М инисте р ство о б р а зо ва ния Р о ссийско й Ф е де р а ции
В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т
Бу...
7 downloads
188 Views
492KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М инисте р ство о б р а зо ва ния Р о ссийско й Ф е де р а ции
В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т
Булга ко ва И.Н., Ф е до те нко Г.Ф .
ДИС КРЕТНА Я М АТЕМ АТИКА ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОР ИИ ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ Ч а сть 1
У ч ебное п особи е д л я сту д е нто в п о сп ециал ьно сти П рик л ад ная мате матик а и инфо рматик а (010200) П рик л ад ная инфо рматик а в юрисп ру д е нции (351400) М ате матиче ск о е о бе сп е че ние и ад министриро в ание инфо рмацио нныхсисте м (351500)
В о р о не ж 2004
У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом ф а ку льт ет а П М М ВГ У 16 д ека бря2003 год а , прот окол № 3. Бу лга кова И .Н., Ф ед от ен ко Г .Ф . Д искрет н а яма т ем а т ика . Элем ен т ы т еории. За д а чи и у пра ж н ен ия: У чеб. пособие. — В орон еж : И з-во В Г У , 2004. — 62 с. Рецен зен т : д . ф .-м . н ., проф ессорка ф ед рыф у н кцион а льн ого а н а лиза и опера т орн ых у ра вн ен ий м а т ем а т ического ф а ку льт ет а В Г У Сильчен ко Ю .Т.
Д а н н а я ра бот а сод ерж ит кра т кое излож ен ие ку рса лекций по д исциплин е « Д искрет н а ям а т ем а т ика » , чит а ем ом у н а ф а ку льт ет е П М М . П особие сод ерж ит прим еры, д емон ст риру ю щ ие использова н ие излож ен н ой т еории д ля реш ен ия кон крет н ых за д а ч. За д а чи и прим еры специа льн о под обра н ы по ка ж д ом у ра зд елу ку рса , чт о способст ву ет у своен ию изла га ем ого м а т ериа ла . Д ля за креплен ия м а т ериа ла в кон це па ра гра ф ов привед ен ы за д а чи д ля са м ост оят ельн ого реш ен ия, кот орые м огу т быт ь т а кж е использова н ы д ляпровед ен ияпра кт ических за н ят ий. У чебн ое пособие под гот овлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ических м ет од ов исслед ова н ия опера ций ф а ку льт ет а П М М Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов 1 ку рса д /о и в/о, обу ча ю щ ихся по специа льн ост и « П рикла д н а я м а т ем а т ика и ин ф орм а т ика » , а т а к ж е бу д ет полезн а всем , изу ча ю щ им д искрет н у ю м а т ем а т ику .
1. ТЕОРИЯ М НОЖ ЕС ТВ И ОТНОШ ЕНИЙ 1.1 Эле м е н ты те о р ии мно ж е ств П од м н ож ест вом пон им а ет сясовоку пн ост ь н екот орых объект ов (элем ен т ов), объед ин ен н ых н екот орым призн а ком . М н ож ест ва обычн о обозн а ча ю т больш им и бу ква м и а лф а вит а Α, Β , Χ , Υ , Ζ , Ω . Элем ен т ы, вход ящ ие в м н ож ест во, обозн а ча ю т ся м а лым и бу ква м и a, b, x , y , z , ω . За пись x ∈ Χ озн а ча ет , чт о x яв ляет ся элем ен т ом м н ож ест ва Χ , а за пись x ∉ Χ озн а ча ет , что x н е прин а д леж ит м н ож ест ву Χ . Д ва м н ож ест ва счит а ю т сяра в н ым и, если он и сост оят из од н их и т ех ж е элем ен т ов. Д ля описа н иям н ож ест ва пользу ю т ся д ву м яспособа ми. П ервый способсост оит в прост ом перечислен ии его элем ен т ов. Та к, за пись Α = {0,1,5} озн а ча ет , чт о м н ож ест во Α сост оит из т рех чисел 0,1 и 5. В т орой способ сост оит в опред елен ии м н ож ест ва с пом ощ ью н екот орого свойст ва P, позволяю щ его опред елит ь, прин а д леж ит ли д а н н ый элемен т д а н н ом у м н ож ест ву или н ет . В эт ом слу ча е использу ет ся коллект ивизиру ю щ ее обозн а чен ие Α = {x : P( x)}, кот орое чит а ет сяслед у ю щ им обра зом : м н ож ест во Α состоит из всех элем ен т ов x , д ля кот орых P (x ) ист ин н о. Е сли свойст во P от н осит ся к элеΧ , т о бу д ем м ен т а м н екот орого м н ож ест ва писа т ь т а кж е Α = {x ∈ Χ : P( x)}. На прим ер, м н ож ест во {1, 2,3,4,5} м ож н о за д а т ь след у ю щ им обра зом : {1, 2,3,4,5} = {x : x − це л о е числ о из инте рв ал а [1,5]} . М н ож ест во, н е сод ерж а щ ее элем ен т ов, н а зыва ет ся пу ст ым м н ож ест вом и обозн а ча ет ся ∅ . Зн а ком ⊆ обозн а чим от н ош ен ие вклю чен ия м еж д у м н ож ест ва м и, т .е. Α ⊆ Β , если ка ж д ый элем ен т м н ож ест ва Α ест ь элем ен т м н ож ест ва Β . Е сли Α ⊆ Β , т о говорят , что мн ож ест во Α ест ь под м н ож ест во м н ож ест ва Β . Ра вен ст во д ву х м н ож ест в Α и Β озн а ча ет выполн ен ие д ву х в клю чен ий: Α ⊆ Β и Β ⊆ Α . Е сли Α ⊆ Β и Α ≠ Β , т о говорят , чт о Α ест ь собст вен н ое под м н ож ест во Β и пиш у т Α ⊂ Β . М н ож ест во всех под м н ож ест в м н ож ест ва Α н а зыва ет ся м н ож ест вом -ст епен ью и обозн а ча ет ся Ρ (Α ) . За мет им , чт о: a) Χ ⊆ Χ ; б) если Χ ⊆ Υ , Υ ⊆ Ζ , т о Χ ⊆ Ζ ; в) если Χ ⊆ Υ , Υ ⊆ Χ , т о Χ = Υ . Не н а д о см еш ива т ь от н ош ен ия прин а д леж н ост и и вклю чен ия. Х от я 1 ∈ {1}, {1}∈ {{1}}, н е верн о, чт о 1∈ {{1}}, т а к ка к ед ин ст вен н ым элем ен т ом м н ож ест ва {{1}} являет ся {1}.
П у ст ое м н ож ест во ест ь под м н ож ест во лю бого м н ож ест ва . Ч исло элем ен т ов в м н ож ест ве Χ обозн а ча ет ся Χ . Ра ссм от рим м ет од ы полу чен ия н овых мн ож ест в из у ж е су щ ест ву ю щ их.
О бъед ин ен ием м н ож ест в Α и Β н а зыва ет ся м н ож ест во Α ∪ Β , все элем ен т ы кот орого являю т сяэлем ен т а м и м н ож ест ва Α или Β : Α ∪ Β = {x : x ∈ Α ил и x ∈ Β }. П ересечен ием м н ож ест в Α и Β н а зыва ет ся м н ож ест во Α ∩ Β , элем ен т ы кот орого являю т сяэлемен т а м и и м н ож ест ва Α , и м н ож ест ва Β : Α ∩ Β = {x : x ∈ Α и x ∈ Β }. О чевид н о, чт о выполн яю т сявклю чен ия Α∩Β ⊆Α⊆Α∪Β и Α∩Β ⊆Β ⊆Α∪Β . Ра зн ост ью м н ож ест в Α и Β н а зыва ет ся м н ож ест во Α \ Β т ех элем ен т ов из Α , кот орые н е прин а д леж а т Β : Α \ Β = {x : x ∈ Α и x ∉ Β }. Сим м ет ричн ой ра зн ост ью м н ож ест в Α и Β н а зыва ет сям н ож ест во Α + Β =Α \ Β ∪ Β \ Α. Е сли все ра ссм а т рива ем ые в д а н н ый м ом ен т м н ож ест ва являю т ся под м н ож ест ва м и н екот орого м н ож ест ва U , т о м н ож ест во U н а зыва ю т у н иверса льн ым д ляд а н н ого ра ссм от рен ия. Д ополн ен ием м н ож ест ва Α н а зыва ет сям н ож ест во Α =U \Α. Д ля н а гляд н ого пред ст а влен ия от н ош ен ий м еж д у под м н ож ест ва м и ка кого-либо у н иверса льн ого мн ож ест ва использу ю т ся д иа гра м м ы Эйлера В ен н а .
О пера ции н а д м н ож ест ва м и им ею т след у ю щ ие приорит ет ы в поряд ке у быва н ия: опера ция взят ия д ополн ен ия, опера ция пересечен ия, опера цияобъед ин ен ия.
О т м ет им след у ю щ ие осн овн ые за кон ы д ля опера ций н а д м н ож ест ва м и: Α ∪ Β = Β ∪ Α ( комм у т а т ивн ост ь объед ин ен ия); Α ∩ Β = Β ∩ Α (ком м у т а т ивн ост ь пересечен ия); Α ∪ (Β ∪ Μ ) = (Α ∪ Β ) ∪ Μ (а ссоциа т ивн ост ь объед ин ен ия); Α ∩ (Β ∩ Μ ) = (Α ∩ Β ) ∩ Μ (а ссоциа т ивн ост ь пересечен ия); Α ∪ (Β ∩ Μ ) = (Α ∪ Β ) ∩ (Α ∪ Μ ) (1-й за кон д ист рибу т ив н ост и); Α ∩ (Β ∪ Μ ) = (Α ∩ Β ) ∪ (Α ∩ Μ ) (2-й за кон д ист рибу т ив н ост и); Α ∪∅= Α; Α ∪U = U ; Α ∩ ∅ = ∅; Α ∩U = Α ; Α ∪ Β = Α ∩ Β ( за кон д е М орга н а ); Α ∩ Β = Α ∪ Β ( за кон д е М орга н а ); Α ∪ (Α ∩ Β ) = Α (за кон поглощ ен ия); Α ∩ (Α ∪ Β ) = Α (за кон поглощ ен ия). Ра ссм от рим м ет од ику реш ен ияза д а ч по д а н н ойт ем е. П р и м ер 1. Ра вн ы ли след у ю щ ие м н ож ест ва : 1) {2,4,5} и {2,4,5,2}; 2) {1, 2} и {{1,2}} ; 3) {1,2,3} и {{1}, {2}, {3}} ; 4) {{1,2},3} и {{1}, {2,3}} . Р еш ени е. Д ля д ока за т ельст ва ра вен ст ва произвольн ых м н ож ест в н у ж н о проверит ь, чт о первое мн ож ест во вклю чен о во вт орое, а вт орое, в свою очеред ь, вклю чен о в первое, т .е. лю бой элем ен т первого м н ож ест ва являет ся элем ен т ом вт орого мн ож ест ва , а лю бой элем ен т вт орого м н ож ест ва являет сяэлем ен т ом первого м н ож ест ва . П роверка д а ет полож ит ельн ый резу льт а т д ля мн ож ест в из пу н кт а 1). Эт о м ож н о н а гляд н о пока за т ь н а след у ю щ ей схем е, гд е ст релочка , ид у щ а я от элем ен т а , пока зыва ет , ка кой элем ен т в д ру гом м н ож ест ве ем у соот вет ст ву ет .
{2,4, 5}
{2, 4,
{2, 4, 5,2}
{2,
5, 2}
4, 5} М н ож ест ва из пу н кт а 2) н ера вн ы, т а к ка к, н а прим ер, элем ен т 1из первого м н ож ест ва н е им еет себе ра вн ого во вт ором мн ож ест ве. В т орое м н ож ест во сост оит из ед ин ст вен н ого элем ен т а – м н ож ест ва {1, 2}.
М н ож ест ва , у ка за н н ые в пу н кт е 3), н ера вн ы, т а к ка к элем ен т а м и первого м н ож ест ва являю т сячисла 1,2,3 , а элем ен т а м и вт орого м н ож ест ва являю т сям н ож ест ва , сост оящ ие из од н ого элем ен т а {1}, {2}, {3}. П у н кт 4) сд ела йт е са м ост оят ельн о. П р и м ер 2. След у ю щ ие м н ож ест ва за д а н ы перечислен ием своих элем ен т ов, за д а йт е эт и м н ож ест ва с пом ощ ью ха ра кт ерн ого д ляих элем ен т ов свойст ва . 1) Α = {2, 4,6,8,...,32}; Киев , М инск , Кишинев , Таллинн, Вильнюс, Рига, М о ск в а, 2) Κ = Ерев ан, Тбилиси, Бак у , Ташк ент, Ашхабад , Д у шанбе, Алма − Ата, Фру нзе Р еш ени е. М н ож ест во Α пред ст а вляет собой м н ож ест во чет н ых н а т у ра льн ых чисел от 1 д о 32, поэт ом у эт о м н ож ест во м ож н о за писа т ь в вид е Α = {x ∈ Ν : x = 2 n, n = 1,...,16}. М н ож ест во Κ пред ст а вляет собой мн ож ест во ст олиц респу блик бывш его СССР, т .е. эт о м н ож ест во м ож н о за писа т ь в в ид е Κ = {x : x − сто лица респ у блик и СССР}. П р и м ер 3. П ривед ит е прим еры т а ких м н ож ест в Α , Β , Κ , д ля кот орых 1) Α ∈ Β , Β ∈ Κ , Α ∉ Κ ; 2) Α ∈ Β , Β ∈ Κ , Α ∈ Κ ; 3) Α ∈ Β , Β ∉ Κ , Α ⊆ Κ ; 4) Α ⊆ Β , Β ∈ Κ , Α ∉ Κ . Р еш ени е. В ка чест ве прим ера м н ож ест в, у д овлет воряю щ их у словию из пу н кт а 1, м ож н о ра ссм от рет ь след у ю щ ие м н ож ест ва Α = {1,2}, Β = {{1,2},1}, Κ = {3, {{1,2},1}} . П у н кт у 3) у д овлет воряю т м н ож ест ва Α = {2,3}, Β = {{1}, {2,3}}, Κ = {2,3, 4}. П у н кт ы2) и 4) ра ссм от рит е са м ост оят ельн о. П р и м ер 4. Д ока ж ит е след у ю щ ие т ож д ест ва : 1) Α \ Β = Α ∩ Β ; 2) Α ∪ (Β \ Κ ) = (Α ∪ Β ) ∩ Α ∪ Κ ; 3) (Α ∪ Β ) ∩ Β ∪ Α = Α ; 4) Β ∩ (Α \ Β ) = ∅ ; 5) Α ∩ (Β + Κ ) = (Α ∩ Β ) + (Α ∩ Κ ) . Р еш ени е. Д ляд ока за т ельст ва ра вен ст ва 1) д ока ж ем д ва вклю чен ия: Α\Β ⊆ Α∩Β , Α∩Β ⊆ Α \Β . Д ока за т ельст во первого вклю чен ияпровед ем по схеме
(
)
(
)
x ∈ Α x ∈ Α ⇒ ⇒ x∈Α ∩Β , x∈Α \ Β ⇒ Β x ∉ ∈ Β x а д ока за т ельст во вт орого вклю чен ияпо схем е x ∈ Α x ∈ Α ⇒ x∈Α \ Β . x∈Α ∩ Β ⇒ ⇒ Β x ∉ Β x ∈ За мет им , чт о в д а н н ом прим ере м ы м огли ра ссм от рет ь н е д ве схем ы, а од н у , н о вм ест о зн а ка след ст вияиспользова т ь зн а к ра вн осильн ост и ⇔ . Тож д ест во 2 м ож н о т а кж е д ока за т ь с пом ощ ью д ву х вклю чен ий, н о м ож н о и н е использова т ь д а н н у ю схем у , а опира т ься н а у ж е д ока за н н ое т ож д ест во 1) и н а осн овн ые за кон ы 1-14. М ы привед ем д а н н ый способд ока за т ельст ва , причем вверху н а д ра вен ст ва м и бу д ем писа т ь либо 1) – это озн а ча ет , что использу ет ся т ож д ест во 1), либо н ом ер использу ем ого осн овн ого за кон а . И т а к, Α ∪ (Β \ Κ ) =1) Α ∪ Β ∩ Κ = 5) (Α ∪ Β ) ∩ Α ∪ Κ . А н а логичн о м ож н о д ока за т ь ра вен ст ва 3),4),5). Д ля ра вен ст ва 4) привед ем ещ е од ин способд ока за т ельст ва – д ока за т ельст во от прот ивн ого. П ред полож им прот ивн ое, чт о м н ож ест во Β ∩ (Α / Β ) н е пу ст о, т .е. су щ ест ву ет хот ябы од ин элем ен т x ∈ Β x ∈ Β x ∈ Β x ∈ Β ∩ (Α \ Β ) ⇒ ⇒ x ∈ Α ⇒ x ∈ Α . x ∈ Α \ Β x ∉ Β x ∈ Β Ника кой элем ен т x н е м ож ет од н оврем ен н о прин а д леж а т ь и са м ом у м н ож ест ву , и его д ополн ен ию , поэт ом у м ы приш ли к прот иворечию .
(
)
(
)
П р и м ер 5. П у ст ь Α , Β , Κ - т а кие м н ож ест ва , чт о Β ⊆ Α ⊆ Κ . На йд ит е м н ож ест во Χ , у д овлет воряю щ ее сист ем е у ра в н ен ий Α ∩ Χ = Β . Α ∪ Χ = Κ Р еш ени е. И з первого у ра вн ен ия след у ет , чт о Β ⊆ Χ , поэт ом у Χ м ож н о пред ст а в ит ь в в ид е Χ = Β ∪ Χ ′ , гд е Χ ′ ∩ Β = ∅ . И з ра вен ст в Α ∩ Χ = Β , Χ = Β ∪ Χ ′, Χ ′ ∩ Β = ∅ след у ет , чт о Α ∩ Χ ′ = ∅ . И т а к, н а м ост а лось н а йт и м н ож ест во Χ ′ . За м ен им Χ во вт ором у ра вн ен ии н а Χ = Β ∪ Χ ′ . П олу чим Α ∪ (Β ∪ Χ ′) = Κ . П о а ссоциа т ивн ом у за кон у (Α ∪ Β ) ∪ Χ ′ = Κ . И з вклю чен ия Β ⊆ Α след у ет , чт о Α ∪ Β = Α , поэт ом у полу ча ем ра вн осильн ое у ра в н ен ие Α ∪ Χ ′ = Κ . Д ва ф а кт а Α ∩ Χ ′ = ∅ и Α ⊆ Κ позволяю т за клю чит ь, чт о реш ен ием послед н его у ра в н ен ияявляет сям н ож ест во Χ ′ = Κ \ Α . О кон ча т ельн о Χ = Β ∪ (K \ Α ) .
П р и м ер 6. Д ока ж ит е, чт о у слов ие Α ⊆ Β ра в н осильн о ка ж д ом у из след у ю щ их у словий: 1) Α ∩ Β = Α ; 2) Α ∪ Β = Β . Р еш ени е. Д ока ж ем , чт о Α ⊆ Β ра вн осильн о у словию 1). И т а к, пу ст ь Α ⊆ Β , д ока ж ем ра вен ст во Α ∩ Β = Α . Ра вен ст во бу д ем д ока зыва т ь в д ва вклю чен ия. П у ст ь x∈Α ∩ Β ⇒ x∈Α . О бра т н о, пу ст ь x ∈ Α ⇒ Α⊆Β x ∈ Α , x ∈ Β ⇒ x ∈ Α ∩ Β . Теперь пред полож им , чт о выполн ен о у словие 1), д ока ж ем , чт о Α ⊆ Β . Ра ссм от рим x ∈ Α ⇒ Α ∩Β = Α x ∈ Α ∩ Β ⇒ x ∈ Β . Ра в н осильн ост ь у словия Α ⊆ Β у словию 1) м ы д ока за ли, ра вн осильн ост ь у слов ию 2) д ока ж ит е са м ост оят ельн о. П р и м ер 7. Д ока ж ит е д ляпроизвольн ых м н ож ест в Α , Β , Κ : 1) если Α ⊄ Β и Α ∩ Κ = ∅ , т о Α ∪ Κ ⊄ Β ∪ Κ ; 2) если Β ∩ Κ = ∅ и Α ∩ Κ ≠ ∅ , т о Α \ Β ≠ ∅ . Р еш ени е. 1) На м н у ж н о д ока за т ь, чт о су щ ест ву ет хот ябы од ин элем ен т x′ т а кой, чт о x′ ∈ Α ∪ Κ , x′ ∉ Β ∪ Κ . На м извест н о, чт о Α ⊄ Β , поэт ом у су щ ест ву ет н екот орый элем ен т x * ∈ Α и x * ∉ Β . В силу у словия Α ∩ Κ = ∅ , д а н н ый элем ен т x* ∉ Κ . Та ким обра зом, x* ∈ Α ∪ Κ , x * ∉ Β ∪ Κ . 2)На м н у ж н о д ока за т ь, чт о су щ ест ву ет хот я бы од ин элем ен т в м н ож ест ве Α \ Β . И звест н о, чт о Α ∩ Κ ≠ ∅ , поэт ом у су щ ест ву ет элемен т x * ∈ Α , x * ∈ Κ , причем, в силу у словия Β ∩ Κ = ∅ , д а н н ый элем ен т x * ∉ Β . И т а к, м ы пост роили элем ен т x * ∈ Α и x * ∉ Β . П р и м ер 8. Д ока ж ит е, чт о д ля произвольн ых м н ож ест в Α, Β спра вед ливо ра вен ст во Ρ (Α ∩ Β ) = Ρ (Α ) ∩ Ρ (Β ) . Р еш ени е. Д ока за т ельст во провед ем в вид е д ву х вклю чен ий, объед ин ив их од н ойза писью . П у ст ь Χ ∈ Ρ (Α ∩ Β ) ⇔ Χ ⊆ Α ∩ Β ⇔ Χ ⊆ Α , Χ ⊆ Β ⇔ ⇔ Χ ∈ Ρ (Α ), Χ ∈ Ρ (Β ) ⇔ Χ ∈ Ρ (Α ) ∩ Ρ (Β ) .
