Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика: Лабораторный практикум

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Лабораторный практикум

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2005

УДК 531+534+539.1 ББК 22.3 М55 Кол. авт. М55 Ìåõàíèêà. Êîëåáàíèÿ è âîëíû. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà: Ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì / Ïîä ðåä. È. È. Êîâàëåíêî. ÑÏáÃÓÀÏ. ÑÏá., 2005. 118 ñ.: èë.

Во вводной части лабораторного практикума приведены: порядок проведения лабораторных работ, правила оформления отчета, краткие сведения из теории погрешностей, правила математической и графической обработки результатов измерений. В основной части даны описания пятнадцати лабораторных работ, которые могут быть предложены студентам в первом учебном семестре. В описании каждой работы содержатся краткие теоретические сведения, описание и внешний вид лабораторной установки, предлагаемые задания и порядок их выполнения, а также контрольные вопросы. Лабораторный практикум предназначен для студентов всех специальностей, обучающихся на факультетах № 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Рецензенты: кафедра физики и химии Академии гражданской авиации (зав. каф. д-р физ.-мат. наук, проф. В. И. Арбузов); доктор физико-математических наук, профессор Н. Р. Галль

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве лабораторного практикума

©

2

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2005

Порядок проведения лабораторных работ В течение семестра каждый студент должен выполнить установленное число лабораторных работ, которое определяется рабочей программой по дисциплине. На каждую лабораторную работу отводится по два занятия: одно – на выполнение занятия и одно – на защиту отчета. На первую вводную работу может быть отведено два или три занятия. К занятиям студенты допускаются только после инструктажа по технике безопасности проведения лабораторных работ. ВНИМАНИЕ ! ЗАПРЕЩАЕТСЯ НАХОДИТЬСЯ В ЛАБОРАТОРИИ В ВЕРХНЕЙ ОДЕЖДЕ В лабораторию студенты должны приходить подготовленными к назначенной работе. Выполнять работу студенту разрешается, получив допуск после беседы с преподавателем. В этой беседе преподаватель должен убедиться, что студент понимает: какие явления он будет наблюдать и исследовать; какая цель перед ним поставлена; какими приборами и как ведутся измерения; как следует проводить эксперимент. Получение допуска к работе отмечается преподавателем в журнале. В процессе выполнения лабораторной работы нужно обязательно заполнять протокол измерений, причем, каждому студенту свой; ведение одного протокола несколькими студентами вместе не допускается. Протокол ведется на листе формата А4. На этом листе должно быть отражено: точное полное название и номер лабораторной работы; фамилия, инициалы студента и номер студенческой группы; фамилия и инициалы преподавателя; таблица технических характеристик измерительных приборов (название прибора, рабочий диапазон, цена деления, класс точности и др.); параметры установки, на ней указанные; результаты измерений; дата и подпись студента. Все записи должны вестись авторучкой, шариковой, капиллярной или гелевой ручкой. Запись наблюдений и данных карандашом не допускается, карандашом можно лишь чертить таблицы и графики. В конце занятия протокол измерений обязательно дается на подпись преподавателю. Без нее протокол считается недействительным. 3

Подпись студента под протоколом обозначает, что он отвечает за все проведенные измерения, а подпись преподавателя – что работа действительно выполнялась и указанные значения действительно получены во время эксперимента. По результатам, зафиксированным в протоколе измерений, студент дома пишет отчет и защищает его на следующем занятии. При защите отчета могут быть заданы любые вопросы по теории работы и полученным результатам. За принятый отчет преподаватель выставляет студенту оценку и сообщает номер и название следующей лабораторной работы. Содержание и оформление отчета Отчет по лабораторной работе должен выполняться на листах формата А4, записи на которых ведутся только с одной стороны. По краям листа должна быть оставлена рамка шириной не менее 20 мм. Все листы должны быть пронумерованы в верхнем поле. Отчет должен начинаться с титульного листа, за которым должен следовать подписанный студентом и преподавателем протокол измерений. Отчет должен содержать следующие разделы: 1. Цель работы. Она сформулирована в описании лабораторной работы. 2. Описание лабораторной установки. Описание установки должно быть кратким. Не нужно приводить изображения внешнего вида приборов. Следует ограничиться функциональной или электрической схемой установки, описанием постановки эксперимента и таблицей технических характеристик измерительных приборов, перенесенной из протокола измерений. 3. Рабочие формулы. Под рабочими формулами понимаются только те формулы, по которым непосредственно производятся вычисления исследуемых величин. Все приведенные формулы должны быть пронумерованы. Вывод формул и промежуточные выражения приводить не нужно. Формулы для вычисления погрешностей и проведения математической обработки результатов измерений в этом разделе тоже не приводятся. 4. Результаты измерений и вычислений. В этом разделе отчета должны быть приведены все измеренные и вычисленные результаты. По возможности, их нужно представлять в 4

виде наглядных таблиц. В приводимых значениях нельзя оставлять лишние десятичные разряды (подробнее об этом пойдет речь ниже). 5. Примеры вычислений. В этом разделе отчета должны быть приведены подробные примеры вычислений по каждой рабочей формуле. Не нужно приводить всех вычислений, вполне достаточно одного примера вычисления по каждой формуле. 6. Вычисление погрешностей. В этом разделе отчета должны быть представлены формулы, по которым проводилась математическая обработка результатов. Должны быть выведены формулы, по которым вычислялись систематические и случайные погрешности и представлены примеры вычислений по каждой из них. 7. Графики и рисунки. Графики и рисунки формата А4 приводятся на отдельном листе. Они должны быть обязательно подписаны. Графики выполняются обязательно на миллиметровой бумаге. У каждой оси должно быть обозначено, какая величина и в каких единицах вдоль нее откладывается. На самих осях должны быть нанесены узлы координатной сетки, а не измеренные на опыте значения. На графике обязательно наносятся все экспериментальные точки и проводится линия. Около одной или нескольких точек откладываются систематические погрешности соответствующих измерений (подробнее об этом пойдет речь ниже). 8. Окончательные результаты, их обсуждение, выводы. В этом разделе отчета нужно подвести итог проделанной работы. Написать, какие величины и с какими погрешностями получены. Если измерения проводились разными методами, то обязательно нужно сравнить эти результаты и их погрешности, сделать заключения, какой метод лучше, точнее, удобнее. Если известно табличное значение измеренной величины, то нужно обязательно сравнить его с полученным на опыте и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении. Если в работе значения одной и той же величины получены экспериментально и теоретически, то эти результаты нужно обязательно сравнить и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении. 5

В случае, когда между сравниваемыми величинами имеются недопустимые расхождения, это нужно обязательно отметить в отчете и высказать предположение о возможных причинах этого несовпадения. Если в работе ставилось целью проверить какой-то физический закон или изучить явление, то в данном разделе необходимо дать обоснованный ответ на поставленный вопрос. Сведения из теории погрешностей Измеренное значение любой физической или технической величины отличается от истинного, т. е. в любом измеренном значении содержится ошибка. Сначала остановимся на ошибках прямых измерений, т. е. таких, в которых искомая величина определяется непосредственно прибором. Таковыми, например, являются измерения времени секундомером, длины линейкой, силы тока амперметром, напряжения вольтметром и т. п. Ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений. Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств, бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные же ошибки приборов и других измерительных средств описываются погрешностями, т. е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения. Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется систематической погрешностью прибора. Обычно систематическая погрешность обозначается большой греческой буквой "θ", нижним индексом около которой указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt, тока – θI, напряжения – θU , длины – θl , массы – θm. Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указывается класс точности. Класс точности – это число, показывающее, сколько процентов от максимального значения по шкале в выбранном диапазоне составляет систематическая погрешность. Таким 6

образом, систематическая погрешность величины θX определяется пределом шкалы прибора Xmax и его классом точности К: θX =

X max K . 100

(1а)

Если цифра, обозначающая класс точности, помещена в кружок, вместо Xmax следует подставлять измеренное значение Х. θX =

X ⋅K . 100

(1б)

В тех случаях, когда класс точности прибора не указан (линейка, секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно принимают равной половине цены деления шкалы. По формулам (1а) и (1б) можно найти систематическую погрешность прямого измерения, однако чаще приходится проводить косвенные измерения. Косвенным называется такое измерение, которое сводится к определению по прибору величины или величин, не являющихся искомыми, и вычислению искомой по ним; измеряются величины X1, X2, X3 … и по ним вычисляется искомая функция f(x1, x2, x3 …). Например, определение электрического сопротивления резистора R, сводящееся к измерению силы тока I, напряжения U и вычислению R = U/l, является косвенным. В данном случае U = x1, I = x2, R = f =

x1 . x2

Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений θ X , θ X , θ X ... : 1 2 3 θf =

∂f ∂f ∂f θ X1 + θX2 + θ X 3 + .... ∂x1 ∂x2 ∂x3

(2)

Здесь ∂f/∂xi – частные производные функции по соответствующей переменной. Частной производной функции нескольких переменных называется производная по одной из них, взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения. Вычисление погрешности по формуле (2) скорее является оценкой, поэтому полученное значение θf принято округлять до одной значащей цифры. Вторую цифру можно сохранять (можно и не сохранять) лишь в том случае, если первая оказалась единицей. Погрешность при округ7

лении можно увеличивать, но лучше не уменьшать (об этом пойдет речь ниже). Пример1 Измерение электрического тока проводится амперметром, имеющим предел измерения Im = 10 A и класс точности КI = 1. Напряжение измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 250 B и классом точности КU = 2. Показания приборов: I = 4 A, U = 220 B. Найти электрическую мощность и ее систематическую погрешность. Р е ш е н и е. Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения найдем по формуле (1а). θI =

250 ⋅ 2 I m K I 10 ⋅ 1 U K = = 0,1( A); θU = m U = = 5 (B). 100 100 100 100

Мощность электрического тока вычисляется по известной формуле: P = IU. Поскольку мы имеем дело с косвенным измерением, систематическую погрешность мощности θP выразим при помощи формулы (2) через погрешности тока θI и напряжения θU. θP =

∂P ∂P θI + θU . ∂I ∂U

Найдем частные производные от мощности по току и по напряжению: ∂P ∂ ( IU ) ∂I = =U = U, ∂I ∂I ∂I

∂P ∂ ( IU ) ∂U = =I = I. ∂U ∂U ∂U

Таким образом, получаем окончательное выражение для систематической погрешности мощности электрического тока:

θP = U θ I + I θU . θP = 220 ⋅ 0,1+ 4 ⋅ 5 ≅ 40 (Bт). Теперь найдем мощность электрического тока P = IU = 4⋅220 = 880 (Вт). О т в е т:

P = 880 ± 40 Вт.

Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга. В качестве ре8

зультата серии из N измерений (как прямых, так и косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое: N

∑ Xi

X + X 2 + X 3 +... + X N X = 1 = N

i =1

N

(3)

.

Средняя квадратичная погрешность отдельно взятого измерения Xi обычно обозначается SX и вычисляется по формуле

( X1 − X ) + ( X 2 − X ) 2

SX =

2

(

+...+ X N − X

N −1

)

N

2

=

∑ (Xi − X ) i =1

2

N −1

. (4а)

Эта величина показывает стандартное отклонение результата отдельного опыта – Xi от получившегося среднего значения – X . Для вычисления по этой формуле нужно иметь известное значения X . Таким образом, обработку экспериментальных данных приходится проводить дважды – сначала по формуле (3) для нахождения X , а затем – по (4a) для нахождения SX. Удобнее пользоваться другой формулой: SX =

2

X2 − X .

(4б)

Преимущество этой формулы состоит в том, что величины X и X 2 можно вычислять одновременно. С увеличением числа измерений N величины X и SX не должны сильно меняться, они должны лишь уточняться. Однако, если провести несколько серий измерений величины X, в каждой из них должно получиться свое среднее значение X k . Разброс этих средних значений определяется средним квадратичным отклонением S X . Интуитивно ясно, что эта величина должна быть существенно меньше, чем SX. С увеличением числа измерений N в каждой серии средние значения X k будут определяться точнее. Следовательно, они будут меньше отличаться друг от друга, и их разброс станет меньше. Таким образом, с увеличением 9

числа измерений среднее квадратичное отклонение должно уменьшаться, а достоверность полученного результата увеличиваться. Как следует из теории SX = SX

N

.

(5)

Окончательная формула для среднего квадратичного отклонения N

SX =

∑ (Xi − X )

2

i =1

(6)

.

N ( N − 1)

Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины X1i, X2i, X3i …, по которым вычисляется искомая величина – функция f(x1i , x2i , x3i…). Следует различать два случая при проведении таких измерений. Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок измерений. В таком случае по формуле (3) находят средние значения каждой переменной X 1 , X 2 , X 3... , а по формулам (4– 6) их случайные погрешности. Среднее значение величины f вычисляют по формуле f = f ( x1 , x2 , x3...).

(7)

Среднее квадратичное отклонение этой величины можно выразить через средние квадратичные отклонения каждой из переменных:  ∂f  Sf =    ∂ x1 

2

(S X )

2

1

 ∂f  +   ∂ x2 

2

(S X )

2

2

 ∂f  +   ∂ x3 

2

(S X )

2

3

+ ....

(8)

Отметим, что эта формула получена в предположении, что все случайные ошибки прямых измерений независимы, т. е. ошибка измерения одной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой. Кроме описанного метода обработки серии косвенных измерений существует и другой, применимый в случае проведения серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся внешних условиях. 10

Состоит он в том, что по результатам i-го измерения сначала находится величина fi = f(x1i, x2i, x3i …), а затем получившийся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (3) находится среднее значение величины f , а по формулам (4–6) – средняя квадратичная погрешность Sf и среднее квадратичное отклонение S f . В случае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше), среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам, что и систематическую погрешность, т. е. сохраняют одну значащую цифру; вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая равна единице. При записи средней квадратичной погрешности SX сохраняют тот же десятичный разряд, что и в среднем квадратичном отклонении S X . Результатами математической обработки серии измерений, как прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по формуле (3) или (7), среднее квадратичное отклонение, вычисленное по формулам (5), (6) или (8) и полное число измерений N. П р и м е р 2. Определяется жесткость пружины k. Для этого измеряется деформация пружины x в зависимости от приложенной к ней силы F. В таблице приведена серия измеренных значений F от x. F(H)

577

643

740

771

824

855

972

1045

1100

x (мм)

108

121

136

142

161

166

185

191

208

Требуется найти жесткость пружины k и среднее квадратичное отклонение Sk в единицах Н/мм. Р е ш е н и е. Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся внешних условиях, т. е. при измерениях сила намеренно менялась в широком диапазоне значений. Применим лишь второй метод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значений ki, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой ki = Fi / xi. k, Н/мм

5,34

5,31

5,44

5,43

5,12

5,15

5,25

5,47

5,29

Теперь найдем среднее значение жесткости пружины. 11

k=

5,34+5,31+5,44+5,43+5,12+5,15+5,25+5,47+5,29 = 5,31( Н/мм ). 9

Зная его можно вычислить среднее квадратичное отклонение Sk .  (5,31 − 5,34 )2 + (5,31 − 5,31)2 + (5,31 – 5,442 ) + (5,31 − 5,43)2 + Sk =   9(9 − 1)  + (5,31 − 5,15) + (5,31 − 5,25) + (5,31 − 5,47 ) + (5,31 − 5,29 ) 9(9 − 1) 2

2

2

2

1

2  =   1

 0,032 + 02 + 0,132 + 0,082 + 0,192 + 0,162 + 0,062 + 0,162 + 0,022  2 =  =  72   = 0,04 ( Н/мм ).

О т в е т: k = 5,31 H мм, Sk = 0,04 H мм, N = 9. Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов, несовершенством методики эксперимента или несколькими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори установить их границы с помощью систематической погрешности. Погрешности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой "∆", нижним индексом около которой указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак "±". Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал, в который с вероятностью 95% попадает истинное значение измеряемой величины. В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений которых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных прибо12

ров. В таком случае средняя квадратичная погрешность измеряемой величины должна оказаться сравнимой или меньше интервала, определяемого систематической погрешностью. S x < θx . (9) ~ Среднее квадратичное отклонение должно всегда получаться меньше этого интервала.

S x < θx .

(10)

Невыполнение этих условий обычно бывает связано с промахами, т. е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И наоборот, знак строгого неравенства в условии (9) и выполнение условия (10) в более жестком виде

S x << θ x ,

(10а)

свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае полная погрешность среднего значения определяется только систематической

∆ x = θx .

(11)

В случае проведения технических испытаний обычно имеют дело с величинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых параметров при таких испытаниях связан с немного различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками, вносимыми измерительными приборами. Средняя квадратичная погрешность и среднее квадратичное отклонение, определенные по формулам (4), (5), (6), (8), включают в себя обе названные причины и поэтому не ограничены интервалом систематической погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии измерений и систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов объединяют в полную погрешность: ∆ X = θ X + kS X .

(12)

В этой формуле k – коэффициент, зависящий от количества проведенных измерений в серии. N = 5; k = 2,5; N = 10; k = 2,3; N = 20; k = 2,0. 13

Обработка серии измерений и представление результатов. По результатам серии измерений нужно при помощи формулы (3) или (7) найти среднее значение. После этого по формулам (4), (5), (6) нужно найти среднюю квадратичную погрешность и среднее квадратичное отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) рассчитать систематическую погрешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений зависит от того, какие величины измеряются: случайные или неслучайные*. Если измеряемая величина по своей природе не является случайной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измерительных приборов на процесс измерений, систематические и случайные погрешности нужно сравнить по критериям (9) и (10). В качестве полной погрешности, в соответствие с формулой (11), следует взять систематическую. Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешности следует объединить в полную по формуле (12). Результатом серии измерений при любом способе обработки должны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой величины. Кроме того, приводится среднее квадратичное отклонение и полное число измерений. Для единичного измерения указывается полученное значение и его систематическая погрешность. Округление результатов. При записи окончательного результата обязательно производится округление. 1. Сначала округляют погрешность, а затем измеренную величину. 2. Погрешность округляют до одной значащей цифры. Если эта цифра равна единице, то можно сохранить (можно и не сохранять) следующую. Если эта цифра 8 или 9, то погрешность можно округлить (можно и не округлять) до единицы старшего десятичного разряда. * Измеряемую величину следует считать случайной по своей природе, если при ее измерении возникают неконтролируемые экспериментатором факторы или физический процесс протекает так быстро, что экспериментатор не успевает провести достоверные измерения. Например, в лабораторной работе № 11 студенту предлагается во время эксперимента поддерживать постоянной частоту вращения гироскопа. Поскольку измерение длится достаточно долго, иногда около минуты, а частота вращения все-таки "уплывает", экспериментатор сталкивается со случайным фактором, который не учитывается систематической погрешностью прибора.

