Почти периодические функции: Учебно-методическое пособие

Федеральное агентство по образованию

Почти периодические функции

Учебно-методическое пособие для вузов Составитель С.В. Писарева

Воронеж 2007

2

Утверждено Научно-методическим советом математического факультета 31 января 2007г., протокол № 5

Научный редактор: к.ф.-м.н. Костин А.В Рецензент: д.ф.-м.н, профессор Репников В.Д.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического моделирования математического факультета Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 3-5 курсов дневного и вечернего отделений математического факультета Воронежского государственного университета.

Для специальности 010101(010100) - Математика

3

Аннотация Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов 3-5 курсов дневного и вечернего отделений математического факультета, обучающихся по специальности 010101 - Математика и направлению 010100 - Математика. Данное пособие является вспомогательным по курсу ДС.07 «Почти периодические функции». Целью этого пособия является ознакомление студентов с широко развивающейся в данное время теорией почти периодических функций. Созданная в 20-х годах прошлого века датским математиком Г.Бором теория почти периодических функций получила существенное развитие в работах С.Бохнера, Г.Вейля, А.Безиковича, Ж..Фавара, Дж.Неймана, В.В.Степанова, Н.Н.Боголюбова и др. В частности , теория п.п. функций дала толчок развитию гармонического анализа функций на группах (п.п. функции, ряды и интегралы Фурье на группах). В 30-х годах прошлого века С.Бохнер перенес теории п.п. функций на векторно-значные (абстрактные) функции со значениями в банаховом пространстве. Последние годы теория п.п. функций развивается в связи с задачами дифференциальных уравнений, теории устойчивости, динамических систем и т.п. Круг приложений п.п. функций широк и включает в себя не только обыкновенные дифференциальные уравнения и классические динамические системы, но и широкие классы уравнений с частными производными и уравнений в банаховых пространствах. Учебно-методическое пособие «Почти периодические функции» содержит основные сведения по теории равномерных п.п. функций. Оно включает в себя основные определения и свойства п.п. функций, действия над ними, свойства интегралов и средних значений п.п. функций. В пособии вводится понятие расстояния между п.п. функциями и приводится полезный для приложений критерий компактности Бохнера.

4

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 1. Почти периодические функции в смысле Бора О п р е д е л е н и е 1 . Числовое множество Ξ = {ξ } называется относительно плотным на действительной оси − ∞ < x < +∞ , если существует число l > 0 такое, что каждый отрезок a ≤ x ≤ a + l длины l содержит хотя бы один элемент нашего множества, т.е. при любом a имеем [a; a + l ] ∩ Ξ ≠ 0. Рассмотрим комплекснозначную функцию f ( x) = ϕ ( x) + iψ ( x) ∈ C ( −∞,∞ ) , где ϕ ( x) = Re f ( x),ψ ( x) = Im f ( x) . О п р е д е л е н и е 2 . Число τ = τ f (ε ) называется почти периодом функции f (x) с точностью до ε (короче: ее ε - почти периодом или ε -смещением), если для любого x ∈ (−∞, ∞) имеет место неравенство | f ( x + τ ) − f ( x) |< ε .

Очевидно, период функции есть ее почти период для любого ε > 0 . Нетрудно показать, что 1) 0 есть почти период для любого ε > 0 ; 2) если τ есть ε -почти период функции f (x) , то - τ есть также ε почти период этой функции; 3) сумма и разность ε -почти периодов этой функции есть также почти период ее с точностью до 2 ε . О п р е д е л е н и е 3 . Комплекснозначная функция f ( x) ∈ C ( −∞,∞ ) называется почти периодической в смысле Бора (или равномерной почти периодической), если для любого ε > 0 существует относительно плотное множество почти периодов τ функции f (x) с точностью до ε , т.е. существует положительное число l = l (ε ) такое, что любой отрезок [a; a + l ]. содержит по меньшей мере одно число τ , для которого выполнено неравенство | f ( x + τ ) − f ( x) |< ε при − ∞ < x < +∞ . Из определения следует, что всякая непрерывная периодическая функция, определенная на оси, является почти периодической. Обратное утверждение неверно, почти периодическая функция может не быть периодической. О п р е д е л е н и е 4 . Две точки x и x' = x + τ отличающиеся на ε почти период функции f (x) , назовем ε -конгруэнтными. Если функция f (x) почти периодическая, то для каждой точки x ∈ (−∞, ∞) на любом отрезке [a; a + l ]. , где l = l (ε ) , найдется ε конгруэнтная ей точка x ′ ∈ [a; a + l ]. Действительно, в силу определения почти периодической функции f (x) на отрезке [− x + a;− x + a + l ]. существует ее ε -почти период τ , т. е. − x + a ≤ τ ≤ −x + a + l . Отсюда, полагая x' = x + τ , получим a ≤ x ' ≤ a + l .

