Магнетизм: Пособие по выполнению домашнего задания

1. СИЛА ЛОРЕНЦА И СИЛА АМПЕРА Основные теоретические сведения Все проявления магнетизма в природе и технике могут быть сведены к фундаментальному взаимодействию между движущимися зарядами, или между токами (поскольку движение зарядов представляет собой ток). На движущийся заряд q со стороны других зарядов действует r r сила r F = q ⋅ E + FM . r r r где FM “дополнительная” к q ⋅ E сила, пропорциональная скорости V и величине заряда q.r Эксперименты доказывают, что эту силу можно представить в r r r виде FM = q ⋅ V × B , где векторная характеристика магнитного поля B называется магнитной индукцией. Таким образом, результирующую электромагнитную силу, действующую на движущийся заряд, можно записать r в виде r r r F = q ⋅ E + q ⋅V × B . (1.1) Эта сила называется силой rЛоренца. Формула r (1.1) служит операционным определением электрического E иr магнитного B полей. Из свойств векторного произведения следует, что сила FM всегда перпендикулярна вектору скорости r r V и вектору магнитной индукции B . Поэтому мощность N и работа A силы Лоренца всегда равны нулю: N = Fм.V.cos 90o = 0, A = ∫ N ⋅ dt = 0. r Из этого утверждения следует, что действие силы FM не приводит к изменению кинетической энергии и модуля скорости r заряженной частицы. Тогда при отсутствии других сил вызываемое силой FM ускорение является центростремительным и заряженная частица движется по окружности, или по спирали. Направление центростремительного r r ускорения перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы V и B , и определяется по правилам векторного произведения (рис. 1.1.).

r B

r B

r FM

r V

r B q >0

r FM Рис. 1.1.

r B q<0

r V

Если по проводу протекает элекr трический ток силой I, то элемент dl провода длиной dl (рис. 1.2) можно I рассматривать как движущийся заdq ряд dq = λ.dl, где λ — линейная плотность зарядов. Тогда в магнитРис. 1.2. ном поле на этот элемент будет действовать сила . . . . . . dFм = dq r VB r sinα = λ V .dl B sinα, где α — угол между векторами V и B . Так как λ V = I, то это выражение можно преобразовать к виду r r r dFм = I.dl.B sinα или dFM = I ⋅ dl × B . (1.2) Полученная формула для силы, действующей на элемент длины с током в магнитном поле, называется законом Ампера. Если прямолинейный проводник r длиной L находится в однородном магнитном поле под углом α к вектору B , то величину результирующей силы можно определить по формуле Fм = I.L.B sinα. (1.3) В остальных случаях для получения результирующей силы приходится интегрировать формулу (1.2), с учетом изменения входящих в нее величин. Например, если проводник с силой тока I1 находится в магнитном поле другого прямого бесконечного провода с силой тока I2, то необходимо учитывать, что магнитное поле второго провода меняется по формуле μ I B= ο 2, (1.4) 2πr где r — расстояние от второго провода.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. Гл. 6, п. 35, 37. 2. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Т. 2: Электричество и магнетизм.– М.: Наука, 1975. Гл. 6, п. 6.1. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. Гл. 14, п. 111, 114.

2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ Основные теоретические сведения

Основываясь на постулатах специальной теории относительности и инвариантности электрического заряда, можно показать, что электрическое и магнитное поля являются в некотором смысле, различными компонентами единого физического объекта — электромагнитного поля. Одно и то же поле, рассматриваемое в различных инерциальных системах отсчета, будет представлено различными наборами значений компонент {Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz}. Если сисr тема отсчета К′ движется в положительном направлении оси x со скоростью Vo относительно неподвижной системы отсчета К, то формулы преобразования компонент поля записываются в виде: Ex = Ex′ , Bx = Bx′ , 1 Ey = γ( Ey′ +Vo ⋅ Bz′ ) , By = γ( By′ − 2 Vo ⋅ Ez′ ) , (2.1) c 1 Ez = γ( Ez′ −Vo ⋅ By′ ) , Bz = γ( Bz′ + 2 Vo ⋅ Ey′ ) , c 1 где . γ= Vo2 1− 2 c r E и магнитной инРазложив векторы напряженности электрического поля r r дукции B на параллельные и перпендикулярные к направлению скорости Vo r r r r r r составляющие ( E = E + E⊥ , B = B + B⊥ ), можно записать формулы (2.1) следующим r rобразом: r r E = E′ , B = B′ , (2.2) r r r r r 1 r r ⎞ ⎛r E⊥ = γ( E⊥′ − V0 × B⊥′ ) , B⊥ = γ ⎜ B⊥′ + 2 V0 × E⊥′ ⎟ . c ⎝ ⎠ При малых скоростях (V << c) γ ≈ 1 и формулы (2.1) и (2.2) существенно упрощаются. Например, для неподвижного точечного заряда q (т.е. в собственной системе отсчета), находящегося в начале координат, компоненты поля в точке с r радиус-вектором r равны r r 1 q r E′ = B′ = 0 , ⋅ 2 ⋅ err , 4πε ο r а для заряда, движущегося со скоростью V << c r E=

