Алгебра и аналитическая геометрия: Контрольно-измерительные материалы по курсу

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА Кафедра «Моделирование и управление процессами нефтегазодобычи»

КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика

Тюмень 2004 г.

Рекомендовано УМО нефтяных ВУЗов Министерства образования Российской Федерации по секции «Прикладная математика». Соответствует требованиям ГОС на уровне средней сложности

Составители: Сорокина М.Р., доцент, к.т.н. Мокан В.Л., ассистент Нихманова М.Р.

© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» 2004 г.

2

Введение Тест по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия» разработан для проведения

комплексной

проверки

остаточных

знаний

студентов

специальности 073000 – Прикладная математика, завершивших изучение курса «Алгебра и аналитическая геометрия». Уровень сложности теоретических и практических заданий полностью соответствует требованиям ГОС по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия». Содержание тестовых материалов традиционное для данного курса и включает в себя задания по следующим разделам: линейная алгебра – матрицы, определители; решение систем линейных уравнений; элементы векторной алгебры; аналитическая геометрия в плоскости и пространстве; общие теоретические вопросы. Тестовые материалы соответствуют содержанию изученного курса в полном объеме и могут быть использованы для проверки остаточных знаний.

3

Вариант 1

⎛−1 1. Найти 4А + 2В, если А = ⎜⎜ ⎝ 2

0⎞ ⎛2 ⎟⎟ , В = ⎜⎜ 3⎠ ⎝1

⎛ 1 6⎞ ⎟⎟ ; ⎝10 1 ⎠ ⎛ 0 6⎞ ⎟⎟ ; c. ⎜⎜ ⎝10 1 ⎠

3⎞ ⎟. − 1⎟⎠

⎛10 6 ⎞ ⎟⎟ ; ⎝10 0 ⎠ ⎛0 6⎞ ⎟⎟ ; d. ⎜⎜ ⎝10 10 ⎠

a. ⎜⎜

b. ⎜⎜

e. нет правильного ответа. 2. Найти смешанное r произведение векторов

r r a = {1, − 1, 1}; b = {1, 1, 1}; c = {2, 3, 4}.

a. 4; b. -4; c. 8; d. -5 e. нет правильного ответа. r r r r 3. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b ,

r

r

r

r

r r

r

r

если a = {3, 5, 4}; b = {5, 9, 7}; c1 = −2a + b ; c2 = 3a − 2b . a. да; b. нет. 4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало r координат и имеет нормальный вектор n = {5, 0, 3} . a. 5x+3z=0; b. 3x+y+5z=0; c. 5x+3z+1=0; d. 3x+2y-5z=10; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (1, 2, − 4) и M 2 ( −1, 2, − 4) . x −1 y − 2 z − 4 ; = = 0 0 −2 x −1 y − 2 z + 4 d. ; = = 0 0 −2

x −1 y − 2 z − 4 ; = = 1 0 −2 x−5 y −2 z −4 ; c. = = 0 0 −2

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь признаку, называется … a. группой объектов b. множеством c. подмножеством d. нет правильных ответов 4

Вариант 2

r

r

r

r

1. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , если c1 = {−2, 3, 5}, c2 = {10, − 15, 25} . a. да; b. нет. 2. Найти смешанноеr произведение векторов

r r a = {2, − 1, − 1}; b = {1, 3, −1}; c = {1, 1, 4}. a. b. c. d. e.

0; 3; 30; 33; нет правильного ответа.

⎧ x + 2 y + z = 8, 3. Решить систему с помощью правила Крамера: ⎪⎨3x + 2 y + z = 10 . ⎪4 x + 3 y − 2 z = 4. ⎩

a. (1;2;1); b. (3;2;1); c. (1;2;3); d. (0;1;2); e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку r M 0 (0, − 2, 3) перпендикулярно вектору n = {1, − 2, 3} . a. x-2y+3z=13; b. x+2y-3z-13=0; c. x-2y+3z-13=0; d. нет правильных ответов; e. ответы a и c правильные. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (2, 0, − 3) параллельно оси Oy. x y −2 z −3 ; = = 0 1 0 x−2 y z +3 ; c. = = 0 1 0

x y −1 z ; = = 2 0 −3 x−2 y z −3 d. ; = = 1 0 0

a.

b.

e. нет правильных ответов. 6. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то А называется … a. подмножеством множества В; b. дополнением до множества В; c. разностью множества В и А; d. ответы a-c верные; e. нет правильных ответов.

5

Вариант 3 ⎛1 1. Определить А⋅В, если А = ⎜⎜ ⎝0

⎛1 ⎜ 1⎞ ⎟⎟ , В = ⎜ 2 2⎠ ⎜3 ⎝

3 −1

0 1

⎛10 4 ⎞ ⎜ ⎟ b. A ⋅ B = ⎜ 2 2 ⎟ ; ⎜ 6 0⎟ ⎝ ⎠

⎛10 2 6 ⎞ ⎟⎟ ; a. A ⋅ B = ⎜⎜ ⎝ 4 2 0⎠ ⎛ 4 2 0⎞ ⎟⎟ ; ⎝10 2 6 ⎠

c. A ⋅ B = ⎜⎜

2. Компланарныr

− 1⎞ ⎟ 2⎟ . 1⎟⎠

1

d. нет правильных ответов.

ли

векторы

r r a = {3, 2, 1}; b = {2, 3, 4}; c1 = {3, 1, − 1}.

r b

r a,

и

r с,

a. да; b. нет. r r 3. Найти скалярное произведение векторов с1 и с2 , построенных на

r

r

r

r

r

r

r r

r

если

r

векторах a и b , если a = {4, − 2, − 4}; b = {6, − 3, 2}; c1 = 3a − b ; c2 = 2a + 2b . a. 200; b. 6; c. 26; d. 206. 4. Даны точки M 1 (3, − 1, 2) и M 2 ( 4, − 2, − 1) . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно вектору M 1M 2 . a. x-y+3z-2=0; b. x-y+3z=-2; c. x-y-3z=-2; d. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (3, − 1, 0) и M 2 (1, 0, − 3) . x − 3 y +1 z = ; = −2 1 −3 x −1 y +1 z − 3 ; c. = = −2 1 −3

a.

b.

x −1 y z −3 = = ; 2 −1 3

d. нет правильных ответов.

6. Множество, состоящее из общих элементов А, В, С, … называется … a. объединением множеств; b. пересечением множеств; c. разностью множеств; d. ответы a-c верные; e. нет правильного ответа.

