•САНКТПЕТЕРБУРГ• •МОСКВА• •КРАСНОДАР• 2011
М. Н. КРАММ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
РЕКОМЕНДОВАНО Учебнометодическим объединением вузов Российской федерации по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 210300 «Радиотехника»
САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР 2011
ББК 22.313я73 К 78
К 78
Крамм М. Н. Сборник задач по основам электродинамики: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2011. — 256 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специ% альная литература). ISBN 9785811411221 Сборник содержит задачи по основам макроскопической электродинамики, теории плоских электромагнитных волн в раз% личных средах, методам анализа волноводных и колебательных систем, устройств излучения электромагнитных волн. Приведе% ны условия задач, справочный материал и ответы. Более сложные задачи снабжены указаниями. Имеется раздел с задачами для ис% следований с помощью персонального компьютера. Для студентов технических университетов и вузов с радио% техническими направлениями подготовки. Может быть полезен студентам других направлений подготовки, изучающим основы теории электромагнитного поля и волновых процессов.
ББК 22.313я73
Рецензенты: кандидат технических наук, доцент кафедры теоретических основ радиотехники СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) В. А. СТЕПАНОВ, доцент кафедры технической электродинамики и антенн МТУСИ, В. Г. КОЧЕРЖЕВСКИЙ
Обложка Л. А. АРНДТ Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. © Издательство «Лань», 2011 © М. Н. Крамм, 2011 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2011
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый сборник задач является учебным пособи ем по курсу «Электродинамика и распространение радио волн» для студентов технических университетов и вузов с радиотехническими направлениями подготовки. Дан ный курс относится к числу базовых дисциплин профес сионального профиля. На его основе строится ряд после дующих дисциплин, связанных с радиотехникой сверх высоких частот, антенной техникой и др. Сборник содержит задачи по основам макроскопиче ской электродинамики, теории плоских электромагнит ных волн в различных средах, методам анализа волновод ных и колебательных систем, устройств излучения элек тромагнитных волн. Задачи сборника сгруппированы по темам, которые соответствуют основным разделам курса и традиционно рассматриваются на упражнениях. В свя зи с достаточно большим числом задач сборник позволяет предлагать студентам индивидуальные наборы задач, что удобно как при проведении упражнений, так и при само стоятельном изучении разделов курса. В начале каждой главы приводится справочный мате риал, облегчающий работу с задачником. В последующих разделах задачи размещаются с возрастанием уровня слож ности. К таким задачам даны указания, приведенные в от дельной главе. О наличии указаний свидетельствует сим вол «У», расположенный в скобках вслед за номером зада чи. Большинство задач снабжено ответами, приведенными в конце сборника.
6
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В отдельной главе помещены более объемные задачи исследовательского характера, при выполнении которых предполагается использование персонального компьюте0 ра. В качестве математического пакета может быть ис0 пользован популярный пакет Mathcad. В Приложении приведены некоторые приемы работы в этом пакете, ко0 торые будут полезны при выполнении заданий. Значения электродинамических параметров некото0 рых материалов, рассматриваемых в условиях задач, представлены в таблицах Приложения. При работе с за0 дачником целесообразно иметь под рукой учебник по ос0 новам электродинамики (см. список рекомендуемой ли0 тературы). Хочется искренне поблагодарить коллег, преподава0 телей и сотрудников кафедры основ радиотехники МЭИ, неоднократно обсуждавших с автором материалы прак0 тикума. Автор выражает сердечную признательность до0 центам кафедры Г. В. Жихаревой и Е. А. Филатовой за советы и неизменную поддержку.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в де картовой системе координат: grad U 2 1U 1x 3 1U 1y 3 1U 1z ; 1x 1y 1z 1 A 1A 1A y 3 z; div A 2 x 3 1x 1y 1z 1 A 4 1A 4 1Ay 1Ax 1A 5 4 1A y 5 6 rot A 2 7 z 6 1x 3 7 x 6 z 8 1y 3 7 8 1z
1x
1y 9 1z 9 1y 9 1x 2 2 2 2U 2 1 U 3 1 U 3 1 U. 1x2 1y2 1z2
5 8 1z ;
Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в цилиндрической системе координат: grad U 5 4U 1r 6 1 4U 13 6 4U 1z ; 4r r 43 4z 4 A 4A 3 6 z; div A 5 1 4 (rAr ) 6 1 r 4r r 43 4z 4 A 7 4A 7 4A 4A 8 3 8 rot A 5 1 z 9 1 6 r 9 z 13 6 4z r 4z 4r r 43 7 7 4(rA3 ) 4Ar 8 8 6 1
9 1 ; 43 z r 4r 2 2 . 2U 5 1 4 r 4U 6 12 4 U 64 U 2 r 4r 4r r 43 4z2
1 2
8
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в сферической системе координат: grad U 4 3U 1r 5 1 3U 11 5 1 6 3U 12 ; 3r r 31 r sin 1 32 3A2 div A 4 12 3 [r 2 Ar ] 5 1 3 [ A1 sin 1] 5 1 ; r sin 1 31 r sin 1 32 r 3r 7 3A 8 9 rot A 4 1 3 ( A2 sin 1) 1 1r 5 32 r sin 1 31 7 9 719 3 3Ar 3(rA2 ) 8 3Ar 8 5 1 1 11 5 r 3r (rA1 ) 31 12 ; r r sin 1 32 3 1 3 3 U 3 9sin 1 3U 5 1 3 2U . 9r 2
5 1 2U 4 2 31 r 2 sin2 1 32 r 3r 3r r 2 sin 1 31 Некоторые полезные тождества векторного анализа: div rot A 1 0; rot grad U = 0; rotrot A 1 graddiv A 2 32 A; div grad U = Ñ2U; grad (UV) = Ugrad V + Vgrad U;
div(UA ) 1 Udiv A 2 Agrad U; rot(UA) 1 Urot A 3 [ Agrad U ]; div[ AB] 1 Brot A 3 Arot B. 1.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНЫХ И СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ 1.1.1. В декартовой системе координат задано векторное поле A. Постройте качественно картину силовых линий дан7 ного поля. Рассмотрите прямоугольный контур L, располо7 женный в плоскости z = 0 и образованный отрезками пря7 мых, соединяющих точки с координатами (0, 0), (а, 0), (а, b) и (0, b). Определите: а) циркуляцию поля A по контуру L с направлением обхода по часовой стрелке, если смотреть с конца орта 1z ;
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
9
б) поток поля A через поверхность S, ограниченную контуром L и имеющую единичный вектор нормали 1n 1 1z. Решите задачу для следующих вариантов: 1. A 1 21x 2 21z ; a 1 b 1 4. 2. A 1 5y2 1x ; a 1 1; b 1 2. 3. A 1 (x 3 2)2 1z ; a 1 2; b 1 3. 4. A 1 5exp( 3 | y |)1x ; a 1 0,5; b 1 1. 5. A 1 10sin(x)1y ; a 1 4 ; b 1 4. 2 1.1.2. В цилиндрической системе координат задано векторное поле A. Постройте качественно картину сило9 вых линий данного поля. Рассмотрите контур L, располо9 женный в плоскости z = 0 и образованный полуокружно9 стями с радиусами а и b (b > а), лежащими в полуплоско9 сти у > 0, и двумя отрезками прямых, соединяющими полуокружности в точках оси x с координатами x1 = –b, x2 = –а и x3 = а, x4 = b. Определите: а) циркуляцию поля A по контуру L с направлением обхода по часовой стрелке, если смотреть с конца орта 1z ; б) поток поля A через поверхность S, ограниченную контуром L и имеющую единичный вектор нормали 1n 1 1z. Решите задачу для следующих вариантов: 1. A 4 2 22 3 11 ; a 4 1; b 4 2. 57 r 68 3 1 ; a 4 2; b 4 3. 2. A 4 210 z 75 r 2 86 2 cos 1 3 3. A 4 5 1 ; a 4 1; b 4 3. 7 r 68 r 2 2sin 1 3 4. A 4 5 2 6 1z ; a 4 2; b 4 8. 7 r 8 5. A 4 20exp(9r )11 ; a 4 1; b 4 2. 1.1.3. В сферической системе координат задано вектор9 ное поле A. Постройте качественно картину силовых ли9 ний данного поля. Рассмотрите контур L, расположенный
10
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
в плоскости j = 0 (у = 0) и образованный дугами окружно+ стей с радиусами а и b (b > а), лежащими в квадранте х > 0, z > 0, и двумя отрезками прямых, соединяющими точки оси х с координатами x1 = а, x2 = b и точки оси z с коорди+ натами z1 = а, z2 = b. Определите: а) циркуляцию поля A по контуру L с направлением обхода по часовой стрелке, если смотреть с конца орта 11 ; б) поток поля A через поверхность S, ограниченную контуром L и имеющую единичный вектор нормали 1n 2 11. Решите задачу для следующих вариантов:
1. A 5 3 52 4 11 ; a 5 1; b 5 3,5. 86 r 97 2. A 5 36 sin 2 47 1r ; a 5 0,5; b 5 1,25. 8 r 9 1 3 2sin(2) 4 1 3. A 5 6 12 ; a 5 2; b 5 8. 8 r 2 79 2 4 1 ; a 5 1; b 5 2,5. 4. A 5 3 5cos r 86 r 2 97 2 4 1 ; a 5 2,5; b 5 4. 5. A 5 3 10sin 68 r 3 79 1 1.1.4. Постройте качественно картину силовых линий заданного векторного поля A 2 f (r )11. Определите, является ли это векторное поле: а) соленоидальным; б) потенциальным. Рассмотрите следующие варианты: 1. A 1 51x 2 51y (декартова система координат). 2. A 1 2x2 1y (декартова система координат). 1 3. A 4 2 13 (цилиндрическая система координат). r 4. A 1 r 1r (сферическая система координат). 1.1.5. Векторное поле A в цилиндрической системе
1 2
координат имеет вид A 2 f (r )11. Определите функцию f(r), для которой ротор поля A равен нулю (при r ¹ 0).
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
11
1.1.6. Векторное поле A в сферической системе коор! динат имеет вид A 1 f (r )1r . Определите функцию f(r), для которой дивергенция поля A равна нулю (при r ¹ 0). 1.1.7. Определите gradj и D2j для заданного скалярно! го поля j. Рассмотрите следующие варианты: 1. 1 2 x2 sin(2y) (декартова система координат). 2. 1 2 ln r sin 1 (цилиндрическая система координат). 2. 1 2 exp(3 jkr )/ r, где k — константа; j — мнимая еди! ница (сферическая система координат). 1.1.8. Определите дивергенцию и ротор векторного поля A, заданного в декартовой системе координат. Рас! смотрите следующие варианты: 1. A 1 2xy2 1x 2 z2 1y ; 1 2. A 1 5sin(2x)1y.
1.1.9. Определите дивергенцию и ротор векторного поля A, заданного в цилиндрической системе координат. Рассмотрите следующие варианты: 1. A 4 2510 36 sin(z)1z ; 7r 8 2. A 4 2 22 3 sin(1)11. 75 r 86 1.1.10. Определите дивергенцию и ротор векторного поля A, заданного в сферической системе координат. Рас! смотрите следующие варианты: 1. A 6 4 53 5 1r ; 97 r 8
2. A 6 1 sin exp( jkr ) r 213 ,
где k — константа; j — мнимая единица. 1.1.11. В декартовой системе координат векторные поля A и B описываются выражениями: A 1 sin x1y 2 cos x1z ; B 1 sin x1z. Определите div[ A 1 B]. 1.1.12. В декартовой системе координат скалярное по! ле j и векторное поле A заданы выражениями: j = 2x2; A 1 y2 1x 2 5xy1y. Определите rot[ A 1 grad 2].
12
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1.13. В цилиндрической системе координат скаляр% ное поле U и векторное поле A описываются выражения% ми U = 2cosj; A 1 exp(23r )1z. Найдите div[ A 1 grad(U)]. 1.1.14. В сферической системе координат векторное поле A задано выражением:
A3
sin 1 2 1r . r
Определите graddiv A. 1.1.15. В сферической системе координат векторное поле A задано выражением:
sin 1 2 exp(3 jkr ) 2 11 , r где k — константа; j — мнимая единица. Найдите rot A. A4
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Закон Гаусса в интегральной и дифференциальной формах:
13 DdS 1 3 2dV ; S
V
div D 1 2, где r — объемная плотность электрического заряда; D 1 2а E 1 220 E — вектор электрического смещения; E — вектор напряженности электрического поля; eа и e — аб( солютная и относительная диэлектрическая проницае( 1019 Ф/м — электрическая постоянная мость среды; 20 3 364 вакуума; S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Напряженность электростатического поля:
E 1 2grad 3э , где jэ — скалярный электрический потенциал, который удовлетворяет уравнению Пуассона 1 22 3э 4 5 . 6a Нормальные составляющие вектора D на границе раздела материальных сред удовлетворяют граничному условию D1n – D2n = sпов, где sпов — плотность поверхностного заряда на границе раздела (поверхностный заряд может отсутствовать); век( тор нормали направлен в сторону первой среды.