14

3. В погрешности округление проводится в большую сторону, если старшая отбрасываемая цифра 3 и более. 4. В полученном результате сохраняют последним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность. 5. В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меняется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на 1, если больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все последующие цифры нули или неизвестны, то последнюю сохраненную цифру при округлении нужно сделать четной. Сохранение лишних цифр при записи результата измерения, его погрешности или необоснованное их округление является грубой ошибкой. П р и м е р 3. НЕПРАВИЛЬНО

ПРАВИЛЬНО

D = 11,294 мм;

θD = 0,047 мм

D = 11,29 мм;

θD = 0,05 мм

R = 621,54 Ом;

θR = 1,27 Oм

R = 621,5 Ом;

θR = 1,3 Oм

t = 16,33333 c;

θt = 0,33333 c

t = 16,3 c;

θt = 0,4 c

m1 = 18,350 кг;

θm = 0,277 кг

m1 = 18,4 кг;

θm = 0,3 кг

m2 = 33,450 кг;

θm = 0,277 кг

m2 = 33,4 кг;

θm = 0,3 кг

q = 38,47·10–8 Кл;

θq = 8,1·10–9Кл

q = 385·10–9 Кл;

θq = 8·10–9Кл

Допустимые расхождения между результатами измерений. В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное экспериментально значение Х с теоретическим или табличным ХТ. В тех случаях, когда выполняется условие

Х − XT ≤ ∆X ,

(13)

расхождение величин Х и ХТ следует считать допустимым и не требующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отчете. Если же условие (13) нарушается, то это свидетельствует об ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах величин Х и ∆ X . В этом случае нужно обязательно еще раз проверить свои изме15

рения, расчеты и в отчете попытаться объяснить причину имеющихся расхождений или хотя бы выдвинуть правдоподобную гипотезу. Графическая обработка результатов измерений Графики нужно обязательно строить на миллиметровой бумаге, которая выступает в роли одного из измерительных инструментов. 1. Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет функцией и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить. 2. После этого следует разумно выбрать масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т. д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значений должны быть такими, чтобы по возможности использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом. 3. После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них откладываются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются. График зависимости момента инерции от положения грузов I,кг ⋅ см 2 12 10

θI

8

θl 2

6 4 2 1

2

3

4

5

6

7

Рис. 1. Образец оформления графика

16

8

l2,см2

4. На график обязательно наносятся все экспериментальные точки. Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешности измеряемых величин. 5. Для большей наглядности, для получения параметров функциональной зависимости и градуировочных графиков через экспериментальные точки проводят линию. Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них, избегая изломов и пересекая "крестики" погрешностей. Если известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему подчиняться. На рис. 1 показан образец оформления графика. Графическое определение параметров линейной зависимости Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f, записывается в виде f = kx + b , (14) то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек. Разумеется, все точки не могут попасть на прямую, поэтому нужно проводить прямую таким образом, чтобы она проходила по возможности ближе к максимальному числу точек. Проводя прямую линию через набор экспериментальных точек (рис. 2 ), нужно руководствоваться следующими правилами: 1) прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин; 2) число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым; 3) экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений х. Иногда получается, что через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка ( рис. 2, г ), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность (рис. 2, д), то следует сделать вывод, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (14). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или 2, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость. 17

а) ƒ

ƒ

б)

ƒ

в)

x

x г)

x

д) ƒ

ƒ

x

x

Рис. 2. Прямая f = kx + b, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах, д – прямую провести невозможно

В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести прямую, по графику находят параметры k и b уравнения (14). Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3. Обратим внимание на то, что катеты ∆х и ∆f измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии. Оценка погрешностей величин k и b, определенных графически Систематическую погрешность величины b разумно принять равной значению систематической погрешности θf при наименьшем х. Систематическую погрешность величины k можно принять

 θf θ  θk = k  + x ,  ( ∆f ) ( ∆x ) 

(15)

где ∆f и ∆х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θx – систематические погрешности величин f и х. 18

f ∆f

k = tgα =

α b

∆х

∆f ∆x

;

b = f( x = 0) . х

Рис. 3. Графическое определение параметров прямой

Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия: по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; для нее находят новые значения величин k' и b'; считают, что Sk = k – k' , а Sb = b – b' . Очень часто измеряемые величины должны быть прямо пропорциональны друг другу: f = kx. (16) Прямая пропорциональность является частным случаем линейной зависимости (14) при b = 0. График функции (16) должен обязательно проходить через начало координат. Проводя прямую линию через набор экспериментальных точек (рис. 4), в этом случае нужно руководствоваться следующими правилами: 1) прямая должна обязательно проходить через начало координат; 2) прямая должна пересечь максимальное количество крестиков, обозначающих систематические погрешности отложенных величин; 3) число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым. В некоторых случаях (рис. 4, г, д, е) через имеющиеся экспериментальные точки невозможно провести прямую (16). Если из общего набора выбивается только одна точка (рис. 4, г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же таких точек несколько или наблюдается нелинейность(рис. 4, д), или очевидно, что экспериментальная зависимость проходит мимо начала координат (рис. 4, е), то следует сделать вывод, что данные опыта противоречат теоретической формуле (16). Если наблюдаются случаи, показанные на рис. 4, в или 19

4, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают эту теоретическую зависимость а) ƒ

б)

в)

ƒ

ƒ

x г) ƒ

x д) ƒ

ƒ

x

е)

x

x

x

Рис. 4. Прямая f = kx, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах, д и е – прямую провести невозможно

Если через имеющийся набор данных прямую провести удалось, то величину b определять не нужно, поскольку она в этом случае обязана равняться нулю. Угловой коэффициент k = tgα находится так же, как и в прошлом случае (см. рис. 3). Графическая обработка экспоненциальной зависимости На практике очень часто приходится иметь дело с теоретическими зависимостями, которые сводятся к формуле

f (t ) = Ae

−

t τ,

(17)

в которой t – время, а τ – константа, которая обычно называется постоянной времени или временем релаксации. Обработка экспериментальных данных может быть проведена одним из двух методов. 20

Метод 1. Измеренные значения f(t) откладываются на графике. Через них проводится плавная кривая, как это показано на рис. 5. Эта линия не обязана проходить через все точки, она должна лишь пересекать крестики, обозначающие систематические погрешности. ƒ

A

A/e

τ

t

Рис. 5. Определение параметров экспоненциальной зависимости

По проведенной линии нужно определить или уточнить значение параметра А, как это показано на рисунке. Кроме того нужно провести горизонтальную линию f = A/е и найти точку ее пересечения с построеной кривой. Из найденной точки нужно опустить перпендикуляр на ось t и найти значение τ. К достоинствам этого метода несомненно следует отнести его простоту и наглядность. Его недостатками являются отсутствие корректной процедуры оценки погрешностей и необходимость вручную проводить экспоненту. Проведенный вручную график функции часто слишком тяготеет к отдельным экспериментальным точкам. Другой метод свободен от этих недостатков, но более громоздок и требует логарифмирования. Метод 2. Получившиеся значения f логарифмируются; на графике откладывается набор точек lnf от t, как это показано на рис. 6. Теоретически эта зависимость должна оказаться линейной: lnf = lnA – (l/τ)t, (18) поэтому через экспериментальные точки нужно провести прямую линию по уже знакомым правилам. Определив по графику длину отрезка lnА, отсекаемого прямой на оси ординат, найдем параметр А уравнения (18). Экстраполируя полу21

lnf

lnA

α to

t

Рис. 6. Определение параметров уравнения (18)

чившуюся прямую до пересечения с осью абсцисс, находим время t0, угловой коэффициент k = tgα и постоянную времени τ. τ=

t0 . ln A

(19)

Отметим, что по оси ординат около каждой точки откладывается систематическая погрешность не самой величины ∆f, а ее логарифма: θln(∆f ) =

θ(∆f ) ∆f

.

(20)

Достоинством этого метода является то, что через набор точек проводить нужно не экспоненту "тведым движением руки", а прямую линию по линейке. Эта линия опирается сразу на весь набор экспериментальных точек. Вторым важным достоинством описанного метода является возможность оценить погрешности найденных параметров. Систематическую погрешность величины А разумно принять равной значению систематической погрешности θf для значений, полученных при наименьшем значении времени t: при min t. (21) θА = θf Систематическую погрешность величины τ можно принять θ θ  θτ = τ  t + A  .  t0 A ln A 

(22)

Для оценки случайных погрешностей SА и Sτ поступают следующим образом: 22

по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; для нее находят новые значения величин А' и τ; принимают SА = А – А', а Sτ = τ – τ' . ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Определение электрического сопротивления Цель работы: ознакомление с методикой обработки результатов измерений; определение электрического сопротивления; экспериментальная проверка закона Ома; определение удельного сопротивления нихрома. Теоретические сведения Напряжением или разностью потенциалов между двумя точками электрического поля называется отношение работы сил Кулона по переносу заряда из первой точки во вторую к величине перенесенного заряда:

A12 . (1.1) q Падением напряжения на проводнике называется напряжение между его концами. В международной системе единиц (СИ) электрический заряд измеряется в кулонах (Кл), а напряжение – в вольтах (В). 1 В = 1Дж/Кл. Прибор, измеряющий напряжение, называется вольтметром. В электрических схемах он обозначается символом V . Силой тока или просто током называется отношение заряда, протекшего по проводнику, ко времени его протекания: U12 = φ1 − φ2 =

q . (1.2а) t Написанная формула применима лишь для вычисления постоянного, т. е. неизменного во времени, тока. Для вычисления тока, меняющегося со временем, нужно пользоваться другой формулой: I=

dq . (1.2б) dt В международной системе единиц (СИ) ток измеряется в амперах (А). I=

23

1Кл = 1А·1с. Прибор, измеряющий силу тока, называется амперметром. В электрических схемах он обозначается символом А . Из закона Ома для участка цепи следует, что отношение падения напряжения на проводнике к силе тока в нем есть величина постоянная, называемая электрическим сопротивлением: R = U/I = const. (1.3) Электрическое сопротивление проводника (резистора) не зависит от падения напряжения на нем и от величины протекающего по нему тока. Сопротивление зависит лишь от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. Для тонкого длинного проводника справедливо соотношение l R =ρ . s

(1.4)

В этой формуле l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения, а ρ – удельное сопротивление материала. В международной системе единиц (СИ) электрическое сопротивление измеряется в омах (Ом). 1Ом = 1В / 1А Сопротивление проводников, соединенных последовательно, можно рассчитать по формуле (1.5) R = R1 + R2 +… + RN . Для вычисления сопротивления параллельно соединенных проводников нужно пользоваться другой формулой: 1 1 1 1 . = + + ... + R R1 R2 RN

(1.6)

Электроизмерительные приборы – амперметр и вольтметр – имеют свои собственные внутренние сопротивления, поэтому, будучи включенными в электрическую цепь, они изменяют сопротивление этой цепи или ее отдельных участков и таким образом влияют на показания друг друга. Для того чтобы измерить силу тока в проводнике и падение напряжения на нем, амперметр нужно подключить к исследуемому проводнику последовательно, а вольтметр – параллельно. Таким образом, для внесения минимальных искажений в электрическую цепь, сопро24

тивление амперметра должно быть как можно меньше, а вольтметра – как можно больше. Однако это условие удается соблюсти не всегда, поэтому приходится учитывать падение напряжения на амперметре и ток через вольтметр. Лабораторная установка Для определения неизвестного сопротивления необходимо измерить силу тока, текущего через проводник, и падение напряжения на нем. Для этого можно использовать одну из схем, приведенных на рис. 1.1. При помощи амперметра можно измерить ток через резистор I, при помощи вольтметра падение напряжения на нем U; по этим данным при помощи формулы (1.3) можно рассчитать электрическое сопротивление. В случае, когда для сопротивлений амперметра RА, резистора R и вольтметра RV справедливо неравенство RA << R << RV, обе эти схемы одинаково пригодны для решения поставленной задачи. Если сопротивление R оказывается сравнимым с сопротивлением амперметра RA или вольтметра RV, то желательно, а иногда просто необходимо, учитывать падение напряжения на амперметре (в схеме А) или ток через вольтметр (в схеме В). Уточненные формулы, учитывающие поправки на внутренние сопротивления измерительных приборов, записываются следующим образом: U − RA , I

для схемы А

R=

для схемы В

1 I 1 . = − R U RV

(1.7)

(1.8)

A A R V

V

Схема А

Рис. 1.1.

R

Схема B

Различные варианты измерительных схем

25

Рабочая установка содержит измерительную часть, включающую вольтметр, миллиамперметр и стойку с нанесенной метрической шкалой. На стойке смонтированы два неподвижных кронштейна, между которыми натянут исследуемый провод, и третий подвижный кронштейн с контактным зажимом. На подвижном кронштейне нанесена риска, облегчающая определение длины исследуемого провода. На лицевую панель выведены кнопка Вкл./Выкл., шкалы вольтметра и миллиамперметра, ручка регулировки напряжения источника, кнопка переключения схем A ↔ B и другие кнопки. Параметры установки: сопротивление вольтметра RV = 2500 Ом; сопротивление амперметра RA = 0,2 Ом; диаметр провода D = 0,36 мм (если не указан на приборе); длина провода l = [5–50] см (задается преподавателем). Задания и порядок их выполнения Прежде чем приступить к выполнению работы обязательно нужно ознакомиться с лабораторной установкой: разобраться, как переключаются схемы А и В; определить цену деления амперметра и вольтметра, научиться снимать отсчет с приборов; определить границы, в пределах которых может меняться ток и напряжение; разобраться, как устанавливается необходимая длина провода; рассчитать систематические погрешности приборов, систематическую погрешность длины провода принять θl = 2 мм; составить таблицу технических характеристик приборов. Таблица 1.1 Прибор

Цена Предел Класс Систематическая Внутреннее деления измерения точности погрешность сопротивление

Миллиамперметр Вольтметр Л и н ей к а

Студенту предлагается выполнить одно или несколько из приведенных ниже заданий. Задание № 1 является стандартным опытом в этой работе. Оно обязательно выполняется каждым студентом и является основой для выполнения следующих более сложных заданий. 26

Задание 1. Измерение электрического сопротивления провода. Включить указанную преподавателем схему (А или В). Установить заданную преподавателем длину провода. Снять показания амперметра и вольтметра при различных токах и напряжениях 7–10 раз. Измерения следует проводить таким образом, чтобы первое значение было получено при минимально возможном токе, последнее при максимально возможном, а остальные при различных промежуточных значениях. Вычислить отношения Ui / Ii для каждого измерения i. Вычислить уточненные по формулам (1.7) или (1.8 ) значения Ri. Для нескольких значений Ri по указанию преподавателя вычислить систематическую погрешность θR. Если от преподавателя никаких указаний не получено, то вычислить погрешности для значений сопротивления, полученных при наибольшем, наименьшем и при среднем значении тока. Сравнить погрешности сопротивлений, полученных при различных токах. Сделать заключение относительно того, при каких условиях опыта получаются наиболее точные результаты. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу. Таблица 1.2 №

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U, В I, мА U/I, Ом R, Ом θR, Ом

Убедиться, что все полученные значения Ri близки друг к другу. Этот факт должен стать подтверждением закона Ома. Провести статистическую обработку серии значений Ri; найти среднее значение R и среднее квадратичное отклонение SR. Найти полную погрешность ∆R, считая, что случайные ошибки измерений связаны с зависимостью сопротивления провода от его температуры. Эта зависимость неконтролируема в ходе эксперимента, поэтому искомая величина случайна по своей природе. При обработке результатов воспользоваться значением систематической погрешности для результата, полученного при среднем значении тока. 27

Задание 2. Изучение различных схем включения приборов. Провести измерения сопротивления для одной и той же длины провода при помощи разных схем (см. задание 1). Сравнить средние значения электрических сопротивлений, полученные на разных схемах и ответить на вопрос, допустимы ли расхождения между ними. Дать мотивированное заключение о предпочтительности одной из приведенных электрических схем. Предпочтение следует отдать той схеме, для которой сопротивление можно вычислять, не учитывая поправок на внутренние сопротивления приборов. Этот критерий основан на соображении удобства; электрическое сопротивление обычно рассчитывают без учета этих поправок, т. е. просто по формуле (1.3). Найти итоговое объединенное значение электрического сопротивления и его полную погрешность. Задание 3. Изучение зависимости сопротивления от его длины. Провести несколько серий измерений с разными длинами провода (см. задание 1). Сравнить получившиеся сопротивления. Построить график и объяснить зависимость R(l). R, Ом

tgα = R/l

R α l

l, м

Рис. 1.2. График зависимости сопротивления провода от его длины

Прямая линия должна обязательно проходить через начало координат и пересекать все полученные в эксперименте "крестики". Если она прошла мимо одного или нескольких из них, то либо она проведена неверно, либо в экспериментальных значениях содержится грубая ошибка. 28

Если прямую через экспериментальные точки провести удалось, то можно определять удельное сопротивление по формуле

ρ=

πD 2 R , 4l

(1.9)

где D – диаметр провода, l – его длина, а R – электрическое сопротивление. Среднее значение удельного сопротивления можно найти либо, проведя статистическую обработку значений, вычисленных по (1.9), либо графически по катетам получившегося на рисунке треугольника.

ρ=

πD 2 tgα . 4

(1.10)

Систематическую погрешность удельного сопротивления θρ вычислить для самой большой из имеющихся длин провода. Систематическую погрешность диаметра провода считать θD = 0,01 мм. Найти удельное сопротивление металла по указанию преподавателя: графически или статистически; оценить случайную, систематическую и полную погрешности полученного значения. Сравнить получившийся результат с табличным значением удельного сопротивления нихрома ρ = 1,05·10–6 Ом·м. Контрольные вопросы 1. Что называется электрическим током, падением напряжения, электрическим сопротивлением? 2. Как нужно включать в электрическую схему амперметр, и как вольтметр? 3. Каким образом нужно учитывать внутренние сопротивления приборов при измерении сопротивления образца? 4. При измерении каких электрических сопротивлений удобнее пользоваться схемой А и каких схемой В? 5. Зависит ли систематическая погрешность сопротивления от того, на какой схеме проводились измерения? 6. Почему точность измерения электрического сопротивления возрастает с увеличением напряжения, приложенного к образцу? 7. В каком случае можно говорить, что экспериментальные данные подтверждают закон Ома и в каком нельзя? 29

8. В каком случае значения сопротивлений, полученные при помощи разных схем, можно объединять (усреднять), и в каком нельзя? 9. В каком случае по экспериментальной зависимости R(l) можно получить значение удельного сопротивления и в каком нельзя? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Машина Атвуда Цель работы: исследование равномерного и равноускоренного прямолинейного движения. Теоретические сведения Положение материальной точки в произвольный момент времени t →

однозначно задается при помощи радиуса-вектора r , соединяющего →

начало координат с движущейся точкой. Скорость υ точки в момент времени t равна производной по времени от радиуса-вектора: →

→

dr υ= . dt

(2.1)

→

Ускорение материальной точки a определяется как производная по времени от скорости: →

→

dυ a= . dt

(2.2) →

Если известен закон, по которому изменяется ускорение a (t ) , и задана скорость материальной точки в начальный момент времени, то можно найти скорость материальной точки в любой момент времени t: →

→

t→

υ = υ0 + ∫ a (t )dt. 0

30

(2.3)

→

Перемещение ∆ r материальной точки к моменту времени t можно →

найти, если известен закон, по которому изменяется скорость υ( t ) : →

∆r =

t→

∫ υ (t ) dt.

(2.4)

0

Из написанных формул можно получить формулы для скоростей и перемещений в ряде конкретных случаев. Остановимся на одном из них: на случае прямолинейного равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью вдоль вертикальной оси (oy). В этом случае формулы (2.3) и (2.4) могут быть переписаны в виде υ = at , (2.5)

at 2 (2.6) . 2 Скорость, которую приобретет тело, прошедшее путь S с ускорением a и нулевой начальной скоростью, можно найти по формуле S = ∆y =

υ = 2aS .