1 q r ⋅ 2 ⋅ err , 4πε ο r

r B=

r r 1 q ⋅ V × err , ⋅ 4πε οc 2 r2

r rr r где er = — единичный вектор, направленный от заряда к точке определения r 1 = μ ο , последнюю формулу для магнитного поля движуполя. Обозначив ε οc 2 щегося точечного заряда можно записать в видеr r μ 0 q ⋅ V × errr B= ⋅ . (2.3) 4π r2 Величина μ ο = 4π ⋅ 10−7 Гн/м называется магнитной постоянной.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. Гл. 6, п. 36. 2. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Т. 2: Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1975. Гл. 6, п. 6.7. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. Гл. 14, п. 113.

3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ Основные теоретические сведения

Магнитное поле, как и электрическое, r r rподчиняется r rпринципу суперпозиции B = B1 + B2 + B3 + ... + Bn . (3.1) Поэтому, на основании формулы (2.3), рассматривая электрический ток как совокупность движущихся зарядов, можно получить формулу для расчета магнитного поля участка проводника длиной dl с током I (закон Био-СавараЛапласа) r r μ ο I ⋅ dl × errr ⋅ , (3.2) dB = 2 4π r r где err — единичный вектор, направленный от элемента провода к точке, в которой определяется магнитная индукция (рис. 3.1). r r B B r0 I

r dl

r err

ϕ2

Рис. 3.1.

I

ϕ1

Рис. 3.2.

Магнитная индукция поля, создаваемого проводниками различной конфигурации, находится интегрированием формулы (3.2). В частности, магнитное поле прямолинейного отрезка проводника с силой тока I в точке, определяемой углами ϕ1 , ϕ2 и расстоянием ro (рис. 3.2), рассчитывается по формуле μ I B = ο ( cos φ1 + cosφ 2 ) . (3.3) 4π ⋅ rο Свойства магнитного поля постоянных токов (вихревой характер и отсутствие источников и стоков) характеризуют уравнения для циркуляции и потока вектора магнитной индукции r r (3.4) B ∫ ⋅ dl = μ ο ∑ Ii , L

r r B ∫ ⋅ dS = 0 ,

где

∑ Ii

i

(3.5)

S

— алгебраическая сумма токов, пересекающих любую поверхность,

i

охватываемую замкнутым произвольным контуром L. При непрерывном расr пределении токов эту сумму можно записать через плотность тока j

r r r r B ⋅ dl = μ ο ∫ j ⋅ dS . ∫ L

(3.6)

S

Применимость теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции (3.4) и (3.6) для расчета магнитных полей ограничена кругом задач, обладающих определенной симметрией. При выборе замкнутого контура интегрирования L необходимо придерживаться следующих рекомендаций: 1. Точка, в которой определяется магнитная индукция, должна принадлежать контуру L. r r 2. Из соображений симметрии скалярное произведение B ⋅ dl вдоль контура должно быть постоянным или на отдельных участках равным нулю.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. Гл. 6, п. 36, 38. 2. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Т. 2: Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1975. Гл. 6, п. 6.2, 6.4. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. Гл. 14, п. 110, 118.

4. КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Основные теоретические сведения

Контуры с током не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются воздействию со стороны магнитных полей других токов. При этом результирующая сила, действующая на контур, определяется интегрированием силы Ампера (см. формулу (1.2)) по всей длине Lrконтура r r F = I ∫ dl × B . L

r В однородном магнитном поле вектор B можно вынести за знак интеграла, r а векторный интеграл ∫ dl равен нулю. Значит, в однородном магнитном поле L

r равна нулю и результирующая сила F , действующая на контур с током. Однако результирующий вращательный момент сил Ампера, вообще говоря, не равен нулю и определяется по формуле r r r M = pm × B , (4.1) r r где pm = I ⋅ S ⋅ n — дипольный магнитный момент контура с током I и площаr r дью S. Направление вектора pm совпадает с направлением нормали n к поверхности контура и образует с направлением тока правовинтовую систему. Работа сил Ампера при повороте контура с током определяется изменением его потенциальной энергии. Эту часть потенциальной энергии контура с током в однородном магнитном поле можно рассчитать по формуле r r Wр.мех = − pm ⋅ B . (4.2) Поведение контура с током в неоднородном магнитном поле рекомендуем изучить по приведенной ниже литературе.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. Гл. 6, п. 40. 2. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Т. 2: Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1975. Гл. 10, п. 10.4-10.6. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. Гл. 14, п. 109.

5. ЗАКОН ФАРАДЕЯ-ЛЕНЦА Основные теоретические сведения

В явлении электромагнитной индукции изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое (непотенциальное) электрическое поле. В r этом случае циркуляция вектора напряженности электрического поля Eвихр по контуру L, в отличии от поля неподвижных электрических зарядов, не равна нулю и определяется формулой r r r ∂B r (5.1) ∫ Eвихр ⋅ dl = − ∫ ∂t ⋅ dS , L S где S — любая поверхность, ограниченная контуром L. Если вдоль контура расположить проводник, то в нем под действием вихревого электрического поля начнет циркулировать электрический ток, и будет совершаться работа. Таким образом, в проводящем контуре индуцируется электродвижущая сила (ЭДС) εi , которая по определению равна работе неэлектростатических сил над единичным положительным зарядом, т.е. r r εi = qA = ∫ Eвихр ⋅ dl . Тогда формулу (5.1) можно представить в виде r ∂B r εi = −∫ ∂t ⋅ dS . S

(5.2)

Другой причиной возникновения ЭДС в проводящем контуре является действие магнитной части силы Лоренца на электроны при перемещении участков этого контура. В этом случае возникающую ЭДС можно определить по формуле r r r r r εi = qA = 1q ∫ FМ ⋅ dl = ∫ V × B ⋅ dl . (5.3) L L

Если движется отдельный прямой проводящий участок контура длиной l r r r так, что все три сомножителя V , B и dl взаимно перпендикулярны, то в нем индуцируется ЭДС εi = VBl. (5.4) В большинстве случаев формулы (5.2) и (5.3) можно объединить в виде одного закона Фарадея-Ленца (5.5) εi = − ddtΦ , r r где Φ = ∫ B ⋅ dS — поток вектора магнитной индукции через любую поверхS

ность S, ограниченную выбранным контуром. Если проводящий контур состоит из N витков, то в каждом из них индуцируется соответствующая ЭДС, и для всего контура ЭДС будет определяться выражением

εi = − ddtΨ , N

где Ψ = ∑ Φi — потокосцепление. При условии одинаковости всех Φi можно i=1

записать Ψ = NΦ . Тогда

εi = − N ddtΦ .

(5.6)

В однородных магнитных полях для плоского проводящего контура ограничивающего площадь S формула (5.6) существенно упрощается и большинство задач можно разбить на следующие типы: 1. Неподвижный контур в меняющемся во времени магнитном поле. Норr dB маль к контуру направлена под углом α к вектору . В этом случае dt ⋅ S ⋅ cosα . εi = − N dB (5.7) dt 2. Магнитное поле однородно и стационарно. Меняется угол α между норr малью к контуру и вектором B (например α = ωt ) t) εi = − NBS d cos(ω . (5.8) dt 3. Магнитное поле однородно и стационарно. Меняется площадь контура. В этом случае cosα . (5.9) εi = − NB dS dt В последнем случае часто более удобной является формула (5.4) или (5.5). Кроме того, при объединении формулы (5.2) и (5.3) в закон Фарадея-Ленца отдельные случаи не учитывались. Для них необходимо использовать непосредственно формулу (5.3).

