Геометрическая оптика. Фотометрические величины: Методические указания к курсу

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Мальцев Ю.Ф., Латуш Л.Т., Махно В.И.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсу “Геометрическая оптика. Фотометрические величины” для студентов физического факультета

Ростов-на-Дону 2007

1

Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, доцентами кафедры общей физики Ю.Ф. Мальцевым, Л.Т. Латуш, В.И. Махно Ответственный редактор

профессор А.С. Богатин

Компьютерный набор и верстка

доцент Л.Т. Латуш

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № от 2007 г.

2

Законы геометрической оптики Геометрической (лучевой) оптикой называется раздел оптики, в котором не принимается во внимание волновая природа света. Законы геометрической оптики выполняются, если длина световой волны пренебрежимо мала по сравнению с характерными размерами неоднородной среды, в которой распространяется свет. Основные законы геометрической оптики могут быть сформулированы следующим образом. 1. В однородной среде свет распространяется прямолинейно (световые лучи представляют собой прямые линии). 2. Световые лучи, пересекаясь, не возмущают друг друга; в частности не изменяется направление распространения лучей. 3. При пересечении границы раздела двух сред падающий, отраженный и преломленный лучи лежат в одной плоскости (плоскости падения); угол падения равен углу отражения. 4. Угол падения θ1 и преломления θ2 связаны законом преломления

n1 sin θ1 = n2 sin θ 2 , где n1 и n2 – абсолютные показатели преломления сред. В основе геометрической оптики лежит принцип Ферма: свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время или оптическая длина пути которого минимальна. Определим понятие оптической длины пути и покажем, что условие минимальности времени прохождения и минимальности оптической длины пути эквивалентны. Пусть

n=const

n=n(S) 2

свет распространяется в однородной среде с абсолютным показателем преломления n от точки 1

1

к точке 2, расстояние между которыми равно s (рис. 1а). Оптической длиной пути называется величина: L=ns 3

1

а Рис.1

б

2

Если показатель преломления n меняется при переходе от одной точки среды к другой (среда неоднородная), то свет будет распространяться, вообще говоря, по некоторой кривой линии (рис. 1б). В этом случае оптическая длина пути света определяется через интеграл вдоль кривой: 2

L = ∫ n(s )ds. 1

Время распространения света из точки 1 в точку 2 равно 2

ds 2 nds L t=∫ =∫ = , c 1 V 1 c

(1)

где V=c/n – фазовая скорость света в среде с абсолютным показателем преломления n, с – скорость света в вакууме, L – оптическая длина пути. Из соотношения (1) видно, что минимальному времени распространению света из точки 1 в точку 2 соответствует минимальная оптическая длина пути L и наоборот. На основе принципа Ферма можно доказать законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В пространства, отразившись от плоской границы MN двух сред в точке О (рис. 2) В соответствии принципом Ферма точка О должна быть расположена на граА

C

нице двух сред так, что длина пути АОВ мини-

B

M

O

мальна. Рассмотрим точку А1, симметричную N

точке А относительно линии MN. Длины отрезков АО и А1О одинаковы, длина пути АОВ равна длине А1ОВ. Если точки А1 и В фиксированы, а поло-

А1 D

жение точки О на прямой MN меняется, то длина

Рис. 2

пути А1ОВ будет минимальной при условии, что точки А1, О и В лежат на одной прямой. В этом

случае углы ∠A1OD и ∠COB равны как вертикальные (СD – перпендикуляр к границе MN) . Угол А1ОD равен углу АОС по построению точки А1. Следовательно

4

∠AOC = ∠COB ,то есть угол падения луча равен углу его отражения. Закон отраже-

ния света доказан. Пусть теперь свет распространяется из точки А среды с абсолютным показателем преломления n1 в точку В среды с абсолютным показателем преломления n2. В соответствии с принципом Ферма точка О, в котак, чтобы была минимальной оптическая длина пути

L AOB = n1 s1 + n2 s 2 , где s1 – длина отрезка АО, s2 – дли-

C

А

торой преломляется луч, должна быть расположена

s1 n1

x

O (MN-x)

n2 M

на отрезка ОВ. Найдем минимум функции LAOB:

s2 D

L AOB = n1 s1 + n2 s 2 = n1 AM 2 + x 2 + n2 BN 2 + (MN − x ) , где АМ и BN – длины перпендикуляров, опущенных 2

N

B

Рис. 3

из точек А и В на прямую MN – границу раздела сред;

x – длина отрезка МО,

(MN – x) – длина отрезка ON. Продифференцируем LAOB по переменной х и приравняем производную к нулю:

dL AOB = 0, dx x n1 − n2 2 2 AM + x

MN − x 2

(

BN + MN − x

2

)

= 0,

n1 cos ∠MOA − n2 cos ∠NOB = 0. Прямая CD перпендикулярна к границе раздела двух сред и проходит через точку О, поэтому cos ∠MOA = sin ∠AOC , cos ∠NOB = sin ∠DOB . Отсюда n1 sin ∠AOC − n2 ∠DOB = 0 .

