Основные принципы классич. механики и классич. теории поля канонический аппарат

Э.Шмутцер ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ (КАНОНИЧЕСКИЙ АППАРАТ) Москва: Издательство «Мир» 1976

Профессор Иенского университета (ГДР) Эрнст Шмутцер знаком советскому читателю по переводу его труда «Симметрии и законы сохранения в физике» («Мир», 1974), получившего высокую оценку нашей научной общественности. Его новая книга написана на основе одноименного курса лекций. Первая ее часть посвящена аналитической механике, вторая — основам классической теории поля. Автору удалось представить материал как единое целое и показать, насколько в теории поля могут быть использованы концепции и идеи классической механики, каким образом применяется в ней формализм Лагранжа — Гамильтона. Именно этот единый подход является большим методическим достижением автора. Книга может быть использована в качестве учебного пособия для аспирантов и студентов, специализирующихся по прикладной математике, аналитической механике и теоретической физике. ОГЛАВЛЕНИЕ От переводчика и редактора 5 Предисловие автора 7 Часть А. Классическая механика 9 1. Уравнения Лагранжа первого рода 9 2. Связи 10 2.1. Уравнения связей 10 2.2. Классификация связей 11 3. Дифференциальные принципы 12 3.1. Принцип Даламбера 12 3.2. Уравнение баланса энергии для системы со связями 14 3.3. Пример голономной связи (равновесие сферического маятника) 15 3.4. Пример неголономной связи (катящийся диск) 17 3.5. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) 19 4. Интегральные принципы 21 4.1. Принцип Гамильтона 21 4.1.1. Основная задача вариационного исчисления 21 4.1.2. Принцип Гамильтона 24 4.2. Прочие интегральные принципы 28 5. Уравнения Лагранжа 28 5.1. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах 28 5.2. Уравнения Лагранжа для диссипативных систем 30 6. Уравнения Гамильтона 32 6.1. Вывод уравнений Гамильтона при помощи преобразования Лежандра 32 6.2. Пример формализма Лагранжа — Гамильтона (математический 36 маятник) 7. Запись формализма Гамильтона через скобки Пуассона 38

7.1. Определение скобок Пуассона 7.2. Уравнения движения и классические аналоги коммутационных соотношений Гейзенберга 7.3. Пример (линейный гармонический осциллятор) 8. Теория Гамильтона — Якоби 8.1. Уравнение Гамильтона — Якоби 8.2. Полный интеграл 8.3. «Укороченное» уравнение Гамильтона — Якоби 8.4. Наглядное геометрическое представление действия 9. Канонические преобразования 9.1. Инвариантность уравнений движения при канонических преобразованиях 9.2. Построение производящей функции 9.3. Инвариантность коммутационных соотношений при канонических преобразованиях 9.4. Якобиан канонического преобразования 9.5. Теория Якоби об определении траекторий 10. Примеры теории Гамильтона — Якоби 10.1. Линейный гармонический осциллятор 10.2. Задача Кеплера 11. Периодические и условно периодические движения 11.1. Периодическая система с одной степенью свободы 11.2. Периодическая система с несколькими степенями свободы 11.3. Переменные действие — угол 11.4. Системы с разделяющимися переменными 11.5. Правило квантования Бора — Зоммерфельда 12. Траектории как характеристики уравнения Гамильтона — Якоби 13. Бесконечно малые канонические преобразования 14. Преобразования симметрии 15. Законы сохранения ньютоновской механики 16. Релятивистская механика материальной точки в трехмерном формализме Часть Б. Классическая теория поля 17. Введение в теорию поля 18. Принцип Гамильтона 19. Уравнения Лагранжа 20. Уравнения Гамильтона 21. Запись формализма Гамильтона при помощи скобок Пуассона 22. Теория Нётер 22.1. Основные идеи 22.2. Собственные (непрерывные) преобразования Лоренца 22.3. Субстанциональная вариация и локальная вариация 22.4. Функциональная вариация и полная вариация 22.5. Полная вариация плотности лагранжиана

38 40 41 42 42 45 46 47 48 48 51 53 54 57 58 58 63 66 66 67 69 70 72 73 78 80 81 86 92 92 93 95 97 100 105 105 106 111 113 114

22.6. Преобразования симметрии 22.7. Дифференциальные законы сохранения 22.8. Симметричный тензор энергии-импульса 22.9. Интегральные законы сохранения 23. Применение теории к ньютоновой механике 24. Применение теории к шредингеровскому полю 25. Применение теории к системе максвелловского и клейнгордоновского полей 26. Применение теории к системе максвелловского и дираковского полей Список литературы Список литературы, добавленный при переводе Именной указатель Предметный указатель