(2.7)

Рассмотрим систему из двух одинаковых грузов массой М каждый (рис. 2.1). Грузы соединены нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через блок. Массой блока и трением при его вращении пренебрежем. К одному из грузов добавим малую массу т. Система грузов начнет движение с ускорением. Если же в некоторый момент времени t1 дополнительный груз т отделится от системы, то движение грузов станет равномерным со скоростью

υ = 2aS1 ,

(2.7a)


a

m
T1

M

M


T2
a

(m + M ) g



Mg

Рис. 2.1. Система где S1 – путь пройденный телами за время t1 грузов на блоке равноускоренного движения. За время t2 равномерного движения грузы переместятся на расстояние

S2 = υ t2 = 2aS1 t2 . 31

Ускорение грузов выражается через пути равноускоренного S1 и равномерного S2 движения и через время равномерного движения t2 a=

S22 . 2 S1t22

(2.8)

Найдем ту же величину из решения динамической задачи. Запишем второй закон Ньютона для системы двух тел массами М и М + т. → → →  M a T M g, = +  1 1 .  → → → ( M + m) a = T + ( M + m) g  2 2

(2.9)

Спроектируем все векторы в этих уравнениях на направление вертикальной оси (oy), учитывая, что Т1 = Т2 = Т и а1 = а2 = а,

Ma = T − Mg ,    − ( M + m)a = T − ( M + m) g. Вычитаем из первого уравнения второе и получаем (M + M + m) a = (–M + M + m)g; ⇒ (2M + m)a = mg. Таким образом, ускорение системы грузов a=g

m . 2M + m

(2.10)

Подставляя это выражение в (2.7а) получим скорость, с которой заканчивается равноускоренное движение и начинается равномерное:

υ=

mgS1 . M + 0,5m

(2.11)

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 2.2. На вертикальной стойке закреплен блок 1, через который проходит нить с большими грузами 2а и 2δ. На правый груз 2а сверху может помещаться дополнительный небольшой грузик – кольцо 3. Электромагнит 4 фиксирует начальное положение грузов при помощи фрикционной муфты. 32

На вертикальной стойке находятся три подвижных кронштейна 5, 6 и 7. Верхний кронштейн 5 имеет риску, по которой устанавливается низ большого груза. Для измерения расстояний на стойке нанесена миллиметровая шкала. Средний 6 и нижний 7 кронштейны снабжены фотоэлектрическими датчиками 8 и 9. Когда нижний край груза 2а пересекает оптическую ось верхнего фотодатчика 8, включается секундомер. Выключается он в тот момент, когда нижний край того же груза пересекает оптическую ось фотодатчика 9. Дополнительная полочка 10 на сред-

1

4

1

3

3 5

2а 5

10

8

2а 10

6

8

6 2б

7

9

2б

11

11

7

Рис. 2.2. Внешний вид лабораторной установки

нем кронштейне 6 снимает дополнительный грузик 3 с груза 2а в тот момент, когда последний пересекает оптическую ось датчика 8. На лицевой панели установки 11 имеются клавиши "Сеть", "Пуск" и "Сброс". Для проведения измерений нужно включить установку кнопкой "Сеть", установить необходимые длины S1 и S2, зафиксировать начальное положение грузов 2а, 2б и установить груз 3. С нажатием кнопки 33

"Пуск" грузы приходят в движение, поочередно срабатывают фотодатчики 8 и 9, на табло высвечивается время t2. Нажатие кнопки "Сброс" обнуляет показания секундомера и приводит установку в режим готовности к следующему измерению. Задания и порядок их выполнения Перед выполнением лабораторной работы нужно ознакомиться с назначением кнопок, получить от преподавателя набор грузов и установить заданные пути равномерного и равноускоренного движений. До начала измерений нужно установить стойку строго вертикально, чтобы грузы при своем движении не задевали средний и нижний кронштейны. Нужно убедиться, что в крайнем верхнем положении левого груза правый груз пересекает оптическую ось нижнего датчика. Нужно проверить, одинаковые ли массы у грузов, полученных от преподавателя. Для этого грузы нужно повесить на блок, нажать кнопку "Сброс" и проверить, будут ли они в равновесии. Необходимо обратить особое внимание на то, чтобы нижний край правого груза в верхнем положении находился точно на уровне риски, нанесенной на верхнем кронштейне. Систематические погрешности обоих путей считать θS = 2 мм, систематическую погрешность измеренного времени принять θt = 0,001 c. Задание 1. Стандартный опыт. Установить необходимые длины S1 и S2. Правый груз зафиксировать на уровне риски, нанесенной на верхнем кронштейне. Нажать кнопку "Пуск" и после остановки груза перенести в протокол измерений время равномерного движения t2. Задание 2. Изучение равномерного движения. Необходимо убедиться, что вторую часть своего пути правый груз проходит с постоянной скоростью. Для этого нужно изучить зависимость пути S2 от времени t2. Если скорость груза постоянна, то эта зависимость на графике будет представлять собой прямую, проходящую через начало координат. Нужно сделать не менее пяти измерений времени t2 при неизменном расстоянии S1 и различных S2. В этом опыте следует перемещать лишь нижний кронштейн 7, оставляя два других неподвижными. В отчете нужно привести график зависимости S2 (t2), (рис. 2.3); дать заключение о том, является движение груза равномерным или нет, и найти скорость груза. 34

Задание 3. Изучение равноускоренного движения. Необходимо убедиться, что первую часть своего пути грузы проходят с постоянным ускорением. Для этого нужно построить зависимость (t2)–2 от S1 при неизменном пути S2 Как следует из (2.8): (t2 ) −2 = 2a ( S2 ) −2 S1.

(2.12)

Следовательно, изучаемая зависимость должна быть линейной и проходить через начало координат. Нужно сделать не менее пяти измерений времени t2 при неизменном расстоянии S2 и различных S1. При этих измерениях должен перемещаться верхний 5 кронштейн, а средний 6 и нижний 7 кронштейны должны оставаться неподвижными. В отчете нужно привести график зависимости (t2)–2 от S1, (рис. 2.4), и дать заключение о том, является движение груза равноускоренным или нет. К следующим заданиям можно приступать лишь в случае, если установлено, что движение на участке S1 является равноускоренным, а на участке S2 – равномерным. ( t2 ) −2

S2

α

β t2

Рис. 2.3. Изучение равномерного движения

S1 Рис. 2.4. Изучение равноускоренного движения

Задание 4. Определение ускорения грузов. Ускорение можно найти двумя методами: статистической обработкой или графически. Следует воспользоваться тем методом, который укажет преподаватель. При статистической обработке ускорения грузов рассчитать по формуле (2.8) для всех данных, полученных в заданиях № 2 и № 3. При графической обработке зависимости (t2)–2 от S1 сначала находится тангенс угла наклона прямой, а затем ускорение грузов: 35

a = 0,5S22 tgβ.

(2.13)

При любом методе обработки нужно найти среднее значение ускорения, его случайную, систематическую и полную погрешности. По формуле (2.10) нужно теоретически рассчитать ускорение, сравнить полученное значение с экспериментальным и дать аргументированное заключение о совпадении или несовпадении экспериментального и расчетного значений. В случае необходимости выдвинуть предположения о причинах наблюдающихся расхождений. Задание 5. Определение скорости грузов. Скорость грузов можно найти двумя методами: статистической обработкой или графически. Следует воспользоваться тем методом, который укажет преподаватель. При статистической обработке для всех данных, полученных в задании № 2, найти скорости равномерного движения грузов на участке пути S2 по формуле (2.14) υ = S2/t2. Графически среднюю скорость можно найти по тангенсу угла α наклона прямой S2(t2) υ = tgα. (2.15) При любом способе обработки необходимо найти среднее значение скорости, ее случайную, систематическую и полную погрешности. По формуле (2.11) нужно теоретически рассчитать скорость, сравнить полученное значение с экспериментальным и дать аргументированное заключение о совпадении или несовпадении экспериментального и расчетного значений. В случае необходимости выдвинуть предположения о причинах наблюдающихся расхождений. Все определяемые в настоящей работе величины являются неслучайными по своей природе. Случайные ошибки, возникающие при их измерениях, связаны с влиянием измерительных приборов на процесс измерения. Контрольные вопросы 1. Что называется материальной точкой и что абсолютно твердым телом? 2. Какое движение абсолютно твердого тела называется поступательным? 36

3. Как описывается движение материальной точки? 4. Чем отличается перемещение от пути? 5. Что называется средней и мгновенной скоростью? 6. Какое движение материальной точки называется равномерным, и какое равноускоренным? 7. Как изменится формула (2.10), если при ее выводе не пренебрегать силами трения оси блока? 8. Как изменится формула (2.10), если при ее выводе не пренебрегать моментом инерции блока? 9. Каким образом можно экспериментально убедиться в том, что движение грузов на втором участке пути равномерное? 10. Каким образом можно экспериментально убедиться в том, что движение грузов на первом участке пути равноускоренное? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Маятник Максвелла Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла. Теоретические сведения Маятник Максвелла (рис. 3.1) представляет собой диск, жестко насаженный на стержень и подвешенный на двух параллельных нерастяжимых нитях. Намотав нити на стержень, можно сообщить маятнику потенциальную энергию относительно его нижнего положения. Если маятник отпустить из верхнего положения, то, вращаясь, он начнет падать. Учитывая, что на h маятник действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила натяжения нитей), закон сохранения его механической энергии можно записать в виде


T
mg

r

1 1 mυ 2 + Iω 2 + mgh = mgh0 , (3.1) 2 2

где h0 – начальная высота маятника, определяющая его полную энергию; h – текущая высота;

Рис. 3.1. Маятник Максвелла

37

т – масса маятника; I – момент инерции маятника относительно его оси; ω – угловая скорость вращения маятника относительно этой оси; υ – скорость центра масс; g – ускорение свободного падения. Начало отсчета поместим в нижней точке. →

Радиус-вектор h , проведенный из этой точки в центр масс маятника, будет направлен вертикально вверх. Поскольку ускорение свободного падения направлено вертикально вниз, произведение скалярных величин можно заменить скалярным произведением векторов → →

mgh = − m g ⋅ h

Известно также, что ω2 = (υ r )2 , где r – радиус стержня, и что →

→

υ2 = υ ⋅ υ . С учетом сделанных замечаний (3.1) переписывается в виде → → → → 1 → → I → → m υ ⋅ υ + 2 υ ⋅ υ − m g ⋅ h = m g ⋅ h0 . 2 2r

(3.2)

Дифференцируем получившееся уравнение по времени и получаем →

→

→

→

→ d h dυ I → dυ + 2 υ⋅ − m g⋅ = 0. m υ⋅ dt dt dt r →

(3.3)

→

→ dυ → → dh Учитывая, = υ, = a , что где a – ускорение центра масс, dt dt

перепишем уравнение (3.3) в виде → →

→ →

→

→

mr 2 υ ⋅ a + I υ ⋅ a = mr 2 υ ⋅ g .

(3.4)

Поскольку все векторы в уравнении (3.4) направлены одинаково, перейдем от скалярных произведений к произведениям длин этих векторов. Сократив все члены уравнения на модуль скорости, получим (3.5) mr 2 a + Ia = mr 2 g. Откуда следует I = mr 2 ( g a − 1). Поскольку величины I, m и r для маятника Максвелла постоянны, ускорение маятника будет тоже постоянным. Найти его можно, измерив время падения t с высоты h0: 38

a=

2 h0 . t2

(3.6)

Подставив (3.6) в (3.5), получим выражение для вычисления момента инерции маятника Максвелла

 gt 2  − 1 . I = mr 2   2h   0 

(3.7)

В этой формуле не учтена толщина нити, которая наматывается на ось маятника. В реальных условиях ее нужно обязательно учитывать. На рис. 3.2 показано, что сила натяжения Т приложена не к краю шкива, а к середине нити. Поэтому радиус шкива r следует заменить суммой r + rн, где rн – радиус нити. 2  2  gt − 1 . I = m ( r + rн )     2 h0 

(3.8) Кольцо

R2 Нить

Ось

r Диск

Ось R1

Рис. 3.2. Точки приложения сил

Диск

Рис. 3.3. Размеры элементов маятника

Маятник Максвелла (рис. 3.3) состоит из трех элементов: оси вращения, диска и кольца. Поэтому его момент инерции складывается из моментов инерции этих трех элементов (3.9) I = I0 + ID + IK. Момент инерции оси ввиду его малости учитывать не будем. Моменты инерции диска и кольца можно найти по формулам

ID =

mD RD2 ; 2

IK =

(

)

mK RK2 1 + RK2 2 . 2

(3.10) 39

Принимая во внимание, что RK1 = RD = R1, a RK2 = R2, получаем теоретическое выражение для момента инерции маятника Максвелла I=

(

(

1 mD R12 + mK R12 + R22 2

)) .

(3.11)

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки показан на рис. 3.4. На вертикальной стойке крепятся два кронштейна. Верхний неподвижный кронштейн снабжен воротком 1 для крепления и регулировки бифилярного подвеса, электромагнитом 2 для фиксировании маятника в верхнем положении и фотодатчиком 3, включающим секундомер. На подвижном кронштейне закреплен фотодатчик 4, выключающий секундомер. Шкала секундомера 5 вынесена на лицевую панель прибора. 2

1

3

2 3 6 7 4

4 5

Рис. 3.4. Внешний вид лабораторной установки

Кнопка "Сеть" включает питание установки, кнопка "Сброс" обнуляет показания секундомера. При нажатии на кнопку "Пуск" отключается электромагнит, и маятник приходит в движение. Массу и момент инерции маятника можно менять при помощи сменных колец 6, надеваемых на диск 7. Длина нити должна быть такой, 40

чтобы нижняя кромка маятника была на 1–2 мм ниже оптической оси нижнего фотодатчика. Ось маятника должна быть горизонтальной. Длина нити (высота падения) определяется по шкале, нанесенной на вертикальной стойке. Параметры установки: радиус оси 5 мм, радиус нити 0,6 мм, радиус диска R1 = 42,5 мм, внешний радиус кольца R2 = 52,5 мм. Значения остальных параметров указаны на элементах маятника. Задания и порядок их выполнения Задание 1. Экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла (стандартный опыт). Провести измерение времени падения маятника не менее 10 раз. Вычислить среднее время падения, а по нему при помощи формулы (3.8) момент инерции. Провести стандартную обработку результатов измерений. Погрешность измерения высоты принять равной θh = 2 мм, погрешность измерения времени θt = 0,001 c. Внимание! При проведении опыта нужно следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось аккуратно в один слой. Опыты, в которых это условие не соблюдается, в дальнейшем не учитывать. Описанная выше процедура является стандартным опытом в данной работе. Ее нужно провести для маятника с каждым из сменных колец и без кольца. Задание 2. Исследование зависимости момента инерции маятника Максвелла от высоты, с которой происходит его падение. Для указанного преподавателем кольца провести стандартный опыт для трех разных высот h. Экспериментально убедиться в том, что момент инерции маятника не зависит от начальной высоты, и в отчете объяснить, почему. Получить среднее значение момента инерции маятника по результатам трех серий, проведенных при разных высотах. При проведении математической обработки результатов измерений в первом и втором заданиях нужно исходить из того, что момент инерции является неслучайной величиной.

41

Задание 3. Теоретический расчет момента инерции маятника Максвелла. По формулам (3.10), (3.11) вычислить моменты инерции диска, колец и маятника в целом во всех случаях. Сравнить расчетные значения с измеренными и объяснить расхождения, если они возникнут. Контрольные вопросы 1. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? 2. Чему равны моменты инерции диска и кольца? 3. Чему равна кинетическая энергия абсолютно твердого тела? 4. Запишите закон сохранения энергии для маятника Максвелла. 5. Является ли падение маятника равноускоренным? 6. Почему опустившись до нижней точки маятник снова начинает подниматься наверх? 7. Какая энергия маятника больше – кинетическая поступательного движения или кинетическая вращения? (При ответе на этот вопрос воспользоваться полученным значением момента инерции маятника и известным значением радиуса оси маятника.) 8. Как зависит время падения маятника Максвелла от его массы? 9. Почему падения маятника с кольцом быстрее, чем без кольца? 10. Как изменится время падения, если маятник выполнить из менее плотного чем сталь материала (например, алюминия)? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Математический и оборотный маятники Цель работы: определение ускорения свободного падения, определение приведенной длины и момента инерции физического маятника. Теоретические сведения Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной оси. Плоскость, проходящая через эту ось и центр тяжести, вертикальна в положении равновесия. При отклонении маятника от этого положения возникают моменты сил, стремящиеся вернуть маятник в положение равновесия. По основному уравнению динамики вращательного движения абсолютно твердого тела сумма моментов всех сил, приложенных к телу: 42

→

∑ Mi

→

= I ε.

(4.1)

i

В этой формуле I – момент инерции

O

→

маятника относительно оси подвеса, ε

N α

→

– его угловое ускорение, а

∑ M i – сум-

C

i


ма моментов всех сил, к этому маятниmg ку приложенных. α На рис. 4.1 изображен физический маятник. Ось вращения отмечена буквой О, центр тяжести буквой С. Обозна→ → Рис. 4.1. Физический маятник чим OC = b . К точке С приложены две →

→

→

силы: сила тяжести m g и сила реакции N . Поскольку сила N направлена вдоль отрезка [ОС], ее момент относительно оси О равен нулю, а сумма моментов этих сил → → → → → → → → → ∑ M i = OC × m g + OC × N = OC × m g = b × m g . i

→

→

→

Подставим этот результат в (4.1) и получим: I ε =, b × m g . Спроектируем полученное выражение на направление оси вращения.

Iε = − mgb sin α. Знак минус показывает, что момент силы тяжести стремится вернуть маятник в положение равновесия. Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний, для которых sinα = α, и учтем, что угловое ускорение есть вторая производная от угла отклонения по времени mgb (4.2) α (t ) = 0. I Получившееся уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника α ′′(t ) +

x(′′t ) + ω2 x(t ) = 0

(4.3) 43

mgb . (4.4) I Следовательно, при малых углах отклонения от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания

с циклической частотой ω =

α (t ) = А cos (ωt + φ0 ) ,

(4.5)

период которых зависит от момента инерции маятника относительно оси O, его массы и от расстояния между центром тяжести и этой осью: T = 2π

I . mgb

(4.6)

Уравнение (4.5) содержит две константы: амплитуду А и начальную фазу ϕ0, значения которых определяются из начальных условий. Если секундомер включить в момент прохождения маятником положения равновесия, то ϕ0 = –90°, и уравнение (4.5) перепишется в виде α (t ) = А sin (ωt ).

(4.7)

В случае, когда физический маятник, совершающий малые колебания, представляет собой небольшое тело, подвешенное на легкой длинной нерастяжимой нити, его можно считать математическим маятником. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая под действием силы тяжести малые колебания. Такие колебания являются гармоническими и описываются функциями (4.5) или (4.7). Момент инерции математического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, I = ml2, где l – длина нити. Подставляя это выражение в (4.4) и (4.6), найдем циклическую частоту и период колебаний математического маятника. ω= g , l

T = 2π

l . g

(4.8) (4.9)

Таким образом, частота и период колебаний математического маятника зависят от его длины и ускорения свободного падения. От массы маятника они не зависят. 44

Сравнивая друг с другом формулы (4.6) и (4.9), замечаем, что математический маятник с длиной нити I (4.10) mb будет иметь такой же период колебаний, что и физический маятник. Величина, определяемая выражением (4.10), называется приведенной длиной физического маятника. Для любого физического маятника можно указать такую пару параллельных осей, периоды малых колебаний относительно которых одинаковы, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. A C B Докажем это утверждение. На рис. a b 4.2 изображен физический маятник, который может быть подвешен на одРис. 4.2. Физический ной из двух параллельных осей А или маятник В. Центр тяжести маятника обозначим точкой С. Введем обозначения a и b, смысл которых понятен из рисунка: L=

AC = a ; BC = b.