Это математическое соотношение представляет собой математическое выражение закона преломления.

5

Увеличение оптических приборов, вооружающих глаз

Подробный анализ оптических систем методами геометрической оптики выходит за рамки данного учебного пособия. Здесь приводятся краткие сведения о принципах работы некоторых оптических приборов. Глаз как оптическая система. Глаз можно рассматривать как оптическую

систему, состоящую из собирающей линзы (хрусталика) и экрана наблюдения (сетчатой оболочки или коротко сетчатки), на Хрусталик

Сетчатка

~b

котором

формируется

изображение

предметов (рис.4). Зрачок глаза, ограничивая диаметр проходящего через хрусталик светового пучка, выполняет роль диафраг-

h

мы. На каком бы расстоянии а от глаза ни

φ

h′ а

b Рис 4

находился рассматриваемый предмет, Расстояние b между хрусталиком и сетчаткой остается неизменным. Для того чтобы при изменении расстояния а между предметом

и линзой (хрусталиком) изображение предмета располагалось на одном и том же фиксированном расстоянии b от линзы (на сетчатке), фокусное расстояние, которое мы обозначим как fхр (в данном случае речь идет о фокусном расстоянии хрусталика глаза), должно меняться. При выполнении указанного условия, как следует из формулы тонкой линзы: 1 1 1 , + = a b f хр фокусное расстояние хрусталика глаза является функцией расстояния а между предметом и глазом, тогда как значение расстояния b между хрусталиком сетчаткой фиксировано: f хр =

6

ab . a+b

Аккомодацией глаза называется процесс изменения фокусного расстояния

хрусталика с целью получения четкого изображения рассматриваемого предмета на сетчатке. При аккомодации изменяется кривизна внешних поверхностей хрусталика благодаря усилиям глазных мышц. Углом зрения называется угол, под которым виден предмет из оптического

центра хрусталика (см. рис. 4, где угол зрения обозначен через φ). Поскольку изображение предмета всегда формируется в плоскости, расположенной на фиксированном расстоянии В от линзы, для построения создаваемого линзой изображения любой точки предмета достаточно провести из этой точки один луч, проходящий через оптический центр линзы, до пересечения с указанной фиксированной плоскостью. Если предмет в виде отрезка прямой линии расположен перпендикулярно к главной оптической оси системы, а угол зрения равен φ, то размер h′ изображения предмета на сетчатке равен: h1 = btgϕ

(1)

где В – расстояние от линзы (хрусталика) до экрана наблюдения (сетчатки). Чем ближе предмет располагается к глазу, тем больше размер его изображения, и тем лучше видны мелкие детали предмета. Однако при этом в процессе аккомодации глаза сильнее должны искривляться преломляющие поверхности хрусталика, что приводит к утомлению. Расстоянием наилучшего зрения называется расстояние между предметом и

глазом, при котором достаточно хорошо различаются детали предмета, но не возникает чрезмерного напряжения и утомления глаза. Расстояние наилучшего зрения приблизительно составляет D0 ≈ 25 см. Оптические приборы, вооружающие глаз, делятся на две группы: приборы для наблюдения мелких предметов (лупа, микроскоп) и приборы для наблюдения удаленных объектов (зрительная труба, бинокль и т.д.). Независимо от предназначения принцип действия всякого вооружающего глаз оптического прибора состоит в том, чтобы с его помощью увеличить угол зрения при рассматривании того

7

или иного объекта, в результате чего увеличивается размер изображения предмета на сетчатке глаза, лучше различаются мелкие детали объекта наблюдения. Увеличением оптического прибора Г называется отношение линейных раз-

меров изображения на сетчатке глаза при наблюдении предмета вооруженным и невооруженным глазом: Γ=

′ hвооруж ′ hневооруж

(2)

С учетом соотношения (1) увеличение Г оптического прибора равно соотношению тангенсов углов зрения φ и φ0 при рассматривании предмета вооруженным и невооруженным глазом соответственно: Γ=

′ hвооруж tgϕ = ′ hневооруж tgϕ 0

(3)

