Геометрия и векторная алгебра: Методические указания для студентов экономического факультета

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ôåäåðàöèè Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî è ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿

Ãàâðèëÿ÷åíêî Ò. Â.

Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ¾ÃÅÎÌÅÒÐÈß È ÂÅÊÒÎÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ¿ äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2006. 1

Ãàâðèëÿ÷åíêî Ò. Â.

Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ¾Ãåîìåòðèÿ è âåêòîð-

íàÿ àëãåáðà¿ äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà.

ÓÏË ÐÃÓ.

2006ã. 30ñ.

Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ñîäåðæàò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë è ïðèìåðû ðåøåíèÿ îñíîâíûõ òèïîâ çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âåêòîðíîé àëãåáðå, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ êóðñà ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà¿ äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè ¾ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ¿. Ïðèâåäåíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Ïå÷àòàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû àëãåáðû è äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ îò 19 èþíÿ 2006ã., ïðîòîêîë 10.

2

1

Êîîðäèíàòû íà ïðÿìîé è íà ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Ÿ1. Êîîðäèíàòû íà ïðÿìîé è íà ïëîñêîñòè.

Ïðÿìàÿ, äëÿ êîòîðîé âûáðàíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå, íàçûâàåòñÿ îñüþ. Îòðåçîê îñè, îãðàíè÷åííûé òî÷êàìè A è B , íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííûì, åñëè óêàçàíî, êàêàÿ èç ýòèõ òî÷åê ñ÷èòàåòñÿ íà÷àëîì îòðåçêà, à êàêàÿ  êîíöîì. Íàïðàâëåííûé îòðåçîê ñ íà÷àëîì â òî÷êå À è êîíöîì â òî÷êå B áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì AB . Åñëè íà îñè óêàçàí ìàñøòàáíûé îòðåçîê, òî ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî èçìåðèòü äëèíó ëþáîãî îòðåçêà ýòîé îñè. Âåëè÷èíîé îòðåçêà AB ìû áóäåì íàçûâàòü åãî äëèíó, âçÿòóþ ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè íàïðàâëåíèå AB ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè, è ñî çíàêîì ìèíóñ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Âåëè÷èíà îòðåçêà AB îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì AB , à åãî äëèíà  |AB|. Åñëè íà ïðÿìîé âûáðàíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå, ìàñøòàáíûé îòðåçîê è íåêîòîðàÿ òî÷êà O, òî ãîâîðÿò, ÷òî íà ïðÿìîé çàäàíà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòà ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ïðè ýòîì îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåëè÷èíà îòðåçêà OM :

x = OM. Åñëè M1 (x1 ) è M2 (x2 )  äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ïðÿìîé, òî âåëè÷èíà îòðåçêà M1 M2 äàåòñÿ ôîðìóëîé

M1 M2 = x 2 − x 1 , à åãî äëèíà 

|M1 M2 | = |x2 − x1 |. íà ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé è ëèíåéíîé åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí îòðåçêîâ. Îáû÷íî ãîðèçîíòàëüíóþ îñü (îñü àáñöèññ) îáîçíà÷àþò áóêâîé X èëè ñèìâîëîì OX , à âåðòèêàëüíóþ (îñü îðäèíàò)  áóêâîé Y èëè ñèìâîëîì OY . Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îñåé íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé O. Ïðîåêöèåé îòðåçêà AB íà ïðîèçâîëüíóþ îñü íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà îòðåçêà A1 B1 , ãäå òî÷êà A1 ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé òî÷êè A, à òî÷êà B1  ïðîåêöèåé òî÷êè B íà ýòó îñü. Êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M íàçûâàþò ÷èñëà Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò

x = OMx ,

y = OMy ,

ãäå Mx è My  ïðîåêöèè òî÷êè M íà îñè êîîðäèíàò OX è OY (ò. å. åå àáñöèññà è îðäèíàòà) ñîîòâåòñòâåííî. 3

Åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû òî÷åê M1 (x1 ; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ), òî ïðîåêöèè îòðåçêà M1 M2 íà îñè êîîðäèíàò âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:

X = x2 − x1 ,

Y = y2 − y1 .

Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ïëîñêîñòè M1 (x1 ; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ) äàåòñÿ ôîðìóëîé: p

d=

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

Ÿ2. Óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì.

M2



6 Y

s

 

M1α s 

      

α

b

y2 − y1

x2 − x1 -

O

X Ðèñ. 1.

Ïóñòü çàäàíà äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò è íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ (ðèñ. 1). Îáîçíà÷èì ÷åðåç α óãîë ìåæäó ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè OX è ýòîé ïðÿìîé. Óãîë α íàçîâåì óãëîì íàêëîíà äàííîé ïðÿìîé ê îñè OX. Áóäåì ñ÷èòàòü óãîë α ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îí îòëîæåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì

ñëó÷àå. Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà ïðÿìîé ê îñè OX (ïðè óñëîâèè, ÷òî îíà íå ïåðïåíäèêóëÿðíà ê OX) íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ýòîé ïðÿìîé:

k = tg α. Åñëè α = 0, òî è k = 0, ò. å. ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè OX èìååò óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé íóëþ. Åñëè α = π/2, òî k íå îïðåäåëåí. Èç øêîëüíîãî êóðñà ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k èìååò âèä

y = kx + b, ãäå b  âåëè÷èíà îòðåçêà, îòñåêàåìîãî ýòîé ïðÿìîé íà îñè

OY

.

Ÿ3. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííûå òî÷êè.

Ïóñòü M1  ôèêñèðîâàííàÿ, à M (x; y)  ïåðåìåííàÿ òî÷êà ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k . Òîãäà

èëè

y − y1 =k x − x1 y − y1 = k(x − x1 ).

(1)

Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M1 . Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè M1 (x1 ; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ), ïðèíàäëåæàùèå ïðÿìîé, íå ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îñè OX (ðèñ. 1). Äëÿ òîãî ÷òîáû 4

ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 è M2 , âûðàçèì óãëîâîé êîýôôèöèåíò ÷åðåç èõ êîîðäèíàòû

k=

y2 − y1 x2 − x1

è ïîäñòàâèì â ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó:

y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ), x2 − x1

îòêóäà

y − y1 x − x1 = . (2) y2 − y1 x2 − x1 Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (2) ñïðàâåäëèâà è äëÿ ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ îñè OY (â ýòîì ñëó÷àå x1 = x2 ), åñëè ðàçðåøèòü çàïèñü âèäà x − x1 . 0 Àíàëîãè÷íî, åñëè y1 = y2 , òî ïèøóò y − y1 . 0 Ïðèìåð.

Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 (5; 6)

è M2 (8; 8). Ðåøåíèå.

Ïîäñòàâëÿÿ äàííûå êîîðäèíàòû â óðàâíåíèå (2), ïîëó÷èì

y−6 x−5 = 2 3 èëè

8 2 y = x+ . 3 3 Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè a) M1 (2; 6) è M2 (3; 6); b) M1 (3; 4) è M2 (3; 8). Ðåøåíèå. Ïî ôîðìóëå (2) èìååì: a) y−6 x−5 = 0 1 èëè, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì ïðîïîðöèè, y − 6 = 0, îòêóäà

y = 6. 5

b)

y−4 x−3 = 4 0

èëè

x − 3 = 0, îòêóäà

x = 3. Ÿ4. Âû÷èñëåíèå óãëà ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïðÿìûõ.

