 2 следует, что v −1 x ∈ C и (v −1 x)π = xπ . Значит, CU ′ (s′ ) = C π .
Теперь легко показать, что морфизм τ сюръективен: U = CMV = CV M = CCV (s)V γs M = CM. Первое равенство в цепочке следует из того, что морфизм τ ′ сюръективен и C π = CU ′ (s′ ), а равенство V γs M = M следует из шага 2. (в) Морфизм γ биективен. Ввиду шага 1 и сюръективности морфизма τ мы имеем M = U γs = (CM)γs = M γs , так что морфизм γ сюръективен. Если xγs = y γs при x, y ∈ M, то xy −1 ∈ C и τ (e, x) = τ (xy −1 , y), откуда xy −1 = e и x = y, поскольку морфизм τ инъективен. В заключение этого параграфа мы приведём три леммы для d-групп, которые являются прямыми следтвиями соответствующих результатов для полупростых элементов.
{LieAlgebraOfCen
Лемма 4.3.10. Пусть H — замкнутая подгруппа группы G, нормализуемая d-группой D. Тогда L(CH (D)) = ch(D). Доказательство. Если H 0 ≤ CH (D), то L(H) ≥ L(CH (D)) ≥ L(H 0 ) = L(H) и доказывать нечего. В противном случае воспользуемся индукцией по dim(H), начиная с размерности 0. Пусть s ∈ D — такой элемент, для которого размерность группы H ′ ≃ CH (s) меньше, чем размерность группы H (такой элемент существует, так как в противном случае мы получаем H 0 ≤ CH (D)). Ясно, что CH (D) ≤ CH (s). Согласно лемме 4.3.1 мы имеем ch(s) = h′ ; следовательно, ch(D) ≤ h. Используя эти факты и индукцию по размерности, получаем L(CH (D)) = L(CH ′ (D)) = ch′ (D) = ch(D) ∩ h′ = ch(D).
{UnipotenCentrali
Лемма 4.3.11. Пусть U — связная замкнутая унипотентная подгруппа группы G, нормализуемая d-группой D. Тогда CU (D) связна. Доказательство. Если группа D централизует U, то доказывать нечего. В противном случае, существует s ∈ D такой, что CU (s) U. По лемме 4.3.9 мы получаем, что CU (s) — связная подгруппа группы U. Ясно, что CU (D) ≤ CU (s). Индукция по размерности группы завершает доказательство. Следующее упражнение показывает, что если связная группа не является унипотентной, то централизатор полупростого элемента не обязательно связен. Упражнение 4.3.12. Есть G = PGL2 (C), s = diag(i, −i), где i2 = −1. Показать, что CG (i) состоит из двух связных компонент. Лемма 4.3.13. Пусть d-группа D действует на алгебраических группах H, H ′ и пусть ϕ : H → H ′ — эпиморфизм, эквивариантный относительно этого действия группы D. Тогда ϕ отображает компоненту единицы группы CH (D) на компоненту единицы группы CH ′ (D). Доказательство. Морфизм ϕ можно представить в виде композиции D-эквивариантных морфизмов H → H/K → H ′ , где K = Ker(ϕ). Так как вторая стрелка — биективный морфизм, то мы можем предполагать, что H ′ = H/K. Пусть Ker(dϕ) = t. Так как D действует на h диагонально, то мы можем найти D-инвариантное подпространство n, дополнительное к t, тогда dϕ отображает n изоморфно на h′ , так что неподвижные точки группы D на n соответствуют неподвижным точкам группы D на h′ . Ввиду леммы 4.3.10 мы имеем, что dim(CK (D)) = dim(ct(D)), в то время как dim(CH ′ (D)) = dim(ch′ (D)) = dim(cn(D)). Комбинируя эти соотношения, получаем dim(CH ′ (D)) = dim(cc(D)) − dim(ct(D)) = dim(CH (D)) −
{MorphismThatIsE
§4. СОПРЯЖЁННОСТЬ ПОДГРУПП БОРЕЛЯ
93
dim(CK (D)) = dim(CH (D))ϕ . Поскольку ϕ отображает компоненту единицы группы CH (D) в компоненту единицы группы CH ′ (D), то данная цепочка равенств означает, что ϕ сюръективен.
§4
Сопряжённость подгрупп Бореля
teVarietyPreimage}
Лемма 4.4.1. Пусть алгебраическая группа G действует транзитивно на каждом из двух связных многообразий X, Y и предположим, что существует биективный морфизм ϕ : X → Y , перестановочный с действием группы G. Тогда если многообразие Y полно, то и X полно. Доказательство. Отметим, что по лемме 2.10.2(3) из полноты X следует полнота Y . Для проверки полноты многообразия X достаточно доказать, что для любого аффинного многообразия Z отображение ϕ × id : X × Z → Y × Z является замкнутым, т. е. замкнутые множества переводит в замкнутые. В силу теорем 2.8.4 и 2.8.5 существуют такие открытые аффинные подмножества U ⊆ X и V ⊆ Y , что Uϕ ⊆ V и ϕ|U — конечный морфизм. Пусть R, S, T — аффинные алгебры многообразий U, V, Z соответтвенно. Поскольку кольцо R является целым над S, то лемма 2.6.9 влечёт, что R ⊗F T является целым над S ⊗F T . Следовательно, ϕ × id : U × Z → V × Z является конечным морфизмом. По лемме 2.8.3 отображение ϕ × id|U ×Z является замкнутым отображением. Поскольку группа G действует на многообразиях X, Y транзитивно и морфизм ϕ является G-эквивариантным, то многообразия X и Y покрываются конечным числом множеств Ugi и V gi , поэтому морфизм ϕ × id является замкнутым отображением.
OfCodim1IsNormal}
Следствие 4.4.2. Пусть G — связная нильпотентная алгебраическая группа и H — её подгруппа. Тогда dim(NG (H)) > dim(H). В частности, если H — подгруппа коразмерности 1 группы G, то H нормальна в G Доказательство. Если Z = Z(G)0 ≤ H, то мы можем рассмотреть факторгруппы G/Z и H/Z и наше утверждение получается индукцией по размерности группы. Если Z 6≤ H, то группа ZH является связной (как порождённая связными подгруппами), кроме того, очевидно, что ZH ≤ NG (H). Поскольку ZH 6= H и ZH связна, мы получаем, что dim(NG (H)) ≥ dim(ZH) > dim(H). {StablePoint}
Теорема 4.4.3. (Теорема о неподвижной точке) Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа и пусть X — непустое полное многообразие, на котором действует группа G. Тогда группа G имеет на X неподвижную точку. Доказательство. Доказательство будем вести индукцей по размерности группы G. Если dim(G) = 0, то G = {e} и доказывать нечего. Рассмотрим коммутант H = [G, G]. Ввиду леммы 4.3.5 мы получаем, что H является связной замкнутой подгруппой группы G. Так как группа G разрешима, подгруппа H является собственной, следовательно, по лемме 2.7.2, dim(H) < dim(G). По предположению индукции, множество Y неподвижных точек относительно действия группы H непусто и, по лемме 3.3.1, замкнуто. Виду леммы 2.10.2 множество Y является проективным многообразием. Кроме того, H нормальна в G, следовательно, множество Y является G-инвариантным. Поэтому мы можем заменить X на Y и считать, что H действует тривиально на X.
94
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Таким образом, группа H содержится в StG (x) для любой точки x ∈ X. Так как G/H абелева, мы получаем, что StG (x) — нормальная подгруппа группы G, следовательно, теорема 3.9.3 влечёт, что G/StG (x) — аффинное многообразие. Ввиду леммы 3.3.4 существует такая точка x, что её орбита x · G замкнута, следовательно, является полным многообразием. Далее, канонический морфизм G/StG (x) → x · G биективен, перестановочен с действием группы G и x · G полно. Ввиду леммы 4.4.1 многообразие G/StG (x) является полным. Но по лемме 2.10.2 аффинное полное многообразие имеет размерность 0, т. е. G = StG (x). В качестве следствия из теоремы мы докажем теорему Ли-Колчина-Мальцева для алгебраических разрешимых групп.
{Lie-Kolchin-conn
Следствие 4.4.4. Пусть G — связная замкнутая разрешимая подгруппа группы GLn (F). Тогда группа G сопряжена с подгруппой группы верхнетреугольных матриц. Доказательство. Рассмотрим действие группы G на многообразии флагов F (V ). Это многообразие проективно, следовательно, существует неподвижная точка относительно действия группы G. Эта неподвижная точка является полным флагом, т. е. G стабилизирует цепочку вложенных подпространств 0 < V1 < . . . < Vn = V , и в соответствующей базе любой элемент из G является нижнетреугольной матрицей. Определение 4.4.5. Пусть G — линейная алгебраическая группа. Максимальная (по включению) связная замкнутая разрешимая подгруппа B группы G называется подгруппой Бореля.
{ConjugacyOfBore
Теорема 4.4.6. Пусть B — подгруппа Бореля группы G. Тогда G/B — проективное многообразие и все подгруппы Бореля группы G сопряжены. Доказательство. Поскольку подгруппа, порождённая связными группами, связна (см. следствие 3.1.11), мы получаем, что любая подгруппа Бореля группы G лежит в G0 . Таким образом, можно считать, что группа G связна. Пусть S — подгруппа Бореля группы G наибольшей размерности. В силу теоремы Шевалле 3.8.2 существует рациональное представление ϕ : G → GLn (F), при котором S ϕ является стабилизатором некоторого одномерного подпространства V1 . По теореме Ли-Колчина-Мальцева (следствие 4.4.4) индуцированное действие группы S на фактор пространстве V /V1 является триангулируемым, следовательно, подгруппа S оставляет еповжнм некоторый полный флаг f = 0 < V1 < . . . < Vn = V . Из построения представления ϕ следует, что S = StG (f ). Следовательно, морфизм многообразия G/S на орбиту флага f в многообразии F (V ) является биекцией. С другой стороны, стабилизатор любого флага разрешим (так как он сопряжен с подгруппой группы верхнетреугольных матриц) и, следовательно, его размерность не превышает размерности подгруппы S. Значит, орбита флага f имеет наименьшую возможную размерность, следовательно, она замкнута (см. лемму 3.3.4). Как замкнутое подмножества проективного многообразия F (V ) эта орбита является проективным многообразием. Далее, произвольная подгруппа Бореля B группы G действует правыми умножениями на проективном многообразии G/S и по теореме о неподвижной точке 4.4.3 она имеет неподвижную точку Sx, т. е. SxB = Sx или xBx−1 ≤ S. Но xBx−1 является подгруппой Бореля, откуда xBx−1 = S.
§5. СВЯЗНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
§5
95
Связные разрешимые группы
В данном параграфе мы рассмотрим строение связных разрешимых групп и докажем, что максимальные торы в этих группах сопряжены. Напомним, что ввиду теоремы 4.4.4 связная замкнутая разрешимая подгруппа G группы GLn (F) сопряжена с подгруппой группы верхнетреугольных матриц Tn (F). Для грппы верхнетреугольных матриц существует точная последовательность π 1 → UTn (F) → Tn (F) → Dn (F) → 1. Ограничение данной точной последовательности на группу G даёт нам следующую точную последовательность для группы G: π
{ExactSequence}
1 → Gu → G → T ′ → 1.
(4.1)
Здесь Gu = G ∩ UTn (F) и T = Gπ . Заметим, что группа Gu является нормальной подгруппой группы G, состоящей из всех унипотентных элементов, а группа T = Gπ является связной подгруппой группы Dn (F) и потому является тором. Поскольку факторгруппа G/Gu абелева, мы получаем, что группа Gu содержит коммутант группы G. {GuIsConnected}
Лемма 4.5.1. Подгруппа Gu группы G, определённая выше, является связной. Доказательство. Предположим сначала, что группа G абелева. Поскольку произведение двух перестановочных полупростых элементов вновь является полупростым элементом (в силу перестановочности, с точностью до сопряжения в GLn (F), они лежат в Dn (F)), мы получаем, что множество полупростых элементов Gs группы G также является замкнутой нормальной подгруппой группы G. Тогда Gu ≃ G/Gs связна как гомоморфный образ связной группы. Пусть ϕ : G → G/[G, G] = H — канонический гомоморфизм (который является морфизмом алгебраических групп). Так как группа H абелева, то, как мы заметили выше, H = Hs × Hu является прямым произведением своей полупростой и унипотентной частей. −1 Очевидно, что Gu ≤ Huϕ . Обратно, поскольку [G, G] ≤ Gu и Gϕu = Hu , мы получаем, что −1 −1 Huϕ ≤ Gu . Следовательно, Gu = Huϕ . Далее, по лемме 4.3.5, коммутант [G, G] связен. Следовательно, в Gu нет замкнутых нормальных подгрупп конечного индекса, т. е. группа Gu связна. Далее мы докажем, что группа G содержит тор T , размерность которого совпадает с размерностью тора T ′ . Поскольку T ∩ Gu = {e}, отсюда сразу будет следовать, что последовательность (4.1) для группы G расщепляема.
ForSolvableGroups}
Лемма 4.5.2. Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа. Тогда группа G нильпотентна в том и только в том случае, когда множество её полупростых элементов Gs является подгруппой. Если Gs является подгруппой, то она замкнута, связна и G = Gs × Gu . Доказательство. Пусть Gs — подгруппа группы G. Тогда Gπs = T ′ и Gs ∩ Ker(π) = {e}. Следовательно, Gs ≃ T ′ и потому последовательность (4.1) расщепляема, т. е. G = Gu : Gs . С другой стороны, Gs нормальна в G, поэтому G = Gs × Gu . Поскольку группа UTn (F) нильпотентна и группа Gs абелева, мы получаем, что Gu и G также нильпотентные группы. Обратно, предположим, что группа G нильпотентна. Требуется доказать, что Gs — подгруппа. Для этого, очевидно, достаточно показать, что любая пара полупростых элементов
96
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
x, y ∈ G коммутирует. Мы имеем x−1 y −1 xy = z ∈ [G, G] ≤ Gu , т. е. x−1 y −1x = zy −1 . Поскольγ ку Gu связная группа, по лемме 4.3.9 мы имеем, что для M = Guy морфизм γy : M → M биективен. Следовательно, M ≤ G∞ = {e} в силу нильпотентности группы G (здесь γn (G) — −1 nый член нижнего центрального ряда и γ∞ (G) = ∩∞ есть разn=1 γn (G)). Таким образом, zy −1 −1 ложение Жордана полупростого элемента x y x, откуда z = e.
{StructureOfConn
Теорема 4.5.3. Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа. Тогда: (а) Gu — замкнутая связная нормальная подгруппа группы G, содержащая коммутант [G, G], и обладающая рядом связных замкнутых подгрупп, каждая из которых нормальна в G и имеет коразмерность 1 в предыдущей; (б) максимальные торы группы G сопряжены относительно γ∞ (G) и, если T — один из этих торов, то G = U : T . Доказательство. Утверждение (а) следует из леммы 4.5.1 и замечаний перед ней. Таким образом, нам достаточно доказать лишь (б). Для этого воспользуемся индукцией по dim G (начиная с размерности 0, когда G тривиальна). Прежде всего нам следует найти тор в группе G, который проектируется на T ′ в точной последовательности (4.1), откуда будет следовать, что G = Gu : T . Если группа G нильпотентна, то существование такого тора следует из леммы 4.5.2. Если G ненильпотентна, то по лемме 4.5.2 мы можем найти нецентральный полупростой элемент s ∈ G. Тогда размерность группы H = CG (s)0 будет меньше размерности группы G. Если D — замыкание в G подгруппы, порождённой элементом s, то морфизм π : G → G/Gu = T ′ эквивариантен относительно D, и действие группы D π на T ′ тривиально, поскольку группа T ′ коммутативна. Применяя лемму 4.3.13 мы получаем, что H π = T ′ . Это показывает, что коразмерность группы Hu в H равна dim T ′ . По предположению индукции группа H содержит тор размерности dim T ′ , который, очевидно, будет максимальным тором группы G. Зафиксируем некоторый максимальный тор T группы G. Прежде чем доказывать, что все остальные максмальные торы сопряжены с T относительно γ∞ (G), мы покажем, что любой полупостой элемент s ∈ G сопряжён относительно γ∞ (G) с некоторым элементом из T . Если группа G нильпотентна, то по лемме 4.5.2 имеем T = Gs и доказывать нечего. Если группа G ненильпотентна, то группа γ∞ (G) ≤ Gu нетривиальна, а также связна и унипотентна (и, в частности, нильпотентна). Поэтому N = Z(γ∞ (G))0 — нетривиальная нормальная подгруппа группы G. При каноническом отображении ϕ : G → G/N = G′ группа γ∞ (G) отобраается на (G′ )∞ . Запишем G′ = G′u : S, s = T ϕ . По индукции, (x−1 )ϕ sϕ xϕ ∈ S для некоторого элемента xϕ ∈ (G′ )∞ (т. е. x ∈ γ∞ (G)). Это означает, что элемент s относительно γ∞ (G) сопряжён с x−1 sx ∈ T N. Поэтому, изменяя, если необходимо, обозначения, достаточно доказать, что любой полупростой элемент s ∈ T N сопряжен при помощи некоторого элемента из N с элементом группы T . Запишем s = tn (t ∈ T , n ∈ N) и применим теорему 4.3.9(б) к действию элемента t−1 на N. Мы имеем n = uγt z для некоторого z ∈ CN (t) и u ∈ N, откуда s = u−1 tuz. Поскольку группа N абелева и z ∈ CN (t), мы получаем, что usu−1 = tz и tz является разложением Жордана полупростого элемента usu−1 . Следовательно, z = e и usu−1 = t. Наконец, пусть S — произвольный максимальный тор группы G. Так как S 6≤ Z(G), существует элемент s ∈ S \ Z(G). Ввиду предыдущего абзаца мы можем считать, что s ∈ T . Но тогда T, S ≤ CG (s)0 . Индукция по размерности группы G завершает доказательство.
§5. СВЯЗНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
97
{Eve
Следствие 4.5.4. Пусть G — связная разрешимая группа. Тогда каждый полупростой элемент группы G лежит в некотором максимальном торе, а каждый унипотентный элемент лежит в максимальной связной унипотентной подгруппе. Доказательство. Это прямое следствие доказательства теоремы 4.5.3.
eGrpIsCentralizer}
Следствие 4.5.5. Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа и S — некоторый её тор. Тогда NG (S) = CG (S). Доказательство. Пусть T — максимальный тор группы G, содержащий S. Тогда G = U : T . Далее NG (S) = hT, NU (S)i, поэтому достаточно доказать, что NU (S) = CU (S). Но NU (S) = U ∩ NG (S) — нормальная подгруппа группы NG (S) и S ∩ NU (S) = {e}. Поскольку S также нормальна в NG (S), мы получаем, что U : S = S × U, т. е. NG (S) = CG (S).
ToriAreConjugate}
Теорема 4.5.6. Пусть G — связная алгебраическая группа. Тогда все максимальные торы и все максимальные связные унипотентные подгруппы группы G сопряжены. Доказательство. Очевидно, любой максимальный тор и любая связная унипотентая подгруппа лежат в некоторой подгруппе Бореля B группы G. Ввиду сопряжённости подгрупп Бореля (см. теорему 4.4.6), все утверждения теоремы теперь следуют из теоремы 4.5.3 и следствия 4.5.4. Назовём общую размерность максимальных торов группы G рангом группы G (обозначается rank(G)). Пусть T — некоторый максимальный тор связной алгебраической группы G. Группа CG (T )0 называется подгруппой Картана алгебраической гупп G. Подгруппа P связой алгебраической группы G называется параболической, если фактормногообразие G/P проективно.
ParabolicSubgroup}
Лемма 4.5.7. Замкнутая подгруппа связной алгебраической группы G является параболической тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу Бореля. В частности, связная подгруппа H группы G является подгруппой Бореля тогда и только тогда, когда H разрешима и многообразие G/H полно. Доказательство. Действительно, пусть P — замкнутая подгруппа связной алгебраической группы G, для которой многообразие G/P проективно и пусть B — некоторая подгруппа Бореля группы G. Тогда B действует на G/P сдвигами и по теореме о неподвижной точке 4.4.3 имеет на G/P неподвижную точку. Отсюда следует, что B сопряжена с подгруппой группы P и, значит dim(G/P ) 6 dim(G/B). Обратно, пусть замкнутая подгруппа P группы G содержит подгруппу Бореля B. Тогда естественный морфизм G/B → G/P является сюръективным морфизмом полного многообразия G/B и потому по лемме 2.10.2(2) многообразие G/P полно. {ParabolicInGL}
Упражнение 4.5.8. Описать параболические подгруппы в GLn (F).
IsSpecialSubgroup}
Лемма 4.5.9. Пусть ϕ : G → H — мрфизм алгебраических групп и группа G связна. Пусть B — подгруппа Бореля (соответственно, подгруппа Картана, максимальный тор, максимальная связная унипотентная подгруппа, параболическая подгруппа) группы G. Тогда B ϕ — подгруппа Бореля (соответственно, подгруппа Картана, максимальный тор, максимальная связная унипотентная подгруппа, параболическая подгруппа) группы Gϕ .
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
98
Доказательство. Ввиду теоремы 4.5.6 и леммы 4.5.7 достаточно доказать лемму лишь для подгрупп Бореля. Так как группа G связна, её образ Gϕ также связен. Кроме того, группа B ϕ связна и разрешима. Далее, ϕ индуцирует сюръективный морфизм G/B → Gϕ /B ϕ . Так как многообразие G/B полно, то, вновь по лемме 2.10.2(2), многообразие Gϕ /B ϕ полно. Ввиду леммы 4.5.7, подгруппа B ϕ является подгруппой Бореля группы Gϕ .
{AutomorphismCe
Лемма 4.5.10. Пусть σ — некоторый автоморфизм связной алгебраической группы G, централизующий некоторую подгруппу Бореля B. Тогда автоморфизм σ должен быть тождественным. Доказательство. Рассмотрим морфизм ϕ : G → G, действующий по правилу ϕ : x 7→ xσ x−1 . Тогда B ϕ = {e}, следовательно, ϕ является морфизмом из проективного многообразия G/B в G. По лемме 2.10.2(3) образ (G/B)ϕ является замкнутым полным многообразием. С другой стороны, G является алгебраической группой, поэтому многообразие Gϕ = (G/B)ϕ аффинно. Следовательно, по лемме 2.10.2(5), имеем dim(Gϕ ) = 0 и, в силу связности группы G, получаем Gϕ = {e}. Следствие 4.5.11. Z(G)0 ≤ Z(B) ≤ CG (B) = Z(G).
{IncluzionOfCente
Доказательство. Группа Z(G)0 связна и разрешима, поэтому лежит в некоторой борелевской подгруппе B группы G. Отсюда следует, что Z(G)0 ≤ Z(B). Кроме того, очевидно, Z(G) ≤ CG (B). Обратно, если x ∈ CG (B), то автоморфизм Intx действует тривиально на группе B. По лемме 4.5.9 получаем, что Intx действует тривиально на группе G, следовательно, x ∈ Z(G).
{CriterionOfNilpo
Лемма 4.5.12. (а) Если подгруппа Бореля B связной алгебраической группы G нильпотентна, то G = B. (б) Связная алгебраическая группа G нильпотентна тогда и только тогда, когда G имеет в точности один максимальный тор. Доказательство. (а) Если B нильпотентна, то её центр Z(B) имеет положительную размерность. Ввиду следствия 4.5.11 мы получаем, что Z(G) имеет положительную размерность и мы можем рассмотреть группу G/Z(G). Индукция по размерности группы завершает доказательство утверждения (а). (б) Если G нильпотентна, то G = B и в G существует единственный максимальный тор ввиду леммы 4.5.2. Обратно, если в группе G существует единственный максимальный тор T , то T является нормальной подгруппой группы G и содержится в некоторой борелевской подгруппе B. Ввиду теоремы 4.5.3 мы получаем, что T ≤ Z(B) ≤ Z(G), т. е. группа B нильпотентна. Ввиду утверждения (а) отсюда следует нильпотентность группы G.
{CartanSubgroupI
Следствие 4.5.13. Пусть T — максимальный тор связной алгебраической группы G и C = CG (T )0 — подгруппа Картана группы G. Тогда группа C нильпотентна.
§6
Нормализатор подгруппы Бореля
Везде в данном параграфе под G понимается связная алгебраическая группа. В данном параграфе мы докажем, что любой элемент связной алгебраической группы содержится в
§6. НОРМАЛИЗАТОР ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
99
некоторой подгруппе Бореля и что централизатор любого тора связен. Используя эти результаты, мы рассмотрим подгуппы Бореля в централизаторах торов и затем докажем, что подгруппа Бореля совпадает со своим нормализатором. Сначала мы докажем следующую лемму.
onnectedSubgroup}
Лемма 4.6.1. Пусть H — замкнутая связная подгруппа связной алгебраической группы S G, и пусть X = x∈G H x . Тогда (а) если многообразие G/H полно, то множество X замкнуто;
(б) если некоторый элемент группы H оставляет неподвижными лишь конечное число точек многообразия G/H, то X содержит открытое подмножество группы G (в частности, множество X плотно). Доказательство. Рассмотрим вспомогательные морфизмы ϕ
ψ
G × G → G × G → (G/H) × G π
π
и проекции (G/H) × G →1 G/H, (G/H) × G →2 G. Здесь (x, y)ϕ = (x, y x ), так что ϕ — изоморфизм многообразий, а (x, y)ψ = (Hx, y). Пусть M = (G × H)(ϕ ◦ ψ); тогда X = M π2 . Для доказательства (а) достаточно доказать, что множество M замкнуто (поскольку многообразие G/H полно). Поскольку ψ можно рассматривать как канонический морфизм (G × G)/(H × {e}), мы получаем, что ψ переводит открытые множества в открытые (см. теорему 3.9.1). Но (G × H)ϕ ⊆ (M)ψ −1 и множество (G × H)ϕ замкнуто (поскольку ϕ изоморизм). Поэтому нам достаточно доказать равенство. Пусть (Hx, y) ∈ M, т. е. существует такой элемент z ∈ H, что y = z x . Тогда (Hx, y) = (x, z)ϕ. Теперь докажем (б). Множество X конструктивно как образ морфизма ϕ ◦ ψ ◦ π2 , поэтому достаточно доказать, что множество X плотно в G или что dim(Cl (X)) = dim(G). Как мы показали выше, множество M замкнуто и π1 отображает M на G/H. При этом слой морфизма в точке Hx равен (x, H x ), т. е. имеет размерность dim(H). Следовательно, dim(M) = dim(G/H)+dim(H) = dim(G). Далее, условие (б) означает, что существует элемент h ∈ H, для которого множество {Hx ∈ G | Hxh = Hx} конечно. Слой морфизма π2 : M → X в точке h, очевидно, непустой и совпадает с множеством {(Hx, y x) | x ∈ G, y ∈ H, y x = h}. −1 Включение {(Hx, y x ) | x ∈ G, y ∈ H, y x = h} ⊆ {(Hx, h) | hx ∈ H} очевидно, поэтому слой морфизма π2 : M → X в точке h имеет размерность 0. Далее подгруппа H связна, значит, множество M = (G × H)ϕ ◦ ψ также является связным. Поэтому π2 : M → X является доминантным морфизмом. По теореме 2.8.2 справедливо равенство dim(M) = dim(X), откуда следует утверждение (б). Пусть Gs — множество полупростых элементов группы G и Gu — множество унипотентных элементов группы G. Тогда верна следующая
dInBorelSubgroup}
Теорема 4.6.2. Пусть B — подгруппа Бореля связной алгебраической группы G, T — максимальный тор группы G, U — максимальная связная унипотентная подгруппа группы B и C = CG (T )0 — подгруппа Картана группы G. Тогда объединение всех подгрупп, сопряжённых с B (соответственно с T и с U) совпадает с G (соответственно с Gs и Gu ). Кроме того, объединение всех подгрупп, сопряжённых с C, содержит открытое (и потому плотное) подмножество группы G.
100
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Доказательство. По лемме 4.2.3 существует такой элемент t ∈ T , что C = CG (t)0 . Кроме того, по следствию 4.5.13 мы имеем, что C нильпотентна, следовательно, C = Cs × Cu . Мы утверждаем, что подгруппа H = C и элемент t удовлетворяют условиям леммы 4.6.1(б). Действительно, t оставляет неподвижной точку Cx ∈ G/C тогда и только тогда, когда tx ∈ C. Далее, tx ∈ Cs = T , так что T ≤ CG (tx )0 = x−1 CG (t)0 x = C x или T x ≤ T . Отсюда следует, что T x = T , C x = C, но ввиду жёсткости d-групп (лемма 4.2.2) выполняется равенство C = NG (C)0 , так что лишь конечное число смежных классов Cx неподвижно относительно t. Таким образом, мы получаем, утверждение теоремы для группы C. Далее, группа C содержится в некоторой подгруппе Бореля, можно считать, что C ≤ B, откуда следует, что объединение всех подгрупп Бореля плотно в G. Ввиду леммы 4.6.1(а) мы получаем, что это объединение также замкнуто в G, откуда мы получаем, что оно совпадает с G. Остальные утверждения теоремы немедленно следуют из следствия 4.5.4. Упражнение 4.6.3. Доказать, что Z(B) = Z(G).
{DimentionOfCent
Следствие 4.6.4. Пусть G — связная алгебраическая группа ранга r. Тогда для любого x ∈ G справедливо неравенство dim(CG (x)) > r. Доказательство. Рассмотрим подгруппу Бореля B группы G, содержащую x, и пусть U = Ru (B). Как мы уже отмечали, [B, B] ≤ U, следовательно, [B, x] ≤ U. Далее dim([B, x]) = dim(B γx ) = dim(CclB (x)), где CclB (x) — класс сопряжённости элемента x в B, и Ker(γx ) = CB (x). По лемме 3.1.8(г) получаем, что dim(CB (x)) = dim(B) − dim([B, x]) > dim(B) − dim(U) = r. Элементы, для которых dim(CG (x)) = r называются регулярными. Следующая теорема играет важную роль в различных индуктивных построениях, связанных с торами.
{CentralizerOfTor
Теорема 4.6.5. Пусть S — тор связной алгебраической группы G. Тогда группа CG (S) связна. Доказательство. Предположим сначала, что группа G разрешима. По лемме 4.2.3 существует такой элемент s ∈ S, что CG (s) = CG (S). В силу следствия 4.5.4 существует такой максимальный тор T , что s ∈ T . Так как G = U : T и тор T является абелевой группой, то CG (T ) = hT, CU (s)i. По теореме 4.3.9(2) группа CGu (s) связна, поэтому группа CG (S), порождённая связными подгруппами, также связна (см. теорему 3.1.10). Пусть теперь x ∈ CG (S) и группа G произвольна. Пусть B — подгруппа Бореля группы G, содержащая S и пусть X — множество неподвижных относительно x точек в G/B. Это множество замкнуто (множество неподвижных точек всегда замкнуто) и непусто (по теореме 4.6.2). Следовательно, X полно как замкнутое подмножество полного многообразия (лемма 2.10.2). Так как S коммутирует с x, то S оставляет множесво X инвариантным. По теореме 4.4.3 S имеет на X неподвижную точку sB, поэтому x, S лежат в подгруппе Бореля −1 B s . Следовательно x принадлежит связной подгруппе CBs−1 (S), поэтому CG (S) порождается связными подгруппами, а потому связен. Упражнение 4.6.6. Если H — замкнутая подгруппа, состоящая только из полупростых элементов, связной разрешимой группы G, то H содержится в некотором максимальном торе группы G и CG (H) — связная группа. (Указание: использовать идею первой части доказательства теоремы 4.6.5 и индукцию по размерности.)
§6. НОРМАЛИЗАТОР ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
101
{Car
Следствие 4.6.7. Подгруппа Картана связной алгебраической группы G есть в точности централизатор максимального тора. Упражнение 4.6.8. Пусть x — произвольный элемент из связной алгебраической группы G и xs · xu — его разложение Жордана. Доказать, что x ∈ CG (xs )0 . Верно ли, что x ∈ CG (xu )0 ? Далее мы покажем, что если B — некоторая подгруппа Бореля, содержащая некоторый тор S группы G, то B ∩CG (S) является подгруппой Бореля группы CG (S) и любая подгруппа Бореля группы CG (S) может быть получена таким образом. Заметим, что если мы рассмотрим произвольную связную подгруппу H группы G, то пересечение B ∩ H может не быть даже связным.
mponentsOfTorus}
Теорема 4.6.9. Пусть S — некоторый тор в связной алгебраической группе G и C = CG (S). Пусть B — подгруппа Бореля группы G, содержащая S, X — множество неподвижных точек в G/B относительно S и Y — связная компонента множества X. Тогда группа C действует на Y транзитивно. Доказательство. Ввиду леммы 3.3.1(б), множество X замкнуто в G/B, поэтому X проективно как замкнутое подмножество проективного многообразия (см. лемму 2.10.2(1,6)). Ясно, что X инвариантно относительно C. Поскольку группа C связна (см. теорему 4.6.5), то ввиду леммы 3.3.1(г), она оставляет неподвижной каждую связную компоненту множества X. Заметим также, что все эти компоненты полны, как замкнутые подмножества полного многообразия X. Не теряя общности можно считать, что B стабилизирует некоторый элемент y ∈ Y . Для доказательства теоремы достаточно показать, что y · C = Y . Мы докажем равносильное утверждение, что если Z — прообраз множества Y при каноническом отображении G → G/B, то BC = Z. Заметим, что многообразие Z связно, так как Y связно и слои канонического отображения G → G/B связны. Действительно, предположим, что Z = Z1 ∪ . . . ∪ Zk —- разложение на связные компоненты. Тогда для всех i подмножество Zi отображается на Y . Следовательно, для любых i, j ∈ {1, . . . , k} и любого zi ∈ Zi существует zj ∈ Zj такой, что Bzi = Bzj . Но Bzi — связное многообразие, следовательно, Bzi ⊆ Zi и Bzj ⊆ Zj , значит, Zi = Zj . −1 Кроме того, S z ≤ B при z ∈ Z по построению. Поэтому морфизм Z × S → B, опреде−1 ляемый соотношением (z, s) 7→ sz имеет смысл. Пусть ϕ — композиция этого морфизма и канонического отображения B → B/Bu . При фиксированном z ∈ Z рассмотрим морфизм S → B/Bu , который получается как композиция морфизмов S → B, задаваемого правилом −1 s 7→ sz , и морфизма B → B/Bu . Этот морфизм является гомоморфизмом торов. По следствию 4.5.5 справедливо равенство NB (S) = CB (S), поэтому это отображение не зависит от −1 −1 z. Но e ∈ Z, так что мы имеем sz ≡ s (mod Bu ) для всех z ∈ Z, s ∈ S. В частности, S z −1 содержится в связной разрешимой группе Bu S, в которой группы S и S z являются мак−1 симальными торами. Ввиду теорем 4.5.3, существует элемент u ∈ Bu такой, что S z u = S, т. е. z −1 u ∈ N = NG (S). Следовательно, BC ⊆ Z ⊆ BN. С другой стороны, индекс |N : C| конечен (вновь лемма 4.2.2), поэтому dim(BC) = dim(Z) = dim(BN). Наконец, BC = Z, ввиду связности многообразия Z.
pAncCentOfTorus}
Следствие 4.6.10. CB (S) = C ∩ B — подгруппа Бореля группы C = CG (S) и любая подгруппа Бореля группы C может быть получена таким образом.
102
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Доказательство. Пусть множества X и Y выбраны также, как в теореме 4.6.9 и B — стабилизатор точки y ∈ Y . Многообразие Y полно и, в соответствии с теоремой 4.6.9, является орбитой точки y относительно C. Стабилизатор точки y в C есть C ∩ B = CB (S). Следовательно, многообразие C/(C ∩ B) = Y полно. По лемме 4.5.7, группа C ∩ B является подгруппой Бореля группы C.
{BorelSubgrpIsCon
Упражнение 4.6.11. Пусть G — связная алгебраическая группа и B — её подгруппа Бореля. Доказать, что NG (Bu )0 = B. В частности, NG (B)0 = B.
{BorelSubgrpCoin
Теорема 4.6.12. Пусть B — подгруппа Бореля связной алгебраической группы G. Тогда N = NG (B) = B. Доказательство. Ввиду упражнения 4.6.11 мы имеем, что B = N 0 . Для доказательства того, что N = B воспользуемся индукцией по dim(G). Ясно, что радикал R(G) группы G (максимальная связная нормальная разрешимая подгруппа) содержится в B. Таким образом, можно считать, чт R(G) тривиален, т. е. что группа G полупроста. Пусть x ∈ N и пусть T — произвольный максимальный тор группы G, содержащийся в B. Тогда T x — тоже тор, содержащийся в B; поэтому существует элемент y ∈ B такой, что T xy = T (теорема 4.5.3). Очевидно, элемент x принадлежит группе B тогда и только тогда, когда xy ∈ B, так что мы можем предполагать, что x ∈ NG (T ). Пусть S = CT (x)0 — подтор тора T . Возмоны следующие два случая. Случай 1. S 6= e. Тогда группа C = CG (S) обладает нетривиальным радикалом и, таким образом, C — собственная связная подгруппа группы G (см. теорему 4.6.5). Согласно следствию 4.6.10, B ′ = B ∩ C — подгруппа Бореля группы C. По предположению индукции, B ′ = NC (B ′ ). Но x ∈ NC (B) ≤ NC (B ′ ) = B ′ ≤ B. Случай 2. S = e. Так как x ∈ NG (T ) и T — коммутативная группа, то коммутаторный морфизм γx : T → T является гомоморфизмом групп с ядром CT (x). Ввиду условия S = e это ядро конечно, так что морфизм γx является сюръективным (см. лемму 3.1.8). Следовательно, тор T содержится в группе [M, M], где M = hx, Bi ≤ N. По теореме Шевалле 3.8.2, существует такое рациональное представление ρ : G → GL(V ), что V содержит прямую D, стабилизатор которой в G совпадает с M. Пусть χ : M → F∗ — соответствующий характер (если g ∈ M и v ∈ D, то v g = λg v и g χ = λg является характером группы M). Тогда χ тривиален на [M, M], а также на Bu , поэтому χ тривиален на B. Если 0 6= v ∈ D, то представление ρ индуцирует морфизм G/B → Y , где Y — орбита вектора v относительно Gρ . Так как G/B — полное многообразие, то его образ Y замкнут в V (лемма 2.10.2) и, следовательно, является аффинным многообразием. С другой стороны, Y — полное многообразие (ввиду той же леммы 2.10.2). Кроме того, многообразие Y связно, как образ связного многообразия. Следовательно, многообразие Y — точка и G = M. Так как группа G связна и |M : B| конечен, мы получаем, что G = B. Ниже мы сформулируем ряд следствий, доказательство которых мы оставим в качестве упражнения. {MaximalityOfB}
Следствие 4.6.13. Подгруппа Бореля B является максимальной разрешимой подгруппой связной алгебраической группы G. Следствие 4.6.14. Пусть S — максимальная разрешимая подгруппа группы G, причём S не является подгруппой Бореля. Тогда группа S замкнута, несвязна и имеет меньшую размерность, чем любая подгруппа Бореля группы G.
§7. ГРУППЫ ВЕЙЛЯ И ДЕЙСТВИЕ ТОРОВ НА G/B
103
{Nor
Следствие 4.6.15. Пусть P — параболическая подгруппа группы G. Тогда P = NG (P ). В частности, группа P связна.
ubgroupsCoinside}
Следствие 4.6.16. Пусть P, Q — параболические подгруппы группы G, содержащие подгруппу Бореля B. Если группы P, Q сопряжены в G, то P = Q.
rOfItsUnipRadical}
Следствие 4.6.17. Пусть B — подгруппа Бореля группы G. Тогда B = NG (Bu ).