Увеличение лупы. Лупа представляет собой короткофокусную собираю-

щую линзу, которую помещают между предметом и глазом так, что предмет располагается вблизи переднего фокуса линзы. Мнимое изображение предмета удалено “на бесконечность”. При рассматривании изображения глаз аккомодирован “на бесконечность”, так что напряжение глазных мышц минимально. В соответствии формулой (3) увеХрусталик

h

φ0

личение Г лупы равно отношению тангенса угла зрения φ, под которым предмет

D0

виден через лупу, к тангенсу угла зрения φ0, под которым виден расположенный на Лупа

h φ

Хрусталик

h

расстоянии наилучшего зрения предмет при его рассматривании невооруженным глазом. Из чертежа на рис. 5 вытекает со-

f

отношения: tgϕ 0 =

Рис. 5

h , D0

где h – размер предмета, D0 – расстояние наилучшего зрения; 8

h , f

tgϕ =

где f – фокусное расстояние лупы. Увеличение лупы равно Γ=

D tgϕ = 0. tgϕ 0 f

Обычно f = 1 ÷ 10 см. При D0 = 25 см увеличение лупы находится в пределах 2,5 ÷ 25. Увеличение микроскопа. Световой микроскоп служит для рассматривания

мелких предметов путем получения больших угловых увеличений. Он состоит из двух короткофокусных систем – объектива и окуляра. Фокусные расстояния собирающих линз, выполняющих функции объектива и окуляра, обозначим через fоб и f ок соответственно. Предмет размером h располагается вблизи переднего фокуса объектива, а создаваемое объективом изображение размером Н находится вблизи переднего фокуса окуляра (рис. 6). Линейное увеличение объектива (то есть отношение размера изображения Н к размеру предмета h) приблизительно равно H f об + ∆ ∆ ≈ ≈ h f об f об

H h

fоб

fоб

∆

fок

Рис. 6

где ∆ – расстояние между фокуса-

ми объектива и окуляра, которое много больше самих фокусных расстояний fоб и f ок. Отсюда следует H ≈h

∆ f об

(4)

Тангенс угла φ, под которым видно изображение предмета через окуляр, с учетом (4) равен

9

tgϕ =

H h∆ ≈ f ок f об f ок

(5)

Тангенс угла зрения φ0, под которым виден предмет невооруженным глазом, равен tgϕ 0 =

h D0

(6)

где D0 расстояние наилучшего зрения. Увеличение микроскопа Г найдем, поделив равенства (5) и (6) друг на друга: Γ=

D∆ tgϕ = 0 tgϕ 0 f об f ок

(7)

Для типовых значений параметров микроскопа fоб = 2,5 мм, fок = 15 мм, ∆ = 160 мм, D0 = 250 мм вычисленные по формуле ( ) увеличение Г приблизительно равно Γ=

160 ⋅ 250 ≈ 1000 2,5 ⋅ 15

Величина Г ~ 1000 является предельно возможной для световых микроскопов. Как правило, увеличение хороших световых микроскопов составляет несколько сотен. Увеличение зрительной трубы. Зрительная труба предназначена для рас-

сматривания удаленных предметов. Рассмотрим один из типов зрительной трубы (труба Кеплера), которая состоит из двух собирающих линз – объектива и окуляра с фокусными расстояниями fоб и fок соответственно, при этом выполняется условие fоб >> fок. Из оптического центра объектива зрительной трубы и из оптического центра хрусталика невооруженного глаза удаленный предмет виден под одним и тем же углом зрения φ0. При рассматривании предмета в зрительную трубу изображение, формируемое объективом, располагается в задней фокальной плоскости

10

объектива, которая приблизительно совпадает с передней фокальной плоскостью окуляра (рис.7). Н

φ=φок

φ0=φоб от предмета

fок

fоб

Рис.7 Поперечный размер Н изображения, формируемого объективом, можно выразить через параметры fоб и φ0:

H = f об tgϕ0 тангенс угла φ, по которым видно изображение предмета через окуляр, равен: tgϕ =

f tgϕ H = об 0 f ок f ок

Отсюда получим увеличение зрительной трубы, равное, согласно (рис. 7), отношению тангенсов углов φ и φ0: Γ=

f tgϕ = об tgϕ 0 f ок

(8)

Если углы φ и φ0 не слишком велики, отношение тангенсов можно приближенно заменить соотношением самих углов, выраженных в радианах: Γ≈

ϕ . ϕ0

(9)

В этом случае величина Г показывает, во сколько раз угол зрения φ при рассматривании предмета через зрительную трубу больше угла зрения φ0 при рассматривании предмета невооруженным глазом. Как отмечалось выше, из оптического центра объектива зрительной трубы и из оптического центра хрусталика невооруженного глаза удаленный предмет виден под одним и тем же углом φ0, который в связи с указанным обстоятельством можно обозначить как φоб:

ϕ 0 = ϕ об 11

(10)

Таким образом, φоб – угол, под которым из оптического центра объектива виден удаленный предмет и видно локализованное в фокальной плоскости объектива изображение этого предмета. Угол φ, под которым через окуляр зрительной трубы видно сформированное объективом изображение предмета, обозначим как φок:

ϕ ок = ϕ .