14
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Электрический потенциал jэ сохраняет постоянное значение на поверхности идеальных проводников; на гра, нице раздела двух сред 1э1 2 1э2 ; 31 31 4 a2 5 э2 6 4 a1 5 э1 2 7пов , 3n 3n где ¶/¶n — производная по направлению нормали к гра, нице раздела, вектор нормали направлен в сторону пер, вой среды. Емкость системы двух проводников: q C1 , U где U = |jэ1 – jэ2| — абсолютное значение разности потен, циалов между проводниками. Энергия электрического поля в объеме V: Wэ 1 1 2 EDdV ; 2V
для системы двух проводников: Wэ 1 1 qU 1 1 CU2 1 1 q 2 . 2 2 2C Закон полного тока в интегральной и дифференциаль, ной формах:
12 Hdl 1 2 JdS; L
rot H 1 J,
S
где J — вектор плотности тока; H — вектор напряжен, ности магнитного поля; L — замкнутый контур, ограни, чивающий поверхность S. Вектор магнитной индукции:
B 1 2 a H 1 220 H, где ma и m — абсолютная и относительная магнитная про, ницаемость среды соответственно; m0 = 4p×10–7 Гн/м — маг, нитная постоянная вакуума. Касательные составляющие вектора H на границе раздела материальных сред удовлетворяют граничному условию [1n 1 ( H1 2 H2 )] 3 Jпов ,
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА
15
где принято, что вектор нормали 1n направлен в сторону первой среды; Jпов — вектор плотности поверхностного тока (если числовые значения электродинамических парамет) ров обеих сред конечны, то Jпов 1 0). Магнитный поток, пронизывающий поверхность S,
1 2 3 BdS. S
Если по проводящему контуру (например, проволоч) ному витку) протекает ток I, который создает поток F че) рез поверхность, опирающуюся на контур, то индуктив) ность витка L 2 1. I Индуктивность катушки с N витками: L 2 1, I где Y = NF — потокосцепление. Энергия магнитного поля: Wм 1 1 2 HBdV 1 1 LI 2 . 2 2 V
2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 2.1.1. В точке с декартовыми координатами (–1м, 0, 0) находится заряд q1 = 10 нКл, а в точке с координатами (1м, 0, 0) — заряд q2 = 20 нКл. Определите напряженность электрического поля в точках А и В с координатами (0, 0, 0) и (2м, 0, 0). Заряды расположены в вакууме. 2.1.2. В точках с декартовыми координатами (–1м, 0, 0) и (1м, 0, 0) находятся заряды q1 = q1 = 15 нКл. Определите напряженность электрического поля в точках А и В с коор) динатами (0, 1м, 0) и (1м, 1м, 0). Заряды расположены в вакууме. 2.1.3. Плоскость z = 0 равномерно заряжена с поверх) ностной плотностью 0,01 нКл/м2. Определите поля E и D во всем пространстве, считая, что заряды находятся в вакууме. 2.1.4. Плоскости z = 0 и z = 0,5 м равномерно заряже) ны с одинаковой поверхностной плотностью 0,05 нКл/м2.
16
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Абсолютная диэлектрическая проницаемость среды рав+ на e0. Определите векторы E и D во всем пространстве. 2.1.5. Плоскость z = 0 равномерно заряжена с поверх+ ностной плотностью 0,2 нКл/м2, а плоскость z = 1 м — с плотностью –0,2 нКл/м2. Абсолютная диэлектрическая проницаемость среды равна e0. Определите векторы E и D во всем пространстве. 2.1.6. Разность потенциалов между пластинами плос+ кого воздушного конденсатора равна 1 В. Определите плот+ ность поверхностного заряда на обкладках, считая, что эффектами искажения поля около края пластин можно пренебречь. Расстояние между обкладками 5 мм. 2.1.7. Между пластинами плоского конденсатора нахо+ дится двухслойный диэлектрик. Толщина слоев d1 = 2 мм, d2 = 5 мм; относительная диэлектрическая проницаемость слоев e1 = 2, e2 = 3. Площадь пластин 25 см2, расстояние между ними d = d1 + d2. На верхней пластине равномерно распределен заряд qA = 10–9 Кл, на нижней пластине — за+ ряд qB = –qA. Определите напряженность электрического поля в конденсаторе и разность потенциалов между пласти+ нами. Считайте, что эффектами искажения поля около края пластин можно пренебречь. 2.1.8. Используя данные предыдущей задачи, опреде+ лите энергию электрического поля, накопленную в кон+ денсаторе. 2.1.9. Между пластинами плоского конденсатора на+ ходится двухслойный диэлектрик. Толщина слоев d1 и d2, относительная диэлектрическая проницаемость слоев e1 и e2. Площадь пластин S, расстояние между пластинами d = d1 + d2. Получите выражение для емкости данного кон+ денсатора, считая, что эффектами искажения поля около края пластин можно пренебречь. Вычислите емкость кон+ денсатора, используя данные задачи 2.1.7. 2.1.10. Бесконечно протяженный плоский слой толщи+ ной d равномерно заряжен с объемной плотностью r0. Абсо+ лютные диэлектрические проницаемости среды, находящей+ ся внутри и вне слоя, одинаковы и равны e0. Определите на+ пряженность электрического поля во всем пространстве. Считайте, что слой расположен в области –d/2 < z < d/2.
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА
17
2.1.11. Бесконечно длинная прямолинейная нить рав$ номерно заряжена с линейной плотностью 10–10 Кл/м. Абсолютная диэлектрическая проницаемость среды рав$ на e0. Определите напряженность электрического поля на расстоянии 2 м от нити. 2.1.12. Бесконечно длинный цилиндр радиусом 1 см рав$ номерно заряжен с поверхностной плотностью 10–9 Кл/м2. Пространство, окружающее цилиндр, заполнено возду$ хом. Определите напряженность электрического поля на расстоянии 20 см от оси цилиндра. 2.1.13. Два бесконечно длин$ ных коаксиальных цилиндра имеют радиусы a = 2 см и b = = 4 см (рис. 2.1). Внутренний цилиндр равномерно заряжен с поверхностной плотностью 0,1 мкКл/м 2, наружный ци$ линдр заряжен с плотностью –0,1 мкКл/м2. Пространство ме$ жду цилиндрами заполнено Рис. 2.1 Коаксиальная воздухом, потенциал наружно$ линия передачи го цилиндра равен нулю. Опре$ делите распределение потенциала и напряженности элек$ трического поля в пространстве между цилиндрами. 2.1.14. Коаксиальная линия передачи образована дву$ мя бесконечно длинными металлическими цилиндрами с радиусами а и b (b > а, рис. 2.1). Между цилиндрами находится среда с относительной диэлектрической про$ ницаемостью e. Получите выражение для погонной ем$ кости данной линии передачи. 2.1.15. Коаксиальная линия передачи образована дву$ мя бесконечно длинными металлическими цилиндрами с радиусами а и b (рис. 2.1). Между цилиндрами нахо$ дится двухслойный диэлектрик. Первый цилиндриче$ ский слой ограничен радиусами а и с (а < c < b) и имеет относительную диэлектрическую проницаемость e1. Вто$ рой слой ограничен радиусами c и b и характеризуется проницаемостью e2. Получите выражение для погонной емкости данной линии передачи.
18
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.1.16. Внутри бесконечно длинной цилиндрической области радиусом r0 равномерно распределен электриче) ский заряд с объемной плотностью r0. Абсолютные диэлек) трические проницаемости внутренней и внешней облас) тей равны eа1 и eа2 соответственно. Определите напряжен) ность электрического поля во всем пространстве. 2.1.17. Бесконечно длинный цилиндрический слой ог) раничен двумя цилиндрическими поверхностями с радиу) сами а и b (b > а). Внутри данного слоя равномерно рас) пределен электрический заряд с объемной плотностью r0. Абсолютные диэлектрические проницаемости среды, на) ходящейся внутри и вне слоя, одинаковы и равны e0. Оп) ределите напряженность электрического поля во всем про) странстве. 2.1.18. На поверхности металлического шара радиу) сом 10 см равномерно распределен электрический заряд. Шар окружен воздухом. Определите поверхностную плот) ность заряда, если на расстоянии 20 см от центра шара напряженность электрического поля составляет 50 В/м. 2.1.19. Две концентрические сферические поверхности имеют радиусы a = 1 см и b = 2 см. На внутренней поверх) ности равномерно распределен заряд qa = 0,5 нКл, на внеш) ней поверхности — заряд qb = –0,5 нКл. Пространство ме) жду сферами заполнено воздухом, потенциал внешней сферы равен нулю. Определите распределение потенциа) ла и напряженности электрического поля в пространстве между сферами. 2.1.20. Используя данные предыдущей задачи, опреде) лите энергию электрического поля, накопленную в про) странстве между сферами. 2.1.21. Сферический конденсатор образован двумя концентрическими металлическими сферами с радиуса) ми а и b (а < b). Между сферами находится диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью e. По) лучите выражение для емкости данного конденсатора. 2.1.22. Сферический конденсатор образован двумя кон) центрическими металлическими сферами с радиусами а и b (а < b). Между сферами находится двуслойный диэлек) трик. Первый сферический слой ограничен радиусами а
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА
19
и c (c > а) и имеет относительную диэлектрическую прони" цаемость e1, второй слой ограничен радиусами c и b (b > c) и имеет относительную диэлектрическую проницаемость e2. Получите выражение для емкости данного конденсатора. 2.1.23. Внутри сферической области радиусом а равно" мерно распределен электрический заряд с объемной плот" ностью r0. Абсолютные диэлектрические проницаемости области и окружающей среды одинаковы и равны e0. Оп" ределите напряженность электрического поля во всем про" странстве. 2.1.24. Внутри сферической области радиусом а распре" делен электрический заряд, объемная плотность которо" го изменяется по закону r = r0 × r/a. Абсолютные диэлек" трические проницаемости области и окружающей среды одинаковы и равны e0. Определите напряженность элек" трического поля во всем пространстве. 2.1.25. Шаровой слой, расположенный между двумя концентрическими сферами с радиусами а и b (b > а), рав" номерно заряжен с объемной плотностью r0. Абсолютные проницаемости слоя и окружающей среды одинаковы и равны e0. Определите напряженность электрического поля во всем пространстве. 2.2. СТАЦИОНАРНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 2.2.1. В плоскости x = 0 протекает постоянный ток с равномерно распределенной поверхностной плотностью Jпов 1 Jo 1z. Определите напряженность магнитного поля во всем пространстве. 2.2.2. В плоскости x = 0 и плоскости x = d протекают постоянные токи с одинаковыми поверхностными плот" ностями Jпов 1 J0 1y. Определите напряженность магнит" ного поля во всем пространстве. 2.2.3. В плоскости x = 0 протекает постоянный ток с поверхностной плотностью Jпов1 1 J0 1y. В плоскости x = d протекает постоянный ток с плотностью Jпов2 1 2 J0 1y. Определите напряженность магнитного поля во всем про" странстве.