ЗА Д А Ч И И У П Р А Ж Н Е Н И Я 1.К а ж д ое из след у ю щ их м н ож ест в за д а йт е в вид е н екот орого ин т ерва ла числовой прям ой: 1) {x ∈ R : ∃y ∈ R x 2 + y 2 = 1}; 2) x ∈ R : ∃y ∈ R
x=
y +1 ; y 2 + 1
3) {a ∈ R : ∃x ∈ R 3 x 2 + 2ax + a < 0} . 2. В ст а вьт е м еж д у м н ож ест ва м и сим вол ∈ или ⊆ т а к, чт обы полу чилось ист ин н ое у т верж д ен ие. 1) {1} {1, {1,2}}; {1,2, {1},{2}}; 2) {1,2} 3) {1,2} {1,2, {1,2}}; {1,2, {1},{∅}}; 4) ∅ 5) ∅ {∅}; {{∅}} . 6) ∅ 3.П еречислит е элем ен т ы ка ж д ого из след у ю щ их м н ож ест в : 1) {x : x ⊆ {1}}; 2) {x : x ⊆ {1, 2,3}}; 3) {x : x ⊆ ∅}. 4. Д ока ж ит е след у ю щ ие т ож д ест ва : 1) (Α \ Β ) ∪ (Α ∩ Β ) = Α;
(
)
2) Α ∩ Β = Α ∩ Α ∪ Β ; 3) (Α ∪ Β ) \ (Α ∩ Β ) = Α + Β ;
( ) 5) (Α \ Β ) ∪ (Α \ Β ) = (Β ∪ Α ) ∩ (Α ∪ Β );
4) (Α \ Β ) ∪ Α \ Β = (Α ∪ Β ) \ (Α ∩ Β );
6) Α \ (Α \ Β ) = Α ∩ Β ; 7) Β ∪ (Α \ Β ) = Α ∪ Β ; 8) (Α + Β ) + Κ = Α + (Β + Κ ); 9) Α + Α = ∅ . 5. Счит а я Λ у н иверса льн ым м н ож ест вом д ля д а н н ого ра ссм от рен ия, н а йд ит е м н ож ест во Χ , у д овлет воряю щ ее след у ю щ им у словиям : 1) Α \ Χ = Α, Α ∪ Χ = Λ; 2) Α ∩ Χ = ∅, Α ∪ Χ = Λ; 3) Α \ (Α \ Χ ) = ∅; 4) Α \ Χ = ∅, Α ∪ Χ = Α; 5) Α \ (Α \ Χ ) = ∅, Α ∩ Χ = ∅ .
6. На йд ит е реш ен ие сист ем ы у ра вн ен ий Α \ Χ = Β , Χ \ Α = Κ если извест н о, чт о Β ⊆ Α, Α ∩ Κ = ∅ . 7. К а ж д ое из след у ю щ их у т верж д ен ий либо д ока ж ит е, либо пока ж ит е при пом ощ и д иа гра м м Эйлера -Вен н а , чт о он о н е всегд а верн о: 1) (Α ∪ Β ) ∩ Κ = Α ∪ (Β ∩ Κ ) ; 2) (Α \ Β ) ∪ Β = Α; 3) (Α ∪ Β ) \ Β = Α; 4) (Α ∩ Β ) \ Α = ∅; 5) (Α \ Β ) ∪ Κ = (Α ∪ Κ ) \ (Β ∪ Κ );
(
) (
)
6) Α ∩ Β ∪ Β ∩ Α ⊆ Β ;
(
) (
)
7) Β = Α ∩ Β ∪ Β ∩ Α ⇒ Α = ∅ . 8. В ерн о ли, чт о: 1) Α ∪ Β = Α ∪ Κ ⇒ Β = Κ ; 2) Α ∩ Β = Α ∩ Κ ⇒ Β = Κ ; 3) Α ∪ Β = Α ∪ Κ и Α ∩ Β = Α ∩ Κ ⇒ Β = Κ . 9. Д ока ж ит е: (Α ∪ Β ) ∩ Κ = Α ∪ (Β ∩ Κ ) ⇔ Α ⊆ Κ ; 15. Α = Β ⇔ Α + Β = ∅; 15. 15. Α ∪ Β = ∅ ⇔ Α = Β = ∅; (Α ∪ Β ) \ Β = Α ⇔ Α ∩ Β = ∅; 15. Α \ Β = Α ⇔ Β \ Α = Β; 15. Α ∪ Β = Α \ Β ⇔ Β = ∅; 15. 15. Α \ Β = Α ∩ Β ⇔ Α = ∅; 15. Α∪Β ⊆ Κ ⇔ Α ⊆ Κ и Β ⊆ Κ ; Α ⊆ Β ∪Κ ⇔ Α \Β ⊆Κ; 15. 15. Κ ⊆ Α ∩ Β ⇔ Κ ⊆ Α и Κ ⊆ Β ; 15. Α ∩ Β = Α ∪ Β ⇔ Α = Β ; 15. Α ⊆ Β ⊆ Κ ⇔ Α ∪ Β = Β ∩ Κ ; 15. Α ⊆ Β ⇒ Α \ Κ ⊆ Β \ Κ ; 15. Β ⊆ Α и Κ = Α \ Β ⇒ Α = Β ∪ Κ ; 15. Α ∪ Β = Α ⇒ Α ∩ Β = Β . 10. О бъед ин ен ием сем ейст ва мн ож ест в Αi (i ∈ Ι ) н а зыва ет сям н ож ест во U Αi = {x : ∃j ∈ Ι x ∈ Α j }. i∈Ι
П ересечен ием сем ейст ва м н ож ест в Αi (i ∈ Ι ) н а зыва ет сям н ож ест во I Αi = {x : ∀j ∈ Ι x ∈ Α j }. На йд ит е
U [− n, n].
n∈Ν
i∈Ι
11. П у ст ь Χ α = {x ∈ R : x > α } . На йд ит е
IΧα, UΧα .
α ∈Ν
α ∈Ν
12. П ривед ит е прим ер: 1) послед ова т ельн ост и н епу ст ых м н ож ест в Χ 1 , Χ 2 ,..., Χ n ,..., т а кой, чт о Χ 1 ⊃ Χ 2 ⊃ ... и I Χ n = ∅ ; n∈Ν
2) послед ова т ельн ост и м н ож ест в, от личн ых от у н иверса льн ого мн ож ест ва Λ , т а кой, чт о Χ 1 ⊂ Χ 2 ⊂ ... и U Χ n = Λ ; n∈Ν
3) сем ейст ва м н ож ест в т а кого, чт о пересечен ие лю бого кон ечн ого числа м н ож ест в из эт ого сем ейст ва н епу ст о, а пересечен ие всех мн ож ест в пу ст о. 1.2 П р ям о е п р о изве де ние м но ж е ств.
Би нар ные от нош ени я П роизвед ен ием (или д ека рт овым произвед ен ием ) Χ 1 × Χ 2 д ву х н епу ст ых м н ож ест в Χ 1 и Χ 2 бу д ем н а зыва т ь м н ож ест во у поряд очен н ых па р ( x1 , x 2 ) , гд е x1 ∈ Χ 1 , x 2 ∈ Χ 2 . Эт о пон ят ие выросло из пон ят ия д ека рт овой сист ем ы коорд ин а т . Д а н н ое пон ят ие м ож н о обобщ ит ь и н а слу ча й n м н ож ест в. Если Χ 1 , Χ 2 ,..., Χ n - n н епу ст ых м н ож ест в, т о их произвед ен ие сост оит из всевозм ож н ых у поряд очен н ых н а боров ( x1 , x 2 ,..., x n ) , xk ∈ Χ k , k = 1,..., n элем ен т ов эт их м н ож ест в. Е сли м н ож ест ва Χ 1 = Χ 2 = ... = Χ n = Χ , т о их произвед ен ие Χ 1 , Χ 2 ,..., Χ n обозн а ча ет ся Χ n . Та к, сим волом R n обозн а ча ет сям н ож ест во у поряд очен н ых вект оров n вещ ест вен н ых чисел. Л ю бое под м н ож ест во из произвед ен ия Χ × Υ н а зыва ет ся бин а рн ым от н ош ен ием . Е сли Χ = Υ , т о бин а рн ое от н ош ен ие н а зыва ет ся бин а рн ым от н ош ен ием н а м н ож ест ве Χ . Бин а рн ые от н ош ен ия обозн а ча ю т ся бу ква м и φ , ρ , f ,... Е сли па ра ( x, y ) прин а д леж ит бин а рн ом у от н ош ен ию ρ , т о пиш у т ( x, y ) ∈ ρ или x ρ y . Д ляза д а н иябин а рн ого от н ош ен ия ρ использу ю т т е ж е м ет од ы, чт о и д ляпроизвольн ых м н ож ест в, кром е т ого, бин а рн ое от н ош ен ие, за д а н н ое н а кон ечн ом м н ож ест ве Χ , м ож н о за д а т ь в вид е гра ф а , а бин а рн ое от н ош ен ие н а м н ож ест ве R м ож н о за д а т ь в вид е д ека рт овой д иа гра м м ы. П од гра ф ом бин а рн ого от н ош ен ия м ы пон им а ем схем у , в кот орой элем ен т ы м н ож ест ва Χ изобра ж а ю т сят очка м и н а плоскост и, элем ен т ы x, y ∈ Χ , т а кие, чт о па ра ( x, y ) ∈ ρ соед ин яю т сяст релкой, н а пра влен н ой
от x к y , па ры ( x, x ) ∈ ρ изобра ж а ю т сяпет лей вокру г т очки x . П од д ека рт овой д иа гра м м ой пон им а ю т изобра ж ен ие па р ( x, y ) ∈ ρ в д ека рт овой прям оу гольн ойсист ем е коорд ин а т . О бла ст ью опред елен иябин а рн ого от н ош ен ия ρ н а зыва ет ся м н ож ест во D ρ = {x ∈ Χ : ∃y ( x , y ) ∈ ρ }. О бла ст ью зн а чен ий бин а рн ого от н ош ен ия ρ н а зыва ет сям н ож ест во R ρ = {y ∈Υ : ∃x ( x , y ) ∈ ρ }. Бин а рн ое от н ош ен ие ρ н а м н ож ест ве Χ н а зыва ет ся реф лексивн ым , если д ля лю бого x ∈ Χ па ра ( x, x ) ∈ ρ . Е сли Χ - кон ечн ое м н ож ест во, т о реф лексивн ост ь бин а рн ого от н ош ен ия ρ озн а ча ет , что н а гра ф е д а н н ого бин а рн ого от н ош ен ия вокру г ка ж д ой т очки x из Χ ест ь пет ля. Е сли Χ = R , т о реф лексивн ост ь бин а рн ого от н ош ен ия ρ с т очки зрен ияд ека рт овой д иа гра м м ы озн а ча ет , чт о в число изобра ж ен н ых т очек войд у т все т очки прям ой y( x) = x . Бин а рн ое от н ош ен ие ρ н а м н ож ест ве Χ н а зыва ет ся сим м ет ричн ым , если д ля лю бых x, y ∈ Χ из прин а д леж н ост и па ры ( x, y ) от н ош ен ию ρ след у ет прин а д леж н ост ь эт ом у от н ош ен ию т а кж е па ры ( y, x ) . Е сли Χ - кон ечн ое м н ож ест во, т о сим м ет ричн ост ь бин а рн ого от н ош ен ия ρ озн а ча ет , что н а гра ф е д а н н ого бин а рн ого от н ош ен ия все прису т ст ву ю щ ие ст релки д ву ст орон н ие. Е сли Χ = R , т о сим м ет ричн ост ь бин а рн ого от н ош ен ия ρ с т очки зрен ияд ека рт овой д иа гра м м ы озн а ча ет , чт о изобра ж ен н ое м н ож ест во сим м ет ричн о от н осит ельн о прям ой y( x) = x . Бин а рн ое от н ош ен ие ρ н а м н ож ест ве Χ н а зыва ет сяа н т исим м ет ричн ым , если д ля лю бых x, y ∈ Χ из прин а д леж н ост и па р ( x, y ) и ( y, x ) от н ош ен ию ρ след у ет x = y . Е сли Χ - кон ечн ое м н ож ест во, т о а н т исим м ет ричн ост ь бин а рн ого от н ош ен ия ρ озн а ча ет , что н а гра ф е д а н н ого бин а рн ого от н ош ен иявсе прису т ст ву ю щ ие ст релки од н ост орон н ие. Бин а рн ое от н ош ен ие ρ н а м н ож ест ве Χ н а зыва ет ся т ра н зит ивн ым , если д ля лю бых x, y, z ∈ Χ из прин а д леж н ост и па р ( x, y ) и ( y, z ) от н ош ен ию ρ след у ет прин а д леж н ост ь эт ом у от н ош ен ию т а кж е па ры ( x, z ) . О бра т н ым от н ош ен ием д ля ρ н а зыва ет сяот н ош ен ие ρ −1 = {( x, y ) : ( y , x ) ∈ ρ }. К ом позицией от н ош ен ий ρ1 и ρ 2 н а зыва ет сяот н ош ен ие ρ 2 o ρ1 = {( x, y ) : ∃z ( x, z ) ∈ ρ1 , ( z , y ) ∈ ρ 2 }.
Д лялю бых бин а рн ых от н ош ен ий выполн яю т сяслед у ю щ ие свойст ва :
( )
1. ρ −1
−1
=ρ;
2. ( ρ 2 o ρ 1 )
−1
= ρ 1−1 o ρ 2−1 .
П р и м ер 1. П еречислит е элемен т ы м н ож ест в Α × Β , Β × Α : 1) Α = {1,2}, Β = {3,4,5} ; 2) Α = ∅, Β = {1,2,3,4} . Р еш ени е. П о опред елен ию Α × Β = {(a, b ) : a ∈ Α , b ∈ Β } . П оряд ок пост роен ия д а н н ого м н ож ест ва бу д ет след у ю щ ий: вн а ча ле перечислим все па ры, первый элем ен т кот орых ра вен первом у элем ен т у м н ож ест ва Α , а вт орой элем ен т берет ся из м н ож ест ва Β в т ом поряд ке, в кот ором он и за писа н ы в м н ож ест ве Β , за т ем а н а логичн о берем вт орой элем ен т из Α и сост а вляем па ры со всем и элем ен т а м и из Β и т .д . А н а логичен и м ет од пост роен иям н ож ест ва Β × Α = {(b, a ) : b ∈ Β , a ∈ Α} . (3,1), (3, 2), (1,3), (1,4 ), (1,5), 1) Α × Β = , Β × Α = (4,1), (4,2 ), . (2,3), (2, 4), (2,5) (5,1), (5, 2) Α × Β = Β × Α = ∅ , поскольку м н ож ест во Α пу ст о и мы н е м ож ем 3) сост а вит ь н и од н ой па ры. П р и м ер 2. П у ст ь Α = {3,4}. П еречислит е элем ен т ы м н ож ест в Α 4 . Р еш ени е. П о опред елен ию Α 4 = {(a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) : a1 ∈ Α , a 2 ∈ Α , a3 ∈ Α , a 4 ∈ Α}= (3,3,3,3), (3,3,3,4), (3,3,4,3), (3,3,4,4 ), (3,4,3,3), (3, 4,3,4 ), (3,4, 4,3), (3,4, 4,4 ), = . 4 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 3 , 4 , 4 , 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 4 , 4 , ( ) ( ) ( ) ( ) (4,4,3,3), (4,4,3, 4), (4,4, 4,3), (4,4, 4,4 ) П р и м ер 3. П у ст ь н а плоскост и за д а н а д ека рт ова сист ем а коорд ин а т . И зобра зит е н а плоскост и след у ю щ ее м н ож ест во: Μ = [a, b] × [c , d ], uд е a, b, c, d ∈ R a < b, c < d . Р еш ени е. П ри пост роен ии прям ого произвед ен ия Μ = [a, b ]× [c, d ] ка ж д ой т очке x из от резка [a, b] ст а вят ся па ры ( x, y ), y ∈ [c, d ], поэт ом у в резу льт а т е полу чим м н ож ест во
y
c a
b
M
x
d
П р и м ер 4. Д ока ж ит е след у ю щ ее ра вен ст во: (Α ∩ Β ) × (Κ ∩ Μ ) = (Α × Κ ) ∩ (Β × Μ ) . Р еш ени е. Ра вен ст во д ву х мн ож ест в м ы д ока ж ем с пом ощ ью д ву х вклю чен ий, объед ин ив их од н ой за писью . За м ет им , чт о элемен т а м и м н ож ест в в д а н н ом слу ча е являю т сяу поряд очен н ые па ры т очек. И т а к, пу ст ь ( x, y ) ∈ (Α ∩ Β ) × (Κ ∩ Μ ) ⇔ x ∈ (Α ∩ Β ), y ∈ (Κ ∩ Μ ) ⇔ ⇔ x ∈ Α, x ∈ Β , y ∈ Κ , y ∈ Μ ⇔ x ∈ Α, y ∈ Κ , x ∈ Β , y ∈ Μ ⇔ ⇔ ( x, y ) ∈ Α × Κ , ( x, y ) ∈ Β × Μ ⇔ ( x , y ) ∈ (Α × Κ ) ∩ (Β × Μ ) . П р и м ер 5. Д ока ж ит е, чт о д ля лю бых н епу ст ых м н ож ест в Α , Β , Κ из ра вен ст ва (Α × Β ) ∪ (Β × Α ) = Κ × Κ след у ет , чт о Α = Β = Κ . Р еш ени е. Д ля д ока за т ельст ва д а н н ого у т верж д ен ия у ст а н овим д ва ра вен ст ва Α = Κ и Β = Κ . Д ляпроизвольн ых x ∈ Α и y ∈ Β ( x, y ) ∈ Α × Β ⇒ ( x, y ) ∈ Κ × Κ ⇒ x ∈ Κ , y ∈ Κ ⇒ Α ⊆ Κ , Β ⊆ Κ . Сд ру гой ст орон ы, д ляпроизвольн ого x ∈ Κ ( x, x) ∈ Κ × Κ ⇒ ( x, x) ∈ Α × Β или ( x, x) ∈ Β × Α ⇒ ⇒ x∈Α и x ∈ Β ⇒ Κ ⊆ Α и Κ ⊆ Β . Та ким обра зом , Α = Β = Κ . П р и м ер 6. На м н ож ест ве Α = {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} за д а н о бин а рн ое от н ош ен ие ρ = {( x, y ) : x д елится на y}. На рису йт е гра ф д а н н ого бин а рн ого от н ош ен ия.
Р еш ени е. Ра сполож им н а плоскост и т очки м н ож ест ва Α . Точки x, y ∈ Α , д ля кот орых па ра ( x, y ) ∈ ρ , соед ин им ст релкой, н а пра влен н ой от x к y . П а ры ( x, x ) ∈ ρ изобра зим пет лей вокру г т очки x . Резу льт а т ом т а кого пост роен иябу д ет гра ф 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
П р и м ер 7. Д ляслед у ю щ его бин а рн ого от н ош ен ия, опред елен н ого н а м н ож ест ве R , н а йд ит е обла ст ь опред елен ия, обла ст ь зн а чен ий и н а рису йт е д ека рт ову д иа гра м м у ρ = ( x, y ) : x 2 = y . Р еш ени е. В соот вет ст вии с опред елен ием Dρ = {x ∈ R : ∃y ( x, y ) ∈ ρ } = R .
{
R ρ = {y ∈Υ : ∃x
}
( x, y ) ∈ ρ } = R + ∪ 0
.