6

Вариант 4

3 1. Вычислить произведение определителей: − 1

1

2

5 −2

3

6 ⋅ −1 − 3

−1 2

2

3 1

4 5 −1

a. 1500; b. 2142; c. 1350; d. 1053; e. нет правильных ответов. r r r r 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b ?

r r r r r r r r a = {−2, 4, 1}; b = {1, − 2, 7}; c1 = 5a + 3b ; c 2 = 2a − b .

a. нет; b. да. 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC

A (0, − 3, 6); B (−12, − 3, − 3); C (−9, − 3, − 6).

a. 0; b. 0.5; c. 0.96; d. 0.3; e. нет правильных ответов. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (2, 4, 5) r перпендикулярно вектору n = {1, 3, 5} . a. 2x-3y+5z=39; b. x+3y+5z-39=0; c. 5x-3y-z+39=0; d. x+3y+5z=-39; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (2, 0, − 3) параллельно оси Ox. a.

x−2 y z −3 ; = = 1 1 1

c.

x−2 y z+3 ; = = 1 0 0

x −1 y z − 3 ; = = 0 0 1 x+2 y z+3 d. ; = = 1 0 0

b.

e. нет правильных ответов. 6. Если два множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то А и В называются: a. эквивалентными; b. равносильными; c. ответы a-b верные; d. нет правильного ответа. 7

Вариант 5 1. Вычислить миноры элементов a13 , a23 , a33

a. М13=3, М23=-3, М33=-3; b. М13=6, М23=6, М33=-3; c. М13=-6, М23=3, М33=3; d. М13=6, М23=3, М33=-3; e. нет правильного ответа. 2. Компланарныr ли векторы

r r a = {3, 3, 1}; b = {1, − 2, 1}; c1 = {1, 1, 1}.

⎛ 5 8 − 4⎞ ⎜ ⎟ матрицы ⎜ 6 9 − 5 ⎟ . ⎜ 4 7 − 3⎟ ⎝ ⎠

r a,

r b

и

r с?

a. да; b. нет; 3. Найти косинус угла между векторами и АВ АС A (−4, − 2, 0); B (−1, − 2, 4); C (3, − 2, 0). a. 1; b. 0; c. 0.5; d. 0.6; e. нет правильного ответа. 4. Точка P ( 2, − 1, 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости. a. -2x+y-z=-6; b. 2x+y+z-6=0; c. -x+2y-z=-6; d. -2x-y-z=6; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (0, − 2, 3) и M 2 (3, − 2, 1) .

a. c.

x−3 = 0 x+3 = −3

y − 2 z +1 ; = −3 2 y − 2 z −1 ; = −2 1

b. d.

x − 3 y + 2 z −1 ; = = −3 0 2 x y + 2 z −3 ; = = 3 0 −2

e. ответы b и d правильные. 6. Множество, состоящее из общих элементов нескольких множеств, называется: a. объединением множеств; b. пересечением множеств; c. разностью множеств; d. ответы a-c верные; e. нет правильных ответов. 8

Вариант 6

⎧5 x − y − z = 0, ⎪ 1. Решить систему с помощью правила Крамера ⎨ x + 2 y + 3 z = 14, ⎪4 x + 3 y + 2 z = 16. ⎩ a. (1;2;1); b. (3;2;1); c. (1;2;3); d. (0;1;2); e. нет правильного ответа. 2. Компланарныr ли векторы

r a, r r a = {1, 5, 2}; b = {−1, 1, − 1}; c1 = {1, 1, 1}.

r b

и

r с,

если

a. да; b. нет. r r 3. Вычислить векторное произведение векторов и b , если a r r a = {4, − 2, − 4}; b = {6, − 3, 2}. a. {16, 32, 1}; b. {8, 32, 0}; c. {-16, -32, 0}; d. {8, -16, 0}; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (1, 3, 0) , M 2 (4, − 1, 2) и M 3 (3, 0, 1) . a. 2x-y+z=5; b. 2x-y-z+5=0; c. -2x+y-z-5=0; d. 2x+y-z=5; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (1, − 2, 1) и M 2 (3, 1, − 1) . x+3 = 0 x−3 = c. −2

a.

y +1 = −3 y −1 = −3

z −1 ; 0 z +1 ; 0

x − 3 y −1 z +1 ; = = 2 3 −2 x −1 y − 2 z −1 d. = ; = −2 −3 0

b.

e. нет правильного ответа. 6. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств M 1 , M 2 ,..., M n называется: a. объединением этих множеств; b. пересечением множеств; c. разностью этих множеств; d. ответы a-c верные; e. нет правильного ответа. 9

1

Вариант 7 0 1

1. Вычислить определитель 2 − 1 − 2 .

4

5

3

a. 20; b. 21; c. 31; d. 30; e. нет правильного ответа. r r r 2. Компланарныr ли векторы a , b и с ?

r r a = {2, 3, 1}; b = {−1, 0, − 1}; c1 = {2, 2, 2}.

a. нет; b. да. r r 3. Найти скалярное произведение векторов с1 и с2 , построенных на

r

r

векторах a и b ? r r

r r r r r r a = {4, − 2, − 4}; b = {6, − 3, 2}; c1 = 2a − 3b ; c2 = a + 2b .

a. 200; b. -200; c. 120; d. -120; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (2, 1, 5) , M 2 (0, 1, 3) и M 3 (4, 5, 7) . a. 8x-8z+24=0; b. -8x+y+8z=24; c. 8x-8z=24; d. ответы a и c правильные; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (2, 0, − 3) параллельно оси Oz. x + 2 y −1 z − 3 ; = = 0 1 0 x+2 y z +3 d. ; = = 0 0 1

x−2 y z −3 ; = = 1 0 1 x−2 y z +3 ; c. = = 1 0 0

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Множество, не имеющее ни одного элемента, называется … a. бесконечным; b. булевым; c. пустым; d. нет правильного ответа.