Моменты инерции маятника относительно осей А, В и относительно оси, проходящей через точку С параллельно осям А и В, обозначим соответственно IA, IВ, IС. По теореме Штейнера значения этих величин связаны друг с другом соотношением: IA = IС + ma2; IВ = IС + mb2. Периоды малых колебаний маятника относительно этих осей: TA = 2π

I C + ma 2 ; mga

TB = 2π

I C + mb2 . mgb

(4.11)

Если положения осей А и В выбраны так, что периоды одинаковы, то

I C + ma 2 I + mb2 , откуда следует, что I = mab. = C C a b Подставляя (4.12) в любую из формул (4.11), получаем TA = TB =

mab + ma 2 a+b = 2π . mga g

(4.12)

(4.13) 45

Величина a + b есть расстояние между осями подвеса, но она же, согласно определению, есть приведенная длина физического маятника. Доказанное свойство демонстрирует оборотный маятник. Оборотным называется физический маятник с двумя параллельными призмами, на любой из которых он может быть подвешен. Перемещением опорных призм можно добиться того, что периоды колебаний маятника на любой из них окажутся одинаковыми. Расстояние между призмами при этом окажется равным приведенной длине. Измерив его и зная период колебаний маятника, можно найти ускорение свободного падания g: 4π 2 L . (4.14) T2 Определив положение центра тяжести оборотного маятника и измерив расстояния от этой точки до каждой из призм, т. е. расстояния a и b, по формуле (4.12) можно найти момент инерции маятника Ic. g=

Лабораторная установка 5 5

6

6

7

7 9 8 10 11

4 3 2 1

Рис. 4.3. Внешний вид лабораторной установки

46

11

Внешний вид установки приведен на рис. 4.3. Установка состоит из математического и оборотного маятников. Математический маятник выполнен в виде металлического шарика 1 на бифилярном подвесе 2. Длина подвеса измеряется линейкой на стойке 3. Оборотный маятник состоит из металлического стержня 4, на котором крепятся две подвижные опорные призмы 5 и два груза 6, перемещение которых изменяет распределение масс. Фотодатчик 7 на нижнем кронштейне сигнализирует о прохождении маятником положения равновесия. Время измеряется миллисекундомером, а число колебаний специальным счетчиком. Прибор включается нажатием кнопки "Сеть". Кнопка "Сброс" служит для установки нуля. Нажатие кнопки "Стоп" выключает прибор после окончания текущего колебания. Для упрощения измерения расстояния на стержне через каждый сантиметр нанесены риски. Размеры и массы элементов оборотного маятника показаны на рис. 4.7. Задания и порядок их выполнения Задание 1. Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника. Верхнюю планку следует развернуть таким образом, чтобы математический маятник оказался над фотодатчиком, и в положении равновесия он пересекал оптическую ось. Перед началом измерений нажимают кнопку "Сброс". Шарик отклоняют на небольшой угол ~4–5° и осторожно без толчка отпускают. Когда на счетчике колебаний появляется цифра 9, нажимают кнопку "Стоп". В таком случае прибор измерит время десяти полных колебаний и найти их средний период будет очень просто. Определение периода колебаний проводится таким методом не менее пяти раз при различных длинах маятника L. Для каждого значения периода и соответствующей длины при помощи формулы (4.14) находится ускорение свободного падения. Необходимо провести стандартную математическую обработку результатов измерения g. Задание 2. Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника. Верхнюю планку повернуть так, чтобы нижняя часть оси оборотного маятника проходила через прорезь фотодатчика. Грузы на стержне лучше фиксировать несимметрично, чтобы один находился у конца стерж47

ня, другой – около его середины. Призмы следует закрепить по разные стороны от центра тяжести маятника. Одну призму следует поместить ближе к свободному концу стержня, другую – между грузами. Сначала маятник следует подвесить на приl зме А, которая ближе к его концу, как это показано на рис. 4.4. Отклонить маятник на небольшой угол ~ 4–5° и осторожно без толчка отпустить его. Нажать кнопку "Сброс"; включится секундомер и счетчик B колебаний. Когда на счетчике колебаний появится цифра 9, нажать кнопку "Стоп". В таком случае прибор измерит время десяти полных колебаний и найти их средний период Т0 будет очень просто. После измерения Т0 нужно снять маятник, измерить расстояние l между приРис. 4.4. Положение маятника змами, перевернуть его и подвесить на призме В. Нижний кронштейн с фотодатпри измерении периода Т1 чиком поднять так, чтобы маятник пересекал оптическую ось. По десяти колебаниям определить среднее значение периода Т 1. Если окажется, что Т1 > Т 0, то вторую призму переместить, чтобы расстояние l увеличилось; если Т1 < Т0, то чтобы уменьшилось. Перемещать призму следует на целое число делений, поскольку в этом случае она закрепляется наиболее надежно. Положение первой призмы и грузов изменять нельзя. Измерить новый период колебаний Т2 и снова сравнить его с Т0. Призму В следует перемещать, пока не окажется, что периоды колебаний ТK–1 и ТK при соседних положениях призмы окажутся чуть меньше и чуть больше чем Т0. По двум соответствующим длинам lк и lк–1 найти приведенную длину L и ее систематическую погрешность θL. В простейшем случае для вычисления длины можно воспользоваться формулой A

L = 0,5(lk + lk −1 ).

(4.15)

Систематическая погрешность приведенной длины оборотного маятника при этом равна половине цены деления, т. е. θL = 0,5 см. 48

По заданию преподавателя T студенту может быть предложеk–1 но получить приведенную дли- Tk–1 ну более точным методом. На рис. 4.5 показан участок зависи- T0 k мости периода колебаний Т от T k расстояния между призмами l; на нем отмечены два последних измерения под номерами k – 1, и k, lk – 1 L lk а также период Т0. Из этого риРис. 4.5. Определение приведенной сунка видно, как графически надлины маятника ходится приведенная длина оборотного маятника. Для обозначенных величин справедлива пропорция lk − L T −T = 0 k . lk − lk −1 Tk −1 − Tk

Перепишем ее, введя обозначения ∆T = Tk–1 – Tk и ∆l = lk – lk–1 = 1 см. L = lk −

∆l (T0 − Tk ). ∆T

(4.16)

Систематическую погрешность определения приведенной длины этим методом можно принять θL = 2 мм. Зная приведенную длину и период, по формуле (4.14) следует найти ускорение свободного падения g. На основании погрешности θL нужно оценить систематическую погрешность θg. Случайную погрешность в первом и втором заданиях определять не имеет смысла, поскольку различия измеренных периодов обусловлены не столько случайными ошибками измерений, сколько слабой зависимостью периода колебаний от амплитуды. Систематическую погрешность измерения периода принять равной θT = 0,005 с. Задание 3. Определение момента инерции оборотного маятника. Не меняя положения призм А и В после выполнения задания 2 найти положение центра тяжести маятника. Для этого снять маятник, развернуть его горизонтально и положить на острие, как это показано на рис. 4.6. На нем указаны два последних положения призмы В. 49

C

A

B

Рис. 4.6. Определение центра тяжести оборотного маятника

Нужно измерить расстояние a между точками А и В. Расстояние b между точками B и C лучше не измерять, а вычислить b = L – a, поскольку положение точки В находится, строго говоря, между двумя последними положениями призмы с порядковыми номерами k – 1 и k. Массу маятника вычислить по величинам, указанным на рис. 4.7. По формуле (4.12) вычислить момент инерции маятника. Оценить систематическую погрешность θI. 1130 г

350 г

15 г 1130 г

15 г

L 2 см

1 см

Рис. 4.7. Размеры и массы элементов оборотного маятника

50

Контрольные вопросы 1. Какие тела называются физическим, математическим и оборотным маятниками? 2. Напишите дифференциальные уравнения колебаний физического и пружинного маятников, а также их решения. 3. Каким образом по начальному отклонению и начальной скорости маятника найти амплитуду и начальную фазу колебаний? 4. Напишите формулы для периодов и частот колебаний пружинного, физического и математического маятников. 5. В чем состоит содержание теоремы Штейнера? 6. Что называется приведенной длиной физического маятника? 7. Почему для вычисления ускорения свободного падения при помощи математического маятника можно пользоваться формулой (4.14), полученной для физического маятника? 8. Как графически найти приведенную длину оборотного маятника? 9. Почему с увеличением расстояния между призмами период уменьшается, если колебания происходят относительно призмы В? 10. Как перепишется формула (4.16) в случае, когда расстояние между призмами от опыта к опыту увеличивают, а не уменьшают? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Крутильный маятник Цель работы: определение моментов инерции тел сложной формы. Теоретические сведения Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела записывается в виде →

→

I ε = M.

(5.1)

В этом выражении М – равнодействующая моментов внешних сил, приложенных к телу, I – момент инерции этого тела, ε – его угловое ускорение. Если к телу приложен момент только одной внешней силы, уравнение (5.1) можно переписать в скалярной форме, поскольку равенство двух векторов возможно лишь при равенстве их длин: Iε = M. (5.2) 51

В дальнейшем рассмотрим именно такой случай; исследуемое тело закрепим на упругой проволоке, натянутой вертикально. При повороте тела маятника на некоторый угол β возникает момент упругих сил M, стремящийся вернуть его в положение равновесия: M = –Cβ. (5.3) Знак минус показывает, что момент сил кручения проволоки стремится вернуть маятник в положение равновесия. Коэффициент пропорциональности C в этом выражении называется модулем кручения проволоки. Учитывая, что угловое ускорение есть вторая производная от угла поворота по времени – ε = d2β/dt2, основное уравнение динамики вращательного движения переписывается в виде d 2β(t ) C + β(t ) = 0. I dt 2

(5.4)

Получилось дифференциальное уравнение, связывающее угол отклонения маятника как функцию времени, со второй производной этой функции по времени. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника

x(′′t ) + ω2 x(t ) = 0. с циклической частотой ω = C I .

(5.5) (5.6)

Следовательно, тело будет совершать гармонические колебания

с периодом

 2πt  β(t ) = βm cos  + φ0   T 

(5.7)

T = 2π I C .

(5.8)

Уравнение (5.7) содержит две константы – амплитуду βт и начальную фазу ϕo, которые определяются из начальных условий. Если период крутильных колебаний известен, то с его помощью можно найти момент инерции тела: C 2 T . (5.9) 4π 2 Именно таким образом определяются моменты инерции твердых тел в настоящей работе. Поскольку исследуемое тело закреплено на подI=

52

веске, в левой части этого уравнения величину I нужно заменить суммой моментов инерции тела I и подвески I0. В итоге получаем C 2 T – I0. (5.10) 4π 2 Для того чтобы воспользоваться этой формулой, нужно знать значения двух констант: момента инерции подвески I0 и модуля кручения проволоки C. Эти значения можно определить, измерив периоды крутильных колебаний нескольких тел с известными моментами инерции, отложив эти данные на графике I от Т 2, и проведя через них прямую линию, как показано на рис. 5.1. I=

I

α T2 –I0

Рис. 5.1. Построение грауировочной прямой

График, построенный по набору экспериментальных точек, называется градуировочным. В нашем случае он представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом tgα = C (4π 2 ) , отсекающую на вертикальной оси отрезок –I0. Именно так графически находится эта величина. Найдя экспериментально угловой коэффициент градуировочной прямой k = tgα, можно найти модуль кручения проволоки (5.11) C = 4π2tgα. Теперь, когда оба параметра уравнения (5.10) найдены и градуировочный график построен, момент инерции любого твердого тела, закрепленного в подвеске, может быть легко вычислен или найден графически по измеренному периоду крутильных колебаний. 53

Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 5.2. На основании 1 закреплена стойка 2 с тремя кронштейнами 3, 4 и 5. Между кронштейнами 3 и 5 натягивается стальная проволока к которой крепится рамка 6, в которой могут быть закреплены грузы разной формы 7. На кронштейне 4 крепятся электромагнит 8, удерживающий рамку в начальном положении, угловая шкала 9 и фотодатчик 10, фиксирующий прохождение маятником положения равновесия. Электрический сигнал с фотодатчика поступает на миллисекундомер и счетчик колебаний, расположенные в измерительном блоке 11 на основании прибора 1. 5 5

6

6

7

7 9 8 10 11

4

11

3 2 1

Рис. 5.2. Внешний вид лабораторной установки

Установка включается нажатием кнопки "Сеть". Кнопка "Сброс" обнуляет показания секундомера и счетчика колебаний. Кнопка "Пуск" отключает электромагнит. Секундомер и счетчик колебаний запускаются при первом после нажатии кнопки "Пуск" пересечении оси фото54

датчика. Выключаются эти приборы нажатием кнопки "Стоп" после окончания очередного колебания. Задания и порядок их выполнения До начала измерений следует ознакомиться с установкой, научиться надежно закреплять грузы, чтобы они не проскальзывали в рамке во время колебаний, и правильно измерять период крутильных колебаний. Для измерения периода нужно во время колебаний маятника нажать кнопку "Пуск", после чего включатся миллисекундомер и счетчик колебаний. Когда на счетчике появится цифра 9, нужно нажать кнопку "Стоп". В таком случае прибор измерит время десяти полных колебаний и найти их средний период будет очень просто. Описанная процедура позволяет определять период крутильных колебаний с систематической погрешностью θT = 0,005 c. Задание 1. Построение градуировочного графика. Определение модуля кручения проволоки и момента инерции пустой рамки. Для выполнения этого задания нужно измерить периоды крутильных колебаний рамки с закрепленными в ней телами, моменты инерции которых известны. В качестве таких тел в настоящей работе могут быть использованы параллелепипеды и цилиндры. Моменты инерции этих тел относительно разных осей, показанных на рис. 5.3, заданы формулами (5.12). 1

4 b c

2

R

а 3

5

h

3 2

1

5

4

Рис. 5.3. Моменты инерции параллелепипеда и цилиндра

55

1 m(b2 + c 2 ), 1 12 I 4 = mR 2 , 1 2 I 2 = m( a 2 + c 2 ), 1 1 12 I 5 = mR 2 + mh 2 . 1 4 12 I 3 = m( a 2 + b2 ), 12 I1 =

(5.12)

Кроме этих тел следует измерить период колебаний пустой рамки, считая, что в ней закреплено тело с моментом инерции, равным нулю. Нужно провести измерения периодов колебаний для разных тел и рассчитать их моменты инерции. Результаты измерений и вычислений нужно отложить на графике I от Т 2, как показано на рис. 5.1. График следует строить на большом листе миллиметровой бумаги форматом не меньше, чем А4. Около каждой точки нужно отложить систематическую погрешность измерения квадрата периода θT 2 = 2TθT ,

(5.13)

систематическую погрешность моментов инерции, вычисленных по формулам (5.12), учитывать и откладывать на графике не нужно. Через получившийся набор точек следует провести прямую линию и по ее параметрам найти момент инерции пустой подвески и модуль кручения проволоки. Провести стандартную обработку графика и найти погрешности найденных из этого графика величин. Нужно иметь в виду, что случайные ошибки в этом опыте связаны, в первую очередь, со слабой зависимостью периода крутильных колебаний от амплитуды. Определять их не имеет смысла. Задание 2. Определение моментов инерции сложных тел. По указанию преподавателя это задание может выполняться в одной из ниже перечисленных вариаций: 1) определение момента инерции тела по градуировочному графику; 2) вычисление момента инерции тела по теоретической формуле. В обоих случаях полученные от преподавателя тела следует надежно закрепить в подвеске, измерить периоды их крутильных колебаний и вычислить величины Т 2 и θT 2 . По графику или по формуле (5.10) найти момент инерции тела сложной формы и его систематическую погрешность. Случайную погрешность в данной работе определять не имеет смысла. Поэтому полная погрешность равна систематической. 56

Телами с неизвестными моментами инерции в этом задании могут быть тела как неправильной, так и правильной геометрической формы. Последние закрепляются в подвеске косо, так чтобы ось вращения проходила через центр тяжести не параллельно ребрам. Задание 3. Теоретическое вычисление моментов инерции косо подвешенных тел. Для выполнения этого задания нужно взять параллелепипед, который использовался для построения градуировочной прямой. Его моменты инерции относительно осей, проходящих через центр параллельно ребрам I1, I2, I3, известны. Если же ось вращения проходит через центр тяжести тела и образует с первой ось угол δ1, со второй δ2, а с третьей δ3, то момент инерции этого тела относительно такой оси можно вычислить по формуле I = I1cos2δ1 + I 2cos2δ2 + I 3cos2δ3.

(5.14)

По известным длинам ребер нужно вычислить косинусы трех углов, рассчитать момент инерции по этой формуле и сравнить результат с полученным во втором задании. Контрольные вопросы 1. Как записывается основное уравнение динамики для поступательного и для вращательного движений? 2. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? 3. Что называется модулем кручения проволоки? 4. Когда возникают незатухающие крутильные колебания? 5. Что называется градуировочным графиком? Как он строится? 6. Почему в настоящей работе градуировочная линия прямая? 7. Как найти неизвестный момент инерции тела по градуировочному графику? 8. По известным длинам ребер вычислите величины cosδ1, cosδ2 и cosδ3, для всех возможных "косых" осей. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Маятник Обербека Цель работы: определение момента инерции маятника Обербека; изучение свойств момента инерции. 57

Теоретические сведения Маятник Обербека представляет собой маховик крестообразной формы, по четырем одинаковым взаимно
T перпендикулярным стержням которого можно перемещать и закреплять m одинаковые грузы. Схема маятника по
mg казана на рис. 6.1. На шкив 1, закрепленный на оси маятника, намотана нить, перекинутая через шкив 2. К 1 концу нити прикреплен груз т, под действием которого нить разматывается и приводит маятник во вращательное движение. Таким образом, одновременно происходят три движения: поступательное движение Рис. 6.1. Маятник Обербека груза т и два вращательных движения – маятника и шкива 2. Ввиду малости момента инерции второго шкива его вращение в дальнейшем учитывать не будем. Маятник Обербека, имеющий момент инерции I относительно своей оси, вращается относительно нее с угловым ускорением ε под действием момента силы натяжения Т нити. Такое движение подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения абсолютно твердого тела 2

→

→

Iε = M.

(6.1)

Поскольку равенство двух векторов возможно лишь при равенстве их длин, уравнение (6.1) можно переписать в скалярной форме Iε = M. (6.2) Поступательное движение груза т под действием силы тяжести mg и силы натяжения нити Т подчиняется основному уравнению динамики – второму закону Ньютона: → → → (6.3) ma =m g + T. Проектируем это уравнение на направление нити и получаем 58

ma = mg – T откуда находим силу натяжения нити Т и создаваемый ею момент: T = m( g − a ), M = Tr = mr ( g − a ).

(6.4)

Здесь и в дальнейшем r – радиус шкива 1. Ускорение падающего груза равно тангенциальному (или касательному) ускорению точек обода шкива маятника, поэтому оно связано с угловым ускорением e маятника формулой

a = εr .