5

Отметим некоторые элементарные свойства почти периодических функций (сокращенно - п.п. функций). 1. Если f (x) - п.п. функция, то αf (x) + β ( α , β - комплексные числа) и f (ax + b) ( a, b - действительные числа) также п.п. функции. 2. Если f (x) - п.п. функция, то ϕ ( x) = Re f ( x),ψ ( x) = Im f ( x), | f ( x) | и f (x) также п.п. функции. Например, если τ есть ε -почти период п.п. функции f (x) , то для ее модуля | f (x) |, очевидно, справедливо неравенство || f ( x + τ ) | − | f ( x) ||≤| f ( x + τ ) − f ( x) |< ε , и, следовательно, | f (x) | есть также п.п. функция. Укажем более общее свойство. Т е о р е м а 1 . Если E - множество значений почти периодической функции f (x) и F ( y ) - функция, равномерно непрерывная на Е, то функция F ( f ( x)) - почти периодическая. Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно и δ > 0 таково, что | F ( y ′) − F ( y ′′) |< ε при | y ′ − y ′′ |< δ , (1) где y ′, y ′′ ∈ E . Тогда, если τ = τ f (δ ) , то в силу (1) имеем | F ( f ( x + τ )) − F ( f ( x)) |< ε при − ∞ < x < +∞ . Таким образом, τ есть ε -почти период функции F ( f ( x)) , что и доказывает ее почти периодичность. § 2. Основные свойства почти периодических функций Т е о р е м а 2 . Почти периодическая функция равномерно ограничена на действительной оси. Доказательство. Пусть f (x) - п.п. функция и l1 = l (1) соответствующее число из определения 3 для ε = 1 . Так как f (x) непрерывна на отрезке [0, l1 ] , то sup | f ( x) |= M < ∞ . 0≤ x ≤l1

В силу определения 4 для любой точки x ∈ (−∞, ∞) и ε = 1 существует ε -конгруэнтная ей точка x ' = x + τ ∈ [0, l1 ] . Отсюда | f ( x) |≤| f ( x ′) | + | f ( x) − f ( x ′) |< M + 1 < ∞ . Следовательно, f (x) ограничена на (−∞, ∞) . Теорема 3 . Почти периодическая функция равномерно непрерывна на действительной оси. ε

Доказательство. Пусть f (x) - п.п. функция и l f = l ( ) , где ε > 0 3

произвольно. Рассмотрим отрезок I = [−1, l + 1] . Так как функция f (x) , будучи непрерывной на (−∞, ∞) , равномерно непрерывна на I , то ε

существует δ = δ ( ) > 0 (δ < 1) такое, что для любых точек x1 , x 2 ∈ I , для 3

которых | x1 − x 2 |< δ , справедливо неравенство

6

| f ( x1 ) − f ( x 2 ) |<

ε 3

.

