Òàðàí Ò. À.
Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè
Êèåâ «Ïðîñâ³òà» 2003
Ïðåäèñëîâèå
ÁÁÊ ????? ????? Ò ?? Ò ??
Òàðàí Ò. À. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ê.: Ïðîñâ³òà, 2003. 288 ñ. Àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Èë. 103. Òàáë. 25. Ñïèñîê ëèò.: ñ. 287 (48 íàçâ.) Àííîòàö³ÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Àííîòàö³ÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Ðåöåíçåíòû:
?. ?. ????????? ?. ?. ?????????
Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ Òàðàí Òåòÿíà Àðõèï³âíà
Îñíîâè äèñêðåòíî¿ ìàòåìàòèêè (Ðîñ³éñüêîþ ìîâîþ)  àâòîðñüê³é ðåäàêö³¿ Êîìïþòåðíà âåðñòêà Ì. ª. ϳãóðíîâ Äèçàéí îáêëàäèíêè ?. ?. ?????????
ISBN-966-7115-
© Òàðàí Ò. À., 2003 © ÏÒÔ «Ïðîñâ³òà», 2003
ϳäï. äî äðóêó ??.??.2003. Ôîðìàò 84õ108/32. Ïàï³ð îôñ. Ñïîñ³á äðóêó îôñåò. Óì. äðóê. àðê. ??,??. Îáë.-âèä. àðê. ??,??. Çàì. ¹ . Íàêëàä ???? ïð.
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì êóðñîì ïðè ïîäãîòîâêå ñïåöèàëèñòîâ ïî èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì è èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è ïðîãðàììèðîâàíèå ñóùåñòâóþò óæå áîëåå ïÿòèäåñÿòè ëåò, äî ñèõ ïîð íåò òàêîãî ó÷åáíèêà, êîòîðûé ñòàë áû «êëàññè÷åñêèì» äëÿ ýòîé äèñöèïëèíû. Ó÷åáíèêè ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îòðàæàþò îáëàñòü èíòåðåñîâ è ñèìïàòèè èõ àâòîðîâ. Ýòî âî ìíîãîì îáóñëîâëåíî ðàçíîîáðàçèåì ìàòåðèàëà, êîòîðûé îòíîñÿò ê êóðñó «Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà». Ïðåäëàãàåìûé ó÷åáíèê íå ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì â ýòîì îòíîøåíèè. Êíèãà íàïèñàíà ïî ìàòåðèàëàì ëåêöèé, êîòîðûå â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ëåò ÷èòàþòñÿ àâòîðîì â Íàöèîíàëüíîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò». Ýòî âòîðîå èçäàíèå ó÷åáíèêà, ïåðâîå èçäàíèå âûøëî â 1998 ã. â èçäàòåëüñòâå «Ïðîñâ³òà». Öåëüþ ó÷åáíèêà ÿâëÿåòñÿ èçëîæåíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ìåòîäîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ èçó÷åíèÿ ïîñëåäóþùèõ äèñöèïëèí ñïåöèàëüíîñòåé «ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà», «èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè» è ïð., ôîðìèðîâàíèå ìèðîâîççðåíèÿ íà äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó è ëîãèêó êàê íà ôóíäàìåíòàëüíóþ íàóêó, èñïîëüçóåìóþ äëÿ ôîðìàëèçàöèè çíàíèé. Ïîýòîìó â êíèãó âêëþ÷åíû îñíîâíûå ðàçäåëû, èñïîëüçóåìûå â íîâûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèÿõ, òàêèõ êàê ñèñòåìû îáðàáîòêè äàííûõ, ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ ñèñòåì, ñèñòåìû èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Êíèãà ñîñòîèò èç 15 ãëàâ. Óñëîâíî åå ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè. Ïåðâàÿ ÷àñòü ñîäåðæèò òðàäèöèîííûå ðàçäåëû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè: òåîðèþ ìíîæåñòâ, òåîðèþ îòíîøåíèé è îòîáðàæåíèé, îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ.  ïîñëåäíåå âðåìÿ â òåîðèè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà âñå ÷àùå èñïîëüçóþòñÿ òàêèå ñòðóêòóðû, êàê ðåøåòêè, ïîýòîìó â ó÷åáíèê âêëþ÷åíû îñíîâû òåîðèè ðåøåòîê è èõ ïðåäñòàâëåíèé. Âòîðàÿ ÷àñòü ó÷åáíèêà ïîñâÿùåíà ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Ïðè èçëîæåíèè îñíîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïðèìåíåíèþ ëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ôîðìàëèçàöèè çíàíèé è ðàññóæäåíèé. Ïðè èçëîæåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè âåäóùèìè ÿâëÿþòñÿ èäåè, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿòèåì àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà, åãî èñïîëüçîâàíèåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíûõ ñèñòåì, îòîáðàæåíèåì ôîðìàëüíîé ñèñòåìû íà ìîäåëè è ïðèìåíåíèåì ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ ôîðìàëèçàöèè è èññëåäîâàíèÿ ïðîáëåìíûõ îáëàñòåé. Ïîýòîìó ïðè èçëîæåíèè ëîãèêè ïðèâîäèòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñîäåðæàòåëüíûõ ëîãè÷åñêèõ çàäà÷. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ó÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èíæåíåðîâ, â êíèãó âêëþ÷åíû íåêîòîðûå äîâîëüíî àáñòðàêòíûå ðàçäåëû îñíî-
4
Ïðåäèñëîâèå
âàíèé ìàòåìàòèêè: èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ôîðìàëèçàöèÿ àðèôìåòèêè è òåîðåìà øäåëÿ î íåïîëíîòå. Çíà÷åíèå òåîðåìû Ãåäåëÿ âûõîäèò çà ðàìêè ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè è èìååò îáùåìàòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð. Ýòà òåîðåìà ãîâîðèò î íåâîçìîæíîñòè ïîëíîé ôîðìàëèçàöèè ñêîëüêî-íèáóäü ñëîæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îáñóæäåíèè ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì ôîðìàëèçàöèè, ñðàâíèòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé ÷åëîâåêà è êîìïüþòåðà è ò.ä. Ïîýòîìó çíàêîìñòâî ñ òåîðåìîé Ãåäåëÿ ñëåäóåò ñ÷èòàòü ýëåìåíòîì ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû, íåîáõîäèìûì íå òîëüêî äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ-ìàòåìàòèêîâ, ïîäîáíî òîìó, êàê çíàíèå î íåâîçìîæíîñòè âå÷íîãî äâèãàòåëÿ íåîáõîäèìî íå òîëüêî äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ-ôèçèêîâ. Ïîñëåäíÿÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ îñíîâ òåîðèè àëãîðèòìîâ. Îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ èçó÷åíèþ ïðîáëåìû âû÷èñëèìîñòè è ñâÿçè åå ñ ïðîáëåìàìè ëîãè÷åñêîãî âûâîäà. Ìíîãèå ðàçäåëû, òàêèå, êàê «Êîìáèíàòîðèêà», «Àáñòðàêòíûå àëãåáðû», «Òåîðèÿ àâòîìàòîâ», íå âîøëè â äàííîå èçäàíèå.  îñíîâíîì ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíè ÷èòàþòñÿ â äðóãèõ êóðñàõ, à òàêæå îãðàíè÷åííîñòüþ îáúåìà êíèãè. Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Î. Ï. Êóçíåöîâó çà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó íàä ãëàâîé «Òåîðèÿ ãðàôîâ», à òàêæå çà öåííûå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå èì ïðè ÷òåíèè ðóêîïèñè. Àâòîð òàêæå ãëóáîêî áëàãîäàðåí Ñ. Â. Ñèðîòå, ãëàâíîìó ðåäàêòîðó èçäàòåëüñòâà «Ïðîñâ³òà», áåç êîòîðîãî ýòà êíèãà íå áûëà áû èçäàíà, è Ì. Å. Ïèãóðíîâó, âçÿâøåìó íà ñåáÿ òðóä ïî ïîäãîòîâêå ìàêåòà êíèãè, à òàêæå ñâîèì ðåöåíçåíòàì ....
Ãëàâà 1.
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ 1.1. Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà
Ñîçäàòåëåì òåîðèè ìíîæåñòâ áûë Ãåîðã Êàíòîð1 . Îñíîâîé ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 1.1. (ïî Êàíòîðó) Ìíîæåñòâî S åñòü ëþáîå ñîáðàíèå îïðåäåëåííûõ è ðàçëè÷èìûõ ìåæäó ñîáîé îáúåêòîâ íàøåé èíòóèöèè èëè èíòåëëåêòà, ìûñëèìîå êàê åäèíîå öåëîå. Ýòè îáúåêòû íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå Êàíòîðà íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì, ýòî èíòóèòèâíîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà.  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âûçûâàåò ñåðüåçíûå çàòðóäíåíèÿ. Ñóùåñòâåííûì ïóíêòîì êàíòîðîâñêîãî ïîíèìàíèÿ ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñîáðàíèå îáúåêòîâ «ìûñëèòñÿ êàê åäèíîå öåëîå», ò.å. ñàìî ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îäèí ïðåäìåò. Ñàìè æå «îáúåêòû íàøåé èíòóèöèè èëè èíòåëëåêòà» ìîãóò áûòü ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíûìè: ìíîæåñòâî ìîæåò ñîñòîÿòü, íàïðèìåð, èç ñòóäåíòîâ äàííîãî êóðñà, çâåçä íà íåáå èëè ïðîñòûõ ÷èñåë, îïðåäåëåíèå íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ïðèðîäó ïðåäìåòîâ, âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâî.  ìàòåìàòèêå â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ îáû÷íî âûñòóïàþò òàêèå îáúåêòû, êàê òî÷êè, êðèâûå, ÷èñëà, ìíîæåñòâà ÷èñåë è ò. ï. Êàíòîðîâñêàÿ ôîðìóëèðîâêà ïîçâîëÿåò òàêæå ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà, ýëåìåíòû êîòîðûõ ïî òîé èëè èíîé ïðè÷èíå íåëüçÿ òî÷íî óêàçàòü.  êàíòîðîâñêîé êîíöåïöèè ìíîæåñòâà óêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâà äîëæíû áûòü «ðàçëè÷èìûìè» îáúåêòàìè, ò.å. ìíîæåñòâî íå ìîæåò ñîäåðæàòü äâóõ îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ. Ýïèòåò «îïðåäåëåííûé» ïîíèìàåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè äàíî êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî è íåêîòîðûé ïðåäìåò, òî ìîæíî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ýòîò ïðåäìåò ýëåìåíòîì äàííîãî ìíîæåñòâà èëè íåò. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè.  äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ: N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; Z ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë; Q ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë; C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îá ýëåìåíòàõ ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó, è çàïèñûâàþò ýòî òàê: x ∈ A (÷èòàåòñÿ: «x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A», èëè «x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A»). Äîïóñêàåòñÿ çàïèñü: x1, x2, ..., xn ∈ A, åñëè âñå ýòè ýëåìåíòû ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A. Çàïèñü x ∉ A îçíà÷àåò, ÷òî x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. 1
Ãåîðã Êàíòîð (Cantor) (18451918) íåìåöêèé ìàòåìàòèê.
6
Ãëàâà 1
Îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîå ìíîæåñòâî X, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòû x1, x2, ..., xn, áóäåì îáîçíà÷àòü X = {x1, x2, ..., xn}.  ÷àñòíîñòè, {x} òàê íàçûâàåìîå åäèíè÷íîå ìíîæåñòâî, åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ x. Åñëè ìíîæåñòâî X êîíå÷íîå, òî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå îáîçíà÷àåòñÿ |X|. Íàïðèìåð, åñëè X = {a, b, c}, òî |X| = 3. Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå íå èìååò çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, {a, b, c} è {c, a, b} ýòî îäíî è òî æå ìíîæåñòâî. Ýëåìåíòû êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâà ñàìè ìîãóò áûòü ìíîæåñòâàìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî A = {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}} åñòü ìíîæåñòâî èç òðåõ ýëåìåíòîâ (|A| = 3), à èìåííî: {1, 3}, {2, 4} è {5,6}. Ìíîæåñòâà B = {{1, 2}, {2, 3}} è C = {1, 2, 3} ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà, òàê êàê ýëåìåíòàìè ïåðâîãî ÿâëÿþòñÿ {1, 2}, {2, 3}, è |B|= 2, à ýëåìåíòàìè âòîðîãî 1, 2 è 3, |C| = 3. Ìíîæåñòâà D = {{1,2}} è G = {1,2} òàêæå ðàçëè÷íû, òàê êàê ïåðâîå îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, èìåþùåå åäèíñòâåííûì ñâîèì ýëåìåíòîì {1, 2}, à âòîðîå èìååò ñâîèìè ýëåìåíòàìè 1 è 2. Íà îñíîâàíèè êàíòîðîâñêîãî ïîíèìàíèÿ ìíîæåñòâà ìîæíî äàòü îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà ÷åðåç åãî ñâîéñòâà, êîòîðûå ïîñòóëèðóþòñÿ êàê èíòóèòèâíûå ïðèíöèïû. 1.1.1. Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï îáúåìíîñòè Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï îáúåìíîñòè ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äâà ìíîæåñòâà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ. Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ: A = B, íåðàâåíñòâî A ≠ B. Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà êàêèõ-ëèáî äâóõ êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ A è B ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî åñëè x ∈ A, òî x ∈ B, è îáðàòíîå: åñëè x ∈ B, òî x ∈ A. Ïðèìåð 1. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A âñåõ ÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíî ìíîæåñòâó B ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû äâóõ íå÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë. Äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî x ∈ A, è äîêàæåì, ÷òî x ∈ B. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ A, òî x = 2m, òàê ÷òî x = (2m 1) + 1. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ B. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî x ∈ B, è âûâåäåì îòñþäà, ÷òî x ∈ A. Åñëè x ∈ B, òî x = (2p 1) + (2q 1), îòêóäà x = 2(p + q 1), èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî x ∈ A. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, ñëåäîâàòåëüíî, A = B.
Ìíîæåñòâà
7
1.1.2. Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï àáñòðàêöèè Îáîçíà÷åíèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåíèÿ åãî ýëåìåíòîâ ñëèøêîì ãðîìîçäêî, ÷òîáû åãî èñïîëüçîâàòü äëÿ çàäàíèÿ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ, õîòÿ è êîíå÷íîå, íî áîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, è âîâñå íåïðèìåíèìî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå 1.2. Áóäåì ïîíèìàòü ïîä âûñêàçûâàíèåì ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê èñòèííîå èëè ëîæíîå. Òîãäà ïîä îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì (ôîðìîé) îò x P(x) áóäåì ïîíèìàòü êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç ñëîâ è ñèìâîëà x, òàêóþ, ÷òî åñëè êàæäîå âõîæäåíèå x â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìåíèòü îäíèì è òåì æå èìåíåì íåêîòîðîãî ïðåäìåòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðîäà, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ âûñêàçûâàíèå. Íàïðèìåð, êàæäîå èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé åñòü ïðåäèêàò îò x: 5 äåëèò x; õ2 + x + 1 > 0; x ëþáèò Äæîíà; õ2 = 2; 0 < x. Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü èíòóèòèâíûé ïðèíöèï àáñòðàêöèè. Ëþáîé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P(x) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî A òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå ïðåäìåòû à, äëÿ êîòîðûõ P(a) åñòü èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, ðàâíû, òî ëþáîé ïðåäèêàò P(x) îïðåäåëÿåò â òî÷íîñòè îäíî, âïîëíå îïðåäåëåííîå, ìíîæåñòâî, îáû÷íî îáîçíà÷àåìîå â ìàòåìàòèêå ÷åðåç {x | P(x)}, ÷òî ÷èòàåòñÿ òàê: «ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x, ÷òî P(x)». Òàêèì îáðàçîì, a ∈ {x | P(x)} â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè P(a) èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå âîïðîñà, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé ïðåäìåò a ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà {x | P(x)}, åñòü ðåøåíèå âîïðîñà, îáëàäàåò ëè a íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ñâîéñòâîì (êà÷åñòâîì). Ïîýòîìó, êîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A èñïîëüçóþò êàêîé-íèáóäü ïðåäèêàò P(x), åãî îáû÷íî íàçûâàþò îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì ìíîæåñòâà A.  òàêîì ñëó÷àå ïðèíöèï àáñòðàêöèè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå óòâåðæäåíèÿ: «Êàæäîå ñâîéñòâî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî». Ââåäåíèå â îáðàùåíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ îïðåäåëÿþùèõ èõ ñâîéñòâ ïðîöåäóðà, õîðîøî èçâåñòíàÿ èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Íàïðèìåð, îêðóæíîñòü ðàäèóñà 2 íà ïëîñêîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x, ÷òî x íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè â äâå åäèíèöû îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìíîæåñòâà, îïðåäåëåííûå ïîñðåäñòâîì íåêîòîðûõ ñâîéñòâ: A = {x | x ∈ N, x < 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
8
Ãëàâà 1
B = {x | x åñòü ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà çàìêíóòîì îòðåçêå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îò 0 äî 1}. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ èñïîëüçóþòñÿ è ðàçëè÷íûå âèäîèçìåíåíèÿ îñíîâíîé ñêîáî÷íîé çàïèñè. Íàïðèìåð, C = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ëåæàùèõ â èíòåðâàëå [0, 1], à D = {x ∈ Q+ | x2 < 2} ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êâàäðàòû êîòîðûõ ìåíüøå ÷èñëà 2. Âìåñòî òîãî ÷òîáû ïèñàòü {y | y = 2x, ãäå x åñòü öåëîå ÷èñëî}, ìû ìîæåì íàïèñàòü {2x | x ∈ Z}. Àíàëîãè÷íî ÷åðåç {x 2 | x ∈ Z} îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë. Ïðèíöèï îáúåìíîñòè, ïðèíöèï àáñòðàêöèè è ïðèíöèï âûáîðà (ïîêà, çà íåíàäîáíîñòüþ, íå ñôîðìóëèðîâàííûé) ýòî òà îñíîâà, íà êîòîðîé ñòðîèòñÿ êàíòîðîâñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíîå ïîíÿòèå, èñïîëüçóåìîå ïðè ôîðìóëèðîâêå ýòèõ ïðèíöèïîâ, ýòî ïðèíàäëåæíîñòü ýëåìåíòà ìíîæåñòâó. 1.1.3. Îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ Ââåäåì åùå äâà îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè. Îïðåäåëåíèå 1.3. Åñëè A è B åñòü ìíîæåñòâà, òî ãîâîðÿò, ÷òî A âêëþ÷åíî â B, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B (ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü: A ⊆ B èëè B ⊇ A).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ìíîæåñòâî A åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B. Òàêèì îáðàçîì, A ⊆ B îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî x, åñëè x ∈ A, òî x ∈ B. Ìíîæåñòâî A ñòðîãî âêëþ÷åíî â B, èëè B ñòðîãî âêëþ÷àåò A, èëè A åñòü ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî B, åñëè A ⊆ B è A ≠ B (ñèìâîëè÷åñêè: A ⊂ B). Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë ñòðîãî âêëþ÷åíî â ìíîæåñòâî Z öåëûõ ÷èñåë, à ìíîæåñòâî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñòðîãî âêëþ÷àåò Z. Îñíîâíûå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ: • X ⊆ X ðåôëåêñèâíîñòü, • X ⊆ Y è Y ⊆ Z âëå÷åò X ⊆ Z òðàíçèòèâíîñòü, • X ⊆ Y è Y ⊆ X âëå÷åò X = Y àíòèñèììåòðè÷íîñòü. Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âûðàæàåò â òåðìèíàõ îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ äâà øàãà â äîêàçàòåëüñòâå ðàâåíñòâà äâóõ ìíîæåñòâ: äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî X = Y, íàäî äîêàçàòü, ÷òî X ⊆ Y, à çàòåì, ÷òî Y ⊆ X. Èç ïðèíöèïà îáúåìíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò áûòü òîëüêî îäíî ìíîæåñòâî, íå èìåþùåå ýëåìåíòîâ. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïóñòûì ìíîæåñòâîì è îáîçíà÷àþò åãî ñèìâîëîì ∅. Ïóñòîå ìíîæåñòâî åñòü ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî ìíîæåñòâà.
Ìíîæåñòâà
9
Êàæäîå ìíîæåñòâî A ≠ ∅ èìååò, ïî êðàéíåé ìåðå, äâà ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâà: ñàìî A è ∅, ò.å. A ⊆ A è ∅ ⊆ A. Êðîìå òîãî, êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A: åñëè a ∈ A, òî {à} ⊆ A. Ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà A áóäóò òàêæå ìíîæåñòâà, ñîñòàâëåííûå èç äâóõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, òðåõ ýëåìåíòîâ, è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A. Îïðåäåëåíèå 1.4. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì-ñòåïåíüþ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ ℘(A). Íàïðèìåð, åñëè A = {1, 2, 3}, òî ℘(A) = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}. Ïîä÷åðêíåì ðàçëè÷èå ìåæäó îòíîøåíèÿìè ïðèíàäëåæíîñòè è âêëþ÷åíèÿ: åñëè B ⊆ A, òî B ∈ ℘(A), à åñëè à ∈ A, òî {a} ⊆ A è {a} ∈ ℘(A). Òåðìèí «ìíîæåñòâî-ñòåïåíü ìíîæåñòâà A» ïðèíÿò â êà÷åñòâå íàèìåíîâàíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A îòòîãî, ÷òî äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A, ñîñòîÿùåãî èç n ýëåìåíòîâ, ℘(A) èìååò 2n ýëåìåíòîâ. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå. Áóäåì îáîçíà÷àòü C kn êîëè÷åñòâî âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê n! èç n ïî k, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé: .  êîíå÷íîì ìíîæåk! (n − k)! ñòâå À, ñîñòîÿùåì èç n ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàòñÿ: ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ∅, Ñ 1n îäíîýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, Ñ 2n äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, ... , Ñ kn k- ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, ... , 1 = Ñ nn ñàìî ìíîæåñòâî À. Èòîãî: C 0n + C 1n + C 2n + ... + C kn ... + C nn = = (1 + 1)n = 2n ïîäìíîæåñòâ.
1.2. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Ïðîäîëæàÿ îïèñàíèå ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ íîâûõ ìíîæåñòâ èç óæå ñóùåñòâóþùèõ, ìû ââåäåì äâå îïåðàöèè, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ èç äâóõ ìíîæåñòâ ñòðîèòñÿ íîâîå ìíîæåñòâî. Îïðåäåëåíèå 1.5. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A ∪ B è ÷èòàåòñÿ êàê «îáúåäèíåíèå A è B») åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A èëè B, ò.å. A ∪ B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}. Çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ íå èñêëþ÷àþùèé ñìûñë ñëîâà «èëè». Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, x ∈ A ∪ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x åñòü ýëåìåíò õîòÿ áû îäíîãî èç ìíîæåñòâ A è B. Íàïðèìåð: {1, 2, 3} ∪ {1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
10
Ãëàâà 1
Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A ∩ B è ÷èòàåòñÿ êàê «ïåðåñå÷åíèå A è B») åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè îáîèõ ìíîæåñòâ A è B, ò.å. A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}. Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, x ∈ A ∩ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A è ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B. Íàïðèìåð: {1, 2, 3} ∩ {1, 3, 4} = {1, 3}. Äëÿ âñÿêîé ïàðû ìíîæåñòâ A è B èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå âêëþ÷åíèÿ: ∅ ⊆ A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. Îïðåäåëåíèå 1.7. Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ (èëè äèçúþíêòíûìè), åñëè A ∩ B = ∅, è ïåðåñåêàþùèìèñÿ, åñëè A ∩ B ≠ ∅. Ñèñòåìà ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ðàñ÷ëåíåííîé, åñëè ëþáàÿ ïàðà åå ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ íåïåðåñåêàþùåéñÿ. Îïðåäåëåíèå 1.8. Ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà Õ áóäåì íàçûâàòü òàêóþ ðàñ÷ëåíåííóþ ñèñòåìó U íåïóñòûõ è ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Õ, ãäå êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Õ ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ ýëåìåíòîì íåêîòîðîãî (ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷íîñòè îäíîãî) ýëåìåíòà ñèñòåìû U. Íàïðèìåð, {{1, 2}, {3}, {4, 5}} åñòü ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà {1, 2, 3, 4, 5}. Îïðåäåëåíèå 1.9. Àáñîëþòíîå äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà A (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A′ èëè ¬A) ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A: {x | x ∉ A}. Îïðåäåëåíèå 1.10. Îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà B äî ìíîæåñòâà A ýòî ìíîæåñòâî A ∩ B′; îíî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A\B (èíîãäà A B), ÷òî ÷èòàåòñÿ êàê «A ìèíóñ B». Òàêèì îáðàçîì A\B = A ∩ B′ åñòü ñîêðàùåíèå äëÿ {x ∈ A | x ∉ B}, ò.å. ýòî ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà B. Îïðåäåëåíèå 1.11. Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B, îáîçíà÷àåìàÿ ÷åðåç À ÷ B (èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ A∆B èëè A + B), îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ∈ A ÷ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîìó èç ìíîæåñòâ À è Â: A ÷ B = {x |(x ∈ A è x ∉ B) èëè (x ∉ A è x ∈ B)}. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî A ÷ B = (A\B) ∪ (B\A). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà: A ÷ B = B ÷ A, àññîöèàòèâíà: (A ÷ B) ÷ C = A ÷ (B ÷ C) è äèñòðèáóòèâíà
Ìíîæåñòâà
11
îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ: (A ÷ B) ∩ C = (A ∩ C) ÷ (B ∩ C). Êðîìå òîãî, A ÷ A = ∅ è A ÷ ∅ = A. Åñëè âñå ðàññìàòðèâàåìûå â õîäå êàêîãî-ëèáî ðàññóæäåíèÿ ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà U, òî ýòî ìíîæåñòâî U íàçûâàþò óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì (äëÿ ýòîãî ðàññóæäåíèÿ). Íàïðèìåð, äëÿ ýëåìåíòàðíîé àðèôìåòèêè óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì ñëóæèò Z, à äëÿ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ ãðàôè÷åñêîé èëëþñòðàöèè îòíîøåíèé, êîòîðûå ìîãóò èìåòü ìåñòî ìåæäó ïîäìíîæåñòâàìè êàêîãî-ëèáî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, ÷àñòî èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìûå äèàãðàììû Âåííà ïî èìåíè àíãëèéñêîãî ñâÿùåííèêà Äæîíà Âåííà (18341923)1, ïðèìåíÿâøåãî èõ â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî ëîãèêå. Äèàãðàììà Âåííà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ìíîæåñòâ â âèäå òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ: óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U èçîáðàæàåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê íåêîòîðîãî ïðÿìîóãîëüíèêà, à åãî ïîäìíîæåñòâî A â âèäå êðóãà èëè êàêîé-íèáóäü äðóãîé ïðîñòîé îáëàñòè âíóòðè ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. Ïðàâèëüíåå, îäíàêî, áûëî áû íàçâàòü èõ äèàãðàììàìè Ýéëåðà, ïîñêîëüêó çàäîëãî äî Âåííà èõ óïîòðåáëÿë çíàìåíèòûé øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê Ëåîíàðä Ýéëåð (17071783)2. Íèæå íà ðèñ. 1.1. ïîêàçàíû îñíîâíûå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.
Àáñîëþòíîå Îáúåäèíåíèå Îòíîøåíèå ìíîæåñòâ âêëþ÷åíèÿ: äîïîëíåíèå: A′. A ∪ B. A ⊆ B, A ∩ B = A.
Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A ∩ B.
Ðèñ. 1.1. Äèàãðàììû Âåííà è êðóãè Ýéëåðà. Âïðî÷åì, ñòàâ äîêòîðîì íàóê è, áóäó÷è èçáðàí â Àêàäåìèþ àíãëèéñêîå Êîðîëåâñêîå îáùåñòâî, Âåíí ïîëíîñòüþ îòêàçàëñÿ îò öåðêîâíîé äåÿòåëüíîñòè â ïîëüçó çàíÿòèé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêîé è äàæå îôîðìèë ïèñüìåííûé äîêóìåíò, óäîñòîâåðÿþùèé åãî íåñïîñîáíîñòü ê èñïîëíåíèþ îáÿçàííîñòåé ñâÿùåííèêà. 2  «Ïèñüìàõ íåìåöêîé ïðèíöåññå» (1768) Ë. Ýéëåð, îáúÿñíÿÿ ñâîåé êîððåñïîíäåíòêå ïðîñòîòó àðèñòîòåëåâîé ñèëëîãèñòèêè, ñèñòåìàòè÷åñêè èçîáðàæàë îòäåëüíûå ìíîæåñòâà îáúåêòîâ êðóãàìè íà ïëîñêîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû, ìàëî îòëè÷àþùèåñÿ îò äèàãðàìì Âåííà, ÷àñòî íàçûâàþò êðóãàìè Ýéëåðà. Âïðî÷åì, ïîäîáíûå ãðàôè÷åñêèå èëëþñòðàöèè òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûõ è ëîãè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé âñòðå÷àëèñü è äî Ýéëåðà, íàïðèìåð â âåñüìà ïðèìå÷àòåëüíûõ, íî, ê ñîæàëåíèþ, îñòàâøèõñÿ íåîïóáëèêîâàííûìè çàìåòêàõ ïî ëîãèêå Ãîòôðèäà Âèëüãåëüìà Ëåéáíèöà (16461716). 1
Ãëàâà 1
12
1.3. Àëãåáðà ìíîæåñòâ 1.3.1. Îïðåäåëåíèå àëãåáðû ìíîæåñòâ Îïðåäåëåíèå 1.12. Àëãåáðà ýòî ìíîæåñòâî îáúåêòîâ ñ îïðåäåëåííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè, îòâå÷àþùèìè íåêîòîðûì ñâîéñòâàì. Îáû÷íî àáñòðàêòíàÿ àëãåáðà çàäàåòñÿ êàê äâîéêà A = <Ì, Σ>, ãäå Ì ìíîæåñòâî îáúåêòîâ àëãåáðû (íîñèòåëü àëãåáðû), Σ ìíîæåñòâî îïåðàöèé (ñèãíàòóðà àëãåáðû). Ìíîæåñòâî îïåðàöèé îïèñûâàåòñÿ ñâîèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå çàäàþòñÿ ñèñòåìîé àêñèîì äàííîé àëãåáðû. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U. Äëÿ êðàòêîñòè â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü åå ïðîñòî àëãåáðîé ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå 1.13. Îïðåäåëèì àëãåáðó ìíîæåñòâ êàê ÷åòâåðêó: <M, ∪, ∩, ′>, ãäå M ìíîæåñòâî-ñòåïåíü óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, à ìíîæåñòâî îïåðàöèé ñîñòîèò èç îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ (∪), ïåðåñå÷åíèÿ (∩) è äîïîëíåíèÿ (′) ìíîæåñòâà äî ìíîæåñòâà U.  ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâó ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 1.1. Äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ A, B è C íåêîòîðîãî óíèâåðñóìà U ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâàìè: 1) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (àññîöèàòèâíîñòü); 2) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (êîììóòàòèâíîñòü); 3) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (äèñòðèáóòèâíîñòü); 4) A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A; 5) A ∪ A′ = U, A ∩ A′ = ∅. Èç ýòèõ òîæäåñòâ, ïðèíÿòûõ êàê àêñèîìû, ìîæåò áûòü âûâåäåíà ëþáàÿ òåîðåìà àëãåáðû ìíîæåñòâ áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïîíÿòèÿ ïðèíàäëåæíîñòè. Èç ïðèâåäåííûõ âûøå äåñÿòè òîæäåñòâ âèäíî, ÷òî êàæäîå ïðàâîå òîæäåñòâî ïîëó÷åíî èç ëåâîãî çàìåíîé ñèìâîëà ∪ íà ∩ è íàîáîðîò, à òàêæå çàìåíîé ∅ íà U è íàîáîðîò. Îïðåäåëåíèå 1.14. Ðàâåíñòâî, ïîëó÷åííîå èç èñõîäíîãî çàìåíîé âñåõ ñèìâîëîâ U íà ∅, ∅ íà U, ∪ íà ∩, ∩ íà ∪, íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì èñõîäíîìó.  ïðèâåäåííîì âûøå ñïèñêå òîæäåñòâ 15 êàæäîå òîæäåñòâî èìååò äâîéñòâåííîå åìó òîæäåñòâî. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì
Ìíîæåñòâà
13
ê ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè: äëÿ ëþáîé òåîðåìû àëãåáðû ìíîæåñòâ äâîéñòâåííîå åé óòâåðæäåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé. 1.3.2. Òåîðåìû àëãåáðû ìíîæåñòâ Òåîðåìà 1.2. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäìíîæåñòâ A è B íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 6) åñëè äëÿ âñÿêîãî A A ∪ B = A, òî B = ∅, åñëè äëÿ âñÿêîãî A A ∩ B = A, òî B = U; 7) åñëè A ∪ B = U è A ∩ B = ∅, òî B = A′; 8) A′′ = A, 9) ∅′ = U, U′ = ∅; 10) A ∪ A = A, A ∩ A = A (çàêîíû èäåìïîòåíòíîñòè); 11) A ∪ U = U, A ∩ ∅ = ∅; 12) A ∪(A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A (çàêîíû ïîãëîùåíèÿ); 13) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ (çàêîíû äå Ìîðãàíà)1. Äîêàæåì íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî òîæäåñòâà 15. Óòâåðæäåíèå 6. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ A ∪ B = A äëÿ âñåõ A, òî ýòî âåðíî è äëÿ A = ∅, ò.å. ∅ ∪ B = ∅. Òîãäà èç 2) ñëåäóåò: ∅ ∪ B = B ∪ ∅, ò.å. B ∪ ∅ = ∅. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî 4), B ∪ ∅ = B. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî B = ∅. Óòâåðæäåíèå 7. Äîêàçàòåëüñòâî (â ñêîáêàõ óêàçàíû íîìåðà ïðèìåíÿåìûõ àêñèîì è óòâåðæäåíèé). B = (4) = B ∪ ∅ = (5) = B ∪ (A ∩ A′) = (3) = (B ∪ A) ∩ (B ∪ A′) = = (2) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ A′) = (ïî óñë.) = U ∩ (B ∪ A′) = (5) = = (A ∪ A′) ∩ (B ∪ A′) = (2) = (A′ ∪ A) ∩ (A′ ∪ B) = (3) = = A′ ∪ (A ∩ B) = (ïî óñë.) = A′ ∪ ∅ = (4) = A′. Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 8 ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 7: àêñèîìû 5 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: A′ ∪ A = U, A ∩ A′ = ∅ â ñèëó êîììóòàòèâíîñòè îïåðàöèé ∪ è ∩ (àêñèîìû 2). Òîãäà, ïî óòâåðæäåíèþ 7, A = A′′. Äîêàçàòåëüñòâî îñòàëüíûõ óòâåðæäåíèé ïðåäëàãàåòñÿ ÷èòàòåëþ ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî.
Îãàñòåñ äå Ìîðãàí (De Morgan) (18061871) øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Çàíèìàëñÿ àëãåáðîé, òåîðèåé ðÿäîâ. Íåçàâèñèìî îò Äæ. Áóëÿ ïðèøåë ê îñíîâíûì èäåÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.
1
Ãëàâà 1
14
1.4. Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà Ðàññåëà Íåîãðàíè÷åííîå ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà àáñòðàêöèè âûçûâàåò âîçíèêíîâåíèå ïàðàäîêñîâ â êàíòîðîâñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ.  1902 ã. Áåðòðàí Ðàññåë1 îòêðûë ïàðàäîêñ, îñíîâàííûé íà îäíîì ëèøü îïðåäåëåíèè ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâà ëèáî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ, ëèáî íå ÿâëÿþòñÿ. Òàê, ìíîæåñòâî àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé ñàìî ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêòíûì ïîíÿòèåì, à ìíîæåñòâî âñåõ çâåçä íà íåáå íå ÿâëÿåòñÿ çâåçäîé. Ìíîæåñòâî çâóêîâ òàêæå ÿâëÿåòñÿ çâóêîì. Àíàëîãè÷íî, ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ñàìî åñòü ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì M ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ, è N ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ. Ê êàêîìó æå èç ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâ îòíåñòè ìíîæåñòâî N? Èíûìè ñëîâàìè, ÿâëÿåòñÿ ëè N ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ? Åñëè N ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñåáÿ, ò. å. N ∈ N, çíà÷èò N ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì M, ò.å. N ∈ M, íî òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà M, N ∉ N, ò. å. N íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè N íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ, òî N åñòü ýëåìåíò N, à íå M, è N ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ, ÷òî îïÿòü ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì. Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà Ðàññåëà èçâåñòåí â ïîïóëÿðíîé ôîðìå êàê ïàðàäîêñ áðàäîáðåÿ (ïàðèêìàõåðà).  îäíîé äåðåâíå áðàäîáðåé îáÿçóåòñÿ áðèòü âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ æèòåëåé, êîòîðûå íå áðåþòñÿ ñàìè. Êàê áûòü ñàìîìó áðàäîáðåþ: äîëæåí ëè îí áðèòü ñàìîãî ñåáÿ? Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé îòâåò ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîñêîëüêó áîëüøèíñòâî ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè èñïîëüçóåò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå ïîíÿòèÿ è ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ îñíîâîé ýòèõ ðàçäåëîâ, òî îáíàðóæåííûå ïàðàäîêñû â íà÷àëå 20-ãî âåêà ïîñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå äîñòîâåðíîñòü âñåé ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè â öåëîì. Âûõîäîì èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ áûëà àêñèîìàòèçàöèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Îäèí èç âàðèàíòîâ òàêîé àêñèîìàòèçàöèè, ñèñòåìà àêñèîì ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ, áóäåò ïðèâåäåí â ãëàâå 4. Áåðòðàí Ðàññåë (Russel) (18721970) âûäàþùèéñÿ àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ôèëîñîô, ëîãèê, îáùåñòâåííûé äåÿòåëü. Îñíîâîïîëîæíèê àíãëèéñêîãî íåîðåàëèçìà è íåîïîçèòèâèçìà. Îäèí èç êëàññèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ëèòåðàòóðå (1950). (Íà ðóññêèé ÿçûê ïåðåâåäåíà «Èñòîðèÿ çàïàäíîé ôèëîñîôèè» Á. Ðàññåëà è íåêîòîðûå äðóãèå åãî ôèëîñîôñêèå è ëèòåðàòóðíî-ôèëîñîôñêèå ïðîèçâåäåíèÿ, à òàêæå íàó÷íî-ôàíòàñòè÷åñêèå ðàññêàçû). Îïóáëèêîâàííûå â 19101913 ãã. äâóõòîìíûå «Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè» Áåðòðàíà Ðàññåëà è Àëüôðåäà Íîðòà Óàéòõåäà (18611947) ñîäåðæàò îäíó èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ è ïðîäóìàííûõ ñèñòåì ëîãè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè, îêàçàâøóþ áîëüøîå âëèÿíèå íà Ä. Ãèëüáåðòà (18621947). 1
Ãëàâà 2.
ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎØÅÍÈÉ 2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êàêîé-ëèáî ñâÿçè ìåæäó îáúåêòàìè èëè ïîíÿòèÿìè â ìàòåìàòèêå ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèåì «îòíîøåíèå». Íàïðèìåð, ñâîéñòâî ýëåìåíòà ïðèíàäëåæàòü èëè íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì «x ∈ X», ïðè÷åì, åñëè ýëåìåíò ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó, òî îòíîøåíèå âûïîëíåíî, à åñëè íå ïðèíàäëåæèò, òî íå âûïîëíåíî. Âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâà â äðóãîå ìíîæåñòâî «X ⊆ Y» òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì. Íà ìíîæåñòâå ëþäåé çàäàíî îòíîøåíèå ðîäñòâà, íàïðèìåð, «x îòåö y». Åñëè âçÿòü êîíêðåòíûõ ëþäåé è ïîäñòàâèòü èõ èìåíà âìåñòî x è y, òî ìû ïîëó÷èì èñòèííîå èëè ëîæíîå âûñêàçûâàíèå, íàïðèìåð: «Ëàèé îòåö Ýäèïà» èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, «Ïîëèá îòåö Ýäèïà»1 ëîæíîå.  ýòîì ñìûñëå îòíîøåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðåäèêàòîì, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â èñòèííîå èëè ëîæíîå âûñêàçûâàíèå ïðè ïîäñòàíîâêå â íåãî êîíêðåòíûõ ýëåìåíòîâ èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì åùå îäíó îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâàìè. Îïðåäåëåíèå 2.1. Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ X è Y íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð <x, y>, òàêèõ, ÷òî x ∈ X è y ∈ Y. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ êàê X × Y = {<x, y> | x ∈ X, y ∈ Y}. Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ýëåìåíòîâ <x, ó> îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç x è y. Êðîìå òîãî, åñëè <x, ó> =
, òî x = u è ó = v. Ïðèíÿòî íàçûâàòü x ïåðâîé, à y âòîðîé êîîðäèíàòîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû <x, ó>. Ïðèìåð. Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà X = {1, 2} è Y = {2, 3, 4}. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâ: X × Y = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 2>, <2, 3>, <2, 4>}. Ðàññìîòðèì ïîäìíîæåñòâî ýòîãî äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ A = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>}. Ýòî íå ÷òî èíîå, êàê îòíîøåíèå ρ1: x < y «x ìåíüøå y». Íà òîì æå ìíîæåñòâå óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ìîæíî âûäåëèòü åùå îäíî îòíîøåíèå ρ2: y = x + 1 ýòî ïîäìíîæåñòâî {<1, 2>, <2, 3>}. Äðóãîå îòíîøåíèå ρ 3: x = y ýòî ïîäìíîæåñòâî {<2, 2>}. Ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð îáðàçóåò áèíàðíîå îòíîøåíèå. Îïðåäåëåíèå 2.2. Áèíàðíîå îòíîøåíèå åñòü ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ. Ýäèï, Ïîëèá è Ëàèé ãåðîè òðàãåäèè Ñîôîêëà «Öàðü Ýäèï». Ýäèï áûë íå ðîäíûì ñûíîì Ïîëèáà è ïîòîìó âòîðîå âûñêàçûâàíèå ëîæíî. Ðîäíûì æå îòöîì Ýäèïà áûë Ëàèé, è ïîòîìó ïåðâîå âûñêàçûâàíèå èñòèííî.
1
Ãëàâà 2
16
Áèíàðíîå îòíîøåíèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê: <x, ó> ∈ ρ èëè xρó. Ýòè âûðàæåíèÿ ýêâèâàëåíòíû è ÷èòàþòñÿ êàê «x íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè ρ ê ó». Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå n-àðíîãî (n-ìåñòíîãî) îòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî êàê ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ n ìíîæåñòâ: X1 × X2 × ... × Xn = {<xi1, xi2, ..., xin> | xi1 ∈ X1, xi2 ∈ X2, ..., xin ∈ Xn}. n-àðíîå îòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ n-îê (÷èòàåòñÿ: «ýíêà»). Óïîðÿäî÷åííóþ n-êó íàçûâàþò èíà÷å êîðòåæåì. Ïîäìíîæåñòâî êîðòåæåé èç n ýëåìåíòîâ îáðàçóåò nàðíîå îòíîøåíèå. Ïðè n = 2 èìååò ìåñòî áèíàðíîå îòíîøåíèå, ïðè n = 3 èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí òåðíàðíîå îòíîøåíèå. Ïðèìåðû. 1. Äëÿ íåêîòîðûõ îòíîøåíèé ïðèíÿòû ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ: ðàâåíñòâî: x = y; òîæäåñòâî: x ≡ y; íåðàâåíñòâà: x ≥ y, x ≤ y, x < y, x > y; ïðèíàäëåæíîñòü: x ∈ Y, x ∉ Y; âêëþ÷åíèå: X ⊆ Y, X ⊂ Y; êîíãðóýíòíîñòü: x ≅ y. 2. Ìíîæåñòâî {<2, 4>, <7, 3>, <3, 3>, <2, 1>}, áóäó÷è ìíîæåñòâîì óïîðÿäî÷åííûõ ïàð, åñòü áèíàðíîå îòíîøåíèå. Íå èìåÿ íèêàêîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ, ýòî îòíîøåíèå, åñòåñòâåííî, íå èìååò è ñïåöèàëüíîãî íàçâàíèÿ. 3. Åñëè m îáîçíà÷àåò îòíîøåíèå ìàòåðèíñòâà, òî <Äæåéí, Äæîí> ∈ m îçíà÷àåò, ÷òî Äæåéí ÿâëÿåòñÿ ìàòåðüþ Äæîíà. 4. «x è y ðîäèòåëè z» òåðíàðíîå îòíîøåíèå. 5. Ïðèìåðîì n-àðíîãî îòíîøåíèÿ, ãäå n = 4, ìîæåò ñëóæèòü òàáëèöà: Ôàìèëèÿ 1 Èâàíîâ 2 ...
Ãîä ðîæä. 1958 ...
Ìåñòî æèòåëüñòâà Îáðàçîâàíèå Êèåâ âûñøåå ... ...
Îïðåäåëåíèå 2.3. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ρ (îáîçíà÷åíèå: Dρ ) íàçûâàþò ìíîæåñòâî ïåðâûõ êîîðäèíàò ýëåìåíòîâ èç ρ, îáëàñòüþ çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ ρ (îáîçíà÷åíèå: Rρ ) ìíîæåñòâî âòîðûõ êîîðäèíàò ýëåìåíòîâ èç ρ. Íàïðèìåð, êàê îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, òàê è îáëàñòüþ çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ äëÿ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà U ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ℘(U); îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ äëÿ îòíîøåíèÿ ìàòåðèíñòâà ñëóæèò ìíîæåñòâî âñåõ ìàòåðåé, â òî âðåìÿ, êàê îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîãî îòíîøåíèÿ ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé.
Òåîðèÿ îòíîøåíèé
17
2.2. Ñïîñîáû çàäàíèÿ îòíîøåíèé 2.2.1. Ãðàôèê îòíîøåíèÿ Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ïëîñêîñòè îñíîâûâàåòñÿ íà äîïóùåíèè î òîì, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè è äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì R × R ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Êàæäîé òî÷êå íà ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò åå êîîðäèíàòû óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà <x, y>. Ïîýòîìó îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå R ìîæíî èçîáðàæàòü íà ïëîñêîñòè íåêîòîðîé êîíôèãóðàöèåé èëè ìíîæåñòâîì òî÷åê. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå ïðÿìîé y = x â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå 2.4. Åñëè îñíîâíûì ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ñëóæàò îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, òî ìíîæåñòâî òî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàì îòíîøåíèÿ, íàçûâàþò ãðàôèêîì ýòîãî îòíîøåíèÿ. Íèæå íà ðèñ. 2.12.4 ïðèâîäÿòñÿ ÷åòûðå ïðèìåðà îòíîøåíèé, äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåí åãî ãðàôèê.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ãðàôèê ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè, ýòà ÷àñòü ïëîñêîñòè íà ÷åðòåæå çàøòðèõîâûâàåòñÿ.
{<x, y> ∈ R × R | y = x} Ðèñ. 2.1.
{<x, y> ∈ R × R | y ≥ x} Ðèñ. 2.2.
{<x, y> ∈ R × R | 0 ≤ x ≤ 2 èëè 0 ≤ y ≤ 1} Ðèñ. 2.3.
{<x, y> ∈ R × R | 0 ≤ x ≤ 2 è 0 ≤ y ≤ 1} Ðèñ. 2.4.
Ãëàâà 2
18
2.2.2. Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ ìíîæåñòâà Åñëè çàäàíî îòíîøåíèå xρy, x ∈ X, y ∈ Y, òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâ X è Y ìîæíî èçîáðàæàòü òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè, à óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ëèíèåé ñî ñòðåëêîé (äóãîé), íàïðàâëåííîé îò x ê y: . Òîãäà îòíîøåíèå íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ãðàôà. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå ρ1 = {<xi, xi>, <xi, xg>} ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 2.5. Îòíîøåíèå ρ2 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 1>} ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà (ñì. ðèñ.2.6).
Ðèñ. 2.5. Ãðàô îòíîøåíèÿ ρ1.
Ðèñ. 2.6. Ãðàô îòíîøåíèÿ ρ2.
2.2.3. Ìàòðè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ îòíîøåíèé Çàäàäèì îòíîøåíèå ρ: «x äðóæèò ñ ó» íà ìíîæåñòâå M, ãäå Ì = {a1, a2, a3, a4} ìíîæåñòâî ïåðñîíàæåé. Ýòî îòíîøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå òàáëèöû (ìàòðèöû), ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû åäèíèöå, åñëè ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè åñòü îòíîøåíèå äðóæáû, è íóëþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Èç ýòîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî a 1 a1 a2 a3 a4 äðóæèò ñ a3, a2 íå äðóæèò íè ñ êåì, a1 1 0 1 0 êðîìå êàê ñ ñàìèì ñîáîé, à a3 äðóæèò a2 0 1 0 0 ñî âñåìè, êðîìå a 2 . Òàêîé ñïîñîá a3 1 0 1 1 çàäàíèÿ îòíîøåíèé íàçûâàåòñÿ a4 0 0 1 1 ìàòðè÷íûì ñïîñîáîì.  ýòîì ñëó÷àå îòíîøåíèå ρ ∈ X × Y ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìàòðèöû A = || aig || ñ ýëåìåíòàìè aig, ãäå i íîìåð ñòðîêè, g íîìåð ñòîëáöà; aig = 1, åñëè ýëåìåíòû xi è yg íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ρ, è aig = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Åñëè || aig || = 0, ò.å. äëÿ âñåõ i è g aig = 0, òî ρ ≡ 0 ïóñòîå îòíîøåíèå; åñëè || aig || = 1, ò.å. äëÿ âñåõ i è g aig = 1, òî ρ ≡ 1 ïîëíîå îòíîøåíèå.
Òåîðèÿ îòíîøåíèé 2.3.1. Òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè
Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïåðåñå÷åíèåì îòíîøåíèé α è β íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå, îïðåäåëÿåìîå ïåðåñå÷åíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð. Ïóñòü α: «x ≥ y», β: «x > y». Òîãäà ïåðåñå÷åíèå ∫∑ α∩β åñòüîòíîøåíèå «x > y». Îïðåäåëåíèå 2.6. Îáúåäèíåíèå îòíîøåíèé α è β îáðàçóåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð. Ïóñòü α: x > y, β: «x = y», òîãäà èõ îáúåäèíåíèå åñòü îòíîøåíèå α∪β: x ≥ y. Îïðåäåëåíèå 2.7. Âêëþ÷åíèå îòíîøåíèé: α âêëþ÷åíî â β, åñëè ìíîæåñòâî âñåõ ïàð <x, y> ∈ α ñîäåðæèòñÿ è â îòíîøåíèè β, ò.å. α ⊆ β, åñëè äëÿ êàæäîãî <x, y> ∈ α, <x, y> ∈ β. Îïðåäåëåíèå 2.8. Åñëè α îòíîøåíèå, çàäàííîå íà Ì, òî îáðàòíîå îòíîøåíèå α 1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê xα 1y = yαx. Íàïðèìåð, åñëè α: «x > y», ãäå x, y ∈ R, òî îáðàòíîå åìó îòíîøåíèå α 1: «y > x», èëè «x < y». Åñëè α: «x ñåñòðà ó», ãäå x ∈ {æåíùèíû}, y ∈ {ìóæ÷èíû}, òî îáðàòíîå îòíîøåíèå α 1 «y ñåñòðà x». Îïðåäåëåíèå 2.9. Äîïîëíåíèåì áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ρ ìåæäó ýëåìåíòàìè x ∈ A è y ∈ B, ñ÷èòàåòñÿ ìíîæåñòâî ρ ′ = (A × B)\ρ, êîòîðîå òîæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì. Îïðåäåëåíèå 2.10. Îòíîøåíèÿ α è β ìîãóò îáðàçîâûâàòü ïðîèçâåäåíèå îòíîøåíèé αβ, êîòîðîå ñàìî ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì, ò.å. xαβy, x, y ∈ M, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò z ∈ M, ÷òî xαz è zβy. Íàïðèìåð, ïóñòü α: «x ìàòü ó», β: «x îòåö ó». Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå b, ÷òî aαb è bβc, ò.å. «a ìàòü b» è «b îòåö c». Òîãäà ïðîèçâåäåíèå ýòèõ îòíîøåíèé: «a áàáóøêà c». Îïðåäåëåíèå 2.11. Îòíîøåíèå α1 íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì îòíîøåíèÿ α, îïðåäåëåííîãî íà ìíîæåñòâå M, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå aα 1b, ÷òî aαz 1, z1αz2, z2αz3, ..., zn1α b.
2.3. Îïåðàöèè íàä îòíîøåíèÿìè Òàê êàê êàæäîå îòíîøåíèå åñòü ìíîæåñòâî, òî íàä îòíîøåíèÿìè ìîæíî âûïîëíÿòü âñå îïåðàöèè, îïðåäåëåííûå äëÿ ìíîæåñòâ. Â ðåçóëüòàòå ôîðìèðóþòñÿ íîâûå, áîëåå ñëîæíûå îòíîøåíèÿ.
19
Ðèñ. 2.7. Òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå îòíîøåíèÿ x < y.
20
Ãëàâà 2
Ïðèìåðû. • Íà ìíîæåñòâå N îïðåäåëåíî îòíîøåíèå α: x < y. Òîãäà òðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì ýòîãî îòíîøåíèÿ äëÿ çíà÷åíèé 1 < 2 < ... < 6 áóäåò îòíîøåíèå 1 < 6 (ñì. ðèñ. 2.7). • Òðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì îòíîøåíèÿ «áûòü ñûíîì» ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå «áûòü ïðÿìûì ïîòîìêîì». • Òðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì îòíîøåíèÿ «èìåòü îáùóþ ñòåíó» äëÿ æèëüöîâ îäíîãî äîìà ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå «æèòü íà îäíîì ýòàæå». 2.3.2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà îòíîøåíèé Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îòíîøåíèÿ, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå X, ò.å. xρy, x, y ∈ X. Îïðåäåëåíèå 2.12. Îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ xρx. Åñëè äëÿ âñåõ x ∈ X íå âûïîëíÿåòñÿ xρx, òî îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ àíòèðåôëåêñèâíûì. Ïðèìåðû. Îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ðåôëåêñèâíî. Îòíîøåíèå x ≥ y, x, y ∈ R ðåôëåêñèâíî, òàê êàê x ≥ x. Îòíîøåíèå x > y, x, y ∈ R àíòèðåôëåêñèâíî, òàê êàê íè äëÿ îäíîãî ÷èñëà íå âûïîëíèìî x > x. Îïðåäåëåíèå 2.13. Îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x ∈ X, y ∈ X, èç xρy ñëåäóåò yρx. Èíûìè ñëîâàìè, îòíîøåíèå ñèììåòðè÷íî, åñëè âñÿêèé ðàç, êàê âûïîëíÿåòñÿ xρy, âûïîëíÿåòñÿ è yρx. Ïðèìåðû. Èç òîãî, ÷òî «x ðîäñòâåííèê y», ñëåäóåò, ÷òî «y ðîäñòâåííèê x», îòíîøåíèå ñèììåòðè÷íî. Îòíîøåíèå «x ñåñòðà y», îïðåäåëåííîå íà ìíîæåñòâå âñåõ ëþäåé, íåñèììåòðè÷íî: âîçìîæíî, ÷òî y ÿâëÿåòñÿ áðàòîì x. Îäíàêî òî æå îòíîøåíèå, îïðåäåëåííîå íà ìíîæåñòâå æåíùèí, ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Îïðåäåëåíèå 2.14. Îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ X, èç òîãî, ÷òî xρy è yρx, ñëåäóåò x = y. Ïðèìåðû. Îòíîøåíèå x ≤ y àíòèñèììåòðè÷íî: èç òîãî, ÷òî x ≤ y è y ≤ x, ñëåäóåò, ÷òî x = y, ò.å. ýòî îäèí è òîò æå ýëåìåíò. Åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Õ èç òîãî, ÷òî xρy, ñëåäóåò, ÷òî íå âûïîëíÿåòñÿ yρx, òî îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ àñèììåòðè÷íûì. Îòíîøåíèÿ «x ïðåäîê ó» è «ó ïîòîìîê x» àñèììåòðè÷íû, ïðè÷åì âòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê ïåðâîìó. Îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà x < y ÿâëÿåòñÿ àñèììåòðè÷íûì: åñëè âûïîëíÿåòñÿ x < y, òî íå âûïîëíÿåòñÿ y < x. Îïðåäåëåíèå 2.15. Îòíîøåíèå ρ íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè èç òîãî, ÷òî xρy è yρz, ñëåäóåò xρz.
Òåîðèÿ îòíîøåíèé
21
Ïðèìåð. Îòíîøåíèå «x ïðåäîê y» òðàíçèòèâíî: åñëè «x ïðåäîê y» è «y ïðåäîê z», òî «x ïðåäîê z». Îòíîøåíèå x < y, ãäå x, y ∈ R, òðàíçèòèâíî: åñëè x < y è y < z, òî x < z. Îòíîøåíèå «x ëþáèò y», â îáùåì ñëó÷àå íåòðàíçèòèâíî: åñëè «x ëþáèò y», à «y ëþáèò z», òî èç ýòîãî íå ñëåäóåò, ÷òî «x ëþáèò z».
2.4. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè Îïðåäåëåíèå 2.16. Îòíîøåíèå, êîòîðîå îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ðåôëåêñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè, íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïðèìåðû îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè. 1. Îòíîøåíèå ðàâåíñòâà íà ëþáîì ìíîæåñòâå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, ïðè÷åì îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå ìèíèìàëüíûì (ïðåäåëüíûì) ñëó÷àåì îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå îòíîøåíèå ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. 3. Îòíîøåíèÿ ñðàâíèìîñòè ïî ìîäóëþ n â Z: x ñðàâíèìî ñ ó ïî ìîäóëþ n, åñëè ðàçíîñòü x ó äåëèòñÿ íà n (áåç îñòàòêà). Îáîçíà÷àåòñÿ: x ≡ ó (mod n). Íàïðèìåð: 3 ≡ 6 (mod 3), 7 ≡ 13 (mod 3). 4. Îòíîøåíèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. 5. Óòâåðæäåíèÿ âèäà sin2x + cos2x = 1, (a + b)(a b) = a2 b2, ñîñòîÿùèå èõ ôîðìóë, ñîåäèíåííûõ çíàêîì ðàâåíñòâà, çàäàþò áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ ñóïåðïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ýòî îòíîøåíèå ðàâíîñèëüíîñòè òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè: ôîðìóëû ðàâíîñèëüíû, åñëè îíè çàäàþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ. 6. Îòíîøåíèå «ñòóäåíòû x è y ó÷àòñÿ â îäíîé ãðóïïå», ãäå x, y ∈ {«ñòóäåíòû ïåðâîãî êóðñà»}, åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. 7. Îòíîøåíèå «æèòü â îäíîì ðàéîíå», îïðåäåëåííîå íà ìíîæåñòâå ëþäåé, æèâóùèõ â ã. Êèåâå, ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ìíîæåñòâî âñåõ æèòåëåé Êèåâà ðàçáèâàåòñÿ ïîñëåäíèì îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ðÿä íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ, â äàííîì ñëó÷àå íà ìíîæåñòâà ëþäåé, æèâóùèõ â îäíîì è òîì æå ðàéîíå. Äâà æèòåëÿ ñ÷èòàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ïî äàííîìó îòíîøåíèþ, åñëè îíè æèâóò â îäíîì è òîì æå ðàéîíå, è â ýòîì ñìûñëå îíè íåðàçëè÷èìû, ò.å. îíè îáëàäàþò îäíèì è òåì æå ñâîéñòâîì: «æèòü â ðàéîíå «ÕÕÕ». Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì (ïðåäèêàòîì) ìíîæåñòâà âñåõ æèòåëåé ðàéîíà «ÕÕÕ». Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåëüçÿ æèòü â äâóõ (è áîëåå) ðàéîíàõ ñðàçó (âî âñÿêîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî ïðîïèñêå), ïîýòîìó ìíîæåñòâà æèòåëåé ðàçëè÷íûõ ðàéîíîâ íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå
22
Ãëàâà 2
«æèòü â îäíîì ðàéîíå» ðàçáèâàåò âñå ìíîæåñòâî æèòåëåé ãîðîäà íà ðÿä íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ, òàêèõ, ÷òî âíóòðè êàæäîãî ïîäìíîæåñòâà âñå æèòåëè ýêâèâàëåíòíû ïî äàííîìó îòíîøåíèþ, è íèêàêèå äâà æèòåëÿ ðàçíûõ ïîäìíîæåñòâ íå íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ýêâèâàëåíòíîñòè äðóã ñ äðóãîì. Òàêèå ïîäìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè. Äàäèì áîëåå ñòðîãîå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 2.17. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ρ. Òîãäà ïîäìíîæåñòâî A ⊆ X íàçûâàåòñÿ êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ, åñëè A ñîñòîèò èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ x ∈ X, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî a∈ X, a∈ A è xρa. Ìîæíî ïîñòðîèòü êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì ýëåìåíò a1, ïðèíàäëåæàùèé X, è îáðàçóåì ïîäìíîæåñòâî A1 ⊆ X èç a1 è âñåõ ýëåìåíòîâ, ýêâèâàëåíòíûõ a1. Ýòî áóäåò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè A1. Äàëåå âûáåðåì ýëåìåíò a2 ∈ X, a2 ∉ A1, è îáðàçóåì êëàññ A2, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ýêâèâàëåíòíûõ a2, è ò. ä. Ïîëó÷èì ñèñòåìó êëàññîâ A1, A2, ..., òàêóþ, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò ai ∈ X âõîäèò òîëüêî â îäèí êëàññ, îáúåäèíåíèå âñåõ êëàññîâ A1 ∪ A2 ∪ ... îáðàçóåò ìíîæåñòâî X, è äëÿ ëþáûõ i, j Ai ∩ Aj = ∅, ò.å. ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. Òåîðåìà 2.1. 1. Ïóñòü ρ åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà X. Òîãäà ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ åñòü ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X. Îáðàòíî, åñëè åñòü íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ℜ ìíîæåñòâà X, à îòíîøåíèå ρ òàêîâî, ÷òî aρb òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a ∈ A, b ∈ A, A ⊆ ℜ, òî ρ åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà X. 2. Åñëè îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ρ îïðåäåëÿåò ðàçáèåíèå ℜ ìíîæåñòâà X, òî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, îïðåäåëÿåìîå ýòèì ðàçáèåíèåì ℜ, ñîâïàäàåò ñ ρ. Îáðàòíî, åñëè íåêîòîðîå ðàçáèåíèå  ìíîæåñòâà X îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ρ, òî ðàçáèåíèå ℜ ìíîæåñòâà X, îïðåäåëÿåìîå ýòèì îòíîøåíèåì ρ, ñîâïàäàåò ñ Â. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû ñëåäóåò èç ñâîéñòâ îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. Êàæäûé ýëåìåíò X âîéäåò õîòÿ áû â îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðûé ýëåìåíò b âõîäèò îäíîâðåìåííî â äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè Ai è Aj. Òîãäà ñóùåñòâóåò ai ∈ Ai òàêîå, ÷òî aiρb, è ñóùåñòâóåò aj ∈ Aj òàêîå, ÷òî bρaj. Íî òîãäà, â ñèëó ñâîéñòâà òðàíçèòèâíîñòè, aiρaj è, ñëåäîâàòåëüíî, êëàññû Ai è Aj åñòü îäèí è òîò æå êëàññ.
Òåîðèÿ îòíîøåíèé
23
Ïóñòü òåïåðü ℜ åñòü ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X. Îòíîøåíèå ρ ñèììåòðè÷íî ïî îïðåäåëåíèþ. Åñëè a ∈ X, òî â ℜ íàéäåòñÿ òàêîå ìíîæåñòâî A, ÷òî a ∈ A, òàê ÷òî ρ ðåôëåêñèâíî. Ïîêàæåì, ÷òî îíî òðàíçèòèâíî. Ïóñòü aρb è bρc. Òîãäà â ℜ íàéäåòñÿ òàêîå A, ÷òî a, b ∈ A, è òàêîå B, ÷òî b, c ∈ B. Ïîñêîëüêó b ∈ B è b ∈ A, òî A = B. Ñëåäîâàòåëüíî aρc. Íà îñíîâàíèè ýòîé òåîðåìû ìîæíî äàòü êîíñòðóêòèâíîå îïðåäåëåíèå îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè: îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå Õ íàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ, åñëè ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå Õ íà ïîäìíîæåñòâà {A1, A2 ,..., An} òàêîå, ÷òî îòíîøåíèå xρó âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëè x è ó ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå ïîäìíîæåñòâó. Áóäåì îáîçíà÷àòü êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðîæäåííûé ýëåìåíòîì a ∈ X ÷åðåç [a]. Òîãäà, åñëè aρb, òî [a] = [b]. Îïðåäåëåíèå 2.18. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ìíîæåñòâà X ïî îòíîøåíèþ ρ íàçûâàåòñÿ ôàêòîð-ìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà X ïî îòíîøåíèþ ρ è îáîçíà÷àåòñÿ [X/ρ]. Ïðèìåðû. 1. Âñå êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ðàâåíñòâà ñîñòîÿò èç îäíîãî ýëåìåíòà. Ôàêòîð-ìíîæåñòâî ïî îòíîøåíèþ ðàâåíñòâà ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ ñàìîãî ìíîæåñòâà. 2. Ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Ôàêòîð-ìíîæåñòâî ýòîãî îòíîøåíèÿ ìíîæåñòâî âñåõ íàïðàâëåíèé íà ïëîñêîñòè. Îíî ìîæåò áûòü îïèñàíî, êàê ìíîæåñòâî âñåõ óãëîâ íàêëîíà ïðÿìîé ê îñè àáñöèññ, ò.å. èíòåðâàë [0°, 180°). 3. Ïóñòü õ, ó ∈ Z. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ñðàâíèìîñòè ïî ìîäóëþ 3: xρy åñòü x ≡ y(mod 3). Çàïèñü x ≡ y(mod 3) îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü õó äåëèòñÿ íà 3 áåç îñòàòêà. Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî òàê: xρy åñòü (õ ó)/3 = = k ∈ Z. Äîêàæåì, ÷òî x ≡ y (mod 3) îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. 3.1. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå ñâîéñòâà ðåôëåêñèâíîñòè: äëÿ âñÿêîãî x xρx. Äåéñòâèòåëüíî, (x x)/3 = 0/3 = 0; 0 ∈ Z, ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå ðåôëåêñèâíî. 3.2. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå ñâîéñòâà ñèììåòðè÷íîñòè: åñëè xρy, òî óρõ. Ïóñòü (õ ó)/3 = k ∈ Z. Òîãäà (ó õ)/3 = (õ ó)/3 = k ∈ Z. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå ñèììåòðè÷íîñòè âûïîëíÿåòñÿ. 3.3. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå ñâîéñòâà òðàíçèòèâíîñòè: èç xρy è óρz ñëåäóåò xρz. Ïóñòü (õ ó)/3 = k1 ∈ Z, ò.å. õ ó = 3k1, è (y z)/3 = k2 ∈ Z, ò.å. y z = 3k2. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ñëîæèâ èõ: õ ó + y z = 3(k1 + k2), ò.å. x z = 3(k1 + k2) = k3 ∈ Z. Óñëîâèå òðàíçèòèâíîñòè âûïîëíÿåòñÿ.
24
Ãëàâà 2
Ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå õ ≡ ó (mod 3) ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Íàéäåì åãî ôàêòîð-ìíîæåñòâî [Z/ρ]. Ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî õ ∈ Z ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 3q + r, ãäå q, r ∈ Z, 0 ≤ r < 3.  îäèí è òîò æå êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïîïàäóò âñå ÷èñëà, äàþùèå ïðè äåëåíèè íà 3 îäèíàêîâîå ÷èñëî r â îñòàòêå. Ìû ïîëó÷èì òðè êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè: [0] = {0, 3, 6, 9, 12,
}; [1] = {1, 4, 7, 10, 13,
}; [2] = {2, 5, 8, 11, 14,
}.  êëàññ [0] ïîïàäàþò âñå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 3 áåç îñòàòêà, â êëàññ [1] âñå ÷èñëà, ïðè äåëåíèè íà 3 äàþùèå â îñòàòêå 1, è â êëàññ [2] âñå ÷èñëà, äàþùèå â îñòàòêå 2. Êàæäûé êëàññ ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü îäíèì ïðåäñòàâèòåëåì ýòîãî êëàññà, è â äàííîì ñëó÷àå òàêèì ïðåäñòàâèòåëåì óäîáíåå âñåãî âûáðàòü îñòàòîê r. Ñëåäîâàòåëüíî, ôàêòîð-ìíîæåñòâîì Z ïî îòíîøåíèþ õ ≡ ó (mod 3) áóäåò [Z/õ ≡ ó (mod 3)] = {[0], [1], [2]}.
Ãëàâà 3.
ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß. ÔÓÍÊÖÈÈ 3.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
 ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, îïðåäåëåííûå íà äåêàðòîâîì êâàäðàòå ìíîæåñòâà, ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëüøèé èíòåðåñ, òàê êàê îíè îáëàäàþò ðÿäîì ñâîéñòâ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò âûäåëÿòü òàêèå ïîëåçíûå îòíîøåíèÿ, êàê îòíîøåíèÿ ðàâåíñòâà, ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðÿäêà. Äëÿ îòíîøåíèé, îáðàçîâàííûõ ðàçëè÷íûìè ìíîæåñòâàìè, êîãäà ρ ⊆ E × F, ãîâîðèòü î ðåôëåêñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè óæå íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê ïåðâàÿ è âòîðàÿ êîîðäèíàòà ρ ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ ïðèðîäó. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå «x ðîäèëñÿ â ãîäó y» ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâà ëþäåé è ìíîæåñòâà ëåò (ïîäìíîæåñòâà öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë) è ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ÷åëîâåêó ãîä åãî ðîæäåíèÿ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïîäîáíûõ îòíîøåíèé ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ ñîîòâåòñòâèÿ, îòîáðàæåíèÿ, ôóíêöèè. Îïðåäåëåíèå 3.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ìåæäó ìíîæåñòâàìè E è F îïðåäåëåíî ñîîòâåòñòâèå Ã, åñëè çàäàíî íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ E × F. Ìíîæåñòâî E íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, F îáëàñòüþ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâèÿ Ã. Ñîîòâåòñòâèå, îáðàòíîå Ã, îáîçíà÷èì Ã1, ãäå F îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, E îáëàñòü çíà÷åíèé Ã1. Îïðåäåëåíèå 3.2. Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà E íà ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ òàêîå ñîîòâåòñòâèå, êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ E ñîïîñòàâëÿåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ýëåìåíò y ∈ F. Òîãäà ýëåìåíò y íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ýëåìåíòà x, à x ïðîîáðàçîì ýëåìåíòà y, èëè ïåðåìåííîé, èëè àðãóìåíòîì. Îòîáðàæåíèå E â F áóäåì îáîçíà÷àòü f: E → F, ãäå f èìÿ îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 3.1 ïîêàçàíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè E è F, íà ðèñ. 3.2 îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà E â ìíîæåñòâî F.
Ðèñ. 3.1. Ñîîòâåòñòâèå.
Ðèñ. 3.2. Îòîáðàæåíèå.
26
Ãëàâà 3 3.1.1. Ñþðúåêöèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.3. Îòîáðàæåíèå E íà F íàçûâàåòñÿ ñþðúåêòèâíûì, èëè ñþðúåêöèåé, èëè íàëîæåíèåì, åñëè êàæäûé ýëåìåíò y ∈ F åñòü îáðàç ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî ýëåìåíòà x ∈ E, ò.å. ∀y ∈ F ∃x ∈ E (y = Ã(x)). Óñëîâèå ∀ó∈ F |Ã1(y)| ≥ 1 õàðàêòåðèçóåò ñþðúåêöèþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò èç F èìååò íå ìåíåå îäíîãî ïðîîáðàçà â E. Íà ãðàôå ñîîòâåòñòâèÿ â êàæäûé ýëåìåíò y âõîäèò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà äóãà (ðèñ. 3.3) è îáðàòíîå îòîáðàæåíèå Ã1(y) íå ïóñòî.
Ðèñ. 3.3. Ñþðúåêöèÿ. 3.1.2. Èíúåêöèÿ Îïðåäåëåíèå 3.4. Îòîáðàæåíèå E â F íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíûì, èëè èíúåêöèåé, èëè âëîæåíèåì, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ó ∈ F åñòü îáðàç òîëüêî îäíîãî ýëåìåíòà x ∈ E, ëèáî âîîáùå íå èìååò ïðîîáðàçà.  ýòîì ñëó÷àå E èíúåêòèâíî îòîáðàæàåòñÿ â F. Íà ãðàôå ñîîòâåòñòâèÿ â êàæäûé ýëåìåíò y âõîäèò ñàìîå áîëüøåå îäíà äóãà, ò.å. óñëîâèå ∀ó ∈ F |Ã1(y)| ≤ 1 õàðàêòåðèçóåò èíúåêöèþ. Íà ðèñ. 3.4. ïîêàçàíà èíúåêöèÿ: â êàæäûé ýëåìåíò y âõîäèò ñàìîå áîëüøåå îäíà äóãà; íåêîòîðûå ýëåìåíòû y íå èìåþò ïðîîáðàçîâ â E.
Ðèñ. 3.4. Èíúåêöèÿ. 3.1.3. Áèåêöèÿ Îïðåäåëåíèå 3.5. Åñëè îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ñþðúåêöèåé, è èíúåêöèåé, òî îíî íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíûì îòîáðàæåíèåì, èëè áèåêöèåé.  ýòîì ñëó÷àå êàæäûé ýëåìåíò F ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì íåêîòîðîãî, è ïðèòîì åäèíñòâåííîãî, ýëåìåíòà èç E. Íà ãðàôå ñîîòâåòñòâèÿ íà ðèñ. 3.5 ïîêàçàíà áèåêöèÿ: â êàæäûé ýëåìåíò y âõîäèò îäíà è òîëüêî
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
27
îäíà äóãà, ò.å. ïðè áèåêöèè êàæäûé îáðàç èìååò òîëüêî îäèí ïðîîáðàç: ∀ó ∈ F |Ã1(y)| = 1.
Ðèñ. 3.5. Áèåêöèÿ. 3.1.4. Ôóíêöèîíàëüíûå îòîáðàæåíèÿ Îïðåäåëåíèå 3.6. Ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì êàæäîìó x ∈ E ñîïîñòàâëÿåòñÿ îäèí è òîëüêî îäèí ýëåìåíò ó ∈ F, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì ñîîòâåòñòâèåì, èëè ôóíêöèåé. Äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå: ∀x ∈ E |Ã(x)| = 1. Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ýòî ñîîòâåòñòâèå èëè îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà íå èìåþò îäèíàêîâûõ ïåðâûõ êîîðäèíàò, ò.å. åñëè <x, y>, <x, z> ∈ Ã, òî y = z. Åñëè ôóíêöèîíàëüíîå ñîîòâåòñòâèå íå ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì, ò.å. â E ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû, íå èìåþùèå îáðàçà â F, òî îíî íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé. Ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé, èëè ïðîñòî ôóíêöèåé.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ôóíêöèîíàëüíûå îòîáðàæåíèÿ è îáîçíà÷àòü èõ ôóíêöèîíàëüíûìè ñèìâîëàìè ƒ, ϕ è ò.ï. Ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü áèåêòèâíîé, ñþðúåêòèâíîé è èíúåêòèâíîé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.6, 3.7, 3.8. Ôóíêöèîíàëüíàÿ áèåêöèÿ E → F óñòàíàâëèâàåò òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò èç E èìååò åäèíñòâåííûé îáðàç â F, à êàæäûé ýëåìåíò èç F èìååò åäèíñòâåííûé ïðîîáðàç â E, ïîýòîìó ôóíêöèîíàëüíàÿ áèåêöèÿ íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì. Ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå E → F, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé, âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â E íå ìåíüøå êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ â F, ò.å. |E| ≥ |F|. Äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé èíúåêöèè, íàîáîðîò, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå |E| ≤ |F|.
Ðèñ. 3.6. Ôóíêöèîíàëüíàÿ áèåêöèÿ.
Ðèñ. 3.7. Ôóíêöèîíàëüíàÿ èíúåêöèÿ.
28
Ãëàâà 3
Ðèñ. 3.8. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñþðúåêöèÿ. Îïðåäåëåíèå 3.7. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà E â E, îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì ƒ(x) = x, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì (îïåðàòîðîì). Îïðåäåëåíèå 3.8. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà â åãî ôàêòîð-ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé ñþðúåêöèåé. Ïðèìåðû îòîáðàæåíèé. 1. Ïóñòü çàäàíî ñîîòâåòñòâèå ƒ: R → R, òàêîå, ÷òî ƒ(x) = x2. Ýòî ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì, òàê êàê äëÿ êàæäîãî x ∈ R ñóùåñòâóåò îáðàç ƒ(x) = x2. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R; îáëàñòü çíà÷åíèé Im(R) = [0, ∞). Îòîáðàæåíèå ƒ ôóíêöèîíàëüíî, òàê êàê êàæäîå çíà÷åíèå x ∈ R èìååò òîëüêî îäèí îáðàç â R. Îòîáðàæåíèå ƒ: R → [0, ∞) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñþðúåêöèåé, òàê êàê äëÿ êàæäîãî ƒ(x) ∈ [0, ∞) ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ïðîîáðàç x ∈ R. 2. Åñëè E ìíîæåñòâî îãðàíè÷åííûõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè, òî ôóíêöèÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû êðèâîé åñòü ñþðúåêöèÿ ƒ: E → R+. 3. Îòîáðàæåíèå ƒ: R → R, òàêîå, ÷òî ƒ(x) = 2x+3, ò.å. ïðÿìàÿ, åñòü áèåêöèÿ. 4. Îòîáðàæåíèå g: N → R, òàêîå, ÷òî g(x) = ±√x, ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé, íî íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì îòîáðàæåíèåì. 5. Ñîîòâåòñòâèå ƒ: R → R, òàêîå, ÷òî ƒ(x) = x/sin x, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé: äëÿ sin x = 0 çíà÷åíèå ôóíêöèè íå îïðåäåëåíî. 6. Èíäåêñèðîâàíèå ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà åñòü îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà â ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N.
3.2. Êàðäèíàëüíàÿ ñòåïåíü ìíîæåñòâ Åñëè E è F äâà ìíîæåñòâà, òî ìîæíî ãîâîðèòü î íåêîòîðîì íîâîì ìíîæåñòâå ìíîæåñòâå ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé E â F. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 3.9 ïîêàçàíî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé èç E = {0, 1} â F = {a, b}. Ýòî æå ìíîæåñòâî çàäàíî â òàáëèöå ýòî ìíîæåñòâî âñåõ îäíîìåñòíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà E ñî çíà÷åíèÿìè â F.
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
f1
29
f2
f3
f4
x
f1
f2
f3
f4
0 1
a a
a b
b a
b b
Ðèñ. 3.9. Ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé E = {0, 1} â F = {a, b}. Èç òàáëèöû âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé èç E = {0, 1} â F = {a, b} ìîæíî áèåêòèâíî îòîáðàçèòü íà äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå F × F, òàê êàê êàæäîé ôóíêöèè ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó èç F × F.  äàííîì ïðèìåðå òàêîé áèåêöèåé áóäåò: f1 ó , f2 ó , f3 ó , f4 ó . Åñëè E ñîñòîèò èç n ýëåìåíòîâ x1, x2, ..., xn, òî ìíîæåñòâî (îäíîìåñòíûõ) ôóíêöèé èç E â F ìîæíî áèåêòèâíî îòîáðàçèòü íà F n, òàê êàê êàæäîå òàêîå îòîáðàæåíèå ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ êîðòåæà ∈ F n îáðàçîâ ýëåìåíòîâ x1, x2, ..., xn ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè. Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ýëåìåíòîâ â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè F n, ãäå n êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà E.  íàøåì ïðèìåðå äëÿ f: {0, 1} → {a, b} êîëè÷åñòâî ôóíêöèé |f| = 22 = 4. Åñëè |E| = 3, |F| = 2, òî |f| = 23.  îáùåì ñëó÷àå |f| = |F| |E|. Ýòî äàåò îñíîâàíèå îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé {ƒ: E → F} â âèäå ñòåïåíè F E. Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè åùå îäíó îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâàìè ýòî âîçâåäåíèå ìíîæåñòâà â ñòåïåíü äðóãîãî ìíîæåñòâà: F E. Ðåçóëüòàòîì åå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé E → F, ò.å. ìíîæåñòâî âñåõ îäíîìåñòíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà E ñî çíà÷åíèÿìè â F.  îòëè÷èå îò äåêàðòîâîé ñòåïåíè ìíîæåñòâà, ñòåïåíü ìíîæåñòâà F E êàê ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé E → F íàçûâàþò êàðäèíàëüíîé ñòåïåíüþ. Îïðåäåëåíèå 3.9. Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé {ƒ: E → F} íàçûâàåòñÿ (êàðäèíàëüíîé) ñòåïåíüþ ìíîæåñòâ è îáîçíà÷àåòñÿ F E. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà E n â F, ãäå n ∈ N, E n äåêàðòîâà ñòåïåíü ìíîæåñòâà E, îáðàçóåò ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé åñòü ìíîæåñòâî âñåõ (ôóíêöèîíàëüíûõ)
30
Ãëàâà 3 n
îòîáðàæåíèé ƒ: E n → F, ò.å. ñòåïåíü ìíîæåñòâà F E . Êîëè÷åñòâî n
òàêèõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ êàê |f| = | F || E | .  ÷àñòíîñòè, îòîáðàæåíèå f: E × E → F äâóìåñòíàÿ ôóíêöèÿ, à ìíîæåñòâî F E × E åñòü ìíîæåñòâî âñåõ äâóìåñòíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà E × E ñî çíà÷åíèÿìè â F. Êîëè÷åñòâî òàêèõ | E |2 ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ êàê |f| = |F| |E × E| = | F | . Åñëè ïðè âîçâåäåíèè â ñòåïåíü E = ∅, òî ƒ(∅) = ∅, ñëåäîâàòåëüíî, F ∅ = ∅. Ïðèìåð. Îïðåäåëèì âñå âîçìîæíûå ôóíêöèè ƒ: E × E → F, ãäå E = {0, 1}, F = {a, b}. Òàêèõ ôóíêöèé áóäåò 24 = 16. x1 x2 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16 0 0 1 1
0 1 0 1
a a a a a a a b
a a b a
a a b b
a b a a
a b a b
a b b a
a b b b
b a a a
b a a b
b a b a
b a b b
b b a a
b b a b
b b b a
b b b b
Êàê âèäíî èç òàáëèöû, êàæäàÿ ôóíêöèÿ åñòü ìíîæåñòâî ïàð {<<x 1, x 2>, y>}, íàïðèìåð, f 4 = {{<<0, 0>, a>, <<0, 1>, a>, <<1, 0>, b>, <<1, 1>, b>}.
3.3. Ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé Ïóñòü ƒ ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå E â F è A ïîäìíîæåñòâî E. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ƒ(A) ïîäìíîæåñòâî F, îáðàçîâàííîå èç âñåõ ýëåìåíòîâ ƒ(x), ãäå x ∈ A. Ïîäìíîæåñòâî ƒ(A) íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ïîäìíîæåñòâà A ïðè îòîáðàæåíèè f: A → ƒ(A), èëè ñóæåíèåì ôóíêöèè Å → ƒ(Å). Î÷åâèäíî, ÷òî ƒ(∅) = ∅. Èñõîäÿ èç îòîáðàæåíèÿ ƒ, îïðåäåëèì íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå A → ƒ(A). Ýòî îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò îïåðàöèè ⊂, ∩, ∪, \ â ñëåäóþùåì ñìûñëå. ( äîêàçàòåëüñòâàõ ñèìâîë ⇒ îçíà÷àåò «âëå÷åò», «ñëåäîâàòåëüíî», ñèìâîë ⇔ «ðàâíîñèëüíî», «ðàâíîçíà÷íî».) Óòâåðæäåíèå 3.1. Åñëè A ⊂ B, òî ƒ(A) ⊂ ƒ(B). Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Óòâåðæäåíèå 3.2. ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B). Äîêàçàòåëüñòâî. f(x) ∈ f(A ∪ B) ⇒ x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A èëè x ∈ B ⇒ f(x) ∈ f(A) èëè f(x) ∈ f(B) ⇔ f(x) ∈ f(A) ∪ f(B) ⇒ ⇒ f(A ∪ B) ⊆ f(A) ∪ f(B). (1) f(x) ∈ f(A) ∪ f(B) ⇔ f(x) ∈ f(A) èëè f(x) ∈ f(B) ⇒ x ∈ A
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
31
èëè x ∈ B ⇔ x ∈ A ∪ B ⇒ f(x) ∈ f(A ∪ B) ⇒ ⇒ f(A) ∪ f(B) ⊆ f(Α ∪ B). (2) Èç (1) è (2) ⇒ ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B). Óòâåðæäåíèå 3.3. f(A\B) = f(A)\f(B). Äîêàçàòåëüñòâî. f(x) ∈ f(A\B) ⇒ x ∈ A\B ⇔ x ∈ A è x ∉ B ⇒ f(x) ∈ f(A) è f(x) ∉ f(B) ⇔ f(x) ∈ f(A)\f(B) ⇒ f(A\B) ⊆ f(A)\f(B). (1) f(x) ∈ f(A)\f(B) ⇔ f(x) ∈ f(A) è f(x) ∉ f(B) ⇒ x ∈ A è x ∉ B ⇔ ⇔ x ∈ A\B ⇒ f(x) ∈ f(A\B) ⇒ f(A)\f(B) ⊆ f(A\B). (2) Èç (1) è (2) ⇒ ƒ(A\B) = ƒ(A)\ƒ(B). Îäíàêî, îïåðàöèè ∩, ⊂ ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè íå ñîõðàíÿþòñÿ, èìååò ìåñòî ëèøü âêëþ÷åíèå. Óòâåðæäåíèå 3.4. ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B). Äîêàçàòåëüñòâî. f(x) ∈ f(A ∩ B) ⇒ x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A è x ∈ B ⇒ f(x) ∈ f(A) è f(x) ∈ f(B) ⇔ f(x) ∈ f(A) ∩ f(B) ⇒ ⇒ f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B). (1) f(x) ∈ f(A) ∩ f(B) ⇔ f(x) ∈ f(A) è f(x) ∈ f(B) ⇒ x ∈ A è x ∈ B. Îäíàêî âîçìîæíî, ÷òî A ∩ B = ∅, è òîãäà f(A ∩ B) = f(∅) = ∅, íî ïðè ýòîì âîçìîæíî, ÷òî f(A) ∩ f(B) ≠ ∅, è òîãäà ƒ(A) ∩ ƒ(B) ⊄ ƒ(A ∩ B), ïîòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ ðåçóëüòàòîì (1). Ïóñòü òåïåðü B ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà F. Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ƒ1(B) ïîäìíîæåñòâî E, îáðàçîâàííîå èç âñåõ òàêèõ ýëåìåíòîâ x, ÷òî ƒ(x) ∈ B. Ïîäìíîæåñòâî ƒ1(B) íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B ïðè îòîáðàæåíèè ƒ. Ýòî îïðåäåëåíèå âîâñå íå ïðåäïîëàãàåò áèåêòèâíîñòè ƒ. Åñëè y ∈ F, òî ìîæíî ãîâîðèòü î ƒ1({y}), íî ýòî íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî E, à íå ýëåìåíò E. Îíî ìîæåò ñîäåðæàòü áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà, åñëè ƒ íå ÿâëÿåòñÿ èíúåêòèâíûì, è ìîæåò îêàçàòüñÿ ïóñòûì, åñëè ƒ íå ñþðúåêòèâíî. Åñëè ƒ áèåêòèâíî, òî ƒ1({y}) = {ƒ1(y)}. Î÷åâèäíî, ÷òî ƒ1(∅) = ∅. Ìû ñâÿçàëè ñ îòîáðàæåíèåì ƒ îòîáðàæåíèå B → ƒ 1(B) ìíîæåñòâà ℘(F) âî ìíîæåñòâî ℘(E). Ýòî îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò îïåðàöèè ⊂, ∪, ∩, \, ′ â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Óòâåðæäåíèå 3.5. Åñëè A ⊂ B , òî ƒ1(A) ⊂ ƒ1(B). Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Óòâåðæäåíèå 3.6. ƒ1(A ∪ B) = ƒ1(A) ∪ ƒ1(B). Äîêàçàòåëüñòâî. x ∈ ƒ1(A ∪ B) ⇒ ƒ(x) ∈ A ∪ B ⇔ ƒ(x) ∈ A èëè ƒ(x) ∈ B ⇒ ⇒ x ∈ ƒ1(A) èëè x ∈ ƒ1(B) ⇔ x ∈ ƒ1(A) ∪ ƒ1(B) ⇒ (1) ⇒ ƒ1(A ∪ B) ⊆ ƒ1(A) ∪ ƒ1(B).
32
Ãëàâà 3 x ∈ ƒ1(A) ∪ ƒ1(B) ⇔ x ∈ ƒ1(A) èëè x ∈ ƒ1(B) ⇒ ƒ(x) ∈ A èëè ƒ(x) ∈ B ⇔ ƒ(x) ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ ƒ1(A ∪ B) ⇒ ⇒ ƒ1(A) ∪ ƒ1(B) ⊆ ƒ1(A ∪ B). (2) Èç (1) è (2) ⇒ ƒ1(A ∪ B) = ƒ1(A) ∪ ƒ1(B). Óòâåðæäåíèå 3.7. ƒ1(A ∩ B) = ƒ1(A) ∩ ƒ1(B). Äîêàçàòåëüñòâî. x ∈ ƒ1(A ∩ B) ⇒ ƒ(x) ∈ A ∩ B ⇔ ƒ(x) ∈ A è ƒ(x) ∈ B ⇒ ⇒ x ∈ ƒ1(A) è x ∈ ƒ1(B) ⇔ x ∈ ƒ1(A) ∩ ƒ1(B) ⇒ ⇒ ƒ1(A ∩ B) ⊆ ƒ1(A) ∩ ƒ1(B). (1) x ∈ ƒ1(A) ∩ ƒ1(B) ⇔ x ∈ ƒ1(A) è x ∈ ƒ1(B) ⇒ ƒ(x) ∈ A è ƒ(x) ∈ B ⇔ ƒ(x) ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ ƒ1(A ∩ B) ⇒ ⇒ ƒ1(A) ∩ ƒ1(B) ⊆ ƒ1(A ∩ B). (2) Èç (1) è (2) ⇒ ƒ1(A ∩ B) = ƒ1(A) ∩ ƒ1(B). Óòâåðæäåíèå 3.8. ƒ1(A′) = (ƒ1)′(A). Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Óòâåðæäåíèå 3.9. ƒ1(A\B) = ƒ1(A)\f1(B). Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
3.4. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé Îïðåäåëåíèå 3.10. Ïóñòü äàíû òðè ìíîæåñòâà E, F è G, è çàäàíû îòîáðàæåíèÿ ƒ: E → F, g: F → G. Òîãäà êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèé goƒ: E → G íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå E â G, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé goƒ = g(ƒ(x)). Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ïàð <x, y> ∈ ƒ è ∈ g, òî ìíîæåñòâî ïàð <x, z> ∈ goƒ îáðàçóåò êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé goƒ. Çàïèñü goƒ ïðîèçâîäèòñÿ â ïîðÿäêå, îáðàòíîì òîìó, â êîòîðîì ïðîèçâîäÿòñÿ îïåðàöèè ƒ: E → F, g: F → G. Òàêèì îáðàçîì, â ìàòåìàòèêå ïðèíÿòî ïðàâèëî, ñîãëàñíî êîòîðîìó êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé goƒ íàäî íà÷èíàòü ñ âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ƒ, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà ñïðàâà. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü f: R → R ⇔ y = x 1; g: R → R ⇔ y = ex. Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé goƒ: R → R ⇔ y = ex 1, fog : y = ex 1. 2. Ïóñòü f: R → Z ⇔ y = [x] (öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà x); g: Z → {0, 1} ⇔ (y) mod2. Òîãäà gof: R → {0, 1} åñòü ([x]) mod2 îñòàòîê îò äåëåíèÿ öåëîé ÷àñòè ÷èñëà x íà 2. Òåîðåìà 3.1. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé àññîöèàòèâíà, ò.å., åñëè ƒ, g, h îòîáðàæåíèÿ E â F, F â G è G â H ñîîòâåòñòâåííî, òî (hog)oƒ = ho(goƒ), ÷òî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: hogoƒ.
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
33
Ðèñ. 3.10. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü <x, u> ∈ ho(goƒ), <x, z> ∈ goƒ, ∈ h. Ïîñêîëüêó <x, z> ∈ goƒ, òî ñóùåñòâóåò òàêîå y, ÷òî <x, y> ∈ ƒ, è ∈ g, à ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ∈ h, òî ñóùåñòâóåò è ∈ hog. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè <x, y> ∈ ƒ è ∈ hog, òî ñóùåñòâóåò è <x, u> ∈ (hog)of (ñì. ðèñ. 3.10). Òåîðåìà 3.2. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé íå êîììóòàòèâíà. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû î÷åâèäíî, îíî îñíîâàíî íà ñàìîì îïðåäåëåíèè êîìïîçèöèè. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâà îòîáðàæåíèÿ ƒ: y = sin x è g: y = x2, ãäå x, y ∈ R. Êîìïîçèöèÿ goƒ: y = sin2x, à êîìïîçèöèÿ ƒog: y = sin x2. Î÷åâèäíî, ýòî ðàçëè÷íûå ôóíêöèè. Îïðåäåëåíèå 3.11. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà E â E, ïðè êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò ïåðåõîäèò â ñåáÿ, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì è îáîçíà÷àåòñÿ IE. Äëÿ òîæäåñòâåííûõ îòîáðàæåíèé ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà1: foIE = IFof = f. Òåîðåìà 3.3. Îòîáðàæåíèå f: E → F èìååò îáðàòíîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f áèåêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè f èíúåêöèÿ è ñþðúåêöèÿ, òî íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ƒ1: F → E. Òàê êàê ƒ(x) ñþðúåêöèÿ, òî êàæäûé ýëåìåíò èç F èìååò õîòÿ áû îäèí ïðîîáðàç â E: ∃x ∈ E (ƒ(x) = y), ò.å. ñîîòâåòñòâèå ƒ1: F → E âñþäó îïðåäåëåíî íà F è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì. Åñëè âñå ðàññìàòðèâàåìûå îòîáðàæåíèÿ åñòü áèåêöèè, òî äëÿ êàæäîãî îòîáðàæåíèÿ ñóùåñòâóåò îáðàòíîå, è ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç E â F îáðàçóåò ãðóïïó, â êîòîðîé òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ IE, IF ÿâëÿþòñÿ ëåâîé è ïðàâîé åäèíèöåé. 1
34
Ãëàâà 3
A òàê êàê ƒ(x) èíúåêöèÿ, ò.å. äëÿ x1 ≠ x2 ƒ(x1) ≠ ƒ(x2), òî êàæäûé ýëåìåíò y èìååò òîëüêî îäèí ïðîîáðàç, ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå ƒ1: F → E ôóíêöèîíàëüíî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f1: F → E ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ƒ áèåêöèÿ. Ïîñêîëüêó ƒ1 îòîáðàæåíèå, òî êàæäûé ýëåìåíò y èç F èìååò ïðîîáðàç â E, ò.å. îòîáðàæåíèå ƒ ñþðúåêòèâíî. Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ƒ1 ôóíêöèîíàëüíî, òî êàæäîìó îáðàçó ƒ(x) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðîîáðàç x, ò.å. ƒ èíúåêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ƒ áèåêöèÿ. Òåîðåìà 3.4. Åñëè ƒ è g ôóíêöèîíàëüíûå îòîáðàæåíèÿ, ëèáî ñþðúåêöèè, ëèáî èíúåêöèè, ëèáî áèåêöèè, òî ìîæíî äîêàçàòü ðÿä óòâåðæäåíèé î ñâîéñòâàõ êîìïîçèöèè ýòèõ îòîáðàæåíèé. Ýòè ñâîéñòâà îòîáðàæåíû â òàáë. 3.1, ãäå ñèìâîëàìè îáîçíà÷åíû: Î îòîáðàæåíèå, Ñ ñþðúåêöèÿ, È èíúåêöèÿ, Á áèåêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ 16 óòâåðæäåíèé ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ. Òàáëèöà 3.1. goƒ Î Ñ È Á
Î Î Î Î Î
Ñ Î Ñ Î Ñ
È Î Î È È
Á Î Ñ È Á
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
35
Åëè y1 åñòü îáðàç ýëåìåíòà x ∈ E, òî z1 åñòü îáðàç ýëåìåíòà x â G, ò.å. ñóùåñòâóåò ïàðà, <x, z1> ∈ goƒ. Ýëåìåíò y2 ìîæåò íå èìåòü ïðîîáðàçà â E, è, ñëåäîâàòåëüíî, íå êàæäûé ýëåìåíò z èìååò ïðîîáðàç â E, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî goƒ íå ñþðúåêöèÿ. Ïîñêîëüêó f èíúåêöèÿ, òî ñóùåñòâóþò ïàðû <x1, y1> ∈ f, <x2, y2 > ∈ f, è y1 ≠ y2, à òàê êàê g ñþðúåêöèÿ, òî âîçìîæíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïàðû ∈ g, ∈ g, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïàðû <x1, z> ∈ goƒ, <x2, z> ∈ goƒ, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî goƒ íå èíúåêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, goƒ ïðîñòî îòîáðàæåíèå. Ïðèìåð. Ïóñòü f: R → R ⇔ y = x 1 áèåêöèÿ; g: R → R ⇔ y = e2x èíúåêöèÿ (òàê êàê íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà õ ∈ R, äëÿ êîòîðîãî ó = 0 åñòü îáðàç). Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé goƒ: R → R ⇔ y = e2(x 1) èíúåêöèÿ, ñîãëàñíî òåîðåìå 3.4.
3.5. Çàìåíà ïåðåìåííîé è çàìåíà ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 3.12. Ïóñòü ƒ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà E ñî çíà÷åíèÿìè â F. Åñëè u ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà E1 âî ìíîæåñòâî E, òî ìîæíî ïîñòðîèòü íîâóþ ôóíêöèþ ƒ1 = ƒou, îïðåäåëåííóþ íà E1 ñî çíà÷åíèÿìè â F (ðèñ. 3.12). Ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíà çàìåíà ïåðåìåííîé, èëè çàìåíà èñõîäíîãî ìíîæåñòâà E íà E1, è ÷òî ƒ1 ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì ƒ ïðè ýòîé çàìåíå ïåðåìåííûõ. Ïðîèçâåäÿ â âûðàæåíèè ƒ(x) ïîäñòàíîâêó x = u(x1), ïîëó÷àþò âûðàæåíèå ƒ1(x1). Èíîãäà ýòî îáîçíà÷àþò êàê ƒ*(x1) = ƒ(u(x1)).
Ïðèìåð. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå: êîìïîçèöèÿ èíúåêöèè è ñþðúåêöèè åñòü îòîáðàæåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g ñþðúåêöèÿ, f èíúåêöèÿ, goƒ èõ êîìïîçèöèÿ, è ïóñòü <x, y> ∈ f, ∈ g, <x, z> ∈ goƒ (ñì. ðèñ. 3.11). Ðèñ. 3.12. Çàìåíà ïåðåìåííîé.
Ðèñ. 3.11. Êîìïîçèöèÿ èíúåêöèè è ñþðúåêöèè. Ïîñêîëüêó g ñþðúåêöèÿ, òî äëÿ âñÿêîãî z ∈ G ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåé ìåðå îäèí ïðîîáðàç y ∈ F, è, âîçìîæíî, ñóùåñòâóþò ïàðû ∈ g, ∈ g, ãäå y1, y2 ∈ F, z1, z2 ∈ G. Òàê êàê f èíúåêöèÿ, òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî îáðàçà y ∈ F.
Îïðåäåëåíèå 3.13. Ïóñòü v ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì îòîáðàæåíèåì F â ìíîæåñòâî F1. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü íîâóþ ôóíêöèþ ƒ* = voƒ, îïðåäåëåííóþ íà E ñî çíà÷åíèÿìè â F1 (ðèñ. 3.13).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïðîèçâåäåíà çàìåíà ôóíêöèè èëè çàìåíà ìíîæåñòâà çíà÷åíèé F íà ìíîæåñòâî F1 è ÷òî ƒ* ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ƒ ïðè ýòîé çàìåíå. Çàìåíó ôóíêöèè íàçûâàþò åùå àïïëèêàöèåé ôóíêöèé. Èíîãäà ýòî îáîçíà÷àþò êàê ƒ*(x) = v(ƒ(x)). Ïðèìåð. Ïóñòü èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ E → F: ƒ(x) = x2. Çàäàíû ôóíêöèè: E1 → E: u(x1) = x1 + 1; F → F1: v(x) = 2x. Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííîé â ôóíêöèè ƒ(x): ƒ(u(x1)) = (x1 + 1)2. Âûïîëíèì çàìåíó
Ãëàâà 3
36
Ãëàâà 4.
ÌÎÙÍÎÑÒÜ ÌÍÎÆÅÑÒÂ 4.1. Îïðåäåëåíèå ìîùíîñòè
Ðèñ. 3.13. Çàìåíà ôóíêöèè. ôóíêöèè â ôóíêöèè ƒ(x): v(ƒ(x)) = 2x2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè çàìåíå ïåðåìåííîé ìû ïîëó÷àåì íîâóþ ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò íîâîé ïåðåìåííîé, à ïðè çàìåíå ôóíêöèè íîâóþ ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò òîé æå ñàìîé ïåðåìåííîé. Ìîæíî ïðîèçâåñòè îäíîâðåìåííî è çàìåíó ïåðåìåííîé è çàìåíó ôóíêöèè: ƒ3 = voƒou. Çäåñü ƒ3 ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ƒ ïðè çàìåíå ïåðåìåííîé u è çàìåíå ôóíêöèè v. Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëåííûõ âûøå ôóíêöèé: ƒ3 = voƒou = v(ƒ(u(x1))) = 2(x1 + 1)2.
Ïîíÿòèå ìîùíîñòè ìíîæåñòâ ñâÿçàíî ñ îöåíêîé ÷èñëà ýëåìåíòîâ â íåì.  êîíå÷íîì ìíîæåñòâå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìîæíî ïåðåñ÷èòàòü. ×èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå Õ îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî êàê |Õ|. Íàïðèìåð, åñëè X = {a, b, c}, òî |X| = 3. Åñëè äâà ìíîæåñòâà èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, òî ìåæäó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Òîãäà âñå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, èìåþùèå îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ, áóäóò ýêâèâàëåíòíû ïî ÷èñëó ýëåìåíòîâ â íèõ è îáðàçóþò îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ýòîò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæåò áûòü îáîçíà÷åí öåëûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, îïðåäåëÿþùèì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâàõ. Âñå îäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà îáðàçóþò îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, äâóõýëåìåíòíûå äðóãîé, è òàê äàëåå. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, îáúåäèíÿþùèé âñå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ, ðàâíûì äàííîìó ÷èñëó. Ìîùíîñòü îáúåäèíåíèÿ íåñêîëüêèõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëàì: |X ∪ Y| = |X| + |Y| |X ∩ Y|; |X ∪ Y ∪ Z| = |X| + |Y| + |Z| |X ∩ Y| |X ∩ Z| |Y ∩ Z| + |X ∩ Y ∩ Z|. (×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü ýòè ðàâåíñòâà ñàìîñòîÿòåëüíî è íàéòè îáùåå âûðàæåíèå.) Ðàññìîòðèì òåïåðü áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Äëÿ íåêîòîðûõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ òîæå ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, äëÿ ìíîæåñòâà ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñïèñêà: {2, 4, 6,
}, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1, 2, 3,
) áóäåò íóìåðàöèåé ýòîãî ñïèñêà, ò.å. ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå ƒ(n) = 2n, äëÿ êàæäîãî n ∈ N ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N â ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ÷åòíûõ ÷èñåë ðîâíî ñòîëüêî æå, ñêîëüêî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ïîäìíîæåñòâà ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ÷èñåë, ò.å. ÷åòíûõ ÷èñåë ðîâíî ïîëîâèíà èç âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë! Ïîëó÷àåì, ÷òî â íåêîòîðîì ñìûñëå ÷àñòü ðàâíà öåëîìó1. È ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Ýòîò ôàêò, çàêëþ÷àþùèéñÿ â òîì, ÷òî ìåæäó áåñêîíå÷íîé ñîâîêóïíîñòüþ è åå ñîáñòâåííîé ÷àñòüþ ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, îòìå÷àëñÿ åùå Ïëóòàðõîì è äðóãèìè äðåâíèìè ó÷åíûìè.  1638 ãîäó Ãàëèëåé îòìåòèë, ÷òî ìåæäó öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè è èõ êâàäðàòàìè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, è íàçâàë «ïàðàäîêñîì» ñâîå íàáëþäåíèå, ïîñêîëüêó ýòîò ôàêò âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñ åâêëèäîâîé àêñèîìîé, ñîãëàñíî êîòîðîé öåëîå áîëüøå ëþáîé èç ñâîèõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòåé, ò.å. ÷àñòåé, íå ñîâïàäàþùèõ ñî âñåì öåëûì.
1
38
Ãëàâà 4
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà ëþáîå åãî áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü P ⊂ N. Âûáåðåì â P íàèìåíüøèé ýëåìåíò è îáîçíà÷èì åãî x1; âû÷òåì ýòîò ýëåìåíò èç P è íàèìåíüøèé ýëåìåíò èç âñåõ îñòàâøèõñÿ îáîçíà÷èì x2. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïðèñâîèì íîìåð êàæäîìó ýëåìåíòó èç P. Ýòà íóìåðàöèÿ åñòü áèåêöèÿ N → P: n → xn, ãäå xn åñòü (n + 1)-é â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýëåìåíò P. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî íå÷åòíûõ ÷èñåë, ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâî ëþáûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé, íàïðèìåð, ax + b, ãäå a, b ∈ N, áóäóò ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé è âîéäóò â îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îïðåäåëåíèå 4.1. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì äâóõ ìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ ðàâíîìîùíîñòüþ, à êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ ýòèõ ìíîæåñòâ. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà X îáîçíà÷àåòñÿ card X. ×èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òàêæå íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ, òîãäà card X = |X|. Äëÿ ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå E ∼ F.
4.2. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ âîçìîæíî áëàãîäàðÿ ñâîéñòâàì ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé. Èç îïðåäåëåíèÿ èíúåêöèè ñëåäóåò, ÷òî èíúåêöèÿ èç ìíîæåñòâà E â ìíîæåñòâî F âîçìîæíà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â E íå áîëüøå, ÷åì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â F: |E| ≤ |F| (äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ), ïðè÷åì, åñëè íå ñóùåñòâóåò èíúåêöèè èç F â E, òî ýòî íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ñòðîãîå íåðàâåíñòâî |E| < |F| (ñì. ðèñ.4.1). Åñëè æå ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç F â E, ïðè÷åì íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùàÿ ñ îáðàòíûì îòîáðàæåíèåì äëÿ èíúåêöèè E → F, òî ýòî âîçìîæíî ëèøü òîãäà, êîãäà êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â íèõ ñîâïàäàåò, ò.å. |E| = |F|, à â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè è âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó E è F, ò.å. áèåêöèþ. Àíàëîãè÷íî, åñëè ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ èç E íà F, òàêàÿ, ÷òî îäèí îáðàç â F èìååò íåñêîëüêî ïðîîáðàçîâ â E, òî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â E ñòðîãî áîëüøå êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ â F, ò.å. |E| > |F|.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
39
Ýòè ñâîéñòâà îáîáùàþòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñëåäóþùåé òåîðåìîé. Òåîðåìà 4.1 (Êàíòîðà Áåðíøòåéíà1). Ïóñòü Å è F äâà ïðîèçâîëüíûõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâà. Òîãäà: à) ëèáî ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç E â F, ëèáî ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç F â E (îäíî íå èñêëþ÷àåò äðóãîãî); á) åñëè ñóùåñòâóþò èíúåêöèè E → F è F → E, òî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç E â F. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ìíîæåñòâî E ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà F, à ìíîæåñòâî F ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà E, òî E è F ðàâíîìîùíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü E ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó F1 ìíîæåñòâà F, à F ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó E1 ìíîæåñòâà E (ñì. ðèñ. 4.2, a). Ïðè âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ìåæäó E1 è F ïîäìíîæåñòâî F1 ⊂ F ïåðåõîäèò â íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî E2 ⊂ E1. Ïðè ýòîì âñå òðè ìíîæåñòâà E, E1 è E2 ðàâíîìîùíû, è íóæíî äîêàçàòü, ÷òî îíè ðàâíîìîùíû ìíîæåñòâó F, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìíîæåñòâó E1. Òåïåðü ìû ìîæåì çàáûòü ïðî ìíîæåñòâî F è åãî ïîäìíîæåñòâà è äîêàçûâàòü òàêîé ôàêò: åñëè E2 ⊂ E1 ⊂ E0, (ãäå E0 îáîçíà÷åíèå äëÿ E) è E2 ðàâíîìîùíî E0, òî âñå òðè ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíû. Ïóñòü f ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå E0 → E2, òàê, ÷òî ýëåìåíò x ∈ E0 ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòó f(x) ∈ E2. Êîãäà E0 ïåðåõîäèò â E2, ìåíüøåå ìíîæåñòâî E1 ïåðåõîäèò â êàêîå-òî ìíîæåñòâî E3 ⊂ E2 (ñì. ðèñ. 4.2, á). Àíàëîãè÷íî, ñàìî E2 ïåðåõîäèò â êàêîå-òî ìíîæåñòâî E4 ⊂ E2. Ïðè ýòîì E4 ⊂ E3, òàê êàê E2 ⊂ E1.
Ðèñ. 4. 2. Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Êàíòîðà Áåðíøòåéíà. Êàíòîð ñôîðìóëèðîâàë ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà â 1883 ãîäó, ïîîáåùàâ âåðíóòüñÿ ê íåé ïîçæå, îäíàêî, íå âûïîëíèë ýòîãî îáåùàíèÿ. Ïåðâûå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áûëè äàíû Øð¸äåðîì (1896) è Áåðíøòåéíîì (1897).
1
Ðèñ. 4.1. Èíúåêöèÿ E → F.
40
Ãëàâà 4
Ïðîäîëæàÿ ýòî ïîñòðîåíèå, ïîëó÷àåì óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ E4 ⊃
è âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå f: E0 → E2, ïðè êîòîðîì Ei îòîáðàæàåòñÿ â Ei + 2. Ôîðìàëüíî ìîæíî îïèñàòü E2n êàê ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîæåñòâà E0 ïîñëå n-êðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèè f. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî E0 ìû ðàçáèëè íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñëîè Ai = Ei\Ei + 1 è íà ñåðäöåâèíó A = ∩i Ei. Ñëîè A0, A2, A4,
ðàâíîìîùíû, òàê êàê ôóíêöèÿ f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A0 è A2, ìåæäó A2 è A4 è ò.ä. Àíàëîãè÷íî, ðàâíîìîùíû è ñëîè ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè. Òåïåðü ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå g ìåæäó E0 è E1. Ïóñòü x ∈ E0, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ýëåìåíò g(x) ñòðîèòñÿ òàê: g(x) = f(x) ïðè x ∈ A2k è g(x) = x ïðè x ∈ A2k + 1 èëè x ∈ A (êàê ïîêàçàíî íèæå).
Ýòî äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Êàíòîðà Áåðíøòåéíà: à) åñëè ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ E → F è íå ñóùåñòâóåò èíúåêöèè F → E, òî ìíîæåñòâî F èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî áîëüøóþ, ÷åì ìîùíîñòü E: card F > card E. á) åñëè ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ F → E è íå ñóùåñòâóåò èíúåêöèè E → F, òî ìíîæåñòâî F èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî ìåíüøóþ, ÷åì ìîùíîñòü E: card F < card E. â) åñëè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç F â E, òî ìíîæåñòâà F è E ðàâíîìîùíû: card F = card E. Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ, èëè êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì. Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíîìîùíûõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè. Ýòè ÷èñëà ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå. Ìîùíîñòü ïóñòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà íóëþ: card ∅ = 0. Ìîùíîñòü áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ òðàíñôèíèòíûì êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì, èëè ïðîñòî òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ýòî ôàêòîð-ìíîæåñòâî ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ è òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
41
4.3. Ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 4.2. Ìîùíîñòüþ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N. Ñ÷åòíûì íàçûâàåòñÿ âñÿêîå ìíîæåñòâî X, ðàâíîìîùíîå ìíîæåñòâó N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìîùíîñòü ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà îáîçíà÷àåòñÿ êàðäèíàëüíûì òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì ℵ 0 (÷èòàåòñÿ: àëåô-íóëü)1. Ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà X îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà áèåêöèÿ èç X íà N (îäíàêî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî òàêàÿ áèåêöèÿ çàäàíà). Èíà÷å ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå ñïèñêà (äàæå, åñëè ýòîò ñïèñîê áóäåò áåñêîíå÷íûì). Òîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå åãî ïîðÿäêîâûé íîìåð â ýòîì ñïèñêå, ò.å. ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî îòîáðàæåíèå èç N â X ƒ(n): N → X, ãäå n ∈ N. Òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ íóìåðàöèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî çàíóìåðîâàòü ìîæíî ëþáîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî X êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ X â N, èëè, åñëè X ≠ ∅, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ N íà X. Ïðèìåð. Ìíîæåñòâà âñåõ ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë X è ìíîæåñòâî N ðàâíîìîùíû, òàê êàê ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ X → N è ñþðúåêöèÿ N → X. Äîêàæåì ðÿä òåîðåì î ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâàõ. Òåîðåìà 4.2. Ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q+ ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå äðîáè m/n, ãäå m, n íàòóðàëüíûå ÷èñëà, n ≠ 0. Çàïèøåì ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà â âèäå òàáëèöû: 1/1 1/2 1/3
2/1 2/2 2/3
3/1 3/2 3/3
4/1 4/2 4/3
1 4 9
2 3 8
5 6 7
10 11 12
Ïðàâàÿ òàáëèöà çàäàåò íóìåðàöèþ ýëåìåíòîâ ëåâîé òàáëèöû (ñòðåëêè óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå íóìåðàöèè). Òîãäà ìû ìîæåì âûïèñàòü ýëåìåíòû ëåâîé òàáëèöû (ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë) â âèäå ñïèñêà, â êîòîðîì êàæäîìó ýëåìåíòó ñîîòâåòñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî: 1/1 2/1 2/2 1/2 3/1 3/2 3/3 2/3 1/3 4/1 4/2 4/3
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
Ìîæíî âñòðåòèòü äðóãîå îáîçíà÷åíèå ìîùíîñòè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà: card N = ν.
42
Ãëàâà 4
Ïîëó÷åííûé ïåðåñ÷åò äîêàçûâàåò ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà âõîäÿò â ýòîò ïåðåñ÷åò ñ ïîâòîðåíèÿìè: íàïðèìåð, 1/1 = 2/2 = 3/3 =
=1. Îäíàêî, íåòðóäíî ñîñòàâèòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåäóðó âû÷åðêèâàíèÿ ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷èñåë èç ýòîãî ïåðåñ÷åòà. Ìû ïîêàæåì äàëåå, ÷òî è áåç âû÷åðêèâàíèÿ ïîâòîðåíèé äîêàçàòåëüñòâî ñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà Q+ óæå çàâåðøåíî. Òåîðåìà 4.3. Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ñïèñîê: 0 1 1 2 2 3 3
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
0 1 2 3 4 5 6
Òîãäà êàæäîìó ÷åòíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, à êàæäîìó íå÷åòíîìó ïîëîæèòåëüíîå. Ïîñòðîåííàÿ áèåêöèÿ äîêàçûâàåò òåîðåìó. Òåîðåìà 4.4. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. Òåîðåìà 4.5. Ìîùíîñòü ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ℵ 0 ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì òðàíñôèíèòíûì êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî E èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíó ñ÷åòíóþ ÷àñòü (ò.å. ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî áåñêîíå÷ℵ 0 íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. íîãî ìíîæåñòâà E ñîîòíîøåíèå card E > ℵ ℵ 0. Ýòî îçíà÷àåò, ïî òåîðåìå Áåðíøòåéíà, ÷òî ñóùåñòâóåò card E ≤ ℵ èíúåêöèÿ E → N, ò.å. â N ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ÷àñòü P, òàêàÿ, ÷òî ìåæäó E è P ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ. Îäíàêî ìåæäó ìíîæåñòâîì N è åãî áåñêîíå÷íîé ÷àñòüþ P òîæå ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ. Îòîáðàæåíèå n → xn, ãäå xn åñòü (n + 1)-é â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýëåìåíò P, ℵ 0. îïðåäåëÿåò áèåêöèþ N íà P. Òîãäà ïîëó÷èì, ÷òî card E = ℵ
4.4. Êàðäèíàëüíàÿ àðèôìåòèêà Åñëè ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ Å → F, òî ñàrd F ≤ card E. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè F íå ïóñò, è åñëè â êàæäîì èç ïðîîáðàçîâ âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó1, òî ïîëó÷èì íåêîòîðóþ ÷àñòü Å, ðàâíîìîùíóþ F. Íàïðèìåð, ôàêòîð-ìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó â êàæäîì èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ íåòðóäíî, íî ïîäîáíûé âûáîð â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ çàòðóäíèòåëåí. Ïîñëå ìíîãî÷èñëåííûõ ñïîðîâ â íà÷àëå âåêà âîçìîæíîñòü òàêîãî âûáîðà áûëà ââåäåíà êàê àêñèîìà òåîðèè ìíîæåñòâ àêñèîìà âûáîðà, èëè àêñèîìà Öåðìåëî.