(6.5)

Подставляем (6.4) и (6.5) в (6.2) и получаем уравнение Ia = mr2(g – a), из которого выразим момент инерции маятника Обербека  g  I = mr 2  –1  . (6.6)  a  Если груз т начинает движение с постоянным ускорением из состояния покоя, то пройденный им за время t путь h = at2/2 . Отсюда находим ускорение груза

2h , t2 подставляем его в (6.6) и получаем конечную формулу a=

(6.7)

 gt 2  − 1 . I = mr 2  (6.8)  2h    Таким образом, задав массу груза т, радиус шкива r, высоту h и измерив время падения груза t, можно по формуле (6.8) экспериментально определить момент инерции I маятника Обербека. Момент инерции маятника можно рассчитать теоретически, он равен сумме моментов инерции отдельных частей маятника: четырех стержней – IС, четырех грузов – IГ и шкива – I0. I = 4IС + 4IГ
I0. Момент инерции стержня IС относительно оси, проходящей через его конец, вычисляется по формуле IC =

1 m1l 2 , 3

59

где т1 – масса стержня, l – его длина. Грузы т2, закрепленные на расстоянии R от оси маятника, считаем материальными точками, поэтому IГ = m2R2. Момент инерции I0 шкива маятника мал по сравнению с IС и IГ, его величиной пренебрегаем. Таким образом, окончательно имеем 4 I = m1 l 2 + 4 m2 R 2 . (6.9) 3 Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 6.2. На среднем кронштейне крепится электромагнит 1, фиксирующий маятник в неподвижном состоянии. На нем же расположен двухступенчатый шкив 2 и крестовина 3, состоящая из четырех металлических стержней с нанесенными через 1 см рисками. На стержнях могут перемещаться и фиксироваться грузы 4, что позволяет изменять момент инерции маятника. На верхнем и нижнем кронштейнах укреплены фотодатчики 5, сигналы с которых включают и выключают миллисекундомер. Пройденный путь измеряется линейкой 6 на вертикальной стойке. При нажатой кнопке "Сеть" горят лампочки фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера. Электромагнит фиксирует положение крестовины. Нажатие кнопки "Сброс" обнуляет данные. Нажатие кнопки "Пуск" отключает электромагнит и запускает миллисекундомер. Задания и порядок их выполнения Прежде чем приступить к выполнению работы нужно обязательно ознакомиться с лабораторной установкой: составить таблицу технических характеристик, систематических погрешностей приборов и параметров установки; убедиться, что центр масс маятника находится на оси вращения; сделать два-три пробных опыта, на которых можно освоить методику проведения измерений. Задание 1. Экспериментальное определение момента инерции. Установить грузы на стержнях на заданных расстояниях R от центра оси. Задать радиус шкива r, массу груза т и установить высоту h. Провести опыт пять раз, измерив время падения груза t. Нижний край груза нужно обязательно установить на оси верхнего фотоэлемента, чтобы секундомер включался одновременно с началом движения. 60

1

2

5 4

6 3 5 4

Рис. 6.2. Внешний вид лабораторной установки

Для среднего значения времени падения t по формуле (6.8) найти момент инерции. Провести математическую обработку серии измерений неслучайной величины I. Считать погрешность высоты θh = 2 мм, а погрешность расстояния между осью маятника и грузом θR = 1 мм. Задание 1 является стандартным опытом в этой работе. Оно обязательно выполняется каждым студентом и является основой для следующих заданий. 61

Задание 2. Теоретическое вычисление момента инерции маятника. Вычисление нужно провести по формуле (6.9) с использованием указанных параметров установки. Теоретический результат следует сравнить с полученным на опыте и либо сделать заключение о допустимости имеющихся расхождений, либо объяснить эти расхождения. Различия теоретического и экспериментального значений могут быть связаны с неточной установкой начального положения верхнего груза. Неточность в установке даже на 3–5 мм недопустима. Задание 3. Исследование зависимости момента инерции от внешних параметров опыта (радиус шкива, масса подвешенного груза, начальная высота). Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от радиуса шкива r, на который наматывается нить. Для этого нужно провести стандартный опыт при двух радиусах шкива и сравнить получившиеся результаты. Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от массы груза т, раскручивающего маятник. Для этого нужно провести стандартный опыт при трех-пяти различных массах груза т и сравнить получившиеся результаты. Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от высоты h, с которой начинает падать груз. Для этого нужно провести стандартный опыт при трех-пяти различных высотах h и сравнить получившиеся результаты. Можно считать, что момент инерции не зависит внешних параметров опыта r, т и h, если при различных значениях этих параметров значения момента инерции постоянны в пределах систематической погрешности измерений θI. I Задание 4. Исследование зависимости момента инерции от расстояния между осью маятника и грузом. Выполнить стандартный опыт при трех-пяти различных положениях грузов R. Результаты измерений нанести 2 R на график I(R2) (рис. 6.3). Убедиться, Рис. 6.3. Зависимость момента что наблюдаемая зависимость линейинерции от расстояния ная, и объяснить, почему. Пояснить 62

смысл величины, отсекаемой при R → 0 на оси I и тангенса угла наклона прямой. Контрольные вопросы 1. Как связаны линейные и угловые величины при вращательном движении? 2. Что называется моментом импульса и моментом силы? 3. Как записывается основное уравнение динамики для поступательного и для вращательного движений? 4. В чем состоит аналогия между формулами для поступательного и вращательного движений? 5. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? Каков его физический смысл? 6. Сформулировать правило, по которому следует выбирать расстояния R до грузов. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 Наклонный маятник Цель работы: изучение колебаний наклонного маятника. Теоретические сведения Рассмотрим шар, который под дей
ствием силы F, приложенной к его ценF R тру, катится без проскальзывания по по
верхности (рис. 7.1). Кроме этой силы, Fc нужно учесть еще Fс – силу сцепления O x с поверхностью, без которой шар не катился, а скользил бы по опоре. Эта сила Рис. 7.1. Силы, приложенные к шару приложена в точке контакта О. Силу трения качения учитывать не будем. Запишем уравнения динамики абсолютно твердого тела →

ma = →

Iε =

→

∑ Fi →

∑ Mi .

(7.1) (7.2) 63

→

→

В этих формулах m – масса шара, I – его момент инерции; a и ε – линейное и угловое ускорения этого шара; а

→

∑ Fi

и

→

∑ M i , соответ-

ственно, суммы всех сил и моментов всех сил, к нему приложенных. Вращение шара происходит относительно его центра, поэтому моменты всех сил нужно рассматривать относительно этой точки. Плечо силы Fс равно радиусу – R шара. Плечо силы F равно нулю, ее момент тоже. →

→

→

I ε = R × Fc ;

→

→

R ⊥ Fc ;

⇒ Iε = RFc .

Для тела, катящегося без проскальзывания, угловое ускорение связано с линейным соотношением ε = a/R. Момент инерции шара I = 0,4mR2. Подставим все это в получившееся уравнение: 0,4mR 2 a R = RFc ;

⇒ 0,4ma = Fc .

Объединим это выражение с проекцией на ось (ох) уравнения (7.1):

 0,4ma = Fc 2 7 ; ⇒ ma = F − ma ; ⇒ ma = F .  5 5  ma = F − Fc Мы получили выражение, связывающее ускорение шара, катящегося без проскальзывания, с приложенной к нему силой. ma = α


T


N


Fр


mg

β

Рис. 7.2. Силы, возникающие при отклонении маятника

64

5 F. 7

(7.3)

Отметим, что ускорение шара получилось меньше, чем для тела такой же массы, скользящего без трения под действием той же силы. Происходит это потому, что действующая на шар сила не только разгоняет, но и раскручивает его. Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на нити и касающийся исследуемой плоской опоры. Шар производит некоторое давление на эту опору и, следовательно, имеет сцепление с ней (рис. 7.2). После отклонения шара на угол α

маятник придет в колебательное движение, при котором шар покатится по наклонной поверхности. Силу трения качения учитывать не будем. Равнодействующая сил тяжести mg, натяжения нити T и нормальной реакции опоры N направлена к положению равновесия: →

→

→

→

F = m g +T + N .

(7.4).

Ее проекция на направление траектории F = –mgcosβsinα. Знак минус показывает, что равнодействующая сила направлена в сторону положения равновесия. При малых углах отклонения, когда sinα = α = x/l: F= −

mg cos β x. l

(7.5)

Отметим, что в равнодействующей силе F не учтено сцепление шара с опорой, которое нужно учитывать, поскольку именно оно заставляет шар не скользить, а катиться по поверхности. Таким образом, задача свелась к рассмотренной выше, следовательно: 5 mgcosβ x. 7 l Учтем, что ускорение есть вторая производная смещения по времени: ma = −

5g cos βx(t ) = 0. (7.6) 7l Получившееся уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника x(′′t ) +

x(′′t ) + ω2 x(t ) = 0.

(7.7)

5g cos β. (7.8) 7l Значит, наклонный маятник совершает гармонические колебания

с циклической частотой ω =

x( t ) = Acos(ωt + φ0 )

(7.9)

7l (7.10) . 5 g cos β Уравнение (7.9) содержит две константы – амплитуду А и начальную фазу ϕ0, значения которых определяются из начальных условий.

с периодом

T = 2π

65

Лабораторная установка

8 6 10

5

9

11

12

7 4

1

3 2

Рис. 7.3. Внешний вид наклонного маятника

Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 7.3. К основанию 2 на четырех ножках, регулирующих высоту, прикреплен секундомер и счетчик колебаний 1. В основании 2 закреплена стойка 3, на которой смонтирован корпус 4 с червячной передачей, соединенной с кронштейном 5. На нем закреплены две угловые шкалы, одна 6 – для измерения угла α отклонения шара, и вторая 7 – для измерения угла наклона β маятника. На кронштейне 5 закреплена стойка 8, на которой подвешен шар 9 с указательной стрелкой. В сам кронштейн 5 по направляющим вкладываются различные образцы. Для наклона маятника используется вороток 11. На кронштейне 5 так же имеется фотоэлектрический датчик 12, сигнализирующий о прохождении шара 9 через положение равновесия. Различные шары 9 навинчиваются на указательную стрелку. 66

Задания и порядок их выполнения До начала измерений необходимо отрегулировать маятник, чтобы в положении равновесия стрелка указывала на ноль, а на шаре и на опоре не было прилипшей грязи. Задание 1. Измерить период колебаний наклонного маятника и сравнить его с рассчитанным значением. Для выполнения этого задания нужно установить указанный преподавателем угол наклона маятника β; отклонить шар на некоторый угол α и отпустить его без толчка. Измерить время десяти колебаний и вычислить период Т. Измерение повторить не менее пяти раз при различных начальных углах отклонения α . Во время измерений периода нужно следить за тем, чтобы: при запуске шарика его ось была направлена строго вдоль нити; начальная амплитуда колебаний была каждый раз одинаковой; во время колебаний маятника стол и стойка 8 не качались. Если все названные условия соблюдены, то можно считать, что измеряемая величина не случайна по своей природе. Среднее значение периода сравнить с теоретическим значением, рассчитанным по (7.10). Сравнение провести с учетом погрешностей измеренного и рассчитанного значений. Задание 2. Исследовать зависимость периода колебаний от угла наклона β маятника. Выполнить задание 1 для нескольких углов β, названных преподавателем. Если никаких указаний преподавателя не было, то выбрать углы 15°, 30°, 45°, 60°, 75°. Результаты измерений отложить на графике Т(β). На этом же графике построить зависимость (7.10). Сделать заключение о справедливости этой теоретической формулы при различных углах β. Если измеренное и рассчитанное значения периода не совпадают, то объяснить причину этих расхождений. Контрольные вопросы 1. Почему ускорение шара, катящегося по поверхности под действи→

→

→

ем силы F , нельзя найти из второго закона Ньютона a = F m ? 2. Как запишется формула (7.3) для катящегося цилиндра? 3. Почему из формулы (7.10) не получается формула периода математического маятника при угле наклона β = 0? 67

4. Получите выражения для скорости и ускорения шара при гармонических колебаниях. Чему равны их максимальные значения? 5. Как из начального отклонения шара х0 и его начальной скорости υ0 найти амплитуду А и начальную фазу ϕ0 колебаний? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 Определение коэффициента трения качения Цель работы: определение коэффициента трения качения. Теоретические сведения Силы трения возникают при относительном перемещении двух соприкасающихся тел или при попытке вызвать такое перемещение. Различают три вида трения, возникающего при контакте твердых тел: трение скольжения, покоя и качения. Трение скольжения и трение качения всегда связаны с необратимым процессом – превращением механической энергии в тепловую. Сила трения скольжения приложе

Q N на в области контакта тел и направлена в сторону, противоположную скорости относительного движения. Сила нормальной реакции поверхности N и сила трения Fтр являются нормальной и тангенциальной составляющими од

V ной и той же силы Q, с которой эта Fтр поверхность действует на тело (рис. 8.1). Модули сил Fтр и N связаны межРис. 8.1. Силы взаимодействия ду собой приближенным эмпиричестела с поверхностью ким законом Амонтона – Кулона Fт р = µN ,

(8.1)

поэтому угол между нормалью к поверхности и направлением силы Q постоянен. В этой формуле µ – коэффициент трения, зависящий от материала и качества обработки соприкасающихся поверхностей, слабо зависящий от скорости скольжения и практически не зависящий от площади контакта. Сила трения покоя принимает значение, обеспечивающее равновесие, т. е. состояние покоя тела. Угол между направлением силы Q и 68

нормалью к поверхности может принимать значения в промежутке от нуля до максимального, обусловленного законом Амонтона – Кулона. Сила трения качения возникает изза деформации материалов поверхнос→ → тей катящегося тела и опоры, а также N Q → из-за разрыва временно образующихся V молекулярных связей в месте контакта. Рассмотрим лишь первую из названных → Fтр причин, поскольку вторая существенна только при очень хорошей полировке тел. При качении цилиндра или шара по Рис. 8.2. Возникновение плоской поверхности в месте контакта силы трения качения и перед ним возникает деформация катящегося тела и опоры. Тело оказывается в ямке (рис. 8.2) и вынуждено все время из нее выкатываться. Из-за этого точка приложения силы реакции опоры Q смещается немного вперед по ходу движения, а линия действия этой силы отклоняется немного назад. Нормальная составляющая силы Q есть сила упругости (Qn = N), а тангенциальная – сила трения качения (Qτ = Fтр). Для силы трения качения справедлив приближенный закон Кулона: Fт р =

fN . R

(8.2).

α

→ В этом выражении R – радиус T катящегося тела, а f – коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. Понятно, что для мягких веществ коэффициент трения
→ качения больше, чем для твердых. N Fp Для определения коэффициента трения качения в настоящей работе используется наклонный маятник β → mg (рис. 8.3). Он представляет собой шар, подвешенный на нити и касающийся исследуемой плоской поРис. 8.3. Силы, возникающие верхности. При наклоне маятника, при отклонении маятника

69

а вместе с ним и поверхности (опоры) на угол β, шар будет производить некоторое давление на нее, и, следовательно, иметь сцепление с ней. После отклонения шарика на некоторый угол α маятник придет в движение, при котором шар покатится по исследуемой поверхности. Для шара в рассматриваемом случае второй закон Ньютона записывается в следующем виде: →

→

→

→

→

→

m a =m g + T + N + Fc + F тр .

(8.3).

В этой формуле Fc – сила сцепления между шаром и опорой, т. е. сила, не позволяющая шару скользить и, по существу, являющаяся силой трения покоя. Символом Fтр обозначена сила трения качения. Смысл всех остальных обозначений ясен из рисунка. В описании лабораторной работы № 7 показано, что проекция равнодействующей Fр сил тяжести, натяжения нити, нормальной реакции опоры и сцепления шара с опорой на направление траектории при малых углах α Fp = −

5 mg cos β x = − kx, l 7

(8.4)

5 mg cos β . 7 l Здесь l – длина нити, а х – смещение шара из положения равновесия. Знак минус указывает направление этой силы. Таким образом, равнодействующая четырех названных сил подчиняется закону Гука, т. е. является квазиупругой силой; следовательно, второй закон Ньютона для катящегося шара переписывается в виде

где k =

m x(′′t ) + k x(t ) − Fтp = 0.

(8.5)

Решением этого дифференциального уравнения будут гармонические колебания со смещенным положением равновесия Fтp

+ A cos (ωt + φ o ). (8.6) k Значения констант А – амплитуды колебаний и ϕo – их начальной фазы определяются из начальных условий. Если шар начинает движение из положения максимального отклонения, то ϕo = 0. Циклическая частота ω маятника, как показано в описании работы № 7, может быть найдена по формуле x(t ) =

70

k 5g = cos β. (8.7) m 7l Сила трения качения направлена вдоль траектории в сторону, противоположную скорости поступательного движения шара, ее проекция на направление траектории ω=

mg sin β. (8.8) R При движении от положения равновесия следует брать знак "–", при движении к положению равновесия – знак "+". Таким образом, сила трения постоянна по величине и переменна по направлению. Учитывая сказанное выше и вводя обозначение Fтр = ± f

Fтp

fl tgβ, (8.9) k R имеющее смысл максимального отклонения маятника, при котором силы трения еще могут удерживать шар в состоянии покоя, получаем окончательное выражение для колебаний наклонного маятника x *=

= ±

x(t ) − x* = A cos (ω t ).

(8.10)

На рис. 8.4, a изображена зависимость отклонения маятника от времени. Две горизонтальные линии х(t) = А* и х(t) = –А* образуют так называемую "мертвую зону". Если по какой-то причине шар остановится в ней, то колебания маятника прекратятся, поскольку сила трения в этот момент уравновесит равнодействующую остальных сил. Если же шар минует эту зону и остановится вне ее, то колебания маятника продолжатся. a)

б)

x

A

A∗

стоп

∗

t

–A

5

10

θ 15

n

Рис. 8.4. Затухание колебаний наклонного маятника

71

Рассмотрим движение маятника в промежутке между двумя ближайшими максимальными отклонениями шара. Движение маятника описывается уравнением гармонических колебаний (8.10) относительно одной из границ "мертвой зоны". В момент остановки шара сила трения меняет свое направление, что ведет к смене знака в выражении (8.9). Следовательно, колебания продолжатся относительно другой границы "мертвой зоны". Тем самым, в момент остановки амплитуда колебаний скачком уменьшается на величину 2А*. Поскольку остановки шара происходят два раза в каждый период, уменьшение амплитуды за каждый из них должно составлять ∆А = 4А*. Это абсолютное уменьшение амплитуды за период в процессе колебаний должно оставаться постоянным, т. е. не должно зависеть от амплитуды или от порядкового номера колебаний. Рассматриваемые колебания являются как бы "сшитыми" в точках максимумов из отрезков синусоид, поэтому в целом они не являются гармоническими. Тем не менее их период остается постоянным, если его измерять между точками максимальных отклонений. Из приведенных выше рассуждений следует важная закономерность, присущая колебаниям наклонного маятника: зависимость амплитуды колебания А от его порядкового номера n является линейной (см. рис. 8.4, б). Линейность экспериментально полученной зависимости А(n) является доказательством того факта, что абсолютное уменьшение амплитуды за каждый период одинаково. Определив графически tgθ этой зависимости, tgθ . можно найти величину А*; tgθ = (∆A ∆n ) = 4 A*, ⇒ A *= 4 Учитывая формулу (8.9), получаем выражение для коэффициента трения качения f=

Rtgθ . 4tgβ

(8.11)

Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 8.5. К основанию 2 на четырех ножках, регулирующих высоту, прикреплен секундомер и счетчик колебаний 1. В основании 2 закреплена стойка 3, на которой смонтирован корпус 4 с червячной передачей, соединенной с кронштейном 5. На нем закреплены две угловые шкалы, одна 6 – для измерения угла отклонения шара и вторая 7 – для измерения угла наклона маятника β. 72

8 6 10

5

9

11

12

7 4

1

3 2

Рис. 8.5. Внешний вид наклонного маятника

На кронштейне 5 закреплена стойка 8, на которой подвешен шар 9 с указательной стрелкой. В сам кронштейн 5 по направляющим вкладываются различные образцы. Для наклона маятника используется вороток 11. На кронштейне 5 также имеется фотоэлектрический датчик 12, сигнализирующий о прохождении шара 9 через положение равновесия. Различные шары 9 навинчиваются на указательную стрелку. Задания и порядок их выполнения До начала измерений необходимо отрегулировать маятник, чтобы в положении равновесия стрелка указывала на ноль. На шаре и на опоре не должно быть прилипшей грязи. После этого следует вставить указанный преподавателем образец-опору и установить заданный угол наклона маятника β. Задание 1. Определение коэффициента трения качения шара о заданную опору. Сначала нужно убедиться, что за каждый период амплитуда колебаний уменьшается на одинаковую величину. Для этого нужно построить 73

на графике зависимость амплитуды колебаний А от его порядкового номера n, как показано на рис. 8.4. Измерение амплитуды следует проводить через равное число колебаний. Удобнее всего выбрать ∆n = 5. Результаты измерений следует занести в таблицу: n A(n)

0

5

10

15

20

25

30

35

...