(11)

В новых обозначениях (10) и (11) увеличение зрительной трубы Γ≈

ϕ ок . ϕ об

(12)

Здесь величина Г показывает, во сколько раз угловой размер изображения предмета, расположенного в фокальной плоскости объектива, при рассматривании через окуляр больше, чем при его рассматривании из оптического центра объектива. Задача 1. На грань стеклянной призмы (n = 1,5) нормально падает луч света.

Определить угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол φ равен 25о. φ α

φ

δ

sin α = n; sin ϕ sin α = n sin ϕ ; sin α = 1,5 sin 25° = 0,634; α 39,34° = 39°20′ Угол отклонения δ = 39°20′ − 25° = 14°20′

12

Задача2. Для некоторой стеклянной призмы угол наименьшего отклонения

луча равен преломляющему углу призмы. Определить преломляющий угол призмы. При симметричном ходе луча через призму закон преломления вызлядит так: ⎛α +ϑ ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = n, sin

ϑ

2

где ϑ – преломляющий угол призмы, α – угол отклонения луча призмой. По условию α = ϑ , тогда sin ϑ = n sin

ϑ 2

. Отсюда cos

ϑ

n = . Для стекла n = 1,5 и ϑ = 83о. 2 2

Задача 3. Увеличение микроскопа равно 400. Определить оптическую силу

объектива, если фокусное расстояние окуляра 2,5 см, а длина тубуса 20 см.

Увеличение микроскопа определяется формулой

f об =

Γ=

D∆ . Отсюда f об f ок

Γf D∆ 1 . Оптическая сила Φ об = = ок . Для нормального глаза расстояние Γf ок f об D∆

наилучшего зрения D = 25 см, длина тубуса ∆ = 20 см. Φ об =

400 ⋅ 0,025 = 200 дптр. 0,25 ⋅ 0,2

Задача 4. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы равно 200 см,

окуляра – 10 см. В зрительную трубу наблюдают Луну, угловой диаметр которой при наблюдении невооруженным глазом равен 30′. Под каким углом выден диаметр лунного диска в зрительную трубу?

13

Угловое увеличение трубы Γ =

f об 200 = = 20 . Отсюда получаем, что Луна f ок 10

видна под углом φ =30′·20=600′=10о. Задача 5. Оптическая система состоит из двух собирающих линз с фокус-

ными расстояниями f1 = 15 см и f2 = 7 см , расположенных на расстоянии l = 5 см друг от друга. Определите, на каком расстоянии от второй линзы расположен фокус этой оптической системы. Графическим построением определим положение фокуса системы, т.е. точки F. Направим на левую линзу паралА

лельный пучок, который собрался бы в

В

К

F1

F l

С2

D

точке F1. Проводим луч КС2||АВ. Он пе-

F2

ресечет фокальную плоскость второй линзы в точке D. И на пересечении луча

Рис. 8.

с главной оптической осью находим

точку F. Определим расстояние точки F от второй линзы. Для первой (левой) линзы запишем 1 1 1 + = a1 b1 F1 Пусть на левую линзу лучи падают параллельно главной оптической оси. Тогда а1 =∞; и b1 = F1 = 15 см. Точка F1 является “мнимым ” предметом для второй линзы. Для второй (правой) линзы запишем 1 1 1 + = a 2 b2 F2 где а2 = -10 см. 1 1 1 1 1 70 = − = + → b2 = = 4,1 см b2 F2 a 2 7 10 17 Но это расстояние, отсчитанное от второй линзы, и будет фокусным расстоянием системы двух линз, т.е. F = 4,1 см.

14

Формула толстой линзы

Формула толстой линзы имеет вид ⎛ n ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎟, Φ = ⎜ л ⎟⎜⎜ + ⎜ n ⎟⎝ R R ⎟⎠ 2 ⎝ ср ⎠ 1

где nл - показатель преломления линзы, nср – показатель преломления среды, в которую погружена линза. Если среда – воздух, то формула имеет вид

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ , Φ = (n − 1)⎜⎜ + R R ⎝ 1 2 ⎠ где R1 и R2 радиусы кривизны сферических поверхностей. Для определения знаков R1 и R2введем понятие главной плоскости линзы (ГПЛ). ГПЛ – плоскость, проходящая через центр линзы (точку О) перпендикулярно главной оптической оси. M R1

M

R1>0 R2>0

R1>0 R2>0

R1

O R2

R2

N

N

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ Φ = (n − 1)⎜⎜ + R R ⎝ 1 2 ⎠