1
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
43
Å ïî íåêîòîðîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè âñåãäà èìååò íå áîëüøóþ ìîùíîñòü, ÷åì ñàìî ìíîæåñòâî Å. Îòñþäà, à òàêæå èç òåîðåìû 4.5 ñëåäóåò, ÷òî â êëàññå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå ïîðÿäêà: åñëè α ÿâëÿåòñÿ êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà ìîùíîñòè β, òî α ≤ β. Íåòðóäíî ïîêàçàòü (äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ýòî ïðîñòî, à äëÿ áåñêîíå÷íûõ ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà), ÷òî ýòî îòíîøåíèå ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî, ñëåäîâàòåëüíî, îíî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Èç òåîðåìû Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà, ò.å. ëþáûå äâà êàðäèíàëüíûå ÷èñëà ñðàâíèìû. Íà ìíîæåñòâå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî îïðåäåëèòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü. 1. Ñëîæåíèå. Ïóñòü α è β êàðäèíàëüíûå ÷èñëà, à ìíîæåñòâà E è F èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ìîùíîñòè card E = α è card F = β. Òîãäà α + β ñóììà ìîùíîñòåé E è F, ýòî ìîùíîñòü âñÿêîãî ìíîæåñòâà, äîïóñêàþùåãî ðàçáèåíèå íà äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè, ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâàì Å è F ñîîòâåòñòâåííî. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ìíîæåñòâà E è F íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî ìîùíîñòü èõ îáúåäèíåíèÿ ðàâíà α + β. 2. Óìíîæåíèå. ×åðåç α⋅β îáîçíà÷àåòñÿ ìîùíîñòü äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ Å × F. Èíûìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå α⋅β ýòî êàðäèíàëüíîå ÷èñëî îáúåäèíåíèÿ α íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷àñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ìîùíîñòü β. 3. Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü. ×åðåç αβ îáîçíà÷àåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Å F, ò.å. ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé èç F â E: card (F → E) = card (E F) = card E card F. Òåîðåìà 4.6. Îïåðàöèè, îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë, îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1. Àññîöèàòèâíîñòü è êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ. 2. Àññîöèàòèâíîñòü è êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ. 3. Äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ: α⋅(β + γ) = α⋅β + α⋅γ. 4. Äëÿ âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ: a) (αβ)⋅(αγ) = α β + γ, b) αγβ γ = (α⋅β)γ, c) ((α)β)γ = α b⋅⋅γ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ñâîéñòâ îñíîâàíî íà îïðåäåëåíèè è ñâîéñòâàõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ.
Ãëàâà 4
44
 êà÷åñòâå ïðèìåðîâ äîêàæåì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà. Ñâîéñòâî 3. α⋅(β + γ) = α⋅β + α⋅γ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü card A = α, card B = β, card C = γ, ãäå ìíîæåñòâà A, B, C ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è ïóñòü a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C. Ñîîòíîøåíèå 3 âûïîëíÿåòñÿ, åñëè A × (B ∪ C) ∼ (A × B) ∪ (A × C). Ðàññìîòðèì ýòè ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî A × (B ∪ C) ñîñòîèò èç ïàð {, }, ïðè÷åì b ≠ c, òàê êàê B ∩ C = ∅. Ìíîæåñòâî (A × B) ∪ (A × C) ñîñòîèò èç îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ïàð {} ∪ {}, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó {, }, ãäå b ≠ c. Êàê âèäèì, ýòè äâà ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò. Ïîêàæåì, ÷òî äèñòðèáóòèâíîñòü ñëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. α + (β⋅γ) ≠ (α + β)⋅(α + γ). Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îòíîøåíèå ðàâíîìîùíîñòè A ∪ (B × C) ∼ (A ∪ B) × (A ∪ C) íåâûïîëíèìî. Äåéñòâèòåëüíî, A ∪ (B × C) ýòî ìíîæåñòâî, ïîëó÷åííîå îáúåäèíåíèåì {a} ∪ {} = {a, }, ò.å. ýòî ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç âñåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A è ïàð , â òî âðåìÿ êàê (A ∪ B) × (A ∪ C) = {, , , }. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà. Èíà÷å ýòî ìîæíî ïîêàçàòü òàê: (A ∪ B) × (A ∪ C) = = ((A ∪ B) × A) ∪ (A ∪ B) × C) = (A × A) ∪ (B × A) ∪ (A × C) ∪ (B × C), ÷òî íå ýêâèâàëåíòíî A ∪ (B × C) = (A × B) ∪ (A × C).
4.5. Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ êàðäèíàëüíîé àðèôìåòèêè Òåîðåìà 4.7. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà m ≥ 1 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà: ℵ 0 = ℵ ℵ 0 è ℵ 0m = ℵ ℵ 0. m⋅ℵ Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî N × N ðàâíîìîùíî N, ò.å. ℵ 0⋅ℵ ℵ 0 = ℵ ℵ 0 (áàçèñ èíäóêöèè). Ýëåìåíòû äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ N × N ìîæíî âûïèñàòü â âèäå òàáëèöû: (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
(1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)
(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
45
Ââåäåì äèàãîíàëüíóþ íóìåðàöèþ. Ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿåò áèåêöèþ N íà N × N. Ñëåäîâàòåëüíî, N ýêâèâàëåíòíî ℵ 0 = ℵ 02 = ℵ ℵ 0. N × N, ò.å. ℵ 0⋅ℵ ℵ 0, è ïîêàæåì, ÷òî òîãäà Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ℵ 0m 1 = ℵ ℵ 0m = ℵ ℵ 0. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå N m 1 ñ÷åòíî. Òîãäà, ñîãëàñíî áàçèñó èíäóêöèè, äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ℵ 0. äâóõ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ N m 1 × N = N m òàêæå ñ÷åòíî, ò.å. ℵ 0m = ℵ Ñëåäñòâèå. Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ èëè ñ÷åòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Å êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I íåêîòîðàÿ ÷àñòü N (I ⊂ N) è Ai (i ∈ I) íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà Å, è äëÿ âñÿêîãî i Ai ≠ ∅ (íî, åñëè Ai = ∅, òî ýòî íè÷åãî íå ìåíÿåò, òàê êàê åñëè Ai = ∅, òî îáúåäèíåíèå íå èçìåíèòñÿ). Ïóñòü ƒi ñþðúåêöèÿ N íà Ai. Òîãäà îòîáðàæåíèå (i, n) → ƒi(n) áóäåò ñþðúåêöèåé I × N íà Ïîñêîëüêó I × N ñ÷åòíî, òî
U Ai .
i∈I
U Ai êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî.
i∈I
Òåïåðü ìîæíî èíà÷å äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ñ÷åòíî. Êàæäîé ïàðå (p, q) (q ≠ 0) ìíîæåñòâà Z × Z ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî p/q. Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé ïîäìíîæåñòâà Z × Z íà Q. Çíà÷èò, Q íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî, íî òàê êàê îíî ñîäåðæèò N â êà÷åñòâå ñâîåãî ïîäìíîæåñòâà, òî Q ñ÷åòíî. Òåîðåìà 4.8. Åñëè A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à B êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, òî A ∪ B ∼ A (ðàâíîìîùíû), ò.å. card(A ∪ B) = card(A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A1 ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A. Îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâ ñ÷åòíî, îáúåäèíåíèå ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ òàêæå ñ÷åòíî, ïîýòîìó A1 ∪ B ∼ A1. Ìíîæåñòâî A ∪ B íå èçìåíèòñÿ, åñëè èç íåãî âû÷åñòü, à ïîòîì äîáàâèòü ïîäìíîæåñòâî A1. Òîãäà A ∪ B = (A\A1) ∪ (A1 ∪ B). Ïîñêîëüêó A1 ∪ B ∼ A1, òî (A\A1) ∪ (A1 ∪ B) ∼ (A\A1) ∪ A1. Íî (A\A1) ∪ A1 = A, ñëåäîâàòåëüíî, A ∪ B ∼ A, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òåîðåìà 4.9. Åñëè α è β êàðäèíàëüíûå ÷èñëà, òàêèå ÷òî α ≠ 0 è β ≠ 0, è åñëè ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç íèõ òðàíñôèíèòíî, òî ñóììà α + β è ïðîèçâåäåíèå α⋅β ðàâíû íàèáîëüøåìó èç íèõ, ò.å. α + β = max{α, β}, α⋅β = max{α, β}.
Ãëàâà 4
46
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî, òî ëèáî α ≤ β, ëèáî β ≤ α. Èç òåîðåìû 4.8 ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü îáúåäèíåíèÿ äâóõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ áîëüøåé ìîùíîñòüþ. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë è ïåðâîãî ðàâåíñòâà: α + β = max{α, β}, ñëåäóåò âûïîëíèìîñòü è âòîðîãî: α⋅β = max{α, β}. Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó 4.7 ïîëíîñòüþ. Äîêàçàòåëüñòâî. ℵ 0 (ïî òåîðåìå î ñ÷åòíîñòè îáúåäèm⋅ℵ ℵ 0 = ℵ0 + ℵ0 + ... + ℵ0 = ℵ 14442444 3 m ðàç íåíèÿ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ); ℵ 0m = ℵ 0 ⋅ ℵ 0 ⋅ ... ⋅ ℵ 0 = ℵ ℵ 0 (ïî òåîðåìå î ñ÷åòíîñòè äåêàðòîâà 1442443 m ðàç ïðîèçâåäåíèÿ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ). Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìû ïîëó÷àåì ñîãëàñíî òåîðåìå 4.9: òàê êàê ℵ 0 = ℵ ℵ 0. m ≤ ℵ 0, òî m⋅ℵ Èñïîëüçîâàíèå êàðäèíàëüíîé àðèôìåòèêè ïîçâîëÿåò íàì ëåãêî äîêàçûâàòü íåêîòîðûå òåîðåìû î ìîùíîñòè ìíîæåñòâ. Ïðèìåðû. 1. Îïðåäåëèì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì, èç ÷åãî ñîñòîèò ýòî ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî âñåõ îäíîýëåìåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýòî ìíîæåñòâî N, âñå äâóõýëåìåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçóþòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì N × N, òðåõýëåìåíòíûå N3, k-ýëåìåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçîâàíû äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì N k è òàê äàëåå. Êàêîå áû áîëüøîå ÷èñëî k ìû íè âçÿëè, äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò ÷èñëî k +1 è, ñîîòâåòñòâåííî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíîé k + 1. Ïîýòîìó ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé óõîäèò â áåñêîíå÷íîñòü.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü E = N ∪ N2 ∪ N3 ∪
∪ N k ∪
, ò.å. ýòî îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà ℵ 0, card N2 = ℵ ℵ 02,
, card N k = ℵ 0k
, òî E. Ïîñêîëüêó card N = ℵ ìîùíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ℵ 0 + ℵ ℵ 02 + ℵ ℵ 03 +
+ ℵ ℵ 0k +
= ℵ 0. card E = ℵ 2. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñ÷åòíîñòè íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñïîñîá êîäèðîâàíèÿ1. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì 1
 [Êëèíè, 1973] ýòîò ñïîñîá íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì öèôð.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
47
êîäîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ äâîè÷íûé êîä: êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå äâîè÷íîå ÷èñëî. Ñóùåñòâóþò ýôôåêòèâíûå ïðîöåäóðû ïåðåâîäà ÷èñëà â äâîè÷íûé êîä è îáðàòíî, ïîýòîìó òàêîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Óñòàíîâèâ òàêîå ñîîòâåòñòâèå, ìû ïîëó÷àåì, íàïðèìåð, ÷òî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ÷åòíî (íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 1). Äëÿ êîäèðîâàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî äâîè÷íóþ, íî ëþáóþ ñèñòåìó ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì k.  êà÷åñòâå ïðèìåðà äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà ýòî äåéñòâèòåëüíûå êîðíè àëãåáðàè÷åñêèõ (ïîëèíîìèàëüíûõ) óðàâíåíèé ñ îäíèì íåèçâåñòíûì ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè: a0xn + a1xn 1 +
+ an 1x + an = 0, (n ≥ 1, a0 ≠ 0). Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîëè÷åñòâî åãî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé êîíå÷íî è íå ïðåâûøàåò ñòåïåíè óðàâíåíèÿ. Òîãäà, åñëè ìû ñìîæåì ïåðåñ÷èòàòü âñå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, òî ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé êàæäîãî óðàâíåíèÿ, ò.å. ýòî áóäåò îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, êîòîðîå ñ÷åòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè áåç ïîòåðè îäíîçíà÷íîñòè ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñòðîêè, çàïèñûâàÿ ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé ïîñëå ïåðåìåííîé x, íàïðèìåð: 3x3 + 6x2 + x 2 = 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ îêàçûâàþòñÿ êîíå÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè, ñîñòàâëåííûìè èç 14 ñèìâîëîâ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, +, , =. Ïåðâûé ñèìâîë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå åñòü 0. Òîãäà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê ÷èñëà â ÷åòûðíàäöàòèðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ.  ðåçóëüòàòå êàæäîå óðàâíåíèå, ïðåäñòàâëåííîå êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýòèõ ñèìâîëîâ, ÿâëÿåòñÿ çàïèñüþ íåêîòîðîãî öåëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà â ýòîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, ò.å. êîäîì ýòîãî ÷èñëà â ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì 14. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ áóäåò ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òåì ñàìûì áóäåò ïîñòðîåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâîì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ïîäìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èíûìè ñëîâàìè, àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïåðåñ÷èòàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîäàìè êîòîðûõ îíè ÿâëÿþòñÿ ïðè èíòåðïðåòàöèè âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ ñèìâîëîâ êàê öèôð ÷åòûðíàäöàòèðè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Ïîñòðîåííûé ïåðåñ÷åò äîêàçûâàåò ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ÷åòíîñòü
Ãëàâà 4
48
ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, êàê óêàçàíî âûøå, ñëåäóåò êàê ñ÷åòíîñòü îáúåäèíåíèÿ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.
4.6. Íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà Òåîðåìà 4.10 (Êàíòîðà). Êàêîâî áû íè áûëî ìíîæåñòâî E, ìíîæåñòâî åãî ïîäìíîæåñòâ èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî áîëüøóþ ìîùíîñòè Å. Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðàíñôèíèòíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë íå îãðàíè÷åííà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ ƒ: E → ℘(E), ò.å. ñþðúåêöèÿ ƒ ìíîæåñòâà E íà ìíîæåñòâî åãî ïîäìíîæåñòâ ℘(E). Òîãäà äëÿ x ∈ E ƒ(x) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ℘(E), ò.å. íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì Å. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ïîäìíîæåñòâî E, îáðàçîâàííîå èç òàêèõ x ∈ E, ÷òî x ∉ ƒ(x). Òàê êàê A ∈ ℘(E), òî â E ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ýëåìåíò y, òàêîé, ÷òî ƒ(y) = A. Åñëè y ∈ ƒ(y) = A, òî, ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà A, y ∉ A, ÷òî íåâîçìîæíî. Åñëè y ∉ ƒ(y) = A, òî y ∈ A.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîñêîëüêó, îäíàêî, ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ E â ℘(E), à èìåííî, x → {x}, òî E èìååò ìîùíîñòü, ìåíüøóþ ìîùíîñòè ℘(E), à çíà÷èò, è ñòðîãî ìåíüøóþ ìîùíîñòè ℘(E). Òåîðåìà 4.11. Åñëè ìíîæåñòâî E áåñêîíå÷íî, òî ìíîæåñòâî ℘f (E) êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ E ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó E. Äîêàçàòåëüñòâî. Îòîáðàæåíèå (x1, x2, ..., xn) → {x1, x2, ..., xn}, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó (x1, x2, ..., xn) èç E n ïîäìíîæåñòâî E, îáðàçîâàííîå èç ýòèõ ýëåìåíòîâ (íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ), ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ñþðúåêöèåé E n íà ìíîæåñòâî ℘n(E) íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ E, îáðàçîâàííûõ íå áîëåå ÷åì èç n ýëåìåíòîâ. Íî òîãäà card ℘n(E) ≤ card E n = card E (òåîðåìà 4.7), è ïîñêîëüêó card ℘n(E) ≥ card E, òî card ℘n(E) = card E. Ïóñòü òåïåðü ƒn: x → ƒn(x) íåêîòîðàÿ áèåêöèÿ E íà ℘n(E). Ïîëîæèì ƒ0(x) ≠ ∅ äëÿ âñåõ x ∈ E. Òîãäà (n, x) → ƒn(x) áóäåò íåêîòîðîé ñþðúåêöèåé ℵ 0⋅card E = N × E íà ℘f (E), à çíà÷èò card ℘f (E) ≤ card (N × E) = ℵ = card E (â ñèëó òåîðåìû 4.8, íåðàâåíñòâà ℵ 0 ≤ card E è òåîðåìû 4.9). Ïîñêîëüêó îáðàòíîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì card ℘f (E) = card E. Çàìå÷àíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà A ìíîæåñòâà E íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ϕA, îïðåäåëåííàÿ íà E è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå {0, 1}, òàêàÿ, ÷òî ϕA(x) = 1, åñëè x ∈ A, è ϕA(x) = 0, åñëè x ∉ A. Çàäàíèå ýòîé ôóíêöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ïîäìíîæåñòâî (÷àñòü) A ìíîæåñòâà E. Òîãäà êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó áóäåò ñîîò-
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
49
âåòñòâîâàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèé âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç 0 è 1. Íàïðèìåð, åñëè E = {a, b, c}, òî ïîäìíîæåñòâó A = {a, c} áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü âåêòîð ϕA = <1, 0, 1>, ïîäìíîæåñòâó B = {b} âåêòîð ϕB = <0, 1, 0> è ò.ä. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x) çàäàåò ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé ϕ: E → {0, 1}, ò.å. {0, 1}E. Òîãäà, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 4.11, ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìíîæåñòâà-ñòåïåíè ℘(E) ìíîæåñòâà E íà ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé ϕ: E → {0, 1}. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì ìíîæåñòâà ℘(E) ÿâëÿåòñÿ card {0, 1}E = 2card E. Òåïåðü òåîðåìó Êàíòîðà (4.10) ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Êàêîâî áû íè áûëî êàðäèíàëüíîå ÷èñëî α, 2α > α. ℵ 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò íåñ÷åò ÷àñòíîñòè, 2ℵ0 > ℵ íûå ìíîæåñòâà. Ìû äîêàçàëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Òåîðåìà 4.12. Ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî (1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Òîãäà åãî ìîæíî çàíóìåðîâàòü, è êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëó÷èò ñâîé íîìåð. Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn, ãäå n = 1, 2, 3,
. Áóäåì èñïîëüçîâàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ϕn(p), êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, ïðèíàäëåæèò ëè íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn èëè íåò: ϕn(p) = 1, åñëè p ∈ Sn, è ϕn(p) = 0, åñëè p ∉ Sn. Òîãäà êàæäîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Sn áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü áåñêîíå÷íûé äâîè÷íûé âåêòîð ϕn è ìíîæåñòâî ýòèõ âåêòîðîâ, ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ, òàêæå ìîæíî çàíóìåðîâàòü. Ñîñòàâèì ýòó íóìåðàöèþ è çàïèøåì åå â âèäå òàáëèöû: 1 2 3 4
k
ϕ1 ϕ1(1) ϕ1(2) ϕ1(3) ϕ1(4)
ϕ1(k)
ϕ2 ϕ2(1) ϕ2(2) ϕ2(3) ϕ2(4)
ϕ2(k)
ϕ3 ϕ3(1) ϕ3(2) ϕ3(3) ϕ3(4)
ϕ3(k)
ϕk ϕk(1) ϕk(2) ϕk(3) ϕk(4)
ϕk(k)
Ýëåìåíòàìè òàáëèöû ÿâëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòàâëåííûå èç 0 è 1. Íà äèàãîíàëè òàáëèöû òàêæå íàõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé è åäèíèö:
50
Ãëàâà 4
ϕd = ϕ1(1), ϕ2(2), ϕ3(3),
, ϕk(k),
Ñîñòàâèì àíòèäèàãîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕd′ ïî ïðàâèëó: ϕd′ (1) = 1 ϕ1(1), ϕd′ (2) = 1 ϕ2(2),
ϕd′ (k) = 1 ϕk(k). Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òàáëèöå õîòÿ áû îäíèì äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕd′ âñå-òàêè âõîäèò â ïîñòðîåííûé ïåðåñ÷åò, äîïóñòèì, ñ íîìåðîì k. Òîãäà ϕd′ = ϕk, è, ñîãëàñíî ïðàâèëó, åå ýëåìåíòû: ϕd′(1) = ϕk(1) = 1 ϕ1(1), ϕd′(2) = ϕk(2) = 1 ϕ2(2),
ϕd′(k) = ϕk(k) = 1 ϕk(k). Ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íåñ÷åòíî. Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 4.11, ýòî ìíîæåñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé ϕ: N → {0, 1}, ò.å. {0, 1}N, è ìîùíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 2ℵ0. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ áåñêîíå÷íàÿ äâîè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì âåêòîðîì áåñêîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å., ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ, òî òåì ñàìûì äîêàçàíà íåñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Íî ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà N è ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â N, ò.å. ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé ƒ(n): N → N, ò.å. NN, ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà åñòü ℵ 0ℵ0. Ïîñêîëüêó ýòè äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíû, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ℵ 0ℵ0 = 2ℵ0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (êàê êîíå÷íûõ, òàê è áåñêîíå÷íûõ) åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ℘(N) ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìîùíîñòü êîòîðîãî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 4.11, ðàâíà 2ℵ0. Îòñþäà ìû ïîëó÷àåì òîò æå ðåçóëüòàò: ℵ 0ℵ0 = 2ℵ0. Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà, èñïîëüçîâàííûé â äàííîé òåîðåìå, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì Êàíòîðà. Ìû äîêàçàëè íåñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà ℘(N) ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè, óñòàíàâëèâàþùåé âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
51
äâîè÷íûìè âåêòîðàìè. Îäíàêî ìû ìîãëè áû ïðèìåíèòü äèàãîíàëüíûé ìåòîä íåïîñðåäñòâåííî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû 4.13 åùå ðàç äåìîíñòðèðóåò ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåñ÷åòíîñòè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà (0, 1), õîòÿ ýòîò ðåçóëüòàò íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.12. Êàæäîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà (0, 1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, çàïèñü êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ñ ñèìâîëîâ 0,
Òåì ñàìûì óñòàíàâëèâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ìíîæåñòâàìè. Äèàãîíàëüíûé ìåòîä Êàíòîðà èìååò è äðóãóþ ôîðìàëèçàöèþ, íå èñïîëüçóþùóþ íåïîñðåäñòâåííîãî ïåðåñ÷åòà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ýòèì ñïîñîáîì, ðàññìîòðèì äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî íåñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî (2) òåîðåìû 4.12. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Òîãäà ìîæíî ñîñòàâèòü ñïèñîê L = S0, S1,
, Sk,
, â êîòîðîì êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëó÷èò ñâîé íîìåð. Ñîñòàâèì òåïåðü åùå äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè U è U′ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè i ∈ Si, òî i ∈ U, è åñëè i ∉ Si, òî i ∈ U′. Òàêèì îáðàçîì, â U′ ïîïàäóò âñå òå ÷èñëà i ∈ N, êîòîðûå íå âõîäÿò â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Si ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íîìåðîì i. (Íàïðèìåð, åñëè ÷èñëî 3 âõîäèò â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S3, òî îíî âîéäåò â U, à åñëè íå âõîäèò, òî â U′.) Òîãäà, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè U è U′ òàêæå äîëæíû âîéòè â ñïèñîê L ñ íåêîòîðûìè íîìåðàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü U′ âõîäèò â ñïèñîê ñ íîìåðîì k: U′ = Sk. Òîãäà íîìåð ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè k òîæå äîëæåí âîéòè ëèáî â U, ëèáî â U′. Îäíàêî, åñëè k ∈ Sk, òî k ∈ U, ñëåäîâàòåëüíî, k ∉ U′, ò.å. k ∉ Sk, à åñëè k ∉ Sk, òî k ∈ U′, ò.å. k ∈ Sk. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.
4.7. Ìîùíîñòü êîíòèíóóìà Òåîðåìà 4.13 (Êàíòîðà). Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà (0, 1) íåñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì Êàíòîðà. Áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ëþáîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà (0, 1) â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè. Êîíå÷íûå äðîáè òàêæå ïðåäñòàâèìû â òàêîì âèäå, íàïðèìåð, ÷èñëî 0,5 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê 0,4999999... Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî ýòèõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Òîãäà èõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñïèñêà. Ñîñòàâèì ýòîò ñïèñîê è çàïèøåì åãî â âèäå òàáëèöû, ãäå ïðåäñòàâëåíû äåñÿòè÷íûå ÷àñòè ÷èñåë:
Ãëàâà 4
52 a1 a2 a3
ak
1 a11 a21 a31
ak1
2 a12 a22 a32
ak2
3 a13 a23 a33
ak3
k a1k a2k a3k
akk
Ñîñòàâèì òåïåðü áåñêîíå÷íîå àíòèäèàãîíàëüíîå ÷èñëî b = b1b2...bk... ïî ïðàâèëó: i-é ðàçðÿä ÷èñëà bi ïîëîæèì ðàâíûì 1 + ai i, åñëè ai i ≠ 9 è ai i = 8 (èëè ëþáîìó äðóãîìó ÷èñëó, îòëè÷íîìó îò 9), åñëè ai i = 9. Åñëè ìíîæåñòâî ÷èñåë èç (0, 1) ñ÷åòíî, òî ïîñòðîåííîå ÷èñëî b äîëæíî âîéòè â ýòîò ñïèñîê ñ êàêèì-ëèáî íîìåðîì, íàïðèìåð, ñ íîìåðîì k: b = ak. Íî òîãäà b1 = ak1 = a11 + 1, b2 = ak2 = a22 + 1, ..., bk = akk = akk + 1, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà (0, 1) íåñ÷åòíî. Îïðåäåëåíèå 4.3. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà (0,1) íàçûâàþò ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà. Ìîùíîñòü êîíòèíóóìà îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C. Ìîùíîñòü êîíòèíóóìà ýòî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, ò.å. card R = C, èáî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ (0, 1) → R, íàïðèìåð, x → log x/(1 x). Ïðèìåðû. 1.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè, íàçûâàþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè. (Òðàíñöåíäåíòíûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà e è π.) Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî, à ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë íåñ÷åòíî, òî ñóùåñòâóþò òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà è äàæå «áîëüøèíñòâî» âåùåñòâåííûõ ÷èñåë òðàíñöåíäåíòíî. 2. Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê R n ñ ðàöèîíàëüíûìè èëè àëãåáðàè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ñ÷åòíî, òàê êàê åãî êàðäèíàëüíîå ÷èñëî ðàâíî ℵ0n = ℵ ℵ0, à ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê R n ñ âåùåñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè íåñ÷åòíî è ðàâíî êîíòèíóóìó. Òåîðåìà 4.14. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà: ℵ 0⋅C = C⋅C = C m = = C ℵℵ0 = C, ãäå m ≥ 1 öåëîå. m⋅C = ℵ Äîêàçàòåëüñòâî. Âñå ýòè êàðäèíàëüíûå ÷èñëà íå áîëüøå C ℵℵ0 è íå ìåíüøå C, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî C ℵℵ0 = Ñ. 2
Äåéñòâèòåëüíî, C ℵℵ0 = (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0 = 2ℵ0 = Ñ. Îäíàêî, ôàêò: 2ℵ0 = Ñ òðåáóåò äîêàçàòåëüñòâà.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
53
Åñëè âçÿòü ÷èñëà èç Å = (0, 1), òàêèå, ÷òî â èõ èçîáðàæåíèè ïðèñóòñòâóþò ÷èñëà 0, 1, 2,
, 7, òî ýòî ìíîæåñòâî áóäåò ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}N, ñëåäîâàòåëüíî, åãî ìîùíîñòü ðàâíà 8ℵ0. Ñàìî ìíîæåñòâî Å èìååò ìîùíîñòü ≤ 10ℵ0 (ìû ïèøåì ≤ èç-çà äâîÿêîãî äåñÿòè÷íîãî èçîáðàæåíèÿ ÷èñåë). Ïîýòîìó 8ℵ0 ≤ card E ≤ 10ℵ0, îòêóäà 2ℵ 0 ≤ card E ≤ 16ℵ 0 = (24)ℵ 0 = 2 4ℵℵ 0 = 2ℵ 0, ñëåäîâàòåëüíî card E = 2ℵ0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, card E = C. Ñëåäîâàòåëüíî, 2ℵ0 = C. Ñëåäñòâèå 1. Ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà (ïîñêîëüêó îíî ðàâíîìîùíî R 2: C 2 = C). Ñëåäñòâèå 2. Ëþáîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîãî ÷èñëà èçìåðåíèé n íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Ñëåäñòâèå 3. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, èáî èõ êàðäèíàëüíîå ÷èñëî ðàâíî C ℵℵ0 = Ñ. Ñëåäñòâèå 4. Ìíîæåñòâî Å íåïðåðûâíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Êàæäîé òàêîé ôóíêöèè ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë çíà÷åíèé ôóíêöèè â òî÷êàõ ñ ðàöèîíàëüíûìè àáñöèññàìè. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè òî÷êè âçàèìíî îäíîçíà÷íû ñ N, òàê êàê Q ñ÷åòíî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, åå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ÷àñòü ìíîæåñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, ýòî ìíîæåñòâî Å èìååò ìîùíîñòü, íå áîëüøóþ Ñ. À òàê êàê ýòî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åå çíà÷åíèå â îäíîé òî÷êå, íàïðèìåð, â íà÷àëå êîîðäèíàò, ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé Å íà R, òî Å èìååò ìîùíîñòü, íå ìåíüøóþ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Ñëåäîâàòåëüíî, Å èìååò ìîùíîñòü Ñ. Ñëåäñòâèå 5. Ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî áîëüøóþ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, èáî åãî ìîùíîñòü ðàâíà ÑÑ (à åñëè ñî çíà÷åíèÿìè 0 è 1 òî 2C), à ÑÑ = (2ℵ0)C = 2ℵ0C = 2Ñ > Ñ. Òàêèì îáðàçîì, áîëüøèíñòâî ôóíêöèé èìååò íå ìåíåå îäíîé òî÷êè ðàçðûâà.
4.8. Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà Ïðè èññëåäîâàíèè ìîùíîñòåé áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ áûë óñòàíîâëåí òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî. Ëèíåéíàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà ñóùåñòâóåò íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî. ℵ 0 ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì. Îäíàêî íè÷åãî íå èçâåñòíî î òîì, êàêîå òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì çà ℵ 0. Ñóùåñòâóåò ëèøü ïðåäïîëîæåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êîíòèíóóì-ãèïîòåçîé.
Ãëàâà 4
54
Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà. Êàðäèíàëüíîå ÷èñëî 2ℵ0 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà ℵ 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ℵ 0 < 2ℵ0 è ìåæäó íèìè íåò íèêàêîãî äðóãîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà. Ýòîò ôàêò òðåáóåò äîêàçàòåëüñòâà. Ìû íè÷åãî íå çíàåì î ìíîæåñòâàõ, êîòîðûå íåñ÷åòíû, íî ìåíåå, ÷åì êîíòèíóàëüíû, íå çíàåì äàæå, ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ìíîæåñòâà. Îòñóòñòâèå ïðèìåðîâ ïîäîáíûõ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì íåâîçìîæíîñòè èõ ñóùåñòâîâàíèÿ, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå î íåïîñðåäñòâåííîì ñëåäîâàíèè 2ℵ0 çà ℵ 0 ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåçîé, à íå òåîðåìîé. Ìîæíî ïîéòè äàëüøå è ñôîðìóëèðîâàòü áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå. Îáîáùåííàÿ êîíòèíóóì-ãèïîòåçà çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà α êàðäèíàëüíîå ÷èñëî 2α íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà α. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîℵ0
âàòåëüíîñòü êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë íåîãðàíè÷åííà: ℵ0 < 2ℵ0 < 22 <
Äåéñòâèòåëüíî, 2ℵ0 åñòü ìîùíîñòü ìíîæåñòâà-ñòåïåíè ℘(N) (âìåñòî N ìîæåò áûòü ëþáîå äðóãîå áåñêîíå÷íîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâà). Íî èç ýòîãî ìíîæåñòâà ìîæíî îáðàçîâàòü îïÿòü ìíîæåñòâî ℵ0
âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ ℘(℘(N)), ìîùíîñòü êîòîðîãî åñòü 22 , è ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæàòü äî áåñêîíå÷íîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò íàèáîëüøåãî òðàíñôèíèòíîãî ÷èñëà. Ïîïûòêè äîêàçàòü êîíòèíóóì-ãèïîòåçó â êà÷åñòâå òåîðåìû áûëè áåçóñïåøíû, à 1963 ã. Ï. Êîýí (ñì. [Êîýí, 1973]) äîêàçàë, ÷òî êîíòèíóì-ãèïîòåçà íåðàçðåøèìà åå íåâîçìîæíî íè äîêàçàòü, íè îïðîâåðãíóòü, ìîæíî ëèøü ïðèíÿòü åå èëè ïðîòèâîïîëîæíîå åé óòâåðæäåíèå â êà÷åñòâå àêñèîìû.
4.9. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðîâñêóþ òåîðèþ ìíîæåñòâ â òîì âèäå, êàê ìû ñ íåé ïîçíàêîìèëèñü, íàçûâàþò «íàèâíîé» òåîðèåé ìíîæåñòâ. Êàíòîðîâñêîå ïîíÿòèå ìíîæåñòâà îòñûëàåò íàñ ê íàøåé èíòóèöèè ïðè ðåøåíèè âîïðîñà î òîì, êàêèå îáúåêòû ñ÷èòàòü ìíîæåñòâàìè. Ïîïûòêè ïîñòðîèòü òåîðèþ ìíîæåñòâ íà èíòóèòèâíîé îñíîâå, ïðè êîòîðîé îòñóòñòâóåò ÷åòêîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà, ïðèâåëè ê âîçíèêíîâåíèþ ïàðàäîêñîâ. Îäèí èç ïåðâûõ ïàðàäîêñîâ òåîðèè ìíîæåñòâ áûë îòêðûò ñàìèì Êàíòîðîì â 1899 ãîäó. Èç òåîðåìû Êàíòîðà (4.10) ñëåäóåò, ÷òî êàêîâî áû íè áûëî òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî, ñóùåñòâóåò áîëüøåå òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî, è ÷òî íàèáîëüøåãî òðàíñôèíèòíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò. Îäíàêî, îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ðàññìàòðèâàåìûå ìíîæåñòâà. Ìîæíî ðàññìîòðåòü óíèâåð-
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
55
ñàëüíîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ìíîæåñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ñîäåðæèò áîëüøå ýëåìåíòîâ, ÷åì ëþáîå äðóãîå ìíîæåñòâî. Íî åñëè ýòî òàê, òî êàê òîãäà ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî, áîëüøåå òðàíñôèíèòíîãî ÷èñëà, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó ìíîæåñòâó? Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà Ðàññåëà áûë îòêðûò â 1902 ãîäó è ñâÿçàí ñ îäíèì ëèøü îïðåäåëåíèåì ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà. Ýòè ïàðàäîêñû, à òàêæå äðóãèå, íàïðèìåð, ïàðàäîêñ Áóðàëè-Ôîðòè (1897 ã.), ñâÿçàííûé ñ òåîðèåé ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë, íàçûâàþò ëîãè÷åñêèìè ïàðàäîêñàìè. Äðóãóþ ãðóïïó ïàðàäîêñîâ óñëîâíî íàçûâàþò ñåìàíòè÷åñêèìè.  1905 ãîäó áûë îòêðûò ïàðàäîêñ Ðèøàðà, êîòîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé àëôàâèò, ñîñòîÿùèé èç 33 áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà è äâóõ ðàçäåëèòåëüíûõ ñèìâîëîâ: ïðîáåëà è çàïÿòîé. Áóäåì ïîíèìàòü ïîä «ôðàçîé» êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ, âêëþ÷àþùóþ ïðîáåë èëè çàïÿòóþ â ñåðåäèíå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â êà÷åñòâå ðàçäåëèòåëåé. Êàæäóþ òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëî â 35-ðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Íåêîòîðûå òàêèå ôðàçû ÿâëÿþòñÿ îïèñàíèÿìè îäíîìåñòíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå, íàïðèìåð, «à â êâàäðàòå», «ìîäóëü êîðíÿ êâàäðàòíîãî èç à». Èç ìíîæåñòâà âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âû÷åðêíåì ôðàçû, íå ÿâëÿþùèåñÿ îïèñàíèÿìè ôóíêöèé.  ðåçóëüòàòå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü P0, P1, P2,
âñåõ òàêèõ îïèñàíèé. Îáîçíà÷èì ôóíêöèè, îïèñûâàåìûå ýòèìè ôðàçàìè, ÷åðåç f0(a), f1(a), f2(a),
. Ðàññìîòðèì òåïåðü ôðàçó P, îïèñûâàþùóþ ôóíêöèþ f(a) = fa(a) + 1: «Ôóíêöèÿ, çíà÷åíèå êîòîðîé äëÿ ëþáîãî àðãóìåíòà a, ÿâëÿþùåãîñÿ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, ðàâíî óâåëè÷åííîìó íà åäèíèöó çíà÷åíèþ äëÿ ýòîãî æå àðãóìåíòà òîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôðàçîé, ñîîòâåòñòâóþùåé â ïåðåñ÷åòå P0, P1, P2,
ýòîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó». Ýòà ôðàçà òîæå îïèñûâàåò àðèôìåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ, ñëåäîâàòåëüíî, P âõîäèò â ïåðåñ÷åò P0, P1, P2,
ñ íåêîòîðûì íîìåðîì, íàïðèìåð, k. Òîãäà f(a) = fk(a). Ïîäñòàâëÿÿ k âìåñòî a, ïîëó÷èì f(k) = fk(k), îäíàêî, ïî îïðåäåëåíèþ ýòîé ôóíêöèè, f(k) = fk(k) + 1, ÷òî íåâîçìîæíî. Ýòîò ïàðàäîêñ ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ìíîæåñòâî ôðàç äàííîãî ÿçûêà ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî-áåñêîíå÷íûì, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî îïðåäåëåííûõ âûøå ôóíêöèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî-áåñêîíå÷íûì, â òî âðåìÿ, êàê ìíîæåñòâî âñåõ àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé íåñ÷åòíî (ñì. òåîðåìó 4.12). Ïîõîæèé ïàðàäîêñ ïðåäëîæèë Áåððè. Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå: «Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå íåëüçÿ íàçâàòü ïîñðåäñòâîì ìåíüøå, ÷åì òðèäöàòè òðåõ ñëîãîâ». Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåò íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà, ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, ýòî ÷èñëî íåëüçÿ íàçâàòü ïîñðåäñòâîì ìåíåå, ÷åì 33 ñëîãîâ. Íî äàííîå âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò ýòî ÷èñëî, ïðè÷åì ñ ïîìîùüþ ðîâíî 32 ñëîãîâ!
56
Ãëàâà 4
Ýòè ïàðàäîêñû ðîäñòâåííû èçâåñòíûì åùå â äðåâíîñòè ñåìàíòè÷åñêèì ïàðàäîêñàì. Äðåâíåãðå÷åñêîìó ôèëîñîôó ñ îñòðîâà Êðèò Ýïèìåíèäó (VI äî í.ý.) ïðèïèñûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèå: «Âñå êðèòÿíå ëæåöû». Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñàì Ýïèìåíèä ÿâëÿåòñÿ êðèòÿíèíîì, íåâîçìîæíî ñêàçàòü, èñòèííî ýòî óòâåðæäåíèå èëè ëîæíî. Äðóãîé ôèëîñîô, Ýâáóëèä (VI äî í.ý.), òîò æå ïàðàäîêñ ñôîðìóëèðîâàë òàêèì îáðàçîì: «Òî, ÷òî ÿ ñåé÷àñ ãîâîðþ, ëîæü» («ß ëãó»). Ýòîò ïàðàäîêñ èçâåñòåí êàê ïàðàäîêñ «ëæåöà», äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ìîäèôèêàöèé.  äðåâíåé «äèëåììå êðîêîäèëà» êðîêîäèë óêðàë ðåáåíêà, íî îáåùàë âåðíóòü åãî îòöó, åñëè òîò óãàäàåò, âåðíåò ëè åìó êðîêîäèë ðåáåíêà. Íåðàçðåøèìàÿ äèëåììà âñòàåò ïåðåä êðîêîäèëîì, åñëè îòåö ñêàæåò åìó, ÷òî îí íå âåðíåò ðåáåíêà. Ìèññèîíåð, ïîïàâøèé ê ëþäîåäàì, ìîæåò ïðîèçíåñòè êàêóþ-íèáóäü ôðàçó, è, åñëè îíà îêàæåòñÿ èñòèííîé, òî åãî ñâàðÿò, à åñëè ëîæíîé, òî çàæàðÿò. ×òî äîëæåí ñêàçàòü ìèññèîíåð, ÷òîáû îñòàòüñÿ æèâûì? Îòêðûòèå ïàðàäîêñîâ â êàíòîðîâñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ ñòàâèëî ïîä ñîìíåíèå ïîñëåäíèå äîñòèæåíèÿ â îáëàñòè ìàòåìàòèêè è ïðèâåëî ê êðèçèñó îñíîâ ìàòåìàòèêè1. Ê ýòîìó âðåìåíè áîëüøèíñòâî ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè óæå èñïîëüçîâàëè òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè óæå çíàëà ïîäîáíûå êðèçèñû. Ïåðâûé êðèçèñ îñíîâ ìàòåìàòèêè ïðîèçîøåë â V âåêå äî í.ý. Îí áûë âûçâàí íåîæèäàííûì îòêðûòèåì: îêàçàëîñü, ÷òî íå âñå îäíîðîäíûå ãåîìåòðè÷åñêèå âåëè÷èíû ñîèçìåðèìû äðóã ñ äðóãîì. Áûëî, íàïðèìåð, ïîêàçàíî, ÷òî äèàãîíàëü êâàäðàòà íå ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé. Ýòî íàíåñëî ãðîìàäíûé óùåðá ó÷åíèþ Ïèôàãîðà î âåëè÷èíàõ, êîòîðîå ïîëàãàëîñü íà ñîèçìåðèìîñòü îäíîðîäíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ïèôàãîðîâà òåîðèÿ áûëà îòáðîøåíà êàê íåîáîñíîâàííàÿ. Ïåðâûé êðèçèñ ïðåîäîëåâàëñÿ íåëåãêî. Êîíåö êðèçèñà îòíîñèòñÿ ê 370 ã. äî í.ý. è ñâÿçàí ñ èìåíåì âûäàþùåãîñÿ ìàòåìàòèêà Åâäîêëà ïîñòðîåííàÿ èì òåîðèÿ âåëè÷èí è ó÷åíèå î íåñîèçìåðèìîñòÿõ â îñíîâíîì ñîâïàäàåò ñ ñîâðåìåííîé òåîðèåé èððàöèíàëüíûõ ÷èñåë, ïîñòðîåííîé Ðèõàðäîì Äåäåêèíäîì â 1872 ã. Ýòîò êðèçèñ ñûãðàë âûäàþùóþñÿ ðîëü â ñòàíîâëåíèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìåòîäà. Îòêðûòèÿ Íüþòîíà è Ëåéáíèöà, çàðîæäåíèå àíàëèçà â êîíöå XVII â. ïðèâåëî êî âòîðîìó êðèçèñó îñíîâ ìàòåìàòèêè. Ïîñëåäîâàòåëè Íüþòîíà è Ëåéáíèöà, óâëå÷åííûå îãðîìíûìè ïðàêòè÷åñêèìè âîçìîæíîñòÿìè è ñèëîé ñâîåãî ìåòîäà, ìàëî çàáîòèëèñü î ïðî÷íîñòè ôóíäàìåíòà, íà êîòîðîì áûë ïîñòðîåí àíàëèç, òàê ÷òî íå äîêàçàòåëüñòâà ãàðàíòèðîâàëè ïðàâèëüíîñòü ðåçóëüòàòîâ, à íàîáîðîò, ñïðàâåäëèâîñòü ðåçóëüòàòîâ äàâàëà óâåðåííîñòü â ïðàâèëüíîñòè äîêàçàòåëüñòâ. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïàðàäîêñû è ïðîòèâîðå÷èÿ âîçíèêàëè âñå â áîëüøåì êîëè÷åñòâå, ïîêà êðèçèñ îñíîâ ìàòåìàòèêè íå ñòàë äëÿ âñåõ î÷åâèäíîé ðåàëüíîñòüþ. Íàêîíåö, â íà÷àëå XIX â. Êîøè îòáðîñèë òóìàííóþ òåîðèþ áåñêîíå÷íî ìàëûõ è çàìåíèë åå ñòðîãîé òåîðèåé ïðåäåëîâ. Âñëåä çà íèì Âåéåðøòðàññ îñóùåñòâèë òàê íàçûâàåìóþ àðèôìåòèçàöèþ àíàëèçà, è âòîðîé êðèçèñ îñíîâ ìàòåìàòèêè áûë ïðåîäîëåí.
1
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
57
ïîíÿòèÿ. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ëåãëà â îñíîâó íîâîé íàóêè ôîðìàëüíîé (ìàòåìàòè÷åñêîé) ëîãèêè, êîòîðàÿ â êîíöå XIX-ãî íà÷àëå XX-ãî âåêà áóðíî ðàçâèâàëàñü. Îïóáëèêîâàííûå â 1879 1903 ã.ã. ðàáîòû íåìåöêîãî ó÷åíîãî Ãîòëèáà Ôðåãå è èññëåäîâàíèÿ èòàëüÿíñêîãî ìàòåìàòèêà Ïåàíî ïîëîæèëè íà÷àëî íîâûì íàïðàâëåíèÿì â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Ïåàíî õîòåë ïîñòðîèòü ìàòåìàòèêó íà áàçå ëîãè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ, à Ôðåãå ðàáîòàë íàä ëîãè÷åñêèì îáîñíîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè. Ïåðâàÿ ÷àñòü åãî òðóäà «Îñíîâàíèÿ àðèôìåòèêè» ïîÿâèëàñü â 1903 ã., è â ýòî æå âðåìÿ ïðîèçîøëî îäíî èç ñàìûõ òðàãè÷åñêèõ ñîáûòèé â èñòîðèè ìàòåìàòèêè. Áåðòðàí Ðàññåë ñîîáùèë î ñâîåì ïàðàäîêñå Ôðåãå, êîòîðûé ïåðåä ýòèì òîëüêî ÷òî çàêîí÷èë ïîñëåäíèé òîì ñâîåãî ãðîìàäíîãî òðàêòàòà ïî îñíîâàíèÿì àðèôìåòèêè.  êîíöå âòîðîãî òîìà Ôðåãå ïîäòâåðäèë ïîëó÷åíèå ýòîãî ñîîáùåíèÿ: «Çàêîí÷èâ ñâîé òðóä, ó÷åíûé îáíàðóæèâàåò íåñîñòîÿòåëüíîñòü èñõîäíûõ ïîçèöèé âðÿä ëè ìîæíî ïðèäóìàòü ÷òî-íèáóäü áîëåå íåæåëàòåëüíîå. Èìåííî â ýòîì ïîëîæåíèè îêàçàëñÿ ÿ ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ïèñüìà ìèñòåðà Áåðòðàíà Ðàññåëà, êîãäà ðóêîïèñü áûëà ïî÷òè ãîòîâà ê íàáîðó.» Ýòèìè ñëîâàìè Ôðåãå çàêîí÷èë ñâîé äâåíàäöàòèëåòíèé òðóä. Ïîñêîëüêó òåîðèÿ ìíîæåñòâ áûëà ïîëîæåíà â îñíîâó ìàòåìàòèêè, îáíàðóæåííûå ïàðàäîêñû ïîñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå äîñòîâåðíîñòü âñåé ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè â öåëîì. Âûõîä èç ýòîãî êðèçèñà áûë äëèòåëüíûì è òðóäíûì. Ïðè âíèìàòåëüíîì ðàññìîòðåíèè ëîãè÷åñêèõ ïàðàäîêñîâ òåîðèè ìíîæåñòâ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî îíè èìåþò ðÿä îáùèõ ñâîéñòâ, ñâÿçàííûõ ñ ñàìèì îïðåäåëåíèåì ìíîæåñòâà. Âî-ïåðâûõ, îíè äîïóñêàþò ñóùåñòâîâàíèå «ñëèøêîì áîëüøèõ» ìíîæåñòâ, òàêèõ êàê «ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ» â ïàðàäîêñå Êàíòîðà; âî-âòîðûõ, îíè äîïóñêàþò èìïðåäèêàòèâíûå îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâ, ò.å. òàêèå îïðåäåëåíèÿ, â êîòîðûõ ôèãóðèðóåò êàêîå-òî ìíîæåñòâî S è ýëåìåíò x èç S, îïðåäåëåíèå êîòîðîãî çàâèñèò îò S. Òàêèå îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ â èçâåñòíîì ñìûñëå êðóãîâûìè: îïðåäåëÿåìîå ïîíÿòèå çàâèñèò ñàìî îò ñåáÿ. Ìîæíî áûëî áû çàïðåòèòü èñïîëüçîâàíèå òàêèõ îïðåäåëåíèé, îäíàêî èñêëþ÷èòü èõ ïîëíîñòüþ èç ìàòåìàòèêè íåëüçÿ. Ïðèìåðîì òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ýòî íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé äàííîãî ìíîæåñòâà.
4.10. Ïðåîäîëåíèå ïàðàäîêñîâ Äëÿ âûõîäà èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ áûëî ïðåäëîæåíî ïîñòðîèòü ñòðîãîå àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà è îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ìíîæåñòâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì àêñèîìàì. Ýòè àêñèîìû ñôîðìóëèðîâàíû òàê, ÷òî èç íèõ íå âûâîäè-
58
Ãëàâà 4
ìû èçâåñòíûå ïàðàäîêñû è, â òî æå âðåìÿ, îíè äîñòàòî÷íû äëÿ âûâîäà îñíîâíûõ ïðåäëîæåíèé êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, â òîì ÷èñëå è àáñòðàêòíîé òåîðèè ìíîæåñòâ. Òàêàÿ ñèñòåìà àêñèîì áûëà ïðåäëîæåíà 1908 ã. Öåðìåëî, à çàòåì óñîâåðøåíñòâîâàííà Ôðåíêåëåì, Ñêîëåìîì, ôîí Íåéìàíîì, Áåðíàéñîì.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íèæå ïðèâîäèòñÿ îäíà èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ àêñèîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì ñèñòåìà àêñèîì ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ (ñì. [Êëèíè, 1973]). Ñèñòåìà àêñèîì Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ. 1. Àêñèîìà îáúåìíîñòè. Äâà ìíîæåñòâà A è B ðàâíû, åñëè è òîëüêî åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ: A = B ≡ (A ⊆ B & B ⊆ A). 2. Àêñèîìà âûäåëåíèÿ. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A è ïðåäèêàòà P(x), òàêîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ A P(x) ëèáî èñòèííî, ëèáî ëîæíî, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî X = {x | x ∈ A & P(x)}, ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç òåõ ýëåìåíòîâ A, äëÿ êîòîðûõ P(x) èñòèííî. 3. Àêñèîìà ïàðû. Åñëè a è b ðàçëè÷íûå îáúåêòû, òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî {a, b}, ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç a è b. 4. Àêñèîìà îáúåäèíåíèÿ. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ìíîæåñòâ A ñóùåñòâóåò îáúåäèíåíèå âñåõ ìíîæåñòâ, ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ýëåìåíòàì ìíîæåñòâà A. 5. Àêñèîìà áåñêîíå÷íîñòè. Ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë {0, 1, 2, ...}. 6. Àêñèîìà ìíîæåñòâà-ñòåïåíè. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî 2A âñåõ ïîäìíîæåñòâ A. 7. Àêñèîìà âûáîðà. Äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà S ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî A, ñîäåðæàùåå â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ ðîâíî ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ýëåìåíòà ìíîæåñòâà S. 8. Àêñèîìà ïîäñòàíîâêè. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà A è îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè ƒ, îïðåäåëåííîé íà A, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå â òî÷íîñòè îáúåêòû ƒ(x) äëÿ x ∈ A.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
59
Ñèñòåìà àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ îãðàíè÷èâàåò ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü ìíîæåñòâàìè. Òàê, èíòóèòèâíûé ïðèíöèï àáñòðàêöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó äëÿ ëþáîãî ñâîéñòâà P(x) ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ x, îáëàäàþùèõ ýòèì ñâîéñòâîì, çàìåíåí áîëåå ñòðîãîé àêñèîìîé âûäåëåíèÿ, òðåáóþùåé îïðåäåëåííîñòè ïðåäèêàòà P(x) îí äîëæåí áûòü ëèáî èñòèíåí, ëèáî ëîæåí. Òîãäà ïàðàäîêñ Ðàññåëà äîêàçûâàåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ñàìèì ñåáå â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ïàðàäîêñ Êàíòîðà ïîêàçûâàåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ.  íåêîòîðûõ äðóãèõ ñèñòåìàõ àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ, íàïðèìåð, â ñèñòåìå øäåëÿ (ñì. [Ìåíäåëüñîí, 1976]), âñå ñîâîêóïíîñòè îáúåêòîâ äåëÿòñÿ íà äâà âèäà: ìíîæåñòâà è êëàññû. Âñå ìíîæåñòâà ìîãóò âõîäèòü êàê ýëåìåíòû â äðóãèå ñîâîêóïíîñòè, êàê âî ìíîæåñòâà, òàê è â êëàññû. Êëàññû ìîãóò áûòü èëè íå áûòü ìíîæåñòâàìè. Êëàññû, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè êëàññàìè. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìíîæåñòâ îáðàçóåò êëàññ. Ïàðàäîêñ Êàíòîðà óñòðàíÿåòñÿ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ýòîò êëàññ óæå íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì, îí ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì êëàññîì. Àíàëîãè÷íî óñòðàíÿåòñÿ è ïàðàäîêñ Ðàññåëà: èç ñèñòåìû àêñèîì âûâîäèìî ïðåäëîæåíèå î òîì, ÷òî ñîâîêóïíîñòü, îïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíà ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâà, íå ÿâëÿþùèåñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì, îíà ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì êëàññîì. Íå âñå, îäíàêî, îáñòîÿëî ãëàäêî ñ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèåé ìíîæåñòâ. Àêñèîìà âûáîðà, ââåäåííàÿ Öåðìåëî, ÿâèëàñü ïðåäìåòîì ìíîãî÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé è ñïîðîâ, ñóòü êîòîðûõ ñâîäèëàñü ê âîïðîñó, ïðèíèìàòü èëè íå ïðèíèìàòü åå â êà÷åñòâå äîïóùåíèÿ, êîòîðîå ìîæíî áåç ïðîòèâîðå÷èé ïðèñîåäèíèòü ê äðóãèì àêñèîìàì òåîðèè ìíîæåñòâ, ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòè àêñèîìû íåïðîòèâîðå÷èâû.  1963 ãîäó Êîýí ïîêàçàë, ÷òî ìîæíî áåç ïðîòèâîðå÷èÿ ïðèñîåäèíèòü ê àêñèîìàòèêå òåîðèè ìíîæåñòâ è îòðèöàíèå àêñèîìû âûáîðà. Îäíàêî èç àêñèîìû âûáîðà Öåðìåëî ñëåäóþò íåêîòîðûå âûçûâàþùèå ñîìíåíèÿ âûâîäû.  ÷àñòíîñòè, èç íåå ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü. Ïîÿñíèì, ÷òî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ýòî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, ò.å. öåïü, â êîòîðîì êàæäîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò. Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ öåïü âïîëíå óïîðÿäî÷åíà, íàïðèìåð, êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N âïîëíå óïîðÿäî÷åíî îòíîøåíèåì «ìåíüøå»: îíî èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò, ÿâëÿåòñÿ öåïüþ è ëþáîå åãî ïîäìíîæåñòâî òàêæå âïîëíå óïîðÿäî÷åíî. Îòíîøåíèå «ìåíüøå» íà ìíîæåñòâå
60
Ãëàâà 4
íåîòðèöàòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì, íî íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åíèåì, ýòî ìíîæåñòâî íå èìååò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà. Àíàëîãè÷íî, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî îòíîøåíèåì «ìåíüøå», íî íå âïîëíå óïîðÿäî÷åíî, òàê êàê íå èìååò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà. Àêñèîìà âûáîðà ýêâèâàëåíòíà ïðèíöèïó ïîëíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó âñÿêîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü âïîëíå óïîðÿäî÷åíî. Íàïðèìåð, ïåðåñ÷åò, ïîñòðîåííûé íàìè ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà íåîòðèöàòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, âïîëíå óïîðÿäî÷èâàåò ýòî ìíîæåñòâî (íå ïî âåëè÷èíå ÷èñåë, à â ïîðÿäêå èõ ïåðåñ÷åòà). Îäíàêî ïî âîïðîñó î çàêîííîñòè ýòîãî ïðèíöèïà âîçíèêëà ñåðüåçíàÿ ïîëåìèêà. Íàïðèìåð, Áèðêãîô ïèøåò: «Ýòî âåäåò ê âåñüìà ñïåöèôè÷åñêîìó çàêëþ÷åíèþ î òîì, ÷òî R ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü, à ýòî, ïî-âèäèìîìó, íåâîçìîæíî ñäåëàòü â êàêîì-íèáóäü êîíñòðóêòèâíîì ñìûñëå
Íèêîìó äî ñèõ ïîð íå óäàëîñü «ïîñòðîèòü» êàêóþ-íèáóäü ÿâíî çàäàííóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ áû âïîëíå óïîðÿäî÷èâàëà íåñ÷åòíîå ìíîæåñòâî; ìû ñîâåðøåííî íå ïðåäñòàâëÿåì ñåáå, êàê «âûãëÿäèò» íåñ÷åòíîå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Ïðîáëåìà «êîíñòðóêòèâíîãî» âïîëíå óïîðÿäî÷åíèÿ íåñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ïðîáëåìîé òåîðèè ìíîæåñòâ.» [Áèðêãîô, 1984. Ñ. 172273].
Ãëàâà 5.
ÎÒÍÎØÅÍÈÅ ÏÎÐßÄÊÀ 5.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 5.1. Îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå P, óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâàì ðåôëåêñèâíîñòè: x ≤ x äëÿ âñåõ x, Ð1. àíòèñèììåòðè÷íîñòè: åñëè x ≤ y è y ≤ x, òî x = y äëÿ âñåõ x, y, Ð2. òðàíçèòèâíîñòè: åñëè x ≤ y è y ≤ z, òî x ≤ z äëÿ âñåõ x, y, z Ð3. íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Ñâîéñòâà, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò ýòî îòíîøåíèå, ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 5.2. Íåïóñòîå ìíîæåñòâî P, íà êîòîðîì çàäàíî áèíàðíîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà, óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâàì P1, P2, P3, íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Îòíîøåíèå ïîðÿäêà ρ óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ≤, õîòÿ äàëåêî íå âñåãäà ýòîò ñèìâîë áóäåò îáîçíà÷àòü îòíîøåíèå «ìåíüøå èëè ðàâíî», îïðåäåëåííîå íà ìíîæåñòâå ÷èñåë. Çàïèñü x ≥ y áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî y ≤ x. Ïîñêîëüêó ñâîéñòâà P1, P2, P3 çàäàþò íàèáîëåå îáùèé òèï ïîðÿäêà, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïðîñòî óïîðÿäî÷åííûì, èëè ó-ìíîæåñòâîì, â îòëè÷èå îò ëèíåéíî è ñòðîãî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû íèæå. Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî P ÷àñòî îáîçíà÷àþò â âèäå äâîéêè < P, ≤ >. Îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ó-ìíîæåñòâîì. Åñëè < P, ≤ > ó-ìíîæåñòâî è a, b ∈ P, òî a è b íàçûâàþòñÿ ñðàâíèìûìè ýëåìåíòàìè, åñëè a ≤ b èëè b ≤ a.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíè íàçûâàþòñÿ íåñðàâíèìûìè. Íåñðàâíèìûå ýëåìåíòû áóäåì îáîçíà÷àòü a || b.  ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâå åñòü êàê ñðàâíèìûå, òàê è íåñðàâíèìûå ýëåìåíòû. Îïðåäåëåíèå 5.3. Åñëè x ≤ y è x ≠ y, òî îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ñòðîãîãî ïîðÿäêà è îáîçíà÷àåòñÿ x < y. Îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà íå ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíûì: â ëþáîì ñòðîãî óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå íè äëÿ êàêîãî õ íå èìååò ìåñòà ñîîòíîøåíèå õ < õ. Äëÿ îòíîøåíèÿ < âûïîëíèìî ñâîéñòâî àñèììåòðè÷íîñòè: åñëè x < y, òî íå âûïîëíÿåòñÿ y < x. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàçëè÷èå ìåæäó ñòðîãèì è íåñòðîãèì ïîðÿäêîì íå èìååò ïðèíöèïèàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì ≤. Îïðåäåëåíèå 5.4. Ó-ìíîæåñòâî , óäîâëåòâîðÿþùåå ñâîéñòâó ëèíåéíîñòè:
62
Ãëàâà 5
x ≤ y èëè y ≤ x äëÿ âñåõ x, y ∈ P, P4. íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì, èëè öåïüþ.  öåïè êàæäûå äâà ïðîèçâîëüíî âçÿòûå ýëåìåíòà ñðàâíèìû è íåò íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ. Ó-ìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ öåïüþ, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn. Ó-ìíîæåñòâî, â êîòîðîì âñå ýëåìåíòû íåñðàâíèìû, èíîãäà íàçûâàþò àíòèöåïüþ. Ñâîéñòâî àöèêëè÷íîñòè ïîðÿäêà: åñëè x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ x1, òî x1 = x2 = ... = xn, íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ òðàíçèòèâíîñòè è àíòèñèììåòðè÷íîñòè. Öåïüþ C â ó-ìíîæåñòâå P íàçûâàåòñÿ òàêîå åãî íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî, êîòîðîå êàê ó-ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ öåïüþ. Öåïü x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn â ó-ìíîæåñòâå P íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîé öåïüþ, åñëè â íåé îòñóòñòâóþò òðàíçèòèâíî çàìûêàþùèå äóãè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè xi ≤ xj , òî íè äëÿ êàêèõ xi , xj íå ñóùåñòâóåò òàêîãî y, ÷òî xi ≤ y ≤ xj. Ïðèìåðû. 1. Îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ x ⊆ y, ò.å. «õ ïîäìíîæåñòâî ó», çàäàííîå íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà U, åñòü îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà. Äåéñòâèòåëüíî, ýòî îòíîøåíèå ðåôëåêñèâíî: x ⊆ x, àíòèñèììåòðè÷íî: åñëè x ⊆ y è y ⊆ x, òî x = y, è òðàíçèòèâíî: åñëè x ⊆ y è y ⊆ z, òî x ⊆ z. Ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî A = {a, b, c}. Ìíîæåñòâî-ñòåïåíü <℘(A), ⊆ > ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Ïîäìíîæåñòâî ∅ ⊆ {a} ⊆ {a, b} ⊆ {a, b, c} ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé öåïüþ â <℘(A), ⊆ >. Ïîäìíîæåñòâî ∅ ⊆ {a, b} ⊆ {a, b, c} òàêæå ÿâëÿåòñÿ öåïüþ, íî íå ìàêñèìàëüíîé. 2. Íà ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâàõ N, Z, Q, R óñòàíîâëåíû îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ≤ (ìåíüøå ëèáî ðàâíî), < (ìåíüøå), ≥ (áîëüøå ëèáî ðàâíî), > (áîëüøå). Ýòè îòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ëèíåéíîãî ïîðÿäêà, ïîýòîìó ýòè ìíîæåñòâà, à òàêæå ëþáûå èõ ïîäìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ öåïÿìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî {1, 2, 3, 4} öåïü. 3. Îòíîøåíèå «x ïðåäîê y», îïðåäåëåííîå íà ìíîæåñòâå âñåõ ëþäåé, åñòü îòíîøåíèå ïîðÿäêà. Ýòî îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà, òàê êàê îíî íå ðåôëåêñèâíî (íèêàêîé ÷åëîâåê íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäêîì ñàìîãî ñåáÿ); ýòî îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà, òàê â íåì åñòü íåñðàâíèìûå ýëåìåíòû: íå êàæäûå äâà ÷åëîâåêà íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ðîäñòâà. 4. Ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ ðóññêîãî àëôàâèòà A = {à, á, â, ..., ÿ} öåïü.  ýòîì ìíîæåñòâå îòíîøåíèå ≤ ìîæíî ÷èòàòü êàê «ïðåäøåñòâóåò»: à ïðåäøåñòâóåò á, á ïðåäøåñòâóåò â, è òàê äàëåå. Òîãäà à, êàê ïåðâàÿ áóêâà àëôàâèòà, ïðåäøåñòâóåò âñåì îñòàëüíûì, ò.å.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
63
∀x ∈ A (à ≤ õ), à áóêâà ÿ, ïîñëåäíÿÿ áóêâà â àëôàâèòå, «áîëüøå» âñåõ îñòàëüíûõ, ò.å. ∀x ∈ A (x ≤ ÿ). 5. Íà ìíîæåñòâå öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë Z+ ìîæíî çàäàòü îòíîøåíèå ïîðÿäêà, òàêîå, ÷òî x ≤ y îçíà÷àåò: «x äåëèòñÿ íà y». Åãî ìîæíî îïðåäåëèòü êàê x/y = k, ãäå k ∈ N. Ýòî îòíîøåíèå ðåôëåêñèâíî: x/x = 1, è 1 ∈ N; àíòèñèììåòðè÷íî: åñëè x/y = k è y/x = k, òî x/y = y/x, îòñþäà x = y; òðàíçèòèâíî: åñëè x/y = k1 è y/z = k2, òî x/z = k3, ãäå k1, k2, k3 ∈ N. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x= k1y è y = k2z, òî x = k1k2z, ò.å. x = k3z, ãäå k3 = k1k2. Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî íå âñÿêèå äâà öåëûå ÷èñëà x, y ∈ Z+ íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ïîðÿäêà «x äåëèòñÿ íà y», ñëåäîâàòåëüíî, ýòî îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî Z+ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâîì ïî îòíîøåíèþ ≤ (ìåíüøå èëè ðàâíî), è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ïî îòíîøåíèþ «x äåëèòñÿ íà y».
5.2. Ñâîéñòâà ó-ìíîæåñòâ Îïðåäåëåíèå 5.5. Ïîðÿäêîì n(P) ó-ìíîæåñòâà P íàçûâàåòñÿ (êàðäèíàëüíîå) ÷èñëî åãî ýëåìåíòîâ. Åñëè ýòî ÷èñëî êîíå÷íî, Ð íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì ó-ìíîæåñòâîì. Îïðåäåëåíèå 5.6. Åñëè â ó-ìíîæåñòâå P ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò à ∈ P, òàêîé ÷òî ∀x ∈ P (à ≤ õ), òî à íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ó-ìíîæåñòâà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ó-ìíîæåñòâî Ð ìîæåò ñîäåðæàòü òîëüêî îäèí íàèìåíüøèé ýëåìåíò a. Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ: ýëåìåíò a òàêîâ, ÷òî âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà P «áîëüøå» a. Ïîýòîìó, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî a è b äâà íàèìåíüøèõ ýëåìåíòà, òî a ≤ b, è, îäíîâðåìåííî, b ≤ a, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî a = b, ò.å. ýòî îäèí è òîò æå ýëåìåíò. Ñëåäîâàòåëüíî, íàèìåíüøèé ýëåìåíò óìíîæåñòâà, åñëè îí ñóùåñòâóåò, âñåãäà åäèíñòâåííûé. Åãî íàçûâàþò íóëåì ó-ìíîæåñòâà è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì 0. Îïðåäåëåíèå 5.7. Åñëè â ó-ìíîæåñòâå P ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò b ∈ P, òàêîé ÷òî ∀x ∈ P (x ≤ b), òî b íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì ó-ìíîæåñòâà. Íàèáîëüøèé ýëåìåíò ó-ìíîæåñòâà P, åñëè îí ñóùåñòâóåò, òàêæå âñåãäà åäèíñòâåííûé. Åãî îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì I è íàçûâàþò åäèíèöåé ó-ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 5.8. Ó-ìíîæåñòâî P, â êîòîðîì ñóùåñòâóþò íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû, íàçûâàþò óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì ñ íóëåì è åäèíèöåé. Òîãäà ∀x ∈ P (0 ≤ x ≤ I), ò.å. ëþáîé äðóãîé ýëåìåíò ó-ìíîæåñòâà ëåæèò ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé, ïîýòîìó ýëåìåíòû 0 è I, åñëè îíè ñóùåñòâóþò, íàçûâàþòñÿ óíèâåðñàëüíûìè ãðàíÿìè ìíîæåñòâà Ð.
64
Ãëàâà 5
Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî íàèìåíüøèé è íàèáîëüøèé ýëåìåíòû ñóùåñòâóþò â ëþáîì ó-ìíîæåñòâå. Îäíàêî ýòî íå òàê. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A = {2, 3, 6, 12, 24} ñ îïðåäåëåííûì íà íåì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà x ≤ y: «x äåëèò y», íàïðèìåð, 2 äåëèò 6, 12, 24; 3 äåëèò 6, 12, 24; 6 äåëèò 12, 24, è ò.ä.  ýòîì ìíîæåñòâå íàèìåíüøèé ýëåìåíò, åñëè îí ñóùåñòâóåò, äîëæåí äåëèòü âñå ñëåäóþùèå çà íèì ÷èñëà. Îäíàêî ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò íè 2, íè 3, êîòîðûå íå ñðàâíèìû ìåæäó ñîáîé ïî îòíîøåíèþ x äåëèò y, è íè îäíî èç íèõ íå ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì, òàê êàê íå âñå ÷èñëà «áîëüøå» 2 (èëè 3) ïî äàííîìó îòíîøåíèþ (2 íå äåëèò 3 è 3 íå äåëèò 2). Ïîýòîìó â ýòîì ìíîæåñòâå íåò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà. Îäíàêî ÷èñëà 2 è 3 îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî íèêàêîå äðóãîå ÷èñëî íå ìåíüøå èõ ïî äàííîìó îòíîøåíèþ, ò.å. íè îäíî äðóãîå ÷èñëî íå äåëèò 2 è 3. Òàêèå ýëåìåíòû, êîòîðûå ìåíüøå âñåõ îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ ó-ìíîæåñòâà, ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè â ó-ìíîæåñòâå. Îïðåäåëåíèå 5.9. Ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì ó-ìíîæåñòâà P íàçûâàåòñÿ òàêîé ýëåìåíò à ∈ P, ÷òî íè äëÿ êàêîãî x ∈ P íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå x ≤ à. Îïðåäåëåíèå 5.10. Ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì ó-ìíîæåñòâà P íàçûâàåòñÿ òàêîé ýëåìåíò b ∈ P, ÷òî íè äëÿ êàêîãî x ∈ P íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå b ≤ x. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî íàèìåíüøèé ýëåìåíò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì â ó-ìíîæåñòâå, à íàèáîëüøèé ìàêñèìàëüíûì, íî îáðàòíîå âûïîëíèìî äàëåêî íå âñåãäà.  ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå ÷èñëî 24 ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì, òàê êàê îíî äåëèòñÿ íà âñå ïðåäøåñòâóþùèå ÷èñëà, è, â òî æå ñàìîå âðåìÿ, ìàêñèìàëüíûì, à ÷èñëà 2 è 3 ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè, â òî âðåìÿ, êàê íàèìåíüøåãî ÷èñëà â ýòîì ó-ìíîæåñòâå íå ñóùåñòâóåò. Äàííîå ìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ òàêæå è öåïüþ, òàê êàê îíî ñîäåðæèò íåñðàâíèìûå ýëåìåíòû 2 è 3. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ó-ìíîæåñòâî P. Ïóñòü S åñòü ïîäìíîæåñòâî P. Òîãäà, åñëè x ≤ y äëÿ x, y ∈ S, òî x ≤ y â P. Ïîñêîëüêó ñâîéñòâà P1 P3 âûïîëíÿþòñÿ â P, òî îíè âûïîëíÿþòñÿ è â S. Åñëè â Ð âûïîëíÿåòñÿ è Ð4, òî îíî âûïîëíÿåòñÿ è â S. Îòñþäà ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ. Òåîðåìà 5.1. Âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî S ó-ìíîæåñòâà Ð ñàìî ÿâëÿåòñÿ ó-ìíîæåñòâîì îòíîñèòåëüíî òîãî æå ñàìîãî ïîðÿäêà (îãðàíè÷åííîãî íà S).  ÷àñòíîñòè, ëþáîå ïîäìíîæåñòâî öåïè ÿâëÿåòñÿ öåïüþ. Òåîðåìà 5.2. Ëþáîå êîíå÷íîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî Õ ïðîèçâîëüíîãî ó-ìíîæåñòâà P èìååò ìèíèìàëüíûå è ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
65
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Õ = {x1, ..., xn}. Ïîëîæèì m1 = x1, à mk = xk, åñëè xk < mk1, è mk = mk1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òîãäà ýëåìåíò mn áóäåò ìèíèìàëüíûì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå â Õ ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà.  ëþáîé êîíå÷íîé öåïè ïîíÿòèÿ íàèìåíüøåãî è ìèíèìàëüíîãî (íàèáîëüøåãî è ìàêñèìàëüíîãî) ýëåìåíòà ñîâïàäàþò. Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ êîíå÷íàÿ öåïü ñîäåðæèò íàèìåíüøèé (ïåðâûé) è íàèáîëüøèé (ïîñëåäíèé) ýëåìåíòû. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë {1, 2, ..., n} îáðàçóåò öåïü n (îðäèíàëüíîå ÷èñëî n) â ñâîåé åñòåñòâåííîé óïîðÿäî÷åííîñòè. Îïðåäåëåíèå 5.11. Ïîäìíîæåñòâî Õ ìíîæåñòâà Ð íàçûâàþò îãðàíè÷åííûì, èëè èíòåðâàëîì, åñëè ∀a, b ∈ P ∀x ∈ X (a ≤ x ≤ b).
5.3. Äèàãðàììû ó-ìíîæåñòâ Ãðàô îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà, ïîñòðîåííûé ïî åãî ìàòðèöå, áóäåò ñîäåðæàòü áîëüøîå ÷èñëî òðàíçèòèâíî çàìûêàþùèõ äóã. Ïîýòîìó îí áóäåò âûãëÿäåòü ñëèøêîì ñëîæíûì (ñì., íàïðèìåð, ðèñ. 5.2, á). Äëÿ îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà îáû÷íî ñòðîèòñÿ äèàãðàììà Õàññå, êîòîðàÿ îòîáðàæàåò îòíîøåíèå ïîêðûâàåìîñòè. Îïðåäåëåíèå 5.12.  óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ñ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà ≤ ýëåìåíò b ïîêðûâàåò a, åñëè a < b è íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ýëåìåíòà x, ÷òîáû a < x < b. Ïðèìåð.
Ðèñ.5.1. à) b ïîêðûâàåò a; á) à ïîêðûâàåò b è ñ; â) à, ñ ïîêðûâàþò b. Òîãäà ó-ìíîæåñòâî ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå ãðàôà. Ïðèíÿòî ãðàô ó-ìíîæåñòâà ñòðîèòü ñíèçó ââåðõ: åñëè ýëåìåíò b ïîêðûâàåò ýëåìåíò a, òî îí ðàñïîëàãàåòñÿ âûøå ýëåìåíòà a è ñîåäèíÿåòñÿ ñ íèì ïðÿìîé. Íåñðàâíèìûå ýëåìåíòû ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîì óðîâíå. Ïîëó÷åííûé ãðàô íàçûâàåòñÿ äèàãðàììîé ó-ìíîæåñòâà, èëè äèàãðàììîé Õàññå (ñì. ðèñ. 5.1). Ãðàô îòíîøåíèÿ ïîêðûâàåìîñòè íå ñîäåðæèò òðàíçèòèâíî çàìûêàþùèõ äóã è ïåòåëü, îòðàæàþùèõ ðåôëåêñèâíîñòü îòíîøåíèÿ, ïîýòîìó äèàãðàììà ó-ìíîæåñòâà Ð ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà îòíîøåíèÿ
66
Ãëàâà 5
ïîðÿäêà x ≤ y, ãäå x, y ∈ P, óäàëåíèåì ïåòåëü è òðàíçèòèâíî çàìûêàþùèõ äóã. Ïðèìåðû äèàãðàìì Õàññå ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5.2.
Ðèñ. 5.2. Ïðèìåðû äèàãðàìì Õàññå: a) ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (öåïü); á) ãðàô îòíîøåíèÿ «x äåëèò y»; â) äèàãðàììà Õàññå ìíîæåñòâà, óïîðÿäî÷åííîãî îòíîøåíèåì «x äåëèò y». Åñëè äâà ýëåìåíòà a, b ∈ P íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ïîðÿäêà a ≤ b, òî íà äèàãðàììå ñóùåñòâóåò ïóòü èç à â b. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå êîíå÷íîå ó-ìíîæåñòâî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà îïðåäåëÿåòñÿ ñâîåé äèàãðàììîé. Ïðèìåð. Ïðîäîëæàÿ ïðåäûäóùèé ïðèìåð, ðàññìîòðèì äèàãðàììó Õàññå äëÿ ìíîæåñòâà A = {2, 3, 6, 12, 24} ñ îòíîøåíèåì «x äåëèò y» (ðèñ. 5.2, â). Ýòà äèàãðàììà ïîëó÷åíà óäàëåíèåì êîëüöåâûõ è òðàíçèòèâíî çàìûêàþùèõ äóã íà îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå (ðèñ. 5.2, á). Ìû âèäèì, ÷òî êàæäûé âûøåëåæàùèé ýëåìåíò íà äèàãðàììå «áîëüøå» âñåõ, ëåæàùèõ íèæå åãî. Òàêèì îáðàçîì, íåò íåîáõîäèìîñòè ñòðåëêàìè óêàçûâàòü îòíîøåíèå ïîðÿäêà ìåæäó ýëåìåíòàìè: ýòî ëåãêî îïðåäåëèòü ïî óðîâíþ, êîòîðûé çàíèìàåò êàæäûé ýëåìåíò íà äèàãðàììå Õàññå. Ïîýòîìó äèàãðàììà Õàññå îáû÷íî èçîáðàæàåòñÿ áåç ñòðåëîê. Îïðåäåëåíèå 5.13. Ýëåìåíò u íàçûâàåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ ýëåìåíòîâ a è b, åñëè u ≤ a è u ≤ b. Îïðåäåëåíèå 5.14. Ýëåìåíò v íàçûâàþò âåðõíåé ãðàíüþ ýëåìåíòîâ a è b, åñëè a ≤ v è b ≤ v. Ó äâóõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî íèæíèõ è âåðõíèõ ãðàíåé, ÷òî õîðîøî âèäíî íà äèàãðàììàõ Õàññå: ýòî âñå ýëåìåíòû,
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
67
ðàñïîëîæåííûå íèæå (äëÿ âåðõíèõ ãðàíåé âûøå) îáîèõ ýëåìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå 5.15. Ýëåìåíò õ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåé íèæíåé ãðàíüþ (òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ) ýëåìåíòîâ à è b, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ èõ íèæíåé ãðàíüþ è äëÿ ëþáîé íèæíåé ãðàíè u u ≤ x. Îáîçíà÷àåòñÿ x = inf{a, b} (infimum{a, b}). Îïðåäåëåíèå 5.16. Ýëåìåíò y íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåé âåðõíåé ãðàíüþ (òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ) ýëåìåíòîâ a è b, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ a è b è äëÿ ëþáîé âåðõíåé ãðàíè v y ≤ v. Îáîçíà÷àåòñÿ y = sup{a, b} (supremum{a, b)}. Ïðèìåðû. 1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî, ïðåäñòàâëåííîå äèàãðàììîé Õàññå íà ðèñ. 5.3. Äëÿ ýëåìåíòîâ d, e íèæíèìè ãðàíÿìè áóäóò ýëåìåíòû b, òàê êàê b ≤ d, b ≤ e, è a, òàê êàê a ≤ d è a ≤ e, îäíàêî, a ≤ b, ñëåäîâàòåëüíî, b ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøåé íèæíåé ãðàíüþ. Äëÿ ýëåìåíòîâ e è c c ≤ e, a ≤ e, a ≤ c, ïîýòîìó a è c íèæíèå ãðàíè ýëåìåíòîâ e è c, íî a ≤ c, ñëåäîâàòåëüíî, c = inf{e, c} íàèáîëüøàÿ íèæíÿÿ ãðàíü. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è òî÷íûå âåðõíèå ãðàíè: sup{b, c} = e, sup{d, e} = f, sup{e, c} = e.
Ðèñ. 5.3. Òî÷íûå íèæíèå ãðàíè 2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.4. Äëÿ ýëåìåíòîâ d, e íèæíèìè ãðàíÿìè áóäóò ýëåìåíòû: b (b ≤ d, b ≤ e), c (c ≤ d, c ≤ e), è a (a ≤ d è a ≤ e), ïðè ýòîì a ≤ b è a ≤ c, îäíàêî, c || b (íåñðàâíèìû), ñëåäîâàòåëüíî, íè b, íè c íå ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøåé íèæíåé ãðàíüþ. Òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ýëåìåíòîâ b è c áóäåò ýëåìåíò a. Àíàëîãè÷íî, äëÿ ýëåìåíòîâ b, c íå ñóùåñòâóåò òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ó-ìíîæåñòâå íå äëÿ âñÿêèõ äâóõ ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíè.
Ãëàâà 5
68
Ðèñ. 5.4. Ó-ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ ðåøåòêîé. Îïðåäåëåíèå 5.17. Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, â êîòîðûõ äëÿ êàæäûõ äâóõ ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ âåðõíÿÿ è òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíè, íàçûâàþòñÿ ðåøåòêàìè. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.3 ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé, à ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.4 ó-ìíîæåñòâî, íî íå ðåøåòêà. 3. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A = {a, b, c}: ℘(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Ýòî ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åíî îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ è åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü íà äèàãðàììå Õàññå (ðèñ. 5.5). Çäåñü òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ïîäìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ èõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå ïåðåñå÷åíèå, íàïðèìåð äëÿ {a} è {b} ýòî ∅: {a} ∩ {b} = ∅; äëÿ {a, b} è {b, c} ýòî {b} è ò. ä. Òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ äâóõ ïîäìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ èõ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîå îáúåäèíåíèå, íàïðèìåð, äëÿ {a} è {b} ýòî {a, b}, äëÿ {a, b} è {b, c} ýòî {a, b, c} è ò.ä.
Ðèñ. 5.5. Äèàãðàììà ℘(A)
Ðèñ. 5.6. Äèàãðàììà ó-ìíîæåñòâà ñ îòíîøåíèåì «x äåëèòåëü y».
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
69
Ãëÿäÿ íà äèàãðàììó ℘(A), ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â èíòåðïðåòàöèè òåîðèè ìíîæåñòâ îïåðàöèè sup {x, y} ñîîòâåòñòâóåò îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ, à îïåðàöèè inf {x, y} ïåðåñå÷åíèÿ. Ýòà àíàëîãèÿ ïîñëóæèëà îñíîâàíèåì äëÿ âûáîðà íàèìåíîâàíèÿ îïåðàöèè íàõîæäåíèÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè «îáúåäèíåíèå» (îáîçíà÷àåòñÿ ∨) è òî÷íîé íèæíåé ãðàíè «ïåðåñå÷åíèå» (îáîçíà÷àåòñÿ ∧) â òåîðèè ðåøåòîê. Òàêèì îáðàçîì îáîçíà÷åíèÿ inf {x, y} è x ∧ y, sup {x, y} è x ∨ y ðàâíîçíà÷íû. 4. Ìíîæåñòâî X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} c çàäàííûì íà íåì îòíîøåíèåì «x äåëèòåëü y» (ðèñ. 5.6) îáðàçóåò ðåøåòêó, â êîòîðîé îïåðàöèè íàõîæäåíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè x è y ñîîòâåòñòâóåò íàõîæäåíèå ÍÎÄ (x, y) (íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü), à îïåðàöèè íàõîæäåíèÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè x è y ñîîòâåòñòâóåò íàõîæäåíèå ÍÎÊ (x, y) (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå).
5.4. Èçîìîðôèçì. Äâîéñòâåííîñòü Îïðåäåëåíèå 5.18. Ôóíêöèÿ ϕ: P → Q, çàäàííàÿ íà ó-ìíîæåñòâå P è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ó-ìíîæåñòâå Q, íàçûâàåòñÿ ñîõðàíÿþùåé ïîðÿäîê, èëè èçîòîííîé, åñëè èç x ≤ y ñëåäóåò, ÷òî ϕ(x) ≤ ϕ(y). (1) Íàïðèìåð, åñëè P = {1, 2, 3}, òàêîå ÷òî 1 ≤ 2 ≤ 3, è Q = {a, b, c}, òàêîå ÷òî a ≤ b ≤ c, òî îòîáðàæåíèå ϕ(1) = a, ϕ(2) = b, ϕ(3) = c ÿâëÿåòñÿ èçîòîííîé ôóíêöèåé. Îïðåäåëåíèå 5.19. Èçîòîííàÿ ôóíêöèÿ, äîïóñêàþùàÿ èçîòîííóþ îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåòñÿ ϕ-èçîìîðôèçìîì. Èíûìè ñëîâàìè, èçîìîðôèçì åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó äâóìÿ ó-ìíîæåñòâàìè, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (1) è óñëîâèþ (1'): èç ϕ(x) ≤ ϕ(y) ñëåäóåò, ÷òî x ≤ y. (1') Îïðåäåëåíèå 5.20. Äâà ó-ìíîæåñòâà P è Q íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè (îáîçíà÷åíèå: P ≅ Q), åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì. Ïðèìåð. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî äèàãðàììû ìíîæåñòâ ℘(A) (ðèñ. 5.5) è Õ (ðèñ. 5.6) èìåþò ñîâåðøåííî îäèíàêîâóþ ñòðóêòóðó, õîòÿ ñîñòîÿò èç ðàçíûõ ýëåìåíòîâ. Çíà÷èò, ìåæäó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå (ñàìîñòîÿòåëüíî îïðåäåëèòå èçîòîííóþ ôóíêöèþ ϕ, äîïóñêàþùóþ èçîòîííóþ îáðàòíóþ ôóíêöèþ). Î÷åâèäíî, ÷òî ñîîòâåòñòâèå áóäåò ñîõðàíÿòü ïîðÿäîê êàæäîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, ò.å. ýòè ó-ìíîæåñòâà èçîìîðôíû. Îïðåäåëåíèå 5.21. Èçîìîðôèçì ó-ìíîæåñòâà Ð ñ ñàìèì ñîáîé íàçûâàåòñÿ àâòîìîðôèçìîì.
70
Ãëàâà 5
Èç ñâîéñòâ Ð1 Ð3 ñëåäóåò ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè. Òåîðåìà 5.3. Îòíîøåíèå, îáðàòíîå äëÿ îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà, ñàìî ÿâëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ≤ y («x ìåíüøå y») , òî y ≥ x («y áîëüøå x»). Íàïðèìåð, åñëè x ≤ y åñòü îòíîøåíèå «x äåëèò y», òî îáðàòíîå åìó îòíîøåíèå y ≥ x åñòü «y äåëèòñÿ íà x». Îïðåäåëåíèå 5.22. Äâîéñòâåííûì äëÿ ó-ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî X′, îïðåäåëÿåìîå íà òåõ æå ýëåìåíòàõ îòíîøåíèåì, îáðàòíûì ê óïîðÿäî÷åííîñòè â X. Ïðè ýòîì: X ≅ X′. Èç òåîðåìû 5.3 ñëåäóåò, ÷òî êàæäîå ñâîéñòâî è êàæäàÿ òåîðåìà îá ó-ìíîæåñòâàõ èìååò äâîéñòâåííûé àíàëîã, è åñëè íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ó-ìíîæåñòâ, òî äâîéñòâåííîå åìó óòâåðæäåíèå òàêæå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ó-ìíîæåñòâ. Ýòî ñâîéñòâî ó-ìíîæåñòâ îáû÷íî è íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì äâîéñòâåííîñòè. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó, óòâåðæäåíèå ψ ñïðàâåäëèâî â óìíîæåñòâå < X, ≤ >, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äâîéñòâåííîå åìó óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî â ó-ìíîæåñòâå <X′, ≥ >. Äëÿ êàæäîãî óòâåðæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî ðåøåòêè ìîæíî ïîëó÷èòü äâîéñòâåííîå åìó óòâåðæäåíèå, çàìåíèâ â íåì îïåðàöèþ ∨ íà ∧ è íàîáîðîò. Åñëè â óòâåðæäåíèè ïðèñóòñòâóþò 0 è I ðåøåòêè, òî â äâîéñòâåííîì óòâåðæäåíèè èõ òàêæå ñëåäóåò ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Íàïðèìåð, äëÿ óòâåðæäåíèÿ «ìíîæåñòâî < X, ≤ > èìååò íóëü» äâîéñòâåííûì áóäåò óòâåðæäåíèå «ìíîæåñòâî < X′, ≥ > èìååò åäèíèöó». Ñîãëàñíî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè, âñå ñâîéñòâà ðåøåòîê, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùåé ãëàâå, ôîðìóëèðóþòñÿ â âèäå äâóõ óòâåðæäåíèé, äâîéñòâåííûõ äðóã äðóãó. Îïðåäåëåíèå 5.23. Ôóíêöèÿ ϕ: P → Q íàçûâàåòñÿ àíòèèçîòîííîé (àíòèòîííîé), åñëè: èç x ≤ y ñëåäóåò, ÷òî ϕ(x) ≥ ϕ(y), (2) à âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ϕ, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (2) è (2'): èç ϕ(x) ≤ ϕ(y) ñëåäóåò x ≥ y, (2') íàçûâàåòñÿ äóàëüíûì èçîìîðôèçìîì. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 5.7 ïðÿìàÿ y = x åñòü àâòîìîðôèçì R → R, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Ïðÿìàÿ y = x åñòü äóàëüíûé àâòîìîðôèçì; ýòî îòîáðàæåíèå áèåêòèâíî è àíòèòîííî: åñëè x1 ≤ x2, òî y1 ≥ y2. Ñèñòåìû < X′, ≥ >, äóàëüíî èçîìîðôíûå < X, ≤ >, ÿâëÿþòñÿ äâîéñòâåííûìè ïî îòíîøåíèþ ê X.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
71
Ðèñ. 5.7. Ðèñ. 5.8. Àâòîìîðôèçì è Äóàëüíûé èçîìîðôèçì äóàëüíûé àâòîìîðôèçì. (ñàìîäâîéñòâåííîå ìíîæåñòâî). Ïðèìåð. Ìíîæåñòâà E è E′ íà ðèñ. 5.9. äâîéñòâåííû äðóã äðóãó. Îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì: ïðÿìîå è îáðàòíîå îòîáðàæåíèÿ áèåêòèâíû è èçîòîííû. Îòîáðàæåíèå ψ íà ðèñ. 5.9, á íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, îíî íå ñîõðàíÿåò ïîðÿäîê, íàïðèìåð, b ≤ d, íî ψ(b) || ψ(d).
Ðèñ. 5.9. à) Èçîòîííîå îòîáðàæåíèå, èçîìîðôèçì. á) Íåèçîòîíîîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 5.24. Ó-ìíîæåñòâî, äóàëüíî èçîìîðôíîå ñàìîìó ñåáå, íàçûâàåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì.  ñàìîäâîéñòâåííîì ìíîæåñòâå äëÿ ëþáîãî x îáðàç ϕ(ϕ(x)) îáðàçà ϕ(x) ñîâïàäàåò ñ x: ϕ(ϕ(x)) = x. Òàêèå ñàìîäâîéñòâåííûå (äóàëüíûå) àâòîìîðôèçìû íàçûâàþòñÿ èíâîëþöèÿìè. Ïðèìåðû. 1. Ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.8 ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå ϕ(a) = d, ϕ(b) = c, ϕ(c) = b, ϕ(d) = a ÿâëÿåòñÿ äóàëüíûì àâòîìîðôèçìîì. Ïîâòîðíîå ïðèìåíåíèå ýòîãî îòîáðàæåíèÿ äàåò òå æå ñàìûå ýëåìåíòû, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî ñàìîäâîéñòâåííîñòè: ϕ(ϕ(x)) = x. 2. Ñâîéñòâîì ñàìîäâîéñòâåííîñòè îáëàäàåò ìíîæåñòâî-ñòåïåíü ℘(Ð) âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Ð, óïîðÿäî÷åííîå
Ãëàâà 5
72
îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ. Îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó åãî äîïîëíåíèå äî ìíîæåñòâà Ð, âçàèìíî îäíîçíà÷íî è îáðàùàåò âêëþ÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâîñòåïåíü ℘(Ð) ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì (ñì. ðèñ. 5.5). 3. Íà ðèñ. 5.9, à) ïîêàçàíû ìíîæåñòâà E è E′, äâîéñòâåííûå äðóã äðóãó. Íà ðèñ. 5.9, á) ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî E íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå ψ íå ÿâëÿåòñÿ äóàëüíûì èçîìîðôèçìîì: b ≤ d, îäíàêî ψ(b) = c è ψ(d) = b íåñðàâíèìû. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ íå ñóùåñòâóåò äóàëüíîãî èçîìîðôèçìà. 4. Ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.10 íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèå ϕ(ϕ(x)) = x âûïîëíÿåòñÿ íå äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè: ϕ(a) = e, ϕ(b) = d, ϕ(c) = b, ϕ(d) = c, ϕ(e) = a,
ϕ(ϕ(a)) = ϕ(e) = a, ϕ(ϕ(b)) = ϕ(d) = c, ϕ(ϕ(c)) = ϕ(b) = d, ϕ(ϕ(d)) = ϕ(c) = b, ϕ(ϕ(e)) = ϕ(a) = e.
Ðèñ. 5.10. Íåñàìîäâîéñòâåííîå ìíîæåñòâî.
5.5. Ãðàäóèðîâàííûå ìíîæåñòâà Òåîðåìà 5.4. Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ öåïü èç n ýëåìåíòîâ èçîìîðôíà îðäèíàëüíîìó ÷èñëó n (öåïè öåëûõ ÷èñåë 1, ..., n). Èíûìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ϕ ìåæäó n-ýëåìåíòíîé öåïüþ X è ìíîæåñòâîì {1, 2, ..., n}, òàêîå, ÷òî x1 ≤ x2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ(x1) ≤ ϕ(x2). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ îòîáðàæàåò íàèìåíüøèé ýëåìåíò x ∈ X â 1, íàèìåíüøèé ýëåìåíò èç îñòàâøèõñÿ â 2 è ò. ä. Òîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó öåïè áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Îïðåäåëåíèå 5.25. Äëèíîé l[P] ó-ìíîæåñòâà Ð íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äëèí öåïåé â Ð. Äëèíà êîíå÷íîé öåïè n ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé n 1 (ýòî î÷åâèäíî, åñëè ïîñìîòðåòü íà äèàãðàììó öåïè). Åñëè l[P] êîíå÷íî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ó-ìíîæåñòâî P èìååò êîíå÷íóþ äëèíó. Îïðåäåëåíèå 5.26. Âûñîòîé, èëè ðàçìåðíîñòüþ, h[x] ýëåìåíòà x íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äëèí öåïåé 0 < x0 < x1 < ... < xl = x ìåæäó 0 è õ. Åñëè Ð èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò I, òî, î÷åâèäíî, ÷òî h[I] = l[P]. Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî h[x] = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õ ïîêðûâàåò 0. Òàêèå ýëåìåíòû õ íàçûâàþòñÿ àòîìàìè, èëè òî÷êàìè, ó-ìíîæåñòâà Ð.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
73
Ïðèìåðû. Íà ðèñ. 5.11 âûñîòà ìíîæåñòâà M3 ðàâíà 2, à âûñîòà ìíîæåñòâ N5, L7, 23 è P6 ðàâíà 3.
Ðèñ. 5.11. Äèàãðàììû ó-ìíîæåñòâ. Ïîíÿòèå âûñîòû òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ãðàäóèðîâàííîãî ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 5.27. Ãðàäóèðîâàííûì ó-ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ó-ìíîæåñòâî Ð ñ çàäàííîé íà íåì ôóíêöèåé g: P → Z, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå â öåïè öåëûõ ÷èñåë, è òàêîé, ÷òî åñëè x > y, òî g[x] > g[y], (ñòðîãàÿ èçîòîííîñòü); G1. åñëè õ ïîêðûâàåò ó, òî g[x] = g[y] + 1. G2. Óòâåðæäåíèå. Âî âñÿêîì ãðàäóèðîâàííîì ó-ìíîæåñòâå èìååò ìåñòî öåïíîå óñëîâèå Æîðäàíà-Äåäåêèíäà: âñå ìàêñèìàëüíûå öåïè ìåæäó äâóìÿ ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó. Òåîðåìà 5.5.  ó-ìíîæåñòâå Ð ñ 0 è êîíå÷íûìè öåïÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà âûïîëíÿåòñÿ öåïíîå óñëîâèå ÆîðäàíàÄåäåêèíäà, êîãäà Ð ãðàäóèðóåòñÿ ôóíêöèåé âûñîòû h[x]. Òàêèå ìíîæåñòâà, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Æîðäàíà Äåäåêèíäà, íàçûâàþò åùå äåäåêèíäîâûìè ìíîæåñòâàìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Ð ãðàäóèðóåòñÿ ôóíêöèåé h[x], òî óñëîâèå ÆîðäàíàÄåäåêèíäà âûïîëíÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì: äëèíà ìàêñèìàëüíîé öåïè, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè à è b, òàêèå, ÷òî b > a, ðàâíà h[b] h[a]. Îáðàòíî, åñëè èìååò ìåñòî óñëîâèå Æîðäàíà Äåäåêèíäà, òî h[x] áóäåò äëèíîé ìàêñèìàëüíîé öåïè îò 0 äî x, îòêóäà ñëåäóåò âûïîëíèìîñòü äëÿ h[x] óñëîâèé G1 è G2. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äèàãðàììû íà ðèñ. 5.11. Ñðåäè ìíîæåñòâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 5.11, ìíîæåñòâî N 5 âûäåëÿåòñÿ ñâîåé «íåñèììåòðè÷íîñòüþ»: äëèíà ëåâîé öåïè ìåæäó 0 è I ðàâíà äâóì, à ïðàâîé öåïè òðåì. Ïîñêîëüêó íà äèàãðàììàõ Õàññå èçîáðàæàþòñÿ òîëüêî ìàêñèìàëüíûå öåïè, óñëîâèå ÆîðäàíàÄåäåêèíäà íå âûïîëíÿåòñÿ â äàííîì ìíîæåñòâå, îíî ÿâëÿåòñÿ íå ãðàäóèðîâàííûì (íå äåäåêèíäîâûì) ìíîæåñòâîì. Âñå îñòàëüíûå ìíîæåñòâà ãðàäóèðîâàííûå.
ÐÅØÅÒÊÈ
Ãëàâà 6.
Èñòîðè÷åñêè òåîðèÿ ðåøåòîê ïîÿâèëàñü ïîçæå ôîðìàëèçàöèè Äæîðäæåì Áóëåì ïðîïîçèöèîíàëüíîé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, êîòîðîå ïðèâåëî ê ïîíÿòèþ áóëåâîé àëãåáðû. Èìåííî èññëåäîâàíèÿ ïî àêñèîìàòèçàöèè áóëåâûõ àëãåáð ïîáóäèëè ×àðëüçà Ïèðñà è Ýðíñòà Øð¸äåðà ââåñòè ïîíÿòèå ðåøåòêè â êîíöå äåâÿòíàäöàòîãî âåêà. Íåçàâèñèìî îò íèõ, Ðè÷àðä Äåäåêèíä â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî èäåàëàì àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ïðèøåë ê òîìó æå ñàìîìó ïîíÿòèþ. Îäíàêî ýòè ðàáîòû íå ïðèâëåêëè âíèìàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé îáùåñòâåííîñòè â òî âðåìÿ. È òîëüêî èññëåäîâàíèÿ Ãàððåòòà Áèðêãîôà â ñåðåäèíå òðèäöàòûõ ãîäîâ äàëè òîë÷îê ðàçâèòèþ òåîðèè ðåøåòîê.  ñåðèè áëåñòÿùèõ ðàáîò îí ïîêàçàë âàæíîñòü òåîðèè ðåøåòîê, êîòîðàÿ ñëóæèò êàðêàñîì äëÿ îáîáùåíèÿ è óíèôèêàöèè ìíîãèõ ðåçóëüòàòîâ â ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ. Ñîáðàâ è îáîáùèâ ñâîè ðåçóëüòàòû, à òàêæå äîñòèæåíèÿ ìíîãèõ äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ, ðàáîòàþùèõ â ýòîé îáëàñòè, Ã. Áèðêãîô â 1940 ã. èçäàë ìîíîãðàôèþ «Lattice Theory», ñîçäàâ ôàêòè÷åñêè îñíîâû îáùåé òåîðèè ðåøåòîê, ÷òî ïîçâîëèëî âûäåëèòü åå â ñàìîñòîÿòåëüíóþ äèñöèïëèíó.  äàëüíåéøèõ èçäàíèÿõ (1948, 1967 ãã.) Ã. Áèðêãîô îòðàçèë ðàçâèòèå ýòîé òåîðèè, è â íàñòîÿùåå âðåìÿ åãî ìîíîãðàôèÿ (íà ðóññêîì ÿçûêå ñì. [Áèðêãîô, 1984]) ÿâëÿåòñÿ íàñòîÿùåé ýíöèêëîïåäèåé êëàññè÷åñêîé òåîðèè ðåøåòîê.
6.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå 6.1. Ðåøåòêîé1 íàçûâàåòñÿ ó-ìíîæåñòâî L, â êîòîðîì ëþáûå äâà ýëåìåíòà x è y èìåþò òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü, íàçûâàåìóþ ïåðåñå÷åíèåì (îáîçíà÷àåòñÿ x ∧ y), è òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü, íàçûâàåìóþ îáúåäèíåíèåì (îáîçíà÷àåòñÿ x ∨ y). Ðåøåòêà L íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáîå åå ïîäìíîæåñòâî Õ èìååò â L òî÷íûå âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíè. Ïîëàãàÿ X = L, ìû âèäèì, ÷òî ëþáàÿ íåïóñòàÿ ïîëíàÿ ðåøåòêà ñîäåðæèò íàèìåíüøèé ýëåìåíò 0 è íàèáîëüøèé ýëåìåíò I. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàæäûå äâà ýëåìåíòà èìåþò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü, òî â ðåøåòêå èìååòñÿ òîëüêî îäèí ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, êîòîðûé áóäåò è óíèâåðñàëüíîé âåðõíåé ãðàíüþ, ò.å. åäèíèöåé ó-ìíîæåñòâà. Àíàëîãè÷íî, ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå óíèâåðñàëüíîé íèæíåé ãðàíè íóëÿ ó-ìíîæåñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî óìíîæåñòâî, äâîéñòâåííîå ðåøåòêå, ñàìî ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé, à ó1 Ïî-àíãëèéñêè lattice, ïî-íåìåöêè Verband; â íàøåé ëèòåðàòóðå ðåøåòêè èíîãäà èìåíóþò ñòðóêòóðàìè.
Ðåøåòêè
75
ìíîæåñòâî, äâîéñòâåííîå ïîëíîé ðåøåòêå, áóäåò ïîëíîé ðåøåòêîé ñ âçàèìíîé çàìåíîé îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ðåøåòêà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Óòâåðæäåíèå 6.1. Ëþáàÿ öåïü ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé, â êîòîðîé x ∧ y ñîâïàäàåò ñ ìåíüøèì, à x ∨ y ñ áîëüøèì èç ýëåìåíòîâ x, y. Ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, òàê êàê â ëþáîé öåïè ëèáî x ≤ y, ëèáî y ≤ x, ïîýòîìó ëèáî x ∧ y = x, ëèáî x ∧ y = y. Äâîéñòâåííî äëÿ îáúåäèíåíèÿ: ëèáî x ∨ y = x, ëèáî x ∨ y = y. Ïðèìåðû. 1.  ãëàâå 5 íà ðèñ. 5.11 èçîáðàæåíû äèàãðàììû Õàññå ó-ìíîæåñòâ, ñðåäè êîòîðûõ ìíîæåñòâà M3, N5, L7, 23 ÿâëÿþòñÿ ðåøåòêàìè. Íå âñÿêîå ó-ìíîæåñòâî ñ 0 è I ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé. Ó-ìíîæåñòâî P6 ÿâëÿåòñÿ äåäåêèíäîâûì ó-ìíîæåñòâîì ñ 0 è ², îäíàêî, îíî íå îáðàçóåò ðåøåòêó, òàê êàê â íåì íå äëÿ âñÿêèõ äâóõ ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå: äëÿ ýëåìåíòîâ ñ è d íå ñóùåñòâóåò ïåðåñå÷åíèÿ, à äëÿ ýëåìåíòîâ a, b îáúåäèíåíèÿ. 2. Ó-ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ðåøåòêîé, òàê êàê â íåì îòñóòñòâóþò óíèâåðñàëüíûå ãðàíè 0 è I.  ó-ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë óñëîâèÿ ïîëíîòû áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè ïðèñîåäèíèòü ê íèì â êà÷åñòâå óíèâåðñàëüíûõ ãðàíåé ∞ è +∞. Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïîäðåøåòêîé ðåøåòêè L íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî X ⊂ L òàêîå, ÷òî åñëè a ∈ X, b ∈ X, òî a ∧ b ∈ X è a ∨ b ∈ X. Ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî è ëþáîå îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ÿâëÿþòñÿ ïîäðåøåòêàìè. Ïîäðåøåòêà ðåøåòêè ñàìà ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ òåìè æå îïåðàöèÿìè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ. Âîîáùå, åñëè a ≤ b â ðåøåòêå L, òî (çàìêíóòûé) èíòåðâàë [a, b], ñîñòîÿùèé èç âñåõ ýëåìåíòîâ x ∈ L, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ a ≤ x ≤ b, âñåãäà áóäåò ïîäðåøåòêîé. Äëÿ öåïè è åå ýëåìåíòîâ a ≤ b ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèÿ ïîëóîòêðûòûõ èíòåðâàëîâ: (a, b] = {x | a < x ≤ b} è [a, b) = {x | a ≤ x < b}, à òàêæå îòêðûòûé èíòåðâàë (a, b) = {x | a < x < b}. Åñëè ýòè ìíîæåñòâà íåïóñòû, îíè òàêæå ÿâëÿþòñÿ ïîäðåøåòêàìè. Ïðèìåð.  ðåøåòêå íà ðèñ. 6.1 ïîäìíîæåñòâî Y = {∅, {b}, {c}, {b, c}} ÿâëÿåòñÿ ïîäðåøåòêîé. Äåéñòâèòåëüíî {b} ∈ Y, {c} ∈ Y, {b} ∧ {c} = ∅ ∈ Y, {b} ∨ {c} = {b, c} ∈ Y, {b} ∨ {b, c} = {b, c} ∈ Y, ïåðåñå÷åíèå {b} ∧ {à, c} = {b} ∈ Y è ò. ä. Ýòî ïîäìíîæåñòâî îáðàçóåò çàìêíóòûé èíòåðâàë [∅, {b, c}]. Ïîäìíîæåñòâî Z = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, {c}} íå ÿâëÿåòñÿ ïîäðåøåòêîé, òàê êàê {a, b} ∨ {à, c} = {a, b, c} ∉ Z. Ýòî
76
Ãëàâà 6
ïîäìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ òàêæå èíòåðâàëîì. Ïîäðåøåòêàìè áóäóò òàêæå ïîäìíîæåñòâà: {∅, {a}}, {{c}, {a, c}}, {{a}, {a, b}}, è ò.ä., âñå öåïè, íàïðèìåð, {∅, {b}, {∅, {b}, {b, c}}, à òàêæå âñå ýëåìåíòû ðåøåòêè.
Ðèñ. 6.1. Ðåøåòêà è åå ïîäðåøåòêè. Îïðåäåëåíèå 6.3. Âûïóêëûì ïîäìíîæåñòâîì â ó-ìíîæåñòâå Ð íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî, êîòîðîå âìåñòå ñ ëþáûìè ñâîèìè ýëåìåíòàìè a è b, ãäå a ≤ b, ñîäåðæèò âåñü èíòåðâàë [a, b]. Íà ðèñ. 6.1 ïîäìíîæåñòâî {∅, {b}, {c}, {b, c}}, âûïóêëîå, à ïîäìíîæåñòâî {∅, {b}, {b, c}} íåò. Ïîäìíîæåñòâî S ðåøåòêè L ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ïîäðåøåòêîé, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈ S [a ∧ b, a ∨ b] ⊂ S. Îïðåäåëåíèå 6.4. Ñâîéñòâî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà S íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì çàìûêàíèÿ, åñëè: 1) S îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì; 2) ëþáîå ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîæåñòâ, îáëàäàþùèõ ýòèì ñâîéñòâîì, ñàìî îáëàäàåò èì. Ïîíÿòèå «ñâîéñòâî çàìûêàíèÿ» ðàâíîñèëüíî ïîíÿòèþ «îïåðàöèÿ çàìûêàíèÿ». Îïðåäåëåíèå 6.5. Îïåðàöèåé çàìûêàíèÿ íà ìíîæåñòâå S íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå X → X′ íà ïîäìíîæåñòâàõ ýòîãî ìíîæåñòâà òàêîå, ÷òî X ⊂ X′ (ýêñòåíñèâíîñòü); Ñ1 X′ = X′′ (èäåìïîòåíòíîñòü); Ñ2 Åñëè X ⊂ Y, òî X′ ⊂ Y′ (èçîòîííîñòü). Ñ3 Ïîäìíîæåñòâî X ⊂ S, ïî îïðåäåëåíèþ, çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî äàííîé îïåðàöèè çàìûêàíèÿ, åñëè îíî ñîâïàäàåò ñî ñâîèì «çàìûêàíèåì» X′. Òåïåðü ïîäðåøåòêó ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ðåøåòêè, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ.
Ðåøåòêè
77
6.2. Ðåøåòêè êàê àëãåáðû Ðåøåòêó ìîæíî îïðåäåëèòü êàê àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó: L = < P, ∨, ∧, ≤ >, ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèåì ïîðÿäêà, çàäàííûìè íà ìíîæåñòâå P. Ðåøåòî÷íûå îïåðàöèè ∨ è ∧ îáëàäàþò âàæíûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.  ýòîì ðàçäåëå ìû èññëåäóåì ñâîéñòâà îïåðàöèé ∨ è ∧ è ïîêàæåì, ÷òî îïåðàöèè, îáëàäàþùèå ýòèìè ñâîéñòâàìè, îïðåäåëÿþò îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå P, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ðåøåòêè êàê àëãåáðû ñ äâóìÿ îïåðàöèÿìè. Ëåììà 6.1.  ëþáîì ó-ìíîæåñòâå äëÿ îïåðàöèé ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ (ïðè îïðåäåëåííûõ â íèõ âûðàæåíèÿõ) ñëåäóþùèå çàêîíû: x ∧ x = x, x ∨ x = x (èäåìïîòåíòíîñòü); L1 x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x (êîììóòàòèâíîñòü); L2 x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z (àññîöèàòèâíîñòü); L3 x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x (ïîãëîùåíèå). L4 Êðîìå òîãî, íåðàâåíñòâî x ≤ y ðàâíîñèëüíî êàæäîìó èç óñëîâèé: x ∧ y = x è x ∨ y = y (óñëîâèå ñîâìåñòèìîñòè). Äîêàçàòåëüñòâî. L1 è L2 âûïîëíÿþòñÿ î÷åâèäíî. Àññîöèàòèâíûé çàêîí L3 òàêæå î÷åâèäåí: x ∧ (y ∧ z) = inf {x, inf {y, z}} = = inf {inf {x, y}, z} = (x ∧ y) ∧ z. Çàêîí ïîãëîùåíèÿ L4 âûïîëíèì â ñèëó òîãî, ÷òî x ∧ (x ∨ y) = inf {x, sup {x, y}}. Åñëè x ≤ y, òî sup {x, y} = y, è òîãäà inf {x, y} = x, à åñëè y ≤ x, òî sup {x, y} = x, è òîãäà inf {x, x} = x. Óñëîâèå ñîâìåñòèìîñòè: x ∧ y = x, åñëè x ≤ y, è x ∨ y = y, åñëè x ≤ y, âûïîëíÿåòñÿ òàêæå î÷åâèäíî. Èç óñëîâèÿ ñîâìåñòèìîñòè ñëåäóþò âàæíûå ñâîéñòâà óíèâåðñàëüíûõ ãðàíåé 0 è I. Ëåììà 6.2. Åñëè ó-ìíîæåñòâî P èìååò 0, òî 0 ∧ x = 0 è 0 ∨ x = x äëÿ âñÿêîãî x ∈ P, è åñëè ó-ìíîæåñòâî P èìååò I, òî x ∧ I = x è x ∨ I = I äëÿ âñÿêîãî x ∈ P. Äîêàçàòåëüñòâî íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. Ëåììà 6.3. Âî âñÿêîé ðåøåòêå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ èçîòîííû: åñëè y ≤ z, òî x ∧ y ≤ x ∧ z è x ∨ y ≤ x ∨ z. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî L1 L4, åñëè y ≤ z, òî x ∧ y = = (x ∧ x) ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ (x ∧ z). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x ∧ x = x è y ∧ z = y, ïî óñëîâèþ ñîâìåñòèìîñòè ïîëó÷àåì x ∧ y ≤ x ∧ z. Âòîðîå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííî.
Ãëàâà 6
78
Ëåììà 6.4. Âî âñÿêîé ðåøåòêå èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè: x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), (6.1) x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z). (6.1') Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî x ∧ y ≤ x è x ∧ y ≤ y ≤ y ∨ z, îòêóäà x ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z). Àíàëîãè÷íî: x ∧ z ≤ x è x ∧ z ≤ z ≤ y ∨ z, îòêóäà x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z). Òàêèì îáðàçîì, x ∧ (y ∨ z) ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ x ∧ y è x ∧ z è, ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíÿåòñÿ (6.1). (6.1') äîêàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííî. Ëåììà 6.5. Ýëåìåíòû ëþáîé ðåøåòêè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó ìîäóëÿðíîñòè: åñëè x ≤ z, òî x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z. (6.2) Äîêàçàòåëüñòâî. x ≤ x ∨ y è x ≤ z, çíà÷èò x ≤ (x ∨ y) ∧ z. Àíàëîãè÷íî, y ∧ z ≤ y ≤ x ∨ y è y ∧ z ≤ z, ñëåäîâàòåëüíî, y ∧ z ≤ (x ∨ y) ∧ z, îòñþäà x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z. Äàäèì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 6.6. Ñèñòåìà ñ îäíîé áèíàðíîé èäåìïîòåíòíîé, êîììóòàòèâíîé è àññîöèàòèâíîé îïåðàöèåé íàçûâàåòñÿ ïîëóðåøåòêîé. Ó-ìíîæåñòâî P, â êîòîðîì ëþáûå äâà ýëåìåíòà èìåþò ïåðåñå÷åíèå, ÿâëÿåòñÿ ïîëóðåøåòêîé îòíîñèòåëüíî áèíàðíîé îïåðàöèè ∧. Òàêèå ïîëóðåøåòêè íàçûâàþòñÿ ∧-ïîëóðåøåòêàìè, èëè íèæíèìè ïîëóðåøåòêàìè. Ó-ìíîæåñòâî P, â êîòîðîì ëþáûå äâà ýëåìåíòà èìåþò îáúåäèíåíèå, ÿâëÿåòñÿ ïîëóðåøåòêîé îòíîñèòåëüíî áèíàðíîé îïåðàöèè ∨. Òàêèå ïîëóðåøåòêè íàçûâàþòñÿ ∨-ïîëóðåøåòêàìè, èëè âåðõíèìè ïîëóðåøåòêàìè. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 6.2 ïðèâåäåíû äèàãðàììû âåðõíåé è íèæíåé ïîëóðåøåòîê.  ó-ìíîæåñòâå P1 ëþáûå äâà ýëåìåíòà èìåþò îáúåäèíåíèå, îäíàêî ýëåìåíòû a è b íå èìåþò ïåðåñå÷åíèÿ, ïîýòîìó P1 ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ïîëóðåøåòêîé; â ó-ìíîæåñòâå P2 ëþáûå äâà ýëåìåíòà èìåþò ïåðåñå÷åíèå, îäíàêî ýëåìåíòû c è d íå èìåþò îáúåäèíåíèÿ, ïîýòîìó ýòî íèæíÿÿ ïîëóðåøåòêà.
Ðèñ. 6.2. Ïîëóðåøåòêè.