10

Вариант 8 1. Вычислить миноры элементов a11 , a23 , a32

⎛ 3 2 5⎞ ⎜ ⎟ матрицы ⎜ 4 − 1 3 ⎟ . ⎜ 9 6 5⎟ ⎝ ⎠

a. М11=33, М23=36, М32=-11; b. М11=-33, М23=0, М32=-11; c. М11=15, М23=36, М32=5; d. М11=-23, М23=0, М32=-11; e. нет правильного ответа. r r r r 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b ?

r r r r r r r r a = {1, − 2, 3}; b = {3, 0, − 1}; c1 = 2a + 4b ; c2 = 3b − a.

a. да; b. нет. 3. Компланарны

ли

r r r a, b , c :

векторы

r r r a = {3, − 2, 1}; b = {−1, 4, 2}; c = {−1, 4, 2}.

a. да; b. нет. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (0, 1, 6) r перпендикулярно вектору n = {1, 5, 3} . a. x+5y+6z=23; b. -x-5y-6z-23=0; c. x+5y+6z+23=0; d. нет правильного ответа; e. ответы a и b правильные. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку r M 0 (2, 0, − 3) параллельно вектору a = {2, − 3, 5} . x+2 y −3 = = 2 0 x−2 y+3 d. = = 2 0

x+2 y z −3 ; = = 2 −3 5 x−2 y z +3 ; c. = = 2 −3 5

a.

b.

z +5 ; −3 z −5 ; −3

e. нет правильного ответа 6. Матрица, у которой число строк равно числу ее столбцов, называется: a. прямоугольной; b. диагональной; c. квадратной; d. ответы a-c верные; e. нет правильного ответа.

11

Вариант 9 ⎧ x + 3 y − 6 z = 12,

1. Решить систему с помощью правила Крамера ⎪⎨3x + 2 y + 5 z = −10 . ⎪2 x + 5 y − 3 z = 6. ⎩

a. (0,8,2); b. (0,0,-2); c. (12,4,2); d. система не имеет решения; e. нет правильного ответа. r r r 2. Компланарны ли векторы a , b и с? r

r r a = {1, 3, 1}; b = {1, − 2, 1}; c1 = {2, 2, 2}.

a. да; b. нет. 3. Найти косинус угла между векторами АВ и АС

A (3, 3, − 1); B (5, 5, − 2); C (4, 1, 1).

a. -4/9; b. 4/9; c. 2/3; d. -2/3; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку r M 0 (2, 1, − 1) и имеет нормальный вектор n = {5, 0, − 3} . a. 5x-3z=13; b. -5x+3z=13; c. 5x+y+3z=13; d. ответы a и c правильные; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (0, 1, 2) и M 2 (3, 4, 5) . x y −1 z − 2 ; = = 3 3 3 x y −1 z + 2 ; c. = = −3 3 3

a.

b.

x−3 y −4 z −5 ; = = −3 −3 −3

d. ответы a и b правильные;

e. нет правильных ответов. 6. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется: a. матрицей-столбцом; b. нет правильных ответов; c. столбцом матрицы; d. ответы a и c верные; e. нет правильного ответа.

12

Вариант 10

2 1. Вычислить произведение определителей: 1

5 0

3 −1

−2 −2

1 ⋅ 4 3

1

3 −4 5

5 6 . −1

a. 202; b. 404; c. 808; d. 800; e. нет правильного ответа. r r r r 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b ?

r r r r r r r r a = {1, 2, − 3}; b = {2, − 1, − 1}; c1 = 4a + 3b ; c2 = 8a − b .

a. да; b. нет. 3. Найти смешанное произведение векторов r

r r a = {1, 0, 9}; b = {4,− 1, 0}; c = {3, 3, 3}.

a. 123; b. 132; c. -138; d. 78; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку r M 0 (2, 0, − 3) перпендикулярно вектору n = {2, 5, 1} . a. 2x+5y-1=0; b. 2x+5y+z=1; c. 2x-3z=-1; d. -2x-5y-z=1; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

M 0 (2, 0, − 3) параллельно прямой x−2 = 5 x−2 c. = 5

a.

x −1 y + 2 z +1 = = 5 2 −1

x −1 y + 2 z +1 ; = = 5 0 −3 x +1 y − 2 z −1 d. ; = = 2 0 −3

y + 2 z −3 ; = 2 −1 y z −3 ; = 2 −1

b.

e. нет правильного ответа. 6. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется: a. нулевой; b. единичной; c. диагональной; d. нет правильных ответов. 13

Вариант 11 − 3⎞ ⎟. 1 ⎟⎠ ⎛ 47 − 15 ⎞ ⎟⎟ ; ⎜⎜ ⎝ 4 −1 ⎠ ⎛ 47 − 4 ⎞ ⎟⎟ ; d. ⎜⎜ ⎝ − 15 − 1 ⎠

0 ⎞ ⎛ 6 ⎛7 ⎟⎟ , В = ⎜⎜ 1. Найти 2А + 5В, если А = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 3⎠ ⎝0 ⎛ 41 15 ⎞ ⎟⎟ ; a. ⎜⎜ b. ⎝ − 4 − 1⎠ ⎛ 47 − 15 ⎞ ⎟⎟ ; ⎝ − 4 −1 ⎠

c. ⎜⎜ 2.

3.

4.

5.

e. нет правильного ответа. Найти смешанное произведение векторов r r r a = {0, − 5, 1}; b = {1, − 4, 1}; c = {8, 3, 1}. a. 0; b. -70; c. -74; d. 70; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {6, − 1, 4}; b = {5, − 5, 0}; c1 = −2a + b ; c2 = 3a − 2b . a. да; b. нет. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало r координат и имеет нормальный вектор n = {4, − 2, 3} . a. z=(2y-4x)/3; b. z=(4x-2y)/3; c. 4x-2y+3z=0; d. ответы а и с правильные; e. нет правильных ответов. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (6, − 8, − 1) и M 2 (4, 7, 0) . x − 6 y + 8 z +1 ; = = −2 15 1 x − 6 y + 8 z +1 = = ; c. 4 7 0

a.

b.

x − 4 y − 7 z −1 ; = = − 15 2 −1

d. ответы а и b правильные;

e. нет правильных ответов. 6. Если все столбцы матрицы А являются соответствующими строками матрицы В, то матрица В называется: a. транспонированной по отношению к матрице А; b. присоединенной к матрице А; c. нет правильных ответов; d. ответы а и b верные; e. единичной.