116 118 121 122 126 132 135 143 149 150 151 152

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Ахиезер А. И. 160 Мандельстам (Mandelstam S.) 149 Белинфанте (Belinfante F.) 121 Мерсье (Mercier A.) 149 Берестецкий В. Б. 150 Нётер (Noether E.) 106 Бессель-Хаген (Bessel-Hagen E.) 106 Парс (Pars A.) 150 Бете (Bethe H.) 150 Паули (Pauli W.) 121 де Бройль (de Broglie L.) 42 Песлер (Pasler M.) 149 Гамель (Hamel G.) 17 Пуанкаре (Poincare H.) 106 Гамильтон (Hamilton W. R.) 24, 42, 48 Тер Хаар (ter Haar D.) 150 Гантмахер Ф. P. 49, 150 Ткалич В. С. 149 Гаусс (Qaufl С. Ф.) 19 Уиттекер (Whittaker E. T.) 149 Гейзенберг (Heisenberg W.) 42 Фосс (Voss A.) 11 Герц (Hertz H.) 6, 10, 11, 20, 149 Швебер (Schweber S.) 150 Голдстейн (Goldstein H.) 149 Шифф (Schiff L.) 150 Гофман (Hoffman F.) 150 Шмутцер (Schmutzer E.) 5, 112, 121, Лагранж (Lagrange J. L.) 28 143, 147, 149 Ландау Л. Д. 150 Шредингер (Schrodinger E.) 42 Ланцош (Lanczos С.) 149 Эйлер (Euler L.) 28 Лейбниц (Leibniz G. W.) 28 Эйнштейн (Einstein A.) 86, 93, 107 Ли (Lee Т. D.) 106 Юргро (Yourgrau W.) 149 Лифшиц Е. М. 150 Якоби (Jacobi C.) 42, 57 Лич (Leech J.) 150 Янг (Yang C, N.) 106 Лурье А. И. 150 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Азимутальное квантовое число 72 Вариационное дифференциальное Амплитудная функция 45 уравнение Эйлера — Лагранжа Бора — Зоммерфельда правило 22 квантования 72 Вариация локальная 111 Вариационная производная 26, 97 — полная 113

— субстанциональная 111 — функциональная 113 Вероятности плотность 135 — тока плотность 135 Виртуальное перемещение 12 Виртуальных перемещений принцип 13 Волновая функция 45 Волны действия 48 Вращение 67 Времени однородность 85 Галилеевы пространственновременные координаты 93 Гамильтона принцип 24, 28 — — для системы с произвольными связями 26 — — как ковариантный релятивистский принцип 95 — уравнения 34 — — в симметричной форме 40 — — теории поля 99 — — — — для дираковского поля 146 — — — — записанные через скобки Пуассона 103 — — — — для шредингеровского поля 133 — функция 32 — — релятивистская 89—91 — — в теории поля 100 Гамильтона — Якоби уравнение в частных производных 44 — — — — — — релятивистское 91 — — — — — — «укороченное» 47 Гамильтониан см. Гамильтона функция Гамильтониана плотность 98 Генератор 49, см. также Производящая функция Герца принцип прямейшего пути 20 Главное квантовое число 73 Голономная связь 11 Группа Пуанкаре 107 Даламбера принцип 12

Движения масса 87 Действие по Гамильтону 27 — — — релятивистское выражение 94 — — — «укороченное» 47 Действие — угол переменные 69, 70 Действия волны 48 — переменная 70 — функция 45 Динамики общее уравнение 12 Дирака дельта-функция 102 — матрица 110, 143 — уравнение 145 Дираковский 4-вектор плотности тока 144 Диссипативная функция Рэлея 30 Дифференциал Ли 112 Закон сохранения момента импульса 85 — — — — и скорости центра масс дифференциальный 120 — — — — — — — — интегральный 125 — — сильный 118 — — скорости центра масс 86, 126 — — слабый 118 — — энергии 85 — — энергии-импульса дифференциальный 119 — — — — интегральный 124 Изотропность пространства 86 — пространственно-временного континуума 86, 108 Импульса плотность каноническая 125 — функция 98 Импульсов пространство 38 Импульсы обобщенные 33 Интеграл уравнения в частных производных общий 73 — — — — особый 74 —— — — — полный 46 — фазовый 71 Калибровочная симметрия 142, 148

Калибровочное преобразование 142, 148 Каноническая плотность импульса 125 — — энергии 128 Канонически сопряженные переменные 34 Канонические преобразования 49 — уравнения см. Гамильтона уравнения Канонический тензор энергииимпульса 117 Касательные (контактные) преобразования 33, 49 Квантовое число азимутальное 72 — — главное 73 — — радиальное 72 Кеплера задача 63 Клейна — Гордона уравнение 91, 137 Коммутатор квантовых операторов 39 Консервативная механическая система 34 Конфигурационное пространство 38 Координат преобразование 106 Координаты галилеевы 93 — Минковского 94 — обобщенные 28 Коши задача 75 Лагранжа множители 13 — уравнения первого рода 10, 12 —— — второго рода 29 — — — — обобщенные 30 — — — — в теории поля 97 — функция 25 — — релятивистская 87 Лагранжиан 25 Лагранжиана плотность 93 Леви-Чивиты тензор 96 Лежандра преобразование 33 Ли дифференциал 112 Либрация 66 Лиссажу фигура 68 Лиувилля теорема 57 Локальная вариация 111 Лоренца коэффициенты 107 — преобразования 93, 107