Ðåøåòêè
79
Òåïåðü äîêàæåì âàæíóþ ëåììó, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò ïîëóðåøåòêó êàê àëãåáðó ñ ïîíÿòèåì ó-ìíîæåñòâà. Ýòà ëåììà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè çàäàíà àëãåáðà íà ìíîæåñòâå P ñ îäíîé áèíàðíîé îïåðàöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ñâîéñòâàì èäåìïîòåíòíîñòè, êîììóòàòèâíîñòè è àññîöèàòèâíîñòè, òî ýòà îïåðàöèÿ çàäàåò îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà P, ò.å. ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàíà ýòà îïåðàöèÿ, ÿâëÿåòñÿ óìíîæåñòâîì. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì íè÷åãî íå çíàòü î ñóùåñòâîâàíèè êàêèõ-ëèáî îòíîøåíèé íà ìíîæåñòâå P, íî çàäàíèå îïåðàöèè ñî ñâîéñòâàìè L1, L2, L3 îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà íåì. Ëåììà 6.6. Åñëè â ïîëóðåøåòêå ñ áèíàðíîé îïåðàöèåé o ïîëîæèòü x ≤ y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xoó = x, òî îíà ñòàíîâèòñÿ ó-ìíîæåñòâîì, â êîòîðîì inf {x, y} = xoy. Ïîÿñíèì ñìûñë ëåììû.  ëåììå çàäàíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ñ íåêîòîðîé áèíàðíîé îïåðàöèåé o, è, ïîñêîëüêó óêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî îáðàçóåò ïîëóðåøåòêó, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàöèÿ o ÿâëÿåòñÿ èäåìïîòåíòíîé, êîììóòàòèâíîé è àññîöèàòèâíîé. Äàëåå ìû ââîäèì íåêîòîðîå (ïîêà àáñòðàêòíîå) îòíîøåíèå ≤ íà ìíîæåñòâå òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè xoó = x, òî x ≤ y, è íàîáîðîò, åñëè x ≤ y, òî xoó = x, ò.å. ýòè äâà óñëîâèÿ ðàâíîçíà÷íû. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå ≤ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà, è îïåðàöèÿ o èìååò ñìûñë íàõîæäåíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè x è y. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî îòíîøåíèå ≤ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì ðåôëåêñèâíîñòè, àíòèñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè: Ð1, Ð2, Ð3. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ ëåììû, x ≤ y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xoó = x. Èç çàêîíà èäåìïîòåíòíîñòè xox = x ñëåäóåò ðåôëåêñèâíîñòü îòíîøåíèÿ: x ≤ x.  ñèëó êîììóòàòèâíîñòè xoó = yox ïîëó÷àåì àíòèñèììåòðè÷íîñòü: åñëè x ≤ y, òî ïî óñëîâèþ xoó = x, è åñëè y ≤ x, òî yox = y. Òîãäà, åñëè âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî x ≤ y è x ≤ y, òî x = xoó = yox = y, ò.å. îòíîøåíèå ≤ àíòèñèììåòðè÷íî. Ïðèìåíÿÿ àññîöèàòèâíûé çàêîí, èç x ≤ y è y ≤ z ïîëó÷èì x ≤ z. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ≤ y è y ≤ z, òî x = xoy è y = yoz, ò.å. x = xoó = xo(yoz) = = (xoy)oz = xoz, îòêóäà x ≤ z, ò.å. äîêàçàíà òðàíçèòèâíîñòü ≤. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ≤ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. 2. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî xoy = inf {x, y} äëÿ ëþáûõ x, y. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî xoy ≤ x è xoy ≤ y. Åñëè x ≤ y, òî xoó = x ïî îïðåäåëåíèþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, xoó ≤ y, à â ñèëó ðåôëåêñèâíîñòè x ≤ x ñïðàâåäëèâî è xoó ≤ x. Íàêîíåö, åñëè x è y íåñðàâíèìû, òî, â ñèëó òîãî, ÷òî îïåðàöèÿ o âñþäó îïðåäåëåíà, íàéäåòñÿ z ≤ x è z ≤ y. Òîãäà zo(xoy) = = (zox)oy = zoy = z, îòêóäà z ≤ xoy, è, ñëåäîâàòåëüíî, xoy = inf {x, y}.
Ãëàâà 6
80
Ñïðàâåäëèâà è äâîéñòâåííàÿ ëåììà îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ. Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó î òîì, ÷òî ëþáàÿ ðåøåòêà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê àëãåáðà. Òåîðåìà 6.3. Ëþáàÿ àëãåáðà L = ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì L1 L4, ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé, è îáðàòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 6.6, ëþáàÿ ñèñòåìà L, îïåðàöèè êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì L1 L4, ÿâëÿåòñÿ ó-ìíîæåñòâîì, â êîòîðîì x ∧ y = inf {x, y}, òàê ÷òî x ≤ y îçíà÷àåò, ÷òî x ∧ y = x. Ðàññìîòðèì òåïåðü îïåðàöèþ x ∨ y. Åñëè x ≤ y, òî x ∧ y = x. Ïîäñòàâèì x ∧ y âìåñòî x â x ∨ y; ïîëó÷èì x ∨ y = (x ∧ y) ∨ y = y (ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíèìî â ñèëó çàêîíà ïîãëîùåíèÿ L4).  ñèëó äâîéñòâåííîñòè ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè x ∨ y = y, òî x ≤ y. Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî x ≤ y ðàâíîñèëüíî òàêæå è ðàâåíñòâó x ∨ y = y. Ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî x ∨ y = sup {x, y} è, çíà÷èò, L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé. Ïðèìåð. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå L = {a, b, c, d} çàäàíû áèíàðíûå îïåðàöèè ⊗ è ⊕: ⊗ a b c d
a a a a a
b a b a b
c a a c c
d a b c d
⊕ a b c d
a a b c d
b b b d d
c c d c d
d d d d d
Íåïîñðåäñòâåííî èç òàáëèö âèäíî, ÷òî îáå îïåðàöèè èäåìïîòåíòíû (ñì. çíà÷åíèÿ íà äèàãîíàëè òàáëèö) è êîììóòàòèâíû (òàáëèöû ñèììåòðè÷íû).  àññîöèàòèâíîñòè îïåðàöèé òàêæå íåòðóäíî óáåäèòüñÿ. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî x ≤ y âñÿêèé ðàç, êîãäà x ⊗ y = x. Òîãäà èç Ðèñ. 6.3. ïåðâîé ñòðîêè òàáë. 6 ïîëó÷èì: a ≤ b, Ðåøåòêà L = {a, b, c, d}. a ≤ c, a ≤ d, äàëåå: b ≤ d, òàê êàê b ⊗ d = b, è c ≤ d, òàê êàê c ⊗ d = c. Èìååì òàêæå: b ⊗ c = c ⊗ b = a, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî a ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ b è c, è, ó÷èòûâàÿ ïåðâóþ ñòðîêó, óíèâåðñàëüíîé íèæíåé ãðàíüþ. Òîãäà, ïîñòðîèâ äèàãðàììû äâóõ öåïåé: a ≤ b, b ≤ d, è a ≤ c, c ≤ d, ïîëó÷èì äèàãðàììó íà ðèñ. 6.3, ãäå îïåðàöèÿ ⊗ ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì, à ⊕ îáúåäèíåíèåì ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé.
Ðåøåòêè
81
6.3. Äèñòðèáóòèâíûå ðåøåòêè Ìîæíî âûäåëèòü ðåøåòêè, îáëàäàþùèå äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè, è îïðåäåëèòü òèïû ðåøåòîê, ñîãëàñíî ýòèì ñâîéñòâàì. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé ðåøåòêè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè (6.1) è (6.1′), îäíàêî ñóùåñòâóþò è òàêèå, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíèìû ñòðîãèå ðàâåíñòâà. Îïðåäåëåíèå 6.7. Ðåøåòêà íàçûâàåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé, åñëè â íåé äëÿ âñåõ x, y, z âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâà: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), L6′′ ′′ x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z). L6′′ Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âûïîëíèìîñòü L6′′ äëÿ îòäåëüíûõ ýëåìåí′′ (ñâîéñòâî L6′′ ′′ òîâ ðåøåòêè íå âëå÷åò âûïîëíèìîñòè äëÿ íèõ L6′′ äëÿ òåõ æå ýëåìåíòîâ ìîæåò íå âûïîëíÿòüñÿ, åñëè ðåøåòêà íåäèñòðèáóòèâíà). Îäíàêî âûïîëíèìîñòü îäíîãî èç ñâîéñòâ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ðåøåòêè âëå÷åò âûïîëíèìîñòü è äðóãîãî. Òîãäà äëÿ ïðîâåðêè äèñòðèáóòèâíîñòè ðåøåòêè äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ′′ òîæäåñòâî L6′′ (èëè L6′′ ′′) äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, âòîðîå áóäåò ñëåäîâàòü ïî òåîðåìå 6.4. Òåîðåìà 6.4. Åñëè â ðåøåòêå äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ âûïîëíÿåòñÿ ′′ è íàîáîðîò. òîæäåñòâî L6′′ , òî âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî L6′′ ′′ ′′ áóäåò Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî èç L6′′ ñëåäóåò L6′′ ′′. Èç L6′′ ñëåäîâàòü L6′′ ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè. Äëÿ âñåõ x, y, z: (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = = [(x ∨ y) ∧ x] ∨ [(x ∨ y) ∧ z] = ñîãëàñíî L6′′ = x ∨ [z ∧ (x ∨ y)] = ïî L4, L2 = x ∨ [(z ∧ x) ∨ (z ∧ y)] = ïî L6′′ = [x ∨ (z ∧ x) ∨ (z ∧ y)] = ïî L3 = x ∨ (z ∧ y). ïî L4 Ëåììà 6.7. Ëþáàÿ öåïü ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêîé. Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
6.4. Ìîäóëÿðíîñòü Îïðåäåëåíèå 6.8. Ðåøåòêà íàçûâàåòñÿ ìîäóëÿðíîé, åñëè â íåé âûïîëíÿåòñÿ ìîäóëÿðíûé çàêîí L5: åñëè x ≤ z, òî x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z. L5 Çàìåòèì, ÷òî ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè, åñëè z ≤ x, òî x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ z, ÷òî ñîâïàäàåò ñ L5, ò.å. çàêîí ìîäóëÿðíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Ìîäóëÿðíûé çàêîí ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç L6", åñëè x ≤ z. Òàêèì îáðàçîì, ìîäóëÿðíûé çàêîí L5 èìååò ìåñòî â ëþáîé äèñòðèáóòèâ-
82
Ãëàâà 6
íîé ðåøåòêå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ðåøåòêà äèñòðèáóòèâíà, òî îíà è ìîäóëÿðíà. Ïðèìåðû. 1. Ðàññìîòðèì ðåøåòêó N5 («ïåíòàãîí») íà ðèñ. 6.4. Äîêàæåì, ÷òî îíà íåìîäóëÿðíà. Âñå öåïè â ðåøåòêå äèñòðèáóòèâíû, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ íà îäíîé öåïè, óñëîâèå ìîäóëÿðíîñòè âûïîëíÿåòñÿ. Âîçüìåì ýëåìåíòû a ≤ b è ýëåìåíò c, íå ëåæàùèé ñ íèìè íà îäíîé öåïè. Ïðîâåðèì âûïîëíèìîñòü ñâîéñòâà L5: a ∨ (c ∧ b) = (a ∨ c) ∧ b. Ïîëó÷èì: a ∨ (c ∧ b) = a ∨ 0 = a, (a ∨ c) ∧ b = I ∧ b = b. Òàê êàê a ≠ b, òî çàêîí ìîäóëÿðíîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì, óäîâëåòâîðÿåòñÿ ëè ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè: a ∨ (c ∧ b) = (a ∨ c) ∧ (a ∨ b), íî a ∨ 0 ≠ I ∧ b, ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåòêà N5 íå äèñòðèáóòèâíà. Îòñþäà ñëåäóåò âûâîä: åñëè ðåøåòêà íåìîäóëÿðíà, òî îíà íåäèñòðèáóòèâíà.
Ðèñ. 6.4. Ðåøåòêè N5 (ïåíòàãîí), M3 (äèàìàíò), N7. 2. Ðàññìîòðèì ðåøåòêó M3 («äèàìàíò») íà ðèñ. 6.4. Âñå öåïè {0, a, I}, {0, b, I}, {0, c, I} äèñòðèáóòèâíû, ñëåäîâàòåëüíî, è ìîäóëÿðíû. Âîçüìåì òðè ýëåìåíòà, íå ëåæàùèå íà îäíîé öåïè: a ≤ I è c. Óñëîâèå ìîäóëÿðíîñòè äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ: a ∨ (c ∧ I) = (a ∨ c) ∧ I, òàê êàê a ∨ c = I ∧ I, ò.å. I = I. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî óñëîâèå ìîäóëÿðíîñòè â M3 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ òðåõ ýëåìåíòîâ, äâà èç êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ïîðÿäêà, è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåòêà M3 ìîäóëÿðíà. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå ñâîéñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè äëÿ ýëåìåíòîâ a, b, c (âñå îñòàëüíûå òðîéêè ýëåìåíòîâ â ýòîé ðåøåòêå äèñòðèáóòèâíû): a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). Ðàâåíñòâî íåâûïîëíåíî, òàê êàê a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a, íî (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = = I ∧ I = I, è a ≠ I. Îòìåòèì, ÷òî âûïîëíåíî òîëüêî íåðàâåíñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè: a ≤ I. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåòêà M3 ìîäóëÿðíà, íî íå äèñòðèáóòèâíà. Âñå ýëåìåíòû a, b, c íåñðàâíèìû, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íèõ íå îïðåäåëåí çàêîí ìîäóëÿðíîñòè, íî äèñòðèáó-
Ðåøåòêè
83
òèâíûé çàêîí äîëæåí âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, â òîì ÷èñëå äëÿ a, b, c. Îòñþäà ñëåäóåò âûâîä: ðåøåòêà ìîæåò áûòü ìîäóëÿðíîé, íî íåäèñòðèáóòèâíîé. Îáîáùàÿ âûâîäû, ïîëó÷åííûå íàìè ïðè èññëåäîâàíèè äèñòðèáóòèâíûõ è ìîäóëÿðíûõ ðåøåòîê, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 6.6. à) Ðåøåòêà L ìîäóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèò ïåíòàãîíîâ. á) Ìîäóëÿðíàÿ ðåøåòêà L äèñòðèáóòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèò äèàìàíòîâ. â) Ðåøåòêà L äèñòðèáóòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèò íè ïåíòàãîíîâ, íè äèàìàíòîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. à). Åñëè L ìîäóëÿðíà, òî âñÿêàÿ åå ïîäðåøåòêà òîæå ìîäóëÿðíà è, ñëåäîâàòåëüíî, L íå ñîäåðæèò ïîäðåøåòîê, èçîìîðôíûõ N5. Åñëè L íåìîäóëÿðíà, òî îíà ñîäåðæèò òðè ýëåìåíòà x, y, z òàêèå, ÷òî x ≤ z, è x ∨ (y ∧ z) < (x ∨ y) ∧ z. Òîãäà ýëåìåíòû y, x ∨ y, y ∧ z, (x ∨ y) ∧ z, x ∨ (y ∧ z) îáðàçóþò ïåíòàãîí (ñì. ðèñ. 6.5.). Äåéñòâèòåëüíî, y ∧ z ≤ x ∨ (y ∧ z) < (x ∨ y) ∧ z ≤ x ∨ y. Äàëåå, (x ∨ (y ∧ z)) ∨ y = (x ∨ y) ∨ ((y ∧ z) ∨ y) = Ðèñ. 6.5. = x ∨ y. Äâîéñòâåííî, ((x ∨ y) ∧ z) ∧ y = Ê äîêàçàòåëüñòâó = z ∧ y. Ðàâåíñòâî y ∧ z = x ∨ (y ∧ z) òåîðåìû 6.6. íåâîçìîæíî, òàê êàê òîãäà áûëî áû x ≤ y ∧ z, îòêóäà (x ∨ y) ∧ z = x ∨ (y ∧ z), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ñ äîêàçàòåëüñòâîì ïóíêòà á) ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ â [Ãðåòöåð Ã., 1982]; ïóíêò â) ñëåäóåò èç à) è á). Îñíîâíûì ñâîéñòâîì ìîäóëÿðíûõ ðåøåòîê ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï òðàíñïîçèöèè. Òåîðåìà 6.7 (ïðèíöèï òðàíñïîçèöèè).  ëþáîé ìîäóëÿðíîé ðåøåòêå îòîáðàæåíèÿ ϕa: x → x ∧ a è ψb: y → y ∨ b ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè èçîìîðôèçìàìè ìåæäó èíòåðâàëàìè. [b, a ∨ b] è [a ∧ b, a]. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè x ∈ [b, a ∨ b], òî ϕa(x) ∈ [a ∧ b, a] â ñèëó èçîòîííîñòè ϕa. Ñîãëàñíî L5, (x ∧ a) ∨ b = x ∧ (a ∨ b), òàê êàê x ∈ [b, a ∨ b], Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ψb(ϕa(x)) = x.  ñèëó ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî ϕa(ψb(y)) = y äëÿ âñåõ y ∈ [a ∧ b, a].
84
Ãëàâà 6
Ñëåäñòâèå. Â ëþáîé ìîäóëÿðíîé ðåøåòêå, åñëè a ≠ b è îáà ýëåìåíòà ïîêðûâàþò c, òî a ∨ b ïîêðûâàåò è a, è b (M1), äâîéñòâåííî, åñëè a ≠ b è c ïîêðûâàåò îáà ýëåìåíòà, òî a è b îáà ïîêðûâàþò a ∧ b (M2). Ïðèìåð. Äëÿ ðåøåòêè N7 íà ðèñ. 6.4 íå âûïîëíÿåòåñÿ óñëîâèå M2: ýëåìåíòû b, e ïîêðûâàþòñÿ ýëåìåíòîì I, îäíàêî, íè b, íè e íå ïîêðûâàåò b ∧ e = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðåøåòêà N7 íåìîäóëÿðíà. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèå M1 óäîâëåòâîðÿåòñÿ â ýòîé ðåøåòêå. Òàêèå ðåøåòêè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé M1 èëè M2, íàçûâàþòñÿ ïîëóìîäóëÿðíûìè: åñëè â ðåøåòêå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå M1, òî ðåøåòêà ïîëóìîäóëÿðíà ñâåðõó, à åñëè óñëîâèå M2 òî ïîëóìîäóëÿðíà ñíèçó. Ðåøåòêà N7 ïîëóìîäóëÿðíà ñâåðõó.
6.5. Ìîäóëÿðíûå ðåøåòêè ñ äîïîëíåíèÿìè Îïðåäåëåíèå 6.9. Äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà x â ðåøåòêå ñ 0 è I íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò y òàêîé, ÷òî x ∧ y = 0 è x ∨ y = I. Äîïîëíåíèå x áóäåì îáîçíà÷àòü x'. Îïðåäåëåíèå 6.10. Ðåøåòêà íàçûâàåòñÿ ðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè, åñëè âñå åå ýëåìåíòû èìåþò äîïîëíåíèÿ. Ïðèìåðû. 1. Ðåøåòêà íà ðèñ. 6.1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè. Äîïîëíåíèå êàæäîãî ýëåìåíòà ñîîòâåòñòâóåò åãî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîìó äîïîëíåíèþ äî ìíîæåñòâà {a, b, c}: äîïîëíåíèå ýëåìåíòà ∅ åñòü {a, b, c}, äîïîëíåíèå {a} åñòü {b, c} è ò.ä.  îáùåì ñëó÷àå ëþáîå ìíîæåñòâî-ñòåïåíü ℘(U) ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè. 2. Ðåøåòêà íà ðèñ. 5.11, èçîìîðôíàÿ ðåøåòêå ℘(A), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè. Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà x ñóùåñòâóåò äîïîëíåíèå x′ òàêîå, ÷òî ÍÎÄ (x, x′) = 1, ò.å. íóëþ ðåøåòêè, ÍÎÊ (x, x′) = 30, ò.å. åäèíèöå ðåøåòêè. Íàïðèìåð, 1 åñòü äîïîëíåíèå 30 (è íàîáîðîò), 2 åñòü äîïîëíåíèå 15 (è íàîáîðîò): ÍÎÄ (2, 15) = 1, ÍÎÊ (2, 15) = 30 è ò.ä., ò.å. äîïîëíåíèÿìè äðóã äðóãà ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà. Îïðåäåëåíèå 6.11. Ðåøåòêà L íàçûâàåòñÿ ðåøåòêîé ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè, åñëè êàæäûé åå çàìêíóòûé èíòåðâàë ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè. Äàâàÿ îïðåäåëåíèå ïîäðåøåòêè, ìû îïðåäåëèëè çàìêíóòûé èíòåðâàë [a, b] ðåøåòêè êàê èíòåðâàë, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ýëåìåíòîâ x ∈ L, òàêèõ ÷òî a ≤ x ≤ b. Òàêîé èíòåðâàë ðåøåòêè âñåãäà áóäåò ïîäðåøåòêîé. Ýëåìåíò x′ ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíûì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà x ∈ [a, b], åñëè x ∧ x′ = a è x ∨ x′ = b. Ïðèìåðû. Íà ðèñ. 6.4 ðåøåòêà N5 íåìîäóëÿðíàÿ ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè: äîïîëíåíèåì 0 ÿâëÿåòñÿ I, äîïîëíåíèå a c, äîïîë-
Ðåøåòêè
85
íåíèå b c, c èìååò äâà äîïîëíåíèÿ: a è b. Îäíàêî ýòî ðåøåòêà áåç îòíîñèòåëüíûõ äîïîëíåíèé: â èíòåðâàëå [0, b] ýëåìåíò a íå èìååò äîïîëíåíèÿ. Ðåøåòêà M3 ÿâëÿåòñÿ ïîäðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè. Ðåøåòêà N7 ðåøåòêà áåç äîïîëíåíèé: ýëåìåíò c íå èìååò äîïîëíåíèÿ. Äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ ðåøåòîê èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 6.8. Åñëè â äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêå äëÿ ôèêñèðîâàííîãî c c ∨ x = c ∨ y è c ∧ x = c ∧ y, òî x = y. Äîêàçàòåëüñòâî. x = x ∧ (c ∨ x) = (çàêîí ïîãëîùåíèÿ) = x ∧ (c ∨ y) = (ïî óñëîâèþ òåîðåìû) = (x ∧ c) ∨ (x ∧ y) = (äèñòðèáóòèâíîñòü) = (c ∧ y) ∨ (x ∧ y) = (L2 è ïî óñëîâèþ c ∧ x = c ∧ y) = (c ∨ x) ∧ y = (c ∨ y) ∧ y = y. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå â ëþáîì çàìêíóòîì èíòåðâàëå [a, b] äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè ýëåìåíò c ìîæåò èìåòü ñàìîå áîëüøåå îäíî îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå. Òåîðåìà 6.9. Ëþáàÿ ìîäóëÿðíàÿ ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M ïðîèçâîëüíàÿ ìîäóëÿðíàÿ ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè. Ðàññìîòðèì èíòåðâàë [0, b] ⊂ M. Åñëè 0 ≤ x ≤ b â M, òî x ∧ (x' ∧ b) = (x ∧ x') ∧ b = 0 ∧ b = 0, òàê êàê M ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè, à òàê êàê M ìîäóëÿðíà, òî x ∨ (x' ∧ b) = (x ∨ x') ∧ b = = I ∧ b = b. Ñëåäîâàòåëüíî, B = [0, b] ÿâëÿåòñÿ ìîäóëÿðíîé ïîäðåøåòêîé ñ äîïîëíåíèÿìè ðåøåòêè Ì. Åñëè âçÿòü òåïåðü [a, b] ⊂ B, òî ýòî áóäåò ìîäóëÿðíàÿ ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè â B. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ, Ì ÿâëÿåòñÿ ìîäóëÿðíîé ðåøåòêîé ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè. Íàïîìíèì, ÷òî â ó-ìíîæåñòâå Ð êîíå÷íîé äëèíû ñ 0 àòîìîì íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò õ, ïîêðûâàþùèé 0 (åãî âûñîòà h[x] = 1). Òåîðåìà 6.10.  ðåøåòêå L êîíå÷íîé äëèíû ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè êàæäûé ýëåìåíò à ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñîäåðæàùèõñÿ â íåì àòîìîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè à > 0, òî ëèáî a ÿâëÿåòñÿ àòîìîì, ëèáî à > b > 0 äëÿ íåêîòîðîãî b ∈ L. Ïóñòü c áóäåò îòíîñèòåëüíûì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà b â [0, a]. Èíäóêöèåé ïî äëèíå èíòåðâàëà [0, a] äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû b è c îáà ÿâëÿþòñÿ îáúåäèíåíèÿìè àòîìîâ. Òîãäà ýòî ñïðàâåäëèâî è äëÿ a = b ∨ c. Ñëåäñòâèå.  ìîäóëÿðíîé ðåøåòêå êîíå÷íîé äëèíû ñ äîïîëíåíèÿìè êàæäûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñîäåðæàùèõñÿ â íåì àòîìîâ.
Ãëàâà 6
86
6.6. Áóëåâû ðåøåòêè Îïðåäåëåíèå 6.12. Áóëåâîé ðåøåòêîé íàçûâàåòñÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè. Òåîðåìà 6.11.  áóëåâîé ðåøåòêå ëþáîé ýëåìåíò õ èìååò îäíî è òîëüêî îäíî äîïîëíåíèå x'. Ïðè ýòîì: x ∧ x' = 0, x ∨ x' = I; L7 (x')' = x; (èíâîëþöèÿ) L8 (x ∧ y)' = x' ∨ y', (x ∨ y)' = x' ∧ y'. (çàêîíû äå Ìîðãàíà) L9 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 6.8, åñëè â äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêå c ∨ x = c ∨ y è c ∧ x = c ∧ y, òî x = y, ò.å. êàæäûé ýëåìåíò äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè ñ äîïîëíåíèÿìè èìååò íå áîëåå îäíîãî äîïîëíåíèÿ. L7 ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì äîïîëíåíèÿ. Äîêàæåì L8. Äîïîëíåíèå ýëåìåíòà õ â äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêå åäèíñòâåííî, ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâèå x → x' îäíîçíà÷íî. Íî, ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè õ' ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì õ, òî õ ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì õ', ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòíîå ñîîòâåòñòâèå òàêæå îäíîçíà÷íî, ò. å. (õ')' = õ. L8 äîêàçàíî. Äîêàæåì L9. Åñëè x è y èìåþò äîïîëíåíèÿ x' è y' ñîîòâåòñòâåííî, òî ýëåìåíò x ∧ y èìååò ñâîèì äîïîëíåíèåì (x ∧ y)' , à ýëåìåíò x ∨ y (x ∨ y)'.  ñèëó åäèíñòâåííîñòè äîïîëíåíèÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî ðàâåíñòâà L9 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî (x ∧ y) ∨ (x' ∨ y') = I è (x ∧ y) ∧ (x' ∨ y') = 0. Äåéñòâèòåëüíî, (x ∧ y) ∨ (x' ∨ y') = (x' ∨ y' ∨ x) ∧ (x' ∨ y' ∨ y) = I ∧ I = I. (x ∧ y) ∧ (x' ∨ y') = (x ∧ y ∧ x') ∨ (x ∧ y ∧ y') = 0 ∨ 0 = 0. Âòîðîå ðàâåíñòâî L9 äîêàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííî. Ëåììà 6.7.  áóëåâîé ðåøåòêå x ∧ a = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ≤ a'. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ≤ a' òî x ∧ a ≤ a' ∧ a = 0, è, åñëè x ∧ a = 0, òî x = x ∧ I = x ∧ (a ∨ a') = (x ∧ a) ∨ (x ∧ a') = = 0 ∨ (x ∧ a') = x ∧ a', ò. å. x = x ∧ a', îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x ≤ a'. Èç ëåììû 6.7 ñëåäóåò, ÷òî ïðè a ≤ b, b' ≤ a', ò. å. âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå x → x' îáðàùàåò ïîðÿäîê (àíòèèçîòîííî). Ñîîòâåòñòâèå x' → (x')' òàêæå àíòèèçîòîííî, ñëåäîâàòåëüíî, x → x' ÿâëÿåòñÿ äóàëüíûì èçîìîðôèçìîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ áóëåâà ðåøåòêà äóàëüíî èçîìîðôíà ñàìîé ñåáå, ò. å. ñàìîäâîéñòâåííà. Ïîñêîëüêó äîïîëíåíèÿ â áóëåâîé ðåøåòêå åäèíñòâåííû, åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àëãåáðó. Îïðåäåëåíèå 6.13. Áóëåâîé àëãåáðîé B = íàçûâàåòñÿ àëãåáðà ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè ∨ è ∧, îäíîé óíàðíîé îïåðàöèåé ′ è äâóìÿ íóëüàðíûìè îïåðàöèÿìè 0 è I,
Ðåøåòêè
87
óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì L1 L9. (Íóëüàðíûå îïåðàöèè âûäåëÿþò ýëåìåíòû 0, I ìíîæåñòâà L, ýòè ýëåìåíòû íàçûâàþòñÿ âûäåëåííûìè ýëåìåíòàìè).
Ðèñ. 6.6. Áóëåâû ðåøåòêè. Íà ðèñ. 6.6 ïîêàçàíû áóëåâû ðåøåòêè 2, 22, 23, 24. Ëþáîå ïîëå ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé. Ëþáàÿ ïîäàëãåáðà áóëåâîé àëãåáðû ñàìà ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áóëåâûõ àëãåáð ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé.
6.7. Êâàçèïîðÿäêè Îïðåäåëåíèå 6.14. Îòíîøåíèå êâàçèïîðÿäêà (ïðåäïîðÿäêà) (îáîçíà÷èì åãî ∠) íà ìíîæåñòâå S îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì ðåôëåêñèâíîñòè: x ∠ x, P1 òðàíçèòèâíîñòè: åñëè x ∠ y è y ∠ z, òî x ∠ z, Ð3 íî íå îáÿçàòåëüíî óñëîâèþ àíòèñèììåòðè÷íîñòè Ð2. Ïàðà <S, ∠> íàçûâàåòñÿ êâàçèóïîðÿäî÷åííûì (ïñåâäîóïîðÿäî÷åííûì) ìíîæåñòâîì.
Ðèñ. 6.7. a) Êâàçèïîðÿäîê S. á) Ôàêòîð-ìíîæåñòâî [S/~].
88
Ãëàâà 6
Êâàçèóïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èçîáðàæàåòñÿ â âèäå îðèåíòèðîâàíîãî ãðàôà, (ñì., íàïðèìåð, ðèñ. 6.7, a). Íà ãðàôå ñóùåñòâîâàíèå îòíîøåíèÿ x ∠ y îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî x = y, ëèáî ñóùåñòâóåò ïóòü èç x â y â íàïðàâëåíèè ñòðåëîê. Íà ðèñ. 6.7, a) ïîêàçàíî, ÷òî èìååòñÿ ïóòü èç b â e: b → d, d → e, ò.å. b ∠ e. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èìååòñÿ ïóòü èç e â b: e → b, ò.å. e ∠ b. Òàêèì îáðàçîì, b ∠ e è e ∠ b, îäíàêî, e ≠ b, ò.å. àíòèñèììåòðè÷íîñòü â äàííîì ñëó÷àå íå âûïîëíÿåòñÿ. Àíàëîãè÷íî äëÿ d, e è d, b. Ðàññìîòðèì îñíîâíóþ ëåììó î êâàçèóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâàõ, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáîå êâàçèóïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â óïîðÿäî÷åííîå. Ïî ëåììå, åñëè äëÿ êàêèõòî äâóõ ýëåìåíòîâ âûïîëíÿåòñÿ x ∠ y è y ∠ x, è ïðè ýòîì x ≠ y, òî ýòè ýëåìåíòû ïîëàãàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò ó-ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 6.7 ýëåìåíòû b, d, e áóäóò ýêâèâàëåíòíû è îáðàçóþò îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Äâà äðóãèõ êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè áóäóò îáðàçîâàíû îäíîýëåìåíòíûìè ïîäìíîæåñòâàìè {a} è {ñ}. Òåïåðü ëþáûå äâà ýëåìåíòà áóäóò íàõîäèòüñÿ â îòíîøåíèè ïîðÿäêà x ∠ y òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îíè ïðèíàäëåæàò ðàçíûì êëàññàì ýêâèâàëåíòíîñòè.  äàííîì ïðèìåðå: a ∠ b, a ∠ d, a ∠ e, c ∠ b, c ∠ d, c ∠ e, è a íåñðàâíèìî ñ c. Òîãäà ôàêòîð-ìíîæåñòâî [S/~] åñòü ó-ìíîæåñòâî, ãäå êàæäûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè. Íà ðèñ. 6.7, á) ïîêàçàíî ó-ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè {a}, {c}, {b, d, e}. Äîêàæåì ýòó ëåììó. Ëåììà 6.8.  êâàçèóïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå Q = <S, ∠> ïîëîæèì x ~ y, åñëè x ∠ y è y ∠ x. Òîãäà: I. îòíîøåíèå ~ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà S; II. åñëè E è F äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè îòíîøåíèÿ ~, òî ëèáî x ∠ y äëÿ âñåõ x ∈ E, y ∈ F, ëèáî ïîäîáíîå ñîîòíîøåíèå íåâîçìîæíî íè ïðè êàêèõ x ∈ E, y ∈ F; III. ôàêòîð-ìíîæåñòâî S/~ ñòàíîâèòñÿ ó-ìíîæåñòâîì, åñëè ïîëîæèòü E ≤ F â ñëó÷àå, åñëè x ∠ y äëÿ íåêîòîðûõ (à çíà÷èò è äëÿ âñåõ) x ∈ E, y ∈ F. Äîêàçàòåëüñòâî. I. Îòíîøåíèå x ∠ x âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñÿêîãî x ∈ S ïî P1, ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå ~ ðåôëåêñèâíî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, èç x ~ y è y ~ z ñëåäóåò x ∠ y è y ∠ z, îòêóäà x ∠ z ïî P3. Àíàëîãè÷íî, èç x ~ y è y ~ z ñëåäóåò z ∠ y è y ∠ x, ïîýòîìó z ∠ x. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè x ~ y è y ~ z, òî x ~ z, ò.å. îòíîøåíèå ~ òðàíçèòèâíî. Îòíîøåíèå ~ ñèììåòðè÷íî ïî îïðåäåëåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Ðåøåòêè
89
II.  äâóõ êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè E è F, åñëè x ∠ y äëÿ íåêîòîðûõ x ∈ E, y ∈ F, òî x1 ∠ x ∠ y ∠ y1 äëÿ âñåõ x1 ∈ E, y1 ∈ F, è, ñëåäîâàòåëüíî, x1 ∠ y1 â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òîëüêî ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ðàçíûì êëàññàì ýêâèâàëåíòíîñòè, ìîãóò íàõîäèòüñÿ â îòíîøåíèè ïîðÿäêà, ëèáî ýòè ýëåìåíòû íåñðàâíèìû. III.  ôàêòîð-ìíîæåñòâå [S/~] êëàññ E ~ E (òàê êàê x ~ x) äëÿ âñåõ E. Åñëè E ≤ F, è F ≤ G, òî x ∠ y ∠ z äëÿ âñåõ x ∈ E, y ∈ F, z ∈ G, ñëåäîâàòåëüíî, x ∠ z ñîãëàñíî Ð3 äëÿ ∠. Çíà÷èò îòíîøåíèå ≤ òðàíçèòèâíî. È, åñëè E ≤ F, è F ≤ E, òî äëÿ âñåõ x ∈ E, y ∈ F x ∠ y è y ∠ x, îòêóäà x ~ y, è çíà÷èò E = F. Òàêèì îáðàçîì, ââåäåíèå êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè íà êâàçèóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâàõ ñâîäèò èõ ê y-ìíîæåñòâàì, ïîýòîìó êâàçèïîðÿäîê ÷àñòî íàçûâàþò ïðåäïîðÿäêîì.
Ãëàâà 7.
ÑÒÐÎÅÍÈÅ È ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÐÅØÅÒÎÊ 7.1. Îïåðàöèè íàä ó-ìíîæåñòâàìè
Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó ïîñòðîåíèÿ ðåøåòîê èç ìåíüøèõ êîìïîíåíò. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì îïåðàöèè íàä ó-ìíîæåñòâàìè, îáîáùàþùèå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü. Ýòè îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè íàçûâàþòñÿ êàðäèíàëüíûìè îïåðàöèÿìè. Îïðåäåëåíèå 7.1. Ïóñòü X, Y ó-ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíàÿ ñóììà X + Y ýòî ìíîæåñòâî, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñå ýëåìåíòû èç X è Y, ðàññìàòðèâàåìûå êàê íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. Ïîðÿäîê ≤ ñîõðàíÿåò ñâîé ñìûñë îòäåëüíî â X è â Y, è íè äëÿ êàêèõ x ∈ X, y ∈ Y íå ìîæåò áûòü íè x ≤ y, íè y ≤ x. Äèàãðàììà ñóììû äâóõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ X + Y ñîñòîèò èç äèàãðàììû äëÿ X è Y, ïîìåùåííûõ ðÿäîì, íàïðèìåð, äèàãðàììà 2 + 2 áóäåò âûãëÿäåòü òàê: Îïðåäåëåíèå 7.2. Êàðäèíàëüíîå ïðîèçâåäåíèå X × Y (èëè XY) ýòî äåêàðòîâî (ïðÿìîå) ïðîèçâåäåíèå ó-ìíîæåñòâ X è Y. Òåîðåìà 7.1. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå L × M ëþáûõ äâóõ ðåøåòîê ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ <x 1, y 1> è <x2, y2> â L × M ýëåìåíò <x1 ∨ x2, y1 ∨ y 2> ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ ýòîé ïàðû. Ëþáàÿ äðóãàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü îáîèõ ýëåìåíòîâ <x1, y1> è <x2, y2> óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì u ≥ xi, v ≥ y i (i = 1, 2), è çíà÷èò, ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåé ãðàíè, u ≥ x1 ∨ x2 è v ≥ y 1 ∨ y 2, òàê ÷òî ≥ <x1 ∨ x2, y 1 ∨ y2>. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî <x1 ∨ x2, y 1 ∨ y 2> = <x1, y 1> ∨ <x2, y2>, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îáúåäèíåíèå, ñòîÿùåå ñïðàâà, ñóùåñòâóåò. Äâîéñòâåííî: <x1 ∧ x2, y1 ∧ y2> = <x1, y1> ∧ <x2, y2>. Ñëåäîâàòåëüíî, L × M ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé. Òåîðåìà 7.2. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå X × Y äâóõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåøåòîê ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó X è Y ðåøåòêè, òî ïî òåîðåìå 7.1 èõ ïðîèçâåäåíèå òîæå ðåøåòêà, ïîýòîìó èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà: <xi, yi> ∨ <xj, yj> = <xi ∨ xj, yi ∨ yj> è <xi, yi> ∧ <xj, yj> = <xi ∧ xj, yi ∧ yj>.
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
91
Òîãäà <xi, yi> ∨ (<xj, yj> ∧ <xk, yk>) = = <xi, yi> ∨ <xj ∧ xk, yj ∧ yk> = = <xi ∨ (xj ∧ xk), yi ∨ (yj ∧ yk)> = (ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç èñõîäíûõ ðåøåòîê äèñòðèáóòèâíà, ìîæåì ïðîäîëæèòü öåïî÷êó ðàâåíñòâ) = <(xi ∨ xj) ∧ (xi ∨ xk), (yi ∨ yj) ∧ (yi ∨ yk)> = = <(xi ∨ xj), (yi ∨ yj)> ∧ <(xi ∨ xk), (yi ∨ yk)> = = (<xi, yi> ∨ <xj, yj>) ∧ (<xi, yi> ∨ <xk, yk>). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî <xi, yi> ∧ (<xj, yj> ∨ <xk, yk>) = = (<xi, yi> ∧ <xj, yj>) ∨ (<xi, yi> ∧ <xk, yk>). Ñëåäñòâèå. Ïîñêîëüêó öåïü ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêîé, òî, î÷åâèäíî, ÷òî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå öåïåé åñòü äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà. Ïðèìåðû. 1. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå öåïè íà ñåáÿ ÷àñòî íàçûâàþò âåêòîðíîé ðåøåòêîé, à îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà íåé îòíîøåíèåì äîìèíèðîâàíèÿ. Íà ðèñ. 7.1 ïîêàçàíà äèñòðèáóòèâíàÿ âåêòîðíàÿ ðåøåòêà.
Ðèñ. 7.1. Äèñòðèáóòèâíàÿ âåêòîðíàÿ ðåøåòêà. 2. Ïóñòü X = {0,1}, Y = {0, 1, 2} öåïè. Íà ðèñ. 7.2 ïðåäñòàâëåíû äèàãðàììû ó-ìíîæåñòâ X, Y, X×Y, X×X×Y. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå öåïåé X×Y èìååò ïëîñêóþ äèàãðàììó è îáðàçóåò äèñòðèáóòèâíóþ ðåøåòêó. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå öåïè X è ðåøåòêè X×Y ñ ïëîñêîé äèàãðàììîé èìååò ïðîñòðàíñòâåííóþ äèàãðàììó.
92
Ãëàâà 7
93
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
âàííûõ îïåðàöèé ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.)  ðåçóëüòàòå ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé LE îáðàçóåò ðåøåòêó (ðèñ. 7.4).
Ðèñ. 7.2. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå öåïåé.
7.2. Ñòåïåíü ìíîæåñòâ Îïðåäåëåíèå 7.3. Êàðäèíàëüíîé ñòåïåíüþ YX: X → Y ñ îñíîâàíèåì Y è ïîêàçàòåëåì X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ èçîòîííûõ ôóíêöèé y = f(x), çàäàííûõ íà X è ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â Y, óïîðÿäî÷åííûõ îòíîøåíèåì f(x) ≤ g(x) äëÿ âñåõ x ∈ X. Èññëåäóåì ñâîéñòâà ñòåïåíè ìíîæåñòâ. Ïðèìåð. Ïóñòü E = {A, B}, L = {α, β, γ}. Ìíîæåñòâî ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé F: E → L èìååò ìîùíîñòü cardLE= cardLcardE = 32 = 9 (ðèñ. 7.3). Ïåðå÷èñëèì âñå ôóíêöèè (çàïèñü A/α îçíà÷àåò, ÷òî α îáðàç ýëåìåíòà A): F1 = {A/α, B/α}, F2 = {A/α, B/β}, F3 = {A/α, B/γ}, F4 = {A/β, B/α}, F5 = {A/β, B/β}, F6 = {A/β, B/γ}, F7 = {A/γ, B/α}, F8 = {A/γ, B/β}, F9 = {A/γ, B/γ}. Ïóñòü L ={α, β, γ} öåïü, òîãäà íà L îïðåäåëåíû îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ ∨ è ïåðåñå÷åíèÿ ∧.  ýòîì ñëó÷àå íà ìíîæåñòâå âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé LE èíäóöèðóþòñÿ îïåðàöèè ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè. Äëÿ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ èíäóöèðóåòñÿ îïåðàöèÿ ⊗ ñëåäóþùèì îáðàçîì: F1 ⊗ F2 = {A/α, B/α} ∧ {A/α, B/β} = {A/(α ∧ α), B/(α ∧ β)} = = {A/α, B/α} = F1. Âûïîëíÿÿ äàííóþ îïåðàöèþ äëÿ âñåõ Fi ∈ LE, ïîëó÷àåì òàáëèöó äëÿ èíäóöèðîâàííîé îïåðàöèè ⊗ â LE (òàáë. 7.1). Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü òàáëèöó äëÿ îïåðàöèè ⊕, èíäóöèðóåìîé â LE îïåðàöèåé îáúåäèíåíèÿ ∨ íà L. Âñå ñâîéñòâà îïåðàöèé ∧ è ∨: èäåìïîòåíòíîñòü, êîììóòàòèâíîñòü, àññîöèàòèâíîñòü, äèñòðèáóòèâíîñòü, ñîõðàíÿþòñÿ äëÿ èíäóöèðîâàííûõ îïåðàöèé ⊗ è ⊕. (Ïðîâåðèòü âûïîëíèìîñòü ýòèõ çàêîíîâ äëÿ äâóõ èíäóöèðî-
Ðèñ. 7.3. Ìíîæåñòâî ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé. Òàáëèöà 7.1. ⊗ F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
F1 F1 F1 F1 F1 F1 F1 F1 F1 F1
F2 F1 F2 F2 F1 F2 F2 F1 F2 F2
F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3
F4 F1 F1 F1 F4 F4 F4 F4 F4 F4
F5 F1 F2 F2 F4 F5 F5 F4 F5 F5
F6 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F4 F5 F6
F7 F1 F1 F1 F4 F4 F4 F7 F7 F7
F8 F1 F2 F2 F4 F5 F5 F7 F8 F8
F9 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9
94
Ãëàâà 7
Ðèñ. 7.4. Ñòåïåíü ìíîæåñòâ LE. Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ïîçâîëÿåò îáîáùèòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñëåäóþùåé òåîðåìîé. Òåîðåìà 7.3. Êàðäèíàëüíàÿ ñòåïåíü LE èíäóöèðóåò íà ìíîæåñòâå ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé E → L ìíîæåñòâî îïåðàöèé ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè, êîòîðûìè îáëàäàþò îïåðàöèè, îïðåäåëåííûå íà L. Òîãäà 1) åñëè L ó-ìíîæåñòâî, òî LE ó-ìíîæåñòâî; 2) åñëè L íèæíÿÿ/âåðõíÿÿ ïîëóðåøåòêà, òî LE íèæíÿÿ/âåðõíÿÿ ïîëóðåøåòêà; 3) åñëè L ðåøåòêà, òî LE ðåøåòêà. Ïðè ýòîì åñëè L äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà, òî LE äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà, åñëè L áóëåâà ðåøåòêà, òî LE áóëåâà ðåøåòêà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêò 1) âûïîëíåí ïî îïðåäåëåíèþ êàðäèíàëüíîé ñòåïåíè (ñì. îïðåäåëåíèå 7.3). 2). Ðàññìîòðèì LE, ãäå L èìååò ñòðóêòóðó ∨-ïîëóðåøåòêè. Ïîëîæèì x1, x2, x3, y1, y2, y3 ∈ L, A1,
, Ak ∈ E. Ïóñòü Fi = {A1/x1,
, Ak/y1}, Fj = {A1/x2,
, Ak/y2}, Fl = {A1/x3,
, Ak/y3}. Òîãäà äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ Fi, Fj ∈ LE ýëåìåíò {A1/(x1 ∨ x2),
, Ak/(y1 ∨ y2)} áóäåò âåðõíåé ãðàíüþ ýòîé ïàðû. Ëþáàÿ äðóãàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü îáîèõ ýëåìåíòîâ <x1, y1> è <x2, y2> óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì u ≥ xi, v ≥ yi (i = 1, 2), è çíà÷èò, ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåé ãðàíè, u ≥ x1 ∨ x2 è v ≥ y1 ∨ y2, òàê ÷òî ≥ <x1 ∨ x2, y1 ∨ y2>. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî {A1/(x1 ∨ x2),
, Ak/(y1 ∨ y2)} = {A1/x1,.., Ak/y1} ∨ ∨ {A/x2,.., Ak/y2}, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îáúåäèíåíèå Fi ∨ Fj ñóùåñòâóåò. Ñëåäîâàòåëüíî, LE ∨-ïîëóðåøåòêà. Äâîéñòâåííî: F i ∧ F j = {A 1 /(x 1 ∧ x 2 ),
, A k /(y 1 ∧ y 2 )} = = {A1/x1, .., Ak/y1} ∧ {A/x2,.., Ak/y2}. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè L èìååò ñòðóêòóðó ðåøåòêè, òî LE ðåøåòêà. Ïðîâåðèì äèñòðèáóòèâíîñòü LE, åñëè L äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà. Òîãäà Fi ∨ (Fj ∧ Fl) = { A1/(x1 ∨ (x2 ∧ x3)),
, Ak /(y1 ∨ (y2 ∧ y3))} = = {A1/((x1 ∨ x2) ∧ (x1 ∨ x3)),
, Ak /((y1 ∨ y2) ∧ (y1 ∨ y3))} =
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
95
= (Fi ∨ Fj) ∧ (Fi ∨ Fl) çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè âûïîëíåí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî L áóëåâà ðåøåòêà. Ïîëîæèì F i′ = = {A1/x1′,
, Ak/y1′}, ãäå Fi′, x1′, y1′ äîïîëíåíèÿ Fi, x1, y1 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà F i ∧ F i ′ = {A 1 /(x 1 ∧ x 1 ′),
, A k /(y 1 ∧ y 1 ′)} = = {A1/0,
, Ak/0}. Àíàëîãè÷íî, Fi ∨ Fi′ = {A1/(x1 ∨ x1′),
, Ak/y1 ∨ y1′} = = {A1/I,
, Ak/I}. Îòîáðàæåíèå Fi′ = {A1/x1′,
, Ak/y1′} ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì îòîáðàæåíèÿ Fi = {A1/x1,
, Ak/y1}. Òàêèì îáðàçîì, LE òàêæå îáëàäàåò ñòðóêòóðîé áóëåâîé ðåøåòêè ñ äîïîëíåíèÿìè. Ñëåäñòâèå. Åñëè L îáû÷íûé ïðåäïîðÿäîê, òî LE îáû÷íûé ïðåäïîðÿäîê; Åñëè L èìååò ñòðóêòóðó ïðåäïîðÿäêà, òî â ýòîì ïðåäïîðÿäêå ìîæíî îïðåäåëèòü ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè è òîãäà ýòè êëàññû ñàìè ñîáîé îáðàçóþò ÷àñòè÷íûé èëè ïîëíûé ïîðÿäîê. Óäàëÿÿ òðàíçèòèâíî çàìûêàþùèå äóãè íà ãðàôå êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîëó÷èì äèàãðàììó Õàññå. Íàïðèìåð, åñëè êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïðåäïîðÿäêà îáðàçóþò âåðõíþþ ïîëóðåøåòêó, òî LE òàêæå îáðàçóåò âåðõíþþ ïîëóðåøåòêó äëÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè, â êîòîðûõ òàêæå âûïîëíÿåòñÿ îòíîøåíèå ïðåäïîðÿäêà. Ïðèìåð. Ïóñòü E = {A, B} è L = {0, a, b, 1} èìååò ñòðóêòóðó áóëåâîé ðåøåòêè ñ íóëåì 0 è åäèíèöåé 1. Ñòðóêòóðà ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé äëÿ LE èçîáðàæåíà íà ðèñ.7.5. Îíà èìååò cardLE = cardLcardE = 42 = 16 ýëåìåíòîâ 1. Íà ðèñóíêå îáîçíà÷åíèå xy ýòî îòîáðàæåíèå {A/x, B/y}, íàïðèìåð: 00 {A/0, B/0}, ab {A/a, B/b} è. ò.ä.
Ðèñ. 7.5. Ðåøåòêà ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé 42. Äèàãðàììû Õàññå äëÿ 16-ýëåìåíòíûõ áóëåâûõ ðåøåòîê 22×22, 24, 42, (22)2 èìåþò îäèíàêîâóþ ñòðóêòóðó, íî ðàçëè÷àþòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè. 1
96
Ãëàâà 7
Ïóñòü òåïåðü L = {0, a, b, 1} öåïü, E = {A, B}. Òîãäà LE òàêæå èìååò 16 ýëåìåíòîâ, äèàãðàììà åãî ñîâïàäàåò ñ äèàãðàììîé äèñòðèáóòèâíîé âåêòîðíîé ðåøåòêè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ 7.1. Ðàçëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñàìè ýëåìåíòû ðåøåòêè èìåþò äðóãîé ñìûñë. Äëÿ äèàãðàììû LE îáîçíà÷åíèå xy íà ðèñóíêå ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå {A/x, B/y}, íàïðèìåð, a0 åñòü îáîçíà÷åíèå äëÿ {A/a, B/0} è ò.ä. Ïîëó÷åííàÿ ðåøåòêà LE ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ïåðâîãî óðîâíÿ â ñìûñëå Çàäå.
7.3. Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà 7.3.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî E = {x1, x2,..., xn} è L = {0, 1}. Òîãäà LE = 2E åñòü ìíîæåñòâî âñåõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà E, âêëþ÷àÿ ∅, è îíî îáðàçóåò áóëåâó ðåøåòêó. Ýëåìåíòàìè ýòîé ðåøåòêè áóäóò õàðàêòåðèñòè÷åñêèå âåêòîðà ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà E (ñì. ï. 4.6 ãëàâû 4). Êàæäûé ýëåìåíò õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî âåêòîðà ïîêàçûâàåò, ïðèíàäëåæèò ëè äàííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà E äàííîìó ïîäìíîæåñòâó, èëè íåò. Îäíàêî, êàê ìû ïîêàçàëè âûøå, ìíîæåñòâî E ìîæíî îòîáðàçèòü â ëþáóþ ðåøåòêó. Òîãäà ìû ïðèõîäèì ê íîâîìó ïîíÿòèþ. Îïðåäåëåíèå 7.4. Ïóñòü E óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî è L ðåøåòêà. Ïóñòü α ∈ L. Íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî A ⊆ E, èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, A ∈ LE, ýòî òàêîå ïîäìíîæåñòâî, ÷òî êàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ E ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíò α ∈ L. Ýòè ýëåìåíòû îáîçíà÷àþò µA(x) è íàçûâàþò ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè.  ñëó÷àå, åñëè ðåøåòêà L åñòü çàìêíóòûé èíòåðâàë [0, 1] íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé öåïü, âîçâåäåíèå åãî â ñòåïåíü ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà E äàåò ìíîæåñòâî íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ â ñìûñëå Çàäå. Òîãäà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè µA(x) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà [0, 1] è îïðåäåëÿåò ñòåïåíü, ñ êîòîðîé ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó A.  ÷àñòíîñòè, åñëè µA(x) = 0, òî ýëåìåíò x íå ïðèíàäëåæèò íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó A, åñëè µA(x) = 1, òî ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó A ñî ñòåïåíüþ 1, åñëè µA(x) = 0,6, òî ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó A ñî ñòåïåíüþ 0,6 è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî â ñìûñëå Çàäå åñòü îòîáðàæåíèå [0, 1]E: E → [0, 1]. Ïðèìåð 1. Ïóñòü ìíîæåñòâî E åñòü ìíîæåñòâî ÷èñåë, îáîçíà÷àþùèõ âîçðàñò ÷åëîâåêà, íàïðèìåð, â ïðåäåëàõ îò 0 äî 100. Ðàññìîòðèì òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê ìîëîäîé è ñòàðûé. Î÷åâèäíî, òðóäíî óñòàíîâèòü êàêóþ-òî òî÷íóþ ãðàíèöó, ãäå êîí÷àåòñÿ âîçðàñò ìîëîäîñòè è
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
97
íàñòóïàåò âîçðàñò ñòàðîñòè. Ìû ìîæåì óêàçàòü ýòè ãðàíèöû ïðèáëèçèòåëüíî, è, îïðîñèâ, íàïðèìåð, íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ëþäåé, óñòàíîâèòü, ñ êàêîé ñòåïåíüþ ìîæíî îòíåñòè òîò èëè èíîé âîçðàñò ê êàòåãîðèè ìîëîäîé èëè ñòàðûé. Ðåçóëüòàòû ýòèõ îïðîñîâ ìîæíî áóäåò èçîáðàçèòü â âèäå ãðàôèêîâ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè µìîëîäîé è µñòàðûé (ðèñ. 7.6). Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè èç èíòåðâàëà [0, 1] ïîêàçûâàþò, ñ êàêîé ñòåïåíüþ òîò èëè èíîé âîçðàñò ïðèíàäëåæèò âîçðàñòó ìîëîäûõ èëè ñòàðûõ. Íàïðèìåð, âîçðàñò 40 ëåò ñî ñòåïåíüþ 0,48 îòíåñåí ê ïîíÿòèþ ìîëîäîé è ñî ñòåïåíüþ 0,36 ê ïîíÿòèþ ñòàðûé.
Ðèñ. 7.6. Ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð 2. Ïóñòü E ={a, b, c}, è ïóñòü A, B ∈ [0, 1]E: A = {a/0,2, b/0,6, c/0,8}, B = {a/0,1, b/0,4, c/0,9} äâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâà. Ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A ñî ñòåïåíüþ 0,2, ìíîæåñòâó B ñî ñòåïåíüþ 0,1, è ò.ä. Ïðèâåäåííîå âûøå îïðåäåëåíèå 7.4 ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà, ââåäåííîãî Çàäå. Ðàññìîòðèì îáîáùåíèå ñâîéñòâ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è îïåðàöèé íà íèõ, åñëè L ðåøåòêà. 7.3.2. Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè Îïðåäåëåíèå 7.5. Åñëè ≤ îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ðåøåòêå L, E íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, A ∈ LE, B ∈ LE íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, òî ãîâîðÿò, ÷òî A âêëþ÷åíî â B (A ⊆ B), åñëè ∀xi ∈ E: µA(xi) ≤ µB(xi). Òàêèì îáðàçîì, äâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâà ñðàâíèìû, åñëè ñðàâíèìû ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè è ìåæäó äâóìÿ íå÷åòêèìè ïîäìíîæåñòâàìè ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè A ={a/0,2, b/0,6, c/0,8}, B = {a/0,3, b/0,8, c/0,9}, òî A ⊂ B. Îïðåäåëåíèå 7.6. Äâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâà A è B ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀xi ∈ E: µA (xi) = µB(xi).
98
Ãëàâà 7
Ïîíÿòèå äîïîëíåíèÿ â òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ Çàäå è â òåîðèè ðåøåòîê ðàçíûå.  ñëó÷àå, åñëè L áóëåâà ðåøåòêà, LE òàêæå áóëåâà ðåøåòêà. Òîãäà äîïîëíåíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà A îïðåäåëÿåòñÿ êàê íå÷åòêîå ìíîæåñòâî B, òàêîå ÷òî ∀xi ∈ E: µA(xi) ∧ µB(xi) = 0 è µA(xi) ∨ µB(xi) = I, ãäå 0 íóëü, à I åäèíèöà áóëåâîé ðåøåòêè L. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íå âñå ðåøåòêè èìåþò äîïîëíåíèÿ ñâîèõ ýëåìåíòîâ, è, â ÷àñòíîñòè ðåøåòêà [0, 1] íå èìååò äîïîëíåíèé, äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â ñìûñëå Çàäå ââîäèòñÿ ïñåâäîäîïîëíåíèå, êîòîðîå íàçûâàþò äîïîëíåíèåì. Îïðåäåëåíèå 7.7. Äîïîëíåíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà A ∈ [0, 1]E åñòü íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî B ñî çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè, òàêèìè ÷òî ∀xi ∈ E: µB (xi) = 1 µA(xi). Íàïðèìåð, åñëè A ={a/0,2, b/0,6, c/0,8}, òî äîïîëíåíèå A íå÷åòêîå ìíîæåñòâî B = {a/0,8, b/0,4, c/0,2}. Îïðåäåëåíèå 7.8. Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íà ðåøåòêå L èíäóöèðóåò îïåðàöèþ ïåðåñå÷åíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ êàê ∀xi ∈ E: µA∩B(xi) = µA (xi) ∧ µB(xi). Äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â ñìûñëå Çàäå ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ µA∩B(xi) = min{µA(xi), µB(xi)}. Íàïðèìåð, åñëè A = {a/0,2, b/0,6, c/0,8}, B = {a/0,1, b/0,4, c/0,9}, òî A ∩ B = {a/0,1, b/0,4, c/0,8}. Îïðåäåëåíèå 7.9. Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ íà ðåøåòêå L èíäóöèðóåò îïåðàöèþ îáúåäèíåíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ êàê ∀xi ∈ E: µA∪B(xi) = µA(xi) ∨ µB(xi). Äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â ñìûñëå Çàäå ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ µA∪B(xi) = max{µA(xi), µB(xi)}. Íàïðèìåð, åñëè A ={a/0,2, b/0,3, c/0,8}, B = {a/0,1, b/0,4, c/0,9}, òî A ∪ B = {a/0,2, b/0,4, c/0,9}. Òàêèì îáðàçîì, åñëè L îáëàäàåò ñòðóêòóðîé äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè ñ îïåðàöèÿìè ∧ è ∨, â ÷àñòíîñòè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåðâàë [0, 1] ⊂ R, òî ñòåïåíü LE èíäóöèðóåò òàêæå äèñòðèáóòèâíóþ âåêòîðíóþ ðåøåòêó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ∩ è ∪ â ìíîæåñòâå íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ. Äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â ñìûñëå Çàäå ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè.
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
99
Îïðåäåëåíèå 7.10. Àëãåáðàè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ AB) îïðåäåëÿåòñÿ êàê àðèôìåòè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå èõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè: µAB(x) = µA(x) µB(x). Îïðåäåëåíèå 7.11. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ A + B) îïðåäåëÿåòñÿ êàê µA+B(x) = µA(x) + µB(x) µA(x) µB(x), ãäå + è åñòü îïåðàöèè àðèôìåòè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Îïåðàöèè êàðäèíàëüíîé ñòåïåíè è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (E1 × E2)E3 = E1E3 × E2E3, (E1E2)E3 = E1E2 × E3 . Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü íåêîòîðûå íîâûå äîïîëíèòåëüíûå îáîáùåíèÿ è ðåçóëüòàòû. Ðàññìîòðèì ñòåïåíü ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ, íàïðèìåð, (L1 × L2)E, ãäå L1, L2 ðåøåòêè (ïîëóðåøåòêè). Òîãäà L1 × L2 òàêæå îáëàäàåò ñòðóêòóðîé ðåøåòêè (ïîëóðåøåòêè), à ìíîæåñòâî (L1 × L2)E ìíîæåñòâî íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ ñ äâóìåñòíîé ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè. Íàïðèìåð, åñëè L1 = {a, b, c} íèæíÿÿ ïîëóðåøåòêà, L2 = {α, β} ðåøåòêà 2, òî L1 × L2 òàêæå îáëàäàåò ñòðóêòóðîé íèæíåé ïîëóðåøåòêè (ðèñ.7.7).
Ðèñ. 7.7. Ïðîèçâåäåíèå L1 × L2. Âîçüìåì ìíîæåñòâî E = {A, B, C} è âîçâåäåì ïîëó÷åííóþ ñòðóêòóðó L1 × L2 â ñòåïåíü E. Òîãäà: (L1 × L2)E èìååò 63 = 218 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå îáðàçóþò ìíîæåñòâî íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ, èìåþùåå ñòðóêòóðó íèæíåé ïîëóðåøåòêè ñ ýëåìåíòàìè: {A/(x1, y1), B/(x2, y2), C/(x3, y3)}, ãäå xi = a, b, c; i = 1, 2, 3; yj = α, β; j = 1, 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî µ A(x i) ïðèíèìàåò ñâîè çíà÷åíèÿ â L i, i = 1, 2, ..., n, òàê ÷òî êàæäîå xi ∈ Li. Òîãäà ìíîæåñòâî íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ ìîæíî çàïèñàòü êàê
(*) L{1x1 } × L{2x2 } × ... × L{nxn } , ãäå {xi} (i = 1, ..., n) îáû÷íûå îäíîòî÷å÷íûå ïîäìíîæåñòâà E. Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò âèäà (*) íàçûâàåòñÿ íå÷åòêèì íåîäíîðîäíûì
Ãëàâà 7
100
ïîäìíîæåñòâîì. Åñëè L1 = L2 = ... = Ln, òî L{1x1 } × L{2x2 } × ... × L{nxn } = LE, è ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê ïîíÿòèþ íå÷åòêîãî ïîäìíîæåñòâà â òîì æå ñìûñëå, êàê è ðàíüøå.
Åñëè L1, L2, L3 ðåøåòêè, òî L( 2 ) òîæå ðåøåòêà, è îäèí 3 ýëåìåíò åå ýòî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî 2-ãî ïîðÿäêà. Ìîæíî ïîéòè äàëüøå è îïðåäåëèòü íå÷åòêèå ïîäìíîæåñòâà áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ (n > 2). Ïðèìåð. Ïóñòü L1 = {A, B, C}, L2 = {a, b}, L3 = {a, b}. Èññëåäóåì LL1
ïðåäñòàâëåíèå: L( 2 ) . Ïîñòðîèì ñíà÷àëà LL21 . Ýòî áóäóò íå÷åòêèå 3 ìíîæåñòâà: F1 = {A/a, B/a, C/a}, F2 = {A/a, B/a, C/b}, F3 = {A/a, B/b, C/a}, F4 = {A/a, B/b, C/b}, F5 = {A/b, B/a, C/a}, F6 = {A/b, B/a, C/b}, F7 = {A/b, B/b, C/a}, F8 = {A/b, B/b, C/b}. LL1
Çàïèøåì F1 F8 ñëåäóþùèì îáðàçîì: LL21 = {~Faaa, ~Faab, ~Faba, ~Fabb, ~Fbaa, ~Fbab, ~Fbba, ~Fbbb}. Êàæäûé èç ýòèõ ýëåìåíòîâ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî 1-ãî ïîðÿäêà. Âîçâåäåì òåïåðü L3 â ñòåïåíü LL21 . Ýòà ñòåïåíü ñîäåðæèò 28 = 256 ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð: ~~F1 = {~Faaa/a, ~Faab/a, ~Faba/a, ~Fabb/a, ~Fbaa/a, ~Fbab/a, ~Fbba/a, ~Fbbb/a}, ~~F2 = {~Faaa/a, ~Faab/a, ~Faba/a, ~Fabb/a, ~Fbaa/a, ~Fbab/a, ~Fbba/a, ~Fbbb/b}, ~~F3 = {~Faaa/a, ~Faab/a, ~Faba/a, ~Fabb/a, ~Fbaa/a, ~Fbab/a, ~Fbba/b, ~Fbbb/a}, è ò.ä. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî L( 2 3 äàåò íàì íå÷åòêîñòü äðóãîãî òèïà.
LL1
) ≠ ( LL3
2
)
L1
. Âòîðàÿ ñòåïåíü
7.4. Ðåøåòî÷íûå ìíîãî÷ëåíû Îïðåäåëåíèå 7.12. Èíäèâèäóàëüíûå ïåðåìåííûå x, y, z,
ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè âåñà 1. Åñëè p, q ðåøåòî÷íûå ìíîãî÷ëåíû âåñîâ n, m ñîîòâåòñòâåííî, òî p ∨ q, p ∧ q íàçûâàþòñÿ ðåøåòî÷íûìè ìíîãî÷ëåíàìè âåñà n + m. Òåîðåìà 7.4.  ëþáîé ðåøåòêå L ïîäðåøåòêà F2, ïîðîæäåííàÿ äâóìÿ ýëåìåíòàìè x è y, ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ x, y, x ∧ y = v, x ∨ y = u, äëÿ êîòîðûõ îïåðàöèè ∨ è ∧ çàäàþòñÿ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.7.8.
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
101
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî L4, x ∧ u = x, à èç L3, L1 ñëåäóåò, ÷òî x ∨ u = x ∨ (x ∨ y) = = (x ∨ x) ∨ y = x ∨ y = u.  ñèëó L4, u ∨ v = = x ∨ y ∨ (x ∧ y) = x ∨ y = u. Îñòàëüíûå ñëó÷àè äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî, íà îñíîâàíèè ñèììåòðè÷íîñòè ìåæäó x è y è äâîéñòâåííîñòè. Ðåøåòêó F2 íàçûâàþò ñâîáîäíîé ðåøåòêîé ñ Ðèñ. 7.8. äâóìÿ ïîðîæäàþùèìè x è y. Îíà ñîäåðæèò Ðåøåòêà ÷åòûðå ýëåìåíòà è ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé ðåøåòêîé. ñ äâóìÿ Ðåøåòî÷íûå ìíîãî÷ëåíû îò òðåõ è áîëåå ïåðåìåííûõ ìîãóò áûòü óñòðîåíû î÷åíü ñëîæíî, ïîðîæäàþùèìè îäíàêî ó íèõ åñòü íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñâîéñòâ. Òåîðåìà 7.5.  ëþáîé ∨-ïîëóðåøåòêå êàæäûé ìíîãî÷ëåí îò x1, x2,
, xr ýêâèâàëåíòåí îáúåäèíåíèþ ∨S xi íåêîòîðîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà ýòèõ ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî L2, L3 êàæäûé òàêîé ìíîãî÷ëåí ýêâèâàëåíòåí îáúåäèíåíèþ íåêîòîðûõ ïåðåìåííûõ x2,
, xr â óêàçàííîì ïîðÿäêå, âîçìîæíî, ñ ïîâòîðåíèÿìè. Òîãäà, íà îñíîâàíèè L1 ìîæíî çàìåíèòü ïîâòîðÿþùèåñÿ âõîæäåíèÿ îäíîãî è òîãî æå ñèìâîëà îäíèì âõîæäåíèåì ýòîãî ñèìâîëà. Òåîðåìà 7.6.  ëþáîé äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêå êàæäûé ìíîãî÷ëåí ýêâèâàëåíòåí íåêîòîðîìó îáúåäèíåíèþ ïåðåñå÷åíèé è, äâîéñòâåííî, ïåðåñå÷åíèþ îáúåäèíåíèé: p(x1, x2,
, xr)= ∨a ∈ A{∧Saxi} = ∧δ ∈ D{∨Tδxi}, ãäå Sa , Tδ íåïóñòûå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ, ∨, ∧ îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäûé ýëåìåíò xi ìîæíî çàïèñàòü òàêèì îáðàçîì, ñ÷èòàÿ A (èëè D) ñåìåéñòâîì ìíîæåñòâ, ñîñòîÿùèì èç åäèíñòâåííîãî îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà {xi}. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ L1 L3, ïîëó÷àåì: ∨ a ∈ A {∧ Sa x i} ∨ ∨ b ∈ B {∧ Sb x i } = = ∨A ∪ B {∧Sc xi}. Âñëåäñòâèå äèñòðèáóòèâíîñòè ðåøåòêè èìååì: ∨a ∈ A{∧Sa xi} ∧ ∧ ∨b ∈ B{∧Sb xi} = ∨A × B {∧Sab xi}.
7.5. Ãîìîìîðôèçìû è èäåàëû 7.5.1. Ãîìîìîðôèçì ðåøåòîê Îïðåäåëåíèå 7.13. Èçîòîííîå îòîáðàæåíèå ϕ: L → M ðåøåòêè L â ðåøåòêó M íàçûâàåòñÿ ∨-ãîìîìîðôèçìîì, åñëè ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y) ∀x, y ∈ L, (1) ∧-ãîìîìîðôèçìîì, åñëè
102
Ãëàâà 7
ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y) ∀x, y ∈ L, (1') è ïðîñòî ãîìîìîðôèçìîì (ìîðôèçìîì), åñëè âûïîëíÿåòñÿ (1) è (1'). Òàêèì îáðàçîì, ãîìîìîðôèçì ðåøåòîê ýòî ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå ðåøåòî÷íûå îïåðàöèè, ò.å. ïåðåâîäÿùåå îáúåäèíåíèå â îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå â ïåðåñå÷åíèå. Îïðåäåëåíèå 7.14. Ãîìîìîðôèçì íàçûâàþò: 1) èçîìîðôèçìoì, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì (áèåêöèåé); 2) íàëîæåíèåì, èëè ýïèìîðôèçìîì, åñëè îí îòîáðàæàåò L íà M, ò.å. åñëè îòîáðàæåíèå ϕ: L → M ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé; 3) âëîæåíèåì, èëè ìîíîìîðôèçìîì, åñëè ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû L îòîáðàæàþòñÿ â ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû M (îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå), ò.å. îòîáðàæåíèå ϕ: L → M ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé; 4) ýíäîìîðôèçìîì, åñëè L = M; 5) àâòîìîðôèçìîì, åñëè L = M è îòîáðàæåíèå èçîìîðôèçì. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ϕ ìíîæåñòâà L = {a, b, c, d, e} íà ìíîæåñòâî M = {A, B, C} (ðèñ. 7.9, a).
Ðèñ. 7.9. à) ∨-ãîìîìîðôèçì, á) ãîìîìîðìîðôèçì. Ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè îíî èçîòîííûì. Ðàññìîòðèì âñå öåïè ìàêñèìàëüíîé äëèíû è èõ îáðàçû. Äëÿ öåïè a ≤ b ≤ e âûïîëíåíî ϕ(a) ≤ ϕ(b) ≤ ϕ(e), òàê êàê A ≤ C ≤ C. Äëÿ öåïè a ≤ c ≤ d ≤ e ñâîéñòâî èçîòîííîñòè òàêæå âûïîëíåíî, òàê êàê a ≤ c, ϕ(a) = A, ϕ(c) = A, A ≤ A, c ≤ d, ϕ(c) =A, ϕ(d) = B, A ≤ B, d ≤ e, ϕ(d) = B, ϕ(e) = C, B ≤ C, b ≤ e, ϕ(b) = C, ϕ(b) = C, C ≤ C. Îòîáðàæåíèå ϕ èçîòîííî. Ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè îíî ∨-ãîìîìîðôèçìîì.  ñèëó èçîòîííîñòè îòîáðàæåíèÿ, îíî ñîõðàíÿåò îïåðàöèè ∨ è ∧, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ñîõðàíåíèå ýòèõ îïåðàöèé äëÿ íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ: ϕ(b ∨ c) = ϕ(e) = C; ϕ(b) ∨ ϕ(c) = C ∨ A = C, ϕ(b ∨ d) = ϕ(e) = C; ϕ(b) ∨ ϕ(d) = C ∨ B = C.
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
103
Îòîáðàæåíèå ϕ ñîõðàíÿåò ∨, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ∨-ãîìîìîðôèçìîì. Îäíàêî îíî íå ÿâëÿåòñÿ ∧-ãîìîìîðôèçìîì, òàê êàê ϕ(b ∧ d) = ϕ(a) = A, íî ϕ(b) ∧ ϕ(d) = C ∧ B = B, ò.å. ñâîéñòâî ñîõðàíåíèÿ ∧ íå âûïîëíåíî. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå ϕ íå ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçì. Íà ðèñ. 7.9, á ïîêàçàíî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì. 7.5.2. Ïîíÿòèå èäåàëà Ïðè ãîìîìîðôèçìå ðåøåòêè L â ðåøåòêó M ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç L, ïåðåõîäÿùèõ â îäèí è òîò æå ýëåìåíò M, íå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì. Åñëè ϕ ãîìîìîðôèçì ðåøåòîê è ϕ(a) = ϕ(b), òî, ïîñêîëüêó ϕ ñîõðàíÿåò îïåðàöèè, â ñèëó èäåìïîòåíòíîñòè ϕ(a ∧ b) = ϕ(a) ∧ ϕ(b) = ϕ(a) è ϕ(a ∨ b) = ϕ(a) ∨ ϕ(b) = ϕ(b), ò.å. îáðàçû îáúåäèíåíèÿ a è b ñîâïàäàþò ñ îáðàçîì a è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ b. Èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç L, îòîáðàæàåìûõ ãîìîìîðôèçìîì â îäèí è òîò æå ýëåìåíò â M, âñåãäà îáðàçóåò ïîäðåøåòêó, (ò.å. a, b îòîáðàæàåòñÿ â îäèí ýëåìåíò âìåñòå ñ a ∧ b è a ∨ b). Íî ýòà ïîäðåøåòêà íå ïðîèçâîëüíà. Íàïðèìåð, åñëè ðåøåòêà ñîäåðæèò íóëåâîé è åäèíè÷íûé ýëåìåíòû, òî îíè, î÷åâèäíî, îáðàçóþò ïîäðåøåòêó. Åñëè ýòè ãðàíè÷íûå ýëåìåíòû ïåðåõîäÿò ïðè ãîìîìîðôèçìå â îäèí è òîò æå ýëåìåíò, òî èõ îáðàç áóäåò îäíîâðåìåííî è íóëåâûì è åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îí áóäåò îáðàçîì âñåõ ýëåìåíòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî óæå íå áóäåò ðåøåòêà, ñîäåðæàùàÿ õîòÿ áû äâà ýëåìåíòà. Óòâåðæäåíèå.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè a ≤ b è ϕ(a) = ϕ(b), òî îáðàç ëþáîãî a ≤ x ≤ b áóäåò ñîâïàäàòü ñ ϕ(a) è ϕ(b). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè a ≤ x ≤ b, òî x = x ∨ a è x = x ∧ b. Òàê êàê x = a ∨ (x ∧ b) è ϕ(x) = ϕ(a) ∨ (ϕ(x) ∧ ϕ(b)), òî ïðè ϕ(a) = ϕ(b) ϕ(x) = ϕ(a) ∨ (ϕ(x) ∧ ϕ(a)) = ϕ(a) ïî çàêîíó ïîãëîùåíèÿ. Òàêàÿ ïîäðåøåòêà, êîòîðàÿ ïðè ãîìîìîðôèçìå îòîáðàæàåòñÿ â îäèí è òîò æå ýëåìåíò, ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ïîäðåøåòêîé. Âûïóêëûå ïîäðåøåòêè, êîòîðûå ïðè ãîìîìîðôèçìå ìîãóò îòîáðàæàòüñÿ â íóëåâîé è åäèíè÷íûé ýëåìåíòû, èãðàþò îñîáåííî âàæíóþ ðîëü. Íàïðèìåð, åñëè ê ðåøåòêå äîáàâëåí íîâûé ýëåìåíò, êîòîðûé ìåíüøå âñåõ îñòàëüíûõ, òî îòîáðàçèâ íîâûé ýëåìåíò â íóëåâîé, ìû ïîëó÷èì òîò æå ãîìîìîðôèçì, ÷òî è ðàíüøå. Åñëè ýòîò ãîìîìîðôèçì îòîáðàæàåò a â íóëåâîé ýëåìåíò è x ≤ a, òî (òàê êàê 0 ≤ x) â ñèëó âûïóêëîñòè, ýëåìåíò x òàêæå ïåðåõîäèò â íóëåâîé ýëåìåíò.
Ãëàâà 7
104
Ïîäðåøåòêà ðåøåòêè, ñîäåðæàùàÿ âìåñòå ñ ëþáûì ýëåìåíòîì a âñå ýëåìåíòû x, òàêèå, ÷òî x ≤ a, íàçûâàåòñÿ èäåàëîì ðåøåòêè, à ïîäðåøåòêà, ñîäåðæàùàÿ âìåñòå ñ ëþáûì ýëåìåíòîì a âñå ýëåìåíòû x, òàêèå ÷òî a ≤ x, íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì èäåàëîì ðåøåòêè, èëè ôèëüòðîì. Îïðåäåëåíèå 7.15. Ïîäìíîæåñòâî J ðåøåòêè íàçûâàåòñÿ èäåàëîì, åñëè 1) J çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ, ò.å. åñëè a ∈ J è b ∈ J, òî è a ∨ b ∈ J; 2) Èç a ∈ J è x ≤ a ñëåäóåò, ÷òî x ∈ J (J íåïóñòî). Îïðåäåëåíèå 7.16. Ïîäìíîæåñòâî D íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì (äóàëüíûì) èäåàëîì, åñëè 1) D çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ; 2) Èç b ∈ D è b ≤ y ñëåäóåò, ÷òî y ∈ D (D íå âñÿ ðåøåòêà). Ëþáîé ýëåìåíò ðåøåòêè îïðåäåëÿåò èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ, êîòîðûå íå áîëüøå åãî. Íàïðèìåð, åñëè a ≤ c è b ≤ c, òî a ∨ b ≤ c. Åñëè x ≤ a, òî ïî òðàíçèòèâíîñòè x ≤ c, à a ∧ b ≤ a. Îòñþäà ñëåäóåò çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ. Ïîëó÷åííûé èäåàë îáîçíà÷èì Jc. Ýëåìåíòû, êîòîðûå íå ìåíåå c, îáðàçóþò äâîéñòâåííûé èäåàë Dc. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 7.10 çàäàíî îòîáðàæåíèå ýëåìåíòà c ∈ L â 0 è ýëåìåíòà f â I ðåøåòêè 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäîëæèòü ýòî îòîáðàæåíèå äî ãîìîìîðôèçìà, íåîáõîäèìî îòîáðàçèòü ýëåìåíòû d, b, a â 0, à ýëåìåíò e â I ðåøåòêè 2. Òîãäà ýëåìåíòû {a, b, d, c} îáðàçóþò èäåàë Jc, à ýëåìåíòû {f, e} äâîéñòâåííûé èäåàë Df. Åñëè ê ðåøåòêå äîáàâèòü ýëåìåíò h, òî äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ãîìîìîðôèçìà íåîáõîäèìî îòîáðàçèòü ýòîò ýëåìåíò â 0. Ýëåìåíò g íå ïðèíàäëåæèò íè èäåàëó, íè äâîéñòâåííîìó èäåàëó.
Ðèñ. 7.10. Èäåàë è äâîéñòâåííûé èäåàë.
Ðèñ. 7.11. Èäåàëû ðåøåòêè N5.
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
105
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â êîíå÷íîé ðåøåòêå èìååòñÿ ñòîëüêî èäåàëîâ è äâîéñòâåííûõ èäåàëîâ, ñêîëüêî îíà ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ. Íà ðèñ. 7.11 äëÿ ðåøåòêè N5 ïîêàçàíî ïÿòü èäåàëîâ, âêëþ÷àÿ âñþ ðåøåòêó â öåëîì. 7.5.3. Ïðèìàðíûå èäåàëû Óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùèå èäåàë è äâîéñòâåííûé èäåàë ðåøåòêè, äâîéñòâåííû äðóã äðóãó. Ïîýòîìó, åñëè ðåøåòêó L ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè A è B òàê, ÷òîáû äëÿ ÷àñòè A âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (2) îïðåäåëåíèÿ èäåàëà: èç a ∈ A è x ≤ a ñëåäóåò, ÷òî x ∈ A (A íåïóñòî), òî äëÿ ÷àñòè B áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (2) äâîéñòâåííîãî èäåàëà. Òàêèì îáðàçîì, A áóäåò èäåàëîì L, à B äâîéñòâåííûì èäåàëîì, è ïðè ýòîì A è B áóäóò äîïîëíÿòü äðóã äðóãà äî ïîëíîãî ìíîæåñòâà, îáðàçóþùåãî ðåøåòêó L. Óñëîâèå (2) îïðåäåëåíèÿ èäåàëà âûïîëíÿåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè äëÿ B âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2) îïðåäåëåíèÿ äâîéñòâåííîãî èäåàëà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (2) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ A è íåêîòîðûé ýëåìåíò b ∈ B, òî ïðè ó ≤ b ýëåìåíò y íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü A, òàê êàê òîãäà îíî ñîäåðæàëî áû è b, ñëåäîâàòåëüíî, y ∈ B. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè (2) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ B è a ∈ A, òî âñÿêèé ýëåìåíò x ≤ a ïðèíàäëåæèò A, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýëåìåíò a òàêæå ïðèíàäëåæàë áû è B. Òàêîå ðàçáèåíèå ðåøåòêè íà ïîäìíîæåñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ äîïîëíåíèÿìè äðóã äðóãà è îáðàçóþùèå èäåàë è äâîéñòâåííûé èäåàë, íàçûâàþò ñå÷åíèåì ðåøåòêè. Ïîäìíîæåñòâî A íàçûâàþò íèæíèì ñåãìåíòîì, B âåðõíèì ñåãìåíòîì.  îáùåì ñëó÷àå íèæíèé ñåãìåíò íå ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì, à âåðõíèé äâîéñòâåííûì èäåàëîì, òàê êàê îíè ìîãóò áûòü ïóñòûì ìíîæåñòâîì è âñåé ðåøåòêîé èëè íå óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (2). Íî åñëè íèæíèé ñåãìåíò óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ èäåàëà, òî îí íàçûâàåòñÿ ïðèìàðíûì èäåàëîì, èëè ïðîñòûì èäåàëîì, à âåðõíèé ñåãìåíò äâîéñòâåííûì, èëè äóàëüíûì ïðèìàðíûì èäåàëîì (ôèëüòðîì). Ïðèìàðíûé è äâîéñòâåííûé åìó èäåàëû ìîæíî ïîëó÷èòü, îïðåäåëèâ ãîìîìîðôèçì f ðåøåòêè L â ðåøåòêó èç äâóõ ýëåìåíòîâ (â ðåøåòêó 2), ãäå ïîä äåéñòâèåì f â íóëü ïåðåõîäÿò ýëåìåíòû íèæíåãî ñåãìåíòà, à â åäèíèöó ýëåìåíòû âåðõíåãî ñåãìåíòà, îáðàçóþùèå äâîéñòâåííûé ïðèìàðíûé èäåàë (ñì. ðèñ. 7.12). Ýòî îáóñëîâëåíî ñâîéñòâîì ãîìîìîðôèçìà ñîõðàíÿòü óïîðÿäî÷åííîñòü. Åñëè ýëåìåíòû a è b ïðèíàäëåæàò âåðõíåìó ñåãìåíòó, òî ïåðåñå÷åíèå èõ a ∧ b òàêæå ïðèíàäëåæèò âåðõíåìó ñåãìåíòó è îòîáðàæàåòñÿ â I: f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) = I ∧ I = I. Åñëè æå a è b ïðèíàäëåæàò íèæíåìó ñåãìåíòó, òî f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b) = 0 ∨ 0 = 0, ò.å. èõ
106
Ãëàâà 7
îáúåäèíåíèå îòîáðàæàåòñÿ â 0. Ñëåäîâàòåëüíî íèæíèé ñåãìåíò ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì, à âåðõíèé äâîéñòâåííûì èäåàëîì. Ýòî ñâîéñòâî ñåãìåíòîâ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ïðèìàðíûé èäåàë. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðèìàðíûé èäåàë ìîæíî ïîëó÷èòü, ëèøü îòîáðàæàÿ ðåøåòêó â ðåøåòêó èç äâóõ ýëåìåíòîâ: ïðèìàðíûé èäåàë îáðàçóþò ýëåìåíòû, êîòîðûå ïðè ãîìîìîðôèçìå ïåðåõîäÿò â íóëåâîé ýëåìåíò. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðèìàðíûõ èäåàëîâ. 1. Èäåàë J ðåøåòêè ÿâëÿåòñÿ ïðèìàðíûì èäåàëîì òîãäà Ðèñ. 7. 12. Ñå÷åíèå ðåøåòêè è òîëüêî òîãäà, åñëè ïðè a ∧ b ∈ J ëèáî a ∈ J, ëèáî b ∈ J. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ïåðåñå÷åíèå êàêèõ-ëèáî äâóõ ýëåìåíòîâ ïðèíàäëåæèò ïðèìàðíîìó èäåàëó, òî â íåì äîëæåí ñîäåðæàòüñÿ êàêîé-ëèáî èç ýòèõ ýëåìåíòîâ. Ïðèìàðíûé èäåàë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íèæíþþ ∧-ïîëóðåøåòêó, ñëåäîâàòåëüíî, â íåì ñîäåðæèòñÿ ïåðåñå÷åíèå êàêèõ-ëèáî ýëåìåíòîâ à è b. Ïðè ýòîì âåðõíÿÿ ïîëóðåøåòêà áóäåò äâîéñòâåííûì ïðèìàðíûì èäåàëîì, êîòîðûé çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè à è b ïðèíàäëåæàò äâîéñòâåííîìó èäåàëó D, òî a ∧ b ∈ D òàêæå. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè a ∧ b íå ïðèíàäëåæèò D, òî îí íå ñîäåðæèò ëèáî à, ëèáî b, ëèáî à è b âìåñòå. 2. Åñëè äëÿ ýëåìåíòà ðåøåòêè ñóùåñòâóåò äîïîëíåíèå, òî ëþáîé ïðèìàðíûé èäåàë ñîäåðæèò ëèáî ýëåìåíò, ëèáî åãî äîïîëíåíèå. Åñëè L ðåøåòêà ñ äîïîëíåíèÿìè, çíà÷èò ýòî ðåøåòêà ñ 0 è I. 0 áóäåò ýëåìåíòîì èäåàëà J, à I äâîéñòâåííîãî èäåàëà D. Åñëè íåêîòîðûé ýëåìåíò à âìåñòå ñî ñâîèì äîïîëíåíèåì à' ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç èäåàëîâ, òî òàê êàê a ∨ a' = I, à a ∧ a' = 0, òî òàêîé èäåàë äîëæåí áûòü âñåé ðåøåòêîé. Íî äâîéñòâåííûé èäåàë íå ìîæåò áûòü âñåé ðåøåòêîé (âñåì ìíîæåñòâîì), à ïðèìàðíûé èäåàë ïóñòûì ìíîæåñòâîì, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìàðíûé èäåàë ìîæåò ñîäåðæàòü ëèáî ýëåìåíò, ëèáî åãî äîïîëíåíèå.
Ïðèìåðû.
Ðàññìîòðèì èäåàëû è ïðèìàðíûå èäåàëû íåäèñòðèáóòèâíûõ ðåøåòîê èç ïÿòè ýëåìåíòîâ (ðèñ. 7.13). Êàæäûé èäåàë ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, êîòîðûå íå áîëüøå äàííîãî ýëåìåíòà. Ýòîò ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ èäåàëà. Ñëåäîâàòåëüíî, â êàæäîé èç äâóõ ðåøåòîê èç 5 ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò ïî 5 èäåàëîâ.
Ñòðîåíèå è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåòîê
107
Ðàññìîòðèì ðèñ. 7.13, a. Èç ýëåìåíòîâ à, b, c ïî êðàéíåé ìåðå äâà ïðèíàäëåæàò ëèáî J, ëèáî D. Äîïóñòèì, a, b ∈ J. Åñëè a ∈ J, òî ëþáîé ýëåìåíò x ≤ a òàêæå ïðèíàäëåæèò J, ò.å. 0 ∈ J . Âìåñòå ñ a, b èõ îáúåäèíåíèå ïðèíàäëåæèò J, ò.å. a ∨ b = I ∈ J. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýëåìåíò c ∈ J, òàê êàê c ≤ I. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðèìàðíûé èäåàë, ñîâïàäàþùèé ñî âñåé ðåøåòêîé. Âî âòîðîé ðåøåòêå (ðèñ. 7.13, b) ñóùåñòâóþò äâà ïðèìàðíûõ èäåàëà: [0, a], è [0, b, c]. Ðàññìîòðèì [0, a]. 0 ∨ a = a, 0 ∧ a = 0. Äëÿ à ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò 0 ≤ a, ñëåäîâàòåëüíî [0, a] ïðèìàðíûé èäåàë. Ðàññìîòðèì [0, b, c]. 0 ∨ b = b, 0 ∧ b = 0, b ∨ c = c, b ∧ c = b. Äðóãèõ ýëåìåíòîâ, ìåíüøèõ b è c íåò, êðîìå íóëÿ, ñëåäîâàòåëüíî, [0, c] ïðèìàðíûé èäåàë.
a)
b)
Ðèñ. 7.13. Ïðèìàðíûå èäåàëû. Íàèáîëåå «åñòåñòâåííûì» ïðåäñòàâëåíèåì ðåøåòêè ÿâëÿåòñÿ, íàâåðíîå, äèñòðèáóòèâíàÿ áóëåâà ðåøåòêà ìíîæåñòâà-ñòåïåíè, ò.å. ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, óïîðÿäî÷åííîãî îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ. Äëÿ ìíîæåñòâà èç òðåõ ýëåìåíòîâ ýòî áóëåâ ãèïåðêóá (áóëåâà ðåøåòêà 23), â êîòîðîì îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ñîâïàäàþò ñ èõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè èíòåðïðåòàöèÿìè. Î÷åâèäíî, áûëî áû ïîëåçíî íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ãîìîìîðôèçì, îòîáðàæàþùèé çàäàííóþ ðåøåòêó â ðåøåòêó ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òàê, ÷òîáû ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû èñõîäíîé ðåøåòêè ïåðåõîäèëè áû â ðàçëè÷íûå ïîäìíîæåñòâà, ò.å. ñòðîèòü ìîíîìîðôèçì. Îäíàêî òàêîãî óíèâåðñàëüíîãî ãîìîìîðôèçìà íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê ðåøåòêà ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà äèñòðèáóòèâíà, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò ñëóæèòü ïðåäñòàâëåíèåì òîëüêî äèñòðèáóòèâíûõ ðåøåòîê, äëÿ êîòîðûõ äàííàÿ çàäà÷à ðàçðåøèìà. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáóþ äèñòðèáóòèâíóþ ðåøåòêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü íåêîòîðîé ïîäðåøåòêîé ïîäìíîæåñòâ îïðåäåëåííûì îáðàçîì âûáðàííîãî ìíîæåñòâà. Ýòîò ðåçóëüòàò èçâåñòåí
108
Ãëàâà 7
ïîä íàçâàíèåì òåîðåìû Ñòîóíà, êîòîðóþ ìû çäåñü ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà. Òåîðåìà 7.7 (Ñòîóíà î ïðåäñòàâëåíèè). Äëÿ ëþáîé äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè ñóùåñòâóåò ìîíîìîðôèçì, îòîáðàæàþùèé åå â ðåøåòêó âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, ïðè÷åì òàê, ÷òî äîïîëíåíèå ïåðåõîäèò â äîïîëíåíèå. Ïðèìåð. Íà ðèñ.7.14 ïîêàçàí ìîíîìîðôèçì ðåøåòÐèñ. 7.14. Ê òåîðåìå Ñòîóíà. êè â ðåøåòêó ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A ={a, b, c}.
Ãëàâà 8.
ÃÐÀÔÛ
8.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ Ñ ïîíÿòèåì ãðàôà îáû÷íî ñâÿçûâàåòñÿ åãî ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå, ïðè êîòîðîì îí èçîáðàæàåòñÿ êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû ëèíèÿìè. Îäíàêî ãðàô îòëè÷àåòñÿ îò ãåîìåòðè÷åñêèõ êîíôèãóðàöèé (ñêàæåì, ôèãóð, êîòîðûå òàêæå ñîñòîÿò èç òî÷åê-âåðøèí è ëèíèé-ñòîðîí) òåì, ÷òî â ãðàôå íåñóùåñòâåííû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè, ôîðìà ñîåäèíÿþùèõ ëèíèé è óãëû ìåæäó íèìè. Âàæíî ëèøü, ñîåäèíåíà ëè äàííàÿ ïàðà òî÷åê ëèíèåé, èëè íåò. Ïîýòîìó ãðàô èíîãäà íàçûâàþò òîïîëîãè÷åñêèì îáúåêòîì, ò. å. îáúåêòîì, ñâîéñòâà êîòîðîãî íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ðàñòÿãèâàíèè, ñæàòèè, èñêðèâëåíèè (íî áåç ðàçðûâîâ è ñêëåèâàíèé). Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå (âàæíî ëèøü íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå ñîåäèíåíèÿ) ãðàô îáúåêò äèñêðåòíûé è ìîæåò áûòü çàäàí äâóìÿ äèñêðåòíûìè ìíîæåñòâàìè: ìíîæåñòâîì òî÷åê, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü âåðøèíàìè, è ìíîæåñòâîì ëèíèé, ñîåäèíÿþùèõ íåêîòîðûå âåðøèíû. Ëèíèè áóäåì íàçûâàòü ðåáðàìè. Ñóùåñòâóþò äâà îñíîâíûõ âèäà ãðàôîâ îðèåíòèðîâàííûå, â êîòîðûõ ëèíèè èìåþò íàïðàâëåíèå îò îäíîé âåðøèíû ê äðóãîé, è íåîðèåíòèðîâàííûå, â êîòîðûõ ëèíèè íå èìåþò íàïðàâëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 8.1. Íåîðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì G = (V, E) íàçûâàåòñÿ îáúåêò, çàäàííûé ïàðîé ìíîæåñòâ (V, E), ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí, E ⊆ V × V ìíîæåñòâî ðåáåð. Îïðåäåëåíèå 8.2. Îðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì (îðãðàôîì) íàçûâàåòñÿ ãðàô D = (V, E), ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí, E ⊆ V × V ìíîæåñòâî îðèåíòèðîâàííûõ ðåáåð, èëè äóã. Îïðåäåëåíèå 8.3. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè êàæäóþ ïàðó âåðøèí ñîåäèíÿåò íå áîëåå, ÷åì îäíî ðåáðî. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ìóëüòèãðàôîì, åñëè õîòÿ áû îäíó ïàðó âåðøèí ñîåäèíÿåò áîëåå, ÷åì îäíî ðåáðî. Ðåáðà ìóëüòèãðàôà, ñîåäèíÿþùèå îäíó è òó æå ïàðó âåðøèí, íàçûâàþòñÿ êðàòíûìè.  ïðîñòîì ãðàôå ðåáðî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé âåðøèí, êîòîðûå îíî ñîåäèíÿåò.  íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ïîðÿäîê âåðøèí â ïàðå íå âàæåí, ïîýòîìó ðåáðà ïðîñòîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà îïðåäåëÿþòñÿ êàê ìíîæåñòâî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåðøèí (vi, vj) ∈ V × V.  îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (vi, vj) ∈ V × V óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå äóãè: îò âåðøèíû vi ê âåðøèíå vj. Îíà èìååò íà÷àëî (âåðøèíó vi, èç êîòîðîé äóãà âûõîäèò) è êîíåö (âåðøèíó vj, â êîòîðóþ îíà çàõîäèò).  ìóëüòèãðàôå êàæäîå ðåáðî äîëæíî èìåòü ñâîå ñîáñòâåííîå èìÿ. Âåðøèíû, ñîåäèíÿåìûå
110
Ãëàâà 8
ðåáðîì, íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íû. Ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå âåðøèíó vi ñ ñàìîé ñîáîé, ò. å. ïàðà (vi, vi), íàçûâàåòñÿ ïåòëåé. Ïðèìåðû.
Ðèñ. 8.1. Ïðèìåðû ãðàôîâ: à) ïðîñòîé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô ñ ïåòëÿìè G; á) îðèåíòèðîâàííûé ãðàô D; â) íåîðèåíòèðîâàííûé ìóëüòèãðàô M. Ãðàô ìîæåò âîâñå íå èìåòü ðåáåð: E = ∅. Òàêîé ãðàô íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, èëè 0ãðàôîì. Äëÿ ïðîñòîãî ãðàôà ñóùåñòâóåò äðóãîé êðàéíèé ñëó÷àé, êîãäà âñå âåðøèíû ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ðåáðàìè. Òàêîé ãðàô íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, ïðè÷åì ðàçëè÷àþò äâà âèäà ïîëíûõ ãðàôîâ ñ ïåòëÿìè è áåç ïåòåëü. Ïîëíûé ãðàô ñ n âåðøèíàìè èìååò (n2 n)/2 ðåáåð (÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî 2), åñëè ïåòëè íå ó÷èòûâàþòñÿ, è (n2 n)/2 + n = (n2 + n)/2 ðåáåð, åñëè äîáàâèòü n ïåòåëü. Ïîëíûé ãðàô ñ n âåðøèíàìè áåç ïåòåëü îáîçíà÷àåòñÿ Kn. Ïîíÿòíî, ÷òî â ìóëüòèãðàôå îãðàíè÷åíèé íà ÷èñëî ðåáåð íåò.
8.2. Íåîðèåíòèðîâàííûå ãðàôû 8.2.1. Ìàòðèöà ñìåæíîñòè Íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô çàäàåò äâà îòíîøåíèÿ ìåæäó ñâîèìè ýëåìåíòàìè: îòíîøåíèå ñìåæíîñòè è îòíîøåíèå èíöèäåíòíîñòè. Ñìåæíîñòü îòíîøåíèå ìåæäó âåðøèíàìè: äâå âåðøèíû íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè, åñëè îíè ñîåäèíåíû ðåáðîì. Ýòî îòíîøåíèå îáû÷íîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå V, êîòîðîå äëÿ ïðîñòîãî ãðàôà ìîæåò áûòü çàäàíî êâàäðàòíîé áèíàðíîé (ò. å. ñîñòîÿùåé èç íóëåé è åäèíèö) ìàòðèöåé ñìåæíîñòè A(G) = (aij), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1, åñëè (ui , u j ) ∈ E , aij = 0, åñëè (ui , u j ) ∉ E .
Ãðàôû
111
Îòíîøåíèå ñìåæíîñòè â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå âñåãäà ñèììåòðè÷íî, ïîñêîëüêó ïîðÿäîê âåðøèí â ïàðå (vi, vj) íå âàæåí. Íàëè÷èå ðåôëåêñèâíîñòè è òðàíçèòèâíîñòè çàâèñèò îò êîíêðåòíûõ ñâîéñòâ ãðàôà. Ìàòðèöà ñìåæíîñòè ïóñòîãî ãðàôà çàïîëíåíà òîëüêî íóëÿìè, à ìàòðèöà ñìåæíîñòè ïîëíîãî ãðàôà ñ ïåòëÿìè òîëüêî åäèíèöàìè. Äëÿ ìóëüòèãðàôà ìàòðèöà ñìåæíîñòè óæå íå ÿâëÿåòñÿ áèíàðíîé: â íåé aij = k, ãäå k ÷èñëî êðàòíûõ ðåáåð, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû vi è vj. Ïðèìåðû. Ìàòðèöû ñìåæíîñòè äëÿ ãðàôîâ, ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. 8.1.
1 1 A (G) = 0 1
1 0 1 1 1 0 , A (D) = 1 1 1 0 1 1
0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 , A (M) = 0 0 0 0 1 0
0 3 2 0
3 2 0 0 4 0 . 4 0 1 0 1 0
8.2.2. Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè Èíöèäåíòíîñòü ýòî îòíîøåíèå ìåæäó âåðøèíàìè è ðåáðàìè: ðåáðî èíöèäåíòíî êàæäîé èç âåðøèí, êîòîðîå îíî ñîåäèíÿåò. Îíî çàäàåòñÿ ìàòðèöåé èíöèäåíòíîñòè C, â êîòîðîé ñòðîêè ïîìå÷àþòñÿ èìåíàìè âåðøèí, à ñòîëáöû èìåíàìè ðåáåð ãðàôà. Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè ãðàôà îïðåäåëÿåòñÿ êàê (n × m)ìàòðèöà C(G) = (cij), ó êîòîðîé
1, åñëè âåðøèíà vi èíöèäåíòíà ðåáðó e j , cij = 0, åñëè âåðøèíà vi íå èíöèäåíòíà ðåáðó e j . Ýòî ïðÿìîóãîëüíàÿ áèíàðíàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé ÷èñëî ñòðîê ðàâíî ÷èñëó âåðøèí ãðàôà n, à ÷èñëî ñòîëáöîâ ÷èñëó ðåáåð m. ×èñëî ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå vi ãðàôà (îðãðàôà, ìóëüòèãðàôà), íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ýòîé âåðøèíû è îáîçíà÷àåòñÿ deg (vi). Ñòåïåíü âåðøèíû ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ìàòðèöàì èíöèäåíòíîñòè è ñìåæíîñòè. Ñòåïåíü âåðøèíû vi ðàâíà ÷èñëó åäèíèö â i-é ñòðîêå ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè èëè ìàòðèöû ñìåæíîñòè. Ñóììà ñòåïåíåé âñåõ âåðøèí ðàâíà óäâîåííîìó ÷èñëó ðåáåð, ïîñêîëüêó êàæäîå ðåáðî ó÷àñòâóåò â ñòåïåíÿõ äâóõ âåðøèí, ò. å. ñ÷èòàåòñÿ â ýòîé ñóììå äâà ðàçà. Ïîñêîëüêó ýòà ñóììà ÷åòíà, òî è ÷èñëî âåðøèí ñ íå÷åòíûìè ñòåïåíÿìè òîæå ÷åòíî. Âåðøèíà, ñòåïåíü êîòîðîé ðàâíà 1, íàçûâàåòñÿ êîíöåâîé, èëè âèñÿ÷åé. Ãðàô íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ñòåïåíè k, åñëè ñòåïåíè âñåõ åãî âåðøèí ðàâíû k.
112
Ãëàâà 8
Îïðåäåëåíèå 8.4. Ãðàô G′ = (V′, E′) íàçûâàåòñÿ ÷àñòüþ ãðàôà G = (V, E), åñëè V′ ⊆ V, à E′ - ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âñåõ ðåáåð G, îáà êîíöà êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò V′. Îïðåäåëåíèå 8.5. Ãðàô G′ = (V′, E′) íàçûâàåòñÿ ïîäãðàôîì ãðàôà G = (V, E), åñëè V′ ⊂ V, à E′ ìíîæåñòâî âñåõ ðåáåð G, îáà êîíöà êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò V′. Ìíîæåñòâî âåðøèí V′ ⊂ V íàçûâàþò ïîðîæäàþùèì ìíîæåñòâîì ïîäãðàôà V′, à ñàì ïîäãðàô ïîðîæäåííûì âåðøèíàìè V′. Âñÿêèé ïîäãðàô ãðàôà G ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ G, íî íå âñÿêàÿ ÷àñòü ïîäãðàô (ñì. ðèñ. 8.2). Ïîäãðàô ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì V′ ñâîèõ âåðøèí è ìîæåò áûòü ïîñòðîåí òàê: â èñõîäíîì ãðàôå G âûáèðàåì ìíîæåñòâî âåðøèí V′ è óäàëÿåì âñå ðåáðà, õîòÿ áû îäèí êîíåö êîòîðûõ íå ïðèíàäëåæèò V′. ×àñòü ãðàôà ýòî ïîäãðàô, èç êîòîðîãî, âîçìîæíî, óäàëåíû íåêîòîðûå ðåáðà. Íàïðèìåð, ÷àñòü ãðàôà G íà ðèñ. 8.2, á ñîäåðæèò âåðøèíû v3, v4, v5, v6, íî íå ñîäåðæèò ðåáåð (v3, v4), (v4, v5), (v5, v6), (v3, v6), â òî âðåìÿ, êàê åãî ïîäãðàô íà ðèñ. 8.2, â ñîäåðæèò âñå ðåáðà, ñîåäèíÿþùèå ýòè âåðøèíû. Îïðåäåëåíèå 8.6. ×àñòü ãðàôà, îáðàçîâàííàÿ âåðøèíîé vi è âñåìè âåðøèíàìè, ñìåæíûìè ñ íåé, íàçûâàåòñÿ çâåçäîé âåðøèíû vi. Îïðåäåëåíèå 8.7. Ïîëíûé ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé çàäàííûì ìíîæåñòâîì âåðøèí, íàçûâàåòñÿ êëèêîé. Ïðèìåð.
Ãðàôû
113
8.3. Îðèåíòèðîâàííûå ãðàôû Äëÿ îðãðàôà åãî áèíàðíàÿ ìàòðèöà ñìåæíîñòè A â îáùåì ñëó÷àå íåñèììåòðè÷íà: ýëåìåíò aij = 1, åñëè è òîëüêî åñëè èìååòñÿ äóãà e = (vi, vj). ×èñëî åäèíèö â ýòîé ìàòðèöå ðàâíî ÷èñëó äóã ãðàôà. (Çàìåòèì, ÷òî â ìàòðèöå ñìåæíîñòè íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ïåòëå ñîîòâåòñòâóåò îäíà åäèíèöà, ñòîÿùàÿ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, à îñòàëüíûì ðåáðàì ïî äâå åäèíèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàì, ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè.) Åñëè æå ìàòðèöà ñìåæíîñòè îðãðàôà D îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîé äóãè (vi, vj) â íåì èìååòñÿ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííàÿ äóãà (vj, vi). Òàêàÿ ìàòðèöà ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, ïîëó÷åííîãî èç D çàìåíîé êàæäîé ïàðû ïðîòèâîïîëîæíî îðèåíòèðîâàííûõ äóã (vi, vj) è (vj, vi) íà îäíî íåîðèåíòèðîâàííîå ðåáðî (vi, vj). Ïîýòîìó ñèììåòðè÷íûé îðãðàô âñåãäà ìîæíî çàìåíèòü ïðîñòûì íåîðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì, èìåþùèì òó æå ìàòðèöó ñìåæíîñòè. Îäíàêî ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ íå äëÿ âñåõ äóã îðãðàôà; òîãäà íà ðèñóíêå èçîáðàæàþòñÿ îáå ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå äóãè. Ïîíÿòèå èíöèäåíòíîñòè äëÿ îðãðàôîâ ñîõðàíÿåòñÿ, îäíàêî â ìàòðèöå èíöèäåíòíîñòè C ðàçëè÷àþò íà÷àëî è êîíåö äóãè. Ìàòðèöåé èíöèäåíòíîñòè îðãðàôà D íàçûâàåòñÿ (n × m) ìàòðèöà Ñ (D) = (ñij), ó êîòîðîé 1, åñëè âåðøèíà vi ÿâëÿåòñÿ êîíöîì äóãè ei , cij = −1, åñëè âåðøèíà vi ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì äóãè ei , 0, åñëè âåðøèíà v íå èíöèäåíòíà äóãå e . i i
Ïðèìåð. x1
Ðèñ.8.2. a) Ãðàô G; á) ×àñòü ãðàôà G; â) Ïîäãðàô ãðàôà G, êëèêà; ã) Çâåçäà âåðøèíû v3. Îïðåäåëåíèå 8.8. Ïîäãðàô G′ ãðàôà G íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïî íåêîòîðîìó ñâîéñòâó, åñëè G′ îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì, à ëþáîé ïîäãðàô ãðàôà G, ñîäåðæàùèé G′, íå îáëàäàåò èì. Ïîäãðàô G′ ãðàôà G íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì ïî íåêîòîðîìó ñâîéñòâó, åñëè G′ îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì, à ëþáîé ïîäãðàô ãðàôà G, ñîäåðæàùèéñÿ â G′, íå îáëàäàåò èì. Íàïðèìåð, ïîäãðàô íà ðèñ. 8.2, â ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé êëèêîé; ïîäãðàô ýòîãî ïîäãðàôà, ïîðîæäåííûé âåðøèíàìè v3, v4, v5, òàêæå áóäåò êëèêîé, íî íå ìàêñèìàëüíîé, à ìèíèìàëüíîé êëèêîé áóäåò ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé äâóìÿ âåðøèíàìè, íàïðèìåð, v3 è v4.
v1 v2 v3 C (D) = v4 v5 v6 v7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−1 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 1 −1
Ðèñ. 8.3. Îðãðàô è åãî ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè. Â êàæäîì ñòîëáöå ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè íàõîäèòñÿ ðîâíî äâå åäèíèöû: 1 è 1. Âåðøèíà v6 íà ðèñ. 8.3. èìååò ïåòëþ. ×òîáû
114
Ãëàâà 8
îòîáðàçèòü åå â ìàòðèöå èíöèäåíòíîñòè, ââîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ôèêòèâíàÿ âåðøèíà v7 è ïåòëÿ äåëèòñÿ íà äâå äóãè: x6 è x7. Íåîáõîäèìîñòü ó÷èòûâàòü îðèåíòàöèþ äóã â îðãðàôå ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ ïîíÿòèÿ «ñòåïåíü âåðøèíû» íà äâå ÷àñòè. Ïîëóñòåïåíüþ çàõîäà deg+(vi) âåðøèíû vi íàçûâàåòñÿ ÷èñëî äóã, âõîäÿùèõ â vi; ïîëóñòåïåíüþ èñõîäà deg(vi) ÷èñëî äóã, âûõîäÿùèõ èç íåå. Ïîëóñòåïåíü èñõîäà vi ðàâíà ÷èñëó åäèíèö â i-é ñòðîêå ìàòðèöû ñìåæíîñòè, ïîëóñòåïåíü çàõîäà vi ÷èñëó åäèíèö â i-ì ñòîëáöå ìàòðèöû ñìåæíîñòè. Ïîëóñòåïåíè çàõîäà è èñõîäà ëåãêî îïðåäåëÿþòñÿ è ïî ìàòðèöå èíöèäåíòíîñòè: ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ åäèíèö â i-é ñòðîêå îïðåäåëÿåò ïîëóñòåïåíü çàõîäà âåðøèíû vi, à îòðèöàòåëüíûõ èñõîäà. Îáùàÿ ñóììà äàåò ñòåïåíü âåðøèíû: deg (vi) = deg+(vi)+ deg(vi). Ïîíÿòèå ïîäãðàôà äëÿ îðãðàôà îñòàåòñÿ òåì æå. Ïîíÿòèå çâåçäû, êàê è ñòåïåíü, ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâå ÷àñòè. Ïîëóçâåçäà çàõîäà âåðøèíû vi ýòî ïîäãðàô, îïðåäåëÿåìûé âåðøèíîé vi è âñåìè âåðøèíàìè, èç êîòîðûõ äóãè çàõîäÿò â âåðøèíó vi. Ïîëóçâåçäà èñõîäà âåðøèíû vi ýòî ïîäãðàô, îïðåäåëÿåìûé âåðøèíîé vi è âñåìè âåðøèíàìè, â êîòîðûå èç vi èäóò äóãè. Ïðèìåð.
Ãðàôû
115
Íàïðèìåð, ãðàôû D1 è D2 íà ðèñ. 8.5 ãåîìåòðè÷åñêè îäèíàêîâû. Îäíàêî îíè îòëè÷àþòñÿ íóìåðàöèåé âåðøèí, èç-çà ÷åãî ìàòðèöû ñìåæíîñòè è ñïèñêè äóã ó íèõ áóäóò ðàçëè÷íû. Íàïðèìåð, äóãà (v1, v3) åñòü â ïåðâîì ãðàôå, íî îòñóòñòâóåò âî âòîðîì: âìåñòî íåãî ïîÿâèëàñü äóãà (v4, v2). Ïîýòîìó ìíîæåñòâà äóã ýòèõ ãðàôîâ ðàçëè÷íû è, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 8.2, ðàçëè÷íû ñàìè ãðàôû.
Ðèñ. 8.5. Èçîìîðôèçì ãðàôîâ. Ãðàôû, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî íóìåðàöèåé âåðøèí (è êîòîðûå, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íåêîòîðîé äðóãîé íóìåðàöèè ìîæíî ñäåëàòü îäèíàêîâûìè), íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè. Èçîìîðôèçì ãðàôîâ ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì âåðøèí èíîãäà ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óâèäåòü íà ðèñóíêå, îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå ïðîáëåìà óñòàíîâëåíèÿ èçîìîðôèçìà ãðàôîâ îêàçûâàåòñÿ ñëîæíîé â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè çàäà÷åé.
8.4. Ãðàôû è áèíàðíûå îòíîøåíèÿ Ðèñ. 8.4. à) îðèåíòèðîâàííûé ãðàô D; á) ÷àñòü ãðàôà D; â) ïîäãðàô ãðàôà D, ïîðîæäåííûé âåðøèíàìè v1, v2, v3; ã) ïîëóçâåçäà èñõîäà âåðøèíû v1. Èòàê, ãðàôû è îðãðàôû ìîãóò áûòü çàäàíû òðåìÿ ñïîñîáàìè: • íåïîñðåäñòâåííûì çàäàíèåì ìíîæåñòâ âåðøèí V è äóã E (íàïðèìåð, ñïèñêîì); • ìàòðèöåé ñìåæíîñòè èëè ìàòðèöåé èíöèäåíòíîñòè (ïðàâäà, ìóëüòèãðàô ìàòðèöåé ñìåæíîñòè íå ìîæåò áûòü çàäàí îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó ýòà ìàòðèöà íå ñîäåðæèò èìåí ðåáåð); • ðèñóíêîì (ñì. ïðèìåðû). Êîãäà äâà ãðàôà îäèíàêîâû? Äëÿ ïåðâûõ äâóõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ îòâåò ïðîñò: êîãäà ñîâïàäàþò èõ îïèñàíèÿ ñïèñêè âåðøèí è ðåáåð èëè ìàòðèöû. Âèçóàëüíî, ïî ðèñóíêó, îïðåäåëèòü, îäèíàêîâû ëè ãðàôû, ñëîæíåå. Îäèí è òîò æå ãðàô ìîæíî èçîáðàçèòü ðàçíûìè ðèñóíêàìè, ïî-ðàçíîìó ðàñïîëîæèâ âåðøèíû è ïðèäàâ ðåáðàì ðàçíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó è äëèíó.
Ìåæäó ïðîñòûìè (áåç êðàòíûõ ðåáåð) ãðàôàìè è áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Âñÿêèé ãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V = {v1, ..., vn} îïðåäåëÿåò áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå V îòíîøåíèå ñìåæíîñòè. Ìàòðèöà ñìåæíîñòè ýòîãî ãðàôà ýòî ìàòðèöà áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ñìåæíîñòè. Âåðíî è îáðàòíîå âñÿêîå áèíàðíîå îòíîøåíèå ρ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå M = {m1, ..., mn} ìîæíî ïðåäñòàâèòü ãðàôîì G, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì M, à ðåáðî (mi, mj) â ýòîì ãðàôå ñóùåñòâóåò, åñëè è òîëüêî åñëè âûïîëíÿåòñÿ mi ρ mj. Áèíàðíàÿ ìàòðèöà îòíîøåíèÿ ρ îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè ãðàôà G, à ñàì ãðàô íàçûâàþò ãðàôîì îòíîøåíèÿ ρ. Ïî ìàòðèöå ñìåæíîñòè ãðàôà ìîæíî îïðåäåëèòü ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ ρ. Ãðàô ðåôëåêñèâíîãî îòíîøåíèÿ ñîäåðæèò ïåòëè âî âñåõ âåðøèíàõ è, ñîîòâåòñòâåííî, åäèíèöû âî âñåõ ýëåìåíòàõ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû ñìåæíîñòè. Ñèììåòðè÷íîìó îòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ãðàô ñ ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöåé ñìåæíîñòè. Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, òàêîé îðãðàô ðàâíîñèëåí ïðîñòîìó íåîðèåíòèðîâàííîìó ãðàôó. Ãðàô òðàíçèòèâíîãî îòíîøåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè ñóùåñòâóþò ðåáðà (vi, vj) è (vj, vk), òî
116
Ãëàâà 8
ñóùåñòâóåò ðåáðî (vi, vk). Ãðàô îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ïîëíûõ ïîäãðàôîâ. Ïîñêîëüêó ëþáîé ãðàô ïðåäñòàâëÿåò íåêîòîðîå îòíîøåíèå, ìîæíî îïðåäåëèòü îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íàä ãðàôàìè òàê æå, êàê íàä îòíîøåíèÿìè. Äîïîëíåíèþ ρ′ îòíîøåíèÿ ρ (ò. å. îòíîøåíèþ, êîòîðîå èñòèííî, êîãäà ρ ëîæíî) ñîîòâåòñòâóåò äîïîëíåíèå ãðàôà G äî ïîëíîãî ãðàôà, ò. å. ãðàô G′, â êîòîðîì èìåþòñÿ òå è òîëüêî òå äóãè, êîòîðûõ íåò â G. Îáðàòíîìó îòíîøåíèþ ρ1 ñîîòâåòñòâóåò ãðàô G1, êîòîðûé ïîëó÷åí èç ãðàôà G èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè âñåõ åãî äóã íà ïðîòèâîïîëîæíûå.