(2)

Пусть теперь x и y - произвольная пара точек из (−∞, ∞) , удовлетворяющая условию | x − y |< δ . Для точки x найдется ε 3

ε

3

-конгруэнтная точка x' = x + τ ∈ [0, l ] . Тогда, так как δ < 1 , то для y имеется -конгруэнтная точка y ' = y + τ ∈ I . Учитывая неравенство (2), имеем | f ( x) − f ( y ) |≤| f ( x) − f ( x ′) | + | f ( x ′) − f ( y ′) | + | f ( y ′) − f ( y ) |<

ε

ε

ε

=ε. 3 3 3 Следовательно, f (x) равномерно непрерывна на (−∞, ∞) . С л е д с т в и е 1 . Для каждого ε > 0 множество ε -почти периодов п.п. функции f (x) содержит относительно плотное множество отрезков фиксированной длины η = η (ε ) , т.е. существует число L = L(ε ) такое, что +

+

на любом отрезке [a; a + L] имеется подотрезок [α , α + η ] , все точки которого ξ ∈ [α , α + η ] являются ε -почти периодами функции f (x) . ε

Действительно, пусть η = δ ( ) , где δ определяется из свойства 2

ε

ε

2

2

равномерной непрерывности функции f ( x) . Положим L = l ( ) + η , где l ( ) число из определения п.п. функции. Рассмотрим произвольный отрезок [a; a + L] . Из определения п.п. функции следует, что существует

ε 2

η η -почти период τ ∈ ⎡⎢a + , a + L − ⎤⎥ . 2 2⎦ η η⎤ − ,τ + ⎥ , учитывая 2 2⎦ ⎣

η η Тогда ⎡⎢τ − ,τ + ⎤⎥ ⊂ [a, a + L] . Отсюда при любом ξ ∈ ⎡⎢τ 2 2⎦ ⎣ ⎣ ε

неравенство | τ − ξ |< δ ( ) , получим 2

| f ( x + ξ ) − f ( x) |≤| f ( x + ξ ) − f ( x + τ ) | + | f ( x + τ ) − f ( x) |<

η

ε 2

+

ε 2

=ε .

Таким образом, отрезок [α ; α + η ] , где α = τ − , целиком состоит из 2

ε -почти периодов функции f (x) .

С л е д с т в и е 2 . Для почти периодической функции f (x) для каждого ε > 0 существует относительно плотное множество ε -почти периодов τ , являющихся целыми кратными числа η = η (ε ) . § 3. Арифметические функциями

действия

с почти периодическими

Л е м м а 1 . Для двух почти периодических функций при любом ε > 0 существует относительно плотное множество их общих ε -почти периодов.

7

Доказательство см.[1], стр.371. Заметим, что лемма 1 легко распространяется на конечное число функций. Т е о р е м а 4 . Сумма двух почти периодических функций есть функция также почти периодическая. Доказательство. Пусть f (x ), g (x ) – п.п. функции и, следовательно, f ( x ), g ( x ) ∈ C (− ∞, ∞ ). Отсюда f ( x ) + g ( x ) ∈ C (− ∞, ∞ ) . Согласно лемме 1, для функций f (x ), g (x ) при каждом ε > 0 существует относительно плотное ε ε множество их общих почти периодов τ = τ f ⎛⎜ ⎞⎟ = τ g ( ). Отсюда имеем ⎝2⎠

[ f ( x + τ ) + g ( x + τ )] − [ f ( x) + g ( x)] ≤

2

f ( x + τ ) − f ( x) + g ( x + τ ) − g ( x) <

ε

ε

=ε , 2 2 т.е. τ = τ f + g (ε ) , что и доказывает почти периодичность суммы f ( x) + g ( x) . +

С л е д с т в и е 3 . Сумма конечного числа почти периодических функций (или периодических функций с любыми периодами) есть функция почти периодическая. Следствие

4.

Линейная комбинация

n

f ( x) = ∑ c k f k ( x)

( ck

k =1

-

постоянные) почти периодических функций f k (x) (k = 1,..., n) есть функция почти периодическая. n

В частности, каждый тригонометрический полином P( x) = ∑ c k e iλ x k

k =1

(где λk действительны) является п.п. функцией. Заметим, что существуют п.п. функции, не являющиеся периодическими. Например, f ( x) = sin x + sin( x 2 ) есть п.п. функция, не сводящаяся к периодической. Т е о р е м а 5 . Произведение двух почти периодических функций есть функция почти периодическая. Доказательство. Пусть f (x ), g (x ) - п.п. функции и {τ } - относительно плотное множество их общих ε -почти периодов: τ = τ f ( ε ) = τ g ( ε ). Замечая, что f (x ) ⋅ g (x ) ∈ C (−∞, ∞) } и полагая M = sup | f ( x ) | и N = sup | g ( x ) | , x

x

будем иметь

| f ( x + τ )g ( x + τ ) − f ( x )g ( x ) |≤| g ( x + τ ) | ⋅ | f ( x + τ ) − f ( x ) | + | f ( x ) | ⋅ | g ( x + τ ) − g ( x ) |< < Nε + Mε = ( M + N )ε .