Д ека рт ова д иа гра м м а д ляд а н н ого бин а рн ого от н ош ен ияим еет в ид y
x
П р и м ер 8. Д ля ка ж д ого из след у ю щ их бин а рн ых от н ош ен ий выясн ит е, ка ким и свойст ва м и (реф лексивн ост ь, сим м ет ричн ост ь, а н т исим м ет ричн ост ь, т ра н зит ивн ост ь) он о обла д а ет и ка ким и н е обла д а ет . ρ = {(1,2 ), (2,1), (1,1), (1,3), (3, 2), (3,3)} н а м н ож ест ве Χ = {1, 2,3}; 1) 2) ρ = {( x, y ) : x − y ∈ Ζ } н а мн ож ест ве Χ = R ; ρ = {( x, y ) : 2 x = 3 y} н а м н ож ест ве Χ = Ζ ; 3) 4) ρ = {( x, y ) : x ⊆ y} н а м н ож ест ве Χ = Ρ (Ζ ) . Р еш ени е. 1) Д а н н ое от н ош ен ие н е являет ся реф лексивн ым , поскольку д ля т очки 2 ∈ Χ па ра (2,2) ∉ ρ ; н е являет ся симм ет ричн ым , поскольку , н а прим ер, па ра (1,3) ∈ ρ , а па ра (3,1) ∉ ρ ; н е являет ся а н т исим м ет ричн ым , поскольку ,
н а прим ер, па ры (1,2 ) и (2,1) прин а д леж а т ρ , н о 1 ≠ 2 ; н е являет ся т ра н зит ивн ым , поскольку , н а прим ер (3, 2) ∈ ρ , (2,1) ∈ ρ , а (3,1) ∉ ρ . 2) Д а н н ое от н ош ен ие являет ся реф лексив н ым , поскольку д ля лю бой т очки x ∈ R ра зн ост ь x − x = 0 ∈ Ζ , т .е. ( x, x ) ∈ R ; являет сясим м ет ричн ым , поскольку прин а д леж н ост ь лю бой па ры ( x, y ) от н ош ен ию ρ озн а ча ет x − y = k ∈ Ζ , н о т огд а y − x = − k ∈ Ζ , т .е. па ра ( y, x ) ∈ ρ ; н е являет ся а н т исим м еричн ым , поскольку , н а прим ер, па ры (1.2,3.2) ∈ ρ и (3.2,1.2) ∈ ρ , н о 3.2 ≠ 1.2 ; являет ся т ра н зит ивн ым , поскольку д ля лю бых x, y, z ∈ R прин а д леж н ост ь па р ( x, y ) и ( y, z ) от н ош ен ию ρ озн а ча ет x − y = k ∈ Ζ и y − z = n ∈ Ζ , н о т огд а x − z = k + n ∈ Ζ , т .е. ( x, z ) ∈ ρ . 3) Д а н н ое от н ош ен ие н е являет сяреф лексивн ым , поскольку из всех па р ( x, x), x ∈ Ζ т олько па ра (0,0) ∈ ρ , вед ь д ля всех ост а льн ых x ∈ Ζ н е выполн ен о ра вен ст во 2 x = 3 x ; н е являет ся сим м ет ричн ым , поскольку , н а прим ер, па ра (3, 2) ∈ ρ ( 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 ), а па ра (2,3) ∉ ρ ( 2 ⋅ 2 ≠ 3 ⋅ 3 ); являет ся а н т исим м ет ричн ым , поскольку д ля лю бых па р ( x, y ) ∈ ρ , ( y, x ) ∈ ρ од н оврем ен н о выполн яю т ся ра вен ст ва 2 x = 3 y и 2 y = 3 x , т .е. 9 x = 4 x и 4 y = 9 y , н о эт о м ож ет быт ь только в т ом слу ча е, если x = y = 0 ; н е являет сят ра н зит ивн ым , поскольку , н а прим ер, па ра (9,6 ) ∈ ρ ( 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ), па ра (6, 4) ∈ ρ ( 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4 ), н о па ра (9,4 ) ∉ ρ ( 2 ⋅ 9 ≠ 3 ⋅ 4 ). 4) Д а н н ое от н ош ен ие н е являет ся реф лексивн ым , поскольку д ля ∅ ∈ Ρ (Ζ ) пересечен ие ∅ ∩ ∅ = ∅ , т .е. (∅, ∅ ) ∉ ρ ; являет ся сим м ет ричн ым , поскольку прин а д леж н ост ь лю бой па ры ( x, y ) от н ош ен ию ρ озн а ча ет x ∩ y ≠ ∅ , н о т огд а y ∩ x ≠ ∅ , т .е. па ра ( y, x) ∈ ρ ; н е являет ся т ра н зит ивн ым , поскольку , н а прим ер, па ра ({1,2}, {2,3}) ∈ ρ ( {1,2} ∩ {2,3} = {2} ≠ ∅ ) и па ра ({2,3}, {3,6,7}) ∈ ρ ( {2,3} ∩ {3,6,7} = {3} ≠ ∅ ), н о па ра ({1,2}, {3,6,7}) ∉ ρ , т а к ка к {1,2} ∩ {3,6,7} = ∅ . П р и м ер 9. П у ст ь н а м н ож ест ве R за д а н ы след у ю щ ие бин а рн ые от н ош ен ия: ρ1 = ( x , y ) : x = y 2 ; ρ 2 = {( x, y ) : x + y ≤ 2}; ρ 3 = {( x, y ) : x + y ∈ Ζ } На йд ит е обра т н ые к д а н н ым бин а рн ым от н ош ен иям и всевозмож н ые ком позиции эт их бин а рн ых от н ош ен ий. Р еш ени е. В н а ча ле выпиш ем обра т н ые от н ош ен ия: −1 ρ1 = {( x , y ) : ( y , x ) ∈ ρ 1} = ( x , y ) : y = x 2 ;
{
}
{
}
ρ 2−1 = {( x, y ) : ( y, x ) ∈ ρ 2 } = {( x, y ) : y + x ≤ 2} = ρ 2 ;
ρ 3−1 = {( x , y ) : ( y , x ) ∈ ρ 3 } = {( x , y ) : y + x ∈ Ζ } = ρ 3 . В ка чест ве примера ра ссм от рим н екот орые ком позиции ра ссм а т рива ем ых бин а рн ых от н ош ен ий: ρ1 o ρ 2 = {( x, y ) : ∃z ( x, z ) ∈ ρ 2 , ( z, y ) ∈ ρ1 } =
{
} {
{ {
}
}
= ( x, y ) : ∃z x + z ≤ 2, z = y 2 = ( x, y ) : x + y 2 ≤ 2 ; ρ 2 o ρ1 = {( x, y ) : ∃z ( x, z ) ∈ ρ1 , ( z, y ) ∈ ρ 2 } = x + y ≤ 2 = ( x, y ) : ∃z x = z 2 , z + y ≤ 2 = ( x , y ) : x ≥ 0, = − x + y ≤ 2 = ( x, y ) : x ≥ 0, − x + y ≤ 2 ; ρ 2 o ρ 3 = {( x , y ) : ∃z ( x, z ) ∈ ρ 3 , ( z , y ) ∈ ρ 2 } = = {( x, y ) : ∃z x + z ∈ Ζ , z + y ≤ 2} = = {( x , y ) : ∃z x + z = k ∈ Ζ , z + y ≤ 2} = {( x, y ) : ∃k ∈ Ζ k − x + y ≤ 2} = R × R ρ 3 o ρ 2 = {( x, y ) : ∃z ( x, z ) ∈ ρ 2 , (z , y ) ∈ ρ3 } = = {( x, y ) : ∃z x + z ≤ 2, z + y ∈ Ζ } = R × R . О ст а льн ые ком позиции пост ройт е са мост оят ельн о.
}
П р и м ер 10. П у ст ь Χ - произвольн ое м н ож ест во, обозн а чим сим волом Ι Χ от н ош ен ие н а м н ож ест ве Χ вид а Ι Χ = {( x, y ) : x = y} = {( x, x ) : x ∈ Χ } . Д ока ж ит е, чт о д ля лю бого бин а рн ого от н ош ен ия ρ меж д у элем ен т а м и м н ож ест в Α и Β выполн яю т сяра вен ст ва : Ι Β o ρ = ρ, ρ oΙΑ = ρ. Р еш ени е. Ι Β o ρ = {( x, y ) ∈ Α × Β : ∃z ∈ Β ( x, z ) ∈ ρ , ( z, y ) ∈ Ι Β } = = {( x , y ) ∈ Α × Β : ∃z ∈ Β ( x , z ) ∈ ρ , z = y} = {( x, y ) ∈ Α × Β : ( x, y ) ∈ ρ } = ρ ; ρ o Ι Α = {( x, y ) ∈ Α × Β : ∃z ∈ Α ( x, z ) ∈ Ι Α , ( z , y ) ∈ ρ} = = {(x , y ) ∈ Α × Β : ∃z ∈ Α x = z, ( z, y ) ∈ ρ } = {(x, y ) ∈ Α × Β : ( x, y ) ∈ ρ} = ρ . П р и м ер 11. П у ст ь ϕ , φ , χ бин а рн ые от н ош ен ия, опред елен н ые н а м н ож ест ве Χ . Д ока ж ит е след у ю щ ие у т верж д ен ия: 1) если ϕ, φ - сим м ет ричн ые (а н т исим м ет ричн ые) от н ош ен ия, т о
(ϕ ∩ φ )−1 - сим м ет ричн ое (а н т исим м ет ричн ое) от н ош 2) (ϕ \ φ ) o χ ⊇ (ϕ o χ ) \ (φ o χ ) .
ен ие;
Р еш ени е. 1. П у ст ь ϕ , φ - сим м ет ричн ые от н ош ен ия, д ока ж ем , чт о
(ϕ ∩φ )−1 - сим м ет ричн ое от н ош
ен ие. П у ст ь ( y , x ) ∈ ϕ ( x, y ) ∈ (ϕ ∩ φ )−1 ⇒ ( y, x) ∈ ϕ ∩ φ ⇒ ⇒ ( ) y , x ∈ φ (x , y ) ∈ ϕ ⇒ симме трично сть ϕ ,φ ⇒ ( x , y ) ∈ ϕ ∩ φ ⇒ ( y , x ) ∈ (ϕ ∩ φ )−1 ; (x , y ) ∈ φ
П у ст ь ϕ, φ - а н т исим м ет ричн ые от н ош ен ия, д ока ж ем , чт о (ϕ ∩φ )−1 а н т исим мет ричн ое от н ош ен ие. П у ст ь
( x, y ) ∈ (ϕ ∩ φ )−1 ( x, y ), ( y , x ) ∈ ϕ ( y , x ) ∈ ϕ ∩ φ ⇒ ⇒ ⇒ ( y , x ) ∈ (ϕ ∩ φ )−1 ( x, y ), ( y , x ) ∈ φ ( x, y ) ∈ ϕ ∩ φ ⇒ антисимме трично стьϕ ,φ x = y . 1. Д ока ж ем т ребу ем ое вклю чен ие. П у ст ь ( x, y ) ∈ (ϕ o χ ) \ (φ o χ ) ⇒ ( x, y ) ∈ ϕ o χ , ( x, y ) ∉ φ o χ ⇒ ( x , z ) ∈ χ ∃z ( z , y ) ∈ ϕ ⇒ ⇒ ∃z ( ) ∉ χ , x z ∀z ( z , y ) ∉ φ ⇒ ( x, y ) ∈ (ϕ \ φ ) o χ
( x, z ) ∈ χ ( z , y ) ∈ ϕ ⇒ ∃z ( z , y ) ∉ φ
( x, z ) ∈ χ ⇒ ( z, y ) ∈ ϕ \ φ
ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. П у ст ь Χ = {∗,×}. П еречислит е все элемен т ы м н ож ест в Χ 3 , Χ 4 . 2. На йд ит е геом ет рическу ю ин т ерпрет а цию м н ож ест ва Α × Β , гд е Α м н ож ест во т очек отрезка [0,1] , а Β - м н ож ест во т очек ква д ра т а с верш ин а м и в т очка х (0,0), (0,1), (1,0 ), (1,1) . 3. Д ока за т ь, чт о (Α × Β ) ∪ (Κ × Μ ) ⊆ (Α ∪ Κ ) × (Β ∪ Μ ) . П ри ка ких Α , Β , Κ , Μ вклю чен ие м ож н о за м ен ит ь ра вен ст вом . 4. Д ока за т ь, чт о д ляпроизвольн ых м н ож ест в Α , Β , Κ : 1) (Α ∪ Β ) × Κ = (Α × Κ ) ∪ (Β × Κ ); 2) (Α \ Β ) × Κ = (Α × Κ ) \ (Β × Κ ); 3) Α × (Β \ Κ ) = (Α × Β ) \ (Α × Κ ) . 5. П у ст ь Α ≠ ∅, Β ≠ ∅ и (Α × Β ) ∪ (Β × Α ) = Κ × Μ . Д ока за т ь, чт о в эт ом слу ча е Α = Β = Κ = Μ . 6. П еречислит е все элем ен т ы бин а рн ого от н ош ен ия ρ и н а рису йт е его гра ф : 1) ρ = {( x, y ) : x < y} н а м н ож ест ве Χ = {1, 2,3,4,5} ; 2) ρ = {( x, y ) : y = x + 1} н а м н ож ест ве Χ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. 7. Д ля ка ж д ого из след у ю щ их бин а рн ых от н ош ен ий, опред елен н ых н а м н ож ест ве R , н а йд ит е обла ст ь опред елен ия, обла ст ь зн а чен ий и н а рису йт е д ека рт ову д иа гра м м у : 1) ρ = {( x, y ) : x ≤ y}; 2) ρ = {(x , y ) : x = y};
{ 4) ρ = {( x , y ) : x
}
3) ρ = ( x, y ) : x 2 + 4 y 2 ≤ 1 ; 2
}
= y2 ;
5) ρ = {( x, y ) : y = log 2 x}; 6) ρ = {( x , y ) : y = sin x} . 8. Д а н ы бин а рн ые от н ош ен ия ρ м еж д у элем ен т а м и м н ож ест в Α и Β , н а йд ит е обла ст ь опред елен ия и обла ст ь зн а чен ий д ля д а н н ых бин а рн ых от н ош ен ий: 1) Α = {1,2,3,4,5}, Β = {{1}, {1, 2}, {2,5}, {3}}, ρ = {( x, y ) ∈ Α × Β : x ∈ y}; a 2) Α = Ζ × Ζ , Β = Q, ρ = ((a, b ), c ) ∈ Α × Β : c = ; b 3) Α = Ζ , Β = Q, ρ = {( x , y ) ∈ Α × Β : x ⋅ y = 1};
{
}
4) Α = Ζ , Β = Q, ρ = ( x, y ) ∈ Α × Β : b = 2 a .
9. Д ля ка ж д ого из след у ю щ их бин а рн ых от н ош ен ий выясн ит е, ка ким и свойст ва м и (реф лексивн ост ь, сим м ет ричн ост ь, а н т исим м ет ричн ост ь, т ра н зит ивн ост ь) он о обла д а ет и ка ким и н е обла д а ет : 1) ρ = ( x , y ) ∈ R × R : x 2 = y 2 ;
{
{
}
}
2) ρ = ( x, y ) ∈ R × R : x 2 + y 2 = 1 ; 3) ρ = {( x, y ) ∈ R × R : x ⋅ y > 1}; 4) ρ = {( x, y ) ∈ R × R : y = x };
5) 6) 7) 8) 9) П у ст ь
ρ ρ ρ ρ ρ
{
}
= ( x, y ) ∈ R × R : x + x 2 = y + y 2 ; = {(x, y ) ∈ Ζ × Ζ : x ≤ y + 1}; = {( x, y ) ∈ Ζ × Ζ : 3 д елится на x + y}; = {( x, y ) ∈ Ρ ( Ζ ) × Ρ ( Ζ ) : x ⊆ y}; = {( x, y ) ∈ Ρ (Ζ ) × Ρ (Ζ ) : x ∩ y = ∅}.
{ = {( x , y ) ∈ R × R : x
} = y};
1) ρ1 = ( x , y ) ∈ R × R : x = y 2 ;
ρ 2 = {( x, y ) ∈ R × R : x + y ≤ 5};
3 2) ρ 3 ρ 4 = {( x, y ) ∈ R × R : y = sin x}. На йд ит е всевозм ож н ые ком позиции ρ i o ρ k i , k = 1,2,3,4. П ока ж ит е, чт о ра вен ст во ϕ o φ = φ o ϕ верн о н е д ля лю бых бин а рн ых от н ош ен ий. Д ока ж ит е, чт о д лялю бого бин а рн ого от н ош ен ия ρ выполн яю т сяу словия: D ρ −1 = R ρ и R ρ −1 = D ρ .
П у ст ь ϕ , φ , χ - бин а рн ые от н ош ен ия, опред елен н ые н а н екот ором м н ож ест ве. Д ока ж ит е след у ю щ ие у т верж д ен ия: −1 1) (ϕ \ φ ) = ϕ −1 \ φ −1 ; 2) (ϕ ∩ φ ) o χ ⊆ (ϕ o χ ) ∩ (φ o χ ) ; 3) (ϕ o φ )
−1
= φ −1 o ϕ −1 ;
4) (ϕ ∪ φ ) = ϕ −1 ∪ φ −1 ; 5) (ϕ ∪ φ ) o χ = (ϕ o χ ) ∪ (φ o χ ) . −1
15. П ривед ит е прим еры бин а рн ых от н ош ен ий: 1) реф лексивн ых и т ра н зит ивн ых, н о н е а н т исим м ет ричн ых; 2) т ра н зит ивн ых и сим м ет ричн ых, н о н е реф лексивн ых; 3) реф лексивн ых и сим м ет ричн ых, н о н е т ра н зит ивн ых; 4) реф лексивн ых и т ра н зит ивн ых, н о н е сим мет ричн ых. 16. Д ока ж ит е, чт о если ρ - т ра н зит ивн ое и сим м ет ричн ое бин а рн ое от н ош ен ие н а м н ож ест ве Α , обла ст ь опред елен иякот орого совпа д а ет с Α , т о ρ реф лексивн о.
1.3 С п е циа льные б ина р ные о тно ш е ния Реф лексивн ое, сим м ет ричн ое и т ра н зит ивн ое от н ош ен ие ρ н а м н ож ест ве Χ н а зыва ет ся от н ош ен ием эквива лен т н ост и н а м н ож ест ве Χ . Д ля от н ош ен ия эквива лен т н ост и вм ест о за писи ( x, y ) ∈ ρ ча ст о использу ю т за пись x ≈ y (чит а ет ся: x эквива лен т ен y ) К ла ссом эквива лен т н ост и, порож д ен н ым элем ен т ом x , н а зыва ет ся под м н ож ест во м н ож ест ва Χ , сост оящ ее из т ех элем ен т ов y ∈ Χ , д лякот орых ( x, y ) ∈ ρ . К ла сс эквива лен т н ост и, порож д ен н ый элемен т ом x , обозн а ча ет сячерез [ x] : [ x] = {y ∈ Χ : ( x, y ) ∈ ρ}. Ра збиен ием м н ож ест ва Χ н а зыва ет ся совоку пн ост ь попа рн о н епересека ю щ ихся под м н ож ест в Χ т а ких, чт о ка ж д ый элем ен т м н ож ест ва Χ прин а д леж ит од н ому и т олько од н ом у из эт их под м н ож ест в. В сякое ра збиен ие м н ож ест ва Χ опред еляет н а Χ от н ош ен ие эквива лен т н ост и ρ : ( x, y ) ∈ ρ т огд а и только т огд а , когд а x и y прин а д леж а т од н ом у под м н ож ест ву ра збиен ия. С д ру гой ст орон ы, всякое от н ош ен ие эквива лен т н ост и ρ опред еляет ра збиен ие м н ож ест ва Χ н а кла ссы эквива лен т н ост и от н осит ельн о эт ого от н ош ен ия. Совоку пн ост ь кла ссов эквива лен т н ост и элем ен т ов м н ож ест ва Χ по от н ош ен ию эквива лен т н ост и ρ н а зыва ет сяф а кт ор-м н ож ест вом м н ож ест ва Χ по от н ош ен ию ρ и обозн а ча ет ся Χ / ρ . Реф лексивн ое, а н т исим м ет ричн ое и т ра н зит ивн ое от н ош ен ие н а зыва ет сяот н ош ен ием ча ст ичн ого поряд ка н а м н ож ест ве Χ и вм ест о за писи ( x, y ) ∈ ρ д ля д а н н ого от н ош ен ияча ст о использу ю т за пись x ≤ y . О т н ош ен ие ча ст ичн ого поряд ка н а м н ож ест ве Χ , д ля кот орого лю бые д ва
элем ен т а сра вн им ы, т .е. д ля лю бых x, y ∈ Χ выполн ен о либо x ≤ y , либо y ≤ x , н а зыва ет ся от н ош ен ием лин ейн ого поряд ка . М н ож ест во Χ с за д а н н ым н а н ем ча ст ичн ым (лин ейн ым ) поряд ком н а зыва ет сяча ст ичн о (лин ейн о) у поряд очен н ым . П у ст ь Χ - н епу ст ое кон ечн ое м н ож ест во, н а кот ором за д а н о от н ош ен ие ча ст ичн ого поряд ка . За пиш ем x < y , если x ≤ y и x ≠ y . Г оворят , чт о элем ен т y покрыва ет элем ен т x , если x < y и н е су щ ест ву ет т а кого элем ен т а u , чт о x < u < y . Д ля x < y м ож н о за писа т ь x = x1 < x 2 < ... < x n = y , гд е xi +1 покрыва ет xi . Ч а ст ичн о у поряд очен н ые м н ож ест ва м ож н о изобра ж а т ь с пом ощ ью т а к н а зыва ем ых д иа гра м м Х а ссе. На д иа гра м м е Х а ссе элем ен т ы ча ст ичн о у поряд очен н ого м н ож ест ва изобра ж а ю т ся т очка м и н а плоскост и, и если элем ен т y покрыва ет элем ен т x , т о т очки x и y соед ин яю т ся от резком , причем т очку , соот вет ст ву ю щ у ю x , ра спола га ю т н иж е y . П р и м ер 1. Д ока за т ь, чт о бин а рн ое от н ош ен ие н а м н ож ест ве целых чисел ρ = {( x, y ) ∈ Ζ × Ζ : x = y} являет ся от н ош ен ием эквива лен т н ост и, и пост роит ь соот вет ст ву ю щ ее ем у ф а кт ор-м н ож ест во Ζ / ρ . Р еш ени е. П роверку реф лексивн ост и, сим м ет ричн ост и и т ра н зит ивн ост и д а н н ого бин а рн ого от н ош ен ия выполн ит е са м ост оят ельн о. П ост роим кла ссы эквива лен т н ост и д ля д а н н ого от н ош ен ия экв ива лен т н ост и. К ла сс эквива лен т н ост и, порож д ен н ый лю бым элем ен т ом x ∈ Ζ , им еет вид [x ] = {y ∈ Ζ : x ≈ y} = {y ∈ Ζ : x = y} = {x} . Та ким обра зом , д ля д а н н ого от н ош ен ия экв ива лен т н ост и кла сс эквива лен т н ост и, порож д ен н ый элемен т ом x ∈ Ζ , сост оит т олько из этого элем ен т а x и ф а кт ор-м н ож ест во Ζ / ρ им еет вид Ζ / ρ = {{x} : x ∈ Ζ }. П р и м ер 2. П у ст ь m - н екот орое н а т у ра льн ое число. П роверит ь, являет ся ли от н ош ен ием эквива лен т н ост и след у ю щ ее бин а рн ое от н ош ен ие н а м н ож ест ве целых чисел: ρ = {( x, y ) ∈ Ζ × Ζ : x − y д елится на m} . П ост роит ь ф а кт ор-м н ож ест во Ζ / ρ . Р еш ени е. П роверим т ри осн ов н ых свойст ва д ля от н ош ен ия эквива лен т н ост и. 1. Реф лексивн ост ь. Д ляпроизвольн ого x ∈ Ζ ра зн ост ь x − x = 0 = 0 ⋅ m ⇒ ( x, x ) ∈ ρ . 2. Сим м ет ричн ост ь. П у ст ь ( x, y ) ∈ ρ ⇒ ∃ k ∈ Ζ x − y = k ⋅ m ⇒ ∃ k ∈ Ζ y − x = − k ⋅ m ⇒ ( y , x ) ∈ ρ .