8.5. Ïóòè è ñâÿçíîñòü â íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ 8.5.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå 8.9. Ïóòü Pi â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð (vi0, vi1), (vi1, vi2),..., (vi, n1, vin), òàêàÿ, ÷òî ëþáûå äâà ñîñåäíèå ðåáðà ðàçëè÷íû è èìåþò îáùóþ èíöèäåíòíóþ èì âåðøèíó. Âåðøèíà vi0 íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì ïóòè, âåðøèíà vin êîíöîì ïóòè. Ïóòü ìîæíî çàäàòü òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âåðøèí, íå óêàçûâàÿ ðåáåð, íàïðèìåð: vi0, vi1, vi2,..., vi, n1, vin.  ìóëüòèãðàôå ïðè çàäàíèè ïóòè íóæíî óêàçûâàòü èìåíà ðåáåð. ×èñëî ðåáåð â ïóòè P íàçûâàåòñÿ åãî äëèíîé è îáîçíà÷àåòñÿ l (P). Î÷åâèäíî, ÷òî, åñëè â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ñóùåñòâóåò ïóòü èç vi0 â vin, òî ñóùåñòâóåò ïóòü èç vin â vi0, ýòî òîò æå ïóòü, ïðîéäåííûé â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ïóòü íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêèì, èëè ïðîñòî öèêëîì, åñëè vi0 = vin. Öèêë íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè ëþáàÿ âåðøèíà ãðàôà âñòðå÷àåòñÿ â íåì íå áîëåå îäíîãî ðàçà. Öèêë íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè â íåãî âõîäÿò âñå âåðøèíû ãðàôà. Îäíî è òî æå ðåáðî ìîæåò âñòðå÷àòüñÿ â ïóòè íåñêîëüêî ðàç. Ïóòü íàçûâàåòñÿ öåïüþ, åñëè êàæäîå ðåáðî âñòðå÷àåòñÿ â íåì íå áîëåå îäíîãî ðàçà, è ïðîñòîé öåïüþ (èëè ïðîñòûì ïóòåì), åñëè ëþáàÿ âåðøèíà ãðàôà âñòðå÷àåòñÿ â íåì íå áîëåå, ÷åì îäèí ðàç. Ïðîñòàÿ öåïü ýòî öåïü, êîòîðàÿ íå ïåðåñåêàåò ñàìà ñåáÿ. Åñëè êîíåö ïóòè P1 ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì ïóòè P2, òî, ïðèïèñàâ ñïðàâà ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåáåð P1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð P2, ïîëó÷èì íîâûé ïóòü, âåäóùèé èç íà÷àëà P1 â êîíåö P2. Ýòîò ïóòü áóäåì îáîçíà÷àòü P1P2. Ïðèìåð.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïóòè è öèêëû â ãðàôå íà ðèñ. 8.6. Ïóòü (v1, v2), (v2, v5), (v5, v7), (v7, v6), (v6, v8) îáðàçóåò
Ãðàôû
117
ïðîñòóþ öåïü. Ýòó öåïü ìîæíî çàäàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âåðøèí: v1, v2, v5, v7, v6, v8. Íè îäíà âåðøèíà â íåé íå ïîâòîðÿåòñÿ. Ïóòü v1, v2, v5, v7, v6, v8, v7 íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé öåïüþ îí ñîäåðæèò öèêë v7, v6, v8, v7. Ïóòü v1, v2, v5, v4, v3, v2, v5, v7 íå ÿâëÿåòñÿ öåïüþ, òàê êàê ðåáðî Ðèñ. 8.6. Ïóòè è öèêëû (v2, v5) ñîäåðæèòñÿ â íåì äâà â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå. ðàçà. Ýòîò ïóòü ñîäåðæèò òàêæå öèêë v2, v5, v4, v3, v2. Íàêîíåö, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v1, v2), (v2, v1) íå ñ÷èòàåòñÿ öèêëîì, ïîñêîëüêó (v1, v2) = (v2, v1), òàê êàê ðåáðà íå îðèåíòèðîâàíû. Îïðåäåëåíèå 8.10. Âåðøèíû vi è vj íàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü ñ íà÷àëîì â vi è êîíöîì â vj.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî âåðøèíà vj äîñòèæèìà èç âåðøèíû vi. Êàæäàÿ âåðøèíà ïî îïðåäåëåíèþ ñâÿçàíà ñàìà ñ ñîáîé ïóòåì íóëåâîé äëèíû. Ñâÿçàííîñòü ýòî áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå âåðøèí. Îíî ðåôëåêñèâíî (êàæäàÿ âåðøèíà ñâÿçàíà ñàìà ñ ñîáîé ïî îïðåäåëåíèþ), ñèììåòðè÷íî (äëÿ êàæäîãî ïóòè èìååòñÿ îáðàòíûé ïóòü) è òðàíçèòèâíî. Òðàíçèòèâíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî åñëè åñòü ïóòü èç vi â vj è ïóòü èç vj â vk, òî åñòü ïóòü èç vi â vk. Ýòî î÷åâèäíî: ÷òîáû ïîëó÷èòü òàêîé ïóòü, äîñòàòî÷íî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåáåð, âåäóùåé èç vi â vj, ïðèïèñàòü ñïðàâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð, âåäóùóþ èç vj â vk. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ñâÿçàííîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå âåðøèí ãðàôà G è ðàçáèâàåò ýòî ìíîæåñòâî íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Âñå âåðøèíû îäíîãî êëàññà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, âåðøèíû èç ðàçíûõ êëàññîâ ìåæäó ñîáîé íå ñâÿçàíû. Ïîäãðàô, îáðàçîâàííûé âñåìè âåðøèíàìè îäíîãî êëàññà, íàçûâàåòñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà G. Ìîæíî äàòü è äðóãîå îïðåäåëåíèå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. Îïðåäåëåíèå 8.11. Íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè âñå åãî âåðøèíû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ìàêñèìàëüíûé ñâÿçíûé ïîäãðàô ãðàôà G íàçûâàåòñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ãðàôà G. Ñâÿçíûé ãðàô ñîñòîèò èç îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.
118
Ãëàâà 8
Ïðèìåð.
Ðèñ. 8.7. Ãðàôû G1 è G2 ñâÿçíûå, G3 è G4 íåñâÿçíûå. Òåîðåìà 8.1. Åñëè äâå âåðøèíû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, òî ñóùåñòâóåò ñâÿçûâàþùàÿ èõ ïðîñòàÿ öåïü. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïóòü, ñâÿçûâàþùèé äâå âåðøèíû, íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé öåïüþ, òî â íåì èìååòñÿ âåðøèíà v, èíöèäåíòíàÿ áîëåå ÷åì äâóì ðåáðàì ýòîãî ïóòè. Ïóñòü ei ïåðâîå èç ýòèõ ðåáåð, ej ïîñëåäíåå (j > i + 1). Òîãäà èç äàííîãî ïóòè ìîæíî óäàëèòü ó÷àñòîê îò i + 1-ãî ðåáðà äî j 1-ãî. Ïîëó÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îñòàíåòñÿ ïóòåì: â íåé ðåáðà ei è ej ñòàíóò ñîñåäíèìè, è ïðè ýòîì îíè èìåþò îáùóþ âåðøèíó v. Åñëè ïîëó÷åííûé ïóòü íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé öåïüþ, òî ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ äî ïîëó÷åíèÿ ïðîñòîé öåïè. Îïðåäåëåíèå 8.12. Âåðøèíà ãðàôà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ, åñëè åå óäàëåíèå óâåëè÷èâàåò ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ãðàôà. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ðàçäåëèìûì, åñëè îí ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó ñî÷ëåíåíèÿ, è íåðàçäåëèìûì, åñëè îí íå ñîäåðæèò òàêèõ òî÷åê. Ìàêñèìàëüíûå íåðàçäåëèìûå ïîäãðàôû ãðàôà íàçûâàþòñÿ åãî áëîêàìè. Íàïðèìåð, â ãðàôå G íà ðèñ. 8.6 âåðøèíû v5, v2, v7 òî÷êè ñî÷ëåíåíèÿ. Òåîðåìà 8.2. Âåðøèíà vi ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñî÷ëåíåíèÿ ñâÿçíîãî ãðàôà G, åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå âåðøèíû vj è vk, îòëè÷íûå îò vi, ÷òî ëþáîé ïóòü ìåæäó íèìè ïðîõîäèò ÷åðåç vi. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü vi òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ. Åå óäàëåíèå äàåò íîâûé ãðàô G′, ñîäåðæàùèé íåñêîëüêî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò. Âûáåðåì âåðøèíû vj è vk òàê, ÷òîáû îíè ëåæàëè â ðàçíûõ êîìïîíåíòàõ. Òîãäà â G′ ìåæäó íèìè ïóòè íåò. Íî â G (â ñèëó åãî ñâÿçíîñòè) ìåæäó íèìè åñòü ïóòè (ïî êðàéíåé ìåðå îäèí). Çíà÷èò, èìåííî óäàëåíèå vi ðàçîðâàëî ýòè ïóòè, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç vi. Ïóñòü òåïåðü ñóùåñòâóþò âåðøèíû vj è vk, óêàçàííûå â óñëîâèè òåîðåìû. Òîãäà óäàëåíèå vi ðàçðûâàåò âñå ïóòè ìåæäó íèìè, ãðàô ñòàíîâèòñÿ íåñâÿçíûì, è, ñëåäîâàòåëüíî, vi òî÷êà ñî÷ëåíåíèÿ.
Ãðàôû
119
Ðàçäåëèìûå ãðàôû íàçûâàþò åùå 1-ñâÿçíûìè. Âîîáùå, k-ñâÿçíûì íàçûâàþò ãðàô, äëÿ íàðóøåíèÿ ñâÿçíîñòè êîòîðîãî íàäî óäàëèòü íå ìåíåå k âåðøèí. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ñâÿçíîñòè k õàðàêòåðèçóåò íàäåæíîñòü ñâÿçíîñòè. Åñëè ãðàô èçîáðàæàåò, íàïðèìåð, ñåòü êîììóíèêàöèé, òî ýòî ÷èñëî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðè ïîâðåæäåíèè ëþáûõ k 1 óçëîâ ñåòü âñå åùå îáåñïå÷èâàåò ñâÿçü ìåæäó ëþáûìè îñòàâøèìèñÿ óçëàìè. 8.5.2. Ðàññòîÿíèÿ. Äèàìåòð, ðàäèóñ, öåíòð Îïðåäåëåíèå 8.13.  íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ðàññòîÿíèåì d (vi, vj) ìåæäó âåðøèíàìè vi è vj íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíàÿ èç äëèí ïðîñòûõ öåïåé, ñâÿçûâàþùèõ ýòè âåðøèíû. Ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ êàæäàÿ âåðøèíà ñâÿçàíà ñàìà ñ ñîáîé, òî d (vi, vi) = 0. Ðàññòîÿíèå d (vi, vj) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì ìåòðèêè: 1. d (vi, vj) ≥ 0, ïðè÷åì d (vi, vj) = 0, åñëè è òîëüêî åñëè vi = vj; 2. d (vi, vj) = d (vj, vi); 3. d (vi, vj) + d (vj, vk) ≥ d (vi, vk) (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà). Âûïîëíåíèå ïåðâûõ äâóõ ñâîéñòâ î÷åâèäíî. Äîêàçàòåëüñòâî òðåòüåãî òàêæå íåñëîæíî. Ïóñòü Pij êðàò÷àéøàÿ öåïü èç vi â vj, Pjk êðàò÷àéøàÿ öåïü èç vj â vk. Òîãäà ïóòü PijPjk, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà l (PijPjk) = l (Pij) + l (Pjk) = d (vi, vj) + d (vj, vk), âåäåò èç vi â vk. Ñëåäîâàòåëüíî, d (vi, vk) ëèáî ðàâíî d (vi, vj) + d (vj, vk), ëèáî ìåíüøå ýòîé ñóììû, åñëè ñóùåñòâóåò áîëåå êîðîòêèé ïóòü èç vi â vk. Ñëåäîâàòåëüíî, àêñèîìà 3 âûïîëíÿåòñÿ. Îïðåäåëåíèå 8.14. Äèàìåòðîì d(G) ãðàôà G íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå èç ðàññòîÿíèé ìåæäó åãî âåðøèíàìè: d(G) = max d(vi, vj). Ìàêñèìàëüíûì óäàëåíèåì îò âåðøèíû vi , v j ∈G
v i íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà r(v i) = max d(v i, v j ). Âåðøèíà v v j ∈G
íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ãðàôà G, åñëè r (v) ìèíèìàëüíî ñðåäè äðóãèõ âåðøèí ãðàôà: r(v) = min r(vi). Ìàêñèìàëüíîå óäàëåíèå v j ∈G
r (v) îò öåíòðà v íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ãðàôà G è îáîçíà÷àåòñÿ r (G). ×èñëî öåíòðîâ è ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàäèóñîì è äèàìåòðîì â ãðàôå ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè.  ïîëíîì íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå äèàìåòð è ðàäèóñ ðàâíû åäèíèöå, è âñå âåðøèíû öåíòðû. Åñëè ãðàô G ïðîñòàÿ öåïü ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì 2n + 1 âåðøèí, òî n + 1-ÿ îò íà÷àëà âåðøèíà åäèíñòâåííûé öåíòð, d (G) = 2n, r (G) = n. Åñëè æå ãðàô G ïðîñòàÿ öåïü ñ ÷åòíûì ÷èñëîì 2n âåðøèí, òî n-ÿ è n + 1-ÿ îò íà÷àëà âåðøèíû äâà öåíòðà, d (G) = 2n 1, r (G) = n 1.
120
Ãëàâà 8
Ïðèìåð.
Ðèñ. 8.8. Ïðèìåðû ãðàôîâ. Äèàìåòð ãðàôà íà ðèñ. 8.8, a ðàâåí 5, ðàäèóñ 3; â ãðàôå äâà öåíòðà: âåðøèíû v3, v4. Äèàìåòð ãðàôà íà ðèñ. 8.8, á ðàâåí 4, ðàäèóñ 2; âåðøèíà v3 öåíòð ãðàôà.  ãðàôå íà ðèñ. 8.8, â, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîì îêðóæíîñòè (âåðíåå, òåëåæíîìó êîëåñó), äèàìåòð d(G) = 2, ðàäèóñ r(G) = 1, ò. å. äèàìåòð, êàê è â êðóãå, â äâà ðàçà áîëüøå ðàäèóñà; âåðøèíà v öåíòð.  ãðàôå íà ðèñ. 8.8, ã d(G) = 3, ðàäèóñ r(G) = 3, è âñå âåðøèíû öåíòðû. 8.5.3. Ýéëåðîâ îáõîä Îïðåäåëåíèå 8.15. Ýéëåðîâûì îáõîäîì, èëè ýéëåðîâûì öèêëîì, â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå (ìóëüòèãðàôå) íàçûâàåòñÿ öèêë, êîòîðûé ñîäåðæèò âñå ðåáðà ãðàôà â òî÷íîñòè ïî îäíîìó ðàçó. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ýéëåðîâûì, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò ýéëåðîâ îáõîä. Íå âñÿêèé ãðàô ýéëåðîâ. Ýòî óñòàíîâèë âåëèêèé ìàòåìàòèê Ë. Ýéëåð, çàíèìàÿñü çàäà÷åé î ê¸íèãñáåðãñêèõ ìîñòàõ.  ãîðîäå ʸíèãñáåðãå âî âðåìåíà Ýéëåðà áûëî ñåìü ìîñòîâ (ñì. ðèñ. 8.9). Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû, âûéäÿ ñ ëþáîãî ó÷àñòêà ñóøè, ïðîéòè êàæäûé ìîñò ïî îäíîìó ðàçó è âåðíóòüñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó. Ýéëåð ñâåë ýòó çàäà÷ó ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ îáõîäà ãðàôà íà ðèñ. 8.10 è ïîêàçàë, ÷òî îíà íå èìååò ðåøåíèÿ. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýéëåðîâà îáõîäà îí ñôîðìóëèðîâàë â ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Ðèñ. 8.9. ʸíèãñáåðãñêèå ìîñòû.
Ðèñ. 8.10. Ãðàô ê çàäà÷å î ê¸íèãñáåðãñêèõ ìîñòàõ.
Ãðàôû
121
Òåîðåìà 8.3. (Ë. Ýéëåð, 1736 ã.). Íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô ÿâëÿåòñÿ ýéëåðîâûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñâÿçåí è âñå ñòåïåíè åãî âåðøèí ÷åòíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü G ýéëåðîâ ãðàô. Ýéëåðîâ îáõîä ýòîãî ãðàôà, ïðîõîäÿ ÷åðåç êàæäóþ åãî âåðøèíó, âõîäèò â íåå ïî îäíîìó ðåáðó, à âûõîäèò ïî äðóãîìó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà èíöèäåíòíà ÷åòíîìó ÷èñëó ðåáåð ýéëåðîâà öèêëà, à ïîñêîëüêó òàêîé öèêë ñîäåðæèò âñå ðåáðà ãðàôà G, òî îòñþäà ñëåäóåò ÷åòíîñòü ñòåïåíåé âñåõ âåðøèí. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñòåïåíè âåðøèí ãðàôà G ÷åòíû. Ïóñòü öåïü P1 íà÷èíàåòñÿ èç ïðîèçâîëüíîé âåðøèíû v1. Áóäåì ïðîäîëæàòü åå, íàñêîëüêî âîçìîæíî, âûáèðàÿ êàæäûé ðàç íîâîå ðåáðî. Òàê êàê ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ÷åòíû, òî, ïîïàâ â î÷åðåäíóþ îòëè÷íóþ îò v1 âåðøèíó, ìû âñåãäà áóäåì èìåòü â ðàñïîðÿæåíèè åùå íå ïðîéäåííîå ðåáðî. Ïîýòîìó öåïü Ð1 ìîæíî ïðîäîëæèòü ïóòåì äîáàâëåíèÿ ýòîãî ðåáðà. Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíèå öåïè Ð1 çàêîí÷èòñÿ â âåðøèíå v1, òî åñòü Ð1 íåïðåìåííî áóäåò öèêëîì. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî Ð1 ñîäåðæèò âñå ðåáðà ãðàôà G, òî ýòî áóäåò òðåáóåìûé ýéëåðîâ öèêë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, óäàëèâ èç ãðàôà G âñå ðåáðà öèêëà Ð1, ðàññìîòðèì ãðàô G1, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå òàêîé îïåðàöèè. Ïîñêîëüêó P1 è G èìåëè âåðøèíû òîëüêî ÷åòíûõ ñòåïåíåé, òî, î÷åâèäíî, è G1 áóäåò îáëàäàòü òåì æå ñâîéñòâîì. Êðîìå òîãî, â ñèëó ñâÿçíîñòè ãðàôà G, ãðàôû P1 è G1 äîëæíû èìåòü õîòÿ áû îäíó îáùóþ âåðøèíó v2. Òåïåðü, íà÷èíàÿ ñ âåðøèíû v2, ïîñòðîèì öèêë P2 â ãðàôå G1 ïîäîáíî òîìó, êàê ñòðîèëè öèêë P1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç P1′, P1′′ ÷àñòè öèêëà P1 îò v1 äî v2 è îò v2 äî v1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷èì íîâûé öèêë P3 = P1′ ∪ P2 ∪ P1′′, êîòîðûé, íà÷èíàÿñü â v1, ïðîõîäèò ïî ðåáðàì öåïè P1′ äî v2, à çàòåì îáõîäèò âñå ðåáðà öèêëà P2 è, íàêîíåö, âîçâðàùàåòñÿ â v1 ïî ðåáðàì öåïè P1′′ (ðèñ. 8.11). Åñëè öèêë P3 íå ýéëåðîâ, ò. å. ñîäåðæèò åùå íå âñå ðåáðà ãðàôà, òî, ïðîäåëàâ àíàëîãè÷íûå Ðèñ. 8.11. Ãðàô ïîñòðîåíèÿ, ïîëó÷èì åùå áîëüøèé öèêë, ê äîêàçàòåëüñòâó è ò. ä. Ýòîò ïðîöåññ çàêîí÷èòñÿ ïîñòðîåíèåì òåîðåìû Ýéëåðà. ýéëåðîâà öèêëà. Ïðèìåðû. Íà ðèñ. 8.12 ïîêàçàí ýéëåðîâ ãðàô. Ïîìèìî çàäà÷è î ê¸íèãñáåðãñêèõ ìîñòàõ, èçâåñòåí ðÿä äðóãèõ ñòàðèííûõ çàíèìàòåëüíûõ çàäà÷ è ãîëîâîëîìîê, ðåøåíèå êîòîðûõ ñâîäèòñÿ ê âûÿñíåíèþ âîïðîñà, ÿâëÿåòñÿ ëè ãðàô ýéëåðîâûì.  îäíîé èç íèõ òðåáóåòñÿ
122
Ãëàâà 8
îáðèñîâàòü ôèãóðó, èìåíóåìóþ ñàáëÿìè (çíàêîì) Ìàãîìåòà (ðèñ. 8.13), íå îòðûâàÿ êàðàíäàøà îò áóìàãè è íå ïîâòîðÿÿ ëèíèé.
Ðèñ. 8.12. Ýéëåðîâ ãðàô.
Ðèñ. 8.13. Ñàáëè Ìàãîìåòà.
8.5.4. Ãàìèëüòîíîâ öèêë Îïðåäåëåíèå 8.16. Öèêë â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì, åñëè îí ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà â òî÷íîñòè ïî îäíîìó ðàçó. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò ãàìèëüòîíîâ öèêë. Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ãàìèëüòîíîâà öèêëà, ïîñòàâëåííàÿ àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêîì Ãàìèëüòîíîì, ïðè âñåì ñõîäñòâå åå ôîðìóëèðîâêè ñ çàäà÷åé îá ýéëåðîâîì îáõîäå, îêàçûâàåòñÿ ãîðàçäî áîëåå ñëîæíîé. Ïðîñòûå êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâà öèêëà íåèçâåñòíû.  òî æå âðåìÿ èíòåðåñ ê åå ðåøåíèþ âåëèê, ïîñêîëüêó îíà èìååò åñòåñòâåííóþ ïðèêëàäíóþ èíòåðïðåòàöèþ. Åñëè ðàññìàòðèâàòü ãðàô êàê òðàíñïîðòíóþ ñåòü, âåðøèíû êîòîðîé ãîðîäà, à ðåáðà ïóòè ìåæäó ãîðîäàìè, òî çàäà÷à î ãàìèëüòîíîâîì öèêëå îêàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì èçâåñòíîé «çàäà÷è î êîììèâîÿæåðå»: îáúåõàòü âñå ãîðîäà, ïîáûâàâ â êàæäîì ðîâíî îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ â èñõîäíûé ãîðîä. Áîëåå ñëîæíàÿ ïîñòàíîâêà ýòîé çàäà÷è ñâÿçàíà ñî ñëó÷àåì, êîãäà ðàçíûå ïóòè èìåþò ðàçíóþ öåíó â ñòîèìîñòè èëè äëèòåëüíîñòè; òîãäà òðåáóåòñÿ íàéòè îáõîä âñåõ ãîðîäîâ ñ ìèíèìàëüíîé öåíîé.
Ãðàôû
123
Äðóãîå îáîçíà÷åíèå ïóòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí v0, v1,..., vn1, vn, êîòîðûå ñîåäèíåíû äóãàìè â íàïðàâëåíèè ñòðåëîê.  äàëüíåéøåì ìû èìåííî òàê è áóäåì îáîçíà÷àòü ïóòü â îðãðàôå. Ïîíÿòèÿ öèêëà, öåïè, ïðîñòîé öåïè, äëèíû ïóòè è öèêëà, ãàìèëüòîíîâà öèêëà áåç èçìåíåíèÿ ïåðåíîñÿòñÿ íà îðãðàôû. (Öèêë â îðãðàôå íàçûâàþò èíà÷å êîíòóðîì). Íà ðèñ. 8.14 èçîáðàæåíî íåñêîëüêî îðãðàôîâ.  îðãðàôå D7 u, v, w ïðîñòàÿ öåïü, à u, v, y, x, v, w öåïü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîñòîé, ïîñêîëüêó âåðøèíà v âñòðå÷àåòñÿ â íåé äâàæäû. Ïóòü u, v, y, x, u ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì, íî íå ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì (ïîëíûì) öèêëîì. Ïóòü u, v, w, x, u â ãðàôå D4 ÿâëÿåòñÿ öèêëîì; îí ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïðîñòûì, ãàìèëüòîíîâûì è ýéëåðîâûì öèêëîì.  ãðàôå D6 ïóòü u, v, u ÿâëÿåòñÿ öèêëîì, íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì öèêëîì, òàê êàê îí ñîäåðæèò íå âñå âåðøèíû ãðàôà.
8.6. Ïóòè è ñâÿçíîñòü â îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ  îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ ðÿä ïîíÿòèé ñîâïàäàåò ñ àíàëîãè÷íûìè äëÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ. Îäíàêî, â ëèòåðàòóðå ÷àñòî îäíè è òå æå ïîíÿòèÿ èìåþò ðàçëè÷íûå íàçâàíèÿ.  îñíîâíîì ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ îäèíàêîâîé òåðìèíîëîãèè êàê äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ, òàê è äëÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 8.17. Ïóòü Pi â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äóã (vi0, vi1), (vi1, vi2),..., (vi n1, vin), òàêàÿ, ÷òî êîíåö ëþáîé äóãè ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì ñëåäóþùåé. Âåðøèíà vi0 íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì ïóòè, âåðøèíà vin êîíöîì ïóòè.
Ðèñ. 8.14. Ïðèìåðû îðãðàôîâ. Äðóãèå ïîíÿòèÿ, è, ïðåæäå âñåãî, ñâÿçíîñòü è äîñòèæèìîñòü, ñóùåñòâåííî èçìåíÿþòñÿ äëÿ îðãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 8.18. Âåðøèíà vj äîñòèæèìà èç âåðøèíû vi, åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü ñ íà÷àëîì â vi è êîíöîì â vj. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì, ÷òî ëþáàÿ âåðøèíà äîñòèæèìà èç ñåáÿ ñàìîé.
124
Ãëàâà 8
Äëÿ îðãðàôîâ âåðíî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå òåîðåìå 8.1. Òåîðåìà 8.1′. Åñëè âåðøèíà vj äîñòèæèìà èç âåðøèíû vi, òî ñóùåñòâóåò ïðîñòîé ïóòü èç vi â vj. Äëÿ ñåòåé êîììóíèêàöèé òåîðåìà 8.1′ èìååò ñëåäóþùóþ ïðîçðà÷íóþ èíòåðïðåòàöèþ: åñëè íåêîòîðîå ëèöî èìååò âîçìîæíîñòü îòïðàâèòü ñîîáùåíèå äðóãîìó ëèöó ÷åðåç öåïî÷êó ïîñðåäíèêîâ, òî ñìîæåò ýòî ñäåëàòü òàê, ÷òî íè îäèí ïîñðåäíèê íå ïåðåäàñò ýòî ñîîáùåíèå äâàæäû. Îïðåäåëåíèå 8.19. Ïîëóïóòü â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äóã, òàêàÿ, ÷òî ëþáûå äâå ñîñåäíèå äóãè ðàçëè÷íû è èìåþò îáùóþ èíöèäåíòíóþ èì âåðøèíó. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîëóïóòü ýòî ïóòü, êîòîðûé ïðîõîäèòñÿ áåç ó÷åòà îðèåíòàöèè äóã. Ãîâîðÿò, ÷òî âåðøèíû u è v â îðãðàôå ñîåäèíèìû, åñëè v ìîæíî äîñòè÷ü èç u, íå îáÿçàòåëüíî ñëåäóÿ ïî äóãàì â íàïðàâëåíèè èõ îðèåíòàöèè, ò. å., åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò ïîëóïóòü. Îòíîøåíèå äîñòèæèìîñòè ìåæäó âåðøèíàìè â îðãðàôàõ íåñèììåòðè÷íî: åñëè vj äîñòèæèìà èç vi, òî vi íå îáÿçàòåëüíî äîñòèæèìà èç vj. Îäíàêî ïîëóïóòü èç vj â vi â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò âñåãäà. Âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà ìåæäó âåðøèíàìè íåò ïóòè íè â îäíó, íè â äðóãóþ ñòîðîíó, íî åñòü ïîëóïóòü. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 8.14 â ãðàôå D3 íå ñóùåñòâóåò ïóòè èç âåðøèíû u â âåðøèíó x, îäíàêî ñóùåñòâóåò ïîëóïóòü u, v, w, x.  ñâÿçè ñ íåñèììåòðè÷íîñòüþ îòíîøåíèÿ äîñòèæèìîñòè, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè îðãðàôà d (u, v) íå óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ìåòðèêè (ñì. îïðåäåëåíèå 8.13).  ÷àñòíîñòè, îíî íå îáÿçàòåëüíî ñèììåòðè÷íî: â îáùåì ñëó÷àå d (u, v) ≠ d (v, u).  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì îðãðàô D7 íà ðèñ. 8.14: d (x, v) = 1, d (v, x) = 2. Ïðè îòñóòñòâèè ïóòè ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ðàññòîÿíèå ñ÷èòàåòñÿ ëèáî íåîïðåäåëåííûì, ëèáî áåñêîíå÷íûì. Íàïðèìåð, â ãðàôå D7 ðàññòîÿíèå d (w, u) íå îïðåäåëåíî. (Èíîãäà â òàêèõ ñëó÷àÿõ ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè â îðãðàôàõ îïðåäåëÿåòñÿ êàê äëèíà ïîëóïóòè ìåæäó íèìè.) Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà èìååò ìåñòî â òîì ñëó÷àå, åñëè âåðøèíà v äîñòèæèìà èç u è w äîñòèæèìà èç v. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü d (u, v) = s, d (v, w) = t è u, u2, u3,..., us, v êðàò÷àéøèé ïóòü èç u â v, à v, v2, v3,..., vt, w êðàò÷àéøèé ïóòü èç v â w. Òîãäà u, u2, u3, ..., ut, w ïóòü äëèíû s + t èç u â w, è ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî d(u, v) ≤ d(u, v) + d(v, w). 8.6.1. Âèäû ñâÿçíîñòè îðãðàôîâ  îðãðàôàõ ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå âèäû ñâÿçíîñòè, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì.
Ãðàôû
125
Îïðåäåëåíèå 8.20. 1. Îðãðàô D = (V, E) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî ñâÿçíûì, èëè ñèëüíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî âåðøèíû äîñòèæèìû äðóã èç äðóãà (ò. å. åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóþò ïóòè â îáå ñòîðîíû). Íàïðèìåð, îðãðàôû D4, D5 íà ðèñ. 8.14 ñèëüíî ñâÿçíû, òîãäà êàê äðóãèå îðãðàôû íåò. Íàïðèìåð, â îðãðàôå D9 âåðøèíû x, y, z íå äîñòèæèìû èç âåðøèí u, v, w. Åñëè ñåòü êîììóíèêàöèé ñèëüíî ñâÿçíà, òî êàæäîå ëèöî ìîæåò ïåðåäàòü ñîîáùåíèå ëþáîìó äðóãîìó ëèöó. 2. Îðãðàô íàçûâàåòñÿ îäíîñòîðîííå ñâÿçíûì, èëè îäíîñòîðîííèì, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû âåðøèí õîòÿ áû îäíà äîñòèæèìà èç äðóãîé, ò. å. åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü ìåæäó íèìè õîòÿ áû â îäíó ñòîðîíó. Íàïðèìåð, îðãðàôû D1, D2, D9 íà ðèñ. 8.14 îäíîñòîðîííå ñâÿçíû. Îðãðàô D3 íå îäíîñòîðîííèé, òàê êàê âåðøèíû u è x íåäîñòèæèìû äðóã äëÿ äðóãà. Ñåòü êîììóíèêàöèé ÿâëÿåòñÿ îäíîñòîðîííå ñâÿçíîé, åñëè äëÿ êàæäîé ïàðû åå ÷ëåíîâ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ìîæåò ïîñëàòü ñîîáùåíèå äðóãîìó. 3. Îðãðàô íàçûâàåòñÿ ñëàáî ñâÿçíûì, èëè ñëàáûì, åñëè êàæäàÿ ïàðà âåðøèí ñîåäèíèìà, ò. å., åñëè ìåæäó ëþáîé ïàðîé âåðøèí ñóùåñòâóåò ïîëóïóòü. Íàïðèìåð, îðãðàô D3 íà ðèñ. 8.14 ñëàáî ñâÿçåí, òîãäà êàê îðãðàô D8 íåò, òàê êàê âåðøèíû u è x íå ñîåäèíèìû. 4. Îðãðàô íàçûâàåòñÿ íåñâÿçíûì, åñëè ìåæäó íåêîòîðîé ïàðîé âåðøèí íåò ïîëóïóòè (ò. å. åñëè îí íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáî ñâÿçíûì). Ïðèìåðû íåñâÿçíûõ ãðàôîâ íà ðèñ. 8.14: D8, D10, D11. Îòìåòèì, ÷òî ýòè ÷åòûðå ñâîéñòâà óïîðÿäî÷åíû ïî âêëþ÷åíèþ: ãðàô, îáëàäàþùèé îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå â ýòîì îïðåäåëåíèè «íèæå» íåãî. Òàê, ñèëüíî ñâÿçíûé ãðàô îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 2 4 è ò. ä. 8.6.2. Êðèòåðèè ñâÿçíîñòè Ïðîâåðêà ñèëüíîé, ñëàáîé èëè îäíîñòîðîííåé ñâÿçíîñòè ïóòåì íåïîñðåäñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåíèé ìîæåò îêàçàòüñÿ î÷åíü òðóäîåìêîé, ïîñêîëüêó â îðãðàôå ñ n âåðøèíàìè èìååòñÿ n(n 1)/2 ïàð âåðøèí.  ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò ïðèâåäåíû êðèòåðèè ïðèíàäëåæíîñòè ê êàæäîìó èç òðåõ êëàññîâ îðãðàôîâ: ñèëüíûõ, îäíîñòîðîííèõ è ñëàáûõ.  ñèëüíî ñâÿçíîì ãðàôå ëþáàÿ âåðøèíà vi âõîäèò ïî êðàéíåé ìåðå â îäèí öèêë, îáðàçîâàííûé ïóòÿìè èç vi â íåêîòîðóþ äðóãóþ
126
Ãëàâà 8
âåðøèíó vj è îáðàòíî èç vj â vi. Öèêëû, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç vi è äðóãèå âåðøèíû ãðàôà, íå îáÿçàòåëüíî âñå ðàçëè÷íû.  ÷àñòíîñòè, ñèëüíî ñâÿçíûé ãðàô, ñîäåðæàùèé n âåðøèí, ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îäèí ïðîñòîé öèêë, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âñå âåðøèíû. Òåîðåìà 8.4. Îðãðàô ñèëüíî ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåì èìååòñÿ ïîëíûé öèêë, ò. å. öèêë, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âñå âåðøèíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü u1, u2,..., ut, u1 ïîëíûé öèêë. Òîãäà ëþáàÿ ïàðà âåðøèí ui, uj â íåì ñîäåðæèòñÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî i < j. Òîãäà ui, ui+1,..., uj - ïóòü èç ui â uj, à uj, uj+1,..., ut, u1,..., ui - ïóòü èç uj â ui. Òàêèì îáðàçîì, îðãðàô D ñèëüíî ñâÿçåí. Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî D ñèëüíî ñâÿçåí. Ïóñòü âåðøèíàìè â D ÿâëÿþòñÿ u1, u2,..., un. Òîãäà èìåþòñÿ ïóòè P1 èç u1 â u2, P2 èç u2 â u3,..., Pn1 èç un1 â un, Pn èç un â u1. Ïîëíûé öèêë â D ìîæíî ïîñòðîèòü îáúåäèíåíèåì ýòèõ ïóòåé â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: P1, P2,..., Pn1, Pn. Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîé òåîðåìû ðàññìîòðèì îðãðàô D íà ðèñ. 8.15. Îí ñèëüíî ñâÿçåí, ïîòîìó ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü v, y, z, u, v, w, x, v îáðàçóåò ïîëíûé öèêë. ×òîáû èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 8.4 äëÿ ïðîâåðêè ñèëüíîé ñâÿçíîñòè îðãðàôà D, ïåðåíóìåðóåì âåðøèíû u1, u2,..., un. Çàòåì ïðîâåðèì, ñóùåñòâóåò ëè ïóòü èç u1 â u2, Ðèñ. 8.15. Ïðèìåð èç u2 â u3,..., èç un1 â un è èç un â u1. ê òåîðåìå 8.4.  òåðìèíàõ ñåòåé êîììóíèêàöèé òåîðåìà 8.4 óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû êàæäîå ëèöî ìîãëî îòïðàâèòü ñîîáùåíèå ëþáîìó äðóãîìó ëèöó, íåîáõîäèìî (è äîñòàòî÷íî) íàëè÷èå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèö ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) êàæäîå èç íèõ ìîæåò ñâÿçàòüñÿ ñî ñëåäóþùèì; 2) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðåäñòàâëåíû âñå ó÷àñòíèêè ñåòè; 3) ïîñëåäíåå ëèöî ìîæåò ñâÿçàòüñÿ ñ ïåðâûì. Òåîðåìà 8.5. Îðãðàô D îäíîñòîðîííå ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåì èìååòñÿ ïîëíûé ïóòü.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ýòîé òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî îðãðàô D7 íà ðèñ. 8.14 îäíîñòîðîííå ñâÿçíûé, ïîòîìó ÷òî â íåì èìååòñÿ ïîëíûé ïóòü x, u, v, y, z, w. Ãðàô D2 òàêæå îäíîñòîðîííå ñâÿçíûé. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî u1, u2,..., ut ïîëíûé ïóòü. Òîãäà ëþáûå âåðøèíû ui, uj â íåì ñîäåðæàòñÿ. Åñëè i < j, òî ui, ui+1,..., uj ïóòü èç ui â uj. Òàêèì îáðàçîì, D îäíîñòîðîííèé îðãðàô. Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî D îäíîñòîðîííèé îðãðàô. Ñíà÷àëà äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíûé ðåçóëüòàò.
Ãðàôû
127
Ëåììà 8.1.  ëþáîì ïîäìíîæåñòâå âåðøèí îäíîñòîðîííåãî ãðàôà D ñóùåñòâóåò âåðøèíà, èç êîòîðîé äîñòèæèìû (ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ äóã D) âñå äðóãèå âåðøèíû â ýòîì ìíîæåñòâå. Îðãðàô D9 íà ðèñ. 8.14 èëëþñòðèðóåò ëåììó. Îí ÿâëÿåòñÿ îäíîñòîðîííå ñâÿçíûì. Âî ìíîæåñòâå {u, v, x} èç âåðøèíû u äîñòèæèìû âñå äðóãèå.  ìíîæåñòâå {x, y} òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò âåðøèíà x, à â ìíîæåñòâå {u, v, w, x, y, z} - âåðøèíà u è ò. ä. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó âåðøèí k â ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U. Ïðè k = 1 ëåììà âåðíà, òàê êàê êàæäàÿ âåðøèíà äîñòèæèìà ñàìà èç ñåáÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà âåðíà äëÿ âñåõ ìíîæåñòâ ñ k âåðøèíàìè, è âûáåðåì íåêîòîðîå ìíîæåñòâî U, ñîäåðæàùåå k+1 âåðøèíó. Îáîçíà÷èì ýëåìåíòû U ÷åðåç v 1, v 2,..., v k+1. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè â U\{v k+1} ñóùåñòâóåò âåðøèíà vi, èç êîòîðîé äîñòèæèìû âñå vj ïðè j < k + 1. Òåïåðü, ïîñêîëüêó îðãðàô D îäíîñòîðîííèé, ëèáî vi äîñòèæèìà èç vk+1, ëèáî vk+1 äîñòèæèìà èç vi. Åñëè vk+1 äîñòèæèìà èç vi, òî èç vi äîñòèæèìû âñå âåðøèíû â U. Åñëè vi äîñòèæèìà èç vk+1, òî èç vk+1 äîñòèæèìû âñå âåðøèíû â U. Ýòî äîêàçûâàåò ëåììó. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ëåììó, ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Âûáåðåì â ìíîæåñòâå âåðøèí V îðãðàôà D âåðøèíó u1, èç êîòîðîé äîñòèæèìû âñå äðóãèå âåðøèíû â V. Âûáåðåì â V\{u1} âåðøèíó u2, èç êîòîðîé äîñòèæèìû âñå äðóãèå âåðøèíû â V\{u1}. Âûáåðåì â V\{u1, u2} âåðøèíó u3, èç êîòîðîé äîñòèæèìû âñå äðóãèå âåðøèíû â V\{u1, u2}, è ò. ä. Äàëåå, u2 äîñòèæèìà èç u1 ïî ïóòè P1, u3 äîñòèæèìà èç u2 ïî ïóòè P2 è ò. ä. Îáúåäèíåíèå ýòèõ ïóòåé äàåò ïîëíûé ïóòü îðãðàôà D. Îðãðàô D7 íà ðèñ. 8.14 èëëþñòðèðóåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.4. Âîçüìåì u1 = y, u2 = x, u3 = u, u4 = v, u5 = z, u6 = w. Òîãäà P1 = {y, x}, P2 = {x, u}, P3 = {u, v}, P4 = {v, y, z}, P5 = {z, w}. Ïîëíûé ïóòü çàäàåòñÿ âåðøèíàìè y, x, u, v, y, z, w. ( ýòîì îðãðàôå ñóùåñòâóåò äàæå ïîëíûé ïðîñòîé ïóòü. Èìååòñÿ ëè òàêîé ïóòü äëÿ êàæäîãî îäíîñòîðîííåãî îðãðàôà?) Òåîðåìà 8.6. Îðãðàô D ñëàáî ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåì èìååòñÿ ïîëíûé ïîëóïóòü. Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîé òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî îðãðàô D3 íà ðèñ. 8.14 ñëàáî ñâÿçíûé, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí u, v, w, x îáðàçóåò ïîëíûé ïîëóïóòü. Ïðè ýòîì îí íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñòîðîííèì, òàê êàê â íåì íå ñóùåñòâóåò ïîëíîãî ïóòè. Ãðàô D9 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî ñâÿçíûì è îäíîñòîðîííèì.
128
Ãëàâà 8
8.7. Èññëåäîâàíèå îðãðàôîâ ñ ïîìîùüþ ìàòðèö Çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî îðãðàôà D ìîæíî ïðåäñòàâèòü â óäîáíîé ôîðìå, èñïîëüçóÿ ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå îðãðàôó D. Îïðåäåëèì ñëåäóþùèå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. Ïóñòü A = (aij) è B = (bij) äâå ìàòðèöû n × n. Òîãäà A + B = (aij + bij) ïîýëåìåíòíîå ñëîæåíèå ìàòðèö A, B, A × B = (aij × bij) ïîýëåìåíòíîå ïðîèçâåäåíèå A è B, AB = (cij), ãäå
cij =
n
∑ aikbkj , ïðîèçâåäåíèå A è B.
k =1
Òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé A′ ê ìàòðèöå A ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà (a′ij), â êîòîðîé a′ij = aji. Îïðåäåëèì áóëåâî ïðåîáðàçîâàíèå B: N → {0,1} ñëåäóþùèì îáðàçîì: 0, åñëè x = 0, B( x) = 1, åñëè x > 0. Òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå  (À) äëÿ ìàòðèöû À = (aij) îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò (i, j) â B (A) ðàâåí B (aij). Íàïðèìåð:
1 8 5 1 1 1 B 0 2 0 = 0 1 0 . 1 1 0 1 1 0  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì áèíàðíóþ ìàòðèöó. Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç I äèàãîíàëüíóþ åäèíè÷íóþ ìàòðèöó (ìàòðèöó, â êîòîðîé íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ñòîÿò åäèíèöû, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ), è ÷åðåç J åäèíè÷íóþ ìàòðèöó, â êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ðàâíû åäèíèöå. 8.7.1. Ìàòðèöû îðãðàôîâ è èõ ñâÿçü ñ ïóòÿìè Ìàòðèöó ñìåæíîñòè A (D) îðãðàôà D ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîäñ÷åòà ÷èñëà ðàçëè÷íûõ ïóòåé â D. Ñàìà ìàòðèöà A çàäàåò äóãè D, ò. å. ïóòè äëèíû 1. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöà Al (l-ÿ ñòåïåíü A) çàäàåò ÷èñëî ïóòåé äëèíû l. Òåîðåìà 8.7. Ýëåìåíò (i, j) = ci j(l ) ìàòðèöû Al îðãðàôà D ðàâåí ÷èñëó ïóòåé äëèíû l èç vi â vj. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî l. Äëÿ l = 1 òåîðåìà î÷åâèäíà: ìàòðèöà ñìåæíîñòè çàäàåò ïóòè äëèíîé 1. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî l òåîðåìà âåðíà, ò. å. ýëåìåíò ci j(l ) ìàòðèöû Al ðàâåí ÷èñëó ïóòåé äëèíû l èç vi â vj. Äîêàæåì åå äëÿ l + 1. Ëþáîé ïóòü äëèíû l + 1 èç vi â vj ñîñòîèò èç äóãè, âåäóùåé èç vi â ñìåæíóþ
Ãðàôû
129
ñ íåé âåðøèíó vk, è çàòåì ïóòè äëèíû l èç vk â vj. ×èñëî ïóòåé äëèíû l + 1 èç vi â vj, ïðîõîäÿùèõ íà ïåðâîì øàãå ÷åðåç âåðøèíó vk, ðàâíî aik ck j (l ) (åñëè äóãè èç vi â vk íåò, òî aik = 0, è aik ck j (l ) = 0,
à åñëè òàêàÿ äóãà åñòü, òî aik ck j (l ) = ck j (l ) , òàê êàê aik = 1). Îáùåå ÷èñëî ïóòåé äëèíû l + 1 èç vi â vj ïîëó÷èì, åñëè ïðîñóììèðóåì ýòó n
âåëè÷èíó ïî âñåì k:
∑ cikck j(l ) . Ýòà ñóììà ðàâíà ýëåìåíòó (i, j)
k =1
ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö A è Al, ò. å. ýëåìåíòó (i, j) ìàòðèöû Al+1, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ñëåäñòâèå. Ýëåìåíò (i, j) ìàòðèöû A+A2 +...+ Al îðãðàôà D ðàâåí ÷èñëó âñåõ ïóòåé äëèíû ≤ l èç vi â vj. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 8.16 ïðèâåäåíû ìàòðèöû ñìåæíîñòè A, A2, A3 è 4 A , ñîîòâåòñòâóþùèå îðãðàôó D. Ìàòðèöà A2 ïîêàçûâàåò ÷èñëî ïóòåé äëèíû äâà: ïîñêîëüêó ýëåìåíò a11 â A2 ðàâåí 1, â D ñóùåñòâóåò ïóòü äëèíû 2 èç u1 â u1. Äåéñòâèòåëüíî, ýòî öèêë u1, u2, u1. Ýëåìåíò a13 = 1, ò. å. â D ñóùåñòâóåò ïóòü äëèíû 2 èç u1 â u3: u1, u2, u3, è ò. ä. Ýëåìåíò a21 = 2 â A3, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò äâà ïóòè äëèíû 3 èç u2 â u1. Ýòè ïóòè u2, u1, u2, u1 è u2, u3, u4, u1. Àíàëîãè÷íî èíòåðïðåòèðóþòñÿ äðóãèå ýëåìåíòû ìàòðèö A2, A3, A4 è ò. ä. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè â ãðàôå íåò öèêëîâ, ìàòðèöà An ñòàíåò íóëåâîé ÷åðåç îïðåäåëåííîå (êàêîå?) ÷èñëî øàãîâ. 1 2 3 4 1 0 A = 2 1 3 0 4 1 1 2 3 4
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 A2 = 2 0 3 1 4 0
0 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1 2 3 4
1 1 2 0 1 0 4 A = 2 0 2 0 1 0 0 3 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 Ðèñ. 8.16. Ñòåïåíè ìàòðèöû ñìåæíîñòè îðãðàôà D. 1 A =2 3 4 3
0 2 0 1
1 0 0 0
1 2 3 4
1 0 1 0
0 1 0 1
8.7.2. Ìàòðèöà ðàññòîÿíèé Íîâàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé ïðè ðàññìîòðåíèè îðãðàôîâ, ìàòðèöà ðàññòîÿíèé (dij), ãäå dij ðàññòîÿíèå îò ui
130
Ãëàâà 8
äî uj, îïðåäåëÿåìîå êàê äëèíà êðàò÷àéøåãî ïóòè èç ui â uj. (Íàïîìíèì, ÷òî âåëè÷èíà dij íå îïðåäåëåíà, åñëè ïóòè èç ui â uj íåò.) Òåîðåìà 8.8. Ïóñòü îðãðàô D èìååò ìàòðèöó ñìåæíîñòè À è ìàòðèöó ðàññòîÿíèé (dij). Òîãäà, åñëè âåëè÷èíà dij, i ≠ j îïðåäåëåíà, òî îíà ðàâíà íàèìåíüøåìó k, äëÿ êîòîðîãî ýëåìåíò (i, j) â Ak íå ðàâåí 0. Äîêàçàòü òåîðåìó ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî. Ñëåäóÿ ýòîé òåîðåìå, ìîæíî ïîñòðîèòü ìàòðèöó ðàññòîÿíèé, ïîñëåäîâàòåëüíî âîçâîäÿ â ñòåïåíü ìàòðèöó ñìåæíîñòè îðãðàôà. Íà ðèñ. 8.16 ïðèâåäåíû ñòåïåíè ìàòðèöû ñìåæíîñòè îðãðàôà D. Èñïîëüçóåì èõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìàòðèöû ðàññòîÿíèé ýòîãî ãðàôà (ñì. ðèñ. 8.17). 1. Ìàòðèöà ðàññòîÿíèé èìååò íóëè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè è âíà÷àëå ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè, ò. å. îíà ñîäåðæèò âñå ïóòè äëèíû 1. Îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ðàññòîÿíèé ïîêà íå îïðåäåëåíû. 2. Ìàòðèöà A2 óêàçûâàåò âñå ïóòè äëèíû 2. Íåîïðåäåëåííûì ýëåìåíòàì ìàòðèöû ðàññòîÿíèé dik ïðèñâàèâàåì çíà÷åíèå 2, åñëè aik (2) ≠ 0. 3. Òåì ýëåìåíòàì dik, êîòîðûå åùå íå îïðåäåëåíû, ïðèñâàèâàåì çíà÷åíèå 3, åñëè ýëåìåíòû A3 aik (3) ≠ 0. Òåïåðü ìàòðèöà ðàññòîÿíèé ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà. 0 1 1). d(D)= x 1
1 0
x 1
x x
0 x
x 0 x 1 1 2). d(D)= 2 0 1
1 2 x 0 0 1 2 1 x 0 1 3). d(D)= 2 2 x 0 1
1 0 3 2
2 1 0 3
3 2 1 0
Ðèñ. 8.17. Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû ðàññòîÿíèé îðãðàôà D. Òåîðåìà 8.9. Äëÿ òîãî, ÷òîáû n-âåðøèííûé îðãðàô ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè A èìåë õîòÿ áû îäèí öèêë, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìàòðèöà K = A2 + A3 +...+ An èìåëà õîòÿ áû îäèí íå íóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò. Èñïîëüçîâàíèå ìàòðèö ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü è ïåðå÷èñëåíèå êîíêðåòíûõ ïóòåé. Äëÿ ýòîãî âñåì äóãàì ãðàôà D ïðèñâîèì êîíêðåòíûå èìåíà (íàïðèìåð, e1,..., em), è â ìàòðèöå A çàìåíèì åäèíèöû èìåíàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ äóã, ò. å. ýëåìåíò aij = 1 çàìåíèì èìåíåì äóãè, êîòîðàÿ ñîåäèíÿåò âåðøèíó vi ñ âåðøèíîé vj. Ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó îáîçíà÷èì ÷åðåç H (D). Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö ýòîãî âèäà, ââåäåì àëãåáðó íà ìíîæåñòâàõ ïóòåé. Ïóòü áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñëîâî (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ) â àëôàâèòå {e1,..., em}. Ïóñòü äàíû äâà ìíîæåñòâà ïóòåé M1 è
Ãðàôû
131
M2. Ñóììà M 1 è M2 îïðåäåëÿåòñÿ êàê èõ îáû÷íîå òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîå îáúåäèíåíèå: M1 ∪ M2, ïðîèçâåäåíèå M1⋅M2 êàê ìíîæåñòâî, ïîëó÷àåìîå ïðèïèñûâàíèåì ñïðàâà ê êàæäîìó ñëîâó èç M 1 âñåõ ñëîâ èç M 2. Íàïðèìåð, åñëè M 1 = {e 2e 4e 2, e 3e 1, e 1}, M2 = {e3e1e4, e2}, òî M1⋅M2 = {e2e4e2e3e1e4, e2e4e2e2, e3e1e3e1e4, e3e1e2, e1e3e1e4, e1e2}. (Òàêóþ îïåðàöèþ íàçûâàþò êîíêàòåíàöèåé.) Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ èãðàåò çäåñü ðîëü íóëÿ: M1⋅∅ = ∅⋅M2 = ∅. Ïîýòîìó âìåñòî ∅ áóäåì, êàê è â ìàòðèöå A, ïèñàòü 0. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè íåêîììóòàòèâíà. Îíà èìååò ïðîñòîé ñìûñë: åñëè M1 ìíîæåñòâî âñåõ ïóòåé, âåäóùèõ èç vi â vj, à M2 ìíîæåñòâî âñåõ ïóòåé, âåäóùèõ èç vj â vk, òî M1⋅M2 ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ïóòåé, âåäóùèõ èç vi â vk è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç vj. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ îïåðàöèé îïðåäåëèì ïðîèçâåäåíèå Z = X⋅Y êâàäðàòíûõ ìàòðèö X è Y îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè n, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà ñëîâ (òàêèå ìàòðèöû íàçîâåì ñëîâàðíûìè): n
zij =
U xi k ⋅ ykj
k=1
.
 ýòîé ôîðìóëå ðîëü ñóììû ýëåìåíòîâ èãðàåò òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîå îáúåäèíåíèå, à ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëåííàÿ âûøå êîíêàòåíàöèÿ. Ñòåïåíü ìàòðèöû H îïðåäåëÿåòñÿ ïî èíäóêöèè ôîðìóëîé Hl+1 = H⋅Hl. (l )
Òåîðåìà 8.10. Ýëåìåíò (i, j) = hi j ìàòðèöû Hl îðãðàôà D ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî âñåõ ïóòåé äëèíû l èç vi â vj. Äîêàçàòåëüñòâî ïî÷òè äîñëîâíî ñîâïàäàåò ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 8.7. Ñëåäñòâèå. Ýëåìåíò (i, j) ìàòðèöû H ∪ H2 ∪ ... ∪ Hl îðãðàôà D ðàâåí ìíîæåñòâó âñåõ ïóòåé äëèíû ≤ l èç vi â vj. Ïðèìåð.
0 c H = 0 a
b 0 0 0
0 0 d 0 0 e 0 0
bc 0 bd 0 cb 0 H2 = ea 0 0 0 ab 0
bcb 0 bde 0 cbc ∪ dea 0 cbd 0 H3 = eab 0 0 0 0 abd 0 abc Ðèñ. 8.18. Ìàòðèöà ïóòåé â îðãðàôå.
0 de 0 0
132
Ãëàâà 8
8.7.3. Ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè Ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè R (D) = (rij) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1, åñëè u j äîñòèæèìà èç ui , rij = 0, åñëè u j íå äîñòèæèìà èç ui . Âñÿêàÿ âåðøèíà äîñòèæèìà ñàìà èç ñåáÿ, ïîýòîìó rii = 1 äëÿ âñåõ i. Íà ðèñ. 8.19 ïðåäñòàâëåíû ìàòðèöû ñìåæíîñòè, ðàññòîÿíèé è äîñòèæèìîñòè äëÿ íåêîòîðûõ îðãðàôîâ. Ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïðè ïîìîùè ìàòðèöû ñìåæíîñòè. Òåîðåìà 8.11. Ïóñòü À ìàòðèöà ñìåæíîñòè è R ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè îðãðàôà D ñ n âåðøèíàìè. Òîãäà R = B (I + A + A2 +...+ An1) = B [(I + A) n1], ãäå B áóëåâî ïðåîáðàçîâàíèå, à I åäèíè÷íàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå 8.1′, åñëè v j äîñòèæèìà èç vi, òî ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ öåïü èç vi â vj. Äëèíà ýòîãî ïóòè íå ïðåâîñõîäèò n 1, ïîñêîëüêó â ïðîñòîé öåïè âåðøèíû íå ïîâòîðÿþòñÿ. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 8.5, â ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíò (i, j) ìàòðèöû I + A + A2 + ... + An 1 áóäåò íåíóëåâûì, îòêóäà è ñëåäóåò íàøà òåîðåìà.  ñëåäóþùåé òåîðåìå áóäåò ïîêàçàíî ïðèìåíåíèå ìàòðèöû äîñòèæèìîñòè êàê ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ ñâÿçíîñòè îðãðàôà. Òåîðåìà 8.12. Ïóñòü îðãðàô D èìååò ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè R è ìàòðèöó ñìåæíîñòè À. Òîãäà 1) D ñèëüíî ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R = J; 2) D îäíîñòîðîííå ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B(R + R′) = J; 3) D ñëàáî ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B [(I + A + A′)n 1] = J, ãäå J åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
8.8. Âåðøèííûå áàçû è ñåòè êîììóíèêàöèé 8.8.1. Ñèëüíûå êîìïîíåíòû è âåðøèííàÿ áàçà Ïðåäïîëîæèì, ìû õîòèì ïåðåäàòü ñîîáùåíèå ïî ñåòè êîììóíèêàöèé òàê, ÷òîáû îíî ìîãëî äîñòèãíóòü âñåõ åå ó÷àñòíèêîâ. Åñëè ñåòü ñèëüíî ñâÿçíà, äîñòàòî÷íî ïåðåäàòü ñîîáùåíèå ëþáîìó îäíîìó ëèöó. ( äåéñòâèòåëüíîñòè, ïî òåîðåìå 8.4, äîñòàòî÷íî îäíîñòîðîííåé ñâÿçíîñòè ñåòè, íî â ýòîì ñëó÷àå íàäî áóäåò ïåðåäàòü ñîîáùåíèå îïðåäåëåííîìó ëèöó.) Îäíàêî, åñëè ãðàô íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî ñâÿçíûì, òî
Ãðàôû
133 1 2 3 4
1 2 3 4 1 R( D1) = 2 3 4
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
1 2 1 (dij ) = 2 3 4
0 x x x
1 0 x x
1 A(D1) = 2 3 3 4 4 2 3 1 2 0 1 x 0 1
1 2 A(D2 ) = 3 4 5 1 1 1 1 5 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 3 4 5 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 R( D2 ) = 3 4
0 0 0 0 1
0 0 0 0
1 2 (dij ) = 3 4 5
0 4 3 2 1
1 0 4 3 2
2 1 0 4 3
3 2 1 0 4
4 3 2 1 0 1 2 3 4
1 2 3 4 1 0 (dij ) = 2 3 3 2 4 1
1 0 3 2
2 1 0 3
3 2 1 0
1 1 1 R( D3 ) = 2 1 3 1 4 1
1 0 A(D3 ) = 2 1 3 0 2 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Ðèñ. 8.19. Ìàòðèöû ðàññòîÿíèé è äîñòèæèìîñòè äëÿ îðãðàôîâ. ñîîáùåíèå, ïåðåäàííîå îäíîìó ëèöó, íå âñåãäà äîñòèãíåò âñåõ ó÷àñòíèêîâ.  òàêîì ñëó÷àå âîçíèêàåò çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà âåðøèí, èç êîòîðûõ äîñòèæèìû âñå äðóãèå âåðøèíû, ïðè÷åì æåëàòåëüíî, ÷òîáû ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæàëî íàèìåíüøåå ÷èñëî âåðøèí.
134
Ãëàâà 8
Îïðåäåëåíèå 8.21. Ñîâîêóïíîñòü âåðøèí B îðãðàôà D íàçûâàåòñÿ åãî âåðøèííîé áàçîé (èëè áàçîé âåðøèí), åñëè êàæäàÿ âåðøèíà, íå âõîäÿùàÿ â Â, äîñòèæèìà èç íåêîòîðîé âåðøèíû â Â, è ìíîæåñòâî  ìèíèìàëüíî. Çäåñü ìèíèìàëüíîñòü  îçíà÷àåò, ÷òî íè èç êàêîãî ñîáñòâåííîãî ïîäìíîæåñòâà  íåëüçÿ äîñòè÷ü âñåõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí D. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì îðãðàô, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 8.20. Íàéäåì âåðøèííóþ áàçó ñ íàèìåíüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ, èñõîäÿ èç åå îïðåäåëåíèÿ. Âåðøèíà t íå èìååò âõîäÿùèõ äóã, ïîýòîìó ìû äîëæíû âêëþ÷èòü åå â âåðøèííóþ áàçó. Âåðøèíû u, v, w íåäîñòèæèìû èç p, q, r, s, íî êàæäàÿ èç íèõ äîñòèæèìà äðóã äëÿ äðóãà, ïîýòîìó îäíà èç íèõ äîëæíà âõîäèòü â ëþáóþ èç âåðøèííûõ áàç. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðøèííóþ áàçó ìîæíî ïîëó÷èòü äîáàâëåíèåì ê t ëèáî u, ëèáî v, ëèáî w. Èç ìíîæåñòâà {t, u, q} òàêæå ìîæíî äîñòè÷ü âñå îñòàëüíûå âåðøèíû, íî îíî íå ÿâëÿåòñÿ âåðøèííîé áàçîé, ïîñêîëüêó ïîäìíîæåñòâî {t, u} óæå îáëàäàåò òðåáóåìûì ñâîéñòâîì.  äåéñòâèòåëüíîñòè ìíîæåñòâà {t, u}, {t, v} è {t, w} îáðàçóþò âñå âåðøèííûå áàçû. Êàê âèäíî, âñå îíè èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñëî âåðøèí, è ýòî íå ñëó÷àéíî. Òàêèì îáðàçîì, ïîèñê âåðøèííîé áàçû ñ íàèìåíüøèì Ðèñ. 8.20. Ñèëüíûå ÷èñëîì ýëåìåíòîâ çàêàí÷èâàåòñÿ êîìïîíåíòû îðãðàôà. ñðàçó, êàê òîëüêî íàõîäèòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ âåðøèííàÿ áàçà.  ýòîì ïàðàãðàôå áóäåò ïðèâåäåíà ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ âñåõ âåðøèííûõ áàç äàííîãî îðãðàôà. Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ ïðèíàäëåæèò ʸíèãó. ×òîáû îïèñàòü ïðîöåäóðó ʸíèãà, ââåäåì íåêîòîðûå ïðåäâàðèòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 8.22. Ìàêñèìàëüíûé ñèëüíî ñâÿçíûé ïîäãðàô îðãðàôà D íàçûâàåòñÿ ñèëüíî ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé D (ñèëüíîé êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè). Íàïðèìåð, íà ðèñ. 8.20 ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé âåðøèíàìè v, w, ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî ñâÿçíûì, îäíàêî îí íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíîé êîìïîíåíòîé, òàê êàê âõîäèò â ñèëüíûé ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé âåðøèíàìè u, v, w, ò. å. íå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïî ñâîéñòâó ñèëüíîé ñâÿçíîñòè. Äðóãîé ñèëüíîé êîìïîíåíòîé ÿâëÿåòñÿ ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé âåðøèíàìè p, q, r, s, âñå îíè äîñòèæèìû äðóã äëÿ äðóãà, òàê êàê âõîäÿò â îäèí öèêë. Îäíà âåðøèíà t òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíîé êîìïîíåíòîé. Ñèëüíûå êîìïîíåíòû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
Ãðàôû
135
Òåîðåìà 8.13.  îðãðàôå D = (V, E) êàæäàÿ âåðøèíà u âõîäèò â îäíó è òîëüêî îäíó ñèëüíóþ êîìïîíåíòó. Äîêàçàòåëüñòâî. Âåðøèíà u âõîäèò ïî ìåíüøåé ìåðå â îäíó ñèëüíóþ êîìïîíåíòó.  ñàìîì äåëå, ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé u, ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì (òàê êàê êàæäàÿ âåðøèíà äîñòèæèìà ñàìà äëÿ ñåáÿ). Áóäåì äîáàâëÿòü âåðøèíû äî òåõ ïîð, ïîêà áóäóò âñå åùå ïîëó÷àòüñÿ ñèëüíî ñâÿçíûå ïîäãðàôû. Òàêàÿ ïðîöåäóðà ïðèâîäèò ê ñèëüíî ñâÿçíîé êîìïîíåíòå, ñîäåðæàùåé u. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî u âõîäèò â ñèëüíûå êîìïîíåíòû K è L. Ðàññìîòðèì ïîäãðàô, ïîðîæäåííûé âåðøèíàìè èç K è L. Ýòîò ïîäãðàô ñèëüíî ñâÿçåí, òàê êàê, åñëè a âõîäèò â K, à b âõîäèò â L, òî èç a ìîæíî ïîïàñòü â b ÷åðåç âåðøèíû èç K ∪ L, ïîñêîëüêó èç a ìîæíî äîñòè÷ü u ÷åðåç âåðøèíû K è èç u ìîæíî äîñòè÷ü b ÷åðåç âåðøèíû L. Àíàëîãè÷íî, èç b ìîæíî ïîïàñòü â a ÷åðåç âåðøèíû K ∪ L. Èç ìàêñèìàëüíîñòè K è L èìååì, ÷òî K ∪ L = K è K ∪ L = L, ïîýòîìó K = L. Ýòà òåîðåìà äàåò òîò æå ñàìûé ðåçóëüòàò, ÷òî è ëåììà îá óïîðÿäî÷åíèè êâàçèóïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà. Äåéñòâèòåëüíî, âñå âåðøèíû ñèëüíî ñâÿçíîãî ïîäãðàôà äîñòèæèìû äðóã äëÿ äðóãà, ò. å. íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ñèëüíîé ñâÿçíîñòè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, ðåôëåêñèâíûì è òðàíçèòèâíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âåðøèí ñèëüíî ñâÿçíîé êîìïîíåíòû îáðàçóþò îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ýòè êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé è îáðàçóþò íîâûé ãðàô D*, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ñèëüíûì êîìïîíåíòàì ãðàôà D. Îðãðàô D*, íàçûâàåìûé êîíäåíñàöèåé ãðàôà D, ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü K1, K2,..., Kp ñèëüíûå êîìïîíåíòû D. Òîãäà âûáèðàåì ìíîæåñòâî âåðøèí V (D*) = {K1, K2,..., Kp}, è ïðîâîäèì äóãó îò Ki ê Kj òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà i ≠ j è äëÿ íåêîòîðûõ âåðøèí u ∈ Ki è v ∈ Kj â D èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà äóãà èç u â v. Êîíäåíñàöèÿ D* îðãðàôà D íå èìååò öèêëîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â D* ñóùåñòâóåò öèêë K i1 , K i2 , ..., K it , K i1 è u íåêîòîðàÿ âåðøèíà â Ki1 , v íåêîòîðàÿ âåðøèíà â K i2 . Èñïîëüçóÿ öèêë K i1 , K i2 , ..., K it , K i1 , ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî u äîñòèæèìà èç v è v äîñòèæèìà èç u. Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî u è v âõîäÿò â îäíó ñèëüíóþ êîìïîíåíòó è, ñëåäîâàòåëüíî, Ki1 = K i2 (òàêîé âûâîä îñíîâàí íà òåîðåìå 8.6), à ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ öèêëà. Ïîñêîëüêó íîâûé îðãðàô D*, ÿâëÿþùèéñÿ êîíäåíñàöèåé èñõîäíîãî îðãðàôà D, íå ñîäåðæèò öèêëîâ, îí áóäåò èìåòü ëåãêî îïðåäåëÿåìóþ åäèíñòâåííóþ âåðøèííóþ áàçó B* è èç íåå áóäåò ëåãêî ïîëó÷èòü âñå âåðøèííûå áàçû îðãðàôà D. Ýòî ñâîéñòâî êîíäåíñàöèè ãðàôà îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå.
136
Ãëàâà 8
Òåîðåìà 8.14.  îðãðàôå áåç öèêëîâ D åñòü åäèíñòâåííàÿ âåðøèííàÿ áàçà, ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ âåðøèí, íå èìåþùèõ âõîäÿùèõ äóã. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü  ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí, íå èìåþùèõ âõîäÿùèõ äóã. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ âåðøèíà u èç  äîëæíà ïðèñóòñòâîâàòü â êàæäîé âåðøèííîé áàçå. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ âåðøèíà v, íå ïðèíàäëåæàùàÿ Â, äîñòèæèìà èç íåêîòîðîé âåðøèíû ìíîæåñòâà Â. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî v ∉ B. Ïóñòü v = v0. Ïîñêîëüêó v0 ∉ B, èìååòñÿ âõîäÿùàÿ â v0 äóãà (v1, v0), ïðè÷åì v1 ≠ v0. Åñëè v1 ∈ B, âñå äîêàçàíî. Åñëè íåò, òî çíà÷èò åñòü âõîäÿùàÿ â v1 äóãà (v2, v1), ïðè÷åì v2 ≠ v1. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîñòðîèì ïóòü vt, vt1,..., v1, v0, íå ñîäåðæàùèé âåðøèí èç B. Âñå âåðøèíû ýòîãî ïóòè ðàçëè÷íû, ïîñêîëüêó, åñëè vi = vj, i > j è vi, vi1,..., vj + 1 ðàçëè÷íû, òî vi, vi1,..., vj+1, vj öèêë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîïóùåíèþ îá îòñóòñòâèè öèêëîâ â îðãðàôå D. Òàê êàê D èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî âåðøèí, òî ïîñòðîåíèå ïóòè vt, vt1,..., v1, v0 íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî.  êîíöå êîíöîâ ìû äîëæíû äîñòè÷ü íåêîòîðóþ âåðøèíó vt, âõîäÿùóþ â Â. Òàêèì îáðàçîì, âåðøèíà v = v0 äîñòèæèìà èç vt.
Ñëåäñòâèå.  îðãðàôå áåç öèêëîâ ñóùåñòâóåò âåðøèíà, â êîòîðóþ íå âõîäèò íè îäíà äóãà. Òåîðåìà 8.15. Ïóñòü B* åäèíñòâåííàÿ âåðøèííàÿ áàçà êîíäåíñàöèè D* îðãðàôà D. Òîãäà âåðøèííûìè áàçàìè â D, ñëóæàò òàêèå ìíîæåñòâà Â, êîòîðûå ñîäåðæàò ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû D, ïðèíàäëåæàùåé B*. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B* åäèíñòâåííàÿ âåðøèííàÿ áàçà â D* è  ñîäåðæèò ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû B*. ßñíî, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà â D äîñòèæèìà èç Â. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî  ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíîæåñòâîì, îáëàäàþùèì òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà â D äîñòèæèìà èç Â. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìèíèìàëüíîñòè äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî íå íàéäåòñÿ âåðøèíû v ∈ B, äîñòèæèìîé èç äðóãîé âåðøèíû u ∈ B. Åñëè áû ýòî áûëî âîçìîæíî, òî ñèëüíàÿ êîìïîíåíòà, ñîäåðæàùàÿ v, áûëà áû äîñòèæèìà â D* èç ñèëüíîé êîìïîíåíòû, ñîäåðæàùåé u, ÷òî ïðîòèâîðå÷èëî áû ìèíèìàëüíîñòè B*. ×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî, ïîêàæåì, ÷òî åñëè  ñëóæèò ïðîèçâîëüíîé âåðøèííîé áàçîé, òî îíà ñîäåðæèò òî÷íî ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû D, ïðèíàäëåæàùåé B*. Êîíå÷íî, áàçà  äîëæíà ñîäåðæàòü ïî êðàéíåé ìåðå ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîé òàêîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû, à òàêæå, âîçìîæíî, è äðóãèå âåðøèíû. Èç óñëîâèÿ ìèíèìàëüíîñòè ñëåäóåò, ÷òî íèêàêèå äðóãèå âåðøèíû íå òðåáóþòñÿ. Ñëåäñòâèåì èç òåîðåìû 8.15 ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 8.16.
Ãðàôû
137
Òåîðåìà 8.16. Ëþáûå äâå âåðøèííûå áàçû îðãðàôà ñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî âåðøèí. Èç ýòèõ òåîðåì ñëåäóåò ïðîöåäóðà (ʸíèãà) íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà âåðøèííûõ áàç îðãðàôà. 1. Íàõîäÿòñÿ âñå ñèëüíûå êîìïîíåíòû îðãðàôà D. 2. Ñòðîèòñÿ êîíäåíñàöèÿ D* îðãðàôà D. 3. Íàõîäèòñÿ ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà êîíäåíñàöèè B*, â êîòîðûå íå âõîäèò íè îäíà äóãà (âåðøèííàÿ áàçà B* êîíäåíñàöèè ãðàôà D*). 4. Èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû, âõîäÿùåé â B*, âûáèðàåòñÿ ïî îäíîé âåðøèíå. Ýòî ìíîæåñòâî åñòü âåðøèííàÿ áàçà B îðãðàôà D. Ðàññìîòðèì ýòó ïðîöåäóðó äëÿ îðãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 8.21.
Ðèñ. 8. 21. Îðãðàô, åãî êîíäåíñàöèÿ è âåðøèííàÿ áàçà. Íàéäåì âñå ñèëüíûå êîìïîíåíòû ýòîãî ãðàôà. Îí ñîäåðæèò øåñòü ñèëüíûõ êîìïîíåíò (ìíîæåñòâà âõîäÿùèõ â íèõ âåðøèí óêàçàíû íà ðèñóíêå). Ñòðîèì êîíäåíñàöèþ D* ãðàôà D.  êà÷åñòâå âåðøèí D* âûáèðàåì âñå ñèëüíûå êîìïîíåíòû K1 K6 è ñîåäèíÿåì èõ äóãàìè.  êîíäåíñàöèè D* íàéäåòñÿ, íàïðèìåð, äóãà èç K3 â K4, ïîñêîëüêó â îðãðàôå D èìååòñÿ äóãà (e, f). Àíàëîãè÷íî â D* íàéäåòñÿ äóãà èç K4 â K5, ïîñêîëüêó â D åñòü äóãà èç g â i. Èìååòñÿ è äðóãàÿ äóãà (h, k) èç âåðøèíû â K4 ê âåðøèíå â K5, îäíàêî â êîíäåíñàöèþ ãðàôà âêëþ÷àåòñÿ òîëüêî îäíà èç íèõ. Òåïåðü íàéäåì âåðøèííóþ áàçó â D*. Êîìïîíåíòû K1, K2 è K6 íå èìåþò âõîäÿùèõ äóã; îíè îáðàçóþò ìíîæåñòâî B* = {K1, K2, K6}, èç êîòîðîãî äîñòèæèìà êàæäàÿ äðóãàÿ âåðøèíà â D*. Òàêèì îáðàçîì, B* = {K1, K2, K6} ÿâëÿåòñÿ âåðøèííîé áàçîé äëÿ êîíäåíñàöèè D*.
138
Ãëàâà 8
Äàëåå, åñëè âçÿòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû K1, K2, K6, òî ïîëó÷èì âåðøèííóþ áàçó äëÿ D. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî B = {a, d, l} äàåò òàêóþ âåðøèííóþ áàçó. Äðóãàÿ âåðøèííàÿ áàçà çàäàåòñÿ ìíîæåñòâîì {a, d, m}. Èç B* ïîëó÷àþòñÿ è äðóãèå âåðøèííûå áàçû: {b, d, l}, {b, d, m}, {c, d, l}, {c, d, m}. Ìû âèäèì, ÷òî â D* âñåãäà åñòü åäèíñòâåííàÿ âåðøèííàÿ áàçà B*, ñîñòîÿùàÿ, êàê â ýòîì ïðèìåðå, èç âñåõ âåðøèí, íå èìåþùèõ âõîäÿùèõ äóã.  ñâîþ î÷åðåäü, êàæäóþ âåðøèííóþ áàçó â D ìîæíî ïîëó÷èòü èç áàçû â D*, âûáèðàÿ ïî îäíîé âåðøèíå èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû â D, âõîäÿùåé â B*. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûå âåðøèííûå áàçû ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèííûõ áàç. 8.8.2. Èñïîëüçîâàíèå ìàòðèöû äîñòèæèìîñòè äëÿ íàõîæäåíèÿ ñèëüíûõ êîìïîíåíò îðãðàôà Òåîðåìà 8.17. Ïóñòü îðãðàô D èìååò ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè R = (rij) è R2 = (sij). Òîãäà: 1) ñèëüíàÿ êîìïîíåíòà, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó ui, îïðåäåëÿåòñÿ åäèíè÷íûìè ýëåìåíòàìè â i-é ñòðîêå (èëè ñòîëáöå) ïîýëåìåíòíîãî ïðîèçâåäåíèÿ R × R′, ãäå R′ ìàòðèöà, òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê R; 2) ÷èñëî âåðøèí â ñèëüíîé êîìïîíåíòå, ñîäåðæàùåé ui, ðàâíî sii. Äîêàçàòåëüñòâî. Âåðøèíà uj äîñòèæèìà èç âåðøèíû ui òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà rij = 1.  ñâîþ î÷åðåäü, ui äîñòèæèìà èç uj òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà rji = 1. Òàêèì îáðàçîì, ui è uj âçàèìíî äîñòèæèìû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè rij rji = 1. n rij r ji , ãäå n ÷èñëî âåðøèí. Äàëåå, ∑ Âåëè÷èíà sii ðàâíà j =1 rijrji = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ui è uj âçàèìíî äîñòèæèìû. Òàêèì îáðàçîì, ñóììèðîâàíèå ýòèõ ÷èñåë ïî âñåì j äàåò ÷èñëî âåðøèí uj, âçàèìíî äîñòèæèìûõ äëÿ âåðøèí ui. Íà ðèñ. 8.22 ïðèâåäåíû ìàòðèöû R, R × R′ è R 2 äëÿ èçîáðàæåííîãî òàì æå îðãðàôà D. Ïîýëåìåíòíîå ïðîèçâåäåíèå R × R′ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëåòî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó. Êàæäàÿ êëåòêà ñîîòâåòñòâóåò îäíîé ñèëüíîé êîìïîíåíòå. Ìû ìîæåì íàéòè ñèëüíûå êîìïîíåíòû, ïðîñìàòðèâàÿ ìàòðèöó ïî ñòðîêàì. Íàïðèìåð, ñòðîêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðøèíå u â ìàòðèöå R × R′, îïðåäåëÿåò ñèëüíóþ êîìïîíåíòó {u, v, w}. Ýëåìåíò (u, u) â ìàòðèöå R 2, à èìåííî 3, äàåò ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ýòîé ñèëüíîé êîìïîíåíòå. Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè äðóãèå ñèëüíûå êîìïîíåíòû.
Ãðàôû
139 u v w
p q r
u v w R = R(D) = p q r s t
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
s t
u v w
Ñèëüíûå êîìïîíåíòû {u, v, w} {p, q, r, s} {t} u v w u v w R × R′ = p q r s t
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
p q r 0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0
u 3 3 3 0 v 3 3 3 0 w 3 3 3 0 0 R2 = p 0 0 0 q 0 0 0 0 r 0 0 0 0 s 0 0 0 0 t 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
s t 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1
p q r
s t
7 7 7 4 4 4 4 5
7 7 7 4 4 4 4 5
7 7 7 4 4 4 4 5
7 7 7 4 4 4 4 5
0 0 0 0 0 0 0 1
Ðèñ. 8.22. Ñèëüíûå êîìïîíåíòû îðãðàôà, îïðåäåëÿåìûå ïî ìàòðèöå äîñòèæèìîñòè.
8.9. Àöèêëè÷åñêèå ãðàôû Îïðåäåëåíèå 8.23. Îðãðàô íàçûâàåòñÿ àöèêëè÷åñêèì, åñëè îí íå ñîäåðæèò öèêëîâ.  îáùåì ñëó÷àå îðãðàô ìîæåò ñîäåðæàòü ïóòè ñêîëü óãîäíî áîëüøîé äëèíû, ïîñêîëüêó êàæäûé ïóòü ìîæåò ïðîõîäèòü ÷åðåç îäíó âåðøèíó ëþáîå ÷èñëî ðàç. Îäíàêî ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè â ãðàôå åñòü öèêëû.  àöèêëè÷åñêîì ãðàôå äëèíû ïóòåé îãðàíè÷åíû, òàê êàê âåðøèíû â åãî ïóòÿõ íå ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, ò. å. âñå åãî ïóòè ïðîñòûå öåïè. Ñëåäîâàòåëüíî, â àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå èìåþòñÿ ïóòè ìàêñèìàëüíîé äëèíû, ò. å. ïóòè, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü ïðîäîëæåíû: íåëüçÿ äîáàâèòü ðåáðî íè ê èõ íà÷àëó, íè ê èõ êîíöó. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â àöèêëè÷åñêîì ãðàôå ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà âåðøèíà, â êîòîðóþ íå âõîäèò íè îäíà äóãà (òàêóþ âåðøèíó íàçûâàþò èñòîêîì, èëè èñòî÷íèêîì), è, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà âåðøèíà, èç êîòîðîé íå âûõîäèò íè îäíà äóãà (òàêóþ âåðøèíó íàçûâàþò ñòîêîì).
140
Ãëàâà 8
Äåéñòâèòåëüíî, â àöèêëè÷åñêîì ãðàôå ëþáîé ïóòü ïðèâîäèò â âåðøèíó, èç êîòîðîé îí íå ìîæåò ïðîäîëæèòüñÿ (ñì. ðèñ. 8.23). Òàêàÿ âåðøèíà è åñòü ñòîê. Åñëè æå ïðîäîëæèòü ýòîò ïóòü îò åãî íà÷àëà ïðîòèâ îðèåíòàöèè, ïðèäåì â âåðøèíó, èç êîòîðîé íåëüçÿ âûéòè ïðîòèâ îðèåíòàöèè èíöèäåíòíûõ åé ðåáåð, ò. å. â âåðøèíó, íå èìåþùóþ âõîäÿùèõ ðåáåð. Òàêàÿ âåðøèíà ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì.
Ãðàôû
141
n, è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íèõ óñëîâèå îïðåäåëåíèÿ 8.24 âûïîëíåíî. Óäàëèì âûáðàííûé ñòîê âìåñòå ñî âñåìè èíöèäåíòíûìè åìó äóãàìè. Ïîëó÷èì àöèêëè÷åñêèé ãðàô ñ n 1 âåðøèíîé. Âûáåðåì â íåì êàêîéëèáî ñòîê è ïðèñâîèì åìó íîìåð n1. Áóäåì ïîâòîðÿòü ïðîöåäóðó óäàëåíèÿ ñòîêîâ è èíöèäåíòíûõ èì äóã äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïðîíóìåðóåì âñå âåðøèíû. Ïîñêîëüêó âñÿêèé ðàç óäàëÿåìûå äóãè áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ îïðåäåëåíèÿ 8.24, ïîëó÷èì òîïîëîãè÷åñêóþ ñîðòèðîâêó èñõîäíîãî îðãðàôà. Ïðèìåð òîïîëîãè÷åñêîé ñîðòèðîâêè ãðàôà ïðèâåäåí íà ðèñ. 8.23.
8.10. Äåðåâüÿ
Ðèñ. 8.23. Àöèêëè÷åñêèå ãðàôû. Ïðèìåðû. Àöèêëè÷åñêèé îðãðàô ñ îäíèì èñòî÷íèêîì è îäíèì ñòîêîì íàçûâàåòñÿ äâóõïîëþñíûì. Äâóõïîëþñíûé ãðàô èçîáðàæåí íà ðèñ. 8.23, à. Àöèêëè÷åñêèé ãðàô íà ðèñ. 8.23, á èìååò òðè èñòîêà è îäèí ñòîê. Ãðàô êîíäåíñàöèè íåêîòîðîãî îðãðàôà ÿâëÿåòñÿ àöèêëè÷åñêèì ãðàôîì, òàê êàê îí íèêîãäà íå ñîäåðæèò öèêëîâ. Äðóãèì ïðèìåðîì àöèêëè÷åñêîãî ãðàôà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ïîëóðåøåòîê â âèäå äèàãðàìì Õàññå. Äèàãðàììà ïîëíîé ðåøåòêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóõïîëþñíûé àöèêëè÷åñêèé îðãðàô. Îïðåäåëåíèå 8.24. Òîïîëîãè÷åñêîé ñîðòèðîâêîé îðãðàôà íàçûâàåòñÿ òàêàÿ íóìåðàöèÿ âåðøèí, ÷òî äëÿ ëþáîé äóãè (vi, vj) íîìåð åå íà÷àëà ìåíüøå íîìåðà åå êîíöà: i<j. Òåîðåìà 8.18. Äëÿ îðãðàôà òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîðòèðîâêà ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí àöèêëè÷åñêèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ öèêëà òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîðòèðîâêà âîçìîæíà. Âûáåðåì â öèêëå ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó vi. Öèêë ñîäåðæèò ðåáðà (vi, vj) è (vk, vi), ïðè÷åì ïî îïðåäåëåíèþ 8.24 äîëæíî áûòü i < j è k < i. Ïðè ïðîõîæäåíèè âäîëü öèêëà íîìåðà âåðøèí äîëæíû òîëüêî âîçðàñòàòü è, çíà÷èò, âñå îíè áóäóò áîëüøå i. Ïîýòîìó, êîãäà ìû ïðèäåì â vk, ïîëó÷èì k > i, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Äëÿ àöèêëè÷åñêîãî îðãðàôà D ñ n âåðøèíàìè òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîðòèðîâêà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî àëãîðèòìà. Âûáåðåì â D êàêîé-ëèáî ñòîê è ïðèñâîèì åìó íîìåð n. Âñå èíöèäåíòíûå åìó ðåáðà âõîäÿùèå, ïîýòîìó èõ íà÷àëà áóäóò èìåòü íîìåðà, ìåíüøèå
Åñëè â àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå «îòìåíèòü» îðèåíòàöèþ ðåáåð, òî â ïîëó÷åííîì íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ìîãóò âîçíèêíóòü öèêëû. Ïîýòîìó íåîðèåíòèðîâàííûé àöèêëè÷åñêèé ãðàô èìååò áîëåå ñïåöèôè÷åñêèé âèä. Îïðåäåëåíèå 8.25. Ñâÿçíûé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç öèêëîâ íàçûâàåòñÿ íåîðèåíòèðîâàííûì äåðåâîì. Íåñâÿçíûé ãðàô, ñîñòîÿùèé èç íåñêîëüêèõ äåðåâüåâ, íàçûâàåòñÿ ëåñîì. Òàêîå äåðåâî ÿâëÿåòñÿ íåîðèåíòèðîâàííûì àöèêëè÷åñêèì ãðàôîì, ïîýòîìó â íåì âñå ïóòè ïðîñòûå. Ïîíÿòèå îðèåíòèðîâàííîãî äåðåâà îòëè÷àåòñÿ îò àöèêëè÷åñêîãî ãðàôà. Îïðåäåëåíèå 8.26. Íå ñîäåðæàùèé öèêëîâ ñâÿçíûé îðãðàô, â êîòîðîì òîëüêî îäíà âåðøèíà íå èìååò âõîäÿùèõ äóã, à âñå îñòàëüíûå âåðøèíû èìåþò ïî îäíîé âõîäÿùåé äóãå, íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, èëè íàïðàâëåííûì äåðåâîì. Îïðåäåëåíèå 8.27. Âåðøèíà, íå èìåþùàÿ âõîäÿùèõ äóã, íàçûâàåòñÿ êîðíåì äåðåâà. Âåðøèíû, íå èìåþùèå âûõîäÿùèõ äóã, íàçûâàþòñÿ êîíöåâûìè, èëè òåðìèíàëüíûìè, èëè ëèñòüÿìè. Ïðîìåæóòî÷íûå âåðøèíû, ëåæàùèå ìåæäó êîðíåì è ëèñòüÿìè, íàçûâàþòñÿ òðàíçèòíûìè. Îðèåíòèðîâàííûå äåðåâüÿ ÷àñòî èçîáðàæàþò áåç ñòðåëîê, ïðåäâàðèòåëüíî îãîâîðèâ, ÷òî ýòî ðàñòóùåå âíèç (èëè ââåðõ) äåðåâî. Íà ðèñ. 8.24, a èçîáðàæåíî ðàñòóùåå âíèç äåðåâî, íà ðèñ. 8.24, á íåîðèåíòèðîâàííîå äåðåâî. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò Ðèñ. 8.24. Ïðèìåðû äåðåâüåâ. îñíîâíûå ñâîéñòâà äåðåâüåâ.
142
Ãëàâà 8
Òåîðåìà 8.19. 1.  ëþáîì äåðåâå èìåþòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, äâå êîíöåâûå âåðøèíû (âåðøèíû ñòåïåíè 1). 2. Ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè äåðåâà èìååòñÿ ðîâíî îäèí ïóòü. 3. ×èñëî ðåáåð â äåðåâå ñ n âåðøèíàìè ðàâíî n 1. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïîñêîëüêó â äåðåâå âñå ïóòè ïðîñòûå, òî â íåì åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ìàêñèìàëüíûé ïóòü, ò. å. ïóòü, êîòîðûé íåëüçÿ ïðîäîëæèòü. Êîíöû ýòîãî ïóòè è ÿâëÿþòñÿ êîíöåâûìè âåðøèíàìè. (Çàìåòèì, ÷òî â ïðîèçâîëüíîì àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå òîæå åñòü ìàêñèìàëüíûå ïóòè; èõ êîíöàìè ÿâëÿþòñÿ ñòîêè. Îäíàêî ñòîê ìîæåò èìåòü ñòåïåíü, áîëüøóþ åäèíèöû.  ýòîì ñëó÷àå ïðîäîëæèòü èç íåãî ïóòü íåëüçÿ íå ïîòîìó, ÷òî íåò äðóãîãî èíöèäåíòíîãî åìó ðåáðà, à ïîòîìó, ÷òî äðóãèå ðåáðà òîæå âõîäÿùèå, è âûéòè ïî íèì èç ñòîêà íåëüçÿ.) 2). Íàëè÷èå ïóòè ìåæäó ëþáîé ïàðîé âåðøèí ñëåäóåò èç ñâÿçíîñòè äåðåâà, à åäèíñòâåííîñòü ýòîãî ïóòè èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå äâóõ ïóòåé ìåæäó ïàðîé âåðøèí âñåãäà ñîçäàåò öèêë. 3). Òðåòèé ïóíêò òåîðåìû ïðîùå âñåãî äîêàçàòü, ââåäÿ ïðîöåäóðó ïðåîáðàçîâàíèÿ íåîðèåíòèðîâàííîãî äåðåâà â îðèåíòèðîâàííîå. Âûáåðåì â äåðåâå ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó. Íàçîâåì åå êîðíåì. Ðåáðà, èíöèäåíòíûå êîðíþ, îðèåíòèðóåì â íàïðàâëåíèè îò êîðíÿ. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû vi, ÿâëÿþùåéñÿ êîíöîì îäíîãî èç ýòèõ ðåáåð, îðèåíòèðóåì îñòàëüíûå èíöèäåíòíûå åé ðåáðà â íàïðàâëåíèè îò vi. Ïðîäîëæàåì ýòó ïðîöåäóðó äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäóò äîñòèãíóòû êîíöåâûå âåðøèíû.  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè íè îäíà âåðøèíà íå áóäåò äîñòèãíóòà äâàæäû (ò. å. íå ïðèäåòñÿ îðèåíòèðîâàòü óæå îðèåíòèðîâàííûå ðåáðà), à â ñèëó ñâÿçíîñòè äåðåâà âñå âåðøèíû áóäóò äîñòèãíóòû. Èç ýòîé ïðîöåäóðû âèäíî, ÷òî êîðåíü íå èìååò âõîäÿùèõ ðåáåð (åãî ïîëóñòåïåíü çàõîäà ðàâíà 0), à êàæäàÿ èç îñòàëüíûõ n 1 âåðøèí èìååò îäíî âõîäÿùåå ðåáðî. Ïîñêîëüêó âñå ðåáðà ÿâëÿþòñÿ âõîäÿùèìè äëÿ êàêîéòî âåðøèíû, òî îòñþäà è ñëåäóåò ï. 3 òåîðåìû. Èç îäíîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî äåðåâà ñ n âåðøèíàìè ìîæíî ïîëó÷èòü ðîâíî n ðàçëè÷íûõ îðèåíòèðîâàííûõ äåðåâüåâ, òàê êàê âûáîð ðàçíûõ êîðíåé âñåãäà äàåò ðàçíûå îðäåðåâüÿ. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî èç êîðíÿ äîñòèæèìû âñå îñòàëüíûå âåðøèíû, ñàì æå êîðåíü íåäîñòèæèì íè èç êàêîé äðóãîé âåðøèíû. Äðóãèìè ñëîâàìè, îðèåíòèðîâàííîå äåðåâî âñåãäà îäíîñòîðîííå ñâÿçíî. Îäíàêî ðàçëè÷íûå îðäåðåâüÿ, ïîëó÷åííûå èç îäíîãî è òîãî æå äåðåâà, ìîãóò îêàçàòüñÿ èçîìîðôíûìè.
Ãðàôû
143
Ïðèìåð. Åñëè èñõîäíîå äåðåâî ïðîñòàÿ öåïü, òî âûáîð â êà÷åñòâå êîðíÿ êîíöîâ ýòîé öåïè äàñò äâå èçîìîðôíûå îðèåíòèðîâàííûå öåïè, à åñëè ýòà öåïü ñîäåðæèò ÷åòíîå ÷èñëî âåðøèí è, ñëåäîâàòåëüíî, äâà öåíòðà, òî âûáîð ýòèõ öåíòðîâ äàñò äâà èçîìîðôíûõ îðäåðåâà ñ äâóìÿ ïóòÿìè, âåäóùèìè èç êîðíÿ. Îïðåäåëåíèå 8.28. Äåðåâî, â êîòîðîì êàæäàÿ âåðøèíà èìååò ïî äâå èñõîäÿùèõ äóãè èëè íå èìååò âîâñå, íàçûâàåòñÿ äâîè÷íûì, èëè áèíàðíûì äåðåâîì. Îïðåäåëåíèå 8.29. Ïóñòü n êîëè÷åñòâî êîíöåâûõ âåðøèí â äâîè÷íîì äåðåâå, d äëèíà ïóòè îò êîðíÿ äåðåâà ê êîíöåâîé âåðøèíå è m öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òîãäà äåðåâî íàçûâàåòñÿ ñáàëàíñèðîâàííûì, åñëè: 1) ëèáî n = 2m è òîãäà d = m, 2) ëèáî 2m < n < 2 m + 1, è òîãäà d = m èëè d = m + 1. Íà ðèñ. 8.25, a, á äåðåâüÿ ñáàëàíñèðîâàííûå, â íåñáàëàíñèðîâàííîå äåðåâî.
Ðèñ. 8.25. Ïðèìåðû äåðåâüåâ. Äåðåâüÿ îòîáðàæàþò èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ äåðåâà ìîæíî ïðåäñòàâèòü èåðàðõèþ ñëóæåáíûõ ïîëîæåíèé â íåêîòîðîé îðãàíèçàöèè, èåðàðõèþ ïîíÿòèé íåêîòîðîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè, ðîäñòâåííûå îòíîøåíèÿ (ãåíåàëîãè÷åñêîå äåðåâî) è ò. ï. Áèíàðíûå îðèåíòèðîâàííûå äåðåâüÿ èìåþò áîëüøîå çíà÷åíèå â ïðîãðàììèðîâàíèè äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñëîæíûõ ñòðóêòóð äàííûõ è ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ èõ îáðàáîòêè. Óäîáíûì ñïîñîáîì ïðåäñòàâëåíèÿ àðèôìåòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëüñêàÿ îáðàòíàÿ çàïèñü, ãäå îïåðàöèè ïðåäøåñòâóþò îïåðàíäàì, â îòëè÷èå îò îáû÷íî èñïîëüçóåìîé ôóíêöèîíàëüíîé çàïèñè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f(x, y) = x + y â îáðàòíîé çàïèñè èìååò âèä: +(x, y) èëè ïðîñòî +xy. Íà ðèñ. 8.26 ïîêàçàíî äåðåâî àðèôìåòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ
144
Ãëàâà 8
(a + b)×(a b). Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ åãî â ïîëüñêóþ îáðàòíóþ çàïèñü ×+ ab ab èñïîëüçóåòñÿ àëãîðèòì îáõîäà äåðåâà ñâåðõó âíèç è ñëåâà íàïðàâî, êîòîðûé ïîêàçàí íà ðèñ. 8.26. Ñíà÷àëà âûáèðàåòñÿ çíà÷åíèå, õðàíÿùååñÿ â êîðíå äåðåâà (îíî çàãðóæàåòñÿ â ñòåê). Çàòåì ïðîèñõîäèò ñïóñê ïî ëåâîé âåòâè äî òåðìèíàëüíîé âåðøèíû. Âñå çíà÷åíèÿ, ëåæàùèå íà ýòîì ïóòè, çàïèñûâàþòñÿ ïîñëå êîðíåâîãî: ×+a. Äîéäÿ äî òåðìèíàëüíîé âåðøèíû, ìû ïîäíèìàåìñÿ äî ïåðâîé ñíèçó òðàíçèòíîé âåðøèíû, è ñïóñêàåìñÿ ïî ïðàâîìó ïîääåðåâó; ïîëó÷àåì ×+ab. ÏîÐèñ. 8.26. ñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû äîéÎáõîä äåðåâà. äåì îïÿòü äî êîðíÿ äåðåâà, ïîñëå ÷åãî ñïóñêàåìñÿ ïî ïðàâîìó ïîääåðåâó ïî òîìó æå àëãîðèòìó.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì âûðàæåíèå: ×+abab.
8.11. Ïëàíàðíûå ãðàôû Îïðåäåëåíèå 8.30. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ïëàíàðíûì, åñëè îí ìîæåò áûòü íàðèñîâàí íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òî åãî ðåáðà ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî â âåðøèíàõ ãðàôà. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè îí óæå óëîæåí íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òî íèêàêèå åãî äâà ðåáðà íå ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ, îòëè÷íûõ îò âåðøèí ãðàôà. Íà ðèñ. 8.27, a ïîêàçàí ïëàíàðíûé ãðàô, èçîáðàæåííûé òàê, ÷òî åãî ðåáðà ïåðåñåêàþòñÿ, à íà ðèñ. 8.27, á òîò æå ãðàô áåç ïåðåñå÷åíèé ðåáåð, ò. å. ïëîñêèé ãðàô.
Ðèñ. 8.27. Ïëîñêèé ãðàô. Ðàññìîòðèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ãðàô ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì. Îïðåäåëåíèå 8.31. ×àñòü ïëîñêîãî ãðàôà, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà öèêëîì è íå âêëþ÷àåò â ñåáÿ íèêàêîé äðóãîé öèêë, íàçûâàåòñÿ ãðàíüþ. Íåîãðàíè÷åííàÿ áåñêîíå÷íàÿ îáëàñòü, âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê êîíå÷íûì ãðàíÿì, òàêæå ñ÷èòàåòñÿ ãðàíüþ. Ãðàíè ïëîñêîãî ãðàôà îáðàçóþò ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè, íà êîòîðîé îí èçîáðàæåí. Íà ðèñ. 8.27, á â ãðàôå G z0 áåñêîíå÷íàÿ ãðàíü, z1, z2,
Ãðàôû
145
z3 êîíå÷íûå. Åñëè ãðàô íåïëàíàðåí, òî îí íå ìîæåò áûòü èçîáðàæåí â âèäå ïëîñêîãî ãðàôà, è ïîíÿòèå ãðàíè äëÿ íåãî òåðÿåò ñìûñë. Òåîðåìà 8.20 (Ýéëåðà). Ïëîñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñâÿçíîãî ïëàíàðíîãî ãðàôà (ìóëüòèãðàôà) ñ n âåðøèíàìè, m ðåáðàìè è r ãðàíÿìè óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé ôîðìóëå: n m + r = 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ãðàíåé. Åñëè åäèíñòâåííîé ãðàíüþ ãðàôà G ÿâëÿåòñÿ âíåøíÿÿ ãðàíü, òî ãðàô íå èìååò öèêëîâ, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî äåðåâî, òàê êàê G ñâÿçåí. Òîãäà m = n 1 è r = 1, ñëåäîâàòåëüíî, n m + r = 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî G èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâå ãðàíè è (x, y) ðåáðî, ëåæàùåå íà ãðàíèöå ýòèõ ãðàíåé. Ïðè óäàëåíèè ðåáðà (áåç óäàëåíèÿ âåðøèí x, y) ãðàô îñòàåòñÿ ñâÿçíûì, íî ÷èñëî åãî ðåáåð òåïåðü ðàâíî m 1, à ÷èñëî ãðàíåé r 1, òàê êàê äâå ãðàíè òåïåðü ñëèâàþòñÿ â îäíó. Òîãäà n (m 1) + (r 1) = n m + r = 2. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïî ïðèíöèïó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî ôîðìóëà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé äëÿ ëþáîãî ñâÿçíîãî ïëàíàðíîãî ãðàôà. Òåîðåìà 8.21.  ïðîñòîì ïëàíàðíîì ãðàôå ñ n âåðøèíàìè, m ðåáðàìè è r ãðàíÿìè 3r ≤ 2m. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâûâàåòñÿ íà òîì ôàêòå, ÷òî êàæäàÿ ãðàíü èìååò ïî êðàéíåé ìåðå òðè îãðàíè÷èâàþùèõ åå ðåáðà, è êàæäîå ðåáðî íàõîäèòñÿ íà ãðàíèöå ïî êðàéíåé ìåðå äâóõ ãðàíåé. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò òàê íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî Ýéëåðà. Òåîðåìà 8.22.  ïðîñòîì ïëàíàðíîì ãðàôå ñ n âåðøèíàìè, m ðåáðàìè è r ãðàíÿìè m ≤ 3n 6. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ôîðìóëû n m + r = 2 ïîëó÷àåì: r = 2 + m n. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå r â íåðàâåíñòâî 3r ≤ 2m, ïîëó÷èì: 6 + 3m 3n ≤ 2m, ò. å. m ≤ 3n 6. Òåîðåìà 8.22 äàåò íåîáõîäèìîå óñëîâèå ïëàíàðíîñòè ãðàôà. Íà ðèñ. 8.28 èçîáðàæåíû äâà íåïëîñêèõ ãðàôà, êîòîðûå èìåþò íàèìåíüøåå ÷èñëî âåðøèí è íå ÿâëÿþòñÿ ïëàíàðíûìè. Äîêàæåì ýòî. Ãðàô Ê5 ýòî ïðîñòîé ïîëíûé ãðàô, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé çâåçäó, âïèñàííóþ â ïÿòèóãîëüíèê. Îí èìååò 5 âåðøèí è 10 ðåáåð, ò. å. 3n 6 = 9, ïîýòîìó íåðàâåíñòâî Ýéëåðà 10 ≤ 3n 6 íå âûïîëíåíî. Ïî òåîðåìå 8.22, Ðèñ. 8.28. Íåïëîñêèå ãðàôû. ãðàô K5 íåïëàíàðåí.
146
Ãëàâà 8
Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé ãðàô, ñîäåðæàùèé â êà÷åñòâå ïîäãðàôà ãðàô Ê5, îáÿçàòåëüíî áóäåò íåïëîñêèì. Äðóãîé ãðàô, êîòîðûé íå ñîäåðæèò ãðàôà Ê5 è ÿâëÿåòñÿ íåïëàíàðíûì, ýòî ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô Ê3,3.  äâóäîëüíûõ ãðàôàõ ìíîæåñòâî âåðøèí ðàçáèòî íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà, êîòîðûå íàçûâàþò äîëÿìè. Òàêèå ãðàôû âîçíèêàþò â çàäà÷àõ î ñîåäèíåíèè n äîìîâ è m ïóíêòîâ îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîìîùüþ êîììóíèêàöèé (ñì. ðèñ. 8.29). Íàïðèìåð, èññëåäîâàíèå ïëàíàðíîñòè ãðàôà Ê3,3 íåîáõîäèìî â çàäà÷å «î òðåõ äîìàõ è òðåõ êîëîäöàõ», â êîòîðîé æèòåëè äîìîâ õîòåëè áû õîäèòü çà âîäîé ê êîëîäöàì òàê, ÷òîáû íèêîãäà íå âñòðå÷àòü íèêîãî èç ñâîèõ ñîñåäåé. Î÷åâèäíî, äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ æåëàíèå áûëî âûïîëíåíî, íóæíî, ÷òîáû èõ ïóòè íèêîãäà íå ïåðåñåêàëèñü. Äëÿ ýòîãî ãðàô, ñîåäèíÿþùèé «äîìà» è «êîëîäöû», äîëæåí áûòü ïëîñêèì. Îäíàêî ãðàô Ê3,3 íåïëàíàðíûé, òàê ÷òî æåëàíèå æèòåëåé íåâûïîëíèìî (ñì. ðèñ. 8.29).
Ãðàôû
147
(w, v). Ãðàô H íàçûâàåòñÿ ïîäðàçáèåíèåì ãðàôà G, åñëè H ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç G ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ïîäðàçáèåíèÿ ðåáåð. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îïåðàöèÿ ïîäðàçáèåíèÿ ðåáðà íå èçìåíÿåò ñîîòíîøåíèÿ Ýéëåðà. Äåéñòâèòåëüíî, â ðåçóëüòàòå ïîäðàçáèåíèÿ êàê êîëè÷åñòâî ðåáåð, òàê è êîëè÷åñòâî âåðøèí, óâåëè÷èòñÿ íà åäèíèöó, à êîëè÷åñòâî ãðàíåé íå èçìåíèòñÿ (ñì. ðèñ. 8.30), òàê êàê ïðè óäàëåíèè ðåáðà â ïëîñêîì ãðàôå èñ÷åçíåò îäíà ãðàíü, à ïðè äîáàâëåíèè äâóõ ðåáåð ïîÿâèòñÿ íîâàÿ. Òàêèì îáðàçîì, (n + 1) (m + 1) + (r 1 + 1) = n m + r.
Ðèñ. 8.30. Ïîäðàçáèåíèå ðåáðà (u, v). Îïðåäåëåíèå 8.33. Ãðàôû G è H ãîìåîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå èõ ïîäðàçáèåíèÿ, êîòîðûå èçîìîðôíû. Òåîðåìà 8.22 (Ïîíòðÿãèíà Êóðàòîâñêîãî). Ãðàô ïëàíàðåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íå ñîäåðæèò ïîäãðàôîâ, ãîìåîìîðôíûõ ãðàôàì Ê5 è Ê3,3. Ðèñ. 8.29. Çàäà÷à î äîìàõ è êîëîäöàõ. Äëÿ ãðàôà K3,3 m = 9, n = 6, ò. å. íåðàâåíñòâî Ýéëåðà âûïîëíÿåòñÿ. Òåì íå ìåíåå, îí íåïëàíàðåí. Äîêàæåì ýòî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàô K3,3 ïëàíàðåí. Òîãäà, ïî òåîðåìå Ýéëåðà, ÷èñëî åãî ãðàíåé r = 9 6 + 2 = 5.  ñèëó äâóäîëüíîñòè K3,3, â íåì íåò öèêëîâ äëèíîé ìåíüøå 4, ïîýòîìó, ñóììèðóÿ äëèíû ãðàíèö âñåõ ãðàíåé è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ýòîé ñóììå êàæäîå ðåáðî ãðàôà K3,3 âñòðåòèòñÿ äâàæäû, ïîëó÷èì: 2m ≥ 4r, ò. å. 4r ≤ 18, è, ñëåäîâàòåëüíî, r < 5, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå Ýéëåðà. Òàêèì îáðàçîì, K3,3 íåïëàíàðåí. Ýòî ïðèìåð òîãî, ÷òî óñëîâèå m ≤ 3n 6 íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïëàíàðíîñòè. Ãðàôû Ê5 è Ê3,3 ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü íàèáîëåå îáùèé êðèòåðèé ïëàíàðíîñòè, êîòîðûé ìû ïðèâîäèì çäåñü áåç äîêàçàòåëüñòâà ââèäó åãî ñëîæíîñòè. Ïðåäâàðèòåëüíî ââåäåì íîâûå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 8.32. Îïåðàöèÿ ïîäðàçáèåíèÿ ðåáðà (u, v) â ãðàôå G = {V, E} ñîñòîèò â óäàëåíèè èç E ðåáðà (u, v), äîáàâëåíèè ê V íîâîé âåðøèíû w è äîáàâëåíèè ê E\{(u, v)} äâóõ ðåáåð (u, w) è
Ãëàâà 9.
ÁÓËÅÂÀ ÀËÃÅÁÐÀ
Äæîðäæ Áóëü (18151864) ðîäèëñÿ â Àíãëèè, â Ëèíêîëüíå, â ñåìüå ìåëêîãî òîðãîâöà. Åãî ðîäèòåëè èñïûòûâàëè ìàòåðèàëüíûå çàòðóäíåíèÿ, ïîýòîìó îí íå ñìîã ïîëó÷èòü ñèñòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ, êðîìå íà÷àëüíûõ êëàññîâ øêîëû äëÿ äåòåé áåäíÿêîâ Äæîðäæ Áóëü íå ó÷èëñÿ íè â îäíîì ó÷åáíîì çàâåäåíèè. Îäíàêî ñ äåòñêèõ ëåò Áóëü ñòðåìèëñÿ ê çíàíèÿì, ñàìîñòîÿòåëüíî èçó÷àÿ ìíîãèå ïðåäìåòû, â òîì ÷èñëå ëàòûíü è ãðå÷åñêèé, êîòîðûå èçó÷àëèñü â òå ãîäû âî âñåõ àðèñòîêðàòè÷åñêèõ øêîëàõ.  12 ëåò îí óæå ïå÷àòàë â ìåñòíûõ èçäàíèÿõ ñâîè ïåðåâîäû èç Ãîðàöèÿ, íî ýòî íå ïðèíîñèëî äåíåã, à ñåìüÿ ñèëüíî íóæäàëàñü. Ñ ðàííèõ ëåò íà÷àëñÿ òðóäîâîé ïóòü Áóëÿ, ïîõîæèé íà ïóòü ìíîãèõ ãåðîåâ Äèêêåíñà: Áóëü äîëãî èñêàë ðàáîòó, äàþùóþ êàêîé-òî çàðàáîòîê è, â òî æå âðåìÿ, îñòàâëÿþùóþ âîçìîæíîñòè äëÿ äàëüíåéøåãî ñàìîîáðàçîâàíèÿ. Ëèøü ïîñëå äîëãèõ ìó÷èòåëüíûõ ïîèñêîâ è ìíîãèõ íåóäà÷íûõ ïîïûòîê óñòðîèòüñÿ Áóëþ óäàëîñü îòêðûòü ìàëåíüêóþ ýëåìåíòàðíóþ øêîëó, â êîòîðîé îí ïðåïîäàâàë ñàì. Äåíåã ýòî äàâàëî ìàëî, íî îñòàâëÿëî íåêîòîðûé äîñóã.  ïðîöåññå çàíÿòèé ñ ó÷åíèêàìè Áóëü âïåðâûå îáðàòèëñÿ ê ìàòåìàòèêå, è øêîëüíûå ó÷åáíèêè ïðèâåëè åãî â óæàñ ñâîåé íåñòðîãîñòüþ è íåëîãè÷íîñòüþ èçëîæåíèÿ. Ñòðåìÿñü ïîíÿòü, ÷òî æå íà ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòèêà, Áóëü îáðàòèëñÿ ê ïðîèçâåäåíèÿì êëàññèêîâ è ñàìîñòîÿòåëüíî èçó÷èë îáøèðíûå òðóäû Ëàïëàñà è Ëàãðàíæà.  ñâÿçè ñ ýòèìè çàíÿòèÿìè ó íåãî ïîÿâèëèñü ïåðâûå ñàìîñòîÿòåëüíûå èäåè. Ê åãî ñ÷àñòüþ, Ä. Ãðåãîðè, îñíîâàâøèé íåçàäîëãî äî òîãî «Êåìáðèäæñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë», ñðàçó æå îöåíèë ãëóáèíó ìûñëè è îðèãèíàëüíîñòü ñòèëÿ ïðîâèíöèàëüíîãî ó÷èòåëÿ, ïðèñûëàâøåãî åìó ñâîè ñòàòüè. Âòîðûì ÷åëîâåêîì, àêòèâíî ïîääåðæàâøèì Áóëÿ, áûë êåìáðèäæñêèé ìàòåìàòèê, ïðîôåññîð óíèâåðñèòåòà Àóãóñòóñ äå Ìîðãàí. Äå Ìîðãàí ñàì èíòåðåñîâàëñÿ âîïðîñàìè ëîãè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè, êîòîðûå âñêîðå ñòàëè êðàåóãîëüíûì êàìíåì âñåõ ðàçìûøëåíèé Áóëÿ. Ïåðâûå ïóáëèêàöèè Áóëÿ çàèíòåðåñîâàëè äå Ìîðãàíà, à êðàòêàÿ áðîøþðà «Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ëîãèêè, ñîïðîâîæäàåìûé íàáðîñêîì èñ÷èñëåíèÿ äåäóêòèâíûõ ðàññóæäåíèé» (1847), ïðèâåëà åãî â âîñòîðã. (Çàìåòèì, ÷òî â òîì æå 1847 ã., íåñêîëüêèìè ìåñÿöàìè ïîçæå, âûøëî â ñâåò ñî÷èíåíèå ñàìîãî äå Ìîðãàíà íà òó æå òåìó: «Ôîðìàëüíàÿ ëîãèêà èëè èñ÷èñëåíèå âûâîäîâ, íåîáõîäèìûõ è âîçìîæíûõ», ãäå, â ÷àñòíîñòè, ñîäåðæàëèñü òå ëîãè÷åñêèå çàêîíû, êîòîðûå ñåé÷àñ íàçûâàþò «çàêîíàìè äå Ìîðãàíà»; ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äåëàëî åãî îöåíêó ðàáîòû Áóëÿ îñîáåííî âåñîìîé). Óñèëèÿìè äå Ìîðãàíà, Ãðåãîðè è äðóãèõ äðóçåé ñàìîó÷êà Áóëü ñòàë â 1849 ãîäó ïðîôåññîðîì ìàòåìàòèêè êàòîëè÷åñêîãî êîëëåäæà â ã. Êîðê (Èðëàíäèÿ); çäåñü îí ïðîâåë ïîñëåäíèå 15 ëåò ñâîåé æèçíè, íàêîíåö-òî ïîëó÷èâ âîçìîæíîñòü íå òîëüêî îáåñïå÷èòü ñòàðîñòü ðîäèòåëåé, íî è ñïîêîéíî çàíèìàòüñÿ íàóêîé. Çäåñü æå îí æåíèëñÿ íà Ìýðè Ýâåðåñò äî÷åðè ïðîôåññîðà ãðå÷åñêîãî ÿçûêà â òîì æå êîëëåäæå è ðîäñòâåííèöå áûâøåãî ãåíåðàë-
149 ãóáåðíàòîðà Èíäèè, èìåíåì êîòîðîãî íàçâàíà âûñî÷àéøàÿ âåðøèíà ìèðà Ýâåðåñò. Ìýðè Áóëü-Ýâåðåñò ìíîãî ïîìîãàëà Áóëþ â ðàáîòå, à ïîñëå åãî ñìåðòè îñòàâèëà èíòåðåñíûå âîñïîìèíàíèÿ î ñâîåì ìóæå è î åãî íàó÷íîì òâîð÷åñòâå. Îíà ñòàëà ìàòåðüþ ÷åòûðåõ äî÷åðåé Áóëÿ, êîòîðûå âñå îêàçàëèñü çàìå÷àòåëüíûìè ëþäüìè (ó íàñ íàèáîëåå èçâåñòíà Ýòåëü Ëèëèàí Áóëü, â çàìóæåñòâå Âîéíè÷, àâòîð ðîìàíà «Îâîä»).  1854 ã. âûøëî â ñâåò îñíîâíîå ïðîèçâåäåíèå Áóëÿ «Èññëåäîâàíèå çàêîíîâ ìûñëè, íà êîòîðûõ îñíîâàíû ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè ëîãèêè è âåðîÿòíîñòåé».  ýòîé, ñòàâøåé êëàññè÷åñêîé, ðàáîòå ïîäðîáíî èññëåäóåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîòîðóþ ñåãîäíÿ íàçûâàþò «àëãåáðîé âûñêàçûâàíèé». Ãëóáîêîå ïîíèìàíèå Áóëåì ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è ñìûñëà àáñòðàêòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóð, êîòîðîå ïðîÿâèëîñü â ýòîé êíèãå, îòìå÷àë Á. Ðàññåë: «×èñòóþ ìàòåìàòèêó îòêðûë Áóëü â ñî÷èíåíèè, êîòîðîå íàçûâàëîñü «Çàêîíû ìûñëè». Ðàçóìååòñÿ, ôðàçó Ðàññåëà íèêàê íå ñëåäóåò ïîíèìàòü áóêâàëüíî: òàê, íå ãîâîðÿ óæå î ãåíèàëüíîì Ãîòôðèäå Âèëüãåëüìå Ëåéáíèöå (16461716) èëè î äðåâíèõ ãðåêàõ, íà åâðîïåéñêîì êîíòèíåíòå íå óñòóïàþùóþ Áóëþ ãëóáèíó ïîíèìàíèÿ àáñòðàêòíîé ïðèðîäû «÷èñòîé» ìàòåìàòèêè äåìîíñòðèðîâàë â òå æå ãîäû åùå îäèí ñàìîó÷êà (åùå îäèí øêîëüíûé ó÷èòåëü, òàê æå, êàê è Áóëü, ïî äîñòîèíñòâó îöåíåííûé ëèøü ïîñëå ñìåðòè), íåìåö Ãåðìàí Ãðàññìàí (18091877). Îäíàêî áåññïîðíî, ÷òî äàííàÿ Äæ. Áóëåì â «Çàêîíàõ ìûñëè» õàðàêòåðèñòèêà (ëþáîãî!) ìàòåìàòè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ êàê «ìåòîäà, áàçèðóþùåãîñÿ íà óïîòðåáëåíèè ñèìâîëîâ, çàêîíû êîìáèíàöèè êîòîðûõ íàì èçâåñòíû» èëè ôðàçà «äåéñòâåííîñòü àíàëèçà çàâèñèò íå îò èñòîëêîâàíèÿ ñèìâîëîâ, à èñêëþ÷èòåëüíî îò çàêîíîâ èõ êîìáèíàöèè» ñâèäåòåëüñòâóþò îá èñêëþ÷èòåëüíîé ãëóáèíå ïðîíèêíîâåíèÿ â ñóòü ìàòåìàòèêè. Ïåðâàÿ ñåðüåçíàÿ ïîïûòêà ôîðìàëèçîâàííîãî èçëîæåíèÿ òîé ëîãè÷åñêîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ ëåæèò â îñíîâå âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ óìîçàêëþ÷åíèé, ïîïûòêà ñòðîãîãî îïèñàíèÿ òåõ «ïðàâèë èãðû», êîòîðûì ïîä÷èíÿåòñÿ ìàòåìàòèêà, ïðèíàäëåæèò èìåííî Äæîðäæó Áóëþ.