Линейность полученной экспериментальной зависимости А(n) свидетельствует о справедливости проверяемого предположения. Если это так, можно перейти к основной части задания. По экпериментально измеренному тангенсу угла θ при помощи формулы (8.11) можно рассчитать коэффициент трения качения f. Обычно экспериментальная зависимость А(n) оказывается нелинейной. Это особенно заметно при больших амплитудах колебания и связано с силой сопротивления движению со стороны окружающего воздуха. Следует рассматривать и обрабатывать лишь тот интервал А(n), в котором эта зависимость близка к линейной. Во время измерений амплитуды нужно следить за тем, чтобы: при запуске шарика его ось была направлена строго вдоль нити; во время колебаний маятника стол и стойка 8 не качались. Если все названные условия соблюдены, то можно считать, что измеряемая величина не случайна по своей природе. Задание 2. Исследование зависимости коэффициента трения качения от радиуса катящегося шара. Необходимо выполнить задание 1 для нескольких шаров разных размеров и убедиться, что в пределах систематической погрешности коэффициенты трения качения f для них получатся одинаковые. Для того чтобы исключить имеющуюся слабую зависимость периода колебаний от амплитуды, начальное отклонение шара во всех опытах должно быть одинаковым. Контрольные вопросы 1. Как можно объяснить происхождение силы трения качения? 2. Опишите движение наклонного маятника. 3. Сколько колебаний совершает наклонный маятник до полной остановки? 4. Какой путь проходит шар за n колебаний? За все колебания, совершенные маятником до остановки? 74

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9 Столкновение шаров Цель работы: проверка законов сохранения импульса и энергии определение деформации шаров и силы удара. Теоретические сведения Столкновением называется кратковременное взаимодействие тел, локализованное в малой области пространства. Во время столкновения тела деформируются, при этом часть кинетической энергии превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Выделяют два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Кинетическая энергия полностью или частично превращается в потенциальную энергию упруго деформированных тел, которая после столкновения снова переходит в кинетическую энергию системы. При абсолютно неупругом ударе потенциальной энергии упругой деформации не возникает, кинетическая энергия сталкивающихся тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию системы. Выполняются законы сохранения импульса и полной энергии. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется. Большинство реальных столкновений в механических системах можно отнести к промежуточному типу между абсолютно упругими и абсолютно неупругими. В них, как правило, сохраняется импульс и не сохраняется механическая энергия. Импульс системы сталкивающихся тел не сохраняется в тех столкновениях, в которых на движение тел после взаимодействия накладываются какие-то ограничения. Рассмотрим взаимодействие двух металлических шаров с массами т1 и т2, повешенных на нитях длиной l. Будем считать, что удар является центральным, т. е. центры шаров лежат на линии, вдоль которой происходит взаимодействие. В исходном положении шары касаются друг друга. Если правый шар отклонить на угол α1 и отпустить, то к моменту его столкновения с неподвижным левым шаром он разовьет скорость υ1 = 2gh , где h – начальная высота правого шара. 75

Поскольку h = l – lcosα1 = 2lsin2(α1/2) окончательно получаем

υ1 = 2 gl sin (α1 2 ) .

(9.1)

Таким образом, можно найти импульс и энергию системы до удара:

P = m1υ1 = 2m1 gl sin (α1 2 ) , E=

(9.2)

m1υ12 α  = 2m1gl sin 2  1  . 2  2

(9.3)

Скорости обоих шаров υ1′ и υ′2 после столкновения можно найти по формулам, аналогичным (9.1):

υ1′ = 2 gl sin (α1′ 2 ) ; υ′2 = 2 gl sin (α′2 2 ) ;

(9.4)

где α1′ и α′2 – углы максимальных отклонений шаров после удара. Импульс и энергия после удара складывается из импульса и энергии каждого шара: P′ = m2 υ′2 – m1υ1′ ; m1υ1′ 2 m2 υ′2 2 + . 2 2 Подставим (9.4) в эти формулы и запишем окончательные выражения: E′ =

P′ = 2 gl {m2sin (α′2 2 ) − m1sin (α1′ 2 )};

{

}

E ′ = 2 gl m2sin 2 (α′2 2 ) + m1sin 2 (α1′ 2 ) .

(9.5) (9.6)

Относительную потерю импульса и энергии при столкновении найдем по следующим формулам: ξP =

P − P′ P′ = 1− ; P P

(9.7)

E − E′ E′ = 1− . (9.8) E E При малых углах отклонения шаров, когда sinα = α, sinα1 = α1, sinα2 = α2, эти формулы преобразуются к виду: ξE =

ξP = 1−

76

m2α′2 − m1α1′ ; m1α1

(9.7а)

ξE = 1−

m2α′2 2 + m1α1′ 2 m1α12

.

(9.8а)

При равных массах шаров равны формулы становятся еще проще: ξP = 1−

ξE = 1−

α′2 − α1′ α1 ;

α′2 2 + α1′ 2 α12

(9.7б)

.

(9.8б)

Если считать рассматриваемое столкновение упругим, т. е. подчиняющимся закону Гука, то время такого столкновения должно быть равно половине периода гармонических колебаний: τ=

T =π µ , k 2

(9.9)

где µ – приведенная масса, а k – приведенная жесткость шаров. µ=

m1m2 ; m1 + m2

k=

k1k2 ; k1 + k2

1 1 1 = + . k k1 k2

(9.10)

Приведенная жесткость численно равна силе, под действием которой расстояние между шарами уменьшается на единицу длины. Ее можно найти, зная массы шаров и время их контакта при ударе: k =µ

π2 . τ2

(9.11)

Хотя мы договорились считать удар упругим, это не значит, что вся кинетическая энергия первого шара переходит при взаимодействии в потенциальную. Для нахождения доли кинетической энергии, которая в потенциальную не превращается, рассмотрим столкновение в системе центра масс шаров. Если первый шар движется до удара со скоростью υ, а второй покоится, то их центр масс движется со скоростью υC =

m1υ , m1 + m2

(9.12) 77

которая по закону сохранения импульса остается постоянной и до, и во время, и после столкновения. Кинетическую энергию системы перед ударом можно представить суммой трех слагаемых: кинетических энергий каждого из шаров относительно выбранной системы отсчета и произведения полусуммы их масс на квадрат скорости их центра масс: E = E1 + E2 +

1 (m1 + m2 ) υC2 . 2

(9.13)

В потенциальную энергию упругой деформации превратятся лишь два первых слагаемых, поскольку скорость υС при взаимодействии остается неизменной, и третье слагаемое является кинетической энергии системы двух шаров в момент их максимальной деформации. (9.14) E1 + E2 = Eп. Модули скоростей каждого из шаров относительно их центра масс найдем по следующим формулам: υ1 = υ − υC =

m1υ ; m1 + m2

υ 2 = υC =

m1υ . m1 + m2

(9.15)

Здесь υ скорость сближения шаров или скорость первого шара до удара в лабораторной системе отсчета. Подставим эти скорости в (9.14):

m1m22 υ2

2 ( m1 + m2 )

2

+

m2m12 υ2

2 (m1 + m2 )

2

= EΠ ; ⇒

m1m2 υ2 1 1 1 = kx 2 ; ⇒ µυ2 = kx 2 ; ⇒ 2 ( m1 + m2 ) 2 2 2

x = υ µ k.

(9.16)

Под величиной х здесь следует понимать уменьшение расстояния между центрами шаров. Смысл этой величины ясен из рис. 9.1. Сравнивая формулу (9.16) с (9. 9) и принимая во внимание (9.1), получаем окончательно для деформации шаров во время удара: x=

78

υτ 2τ α  gl sin  1  . = π π  2

(9.17)

Максимальную силу удара можно найти из закона Гука и выражения для приведенной жесткости (9.11): F = kx =

2πµ α  gl sin  1  . τ  2

(9.18) b

a

c

x=a+b –c Рис. 9.1. Деформация шаров

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 9.2. На верхнем кронштейне прикреплен вороток 1 и приспособление 2 при помощи которых устанавливают расстояние между шарами в положении равновесия и длину подвески. На нижнем кронштейне закреплены угловые шкалы 3 и электромагнит 4, который можно закреплять в различных положениях, меняя тем самым начальное положение шара. Силу электромагнита можно регулировать воротком 5. Угловые шкалы могут передвигаться вдоль нижнего кронштейна. Время столкновения измеряется микросекундомером, показания которого выводятся на лицевой панели 6. Нажатие кнопки "Сеть" подает питающее напряжение на установку. Кнопка "Сброс" служит для обнуления показаний измерителя времени. При нажатии на нее одновременно подается напряжение на электромагнит, и он удерживает шар в начальном положении. Отпускается шар нажатием кнопки "Пуск". Задания и порядок их выполнения До начала измерений необходимо ознакомиться с установкой и настроить ее: шары в нижнем положении должны слегка касаться друг друга. При этом указатели должны показывать нули на шкалах; 79

1

2

5 4

3

6

Рис. 9.2. Внешний вид лабораторной установки

электромагнит устанавливается на такой высоте, чтобы его ось была продолжением черты на шаре. Силу электромагнита следует отрегулировать так, чтобы он удерживал шар; особое внимание нужно уделить тому, чтобы удар получился центральным. Для этого положение шаров нужно регулировать как по вертикали, так и по горизонтали. Описанные действия нужно выполнить на данной установке очень тщательно. Невыполнение их приводит к неконтролируемым потерям энергии и импульса. Задание 1. Проверить выполнение законов сохранения импульса и энергии. Задание 2. Найти деформацию шаров и максимальную силу удара. 80

До столкновения нужно установить угол α1. После столкновения нужно измерить α1′ и α′2 – углы максимального отклонения шаров. Учесть, что угол α1′ положителен, если шар отклоняется направо, и отрицателен – если налево. Оба эти угла нужно измерять одновременно после первого касания шаров. Сделать это сложно. Проще и точнее измерения углов α1′ и α′2 проводить следующим способом: измерить угол α1 и отпустить правый шар; после удара измерить отклонение левого шара α′2 ; установить правый шар на тот же угол α1 и вновь отпустить его; после удара поймать рукой левый шар и заметить, в какую сторону двинется правый; правый будет совершать колебания, измерить их амплитуду и, учитывая знак, записать угол отклонения α1′ . Длительность контакта измеряется микросекундомером. Величины т1 и т2, фигурирующие в формулах включают в себя массы шаров и массы подвесок, которые указаны на установке. Длину подвески нужно измерять линейкой от оси до середины шара. Относительные потери импульса и энергии при ударе рассчитать по формулам (9.7а), (9.8а) или (9.7б), (9.8б). Сделать заключение, каким является взаимодействие: упругим или нет. Если при ударе не сохранился импульс, то высказать предположение, с чем это связано. В любую из этих четырех формул углы отклонения можно подставлять в градусах. Для получения надежных данных каждое прямое измерение повторить не менее 10 раз. Из числа измерений нужно исключить явные ошибки – промахи. При расчетах пользоваться средними значениями. Деформацию шаров найти по формуле (9.17), а максимальную силу удара по формуле (9.18). При вычислениях принять следующие значения систематических погрешностей прямых измерений: погрешность измерения длины θl = 5 мм, погрешность измерения времени θt = 5 мкс, погрешность измерения угла α1 – половина цены деления,

погрешность измерения углов α1′ и α′2 – цена деления. Кроме систематических погрешностей всех измеряемых величин нужно вычислить также случайные и полные. Полные погрешности нужно вычислять по формуле (12) вводной части настоящего пособия.

81

Контрольные вопросы 1. Какой удар называются абсолютно упругим, и какой абсолютно неупругим? 2. Как найти центр масс системы материальных точек? 3. Как найти скорость центра масс системы материальных точек? 4. Почему при абсолютно упругом ударе не вся кинетическая энергия превращается в потенциальную? 5. Чему равна кинетическая энергия системы во время после неупругого удара? 6. Какие значения величин ξР и ξЕ должны получиться для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов? 7. В каких взаимодействиях не сохраняется импульс? 8. Какие случайные неконтролируемые факторы присутствуют в эксперименте? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 Баллистический крутильный маятник Цель работы: определение модуля кручения проволоки, определение скорости полета "пули". Теоретические сведения Баллистический крутильный маятник представляет собой массивное инертное тело, подвешенное на вертикально натянутой проволоке. При отклонении маятника на угол β возникает момент упругих сил M, стремящийся вернуть его в положение равновесия: M = –Cβ. (10.1) Коэффициент пропорциональности C в этом выражении называется модулем кручения проволоки. Основное уравнение динамики вращательного движения, в общем случае имеет вид →

→

I ε = ∑ Mi , i

где I – момент инерции маятника, ε = d 2β dt 2 – его угловое ускорение. Перепишем это уравнение в скалярном виде, учитывая (10.1) 82

d 2β(t ) C (10.2) + β(t ) = 0. I dt 2 Получилось дифференциальное уравнение, связывающее угол отклонения маятника с его второй производной по времени. Оно аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника

x(′′t ) + ω2 x(t ) = 0 с циклической частотой ω = C I .

(10.3) (10.4)

Следовательно, баллистический маятник будет совершать гармонические колебания

с периодом

β(t ) = βm cos (ωt + φ0 )

(10.5)

T = 2π I C .

(10.6)

Уравнение (10.5) содержит две константы: амплитуду βт и начальную фазу ϕ0, которые определяются из начальных условий. Модуль кручения проволоки C можно найти, исследуя зависимость периода крутильных колебаний маятника от его момента инерции. Значение I можно изменять, фиксируя грузы в различных положениях. Момент инерции груза согласно теореме Штейнера будет содержать по0 и переменную, т. е. зависящую от расстояния d между стоянную I гр

центром груза от осью, составляющие: 0 I гр = I гр + md 2 .

(10.7)

Момент инерции маятника I равен сумме моментов инерции подвес0 + 2 md 2 . Обозначим символом I0 ки Iп и двух грузов Iгр, I = I п + I гр

неизменную, т. е. не зависящую от d, составляющую момента инерции маятника, и перепишем последнее выражение: (10.8 ) I = I0 + 2md2. 2 2 Формулу (10.6) запишем в виде T = 4π I/C и подставим в нее полученное выражение для момента инерции 83

T2 =

4π 2 I 0 8π 2m 2 + d . C C

(10.9)

Полученная зависимость Т2 = f (d2) оказалась линейной: f(x) = b + kx. 2 В этом выражении x = d , f = T2, b = 4π2I0/C, (10.10) k = 8π2/mC. Угловой коэффициент k этой функции равен тангенсу угла α наклона изучаемой прямой k = tgα. Его можно найти по двум точкам k = (∆f ) /(∆x) = ∆( Τ 2)/∆(d 2) или графически по набору точек. По значению этого коэффициента находим модуль кручения проволоки C = 8π 2 m

∆( d 2 ) 8π 2 m . = tgα ∆( T 2 )

(10.11)

T2

∆(T 2)

∆(d 2)

d2

Рис. 10.1. Графическое определение углового коэффициента

Определение скорости полета пули производится на основе закона сохранения момента импульса. Пуля попадает в крутильный маятник и застревает в нем. В результате маятник приобретает угловую скорость. Смещением маятника из положения равновесия за время столкновения можно пренебречь, оно мало по сравнению с периодом колебаний маятника. Удар будем считать абсолютно неупругим, моментов внешних сил на маятник не действует, поэтому момент импульса пули до удара приравняем моменту импульса маятника после удара:

mυ r = I ω0 . 84

(10.12)

Здесь m – масса пули , r – расстояние от оси вращения маятника до пули в момент удара, υ – скорость пули перед ударом. Начальную угловую скорость маятника ω0 найдем из закона сохранения энергии. Для этого приравняем максимальную кинетическую энергию в начальный момент и максимальную потенциальную энергию в момент наибольшего отклонения 2 Iω02 Cβ m = . 2 2

(10.13)

Начальная угловая скорость маятника ω0 с учетом (10.6) ω0 = β m C

I

= βm

2π . Т

Подставляя это выражение в (10.12 ), и принимая во внимание (10.6 ), получаем окончательную формулу для скорости пули υ=

CT β m . 2π mr

(10.14)

Таким образом, для расчета скорости пули нужно экспериментально определить период колебаний Т и угол максимального отклонения маятника βт. Кроме того, при проведении расчета требуется знать массу пули m, расстояние r, на котором она попадает в маятник, и модуль кручения проволоки C. Лабораторная установка Основным элементом установки (рис. 10.2) является маятник – горизонтальный стержень 1, закрепленный на вертикальной стальной проволоке 2, натянутой между кронштейнами 3. Вдоль стержня можно перемещать и фиксировать два груза 4. На стержне нанесены поперечные штрихи на расстоянии 1 см друг от друга. Первый штрих нанесен на расстоянии 2 см от оси. Пружинный пистолет 5 служит для стрельбы "пулями". Мишенями являются пластины с пластилином 6, закрепленные на концах стержня. На них нанесены деления, указывающие расстояние от оси. На прозрачном экране 7 нанесена шкала для определения угла отклонения маятника. Для измерения времени и числа полных колебаний имеется миллисекундомер с фотодатчиком 8. 85

1 3

2 4 5

6

8

7

3

Рис. 10.2. Внешний вид лабораторной установки

Задания и порядок их выполнения Задание 1. Определение модуля кручения проволоки. Оба груза следует поместить на одинаковых расстояниях d от оси. Маятник отклоняют на небольшой угол и измеряют период колебаний при помощи миллисекундомера. Для этого во время колебаний нужно нажать кнопку "Сброс" и после того как счетчик колебаний покажет 9, нажать кнопку "Стоп". В таком случае секундомер измерит время десяти полных колебаний, и их период будет найти очень просто. Опыт проводят не менее пяти раз при разных значениях d. Набор значений T 2 от d 2 откладывают на графике f(x), где f = T 2, а x = d 2 (см. рис. 10.1). По этой зависимости графически находят угловой коэффи86

циент k = tgα и его погрешность, а при помощи формулы (10.11) находят модуль кручения проволоки С и его погрешность. В этой части работы проводятся измерения неслучайных величин, полные погрешности которых равны систематическим. Задание 2. Определение скорости полета пули. Перед выполнением этого задания нужно убедиться, что в положении равновесия угол отклонения маятника равен нулю. В противном случае при измерении угла максимального отклонения следует вводить соответствующую поправку. При вычислениях не забыть, что углы измеряются в радианах. Чтобы зарядить пистолет, надо выдвинуть его ручки до упора и повернуть. Поместить на стержень пулю и вернуть ручку в горизонтальное положение, затем оттянуть назад до щелчка. Выстрел производится при наклоне ручек. Перед выстрелом грузы маятника установить на одинаковом расстоянии от оси подвеса. После выстрела необходимо измерить угол максимального отклонения маятника и расстояние от центра пули, застрявшей в маятнике, до оси подвеса. Масса пули указана на установке. Измерение максимального угла отклонения груза связано с рядом случайных факторов, не учтенных в систематической погрешности установки. Имеется в виду необходимость "мгновенного" измерения угла, постоянные его сбои начала отсчета при каждом изменении положения грузов и дрожание маятника во время эксперимента. Измеренное значение угла отклонения маятника следует считать случайной величиной. Измерения нужно провести для пяти положений грузов по пять раз в каждом положении. Необходимо оценить систематическую, случайную и полную погрешности измерений. Вычисление полной погрешности для второго задания нужно проводить по формуле (12) из вводной части настоящего пособия. Контрольные вопросы 1. Что такое момент инерции тела, каков его физический смысл? 2. Напишите основное уравнение динамики вращательного движения. 3. Напишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний. 4. Напишите формулы для кинетической энергии вращательного движения и для потенциальной энергии закрученной проволоки. 5. Что такое момент импульса тела, когда он изменяется, и когда нет? 87

6. Как период колебаний зависит от положения добавочных грузов? 7. Как угол максимального отклонения маятника зависит от положения добавочных грузов? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11 Гироскоп Цель работы: изучение прецессии гироскопа; измерение угловой скорости, момента импульса и момента инерции гироскопа. Теоретические сведения Гироскопом называется массивное твердое тело (обычно диск), быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Для того чтобы ось гироскопа могла принимать любое направление в пространстве, используется карданов подвес (рис. 11.1). Гироскоп – диск, вращающийся вокруг оси AA'. Внутреннее кольцо может вращаться вокруг горизонтальной оси ВВ', перпендикулярной оси AA'. Внешнее кольцо может вращаться вокруг вертикальной оси DD'. Таким образом, у гироскопа есть три степени свободы. Точка пересечения всех трех осей AA', ВВ' и DD' совпадает с центром масс гироскопа, неподвижным относительно подвески. Такой гироскоп называется свободным. а)

→ d L

D

б)

dϕ

→ L

→ Ω → M

→ M

→ Ω

dϕ → L A'

→ dL

D'

Рис. 11.2. К вычислению угловой скорости прецессии

Рис. 11.1. Гироскоп на кардановом подвесе

При своем вращении гироскоп обладает моментом импульса →

→

L = I ω.

88

(11.1)

В этом выражении I – момент инерции гироскопа относительно оси симметрии AA', ω – угловая скорость его вращения относительно той →

→

же оси. Отметим, что векторы L и ω расположены вдоль оси вращения. Их направление определяется правилом буравчика. Движение гироскопа с неподвижным центром масс описывается уравнением моментов или основным уравнением динамики вращательного движения → → (11.2) d L dt = M , в котором М – равнодействующая моментов внешних сил, приложенных к телу. Момент силы равен векторному произведению радиуса вектора точки, к которой приложена сила, на эту силу: →→ → M = r×F .