6 Y

O

  l1


ϕ  l2

 α1 α2
  


  α1
α2 

 X Ðèñ. 2.

Ðàññìîòðèì äâå íå ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå l1 è l2 (ðèñ. 2), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íè îäíà èç íèõ íå ïåðïåíäèêóëÿðíà ê îñè OX. Îáîçíà÷èì óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ýòèõ ïðÿìûõ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç k1 è k2 , à óãîë ìåæäó íèìè  ÷åðåç ϕ. Óãîë ϕ áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîâîðîò îò l1 ê l2 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â

ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Óãîë íàêëîíà ïåðâîé ïðÿìîé ê îñè ñòâåííî α2 . Òîãäà ϕ = α2 − α1 , îòêóäà

OX

tg ϕ = tg(α2 − α1 ) =

íàçîâåì α1 , à âòîðîé  ñîîòâåò-

tg α2 − tg α1 . 1 + tg α1 tg α2

Íî ò.ê. tg α1 = k1 , à tg α2 = k2

tg ϕ =

k2 − k1 . 1 + k1 k2

(3)

Ýòî è åñòü ôîðìóëà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî âû÷èñëèòü óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè.  ñëó÷àå ϕ = π/2 òàíãåíñ óãëà ϕ ñòðåìèòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ïðàâàÿ ÷àñòü â ôîðìóëå (3) ñòðåìèòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, êîãäà 1+k1 k2 = 0. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî è åñòü ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïðÿìûõ, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå k1 k2 = −1 (4) èëè

k2 = −

6

1 . k1

(5)

Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé, åñëè îíè îäèíàêîâî íàêëîíåíû ê îñè OX. Åñëè ýòè ïðÿìûå íå ïåðïåíäèêóëÿðíû ê îñè OX, òî ñóùåñòâóþò tg α1 è tg α2 , òàêèå, ÷òî tg α1 = tg α2 . Ïîñêîëüêó tg α1 = k1 , tg α2 = k2 , ïðèçíàêîì ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî (6)

k1 = k 2 . Ïðèìåð.

Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A(1;3) a) ïàðàëëåëüíî ê ïðÿìîé y = 2x + 1; b) ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïðÿìîé y = 3x − 2. Íàéòè óãîë ìåæäó ïîëó÷åííûìè ïðÿìûìè. Ðåøåíèå. a) Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k èñêîìîé ïðÿìîé äîëæåí ðàâíÿòüñÿ óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó çàäàííîé ïðÿìîé: k = 2. Ò. ê. èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A, ïî ôîðìóëå (1) èìååì:

y − 3 = 2(x − 1) èëè

y = 2x + 1. b) Óãëîâîé êîýôôèöèåíò èñêîìîé ïðÿìîé íàõîäèì èç ñîîòíîøåíèÿ (5):

1 k=− . 3 Ò. ê. èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A, òî 1 y − 3 = − (x − 1) 3 èëè 10 1 y =− x+ . 3 3 Óãîë ìåæäó ïîëó÷åííûìè ïðÿìûìè íàéäåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3): 1 3 = 7. tg ϕ = 2 1− 3 Ñëåäîâàòåëüíî, îñòðûé óãîë, ñîñòàâëÿåìûé ðàññìîòðåííûìè ïðÿìûìè, ðàâåí arctg 7. 2+

Ÿ5. Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé.

Óðàâíåíèå âèäà Ax + By + C = 0, ãäå A2 + B 2 6= 0, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé.

Åñëè B 6= 0, òî òàêîìó óðàâíåíèþ ìîæíî ïðèäàòü ôîðìó

A C y =− x− . B B 7

îáùèì

Î÷åâèäíî, óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé, îïðåäåëÿåìîé îáùèì óðàâíåíèåì ðàâåí k = −A/B , à âåëè÷èíà îòðåçêà, îòñåêàåìîãî åþ íà îñè OY, åñòü b = −C/B . Åñëè B = 0, òî A 6= 0 è îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

C x=− . A ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ê îñè OX. Ðàññìîòðèì òåïåðü óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìûõ, ÷üè óðàâíåíèÿ çàäàíû â îáùåì âèäå. Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ äâóõ ïðÿìûõ åñòü ñîîòâåòñòâåííî A1 x + B1 y + C1 = 0 è A2 x + B2 y + C2 = 0. Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè (6) ïåðåïèøåì â âèäå: −

A1 A2 =− . B1 B2

îòêóäà

A1 B2 − A2 B1 = 0.

(7)

Åñëè A2 6= 0, òî óñëîâèþ (7) ìîæíî ïðèäàòü âèä

B1 A1 = . A2 B2

(8)

Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè (4) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(−

A1 A2 )(− ) = −1 B1 B2

èëè

A1 A2 + B1 B2 = 0. Ïðèìåð.

(9)

Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A(2;1) a) ïàðàëëåëüíî ê ïðÿìîé 2x + 3y + 5 = 0; b) ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïðÿìîé 3x + y + 4 = 0. Ðåøåíèå. a) Áóäåì èñêàòü óðàâíåíèå ïðÿìîé â âèäå Ax + By + C = 0. Ïîëîæèì A = 2 è B = 3. Î÷åâèäíî, ýòè çíà÷åíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (8). Äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿ C ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå 2x + 3y + C = 0 êîîðäèíàòû òî÷êè A:

2 · 2 + 3 · 1 + C = 0 ⇒ C = −7. Îêîí÷àòåëüíî,

2x + 3y − 7 = 0.

8

b) Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, îòûùåì óðàâíåíèå âèäà Ax + By + C = 0. Óñëîâèþ (9) óäîâëåòâîðÿþò A = 1 è B = −3 (ìû ïîìåíÿëè êîýôôèöèåíòû ìåñòàìè è èçìåíèëè çíàê îäíîãî èç íèõ). Îñòàëîñü íàéòè Ñ:

1 · 2 − 3 · 1 + C = 0 ⇒ C = 1. Îêîí÷àòåëüíî èìååì

x − 3y + 1 = 0. Ÿ6. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé. Âû÷èñëåíèå ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé.

Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ. Ïðî
âåäåì ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïðÿìóþ H HsH
HH
s P A n, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé, è îáîçíàH p

HHH ÷èì áóêâîé P òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ HH
H (ðèñ. 3). Ïðÿìóþ n áóäåì íàçûâàòü íîð
ϕ HH α H
O ìàëüþ. Íà íîðìàëè ââåäåì ïîëîæèòåëüHH s
H
B H X íîå íàïðàâëåíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò ê òî÷êå P . Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ óãîë ìåæäó Ðèñ. 3. îñüþ OX è íîðìàëüþ, îòëîæåííûé îò OX ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à ÷åðåç p  äëèíó îòðåçêà OP . Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë ϕ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ 0 ≤ ϕ < 2π . ßñíî, ÷òî p ≥ 0. Âûâåäåì óðàâíåíèå çàäàííîé ïðÿìîé, ïîëàãàÿ èçâåñòíûìè ëèøü ÷èñëà ϕ è p. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà ïðÿìàÿ íå ïàðàëëåëüíà íè ê îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A è B ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïðÿìîé ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Íàéäåì êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê: Y

6

n


A(

p ; 0), cos ϕ

B(0;

p ). sin ϕ

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A è B èìååò âèä:

p y−0 cos ϕ . p = p 0− −0 cos ϕ sin ϕ

x−

Ïðåîáðàçóåì åãî:

p p2 p x· − = y · (− ), sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ îòêóäà

x · cos ϕ + y · sin ϕ − p = 0. 9

(10)

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íîñèò íàçâàíèå íîðìàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé. Åñëè çàäàííàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî p = 0 è åå óðàâíåíèå y = kx, ãäå k = tg α, òàêæå ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê íîðìàëüíîìó âèäó:

y − kx = 0, y · cos α − x · sin α = 0, íî

α = ϕ + 90◦ , ïîýòîìó sin α = cos ϕ, cos α = − sin ϕ, îòêóäà x · cos ϕ + y · sin ϕ = 0.

Ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò, òîæå ìîãóò áûòü çàäàíû ñâîèìè íîðìàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðÿìóþ y = a èëè y − a = 0, ãäå a ≥ 0. Äëÿ íåå ϕ = π/2, p = a è óðàâíåíèå y − a = 0 ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ýòîé ïðÿìîé (ñì. ôîðìóëó (10)).  òðåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê çàäà÷å î íàõîæäåíèè ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ïóñòü M (xM ; yM )  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè, d  åå ðàññòîÿíèå äî íåêîòîðîé ïðÿìîé. Áóäåì íàçûâàòü îòêëîíåíèåì òî÷êè M îò äàííîé ïðÿìîé ÷èñëî +d, åñëè â òî÷êó M ìîæíî ïîïàñòü, äâèãàÿñü îò ïðÿìîé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè íîðìàëè, è ÷èñëî −d, åñëè äâèæåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Îòêëîíåíèå îáîçíà÷èì áóêâîé δ . ßñíî, ÷òî d = |δ|. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó M ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä

x · cos ϕ + y · sin ϕ − (p + δ) = 0, åñëè èñõîäíàÿ ïðÿìàÿ çàäàíà íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì x·cos ϕ+y·sin ϕ−p = 0. Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû òî÷êè M óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óðàâíåíèþ, òî

δ = xM · cos ϕ + yM · sin ϕ − p. Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó äëÿ ïîäñ÷åòà îòêëîíåíèÿ òî÷êè îò ïðÿìîé. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå îòêëîíåíèÿ òî÷êè îò ïðÿìîé, ìîæíî îïðåäåëèòü, ïî îäíó èëè ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåêîòîðîé ïðÿìîé ëåæàò çàäàííûå òî÷êè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü çíàêè îòêëîíåíèé óêàçàííûõ òî÷åê. Åñëè çíàêè îäèíàêîâû, òî÷êè ðàñïîëàãàþòñÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé, åñëè íåò  ïî ðàçíûå. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî çàäàííîé ïðÿìîé ðàâíî ìîäóëþ îòêëîíåíèÿ: d = |δ| èëè

d = |xM · cos ϕ + yM · sin ϕ − p|.

10

Ïîêàæåì òåïåðü, êàê îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèâåñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó. Ïóñòü Ax + By + C = 0 (11)  îáùåå óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîé, à

x · cos ϕ + y · sin ϕ − p = 0

(12)

 åå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå. Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ îäíó è òó æå ïðÿìóþ, ïðîïîðöèîíàëüíû. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå âèäà

µAx + µBy + µC = 0,

(13)

ãäå µ 6= 0, ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (12). Îòñþäà

µA = cos ϕ,

µB = sin ϕ,

µC = −p

Âîçâåäåì ïåðâûå äâà ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñëîæèì èõ:

µ2 (A2 + B 2 ) = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1. Îòñþäà

±1 A2 + B 2 Ìû íàøëè ò. í. íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü, ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðûé îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèîáðåòàåò íîðìàëüíûé âèä. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíàêà íîðìèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ñîîáðàæåíèåì. Ñîãëàñíî (13) çíàê µC ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó p. Ñëåäîâàòåëüíî, çíàê íîðìèðóþùåãî µ=√

ìíîæèòåëÿ ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà íîðìèðóåìîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè

C = 0,òî

çíàê íîðìèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ âûáèðàþò ïðîèçâîëü-

. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, çàïèøåì ôîðìóëó ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè M (xM ; yM ) äî ïðÿìîé Ax + By + C = 0, âûðàæåííîãî ÷åðåç êîýôôèöèåíòû îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé:

íî

AxM + ByM + C . √ d = (14) 2 2 A +B Ïðèìåð. Ïðèâåñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé 6x−8y +5 = 0 ê íîðìàëüíîìó âèäó. Ðåøåíèå. Ïîäñ÷èòàåì íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü: µ = −√

1 1 =− 10 62 + 82 11

òîãäà èñêîìîå óðàâíåíèå

3 4 1 − x + y − = 0, 5 5 2 ïðè ýòîì cos ϕ = −3/5, sin ϕ = 4/5, p = 1/2. Ïðèìåð. Äàíû ïðÿìàÿ 4x − 3y + 2 = 0 è òî÷êà M (3; 2). Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî äàííîé ïðÿìîé. Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (14)

4 · 3 − 3 · 2 + 2 8 = . d = √ 5 2 2 4 +3 2

Êîîðäèíàòû â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå è âåêòîðíàÿ àëãåáðà. Ÿ7. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû â òðåõìåðíîì ïðî-

ñòðàíñòâå.

Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ëèíåéíîé åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí è òðåõ ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîé òî÷êå O âçàèìíî-ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé: àáñöèññ (OX ), îðäèíàò (OY ) è àïïëèêàò (OZ ). Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îñåé íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòàìè íåêîòîðîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà M íàçûâàþò ÷èñëà,

x = OMx ,

y = OMy ,

z = OMz

ãäå Mx , My è Mz  ïðîåêöèè òî÷êè M íà îñè êîîðäèíàò OX , OY è OZ ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññòîÿíèå d ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà M1 (x1 ; y1 ; z1 ) è M2 (x2 ; y2 ; z2 ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

d=

p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

Ÿ8. Îñíîâíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè.

 îòëè÷èå îò ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðûõ äîñòàòî÷íî ëèøü îäíîãî ÷èñëà, âåêòîðíûå âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóþòñÿ ÷èñëîì è íàïðàâëåíèåì. Íàïðàâëåííûé îòðåçîê AB ñ íà÷àëîì â òî÷êå À è êîíöîì â òî÷êå B ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåêòîð. Âåêòîð, íà÷àëî è êîíåö êîòîðîãî ñîâïàäàþò, íàçûâàåòñÿ íóëåâûì. Âåêòîðû, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé èëè íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè. Âåêòîðû, ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè èëè â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè. Î÷åâèäíî, ëþáûå äâà âåêòîðà âñåãäà êîìïëàíàðíû. 12

Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè êîëëèíåàðíû, èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû è îäèíàêîâûå íàïðàâëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû ðàññìàòðèâàþò ñ òî÷íîñòüþ äî èõ ïîëîæåíèÿ, íå ðàçëè÷àÿ âåêòîðîâ, ïîëó÷àåìûõ äðóã èç äðóãà ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.  ýòîì ñìûñëå âåêòîðû íàçûâàþò ñâîáîäíûìè, ò. ê. íå èìåþùèìè êîíêðåòíîé òî÷êè ïðèëîæåíèÿ, â îòëè÷èå îò íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Äëèíà âåêòîðà íàçûâàåòñÿ åãî ìîäóëåì. Ìîäóëü íóëåâîãî âåêòîðà ðàâåí íóëþ. Äëÿ ìîäóëÿ âåêòîðà a èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå |a|. Åñëè |a| = 1, òî âåêòîð |a| íàçûâàþò åäèíè÷íûì. Åäèíè÷íûé âåêòîð, èìåþùèé îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå ñ âåêòîðîì |a|, íàçûâàåòñÿ îðòîì âåêòîðà |a|. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà ÷èñëî α íàçûâàåòñÿ âåêòîð, êîòîðûé êîëëèíåàðåí âåêòîðó a, èìååò äëèíó, ðàâíóþ |α||a|, è íàïðàâëåíèå òàêîå, êàê ó âåêòîðà a, åñëè α > 0 è ïðîòèâîïîëîæíîå, åñëè α < 0. Ñóììîé äâóõ âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ âåêòîð, èäóùèé èç íà÷àëà âåêòîðà a â êîíåö âåêòîðà b, ïðè óñëîâèè, ÷òî âåêòîð b ïðèëîæåí ê êîíöó âåêòîðà a (ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà, ðèñ. 4, a). Ñóììó âåêòîðîâ a è b ìîæíî îïðåäåëèòü è êàê âåêòîð, ñîâïàäàþùèé ñ äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b, èäóùåé èç èõ îáùåãî íà÷àëà (ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà, ðèñ. 4, b).

a

 3
 

a
a +


-


@

@b @ @ R @ -

a+b

b b

b

Ðèñ. 4, a.

Ðèñ. 4, b.


a




A

Ac A AU -

a+b+c Ðèñ. 4, c.

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñóììà ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà âåêòîðîâ: äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü êàæäûé ïîñëåäóþùèé âåêòîð ê êîíöó ïðåäûäóùåãî, à çàòåì ïðîâåñòè ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð èç íà÷àëà ïåðâîãî â êîíåö ïîñëåäíåãî (ðèñ. 4, ñ ). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ îñü u è íåêîòîðûé âåêòîð AB . *B   Îïóñòèì èç òî÷åê A è B ïåðïåíäèêóëÿðû íà îñü u è îáîA çíà÷èì èõ îñíîâàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç A0 è B0 (ðèñ. 5). A0 B 0 u Âåëè÷èíà íàïðàâëåííîãî îòðåçêà A0 B 0 îñè u åñòü ïðîåêöèÿ Ðèñ. 5. âåêòîðà AB íà îñü u, îáîçíà÷àåìàÿ AB u . Î÷åâèäíî,

AB u = |AB| cos ϕ, ãäå ϕ ∈ [0, π]  óãîë ìåæäó îñüþ

u

è âåêòîðîì AB . 13

Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå çàäàíà ñèñòåìà äåêàðòîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò è ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a. Îáîçíà÷èì åãî ïðîåêöèè íà îñè êîîðäèíàò OX, OY, è OZ ÷åðåç ax , ay è az ñîîòâåòñòâåííî. Ýòè ïðîåêöèè íàçûâàþò òàêæå äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè âåêòîðà a. Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå ìîäóëÿ âåêòîðà a ÷åðåç åãî êîîðäèíàòû èìååò âèä

|a| =

q

a2 x

+ a2y + a2z .

Ðàññìîòðèì òðîéêó âåêòîðîâ i, j , k, îïðåäåëÿåìóþ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè (ðèñ. 6): 1) âåêòîðû i, j è k ëåæàò íà îñÿõ OX, OY, è OZ ñîîòâåòñòâåííî, è êàæäûé èç íèõ îòëîæåí íà ñâîåé îñè â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. 2) âåêòîðû i, j è k  åäèíè÷íûå, ò. å. ìîäóëü êàæäîãî èç íèõ ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå. Ýòó òðîéêó ìû áóäåì íàçûâàòü êîîðäèíàòíûì áàaz 6 Z @ çèñîì. Èç øêîëüíîãî êóðñà àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ëþ@ @ áîé âåêòîð a â ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí a k 6 â âèäå (ðèñ. 6) O



X

ax

@ j i @@

-

ay Y

a = ax i + ay j + az k.

Ðèñ. 6.

Ÿ9. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.

äâóõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. Åñëè õîòÿ áû îäèí èç ñîìíîæèòåëåé ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì âåêòîðîì, òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîëàãàþò ðàâíûì íóëþ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì (a, b): Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì

(a, b) = |a||b| cos ϕ,

(15)

ãäå ϕ ∈ [0, π]  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b. Ïðèâåäåì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) îñíîâíûå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 1) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êîììóòàòèâíî, ò. å. äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a è b

(a, b) = (b, a). 2) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îäíîðîäíî îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ, ò. å.

(αa, b) = α(a, b). 14

Èç êîììóòàòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò åãî îäíîðîäíîñòü è îòíîñèòåëüíî âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ: 2)0

(a, αb) = α(a, b). 3) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå àääèòèâíî îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ, ò. å.

(a + c, b) = (a, b) + (c, b). Èç êîììóòàòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò åãî àääèòèâíîñòü è îòíîñèòåëüíî âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ: 3)0

(a, b + c) = (a, b) + (a, c). 4) Ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà ðàâåí êâàäðàòó åãî ìîäóëÿ:

(a, a) = |a|2 . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîðû a è b ïåðïåíäèêóëÿðíû (è çàïèñûâàòü ýòî ñèìâîëîì a ⊥ b), åñëè óãîë ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿåò π/2, ëèáî õîòÿ áû îäèí èç ýòèõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì. 5)Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû a è b ïåðïåíäèêóëÿðíû. (a, b) = 0 ⇐⇒ a ⊥ b. Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê âû÷èñëÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ, åñëè äàíû èõ êîîðäèíàòû. Òåîðåìà 1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a = (ax , ay , az ) è b = (bx , by , bz ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

(a, b) = ax bx + ay by + az bz . Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñîñòàâèì ¾òàáëèöó óìíîæåíèÿ¿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ i, j , è k. Ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ðàçëè÷íûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ðàâíû íóëþ, òàê êàê îíè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû; ñêàëÿðíûå æå êâàäðàòû âåêòîðîâ i, j , è k ðàâíû åäèíèöå, ò.ê. ýòè âåêòîðû åäèíè÷íîé äëèíû:

(i, i) = 1, (i, j) = 0, (i, k) = 0, (j, i) = 0, (j, j) = 1, (j, k) = 0, (k, i) = 0, (k, j) = 0, (k, k) = 1. Ðàçëîæèì òåïåðü âåêòîðû a è b ïî áàçèñó i, j , k:

a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k 15

Íà îñíîâàíèè ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìíîæèì ïðàâûå ÷àñòè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïî÷ëåííî:

(a, b) = ax bx (i, i) + ax by (i, j) + ax bk (i, k)+ +ay bx (j, i) + ay by (j, j) + ay bz (j, k)+ +az bx (k, i) + az by (k, j) + az bz (k, k). Ïîëüçóÿñü ¾òàáëèöåé óìíîæåíèÿ¿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ, íàõîäèì:

(a, b) = ax bx + ay by + az bz , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ñëåäñòâèå 1. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ a = (ax , ay , az ) è b = (bx , by , bz ) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî

+ ay by + az bz = 0.

ax bx

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äåéñòâèòåëüíî, ïî ñâîéñòâó 5 ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ, âåêòîðû a è b âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (a, b) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 1, âåêòîðû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà

+ ay by + az bz = 0.

ax bx

. 2. Óãîë ϕ ìåæäó íåíóëåâûìè âåêòîðàìè a = (ax , ay , az ) è b = (bx , by , bz ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Ñëåäñòâèå

+ ay by + az bz q . 2 2 2 2 2 2 ax + ay + az bx + by + bz

cos(ϕ) = q

ax bx

Äîêàçàòåëüñòâî.

Èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (15)

cos ϕ = èëè

(a, b) |a| · |b|

+ ay by + az bz q . 2 2 2 2 2 2 ax + ay + az bx + by + bz

cos ϕ = q

ax bx

Ïðèìåð.

Äîêàçàòü ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü äâóõ âåêòîðîâ: a1 = (1; −2; 3) è a2 = (1; 2; 1). 16

Ðåøåíèå.

Ïðîâåðèì ðàâåíñòâî íóëþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ çàäàííûõ

âåêòîðîâ:

1 · 1 + 2 · (−2) + 3 · 1 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû a1 = (1; −2; 3) è a2 = (1; 2; 1) ïåðïåíäèêóëÿðíû. √ 2) Ïðèìåð. Âû÷èñëèòü îñòðûé óãîë ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè: a1 = (1; −1; √ è a2 = (1; 1; 2). Ðåøåíèå. Èìååì:

√ √ 1 · 1 + (−1) · 1 + 2 · 2 1 √ cos ϕ = √ = . 2 1+1+2· 1+1+2

Îòñþäà

π . 3 Ïðèâåäåì îäèí ïðîñòîé ïðèìåð èç ýêîíîìèêè, êîòîðûé èëëþñòðèðóåò ïðèìåíåíèå ïîíÿòèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü íåêîòîðîå ìàëîå ïðåäïðèÿòèå ïðîèçâîäèò è ðåàëèçóåò òðè âèäà ïðîäóêöèè. Çà îäèí ãîä áûëî ïðîäàíî: èçäåëèé ïåðâîãî âèäà  C1 åäèíèö, èçäåëèé âòîðîãî âèäà  C2 åäèíèö, èçäåëèé òðåòüåãî âèäà  C3 åäèíèö. Êàæäîå èçäåëèå ïåðâîãî âèäà îòïóñêàëîñü ïî öåíå z1 , âòîðîãî âèäà  ïî öåíå z2 , òðåòüåãî âèäà  ïî öåíå z3 . Êàêàÿ ñóììà áûëà ïîëó÷åíà îò ïðîäàæè ïðîäóêöèè çà ýòîò ãîä? Î÷åâèäíî, îíà ðàâíà ϕ=

C1 · z1 + C2 · z2 + C3 · z3 . Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñ êîîðäèíàòàìè (C1 , C2 , C3 ) è (z1 , z2 , z3 ) ñîîòâåòñòâåííî. Ÿ10. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå.

âåêòîðà a íà âåêòîð b íàçûâàåòñÿ âåêòîð, îáîçíà÷àåìûé ñèìâîëîì [a, b] è îïðåäåëÿåìûé òðåìÿ óñëîâèÿìè: 1) ìîäóëü âåêòîðà [a, b] ðàâåí |a||b| sin ϕ, ãäå ϕ  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b; 2) âåêòîð [a, b] ïåðïåíäèêóëÿðåí ê ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé âåêòîðû a è b; 3) åñëè âåêòîðû a è b íå êîëëèíåàðíû, òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà [a, b] òàêîâî, ÷òî èç åãî âåðøèíû êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b âèäåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ò. å. âåêòîðû a, b è [a, b] îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó ). Òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé, åñëè îáõîä îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó, îò âòîðîãî ê òðåòüåìó è, íàêîíåö, îò òðåòüåãî ê ïåðâîìó âèäåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì

17

1) Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå àíòèêîììóòàòèâíî, ò. å. äëÿ ëþáûõ a è b

[a, b] = −[b, a]. 2) Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îäíîðîäíî îòíîñèòåëüíî êàæäîãî ñîìíîæèòåëÿ, ò. å.

[αa, b] = [a, αb] = α[a, b]. 3) Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå àääèòèâíî îòíîñèòåëüíî êàæäîãî ñîìíîæèòåëÿ:

[a, b + c] = [a, b] + [a, c];

[a + c, b] = [a, c] + [b, c]

4) Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå [a,b] ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû.  ÷àñòíîñòè, [a, a] = 0 äëÿ ëþáîãî a. 5) Ìîäóëü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ [a,b] ðàâåí ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðàõ a è b, ïðèâåäåííûõ ê îáùåìó íà÷àëó. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ, çíàÿ èõ êîîðäèíàòû. Òåîðåìà 2. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a = (ax , ay , az ) è b = (bx , by , bz ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 [a, b] =

ay

az

by

bz

,−

ax

az

bx

bz

,

ax

ay

bx

by

 .

(16)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñîñòàâèì ¾òàáëèöó âåêòîðíîãî óìíîæåíèÿ¿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ. Êðàò÷àéøèé ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ïðîèñõîäèò îò âåêòîðà i ê âåêòîðó j , îò âåêòîðà j ê âåêòîðó k è îò âåêòîðà k ê âåêòîðó i (òðîéêà j , j , k  ïðàâàÿ). Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî 4), èìååì:

[i, i] = 0, [i, j] = k, (i, k) = −j, (j, i) = −k, (j, j) = 0, (j, k) = i, (k, i) = j, (k, j) = −i, (k, k) = 0. Ðàçëîæèì âåêòîðû a è b ïî áàçèñó i, j , k:

a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k.

18

Íà îñíîâàíèè ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñâîéñòâ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìíîæèì ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ ïî÷ëåííî:

[a, b] = ax bx [i, i] + ax by [i, j] + ax bk [i, k]+ +ay bx [j, i] + ay by [j, j] + ay bz [j, k]+ +az bx [k, i] + az by [k, j] + az bz [k, k]. Ïîëüçóÿñü ¾òàáëèöåé óìíîæåíèÿ¿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ, ïîëó÷èì:

[a, b] = (ay bz − by az )i − (ax bz − bx az )j + (ax by − bx ay )k èëè

[a, b] =

ay

az

by

bz

i −

ax

az

bx

bz

j +

ax

ay

bx

by

k.

(17)

Ïîñëåäíåå åñòü ðàçëîæåíèå âåêòîðà [a, b] ïî áàçèñó i, j , k; êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîîðäèíàòû âåêòîðà [a, b]. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (16), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëå ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà [a, b] ïî áàçèñíûì âåêòîðàì ìîæíî ïðèäàòü âèä:

i j k [a, b] = ax ay az . bx by bz

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàçâåðíóòü ýòîò îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, òî ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå (17). Âû÷èñëÿÿ êîîðäèíàòû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ [a, b], ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ìíåìîíè÷åñêèì ïðàâèëîì. Çàïèøåì êîîðäèíàòû âåêòîðîâñîìíîæèòåëåé â âèäå òàáëèöû:



ax

ay

az

bx

by

bz

 .