— — бесконечно малые 108 — — неоднородные 107 — — однородные 107 — — собственные 108 Лоренцевы повороты 107 Лоренцевых поворотов бесконечно малые параметры 109 Масса движения 87 Матрица Дирака 110, 143 Маятник математический 36 — сферический 15 Минковского координаты 94 — тензор 142 Мопертюи принцип 28 Неголономная связь 11 Непрерывности уравнение 119 Нётер теорема 118 — теория 105—126 Ньютона уравнения 9 Обобщенные импульсы 33 — координаты 28 — силы 30 — — сопротивления 30 Обобщенный потенциал 25 Однородность времени 85 — пространства 85 — пространства-времени 108 Ортохронность 108 Осциллятор линейный гармонический 41, 58 Переменные действие — угол 69—70 — канонически сопряженные 34 — циклические 35, 69 Плотность вероятности 135 — гамильтониана 98 — импульса каноническая 125 — лагранжиана 93 — тока вероятности 135 — энергии каноническая 126 Полная вариация 113 Поля уравнения 95 Преобразование калибровочное 142 — каноническое 49 — касательное (контактное) 33, 49

— координат 106 Преобразование Лежандра 33 — Лоренца см. Лоренца преобразования — симметрии 81, 117, 129 — фазовое 134 — функциональное 106 Принуждение (по Гауссу) 19 Принцип виртуальных перемещений 13 — Гамильтона см. Гамильтона принцип — Гаусса 19 — Даламбера 12 — Мопертюи 28 — наименьшего принуждения 19 — относительности специальный 93 — прямейшего пути Герца 20 — Ферма 28 Производная вариационная 26, 97 — функциональная 100 Производящая функция 49 — — бесконечно малая 78 Пространства-времени изотропность 86 — — однородность 108 — изотропность 86 — однородность 85 Пространство импульсов 38 — конфигурационное 38 — фазовое 38 Пуанкаре группа 107 Пуассона скобки 38, 101 Реакции сила 9 Реакция связи 10 Релятивистская функция Лагранжа 87 — — Гамильтона 89—91 Релятивистское выражение для действия 94 — уравнение Гамильтона — Якоби 91 — — движения точки 86 Реономная связь 11

Связей классификация 11 Связь голономная 11 — идеальная 11 —— неголономная 11 — неудерживающая 11 — реономная 11 — склерономная 11 — удерживаающая 11 Силы обобщенные 30 Симметрии преобразование 81, 117, 129 Симметричный тензор энергииимпульса 121 Симметрия калибровочная 142, 148 — фазовая 134 . Система механическая консервативная 34 — периодическая 67—68 — условно периодическая 68 Системы вырожденности степень 68 Скобки Пуассона 38, 101 Сохранение четности 106 Сохранения законы см. Закон сохранения Субстанциональная вариация 111 Тензор вращающего момента 122 — метрический специальной теории относительности 91 — Минковского 142 — момента импульса интегральный 124 — — — орбитального интегральный 125 — — — спинового интегральный 125 — электромагнитного поля 135 — энергии-импульса канонический 117 — — — симметричный 121 Теорема Лиувилля 57 — Нётер 118 — Эйлера об однородных функциях 35 — Якоби 57—58 Тождество Якоби 39

Траектория фазовая 66 Угловая переменная 70 «Укороченное» действие 47 Уравнение вариационное Эйлера — Лагранжа 22 —- Гамильтона — Якоби см. Гамильтона — Якоби уравнение — движения точки релятивистское 86 — динамики общее 12 — Дирака 145 — Клейна - Гордона 91, 137 — непрерывности 119 — Ньютона 9 — Шредингера 45, 132 Уравнения Гамильтона см. Гамильтона уравнения — Лагранжа см. Лагранжа уравнения — поля 95 Фазовая симметрия 134 — траектория 66 Фазовое преобразование 134 — пространство 38 Фазовый интеграл 71 Ферма принцип 28

Фигура Лиссажу 68 Функциональная вариация 113 — производная 100 Функциональное преобразование 106 Функция амплитудная 45 —— волновая 45 — Гамильтона см. Гамильтона функция —— действия 45 — Лагранжа см. Лагранжа функция Функция производящая см. Производящая функция — Рэлея диссипативная 30 Характеристики уравнения Гамильтона— Якоби 75—77 Центр масс 126 Циклические переменные 35, 69 Четности сохранение 106 4-вектор плотности тока 119, 138 4-потенциал 91, 135 Шредингера уравнение 45, 132 Энергии-импульса тензор см. Тензор энергии-импульса — плотность каноническая 126 Якоби теорема 57, 58 — тождество 39