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. Гл. 8, п. 53, 54. 2. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Т. 2: Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1975. Гл. 7, п. 7.1-7.5. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. Гл. 15, п. 122-124.

6. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Основные теоретические сведения

При изменении электрического тока в контуре (рис. 6.3-6.5) меняется и его магнитное поле, вследствие чего в нем индуцируется ЭДС самоиндукции ε . В c

отсутствии ферромагнитных материалов эта ЭДС рассчитывается по формуле (6.1) εc = – L dIdt , где L — коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура. Тогда закон Ома для замкнутой цепи, содержащей индуктивность L, электроемкость C, электрическое сопротивление R и ЭДС источников ε (t) записывается в виде dI q L + IR + = ε (t) (6.2а) dt C 2 d q dq 1 (6.2б) или L 2 + R + q = ε (t) . dt C dt Решение этого дифференциального уравнения зависит от входящих в него величин ε (t), L, C, R и от начальных условий. Появление в замкнутой цепи ЭДС самоиндукции связано с изменением энергии магнитного поля при изменении силы тока в цепи. Величину энергии магнитного поля для контура содержащего индуктивность можно определить по формуле LI 2 (6.3) W= 2 или (в том числе и во всех остальных случаях) через плотность энергии магнитного поля B2 wB = . (6.4) 2μ ο

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. Гл. 8, п. 55-58. 2. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Т. 2: Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1975. Гл. 7, п. 7.8-7.10. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990. Гл. 15, п. 126, 127, 130.

Пример 1а Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, влетает в область однородного поперечного магнитного поля (рис. 1.3). Ширина области d = 10 см, индукция магнитного поля B = 0,51 Тл. Под каким углом к первоначальному направлению движения протон вылетит из области поля? Масса протона m = 1,67.10–27 кг. Решение Влетев в точке a в область однородного магнитного поля протон под действием силы Лоренца (1.1) начнет двигаться с центростремительным ускорением по дуге окружности (рис. 1.4). Запишем второй закон Ньютона для рассматриваемого случая, учитывая, что заряд протона численно равен заряду электрона е: 2 r r ⎛ π ⎞ m ⋅V FM = maц или e ⋅ V ⋅ B ⋅ sin ⎜ ⎟ = . R ⎝2⎠

d +r B

r V α

Рис. 1.3.

d +r О B R c b a

r V α

Рис. 1.4.

Необходимое для расчетов значение скорости протона получим, применив закон сохранения энергии в области ускоряющего напряжения 2eU m ⋅V 2 . . Тогда V = e ⋅U = m 2 Подставив это выражение в формулу второго закона Ньютона получим уравнение для расчета радиуса окружности mV 1 2mU R= = . eB B e После расчета получим R = 0,2 м. Это значение больше ширины области магнитного поля d = 0,1 м и протон вылетит из нее, описав только часть окружности — дугу ab. Вылетев из области действия магнитного поля в точке b, протон будет двигаться прямолинейно по касательной к окружности. Угол отклонения протона α равен углу, стягивающему дугу окружности между точками a и b (по двум взаимно перпендикулярным сторонам). Из треугольника Оbc следует, что d 1 sin α = = . R 2 о Тогда α = 30 .

Пример 1б Электрон движется в однородном магнитном поле так, что вектор его скорости, равной 2.106 м/с, составляет с направлением вектора индукции магнитного поля угол α = 60о. Определить шаг винтовой линии, по которой движется электрон, если B = 0,01 Тл. Решение Сложное движение электрона в данных условиях можно rпредставить как сумму двух независимых движений: вдоль r направления поля B и в плоскости, перпендикулярной направлению r r r поля r B . Поэтому r r rразложим вектор скорости r на две составляющие V = V⊥ + V|| , где V⊥ ⊥ B и V|| || B (на рис. 1.5 вектор B направлен по оси Oz). Действующая на электрон rсила Лоренца зависит только от r V⊥ и ее направление перпендикулярно полю B . Поэтому в направлении вдоль r поля Br ускорение электрона равно нулю, и он движется с постоянной скоростью V|| . r B

z

x

r V

r V⊥

y

r α V|| О

Рис. 1.5.

Рис. 1.6.