14

Вариант 12

r r 1. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , если

r r c1 = {−2, 3, 5}, c 2 = {10, − 15, − 25}

a. да; b. нет. 2. Найти смешанное векторов r произведение r r a = {2, − 1, − 1}; b = {1, 3, −1}; c = {1, 1, 5}. a. 40; b. 4; c. 36; d. -30; e. нет правильного ответа. ⎧ x + 2 y + z = 0, 3. Решить систему с помощью правила Крамера: ⎪⎨3x + 2 y + z = 2, ⎪ 4 x + 3 y − 2 z = −1 . ⎩

a. (2, -2, 2) b. (1, -1, 1); c. (2, -2, 0); d. (1, 1, 4); e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку r M 0 (0, − 2, 3) перпендикулярно вектору n = {1, − 2, 3} . a. -x+2y-3z=13; b. x-2y+3z-13=0; c. -2y+3z-5=0; d. -2y+3z-13=0; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (2, 0, − 3) параллельно оси Oy. x − 2 y +1 z + 3 ; = = 0 1 0 x y −1 z ; c. = = −2 0 −3

x−2 y z +3 ; = = 0 1 0 x y +1 z d. ; = = −2 0 −3

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Какие из перечисленных ниже свойств определителя верны: a. если строки определителя заменить соответствующими столбцами, а столбцы – соответствующими строками, то определитель не изменится b. при перестановке двух строк определитель не изменится c. если элементы одной строки соответственно равны элементам другой строки, то определитель отличен от нуля d. ответы a и c верные

15

Вариант 13 ⎛ −1 3

⎛ 1 0 ⎜

1 ⎞

− 1⎞ ⎟

⎟⎟ , В = ⎜ − 4 0 1. Определить А⋅В, если А = ⎜⎜ 2⎟ . ⎝ − 9 5 − 4⎠ ⎜ − 6 1 − 4⎟ ⎠ ⎝ 3⎞ ⎛ − 19 1 ⎟⎟ ; ⎝ − 5 − 4 35 ⎠

⎛19 10 3 ⎞ ⎟⎟ ; ⎝ 5 − 4 35 ⎠

b. ⎜⎜

⎛ 11 1 3 ⎞ ⎟⎟ ; ⎝ − 19 0 5 ⎠

d. нет правильного ответа.

a. ⎜⎜

c. ⎜⎜

r r r 2. Компланарныr ли векторы a , b и с , если

r r a = {−6, 2, 8}; b = {0, 3, 0}; c = {−6, 3, 1}. 1 a. да; b. нет. r r 3. Найти скалярное произведение векторов с1 и с2 , построенных на r r r r r r r r r r векторах a и b , если a = {5, 4, 0}; b = {5, − 3,− 2}; c = 2a − 3b ; c = a + b . 1 2 a. 216; b. -45; c. 621; d. нет правильного ответа. 4. Даны точки M 1 (−3, − 2, 0) и M 2 (−4, 2, 1) . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно вектору M 1 M 2 . a. -x-4y-z=-5; b. -x+4y+z+5=0; c. x-4y-z+5=0; d. ответы b и c правильные; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (2, − 1, 4) и M 2 (−5, 0, − 2) .

a.

x −5 y z+2 ; = = −1 6 −7

c.

x − 7 y +1 z − 6 ; = = −5 0 −2

x − 2 y +1 z − 4 = = ; −7 1 −6 x+5 y z+2 d. ; = = −1 2 4

b.

e. нет правильных ответов. 6. К элементарным преобразованиям матрицы относятся: a. перестановка строк (столбцов) матрицы; b. удаление строки (столбца), являющейся линейной комбинацией других строк (столбцов); c. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; d. ответы a-c верные; e. нет правильных ответов.

16

Вариант 14 −2

2

5

2

−6

1. Вычислить произведение определителей: − 1 − 8 0 ⋅ − 1 − 3 0

−1 2

0

4 0 .

− 7 −1

a. 1460; b. 1640; c. 41; d. 40; e. нет правильного ответа. r r r r 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b ? r r r r r r r r a = {3, − 6, 1}; b = {0, − 2, 4}; c1 = 4a + b ; c2 = −2a + b .

a. да; b. нет. 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC A (−1, 2, − 4); B (−5, 6, − 6); C (−7, 5, 2).

a. -4/7; b. 4/9; c. 3/8; d. -3/7; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (6,−7, 0) r перпендикулярно вектору n = {9, 5, − 3} . a. -9x-5y+3z=19; b. x+5y-z-19=0; c. 9x+5y-3z-19=0; d. x+5y-3z=0; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (4, − 5, 0) параллельно оси Ox. x−4 y+5 z = = ; 0 1 1 x−4 y+5 z c. = = ; 1 0 0

x −1 y z = = ; 4 −5 0 x+ 4 y −5 z d. = = ; 1 0 0

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Какие из перечисленных ниже правил для вычисления определителя 3 порядка матрицы А имеют место: a. правило треугольника; b. правило Саррюса; c. правило разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца); d. ответы a-c верные; e. нет правильных ответов.

17

Вариант 15 ⎛4 5 ⎜

−1 ⎞ ⎟

1. Вычислить миноры элементов a12 , a 22 , a32 матрицы: ⎜ 3 4 − 2 ⎟ . ⎜3 4 − 8⎟ ⎝ ⎠

a. М12=18, М22=29, М32=5; b. М12=-24, М22=-35, М32=-5; c. М12=-18, М22=-29, М32=-5; d. М12=-24, М22=-35, М32=-11; e. нет правильного ответа. r r r 2. Компланарны ли векторы a , b и с , если r r r a = {−1, 7, 0}; b = {6, − 7, 8}; c1 = {−1, − 6, 4}.

a. да; b. нет. 3. Найти косинус угла между векторами АВ и АС , если А(1,-2,3), В(0,-1,2), С (3,-4,5). a. 1; b. -1; c. 0; d. 0.5; e. нет правильного ответа. 4. Точка P (−3, − 1, 6) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости. a. -3x-y+6z-46=0; b. 3x+y+6z=46; c. x+y+z=2; d. ответы a и b правильные; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (5, 9, − 3) и M 2 (−3, 7, − 1) . a.

x+5 y +9 z −3 ; = = 8 −2 2

c.

x − 3 y − 7 z +1 ; = = −8 2 −2

x−5 y −9 z +3 ; = = −8 −2 2 x−5 y −9 z +3 d. = ; = 8 −2 2

b.

e. нет правильных ответов. 6. Какая из перечисленных ниже матриц не может иметь обратную: a. у которой определитель равен нулю; b. прямоугольная; c. единичная; d. ответы a, b верные; e. нет правильного ответа.