§7
Группы Вейля и действие торов на G/B
По прежнему предполагается, что G — связная алгебраическая группа и B — некоторая её фиксированная подгруппа Бореля. Ввиду теоремы 4.6.12 совокупность B борелевских подгрупп группы G можно отождествить с многообразием G/B. Действие группы G на B, индуцированное сопряжением, соответствует действию правыми умножениями на G/B. Если теперь S — произвольный тор группы G, то множество неподвижных относительно S точек в B, обозначаемое BS , совпадает с множеством борелевских подгрупп, содержащих S. Если множество BS конечно, то тор S называется регулярным. В противном случае тор S называется сингулярным. Пусть S — произвольный тор группы G. В силу жёсткоти торов (лемма 4.2.2) группа NG (S)/CG (S) конечна; она называется группой Вейля группы G относительно S и обозначается через W (G, S). Так как все максимальные торы сопряжены, то их группы Вейля изоморфны. Поэтому группа Вейля максимального тора называется просто группой Вейля группы G и обозначается W (G).
nyBorelSubgroups}
Лемма 4.7.1. Пусть T — максимальный тор группы G и C = CG (T ). Тогда C содержится в каждой борелевской подгруппе, содержащей T . Доказательство. Так как C связна (теорема 4.6.5) и нильпотентна (следствие 4.5.13), то она содержится по меньшей мере в одной подгруппе Бореля B. Если B1 = B x ∈ BT , то T, T x — максимальные торы группы B1 и, следовательно, сопряжены посредством некоторого элемента y ∈ B1 . Поэтому C xy = C ≤ B1 .
Таким образом, группа C действует тривиально на BT . С другой стороны, очевидно, что N = NG (T ) переставляет элементы множества BT , в результате чего мы получаем действие W (G) = NG (T )/CG (T ) на BT .
malToriAreRegular}
Лемма 4.7.2. Пусть T — максимальный тор группы G и W = W (G, T ). Тогда W действует транзитивно и регулярно на множестве BT . В частности, |BT | = |W | — конечное число, т. е. максимальный тор T регулярен. Доказательство. Пусть B1 , B2 ∈ BT . По теореме 4.4.6 существует x ∈ G такой, что B1x = B2 . Тогда T, T x — два максимальных тора группы B1 , следовательно, существует y ∈ B1 , для которого T yx = T . Значит, B1yx = B2 и yx ∈ NG (T ), что доказывает транзитивность действия группы W . Пусть теперь x ∈ NG (T ) и предположим, что для некоторой подгруппы B ∈ BT выполнено равенство B x = B. Тогда x ∈ NB (T ) и ввиду следствия 4.5.5 имеем NB (T ) = CB (T ). Следовательно, x ∈ CG (T ), т. е. стабилизатор любой точки в BT относительно действия группы W тривиален.
hism}
104
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Лемма 4.7.3. Пусть ϕ : G → G′ — эпиморфизм алгебраических групп и T, T ′ = T ϕ — соответствующие максимальные торы. Тогда ϕ индуцирует сюръективные отображения ′ BT → B′ T и W = W (G, T ) → W (G′ , T ′ ) = W ′ , которые оказываются и инъективными, если Ker(ϕ) содержится в некоторой (и, значит, в каждой) борелевской подгруппе группы G. Доказательство. Если B — борелевская подгруппа группы G, содержащая тор T , то B ′ = B ϕ — борелевская подгруппа группы G′ , содержащая тор T ′ (лемма 4.5.9); поэтому ′ отображение BT → B′ T корректно определено. Ввиду леммы 4.3.13 и теоремы 4.6.5 справедливо равенство (CG (T ))ϕ = CG′ (T ′ ). Кроме того, очевидно, что (NG (T ))ϕ ≤ NG′ (T ′ ), поэтому отображение W (G, T ) → W (G′, T ′ ) определено. По лемме 4.5.9, эпиморфизм ϕ индуцирует сюръективныое отображение B → B′ . Если ′ −1 B ′ ∈ B′ T , то каждая борелевская подгруппа группы H = (B ′ ϕ )0 является борелевской подгруппой группы G, которую ϕ отображает на B ′ . Кроме того, T — максимальный тор группы H и, следовательно, лежит в одной из этих подгрупп. Это показывает, что отоб′ ражение BT → B′ T сюръективно. Если Ker(ϕ) содержится в некоторой подгруппе Бореля группы G, то Ker(ϕ) — разрешимая нормальная подгруппа группы G. Поэтому для любой подгруппы Бореля B группы G подгруппа BKer(ϕ) является разрешимой подгруппой. По следствию 4.6.13 получаем, что BKer(ϕ) = B, поэтому Ker(ϕ) содержится в любой подгруппе Бореля группы G. Очевидно, что если Ker(ϕ) содержится в каждой борелевской подгруппе, ′ −1 то тогда (B ′ ϕ )0 является борелевской подгруппой группы G, и отображение BT → B′ T инъективно. Переходя к группам Вейля мы воспользуемся их регулярностью (лемма 4.7.3). Выберем ′ B ∈ BT и положим B ϕ = B ′ . Поскольку отображения W → BT и W ′ → B′ T биективны, ′ а отображение BT → B′ T сюръективно, мы получаем, что отображение W → W ′ также сюръективно. Его инъективность в случае, когда Ker(ϕ) содержится во всех подгруппах ′ Бореля, также следует из инъективности отображения BT → B′ T . Ранее мы доказали, что максимальные торы являются регулярными. Следующая лемма даёт на критерий дл проверки регулярности торов.
{CriterionOfTorus
Лемма 4.7.4. Пусть S — тор в группе G и C = CG (S). Тогда тор S регулярен в том и только в том случае, если группа C разрешима. В этом случае группа C содержится в каждой борелевской подгруппе группы G, содержащей S, и для каждого максимального тора T , содержащего S, мы имеем BT = BS . Доказательство. Поскольку множество борелевских подгрупп B совпадает с многообразием G/B, где B ≥ S, множество неподвижных точек BS совпадает с замкнутым подмножеством X многообразия G/B. По следствию 4.6.10 размерность любой связной компоненты Y многообразия X равна коразмерности в C борелевской подгруппы группы C. Поэтому тор S регулярен (т. е. множество BS конечно) в том и только в том случае, когда группа C есть борелевская в себе самой (т. е. группа C разрешима). Это рассуждение показывает также, что для регулярного тора S группа C содержится в каждой борелевской подгруппе группы G, содержащей тор S. В частноти, так как любой максимальный тор T , содержащий S, принадлежит C, то BT = BS . Ввиду леммы 4.7.4, тор S группы G является сингулярным тогда и только тогда, когда группа CG (S) неразрешима. Некоторые наибольшие торы с неразрешимым централизатором возникают следующим образом. Напомним (см. 4.1.11), что существует разложение алгебры g
§7. ГРУППЫ ВЕЙЛЯ И ДЕЙСТВИЕ ТОРОВ НА G/B 105 L α в виде g = cg(T )⊕ α∈Φ(G,T ) gα , где gα = {x ∈ g | xAd(t) = xt , t ∈ T, α ∈ X(T )}. Так как группа T Ad диагонализируема, то для любой замкнутой подгруппы H группы G, нормализуемой тором T , существует дополнение к h = L(H) в алгебре g, инвариантное относительно T Ad . В частности, пусть H := I(T ) — компонента единицы пересечения всех борелевских подгрупп L ′ группы G, содержащих тор T . Запишем g = L(I(T )) ⊕ α∈Ψ gα . В силу следствия 4.6.10 справедливо включение CG (T ) ≥ I(T ), так что Ψ ⊆ Φ. Ясно также, что Ψ не зависит от выбора дополнения. Определим Tα = Ker(α)0 ≤ T для всех α ∈ Ψ. Тогда по определению dim(T ) − dim(Tα ) = 1. Следующая лемма показывает, что тор Tα сингулярен и даёт критерий сингулярности торов.
fSingularityOfTori}
Лемма 4.7.5. Пусть S — тор группы G и T — некоторый максимальный тор, содержащий S. Тор S сингулярен тогда и только тогда, когда S ≤ Tα для некоторого корня α ∈ Ψ. Доказательство. Пусть S — сингулярный тор. Тогда группа C = CG (S) неразрешима, в частности, группа C имеет б´ольшую размерность, чем разрешимая группа C ∩ H. Следовательно, пространство неподвижных точек тора S в алгебре g не содержится целиком в L(I(T )). Значит, тор S оставляет неподвижной подалгебру g′α для некоторого корня α ∈ Ψ и S ≤ Tα . Обратно, пусть S ≤ Tα для некоторого корня α ∈ Ψ. Если тор S несингулярен, то группа C должна быть разрешимой и содержаться в каждой борелевской подгруппе группы G, содержащей S, в частности, C ≤ I(T ). По лемме 4.3.10 мы получаем, что все неподвижные точки тора S в g должны принадлежать L(I(T )), что противоречит определению Tα . Максимальная связная унипотентная подгруппа Ru (G) алгебраической группы G называется унипотентным радикалом. Группа G называется редуктивной, если её унипотентный радикал тривиален.
leGroupsOfRank1}
Следствие 4.7.6. Пусть α ∈ Ψ и положим Zα = CG (Tα ). Тогда Gα = Zα /R(Zα ) — полупростая группа ранга 1.
ularIffBSequalsBT}
Доказательство. Так как тор Tα сингулярен, то связная группа Zα неразрешима. Следовательно, группа Gα полупроста. Действительно прообраз R(Gα ) в Zα является нормальной связной разрешимой группой, т. е. содержится в R(Zα ). Кроме того, Tα ≤ Z(Zα )0 ≤ R(Zα ). Из леммы 4.5.9 и равенства dim(T ) − dim(Tα ) = 1 следует, что ранг группы Gα равен 1. Упражнение 4.7.7. Пусть T — максимальный тор группы G и S — подтор тора T . Тогда S регулярен в том и только в том случае, когда CG (S) ≤ I(T ), т. е. когда BS = BT . Зафиксируем некоторый максимальный тор T группы G. Пусть Y (T ) — множество морфизмов из F∗ в T . Множество Y (T ) становится группой, если на нем ввести умножение правилом aλµ = aλ · aµ . Заметим, что композиция λ ∈ Y (T ) с χ ∈ X(T ) приводит к морфизму алгебраических групп F∗ → F∗ , т. . к элементу группы X(F∗ ) ≃ Z. Это позволяет определить спаривание < χ, λ >∈ Z по правилу < χ, λ >= n ∈ Z ⇔ ∀x ∈ F∗ , (xλ )χ = xn , относительно которого X(T ) и Y (T ) становятся двойственными Z-модулями.
{X(F)=Z}
Упражнение 4.7.8. Проверить, что X(F∗ ) ≃ Z и доказать, что X(T ) и Y (T ) являются двойственными Z-модулями для любого тора T . Каждый элемент λ ∈ Y (T ) называется однопараметрической подгруппой тора T (поскольку (F∗ )λ ≤ T имеет размерность 1), и мы иногда будем отождествлять (F∗ )λ и λ. Однопараметрическая подгруппа λ ∈ Y (T ) называется регулярной если тор λ регулярен. Обозначим через Y (T )reg множество всех однопараметрических регулярных подгрупп.
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
106
roup}
Лемма 4.7.9. Однопараметрическая подгруппа λ ∈ Y (T ) является регулярной тогда и только тогда, когда < α, λ >6= 0 для всех α ∈ Ψ (определение множества Ψ дано перед леммой 4.7.5). Доказательство. Лемма непосредственно следует из леммы 4.7.5. Множество регулярных однопараметрических подгрупп обозначается через Y (T )reg .
{ActionOfWOnY(T
Упражнение 4.7.10. Пусть T — максималный тор связнй алгебраической группы G и W = W (G, T ) = NG (T )/T — группа Вейля. Пусть σ ∈ W и n ∈ NG (T ) — любой его прообраз относительно естественного гомоморфизма. Тогда W действует на группах X(T ) и Y (T ) следующим образом: σ −1 ∀χ ∈ X(T ), ∀t ∈ T, tχ = (tn )χ ; (4.2) λσ
∀λ ∈ Y (T ), ∀x ∈ F∗ , x
Доказать, что для таким ство < χσ , λσ >=< χ, λ >.
образом
= (xλ )n .
определённого
действия
(4.3) выполнено
{ActionWOnX(T)D
{ActionWOnY(T)D
равен-
{CoDimOfIntersec
Лемма 4.7.11. Пусть W — подпространство коразмерности 1 векторного пространства V , и пусть X — связное замкнутое подмногообразие многообразия P(V ), которое не содержится целиком в P(W ). Если dim X > 0, то X ∩ P(W ) 6= ∅ и каждая связная компонента пересечения имеет коразмерность 1 в X. Доказательство. Выберем базис v1 , . . . , vn так, чтобы векторы v2 , . . . , vn образовывали базис гиперплоскости W . Тогда P(V ) \ P(W ) — это открытое аффинное подмножество U1 (в обозначениях §5). Поэтому если X ∩ P(W ) = ∅, то X — полное замкнутое подмножество аффинного многообразия P(V ) \ P(W ), следовательно, dim(X) = 0. Остальные утверждения леммы следуют из леммы 2.7.3 и теоремы 2.7.5. Поскольку Φ ⊆ X(T ), мы получаем действие группы W на Φ, а именно, для любого t ∈ T , σ −1 Ad(n) α ∈ Φ справедливо tα = (tn )α . В частности, gα = gασ . Дальнейшая наша задача до конца этого параграфа — показать, что подгруппы Бореля из BT порождают всю группу G. Мы начнём с того, что покажем, что произвольная однопараметрическая подгруппа λ ∈ Y (T ), где T — некоторый тор группы GL(V ) имеет по меньшей мере две неподвижных точки на многообразии P(V ) = Pn−1 . Пусть v1 , . . . , vn — базис из собственных векторов тора T , тогда веса тора T являются ограничениями γ1 , . . . , γn соответствующихP координатных функций, порождающих X(T ). Пусть mi =< γi , P λ >, тогда для любого v = i αi vi и для любого t ∈ F∗ , по определению выполнено vtλ = i αi tmi vi . Таким образом, прямая, порождённая вектором v (обозначим её через [v]) переходит в прямую, порождённую вектором vtλ , следовательно, однопараметрическая группа λ действует на P(V ). Постараемся теперь продолжить отображение ϕ : t 7→ [v]tλ до морфизма P1 → P(V ). Ввиду определения аффинных открытых подмножеств, мы получаем, что P1 покрывается двумя аффинными открытыми подмножествами F∗ ∪ {0} и F∗ ∪ ∞, пересекающимися по F∗ . Пусть как и выше mi =< γi, λ > и обозначим за m0 (соответственно за m0 ) минимальное (соответP ственно максимальное) значение mi при i ∈ I = {i | αi 6= 0} (напомним, что v = i αi vi ). 0 Очевидно, что [v] = [t−m0 v] = [t−m v] для P любого t ∈ F∗ . Таким образом, отображение ϕ P mi −m0 0 mi −m0 можно записать двумя способами: tϕ0 = [ i αi t vi ], и tϕ = [ i αi t vi ]. Полагая 00 = x0 = ∞0 = 1, мы получаем, что ϕ0 имеет смысл даже при t = 0, а ϕ0 имеем смысл даже
§7. ГРУППЫ ВЕЙЛЯ И ДЕЙСТВИЕ ТОРОВ НА G/B
107
при t = ∞, кроме того ϕ0 |F∗ = ϕ0 |F∗ , что P даёт нам искомый морфизм P1 → P(V ). Заметим, P что [v]0λ = [ {i|mi =m0 } αi vi ] и [v]∞λ = [ {i|mi =m0 } αi vi ] являются неподвижными точками группы (F∗ )λ. Ясно, что они совпадают в том и только в том случае, когда m0 = m0 , т. е. когда (F∗ )λ состоит только из скалярных матриц. Следовательно, и в этом случае группа (F∗ )λ имеет не меньше двух неподвижных точек на P(V ). Заметим также, что если подгруппа λ выбрана таким образом, что числа mi =< γi , λ > при различных γi различны, то собственные векторы тора T и группы λ совпадают. В этом случае мы получаем, что тор T также оставляет неподвижными точки [v]0λ и [v]∞λ . Поскольку X(T ), Y (T ) являются двойственными Z-модулями (см. упражнение 4.7.8), мы всегда можем выбрать λ удовлетворяющим условию, что все mi -ые различны. Легко понять также, что если [v]tλ — неподвижная точка для λ при t 6= 0, то вектор v является собственным для tλ , и, значит, является собственным для тора T . Поэтому любая неподвижная точка группы λ является неподвижной точкой тора T . Обратное включение очевидно, так что множества неподвижных точек группы λ и тора T совпадают.
berOfStablePoints}
Теорема 4.7.12. Пусть T ≤ GL(V ) — тор, естественным образом действующий на P(V ). Пусть X — связное замкнутое T -инвариантное подмножество ненулевой рзмерности в P(V ). Тогда тор T оставляет неподвижными по меньшей мере две точки множества X. Более того, если dim(X) > 2, то тор T оставляет неподвижными не менее трёх точек множества X. Доказательство. Пусть v1 , . . . , vn — базис пространства V , состоящий из собственных векторов тора T с весами γi ∈ X(T ). Выберем λ ∈ Y (T ) так, чтобы числа mi =< γi , λ > были различны для различных γi (как мы заметили выше, такую однопараметрическую подгруппу λ всегда можно выбрать). Ввиду рассуждений, приведённых перед теоремой, множества неподвижных точек тора T и группы λ совпадают, поэтому мы можем заменить тор T на однопараметрическую подгруппу (F ∗ )λ. Так как dim(X) > 1, то множество X бесконечно. Если тор T оставляет неподвижными все точки множества X, то доказывать нечего. В противном случае пусть [v] ∈ X — точка, не являющаяся неподвижной относительно T . В силу рассуждений об однопараметрических подгруппах, приведённых до теоремы, мы получаем, что [v]0λ и [v]∞λ — две различные еподвижные точки в P(V ). Поскольку X является T -инвариантным, мы получаем, что эти две точки должны лежать в X. Предположим теперь, что dim(X) > 2. Мы вновь можем предполагать, что некоторая точка множества X не является неподвижной относительно T . Пусть v1 , . . . , vn — базис из собственных векторов тора T , которому соответствуют элементы γ1 , . . . , γn ∈ X(T ); можно считать, что порядок векторов выбран таким образом, что < γ1 , λ >= m0 . Тогда W = h v2 , . . . , vn i — T -инвариантное подпространство пространства V коразмерности 1. Более того, можно считать, что X 6⊆ P(W ), в противном случае мы можем заменить пространство V на W и повторить рассуждения. По лемме 4.7.11, мы получаем, что каждая связная компонента X ∩ P(W ) является замкнутым связным T -инвариантным подмножеством многообразия P(V ) (она является T -инвариантной, так как группа T связна, значит, по лемме 3.3.1, оставляет неподвижной каждую связную компоненту множества X ∩ P(W )). Ввиду уже доказанного мы получаем, что X ∩ P(W ) содержит по меньшей мере две T -неподвижные точки. По построению множества X ∩P(W ), мы получаем, что прямая [v] содержится в X P для некоторого v = i αi vi , причём α1 6= 0. Следовательно, [v]∞λ является T -неподвижной точкой и не лежит в X ∩ P(W ).
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
108
nGP}
Следствие 4.7.13. Пусть P — собственная параболическая подгруппа группы G, T — любой тор в G. Тогда T оставляет неподвижными по меньшей мере две точки многообразия G/P . Более того, тор T оставляет неподвижными по меньшей мере три точки многообразия G/P , если dim(G/P ) > 1. В частности, максимальный тор содержится по меньшей мере в двух борелевских подгруппах (и он содержится по меньшей мере в трёх борелевских подгруппах, если dim(G/B) > 1. Доказательство. Рассмотрим такое представление G → GL(V ), что P является стабилизатором некоторой прямой (существование такого представления следует из теоремы Шевалле 3.8.2). Тогда многообразие G/P изоморфно орбите X некоторой точки из P(V ). Так как G/P замкнуто и связно, то, по лемме 3.3.1, множество X также замкнуто и связно. Ясно также, что X является T -инвариантным. Заметим также, что X не содержится ни в какой проективной гиперплоскости P (W ). В противном случае можно рассмотреть представление G → GL(W ), где W — гиперплоскость, для которой P(W ) содержит X. По прежнему P будет являться стабилизатором прямой. По теореме 4.7.12, тор T оставляет неподвижными по меньшей мере 2 точки из X, следовательно, из G/P , и тор T оствлет неподвижными по меньшей мере 3 точки, если dim(G/P ) > 1. {BTGeneratesG}
Следствие 4.7.14. Пусть T — максимальный тор группы G. Тогда G порождается множеством BT подгрупп Бореля, содержащих тор T . Доказательство. Пусть утверждение теоремы неверно и G — контрпример минимальной размерности. Рассмотрим P = h BT i. Очевидно, что P является параболической подгруппой группы G. Предположим, что P 6= G. Тогда тор T имеет не меньше двух неподвижных точек на многообразии G/P , одна из которых соответствует подгруппе P , а вторая — некоторой, отличной от P , подгруппе P ′ . Далее T является максимальным тором группы P ′ борелевские подгруппы группы P ′ , содержащие тор T , лежат в P . Индукция по размерности влечёт, все такие борелевские подгруппы порождают P ′ , значит, P ′ ≤ P , что невозможно.
§8
Унипотентный радикал
В данном параграфе мы докажем, что унипотентный радикал группы G совпадает с I(G)u и получим ряд следствий о строении редуктивных групп. В частности, мы докажем, что централизатор любого тора в редуктивной группе вновь является редуктивной группой. Для этого мы сначала выясним строение групп полупростого ранга 1, затем введём для каждого α ∈ Ψ камеры Вейля и затем с их помощью докаже основную еорему об униптентном радикале. Доказательство следующей леммы мы приводить не будем. Заинтересованный читатель может найти доказательство утверждения (а) в [20, теорема 6.4]. Остальные утверждения доказываются непосредственными вычислениями.
{StructureOfPGL2
Лемма 4.8.1. Справедливы следующие утверждения: (а) Aut(P1 ) ≃ PGL2 (F); (б) PGL2 (F) — простая группа; (в) dim(PGL2 (F)) = 3
§8. УНИПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ
109
{Grp
Теорема 4.8.2. Пусть T — максимальный тор группы G и W = W (G, T ). Следующие утверждения эквивалентны: (а) rankss (G) = 1; (б) |W | = 2; (в) |BT | = 2; (г) dim(G/B) = 1; (д) G/B ≃ P1 ; (е) существует эпиморфизм ϕ : G → PGL2 (F) такой, что Ker(ϕ)0 = R(G). Доказательство. (а)⇒(б) Поскольку R(G) содержится во всех подгруппах Бореля группы G и CB (T ) = NB (T ) (см. следствие 4.5.5), мы получаем, что W (G, T ) ≃ W (G/R(G), T R(G)/R(G)). Далее, T R(G)/R(G) — тор размерности 1 (так как ранг группы G/R(G) равен 1), следовательно он изморфен группе F∗ . Группа W индуцирует автоморфизмы группы X(T ) ≃ Z (см. упражнение 4.7.8). Но |Aut(Z)| = 2, откуда |W | 6 2. По следствию 4.7.13 мы получаем, что |W | > 2, значит, |W | = 2. (б)⇒(в). Следует из того, что |W | = |BT | (лемма 4.7.2). (в)⇒(г). Поскольку G 6= B (в противном случае rankss (G) = 0), мы получаем, что dim(G/B) > 1. Если dim G/B > 1, то ввиду следствия 4.7.13 мы получаем, что |BT | > 3, что противоречит условию |BT | = 2. (г)⇒(д). Так как группа G связна, её образ G/B также связен. Таким образом, G/B — связное проективное многообразие размерности 1. Значит, G/B ≃ P1 . (д)⇒(е). Поскольку G/B ≃ P1 и G действует на G/B сдвигами, мы получаем гомоморфизм группы G в Aut(P1 ) ≃ PGL2 (F). Очевидно, что ядро этого гомоморфизма есть пересечение всех борелевских подгрупп группы G, следовательно, содержит R(G). Далее, размерность образа группы G нетривиальна, поскольку dim(G/R(G)) > 0 и образ группы G неразрешим. Поскольку размерность группы PGL2 (F) равна 3, а размерность её подгруппы Бореля равна 2, мы получаем, что любая подгруппа группы PGL2 (F) размерности меньшей, чем 3, либо конечна, либо разрешима. Значит, образ группы G совпадает со всей группой PGL2 (F). (е)⇒(а). Очевидно по определению.
veGroupsOfRank1}
Следствие 4.8.3. Пусть G — связная редуктивная группа полупростого ранга 1, T — её максимальный тор и Z = Z(G)0 . Тогда (а) Z = R(G); (б) коммутант [G, G] является связной полупростой группой, (в) G = [G, G] ◦ Z, причём |[G, G] ∩ Z| < ∞ (г) dim([G, G]) = 3 (д) если ϕ : G → PGL2 (F) — эпиморфизм, то Ker(ϕ) = Z(G), (е) CG (T ) = T и, в частности, Z(G) < T .
110
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Доказательство. (a) Поскольку группа G редуктивна, то S = R(G) — тор. В силу леммы о жёсткости d-групп 4.2.2 и определения радикала справедлива следующая цепочка равенств CG (S)0 = NG (S)0 = G, откуда S ≤ Z(G)0 . Обратное включение очевидно. (б) По лемме 4.3.5 коммутант [G, G] связен. Кроме того, по лемме 4.8.1(в) образ коммутанта [G, G] при естественном гомоморфизме G → PGL2 (F) совпадает с PGL2 (F). Значит, R([G, G]) ≤ R(G) = Z, т. е. R([G, G]) является тором. Если R([G, G]) 6= {e}, то любой элемент из подгруппы Бореля группы [G, G] однозначно представим в виде zsu, где z ∈ R([G, G]) ≤ Z([G, G]), s полупрост и u унипотентен. Действительно, любой элемент группы [G.G] лежит в некоторой подгруппе Бореля, и каждая подгруппа Бореля содержит R([G, G]). В силу упражнения 4.1.10, тор R([G, G]) выделяется прямым сомножителем в любо торе, содержащем его, откуда следует требуемое утверждение. Пусть χ — нетривиальный характер тора R([G, G]). Определим характер χ : [G, G] → F по правилу (zsu)χ = z χ . Тогда χ — нетривиальный характер группы [G, G], но, группа [G, G], очевидно, не имеет нетривиальных характеров. Значит R([G, G]) = 1 и группа [G, G] полупроста. Остальные утверждения очевидным образом следуют из (б).
{NalphaInvertsAlp
Упражнение 4.8.4. Пусть α ∈ Ψ, Zα = CG (Tα ) и T — максимальный тор группы G, содержащий Tα . Ввиду следствия 4.8.3(в), справедливо |W (Zα, T )| = 2. Пусть σα — (единственный) неединичный элемент группы W (Zα, T ). Доказать, что ασα = −α (напомним, что α ∈ X(T )). Указание. Рассмотреть гомоорфный образ Zα /R(Zα )/Z(Zα/R(Zα )) ≃ PGL2 (F). Тогда образ тора T совпадает с диагональной подгруппой и любой элемент из нормализатора диагональной подгруппы инвертирует любую диагональную матрицу.
{AlphanAlphaNot
Упражнение 4.8.5. Доказать, что если α ∈ Ψ, то единственный кратный α корень, отличный от α и лежащий в Ψ, есть корень −α. Указание. В противном случае, корни α, −α, nα лежали бы в Φ(PGL2 (F), T ), где T — диагональная подгруппа. Следовательно, dim(PGL2 (F)) > 3. Далее мы каждой регулярной однопараметрической подгруппе λ ∈ Y (T ) сопоставим по некоторому правилу подгруппу Бореля B(λ) ∈ BT . Поскольку |BT | < ∞, это соответствие, очвидно, не может быть взаимно однозначным. При этом данное соответствие будет сюръективным и обладать некоторыми важными для дальнейших рассуждений свойствами. Выберем представление G → GL(V ) так, чтобы подгруппа Бореля B являлась стабилизатором прямой (это всегда можно сделать ввиду теоремы Шевалле 3.8.2). Тогда многообразие G/B можно отождествить с орбитой X некоторой точки многообразия P(V ). Также, как и при доказательстве следствия 4.7.13, можно считать, что X не содержится в P(W ) для любой гиперплоскости W ≤ V . Пусть v1 , . . . , vn — базис из собственных векторов тора T и γ1 , . . . , γn ∈ X(T ) — соответствующие характеры тора T . Тогда положим mi =< γi , λ >. Упорядочим базис v1 , . . . , vn таким образом, что m0 = m1 = m2 = . . . = mr > mr+1 > . . . > mn = m0 . Пусть W — гиперплоскость, натянутая на P v2 , . . . , vn . Поскольку X не содержится в P(W ), мы получаем, что существует точка [v] = [ i αi vi ] ∈ X, для которой α1 6= 0. Рассуждения перед леммой 4.7.11 показывают, что [v]∞λ = [α1 v1 + . . . + αr vr ] является неподвижной точкой группы (F∗ )λ. Предположим, что r > 1. Обозначим через Wβ гиперплоскость, натянутую на векторы v1 + βv2 , v3 , . . . , vn . Тогда для любого конечного набора β1 , . . . , βl множество P(Wβ1 ) ∪ . . . ∪ P(Wβl ) — это замкнутое подмножество в P(V ) и P(Wβ1 ), . . . , P(Wβl ) — его компоненты связности. Поскольку множество X связно, то если бы оно содержалось в P(Wβ1 ) ∪ . . . ∪ P(Wβl ), это бы влекло, что X содержится в некотором P(Wβi ), что неверно. Поэтому множество X не содержится ни в каком конечном объединении P(Wβ1 )∪. . .∪P(Wβl ),
§8. УНИПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ
111
значит, множество X содержит бесконечно много точек вида [v1 + βv2 + . . .]. Тогда множество X содержит бесконечно много точек [v1 + βv2 + . . .]∞λ = [v1 + βv2 + . . . + αr vr ], что противоречит регулярности подгруппы λ. Следовательно, r = 1 и [v]∞λ = [v1 ]. Рассмотрим окрестность U = X \P(W ) точки [v1 ]. Предыдущие рассуждения показывают, что для любого [v ′ ] ∈ U справедливо [v ′ ]∞λ = [v1 ]. Обозначим подгруппу Бореля, соответствующую точке [v1 ], через B(λ). Заметим, что ввиду упражнения 4.7.7, тор T оставляет неподвижной точку [v1 ], т. е. B(λ) ∈ BT . Как мы уже отмечали, группа Вейля W действует на Y (T ) (см. (4.3)) и, ввиду упражнения 4.7.10, для любых σ ∈ W , χ ∈ X(T ) и λ ∈ Y (T ) справедливо равенство < χσ , λσ >=< χ, λ >. Ввиду критерия регулярности однопараметрической подгруппы (лемма 4.7.9) мы получаем, что Y (T )reg — W -инвариантное подмножество группы Y (T ). Кроме того, ввиду леммы 4.7.2, группа W действует регулярно на BT . Покажем, что эти два действия согласованы относительно отображения λ → B(λ). Пусть σ ∈ W и n ∈ NG (T ) — некоторый его прообраз. Тогда элемент n переставляет собственные подпространства тора T и, следовательно, переставляет веса γi и целые числа mi =< γi , λ >. Ввиду равенства < γiσ , λσ >=< γi , λ >, мы получаем, что [v1n ] — неподвижная точка оносиельно группы (F∗ )λσ , получаемая таким же образом, как и точка [v1 ] для группы (F∗ )λ. Следовательно, подгруппа Бореля B n совпадает с B(λσ ), т. е. действие группы Вейля на Y (T )reg и BT согласовано. В частности, соответствие λ 7→ B(λ) является сюръективным. Обозначим за C(B) = {λ ∈ Y (T )reg | B = B(λ)} для каждой подгруппы Бореля B ∈ BT . Это множество называется камерой Вейля группы B (относительно тора T ). Следовательно, непустые множества C(B) образуют непересекающееся разбиение множества Y (T )reg . Рассмотрим теперь α ∈ Ψ, пусть σα — (единственный) неединичный элемент группы W (Zα , T ), nα ∈ NZα (T ) — некоторый его прообраз. Рассмотрим такой λ0 ∈ Y (T ), что < α, λ0 >> 0. Пусть B = B(λ0 ) и Bα = B ∩ Zα . Тогда Zα содержит в точности две T -инвариантных подгруппы Бореля: Bα и Bα′ , причём Bαn = Bα′ . Ввиду упражнения 4.8.4 выполнено равенство ασ = −α. Следовательно, B(λ) ∩ Zα = Bα в том и только в том случае, когда < α, λ >> 0. Заметим также, что для любой группы Бореля B ∈ BT справедливо в точности одно из равенств: либо B ∩Zα = Bα , либо B ∩Zα = Bα′ , причём если B ∩Zα = Bα , то B n ∩Zα = Bα′ . В частности, мы получаем разбиение множества BT на два равномощных подмножества, т. е. порядок группы Вейля всегда делится на 2. Приведённые выше рассуждения можно сформулировать в следующую лемму.
erisationOfBalpha}
Лемма 4.8.6. Зафиксируем максимальный тор T группы G и сопоставим каждому элементу λ ∈ Y (T ) подгруппу Бореля B(λ) по правилу, определённому выше. Пусть α ∈ Ψ, Zα = CG (Tα ) и Bα , Bα′ — T -инвариантные подгруппы Бореля группы Zα . Тогда для всех λ ∈ Y (T )reg , неравенство < α, λ >> 0 справедливо в том и только в том случае, когда B(λ) ∩ Zα = Bα . Далее мы докажем вспомогательную лемму, которая обеспечивает существование достаточно большого числа регулярных однопараметрических подгрупп.
OnePrametrSubgrp}
Лемма 4.8.7. Пусть α, β ∈ Ψ — непропорциональные корни. Тогда существует однопараметрическая подгруппа λ ∈ Y (T )reg , для которой < α, λ >> 0 и < β, λ >< 0. Доказательство. Ввиду леммы 4.1.7, группа X(T ) ≃ Zn . Поскольку Y (T ) — двойственное над Z пространство для X(T ), то и Y (T ) ≃ Zn . Таким образом, мы можем рассмотреть векторные пространства над Q, получаемые как X(T ) ⊗Z Q и Y (T ) ⊗Z Q, и продолжить
112
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
спаривание < χ, γ > на эти пространства. Тогда α, β становятся линейно независимыми векторами, условие регулярности λ (∀χ ∈ Ψ, < χ, λ >6= 0) означает, что λ не принадлежит конечному набору гиперплоскостей, ортогональный корням из Ψ. Очевидно, что в пространстве Y (T ) ⊗Z Q существует вектор λ0 , для которого < α, λ0 >> 0 и < β, λ0 >< 0, и который не принадлежит объединению гиперплоскостей, ортогональных корням из Ψ. Кроме того, 1 λ + . . . + mknn λn , где λi ∈ Y (T ) и mi ∈ Z, ki ∈ N. Умножая на наименьшее общее λ0 = m k1 1 кратное чисел k1 , . . . , kn , мы получаем элемент λ ∈ Y (T ), удовлетворяющий всем условиям леммы. {Ru(G)=I(T)u}
Теорема 4.8.8. ПустьG — связная алгебраическая группа и T — её максимальный тор. T 0 Пусть I(T ) = B∈BT B . Тогда Ru (G) = I(T )u .
Доказательство. Очевидно, можно считать, что группа G редуктивна. Обозначим для краткости I(T )u за U. Включение Ru (G) ≤ U очевидно. Для того, чтобы доказать обратное включение, достаточно доказать, что U нормальна в G. Ввиду следствия 4.7.14, мы получаем, что множество подгрупп Бореля, содержащих тор T , порождает всю группу G. Заметим, что если B ∈ BT , то B порождается группами CB (S), где S пробегает все подторы тора T коразмерности 1. Действительно, пусть A — подгруппа, порождённая группами CB (S). Поскольку CB (T ) ≤ CB (S), то всякий элемент веса 0 алгебры L(B) = b содержится в L(A) = a (см. лемму 4.3.10). Если α — нетривиальный вес, то Ker(α)0 = S — тор коразмерности 1 в T . Таким образом, все нетривиальные веса α алгебры b содержатся в a. Значит, a = b, следовательно, dim B = dim A. Так как группа B связна, это влечёт равенство B = A. Таким образом, достаточно доказать, что группа U нормализуется всеми CB (S), где S — подтор коразмерности 1 в T . Если тор S регулярен, то, ввиду упражнения 4.7.7, CB (S) ≤ I(T ) и доказывать нечего. Поэтому можно считать, что тор S сингулярен, т. е. совпадает с Tα для некоторого α ∈ Ψ. Тогда CB (Tα ) = Zα ∩B совпадает с одной из двух подгрупп Бореля группы Zα : либо Bα , либо Bα′ . В частности, для любого β ∈ Ψ и любой B ∈ BT , в точности один из корней β, −β может лежать в L(B). Более того, если B = B(λ) для некоторого λ ∈ Y (T )reg , то мы можем счтать, что B ∩ Zα = Bα тогда и только тогда, когда < α, λ >> 0. Ввиду упражнения 4.8.4, мы получаем, что α, −α ∈ L(Zα ). Более того, ввиду леммы 4.8.6, для любого β ∈ Ψ и для любой подгруппы Бореля B ∈ BT , в точности один из корней β, −β лежит в Φ(B, T ). Пусть H — унипотентный радикал пересечения всех B ∈ BT , для которых B ∩ Zα = Bα . Очевидно, что достаточно доказать U H. Ввиду леммы 4.8.6 подгруппа H совпадает с унипотентным радикалом пересечения тех B(λ), для которых < α, λ >> 0. Очевидно, что Ru (Zα ) ≤ U ≤ H. Поскольку группа H является T -инвариантной, то L(H) = h является суммой подпространства L(U) = u и некоторых ненулевых пространств gβ , где β ∈ Ψ (все веса из L(I(T )), очевидно, лежат в u). Обозначим множество корней β ∈ Ψ, для которых подпространсво gβ 6= {0} через Θ. По построению, α ∈ Θ и −α 6∈ Θ. Ввиду упражнения 4.8.5, мы получаем, что если β ∈ Ψ и β 6∈ {α, −α}, то β непропорционален α. По лемме 4.8.7, существует λ ∈ Y (T )reg , для которого < α, λ >> 0 и < β, λ >< 0. Ввиду леммы 4.8.6 мы получаем, что B(λ) ∩ Zβ = Bβ′ и −β ∈ Φ(B(λ), T ). С другой стороны, по построению, β ∈ Θ и H ≤ B(λ), значит, β ∈ Φ(B(λ), T ), что невозможно. Следовательно, только корень α лежит в Θ, т. е. коразмерность группы U в H рвна 1. Поскольку группа H нильпотентна и связна, мы получаем, что её центр нетривиален. Индукцией по размерности группы H легко доказать, что любая связная подгруппа коразмерности 1 нормальна в H. Действительно, V — связная подгруппа коразмерности 1 и Z(H) ≤ V , то переходим к факторгруппе H/Z(H) и применяем
§8. УНИПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ
113
индукцию по размерности. В противном случае, dim Z(H)V > dim V , значит, Z(H)V = H. Таким образом, U H, что заканчивает доказательство теоремы. Далее мы получим ряд следствий из теоремы.
dSubgIsReductive}
Следствие 4.8.9. Пусть G — связная редуктивная группа, T — её максимальный тор и S — некоторый подтор тора T . Тогда (а) группа CG (S) редуктивна (и связна); (б) если тор S регулярен, то CG (S) = T . В частности, картановские подгруппы группы G — это в точности максимальные торы и Z(G) ≤ T . Доказательство. Пусть C = CG (S). По теореме 4.8.8, применённой к C, мы получаем, что Ru (C) совпадает с унипотентным радикалом пересечения всех борелевских подгрупп группы C, содержащих T . Она в свою очередь совпадает с I(T )u = {e}, что доказывает (а). Если тор S регулярен, то CG (S) разрешима (лемма 4.7.4) и редуктивна (пункт (а)), следовательно, является тором.
sFromOpenSubset}
Упражнение 4.8.10. Множество регулярных элементов редуктивной группы G образует открытое подмножество группы G. (Указание: рассмотреть морфизм (x, y) 7→ xy и воспользоваться непрерывностью размерности 2.8.6.) {Phi=Psi}
Следствие 4.8.11. Пусть G — связная редуктивная группа T — её максимальный тор и Φ = Φ(G, T ) — её система корней. Тогда (а) Φ = Ψ и Φ = −Φ; L (б) g = t ⊕ α∈Φ gα , где t = L(T ) и dim(gα ) = 1;
(в) сингулярные торы коразмерности 1 в T имеют вид Tα = Ker(α)0 , α ∈ Φ; (г) если Zα = CG (Tα ), то Zα — редуктивная группа полупростого ранга 1 и L(Zα ) = zα = t ⊕ gα ⊕ g−α , кроме того группы Zα порождают G;
(д) [G, G] — связная полупростая алгебраическая группа, G = [G, G] ◦ (G)0 и пересечение [G, G] ∩ Z(G)0 конечно. (е) Z(G)0 = (∩α∈Φ Tα )0 ; (ж) ранг подгруппы R = hΦi ≤ X(T ) равен rankss G. Доказательство. (а) Любой корень из Φ \ Ψ лежит в L(I(T )) ≤ T, но T состоит лишь из нулевых весов. Из упражнения 4.8.5 следует, что Ψ = −Ψ, откуда Φ = −Φ. (б) Все утверждения, кроме равенства dim(gα ) = 1 доказаны ранее. В силу следствия 4.7.6 подгруппа Zα имеет полупростой ранг 1. Тогда L(Zα /Z(Zα)) = L(T /Z(Zα )) ⊕ gα ⊕ g−α , причём каждое из подпространств, участвующих в разложении, нетривиально. Поскольку dim(Zα /Z(Zα)) = dim(L(Zα /Z(Zα))) = 3 (см. следствие 4.8.3), то размерность каждого из подпространств равна 1. (в) Немедленно следует из (б) и леммы 4.7.5. (г) Все утверждения, кроме утверждения о том, что группы Zα порождают G доказаны ранее. Тот факт, что подгруппы Zα порождают G следует из доказательства теоемы 4.8.8.