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ Φ = −(n − 1)⎜⎜ + ⎝ R1 R2 ⎠

На рисунке главная плоскость MN проходит через линию пересечения сферических поверхностей с радиусами R1 и R2 . Будем считать , что для сферической поверхности, выпуклой относительно ГПЛ, радиус кривизны положителен. Для сферической поверхности, вогнутой относительно главной плоскости, радиус кривизны отрицателен. Одна из ограничивающих поверхностей может быть плоской. Радиус кривизны такой поверхности принимается равным бесконечности. Например, для плоско выпуклой линзы в вакууме Φ = (n − 1)

15

1 R

Задача 6. На горизонтально расположенное вогнутое зеркало с радиусом

кривизны 0,5 м налили воду. Какова оптическая сила этой линзы? Данная оптическая система состоит из вогнутого зеркала с радиусом кривизны R1 = 0, 5 м и плосковыпуклой водяной линзы с показателем преломления n = 1,33 и радиусами кривизны R1 = 0, 5 м и R2 = ∞. Следует учесть, что через Лизу свет проходит дважды – при падении на зеркало и отражении от него. Поскольку оптические приборы вплотную, то их оптическая сила равна их сумме.

Φ = Φ з + 2Φ л =

⎛ 1 2 1 ⎞ 2n ⎟⎟ = + 2(n − 1)⎜⎜ + = 5,32 дптр R1 ⎝ R1 R2 ⎠ R1

Здесь учтено, что фокус сферического зеркала равен половине радиуса кривизны. Задача 7. Двояковыпуклая линза из стекла (n1= 1,51) с радиусом кривизны

R1= R2= 0, 2 м помещена в сероуглерод (n2= 1,62). Определить Оптическую силу линзы. Оптическую силу найдем по формуле

⎛n ⎞ 2 2(0,93 − 1) Φ = ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ = = −0,7 дптр 0,2 ⎝ n2 ⎠ R Как видно, в данном случае двояковыпуклая линза оказывается рассеивающей. Задача 8. Школьник, читая книгу без очков, держит ее на расстоянии 20 см

от глаз. Какие очки должен носить этот школьник? Будем считать, что расстояние от центра глаза до сетчатки всегда одинаково и равно b, тогда имеем 1 1 1 + = a1 b f

16

(13)

где f – фокусное расстояние невооруженного глаза. В очках школьник будет читать книгу на расстоянии наилучшего зрения а2 =25 см. Учтем, что оптическая сила системы очки + глаз равна сумме их оптических сил. 1 1 1 1 + = + a 2 b f f оч

(14)

где fоч – фокусное расстояние очков. Вычтем из второго первое равенство 1 1 1 + = a 2 a1 f оч Отсюда

Φ оч =

1 1 − = −1 дптр 0,25 0,2

Фотометрические величины и единицы

Световой поток Во всякой реально существующей световой волне присутствует излучение с различными длинами волн λ, принадлежащими более или менее широкому интервалу ∆λ. Поток энергии, переносимой световой волной, вообще говоря, неравномерно распределен по длинам волн. Так, в солнечном свете максимум переносимой энергии приходится на зеленую область спектра, в бытовых лампах накаливания – на красную область, а также на невидимый глазом инфракрасный диапазон. Полный поток энергии Φ э , переносимой световой волной, можно представить в следующем виде: ∞

Φ э = ∫ ϕ (λ )dλ , 0

17

где ϕ (λ ) =

dΦ э − функция распределения потока энергии излучения по длинам dλ

волн, dΦ э - поток энергии, приходящийся на бесконечно малый интервал длин волн dλ . Действие света на глаз (зрительное ощущение) зависит от длины волны излучения. Из опыта известно, что наибольшее зрительное ощущение вызывает зеленый свет (λ≈ 555 нм). При увеличении или уменьшении длины волны чувствительность глаза к свету падает. Электромагнитные волны ультрафиолетового (λ < 400 нм) и инфракрасного (λ > 760 нм) диапазона вообще не вызывают зрительного ощущения. Для характеристики чувствительности человеческого глаза к излучению различных длин волн вводится экспериментально определяемая функция относительной спектральной чувствительности глаза V(λ).

Функция относительной спектральной чувствительности V(λ) представляет собой зависимость зрительного ощущения глаза от длины волны излучения при неизменном потоке энергии, попадающем в глаз. Значение V(λ) принято равным единице при λ = 555 нм, что соответствует максимальной чувствительности глаза;

V(λ) –безразмерная величина. Примерный график функции V(λ) представлен на рис. 1.