Çàêðûâàÿ ñíà÷àëà ïåðâûé ñòîëáåö, ïîòîì âòîðîé è, íàêîíåö, òðåòèé, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíî òðè îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîñ÷èòàâ èõ è âçÿâ âòîðîé ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, ìû íàéäåì òðè êîîðäèíàòû âåêòîðà [a, b]. Ïðèìåð. Íàéòè ïëîùàäü è âûñîòó òðåóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òî÷êè A(−1, 1, −2), B(−5, 6, −2) è C(−1, −3, 1). Ðåøåíèå. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà S ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ AB = (−4, 5, 0) è AC = (0, −4, 3). Ïî ñâîéñòâó 5) èìååì:

S4ABC

i j k 1 1 = |[AB, AC]| = −4 5 0 = 2 2 0 −4 3 19

1 1√ = |15i + 12j + 16k| = 225 + 144 + 256 = 12, 5 êâ. åä. 2 2 Âûñîòó òðåóãîëüíèêà h âûðàçèì ÷åðåç åãî ïëîùàäü è äëèíó îñíîâàíèÿ |AC|: √ |AC| = 16 + 9 = 5 åä.; 2S 2 · 12, 5 h= = = 5 åä. 5 |AC| Ÿ11. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ.

Ïóñòü äàíû òðè âåêòîðà a, b è c. Ïåðåìíîæèì âåêòîðíî a è b, ïîñëå ÷åãî ðåçóëüòàò ñêàëÿðíî óìíîæèì íà âåêòîð c. Ïîëó÷åííîå ÷èñëî áóäåì íàçûâàòü ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a, b è c è îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì (a, b, c):

(a, b, c) = ([a, b], c). Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ: 1) Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a, b è c ðàâíî îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a, b, c, âçÿòîìó ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè òðîéêà a, b, c ïðàâàÿ, è ñî çíàêîì ìèíóñ, åñëè ýòà òðîéêà ëåâàÿ. 2)([a, b], c) = (a, [b, c]). 3) Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a, b è c ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè âåêòîðû êîìïëàíàðíû. Ïåðåôðàçèðóÿ òðåòüå ñâîéñòâî, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè òðåõ âåêòîðîâ. À èìåííî: âåêòîðû a, b è c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ. Òåîðåìà 3. Åñëè âåêòîðû a, b è c çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè:

a = (ax , ay , az ),

b = (bx , by , bz ),

c = (cx , cy , cz ),

òî èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

(a, b, c) =

ax

ay

az

bx

by

bz

cx

cy

cz

.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ìû èìååì (a, b, c) = ([a, b], c). Ïî òåîðåìå 2

 [a, b] =

ay

az

by

bz

,−

20

ax

az

bx

bz

,

ax

ay

bx

by

 .

Óìíîæèì ýòîò âåêòîð ñêàëÿðíî íà âåêòîð c = (cx , cy , cz ) è ïîëó÷èì

(a, b, c) =

ay

az

by

bz

cx −

ax

az

bx

bz

cy +

ax

ay

bx

by

cz =

ax

ay

az

bx

by

bz

cx

cy

cz

,

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïðèìåð. Äîêàçàòü, ÷òî âåêòîðû a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 4, 5) è a3 = (2, 2, 2) ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Ðåøåíèå. Ïðîâåðèì êîìïëàíàðíîñòü çàäàííûõ âåêòîðîâ:

1 2 3 (a1 , a2 , a3 ) = 3 4 5 2 2 2

C3 − C2 + C1 =

1 2 3 3 4 5 0 0 0

= 0.

Âåêòîðû a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 4, 5) è a3 = (2, 2, 2) êîìïëàíàðíû, ò. å. ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. 3

Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Ÿ12. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.

Ïóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïëîñêîñòü α è êàêóþ-íèáóäü åå òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Âûáåðåì íåíóëåâîé âåêòîð n(A, B, C), ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê ïëîñêîñòè α. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M (x; y; z). Îíà ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè α òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð M0 M ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó n. Èíûìè ñëîâàìè, ëþáàÿ òî÷êà M (x; y; z) ïëîñêîñòè α õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèåì:

M0 M ⊥ n. Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ M0 M è n èìåþò âèä:

M0 M = (x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ),

n = (A; B; C).

Ïðèçíàêîì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, M0 M ⊥ n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. (18) Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè α, ò. ê. êîîðäèíàòû òî÷êè M óäîâëåòâîðÿþò åìó â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòà òî÷êà ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè α. 21

Óðàâíåíèå (18) íàçûâàþò òàêæå óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Ðàñêðûâàÿ â (18) ñêîáêè è îáîçíà÷àÿ ÷èñëî −Ax0 − By0 − Cz0 áóêâîé D, ïðåäñòàâèì åãî â âèäå:

Ax + By + Cz + D = 0,

(19)

ãäå A2 + B 2 + C 2 6= 0. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè. Êàæäûé íåíóëåâîé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ åå âåêòîðîì íîðìàëè èëè íîðìàëüíûì ê íåé âåêòîðîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîñêîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì (18) èëè (19), èìååò íîðìàëüíûé âåêòîð n = (A; B; C). Î÷åâèäíî, ÷òî äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàëëåëüíû èõ íîðìàëüíûå âåêòîðû, è ïåðïåíäèêóëÿðíû â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïåðïåíäèêóëÿðíû èõ âåêòîðû íîðìàëè. Ïóñòü M1 (x1 ; y1 ; z1 ), M2 (x2 ; y2 ; z2 ) è M3 (x3 ; y3 ; z3 )  ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà. Ïîñòðîèì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòè òðè òî÷êè. Âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðóþ òî÷êó M (x; y; z). Îíà ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû M1 M , M1 M2 è M1 M3 ÿâëÿþòñÿ êîìïëàíàðíûìè. Òðè âåêòîðà êîìïëàíàðíû â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ. Âûïèøåì íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè M1 M = (x−x1 ; y−y1 ; z−z1 ), M1 M2 = (x2 −x1 ; y2 −y1 ; z2 −z1 ) è M1 M3 = (x3 − x1 ; y3 − y1 ; z3 − z1 ):

x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

=0

Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè M1 , M2 è M3 . Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè: M1 (3; −1; 2), M2 (4; −1; −1) è M3 (2; 0; 2). Ðåøåíèå. Âûáåðåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè òî÷êó M (x; y; z). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè è ïðåîáðàçóåì åãî ê îáùåìó óðàâíåíèþ âèäà:

x−3 y+1 z−2 1 = 0; 0 −3 −1 1 0 3(x − 3) + 3(y + 1) + (z − 2) = 0; 22

3x + 3y + z − 8 = 0. Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 (1; 2; 3) è M2 (3; 2; 1), ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = (2; −1; 1). Ðåøåíèå. Âûáåðåì â íàøåé ïëîñêîñòè òî÷êó M (x; y; z) è çàïèøåì óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ M1 M , M1 M2 è a: x−1 y−2 z−3 = 0. 2 0 −2 2 −1 1 Î÷åâèäíî, ýòî åñòü èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. Ïðåîáðàçóåì åãî:

−2(x − 1) − 6(y − 2) − 2(z − 3) = 0; x + 3y + z − 10 = 0. Ÿ13. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè. Íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè

â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàþò

óðàâíåíèå âèäà:

x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0, ãäå α, β è γ  óãëû, êîòîðûå îáðàçóåò âåêòîð íîðìàëè ïëîñêîñòè ñ îñÿìè êîîðäèíàò OX , OY è OZ ñîîòâåòñòâåííî, à p  ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè äî íà÷àëà êîîðäèíàò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåéòè îò îáùåãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè ê íîðìàëüíîìó, íåîáõîäèìî óìíîæèòü åãî íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü ±1 µ=√ . A2 + B 2 + C 2 Çíàê íîðìèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ ïðè ýòîì âûáèðàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Ïóñòü d  ðàññòîÿíèå îò íåêîòîðîé òî÷êè M (xm , ym , zm ) äî çàäàííîé ïëîñêîñòè. Îòêëîíåíèåì òî÷êè M îò ýòîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ÷èñëî +d, åñëè òî÷êà M è íà÷àëî êîîðäèíàò ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåå, è ÷èñëî −d, åñëè òî÷êà M è íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäÿòñÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò äàííîé ïëîñêîñòè. Îòêëîíåíèå òî÷êè M (xm , ym , zm ) îò ïëîñêîñòè, çàäàííîé ñâîèì íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì, äàåòñÿ ôîðìóëîé δ = xm · cos α + ym · cos β + zm · cos γ − p. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî ïëîñêîñòè ðàâíî ìîäóëþ åå îòêëîíåíèÿ.  îáùåì âèäå èìååì:

Axm + Bym + Czm + D . √ d = A2 + B 2 + C 2 23

Ïðèìåð.

Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ è ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M1 (−2; −4; 3) äî ïëîñêîñòè 2x − y + 2z + 3 = 0. Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó:

µ = −p

Ïîäñ÷èòàåì îòêëîíåíèå:

1 22 + (−1)2 + 22

= −3;

2 1 2 − x + y − z − 1 = 0. 3 3 3

2 1 2 δ = − (−2) + (−4) − (3) − 1 = −3. 3 3 3 Ðàññòîÿíèå ìîæíî îïðåäåëèòü òàê: d = |δ| = 3. Èëè ïî ôîðìóëå: 2 · (−2) + (−1) · (−4) + 2 · 3 + 3 p d= = 3. 2 2 2 2 + (−1) + 2 Ÿ14. Îáùèå è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå.

 ïðîñòðàíñòâåííîé àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ïðÿìàÿ ëèíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìàÿ a ìîæåò áûòü çàäàíà ñèñòåìîé äâóõ óðàâíåíèé âèäà

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Ðàçóìååòñÿ, íîðìàëüíûå âåêòîðû n1 è n2 ýòèõ ïëîñêîñòåé íå ïðîïîðöèîíàëüíû:

n1 (A1 , B1 , C1 ) 6= αn2 (A2 , B2 , C2 ), ò. ê. â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè. Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ îáùèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ñïîñîá çàäàíèÿ ïðÿìîé. Ïóñòü âûáðàíà êàêàÿ-íèáóäü ïðÿìàÿ. Êàæäûé îòëè÷íûé îò íóëÿ âåêòîð, ëåæàùèé íà äàííîé ïðÿìîé èëè ïàðàëëåëüíûé åé, íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ýòîé ïðÿìîé. Îáîçíà÷èì íàïðàâëÿþùèé âåêòîð çàäàííîé ïðÿìîé a = (l; m; n) è óêàæåì íà ýòîé ïðÿìîé íåêîòîðóþ òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Ïóñòü òåïåðü M (x; y; z)  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé. Âåêòîð

M0 M = (x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) êîëëèíåàðåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó

a = (l; m; n). 24

Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòû âåêòîðà M0 M ïðîïîðöèîíàëüíû êîîðäèíàòàì âåêòîðà a = (l; m; n):

x − x0 y − y0 z − z0 = = . (20) l m n Ýòèì ñîîòíîøåíèÿì óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû êàæäîé òî÷êè M (x; y; z), ëåæàùåé íà ðàññìàòðèâàåìîé ïðÿìîé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñðåäè ÷èñåë l, m è n âñòðå÷àþòñÿ íóëè, òî â ôîðìóëå (20) óìåñòíà çàïèñü âèäà: x − x0 0 èëè y − y0 0 èëè z − z0 . 0 Ðàçóìååòñÿ, ÷èñëà l, m è n íå ìîãóò áûòü ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî, ò. ê. íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé íå ìîæåò áûòü íóëåâûì. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = (l; m; n). Òàêèå óðàâíåíèÿ (çàäàííûå ÷åðåç êîîðäèíàòû òî÷êè M0 è âåêòîðà a) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ ïàðàëëåëüíîñòè (ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè) äâóõ ïðÿìûõ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èõ íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû áûëè ïàðàëëåëüíû (ïåðïåíäèêóëÿðíû) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (−1; 2; 1) ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé x−3 y−1 z−4 = = . 5 2 3 Ðåøåíèå.  êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà èñêîìîé ïðÿìîé ìîæíî âçÿòü íàïðàâëÿþùèé âåêòîð çàäàííîé ïðÿìîé, ò. ê. ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû: a = (5; 2; 3). Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (−1; 2; 1) èìåþò âèä:

x+1 y−2 z−1 = = . 5 2 3 Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé x−1 y−2 z−3 = = . 2 3 4 25

Ðåøåíèå.

Ò. ê. äàííàÿ ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà èñêîìîé ïëîñêîñòè, òî åå íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå âåêòîðà íîðìàëè ýòîé ïëîñêîñòè:

n = (2; 3; 4). Äàëåå, íàì èçâåñòíû êîîðäèíàòû òî÷êè M0 , ëåæàùåé íà çàäàííîé ïðÿìîé:

x0 = 1,

y0 = 2,

z0 = 3.

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì n = (2; 3; 4), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 :

2(x − 1) + 3(y − 2) + 4(z − 3) = 0, èëè

2x + 3y + 4z − 20 = 0. Ÿ15. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè.

Ïóñòü äàíû äâå ïðîèçâîëüíûå (ðàçëè÷íûå) òî÷êè ïðîñòðàíñòâà:

M1 (x1 ; y1 ; z1 ),

M2 (x2 ; y2 ; z2 ).

Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòè òî÷êè.  êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî ìîæíî âçÿòü âåêòîð M1 M2 (ò. ê. M1 6= M2 , M1 M2 6= 0):

l = x2 − x1 ,

m = y2 − y1 ,

n = z2 − z1 .

Çàïèøåì óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M1 (x1 ; y1 ; z1 ) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó M1 M2 :

x − x1 y − y1 z − z1 = = . x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 (x1 ; y1 ; z1 ) è M2 (x2 ; y2 ; z2 ). Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè: M1 (1; 5; −3), è M2 (2; −3; 4). Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ âûâåäåííîé òîëüêî ÷òî ôîðìóëîé:

x−1 y−5 z+3 = = , 2−1 −3 − 5 4 + 3 èëè

x−1 y−5 z+3 = = . 1 −8 7

Ÿ16. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. 26

Ðàññìîòðèì îäèí èç ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ çàäàíà êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè

M1 s 


s


M0



d
-


a

y − y0 z − z0 x − x0 = = l m n è çàäàíà òî÷êà M1 (x1 ; y1 ; z1 ), íå ëåæàùàÿ íà ýòîé ïðÿìîé. Ïðèâåäåì âåêòîðû a = (l; m; n) è M0 M1 ê îáùåìó íà÷àëó, íàïðèìåð, ê òî÷êå M0 (ðèñ. 7). Î÷åâèäíî, äëèíà âûñîòû ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ M0 M è a ðàâíà ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè M1 äî äàííîé ïðÿìîé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ óêàçàííîé âûñîòû íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà (ðàâíóþ, êàê èçâåñòíî, ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ M0 M1 è a), à çàòåì ðàçäåëèòü åå íà äëèíó îñíîâàíèÿ |a|: Ðèñ. 7.

d=

|[M0 M1 , a]| . |a|

Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåð. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå d îò òî÷êè P (−1; 1; 2) äî ïðÿìîé

x−3 y−2 z+8 = = . 3 2 −2 Ðåøåíèå.