114
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
(д) И следствия 4.8.3 получаем, что для любого α ∈ Φ подгруппа [Zα , Zα ] содержится L в [G, G]. Поэтому L([G, G]) ≥ α∈Φ gα , в частности, группа [G, G] редуктивна, R([G, G]) ≤ R(G) и G = [G, G]◦Z(G)0. В силу жёсткости диагонализируемых групп (лемма 4.2.2) получаем R(G) = Z(G)0 ≤ T . Если R([G, G]) 6= {e}, то как и при доказательстве следствия 4.8.3(б) можно построить характер группы G, ограничение которого на [G.G] также является нетривиальным характером, что невозможно. Поэтому [G, G] — полупростая группа. Остальные утверждения пункта (д) очевидны. Утверждения (е) и (ж) очевидным образом следуют из уже доказанных утверждений.
{TwoBorelSubgrps
Следствие 4.8.12. Пусть G — редуктивная групп. Тогда для каждой борелевской подгруппы B, содержащей максимальный тор T , существуе такая группа B − ∈ BT , что B ∩ B − = T . Более того, g = L(B) + L(B − ) = b + b− = u− ⊕ t ⊕ u, где t = L(T ), u = L(Ru (B)), u− = L(Ru (B − )). Доказательство. По лемме 4.8.6 существует такой λ ∈ Y (T ), что B = B(λ). Положим B − = B(−λ). Для каждого α ∈ Φ группы Zα ∩ B и Zα ∩ B − являются различными борелевскими подгруппами группы Zα , сдержащими тор T . Ввиду слествия 4.8.11 мы получаем, что B ∩ B − = T и алгебра Ли g имеет требуемое разложение. Упражнение 4.8.13. Группа B − , определённая в следствии 4.8.12, единственная. Она называется подгруппой Бореля, противоположной группе B.
§9
{B-IsUnique}
Одномерные T -инвариантные подгруппы
В данном параграфе мы заметим, что корневую систему связной редуктивной алгебраической группы можно ввести и внутренним образом, не переходя к алгебре Ли и изучим строение одномерных T -инвариантных унипотентных подгрупп.
{StructureOfOneD
Лемма 4.9.1. Для любого поля F мультипликативная и аддитивная группы поля F являются единственными связными алгебраическими группами размерности 1. Доказательство. Мы приведём здесь лишь краткую схему, оставив подробное доказательство читателю. По лемме 4.3.3 мы получаем, что класс сопряжённости любого полупростого элемента замкнут. Кроме того, он связен, как образ связной группы, потому тривиален. Значит, все полупростые элементы произвольной одномерной группы G лежат в центре, и подгруппа Бореля группы G нильпотентна. Следовательно, группа G нильпотентна, связна и имеет размерность 1. Как мы заметили в доказательстве теоремы 4.8.8, Z(G) имеет положительную размерность, следовательно, группа G абелева. Далее, множество полупростых элементов Gs группы G образует замкнутую подгруппу. Следовательно, она либо конечна, либо совпадает с G. В первом случае мы получаем, что |G : Gu | = |Gs |, т. е. G = Gu и G состоит из унипотентных элементов. Тогда алгебра L = he − g | g ∈ Gi — нильпотентная ассоциативная алгебра матриц размерности 1, следовательно, она изоморфна аддитивной группе поля F. Но тогда группа G, очевидно, тоже изоморфна аддитивной группе поля F. Во втором случае Gs — тор размерности 1, изоморфный мультипликативной группе поля F. Для любого α ∈ Φ подалгебра gα является алгеброй Ли унипотентной части Uα борелевской подгруппы Bα группы Zα = CG (Tα ) (см. следствие 4.8.11(г)). Более того, группа Uα — единственная связная T -инвариантная подгруппа группы G, алгебра Ли которой совпадает
ProptiesOfUalpha}
§9. ОДНОМЕРНЫЕ T -ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
115
с gα . Предположим, что некоторая подгруппа Vα является связной T -инвариантной подгруппой группы G, алгебра Ли которой совпадает с gα . Тогда её алгебра Ли одномерна и состоит из нильпотентных элементов (нильпотентных в ассоциативной алгебре). Также, как и при доказательстве леммы 4.9.1, это сразу влечёт, что Vα унипотентна. Кроме того, H = T Vα — связная разрешимая подгруппа группы G и, следовательно, содержится в некоторой подгруппе Бореля B ∈ BT . Так как Tα централизует L(H) = L(T ) + gα , то Tα централизует H. Следовательно, Vα ∈ B ∩ Zα , откуда Vα = Uα . Теорема 4.9.2. Пусть G — связная редуктивная алгебраическая группа, T — её максимальный тор и α ∈ Φ(G, T ) = Φ. Тогда (а) существует единственная связная T -инвариантная подгруппа Uα группы G, алгебра Ли которой совпадает с gα ; (б) если элемент n ∈ N является некоторым представителем элемента σ ∈ W , то Uαn = Uασ ; (в) существует такой изоморфизм εα : F → Uα , что для всех t ∈ T , x ∈ F выполнено (xεα )t = (tα x)εα (здесь F — аддитивная группа поля F); (г) группа G порождается подгруппами Uα (α ∈ Φ) и T . Доказательство. Пункт (а) следует из рассуждений, приведённых выше. Так как L(n−1 Uα n) = (L(Uα ))Ad(n) = gAd(n) = gασ α и группа Uαn связна и T -инвариантна, то (б) следует из (а). Поскольку каждая из Zα порождается подгруппами T, Uα , U−α , то утверждение (г) вытекает из следствия 4.8.11(г). Таким образом, осталось доказать (в). Поскольку Uα — связная одномерная унипотентная группа, лемма 4.9.1 влечёт существование некоторого изоморфизма ε : F → Uα . Следовательно, действие тора T сопряжениями на группе Uα задаёт действие тора T на F (согласованное с изоморфизмом ε) и мы получаем морфизм алгебраических групп T → Aut(F) = GL1 (F) = F∗ , где F∗ — мультипликативная γ группа поля F, т. е. характер γ тора T . Таким образом, t−1 xε t = (xt )ε , т. е. для каждого элемента t ∈ T следующая диаграмма коммутативнапростая F
F
ε / Uα Intt ε / Uα
где отображение F → F есть умножение на tγ . Далее, L(F) = F, поэтому дифференциал умножения на tγ вновь является умножением на tγ , а d(Intt ) = Ad(t). Следовательно, xAd(t) = γ xt для любого x ∈ gα и γ = α. Таким образом мы можем положить εα = ε.
Ввиду теоремы 4.9.2(в), существует изоморфизм ε : F → Uα , для которого выполнено равенство (xεα )t = (tα x)εα . Далее элементы гуппы Uα мы будем обозначать через uα (x), предполагая, что x ∈ F выбран таким образом, что для любого t ∈ T справедливо uα (x)t = uα (tα · s). Подгруппы Uα далее будут называться корневыми подгруппами, а элементы uα (x) — корневыми элементами.
Sum}
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
116
Далее мы докажем лемму о связи представления редуктивной алгебраической группы и её весов. Рассмотрим случай, когда G является замкнутой подгруппой группы GL(V ) и пусть χ — некоторый вес максимального тора T . Напомним (см. §2 настоящей главы), что весовое пространство Vχ = {v ∈ V | ∀x ∈ T, v x = xχ v}. Лемма 4.9.3. Пусть ρ : G → GL(V ) — рациональное представление связной редуктивной группы G и Ker(ρ) ≤ Z(G). Пусть Vχ — весовое пространство относительно T ρ , где T — P максимальный тор группы G. Если α ∈ Φ = Φ(G, T ), то (Vχ )Uαρ ⊆ k∈N∪{0} Vχ+kα .
Доказательство. Ввиду следствия 4.8.9(б), справедливо включение Z(G) ≤ T , значит, Ker(ρ) ≤ Z(G) ≤ T и ρ|Uα — изоморфизм для любого α. Таким образом, без ограничения общности, группу G можно заменить на её образ Gρ и считать, что Uαρ = Uα . Так как группа T Uα связна и разрешима, по теореме Ли-Колчина (следствие 4.4.4) можно считать, что она состоит из нижнетреугольных матриц, группа Uα состоит из нижнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали, и тор T состоит из диагональных матриц вида diag(t1 , . . . , tn ). Заметим, что для любого u ∈ GLn (F) элемент на месте (i, j) в матрице ut равен t−1 i tj ui,j . Рассмотрим изоморфизм εα : F → Uα , определённый в теореме 4.9.2(в). Тогда (xεα )i,j является многочленом от x, т. е. (xεα )i,j = c0 + c1 x + . . . + cm xm для некоторых c0 , . . . , cm ∈ F. Значит, ((tα x)εα )i,j = c0 + c1 (tα x) + . . . + cm (tα x)m . По теореме 4.9.2(в) справедливо также α εα равенство (xεα )t = (xt )εα , поэтому ((tα x)εα )i,j = t−1 i tj (x )i,j . Таким образом, мы получили −1 −1 α α m m следующее тождество c0 (1 − t−1 i tj ) + c1 (t − ti tj )x + . . . + cm ((t ) − ti tj )x = 0. Поскольку поле F бесконечно, это значит, что каждый из коэффициентов равен 0. Если за γ обозначить характер γ : t 7→ t−1 i tj , то равенство нулю коэффициентов означает, что lα = γ каждый раз, когда cl 6= 0. Поскольку характер α нетривиален, это означает, что в точности одно из cl отлично от 0, можно считать, что cm 6= 0 и (xεα )i,j = cm xm . Пусть теперь χ задан правилом χi : T 7→ ti . Очевидно, справедливо равенство Vχ = hvi1 , . P . . , vim | χi1 = . . . = χim = χi. Поэтому достаточно рассмотреть лишь векторы vi . Имеем viu = j6i λj vj , т. е. вектор viu является линейной комбинацией векторов с весами χj . Тогда предыдущие рассуждения показывают, что ηj − χi = mα для некоторого m ∈ N ∪ {0}.
§10
Абстрактные корневые системы
Напомним, см. определение 1.1.1, что подмножеств Φ еклидова пространства E назыается корневой системой если выполнены следующие аксиомы: 1. Φ является конечным множеством ненулевых векторов. 2. Φ порождает пространство E. 3. Если α, β ∈ Φ, то β wα ∈ Φ. 4. Если α, β ∈ Φ, то 2(α, β)/(α, α) целое. 5. Если α, λα ∈ Φ, где λ ∈ R, то λ = ±1.
(α,β) α, аксиому 4 можно заменить слеВ случае абстрактной корневой системы β wα = β −2 (α,α) wα дующим утверждением: β −β целочисленно кратен α. Поэтому множество аксиом системы корней можно записать в следующем виде:
§10. АБСТРАКТНЫЕ КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
117
A1 Φ является конечным множеством ненулевых векторов. A2 Φ порождает пространство E. A3 Если α, β ∈ Φ, то β wα ∈ Φ. A4 Если α, β ∈ Φ, то β wα − β целочисленно кратен α. A5 Если α, λα ∈ Φ, где λ ∈ R, то λ = ±1. Напомним также, что группой Вейля корневой системы Φ называется группа, порождённая отражениями wα , α ∈ Φ. В качестве wα мы рассмотрим σα — единственный неединичный элемент из факторгруппы NZα (T )/T . Для того, чтобы проверить, что σα можно взять в качестве отражения в корне α достаточно показать, что ασα = −α (что слдует из упранения 4.8.5 и следствия 4.8.11), и что σα оставляет неподвижной некоторую гиперплоскость в E. Выберем однопараметрическую подгруппу λ, для которой λσα = −λ. Очевидно, что такая подгруппа существует, в качестве λ можно взять любую регулярную однопараметрическую подгруппу. Тогда подгруппа X = {χ ∈ X(T ) |< χ, λ >= 0} имеет ранг n − 1 и потому порождает требуемую гиперплоскость. Наша задача в данном параграфе доказать, что корневая система связной редуктивной группы G относительно максимального тора T , определённая в § 2 настоящей главы является абстрактной корневой системой. Ясно, что достаточно доказать следующую теорему.
otSystemsCoinside}
yTAndFundRoots}
Теорема 4.10.1. Пусть G — полупростая группа и E = R ⊗Z X(T ). Тогда Φ — абстрактная система корней в пространстве E, ранг которой совпадает с рангом группы G и абстрактная группа Вейля совпадает с W = W (G, T ) = NG (T )/T . Доказательство. Аксиомы А1 и А5 следуют из упражнения 3.9.2 и следствия 4.8.11. Аксиома А2 справедлива по определению. Аксиома А3 следует из действия группы Вейля на корневой системе Φ, определённом в упражнении 4.7.10 и после него. Поскольку корни являются весами относительно P P присоединённого представления, лемма 4.9.3 влечёт, что U−α Uα gβ ≤ k∈N∪{0} gβ+kα и gβ ≤ k∈N∪{0} gβ−kα . Поскольку Zα порождается тором T и группами U α , U−α , причём T нормализует gβ , мы получаем, что для любого x ∈ Zα справедливо P gxβ ≤ k∈Z gβ+kα . Поскольку представитель nα элемента σα ∈ W лежит в группе Zα , мы получаем, что gnαα = g(β)σ = gβ+kα для некоторого k ∈ Z, откуда следует аксиома А4.
Напомним, что любая корневая система Φ содержит набор фундаментальных корней Π, причём любой корень из Φ является целочисленной комбинацией корней из Π, все коэффициенты которой либо неположительны, либо неотрицательны. Более того (см. лемму 1.1.9) любой корень из α ∈ Φ является образом некоторого фундаментального корня π ∈ Π относительно некоторого w ∈ W , т. е. π w = α. В частности, справедлива следующая Лемма 4.10.2. Пусть G — связная редуктивная группа, тогда G порождается группами Zα , α ∈ Π или, что равносильно, тором T и всеми группами U±α , α ∈ Π. Поскольку любой корень корневой системы Φ представим в виде целочисленной комбинации фундаментальных корней, все коэффициенты которой либо неотрицательны, либо неположительны, мы получаем разбиение корневой системы Φ на множество положительных и множество отрицательных корней. Обратно, если мы зададим какое-нибудь разбиение корневой системы Φ на множество положительных и отрицательных корней, согласованное
118
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
со сложением, то мы получим фундаментальную систему корней, соответствующую этому разбиению (см. лемму 1.1.3). Таким образом, взяв произвольный λ ∈ Y (T )reg , мы получаем множество положительных корней Φ+ как {α |< α, λ >> 0}, т. е. если B = B(λ), то Φ+ = {α | gα ≤ L(B)} = {α | α ∈ Φ(B, T )}. Следовательно, зафиксировав некоторую подгруппу Бореля B ∈ BT , мы таким образом однозначно задаём связанный с ней набор фундаментальных корней. Далее мы рассмотрим группу автоморфизмов полупростой алгебраической группы и покажем, что полупростая алгебраическая группа является центральным произведением своих простых компонент. Пусть Aut(G) — группа автоморфизмов полупростой группы G, Inn(G) — группа её внутренних автоорфизмов. Обозначим через D подгруппу группы Aut(G), состоящую из автоморфизмов, оставляющих инвариантными некоторый фиксированный максимальный тор T , и некоторую фиксированную, содержащую его подгруппу Бореля B. Пусть, кроме того, символом Γ обозначена группа симметрий диаграммы Дынкина корневой системы Φ. Как отмечалось выше, фиксируя подгруппу Бореля B, мы получаем некоторый набор фундаментальных корней Π корневой системы Φ. Поскольку для любого σ ∈ D выполнено T σ = T , мы получаем, что σ индуцирует автоморфизм σ ˆ корневой системы Φ. Кроме σ σ того, поскольку B = B, то и Π = Π, т. е. σ ˆ ∈ Γ. Отображение σ 7→ σ ˆ , очевидно, является гомоморфизмом групп D → Γ. В ведённых выше обозначениях справедлива следующая теорема.
{AutomorphismsO
Теорема 4.10.3. Пусть G — полупростая группа. Тогда (а) Aut(G) = (Inn(G))D (здесь Aut(G) — группа автоморфизмов группы G как алгебраической группы); (б) ядро естественного отображения D → Γ равно Inn(G)∩D, в частности, группа Inn(G) имеет конечный индекс в Aut(G). Доказательство. (а) Пусть σ ∈ Aut(G). Ввиду сопряжённости борелевских подгрупп, −1 существует такой x ∈ G, что B x = B σ , т. е. B σIntx = B. Кроме того, в силу сопряжённо−1 сти максимальных торов, существует такой y ∈ B, что T y = T σ·Intx , т. е. B σ·Intx ·Inty = B и T σ·Intx ·Inty = T . (б) Покажем, что Inn(G) ∩ D совпадает с ядром гомоморфизма D → Γ. Действительно, если Intx ∈ D, то x ∈ NG (B) = B (см. теорему 4.6.12) и x ∈ NB (T ) = CB (T ) = T (см. следствия 4.5.5 и 4.8.9). В частности, Intx индуцирует тождественный автоморфизм корневой системы Φ. Обратно, пусть σ ∈ D индуцирует на Φ тождественное отображение. Нам нужно доказать, что σ — внутренний автомрфизм. Для каждого α ∈ Π выберем автоморфизм εα : F → Uα (как в теореме 4.9.2(в)). Тогда Uασ = Uα , следовательно, существует такой cα ∈ F∗ , что (xεα )σ = (cα x)εα для всех x ∈ K (напомним, что Aut(F) = GL1 (F) = F∗ ). В силу линейной независимости множества Π лемма 4.1.8 влечёт существование элемента t ∈ T , для которого tα = cα для всех α ∈ Π. Заменяя σ на σIntt−1 мы можем считать, что cα = 1 для всех α ∈ Π, т. е. σ централизует каждую из подгрупп Uα , α ∈ Π. Кроме того, очевидно, что (tσ )α = tα для любого t ∈ T . Ввиду следствия 4.8.11(е), множество Π порождает подгруппу конечного индекса в X(T ), поэтому гомоморфизм t 7→ tσ t−1 имеет конечный и связный образ, т. е. tσ = t для всех t ∈ T . В частности, элемент σ оставляет неподвижной любую подгруппу Zα , α ∈ Π. Кроме того, он централизует её подгруппу Бореля T Uα , следовательно, по лемме
§10. АБСТРАКТНЫЕ КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
119
4.5.10, автоморфизм σ централизует Zα при α ∈ Π. Так как G = h Zα | α ∈ Π i, то мы получаем, что σ — тривиальный автоморфизм. Пусть, по прежнему, G — полупростая группа. Отметим, что любая замкнутая связная нормальная подгруппа группы G также является полупростой. Действительно, её радикал является характеристической подгруппой, следовательно, нормальной подгруппой группы G.
fSemisimpleGroup}
Теорема 4.10.4. Пусть G — полупростая группа, и пусть {Gi | i ∈ I} — минимальные замкнутые связные нормальные подгруппы положительной размерности. Тогда (а) если i 6= j, то [Gi , Gj ] = {e}; (б) множество I конечно (скажем, I = {1, . . . , n}) и морфизм произведения G1 × . . . × Gn → G сюръективен и имеет конечное ядро; (в) произвольная замкнутая связная нормальная подгруппа группы G является произведением содержащихся в ней подгрупп Gi и централизует остальные Gj ; (г) G = [G, G]; (д) G порождается группами U±α , α ∈ Π. Доказательство. (а) По лемме 4.3.5 мы получаем, что [Gi , Gj ] — связная нормальная подгруппа группы G, содержащаяся как в Gi , так и в Gj . Ввиду минимальности групп Gi , Gj , она равна {e}. (б) Пусть J = {i1 , . . . , ir } ⊆ I. Поскольку [Gi , Gj ] = {e} при i 6= j, мы получаем, что морфизм произведения π : Gi1 × . . . × Gir → G является морфизмом алгебраических групп. В частности, Gi1 · . . . · Gir — замкнутая связная нормальная подгруппа группы G. Как мы заметили выше, она является полупростой. Из (а) следует, что любая Gi , i 6∈ J централизует Gi1 · . . . · Gir , значит, Gi ∩ Gi1 · . . . · Gir ≤ Z(Gi1 · . . . · Gir ), а центр Z(Gi1 · . . . · Gir ) конечен. Следовательно, ядро Ker(π) конечно. Поскольку размерность группы G конечна, мы получаем, что I конечно и равно {1, . . . , n}. Пусть H = G1 · . . . · Gn , покажем, что G = H. Действительно, H — нормальная подгруппа группы G, потому действие группы G на H сопряжениями задаёт гомоморфизм ψ : G → Aut(H), причём H ψ = Inn(H). Поскольку группа H полупроста, теорема 4.10.3 влечёт, что |Aut(H) : Inn(H)| < ∞. Ввиду связности группы G мы получаем, что Gψ = Inn(H) = H ψ . Пусть C = Ker(ψ)0 . Тогда CH — подгруппа группы G конечного индекса, т. е. CH = G. Кроме того, C G, следовательно, C — полупростая группа. Её минимальные замкнутые связные нетривиальные подгруппы централизуют H и, значит, нормальны в G. По построению, они лежат в множестве {G1 , . . . , Gn }, т. е. C = {e}. (в) Пусть H — произвольная замкнутая связная нормальная подгруппа группы G и H 6= {e}. Как показывают предыдущие рассуждения, любая из подгрупп G1 , . . . , Gn либо централизует H, либо лежит в H, откуда следует, что минимальные нормальные связные подгруппы группы H совпадают с некоторыми из Gi . (г) Коммутант группы G является нормальнй подгруппой в G. Посольку каждая из Gi некоммутативна (так как её центр конечен), то [Gi , Gi ] = Gi , откуда [G, G] = G. (д) Так как группа G порождена группами T и U±α , α ∈ Π (см. лемму 4.10.2), то группа H, порождённая только группами Uα , замкнута, связна и нормальна в G, причём G/H ≃ T /(T ∩ H), т. е. абелева. Поскольку [G, G] = G, отсюда следует, что G = H.
120
ГЛАВА 4. СТРОЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Упражнение 4.10.5. Пусть G — связная редуктивная группа, H — её замкнутая нормальная подгруппа, T — максимальный тор группы G. Тогда T ∩ H — максимальный тор группы H. Рассмотрим теперь Φ1 , . . . Φk — неразложимые подсистемы корневой системы Φ. Тогда Φ = Φ1 ∪ . . . ∪ Φk и если α, β — корни из разных неразложимых подсистем, то α + kβ 6∈ Φ IntU для любого k ∈ Z. Ввиду леммы 4.9.3 мы получаем, что gβ ±α = gβ , т. е. U±α оставляет инвариантным одномерное пространство gβ . Поскольку группа U±α унипотентна, это значит, что U±α централизует gβ , следовательно, централизует Uβ . С другой стороны, если α, β — неортогональные корни, то β wα 6= β, следовательно, группа Zα не нормализует Uβ , значит, либо Uα , либо U−α не нормализует β. Рассмотрим Hi = h Uα | α ∈ Φi i. В силу сказанного выше, [Hi , Hj ] = {e} при i 6= j, следовательно, Hi — замкнутая связная нормальная подгруппа группы G. Ввиду утверждения (в) теоремы 4.10.4, мы получаем, что она является произведением некоторых из Gi . Как мы заметили выше, корни Φ(Gl ) ортогональны корням из Φ(Gj ), поэтому, из неразложимости Φ(Hi ) = Φi следует, что Hi = Gl для подходящего l. Таким образом, доказана следующая
{SimpleAlgebraicG
Лемма 4.10.6. Разложение полупростой группы G = G1 · . . . · Gn соответствует разложению корневой системы Φ = Φ1 ∪ . . . ∪ Φn в объединение неразложимых подсистем. Как следует из теоремы 4.10.4, каждая из Gi некоммутативна, имеет конечный центр и не имеет собственных нормальных подгрупп ненулевой размерности. Такие группы называются простыми алгебраическими группами. Из леммы 3.3.1(г) следует, что каждая конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы центральна, поэтому, если G — простая связная алгебраическая группа, то G/Z(G) является простой уже как абстрактная группа. Группы, удовлетворяющие условиям G = [G, G] и G/Z(G) простая называют квазипростыми группами, таким образом, простая алгебраическая группа всегда является квазипростой.
Глава 5. BN-пары и изоморфизм
sAndIsomorphism}
В настоящей главе мы продолжим изучение свойств связных редуктивных линейных алгебраических групп, используя свойства их корневых систем. В частности, мы докажем, что корневая система определяет связную полупростую линейную алгебраическую группу с точностью до конечного центра. Далее везде в главе, если не оговорено противное, алгебраическая группа предполагается связной. Кроме того, мы изучим группы с BN-парами (или с системой Титса), получим критерий простоты таких групп и докажем, что линейные редуктивные алгебраические группы обладают BN-парой. Далее мы построим разложение Брюа произвольного элемента и докажем его единственность. Используя это разложение, мы изучим автоморфизмы полупростых линейных алгебраических групп и строение централизаторов полупростых элементов.
§1
Группы с BN -парой
Наше изложение в основном следует [4, Глава 8] и [13, 1.6]. Доказательство критерия простоты группы с BN-парой взято из [4, Теорема 11.1.1]. {BNpair}
Определение 5.1.1. Пусть G — группа. Говорят, что G является группой с BN-парой или группой с системой Титса, если в группе G существуют такие подгруппы B и N, что выполнены следующие условия: (BN1) группа G порождается подгруппами B и N; (BN2) B ∩ N = H N и факторгруппа W = N/H является конечной группой, порождённой множеством S инволюций (т. е. элементов порядка 2); (BN3) если s ∈ S и ns — представитель смежного класса s в N, то ns Bns 6= B; (BN4) ns Bn ⊆ Bns nB ∪ BnB для любых s ∈ S, n ∈ N; Если кроме этого ещё выполнена аксиома полноты: T (BN5) n∈N B n = H,
то BN-пара называется полной или насыщенной. Группа W называется группой Вейля группы G.
Далее для любого w ∈ W через nw обозначен представитель смежного класса элемента w в N. Поскольку H = B ∩ N, то многие свойства и, в частности, аксиомы (BN3) и (BN4) не зависят от выбора представителя. Определим функцию длины на W следующим образом: l(e) = 0 и если w 6= e, то l(w) — минимальная возможная длина разложения элемента w в
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
122
произведение порождающих элементов из S. Позже мы докажем, что W для линейной алгебраической группы совпадает с группой Вейля этой алгебраической группы, определённной ранее, а множество порождающих элементов S совпадает с отражениями в фундаментальных корнях. Поэтому для обозначения длины элемента из группы Вейля мы используем то же обозначение, что и в главе 1. Если l(w) = k, то разложение w = s1 · . . . · sk , где все si ∈ S называется приведённым. Заметим, что данное определение отличается от определения приведённого выражения в §7 главы 1 тем, что здесь в качестве порождающего мнжества используются отображения в фундаментальных корнях (а не во всех корнях). Ясно также, что приведённое выражение определено, вообще говоря, не единственным образом. {BNjBIsSubgrp}
Лемма 5.1.2. Пусть J ⊆ S и определим WJ = h s | s ∈ J i ≤ W . Пусть NJ ≤ N — прообраз группы WJ в N относительно естественного гомоморфизма N → W . Тогда PJ = BNJ B является подгруппой группы G. В частности, G = BNB. Доказательство. Поскольку множество PJ замкнуто относительно взятия обратного элемента, достаточно проверить лишь замкнутость по умножению. Очевидно, что BPJ ⊆ PJ , так что надо показать, что NJ PJ ⊆ PJ . Далее NJ = h H, {ns | s ∈ J} i, так что достаточно показать лишь, что ns PJ ⊆ PJ для всех s ∈ J, но это следует из аксиомы (BN4).
{BruhatDecompos
Теорема 5.1.3. (разложение Брюа) Пусть G — группа с BN-парой. Тогда справедливо следующее разложение в непересекающееся объединение двойных смежных классов: [ G= Bnw B. w∈W
Более того, для данных s ∈ S, w ∈ W выполнено равенство l(sw) = l(w) ± 1 и Bns nw B, если l(sw) = l(w) + 1, Bns B · Bnw B = Bns nw B ∪ Bnw B, если l(sw) = l(w) − 1. Доказательство. Ввиду леммы 5.1.2 мы получаем, что G = BNB, откуда G = S w∈W Bnw B. Пусть теперь v, w ∈ W , надо показать, что Bnv B = Bnw B влечёт v = w. Докажем утверждение индукцией по min{l(v), l(w)}. Без ограничения общности можно считать, что l(v) 6 l(w). Далее, если l(v) = 0, то y = e и, значит, B = Bnv B = Bnw B, откуда nw ∈ B ∩ N = H. Предположим теперь, что l(v) > 0. Тогда мы можем записать v = sx, где s ∈ S и l(v) = l(x) + 1. Тогда мы имеем ns nx B ⊆ Bnv B = Bnw B, значит, используя аксиому (BN4), nx B ⊆ ns Bnw B ⊆ Bns nw B ∪ Bnw B, откуда либо Bnx B = Bns nw B, либо Bnx B = Bnw B. По индукции мы имеем x = sw или x = w. Второй случай невозможен, поскольку l(x) < l(v) 6 l(w). Таким образом, x = sw и v = sx = w. Рассмотрим теперь правило умножения. Пусть s ∈ S и w ∈ W . Заметим сначала, что, очевидно, l(w) − 1 6 l(sw) 6 l(w) + 1. Индукцией по l(w) легко показать, что l(sw) 6= l(w) для всех s ∈ S. Поэтому либо l(w) = l(sw) + 1, либо l(w) = l(sw) − 1. Предположим, что l(sw) > l(w). Покажем индукцией по l(w), что Bns Bnw B = Bns nw B. Если l(w) = 0, то w = e и доказывать нечего. Предположим, что l(w) > 0 и запишем w = yt, где t ∈ S и y ∈ W таковы, что l(w) = l(y) + 1. По аксиоме (BN4) мы имеем, что либо Bns B · Bnw B = Bns nw B, либо ns Bnw ∩ Bnw B 6= ∅. Предположим, что выполнен второй
§1. ГРУППЫ С BN-ПАРОЙ
123
случай. Тогда ns Bny ∩ Bnw Bnt 6= ∅. Далее l(sy) > l(y) и, значит, по индукции, справедливо ns Bny ⊆ Bns ny B, откуда Bns ny B ∩ Bnw Bnt 6= ∅. Переходя к обратным элементам в аксиоме (BN4), мы получаем, что справедлив её «правосторонний» аналог: nBns ⊆ Bnns B ∪ BnB для любых s ∈ S, n ∈ N. Это означает, что Bns ny B ∩ Bnw nt B 6= ∅ ли Bns ny B ∩ Bnw B 6= ∅. Ввиду первой части доказательства, sy = wt, либо sy = w. Первое равенство даёт sy = yt2 = y, и, значит, s = 1, что противоречит аксиоме (BN3). Второе равенство даёт sw = y и, значит, l(sw) = l(y) < l(w), противоречие. Таким образом, наше предположение неверно и Bns B · Bnw B = Bns nw B, как и требовалось. Предположим теперь, что l(sw) 6 l(w). Ввиду аксиомы (BN4), выполнено включение ns Bns ⊆ B ∪ Bns B. Вместе с аксиомой (BN3), это влечёт, что ns Bns ∩ Bns B 6= ∅. Следовательно, также и ns B ∩ Bns Bns 6= ∅ и ns Bnw ∩ Bns Bns nw 6= ∅. Теперь мы имеем, что l(ssw) = l(w) > l(sw) и, значит, Bns Bns nw = Bnw B, по предыдущему случаю. Это означает, что ns Bnw ∩ Bnw B 6= ∅. С другой стороны, очевидно, что ns nw ∈ Bns nw B, что даёт требуемое равенство. Точная формула умножения, полученная в теореме 5.1.3 имеет ряд важных следствий. Подгруппа P группы G, содержащя B g для некоторого g ∈ G, называется параболической. Например, подгруппы PJ , определённые в лемме 5.1.2, являются параболическими. Мы покажем, что любая параболическая подгруппа группы G сопряжена с некоторой PJ и, более того, PI и PJ сопряжены в том и только в том случае, когда I = J.
psGeneratedByBn}
Лемма 5.1.4. Пусть G — групп с BN-парой и n ∈ N. Пусть w — образ элемента n относительно естественного гомоморфизма N → W и w = s1 · . . . · sk — приведённое разложение элемента w. Обозначим за J = {s1 , . . . , sk } ⊆ S. Тогда группы h B, n i, h B, B n i, PJ совпадают. Доказательство. Поскольку n = ns1 ·. . .·nsk , то n ∈ WJ и, значит, справедливы включения h B, B n i ≤ h B, n i ≤ PJ . Теперь PJ = h B, ns1 , . . . , nsk i. Поскольку l(s1 w) < l(w), теорема 5.1.3 влечёт, что ns1 Bn∩BnB 6= ∅, откуда ns1 ∈ h B, B n i. Аналогично ns2 ∈ h B, B ns1 n i ≤ h B, B n i, откуда ns1 , . . . , nsk ∈ h B, B n i и PJ ≤ h B, B n i. Следствие 5.1.5. Множество S — это множество таких элементов w из W , что B ∪ BwB является подгруппой группы G. В частности, множество S определено однозначно.
ubgrpContainingB}
Лемма 5.1.6. Пусть G — группа с BN-парой. Тогда подгруппы PJ — единственные подгруппы группы G, содержащие B. Доказательство. Пусть M — подгруппа группы G, содержащая B. Тогда подгруппа M является объединением двойных смежных классов по B группы G и по теореме 5.1.3, каждый такой двойной смежный класс содержит элемент из N. Таким образом, M порождается подгруппой B и некоторым множеством элементов из N. Пусть nα ∈ N ∩ M. По лемме 5.1.4, h B, nα i = PJα для подходящего подмножества Jα множества S. Значит, M = PJ , где J = ∪Jα .
PjIsSelfNormalized}
Лемма 5.1.7. Пусть G — группа с BN-парой. Тогда NG (PJ ) = PJ для любого J ⊆ S. Более того, различные подгруппы PJ , PK не могут быть сопряжены в G.
124
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
Доказательство. Поскольку NG (PJ ) содержит B, лемма 5.1.6 влечёт, что NG (PJ ) порождается подгруппой B и некоторыми из элементов из N. Пусть n ∈ N ∩ NG (PJ ). Тогда по лемме 5.1.4 выполнено PJ ≥ h B, B n i = h B, n i, т. е. n ∈ PJ и PJ = NG (PJ ). Предположим, что PJ и PK сопряжены в G. Пусть PJg = PK , где g = b1 nb2 и b1 , b2 ∈ B, n ∈ N. Тогда PJn = PK , значит, PK ≥ h B, B n i = h B, n i и PJ = PK .
{SIsMinimalSetOf
Лемма 5.1.8. Множество S является минимальным множеством порождающих группы W . Доказательство. Предположим, что можно удалить некоторый элемент s ∈ S таким образом, что S = S \ {s} по прежнему порождает W . Тогда группа G является группой с BNпарой, в которой вместо множества S взято множество S. Рассмотрим s = s1 · . . .· sk — приведённое выражение для s, в котором все si ∈ S. Пусть n — представитель смежного класса s в N и пусть J = {s1 , . . . , sk }. По лемме 5.1.4 мы получаем, что h B, n i = PJ . Ввиду разложения Брюа, мы получаем, что h B, n i = B ∪BnB и, с другой стороны, PJ ⊇ B ∪Bns1 B ∪. . .∪Bnsk B, противоречие.
{PjPIAreDistinktF
Теорема 5.1.9. Пусть G — группа с BN-парой. Тогда подгруппы PI , PJ совпадают в том и только в том случае, если I = J. Более того, PI ∩ PJ = PI∩J . Поскольку h PI , PJ i = PI∪J , отсюда следует, что подгруппы PI образуют решётку, изоморфную решётке подмножеств множества S. Доказательство. Пусть I, J — подмножества множества S. Поскольку PI ∩ PJ является подгруппой группы G, содержащей B, то лемма 5.1.6 влечёт, что существует такое K ⊆ S, что PK = PI ∩ PJ . Очевидно, что PI∩J ≤ PK . Предположим, что PI∩J 6= PK . Тогда K не содержится либо в I, либо в J, можно считать, что K не содержится в J. Однако, PK ≤ PJ и, значит, разложение Брюа влечёт NK ≤ NJ . Следовательно, WK ≤ WJ . Пусть s ∈ K \ L. Тогда s ∈ WK и поэтому s ∈ WJ . Но это значит, что s выражается через элементы из S \ {s}, что противоречит лемме 5.1.8. Предположим теперь, что PJ = PI . Если J 6= I, то J \ I 6= ∅. Поскольку PJ = PJ ∩ PI = PJ∩I , мы получаем, что WJ = WJ∩I , что опять влечёт противоречие с леммой 5.1.8. Упражнение 5.1.10. Пусть G — связная редуктивная алгебраическая группа, H — её максимальный тор, B — подгруппа Бореля группы G, содержащая тор H и N = NG (H). Доказать, что подгруппы B и N образуют BN-пару группы G. В заключение параграфа мы сформулируем критерий простоты групп с BN-парой.
{SimpleGrpsWithB
Теорема 5.1.11. Пусть G — группа с BN-парой, удовлетворяющая следующим условиям: (а) G = [G, G]; (б) B разрешима; T (в) g∈G B g = {e};
(г) множество S нельзя разложить на такие два непустые подмножества I, J, что каждый элемент из I коммутирует с любым элементом из J. Тогда G проста.
ExcangeCondition}
sionInDobleCosets}
§2. РАСЩЕПЛЁННЫЕ BN-ПАРЫ
125
Доказательство. Пусть G1 — нормальная подгруппа группы G. Тогда G1 B — подгруппа группы G, содержащая B и, по лемме 5.1.6, совпадает с PJ для некоторого J ⊆ S. Пусть I = S\J и s ∈ J, t ∈ I. Тогда l(st) > l(s), поэтому теорема 5.1.3 влечёт, что Bns B·Bnt B = Bns nt B. Далее, поскольку G1 B = PJ = BNJ B, значит, Bns B ∩ G1 6= ∅. Поскольку G1 нормальна в G, то nt Bns Bnt ∩ G1 6= ∅. Однако, по аксиоме (BN4), мы имеем nt Bns Bnt ⊆ nt Bns nt B ⊆ Bns nt B ∪ Bnt ns nt B. Таким образом, либо Bns nt B ∩ G1 6= ∅, либо Bnt ns nt B ∩ G1 6= ∅. Первое неравенство влечёт, что ns nt ∈ NJ , значит, nt ∈ NJ и t ∈ WJ , что противоречит лемме 5.1.8. Следовательно, мы имеем Bnt ns nt B ∩ G1 6= ∅. Это значит, что nt ns nt ∈ NJ . Поскольку nt ns nt ∈ N{s,t} , теорема 5.1.9 влечёт, что nt ns nt ∈ PJ ∩ P{s,t} = P{s} = B ∪ Bns B. Значит, либо tst = e, либо tst = s. Первый случай невозможен, так как s 6= e и t−1 = t. Во втором случае мы получаем, что для любого s ∈ J, t ∈ I выполнено st = ts. В силу условия (г), это значит, что либо J = ∅, либо I = ∅. Предположим, что I = ∅. Тогда J = S и G1 B = G. Таким образом, G/G1 ≃ B/G1 ∩ B разрешима. По свойству (а), выполнено G = [G, G], значит, G = G1 . Предположим, что J = ∅. Тогда G1 B = B, поэтому G1 ≤ B. Поскольку G1 нормальна в G, мы имеем G1 ≤ ∩g∈G B g = {e}. Упражнение 5.1.12. Проверить, что условия (а), (в), (г) теоремы являются необходимыми.