Так как число ( M + N )ε может быть произвольно малым, то отсюда вытекает почти периодичность произведения f (x)g( x). Следствие 5. Произведение конечного числа почти периодических функций есть функция почти периодическая. Следствие 6 . Целая положительная степень почти периодической функции есть функция почти периодическая.

8

Лемма

2.

Если

f (x )

-

почти

периодическая

функция

и

1 - также почти периодическая функция. f (x ) Действительно, если τ = τ f ( ε h 2 ) , то имеем

inf | f ( x ) |= h > 0, то

−∞< x<∞

1 1 | f ( x + τ ) − f ( x) | εh 2 − = < = ε. f ( x + τ ) f ( x ) | f ( x) | ⋅ | f ( x + τ ) | h 2 f ( x) двух почти периодических функций, где Т е о р е м а 6 . Частное g (x ) inf | g ( x ) |> 0, есть функция почти периодическая.

−∞< x<∞

Доказательство непосредственно следует из формулы f ( x) 1 = f ( x) ⋅ , g (x ) g ( x)

теоремы 3 и следствия 6. § 4. Равномерно периодических функций

сходящаяся

последовательность

почти

Т е о р е м а 7 . Если последовательность почти периодических функций f1 (x ), f 2 (x ),..., f n (x ),... равномерно сходится на всей числовой оси x ∈ (− ∞, ∞ ) , то предельная функция f ( x ) = lim f n ( x) является почти n →∞

периодической. Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно мало. В силу равномерной сходимости f n ( x)

→ →

f ( x ) ∈ C ( −∞, ∞ )

x

существует число N = N (ε ) такое, что | f ( x) − f N ( x) |<

ε 3

(3)

,

причем f ( x) ∈ C (−∞, ∞) . Пусть τ = τ

fN

ε ⎛ε ⎞ ⎜ ⎟ - почти период функции f N (x) с точностью до . 3 ⎝3⎠

Используя неравенство (3), имеем

| f ( x + τ ) − f ( x) |≤| f ( x + τ ) − f N ( x + τ ) | + | f N ( x + τ ) − f N ( x) | +

+ | f N ( x) − f ( x) |<

ε 3

+

ε 3

+

ε 3

=ε .

Отсюда, учитывая относительную плотность множества {τ } , заключаем, что предельная функция f (x ) почти периодическая. С л е д с т в и е 7 . Каждая функция f (x ) = lim Pn ( x), допускающая n →∞

равномерную полиномами:

аппроксимацию

конечными Nn

Pn ( x) = ∑ c k( n ) e iλk k =1

(n)

x

тригонометрическими

9

( n = 1,2,... ), является почти периодической. Справедлива также обратная теорема, т.е. каждая п.п. функция является равномерным пределом некоторой последовательности тригонометрических полиномов. С л е д с т в и е 8 . Сумма равномерно сходящегося на (− ∞, ∞ ) ряда почти периодических функций есть функция почти периодическая. Т е о р е м а 8 . Если почти периодическая функция f (x ) имеет равномерно непрерывную на действительной оси (− ∞, ∞ ) производную f ' ( x ) , то эта производная также почти периодическая. Доказательство. Пусть f ' (x ) = lim h →0

Полагая h = Функции

f ( x + h) − f ( x ) . h

1 1 ⎡ ⎤ ( n = 1,2,... ), очевидно, имеем f ' (x ) = lim n ⎢ f ( x + ) − f ( x)⎥. h →0 n n ⎣ ⎦ 1 ⎡ ⎤ f n ( x ) = n ⎢ f ( x + ) − f ( x)⎥ ( n = 1,2,... ), представляющие n ⎣ ⎦