Èìååì:

M0 P = (−4; −1; 10),

a = (3; 2; −2).

Âû÷èñëèì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå M0 P è a:

−1 10 −4 10 [M0 P , a] = ( ; − 2 −2 3 −2

−4 −1 ; 3 2 ) = (−18; 22; −5).

Íàéäåì äëèíó ýòîãî âåêòîðà:

|[M0 P , a]| =

p

(−18)2 + 222 + (−5)2 =

Ïîäñ÷èòàåì äëèíó îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëîãðàììà |a|:

|a| = Îñòàëîñü íàéòè d:

p

32 + 22 + (−2)2 =

√

√ √ 833 7 17 = √ = 7. d= √ 17 17

27

17.

√

833.

ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè.

1. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè: (a) A(4; 2) è B(1; 3) (b) A(−3; 1) è B(3; −2) (c) A(−1; 1) è B(−3; 1) 2. Âû÷èñëèòü îñòðûé óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè: (a) x − 3y + 5 = 0 è 2x − y − 3 = 0, (b) 5x − y + 4 = 0 è 2x + y − 1 = 0. 3. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A(−1; 3) ïîä óãëîì 45◦ ê ïðÿìîé x + 7y − 20 = 0. 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó A(4; 8) ïîä óãëîì 45◦ ê ïðÿìîé 3x − y − 4 = 0. 5. Äàíû äâå òî÷êè: A(−1; 2) è B(1; −1). Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó B ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó AB . 6. Íàéòè ïðîåêöèþ òî÷êè P (5; 5) íà ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êè A(3; −1) è B(2; 2). 7. Äàíû óðàâíåíèÿ äâóõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà: 3x + 5y − 2 = 0 è 5x − 3y + 1 = 0. Îäíà èç åãî âåðøèí íàõîäèòñÿ â òî÷êå A(2; 2). Íàéòè óðàâíåíèÿ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí. 8. Äàíû óðàâíåíèÿ äâóõ ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà: 4x + 5y − 1 = 0 è 5x − y + 3 = 0. Îäíà èç åãî âåðøèí íàõîäèòñÿ â òî÷êå A(4; 3). Íàéòè óðàâíåíèÿ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí. 9. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ íîðìàëüíûìè? (a) 53 x + 54 y − 7 = 0 (b) (c)

12 5 13 x − 13 y + 1 = 0 3 5 7x − 8y − 1 = 0

(d) x + 2 = 0 (e) −y − 6 = 0

28

10. Ïîäñ÷èòàòü îòêëîíåíèå è ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A(5; −2) äî ïðÿìîé 5x − 7y − 2 = 0. 11. Òî÷êà A(1; 1) ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé êâàäðàòà, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîãî ëåæèò íà ïðÿìîé x + 7y + 2 = 0. Íàéòè ïëîùàäü ýòîãî êâàäðàòà. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà.

12. Äàíû âåðøèíû òðåóãîëüíèêà A(1; 2; −4), B(4; 2; 0), è C(−3; 2; −1). Îïðåäåëèòü åãî âíóòðåííèé óãîë ïðè âåðøèíå B . 13. Âû÷èñëèâ âíóòðåííèå óãëû òðåóãîëüíèêà A(−1; −2; −1), B(−3; 1; −7) è C(−7; −4; 2), óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé. 14. Äàíû âåðøèíû òðåóãîëüíèêà A(−1; −2; 0), B(−3; 0; 3), è C(−5; −2; −6). Âû÷èñëèòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC 15. Äàíû âåðøèíû òðåóãîëüíèêà A(−1; 1; −2), B(−5; 6; −2), è C(−1; −3; 1). Âû÷èñëèòü äëèíó åãî âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû B íà ñòîðîíó AC . 16. Âû÷èñëèòü îáúåì òåòðàýäðà, âåðøèíû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ A(−2; 1; −1), B(−5; −5; −4), C(−3; −2; 1) è D(−4; −1; −3). (îáúåì òåòðàýäðà ðàâåí 1/6 îáúåìà ïàðàëëåëåïèïåäà). 17. Äàíû âåðøèíû òåòðàýäðà: A(−2; −3; −1), B(−4; −1; 2), C(−6; −3; −7) è D(5; 4; −8). Íàéòè äëèíó åãî âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû D. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè.

18. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M1 (3; 4; −5) ïàðàëëåëüíî äâóì âåêòîðàì a1 = (−3; −1; 1) è a2 = (−1; 2; 1). 19. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 (2; −1; 3) è M2 (3; 1; 2) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = (−3; 1; −4). 20. ßâëÿþòñÿ ëè ïëîñêîñòè 3x − y − 2z − 8 = 0 è x + 9y − 3z + 4 = 0 ïåðïåíäèêóëÿðíûìè? 21. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîñêîñòü 3x − 4y − 2z − 5 = 0 ïåðåñåêàåò îòðåçîê, îãðàíè÷åííûé òî÷êàìè M1 (−3; 2; −1) è M2 (2; −5; −2) 22. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè: x − 2y − 2z + 12 = 0 è x − 2y − 2z + 6 = 0.

29

23. Ñîñòàâèòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M1 (2; 0; −3) ïàðàëëåëüíî (a) âåêòîðó a = (−2; 3; −5) (b) ïðÿìîé (x + 1)/(−5) = (y − 4)/(−2) = (z + 5)/(1) 24. Ïîñòðîèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P (5; 2; −1) ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè 2x − y + 3z + 23 = 0. 25. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè P (−2; −3; 1) äî ïðÿìîé (x+5)/3 = y/2 = (z − 25)/(−2).

ÎÒÂÅÒÛ. 1.

x−4

a) −3

=

y−2 x+3 1 . b) 2

=

y−1 x+1 −1 . c) −2

=

y−1 0 .

2.

a)

45◦ .

b)

arctg 7/9. 3. 3x − 4y + 15 = 0. 4. x − 2y +

2x − y = 0. 5. 2x − 3y − 5 = 0. 6. P (1,4; 3,2). 7. 3x − 5y − 16 = 0, 0

12 = 0,

4x + 5y − 31 = 0,

5x − y − 17 = 0. 9.

a) äà; b) íåò; c) íåò; d) íåò; e) äà.

5x − 3y − 4 = 0. 8. p 10. δ = d = 18,5. 11. 2. 12. 45◦ .

14. 14. 15. 5. 16. 3. 17. 11. 18. x + 4y + 7z + 16 = 0. 19. x − y − z = 0. 20. Äà. 22. 2. 23. a) b)

x−2 5

=

y 2

=

z+3 −1 .

24.

x−5 2

=

y−2 −1

=

z+1 3 .

x−2 2

=

y −3

=

z+3 5 .

25. 21.

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ.

[1]

Åôèìîâ Í. Â.

Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèòåðàòóðû, 1962.

[2]

Âëàäèìèðñêèé Á. Ì., Ãîðñòêî À. Á., Åðóñàëèìñêèé ß. Ì.

Ìàòåìàòèêà.

ÑÏá.: Èçä-âî "Ëàíü", 2002. [3]

Êëåòåíèê Ä. Â.

Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà,

1980.

30