Одновременно под действием силы Лоренцаr электрон движется по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору B (на рис. 1.5 в плоскости Oxy). Результирующим является движение по винтовой линии (рис. 1.6). Шагом винтовой линии h называется расстояние между соседними витками, которое равно пути, пролетаемому электроном за один период вращательного движения T со r скоростью V|| , т.е. h = V || .T. Для определения периода запишем второй закон Ньютона r m ⋅ V⊥2 r . FM = maц или e ⋅ V⊥ ⋅ B = R mV⊥ 2πR 2π ⋅ mV⊥ 2π ⋅ m , а период T = = = . Тогда R = eB V⊥ eBV⊥ eB Подставим полученное выражение для периода в формулу h = V || .T:

2π ⋅ mV||

2π ⋅ mV ⋅ cos α . eB eB После вычислений получим h = 3,57.10–3 м = 3,57 мм. h=

=

Пример 2 Резиновое кольцо с электропроводным покрытием поместили в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Индукция магнитного поля B = 0,3 Тл. На сколько процентов увеличится радиус кольца, если по нему пропустить ток силой I = 10 А? Коэффициент упругости кольца k = 10 Н/м. Решение Мысленно разобьем кольцо на две половины сечением АС и найдем результирующую силу Ампера, дейстA вующую на правую половину r кольца (рис. 1.7). Для этого выB I делим на О r нем малый элемент длины dl . По закону Ампера на α x него действует сила dα r r r dF = I ⋅ dl × B . R r r Ее направление определяется по С dl dF правилу векторного произведеРис. 1.7. r ния. В данном случае сила dF r r направлена радиально от центра кольца. Учитывая, что dl ⊥ B , величина силы равна dF = I ⋅ dl ⋅ B . Результирующая сила, действующая на правую сторону r кольца, определяется интегрированием силы dF по длине правой части L. Из соображений симметрии необходимо учитывать только проекцию этой силы dFx. Тогда Fx = ∫ dFx = ∫ I ⋅ B ⋅ dl ⋅ cosα . L

L

Учитывая, что элемент дуги dl и угол dα связаны геометрическим соотношением dl = R.dα, перепишем это выражение в виде π 2

Fx = IBR ∫ cosα ⋅ dα = −

π 2

π IBR ⋅ sin α π2 − 2

+

= 2 IBR .

На левую половину кольца действует такая же сила в противоположном направлении. Следовательно в сечениях кольца А и С (и в любом другом) действует сила натяжения F FH = x = IBR . 2

Эта сила уравновешивается силой упругости Fупр = k ⋅ ΔL , где изменение

длины кольца равно ΔL = L2 − L1 = 2π ( R − Rο ) . Тогда IBR = 2π ⋅ k ( R − Rο ) или R IB =1− ο . 2πk R R 1 . После преобразований получим = Rο 1 − IB 2πk R = 1,05. Таким образом, радиус кольца увеличился на Выполним расчет Rο 5%. Пример 3 Бесконечная заряженная плоскость, параллельная плоскости {xz}, движется со скоростью Vx = 0,5с в лабораторной системе отсчета (рис. 2.1). В собственной системе отсчета поверхностная плотность зарядов на плоскости равна 1 нКл/м2. Определить напряженность электрического поля и индукцию магнитного поля на расстоянии L = 1 м от плоскости в собственной и в лабораторной системах отсчета.

y

О

r x Vx

z Рис. 2.1.

Решение В собственной системе отсчета плоскости заряды неподвижны и магнитного поля нет, а напряженность электрического поля равна σ E ′y = ± , 2ε ο где знак "+" относится к области, где y > 0, а знак "–" — к области y < 0. Тогда в соответствии с формулами преобразования компонент полей (2.1) получим: Ex = 0 , Bx = 0 , Ey = γ Ey′ , By = 0 ,

Ez = 0 , где

Bz = γ γ=

1 Vx ⋅ Ey′ , c2

1 0,52 ⋅ c 2 1− c2

= 1,15.

На основании этих формул можно сделать вывод, что электрическое и магнитное поля заряженной движущейся плоскости не зависят от расстояния до y плоскости, т.е. однородны. Линии r r поля E перпендикулярны плоскости E r r О Br (рис. 2.2), а линии поля B паралr x лельны ей и направлены перпендиB Vx кулярно вектору скорости. z r Выполнив расчеты, получим: E E ′ = E ′y = 56 В/м, E = Ey = γ Ey′ = 65 В м , B = Bz = γ

Рис. 2.2.