9.1. Àáñòðàêòíàÿ áóëåâà àëãåáðà Îïðåäåëåíèå áóëåâîé àëãåáðû äàíî â ãëàâå 6 (ñì. îïðåäåëåíèå 6.13). Ïîñêîëüêó ëþáóþ ðåøåòêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àëãåáðó ñ äâóìÿ îïåðàöèÿìè, áóëåâó ðåøåòêó, â êîòîðîé êàæäûé ýëåìåíò èìååò åäèíñòâåííîå äîïîëíåíèå, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áóëåâó àëãåáðó ñ òðåìÿ îïåðàöèÿìè.  äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì â íåêîòîðîì ñìûñëå «ìèíèìàëüíóþ» áóëåâó àëãåáðó, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ íà ðåøåòêå 2, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ýëåìåíòîâ. Ýòè ýëåìåíòû îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëàìè 0 è 1, õîòÿ ïðèðîäà èõ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íà, íàïðèìåð, «ëîæü» è «èñòèíà» â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé, ïîëîæåíèå âûêëþ÷àòåëÿ «ðàçîìêíóòî»/«çàìêíóòî» â òåîðèè ðåëåéíî-êîíòàêòíûõ ñõåì.  àáñòðàêòíîé áóëåâîé àëãåáðå ïðèðîäà ìíîæåñòâà {0, 1} íå ðàññìàòðèâàåòñÿ. Ðåøåòî÷íûå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ (∨),
Ãëàâà 9
150
ïåðåñå÷åíèÿ (∧) è äîïîëíåíèÿ (') èìåþò äðóãèå íàèìåíîâàíèÿ è ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè. Âñå ñâîéñòâà áóëåâûõ ðåøåòîê, ðàçóìååòñÿ, âûïîëíåíû â áóëåâîé àëãåáðå è îïðåäåëÿþòñÿ â íåé êàê àêñèîìû è òåîðåìû. Ðàññìîòðèì îïðåäåëåíèå áóëåâîé àëãåáðû òàê, êàê ýòî ïðèíÿòî â îáùåèçâåñòíîé ëèòåðàòóðå. Îïðåäåëåíèå 9.1. Âñÿêóþ ïåðåìåííóþ, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç äâóõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé, îáîçíà÷àåìûõ 0 è 1, íàçîâåì áóëåâîé ïåðåìåííîé. Îïðåäåëåíèå 9.2. Ôóíêöèÿ f(x1, ..., xn), ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå {0, 1} âìåñòå ñî ñâîèìè ïåðåìåííûìè, íàçûâàåòñÿ áóëåâîé ôóíêöèåé. Ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ áóëåâîé ôóíêöèè áóäåì íàçûâàòü íàáîðîì. Íàïðèìåð, äëÿ áóëåâîé ôóíêöèè f(x, y, z) ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé x = 1, y = 0, z = 1 çàïèñûâàåòñÿ êàê íàáîð 101. Áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðå÷èñëåíèåì åå çíà÷åíèé íà âñåõ íàáîðàõ. Ìíîæåñòâî íàáîðîâ ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå, òàê ÷òî êàæäûé íàáîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîä äâîè÷íîãî ÷èñëà. Ñîîòâåòñòâóþùåå åìó äåñÿòè÷íîå ÷èñëî áóäåì íàçûâàòü íîìåðîì íàáîðà. Íàïðèìåð, íîìåð íàáîðà 101 ðàâåí 5, íîìåð íàáîðà 110 6. Óòâåðæäåíèå 9.1. Êîëè÷åñòâî íàáîðîâ áóëåâîé ôóíêöèè f(x1,
, xò) îò n ïåðåìåííûõ ðàâíî 2n. Êîëè÷åñòâî áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ ðàâíî 2 â ñòåïåíè 2n. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îñíîâíûõ ñîîòíîøåíèé êàðäèíàëüíîé àðèôìåòèêè. Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ íàáîðîâ áóëåâîé ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ îáðàçîâàíî äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì {0, 1}n, ìîùíîñòü êîòîðîãî ðàâíà 2n. Ìíîæåñòâî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ åñòü ìíîæåñòâî n îòîáðàæåíèé {0, 1}n → {0, 1), ìîùíîñòü êîòîðîãî ðàâíà 22 . Ñóùåñòâóåò 4 áóëåâûõ ôóíêöèè îò îäíîé ïåðåìåííîé è 16 áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ.  òàáëèöå 9.1 ïðèâåäåíû áóëåâû ôóíêöèè îò îäíîé ïåðåìåííîé: f1 êîíñòàíòà 0, f2 òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f(x) = x, f3 îòðèöàíèå f(x) = ¬x, f4 êîíñòàíòà 1. Òàáëèöà 9.1. x 0 1
f1 0 0
f2 0 1
f3 1 0
f4 1 1
Áóëåâà àëãåáðà
151
 òàáë. 9.2 ïðèâåäåíû îñíîâíûå ôóíêöèè îò äâóõ ïåðåìåííûõ. Òàáëèöà.9.2. x 0 0 1 1
y 0 1 0 1
x∧y 0 0 0 1
x∨y 0 1 1 1
x→y 1 1 0 1
x≡y 1 0 0 1
x⊕y 0 1 1 0
Ýòî ôóíêöèè: x ∧ y (èëè x & y) êîíúþíêöèÿ, x ∨ y äèçúþíêöèÿ, x → y (èëè x ⊃ y) èìïëèêàöèÿ, x ≡ y (èëè x ~ y) ýêâèâàëåíòíîñòü (ýêâèâàëåíöèÿ), x ⊕ y ñëîæåíèå ïî mod 2 (îïåðàöèÿ Æåãàëêèíà). Óòâåðæäåíèå 9.2. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ çíà÷åíèé 0 è 1, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû óíàðíàÿ îïåðàöèÿ îòðèöàíèÿ ¬ ñîãëàñíî òàáë. 9.1, è áèíàðíûå îïåðàöèè äèçúþíêöèè ∨ è êîíúþíêöèè ∧ ñîãëàñíî òàáë. 9.2, ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé. Èñòèííîñòü óòâåðæäåíèÿ 9.2. ñëåäóåò èç òåîðèè ðåøåòîê: îïåðàöèÿ îòðèöàíèÿ áóëåâîé àëãåáðû îïðåäåëÿåòñÿ êàê äîïîëíåíèå â ðåøåòêå 2, äèçúþíêöèè ∨ è êîíúþíêöèè ∧ êàê îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâåííî. Îïåðàöèÿ îòðèöàíèÿ ïðè ðóêîïèñíîì íàïèñàíèè îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ êàê ÷åðòà íàä ñèìâîëîì ïåðåìåííîé, íàïðèìåð: x , ( x ∨ y) , îäíàêî, ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë ¬, íàïðèìåð: ¬x, ¬(x ∨ y). Èíîãäà îòðèöàíèå îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ~, íàïðèìåð: ~x. Îïåðàöèÿ êîíúþíêöèè â áóëåâîé àëãåáðå îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∧, â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé ñèìâîëîì &.  âûðàæåíèÿõ áóëåâîé àëãåáðû ýòîò ñèìâîë ÷àñòî îïóñêàåòñÿ, êàê ñèìâîë óìíîæåíèÿ â àðèôìåòè÷åñêèõ âûðàæåíèÿõ, íàïðèìåð, âûðàæåíèå x ∧ y çàïèñûâàåòñÿ êàê xy.
9.2. Îñíîâíûå àêñèîìû è òåîðåìû áóëåâîé àëãåáðû Àêñèîìû è òåîðåìû áóëåâîé àëãåáðû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç ñâîéñòâ áóëåâûõ ðåøåòîê. Ïðèâåäåì ñïèñîê àêñèîì è îñíîâíûõ òåîðåì áóëåâîé àëãåáðû. Àêñèîìû áóëåâîé àëãåáðû: (9.1) êîììóòàòèâíûå çàêîíû: a ∨ b = b ∨ a; a ∧ b = b ∧ a;
152
Ãëàâà 9
Áóëåâà àëãåáðà
153
(9.2) äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû: a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c); a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c); (9.3) ñâîéñòâà 0 è 1: a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a; (9.4) çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî: a ∨ ¬a = 1; çàêîí ïðîòèâîðå÷èÿ: a ∧ ¬a = 0. Òåîðåìû: (9.5) àññîöèàòèâíûå çàêîíû: a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c; a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c; (9.6) åñëè äëÿ âñåõ a a ∨ b = a, òî b = 0; åñëè äëÿ âñåõ a a ∧ b = a, òî b = 1; (9.7) åñëè a ∨ b = 1 è a ∧ b = 0, òî b = ¬a; (9.8) ¬¬a = a; (9.9) ¬0 = 1, ¬1 = 0; (9.10) çàêîíû èäåìïîòåíòíîñòè: a ∨ a = a; a ∧ a = a; (9.11) a ∨ 1 = 1, a ∧ 0 = 0; (9.12) çàêîíû ïîãëîùåíèÿ: a ∨ (a ∧ b) = a; a ∧ (a ∨ b) = a; (9.13) çàêîíû äå Ìîðãàíà: ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b; ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b; (9.14) çàêîíû ñêëåèâàíèÿ: (a ∨ b) ∧ (a ∨ ¬b) = a; (a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬b) = a.
 èçîáðàæåíèè ôîðìóë ïðèíÿòû ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ: âíåøíèå ñêîáêè îïóñêàþò; óñòàíàâëèâàþò ïðèîðèòåòû âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: ¬ îòðèöàíèå (íàèâûñøèé ïðèîðèòåò), ∧ êîíúþíêöèÿ, ∨ äèçúþíêöèÿ, →, ≡ èìïëèêàöèÿ è ýêâèâàëåíòíîñòü (èìåþò îäèíàêîâûé ïðèîðèòåò). Ñ ó÷åòîì ýòèõ ïðèîðèòåòîâ èçáûòî÷íûå ñêîáêè òàêæå îïóñêàþòñÿ. Äëÿ êàæäîé áóëåâîé ôîðìóëû ìîæíî ïîñòðîèòü òàáëèöó åå çíà÷åíèé, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì îñíîâíûõ îïåðàöèé. Áóëåâû ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, èëè ðàâíîñèëüíûìè, åñëè èõ òàáëèöû ñîâïàäàþò. (Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ðàâíîñèëüíîñòè ôîðìóë ìû èñïîëüçóåì ñèìâîë =). Òàêèå ôîðìóëû, êîòîðûå íà îäíèõ è òåõ æå íàáîðàõ ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþò îäíó è òó æå áóëåâó ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, îäíà è òà æå áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè, à ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîé áóëåâîé ôîðìóëû ìîæíî ïîñòðîèòü åäèíñòâåííóþ òàáëèöó çíà÷åíèé, òî êàæäîé áóëåâîé ôîðìóëå ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ. Åñëè äâå ðàâíîñèëüíûå ôîðìóëû ñîåäèíèòü ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ýêâèâàëåíòíîñòè, òî âíîâü ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà áóäåò òîæäåñòâåííî ðàâíà åäèíèöå. Àêñèîìû è òåîðåìû áóëåâîé àëãåáðû çàäàþò ðàâíîñèëüíûå ôîðìóëû. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ðàâíîñèëüíûå ôîðìóëû (ñì. òàáë. 9.3). Òàáëèöà 9.3.
9.3. Áóëåâû ôîðìóëû
Ìû âèäèì, ÷òî òàáëèöû çíà÷åíèé ôîðìóë x → y è ¬x ∨ y ñîâïàäàþò, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ôîðìóëû ýêâèâàëåíòíû: (9.15) x → y = ¬x ∨ y. Ýêâèâàëåíòíû òàêæå ôîðìóëû: (9.16) x ≡ y = ¬(x ⊕ y), (9.17) x ≡ y = (x → y)(y → x).
Îïðåäåëåíèå 9.3. • Êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ åñòü ôîðìóëà. • Åñëè x, y ôîðìóëû, òî ôîðìóëàìè ÿâëÿþòñÿ (¬x), (x ∨ y), (x & y). • Äðóãèõ ôîðìóë íåò.
x 0 0 1 1
y x → y ¬x ∨ y y → x (x → y)(y → x) x ≡ y x ⊕ y ¬(x ⊕ y) 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1
154
Ãëàâà 9
 (9.17) ìû ìîæåì çàìåíèòü èìïëèêàöèþ íà ðàâíîñèëüíóþ åé ôîðìóëó (9.15).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì: x ≡ y = (x → y)(y → x) = (¬x ∨ y)(¬y ∨ x). Ýòè ðàâíîñèëüíîñòè îáúÿñíÿþò, ïî÷åìó ïðè îïðåäåëåíèè áóëåâîé ôîðìóëû èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî îïåðàöèè ¬, ∨, ∧, îïåðàöèè èìïëèêàöèè, ýêâèâàëåíòíîñòè è ñëîæåíèÿ ïî ìîäóëþ 2 ìîãóò áûòü ââåäåíû ñ ïîìîùüþ ðàâíîñèëüíûõ ôîðìóë (9.15) (9.17). Ñ ïîìîùüþ ðàâíîñèëüíûõ ôîðìóë ìîæíî ïðîâîäèòü ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ áóëåâûõ ôîðìóë. Íàïðèìåð, ïðåîáðàçóåì áóëåâó ôîðìóëó ¬x ⊕ (z → y). ¬x ⊕ (z → y) = z → y = ¬z ∨ y, = ¬x ⊕ (¬z ∨ y) = x ⊕ y = ¬(x ≡ y), = ¬(¬x ≡ (¬z ∨ y)) = x ≡ y = (¬x ∨ y)(¬y ∨ x), = ¬((¬¬x ∨ (¬z ∨ y))(¬(¬z ∨ y) ∨ ¬x)) = ¬¬x = x = ¬((x ∨ ¬z ∨ y)(¬(¬z ∨ y) ∨ ¬x)) = çàêîí äå Ìîðãàíà = ¬((x ∨ ¬z ∨ y)( z ¬y ∨ ¬x)) = çàêîí äå Ìîðãàíà = (¬xz¬y) ∨ ((¬z ∨ y)x) = äèñòðèáóòèâíûé = ¬xz¬y ∨ ¬zx ∨ yx = çàêîí = ¬x¬yz ∨ x¬z ∨ xy. àññîöèàòèâíûé çàêîí
9.4. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû Ïîñêîëüêó îäíà è òà æå áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè, âîçíèêàåò âîïðîñ î åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé, ò.å. íàõîæäåíèÿ òàêîé óíèâåðñàëüíîé ôîðìû, ÷òîáû êàæäàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ìîãëà áûòü ïðåäñòàâëåíà â íåé. Òàêèìè ôîðìàìè â áóëåâîé àëãåáðå ÿâëÿþòñÿ ñîâåðøåííûå äèçúþíêòèâíàÿ è êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíûå ôîðìû. Îïðåäåëåíèå 9.4. Âñÿêàÿ áóëåâà ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ ñ ïîìîùüþ îäíîé òîëüêî îïåðàöèè äèçúþíêöèè íàä áóëåâûìè ïåðåìåííûìè èëè èõ îòðèöàíèÿìè, íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé, èëè äèçúþíêòîì. Íàïðèìåð, x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ. Îïðåäåëåíèå 9.5. Âñÿêàÿ áóëåâà ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ ñ ïîìîùüþ îäíîé òîëüêî îïåðàöèè êîíúþíêöèè íàä ïåðåìåííûìè èëè èõ îòðèöàíèÿìè, íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé, èëè êîíúþíêòîì. Íàïðèìåð, x1x2 ¬x3 ¬x4 ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ. Òåîðåìà 9.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíÿëàñü åäèíèöå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â íåå âõîäèëà íåêîòîðàÿ ïåðåìåííàÿ âìåñòå ñî ñâîèì îòðèöàíèåì.
Áóëåâà àëãåáðà
155
Òåîðåìà 9.2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíÿëàñü íóëþ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â íåå âõîäèëà íåêîòîðàÿ ïåðåìåííàÿ âìåñòå ñî ñâîèì îòðèöàíèåì. Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåì 9.1, 9.2 ñëåäóåò èç àêñèîìû (9.4) è îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè. Îïðåäåëåíèå 9.6. Áóëåâà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êîíñòèòóåíòîé åäèíèöû (èëè ìèíòåðìîì), åñëè îíà ðàâíà åäèíèöå òîëüêî íà îäíîì íàáîðå ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå 9.7. Áóëåâà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êîíñòèòóåíòîé íóëÿ (èëè ìàêñòåðìîì), åñëè îíà ðàâíà íóëþ òîëüêî íà îäíîì íàáîðå ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ïðèìåð. Ñðåäè áóëåâûõ ôóíêöèé äâóõ àðãóìåíòîâ êîíúþíêöèÿ è ñòðåëêà Ïèðñà (x ↑ y = ¬(x ∨ y)) ÿâëÿþòñÿ êîíñòèòóåíòàìè åäèíèöû, à äèçúþíêöèÿ, èìïëèêàöèÿ, øòðèõ Øåôôåðà (x | y = = ¬(x ∧ y)) ÿâëÿþòñÿ êîíñòèòóåíòàìè íóëÿ. Òåîðåìà 9.3. Íå òîæäåñòâåííî ëîæíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ îò n ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ êîíñòèòóåíòîé åäèíèöû îò n ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: x0 = ¬x, x1 = x. Îáîçíà÷èì ïàðàìåòð 0 èëè 1 ÷åðåç α. Òîãäà õα = 1, åñëè x = α, è xα = 0, åñëè x ≠ α. Êðîìå òîãî, 1α = α, 0α = ¬α. Ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ âèäà x1α1x2α2
xnαn, î êîòîðîé èçâåñòíî, ÷òî îíà íå ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî. Èç òåîðåìû 9.2 ñëåäóåò, ÷òî âñå âõîäÿùèå â íåå ïåðåìåííûå ðàçëè÷íû è èì ìîæíî ïðèäàâàòü íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ. Ïðèäàäèì ïåðåìåííîé x1 çíà÷åíèå α1, x2 = α2 è ò. ä. äî xn = αn. Òîãäà ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ x1α1x2α2
xnαn ðàâíà åäèíèöå ïî ñàìîìó âûáîðó çíà÷åíèé x1, x2, ..., xn. Âûáîð ýòèõ çíà÷åíèé òàêîâ, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ xi âõîäèò â ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ ñ îòðèöàíèåì, òî αi = 0 è ïåðåìåííîé xi òîæå ïðèäàåì çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ, çíà÷åíèå õαi = ¬x = ¬0 = 1. Åñëè æå ïåðåìåííàÿ xi âõîäèò â ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ áåç îòðèöàíèÿ, òî αi = 1 è x1 = x = 1. Òàêèì îáðàçîì, áóäåò íàéäåí íàáîð, íà êîòîðîì äàííàÿ êîíúþíêöèÿ áóäåò ðàâíà åäèíèöå. Åäèíñòâåííîñòü òàêîãî íàáîðà ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè êîíúþíêöèè. Èç òåîðåìû 9.3 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêóþ êîíñòèòóåíòó åäèíèöû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî îáðàçîâàòü êîíúþíêöèþ âñåõ åå àðãóìåíòîâ è ðàññòàâèòü îòðèöàíèÿ íàä òåìè ïåðåìåííûìè, êîòîðûå ðàâíû íóëþ íà íàáîðå, îáðàùàþùåì ôóíêöèþ â åäèíèöó. Àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó ìîæíî äîêàçàòü äëÿ ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèè.
156
Ãëàâà 9
Òåîðåìà 9.4. Íå òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ îò n ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ êîíñòèòóåíòîé íóëÿ îò n ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ëþáóþ êîíñòèòóåíòó íóëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî îáðàçîâàòü äèçúþíêöèþ âñåõ ïåðåìåííûõ è ðàññòàâèòü îòðèöàíèÿ íàä òåìè ïåðåìåííûìè, êîòîðûå ðàâíû åäèíèöå íà íàáîðå, îáðàùàþùåì ôóíêöèþ â íóëü. Ïðèìåð. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, y, z, v) ðàâíà åäèíèöå íà åäèíñòâåííîì íàáîðå 0110. Òîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ êîíñòèòóåíòîé åäèíèöû è åå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: f(x, y, z, v) = ¬xyz¬v. Îïðåäåëåíèå 9.8. Äèçúþíêöèÿ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé, íå ñîäåðæàùàÿ äâóõ îäèíàêîâûõ êîíúþíêöèé, íàçûâàåòñÿ äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÄÍÔ). Îïðåäåëåíèå 9.9. Äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà, âñå êîíúþíêöèè êîòîðîé åñòü êîíñòèòóåíòû åäèíèöû, íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÄÍÔ). Îïðåäåëåíèå 9.10. Êîíúþíêöèÿ ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêöèé, íå ñîäåðæàùàÿ äâóõ îäèíàêîâûõ äèçúþíêöèé, íàçûâàåòñÿ êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÊÍÔ). Îïðåäåëåíèå 9.11. Êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà, âñå äèçúþíêöèè êîòîðîé åñòü êîíñòèòóåíòû íóëÿ, íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÊÍÔ). Òåîðåìà 9.5. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ÑÄÍÔ è ÑÊÍÔ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ áóëåâó ôóíêöèþ f(x1, x2, ..., xn), íå ÿâëÿþùóþñÿ êîíñòàíòîé. Ïóñòü α1, α2, ..., αk íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, à β1, β2, ..., βl íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ (l = 2n k). Ïîñòðîèì ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè Kα1(x1, ..., xn), Kα2(x1, ..., xn),
, Kαk(x1, ..., xn), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò âñå n ïåðåìåííûõ è íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî ëîæíîé. Ïîñòðîèì ýòè ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû Kα1 ïðèíèìàëà çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, íà íàáîðå α1, Kα2 íà íàáîðå α2 è ò. ä. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.3, êàæäàÿ èç ýòèõ êîíúþíêöèé ÿâëÿåòñÿ êîíñòèòóåíòîé åäèíèöû è íà îñòàëüíûõ íàáîðàõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Ïî ñâîåìó ïîñòðîåíèþ ñîâîêóïíîñòü âñåõ ýòèõ êîíñòèòóåíò åäèíèöû îïèñûâàåò âñå åäèíèöû äàííîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó èõ äèçúþíêöèÿ ðàâíîñèëüíà äàííîé ôóíêöèè: f(x 1,..., x n) = K α1(x 1, ..., x n) ∨ ∨ Kα2(x1, ..., xn) ∨ ... ∨ Kαk(x1, ..., xn). Ïî îïðåäåëåíèþ 9.9 ïîëó÷åííàÿ
Áóëåâà àëãåáðà
157
ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé äàííîé ôóíêöèè. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà A = Kβ1 ∧ Kβ2 ∧
∧Kβl, ÿâëÿþùàÿñÿ êîíúþíêöèåé âñåõ êîíñòèòóåíò íóëÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íàáîðàì, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ, ðàâíîñèëüíà äàííîé ôóíêöèè, è ÿâëÿåòñÿ ÑÊÍÔ ôóíêöèè. Ïðèìåð. Ïóñòü áóëåâà ôóíêöèÿ f(x, y, z) çàäàíà òàáë. 9.4. Ïîñòðîèì ÑÄÍÔ è ÑÊÍÔ äàííîé ôóíêöèè. Òàáëèöà 9.4. x y z f(x, y, z)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÑÄÍÔ áóëåâîé ôóíêöèè íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âñå íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàâíà åäèíèöå, è îáðàçîâàòü êîíñòèòóåíòû åäèíèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì íàáîðàì. Ïîëó÷åííûå êîíñòèòóåíòû îáúåäèíèòü çíàêàìè äèçúþíêöèè. Ïîëó÷èì ÑÄÍÔ: f(x, y, z) = ¬x¬y¬z ∨ ¬xyz ∨ x¬y¬z ∨ x¬yz. Äâîéñòâåííîå ïðàâèëî ñóùåñòâóåò äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÑÊÍÔ. Ðàññìîòðèì âñå íàáîðû, íà êîòîðûõ áóëåâà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ. Îáðàçóåì âñå êîíñòèòóåíòû íóëÿ êàê ýëåìåíòàðíûå äèçúþíêöèè, â êîòîðûõ êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ áåðåòñÿ áåç îòðèöàíèÿ, åñëè îíà ðàâíà íóëþ, è ñ îòðèöàíèåì, åñëè îíà ðàâíà åäèíèöå â äàííîì íàáîðå. Ñîåäèíèâ âñå êîíñòèòóåíòû íóëÿ ñèìâîëàìè êîíúþíêöèè, ïîëó÷èì ÑÊÍÔ: f(x, y, z) = (x ∨ y ∨ ¬z)(x ∨ ¬y ∨ z)(¬x ∨ ¬y ∨ z)(¬x ∨ ¬y ∨ ¬z). Äðóãîé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëþáóþ áóëåâó ôîðìóëó ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó ÄÍÔ (ÊÍÔ) è ÑÄÍÔ (ÑÊÍÔ) ñ ïîìîùüþ ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (9.1) (9.17). Ïðèìåð. Ïðèâåäåì ê ÑÄÍÔ ôîðìóëó (x → y) → xz.  ñèëó òîãî, ÷òî x → y = ¬x ∨ y, ïîëó÷èì: (x → y) → xz = ¬(¬x ∨ y) ∨ xz = = x¬y ∨ xz. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ïðåäñòàâëåíà â ÄÍÔ, è äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü åå ïðåäñòàâëåíèå â ÑÄÍÔ, «äîìíîæèì» x¬y íà z ∨ ¬z, è xz íà y ∨ ¬y. Òîãäà x¬y(z ∨ ¬z) ∨ xz(y ∨ ¬y) = = x¬yz ∨ x¬y¬z ∨ xyz ∨ x¬yz.  ñèëó èäåìïîòåíòíîñòè, x¬yz ∨ x¬yz = = x¬yz, ïîýòîìó ÑÄÍÔ åñòü x¬yz ∨ x¬y¬z ∨ xyz.
158
Ãëàâà 9
Áóëåâà àëãåáðà
159
9.5. Àëãåáðà Æåãàëêèíà
9.6. Ñâîéñòâà áóëåâûõ ôóíêöèé
Îïðåäåëåíèå 9.12. Ñèñòåìà ýëåìåíòîâ {0,1}, íà êîòîðîé îïðåäåëåíû îïåðàöèè ∧ (êîíúþíêöèÿ) è ⊕ (ñëîæåíèå ïî mod 2), äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (9.18) x ⊕ y = y ⊕ x, (9.19) x (y ⊕ z) = xy ⊕ xz, (9.20) x ⊕ x = 0, (9.21) x ⊕ 0 = x, à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ áóëåâîé àëãåáðû (9.3, 9.4, 9.6, 9.7, 9.10, 9.11), îòíîñÿùèåñÿ ê êîíúþíêöèè è êîíñòàíòàì, íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Æåãàëêèíà. Èç òàáëèöû èñòèííîñòè îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ïî mod 2 ñëåäóåò, ÷òî (9.22) ¬x = x ⊕ 1. Îïåðàöèþ äèçúþíêöèè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ⊕ è ∧ òàê: (9.23) x ∨ y = ¬(¬x ¬y) = (x ⊕ 1)(y ⊕ 1) ⊕ 1 = xy ⊕ x ⊕ y. Îïðåäåëåíèå 9.13. Âñÿêàÿ ôîðìóëà àëãåáðû Æåãàëêèíà, èìåþùàÿ âèä ñóììû (ïî mod 2) êîíúþíêöèé áóëåâûõ ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà. Åñëè â êàæäûé ÷ëåí ïîëèíîìà Æåãàëêèíà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ âõîäèò îäèí ðàç è ïîëèíîì íå ñîäåðæèò îäèíàêîâûõ ÷ëåíîâ, òî òàêîé ïîëèíîì Æåãàëêèíà íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì. Òåîðåìà 9.6. Âñÿêàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìà â âèäå êàíîíè÷åñêîãî ïîëèíîìà Æåãàëêèíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Âñÿêóþ áóëåâó ôîðìóëó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîëèíîìà Æåãàëêèíà, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (9.22), (9.23). Èç (9.23) ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ôóíêöèè f1 è f2 òàêîâû, ÷òî f1 ∧ f2 = 0, òî f1 ∨ f2 = f1 ⊕ f2. Îòñþäà ñëåäóåò ïðàâèëî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâîé ôóíêöèè â âèäå ïîëèíîìà Æåãàëêèíà: äëÿ áóëåâîé ôîðìóëû, çàäàííîé â âèäå ÑÄÍÔ, äîñòàòî÷íî çàìåíèòü çíàê ∨ íà çíàê ⊕, ïðåäñòàâèòü îòðèöàíèÿ ïåðåìåííûõ êàê ¬x = x ⊕ 1, ðàñêðûòü ñêîáêè ïî çàêîíó äèñòðèáóòèâíîñòè (9.19) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû ñîãëàñíî (9.20, 9.21). Ïðèìåð. Ïðèâåäåì ê êàíîíè÷åñêîìó ïîëèíîìó Æåãàëêèíà áóëåâó ôóíêöèþ èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà: f(x, y, z) = x¬yz ∨ x¬y¬z ∨ xyz. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ íàõîäèòñÿ â ÑÄÍÔ, çàìåíèì ñèìâîëû ∨ íà ⊕, ïîëó÷èì: f(x, y, z) = x¬yz ⊕ x¬y¬z ⊕ xyz = x(y ⊕ 1)z ⊕ x(y ⊕ ⊕ 1)(z ⊕ 1) ⊕ xyz = xyz ⊕ xz ⊕ xyz ⊕ xz ⊕ xy ⊕ x ⊕ xyz = = xyz ⊕ xy ⊕x.
Îïðåäåëåíèå 9.14. Ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ âûðàçèìà ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà âèäà ∑αιxι ⊕ γ, ãäå αι, γ åñòü 0 èëè 1, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé. Âñå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé ëèíåéíû. Ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè äâóõ ïåðåìåííûõ ÿâëÿþòñÿ x ⊕ y è x ≡ y: x ≡ y = ¬x¬y ∨ xy = = (x ⊕ 1)(y ⊕ 1) ⊕ xy = xy ⊕ x ⊕ y ⊕ 1 ⊕ xy = x ⊕ y ⊕ 1. Îïðåäåëåíèå 9.15. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ áóëåâà ôîðìóëà A. Ôîðìóëà A* íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ôîðìóëå A, åñëè îíà ïîëó÷àåòñÿ èç A ïóòåì çàìåíû îïåðàöèé êîíúþíêöèè íà äèçúþíêöèþ, äèçúþíêöèè íà êîíúþíêöèþ, 1 íà 0, 0 íà 1 âñþäó, ãäå îíè âõîäÿò. Íàïðèìåð: A = xy ∨ ¬x¬y; A* = (x ∨ y)(¬x ∨ ¬y). Òåîðåìà 9.7. Åñëè A(x1,...,xn) è A*(x1,...,xn) - äâå âçàèìíî äâîéñòâåííûå ôîðìóëû, òî ¬A(x1, ..., xn) = A*(¬x1, ..., ¬xn). Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç çàêîíîâ äå Ìîðãàíà. Îïðåäåëåíèå 9.16. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé, åñëè îíà äâîéñòâåííà ñàìîé ñåáå, ò.å. A(x1, x2, ..., xn) = ¬A(¬x1, ¬x2, ..., ¬xn), èëè ¬A(x1, x2, ..., xn) = A(¬x1, ¬x2, ..., ¬xn). Äëÿ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé îòðèöàíèå åå àðãóìåíòîâ ïðèâîäèò ê îòðèöàíèþ ñàìîé ôóíêöèè, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðàõ ïðèíèìàåò ïðîòèâîïîëîæíûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ xy ∨ xz ∨ yz ñàìîäâîéñòâåííà. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, âîçüìåì îòðèöàíèÿ îò êàæäîé ïåðåìåííîé è îò âñåé ôóíêöèè: ¬(¬x¬y ∨ ¬x¬z ∨ ¬y¬z) = (x ∨ y)(x ∨ z)(y ∨ z) = = (x ∨ xy ∨ xz ∨ yz)(y ∨ z) = = xy ∨ xy ∨ xyz ∨ yz ∨ xz ∨ xyz ∨ xz ∨ yz = = xy ∨ xz ∨yz. Ìíîæåñòâî íàáîðîâ áóëåâîé ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî è îáðàçóåò áóëåâó ðåøåòêó 2n. Áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî çàäàòü íà ýòîé ðåøåòêå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 9.1, ïðè÷åì ñðåäè áóëåâûõ ôóíêöèé ìîæíî âûäåëèòü òàêèå, êîòîðûå íå óáûâàþò ñ âîçðàñòàíèåì çíà÷åíèé íàáîðîâ íà áóëåâîé ðåøåòêå. Òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 9.1. ïîêàçàíà ìîíîÐèñ. 9.1. òîííàÿ ôóíêöèÿ. Ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ.
160
Ãëàâà 9
Îáû÷íî îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà íàáîðàõ áóëåâûõ ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ òàê. Ðàññìîòðèì äâà íàáîðà: A = (α1, ..., αi, ..., αn) è B = (β1, ..., βi,..., βn). Åñëè äëÿ âñåõ i (i = 1, ..., n) αi ≤ βi, è ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî òàêîå j, ïðè êîòîðîì αj < βj, òî íàáîð A ïðåäøåñòâóåò (ìåíüøå) íàáîðó B. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ: A ≤ B. Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ i αi ≤ βi è ñóùåñòâóåò òàêîå j, ÷òî αi > βi, òî íàáîðû A è B íåñðàâíèìû. Íàïðèìåð: íàáîðû (0101) è (0010) íåñðàâíèìû, à íàáîð (0101) ïðåäøåñòâóåò íàáîðó (0111). Îïðåäåëåíèå 9.17. Áóëåâà ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ íàáîðîâ A è B èç åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, òàêèõ, ÷òî A ≤ B, f(A) ≤ f(B). Åñëè õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû íàáîðîâ, òàêèõ, ÷òî A ≤ B, f(A) > f(B), òî ôóíêöèÿ íåìîíîòîííà. Ñðåäè áóëåâûõ ôóíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ êîíúþíêöèÿ, äèçúþíêöèÿ, êîíñòàíòû 0 è 1 ìîíîòîííû, à ôóíêöèè îòðèöàíèÿ, èìïëèêàöèè, ýêâèâàëåíòíîñòè, øòðèõ Øåôôåðà, ñòðåëêà Ïèðñà íåìîíîòîííû. Íàïðèìåð, èìïëèêàöèÿ íà íàáîðå (00) ðàâíà 1, à íà íàáîðå (10) 0, à ïîñêîëüêó (00) ≤ (10), òî ïîëó÷àåì, ÷òî f(0,0) > f(1,0), ò.å. ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè íå âûïîëíåíî. Îïðåäåëåíèå 9.18. Áóëåâà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, ñîõðàíÿþùåé íóëü, åñëè íà íóëåâîì íàáîðå îíà ðàâíà íóëþ, ò.å. f(0,
, 0) = 0. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèè 0, x, x ∧ y, x ∨ y, x ⊕ y ñîõðàíÿþò 0, à ôóíêöèè 1, ¬x, x ≡ y íå ñîõðàíÿþò 0. Îïðåäåëåíèå 9.19. Áóëåâà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, ñîõðàíÿþùåé åäèíèöó, åñëè íà åäèíè÷íîì íàáîðå îíà ðàâíà åäèíèöå, ò.å. f(1,
, 1) = 1. Íàïðèìåð, ôóíêöèè 1, x, x ∧ y, x ∨ y ñîõðàíÿþò 1, à 0, ¬x, x ⊕ y íåò.
9.7. Ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûå êëàññû áóëåâûõ ôóíêöèé Îïðåäåëåíèå 9.20. Êëàññ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûì, åñëè ñóïåðïîçèöèÿ ýòèõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæèò äàííîìó êëàññó. Òåîðåìà 9.8. Ñóïåðïîçèöèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ ëèíåéíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â ëèíåéíûé ïîëèíîì Æåãàëêèíà íà ìåñòî êàêîé-ëèáî ïåðåìåííîé ïîäñòàâèòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, òî âíîâü ïîëó÷åííûé ïîëèíîì áóäåò òàêæå ëèíåéíûì. Âîçüìåì ïîëèíîì: α1x1 ⊕
⊕ αixi ⊕
⊕ αnxn ⊕ γ. Ïîäñòàâèì âìåñòî x1 ëèíåéíûé ïîëèíîì Σβiyi ⊕ ξ. Ïîëó÷èì ëèíåéíûé ïîëèíîì: α1β1y1 ⊕
⊕ α1βiyi ⊕
Áóëåâà àëãåáðà
161
⊕
⊕ α1βmym ⊕ α1ξ ⊕
⊕ αnxn ⊕ γ. Ñëåäîâàòåëüíî, êëàññ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóò. Òåîðåìà 9.9. Ñóïåðïîçèöèÿ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ ìîíîòîííàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, êëàññ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè f(x1,
, xn), g1(y1,
, yk),
, g n (y 1,
, y k ) ìîíîòîííû. Ñîñòàâèì ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé ϕ = f(g1,
, gn). Ïóñòü α è β äâà íàáîðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ y1,
, yk, ïðè÷åì α ≤ β.  ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé g1,
, gn g1(α) ≤ g1(β),
, gn(α) ≤ gn(β), ïîýòîìó íàáîðû çíà÷åíèé ôóíêöèé óïîðÿäî÷åíû: (g1(α),
, gn (α)) ≤ (g1(β),
, gn (β)), à â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè f f(g1(α),
, gn(α)) ≤ f(g1(β),
, gn(β)). Îòñþäà ïîëó÷àåì ϕ(α) ≤ ϕ(β). Òåîðåìà 9.10. Êëàññ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ íóëü, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè f(x1,
, xn), g1(y1,
, yk),
, gn(y1,
, yk) ñîõðàíÿþò íóëü. Ñîñòàâèì ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé ϕ = f(g1,
, gn). Òîãäà ϕ(0,
, 0) = f(g1(0,
, 0),
, gn(0,
, 0)) = f(0,
, 0) = 0. Òåîðåìà 9.11. Êëàññ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ åäèíèöó, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûì. Äîêàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííî òåîðåìå 9.10. Òåîðåìà 9.12. Êëàññ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè f(x1,
, xn), g1(y1,
, yk),
, gn(y1,
, yk) ñàìîäâîéñòâåííû. Ñîñòàâèì ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé ϕ = f(g1,
, gn). Òîãäà ϕ* = f*(g1*,
, gn*) = f(g1,
, gn) = ϕ.
9.8. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîëíîòà ñèñòåì áóëåâûõ ôóíêöèé Îïðåäåëåíèå 9.21. Ñèñòåìà áóëåâûõ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî ïîëíîé, åñëè ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé èç ýòîé ñèñòåìû. Îáîçíà÷èì: T0 êëàññ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ 0; T1 êëàññ ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ 1; S êëàññ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé; M êëàññ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé; L êëàññ ëèíåéíûõ ôóíêöèé.
162
Ãëàâà 9
Òåîðåìà 9.13 (Ïîñòà). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñèñòåìà ôóíêöèé áûëà ïîëíà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà ñîäåðæàëà õîòÿ áû îäíó íåìîíîòîííóþ, õîòÿ áû îäíó íåëèíåéíóþ, õîòÿ áû îäíó íåñàìîäâîéñòâåííóþ, õîòÿ áû îäíó, íå ñîõðàíÿþùóþ íóëü, è õîòÿ áû îäíó, íå ñîõðàíÿþùóþ åäèíèöó, ôóíêöèþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò èç ôóíêöèîíàëüíîé çàìêíóòîñòè è íåïîëíîòû êëàññîâ ìîíîòîííûõ, ëèíåéíûõ, ñîõðàíÿþùèõ 0, ñîõðàíÿþùèõ 1 è ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé. Äîêàçàíî (òåîðåìû 9.9 9.12), ÷òî ôóíêöèÿ, íå ïðèíàäëåæàùàÿ äàííîìó ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòîìó êëàññó, íå ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ïóòåì ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèé ýòîãî êëàññà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè ïîêàæåì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé, íå ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðûì èç êëàññîâ T0, T1, S, M, L, ìîæíî ïîñòðîèòü íåêîòîðóþ ïîëíóþ ñèñòåìó ôóíêöèé. Òàêîé (ïîëíîé) ñèñòåìîé ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, îòðèöàíèå è êîíúþíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå ÑÄÍÔ, ò.å. êàê ñóïåðïîçèöèÿ ¬, ∧, ∨. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà {¬, ∧, ∨} ôóíêöèîíàëüíî ïîëíà. Ìîæíî èñêëþ÷èòü èç íåå ∨, òàê îíà ïðåäñòàâèìà êàê ñóïåðïîçèöèÿ ¬ è ∧: x ∨ y = ¬(¬x ∧ ¬y). Ñíà÷àëà ïîñòðîèì êîíñòàíòû. Åñëè ôóíêöèÿ f(x1,
, xn) íåñàìîäâîéñòâåííà, òî ïîäñòàíîâêîé â íåå x è ¬x ìîæíî ïîëó÷èòü êîíñòàíòó. Äåéñòâèòåëüíî, ââèäó íåñàìîäâîéñòâåííîñòè f(x1,
, xn) ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð (α1, ..., αn), ÷òî f(α1, ..., αn) = f(¬α1, ..., ¬αn). Òîãäà ôóíêöèÿ ϕ(x) = f(xα1,
, xnαn) ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, òàê êàê ϕ(0) = f(0α1,
, 0αn) = f((¬α1, ..., ¬αn) = f(α1, ..., αn) = f(1α1,
, 1αn) = ϕ(1). Êîíñòàíòó 1 ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè, íå ñîõðàíÿþùåé 0 è ñîõðàíÿþùåé 1, ò.å. íåñàìîäâîéñòâåííîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f íå ñîõðàíÿåò 0. Òîãäà ϕ(0) = f(0,
, 0) = 1, à åñëè ïðè ýòîì f ñîõðàíÿåò 1, òî ϕ(1) = f(1,
,1) = 1, ò.å. êîíñòàíòà 1 ïîñòðîåíà. Äâîéñòâåííî, ïóñòü f1 íå ñîõðàíÿåò 1. Òîãäà ψ(x) = f1(ϕ(x),
, ϕ(x)) = = f1(1,
, 1)) = 0, ò.å. ψ(x) åñòü êîíñòàíòà 0. Åñëè æå f(1,
,1)) = 0, òî ϕ(x) = ¬x, òàê êàê ϕ(0) = 1 ïî îïðåäåëåíèþ f, à ϕ(1) = 0. Òîãäà, åñëè âçÿòü íåñàìîäâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ f2 , òî, ïîäñòàâëÿÿ â íåå x è ¬x, òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü êîíñòàíòó, à ñ ïîìîùüþ åùå îäíîãî îòðèöàíèÿ, ïîëó÷èòü äðóãóþ êîíñòàíòó. Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé, íå ñîõðàíÿþùèõ 0, íå ñîõðàíÿþùèõ 1 è íåñàìîäâîéñòâåííûõ, ìîæíî ïîñòðîèòü êîíñòàíòû 0, 1. Ñ ïîìîùüþ íåìîíîòîííîé ôóíêöèè ïîäñòàíîâêîé â íåå êîíñòàíò ìîæíî ïîëó÷èòü îòðèöàíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f íåìîíîòîííà. Òîãäà ñóùåñòâóþò íàáîðû α è β, òàêèå, ÷òî α ≤ β, f(α) = 1, f(β) = 0. Ïîñêîëüêó α ≤ β, òî â α åñòü íåñêîëüêî, íàïðèìåð, k ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ðàâíû 0, â òî âðåìÿ êàê â β ýòè æå ýëåìåíòû ðàâíû 1. Âîçüìåì íàáîð α è çàìåíèì â íåì ïåðâûé òàêîé íóëåâîé
Áóëåâà àëãåáðà
163
ýëåìåíò íà 1, ïîëó÷èì íàáîð α ≤ α1, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ îò α òîëüêî îäíèì ýëåìåíòîì (òàêèå íàáîðû íàçûâàþò ñîñåäíèìè). Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ k ðàç, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàáîðîâ α ≤ α1 ≤
≤ α k1 ≤ β , â êîòîðîé ëþáûå äâà ñîñåäíèõ íàáîðà îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî îäíèì ýëåìåíòîì.  ýòîé öåïî÷êå íàéäóòñÿ äâà òàêèå íàáîðà αi, αi+1, ÷òî f(αi) = 1, f(αi+1) = 0. Ïóñòü ýòè íàáîðû îòëè÷àþòñÿ i-ì ýëåìåíòîì (çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé xi), îñòàëüíûå ýëåìåíòû îäèíàêîâû. Ïîäñòàâèì â f ýòè çíà÷åíèÿ. Òîãäà ïîëó÷èì ôóíêöèþ f(αi1,
, xi, αii+1,
, αin) = g(xi), êîòîðàÿ çàâèñèò òîëüêî îò xi. Òîãäà g(0) = g(αii) = f(αi) = 1, g(1) = g(αi+1i) = f(αi+1) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g(xi) = ¬xi. Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè â íåëèíåéíóþ ôóíêöèþ êîíñòàíò è èñïîëüçîâàíèÿ îòðèöàíèÿ ìîæíî ïîñòðîèòü êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ f íåëèíåéíàÿ, òî åå ïîëèíîì Æåãàëêèíà ñîäåðæèò êîíúþíêöèþ ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð, K = x1 x2
xk. Ïîëîæèì x3 =
= xk = 1, à äëÿ âñåõ xj, íå ñîäåðæàùèõñÿ â K, xj = 0. Òîãäà êîíúþíêöèÿ K = x1x2, îñòàëüíûå êîíúþíêöèè îáðàòÿòñÿ â 0, à ïîëèíîì Æåãàëêèíà ïðèìåò âèä ϕ(x1, x2) = x1x2 ⊕ α1x1 ⊕ α2x2 ⊕ γ, ãäå α1, α2, γ êîýôôèöèåíòû, ðàâíûå 0 èëè 1. Ïðè ïîäñòàíîâêå ðàçëè÷íûõ êîíñòàíò âìåñòî α1, α2, γ áóäóò ïîëó÷åíû ðàçíûå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ψ(x1, x2), ïîëó÷àåìóþ èç ϕ(x1, x2) ñëåäóþùèì îáðàçîì: ψ(x1, x2) = ϕ(x1 ⊕ α2, x2 ⊕ α1) ⊕ α1α2 ⊕ γ = = (x1⊕ α2)(x2 ⊕ α1) ⊕ α1(x1 ⊕ α2) ⊕ α2(x2 ⊕ α1) ⊕ γ ⊕ α1α2 ⊕ γ = x1x2. Òàêèì îáðàçîì, êîíúþíêöèÿ ïîëó÷åíà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèçúþíêöèè ïî çàêîíàì äå Ìîðãàíà ïîòðåáóåòñÿ òîëüêî îòðèöàíèå. Ïðèìåð. Ñèñòåìû ôóíêöèé {∨, ∧, ¬}, {⊕, ∧, 0, 1}, {→, ¬} ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî ïîëíûìè. Äëÿ ïðèìåðà ïðîâåðèì ïîëíîòó ñèñòåìû ôóíêöèé {¬, →}. Äëÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû ñîñòàâèì òàáëèöó Ïîñòà (ñì. òàáë. 9.5). Åñëè ôóíêöèÿ âõîäèò â ôóíêöèîíàëüíî çàìêíóòûé êëàññ, òî â òàáëèöå Ïîñòà â ñîîòâåòñòâóþùåé ÿ÷åéêå ñòàâèòñÿ çíàê «+», èíà÷å çíàê «». Ôóíêöèÿ ¬x íå ñîõðàíÿåò 0 è 1, òàê êàê íà íóëåâîì íàáîðå îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, à íà åäèíè÷íîì 0. Î÷åâèäíî, ÷òî äàííàÿ ôóíêöèÿ íåìîíîòîííà. Ôóíêöèÿ ñàìîäâîéñòâåííà, òàê êàê íà ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðàõ îíà ïðèíèìàåò ïðîòèâîïîëîæíûå çíà÷åíèÿ. Ôóíêöèÿ ëèíåéíà åå ïîëèíîì Æåãàëêèíà: ¬õ = õ ⊕ 1. Ôóíêöèÿ õ → ó íå ñîõðàíÿåò 0 è ñîõðàíÿåò 1. Ýòà ôóíêöèÿ íåìîíîòîííà, òàê êàê íàáîð (0, 0) ïðåäøåñòâóåò íàáîðó (1, 0), íî 0 → 0 = 1, à 1 → 0 = 0. Íà ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðàõ (0, 0) è (1, 1) ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ 1, ñëåäîâàòåëüíî, îíà íåñàìîäâîéñòâåííà.
164
Ãëàâà 9
Äëÿ ïðîâåðêè ëèíåéíîñòè õ → ó ïîñòðîèì êàíîíè÷åñêèé ïîëèíîì Æåãàëêèíà: õ → ó = ¬x¬ó ∨ ¬xó ∨ õó = (õ ⊕ 1)(ó ⊕ 1) ⊕ (õ ⊕ 1)ó ⊕ õó = = õó ⊕ õ ⊕ 1. Ôóíêöèÿ íåëèíåéíà, òàê êàê ñîäåðæèò ýëåìåíò õó. Òàáëèöà 9.5 ¬ →
Ò0
Ò1 +
S +
M
L +
Ñèñòåìà ôóíêöèé {¬, →} ïîëíà, òàê êàê â êàæäîì ñòîëáöå òàáëèöû Ïîñòà èìååòñÿ õîòÿ áû îäèí çíàê «».
9.9. Ìèíèìèçàöèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Îïðåäåëåíèå 9.22. Èìïëèêàíòîé áóëåâîé ôóíêöèè f(x1, ..., xn) íàçûâàåòñÿ òàêàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ g(x1, ..., xn), êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå íà íåêîòîðûõ èç òåõ íàáîðîâ, íà êîòîðûõ ðàâíà åäèíèöå äàííàÿ ôóíêöèÿ, è ðàâíà íóëþ íà îñòàëüíûõ íàáîðàõ (Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ g èìïëèêàíòà f, åñëè g → f ≡ 1.) Ãîâîðÿò, ÷òî èìïëèêàíòà g ïîêðûâàåò ñâîèìè åäèíèöàìè íåêîòîðûå åäèíèöû äàííîé ôóíêöèè f. Åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà â âèäå ÄÍÔ, ò.å. â âèäå äèçúþíêöèè ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé, òî êàæäûé êîíúþíêò ÿâëÿåòñÿ èìïëèêàíòîé äàííîé ôóíêöèè. Äëèíà íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé ìîæåò áûòü óìåíüøåíà ñ ïîìîùüþ ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: (9.24) çàêîí íåïîëíîãî ñêëåèâàíèÿ: xy ∨ ¬xy = y; (x ∨ y)(¬x ∨ y) = y; (9.25) çàêîí ïîëíîãî ñêëåèâàíèÿ: xy ∨ ¬xz = xy ∨ ¬xz ∨ yz; (x ∨ y)(¬x ∨ z) = (x ∨ y)(¬x ∨ z)(y ∨ z); (9.26) çàêîíû ïîãëîùåíèÿ: x ∨ xy = x; x(x ∨ y) = x; (9.27) x ∨ ¬xy = x ∨ y; x (¬x ∨ y) = xy. Îïðåäåëåíèå 9.23. Ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èìïëèêàíòîé ôóíêöèè f, íî íèêàêàÿ åå ñîáñòâåííàÿ ÷àñòü èìïëèêàíòîé ýòîé ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ, íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé èìïëèêàíòîé äàííîé ôóíêöèè.
Áóëåâà àëãåáðà
165
Äëèíà ïðîñòîé èìïëèêàíòû óæå íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà ïóòåì ñêëåèâàíèÿ åå ñ äðóãèìè èìïëèêàíòàìè äàííîé ôóíêöèè. Îïðåäåëåíèå 9.24. Äèçúþíêöèÿ âñåõ ïðîñòûõ èìïëèêàíò áóëåâîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ñîêðàùåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé áóëåâîé ôóíêöèè. Ïðèìåð. Ñîêðàòèì ôîðìóëó: F(x, y, z) = xyz ∨ x¬yz ∨ xy¬z ∨ ∨ ¬xy¬z. Ñêëåèì êîíñòèòóåíòû: xyz ∨ x¬yz = xz, xy¬z ∨ ¬xy¬z = = y¬z, xyz∨ xy¬z = xy. Ïîëó÷èì ñîêðàùåííóþ ôîðìó: F(x, y, z) = = xz ∨ y¬z ∨ xy. Ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ èìïëèêàíò ïîêðûâàåò âñå åäèíèöû áóëåâîé ôóíêöèè. Îäíàêî ïðåäñòàâëåíèå áóëåâîé ôóíêöèè â âèäå ñîêðàùåííîé ÄÍÔ åùå íå ÿâëÿåòñÿ ñàìûì ýêîíîìè÷íûì. Ñðåäè ìíîæåñòâà ïðîñòûõ èìïëèêàíò ìîãóò îêàçàòüñÿ ëèøíèå, ò.å. òàêèå, êîòîðûå ïîêðûâàþò åäèíèöû ôóíêöèè, óæå ïîêðûòûå äðóãèìè èìïëèêàíòàìè. Óäàëÿÿ íåíóæíûå èìïëèêàíòû, ìîæíî ïîëó÷èòü òóïèêîâóþ äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó. Òóïèêîâàÿ ÄÍÔ, ñîäåðæàùàÿ íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî èìïëèêàíò è ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé ÄÍÔ. 9.9.1. Ìåòîä Êâàéíà ïîëó÷åíèÿ ñîêðàùåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû Òåîðåìà 9.14 (Êâàéíà). Åñëè â ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå áóëåâîé ôóíêöèè ïðîèçâåñòè âñå îïåðàöèè íåïîëíîãî ñêëåèâàíèÿ (9.24), à çàòåì âñå îïåðàöèè ïîãëîùåíèÿ (9.25, 9.26), òî â ðåçóëüòàòå áóäåò ïîëó÷åíà ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ äàííîé ôóíêöèè. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîëüíîé ÄÍÔ ê âèäó ÑÄÍÔ íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü ê ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì, ñîäåðæàùèì íå âñå ïåðåìåííûå, îïåðàöèþ ðàçâåðòûâàíèÿ, íàïðèìåð: xy(z ∨ ¬z) = = xyz ∨ xy¬z, ãäå z íåäîñòàþùàÿ ïåðåìåííàÿ. Ïðèìåð. Áóëåâà ôóíêöèÿ çàäàíà â âèäå: f(x, y, z) = ¬xyz ∨ ∨ x¬y¬z ∨ ¬yz. Ïðèâåäåì ôîðìóëó ê ÑÄÍÔ: f(x, y, z) = = ¬xyz ∨ ∨ x¬y¬z ∨ ¬yz(x ∨ ¬x) = ¬xyz ∨ x¬y¬z ∨ x¬yz ∨ ¬x¬yz. Âûïèøåì âñå êîíñòèòóåíòû åäèíèöû è ïðîèçâåäåì âñå îïåðàöèè íåïîëíîãî ñêëåèâàíèÿ: * ¬xyz
¬yz
* x¬yz
x¬y
* x¬y¬z
¬xz
* ¬x¬yz
166
Ãëàâà 9
Îòìå÷àåì âñå ñêëåèâàþùèåñÿ êîíúþíêöèè ñèìâîëîì «*». Îíè ïîãëîùàþòñÿ èìïëèêàíòàìè, ïîëó÷åííûìè â ðåçóëüòàòå ñêëåèâàíèÿ. Íåîòìå÷åííûå êîíúþíêöèè íè÷åì íå ïîãëîùàþòñÿ è ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè èìïëèêàíòàìè. Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ äàííîé ôóíêöèè: f(x, y, z) = ¬yz ∨ x¬y ∨ ¬xz. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîé ÄÍÔ ñîñòàâèì èìïëèêàíòíóþ ìàòðèöó (òàáë. 9.6), â êîòîðîé ïî ñòðîêàì çàïèñûâàåì èìïëèêàíòû, ïî ñòîëáöàì êîíñòèòóåíòû åäèíèöû. Òàáëèöà 9.6 ¬yz x¬y * ¬xz *
¬xyz
x¬y¬
x¬yz × ×
Áóëåâà àëãåáðà
167
ëåâîé ôóíêöèè. Íàïðèìåð, äâå åäèíèöû íà íàáîðàõ 7 è 15, ïîêðûâàþòñÿ èìïëèêàíòîé yzt, ÷åòûðå åäèíèöû íà íàáîðàõ 2,3,7,6 èìïëèêàíòîé ¬xz. Ïðè ýòîì ñîñåäíèìè ñ÷èòàþòñÿ òàêæå êëåòêè, ñòîÿùèå âäîëü ëåâîãî è ïðàâîãî êðàÿ äèàãðàììû (îòëè÷àþòñÿ çíà÷åíèåì y) è âäîëü âåðõíåãî è íèæíåãî êðàÿ (îòëè÷àþòñÿ çíà÷åíèåì x).
¬x¬yz ×
× × × * * + +  êëåòêàõ òàáëèöû êðåñòèêàìè îòìå÷àåì èìïëèêàíòû, ïîêðûâàþùèå åäèíèöû äàííîé ôóíêöèè. Âíèçó òàáëèöû ñèìâîëîì «*» îòìå÷àåì òå ñòîëáöû, â êîòîðûõ ñòîèò òîëüêî îäèí êðåñòèê, ñîîòâåòñòâóþùèå èì èìïëèêàíòû òàêæå îòìå÷àåì ñèìâîëîì «*» îíè ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíûìè. Îòìå÷àåì òàêæå ñèìâîëîì «+» òå ñòîëáöû, êîòîðûå ïîêðûâàþòñÿ îáÿçàòåëüíûìè èìïëèêàíòàìè. Åñëè âñå ñòîëáöû îòìå÷åíû, òî ïîëó÷åííûé íàáîð îáÿçàòåëüíûõ èìïëèêàíò ñîñòàâëÿåò ìèíèìàëüíóþ ÄÍÔ. Åñëè ÷àñòü ñòîëáöîâ îñòàåòñÿ íåïîêðûòîé, èç îñòàâøèõñÿ èìïëèêàíò âûáèðàåòñÿ íàèìåíüøåå ÷èñëî íàèáîëåå êîðîòêèõ èìïëèêàíò òàê, ÷òîáû âñå ñòîëáöû áûëè ïîêðûòû.  íàøåì ïðèìåðå ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ: f(x, y, z) = x¬y ∨ ¬xz. 9.9.2. Ìèíèìèçàöèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì Âåé÷à Áóëåâû ôóíêöèè ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ãðàôè÷åñêè ñ âèäå äèàãðàìì Âåé÷à èëè êàðò Êàðíî (îíè ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî îáîçíà÷åíèÿìè êëåòîê òàáëèöû). Ðàññìîòðèì äèàãðàììû Âåé÷à äëÿ ôóíêöèé îò òðåõ è ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ (ñì. ðèñ. 9.2). Êàæäàÿ êëåòêà äèàãðàììû ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó íàáîðó ïåðåìåííûõ, íîìåð êëåòêè ýòî äâîè÷íûé êîä íàáîðà. Ïðè çàäàíèè áóëåâîé ôóíêöèè â ñîîòâåòñòâóþùóþ íîìåðó íàáîðà êëåòêó çàïèñûâàåòñÿ åäèíèöà, è, òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ êëåòêà äèàãðàììû ñ 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó êîíñòèòóåíòó åäèíèöû. Ïðèìåð. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, y, z, t) = 1 íà íàáîðàõ 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 15. Äèàãðàììà Âåé÷à äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 9.3. Åäèíèöû ôóíêöèè, ñòîÿùèå â ñîñåäíèõ êëåòêàõ, îòëè÷àþòñÿ çíà÷åíèåì òîëüêî îäíîé ïåðåìåííîé, ñëåäîâàòåëüíî, îíè ñêëåèâàþòñÿ ïî ýòîé ïåðåìåííîé è îáðàçóþò èìïëèêàíòó.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî èìïëèêàíòà ïîêðûâàåò ñîîòâåòñòâóþùèå åäèíèöû áó-
Ðèñ. 9.2. Äèàãðàììû Âåé÷à Ïðè ìèíèìèçàöèè áóëåâîé ôóíêöèè íà äèàãðàììå Âåé÷à ñíà÷àëà íàõîäÿò ïîêðûòèÿ, ñîäåðæàùèå ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî åäèíèö (8, 4, 2), à çàòåì ïîêðûòèÿ, íàêðûâàþùèå îñòàâøèåñÿ åäèíèöû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îíè òàêæå áûëè ìàêñèìàëüíû ïî âåëè÷èíå è ïðè óäàëåíèè ýòîãî ïîêðûòèÿ õîòÿ Ðèñ. 9.3. Ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ áû îäíà åäèíèöà ôóíêöèè îñòàëàñü íåïîêðûòîé. Ïðè ýòîì íåêîòîðûå åäèíèöû ìîãóò áûòü ïîêðûòû íåîäíîêðàòíî. Äëÿ ôóíêöèè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.3, ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ: ¬x¬y ∨ ¬xz ∨ yzt ∨ ¬y¬z¬t. Ìèíèìàëüíàÿ ÊÍÔ ñòðîèòñÿ äâîéñòâåííî ïî äèàãðàììå Âåé÷à, çàïîëíåííîé íóëÿìè â ïóñòûõ êëåòêàõ. Äëÿ äàííîé ôóíêöèè ìèíèìàëüíàÿ ÊÍÔ: (¬y ∨ z)(¬x ∨ ¬z ∨ t)(¬x ∨ y ∨ ¬t).
Ãëàâà 10.
ËÎÃÈÊÀ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ
10.1. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðèíöèïû ôîðìàëüíîé ëîãèêè Ëîãèêà íàóêà î ïðàâèëüíûõ ðàññóæäåíèÿõ, î ïðèåìàõ è ìåòîäàõ ïîçíàíèÿ ñ ïîìîùüþ ðàññóæäåíèé. Ñëîâî «ëîãèêà» ïðîèñõîäèò îò äðåâíåãðå÷åñêîãî «ëîãîñ»: «ïîíÿòèå», «ðàçóì», ðàññóæäåíèå». Ëîãèêà êàê íàóêà î ïðàâèëüíûõ ðàññóæäåíèÿõ áûëà çàëîæåíà â äðåâíåé Ãðåöèè Àðèñòîòåëåì è íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ âåêîâ ðàçâèâàëàñü êàê ÷àñòü ôèëîñîôèè. Òîëüêî â êîíöå 19-ãî íà÷àëå 20-ãî âåêà ñ ïîÿâëåíèåì áóëåâîé àëãåáðû íà÷àëîñü áóðíîå ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêîé (ôîðìàëüíîé) ëîãèêè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçëè÷àþò òðàäèöèîííóþ ëîãèêó è ôîðìàëüíóþ, ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó, ñîîòíîøåíèå êîòîðûõ ïîêàçàíî íà ðèñ. 10.1.
Ðèñ.10. 1. Ñòðóêòóðà ëîãèêè Ëîãèêà, èçó÷àÿ ïðàâèëüíûå ðàññóæäåíèÿ, îïåðèðóåò ïîíÿòèÿìè èñòèííîñòè è ëîæíîñòè. Ïðàâèëüíîå ðàññóæäåíèå èëè âûñêàçûâàíèå ïîëàãàåòñÿ èñòèííûì, íåïðàâèëüíîå ëîæíûì. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå îñíîâû ôîðìàëüíîé ëîãèêè çàêëþ÷àþòñÿ â âûïîëíåíèè íåñêîëüêèõ ïðèíöèïîâ. Ïðèíöèï òîæäåñòâà. Èñòèííîñòü ôàêòîâ, ëåæàùèõ â îñíîâå âûñêàçûâàíèé è ðàññóæäåíèé, óñòàíàâëèâàåòñÿ íà îñíîâàíèè äåéñòâèòåëüíîñòè, èçâåñòíûõ çàêîíîâ, íàáëþäåíèé. Åñëè èñòèííîñòü êàêîãî-ëèáî ôàêòà óñòàíîâëåíà, òî îíà íå ïîäâåðãàåòñÿ ñîìíåíèþ è íå èçìåíÿåòñÿ â ïðîöåññå ðàññóæäåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò òàêæå, ÷òî îäèí è òîò æå òåðìèí èñïîëüçóåòñÿ âñåãäà â îäíîì è òîì æå ñìûñëå. Ïðèíöèï íåïðîòèâîðå÷èâîñòè îçíà÷àåò, ÷òî, óòâåðæäàÿ ÷òîëèáî, íåëüçÿ îòðèöàòü òî æå ñàìîå. Îäèí è òîò æå ôàêò (âûñêàçûâàíèå) íå ìîæåò áûòü îäíîâðåìåííî èñòèííûì è ëîæíûì. Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå Ñîêðàòà «ß çíàþ, ÷òî ÿ íè÷åãî íå çíàþ» ïðîòèâîðå÷èâî, òàê êàê îäíîâðåìåííî óòâåðæäàåò è îïðîâåðãàåò îäèí è òîò æå ôàêò: åñëè Ñîêðàò çíàåò, ÷òî îí íè÷åãî íå çíàåò, òî îí íå çíàåò òàêæå è ýòîãî. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåïðîòèâîðå÷èâîñòè, èç ðàññìîòðåíèÿ èñêëþ÷àþòñÿ òàêèå âûñêàçûâàíèÿ, èñòèííîñòü èëè
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
169
ëîæíîñòü êîòîðûõ íå ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà, íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå î áðàäîáðåå, êîòîðûé äîëæåí (èëè íå äîëæåí) áðèòü ñàìîãî ñåáÿ, âûñêàçûâàíèå êðèòÿíèíà î òîì, ÷òî âñå êðèòÿíå ëæåöû, è äðóãèå ñåìàíòè÷åñêèå ïàðàäîêñû. Ïðèíöèï èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî. Íåëüçÿ îäíîâðåìåííî îòâåðãàòü âûñêàçûâàíèå è åãî îòðèöàíèå. Ëþáîå âûñêàçûâàíèå ìîæåò áûòü ëèáî èñòèííûì, ëèáî ëîæíûì, òðåòüåãî íå äàíî. Ïðèíöèï äîñòàòî÷íîãî îñíîâàíèÿ. Âñÿêîå âûñêàçûâàíèå äîëæíî áûòü îáîñíîâàíî, ò.å. èñòèííîñòü óòâåðæäåíèÿ íåëüçÿ ïðèíèìàòü íà âåðó. Åñëè óòâåðæäåíèå âûâîäèòñÿ èç êàêèõ-ëèáî ñóæäåíèé, äàííûõ, ôàêòîâ îñíîâàíèé, òî èõ äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èñòèííîñòè óòâåðæäåíèÿ.
10.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé Ñóæäåíèå, èëè âûñêàçûâàíèå ýòî ìûñëü, â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå êàêèõ-ëèáî ôàêòîâ èëè ñâÿçåé ìåæäó ôàêòàìè. Âûñêàçûâàíèÿ âûðàæàþòñÿ ïîâåñòâîâàòåëüíûìè ïðåäëîæåíèÿìè. Îïðåäåëåíèå 10.1. Ïðîñòîå âûñêàçûâàíèå ýòî ïðîñòîå ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ìîæíî îäíîçíà÷íî ñêàçàòü, èñòèííî îíî èëè ëîæíî. Âîïðîñèòåëüíûå è âîñêëèöàòåëüíûå ïðåäëîæåíèÿ âûñêàçûâàíèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ. Ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèÿ Èñòèííî (True) è Ëîæíî (False) áóäåì îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî T è F. Ïðèìåðû. «Êèåâ ñòîëèöà Óêðàèíû» èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, îíî èìååò çíà÷åíèå True («èñòèííî»). «5 > 10» ëîæíîå âûñêàçûâàíèå, îíî èìååò çíà÷åíèå False («ëîæíî»). «Âñå ëþäè ñìåðòíû» èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. «Íåêîòîðûå ëþäè þðèñòû» èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Êàæäîå ïðîñòîå âûñêàçûâàíèå îáîçíà÷àþò ñèìâîëàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (ñ èíäåêñàìè èëè áåç èíäåêñîâ), êîòîðûå íàçûâàþò ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ñèìâîëàìè: A, B, C, A1, A2
. Cëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ ñîñòàâëÿþòñÿ èç ïðîñòûõ ñ ïîìîùüþ ñîþçîâ «íå», «è», «èëè», «åñëè ..., òî...», «òîãäà è òîëüêî òîãäà». Ýòèì ñîþçàì ñîîòâåòñòâóþò ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè: óíàðíàÿ îïåðàöèÿ îòðèöàíèÿ ¬ («íå»), áèíàðíûå îïåðàöèè êîíúþíêöèè & («è»), äèçúþíêöèè ∨ («èëè»), èìïëèêàöèè → («åñëè
, òî
», ýêâèâàëåíòíîñòè ≡ («òîãäà è òîëüêî òîãäà»). Ñèìâîëû îïåðàöèé íàçûâàþò ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ñâÿçêàìè. Èñòèííîñòü èëè ëîæíîñòü ñëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ çàâèñèò îò èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè âõîäÿùèõ â
Ãëàâà 10
170
íåãî ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé, à òàêæå òåì ñïîñîáîì, êîòîðûìè îíè êîìáèíèðóþòñÿ, ò.å. ñâÿçêîé, èñïîëüçóåìîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ. Êàæäàÿ ëîãè÷åñêàÿ ñâÿçêà îïðåäåëÿåòñÿ ñâîåé òàáëèöåé èñòèííîñòè (ñì. òàáë. 10.1, 10.2). Òàáëèöà 10.1 A F T
¬A T F
Òàáëèöà 10.2 A F F T T
B F T F T
A&B F F F T
A∨B F T T T
A→B T T F T
A≡B T F F T
Ñ ïîìîùüþ ñâÿçêè îòðèöàíèÿ ¬ èç óòâåðäèòåëüíûõ ïîëó÷àþòñÿ îòðèöàòåëüíûå âûñêàçûâàíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè âûñêàçûâàíèå A «âîðîáåé ïòèöà» èñòèííî, òî âûñêàçûâàíèå ¬A «âîðîáåé íå ïòèöà» ëîæíî, à âûñêàçûâàíèå ¬¬A «Íåâåðíî, ÷òî âîðîáåé íå ïòèöà» ýêâèâàëåíòíî âûñêàçûâàíèþ «âîðîáåé ïòèöà». Êîíúþíêöèÿ A & B, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîþçàì «è», «à», èñòèííà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè èñòèííû îáà âõîäÿùèõ â íåå âûñêàçûâàíèÿ. Íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå «ñàìûé áîëüøîé ãîðîä Àíãëèè, Ëîíäîí (A), ÿâëÿåòñÿ åå ñòîëèöåé (B)» ìîæíî çàïèñàòü êàê A & B. Âûñêàçûâàíèå «íà óëèöå èäåò äîæäü (A) ñ ñèëüíûì âåòðîì (B)» òàêæå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé A & B. Êîíúþíêöèÿ êîììóòàòèâíà, ïîòîìó âûñêàçûâàíèå «íà óëèöå ñèëüíûé âåòåð (B) è äîæäü (A)», âûðàçèìîå ôîðìóëîé B & A, ýêâèâàëåíòíî ïðåäûäóùåìó. Îäíàêî, â åñòåñòâåííîì ÿçûêå ïîäîáíûå âûñêàçûâàíèÿ íå âñåãäà ýêâèâàëåíòíû, íàïðèìåð, âûêàçûâàíèÿ «äåâóøêà âûøëà çàìóæ (A) è ðîäèëà ðåáåíêà (B)» è «äåâóøêà ðîäèëà ðåáåíêà (B) è âûøëà çàìóæ (A)», ýêâèâàëåíòíûå â ñèëó êîììóòàòèâíîñòè êîíúþíêöèè, îïèñûâàþò, ïî âñåé âèäèìîñòè, ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè, â êîòîðûõ íåÿâíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ âðåìåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé. Äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ ñèòóàöèé ñðåäñòâ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé íåäîñòàòî÷íî. Äëÿ êîíúþíêöèè âûïîëíåí çàêîí ïðîòèâîðå÷èÿ: A & ¬A ≡ F ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå ïðèíöèïà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè. Äèçúþíêöèÿ A ∨ B, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîþçó «èëè», èñòèííà â ëþáîì ñëó÷àå, êîãäà èñòèííî õîòÿ áû îäíî âõîäÿùåå â íåå âûñêàçûâàíèå, è ëîæíà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îáà ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèÿ ëîæíû. Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå «äâàæäû äâà ÷åòûðå (A) èëè ïÿòü (B)» âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé A ∨ B è ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì. Âûñêàçûâàíèå «íàñåëåíèå Êàíàäû ãîâîðèò íà àíãëèéñêîì (A) èëè íà ôðàíöóçñêîì ÿçûêå (B)» òàêæå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé A ∨ B. Äëÿ äèçúþíêöèè âûïîëíåí çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî: A ∨ ¬A ≡ T.
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
171
Èìïëèêàöèÿ A → B âûðàæàåò ëîãè÷åñêóþ (÷àñòî ïðè÷èííîñëåäñòâåííóþ) ñâÿçü ìåæäó âûñêàçûâàíèÿìè A è B è ôîðìàëèçóåò âûñêàçûâàíèå, â êîòîðîì èç ïîñûëêè (àíòåöåäåíòà) A ñëåäóåò çàêëþ÷åíèå (êîíñåêâåíò) B. Ôîðìóëà A → B ÷èòàåòñÿ êàê «èç A ñëåäóåò B» èëè «A âëå÷åò B». Èìïëèêàöèÿ èñòèííà â òîì ñëó÷àå, åñëè èç èñòèííîé ïîñûëêè ñëåäóåò èñòèííîå çàêëþ÷åíèå: T → T = T, è ëîæíà, åñëè èç èñòèííîé ïîñûëêè ñëåäóåò ëîæíîå çàêëþ÷åíèå: T → F = F. Åñëè æå ïîñûëêà ëîæíà, òî èç íåå ìîæåò ñëåäîâàòü êàê ëîæíîå, òàê è èñòèííîå çàêëþ÷åíèå, âûñêàçûâàíèå îñòàåòñÿ èñòèííûì â îáîèõ ñëó÷àÿõ: F → T = T, F → F = T, ò.å. èç ëæè ñëåäóåò âñå, ÷òî óãîäíî. Îáû÷íî èìïëèêàöèÿ A → B îïèñûâàåò íåêîòîðîå ïðàâèëî, êîòîðîå âûðàæàåò äîñòàòî÷íîñòü èñòèííîñòè ïîñûëêè A äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëàñü èñòèííîñòü çàêëþ÷åíèÿ B, íàïðèìåð: «åñëè âîäó íàãðåòü äî 100 ãðàäóñîâ (A), òî îíà çàêèïèò (B)»; «÷òîáû ïîëó÷èòü äèïëîì (B), íóæíî çàêîí÷èòü èíñòèòóò (A)»; «åñëè êîøêà ïåðåáåæèò äîðîãó (A), òî ñëó÷èòñÿ íåïðèÿòíîñòü (B)»; «êîãäà íà íåáå òó÷è (A), ìîæåò ïîéòè äîæäü (B)». Ýêâèâàëåíòíîñòü A ≡ B óòâåðæäàåò ðàâíîçíà÷íîñòü (ðàâíîñèëüíîñòü, òîæäåñòâåííîñòü) äâóõ âûñêàçûâàíèé A è B; îíà èñòèííà òîãäà, êîãäà èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ A è B ñîâïàäàþò. Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå «æèâîòíîå ÿâëÿåòñÿ ïòèöåé (A) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ó íåãî åñòü êðûëüÿ (B)» âûðàçèìî ôîðìóëîé A ≡ B. A ≡ B = (À → Â) & ( → À), ò.å. ýêâèâàëåíòíîñòü óòâåðæäàåò íå òîëüêî äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ A äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî èñòèííî B, íî è íåîáõîäèìîñòü ýòîãî óñëîâèÿ. Íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå: «ïòèöû ëåòàþò íàä ìîðåì (A) çåìëÿ áëèçêà (B)», âûðàæàåò îäíîâðåìåííî äâà óòâåðæäåíèÿ: äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ «åñëè ïòèöû ëåòàþò íàä ìîðåì, òî áëèçêà çåìëÿ», è íåîáõîäèìîñòü: «åñëè çåìëÿ áëèçêî, òî ïòèöû ëåòàþò íàä ìîðåì».
Ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê ñëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ôîðìóëû, êîòîðóþ íàçûâàþò ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìîé.
Îïðåäåëåíèå 10.2. • Êàæäàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ áóêâà åñòü ôîðìóëà. • Åñëè A è B ôîðìóëû, òî ôîðìóëàìè ÿâëÿþòñÿ: (¬A), (A & B), (A ∨ B). • Äðóãèõ ôîðìóë íåò. Ïðè çàïèñè ôîðìóë ïðèíÿòû ñëåäóþùèå ñîãëàøåíèÿ: âíåøíèå ñêîáêè ìîæíî îïóñêàòü; óñòàíîâëåí ïðèîðèòåò îïåðàöèé: ¬, &, ∨, →, ≡. Ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè äëÿ èìïëèêàöèè → è ýêâèâàëåíòíîñòè ≡ ââîäÿòñÿ äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ôîðìóë: À →  = ¬À ∨  = = ¬(À & ¬Â), À ≡  = (À → Â) & ( → À).
172
Ãëàâà 10
Ïîñòðîèâ ôîðìóëó ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, ìû îòâëåêàåìñÿ îò åå ñîäåðæàòåëüíîãî ñìûñëà è îïåðèðóåì òîëüêî ñ ïîíÿòèÿìè èñòèííîñòè è ëîæíîñòè. Ïðèïèñûâàíèå ïðîïîçèöèîíàëüíûì áóêâàì èõ èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé íàçûâàåòñÿ èíòåðïðåòàöèåé ôîðìóëû. Ìíîæåñòâî âñåõ èíòåðïðåòàöèé ôîðìóëû îáðàçóåò åå òàáëèöó èñòèííîñòè. Åñëè âûïîëíèòü îòîáðàæåíèÿ 0 ⇔ F, 1 ⇔ T, òî êàæäîé ïðîïîçèöèîíàëüíîé ñâÿçêå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü áóëåâà îïåðàöèÿ, à êàæäîé ôîðìóëå ëîãèêè âûñêàçûâàíèé áóëåâà ôîðìóëà, ñëåäîâàòåëüíî, ëîãèêà âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ èíòåðïðåòàöèåé áóëåâîé àëãåáðû.  ñâÿçè ñ ýòèì â íåé ñîõðàíÿþòñÿ âñå àêñèîìû è òåîðåìû áóëåâîé àëãåáðû, â òîì ÷èñëå ïðåäñòàâèìîñòü ôîðìóë ëîãèêè âûñêàçûâàíèé â âèäå ÑÄÍÔ è ÑÊÍÔ. Îïðåäåëåíèå 10.3. Òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ òàâòîëîãèåé. Òîæäåñòâåííî ëîæíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì. Ôîðìóëà, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò èñòèííîå çíà÷åíèå õîòÿ áû íà îäíîé ñâîåé èíòåðïðåòàöèè, íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé. Äâå ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè èõ òàáëèöû èñòèííîñòè ñîâïàäàþò. Çàïèñü |= À îçíà÷àåò: «ôîðìóëà À òàâòîëîãèÿ». Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè À òàâòîëîãèÿ, òî ¬À ïðîòèâîðå÷èå. Òàâòîëîãèè ÿâëÿþòñÿ âûäåëåííûìè ôîðìóëàìè ëîãèêè âûñêàçûâàíèé; èìåííî îíè ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëüøèé èíòåðåñ, òàê êàê ôîðìàëèçóþò ïðàâèëüíûå ñõåìû ðàññóæäåíèé. Ïðîñòûå òàâòîëîãèè, òàêèå êàê «ñíåã áåëûé, ïîòîìó ÷òî îí áåëûé», «ìàñëî ìàñëÿíîå», âûðàçèìû ôîðìóëîé: À → A, òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü êîòîðîé íåòðóäíî ïðîâåðèòü: åñëè |À| = F, òî F → F = T, åñëè |À| = T, òî T → T = T. Óòâåðæäåíèå: «Áîëüíîé ëèáî óìðåò, ëèáî âûæèâåò» òîæå òàâòîëîãèÿ, òàê êàê îíî âûðàçèìî òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôîðìóëîé: A ∨ ¬A. Çàêîíû äå Ìîðãàíà òàêæå ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè; íåòðóäíî ïðèäàòü èì ñîäåðæàòåëüíûé ñìûñë: |= ¬(À ∨ Â) ≡ (¬À & ¬Â) «íåâåðíî, ÷òî ýòî ïðåñòóïëåíèå ñîâåðøèëè À èëè » ýêâèâàëåíòíî âûñêàçûâàíèþ: «íè À, íè  íå ñîâåðøàëè ýòîãî ïðåñòóïëåíèÿ»; |= ¬(À & Â) ≡ (¬À ∨ ¬Â) «íåâåðíî, ÷òî À è  âìåñòå ó÷àñòâîâàëè â îãðàáëåíèè» ýêâèâàëåíòíî «ëèáî À, ëèáî Â, ëèáî îáà îíè â îãðàáëåíèè íå ó÷àñòâîâàëè». Ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòè â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû îòûñêàòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåäóðó (àëãîðèòì), ñ ïîìîùüþ êîòîðîé äëÿ êàæäîé ôîðìóëû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé ìîæíî óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ îíà òàâòîëîãèåé èëè íåò.
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
173
Î÷åâèäíî, ÷òî òàêàÿ ïðîöåäóðà äëÿ ôîðìóë ëîãèêè âûñêàçûâàíèé ñóùåñòâóåò: ýòî ïîñòðîåíèå òàáëèö èñòèííîñòè. Ïðèìåðû. 1.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàêîí óòâåðæäåíèÿ êîíñåêâåíòà: |= A → (B → A). (Ñîäåðæàòåëüíî ýòà òàâòîëîãèÿ óòâåðæäàåò ïðèíöèï ìîíîòîííîñòè äîñòîâåðíûõ ðàññóæäåíèé: åñëè èñòèííîñòü íåêîòîðîãî âûñêàçûâàíèÿ A óæå óñòàíîâëåíà, òî äîáàâëåíèå íîâûõ ôàêòîâ íå èçìåíÿåò åãî èñòèííîñòè). Ïîñêîëüêó êàæäàÿ ñòðîêà òàáëèöû èñòèííîñòè (òàáë. 10.3) ýòîé ôîðìóëû ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ T, ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé. Òàáëèöà 10.3 A F F T T
B F T F T
B→A T F T T
A → (B → A) T T T T
2. Ìåòîä ðåäóêöèè (ñâåäåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ) ñëóæèò ñïîñîáîì ñîêðàùåíèÿ ïåðåáîðîâ ïðè ñîñòàâëåíèè òàáëèöû èñòèííîñòè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà äîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) òàâòîëîãèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê, ò.å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, íà êîòîðîé ôîðìóëà ïðèíèìàåò ëîæíîå çíà÷åíèå:
Ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé: 1) |A → (B → C)| = T, 2) |A → B| = T, 3) |A → C| = F. Èç 3) ñëåäóåò: |A| = T, |C| = F. Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â 2): |T → B| = T, îòêóäà |B| = T. Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ |A| = T, |C| = F, |B| = T â 1): |T → (T → F)| = |T → F| = F. Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ 1), ñëåäîâàòåëüíî, íå ñóùåñòâóåò òàêîé èíòåðïðåòàöèè, íà êîòîðîé ôîðìóëà ïðèíèìàåò ëîæíîå çíà÷åíèå, ò.å. îíà ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé. 3. Ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà òàâòîëîãèåé: (A → (B → C)) → (A ∨ B → C). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |(A → (B → C)) → (A ∨ B → C)| = F. Òîãäà
174
Ãëàâà 10
1) |A → (B → C)| = T, 2) |A ∨ B| = T, 3) |C| = F. Èç 2) ñëåäóåò: à) |A| = T, |B| = T; á) |A| = T, |B| = F; ñ) |A| = F, |B| = T. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ |A| = T, |B| = T â 1), ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå: |T → (T → F)| = F. Îäíàêî, ýòî åùå íå äîêàçûâàåò, ÷òî ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé. Ðàññìîòðèì äðóãèå çíà÷åíèÿ: á) |A| = T, |B| = F. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â 1), ïîëó÷èì: |T → (F → F)| = T. Òàêèì îáðàçîì, íà èíòåðïðåòàöèè |A| = T, |B| = F, |C| = F ôîðìóëà ïðèíèìàåò ëîæíîå çíà÷åíèå, ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé.
10.3. Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå Îïðåäåëåíèå 10.4. Åñëè À è  ôîðìóëû, òî ãîâîðÿò, ÷òî  ëîãè÷åñêè ñëåäóåò èç À, èëè À ëîãè÷åñêè âëå÷åò Â, åñëè íà âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, ãäå À ïðèíèìàåò èñòèííîå çíà÷åíèå,  òàêæå ïðèíèìàåò èñòèííîå çíà÷åíèå. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ êàê À |=  èëè À ⇒ Â. Ãîâîðÿò, ÷òî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå ñîõðàíÿåò èñòèííîñòü. Òåîðåìà 10.1. Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå À |=  âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà À →  òàâòîëîãèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå A |= B âûïîëíåíî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, íà êîòîðûõ ôîðìóëà |A| = T, ôîðìóëà |B| = T, ñëåäîâàòåëüíî, |A → B| = T. Åñëè ôîðìóëà |A| = F, òî |A → B| = T íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ B, ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà A → B òàâòîëîãèÿ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ôîðìóëà A → B òàâòîëîãèÿ. Òîãäà íå ñóùåñòâóåò òàêîé èíòåðïðåòàöèè, íà êîòîðîé |A → B| = F. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ôîðìóëà |A| = T, òî è |B| = T, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ, ò.å. À |= Â. Îïðåäåëåíèå 10.5. Ôîðìóëà  ëîãè÷åñêè ñëåäóåò èç ôîðìóë À1,..., An, åñëè íà âñåõ òåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, íà êîòîðûõ A1, ..., An ïðèíèìàþò èñòèííûå çíà÷åíèÿ îäíîâðåìåííî, ôîðìóëà  òàêæå ïðèíèìàåò èñòèííîå çíà÷åíèå. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ òàê: A1, ... An |= B. Òåîðåìà 10.2. À1, A2, ..., An |= B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |À1 & A2 & ... & An → B. Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
175
Îïðåäåëåíèå 10.6. Åñëè À |=  è  |= À, òî ôîðìóëà À ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå Â. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ êàê À ⇔ Â, èëè À ≡ Â. Åñëè ôîðìóëà À ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà Â, òî À ≡  òàâòîëîãèÿ. Ïðèìåð. Ïðîâåðèì ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå: À → Â, À → ¬Â |= ¬À è òàâòîëîãèþ: |= (À → Â) & (À → ¬Â) → ¬À. Îáîçíà÷èì òàâòîëîãèþ ÷åðåç Å. Ïîñòðîèì òàáëèöó èñòèííîñòè (òàáë. 10.4). Òàáëèöà 10.4 A F F T T
B F T F T
A→B T T F T
A → ¬B T T T F
(A → B) & (A → ¬B) T T F F
¬À T T F F
Å Ò Ò Ò Ò
Êàê âèäèì, íà òåõ íàáîðàõ, íà êîòîðûõ ïîñûëêè À → Â, À → ¬Â ïðèíèìàþò èñòèííîå çíà÷åíèå îäíîâðåìåííî, ôîðìóëà ¬À òàêæå ïðèíèìàåò èñòèííîå çíà÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå âûïîëíåíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà (À → Â) & (À → ¬Â) → ¬À ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé, ÷òî òàêæå ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì âûïîëíèìîñòè ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ. Ñîäåðæàòåëüíî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå À → Â, À → ¬Â |= ¬À (ïðèâåäåíèå ê àáñóðäó) ôîðìàëèçóåò ñëåäóþùóþ ñõåìó ðàññóæäåíèé. Åñëè èç îäíîé è òîé æå ïîñûëêè À âûâåäåíî äâà ïðîòèâîïîëîæíûõ çàêëþ÷åíèÿ Â è ¬Â, òî ïîñûëêà íåâåðíà (ýòî ïðèìåðíî òî, î ÷åì ãîâîðèë Êîçüìà Ïðóòêîâ: «Åñëè íà êëåòêå ñ òèãðîì íàïèñàíî «ëåâ», íå âåðü ãëàçàì ñâîèì»).
10.4. Òåîðåìû î òàâòîëîãèÿõ Ñëåäóþùèå òåîðåìû î òàâòîëîãèÿõ ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü íîâûå òàâòîëîãèè èç äîêàçàííûõ ðàíåå. Òåîðåìà 10.3 (ïðàâèëî modus ponens). Åñëè À òàâòîëîãèÿ è À →  òàâòîëîãèÿ, òî  òàâòîëîãèÿ, ò.å. åñëè |= À è |= À → Â, òî |= Â. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè |Â| = F. Òîãäà |A → B| = |A → F| = T íà òîé æå èíòåðïðåòàöèè (ïî óñëîâèþ òåîðåìû). Ñëåäîâàòåëüíî, |À| = F, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê À òàâòîëîãèÿ. Ïðàâèëî modus ponens (ñîêðàùåííî MP) óñòàíàâëèâàåò ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå A, A → B |= B è íàçûâàåòñÿ åùå ïðàâèëîì îòäåëåíèÿ. Ïðàâèëî ÌÐ âûðàæàåò ýëåìåíòàðíûé àêò äåäóêöèè. Èìïëèêàöèþ A → B, êîòîðàÿ ïî îïðåäåëåíèþ èìååò ñìûñë «åñëè A, òî B»,
176
Ãëàâà 10
ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðàâèëî, â êîòîðîì A ÿâëÿåòñÿ «ïðè÷èíîé», à B «ñëåäñòâèåì». Òîãäà ïðàâèëî ÌÐ ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñëåäñòâèå B íàñòóïàåò ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ A, ò.å. ïðè èñòèííîñòè ïîñûëêè. Íàïðèìåð, ôîðìóëà A → B ìîæåò âûðàæàòü òàêîå ïðàâèëî: «åñëè íà ñâåòîôîðå ãîðèò çåëåíûé ñâåò, òî ìîæíî ïåðåõîäèòü äîðîãó». Ìû æäåì çåëåíîãî ñâåòà íà ñâåòîôîðå, ÷òîáû ïåðåéòè äîðîãó, ò.å. ìû íåÿâíî ïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì ÌÐ: êîãäà ïîñûëêà ñòàíîâèòñÿ èñòèííîé (çåëåíûé ñâåò), òî èñòèííî è çàêëþ÷åíèå (ìîæíî ïåðåõîäèòü äîðîãó). Òåì ñàìûì ìû âûïîëíÿåì ýëåìåíòàðíûé àêò äåäóêöèè: èç èñòèííîñòè ïîñûëêè ìû âûâîäèì èñòèííîå çàêëþ÷åíèå. Ðàçóìååòñÿ, ýòîò âûâîä ñïðàâåäëèâ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðàâèëî A → B èñòèííî. Íàïðèìåð, ìíîãèå ïîëàãàþò, ÷òî åñëè êîøêà ïåðåáåæèò äîðîãó, òî ñëó÷èòñÿ íåïðèÿòíîñòü. Ïðèíèìàÿ ýòî ïðàâèëî çà èñòèííîå, ÷åëîâåê, óâèäåâ ïåðåáåãàþùóþ åìó äîðîãó êîøêó, âåñü äåíü æäåò íåïðèÿòíîñòè (è îáû÷íî åå íàõîäèò). Ìíîãèå ïðàâèëà, îäíàêî, íå âûçûâàþò ñîìíåíèé â èõ èñòèííîñòè. Ýòî, íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðåìû, ôèçè÷åñêèå, õèìè÷åñêèå è äðóãèå óñòàíîâëåííûå çàêîíû. Òåîðåìà 10.4 (ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè). Åñëè À òàâòîëîãèÿ, ñîäåðæàùàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå à1, a2, ..., an, òî ôîðìóëà Â, ïîëó÷åííàÿ èç À ïîäñòàíîâêîé ôîðìóë A1, A2, ..., An âìåñòî êàæäîãî âõîæäåíèÿ à1, a2, ..., an ñîîòâåòñòâåííî, òàêæå áóäåò òàâòîëîãèåé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíî èñòèííîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ áóêâ, âõîäÿùèõ â Â. Ôîðìóëû À1,
, Àn äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèìóò íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ δ1, δ2,
, δn, ãäå δi åñòü T èëè F. Åñëè òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå ïðèäàòü ïðîïîçèöèîíàëüíûì áóêâàì à1, a2,..., an, òî çíà÷åíèå ôîðìóëû À ñîâïàäåò ñî çíà÷åíèåì ôîðìóëû Â. Òàê êàê À òàâòîëîãèÿ, òî çíà÷åíèå  ïðè ýòîì ðàñïðåäåëåíèè áóäåò T. Òàêèì îáðàçîì  ïðè ëþáîì èñòèííîñòíîì ðàñïðåäåëåíèè âõîäÿùèõ â íåå áóêâ áóäåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå T. Ñëåäîâàòåëüíî,  òàâòîëîãèÿ. Ïðèìåð. Ôîðìóëà A → (B → A) òàâòîëîãèÿ. Ïîäñòàâèì A ∨ B âìåñòî A, ïîëó÷èì íîâóþ òàâòîëîãèþ: |= A ∨ B → (B → A ∨ B). Òàêèì îáðàçîì, êàæäóþ òàâòîëîãèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñõåìó, èç êîòîðîé ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè ìîæíî ïîëó÷èòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òàâòîëîãèé. Òåîðåìà 10.5 (ïðàâèëî ýêâèâàëåíòíîé çàìåíû). Åñëè B ïîëó÷àåòñÿ èç A ïîäñòàíîâêîé ôîðìóëû Â1 âìåñòî îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ âõîæäåíèé ïîäôîðìóëû À1 â À, òî ((A1 ≡ B1) → (A ≡ B)) åñòü òàâòîëîãèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, åñëè À1 è Â1 ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, òî A è B òàêæå ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû.
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
177
Èíûìè ñëîâàìè, åñëè åñòü òàâòîëîãèÿ À, è â íåé åñòü ïîäôîðìóëà À1, è åñëè çàìåíèòü À1 íà ýêâèâàëåíòíóþ åé ôîðìóëó Â1, òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà  áóäåò ýêâèâàëåíòíà À. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå èñòèííîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â À, Â, À1, Â1. Åñëè ïðè ýòîì ðàñïðåäåëåíèè À1 è Â1 èìåþò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, òî |À1 ≡ Â1| = F è, ñëåäîâàòåëüíî, ((A1 ≡ B1) → (A ≡ B)) ïðèìåò çíà÷åíèå Ò. Åñëè æå À1 è Â1 ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ, òî îäèíàêîâûå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ïðèìóò À è Â, òàê êàê  îòëè÷àåòñÿ îò À òîëüêî òåì, ÷òî íåêîòîðûå âõîæäåíèÿ ïîäôîðìóëû À1 çàìåíåíû â íåé íà Â1, êîòîðàÿ èìååò òî æå ñàìîå èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå, åñëè |A1 ≡ B1| = Ò, òî è |A ≡ B| = Ò, è ((A1 ≡ B1) → → (A ≡ B)) åñòü òàâòîëîãèÿ.à Ïðèìåð.  òàâòîëîãèè À → ( → À) çàìåíèì ïîäôîðìóëó  → À íà ýêâèâàëåíòíóþ åé ôîðìóëó ¬Â ∨ A, ïîëó÷èì íîâóþ òàâòîëîãèþ À → ¬Â ∨ A. Òàâòîëîãèåé òàêæå áóäåò ôîðìóëà: A → ¬(B & ¬A), òàê êàê  → À ýêâèâàëåíòíî ¬(B & ¬A).
10.5. Ôîðìàëèçàöèÿ è ðåøåíèå ëîãè÷åñêèõ çàäà÷ ßçûê ëîãèêè âûñêàçûâàíèé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ôîðìàëèçàöèè ïðåäëîæåíèé åñòåñòâåííîãî ÿçûêà è äîêàçàòåëüñòâà ëîãè÷åñêèõ ñëåäîâàíèé. Äëÿ ýòîãî êàæäîå ïðîñòîå âûñêàçûâàíèå îáîçíà÷àåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé áóêâîé; ñëîæíîå âûêàçûâàíèå çàïèñûâàåòñÿ êàê ôîðìóëà, â êîòîðîé ñâÿçêè åñòåñòâåííîãî ÿçûêà çàìåíÿþòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ñâÿçêàìè (êàê ýòî óêàçàíî â 10.2). Ïðèìåð 10.1. Ðàññìîòðèì ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå. Åñëè öåíû ðàñòóò, óðîâåíü æèçíè ïàäàåò. Åñëè óðîâåíü æèçíè ïàäàåò, òî ëþäè íåäîâîëüíû. Öåíû ðàñòóò. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþäè íåäîâîëüíû. Îáîçíà÷èì ïðîïîçèöèîíàëüíûìè áóêâàìè ïðîñòûå âûñêàçûâàíèÿ: P «öåíû ðàñòóò»; S «óðîâåíü æèçíè ïàäàåò»; R «ëþäè íåäîâîëüíû». Íåîáõîäèìî äîêàçàòü ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå: P → S, S → R, P |= R. Äîêàçàòåëüñòâî. 1 ñïîñîá. Ïðîâåðèòü, ÷òî ôîðìóëà (P → S) & (S → R) & P → R òàâòîëîãèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü òàáëèöó èñòèííîñòè. 2 ñïîñîá. Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî (ìåòîä ðåäóêöèè). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, íà êîòîðîé âñå ïîñûëêè ïðèíèìàþò èñòèííîå çíà÷åíèå, à çàêëþ÷åíèå - ëîæíîå, ò.å. |P → S| = T, |S → R| = T, |P| = T, |R| = F. Òîãäà èç |S → R| = = |S → F| = T ñëåäóåò, ÷òî |S| = F; èç |P → S| = |P → F| = T ñëåäóåò, ÷òî |P| = F, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òðåòüåé ïîñûëêå |P| = T. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå.
178
Ãëàâà 10
3 ñïîñîá. Ïîñòðîåíèå ëîãè÷åñêîãî âûâîäà. Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå ýòî íåêîòîðîå ïðàâèëüíîå ñ ëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàññóæäåíèå. Íåêîòîðûå ëîãè÷åñêèå ñëåäîâàíèÿ ôîðìàëèçóþò ïðîñòåéøèå ñõåìû ðàññóæäåíèé è èñïîëüçóþòñÿ êàê ïðàâèëà âûâîäà èñòèííûõ çàêëþ÷åíèé èç èñòèííûõ ïîñûëîê. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ïðàâèë âûâîäà ê çàäàííîé ñèñòåìå ïîñûëîê ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ëîãè÷åñêèé âûâîä. Ëîãè÷åñêèé âûâîä, â êîòîðîì èç èñòèííûõ ïîñûëîê ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû òîëüêî èñòèííûå çàêëþ÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì (äåäóêòèâíûìè) âûâîäîì (ðàññóæäåíèåì). Ïîñòðîèì ëîãè÷åñêèé âûâîä, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ïðàâèëà âûâîäà. Ëîãè÷åñêèé âûâîä çàïèñûâàåòñÿ îáû÷íî êàê íóìåðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë, ñïðàâà îò êàæäîé ôîðìóëû çàïèñûâàåòñÿ êîììåíòàðèé, óêàçûâàþùèé, íà êàêîì îñíîâàíèè ôîðìóëà âêëþ÷åíà â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïîñûëêè âûâîäà îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâîé à (ãèïîòåçà). 1. P → S Ã1 2. S → R Ã2 3. P Ã3 4. S ïðàâèëî MP(3,1) 5. R ïðàâèëî MP(4,2) Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà â ýòîì âûâîäå ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ïîñûëîê Ã1, Ã2, Ã3.  ñèëó òîãî, ÷òî ïðàâèëî ÌÐ ñîõðàíÿåò èñòèííîñòü, êàæäàÿ ôîðìóëà, ó÷àñòâóþùàÿ â âûâîäå, èñòèííà ïðè èñòèííîñòè ïîñûëîê Ã1, Ã2, Ã3. Ïîýòîìó, åñëè ñîåäèíèòü ñèìâîëîì → ôîðìóëû, òàê ÷òîáû ïîñûëêà èìïëèêàöèè ïðåäøåñòâîâàëà çàêëþ÷åíèþ â ýòîì âûâîäå, òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà òàêæå áóäåò èñòèííîé, è, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäîâàíèåì èñõîäíûõ ïîñûëîê. Ïîýòîìó èç äàííîãî âûâîäà ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå: P → S, S → R |= P → R. Ýòî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó âûâîäà, êîòîðîå íàçûâàþò ïðàâèëîì ñèëëîãèçìà: A → B, B → C |= A → C. Ïðèìåð 10.2. Èç-çà ïëîõîé ïîãîäû (À) ðåéñ ìîæåò áûòü îòëîæåí (Â): A → B. Ðåéñ íå îòëîæåí (¬Â). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîãîäà íå ïëîõàÿ (¬À). Äîêàæåì A → B, ¬B |= ¬A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |À → Â| = T, |¬Â| = T è |¬À| = F, òîãäà |À → Â| = = |T → F| = F. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå. Ýòî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó âûâîäà modus tollens (MT): A → B, ¬B |= ¬A.
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
179
Ïðèìåð 10.3. Äåëî ìîæåò áûòü ïåðåñìîòðåíî (B) â òîì ñëó÷àå, åñëè ðåçóëüòàòû ðàññëåäîâàíèÿ âûçûâàþò ñîìíåíèÿ (A): A → B. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè äåëî íå ïåðåñìàòðèâàåòñÿ (¬B), òî ðåçóëüòàòû ðàññëåäîâàíèÿ íå âûçûâàþò ñîìíåíèÿ (¬A): ¬Â → ¬À. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |À → Â| = T, |¬Â → ¬À| = F, òîãäà |¬Â| = T, |¬À| = F è |À → Â| = |T → F| = F. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå. Ýòî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó êîíòðàïîçèöèè: A → B |= ¬Â → ¬À. Ïðèìåð 10.4. Ïîëó÷èòü âîçìîæíûå ëîãè÷åñêèå ñëåäîâàíèÿ èç äàííîãî ìíîæåñòâà ïîñûëîê. Ìàëûå äåòè íåðàçóìíû. Òîò, êòî ìîæåò óêðîùàòü êðîêîäèëîâ, çàñëóæèâàåò óâàæåíèÿ. Íåðàçóìíûå ëþäè íå çàñëóæèâàþò óâàæåíèÿ. Ïóñòü À «÷åëîâåê ìàëûé ðåáåíîê», B «÷åëîâåê ðàçóìåí», C «÷åëîâåê çàñëóæèâàåò óâàæåíèÿ», D «÷åëîâåê ìîæåò óêðîùàòü êðîêîäèëîâ». Ïîñòðîèì ëîãè÷åñêèé âûâîä, èñïîëüçóÿ äîêàçàííûå ðàíåå ïðàâèëà âûâîäà. 1. À → ¬Â Ã1 2. D → C Ã2 3. ¬Â → ¬Ñ Ã3 4. À → ¬Ñ ïðàâèëî ñèëëîãèçìà (1, 3). (Ìàëûå äåòè íå çàñëóæèâàþò óâàæåíèÿ). 5. Ñ →  ïðàâèëî êîíòðàïîçèöèè (3). (Òîëüêî ðàçóìíûå ëþäè çàñëóæèâàþò óâàæåíèÿ). 6. D → B ïðàâèëî ñèëëîãèçìà (2, 5). (Ðàçóìíî óêðîùàòü êðîêîäèëîâ). 7. ¬B → ¬D ïðàâèëî êîíòðàïîçèöèè (6). (Íåðàçóìíûå ëþäè íå óêðîùàþò êðîêîäèëîâ). 8. À → ¬D ïðàâèëî ñèëëîãèçìà (1,7). (Ìàëûå äåòè íå óêðîùàþò êðîêîäèëîâ). Òàêèì îáðàçîì, èç äàííîãî íàáîðà ïîñûëîê ìû âûâåëè âñå âîçìîæíûå çàêëþ÷åíèÿ. Òàêèå ëîãè÷åñêèå çàäà÷è íàçûâàþòñÿ ñîðèòàìè. Ïîíÿòèå î äåäóêòèâíîì ìåòîäå ìû ïîëó÷àåì ïðåæäå âñåãî èç äåòåêòèâíîé ëèòåðàòóðû, â ÷àñòíîñòè, îò Øåðëîêà Õîëìñà. Êàê èçâåñòíî, Øåðëîê Õîëìñ ïîëüçîâàëñÿ ïðè ðàñêðûòèè ïðåñòóïëåíèé èìåííî äåäóêòèâíûì ìåòîäîì. Âîò êàê îí îáúÿñíÿåò ñóùíîñòü äåäóêòèâíîãî ìåòîäà: «Ìîé ïðèíöèï ðàññëåäîâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èñêëþ÷èòü âñå ÿâíî íåâîçìîæíûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Òîãäà òî, ÷òî îñòàåòñÿ, ÿâëÿåòñÿ èñòèíîé, êàêîé áû íåïðàâäîïîäîáíîé îíà íè êàçàëàñü». Ýòî ðàññóæäåíèå ìîæíî âûðàçèòü òàêîé ñõåìîé: À ∨ Â, ¬À |= Â, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ¬À → Â, ¬À |= Â, ò.å. ïðèìåíåíèþ
180
Ãëàâà 10
ïðàâèëà ÌÐ.  îäíîì èç ðàññêàçîâ î Øåðëîêå Õîëìñå ñëîæèëàñü òàêàÿ ñèòóàöèÿ: «Íàì èçâåñòíî, ÷òî ïðåñòóïíèê íå ìîã ïîïàñòü â êîìíàòó íè ÷åðåç äâåðü (A), íè ÷åðåç äûìîâîé õîä (B). Ìû çíàåì òàêæå, ÷òî îí íå ìîã ñïðÿòàòüñÿ â êîìíàòå (C), ïîñêîëüêó â íåé ïðÿòàòüñÿ íåãäå. Êàê æå òîãäà îí ïðîíèê ñþäà? ×åðåç êðûøó(D)! Áåç ñîìíåíèÿ. Îí ìîã ïðîíèêíóòü â ýòó êîìíàòó òîëüêî ÷åðåç êðûøó.» Ýòî ðàññóæäåíèå ìîæíî ôîðìàëèçîâàòü òàê: À ∨  ∨ Ñ ∨ D, ¬À, ¬Â, ¬Ñ |= D, ÷òî ðàâíîñèëüíî: ¬À → (¬Â → (¬Ñ → D)), ¬À, ¬Â, ¬Ñ |= D. Òðåõêðàòíîå ïðèìåíåíèå ïðàâèëà ÌÐ äîêàçûâàåò ýòî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå. Íå ñëåäóåò çàáûâàòü, ÷òî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå âûïîëíåíî òîëüêî òîãäà, êîãäà èç èñòèííûõ ïîñûëîê ñëåäóåò èñòèííîå çàêëþ÷åíèå. Ïîýòîìó äîëæíà ñóùåñòâîâàòü õîòÿ áû îäíà èíòåðïðåòàöèÿ (ò.å. èñòèííîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå áóêâ, âõîäÿùèõ â êàæäóþ ïîñûëêó), íà êîòîðîé âñå ïîñûëêè èñòèííû îäíîâðåìåííî. Åñëè òàêîé èíòåðïðåòàöèè íå ñóùåñòâóåò, òî ñèñòåìà ïîñûëîê ïðîòèâîðå÷èâà è èç íåå âûâîäèìî ëþáîå çàêëþ÷åíèå, ò.å. âìåñòå ñ íåêîòîðîé ôîðìóëîé A âûâîäèìî è åå îòðèöàíèå ¬A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ íå âûïîëíåííûì, åñëè ïîñûëîê íåäîñòàòî÷íî äëÿ âûâîäà íóæíûõ çàêëþ÷åíèé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ, â çàâèñèìîñòè îò ñîäåðæàíèÿ çàäà÷è, ìíîæåñòâî ïîñûëîê ìîæåò áûòü ïîïîëíåíî. Ïðèìåð 10.5. Ïðîâåðèòü íåïðîòèâîðå÷èâîñòü ìíîæåñòâà ïîñûëîê: A → ¬B & C, D ∨ E → G, G → ¬(H ∨ K), ¬C & E & H. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò èíòåðïðåòàöèÿ, íà êîòîðîé âñå ïîñûëêè ïðèíèìàþò èñòèííîå çíà÷åíèå: 1. |A → ¬B & C| = T, 2. |D ∨ E → G| =T, 3. |G → ¬(H ∨ K)| = T, 4. |¬C & E & H| = T. Èç 4 ñëåäóåò: |¬C| = T, |C| = F, |E| = T, |H| = T. Ïîäñòàâëÿÿ |C| = F â 1, íàõîäèì: |A → ¬B & F| = T, îòêóäà |A| = F. Ïîäñòàâëÿÿ |E| = T â 2, ïîëó÷èì: |D ∨ T → G| = T, îòêóäà |G| = T. Ïîäñòàâèì ýòî çíà÷åíèå â 3, ïîëó÷èì |T → ¬(H ∨ K)| = T, îòêóäà |¬(H ∨ K)| = T, ò.å. |H ∨ K| = F, ñëåäîâàòåëüíî, |H| = F, |K| = F. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå: |H| = T, |H| = F, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ïîñûëîê ïðîòèâîðå÷èâà.
Ãëàâà 11.
ÔÎÐÌÀËÜÍÛÅ ÒÅÎÐÈÈ. ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ
11.1. Îïðåäåëåíèå ôîðìàëüíîé òåîðèè Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ ñîäåðæàòåëüíîé, åñëè ñóùåñòâóåò êàêàÿ-ëèáî èíòåðïðåòàöèÿ îáúåêòîâ, îïåðàöèé, ñèìâîëîâ òåîðèè. Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèåé, òàê êàê êàæäûé ñèìâîë â íåé èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ïðîñòîå âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå èëè ëîæíîå, ôîðìóëû òàêæå ìîãóò áûòü èñòèííûìè èëè ëîæíûìè, è, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìû îòâëåêàåìñÿ îò ñîäåðæàòåëüíîãî ñìûñëà âûñêàçûâàíèé, âñå ðàññóæäåíèÿ âåäóòñÿ â òåðìèíàõ èñòèííîñòè è ëîæíîñòè.  îòëè÷èå îò ñîäåðæàòåëüíûõ òåîðèé, ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ (èñ÷èñëåíèå) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ è îòíîøåíèé ìåæäó íèìè, êîòîðûì íå ïðèïèñûâàåòñÿ íèêàêîãî ñîäåðæàòåëüíîãî ñìûñëà. Âñïîìèíàÿ î çàäà÷àõ ëîãèêè, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèÿ è ôîðìóëû ôîðìàëüíîé òåîðèè ïðåäñòàâëÿþò «÷èñòûå» ñõåìû ðàññóæäåíèé, êîòîðûì ìîæíî ïðèäàâàòü ñàìûé ðàçíîîáðàçíûé ñìûñë, ò.å. ñòðîèòü ðàçëè÷íûå ìîäåëè òåîðèè. Ôîðìàëüíûå òåîðèè ñòðîÿòñÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì. Çàäàåòñÿ ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ àëôàâèòîì òåîðèè. Èç ýòîãî ìíîæåñòâà ñèìâîëîâ ñòðîÿòñÿ êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñëîâàìè èëè âûðàæåíèÿìè äàííîé òåîðèè. Èç ìíîæåñòâà âûðàæåíèé âûäåëÿþò ïðàâèëüíî ïîñòðîåííûå âûðàæåíèÿ ôîðìóëû. Èç ìíîæåñòâà ôîðìóë âûäåëÿþò ïîäìíîæåñòâî àêñèîì. Ìåæäó ôîðìóëàìè òåîðèè îïðåäåëÿþò îòíîøåíèÿ ïðàâèëà âûâîäà òåîðèè. Ïðàâèëà âûâîäà ïîçâîëÿþò èç ìíîæåñòâà àêñèîì âûâîäèòü òåîðåìû. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèåé. Îïðåäåëåíèå 11.1. Äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë À1,
, An, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ëèáî ÿâëÿåòñÿ àêñèîìîé, ëèáî ïîëó÷åíà èç ïðåäûäóùèõ ïî ïðàâèëàì âûâîäà äàííîé òåîðèè. Êàæäàÿ ôîðìóëà â ñïèñêå ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé äàííîé òåîðèè. Èíûìè ñëîâàìè, òåîðåìà ýòî ôîðìóëà, âûâîäèìàÿ èç ìíîæåñòâà àêñèîì ïî ïðàâèëàì âûâîäà, îïðåäåëåííûì â äàííîé òåîðèè. Çàïèñü |J An îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìóëà An âûâîäèìà â òåîðèè J, ò.å. ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé òåîðèè J. Îïðåäåëåíèå 11.2. Âûâîäîì ôîðìóëû Àn èç ìíîæåñòâà ãèïîòåç Γ íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë À1,
, An, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ëèáî àêñèîìîé, ëèáî ãèïîòåçîé èç ìíîæåñòâà Γ, ëèáî ïîëó÷åíà èç ïðåäûäóùèõ ïî ïðàâèëàì âûâîäà. Ôîðìóëà Àn íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé èç ìíîæåñòâà ãèïîòåç Γ. Îáîçíà÷åíèå
182
Ãëàâà 11
Γ |J Àn îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìóëà Àn âûâîäèìà èç ìíîæåñòâà ãèïîòåç Γ â òåîðèè J. Äîêàçàòåëüñòâî îòëè÷àåòñÿ îò âûâîäà òåì, ÷òî â íåì íå èñïîëüçóþòñÿ ãèïîòåçû, ïîýòîìó òåîðåìó ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ôîðìóëó, âûâîäèìóþ èç ïóñòîãî ìíîæåñòâà ãèïîòåç. Ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè. 1. Åñëè Γ |  è Γ ⊂ ∆, òî ∆ |  (∆ ìíîæåñòâî ôîðìóë). Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì ìîíîòîííîñòè âûâîäà. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìóëà  áóäåò ïî-ïðåæíåìó âûâîäèìà, åñëè ê ìíîæåñòâó ãèïîòåç Γ, èç êîòîðûõ âûâîäèìà ôîðìóëà Â, äîáàâèòü äðóãèå ãèïîòåçû, ò.å. ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî ãèïîòåç Γ äî ∆. 2. Γ |  òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ∆ ⊆ Γ, òàêîå ÷òî ∆ | Â. Ýòî ñâîéñòâî ïîëíîòû ìíîæåñòâà ãèïîòåç: äëÿ òîãî, ÷òîáû ôîðìóëà  áûëà âûâîäèìà èç ìíîæåñòâà ãèïîòåç Γ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â Γ ñóùåñòâîâàëî ïîäìíîæåñòâî ∆ ⊆ Γ, èç êîòîðîãî âûâîäèìà ôîðìóëà Â. Èíûìè ñëîâàìè, íå âñå ãèïîòåçû èç çàäàííîãî ìíîæåñòâà ãèïîòåç G îáÿçàòåëüíî äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ â ïðîöåññå âûâîäà, íåêîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ ëèøíèìè, îäíàêî, çàäàííûõ ãèïîòåç äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî äëÿ âûâîäà Â. 3. Åñëè ∆ | À, è äëÿ êàæäîãî Âi ∈ ∆, Γ | Âi òî Γ | À. Ýòî ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ âûâîäèìîñòè. Îíî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ðàíåå äîêàçàííûå òåîðåìû (âûâîäû), íå ïîâòîðÿÿ âñåãî ñïèñêà ôîðìóë, ñîñòàâëÿþùèõ äîêàçàòåëüñòâî (âûâîä). Ïîýòîìó ðàíåå äîêàçàííûå òåîðåìû è âûâîäû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ â äðóãèõ äîêàçàòåëüñòâàõ êàê ñõåìû, â êîòîðûõ êàæäîå âõîæäåíèå ïåðåìåííîé ìîæåò çàìåùàòüñÿ ïðîèçâîëüíîé ôîðìóëîé.
11.2. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ L Îïðåäåëåíèå 11.3. 1. Ñèìâîëàìè àëôàâèòà òåîðèè L ÿâëÿþòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû A, B, C,... ñ èíäåêñàìè èëè áåç èíäåêñîâ, ïðîïîçèöèîíàëüíûå ñâÿçêè ¬, →, è âñïîìîãàòåëüíûå ñèìâîëû ñêîáêè: ( è ). 2. Îïðåäåëåíèå ôîðìóëû. • Âñÿêàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ áóêâà åñòü ôîðìóëà. • Åñëè À è  åñòü ôîðìóëû, òî ôîðìóëàìè ÿâëÿþòñÿ (¬A), (A → B). • Äðóãèõ ôîðìóë íåò. 3.  ôîðìàëüíîé òåîðèè L îïðåäåëåíî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî àêñèîì, êîòîðûå çàäàþòñÿ òðåìÿ ñõåìàìè àêñèîì: A1: A → (B → A);
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
183
A2: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)); A3: (¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B). Êîíêðåòíûå àêñèîìû ïîëó÷àþòñÿ ïîäñòàíîâêîé ôîðìóëû âìåñòî êàæäîãî âõîæäåíèÿ îäíîé è òîé æå ïðîïîçèöèîíàëüíîé áóêâû. 4.  òåîðèè L îïðåäåëåíî åäèíñòâåííîå ïðàâèëî âûâîäà MP: A, A → B | B. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ôîðìóë ââîäÿòñÿ ìåòàîïðåäåëåíèÿ: ÌÎ1: ¬(À → ¬Â) = À & Â. ÌÎ2: ¬À →  = À ∨ Â. ÌÎ3: (À → Â) & ( → À) = À ≡ B.