§2
Расщеплённые BN -пары
В данном параграфе мы рассмотрим группы с расщеплёнными BN-парами и получим точную форму разложения Брюа. Наше изложение следует [13, 1.6]. Как и в предыдущем параграфе для w ∈ W через nw мы обозначаем некоторого представителя смежного класса w в N. Лемма 5.2.1. Пусть G — группа с BN-парой и W — её группа Вейля. Рассмотрим w ∈ W и запишем w = s1 · . . . · sk , где si ∈ S и k = l(w). Пусть s ∈ S и предположим, что l(sw) < l(w). Тогда sw = s1 · . . . · si−1 · si+1 · . . . · sk для некоторого 1 6 i 6 k. Доказательство. По лемме 5.1.4 мы получаем, что ns ∈ Bnw Bn−1 w B. В силу точной формулы умножения, найденной в теореме 5.1.3, индукцией по l(w) мы получаем, что [ Bnw Bn−1 B ⊆ Bnsi1 · . . . · nsim · n−1 (5.1) w w B. 16i1 <...
Следовательно, s = xw −1 = si1 · . . . · sim w −1 для некоторых 1 6 i1 < . . . < im 6 k. Вычислим xw −1 , умножая множители из разложения для x. Тогда на каждом шаге длина либо уменьшается, либо увеличивается на 1. В конце мы получаем, что 1 = l(s) = l(xw −1 ) > k − m > 0, откуда либо m = k, либо m = k − 1. В первом случаем мы получаем, что x = w и s = e, противоречие. Во втором случае мы получаем, что x = s1 · . . . · si−1 si+1 · . . . · sk , что и утверждалось. Упражнение 5.2.2. Доказать включение (5.1).
hInWeylOfBNpair}
Лемма 5.2.3. Пусть G — группа с BN-парой. Существует единственный элемент w0 ∈ W максимальной длины. Кроме того, w02 = e и w0 единственным образом определяется свойством l(sw) < l(w) для всех s ∈ S.
ality}
126
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
Доказательство. Поскольку W конечна, существует такой элемент w0 ∈ W , что l(w) 6 l(w0 ) для всех w ∈ W . Докажем индукцией по l(w), что для любого w ∈ W справедливо l(ww0 ) = l(w0 ) − l(w).
(5.2)
Если l(w) = 0, то w = 1 и доказывать нечего. Предположим теперь, что l(w) = k+1, где k > 0 и запишем w = s1 · . . . · sk · s, где s, si ∈ S. Тогда, по индукции, m = l(s1 · . . . · sk w0 ) = l(w0 ) − k. Рассмотрим теперь приведённое выражение s1 · . . . · sk · w0 = t1 · . . . · tm , где tj ∈ S. Тогда w0 = sk · . . . · s1 · t1 · . . . · tm — приведённое выражение для w0 . Поскольку l(sw0 ) < l(w0 ), лемма 5.2.1 влечёт, что либо sw0 = sk · . . . · si+1 · si−1 · . . . · s1 · t1 · . . . · tm для некоторого 1 6 i 6 k, либо sw0 = sk · . . . · s1 · t1 · . . . · tj−1 · tj+1 · . . . · tm для некоторого 1 6 j 6 m. В первом случае мы получаем, что ssk · . . . · s1 = sk · . . . · si+1 · si−1 · . . . · s1 , откуда l(w) = l(w −1 ) 6 k − 1, противоречие. Следовательно, выполнен второй случай и это значит, что ww0 = t1 · . . . · tj−1 · tj+1 · . . . · tm . Поэтому l(ww0) = m − 1 = l(w0 ) − k − 1 = l(w0 ) − l(w), что и утверждлось. Далее, полагая w = w0 мы получаем, что l(w02 ) = 0 и, значит, w02 = e. Пусть теперь w ∈ W — другой элемент, для которого l(w) = l(w0 ). Вновь l(ww0) = 0, откуда w = w0−1 = w0 . Наконец предположим, что w ∈ W выбран так, чтобы l(sw) < l(w) для всех s ∈ S. Предположим, что l(w) < l(w0 ). Тогда, в силу (5.2), выполнено l(ww0 ) = l(w0 ) − l(w) > 0 и, значит, l(sww0 ) < l(ww0 ) для некоторого s ∈ S. Вновь применяя (5.2) мы получаем, что l(sw) > l(w).
{IntersectionnsBW
Лемма 5.2.4. Пусть s ∈ S и w ∈ W выбраны так, что l(sw) = l(w) + 1. Тогда ns Bns ∩ Bnw Bn−1 w ⊆ B. Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда, поскольку ns Bns ⊆ B ∪ Bns B, мы получаем, что Bns B ∩ Bnw Bn−1 w 6= ∅ и, значит, Bns Bnw ∩ Bnw B 6= ∅. Кроме того, аксиома (BN4) влечёт, что Bns Bnw ⊆ Bns nw B ∪ Bnw B, значит, Bns Bnw 6⊆ Bns nw B, что противоречит точной формуле умножения, полученной в теореме 5.1.3. Для удобства, далее мы будем использовать следующие обозначения: B w = B nw и Bw = B ∩ B nw0 w , где w ∈ W . Лемма 5.2.5. Пусть y, w ∈ W таковы, что l(yw) = l(y) + l(w). Тогда B ∩ B yw ⊆ B ∩ B w . Более того, если BN-пара является насыщенной, то B ∩ B w0 = H. Доказательство. Докажем индукцией по l(y). При l(y) = 0 доказывать нечего. Предположим теперь, что l(y) = 1, тогда y = s ∈ S. По лемме 5.2.4 мы имеем −1 −1 −1 −1 nw (B ∩ B sw )n−1 w = nw (B ∩ nw ns Bns nw )nw = nw Bnw ∩ ns Bns ⊆ B
и, значит, B ∩ B sw ⊆ B ∩ B w . Предположим теперь, что l(y) > 1 и выберем такой s ∈ S, что l(ys) < l(y). Положим y ′ = ys и w ′ = sw. Тогда yw = y ′w ′ и l(y ′ w ′) = l(y ′) + l(w ′ ). По ′ индукции мы имеем, что B ∩ B yw ⊆ B ∩ B w = B ∩ B sw . По уже доказанному, мы получаем B ∩ B sw ⊆ B ∩ B w , что и требовалось. Рассмотрим теперь B ∩ B w0 . Пусть y ∈ W . В силу равенства (5.2) мы можем записать w0 = xy, где x ∈ W и l(w0 ) =Tl(x) + l(y).TТогда B ∩ B w0 = B ∩ B xy ⊆ B y выполнено для всех y ∈ W и, значит, B ∩ B w0 ⊆ y∈W B y ⊆ n∈N B n = H по аксиоме (BN5).
{IntersectionOfsum
§2. РАСЩЕПЛЁННЫЕ BN-ПАРЫ
127
Лемма 5.2.6. Пусть s ∈ S и w ∈ W таковы, что l(ws) = l(w) + 1. Тогда справедливы следующие утверждения: (а) B = Bs · Bw0 s = Bw0 s · Bs и H $ Bs ; (б) Bs ⊆ Bw0 w ; (в) Bws = Bs · Bws = Bws · Bs . Доказательство. (а) Пусть y = w0 s, тогда по (5.2) мы имеем l(ys) = l(y) + 1 и, значит, l(sy −1 ) = l(y −1 ) + 1. Ввиду точной формулы умножения, полученной в разложении Брюа −1 −1 −1 (теорема 5.1.3), справедливо равенство ns Bn−1 y ⊆ Bns ny B и, значит, B ⊆ ns Bns ny Bny = s y B ·B . Пусть b ∈ B. Тогда b = b′ · b′′ , где b′ ∈ B s и b′′ ∈ B y . Далее b′ ∈ ns Bns ∩ Bn−1 y Bny ⊆ B ′ ′′ (последнее включение следует из леммы 5.2.4) и, значит, b , b оба лежат в B. Следовательно, B = (B ∩ B s ) · (B ∩ B y ) = Bw0 s · Bs . Переходя в этом равенстве к обратным элементам, мы получаем, что B = Bs · Bw0 s . Более того, очевидно, что H ⊆ Bs . Если Bs = H, то B = Bw0 s = B ∩ B s и, значит, ns Bns = B, что противоречит аксиоме (BN3). (б) В силу равенства (5.2), мы можем записать w0 = yws, где y ∈ W выбран так, что l(w0 ) = l(y) + l(ws) = l(y) + l(w) + 1. Тогда w0 s = yw, где l(w0 s) = l(w0 ) − 1 = l(y) + l(w), поэтому лемма 5.2.5 влечёт Bs = B ∩ B w0 s = B ∩ B yw ⊆ B ∩ B w = Bw0 w . (в) В силу (а) справедливо равенство B = Bs ·Bw0 s . Заметим, что l(w0 wss) = l(w0 )−l(w) = l(w0 ) − l(ws) + 1 = l(w0 ws) + 1 и, значит, Bs ⊆ Bws (в силу (б)). Таким образом, Bws = Bws ∩ B = Bws ∩ Bs · Bw0 s = Bs Bws ∩ Bs Bw0 s = Bs (Bws ∩ Bw0 s ). Осталось показать, что Bws ∩ Bw0 s = Bws . Заметим сначала, что s w0 w s Bws ∩ Bw0 s = B ∩ B w0 ws ∩ B s = n−1 ∩ B)ns = n−1 s (B ∩ B s (B ∩ Bw )ns .
Далее l(w0 ws) = l(w0 ) − l(w) − 1 = l(w0 w) − 1 и, значит, можно записать w0 w = xs, где x ∈ W таков, что l(xs) = l(x) + 1. По лемме 5.2.5 отсюда следует, что Bw = B ∩ B w0 w ⊆ B s . Следовательно, Bws ∩ Bw0 s = n−1 s Bw ns . {B=BwBw0w}
Лемма 5.2.7. Пусть G — группа с насыщенной BN-парой. Тогда для любого w ∈ W справедливо B = Bw · Bw0 w = Bw0 w · Bw . Доказательство. Покажем сначала, что выполнено следующее утверждение:
{Bsw=BwBsw}
Для любых s ∈ S и w ∈ W , для которых выполнено равенство l(sw) = l(w) + 1, справедливо равенство Bsw = Bw · Bsw . (5.3) При l(w) = 0 мы имеем w = e и, значит, по лемме 5.2.5 справедливо Be = B ∩ B w0 = H. Таким образом, Bs = Be · Bs . Пусть теперь l(w) > 0 и выберем такой t ∈ S, что l(wt) < l(w). t Мы полагаем y = wt, тогда sw = syt и l(sy) = l(y) + 1. Значит, Bsw = Bsyt = Bsy · Bt (по лемме −1 y y t 5.2.6(в)), что, в свою очередь равно nt (By · Bs )nt Bt = (Bs · By ) Bt по индукции. Отсюда, вновь применяя лемму 5.2.6(в), мы получаем Bsw = Bsyt · Byt · Bt = Bsyt · Byt = Bsw · Bw .
{Equ
128
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
Докажем теперь разложение B = Bw · Bw0 w индукцией по l(w). Если l(w) = 0, то доказывать нечего. Предположим, что l(w) > 0 и запишем w = sy, где s ∈ S и y ∈ W таковы, что l(sy) = l(y) + 1. Используя (5.3), мы получаем Bw · Bw0 w = Bsy · Bw0 sy = By · Bsy · Bw0 sy . Заметим, что Bw0 sy = B ∩ B sy = Bwsy0 (sy)−1 . Тогда, используя лемму 5.2.6(в) и индукцию мы получаем следующие равенства y s −1 Bw · Bw0 w = By · Bsy · Bwsy0 (sy)−1 = By · n−1 y (Bs · Bw0 (sy)−1 )ny = By · ny Bw0 (sy)−1 s ny = By · Bw0 y −1 .
Теперь ы замечаем, что Bwy 0 y−1 = Bw0 y , т. е. Bw · Bw0 w = By · Bw0 y = B Упражнение 5.2.8. Показать, что лемма 5.2.7 справедлива для любой BN-пары (а не только для насыщенной BN-пары). Определение 5.2.9. Пусть G — группа с BN-парой. Говоят, что BN-пара расщеплённая, если существует такая нормальная подгруппа U B, что выполнены следующие условия. (BNS1) Пусть H = B ∩ N. Тогда B = U : H. (BNS2) Для любого n ∈ N справедливо U n ∩ B ≤ U. Теорема 5.2.10. (точная форма разложение Брюа) Пусть G — группа с насыщенной расw0 w щеплённой BN-парой. Положим Uw = U ∩ n−1 для всех w ∈ W (очевидно, w0 w Unw0 w = U ∩ B что w не зависит от выбора nw , поскольку U нормальна в B). Тогда любой элемент g ∈ Bnw B записывается единственным образом в виде g = bnw u, где b ∈ B, u ∈ Uw . Более того, Uw 6= {e} для всех неединичных w ∈ W . Доказательство. Мы будем обозначать U w = U nw для всех w ∈ W . Покажем сначала, что Bw = Uw H для всех w ∈ W . Действительно, поскольку H N и B = UH, мы имеем B ∩ B w = UH ∩ U w H ⊇ (U ∩ U w )H. Осталось показать, что верно и обратное включение. ′ ′ ′ ′ Пусть g ∈ B ∩ B w . Тогда g = n−1 w unw h = u h , где u, u ∈ U и h, h ∈ H. Поскольку g ∈ B, nw nw то u ∈ U ∩ B ⊆ U, по аксиоме (BNS2). Таким образом, по аксиоме (BNS1) BN-пары, мы заключаем, что unw = u′ и h = h′ , значит, g ∈ (U ∩ U w )H. Заменяя теперь w на w0 w, мы получаем, что Bw = Uw H. Далее лемма 5.2.7 влечёт раенства U = Uw ·Uw0 w = Uw0 w ·Uw для всех w ∈ W . Заметим такnw −1 же, что nw Uw0 w n−1 )n−1 w = nw (U ∩ U w = nw Unw ∩ U ⊆ U, следовательно, Bnw B = Bnw HU = Bnw U = Bnw Uw0 w Uw = Bnw Uw . Таким образом, разложение Брюа S (теорема 5.1.3) влечёт, что G представима в виде непересекающегося объединения G = w∈W Bnw Uw и осталось доказать единственность разложения. Пусть g ∈ Bnw Uw и запишем g = bnw u = b′ nw u′ , где b, b′ ∈ B и u, u′ ∈ Uw . Тогда −1 ′ w0 w w0 , поэтому достаточно показать, что nw u(u′ )−1 n−1 )n−1 w = b b ∈ nw (U ∩ U w ∩B ⊆ B ∩U w0 w0 B ∩ U = {e}. По лемме 5.2.4 мы имеем B ∩ U ⊆ B ∩ B w0 = H. В силу аксиомы (BNS2), мы также имеем B ∩ U w0 ⊆ U и, значит, это пересечение должно быть тривиальным. Предположим, что Uw = {e} для некоторого w 6= e. Тогда мы имеем Bw = H. Если w 6= e, s то существует такой s ∈ S, что l(ws) = l(w) − 1. По лемме 5.2.6 мы имеем Bw = Bs · Bws ⊇ Bs % H, противоречие. Упражнение 5.2.11. Доказать, что отображение умножения µ : Uw × Uw0 w → U является биекцией.
{SharpBruhatDeco
§3. ГРУППЫ КОКСТЕРА
129
Упражнение 5.2.12. Пусть GF (q) — конечное поле из q элементов и GLn (q) — группа всех невырожденных матриц степени n над этим полем. Доказать, что подгруппа треугольных матриц B = Tn (q) и подгруппа мономиальных матриц N группы GLn (q) образуют расщелённую насыщенную BN-пару и найти порядок группы GLn (q), используя точную форму разложения Брюа.
§3
Группы Кокстера
Иногда группы Вейля параболических подгрупп удобно рассматривать как абстрактные группы Кокстера. В данном параграфе мы определим группы Кокстера и докажем теорему об их изоморфизме. Наше изложение следует [20, 29.4]. c — абстрактная группа, порождённая элементами sˆ1 , . . . , sˆn и соотношениями Пусть W mij c назывется (ˆ si sˆj ) = e, причём mii = 1 для всех i и все mij конечны. Тогда группа W группой Кокстера. Пусть G — произвольная группа с BN-парой и пусть W — её группа Вейля, с множеством порождающих инволюций s1 , . . . , sn . Определим mij = |si sj |. В ведённых обозначениях справедлива следующая теорема.
upIsCoxeterGroup}
c — группа Теорема 5.3.1. Пусть mij — порядок элемента si sj в группе Вейля W и W mij Кокстера, порождённая элементами sˆ1 , . . . , sˆn и соотношениями (ˆ si sˆj ) = e. c Тогда гомоморфизм π : W → W является изоморфизмом.
Доказательство. Сюръективность гомоморфизма π очевидна, так что достаточно доказать инъективность. Покажем сначала, что если si1 · . . . · sik , sj1 · . . . · sjk — два приведённых разложения одного c выполнено равенство sˆi · . . . · sˆi = sˆj · . . . · sˆj . и того же элемента s ∈ W , то в группе W 1 1 k k Доказательство будем вести индукцией по k. Для k = 1 утверждение тривиально. Поскольку l(sj1 s) = l(s) − 1 < l(s), то лемма 5.2.1 влечёт, что существует такое m 6 k, для которого sj1 s = si1 ·. . .·sim−1 ·sim+1 ·. . .·sik . По индукции мы имеем равенство sˆi1 ·. . .· sˆim−1 · sˆim+1 ·. . .· sˆik = sˆj2 · . . . · sˆjk . Отсюда мы получаем равенство sˆj1 · sˆi1 · . . . · sˆim−1 · sˆim+1 · . . . · sˆik = sˆj1 · sˆj2 · . . . · sˆjk . Если при этом m < k, то применение индукции к элементу sj1 · si1 · . . . · sim−1 = si1 · . . . · sim даёт нам равенство sˆj1 · sˆi1 · . . . · sˆim−1 = sˆi1 · . . . · sˆim , откуда следует утверждение. Таким образом, нам осталось доказать равенство sˆj1 · sˆi1 · . . . · sˆik−1 = sˆi1 · . . . · sˆik (при условии, что верно равенство sj1 · si1 · . . . · sik−1 = si1 · . . . · sik ). Умножив обе части этого равенства на sˆi1 слева и повторив те же рассуждения, что и выше, мы получаем, что либо равенство выполняется по индукции, либо достаточно доказать равенство sˆi1 ·ˆ sj1 ·ˆ si1 ·. . .·ˆ sik−2 = sˆj1 · sˆi1 · . . . · sˆik−1 (при условии, что верно равентво si1 · sj1 · si1 · . . . · sik−2 = sj1 · si1 · . . . · sik−1 ). Последовательно повторяя рассуждения мы получаем, что достаточно доказать равенства sˆi1 · sˆj1 · sˆi1 · . . . = sˆj1 · sˆi1 · sˆj1 · . . . при условии выполнения аналогичных равенств в группе | {z } | {z } t раз
t раз
W . Но это последнее равенство, очевидно, эквивалентно утверждению |ˆ si1 sˆj1 | = |si1 sj1 |.
c, В силу доказанного утверждения, мы можем определить гомоморфизм ϕ : W → W правилом ϕ : si1 · . . . · sik 7→ sˆi1 · . . . · sˆik , где выражение si1 · . . . · sik является приведённым. Очевидно, что композиция ϕπ является тождественным отображением на W , откуда следует инъективность.
130
§4
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
BN -пары в алгебраических группах
Основной задачей настоящего параграфа является проверка аксиом BN-пары в линейных алгебраических группах. Везде в данном параграфе предполагается, что G — связная редуктивная алгебраическая группа, B — её подгруппа Бореля, T — максимальный тор группы G, содержащийся в B, и U = Ru (B) — унипотентный радикал группы G. По следствию 4.8.9 мы получаем, что CG (T ) = T , так что CU (T ) = {e}. Мы будем говорить, что подмножество H группы G прямо порождено подмножествами H1 , . . . , Hk (в заданном порядке), если морфизм произведения H1 × . . . × Hk → H является биекцией.
{CloseT-invariantU
Лемма 5.4.1. Пусть H — замкнутая T -инвариантная подгруппа группы U. Тогда группа H связна и прямо порождена теми подгруппами Uα , для которых L(Uα ) = gα содержится в L(H) = h (при этом группы Uα можно взять в произвольном порядке). L Доказательство. Пусть Ψ = Φ(H, T ), т. е. h = α∈Ψ gα . Упорядочим Ψ произвольным образом, пусть Ψ = {α1 , . . . , αn } и пусть π : Uα1 × . . . × Uαn → H — морфизм произведения. Заметим, что определение морфизма π корректно, поскольку при α ∈ Ψ группа Uα лежит в H (см. теорему 4.9.2(а)). Покажем, что морфизм π биективен. Предположим сначала, что группа H связна. Если, кроме того H коммутативна, то π является гомоморфизмом групп, причём ядро Ker(π) конечно (поскольку π отображает Uαi на Uαi ) и T -инвариантно (поскольку морфизм π является T -эквивариантным). Ввиду леммы 3.3.1(г), отсюда следует, что T централизует Ker(π). Как мы заметили выше, {e} = CU (T ) > CH (T ), следовательно, Ker(π) = {e}. С другой стороны, dim(H) = dim(h) = n = dim(Uα1 ) + . . . + dim(Uαn ), следовательно, группа (Uα1 × . . . × Uαn )π является замкнутой связной подгруппой группы H, размерность которой совпадает с H. Ввиду связности группы H мы получаем, что (Uα1 × . . . × Uαn )π = H, т. е. морфизм π является сюръективным. Если группа H не является коммутативной, то она нильпотентна и обладает центром положительной размерности Z = Z(H)0 (следствие 4.3.7), который, очевидно, является T инвариантным. Из рассмотренного коммутативного случая следует, что группа Z прямо порождена содержащимися в ней подгруппами Uα (взятыми в любом порядке). Очевидно, можно считать, что центральные подгруппы Uα находятся в конце и совпадают с Uαk+1 , . . . , Uαn . Если ϕ : H → H/Z — канонический гомоморфизм, L то группа T действует естественным образом на H/Z. Кроме того, поскольку L(H/Z) = ki=1 gαi ≤ h и Ch(T ) = {0}, лемма 4.3.10 влечёт, что CH/Z (T ) = {e}. Используя индукцию по размерности, мы заключаем, что H ϕ прямо порождается группами Uαϕ1 , . . . , Uαϕk (в любом порядке). Отсюда следует, что группа H прямо порождена группами Uα1 , . . . , Uαn (в любом порядке). Предположим теперь, что группа H не является связной. Пусть V — подмножество группы U, прямо порождённое теми из Uα , которые не входят в H 0 . Приведённое выше доказательство для связного случая позволяет утверждать, что U = H 0 V , следовательно, H прямо порождена множествами H 0 и H ∩ V . Но множество H ∩ V конечно (так как V ∩ H 0 = {e} |H : H 0 | конечн) и T -инвариантно. Следовательно, T централизует H ∩ V и поэтому H ∩ V ≤ CU (T ) = {e}. Заметим, что, вообще говоря, не для любого подмножества {α1 , . . . , αk } = Ψ множества положительных корней Φ+ множество Uα1 . . . Uαk является подгруппой группы U. Рассмотрим один важный случай. Пусть n ∈ N и σ ∈ W — его образ относительно естественного гомоморфизма. Поскольку T = N ∩ B = N ∩ NG (U) = NN (U), мы будем использовать
{BNpairInSSrank1}
§4. BN-ПАРЫ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУППАХ
131
обозначение U σ = U n . Ввиду теоремы 4.9.2(б), для любой корневой подгруппы Uα справедливо равенство Uαn = Uασ . Пусть B − = T U − — борелевская подгруппа, содержащая T и противоположная B = T U. Тогда мы можем построить две T -инвариантные подгруппы группы U: Uσ = U ∩ (U − )σ и Uσ′ = U ∩ U σ (мы хотим особо подчеркнуть, что через Uσ обозначена группа U ∩ (U − )σ ; это сделано для того, чтобы обозначения для разложения Брюа в алгебраических группах совпадали с обозначениями для разложения Брюа из предыду+ щего параграфа). Этим подгруппам соответствуют разбиения Φ− | ασ < 0} σ = {α ∈ Φ + + σ и Φ σ = {α ∈ Φ | α > 0}. Лемма 5.4.1 показывает, что справедливо равенство U = Uσ Uσ′ = Uσ′ Uσ , но, вообще говоря, группа U не является полупрямым произведением подгрупп Uσ и Uσ′ . Предположим теперь, что α ∈ Π — фундаментальный корень и рассмотрим σ = σα . По лемме 1.1.6, отображение σα преставляет положительные корни, отличные от α, поэтому + ′ ′ Φ+ σα = Φ \ {α} и Uσα имеет коразмерность 1 в U. По следствию 4.4.2 мы получаем, что Uσα нормальна в U и, следовательно, в B. Так как σα2 = e, то и σα нормализует Uσ′ α . Значит, вся группа Zα нормализует Uσ′ α . Лемма 5.4.2. Пусть G — связная алгебраическая группа полупростого ранга 1 (в частности, |W | = 2 и σ — единственный неединичный элемент группы W ). Тогда G = B ∪ BσB. В частности, группы B, N образуют BN-пару группы G. Доказательство. Очевидно, утверждение леммы достаточно доказать лишь для группы G/R(G), поэтому можно считать, что G — полупростая группа. Более того, если Z(G) 6= {e}, то мы можем заменить группу G на G/Z(G) и, таким образом, считать, что Z(G) тривиален. В виду следствия 4.8.3(е), мы получаем, что G ≃ PGL2 (F), B — подгруппа тре 0 1 относительно естественного гомоморфизма угольных матриц и σ — образ матрицы 1 0 GL2 (F) → PGL2 (F). Непосредственными вычислениями проверяется, что любая матрица из GL2 (F) либо является верхнетреугольной, либо представима в виде произведения верх 0 1 нетреугольной матрицы, матрицы нижнетреугольной матрицы и верхнетреугольной 1 0 матрицы, откуда следует лемма. Напомним, что в группе Zα существует лишь две подгруппы Бореля, содержащие тор T — Bα и Bα′ = Bασα . Из леммы 5.4.2 следует, что если x0 — левый смежный класс группы Zα по Bα , соответствующий любой из этих подгрупп, то его орбита совпадает с Bα x0 ∪ Bα σα x0 вне зависимости от того, какая именно из подгрупп выбрана.
InAlgebraicGroup}
Теорема 5.4.3. Пусть G — связная алгебраическая группа, B — её подгруппа Бореля с максимальным тором T и унипотентным радикалом U, N = NG (T ) — мономиальная подгруппа группы G. Тогда подгруппы B, N образуют расщелённую насыщенную BN-пару группы G. Доказательство. Выполнение аксиом (BN1)–(BN3), (BN5), а также аксиом (BNS1) и (BNS2) легко следует из результатов предыдущей главы и их проверку мы оставляем читателю. Здесь мы проверим лишь аксиому (BN4). Заметим, что в качестве множества S необходимо взять множество {σα | α ∈ Π}. Таким образом, обозначая через nα некоторый прообраз элемента σα в группе N, нам необходимо проверить включение nα Bn ⊆ Bnα nB ∪ BnB. Как мы заметили выше, элемент nα нормализует Uσ′ α , следовательно, hnα , Bi = Uσ′ α : Zα — группа полупростого ранга 1 (унипотентный радикал которой совпадает с Uσ′ α ).
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
132
Напомним, что множество смежных классов группы G по подгруппе B естественным образом отождествляется с множеством борелевских подгрупп B = {B x | x ∈ G}, причём правому смежному классу Bx сопоставляется подгруппа B x , а левому смежному классу xB −1 сопоставляется подгруппа B x . Тогда равенство Bxg = Bx (соотв. gxB = xB) справедливо −1 −1 в том и только в том случае, если B xg = B x (соотв. B (xg) = B x ). Используя это отождествление рассмотрим точку nB ∈ BT . Её стабилизатор в Zα есть одна из борелевских подгрупп Bα или Bα′ группы Zα , содержащих тор T (см. лемму 4.8.6 и рассуждения перед ней). Следовательно, многообразие Zα /Bα биективно отображается на орбиту точки nB относительно Zα . Ввиду леммы 5.4.2 и замечания после её доказательства, мы получаем, что эта орбита Zα (nB) совпадает с B(nB) ∪ Bσα (nB). Таким образом, справедлива следующая цепочка равенств Zα BnB = Zα Uσ′ α Uα nB = Uσ′ α Zα nB = Uσ′ α BnB ∪ Uσ′ α Bnα nB = BnB ∪ Bnα nB, откуда следует аксиома (BN4).
{IntersectionOfBor
Упражнение 5.4.4. Пусть группа G редуктивна и B1 , B2 — её подгруппы Бореля. Тогда B1 ∩ B2 содержит максимальный тор группы G.
§5
Фундаментальная группа
Пусть G — связная алгебраическая группа и ρ : G → GLn (F) — её рациональное представление. Весами представления ρ называются образы в группе X(T ) весов группы T ρ на пространстве V относительно гомоморфизма X(T ρ ) → X(T ). Для удобства, мы будем опускать ρ и считать, что V является G-модулем. Пусть λ — некоторый вес представления ρ, обозначим через Vλ = {v ∈ V | vt = tλ v} весовое пространство для λ. Тогда dim Vλ называется кратностью веса λ. Заметим, что действие группы W на X(T ), определённое в упражнении 4.7.10, даёт нам действие группы W на весах представления ρ. Более точно, если n ∈ NG (T ) является представителем элемента σ ∈ W , то Vλn = Vλσ , значит, все веса в одной W -орбите имеют одинаковую кратность. Ввиду теоремы 3.2.4, для любой алгебраической группы существует изоморфизм на подгруппу некоторой группы GLn (F). Веса этого изоморфного представления порождают группу X(T ). Если G — простая группа, то для произвольного представления ρ мы имеем, что Ker(ρ) — конечная группа и потому существует лишь конечное число возможностей для выбора Ker(ρ). При этом веса представления ρ порождают подгруппу конечного индекса в X(T ). Если ρ = Ad, то весами присоединённого представления являются корни (каждый кратности 1) с добавлением тривиального веса 0 (кратности n = rank(G)). Пусть теперь ρ — произвольное представление простой группы G. Тогда, по лемме 4.9.3, для любого α ∈ Φ подгруппа (Uα )ρ отображает произвольное весовое пространство Vλ в Vλ+kα , где k ∈ Z, k > 0. Следовательно, группа (Zα )ρ оставляет инвариантным пространство P Vλ+kα , k ∈ Z; в частности, λσα = λ + kα для некоторого k ∈ Z. С другой стороны, в (α,λ) евклидовом пространстве X(T ) ⊗Z R элемет σα действует как отражение λσα = λ − 2 (α,α) α. (α,λ) Таким образом, число 2 (α,α) =< α, λ > является целым.
Определение 5.5.1. Пусть Φ — корневая система, порождающая евклидово пространство Rn . Вектор λ из Rn называется весом корневой системы Φ, если для любого корня α ∈ Φ число (α,λ) =< α, λ > является целым. Множество весов корневой системы Φ будем обозначать 2 (α,α)
§6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ
133
через Λ(Φ) или просто через Λ. Заметим, что для любого представления ρ и для любого веса λ представления ρ, вес λ является весом корневой системы Φ. 2α называется кокорнем корня α. Таким образом, Для любого корня α элемент α ˇ = (α,α) для любого веса λ и корня α справедливо < α, λ >= (α, ˇ λ), т. е. пространство, порождённое весами является дуальным пространству, порождённому кокорнями. В пространстве, порождённом весами из Λ существует дуальный базис к базису пространства, порождённого кокорнями. Пусть α1 , . . . , αn — фундаментальный набор корней корневой системы Φ. Тогда α ˇ1, . . . , α ˇ n — базис пространства, порождённого кокорнями. Обозначим через λ1 , . . . , λn двойственный базис пространства, порождённого кокорнями. Тогда (λi , α ˇ j ) = 1 при i = j и 0 при i 6= j, т. е. λ1 , . . . , λn лежат в Λ. Нетрудно проверить, что любой вес из Λ является целочисленной комбинацией весов λ1 , . . . , λn . Веса λ1 , . . . , λn называются фундаментальными доминантными весами корневой системы Φ.
ndamentalWeights}
Упражнение 5.5.2. Проверить, что любой вес из Λ является целочисленной линейной комбинацией весов λ1 , . . . , λn .
{WeightLattice}
В силу Pупражнения 5.5.2 любой вес λ представим в виде целочисленной линейной комбинации i ci λi . Вес λ называется доминантным, если для любого i справедливо неравенство ci > 0. Упражнение 5.5.3. Пусть P = ZΦ — свободная абелева группа, порождёная корнями и Q = ZΛ — свободная абелева группа, порождённая всеми весами корневой системы Φ. Доказать, что P является подгруппой группы Q и найди факторгруппу Q/P для всех неразложимых корневых систем. Ответ: ∆(An ) ≃ Zn+1 , ∆(E6 ) ≃ Z3 , ∆(Bn ) ≃ ∆(Cn ) ≃ ∆(E7 ) ≃ Z2 , ∆(D2n+1 ) ≃ Z4 , ∆(D2n ) ≃ Z2 × Z2 , ∆(Φ) = 1 в остальных случаях. Заметим, что любой корень также можно насматривать как вес корневой системы, поскольку для любых α, β ∈ Φ число < α, β > является целым. Таким образом, мы получаем следующие включения ZΦ ≤ X(T ) ≤ ZΛ. Ввиду упражнения 5.5.3, группа ZΛ/ZΦ конечна и почти всегда циклическая, за исключением случая Φ = D2n , когда группа ZΛ/ZΦ является элементарной абелевой группой порядка 4. Факторгруппу ZΛ/ZΦ в дальнейшем мы будем обозначать через ∆(Φ). Факторгруппа ZΛ/X(T ) будет обозначаться через ∆(G) и называться фундаментальной группой алгебраической группы G. Полупростая алгебраическая группа называется односвязной, если ∆(G) = {e}. В другом крайнем случае, когда ∆(G) = ∆(Φ), группа G называется группой присоединённого типа.
§6
Теорема об изоморфизме
morphismTheorem}
В данном параграфе мы сформулируем теорему об изоморфизме простых алгебраических групп и сведём её доказательство к изучению редуктивных подгрупп ранга 2. Везде в этом и следующем параграфе, если не оговорено противное, группа G является связной и простой. Введём ряд обозначений, которые будут использоваться в этом и следующем параграфе. Напомним, что для любого α ∈ Φ через Tα обозначена подгруппа (Ker(α))0 максимального тора T и через Zα — её (связный) централизатор CG (Tα ). Обозначим Zαβ = CG ((Tα ∩ Tβ )0 ). Обозначим через Φαβ аддитивно замкнутую подсистему системы Φ, порождённую корнями α и β. Заметим, что Zαβ связна и редуктивна. Покажем, что Φ(Zαβ ) = Φαβ . Действительно, включение Φαβ ⊆ Φ(Zαβ ) очевидным образом из того факта, что любой корень вида iα + jβ
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
134
является тривиальным характером тора (Tα ∩ Tβ )0 . Обратно, для любого γ ∈ Φ \ Φαβ группа Uγ не централизует тор (Tα ∩ Tβ )0 (см. лемму 4.1.8 и теорему 4.9.2(в)). Следовательно, gγ 6≤ L(Zαβ ) и γ 6∈ Φ(Zαβ ). Положим также, для удобства Zαα = Zα . Сформулируем теорему об изоморфизме, которую мы будем доказывать в этом и в следующем параграфах.
{IsomorphismTheo
Теорема 5.6.1. Пусть G, H — простые алгебраические группы, для которых Φ(G) ≃ Φ(H) и ∆(G) ≃ ∆(H). Тогда группы G и H изоморфны. Обозначим через T1 , B1 , Φ максимальный тор, подгруппу Бореля и корневую систему группы G, а через T2 , B2 , Φ — максимальный тор, подгруппу Бореля и корневую систему группы H (по условию теоремы, корневые системы изоморфны и мы будем использовать для них один и тот же символ). Рассмотрим евклидовы пространства E1 = X(T1 ) ⊗Z R и E2 = X(T2 ) ⊗Z R. Из того, что Φ порождает пространства E1 и E2 , следует существование изоморфизма f : E1 → E2 , сохраняющего произведение корней < α, β >. Таким образом, мы получаем изоморфизм решёток весов ZΛ1 и ZΛ2 . Далее, ZΦ ≤ X(T1 ) ≤ ZΛ и ZΦ ≤ X(T2 ) ≤ ZΛ. В силу упражнения 5.5.3, для всех корневых систем, кроме D2n группа ZΛ/ZΦ является циклической, поэтому мы получаем, что группы X(T1 ) и X(T2 ) изоморфны. {D_2ncase}
Упражнение 5.6.2. Доказать, что и в случае корневой системы D2n группы X(T1 ) и X(T2 ) изоморфны. Далее, каждому изоморфизму f −1 : X(T2 ) → X(T1 ) соответствует единственный изоморфизм ϕT : T1 → T2 . Нам необходимо продолжить его до изоморфизма ϕ : G → H алгебраических групп. Таким образом, мы можем переформулировать теорему об изоморфизме.