1 V ⋅ Ey′ = 1,09 ⋅ 10−7 Тл. 2 x c

Пример 4 Электрон и протон зарегистрированы в некоторый момент движущимися навстречу друг другу с одинаковыми скоростями V = 106 м/с. Расстояние между ними b = 10–9 м. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на одинаковом расстоянии L = 7,05.10–10 м от обеих частиц. Решение Для определения магнитного поля частиц в нерелятивистском случае воспользуемся формулой (2.3). Поле протона в некоторой точке А задается формулой r r r q ⋅ V μ p p × ep Bp = ο ⋅ , 2 4π L r где e p — единичный вектор, направленный от протона р к точке А. Направление вектора r r А Bp магнитной индукции B p , определенное по правилу r r e L B L ere векторного произведения, p e показано на рис. 2.3 (каса- p α α –e r r тельно к пунктирной окV p b/2 О b/2 Ve ружности). Аналогично определяются величина и направление вектора магнитной индукции поля электроРис. 2.3. на:

r r μ ο qe ⋅ Ve × ere Be = ⋅ . 4π L2 С учетом отрицательного знака заряда электрона направление его магнитного поля совпадает с направлением магнитного поля протона. Заряд протона численно равен заряду электрона qp = −qe = e . Поэтому по величине оба вектора тоже равны: μ e ⋅V Bp = Be = ο ⋅ 2 sin α . 4π L Используя заданные в условии значения b и L , можно определить sinα: b2 b b2 2 cosα = sin α = 1 − cos α = 1 − 2 . = , 2L L 4L Тогда результирующее поле можно рассчитать по формуле μ e ⋅V B = Bp + Be = 2 ο ⋅ 2 4π L После расчета получим B = 45,4 мТл. Пример 5 Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом 120о (рис. 3.3). Определить магнитную индукцию в точке А, расположенной на бисектрисе на расстоянии d = 5 см от угла.

b2 1− 2 . 4L

A I

d 60°

I 60°

Рис. 3.3.

Решение В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная r r индукция в точке А будет равна векторной сумме магнитных индукций B1 и B2 полей, создаваемых прямыми участками, r rт.е. r B = B1 + B2 . r r Учтем, что для всех участков провода векторное произведение dl × err имеет одно направление, перпендикулярное плоскости рисунка. Поэтому суммирование и интегрирование можно производить в скалярной форме: B = B1 + B2. Магнитную индукцию поля каждого из прямых участков найдем с помощью формулы (3.3), приняв для правого участка ϕ1 = 0о (т.к. можно считать, что правый конец провода находится в бесконечности), ϕ2 = 60о (см. рис. 3.2). Тогда μ I μ I 3 B1 = ο (cos0° + cos60°) = ο ⋅ , 4πrο 4πrο 2 где ro = d ⋅ sin 60° . Таким образом для левого участка ϕ1 = 60о, а ϕ2 = 0о. Соответственно

μο I μ I 3 (cos60° + cos0°) = ο ⋅ . 4πrο 4πrο 2 2μ ο I 3 B = B1 + B2 = ⋅ = 4πd ⋅ sin 60° 2 −7 2 ⋅ 4π ⋅ 10 Гн м ⋅ 50 А 3 = ⋅ = 3, 46 ⋅ 10−4 Тл 2 3 4π ⋅ 5 ⋅ 10−2 м ⋅ 2 B2 =

Пример 6 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток силой I = 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две ее стороны длиной b = 65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из сторон равно ее ширине. Чему равен поток вектора магнитной индукции через рамку? Решение Поток Ф вектора магнитной индукции через поверхность площадью S определяется выражением r r Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ Bn ⋅ dS ,

S r S где Bn — компонента вектора B , перпендикулярная элементу площади dS. Для определения магнитной индукции, создаваемой прямым бесконечным проводом с током, воспользуемся теоремой оrциркуляции (3.4) r B ∫ ⋅ dl = μ ο ∑ Ii . i