11.3. Äîêàçàòåëüñòâî è âûâîä â ôîðìàëüíîé òåîðèè L Ðàññìîòðèì äîêàçàòåëüñòâî è âûâîä â òåîðèè L. Äîêàæåì òåîðåìó A → A. Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ïðàâèëîì âûâîäà ÿâëÿåòñÿ ÌÐ, íàì íóæíî âçÿòü òàêóþ àêñèîìó, ÷òîáû âûâîäèìàÿ ôîðìóëà A → A îêàçàëàñü â êîíöå ôîðìóëû. Âîçüìåì ñõåìó àêñèîìû À2, ñäåëàâ çàìåíó B íà A → A è C íà A. Ïîëó÷èì (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)).  ñõåìå àêñèîìû À1 òàêæå çàìåíèì B íà A → A, ïîëó÷èì A → ((A → A) → A). Òåïåðü ê ýòèì äâóì ôîðìóëàì ïðèìåíèì ïðàâèëî ÌÐ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì (A → (A → A)) → (A → A).  ñõåìå àêñèîìû À1 çàìåíèì B íà A, ïîëó÷èì A → (A → A). Ïðèìåíÿÿ ê äâóì ïîñëåäíèì ôîðìóëàì ïðàâèëî ÌÐ, ïîëó÷èì A → A. Äîêàçàòåëüñòâî è âûâîä ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â ñòîëáèê, íóìåðóÿ êàæäóþ ôîðìóëó è óêàçûâàÿ ñïðàâà â êà÷åñòâå êîììåíòàðèÿ, íà êàêîì îñíîâàíèè ôîðìóëà âêëþ÷åíà â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1, 2. Òåîðåìà 1. | A → A 1. (A → ((A → A) → A)) → → ((A → (A → A)) → (A → A)) A2 2. A → ((A → A) → A) A1 3. (A → (A → A)) → (A → A) MP(1, 2) 4. A → (A → A) A1 5. A → A MP(3, 4)
184
Ãëàâà 11
Òåîðåìà 2. |(¬A → A) → A 1. (¬A → ¬A) → ((¬A → A) → A) A3 2. ¬A → ¬A T1 3. (¬A → A) → A MP(1, 2) Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 â ïóíêòå 2 ìû ññûëàëèñü íà äîêàçàííóþ ðàíåå òåîðåìó 1, ÷òî ôàêòè÷åñêè ñîîòâåòñòâóåò âêëþ÷åíèþ â äîêàçàòåëüñòâî âñåõ ïóíêòîâ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1. Ïîñòðîèì âûâîäû. Â1. Ïðàâèëî ñèëëîãèçìà. A → B, B → C | A → C 1. A → B Ã1 2. B → C Ã2 3. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) À2 4. (B → C) → (A → (B → C)) À1 5. A → (B → C) MP(2, 4) 6. (A → B) → (A → C) MP(3, 5) 7. A → C MP(1, 6) Â2. Ïðàâèëî óäàëåíèÿ ñðåäíåé ïîñûëêè. A → (B → C), B | A → C 1. A → (B → C) Ã1 2. B Ã2 3. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) A2 4. (A → B) → (A → C) MP(1, 3) 5. B → (A → B) A1 6. A → B MP(2, 5) 7. A → C MP(4, 6) Òàêèå ïðàâèëà âûâîäà, äîêàçàííûå ñðåäñòâàìè ôîðìàëüíîé òåîðèè, íàçûâàþòñÿ ïðîèçâîäíûìè ïðàâèëàìè âûâîäà.
11.4. Ìåòàòåîðåìà î äåäóêöèè  ôîðìàëüíûõ òåîðèÿõ èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîëè÷åñêèé ÿçûê äëÿ îïèñàíèÿ íåêîòîðîé ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè. Ýòîò ÿçûê èìååò òî÷íî îïðåäåëåííûé ñèíòàêñèñ è ôîðìàëüíûå ñðåäñòâà ëîãè÷åñêîãî âûâîäà (ïðàâèëà âûâîäà). Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ñðåäñòâ èç âûáðàííûõ àêñèîì ìîæíî âûâîäèòü òåîðåìû ôîðìàëüíîé òåîðèè. Îäíàêî, îáñóæäåíèå ñâîéñòâ ôîðìàëüíîé òåîðèè è ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ îáû÷íî ïðîèçâîäèòñÿ â íåêîòîðîé äðóãîé òåîðèè, êîòîðóþ íàçûâàþò ìåòàòåîðèåé. ßçûê ýòîé ìåòàòåîðèè íàçûâàþò ìåòàÿçûêîì. Ñàìó æå ôîðìàëüíóþ òåîðèþ íàçûâàþò òîãäà ïðåäìåòíîé, èëè îáúåêòíîé òåîðèåé, à åå ÿçûê ïðåäìåòíûì ÿçûêîì, èëè ÿçûêîì-
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
185
îáúåêòîì. Èçó÷åíèå ñâîéñòâ ôîðìàëüíîé òåîðèè, ïðîèçâîäèìîå ñîäåðæàòåëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè ñðåäñòâàìè ìåòàÿçûêà, íàçûâàþò òåîðèåé äîêàçàòåëüñòâ, èëè ìåòàìàòåìàòèêîé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ôîðìàëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà è âûâîäà â òåîðèè L.  êà÷åñòâå ìåòàÿçûêà ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáû÷íûì ðóññêèì ÿçûêîì. Òåîðåìû î ñâîéñòâàõ ôîðìàëüíîé òåîðèè, äîêàçàííûå ñ ïîìîùüþ ñîäåðæàòåëüíîãî ìåòàÿçûêà, áóäåì íàçûâàòü ìåòàòåîðåìàìè. Ìåòàòåîðåìà î äåäóêöèè (ÌÒÄ). Åñëè èç ìíîæåñòâà ôîðìóë Γ è ôîðìóëû À âûâîäèìà ôîðìóëà Â, òî èç ìíîæåñòâà Γ âûâîäèìà ôîðìóëà À → Â, ò.å. åñëè Γ, À | Â, òî Γ | À → Â. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ìåòàòåîðåìû ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ïî ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü âûâîä ôîðìóëû  ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Â1, B2,
, Bn = B. Äîêàæåì ñëåäóþùóþ ìåòàëåììó. Ìåòàëåììà. Èç Γ, À | Âi ñëåäóåò, ÷òî Γ | À → Âi (i = 1,
, n). Äîêàçàòåëüñòâî ìåòàëåììû. Áàçèñ èíäóêöèè. Ïóñòü i = 1. Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ. à) Â1 àêñèîìà. | Â1 | Â1 → (À → Â1 ) À1 | À → Â1 ïî ïðàâèëó MP Γ | À → Â1 ïî ñâîéñòâó âûâîäèìîñòè 1. á) Â1 = À, ò.å. Â1 åñòü ñàìà ôîðìóëà À. | À → À Ò1 Ïîñêîëüêó òåîðåìà âûâîäèìà èç ïóñòîãî ìíîæåñòâà ïîñûëîê, îíà âûâîäèìà èç ëþáîãî ìíîæåñòâà ïîñûëîê, ñîãëàñíî ñâîéñòâó âûâîäèìîñòè 1. Ïîýòîìó Γ | À → À, ÷òî ðàâíîñèëüíî Γ | À → Â1. â) Â1 ∈ Ã, ò.å. Â1 ãèïîòåçà èç Γ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå à). Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü ìåòàëåììà âûïîëíåíà äëÿ âñåõ k < i. Äîêàæåì, ÷òî îíà âûïîëíÿåòñÿ ïðè k = i. Âîçìîæíû ÷åòûðå ñëó÷àÿ: à) Âi àêñèîìà; äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ á) Âi = À; òàê æå, êàê è äëÿ áàçèñà â) Âi ∈ Γ; èíäóêöèè. ã) Âi âûâîäèòñÿ ïî MP èç ïðåäûäóùèõ ôîðìóë, ò.å. â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Â1,
, Bn åñòü ôîðìóëû: Âm è Âl = Âm → Âi, (m < l < i). Òîãäà ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ñïðàâåäëèâû âûâîäû: Γ | À → Âm, Γ | À → Âl, ò.å. Γ | À → (Âm → Bi).
{
186
Ãëàâà 11
Ïî ñõåìå àêñèîìû À2 | (À → (Âm → Bi)) → ((À → Âm) → (À → Bi)). Ïðèìåíÿÿ äâàæäû ê ïîñëåäíèì òðåì âûðàæåíèÿì ïðàâèëî ÌÐ, ïîëó÷èì Γ | À → Bi. Ïðè i = n ïîëó÷èì ôîðìóëèðîâêó ìåòàòåîðåìû î äåäóêöèè. Ñïðàâåäëèâà ìåòàòåîðåìà, îáðàòíàÿ ìåòàòåîðåìå î äåäóêöèè. Îáðàòíàÿ ìåòàòåîðåìà î äåäóêöèè. Åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä Γ | À → Â, òî ôîðìóëà  âûâîäèìà èç Γ è À, ò.å. åñëè Γ | À → Â, òî Γ, À |  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûâîä ôîðìóëû À →  èìååò âèä: Â1,..., Bn1, À → Â, ãäå Â1,..., Bn-1 ôîðìóëû èç ìíîæåñòâà Γ. Òîãäà âûâîä ôîðìóëû  èç Γ è À áóäåò èìåòü âèä: Â1, ..., Bn1, À → Â, À, Â, òàê êàê  ñëåäóåò èç À →  è À ïî ïðàâèëó ÌÐ. Èç ìåòàòåîðåìû î äåäóêöèè âûâîäèìû ñëåäñòâèÿ: Ñëåäñòâèå 1 (Â1). Ïðàâèëî ñèëëîãèçìà: A → B, B → C | A → C. Ñëåäñòâèå 2 (Â2). Ïðàâèëî óäàëåíèÿ ñðåäíåé ïîñûëêè: A → → (B → C),  | À → C. Ñëåäñòâèå 3 (Â3) Ïðàâèëî óäàëåíèÿ êðàéíåé ïîñûëêè: (A → B) → → C | B → C. Ïðàâèëà ñèëëîãèçìà è óäàëåíèÿ ñðåäíåé ïîñûëêè áûëè äîêàçàíû ðàíåå, áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìåòàòåîðåìû î äåäóêöèè. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ïðàâèëà Â2 ñ åå èñïîëüçîâàíèåì. Ïîëüçóÿñü îáðàòíîé ìåòàòåîðåìîé î äåäóêöèè, áóäåì ñòðîèòü âûâîä: A → (B → C), Â, À | C. 1. A → (B → C) Ã1 2.  Ã2 3. À Ã3 4. B → C ÌÐ(1,3) 5. Ñ ÌÐ(2,4) Òåïåðü, ïî ìåòàòåîðåìå î äåäóêöèè, ïîëó÷àåì âûâîä: A → (B → C),  | À → C. (Â3) Ïðàâèëî óäàëåíèÿ êðàéíåé ïîñûëêè: (A → B) → C | B → C. Ïðèìåíÿÿ îáðàòíóþ ìåòàòåîðåìó î äåäóêöèè, ïîëó÷èì: (A → B) → → C, B | C. 1. (A → B) → C Ã1 2. B Ã2 3. B → (A → B) À1 4. A → B ÌÐ(2, 3) 5. C ÌÐ(1, 4)
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
187
Ïî ìåòàòåîðåìå î äåäóêöèè, ïîëó÷àåì âûâîä: (A → B) → C | B → C. Ïðèìåíåíèå ìåòàòåîðåìû î äåäóêöèè (ÌÒÄ) ïîçâîëÿåò èç ëþáîãî ïðàâèëà âûâîäà ïîëó÷èòü òåîðåìó. Íàïðèìåð, ïðèìåíÿÿ äâà ðàçà ÌÒÄ ê ïðàâèëó ñèëëîãèçìà, ïîëó÷èì òåîðåìó ñèëëîãèçìà: A → B, B → C | A → C ïðàâèëî ñèëëîãèçìà A → B | (B → C) → (A → C) ÌÒÄ | (A → B) → ((B → C) → (A → C)) ÌÒÄ Îáðàòíàÿ ìåòàòåîðåìà î äåäóêöèè (ÎÌÒÄ) ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ïðàâèëà âûâîäà èç òåîðåì. Íàïðèìåð, ïðèìåíÿÿ äâà ðàçà ÎÌÒÄ ê àêñèîìå À3, ïîëó÷èì ïðàâèëî âûâîäà: | (¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B) A3 ¬B → ¬A | ((¬B → A) → B) ÎÌÒÄ ¬B → ¬A, ¬B → A | B ÎÌÒÄ Ïðèìåíåíèå ìåòàòåîðåìû î äåäóêöèè è ñëåäñòâèé èç íåå ïîçâîëÿåò óïðîùàòü ïîñòðîåíèå âûâîäîâ è äîêàçàòåëüñòâ. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû òàêîãî ïðèìåíåíèÿ. (Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïðèâîäèìûå íèæå äîêàçàòåëüñòâà íå ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè, ìîãóò áûòü íàéäåíû è äðóãèå äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåì.) Òåîðåìà 3 (ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ). | ¬¬À → À 1. (¬A → ¬¬A) → ((¬A → ¬A) → A) A3 2. ¬A → ¬A T1 3. (¬A → ¬¬A) → A Â2(1,2) 4. ¬¬A → A Â3(3) Òåîðåìà 4 (ââåäåíèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ). | A → ¬¬A 1. (¬¬¬A → ¬A) → ((¬¬¬A → A) → ¬¬A) A3 2. ¬¬¬A → ¬A T3 3. (¬¬¬A → A) → ¬¬A MP(1,2) 4. A → ¬¬A Â3(3) Òåîðåìà 5 (ïðîòèâîðå÷èÿ). | ¬A → (A → B) Ïîñòðîèì âûâîä: ¬A, A | B. 1. ¬A Ã1 2. A Ã2 3. (¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B) À3 4. ¬A → (¬B → ¬A) À1 5. A → (¬B → A) À1 6. ¬B → ¬A ÌÐ(1,4) 7. ¬B → A ÌÐ(2,5) 8. (¬B → A) → B ÌÐ(3,6) 9. B ÌÐ(7,8)
188
Ãëàâà 11
Òåîðåìà 6 (êîíòðàïîçèöèè). | (¬À → ¬B) → (B → A) Ïîñòðîèì âûâîä: ¬A → ¬B | B → A 1. ¬A → ¬B Ã1 2. (¬A → ¬B) → ((¬A → B) → A) À3 3. (¬A → B) → A ÌÐ(1,2) 4. B → A Â3(3) Òåîðåìà 7 (êîíòðàïîçèöèè). | (B → A) → (¬A → ¬B) Ïîñòðîèì âûâîä: B → A | ¬A → ¬B 1. B → A Ã1 2. ¬¬B → B Ò3 3. A → ¬¬A Ò4 4. ¬¬B → A Â1(2,1) 5. ¬¬B → ¬¬A Â1(3,4) 6. (¬¬B → ¬¬A) → (¬A → ¬B) T6 7. ¬A → ¬B MP(5,6) Tåîðåìà 8. | A → (¬B → ¬(A → B)) Ïîñòðîèì âûâîä: A | ¬B → ¬(A → B) 1. ((A → B) → B) → (¬B → ¬(A → B)) T7 2. A Ã1 3. À, A → B | B ÌÐ 4. A | (A → B) → B ÌÒÄ(3) 5. (A → B) → B èç (2,4) 6. ¬B → ¬(A → B) ÌÐ(1,5)  äîêàçàòåëüñòâå ýòîé òåîðåìû ôàêòè÷åñêè èñïîëüçîâàëèñü ñðåäñòâà ìåòàÿçûêà èç ïðàâèëà ÌÐ ïðèìåíåíèåì ÌÒÄ áûëî ïîëó÷åíî íîâîå ïðàâèëî âûâîäà: A | (A → B) → B. Òåîðåìà 9. | (A → B) → ((¬A → B) → B) Ïîñòðîèì âûâîä: A → B, ¬A → B | B 1. A → B Ã1 2. ¬A → B Ã2 3. (A → B) → (¬B → ¬A) T7 4. (¬A → B) → (¬B → ¬¬A) T7 5. ¬B → ¬A MP(1,3) 6. ¬B → ¬¬A MP(2,4) 7. (¬B → ¬¬A) → ((¬B → ¬A) → B) A3 8. (¬B → ¬A) → B MP(6,7) 9. B MP(5,8)
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
189
11.5. Ïðàâèëà ââåäåíèÿ è óäàëåíèÿ ñâÿçîê Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì è ïîñòðîåíèè âûâîäîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîäíûå ïðàâèëà âûâîäà, äîêàçàííûå ðàíåå, â òîì ÷èñëå ïðàâèëà ââåäåíèÿ è óäàëåíèÿ ñâÿçîê (ñì. òàáë. 11.1). Òàáëèöà 11.1. Ñâÿçêà Ââåäåíèå → Ã, À |  ⇒ ⇒ Ã| À →  (ÌÒÄ) ¬
& ∨ ≡
Ã, À | Â; Ã, À| ¬Â ⇒ à | ¬À (äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî) Ã1 | À, Ã2 |  ⇒ Ã1 , Ã2 | À &  à | À ⇒ à | A ∨  à |  ⇒ à | À ∨  À → Â,  → À | À ≡ Â
Óäàëåíèå À, À →  |  (ÌÐ) Ã1 | À, Ã2 | À →  ⇒ ⇒ Ã1,Ã2 |  À, ¬À |  (ñëàáîå óäàëåíèå îòðèöàíèÿ) ¬¬À | À (óäàëåíèå äâîéíîãî îòðèöàíèÿ) à | A & B ⇒ à | A à | A & B ⇒ à | B Ã1 | À ∨ Â; Ã2, À | C; Ã3,  | C ⇒ Ã1, Ã2, Ã3 | C À ≡  | À → Â; À ≡  |  → À
Äîêàæåì íåêîòîðûå èç ýòèõ ïðàâèë. Â4. ¬ ââåäåíèå. À → Â, À → ¬Â | ¬À 1. A → B Ã1 2. A → ¬B Ã2 3. (A → B) → (¬B → ¬A) T7 4. (A → ¬B) → (¬¬B → ¬A) T7 5. ¬B → ¬A MP(1,3) 6. ¬¬B → ¬A MP(2,4) 7. (¬B → ¬A) → ((¬¬B → ¬A) → ¬A) T9 8. (¬¬B → ¬A) → ¬A MP(5,7) 9. ¬A MP(6,8) Â5. & óäàëåíèå 1. A & B | A. Ïîëüçóÿñü ìåòàîïðåäåëåíèåì ÌÎ1, ïîëó÷èì ¬(A → ¬B) |A, è ïðèìåíèì ÌÒÄ: | ¬(A → ¬B) → A 1. ¬A → (A → ¬B) T5 2. (A → ¬B) → ¬¬(A → ¬B) T4 3. ¬A → ¬¬(A → ¬B) Â1(1,2)
190 4. (¬A → ¬¬(A → ¬B)) → (¬(A → ¬B) → A) 5. ¬(A → ¬B) → A Â6. & óäàëåíèå 2. A & B |  ¬(A → ¬B) |  ÌÎ1 | ¬(A → ¬B) →  Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Â7. & ââåäåíèå. À,  | A & B À,  | ¬(A → ¬B) 1. A 2. B 3. A → (¬¬B → ¬(A → ¬B)) 4. ¬¬B → ¬(A → ¬B) 5. B → ¬¬B 6. ¬¬B 7. ¬(A → ¬B)
Ãëàâà 11 T6 MP(3,4)
ÌÒÄ
ÌÎ1 Ã1 Ã2 Ò8 MP(1,3) Ò4 MP(2,5) MP(4,6)
11.6. Äðóãèå ôîðìàëèçàöèè ëîãèêè âûñêàçûâàíèé Ïîìèìî ¬ è →, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äðóãèå ôóíêöèîíàëüíî ïîëíûå íàáîðû ñâÿçîê, íàïðèìåð, ∨ è ¬ èëè & è ¬, òîãäà áóäóò ïîëó÷åíû äðóãèå ôîðìàëèçàöèè ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Ðàññìîòðèì òàêèå òåîðèè. Òåîðèÿ L1 (Ãèëüáåðòà, Àêêåðìàíà). Îñíîâíûå ñâÿçêè: ∨, ¬. Ìåòàîïðåäåëåíèå: À →  = ¬À ∨ Â. Ñõåìû àêñèîì: À1: A ∨ A → A. A2: A → A ∨ B. A3: A ∨ B → B ∨ A. A4: (B → C) → (A ∨ B → A ∨ C). Ïðàâèëî âûâîäà: ÌP. Òåîðèÿ L2 (Ðîññåðà). Îñíîâíûå ñâÿçêè: &, ¬. Ìåòàîïðåäåëåíèå: A → B = ¬(A & ¬B). Ñõåìû àêñèîì: A1: A → (A & A). A2: (A & B) → A. A3: (A → B) → (¬(B & C) → ¬(C & A)). Ïðàâèëî âûâîäà: MP. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ, ïðåäëîæåííàÿ Êëèíè, èñïîëüçóåò ÷åòûðå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè: ¬, →, &, ∨.
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
191
Òåîðèÿ L4 (Êëèíè). Ñõåìû àêñèîì: A1: A → (B → A). A2: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)). A3: (A & B) → A. A4: (A & B) → B. A5: A → (B → (A & B)). A6: A → A ∨ B. A7: B → A ∨ B. A8: (A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)). A9: (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A). A10: ¬¬A → A. Ïðàâèëî âûâîäà: ÌP.
11.7. Ñâîéñòâà ôîðìàëüíîé òåîðèè L Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ôîðìàëüíîé òåîðèè îáû÷íî ñòðîèòñÿ åå ìîäåëü. Ïðèïèñûâàíèå çíà÷åíèé ïåðâè÷íûì òåðìèíàì ôîðìàëüíîé òåîðèè íàçûâàåòñÿ åå èíòåðïðåòàöèåé. Åñëè ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, âûáðàííûõ â êà÷åñòâå çíà÷åíèé ïåðâè÷íûõ òåðìèíîâ òåîðèè, óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì ôîðìàëüíîé òåîðèè, òî òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ôîðìàëüíîé òåîðèè. Îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè ôîðìàëüíûõ òåîðèé ÿâëÿþòñÿ èõ íåïðîòèâîðå÷èâîñòü è ïîëíîòà. Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èâîé, åñëè îíà ñîäåðæèò òàêóþ ôîðìóëó A, ÷òî êàê A, òàê è ¬A ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè òåîðèè. Òåîðèÿ íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîòèâîðå÷èâîé, íàçûâàåòñÿ íåïðîòèâîðå÷èâîé. Èíûìè ñëîâàìè, â íåïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè íå ñóùåñòâóåò òàêîé ôîðìóëû A, ÷òî A è ¬A ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè. Ïðîòèâîðå÷èâûå òåîðèè ñ÷èòàþòñÿ íå èìåþùèìè íèêàêîé öåííîñòè, òàê êàê ëþáàÿ ôîðìóëà òàêîé òåîðèè åñòü òåîðåìà, è, ñëåäîâàòåëüíî, â íåé ìîæíî âûâåñòè ÷òî óãîäíî. Âîïðîñ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òåîðèè ìîæíî óñòàíîâèòü ñ ïîìîùüþ ìîäåëè. Åñëè òåîðèÿ ïðîòèâîðå÷èâà, òî êàæäàÿ åå ìîäåëü áóäåò ñîäåðæàòü ïðîòèâîðå÷èå, òàê êàê ëþáàÿ ïàðà ïðîòèâîðå÷èâûõ ôîðìóë A è ¬A, ÿâëÿþùèõñÿ òåîðåìàìè òåîðèè, áóäóò ïåðåâîäèòüñÿ â ïðîòèâîðå÷èâûå âûñêàçûâàíèÿ ìîäåëè. Òåîðèÿ íåïðîòèâîðå÷èâà, åñëè äëÿ íåå óäàåòñÿ íàéòè ñâîáîäíóþ îò ïðîòèâîðå÷èé ìîäåëü. Åñëè íåïðîòèâîðå÷èâîñòü òåîðèè äîêàçàíà (èëè õîòÿ áû ïðèíÿòà íà âåðó), òî ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ î åå ïîëíîòå. Ïîëíîòà òåîðèè îçíà÷àåò, ÷òî îíà ñîäåðæèò äîñòàòî÷íîå äëÿ êàêèõ-ëèáî öåëåé êîëè÷åñòâî òåîðåì. Íàïðèìåð, åñëè èç òåîðèè L èñêëþ÷èòü ñõåìó àêñèîì À3, òî â íåé ñòàíóò íåâûâîäèìûìè ìíîãèå òåîðåìû, ñîäåðæàùèå îòðèöàíèÿ (òàê êàê À1, À2 íå ñîäåðæàò îòðèöàíèé). Î÷åâèäíî, òàêàÿ òåîðèÿ áóäåò íåïîëíîé, íî ïîïîëíèìîé. Ðàçëè÷àþò îïðåäåëå-
192
Ãëàâà 11
íèÿ ïîëíîòû â óçêîì è â øèðîêîì ñìûñëå. Òåîðèþ ñ÷èòàþò ïîëíîé â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè ëþáîé ôîðìóëå A òåîðèè ñîîòâåòñòâóåò òàêîå ïðåäëîæåíèå ìîäåëè, êîòîðîå ëèáî èñòèííî, ëèáî ëîæíî. Òîãäà ëèáî A, ëèáî ¬A îêàçûâàåòñÿ èñòèííûì è äîëæíî áûòü âûâîäèìî â ôîðìàëüíîé òåîðèè, ò.å. ëþáàÿ ôîðìóëà A òåîðèè, ëèáî åå îòðèöàíèå ¬A ÿâëÿåòñÿ òåîðåìàìè ôîðìàëüíîé òåîðèè. Òåîðèÿ, êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî íåïðîòèâîðå÷èâà è ïîëíà, ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî äîáàâëåíèå ê íåé â êà÷åñòâå àêñèîìû êàêîé-ëèáî ôîðìóëû, íå ÿâëÿþùåéñÿ åå òåîðåìîé, ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè. Ýòî ñâîéñòâî ôîðìàëüíûõ òåîðèé íàçûâàþò ïîëíîòîé â óçêîì ñìûñëå. Äîáàâëåíèå ê ñèñòåìå àêñèîì êàêèõ-ëèáî òåîðåì òåîðèè íå èçìåíÿåò åå ñâîéñòâ, íî òîãäà ñèñòåìà àêñèîì ñòàíåò èçáûòî÷íîé, òàê êàê íåêîòîðûå àêñèîìû ìîæíî áóäåò âûâåñòè èç äðóãèõ àêñèîì. Íàïðèìåð, ñèñòåìà àêñèîì Êëèíè (òåîðèÿ L4) ñîäåðæèò èçáûòî÷íûå àêñèîìû, âûâîäèìûå èç äðóãèõ àêñèîì. Ñèñòåìà àêñèîì, ñîäåðæàùàÿ òàêèå àêñèîìû, ÷òî íè îäíà èç íèõ íå âûâîäèìà èç äðóãèõ, íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé. Ñâîéñòâî íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû àêñèîì íå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì äëÿ ôîðìàëüíûõ òåîðèé, ýòî âîïðîñ ëàêîíè÷íîñòè è êîìïàêòíîñòè ñðåäñòâ ôîðìàëüíîé òåîðèè. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà òåîðèè L.  êà÷åñòâå èíòåðïðåòàöèè ôîðìàëüíîé òåîðèè L âûáåðåì àëãåáðó âûñêàçûâàíèé. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé áóêâå òåîðèè L ïðîïîçèöèîíàëüíóþ áóêâó, êàæäîé ôîðìóëå L ôîðìóëó ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, êàæäîé òåîðåìå òàâòîëîãèþ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñõåìû àêñèîì òåîðèè L ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ëîãèêà âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ òåîðèè L. Îïðåäåëåíèå 11.4. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ ïîëíà îòíîñèòåëüíî ìîäåëè, åñëè êàæäîé òåîðåìå òåîðèè ñîîòâåòñòâóåò òîæäåñòâåííàÿ èñòèííàÿ ôîðìóëà ìîäåëè, à êàæäîé òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôîðìóëå ìîäåëè ñîîòâåòñòâóåò òåîðåìà ôîðìàëüíîé òåîðèè. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà òåîðèè L òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Ìåòàòåîðåìà 11.1. Êàæäàÿ òåîðåìà òåîðèè L ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñõåìàì àêñèîì À1, À2, À3 ñîîòâåòñòâóþò òàâòîëîãèè ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî ïîëîæåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü èõ òàáëèöû èñòèííîñòè. Ïðàâèëî ÌÐ ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî òàâòîëîãè÷íîñòè ñîãëàñíî òåîðåìå 10.3 î òàâòîëîãèÿõ. Ïîñêîëüêó ëþáàÿ òåîðåìà âûâîäèìà èç àêñèîì ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ÌÐ, åé òàêæå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü òàâòîëîãèÿ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé.
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
193
Ìåòàòåîðåìà 11.2 (òåîðåìà î ïîëíîòå). Êàæäàÿ òàâòîëîãèÿ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé ôîðìàëüíîé òåîðèè L. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùåé ìåòàëåììå. Ìåòàëåììà. Ïóñòü ôîðìóëà À ëîãèêè âûñêàçûâàíèé çàâèñèò îò ïðîïîçèöèîíàëüíûõ áóêâ B1, B2,
, Bk. Òîãäà êàæäîé ñòðîêå òàáëèöû èñòèííîñòè ýòîé ôîðìóëû ñîîòâåòñòâóåò âûâîä ôîðìàëüíîé òåîðèè L âèäà B1',
, Bk' | A', ãäå B' = B, åñëè |B| = T, è B' = ¬B, åñëè |B| = F, A' = A èëè ¬A, åñëè |A| = Ò èëè F ñîîòâåòñòâåííî. Ñìûñë ëåììû çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Åñëè äàíà ôîðìóëà, íàïðèìåð, Å = A → ((A → B) → A), òî, ïîñòðîèâ åå òàáëèöó èñòèííîñòè (òàáë. 11.2), ìîæíî îïðåäåëèòü, èç êàêèõ ïîñûëîê îíà âûâîäèìà. Òàáëèöà 11.2. A F F T T
B F T F T
(A → B) → A F F T T
B → ((A → B) → A) T F T T
Ñîãëàñíî ìåòàëåììå, äëÿ äàííîé ôîðìóëû ìîæíî ïîñòðîèòü ÷åòûðå âûâîäà: ¬À, ¬Â | Å; ¬À,  | ¬Å; À, ¬Â |Å; À,  |Å. Äîêàçàòåëüñòâî ìåòàëåììû. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ñâÿçîê n â ôîðìóëå À. 1. Áàçèñ èíäóêöèè. Ïóñòü n = 0, òîãäà A = B, ò.å. A ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòî ïðîïîçèöèîíàëüíóþ áóêâó B. Òîãäà ôîðìóëà À ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé, T èëè F, êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò âûâîä: B |B è ¬B | ¬B. 2. Øàã èíäóêöèè. Äîïóñòèì, ÷èñëî ñâÿçîê â ôîðìóëå À ðàâíî m è ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ìåòàëåììà. Äîêàæåì, ÷òî ìåòàëåììà âûïîëíÿåòñÿ, åñëè n = m + 1. 1 ñëó÷àé. Ôîðìóëà À îáðàçîâàíà ñ ïîìîùüþ ñâÿçêè îòðèöàíèÿ: À = ¬Â, ãäå  ñîäåðæèò m ñâÿçîê. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñëó÷àè. à) |B| = T, òîãäà |¬B| = F, ò.å. |A| = F. Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âûâîä: B'1,
, B'n | ¬A. Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, ñóùåñòâóåò âûâîä: B'1,
, B'n | B. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4, B | ¬¬B, òîãäà ïî ïðàâèëó ñèëëîãèçìà B'1,
, B'n | ¬¬B. Íî ¬¬B = ¬A, ïîñêîëüêó À = ¬Â, ñëåäîâàòåëüíî, B'1,
, B'n | ¬A.
194
Ãëàâà 11
á) |B| = F, |¬B| = T, |A| = T. Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âûâîä B'1,
, B'n | A, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, B'1,
, B'n | ¬B. Òàê êàê |B| = F, òî ¬B = Â'. Âûâîä B'1,
, B'n | Â' ñóùåñòâóåò ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, çíà÷èò, ñóùåñòâóåò è B'1,
, B'n | ¬B. 2 ñëó÷àé. Ôîðìóëà À îáðàçîâàíà ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêîé ñâÿçêè èìïëèêàöèè: A = B → C, ãäå  è Ñ ñîäåðæàò íå áîëåå m ñâÿçîê. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ñóùåñòâóþò âûâîäû: B′1,
, B′n | B′, B′1,
, B′n | C'. Ðàññìîòðèì èñòèííîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. à) |C| = T, |A| = T. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âûâîä B'1,
, B'n |A, ò.å. B'1,
, B'n | B → C. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ ñóùåñòâóåò âûâîä B'1,
, B'n | C. Òîãäà èç ýòîãî âûâîäà è àêñèîìû A1: C → (B → C) ïî ÌÐ ïîëó÷àåì: B'1,
, B'n | B → C. á) |B| = F, |A| = T. Âûâîä B'1,
, B'n | ¬B ñóùåñòâóåò ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ. Òîãäà èç ýòîãî âûâîäà è òåîðåìû T5: | ¬B → (B → C) ïî ïðàâèëó ÌÐ ïîëó÷àåì: B'1,
, B'n |B → C. â) |C| = F, |B| = T, |A| = F. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âûâîä B'1,
, B'n | ¬A, ò.å. B'1,
, B'n | ¬(B → C). Ïîñòðîèì ýòîò âûâîä. 1. B'1,
, B'n | ¬C (ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ) 2. B'1,
, B'n | B (ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ) 3. | B → (¬C → ¬(B → C)) T8 4. B'1,
, B'n | ¬C → ¬(B → C) MP(2,3) 5. B'1, À = ¬Â,
, B'n | ¬(B → C) MP(1,4) Ìåòàëåììà äîêàçàíà. Äîêàçàòåëüñòâî ìåòàòåîðåìû î ïîëíîòå. Ïóñòü À òàâòîëîãèÿ, çàâèñÿùàÿ îò ïðîïîçèöèîíàëüíûõ áóêâ B1,
, Bn. Ñîãëàñíî ìåòàëåììå, äëÿ êàæäîãî èñòèííîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ áóêâ ñóùåñòâóþò âûâîäû:B'1,
, B′n | A (A′ ñîâïàäàåò ñ A, òàê êàê A èñòèííî â êàæäîé ñòðîêå òàáëèöû èñòèííîñòè).  òàáëèöå èñòèííîñòè èìåþòñÿ äâå ñòðîêè, êîòîðûå ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî çíà÷åíèåì èñòèííîñòè Bn. Äëÿ ýòèõ ñòðîê ñóùåñòâóþò âûâîäû: B'1,
, Bn | A, ãäå |Bn| = T è B'1,
, ¬Bn | A, ãäå |Bn| = F. Ïðèìåíèì ê íèì ìåòàòåîðåìó î äåäóêöèè. Ïîëó÷èì: B'1,
, B′n -1 | Bn → A, B'1,
, B′n -1 | ¬Bn → A.
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
195
Âîçüìåì òåîðåìó T9: | (Bn → A) → ((¬Bn → A) → A). Ïðèìåíÿÿ äâàæäû ïðàâèëî ÌÐ, ïîëó÷èì, âûâîä B'1,
, B′n-1|A. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìû ìîæåì èñêëþ÷èòü âñå ïåðåìåííûå, è çà n øàãîâ ïîëó÷èì |À. Îïðåäåëåíèå 11.5. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ íåïðîòèâîðå÷èâà, åñëè íå ñóùåñòâóþò òàêîé ôîðìóëû À, ÷òîáû À è ¬À îäíîâðåìåííî ÿâëÿëèñü òåîðåìàìè òåîðèè. Ìåòàòåîðåìà 11.3. Òåîðèÿ L íåïðîòèâîðå÷èâà. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ òåîðåìà òåîðèè L ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Îòðèöàíèå ôîðìóëû, ÿâëÿþùåéñÿ òàâòîëîãèåé, òàâòîëîãèåé íå ÿâëÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íè äëÿ êàêîé ôîðìóëû À íåâîçìîæíî, ÷òîáû À è ¬À áûëè òåîðåìàìè òåîðèè L. Èç íåïðîòèâîðå÷èâîñòè L ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ôîðìóëû, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé òåîðèè L. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåïðîòèâîðå÷èâîñòü òåîðèè L ìîæíî âûâåñòè èç ôàêòà ñóùåñòâîâàíèÿ ôîðìóëû òåîðèè, íå ÿâëÿþùåéñÿ òåîðåìîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè òåîðèÿ L ïðîòèâîðå÷èâà, ò.å. â íåé ñóùåñòâóþò òåîðåìû |¬A è |A, òî äâóêðàòíûì ïðèìåíåíèåì ïðàâèëà ÌÐ èç òåîðåìû | ¬A → (A → B) ïîëó÷àåì |B, ò.å. òîãäà â L âûâîäèìà ëþáàÿ ôîðìóëà. (Òåîðèþ, â êîòîðîé íå âñå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè, ÷àñòî íàçûâàþò àáñîëþòíî íåïðîòèâîðå÷èâîé). Ïîëíîòà òåîðèè ïîíèìàåòñÿ â óçêîì è øèðîêîì ñìûñëå. Îïðåäåëåíèå 11.6. Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé (â óçêîì ñìûñëå), åñëè äîáàâëåíèå ê íåé â êà÷åñòâå àêñèîìû ëþáîé íåäîêàçóåìîé â ýòîé òåîðèè ôîðìóëû äåëàåò åå ïðîòèâîðå÷èâîé. Ïîëíîòà â øèðîêîì ñìûñëå îçíà÷àåò, ÷òî êàæäóþ ôîðìóëó ìîæíî äîêàçàòü ëèáî îïðîâåðãíóòü, ò.å. ëèáî | A, ëèáî | ¬A. Ìåòàòåîðåìà 11.4. Òåîðèÿ L íåïîëíà â øèðîêîì ñìûñëå. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, íå ëþáàÿ ôîðìóëà èëè åå îòðèöàíèå ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè òåîðèè L. Åñëè âçÿòü íåéòðàëüíóþ ôîðìóëó ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, òî åå îòðèöàíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåéòðàëüíîé ôîðìóëîé, ò.å. íè ñàìà ôîðìóëà, íè åå îòðèöàíèå íå ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Ïîýòîìó ýòè ôîðìóëû íå ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè èñ÷èñëåíèÿ L. Ìåòàòåîðåìà 11.5. Òåîðèÿ L ïîëíà â óçêîì ñìûñëå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ L ñòàíîâèòñÿ ïðîòèâîðå÷èâîé ïðè äîáàâëåíèè ê åå ñèñòåìå àêñèîì ëþáîé íåäîêàçóåìîé â ýòîé òåîðèè ôîðìóëû. Äîêàçàòåëüñòâî. Òåîðèÿ L èìååò òðè ñõåìû àêñèîì A1, A2, A3 è ïðàâèëî âûâîäà MP. Ïîñòðîèì íîâóþ òåîðèþ L', äîáàâèâ ê ñèñòåìå
196
Ãëàâà 11
àêñèîì L ôîðìóëó À, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Òîãäà ôîðìóëà À ïðèíèìàåò õîòÿ áû îäíî ëîæíîå çíà÷åíèå íà íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè. Çíà÷èò, åñëè À ïðåäñòàâëåíà êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé, òî ýòà ôîðìà äîëæíà ñîäåðæàòü õîòÿ áû îäíó ýëåìåíòàðíóþ äèçúþíêöèþ δ, íå ñîäåðæàùóþ íè îäíó ïåðåìåííóþ âìåñòå ñ åå îòðèöàíèåì: δ = B'1 ∨ B'2 ∨
∨ B'n, ãäå B'i = ¬Bi, åñëè |Bi| = T, è B'i = Bi, åñëè |Bi| = F.  ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèè δ çàìåíèì êàæäîå âõîæäåíèå ïðîïîçèöèîíàëüíîé áóêâû B'i íà Â, åñëè |Bi| = F, è íà ¬Â, åñëè |Bi|= Ò. Ïîëó÷èì: δ′ = B ∨ ¬¬B ∨
∨ B ∨ ¬¬B = Â. Ïðîèçâåäåì äðóãóþ çàìåíó: çàìåíèì B'i íà ¬Â, åñëè |Bi| = F, è íà Â, åñëè |Bi|= Ò. Ïîëó÷èì: δ′′ = ¬B ∨ ¬B ∨
∨ ¬B = ¬Â.  íîâîé òåîðèè L' ôîðìóëà À àêñèîìà, ò.å. |A. Ïîñêîëüêó A ïðåäñòàâèìà à âèäå ÑÊÍÔ, òî ïî ïðàâèëó óäàëåíèÿ & ëþáàÿ äèçúþíêöèÿ δ êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû òàêæå äîêàçóåìà, à ïîñêîëüêó äèçúþíêöèÿ δ ïðåäñòàâèìà êàê â âèäå δ′, òàê è â âèäå δ′′, òî â L' èìååò ìåñòî | δ' è | δ′′, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî |L' ¬B è |L' B , ò.å. òåîðèÿ L' ïðîòèâîðå÷èâà. Îïðåäåëåíèå 11.7. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà, ïîçâîëÿþùàÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà òåîðåìîé èëè íåò. Òåîðèÿ L ðàçðåøèìà, òàê êàê êàæäîé òåîðåìå òåîðèè ñîîòâåòñòâóåò òàâòîëîãèÿ, à äëÿ ëþáîé òàâòîëîãèè ìîæíî ïîñòðîèòü òàáëèöó èñòèííîñòè. Îïðåäåëåíèå 11.8. Ñèñòåìà àêñèîì ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè íè îäíà èç àêñèîì íå ìîæåò áûòü âûâåäåíà èç äðóãèõ. Ìåòàòåîðåìà 11.6. Ñõåìû àêñèîì À1, À2, À3 â òåîðèè L íåçàâèñèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì íåçàâèñèìîñòü À1. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü òàêóþ íåïðîòèâîðå÷èâóþ ìîäåëü, â êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ âñå àêñèîìû, êðîìå ïåðâîé. Ïîñòðîèì ìîäåëü â òðåõçíà÷íîé ëîãèêå, ãäå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ îïåðàöèé ¬ è → îïðåäåëåíû â òàáë. 11.3, 11.4. Ôîðìóëó À áóäåì ñ÷èòàòü âûäåëåííîé, åñëè îíà âñåãäà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðàâèëî ÌÐ ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî âûäåëåííîñòè. Ìîæíî ïîêàçàòü (ïîñòðîåíèåì òàáëèö èñòèííîñòè), ÷òî ñõåìû àêñèîì À2, À3 ÿâëÿþòñÿ âûäåëåííûìè â äàííîé ìîäåëè. Ñëåäîâàòåëüíî, âûäåëåííîé ÿâëÿåòñÿ è âñÿêàÿ ôîðìóëà, âûâîäèìàÿ èç À2, À3 ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ÌÐ. Îäíàêî ôîðìóëà À1 íå âûäåëåííàÿ, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè îäèí íàáîð, íà êîòîðîì çíà÷åíèå À1 îòëè÷íî îò 0, íàïðèìåð: 1 → (2 → 1) = 1 → 0 = 2.
Ôîðìàëüíûå òåîðèè. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé A 0 1 2
Òàáëèöà.11.3. ¬À 1 1 0
A 0 1 2 0 1 2 0 1 2
B 0 0 0 1 1 1 2 2 2
197 Òàáëèöà.11.4. À→Â 0 2 0 2 2 0 2 0 0
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü íåçàâèñèìîñòü À2, ïîñòðîèâ äðóãóþ òðåõçíà÷íóþ ìîäåëü, ãäå âûäåëåííûìè áóäóò àêñèîìû À1 è À31. ×òîáû ïîêàçàòü íåçàâèñèìîñòü À3, äîñòàòî÷íî ïåðåîïðåäåëèòü îòðèöàíèå òàê, ÷òîáû ¬õ = õ (òîæäåñòâåííàÿ îïåðàöèÿ). Òîãäà À1 è À2 ïî-ïðåæíåìó áóäóò òàâòîëîãèÿìè, à À3 óæå íå áóäåò òàâòîëîãèåé.
1
Ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè â [Ìåíäåëüñîí, 1976].
Ãëàâà 12.
ÒÅÎÐÈß ÏÐÅÄÈÊÀÒΠÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ 12.1. Ïîíÿòèå ïðåäèêàòà
Ñóùåñòâóþò òàêèå ëîãè÷åñêèå ñõåìû ðàññóæäåíèé, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü îáîñíîâàíû â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé. Ðàññìîòðèì óìîçàêëþ÷åíèå: «Âñå ëþäè ñìåðòíû (À). Ñîêðàò ÷åëîâåê (Â). Ñëåäîâàòåëüíî, Ñîêðàò ñìåðòåí (Ñ)». Î÷åâèäíî, ÷òî Ñ ñëåäóåò èç À è Â, îäíàêî, ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå À,  |= Ñ íåäîêàçóåìî â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé. Ïðè÷èíà çàêëþ÷àåòñÿ âî âíóòðåííåé ñòðóêòóðå âûñêàçûâàíèé. Âíóòðåííþþ ñòðóêòóðó âûñêàçûâàíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà ñóáúåêò è ïðåäèêàò, ãäå ñóáúåêò åñòü ïîäëåæàùåå, à ïðåäèêàò îïðåäåëÿåò ñâîéñòâî ñóáúåêòà (ðèñ. 12.1).
Ðèñ.12.1. Ñòðóêòóðà âûñêàçûâàíèÿ. Íàïðèìåð, Ñîêðàò ýòî ñóáúåêò, êîòîðûé îáëàäàåò ñâîéñòâîì áûòü ÷åëîâåêîì. Ýòî ñâîéñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò, îïðåäåëåííûé íà ìíîæåñòâå ëþäåé: «__ åñòü ÷åëîâåê». Îáîçíà÷èì åãî P(x), ãäå x ïåðåìåííàÿ, îáîçíà÷àþùàÿ òàê íàçûâàåìîå «ñâîáîäíîå ìåñòî ïðåäèêàòà». Ïîäñòàâëÿÿ íà ìåñòî ïåðåìåííîé õ îáúåêòû èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà, ïîëó÷àåì âûñêàçûâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò, îïðåäåëåííûé íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå îáúåêòîâ, çàäàåò ñâîéñòâî, êîòîðûì ýòè îáúåêòû ìîãóò îáëàäàòü èëè íå îáëàäàòü. Ïðè ïîäñòàíîâêå íà ñâîáîäíîå ìåñòî ïðåäèêàòà êàêîãî-ëèáî îáúåêòà èç åãî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàò îáðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå èëè ëîæíîå. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäèêàò ðàçáèâàåò ýòî ìíîæåñòâî íà äâå îáëàñòè: îáëàñòè èñòèííîñòè è ëîæíîñòè.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
199
Îïðåäåëåíèå 12.1. Îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì P(x), îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâå Ì, íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî âìåñòî x ïðåäìåòà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Ì îáðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà íàçûâàåòñÿ ïðåäìåòíîé îáëàñòüþ. Ýëåìåíòû èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðåäìåòíûìè ïîñòîÿííûìè (ïðåäìåòàìè). Ïåðåìåííàÿ, îò êîòîðîé çàâèñèò ïðåäèêàò, íàçûâàåòñÿ ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé. Îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòû òðàäèöèîííî ñëóæàò äëÿ ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèé. Ïîíÿòèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé åäèíèöó ìûøëåíèÿ. Àáñòðàêòíîå ìûøëåíèå îñíîâûâàåòñÿ íà ïîíÿòèÿõ, îòîáðàæàþùèõ äåéñòâèòåëüíîñòü, ïîýòîìó àáñòðàêòíîå ìûøëåíèå íàçûâàþò ïîíÿòèéíûì. Ïîíÿòèÿ âîçíèêàþò êàê ðåçóëüòàò îáîáùåíèÿ ìíîæåñòâà ïðåäìåòîâ ïî ñèñòåìå ïðèçíàêîâ, îáùåé òîëüêî äëÿ ýòèõ âûäåëåííûõ ïðåäìåòîâ. Ïðèçíàê ýòî íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå ñâîéñòâà ó ïðåäìåòà, à òàêæå íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå îòíîøåíèÿ ìåæäó ïðåäìåòàìè. Ïîíÿòèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì ñîäåðæàíèåì è îáúåìîì. Ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ ýòî ñèñòåìà ïðèçíàêîâ, íà îñíîâå êîòîðîé ìíîæåñòâî ïðåäìåòîâ îáîáùàåòñÿ â ïîíÿòèè. Îáúåì ïîíÿòèÿ ýòî ìíîæåñòâî ïðåäìåòîâ, îáîáùàåìûõ è âûäåëÿåìûõ â ïîíÿòèè, ò.å. ìíîæåñòâî ïðåäìåòîâ, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ ñèñòåìîé ïðèçíàêîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ. Íàïðèìåð, ïîíÿòèå «ðûáà» ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê ìíîæåñòâî âñåõ æèâûõ ñóùåñòâ (îáúåì ïîíÿòèÿ), êîòîðûå îáëàäàþò ïðèçíàêàìè: æèâóò â âîäå, ïëàâàþò, èìåþò æàáðû, ïëàâíèêè è õâîñò (ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ). Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ìîæíî çàäàòü îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì, îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâå âñåõ æèâûõ ñóùåñòâ: V(x) x æèâåò â âîäå, P(x) x ïëàâàåò, G(x) x èìååò æàáðû, L(x) x èìååò ïëàâíèêè, R(x) x èìååò õâîñò. Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå ðûáà ìîæåò áûòü îïèñàíî âûðàæåíèåì: V(x) & P(x) & G(x) & L(x) & R(x). Îáëàñòü èñòèííîñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ñîñòàâëÿåò îáúåì ïîíÿòèÿ ýòî âñå ñóùåñòâóþùèå ðûáû. Ìåæäó îáúåìîì è ñîäåðæàíèåì ïîíÿòèÿ ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ çàâèñèìîñòü: ÷åì áîëüøå îáúåì, òåì ìåíüøå ñîäåðæàíèå. Íàïðèìåð, ïîíÿòèå «îáèòàòåëè âîäíûõ ãëóáèí» ìîæíî îïðåäåëèòü êàê «ìíîæåñòâî âñåõ ñóùåñòâ, æèâóùèõ â âîäå». Ñîäåðæàíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ îïèñûâàåòñÿ ïðåäèêàòîì V(x) x æèâåò â âîäå. Äîáàâèâ ñâîéñòâî P(x) x ïëàâàåò, ìû óâåëè÷èì ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ, íî óìåíüøèì îáúåì: áóäóò èñêëþ÷åíû ìîëëþñêè, ðàêîîáðàçíûå è ïðî÷èå îáèòàòåëè âîäíûõ ãëóáèí, êîòîðûå íå ïëàâàþò. Äîáàâèâ íîâûå ñâîéñòâà, ìû åùå áîëåå óìåíüøèì îáúåì ïîíÿòèÿ. Äâóìåñòíûé ïðåäèêàò çàäàåò îòíîøåíèå ìåæäó äâóìÿ îáúåêòàìè. Îáúåêòû ìîãóò ïðèíàäëåæàòü îäíîé è òîé æå, ëèáî ðàçíûì îáëàñòÿì îïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðåäèêàò P(x, y): x > y, ãäå
200
Ãëàâà 12
x, y ∈ R, çàäàåò îòíîøåíèå «áîëüøå» íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; ïîäñòàâèâ â íåãî çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì âûñêàçûâàíèÿ, íàïðèìåð: 5 > 2 = T, 6,8 > 10 = F. Åñëè â ïðåäèêàò P(x, y): x > y ïîäñòàâèòü çíà÷åíèå y = 0, ïîëó÷èì îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò: x > 0, êîòîðûé çàäàåò ñâîéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áûòü (èëè íå áûòü) áîëüøå íóëÿ è îïðåäåëÿåò ïîíÿòèå «ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà». Íà ìåñòî ïåðåìåííîé â ïðåäèêàò ìîæíî ïîäñòàâèòü ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà ïðåäìåòíîé îáëàñòè ïðåäèêàòà è ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ â ýòîé îáëàñòè. Íàïðèìåð, åñëè â ïðåäèêàò P(x, y) ïîäñòàâèòü íà ìåñòî x ôóíêöèþ f(u, v) = u + v, ïîëó÷èì íîâûé ïðåäèêàò: R(f(u, v), y): u + v > y, îïðåäåëÿþùèé îòíîøåíèå ìåæäó ñóììîé äâóõ ÷èñåë è òðåòüèì ÷èñëîì. Äðóãîé ïðèìåð äâóìåñòíîãî ïðåäèêàòà: S(x, y): «x ðîäèëñÿ â y ãîäó», ãäå x ∈ {ëþäè}, y ∈ N. Ïðåäèêàò S(x, y) çàäàåò îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå ëþäåé è ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë. Ïðè çàìåíå y íà îáúåêò èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, y = 1814, ïîëó÷èì îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò S(x, 1814), îïðåäåëÿþùèé ñâîéñòâî: «÷åëîâåê x ðîäèëñÿ â 1814 ãîäó». Ïðè çàìåíå îáåèõ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì âûñêàçûâàíèå, íàïðèìåð, «Ëåðìîíòîâ ðîäèëñÿ â 1814 ãîäó». Òàêèì îáðàçîì, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò çàäàåò íåêîòîðîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà çàäàííûõ ìíîæåñòâàõ, ïðè÷åì ïðè çàìåíå îäíîé ïåðåìåííîé ìåñòíîñòü ïðåäèêàòà ïîíèæàåòñÿ (äâóìåñòíûé ïðåäèêàò ñòàíîâèòñÿ îäíîìåñòíûì), à ïðè çàìåíå îáåèõ ïåðåìåííûõ íà ïðåäìåòíûå ïîñòîÿííûå îí îáðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå.  îáùåì ñëó÷àå n-ìåñòíûé ïðåäèêàò îïðåäåëÿåò n-ìåñòíîå îòíîøåíèå. Îïðåäåëåíèå 12.2. N-ìåñòíûì ïðåäèêàòîì, îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâàõ Ì1, Ì2,
, Ìn, íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå îáðàùàåòñÿ â âûñêàçûâàíèå ïðè çàìåíå êàæäîé ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé íà ýëåìåíò èç åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Åñëè âñå ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå, òî ïðåäèêàò íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì. Ïðèìåðû. R(x, y, z, t): «x ðîäèëñÿ â y ãîäó â ãîðîäå z, èìååò îáðàçîâàíèå t», x ∈ {ëþäè}, y ∈ N, z ∈ {ãîðîäà}, t ∈ {íà÷àëüíîå, ñðåäíåå, âûñøåå}. R(x, y, z, t) íåîäíîðîäíûé ÷åòûðåõìåñòíûé ïðåäèêàò. Îäíîðîäíûé ïðåäèêàò: Q(x, y, z): «ïàðàëëåëåïèïåä èìååò âûñîòó x, øèðèíó y, äëèíó z», ãäå x, y, z ∈ R.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
201
12.2. Ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ 12.2.1. Îïåðàöèè íàä ïðåäèêàòàìè Ïðåäèêàò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå îáúåêòîâ è ïðèíèìàþùóþ äâà çíà÷åíèÿ, T è F. Ïîýòîìó íàä ïðåäèêàòàìè îïðåäåëåíû âñå áóëåâû îïåðàöèè: ¬ (îòðèöàíèå), & (êîíúþíêöèÿ), ∨ (äèçúþíêöèÿ), → (èìïëèêàöèÿ), ≡ (ýêâèâàëåíòíîñòü), à òàêæå äâå íîâûå îïåðàöèè îïåðàöèè íàâåøèâàíèÿ êâàíòîðîâ: ∀ âñåîáùíîñòè è ∃ ñóùåñòâîâàíèÿ. Åñëè P(x) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñâîéñòâî íà ìíîæåñòâå Ì, òî ôîðìóëà ∀xP(x) îáîçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: «äëÿ âñÿêîãî ïðåäìåòà x ∈ Ì ñâîéñòâî P(x) âûïîëíåíî», èëè «âñå x îáëàäàþò ñâîéñòâîì P(x)». Çíà÷åíèå ôîðìóëû |∀xP(x)| = T (èñòèííî), åñëè ñâîéñòâî P âûïîëíåíî äëÿ âñåõ îáúåêòîâ èç Ì, è |∀xP(x)| = F (ëîæíî), åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò x = a, a ∈ Ì, äëÿ êîòîðîãî ñâîéñòâî P íå âûïîëíåíî, ò.å. |P(a)| = F. Íàïðèìåð: åñëè P(x): x ñìåðòåí, x ∈ {ëþäè}, òî ∀xP(x) «âñå ëþäè ñìåðòíû» (çíà÷åíèå ôîðìóëû |∀xP(x)| = T); åñëè P(x): x > 0, x ∈ R, òî ∀xP(x) «âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû» (|∀xP(x)| = F). Ôîðìóëà ∃xP(x) îçíà÷àåò: «ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ïðåäìåò x, îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì P(x)», èëè: «íåêîòîðûå x îáëàäàþò ñâîéñòâîì P(x)». Çíà÷åíèå ôîðìóëû |∃xP(x)| = T (èñòèííî), åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò x = a, a ∈ Ì, äëÿ êîòîðîãî ñâîéñòâî P âûïîëíåíî: |P(a)| = T; çíà÷åíèå |∃xP(x)| = F (ëîæíî), åñëè ñâîéñòâî P íå âûïîëíåíî äëÿ âñåõ îáúåêòîâ èç Ì. Íàïðèìåð: åñëè P(x): x > 0, x ∈ R, òî ∃xP(x) ýòî âûñêàçûâàíèå: «íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû», òîãäà |∃xP(x)| = T; åñëè P(x): x ñìåðòåí, x ∈ {ëþäè}, òî ∃x¬P(x) «ñóùåñòâóþò áåññìåðòíûå ëþäè» (ëîæíîå âûñêàçûâàíèå). Åñëè Ì = {a1, a2,
, an} êîíå÷íàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà P(x), òî ôîðìóëû ñ êâàíòîðàìè ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ: ∀xP(x) = P(a1) & P(a2) &
& P(an), ∃xP(x) = P(a1) ∨ P(a2) ∨
∨ P(an). Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîð âñåîáùíîñòè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êîíúþíêöèè, à êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåíèåì äèçúþíêöèè íà áåñêîíå÷íóþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ. Êâàíòîðû ∀ è ∃ ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè (ïî çàêîíàì äå Ìîðãàíà): ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x), ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x). Íàïðèìåð, åñëè P(x): «x ñìåðòåí», x ∈ {ëþäè}, òî ôîðìóëà ¬∀xP(x) îáîçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: «íå âñå ëþäè ñìåðòíû», êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî âûñêàçûâàíèþ «ñóùåñòâóþò áåññìåðòíûå ëþäè», ò.å.
202
Ãëàâà 12
∃x¬P(x), à ôîðìóëà ¬∃xP(x) «íå ñóùåñòâóåò ñìåðòíûõ ëþäåé» ýêâèâàëåíòíà âûñêàçûâàíèþ «âñå ëþäè áåññìåðòíû», ò.å. ∀x¬P(x). 12.2.2. Îïðåäåëåíèå ôîðìóëû
Îñíîâíûìè ñèìâîëàìè ÿçûêà ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ÿâëÿþòñÿ:
• ïðîïîçèöèîíàëüíûå ñèìâîëû ¬ è →, • êâàíòîðû âñåîáùíîñòè ∀ è ñóùåñòâîâàíèÿ ∃, • âñïîìîãàòåëüíûå ñèìâîëû: çàïÿòàÿ , è ñêîáêè (, ), • ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå x1, x2,
, xn,
, • ïðåäìåòíûå ïîñòîÿííûå a1, a2,
, an,
, • ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû f11, f12,
, fkj,
, • ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû P11, P12,
, Pkj,
. Íèæíèé èíäåêñ ïðåäèêàòíîãî èëè ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà ýòî íîìåð, êîòîðûé ñëóæèò äëÿ ðàçëè÷åíèÿ îäíîèìåííûõ ñèìâîëîâ ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì àðãóìåíòîâ, âåðõíèé èíäåêñ óêàçûâàåò ÷èñëî àðãóìåíòîâ. Îïðåäåëèì ïîíÿòèÿ òåðìà è ôîðìóëû. Îïðåäåëåíèå òåðìà. 1. Êàæäàÿ ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ åñòü òåðì. 2. Êàæäàÿ ïðåäìåòíàÿ ïîñòîÿííàÿ åñòü òåðì. 3. Åñëè fkj ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë è t1,
, tn òåðìû, òî fkj(t1,
, tn) åñòü òåðì. 4. Äðóãèõ òåðìîâ íåò. Îïðåäåëåíèå ôîðìóëû. 1. Pin(t1,
, tn), ãäå Pin ïðåäèêàòíûé ñèìâîë, t1,
, tn òåðìû, åñòü àòîìàðíàÿ (ýëåìåíòàðíàÿ) ôîðìóëà. 2. Åñëè À è  ôîðìóëû è x ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ, òî ôîðìóëàìè ÿâëÿþòñÿ (¬À), (À → Â), (∀xÀ), (∃xA). 3. Äðóãèõ ôîðìóë íåò. Âûðàæåíèÿ A & B, A ∨ B, A ≡ B îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê â èñ÷èñëåíèè L. Îïðåäåëåíèå 12.3. Ôîðìóëà, íà êîòîðóþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ äåéñòâèå êâàíòîðà, íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ äåéñòâèÿ êâàíòîðà. Ïåðåìåííàÿ, ïî êîòîðîé íàâåøèâàåòñÿ êâàíòîð è ïîïàäàþùàÿ â åãî îáëàñòü äåéñòâèÿ, íàçûâàþòñÿ ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé. Ïåðåìåííàÿ, ëåæàùàÿ âíå îáëàñòè äåéñòâèÿ êâàíòîðà, íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé. Ôîðìóëà, íå ñîäåðæàùàÿ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòûå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
203
Îáëàñòü äåéñòâèÿ êâàíòîðà îãðàíè÷èâàåòñÿ ñêîáêàìè, åñëè îíà ñîäåðæèò áîëåå îäíîãî ïðåäèêàòà. Ïðèìåðû. 1. Íà ðèñ. 12.2 ïðèâåäåíû ïðèìåðû ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ è óêàçàíû ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå ïåðåìåííûå.
Ðèñ. 12.2. Ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå ïåðåìåííûå. 2. Ïóñòü Q(x, y): «x ðîäèëñÿ â y ãîäó», x ∈ {ëþäè}, y ∈ {ãîäû}, òîãäà ôîðìóëà ∀x∃yQ(x, y) îáîçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: «Êàæäûé ÷åëîâåê ðîäèëñÿ â êàêîì-íèáóäü ãîäó», à ôîðìóëà ∃y∀xQ(x, y) âûñêàçûâàíèå: «Ñóùåñòâóåò òàêîé ãîä, â êîòîðîì ðîäèëèñü âñå ëþäè». Èç ýòîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî ðàçíîèìåííûå êâàíòîðû â îáùåì ñëó÷àå íå ïåðåñòàíîâî÷íû.  ôîðìóëàõ ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ìîæíî äåëàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ (â îáùåì ñëó÷àåâ òåðìîâ) ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõ óñëîâèé, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê òîìó, ÷òîáû íèêàêîå ñâîáîäíîå âõîæäåíèå ïåðåìåííîé íå ñòàëî ñâÿçàííûì â ðåçóëüòàòå çàìåíû. Îïðåäåëåíèå 12.4. Ãîâîðÿò, ÷òî òåðì ó ñâîáîäåí äëÿ ïåðåìåííîé õ â ôîðìóëå À(õ), åñëè íèêàêîå ñâîáîäíîå âõîæäåíèå õ â À(õ) íå ëåæèò â îáëàñòè äåéñòâèÿ íèêàêîãî êâàíòîðà ïî z, ãäå z ïåðåìåííàÿ, âõîäÿùàÿ â òåðì ó. Âñÿêèé òåðì, íå ñîäåðæàùèé ïåðåìåííûõ, ñâîáîäåí äëÿ ëþáîé ïåðåìåííîé â ëþáîé ôîðìóëå. Âñÿêèé òåðì ñâîáîäåí äëÿ õ â ôîðìóëå À(õ), åñëè À(õ) íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé õ. Òåðì ó ñâîáîäåí äëÿ ëþáîé ïåðåìåííîé â ôîðìóëå À, åñëè íèêàêàÿ ïåðåìåííàÿ òåðìà ó íå ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé â ôîðìóëå À. Ïðèìåðû. ∃x(x = 2y), x, y ∈ R.  ýòîé ôîðìóëå z ñâîáîäíî äëÿ y: ∃x(x = 2z). Òåðì f(x, z) ñâîáîäåí äëÿ x â ôîðìóëå ∀yA(x, y) → B(x), íî íå ñâîáîäåí äëÿ x â ôîðìóëå ∃z∀yA(x, y) → B(x).
204
Ãëàâà 12
12.3. Èíòåðïðåòàöèÿ ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ Ôîðìóëû èìåþò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååòñÿ êàêàÿ-ëèáî èíòåðïðåòàöèÿ âõîäÿùèõ â íåå ñèìâîëîâ. Îïðåäåëåíèå 12.5. Ïîä èíòåðïðåòàöèåé áóäåì ïîíèìàòü ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç íåïóñòîãî ìíîæåñòâà D, íàçûâàåìîãî îáëàñòüþ èíòåðïðåòàöèè, à òàêæå ñîîòâåòñòâèÿ, ñòàâÿùåãî êàæäîé ïðåäèêàòíîé áóêâå Pin íåêîòîðîå îòíîøåíèå íà îáëàñòè D, êàæäîé ïðåäìåòíîé ïîñòîÿííîé ai íåêîòîðûé ýëåìåíò èç îáëàñòè D, êàæäîé ôóíêöèîíàëüíîé áóêâå fin íåêîòîðóþ n-ìåñòíóþ îïåðàöèþ íà îáëàñòè D (ò.å. ôóíêöèþ Dn → D). Ïðè çàäàííîé èíòåðïðåòàöèè âñå ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå ïðîáåãàþò âñå çíà÷åíèÿ èç îáëàñòè D, à ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè èìåþò îáû÷íûé ëîãè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ çàäàííîé èíòåðïðåòàöèè âñÿêàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûñêàçûâàíèå, êîòîðîå èñòèííî èëè ëîæíî, à ôîðìóëà ñî ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè âûðàæàåò îòíîøåíèå íà îáëàñòè D, êîòîðîå ìîæåò áûòü èñòèííî (âûïîëíåíî) ïðè îäíèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ è ëîæíî (íå âûïîëíåíî) ïðè äðóãèõ. Ïðèìåðû. 1.  òàáëèöå 12.1. ïðèâåäåíû òðè èíòåðïðåòàöèè îäíîé è òîé æå ôîðìóëû. Òàáëèöà 12.1. Îáëàñòü èíòåðïðåòàöèè D Ìíîæåñòâî æèâûõ ñóùåñòâ Ìíîæåñòâî æèâûõ ñóùåñòâ Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë
Èíòåðïðåòàöèÿ P(x): x ðûáà, Q(x): x æèâåò â âîäå. P(x): x ÷åëîâåê, Q(x): x ñìåðòåí. P(x): x äåëèòñÿ íà 6, Q(x): x äåëèòñÿ íà 3.
Âûñêàçûâàíèå ∀x(P(x) → Q(x)) Âñå ðûáû æèâóò â âîäå. Âñå ëþäè ñìåðòíû. Âñå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 6, äåëÿòñÿ íà 3.
2. Ïóñòü äàíà ôîðìóëà ∃x∃yP(f(x, y), t). Ïðåäèêàò P(v, u) äâóìåñòíûé, ïåðåìåííûå õ, ó ñâÿçàííûå, t ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ. Çàäàäèì ñëåäóþùóþ èíòåðïðåòàöèþ: îáëàñòü èíòåðïðåòàöèè D ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, t = 1, f(x, y) = x2 + y2, ïðåäèêàò P(u, t): u = t. Òîãäà ôîðìóëà èìååò âèä: ∃x∃y(x2 + y2 = 1). Îíà èñòèííà, òàê êàê ñóùåñòâóþò òàêèå x è y, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè x2 + y2 = 1.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
205
Åñëè ïîëîæèòü f(x, y) = x 2 + y 2 , t = r 2 , òî ôîðìóëà ∃x∃y(x2 + y2 = r2) îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò, îáëàñòü èñòèííîñòè êîòîðîãî ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè x2 + y2 = r2 ñ ðàäèóñîì r. Îïðåäåëåíèå 12.6. Èíòåðïðåòàöèÿ íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ äëÿ äàííîãî ìíîæåñòâà ôîðìóë Γ, åñëè êàæäàÿ ôîðìóëà èç Γ èñòèííà â äàííîé èíòåðïðåòàöèè. Îïðåäåëåíèå 12.7. Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà èíòåðïðåòàöèÿ, íà êîòîðîé ôîðìóëà èñòèííà. Îïðåäåëåíèå 12.8. Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìîé (ËÎÇ), åñëè îíà èñòèííà íà ëþáîé èíòåðïðåòàöèè äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Òàê æå, êàê òàâòîëîãèè, ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû îáîçíà÷àþòñÿ: |= A(x). Îïðåäåëåíèå 12.9. Ôîðìóëà, êîòîðàÿ ëîæíà íà ëþáîé èíòåðïðåòàöèè ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì. Ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ âûäåëåííûìè ôîðìóëàìè ëîãèêè ïðåäèêàòîâ. Òàê êàê îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîé, òî, î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòðîåíèå òàáëèöû èñòèííîñòè íå ìîæåò ñëóæèòü àëãîðèòìîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëîãè÷åñêîé îáùåçíà÷èìîñòè ôîðìóë. Îäíàêî ñóùåñòâóþò äðóãèå ñïîñîáû, êîòîðûå â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ëîãè÷åñêóþ îáùåçíà÷èìîñòü, âûïîëíèìîñòü èëè ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë. Ìîæíî ñòðîèòü òàáëèöû èñòèííîñòè ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ äëÿ ÷àñòè÷íûõ èíòåðïðåòàöèé íà îãðàíè÷åííûõ êîíå÷íûõ îáëàñòÿõ. Íàïðèìåð, âîçüìåì îáëàñòü èíòåðïðåòàöèè, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ: D = {a, b}. Ïîñòðîèì òàáëèöó èñòèííîñòè ôîðìóë: E1 = ∃xP(x) è E2 = ∀xP(x). Îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èç äâóõ ýëåìåíòîâ ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç ÷åòûðåõ çíà÷åíèé, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ òàáëèöàìè èñòèííîñòè (òàáë. 12.2). Òàáëèöà.12.2 x
Ð1(.)
Ð2(.)
Ð3(.)
Ð4(.)
a F F T T b F T F T Ôîðìóëû Å1 è Å2 áóäóò ïðèíèìàòü íà ýòèõ èíòåðïðåòàöèÿõ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ (òàáë. 12.3).
206
Ãëàâà 12 Òàáëèöà.12.3 P(.)
∃xP(x)
∀xP(x)
P1 P2 P3 P4
F T T T
F F F T
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
207
Èç òàáëèöû âèäíî, ÷òî ôîðìóëà Å1 íå ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëàì Å2 è Å3, à ôîðìóëû Å2 è Å3, âîçìîæíî, ýêâèâàëåíòû, äëÿ îêîí÷àòåëüíîãî ðåøåíèÿ íóæíî ðàññìîòðåòü îñòàâøèåñÿ èíòåðïðåòàöèè.
12.4. Ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
Ïîñòðîèì òàáëèöû èñòèííîñòè íà îáëàñòè èíòåðïðåòàöèè èç äâóõ ýëåìåíòîâ D = {a, b} äëÿ ñëåäóþùèõ ôîðìóë: E 1 = ∀yP(y) → ∃xQ(x), E 2 = ∀y(P(y) → ∃xQ(x)), E 3 = = ∀y ∃x(P(y) → Q(x)). Äëÿ ýòèõ ôîðìóë ñóùåñòâóåò 16 èíòåðïðåòàöèé, òàê êàê êàæäûé èç îäíîìåñòíûõ ïðåäèêàòîâ P è Q ïðèíèìàåò ïî 4 çíà÷åíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé 12.2. Ðàññìîòðèì âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ôîðìóë íà èíòåðïðåòàöèè P2, Q1. E1 = ∀yP2(y) → ∃xQ1(x) = F → F = T; P2 (1) → ∃xQ1( x) E2 = ∀y(P2(y) → ∃xQ1(x)) = ∀y = P2 (2) → ∃xQ1( x) F → F =T = ∀y = F; T → F = F ∃x( P2 (1) → Q1( x) E3 = ∀y ∃x(P2(y) → Q1(x)) = ∀y = ∃x( P2 (2) → Q1( x) P2 (1) → Q1(1) F → F =T ∃x =T ∃x Q P → (1) (2) 1 2 F → F =T = F. = ∀y = ∀y P2 (2) → Q1(1) T → F = F x F ∃ = ∃x T → F = F → Q P (2) (2) 1 2 Èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ Å1, Å2, Å3 äëÿ âîñüìè èíòåðïðåòàöèé ïðèâåäåíû â òàáë. 12.4. Òàáëèöà. 12.4.
P(.)
Q(.)
E1
E2
E3
P1 P1 P1 P1 P2 P2 P2 P2
Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4
T T T T T T T T
T T T T F T T T
T T T T F T T T
12.4.1. Îñíîâíûå ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ Îñíîâíûå ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 12.5. Êàæäàÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìàÿ ôîðìóëà âûðàæàåò íåêîòîðîå èñòèííîå âûñêàçûâàíèå îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ îáúåêòîâ. Íàïðèìåð, ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìàÿ ôîðìóëà ∃x(P(x) & Q(x)) → ∃xP(x) & ∃xQ(x) âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî åñëè íåêîòîðûå îáúåêòû îáëàäàþò ñðàçó äâóìÿ ñâîéñòâàìè P è Q, òî ñóùåñòâóþò îáúåêòû, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì P, è îáúåêòû, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì Q. Òàê, åñëè ñóùåñòâóþò þðèñòû-æóëèêè, òî ñóùåñòâóþò ëþäè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ þðèñòàìè, è ñóùåñòâóþò æóëèêè. Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ ∃xP(x) & ∃xQ(x) → ∃x(P(x) & Q(x)) áóäåò èñòèííà äàëåêî íå âñåãäà: èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóþò þðèñòû è ñóùåñòâóþò æóëèêè, åùå íå ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò þðèñòû-æóëèêè, ýòè äâà ìíîæåñòâà ìîãóò íå ïåðåñåêàòüñÿ. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ èíòåðïðåòàöèè íåêîòîðûõ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûõ ôîðìóë. ∀xP(x) → P(y) Åñëè âñå ëþäè ñìåðòíû, òî ñìåðòåí ëþáîé ÷åëîâåê. P(a) → ∃x(P(x)) Åñëè êîøêà a ñåðàÿ, òî ñóùåñòâóþò ñåðûå êîøêè. ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) Íå âñå êîøêè ñåðûå ≡ Ñóùåñòâóþò íå ñåðûå êîøêè. ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x) Íå ñóùåñòâóåò ñåðûõ êîøåê ≡ Âñå êîøêè íå ñåðûå. ∀x(P(x) & Q(x)) ≡ Âñå êîøêè ñ óñàìè è ñ õâîñòàìè ≡ ≡ ∀xP(x) & ∀xQ(x) Êàæäàÿ êîøêà èìååò óñû è êàæäàÿ êîøêà èìååò õâîñò. ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ Íåêîòîðûå êîøêè áåëûå èëè ≡ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) ÷åðíûå ≡ Ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà áåëàÿ êîøêà èëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà ÷åðíàÿ êîøêà.
208
Ãëàâà 12
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
Ïðîäîëæåíèå òàáë. 12.5.
Òàáëèöà 12.5. ¹ ï/ï
Îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû è êîììåíòàðèé
1
2
209
1
2
13
∀x(P(x) ∨ B) ≡ ∀xP(x) ∨ B B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ
1
∀xP(x) → P(y) ïðàâèëî óíèâåðñàëüíîé êîíêðåòèçàöèè;
14
∃x(P(x) & B) ≡ ∃xP(x) & B B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ
2
P(a) → ∃x(P(x)) ïðàâèëî ýêçèñòåíöèàëüíîãî îáîáùåíèÿ;
15
∃x(P(x) ∨ B) ≡ ∃xP(x) ∨ B B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ
3
¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) ïðàâèëî äå Ìîðãàíà
16
∀x(P(x) → B) ≡ (∃xP(x) → B) B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ
4
¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x) ïðàâèëî äå Ìîðãàíà
17
∃x(P(x) → B) ≡ (∀xP(x) → B) B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ
5
∀x(P(x) & Q(x)) ≡ ∀xP(x) & ∀xQ(x) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∀ ÷åðåç &
18
∀x∀yP(x, y) ≡ ∀y∀xP(x, y) çàêîí ïåðåñòàíîâêè êâàíòîðîâ ∀
6
∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∃ ÷åðåç ∨
19
∀x∀yP(x, y) → ∀xP(x, x)
7
∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) → ∀x(P(x) ∨ Q(x)) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∀ ÷åðåç ∨
20
∃x∃yP(x, y) ≡ ∃y∃xP(x, y) çàêîí ïåðåñòàíîâêè êâàíòîðîâ ∃
8
∃x(P(x) & Q(x)) → ∃xP(x) & ∃xQ(x) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∃ ÷åðåç &
21
∃xP(x, x) → ∃x∃yP(x, y)
22
9
(∀x(P(x) → Q(x)) → (∀xP(x) → ∀xQ(x)) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∀ ÷åðåç →
∃y∀xP(x, y) → ∀x∃yP(x, y) çàêîí ïåðåñòàíîâêè êâàíòîðîâ ∃ è ∀
23
∀xP(x) → ∃xP(x)
24
(∀xP(x) → ∃xQ(x)) ≡ ∃x(P(x) → Q(x))
25
(∃xP(x) → ∀xQ(x)) → ∀x(P(x) → Q(x))
10
(∃xP(x) → ∃xQ(x)) → ∃x(P(x) → Q(x)) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∃ ÷åðåç →
11
∀x(P(x) ≡ Q(x)) → (∀xP(x) ≡ ∀xQ(x)) çàêîí ïðîíåñåíèÿ ∀ ÷åðåç ≡
26
∀xP(x) ≡ ∀yP(y) åñëè ó ñâîáîäíî äëÿ x â P(x)
12
∀x(P(x) & B) ≡ ∀xP(x) & B B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ
27
∃xP(x) ≡ ∃yP(y) åñëè ó ñâîáîäíî äëÿ x â P(x)
210 ∀x(P(x) → Q(x)) → → (∀xP(x) → ∀xQ(x)) (∃xP(x) → ∃xQ(x)) → → ∃x(P(x) → Q(x))
Ãëàâà 12 Åñëè âñå ñòîðîæåâûå ñîáàêè çëû, òî åñëè âñå ñîáàêè ñòîðîæåâûå, òî âñå îíè çëû. Îáðàòíîå íå âñåãäà âåðíî. Åñëè èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóþò ñîáàêè, ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ëàþùèå ñóùåñòâà, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ñîáàêè, êîòîðûå ëàþò. Îáðàòíîå íå âñåãäà âåðíî.
12.4.2. Ïðîâåðêà îáùåçíà÷èìîñòè ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ Ïðîâåðêà ëîãè÷åñêîé îáùåçíà÷èìîñòè ôîðìóë ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà ñâåäåíèåì ê ïðîòèâîðå÷èþ, ò.å. ìåòîäîì ðåäóêöèè. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ôîðìóëû Å, íà êîòîðîé îíà ïðèíèìàåò ëîæíîå çíà÷åíèå, ò.å. |Å*| = F, è ïðîáóåì íàéòè òàêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Åñëè â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèõ èíòåðïðåòàöèé íå ñóùåñòâóåò, è, ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìà. Ïðèìåðû. 1. Ðàññìîòðèì ôîðìóëó ∀õ(A(x) ∨ B) ≡ ∀xA(x) ∨ B, ãäå B íå çàâèñèò îò õ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, íà êîòîðîé ôîðìóëà ëîæíà èìïëèêàöèÿ: |∀x(A*(x) ∨ Β*) → → ∀xA*(x) ∨ B*| = F. Ýòî âîçìîæíî, åñëè |∀x(A*(x) ∨ B*)| = T, à |∀xA*(x) ∨ B*| = F. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî |B*| = F è |∀x(A*(x))| = F. Åñëè |∀x(A*(x))| = F, òî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî çíà÷åíèå x = a, òàêîå, ÷òî |A*(a)| = F. Ôîðìóëà |∀x(A*(x) ∨ B*)| = T. Íî â îáëàñòè èíòåðïðåòàöèè äàííîé ôîðìóëû ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå x = a, äëÿ êîòîðîãî |A*(a)| = F è |B*| = F. Âîçìîæíî, ÷òî ñóùåñòâóåò äðóãîå çíà÷åíèå x = b, äëÿ êîòîðîãî |A*(b)| = T. Òîãäà |∀x(A*(x) ∨ B*)| =
A * (a) ∨ B* = F ∨ F = F ∀ A * (b) ∨ B* = T ∨ F = T = F, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ |(A*(x) ∨ B*)| = T. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå äðóãîé èìïëèêàöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |∀xA*(x) ∨ B* → ∀x(A*(x) ∨ B*)| = F. Òîãäà |∀x(A*(x) ∨ B*)| = F, è |∀xA*(x) ∨ B*| = T. Èç |∀x(A*(x) ∨ B*)| = F ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå x = a, ÷òî |A*(a) ∨ B*| = F. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî |A*(a)| = F, |B*| = F. Ñëåäîâàòåëüíî, â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà À(x) ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå x = a, ïðè êîòîðîì ïðåäèêàò |À*(à)| = F, çíà÷èò, |∀xA*(x)| = F. Òîãäà ôîðìóëà |∀xA*(x) ∨ F| = F, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà ∀õ(A(x) ∨ B) ≡ ∀xA(x) ∨ B ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìà.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
211
2. Äîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (∀xP(x) → ∀xQ(x)) → ∀x(P(x) → Q(x)) íå ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè |(∀xP*(x) → ∀xQ*(x)) → ∀x(P*(x) → Q*(x))| = F. Òîãäà |(∀xP*(x) → ∀xQ*(x))| = T è |∀x(P*(x) → Q*(x))| = F. Èç ïîñëåäíåãî ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå x = a, ÷òî |P*(a) → Q*(a)| = F, îòêóäà |P*(a)| = T, |Q*(a)| = F. Òîãäà |∀xQ*(x))| = F, è, âîçìîæíî, ñóùåñòâóåò òàêîå b, ÷òî |P*(b)| = F, òîãäà |∀xP*(x)| = F è |(∀xP*(x) → ∀xQ*(x))| = T. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, íà êîòîðîé ôîðìóëà ïðèíèìàåò ëîæíîå çíà÷åíèå.
12.5. Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ 12.5.1. Îïðåäåëåíèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ Îïðåäåëåíèå 12.10. Ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà  ëîãè÷åñêè ñëåäóåò èç ôîðìóëû À, åñëè â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðîé À ïðèíèìàåò èñòèííîé çíà÷åíèå,  òàêæå ïðèíèìàåò èñòèííîå çíà÷åíèå. Îáîçíà÷åíèå: A |= Â.  îáùåì ñëó÷àå ôîðìóëà  ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ìíîæåñòâà ôîðìóë Γ, åñëè îíà èñòèííà íà âñåõ òåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, íà êîòîðûõ âûïîëíåíû (èñòèííû îäíîâðåìåííî) âñå ôîðìóëû èç Γ. Îïðåäåëåíèå 12.11. Ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà À ðàâíîñèëüíà, èëè ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà, ôîðìóëå Â, åñëè êàæäàÿ èç íèõ ëîãè÷åñêè âëå÷åò äðóãóþ, ò.å. åñëè A |=  è B |= A. Îáîçíà÷åíèå: À ⇔ Â. Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ: 1. À |=  òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |= À → Â. 2. À1,..., An |= B, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |= À1 &... & An → B. 3. A ⇔ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |= À ≡ Â. 4. Åñëè À |=  è |À| = Ò, òî |Â| = Ò â íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè. 5. Åñëè à |= è ∀i(|Ãi| = Ò), òî |Â| = Ò. 12.5.2. Îñíîâíûå ïðàâèëà âûâîäà ëîãèêè ïðåäèêàòîâ Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ëîãè÷åñêèå ñëåäîâàíèÿ, êîòîðûå âûïîëíåíû â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ. Êàæäîå òàêîå ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå çàäàåò ïðàâèëî âûâîäà â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ; íåêîòîðûå èç íèõ áóäóò èñïîëüçîâàíû â ôîðìàëüíîé òåîðèè ïðåäèêàòîâ. 1. Ïðàâèëî óíèâåðñàëüíîé êîíêðåòèçàöèè (ÓÊ): ∀õÀ(õ) |= À(ó), åñëè ó ñâîáîäíî äëÿ õ â À(õ). Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè |∀xA*(x)| = T â íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè D, òî |A*(y)| = T â òîé æå èíòåðïðåòàöèè. Äîïóñòèì |A*(y)| = F. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå b ∈ D, ÷òî |A*(b)| = F.
212
Ãëàâà 12
Íî ïî óñëîâèþ ôîðìóëà |∀xA*(x)| = T íà D, à òàê êàê b ∈ D, òî |∀xA*(x)| = F íà D. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. 2. Ïðàâèëî ýêçèñòåíöèàëüíîé êîíêðåòèçàöèè (ÝÊ): ∃xA(x) |=A(b), ãäå b ∈ D. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, |∃xA*(x)| = T â íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè D. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå b ∈ D, ÷òî |A*(b)| = T. 3. Ïðàâèëî ýêçèñòåíöèàëüíîãî îáîáùåíèÿ: A(y) |= ∃xA(õ), ãäå õ ñâîáîäíî äëÿ y â A(ó). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè |A*(y)| = Ò â íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè D, òî ñóùåñòâóåò ó = b, b ∈ D, òàêîå ÷òî |A*(b)| = T. Ñëåäîâàòåëüíî, |∃xA*(x)| = T â èíòåðïðåòàöèè D. 4. Ïðàâèëî âñåîáùíîñòè: C → A(õ) |= C → ∀x(A(õ)), åñëè C íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé õ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ |C → A*(x)| = T â èíòåðïðåòàöèè D. Ýòî âîçìîæíî, åñëè a) |C| = F, òîãäà |C → A*(x)| = T è |C → ∀xA*(x)| = T; á) |C| = T, |C → A*(x)| = T, ñëåäîâàòåëüíî, |A*(x)| = T â èíòåðïðåòàöèè D äëÿ ëþáîãî õ, çíà÷èò |C → ∀xA*(x)| = T. 5. Ïðàâèëî ñóùåñòâîâàíèÿ:A(x) → C |= ∃xA(x) → C, åñëè C íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé õ. Äîêàçàòåëüñòâî. |A*(x) → C| = T â íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè D. Äîïóñòèì |∃xA*(x) → C| = F â èíòåðïðåòàöèè D. Òîãäà |C| = F, (C íå çàâèñèò îò x) è |∃xA*(x)| = T, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò õ = b, òàêîå ÷òî |A*(b)| = T è |A*(b) → C| = F, â òî âðåìÿ êàê ïî óñëîâèþ |A*(x) → C| = T. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. 6. Ïðàâèëî îáîáùåíèÿ Gen (îò àíãëèéñêîãî ñëîâà Generalization): åñëè Γ |= À(õ), òî Γ |= ∀õA(õ), åñëè õ íå âõîäèò ñâîáîäíî íè â îäíó èç ôîðìóë Γ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, âûáðàíà îáëàñòü èíòåðïðåòàöèè D è ïðîèçâåäåíà çàìåíà â À âñåõ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ íà ýëåìåíòû èç D, íàïðèìåð, õ = b ∈ D. Òîãäà |A*(b)| = T, òàê êàê |Γi| = T äëÿ âñÿêîãî i. Òàê êàê õ íå âõîäèò ñâîáîäíî íè â îäíó èç ôîðìóë Γ, òî â ìíîæåñòâå Γ çàìåíû õ íà b íå áûëî è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî x ∈ D, òàêîãî ÷òî |A*(õ)| = Ò, Γ |= A*(õ), ñëåäîâàòåëüíî, Γ |= ∀õA*(õ).
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
213
ôîðìóë òåîðèè ïðåäèêàòîâ, àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä íåîáõîäèì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ôîðìóë, ñîäåðæàùèõ êâàíòîðû. Ðàññìîòðèì ôîðìàëüíóþ òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà1 K. Ñèìâîëàìè òåîðèè K ñëóæàò òå æå ñèìâîëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ: ïðîïîçèöèîíàëüíûå ñâÿçêè →, ¬, ∀, ∃, âñïîìîãàòåëüíûå ñèìâîëû (, ), ìíîæåñòâà ïðåäìåòíûõ ïåðåìåííûõ: x1, x2, ..., ïðåäìåòíûõ ïîñòîÿííûõ: a1, a2,..., ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû: fin, i = 1,
, k, n = 0,
, m, ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû: Pin, i = 1,
, k, n = 0,
, m. Îïðåäåëåíèÿ òåðìà, ôîðìóëû è ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê &, ∨, ≡ îñòàþòñÿ â ñèëå äëÿ òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Àêñèîìû òåîðèè K ðàçáèâàþòñÿ íà ëîãè÷åñêèå àêñèîìû è ñîáñòâåííûå. Ëîãè÷åñêèå àêñèîìû. Êàêîâû áû íè áûëè ôîðìóëû À, Â, Ñ òåîðèè K, ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèìè àêñèîìàìè òåîðèè K. À1 À → ( → À). À2 (À → ( → Ñ)) → ((À → Â) → (À → Ñ). À3 (¬Â → ¬À) → ((¬Â → À) → Â). À4 ∀õÀ(õ) → À(y), åñëè ó ñâîáîäíî äëÿ õ â ôîðìóëå À(õ). À5 ∀õ(À → Â(õ)) → (À → ∀õÂ(õ)), åñëè À íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé õ. Ñîáñòâåííûå àêñèîìû ôîðìóëèðóþòñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé ñîäåðæàòåëüíîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè. Ïðàâèëàìè âûâîäà âî âñÿêîé òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ÿâëÿþòñÿ: 1) modus ponens (ÌÐ): èç À è À →  ñëåäóåò Â, 2) ïðàâèëî îáîáùåíèÿ Gen: èç Γ |= À(õ), ñëåäóåò Γ |= ∀õA(õ), åñëè õ íå âõîäèò ñâîáîäíî íè â îäíó èç ôîðìóë Γ. Òåîðèÿ K, íå ñîäåðæàùàÿ ñîáñòâåííûõ àêñèîì, íàçûâàåòñÿ èñ÷èñëåíèåì ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ìîäåëüþ òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà K íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, â êîòîðîé èñòèííû âñå àêñèîìû òåîðèè K. Åñëè ïðàâèëà âûâîäà ÌÐ è Gen ïðèìåíÿþòñÿ ê èñòèííûì â äàííîé èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëàì, òî ðåçóëüòàòîì ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëû, òàêæå èñòèííûå â òîé æå èíòåðïðåòàöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêàÿ òåîðèÿ K èñòèííà âî âñÿêîé åå ìîäåëè.
12.6. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà 12.6.1. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ K Ïîñêîëüêó ïîñòðîåíèå òàáëèö èñòèííîñòè äëÿ ëþáîé ôîðìóëû íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì äëÿ ïðîâåðêè îáùåçíà÷èìîñòè
1  òåîðèÿõ ïåðâîãî ïîðÿäêà íå äîïóñêàåòñÿ íàâåøèâàíèå êâàíòîðîâ ïî ïðåäèêàòàì èëè ïî ôóíêöèÿì è íå èñïîëüçóþòñÿ ïðåäèêàòû, èìåþùèå â êà÷åñòâå çíà÷åíèé ñâîèõ àðãóìåíòîâ äðóãèå ïðåäèêàòû. Òàêèå êîíñòðóêöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ â òåîðèÿõ ïðåäèêàòîâ áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.
214
Ãëàâà 12
Ìíîæåñòâî ôîðìóë, âûâîäèìûõ ïî ïðàâèëàì âûâîäà èç àêñèîì òåîðèè K, ÿâëÿåòñÿ òåîðåìàìè òåîðèè K. Àêñèîìû À1, À2, À3 òåîðèè K è ïðàâèëî ÌÐ îïðåäåëåíû â òåîðèè L, ñëåäîâàòåëüíî, âñå òåîðåìû òåîðèè L âêëþ÷åíû â ìíîæåñòâî òåîðåì òåîðèè K. Ìåòàòåîðåìà î äåäóêöèè â òåîðèè K ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà â îñëàáëåííîì âèäå. Ìåòàòåîðåìà î äåäóêöèè. Åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä ôîðìóëû  èç ìíîæåñòâà ãèïîòåç Γ è ôîðìóëû À: Γ, À | Â, è â ýòîì âûâîäå íè ïðè êàêîì ïðèìåíåíèè ïðàâèëà Gen ê ôîðìóëàì, çàâèñÿùèì îò À, íå ñâÿçûâàåòñÿ êâàíòîðîì íèêàêàÿ ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû À, òî Γ | À → Â. Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä Γ, À | Â, è â ýòîì âûâîäå íè ðàçó íå ïðèìåíÿëîñü ïðàâèëî Gen ê ôîðìóëàì, çàâèñÿùèì îò À, òî Γ | À → Â. Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä Γ, À | Â, ãäå À çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, òî Γ | À → Â. 12.6.2. Òåîðèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàâåíñòâîì Ðàññìîòðèì òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà K, â ÷èñëå ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ ïðåäèêàò ðàâåíñòâà À12(t, s), êîòîðûé äëÿ ñîêðàùåíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü t = s, à âìåñòî ¬À12(t,s) ñîîòâåòñòâåííî áóäåì ïèñàòü t ≠ s. Îïðåäåëåíèå 12.12. Òåîðèÿ K íàçûâàåòñÿ òåîðèåé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàâåíñòâîì, åñëè ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè òåîðèè K: À6. ∀õ1(õ1 = õ1) (ðåôëåêñèâíîñòü ðàâåíñòâà); À7. (õ = y) → (À(x, x) → À(x, y)) (ïîäñòàíîâî÷íîñòü ðàâåíñòâà), ãäå õ, y ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå, À(x, x) ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà, À(x, y) ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé êàêèõ-íèáóäü (íå îáÿçàòåëüíî âñåõ) ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x íà y, åñëè y ñâîáîäíî äëÿ òåõ âõîæäåíèé x, êîòîðûå çàìåíÿþòñÿ. Äîêàæåì îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàâåíñòâîì. Òåîðåìà 12.1. | t = t äëÿ ëþáîãî òåðìà t. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç À6: | ∀õ1(õ1 = õ1) ïî ïðàâèëó óíèâåðñàëüíîé êîíêðåòèçàöèè ïîëó÷àåì | t = t. Òåîðåìà 12.2. | õ = y → y = õ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü À(x, x) åñòü õ = õ, À(x, y) åñòü y = õ. Òîãäà: | (õ = y) → (õ = õ → y = õ) ñîãëàñíî À7;
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
215
| õ = õ | õ = y → y = x
ñîãëàñíî òåîðåìå 12.1; ïî ïðàâèëó óäàëåíèÿ ñðåäíåé ïîñûëêè. Òåîðåìà 12.3. | õ = y → (y = z → õ = z). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü À(y, y) åñòü y = z, À(y, x) õ = z. Òîãäà, çàìåíèâ õ íà y è y íà õ, ïîëó÷èì: | (y = x) → (y = z → õ = z) ñîãëàñíî À7; | õ = y → y = x ñîãëàñíî òåîðåìå 12.2; | õ = y → (y = z → õ = z) ïî ïðàâèëó ñèëëîãèçìà.
12.7. Äîêàçàòåëüñòâî ëîãè÷åñêèõ ñëåäîâàíèé â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ 12.7.1. Ôîðìàëèçàöèÿ ïðåäëîæåíèé åñòåñòâåííîãî ÿçûêà ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ òðàäèöèîííî ñëóæèò äëÿ ôîðìàëèçàöèè âûñêàçûâàíèé åñòåñòâåííîãî ÿçûêà. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ Ì = {ëþäè} ñ çàäàííûìè íà íåé ïðåäèêàòàìè: J(x): õ ñóäüÿ; L(x): õ þðèñò; S(x): õ æóëèê; A(x, y): x ëþáèò ó. Ïîíÿòèå «þðèñò» ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, èìåþùèõ þðèäè÷åñêîå îáðàçîâàíèå. Ïîíÿòèå «ñóäüÿ» ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíîæåñòâî ëþäåé, èìåþùèõ þðèäè÷åñêîå îáðàçîâàíèå, ðàáîòàþùèõ â ñóäå è âûïîëíÿþùèõ âïîëíå îïðåäåëåííûå îáÿçàííîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñóäåé ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà þðèñòîâ, ò.å. ñâîéñòâî áûòü ñóäüåé âëå÷åò ñâîéñòâî áûòü þðèñòîì, è îáëàñòü èñòèííîñòè ïðåäèêàòà J âêëþ÷åíà â îáëàñòü èñòèííîñòè ïðåäèêàòà L (ñì. ðèñ.12.3), ò.å. ñïðàâåäëèâî âûñêàçûâàíèå: êàæäûé ñóäüÿ ÿâëÿåòñÿ þðèñòîì, ÷òî ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ôîðìóëû: ∀x(J(x) → L(x)).
Ðèñ. 12.3. Îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ðàññìîòðèì âûñêàçûâàíèå: «Íåêîòîðûå þðèñòû æóëèêè». Ýòî âûñêàçûâàíèå èñòèííî, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå îáúåêòû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî è þðèñòàìè, è æóëèêàìè: ∃x(L(x) & S(x)), ò.å. îáëàñòè èñòèííîñòè ïðåäèêàòîâ L(x) è S(x) ïåðåñåêàþòñÿ: L ∩ S. Ñëåäóåò ëè èç ýòîãî, ÷òî ñóùåñòâóþò ñóäüè-æóëèêè? Íåò, íå ñëåäóåò.
216
Ãëàâà 12
Îáëàñòè èñòèííîñòè ïðåäèêàòîâ J(x) è S(x) ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ (ðèñ. 12.3, á), à ìîãóò è íå ïåðåñåêàòüñÿ (ðèñ.12.3, à). Ìû ìîãëè áû ñêàçàòü: «Âîçìîæíî, ñóùåñòâóþò ñóäüè-æóëèêè», îäíàêî êàòåãîðèþ âîçìîæíîñòè íåëüçÿ âûðàçèòü â òåîðèè ïðåäèêàòîâ 1-ãî ïîðÿäêà. Ôîðìàëèçóåì íåêîòîðûå äðóãèå âûñêàçûâàíèÿ: ∃x(S(x) & ∀y(L(y) → À(x, y))) íåêîòîðûå æóëèêè ëþáÿò âñåõ þðèñòîâ; ∃x(S(x) & ∀y(A(x,y) → L(y))) íåêîòîðûå æóëèêè ëþáÿò òîëüêî þðèñòîâ; ∃x(S(x) & ∃y(L(y) & A(x, y))) íåêîòîðûå æóëèêè ëþáÿò íåêîòîðûõ þðèñòîâ; ∀x(S(x) → ∀y(J(y) → ¬A(x,y))) âñå æóëèêè íå ëþáÿò ñóäåé. 12.7.2. Îñíîâíûå ñõåìû ñóæäåíèé  òðàäèöèîííîé ëîãèêå îáû÷íî âûäåëÿþò ÷åòûðå îñíîâíûõ ñõåìû ñóæäåíèé. 1). Îáùåóòâåðäèòåëüíîå ñóæäåíèå: A: Âñå S ñóòü P: ∀x(S(x) → P(x)). Ïðèìåð.  ïîñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ ïóñòü x ∈ {ëþäè}, y ∈ {ïðîèçâåäåíèÿ}. Íà ýòèõ îáëàñòÿõ çàäàíû ïðåäèêàòû: P(x): x ïèñàòåëü, V(x): x ïîýò, W(x, y): x ïèøåò y, N(y): y ðîìàí, K(y): y êîíñïåêò, C(y): y ñòèõè, U(y): y ó÷åáíèê. Ðàññìîòðèì äâà ïîíÿòèÿ: «ó÷åáíèêè» è «êîíñïåêòû». Ïîíÿòèå «ó÷åáíèêè» îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ýòî êíèãè, ïî êîòîðûì ó÷àòñÿ. Ïðåäèêàò U(x) ñðåäè âñåõ êíèã âûäåëÿåò òå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ó÷åáíèêàìè. Ïî êîíñïåêòàì òàêæå ó÷àòñÿ, îäíàêî, êîíñïåêòû îáëàäàþò åùå è òåì ñâîéñòâîì, ÷òî îíè íàïèñàíû îò ðóêè. Ïîýòîìó êîíñïåêòû ìîæíî ñ÷èòàòü ïîäìíîæåñòâîì ó÷åáíèêîâ (ñì. ðèñ. 12.4). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî «êàæäûé êîíñïåêò ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíèêîì», èëè «âñå êîíñïåêòû ó÷åáíèêè», ÷òî âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé: ∀x(K(x) → U(x)).
Ðèñ. 12.4. ∀x(K(x) → U(x)) Âñå êîíñïåêòû ó÷åáíèêè. 2). Îáùåîòðèöàòåëüíîå ñóæäåíèå: E: Íè îäíî S íå ñóòü P: ∀x(S(x) → ¬P(x)).
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
217
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äâà ïîíÿòèÿ: «êîíñïåêòû» è «ðîìàíû». Î÷åâèäíî, ÷òî îáëàñòè èñòèííîñòè ýòèõ ïðåäèêàòîâ íå ïåðåñåêàþòñÿ (ñì. ðèñ. 12.5), ò.å. «íè îäèí êîíñïåêò íå ÿâëÿåòñÿ ðîìàíîì», ÷òî âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé: ∀x(K(x) → ¬N(x)).
Ðèñ. 12.5. ∀x(K(x) → ¬N(x)) Íè îäèí êîíñïåêò íå ÿâëÿåòñÿ ðîìàíîì. 3). ×àñòíîóòâåðäèòåëüíîå ñóæäåíèå: I: Íåêîòîðûå S ñóòü P ∃x(S(x) & P(x)). Ïðèìåð. Ïîíÿòèÿ «ðîìàíû» è «ñòèõè» èìåþò ïåðåñåêàþùèåñÿ îáúåìû (ðèñ.12.6), êàê èçâåñòíî, ñóùåñòâóþò ðîìàíû â ñòèõàõ, íàïðèìåð, «Åâãåíèé Îíåãèí». Óòâåðæäåíèå «íåêîòîðûå ðîìàíû íàïèñàíû â ñòèõàõ» âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé: ∃x(N(x) & C(x)).
Ðèñ. 12.6. ∃x(N(x) & C(x)) Íåêîòîðûå ðîìàíû ñòèõè. 4). ×àñòíîîòðèöàòåëüíîå ñóæäåíèå: O: Íåêîòîðûå S íå ñóòü P: ∃x(S(x) & ¬P(x)). Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì óòâåðæäåíèÿ: «íåêîòîðûå ðîìàíû íå ñòèõè»: ∃x(N(x) & ¬C(x)), «íåêîòîðûå êîíñïåêòû íå ðîìàíû»: ∃x(K(x) & ¬N(x)). Îáëàñòè èñòèííîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäèêàòîâ ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, à ìîãóò è íå ïåðåñåêàòüñÿ (ñì. ðèñ. 12.7).
Ðèñ. 12.7. ∃x(N(x) & ¬C(x)) Íåêîòîðûå ðîìàíû íå ñòèõè; ∃x(K(x) & ¬N(x)) Íåêîòîðûå êîíñïåêòû íå ðîìàíû. Ýòè ÷åòûðå òèïà ñóæäåíèé îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûé ëîãè÷åñêèé êâàäðàò, êîòîðûé ïîêàçûâàåò ñâÿçü ìåæäó ñõåìàìè ñóæäåíèé (ðèñ. 12.8).
218
Ãëàâà 12
Ðèñ. 12.8. Ëîãè÷åñêèé êâàäðàò. Ñóæäåíèÿ, ñîåäèíåííûå äèàãîíàëÿìè, íàçûâàþòñÿ êîíòðàäèêòîðíûìè. Êîíòðàäèêòîðíûå óòâåðæäåíèÿ íåñîâìåñòèìû ïî èñòèííîñòè è íåñîâìåñòèìû ïî ëîæíîñòè, ò.å. íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî èñòèííûìè, è íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî ëîæíûìè. Îäíî ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèåì äðóãîãî: 1) ¬A = O, ò.å. «íå âñå S ñóòü P» ≡ «íåêîòîðûå S íå ñóòü P». Äåéñòâèòåëüíî: ¬∀x(S(x) → P(x)) ≡ ∃x¬(¬S(x) ∨ P(x)) ≡ ≡ ∃x(S(x) & ¬P(x)). Íàïðèìåð, ∀x(N(x) → C(x)) («âñå ðîìàíû íàïèñàíû â ñòèõàõ» è ∃x(N(x) & ¬C(x)) («íåêîòîðûå ðîìàíû íå ñòèõè») êîíòðàäèêòîðíûå óòâåðæäåíèÿ, îäíî ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèåì äðóãîãî. 2) ¬E = I , ò.å. «íåâåðíî, ÷òî íè îäíî S íå ñóòü P» ≡ «íåêîòîðûå S ñóòü P». ¬∀x(S(x) → ¬P(x)) ≡ ∃x¬(¬S(x) ∨ ¬P(x)) ≡ ∃x(S(x) & P(x)). Ãîðèçîíòàëüíûå ñòîðîíû êâàäðàòà ïîêàçûâàþò îòíîøåíèÿ êîíòðàðíîñòè è ñóáêîíòðàðíîñòè. Óòâåðæäåíèÿ A: Âñå S ñóòü P: ∀x(S(x) → P(x)) è E: Íè îäíî S íå ñóòü P : ∀x(S(x) → ¬P(x)) íàçûâàþòñÿ êîíòðàðíûìè. Îíè ñîâìåñòèìû ïî ëîæíîñòè, íî íåñîâìåñòèìû ïî èñòèííîñòè, ò.å. ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî ëîæíûìè, íî íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî èñòèííûìè. Íàïðèìåð, «âñå ðîìàíû íàïèñàíû â ñòèõàõ»: ∀x(N(x) → C(x)) è «íè îäèí ðîìàí íå íàïèñàí â ñòèõàõ»: ∀x(N(x) → ¬C(x)), êîíòðàðíûå óòâåðæäåíèÿ; îáà îíè ëîæíû. Óòâåðæäåíèÿ: «âñå ëþäè ñìåðòíû» è «âñå ëþäè áåññìåðòíû», òàêæå êîíòðàðíû, ïåðâîå èñòèííî, âòîðîå ëîæíî.
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
219
Óòâåðæäåíèÿ I: Íåêîòîðûå S ñóòü P: ∃x(S(x) & P(x)) è O: Íåêîòîðûå S íå ñóòü P: ∃x(S(x) & ¬P(x)) íàçûâàþòñÿ ñóáêîíòðàðíûìè. Ñóáêîíòðàðíûå óòâåðæäåíèÿ ñîâìåñòèìû ïî èñòèííîñòè, íî íåñîâìåñòèìû ïî ëîæíîñòè, ò.å. ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî èñòèííûìè, íî íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî ëîæíûìè. Íàïðèìåð, «íåêîòîðûå ðîìàíû ñòèõè»: ∃x(N(x) & C(x)) è «íåêîòîðûå ðîìàíû íå ñòèõè»: ∃x(N(x) & ¬C(x)), ñóáêîíòðàðíû; îáà îíè èñòèííû. Âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû êâàäðàòû ïîêàçûâàþò îòíîøåíèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ (â ëîãè÷åñêîì êâàäðàòå îòíîøåíèå ïîä÷èíåíèÿ): óòâåðæäåíèÿ, íàõîäÿùèåñÿ ñíèçó, ëîãè÷åñêè ñëåäóþò èç òåõ, ÷òî íàõîäÿòñÿ ñâåðõó. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè «âñå S ñóòü P», òî è «íåêîòîðûå S ñóòü P», ò.å. âûïîëíåíî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå: ∀x(S(x) → P(x)) |= ∃x(S(x) & P(x)), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |A → I| ≡ T. Íàïðèìåð, åñëè «âñå êîíñïåêòû - ó÷åáíèêè», òî è «íåêîòîðûå êîíñïåêòû ó÷åáíèêè». Äðóãîå ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå òàêæå î÷åâèäíî: åñëè «íè îäíî S íå ñóòü P», òî è «íåêîòîðûå S íå ñóòü P»: ∀x(S(x) → ¬P(x)) |= ∃x(S(x) & ¬P(x)), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |E → O| ≡ T. Íàïðèìåð, åñëè «íè îäèí ó÷åáíèê íå íàïèñàí â ñòèõàõ», òî è «íåêîòîðûå ó÷åáíèêè íå íàïèñàíû â ñòèõàõ». Äðóãèå ïðèìåðû ôîðìàëèçàöèè âûñêàçûâàíèé ïðèâåäåíû â òàáëèöå 12.6. Òàáëèöà 12.6. Âñå êîíñïåêòû ó÷åáíèêè. ∀y(K(y) → U(y)) Êîíñïåêò ïî ìàòåìàòèêå (Ì) ó÷åáíèê. K(Ì) → U(Ì) Íè îäèí ó÷åáíèê íå íàïèñàí â ñòèõàõ. ∀y(U(y) → ¬C(y)) Íåêîòîðûå ðîìàíû íàïèñàíû â ñòèõàõ. ∃y(N(y) & C(y)) «Åâãåíèé Îíåãèí» ýòî ðîìàí â ñòèõàõ. N(Å.Îíåãèí.) & C(Å.Îíåãèí.) Âñå ïîýòû ïèøóò ñòèõè. ∀x(V(x) → ∀y(C(y) → W(x,y))) Íåêîòîðûå ïèñàòåëè ïèøóò òîëüêî ðîìàíû. ∃x(P(x) & ∀y(W(x,y) → N(y))) Ïèñàòåëü Ëåâ Òîëñòîé ïèñàë P(Òîëñòîé) & òîëüêî ðîìàíû. ∀y(W(Òîëñòîé, y) → N(y)) Êàæäûé ÷òî-íèáóäü ïèøåò. ∀x∃yW(x,y) Êàæäûé, êòî ïèøåò ÷òî-íèáóäü, ïèøåò ïîçäðàâëåíèå ∀x(∃yW(x, y) → W(x, NY)) ñ Íîâûì ãîäîì (NY). Íåêîòîðûå ëþäè íè÷åãî íå ïèøóò. ∃x∀y¬W(x,y)
220
Ãëàâà 12
12.7.3. Äîêàçàòåëüñòâî ëîãè÷åñêèõ ñëåäîâàíèé  äàííîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì äâà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâà ëîãè÷åñêèõ ñëåäîâàíèé: íåôîðìàëüíûé ñïîñîá, îñíîâàííûé íà äîêàçàòåëüñòâå îò ïðîòèâíîãî, è ôîðìàëüíûé âûâîä â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.  ñëåäóþùèé ãëàâå áóäåò ðàññìîòðåí áîëåå ýôôåêòèâíûé ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé àâòîìàòèçèðîâàòü ïðîöåññ äîêàçàòåëüñòâà ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ (ëîãè÷åñêîé îáùåçíà÷èìîñòè). Ïðèìåð 12.1. Íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ «ëþäè» çàäàíû âûñêàçûâàíèÿ: 1. Íåêîòîðûå ñòóäåíòû ëþáÿò ñâîèõ ïðåïîäàâàòåëåé. 2. Íèêòî íå ëþáèò íåâåæåñòâåííûõ ëþäåé. Ñëåäîâàòåëüíî, íè îäèí ïðåïîäàâàòåëü íå ÿâëÿåòñÿ íåâåæåñòâåííûì. Ïóñòü P(x): x ñòóäåíò, D(x): x ïðåïîäàâàòåëü, Q(x): x íåâåæåñòâåííûé, L(x, y): x ëþáèò y. Ôîðìàëèçóåì ïîñûëêè: F1: ∃x(P(x) & ∀y(D(y) → L(x, y))), F2: ∀x(P(x) → ∀y(Q(y) → ¬L(x, y))). Çàêëþ÷åíèå G: ∀y(D(y) → ¬Q(y)). Ïî îïðåäåëåíèþ, |F1| = T, |F2| = T. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |G| = F. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ |∀y(D(y) → ¬Q(y))| = F ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî çíà÷åíèå y = a, òàêîå ÷òî |D(a) → ¬Q(a)| = F, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî |D(a)| = T, |¬Q(a)| = F, ò.å. |Q(a)| = T. Èç ïîñûëêè F1: |∃x(P(x) & ∀y(D(y) → L(x, y)))| = T ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî çíà÷åíèå x = b, òàêîå, ÷òî |P(b) & ∀y(D(y) → L(x, y))| = T, îòêóäà ïîëó÷àåì: |P(b)| = T è |∀y(D(y) → L(b, y))| = T. Ïîñêîëüêó ïîñëåäíåå èñòèííî äëÿ âñÿêîãî y, â òîì ÷èñëå, äëÿ y = a, ïîëó÷àåì |(D(a) → L(b, a))| = T, ò.å. |(T → L(b, a))| = T, îòêóäà |L(b, a))| = T. Ïîñêîëüêó ïîñûëêà F2: |∀x(P(x) → ∀y(Q(a) → ¬L(x, a)))| = T äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x è y, òî îíà èñòèííà è äëÿ x = b, y = a: |P(b) → (Q(a) → ¬L(b, a))| = T. À ïîñêîëüêó |P(b)| = T, òî |Q(a) → ¬L(b, a)| = T. Òàê êàê |Q(a)| = T, òî |¬L(b, a)| = T. Ïîëó÷àåì, ÷òî èñòèííû îáà óòâåðæäåíèÿ: |L(b, a)| = T è |¬L(b, a)| = T. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå.  ôîðìàëüíîì âûâîäå ïðèìåíÿþòñÿ ïðàâèëà: óíèâåðñàëüíîé êîíêðåòèçàöèè (ÓÊ), ýêçèñòåíöèàëüíîé êîíêðåòèçàöèè (ÝÊ), óäàëåíèÿ & (óä. &), ââåäåíèÿ & (ââ. &), ïðàâèëî MP. Ôîðìàëüíûé âûâîä. 1. ∃x(P(x) & ∀y(D(y) → L(x, y))) Ã1 2. ∀x(P(x) → ∀y(Q(y) → ¬L(x, y))) Ã2 3. P(b) & ∀y(D(y) → L(b, y))) ÝÊ(1) 4. P(b) óä. &(3)
Òåîðèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
221
5. ∀y(D(y) → L(b, y)) óä. &(3) 6. P(b) → ∀y(Q(y) → ¬L(b,y))) ÓÊ(2) 7. ∀y(Q(y) → ¬L(b, y))) MP(4, 6) 8. Q(z) → ¬L(b, z)) ÓÊ(7) 9. D(z) → L(b, z) ÓÊ(5) 10. L(b, z)) → ¬Q(z) ïðàâèëî êîíòðàïîçèöèè (8) 11. D(z) → ¬Q(z) ïðàâèëî ñèëëîãèçìà (9, 10) 12. ∀y(D(y) → ¬Q(y)) Gen (11) Ïðèìåð 12.2. Íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ «ëþäè» çàäàíû âûñêàçûâàíèÿ: 1. Âñå ñòàðûå ÷ëåíû êîíãðåññà þðèñòû. 2. Âñå æåíùèíû-þðèñòû âîñõèùàþòñÿ êàêèì-íèáóäü ñóäüåé. 3. Òîëüêî ñóäüè âîñõèùàþòñÿ ñóäüÿìè. 4. Âñå ñóäüè âîñõèùàþòñÿ âñåìè ñóäüÿìè. ×òî äóìàåò ñóäüÿ Äæîíñ ïî ïîâîäó ñâîåé ñòàðîé òåùè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷ëåíîì êîíãðåññà? Îòâåò: Äæîíñ âîñõèùàåòñÿ ñâîåé òåùåé. Ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî çàêëþ÷åíèå ëîãè÷åñêè ñëåäóåò èç çàäàííûõ ïîñûëîê. Ïóñòü õ ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ «ëþäè». Ââåäåì ïðåäèêàòû: J(x): x ñóäüÿ; L(x): x þðèñò; C(x): x ÷ëåí êîíãðåññà; W(x): x æåíùèíà; À(õ, ó): õ âîñõèùàåòñÿ ó, D Äæîíñ, T òåùà. Ôîðìàëèçóåì ïîñûëêè. 1. ∀õ(Î(õ) & C(x) → L(x)) Âñå ñòàðûå ÷ëåíû êîíãðåññà þðèñòû. 2. ∀x(W(x) & L(x) → ∃y(J(y) & A(x,y))) Âñå æåíùèíû-þðèñòû âîñõèùàþòñÿ êàêèì-íèáóäü ñóäüåé. 3. ∀x∀y(J(y) & A(x,y) → J(x)) Òîëüêî ñóäüè âîñõèùàþòñÿ ñóäüÿìè. 4. ∀x(J(x) → ∀y(J(y) → A(x,y))) Âñå ñóäüè âîñõèùàþòñÿ âñåìè ñóäüÿìè. 5. J(D) Äæîíñ ñóäüÿ, 6. W(T) & O(T) & C(T) ñòàðàÿ òåùà, ÷ëåí êîíãðåññà. Äîêàçàòü: A(D, T) ñóäüÿ Äæîíñ âîñõèùàåòñÿ òåùåé. Ôîðìàëüíûé âûâîä. 1. ∀õ(Î(õ) & C(x) → L(x)) Ã1 2. ∀x(W(x) & L(x) → ∀y(J(y) & A(x, y))) Ã2 3. ∀x∀y(J(y) & A(x, y) → J(x)) Ã3
222 4. ∀x(J(x) → ∀y(J(y) → A(x, y))) 5. W(T) & O(T) & C(T) 6. J(D) 7. J(D) → ∀y(J(y) → A(D, y)) 8. ∀y(J(y) → A(D, y)) 9. J(T) → A(D, T) 10. O(T) & C(T) → L(T) 11. O(T) & C(T) 12. L(T) 13. L(T) → ∃y(J(y) & A(T, y)) 14. W(T) 15. W(T) & L(T) 16. ∃y(J(y) & A(T, y)) 17. J(a) & A(T, a) 18. J(a) & A(T, a) → J(T) 19. J(T) 20. A(D, T)
Ãëàâà 12 Ã4 Ã5 Ã6 ÓÊ (4) MP (6,7) ÓÊ (8) ÓÊ (1) óä. & (5) MP (11,10) ÓÊ (2) óä. & (5) ââ. & (12,14) MP(13,15) ÝÊ (16) ÓÊ (3) MP(18, 17) MP(9, 19)
Ãëàâà 13.
ÀÂÒÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌ 13.1. Ââåäåíèå
Ïîèñê îáùåé ðàçðåøàþùåé ïðîöåäóðû äëÿ ïðîâåðêè îáùåçíà÷èìîñòè ôîðìóë áûë íà÷àò äàâíî. Ïåðâûì ïûòàëñÿ íàéòè òàêóþ ïðîöåäóðó Ëåéáíèö (16461716), â äàëüíåéøåì íàä ýòèì ðàáîòàëà øêîëà Ãèëüáåðòà. Ýòè ïîïûòêè ïðîäîëæàëèñü äî òåõ ïîð, ïîêà ׸ð÷ è Òüþðèíã íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà íå äîêàçàëè, ÷òî íå ñóùåñòâóåò íèêàêîé îáùåé ðàçðåøàþùåé ïðîöåäóðû, íèêàêîãî àëãîðèòìà, ïðîâåðÿþùåãî îáùåçíà÷èìîñòü ôîðìóë â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òåì íå ìåíåå, ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû ïîèñêà äîêàçàòåëüñòâà, êîòîðûå ìîãóò ïîäòâåðäèòü, ÷òî ôîðìóëà îáùåçíà÷èìà. Äëÿ íåîáùåçíà÷èìûõ ôîðìóë ýòè àëãîðèòìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå çàêàí÷èâàþò ñâîþ ðàáîòó. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðåçóëüòàò ׸ð÷à è Òüþðèíãà, ýòî ëó÷øåå, ÷òî ìîæíî îæèäàòü îò àëãîðèòìà ïîèñêà äîêàçàòåëüñòâà.  1930 ã. âàæíûé ïîäõîä ê àâòîìàòè÷åñêîìó äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì áûë äàí Ýðáðàíîì. Ïî îïðåäåëåíèþ îáùåçíà÷èìàÿ ôîðìóëà åñòü ôîðìóëà, êîòîðàÿ èñòèííà ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ. Ýðáðàí ðàçðàáîòàë àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ èíòåðïðåòàöèè, êîòîðàÿ îïðîâåðãàåò äàííóþ ôîðìóëó. Îäíàêî, åñëè äàííàÿ ôîðìóëà íà ñàìîì äåëå îáùåçíà÷èìà, òî òàêîé èíòåðïðåòàöèè íå ñóùåñòâóåò è àëãîðèòì îêàí÷èâàåò ðàáîòó çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Ìåòîä Ýðáðàíà ñëóæèò îñíîâîé äëÿ áîëüøèíñòâà ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ àâòîìàòè÷åñêîãî ïîèñêà äîêàçàòåëüñòâà. Ãëàâíûé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Ðîáèíñîíîì, êîòîðûé ââåë òàê íàçûâàåìûé ìåòîä ðåçîëþöèé.  îñíîâå ìåòîäà ðåçîëþöèé ëåæèò ïðîöåäóðà ïîèñêà îïðîâåðæåíèÿ, ò. å. âìåñòî äîêàçàòåëüñòâà îáùåçíà÷èìîñòè ôîðìóëû äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòðèöàíèå ôîðìóëû ïðîòèâîðå÷èâî. Ìåòîä îïðîâåðæåíèÿ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå: F1, F2 |= G. Òîãäà |= F1 & F2 → G ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìà, è, ñëåäîâàòåëüíî, |¬(F1 & F2 → G)| = |F1 & F2 & ¬G| ≡ F. Ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ ïîñûëêè F1, F2 èñòèííû, ôîðìóëà F1 & F2 & ¬G ìîæåò îáðàòèòüñÿ â ëîæü òîëüêî, åñëè |¬G| = F, ò.å. åñëè |G| = T. Òîãäà ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå âûïîëíåíî.  ïðèíöèïå ïðîöåäóðà îïðîâåðæåíèÿ ôîðìàëèçóåò ìåòîä ðåäóêöèè. Ïðîáëåìà ïîèñêà àâòîìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðîöåäóðû îïðîâåðæåíèÿ çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåòñÿ áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ òàê íàçûâàåìûõ «ñòàíäàðòíûõ» ôîðì ôîðìóë. Ëþáóþ ôîðìóëó ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ìîæíî ïðèâåñòè ê ýêâèâàëåíòíîé åé ïðåäâàðåííîé íîðìàëüíîé ôîðìå,
224
Ãëàâà 13
êîãäà âñå êâàíòîðû âûíåñåíû âïåðåä, à â îáëàñòè äåéñòâèÿ êâàíòîðîâ ôîðìóëà íàõîäèòñÿ â êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Åñëè òàêàÿ ôîðìóëà èìååò òîëüêî êâàíòîðû âñåîáùíîñòè, òî îíà áóäåò ëîæíà, åñëè íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà èíòåðïðåòàöèÿ, êîòîðàÿ îáðàùàåò åå â ëîæü. Òîãäà ýêâèâàëåíòíàÿ åé èñõîäíàÿ ôîðìóëà òàêæå áóäåò ëîæíà, à åå îòðèöàíèå, ñîîòâåòñòâåííî, èñòèííî. Åñëè æå ñðåäè êâàíòîðîâ èìåþòñÿ êâàíòîðû ñóùåñòâîâàíèÿ, òî ïðîáëåìà óñëîæíÿåòñÿ. Îäíàêî, êâàíòîðû ñóùåñòâîâàíèÿ ìîæíî ñíÿòü (íà îñíîâàíèè ïðàâèëà ýêçèñòåíöèàëüíîé êîíêðåòèçàöèè), â ðåçóëüòàòå áóäåò ïîëó÷åíà òàê íàçûâàåìàÿ «ñêóëåìîâñêàÿ ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà». Òîãäà ïîèñê îïðîâåðãàþùåé èíòåðïðåòàöèè ïðèìåíÿåòñÿ ê ýòîé ôîðìå.
13.2. Ïðåäâàðåííûå íîðìàëüíûå ôîðìû Îïðåäåëåíèå 13.1. Ôîðìóëà À íàõîäèòñÿ â ïðåäâàðåííîé íîðìàëüíîé ôîðìå (ÏÍÔ), åñëè îíà èìååò âèä: (Q1x1)...(Qnxn)Ì, ãäå êàæäîå Qixi åñòü ∃õi èëè ∀õi, à Ì ôîðìóëà â êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, íå ñîäåðæàùàÿ êâàíòîðîâ. (Q1x1)...(Qnxn) íàçûâàåòñÿ ïðåôèêñîì, à Ì ìàòðèöåé ôîðìóëû À. Òåîðåìà 13.1. Ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà ïðèâåäåíèÿ ëþáîé ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ê ýêâèâàëåíòíîé åé ïðåäâàðåííîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû êîíñòðóêòèâíî, ò.å. äàåò àëãîðèòì ïðåîáðàçîâàíèÿ ëþáîé ôîðìóëû ê ïðåäâàðåííîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ñâÿçîê m. 1. Ïóñòü m = 0. Òîãäà ôîðìóëà À íå ñîäåðæèò ñâÿçîê è íàõîäèòñÿ â ÏÍÔ. 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÏÍÔ äëÿ ôîðìóëû  ñ ÷èñëîì ñâÿçîê n. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÏÍÔ äëÿ ôîðìóëû À ñ ÷èñëîì ñâÿçîê m = n + 1. 1 ñëó÷àé. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÏÍÔ äëÿ  = (Q1x1)...(Qnxn)Ì. Ôîðìóëà À îáðàçîâàíà èç  ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè îòðèöàíèÿ: À = ¬(Q1x1)...(Qnxn)Ì. Ïî çàêîíàì äå Ìîðãàíà ñâÿçêà ¬ ïðîíîñèòñÿ ÷åðåç êâàíòîðû: ¬∀xÌ ≡ ∃x¬Ì, ¬∃xÌ ≡ ∀x¬Ì. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà áóäåò íàõîäèòüñÿ â ÏÍÔ. 2 ñëó÷àé. Ôîðìóëà À îáðàçîâàíà èç äâóõ ôîðìóë Â1 è Â2 ñ ÷èñëîì ñâÿçîê n < m ñ ïîìîùüþ ñâÿçîê êîíúþíêöèè & èëè äèçúþíêöèè ∨: (Q 1x 1) ... (Q nx n) Ì1 & (Q 1y 1) ... (Q ny n)M2 èëè (Q1x1) ... (Qnxn) M1 ∨ (Q1y1) ... (Qnyn)M2. Òîãäà, åñëè ôîðìóëû Â1 è Â2 èìåþò êâàíòîðû ïî îäíîé è òîé æå ïåðåìåííîé, èñïîëüçóåì çàêîíû çàìåíû ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ: ∀xP(x) ≡ ∀yP(y), ∃xP(x) ≡ ∃yP(y),
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
225
òàê, ÷òîáû íè îäíà ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ íå ñòàëà ñâÿçàííîé â ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû. Ïîñëå ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíàìè êîììóòàòèâíîñòè äëÿ & è ∨ è çàêîíàìè ïðîíåñåíèÿ êâàíòîðîâ: ∀x(P(x) & B) ≡ ∀xP(x) & B, ∀x(P(x) ∨ B) ≡ ∀xP(x) ∨ B, ∃x(P(x) & B) ≡ ∃xP(x) & B, ∃x(P(x) ∨ B) ≡ ∃xP(x) ∨ B, (B íå ñîäåðæèò âõîæäåíèé õ). 3 ñëó÷àé. Ôîðìóëà À îáðàçîâàíà èç  íàâåøèâàíèåì êâàíòîðà ∀ èëè ∃. Òîãäà, ïîñêîëüêó  íàõîäèòñÿ â ÏÍÔ, âíîâü ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà áóäåò â ÏÍÔ. Ïðèìåðû. 1. Ïðèâåäåì ê ÏÍÔ ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: ∃xP(x) → ∀x(∃yD(y) & L(x, y)) = ¬∃xP(x) ∨ ∀x(∃yD(y) & L(x, y)) = = ∀x¬P(x) ∨ ∀x(∃yD(y) & L(x, y)) = ∀x¬P(x) ∨ ∀z(∃yD(y) & L(z, y)) = = ∀x(¬P(x) ∨ ∀z(∃yD(y) & L(z, y))) = = ∀x(∀z(∃yD(y) & L(z, y)) ∨ ¬P(x)) = = ∀x∀z(∃vD(v) & L(z, y)) ∨ ¬P(x))) = = ∀x∀z∃v((D(v) & L(z, y)) ∨ ¬P(x))) = = ∀x∀z∃v((D(v) ∨ ¬P(x)) & (L(z, y)) ∨ ¬P(x))). 2. Ðàññìîòðèì ïîñûëêè ïðèìåðà 12.1. ∃x(P(x) & ∀y(D(y) → L(x, y))) = ∃x(P(x) & ∀y(¬D(y) ∨ L(x, y))) = = ∃x(∀y(¬D(y) ∨ L(x, y)) & P(x)) = = ∃x∀y((¬D(y) ∨ L(x, y)) & P(x)). ∀x(P(x) → ∀y(Q(y) → ¬L(x, y))) = ∀x(¬P(x) ∨ ∀y(¬Q(y) ∨ ¬L(x, y))) = = ∀x(∀y(¬Q(y) ∨ ¬L(x, y)) ∨ ¬P(x)) = = ∀x∀y(¬Q(y) ∨ ¬L(x, y) ∨ ¬P(x)).
13.3. Ñêóëåìîâñêèå ñòàíäàðòíûå ôîðìû Îïðåäåëåíèå 13.2. Ïðåäâàðåííàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî êâàíòîðû âñåîáùíîñòè, íàçûâàåòñÿ ñêóëåìîâñêîé ñòàíäàðòíîé ôîðìîé (ÑÑÔ). Ïðîöåäóðà ïðèâåäåíèÿ ÏÍÔ ê ñêóëåìîâñêîé ôîðìå çàêëþ÷àåòñÿ â ýëèìèíàöèè (óäàëåíèè) êâàíòîðîâ ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïóñòü ôîðìóëà A íàõîäèòñÿ â ïðåäâàðåííîé íîðìàëüíîé ôîðìå (Q1x1)...(Qnxn)M, ãäå M åñòü êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà. Åñëè êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðâûé ñëåâà êâàíòîð â ïðåôèêñå: (∃x1)(Q2x2)...(...(Qnxn)M, òî åãî ìîæíî ýëèìèíèðîâàòü íà îñíîâàíèè ïðàâèëà ýêçèñòåíöèàëüíîé êîíêðåòèçàöèè. Âûáåðåì êîíñòàíòó c, îòëè÷íóþ îò äðóãèõ êîíñòàíò, âõîäÿùèõ â M, çàìåíèì âñå âõîæäåíèÿ x1, âñòðå÷àþùèåñÿ â M, íà ñ, è âû÷åðêíåì êâàíòîð ∃x1 èç ïðåôèêñà.
226
Ãëàâà 13
Åñëè æå ïåðåä êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ ñòîèò êâàíòîð âñåîáùíîñòè, íàïðèìåð, ∀x∃yM, òî ïåðåìåííàÿ y ïîïàäàåò â îáëàñòü äåéñòâèÿ êâàíòîðà âñåîáùíîñòè, è âûðàæåíèå ∀x∃y (äëÿ êàæäîãî x ñóùåñòâóåò y) îçíà÷àåò íàëè÷èå íåêîòîðîé ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè y = f(x). Åñëè êâàíòîðó ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäøåñòâóåò íåñêîëüêî êâàíòîðîâ âñåîáùíîñòè, òî ôóíêöèÿ çàâèñèò îò âñåõ ïåðåìåííûõ, ïî êîòîðûì íàâåøåíû ýòè êâàíòîðû.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè Qs1,
, Qsm ñïèñîê âñåõ êâàíòîðîâ âñåîáùíîñòè, âñòðå÷àþùèõñÿ ëåâåå ∃xr, 1 ≤ s1 < s2 < ... < sm < r, ìû âûáåðåì m-ìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë f, îòëè÷íûé îò äðóãèõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ, çàìåíèì âñå xr â M íà f(õs1,
, õsm) è âû÷åðêíåì ∃xr èç ïðåôèêñà. Çàòåì âåñü ýòîò ïðîöåññ ïðèìåíèì äëÿ âñåõ êâàíòîðîâ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðåôèêñå; ïîñëåäíÿÿ èç ïîëó÷åííûõ ôîðìóë åñòü ñêóëåìîâñêàÿ ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà äëÿ êðàòêîñòè, ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà (ÑÑÔ) ôîðìóëû A. Ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ çàìåíû ïåðåìåííûõ êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ, íàçûâàþòñÿ ñêóëåìîâñêèìè ôóíêöèÿìè (êîíñòàíòû åñòü íóëüìåñòíûå ôóíêöèè). Ïðèìåð. Ïîëó÷èì ñòàíäàðòíóþ ôîðìó ôîðìóëû A = = ∃x∀y∀z∃u∀v∃wP(x, y, z, u, v, w).  ýòîé ôîðìóëå ëåâåå ∃x íåò íèêàêèõ êâàíòîðîâ âñåîáùíîñòè, ëåâåå ∃u ñòîÿò ∀y è ∀z, à ëåâåå ∃w ñòîÿò ∀y, ∀z è ∀v. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû çàìåíèì ïåðåìåííóþ x íà êîíñòàíòó a, ïåðåìåííóþ u íà äâóìåñòíóþ ôóíêöèþ f(y, z), ïåðåìåííóþ w íà òðåõìåñòíóþ ôóíêöèþ g(y, z, v). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñòàíäàðòíóþ ôîðìó ôîðìóëû A: S = = ∀y∀z∀v P(a, y, z, f(y, z), v, g(y, z, v)). Äëÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ïîñûëîê èç ïðèìåðà 12.1 ÑÑÔ èìååò âèä: ∃x∀y((¬D(y) ∨ L(x, y)) & P(x)) ⇒ ∀y((¬D(y) ∨ L(à, y)) & P(à)), ∀x∀y(¬Q(y) ∨ ¬L(x, y) ∨ ¬P(x)). Åñëè ïðåäâàðåííàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé ôîðìóëå, òî ñêóëåìîâñêàÿ ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ôîðìóëû A, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ýêâèâàëåíòíà åé. Íàïðèìåð, ïóñòü A = ∃xP(x) è S = P(a) åñòü ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ôîðìóëû A. Ïóñòü I åñòü ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ: îáëàñòü D = {a, b}, P(a) = F, P(b) = T. Òîãäà A èñòèííà â I, íî S ëîæíà â I. Òàêèì îáðàçîì, A íå ýêâèâàëåíòíà S. Îäíàêî, åñëè P(a) = F, P(b) = F, òî |A| = F, è S = P(a) òàêæå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå F äëÿ ëþáîãî a. Òàêèì îáðàçîì, A ≡ S â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè A ïðîòèâîðå÷èâà. Äîêàæåì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Òåîðåìà 13.2. Ïóñòü S ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ôîðìóëû A. Òîãäà A ïðîòèâîðå÷èâà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà S ïðîòèâîðå÷èâà.
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
227
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôîðìóëà A íàõîäèòñÿ â ÏÍÔ, ò.å. A = (Q1x1) ... ... (Qnxn)M[x1, ..., xn]. (Çàïèñü M[x1, ..., xn] îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà M ñîäåðæèò ïåðåìåííûå x1,..., xn). Ïóñòü Qr ïåðâûé ñëåâà êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïóñòü A1 = (∀x1) ... (∀xr1)(Q r+1xr+1)
...(Qnxn)M[x1,..., xr1, f(x1,..., xr1), xr+1,
, xn], ãäå f ñêóëåìîâñêàÿ ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ xr, 1 ≤ r ≤ n. Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî A ïðîòèâîðå÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A1 ïðîòèâîðå÷èâà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A ïðîòèâîðå÷èâà. Åñëè A1 íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ I, ÷òî A1 èñòèííà â I, ò.å. äëÿ âñåõ x1,..., xr1 ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ýëåìåíò f(x1,..., xr1), äëÿ êîòîðîãî (Q r+1x r+1) ... (Q nx n)M[x1,..., x r1, f(x 1,..., x r1), x r+1,..., x n] èñòèííà â I. Òàêèì îáðàçîì, A èñòèííà â I, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî A ïðîòèâîðå÷èâà. Ñëåäîâàòåëüíî, A1 äîëæíà áûòü ïðîòèâîðå÷èâà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðåäïîëîæèì, ÷òî A1 ïðîòèâîðå÷èâà. Åñëè A íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ I íà îáëàñòè D, ÷òî A èñòèííà â I, ò.å. äëÿ âñåõ x1,
, xr1 ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò xr, ÷òî (Qr+1xr+1) ... (Qnxn)M[x1,..., xr1, f(x1,..., xr1), xr+1,..., xn] èñòèííà â I. Ðàñøèðèì èíòåðïðåòàöèþ I, âêëþ÷èâ â íåå ôóíêöèþ f(x1,..., xr1) = xr, êîòîðàÿ îòîáðàæàåò (x1,..., xr1) íà xr äëÿ âñåõ x1, ..., xr1 â D, Îáîçíà÷èì ýòî ðàñøèðåíèå I′. Òîãäà äëÿ âñåõ x1,..., xr1 (Qr+1xr+1) ... (Qnxn)Ì[x1,..., xr1, f(x1,..., xr1), xr+1,..., xn] èñòèííà â I′, ò.å. A1 èñòèííà â I', ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî A1 ïðîòèâîðå÷èâà. Ñëåäîâàòåëüíî, A äîëæíà áûòü ïðîòèâîðå÷èâîé. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â A èìååòñÿ m êâàíòîðîâ ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïóñòü A0 = A. Ïóñòü Ak ïîëó÷àåòñÿ èç Ak1 çàìåíîé ïåðâîãî êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ â Ak1 ñêóëåìîâñêîé ôóíêöèåé, k = 1, ..., m. Òîãäà ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà S = Am. Èñïîëüçóÿ òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî áûëè äàíû âûøå, ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî Ak1 ïðîòèâîðå÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Ak ïðîòèâîðå÷èâà ïðè k = 1,..., m. Ñëåäîâàòåëüíî, A ïðîòèâîðå÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ïðîòèâîðå÷èâà, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Îïðåäåëåíèå 13.3. Ïðåäèêàòíûå áóêâû áóäåì íàçûâàòü ëèòåðàìè. Äèçúþíêöèÿ ëèòåð íàçûâàåòñÿ äèçúþíêòîì, èëè êëàóçîé (clause) (èíîãäà êëîçîì). Îäíîëèòåðíûé äèçúþíêò íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì äèçúþíêòîì. Êîãäà äèçúþíêò íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ëèòåð, åãî íàçûâàþò ïóñòûì äèçúþíêòîì. Òàê êàê ïóñòîé äèçúþíêò íå ñîäåðæèò ëèòåð, êîòîðûå ìîãëè áû áûòü èñòèííûìè ïðè ëþáûõ èíòåðïðåòàöèÿõ, òî ïóñòîé äèçúþíêò âñåãäà ëîæåí. Ïóñòîé äèçúþíêò îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì . Ïóñòü S ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ôîðìóëû A. Ìàòðèöà ôîðìóëû, ïðåäñòàâëåííîé â ÑÑÔ, íàõîäèòñÿ â êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, ò.å. â âèäå êîíúþíêöèè äèçúþíêòîâ. Áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ÑÑÔ ôîðìóëû A ìíîæåñòâîì äèçúþíêòîâ, ãäå êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ
Ãëàâà 13
228
ñ÷èòàåòñÿ óïðàâëÿåìîé êâàíòîðîì âñåîáùíîñòè. Ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ ýòî ïðîñòî äðóãàÿ ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàíäàðòíîé ôîðìû ôîðìóëû A, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü åãî òàê æå, êàê è ÑÑÔ ñèìâîëîì S. Ñ÷èòàåì, ÷òî ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S åñòü êîíúþíêöèÿ âñåõ äèçúþíêòîâ èç S. Íàïðèìåð, ÑÑÔ ïîñûëêè èç ïðèìåðà 12.1: ∀y((¬D(y)∨ L(à, y)) & P(à)) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ìíîæåñòâîì äèçúþíêòîâ: S = {¬D(y) ∨ L(à, y), P(à)}. Äàëåå, åñëè ìû èìååì A = A1 & ... & An, ìû ìîæåì îòäåëüíî ïîëó÷èòü ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ Si, i = 1,
, n, ãäå êàæäîå Si ïðåäñòàâëÿåò ñòàíäàðòíóþ ôîðìó Ai. Çàòåì ïóñòü S = S1 ∪ ... ∪ Sn. Òîãäà A ïðîòèâîðå÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ïðîòèâîðå÷èâî. Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ íåâûïîëíèìî, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ïðîòèâîðå÷èâà, è âûïîëíèìî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
13.4. Ýðáðàíîâñêèé óíèâåðñóì ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ Ïî îïðåäåëåíèþ, ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ íåâûïîëíèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ëîæíî ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ íà âñåõ îáëàñòÿõ. Òàê êàê íåâîçìîæíî ðàññìàòðèâàòü âñå èíòåðïðåòàöèè íà âñåõ îáëàñòÿõ, áûëî áû óäîáíî, åñëè áû ìû ìîãëè ôèêñèðîâàòü îäíó òàêóþ ñïåöèàëüíóþ îáëàñòü H, ÷òî S íåâûïîëíèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ëîæíî ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ íà ýòîé îáëàñòè. Ýðáðàí ïîêàçàë, ÷òî òàêàÿ îáëàñòü ñóùåñòâóåò. Åå íàçûâàþò ýðáðàíîâñêèì óíèâåðñóìîì ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ S è îïðåäåëÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëåíèå 13.4. Ïóñòü H0 ìíîæåñòâî êîíñòàíò, âñòðå÷àþùèõñÿ â S. Åñëè íèêàêàÿ êîíñòàíòà íå âñòðå÷àåòñÿ â S, òî H0 ñîñòîèò èç îäíîé ïðîèçâîëüíîé êîíñòàíòû, íàïðèìåð, H0 = {a}. Äëÿ i = 1, 2, ... ïóñòü Hi+1 åñòü îáúåäèíåíèå Hi è ìíîæåñòâà âñåõ òåðìîâ âèäà fn(t1, ..., tn) (ïðè âñåõ n) äëÿ âñåõ ôóíêöèé fn, âñòðå÷àþùèõñÿ â S, ãäå tj (j = 1, ..., n) ïðèíàäëåæèò Hi. Òîãäà êàæäîå Hi íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì êîíñòàíò i-ãî óðîâíÿ äëÿ S è H∞ íàçûâàåòñÿ ýðáðàíîâñêèì óíèâåðñóìîì äëÿ S. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü S1 = {P(a), ¬P(x) ∨ P(f(x))}. Òîãäà H0 = {a}; H1 = {a, f(a)}; H2 = {a, f(a), f(f(a))};
.................. H∞ = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))),...}.
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
229
2. Ïóñòü S2 = {P(x) ∨ Q(x), ¬R(z), R(y) ∨ ¬Q(y)}. Òàê êàê íå ñóùåñòâóåò íèêàêèõ êîíñòàíò â S, ïîëîæèì H0 = {a}. Ïîñêîëüêó íå ñóùåñòâóåò íèêàêèõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ â S, òî H = H0 = = H1 = ... = {a}. Îïðåäåëåíèå 13.5. Ïóñòü S åñòü ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ. Òîãäà ìíîæåñòâî àòîìîâ âèäà P n(t 1,..., t n) äëÿ âñåõ n-ìåñòíûõ ïðåäèêàòîâ Pn, âñòðå÷àþùèõñÿ â S, ãäå t1,..., tn ýëåìåíòû ýðáðàíîâñêîãî óíèâåðñóìà S, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì àòîìîâ ìíîæåñòâà S, èëè ýðáðàíîâñêèì áàçèñîì S. Ïðèìåð. Ýðáðàíîâñêèé áàçèñ ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ S1 = {P(a), ¬P(x) ∨ P(f(x))}: À = {P(a), P(f(a)), P(f(f(a)), P(f(f(f(a))),
}. Ýðáðàíîâñêèé áàçèñ ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ S2 = {P(x) ∨ Q(x), R(z) ∨ ∨ ¬Q(x)}: À = {P(a), Q(a), R(a)}. Îïðåäåëåíèå 13.6. Îñíîâíîé ïðèìåð äèçúþíêòà C ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ S åñòü äèçúþíêò, ïîëó÷åííûé çàìåíîé ïåðåìåííûõ â C íà ýëåìåíòû ýðáðàíîâñêîãî óíèâåðñóìà S. Ïðèìåð. Ïóñòü S = {P(x), Q(f(y)) ∨ R(y)}, C = P(x) äèçúþíêò â S è H = {a, f(a), f(f(a)), ...} ýðáðàíîâñêèé óíèâåðñóì S. Òîãäà P(a), P(f(a)), P(f(f(a))) åñòü îñíîâíûå ïðèìåðû C. Îïðåäåëåíèå 13.7. Ïóñòü S ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ, H ýðáðàíîâñêèé óíèâåðñóì S è I èíòåðïðåòàöèÿ S íàä H. Ãîâîðÿò, ÷òî I åñòü H-èíòåðïðåòàöèÿ ìíîæåñòâà S, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1. I îòîáðàæàåò âñå êîíñòàíòû èç S â ñàìèõ ñåáÿ; 2. ïóñòü f åñòü n-ìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë è h1,..., hn ýëåìåíòû H.  I ÷åðåç f îáîçíà÷àåòñÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ îòîáðàæàåò (h1,..., hn) (ýëåìåíò èç Hn) â f(h1,..., hn) ( ýëåìåíò èç H). Ïðè ýòîì íå âîçíèêàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé ïðè ïðèäàíèè çíà÷åíèÿ ëþáîìó n-ìåñòíîìó ïðåäèêàòíîìó ñèìâîëó â S. Ïóñòü A = {A 1 , A 2 ,..., A n ,...} ýðáðàíîâñêèé áàçèñ ìíîæåñòâà S. H-èíòåðïðåòàöèþ I óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå: I = {m1, m2,..., mn,...}, ãäå mj åñòü Aj èëè ¬Aj äëÿ j = 1, 2, ... Ñìûñë ýòîãî ìíîæåñòâà â òîì, ÷òî åñëè mj åñòü Aj, òî àòîìó Aj ïðèñâîåíî çíà÷åíèå «èñòèííî», â ïðîòèâíîì ñëó÷àå çíà÷åíèå «ëîæíî». Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî S = {P(x) ∨ Q(x), R(f(y))}. Ýðáðàíîâñêèé óíèâåðñóì H äëÿ S åñòü H = {a, f(a), f(f(a)), ...}.  S âõîäÿò òðè ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëà: P, Q è R. Ñëåäîâàòåëüíî, ýðáðàíîâñêèé áàçèñ S åñòü A = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)),...}.
230
Ãëàâà 13
Íåêîòîðûå H èíòåðïðåòàöèè ìíîæåñòâà S: I1 = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)),...}, I2 = {¬P(a), ¬Q(a), ¬R(a), ¬P(f(a)), ¬Q(f(a)), ¬R(f(a)), ...}, I3 = {P(a), Q(a), ¬R(a), P(f(a)), Q(f(a)), ¬R(f(a)),...}, è ò.ä. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé èíòåðïðåòàöèè íàéäåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé H-èíòåðïðåòàöèÿ. Òåîðåìà 13.3. Ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S íåâûïîëíèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ëîæíî ïðè âñåõ H-èíòåðïðåòàöèÿõ â S. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ïîëîâèíà òåîðåìû î÷åâèäíà, òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ S íåâûïîëíèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S ëîæíî ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ íà ýòîé îáëàñòè. ×òîáû äîêàçàòü âòîðóþ ïîëîâèíó òåîðåìû, ïðåäïîëîæèì, ÷òî S ëîæíî ïðè âñåõ H-èíòåðïðåòàöèÿõ â S. Ïîëîæèì, ÷òî S âûïîëíèìî. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ I íà íåêîòîðîé îáëàñòè D, ÷òî S èñòèííî ïðè I. Ïóñòü I* åñòü H-èíòåðïðåòàöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ I. Òîãäà S èñòèííî ïðè I*. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî S ëîæíî ïðè âñåõ H-èíòåðïðåòàöèÿõ â S. Ñëåäîâàòåëüíî, S äîëæíî áûòü íåâûïîëíèìî, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîñòèãëè öåëè, óñòàíîâëåííîé â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà, ò.å. íàì íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî èíòåðïðåòàöèè íàä ýðáðàíîâñêèì óíèâåðñóìîì, òî÷íåå, H-èíòåðïðåòàöèè, äëÿ ïðîâåðêè òîãî, âûïîëíèìî ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ èëè íåò. Ïîýòîìó âïðåäü, óïîìèíàÿ èíòåðïðåòàöèþ, ìû áóäåì èìåòü â âèäó H-èíòåðïðåòàöèþ. H-èíòåðïðåòàöèè ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñåìàíòè÷åñêèõ äåðåâüåâ. Êàê áóäåò âèäíî âïîñëåäñòâèè, íàõîæäåíèå äîêàçàòåëüñòâà íåâûïîëíèìîñòè ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ ýêâèâàëåíòíî ïîñòðîåíèþ ñåìàíòè÷åñêîãî äåðåâà. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî áèíàðíûå ñåìàíòè÷åñêèå äåðåâüÿ. Îïðåäåëåíèå 13.8. Åñëè A àòîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî äâå ëèòåðû A è ¬A êîíòðàðíû äðóã äðóãó, è ìíîæåñòâî {A, ¬A} íàçûâàþò êîíòðàðíîé ïàðîé. Îòìåòèì, ÷òî äèçúþíêò åñòü òàâòîëîãèÿ, åñëè îí ñîäåðæèò êîíòðàðíóþ ïàðó, òàê êàê A ∨ ¬A ≡ T, è ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ íåâûïîëíèìî, åñëè îíî ñîäåðæèò äâà åäèíè÷íûõ êîíòðàðíûõ äèçúþíêòà, òàê êàê A & ¬A ≡ F. Îïðåäåëåíèå 13.9. Ïóñòü S ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ è A åãî ýðáðàíîâñêèé áàçèñ. Ñåìàíòè÷åñêîå (áèíàðíîå) äåðåâî äëÿ S åñòü ðàñòóùåå âíèç äåðåâî T, â êîòîðîì êàæäîìó ðåáðó ïðèïèñàí àòîì èç A èëè åãî îòðèöàíèå òàêèì îáðàçîì, ÷òî èç êàæäîãî
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
231
óçëà N âûõîäèò äâà ðåáðà, ïîìå÷åííûå êîíòðàðíûìè ëèòåðàìè, è êàæäàÿ âåòâü äåðåâà íå ñîäåðæèò êîíòðàðíûõ ëèòåð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç I(N) îáúåäèíåíèå âñåõ ëèòåð, ïðèïèñàííûõ ðåáðàì âåòâè, âåäóùåé ê óçëó N. Òîãäà äëÿ êàæäîãî óçëà N I(N) íå ñîäåðæèò êîíòðàðíûõ ïàð. Îïðåäåëåíèå 13.10. Ïóñòü A = {A1, A2, ..., An, ...} ýðáðàíîâñêèé áàçèñ ìíîæåñòâà S. Ãîâîðÿò, ÷òî ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S áóäåò ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ êàæäîãî i (i = 1, 2,...) è êàæäîãî êîíå÷íîãî óçëà N ñåìàíòè÷åñêîãî äåðåâà (ò. å. äëÿ óçëà, èç êîòîðîãî íå âûõîäèò íèêàêèõ ðåáåð) I(N) ñîäåðæèò ëèáî Ai ëèáî ¬Ai. Òàêèì îáðàçîì, â ïîëíîì ñåìàíòè÷åñêîì äåðåâå êàæäàÿ âåòâü ñîîòâåòñòâóåò îäíîé H-èíòåðïðåòàöèè. Êîãäà ýðáðàíîâñêèé áàçèñ ìíîæåñòâà S áåñêîíå÷åí, âñÿêîå ïîëíîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S áóäåò òîæå áåñêîíå÷íî. Ïîëíîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S ñîîòâåòñòâóåò èñ÷åðïûâàþùåìó ïåðåáîðó âñåõ âîçìîæíûõ èíòåðïðåòàöèé äëÿ S. Åñëè S íåâûïîëíèìî, òî S íå ñìîæåò áûòü èñòèííûì â êàæäîé èç ýòèõ èíòåðïðåòàöèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì îñòàíîâèòü ðîñò äåðåâà èç óçëà N, åñëè I(N) îïðîâåðãàåò S. Ýòî ïîðîæäàåò ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 13.11. Óçåë N íàçûâàåòñÿ îïðîâåðãàþùèì, åñëè I(N) îïðîâåðãàåò íåêîòîðûé îñíîâíîé ïðèìåð äèçúþíêòà â S, íî äëÿ ëþáîãî ïðåäøåñòâóþùåãî óçëà N′ I(N′) íå îïðîâåðãàåò íèêàêîãî îñíîâíîãî ïðèìåðà äèçúþíêòà â S. Îïðåäåëåíèå 13.12. Ãîâîðÿò, ÷òî ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî T çàìêíóòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ âåòâü T îêàí÷èâàåòñÿ îïðîâåðãàþùèì óçëîì. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü S = {P, Q ∨ R, ¬P ∨ ¬Q, ¬P ∨ ¬R}. Ýðáðàíîâñêèé áàçèñ ìíîæåñòâà S åñòü A = {P, Q, R}, íåâûïîëíèìîå ìíîæåñòâî îñíîâíûõ ïðèìåðîâ: {¬P, ¬Q∨¬R, P ∨ Q, P ∨ R}. Ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S ïîêàçàíî íà ðèñ. 13.1, çàìêíóòîå ïîääåðåâî âûäåëåíî áîëåå æèðíûìè ëèíèÿìè. Ðèñ. 13.1. Êîíå÷íîå 2. Ïóñòü S = {P(x), ¬P(x) ∨ ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî. ∨ Q(f(x)), ¬Q(f(a))}. Ýðáðàíîâñêèé áàçèñ A = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)),
}. Íåâûïîëíèìîå ìíîæåñòâî îñíîâíûõ ïðèìåðîâ: {¬P(a), P(a) ∨ ¬Q(f(a)), Q(f(a))}.
232
Ãëàâà 13
Ðèñ. 13.2. Áåñêîíå÷íîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî. Ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S áóäåò áåñêîíå÷íûì (ñì. ðèñ. 13.2); çàìêíóòîå ïîääåðåâî âûäåëåíî áîëåå æèðíûìè ëèíèÿìè.
13.5. Òåîðåìà Ýðáðàíà Ïðîöåäóðà Ýðáðàíà îñíîâûâàåòñÿ íà òåîðåìå 13.3, ïîýòîìó äëÿ ïðîâåðêè íåâûïîëíèìîñòè ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ S ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî èíòåðïðåòàöèè íàä ýðáðàíîâñêèì óíèâåðñóìîì. Åñëè S ëîæíî ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ íàä ýðáðàíîâñêèì óíèâåðñóìîì S, òî ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî S íåâûïîëíèìî. Òàê êàê îáû÷íî ñóùåñòâóåò ìíîãî, âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ èíòåðïðåòàöèé, îíè âûáèðàþòñÿ íåêîòîðûì ñèñòåìàòè÷åñêèì ñïîñîáîì ñ èñïîëüçîâàíèåì ñåìàíòè÷åñêèõ äåðåâüåâ. Òåîðåìà 13.4 (òåîðåìà Ýðáðàíà, âàðèàíò 1). Ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S íåâûïîëíèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáîìó ïîëíîìó ñåìàíòè÷åñêîìó äåðåâó S ñîîòâåòñòâóåò êîíå÷íîå çàìêíóòîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî S íåâûïîëíèìî. Ïóñòü Ò ïîëíîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S. Ïóñòü äëÿ êàæäîé âåòâè B äåðåâà Ò IB ìíîæåñòâî âñåõ ëèòåð, ïðèïèñàííûõ âñåì ðåáðàì âåòâè B. Òîãäà IB åñòü èíòåðïðåòàöèÿ äëÿ S. Òàê êàê S íåâûïîëíèìî, òî IB äîëæíà îïðîâåðãàòü îñíîâíîé ïðèìåð Ñ′ äèçúþíêòà Ñ â S. Îäíàêî, òàê êàê Ñ′ êîíå÷íî, òî íà  äîëæåí ñóùåñòâîâàòü îïðîâåðãàþùèé óçåë NB (ëåæàùèé íà êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè îò êîðíÿ). Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåòâü Ò èìååò îïðîâåðãàþùèé óçåë, òî ñóùåñòâóåò çàìêíóòîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî Ò′ äëÿ S. Äàëåå, òàê êàê èç êàæäîãî óçëà â Ò′ âûõîäèò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ðåáåð, òî Ò′ äîëæíî áûòü êîíå÷íûì (ò.å. ÷èñëî óçëîâ â Ò′ êîíå÷íî), èíà÷å ìû ìîãëè áû íàéòè áåñêîíå÷íóþ âåòâü, íå ñîäåðæàùóþ îïðîâåðãàþùèõ óçëîâ. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîé ïîëîâèíû òåîðåìû çàâåðøåíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè äëÿ êàæäîãî ïîëíîãî ñåìàíòè÷åñêîãî äåðåâà Ò äëÿ S ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çàìêíóòîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî, òî êàæäàÿ âåòâü Ò ñîäåðæèò îïðîâåðãàþùèé óçåë. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ èíòåðïðåòàöèÿ îïðîâåðãàåò S. Ñëåäîâàòåëüíî,
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
233
S íåâûïîëíèìî. Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé ïîëîâèíû òåîðåìû. Òåîðåìà 13.5 (òåîðåìà Ýðáðàíà, âàðèàíò 2). Ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S íåâûïîëíèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå íåâûïîëíèìîå ìíîæåñòâî S′ îñíîâíûõ ïðèìåðîâ äèçúþíêòîâ S. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S íåâûïîëíèìî. Ïóñòü Ò ïîëíîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî äëÿ S. Òîãäà ïî òåîðåìå Ýðáðàíà (âàðèàíò 1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çàìêíóòîå ñåìàíòè÷åñêîå äåðåâî Ò′, ñîîòâåòñòâóþùåå Ò. Ïóñòü S′ ìíîæåñòâî âñåõ îñíîâíûõ ïðèìåðîâ äèçúþíêòîâ, êîòîðûå îïðîâåðãàþòñÿ âî âñåõ îïðîâåðãàþùèõ óçëàõ Ò′. S′ êîíå÷íî, òàê êàê â Ò′ ñîäåðæèòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî îïðîâåðãàþùèõ óçëîâ. Òàê êàê S′ ëîæíî â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè S′, òî S′ íåâûïîëíèìî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå íåâûïîëíèìîå ìíîæåñòâî S′ îñíîâíûõ ïðèìåðîâ äèçúþíêòîâ â S. Òàê êàê êàæäàÿ èíòåðïðåòàöèÿ I äëÿ S ñîäåðæèò èíòåðïðåòàöèþ I′ ìíîæåñòâà S′ è I′ îïðîâåðãàåò S′, òî I äîëæíà òàêæå îïðîâåðãàòü S′. Îäíàêî S′ îïðîâåðãàåòñÿ â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè I′. Ñëåäîâàòåëüíî, S′ îïðîâåðãàåòñÿ â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè I ìíîæåñòâà S. Ïîýòîìó S îïðîâåðãàåòñÿ â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè ìíîæåñòâà S′, çíà÷èò, S íåâûïîëíèìî. Ïðèìåð. Ïóñòü S = {¬P(x) ∨ Q(f(x), x), P(g(b)), ¬Q(y, z)}. Ýòî ìíîæåñòâî íåâûïîëíèìî. Îäíî èç íåâûïîëíèìûõ ìíîæåñòâ îñíîâíûõ ïðèìåðîâ äèçúþíêòîâ ìíîæåñòâà S åñòü S′ = = {¬P(g(b)) ∨ Q(f(g(b)), g(b)), P(g(b)), ¬Q(f(g(b)), g(b))}.
13.6. Ìåòîä ðåçîëþöèé Äàëåêî íå âñåãäà ìîæíî ëåãêî íàéòè íåâûïîëíèìîå ìíîæåñòâî îñíîâíûõ ïðèìåðîâ äèçúþíêòîâ. Òðóäíîñòè çàêëþ÷àþòñÿ â ïîðîæäåíèè îñíîâíûõ ïðèìåðîâ äèçúþíêòîâ è ïîèñêå îïðîâåðãàþùèõ èíòåðïðåòàöèé. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó, òî çàäà÷à ïðîâåðêè íåâûïîëíèìîñòè ýòîãî ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ïðîâåðêè ëîæíîñòè êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû, à ýòî çàäà÷à ýêñïîíåíöèàëüíîé ñëîæíîñòè. Ïîñëå ìíîãî÷èñëåííûõ ïîèñêîâ áîëåå ýôôåêòèâíûõ ïðîöåäóð, Äæ. Ðîáèíñîíîì áûë ïðåäëîæåí ìåòîä, íàçâàííûé ìåòîäîì ðåçîëþöèé. Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà ðåçîëþöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðîâåðèòü, ñîäåðæèò ëè ìíîæåñòâî S ïóñòîé äèçúþíêò . Åñëè S ñîäåðæèò , òî ìíîæåñòâî S íåâûïîëíèìî, åñëè íåò, òî íàäî ïðîâåðèòü, ìîæåò ëè îí áûòü ïîëó÷åí èç äàííîãî ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ. Èíûìè ñëîâàìè, íåîáõîäèìî íàéòè ìíîæåñòâî îñíîâíûõ ïðèìåðîâ, îïðîâåðãàþùèõ èñõîäíîå ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ. Ýòà ïðîöåäóðà îñíîâàíà íà ïðàâèëå ðåçîëþöèé.
234
Ãëàâà 13
Ïðàâèëî ðåçîëþöèé Ðîáèíñîíà. Åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ äèçúþíêòîâ Ñ1 è Ñ2 ñóùåñòâóåò ëèòåðà L1 ∈ C1 è êîíòðàðíàÿ åé ëèòåðà L2 ∈ C2 (L2 = ¬L1), òî âû÷åðêíóâ L1 èç Ñ1 è L2 èç Ñ2 è ïîñòðîèâ äèçúþíêò èç îñòàâøèõñÿ ëèòåð, ïîëó÷èì ðåçîëüâåíòó Ñ1 è Ñ2 : C'1 ∨ C'2, ãäå C'1 = C1\L1, C'2 = C2\L2. Òåîðåìà 13.6. Ðåçîëüâåíòà Ñ åñòü ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå äèçúþíêòîâ Ñ1 è Ñ2, ñîäåðæàùèõ êîíòðàðíûå ëèòåðû L è ¬L: L ∨ Ñ′1, ¬L1∨ Ñ′2 |= C'1 ∨ C'2. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |L ∨ Ñ′1| = T, |¬L ∨ Ñ′2| = T, |C'1 ∨ C'2| = F. Òîãäà |C'1| = F, |C'2| = F. Åñëè |L ∨ Ñ′1| = T, òî |L | = T, íî |¬L ∨ Ñ′2| = T, ñëåäîâàòåëüíî, |L | = F. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ïðàâèëî ðåçîëþöèé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìíîãèõ èçâåñòíûõ íàì ïðàâèë âûâîäà. Íàïðèìåð, ïðàâèëî ñèëëîãèçìà: A → B, B → C |= A → C ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå: ¬A ∨ B, ¬B ∨ C |= ¬A ∨ C, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó ðåçîëþöèé. Ïðàâèëî ÌÐ: A, A → B |= B ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå: A ¬A ∨ B |= B, ÷òî òàêæå ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó ðåçîëþöèé. Íàêîíåö, çàêîí ïðîòèâîðå÷èÿ A & ¬A ≡ F ðàâíîçíà÷åí ïðàâèëó: A, ¬A |= , ñîãëàñíî êîòîðîìó ðåçîëüâåíòà äâóõ êîíòðàðíûõ îäíîëèòåðíûõ äèçúþíêòîâ åñòü ïóñòîé äèçúþíêò. Îïðåäåëåíèå 13.13. Ðåçîëþòèâíûé âûâîä èç ìíîæåñòâà äèçúþíêòîâ S åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü C1, C2,..., Ck, òàêàÿ, ÷òî êàæäîå Ci ëèáî ïðèíàäëåæèò S, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ðåçîëüâåíòîé ïðåäøåñòâóþùèõ Ci. Åñëè ïîñëåäíèé äèçúþíêò Ck = , òî ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S ÿâëÿåòñÿ íåâûïîëíèìûì, à âåñü âûâîä íàçûâàåòñÿ îïðîâåðæåíèåì S. Åñëè Ck íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì äèçúþíêòîì è äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ïðàâèëà ðåçîëþöèé íåâîçìîæíî, òî ìíîæåñòâî S ÿâëÿåòñÿ âûïîëíèìûì. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðèìåð 10.1. (ñì. ãëàâó 10). Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé: P → S, S → R, P |= R. Ñîñòàâèì ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S, äëÿ ÷åãî êàæäóþ ôîðìóëó ïðèâåäåì ê ÊÍÔ, à îò çàêëþ÷åíèÿ R âîçüìåì îòðèöàíèå. Ïîëó÷èì: 1. ¬P ∨ S 2. ¬S ∨ R 3. P 4. ¬R 5. ¬S ðåçîëüâåíòà 4, 2 6. ¬P ðåçîëüâåíòà 5, 1 7. ðåçîëüâåíòà 3, 6
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
235
Ïðàâèëî ðåçîëþöèé î÷åíü ìîùíîå ñðåäñòâî ëîãè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà. Ìîæíî ïîêàçàòü [×åíü, Ëè, 1983] ïîëíîòó ìåòîäà ðåçîëþöèé, ò.å. äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ S íåâûïîëíèìî òîãäà è òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ðåçîëþòèâíûé âûâîä ïóñòîãî äèçúþíêòà èç S.
13.7. Ïîäñòàíîâêà è óíèôèêàöèÿ Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðåçîëþöèé â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ óñëîæíÿåòñÿ òåì, ÷òî äèçúþíêòû ñîäåðæàò òåðìû, êîòîðûå ìîãóò íå ñîâïàäàòü â äâóõ îäèíàêîâûõ ëèòåðàõ. Íàïðèìåð, Ñ1 = P(x) ∨ Q(x), C2 = ¬P(f(a)) ∨ V(a).  ýòèõ äèçúþíêòàõ íåò êîíòðàðíûõ ëèòåð, îäíàêî, åñëè ìû ïîäñòàâèì f(a) âìåñòî õ â Ñ 1, òî ïîëó÷èì Ñ1′ = P(f(a)) ∨ Q(f(a)); òåïåðü ëèòåðû P(f(a)) è ¬P(f(a)) áóäóò óæå êîíòðàðíû. Ïîëó÷èì ðåçîëüâåíòó Q(f(a)) ∨ V(a). Òàêàÿ ïðîöåäóðà ïîäñòàíîâêè îäíèõ òåðìîâ âìåñòî äðóãèõ ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ êîíòðàðíûõ ëèòåð íàçûâàåòñÿ óíèôèêàöèåé. Îïðåäåëåíèå 13.14. Ïîäñòàíîâêà ýòî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âèäà {t1/v1,
, tn/vn}, ãäå vi ïåðåìåííàÿ, ti òåðì, îòëè÷íûé îò vi, è âñå vi ðàçëè÷íû. Îïðåäåëåíèå 13.15. Ïóñòü θ = {t1/v1,
, tn/vn} è E âûðàæåíèå. Òîãäà Eθ âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå èç E çàìåíîé âñåõ âõîæäåíèé ïåðåìåííûõ vi (1 ≤ i ≤ n) íà òåðìû ti. Îïðåäåëåíèå 13.16. Ïóñòü θ = {t1/v1,
, tn/vn}, λ = {u1/y1,
, uk/yk} ïîäñòàíîâêè. Êîìïîçèöèÿ ïîäñòàíîâîê θ°λ ïîëó÷àåòñÿ èç ìíîæåñòâà {t1λ/v1,
, tnλ/vn, u1/y1,
, uk/yk} âû÷åðêèâàíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ tjλ/vj, äëÿ êîòîðûõ tjλ = vj (òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà), è âñåõ ýëåìåíòîâ ui/yi, òàêèõ, ÷òî yi ∈ {v1,
, vn}. Ïðèìåð. Ïóñòü θ = {t1/v1, t2/v2 } = {f(y)/x, z/y}, λ = {u1/y1, u2/y2, u3/y3} = {a/x, b/y, y/z}. Òîãäà θ°λ = {t1λ/v1, t2λ/v2 , u1/y1, u2/y2, u3/y3} = = {f(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z}. Òàê êàê t2λ/x2 = y/y, òî y/y äîëæíî áûòü âû÷åðêíóòî èç ìíîæåñòâà θ°λ. Ýëåìåíòû a/x, b/y òàêæå äîëæíû áûòü âû÷åðêíóòû, òàê êàê ïîäñòàíîâêè äëÿ x è y óæå îïðåäåëåíû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì: θ°λ = {f(b)/x, y/z}.  ïðîöåäóðå äîêàçàòåëüñòâà ìåòîäîì ðåçîëþöèé íåîáõîäèìî íàõîäèòü òàêèå ïîäñòàíîâêè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñäåëàòü äâà è áîëåå âûðàæåíèÿ òîæäåñòâåííûìè. Îïðåäåëåíèå 13.17. Ïîäñòàíîâêà θ íàçûâàåòñÿ óíèôèêàòîðîì ìíîæåñòâà {E1,
, Em} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà E1θ =
= Emθ. Ìíîæåñòâî {E1,
, Em} íàçûâàåòñÿ óíèôèöèðóåìûì, åñëè äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò óíèôèêàòîð. Óíèôèêàòîð σ äëÿ ìíîæåñòâà âûðàæåíèé {E1,
, Em} íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå îáùèì óíèôèêàòîðîì, åñëè äëÿ êàæäîãî óíèôèêàòîðà θ ýòîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîäñòàíîâêà λ, ÷òî θ = σ°λ.
236
Ãëàâà 13
Íàïðèìåð, äëÿ äâóõ äèçúþíêòîâ {P(a, y), P(x, f(b)} ïîäñòàíîâêà {a/x, f(b)/y} ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå îáùèì óíèôèêàòîðîì. Ââåäÿ ïîíÿòèå óíèôèêàöèè, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ìåòîä ðåçîëþöèé äëÿ ëîãèêè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îïðåäåëåíèå 13.18. Åñëè äâå èëè áîëåå ëèòåð (ñ îäèíàêîâûì çíàêîì) äèçúþíêòà Ñ èìåþò íàèáîëåå îáùèé óíèôèêàòîð σ, òî Cσ íàçûâàåòñÿ ñêëåéêîé Ñ. Åñëè Cσ åäèíè÷íûé äèçúþíêò, òî ñêëåéêà íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ñêëåéêîé. Ïðèìåð. Ïóñòü Ñ = P(x) ∨ P(f(y)) ∨ ¬Q(x). Òîãäà ïåðâàÿ è âòîðàÿ ëèòåðû èìåþò íàèáîëåå îáùèé óíèôèêàòîð σ = {f(y)/x}. Ñëåäîâàòåëüíî, Cσ = P(f(y)) ∨ ¬Q(f(y)) åñòü ñêëåéêà Ñ. Îïðåäåëåíèå 13.19. Ïóñòü C1 è C2 äâà äèçúþíêòà (íàçûâàåìûå äèçúþíêòàìè-ïîñûëêàìè), êîòîðûå íå èìåþò íèêàêèõ îáùèõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü L1 è ¬L2 äâå ëèòåðû â C1 è C2 ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè L1 è L2 èìåþò íàèáîëåå îáùèé óíèôèêàòîð σ, òî äèçúþíêò (C1σ \ L1σ) ∨ (C2σ \ L2σ) íàçûâàåòñÿ (áèíàðíîé) ðåçîëüâåíòîé C1 è C2. Ëèòåðû L1 è L2 íàçûâàþòñÿ îòðåçàåìûìè ëèòåðàìè. Îïðåäåëåíèå 13.20. Ðåçîëüâåíòîé äèçúþíêòîâ-ïîñûëîê C1 è C2 ÿâëÿåòñÿ îäíà èç ñëåäóþùèõ ðåçîëüâåíò: 1) áèíàðíàÿ ðåçîëüâåíòà C1 è C2; 2) áèíàðíàÿ ðåçîëüâåíòà C1 è ñêëåéêè C2; 3) áèíàðíàÿ ðåçîëüâåíòà C2 è ñêëåéêè C1; 4) áèíàðíàÿ ðåçîëüâåíòà ñêëåéêè C1 è ñêëåéêè C2. Ïðèìåð. Ïóñòü C1 = P(x) ∨ P(f(y)) ∨ R(g(y)) è C2 = ¬P(f(g(a))) ∨ ∨ Q(b). Ñêëåéêà C1 åñòü Ñ1' = P(f(y)) ∨ R(g(y)). Âûïîëíèì ïîäñòàíîâêó g(a)/y. Áèíàðíàÿ ðåçîëüâåíòà Ñ1' è C2 åñòü R(g(g(a))) ∨ Q(b). Ñëåäîâàòåëüíî, R(g(g(a))) ∨ Q(b) åñòü ðåçîëüâåíòà C1 è C2.
13.8. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ðåçîëþöèé Ïðèìåð 13.1. Çàâåðøèì ðàññìîòðåíèå ïðèìåðà 12.1 ãëàâû 12. ÑÑÔ ïîñûëîê ìû ïîëó÷èëè â 13.3: ∀y((¬D(y) ∨ L(à, y)) & P(à)), ∀x∀y(¬Q(y) ∨ ¬L(x, y) ∨ ¬P(x)). Íàéäåì îòðèöàíèå îò çàêëþ÷åíèÿ G è ïðèâåäåì åãî ê ÏÍÔ; ïîëó÷èì: ¬∀y(D(y) → ¬Q(y)) = ∃y¬(¬D(y) ∨ ¬Q(y)) = ∃y(D(y) & Q(y)). Ýëèìèíèðóåì êâàíòîð ∃ è ïîëó÷èì ÑÑÔ: D(b) & Q(b). Ïîñòðîèì ðåçîëþòèâíûé âûâîä: 1. ¬D(y) ∨ L(à, y) 2. P(à)
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
237
3. ¬Q(y) ∨ ¬L(x, y) ∨ ¬P(x) 4. D(b) 5. Q(b) 6. ¬L(x, b) ∨ ¬P(x) {b/y}, ðåçîëüâåíòà 5, 3 7. ¬L(a, b) {a/x}, ðåçîëüâåíòà 2, 6 8. ¬D(b) {b/y}, ðåçîëüâåíòà 1, 7 9. ðåçîëüâåíòà 4, 8 Ïðèìåð 13.2. Ïîñûëêà: «Êàæäûé, êòî õðàíèò äåíüãè, ïîëó÷àåò ïðîöåíòû». Çàêëþ÷åíèå: «Åñëè íå ñóùåñòâóåò ïðîöåíòîâ, òî íèêòî íå õðàíèò äåíåã». Ïóñòü S(x, y): «x õðàíèò y», M(x): «x åñòü äåíüãè», I(x): «x åñòü ïðîöåíòû» è E(x, y): «x ïîëó÷àåò y». Òîãäà ïîñûëêà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: ∀x(∃y(S(x, y) & M(y)) → ∃y(I(y) & E(x, y))), à çàêëþ÷åíèå: ¬∃xI(x) → ∀x∀y(S(x, y) → ¬M(y)). Ïðèâåäåì ïîñûëêó ê ÑÑÔ: ∀x(∃y(S(x, y) & M(y)) → ∃y(I(y) & E(x, y))) = = ∀x(¬∃y(S(x, y) & M(y)) ∨ ∃y(I(y) & E(x, y))) = = ∀x(∀y(¬S(x, y) ∨ ¬M(y)) ∨ ∃y(I(y) & E(x, y))) = = ∀x(∃z(I(z) & E(x, z))) ∨ ∀y(¬S(x, y) ∨ ¬M(y)) = = ∀x∃z((I(z) & E(x, z)) ∨ ∀y(¬S(x, y) ∨ ¬M(y))) = = ∀x∃z∀y ((I(z) & E(x, z)) ∨ (¬S(x, y) ∨ ¬M(y))) = = ∀x∃z∀y ((¬S(x, y) ∨ ¬M(y) ∨ I(z)) & (¬S(x, y) ∨ ¬M(y) ∨ E(x, z))). ÑÑÔ ïîñûëêè: ∀x∀y ((¬S(x, y) ∨ ¬M(y) ∨ I(f(x)) & (¬S(x, y) ∨ ¬M(y) ∨ E(x, f(x))).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äèçúþíêòû: 1. ¬S(x, y) ∨ ¬M(y) ∨ I(f(x)), 2. ¬S(x, y) ∨ ¬M(y) ∨ E(x, f(x)). Âîçüìåì îòðèöàíèå îò çàêëþ÷åíèÿ è ïðèâåäåì ê ÏÍÔ: ¬(¬∃xI(x) → ∀x∀y(S(x, y) → ¬M(y))) = = ¬(¬¬∃xI(x) ∨ ∀x∀y(¬S(x, y) ∨ ¬M(y))) = = ∀x¬I(x) & ¬∀x∀y(¬S(x, y) ∨ ¬M(y))) = = ∀z¬I(z) & ∃x∃y(S(x, y) & M(y)). Ïîñêîëüêó ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíúþíêöèþ äâóõ ôîðìóë â ÏÍÔ, ìîæíî êàæäóþ èç íèõ ïðèâîäèòü ê ÑÑÔ îòäåëüíî: ∀z¬I(z) & (S(a, b) & M(b)). Èç îòðèöàíèÿ çàêëþ÷åíèÿ ïîëó÷èëè äèçúþíêòû: 3. ¬I(z), 4. S(a, b), 5. M(b).
238
Ãëàâà 13
Äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî î÷åíü ïðîñòî: 6. ¬S(x, y) ∨ ¬M(y) {f(x)/z} â 3, ðåçîëüâåíòà 3, 1 7. ¬M(b) {a/x, b/y} â 6, ðåçîëüâåíòà 6, 4 8. ðåçîëüâåíòà 7, 5 Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå äîêàçàíî. Ïðèìåð 13.3. Ïîñûëêà: «Ñòóäåíòû åñòü ãðàæäàíå». Çàêëþ÷åíèå: «Ãîëîñà ñòóäåíòîâ åñòü ãîëîñà ãðàæäàí.» Ïóñòü S(x): «x ñòóäåíò», C(x): «x ãðàæäàíèí» è V(x, y): «x åñòü ãîëîñ y». Òîãäà ïîñûëêà è çàêëþ÷åíèå çàïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∀y(S(y) → C(y)) (ïîñûëêà), ∀x(∃y(S(y) & V(x, y)) → ∃z(C(z) & V(x, z)) (çàêëþ÷åíèå). Ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà ïîñûëêè åñòü ∀y(¬S(y) ∨ C(y)). Îòðèöàíèå çàêëþ÷åíèÿ ïðèâåäåì ê ÑÑÔ: ¬(∀x(∃y(S(y) & V(x, y)) → ∃z(C(z) & V(x, z)))) = = ¬(∀x(∀y(¬S(y) ∨ ¬V(x, y)) ∨ ∃z(C(z) & V(x, z)))) = = ¬(∀x∀y∃z(¬S(y) ∨ ¬V(x, y) ∨ (C(z) & V(x, z)))) = = ∃x∃y∀z((S(y) & V(x, y)) & (¬C(z) ∨ ¬V(x, z))); ÑÑÔ: ∀z((S(b) & V(a, b)) & (¬C(z) ∨ ¬V(a, z))), Çàïèøåì ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ è ïîñòðîèì ðåçîëþòèâíûé âûâîä: 1. ¬S(y) ∨ C(y). 2. S(b), 3. V(a, b), 4. ¬C(z) ∨ ¬V(a, z). 5. C(b) {b/y} â 1, ðåçîëüâåíòà 1, 2 6. ¬V(a, b) {b/z} â 4, ðåçîëüâåíòà 5, 4 7. ðåçîëüâåíòà 6, 3. Ïðèìåð 13.4. Ïðîâåðèì ëîãè÷íîñòü óòâåðæäåíèÿ Ëîñåâà À. Ô.1: «Âåðà â ñóùíîñòè ñâîåé è åñòü ïîäëèííîå çíàíèå, è ýòè äâå ñôåðû íå òîëüêî íå ðàçúåäèíèìû, íî äàæå íåðàçëè÷èìû». Äîêàçàòåëüñòâî Ëîñåâà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. «Âåðóþùèé âåðèò â íå÷òî. Âåðà ñâîé ïðåäìåò ÿñíî îòëè÷àåò îò âñÿêîãî äðóãîãî ïðåäìåòà. Òîãäà ýòîò ïðåäìåò îïðåäåëåí. Íî åñëè îí îïðåäåëåí, îí îáëàäàåò ïðèçíàêàìè, îòëè÷àþùèìè åãî îò âñÿêîãî äðóãîãî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû çíàåì ýòîò ïðåäìåò. Ìû çíàåì âåùü, åñëè ïî ïðèçíàêàì ìîæåì îòëè÷èòü åå îò âñÿêîãî äðóãîãî. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðà è åñòü çíàíèå.» 1 À. Ô. Ëîñåâ. Äèàëåêòèêà ìèôà.  êí. «Èç ðàííèõ ïðîèçâåäåíèé». Ì.: Ïðàâäà, 1990. (ñòð. 497).
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
239
Ïóñòü V(x, y): «x âåðèò â y», C(x, y): «x îòëè÷åí îò y», N(x, y): «x çíàåò y». Ôîðìàëèçóåì ïîñûëêè. 1. Âåðóþùèé âåðèò â íå÷òî. ∀õ∃yV(x, y). 2. Âåðóþùèé ñâîé ïðåäìåò îòëè÷àåò îò âñÿêîãî äðóãîãî ïðåäìåòà. ∀x∃y(V(x, y) → ∀zC(y, z)). 3. Ìû çíàåì âåùü òîãäà, êîãäà ìû îòëè÷àåì åå îò âñÿêîé äðóãîé âåùè. ∀x∃y∀z(C(y, z) → N(x, y)). 4. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðà åñòü çíàíèå. ∀x∃y(V(x, y) → N(x, y)). Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîñûëîê è îòðèöàíèÿ çàêëþ÷åíèÿ ê ÑÑÔ, ïîëó÷èì ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ è ðåçîëþòèâíûé âûâîä: 1. V(x, f(x)) x âåðèò â ïðåäìåò ñâîåé âåðû. 2. C(f(x), z) ∨ ¬V(x, f(x)) åñëè x âåðèò â f(x), òî f(x) îòëè÷åí îò z. 3. N(x, f(x)) ∨ ¬C(f(x), z) x çíàåò f(x), åñëè ìîæåò îòëè÷èòü åãî îò z. 4. V(b, y) ñóùåñòâóåò b, êîòîðûé âåðèò â y. 5. ¬N(b, y) b íå çíàåò y. 6. ¬Ñ(f(b), z) {b/x, f(b)/y} â 2 è 4, ðåçîëüâåíòà 5,3. 7. ¬V(b, f(b)) ðåçîëüâåíòà 6, 2. 8. ðåçîëüâåíòà 1, 7. Ïîëó÷àåì, ÷òî âåðà è çíàíèå îäíî è òî æå. Ýòî çàêëþ÷åíèå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå âûïîëíåíî. Äåëî â òîì, ÷òî ïîñûëêè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðèíèìàþòñÿ àâòîðîì çà èñòèííûå, îäíàêî ñ èõ èñòèííîñòüþ ìîæíî íå ñîãëàñèòüñÿ. Íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå «Ìû çíàåì âåùü òîãäà, êîãäà ìû îòëè÷àåì åå îò âñÿêîé äðóãîé âåùè» âûçûâàåò ñîìíåíèå, îñîçíàíèå îòëè÷èÿ îäíîé âåùè îò äðóãîé åùå íå åñòü çíàíèå. Ñîìíåíèå â èñòèííîñòè îäíîé ïîñûëêè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî è çàêëþ÷åíèå âûçûâàåò ñîìíåíèå, âåäü èç ïðîòèâîðå÷èâîé ñèñòåìû ïîñûëîê ìîæíî âûâåñòè ÷òî óãîäíî. Ïðèìåð 13.5. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ïèòåðà, ñëóæàùèé ïðîäâèãàåòñÿ ïî ñëóæåáíîé ëåñòíèöå äî òåõ ïîð, ïîêà îí íå äîñòèãíåò ñâîåãî óðîâíÿ íåêîìïåòåíòíîñòè. Ñëåäóåò ëè èç ýòîãî, ÷òî íå ñóùåñòâóåò êîìïåòåíòíûõ íà÷àëüíèêîâ? Ïðîâåðèì ýòîò âûâîä, èñïîëüçóÿ ìåòîä ðåçîëþöèé. Âûáåðåì ïðåäèêàòû: C(x): x ñëóæàùèé, K(x): x êîìïåòåíòíûé, N(x): x íà÷àëüíèê, P(x): x ïðîäâèãàåòñÿ ïî ñëóæåáíîé ëåñòíèöå. Ôîðìàëèçó-
240
Ãëàâà 13
åì ñâîè çíàíèÿ î ïðîáëåìå.  êà÷åñòâå ïåðâîé ïîñûëêè âîçüìåì óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî êîìïåòåíòíûé ñëóæàùèé ïðîäâèãàåòñÿ ïî ñëóæåáíîé ëåñòíèöå: ∀x(C(x) & K(x) → P(x)). Âòîðîé ïîñûëêîé ìîæåò ñëóæèòü óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî íà÷àëüíèê ïåðåñòàåò ïðîäâèãàòüñÿ ïî ñëóæåáíîé ëåñòíèöå: ∀x(N(x) → ¬P(x)). Ó÷òåì òàêæå òîò ôàêò, ÷òî íà÷àëüíèê òîæå ñëóæàùèé: ∀x(N(x) → C(x)). Òîãäà âûâîä, êîòîðûé íóæíî ïðîâåðèòü, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: «Âñå íà÷àëüíèêè íåêîìïåòåíòíû»: ∀x(N(x) → ¬K(x)). Ïðèâåäåì ïîñûëêè è îòðèöàíèå çàêëþ÷åíèÿ ê ÑÑÔ è ïîñòðîèì ðåçîëþòèâíûé âûâîä: 1. N(a) 2. K(a) 3. ¬C(x) ∨ ¬K(x) ∨ P(x) 4. ¬N(x) ∨ ¬P(x) 5. ¬N(x) ∨ C(x) 6. ¬C(a) ∨ P(a) {a/x} â 3, ðåçîëüâåíòà 2, 3 7. ¬N(a) ∨ P(a) {a/x} â 5, ðåçîëüâåíòà 5, 6 8. ¬N(a) {a/x} â 4, ðåçîëüâåíòà 4,7 9. ðåçîëüâåíòà 1,8 Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî êîìïåòåíòíûõ íà÷àëüíèêîâ íå ñóùåñòâóåò. Ïðèìåð 13.6. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î áðàäîáðåå:  îäíîì ñåëå áðàäîáðåé áðååò òåõ è òîëüêî òåõ æèòåëåé ñåëà, êîòîðûå íå áðåþòñÿ ñàìè. Äîëæåí ëè áðàäîáðåé áðèòü ñàìîãî ñåáÿ? Âîçüìåì ïðåäèêàòû: P(x): x áðàäîáðåé, Q(x, y): x áðååò y. Ôîðìàëèçóåì ïîñûëêó è ïðèâåäåì åå ê ÑÑÔ: ∃x(P(x)&∀y(Q(y, y) → ¬Q(x, y))&(¬Q(y, y) → Q(x, y))). ÑÑÔ: (P(a)&∀y(¬Q(y, y) ∨ ¬Q(a, y))&(Q(y, y) ∨ Q(a, y))). Ïðîâåðèì, áðååò ëè áðàäîáðåé ñàìîãî ñåáÿ: Q(a, a). Ïîñòðîèì âûâîä: 1. P(a) 2. ¬Q(y, y) ∨ ¬Q(a, y) 3. Q(y, y) ∨ Q(a, y) 4. ¬Q(a, a) 5. Q( a, a) ïîäñòàíîâêà {a/y} â 3, ñêëåéêà 3 6. ðåçîëüâåíòà 4, 5 Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå âûïîëíåíî, ò.å. áðàäîáðåé äîëæåí áðèòü ñàìîãî ñåáÿ.
Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì
241
Ïîñòàâèì ïðîòèâîïîëîæíûé âîïðîñ: áðàäîáðåé íå äîëæåí áðèòü ñàìîãî ñåáÿ: ¬Q(a, a), è ïîñòðîèì ðåçîëþòèâíûé âûâîä: 1. P(a) 2. ¬Q(y, y) ∨ ¬Q(a, y) 3. Q(y, y) ∨ Q(a, y) 4. Q(a, a) 5. ¬Q( a, a) ïîäñòàíîâêà {a/y} â 2, ñêëåéêà 2 6. ðåçîëüâåíòà 4, 5 Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå òàêæå âûïîëíåíî, ò.å. áðàäîáðåé íå äîëæåí áðèòü ñàìîãî ñåáÿ.  ýòîé çàäà÷å íà äâà ïðîòèâîïîëîæíûõ âîïðîñà ìû ïîëó÷àåì îäèíàêîâûé îòâåò, ïîñêîëüêó èñõîäíîå óòâåðæäåíèå ïðîòèâîðå÷èâî ñàìî ïî ñåáå. Ìåòîä ðåçîëþöèé ýòî î÷åíü ñèëüíûé ìåòîä ïîèñêà äîêàçàòåëüñòâà îáùåçíà÷èìîñòè ôîðìóë (â äðóãîé ôîðìóëèðîâêå ëîãè÷åñêèõ ñëåäîâàíèé). Èìåííî ïîýòîìó îí ïîðîäèë íîâóþ ïàðàäèãìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ ëîãè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ÿçûêîì ëîãè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÏÐÎËÎÃ.  ëîãè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè ëþáàÿ çàäà÷à ñòàâèòñÿ êàê çàäà÷à äîêàçàòåëüñòâà ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ íåêîòîðîãî ïðåäëîæåíèÿ èç çàäàííûõ ïîñûëîê. Âûïîëíåíèå ïðîãðàììû çàêëþ÷àåòñÿ â ïîèñêå äîêàçàòåëüñòâà ìåòîäîì ðåçîëþöèé.
Ãëàâà 14.
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÒÅÎÐÈÉ ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
Óñïåõè ðàçâèòèÿ äåäóêòèâíîãî ìåòîäà ïîðîäèëè áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàáîò ïî ôîðìàëèçàöèè îñíîâíûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Èäåÿ ñîçäàíèÿ óíèâåðñàëüíîãî ÿçûêà äëÿ âñåé ìàòåìàòèêè è ôîðìàëèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ ñðåäñòâàìè ýòîãî ÿçûêà âûäâèãàëàñü åùå Ëåéáíèöåì.  ñåðåäèíå 19-ãî âåêà ðàáîòû Áóëÿ è äå Ìîðãàíà ïî ôîðìàëèçàöèè àðèñòîòåëåâîé ëîãèêè ñîçäàëè ïðåäïîñûëêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ÿçûêà. Ïîñëå òîãî, êàê Ã. Ôðåãå (1879) è ×. Ïèðñ (1885) ââåëè â ÿçûê ëîãèêè ïðåäèêàòû, ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå è êâàíòîðû, âîçíèêëà ðåàëüíàÿ âîçìîæíîñòü ïðèìåíèòü ýòîò ÿçûê ê ôîðìàëèçàöèè îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè.  ðàáîòàõ Âåéåðøòðàññà, Äåäåêèíäà è Êàíòîðà áûëà ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü «àðèôìåòèçàöèè» àíàëèçà è òåîðèè ôóíêöèé, â ðåçóëüòàòå ÷åãî àðèôìåòèêà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñòàëà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíäàìåíò âñåé êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî íà÷àòü ôîðìàëèçàöèþ îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè ñ àêñèîìàòèçàöèè àðèôìåòèêè. Íàèáîëåå óäîáíàÿ ñèñòåìà àêñèîì àðèôìåòèêè áûëà ïðåäëîæåíà Ïåàíî (1891).  íà÷àëå 20-ãî âåêà âîçíèêëî íàïðàâëåíèå â ìàòåìàòèêå, öåëüþ êîòîðîãî áûëî ïðåäñòàâèòü âñþ ÷èñòóþ ìàòåìàòèêó êàê ÷àñòü ôîðìàëüíîé ëîãèêè. Óàéòõåä è Ðàññåë â 1910 1913 ã.ã. îïóáëèêîâàëè ñâîé ôóíäàìåíòàëüíûé òðóä «Principia Mathematica», ïîñâÿùåííûé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è îñíîâàíèÿì ìàòåìàòèêè.  ýòîé ðàáîòå áûëà óñîâåðøåíñòâîâàíà àêñèîìàòèêà àðèôìåòèêè è íà åå îñíîâå ôîðìàëèçîâàíû íåêîòîðûå äðóãèå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè. Îäíàêî, íå âñå îáñòîÿëî ãëàäêî íà ýòîì ïóòè. Òàê, íàïðèìåð, îêàçàëîñü íåâîçìîæíûì âûâåñòè èç ÷èñòî ëîãè÷åñêèõ àêñèîì ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Îòêðûòèå ïàðàäîêñîâ, ñâÿçàííûõ ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè òåîðèè ìíîæåñòâ, åùå áîëüøå ïîêîëåáàëî óâåðåííîñòü ìàòåìàòèêîâ â äîñòèæåíèè ïîñòàâëåííîé öåëè. Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà çàêëþ÷àëàñü â äîêàçàòåëüñòâå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè âûáðàííîé ñèñòåìû àêñèîì. Ä. Ãèëüáåðò ïîñòàâèë ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó ðàçâèòèÿ òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ. Çàñëóãà Ãèëüáåðòà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí óêàçàë ïóòü äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àêñèîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì. Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü òåîðèè îçíà÷àåò, ÷òî â íåé íåëüçÿ âûâåñòè ïðîòèâîðå÷èå. Òîãäà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ôîðìàëüíîé òåîðèè íóæíî äîêàçàòü íåâûâîäèìîñòü â íåé êàêèõ-ëèáî óòâåðæäåíèé. Òàêèì îáðàçîì ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, íåïðîòèâîðå÷èâîñòü êîòîðîé íóæíî äîêàçàòü, ñòàíîâèòñÿ îáúåêòîì èçó÷åíèÿ äðóãîé ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè, êîòîðóþ Ãèëüáåðò íàçâàë ìåòàìàòåìàòèêîé èëè òåîðèåé äîêàçàòåëüñòâ. Äâóõòîìíàÿ ìîíîãðàôèÿ Ä. Ãèëüáåðòà è Ï. Áåðíàéñà «Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ è ôîðìàëèçàöèÿ àðèôìåòèêè», âûøåäøàÿ â 30-õ ã.ã., ïîäâåëà èòîã ïðîöåññó
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
243
ñòàíîâëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè êàê ñàìîñòîÿòåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé äèñöèïëèíû.  1930 ã. àâñòðèéñêèé ìàòåìàòèê Êóðò øäåëü äîêàçàë òåîðåìó î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ñîãëàñíî êîòîðîé ìíîæåñòâî ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûõ ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì òåîðåì èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Îäíàêî óæå â 1931 ã. ïîÿâèëàñü äðóãàÿ ðàáîòà øäåëÿ: «Î ôîðìàëüíî íåðàçðåøèìûõ ïðåäëîæåíèÿõ Principia Mathematica è ðîäñòâåííûõ ñèñòåì». Äîêàçàííàÿ â íåé òåîðåìà î íåïîëíîòå ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè ïðèçíàíà îäíèì èç âåëè÷àéøèõ äîñòèæåíèé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. øäåëþ â ýòî âðåìÿ áûëî 25 ëåò. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, åñëè ôîðìàëüíàÿ ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ àðèôìåòèêó, íåïðîòèâîðå÷èâà, òî â íåé ñóùåñòâóþò èñòèííûå, íî íå âûâîäèìûå èç àêñèîì ýòîé òåîðèè ïðåäëîæåíèÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ, ñðåäñòâàìè êîòîðîé ìîæíî ïîñòðîèòü àðèôìåòèêó, ñóùåñòâåííî íåïîëíà, ò.å. íèêàêîå ðàñøèðåíèå åå ñèñòåìû àêñèîì íå ñäåëàåò åå ïîëíîé, òàê êàê â íîâîé ñèñòåìå âñå ðàâíî íàéäóòñÿ èñòèííûå, íî íå âûâîäèìûå åå ñðåäñòâàìè ïðåäëîæåíèÿ. Äðóãîé ðåçóëüòàò øäåëÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íåëüçÿ äîêàçàòü íåïðîòèâîðå÷èâîñòü ôîðìàëüíîé òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà, âêëþ÷àþùåé ôîðìàëüíóþ àðèôìåòèêó, ñðåäñòâàìè, âûðàçèìûìè â ýòîé òåîðèè. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè íåîáõîäèìî ïðèâëå÷åíèå ñðåäñòâ, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè. Òàêèå äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àðèôìåòèêè áûëè ïîëó÷åíû ïîçæå Ã. Ãåíöåíîì è Ï. Ñ. Íîâèêîâûì. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå øäåëåì, ïîêàçàëè, ÷òî âîçìîæíîñòè àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà îïðåäåëåííûì îáðàçîì îãðàíè÷åíû, ïðè÷åì îãðàíè÷åíèÿ òàêîâû, ÷òî äàæå àðèôìåòèêà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ àêñèîìàòèçèðîâàíà. Îòêðûòèÿ øäåëÿ ðàçðóøèëè íàäåæäû ëîãèêîâ î ïîëíîé ôîðìàëèçàöèè ìàòåìàòèêè. Îäíàêî ðàáîòû øäåëÿ îáîãàòèëè ìàòåìàòè÷åñêóþ íàóêó ñîâåðøåííî íîâûìè ìåòîäàìè ðàññóæäåíèé è èìåëè îãðîìíîå çíà÷åíèå äëÿ ðàçâèòèÿ ôèëîñîôèè íàóêè. Ðåçóëüòàòû øäåëÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî âîçìîæíîñòè íàøåãî ìûøëåíèÿ íå ñâîäÿòñÿ ê ïîëíîñòüþ ôîðìàëèçóåìûì ïðîöåäóðàì äåäóêòèâíûõ ðàññóæäåíèé. ×åëîâå÷åñêîå ìûøëåíèå è ñïîñîáû ÷åëîâå÷åñêèõ ðàññóæäåíèé ãîðàçäî áîãà÷å, è äëÿ èõ ôîðìàëèçàöèè (äàæå ÷àñòè÷íîé), íåîáõîäèìî ïðèâëå÷åíèå ñðåäñòâ, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè äåäóêòèâíûõ ðàññóæäåíèé.
14.1. Ñâîéñòâà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ: íåïðîòèâîðå÷èâîñòü è ïîëíîòó. Íàïîìíèì, ÷òî èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñîäåðæèò òîëüêî ëîãè÷åñêèå àêñèîìû è íå ñîäåðæèò ñîáñòâåííûõ àêñèîì.
244
Ãëàâà 14
Òåîðåìà 14.1. Âñÿêîå èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà íåïðîòèâîðå÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîé ïðîèçâîëüíîé ôîðìóëû A ââåäåì ïðåîáðàçîâàíèå h(A): â A îïóñêàþòñÿ âñå êâàíòîðû è òåðìû âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñêîáêàìè è çàïÿòûìè. Ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ h âñåãäà åñòü ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ôîðìà, â êîòîðîé ðîëü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ áóêâ èãðàþò ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû. Íàïðèìåð, h(¬∀x(P(x, y) → ∃yQ(y)) = ¬P → Q. Î÷åâèäíî, ÷òî h(¬A) = ¬h(A) è h(A → B) = h(A) → h(B). Ïðè ïðèìåíåíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ h(A) ê ñõåìàì àêñèîì À1 À3? òåîðèè Ê îíè íå èçìåíÿòñÿ. Ñõåìà àêñèîìû À4: ∀õÀ(õ) → À(y) ïðåîáðàçóåòñÿ â òàâòîëîãèþ À → À, à ñõåìà À5: ∀õ(À → Â(õ)) → (À → ∀õÂ(õ)) â òàâòîëîãèþ (À → Â) → (À → Â). Åñëè h(A) è h(A → B) òàâòîëîãèè, òî è h(B) òîæå òàâòîëîãèÿ, à åñëè h(A) òàâòîëîãèÿ, òî è h(∀õÀ(õ)) òàâòîëîãèÿ, òàê êàê ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ h ê A è ∀õÀ(õ) ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè À åñòü òåîðåìà òåîðèè Ê, òî h(A) åñòü òàâòîëîãèÿ. Åñëè áû ñóùåñòâîâàëà ôîðìóëà  â K òàêàÿ, ÷òî |Ê Â è |Ê ¬Â, òî îáà âûðàæåíèÿ h(B) è h(¬B) áûëè áû òàâòîëîãèÿìè, ÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, Ê íåïðîòèâîðå÷èâî. Òåîðåìà 14.2. Âî âñÿêîì èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà âñÿêàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Àêñèîìû, çàäàâàåìûå ñõåìàìè À1 À3, ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûìè ôîðìóëàìè, òàê êàê êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Ñõåìû àêñèîì À4, À5 ÿâëÿþòñÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìûìè â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ, ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ àêñèîìà, ïîðîæäåííàÿ ýòèìè ñõåìàìè, îáùåçíà÷èìà. Ïðàâèëà âûâîäà ÌÐ è Gen ñîõðàíÿþò ñâîéñòâî îáùåçíà÷èìîñòè, ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêàÿ òåîðåìà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìà. Òåîðåìà 14.2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèøü ïîëîâèíó òåîðåìû î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ: íåîáõîäèìî åùå äîêàçàòü îáðàòíóþ òåîðåìó î òîì, ÷òî âñÿêàÿ ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìàÿ ôîðìóëà òåîðèè ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà øäåëåì â 1930 ã. è èçâåñòíà êàê òåîðåìà î ïîëíîòå. Çäåñü ìû ïðèâåäåì åå áåç äîêàçàòåëüñòâà. Òåîðåìà 14.3. (Òåîðåìà øäåëÿ î ïîëíîòå). Âî âñÿêîì èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà òåîðåìàìè ÿâëÿåòñÿ òå è òîëüêî òå ôîðìóëû, êîòîðûå ëîãè÷åñêè îáùåçíà÷èìû. Äëÿ èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé òåîðåìà î ïîëíîòå òåîðèè L ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè: ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåíèÿ òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ ëþáîé ôîðìóëû èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ìîæíî ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ îíà òåîðåìîé èëè íåò. Îäíàêî äëÿ
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
245
òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà íåëüçÿ ïîëó÷èòü ðàçðåøàþùóþ ïðîöåäóðó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáùåçíà÷èìîñòè, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, äëÿ âûâîäèìîñòè ôîðìóëû èç ìíîæåñòâà ãèïîòåç. Ýòîò ðåçóëüòàò, à òàêæå íåêîòîðûå äðóãèå ðåçóëüòàòû, áóäóò ðàññìîòðåíû â ãëàâå 15.
14.2. Ôîðìàëüíàÿ àðèôìåòèêà 14.2.1. Ñèñòåìà àêñèîì Ïåàíî Èìåííî ñ àðèôìåòèêè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áûëè íà÷àòû ïîïûòêè ôîðìàëèçàöèè ìàòåìàòèêè. Ïåðâîå, ïîëóàêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ýòîé äèñöèïëèíû áûëî ïðåäëîæåíî Ïåàíî è óñîâåðøåíñòâîâàíî Äåäåêèíäîì â 1901 ã. Ýòó ñèñòåìó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. (Ð1) 0 åñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî. (Ð2) Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà x ñóùåñòâóåò äðóãîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ x′ è íàçûâàåòñÿ (íåïîñðåäñòâåííî) ñëåäóþùåå çà x. (Ð3) 0 ≠ x′ äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà x. (Ð4) Åñëè x′ = y′, òî x = y. (Ð5) Åñëè Q åñòü ñâîéñòâî, êîòîðûì îáëàäàþò îäíè è, ìîæåò áûòü, íå îáëàäàþò äðóãèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, è åñëè (I) íàòóðàëüíîå ÷èñëî 0 îáëàäàåò ñâîéñòâîì Q è (II) äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà x èç òîãî, ÷òî x îáëàäàåò ñâîéñòâîì Q, ñëåäóåò, ÷òî è íàòóðàëüíîå ÷èñëî x′ îáëàäàåò ñâîéñòâîì Q, òî ñâîéñòâîì Q îáëàäàþò âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà (ïðèíöèï èíäóêöèè). Ýòèõ àêñèîì, âìåñòå ñ íåêîòîðûì ôðàãìåíòîì òåîðèè ìíîæåñòâ, äîñòàòî÷íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ íå òîëüêî àðèôìåòèêè, íî è òåîðèè ðàöèîíàëüíûõ, âåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó ìîæíî ïîñòðîèòü òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà S, îñíîâàííóþ íà ñèñòåìå àêñèîì Ïåàíî, êîòîðàÿ äîñòàòî÷íà äëÿ âûâîäà âñåõ îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ýëåìåíòàðíîé àðèôìåòèêè. 14.2.2. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ S Îïðåäåëåíèå 14.1. Òåîðèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà S èìååò åäèíñòâåííóþ ïðåäèêàòíóþ áóêâó A12: t = s, åäèíñòâåííóþ ïðåäìåòíóþ êîíñòàíòó a1 = 0 è òðè ôóíêöèîíàëüíûå áóêâû f11(t): t′, f12(t, s): t + s, f22(t, s): t⋅s, ãäå t è s - òåðìû. Ñîáñòâåííûå àêñèîìû òåîðèè S: S1. x1 = x2 → (x1 = x3 → x2 = x3); S2. x1 = x2 → x1' = x2'; S3. 0 ≠ x1′; S4. x1' = x2' → x1 = x2; S5. x1 + 0 = x1;
246
Ãëàâà 14
S6. x1 + x2' = (x1 + x2)′; S7. x1⋅0 = 0; S8. (x1⋅x2') = (x1⋅x2) + x1; S9. A(0) → (∀x(A(x) → A(x′)) → ∀xA(x)), ãäå A(x) ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà òåîðèè S. Àêñèîìû S1 S8 ÿâëÿþòñÿ êîíêðåòíûìè ôîðìóëàìè, â òî âðåìÿ, êàê S9 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñõåìó àêñèîì, ïîðîæäàþùóþ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî àêñèîì. Ïðè ýòîì ñõåìà àêñèîì S9, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, íå ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîñòüþ àêñèîìå (Ð5) ñèñòåìû àêñèîì Ïåàíî, ïîñêîëüêó â (Ð5) ñâîéñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå îïðåäåëÿþòñÿ êîíñòðóêòèâíî, à â S îíè îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè òåîðèè. Ñ ïîìîùüþ MP èç ñõåìû àêñèîì S9 ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ïðàâèëî èíäóêöèè: A(0), ∀x(A(x) → A(x′) | ∀xA(x). Èíòåðïðåòàöèÿ òåîðèè S, â êîòîðîé: (a) ìíîæåñòâî âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ñëóæèò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, (b) öåëîå ÷èñëî 0 èíòåðïðåòèðóåò ñèìâîë 0, (c) îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ïîñëåäóþùåãî (ïðèáàâëåíèå åäèíèöû) èíòåðïðåòèðóåò ôóíêöèþ ′ (ò.å. ôóíêöèîíàëüíóþ áóêâó f11(t)), (d) îáû÷íûå ñëîæåíèå è óìíîæåíèå èíòåðïðåòèðóþò ôóíêöèè + è ⋅, (e) ïðåäèêàòíàÿ áóêâà A12 èíòåðïðåòèðóåòñÿ îòíîøåíèåì òîæäåñòâà =, íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ òåîðèè S.
14.3. Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå è ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè 14.3.1. Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 14.2. Àðèôìåòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè íàçûâàþòñÿ ôóíêöèè, ó êîòîðûõ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñîñòîÿò èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, à àðèôìåòè÷åñêèì îòíîøåíèåì íàçûâàþòñÿ îòíîøåíèÿ, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Òàê, íàïðèìåð, óìíîæåíèå åñòü àðèôìåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ äâóìÿ àðãóìåíòàìè, à âûðàæåíèå x + y < z îïðåäåëÿåò àðèôìåòè÷åñêîå îòíîøåíèå ñ òðåìÿ àðãóìåíòàìè. Îïðåäåëåíèå 14.3. (1). Ñëåäóþùèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ èñõîäíûìè ôóíêöèÿìè. (I) Íóëü-ôóíêöèÿ: Z(x) = 0 äëÿ êàæäîãî x.
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
247
(II) Ïðèáàâëåíèå åäèíèöû (ñëåäóþùèé çà): N(x) = x + 1 äëÿ êàæäîãî x. (III) Ïðîåêòèðóþùèå ôóíêöèè: Uin(x1, ..., xn) = xi ïðè âñåõ x1,..., xn (i = 1,..., n; n = 1, 2,...). (2). Ñëåäóþùèå äâà ïðàâèëà: ïîäñòàíîâêà è ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèÿ, ñëóæàò äëÿ ïîëó÷åíèÿ íîâûõ ôóíêöèé, èñõîäÿ èç óæå èìåþùèõñÿ. (IV) Ïîäñòàíîâêà. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè èç ôóíêöèé g(y1,..., ym), h1(x1,..., xn),
, hm(x1,..., xn), åñëè f(x1,..., xn) = g(h1(x1,..., xn),..., hm(x1,..., xn)). (V) Ñõåìà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Ôóíêöèÿ f ïîëó÷åíà èç ôóíêöèé g è h ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèè, åñëè f(x1,..., xn, 0) = g(x1,..., xn), f(x1,..., xn, y + 1) = h(x1,..., xn, y, f(x1,..., xn, y)). Ïðè ýòîì èñêëþ÷àåòñÿ ñëó÷àé n = 0, äëÿ êîòîðîãî îòäåëüíî: f(0) = k (ãäå k ôèêñèðîâàííîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî), f(y + 1) = h(y, f(y)). Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f âïîëíå îïðåäåëåíà: çíà÷åíèå f(x1,..., xn, 0) îïðåäåëÿåòñÿ èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà, à åñëè ìû óæå çíàåì çíà÷åíèå f(x1,..., xn, y), òî èç âòîðîãî ðàâåíñòâà ìû ìîæåì íàéòè çíà÷åíèå f(x1,..., xn, y + 1). (3). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç èñõîäíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîäñòàíîâîê (IV) è ðåêóðñèé (V), ò.å. åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé f1,..., fn, ÷òî fn = f è äëÿ êàæäîãî i, 0 ≤ i ≤ n, ôóíêöèÿ fi ëèáî èñõîäíàÿ, ëèáî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç íåêîòîðûõ ïðåäøåñòâóþùèõ åé â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà (IV) (ïîäñòàíîâêè) èëè ïðàâèëà (V) (ðåêóðñèè). Òåîðåìà 14.4. Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè. (a) x + y (ñëîæåíèå). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïðàâèëó ðåêóðñèè (V): x + 0 = x, ò.å. f(x, 0) = U11(x) = x. x + (y + 1) = N(x + y), ò.å. f(x, y + 1) = N(f(x, y)). (b) x ⋅ y (óìíîæåíèå). Äîêàçàòåëüñòâî. x ⋅ 0 = 0, ò.å. g(x, 0) = Z(x). x ⋅ (y + 1) = (x ⋅ y) + x, ò.å. g(x, y + 1) = f(x, g(x, y)), ãäå f åñòü ôóíêöèÿ ñëîæåíèÿ.
248
Ãëàâà 14
(c) xy (âîçâåäåíèå â ñòåïåíü). Äîêàçàòåëüñòâî. x0 = 1, xy+1 = (xy) ⋅ x. (d) δ(x) = x 1, åñëè x > 0, è δ(x) = 0, åñëè õ = 0 (âû÷èòàíèå åäèíèöû). Äîêàçàòåëüñòâî. δ(0) = 0, δ(y + 1) = y. (e) x ÷ y = x y, åñëè x ≥ y, è x ÷ y = 0, åñëè x < y (îãðàíè÷åííàÿ ðàçíîñòü). Äîêàçàòåëüñòâî. x ÷ 0 = x, x ÷ (y + 1) = δ(x ÷ y). (f) |x y| = x y, åñëè x ≥ y, |x y| = y x, åñëè x < y (ìîäóëü ðàçíîñòè). Äîêàçàòåëüñòâî. |x y| = (x ÷ y) + (y ÷ x) (ïîäñòàíîâêà). (g) sg(x) = 0, åñëè x = 0, sg(x) = 1, åñëè x ≠ 0 (ñèãíóì x). Äîêàçàòåëüñòâî. sg(0) = 0, sg(y + 1) = 1. (h) unsg(x) = 1, åñëè x = 0, unsg(x) = 0, åñëè x ≠ 0; Äîêàçàòåëüñòâî. unsg(x) = 1 ÷ sg(x). (i) x! (ôàêòîðèàë x). Äîêàçàòåëüñòâî. 0! = 1, (y + 1)! = (y!) ⋅ (y + 1). (j) min(x, y) = íàèìåíüøåìó èç ÷èñåë x è y; Äîêàçàòåëüñòâî. min(x, y) = x ÷ (x ÷ y). (k) min(x1,..., xn). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ min(x1,..., xn) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ. Äëÿ min(x1,..., xn+1) èìååì min(x1,..., xn+1) = min(min(x1,..., xn), xn+1). (l) max(x, y) = íàèáîëüøåìó èç ÷èñåë x è y. Äîêàçàòåëüñòâî. max(x, y) = y + (x ÷ y). (m) max(x1,..., xn); Äîêàçàòåëüñòâî. max(x1,..., xn+1) = max(max(x1,..., xn), xn+1). (n) rm(x, y) = îñòàòêó îò äåëåíèÿ y íà x, åñëè x ≠ 0, è y, åñëè x = 0.
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
249
Äîêàçàòåëüñòâî. rm(x, 0) = 0, rm(x, y + 1) = N(rm(x, y)) ⋅ sg(|x N(rm(x, y))|). (o) qt(x, y) = ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ y íà x. Äîêàçàòåëüñòâî. qt(x, 0) = 0, qt(x, y + 1) = qt(x, y) + unsg(|x N(rm(x, y))|). Îïðåäåëåíèÿ (îãðàíè÷åííûõ ñóìì è ïðîèçâåäåíèé). 14.4. ∑y 0. 14.5. ∑y ≤ z f(x1,
, xn, y) = ∑y 0. 14.7. ∏y ≤ z f(x1,
, xn, y) = ∏y, ≥. Âîîáùå, äëÿ âñÿêîãî îòíîøåíèÿ R(x1, ..., xn, y) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç µyR(x1,..., xn, y) òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå y, ïðè êîòîðîì R(x1,..., xn, y) èñòèííî, åñëè âîîáùå òàêèå çíà÷åíèÿ ñóùåñòâóþò. (4). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ðåêóðñèâíîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç èñõîäíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðèìåíåíèé ïîäñòàíîâêè (IV), ðåêóðñèè (V) è µ-îïåðàòîðà (VI). Ýòî ïîñëåäíåå îïðåäåëåíèå îòëè÷àåòñÿ îò îïðåäåëåíèÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè ëèøü äîïîëíèòåëüíûì ðàçðåøåíèåì ïðèìåíÿòü µ-îïåðàòîð. Ïîýòîìó âñÿêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ
250
Ãëàâà 14
ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðåêóðñèâíîé ôóíêöèåé. Îáðàòíîå, âïðî÷åì, íå âñåãäà âåðíî. ( ëèòåðàòóðå âìåñòî òåðìèíà «ðåêóðñèâíûé» èíîãäà óïîòðåáëÿåòñÿ òåðìèí «÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûé».) Îïðåäåëåíèå 14.8. Îãðàíè÷åííûé µ-îïåðàòîð îïðåäåëèì òàê: µyy 1. 2. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ y = [z/x] (÷àñòíîå îò äåëåíèÿ z íà x) êàê ôóíêöèþ, îáðàòíóþ óìíîæåíèþ: z = y ⋅ x. Òîãäà y = µyy ≤ z (| y ⋅ x z| = 0), ò.å. ýòî áóäåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå y, ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ |y ⋅ x z| = 0. Ôóíêöèÿ íå ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà, òàê êàê íå êàæäûå äâà ÷èñëà äåëÿòñÿ äðóã íà äðóãà áåç îñòàòêà. 3. Ôóíêöèÿ y= [√x] (öåëàÿ ÷àñòü √x) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ îãðàíè÷åííîãî µ-îïåðàòîðà êàê y = µyy ≤ x (y2 = x). Ýòà ôóíêöèÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî îïðåäåëåííîé.
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
251
Òåîðåìà 14.5. Åñëè f ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ (èëè ðåêóðñèâíàÿ) ôóíêöèÿ, òî îãðàíè÷åííûå ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ òàêæå ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè (èëè ðåêóðñèâíûìè) ôóíêöèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g(x1,
, xn, z) = ∑y
Îïðåäåëåíèå 14.10. Îòíîøåíèå R(x1,..., xn) íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûì (ðåêóðñèâíûì) îòíîøåíèåì, åñëè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé (ñîîòâåòñòâåííî ðåêóðñèâíîé) ÿâëÿåòñÿ åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ CR(x1,..., xn). Ïîñêîëüêó êàæäîìó îòíîøåíèþ ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïðåäèêàò, ýòî îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå îïðåäåëåíèåì ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîãî (ðåêóðñèâíîãî) ïðåäèêàòà. Ïðèìåðû. 1. Îòíîøåíèå x1 = x2 ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî, òàê êàê åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé sg(|x1 x2|), êîòîðàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà, â ñèëó ïðåäëîæåíèé (f), (g) òåîðåìû 14.4. 2. Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ unsg(x2 ÷ x1) ñëóæèò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé îòíîøåíèÿ x1 < x2, êîòîðîå, òàêèì îáðàçîì, ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî. 3. Îòíîøåíèå x1|x2 (x1 äåëèòñÿ íà x2 áåç îñòàòêà) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî, òàê êàê åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ sg(rm(x1, x2)). 4. Îòíîøåíèå Pr(x), ò.å. «x åñòü ïðîñòîå ÷èñëî», ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî, òàê êàê CPr(x) = sg((D(x) ÷ 2) + unsg(|x 1| + unsg(|x 0|)), ãäå ôóíêöèÿ D(x) ðàâíà 1, åñëè x = 0, è ÷èñëó äåëèòåëåé x, åñëè
252
Ãëàâà 14
x > 0. Ôóíêöèÿ D(x) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà, òàê êàê D(x) = = ∑y<xunsg(rm(y, x)). Òåîðåìà 14.6. Îòíîøåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ (èëè ðåêóðñèâíûõ) ñ ïîìîùüþ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê è îãðàíè÷åííûõ êâàíòîðîâ, òàêæå ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû (ñîîòâåòñòâåííî, ðåêóðñèâíû); ïðèìåíåíèå îãðàíè÷åííûõ µ-îïåðàòîðîâ µyy
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
253
Îïðåäåëåíèå 14.11. Àðèôìåòè÷åñêîå îòíîøåíèå R(x1,..., xn) íàçûâàåòñÿ âûðàçèìûì â òåîðèè S, åñëè ñóùåñòâóåò ôîðìóëà A(x1,..., xn) òåîðèè S ñ n ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k1,..., kn: (1) åñëè R(k1,..., kn) èñòèííî, òî |S A(k1,..., kn), (2) åñëè R(k1,..., kn) ëîæíî, òî |S ¬A(k1,..., kn). Òàê, íàïðèìåð, îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ìåæäó íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè âûðàçèìî â S ôîðìóëîé x1 = x2.  ñàìîì äåëå, åñëè k1 = k2, òî òåðìû k1 è k2 ñîâïàäàþò, è òîãäà |S k1 = k2. Àíàëîãè÷íî, åñëè k1 ≠ k2, òî |S k1 ≠ k2.  ñâîþ î÷åðåäü, ôîðìóëîé x1 < x2 âûðàçèìî â S îòíîøåíèå «ìåíüøå». Åñëè k1 < k2, òî ñóùåñòâóåò îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî n, òàêîå ÷òî k2 = k1 + n, è òîãäà |S k2 = k1 + n, à â ñèëó (S3) è n ≠ 0, |S n ≠ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â S ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó ∃ω(k2 = k1 + ω & ω ≠ 0), ò.å. k1 < k2. Åñëè æå ¬(k1 < k2), òî k1 = k2 èëè k2 < k1, ïðè÷åì â ýòîì ïîñëåäíåì ñëó÷àå, òàê æå, êàê è äëÿ ñëó÷àÿ k1 < k2, äîêàçûâàåòñÿ |S k2 < k1. Íàêîíåö, åñëè k1 = k2, òî |S k1 = k2. Èòàê, â îáîèõ ñëó÷àÿõ |S k2 ≤ k1 è òîãäà, |S ¬(k1 < k2). Áóäåì îáîçíà÷àòü ∃ 1 xA(x) âûñêàçûâàíèå: «ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå x, òàêîå, ÷òî A(x) èñòèííî». Îïðåäåëåíèå 14.12. Àðèôìåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f(x1,..., xn) íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâèìîé â S, åñëè ñóùåñòâóåò ôîðìóëà A(x1,..., xn+1) òåîðèè S ñî ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x1,..., xn+1 òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k1,..., kn+1: (1) åñëè f(k1,..., kn) = kn+1, òî |S A(k1,..., kn, kn+1), (2) |S ∃1xn+1A(k1,..., kn, xn+1). Åñëè â ýòîì îïðåäåëåíèè óñëîâèå (2) çàìåíèòü óñëîâèåì (2′) |S ∃1xn+1A(x1,..., xn, xn+1), òî ìû ïîëó÷èì îïðåäåëåíèå ñèëüíî ïðåäñòàâèìîé â S ôóíêöèè. Çàìåòèì, ÷òî, â ñèëó ïðàâèë Gen è A4 èç (2′), ñëåäóåò (2). Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêàÿ ñèëüíî ïðåäñòàâèìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïðåäñòàâèìîé ôóíêöèåé. Ïðèìåðû. 1. Íóëü-ôóíêöèÿ Z(x) = 0 ñèëüíî ïðåäñòàâèìà â S ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû x1 = x1 & x2 = 0.  ñàìîì äåëå, åñëè Z(k1) = k2, òî k2 = 0 è |k1 = k1 & 0 = 0 ò. å. âûïîëíåí ïóíêò (1) îïðåäåëåíèÿ ñèëüíî ïðåäñòàâèìîé ôóíêöèè. Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî | ∃1x2(x1 = x1 & x2 = 0), ò. å. âûïîëíåí è ïóíêò (2′) ýòîãî îïðåäåëåíèÿ. 2. Ôóíêöèÿ N(x) = x + 1 ñèëüíî ïðåäñòàâèìà â S ôîðìóëîé x2 = x1′. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ëþáîì k1 èç N(k1) = k2, ò.å. èç k2 = k1 + 1, ñëåäóåò, ÷òî òåðìû k2 è (k1)′ ñîâïàäàþò è ïîòîìó | k2 = (k1)′. Êðîìå òîãî, | ∃1x2(x2 = x1′).
254
Ãëàâà 14
3. Ïðîåêòèðóþùàÿ ôóíêöèÿ Uin(x1,..., xn) = xi ñèëüíî ïðåäñòàâèìà â S ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû x1 = x1 & ... & xn = xn & xn+1 = xi. Åñëè U i n (k 1 ,..., k n ) = k n+1 , òî k n+1 = k i è k n+1 = k i . Ñëåäîâàòåëüíî, | k1 = k1 &
& kn = kn & kn+1 = ki, è óñëîâèå (1) âûïîëíåíî. Êðîìå òîãî, | ∃1xn+1(x1 = x1 & ... & xn = xn & xn+1 = xi), ò.å. âûïîëíåíî è óñëîâèå (2′) îïðåäåëåíèÿ ñèëüíî ïðåäñòàâèìîé â S ôóíêöèè. 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè g(x1,..., xm), h(x1,..., xn),..., hm(x1,..., xn) (ñèëüíî) ïðåäñòàâèìû â S ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëàìè B(x1,..., xm, xm+1), A1(x1,..., xn+1),..., Am(x1,..., xn+1). Çàäàäèì íîâóþ ôóíêöèþ f ðàâåíñòâîì f(x1,..., xn) = g(h1(x1,..., xn),..., hm(x1,..., xn)), ò.å. ôóíêöèÿ f ïîëó÷åíà èç g, h1,..., hm ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè. Ôóíêöèÿ f òàêæå (ñèëüíî) ïðåäñòàâèìà â S, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ∃y1 ... ∃ym(A1(x1,..., xn, y1) & ... & Am(x1,..., xn, ym) & B(y1,..., ym, xn+1)). Òåîðåìà 14.7. Åñëè îòíîøåíèå R(x1,..., xn) âûðàçèìî â S, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ CR(x1,..., xn) ýòîãî îòíîøåíèÿ ñèëüíî ïðåäñòàâèìà â S, à åñëè ôóíêöèÿ CR(x1,..., xn) ïðåäñòàâèìà â S, òî â S âûðàçèìî è îòíîøåíèå R(x1,..., xn). Äîêàçàòåëüñòâî. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ïðîâåðèòü, ÷òî: 1) åñëè îòíîøåíèå R(x1,..., xn) âûðàçèìî â S ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû A(x1,..., xn), òî ôóíêöèÿ CR(x1,..., xn) ñèëüíî ïðåäñòàâèìà â S ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (A(x1,..., xn) & xn+1 = 0) ∨ (¬A(x1,..., xn) & xn+1 = 1), è 2) åñëè ôóíêöèÿ CR(x1,..., xn) ïðåäñòàâèìà â S ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû B(x1,..., xn, xn+1), òî îòíîøåíèå R(x1,..., xn) âûðàçèìî â S ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû B(x1,..., xn, 0). Òåîðåìà 14.8. Âñÿêàÿ ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â S. Äîêàçàòåëüñòâî. Èñõîäíûå ôóíêöèè Z, N, Uin ïðåäñòàâèìû â S, ñîãëàñíî ïðèìåðàì 13.  ñèëó ïðèìåðà 4, ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè (IV) íå âûâîäèò çà ïðåäåëû êëàññà ïðåäñòàâèìûõ ôóíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ïðàâèëà ðåêóðñèè è µ-îïåðàòîðà ñì. [Ìåíäåëüñîí Ý., ñòð. 147150]. Ñëåäñòâèå. Âñÿêîå ðåêóðñèâíîå îòíîøåíèå âûðàçèìî â S. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R(x1,
, xn) ðåêóðñèâíûé ïðåäèêàò. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ CR ýòîãî ïðåäèêàòà ðåêóðñèâíà.  ñèëó òåîðåìû 14.8, ôóíêöèÿ CR ïðåäñòàâèìà â S è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû 14.7, ïðåäèêàò R âûðàçèì â S. Òåîðåìà 14.9. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f(x1,..., xn, z), ïðåäñòàâèìàÿ â S, ðåêóðñèâíà.
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
255
Òåîðåìà 14.9 âìåñòå ñ òåîðåìîé 14.8 ïîêàçûâàåò, ÷òî êëàññ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ôóíêöèé, ïðåäñòàâèìûõ â S. Ñëåäñòâèå. Âñÿêèé çàäàííûé íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïðåäèêàò R(x1,..., xn) ðåêóðñèâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí âûðàçèì â òåîðèè S. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ïðåäèêàò R(x1,..., xn) ðåêóðñèâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðåêóðñèâíà ôóíêöèÿ CR. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðåäèêàò R âûðàçèì â S òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ CR ïðåäñòàâèìà â S (òåîðåìà 14.7).
14.4. øäåëåâà íóìåðàöèÿ øäåëü ïðåäëîæèë ñïîñîá êîäèðîâàíèÿ ñèìâîëîâ è âûðàæåíèé ëþáîé ôîðìàëüíîé òåîðèè òàê, ÷òî êàæäîìó ñèìâîëó, âûðàæåíèþ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûðàæåíèé îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ýòî ñïîñîá êîäèðîâàíèÿ ïîëó÷èë íàçâàíèå «ã¸äåëåâîé íóìåðàöèè». Ðàññìîòðèì åãî. Êàæäîìó ñèìâîëó u ïðîèçâîëüíîé òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà K ñëåäóþùèì îáðàçîì ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî g(u), íàçûâàåìîå ã¸äåëåâûì íîìåðîì ñèìâîëà u: g(( ) = 3; g( )) = 5; g(,) = 7; g(¬) = 9; g(→) = 11; g(xk) = 5 + 8k äëÿ k = 1, 2, ...; g(ak) = 7 + 8k äëÿ k = 1, 2, ...; g(fkn) = 9 + 8(2n3k) äëÿ k, n ≥ 1; g(Akn) = 11 + 8(2n3k) äëÿ k, n ≥ 1; ïðè ýòîì ïîëîæèì g(∀xi) = g((xi)). Òàêèì îáðàçîì, ðàçëè÷íûì ñèìâîëàì ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå ðàçëè÷íûå ã¸äåëåâû íîìåðà, ÿâëÿþùèåñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Íàïðèìåð, g(x2) = 21, g(a4) = 39, g(f12) = 105, g(A21) = 155. Ïóñòü äàíî âûðàæåíèå u0u1 ... ur, ïðåäñòàâëÿþùåå, íàïðèìåð, ôîðìóëó òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. øäåëåâ íîìåð g(u0u1 ... ur) ýòîãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëèì êàê 2g(u0)3 g(u1) ... prg(ur), ãäå p i åñòü i-å ïðîñòîå ÷èñëî è p 0 = 2. Íàïðèìåð, g(A 1 → (A 2 → A 1 )) = = 2 g(A1) 3 g(→) 5 g(() 7 g(A2) 11 g(→) 13 g(A1) 17 g()) . Çàìåòèì, ÷òî, â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â ïðîèçâåäåíèÿ ñòåïåíåé ïðîñòûõ ÷èñåë, ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ ïîëó÷àþò ïðè ýòîì ðàçíûå ã¸äåëåâû íîìåðà. Êðîìå òîãî, ã¸äåëåâû íîìåðà âûðàæåíèé
256
Ãëàâà 14
÷åòíû è ïîòîìó îòëè÷íû îò ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ ñèìâîëîâ. (Âñÿêèé ñèìâîë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âûðàæåíèå, è òîãäà îí ñíàáæàåòñÿ ã¸äåëåâûì íîìåðîì, îòëè÷íûì îò òîãî, êîòîðûé ñòàâèòñÿ åìó â ñîîòâåòñòâèå êàê ñèìâîëó. Ýòî íå äîëæíî, îäíàêî, ïðèâîäèòü ê íåäîðàçóìåíèþ.) Íàêîíåö, ã¸äåëåâ íîìåð ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè e0,
, er âûðàæåíèé (íàïðèìåð, âûâîäà ôîðìóëû er â òåîðèè Ê) îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: g(e0,
, er) = 2g(e0)
3g(e1)
prg(er). Êàê è ïðåæäå, ðàçëè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûðàæåíèé èìåþò ðàçëè÷íûå ã¸äåëåâû íîìåðà, à òàê êàê ýòè ïîñëåäíèå ÷åòíû è, êðîìå òîãî, èìåþò ÷åòíûé ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè 2, òî îíè îòëè÷íû è îò ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ ñèìâîëîâ, è îò ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ âûðàæåíèé. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ g âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî âñåõ ñèìâîëîâ, âûðàæåíèé è êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âûðàæåíèé â ìíîæåñòâî öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè g íå ñîâïàäàåò, îäíàêî, ñ ìíîæåñòâîì âñåõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, òàê êàê íå âñå ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ ãåäåëåâûìè íîìåðàìè, íàïðèìåð, ÷èñëî 12 íå ÿâëÿåòñÿ ã¸äåëåâûì íîìåðîì. Òàêàÿ íóìåðàöèÿ ñèìâîëîâ, âûðàæåíèé è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âûðàæåíèé áûëà ïðåäëîæåíà øäåëåì â 1931 ã. ñ öåëüþ àðèôìåòèçàöèè ìàòåìàòèêè, ò.å. ñ öåëüþ çàìåíû óòâåðæäåíèé î ôîðìàëüíîé ñèñòåìå ýêâèâàëåíòíûìè âûñêàçûâàíèÿìè î íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ ñ ïîñëåäóþùèì âûðàæåíèåì ýòèõ âûñêàçûâàíèé â ôîðìàëüíîé ñèñòåìå. Ïîñêîëüêó êàæäîìó âûðàæåíèþ èñ÷èñëåíèÿ ïðèïèñàí ã¸äåëåâ íîìåð, òî êàæäîå ìåòàìàòåìàòè÷åñêîå âûñêàçûâàíèå î âûðàæåíèÿõ èñ÷èñëåíèÿ è îòíîøåíèÿõ ìåæäó íèìè ìîæíî âûðàçèòü êàê âûñêàçûâàíèå î ñîîòâåòñòâóþùèõ ãåäåëåâûõ íîìåðàõ è îòíîøåíèÿõ ìåæäó íèìè. Òàêèì îáðàçîì ìåòàìàòåìàòèêà îêàçûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ «àðèôìåòèçèðîâàííîé», è ÿçûê àðèôìåòèêè ñòàíîâèòñÿ ÿçûêîì ìåòàìàòåìàòèêè. Èçó÷åíèå ìåòàìàòåìàòè÷åñêèõ âîïðîñîâ ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ñîîòíîøåíèé è ñâîéñòâ íåêîòîðûõ ÷èñåë.