20
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.2.4. В бесконечном проводящем слое толщиной d про' текает постоянный ток с равномерно распределенной плот' ностью J 1 J0 1z (используется декартова система коорди' нат, в которой ось x направлена по направлению нормали к поверхности слоя). Определите напряженность магнитно' го поля во всем пространстве. Считайте, что слой располо' жен в области –d/2 < x < d/2. 2.2.5. По бесконечному цилиндрическому проводни' ку с радиусом 2 мм протекает постоянный ток. Напря' женность магнитного поля на поверхности проводника составляет 10 А/м. Определите плотность тока в провод' нике. 2.2.6. По бесконечному цилиндрическому проводнику с радиусом a протекает постоянный ток с плотностью J0, которая равномерно распределена в пределах поперечно' го сечения проводника. Определите напряженность маг' нитного поля внутри и вне проводника. 2.2.7. По бесконечному цилиндрическому проводнику с радиусом a протекает постоянный ток, плотность кото' рого изменяется по закону J 1 J0 r / a. Определите напря' женность магнитного поля внутри и вне проводника. 2.2.8. По бесконечному цилиндрическому проводнику с радиусом a протекает постоянный ток, плотность кото' рого изменяется по закону J 1 J0r 2 / a2 . Определите напря' женность магнитного поля внутри и вне проводника. 2.2.9. Бесконечный цилиндрический слой ограничен двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами a и b (a < b). По данному слою протекает постоянный ток с плот' ностью J0. Определите напряженность магнитного поля во всем пространстве. 2.2.10. По бесконечной цилиндрической поверхности радиусом 5 мм протекает в осевом направлении постоян' ный ток с поверхностной плотностью 2,5 А/м. Определи' те напряженность магнитного поля в пространстве, окру' жающем цилиндр. 2.2.11. Коаксиальная линия передачи образована дву' мя соосными металлическими цилиндрами с радиусами a и b (a < b, см. рис. 2.1). Среда, заполняющая пространст' во между цилиндрами, имеет относительную магнитную
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА
21
проницаемость m. Выведите формулу для расчета погон& ной индуктивности линии передачи. 2.2.12. На кольцевом сердечнике из ферромагнитного материала с m = 100 размещено 50 витков провода. Сердеч& ник представляет собой цилиндрический слой высотой h = 6 мм, ограниченный цилиндрическими поверхностя& ми с радиусами a = 6 мм и b = 12 мм. По обмотке протека& ет ток 0,1 А. Определите минимальное и максимальное значение индукции в сердечнике. 2.2.13. Используя условия предыдущей задачи, опре& делите энергию магнитного поля, накопленную в кольце& вом сердечнике. 2.2.14. На кольцевом сердечнике из ферромагнитного материала с m ? 1 размещено N витков провода. Сердеч& ник представляет собой цилиндрический слой высотой h, ограниченный цилиндрическими поверхностями с радиу& сами a и b (a < b). Выведите формулу для расчета индук& тивности данной катушки. При выводе учитывайте, что магнитная проницаемость сердечника велика и потоком магнитного поля вне сердечника можно пренебречь.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Уравнения Максвелла в интегральной форме:
1
2
1. 17 Hdl 4 7 3D 5 6E 5 Jст dS; 3t L S
2. 14 Edl 2 3 1 4 BdS; 1t L S 3. 13 DdS 1 3 2dV ; S
V
4. 12 BdS 1 0; S
5. D 1 2а E; 6. B 1 2 a H. Здесь в уравнениях 1 и 2 замкнутый контур L ограничи% вает поверхность S; с конца векторного элемента поверх% ности dS движение вдоль контура наблюдается в направ% лении против часовой стрелки. В уравнениях 3 и 4 замк% нутая поверхность S ограничивает объем V; векторный элемент поверхности dS ориентирован в направлении внешней нормали к S. В уравнении 1 Jст — векторная плотность сторонних токов. Плотность тока смещения Jст 2 1D ; 1t плотность тока проводимости
Jпр 1 2E.
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
23
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме: 1. rot H 2 1D 3 4E 3 Jст ; 1t 2. rot E 2 3 1B ; 1t 3. div D 1 2;
4. div B 1 0; 5. D 1 2a E; 6. B 1 2 a H. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для комплексных амплитуд полей (случай гармониче8 ских колебаний): 1 1 j2D1 3 4E1 3 J1 ; 1. rot H ст 2. rot E1 1 2 j3B1 ; 3. div D1 1 21 ; 4. div B1 1 0; 5. D1 1 2 a E1 ; 1. 6. B1 1 2 H a
Связь между мгновенными значениями вектора, гар8 монически изменяющегося во времени, и его комплексной амплитудой записывается в виде E(t) 2 Re{ E1 3 e j1t }. Закон сохранения заряда в интегральной и дифферен8 циальной формах: 12
6 1t dV 3 416 JэdS;
V
S
12 5 div Jэ 3 0, 1t
где Jэ — векторная плотность электрического тока. Если среда анизотропная и характеризуется тензором 1 абсолютной магнитной проницаемости 1а , то материаль8 ное уравнение 5 записывается в виде Dx = ea11Ex + ea12Ey + ea13Ez; Dy = ea21Ex + ea22Ey + ea23Ez; Dz = ea31Ex + ea32Ey + ea33Ez.
24
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Аналогично записывается уравнение 6 в случае, ко' гда анизотропная среда характеризуется тензором абсо' 1 лютной магнитной проницаемости 1 а . Вектор Пойнтинга: П 1 [E(t) 2 H(t)].
Среднее значение вектора Пойнтинга (активный век' тор Пойнтинга) для гармонических колебаний: 1 3 2 Пср 4 1 Re 5 E1 6 H 7 . 2 Теорема Пойнтинга для мгновенных мощностей в ин' тегральной форме:
14 ПdS 2 S
где
1W 2 P 2 P 3 0, пот ст 1t
W 3 4 wdV 3 4 D 1 E 2 B 1 H dV 2 V V
— энергия электромагнитного поля в объеме V, ограничен' ном замкнутой поверхностью S; w — плотность энергии электромагнитного поля; Pпот 1 3 pпот dV 1 3 2 | E2 | dV V
V
— мощность тепловых потерь в объеме V; pпот — плотность мощности тепловых потерь; Pст 1 2 pст dV 1 2 Jст EdV V
V
— мощность сторонних источников в объеме V; pст — плот' ность мощности сторонних источников. Теорема Пойнтинга для мгновенных мощностей в диф' ференциальной форме: div П 2 1w 2 pпот 2 pст 3 0. 1t Теорема Пойнтинга для гармонических колебаний вы' ражает баланс как активных (средних за период колеба' ний), так и реактивных мощностей:
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
25
2 Пср dS 2 Pпот. ср 2 Pст. ср 3 0; S
1 5 1 Im 846 E1 9 H 1 7 dS 2 1 ( | E1 |2 2 | H 1 |2 )dV 2 a 2 a 22 S V
1 2 Im 1 J1 ст E1 dV 3 0, П 2 V где Pпот. ср 1 3 pпот. ср dV 1 3 1 2 | E1 2 | dV 2 V V
— средняя мощность тепловых потерь в объеме V; pпот. ср — плотность мощности тепловых потерь; 2 1 3 Pст. ср 6 9 pст. ср dV 6 9 Re 4 1 J1 ст E1 5 dV 72 8 V V — средняя мощность сторонних источников в объеме V; pст. ср — средняя плотность мощности сторонних источни4 ков. Средняя за период гармонических колебаний энергия электромагнитного поля: 1 |2 )dV , Wср 1 5 wср dV 1 5 1 (2 a | E1 |2 3 4 a | H 4 V
V
где wср — средняя плотность энергии электромагнитного поля (данная формула справедлива в случае, когда коле4 бания D(t) и B(t) синфазны с колебаниями E(t) и H (t) соответственно, т. е. отсутствует гистерезис процессов по4 ляризации и намагничивания). Теорема Пойнтинга для средних мощностей в диффе4 ренциальной форме (случай гармонических колебаний): div Пср 1 pпот. ср 1 pст. ср 2 0.
Нормальные составляющие векторов D и B на гра4 нице раздела материальных сред удовлетворяют гранич4 ным условиям B1n = B2n; D1n – D2n = sпов,
26
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
где sпов — плотность поверхностного заряда на границе раздела (поверхностный заряд может отсутствовать); век/ тор нормали направлен в сторону первой среды. Касательные составляющие векторов E и H на гра/ нице раздела материальных сред удовлетворяют гранич/ ным условиям:
E11 2 E21 ; [1n 3 ( H1 4 H2 )] 2 Jпов , где 1n — единичный вектор нормали, направленный в сто/ рону первой среды; Jпов — вектор плотности поверхност/ ного тока ( Jпов 1 0, если отсутствует сторонний поверхно/ стный ток или если числовые значения электродинами/ ческих параметров обеих сред конечны). Если одной из сред является идеальный проводник (s = ¥), то на его поверхности
Dn 2 3пов ; Bn 2 0; E1 2 0; [1n H] 2 Jпов , где вектор нормали 1n направлен в сторону от идеального проводника. 3.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 3.1.1. В некоторой точке пространства комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля:
1 2
1 2
j3 j3 E1 4 0,2exp 5 1 6 0,2exp 1 , В/м. 4 x 4 y Определите мгновенные значения вектора E в момен/ ты времени t1 = 0,125 мкс и t2 = 0,375 мкс, если частота колебаний равна 1 МГц. 3.1.2. Запишите выражение для вектора напряженно/ сти магнитного поля H (t), имеющего линейную поляри/ зацию в плоскости XOZ. Колебания вектора H происхо/ дят с амплитудой 10 мА/м вдоль прямой, наклоненной под углом 30° к оси z и углом 60° к оси x. При t = 0 проекция Hz = 5 мА/м. Частота колебаний 2 ГГц. 3.1.3. Запишите выражения для электрического век/ тора E(t) и для его комплексной амплитуды E1 . Вектор E имеет круговую поляризацию в плоскости YOZ, и вра/
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
27
щается в направлении часовой стрелки, если смотреть с конца единичного вектора 1x. Амплитуда колебаний про/ екции Ey равна 5 мВ/м, частота колебаний 100 МГц. В мо/ мент времени t = 0 вектор E повернут под углом 45° к осям у и z. 3.1.4. В диэлектрике с относительной проницаемо/ стью 2,5 и удельной проводимостью 0,15 См/м сущест/ вует электрическое поле
E(t) 1 0,5cos(22 3109 t)1x 4 0,5sin(22 3 109 t)1y , В/м. Определите комплексные амплитуды векторов плот/ ности тока смещения и тока проводимости. 3.1.5. В диэлектрике с относительной проницаемо/ стью 3,8 и удельной проводимостью 0,023 См/м ком/ плексная амплитуда E1 3 10e 1 j ( 2 /4) 1 , мВ/м. x
Определите комплексные амплитуды векторов плот/ ности тока проводимости, тока смещения и полного тока. Частота колебаний 150 МГц. 3.1.6. В диэлектрике с относительной проницаемо/ стью 2,5 и удельной проводимостью 1,1×10–3 См/м вектор плотности тока проводимости: Jпр 2 2,2 3 1014 sin(4 3 107 t)1x , А/м2 .