L

Допустим, что точка А, в которой необходимо определить магнитную индукцию, находится на расстоянии x от провода (рис. 3.4). Проведем через нее окружность с центром на оси провода. Линии поля магнитной индукции касаr r тельны к этой окружности. Поэтому B ⋅ dl = B ⋅ dl . В силу симметрии задачи на всем выбранном контуре величина вектора магнитной индукции В постоянна и ее можно вынести за знак интеграла. Тогда левую часть теоремы о циркуляции можно записать в виде B ∫ dl = B ⋅ 2π ⋅ x , L

а правую

μ ο ∑ Ii = μ ο I . i

Приравнивая эти выражения, получаем B =

μο I . 2π ⋅ x

x I

r B

x

dx

I

dS

b

А a

Рис. 3.4.

a

Рис. 3.5.

r В нашем случае вектор магнитной индукции B во всех точках плоскости рамки перпендикулярен к ней. Для вычисления потока вектора магнитной индукции через площадь рамки разобьем ее на узкие полоски длиной b, шириной dx и площадью dS = b.dx (рис. 3.5). В пределах одной полоски магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площади полоски равноудалены от провода (на расстояние x). С учетом сделанных замечаний элементарный поток магнитной индукции через площадь dS можно записать в виде μ I μ I dΦ = B ⋅ dS = ο ⋅ dS = ο b ⋅ dx . 2π ⋅ x 2π ⋅ x Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1 = a до x2 = 2a, найдем поток 2a μ ο I ⋅ b dx μ ο I ⋅ b 2a μ ο I ⋅ b Φ= = = ln ln 2 . 2π 2π a 2π ∫a x Произведя вычисления, получим Φ = 4,5.10–6 Вб.

Пример 7 Подвижный элемент гальванометра представляет из себя квадратную рамку, содержащую N = 100 витков тонкой проволоки, помещенную в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Сторона рамки а = 4 см. Определить механический момент сил, действующих на рамку со стороны магнитного поля, при пропускании по ней тока силой I = 1 мА. Какую работу совершат эти силы при повороте рамки в положение с антипараллельными векторами магнитной индукции и дипольного магнитного момента? Решение Дипольный магнитный момент рамки равен сумме дипольных магнитных моментов всех витков pm = I ⋅ S ⋅ N = I ⋅ a 2 ⋅ N и направлен перпендикулярно r r плоскости рамки и вектору B (рис. 4.1). Тогда механический момент сил M ,

определяемый по формуле (4.1) , направлен так, что стремится повернуть векr r тор pm до совпадения с вектором B . Его величина определяется по формуле M = pm ⋅ B ⋅ sin 90° = I ⋅ a 2 ⋅ N ⋅ B .

r M

r pm

90o I

r B

r pm

180o

r B

I

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

Работа сил Ампера при повороте рамки из исходного положения (α1 = 90о) в требуемое (α2 = 180о) равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном положении A = Wp мех1 – Wp мех2 = (–pmBcos90o) – (–pmBcos180o) = – pmB = –I.a2.N.B. Произведя расчет, получим M = 16 мкН.м, A = –16 мкДж. Пример 8а Одним из простейших способов получения переменного тока является вращение проводящей рамки в однородном магнитном поле. Ось вращения ОО′ перпендикулярна вектору магнитной индукции и r нормали к плоскости рамки (рис. 5.1). КаB ω кова должна быть частота вращения рамки, чтобы максимальное значение возникающей в ней ЭДС достигало 20 В? Рамка S содержит N = 500 витков проволоки, ее площадь S = 42,5 см2, магнитная индукция Рис. 5.1. B = 0,1 Тл. Решение При вращении рамки угол α между нормалью к ней и направлением вектора магнитной индукции меняется по закону α = ω ⋅ t = 2π ⋅ n ⋅ t , где n — искомая частота вращения. Соответственно магнитный поток, пронизывающий рамку, будет определяться формулой Φ = B ⋅ S ⋅ cos ( 2π ⋅ n ⋅ t ) . Тогда, используя формулу (5.8), получаем εi = − NBS d cos ( dt2π ⋅ n ⋅ t ) = − NBS ⋅ 2π ⋅ n ⋅ sin ( 2π ⋅ n ⋅ t ) .

Полученный результат свидетельствует о том, что в рамке возникает переменная (синусоидальная) ЭДС с максимальным (амплитудным) значением εi мах = NBS ⋅ 2π ⋅ n . Искомое значение необходимой частоты вращения можно найти по формуле n=

После расчета получим n = 15 c–1.