{IsomorphismTheo
Теорема 5.6.3. Пусть G, H — полупростые алгебраические группы с максимальными торами T1 , T2 и корневыми системами Φ1 , Φ2 соответственно. Если ϕT : T1 → T2 — изоморфизм торов, чьё ассоциированное отображение X(T2 ) → X(T1 ) индуцирует изоморфизм корневых систем Φ1 , Φ2 , то отображение ϕT можно продолжить до изоморфизма ϕ : G → H. Прежде, чем продолжать доказательство, мы кратко опишем его схему. Сначала мы построим соласованные расширения отображения ϕT до вложений ϕN : N → H и ϕB : B → H. Тогда образы групп B, N образуют BN-пару группы H и, используя точную форму разложения Брюа (теорема 5.2.10) мы построим биекцию ϕ : G → H. Далее мы покажем, что эта биекция сохраняет операцию, т. е. является гомоморфизмом. Кроме того, ограничение ϕ на B является морфизмом. Тогда и ϕ будет являться морфизмом. Действительно, поскольку U − = Ru (B − ) = U σ0 , то ограничение ϕ на U − также будет морфизмом. Обозначим через Ω = σ0 Bσ0 B = U − B большую клетку. Тогда следующая диаграмма коммутативна: U− × B
Ω
/
(U − )ϕ × Bϕ /
Ωϕ
Заметим, что морфизм произведения µ : U − × B → Ω сюръективен, так как U − ∩ B = {e}, значит, dim Ω = dim U − +dim B = dim G. Таким образом, Ω содержит открытое подмножество группы G (на самом деле, само Ω является открытым подмножеством, но нам здесь это не
{OmegaIsDence}
§6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ
135
требуется). Следовательно, ϕ является морфизмом на некотором открытом подмножестве группы G и потому задаётся рациональной функцией, всюду определённой на G. По лемме 2.6.2 мы получаем, что ϕ является морфизмом. Перейдём теперь к последовательному выполнению всех шагов доказательства. Шаг 1. Продолжение отображения ϕT на N = NG (T ). Заметим, что ввиду теоремы 5.3.1, группа W порождается элементами σα , α ∈ Π и соотношениями (σα , σβ )mαβ = e. Мы хотим продолжить это представление группы W на группу N, используя отображение ϕT . Для этого мы выберем произвольных представителей nα для σα , α ∈ Π (ясно что этих представителей, вместе с тором T , достаточно, чтобы породить всю группу N). Далее положим tαβ = (nα · nβ )mαβ ∈ T . Мы утверждаем, что этих соотношений вместе с тором T достаточно, чтобы породить единственным образом группу N. {phiNextension}
Лемма 5.6.4. Пусть ψ : T → H — гомоморфизм абстрактных групп и пусть hα ∈ H, α ∈ Π. Тогда ψ можно продолжить до гомоморфизма N → H, переводящего nα в hα в том и только в том случае, если (hα hβ )mαβ = (tαβ )ψ для всех α, β ∈ Π. Доказательство. Необходимость условия (hα hβ )mαβ = (tαβ )ψ очевидна, докажем его достаточность. Рассмотрим свободную группу W ∗ с множеством порождающих n∗α , α ∈ Π. Каждому из n∗α сопоставим автоморфизм t 7→ (n∗α )−1 tn∗α тора T , получая таким образом канонический гомоморфизм W ∗ → Aut(T ). Пусть N ∗ = T : W ∗ — полупрямое произведение групп W ∗ и T . Профакторизуем N ∗ по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей эле∗ ∗ mαβ e Очевидно, менты t−1 , α, β ∈ Π и обозначим полученную факторгруппу через N. αβ (nα nβ ) e , причём подгруппа T группы N ∗ изогруппа N является гомоморфным образом группы N e (также обозначенную через T ) и затем на T . морфно отображается на подгруппу группы N Очевидно также, что ψ : T → H единственным образом продолжается до гомоморфизма e → H, переводящего n N ˜ α в hα , где n ˜ α — образ элемента n∗α . e → N является изоморфизмом. Для Осталось доказать, что канонический гомоморфизм N e /T → N/T = W является изоморфизмом. Но этого достаточно доказать, что эпиморфизм N e факторгруппа N /T порождается образами элементов n ˜ α , удовлетворяющими соотношениям для группы W . Ввиду теоремы 5.3.1, она не может быть больше, чем W .
Вернёмся теперь к продолжению отображения ϕT : T → H до ϕN : N → H. Мы должны выбрать элементы nα ∈ N, α ∈ Π, определив таким образом элементы tαβ , α, β ∈ Π. Затем выбрать такие образы hα , для которых (hα hβ )mαβ = (tαβ )ϕT . Все эти вычисления зависят лишь от групп Zαβ полупростого ранга 1 или 2. Заметим, что поскольку группы Вейля групп G, H изоморфны и конечны, построенный нами изоморфизм ϕN автоматически является морфизмом алгебраических групп.
Шаг 2. Продолжение ϕT на Zα . Прежде, чем строить продолжение отображения ϕT на подгруппу Бореля B, нам нужно построить его продолжение на корневые подгруппы. Мы сделаем это, построив продолжение морфизма ϕT на группы Zα . Напомним, что Zα /Z(Zα ) ≃ PGL2 (F) (см. теорему 4.8.2(е)). Здесь и далее образ матрицы A = (ai,j ) ∈ GLn (F), 1 6 i, j 6 n в группе PGLn (F) относительно естественного гомоморфизма будем обозначать через [A] = [ai,j ]. Пусть π : Zα → PGL2 (F) — упоминавшийся выше гомоморфизм. Тогда Uαπ является максимальной унипотентной группы PGL2 (F) и потому, с точностью до подгруппой 1 x сопряжения, состоит из матриц вида , где x ∈ F. Кроме того, T π — максимальный тор 0 1
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ t1 0 ∗ π π | t1 , t2 ∈ F . Ввиду теорегруппы PGL2 (F), нормализующий Uα , поэтому T = 0 t 2 1 x π . Поскольку (Uα )σ = U−α , можно считать, мы 4.9.2(в) можно считать, что (uα (x)) = 0 1 1 0 0 1 π что (u−α (x)) = . Далее мы можем выбрать nα = uα (1)u−α (−1)uα (1) = . x 1 −1 0 −1 0 1 0 2 = . Тогда tα = nα переходит в 0 −1 0 1 Пусть теперь Zα′ — другая редуктивная группа полупростого ранга 1, будем обозначать её элементы также, как элементы группы Zα , добавляя штрих. Тогда для неё тоже существует гомоморфизм π ′ : Zα′ → PGL2 (F), для которого образы элементов u′±α (x), n′α , t′α можно выбрать такими же, как и образы соответствующих элементов группы Zα . Тогда справедлива следующая лемма. 136
Лемма 5.6.5. Во ведённых выше обозначениях пусть ϕT : T → T ′ — изоморфизм торов, для которого изоморфизм групп характеров X(T ′) → X(T ) переводит α в α. Тогда ϕT можно продолжить единственным образом до изоморфизма алгебраических групп ϕ : Zα → Zα′ так, что (uα (x))ϕ = u′α(x), где x ∈ F и nα ϕ = n′α . Доказательство. Единственность изоморфизма ϕ очевидна, поскольку T, nα , Uα порождают Zα . Также очевидно, как определить измоморфизм многообразий между соответствующими большими клетками Ωα , Ω′α , а именно: (u−α (x)tuα (y)) ϕ = u′−α (x)tϕT u′α (y). Далее мы используем эпиморфизмы π, π ′ на PGL2 (F), чтобы построить общую «накрывающую» группу S, удовлетворяющую условию: существуют такие гомоморфизмы ρ : S → Zα и ρ′ : S → Zα′ , что следующая диаграмма коммутативна. t S JJJ JJ ρ′ JJ JJ t JJ tt t $ zt ϕ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/ Z ′ II u α II uu u II u uu π III$ zuu π ′
ρ ttttt
Zα
PGL2 (F)
Рассмотрим замкнутую подгруппу R = {(z, z ′ ) ∈ Zα × Zα′ | (z)π = (z ′ )π ′ } группы Zα × Zα′ (она замкнута, как прообраз замкнутого множества — диагонали в PGL2 (F) × PGL2 (F)), положим S = R0 и пусть ρ, ρ′ — соответствующие проекции. Очевидно, ρπ = ρ′ π ′ . Поскольку π, π ′ сюръективны, то и проекции группы R на Zα , Zα′ также сюръективны. Но S имеет конечный индекс в R, так что проекции ρ, ρ′ сюръективны на S. На данный момент мы определили ϕ на плотном подмножестве Ωα , содержащем некоторое открытое подмножество группы Zα , и потому ϕ является рациональной функцией. Кроме того, ρϕ = ρ′ . Покажем, что ϕ всюду определена, откуда будет следовать, что ϕ — гомоморфизм групп. Пусть x ∈ S, z = (x)ρ, z ′ = (x)ρ′ . Обозначим через λ0 , λ, λ′ соответствующие левые сдвиги групп S, Zα , Zα′ , индуцированные этими элементами. Мы имеем, что ρϕλ′ = ρ′ λ′ = λ0 ρ′ на всех элементах, для которых определено отображение ρϕ. Кроме того, λ0 ρ′ = λ0 ρϕ = ρλϕ. Из сюръективности ρ следует, что ϕλ′ = λϕ (вновь для тех элементов, для которых соответствующие отображения определены). Таким образом, если ϕ определено в точке y ∈ Zα , то оно определено и в точке (y)λ = z −1 y правилом (z −1 y)ϕ = (y)ϕλ′ = (z ′ )−1 (y)ϕ. В силу произвольности выбора элемента z, мы получаем, что ϕ всюду определено и ρϕ = ρ′ . Следовательно, ϕ являтся гомоморфизмом.
{IsomorphismOfG
§6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ
137
По построению, (nα )ϕ = n′α . В силу симметрии мы получаем, что существует и обратное отображение ϕ′ : Zα′ → Zα , следовательно, ϕ является изоморфизмом.
leGroupsOfRank1}
Упражнение 5.6.6. Доказать, что полупростая группа ранга 1 изоморфна либо SL2 (F), либо PGL2 (F). Продолжение ϕT на T Uα . На предыдущем шаге мы показали, каким образом продолжить отображение ϕT до изомоморфизма группы Zα в соответствующую подгруппу группы H для любого корня α ∈ Φ+ . Однако, корни не являются «независимыми» (значение этого понятия будет ясно из последующих рассуждений). Построим сначала расширения ϕZα только для фундаментальных корней α ∈ Π. Обозначим через ϕα сужение изоморфизма ϕZα на Uα , через nα элемент uα (1)u−α(−1)uα (1), определённый на предыдущем шаге, и через tα элемент n2α (= tαα ). Положим hα = (nα )ϕZα . Ввиду шага 1, изоморфизм ϕT можно продолжить до изоморфизма ϕN : N → H, переводящего nα 7→ hα , α ∈ Π, если выполнено следующее условие. (А) Если tαβ = (nα nβ )mαβ для всех α, β ∈ Π, то (tαβ )ϕT = (hα hβ )mαβ , где mαβ = |σα σβ |. Мы проверим выполнение этого условия в следующем параграфе, пока же предположим, что условие (А) выполнено и будем использовать изоморфизм ϕN . По построению, ϕN и ϕZα согласуются на Zα . Далее наша задача — построить продолжение изоморфизма ϕT до изоморфизма ϕB : B → H, которое должно совпадать с ϕα на Uα . В частности, если Uαβ = U ∩ Zαβ , то необходимо потребовать выполнения следующего условия. (Б) Для любой пары фундаментальных корней α, β ∈ Π существует такой изоморфизм алгебраических групп ϕαβ из Uαβ на соответствующую подгруппу группы H, что он является расширением и ϕα , и ϕβ . Как и условие (А), второе условие необходимо проверить лишь для групп ранга 2 и его проверкой мы займёмся в следующем параграфе. Сейчас же мы предположим, что это условие выполнено. Далее, если мы хотим продолжить ϕT не только на B, но и на всю группу G, необходимо наложить дополнительные ограничения. Предположим, что β — некоторый положительный корень и σ ∈ W выбран так, что β σ = α ∈ Π. Выберем представителя n элемента σ в группе N (для краткости мы буде использовать обозначение n ¯ = σ). Тогда Uα = n−1 Uβ n или −1 Uβ = nUα n . Если существует гомоморфизм ϕ : G → H, продолжающий как ϕN , так и ϕα , то полученное равенство показывает, как ϕ должен быть определён на Uβ . Но при этом β может переходить в α под действием другого элемента из W и β может переходить в какойто другой фундаментальный корень. Нам необходимо убедиться, что все такие варианты по прежнему являются согласованными, для этого, оказывается, вновь достаточно проверки следующего условия для групп ранга 2. (В) Пусть α, β ∈ Π. Если γ ∈ Φ+ αβ и γ 6= α, то ϕαβ ◦ Inthα согласуется на Uγ с Intnα ◦ ϕαβ . Как и условия (А) и (Б), условие (В) будет проверено в следующем параграфе. Пока же предположим, что и это условие выполнено и докажем, что ϕα можно определить на всех
138
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
корнях α (как положительных, так и отрицательных).
{ExtensionOfPhia
Лемма 5.6.7. Предположим, что отображения ϕN и ϕα , ϕαβ , α, β ∈ Π определены так, что выполнены условия (А), (Б), (В). Тогда для любого α ∈ Φ существует изоморфизм ϕα группы Uα на соответствующую подгруппу группы H, удовлетворяющий условиям: (а) если α ∈ Π, то ϕα согласуется с морфизмом ϕ−α = ϕZα |U−α ; (б) если α, β ∈ Π и γ ∈ Φ+ αβ , то ϕγ = ϕαβ |Uγ ; (в) если n ∈ N и (α)σ = β, α, β ∈ Φ, то ϕα ◦ Int(n)ϕN согласуется с Intn ◦ ϕβ на Uα . Доказательство. Положим Nαβ = NZαβ (T ). Доказательство этой леммы мы проведём в четыре этапа. (1) Пусть α, β ∈ Π, α 6= β. Если n ∈ Nαβ и (α)σ = α (соотв. (α)σ = β), то ϕα ◦ Int(n)ϕN согласуется с Intn ◦ ϕα (соотв. с Intn ◦ ϕβ ) на Uα . Запишем n = nγ1 · . . . · nγk t для некоторого t ∈ T и некоторых γi ∈ {α, β}. В случае n = t (значит (α)σ = α) наше утверждение следует из построения отображения ϕZα . Поэтому мы можем предполагать, что n = nγ1 · . . . · nγk и использовать индукцию по k. Напомним (см. лемму 1.1.6), что ασα = −α и σα переставляет остальные положительные корни (то же самое справедливо для β и σβ ). Для выполнения индукционного шага рассмотрим последовательность корней αi = (α)σγ1 · . . . · σγi−1 ∈ Φαβ . Если все αi положительны, то мы получаем требуемое утверждение последовательным применением условия (В). Поэтому предположим, что существует такое − i, что αi ∈ Φ+ αβ , а (αi )σγi ∈ Φαβ . Как мы заметили выше, это означает, что либо αi = α и σγi = σα , либо αi = β и σγi = σβ . Тогда можно записать элемент n в виде n′ · n′′ , где n′ = nγ1 · . . . · nγi−1 и n′′ = nγi · . . . · nγk . Кроме того, заметим что и n′ , и n′′ удовлетворяют условиям для n (для n′′ , возможно, необходимо поменять ролями корни α и β). Если n′ 6= 1, т. е. γ1 6= α, то по индукции получаем требуемое утверждение. Предположим, что γ1 = α, т. е. n = nα nγ2 . . . nγk . Если для некоторого j < k справедливо включение (α)σα σγ2 . . . σγj ∈ Φ+ , то требуемое утверждение вновь справедливо по индукции. Поэтому можно считать, что ασγ2 . . . σγi ∈ Φ+ для всех i < k, ασγ2 . . . σγk−1 = α (соотв. ασγ2 . . . σγk−1 = β) и γk = α (соотв. γk = β). Как мы заметили выше, для n1 = nγ2 . . . nγk−1 справедливо утверждение этапа (1), т. е. ϕα ◦ Int(n1 )ϕN согласуется с Intn ◦ ϕα (соотв. с Intn ◦ ϕβ ) на Uα . Пусть, для определённости, (α)σγ2 . . . σγk−1 = β. По построению изоморфизма ϕZα (соотв. ϕZβ ), справедливы равенства ϕ−α = Intnα ◦ ϕα ◦ Int(nα )ϕN и ϕ−β = Intnβ ◦ ϕβ ◦ Int(nβ )ϕN . Поскольку n2α централизует Uα и (n2α )ϕN централизует (Uα )ϕα , а n2β централизует Uβ и (n2β )ϕN централизует (Uβ )ϕβ , отсюда следует, что также справедливы равенства ϕα = Intnα ◦ϕ−α ◦Int(nα )ϕN и ϕβ = Intnβ ◦ϕ−β ◦Int(nβ )ϕN . Заменяя в равенстве ϕα ◦Int(n1 )ϕN = Intn1 ◦ϕβ отображение ϕα на Intnα ◦ ϕ−α ◦ Int(nα )ϕN , а отображение ϕβ на Intnβ ◦ ϕ−β ◦ Int(nβ )ϕN , мы получаем равенство ϕ−α ◦ Int(n)ϕN = Intn ◦ ϕ−β , которое справедливо на U−α . Поскольку Uα ≤ Zα = hU−α , nα , T i и отображения ϕZα ◦ Int(n)ϕN , Intn ◦ ϕZβ совпадают на U−α , nα , T , то они совпадают и на Zα , следовательно, они совпадают на Uα , откуда вытекает справедливость этапа (1). (2) Пусть α, β ∈ Π и предположим, что (α)σ = β, n ∈ N. Тогда ϕα ◦ Int(n)ϕN согласуется с Intn ◦ ϕβ на Uα . Заметим, что этап (2) сразу следует из условия (В), если α 6= β и n ∈ Nαβ , и из этапа (1) если α = β и n ∈ Nα,γ для некоторого γ ∈ Π. Применяя лемму Титса 1.5.5, мы получаем этап (2).
§6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ
139
(3) Пусть α ∈ Φ, n, n′ ∈ N. Предположим, что (α)σ = β ∈ Π и (α)σ ′ = β ∈ Π. Тогда −1 ′ Intn ◦ ϕβ ◦ Int−1 (n)ϕN согласуется с Intn ◦ ϕβ ◦ Int(n′ )ϕN на Uα . Достаточно доказать, что ϕβ ◦ Int(n−1 n′ )ϕN согласуется с Intn−1 n′ ◦ ϕβ на Uβ , а это следует из этапа (2). (4) Теперь мы можем определить ϕα так, чтобы он согласовывался со всеми случаями, упомянутыми в (б). По лемме 1.1.9, существует такой фундаментальный корень β и n ∈ N, что (α)σ = β. Для x ∈ Uα определим (x)ϕα равным (x)Intn ◦ ϕβ ◦ Int−1 (n)ϕN . Ввиду этапа (3), это определение не зависит от выбора β и n, что даёт нам утверждение леммы.
Шаг 4. Продолжение ϕT на B. Мы по прежнему предполагаем, что выполнены условия (А), (Б), (В), сформулированные на предыдущем шаге. На предыдущем шаге мы построили согласованные морфизмы ϕα для всех α ∈ Φ, что даёт нам морфизм (как многообразий) ϕB подгруппы Бореля B группы G на подгруппу Боеля группы Q H. Действительно, группа B как многообразие изоморфна прямому произведению T × α∈Φ+ Uα . Мы хотим показать, что ϕB является гомоморфизмом групп. Для этого нам потребуется изучать коммутаторы в группе U. Заметим, что для любых α, β ∈ Φ+ коммутант [Uα , Uβ ] является T -инвариантной подгруппой и потому, по лемме 5.4.1, прямо порождается теми Uγ , которые в ней содержатся. Далее лемма 4.9.3 показывает, какие корни γ могут содержаться в Φ([Uα , Uβ ]).
mmutatorFormulae}
Лемма 5.6.8. (Коммутаторная формула Шевалле) Пусть α, β ∈ Φ+ и Ψ — множество корней вида rα + sβ, где r, s — натуральные числа. Тогда [uα (x), uβ (y)] = Q r s r,s>0 urα+sβ (Cα,β,r,s x y ), произведение берётся по всем rα + sβ ∈ Ψ и константы Cα,β,r,s не зависят от выбора x, y. В частности, [Uα , Uβ ] = e, если α + β 6∈ Φ. Доказательство. Упорядочим положительные корни каким-нибудь образом α1 , . . . , αm , чтобы порядок согласовывался со сложением корней (одно из возможных упорядочений приведено в главе про корневые системы). Тогда отображение произведения µ : Uα1 ×. . .×Uαm → U является изоморфизмом многообразий. Далее определим морфизм ψ : F × F → U правилом (x, y)ψ = [uα (x), uβ (y)]. Его образ имеет вид uα1 (p1 (x, y)) P· . . . · uαm (pm (x, y)), где pi (X, Y ) ∈ F[X, Y ] — многочлены от двух переменных: pi (X, Y ) = r,s>0 ai,r,s X r Y s . По определению морфизма ψ, мы имеем (x, 0)ψ = e = (0, y)ψ, так что XY делит pi (X, Y ). Далее сопряжём (x, y)ψ элементом t ∈ T и запишем результат двумя способами. С одQ α β α β ной сторноы, [u (t x), u (t y)] = u (p α β i αi i (t x, t y)). С другой стороны, правая часть равна Q αi i uαi (t pi (x, y)). Сравнивая оба выражения и применяя лемму 4.1.8, получаем, что ai,r,s = 0 во всех случаях, кроме αi = rα + sβ, и pi (X, Y ) = cX r Y s при αi = rα + sβ, откуда следует лемма. Покажем, каким образом из данной леммы получается вложение ϕB . В том случае, когда α, β — простые корни, лемма вместе с условием (Б) влечёт, что ϕαβ = ϕB |Uαβ является изоморфизмом. Если теперь α, β — произвольные корни, то существует такой n ∈ N, что ασ — фундаментальный корень и существует такой фундаментальный корень γ, что β σ ∈ Φ+ ¯γ αn (см. лемму 1.1.9). По лемме 5.6.7 и из того, что ϕασ γ : Uασ γ → H — гомоморфизм групп, мы получаем, что ϕB сохраняет коммутаторную формулу. В частности, отсюда следует, что ϕB |U : U → H является изоморфизмом. Поскольку ϕB сохраняет действие тора T на U и его ограничение на T является изоморфизмом, мы получаем, что ϕB : B → H является изоморфизмом.
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
140
Шаг 5. ϕ сохраняет операцию. На данном шаге мы покажем, что ϕ : G → H сохраняет операцию и, тем самым, по модулю проверки свойств (А), (Б), (В), завершим доказательство теоремы об изоморфизме. Доказательство того, что ϕ сохраняет операцию, следует из следующих двух лемм. В первой мы докажем, что если ϕ сохраняет операцию на некотором открытом подмножестве связной алгебраической группы, то тогда ϕ сохраняет операцию на всей группе. А во второй мы проверим, что ϕ сохраняет операцию на большой клетке Ω.
{ExtensionFromOp
Лемма 5.6.9. Пусть G1 , G2 — связные алгебраические группы, U — непустое открытое подмножество группы G1 , ψ : G1 → G2 — такой морфизм, что (xy)ψ = xψ y ψ если только x, y, xy ∈ U. Тогда ψ продолжается (единственным образом) до морфизма алгебраических групп ψ ′ : G1 → G2 . Доказательство. Ввиду леммы 3.1.4, выполнено равенство G1 = U · U, которое диктует продолжение для ψ ′ . Если x ∈ G1 записан в виде x = yz, где y, z ∈ U, то мы обязаны ′ положить xψ = y ψ z ψ . Для того, чтобы определить таким образом отображение, нам нужно проверить, что выполнено условие (∗): y ψ y ψ = (y ′)ψ (z ′ )ψ если только y, z, y ′, z ′ ∈ U и yz = y ′z ′ . Если мы сумеем доказать условие (∗), то тогда ψ ′ автоматически будет морфизмом, поскольку его ограничение на любом сдвиге xU будет морфизмом. Кроме того, ψ ′ также автоматически будет сохранять операцию. Действительно, заметим, что подмножество V множества U × U, состоящее из пар (x, y), для которых xy ∈ U, является плотным в G1 × G1 , −1 поскольку V является пересечением открытых множеств U ×U и U µ , где µ : G1 ×G1 → G1 — морфизм произведения. Далее, морфизм G1 × G1 → G2 , определённый правилом (x, y) 7→ ′ ′ ′ (xy)ψ (y ψ )−1 (xψ )−1 на V совпадает с тождественным морфизмом (x, y) 7→ e, значит, по лемме 2.6.18(2), совпадает с тождественным морфизмом на всём многообразии G1 × G1 . Таким образом, достаточно доказать выполнение условия (∗). Обозначим через D1 (соотв. D2 ) диагональ в G1 ×G1 (соотв. G2 ×G2 ). По определению многообразий, диагонали являются замнутыми множествами. Пусть X — прообраз диагонали D1 относительно морфизма (U × U) × (U × U)
µ×µ
/ G1
× G1
и Y — прообраз диагонали D2 относительно композиции морфизмов (U × U) × (U × U)
ψ×ψ×ψ×ψ
/
(G2 × G2 ) × (G2 × G2 )
µ×µ
/
G2 × G2 .
Таким образом, X, Y — замкнутые подмножества, как прообразы замкнутых подмножеств. Заметим также, что X является неприводимым, поскольку отображение (w, x, y, z) 7→ (w, x, y) индуцирует изоморфизм многообразий из прообраза диагонали D1 в (G1 × G1 ) × (G1 × G1 ) на G1 × G1 × G1 и X — открытое подмножество в первом из этих многообразий. Действительно, тот факт, что X — открытое подмножество в прообразе диагонали D1 следует из равенства множества X пересечению этого прообраза с открытым подмножеством (U × U) × (U × U) многообразия (G1 × G1 ) × (G1 × G1 ). Если теперь подмножество V в U × U определно также, как и раньше, то предположение, что (xy)ψ = xψ y ψ при x, y, xy ∈ U влечёт, что X ′ = (V × V ) ∩ X содержится в Y . Но X ′ — открытое (и, в силу неприводимости X, плотное) подмножество множества X, значит, замкнутость множества Y влечёт X ⊆ Y . Лемма 5.6.10. Предположим, что выполнены условия (А), (Б), (В) и определим ϕ : G → H из разложения Брюа. Тогда (xy)ϕ = xϕ y ϕ как только x, y, xy ∈ Ω.
{phiIsMultiplicativ
§7. ИЗОМОРФИЗМ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП РАНГА 2
141
Доказательство. Мы проведём доказательство в несколько этапов, используя уже доказанные изоморфизмы ограничений ϕ на Zα , N, U, U − . (1) Пусть n0 ∈ N — представитель самого длиного элемента σ0 ∈ W , переводящего все положительные корни в отрицательные, так что U n = U − , (U − )n = U. Тогда для ϕ ϕ ϕ всех u ∈ U (соотв. u ∈ U − ) выполнено (un0 )ϕ = (n−1 0 ) · u · n0 . Действительно, поскольку ограничения ϕ|U и ϕ|U − — изоморфизмы, наше утверждение следует из леммы 5.6.7(в). (2) Пусть u ∈ B, v ∈ B − , x ∈ Ω. Тогда (vxu)ϕ = v ϕ · xϕ · uϕ . Запишем v = v1 t1 , x = v2 t2 u2 , u = t3 u3 , где vi ∈ U − , ti ∈ T , ui ∈ U. Тогда по определению, −1 ϕ v ϕ · xϕ · uϕ = v1ϕ · tϕ1 · v2ϕ · tϕ2 · uϕ2 · tϕ3 · uϕ3 . Аналогично, (vxu)ϕ = (v1 t1 v2 t−1 1 t1 t2 t3 t3 u2 t3 u3 ) = −1 ϕ −1 −1 ϕ ϕ ϕ (v1 t1 v2 t1 ) · (t1 t2 t3 ) · (t3 u2 t3 u3) . Ввиду леммы 5.6.7(в), мы получаем, что (v1 t1 v2 t1 ) = ϕ ϕ ϕ −1 −1 ϕ ϕ ϕ v1ϕ · tϕ1 · v2ϕ · (t−1 1 ) и (t3 u2 t3 u3 ) = (t3 ) · u2 · t3 · u3 , откуда следует требуемое утверждение. ϕ −1 ϕ ϕ ϕ (3) Пусть α ∈ Π, x ∈ Ω. Если (x)Intnα лежит в Ω, то (n−1 α xnα ) = (nα ) · x · nα . Запишем x = vx−α txα u, где t ∈ T, x−α ∈ U−α , xα ∈ Uα , v лежит в произведении U−β , u лежит в произведении Uβ , где β ∈ Φ+ \ {α} (существование такой записи следует из леммы 5.4.1 и замечания после неё). Последние два произведения нормализуются элементом nα , поскольку n ¯ α переставляет положительные корни, отличные от α (см. лемму 1.1.6). Значит, если x−α = xα = e, то требуемое утверждение следует из леммы 5.6.7(в). Ввиду (2), утверждение достаточно проверить для x = x−α txα ∈ Zα . Но ϕ|Zα является изоморфизмом ввиду леммы 5.6.5 и nα ∈ Zα , откуда следует требуемое утверждение. (4) Пусть n ∈ N, x ∈ Ω. Если xIntn ∈ Ω, то (n−1 xn)ϕ = (n−1 )ϕ · xϕ · nϕ . Утверждение справедливо для n ∈ T и для n = nα , α ∈ Π. Хотя любой элемент из n можно получить как произведение некоторого элемента из t и элементов nα , наше утверждение нельзя доказать по индукции, поскольку мы не можем утверждать, что xnα лежит в Ω на каждом промежуточном шаге. Заметим, что правая и левая части формулы, которую нужно доказать, задают морфизмы из Ω ∩ ΩIntn−1 в H. Для совпадения этих морфизмов, по лемме 2.6.18, достаточно проверить следующее утверждение: существует такое открытое подмножество Vn множества Ω (зависящее от n) что VnIntn ⊆ Ω, и что Intn ◦ ϕ совпадает с ϕ ◦ Intnϕ на Vn . (5.4)
ocalopenconjugate}
Запишем n = n′ nα и будем доказывать утверждение 5.4 индукцией по длине l(σ). По индукInt (Int )−1 ции, Vn′ задано, определим Vn = Ω ∩ Vn′ nα , так что VnIntn ⊆ Vn′ n′ ⊆ Ω. Тогда для любого x ∈ Ω справедливо xIntn = xIntn′ ◦Intnα и требуемая формула следует по индукции и из (3). (5) Окончание доказательства леммы. Если x, x′ ∈ Ω, то запишем x = vtu, x′ = v ′ t′ u′ , где v, v ′ ∈ U − , t, t′ ∈ T , u, u′ ∈ U, так что xx′ = vtuv ′t′ u′ . Так как U − ΩU = Ω и в силу этапа (2) достаточно доказать, что если uv ′ ∈ Ω, то (uv ′)ϕ = uϕ · (v ′ )ϕ . Ввиду (1) мы имеем ϕ ϕ −1 −1 −1 ϕ −1 ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ϕ ϕ ϕ uϕ = nϕ0 · (n−1 0 un0 ) · (n0 ) и v = n0 · (n0 vn0 ) · (n0 ) , откуда u · (v ) = n0 · (n0 un0 ) · −1 ′ −1 −1 ϕ −1 ′ − ϕ (n0 v n0 ) · (n0 ) . Поскольку n0 un0 ∈ U и n0 v n0 ∈ U, из определения морфизма ϕ на −1 ′ −1 ϕ ϕ ′ ϕ ′ Ω следует, что (n−1 0 un0 ) · (n0 v n0 ) = (n0 uv n0 ) . Предположение uv ∈ Ω вместе с (4) завершает доказательство леммы.
§7
Изоморфизм полупростых групп ранга 2
В предыдущем параграфе мы доказали теорему об изоморфизме простых алгебраических групп 5.6.1 при выполнения следующих трёх условий:
142
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
(А) Если tαβ = (nα nβ )mαβ для всех α, β ∈ Π, то (tαβ )ϕT = (hα hβ )mαβ , где mαβ = |σα σβ |. (Б) Для любой пары фундаментальных корней α, β ∈ Π существует такой изоморфизм алгебраических групп ϕαβ из Uαβ на соответствующую подгруппу группы H, что он является расширением и для ϕα , и для ϕβ . (В) Пусть α, β ∈ Π. Если γ ∈ Φ+ αβ и γ 6= α, то ϕαβ ◦ Inthα согласуется на Uγ с Intnα ◦ ϕαβ . Заметим, что при α = β условия (Б),(В) вырождаются, а условие (А) следует из леммы 5.6.5. Хотя условия (А), (Б), (В) включают в себя проверку в обеих группах G, H, мы покажем, что они допускают такую переформулировку, которая позволяет работать внутри группы G. Для доказательства (А) достаточно выразить tαβ через tα , tβ , используя информацию о системе ранга 2, порождённой корнями α, β (поскольку tα , tβ и их образы уже определены по лемме 5.6.5). Для доказательства (Б) мы должны выбрать εγ : F → Uγ для любого γ ∈ Φ+ αβ так, чтобы этот выбор зависел лишь от корневой системы, и затем показать, что константы, появляющиеся в коммутаторных формулах Шевалле (лемма 5.6.8), полностью определяются данным выбором. Таким образом, теоретико-групповое строение группы Uαβ зависит лишь от корневой системы. С другой стороны, легко построить морфизм многообразия Uαβ на соответствующую подгруппу группы H, используя известные вложения групп Uα , Uβ . Тогда, используя εγ и соответствующий ему ε′γ мы получим групповой изоморфизм. Например, в корневой систме A2 множество положительных корней имеет вид α, β, α + β. У нас уже есть εα , nβ , тогда uα+β (x) = (uα (x))Intnβ (конечно, надо проверить, что результат не изменится, если поменять ролями корни α и β). В данной корневой системе мы закончим изучение группового закона для Uαβ проверкой равенства [uα (x), uβ (y)] = uα+β (x + y), в то время как Uα+β ≤ Z(Uαβ ). Далее рассмотрим (В). Требование γ 6= α эквивалентно тому, что δ = γ σα вновь является положительным корнем, значит, εγ и εδ заданы, ввиду условия (Б). Композиция εγ с Intnα влечёт ещё один допустимый изоморфизм F → Uδ , который мы свяжем с εδ способом, зависящим лишь от корневой системы. Это гарантирует такое же соотношение в H, следовательно, доказывая (В). Например, в случае корневой системы A2 , мы оставили открытым вопрос о том, как εβ ◦ Intnα связаны с εα+β ; будет показано, что n−1 α uβ (x)nα = uα+β (−x). Более точно, выбор допустимого изоморфизма εγ зависит лишь от умножения на ненулевой скаляр, т. е. от автоморфизма аддитивной группы поля F. Следовательно, если xα+β — базисный вектор Ad(n ) в gα+β , то соотношение, выписанное выше для A2 , эквивалентно равенству xβ α = −xα+β (см. доказательство теоремы 4.9.2). Как только мы определяем xγ для нефундаментального положительного корня γ посредAd(n ) Ad(n ) ством xγ = xα β , где α, β ∈ Π, мы также получаем x−γ = x−α β . Определив таким образом εγ , ε−γ , мы можем положить nγ = uγ (1)u−γ (−1)uγ (1). Отметим, что при этом определении элемента nγ и учитывая, что образы элемнтов uγ (x), u−γ (x) в группе PGL2 (F) относи 1 x тельно естественного гомоморфизма Zγ → Zγ /Z(Zγ ) совпадают соответственно с и 0 1 1 0 , справедливо следующие тождество x 1 uγ (x)nγ = u−γ (−x).
(5.5)
{ualpha^nalpha}
§7. ИЗОМОРФИЗМ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП РАНГА 2
143
Кроме того, Intnβ переносит канонический выбор, сделанный в Zα на Zγ . В частности, мы можем вычислить −1 −1 −1 n−1 β nα nβ = (nβ uα (1)nβ )(nβ u−α (−1)nβ )(nβ uα (1)nβ ) = nγ .
(5.6)
Заметим, что ввиду теоремы 1.5.1, существует лишь 4 корневых системы ранга 2: A1 ×A1 , A2 , B2 , G2 . Только в системе G2 нам потребуются длительные вычисления. Поскольку G2 не может возникнуть в качестве подсистемы, данные вычисления не влияют на классификацию алгебраических групп с корневыми системами типов A–F . Также уместно заметить, что фундаментальная группа группы G влияет лишь на выбор элементов tα , тогда как условия (А), (Б), (В) зависят лишь от корневой системы. Далее мы последовательно разберём все типы корневых систем ранга 2. Прежде, чем переходить к изучению корневых систем, проверим, чему равны элементы n β tα и tαβ . Для любого α ∈ Π коммутант [Zα , Zα ] изоморфен −1либоSL2 (F), либо PGL2 (F) (см. x 0 даёт вложение γ : F∗ → упражнение 5.6.6). В любом случае, сответствие x 7→ 0 x T ∩ [Zα , Zα ], для которого tα = (−1)γ и для которого < α, γ >= 2. Таким образом, γ ∈ Y (T ) можно считать равным кокорню α ˇ . Тогда при естественном спаривании X(T ) × Y (T ) → Z (α,β) мы имеем < α, ˇ β >=< α, β >= 2 (α,α) . Кроме того, ввиду упражнения 4.7.10, это спаривание согласовано с действием группы W . Отсюда вытекают следующие основные формулы: tβα = ((−1)αˇ )β = (−1)<α,β> ;
{talphabeta}
ˇ
n
ˇ
ˇ β . tαβ = (−1)(ˇα)σβ = (−1)α−<β,α> = (−1)αˇ ((−1)−<α,β> )β = tα t−<α,β> β
{talphanbeta}
onditionsForA1A1}
(5.7) (5.8)
Корневая система типа A1 × A1 . Отметим, что коммутаторная формула Шевалле 5.6.8 показывает, что [Uα , Uβ ] = {e}, если α+β 6∈ Φ. В частности, если α, β таковы, что ни α+β, ни Ad(n ) Ad(n ) α − β не являются корнями, то xβ α = xβ и xα β = xα ; кроме того nα nβ = nβ nα . Отсюда сразу следуют требуемые утверждения для корневой системы A1 × A1 . Лемма 5.7.1. Пусть Φαβ имеет тип A1 × A1 с положительными фундаментальными корнями α, β. Тогда: (а) tαβ = (nα nβ )2 = tα tβ = (nβ nα )2 = tβα ; (б) [Uα , Uβ ] = {e}; Ad(nα )
(в) xβ
Ad(nβ )
= xβ и xα
= xα .
Корневая система типа A2 .
CConditionsForA2}
Лемма 5.7.2. Предположим, что Φαβ имеет тип A2 и её положительные корни равны Ad(n ) α, β, α + β. Положим xα+β = xα β . Тогда: (а) tαβ = (nα nβ )3 = e = (nβ nα )3 = tβα ; (б) для всех x, y ∈ F справедливо равенство uβ (y)uα(x) = uα (x)uβ (y)uα+β (−xy); Ad(nα )
(в) xβ
Ad(n )
Ad(n )
= xα+β , xα+β α = −xβ , xα+β β = −xα .
{nbet
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
144
Доказательство. Поскольку < α, β >=< β, α >= −1, форумула (5.7) влечёт tβα = tαβ = −1. Ad(nα )
Из определения xα+β = xα Ad(n )
Ad(n )
вытекает, что xα+β β = tαβ xα = −xα , как и утверждается в (в). Ad(n )
С другой стороны, xβ α = bxα+β для некоторого b ∈ F∗ , следовательно, xα+β α = tβα b−1 xβ = −b−1 xβ . Значит, для доказательства остальных утверждений пунта (в) достаточно показать, что b = 1. По лемме 5.6.8, существует такой элемент a ∈ F, независящий от x, y, что выполнено следующее тождество: uβ (y)uα(x) = uα (x)uβ (y)uα+β (axy). (5.9)
{A2first}
Чтобы доказать (б) нужно показать, что a = −1. Применив Intnβ к обеим частям (5.9), получим: u−β (−y)uα+β (x) = uα+β (x)u−β (−y)uα (−axy). (5.10)
{A2second}
По определению, n−1 β uα (x)nβ = uα+β (x), поэтому, записав nβ = uβ (1)u−β (−1)uβ (1), получаем: uβ (−1)u−β (1)uβ (−1)uα (x)uβ (1)u−β (−1)uβ (1) = uα+β (x).
(5.11)
{A2third}
Поскольку α + 2β 6∈ Φ, элементы xα+β (x) и xβ (y) коммутируют для любых x, y ∈ F, поэтому (5.11) можно переписать как: uβ (−1)uα (x)uβ (1) = u−β (−1)uα+β (x)u−β (1).
(5.12)
{A2fourth}
После применения (5.9) к левой части (при y = −1) и (5.10) к правой части (при y = 1), равенство (5.12) принимает вид: uα (x)uβ (−1)uα+β (−ax)uβ (1) = uα+β (x)u−β (−1)uα (−ax)u−β (1).
(5.13)
Поскольку α + 2β, α − β, 2α + β 6∈ Φ, мы вновь используем факт, что элементы из подгрупп Uα+β и Uβ , Uα и U−β , Uα и Uα+β соотетственно попарно коммутируют. Поэтому (5.13) можно записать как: uα (x)uα+β (−ax) = uα (−ax)uα+β (x). (5.14)
{A2fifth}
{A2sixth}
Поскольку U прямо порождается подгруппами Uα (см. лемму 5.4.1 отсюда следует, что a = −1, что доказывает (б). Далее применим Intnα к обеим частям равенства (5.9): uα+β (by)u−α(−x) = u−α (−x)uα+β (by)uβ (b−1 xy).
(5.15)
{A2seventh}
Аналогично тому, как из n−1 β uα (x)nβ = uα+β (x) было получено равенство (5.12), из n−1 u (y)n = u (by) получается: β α α+β α uα (−1)uβ (y)uα(1) = u−α (−1)uα+β (by)u−α(−1).