Определите комплексную амплитуду вектора плотности тока смещения, а также угол электрических потерь. 3.1.7. В среде с относительной диэлектрической про/ ницаемостью 4 колебания плотности полного тока опере/ жают по фазе колебания плотности тока проводимости на 73,3°. Определите удельную проводимость среды, если частота равна 15 МГц. 3.1.8. Рамочная антенна, представляющая собой про/ волочную петлю площадью S = 0,1 м2, находится в пере/ менном электромагнитном поле. Комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля не изменяется в пределах петли и равна 10161x , А/м. Частота колебаний — 100 МГц, окружающая среда — воздух. При какой ори/ ентации антенны амплитуда ЭДС, наведенной в петле,
28
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
будет максимальной. Определите амплитуду ЭДС для этой ориентации. 3.1.9. (У) Рамочная антенна, представляющая собой проволочную петлю диаметром 20 см, находится в пе1 ременном электромагнитном поле. Петля изготовлена из медной проволоки диаметром 0,1 мм. Вектор напря1 женности магнитного поля ориентирован под углом 30° к плоскости петли. Амплитуда колебаний вектора H рав1 на 1 мА/м и не меняется в пределах антенны. Частота колебаний — 100 кГц, окружающая среда — воздух. Оп1 ределите амплитуду тока, наведенного в антенне. Счи1 тайте, что влиянием собственного магнитного поля ан1 тенны можно пренебречь. 3.1.10. К плоскому конденсатору с площадью пластин Sп приложено напряжение u(t) = U0cos(w0t). Между пластина1 ми находится слой диэлектрика толщиной d, имеющего относительную проницаемость e. Получите выражение для тока смещения, протекающего через конденсатор двумя способами: а) проинтегрировав плотность тока смещения; б) воспользовавшись известной формулой для емкости плос1 кого конденсатора C = ee0S/d. 3.1.11. Через плоский воздушный конденсатор с площа1 дью пластин 10 см2 протекает ток i(t) = 0,3cos(4p×105t), мА. Определите амплитуду колебаний вектора E в конденсато1 ре. Считайте, что искажениями поля вблизи края пластин можно пренебречь. 3.1.12. К плоскому воздушному конденсатору с рас1 стоянием между пластинами 1,5 мм приложено напряже1 ние u(t) = 0,1cos(3p×106t), В. Пластины имеют форму дис1 ков радиусом 10 мм. Определите амплитуду и ориентацию вектора H между пластинами на расстоянии 5 мм от оси конденсатора. Считайте, что искажениями поля вблизи края пластин можно пренебречь. 3.1.13. К плоскому конденсатору приложено напряже1 ние с амплитудой 0,5 В и частотой 300 кГц. Между обклад1 ками конденсатора находится слой диэлектрика, имею1 щий толщину 3 мм, относительную проницаемость 2,5 и удельную проводимость 2,5×10–6 См/м. Определите ампли1 туду колебаний плотности тока смещения и плотности
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
29
тока проводимости в конденсаторе. Найдите разность фаз колебаний напряжения и плотности полного тока в кон, денсаторе. 3.1.14. К плоскому конденсатору приложено гармониче, ское напряжение с частотой 10 МГц. Между пластинами на, ходится диэлектрик с относительной проницаемостью 3,3 и неизвестной удельной проводимостью. Определите удель, ную проводимость, если амплитуда тока смещения в 104 раз больше амплитуды тока проводимости. 3.1.15. К плоскому воздушному конденсатору с площа, дью пластин 4 см2 и расстоянием между пластинами 1 мм приложено напряжение u(t) = 0,2cos(2p×107t), В. Определи, те комплексную амплитуду тока смещения, протекающего через конденсатор. Найдите комплексные амплитуды по, ляризационного тока и тока проводимости, которые доба, вятся к току смещения в вакууме в случае, если простран, ство между пластинами конденсатора заполнить диэлек, триком с относительной проницаемостью 2,56 и удельной проводимостью 2×10–4 См/м. 3.1.16. (У) В момент времени t = 0 в однородной про, водящей среде с относительной диэлектрической прони, цаемостью e и удельной проводимостью s создано про, странственное распределение объемной плотности заряда r = r0(x, y, z). За счет протекания токов проводимости r будет уменьшаться со временем при t > 0. Определите за, кон уменьшения плотности объемного заряда. Найдите постоянную времени этого процесса для двух вариантов удельной проводимости среды: а) 107 См/м; б) 10–3 См/м. Считайте что e = 1. 3.1.17. (У) Пользуясь вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме, выведите четвертое уравне, ние Максвелла (рассмотрите случай гармонических коле, баний). 3.1.18. (У) Пользуясь первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме и уравнением непрерывности, выведите третье уравнение Максвелла (рассмотрите слу, чай гармонических колебаний). 3.1.19. (У) Пользуясь третьим уравнением Максвелла в дифференциальной форме, получите соотношение для
30
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
div E в среде, диэлектрическая проницаемость которой есть функция пространственных координат. 3.1.20. (У) Пользуясь четвертым уравнением Максвел0 ла в дифференциальной форме, получите соотношение для div H в среде, магнитная проницаемость которой есть функция пространственных координат. 3.1.21. Запишите первое и третье уравнения Максвел0 ла в дифференциальной форме для составляющих векто0 ров поля в цилиндрической системе координат (рассмот0 рите случай гармонических колебаний). 3.1.22. Запишите второе и четвертое уравнения Мак0 свелла в дифференциальной форме для составляющих век0 торов поля в сферической системе координат (рассмотри0 те случай гармонических колебаний). 3.1.23. Электромагнитная волна распространяется вдоль оси z, причем составляющие поля не зависят от попереч0 ных координат х, у. Пользуясь уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд, докажите, что у такой волны от0 сутствуют продольные составляющие Ez, Hz. 3.1.24. Гармоническая электромагнитная волна рас0 пространяется вдоль оси у в намагниченном феррите, который на частоте волны характеризуется абсолютной диэлектрической проницаемостью e a и тензором абсо0 лютной магнитной проницаемости в декартовой систе0 ме координат: 3 1 ax 1 1 a 7 5 jb 55 8 0
2 jb 0 4 1 ax 0 6. 6 0 1 az 69
Запишите первое и второе уравнения Максвелла для составляющих векторов поля в дифференциальной фор0 ме, полагая, что сторонние токи отсутствуют, и состав0 ляющие поля не зависят от координат х и z (случай пло0 1 y че0 ской волны). Выразите комплексную амплитуду H 1 рез Hx . 3.1.25. Некоторый анизотропный диэлектрик харак0 теризуется в декартовой системе координат тензором от0 носительной диэлектрической проницаемости:
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
31
0 2 1 2,8 0 1 5 6 3 0 2,8 0 4. 33 4 0 2,3 48 7 0 Найдите угол в пространстве между векторами E и D для двух случаев: а) E 1 51x , В/м; б) E 1 51x 2 51z , В/м. 3.1.26. Комплексная амплитуда вектора напряженно4 сти электрического поля в воздухе: E1 3 10e 1 j 22x 1 , мВ/м y
(данный случай соответствует плоской волне, распростра4 няющейся вдоль оси х). Сторонние токи отсутствуют. Оп4 ределите комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля. Частота колебаний 300 МГц (частота мо4 жет быть найдена с использованием первого уравнения Максвелла). 3.1.27. (У) Комплексная амплитуда вектора напряжен4 ности магнитного поля в воздухе: 1 3 2e 1 j 4 2y 1 , мА/м H z
(случай плоской волны, распространяющейся вдоль оси у). Сторонние токи отсутствуют. Определите комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля и частоту колебаний. 3.1.28. Комплексная амплитуда вектора напряженно4 сти магнитного поля в воздухе: 1 1 10cos(202 3 x)1 , мА/м H z
(случай стоячей волны). Частота колебаний 3 ГГц, сторон4 ние токи отсутствуют. Определите комплексную ампли4 туду вектора напряженности электрического поля. Най4 дите разность фаз колебаний Е(t) и Н (t). 3.1.29. Комплексная амплитуда вектора напряженно4 сти магнитного поля в воздухе: 1 4 ( A sin 5 6 e 1 j2r )1 , H 3 r
где А и j — вещественные константы (используется сфери4 ческая система координат). Сторонние токи отсутствуют,
32
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
частота колебаний равна w0. Определите комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля. 3.1.30. Вектор напряженности электрического поля в воздухе E 1 E0 cos(20 t 3 40 z)1x , где E0, w0, b0 — константы (случай плоской волны, распространяющейся вдоль оси z). Для момента времени t = 0 изобразите: а) картину сило7 вых линий вектора E; б) картину силовых линий вектора rot E. Пользуясь вторым уравнением Максвелла, объяс7 ните связь между картинами силовых линий rot E и H. 3.1.31. Пользуясь уравнениями Максвелла, определи7 те, возможно ли существование в однородной изотропной среде переменного электромагнитного поля, в котором векторы E и H параллельны одной и той же декартовой оси. Сторонние токи отсутствуют. 3.1.32. (У) Электромагнитный процесс в однородной изо7 тропной среде без потерь имеет отличные от нуля состав7 1 y , которые зависят только от координаты z. ляющие E1 x и H Среда характеризуется абсолютными проницаемостями eа и mа. Частота колебаний w, сторонние токи отсутствуют. Пользуясь уравнениями Максвелла, получите дифференци7 1 y . Опреде7 альные уравнения второго порядка для E1 x и H лите общий вид решения данных обыкновенных дифферен7 циальных уравнений и получите характеристическое урав7 нение — условие существования ненулевого поля. 3.1.33. (У) К плоскому воздушному конденсатору прило7 жено гармоническое напряжение с частотой w0. Пластины конденсатора имеют форму дисков с радиусом r0. На низ7 ких частотах амплитуду E0 колебаний вектора E в про7 странстве между обкладками можно приближенно считать постоянной. Найдите поправку E1(r) к амплитуде E0, обу7 словленную изменяющимся во времени магнитным полем в конденсаторе. Определите, для каких частот E1max < 0,1 E0. При решении задачи считайте, что искажениями поля вбли7 зи края пластин можно пренебречь. Полагайте, что магнит7 ное поле в конденсаторе в основном определяется однород7 ным электрическим полем E0cos(w0t). 3.1.34. (У) В цилиндрическом проводнике радиуса r0 протекает гармонический ток с частотой w0. Проводник выполнен из металла с параметрами m = 1 и s = s0. На низ7
33
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ких частотах комплексную амплитуду J1 0 колебаний плот( ности тока проводимости в сечении проводника можно при( ближенно считать постоянной. Найдите поправку J11 (r ) к амплитуде J1 0 , обусловленную изменяющимся во времени магнитным полем в проводнике. Определите, для каких частот J1max < 0,01 J0. Считайте, что магнитное поле в про( воднике в основном определяется током с амплитудой J1 0 . 3.1.35. (У) Пользуясь уравнениями Максвелла, дока( жите, что сферически симметричное распределение тока с плотностью J 1 J (r )1r не возбуждает магнитного поля. 3.1.36. (У) В плоскости z = 0 равномерно распределен ток с поверхностной плотностью Jпов 1 J0 cos(20t)1y. Ок( ружающая среда — воздух. Определите поля E и H во всем пространстве. При решении учитывайте, что поле в плоскости z = z0 в момент времени t определяется током в |z | 1 . момент времени t 1 0 , где c 1 c 2 0 30 3.1.37. (У) В плоскости z = 0 в момент времени t = 0 включается равномерно распределенный постоянный ток с поверхностной плотностью Jпов 1 J0 1y. Окружающая среда — воздух. С помощью уравнений Максвелла в инте( гральной форме определите поля E и H во всем простран( стве. При решении учитывайте, что процесс установления постоянных уровней полей E и H в пространстве пред( ставляет собой импульсную волну. Плоский фронт этой волны распространяется со скоростью v 1 v1z при z > 0 и v 1 2v1z при z < 0. Покажите, что v 1 c 1 1 . 2 0 30 3.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 3.2.1. В некоторой точке пространства заданы ком( плексные амплитуды векторов электромагнитного поля: 1 3 0,8e 1 j2 /3 1 4 1,2e 1 j2 /4 1 , мА/м. E1 3 0,5e 1 j2 /6 1 , В/м; H x
y
z
Определите среднее значение вектора Пойнтинга. 3.2.2. В некоторой точке пространства заданы ком( плексные амплитуды векторов электромагнитного поля:
34
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1 5 4 7 10 23 e j101 1 , А/м E1 5 15e j101 13 6 5e 2 j 801 1r , В/м; H 4
(используется сферическая система координат). Опреде* лите среднее значение вектора Пойнтинга. 3.2.3. В некоторой точке пространства векторы элек* тромагнитного поля описываются выражениями E1 2 0,2cos(23 4109 t)1 , В/м; y
1 2 6,5 4 1013 cos(23 4109 t 1 305)1 , А/м. H z
Определите зависимость вектора Пойнтинга от времени. Найдите среднее значение и амплитуду колебательной со* ставляющей вектора Пойнтинга. 3.2.4. В некоторой точке пространства комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля E1 2 8e j1 /6 1z , В/м. Определите комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, если вектор Пойнтинга ориентирован под углом 30° к оси х и углом 60° к оси у (в плоскости ХОУ) и имеет среднее значение 130 мВт/м2. Считайте, что колебания электрического и магнитного полей происходят синфазно. 3.2.5. В заданной точке пространства средняя плот* ность потока мощности равна 0,1 Вт/м2. Вектор напря* женности электрического поля ориентирован параллель* но оси х и характеризуется амплитудой колебаний 3 В/м (колебания гармонические). Вектор напряженности маг* нитного поля ориентирован параллельно оси у. Опреде* лите амплитуду колебаний вектора H, если колебания вектора H отстают по фазе на 15° от колебаний векто* ра E. 3.2.6. В плоскости x = 0 волновой процесс характери* зуется плотностью потока мощности: П (t) 1 [4 2 5cos(23 4 108 t)]1x , мВт/м2 .
Определите частоту колебаний поля и разность фаз ме* жду колебаниями векторов E и H. Найдите энергию, переносимую волной за период колебаний поля через площадку размерами 1´1 м, расположенную в плоско* сти x = 0.