3. Тра н зит ивн ост ь. П у ст ь ( x , y ) ∈ ρ , ( y , z ) ∈ ρ ⇒ ∃k ,n ∈ Ζ x − y = k ⋅ m, y − z = n ⋅ m ⇒ ⇒ ∃ k , n ∈ Ζ x − z = (k + n ) ⋅ m ⇒ ∃ r = (k + m ) ∈ Ζ x − z = r ⋅ m ⇒ ( x , z ) ∈ ρ И т а к, исслед у ем ое бин а рн ое от н ош ен ие являет ся от н ош ен ием эквива лен т н ост и. П ост роен ие кла ссов эквива лен т н ост и н а чн ем с кла сса эквива лен т н ост и, порож д ен н ого 0 ∈ Ζ [0] = {y ∈ Ζ : 0 ≈ y} = {y ∈ Ζ : 0 − y д елится на m} = = {y ∈ Ζ : ∃k ∈ Ζ 0 − y = k ⋅ m} = {y ∈ Ζ : ∃k ∈ Ζ y = −k ⋅ m} = = {0, m,− m, 2m, −2m,3m,−3m,..., km,− km,...}. Е сли m = 1 , т о д а н н ый кла сс эквива лен т н ост и [0] = Ζ , д ру гих кла ссов эквива лен т н ост и прост о н е су щ ест ву ет , и Ζ / ρ = {[0]}. Е сли m > 1 , т о су щ ест ву ю т элемен т ы, н е попа вш ие в пост роен н ый кла сс, н а пример, элем ен т 1. П ост роим кла сс эквива лен т н ост и, порож д ен н ый 1 [1] = {y ∈ Ζ : 1 ≈ y} = {y ∈ Ζ : 1 − y д е л ится на m} = = {y ∈ Ζ : ∃k ∈ Ζ 1 − y = k ⋅ m} = {y ∈ Ζ : ∃k ∈ Ζ y = 1 − k ⋅ m} = = {1,1 − m,1 + m,1 − 2m,1 + 2 m,1 − 3m,1 + 3m,...,1 − km,1 + km,...}. П ри m = 2 пост роен н ые д ва кла сса эквива лен т н ост и при объед ин ен ии д а ю т все м н ож ест во Ζ и поэт ом у пост роен ие кла ссов эквива лен т н ост и за кон чен о, в прот ивн ом слу ча е су щ ест ву ет элем ен т , н а прим ер 3, н е попа вш ий н и в од ин из эт их кла ссов экв ива лен т н ост и, и н у ж н о перейт и к пост роен ию кла сса эквива лен т н ост и, порож д ен н ого 2. П род олж а я д а н н ый процесс, при лю бом m м ы пост роим кла ссыэквива лен т н ост и [0], [1],..., [m − 1] , кот орые н е пересека ю т ся и при объед ин ен ии д а ю т все м н ож ест во Ζ . Та ким обра зом , Ζ / ρ = {{n, n − m, n + m,..., n − km, n + km,...} : n = 1, 2,..., m − 1}. П р и м ер 3. На плоскост и Ρ выбра н а н екот ора я д ека ртова прямоу гольн а я сист ем а коорд ин а т . На Ρ за д а н ы т ри от н ош ен ия эквива лен т н ост и: ρ1 = {((a1 , a 2 ), (b1 , b2 )) ∈ Ρ × Ρ : a1 = b1 , a 2 − b2 ∈ Ζ } ; ρ 2 = {((a1 , a2 ), (b1 , b2 )) ∈ Ρ × Ρ : a1 − b1 ∈ Ζ , a 2 − b2 ∈ Ζ }; ρ 3 = {((a1 , a2 ), (b1 , b2 )) ∈ Ρ × Ρ : a1 − b1 + a 2 − b2 ∈ Ζ }. На йд ит е ф а кт ор-м н ож ест ва д ляд а н н ых от н ош ен ий эквива лен т н ост и. Р еш ени е. П ост роим ф а кт ор-мн ож ест во д ля от н ош ен ия ρ1 . К ла сс эквива лен т н ост и, порож д ен н ый произвольн ым элем ен т ом (a1 , a2 ) ∈ Ρ , им еет вид [(a1 , a2 )] = {( x, y ) ∈ Ρ : ((a1 , a2 ), ( x, y )) ∈ ρ1} = {( x, y ) ∈ Ρ : x = a1 , a2 − y ∈ Ζ } = = {( x , y ) ∈ Ρ : ∃k ∈ Ζ x = a1 , a2 − y = k } = = {( x, y ) ∈ Ρ : ∃k ∈ Ζ x = a1 , y = a 2 − k} =
= {(a1 , a 2 − k ) ∈ Ρ : k ∈ Ζ } . Та ким обра зом , в кла сс эквива лен т н ост и, порож д ен н ый элем ен т ом (a1 , a 2 ) ∈ Ρ a1 ∈ R , 0 ≤ a 2 < 1 , попа д а ю т вм ест е с элем ен т ом (a1 , a2 ) ∈ Ρ элем ен т ы, у кот орых перва я коорд ин а т а ра вн а a1 , а вт ора якоорд ин а т а от лича ет ся от a 2 н а целое число. К ла ссы эквива лен т н ост и, порож д ен н ые элем ен т а м и с a1 ∈ R , 0 ≤ a 2 < 1 , н е пересека ю т ся и в объ ед ин ен ии д а ю т все м н ож ест во Ρ . След ова т ельн о, ф а кт ор-м н ож ест во Ρ / ρ1 м ож н о за писа т ь в вид е Ρ / ρ1 = {{(α , β + k ) : k ∈ Ζ } : α ∈ R, β ∈ [0,1)} . Ф а кт ор-м н ож ест во д ля от н ош ен ий ρ 2 , ρ 3 пост ройт е са м ост оят ельн о. П р и м ер 4. П рид у м а йт е м ин има льн ое (по числу элем ен т ов) от н ош ен ие эквива лен т н ост и ρ н а м н ож ест ве Α = {1, 2,3,4,5} т а к, чт обы (1,2 ) ∈ ρ и (2,3) ∈ ρ . Р еш ени е. О т н ош ен ие эквива лен т н ост и реф лексивн о, поэт ом у д а н н ом у от н ош ен ию обяза т ельн о д олж н ы прин а д леж а т ь па ры (1,1) , (2,2 ), (3,3) , (4,4) , (5,5) . О т н ош ен ие эквива лен т н ост и сим м ет ричн о, поэт ом у н а ряд у с па ра м и (1, 2) , (2,3) д а н н ом у от н ош ен ию обяза н ы прин а д леж а т ь па ры (2,1) , (3, 2) . В силу т ра н зит ивн ост и от н ош ен ия ρ ем у обяза н а прин а д леж а т ь вм ест е с па ра м и (3, 2) , (2,1) па ра (3,1) ( и, след ова т ельн о, (1,3) ). Та ким обра зом , м ин им а льн ое от н ош ен ие экв ива лен т н ост и, кот орое мы мож ем пост роит ь, им еет вид ρ = {(1,1), (2 ,2 ), (3 ,3), ( 4 ,4) , (5 ,5 ), (1,2) , (2 ,1), (2 ,3), (3 ,2) , (3 ,1) , (1,3)} . П р и м ер 5. Д ока ж ит е, чт о Μ = {{1}, {2 ,5}, {3}, {4 ,6 ,7}} - ра збиен ие мн ож ест ва Α = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7} и перечислит е все элем ен т ы от н ош ен ия эквива лен т н ост и ρ , соот вет ст ву ю щ его ра збиен ию Μ . Р еш ени е. Μ являет ся ра збиен ием м н ож ест ва Α , поскольку м н ож ест ва , являю щ иеся элемен т а м и м н ож ест ва Μ , н е пересека ю т сяи при объед ин ен ии д а ю т все м н ож ест во Α . О т н ош ен ие экв ива лен т н ост и, соот вет ст ву ю щ ее д а н н ом у ра збиен ию , ст роит сяпо пра вилу ( x, y ) ∈ ρ т огд а и т олько т огд а , когд а x и y прин а д леж а т од н ом у под м н ож ест ву ра збиен ия,т(1.е. ,1), (2,2 ), (5,5), (2,5), (5,2 ), (4, 4), (6,6 ), (7,7 ), (4,6 ), (6,4 ), ρ= . (4,7 ), (7, 4), (6,7 ), (7,6 ), (3,3) П р и м ер 6. П ока ж ит е, чт о объед ин ен ие д ву х от н ош ен ий эквива лен т н ост и м ож ет н е являт ьсяот н ош ен ием экв ива лен т н ост и. Р еш ени е. На м н ож ест ве Α = {1, 2,3,4,5} ра ссм от рим д ва от н ош ен ия эквива лен т н ост и
ρ1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4 ), (5,5 ), (1,2 )(2,1)}; ρ1 = {(1,1), (2,2 ), (3,3), (4, 4), (5,5), (3,2 )(2,3)} . О бъед ин ен ие д а н н ых от н ош ен ийэквива лен т н ост и ρ1 ∪ ρ 2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1, 2)(2,1), (3,2 ), (2,3)} н е являет ся от н ош ен ием эквива лен т н ост и, т а к ка к д ля н его н е выполн ен о свойст во т ра н зит ивн ост и ( (3,2 ) ∈ ρ1 ∪ ρ 2 , (2,1) ∈ ρ1 ∪ ρ 2 , а (3,1) ∉ ρ1 ∪ ρ 2 ). П р и м ер 7. Д ока ж ит е, чт о от н ош ен ие ρ = {( x, y ) ∈ R × R : x ≤ y} являет ся от н ош ен ием поряд ка н а м н ож ест ве R , яв ляет ся ли эт о от н ош ен ие от н ош ен ием лин ейн ого поряд ка . Р еш ени е. Д ля д ока за т ельст ва проверим т ри свойст ва д а н н ого от н ош ен ия: реф лексивн ост ь, а н т исим м ет ричн ост ь, т ра н зит ивн ост ь. 1. Реф лексивн ост ь. ∀x ∈ R x = x ⇒ ( x, x) ∈ ρ . 2. А н т исим м ет ричн ост ь. x ≤ y ⇒ x= y. П у ст ь ( x, y ) ∈ ρ и ( y , x ) ∈ ρ ⇒ y ≤ x 3. Тра н зит ивн ост ь. x ≤ y ⇒ x ≤ z ⇒ (x, z ) ∈ ρ . П у ст ь ( x, y ) ∈ ρ и ( y , z ) ∈ ρ ⇒ y ≤ z Д а н н ое от н ош ен ие являет сяот н ош ен ием лин ейн ого поряд ка , т а к ка к д лялю бых x, y ∈ R выполн ен о либо x ≤ y , либо y ≤ x .
П р им е р 8. П о к аж ите , что к о мп о зиция д в у хо тно шений частично го п о ряд к а мо ж ет не яв ляться о тно ше ние м частично го п о ряд к а. Р еш ени е. На м н ож ест ве Α = {1,2,3,4,5} ра ссм от рим д ва от н ош ен ия ча ст ичн ого поряд ка ρ1 = {(1,1), (2,2 ), (3,3), (4,4 ), (5,5), (1,2 ), (2,3), (1,3)} ; ρ 2 = {(1,1), (2,2 ), (3,3), (4, 4), (5,5), (1,5 ), (5,2 ), (1,2 )} . О д н а ко ком позиция ρ 2 o ρ1 = {(1,1), (2,2 ), (3,3), (4, 4), (5,5), (1,3), (1,2 ), (2,3), (1,5), (5, 2), (1,2)} н е являет ся от н ош ен ием ча ст ичн ого поряд ка , т а к ка к д ля н его н а ру ш ен о свойст во т ра н зит ивн ост и ( (5,2 ) ∈ ρ 2 o ρ1 , (2,3) ∈ ρ 2 o ρ1 , (5,3) ∉ ρ 2 o ρ1 ). П р и м ер 9. Д ля след у ю щ их д ву х от н ош ен ий ча ст ичн ого поряд ка пост роит ь д иа гра м м ы Х а ссе. 1. Α = {1,2,3}, ρ1 = {( x, y ) ∈ Ρ (Α ) × Ρ (Α ) : x ⊆ y} . Α = {1,2,3,5,6,10,15,30}, ρ 2 = {( x, y ) ∈ Α × Α : y д елится на x}. 2.
Р еш ени е. {1,2,3}
{2,3}
{1,2}
30
{1,3}
15
{3} {2}
10
6 5
{1}
2
3 1
1.
2. .
ЗА Д А Ч И И У П Р А Ж Н ЕН И Я 1. Д ока ж ит е, чт о ка ж д ое из след у ю щ их от н ош ен ий являет ся от н ош ен ием эквива лен т н ост и, и н а йд ит е кла ссы эквива лен т н ост и: 1) ρ = {( x, y ) ∈ Ρ (Α ) × Ρ (Α ) : x = y }, Α = {1, 2,3};
{((a, b ), (c, d )) ∈ Ν × Ν : a + d = b + c}; 3) ρ = {( x , y ) ∈ R × R : x = y }; 2) ρ =
2
2
2
2
4) ρ = {( x, y ) ∈ Ρ (Α ) × Ρ (Α ) : x + y − к о не чно е мно ж е ств о } , ∀Α ; 2. На м н ож ест ве Ν за д а н о бин а рн ое от н ош ен ие по след у ю щ ем у пра вилу : ( x, y ) ∈ ρ т огд а и т олько т огд а , когд а послед н яя циф ра в д есят ичн ой за писи числа x совпа д а ет с послед н ей циф рой в д есят ичн ой за писи числа y . Д ока ж ит е, чт о д а н н ое от н ош ен ие яв ляет ся от н ош ен ием экв ива лен т н ост и. Сколько элем ен т ов в ф а кт ор-м н ож ест ве Ν / ρ ?
{
}
3. На R за д а н о бин а рн ое от н ош ен ие ρ = ( x , y ) ∈ R × R : x 2 + x = y 2 + y . Д ока ж ит е, чт о ρ - от н ош ен ие эквива лен т н ост и. Сколько элемен т ов м ож ет сод ерж а т ь кла сс эквива лен т н ост и? Су щ ест ву ет ли кла сс экв ива лен т н ост и, сост оящ ий из од н ого элем ен т а ? 4. П ока ж ит е, чт о пересечен ие от н ош ен ий эквива лен т н ост и, опред елен н ых н а н екот ором м н ож ест ве Α , являет сяот н ош ен ием эквива лен т н ост и. 5. Д ока ж ит е, чт о если ρ - от н ош ен ие эквива лен т н ост и, т о ρ −1 - т а кж е от н ош ен ие эквива лен т н ост и. 6. К а кие из след у ю щ их под м н ож ест в м н ож ест ва Ρ ( R ) обра зу ю т ра збиен ие R ? Д ля ка ж д ого ра збиен ия за д а йт е соот вет ст ву ю щ ее от н ош ен ие эквива лен т н ост и:
1)
{{x ∈ R : x > 0},{x ∈ R : x < 0}};
2)
{{x ∈ R : x > 0},{x ∈ R : x < 0}, {0}};
3)
{(n, n + 1) : n ∈ Ζ };
4) {[n, n + 1] : n ∈ Ζ }; 5)
{(n, n + 1] : n ∈ Ζ } .
7. П у ст ь Μ 1 = {Α1 , Α2 ,..., Αn }, Μ 2 = {Β 1 , Β 2 ,..., Β n } - д ва ра збиен ия м н ож ест ва Κ . Д ока ж ит е, чт о м н ож ест во всех н епу ст ых под м н ож ест в вид а Α i ∩ Β j т а кж е являет ся ра збиен ием м н ож ест ва Κ . К а кое от н ош ен ие эквива лен т н ост и соот вет ст ву ет эт ом у ра збиен ию , если ра збиен ию Μ 1 соот вет ст ву ет от н ош ен ие ρ1 , а ра збиен ию Μ 2 - от н ош ен ие ρ2 ? 8. Д ока ж ит е, чт о от н ош ен ие ρ = {( x, y ) ∈ Ν × Ν : y д елится на x} являет ся от н ош ен ием поряд ка . Я вляет ся ли эт о от н ош ен ие от н ош ен ием лин ейн ого поряд ка ? Я вляет ся ли а н а логичн ое от н ош ен ие от н ош ен ием поряд ка , если его ра ссм а т рива т ь н а м н ож ест ве Ζ ? 9. Д ока ж ит е, чт о от н ош ен ие ρ = {( x, y ) ∈ Ν × Ν : x д елится на y или x < y} являет сяот н ош ен ием лин ейн ого поряд ка . 10. На м н ож ест ве всевозм ож н ых ра збиен ий д а н н ого м н ож ест ва ра ссм от рим от н ош ен ие: (Μ 1 , Μ 2 ) ∈ ρ , если д ля лю бого Α ∈ Μ 1 су щ ест ву ет м н ож ест во Β ∈ Μ 2 т а кое, чт о Α ⊆ Β . Д ока ж ит е, чт о ра ссм а т рива ем ое от н ош ен ие являет ся от н ош ен ием поряд ка . Я вляет ся ли он о лин ейн ым поряд ком ? 11. П еречислит е всевозм ож н ые лин ейн ые поряд ки н а м н ож ест ве {1, 2}, н а м н ож ест ве {1,2,3} . В ыска ж ит е пред полож ен ие о числе лин ейн ых поряд ков н а м н ож ест ве из n элем ен т ов. 12. П у ст ь ρ1 - от н ош ен ие поряд ка н а м н ож ест ве Α , ρ 2 - от н ош ен ие поряд ка н а м н ож ест ве Β . Д ока ж ит е, чт о от н ош ен ие
ϕ = {(a1 , a 2 ), (b1 , b2 ) ∈ (Α × Β ) × (Α × Β ) : (a1 , b1 ) ∈ ρ1 , (a 2 , b2 ) ∈ ρ 2 } ест ь от н ош ен ие поряд ка . 13. Д ляслед у ю щ его от н ош ен ияпоряд ка пост ройт е д иа гра м м у Х а ссе:
Α = {1,2,3, 4,5,6,7,8}, ρ = {( x, y ) ∈ Α × Α : x ≤ y}.
2. КОМ БИНАТОР ИКА 2.1 Осно вные п р а вила ко м б ина то р ики П р ави л осум м ы:
П ра в ило су м м ы д ляд ву х объект ов: П у сть о бъ е к т a мо ж но в ыбрать m сп о со бами, о бъ е к т b – n сп о со бами, и су щ е ств у е т k о бщ ихсп о со бо в в ыбо ра о бъ е к то в a и b , то гд а о д иниз о бъ е к то в “ a ил и b” мо ж но в ыбрать m + n -- k сп о со бами. П р и м ер 1. Скольким и способа м и из 28 кост ей д ом ин о м ож н о выбра т ь кост ь, н а кот орой ест ь "2" или "5". Р еш ени е. В ыбра т ь кост ь, сод ерж а щ у ю "2", м ож н о 7-ю способа м и, сод ерж а щ у ю "5" - т ож е 7-ю способа м и, н о сред и эт их способов ест ь од ин общ ий - эт о выборкост и "2 : 5". В соот вет ст вии с пра в илом су м м ы общ ее число способов в ыбора н у ж н ой кост и м ож н о осу щ ест вит ь 7+7-1 = 13 способа м и. П ра в ило су м м ы м ож н о сф орм у лирова т ь д ля произвольн ого числа объект ов. Д ля эт ого д ост а точн о использова т ь ф орм у лу д ля м ощ н ост и объ ед ин ен ия кон ечн ого числа м н ож ест в. В слу ча е т рё х объ ект ов ф орм у ла им еет вид : |A U B U C | = |A| +|B| +|C| - |A I B| - |A I C| - |B I C| +|A I B I C|. П ра в ило су м м ыд ля3-х объ ект ов: Есл и о бъ е к т а мо ж но в ыбрать n1 сп о со бами, о бъ е к т b – n2 сп о со бами, о бъ е к т с – n3 сп о со бами, и изв е стны n12 о бщ их сп о со ба в ыбо ра о д но го из о бъ е к то в а и b , n13 о бщ их сп о со ба в ыбо ра о д но го из о бъ е к то в а и с, n23 о бщ их сп о со ба в ыбо ра о д но го из о бъ е к то в b и с, а так ж е изв е стно n123 о бщ ихсп о со ба в ыбо ра о д но го ихо бъ е к то в а, b и с , то число в се хсп о со бо в в ыбо ра о д но го изо бъ е к то в “ а или b ил и с” в ычисл яе тся п о фо рму л е : n1 + n 2 + n3 - n12 - n13 - n23 + n123 (1) П р и м ер 2. В ход е экза м ен а цион н ой сессии 12 ст у д ен т ов полу чили оцен ки "от личн о” , 12 - "хорош о", 13 - "у д овлет ворит ельн о” , 5 - "хорош о" и "от личн о", 7 - "хорош о" и "у д овлет ворит ельн о", 8 - "у д овлет ворит ельн о" и "от личн о". У т рех ст у д ен т ов все вид ы оцен ок. Сколько ст у д ен т ов в гру ппе, если извест н о, чт о все он и сд а ли сессию ? Сколько от личн иков в гру ппе? Сколько в гру ппе "чист ых" т роечн иков? Р еш ени е. В у слов иях за д а чи n1 = 12, n2 = 12, n 3 = 13, n12 = 5, n23 = 7, n13 = 8, n123 = 3. П о ф орм у ле (1) н а ход им общ ее число ст у д ен т ов в гру ппе: 12+13+12-5-7- 8+3 = 20 ; число от личн иков в гру ппе ра вн о: n1 – (n12 + n13) + n123 = 12 - (5+8) + 3 = 2; число “чист ых” т роечн иков ра вн о n3 – (n13 + n 23) + + n123 = 13 - (8 + 7) + 3 =1.
ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. И м еет ся 10 билет ов д ен еж н о-вещ евой лот ереи и 15 билет ов ху д ож ест вен н ой лот ереи. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь од ин лот ерейн ый билет ? От вет : 25. 2. Скольким и способа м и м ож н о под а рит ь су вен ир из им ею щ ихся 6 а вт ору чек, 7 репрод у кций ка рт ин и 3 а льбом ов? От вет : 16. 3. В город е ра бот а ю т 4 м у зея, 3 т еа т ра и 10 кин от еа т ров. Сколько ва риа н т ов д ляорга н иза ции ку льт поход а в воскресен ье? От вет : 17. 4. Сколько су щ ест ву ет ва риа н т ов поезд ки к м орю , если т у д а м ож н о д обра т ься т ремя а виа рейса м и, пят ью а вт од орога м и или по ж елезн ой д ороге? От вет : 9. 5. Скольким и способа м и м ож н о ку пит ь од ин пирож ок, если в прод а ж е 7 пирож ков с м ясом , 10 пирож ков с повид лом и 12 пирож ков с ка пу ст ой? От вет : 29. 6. В от д еле НИ И ра бот а ю т н есколько сот ру д н иков, зн а ю щ их хот ябы од ин ин ост ра н н ый язык. И з н их 6 человек зн а ю т а н глийский, 6 - н ем ецкий, 7 - ф ра н цу зский, 4 - а н глийский и н ем ецкий, 3 - ф ра н цу зский и н ем ецкий, 2 - ф ра н цу зский и а н глийский, 1 человек зн а ет все т ри языка . Сколько человек ра бот а ет в от д еле? Сколько из н их зн а ю т т олько а н глийский язык? Сколько человек зн а ю т т олько од ин язык? От вет : 11, 1, 4. 7. Ст а рост а од н ого кла сса д а л след у ю щ ие свед ен ия обу чен ика х: “В кла ссе у ча т ся 45 человек, в т ом числе 25 м а льчиков; 30 у чен иков у ча т ся н а хорош о и от личн о, в т ом числе 16 м а льчиков. Спорт ом за н им а ю т cя 28 у чен иков, в т ом числе 18 м а льчиков и 17 ш кольн иков, кот орые у ча т ся н а хорош о и от личн о. 15 м а льчиков у ча т ся н а хорош о и от личн о и за н има ю т сяспорт ом ". Д ока ж ит е, чт о в эт их свед ен иях ест ь ош ибка . От вет : П о ф орм у ле (1) в кла ссе 47 человек, а по свед ен иям ст а рост ы— 45. П р и м еч ани е. З ад ачи 6 , 7 ре шить так ж е с п о мо щ ью к ру го в Э йл е ра. 8. Сколько чисел сред и первых 100 н а т у ра льн ых чисел н е д елят сян и н а 2, н и н а 3, н и н а 5? От вет : 74.
У казани е. Ко личе ств о нату рал ьныхчисе л , д е л ящ ихся на m и не п ре в о схо д ящ ихa, рав но цел о й части [ a/m ] числ а
a . m
9. Сколько чисел сред и первых 1000 н а т у ра льн ых чисел, н е д елящ ихся н и н а 3, н и н а 4, н и н а 5? От вет : 400. 10.В корзин е леж а т 8 ра зличн ых яблок и 7 ра зличн ых гру ш . Скольким и способа м и м ож н о взят ь плод из корзин ы? От вет : 15. П р а вило п р о изве де ния: П ра в ило произвед ен ия д ля д ву х объект ов: П у сть о бъ е к т a мо ж но в ыбрать п сп о со бами, и п о сл е к аж д о го так о го в ыбо ра о бъ е к т b мо ж но в ыбрать т сп о со бами. То гд а в ыбо р п ары “ a и b“ в у к азанно м п о ряд к е мо ж но о су щ е ств ить n × т сп о со бами. П р и м ер 3. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь гла сн у ю и согла сн у ю бу квы из бу кв слова "ст у д ен т "? Р еш ени е. Г ла сн у ю бу кву м ож н о выбра т ь 2-м яспособа м и, согла сн у ю м ож н о выбра т ь 5-ю способа м и. П о пра вилу произвед ен иявыбор" гла сн ой и согла сн ой " м ож н о осу щ ест влят ь 2 × 5 = 10 способа м и. П р и м ер 4. Сколько су щ ест ву ет д ву зн а чн ых чет н ых чисел в д есят ичн ой сист ем е счислен ия? Р еш ени е. В ыбира ю т ся д ве циф ры из м н ож ест ва {0,1,2,...,8,9}. П ерва я циф ра м ож ет быт ь лю бой, кром е н у ля. П оэт ом у ее м ож н о выбра т ь 9-ю способа м и. В т ора я циф ра мож ет быт ь лю бой из м н ож ест ва {2,4,6,8,0}, ее м ож н о выбра т ь 5-ю способа м и. След ова т ельн о, чет н ых д ву зн а чн ых чисел по пра вилу произвед ен иябу д ет n × m = 45, гд е n = 9, m = 5. П ра в ило произвед ен ия являет ся след ст вием теор ем ы о м ощност и п р ям ого п р ои зведени я конеч ного ч и сл а конеч ных м нож ест в. В слу ча е произвольн ого числа объект ов он о ф орм у лиру ет ся след у ю щ им обра зом : Есл и о бъ е к т a1 мо ж но в ыбрать п 1 сп о со бами, о бъ е к т a2 - n2 сп о со бами,..., о бъ е к т ak - nk сп о со бами, то о бщ е е числ о п о л у че нныхтак им о бразо м у п о ряд о че нныхнабо ро в ( a1 , a2, … , ak ) мо ж но в ыбрать n1 × n2 × … × n k сп о со бами. Е сли т ребу ет сяв ыполн ит ь од н о за д ру гим од н оврем ен н о k д ейст вий, н а од н о из кот орых н а лож ен о огра н ичен ие, т о под счет числа возм ож н ых ком бин а ций у д обн ее н а чин а т ь с выполн ен ияим ен н о эт ого д ейст вия. П р и м ер 5. В м икроа вт обу се 10 м ест , од н о из которых - м ест о вод и-
т еля. Скольким и способа ми м огу т сест ь в а вт обу с 10 человек, если м ест о вод ит елямогу т за н ят ь т олько т рое из н их. Р еш ени е. На чн ем с м ест а вод ит еля. И м еет ся n1 = 3 способа за н ят ь его м ест о. След у ю щ ее м ест о мож ет за н ят ь лю бой из д евят и ост а вш ихся человек, т .е. n2 = 9 и т . д . П о пра вилу произвед ен ия полу ча ем всего возм ож н ост ей n1 × n2 × n3 × … × n10 = 3 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 × 9!. ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 11. Сколько су щ ест ву ет д ву зн а чн ых чисел в 10-н ой сист ем е счислен ия, в кот орых н ет од ин а ковых циф р? От вет : 81. 12. Сколько су щ ест ву ет н ечё т н ых т рехзн а чн ых чисел? От вет : 450. 13. На ф ерм е ест ь 20 овец и 24 козы. Скольким и способа м и мож н о выбра т ь од н у овцу и од н у козу ? Е сли т а кой выбору ж е сд ела н , скольким и способа м и м ож н о сд ела т ь его ещ е ра з? От вет : 480, 437. 14. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь по од н ом у экзем пляру ка ж д ого у чебн ика , если им еет ся 3 экзем пляра у чебн ика а лгебры, 7 экзем пляров у чебн ика геом ет рии и 10 экзем пляров у чебн ика ин ф орм а т ики? От вет : 210. 15. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь из н а т у ра льн ых чисел от 1 д о 20 д ва числа т а к, чт обы их су м м а была н ечет н ым числом? 16. И м еет ся 5 вид ов кон верт ов без м а рок и 4 вид а м а рок. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь кон верт и ма рку д ляпосылки письм а ? От вет : 20. 17. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь согла сн у ю и гла сн у ю бу квы из слова "зд а н ие"? И з слова "ка бин ет "? От вет : 9. 18. В корзин е леж а т 12 яблок и 10 гру ш . Сын выбира ет из н ее яблоко или гру ш у , после чего д очь берет и яблоко, и гру ш у . В ка ком слу ча е д очь им еет больш у ю свобод у выбора : если сын взял яблоко или если он взял гру ш у ? Ответ: Е сли сын выбра л яблоко. 19. Скольким и способа м и мож н о соверш ит ь кру говой рейс из А в В и обра т н о, если н а обра т н ом пу т и выбира т ь н ову ю д орогу и извест н о, чт о А
и В соед ин ен ы сем ью д орога м и? От вет : 42. 20. У н екот орых н а род ов прин ят о д а ва т ь д ет ям н есколько им ен . Скольким и способа м и м ож н о н а зва т ь ребен ка , если ем у д а ю т н е более т рех им ен , а общ ее число им ен ра в н о 300? От вет : 26820600.
2.2. У п о р ядо ч е нные и не уп о р ядо ч е нные выб о р ки П он ят ие в ыборки
И звест н о, чт о k-выборка из н екот орого м н ож ест ва пред ст а вляет собой ком бин а цию из к элемен т ов эт ого м н ож ест ва . В ыборки, в кот орых все элем ен т ы ра зличн ы, н а зыва ю т выбор кам и без п овтор ени й, в от личие от выбор ок с п овт ор ени ям и , в кот орые м огу т вход ит ь од ин а ковые элем ен т ы. В ыборка н а зыва ет сяуп ор ядоч енной, если су щ ест вен н ым являет сян е т олько сост а в элем ен т ов в н ей, н о и поряд ок их ра сполож ен ия. Д ве у поряд очен н ые k-выборки счит а ю т ся ра зличн ым и, если он и от лича ю т ся либо сост а вом элем ен т ов, либо поряд ком их ра сполож ен ия. На прим ер, у поряд очен н ые выборки (1,2) и (2,1) счит а ю т ся ра зличн ым и, хот я и сост а влен ы из од н их и т ех ж е элем ен т ов. В ыборка н а зыва ет ся неуп ор ядоч енной, если поряд ок след ова н ия элем ен т ов в н ей н е су щ ест вен ен . Та к, {1,2} и {2,1} счит а ю т ся од н ой и т ой ж е н еу поряд очен н ой выборкой. Ф игу рн ые и кру глые скобки под черкива ю т от личие н еу поряд очен н ой выборки от у поряд очен н ой. П р и м ер 6. С ост а вьт е всевозм ож н ые 2-выборки из элем ен т ов м н ож ест ва М ={а ,Ь ,с}. Р еш ени е. (а ,b), (b,а ), (а ,с), (с,а ), (b,с), (с,b) - эт о у поряд очен н ые 2-выборки без повт орен ий. И х, очевид н о, всего 6. (а ,а ); (а ,b); (а ,с); (b,b); (b,a); (b,c); (c,c); (c,a); (c,b) – у поряд очен н ые 2выборки с повт орен иям и. И х всего 9. {a,b}, {а ,с}, {b,c} - н еу поряд очен н ые выборки без повт орен ий. Л егко вид ет ь, чт о иx всего 3. [a,b]; [a,a]; [a,c]; [b,b]; [b,c]; [c,c] – н еу поряд очен н ые выборки с повт орен иям и. И х всего 6. В след у ю щ их па ра гра ф а х бу д у т д а н ы ф орму лы д ля под счет а количест ва k-выборок из n элем ен т ов.
зад ачи и У п раж не ния
1. И з ящ ика с 70 ра зн ым и ш а ра м и вын им а ет ся 5 ш а ров? К а кого т ипа 5выборка ? О т вет обосн ова т ь. От вет : Неу поряд очен н а ябез повт орен ия. 2. К а кого т ипа 7-выборка при соверш ен ии поку пки сем и пирож н ых; если в м а га зин е им еет сячет ыре их сорт а ? От вет : Неу поряд очен н а яс повт орен иям и. 3. На ш а хм а т н ой д оске ра сст а влен ы: а ) 8 од ин а ковых ф игу р; б) 8 ра зличн ых ф игу р. К ка ком у т ипу от н осят ся8-выборки в слу ча ях а ) и б)? От вет : а ) Неу поряд очен н а яс повт орен иям и. б) У поряд очен н а ябез повт орен ий. 4. К а кого т ипа 4-в ыборки, если выбира ю т сяиз 10 прет ен д ен т ов: а ) чет ыре ка н д ид а т а н а кон ф ерен цию ? б) презид ен т , вице-презид ен т , ка зн а чей и у чен ый секрет а рь н а у чн ого общ ест ва ? От вет : а ) Неу поряд очен н а ябез повт орен ий. б) У поряд очен н а яс повт орен иями. 5. П ерест а в ляю т ся бу квы слов : а ) ” м а рт ” , б) “м а ма ” . Сколько полу чит ся ра зличн ых перест а н овок? П еречислит е их. К ка ком у т ипу в ыборки м ож н о от н ест и эт и ком бин а ции бу кв? От вет : У поряд очен н ые. 6. И з м н ож ест ва циф р {0,1,2,...,9} сост а вляю т ся ра зличн ые н а боры чисел по пят ь циф рв ка ж д ом . К а кого т ипа выборки пред ст а вляю т собой пят изн а чн ые числа ? 7. Сост а вляю т сяслова д лин ы 4 из 32 бу кв ру сского а лф а вит а т а к, чт о д ве сосед н ие бу квыэт их слов ра зличн ы. К а кого ха ра кт ера эт и выборки? На йт и число т а ких н а боров слов. 8. Сколько м ож н о сост а вит ь слов д лин ы k из 32 бу кв ру сского а лф а вит а ? Ра ссм от рет ь слу ча й k = 2, 3, 4. От вет : У поряд очен н ые с повт орен иям и. 1024 при k=2; 32768 при k=34;
32 4 при k=4. 9. И з м н ож ест ва A = {a, b, c, d} сост а вит ь: а ) у поряд очен н ые 2-выборки без повт орен ий; б) н еу поряд очен н ые 2-в ыборки без повт орен ий. Сколько их всего м ож ет быт ь? От вет : а ) 12; б) 6. П ри реш ен ии ком бин а т орн ых за д а ч, в кот орых т ребу ет сяопред елит ь количест во н екот орых выборок (ком бин а ций) из д а н н ого м н ож ест ва элем ен т ов, осн овн ым м ом ен т ом являет ся пра вильн ое опред елен ие т ипа (ха ра кт ера ) выборок — у поряд очен н ые эт о выборки или н ет , с повт орен иям и или без повт орен ий. К ом бин а циям , кот орые вст реча ю т ся в эт их за д а ча х, присвоен ы особые н а зва н ия— ра зм ещ ен ия, сочет а н ияи перест а н ов ки.
Ра зм ещ ен иябез повт орен ий и с пов т орен иям и
Р азм ещени ям и без п овтор ени й из п элем ен т ов по к н а зыва ю т ся у поряд очен н ые k-выборки из п элем ен т ов без повт орен ий. И х число обозн а ча ет ся
A nk
и вычисляет сяпо ф орм у ле :
A nk = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-k + 1) =
n! , k ≤ n. ( n − k )!
(2)
О бычн о ра зм ещ ен иябез повт орен ий из n элем ен т ов по n н а зыва ю т ся п ер естановкам и из n элем ен т ов. И х число обозн а ча ет ся Pn и вычисляет ся по ф орму ле: Pn =
Ann = n!
(3)
П р и м ер 7. Скольким и способа м и м ож н о сост а вит ь т рехцвет н ый полоса т ый ф ла г, если им еет сям а т ериа л пят и ра зличн ых цвет ов? Р еш ени е. Ну ж н о н а йт и число 3-выборок из 5 элем ен т ов без повт орен ий (все цвет а ра зличн ы); поряд ок, в кот ором ра спола га ю т сяв ыбра н н ые цвет а , су щ ест вен ен . След ова т ельн о, н у ж н о н а йт и число у поряд очен н ых выборок, т .е. число ра зм ещ ен ий из 5 по 3 без повт орен ий. П о ф орм у ле (2) им еем
A 53 =
5! =5 × 4 × 3 = 60 (способов). (5 − 3)!
За м ет им , чт о эт у за д а чу м ож н о реш ит ь ин а че. Д ля выбора цвет а пер-
вой полосы им еет ся 5 ва риа н т ов. П осле произвед ен н ого выбора цвет д ля вт орой полосы м ож н о выбра т ь 4-м я способа м и из 4-х ост а вш ихся. Д а лее выбира ем цвет д ля т рет ьей полосы ф ла га из им ею щ ихся З-х цвет ов. Эт о м ож н о сд ела т ь З-м яспособа м и. П о пра вилу произвед ен иявсего им еем 5 × 4 × 3 = 60 (способов) . П р и м ер 8. Та ж е за д а ча из прим ера 7, н о сред и полос од н а обяза т ельн о д олж н а быт ь кра сн ой. Р еш ени е. К ра сн у ю полосу м ож н о ра сполож ит ь З-м я способа ми, т .к. ф ла г т рехполосн ый. П осле выбора кра сн ой полосы, ост а лся м а т ериа л 4-х цвет ов, из кот орых н у ж н о в ыбра т ь д ва цвет а . Эт от выборм ож н о осу щ ест вит ь
A42 =
4! = 4 × 3 = 12 (способа м и) , т а к ка к 2-выборки у поряд очен н ые без по2!
2 вт орен ий. П о пра вилу произвед ен ия окон ча т ельн о им еем 3 × A4 =36 (способов).
П р и м ер 9. Скольким и способа ми м ож н о пост а вит ь в ряд 5 человек д ляф от осн им ка ? Р еш ени е. Ряд из пят и человек м ож н о ра ссм а т рива т ь ка к у поряд очен н у ю в ыборку из 5-т и элем ен т ов по 5. П о ф орм у ле (3) им еем P 5= A 55 = 5!= 120 (способов). Р азм ещени ям и с п овт ор ени ям и из п элем ен т ов по к н а зыва ю т ся у поряд очен н ые k-выборки из п элем ен т ов с повт орен иям и. И х число обозн а ча ет ся Ank и вычисляет сяпо ф орм у ле k
Ank = n , ∀ n, k ∈ N
(4)
П р и м ер 10. В од н ой из первых поколен ий ЭВ М "Ст рела " О ЗУ им ело 2048 ячеек, ка ж д а я ячейка сост ояла из 43 ра зряд ов. К а кое ма ксим а льн ое количест во ра зличн ых чисел в д воичн ой сист еме счислен ие мож н о было пом ест ит ь в О ЗУ ? Р еш ени е. В лю бой ячейке ин ф орм а ция (число) пред ст а вляла сь в вид е д воичн ого, т . е. сост оящ его из 0 и 1, у поряд очен н ого н а бора д лин ы 43. В сего м ест д ля0 и 1 ра вн о k = 2048 × 43=88064. Та ким обра зом , имеем у поряд очен н ые k-выборки из n = 2 с повт орен иям и. И х число н а ход им по k ф орм у ле (4) : A2k = 2 , гд е k = 88064.
ЗА Д А Ч И И У П РА Ж НЕ НИ Я
10.В за беге у ча ст ву ю т 5 человек. Скольким и способа м и м огу т ра спред елит ься2 первых м ест а ? От вет : 31. 11.Скольким и способа м и м огу т 7 человек вст а т ь в очеред ь за билет а м и в т еа т ра льн ой ка ссе? От вет : 7!. 12.Скольким и ра зличн ым и способа ми 2 д ру га м огу т од н оврем ен н о посет ит ь кого-либо из своих общ их т рё х зн а ком ых? От вет : 9. 13.Сколько су щ ест ву ет ра зличн ых н а боров д лин ы 10 из н у лей и ед ин иц? От вет : 1024. 14.В н екот ором госу д а рст ве н е было д ву х ж ит елей с од ин а ковым н а бором зу бов. К а кова н а ибольш а ячислен н ост ь эт ого госу д а рст ва ? 32
От вет : 2 . 15.А бит у риен т у н еобход им о сд а т ь 4 экза м ен а за 10 д н ей. Скольким и способа м и м ож н о сост а вит ь ем у ра списа н ие, если в од ин д ен ь мож н о сд а ва т ь т олько од ин экза м ен ? Ответ: 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 . 16.Ч ет веро ст у д ен т ов сд а ю т экза м ен . Скольким и способа м и м огу т быт ь пост а влен ы им оцен ки, если извест н о, чт о н икт о н е полу чил оцен ки "н еу д ов лет ворит ельн о"? От вет : 81. 17.Сколько слова рей н а д о изд а т ь, чт обы м ож н о было выполн ят ь перевод ы с лю бого из пят и языков н а лю бой д ру гой из эт их пят и языков? На сколько больш е слова рей н а д о изд а т ь, если число ра зличн ых языков ра вн о 10? От вет : 20; 70. 18.Сколько су щ ест ву ет ра зличн ых пят изн а чн ых чё т н ых чисел, кот орые н а чин а ю т ся циф рой "2" и ока н чива ю т ся циф рой "4", если использу ю т ся циф ры 1,2,3,4,5? От вет : P3=3!. 19.Сколько ра зличн ых чет ырё хзн а чн ых чисел, д елящ ихся н а 4, м ож н о сост а вит ь из циф р1,2,3,4,5? От вет : 125. 20.В ком н а т е общ еж ит ия ж иву т т рое ст у д ен т ов. У н их ест ь 4 ра зн ые ча ш -
ки, 5 ра зн ых блю д ец и 6 ра зн ых ча йн ых лож ек. Скольким и способа м и он и м огу т н а крыт ь ст ол д ля ча епит ия (ка ж д ый ст у д ен т полу ча ет од н у ча ш ку , од н о блю д це и од н у лож ку )? От вет : 172800.
С о ч е та ния б е з п о вто р е ний и с п о вто р е ниям и Соч етани ям и без п овт ор ени й из п элемен т ов по к н а зыва ю т ся н еу поряд очен н ые k-выборки из п элем ен т ов без повт орен ий. И х число обоk
зн а ча ет ся C n и в ычисляет сяпо ф орм у ле
Cnk =
n! , k≤n k!(n - k)!
(5)
Сочет а н ия из n по k без повт орен ий обра зу ю т k-элем ен т а рн ые под м н ож ест ва исход н ого м н ож ест ва м ощ н ост и n. Ч исла ном и ал ь ным и коэ ф ф и ци ентам и .
Cnk
н а зыва ю т ся би -
П р и м ер 11. Скольким и способа м и м ож н о в ыбра т ь т ри ра зличн ые кра ски из им ею щ ихсяпят и? Р еш ени е. О чевид н о, чт о н у ж н о под счит а т ь число З-выборок из 5 элем ен т ов, причем по у словию за д а чи пон ят н о, чт о сред и выбра н н ых элем ен т ов н е д олж н о быт ь од ин а ковых и чт о поряд ок ра сполож ен ия выбра н н ых кра сок н е су щ ест вен ен . Зн а чит , н у ж н о н а йт и число н еу поряд очен н ых выборок, т .е. число сочет а н ий без повт орен ий из 5 по 3. П о ф орм у ле (5) им еем :
С53 =
5! 4 = 5 × = 10. 3!(5 − 3)! 2!