18

Вариант 16

⎧ 2 x1 + 5 x2 − 3x3 = 2 ⎪ 1. Решить систему с помощью правила Крамера: ⎨− x1 − x2 + 2 x3 = 0 ⎪ x + 2 x − x = −2 ⎩ 1 2 3 a. (0, 1, 1); b. (1, 1, 1); c. (4, 0, 2); d. (1, -1, 1); e. нет правильного ответа.r r r 2. Компланарны ли векторы a , b и с , если r r r a = {−2, 5, 6}; b = {1, 4, − 8}; c1 = {−1, 8, 0}.

a. да; b. нет. r r 3. Вычислить векторное произведение векторов и , если a b r r a = {−5,4, − 4}; b = {2, 9, − 2}. a. {-28, 2, 53}; b. {-44; -18; 33}; c. {28, -18, -53}; d. {-44, 2, 33}; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (0, 5, 0) , M 2 (8, − 3, − 2) и M 3 (4, − 1, 1) . a. 4x-16z-32=0; b. -20x-16y-16z+80=0; c. 4x+16z=32; d. 20x+16y+16z=-80; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (7, 8, − 6) и M 2 (−6, 0, 2) . x+6 y z+2 ; = = − 13 − 8 8 x −7 y −8 z +6 c. ; = = − 13 −8 8

x −7 y −8 z +6 ; = = −6 0 2 x+6 y z−2 d. ; = = −6 0 2

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Длина отрезка, изображающего вектор, называется: a. отрезком; b. модулем вектора; c. не имеет специального названия; d. ответы a, b верные; e. нет правильного ответа.

19

Вариант 17 3 −2 2 1. Вычислить определитель 2

−1 2 .

0 −2 3 a. 9; b. 7; c. -5; d. 10; e. нет правильного ответа. r r r 2. Компланарны ли векторы a , b и с , если a (1, -1 ,-3), b (3, 2, 1), с (2, 3, 4). a. да; b. нет. r r 3. Найти скалярное произведение векторов с1 и с2 , построенных на

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

векторах a и b , если a = {5, − 1, 3}; b = {−6, 3, − 2}; c1 = a − 2b ; c 2 = 4a + 3b . a. 0; b. -200; c. 41; d. 55; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (4, − 5, 0) , M 2 (−3, − 7, 2) и M 3 (−4, − 5, 3) . a. -6x+5y-16z+49=0; b. 6x-5y+16z=1; c. -6x-5y-16z=1; d. 6x-5y+16z=-19; e. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (−3, 1, − 1) параллельно оси Oz. x y z −1 = = ; −1 −3 1 x − 3 y +1 z −1 c. ; = = 0 0 1

x + 3 y −1 z +1 = = ; 0 0 1 x + 3 y −1 z +1 d. ; = = 1 1 0

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Два вектора называются равными, если: a. они сонаправлены; b. они равны по абсолютной величине; c. они лежат на параллельных прямых; d. нет правильных ответов; e. ответы а и с правильные.

20

Вариант 18

1.

2.

3. 4.

5.

⎛− 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1 − 3⎟ . Вычислить миноры элементов a21 , a32 , a33 матрицы ⎜ 4 ⎜ 1 1 − 1 ⎟⎠ ⎝ a. М21=-1; М32=-1; М33=2; b. М21=3; М32=14; М33=-8; c. М21=-1; М32=-2; М33=2; d. М21=0; М32=14; М33=8; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {4, 16, 8}; b = {−2, − 8, − 4}; c1 = a + 4b ; c 2 = b − a. a. да; b. нет. r r r Компланарны ли векторы a , b , c , если a (3, 3, 1), b (1, -2, 1), (1, 1, 1). a. да; b. нет. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (0, − 1,7) r перпендикулярно вектору n = {−1, 8, − 3} . a. -y+7z=29; b. x-8y+3z=6; c. -x+8y-3z+29=0; d. ответы b и c правильные; e. нет правильных ответов. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку r M 0 (−2, 5, 3) параллельно вектору a = {−2, 7, − 4} . x−2 y+5 z +3 ; = = −2 7 −4 x+2 y−7 z+4 c. ; = = 5 3 −2

x+2 y −5 z −3 ; = = −2 7 −4 x+ 2 y −5 z −3 d. ; = = 12 −1 −4

a.

b.

e. нет правильного ответа. 6. Два вектора коллинеарны, если: a. они лежат на параллельных прямых; b. они лежат на одной прямой; c. они лежат в одной плоскости; d. ответы a и b верные; e. нет правильного ответа.

21

Вариант 19 ⎧4 x1 − 2 x 2 + 2 x3 = 16 1. Решить систему с помощью правила Крамера: ⎪⎨ x1 − 3x2 − 5 x3 = 6 ⎪3 x + x − 7 x = −4 2 3 ⎩ 1

2.

3.

4.

5.

a. (2, -3, 2); b. (3, 1, 3); c. (2, -3, 1); d. система не имеет решений; e. нет правильного ответа. r r r Компланарны ли векторы a , b и с , если a (3, 1, -1), b (-2, -1, 0), с (5, 2, -1). a. да; b. нет. Найти косинус угла между векторами АВ и АС , если А (3, 3, -1), В(5, 5, -2), С (4, 1, 1). a. -4/9; b. 8/9; c. 0; d. 1; e. нет правильного ответа. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку r M 0 (−6, 7, − 1) и имеет нормальный вектор n = {4, − 1, 2} . a. -6x+7y-z=10; b. 4x-y+2z+33=0; c. -6(x-4)+7(y+1)-(z-2)=0; d. ответы а и с правильные; e. нет правильных ответов. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (−3, 4, − 3) и M 2 (5, − 2, − 1) . a.

x+3 y−4 z+3 = = ; 5 −2 −1

b.

c.

x + 5 y + 2 z +1 ; = = −8 −6 2

d.

x+3 y−4 z+3 = = ; 8 −6 2 x − 5 y + 2 z +1 ; = = 4 −3 −3

e. нет правильного ответа. 6. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является: a. равенство нулю их скалярного произведения; b. равенство нулю-вектору их векторного произведения; c. пропорциональность одноименных координат данных векторов; d. ответы b, c верные; e. нет правильного ответа.

22

Вариант 20

1 − 15 0 − 9

0

0

1. Вычислить произведение определителей: 0

23

2 ⋅ 12

−6 1 .

1

1

1

−2 2

2.

3. 4.

5.