35
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
3.2.7. В некотором объеме материальной среды с пара( метрами e = 1; m = 1,5 создано магнитное поле, характери( зующееся комплексной амплитудой 1 3 5e 1 j2 /6 1 4 3,5e j2 /4 1 , А/м. H x
y
Определите среднее значение плотности энергии магнит( ного поля. 3.2.8. В материальной среде с относительными проницае( мостями e = 80, m = 1 и удельной проводимостью 10–3 См/м вектор напряженности электрического поля: E1 (t) 1 15cos(108 t)1 2 9cos(108 t 2 3 /4)1 , В/м. x
z
Определите среднее значение плотности энергии электри( ческого поля и среднее значение плотности мощности те( пловых потерь. 3.2.9. Определите среднее значение энергии электри( ческого поля, накопленной в конденсаторе, к которому подведено гармоническое напряжение с амплитудой 5 В. Расстояние между пластинами 2 мм, площадь пластин 8 см2, относительная проницаемость диэлектрика 2,6. Считайте, что эффектами искажения поля вблизи края пластин можно пренебречь. 3.2.10. Определите среднее значение мощности теп( ловых потерь в плоском конденсаторе, к которому под( ведено напряжение u = 1,5cos(107t), В. Расстояние меж( ду пластинами 2 мм, площадь пластин 10 см2. Между пластинами находится диэлектрик с e = 1,5 и удельной проводимостью 2×10–7 См/м. Найдите добротность кон( денсатора по формуле Q = 2p Wзап/Wпт, где Wзап — сред( няя энергия электрического поля, запасенная в конден( саторе, Wпт — энергия, теряемая за период колебаний поля. Считайте, что эффектами искажения поля вблизи края пластин можно пренебречь. 3.2.11. Напряжение между пластинами плоского воз( душного конденсатора убывает по закону u(t) = U0exp(–at). Пластины имеют форму дисков диаметром D и образуют воздушный зазор толщиной h. Получите выражение для мгновенного значения вектора Пойнтинга в зазоре на расстоянии r от центра пластин. Найдите формулу для
36
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
мгновенного значения отдаваемой конденсатором мощно' сти. Считайте, что потерями в воздухе и искажением поля вблизи края пластин можно пренебречь. 3.2.12. К плоскому воздушному конденсатору с рас' стоянием между пластинами h приложено напряжение u = U0cos(w0t). Пластины имеют форму дисков диамет' ром D. Определив среднее значение вектора Пойнтинга в пространстве между пластинами, докажите, что средняя мощность, вносимая в конденсатор, равна нулю. Считай' те, что потерями в воздухе и искажением поля вблизи края пластин можно пренебречь. 3.2.13. В среде с потерями заданы комплексные ампли' туды векторов электромагнитного поля плоской волны: E1 2 0,5e 10,01x e 1 j 0,03x 1 , В/м; y
1 4 0,01e 10,01x e 1 j (0,03x 23 /10) 1 , А/м. H z Определите среднее значение вектора Пойнтинга. Найдите среднюю мощность, переносимую волной через квадратную площадку размерами 1´1 м, расположенную в плоскости х = 100 м. 3.2.14. Пучок излучения оптического квантового ге' нератора (лазера) направлен по оси х. Комплексные ам' плитуды векторов поля в пучке E1 2 7e 10,02x e 1 j 0,4x 1 , В/м; y
1 4 0,008e 10,02x e 1 j (0,4 x 22,873) 1 , А/м. H z Площадь поперечного сечения пучка 4 мм2. Определите среднюю мощность тепловых потерь в объеме пучка, ог' раниченном сечениями x1 = 10 м и x2 = 100 м. 3.2.15. Комплексная амплитуда вектора напряженно' сти электрического поля в диэлектрике: E1 2 0,25e 10,15z e 1 j1,5z 1 , В/м. x
Диэлектрик характеризуется удельной проводимостью sд = = 0,05 См/м. Определите среднюю мощность тепловых по' терь в кубическом объеме с размерами 1´1´1 м. Одна из вер' шин куба находится в центре координат, а противополож' ная ей вершина имеет координаты x = у = z = 1 м. Найдите средний поток вектора Пойнтинга через поверхность куба.
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
37
3.2.16. Векторы электромагнитного поля в вакууме H 2 Hm (r )cos(3t 4 5r )11 ; E 2 1203Hm (r )cos(4t 5 6 r )11 ,
где Hm(r) — амплитуда колебаний вектора H (исполь4 зуется сферическая система координат), b = w/c — ко4 эффициент фазы. Средняя мощность, переносимая че4 рез сферу любого радиуса, P0 = const. Определите функ4 цию Hm(r). 3.2.17. Сферическая волна характеризуется комплекс4 ными амплитудами векторов поля: E1 3 (40/ r )e 10,015r e 1 j 0,43r 1 , В/м; 2
1 5 (0,3/ r )e 10,015r e 1 j (0,43r 223) 1 , А/м. H 4
Определите среднюю мощность, переносимую волной че4 рез сферу радиуса 100 м. 3.2.18. Сферическая волна характеризуется комплекс4 ными амплитудами векторов поля: E1 3 (200/ r )e 10,09r e 1 j5,1r 1 , В/м; 2
1 5 (1,3/ r )e 10,09r e 1 j (5,1r 213) 1 , А/м. H 4
Определите среднюю мощность тепловых потерь в объе4 ме, ограниченном сферами с радиусами 10 и 20 м. Сторон4 ние токи в рассматриваемом объеме отсутствуют. 3.2.19. Комплексная амплитуда вектора E в сфериче4 ской волне: E1 5 (20/ r )e 10,01r e 1 j (1,15r 23 /8) 14 , В/м. Удельная проводимость среды 0,005 См/м. Определите среднюю мощность тепловых потерь в объеме, ограничен4 ном сферами с радиусами 20 и 30 м. Сторонние токи в рас4 сматриваемом объеме отсутствуют. 3.2.20. В тонком проводящем плоском листе толщи4 ной d протекает постоянный ток с плотностью J0. Удель4 ная проводимость материала s. Покажите, что поток век4 тора Пойнтинга, проходящий внутрь участка листа раз4 мерами 1´1 м, равен мощности тепловых потерь в объеме проводника, ограниченном этой поверхностью. 3.2.21. В круглом цилиндрическом проводнике диа4 метром d существует гармонический ток i = I0cos(w0t).
38
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Провод выполнен из металла с удельной проводимостью s0. Плотность тока равномерно распределена по поперечно* му сечению провода. Найдите среднее значение вектора Пойнтинга на поверхности провода. Рассмотрев отрезок провода единичной длины, покажите, что поток вектора Пойнтинга, направленный внутрь провода, равен мощ* ности тепловых потерь. 3.2.22. Как известно, уравнение баланса мгновенных мощностей (теорема Пойнтинга для мгновенных мощностей) содержит член ¶W/¶t, где W 1 3 (wэ 2 wм )dV — энергия элек*
тромагнитного поля в объеме V; wэ = eаE2/2 и wм = mаH2/2 — плотности энергии электрического и магнитного полей со* ответственно. Покажите, что в случае гармонических полей член ¶W/¶t не влияет на баланс средних мощностей (мощно* стей, усредненных за период колебаний). 3.2.23. В некотором объеме V вектор напряженности электрического поля E 1 E0 cos(2t 3 4E ), вектор плотности стороннего электрического тока Jст 1 J0 cos(20 t 3 4I ). По* лучите выражение для мощности сторонних источников, выделяемой в объеме V. Найдите среднее значение и ампли* туду колеблющейся части этой мощности. Считайте, что на* чальные фазы jЕ и jI постоянны в пределах объема V. 3.2.24. В некотором объеме вектор напряженности электрического поля:
E 1 1,5cos(109 t)1x 2 1,5sin(109 t)1y ; вектор плотности стороннего электрического тока:
Jэ 1 2,5cos(109 t 2 33 /4)1x , мА/м2 . Определите, в каком направлении передается мощность: от стороннего источника к полю или наоборот. Найдите среднюю за период объемную плотность данной мощности. 3.2.25. (У) В некотором объеме V задано распределение комплексных амплитуд векторов E и H. Токи проводи* мости отсутствуют. В связи с тем, что вектор поляриза* ции и вектор намагниченности среды колеблются с запаз* дыванием по фазе относительно векторов E и H, среда на частоте w0 характеризуется комплексными относитель* ными диэлектрической и магнитной проницаемостями
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
39
21 3 21 4 j211; 21 3 21 4 j211, где 211 3 0 и 211 3 0. Получите выра# жение для средней за период колебаний поля мощности потерь в объеме V. 3.2.26. (У) Напряженность магнитного поля в феррите: H 1 0,25cos(42 3 107 t), А/м. Вещественная часть комплекс# ной относительной магнитной проницаемости m = 5. Сред# няя мощность потерь в объеме 10 см3 составляет 25 мкВт. Найдите мнимую часть относительной магнитной прони# цаемости среды. Определите знак и абсолютное значение фазового сдвига между колебаниями векторов B и H. Счи# тайте, что токами проводимости можно пренебречь. 3.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 3.3.1. Плоскость XOY декартовой системы координат разделяет среды с относительными диэлектрическими про# ницаемостями e1 = 2, e2 = 4. Вектор электрического смеще# ния в 1#й среде D1 1 51x 2 51z , нКл/м2 . Определите величи# ну вектора D во 2#й среде, а также угол, образуемый этим вектором с направлением нормали к поверхности среды. Поверхностный электрический заряд отсутствует. 3.3.2. Плоская поверхность разделяет две среды с от# носительными диэлектрическими проницаемостями e1 = 2 и e2 = 6. Вектор напряженности электрического поля в 1#й среде имеет величину 2 В/м и образует угол 30° с направ# лением нормали к поверхности раздела. Определите ве# личину и направление вектора E во второй среде. Поверх# ностный электрический заряд отсутствует. 3.3.3. Плоская поверхность разделяет воздух и диэлек# трик с e = 2. Вектор напряженности электрического поля в воздухе ориентирован под углом 45° к поверхности раз# дела. Определите тангенциальную составляющую векто# ра Е во 2#й среде, если в этой среде нормальная состав# ляющая равна 0,8 В/м. Поверхностный электрический заряд отсутствует. 3.3.4. Плоская поверхность разделяет воздух и ди# электрик. Вектор напряженности электрического поля
40
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
в воздухе образует угол 35° с направлением нормали к по( верхности раздела. Для вектора E в диэлектрике этот угол равен 50°. Определите относительную проницаемость диэлек( трика. Поверхностный электрический заряд отсутствует. 3.3.5. Плоская поверхность разделяет две среды с от( носительными диэлектрическими проницаемостями e1 = 5 и e2 = 2. В 1(й среде вектор электрического смещения име( ет величину 5×10–10 Кл/м2 и ориентирован под углом 45° к поверхности раздела. Во 2(й среде величина вектора D равна 2,5×10–10 Кл/м2. Определите плотность поверхност( ного заряда. 3.3.6. Плоскость XOY декартовой системы координат разделяет две среды с относительными диэлектрическими проницаемостями e1 = 1,5 и e2 = 4. Вектор напряженности электрического поля в 1(й среде (z > 0): Е1 1 51x 2 51z , В/м, во 2(й среде (z < 0): Е2 1 51x 2 101z , В/м. Определите плот( ность поверхностного заряда. 3.3.7. Плоская поверхность разделяет две среды с отно( сительными магнитными проницаемостями m1 = 2 и m2 = 10. Вектор магнитной индукции в 1(й среде имеет величину 2×10–8 Тл и образует угол 55° с направлением нормали к по( верхности раздела. Определите величину и направление вектора B во 2(й среде. Поверхностный электрический ток отсутствует. 3.3.8. Плоскость XOY декартовой системы коорди( нат совмещена с поверхностью раздела двух сред, имею( щих относительные магнитные проницаемости m1 = 5 и m 2 = 2. Вектор напряженности магнитного поля в 1(й среде: H1 1 0,31y 2 0,21z , А/м. Определите величину век( тора H во 2(й среде и угол, который образует этот век( тор с направлением нормали к поверхности раздела. По( верхностный электрический ток отсутствует. 3.3.9. Плоская поверхность разделяет воздух и среду с параметрами e2 = 1, m2 = 15. В этой среде вектор напряжен( ности магнитного поля образует угол 20° с направлением нормали к поверхности раздела. Определите нормальную составляющую вектора H в воздухе, если тангенциаль( ная составляющая в воздухе равна 15 мА/м. Поверхност( ный электрический ток отсутствует.