линейные комбинации п.п. функций, очевидно, почти периодические. Имеем 1 1 ⎡ 1n ⎤ n n f ' ( x) − f n ( x ) = n ⎢ ∫ f ' ( x)dt − ∫ f ' ( x + t )dt ⎥ = n ∫ [ f ' ( x) − f ' ( x + t )]dt. (4) ⎢0 ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ Так как функция f ' (x ) равномерно непрерывна на (− ∞, ∞ ) , то

существует δ = δ (ε ) > 0 такое, что | f ' (x + h ) − f ' ( x) |< ε при | h |< δ . Поэтому из формулы (4) при n > N = 1

1 имеем δ (ε ) 1

n

n

| f ' ( x) − f n ( x ) |≤ n ∫ | f ' ( x) − f ' ( x + t ) | dt < n ∫ εdt = ε , 0

т.е. f n ( x )

→ →

0

f ' ( x ) ∈ C ( −∞, ∞ ) .

x

Отсюда в силу теоремы 7 функция f ' (x ) почти периодическая. § 5. Интеграл почти периодической функции и теорема о среднем значении почти периодической функции Т е о р е м а 9 . Интеграл x

F ( x) =

∫ f (t )dt

x0

почти периодической функции f (x) является функцией периодической тогда и только тогда, если он ограничен, т.е. если sup | F ( x) |< ∞.

−∞< x<∞

Доказательство см.[1], стр.376. С л е д с т в и е 9 . Если f (x) - почти периодическая функция и

почти

10 x

∫ f (t )dt = ax + ϕ (t ),

x0

где a - постоянная, ϕ (x) - ограниченная функция, то ϕ (x) - почти периодическая функция. Т е о р е м а 1 0 . Для каждой почти периодической функции f (x) существует конечное среднее значение 1 T →∞ T

M { f } = lim

T

∫ f ( x)dx. 0

Доказательство. Выведем сначала оценку для смещенного интеграла a +T

∫ f ( x)dx. a

ε ε Пусть ε > 0 произвольно и l = l f ⎛⎜ ⎞⎟ - длина, соответствующая числу . ⎝4⎠

4

ε Пусть, далее, τ = τ f ⎛⎜ ⎞⎟ ∈ [a, a + L] почти период функции f (x) с точностью

до

ε 4

⎝4⎠

. Имеем a +T

∫ a

τ T T ⎤ a +T ⎡τ +T f ( x)dx − ∫ f ( x)dx = ⎢ ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ⎥ + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 0 0 a ⎣τ ⎦ τ +T T

τ +T

τ

0

a +T

a

= ∫ [ f ( x + τ ) − f ( x)]dx −

Отсюда, учитывая, что | f ( x + τ ) − f ( x) |< a +T

∫ a

T

T

f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ≤ ∫ | f ( x + τ ) − f ( x) | dx + 0

0

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx.

ε 4

и 0 ≤ τ − a ≤ l , получаем

τ +T

τ

∫ | f ( x) | dx + ∫ | f ( x) | dx <

a +T

a

ε 4

T + 2lΓ,

(5)

где Γ = sup | f ( x) | . x

1)

Покажем, что последовательность

n

1 f ( x)dx n ∫0

(n = 1,2,...) имеет

предел при n → ∞. Для этого применим критерий Коши. А именно, для любых натуральных чисел n и m имеем n m nm m ⎧1 n ⎫ ⎧ 1 nm ⎫ 1 1 1 1 f ( x ) dx − f ( x ) dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx + f ( x ) dx − f ( x)dx ⎬ ≤ ⎨ ∫ ⎬ ⎨ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ n0 m0 nm 0 m0 ⎩n 0 ⎭ ⎩ nm 0 ⎭ n

1 ≤ m f ( x)dx − nm ∫0 n

nm

∫ 0

1 f ( x)dx + nm

kn

nm

m

∫ f ( x)dx − n∫ f ( x)dx ≤ 0

0

km

m

1 m 1 n ≤ f ( x ) dx − f ( x ) dx + f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . ∑ ∑ ∫ nm k =1 ∫0 nm k =1 ( k −∫1) m ( k −1) n 0