Соч етани ям и с п овтор ени ям и из п элем ен т ов по к н а зыва ю т ся н еу поряд очен н ые k-выборки из п элем ен т ов с повт орен иям и. И х число обоk
зн а ча ет ся Hn и в ычисляет сяпо ф орм у ле
H nk = Cnk+k−1 = ( n + k − 1)! , k !( n − 1)!
∀n, k ∈ N
(6)
П р и м ер 12. В киоске им ею т ся от крыт ки 10 вид ов. Скольким и способа м и мож н о ку пит ь: а ) 5 от крыт ок? б) 5 ра зн ых от крыт ок? в) 15 от крыт ок с повт орен иям и? Р еш ени е. В слу ча ях а ) и в) н а с ин т ересу ю т н еу поряд очен н ые выборки из 10 элем ен т ов с повт орен иям и д лин ы 5 и 15 соот вет ст вен н о. И х число опред еляет сяпо ф орм у ле (6):
a)
H105 = C105 +5−1 = C145 =
14! 14 × 13 × 12 × 11 × 10 = =2002 (способа ); 5! (14 − 5)! 5!
в)
15 15 15 H10 = C10+15−1 = C24 =
24! 24! (способов); = 15! (24 − 15)! 15!9!
В слу ча е б) н у ж н о под счит а т ь число н еу поряд очен н ых 5-выборок из 10 элем ен т ов без повт орен ий (все от крыт ки ра зн ые). И х число опред еляет 5 10! сяпо ф орму ле (5) : C 10 = = 252 (способа ).
5!5!
ЗА Д А Ч И И У П РА Ж НЕ НИ Я
21.И з 20 ст у д ен т ов н а д о н а зн а чит ь 5 д еж у рн ых. Скольким и способа м и эт о м ож н о сд ела т ь? От вет : 15504. 22.Скольким и способа ми м ож н о сост а вит ь брига д у из чет ырё х плот н иков, если им ею т сяпред лож ен ияот 10 человек? От вет : 210. 23.Скольким и способа м и пят ь д еву ш ек и т рое ю н ош ей м огу т ра збит ься н а д ве ком а н д ы по чет ыре человека в ком а н д е, если в ка ж д ой ком а н д е д олж н о быт ь хот ябыпо од н ом у ю н ош е? От вет : 3 × C 53 . 24.Скольким и способа ми м ож н о ра сселит ь 9 ст у д ен т ов в ком н а т ы, ка ж д а я из кот орых ра ссчит а н а н а т рё х человек? От вет : 81. 25.Скольким и способа м и м ож н о сост а вит ь н а бор из 8 пирож н ых, если имеет ся4 сорт а пирож н ых? От вет :
11! . 8! 3!
26.Сколько ра зличн ых под м н ож ест в из т рех элем ен т ов им еет м н ож ест во А ={1, 2, 3, 4, 5}; В ={*, « ,0, 1}? От вет : 10; 4. 27.Скольким и способа м и из т рех спорт ивн ых общ ест в, н а счит ыва ю щ их соот вет ст вен н о 40, 40 и 60 человек, м ож н о в ыбра т ь ком а н д ы по 5 человек д ляу ча ст ияв соревн ова н иях? От вет : C 405 × C 405 × C 605 . 28.И з гру ппы в 20 человек ка ж д у ю н очь выд еляет сян а ряд из т рех человек. Сколько су щ ест ву ет ва риа н т ов сост а влен иян а ряд а ?
От вет : 1040. 29.И з гру ппы, сост оящ ей из 7 м у ж чин и 4 ж ен щ ин , н а д о выбра т ь 6 человек т а к, чт обы сред и н их было н е м ен ее д ву х ж ен щ ин . Скольким и способа м и эт о м ож н о сд ела т ь? От вет : 371. 30.Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь 12 человек из 17, если д а н н ые д вое человек из эт их 17 н е м огу т быт ь выбра н ы вм ест е? От вет : C1712 − C1510 . 31.На йт и н а т у ра льн ое число n, у д овлет воряю щ ее у ра вн ен ию
C n5 = 2Cn5−1 . От вет : n = 10 . 32.Д ока за т ь след у ю щ ие свойст ва бин ом иа льн ых коэф ф ициен т ов: k
n−k
k
k −1
k
m− k
а ) C n = Cn
(k=1… n); k
б) C n = Cn−1 + Cn−1 ; k
m
в) Cn × Cn−k = Cm × C n ; г)
n
∑ k =0
д) е)
n
∑
C nk =2n ; k
(-1)k Cn =0;
k =0 n
n
k =0
k =0
2k 2 k +1 ∑ Cn = ∑ Cn .
П е р е ста но вки. П о дсч е тч исла б е сп о р ядко в П е р е ста но вки с п о вто р е ниям и. Ра ссм от рим за д а чу : И мею т ся пред м ет ы к ра зличн ых вид ов. Сколько ра зличн ых ком бин а ций (перест а н овок) м ож н о сд ела т ь из п 1 пред м ет ов 1-ого вид а , n2 пред м ет ов 2-ого вид а ,..., п k пред м ет ов k-ого вид а ? Ч исло пред м ет ов в ка ж д ой перест а н овке n=n1+n2 +...+nk . Та кие ком бин а ции н а зыва ю т ся п ер ест ановкам и с п овтор ени ям и . И х число обозн а ча ет сяP(n1,n2 ,...,n k) и вычисляет сяпо ф орм у ле Р(n1,n2,...,nk ) =
n! n1! n2 !...nk !
П р и м ер 13. Скольким и способа м и м ож н о ра сполож ит ь в ряд 5 черн ых, 4 белых и 3 кра сн ых ф иш ки? Р еш ени е. Эт а за д а ча н а перест а н овки с повт орен иям и. И м еем ф иш ки 3-х
(7)
ра зличн ых вид ов: чё рн ых n 1=5, белых n2=4 и кра сн ых n3 =3. В сего ф иш ек n=12. След ова т ельн о, по ф орм у ле (7) им еем Р(5,4,3)=
12 ! = 27720 (спо5 ! 4 !3 !
собов). Зам еч ани е 1. Д ля реш ен ия д а н н ой за д а чи м ож н о было прим ен ит ь ра ссу ж д ен ия, под обн ые вывод у ф орм у лы д ля числа сочет а н ий: За н у м еру ем чё рн ые ф иш ки числа м и 1,2,3,4,5; белые - числа м и 6,7,8, 9; кра сн ые числа м и 10,11,12. И меем всего 12 пред м ет ов, кот орые м ож н о ра сполож ит ь в ряд 12! способа м и. Но все ра сполож ен ия ф иш ек н е м ен яю т ся при всех перест а н овка х ф иш ек с н ом ера м и 1-5 (все он и од н ого вид а ), с н омера м и 69 и с н омера м и 10-12. П оэт ом у число ра зличн ых ра сполож ен ий ра вн о 12 ! . 5 ! 4 !3 !
Зам еч ани е 2. Е сли п 1 =к , n2=n-к , т о им еем k
P(k,n-k)= C n . Ц иклич е ские п е р е ста но вки. Ра ссм от рим за да ч у: Сем ь д еву ш ек вод ят хоровод . Сколькими ра зличн ым и способа м и он и м огу т вст а т ь в кру г? Р еш ени е. Е сли бы д ев у ш ки ст ояли н а мест е, т о полу чилось бы 7! способов перест а н овок в ряд у . Но т а к ка к он и кру ж а т ся, т о их полож ен ие от н осит ельн о окру ж а ю щ их пред м ет ов н есу щ ест вен н о, а ва ж н о т олько их вза им н ое ра сполож ен ие. П оэт ом у перест а н овки, переход ящ ие д ру г в д ру га при кру ж ен ии (циклическом сд виге), н у ж н о счит а т ь од ин а ковым и. Та к ка к из ка ж д ой перест а н овки циклическим сд вигом мож н о полу чит ь ещ ё 6 н овых, т о количест во ин т ересу ю щ их н а с перест а н овок (7!) : 7=6!. Эт у за д а чу м ож н о обобщ ит ь т а к. Е сли ра ссм а т рива т ь перест а н овки n пред м ет ов, ра сполож ен н ых н е в ряд , а по кру гу , и счит а т ь од ин а ковым и перест а н овки, переход ящ ие д ру г в д ру га при вра щ ен ии, т о число ра зличн ых перест а н овок (n-1)!. П о дсч ёт ч исла б е сп о р ядко в. Это т а к н а зыва ем а я за д а ча “о числе беспоряд ков” . Ч исло N перест а н овок из циф р{1, 2, … ,n} т а ких, чт о н ика ка я циф ра н е ост а ё т сян а своё м м ест е, м ож н о н а йт и по след у ю щ ей ф орму ле: n
N =n! ∑ ( −1) k k =0
1 k!
ЗА Д А Ч И И У П РА Ж НЕ НИ Я
33.Скольким и способа м и м ож н о ра сст а вит ь белые ф игу ры (2 кон я, 2 слон а , 2 ла д ьи, ф ерзяи короля) н а первой лин ии ш а хм а т н ойд оски?
(8)
От вет : 5040. 34.Ч ет ыре а вт ора д олж н ы н а писа т ь кн игу из 17 гла в, причё м первый и т рет ий д олж н ы н а писа т ь по 5 гла в, вт орой — 4 гла вы, а чет вё рт ый — 3 гла вы кн иги. Сколькими способа м и м ож н о ра спред елит ь гла в ы м еж д у а вт ора м и? От вет :
17! . 5! 5! 4! 3!
35.Сколько су щ ест ву ет перест а н овок элем ен т ов 1, 2,...,n , в кот орых элем ен т 1 н а ход ит сян е н а своё м м ест е? От вет : (n − 1)(n − 1) !. 36.Сколько ож ерелий м ож н о сост а вит ь из сем и бу син ок ра зн ых ра зм еров? От вет : 300. 37.Сколько ра зличн ых бра слет ов м ож н о сд ела т ь из чет ырё х од ин а ковых ру бин ов, пят и од ин а ковых са пф иров и ш ест и од ин а ковых изу м ру д ов, если в бра слет е д олж н ы быт ь все 15 ка мн ей? Скольким и способа м и м ож н о из эт их ка м н ей выбра т ь т ри ка м н яд лякольца ? От вет :
P (4,5,6 ) ; 3 + 2C 31 + 1 = 10 . 30
38.Скольким и способа ми м ож н о ра збит ь (п +т+р) пред м ет ов н а т ри гру ппы т а к, чт обы в од н ойбыло п , в д ру гой т, а в т рет ьей р пред м ет ов? От вет :
(n + m + p )! n! m ! p!
.
39.Скольким и способа м и м ож н о перест а вит ь бу квы в слове а ) "косм ос"?
б) "т а рт а р"? От вет : а ) 180; б) 90.
40.Скольким и способа м и м ож н о перест а вит ь циф ры числа а ) 12341234?
б) 12345234? От вет: а ) 21× 5!; б) P(1,2,2,2,1).
41.Сколько су щ ест ву ет ва риа н т ов т ого, чт о т ри человека , сд а вш ие свои ш ляпы в га рд ероб, н е полу ча т в т очн ост и свою ш ляпу ? От вет : N = 2 . 42.Ч ет ыре человека сд а ю т свои ш ляпы в га рд ероб. П ред пола га я, чт о ш ляпы возвра щ а ю т сян а у га д , н а йт и число слу ча ев и вероят н ост ь т ого, чт о в
т очн ост и k человек полу ча т свои ш ляпы. Ра ссм от рет ь все зн а чен ияk ( k = 0, 1, 2, 3, 4 ). От вет : И м еем 9, 8, 6, 0, 1 слу ча ев с вероят н ост ям и соот вет ст вен н о.. Зам еч ани е. В ероят н ост ь ра вн а числу Р(А ) =
3 1 1 1 , , , 0, 8 3 4 24
m , гд е n – общ ее число n
ком бин а ций, т - число "бла гоприят н ых" ком бин а ций.
2.3 Ф о р м ула вклю ч е ний и исклю ч е ний П у ст ь им еет ся N пред м ет ов и п свойст в a1, a 2, … , an . К а ж д ый из ра ссм а т рива ем ых пред м ет ов м ож ет обла д а т ь од н им или н ескольким и из эт их n свойст в. О бозн а чим через N(ai1, ai2, … , ais) число пред м ет ов, обла д а ю щ их свойст ва м и ai1, ai2, … , ais (и, быт ь м ож ет , н екоторым и д ру гим и), а через N( a 1, a 2,… , a n) - число пред м ет ов, н е обла д а ю щ их свойст ва м и ai1, ai2,… , ais. На пример, N(a1, a3 , a 4) – число пред м ет ов, обла д а ю щ их свойст ва м и a1, a3 , н о н е обла д а ю щ их свойст вом a4. Сп рав е д л ив а фо рму л а N( a 1 , a 2,… , a n ) = N – N(a1) – N(a2) – … – N(an ) + N(a1 , a2)+ +N(a 1 , a3) +… + N(a1 , an) +… + N(an-1 , a n) – N(a1 , a2 , a3 ) –… – (9) – N(an-2 ,an-1 , an) +… + (-1)n N(a1, a2 , … , an ). Ф орм у ла (9) н aзывaeт cя ф ор м ул ой вкл ю ч ени й и и скл ю ч ени й. Зд есь сла га ем ые вклю ча ю т все ком бин а ции свойст в a1,a2,… ,an без у чё т а их поряд ка ; зн а к “+” ст а вит ся, если число у чит ыва ем ых свойст в чё т н о, и зн а к “ - “ , если эт о число н ечё т н о. П р и м ер 14. В резу льт а т е опроса 70 ст у д ен т ов выясн илось, чт о 45 из н их за н им а ю т ся спорт ом , 29 — м у зыкой, 9 — и спорт ом и м у зыкой. Сколько ст у д ен т ов из числа опрош ен н ых н е за н им а ю т ся н и спорт ом , н и м у зыкой. Р еш ени е. Ч т обы прим ен ит ь ф орм у лу (9), обозн а чим через a1(a2)свойст во ст у д ен т а , сост оящ ее в т ом , чт о он за н им а ет сяспорт ом (му зыкой). Тогд а имеем N=70, N(a1)=45, N(a2)=29, N(a1,a2)=9. Ну ж н о н а йт и число N( a 1, a 2 ). П о ф орм у ле (9) полу ча ем N( a 1 , a 2)=N – N(a1) – N(a2)+N(a 1,a2)=70 – 45 – 29 + 9 = 5. П ред полож им т еперь, чт о число N(a1,a2,...,an ) за висит н е от са м ых эт их свойст в, а лиш ь от их числа . В вед ё м след у ю щ ие обозн а чен ия : N(0) = N, N(1) = N(a1 ) =… = N(an),
N … , an),
(2)
= N(a1 , a2) =… = N(an-1 , an), … , N
(k)
N
(n)
= N(a1, a2 , … , an ), N =N( a 1 , a 2,… , a n).
= N(a1 , … , ak) =… = N(an-k+1,
Тогд а ф орм у ла (9) прим ет вид : 1
2
N =N - C n N + Cn N -… +(-1) (0)
(1)
(2)
n
C nn N(n),
k
C nk N(k)
или n
N=
∑
k =0
(-1)
(10)
О чев ид н о, ф орм у ла (10) ест ь ча ст н ый слу ча й ф орм у лы (9). П р и м ер 15. П у ст ь им еет ся п ка рт очек, прон у м ерова н н ых от 1 д о п . Скольким и способа м и м ож н о ра сполож ит ь их в ряд у т а к, чт обы н и д ляка кого i (1 ≤ i ≤ n) ка рт очка с н ом ером i н е за н им а ла бы i-ого м ест а ? Р еш ени е. Ч исло всевозмож н ых ра сполож ен ий (перест а н овок) n ка рт очек в ряд ра вн о P n=n!=N(0). О бозн а чим через ai свойст во: “i-а я ка рт очка за н им а ет мест о с н ом ером i (i = 1, 2, … , n)” . Тогд а N(ai ) = N(1) = Pn – 1 = (n – 1)! – число перест а н овок всех ка рт очек в ряд у , кром е i-ой ,кот ора яост а ё т ся н а i-ом м ест е; N(ai, aj) = N(2) = Pn – 2 = (n – 2)! – число перест а н овок всех ка рт очек в ряд у , кром е д ву х ка рт очек с н ом ера м и i и j, ост а ю щ ихсян а м ест е, т . е. н а i-ом и j-ом м ест а х, и т . д . N(ai1, ai2, … , aik ) = N(k) = Pn-k = (n – k)! – число ра сполож ен ий, при кот орых ка рт очка с н ом ером is за н им а ет “своё ” м ест о is (s = 1, k ). П о ф орм у ле (10) полу ча ем , чт о иском ое число N ра вн о n n n n! k k N = ∑ (− 1) Cnk Pn −k = ∑ (− 1) ( n − k )! = n! ∑ (− 1)k 1 k ! (n − k )! k! k =0 k =0 k =0 За м ет им , чт о полу чен н ое число способов ра спола га т ься лю бой i-ой ка рт очки н е н а i-ом м ест е согла су ет ся с ф орм у лой "числа беспоряд ков" (см . (8) н а ст р. 41). ЗА Д А Ч И И У П РА Ж НЕ НИ Я
1. П ри обслед ова н ии чит а т ельских вку сов ст у д ен т ов ока за лось, чт о 60% ст у д ен т ов чит а ет ж у рн а л А , 50% - ж у рн а л В , 50% - ж у рн а л С, 30% ж у рн а лы А и В , 20% - ж у рн а лы В и С, 40% - ж у рн а лы А и С, 10% ж у рн а лы А , В и С. К а кой процен т ст у д ен т ов: а ) н е чит а ет н и од н ого из эт их ж у рн а лов? б) чит а ет в т очн ост и д ва ж у рн а ла ? в) чит а ет т олько од ин ж у рн а л В ? За д а чу реш ит ь д ву м я способа м и (с пом ощ ью ф орм у лы (9) и кру гов Эйлера ). От вет : а ) 20%; б) 60%.
2. П ри опросе 13 человек, ка ж д ый из кот орых зн а ет по кра йн ей м ере од ин ин ост ра н н ый язык, выясн илось, чт о 10 человек зн а ю т а н глийский язык, 7 -н ем ецкий, 6 - испа н ский, 5 - а н глийский и н ем ецкий, 4 - а н глийский и испа н ский, 3 - н ем ецкий и испа н ский. Сколько человек зн а ю т : а ) все т ри языка ? б) ровн о д ва языка ? в) т олько а н глийский язык? От вет : 2, 6, 3. 3. На экску рсию поеха ло 92 человека . Бу т ерброд ы с колба сой взяли 47 человек, с сыром - 38 человек, с вет чин ой - 42 человека ; и с сыром и с колба сой - 28 человек, и с колба сой и с вет чин ой – 31 человек, и с сыром и с вет чин ой - 26 человек. В се т ри вид а бу т ерброд ов взяли 25 человек. Несколько человек вм ест о бу т ерброд ов взяли пирож ки. Сколько человек взяли с собой пирож ки? От вет : 25 человек. 4. На йт и количест во н а т у ра льн ых чисел, н е превосход ящ их 1000 и н е д елящ ихсян и н а од н о из чисел 3, 5 и 7? От вет : 457. 5. На йт и количест во н а т у ра льн ых чисел, н е превосход ящ их 1000 и н е д елящ ихсян и н а од н о из чисел 6, 15и10? От вет : 734. 6. П ока за т ь, чт о если п =30т, т о количест во н а т у ра льн ых чисел, н е превосход ящ их п и н е д елящ ихсян и н а од н о из чисел 6, 10 и 15, ра вн о 7. 22m. Сколько н еот рица т ельн ых целых чисел, м ен ьш их м иллион а , сост оит т олько из циф р1, 2, 3, 4?
2.4 За да ч и с о гр а нич е ниям и Ра ссм от рим в д а н н ом па ра гра ф е ком бин а т орн ые за д а чи сн а ча ла с огр ани ч ени ям и на п ор ядок э л ем ент ов, когд а н а поряд ок элем ен т ов н а кла д ыва ю т ся н екот орые д ополн ит ельн ые у словия. В т а ких за д а ча х у д обн о прим ен ят ь м ет од – объ еди нени е нескол ь ки х оди наковых э л ем ентов в бл оки . Д а лее ра ссм от рим за д а чи на р азби ени я, гд е т ребу ет ся ра зд елит ь элем ен т ы н а д ве или более гру пп в соот вет ст вии с н екот орым и у словиям и, и т ребу ет ся н а йт и число всевозмож н ых ра зличн ых способов ра зд ела . П ри эт ом н еобход им о у чит ыва т ь, су щ ест вен ен ли поряд ок элем ен т ов в гру ппа х, ра злича ем ли м ы элем ен т ы, вход ящ ие в гру ппы, и са м и гру ппы и т . д . П ри реш ен ии эт их за д а ч обычн о элем ен т ы ра спола га ю т в ряд и прим ен яю т т а к н а зыва ем ый м ет од введени я п ер егор одок. П р и м ер 16. И м ею т сяпред м ет ы k сорт ов : n1 пред м ет ов од н ого сорт а , n2 пред м ет ов д ру гого сорт а , … , nk пред м ет ов k-ого сорт а , гд е все пред м ет ы од н ого сорт а всё ж е ра зличн ы д ру г от д ру га . На йт и число перест а н овок эт их пред м ет ов, в кот орых все пред м ет ы од н ого и т ого ж е сорт а ст оят ряд ом . Р еш ени е. И з д а н н ых k сорт ов (блоков) м ож н о сд ела т ь Pk=k! перест а н овок. Но ещ ё м ож н о перест а влят ь пред м ет ы в н у т ри блоков n1!, n2!, … , nk! способа м и. Д а лее по пра вилу произвед ен ия имеем n1 !n2 !… nk!k! перест а н овок. П р и м ер 17. Скольким и способа м и м ож н о перест а вит ь бу квы слова “перемет ” т а к, чт обыт ри бу квы“е” н е ш ли под ряд ? Р еш ени е. О бъед ин им все бу квы “е” в блок “еее” . Ч исло перест а н овок, в кот орых все т ри бу квы “е” ид у т под ряд , ра вн о числу перест а н овок из 5-т и объект ов : “еее” , “п” , “м ” , “р” , “т ” , т . е. P5 =5! Всего ж е перест а н овок с повт орен иям и из бу кв д а н н ого слова м ож н о сост а вит ь P(3,1,1,1,1)=840. Зн а чит , иском ое число перест а н овок, гд е три бу квы “е” н е ид у т ряд ом ра вн о N = 840 -- 120 = 720 (способов). П р и м ер 18. Скольким и способа м и мож н о ра сст а вит ь m н у лей и k ед ин иц т а к, чт обы н ика кие д ве ед ин ицы н е ст ояли ряд ом ? Р еш ени е. В ыпиш ем сн а ча ла m н у лей. Д ля ед ин иц полу ча ет ся (m+1) м ест о (од н о вперед и, (m-1) в пром еж у т ка х м еж д у н у лям и и од н о сза д и). На лю бые из эт их (m+1) м ест м ож н о пост а вит ь од н у из k ед ин иц. Эт о м ож н о k
осу щ ест вит ь Cm +1 способа м и, причё м k ≤ m+1. П р и м ер 19. На полке ст оят 12 кн иг. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь из н их 5 кн игт а к, чт обын ика кие д ве из н их н е ст ояли ряд ом ?