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
41
3.3.10. Полая металлическая труба (волновод) имеет поперечное сечение прямоугольной формы размерами a ´ b. Внутренняя поверхность волновода образована пересечени2 ем плоскостей x = 0, x = а, у = 0 и у = b. Определите, какие проекции векторов E и H (в декартовой системе коорди2 нат) равны нулю: а) в плоскости x = а; б) в плоскости у = 0. Считайте, что металл является идеальным проводником. 3.3.11. Внутренняя поверхность полого металличе2 ского волновода представляет собой цилиндр радиуса r0. Определите, какие проекции векторов E и H (в цилин2 дрической системе координат) равны нулю на данной по2 верхности. Считайте, что металл является идеальным проводником. 3.3.12. Определите, какие проекции векторов E и H (в сферической системе координат) равны нулю на поверх2 ности идеально проводящего шара радиуса r0. 3.3.13. Плоскость XOY декартовой системы координат является границей раздела воздуха и идеального провод2 ника. По поверхности проводника протекает равномерно распределенный ток, ориентированный вдоль оси у. При этом через отрезок оси x длиной 12 см проходит ток 25 мА. Определите тангенциальную к поверхности составляю2 щую вектора напряженности магнитного поля. 3.3.14. По поверхности идеально проводящего ци2 линдра радиуса r0 = 5 см протекает ток с плотностью Jпов 1 0,151z , А/м. Определите величину полного тока, а также тангенциальные составляющие полей E и H на поверхности цилиндра. 3.3.15. По поверхности идеально проводящего шара радиуса r0 = 3 см задана комплексная амплитуда векто2 ра плотности поверхностного тока: Jпов 2 50sin 111 , мА/м. Найдите тангенциальные составляющие полей E и H на поверхности шара. Определите амплитуду тока, пересе2 кающего «экватор» шара (окружность r = 3 см; q = p/2). 3.3.16. Коаксиальная линия передачи представляет со2 бой два концентрических проводящих цилиндра c радиу2 сами а = 2 см и b = 5 см. На поверхности внутреннего ци2 линдра задан вектор напряженности магнитного поля: H (a) 2 0,511 , А/м. По проводникам В противоположных
42
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
направлениях протекает ток одинаковой величины. Опреде& лите вектор плотности тока на поверхности внутреннего ци& линдра, вектор плотности тока и тангенциальную составляю& щую вектора H на поверхности внешнего цилиндра. Счи& тайте, что проводники выполнены из идеального металла. 3.3.17. Полая металлическая труба (волновод) имеет по& перечное сечение прямоугольной формы размерами a ´ b. Внутренняя поверхность волновода образована пересечени& ем плоскостей x = 0, x = а, у = 0 и у = b. На данной поверх& ности задана комплексная амплитуда вектора плотности по& верхностного тока: 4 J sin 3x exp( 6 jhz)1 , при y 7 0 , y 7 b;5 z a 88 0 88 1 Jпов 7 9
8 J0 sin 3y exp(6 jhz)1z , при x 7 0, x 7 a. 8 b 8 8 Считая металл идеальным, определите тангенциаль& 1 на внутренней поверх& ные составляющие полей E1 и H ности волновода. З.3.18. (У) В плоскости z = 0 задана комплексная ампли& туда вектора плотности поверхностного тока J1 пов 1 J1 пов (x)1x. Частота колебаний w. Получите выражение для комплекс& ной амплитуды плотности поверхностного заряда. 3.3.19. (У) Полупространство z > 0 заполнено возду& хом, в полупространстве z < 0 находится идеально прово& дящая среда. В плоскости z = 0 распределен ток с поверх& ностной плотностью J10 1 J10 exp( 2 j30 x)1x , частота колеба& ний w. Получите выражения для комплексных амплитуд векторов E и H в плоскости z = 0. 3.3.20. (У) Участок идеально проводящей поверхности площадью S ограничен замкнутым контуром L. На кон& туре L задана комплексная амплитуда тангенциальной к 1 , а в пределах поверхно& поверхности составляющей H 1 сти S — нормальной составляющей E1 n . Над идеально про& водящей поверхностью находится воздух. Частота коле& баний w. Получите выражение, связывающее циркуляцию 1 1 по контуру L с: а) распределением со& составляющей H 1 ставляющей En ; б) распределением плотности поверхно& стного заряда sпов.
1 2
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Поле плоской электромагнитной волны, распространяю щейся в сторону увеличения координаты z, описывается выражениями: E1 1 ( E1 1 2 E1 1 )exp(34z)exp(3 j5z); x0 x
y0 y
1 1 (H 1 1 2H 1 1 )exp(34z)exp( 3 j5z), H x0 x y0 y
где
E1 y0 E1 x0 12 1 Zc 1 y0 Hx0 H — характеристическое сопротивление среды; 3 4 Re 5 6 a 71 a — коэффициент фазы;
1
1
2
2
3 4 5 Im 6 7 a 81 a — коэффициент ослабления. Комплексная диэлектрическая проницаемость среды: 21 a 3 2a 4 j 1 3 2a (1 4 jtg5), 6 где eа = ee0; tg2 3 1 ; d — угол диэлектрических потерь. 45a В приведенных выше формулах для a и b берется зна чение 1 а , расположенное в IV квадранте комплексной плоскости: 5 6 7 8 a | 91 a | cos 3 ; 4 6 7 8 a | 91 a | sin 3 ; 4 6 tg 3 . 2 2 2 5
12
12
Характеристическое сопротивление среды:
Zc 6 Zo
1 2
31 4 (1 7 tg2 5) 4 exp j 5 , 2 8
12
44
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
10 2 1203 4 377 Ом — характеристическое сопро# 50 тивление вакуума. Коэффициент фазы и коэффициент ослабления мож# но также определять по следующим формулам:
где Zo 2
1 67 1 1 8 1 2 2
2; 1 8 tg 9 2 .
4 5 3 67 1 8 1 1 8 tg2 9 с 2 2
53 с
Фазовая скорость:
2
1 2
1 2
vф 2 1 . 3
Длина волны: vф 2 3 21 3 . 4 f
Групповая скорость: 11
3 d2 4 vгр 5 6 7 . 9 d8
Погонное затухание волны, в децибелах:
1 П ср (0) 2 1 E(0) 2 3 4 20lg 8 4 10lg 8 9 4 20lg(e) 5 6 7 8,686 5 6. 9 (1 м) E
Пср (1 м) Если tgd = 0 (среда без потерь), то 1 . 3 4 2 15; 6 4 0; vф 4 c ; 7 4 с ; Zc 4 Z0 5 c 15 f 15
В среде с малыми потерями tgd = 1, и
1 tg2 4 ; 5 6 3 17; 8 6 3 17 6 Zo 2 2 7 с c 1 . vф 6 c ; 9 6 c ; Zc 6 Z0 7 17 f 17 Если tgd ? 1 (хорошо проводящая среда), то
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
4 565 7 5 28
где
45
12 a 3 ; vф 5 21 ; 2a 3 2 2 ; Z 5 12 a (1 9 j). c 12 a 3 23
В бесстолкновительной плазме 12 2 3 1 4 пл , 12 1пл 2
Ne e2 30 me
— плазменная (ленгмюровская) частота; e = 1,6×10–19 Кл — заряд электрона; me = 9,1×10–31 кг — масса электрона; Ne — концентрация электронов, выраженная в м–3. С учетом под: становок 1пл 2 56,42 Ne или fпл 1 8,979 Ne . Если w > wпл 1 4; (докритическая плазма), то 2 3 a = 0. Групповая ско: с 12 . Если w < wпл рость в докритической плазме vгр 2 c 1 3 пл 12 1 12пл 4 1. (закритическая плазма), то b = 0; 2 3 с 12 При учете влияния столкновений в плазме комплекс: ная диэлектрическая проницаемость 12пл 12пл 2 2 31 4 1 5 1 2 5 j 1 2 2 , 1 1 6 22 1 6 22 1 1 где n — частота соударений электронов с нейтральными молекулами. При этом для определения a и b следует брать значение 1, расположенное в IV квадранте комплексной плоскости. Индукция постоянного магнитного поля в сверхпро: воднике изменяется по закону
B(z) 3 B(0) 4 exp 16 5 z 27, 9 8L
46
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
где z — координата, отсчитываемая по нормали вглубь сверхпроводника; mS 1L 2 30 NS qs2 — параметр, называемый лондоновской длиной; Ns, qs, ms — концентрация, заряд и масса сверхпроводящих но1 сителей соответственно. Поскольку носителями сверхпро1 водящего тока являются куперовские пары электронов, то Ns = Ne ds/2; qs = 2e; ms = 2me, здесь Ne — концентрация свободных электронов в металле, ds — доля свободных электронов, объединившихся в куперовские пары. Под1 становки показывают, что 3L 4
c
1 5пл
6s
2
,
где wпл — плазменная частота. В случае переменного электромагнитного поля свой1 ства металла идентичны свойствам плазмы, в которой часть электронов не испытывает соударений. При этом
12пл 3 2n 4 2s 8
, 12 99 17 j
1 где n — частота соударений нормальных электронов; dn = = 1 – ds — доля нормальных электронов. Если температу1 ра Т больше критической температуры Тс, то dn = 1 и ds = 0. В случае Т < Тс доля нормальных электронов 51 6 1 7
dn = (T/Tc)4. При решении задач может оказаться полезным вос1 пользоваться комплексной удельной проводимостью 11 2 1n 3 j1s . Связь между 11 и 1 определяется соотношением 1 21 3 1 4 j 1 . 20 5 Сверхпроводящая часть комплексной удельной прово1 димости:
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
3s 4
47
12пл 20 5s 4 1 2 . 1 160 7 L
Нормальная часть комплексной удельной проводимо& сти при n ? w 12 2 3n 4 пл 0 5n . 6 4.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ВОЛН 4.1.1. Плоская электромагнитная волна с частотой 10 ГГц распространяется в среде без потерь с относитель& ными проницаемостями e = 10; m = 2. Определите коэф& фициент фазы, фазовую скорость, длину волны и харак& теристическое сопротивление среды. 4.1.2. Плоская электромагнитная волна распростра& няется в диэлектрике без потерь. Расстояние между со& седними синфазными фронтами равно 20 м, скорость пе& ремещения фронтов составляет 1,5×108 м/с. Определите относительную диэлектрическую проницаемость среды, частоту колебаний, фазовую постоянную и длину волны. 4.1.3. Определите частоты, для которых сухая почва, влажная почва и морская вода могут считаться металло& подобными. Считайте, что для металлоподобной среды плотность тока проводимости превышает плотность тока смещения по крайней мере в 10 раз. Относительная маг& нитная проницаемость названных сред: m = 1. Примечание: а) для сухой почвы относительная ди& электрическая проницаемость: e = 5, удельная проводи& мость: s = 10–3 См/м; б) для влажной почвы e = 30, s = 0,08 См/м; в) для морской воды e = 75, s = 4 См/м. 4.1.4. Плоская электромагнитная волна с частотой 10 МГц распространяется в среде с относительными про& ницаемостями e = 3,5; m = 1 и удельной проводимостью 10–3 См/м. Определите фазовую скорость и характеристи& ческое сопротивление среды.
48
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
4.1.5. Плоская электромагнитная волна с частотой 0,3 ГГц распространяется в среде с относительными проницаемостями e = 4; m = 3 и удельной проводимостью 0,02 См/м. Определите длину волны и коэффициент ослабления. 4.1.6. Плоская электромагнитная волна распространяется в среде с относительными проницаемостями e = 4; m = 1,5 и удельной проводимостью 0,005 См/м. Коэффициент ослабления в 5 раз меньше коэффициента фазы. Определите частоту колебаний и коэффициент ослабления. 4.1.7. Измерения, проведенные на некоторой частоте, показали, что длина волны в диэлектрике с потерями в 1,8 раза меньше длины волны в вакууме. Относительные проницаемости среды e = 3; m = 1. Определите тангенс угла электрических потерь и комплексное характеристическое сопротивление диэлектрика. 4.1.8. Определите, во сколько раз уменьшается амплитуда плоской волны на расстоянии, равном длине волны в среде. Рассмотрите распространение в среде с тангенсом угла потерь, равным: а) 0,1; б) 1,0; в) 10,0. 4.1.9. Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц распространяется в диэлектрике без потерь с m = 1. Измерения показали, что разность фаз колебаний вектора E в точках, разнесенных на 10 см в направлении распространения, составляет 60°. Определите фазовую скорость, относительную диэлектрическую проницаемость и характеристическое сопротивление диэлектрика. 4.1.10. (У) Плоская электромагнитная волна распространяется в диэлектрике без потерь с относительными проницаемостями e = 3; m = 1. В начале координат E(t) 1 0,4cos(2 2 109 t)1x 3 0,4sin(2 2109 t)1y , В/м.