5

a. -810; b. -800; c. 910; d. 50; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {−2, − 2, 3}; b = {4, − 6, 0}; c1 = 2a − b ; c2 = 2a − 6b . a. да; b. нет. Компланарны ли векторы a (4, 3, 1), b (6, 7, 4), с (2, 0, -1)? a. да; b. нет. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (−3,1, 3) r перпендикулярно вектору n = {4, − 5, 7} . a. -3x+y+3z=4; b. 4x-5y+7z=0; c. 4(x+3)-5(y-1)+7(z-3)=0; d. -3(x-4)+(y+5)+3(z-7)=0; e. нет правильного ответа. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (4, 0, 3) параллельно прямой

a. c.

x+4 y z +3 = = ; 7 −2 −3 x−4 y z −3 ; = = −9 2 6

x −9 y + 2 z +6 = = 7 −3 −2 x−9 y +2 z +6 = b. = ; 4 0 3 x−4 y z −3 d. ; = = 7 −3 −2

e. нет правильного ответа. r r 6. Скалярным произведением векторов a, b называется: rr r r a. число, вычисленное по формуле ab = a b cos ϕ , ϕ - где угол между векторами;

rr

b. число, вычисляемое по формуле ab = ax bx + a y by + az bz , где r r a (a x , a y , a z ), b (bx , by , bz ) ;

r i r r c. вектор вида ab = ax bx

r j ay by

r k az ; bz

d. ответы a, b верные. 23

Вариант 21 0 ⎞ ⎛ 8 ⎛ 4 ⎟⎟ , В = ⎜⎜ 1. Найти А + 3В, если А = ⎜⎜ ⎝ − 4 − 3⎠ ⎝−3 ⎛ 20 − 18 ⎞ ⎟⎟ ; a. ⎜⎜ b. ⎝ − 13 18 ⎠ ⎛ 12 − 18 ⎞ ⎟⎟ ; d. c. ⎜⎜ ⎝ − 21 12 ⎠

2.

3.

4.

5.

− 6⎞ ⎟ 7 ⎟⎠

6; ⎛ 20 − 13 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ − 18 18 ⎠

e. нет правильного ответа. Найти смешанное произведение векторов a (3, 2, 1), b (1, -3, -7), с (1, 2, 3). a. 0; b. 100; c. -115; d. 45; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {−5,−4, 4}; b = {5, 8, 2}; c1 = −a + b ; c2 = 4a − 2b . a. да; b. нет. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало r координат и имеет нормальный вектор n = {5, 2, 3} . a. 0x+0y+0z-10=0; b. 3x+2y+5z=0; c. 5x+2y+3z=0; d. -5x-2y-3z=10; e. нет правильного ответа. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (5, 6, − 8) и M 2 (−6, 7, − 3) . x−5 = − 11 x+6 b. = 11 x−5 c. = −6

a.

y−6 = 1 y−7 = −1 y−6 = 7

z +8 ; 5 z+3 ; −5 z +8 ; −3

d. ответы a и b правильные; e. нет правильных ответов. 6. В каких из перечисленных ниже случаях три вектора будут компланарны: a. они лежат в одной плоскости, будучи приложенными к одной точке; b. они лежат в параллельных друг другу плоскостях; c. образуют базис трехмерного пространства; d. ответы a и b верные; e. нет правильного ответа.

24

Вариант 22

r

r

r

r

1. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , если c1 = {6,− 3, − 5}, c2 = {12, − 6, − 10} ? a. да; b. нет. 2. Компланарны ли вектора a (3, 7, 2), b (-2, 0, -1), с (2, 2, 1)? a. да; b. нет. ⎧7 x + 2 y + 3 z = 16 3. Решить систему с помощью правила Крамера ⎪⎨5 x − 3 y + 2 z = 15 ⎪10 x − 11y + 5 z = 36 ⎩

29 31 25 a. ⎛⎜1 ,− ,1 ⎞⎟ ;

⎝ 36 36 36 ⎠ 4 6 2 b. ⎛⎜1 ,− ,1 ⎞⎟ ; ⎝ 5 7 3⎠ c. (2,−2,2) ;

d. система не имеет решений; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (7, − 2, − 2) r перпендикулярно вектору n = {4, − 7, − 2} . a. 4x+7y+2z+46=0; b. 7x-2y-2z-46=0; c. 4(x-7)-7(y+2)-2(z+2)=0; d. 7(x-4)-2(y+7)-2(z+2)=0; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (4, − 6, 3) параллельно оси Oy. x+4 y−6 z +3 ; = = 0 1 0 x−4 y +6 z −3 c. ; = = 0 1 0

x y −1 z = ; = −6 4 3 x−4 y +6 z −3 d. ; = = 1 0 1

a.

b.

e. нет правильных ответов. 6. Геометрический смысл векторного произведения векторов состоит в следующем: a. модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах; b. векторное произведение векторов равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах; c. половина модуля векторного произведения векторов равна площади треугольника, построенного на этих векторах; d. ответы a и c верные; e. нет правильного ответа.

25

Вариант 23 ⎛ − 1 1 1⎞ ⎟ ⎜ ⎛0 − 3 6 ⎞ ⎟⎟ , В = ⎜ − 2 6 2 ⎟ . 1 − 2⎠ ⎜ − 7 1 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛ − 36 − 12 0 ⎞ ⎛ 36 − 12 12 ⎞ ⎟⎟ ; ⎟⎟ ; a. ⎜⎜ b. ⎜⎜ ⎝ 21 − 5 − 9 ⎠ ⎝ 25 − 1 − 5 ⎠ ⎛ − 36 21 ⎞ ⎟ ⎜ c. ⎜ − 12 − 5 ⎟ ; d. нет правильного ответа. ⎟ ⎜ 0 − 9⎠ ⎝

1. Определить А⋅В, если А = ⎜⎜ ⎝9

r r

r

2. Компланарны ли векторы a , b и с , если a (1, -2, 6), b (1, 0, 1), с (2, -6, 17). a. да; b. нет. r r 3. Найти скалярное произведение векторов с1 и с2 , построенных на

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

векторах a и b , если a = {6, − 2, 7}; b = {−6, 3, − 2}; c1 = 6a − 2b ; c2 = a + b . a. 1000; b. 1800; c. 1008; d. нет правильного ответа. 4. Даны точки M 1 (−3, 1, − 2) и M 2 (−6, 2, 1) . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно вектору M 1 M 2 . a. 3x-y-3z+23=0; b. 3x-y-3z=4; c. -3x+y+3z-4=0; d. нет правильного ответа. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (−3, 5, 0) и M 2 (5, 7, − 5) . x−5 y−7 z +5 ; = = −2 5 −8 x+3 y −5 z = c. = ; 8 2 −5

b.

a.

x−3 y+5 z = = 8 2 5

;

d. ответы а и с правильные;

e. нет правильных ответов. 6. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется: a. направляющим вектором плоскости; b. нормальным вектором плоскости; c. вектором касательной к этой плоскости; d. ответы a и b верные; e. нет правильного ответа.