Р еш ени е. За ш иф ру ем ка ж д ый выбор кн иг послед ова т ельн ост ью из н у лей и ед ин иц след у ю щ им обра зом : ка ж д ой ост а влен н ой кн иге сопост а вим 0, а ка ж д ой взят ой – 1. В резу льт а т е полу чим послед ова т ельн ост ь из 5 ед ин иц и 7 н у лей, причё м в послед ова т ельн ост и н е бу д ет д ву х под ряд ид у щ их ед ин иц (т а к ка к н ельзя по у словию бра т ь д ве ряд ом ст оящ ие кн иги). И м еем н еу поряд очен н у ю 5-выборку из 8 (см . прим ер 18). След ова 5 т ельн о, всего бу д ет C 8 = 56 (способов).
П р и м ер 20. На йт и число способов ра збиен ия n од ин а ков ых пред м ет ов по m у рн а м . Р еш ени е. П ерен у м еру ем у рн ы, ра сполож ив их в ряд . М еж д у н им и бу д ет (m-1) пром еж у т ок. П ост а вим в соот вет ст вие ка ж д ом у ра збиен ию пред м ет ов по у рн а м послед ова т ельн ост ь из н у лей и ед ин иц след у ю щ им обра зом : сн а ча ла послед ова т ельн ост ь им еет гру ппу из н у лей, число кот орых ра вн о числу пред м ет ов в первой у рн е, за т ем ст а вим 1 (перегород ку ); д а лее – ст олько н у лей, сколько пред м ет ов во вт орой у рн е и опят ь ст а вим 1; за т ем ст олько н у лей, сколько в т рет ьей у рн е и т . д . За ка н чива ет ся послед ова т ельн ост ь гру ппой н у лей; их ст олько, сколько пред мет ов в послед н ей у рн е. След ова т ельн о, в послед ова т ельн ост и бу д ет n н у лей и (m-1) ед ин иц, всего (n+m-1) циф р. Тогд а всего способов ра збиен ия бу д ет ра вн о m−1
Cnm+−m1−1 .
n
За м ет им , чт о Cn+m−1 = H m (у м ет ь д ока за т ь). П р и м ер 21. К ом иссия сост оит из 9 человек. Д оку мен т ы хра н ят ся в сейф е. Сколько за м ков д олж ен им ет ь сейф , сколько клю чей д лян их н у ж н о изгот овит ь и ка к их ра спред елит ь м еж д у член а м и ком иссии, чт обы д ост у п к сейф у был возмож ен т огд а и т олько т огд а , когд а соберу т сявм ест е н е м ен ее 6 человек ком иссии? Р еш ени е. К а кие бы5 член ов ком иссии н е собра лись, д олж ен н а йт ись за м ок, кот орый он и н е могу т от крыт ь, н о клю ч от эт ого за м ка имеет ся у ка ж д ого из 4 ост а льн ых член ов ком иссии (появлен ие кого-н ибу д ь из кот орых д а ё т возм ож н ост ь от крыт ь сейф ). След ова т ельн о, число за мков ра вн о
C 95 =126; число клю чейра вн о C 95 × 4=504. Зам еч ани е. В общ ем слу ча е число за м ков ра вн о
Cnm−1 ; число клю чей
m−1
к эт им за м ка м ра вн о (n-m+1) Cn , гд е n – число член ов ком иссии, m – н а им ен ьш ее число член ов, при кот орых возм ож ен д ост у п к сейф у , при у словии m ≤ n + 1. П р и м ер 22. Скольким и способа м и м ож н о ра сст а вит ь в ш ерен гу 5 львов и 4 т игра т а к, чт обы н ика кие д ва т игра н е ш ли д ру гза д ру гом ?
Р еш ени е. Ра сст а вим сн а ча ла всех львов, ост а вив м еж д у ка ж д ым и д ву м я льва м и пром еж у т ок. Эт о м ож н о сд ела т ь P5 способа м и. Теперь д ля ра сст а н овки т игров им еет ся 6 м ест (либо од н о вперед и всех львов, либо од н о после н их, либо м еж д у н им и – чет ыре). Та к ка к поряд ок т игров су щ е4
ст вен ен (все т игры ра зн ые), т о число способов их ра сст а н овки ра вн о A6 . О бщ ее число способов ра сст а н овки хищ н иков полу чим по пра вилу произ4 вед ен ияP5 × A 6 =43200. Зам еч ани е. Е сли бы в за д а че было n львов и m т игров, т о общ ее чисm
ло способов было ра вн о Pn × An+1 при у словии, чт о m ≤ n+1 – ин а че д ва т игра обяза т ельн о ока ж у т сяряд ом . 2.5 Р а зные за да ч и 1. Скольким и способа м и м ож н о у ка за т ь н а ш а хм а т н ой д оске д ва ква д ра т а – белый и чё рн ый? А если н ет огра н ичен иян а цвет ква д ра т ов? От вет : 1042; 4032. 2. Скольким и способа м и м ож н о в ыбра т ь н а ш а хм а т н ой д оске белый и чё рн ый ква д ра т ы, н е леж а щ ие н а од н ой горизон т а ли и верт ика ли? От вет : 32 × 24 . 3. И м еет ся т ри волчка с 6, 8 и 10 гра н ям и соот вет ст вен н о. Скольким и ра зличн ым и способа м и он и м огу т у па ст ь? А если извест н о, чт о по кра йн ей м ере д ва волчка у па ли н а ст орон у , пом ечен н у ю циф рой “1” ? От вет : 480. 4. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь из полн ой колод ы ка рт (52 ка рт ы) по од н ой ка рт е ка ж д ой м а ст и? От вет : 134. 5. В м а га зин е леж а т 6 экзем пляров ром а н а И . С. Ту рген ева “Ру д ин ” , 3 экзем пляра его ж е ром а н а “Д ворян ское гн езд о” и 4 экзем пляра рома н а “О т цы и д ет и” . К ром е т ого, ест ь 5 том ов, сод ерж а щ их ром а н ы “Ру д ин ” и “Д ворян ское гн езд о” , и 7 т ом ов, сод ерж а щ их ром а н ы “Д ворян ское гн езд о” и “О т цы и д ет и” . Скольким и способа м и м ож н о сд ела т ь поку пку , сод ерж а щ у ю по од н ом у экзем пляру ка ж д ого из эт их ром а н ов? Та ж е за д а ча , если, кроме т ого, в м а га зин е ест ь 3 т ом а , в кот орые вход ят ром а н ы“Ру д ин ” и “О т цы и д ет и” . От вет : 134; 143.
2
6. В озм ож н о ли ра вен ст во Pn = 36 A n −1 и если д а , т о при ка ких n? От вет : Д а , при n = 6 . 7. Скольким и способа м и могу т 4 человека ра змест ит ься в чет ырё хм ест н ом ку пе ж елезн од орож н ого ва гон а ? От вет : 24. 8. На йт и число прост ых чисел, н е превосход ящ их 250. От вет : 53. 9. У од н ого человека ест ь 7 кн иг, у д ру гого 9.Скольким и способа м и он и м огу т обм ен ят ь кн игу од н ого н а кн игу д ру гого, если все кн иги ра зличн ы? Та ж е за д а ча , н о мен яю т сяд ве кн иги од н ого н а д ве кн иги д ру гого. От вет : 63; 756. 10.А вт ом обильн ые н ом ера сост оят из од н ой, д в у х или т рех бу кв и чет ырех циф р. На йт и число т а ких н ом еров, если использу ю т ся 27 бу кв ру сского а лф а вит а . От вет : 33820× 10 4 . 11.Скольким и способа м и м ож н о сост а вит ь список из 7 ст у д ен т ов? От вет : 5040. 12.И з спорт клу ба , н а счит ыва ю щ его 30 человек, н а д о выбра т ь ком а н д у из 4 человек д ля у ча ст ия в беге н а 1000 м . Скольким и способа м и м ож н о это сд ела т ь? А если н у ж н о выбра т ь ком а н д у из чет ырех человек д ля у ча ст ияв эст а ф ет е 100+200+400+800? От вет : 27405; 657720. 13.Сколько ра зличн ых чет ырехзн а чн ых чисел м ож н о сост а вит ь из сем и циф р 0, 1, 2,... , 6 , если ка ж д а я из н их м ож ет повт орят ься н есколько ра з? От вет : 2058. 14.Сколько пят изн а чн ых чисел м ож н о сост а вит ь из циф р 1,2,4,6,7,8, если н ика ку ю циф ру н е использова т ь более од н ого ра за ? От вет : 6!. 15.На т а н цева льн ом вечере прису т ст ву ю т 12 д еву ш ек и 15 ю н ош ей. Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь из н их чет ыре па рыд лят а н цев? От вет : 17417400. 16.И з циф р1,2,3,4,5 сост а вляю т сявсевозм ож н ые числа , ка ж д ое из кот орых сод ерж ит н е м ен ее т рех циф р. Сколько т а ких чисел м ож н о сост а вит ь, если повт орен ие циф рв числа х за прещ ен о? От вет : P5 + A54 + A53 = 300.
17.Скольким и способа м и м ож н о выбра т ь 6 од ин а ковых или ра зн ых пирож н ых в кон д ит ерской, гд е прод а ю т ся11 ра зн ых сорт ов пирож н ых? От вет : H 114 . 18.Сколько всего кост ей д ом ин о, если использу ет ся д ля их обра зова н ия 7 циф р0,1,2,3,4,5,6. О т вет обосн ова т ь. Ответ : 28, т а к ка к кост и д ом ин о м ож н о ра ссм а т рива т ь ка к н еу поряд очен н ые 2-выборки из 7-и циф р0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 с повт орен иям и; 19.В гру ппе 35 у ча щ ихся. И з н их 20 посещ а ю т м а т ем а т ический кру ж ок,11 - ф изический;10 у ча щ ихся н е посещ а ю т н и од н ого из эт их кру ж ков. Сколько у ча щ ихся посещ а ю т оба кру ж ка ? Сколько у ча щ ихся посещ а ю т т олько м а т ема т ический кру ж ок? От вет : 6; 14. 20.И зу ча ю т ся 10 у чебн ых пред м ет ов. В пон ед ельн ик н а д о пост а вит ь 6 у роков, причем все ра зн ые. Скольким и способа м и м ож н о сост а вит ь ра списа н ие н а пон ед ельн ик? От вет : 151200. 21.Скольким и способа м и чит а т ель м ож ет выбра т ь 3 ра зн ые кн иги из пят и? От вет : 10. 22.Скольким и способа ми м ож н о перест а вит ь бу квы в слове "т ик-т а к" чт обы од ин а ковые бу кв ы н е ш ли д ру г за д ру гом ? То ж е са м ое д ля слова "т а рт а р". От вет : 84; 30. 23.Сколько целых чисел от 0 д о 999,кот орые н е д елят сян и н а 2,н и н а 3, н и н а 5, н и н а 7? От вет : 228. 24.Скольким и способа м и м ож н о перест а вит ь числа 12341234 т а к, чт обы н и ка кие д ве од ин а ковые циф ры н е ш ли д ру гза д ру гом ? От вет : 864. 25.Скольким и способа м и м ож н о перест а вит ь числа 12345254 т а к, чт обы н и ка кие д ве од ин а ковые циф ры н е ш ли д ру гза д ру гом . От вет : 2230. 26.Сколько ра зн ых слов м ож н о сост а вит ь, перест а вляябу квы в слове "м а м а "? На пиш ит е эт и слова . От вет : 6.
27.В ком н а т е n ла м почек. Сколько всего ра зн ых способов освещ ен ияком н а т ы, при кот орых горит ровн о k ла м почек? Сколько всего м ож ет быт ь ра зличн ых способов освещ ен ияд а н н ой ком н а т ы? 28.Скольким и способа м и м ож н о ра зм ест ит ь н а полке 4 ра зн ые кн иги? От вет : 24. 29.Сколько м ож н о сост а вит ь перест а н овок из n элем ен т ов, в кот орых д а н н ые д ва элем ен т а н е ст оят ряд ом ? Ответ : (n − 2 )(n − 1)! Р еш ени е: Д а н н ые д ва элем ен т а , н а прим ер « a» и « b» , бу д ем счит а т ь за од ин элем ен т « ab» . Тогд а им еем (n − 1) элем ен т ов, кот орые м ож н о перест а вит ь (n − 1)! способа м и. Е сли ж е им еем элем ен т « ba» , т о им еем т а к ж е (n − 1)! способов перест а н овки (n − 1) элем ен т ов. След ова т ельн о, число перест а н овок, в кот орых « a» и « b» ст оят ряд ом , ра вн о 2(n − 1)!. В сего n! перест а н овок. Тогд а иском ое число перест а н овок ра вн о n!−2(n − 1)! . 30.Скольким и способа м и м ож н о ра сса д ит ь 4 у ча щ ихсян а 25 м ест ? От вет : 303600. 31.Ст у д ен т у н а д о сд а т ь 4 за чё т а за 8 д н ей. Скольким и способа м и м ож н о эт о сд ела т ь? А если послед н ий за чё т обяза т ельн о сд а ва т ь н а восьм ой д ен ь? От вет : 1680; 840. 32.Скольким и способа м и м ож н о ра сса д ит ь n гост ейза кру глый ст ол? 33.На собра н ии д олж н ы выст у па т ь 4 человека А ,В ,С,Д . Скольким и способа м и их м ож н о ра зм ест ит ь в списке ора т оров, если В н е м ож ет выст у па т ь д о т ого м ом ен т а , пока н е выст у пит А ? От вет : 3 × 3! . 34.О пред елит ь число всех плохих д н ей, если 12 д н ей ш ел д ож д ь, 8 д н ей д у л вет ер, 4 д н я было холод н о, причем 5 д н ей были и д ож д ливы и вет рен ы , 3 д н я д ож д ливы и холод н ы , 2 д н я вет рен ых и холод н ых, 1 д ен ь д ож д ливый, вет рен ый и холод н ый, а хорош их д н ей н е было за д а н н ый период . От вет : 15. 35.Сколько н а т у ра льн ых чисел в n-ой сист ем е счислен иям ож н о за писа т ь k зн а ка м и? Ответ : (n − 1) × n k −1 , т а к ка к им еем у поряд очен н ые k -выборки с повт орен иям и из n элемен т ов м н ож ест ва A = {0, 1, 2, ..., n − 1}.
36.Сколько н еу д а чн ых попыт ок м ож ет быт ь сд ела н о человеком , н е зн а ю щ им секрет н ого код а , сост а влен н ого из 5 циф р и под бира ю щ его его н а у д а чу ? Ответ : A105 − 1 , т а к ка к им еем у поряд очен н у ю 5-выборку с повт орен иям и из 10-т и элем ен т ов, из н их од н а 5-выборка у д а чн а я, огра н ичен ий н ет . 37.Сколько им еет сяпят изн а чн ых чисел, кот орые д елят сян а 5? От вет : 1800. 38.Сколько пят изн а чн ых чисел, у кот орых все циф ры н ечет н ые? От вет : 55 . 39.Скольким и способа м и м ож н о сф от огра ф ирова т ь 4 т а н кист ов, 4 лет чиков и 2 а рт иллерист ов, пост а вив их в од ин ряд т а к, чт обы пред ст а вит ели од н ого род а войск ст ояли ряд ом ? От вет : 6912. 40.Сколько ра зличн ых слов полу чит ся в резу льт а т е перест а н овки бу кв в слове а ) "м а т ем а т ика " , б) "ком бин а т орика "? Ответ: P (2,3,2,1,1,1) = 151200. 41.Сколько слов м ож н о сост а вит ь из 12 бу кв : чет ырех бу кв "а " , чет ырех бу кв "б", д ву х бу кв "в" и д ву х бу кв "г"? Ответ: P (4,4,2,2 ) = 207900. 42.Скольким и способа м и м ож н о ра спред елит ь n пред м ет ов сред и k лиц? Ответ : n k Р еш ени е: П ерен у м еру ем все k пред м ет ов. И м еем у поряд очен н у ю k выборку из м н ож ест ва {a1 , a 2 ,..., an } , т а к ка к всего n лиц, сред и кот орых ра спред еляю т сяпред м ет ы. 43.И з циф р 1,2,3,4 сост а вит ь н еу поряд очен н ые 2-выборки с повт орен иям и. Сколько всего их? П еречислит е. От вет : 10. 44.И м еет ся 3 ку рицы, 4 у т ки и 2 гу ся. Сколько им еет ся ком бин а ций д ля выбора н ескольких пт иц т а к, чт обы сред и выбра н н ых были и ку ры ,и гу си, и у т ки? От вет : 315. 45.Скольким и способа м и м ож н о сервирова т ь ст ол н а чет верых человек, если им еет ся6 ра зн ых т а релок,8 ра зн ых вилок и 7 ра зн ых н ож ей? 46.Сколько су щ ест ву ет всего д ву зн а чн ых чисел, сост а влен н ых из циф р 0,1,2,...,9?
От вет : 90. 47.Сколько н еот рица т ельн ых целых чисел, м ен ьш их м иллион а , сост оит т олько из циф р1,2,3,4? От вет : C nm − C nm−−22 . 48.Сколько су щ ест ву ет сочет а н ий из элемен т ов 1,2,...,n по m (2<m
n! . n1!n2 ! ... nk !
52.Та ж е за д а ча , н о поряд ок поряд ок гру пп н е игра ет роли. От вет :
n! . k ! n1!n2 ! ... nk !
53.Ра спред елит ь n пред м ет ов н а k гру пп, причё м все гру ппы н е пу ст ые. От вет : Cnk−−11 . 54.О пред елит ь количест во способов ра збиен ияn од ин а ковых пред м ет ов н а k гру пп, при кот орых д опу ска ю т сяпу ст ые гру ппы. От вет : Cnk+−k1−1 . 55. Та ж е за д а ча , н о ка ж д а ягру ппа сод ерж ит н е м ен ее r пред м ет ов. От вет : Cnk−−rk1 +k .
3. Р ЕКУ Р Р ЕНТНЫЕ С ООТНОШ ЕНИЯ П ри реш ен ии м н огих ком бин а т орн ых за д а ч ча ст о пользу ю т ся м ет од ом свед ен ия д а н н ой за д а чи к за д а че, ка са ю щ ейся м ен ьш его числа пред м ет ов. М ет од сведени я к анал оги ч ной задач е дл я м ень ш его ч и сл а п р едм етов называет ся м ет одом р екур р ент ных соотнош ени й. П ользу ясь реку ррен т н ым и соот н ош ен иям и, м ож н о свест и за д а чу об n пред м ет а х к за д а че обn − 1 пред мет а х, пот ом к за д а че обn − 2 пред м ет а х и т .д . П ослед ова т ельн о у м ен ьш а я число пред м ет ов, д оход им д о за д а чи, кот ору ю у ж е легко реш ит ь. В кн иге “Liber Abaci” ит а льян ский м а т ем а т ик Ф ибон а ччи сред и м н огих д ру гих за д а ч привел след у ю щ у ю : па ра кроликов прин осит ра з в м есяц приплод из д ву х крольча т (са м ки и са м ца ), причем н оворож д ен н ые крольча т а через д ва м есяца после рож д ен ияу ж е прин осят приплод . Сколько кроликов появит ся через год , если в н а ча ле год а была од н а па ра кроликов? И з у словия за д а чи след у ет , чт о через месяц бу д ет д ве па ры кроликов. Ч ерез д ва м есяца приплод д а ст т олько перва я па ра кроликов, и полу чит ся 3 па ры. А ещ е через м есяц приплод д а д у т и исход н а я па ра , и па ра кроликов, появивш а яся д ва м есяца т ом у н а за д . П оэт ом у всего бу д ет 5 па р кроликов. О бозн а чим через F( n ) количест во па ркроликов по ист ечен ии n м есяцев с н а ча ла год а . М ы вид им , чт о через n + 1 м есяцев бу д ет F( n ) и ещ е ст олько н оворож д ен н ых па ркроликов, сколько было в кон це м есяца n − 1, т о ест ь ещ е F( n − 1) па р кроликов. И н ым и слова м и, им еет м ест о реку ррен т н ое соот н ош ен ие F( n + 1) = F( n ) + F( n − 1). Та к ка к по у словию F( 0) = 1 и F( 1) = 2 , т о послед ова т ельн о н а ход им F( 2 ) = 3 , F ( 3) = 5 , F( 4 ) = 8 и т .д . Ч исла F( n ) называю т сяч и сл ам и Ф и бонач ч и . 3.1 Р е ш е ние р е к ур р е н тн ых со о тно ш е ний Бу д ем говорит ь, чт о реку ррен т н ое соот н ош ен ие им еет поряд ок k , если он о позволяет выра зит ь f (n + k ) через f (n ), f (n + 1),K , f (n + k − 1) . На прим ер, f (n + 2 ) = f (n ) f (n + 1) − 3 f 2 (n + 1) + 1 — реку ррен т н ое соот н ош ен ие вт орого поряд ка , а f (n + 3) = 6 f (n ) f (n + 2 ) + f (n + 1) — реку ррен т н ое соот н ош ен ие т рет ьего поряд ка .