Определите вид поляризации волны. Найдите комплексную амплитуду вектора E на расстоянии 0,5 м от начала координат в направлении распространения. 4.1.11. (У) Плоская электромагнитная волна с правой круговой поляризацией распространяется вдоль оси z в диэлектрике без потерь с параметрами e = 2,08; m = 1. Час-
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
49
тота колебаний 3 ГГц. Определите вектор E(t) в плоско# сти z = 2,5 см, если при z = 0 и t = 0 E 1 101y , В/м. 4.1.12. Плоская электромагнитная волна распространя# ется вдоль оси, которая лежит в плоскости XOY и образует угол 30° с осью х и угол 60° с осью у. Частота колебаний 10 ГГц, среда — воздух. В начале координат E1 1 0,81z , В/м. Запишите комплексную амплитуду E1 как функцию коор# динат х и у. 4.1.13. Плоская электромагнитная волна распростра# няется в воздухе. Волновой вектор k 1 kx 1x 2 kz 1z , где kx и kz — положительные вещественные числа; kx = 1,074 1/м. 1 1 0,08 2 1 , А/м. Частота колебаний В начале координат H y 150 МГц. Найдите составляющую kz. Запишите комплекс# ную амплитуду E1 как функцию координат x и z. 4.1.14. Плоская электромагнитная волна с частотой 400 МГц распространяется в среде с m = 1. Измерения по# казали, что на расстоянии 6 см амплитуда волны умень# шается в 1,2 раза, а начальная фаза колебаний уменьша# ется на 60°. Определите относительную диэлектрическую проницаемость и удельную проводимость среды. 4.1.15. Плоская электромагнитная волна распростра# няется в сторону увеличения координаты x. В плоскостях x1 = 5 м и x2 = 10 м отношение амплитуд Em(x2)/Em(x1) = = 0,95, а разность фаз колебаний электрического векто# ра jE(x2) – jE(x1) = –p/3. Определите коэффициент фазы, длину волны, коэффициент ослабления и угол потерь. 4.1.16. Плоская электромагнитная волна распростра# няется в сторону увеличения координаты z. В плоскостях z1 = 20 м и z2 = 50 м отношение амплитуд Em(z2)/Em(z1) = = 0,98, а разность фаз колебаний электрического вектора jE(z2) – jE(z1) = –80°. Определите отношение амплитуд и разность фаз колебаний вектора E в плоскостях z1 = 20 м и z3 = 110 м. 4.1.17. Плоская электромагнитная волна с частотой 1 ГГц распространяется в сторону увеличения координа# ты z в среде с относительными проницаемостями e = 5; m = 2 и удельной проводимостью 0,4 См/м. В плоскости z1 = 1 см амплитуда колебаний вектора H равна 20 мА/м, начальная фаза колебаний H составляет 30°. Определите
50
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
амплитуду и начальную фазу колебаний вектора H в плоскости z2 = 3 см. 4.1.18. Плоская волна распространяется в сторону уве, личения координаты x в среде с относительными проницае, мостями e = 15; m = 1 и удельной проводимостью 0,02 См/м. В плоскости x = 0 E(t) 1 7cos(5 2 108 t 3 4 /6)1y , мВ/м.
Определите вектор E(t) в плоскости x1 = 0,5 м. 4.1.19. Плоская электромагнитная волна распространя, ется в направлении положительных значений координаты z в среде с относительными проницаемостями e = 2,5; m = 1 и тангенсом угла потерь, равным 0,03. В плоскости z = 0 H (t, 0) 1 5cos(62 3 107 t)1x 4 5sin(62 3 107 t)1y , мА/м.
Определите вектор H (t) в плоскости z = 1 м. 4.1.20. Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц распространяется в диэлектрике без потерь с па, раметрами e = 3,8; m = 1. В плоскости у = 0 комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля E1 1 21x 2 j21z , мВ/м. Волна распространяется в сторону уве, личения координаты у. Определите комплексную ампли, туду вектора H данной волны как функцию координаты у. 4.1.21. (У) Плоская электромагнитная волна с частотой 30 МГц распространяется в вакууме в сторону увеличения координаты z. Поляризация волны — эллиптическая с пра, вым направлением вращения. Отношение большой полу, оси эллипса к малой полуоси равно 2. Большая полуось эл, липса поляризации вектора E параллельна оси у. При t = 0 и z = 0 E 1 51x 2 51y , В/м. Определите комплексные ампли, туды векторов E и H как функции координаты z. 4.1.22. Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией распространяется в среде с относительны, ми проницаемостями e = 10; m = 1 и удельной проводимо, стью 1,5×10–4 См/м. Разность фаз колебаний векторов E и H составляет 10°. Определите частоту колебаний и длину волны в среде. 4.1.23. Длина волны в диэлектрике с потерями в 1,5 раза меньше по сравнению с длиной волны в вакууме. Поляриза,
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
51
ция волны — линейная. Разность фаз колебаний векторов E и H составляет 15°, oтносительная магнитная проницае) мость m = 1. Определите относительную диэлектрическую проницаемость и характеристическое сопротивление среды. 4.1.24. Плоская электромагнитная волна с частотой 5,5 МГц распространяется в среде с относительными проницаемостями e = 5; m = 1 и удельной проводимостью 10–3 См/м. Волна распространяется в направлении уве) личения координаты х. В плоскости x = 0 амплитуда ко) лебаний вектора E равна 0,15 В/м. Определите ампли) туду колебаний вектора E в плоскости х = l. Найдите разность фаз колебаний векторов E и H. 4.1.25. Плоская электромагнитная волна с частотой 150 МГц распространяется в среде с относительными про) ницаемостями e = 2,5; m = 1 и удельной проводимостью 0,01 См/м. В плоскости y = 0 комплексная амплитуда 1 2 25e j1 /6 1 , мА/м. Волна распространяется в направле) H x нии увеличения координаты у. Определите комплексную амплитуду вектора E как функцию координаты у. 4.1.26. Плоская электромагнитная волна распростра) няется в среде с относительными проницаемостями e = 4; m = 1 и удельной проводимостью 0,003 См/м. В плоско) сти x = 0
E(t) 1 2sin(2 2 108 t 3 4 /6)1z , мВ/м. Волна распространяется в направлении увеличения коор) динаты х. Определите вектор H (t, x). 4.1.27. (У) Плоская электромагнитная волна с часто) той 3 ГГц распространяется в направлении увеличения координаты z в среде с относительными проницаемостя) ми e = 3; m = 1 и удельной проводимостью 0,3 См/м. По) ляризация волны — левая круговая, причем в плоскости z = 0 при t = 0 вектор H 1 101y , мА/м. Определите ком) плексные амплитуды векторов E и H в плоскости z = 0. 4.1.28. В некоторой точке пространства известны век) торы поля плоской волны:
E(t) 1 0,8cos(22 3 108 t 4 10o )1z , В/м; H (t) 1 5cos(22 3 108 t)1x , мА/м.
52
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Определите относительную диэлектрическую проницае' мость и удельную проводимость среды (считайте, что от' носительная магнитная проницаемость m = 1). 4.1.29. Плоская электромагнитная волна распростра' 1 ориентирован парал' няется в вакууме, причем вектор H лельно оси x. В начале координат E1 1 21y 2 41z , В/м. Оп' 1 в начале координат. ределите комплексную амплитуду H Найдите среднее значение вектора Пойнтинга. 4.1.30. Плоская электромагнитная волна с частотой 600 МГц распространяется в вакууме. Среднее значение век' тора Пойнтинга 1 ср 2 101z 3 51x , мВт/м2 . Вектор E ориен' тирован параллельно оси y, причем в начале координат на' чальная фаза колебаний вектора E равна нулю. Определи' 1 во всем пространстве. те комплексные амплитуды E1 и H 4.1.31. В диэлектрике без потерь с параметрами e = 5; m = 1 распространяется плоская волна. При этом через площадку 10 см2, ориентированную перпендикулярно на' правлению распространения волны, переносится средняя мощность 50 мВт. Определите амплитуду колебаний век' тора E и вектора H. Поляризация волны — линейная. 4.1.32. (У) Плоская электромагнитная волна с правой круговой поляризацией распространяется в направлении увеличения координаты х в диэлектрике без потерь с от' носительной проницаемостью e = 9. Среднее значение век' тора Пойнтинга равно 0,2 мВт/м2, частота поля составля' 1 как ет 3 ГГц. Определите комплексные амплитуды E1 , H функции координаты х, если при х = 0, t = 0 вектор H ориентирован параллельно оси у. 4.1.33. (У) Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц распространяется в направлении увеличения ко' ординаты у в среде с относительными проницаемостями e = 4; m = 1 и удельной проводимостью 0,03 См/м. В пло' 1 3 0,02e 1 j302 1 , А/м. скости у = 0 комплексная амплитуда H x Определите среднее значение вектора Пойнтинга в плос' кости у1 = 20 см. 4.1.34. Плоская электромагнитная волна распространя' ется в среде с относительными проницаемостями e = 5; m = 1 и удельной проводимостью 0,025 См/м. Среднее значение вектора Пойнтинга в плоскости z = 0 1 ср 2 1501z , мВт/м2 .