1

0 400 555

760 нм

Рис. 1

Воспринимаемая глазом интенсивность света зависит от двух факторов – от интенсивности электромагнитной волны и, соответственно, потока энергии, попадающей в глаз, и от чувствительности глаза к излучению данной длины волны.

18

Для характеристики света с учетом его способности вызывать то или иное зрительное ощущение вводится понятие светового потока.

Световым потоком Ф называется поток энергии световой волны, оцениваемый по зрительному ощущению. Количественное определение светового потока дается с использованием функции распределения потока энергии излучения по длинам волн φ(λ) и функции относительной спектральной чувствительности глаза V(λ), а именно: ∞

Φ = ∫ V (λ )ϕ (λ )dλ . 0

Единица светового потока – люмен (лм). Световой поток в один люмен (1 лм) испускает точечный источник излучения с силой света в одну канделу (1 кд) в телесный угол в один стерадиан (1 ср); определение силы света и единицы силы света канделы дается ниже. Опытным путем установлено, что световому потоку 1 лм соответствует поток энергии приблизительно 0,0015 Вт, при условии, что длина волны излучения составляет 555 нм.

Сила света Сила света – это фотометрическая величина, которая используется для характеристики точечного источника света.

Точечным будем называть источник света, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до места наблюдения (регистрации) светового излучения.

Сила света I равна световому потоку, испускаемому точечным источником в единичный телесный угол в заданном направлении:

I=

dΦ , dΩ

19

где dΦ – световой поток, испускаемый в элементарный телесный угол dΩ (см. рис. 2). Элементарный телесный угол dΩ в сферических координатах выражается формулой:

dΩ = sin θdθdϕ , где θ – полярный угол, φ – азимутальный угол (рис. 2). Телесный угол измеряется в стерадианах. Поток энергии, испускаемой источником, вообще го-

z θ Источник света

φ Рис. 2

dФ

воря, зависит от направления: dΦ = dΦ′(θ , ϕ ). Следовательно, сила света I также зависит от направле-

dΩ y

ния излучения: І=І(θ,φ). Если же сила света не зависит от направления излучения, то источник называется изотропным. Единица силы света – кандела (кд) является ос-

новной единицей системы СИ. Одна кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540· 1012 Гц, энергетическая сила излучения которого в этом направлении равна 1/683 Вт/ср. Освещенность Рассмотрим поверхность, на которую падает световая волна.

Освещенностью Е называется величина, равная полному падающему на освещаемую поверхность световому потоку, отнесенному к единице площади поверхности:

Е=

dΦ пад , dS

где dΦ пад – световой поток, падающий на элементарный участок площади dS освещаемой поверхности (рис. 3).

20

Источник

dΩ

α n

dScosα

dS

Рис.3

Единица освещенности — люкс (лк). Один люкс соответствует освещенности одного квадратного метра площади поверхности равномерно распределенным световым потоком в один люмен: 1лк =1лм/м2.

Пример. Вычислим освещенность элементарной площадки площадью dS , расположенной на расстоянии r от точечного источника с силой света І. Пусть угол между нормалью n к площадке и направлением на источник света равен α (рис. 3). На площадку падает световой поток dΦ пад , испускаемый точечным источником в телесный угол dΩ , который можно вычислить по формуле:

dΩ =

dS cos α . r2

В соответствии с определением освещенность площадки равна:

E=

dΦ пад IdΩ IdS cos α I cos α = = = . dS dS dS ⋅ r 2 r2

Освещенность максимальна, если площадка расположена перпендикулярно к направлению на источник (а = 0), и равна нулю, если свет падает по касательной к поверхности площадки (а = π/2).

21

Яркость

Фотометрическая величина, называемая яркостью, служит характеристикой протяженного источника света.

Яркостью L называется величина, равная световому потоку, испускаемому участком поверхности единичной площади протяженного источника света в единичный телесный угол в заданном направлении. Математически строгое определение яркости L следующее:

L=

dΦ . dΩ∆S cos θ

Здесь ∆S-площадь малого участка поверхности протяженного источника света,

dΩ элементарный телесный угол, направление которого составляет угол θ с нормалью n к поверхности источника, dΦ световой поток, испускаемый участком рис.4 поверхности площади ∆S в телесный угол dΩ (рис. 4) Площадка ∆S, которая фигурирует в определении яркости, должна dФ n θ

чения (то есть в месте регистрации светового потока dΩ ∆Scosθ

∆S

быть настолько малой, чтобы при наблюдении излу-

Рис. 4

dΦ ) ее можно было считать точечным источником. Вообще говоря, яркость L зависит от направления излучения: L = L(θ,φ), где θ – полярный, φ – азимутальный углы.