εi мах

2π ⋅ N ⋅ B ⋅ S

.

Пример 8б Изолированный металлический диск помещен в однородное магнитное поле. Ось диска совпадает с линией вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через поверхность диска Φ = 0,02 Вб. Определить разность потенциалов между центром и краем диска, возникающую при его вращении с частотой n = 50 с–1. Решение Для измерения возникающей разности потенциалов один скользящий контакт поместим на проводящей оси, а другой на внешнем крае диска (точки a и b на рис. 5.2). Формула (5.5) в данной ситуации оказывается непригодной, так как поток вектора магнитной индукции через любой контур, проходящий через точки ab, не меняется. Поэтому для расчета возникающей разности потенциалов воспользуемся непосредственно формулой (5.3) для движущегося радиальr r V , B и ного участка измерительного контура (пунктирная линия). Векторы r r dl = dr для каждого участка этой линии взаимно перпендикулярны. R r R r r R Тогда Δφ = ∫ V × B ⋅ dr = ∫ V ⋅ B ⋅ dr = B ∫ V ⋅ dr . 0

0

0

Скорость элемента dr, находящегося на расстоянии r от центра диска, связана с частотой вращения соотношением V = ωr = 2πnr. Тогда R

r B

a b

R

Δφ = B ∫ 2π nrdr = 2π nB ∫ rdr = 0

0

2

= π nBr = nBS = nФ. После расчета получаем Δϕ = 1 В.

Рис. 5.2.

Пример 9 Края соленоида с квадратным сечением соединили образовав кольцо с внутренним радиусом R = 10 см (рис. 6.1). Сторона квадратного сечения соленоида а = 10 см. Определить энергию магнитного поля, запасенную внутри соленоида, если его обмотка имеет N = 1000 витков и по ней течет ток силой I = 10 А. Считать, что каркас соленоида изготовлен из материала с магнитной проницаемостью μ = 1.

dV a dr

Рис. 6.1.

r

Рис. 6.2.

Решение Величину магнитной индукции внутри соленоида определим с помощью теоремы о циркуляции (3.4). С этой целью выберем контур L в виде окружности, проходящей внутри соленоида (R < r < R + а). Центр окружности находится r на оси кольца. В этом случае теорему о циркуляции вектора B (3.4) можно записать в виде B ⋅ 2πr = μ ο NI . Следовательно магнитное поле внутри соленоида зависит от расстояния до оси кольца r по закону μ NI B= ο . 2πr Запасенную энергию определим интегрированием плотности энергии магнитного поля (6.4) по объему соленоида V. При этом элементарный объем dV выберем в виде кольцевого слоя прямоугольного сечения толщиной dr и высотой а (рис. 6.2) : dV = 2πr.a.dr. Тогда R+a R+a μ ο2 N 2 I 2 B2 WB = ∫ ⋅ 2πr ⋅ a ⋅ dr = ∫ ⋅ 2πr ⋅ a ⋅ dr = 2 2 2μ 4π 2μ r ο ο R R

μο ⎛ R+a⎞ ⋅ N 2 I 2 a ⋅ ln ⎜ ⎟. 4π ⎝ R ⎠ Подставив значения величин и произведя вычисления, получим: WB = 10−7 Гн/м ⋅ 103 ⋅ 102 А 2 ⋅ 10−1 м ln 2 ≈ 0,7 мДж. =

Пример 10 На рис. 12.3 показана идеальная цепь, состоящая из источника постоянного тока с ЭДС ε = 1,5 В и катушки индуктивности L = 0,1 Гн. Полное сопротивление цепи равно нулю. Какой ток будет в цепи спустя 1 с после замыкания ключа К?

ε К L

Рис.6.3. Решение

Запишем закон Ома (6.2а) для указанной цепи L

dI = ε . Интегрируем это dt

выражение, применяя метод разделения переменных. dI =

ε dt L

или

После интегрирования получаем I =

I =∫

ε dt + b . L

ε t + b , где постоянную интегрирова-

L ния b можно найти из условия равенства нулю тока в начальный момент време-

ни. Тогда b = 0 и I = А.

ε t . После подстановки данных и расчета получаем I = 15 L