26

Вариант 24

3

0

1. Вычислить произведение определителей: 2 − 5

4

2.

3.

4.

5.

2

1

1 2

1

3 ⋅0 9

0

−6 2 6 −3

a. -4320; b. -3402; c. 2430; d. 3240; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {−6, 7, − 8}; b = {8, 2, 2}; c1 = 7a + b ; c2 = 3a − 2b . a. да; b. нет. Найти косинус угла между векторами АВ и АС , если А (5, 3, -1), В (5, 2, 0), С (6, 4, -1). a. 0; b. 0.5; c. -1; d. -0.5; e. нет правильного ответа. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (8, − 3, − 1) r перпендикулярно вектору n = {−1, 2, − 4} . a. -x+2y-4z=0; b. -(x-8)+2(y+3)-4(z+1)=0; c. 8x-3y-z+10=0; d. 8(x+1)-3(y-2)-(z+4)=0; e. нет правильного ответа. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (7, − 4, 3) параллельно оси Ox. a. c.

x −1 y z = = ; −4 3 7 x−7 y +4 z −3 ; = = 0 1 1

b. d.

x+7 y−4 z +3 ; = = 1 0 0 x−7 y +4 z −3 ; = = 1 0 0

e. нет правильного ответа. 6. Какое из перечисленных ниже уравнений называется уравнением плоскости «в отрезках»: a. Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C , D ∈ R ; b. A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0, где A, B, C ∈ R ; c.

x y z + + = 1 , где a, b, c,∈ R ; a b c

d. нет правильных ответов. 27

Вариант 25 1.

2.

3.

4.

5.

⎛ 2 3 4⎞ ⎜ ⎟ Вычислить миноры элементов a11 , a23 , a32 матрицы ⎜ 5 − 2 1 ⎟ . ⎜ 1 2 3⎟ ⎝ ⎠ a. М11=-2; М23=7; М32=22; b. М11=-8; М23=-1; М32=-18; d. М11=2; М23=-7; М32=-22; c. М11=-8; М23=1; М32=-18; e. нет правильного ответа. Компланарны ли векторы а , b и с , если a (4, 1, 2), b (9, 2, 5), с (1, 1, -1)? a. да; b. нет. Найти косинус угла между векторами АВ и АС , если А (2, -4, 6), В (0, -2, 4), С (6, -8, 10). a. 0.5; b. -1; c. 0; d. 1; e. нет правильного ответа. Точка P (−2, 4, 7) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости. a. 2x-4y-7z=0; b. 2x-4y-7z+69=0; c. -2x+4y+7z=0; d. ответы а и с правильные; e. нет правильных ответов. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (−4, 5, 7) и M 2 (7, 2, − 1) . a.

x−4 y+5 z+7 = = − 11 3 8

c.

x − 7 y − 2 z +1 ; = = −4 5 7

;

b.

x+ 4 y −5 z −7 ; = = 11 −3 −8

d. нет правильных ответов.

6. Какие из перечисленных ниже уравнений называется каноническими уравнениями прямой:

a.

x − x0 y − y0 z − z 0 r , где M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ l , a (a1 , a2 , a3 ) - направляющий = = a1 a2 a3

вектор прямой; b.

x − x1 y − y1 z − z1 , где M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ l , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ∈ l ; = = x2 − x x y2 − y1 z2 − z1

⎧ x = x0 + a1t c. ⎪⎨ y = y0 + a2t ; ⎪z = z + a t 0 3 ⎩

d. ответы a и c верные; e. нет правильного ответа.

28

Вариант 26 ⎧x + 2 y + z = 5

1. Решить систему с помощью правила Крамера ⎪⎨ x + y − z = 0 . ⎪4 x − y + 5 z = 3 ⎩

a. (2, 1, 1); b. (2, -1, 1); c. (-1, -2, 1); d. (0, 2, 1); e. нет правильного ответа.r r r 2. Компланарны ли векторы a , b и с , если a (4, 2, 2), b (-3, -3, -3), с (2, 1, 2). a. да; b. нет. r r 3. Вычислить r векторное произведение векторов a и b , если r a = {−3, 5, 4}; b = {−6, 3, − 2}.

a. {2, -18, -39}; b. {-22, -18, 21}; c. {-22, 30, 21}; d. {2, 30, -39}; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (−6, 4, − 1) , M 2 (7, 8, 2) и M 3 (−6, − 5, 4) . a. 47x-65y-117z=425; b. -7x+65y-117z=0; c. 47(x-7)-65(y-8)-117(z-2)=0; d. ответы а и с правильные; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (−3, 8, − 1) и M 2 (0, − 3, 6) . a.

x y+3 z−6 = = ; −3 11 −7

b.

c.

x − 3 y + 8 z −1 ; = = −3 11 −7

d.

x y+3 z−6 ; = = −3 8 −1 x + 3 y − 8 z +1 ; = = 0 −3 6

e. нет правильных ответов. 6. Расстояние 2с для эллипса (гиперболы) обозначает: a. расстояние между фокусами; b. большую ось; c. малую ось; d. нет правильных ответов.

29

Вариант 27 4 − 2 −1 1. Вычислить определитель − 1

1

3

−1 .

−2

2

a. 15; b. 5; c. 27; d. 35; e. нет правильного ответа.r r r 2. Компланарны ли векторы a , b и с , a (4, 1, 2), b (9, 2, 5), с (1, 1, -1). a. да; b. нет. r r 3. Найти скалярное произведение векторов с1 и с2 , построенных на

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

векторах a и b , если a = {−9, − 6, − 3}; b = {−12, − 8, − 4}; c1 = a − b ; c 2 = 2a + b . a. -140; b. -20; c. 28; d. -10; e. нет правильного ответа. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (7, − 1, − 4) , M 2 (0, − 1, 2) и M 3 (−4, − 6, − 7) . a. 30x-87y+35z=157; b. 30(x-7)-87(y+1)+35(z+4)=0; c. 30x-87(y+1)+35(z-2)=0; d. все ответы правильные; e. нет правильных ответов. 5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (−2, 1, − 4) параллельно оси Oz.

a. c.

x + 2 y −1 z + 4 ; = = 0 0 1 x − 2 y +1 z − 4 ; = = 0 0 1

b. d.

x y z −1 ; = = −2 1 −4 x y z +1 = = −2 1 −4

e. нет правильного ответа. 6. Фокусы эллипса: a. лежат внутри эллипса на одной из осей эллипса; b. лежат во внешней части эллипса; c. могут лежать только на оси ОХ; d. нет правильных ответов.