Е сли за д а н о реку ррен т н ое соот н ош ен ие k -го поряд ка , то ем у у д овлет воряет бескон ечн о м н ого послед ова т ельн ост ей. Д ело в т ом, чт о первые k элем ен т ов послед ова т ельн ост и м ож н о за д а т ь соверш ен н о произвольн о — м еж д у н им и н ет н ика ких соот н ош ен ий. Но если первые k элем ен т ов за д а н ы, т о все ост а льн ые элем ен т ы опред еляю т сясоверш ен н о од н озн а чн о — элем ен т f (k + 1) выра ж а ет ся в силу реку ррен т н ого соот н ош ен ия через f (1),K , f (k ) , элем ен т f (k + 2 ) — через f (2 ),K , f (k + 1) и т .д . Бу д ем говорит ь, чт о н екот ора я послед ова т ельн ост ь яв ляет ся р еш ени ем д а н н ого реку ррен т н ого соот н ош ен ия, если при под ст а н овке эт ой послед ова т ельн ост и соот н ош ен ие т ож д ест вен н о в ыполн яет ся. На прим ер, послед ова т ельн ост ь 2, 4, 8,K , 2 n ,K являет сяод н им из реш ен ий реку ррен т н ого соот н ош ен ия f (n + 2) = 3 f (n + 1) − 2 f (n ) . В са мом д еле, общ ий член эт ой послед ова т ельн ост и им еет вид f (n ) = 2 n . Зн а чит , f (n + 2) = 2 n + 2 , f (n + 1) = 2 n +1 . Но при лю бом n им еет м ест о т ож д ест во 2 n + 2 = 3 ⋅ 2 n +1 − 2 ⋅ 2 n . П оэт ом у 2 n являет ся реш ен ием у ка за н н ого соот н ош ен ия. Реш ен ие реку ррен т н ого соот н ош ен ия k -го поряд ка н а зыва ет ся общ им , если он о за висит от k произвольн ых пост оян н ых C1 ,K , C k и пу т ем под бора эт их пост оян н ых м ож н о полу чит ь лю бое реш ен ие д а н н ого соот н ош ен ия. На прим ер, д лясоот н ош ен ия f (n + 2 ) = 5 f (n + 1) − 6 f (n ) (1) общ им реш ен ием бу д ет (2) f (n ) = C1 2 n + C 2 3 n . В са м ом д еле, легко проверит ь, чт о послед ова т ельн ост ь обра щ а ет соот н ош ен ие в т ож д ест во. П оэт ом у н а м н а д о т олько пока за т ь, чт о лю бое реш ен ие н а ш его соот н ош ен иям ож н о пред ст а вит ь в вид е (2). Но лю бое реш ен ие соот н ош ен ия (1) од н озн а чн о опред еляет ся зн а чен иям и f (1) и f (2 ) . П у ст ь f (1) = a, f ( 2) = b . П оэт ом у н а м н а д о д ока за т ь, чт о д ля лю бых чисел a и b н а йд у т сят а кие зн а чен ия C1 и C 2 , чт о 2C1 + 3C 2 = a и 2 2 C1 + 3 2 C 2 = b . Но легко вид ет ь, чт о при лю бых зн а чен иях a и b сист ем а у ра вн ен ий 2C1 + 3C 2 = a , 4C1 + 9C 2 = b им еет реш ен ие. П оэт ом у (2) д ейст вит ельн о являет ся общ им реш ен ие соот н ош ен ия(1). 3.2 Лине йные р е кур р е нтные со о тно ш е ния
с п о сто янными ко э ф ф ицие н та м и Д ля реш ен ия реку ррен т н ых соот н ош ен ий общ их пра вил н е су щ ест ву ет . О д н а ко су щ ест ву ет весьм а ча ст о вст реча ю щ ийсякла сс соот н ош ен ий, реш а ем ых ед ин ообра зн ым м ет од ом . Эт о – реку ррен т н ые соот н ош ен ия вида f ( n + k ) = a1 f ( n + k − 1) + a2 f ( n + k − 2 ) + ... + a k f ( n ) , гд е a1 , a2 ,..., a k - н екот орые числа . Та кие соот н ош ен ия н а зыва ю т сял и нейным и р екур р ентным и соот нош ени ям и с п остоянным и коэ ф ф и ци ентам и . Ра ссм от рим , ка к реш а ю т ся т а кие соот н ош ен ия при k = 2 , т о ест ь изу чим соот н ош ен ияв ид а (3) f ( n + 2 ) = a1 f ( n + 1) + a 2 f ( n ) . Реш ен ие эт их соот н ош ен ий осн ова н о н а след у ю щ их д ву х у т верж д ен иях: 1) Е сли f 1( n ) и f 2 ( n ) являю т ся реш ен иям и реку ррен т н ого соот н ош ен ия (3), т о при лю бых A и B послед ова т ельн ост ь f ( n ) = Af 1( n ) + Bf 2 ( n ) т а кж е являет ся реш ен ием эт ого соот н ош ен ия. В са м ом д еле, по у словию им еем f 1( n + 2 ) = a1 f 1( n + 1) + a2 f 1( n ) и f 2 ( n + 2 ) = a1 f 2 ( n + 1) + a2 f 2 ( n ) . У м н ож им эт и ра вен ст ва н а A и B соот вет ст вен н о и слож им полу чен н ые т ож д ест ва . М ы полу чим , чт о Af1 ( n + 2 ) + Bf 2 ( n + 2 ) = a1 [ Af1 ( n + 1 ) + Bf 2 ( n + 1 )] + . + a 2 [ Af1 ( n ) + Bf ( n )] Эт о озн а ча ет , чт о f ( n ) = Af 1( n ) + Bf 2 ( n ) являет ся реш ен ием н а ш его соот н ош ен ия. 2) Е сли число r1 яв ляет сякорн ем ква д ра т н ого у ра в н ен ия
r 2 = a1r + a2 , т о послед ова т ельн ост ь 1, r1 , r12 , ..., r1n −1 ,... являет сяреш ен ием реку ррен т н ого соот н ош ен ия f ( n + 2 ) = a1 f ( n + 1) + a 2 f ( n ) .
{ }
На ряд у с послед ова т ельн ост ью r1n −1 лю ба я послед ова т ельн ост ь вид а f ( n ) = r1n + m , n = 1,2 ,... т а кж е являет сяреш ен ием исслед у ем ого соот н ош ен ия. И з у т верж д ен ий 1) и 2) выт ека ет след у ю щ ее пра вило реш ен ия лин ейн ых реку ррен т н ых соот н ош ен ий вт орого поряд ка с пост оян н ым и коэф ф ициен т а м и:
П усть да но р е кур р е нтно е со о тно ш е ние f ( n + 2 ) = a1 f ( n + 1) + a 2 f ( n ) . Сост а вим ква д ра т н ое у ра вн ен ие r 2 = a1r + a2 ,
(4)
кот ор ое называет ся хар акт ер и ст и ч ески м дл я данного соотнош ени я. Есл и э то ур авнени е и м еет два р азл и ч ных кор ня r1 и r2 , т о общ ее р еш ени е р екур р ентногосоот нош ени я и м еет ви д f ( n ) = C1 r1n −1 + C 2 r2n −2 . Д ейст вит ельн о, по у т верж д ен ию 2) f 1( n ) = r1n −1 и f 2 ( n ) = r2n −1 являю т ся реш ен иям и н а ш его соот н ош ен ия. П о у т верж д ен ию 1) и f ( n ) = C1 r1n −1 + C 2 r2n −2 являет ся его реш ен ием . На д о пока за т ь, чт о лю бое реш ен ие соот н ош ен иям ож н о за писа т ь в эт ом вид е. Но лю бое реш ен ие лин ейн ого реку ррен т н ого соот н ош ен ия вт орого поряд ка опред еляет ся зн а чен иям и f ( 1) и f ( 2 ) . П оэт ом у д ост а т очн о пока за т ь, чт о сист ем а у ра вн ен ий C 1 + C 2 = a C 1 r1 + C 2 r2 = b им еет реш ен ие при лю бых a и b . Эт им и реш ен иям и являю т ся b − ar2 ar − b C1 = , C2 = 1 . r1 − r2 r1 − r2 Слу ча й, когд а оба корн яу ра в н ен ия r 2 = a1r + a2 совпа д а ю т д ру г с д ру гом, м ыра зберем н есколько позж е. Ра ссм от рим прим ер. П ри изу чен ии чисел Ф ибон а ччи м ы приш ли к реку ррен т н ом у соот н ош ен ию f ( n ) = f ( n − 1) + f ( n − 2 ) . Д лян его ха ра кт ерист ическое у ра вн ен ие им еет в ид r 2 = r + 1. К орн ям и эт ого ква д ра т н ого у ра вн ен ияявляю т сячисла 1+ 5 1− 5 r1 = , r1 = . 2 2 П оэт ом у общ ее реш ен ие соот н ош ен ияФ ибон а ччи имеет вид n
n
1 + 5 1 − 5 + C2 f ( n ) = C 1 2 . 2 3.3 С луч а й р а вных ко р не й х а р а к те р истич е ско го ур а вне ния О ст а н овим ся т еперь н а слу ча е, когд а оба корн я ха ра кт ерист ического
у ра вн ен ия совпа д а ю т : r1 = r2 . В эт ом слу ча е выра ж ен ие C1 r1n −1 + C 2 r2n −1 у ж е н е бу д ет общ им реш ен ием . Вед ь из-за т ого, чт о r1 = r2 , эт о реш ен ие м ож н о за писа т ь в вид е f (n ) = (C1 + C 2 )r1n −1 = Cr1n =1 . У н а с ост а ет ся т олько од н о произвольн ое пост оян н ое C , и выбра т ь его т а к, чт обы у д овлет ворит ь д ву м н а ча льн ым у словиям f (1) = a , f (2 ) = b , вообщ е говоря, н евозм ож н о. П оэт ом у н а д о н а йт и ка кое-н ибу д ь вт орое реш ен ие от личн ое от f1 (n ) = r1n −1 . О ка зыва ет ся, т а ким реш ен ием являет ся f 2 (n ) = nr1n −1 . В са м ом д еле, если ква д ра т н ое у ра вн ен ие r 2 = a1 r + a 2 им еет д ва совпа д а ю щ их корн я r1 = r2 , т о по т еорем е В иет а a1 = 2r1 , a 2 = −r12 . П оэт ом у н а ш е у ра вн ен ие за писыва ет ся т а к: r 2 = 2r1 r − r12 . Тогд а реку ррен т н ое соот н ош ен ие им еет т а кой вид : f (n + 2 ) = 2r1 f (n + 1) − r12 f (n ) . (5) П роверим , чт о f 2 (n ) = nr1n −1 д ейст вит ельн о являет ся его реш ен ием . И м еем
f 2 (n + 2 ) = (n + 2 )r1n +1 , а f 2 (n + 1) = (n + 1)r1n . П од ст а вляя эт и зн а чен ия в соот н ош ен ие (4), полу ча ем очевид н ое т ож д ест во (n + 2 )r1n+1 = 2(n + 1)r1n+1 − nr1n+1 . Зн а чит , nr1n −1 — реш ен ие н а ш его соот н ош ен ия.
Теперь у ж е зн а ем д ва реш ен ия f1 (n ) = r1n −1 и f 2 (n ) = nr1n −1 за д а н н ого соот н ош ен ия. Е го общ ее реш ен ие пиш ет сят а к: f (n ) = C1 r1n −1 + C 2 nr1n −1 = rrn −1 (C1 + C 2 n ) . П у т ем под бора C1 и C 2 м ож н о у д овлет ворит ь лю бым н а ча льн ым у словиям . Л ин ейн ые реку ррен т н ые соот н ош ен ия с пост оян н ым и коэф ф ициен т а м и, поряд ок кот орых больш е д ву х, реш а ю т ся т а ким ж е способом. П у ст ь соот н ош ен ие им еет вид f (n + k ) = a1 f (n + k − 1) + K + a k f (n ) . Сост а вляем ха ра кт ерист ическое у ра вн ен ие r k = a1 r k −1 + K + a k . Е сли все корн и r1 ,K , rk эт ого а лгебра ического у ра вн ен ие k -й ст епен и ра зличн ы, т о общ ее реш ен ие им еет вид f (n ) = C 1 r1n −1 + C 2 r2n −1 + K + C k rkn −1 . Е сли ж е, н а прим ер, r1 = r2 = K = rs , т о эт ом у корн ю соот вет ст ву ю т реш ен ия f1 (n ) = r1n −1 , f 2 (n ) = nr1n −1 , f 3 (n ) = n 2 r1n −1 ,K , f s (n ) = n s −1 r1n−1 ра ссм а т рива ем ого реку ррен т н ого соот н ош ен ия. В общ ем реш ен ии эт ом у
корн ю соот вет ст ву ет ча ст ь r1n −1 C1 + C 2 n + C 3 n 2 + K + C s n s −1 . Сост а вляя т а кие выра ж ен ия д ля всех корн ей и скла д ыва я их, полу ча ем общ ее реш ен ие. На прим ер, реш им реку ррен т н ое соот н ош ен ие f (n + 4 ) = 5 f (n + 3) − 6 f (n + 2 ) − 4 f (n + 1) + 8 f (n ) . Х а ра кт ерист ическое у ра в н ен ие им еет зд есь вид r 4 − 5r 3 + 6r 2 + 4r − 8 = 0 . Реш а яего, полу ча ем корн и r1 = 2, r2 = 2, r3 = 2, r4 = −1. Зн а чит , общ ее реш ен ие н а ш его соот н ош ен ияим еет след у ю щ ий вид : n −1 f (n ) = 2 n −1 C 1 + C 2 n + C 3 n 2 + C 4 (− 1) .
[
]
[
]
ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. На писа т ь первые пят ь член ов реш ен ия реку ррен т н ого соот н ош ен ия f (n + 2) = 2 f (n + 1) − 3 f (n ) , у д овлет воряю щ его за д а н н ым н а ча льн ым у словиям : f (1) = 0 f (1) = −1 f (1) = 3 f (1) = 2 f (1) = 2 2) 3) 4) 5) 1) f (2 ) = 1 f (2 ) = 1 f (2 ) = 0 f (2 ) = 1 f (2 ) = 8 2. П роверит ь, являю т ся ли д а н н ые ф у н кции реш ен иям и д а н н ых реку ррен т н ых соот н ош ен ий: 1)
2)
f (n + 2 ) = 2 f (n + 1) − f (n ); ϕ 1 (n ) = 5 ⋅ 2 n , ϕ 2 (n ) = 2n + 1, ϕ 3 (n ) = 3. f (n + 2 ) = 4 f (n + 1) − 3 f (n );
ϕ 1 (n ) = 2n , ϕ 2 (n ) = 5 ⋅ 3 n − 1, ϕ 3 (n ) = 7 3. На йт и общ ее реш ен ие реку ррен т н ых соот н ош ен ий: 1) f ( n + 2 ) − 7 f ( n + 1) + 12 f ( n ) = 0 ; 2) f ( n + 2 ) + 3 f ( n + 1) − 10 f ( n ) = 0 ; 3) f ( n + 2 ) − 4 f ( n + 1) + 13 f ( n ) = 0 ; 4) f ( n + 2 ) + 9 f ( n ) = 0 ; 5) f ( n + 2 ) + 4 f ( n + 1 ) + 4 f ( n ) = 0; 6) f (n + 3) − 9 f (n + 2 ) + 26 f (n + 1) − 24 f (n ) = 0; 7) f (n + 3) + 3 f (n + 2 ) + 3 f (n + 1) + f (n ) = 0; 8) f (n + 4) + 4 f (n ) = 0.
4. На йт и f (n ) , зн а яреку ррен т н ое соот н ош ен ие и н а ча льн ые член ы: 1) f (n + 2) − 5 f (n + 1) + 6 f (n ) = 0 , f (1) = 1, f (2 ) = −7 , 2) f (n + 2) − 4 f (n + 1) + 4 f (n ) = 0 , f (1) = 2 , f (2 ) = 4, 1 1 3) f (n + 2) + f (n + 1) + f (n ) = 0, f (1) = − , f (2 ) = − . 4 2 4) f (n + 2) = 2 f (n + 1) − f (n ); f (1) = 2; f (2 ) = 4; 5) f (n + 2) = 4 f (n + 1) + 5 f (n ); f (1) = 1; f (2 ) = 5; 6) f (n + 2 ) = 6 f (n + 1) − 9 f (n ); f (1) = 0; f (2) = 3; 7) f (n + 2) = 2 f (n ) − f (n + 1); f (1) = 1; f (2 ) = 2; 8) f (n + 2 ) = 8 f (n + 1); f (1) = 4; 5. П ривест и прим ер лин ейн ого реку ррен т н ого соот н ош ен ия 2-го поряд ка , сред и реш ен ий кот орого им ею т сяслед у ю щ ие ф у н кции: 1) ϕ (n ) = 3 n ;
3) ϕ (n ) = 2 n − 1;
2) ϕ (n ) = 3 ⋅ 2 n − 5 n ; 4) ϕ (n ) = n − 17;
6. На йт и т а ку ю послед ова т ельн ост ь, чт о f ( 1) = cos α , f ( 2 ) = cos 2α и f ( n + 2 ) − 2 cos α f ( n + 1) + f ( n ) = 0 .
7. На йт и послед ова т ельн ост ь т а ку ю , чт о f ( n + 2 ) + 2 f ( n + 1) − 8 f ( n ) = 2 n . 8. П роа н а лизирова т ь реку ррен т н ое соот н ош ен ие (3), если извест н о, чт о од ин из корн ей ха ра кт ерист ического у ра вн ен ий (4) ра вен н у лю . К а ков поряд ок эт ого реку ррен т н ого соот н ош ен ия? Д ока за т ь, чт о его общ ее реш ен ие в д а н н ом слу ча е им еет вид : ϕ (n , C ) = C1 a1n . Ч т о м ож н о ска за т ь о реш ен ии реку ррен т н ого соот н ош ен ия (3), если оба корн я ха ра кт ерист ического у ра вн ен ия(4) ра вн ы н у лю ? 9. П ослед ова т ельн ост ь Ф ибон а ччи за д а ет ся след у ю щ им реку ррен т н ым соот н ош ен ием : F (n + 2) = F (n + 1) + F (n ) и н а ча льн ым и у словиям и F (1) = F (2 ) = 1 . На йт и общ ий член эт ой послед ова т ельн ост и. В ыписа т ь перв ые 10 чисел Ф ибон а ччи. Д ока за т ь, чт о д ля лю бых н а т у ра льн ых m и n спра вед лив ысоот н ош ен ия: 1) F (n + m) = F (n − 1)F (m) + F (n )F (m + 1) 2) F (1) + F (3) + K + F (2 n + 1) = F (2n + 2 )
3) 1 + F (2 ) + F (4 ) + K + F (2n ) = F (2n + 1) У казани е: прим ен ит ь м ет од м а т ем а т ическойин д у кции. Л И ТЕРА ТУ РА 1. Г а врилов Г .П . Сборн ик за д а ч по д искрет н ой м а т ем а т ике / Г .П .Г а врилов, А .А .Са пож ен ко. – М ., 1997 — 336 с. 2. К ом бин а т орика : М ет од ические у ка за н ия к реш ен ию за д а ч / Сост . Т.К .К а ца ра н , Г .Ф .Ф ед от ен ко. — Ворон еж , 1999. — 32с.— № 599. 3. Л а вров И .А . За д а чи по т еории м н ож ест в, м а т ем а т ической логике / И .А .Л а вров, Л .Л .М а ксим ова . – М ., 1995 — 255 с. 4. Л ихт а рн иков Л .М . М а т ем а т ическа я логика . К у рс лекций. За д а чн ик – пра кт ику м / Л .М .Л ихт а рн иков, Т.Г .Су ка чева .— СП б, 1998. — 288 с. 5. М ет од ические реком ен д а ции к реш ен ию за д а ч по д искрет н ой м а т ем а т ике и м а т ем а т ической логике / Сост . Т.К .К а ца ра н , Г .Ф .Ф ед от ен ко. — В орон еж , 1989. — Ч .2 — 32 с. 6. М ет од ические у ка за н ия д ля реш ен ия за д а ч по ку рсу Д искрет н а я м а т ем а т ика / Сост . Т.В .А за рн ова , И .Н.Бу лга кова — В орон еж , 2000. — 50 с.— № 951 7. Я блон ский С.В. В вед ен ие в д искрет н у ю м а т ем а т ику / С.В .Я блон ский. — М ., 2001 — 384с.
П ри под гот овке д а н н ого пособия в осн ову были полож ен ы м ет од ические реком ен д а ции [2], [5],[6].
С ОДЕР Ж А НИЕ 1.
2.
3.
Те о р ия м но ж е ств и о тно ш е ний 1.1 Элем ен т ы т еории м н ож ест в 1.2 П рям ое произвед ен ие м н ож ест в. Бин а рн ые от н ош ен ия 1.3 Специа льн ые бин а рн ые от н ош ен ия Ко м б ина то р ика 2.1 О сн овн ые пра вила ком бин а т орики 2.2. У поряд очен н ые и н еу поряд очен н ые выборки 2.3 Ф орм у ла вклю чен ий и исклю чен ий 2.4 За д а чи с огра н ичен иям и 2.5 Ра зн ые за д а чи Р е кур р е н тные со о тно ш е ния 3.1 Реш ен ие реку ррен т н ых соот н ош ен ий 3.2 Л ин ейн ые реку ррен т н ые соот н ош ен ияс пост оян н ым и коэф ф ициен т а м и 3.3 Слу ча й ра вн ых корн ей ха ра кт ерист ического у ра вн ен ия Л ит ера т у ра Сод ерж а н ие
3 11 20 28 32 42 45 47 53 55 57 61 62