Ламбертовским {косинусным} излучателем, называется источник, яркость L которого одинакова по всем направлениям (L=const). Световой поток dΦ , посылаемый элементом ∆S поверхности ламбертовского источника в телесный угол

dΩ , пропорционален cosθ:

22

dΦ = LdΩ∆S cosθ . Единица яркости – кандела на квадратный метр (кд/м2). Светимость Фотометрическая величина, называемая светимостью, является характеристикой протяженного источника света. Светимость М источника равна световому потоку, испускаемому единицей площади поверхности источника по всем направлениям в телесный угол 2π стерадиан. Количественное определение светимости М таково:

M=

dΦ исп , dS

где dΦ исп — световой поток, испускаемый элементом поверхности источника площади dS по всем направлениям в телесный угол 2π стерадиан (рис. 5). dФисп

dS Рис. 5

Единица светимости — люмен на квадратный метр (лм/м2). Пример. Вычислим светимость М ламбертовского излучателя, яркость которого равна L. Световой поток dΦ , посылаемый участком поверхности ∆S излучателя в элементарный телесный угол dΩ = sin θdθdϕ , равен dΦ = LdΩ∆S cosθ = L ⋅ sin θdθdϕ ⋅ ∆S cosθ .

23

Здесь θ и φ – сферические координаты (полярный и азимутальный углы), определяющие направление излучения (положение в пространстве элементарного телесного угла dΩ ); полярный угол θ является углом между нормалью к излучающей поверхности и направлением излучения. Световой поток , излучаемый по всем направлениям в телесный угол 2π стерадиан, вычисляется интегрированием по углу θ в пределах от нуля до π/2 и по углу φ в пределах от нуля до 2π: θ=

Φ=

π

2 ϕ = 2π

∫ ∫ L∆S sin θ cosθdθdϕ = πL∆S .

θ =0 ϕ =0

Отсюда светимость ламбертовского источника M=

Φ = πL. ∆S

Задача 1. Найти с помощью кривой относительной спектральной чувствитель-

ности глаза: а) поток энергии, соответствующий световому потоку в 1лм с длиной волны 0,51 и 0,64мкм; б) световой поток, приходящийся на интервал длин волн от 0,58 до 0,63мкм, если соответствующий поток энергии Фэ=4,5мВт, причем последний распределен равномерно по всем длинам волн этого интервала. Считать, что в данном спектральном интервале функция V(λ) зависит линейно от длины волны. а) По кривой спектральной чувствительности глаза находим значения V. Для λ1=0,51мкм имеем V1=0,475, а для λ2=0,64мкм имеем V2=0,16. Тогда для потока в 1лм при длине волны λ1 соответствующий поток энергии равен Φ1 =

1 1 1 1 ⋅ = 3 мВб , а для длины волны λ2 имеем Φ 2 = ⋅ = 9 мВб . 683 0,475 683 0,16

б) Воспользуемся тем, что функция V(λ) – линейна, тогда Vср =

V1 + V2 = 0,535 , 2

где V1(0,58мкм)=0,84, а V2(0,63мкм)=0,23. Теперь составляем пропорцию. Потоку

24

в 1лм соответствует поток энергии Φ =

1 1 ⋅ = 2,7 мВб , а искомому потоку в X(лм) 683 Vср

соответствует поток энергии в 4,5мВб. Отсюда имеем X(лм)=

4,5 =1,6лм. 2,7

Задача 2. Точечный изотропный источник испускает световой поток

Ф=10лм с длиной волны λ=0,59мкм. Найти амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей этого светового потока на расстоянии r=1м от источника. Определяем по графику спектральную чувствительность V(0,59мкм)=0,7. Тогда световому потоку в 10лм соответствует поток энергии Φ э = Согласно определению, интенсивность потока I =

10 1 ⋅ = 21мВб . 683 0,7

0,021 Вб Φ = = 1,67 ⋅10 −3 2 . На 2 12,56 4πr м

ε 0 E м2 с.45[ ] находим формулу I = Ем – амплитудное значение напряженности ⋅ µ0 2 электрического E = 2 м

2I

ε0 µ0

поля.

Учитывая,

что

ε0 8,85 ⋅10 −12 = = 2,65 ⋅10 −3 −6 µ0 1,257 ⋅10

имеем

3,34 ⋅10 −3 В = = 1,26 . Отсюда Ем=1,12 . −3 м 2,65 ⋅10

Задача 3. Найти световую энергию, которая падает на планету за период ее

обращения вокруг Солнца (по вытянутому эллипсу), если световая мощность Солнца Р, площадь сечения планеты S и в момент, когда планета находится на минимальном расстоянии r0 от Солнца, ее скорость равна υ0.