Отсюда, используя формулу (5) , получим

11

1 1 1 ⎛ε ⎞ ε ⎛1 1 ⎞ ⎛ε ⎞ 1 ⋅ m⎜ n + 2lΓ ⎟ + ⋅ n⎜ m + 2lΓ ⎟ = + 2lΓ⎜ + ⎟. f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ≤ ∫ n0 m0 nm ⎝ 4 ⎠ nm ⎝ 4 ⎠ 2 ⎝n m⎠ 8lΓ Выбирая теперь N столь большим, чтобы N > , при n, m > N будем n

m

ε

иметь n

m

1 1 f ( x)dx − ∫ f ( x)dx < ε . ∫ n0 m0

Следовательно, критерий Коши выполнен и, таким образом, существует n

1 f ( x)dx. n →∞ n ∫ 0

lim

2) Теперь нетрудно доказать, что n

1 f ( x)dx. n→∞ n ∫ 0

(6)

M { f } = lim

Действительно, полагая T = n + q, где n - натуральное число и 0 ≤ q < 1 , и n

1 учитывая ограниченность выражения ∫ f ( x)dx, при T → ∞ будем иметь n0 1 T

T

∫ 0

n

f ( x )dx −

n

1 1 ⎛ 1 1⎞ f ( x )dx = ⎜ − ⎟ ∫ f ( x )dx + ∫ n0 T ⎝ T n ⎠0

T

∫ f ( x )dx = n

n

=−

1 q 1 ⋅ ∫ f ( x)dx + T n0 T

q

⎛1⎞

∫ f (n + x)dx = 0⎜⎝ T ⎟⎠. 0

Отсюда непосредственно вытекает равенство (6). Теорема о среднем доказана. Т е о р е м а 1 1 (усиленная теорема о среднем). Для всякой почти периодической функции f (x ) равномерно по параметру a ∈ ( −∞, ∞) имеет место предельное соотношение 1 lim T →∞ T

a +T

∫ f ( x )dx ≡ M { f ( x + a )} = M { f ( x )}.

(7)

a

Доказательство см.[1], стр.382. С л е д с т в и е 1 0 . При любом a = a (T ) имеем 1 lim T →∞ T

a ( T ) +T

∫ f ( x )dx = M { f ( x )}.

a (T )

Действительно, из формулы (7) находим 1 T

при T >

8lΓ

ε

a ( T ) +T

∫ f ( x )dx − M { f ( x )} < ε ,

a (T )

, а это, очевидно, эквивалентно формуле (8).

С л е д с т в и е 11. Полагая a (T ) = −T в формуле (8), получим 1 T →∞ T

M { f ( x )} = lim

0

∫

−T

1 T →∞ 2T

f ( x )dx = lim

T

∫ f ( x )dx.

−T

(8)

12

Среднее значение п.п. функции f (x) обладает следующими очевидными свойствами: 1) если f ( x) = c = const ,то M {c} = c; 2) 3) 4) числа); 5)

____

_________

M { f ( x)} ≥ 0 при f ( x) ≥ 0 , M { f ( x)} = M { f ( x)} ; M { f ( x + a)} = M { f ( x)} ( a - произвольное действительное число); M { f (ax + b)} = M { f ( x)} ( a ≠ 0 и b - произвольные действительные M {αf ( x) + βg ( x)} = αM { f ( x)} + βM {g ( x)} , в частности, M {αf ( x)} = αM { f ( x)}

( f (x) и g (x) - п.п. функции, α и β -произвольные комплексные числа); | M { f ( x)} |≤ M {| f ( x) |} ≤ sup | f ( x) | ; 6) x

7)

если f n ( x) ( n = 1,2,... ) - п.п. функции и f n ( x )

→ →

f ( x ) на ( − ∞, ∞ ), то

x

lim M { f n ( x)} = M { f ( x)} .