(5.16)
Теперь применяя (5.9) к левой части равенства (5.16), и (5.15) к правой части равенства (5.16), получаем: uβ (y)uα+β (y) = uβ (−b−1 y)uα+β (by). (5.17) Вновь используя лемму 5.4.1, получаем, что b = 1. Осталось доказать пункт (а) леммы. Рассмотрим равенство nα nβ nα = n2α n−1 (5.18) α nβ nα = tα nα+β , где
n−1 α nβ nα
{A2eightth}
{A2nineth}
{A2tenth}
вычислено по форумуле (5.6). Из (5.6), (5.8) и (5.18) мы получаем:
−<α,β> −1 −1 −1 nβ nα+β nβ = tβ tα t−<α,β> nα = tα nα = n−1 nβ nα nβ nα nβ = n2β n−1 α , (5.19) β tα nα+β nβ = tβ tα tβ β
где мы используем тот факт, что t2α = t2β = e. Отсюда следует (а).
{A2eleventh}
§7. ИЗОМОРФИЗМ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП РАНГА 2
145
Корневая система типа B2 .
{ABC
Лемма 5.7.3. Пусть Φαβ имеет тип B2 и её положительные корни α, β, α + β, 2α + β. Ad(n ) Ad(n ) Положим xα+β = xα β , x2α+β = xβ α . Тогда: (а) tαβ = (nα nβ )4 = tα = (nβ nα )4 = tβα ; (б) для всех x, y ∈ F справедливы равенства uβ (y)uα(x) = uα (x)uβ (y)uα+β (−xy)u2α+β (x2 y) uα+β (y)uα(x) = uα (x)uα+β (y)u2α+β (−2xy); Ad(n )
Ad(n )
Ad(n )
Ad(n )
(в) xα+β α = xα+β , x2α+βα = xβ , xα+β β = −xα , x2α+ββ = x2α+β . Доказательство. Поскольку < β, α >= −1, < α, β >= −2, формула (5.7) даёт tαβ = −1, Ad(n )
Ad(n )
tβα = 1. Из определения xα+β и x2α+β вытекает, что xα+β β = tαβ xα = −xα и что x2α+βα = tβα xβ = xβ , как и утверждается в (в). Более того, поскольку 2α + 2β, 2α 6∈ Φ, подгруппы U±β Ad(n ) централизуют U2α+β , следовательно, x2α+ββ = x2α+β . Чтобы закончить доказательство (в) Ad(n )
нам необходимо показать, что d = 1, где xα+β α = dxα+β . Коммутаторная форумула Шевалле (лемма 5.6.8) даёт существование таких скаляров a, b, c ∈ F (независящих от x, y ∈ F), что выполнены следующие равенства: {B2_1}
uβ (y)uα(x) = uα (x)uβ (y)uα+β (axy)u2α+β (bx2 y),
(5.20)
{B2_2}
uα+β (y)uα(x) = uα (x)uα+β (y)u2α+β (cxy).
(5.21)
Для доказательства (б) нужно показать, что a = −1, b = 1 и c = −2. Применяя Intnα к обеим частям равенства (5.20) (соотв. (5.21)), получим: {B2_3}
u2α+β (y)u−α(−x) = u−α (−x)u2α+β (y)uα+β (adxy)uβ (bx2 y),
(5.22)
{B2_4}
uα+β (dy)u−α(−x) = u−α (−x)uα+β (dy)uβ (cxy).
(5.23)
Аналогично, применяя Intnβ к обеим частям равенства (5.20): {B2_5}
u−β (−y)uα+β (x) = uα+β (x)u−β (−y)uα(−axy)u2α+β (bx2 y).
(5.24)
Поскольку n−1 β uα (x)nβ = uα+β (x) и из того факта, что α + 2β 6∈ Φ (поэтому элементы из Uβ и Uα+β попарно коммутруют), мы получаем: {B2_6}
uβ (−1)uα (x)uβ (1) = u−β (−1)uα+β (x)u−β (1).
(5.25)
Применяя (5.20) к левой части и (5.24) к правой части, равенство (5.25) принимает вид: {B2_7}
uα (x)uβ (−1)uα+β (−ax)u2α+β (−bx2 )uβ (1) = uα+β (x)u−β (−1)uα (−ax)u2α+β (bx2 )u−β (1). (5.26) Вновь используя тот факт, что α + 2β, 2α + 2β, α − β, 2α 6∈ Φ, мы получаем что элементы из Uα+β и Uβ , U2α+β и Uβ , Uα и U−β , U2α+β и U−β попарно коммутируют. Поэтому равенство (5.26) принимает вид:
{B2_8}
uα (x)uα+β (−ax)u2α+β (−bx2 ) = uα+β (x)uα (−ax)u2α+β (bx2 ).
(5.27)
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
146
В свою очередь (5.21) можно применить к правой части, чтобы получить: uα (x)uα+β (−ax)u2α+β (−bx2 ) = uα (−ax)uα+β (x)u2α+β ((b − ca)x2 ).
B2_9}
2_10}
(5.28)
Как и раньше лемме 5.4.1 влечёт, что a = −1 и c = −2b. Из равенства n−1 α uβ (y)nα = u2α+β (y) и того факта, что 3α + β 6∈ Φ (значит, элементы групп Uα и U2α+β попарно перестановочны), мы далее получаем: uα (−1)uβ (y)uα(1) = u−α (−1)u2α+β (y)u−α(1). (5.29) После применения (5.20) к левой части и (5.22) к правой части, равенство (5.29) принимает вид: uβ (y)uα+β (−y)u2α+β (by) = u2α+β (y)uα+β (−dy)uβ (by). (5.30)
{B2_11}
Поскольку элементы из Uβ , Uα+β и U2α+β попарно коммутируют, мы делаем вывод, что b = 1, d = 1, c = −2. Осталось доказать (а). Начнём с: nα nβ nα = t)αn−1 α nβ nα = tα n2α+β ,
(5.31)
{B2_12}
(5.32)
{B2_13}
(5.33)
{B2_14}
где мы вновь используем форумулу (5.6). Следующий шаг: −<α,β> −1 nβ nα nβ nα nβ = tβ n−1 nβ n2α+β nβ = tα tβ n2α+β , β tα n2α+β nβ = tβ tα tβ
поскольку < α, β >= −2, t2β = e и nβ , n2α+β перестановочны. Тогда: −1 −<β,α> nα (nβ nα )3 = tα (n−1 nβ = tα tβ nβ . α tα tβ nα )(nα n2α+β nα ) = tα tα tβ tα
Наконец, (5.33) влечёт, что (nα nβ )4 = tα = (nβ nα )4 . Корневая система типа G2 .
{ABCConditionsG
Лемма 5.7.4. Предположим, что Φαβ имеет тип G2 и её положительные корни равAd(n ) Ad(n ) ны α, β, 2α + β, 3α + β, 3α + 2β. Положим xα+β = xβ β , x2α+β = xα+β α , x3α+β = Ad(n )
(−xβ )Ad(nα ) , x3α+2β = x3α+ββ . Тогда: (а) tαβ = (nα nβ )6 = e = (nβ nα )6 = tβα ; (б) для всех x, y ∈ F справедливы равенства uβ (y)uα(x) uα+β (y)uα(x) u2α+β (y)uα(x) u3α+β (y)uβ (x) u2α+β (y)uα+β (x) Ad(n )
= = = = =
Ad(n )
uα (x)uβ (y)uα+β (−xy)u2α+β (x2 y)u3α+β (−x3 y)u3α+2β (x3 y 2), uα (x)uα+β (y)u2α+β (2xy)u3α+β (3x2 y)u3α+2β (3xy 2 ), uα (x)u2α+β (y)u3α+β (−3xy), uβ (x)u3α+β (y)u3α+2β (xy), uα+β (x)u2α+β (y)u3α+2β (−3xy); Ad(n )
Ad(n )
Ad(n )
Ad(n )
(в) x2α+βα = −xα+β , x3α+βα = xβ , x3α+2βα = x3α+2β , xα+β β = −xα , x2α+ββ = x2α+β , x3α+2ββ = −x3α+β .
§7. ИЗОМОРФИЗМ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП РАНГА 2
147
Доказательство. Поскольку < α, β >= −3 и < β, α >= −1, мы имеем tβα = tαβ = −1 (напомним, что t2α = t2β = e). Из определения следует, что: n
β xα+β = tαβ xα = −xα ,
(5.34)
{G21
(5.35)
{G22
(5.36)
{G23
(5.37)
{G24
Ad(n )
(5.38)
{G25
Ad(n )
(5.39)
Ad(n )
x2α+βα = tαα tβα xα+β = −xα+β , Ad(n )
x3α+βα = −tβα xβ = xβ , Ad(n )
x3α+2ββ = (tαβ )3 tββ x3α+β = −x3α+β . Поскольку (3α + 2β) ± α 6∈ Φ и (2α + β) ± β 6∈ Φ, мы также получаем: x3α+2βα = x3α+2β , {G26}
x2α+ββ = x2α+β .
Рвенства (5.34)–(5.39) дают (в). Обратимся теперь к (б). Вновь, используя коммутаторную формулу Шевалле (лемма 5.6.8), получаем существование таких констант a, b, c, d, e, f, g, h, i (независящих от x, y), что справедливы следующие формулы: {G27}
uβ (y)uα(x) = uα (x)uβ (y)uα+β (axy)u2α+β (bx2 y)u3α+β (cx3 y)u3α+2β (dx3 y 2 ),
(5.40)
{G28}
uα+β (y)uα(x) = uα (x)uα+β (y)u2α+β (exy)u3α+β (f x2 y)u3α+2β (gxy 2),
(5.41)
{G29}
u2α+β (y)uα(x) = uα (x)u2α+β (y)u3α+β (hxy),
(5.42)
{G210}
u3α+β (y)uβ (x) = uβ (x)u3α+β (y)u3α+2β (ixy).
(5.43)
Действуя Intnβ на обеих частях равенств (5.40), (5.42) и (5.43), мы получаем соответственно: {G211}
u−β (−y)uα+β (x) = uα+β (x)u−β (−y)uα(−axy)u2α+β (bx2 y)u3α+2β (cx3 y)u3α+β (−dx3 y 2 ),
(5.44)
{G212}
u2α+β (y)uα+β (x) = uα+β (x)u2α+β (y)u3α+2β (hxy),
(5.45)
{G213}
u3α+2β (y)u−β (−x) = u−β (−x)u3α+2β (y)u3α+β (−ixy).
(5.46)
Аналогично подействуем Intnα на обе части равенства (5.40): {G214}
u3α+β (−y)u−α (−x) = u−α(−x)u3α+β (−y)u2α+β (axy)uα+β (−bx2 y)uβ (cx3 y)u3α+2β (dx3 y 2 ). (5.47) Из-за того, что α ± 2β 6∈ Φ, равенство n−1 β uα (x)nβ = uα+β (x) упрощается до:
{G215}
uβ (−1)uα (x)uβ (1) = u−β (−1)uα+β (x)u−β (1).
(5.48)
Последовательным применением (5.40) и (5.43) левая часть равенства (5.48) может быть записана:
{G216}
uβ (−1)uα (x)uβ (1) = uα (x)uβ (−1)uα+β (−ax)u2α+β (−bx2 )u3α+β (−cx3 )u3α+2β (dx3 )uβ (1) = uα (x)uβ (−1)uα+β (−ax)u2α+β (−bx2 )uβ (1)u3α+β (−cx3 )u3α+2β ((d − ci)x3 ) = uα (x)uα+β (−ax)u2α+β (−bx2 )u3α+β (−cx3 )u3α+2β ((d − ci)x3 ). (5.49)
G217}
G218}
ГЛАВА 5. BN-ПАРЫ И ИЗОМОРФИЗМ
148
Последовательным применением (5.44) и затем (5.46), правая часть равенства (5.48) может быть записана: u−β (−1)uα+β (x)u−β (1) = uα+β (x)u−β (−1)uα (−ax)u2α+β (bx2 )u3α+2β (cx3 )u3α+β (−dx3 )u−β (1) = uα+β (x)uα (−ax)u2α+β (bx2 )u3α+2β (cx3 )u3α+β ((ci − d)x3 ). (5.50) Следующим шагом (5.41) преобразует правую часть равенства (5.50) в: uα (−ax)uα+β (x)u2α+β (−aex2 )u3α+β (a2 f x3 )u3α+2β (−agx3 )∗ u2α+β (bx2 )u3α+2β (cx3 )u3α+β ((ci − d)x3 ) = uα (−ax)uα+β (x)u2α+β ((b − ae)x2 )u3α+β ((a2 f + ci − d)x3 )u3α+2β ((c − ag)x3 ). (5.51) Сравнение выражений (5.49) и (5.51) влечёт: a = −1, e = 2b, d − c = f + ci, f = g.
(5.52)
{G219}
(5.53)
{G220}
(5.54)
{G221}
Так как 4α + β 6∈ Φ, равенство n−1 α uβ (y)nα = u3α+β (−y) можно упростить до: uα (−1)uβ (y)uα(1) = u−α (−1)u3α+β (−y)u−α (1). Применяем (5.40) к левой части, чтобы получить: uα (−1)uβ (y)uα(1) = uβ (y)uα+β (−y)u2α+β (by)u3α+β (cy)u3α+2β (dy 2).
Применяем последовательно (5.47), (5.45), (5.43) к правой части равенства (5.53), чтобы получить: u−α (−1)u3α+β (−y)u−α(1) = u3α+β (−y)u2α+β (y)uα+β (−by)uβ (−cy)u3α+2β (−dy 2 ) = u3α+β (−y)uα+β (−by)u2α+β (y)u3α+2β (−hby 2 )uβ (−cy)u3α+2β (−dy 2) = uβ (−cy)uα+β (−by)u2α+β (y)u3α+β (−y)u3α+2β ((ci − d − bh)y 2 ). (5.55)
{G222}
Сравнение (5.54) и (5.55) даёт: (5.56)
{G223}
(5.57)
{G224}
(5.58)
{G225}
Преобразуем левую часть, используя (5.43), и правую часть, используя (5.46), чтобы получить: u3α+β (x)u3α+2β (ix) = u3α+2β (x)u3α+β (ix), (5.59)
{G226}
c = −1, b = 1, 2d + i − h = 0. Вместе с формулами (5.49) равенства (5.56) дают нам: a = c = −1, b = 1, e = 2, f = g, 2d = −h − i, d + 1 = f − i. Далее мы используем равенство n−1 β u3α+β (x)nβ = u3α+2β (x), которое переписывается: uβ (−1)u3α+β (x)uβ (1) = u−β (−1)u3α+2β (x)u−β (1).
§8. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОСТЫХ ГРУПП
149
откуда i = 1. Наконец, используем равенство n−1 α uα+β (y)nα = u2α+β (y), записанное в виде: uα (−1)uα+β (y)uα(1) = u−α (−1)uα (1)u2α+β (y)uα(−1)u−α (1).
(5.60)
{G22
Преобразуем левую часть с помощью (5.41), а правую часть с помощью (5.42), чтобы получить uα+β (y)u2α+β (2y)u3α+β (f y)u3α+2β (gy 2) = u−α (−1)u2α+β (y)u3α+β (−hy)u−α (1).
(5.61)
{G22
Передвижение u−α (1) влево требует перестановки с u3α+β и затем перестановки с u2α+β (y), которые не дают новых символов вида u3α+β в правой части равенства (5.61). Следовательно, f = −h и, используя форумулы (5.57), получаем: a = c = −1, b = d = i = 1, e = 2, f = g = 3, h = −3,
(5.62)
таким образом доказывая первые четыре формулы из (б). Пятая формула из (б) следует из (5.45). Осталось доказать (а). Мы действуем также, как и в предыдущих леммах: {G231}
nα nβ nα = tα n−1 3α+β .
(5.63)
{G232}
−1 −1 −1 nβ (nα nβ )2 = tβ (n−1 β tα nβ )(nβ n3α+β nβ ) = tα n3α+2β .
(5.64)
{G233}
−1 −1 nα (nβ nα )3 = n−1 α n3α+2β nα = n3α+2β .
(5.65)
{G234}
−1 nβ (nα nβ )4 = tβ n−1 β n3α+2β nβ = tβ n3α+β .
(5.66)
{G235}
−1 −1 nα (nβ nα )5 = tα (n−1 α tβ nα )(nα n3α+β nα ) = tα tα tβ nβ = nβ .
(5.67)
Наконец, (nα nβ )6 = (nβ nα )6 = e.
§8
Существование простых групп
При доказательстве теоремы об изоморфизме мы не рассматривали вопросы существования. Типы A–D называются классическими, в то время как типы E–F называются исключительными. Односвязные группы типа An и Cn изоморфны матричным группам SLn+1 (F) и Sp2n (F) и все остальные группы этих типов получаются как факторгруппы по подгруппе из центра. Для типа Bn группа SO2n+1 (F) = PSO2n+1 (F) имеет присоединённый тип, и для типа Dn группа PSO2n (F) имеет присоединённый тип, в то время как факторгруппа SO2n (F)/PSO2n (F) имее порядок 2. Для построения соответствующих односвязных групп необходимо рассматривать более сложные спинорные группы, которые реализуются как группы автоморфизмов некоторы алгебр Клиффорда. Заметим, что все алгебраические группы являются примерами, так называемых, групп Шевалле. Присоединённые группы Шевалле над произвольными полями для всех типов корневых систем построены, например, в [4]. Там же приведены формулы для подсчета структурных констант в коммутаторной формуле Шевалле для произвольных корней.
{G23
Глава 6. Подгруппы и автоморфизмы алгебраических групп §1
Разложение Леви
Напомним, что подгруппа P связной редуктивной алгебраической группы G называется параболической, если она содержит некоторую подгруппу Бореля B. Ввиду следствия 4.6.15 мы получаем, что для любой параболической подгруппы P выполнено P = NG (P ). Зафиксируем подгруппу Бореля B и рассмотрим множество параболических подгрупп, содержащих подгруппу B. По следствию 4.6.16 мы получаем, что две параболические подгруппы, содержащие B, сопряжены тогда и только тогда, когда они совпадают. Кроме того, поскольку G является группой с BN-парой, параболические подгруппы группы G, содержащие B находятся в биективном соответствии с подмножествами множества фундаментальных корней Π корневой системы Φ (см. леммы 5.1.4 и 5.1.7). Таким образом, любую параболическую подгруппу можно записать в виде P = PI , где I ⊆ Π. Рассмотрим унипотентный радикал Ru (PI ). В том случае, когда I = Π или I = ∅ мы получаем, что Pi = G или Pi = B соответственно и строение унипотентного радикала очевидно. Обозначим за Ψ подсистему системы Φ, порождённую множеством I. В ведённых обозначениях справедлива следующая лемма. Лемма 6.1.1. Ru (PI ) прямо порождается множеством {Uα | α ∈ Φ+ \ Ψ}. Доказательство. Поскольку P содержит максимальный тор T , радикал Ru (P ) является T -инвариантной замкнутой подгруппой. По лемме 5.4.1 он прямо порождается теми Uα , которые в него в ходят. Поскольку для любого α ∈ Ψ его противоположный корень −α также лежит в Ψ, а U−α не нормализует Uα , мы получаем, что никакая группа Uα , α ∈ Ψ не лежит в Ru (PI ). С другой стороны, любой σα , где α ∈ I оставляет инвариантным множество Φ+ \ Ψ, откуда следует лемма. Таким L образом, алгебра Ли L(P )L= p раскладывается в прямую сумму l ⊕ u, где l = t ⊕ α∈Ψ gα и u = L(Ru (PI )) = α∈Φ+ \Ψ gα . Поскольку [gα , gβ ] ⊆ gα+β (данное свойство следует из полученной классификации простых алгераичесих групп и известных войств алгебр Ли), то l является подалгеброй, а u — идеаом алгебры p. Наша задача в данном параграфе получить аналогичное разложение для параболической подгруппы PI в виде PI = V : l, где V = Ru (PI ) и L должна быть редуктивной подгруппой максимального ранга с корневой системой Ψ. Такое разложение (если оно существует) называется разложением Леви, а подгруппа L — фактором Леви. Подгруппу L можно построить тремя способами. Рассмотрим следующую подгруппу группы PI : L = hT, Uα | α ∈ Ψi.
{UnipotenRadicalO
§2. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ-ТИТСА
{LeviFactor}
151
Поскольку для любого α ∈ Ψ его противоположный −α также лежит в Ψ, мы получаем, что L редутивна. Кроме того, в силу коммутаторной формулы Шевалле (лемма 5.6.8), мы получаем, что корневая система подгруппы L совпадает с Ψ, следовательно, L(L) = t ⊕ L α∈Ψ gα L ∩ U = {e}. Другой способ — рассмотреть подгруппу B − ∩ P = B1 и положить L = B1 WI B1 (группа WI определена в § 3 главы 2). Здесь, однако, есть некоторые трудности с доказательством того, что L редуктивна и не пересекается с V . Третий способ является для нас наиболее предпочтительным. Рассмотрим тор Z = (∩α∈I Ker(α)) и определить L = CG (Z). По следствию 4.8.9 мы получам, что L — редуктивная подгрупп группы G. Корни, которые тривиальны на Z — это в точности корни, лежащие в Ψ L по построению. В частности, L(L) = l = t ⊕ α∈Ψ gα ≤ p. В силу равенства централизаторов диагонализируемых подгрупп в алгебраических группах и в алгебрах Ли (лемма 4.3.10), мы получаем, что L ≤ PI и что L ∩ V конечна и T -инвариантна, значит, L ∩ V = {e}. Заметим, что Z — это не что иное, как компонента единицы центра группы L, так что ZV = R(PI ) и Z — максимальный тор радикала R(PI ).. Если теперь L1 — другой фактор Леви группы PI , то тогда L1 = CG (Z(L1 )0 ) и Z(L1 )0 = Z1 ≤ ZV , то Z1 — другой максимальный тор радикала R(PI ). В силу сопряжённости максимальных торов (теорема 4.5.3), мы получаем, что существует такой x ∈ V , что Z1x = Z. Отсюда Lx1 = L и мы получаем следующую теорему. Теорема 6.1.2. Любая параболическая подгруппа P группы G имеет разложение Леви P = V : L, где V = Ru (P ) и L —- связная редуктивная подгруппа максимального ранга группы G, удовлетворяющая L = CG (Z(L)0 ). Более того, любые два фактора Леви сопряжены некоторым элементом из V . Заметим, что если P 6= G, то V 6= {e}. Поэтому редуктивная подгруппа L имеет меньший полупростой ранг, чем группа G, что даёт исключительно важный индукционный инструмент изучения редуктивных групп.
§2
Теорема Бореля-Титса
Пусть U — замкнутая, но необязательно связная унипотентная подгруппа группы G. Определим N1 = NG (U), U1 = U · Ru (N1 ) и затем индуктивно Ni = NG (Ui−1 ), Ui = Ui−1 · Ru (Ni ). Поскольку унипотентные радикалы связны, ясно, что либо dim Ui+1 > dim Ui , либо Ui+1 = Ui . В частности, данная последовательность замкнутых подгрупп группы G должна стабилизироваться на некотором k, т. е. Uk = Uk+1 = . . . и Nk = Nk+1 = . . .. Определим P(U) = Nk , V = Uk . Заметим сначала, что любой автоморфизм группы U вида Intx , x ∈ G стабилизирует N1 , значит, стабилизирует Ru (N1 ), значит, стабилизирует U1 , . . . , значит, стабилизирует P(U). Предположим, что U лежит в некоторой подгруппе Бореля групы G (этого нельзя утверждать, если U не является связной). Следующая лемма показывает, что тогда это условие выполнено и для любой Ui . {SAIsInB}
Лемма 6.2.1. Пусть H — алгебраическая группа, B — подгруппа Бореля и A — подмножество группы B. Если S — связная разрешимая подгруппа группы H, нормализуемая множеством A, то S · A лежит в некоторой подгруппе Бореля группы H. Доказательство. По предположению, замкнутое множество X неподвижных точек множества A в H/B непусто и S стабилизирует X. Поскольку S связна и разрешима, она фик-
152
ГЛАВА 6. ПОДГРУППЫ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
сирует некоторую точку проективного многообразия X (см. теорему 4.4.3), т. е. S лежит в подгруппе Бореля, содержащей A. Возвращаясь к нашей подгруппе V = Uk , мы получаем, что V содержит унипотентный радикал группы NG (V ) (и, следовательно, совпадает с ним), а также U. Предполагая, что U (следовательно, V ) лежит в некоторой подгруппе Бореля, мы докажем, что P(U) параболическая и что V связна. Из этого будет следовать, что NG (U) ≤ P(U), поскольку параболические подгруппы совпадают со своими нормализаторами, и также, что U ≤ Ru (P(U)) = V .
{ClosedUnipotentR
Лемма 6.2.2. Пусть V — замкнутая унипотентная подгруппа группы G, N = NG (V ). Предположим, что V лежит в некоторой подгруппе Бореля группы G, и что V ≥ Ru (N) (эквивалентно V 0 = Ru (N)). Тогда N является параболической подгруппой группы G и V = Ru (N). Доказательство. Пусть B — подгруппа Бореля группы G, содержащая V и положим S = (B ∩ N)0 . Тогда S лежит в подгруппе Бореля B1 группы N, и мы можем выбрать «противоположную» подгруппу Бореля n−1 B1 n, где n ∈ N, т. е. Ru (B1 ∩ n−1 B1 n) = Ru (N) (применим следствие 4.8.12 к N 0 /Ru (N)). Тогда наш выбор влечёт Ri (N ∩ B ∩ n−1 Bn) ≤ Ru (N) ≤ V . С другой стороны, n нормализует V , значит, V лежит в унипотентной части разрешимой группы N ∩ B ∩ n−1 Bn. Это влечёт равенство, в частности, V = Ru (N) связна. Более того, V лежит в пересечении B ∩ B ′ , где B ′ = n−1 Bn. Если бы V была меньше, чем Ru (B ∩ B ′ , её нормализатор в этой группе имел бы размерность б´ольшую, чем V (см. следствие 4.4.2), что противоречит равенству Ru (N ∩B∩B ′ ) = V . Следовательно, V = Ru (B∩ B ′ ), значит, B ∩ B ′ ≤ N. Но B ∩ B ′ содержит максимальный тор T группы G (упражнение 5.4.4), значит N имеет максимальный ранг в G. Далее мы будем использовать корневую систему группы G, чтобы показать, что N является параболической. Пусть Π — фундаментальная система корневой системы Φ, определённая подгруппой Бореля B (напомним, что задание подгруппы Бореля определяет множество положительных корней, а задание множества положительных корней однозначно определяет фундаментальную систему по лемме 1.1.4). Пусть Ψ — корневая система группы N относительно T . Если Uα ≤ V (α ∈ Π), то α ∈ Ψ. В противном случае Uα ≤ B, но Uα 6≤ V влечёт Uα 6≤ B ′ и, в свою очередь, U−α ∈ B ′ . Пусть B ′′ = σα Bσα , её корни совпадают с корнями группы B, за исключением корня α, который меняется на −α (см. лемму 1.1.9). Далее, U−α нормализует и B ′ и Ru (B ∩B ′′ ), значит, нормализует также Ru (B ∩B ′′ ∩B ′ ) = Ru (B ∩B ′ ) = V . Поэтому −α ∈ Ψ. Поскольку U−α лежит в B ′ и не лежит в B, аналогичные рассуждения показывают, что Uα нормализует V , т. е. α ∈ Ψ. Отсюда следует, что Π ⊆ Ψ, и, значит, B ≤ N. Следовательно, подгруппа N является параболической.
Таким образом, мы получаем следующую теорему, называемую также теоремой БореляТитса.
{Borel-Tits}
Теорема 6.2.3. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, U — унипотентная подгруппа группы G, содержащаяся в некоторой подгруппе Бореля группы G. Тогда существует такая параболическая подгруппа P группы G, что NG (U) ≤ P и U ≤ Ru (P ).
§3
Централизаторы полупростых элементов
{CentralizerOfSem
Теорема 6.3.1. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, s ∈ G — полупростой элемент группы G и T — максимальный тор группы G, содержащий s (существование такого тора следует из теоремы 4.6.2).
§3. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ПОЛУПРОСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
153
Тогда CG (s) порождается, теми корневыми подгруппами Uα , для которых sα = e и CNG (T ) (s). Кроме того, CG (s)0 порождается тором T и теми корневыми подгруппами Uα , для которых sα = e и CG (s)/CG (s)0 изоморфна секции группы Вейля W группы G. В частности, любой унипотентный элемент, централизующий s, лежит в CG (s)0 . Доказательство. Пусть B — подгруппа Бореля, содержащая тор T , Uα — корневые подгруппы группы G относительно тора T и U = Ru (B). Для любого n ∈ NG (T ) обозначим через n ¯ его образ относительно естественного гомоморфизма NG (T ) i NG (T )/T = W . Очевидно (см. теорему 4.9.2(в)), что все группы Uα , удовлетворяющие условию sα = e и CNG (T ) (s) лежат в CG (s). Покажем, что эти подгруппы порождают CG (s). Пусть x ∈ CG (s). В силу точной формы разложения Брюа (теорема 5.2.10) элемент x единственным образом записывается в виде x = unv, где u ∈ U, n ∈ NG (T ), v ∈ Un¯ . Поскольку x ∈ CG (s), то xs = x, откуда us = u, ns = n, v s = v. Ввиду действия элемента s на корневых подгруппах, определённого в теореме 4.9.2(в), а также из того факта, что U прямо порождается группами Uα (лемма 5.4.1) следует, что u, v ∈ hUα |sα = ei, откуда следует утверждение для CG (s). Далее, рассмотрим подгруппу R группы CG (s), порождённую тором T и группой hUα |sα = ei. По теореме 3.1.10 она замкнута и связна. Кроме того CG (s)/R ≃ CNG (T ) (s)/(CNG (T ) ∩ R) изоморфна секции группы Вейля и потому конечна. Значит, R = CG (s)0 , откуда следует теорема. Заметим, что любая связная редуктивная подгруппа максимального ранга группы G имеет конечный индекс в своём нормализаторе, в частности, совпадает с компонентой единицы своего нормализатора.
pOfMaximalRank}
Лемма 6.3.2. Пусть G — связная редуктивная алгебраическая группа и R — её связная редуктивная подгруппа максимального рана, обознчим за T некоторй максимальный то группы R. Тогда NG (R) = RNNG (T ) (R) и NG (R)/R ≃ NNG (T ) (R)/NR (T ), т. е. изомрфна секции группы Вейля группы G. Доказательство. Пусть x ∈ NG (R). Тогда T x — максимальный тор группы R. В силу сопряжённости максимальных торов, существует такой y ∈ R, что T x = T y , т. е. xy −1 ∈ NG (T ) ∩ NG (R), откуда следует лемма. Доказательство следующей леммы требует длительных вычислений и изучения двойственных групп к алгебраическим группам, поэтому мы не будем здесь его приводить, ограничившись лишь ссылкой.
nectedComponent}
Лемма 6.3.3. [21, Предложение 2.10] Пусть G — полупростая алгебраическая группа, s — её полупростой элемент конечного порядка Тогда CG (s)/CG (s)0 изоморфна подгруппе фундаментальной группы ∆(G) группы G.
emisimpleElement}
Теорема 6.3.4. Пусть G — полупростая алгебраическая группа, s — её полупростой элемент конечного порядка Тогда CG (s)/CG (s)0 изоморфна подгрупе фундаментальной группы ∆(G) группы G. Доказательство. Если порядок элемента s конечен, то теорема сразу следует из леммы 6.3.3. Если порядок бесконечен, рассмотрим замыкание S циклической группы, порождённой элементом s. В силу леммы 2.6.18, если морфизм Intx действует тождественно на плотном подмножестве h s i группы S, то он действует тожественно и на S. Поэтому CG (s) = CG (S).
154
ГЛАВА 6. ПОДГРУППЫ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
Далее группа S является диагонализируемой (как замыкание диагонализируемой группы), поэтому теорема 4.1.9 влечёт, что S = S 0 × H, где S 0 — тор и H — конечная группа. Если H = {e}, то по теореме 4.6.5 централизатор CG (S) = CG (S 0 ) связен и доказывать нечего. В противном случае запишем s = s0 h, где s0 ∈ S 0 и h ∈ H. Рассмотрим естественный гомоморфизм S → S/S 0 ≃ H, который действует как изоморфизм на H, поэтому можно считать, что h переходит сам в себя под действием этого гомоморфизма. Прообраз элемента h в S замкнут и содержит s, следовательно, совпадает с S. Значит, h h i = H и CG (H) = CG (h). По лемме 6.3.3 мы получаем, что CG (h)/CG (h)0 изоморфна подгруппе группы ∆(G). Поскольку CG (S) = CCG (h) (S 0 ) и CCG (h)0 (S 0 ) связна, отсюда следует утверждение теоремы. Данная теорема имеет важное следствие, которое, ввиду его важности, сформулируем отдельно.
{CentralizerOfSem
Следствие 6.3.5. Пусть G — односвязная полупростая алгебраическая группа (т. е. ∆(G) = {e}). Тогда для любого полупростого элемента s группы G его централизатор CG (s) связен.
§4
Представления линейных алгебраических групп
В данном параграфе мы всегда предполагаем, что G — связная полупростая алгебраическая группа. Рассмотрим её произвольное рациональное представление ρ : G → GL(V ). Далее мы будем считать, что dim(V ) > 0. По теореме Ли-Колчина-Мальцева (следствие 4.4.4) существует одномерное B ρ -инвариантное подпространство пространства V . Вектор v ∈ V называется максимальным, если он порождает такое пространство или, эквивалентно, если v — ненулевой вектор лежащий в некотором весовом подпространстве Vλ и такой, что v неподвижен относительно Uαρ для всех α > 0. Отметим, что это определение зависит от выбора подгруппы Бореля B. Кроме того, максимальный вектор всегда существует, поскольку мы предполагаем, что dim(V ) > 0. Лемма 6.4.1. Пусть V — G-модуль, v + — максимальный вектор веса P λ и V ′ — G-подмодуль, порождённый вектором v + . Тогда веса подмодуля V ′ имеют вид λ− α∈Φ+ ,cα ∈N∪{0} cα α, а вес λ имеет кратность 1. Более того, если подмодуль V ′ приводим, то он обладает единственным максимальным подмодулем. Доказательство. Лемма P4.9.3 влечёт, что для любых α ∈ Φ и uα ∈ Uα подпространство (Vλ )uα содержится в λ + k∈N∪{0} kα. В частности, для любого u ∈ U − подпространство P (Vλ )u содержится в λ − k∈N∪{0} kα, и v + — единственный вектор с весом λ, который может появиться в этой сумме. Рассмотрим подпространство пространства V , порождённое множеством векторов (v + )U − . Так как подпространство, порождённое вектором v + является Bинвариантным, то подпространства, порождённые множеством векторов (v + )U − и (v + )BU − совпадают. Далее BU − = (U − B)−1 = Ω−1 и, как мы отмечали в §6 главы 5 на странице 134, множество Ω плотно в G. Следовательно, множество Ω−1 = BU − также плотно в G и подпространство, порождённое множеством векторов (v + )BU − , совпадает с подпространством, порождённым множеством векторов (v + )G, и равно V ′ . Наконец, любой собственный подмодуль модуля V ′ совпадает с суммой некоторых весовых пространств с весами отличными от λ, поэтому сумма любого семейства таких подмодулей по прежнему будет собственным подмодулем.
{PropertiesOfSubm
§5. АВТОМОРФИЗМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
155
Отметим, что на решётке абстрактных весов Λ можно определить частичный порядок правилом λ > µ, если λ − µ — сумма (возможно, нулевая) положительных весов. Лемма 6.4.1 показывает, что λ является старшим весом модуля V ′ , поскольку остальные веса меньше, чем λ. Кроме того, для любого σ ∈ W вес λσ по прежнему является весом модуля V ′ , поэтому λσ 6 λ и лемма 1.1.6 влечёт, что λ — это доминантный вес. Остановимся теперь более подробно на характеризации неприводимых G-модулей. В силу леммы 6.4.1 любой неприводимый G-модуль совпадает с подмодулем V ′ , порождённым максимальным вектором.
ucibleSubmodules}
Теорема 6.4.2. Пусть V — неприводимый G-модуль. Тогда справедливы следующие утверждения. (1) Существует единственное B-инвариантное одномерное подпространство, порождённое максимальным вектором, соответствующим некоторому доминантному весу λ, причём кратность этого веса в пространстве V равна 1. Такой вес λ называется старшим весом модуля V . P (2) Остальные веса модуля V имеют вид λ − α∈Φ+ ,cα∈N∪{0} cα α. Они переставляются группой W , причём W -сопряжённые веса имеют одну и ту же кратность. (3) Если V ′ — другой неприводимый G-модуль старшего веса λ′ , то V изоморфен V ′ (как G-модуль) в том и только в том случае, если λ = λ′ . Доказательство. Утверждения (1) и (2) следуют из леммы 6.4.1, замечаний, сделанных перед теоремой и того факта, что для любого веса µ и любого элемента σ ∈ W размерности весовых пространств Vµ и Vµσ = Vµn (здесь n — некоторый прообраз для σ в NG (T )) совпадают. (3) Если V и V ′ изоморфны, то утверждение (1) настоящей теоремы немедленно влечёт равенство λ = λ′ . Для доказательства обратного утверждения рассмотрим G-модуль V ⊕ V ′ с естественным действием (v, v ′ )g = (vg, v ′g) и проекции π, π ′ этого модуля на V и V ′ соответственно (которые в свою очередь являются гомоморфизмами G-модулей). Пусть v ∈ V и v ′ ∈ V ′ — максимальные векторы веса λ = λ′ . Тогда (v, v ′) — максимальный вектор веса λ в модуле V ⊕ V ′ , значит, подмодуль V ′′ , порождённый этим вектором, содержит λ как вес кратности 1 (см. лемму 6.4.1). Рассматривая V, V ′ как подмодули модуля V ⊕V ′ , мы получаем в частности, что v 6∈ V ′′ и v ′ 6∈ V ′′ . Поэтому V ∩ V ′′ и V ′ ∩ V ′′ — это собственные подмодули модулей V и V ′ соответственно, значит они равны 0 в силу неприводимости модулей V, V ′ . Таким образом, проекции π, π ′ отображают V ′′ изоморфно на ненулевые подмодули модулей V, V ′ соответственно, и эти подмодули должны совпадать с V, V ′ в силу неприводимости. Таким образом, модуль V изоморфен модулю V ′ .