(11.3)

При М = 0 момент импульса сохраняется по величине и направлению. Если к оси гироскопа на некотором расстоянии от его центра масс под углом к этой оси приложить внешнюю силу F, то возникнет момент внешних сил M (рис. 11.2), направленный перпендикулярно вектору → → → L . Из уравнения (11.2 ) следует, что векторы d L и M параллельны →

→

друг другу, поэтому d L ⊥ L Из сказанного следует, что внешняя сила изменяет только направление момента импульса, не меняя его величины, т. е. заставляет его вращаться вокруг своего направления. Таким образом, момент импульса, а с ним и ось AA' гироскопа, описывает в пространстве коническую поверхность (рис. 11.2, а). За время dt проекция момента импульса на горизонтальную плоскость повернется на угол dϕ: dφ =

dL Mdt , = L sin α L sin α

(11.4)

где α – угол между направлениями момента импульса и оси вращения. Угловая скорость Ω вращения вектора L вокруг направления внешней силы Ω=

dφ M = . dt Lsinα

(11.5) 89

Выразим значение момента силы М из написанной выше формулы: M = Ω Lsinα.

(11.6)

Учтем, что величины M, Ω и L являются векторами, их направления показаны на рис. 11.2, и перепишем формулу (11.6) в векторной форме: →

→

→

(11.7) M = Ω×L. В дальнейшем внешней силой, приложенной к гироскопу, будет сила тяжести дополнительного груза, направленная вертикально вниз. Под действием момента этой силы ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси DD' с угловой скоростью Ω (см. рис. 11.2). Поскольку → → при этом вращении взаимная ориентация векторов L и M не изменяется, вращение гироскопа вокруг вертикальной оси DD' будет равномерным. Такое вращение называется регулярной прецессией, а величина Ω – угловой скоростью прецессии. Если ось гироскопа AA' направлена горизонтально (рис. 11.2, б), т. е. α = 90° и коническая поверхность становится плоской, то из уравнения (11.6) следует, что L = M/Ω. (11.8) Отметим, что все приведенные выше рассуждения относятся к быстро вращающемуся гироскопу, когда ω >> Ω. В настоящей работе это условие выполняется. Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 11.3. На основании 1 с ножками для выравнивания прибора закреплена стойка 2. На ней установлен кронштейн 3 с закрепленными на нем первым фотоэлектрическим датчиком 4 и внешней втулкой вращательного соединения 5. Вращательный узел позволяет гироскопу вращаться вокруг вертикальной оси и обеспечивает питание второго фотоэлектрического датчика 6 и электродвигателя 7, который смонтирован на кронштейне 8. На оси двигателя закреплен диск 9, защищенный экраном 10. Диск имеет отметки, по которым фотоэлектрический датчик 6 определяет частоту вращения. На рычаге 11 с линейкой может закрепляться груз 12. Угол поворота гироскопа вокруг вертикальной оси указывает на диске 13 стрелка 14. Изменение этого угла отсчитывает первый фотодатчик 4. 90

9

10

11

12

9

8 7 14 6

5

13 4 3 2 1

Рис. 11.3. Внешний вид лабораторной установки

Установка включается нажатием кнопки "Сеть". Ручкой на лицевой панели устанавливается частота вращения. Кнопка "Сброс" запускает секундомер и измеритель угла прецессии. Кнопка "Стоп" останавливает измерение угла прецессии и времени поворота. Задания и порядок их выполнения До начала измерений следует ознакомиться с установкой, установить ее горизонтально по имеющемуся уровню. Задание 1. Определение угловой скорости прецессии гироскопа. Найти положение равновесия хо груза 12 по линейке 11. Установить нужную частоту вращения гироскопа и перевести ее в единицы рад/с. Установить груз массой т в заданное преподавателем положение х и вычислить момент внешней силы: (11.9) М = mg(x – xo). Отпустить рычаг 11 и наблюдать прецессию гироскопа, зафиксировать направление вращения. Нажать кнопку "Сброс", включив тем самым секундомер и измеритель угла. Подождать, пока на табло появится угол 80°, и нажать кноп91

ку "Стоп". В этом случае прибор измерит время t поворота гироскопа на угол ϕ = π/2. Угловую скорость прецессии найти по формуле Ω = ϕ/t. (11.10) Учесть, что в этой формуле угол ϕ измеряется в радианах. Угловую скорость прецессии определить три раза при одном и том же положении груза 12 и одинаковых частотах вращения гироскопа. Вычисленные значения М и Ω подставить в формулу (11.8) и найти момент импульса гироскопа L. Используя полученное значение момента импульса L и угловой скорости вращения ω найти момент инерции гироскопа: I = L/ω. (11.11) Во время проведения измерений нужно следить за тем, чтобы частота вращения гироскопа ω оставалась неизменной. Задание 2. Измерение момента импульса гироскопа при неизменной частоте вращения и различных значениях момента внешней силы. Убедиться, что независимо от положения груза х, в пределах систематической погрешности получатся одинаковые значения момента импульса гироскопа L. Для этого следует повторить задание 1 при нескольких различных положениях груза, заданных преподавателем. Найти среднее значение момента импульса и его полную погрешность. Задание 3. Измерение момента инерции гироскопа. Убедиться, что независимо от частоты вращения гироскопа ω, в пределах систематической погрешности получатся одинаковые значения его момента инерции I. Для этого следует повторить задание 1 при нескольких различных частотах вращения гироскопа, заданных преподавателем. Найти среднее значение момента инерции и его полную погрешность. Поскольку частота вращения гироскопа во время проведения опыта немного меняется, и это изменение (уплывание) частоты происходит случайным неконтролируемым образом, результаты всех измерений в этой работе следует считать случайными, и проводить объединение случайной и систематической погрешностей найденных величин по формуле (12) из вводной части настоящего пособия. Контрольные вопросы 1. Что называется гироскопом, свободным гироскопом? 92

2. Запишите уравнение моментов для гироскопа, на который действует момент силы тяжести. 3. Объясните, почему вектор момента внешней силы направлен перпендикулярно оси гироскопа. 4. Как зависит угловая скорость прецессии гироскопа от положения груза? Почему не прецессирует уравновешенный гироскоп? 5. От чего зависит направление прецессии гироскопа? Почему при разных положениях груза направления прецессии разные? 6. Почему попытка повернуть уравновешенный гироскоп вокруг оси DD' за диск 13 вызывает его поворот относительно другой – оси ВВ'? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12 Определение скорости звука в воздухе Цель работы: определение скорости распространения звуковых волн в воздухе. Теоретические сведения Звуковые волны представляют собой процесс распространения механических колебаний с частотами в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц. Скорость звука υ связана с длиной волны λ и частотой колебаний v соотношением: (12.1) υ = λv. Скорость звука в воздухе можно теоретически рассчитать по формуле 7 RT , (12.2) 5 M в которой Т – абсолютная температура, М = 0,0291 кг/моль – молярная масса воздуха, R = 8,314 Дж/К⋅моль – универсальная газовая постоянная. Уравнение волны, распространяющейся вдоль оси (ох), имеет вид υ=

ξ( x, t ) = A cos(ωt − kx ).

(12.3)

В этой формуле ξ – смещение точки среды из положения равновесия, находящегося на расстоянии х от источника; ω – циклическая частота колебаний; k = 2π/λ – волновое число. Фаза колебаний φ = ωt − kx =

2πt 2πx − T λ

(12.4) 93

зависит от времени и от положения точки. Разность фаз колебаний двух соседних точек зависит только от расстояния ∆х между ними ∆φ =

2π∆x . λ

(12.5)

Таким образом, длину звуковой волны можно найти, измерив на опыте величины ∆х и ∆ϕ. Разность фаз колебаний можно определить методом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Точка, совершающая одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, движется по замкнутым траекториям, называемым фигурами Лиссажу. В случае равенства частот эти фигуры представляют собой эллипсы, форма и ориентация которых зависит от амплитуд и от разности фаз складываемых колебаний. Рассмотрим два гармонических колебания одинаковой частоты, одно из которых происходит вдоль оси ох, а другое – вдоль оу. Для простоты начальную фазу первого колебания положим равной нулю: x = A1cos(ωt ), y = A2cos(ωt + ∆φ).

(12.6)

Уравнение траектории точки, одновременно участвующей в этих двух колебаниях, найдем, исключив время t из уравнений (12.6): x  A = cos ωt ,  1 ⇒   y = cos ωt cos∆φ − sin ωtsin∆φ;  A2 2

⇒

 x  y x = cos∆φ − sin ∆φ 1 −   ; ⇒ A2 A1  A1  2

2

 x   y  2 xy cos∆φ = sin ∆2 φ.   +  − A A A A 1 2  1  2

(12.7)

Получилось уравнение наклонного эллипса, ориентация и полуоси которого зависят от амплитуд A1 и A2 от разности фаз ∆ϕ (рис. 12.1, а). Если ∆ϕ = 2πk, где k целое, получим уравнение отрезка прямой, проходящего через 1-й и 3-й квадранты (рис. 12.1, б): 94

y = ( A2 A1 ) x. б)

а) y

(12.8)

в)

y ∆ϕ = 0

г) y

x

x

y ∆ϕ = π x

x ∆ϕ = π

2

Рис. 12.1. Различные траектории движения точки

Если ∆ϕ = (2k + 1)π, где k целое, получим уравнение отрезка прямой, проходящего через 2-й и 4-й квадранты (рис. 12.1, в); y = − ( A2 A1 ) x.

(12.9)

Если ∆ϕ = (2k + 0,5)π, где k целое, получим уравнение эллипса, ориентированного вдоль координатных осей (рис. 12.1, г); 2

2

 x   y    +   = 1.  A1   A2 

(12.10)

Таким образом, по форме наблюдаемого эллипса можно определить разность фаз колебаний ∆ϕ. В дальнейшем особый интерес будут представлять случаи б и в, когда эллипс вырождается в отрезок. Эти случаи удобно наблюдать экспериментально; существенно, что изменение величины ∆ϕ от одного из них к другому составляет ∆ϕ = π. В настоящей работе звуковой сигнал с телефона попадает на микрофон, находящийся на расстоянии l от него. Сигналы с телефона и с микрофона подаются на отклоняющие пластины х и у электронного осциллографа соответственно. Расстояние l можно изменять и измерять во время эксперимента; вместе с ним, согласно формуле (12.5), меняется и разность фаз ∆ϕ колебаний телефона и микрофона. Поскольку по картинке на экране осциллографа можно зафиксировать лишь разности фаз ∆ϕ кратные π, при которых эллипс вырождается в отрезок, величина n = ∆ϕ/π на опыте должна принимать только целые значения. Она увеличивается на единицу всякий раз, когда при увеличении расстояния l на экране эллипс превращается отрезок. С учетом сказанного формулу (12.5) можно переписать в виде 95

l=

λ n. 2

(12.11)

l

tg α = l/2

α 1

2

3

4

5

6

n

Рис. 12.2. Экспериментальная зависимость l от n

Зависимость l(n) наблюдаемая в опыте (рис. 12.2), должна представлять собой прямую линию, по угловому коэффициенту которой можно найти длину волны λ = 2tgα.

(12.12)

Подставив полученное таким способом значение длины волны λ и установленную на звуковом генераторе частоту колебаний ν в формулу (12.1), можно найти скорость звуковых волн. Лабораторная установка Блок-схема лабораторной установки приведена на рис. 12.3. Электрические колебания звуковой частоты, полученные при помощи генератора 1, подаются одновременно на пластины х осциллографа 2 и на телефон 5. Звук от телефона распространяется вдоль полой трубы 3 и достигает микрофона 4. В электрической цепи микрофона возникает электрический сигнал на той же частоте, что и на выходе генератора, но с некоторой задержкой по фазе. Этот сигнал подается на пластины у осциллографа. На экране появляется эллипс, форма которо96

2 1 у

х

5

6

3

4

4 5

Рис. 12.3. Блок-схема лабораторной установки

го зависит кроме всего прочего от разности фаз колебаний, подаваемых на разные пластины осциллографа. При изменении расстояния, которое можно измерить линейкой 6, между телефоном и микрофоном изменяется разность фаз колебаний, а следовательно, и форма эллипса. Задания и порядок их выполнения Задание 1. Экспериментальное определение скорости звуковых волн в воздухе. До начала измерений нужно на 5–10 мин включить для прогрева осциллограф и звуковой генератор. Задание выполняется в следующем порядке. Установить заданную частоту колебаний. Пользуясь ручками настройки осциллографа и изменяя величину выходного напряжения, добиться на экране осциллографа четкого, устойчивого эллипса. Перемещая телефон по трубе, добиться появления на экране прямой линии. Отметить это положение на шкале-линейке как l = 0. Медленно перемещая телефон в ту же сторону, снова получить на экране прямую линию, но уже наклоненную в другую сторону, т. е. проходящую через другие квадранты. Отметить соответствующее положение телефона как l1. Повторить предыдущий пункт столько раз, сколько это возможно и получить набор положений телефона l1, l2, l3 ..., в которых эллипс вырождается в отрезок прямой. Получить еще один такой же набор 97

данных, перемещая телефон в обратном направлении и усреднить результаты. Построить график зависимости положения телефона ln от порядкового номера п, как показано на рис. 12.2. Систематическую погрешность расстояния θl принять θl = 3 мм. Систематическую погрешность θn, связанную с неточностью определения точки вырождения эллипса не учитывать. Графически найти длину звуковой волны λ и ее систематическую погрешность. По формуле (12.1) найти скорость звуковых волн. Повторить измерения для звукового сигнала другой частоты. Задание 2. Теоретический расчет скорости звуковых волн в воздухе. Вычисления нужно проводить по формуле (12.2); значения констант, необходимые для расчета, указаны в комментариях к формуле. Для определения температуры воздуха t° C нужно воспользоваться термометром. Абсолютную температуру Т можно найти по формуле Т = t + 273,15 (K).

(12.13)

Контрольные вопросы 1. Что называется звуковой волной? 2. Чем отличаются волновые процессы от колебательных? 3. Что такое длина волны и чему она равна? 4. Запишите уравнение бегущей волны и поясните смысл всех величин в нее входящих. 5. От чего зависит фаза волны? Чему равна разность фаз колебаний двух точек? 6. Получите уравнения траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты? 7. В каких случаях траектория вырождается в отрезок? 8. Как определяется длина звуковой волны в данной работе? 9. Каков смысл величины п, входящей в формулу (12.11)? Почему в настоящей работе она равна порядковому номеру измерения? 10. Как зависит скорость звука от температуры воздуха?

98

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13 Определение коэффициента вязкости масла Цель работы: определение коэффициента вязкости касторового масла. Теоретические сведения На шарик, движущийся в вязкой жидкости, действуют три силы: сила тяжести mg, сила Архимеда FА и сила сопротивления среды Fc; →

→

→

→

(13.1)

m g + FA + Fc = m a .

Сила Архимеда выражается через объем тела V, плотность жидкости ρж и ускорение свободного падения g:

FA = ρ ж gV .

(13.2)

Сила сопротивления среды, действующая на тело при малых скоростях движения υ, по закону Стокса:

Fc = –с υ,

(13.3)

где с – коэффициент сопротивления среды, который для тела сферической формы связан с его радиусом R и коэффициентом вязкости η: c = 6πRρ. (13.4) Массу тела можно выразить через его объем V и плотность ρ: m =ρV. (13.5) Будем считать, что шарик движется в жидкости вертикально вниз. Перепишем уравнение (13.1) в скалярной форме, учитывая направление сил, и преобразуем его:

mg − FA − FC = ma ; ⇒ mg − FA − c υ = m t

dυ ;⇒ dt

υ( t )

dυ dt dt dυ = ;⇒∫ = ∫ ;⇒ mg − FA − c υ m m υ mg − FA − c υ 0 0

t = m

υ( t )

∫

υ0

dυ . mg − FA − c υ

(13.6) 99

Найдем первообразную и подставим ее значения на пределах: 1 t = − ln( mg − FA − c υ) m c −

υ( t )

; ⇒

υ0

ct = ln( mg − FA − cυ( t ) ) − ln( mg − FA − cυ0 ); ⇒ m ct

− mg − FA − c υ( t )  mg − FA − c υ( t )  ct m = ;⇒ = ln  ; ⇒ e m mg − FA − c υ0  mg − FA − c υ0 

ct

ct

− ( mg − FA ) − m ( mg − FA ) − υ0 e m = − υ( t ) ; ⇒ e c c

υ( t ) = υ0 e

−

ct m

+

Введем обозначения:

ct −  ( mg − FA )  1 − e m  .   c  

t = m/с,

( mg − FA ) , c и перепишем выражение ( 13.7 ) в виде υ* =

(13.7) (13.8) (13.9)

t  −  + υ * 1 − e τ  . ( 13.10 )     На рис. 13.1 показана зависимость ( 13.10 ) скорости шарика от времени при различных значениях начальной скорости. Как видно из рисунка, движение шарика в вязкой жидкости по истечении времени τ становится практически равномерным. Величина υ* имеет смысл скорости установившегося движения тела. Подставим выражения (13.2), (13.4), (13.5) в (13.8) и (13.9), а также учтем, что объем шара V = 4πR3/3

υ( t ) = υ0 e

−

τ=

υ* = 100

t τ

2 R 2ρ , 9 η

2(ρ − ρ ж ) R 2 g . 9η

(13.11)

(13.12)

υ

υ* τ

t

Рис. 13.1. Скорость падения шарика в вязкой среде

Сравнивая эти две формулы, замечаем, что время установления τ связано со скоростью установившегося движения υ* соотношением τ=

ρ υ* . ρ − ρс g

Установившуюся скорость падения шарика в жидкости можно измерить экспериментально по времени падения t и пройденному пути S. Зная ее величину легко определить коэффициент вязкости среды

η=

2(ρ − ρс ) R 2 g t. 9S

(13.13) 4 1 5 2

(13.14)

Лабораторная установка Схема лабораторной установки приведена на рис. 14.2. Здесь 1 – стеклянный цилиндр, заполненный касторовым маслом 2. За цилиндром помещена линейка 3, при помощи которой измеряется расстояние, пройденное шаром 4. Шар 4 опускается в цилиндр через отверстие в пробке 5.

3

4

Рис. 13.2. Схема установки

101

Диаметр шара измеряется штангенциркулем или специальным микроскопом. Время движения шара измеряется при помощи наручных часов, имеющих секундную стрелку. Справочные данные: плотность свинца 11,3 г/см3; плотность стали 7,8 г/см3; плотность касторового масла 0,97 г/см3. Измерения высоты, на которой находится шарик нужно проводить одним глазом, располагая его на одном уровне с шариком. Таким способом можно уменьшить ошибку измерения, связанную с так называемым параллаксом, происхождение которой понятно из рис. 13.3. h2

Глаз

Ошибка

1 Шарик 2

h1

Линейка 1 – правильно 2 – неправильно

Сосуд

Рис. 13.3. Измерение положения шарика

Задания и порядок их выполнения До начала измерений нужно получить у преподавателя 6–10 шариков, измерить их диаметры и выяснить из какого металла они сделаны, из свинца или стали. Измеренные шарики следует положить таким образом, чтобы в дальнейшем их не потерять и не перепутать. Задание 1. Пробный опыт. Оценка параметров установки. Измерить расстояние, которое шарик пролетает до попадания в жидкость, и рассчитать его начальную скорость в жидкости υ0. Определить скорость равномерного падения шарика. Измеряемый путь шарика должен начинаться в нескольких сантиметрах ниже поверхности жидкости. По формуле (13.13) оценить время τ установления равномерного движения. 102

Оценить путь S0, пройденный шариком до достижения им постоянной скорости, 1 S0 ≅ ( υ0 + υ*) τ. 2

(13.15)

Нужно понимать, что эта оценка является завышенной, поскольку скорость шарика быстрее всего уменьшается в начале его движения. Задание 2. Определение коэффициента вязкости. Измерить время падения и пройденный шариком путь. Измеряемый путь шарика должен начинаться ниже отметки S0, найденной в прошлом задании. По формуле (13.14) определить коэффициент вязкости. Измерения и вычисления повторить для всех шариков. В случае, если измерение пути в пробном измерении задания 1 начиналось ниже получившейся величины S0 , то это измерение можно учитывать наравне с остальными. Найти среднее значение коэффициента вязкости, оценить его систематическую, случайную и полную погрешности. Систематические погрешности измерений принять: пройденного шариком пути θS = 0,5 см; времени падения шарика θt = 1 с; диаметра шарика θD – половина цены деления прибора. Сравнить среднее значение с табличным η = 0,987 Па⋅с. Контрольные вопросы 1. Какие силы действуют на тело в вязкой среде? 2. Почему в вязкой среде по истечении некоторого времени тело движется равномерно? 3. Какой смысл имеют величины υ0, υ* и τ? 4. Получите выражение для начальной скорости υ0. 5. Получите формулу, по которой изменяется ускорение тела в рассматриваемом опыте.