(9)

n→∞

В частности, для равномерно сходящегося на (− ∞, ∞ ) ряда

∑ϕ

n

( x)

n

⎧

⎫

п.п. функций ϕ n ( x) имеем M ⎨∑ ϕ n ( x)⎬ = ∑ M {ϕ n ( x)}. ⎩

⎭

n

n

Если f ( x) - п.п. функция, то f (x) является также п.п. функцией (см. § 1). Следовательно, существует 1 M { f ( x) } = lim T →∞ T

T

∫

f ( x) dx .

0

Очевидно, M { f ( x) } ≥ 0 , причем M {0} = 0 . Докажем, что M { f ( x) } = 0 тогда и только тогда, когда f ( x) ≡ 0 . С этой целью докажем следующее предложение. Т е о р е м а 1 2 . Если почти периодическая функция f ( x) ≡≠ 0 , то M {| f ( x) |} > 0.

Доказательство см.[1], стр.384. С л е д с т в и е 1 2 . Для каждой почти периодической функции 2 f ( x) ≠ 0 выполнено неравенство M f ( x) > 0 . Отметим ещё одно свойство среднего значения, если f n (x) (n = 1,2,...) -

{

п.п. функции и f n ( x )

→ →

}

{

f ( x ) при n → ∞ , то lim M f n ( x) n→∞

2

}= M { f ( x) }. 2

x

Полезно отметить, что если f ( x) и g ( x) - п.п. функции, то среднее значение их произведения удовлетворяет обобщенному неравенству КошиБуняковского: 2 2 2 M { f ( x) g ( x) } ≤ M f ( x) M g ( x) . (10) Действительно, при любом T > 0 имеем

{

} {

}

13 1 T

T

∫ 0

2

1 f ( x) g ( x)dx ≤ T

T

∫ 0

1 f ( x) dx T 2

T

∫ g ( x)

2

dx .

0

Отсюда, переходя к пределу при T → ∞ , получим неравенство (10). § 6. Пространство почти периодических функций О п р е д е л е н и е 5 . Совокупность Π всех п.п. функций f ( x) , где x ∈ (−∞, ∞) , будем называть пространством п.п. функций. Если f ( x), g ( x) ∈ Π и α , β - любые комплексные числа, то αf ( x) + βg ( x) ∈ Π . Поэтому пространство Π линейное. Если f ( x), g ( x) ∈ Π , то сопряженная функция g ( x) ∈ Π и f ( x ) g ( x ) ∈ Π (см. §2). Следовательно, существует среднее значение

{

}

T

M f ( x) g ( x) = lim ∫ f ( x) g ( x)dx.

О п р е д е л е н и е 6 . Под f ( x), g ( x) ∈ Π понимается число

T →∞

0

скалярным

произведением

функции (11)

( f , g ) = M { f ( x), g ( x)}.

Из формулы (11) следует, что для скалярного произведения ( f , g ) выполнены обычные свойства: 2 1) ( f , f ) = M f ( x ) ≥ 0, причем ( f , f ) = 0 тогда и только тогда, когда f ( x) ≡ 0 ; 2) ( g , f ) = ( f , g ) ; 3) (αf , g ) = α ( f , g ), ( f , αg ) = α ( f , g ) ( α - комплексное число); 4) ( f1 + f 2 , g ) = ( f1 , g ) + ( f 2 , g ), ( f , g1 + g 2 ) = ( f , g1 ) + ( f , g 2 ) ( f j , g j ∈ Π, j = 1,2). О п р е д е л е н и е 7 . Под нормой функции f ( x) ∈ Π понимается неотрицательное число

{

}

1 2

|| f ||= ( f , f ) = [ M {| f ( x) | }] . 2

(12)

Введенная норма обладает всеми обычными свойствами нормы: 1) для ∀f (x) ∈ Π имеем || f ( x) ||≥ 0 , причем || f ( x) ||= 0 тогда и только тогда, когда f ( x) ≡ 0 (в силу теоремы 12); || αf ( x) ||=| α | ⋅ || f ( x) || , в частности || − f ( x) ||=|| f ( x) || ; 2) 3) для ∀f ( x), g ( x) ∈ Π справедливо неравенство || f ( x) + g ( x) ||≤|| f ( x) || + || g ( x) || . (13) Действительно, при любом T имеем T