§5
Автоморфизмы линейных алгебраических групп
В данном параграфе мы рассмотрим автоморфизмы линейных алгебраических групп, как абстрактных групп (дело в том, что не любой автоморфизм алгебраической группы является её автоморфизмом как алгебраической группы, т. е. его коморфизм необязательно является изоморфизмом). Построим сначала специальные типы изоморфизмов линейной алгебраической группы. Пусть f — некоторый автоморфизм поля F. Поскольку любая корневая подгруппа Uα изоморфна аддитивной группе поля F, мы можем рассматривать f как автоморфизм каждой
ГЛАВА 6. ПОДГРУППЫ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
156
из корневых подгрупп Uα , α ∈ Π. Поскольку константы в коммутаторной формуле Шевалле по модулю не превосходят 3, мы получаем, что на данных константах, рассматриваемых как элементы поля F, автоморфизм f действует тривиально. Таким образом, в силу коммутаторной формулы Шевалле, f можно продолжить на максимаьную унипотентную подгрупу U группы G. Пусть α1 , . . . , αn — Z-базис решётки X(T ). Для каждого αi определим элемент hi (t) ∈ T (где T — максимальный тор группы G, относительно которого определены группы Uα ) следующим правилом: (hi (t))αi = t и (hi (t))αj = e при i 6= j (существование такого элемента гарантирует нам лемма 4.1.8). Поскольку α1 , . . . , αn является Z-базисом решётки X(T ), мы получаем, что каждый hi (t) определён единственным образом. Пусть Hi = hhi (t) | t ∈ F∗ i. Тогда f продолжается до автоморфизма каждого из Hi . Кроме того, любой элемент из T единственным образом записывается в виде произведения элементов из Hi , i = 1, . . . , n (порядок неважен, в силу коммутативности группы T ). Таким образом, f продолжается до автоморфизма группы T . По лемме 4.9.2(в) автоморфизм f согласуется с действием тора T на U, следовательно, f продолжается до автоморфизма группы B. Так как nα = uα (1)u−α (−1)uα (1), f мы получаем, что nα = nα , откуда f действует тривиально на NG (T )/T и мы получаем продолжение f на NG (T ). В силу разложения Брюа, мы получаем продолжение автоморфизма f на всю группу G. Упражнение 6.5.1. Доказать, что таким образом определённый f сохраняет операцию. Автоморфизм f группы G, определённый выше, называется полевым автоморфизмом группы G. Заметим, что нетривиальный полевой автоморфизм является морфизмом, но не является автоморфизмом G как алгебраической группы. Действительно, пусть F — поле t характеристики p > 0. Тогда f — это возведение в степень x 7→ xp для некоторого t > 0. Но t его коморфизм, переводящий переменную T в степень T p не является изоморфизмом алгебр и, более того, его дифференциал является нулевым отображением алгебры Ли g группы G. Пусть G — простая алгебраическая группа. Предположим, что существует нетривиальная симметрия ρ диаграммы Дынкина группы G. Тогда, очевидно, ρ продолжается до биекции корневой системы Φ, которую мы также будем обозначать за ρ. Для сокращения обозначений образ корня α относительно ρ будем записывать как α. ¯ Заметим, что если корневая система Φ не имеет корней разной длины, то ρ является ортогональным отображением евклидова пространства Φ ⊗Z R. Нетривиальная симметрия ρ существует для следующих корневых систем: 1. An , n > 2. ◦r
◦
◦
◦,
◦
◦V ◦??? ?? ?? ◦
2. Dn , n > 4. ◦ 3. D4 . ◦^ 4. E6 . ◦r
◦
◦1 ◦??? ?? ?? ◦
◦
◦ ◦
◦
◦,
§5. АВТОМОРФИЗМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП ◦(
5. B2 . ◦v 6. F4 . ◦t 7. G2 . ◦v
157
◦
◦
◦*
◦(
В том случае, когда в корневой системе нет корней различной длины, симметрию ρ можно продолжить до автоморфизма максимальной унипотентной подгруппы U по правилу: ur (t) 7→ ur¯(t). Упражнение 6.5.2. Проверить, что определённый выше автоморфизм унипотентной подгруппы продолжается до автоморфизма группы G. В том случае, когда корни имеют различную длину, построение автоморфизма группы U уже не всегда возможно. Необходимо накладывать дополнительные условия на поле (оно должно быть характеристики 2 для систем B2 и F4 и характеристики 3 для системы G2 ). Для этих корневых систем автоморфизм задаётся правилом ur (t) 7→ ur¯(tλ(r) ), где λ(r) = 1, если r — короткий корень; λ(r) = 2, если r длинный корень и корневая система равна B2 или F4 и λ(r) = 3, если r длинный корень и корневая система равна G2 . И в этом случае автоморфизм группы U продолжается на всю группу G. Построенный таким образом по симметрии диаграммы Дынкина ρ автоморфизм группы G называется графовым автоморфизмом и обозначается через g . Более подробно построение графовых и полевых автоморфизмов, вместе с необходимыми вычислениями описано в [4, Глава 13]. Заметим также, что любой графовый автоморфизм перестановочен с любым полевым автоморфизмом, тогда как графовые автоморфизмы порядка 2 и порядка 3 алгебраической группы с корневой системой D4 неперестановочны.
OfAlgebraicGroups}
Теорема 6.5.3. Пусть G — простая связная линейная алгебраическая группа. Тогда любой (абстрактный) автоморфизм группы G является проиведением некоторого внутреннего, графового и полевого автоморфизмов. Доказательство. Пусть ϕ — некоторый автоморфизм группы G и B — подгруппа Бореля группы G. Тогда B ϕ также является подгруппой Бореля группы G. По теореме 4.4.6, суще−1 ствует такой x ∈ G, что B ϕ = B x . Таким образом, заменяя, если нужно, ϕ на ϕ·Intx , можно считать, что B ϕ = B, в частности, U ϕ = U. Рассмотрим теперь противоположную подгруппу Бореля B − . Пусть V = Ru (B − ). По теореме 4.4.6, существует такой y ∈ G, что B y = (B − )ϕ , в частности, U y = V ϕ . В силу точной формы разложения Брюа (теорема 5.2.10), элемент y представим в виде y = bnw u. Поскольку b ∈ NG (U), мы получаем, что V ϕ = u−1 n−1 w Unw u. Далее, U ∩ V = {e} и, значит, U ϕ ∩ V ϕ = {e}. Следовательно, U ∩ u−1 n−1 Un w u = {e}, w nw поэтому U ∩ U = {e}. По лемме 1.2.6 мы получаем, что w = w0 — единственный элемент группы Вейля, для которого (Φ+ )w = Φ− . Таким образом, U nw = U nw0 = V и V ϕ = V u . Умножая ϕ на внутренний автоморфизм Intu , можно счиать, что U ϕ = U и V ϕ = V . Заметм, что по слествию 4.6.17 справедливы равества B = NG (U) B − = NG (V ). Значит, ϕ B = B и (B − )ϕ = B − , поэтому T = B ∩B − является σ-инвариантным максимальным тором, нормализующим и U, и V . Пусть α ∈ Π — фундаментальный корень корневой системы Φ и Pα = B ∩ Bnα B = hB, nα i — минимальная параболическая подгруппа, содержащая B. Ввиду лемм 5.1.4 и 5.1.6, любая минимальная параболическая подгруппа, содержащая B, получается таким образом. Поскольку Φ(Pα ) = Φ+ ∪ {−α}, мы получаем, что Pα ∩ V = U−α . Поскольку B ϕ = B, то ϕ переставляет минимальные параболические подгруппы, содержащие B. Так как V ϕ = V , мы получае, что ϕ переставляет U−α при α ∈ Π. Аналогично получаем,
158
ГЛАВА 6. ПОДГРУППЫ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП
что ϕ переставляет Uα , где α ∈ Π. Коммутаторная формула Шевалле (лемма 5.6.8) влечёт, что [Uα , U−β ] = {e} при α 6= β, α, β ∈ Π. Следовательно, если ρ — подстановка, индуцируемая ϕ автоморфизмом ϕ на Π, то для любого α ∈ Π U−α = U−αρ . ρ Пусть теперь uα (1) = uαρ (tα ) для всех α ∈ Π. Выберем t ∈ T так, чтобы tα = t−1 α (существование такого t следует из леммы 4.1.8). Тогда, заменяя ϕ на ϕ · Intt , можно считать, что uα (1)ϕ = uαρ (1) для всех α ∈ Π. Покажем, что u−α (1)ϕ = u−αρ (1). Действительно, пусть u−α(1)ϕ = u−αρ (λ). Мы имеем, что Lα = hUα , U−α i — простая алгебраическая группа ранга 1 и из леммы 5.6.5 и упражнения 5.6.6 следует,что либо SL2(F) ≃ Lα , 1 0 1 t . и u−α (t) = либо PGL2 (F) ≃ Lα , в частности, можно считать, что uα (t) = t 1 0 1 Отсюда xα (1)x−α (−1)xα (1) = x−α (−1)xα (1)x−α (−1) для всех α ∈ Π. Применяя к последнему равенству автоморфизм ϕ, получаем, что xαρ (1)x−αρ (−λ)xαρ (1) = x−αρ (−λ)xα (1)x−α (−λ). С другой стороны
1 1 0 1
1 0 −λ 1
1 0 1 1 1−λ 2−λ · · = , −λ 1 0 1 −λ 1 − λ 1 1 1 0 1−λ 1 · · = 0 1 −λ 1 λ2 − 2λ 1 − λ
и, поскольку ядро гомоморфизма SL2 (F) → Lα содержит только e и, возможно, −e, мы получаем λ = 1. Таким образом, мы показали, что uα (1)ϕ = uαρ (1) и u−α (1)ϕ = u−αρ (1). Из определения элемента nα (= uα (1)u−α(−1)uα (1)) следует, что nϕα = nαρ . Покажем теперь, что ρ индуцирует симметрию диаграммы Дынкина. Поскольку T ϕ = T и (nα nβ )ϕ = nαρ nβ ρ , мы получаем, что |wα wβ | = |wαρ wβ ρ |. Из классификации корневых систем ранга 2 следует, что |wα wβ | полностью определяется количеством рёбер между корнями α и β, откуда следует, что ρ является симметрией диаграммы Дынкина. Таким образом, умножая ϕ на подходящий графовый автоморфизм g можно считать, что uα (1)ϕ = uα (1) и u−α (1)ϕ = u−α (1). Кроме того, отсюда следет, что nϕα = nα , где α ∈ Π и для любого α ∈ Φ имеем Uαϕ = Uα . Пусть, наконец, для любых двух α, β ∈ Π выполнено uα (t)ϕ = uα (fα (t)), uβ (t)ϕ = uβ (fβ (t)) и uα+β (t)ϕ = uα+β (fα+β (t)), где fα , fβ , fα+β — автоморфизмы поля F. В силу коммутаторной формулы Шевалле (лемма 5.6.8) а также констант, найденных в леммах 5.7.2, 5.7.3 и 5.7.4, мы получаем, что [uα (t), uβ (s)] = xα+β (±ts) . . ., откуда [uα (fα (t)), uβ (fβ (s))] = xα+β (±fα+β (ts)) . . .. Полагая t = 1, получаем, что fβ (s) = fα+β (s) для всех s и, полагая s = 1, получаем, fα (t) = fα+β (t) для всех t. Значит, fα (t) = fβ (t) = fα+β (t) для всех t ∈ F. Поскольку группа G проста, её корневая система является неразложимой (см. лемму 4.10.6). Поэтому для всех α, β ∈ Π выполнено равенство fα = fβ = f . Умножая ϕ на полевой автоморфизм f , можно считать, что ϕ централизует U±α для всех α ∈ Π. Поскольку G = hU±α |α ∈ Πi, отсюда следует, что ϕ = e. В качестве упражнения сформулируем следующее простое следствие из доказательства.
{sigma-stableTori}
Упражнение 6.5.4. Пусть G — связная редуктивная алгебраическая группа и σ — её автоморфизм (как абстрактной группы). Тогда, с точностью до умножения на некоторый внутренний автоморфизм, группа G содержит σ-инвариантную подгруппу Бореля и σ-инвариантный максимальный тор.
§6. ТЕОРЕМА ЛЕНГА-СТЕЙНБЕРГА
§6
159
Теорема Ленга-Стейнберга
{Lan
Теорема 6.6.1. (Теорема Ленга-Стейнберга) Пусть G — связная линейная алгебраическая группа и σ — такой морфизм группы G, что множество ео неподвижных точек CG (σ) = Gσ конечно. Тогда отображение x 7→ x−1 xσ сюръективно. Доказательство. Обозначим за ϕ морфизм группы G, заданный правилом x 7→ x−1 xσ . Так как |Gσ | конечно, это значит, что ядро морфизма ϕ конечно. Поскольку множество Gϕ конструктивно (лемма 2.8.5) и сумма размерностей образа и ядра равны размерности G (см. [20, Предложение 7.5Б]), мы получаем, что Gϕ содержит непустое открытое подмножество U группы G. Пусть g — произвольный элемент группы G. Рассмотрим отображение ϕg = x−1 gxσ . Тогда Ker(ϕg ) = {x | x−1 gxσ = e} = {x | g −1 = xσ x−1 }. Если x, y ∈ Ker(ϕg ), то xσ x−1 y(y −1)σ = e, поэтому (y −1x)−1 (y −1x)σ ∈ Ker(ϕ), т. е. |Ker(ϕ)| = |Ker(ϕg )| < ∞ для всех g ∈ G. Следовательно, Gϕg содержит открытое подмножество V группы G. В силу связности группы G, пересечение U ∩ V непусто, т. е. существуют такие x, y ∈ G, что x−1 xσ = y −1 gy σ . Отсюда g = (xy)−1 (xy)σ . В качестве следствия мы сформулируем упражнение, которое сразу следует из теоремы Ленга-Стейнберга 6.6.1 и упражнения 6.5.4.
riantToriAndBorel}
Упражнение 6.6.2. Пусть G — связная редуктивная алгебраическая группа и σ — такой её автоморфизм (как абстрактной группы), являющийся морфизмом, что Gσ конечно. Тогда существуют σ-инвариантные подгруппа Бореля B и максимальный тор T ≤ B группы G. Пусть G — простая связная алгебраическая группа. Автоморфизм σ группы G называется автоморфизмом Фробениуса, если множество его неподвижных точек Gσ конечно.
eniusMapTheorem}
Теорема 6.6.3. Пусть G — простая связная алгебраическая группа и σ — её автоморфизм Фробениуса. Тогда в естественном полупрямом произведении G ⋋ hσi автоморфизм σ сопряжен с некоторым автоморфизмом вида fg , где f — нетривиальный полевой автоморфизм, а g — графовый (возможно, тривиальный) автоморфизм. Доказательство. По теореме 6.5.3, σ = Intx · g · f = x · g · f . Легко проверить, что множество неподвижных точек любого графового автоморфизма бесконечно. Кроме того, ввиду следствия 4.6.4, множество неподвижных точек любого внутреннего автоморфизма также бесконечно, следовательно, автоморфизм f является нетривиальным и Ggf конечно. По теореме Ленга-Стейнберга 6.6.1, существует такой y ∈ G, что x = y −1 · (g · f ) · y · (g · f )−1 . Следовательно, σ = x · (g · f ) = y −1 · (g · f ) · y · (g · f )−1 · (g · f ) = (g · f )y .
Предположим теперь, что F = Fp является алгебраическим замыканием конечного поля простого порядка p (конечное поле порядка q в дальнейшем будем обозначать Fq ). Тогда t любой автоморфизм поля Fp может быть записан как x 7→ xp для подходящего t ∈ N. Соответствующий полевой автоморфизм группы G будем обозначать через p t и называть классическим автоморфизмом Фробениуса. Поскольку любой графовый автоморфизм перестановочен с p и имеет конечный порядок, теорема 6.6.3 влечёт, что для любого автоморфизма Фробениуса σ некоторая степень σ k сопряжена с классическим автоморфизмом Фробениуса. В частности, если σ — автоморфизм Фробениуса, то и σ k является автоморфизмом Фробениуса для любого k ∈ N.
160
ГЛАВА 6. ПОДГРУППЫ И АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП ′
Конечные группы S, удовлетворяющие O p (Gσ ) ≤ S ≤ Gσ для некоторой простой алгебраической группы G и автоморфизма Фробениуса σ называются конечными группами ′ лиева типа. Напомним, что O p (Gσ ) обозначает подгруппу группы Gσ , порождённую все′ ми p-элементами (т. е. всеми унипотентными элементами в данном случае). Группы O p (Gσ ) называются каноническими группами лиева типа. Отметим, что до сих пор в литературе нет единого определения групп лиева типа и даже в работах одного и того же автора (см., например, [4] и [5]) можно найти различные определения. Хотя многие структурные результаты, о которых пойдёт речь дальше, справедливы для любой конечной группы лиева типа (в смысле нашего определения), строение групп лиева типа различается в зависимости от ′ того, берём ли мы всю группу Gσ или только её нормальную подгруппу O p (Gσ ).
Глава 7. Конечные группы лиева типа На протяжении всей главы через G будет оозначена простая связная линейная алгебраичекая группа нд полем Fp , через σ — некоторый её автоморфизм Фробениуса и через G — конечная группа лиева типа, полученная с помощью группы G и автоморфизма σ, т. е. ′ группа, удовлетворяющая O p (Gσ ) ≤ G ≤ Gσ . Как мы заметили выше, можно считать, что σ = p ℓ g , где g — некоторый (возможно, тривиальный) графовый автоморфизм и p — канонический автоморфизм Фробениуса. Мы будем говорить, что группа G определена над полем GF (p|g |ℓ) в том случае, если все корни корневой системы Φ имеют одинаковую длину или g = e, и что группа G определена над полем GF (p2ℓ+1 ) в остальных случаях, при этом соответствующее поле называется полем определения группы G. Поле GF (pℓ ) будет называться базовым полем группы G если все корни корневой системы Φ имеют одинаковую длину или g = e, в противном случае поле GF (p2ℓ+1 ) называется базовым полем группы G. В том случае, когда g = e группа G называется нескрученной или расщелённой. В остальных случаях группа G называется скрученной. Если g = e, то группа G будет обозначаться Φ(q) и если |g | = n > 1, то группа G будет обозначаться n Φ(q), причём в обоих случаях q — это порядок базового поля группы G. В том случае, когда Φ не содержит корней разной длины, группа Φ(q) иногда обозначается как Φ+ (q) и 2 Φ(q) — как Φ− (q). В таблице 7.0.4 ниже приведены некоторые известные изоморфизмы классических групп и множества неподвижных точек Gσ .
assicalSigmaStable}
Таблица 7.0.4. Изоморфизм классическим группам. Φ An An Bn Cn Dn Dn
§1
ε + − + −
∆(G) = e ∆(G) = ∆(Φ) SLn+1 (q) PGLn+1 (q) SUn+1 (q) PGUn+1 (q) Spin2n+1 (q) SO2n+1 (q) Sp2n (q) PGSp2n (q) Spin+ (q) PGO+ 2n 2n (q) − Spin2n (q) PGO− 2n (q)
Классы σ-инвариантных подгрупп
Отметим сначала следующую полезную лемму.
torByStablePoints}
Лемма 7.1.1. Пусть X — замкнутая σ-инвариантная подгруппа группы G и Y — нормальная связная σ-инвариантная подгруппа группы X. Определим действие σ на факторгруппе X/Y правилом (Y x)σ = Y xσ . Тогда (X/Y )σ ≃ Xσ /Yσ . Доказательство. Рассмотрим мономорфизм ϕ : Xσ /Yσ → (X/Y )σ , заданный правилом
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА
162
(Yσ x)ϕ = Y x. Поскольку (Xσ /Yσ )ϕ = Xσ Y /Y ≤ (X/Y )σ , то достаточно доказать сюръективность мономорфизма ϕ. Пусть Y x = Y xσ для некоторого x ∈ X. Тогда yxσ = x для некоторого y ∈ Y . По теореме Ленга-Стейнберга существует такой z ∈ Y , что y = z −1 z σ . Следовательно, (zx)σ = zx. Пусть R — произвольное замкнутое σ-инвариантное подмножество группы G и предпоg ложим, что для некоторого g ∈ G множество R также является σ-инвариантным. Тогда, используя запись g σ = σ −1 gσ, справедлива следующая цепочка равенств R
gσ
g
= σ −1 g −1 σRσ −1 gσ = σ −1 g −1 Rgσ = R .
Таким образом, элемент g σ g −1 лежит в NG (R). Поскольку подмножество R является σ-инваринтным, его нормализотор NG (R) и компонента единицы нормализатора также σ-инвариантны. Таким образом, можно определить индуцированное действие автоморфизма σ на факторгруппе NG (R)/NG (R)0 по правилу (NG (R)0 n)σ = NG (R)0 nσ . Введём отношение эквивалентности n1 NG (R)0 ∼ n2 NG (R)0 на факторгруппе NG (R)/NG (R)0 следующим образом: n1 NG (R)0 ∼ n2 NG (R)0 тогда и только тогда, когда существует такой n ∈ NG (R)/, что n1 NG (R)0 = nσ n2 NG (R)0 n−1 . Множество классов эквивалентности обозначим через H 1 (σ, NG (R)/NG (R)0 ). Обозначим через R множество σ-инвариантных подмножеств группы G, сопряжённых с R, и через R/Gσ — разбиение этого множества на классы подмножеств сопряжённых относительно Gσ . Наша задача сейчас установить связь между H 1 (σ, NG (R)/NG (R)0 ) и R/Gσ . h g Предположим, что R и R из R лежат в одной Gσ -орбите. Тогда существует такой x ∈ Gσ , что hx−1 g −1 ∈ NG (R). Запишем hx−1 g −1 в виде nr, где n ∈ NG (R) и r ∈ NG (R)0 . Тогда hσ = nσ r σ g σ x, h−1 = x−1 g −1 r −1 n−1 и справедлива следующая цепочка равенств: hσ h−1 = nσ r σ g σ g −1 r −1 n−1 ∼ g σ g −1 . Поскольку g σ g −1 ∈ NG (R), значит, hσ h−1 NG (R)0 ∼ g σ g −1NG (R)0 . Обратно, предположим, что элементы g, h ∈ G таковы, что g σ g −1 , hσ h−1 ∈ NG (R) и g σ g −1NG (R)0 ∼ hσ h−1 NG (R)0 . Следовательно, существуют такие x ∈ NG (R)0 и n ∈ NG (R), что hσ h−1 = nσ g σ g −1 xn−1 . Так как группа NG (R)0 связна, теорема Ленга-Стейнберга 6.6.1 влечёт, что любой элемент группы (NG (R)0 )g имеет вид (r g )σ r −1 для некоторого −1 r ∈ NG (R)0 . Таким образом, любой элемент группы NG (R)0 имеет вид ((r g )σ (r g )−1 )g = (g σ g −1)−1 r σ (g σ g −1 )r −1 . В частности, x = (g σ g −1 )−1 r σ (g σ g −1)r −1 для некоторого r ∈ NG (R)0 . Следовательно, выполняется hσ h−1 = nσ r σ g σ g −1r −1 n−1 , поэтому (g −1 r −1 n−1 h)σ = h nrgy g h g g −1r −1 n−1 h = y ∈ Gσ . Таким образом, мы имеем R = R = (R )y , т. е. R и R лежат в одной и той же Gσ -орбите. g g g Рассмотрим теперь строение группы (NG (R )/NG (R )0 )σ для некоторого R ∈ R. По g g 0 g g 0 лемме 7.1.1 мы имеем (NG (R )/NG (R ) )σ = (NG (R ))σ /(NG (R ) )σ . Следовательно, если g g x ∈ NG (R) таков, что xg NG (R )0 = (xg )σ NG (R )0 , то можно считать, что (xg )σ = xg , откуда (g σ g −1 )−1 xσ (g σ g −1) = x. Следовательно, g
g
(NG (R )/NG (R )0 )σ ≃ CNG (R)/NG (R)0 ,σ (g σ g −1 NG (R) =
xσ )−1 = g σ g −1 }, {¯ x ∈ NG (R)/NG (R)0 | x¯g σ g −1(¯
где через x обозначен образ элемента x ∈ NG (R) относительно естественного гомоморфизма NG (R) → NG (R)/NG (R)0 . Полученные утверждения мы соберём в одной теореме.
§1. КЛАССЫ σ-ИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП
163
{Sigm
Теорема 7.1.2. Пусть R — σ-инвариантное подмножество группы G. Определим отношение эквивалентности на NG (R) по правилу n1 ∼ n2 тогда и только тогда, когда существует такой n ∈ NG (R), что n1 NG (R)0 = nσ n2 NG (R)0 n−1 . Обозначим за R множество σ-инваиантных сопряжённых с R подмножеств группы G. Тогда выполнены следующие утверждения: g
(а) R ∈ R тогда и только тогда, когда g σ g −1 ∈ NG (R); g
h
(б) подмножества R , R ∈ R сопряжены некоторым элементом группы Gσ тогда и только тогда, когда g σ g −1 ∼ hσ h−1 ; g
g
(в) факторгруппа (NG (R )/NG (R )0 )σ изоморфна группе CNG (R)/NG (R)0 ,σ (g σ g −1 NG (R)) = {¯ x ∈ NG (R)/NG (R)0 | x¯−1 g σ g −1 x¯σ = g σ g −1}. Предположим теперь, что R — параболическая подгруппа группы G. Тогда NG (R) = R, следовательно, любые две σ-инвариантные параболические подгруппы группы G сопряжены некоторым элементом из Gσ . В частности, любые две σ-инвариантные подгруппы Бореля сопряжены некоторым элементом из Gσ . Таким образом, для параболической подгруппы теорема 7.1.2 приобретает следующий вид.
nvariantParabolic}
Следствие 7.1.3. Пусть R — σ-инвариантная параболическая подгруппа группы G. Обозначим за R множество сопряжённых с R σ-инвариантных подгрупп группы G. Тогда выполнены следующие утверждения: g
(а) R ∈ R тогда и только тогда, когда g σ g −1 ∈ R; h
g
(б) подгруппы R , R из R сопряжены некоторым элементом из Gσ ; Если R — редуктивная подгруппа максимального ранга группы G и T — максимальный тор группы R, то по лемме 6.3.2 справедливо равенство NG (R) = NNG (T ) (R)R и потому NG (R)/R ≃ NNG (T ) (R)/NR (T ) является конечной группой. Как мы убедимся позже, максимальный тор T почти всегда можно выбрать таким образом, чтобы σ действовал тождественно на NG (T )/T . Таким образом, теорема 7.1.2 для редуктивных подгрупп максимального ранга принимает следующий вид.
nvariantReductive}
Следствие 7.1.4. Пусть R — связная σ-инвариантная редуктивная подгруппа максимального ранга группы G. Пусть T — σ-инвариантный максимальный тор группы R. Обозначим через W1 факторгруппу NR (T )/T и рассмотрим индуцированное действие автоморфизма σ на факторгруппе NW (W1 )/W1 ≃ NNG (T ) (R)/NR (T ) ≃ NG (R)/R. Введём отношение эквивалентности w¯1 ∼ w¯2 для элементов w¯1 = w1 W1 , w¯2 = w2 W1 , w1 , w2 ∈ NW (W1 ) по правилу: w¯1 ∼ w¯2 тогда и только тогда, когда существует такой w¯ = wW1 , w ∈ NW (W1 ), что w¯2 = w¯ σ w¯1 w¯ −1 . Обозначим за R множество спряжённых с R σ-инвариантных подгрупп групы G. Тогда выполнены следующие утверждения: g
(а) R ∈ R тогда и только тогда, когда g σ g −1 ∈ NG (R);
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА
164 h
g
(б) подгруппы R , R из R сопряжены некоторым элементом из Gσ тогда и только тогда, когда hg h−1 R ∼ g σ g −1 R; g
g
(в) обозначая за w¯ образ элемента g σ g −1 в NW (W1 )/W1 , факторгруппа (NG (R )/R )σ изоморфна CNW (W1 )/W1 ,σ (w) ¯ = {¯ v ∈ NW (W1 )/W1 | v¯w(¯ ¯ v σ )−1 = w}. ¯ Рассмотрим, наконец, случай, когда множество R состоит из одного элемента x. Тогда NG (R) = CG (x) и теорема 7.1.2 прнимает следующий вид.
{SigmaStableElem
Следствие 7.1.5. Пусть x ∈ Gσ . Тогда выполнены следующие утверждения: (а) xg ∈ Gσ тогда и только тогда, когда g σ g −1 ∈ CG (x);
(б) элементы x, xg ∈ Gσ сопряжены в Gσ тогда и только тогда, когда g σ g −1 ∈ CG (x)0 .
В частности, если CG (x) связен, то элементы x, xg ∈ Gσ сопряжены в G тогда и только тогда, когда они сопряжены в Gσ . Заметим, что если G = GLn (F), то централизатор любого элемента связен (см. лемму 3.6.7). Таким образом, для любого конечного поля GF (q) характристики p элементы x, y ∈ GLn (q) сопряжены тогда и только тогда, когда они сопряжены в GLn (Fp ).
§2
BN -пары в конечных группах лиева типа
Пусть U = hUα |α ∈ Φ+ i — σ-инвариантная максимальная связная унипотентная подгруппа группы G. Заметим, что автоморфизм σ действует на ней следующим образом: t t (uα (x))p = uα (xp ) и (uα (x))g = uα¯ (xλα ), где α ¯ — образ корня α относительно симметрии ρ, соответствующей автоморфизму g и константы λα определены в § 4 главы 7 (и равны 1 если α — короткий корень). Тогда группа V = hUα | α ∈ Φ− i также является σ-инвариантной. − Очевидно, что B = NG (U ) и B = NG (V ) являются σ-инвариантными подгруппами Бореля − группы G. Кроме того, T = B ∩ B — σ-инвариантный максимальный тор группы G. Тор T называется максимальным расщелённым тором G, а множество его неподвижных точек T ∩ G — подгруппой Картана группы G. Определим N = NG (T ) и N = N σ . Из леммы 7.1.1 сразу вытекает
{SigmaStablePoint
Лемма 7.2.1. Для любого w ∈ Wσ существует прообраз n ∈ N . Теорема 7.2.2. Пусть G = Gσ , B = B σ и N = N σ , где группы B и N введены выше. Тогда подгруппы B, N образуют расщелённую насыщенную BN-пару группы G. Доказательство. Пусть g ∈ Gσ . Тогда, как для элемента группы G, для g можно записать разложение Брюа g = bnu, где b ∈ B, n ∈ N и u ∈ U . Поскольку g = g σ , мы получаем, что двойные смежные классы по B элементов n и nσ совпадают. Следовательно, nσ = nt для некоторого t ∈ T и, в силу леммы 7.2.1, можно считать, что nσ = n ∈ N. Далее, g σ = bσ nuσ и, в силу единственности разложения Брюа, мы получаем, что bσ = b и uσ = u. Таким образом, b, u ∈ B, n ∈ N, следовательно, подгруппы B, N порождают всю группу Gσ , т. е. выполнена аксиома (BN1). Далее, B ∩ N = T σ . Заметим, что из определения элементов nα = uα (1)u−α (−1)uα (1) p следует, что nα = nα . Таким образом, если |g | = 1, то группа N/T σ порождается элементами порядка 2.
{BNPairsInFiniteG
tructureOfGsigma}
ArbitraryLieGroup}
§2. BN-ПАРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА
165 g
Упражнение 7.2.3. Используя полученную в доказательстве теоремы 6.5.3 формулу nα = nα¯ доказать, что и в том случае, когда |g | = 6 1 группа N/T σ порождается элементами порядка 2. Таким образом, используя упражнение 7.2.3, завершается проверка аксиомы (BN2). Аксиома (BN3), очевидно, выполняется. Выполнение аксиомы (BN4) в том случае, когда |g | = 1 следует из того факта, что nσα = nα . Проверка аксиомы (BN4) в случае |g | > 1 следует из упражнения 7.2.3. − Поскольку B и B являются σ-инвариантными и сопряжены в G, следствие 7.1.3 пока− зывает, что B и B сопряжены некоторым элементом g из G. Тогда g, как элемент группы G имеет разложение Брюа bnu, где b ∈ B, n ∈ N и u ∈ U. Как было замечено при проверке nu аксиомы (BN1), отсюда следует, что bσ = b, nσ = n и uσ = u. Далее, U = V , поэтому nu n U ∩ U = {e}, значит, U ∩ U = {e}. Следовательно, образ элемента n относительно естественного гомоморфизма N → W равен w0 . Таким образом, существует некоторый прообраз n0 n0 элемента w0 , лежащий в Gσ . Поскольку B∩B = T (см. следствие 4.8.12), то B∩B n0 = T σ , откуда следует аксиома (BN5). Выполнение аксиом (BNS1) и (BNS2) очевидн. ′
′
Лемма 7.2.4. Справедливо равенство Gσ = T σ O p (Gσ ). В частности, группа Gσ /O p (Gσ ) абелева. Доказательство. Как мы заметили в доказательстве теоремы 7.2.2, в том случае, когда ′ |g | = 1 элементы nα лежат в Gσ . Поскольку nα = uα (1)uα(−1)uα (1), то nα ∈ O p (Gσ ). Таким ′ ′ образом, в этом случае (N ∩ O p (Gσ ))/(T ∩ O p (Gσ )) = N/T σ . Из упражнения 7.2.3 следует, ′ ′ что равенство (N ∩ O p (Gσ ))/(T ∩ O p (Gσ )) = N/T σ справедливо и в остальных случаях. Таким образом, для каждого элемента группы N/T существует его представитель в группе ′ O p (Gσ ). Поскольку любой элемент g ∈ G представим в виде tvnu, мы получаем, что t ∈ T σ ′ и vnu ∈ O p (G), откуда вытекает следствие. ′
Следствие 7.2.5. Пусть G — конечная группа лиева типа, т. е. O p (Gσ ) ≤ G ≤ Gσ . Пусть B — σ-инвариантная подгруппа Бореля группы G и T — максимальный расщелённый тор группы G, содержащийся в B. Тогда группы B = B ∩ G и N = NG (T ) ∩ G образуют насыщенную расщелённую BN-пару группы G. Из изученного строения группы N и следствия 7.1.4 легко получается следующая
ncludedInGSigma}
Лемма 7.2.6. Предположим, что Gσ не совпадает с группами из следующего списка: 2 D2n (q), 3 D4 (q), 2 B2 (q), 2 G2 (q), 2 F4 (q). Тогда существует такой максимальный σ-инвариантный тор T группы G, что (NG (T ))σ /T σ ≃ W . Доказательство. Если g = e, то в качестве T можно взять максимальный расщелённый σ-инвариантный тор. В остальных случаях непосредственные вычисления показывают, что ρw0 = −1 и CW,σ (w0 ) = W . Поэтому, если T — максимальный σ-инвариантный расщелённый тор группы G, и g ∈ G выбран так, чтобы g σ g −1 переходил в w0 относительно естественного g гомоморфизма NG (T ) → W , то тор T — искомый.
{Invo
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА
166
§3
Порядок конечных групп лиева типа
В данном параграфе мы найдём порядки конечных групп лиева типа, используя разложение Брюа. Предположим сначала, что если в корневой системе Φ существуют корни разной длины, то |g | = 1. Обозначим также за q порядок базового поля группы G. Лемма 7.3.1. Пусть V — T и σ инвариантная подгруппа группы U. По лемме 5.4.1 группа V прямо порождается теми корневыми подгруппами, которые в неё входят, т. е. V прямо порождена подгруппами Uα1 , . . . , Uαk . Тогда |Vσ | = q k . Кроме того, для любого α ∈ Φ+ существует такой элемент u ∈ U σ , что множитель uα (tα ) в его разложении в произведение корневых элементов отличен от единицы.
{OrderOfUsub}
Доказательство. Обозначим {α1 , . . . , αk } за Ψ. Тогда [V, V ] — T и σ инвариантная унипотентная подгруппа группы V , следовательно, прямо порождается теми Uα , которые в неё входят. Обозначим множество корней, соответствующих этим подгруппам через Ψ1 , тогда множество корней, соответствующих корневым подгруппам, прямо порождающим V /[V, V ] равно Ψ \ Ψ1 = Ψ2 . По лемме 7.1.1 мы получаем |Vσ | = |(V / [V, V ])σ | · |[V, V ]σ |. Поскольку |Ψ1 | < |Ψ|, индукция влечёт |[V, V ]σ | = q |Ψ1| . Таким образом, |(V / [V, V ])σ |. Q достаточно найти σ Далее V /[V, V ] изоморфна прямому произведению α∈Ψ2 Uα и (uα (t)) = uα¯ (tqλα ) (см. определение полевого и графового автоморфизмов в §4 предыдущей главы), где α ¯ — образ корня α относительно симметрии ρ, соответствующей графовому автоморфизму g . Таким образом, если α1 , . . . , αl — некоторая ρ-орбита, то количество σ-неподвижных точек множества Uα1 × . . . × Uαl равно количеству решений уравнений tq1 = t2 , tq2 = t3 , . . . , tql = t1 , откуда l l tq1 = t1 ,. . . , tql = tl , что даёт нам q l (= q |{α1 ,...,αl }| ) решений. Замечание о существовании элемента u также следует из предыдущих рассуждений. Пусть S — максимальный σ-инвариантный тор группы G. Тогда существует такой g ∈ G, g что T = S. Теорема 7.1.2 влечёт, что g σ g −1 ∈ NG (T ), обозначим через w ∈ W представителя класса эквивалентности, определённой в теореме 7.1.2. Тогда S σ = {t ∈ T |(tg )σ = tg }g = {t ∈ T |((tσ )g
σ g −1
= t}g = {t ∈ T |tσw = t}g .
(7.1)
{StablePointsOfM
σ
Определим действие σ на X(T ) следующим правилом: для любог χ ∈ X(T ), tχ = (tσ )χ . Во ввеённых обозначениях справедлива следующая лема.
{StructureOfMaxi
Лемма 7.3.2. S σ ≃ X(T )/X(T )σw−1 . σw −1
Доказательство. По определению, X(T )σw−1 = {χσw χ−1 |χ ∈ X(T )}. Отсюда tχ χ = (tσw t−1 )χ . Поэтому tχ = e для любого χ ∈ X(T )σw−1 в том и только в том случае, если tσw = t. Таким образом, факторгруппа X(T )/X(T )σw−1 является полной группой характеров конечной группы T σw . В силу хорошо известного результата для конечных абелевых групп, отсюда следует, что T σw ≃ X(T )/X(T )σw−1. В силу равенства (7.1), мы получаем, что S σ ≃ T σw , откуда следует лемма. Заметим, что при доказательстве леммы 7.3.2 мы не использовали условия, что g = e, если в корневой системе существуют корни разной длины. Таким образом, лемма 7.3.2 справедлива для любого автоморфизма Фробениуса. Пусть χ1 . . . , χn — порождающие свободной абелевой группы X(T ) ≃ Zn . Тогда ZΦ ⊗Z R = X(T ) ⊗Z R. Из теории свободных абелевых групп конечного ранга следует, что
§3. ПОРЯДОК КОНЕЧНЫХ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА
167
|X(T )/X(T )σw−1 | = | det(σw − 1)|. В силу равенства подпространств, это значит, что |X(T )/X(T )σw−1 | = |ZΦ/(ZΦ)σw−1 |. Далее, если α — произвольный корень, то формула −1 uα (x)t = uα (tα x) влечёт, что ασw−1 = qα(ρw) − α. Следовательно, | det(σw − 1)| = fρw (q), где fρw — характеристический многочлен элемента ρw. Таким образом, мы получили следующую формулу: |S σ | = fρw (q).
rusOrderFormulae}
OfCartanSubgroup}
(7.2)
Лемма 7.3.3. Пусть n — ранг группы G. Тогда справедливы следующие равенства: (1) Если |g | = 1, то |T σ | = (q − 1)n . (2) Если |g | = 2 и Φ = An , то |T σ | = (q − 1)n−[n/2] (q + 1)[n/2] , где [x] — целая часть числа x. (3) Если |g | = 2 и Φ = Dn , то |T σ | = (q − 1)n−1 (q + 1). (4) Если |g | = 2 и Φ = E6 , то |T σ | = (q − 1)4 (q + 1)2 . (5) Если |g | = 3 и Φ = D4 , то |T σ | = (q − 1)(q 3 − 1). Доказательство. В силу леммы 7.3.2, T σ ≃ X(T )/X(T )σ−1 (w = e в этом случае). Если |g | = 1, то ρ = 1 и fρ (t) = (t − 1)n . Используя формулу (7.2), получаем утверждение (1) леммы. Если выполнены условия пункта (2) леммы, то пространство ZΦ⊗Z R распадается на [n/2] подпространств размерности 2, на каждом из которых ρ действует, переставляя базисные векторы. Таким образом, fρ (t) = (t2 − 1)[n/2] (t − 1)n−2[n/2] , применяя формулу (7.2), получаем утверждение (2) леммы. Если выполнены условия пункта (3) леммы, то пространство ZΦ ⊗Z R содержит подпространство размерности 2, на котором ρ действует, переставляя базисные векторы, и на ρ-инвариантное дополнение, на котором ρ действует тривиально. Таким образом fρ (t) = (t − 1)n−2 (t2 − 1) и формула (7.2) влечёт пункт (3) леммы. Если выполнены условия пункта (4) леммы, то пространство ZΦ ⊗Z R распадается в прямую сумму четырёх ρ-инвариантных подпространств размерности 1, 1, 2 и 2 соответственно, на первых двух из которых ρ действует тривиально, а на последних двух — циклически переставляя базисные векторы. Таким образом fρ (t) = (t − 1)2 (t2 − 1)2 и (4) следует из формулы (7.2). Пусть, наконец, выполнены условия пункта (5) леммы. Тогда пространство ZΦ ⊗Z R распадается в прямую сумму ρ-инвариантных подпростанств размерности 1 и 3, а первом из которых ρ действует тривиально, а на втором — циклически переставляя базисные векторы. Таким образом fρ (t) = (t − 1)(t3 − 1) и (4) следует из формулы (7.2). Поскольку B = U : T , леммы 7.3.1 и 7.3.3 позволяют вычислить |B| для всех конечных групп лиева типа (напомним, что мы по прежнему пока не рассматриваем групп, фундаментальная система которых имеет корни разной длины и |g | > 1). w0 w . Обозначим U σ Напомним, что группа U w для любого w ∈ W определяется как U ∩ U за U и T σ за T . Для любого w ∈ Wσ группа U w является T и σ инвариантной унипотентной подгруппой группы U и справедливо равенство Uw = U ∩ U w0 w = (U w )σ . Таким образом, точная форма разложения Брюа (теорема 5.2.10) даёт нам следующую формулу порядка группы Gσ :
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА
168
|Gσ | = |U| · |T | ·
gma1}
X
w∈Wσ
|Uw |.