25

Энергия, падающая на поверхность планеты в единицу времени, равна

PS . 4πr 2

Соответственно, за время dt эта энергия dW =

PS dt . В поле центральных сил момент 4πr 2

импульса сохраняется L=Iω=const, где I – момент mr 2

инерции,

ω

dϕ = mrυ = mr0υ 0 . dt

Тогда

–

угловая

Отсюда имеем

скорость. dϕ r0υ 0 = 2 . dt r

dt dϕ PSdt PSdϕ PS = . Искомая энергия W = ∫ 2 = ∫ = 2 4πr0υ 0 4πr0υ 0 4πr r r0υ 0

2π

PS

∫ dϕ = 2 r υ 0

.

0 0

Задача 4. Найти среднюю освещенность облучаемой части непрозрачной

сферы, если на нее падает свет от точечного изотропного источника, находящегося на расстоянии l=100см от центра сферы; радиус сферы R=60см и сила света I=36кд. Поверхность облучающей части сферы R S=2πRh. h = R − R sin θ = R⎛⎜1 − ⎞⎟ , где ОА=l. Отl ⎠

⎝

R сюда S = 2πR 2 ⎛⎜1 − ⎞⎟ . Световой поток внутри ⎝

l ⎠

телесного угла dΩ dΦ = IdΩ = I 2π sin θdθ , поток света,

падающий

на

поверх-

ность dΦ = 2πI ∫ sin θdθ = −2πI cosθ 1

l 2 −R2 l

2 ⎛ ⎛ R ⎞ ⎞⎟ ⎜ = 2πI 1 − 1 − ⎜ ⎟ . Средняя освещённость Eср равна ⎜ ⎝ l ⎠ ⎟⎠ ⎝

2 ⎞ ⎛ ⎜1 − 1 − ⎛⎜ R ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎝ l ⎠ ⎟⎠ Φ I ⎝ Eср = = 2 ⋅ . R S R 1− l

26

Задача 5. Определить светимость поверхности, яркость которой зависит от на-

правления по закону L=L0Cos θ, где θ – угол между направлением излучения и нормалью к поверхности. Световой поток внутри телесного угла dΩ в направлении,

составляющем

угол

θ

с

нормалью

dΦ = L(θ ,ϕ )dΩ∆S cosθ = L0 cosθ sin θdθdϕ∆S cosθ .

световой

поток 2π

внутри

dΩ

Полный θ

полусферы

π π

2 2 Φ = − L0 ∆S ∫ dϕ ∫ cos 2 θd (cosθ ) = − πL0 ∆S cos 3θ 3 0 0

2 0

2 = πL0 ∆S Све 3

тимость поверхности М определяется из выражения M =

∆S Φ 2 = πL0 . ∆S 3

Задача 6. Некоторая светящаяся поверхность подчиняется закону Ламберта.

Ее яркость равна L. Найти: а) световой поток, излучаемый элементом ∆S этой поверхности внутрь конуса, ось которого нормальна к данному элементу, если угол полураствора конуса равен θ; б) светимость такого источника. Запишем

световой

поток

внутри

телесного

угла

dΩ = L 2π sin θdθ

dΦ = L 2π sin θdθ∆S cosθ . Выражение для потока внутри конуса получим, интегрируя θ

предыдущее выражение по θ Φ(θ ) = 2πL∆S ∫ sin θd (cosθ ) = πL∆S sin 2 θ Светимость М – 0

это световой поток, излучаемый единицей поверхности по всем направлениям внутри полусферы M =

Φ = π sin 2 θ ∆S

π 2 0

= πL .

Задача 7. На высоте h=1м над центром круглого стола радиуса R=1м под-

вешен точечный источник, сила света которого I так зависит от направления, что освещенность всех точек стола оказывается равна мерной. Найти вид функции

27

I(θ), где θ – угол между направлением излучения и вертикалью, а также световой поток, падающий на стол, если I(0)=I0=100кд. E=

I cosθ I = 2 cos 3 θ , 2 r h

где

I (θ ) cos 3 θ = const . Тогда I (θ ) =

r=

h . cosθ

По

условию

I0 . Световой поток, поcos 3 θ

падающий на стол,

πI 0 sin θdθ Φ = ∫ I (θ )dΩ = 2πI 0 ∫ = 3 cos θ cos 2 θ cosθ max =

h h + R2 2

1

=

πI 0 R h2

2

;

h h . = r h2 + R2

Список литература. 1.

Иродов И.Е. “Волновая оптика” учебник для вузов – М.: Лаборатория базовых знаний Физико-математической литературы, 2002 г.

2.

Иродов И.Е. “Сборник задач по общей физике”– М.: Лаборатория базовых знаний Физико-математической литературы, 2002 г.

28