T

1 1 | f ( x) + g ( x) | 2 dx = ∫ [ f ( x) + g ( x)] ⋅ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ T 0 T 0 T

=

T

T

1 1 1 | f ( x) | 2 dx + ∫ | g ( x) | 2 dx + ∫ Re[ f ( x) g ( x)]dx. ∫ T 0 T 0 T 0

Так как | Re[ f ( x) g ( x)] |≤| f ( x) g ( x) |≤| f ( x) | ⋅ | g ( x) |,

14

то в силу неравенства Коши-Буняковского находим 2

T T ⎧T ⎫ 2 2 ⎨∫ Re[ f ( x) g ( x)]dx ⎬ ≤ ∫ | f ( x) | dx ⋅ ∫ | g ( x) | dx. 0 0 ⎩0 ⎭

Следовательно, 2

T T ⎫⎪ ⎧⎪ 1 T 1 1 2 2 2 | f ( x ) g ( x ) | dx | f ( x ) | dx | g ( x ) | dx + = + ⎬ . ⎨ ∫ T ∫0 T ∫0 ⎪⎭ ⎪⎩ T 0 Переходя к пределу при T → ∞ в последнем неравенстве, очевидно,

получим неравенство (13). О п р е д е л е н и е 8 . Пусть f ( x), g ( x) ∈ Π . Введем расстояние ρ ( f , g ) , полагая ρ ( f , g ) =|| f ( x) − g ( x) ||≡ M {| f ( x) − g ( x) | 2 }.

Из свойств нормы следует, что если f ( x), g ( x), h( x) ∈ Π , то 1) ρ ( f , g ) ≥ 0 , причем ρ ( f , g ) = 0 тогда и только тогда, когда f ( x) ≡ g ( x) ; 2) ρ ( f , g ) = ρ ( g , f ) (симметрия); 3) ρ ( f , g ) ≤ ρ ( f , h) + ρ (h, g ) (неравенство треугольника). Следовательно, пространство Π п.п. функций представляет собой линейное метрическое пространство. § 7. Теорема компактности Бохнера О п р е д е л е н и е 9 . Функция f ( x) ∈ C (−∞, ∞) называется нормальной, если из каждой бесконечной последовательности ее сдвигов { f ( x + hn )}(hn ∈ (−∞, ∞)) можно выделить равномерно сходящуюся на всей действительной оси подпоследовательность. Иными словами, функция f (x) нормальная, если семейство функции { f ( x + h)}(−∞ < h < ∞) компактно в смысле равномерной сходимости. Всякая нормальная функция f (x) , очевидно, ограничена. Действительно, если существует последовательность {x n } такая, что f {x n } → ∞ , то из последовательности { f ( x + x n )} нельзя выбрать сходящуюся при x = 0 , а следовательно и на (−∞, ∞) , подпоследовательность. Пользуясь понятием нормальности, Бохнер (см. [1, 2]) дал другое определение п.п. функции, полезное для приложений. Теорема Бохнера. Непрерывная функция является почти периодической тогда и только тогда, когда она нормальная. Доказательство см.[1], стр.415. Так как нормальность функции является необходимым и достаточным условием почти периодичности ее, то это свойство можно принять за определение п.п. функции. Пользуясь свойством нормальности, получаем простое доказательство почти периодичности суммы или произведения конечного числа п.п. функций.

15

Литература 1. 2. 3. 4.

Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости/ Б.П. Демидович.— М.: Наука, 1967 .— 472с. Жиков, В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения/ В.В. Жиков, Б.М Левитан .- Издательство МГУ, 1978. 204с Левитан, Б.М. Почти- периодические функции / Б.М. Левитан .- М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1953 .- 396 с. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа: учеб. пособие для студ. мат. специальностей ун-тов / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин .- 2-е изд., перераб. и доп. - М.:Наука, 1968 .496с.

Учебное издание

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Учебно-методическое пособие для вузов

Составитель Писарева Светлана Вячеславовна Редактор Бунина Т.Д.