(7.3)
Поскольку U w = hUα |αw0w ∈ Φ+ i = hUα |αw ∈ Φ− i, из теоремы 1.2.2 и леммы 7.3.1 следует, + что |Uw | = q l(w) . Кроме того, |U| = q |Φ | , поэтому равенство (7.3) можно записать как X + q l(w) . (7.4) |Gσ | = q |Φ | · |T | ·
{OrderGsigma2}
w∈Wσ
Поскольку |T | = fρ (q), где fρ (x) — характеристический многочлен преобразования ρ (см. лемму 7.3.2), теорема 1.8.1 и таблица 1.8.2 вместе с формулой (7.4) дают нам следующую теорему.
{OrdersOfGSigma
Теорема 7.3.4. Пусть Gσ — конечная группа лиева типа. Пусть ε = +, если g = e и ε = −, если |g | = 2, при этом мы не рассматриваем графовые автоморфизмы в том случае, когда существуют корни разной длины. Пусть Φ — корневая система группы G и q — порядок базового поля группы G. Тогда справедливы следующие формулы для порядка группы Gσ . An . |Gσ | = q
n(n+1) 2
Bn . |Gσ | = q 2n Cn . |Gσ | = q 2n
Qn
Qn
i=1 (q
i=1 (q
Qn
i=1 (q
i+1
− (ε1)i+1 ).
2i
− 1).
2i
− 1).
Dn . |Gσ | = q n(n−1) (q n − (ε1))
Qn−1 i=1
(q 2i − 1).
E6 . |Gσ | = q 36 (q 2 − 1)(q 5 − (ε1))(q 6 − 1)(q 8 − 1)(q 9 − (ε1))(q 12 − 1). E7 . |Gσ | = q 63 (q 2 − 1)(q 6 − 1)(q 8 − 1)(q 10 − 1)(q 12 − 1)(q 14 − 1)(q 18 − 1). E8 . |Gσ | = q 120 (q 2 − 1)(q 8 − 1)(q 12 − 1)(q 14 − 1)(q 18 − 1)(q 20 − 1)(q 24 − 1)(q 30 − 1). F4 . |Gσ | = q 24 (q 2 − 1)(q 6 − 1)(q 8 − 1)(q 12 − 1). G2 . |Gσ | = q 6 (q 2 − 1)(q 6 − 1). D4 . |g | = 3, |Gσ | = q 12 (q 2 − 1)(q 6 − 1)(q 8 + q 4 + 1). Предположим теперь, что |g | = 2 и корневая система Φ содержит корни разной длины. В том случае, когда Φ = B2 группа Gσ называется группой Судзуки. В случае, когда Φ = G2 или Φ = F4 , группа Gσ называется группой Ри. Напомним, что полевой автоморфизм в этом случае равен p ℓ , а q = p2ℓ+1 . Формула порядка группы Gσ в этом случае вытекает из следующих технических лемм, доказательство которых мы оставим читателю в качестве упражнения.
{OrderOfUsubRee
Лемма 7.3.5. Пусть V — T и σ инвариантная подгруппа группы U. По лемме 5.4.1 группа V прямо порождается теми корневыми подгруппами, которые в неё входят, т. е. V прямо порождена подгруппами Uα1 , . . . , Uαk . Тогда |Vσ | = q k/2 (в частности, k всегда чётно). Кроме того, для любого α ∈ Φ+ существует такой элемент u ∈ U σ , что множитель uα (tα ) в его разложении в произведение корневых элементов отличен от единицы.
′
§4. СТРОЕНИЕ ГРУППЫ Gσ /O P (Gσ )
169
{Elem
Лемма 7.3.6. Справедливы следующие утверждения. (1) Если Φ = B2 , то Wσ состоит из двух элементов длины 0 и 4. (2) Если Φ = G2 , то Wσ состоит из двух элементов длины 0 и 6. (3) Если Φ = F4 , то Wσ состоит из шестнадцати элементов длины 0, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 16, 18, 18, 20, 22 и 24.
nSubgroupReeSuz}
{OrderSuzukiRee}
aSimplyConnected}
Лемма 7.3.7. Пусть n — ранг группы G. Тогда |T σ | = (q − 1)n/2 . Теорема 7.3.8. Пусть Gσ — группа Судзуки или Ри и q — порядок базового поля группы Gσ . Тогда справедливы следующие формулы для порядка группы Gσ . B2 . |Gσ | = q 2 (q − 1)(q 2 + 1), q = 22n+1 .
F4 . |Gσ | = q 12 (q − 1)(q 3 + 1)(q 4 − 1)(q 6 + 1), q = 22n+1 .
G2 . |Gσ | = q 3 (q − 1)(q 3 + 1), q = 32n+1 .
Заметим, что теорему 7.3.5 можно доказывать таким же образом, как и теорему 7.3.4, несколько видоизменив рассуждения, используемые при изучении рядов в группах Вейля (см. теорему 1.8.1).
§4
′
Строение группы Gσ /Op (Gσ )
Поскольку под конечной группой лиева типа понимается любая группа G, удовлетворя′ ющая O p (Gσ ) ≤ G ≤ Gσ , для классификации групп лиева типа необходимо знание строе′ ния факторгруппы Gσ /O p (Gσ ). Рассмотрим сначала ситуацию, когда группа G односвязна. Справедлива следующая теорема. ′
Теорема 7.4.1. Пусть группа G односвязна. Тогда Gσ = O p (Gσ ). Доказательство. Пусть по-прежнему T — максимальный σ-инвариантный расщелённый ′ тор группы G и T = T σ . Ввиду леммы 7.2.4 достаточно доказать, что T ≤ O p (Gσ ). Рассмотрим подгруппу Gα = hUα , U−α i группы G, которая является простой группой ранга 1, причём T ∩ Gα = T α — максимальный тор группы Gα . Пусть λα : F∗ → T α — изоморфизм. α Тогда λα ∈ Y (T ) и λw α = −λα . В односвязном случае мы имеем X(T ) = ZΛ, следовательно, Y (T ) = ZΦ. Таким образом, элементы λα порождают Y (T ), следовательно, T есть прямое произведение подгрупп T α при α ∈ Π. Разбивая множество фундаментальных корней на ρ′ орбиты, мы получаем, что достаточно доказать включение T ≤ O p (Gσ ) в том случае, когда у нас существует только одна орбита. Таким образом, все возможности для G — это типы A1 , A2 , B2 или G2 и соответствующие группы Gσ — SL2 (q), SU3 (q), 2 B2 (q) или 2 G2 (q). Предположим, что Gσ 6≃ SU3 (q). Тгда для ′ любого α ∈ Φ выполнено αw0 = −α и существует такой n0 ∈ O p (Gσ ) ∩ N, что его образ относительно естественного гомоморфизма N → N/T равен w0 . Следовательно, для любого t ∈ T α1 ×. . .×T αk мы имеем tn0 = t−1 . Пусть t ∈ T σ . Тогда существует такой t1 , что t21 = t. Как −1 2 мы заметили выше, tn1 0 = t−1 1 , откуда t1 n0 t1 = tn0 . Поскольку n0 ∈ T σ , если p 6= 2, то n0 — полупростой элемент группы Gσ . Так как группа G односвязна, централизатор CG (n0 ) связен (см. следствие 6.3.5). Поэтому следствие 7.1.5 влечёт, что n0 и tn0 сопряжены некоторым
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА
170
элементом g из Gσ . Если p = 2, то |T σ | нечётен, слдовательно элемент t1 можно выбрать ′ в T σ , так что элементы n0 и tn0 сопряжены и в этом случае. Поскольку n0 ∈ O p (Gσ ), это ′ ′ p значит, что и элемент tn0 лежит в O p (Gσ ), следовательно, t ∈ O (Gσ ). 1 x y 0 1 z |x, y, z ∈ Fp , Если Gσ = SU3 (q), то G = SL3 (Fp ), U = 0 0 1 σ 1 x y 1 z q xq z q − y q ∗ xq T = {diag(t, st−1 , s−1 )|t, s ∈ Fp }. При этом 0 1 z = 0 1 0 0 1 0 0 1 −1 −1 σ q q −1 q −1 q и = diag(s , t(s ) , (t ) ). Таким образом, U = diag(t, st , s ) 1 x y 0 1 xq |x ∈ GF (q 2 ), y + y q = x · xq и T = {diag(t, t−1 tq , (t−1 )q )|t ∈ GF (q 2 )∗ }. 0 0 1 1 0 0 − Кроме того, если V = Ru (B ), то V = V σ = x 1 0 |x ∈ GF (q 2 ), y + y q = x · xq . y xq 1 Выберем элементы t, s ∈ GF (q 2 ) так, чтобы выполнялось равенство t−1 + (t−1 )q = ssq . Тогда 1 ts t 1 0 0 1 ts t 0 0 t 0 1 tq sq ∗ −sq 1 0 ∗ 0 1 tq sq = 0 −t−1 tq 0 = n(t) −1 q −1 q 0 0 1 (t ) −s 1 0 0 1 (t ) 0 0
Таким образом, любой элемент x = diag(t, t−1 tq , (t−1 )q ) ∈ T можно записать в виде x = ′ n(t1 ) · n(t2 ) ∈ O p (Gσ ) для подходящих t1 , t2 ∈ GF (q 2 )∗ . Если G не является односвязной и H выбрана односвязной над тем же полем и с той же корневой системой, что и группа G, то существует естественный гомоморфизм π : H → G, ядро которого Z лежит в Z(H). Тогда автоморфизм Фробениуса группы G можно получить как композицию π и соответствующего автоморфизма Фробениса группы H, поэтому мы будем использовать один и тот же символ σ для обозначения этих, вообще говоря, разных автоморфизмов. Таким образом, из теоремы 7.4.1 вытекает
{OtherThanSimpl
Следствие 7.4.2. Во введённых выше обозначениях справедливы утверждения: ′
(а) (H σ )π = O p (Gσ ); ′
(б) Gσ /O p (Gσ ) ≃ Z/(1 − σ)Z и |Z/(1 − σ)Z| = (∆(G), q − ε1), где Gσ = Φε (q) (в случае, когда запись Φε (q) неприменима, полагаем ε = +); ′
(в) O p (Gσ ) ≃ H σ /Zσ . Поскольку Z(G) содержится в любом максимальном торе, лемма 7.2.4 даёт {AnyTorus}
Следствие 7.4.3. Пусть T — произвольный σ-инвариантный максимальный тор группы G. ′ Тогда Gσ = T σ O p (Gσ ).
ablePointsOfTorus}
§5. ПРОСТОТА ГРУПП ЛИЕВА ТИПА
§5
171
Простота групп лиева типа
В данном параграфе предположим, что G является группой присоединённого типа, т. е. ′ Z(G) тривиален и G = O p (Gσ ). Мы докажем, что за исключением несколькх случаев малого ранга над полями порядка 2 или 3 группа G всегда проста. Зафиксируем σ-инвариантную подгруппу Бореля B группы G, максимальный расщелённый тор T , лежащий в B и поожим B = B ∩ G, T = T ∩ G N = NG (T ) ∩ G. Пусть n0 — такой элемент из N, образ которого относительно естественного гомоморфизма N → W переходит в w0 (существование такого элемента n0 следует из доказательства теоремы 7.2.2). n0 Обозначим U = Ru (B), U = U ∩ G, V = Ru (B ), V = V ∩ G. Докажем сначала следующую вспомогательную лемму. Лемма 7.5.1. Пусть α ∈ Φ и s ∈ GF (q)∗. Предположим также, что если g 6= e, то в Φ не существует корней разной длины. Тогда существует такой t ∈ T , что tα = s2 . Более того, если Φ 6= A1 или Φ 6= Cn и α не является длинным корнем, то мы можем выбрать t таким образом, что tα = s Доказательство. Пусть α — произвольный корень из Φ. Обозначим через Ψ ρ-орбиту корня α. Возможны следующие варианты для ρ-орбиты корня α: ′
1. αρ = α, т. е. орбита состоит из одного корня. В этом случае O p (hUβ |β ∈ Ψ ∪ −Ψiσ ) изоморфна либо SL2 (q), либо PSL2 (q). 2
′
2. α, αρ = α ¯ , αρ = α и α + α ¯ 6∈ Φ. В этом случае Ψ = {α, α ¯ } и O p (hUβ |β ∈ Ψ ∪ −Ψiσ ) изоморфна либо SL2 (q 2 ), либо PSL2 (q 2 ). 2 3 ¯ } и O p′ (hUβ |β ∈ Ψ ∪ −Ψiσ ) 3. α, αρ = α ¯ , αρ = α, ¯ αρ = α. В этом случае Ψ = {α, α ¯, α изоморфна либо SL2 (q 3 ), либо PSL2 (q 3 ). 2
¯ ∈ Φ и все корни корневой системы Φ имет одинаковую длину. В 4. α, αρ = α, ¯ αρ = α, α+ α ′ этом случае Ψ = {α, α ¯ } и O p (hUβ |β ∈ Ψ ∪ −Ψiσ ) изоморфна либо SU3 (q), либо PSU3 (q). Рассмотрим все эти случаи поотдельности. В первых трёх случаях в качестве t достаточно взять sλα , sλα · sλα¯ и sλα · sλα¯ · sλα¯ для первого, второго и третьего случаев соответственно, где отображение λα определён в доказательстве теоремы 7.4.1. В этой же теореме показано, ′ что sλα выражается через uα (s), u−α (s), поэтому выбранный элемент T лежит в O p (Gσ ). Поскольку ˇ (sλα )−1 uα (x)sλα = uα (s<α,α> x) = uα (s2 x), из теоремы 4.9.2(в) следует, что tα = s2 . Заметим, что по построению элемент t лежит ′ в O p (Gσ ). Предположим теперь, что Φ 6= A1 и, если Φ = Cn , то α — короткий корень. Тогда для любого фундаментального корня α1 (короткого, если Φ = Cn ) существует такой фундаментальный корень α2 , что < α1 , α ˇ 2 >= −1. Так как по лемме 1.1.9 для любого корня существует элемент группы Вейля, переводящий его в фундаментальный корень (той же длины), для корня α существует такой корень β, что < α, βˇ >= −1. Тогда если ρ-орбита корня β удовлетворяет первым трём случаям, мы выбираем t равным (s−1 )λβ , (s−1 )λβ · (s−1 )λβ¯ и (s−1 )λβ · (s−1 )λβ¯ · (s−1 )λβ¯ для первого, второго и третьего случая соответственно. Если ρ-орбита корня β удовлетворяет четвёртому случаю, то ρ-орбита корня α+β удовлетворяет второму ¯ ¯ β случаю и мы выбираем t = sλα+β · sλα+ .
172
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА ′
В четвёртом случае в качестве t возьмём элемент sλα+α¯ , лежащий в O p (hUα+α¯ , U−α−α¯ iσ ). ˇ¯ >=< α, α ˇ¯ >= 2 − 1 = 1, поэтому tα = s и (t2 )α = s2 . В этом случае < α, α ˇ+α ˇ > + < α, α ′
Теорема 7.5.2. Пусть G — группа присоединённого типа и G = O p (Gσ ). Тогда группа G проста, за исключением случаев, когда G изоморфна A1 (2), A1 (3), B2 (2), G2 (2), 2 A2 (2), 2 B2 (2), 2 G2 (3), 2 F2 (2). Кроме того, во всех случаях Z(G) тривиален. Доказательство. В силу следствия 7.2.5, подгруппы B, N образуют расщелённую BN-пару группы G. Таким образом, мы можем использовать критерий простоты, полученный в теореме 5.1.11. Напомним, что для проверки простоты группы, содержащей BN-пару достаточно проверить выполнение следующих четырёх условий: (а) G = [G, G]; (б) B разрешима; T (в) g∈G B g = {e};
(г) множество S нельзя разложить на такие два непустые подмножества I, J, что каждый элемент из I коммутирует с любым элементом из J.
Выполнение условия (б) очевидно, поскольку B разрешима. Напомним, что условие (г) выполняется для группы G. Если группа G не является скрученной, то, как замечено в доказательстве теоремы 7.2.2 множество S для G совпадает с множеством S для G, так что в этом случае условие (г), очевидно, выполняется. Для скрученных групп выполнение (г) следует из упражнения 7.2.3. Таким образом, достаточно проверить лишь условия (а) и (в). T Предположим, что g∈G B g = Z 6= {e}. Тогда Z ≤ U : T ∩ V : T = T . С другой стороны, T нормализует U, поэтому [T, U] ≤ U и [U, Z] ≤ U Q ∩ Z ≤ U ∩ T = {e}. Значит, Z централизует U. Пусть z — произвольный элемент из Z и u = α∈Φ+ uα (tα ) — произвольный элемент из U. Поскольку uz = u и группа Ru (B) прямо порождена корневыми подгруппами, мы получаем, что uα (tα )z = uα (tα ), т. е. z α = e как только tα 6= 0. В силу лемм 7.3.1 и 7.3.5, для любого α ∈ Φ+ существует u ∈ U, для которого tα 6= 0. Поэтому z α = e для всех α ∈ Φ+ . Значит, z α = e для всех α ∈ Φ, т. е. централизует U и V . Поскольку G порождается подгруппами U и V (см. теорему 4.10.4), это значит, что z ∈ Z(G) = e, противоречие. Для завершения доказательства нам нужно проверить условие (а). Предположим сначала, что группа G не является группой Судзуки или Ри. Тогда ρ-орбита любого корня α ∈ Φ удовлетворяет одному из четырёх случаев, указанных при доказательстве леммы 7.5.1. Обозначим через Ψα ρ-орбиту положительного корня α и будем считать, что α — самый маленький корень в орбите относительно порядка, заданного фундаментальной системой Π, соответствующей B. Обозначим за UΨα множество {uα (t)|t ∈ GF (q)}, если |Ψα | = 1, множе2 ство {uα (t) · uα¯ (tq )|t ∈ GF (q 2 )}, если |Ψα | = 2 и множество {uα (t) · uα¯ (tq ) · uα¯ (tq )|t ∈ GF (q 3 )}, если |Ψα | = 3. Заметим, что если α + α ¯ 6∈ Φ, множество UΨα является абелевой подгруппой группы G. Обозначим за Φ+ /ρ множество минимальных представителей ρ-орбит на множестве положительных корней Φ+ . Аналогично определим U−Ψα . Тогда группа G порождается множеством {U±Ψα |α ∈ Φ+ /ρ}. Предположим, что q > 4. Тогда существует такой s ∈ GF (q), что s2 6= e. По лемме 7.5.1, существует такой t ∈ T , что uα (x)t = uα (s2 x). Следовательно, [uα (x), t] = uα ((s2 − 1)x). Если α + α ¯ 6∈ Φ, то UΨα является абелевой подгруппой группы G. В этом случае, если x пробегает всё поле GF (q |g | ), то элемент (s2 − 1)x также пробегает всё поле GF (q |g | ). Поэтому
{FiniteSimpleGrou
§5. ПРОСТОТА ГРУПП ЛИЕВА ТИПА
173
мы получаем, что UΨα и U−Ψα содержатся в [G, G] для всех α ∈ Φ+ /ρ, следовательно, если q > 4, то G = [G, G] и (а) выполнено. Если α + α ¯ ∈ Φ, то Ψα+α¯ = {α + α}, ¯ следовательно, UΨα+α¯ ≤ [G, G]. Так как, в силу коммутаторной формулы Шевалле (лемма 5.6.8) hUΨα i ≤ h Uα , Uα¯ , Uα+α¯ iσ , используя умножение на подходящий элемент из UΨα+α¯ , мы получаем, чо UΨα ⊆ [G, G] и в этом случае. Если q = 3 и Φ 6= A1 , Cn , то мы рассуждаем как и выше, используя элемент 1 6= s ∈ GF (q). Предположим, что s = 3 и Φ = Cn . Тогда g = e, поскольку мы не рассматриваем групп Судзуки. Если α — короткий корень, то по прежнему существует такой t ∈ T , что uα (x)t = uα (sx) и s 6= e. Следовательно, U±Ψα лежит в [G, G] для любого короткого α ∈ Φ+ . Предположим, что α — длинный фундаментальный корень и β — короткий фундаментальный корень, связанный с α в диаграмме Дынкина. Ввиду коммутаторной формулы Шевалле и структурных констант, полученных в лемме 5.7.3, мы имеем: [uα (1), uβ (1)] = uα+β (±1)uα+2β (1). Поскольку UΨβ = (Uβ )σ ≤ [G, G], мы получаем, что UΨα+2β = (Uα+2β )σ ≤ [G, G]. Так как группа Вейля действует транзитивно на корнях одной длины (см. лемму 1.5.4), мы получаем, что для любого длинного корня α множество U±Ψα ≤ [G, G], следовательно, G = [G, G]. Наконец, предположим, что q = 2. Если g = e, то, для любого α, орбита Ψα = {α} является одноэлементной и UΨα = (Uα )σ . Поскольку в этом случае мы не рассматриваем Φ = A1 , то |Π| > 2 и существуют такие α, β, что α+ β ∈ Φ. Если в Φ все корни имеют одинаковую длину, то, в силу коммутаторной формулы Шевалле и структурных констант, полученных в лемме 5.7.2, мы имеем [uα (1), uβ (1)] = uα+β (1). Так как группа Вейля действует транзитивно на корнях одной длины, мы делаем вывод, что U±Ψα ≤ [G, G], откуда G = [G, G] и в этом случае. Предположим, что в Φ существуют корни разной длины. Поскольку мы не рассматриваем в этом случае корневые системы B2 и G2 , можно считать, что существует два фундаментальных корня α, β одинаковой длины, соединённые ребром в диаграмме Дынкина, и существует фундаментальный корень γ, длина которого отлична от длины корня β и который соединён с β в диаграмме Дынкина. Как и выше, мы получаем, что для любого корня α1 , длина которого равна α, подмножество U±Ψα1 содержится в [G, G]. Кроме того, коммутаторная формула Шевалле и константы, найденные в лемме 5.7.3, дают [uβ (1), uγ (1)] = uβ+γ (1)um1 β+m2 γ (1), где {m1 , m2 } = {1, 2} и значения выбираются в соответствии с тем, какой корень длиннее. Поскольку один из корней β + γ, m1 β + m2 γ имеет ту же длину, что и α, а другой — ту же длину, что и γ, мы получаем, что и UΨβ+γ , и UΨm1 β+m2 γ содержатся в [G, G]. Из транзитивности действия группы Вейля вытекает, что U±Ψα ≤ [G, G] для любого α ∈ Φ+ , т. е. G = [G, G] и в этом случае. Если g 6= e, то все корни в Φ имеют одинаковую длину и Φ 6= A2 . Непосредственно проверяется, что множество {±Ψα |α ∈ Φ+ /ρ} можно рассматривать как корневую систему с группой Вейля Wσ . Рассуждения, аналогичные тем, что приведены выше, показывают, что и в этом случае G = [G, G]. Если g 6= e и в Φ существуют корни разной длины, то q > 4 и рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве леммы 7.5.1 и разборе случая q > 4 при доказательстве настоящей теоремы, показывают, что G = [G, G]. Заметим, что группы, указанные в теореме как исключения, действительно не являются простыми. Сводная таблица дана ниже. {notsimple}
Таблица 7.5.3. Группы лиева типа, не являющиеся простыми Группа A1 (2)
Свойства Группа разрешима
ГЛАВА 7. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИЕВА ТИПА
174 A1 (3) B2 (2) G2 (2) 2 A2 (2) 2 B2 (2) 2 G2 (3) 2 F4 (2)
§6
Группа разрешима B2 (2) ≃ Sym6 [G2 (2), G2(2)] ≃ 2 A2 (3) Группа разрешима Группа разрешима [2 G2 (3), 2 G2 (3)] ≃ A1 (8) [2 F4 (2), 2 F4 (2)] = 2 F4 (2)′ — группа Титса
Автоморфизмы конечных групп лиева типа ′
В данном параграфе мы изучим автоморфизмы группы O p (Gσ ) в том случае, когда G является группой присоединённого типа. Определим полевой и графовый автоморфизмы груп′ ′ пы O p (Gσ ) как ограничения автоморфизмов g и p на O p (Gσ ) (определение корректно, по′ скольку g и p перестановочны с σ и O p (Gσ ) — характеристическая подгруппа группы Gσ ). ′ Автоморфизм, заданный сопряжением произвольным t ∈ T σ \ O p (Gσ ), называется диагональным. Во введённых обозначениях справедлива теорема, доказательство которой почти дословно совпадает с доказательством теоремы 6.5.3, и мы его здесь приводить не будем. Оригинальное доказательство можно найти в [15]. ′
Теорема 7.6.1. Пусть G = O p (Gσ ) — каноническая группа лиева типа и G имеет присоединённый тип. Тогда любой автоморфизм группы G представим в виде произведения внутреннего, диагонального, полевого и графового автоморфизмов.
{AutomorphismsO
Из теоремы 7.6.1 немедленно вытекает ′
Следствие 7.6.2. Пусть G = O p (Gσ ) — конечная простая группа лиева типа и ϕ — её автоморфизм. Тогда существует такой автоморфизм ϕ¯ группы G, что ϕ| ¯ G = ϕ.
§7
Задачи к экзамену
1. Пусть G = Gσ — конечная группа лиева типа над полем характеристики p, B = B σ — её подгруппа Бореля и U = U σ — максимальная нормальная унипотентная подгруппа группы B. Доказать, что NG (U) = B. В частности, U являетя силовской p-подгруппой группы G. 2. Доказать, что не всегда конечная абелева подгруппа, состоящая из полупростых элементов алгебраической группы G содержится в некотором максимальном торе. 3. Используя изоморфизм W (An ) ≃ Symn+1 найти классы сопряжённых элементов группы Вейля W (An ) и порядки максимальных торов конечной группы лиева типа An (q) ≃ SLn+1 (q). 4. Показать, что полупростая компонента централизатора полупростого элемента в односвязной группе не обязательно односвязна. 5. Пусть G — простая линейная алгебраическая группа с корневой системой типа An , D2n+1 или E6 . Предположим, что σ — такой автоморфизм Фробениуса, что |g | = 2, т. е. G = Gσ изоморфна группам 2 An (q), 2 D2n+1 (q) или 2 E6 (q) соответственно. Обозначим
{AutomorphismEx
§7. ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ
175
за T максимальный тор группы G, соответствующий элементу w0 группы W = W (G) и за T — соответствующий ему тор группы G (т. е. T = T σ ). Найти |T | и доказать, что (NG (T )/T )σ ≃ W . 6. Пусть G — конечная скрученная группа лиева типа и T = T σ — её подгруппа Картана. Доказать, что группа (NG (T )/T )σ порождается инволюциями. Более того, для любой ′ порождающей инволюции прообраз можно выбрать в группе O p (Gσ ). 7. Доказать, что множество регулярных элементов содержит открытое подмножество группы G. 8. Доказать, что если t, s — два полупростых элемента, лежащих в одном и том же максимальном торе T группы алгебраической группы G, то они сопряжены в G тогда и только тогда, когда они сопряжены в NG (T ). Используя эту информацию, найти классы полупростых элементвов в группе SL3 (q).
Указатель терминов ∗x, 72 A(M), 67 An , 39 [ai,j ], 135 ad, 76 Ad(x), 73 Aij =< πi , πj >, 9 α0 , 18 (α,β) < α, β >= 2 (α,α) ,9 α, ˇ 24 (λij ), 3
F(xi | i ∈ I), 36 F[xi | i ∈ I], 36 G0 , 65 γx , 74 γn (G), 96 G, 161 g , 157 Gσ , 159 H 1 (σ, NG (R)/NG (R)0 ), 162 h(α), 3
B − , 114 B(λ), 110 B, 103 BS , 103
I(X), 39 id, 63 Im(ϕ), 66 I(T ), 105 Intx , 73
C(B), 111 codim(Y ), 53
Ker(ϕ), 31
∆(G) = ZΛ/X(T ), 133 ∆(Φ) = ZΛ/ZΦ, 133 Der(R), 71 dim(X), 44 Dn (F), 85 d(ϕ), 71 dϕx , 62 dx f , 59 Dx (X), 60 e, 65 F(X), 44, 48 F[X], 43, 48 F+ , 68 f , 156 F (V ), 80 F∗ , 68 Fp , 159 Fq , 159
L(G), 71 |L : F|, 36 Λ(Φ) = Λ, 133 λx , 68 hMi, 29 ¯l(w), 25 (M), 29 L/F, 36 l(w), 4 mx , 46 Ω, 134 Ox , 46 Φ, 1 Φ(G, D), 88 Φ+ , 2 Φ− , 3 ˇ 24 Φ, Φ(q), 161 176
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ Φ+ (q), 161 Φ− (q), 161 n Φ(q), 161 Π, 1 Pn , 45 Pni , 46 p t , 159 P(V ), 45 R(G), 102 R[T ], 29 R[T1 , . . . , Tk ], 29 RI , 32 rank(G), 97 ρx , 68 Ru (G), 105 Sd (V ), 80 σ, √ 161 I, 34 Tα , 105 Tan(X)x , 59 Tn (F), 95 TranG (Y, Z), 69 tr.degF L, 38 T (X)x , 60 Uα , 114 uα (x), 115 UTn (F), 90 V(I), 39 Vχ , 82 ∧d V , 80 W (G), 103 W (G, S), 103 w0 , 6 WJ , 6 W (Φ), 1 wα , 1 Xf , 44 XG , 69 X(G), 82 [x], 167 Y (T ), 105 Y (T )reg , 106
177 Zαβ , 133
Предметный указатель BN-пара насыщенная, 121 полная, 121 расщеплённая, 128 Π-множество корней, 19 аксиома полноты BN-пары, 121 алгебра Ли ассоциативной алгебры, 71 Ли группы G, 71 аффинная аффинного многообразия X, 43 полиномиальных функций аффинного многообразия X, 43 регулярных функций предмногообразия, 48 автоморфизм Фробениуса алгебраической группы, 159 классический, 159 алгебраической группы графовый g , 157 полевой f , 156 канонической конечной группы лиева типа диагональный, 174 графовый, 174 полевой, 174 базис трансцендентности, 37 действие алгебраической группы морфизмами, 69 группы, 69 группы Вейля на X(T ) и Y (T ), 106 d-группа, 85 диаграмма Дынкина, 9 Дынкина расширенная, 22 допустимая, 26 расширенная для Π-подмножества, 21 дифференциал
многочлена, 59 морфизма в точке, 62 дифференцирование функции, 71 локального кольца Ox в точке x, 60 доминирует, 56 элемент алгебраически независимый, 37 алгебраический над F, 36 целый, 31 корневой алгебраической группы, 115 максимальной длины w0 , 6 полупростой, 78 регулярный алгебраической группы, 100 трансцендентный над F, 36 унипотентный, 78 фактор Леви, 150 флаг, 80 полный, 80 формула коммутаторная Шевалле, 139 функция длины l(w), 4 количества отражений в разложении ¯l(w), 25 регулярная, 46, 47 на открытом подмножестве, 48 график морфизма, 52 группа Кокстера, 129 Ри, 168 Судзуки, 168 Шевалле алгебраическая, 149 Вейля алгебраической группы, 103 алгебраической группы относительно тора, 103 группы с BN-парой, 121 корневой системы, 1 алгебраическая, 65
178
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ диагонализируемая, 84 полупростая, 102 присоединённого типа, 133 простая, 120 редуктивная, 105 связная, 66 алгебраичская односвязная, 133 фундаментальная алгебраической группы, 133 характеров алгебраической группы, 82 коечная лиева типа скрученная, 161 конечная лиева типа, 160 каноническая, 160 расщелённая, 161 квазипростая, 120 с BN-парой, 121 с системой Титса, 121 характер алгебраической группы, 82 идеал простой, 32 инволюция, 121 изоморфизм афффинных многообразий, 44 камера Вейля, 111 клетка большая группы с BN-парой, 134 кокорень, 24, 133 кольцо целое, 31 целостное, 32 целозамкнутое, 32 частных по мультипликативному подмножеству, 32 локальное, 32 по простому идеалу, 32 локальное в точке x Ox , 46 нётерово, 29 приведённое, 44 коморфизм аффинных алгебр, 44 морфизма предмногообразий, 48 компонента единицы алгебраической группы, 65 неприводимая топологического пространства, 42
179 композит, 36 конволюция, 72 координаты однородные, 45 коразмерность подмногообразия, 53 корень, 1 алгебраической группы относительно dподгруппы, 88 длинный, 15 фундаментальный, 3 короткий, 15 максимальной высоты, 18 отрицательный, 3 положительный, 3 кратность веса, 132 лемма Накаямы, 33 Титса, 15 о жёсткости d-групп, 88 локализация кольца, 32 матрица Картана, 9 многочлен однородный, 45 многообразие, 51 аффинное, 39 аффинное касательное в точке, 59 флагов F (V ), 80 гладкое, 61 полное, 62 проективное, 45 множество открытое главное, 44 прямых, проходящих через начало координат P(V ), 45 прямо порождённое, 130 модуль кольца (правый), 30 кольца точный, 30 нётеров, 30 морфизм G-эквивариантный, 70 аффинных многообразий, 44 алгебраических групп, 66 доминантный, 56 коммутаторный относительно x, 74 конечный, 56
180 предмногообразий, 48 набор корней положительный Φ+ , 2 набор корней фундаментальный Π, 1 норма, 39 область целостности, 32 отображение непрерывное топологических пространств, 41 орбитное, 70 отображение замкнутое, 62 отражение фундаментальное, 4 относительно гиперплоскости, 1 в корне α — wα , 1 подгруппа Бореля, 94 Бореля противоположная, 114 Картана, 97, 164 корневая алгебраической группы, 115 однопараметрическая, 105 однопараметрическая регулярная, 105 параболическая группы Вейля WJ , 6 параболическая алгебраической группы, 97 параболическая группы с BN-парой, 123 подмногообразие, 52 подмножество конструктивное, 58 локально замкнутое, 58 мультипликативное, 32 открытое аффинное, 45 подпространство топологическое, 40 подсистема, 16 аддитивно замкнутая, 19 поле базовое конечной группы лиева типа, 161 частных кольца, 33 функций предмногообразия, 48 определения конечной группы лиева типа, 161 рациональных функций на X, 43 полуинвариан
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ линейной гупп, 82 полуинвариант алгебраической группы, 82 предмногообразие, 48 представление присоединённое алгебрической группы, 73 рациональное, 68 рациональное точное, 68 регулярное алгебраической группы, 68 произведение предмногообразий, 49 пространство аффинное, 39 касательное, 60 проективное, 44 топологическое неприводимое, 40 нётерово, 41 связное, 40 пучок функций, 46 аффинного многообразия, 47 неприводимого аффинного многообразия, 46 радикал алгебраической группы, 102 идеала, 34 унипотентный алгебраической группы Ru (G), 105 ранг корневой системы, 1 связной алгебраической группы rank(G), 97 расширение чисто трансцендентное, 38 полей алгебраическое, 36 поля, 36 сепарабельно порождённое, 38 сепарабельное, 38 разложение Брюа группы с BN-парой, 122 Брюа группы с расщеплённой BN-парой точное, 128 Леви для алгебраических групп, 150 Жордана аддитивное, 78 Жордана мультипликативное, 78 общеприведённое, 25
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ приведённое, 4, 122 размерность аффинного многообразия dim(X), 43 предмногообразия, 48 сдвиг левый, 68 правый, 68 серия корней, содержащая β, 18 система корней, 1 дуальная, 24 неразложимая, 9 отрицательная Φ− , 3 корневая дуальная, 24 корневая исключительного типа, 149 корневая классического типа, 149 слой морфизма, 56 степень расширения полей, 36 сепарабельная, 39 трансцендентности, 38 внешняя пространства, 80 теорема Бореля-Титса, 152 Гильберта о базисе, 30 Гильберта о нулях, 39 Ленга-Стейнберга, 159 Нётер о нормализации, 38 Шевалле, 81 о присоединённом представлении, 76 о продолжении гомоморфизмов, 35 о действии морфизма ad, 76 о линейности аффинной алгебраической группы, 69 о неподвижной точке, 93 о подъеме, 33 о порождении связными замкнутыми подмножествами, 67 о простоте группы с BN-парой, 124 о разложении Жордана, 79 о спуске, 35 об образе конструктивного множества, 58 точка простая, 61 топология Зарисского, 40
181 Зарисского произведения аффинных многообразий, 43 тор, 86 максимальный расщелённый, 164 регулярный, 103 сингулярный, 103 транспортёр TranG (Y, Z), 69 умножение скобочное, 71 вектор максимальный, 154 вес алгебраической группы, 82 доминантный, 133 доминантный фундаментальный, 133 корневой системы, 132 модуля старший, 155 представления, 132 представления алгебраической группы, 82 высота корня h(α), 3 замыкание целое кольца, 32 групповое множества M, 67 подмножества топологического пространства, 40
Литература [1] М.Атья и И.Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Москва, «Мир», 1972. [2] A.Borel and J.de Siebental, Les-sous-groupes ferm´es de rang maximum des groupes de Lie clos, Comment. Math. Helv., 23 (1949), 200-221. [3] А.Борель, Р.Картер, К.В.Кэртис, Н.Ивахори, Т.А.Спрингер, Р.Стейнберг, Семинар по алгебраическим группам, Москва, «Мир», 1973. [4] R.W.Carter, Simple groups of Lie type. Wiley and sons, 1972. [5] R.W.Carter, Finite groups of Lie type. Conjugacy classes and complex characters. Wiley and sons, 1985. [6] R.W.Carter, Conjugacy classes in the Weyl group, Compositio Mathematica, 25 N 1 (1972), 1-59. [7] М.И.Каргополов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, М. «Наука», Физматлит, 1996. [8] J.H.Conway, R.T.Curtis, S.P.Norton, R.A.Parker, R.A.Wilson, Atlas of Finite Groups, Clarendon Press, Oxford, 1985. [9] Ч.Кэртис, И.Рйнер, Теория педставений конечных групп и ассоциативных алгебр. Москв, «Наука», 1969. [10] Н.Джекобсон, Алгебры Ли. Москва, «Мир», 1964. [11] Е.Б.Дынкин, Полупростые подалгебры полупростых алгбер Ли, Математический сборник, 30 N 2 (1952), 349–462. [12] С.Ленг, Алгебра, Москва, «Мир», 1968. [13] M.Geck, An Introduction to Algebraic Geometry and Algebraic Groups, Oxford Univ.Press, 2003. [14] H.Samelson, Notes on Lie algebras (2nd ed.), Springer-Verlag, 1990. [15] R. Steinberg, Automorphisms of finite linear groups, Canad. J. Math., 12, № 4 (1960), 606–615. [16] R.Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups. Mem. of AMS, N 80, 1968. [17] Д.А.Супруненко, Группы матриц. Москва, «Наука», 1972.
ЛИТЕРАТУРА
183
[18] Д.А.Супруненко, Разрешимые и нильпотентные линейные группы. Минск, 1958. [19] Д.Супруненко и Р.Апатёнок, О нильпотентных связных подргуппах линейных групп над конечнми полями. ДАН БССР. 3 (1959), 475–478. [20] Дж.Хамфри, Линейные алгебраические группы. Москва, «Наука», 1980. [21] J.E.Humphreys, Conjugacy classes in semisimple algebraic groups, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, Mathematical Survey and Monographs, 43, 1995.