103

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14 Определение коэффициента вязкости воздуха Цель работы: определение коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом. Теоретические сведения Воздуху, как и всем реальным газам, присуща вязкость, или внутреннее трение, которое проявляется в том, что возникшее движение среды после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно останавливается. Течение газа или жидкости может быть ламинарным (слоистым) или турбулентным (вихревым). При ламинарном течении слои газа или жидкости скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, а при турбулентном – в среде образуются вихри. Обычно ламинарное движение наблюдается при малых скоростях, а турбулентное – при больших. Сила вязкого трения в случае турбулентного движения существенно больше, чем в случае ламинарного. Рассмотрим ламинарное движение газа в круглой трубе. Скорость газа максимальна на оси трубы и равна нулю у ее стенок. При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости газа во всех точках остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любому объему газа, равна нулю. Выделим воображаемый цилиндрический объем газа радиусом r и длиной l. На основания этого объема действуют силы давления, сумма которых равна

F = ( P1 − P2 ) πr 2 .

(14.1)

Эта сила действует в направлении движении жидкости. Здесь Р1 и Р2 давления на левом и правом торцах цилиндра. На боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, действует сила трения Fтp = − η2 π rl

dυ , dr

(14.2)

где η – коэффициент вязкости (внутреннего трения), зависящий от приdυ роды и состояния газа; υ – скорость газа; производная берется на dr расстоянии r от оси выделенного цилиндра. 104

Скорость течения газа будет неизменной, если сумма всех сил, приложенных к этому цилиндру, будет равна нулю, т. е. две названные силы равны друг другу:

( P1 − P2 ) π r 2 = dυ = −

− η2 π rl

dυ , ⇒ dr

( P1 − P2 ) rdr.

(14.3) 2η l Проинтегрируем это выражение с учетом граничного условия: υ = 0 при r = R (скорость газа на поверхности трубы равна нулю). υ( r )

∫ 0

dυ =

P1 − P2 ) r ( − ⋅ rdr ; 2ηl

υ=

∫

⇒ υ=

( P1 − P2 ) 4ηl

R

( P1 − P2 ) R 2  1 − r 2  

4η l

 . R  2

(R2 − r2 ) ; ⇒ (14.4)

Скорость течения газа на оси трубы оказалась υ0 =

( P1 − P2 ) R 2 . 4ηl

(14.5)

С учетом этого перепишем уравнение (14.4)

 r2  υ = υ0  1 − 2  .  R   

(14.6)

Таким образом, скорость газа уменьшается при удалении от оси трубы по квадратичному закону. Вычислим поток газа Q, т. е. объем газа, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени. Для этого разобьем поперечное сечение трубы на кольца шириной dr. Площадь этого кольца dS равна длине окружности, умноженной на ширину: dS = 2πrdr. Поток dQ через эту площадь равен произведению скорости газа на dS:

 r2  dQ = υ0  1 − 2  2 πrdr.  R   

(14.7) 105

Поток Q через полное сечение трубы найдем интегрированием этого выражения в пределах от 0 до R. R R R 3  r2  r dr πR 2 Q = ∫ υ0  1 − 2  2 πrdr = 2 πυ0 ∫ rdr − 2 πυ0 ∫ 2 = υ0 .  R  2 R   0 0 0

С учетом (14.5) перепишем получившееся выражение и получим Q=

( P1 − P2 ) πR 4 .

(14.8)

8ηl

Получилась формула Пуазейля. Она справедлива как газа, так и для жидкости. С ее помощью можно рассчитать объем жидкости, поступающей через эту трубу в единицу времени, по размерам трубы и перепаду давления на ее концах. Для газа ее можно использовать для определения коэффициента вязкости. Пропуская газ через капилляр радиуса R и длиной l, измеряют перепад давления ∆P и расход газа Q. По измеренным данным можно найти коэффициент вязкости газа: η=

πR 4 ∆P . 8Ql

(14.9)

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 14.1. 3 4

5

2

1 Воздух

Вкл Сеть

Рис. 14.1. Внешний вид лабораторной установки

106

Приборный блок 1 состоит из двух модулей: модуль питания "Сеть" с тумблером включения и лампой индикации и модуль "Воздух" с тумблером включения микрокомпрессора, лампой индикации и регулятором расхода воздуха. Блок рабочего элемента 2 включает в себя металлический капилляр 3, закрепленный между отборными камерами. Через капилляр прокачивается воздух от микрокомпрессора. Перепад давления в капилляре измеряется манометром 4, который подсоединен к отборным камерам. Расход воздуха измеряется реометром 5. Расход воздуха лучше регулировать так, чтобы показания реометра были в центральной части шкалы. Размеры капилляра: длина l = 10 см; диаметр 2R = 0,928 мм. Задание и порядок его выполнения Определение перепада давления ∆P проводится водяным манометром. Его показания отградуированы непосредственно в паскалях. Расход воздуха Q измеряется реометром. Единица измерения, отложенная на его шкале, составляет 10–5 м3/с. Измерение перепада давления ∆P, так же как и расхода воздуха Q, нужно проводить одним глазом, обязательно поместив его на одном уровне с верхней кромкой водяного столба. Если глаз окажется выше или ниже этого уровня, то возникнет ошибка, связанная с так называемым параллаксом. Происхождение этой ошибки показано на рис. 14.2. В связи с невозможностью полностью исключить параллакс при измерениях, систематическую погрешность перепада давления ∆P нужно взять равной тройh2

Глаз

Ошибка

1

h1

2 1 – правильно 2 – неправильно

вода

Шкала

Рис. 14.2. Измерение высоты столба

107

ной цене деления прибора, а систематическую погрешность расхода воздуха Q на данной конкретной установке – 0,4 цены деления. θ(∆P) = 30 Па, θQ = 10 – 6 м3/с, θR = 2 мкм, θl = 1 мм. Задание. Определение коэффициента вязкости воздуха. Нужно провести измерения перепада давления ∆P для десяти различных значений расхода воздуха Q. При измерениях расхода воздуха нужно учесть возможное смещение нуля реометра и манометра. В каждом случае вычислить значение коэффициента вязкости. Найти среднее значение η, оценить его случайную погрешность. Для одного из значений коэффициента вязкости вычислить систематическую погрешность θη. Записать окончательный результат и его полную погрешность, приняв ее равной систематической. Сравнить получившееся значение коэффициента вязкости с табличным η = 17,2 мкПа⋅с. Контрольные вопросы 1. Какое движение газа называется ламинарным? 2. Что называется коэффициентом вязкости? 3. Какие силы действуют на мысленно выделенный фрагмент газа, текущего в круглой трубе? 4. От чего зависит скорость течения газа? 5. Что называется потоком газа? Как его найти? 6. Как записывается формула Пуазейля? 7. Как можно исключить параллакс при измерениях манометром и реометром? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15 Определение показателя адиабаты для воздуха Цель работы: определение показателя адиабаты Cp/Cv для воздуха. Теоретические сведения Элементарная механическая работа, совершаемая газом в термодинамическом процессе, может быть вычислена по формуле δA = PdV ,

108

(15.1)

в которой Р – давление газа, а dV – изменение его объема. Полученная газом элементарная теплота δQ зависит от приращения температуры dT, и от теплоемкости С газа в этом процессе:

δQ = CdT .

(15.2 )

Существенно, что величины δА и δQ являются функциями не состояния, а термодинамического процесса. Приращение внутренней энергии dU идеального газа является функцией состояния, т. е. зависит лишь от начального и конечного состояний газа, т. е. от приращения температуры dT: dU = CVdT.

(15.3 )

В этой формуле CV – теплоемкость идеального газа при постоянном объеме. Она зависит от количества вещества v и от числа степеней свободы i молекул газа: i CV = vR. (15.4) 2 Здесь R = 8,314 Дж/Моль⋅К – универсальная газовая постоянная. Первый закон термодинамики, который фактически является законом сохранения энергии для термодинамических систем, записывается в виде

δQ = dU + δ A.

(15.5)

Процесс изменения состояния идеального газа, при котором его давление остается постоянным, называется изобарическим, элементарная работа газа в этом процессе δ A = PdV = vRdT .

Теплоту, полученную газом в этом процессе, найдем, принимая во внимание формулы (15.5), (15.3) и (15.4): i i+2 vRdT + vRdT = vRdT . 2 2 Сравнивая получившееся выражение с (15.2), найдем теплоемкость идеального газа при постоянном давлении Cp δ Q = dU + δ A =

i+2 Cp =   vR.  2 

(15.6) 109

Отношение теплоемкости идеального газа при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении γ=

Cp Cν

=

i+2 . i

(15.7)

Процесс изменения состояния термодинамической системы без ее теплообмена с окружающей средой называется адиабатическим. На практике адиабатическими могут считаться процессы, протекающие настолько быстро, что теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Как это следует из определения, в адиабатическом процессе δQ = 0, следовательно, dU + δA = 0 . Сказанное означает, что работа совершается лишь за счет изменения внутренней энергии газа: δA = − dU .

(15.8)

Подставим выражения (15.1), (15.3) и (15.4) в формулу (15.6) и получим: i νRdT . (15.9) 2 Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева, которое является уравнением состояния идеального газа: − PdV =

PV = νRT .

(15.10)

Продифференцируем его, домножим на i/2 и получим i i i VdP + PdV νRdT . (15.11) 2 2 2 Поскольку у выражений (15.9) и (15.11) равны правые части, должны быть равны и левые. Приравниваем их и получаем

i dP  i + 2  dV i+2 VdP = −  + = 0.  PdV ; ⇒  2 2 P  i V   Учтем формулу ( 15.7 ) и продолжим выкладки

d (ln P ) + γd (ln V ) = 0; ⇒ ( ln P + ln V γ ) = 0; ⇒ d ln( PV γ ) = 0; ⇒ ln(PV γ ) = const; ⇒ PV γ = const.

110

(15.12)

Получилось уравнение Пуассона, связывающее давление и объем газа в адиабатическом процессе. Теперь выведем уравнение адиабаты, связывающее давление и температуру газа, для чего возведем уравнение Клапейрона – Менделеева в степень γ и поделим на (15.12) γ

PV P γV γ  PV  = const; ⇒  = const; ⇒  = const; ⇒ γ T T PV γ  T 

P1− γТ γ = const.

(15.13)

Постановка эксперимента Величину γ можно определить экспериментально на установке, блоксхема которой показана на рис. 15.1. 5

4

2 3

1

Рис. 15.1. Блок схема экспериментальной установки

Если в стеклянный сосуд 1 быстро, в течение времени ∆t1, накачать воздух насосом 2, то в этом процессе над ним будет совершена работа А′, вследствие чего температура газа Т увеличится по сравнению с комнатной Т0. Давление воздуха в сосуде Р1 тоже станет больше атмосферного Р0. На рис. 15.2 приведена зависимость избыточного давления (∆P = P – P0) воздуха в сосуде от времени в описываемых процессах. После прекращения накачки вследствие теплообмена с окружающей средой температура и давление воздуха в сосуде начнут уменьшаться. 111

∆P 1 2

4 0

1 ∆t1

3 τ

τ

∆t2

t

Рис. 15.2. Зависимость избыточного давления от времени

Через некоторое время τ, которое называется временем релаксации, температура станет равной температуре окружающей среды Т0, избыточное давление при этом уменьшится не до нуля, а до некоторого нового значения ∆Р2. Если теперь быстро открыть кран 5 и таким образом за очень короткое время ∆t2 уменьшить избыточное давление до нуля, то одновременно уменьшится и температура газа до значения Т3. Этот процесс является адиабатическим, поэтому температура и давление в его начале и конце связаны уравнением (15.13):

P21− γТ 0γ = P01− γТ 3γ .

(15.14)

После закрытия крана 5 происходит медленное изохорическое нагревание воздуха в сосуде 1. За время τ его температура сравняется с температурой окружающей среды Т0. Вследствие этого нагрева давление газа возрастает и принимает значение Р4. Это значение будет меньше, чем Р2, поскольку в сосуде уменьшилось количество воздуха. Для процесса изохорического нагревания воздуха (3 → 4) запишем P0 P4 = . T3 T0

(15.15)

Подставим (15.15) в (15.14) и получим: γ

1− γ

 P4   P0  (15.16)   =   .  P2   P0  Логарифмируем получившееся выражение и, сделав алгебраические преобразования, получаем 112

γ=

ln P2 − ln P0 . ln P2 − ln P4

(15.17)

В формуле (15.17) перейдем от давлений к избыточным давлениям: ln

γ=

P2 P0

ln P2 − ln P0 = = ln P2 − ln P0 − (ln P4 − ln P0 ) ln P2 − ln P4 P0 P0

 P  ln  1 + ∆ 2  P0   . =   ∆ P2  ∆ P4  ln  1 +  − ln  1 +  P0  P0    Поскольку ∆P << P, используя соотношение ln(1 + x) = x при х << 1, имеем γ=

∆P2 . ∆P2 − ∆P4

(15.18)

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 15.3. Она состоит из сосуда 1 с воздухом, приборного блока 2 с насосом и водяного манометра 3. На лицевой панели блока управления имеются три кнопки: "Сеть", подключающая установку к электрической сети,

1

3

2

Рис. 15.3. Внешний вид лабораторной установки

113

"Вкл.", включающая насос, и "Атмосфера", соединяющая сосуд 1 с атмосферой. Задания и порядок их выполнения До начала измерений необходимо сделать следующее. 1. Если манометр показывает какое-то избыточное давление, то его необходимо установить на ноль. Для этого нужно включить прибор, нажать кнопку "Атмосфера" и держать ее нажатой не меньше минуты. Эту процедуру следует повторять после каждого опыта. 2. Определить давление P0 в левом и правом коленах манометра, когда давление в сосуде равно атмосферному, т. е. при нажатой кнопке "Атмосфера". 3. Избыточное давление ∆Р в дальнейшем следует определять в одном из колен, например в левом, как показано на рис. 15.4: (15.19) ∆Р = 2(Р – Р0).

P P – P0

P0

Pδ Pa

a

∆P

δ

Pa – правильно P – ошибка δ

Рис. 15.4. Показания манометра

Рис. 15.5. Ошибки при измерении высоты водяного столба

Измерение этой величины нужно проводить одним глазом, обязательно поместив его на одном уровне с верхней кромкой водяного столба. Если глаз окажется выше или ниже этого уровня, то возникнет ошибка, связанная с так называемым параллаксом. Происхождение этой ошибки показано на рис. 15.5. Задание. Определение показателя адиабаты для воздуха. Для выполнения этого задания нужно сделать следующее: 114

Включить насос на 10–20 с и, выключив его, через ~1 мин. измерить избыточное давление ∆Р. Нажать кнопку "Атмосфера" и отпустить ее через ∆t ≅ 3–5 с, сразу же, как уровни жидкости в обоих коленах выровняются. Через ~1 мин, измерить новое избыточное давление ∆Р'. Нажать на кнопку "Атмосфера" и не отпускать ее ~1 мин. По формуле (15.18) вычислить показатель адиабаты для воздуха: γ = ∆Р/(∆Р – ∆Р'). Описанную выше процедуру следует повторить не менее пяти раз при различных начальных избыточных давлениях. Найти среднее значение показателя адиабаты, систематическую, случайную и полную погрешности измерений. При вычислении систематической погрешности θγ считать, что систематическая погрешность избыточного давления составляет 30 Па. При вычислении полной погрешности считать, что производится измерение неслучайной по своей природе величины. Полученное значение γ сравнить с теоретическим, найденным по формуле (15.7) для газа, состоящего из жестких двухатомных молекул. Контрольные вопросы 1.Что называется теплоемкостью газа при постоянном давлении и при постоянном объеме? 2. Чему равны эти теплоемкости для идеального газа, состоящего из жестких одно-, двух- и трехатомных молекул? 3. Какой процесс называется адиабатическим? В каком случае реальный процесс является адиабатическим? 4. Рассчитайте показатель адиабаты для идеального газа, состоящего из жестких одно-, двух- и трехатомных молекул. 5. Получите уравнение адиабаты, связывающее объем и температуру идеального газа. 6. Какие процессы происходят с воздухом в сосуде во время опыта? 7. В чем отличие процессов 1–2 и 3–4? 8. С чем связано избыточное давление воздуха в состояниях 1, 2, 4? 9. Почему в состояниях 1 и 3 температура газа в сосуде отличается от температуры окружающего воздуха? 10. Почему перед началом опыта нужно обязательно выпустить воздух и в течение минуты подержать клапан "Атмосфера" открытым? 115

11. Можно ли начинать новый опыт не из состояния 0, а из 4? 12. Как можно исключить параллакс при измерении уровня жидкости в манометре?

Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3 т. М., 1992. Т. 1–2. 2. Савельев И. В. Курс физики: В 3 т. М., 1989. Т. 1–2. 3. Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики: В 3 т. М., 1956. Т. 1. 4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. и др. Курс физики: В 2 т. М., 1968. Т. 1.

116

ОГЛАВЛЕНИЕ

Порядок проведения лабораторных работ ............................................ 3 Содержание и оформление отчета ........................................................ 4 Сведения из теории погрешностей ....................................................... 6 Графическая обработка результатов измерений .................................. 16 Лабораторная работа № 1. Определение электрического сопротивления ......................................................................................... 23 Лабораторная работа № 2. Машина Атвуда ......................................... 30 Лабораторная работа № 3. Маятник Максвелла .................................. 37 Лабораторная работа № 4. Математический и оборотный маятники 42 Лабораторная работа № 5. Крутильный маятник ................................ 51 Лабораторная работа № 6. Маятник Обербека ................................... 57 Лабораторная работа № 7. Наклонный маятник ............................... 63 Лабораторная работа № 8. Определение коэффициента трения качения ...................................................................................................... 68 Лабораторная работа № 9. Столкновение шаров ................................ 75 Лабораторная работа № 10. Баллистический крутильный маятник 82 Лабораторная работа № 11. Гироскоп ................................................... 88 Лабораторная работа № 12. Определение скорости звука в воздухе 93 Лабораторная работа № 13. Определение коэффициента вязкости масла ......................................................................................................... 99 Лабораторная работа № 14. Определение коэффициента вязкости воздуха ...................................................................................................... 104 Лабораторная работа № 15. Определение показателя адиабаты для воздуха ...................................................................................................... 108 Библиографический список ................................................................... 116

117

Учебное издание Весничева Галина Андреевна Коваленко Иван Иванович Лавровская Наталья Павловна Литвинова Надежда Николаевна Орлов Валерий Федорович Плехоткина Галина Львовна Погарев Дмитрий Евгеньевич Прилипко Виктор Константинович Рутьков Евгений Викторович Хонинева Елена Владимировна Царев Юрий Николаевич Шифрин Борис Фридманович Щербак Сергей Яковлевич

МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Лабораторный практикум

Редактор А. В. Подчепаева Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

Сдано в набор 19.11.04. Подписано в печать 11.03.05. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 6,9. Усл. кр.-отт. 7,0. Уч.-изд. л. 7,4. Тираж 700 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

118