14.5. Òåîðåìà øäåëÿ î íåïîëíîòå Äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà çíàìåíèòîé òåîðåìû øäåëÿ äîâîëüíî ñëîæíû, ïîýòîìó ìû îïóñòèì äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ ïðåäâàðèòåëüíûõ óòâåðæäåíèé. (Ñ ïîëíûì äîêàçàòåëüñòâîì ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â [Ìåíäåëüñîí, 1976]). Ïóñòü äëÿ äàííîé òåîðèè ïåðâîãî ïîðÿäêà K ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû (ðåêóðñèâíû): (à) IC(x), ÷òî îçíà÷àåò «x åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ïðåäìåòíîé êîíñòàíòû òåîðèè K», (b) FL(x), ÷òî îçíà÷àåò «x åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ôóíêöèîíàëüíîé áóêâû òåîðèè K»,
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
257
(c) PL(x), ÷òî îçíà÷àåò «x åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ïðåäèêàòíîé áóêâû òåîðèè K». Òîãäà, íà îñíîâå ýòèõ îòíîøåíèé ìîæíî îïðåäåëèòü íîâûå îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè, òàê ÷òî ýòè îòíîøåíèÿ áóäóò îïðåäåëÿòü âûñêàçûâàíèÿ îòíîñèòåëüíî âûðàæåíèé è îïåðàöèé ôîðìàëüíîé òåîðèè S, ïðè÷åì ýòè îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè òàêæå áóäóò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû (ðåêóðñèâíû). Çäåñü ìû ðàññìîòðèì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) òîëüêî îäíî îòíîøåíèå, êîòîðîå, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûì: W(u, y): «u åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ôîðìóëû A(x1), ñîäåðæàùåé ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ x1, è ó åñòü ã¸äåëåâ íîìåð âûâîäà â S ôîðìóëû A(u)». Ââåäåì åùå äîïîëíèòåëüíîå ïîíÿòèå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ôîðìàëüíîé òåîðèè. Îïðåäåëåíèå 14.13. Ïóñòü K òåîðèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ òåìè æå ñàìûìè ñèìâîëàìè, ÷òî è S. Òåîðèÿ K íàçûâàåòñÿ ω-íåïðîòèâîðå÷èâîé, åñëè äëÿ âñÿêîé ôîðìóëû A(x) ýòîé òåîðèè èç òîãî, ÷òî ïðè ëþáîì n |K A(n), ñëåäóåò íåâîçìîæíîñòü |K ∃x¬A(x). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ïðèíÿòü ñòàíäàðòíóþ èíòåðïðåòàöèþ òåîðèè S â êà÷åñòâå ìîäåëè ýòîé òåîðèè, òî òîãäà òåîðèþ S ñëåäóåò ïðèçíàòü ω-íåïðîòèâîðå÷èâîé. Òåîðåìà 14.10. Åñëè òåîðèÿ K ω-íåïðîòèâîðå÷èâà, òî îíà íåïðîòèâîðå÷èâà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òåîðèÿ K ω-íåïðîòèâîðå÷èâà. Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü âûâîäèìóþ â K ôîðìóëó A(x) ñî ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé, íàïðèìåð x = x → x = x. Ïðè ëþáîì n èìååì |Kn = n → n = n. Ïîýòîìó ôîðìóëà ∃x¬(x = x → x = x) íåâûâîäèìà â K. Ñëåäîâàòåëüíî, òåîðèÿ K íåïðîòèâîðå÷èâà (èáî, â ñèëó òàâòîëîãèè ¬A → (A → B), èç ïðîòèâîðå÷èâîñòè K ñëåäîâàëà áû âûâîäèìîñòü â K ëþáîé ôîðìóëû). Ïåðåéäåì ê ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû øäåëÿ. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå W(u, y). Îòíîøåíèå W(u, y) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî è ïîòîìó âûðàçèìî â S íåêîòîðîé ôîðìóëîé W(x1, x2) ñ äâóìÿ ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x1, x2. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè W(k1, k2) èñòèííî, òî |SW(k1, k2), è åñëè W(k1, k2) ëîæíî, òî |S ¬W(k1, k2). Ðàññìîòðèì òåïåðü ôîðìóëó ∀x2¬W(x1, x2). (*) Ýòî ôîðìóëà ñ îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x1. Ïóñòü m åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ôîðìóëû (*). Ïîäñòàâèâ â (*) m âìåñòî ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x1, ìû ïîëó÷èì çàìêíóòóþ ôîðìóëó ∀x2¬W (m, x2). (G)
258
Ãëàâà 14
Âñïîìíèì, ÷òî óòâåðæäåíèå W(u, y) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà u åñòü ã¸äåëåâ íîìåð íåêîòîðîé ôîðìóëû A(x1), ñîäåðæàùåé ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ x1, à y åñòü ã¸äåëåâ íîìåð âûâîäà â S ôîðìóëû A(u). Ñëåäîâàòåëüíî, (I) W(m, x2) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x2 åñòü ã¸äåëåâ íîìåð âûâîäà â S ôîðìóëû G. Òåîðåìà 14.11. (Òåîðåìà øäåëÿ äëÿ òåîðèè S). (1) Åñëè òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ôîðìóëà G íåâûâîäèìà â S. (2) Åñëè òåîðèÿ S ω-íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ôîðìóëà ¬G íåâûâîäèìà â S. (Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó òåîðåìû 14.10, åñëè òåîðèÿ S ω-íåïðîòèâîðå÷èâà, òî çàìêíóòàÿ ôîðìóëà G íåâûâîäèìà è íåîïðîâåðæèìà â S. Çàìêíóòûå ôîðìóëû, îáëàäàþùèå òàêèì ñâîéñòâîì, íàçûâàþòñÿ íåðàçðåøèìûìè ïðåäëîæåíèÿìè òåîðèè S.) Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà è |S ∀x2¬W(m, x2). Ïóñòü òîãäà k ã¸äåëåâ íîìåð êàêîãî-íèáóäü âûâîäà â S ýòîé ïîñëåäíåé ôîðìóëû.  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ (I), ñïðàâåäëèâî W(m, k). Òàê êàê W âûðàæàåò W â S, òî |SW(m, k). Èç ∀x2¬W(m, x2) ïî ïðàâèëó A4 (óíèâåðñàëüíîé êîíêðåòèçàöèè) ìû ìîæåì âûâåñòè ¬W(m, k). Òàêèì îáðàçîì, â S îêàçûâàþòñÿ âûâîäèìûìè ôîðìóëû W(m, k) è ¬W(m, k), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè S. (2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðèÿ S ω-íåïðîòèâîðå÷èâà è |S ¬∀x2¬W(m, x 2), ò.å. |S ¬G. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 14.10, çàêëþ÷àåì, ÷òî òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå |S G. Ïîýòîìó, êàêîâî áû íè áûëî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, n íå åñòü ã¸äåëåâ íîìåð âûâîäà â S ôîðìóëû G, ò.å. W(m, n) ëîæíî äëÿ ëþáîãî n. À ýòî çíà÷èò, ÷òî |S¬W(m, n) äëÿ ëþáîãî n. Âçÿâ â êà÷åñòâå ôîðìóëû A(x2) ôîðìóëó ¬W(m, x2), ìû, íà îñíîâàíèè ïðåäïîëîæåíèÿ îá ω-íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òåîðèè S, çàêëþ÷àåì, ÷òî íå |S ∃x2¬¬W(m, x2) è, ñëåäîâàòåëüíî, íå |S ∃x2W(m, x2). Ìû ïðèøëè, òàêèì îáðàçîì, ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî |S ∃x2W(m, x2). Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíóþ èíòåðïðåòàöèþ íåðàçðåøèìîãî ïðåäëîæåíèÿ G: ∀x2¬W(m, x2). Òàê êàê W âûðàæàåò â S îòíîøåíèå W, òî, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèåé, G óòâåðæäàåò, ÷òî W(m, x2) ëîæíî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà x2. Ñîãëàñíî (I), ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò âûâîäà ôîðìóëû G â S. Äðóãèìè ñëîâàìè, ôîðìóëà G óòâåðæäàåò ñâîþ ñîáñòâåííóþ íåâûâîäèìîñòü â S. Ïî òåîðåìå æå øäåëÿ, åñëè òîëüêî òåîðèÿ S
Ñâîéñòâà òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
259
íåïðîòèâîðå÷èâà, ýòà ôîðìóëà è â ñàìîì äåëå íåâûâîäèìà â S è ïîòîìó èñòèííà ïðè ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèè. Èòàê, äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèõ îáû÷íîé èíòåðïðåòàöèè, ôîðìóëà G âåðíà, íî â S íåâûâîäèìà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñîäåðæàòåëüíîé àðèôìåòèêå (â ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèè òåîðèè S) ñóùåñòâóåò èñòèííîå óòâåðæäåíèå, êîòîðîìó, îäíàêî, íå ñîîòâåòñòâóåò íèêàêàÿ òåîðåìà òåîðèè S. Òàêèì îáðàçîì, òåîðèÿ S íåïîëíà. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî òåîðåìà øäåëÿ ïîòîìó ñïðàâåäëèâà äëÿ òåîðèè S, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî âûáðàííàÿ äëÿ ýòîé òåîðèè ñèñòåìà àêñèîì îêàçàëàñü ñëèøêîì ñëàáîé è ÷òî, åñëè áû ìû óñèëèëè òåîðèþ S, äîáàâèâ ê íåé íîâûå àêñèîìû, òî íîâàÿ òåîðèÿ ìîãëà áû îêàçàòüñÿ ïîëíîé. Òàê, íàïðèìåð, ÷òîáû ïîëó÷èòü íåêîòîðóþ áîëåå ñèëüíóþ òåîðèþ S1, ìû ìîãëè áû äîáàâèòü ê S èñòèííóþ ôîðìóëó G. Îäíàêî âñÿêàÿ ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, áóäó÷è ïðåäñòàâèìîé â S, ïðåäñòàâèìà òàêæå è â òàêîé òåîðèè S1. Òî÷íî òàê æå è òåîðåìû 14.6, 14.7, 14.8 îñòàþòñÿ, î÷åâèäíî, â ñèëå, åñëè èõ ïåðåôîðìóëèðîâàòü äëÿ S1. Íî ýòî è åñòü âñå, ÷òî òðåáóåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðåçóëüòàò øäåëÿ; è ïîòîìó, åñëè òåîðèÿ S1 ω-íåïðîòèâîðå÷èâà, òî è îíà èìååò íåêîòîðîå íåðàçðåøèìîå ïðåäëîæåíèå B. (B èìååò òó æå ôîðìó ∀x2¬(W)S1(k, x2), íî, ðàçóìååòñÿ, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò G, ïîñêîëüêó îòíîøåíèå W äëÿ S1 îòëè÷íî îò îòíîøåíèÿ W äëÿ S, è, ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (W)S1, è âõîäÿùàÿ â B öèôðà k îòëè÷íû îò ôîðìóëû W è öèôðû m â G.) Òàêèì îáðàçîì, äîáàâëåíèå ôîðìóëû G ê àêñèîìàì òåîðèè S íå ñäåëàåò ýòó òåîðèþ ïîëíîé, ò.å. òåîðèÿ S ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî íåïîëíîé, íî è íåïîïîëíèìîé.
14.6. Âòîðàÿ òåîðåìà øäåëÿ Îïðåäåëèì Neg(x) òàê, ÷òî åñëè x åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ôîðìóëû A, òî Neg(x) åñòü ã¸äåëåâ íîìåð ôîðìóëû ¬A. Ôóíêöèÿ Neg, î÷åâèäíî, ðåêóðñèâíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäñòàâèìà â S íåêîòîðîé ôîðìóëîé Neg(x1, x2). Ââåäåì ïðåäèêàò Pf(y, x), èñòèííûé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x åñòü ã¸äåëåâ íîìåð íåêîòîðîé ôîðìóëû A òåîðèè S, à y åñòü ã¸äåëåâ íîìåð íåêîòîðîãî âûâîäà A â S. Ïðåäèêàò Pf ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâåí, è ïîòîìó âûðàçèì â S ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôîðìóëû Pf(x1, x2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ConS ôîðìóëó: ∀x1∀x2∀x3∀x4¬(Pf(x1, x3) & Pf(x2, x4) & Neg(x3, x4)). Ñîäåðæàòåëüíî, ò.å. â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèåé, ConS âûðàæàåò íåâîçìîæíîñòü âûâîäà â S êàêîé-ëèáî ôîðìóëû âìåñòå ñ åå îòðèöàíèåì è ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà. Èíûìè ñëîâàìè, ôîðìóëó ConS ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê óòâåðæäåíèå î
260
Ãëàâà 14
íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òåîðèè S. Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèåé, ã¸äåëåâà íåðàçðåøèìàÿ ôîðìóëà G ñîäåðæàòåëüíî âûðàæàåò ñâîþ ñîáñòâåííóþ íåâûâîäèìîñòü. Òîãäà ôîðìóëà ConS → G ñîäåðæàòåëüíî óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ôîðìóëà G â íåé íåâûâîäèìà. Íî â ýòîì è ñîñòîèò ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû øäåëÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, äîêàçûâàþùèå òåîðåìó øäåëÿ, ìîãóò áûòü âûðàæåíû è ïðîâåäåíû ñðåäñòâàìè òåîðèè S, òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîëó÷èòü âûâîä ôîðìóëû ConS → G â òåîðèè S. (Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñì. â [Ãèëüáåðò, Áåðíàéñ, 1979]). Èòàê, |S ConS → G. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |S ConS, ò.å. ñðåäñòâàìè òåîðèè S ìîæíî äîêàçàòü íåïðîòèâîðå÷èâîñòü S. Òîãäà ïî ïðàâèëó ÌÐ ïîëó÷èì |SG. Ñîãëàñíî òåîðåìå øäåëÿ, îäíàêî, åñëè òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ôîðìóëà G â íåé íåâûâîäèìà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà, òî â íåé íåâûâîäèìà è ôîðìóëà ConS. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè òåîðèÿ íåïðîòèâîðå÷èâà, òî â íåé íåâûâîäèìà íåêîòîðàÿ ôîðìóëà, ñîäåðæàòåëüíî óòâåðæäàþùàÿ íåïðîòèâîðå÷èâîñòü òåîðèè S. Ýòîò ðåçóëüòàò íîñèò íàçâàíèå âòîðîé òåîðåìû øäåëÿ. Ãðóáî ãîâîðÿ, ýòà òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè òåîðèÿ S íåïðîòèâîðå÷èâà, òî äîêàçàòåëüñòâî íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òåîðèè íå ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ñðåäñòâàìè ñàìîé òåîðèè S, ò. å. âñÿêîå òàêîå äîêàçàòåëüñòâî îáÿçàòåëüíî äîëæíî èñïîëüçîâàòü íåâûðàçèìûå â S èäåè èëè ìåòîäû. Ïðèìåðàìè ìîãóò ñëóæèòü äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè òåîðèè S, ïðåäëîæåííûå Ãåíöåíîì â 1936, 1938 ã.ã. è Øþòòå â 1951 ã., â êîòîðûõ ïðèìåíÿþòñÿ ïîíÿòèÿ è ìåòîäû (íàïðèìåð, îäèí ôðàãìåíò òåîðèè ñ÷åòíûõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë), î÷åâèäíî, íå ôîðìàëèçóåìûå ñðåäñòâàìè òåîðèè S.
Ãëàâà 15.
ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
15.1. Èíòóèòèâíîå ïîíÿòèå àëãîðèòìà Ôóíêöèÿ f(x1,
, xn) íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíî âû÷èñëèìîé, åñëè äëÿ êàæäîãî íàáîðà àðãóìåíòîâ à1,
, àn èç åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî çíà÷åíèå ôóíêöèè f(à1,
, àn). Åñëè ôóíêöèÿ ýôôåêòèâíî âû÷èñëèìà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñóùåñòâóåò àëãîðèòì åå âû÷èñëåíèÿ. Ïîíÿòèå àëãîðèòìà èíòóèòèâíî ÿñíî è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòèêå. Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ÷èñåë «ñòîëáèêîì», êîòîðîå èçâåñòíî åùå ñî øêîëû, ôîðìóëà íàõîæäåíèÿ êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ïåðåìíîæåíèå äâóõ ìàòðèö ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö» ÿâëÿþòñÿ àëãîðèòìàìè. Ìíîæåñòâî ïðèìåðîâ ìîæíî ïðîäîëæèòü.  ñîâðåìåííîé ïðàêòèêå ïîä àëãîðèòìîì ÷àñòî ïîíèìàþò ïðîãðàììó, à êðèòåðèåì ñóùåñòâîâàíèÿ àëãîðèòìà ñ÷èòàþò âîçìîæíîñòü åãî çàïðîãðàììèðîâàòü. Îäíàêî ýòî íå ñîâñåì òàê. Ñíà÷àëà äàäèì ïîíÿòèå àëãîðèòìà. Ïîä àëãîðèòìîì ïîíèìàþò òî÷íîå ïðåäïèñàíèå î âûïîëíåíèè â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå òî÷íî óêàçàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàöèé äëÿ ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷ èç äàííîãî êëàññà çàäà÷. Ïðèâåäåííîå âûøå ïîíÿòèå àëãîðèòìà íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì. Ýòî ïîíÿòèå õàðàêòåðèçóåòñÿ íàáîðîì ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ àëãîðèòìó. 15.1.1. Ñâîéñòâà àëãîðèòìà • Äèñêðåòíîñòü èíôîðìàöèè. Êàæäûé àëãîðèòì èìååò äåëî ñ äàííûìè âõîäíûìè, ïðîìåæóòî÷íûìè è âûõîäíûìè. Ýòè äàííûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå êîíå÷íûõ ñëîâ â íåêîòîðîì àëôàâèòå. • Äèñêðåòíîñòü ðàáîòû àëãîðèòìà. Àëãîðèòì âûïîëíÿåòñÿ ïî øàãàì è ïðè ýòîì íà êàæäîì øàãå âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî îäíà îïåðàöèÿ. • Âûïîëíèìîñòü îïåðàöèé.  àëãîðèòìå íå äîëæíî áûòü íåâûïîëíèìûõ îïåðàöèé. Íàïðèìåð, íåëüçÿ â ïðîãðàììå ïðèñâîèòü ïåðåìåííîé çíà÷åíèå «áåñêîíå÷íîñòü», òàêàÿ îïåðàöèÿ áûëà áû íåâûïîëíèìîé. Êàæäàÿ îïåðàöèÿ îáðàáàòûâàåò îïðåäåëåííûé ó÷àñòîê â îáðàáàòûâàåìîì ñëîâå. • Êîíå÷íîñòü àëãîðèòìà. Êîíå÷íîñòü àëãîðèòìà îçíà÷àåò, ÷òî îïèñàíèå àëãîðèòìà äîëæíî áûòü êîíå÷íûì. • Äåòåðìèíèðîâàííîñòü àëãîðèòìà. Êàæäûé øàã àëãîðèòìà ñòðîãî îïðåäåëåí. Ïîñëå êàæäîãî øàãà òî÷íî óêàçûâàåòñÿ, êàêîé øàã ñäåëàòü äàëüøå, ëèáî óêàçûâàåòñÿ, ÷òî àëãîðèòì äîëæåí çàêîí÷èòü ñâîþ ðàáîòó íà äàííîì øàãå. Ê êàæäîìó ó÷àñòêó ñëîâà íà êàæäîì øàãå ïðèìåíèìà òîëüêî îäíà îïåðàöèÿ.
Ãëàâà 15
262
• Ìàññîâîñòü àëãîðèòìà. Ìàññîâîñòü àëãîðèòìà îçíà÷àåò, ÷òî àëãîðèòì äîëæåí ðåøàòü âñå çàäà÷è èç äàííîãî êëàññà çàäà÷. Åñëè íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà çàäà÷à, äëÿ êîòîðîé àëãîðèòì íåïðèìåíèì, òî ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé íåëüçÿ ñ÷èòàòü àëãîðèòìîì äëÿ ðåøåíèÿ äàííîãî êëàññà çàäà÷.
15.2. Àëôàâèòû è ñëîâà 15.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Îïðåäåëåíèå 15.1. Áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî À àëôàâèòîì, à ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà áóêâàìè àëôàâèòà À. Òîãäà ïðîèçâîëüíûå êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ íàçûâàþòñÿ ñëîâàìè â äàííîì àëôàâèòå. Çäåñü è äàëåå äëÿ óäîáñòâà ÷òåíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü: áóêâûêîíñòàíòû ìàëûìè íà÷àëüíûìè ñèìâîëàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (a, b, c,
), áóêâû-ïåðåìåííûå ïîñëåäíèìè ëàòèíñêèìè ñèìâîëàìè (x, y, z,
), àëôàâèòû è ìíîæåñòâà áîëüøèìè íà÷àëüíûìè ñèìâîëàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (A, B, C,
), ñëîâà áîëüøèìè ñèìâîëàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (P, Q, R,
). Ãðå÷åñêèå ñèìâîëû áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âûäåëåííûõ áóêâ çàäàííîãî àëôàâèòà, îòëè÷íûõ îò áóêâ-êîíñòàíò è áóêâ-ïåðåìåííûõ. Ëþáîé àëôàâèò ñîäåðæèò ïóñòîé ñèìâîë. Áóäåì îáîçíà÷àòü åãî ñèìâîëîì Λ. Ïóñòîé ñèìâîë ÿâëÿåòñÿ è ïóñòûì ñëîâîì. Ìíîæåñòâî ñëîâ àëôàâèòà À áóäåì îáîçíà÷àòü À*. Îïðåäåëåíèå 15.2. Êîëè÷åñòâî áóêâ â ñëîâå íàçûâàåòñÿ åãî äëèíîé è îáîçíà÷àåòñÿ âåðòèêàëüíûìè ñêîáêàìè. Íàïðèìåð, äëèíà ñëîâà àààà ðàâíà |àààà| = 4, äëèíà ïóñòîãî ñëîâà |Λ| = 0. Îñíîâíîé îïåðàöèåé íàä ñëîâàìè ÿâëÿåòñÿ êîíêàòåíàöèÿ. Îïðåäåëåíèå 15.3. Êîíêàòåíàöèåé äâóõ ñëîâ P è Q íàçîâåì ñëîâî PQ, ïîëó÷åííîå äîïèñûâàíèåì ñëîâà Q ïîñëå P. Íàïðèìåð, êîíêàòåíàöèÿ ñëîâ aab è ba åñòü ñëîâî aabba. Îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè íåêîììóòàòèâíà, íî àññîöèàòèâíà. Îïðåäåëåíèå 15.4. Åñëè X íåêîòîðîå ñëîâî àëôàâèòà A è åñëè X ïðåäñòàâèìî â âèäå êîíêàòåíàöèè ñëîâ PQR, òî P, Q, R íàçûâàþò ïîäñëîâàìè ñëîâà X. Íàïðèìåð, ñëîâî añb ñîäåðæèò ïîäñëîâà a, b, ñ, añ, ñb. Åñëè X ∈ A* è X = P1QP2QP3, òî ãîâîðÿò î ïåðâîì, âòîðîì è ò. ä. âõîæäåíèè ñëîâà Q â ñëîâî X. Ñëîâà, ñîñòàâëåííûå èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ áóêâ, èíîãäà çàïèñûâàþòñÿ â âèäå ñòåïåíè, íàïðèìåð, àààbb = a3b2, ãäå ñòåïåíü îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî âõîæäåíèé áóêâû â ñëîâî.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
263
15.2.2. Êîäèðîâàíèå è íóìåðàöèÿ Îïðåäåëåíèå 15.5. Ïóñòü äàíû äâà àëôàâèòà A è B. Êîäèðîâàíèå ñëîâ àëôàâèòà A ñëîâàìè â àëôàâèòå B åñòü ôóíêöèÿ ϕ(P), êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà ñëîâ â àëôàâèòå À â ìíîæåñòâî ñëîâ â àëôàâèòå Â: ϕ(P): A* → Â*, ãäå P ∈ À*, ϕ(P) ∈ B*. Ïðèìåð. Ïóñòü A = {a, b}, B = {a, b, c}. Îòîáðàæåíèå ϕ(P): P → cPc îïðåäåëÿåò êîäèðîâàíèå ñëîâ â àëôàâèòå A ñëîâàìè â àëôàâèòå B, íàïðèìåð, ab → cabc. Îïðåäåëåíèå 15.6. Êîäèðîâàíèå íàçûâàåòñÿ áëî÷íûì, åñëè êàæäîé áóêâå àëôàâèòà À ñîîòâåòñòâóåò ñëîâî â àëôàâèòå Â. Ïðèìåð. Îòîáðàæåíèå ϕ(a): a → ac, ϕ(b): b → bc ÿâëÿåòñÿ áëî÷íûì êîäèðîâàíèåì. Íàïðèìåð, ϕ(ab) = acbc. Ëþáûå ìíîæåñòâà ñëîâ â íåêîòîðîì àëôàâèòå A ìîæíî óïîðÿäî÷èòü â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå: åñëè R1xR2, R1yR2 è x < y, x, y ∈ A, òî R1xR2 < R1yR2.. Íàïðèìåð, ëåêñèêîãðàôè÷åñêîå óïîðÿäî÷åíèå ñëîâ àëôàâèòà A = {a, b} åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: Λ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb, aaaa, è ò.ä. 15.2.3. Ñëîâàðíûå ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè Èñõîäíûå ôóíêöèè äëÿ àëôàâèòà A: 1. Íóëü-ôóíêöèÿ O(P) = Λ ïðåîáðàçóåò ëþáîå ñëîâî â ïóñòîå. 2. Äîáàâëåíèå ñèìâîëà x â êîíåö ñëîâà: Nx(P) = Px, ãäå x ∈ A. 3. Ïðîåêòèðóþùàÿ ôóíêöèÿ Uij(P) = xi, ãäå j êîëè÷åñòâî áóêâ â ñëîâå P, xi i-ÿ áóêâà ñëîâà P, âûäåëÿåò çàäàííûé ñèìâîë â ñëîâå. Ïîäñòàíîâêà. Ôóíêöèÿ f ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè èç ôóíêöèé g(P 1 ,..., P m ), h 1 (X 1 ,..., X n ),
, h m (X 1 ,..., X n ), åñëè f(X1,..., Xn) = g(h1(X1,..., Xn),..., hm(X1,..., Xn)). Ñõåìà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè äëÿ àëôàâèòà A. Ïóñòü g(X1,
, Xn), h1(X1,
, Xn+2), h2(X1,
, Xn+2), íåêîòîðûå ôóíêöèè. Òîãäà ôóíêöèÿ f(X1,
, Xn+1) ïîëó÷åíà ïî ñõåìå ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, åñëè f(X1,
, Xn, Λ) = g(X1,
, Xn), f(X1,
, Xn, ξ) = h1(X1,
, Xn, ξ, f(X1,
, Xn+1)), ξ ∈ A. Ôóíêöèè, ïîëó÷åííûå èç èñõîäíûõ ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé ïîäñòàíîâêè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûìè. Ïðèìåð. Îáîçíà÷èì îïåðàöèþ êîíêàòåíàöèè con(X1, X2), X1, X ∈ A*, A = {a, b}, è ïîêàæåì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé. con(X1, Λ) = X1 = U12(X1, Λ) = X1; con(X1X2, a) = X1X2a = Na(con(X1, X2)); con(X1X2, b) = X1X2b = Nb(con(X1, X2)).
264
Ãëàâà 15
15.2.4. Àññîöèàòèâíûå èñ÷èñëåíèÿ Îïðåäåëåíèå 15.7. Ïîäñòàíîâêà ñëîâà P âìåñòî ïîäñëîâà Q â ñëîâå W îçíà÷àåò çàìåíó Q íà P â ñëîâå W. Ïîäñòàíîâêà îáîçíà÷àåòñÿ: P → Q. Ïîäñòàíîâêà Q → P íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ïîäñòàíîâêîé. Ïîäñòàíîâêà Q → P íåïðèìåíèìà ê ñëîâó W, åñëè W íå ñîäåðæèò Q. Ïðèìåð. Ïóñòü äàí àëôàâèò À = {a, b} è ïîäñòàíîâêà ab → ba. Òîãäà ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ ýòîé ïîäñòàíîâêè íàä ñëîâîì ababbbab áóäåò ñëåäóþùèì: 1. ababbbab, 2. baabbbab, 3. ababbab, 4. bbaabbab, 5. bbababab, 6. bbbaabab, 7. bbbabaab, 8. bbbbaaab, 9. bbbbaaba, 10. bbbbabaa, 11. bbbbbaaa. Îïðåäåëåíèå 15.8. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñëîâ àëôàâèòà A âìåñòå ñ êîíå÷íîé ñèñòåìîé äîïóñòèìûõ ïîäñòàíîâîê íàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíûì èñ÷èñëåíèåì. Åñëè ñëîâî R ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî â ñëîâî S ïóòåì îäíîêðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ äîïóñòèìîé ïîäñòàíîâêè, òî è S ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî â R ïðèìåíåíèåì îáðàòíîé ïîäñòàíîâêè.  ýòîì ñëó÷àå ñëîâà R è S íàçûâàþò ñìåæíûìè ñëîâàìè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëîâ R1, R2,
, Rn, òàêèõ, ÷òî êàæäûå äâà ñëîâà Ri, Ri+1 ñìåæíû, íàçûâàåòñÿ äåäóêòèâíîé öåïî÷êîé. Åñëè ñóùåñòâóåò äåäóêòèâíàÿ öåïî÷êà îò ñëîâà R ê ñëîâó S, òî ñóùåñòâóåò è äåäóêòèâíàÿ öåïî÷êà îò S ê R.  ýòîì ñëó÷àå ñëîâà R è S íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè è îáîçíà÷àþò: R ~ S. Î÷åâèäíî, ÷òî, åñëè R ~ S, òî S ~ R. Îñíîâíîé ïðîáëåìîé àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ: äëÿ ëþáûõ äâóõ ñëîâ R è S â àññîöèàòèâíîì èñ÷èñëåíèè îïðåäåëèòü, ñóùåñòâóåò ëè äåäóêòèâíàÿ öåïî÷êà îò R ê S, èëè íåò.  äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî àññîöèàòèâíîãî èñ÷èñëåíèÿ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà.
15.3. Ìàøèíà Òüþðèíãà 15.3.1. Îïðåäåëåíèå ìàøèíû Òüþðèíãà Ìàøèíà Òüþðèíãà áûëà ïåðâîé àëãîðèòìè÷åñêîé ñõåìîé, ïðåäëîæåííîé Òüþðèíãîì â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ àëãîðèòìà â 1937 ã. Ìàøèíà Òüþðèíãà ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåòè÷åñêîé ìàøèíîé: Òüþðèíã íå ñòàâèë çàäà÷è ñêîíñòðóèðîâàòü ýòî óñòðîéñòâî. Êîíöåïöèÿ âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû ïðèíàäëåæèò ôîí Íåéìàíó, íî åå îñíîâîé ïîñëóæèëà ìàøèíà Òüþðèíãà. Çàäà÷à ìàøèíû Òüþðèíãà ïåðåðàáàòûâàòü âõîäíîå ñëîâî W â àëôàâèòå A â íåêîòîðîå âûõîäíîå ñëîâî W*. Òàêèì îáðàçîì, ìàøèíà Òüþðèíãà ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåðàáàòûâàþùèì óñòðîéñòâîì.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
265
Ìàøèíà Òüþðèíãà ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé. 1). Âíåøíÿÿ ïàìÿòü ìàøèíû Òüþðèíãà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê áåñêîíå÷íàÿ â îáå ñòîðîíû ëåíòà, ðàçáèòàÿ íà ÿ÷åéêè. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíàêîâ A = {a, b, c,
} îáðàçóåò âíåøíèé àëôàâèò ìàøèíû.  êàæäîé ÿ÷åéêå ìîæåò íàõîäèòüñÿ îäèí (è òîëüêî îäèí) ñèìâîë âíåøíåãî àëôàâèòà. Èíôîðìàöèÿ çàïèñûâàåòñÿ íà ëåíòå â âèäå ñëîâà â àëôàâèòå A. Âíåøíèé àëôàâèò ñîäåðæèò è ïóñòîé ñèìâîë Λ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî êàæäàÿ ÿ÷åéêà ëåíòû õðàíèò ïóñòîé ñèìâîë, åñëè â íåé íå çàïèñàí íèêàêîé äðóãîé ñèìâîë. Åñëè íà ëåíòå çàïèñàíî ñëîâî, òî îíî îãðàíè÷åíî ñëåâà è ñïðàâà ïóñòûìè ñèìâîëàìè. 2). Ñ÷èòûâàþùàÿ ãîëîâêà ìàøèíû Òüþðèíãà â îäèí äèñêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè îáîçðåâàåò îäíó ÿ÷åéêó è ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé qi ∈ Q, ãäå Q àëôàâèò âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé. Ñ÷èòûâàþùàÿ ãîëîâêà ðàñïîçíàåò çàïèñàííûé â ÿ÷åéêå ñèìâîë âíåøíåãî àëôàâèòà, çàïèñûâàåò âìåñòî íåãî äðóãîé ñèìâîë (âîçìîæíî, òîò æå ñàìûé), ïåðåõîäèò â äðóãîå ñîñòîÿíèå (âîçìîæíî â ïðåæíåå), ïîñëå ÷åãî ñäâèãàåòñÿ âïðàâî, âëåâî èëè îñòàåòñÿ íà ìåñòå (ñì. ðèñ. 15.1). Äâèæåíèå ãîëîâêè ìàøèíû Òüþðèíãà áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè: Ï âïðàâî, Ë âëåâî, Í íà ìåñòå.
Ðèñ. 15.1. Ñõåìà ìàøèíû Òüþðèíãà. Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé Q ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíóòðåííþþ ïàìÿòü ìàøèíû Òüþðèíãà: êîãäà ìàøèíà â ðàçíûõ ñîñòîÿíèÿõ âèäèò îäèí è òîò æå ñàìûé ñèìâîë, îíà ìîæåò âûïîëíèòü ðàçíûå äåéñòâèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ãîëîâêà ìàøèíû îáîçðåâàåò îïðåäåëåííóþ ÿ÷åéêó ëåíòû. Òàêèì îáðàçîì, â êàæäûé äèñêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîÿíèå ìàøèíû õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëîâîì, çàïèñàííûì íà ëåíòå, ïîëîæåíèåì ãîëîâêè è åå ñîñòîÿíèåì. Ñëîâî, çàïèñàííîå íà ëåíòå, âìåñòå ñ ïîëîæåíèåì ãîëîâêè ìàøèíû Òüþðèíãà, íàõîäÿùåéñÿ â îäíîì èç ñâîèõ âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé, áóäåì íàçûâàòü êîíôèãóðàöèåé ìàøèíû Òüþðèíãà. 3). Ñëåäóþùàÿ ÷àñòü ìàøèíû Òüþðèíãà ýòî ïðîãðàììà, óïðàâëÿþùàÿ ãîëîâêîé è ñîñòîÿùàÿ èç êîìàíä âèäà: aqi → bqjξ, ãäå ξ ∈ {Ë, Ï, Í}, qi, qj ∈ Q, a, b ∈ A.
266
Ãëàâà 15
 ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ýòîé êîìàíäû ñèìâîë a íà ëåíòå áóäåò çàìåíåí ñèìâîëîì b, ãîëîâêà ñäâèíåòñÿ âëåâî, âïðàâî èëè îñòàíåòñÿ íà ìåñòå â çàâèñèìîñòè îò ξ è âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå èçìåíèòñÿ ñ qi íà qj. Ïîñëå ýòîãî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùàÿ êîìàíäà. Ïðèìåíèìîñòü òîé èëè èíîé êîìàíäû îïðåäåëÿåòñÿ êîíôèãóðàöèåé íà ëåíòå â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè. Êîìàíäà âèäà aqi → bq!ξ, ãäå q! (èëè ïðîñòî «!») çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå, íàçûâàåòñÿ çàêëþ÷èòåëüíîé êîìàíäîé è âûçûâàåò îêîí÷àíèå (îñòàíîâ) ðàáîòû ìàøèíû Òüþðèíãà. Ïðè âûïîëíåíèè çàêëþ÷èòåëüíîé êîìàíäû ñèìâîë a çàìåíÿåòñÿ íà ñèìâîë b, ãîëîâêà ñäâèãàåòñÿ âëåâî, âïðàâî èëè îñòàåòñÿ íà ìåñòå, è ïåðåõîäèò â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìàíä çàäàåò àëãîðèòì ïåðåðàáîòêè ñëîâà. Äëÿ ðàáîòû àëãîðèòìà íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíóþ êîíôèãóðàöèþ: íà ëåíòó ìàøèíû Òüþðèíãà çàïèñûâàåòñÿ èñõîäíîå ñëîâî W â àëôàâèòå A è óêàçûâàåòñÿ, êàêîé ñèìâîë îáîçðåâàåò ãîëîâêà ìàøèíû Òüþðèíãà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè q0. Ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà ïðîèñõîäèò ïî òàêòàì, èëè ïî øàãàì. Íà êàæäîì øàãå âûïîëíÿåòñÿ îäíà êîìàíäà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé êîíôèãóðàöèÿ íà ëåíòå ìåíÿåòñÿ. Ïðè ðàáîòå ìàøèíû Òüþðèíãà âîçìîæíî ðàñøèðåíèå âíåøíåãî àëôàâèòà A âñïîìîãàòåëüíûìè ñèìâîëàìè, êîòîðûå ïîñëå ïåðåðàáîòêè ñëîâà çàìåíÿþòñÿ ñèìâîëàìè àëôàâèòà A èëè ñòèðàþòñÿ.  ïðîöåññå ðàáîòû âîçìîæíû äâå ñèòóàöèè: 1. Ìàøèíà Òüþðèíãà ïåðåðàáàòûâàåò èñõîäíîå ñëîâî P â R è îñòàíàâëèâàåòñÿ; òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî äàííàÿ ìàøèíà ïðèìåíèìà ê ñëîâó P. 2. Ìàøèíà Òüþðèíãà, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñî ñëîâà P, íèêîãäà íå îñòàíîâèòñÿ; òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî äàííàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà íå ïðèìåíèìà ê ñëîâó P. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü çàäàí àëôàâèò A = {|, *}, èñõîäíîå ñëîâî â êîòîðîì ìîæåò èìåòü âèä: P = | | |* | * | |.  íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè q 0 ìàøèíà îáîçðåâàåò êðàéíèé ëåâûé ñèìâîë. Ìàøèíà Òüþðèíãà äîëæíà ïðåîáðàçîâàòü ýòî ñëîâî â ïóñòîå ñëîâî, ò.å. äîëæíà ðåàëèçîâûâàòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ íóëü-ôóíêöèè: O(X) = Λ. Äëÿ ýòîãî îíà äîëæíà, äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî, çàìåíèòü êàæäûé ñèìâîë íà ëåíòå íà ïóñòîé ñèìâîë è îñòàíîâèòüñÿ, êàê òîëüêî óâèäèò êðàéíèé ñïðàâà ïóñòîé ñèìâîë (òàáë. 15.1). Òàáëèöà 15.1. Ïðîãðàììó äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå òàáëèöû, ñòðîêè êîòîA Q q0 ðîé ïîìå÷àþòñÿ ñèìâîëàìè âíåøíåãî àë| Λ q0Ï ôàâèòà, ñòîëáöû ñèìâîëàìè àëôàâèòà ñîñòîÿíèé. Êàæäîé ñòðîêå è ñòîëáöó ñîîò* Λ q0Ï âåòñòâóåò îäíà êîíôèãóðàöèÿ íà ëåíòå (ëåΛ ! âàÿ ÷àñòü êîìàíäû), â ñîîòâåòñòâóþùåé
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
267
êëåòêå çàïèñûâàåòñÿ ïðàâàÿ ÷àñòü êîìàíäû, óêàçûâàþùàÿ, êàê äîëæíà èçìåíèòüñÿ êîíôèãóðàöèÿ íà ëåíòå. Íåêîòîðûå êîíôèãóðàöèè ìîãóò íèêîãäà íå âîçíèêíóòü â ïðîöåññå ïåðåðàáîòêè ñëîâà, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì êëåòêè îñòàþòñÿ ïóñòûìè. 2. Ðàññìîòðèì ïðîãðàììó äëÿ àëãîðèòìà äîáàâëåíèÿ ñèìâîëà | ê ñëîâó â òîì æå àëôàâèòå. Ïóñòü èñõîäíîå ñëîâî èìååò âèä: P = | | |. Ýòî ñëîâî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëî 3, à äîáàâëåíèå ñèìâîëà | êàê âû÷èñëåíèå ôóíêöèè f(X) = X + 1 â óíàðíîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Ïðîãðàììà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè íà ñàìîì äåëå î÷åíü ïðîñòà: ãîëîâêà ìàøèíû ïðîïóñêàåò âñå ñèìâîëû |, äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî, è, äîéäÿ äî êðàéíåãî ïðàâîãî ïóñòîãî ñèìâîëà Λ, äîïèñûâàåò òóäà åùå îäèí ñèìâîë |, ïîñëå ÷åãî îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñâîåì çàêëþ÷èòåëüíîì ñîñòîÿíèè (ñì. òàáë. 15.2). Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷íî òàê æå ìîæíî ñîñòàâèòü ïðîãÒàáëèöà 15.2. ðàììó äëÿ äîáàâëåíèÿ ëþáîãî ñèìâîëà àëôàâèòà q0 A â êîíöå ñëîâà, ò.å. òàêîé àëãîðèòì ðåàëèçóåò | | q0Ï èñõîäíóþ ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ Ny(X) = Xy, ãäå y ∈ A. Λ | ! Í Òðåòüÿ èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ: ôóíêöèÿ ïðîåêöèè Uij(X) = xi, åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ýëåìåíòàðíîå äåéñòâèå ìàøèíû Òüþðèíãà ðàñïîçíàâàíèå ñèìâîëà. 3. Ðàññìîòðèì òåïåðü âû÷èñëåíèå áîëåå ñëîæíîé ôóíêöèè: F(X, Y) = X + Y, ãäå X, Y ñëîâà, çàäàííûå â óíàðíîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Ïóñòü èñõîäíàÿ êîíôèãóðàöèÿ íà ëåíòå çàäàíà òàê, ÷òî â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ãîëîâêà îáîçðåâàåò êðàéíèé ëåâûé ñèìâîë |, (ñì. ðèñ. 15.2), ñëîâî íà ëåíòå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâà ÷èñëà, ðàçäåëåííûå ñèìâîëîì *.
Ðèñ. 15. 2. Âû÷èñëåíèå ôóíêöèè F(X, Y) = X + Y/ Ñîñòàâèì ìàøèíó Òüþðèíãà, ðàáîòàþùóþ ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó.  íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè q0 ìàøèíà âèäèò êðàéíþþ ëåâóþ ïàëî÷êó, ñòèðàåò åå è, ïåðåéäÿ â ñîñòîÿíèå q1, äâèæåòñÿ âïðàâî, ïîêà íå óâèäèò êðàéíèé ñïðàâà ïóñòîé ñèìâîë. Òîãäà íà ìåñòå ïóñòîãî ñèìâîëà ìàøèíà çàïèñûâàåò ïàëî÷êó, ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå q2 è äâèæåòñÿ âëåâî â òîì æå ñîñòîÿíèè q2, ïðîïóñêàÿ âñå ñèìâîëû, ïîêà íå äîéäåò äî êðàéíåãî ñëåâà ïóñòîãî ñèìâîëà.
268
Ãëàâà 15
Òîãäà ìàøèíà îñòàâëÿåò åãî íà ìåñòå, ñäâèãàåòñÿ âïðàâî è ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå q0. Ïîñëå ýòîãî ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà â ñîñòîÿíèè q0 ìàøèíà íå óâèäèò ñèìâîë *. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óæå âñå ïàëî÷êè ïåðåíåñåíû ñëåâà íàïðàâî, ìàøèíà ìîæåò ñòåðåòü ñèìâîë * è îñòàíîâèòüñÿ, ò.å. ïåðåéòè â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå. Ïðîãðàììà äëÿ ìàøèíû ïðåäñòàâëåíà â òàáëèöå 15.3. Òàáëèöà 15.3. q0 q1 q2 |
Λ q1 Ï
| q1 Ï
| q2 Ë
*
Λ!Ï
* q1 Ï
* q2 Ë
Λ
Λ!Í
| q2 Ë
Λ q0 Ï
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ñóììû ðåêóðñèâåí: îí îñíîâàí íà ïðåäûäóùåì àëãîðèòìå, êîãäà ê îäíîìó èç ñëàãàåìûõ (â äàííîì ñëó÷àå, ê ïðàâîìó ñëîâó) äîáàâëÿåòñÿ ñòîëüêî åäèíèö, ñêîëüêî èõ ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì ñëàãàåìîì. Äëÿ ñðàâíåíèÿ âîñïðîèçâåäåì ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè: f(X, 0) = X, f(X, Y + 1) = f(X, Y) + 1. f(2, 3) = f(2, 2) + 1 = (f(2, 1) + 1) + 1 = ((f(2, 0) + 1) + 1) + 1. Íà ýòîì çàâåðøàåòñÿ ïðÿìîé õîä ðåêóðñèè: ñîñòàâëåíà ðåêóðñèâíàÿ ñõåìà âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè. Òåïåðü îáðàòíûé õîä ðåêóðñèè âû÷èñëÿåò åå çíà÷åíèå: ((2 + 1) + 1) + 1 = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5. 15.3.2. Ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà Ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà ýòî ìàøèíà, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò ïðåäèêàò P(W) òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè P(W) = T, òî ìàøèíà îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè «äà!», à åñëè P(W) = F, òî â ñîñòîÿíèè «íåò!». Íàïðèìåð, ìàøèíà, ðàñïîçíàþùàÿ Òàáëèöà 15.4. ÷åòíîñòü ÷èñëà, ïðåäñòàâëåííîãî â q0 q1 óíàðíîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, ïðèâåäåíà | | q1 Ï | q0 Ï â òàáëèöå 15.4. Äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî, ìàøèíà îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ïóñòîì Λ Λ äà! Λ íåò! ñèìâîëå â ñîñòîÿíèè «äà!», åñëè ÷èñëî ÷åòíîå, è â ñîñòîÿíèè «íåò!», åñëè íå÷åòíîå. 15.3.3. Êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà Ìîæíî âûäåëèòü íåêîòîðûé íàáîð ýëåìåíòàðíûõ àëãîðèòìîâ, èç êîòîðûõ ìîæíî ïîëó÷àòü áîëåå ñëîæíûå àëãîðèòìû ïî ïðàâèëàì êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè:
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
269
• íóëü-ôóíêöèÿ O(X)= Λ; • äîáàâëåíèå ñèìâîëà ζ: Nζ(X) = Xζ, ãäå ζ ∈ A; • ïðîåêòèðóþùàÿ ôóíêöèÿ Uij(X) = xi; • òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ò(X) = X; • àëãîðèòì êîïèðîâàíèÿ ñëîâà Copy(X) = X*X; • çàìåíÿþùèé àëãîðèòì Repxjxi(x), ãäå xi, xj ∈ A È B, è B âñïîìîãàòåëüíûé àëôàâèò (àëãîðèòì çàìåíÿåò ñèìâîë xi íà ñèìâîë xj â ñëîâå X), âû÷èñëèìû íà ìàøèíå Òüþðèíãà. Èç ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ àëãîðèòìîâ ìîæíî îáðàçîâûâàòü áîëåå ñëîæíûå ñ ïîìîùüþ êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà. 1. Ïîñëåäîâàòåëüíàÿ êîìïîçèöèÿ. Ïóñòü Ì1 è Ì2 äâå ìàøèíû Òüþðèíãà. Òîãäà, îòîæäåñòâèâ çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå ìàøèíû Ì1 ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ìàøèíû Ì2 è, ïðè íåîáõîäèìîñòè, ïåðåíóìåðîâàâ âíóòðåííèå ñîñòîÿíèÿ ìàøèíû Ì2, ïîëó÷èì íîâóþ ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñî ñëîâà W, ñíà÷àëà áóäåò âûïîëíÿòü íàä íèì ïðåîáðàçîâàíèÿ, âûïîëíÿåìûå ìàøèíîé Ì1, à çàòåì áóäåò ðàáîòàòü êàê ìàøèíà Ì2. Ïîñëåäîâàòåëüíóþ êîìïîçèöèþ ìàøèí Òüþðèíãà îáîçíà÷èì: M1 ° Ì2 = M2(Ì1(W)). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíàÿ êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà îñóùåñòâëÿåò ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé. 2. Ïàðàëëåëüíàÿ êîìïîçèöèÿ. Åñëè íà ëåíòå çàïèñàíî ñëîâî W, êîòîðîå ïðåäñòàâèìî êàê êîíêàòåíàöèÿ äâóõ ñëîâ Ð||R, òî ìîæíî ñîñòàâèòü òàêóþ ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ áóäåò ðàáîòàòü êàê ìàøèíà M1 íàä ïîäñëîâîì P è êàê ìàøèíà M2 íàä ïîäñëîâîì R, à çàòåì îñóùåñòâèò êîíêàòåíàöèþ ðåçóëüòàòîâ: M1(P)||M2(R). 3. Ðàçâåòâëÿþùàÿñÿ êîìïîçèöèÿ. Åñëè ñóùåñòâóþò ìàøèíû Òüþðèíãà M1 è M2 è ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà P, òî ìîæíî ñîñòàâèòü òàêóþ ìàøèíó Òüþðèíãà M, ÷òî, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñî ñëîâà W, ìàøèíà Òüþðèíãà ðàáîòàåò ñíà÷àëà êàê ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà P(W). Åñëè îíà çàêàí÷èâàåò îáðàáîòêó èñõîäíîãî ñëîâà â ñîñòîÿíèè «äà!», òî äàëåå ðàáîòàåò ìàøèíà M1(W), à åñëè â ñîñòîÿíèè «íåò!», òî ìàøèíà M2(W) (ñì. ðèñ. 15.3). 4. Öèêëè÷åñêàÿ êîìïîçèöèÿ. Ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ìàøèíó Òüþðèíãà M, êîòîðàÿ, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñî ñëîâà W0, ñíà÷àëà ðàáîòàåò êàê ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà P, âû÷èñëÿþùàÿ ïðåäèêàò P(W0). Åñëè îíà çàâåðøàåò ñâîþ ðàáîòó â ñîñòîÿíèè «äà», òî äàëåå îíà ðàáîòàåò êàê ìàøèíà Òüþðèíãà M1 íàä ñëîâîì W0 è çàâåðøàåò ñâîþ ðàáîòó ñ âûõîäíûì ñëîâîì W1. Çàòåì óïðàâëåíèå ïåðåäàåòñÿ ðàñïîçíàþùåé ìàøèíå P, âû÷èñëÿþùåé ïðåäèêàò P(W1), è òàê äàëåå, äî òåõ ïîð, ïîêà ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà P íå îñòàíîâèòñÿ â ñîñòîÿíèè «íåò» íà ñëîâå Wk. Òîãäà ìàøèíà Òüþðèíãà M îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñâîåì çàêëþ÷èòåëüíîì ñîñòîÿíèè (ñì. ðèñ. 15.4).
270
Ãëàâà 15
Ðèñ. 15.3. Ðàçâåòâëÿþùàÿñÿ êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà.
Ðèñ. 15.4. Öèêëè÷åñêàÿ êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà.
Áûëî ìàòåìàòè÷åñêè äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè ëþáûõ àëãîðèòìîâ äîñòàòî÷íî ýòèõ ÷åòûðåõ ñòðóêòóð1.
15.4. Íîðìàëüíûå àëãîðèòìû Ìàðêîâà 15.4.1. Ðàáîòà àëãîðèòìà Ìàðêîâà Îïðåäåëåíèå 15.12. Íîðìàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâà ýòî êîíå÷íûé óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ïîäñòàíîâîê âèäà Pi → Qi, èëè Pi →. Qi, i = 1, 2,
, n. Pi → Qi îáû÷íàÿ ïîäñòàíîâêà, êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî êðàéíåå ëåâîå âõîæäåíèå ïîäñëîâà Pi â ñëîâå W çàìåíÿåòñÿ íà Qi., Pi →. Qi çàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà, ò.å. ïîñëå åå âûïîëíåíèÿ ðàáîòà àëãîðèòìà çàâåðøàåòñÿ. Èñõîäíîå ñëîâî W ∈ À* ïåðåðàáàòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà÷èíàÿ ñ ïåðâîé ïîäñòàíîâêè, èùåòñÿ ïåðâîå ëåâîå âõîæäåíèå ïîäñëîâà Pi â ñëîâå W. Åñëè îíî íàéäåíî, òî îíî çàìåíÿåòñÿ íà Qi, ïîñëå ÷åãî ñïèñîê ïîäñòàíîâîê ïðîñìàòðèâàåòñÿ ñ ñàìîãî íà÷àëà. Åñëè æå âõîæäåíèÿ Pi íå áûëî íàéäåíî, òî âûáèðàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïîäñòàíîâêà. Åñëè íà íåêîòîðîì øàãå áûëà âûïîëíåíà çàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà, òî ïðîöåññ ïåðåðàáîòêè ñëîâà çàâåðøàåòñÿ è òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî àëãîðèòì ïðèìåíèì ê äàííîìó ñëîâó. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïðîöåññ íå çàâåðøàåòñÿ, ò.å. íè îäíà èç çàêëþ÷èòåëüíûõ ïîäñòàíîâîê íå ïðèìåíÿëàñü â ïðîöåññå ïåðåðàáîòêè ñëîâà.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî àëãîðèòì íå ïðèìåíèì ê äàííîìó ñëîâó. Ïðèìåðû. 1. Íîðìàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâà äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ ÷èñåë â óíàðíîé ñèñòåìå, ò.å. àëãîðèòì âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f(X, Y) = X + Y â àëôàâèòå A = {|, *}. Àëãîðèòì ñîñòîèò èç äâóõ ïîäñòàíîâîê: 1. * | → |* 2. * →. L 1 Êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà çàêëþ÷àåò â ñåáå îñíîâíóþ èäåþ ñòðóêòóðíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Èìåííî Òüþðèíãó ïðèíàäëåæèò äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû ýòèõ ÷åòûðåõ ñõåì êîìïîçèöèè äëÿ ðåàëèçàöèè ëþáîãî, ñêîëü óãîäíî ñëîæíîãî àëãîðèòìà.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
271
Ïðîöåññ ïåðåðàáîòêè ñëîâà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì (â ñêîáêàõ óêàçàí íîìåð ïðèìåíÿåìîé ïîäñòàíîâêè): | | |* | | | | ⇒ (1) | | | |* | | | ⇒ (1) | | | | |* | | ⇒ (1) | | | | | |* | ⇒ (1) | | | | | | |* ⇒ ⇒ (2) | | | | | | | 2. Àëãîðèòì îáðàùåíèÿ ñëîâà â àëôàâèòå A = {a, b, c,
, z}. Íàïðèìåð, èñõîäíîå ñëîâî abc îáðàùàåòñÿ â ñëîâî cba. Íèæå ïðèâåäåí ñïèñîê ïîäñòàíîâîê, â êîòîðîì ïåðåìåííûå x, y îáîçíà÷àþò ëþáîé ñèìâîë èç àëôàâèòà A, ãðå÷åñêèìè ñèìâîëàìè α, β îáîçíà÷åíû âñïîìîãàòåëüíûå ñèìâîëû, íåîáõîäèìûå äëÿ ðàáîòû àëãîðèòìà. 1. αα → β 2. βx → xβ 3. βα → β 4. β → Λ 5. αyx → xαy 6. Λ → α Äëÿ ñëîâà abc ïðîöåññ ðàáîòû àëãîðèòìà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: Λabc ⇒ (6) αabc ⇒ (5) bαac ⇒ (5) bcαa ⇒ (6) αbcαa ⇒ (5) cαbαa ⇒ ⇒ (6) αcαbαa ⇒ (6) ααcαbαa ⇒ (1) βcαbαa ⇒ (2) cβαbαa ⇒ ⇒ (3) cβbαa ⇒ (2) cbβαa ⇒ (3) cbβa ⇒ (2) cbaβ ⇒ (4) cba. 15.4.2. Ýêâèâàëåíòíîñòü íîðìàëüíûõ àëãîðèòìîâ è ìàøèíû Òüþðèíãà Òåîðåìà 15.1. Ïóñòü M ìàøèíà Òüþðèíãà ñ âíåøíèì àëôàâèòîì A è âíóòðåííèì àëôàâèòîì Q. Òîãäà ñóùåñòâóåò íîðìàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâà ñ àëôàâèòîì À ∪ Q, ýêâèâàëåíòíûé äàííîé ìàøèíå Òüþðèíãà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äàíà ìàøèíà Òüþðèíãà M ñ âíåøíèì àëôàâèòîì À = {xi}, ãäå i = 1, 2,
, n, è âíóòðåííèì àëôàâèòîì Q = {qi}, j = 0, 1,
, m. Äâóìåðíóþ êîíôèãóðàöèþ íà ëåíòå ìîæíî çàïèñàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1x2
qjxixi+1
xk, ãäå ñèìâîë òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ qj ñòîèò ïåðåä ñèìâîëîì, êîòîðûé îáîçðåâàåò ãîëîâêà ìàøèíû Òüþðèíãà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ìû ïîëó÷èì ñëîâî â àëôàâèòå À ∪ Q. Òîãäà ìîæíî çàìåíèòü êàæäóþ êîìàíäó ìàøèíû Òüþðèíãà íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäñòàíîâîê ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1. Êîìàíäà âèäà qjxi → xkqrH çàìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé qjxi → qrxk. 2. Êîìàíäà âèäà qjxi → xkqrÏ çàìåíÿåòñÿ ñïèñêîì ïîäñòàíîâîê qjxixi+1 → xkqrxi+1, ∀xi ∈ A. 3. Êîìàíäà âèäà qjxi → xkqrË çàìåíÿåòñÿ ñïèñêîì ïîäñòàíîâîê xi-1qjxi → qrxi-1xk, ∀xi ∈ A. 4. Äîïèñûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêà qk →. Λ, ãäå qk êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå. 5.  êîíåö ñïèñêà ââîäèòñÿ ïîäñòàíîâêà Λ → q0.
272
Ãëàâà 15
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïðîãðàììà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà, òî ñ ïîìîùüþ ýòèõ ïÿòè ïðàâèë åå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â àëãîðèòì Ìàðêîâà. Ïðèìåð. Ïóñòü çàäàíà ïðîãðàììà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà â àëôàâèòå À = {|, *} (òàáë. 15. 5). Òàáëèöà 15.5. Íîðìàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâà, ýêâèâàëåíòíûé ýòîé ìàøèíå Òüþðèíãà, èìååò âèä: q0 1. q0 | | → | q0 | | | q0 Ï 2. q0 |* → | q0* Λ |!H 3. q0 | Λ → | q0Λ 4. q0 Λ →. | * * q0 Ï 5. Λ → q0 Ïðîöåññ ïåðåðàáîòêè ñëîâà: | | * | ⇒ q0 | | * | ⇒ | q0 | * | ⇒ | | q0 * | ⇒ ⇒ | | *q0 | ⇒ | | * |q0 Λ ⇒ | | * | |. Òåîðåìà 15.2. (îáðàòíàÿ). Äëÿ êàæäîãî íîðìàëüíîãî àëãîðèòìà Ìàðêîâà ìîæíî ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíóþ åìó ìàøèíó Òüþðèíãà. Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà. 1. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, îñóùåñòâëÿþùóþ ïîèñê ïîäñëîâà Ð â ñëîâå W; ãîëîâêà ìàøèíû Òüþðèíãà, â ðåçóëüòàòå, áóäåò ñòîÿòü íà ïåðâîì ñèìâîëå ïîäñëîâà P. 2. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, çàìåíÿþùóþ ïîäñëîâî P íà ñëîâî Q (äëÿ êàæäîé ïîäñòàíîâêè àëãîðèòìà Ìàðêîâà ìîæíî ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, âûïîëíÿþùóþ åå). Ïîëó÷åííàÿ êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà áóäåò âûïîëíÿòü òó æå ïðîöåäóðó ïåðåðàáîòêè ñëîâ, ÷òî è àëãîðèòì Ìàðêîâà. Äëÿ íîðìàëüíîãî àëãîðèòìà Ìàðêîâà ìîæíî îïðåäåëèòü ðàñïîçíàþùèé àëãîðèòì Ìàðêîâà êàê âû÷èñëÿþùèé íåêîòîðûé ïðåäèêàò è èìåþùèé çàêëþ÷èòåëüíûå ïîäñòàíîâêè Ð →äà Q è Ð →íåò Q; àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå êîìïîçèöèè (ïî òåì æå ñõåìàì, ÷òî è äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà). Ïðèâåäåííûå âûøå äâå òåîðåìû óòâåðæäàþò ýêâèâàëåíòíîñòü ìàøèíû Òüþðèíãà è íîðìàëüíîãî àëãîðèòìà Ìàðêîâà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî, åñëè ïîñòðîåíà ìàøèíà Òüþðèíãà äëÿ ðåøåíèÿ êàêîéëèáî çàäà÷è, ò.å., åñëè ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó, òî äëÿ íåå ñóùåñòâóåò è íîðìàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâ, ò.å. îíà âû÷èñëèìà ïî Ìàðêîâó, è íàîáîðîò, åñëè ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà ïî Ìàðêîâó, òî îíà Âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó. Èíûìè ñëîâàìè, êëàññû ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ïî Òüþðèíãó è ïî Ìàðêîâó, ñîâïàäàþò. Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàêîé êëàññ ôóíêöèé âû÷èñëèì ïî Òüþðèíãó.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
273
15.4.3. Êëàññ ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ïî Òüþðèíãó Òåîðåìà 15.3. Ôóíêöèÿ F(õ1, õ2,
õn) ðåêóðñèâíà (÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Âñÿêàÿ ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó. O(X) = Λ íóëü-ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà íà ìàøèíå Òüþðèíãà, êîòîðàÿ óíè÷òîæàåò ëþáîå ñëîâî íà ëåíòå. N(X) = X + 1 âû÷èñëèìà íà ìàøèíå Òüþðèíãà, êîòîðàÿ ê ëþáîìó ñëîâó W íà ëåíòå äîïèñûâàåò çàäàííûé ñèìâîë a :Wa. Ujn(X) = xi ôóíêöèÿ ïðîåêöèè, êîòîðàÿ â ñëîâå W âûäåëÿåò ñèìâîë xi, âû÷èñëèìà íà ìàøèíå Òüþðèíãà. ϕ(X1, X2) = g(F1(X1, X2), F2(X1, X2)) ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé, ðåàëèçóåòñÿ ïîñðåäñòâîì êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà: Mϕ = copy2(X1*X2)°(MF 1||MF 2)°çàì*|| °Ìg. Ìàøèíà Mϕ ñíà÷àëà êîïèðóåò èñõîäíîå ñëîâî, ðåàëèçóÿ ôóíêöèþ Copy2(X 1*X 2), ðåçóëüòàòîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñëîâî X1*X2 || X1*X2. Çàòåì îíî ïåðåðàáàòûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíîé êîìïîçèöèåé ìàøèí MF1||MF2 â ñëîâî F 1 (X 1*X 2 ) || F 2(X 1*X 2 )), çàòåì àëãîðèòì çàì* || çàìåíÿåò âñïîìîãàòåëüíûé ðàçäåëÿþùèé ñèìâîë || íà *, è äàëåå ðàáîòàåò ìàøèíà, âû÷èñëÿþùàÿ ôóíêöèþ g(F 1 (X 1 , X 2 ), F 2 (X 1, X 2 )): Mg(F1(X1*X2)*F2(X1*X2)). Ðåçóëüòàòîì åå ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ϕ(X1, X2). Ñõåìà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè òàêæå âû÷èñëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì êîìïîçèöèè ìàøèí Òüþðèíãà. Íàïðèìåð, ñàìàÿ ïðîñòàÿ ñõåìà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè: ϕ(0) = c, ϕ(X + 1) = F(ϕ(X)), âû÷èñëèìà êàê êîìïîçèöèÿ, ðåàëèçóþùàÿ èòåðàöèþ. Äëÿ ýòîãî ñòðîÿòñÿ ìàøèíû: MD, êîòîðàÿ ïåðåðàáàòûâàåò òðîéêó ÷èñåë X#m#z â òðîéêó X#m+1#F(z); MC , êîòîðàÿ ïåðåðàáàòûâàåò ÷èñëî X â òðîéêó X#0#c; Ô, êîòîðàÿ ðàñïîçíàåò ñâîéñòâî m < X â òðîéêå ÷èñåë X#m#z. Êîìïîçèöèÿ MC°ïîêà Ô ïîâòîðèòü MD çàäàåò àëãîðèòì, êîòîðûé, èñõîäÿ èç ñëîâà X, âûðàáàòûâàåò òðîéêó X#0#c, ïîòîì X#1#F(c), ïîòîì X#2#F(F(c)), è òàê äàëåå, äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò ïîëó÷åíà òðîéêà X#X#ϕ(X). Òîãäà âûäåëÿþùèé àëãîðèòì, ïðèìåíåííûé ê ýòîìó ñëîâó, âûäåëèò êðàéíþþ ïðàâóþ êîìïîíåíòó ñëîâà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ϕ(X). Ìàøèíà Òüþðèíãà, âû÷èñëÿþùàÿ µ-îïåðàòîð, áóäåò íàõîäèòü ìèíèìàëüíîå ñëîâî â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì óïîðÿäî÷èâàíèè ñëîâ, óäîâëåòâîðÿþùåå äàííîìó ïðåäèêàòó. Ïîñêîëüêó âñå øåñòü ïóíêòîâ îïðåäåëåíèÿ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ðåàëèçóåìû â âèäå êîìïîçèöèé ìàøèí Òüþðèíãà, òî âñÿêàÿ ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà íà ìàøèíå Òüþðèíãà.
274
Ãëàâà 15
2. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, âû÷èñëèìàÿ ïî Òüþðèíãó, ðåêóðñèâíà (÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà). Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè â [Òðàõòåíáðîò, 1976; Êóçíåöîâ, 1980]. Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî êëàññ ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ íà ìàøèíå Òüþðèíãà, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûì êëàññîì. Êðîìå ìàøèíû Òüþðèíãà è íîðìàëüíîãî àëãîðèòìà Ìàðêîâà áûëî íàéäåíî è ïðåäëîæåíî ìíîãî äðóãèõ àëãîðèòìè÷åñêèõ ñõåì, íàïðèìåð, ìàøèíà ôîí Íåéìàíà, ìàøèíà Ïîñòà, áëîê-ñõåìû Ïîñòà, ôîðìàëüíîå èñ÷èñëåíèå ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé Ýðáðàíà øäåëÿ è äðóãèå. Îêàçàëîñü, ÷òî âñå îíè ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé, è, ñëåäîâàòåëüíî, âû÷èñëÿþò ðåêóðñèâíûå èëè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîñëóæèëî ïðè÷èíîé òîìó, ÷òî ðÿä ó÷åíûõ (׸ð÷, Òüþðèíã, Ìàðêîâ) âûñêàçàëè ãèïîòåçó, êîòîðàÿ èçâåñòíà êàê òåçèñ ׸ð÷à. 15.4.4. Òåçèñ ׸ð÷à Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíî âû÷èñëèìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ðåêóðñèâíà. Èíûìè ñëîâàìè, òåçèñ ׸ð÷à ïðåäëàãàåò ïîíèìàòü ïîä ýôôåêòèâíîé âû÷èñëèìîñòüþ ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìè÷åñêîé ñõåìû, à ïîñêîëüêó âñå íàéäåííûå àëãîðèòìè÷åñêèå ñõåìû âû÷èñëÿþò òîëüêî êëàññ ðåêóðñèâíûõ (÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ) ôóíêöèé, òî ïîä ýôôåêòèâíîé âû÷èñëèìîñòüþ òîãäà ïîíèìàåòñÿ ðåêóðñèâíîñòü. Ìû óæå ãîâîðèëè, ÷òî ïîíÿòèå àëãîðèòìà íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì. Ïîïûòêè íàéòè òàêîå îïðåäåëåíèå ïðèâåëè ê ñîçäàíèþ ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèõ àëãîðèòìè÷åñêèõ ñõåì. Çíà÷åíèå ãèïîòåçû, âûñêàçàííîé â òåçèñå ×åð÷à, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà óòî÷íÿåò èíòóèòèâíî ïîíÿòíîå, íî íåòî÷íîå è ðàñïëûâ÷àòîå ïîíÿòèå àëãîðèòìà ÷åðåç áîëåå ñïåöèàëüíîå, íî ìàòåìàòè÷åñêè òî÷íîå ïîíÿòèå àëãîðèòìè÷åñêîé ñõåìû. Òåïåðü ìîæíî ãîâîðèòü î ðàçðåøèìîñòè íåêîòîðîãî êëàññà çàäà÷ â òåðìèíàõ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàøèíû Òüþðèíãà (èëè àëãîðèòìà Ìàðêîâà, èëè êàêîé-ëèáî äðóãîé èç èçâåñòíûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ ñõåì). Òåçèñ ×åð÷à íå ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé, î åãî äîêàçàòåëüñòâå ðå÷è íå èäåò, ýòî óòâåðæäåíèå, ïðåäëàãàþùåå îòîæäåñòâèòü ýôôåêòèâíóþ âû÷èñëèìîñòü ñ ñóùåñòâîâàíèåì àëãîðèòìè÷åñêîé ñõåìû. Åãî ìîæíî ïðèíèìàòü èëè íå ïðèíèìàòü, Óâåðåííîñòü â ñïðàâåäëèâîñòè òåçèñà ׸ð÷à îñíîâàíà, ïðåæäå âñåãî, íà îïûòå: â ðåçóëüòàòå ìíîãî÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé íå óäàëîñü íàéòè êàêîé-ëèáî äðóãîé àëãîðèòìè÷åñêîé ñõåìû, êîòîðàÿ âû÷èñëÿëà áû áîëåå øèðîêèé êëàññ ôóíêöèé, ÷åì ðåêóðñèâíûé. Âñå íàéäåííûå àëãîðèòìè÷åñêèå ñõåìû îêàçàëèñü ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ýêâèâàëåíòíû ìàøèíå Òüþðèíãà.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
275
Ïîýòîìó âû÷èñëèìûìè ôóíêöèÿìè, ñîãëàñíî òåçèñó ׸ð÷à, ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåêóðñèâíûìè (÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûìè). Îäíàêî, íå âñå àðèôìåòè÷åñêèå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ðåêóðñèâíûìè. Ýòî íåòðóäíî ïîêàçàòü. Åñëè ïðèíèìàòü òåçèñ ×åð÷à, òî ìíîæåñòâî ýôôåêòèâíî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ìàøèí Òüþðèíãà, òàê êàê êàæäàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà âû÷èñëÿåò êàêóþ-ëèáî àðèôìåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ. Ëþáàÿ ïðîãðàììà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæåò áûòü çàêîäèðîâàíà íåêîòîðûì êîäîì. Ïóñòü Ì åñòü íåêîòîðàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà. Òîãäà ïðîãðàììó ìàøèíû Ì âìåñòå ñ âõîäíûì ñëîâîì W ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: xiqixkÏqj; xlqjxrËqn;
xvqmxnÏqk*W, ãäå êàæäàÿ êîìàíäà xiqi → xkξqj çàïèñàíà êàê xiqixkξqj (ξ ∈ {Ï, Ë, Í}), êîìàíäû ðàçäåëåíû ñèìâîëîì «;». Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ êîäîì ìàøèíû Òüþðèíãà è îáîçíà÷àåòñÿ d(Ì). Êîä ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëîì â íåêîòîðîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Áóäåì îáîçíà÷àòü ñîñòîÿíèÿ ìàøèíû Òüáðèíãà äåñÿòè÷íûìè ÷èñëàìè, òîãäà äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîñòîÿíèé ïîòðåáóåòñÿ 10 ñèìâîëîâ.  êà÷åñòâå âõîäíîãî àëôàâèòà âûáåðåì àëôàâèò èç äâóõ ñèìâîëîâ 0 è 1 (âîçìîæíîñòü êîäèðîâàíèÿ ñëîâ ëþáîãî àëôàâèòà â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íå âûçûâàåò ñîìíåíèé). Ñîõðàíèì ñèìâîëû äâèæåíèÿ ãîëîâêè: Ë, Ï, Í, è ðàçäåëèòåëüíûå ñèìâîëû «;» è «*». Òîãäà êîäó êàæäîé ìàøèíû Òüþðèíãà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ÷èñëî â ïÿòíàäöàòèðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, êîòîðîå ìîæíî ïåðåâåñòè â äåñÿòè÷íóþ ñèñòåìó ñ÷èñëåíèÿ, è ðàçëè÷íûì ìàøèíàì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçëè÷íûå ÷èñëà. Ýòî ÷èñëî, ñîîòâåòñòâóþùåå êîäó ìàøèíû, íàçûâàþò èíäåêñîì ìàøèíû Òüþðèíãà. Âû÷èñëåíèå èíäåêñà îïðåäåëÿåò èíúåêöèþ ìíîæåñòâà âñåõ ìàøèí Òüþðèíãà â áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî ìàøèí Òüþðèíãà ñ÷åòíî. Îäíàêî ìíîæåñòâî âñåõ àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé íåñ÷åòíî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò íåâû÷èñëèìûå ôóíêöèè è àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû.
15.5. Àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû 15.5.1. Óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà Ìàøèíà Òüþðèíãà ñîäåðæèò îñíîâíûå èäåè ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, â êîòîðûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âû÷èñëåíèé óïðàâëÿåòñÿ ïðîãðàììîé. Òüþðèíãó ïðèíàäëåæèò òàêæå èäåÿ ïîñòðîåíèÿ óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, êîòîðàÿ ñíà÷àëà ïðîâåðÿåò ïðàâèëüíîñòü ââåäåííîé â íåå ïðîãðàììû, à çàòåì âûïîëíÿåò åå íàä çàäàííûìè èñõîäíûìè äàííûìè. Ýòà èäåÿ ðåàëèçîâàíà â ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèíàõ. Öåëüþ Òüþðèíãà
276
Ãëàâà 15
ïðè ðàçðàáîòêå óíèâåðñàëüíîé ìàøèíû áûëî ñîçäàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ðàáîòû ëþáîé ìàøèíû Òüþðèíãà. Ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ìàøèíó Ì′(d(Ì)*W), íà âõîä êîòîðîé áóäåò ïîäàâàòüñÿ êîä ìàøèíû Òüþðèíãà d(Ì) âìåñòå ñ âõîäíûì ñëîâîì W. Òîãäà ìàøèíà Ì′ ñíà÷àëà ïðîâåðÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè d(Ì) ñèíòàêñè÷åñêè ïðàâèëüíûì ïðîãðàììíûì êîäîì äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà, è åñëè ýòî òàê, òî âûïîëíÿåò ïðîãðàììó ìàøèíû Ì íàä ñëîâîì W; åñëè æå íåò, òî îíà îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè «íåò!». Òàêàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ìàøèíîé Òüþðèíãà. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñòðîèòü è óíèâåðñàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâà. 15.5.2. Ïðîáëåìà îñòàíîâà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà Èñòîðè÷åñêè ïåðâîé àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé, äîêàçàííîé Òüþðèíãîì, áûëà ïðîáëåìà îñòàíîâà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà. Îíà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ìîæíî ëè ïîñòðîèòü òàêóþ óíèâåðñàëüíóþ ìàøèíó Òüþðèíãà Ì′, ÷òî áóäó÷è ïðèìåíåííîé ê ñëîâó (d(Ì)*W), îíà áóäåò îñòàíàâëèâàòüñÿ â «äà!» ñîñòîÿíèè, åñëè ìàøèíà Òüþðèíãà Ì ïðèìåíèìà ê ñëîâó W, ò.å. îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ýòîì ñëîâå, è îñòàíàâëèâàòüñÿ â «íåò!» ñîñòîÿíèè, åñëè ìàøèíà Ì íå ïðèìåíèìà ê ñëîâó W. Òåîðåìà 15.5. Ïðîáëåìà îñòàíîâà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà Ì′, ðàñïîçíàþùàÿ îñòàíîâ äëÿ ëþáîé ìàøèíû Òüþðèíãà, ïîñòðîåíà. Òîãäà â åå ïðîãðàììå åñòü êîìàíäû: q′σ → σ äà! è q′′τ → τ íåò!, ò.å. â ñîñòîÿíèè q′ íà ñèìâîëå σ ìàøèíà Ì′ îñòàíàâëèâàåòñÿ â äà!ñîñòîÿíèè, à â ñîñòîÿíèè q′′ íà ñèìâîëå τ â íåò!-ñîñòîÿíèè. Ïîñòðîèì òåïåðü ìàøèíó Òüþðèíãà Ì′′ òàê, ÷òî èçìåíèì â íåé òîëüêî îäíó êîìàíäó: â ñîñòîÿíèè q′ íà ñèìâîëå σ ìàøèíà Ì′′ âûäàåò ñèãíàë äà (ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå äà), íî íå îñòàíàâëèâàåòñÿ, à ïðîäîëæàåò áåñêîíå÷íî ïèñàòü ñèìâîë σ â îäíó è òó æå ÿ÷åéêó. Òîãäà â ïðîãðàììå ìàøèíû Ì′′ áóäóò êîìàíäû: q′σ → σ äàÍ è q′′τ → τ íåò!. Òåïåðü íà âõîä ìàøèíû Ì′ ïîäàäèì åå ñîáñòâåííûé êîä, à â êà÷åñòâå âõîäíîãî ñëîâà êîä ìàøèíû Ì′′: Ì′(d(M′)*d(M′′)). Ñìîæåò ëè òåïåðü ìàøèíà Ì′ ðàñïîçíàòü, îñòàíîâèòñÿ ëè îíà ñàìà íà êîäå ìàøèíû Òüþðèíãà Ì′′? Óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà ðàáîòàåò òàê, êàê ìàøèíà, êîä êîòîðîé ïîäàí íà åå ëåíòó, ñëåäîâàòåëüíî, äîéäÿ äî ñèìâîëà σ â ñîñòîÿíèè q′ â êîäå ìàøèíû Ì′′, ìàøèíà Ì′ îñòàíîâèòñÿ â
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
277
ñîñòîÿíèè «äà!», â òî âðåìÿ êàê Ì′′ íå îñòàíàâëèâàåòñÿ! È íàîáîðîò, êîãäà â ñîñòîÿíèè q′′ ìàøèíà Ì′′ âèäèò ñèìâîë τ, îíà âûäàåò ñîîáùåíèå «íåò» è îñòàíàâëèâàåòñÿ, à ìàøèíà Ì′ äëÿ ýòîé ñèòóàöèè òîæå îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè «íåò», ò.å. îíà âûäàåò ñîîáùåíèå î òîì, ÷òî ìàøèíà Ì′′ íå îñòàíàâëèâàåòñÿ! Òàêèì îáðàçîì, ìàøèíà Òüþðèíãà Ì′ íå ðàñïîçíàåò ñâîé ñîáñòâåííûé îñòàíîâ íà êîäå ìàøèíû Ì′′. Ñàì ôàêò âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ òàêîé ìàøèíû Òüþðèíãà, êîòîðàÿ íå ìîæåò ðàñïîçíàòü îñòàíîâ, äîêàçûâàåò àëãîðèòìè÷åñêóþ íåðàçðåøèìîñòü ýòîé ïðîáëåìû. 15.5.3. Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàøèíà Òüþðèíãà Ì ñàìîïðèìåíèìà, åñëè îíà îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ñâîåì ñîáñòâåííîì êîäå d(Ì), è íå ñàìîïðèìåíèìà, åñëè îíà íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ñâîåì êîäå d(Ì). Òåîðåìà 15.6. Ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ ñàìîïðèìåíèìîñòè ìàøèíû Òüþðèíãà àëãîðèòìè÷åñêè íå ðàçðåøèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñòðîåíà óíèâåðñàëüíàÿ ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà Ì′, êîòîðàÿ îñòàíàâëèâàåòñÿ â «äà!» ñîñòîÿíèè, åñëè ìàøèíà, êîä êîòîðîé ïîäàåòñÿ íà åå âõîä, ñàìîïðèìåíèìà, è â «íåò!» ñîñòîÿíèè, åñëè íå ñàìîïðèìåíèìà. Òîãäà â ïðîãðàììå ìàøèíû Òüþðèíãà Ì′ ïðèñóòñòâóþò äâå êîìàíäû âèäà: q′σ→ σäà!, q′′τ → τíåò! Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó äîêàçàòåëüñòâó, ïîñòðîèì ìàøèíó Ì′′, èçìåíèâ îäíó êîìàíäó: q′σ → σäàÍ (ò.å. â ñîñòîÿíèè q′ ìàøèíà íå îñòàíàâëèâàåòñÿ, à áåñêîíå÷íî ïèøåò ñèìâîë σ íà ëåíòå). Òåïåðü, åñëè íà âõîä Ì′ ïîäàòü d(Ì′′): Ì′(d(Ì′′)) ìàøèíà áóäåò âûäàâàòü «äà!», ò.å. ñîîáùàòü, ÷òî Ì′′ ñàìîïðèìåíèìà, â òî âðåìÿ êàê îíà íåñàìîïðèìåíèìà, òàê êàê íå îñòàíàâëèâàåòñÿ, è, íàîáîðîò, îíà áóäåò âûäàâàòü ñîîáùåíèå «íåò!», åñëè ìàøèíà Ì′′ íå îñòàíàâëèâàåòñÿ, ò.å. åñëè îíà ñàìîïðèìåíèìà. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ñàìîïðèìåíèìîñòè ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó íåâîçìîæíîñòè ðàñïîçíàâàíèÿ îñòàíîâà ìàøèíû Òüþðèíãà. Îòñþäà âîçíèê è îáùèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè äðóãèõ çàäà÷: ìåòîä ñâåäåíèÿ ïðîáëåì. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íîâàÿ ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê íåêîòîðîé äðóãîé ïðîáëåìå, äëÿ êîòîðîé óæå äîêàçàíà àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü. Îñîáåííî ÷àñòî ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ â ïðîáëåìå ñàìîïðèìåíèìîñòè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîáëåìó ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ â àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèÿõ. Òåîðåìà 15.7. (Ìàðêîâà Ïîñòà). Ñóùåñòâóåò àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå, â êîòîðîì ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà.
278
Ãëàâà 15
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìàøèíà Òüþðèíãà Ì íà÷èíàåò ðàáîòó ñî ñëîâà R ñ íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèåé q0a è çàêàí÷èâàåò ðàáîòó ñëîâîì S ñ êîíå÷íîé êîíôèãóðàöèåé qkb. Ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ R è S â òàêîé ïîñòàíîâêå çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè àëãîðèòìà, êîòîðûé ïî êîäó ìàøèíû Ì ðàñïîçíàåò, îñòàíîâèòñÿ ëè îíà â ñîñòîÿíèè qk, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñ êîíôèãóðàöèè q0a, èëè íåò. Ïîäàäèì êîä ýòîé ìàøèíû âìåñòå ñî ñëîâîì R íà âõîä óíèâåðñàëüíîé ìàøèíû Ì′: Ì′(d(M)*R). Äëÿ ìàøèíû Ì′ ïðîáëåìà îñòàíîâà íåðàçðåøèìà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ òàêæå àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà. Ïîêàæåì, ÷òî îíà íåðàçðåøèìà òàêæå è â íåêîòîðîì àññîöèàòèâíîì èñ÷èñëåíèè. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæíî ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíîå åìó àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå. Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî áûëî äîêàçàíî íàìè äëÿ íîðìàëüíûõ àëãîðèòìîâ Ìàðêîâà. Íîðìàëüíûé àëãîðèòì Ìàðêîâà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå ñ îäíîíàïðàâëåííûìè ïîäñòàíîâêàìè, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ñèñòåì. Ïðè íåîáõîäèìîñòè äëÿ êàæäîé ïîäñòàíîâêè íîðìàëüíîãî àëãîðèòìà ìîæíî îïðåäåëèòü îáðàòíóþ ïîäñòàíîâêó è ïîëó÷èòü àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå ñ äâóíàïðàâëåííûìè ïîäñòàíîâêàìè. Ïîñòðîèì àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå G(M), âûïîëíÿþùåå òîò æå àëãîðèòì, ÷òî è ìàøèíà Ì, â ÷àñòíîñòè, ïåðåðàáàòûâàþùåå ñëîâî R â ñëîâî S, è ïðèñîåäèíèì ê íåìó ñèñòåìó ïîäñòàíîâîê âèäà qkai → qk. Ïîëó÷èì íîâîå èñ÷èñëåíèå G′(M).  ýòîì èñ÷èñëåíèè òàêæå ïåðåðàáàòûâàþòñÿ ñëîâà âèäà R â ñëîâà âèäà S, íî âñå çàêëþ÷èòåëüíûå êîíôèãóðàöèè Ì â G′(M) ýêâèâàëåíòíû. Ïîýòîìó â G(M) ñëîâà q0a è qk ýêâèâàëåíòíû, åñëè è òîëüêî åñëè ìàøèíà Ì, íà÷àâ ðàáîòó ñî ñëîâà q0a, îñòàíîâèòñÿ. Ââèäó íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû îñòàíîâà äëÿ Ì′, ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ q0a è qk òàêæå íåðàçðåøèìà. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ â îáùåì ñëó÷àå (ò.å. äëÿ âñåãî ìíîæåñòâà àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèé) àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà. Îòñþäà ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè àëãîðèòìîâ íåðàçðåøèìà: ïî äâóì çàäàííûì àëãîðèòìàì â îáùåì ñëó÷àå íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü, âû÷èñëÿþò îíè îäíó è òó æå ôóíêöèþ èëè íåò. Èñòîðè÷åñêè àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ñíà÷àëà áûëà óñòàíîâëåíà äëÿ ïðîáëåì, âîçíèêàþùèõ â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, ïðîáëåì âûâîäèìîñòè â ôîðìàëüíûõ òåîðèÿõ. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåì ñàìîïðèìåíèìîñòè è ýêâèâàëåíòíîñòè ïîêàçàëî, ÷òî àëãîðèòìè÷åñêèå ñõåìû ìîãóò ñëóæèòü àïïàðàòîì èññëåäîâàíèÿ ðàçðåøèìîñòè è ïîëíîòû ôîðìàëüíûõ òåîðèé. Ïðîá-
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
279
ëåìó âûâîäèìîñòè â ôîðìàëüíîé òåîðèè ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðîáëåìó ðàñïîçíàâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ: ñ ïîìîùüþ çàäàííîé ñèñòåìû ïðàâèë âûâîäà íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôîðìóëà âûâîäèìîé èç çàäàííîé ñèñòåìû àêñèîì è èñõîäíîãî ìíîæåñòâà ïîñûëîê. Òîãäà èç àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè ðàñïîçíàâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ ñëåäóåò íåðàçðåøèìîñòü (â îáùåì ñëó÷àå!) ïðîáëåìû âûâîäèìîñòè. Ìû çíàåì, ÷òî èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ðàçðåøèìî: ïîñòðîåíèå òàáëèöû èñòèííîñòè ôîðìóëû ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòìîì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ (èëè íå ÿâëÿåòñÿ) òàâòîëîãèåé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé, à, ñëåäîâàòåëüíî, è òåîðåìîé èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ñóùåñòâîâàíèå íåðàçðåøèìûõ ïðåäëîæåíèé ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè (òåîðåìà øäåëÿ î íåïîëíîòå) äîêàçûâàåò åå íåðàçðåøèìîñòü. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû øäåëÿ ñóùåñòâåííî îñíîâûâàëîñü íà ðåêóðñèâíîñòè ïðåäñòàâèìûõ â S ôóíêöèé è îòíîøåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, òîò æå ñàìûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ àïïàðàò àëãîðèòìè÷åñêèõ ñõåì, â ÷àñòíîñòè, ìàøèíû Òüþðèíãà.  1936 ã. ýòîò ðåçóëüòàò: ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ âûâîäèìîñòè â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà, áûë ïîëó÷åí ׸ð÷åì. Äëÿ äàëüíåéøèõ äîêàçàòåëüñòâ ââåäåì íåêîòîðûå íîâûå ïîíÿòèÿ. 15.5.4. Ðåêóðñèâíûå è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 15.13. Ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì ìíîæåñòâîì ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïóñòîå ìíîæåñòâî, ëèáî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåêîòîðîé ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè F(x). Ïðèíèìàÿ òåçèñ ׸ð÷à, ýòî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü òàê, ÷òî äëÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîðîæäåíèÿ (ïåðå÷èñëåíèÿ) âñåõ åãî ýëåìåíòîâ; èíûìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà, êîòîðàÿ, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñ ïóñòîé ëåíòû, âûïèñûâàåò íà íåå âñå ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 15.14. Ìíîæåñòâî S ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíûì, åñëè ñóùåñòâóåò ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) òàêàÿ, ÷òî
1, åñëè x ∈ S, f ( x) = 0, åñëè x ∉ S.  òåðìèíàõ ýôôåêòèâíîé âû÷èñëèìîñòè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà äëÿ âûÿñíåíèÿ âîïðîñà, ïðèíàäëåæèò èëè íå ïðèíàäëåæèò ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ýòîìó ìíîæåñòâó. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà, êîòîðàÿ äëÿ ëþáîãî x îñòàíàâëèâàåòñÿ â «äà!» ñîñòîÿíèè, åñëè x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S, è â «íåò!» ñîñòîÿíèè, åñëè x íå ïðèíàäëåæèò S.
280
Ãëàâà 15
Ðåêóðñèâíûå ìíîæåñòâà íàçûâàþò òàêæå ðàçðåøèìûìè ìíîæåñòâàìè. Ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå òåîðåìû î ðåêóðñèâíûõ è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâàõ. Òåîðåìà 15.8. Åñëè ìíîæåñòâà R è S ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû, òî èõ îáúåäèíåíèå R ∪ S è ïåðåñå÷åíèå R ∩ S òàêæå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå ìàøèíû ÌR è ÌS, êîòîðûå ïîðîæäàþò ýëåìåíòû ìíîæåñòâ R è S ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà ÌR ∪ ÌS, âûïèñûâàþùóþ íà ëåíòó ïîñëåäîâàòåëüíî ýëåìåíòû r1, s1, r2, s2,
, óäàëÿÿ ïîâòîðÿþùèåñÿ ýëåìåíòû. Ìîæíî ïîñòðîèòü òàêæå ìàøèíó ÌR ∩ ÌS, êîòîðàÿ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäåò îñòàâëÿòü òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå âõîäÿò îäíîâðåìåííî è â R, è â S. Òåîðåìà 15.9. Ìíîæåñòâî S ðåêóðñèâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà S è åãî äîïîëíåíèå S′ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S ⊆ N è S ðåêóðñèâíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà ÌS, êîòîðàÿ äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ∈ N ðàñïîçíàåò, ïðèíàäëåæèò ëè îíî ìíîæåñòâó S, èëè íåò. Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ êîìïîçèöèþ, ÷òî åñëè ÌS(n) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè «äà!», ò.å. n ∈ S, òî íà÷èíàåò ðàáîòó ìàøèíà Ì1, êîòîðàÿ âûïèñûâàåò íà ñâîþ ëåíòó âñå ýëåìåíòû S, à åñëè ÌS(n) îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè «íåò!», ò.å. n ∉ S, òî íà÷èíàåò ðàáîòàòü ìàøèíà Ì2, êîòîðûå âûïèñûâàåò âñå ýëåìåíòû, íå ïðèíàäëåæàùèå S, íà ñâîþ ëåíòó. Òîãäà ìàøèíà Ì1 ïîðîæäàåò âñå ýëåìåíòû S, à Ì2 åãî äîïîëíåíèÿ S′. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî S è åãî äîïîëíåíèå S′ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû. 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S è S′ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïîðîæäàþùèå èõ ìàøèíû ÌS è ÌS′. Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìàøèíó Ì(x), êîòîðàÿ äëÿ êàæäîãî x áóäåò çàïóñêàòü ïîïåðåìåííî ÌS è ÌS′ è ñðàâíèâàòü x ñ î÷åðåäíûì ýëåìåíòîì si. Åñëè x = si, ïîðîæäåííîìó ìàøèíîé ÌS, òî ìàøèíà Ì(x) îñòàíàâëèâàåòñÿ â «äà!» ñîñòîÿíèè, à åñëè ìàøèíîé ÌS′ òî â «íåò!» ñîñòîÿíèè. Òîãäà ìàøèíà Ì(x) ðàáîòàåò êàê ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòà x ∈ S. Ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ìàøèíû îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî S ðåêóðñèâíî. Òåîðåìà 15.10. Ñóùåñòâóþò ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå, íî íåðåêóðñèâíûå ìíîæåñòâà.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
281
 ñèëó òåîðåìû 15.9 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî S, êîòîðîå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, íî åãî äîïîëíåíèå S′ íå ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü â âèäå ñïèñêà (çàíóìåðîâàòü): S1, S2,
, Si,
. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà Ì(n), òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n = 1, 2, 3,
îíà ïðîâåðÿåò, ïðèíàäëåæèò ëè ÷èñëî n, ñîîòâåòñòâóþùåå èíäåêñó ìíîæåñòâà Sn, ñàìîìó ýòîìó ìíîæåñòâó, (ò.å. n ∈ Sn), èëè íåò. Òîãäà, åñëè n ∈ Sn, îíà âûäàåò ñîîáùåíèå «äà» è çàïèñûâàåò ýòî ÷èñëî â ìíîæåñòâî U, à åñëè n ∉ Sn, òî îíà âûäàåò «íåò», è çàïèñûâàåò ÷èñëî n â ìíîæåñòâî U′. Òàêèì îáðàçîì, U áóäåò ñîäåðæàòü íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è áóäåò ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî. Î÷åâèäíî, ÷òî U′ áóäåò äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà U äî ìíîæåñòâà âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ìíîæåñòâî U′ íå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè U′ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, òî U′ âõîäèò â íàø ïåðåñ÷åò ñ íåêîòîðûì íîìåðîì k, ò.å. U′ = Sk. Òîãäà, åñëè k ∈ Sk , òî k ∈ U, ò.å. k ∉U′, íî òîãäà k ∉ Sk; à åñëè k ∉ Sk , òî k ∈ U′, ò.å. k ∈ Sk. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò ýëåìåíò k, êîòîðûé íåëüçÿ îòíåñòè íè ê òîìó, íè ê äðóãîìó ìíîæåñòâó. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî íàøå ïðåäïîëîæåíèå î ñóùåñòâîâàíèè òàêîé ðàñïîçíàþùåé ìàøèíû Òüþðèíãà áûëî íåâåðíûì, è ìíîæåñòâî U′ íå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, è, ñëåäîâàòåëüíî, U íå ðåêóðñèâíî. Èç äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ÷òî àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü è íåðåêóðñèâíîñòü ýòî âçàèìîñâÿçàííûå ñâîéñòâà. Ñïîñîá êîäèðîâàíèÿ ïðîãðàìì ìàøèí Òüþðèíãà, îïèñàííûé âûøå, çàäàåò ýôôåêòèâíóþ ïðîöåäóðó, ïîðîæäàþùóþ ìíîæåñòâî èíäåêñîâ ìàøèí Òüþðèíãà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ìàøèí Òüþðèíãà ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî. Ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìíîæåñòâî âñåõ ìàøèí, êîòîðûå çàêàí÷èâàþò ñâîþ ðàáîòó çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû îñòàíîâà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ìàøèíó Òüþðèíãà, äëÿ êîòîðîé íåâîçìîæíî ðàñïîçíàòü îñòàíîâ. Ýòî ïîñòðîåíèå äîêàçûâàåò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ìàøèí Òüþðèíãà, êîòîðûå íå îñòàíàâëèâàþòñÿ íà íåêîòîðîì ñëîâå, íå ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ ìàøèí, êîòîðûå îñòàíàâëèâàþòñÿ, íåðåêóðñèâíî (íåðàçðåøèìî). Íåðåêóðñèâíîñòü ìíîæåñòâà îçíà÷àåò, ÷òî åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ðàñïîçíàþùàÿ ïðèíàäëåæíîñòü ýëåìåíòà ýòîìó ìíîæåñòâó, ÿâëÿåòñÿ íåâû÷èñëèìîé. Ïîñòðîèì òàêóþ ôóíêöèþ.
282
Ãëàâà 15
15.6. Íåâû÷èñëèìûå ôóíêöèè Îïðåäåëèì ïðåäèêàò T(i, a, x), ãäå i èíäåêñ ìàøèíû Òüþðèíãà, êîòîðàÿ, áóäó÷è ïðèìåíèìà ê ñëîâó a, çàêàí÷èâàåò ðàáîòó â ìîìåíò âðåìåíè x, âû÷èñëÿÿ ïðè ýòîì ôóíêöèþ ϕi(a). Ñóùåñòâîâàíèå ìîìåíòà âðåìåíè x ãàðàíòèÿ îñòàíîâà ìàøèíû. Ýòîò ïðåäèêàò áóäåò ðàçðåøèìûì (ò.å. èñòèííûì ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ i, a, x). Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ óíèâåðñàëüíóþ ìàøèíó Òüþðèíãà Ì′, êîòîðàÿ äëÿ ëþáîé ìàøèíû áóäåò îïðåäåëÿòü, ÿâëÿåòñÿ ëè i ïðàâèëüíûì êîäîì ìàøèíû Òüþðèíãà. Åñëè i íå ÿâëÿåòñÿ êîäîì, òî Ì′ îñòàíîâèòñÿ â ñîñòîÿíèè «íåò!»; òîãäà |T(i, a, x)| = F. Åñëè i ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì êîäîì ìàøèíû Òüþðèíãà, òî Ì′ áóäåò ðàáîòàòü íàä ñëîâîì a è îñòàíîâèòñÿ â ñîñòîÿíèè «äà!», åñëè â ìîìåíò x ìàøèíà âû÷èñëèò çíà÷åíèå ôóíêöèè ϕi(a). Òîãäà |T(i, a, x)| = T. Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðåäèêàò T(i, a, x) ðàçðåøèì â èíòóèòèâíîì ñìûñëå. Åñëè ïðèíèìàòü òåçèñ ׸ð÷à, òî ýòîò ïðåäèêàò ðàçðåøèì è â ñòðîãîì ñìûñëå, ò.å. ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïðåäèêàòà: 0, åñëè T (i, a, x) = F , τ(i, a, x) = 1, åñëè T (i, a, x) = T . Òàêèì îáðàçîì, âî-ïåðâûõ, ïðåäèêàò T(i, a, x) ðàçðåøèì, à âîâòîðûõ, ϕ i (a) âû÷èñëèìà êàê ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ îò x. Äåéñòâèòåëüíî, îíà îïðåäåëåíà íå äëÿ âñåõ i è a, à òîëüêî äëÿ òåõ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ìîìåíò âðåìåíè x, êîãäà ìàøèíà Òüþðèíãà îñòàíîâèòñÿ. Ïîýòîìó ϕi(a) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé è âû÷èñëèìà êàê ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ îò i è x, ò.å. òîãäà, êîãäà |∀a∃xT(i, a, x)| = T. Îïðåäåëèì òåïåðü ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ: ϕ (a) + 1, åñëè ∃xT (a, a, x), ψ(a) = a 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òåîðåìà 15.11. (×åð÷à). Ôóíêöèÿ ψ(a) íåâû÷èñëèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ψ(a) âû÷èñëèìà. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà ÌP, âû÷èñëÿþùàÿ ψ(a), è p èíäåêñ ýòîé ìàøèíû, ò.å. ψ(a) = ϕð(a) äëÿ âñåõ a. Ïîäñòàâëÿÿ p âìåñòî a, ïîëó÷èì: ψ(p) = ϕð(p). Òîãäà ïðåäèêàò |∃xÒ(ð, à, x)| = Ò äëÿ äàííîãî p è äëÿ ëþáîãî a, â òîì ÷èñëå è äëÿ à = ð, ò.å. |∃xÒ(ð, ð, x)| = Ò. Íî òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ψ(a), ψ(ð)= ϕð(ð) + 1, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîëó÷åííîìó ðàíåå ðàâåíñòâó. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
283
Òåîðåìà ׸ð÷à äàåò êîíñòðóêòèâíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íåâû÷èñëèìîé ôóíêöèè. Ïðèìåð.  êà÷åñòâå ïðèìåðà îïðåäåëåíèÿ íåâû÷èñëèìîé ôóíêöèè ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Ïðåäñòàâèì ñåáå áîëüøóþ áèáëèîòåêó, â êîòîðîé êíèãè ðàññòàâëåíû ïî ðàçäåëàì. Äëÿ êàæäîãî ðàçäåëà ñîñòàâëåí êàòàëîã. Êàæäàÿ êíèãà èìååò íàçíà÷åííóþ åé öåíó, à ïîñêîëüêó êàòàëîã ðàçäåëà ñîäåðæèò ñâåäåíèÿ îáî âñåõ êíèãàõ, îí äîëæåí áûòü ñàìîé öåííîé êíèãîé. Ïîýòîìó åãî ñòîèìîñòü îïðåäåëåíà êàê ôóíêöèÿ îò ñòîèìîñòè ñàìîé äîðîãîé êíèãè â ðàçäåëå: Ñê = Ñmax + 1. Êíèã â áèáëèîòåêå îêàçàëîñü íàñòîëüêî ìíîãî, ÷òî âñå êàòàëîãè áûëè ñîñòàâëåíû â îòäåëüíûé ðàçäåë ðàçäåë êàòàëîãîâ, äëÿ êîòîðîãî òàêæå áûë ñîñòàâëåí êàòàëîã êàòàëîã êàòàëîãîâ. Åìó òàêæå äîëæíà áûòü íàçíà÷åíà öåíà ïî îïðåäåëåííîìó âûøå ïðàâèëó: ñòîèìîñòü åãî Ñêê äîëæíà áûòü ñàìîé âûñîêîé â ýòîì ðàçäåëå, ò.å. Ñêê = Ñêmax, è äîëæíà áûòü íà åäèíèöó áîëüøå öåíû ñàìîé äîðîãîé êíèãè â ðàçäåëå: Ñêê = Ñêmax + 1. Íî ïîñêîëüêó êàòàëîã êàòàëîãîâ ñàì ÿâëÿåòñÿ êàòàëîãîì, òî åãî öåíà äîëæíà áûòü íà åäèíèöó áîëüøå åãî ñîáñòâåííîé ñòîèìîñòè: Ñêê = Ñêê + 1. Òàêèì îáðàçîì, îêàçàëîñü, ÷òî ñòîèìîñòü åãî íåâîçìîæíî âû÷èñëèòü ïî çàäàííîìó ïðàâèëó. Íåâû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ ׸ð÷à óæå âñòðå÷àëàñü íàì è ðàíåå: ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà âñåõ àðèôìåòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåðåêóðñèâíîñòè ìíîæåñòâà, èìåþùåãî íå ïåðå÷èñëèìîå ðåêóðñèâíî äîïîëíåíèå. Íî â òåîðåìå ׸ð÷à ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ÷åðåç ïðåäèêàò Ò(ð, à, x), ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþùèé óñëîâèå îñòàíîâà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà ïåðåìåííóþ x. Ïðåäèêàò ∃xÒ(ð, ð, x) ôîðìóëèðóåò óñëîâèå îñòàíîâà ìàøèíû Òüþðèíãà íà ñâîåì ñîáñòâåííîì êîäå, ò.å. óñëîâèå ñàìîïðèìåíèìîñòè. Ïîëó÷åííîå â òåîðåìå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ýòîò ïðåäèêàò íåðàçðåøèì (ò.å. ïðåäïîëîæåíèå î åãî ðàçðåøèìîñòè áûëî ëîæíûì). Òåì ñàìûì òåîðåìà ׸ð÷à åùå ðàç äîêàçûâàåò íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ñàìîïðèìåíèìîñòè, à â òåðìèíàõ òåîðèè ïðåäèêàòîâ ñóùåñòâîâàíèå íåðàçðåøèìîãî ïðåäëîæåíèÿ: ïðåäëîæåíèÿ î ðàñïîçíàâàíèè îñòàíîâà äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà íà ñâîåì ñîáñòâåííîì êîäå. Ñóùåñòâîâàíèå íåðàçðåøèìîãî ïðåäèêàòà äîêàçûâàåò íåðàçðåøèìîñòü èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ñîäåðæàùåãî àðèôìåòèêó, âñïîìíèì, ÷òî ôîðìóëà G, ïîñòðîåííàÿ øäåëåì, òàêæå óòâåðæäàåò ñâîþ ñîáñòâåííóþ íåâûâîäèìîñòü, à ïîñêîëüêó åå äåéñòâèòåëüíî íåëüçÿ íè äîêàçàòü, íè îïðîâåðãíóòü, òî ýòî ðàâíîçíà÷íî íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ñàìîïðèìåíèìîñòè. Èíòóèòèâíî íàì óæå ïîíÿòíî, ÷òî íåðàçðåøèìîñòü òåîðèè ïðåäèêàòîâ ñâÿçàíà ñ íåðåêóðñèâíîñòüþ ìíîæåñòâà âñåõ òåîðåì ôîðìàëüíîé òåîðèè. Àðèôìåòèçàöèÿ ôîðìàëüíîé òåîðèè S (è
284
Ãëàâà 15
ñïîñîá, ïðåäëîæåííûé øäåëåì äëÿ àðèôìåòèçàöèè ëþáîé ôîðìàëüíîé òåîðèè) ïîçâîëÿåò íàì ãîâîðèòü î íèõ â òåðìèíàõ ðåêóðñèâíûõ è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå íåðàçðåøèìîãî ïðåäëîæåíèÿ, èñòèííîãî â ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè, íî íåâûâîäèìîãî â ôîðìàëüíîé òåîðèè, îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ã¸äåëåâà íîìåðà (íàòóðàëüíîãî ÷èñëà), êîòîðîå íå ïðèíàäëåæèò íè ìíîæåñòâó ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ òåîðåì (âûâîäèìûõ ïðåäëîæåíèé), íè ìíîæåñòâó ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ íåâûâîäèìûõ ïðåäëîæåíèé. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ òåîðåì (è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ñàìèõ òåîðåì) òåîðèè ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà íåðåêóðñèâíî. Ôîðìàëüíî ýòî äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé èçâåñòíî êàê äîêàçàòåëüñòâî Ðîññåðà òåîðåìû Ãåäåëÿ. Òåîðåìà 15.12. Ïóñòü ñóùåñòâóþò äâà ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ íåïóñòûõ ìíîæåñòâà C0 è C1, òàêèå, ÷òî C0 ∩ C1 = ∅, è ñóùåñòâóþò äâà ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâà D0 è D1, òàêèå, ÷òî C0 ⊆ D0, C1 ⊆ D1 è D0 ∩ D1 = ∅. Òîãäà ìîæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî f, ÷òî f ∉ D0 è f ∉ D1. Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà C0 è C1 ñëåäóþùèì îáðàçîì: C0 = {a | ϕa(a) îïðåäåëåíà è ϕa(a) = 0}, C1 = {a | ϕa(a) îïðåäåëåíà è ϕa(a) ≠ 0}. Ïîíÿòíî, ÷òî ìíîæåñòâà C0 è C1 íåïóñòû è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïóñòü ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà D0 è D1, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì òåîðåìû. Òîãäà èç òîãî, ÷òî D0 ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ìàøèíû Òüþðèíãà, ïåðå÷èñëÿþùåé ýëåìåíòû D0, ò.å. âû÷èñëÿþùåé ôóíêöèþ ϕ0(D0), è èç òîãî, ÷òî D1 ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ìàøèíû Òüþðèíãà, ïåðå÷èñëÿþùåé ýëåìåíòû D1, ò.å. âû÷èñëÿþùåé ôóíêöèþ ϕ1(D1). Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà Ì, êîòîðàÿ äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a îïðåäåëÿåò, ïðèíàäëåæèò ýòî ÷èñëî íóìåðàöèè ϕ0 èëè íóìåðàöèè ϕ1. Ïðè ýòîì, åñëè ìàøèíà Òüþðèíãà Ì íàõîäèò ÷èñëî a â íóìåðàöèè ϕ0, òî îíà ïå÷àòàåò «1» è îñòàíàâëèâàåòñÿ, à åñëè ÷èñëî a ïðèíàäëåæèò íóìåðàöèè ϕ1, òî ìàøèíà ïå÷àòàåò «0» è îñòàíàâëèâàåòñÿ. Åñëè a ∉ ϕ0 è a ∉ ϕ1, òî ìàøèíà Òüþðèíãà íå îñòàíàâëèâàåòñÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî f ∈ D0. Òîãäà f ∉ D1. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî f ∈ ϕ0, ò.å. âñòðå÷àåòñÿ â íóìåðàöèè ϕ0, è f ∉ ϕ1 (íå âñòðå÷àåòñÿ â íóìåðàöèè ϕ1). Ïîäàäèì ÷èñëî f íà âõîä ìàøèíû Òüþðèíãà Ì. Òàê êàê f ∈ ϕ0, òî ìàøèíà íàïå÷àòàåò «1», ò. å. ϕf(f) = 1. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ
Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ
285
ìíîæåñòâ C0 è C1, ÷èñëî f ñëåäóåò îòíåñòè ê C1: f ∈ C1; à ïîñêîëüêó C1 ⊆ D1, òî f ∈ D1, ò.å. f ∉ D0. È íàîáîðîò, åñëè f ∈ D1, òî ϕf(f) = 0, ñëåäîâàòåëüíî, f ∈ C0, à çíà÷èò è f ∈ D0, ñëåäîâàòåëüíî, f ∉ D1. Òàêèì îáðàçîì, f íå ïîïàäàåò íè â îäíî, íè â äðóãîå ìíîæåñòâî. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. Òåîðåìà Ðîññåðà íå òîëüêî äîêàçûâàåò òåîðåìó øäåëÿ â äðóãèõ òåðìèíàõ, íî è ïîêàçûâàåò, ÷òî î âû÷èñëèìîñòè, âûâîäèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè ìîæíî ãîâîðèòü â òåðìèíàõ ðåêóðñèâíûõ è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ. Ïîýòîìó ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû, îáîáùàþùèå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå øäåëåì, ׸ð÷åì, Ðîññåðîì è äðóãèìè ìàòåìàòèêàìè îòíîñèòåëüíî ðàçðåøèìîñòè ôîðìàëüíûõ òåîðèé. Òåîðåìà 15.13. (Òåîðåìà øäåëÿ â ôîðìå Ðîññåðà). Ïóñòü K òåîðèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ òåìè æå ñèìâîëàìè, ÷òî è òåîðèÿ S, è ïóñòü, êðîìå òîãî, K óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: (1) âñÿêîå ðåêóðñèâíîå âûðàæåíèå âûðàçèìî â K; (2) ìíîæåñòâî ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ ñîáñòâåííûõ àêñèîì òåîðèè K ðåêóðñèâíî; (3) âûïîëíåíû óñëîâèÿ: èìååòñÿ ôîðìóëà u ≤ v òàêàÿ, ÷òî (i) äëÿ âñÿêîé ôîðìóëû A(x) è äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî k |K A(0) & A(1) & ... & A(k) → ∀x(x ≤ k → A(x)); (ii) äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà |K x ≤ k ∨ k ≤ x. Òîãäà äëÿ òåîðèè K ñïðàâåäëèâà òåîðåìà øäåëÿ â ôîðìå Ðîññåðà: åñëè òåîðèÿ K íåïðîòèâîðå÷èâà, òî ñóùåñòâóåò íåðàçðåøèìîå â ýòîé òåîðèè ïðåäëîæåíèå. (Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (1) âûïîëíÿåòñÿ, åñëè â K ïðåäñòàâèìà êàæäàÿ ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ). Îïðåäåëåíèå 15.15. Íàçîâåì òåîðèþ K ðåêóðñèâíî àêñèîìàòèçèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ òåîðèÿ K′ ñ òåì æå, ÷òî è ó K, ìíîæåñòâîì òåîðåì, ÷òî ìíîæåñòâî ã¸äåëåâûõ íîìåðîâ ñîáñòâåííûõ àêñèîì K′ ðåêóðñèâíî. Îïðåäåëåíèå 15.16. Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíî àêñèîìàòèçèðîâàííîé, åñëè ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà, ïîçâîëÿþùàÿ äëÿ êàæäîé ôîðìóëû ýòîé òåîðèè óçíàâàòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà åå àêñèîìîé. Ñëåäñòâèå. Òåîðåìà øäåëÿ â ôîðìå Ðîññåðà ñïðàâåäëèâà äëÿ êàæäîãî íåïðîòèâîðå÷èâîãî ðåêóðñèâíî àêñèîìàòèçèðóåìîãî ðàñøèðåíèÿ òåîðèè S, ò.å. äëÿ êàæäîãî òàêîãî ðàñøèðåíèÿ ñóùåñòâóåò ïðåäëîæåíèå, íåðàçðåøèìîå â íåì.
286
Ãëàâà 15
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê âñå ðåêóðñèâíûå îòíîøåíèÿ âûðàçèìû â S, òî îíè âûðàçèìû è âî âñÿêîì ðàñøèðåíèè S. Òî÷íî òàê æå, åñëè óñëîâèÿ (i) (ii) âûïîëíåíû â S, òî îíè âûïîëíåíû è âî âñÿêîì ðàñøèðåíèè S. Ïîýòîìó, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 14.9, òåîðåìà øäåëÿ â ôîðìå Ðîññåðà ïðèìåíèìà ê ëþáîìó íåïðîòèâîðå÷èâîìó ðåêóðñèâíî àêñèîìàòèçèðóåìîìó ðàñøèðåíèþ òåîðèè S. Åñëè ïðèíèìàòü òåçèñ ׸ð÷à, òî ïîñëåäíåå ñëåäñòâèå óòâåðæäàåò, ÷òî òåîðèÿ S ñóùåñòâåííî íåïîëíà, ò.å., ÷òî ëþáîå íåïðîòèâîðå÷èâîå ýôôåêòèâíî àêñèîìàòèçèðîâàííîå ðàñøèðåíèå òåîðèè S èìååò íåðàçðåøèìûå ïðåäëîæåíèÿ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.
Àðáèá Ì. Ìîçã, ìàøèíà è ìàòåìàòèêà. Ì.: Íàóêà, 1968. Áåðæ Ê. Òåîðèÿ ãðàôîâ è åå ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1962. Áèðêãîô Ã. Òåîðèÿ ðåøåòîê. Ì.: Íàóêà, 1984. Áóëîñ Äæ., Äæåôôðè Ð. Âû÷èñëèìîñòü è ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1994. Ãèëüáåðò Ä., Áåðíàéñ Ï. Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ è ôîðìàëèçàöèÿ àðèôìåòèêè. Ì.: Íàóêà, 1979. Ãèíäèêèí Ñ. Ã. Àëãåáðà ëîãèêè â çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà, 1972. Ãëóøêîâ Â. Ì. Ââåäåíèå â êèáåðíåòèêó. Ê.: Èçä-âî ÀÍ ÓÑÑÐ, 1964. Ãîðáàòîâ Â. À. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Âûñø. øê., 1986. Ãýðè Ì., Äæîíñîí Ä. Âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû è òðóäíîðåøàåìûå çàäà÷è. Ì.: Ìèð, 1982. Äîíñêîé Â. È. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. Ñèìôåðîïîëü: ÑÎÍÀÒ, 2000. Åðøîâ Þ. À., Ïàëþòèí Å. À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Íàóêà, 1979. Çàäå Ë. Ïîíÿòèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèìåíåíèå ê ïðèíÿòèþ ïðîáëåìíûõ ðåøåíèé. Ì.: Ìèð, 1976. Êàððè Õ. Á. Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Ìèð, 1969. Êëèíè Ñ. Ê. Ââåäåíèå â ìåòàìàòåìàòèêó. Ì.: Ìèð, 1957. Êëèíè Ñ. Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1973. Êîëìîãîðîâ À. Í., Äðàãàëèí À. Ã. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1982. Êîôìàí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. Êîýí Ï. Äæ. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è êîíòèíóóì-ãèïîòåçà. Ì.: Ìèð, 1973. Êóçèí Ë. Ò. Îñíîâû êèáåðíåòèêè:  2 ò. Ò. 2. Ì.: Ýíåðãèÿ, 1979. Êóçíåöîâ Î. Ï., Àäåëüñîí-Âåëüñêèé Ã. Ì. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ èíæåíåðà. Ì.: Ýíåðãèÿ, 1980. Êóðàòîâñêèé Ê., Ìîñòîâñêèé À. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ì.: Ìèð, 1970. Êýððîë Ë. Èñòîðèÿ ñ óçåëêàìè. Ì.: Ìèð, 1973. Ëàâðîâ È. À., Ìàêñèìîâà Ë. Ë. Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ì.: Íàóêà, 1975. Ëèíäîí Ð. Çàìåòêè ïî ëîãèêå. Ì.: Ìèð, 1968. Ëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó / Òåéç Ô., Ãðèáîìîí Ï., Ëóè Æ. è äð. Ì.: Ìèð, 1990. Ìàëüöåâ À. È. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû. Ì.: Íàóêà, 1975. Ìàíèí. Þ. È. Âû÷èñëèìîå è íåâû÷èñëèìîå. Ì.: Ñîâ. Ðàäèî, 1980. Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Íàóêà, 1976. Íàãåëü Ý., Íüþìåí Ä. Òåîðåìà Ãåäåëÿ. Ì.: Çíàíèå, 1970. Íåôåäîâ Â. Í., Îñèïîâà Â. À. Êóðñ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ì.: ÌÀÈ, 1992. Íîâèêîâ Ï. Ñ. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959. Íüþñîì Ê. Â., Èâñ Ã. Î ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè. Ì.: Çíàíèå. 1968. Îðå Î. Òåîðèÿ ãðàôîâ. Ì.: Íàóêà. 1968. Ðîáåðòñ Ô. Ñ. Äèñêðåòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ñîöèàëüíûì, áèîëîãè÷åñêèì è ýêîëîãè÷åñêèì çàäà÷àì. Ì.: Íàóêà, 1986. Ñòîëë Ð. Ìíîæåñòâî, ëîãèêà, àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1968.
36. Òàðàí Ò. À. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå. Ê.: Ïðîñâ³òà, 1998. 37. Òàðàí Ò. À. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ê.: ÊÏÈ, 1996. 38. Òàðàí Ò. À., Ìûöåíêî Í. À., Òåìíèêîâà Å. Ë. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå. Ê.: Ïðîñâ³òà, 2001. 39. Òðàõòåíáðîò Â. À. Àëãîðèòìû è âû÷èñëèòåëüíûå àâòîìàòû. Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1974. 40. Òðàõòåíáðîò Â. À. Àëãîðèòìû è ìàøèííîå ðåøåíèå çàäà÷. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960. 41. Óñïåíñêèé Â. À. Òåîðåìà øäåëÿ î íåïîëíîòå. Ì.: Íàóêà, 1982. 42. Õàðàðè Ô. Òåîðèÿ ãðàôîâ. Ì.: Ìèð, 1973. 43. Õàóñäîðô Ô. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ì.: ÎÍÒÈ, 1937. 44. ×åíü ×., Ëè Ð. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì. Ì.: Íàóêà, 1983. 45. ×åð÷ À. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1961. 46. Øèõàíîâè÷ Þ. À. Ââåäåíèå â ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó. Ì.: Íàóêà, 1965. 47. Øðåéäåð Þ. À. Ðàâåíñòâî, ñõîäñòâî, ïîðÿäîê. Ì.: Íàóêà, 1971. 48. ßáëîíñêèé Ñ. Â. Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. Ì.: Íàóêà, 1979.
Îãëàâëåíèå Ïðåäèñëîâèå ...................................................................... 3 Ãëàâà 1. ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ......................................................... 5 Ãëàâà 2. ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎØÅÍÈÉ ............................................ 15 Ãëàâà 3. ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß. ÔÓÍÊÖÈÈ .................................... 25 Ãëàâà 4. ÌÎÙÍÎÑÒÜ ÌÍÎÆÅÑÒ ....................................... 37 Ãëàâà 5. ÎÒÍÎØÅÍÈÅ ÏÎÐßÄÊÀ .......................................... 61 Ãëàâà 6. ÐÅØÅÒÊÈ ............................................................. 74 Ãëàâà 7. ÑÒÐÎÅÍÈÅ È ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÐÅØÅÒÎÊ ................... 90 Ãëàâà 8. ÃÐÀÔÛ ............................................................... 109 Ãëàâà 9. ÁÓËÅÂÀ ÀËÃÅÁÐÀ ................................................. 148 Ãëàâà 10. ËÎÃÈÊÀ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ .................................... 168 Ãëàâà 11. ÔÎÐÌÀËÜÍÛÅ ÒÅÎÐÈÈ. ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ 181 Ãëàâà 12. ÒÅÎÐÈß ÏÐÅÄÈÊÀÒΠÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ .............. 198 Ãëàâà 13. ÀÂÒÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌ ...... 223 Ãëàâà 14. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÒÅÎÐÈÉ ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ................. 242 Ãëàâà 15. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌΠ......................................... 261 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ........................................................... 287