30

Вариант 28 1.

2.

3. 4.

5.

⎛ 6 3 2⎞ ⎜ ⎟ Вычислить миноры элементов a11 , a23 , a32 матрицы ⎜ 3 6 2 ⎟ . ⎜2 2 1⎟ ⎝ ⎠ a. М11=10; М23=18; М32=18; b. М11=-10; М23=6; М32=-6; c. М11=2; М23=6; М32=6; d. М11=-2; М23=-18; М32=-6; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {2, − 7, − 4}; b = {7, 0, − 3}; c1 = a + 2b ; c2 = b − 7a. a. да; b. нет. r r r Компланарны ли векторы a , b , c , если a (5, 8, -4), b (6, 9, -5), с (4, 7, -3). a. да; b. нет. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (7, 8, − 3) r перпендикулярно вектору n = {−1, − 2, 3} . a. -x-2y+3z+32=0; b. 7x+8y-3z=-32; c. 7(x+1)+8(y+2)-3(z-3)=0; d. ответы b и c правильные; e. нет правильного ответа. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку r M 0 (7, − 3, 4) параллельно вектору a = {5, − 2, 5} . a. c.

x−7 y+3 z−4 ; = = 5 −2 5 x+7 y −3 z +4 ; = = 5 −2 5

b. d.

e. нет правильного ответа 6. Каноническое уравнение эллипса имеет вид: a.

( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 + = 1; a2 b2

b.

x2 y2 + = 1; a 2 b2

c.

x2 y2 − = 1; a 2 b2

d. ответы a и b верные; e. нет правильных ответов.

31

x−5 y +2 z −5 ; = = 7 −3 4 x+5 y−2 z +5 ; = = 7 −3 4

Вариант 29 ⎧x + y − 2z = 6

1. Решить систему с помощью правила Крамера ⎪⎨2 x + 3 y − 7 z = 16 . ⎪5 x + 2 y + z = 16 ⎩

2.

3.

4.

5.

a. (1, 1, -2); b. (1, 0, -2); c. (3, 1, -1); d. система не имеет решений; e. нет правильного ответа.r r r Компланарны ли векторы a , b и с , если a (1, 2, 1), b (-2, 1, 3), с (1, 3, 2). a. да; b. нет. Найти косинус угла между векторами АВ и АС , если А (2, -8, -1), В (4, -6, 0), С (-2, -5, -1). a. -2/15; b. 1/3; c. 14/15; d. -1; e. нет правильного ответа. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку r M 0 (−5, − 3, 1) и имеет нормальный вектор n = {3, 8, − 1} . a. -5(x-3)-3(y-8)+(z+1)=0; b. 3x+8y-z+40=0; c. -3x-8y+z=0; d. нет правильного ответа. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (2, 6, − 2) и M 2 (6, − 4, 7) . a. c.

x−2 y−6 z+2 ; = = 6 −4 7 x−2 y−6 z+2 ; = = 4 − 10 9

b.

x−6 y+4 z−7 ; = = 2 6 −2

d.

x+6 y−4 z+7 ; = = 4 − 10 9

e. нет правильного ответа. 6. Какие из перечисленных ниже кривых являются кривыми 2 порядка: a. прямая; b. парабола; c. гипербола; d. ответы b и c верны; e. нет правильного ответа.

32

Вариант 30

−1 0 6

1 1. Вычислить произведение определителей 5

−6

2.

3.

4.

5.

1

4

4

0⋅5

−1 6 .

2

3 4 −2 3

a. -117; b. 2349; c. 1053; d. -3699; e. нет правильного ответа. r r r r Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные на векторах a и b , r r r r r r r r если a = {−2, 7, 4}; b = {7, − 2, 1}; c1 = 2a + 6b ; c2 = 2a − 8b . a. да; b. нет. Найти смешанное произведение векторов a (3, 0, 3), b (8, 1, 6), с (1, 1, -1). a. 6; b. -42; c. 12; d. 0; e. нет правильного ответа. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (3, − 4, − 4) r перпендикулярно вектору n = {−4, 7, − 2} . a. 4x-7y+2z=32; b. 3x-4y-4z=-32; c. -4(x-3)+7(y+4)-2(z+4)=0; d. ответы а и с правильные; e. нет правильных ответов. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (−4, 7, − 1) параллельно прямой

a. c.

x−2 y +8 = = −4 7 x+4 y−7 = = 2 −8

z − 11 ; −1 z +1 ; 11

x − 2 y + 8 z − 11 = = 6 1 −8 x + 4 y − 7 z +1 = b. = ; 6 1 −8

d. нет правильных ответов.

6. Уравнение сопряженной гиперболы к гиперболе с уравнением x2 y2 − = 1 , имеет вид: a2 b2 x2 y2 a. − 2 + 2 = −1 ; a b

c. −

b. −

x2 y2 − = 1; a2 b2

x2 y2 + = 1; a2 b2

d. нет правильных ответов.

33

Рекомендуемая литература

Основная 1. ВА. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1981. 2. ВА. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. - М.: Наука,1983. 3. А.Н. Рублев. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. 4. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 5. Н.Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии. 6. И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. 7. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. 8. Б Л. Ван дер Варден. Алгебра. 9. А.И. Кострикин и др. Сборник задач по алгебре. 10. М.М. Постников. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. 11. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. Дополнительная 1. ЭЛ. Блох, Л-И Лощинский, ВЛ. Турич. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. 2. Л.И. Головина. Линейная алгебра и некоторые приложения. 3. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. 4. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре.

34

Контрольно-измерительные материалы по курсу «Алгебра и аналитическая геометрия» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика

Составители: Сорокина М.Р., доцент, к.т.н. Мокан В.Л., ассистент Нихманова М.Р.

Подписано к печати Заказ № Формат 60/90 1/16 Отпечатано на RISO GR 3750

Бум.писч.№1 Уч.изд.л. Усл.печ.л. Тираж экз.

Издательство «Нефтегазовый университет» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38 Отдел оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет» 625039, г. Тюмень, ул. Киевская, 52

35

36