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
53
Определите 1 ср в плоскости z = 0,1 м на частотах 10 ГГц и 100 МГц. 4.1.35. Плоская волна с частотой 50 МГц распростра& няется в среде с параметрами e = 6; m = 1; s = 0,025 См/м. Средняя плотность потока мощности в некоторой точке пространства равна 10 Вт/м2. Определите амплитуду на& пряженности электрического поля в данной точке. 4.1.36. Плоская волна с частотой 1 ГГц распространя& ется в среде с параметрами e = 20; m = 1; s = 0,7 См/м. Комплексная амплитуда вектора H в плоскости z = 0 1 1 201 2 j101 , мА/м. Определите среднюю плотность H x y потока мощности в данной плоскости. 4.1.37. Плоская волна распространяется в среде с па& раметрами e = 30; m = 1; s = 0,15 См/м. В плоскости z = 0 E(t) 1 1,5cos(22 3 108 t)1y , В/м. Определите среднее значе& ние и амплитуду колебательной составляющей вектора Пойнтинга в данной плоскости. 4.1.38. На частоте 1 ГГц мышечная ткань человека ха& рактеризуется относительной диэлектрической проницае& мостью e = 50,5 и удельной проводимостью s = 1,35 См/м. На этой же частоте жировая ткань имеет параметры e = 6,0 и s = 0,091 См/м. Для этих тканей определите расстояние, на котором среднее значение плотности потока мощности, переносимой плоской волной, убывает в 10 раз (ослабле& ние 10 дБ). 4.1.39. На частоте 100 МГц мышечная ткань человека характеризуется относительной диэлектрической проницае& мостью e = 73 и удельной проводимостью s = 0,87 См/м. На частоте 10 ГГц мышечная ткань имеет параметры e = 24 и s = 4,27 См/м. Для этих частот определите расстояние, на котором среднее значение плотности потока мощности, пе& реносимой плоской волной в мышечной ткани, убывает в 10 раз (ослабление 10 дБ). 4.1.40. (У) На поверхности Земли средняя плотность потока солнечного излучения 135 мВт/см2. Определите среднеквадратичное значение напряженности электриче& ского поля бегущих волн солнечного света. 4.1.41. (У) На поверхности Земли среднеквадратичное значение напряженности магнитного поля бегущих волн
54
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
солнечного света равно 1,892 А/м. Расстояние от Земли до Солнца — 1,496×108 км. Радиус Земли — 6370 км. Оп( ределите среднюю мощность солнечного излучения, па( дающего на поверхность Земли. Найдите полную мощ( ность солнечного излучения, считая Солнце изотропным источником электромагнитных волн. 4.1.42. (У) Плоская волна с частотой w 0 распростра( няется в среде без потерь с параметрами e и m. Комплекс( ная амплитуда напряженности электрического поля: E 1 E0 exp[ j(20 3 40 z)]1y , где E0, j0, b0 — вещественные ве( личины. Определите мгновенную и среднюю плотности энергии электромагнитного поля данной волны. 4.1.43. (У) Плоская волна с частотой w0 распростра( няется в среде без потерь с параметрами e и m. Комплекс( ная амплитуда напряженности электрического поля: E 1 E0 2 exp[ j(30 4 50 z)]1y , где E0, j0, b0 — вещественные параметры. Определите скорость переноса энергии вол( ной. Убедитесь, что эта скорость равна фазовой скоро( сти волны. 4.1.44. Плоская электромагнитная волна распростра( няется в среде с параметрами e = 7; m = 2. Определите от( ношение средней плотности энергии электрического поля к средней плотности энергии магнитного поля в двух слу( чаях: а) потери в среде отсутствуют; б) тангенс угла потерь равен 10. 4.1.45. (У) Плоская электромагнитная волна распро( страняется в направлении увеличения координаты z в од( нородной изотропной среде с потерями. Частота колеба( ний поля w0. Сторонние источники отсутствуют. Покажи( те, что в прямоугольном объеме данной среды выполняется баланс средних (за период колебаний) мощностей. В каче( стве примера рассмотрите прямоугольный объем разме( рами a´b´l, вершины которого имеют координаты (0, 0, 0), (а, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, l ), (a, b, l ) и т. д. 4.1.46. (У) Плоская электромагнитная волна распро( страняется в однородной изотропной среде с потерями. При этом вектор напряженности электрического поля E 1 E0 exp(23z)cos(40 t 2 5 z)1y. Сторонние источники отсут( ствуют. На примере данной волны убедитесь в выполне(
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
55
нии закона сохранения энергии для мгновенных мощно& стей в дифференциальной форме: div(2) 3 1w 3 pпот 4 0, 1t где 1 — вектор Пойнтинга, w — плотность энергии элек& тромагнитного поля, pпот — плотность мощности потерь. 4.1.47. (У) В плоскости z = 0 равномерно распределен ток с поверхностной плотностью Jпов 1 J0 cos(20t)1y. Дан& ный ток возбуждает плоские гармонические волны, кото& рые распространяются в противоположные стороны от плоскости z = 0. Средняя плотность потока мощности в этих волнах составляет 100 мкВт/м2. Определите ампли& туду плотности поверхностного тока J0. Окружающая сре& да — воздух. 4.1.48. (У) Покажите, что плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении увеличения координаты z в однородной изотропной среде, не может иметь составляющие поля параллельные оси z. 4.1.49. (У) Плоская электромагнитная волна распро& страняется в однородной среде без потерь. Пользуясь урав& нениями Максвелла, покажите, что для любого момента времени векторы E и H взаимно перпендикулярны. 4.1.50. (У) Комплексная амплитуда вектора напряжен& ности электрического поля неоднородной плоской волны: E1 1 E0 exp(23 x x 2 j4z z)1y. Волна распространяется в полу& пространстве х > 0, заполненном диэлектриком без потерь с параметрами e и m. Частота колебаний w0. Получите выра& жение, связывающее вещественные коэффициенты ax и bz. 4.1.51. (У) В полупространстве х > 0, заполненном воздухом, задана комплексная амплитуда вектора на& пряженности электрического поля неоднородной пло& ской волны: E1 1 E0 exp(23 x x 2 j4z z)1y. Волна распростра& няется в направлении увеличения координаты z с фазо& вой скоростью 1,5×10 8 м/с. Частота колебаний 3 ГГц. Определите вещественные коэффициенты ax и bz. 4.1.52. (У) В полупространстве х > 0, заполненном воз& духом, задана комплексная амплитуда вектора напряжен& ности электрического поля неоднородной плоской волны:
56
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
E1 1 E0 exp(23 x x 2 j4z z)1y , где ax и bz — вещественные коэффициенты. Получите вы' ражение для среднего значения вектора Пойнтинга дан' ной волны. 4.1.53. (У) Плоская электромагнитная волна распростра' няется в сторону увеличения координаты z. Вектор напря' женности электрического поля описывается выражением
E 1 Em cos(20t 3 4z 5 6x )1x 5 Em cos(20t 3 4z 5 6y )1y ; т. е. составляющие Ex (t) и Ey (t) имеют одинаковые ам' плитуды и различные начальные фазы колебаний. Опре' делите положение главных осей эллипса поляризации. Запишите составляющие вектора E в системе коорди' нат, в которой орты, перпендикулярные направлению распространения, параллельны главным осям эллипса поляризации. 4.1.54. (У) Две плоские электромагнитные волны по' ляризованы по кругу в противоположные стороны и рас' пространяются в сторону увеличения координаты z. Сре' да распространения — вакуум. Волны имеют одинаковые амплитуды Em. Начальная фаза правополяризованной волны равна jп, левополяризованная волна характери' зуется начальной фазой jл. Частота колебаний w0. Най' дите напряженность электрического поля суммарной волны. Определите поляризацию суммарной волны. 4.1.55. (У) Две плоские электромагнитные волны по' ляризованы по кругу в противоположные стороны и рас' пространяются в сторону увеличения координаты z. Сре' да распространения — вакуум. Волны имеют одинаковую частоту w0 и начальную фазу колебаний j0. Амплитуда правополяризованной волны равна Eп, амплитуда левопо' ляризованной волны равна Eл. Найдите напряженность электрического поля суммарной волны E1 (t). Определи' те ее поляризацию. 4.1.56. (У) Две плоские электромагнитные волны с ли' нейной поляризацией распространяются в вакууме в сто' рону увеличения координаты z. При этом вектор напря' женности электрического поля 1'й волны:
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
57
E1 1 Em1 cos[20 (t 3 z/c) 4 51 ]; для 2й волны:
E2 1 Em2 cos[20 (t 3 z/c) 4 52 ]. Вектор Em1 параллелен оси х, вектор Em2 повернут отно сительно Em1 против часовой стрелки на угол q, если смот реть с конца орта 1z (навстречу распространяющейся вол не). Найдите положение главных осей эллипса поляриза ции волны, если Em1 = Em2 = Em, j1 – j2 = p/2. Определите составляющие вектора E, спроектированные на главные оси эллипса поляризации. 4.1.57. (У) Две плоские электромагнитные волны с ли нейной поляризацией распространяются в вакууме в сто рону увеличения координаты z. Векторы напряженности электрического поля этих волн имеют вид E1 (t) 1 Em1 cos(21t 3 41z)1x ; E2 (t) 1 Em2 cos(22t 3 42 z)1y.
Амплитуда колебаний: Em1 = Em2 = Em, а частоты отлича ются на малую величину |w2 – w1| = (w1 + w2)/2. Найдите по ложение главных осей эллипса поляризации суммарной волны. Определите составляющие вектора E, спроекти рованные на главные оси эллипса поляризации. Проана лизируйте поляризацию суммарной волны. 4.1.58. (У) Две плоские электромагнитные волны рас пространяются в воздухе в сторону увеличения координа ты z. Волны имеют круговую поляризацию с правым и левым направлением вращения векторов поля. Амплиту ды колебаний электрического поля этих волн одинаковы и равны Em. Правополяризованная волна имеет частоту w1 и начальную фазу j1, левополяризованная волна характе ризуется частотой w2 и начальной фазой j2. Частоты от личаются на малую величину |w2 – w1| = (w1 + w2)/2. Полу чите выражение для вектора напряженности электриче ского поля суммарной волны в виде
E(t) 1 E0 (t)cos[20 (t 3 z/c) 4 50 ], где w0 = (w1 + w2)/2, j0 = (j1 + j2)/2. Определите поляриза цию волны.
58
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
4.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ 4.2.1. Определите фазовую скорость и длину волны в меди на частоте 150 МГц. 4.2.2. Найдите коэффициент ослабления плоской элек3 тромагнитной волны в латуни на частоте 1 ГГц. Опреде3 лите характеристическое сопротивление латуни для дан3 ного случая. 4.2.3. Определите толщину скин3слоя для меди на час3 тотах 50 Гц и 50 МГц. 4.2.4. Определите, во сколько раз меньше фазовая ско3 рость и длина волны в меди по сравнению с аналогичными характеристиками в вакууме. Частота колебаний 3 ГГц. 4.2.5. Определите толщину медного экрана, который на частоте 60 МГц обеспечивает затухание 60 дБ. Как из3 менится ответ для частоты 60 Гц? 4.2.6. Амплитуда колебаний векторов E и H в меди уменьшается в 10 раз на расстоянии 5 мкм. Определите частоту колебаний и длину волны в меди. 4.2.7. Плоская электромагнитная волна затухает в мед3 ном экране. При этом амплитуда колебаний вектора H составляет 0,5 А/м на поверхности экрана и 0,15 А/м на глубине h = 10–6 м. Определите частоту поля. Найдите ам3 плитуду колебаний вектора E на поверхности экрана и на глубине h. 4.2.8. Амплитуда колебаний вектора H в плоской вол3 не для некоторой точки пространства составляет 1,2 А/м. Определите амплитуду колебаний вектора E в данной точ3 ке, если: а) волна распространяется в вакууме; б) волна распространяется в латуни. Частота колебаний 50 МГц. 4.2.9. Плотность потока мощности, переносимой пло3 ской волной в металле, на расстоянии 0,01 мм уменьши3 лась в 103 раза. Определите длину волны в металле и тол3 щину скин3слоя. 4.2.10. Молекулы воды обладают собственными ди3 польными моментами в отсутствие внешнего электриче3 ского поля. Колебания внешнего электрического поля приводят к колебаниям суммарного дипольного момента
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
59
воды. Этот процесс, называемый ориентационной поля% ризацией, описывается в диапазоне СВЧ комплексной от% носительной диэлектрической проницаемостью воды: 1(3) 4 1b 5
1 a 2 1b . 1 5 j36
Пресная вода при температуре t = 25°С имеет парамет% ры eb = 5,5; ea = 78,5; t = 8,33×10–12 с. Определите затуха% ние поля плоской волны в пресной воде на расстоянии 1 см. Найдите длину волны в пресной воде. Частота колебаний 20 ГГц. 4.2.11. Плоская электромагнитная волна с частотой 30 МГц распространяется в бесстолкновительной плазме с электронной концентрацией 2×1012 м–3. Определите фа% зовую скорость, групповую скорость и длину волны. 4.2.12. Плоская электромагнитная волна распростра% няется в плазме, характеризующейся электронной кон% центрацией 5,5×1016 м–3 и частотой соударений 9×109 с–1. Частота колебаний поля 5 ГГц. Определите коэффициент ослабления и длину волны в плазме. 4.2.13. Плоская электромагнитная волна распростра% няется в бесстолкновительной плазме с электронной кон% центрацией 5,5×1012 м–3. Частота колебаний поля 20 МГц. Определите, при какой длине пути распространения зату% хание волны составит 20 дБ. 4.2.14. При спуске космических аппаратов в плотных слоях атмосферы вокруг оболочки аппарата возникает плазменный слой, который может оказывать экранирую% щее действие на работу бортовых радиосредств. Пусть в некоторой фазе полета плазменный слой имеет средние параметры Ne = 2×1018 м–3, частоту соударений 1010 с–1 и характеризуется толщиной 3 см. Оцените затухание ра% диосигналов в плазменном слое на частоте 10 ГГц. Счи% тайте, что плазменный слой в области расположения при% емной антенны можно приближенно считать плоским и однородным. Отражением от границ слоя пренебрегайте. 4.2.15. Для многих веществ в области видимого света относительная диэлектрическая проницаемость описыва% ется формулой
60
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Ne2 , me 10 5 (220 6 22 ) где N — концентрация атомов вещества; е, me — заряд и масса электрона; w0 — собственная частота атомных диполь4 ных осцилляторов в классической модели Дж. Томсона (w0 > w, так как собственные частоты обычно расположены в ультрафиолетовой области спектра). Получите формулу для групповой скорости в данном случае. Убедитесь, что групповая скорость меньше скорости света в вакууме. 4.2.16. (У) Среда с частотной дисперсией характеризу4 ется зависимостью фазовой скорости от длины волны в среде: vф = vф(l). Получите формулу Рэлея для групповой скорости: vгр = vф – l(dvф/dl). 4.2.17. (У) Частотная зависимость фазовой постоянной для некоторой среды в окрестности частоты w0 имеет вид b(w) = b0 + b1(w – w0). В данной среде в сторону увеличения координаты z распространяется радиоимпульс, который в плоскости z = 0 характеризуется напряженностью элек4 трического поля E(t) = E0(t)cos(w0t), где E0(t) — низкочас4 тотное колебание (огибающая поля E(t)) со спектральной плотностью S0(w). Определите: а) распределение напря4 женности электрического поля E(t, z); б) пространствен4 ную спектральную плотность распределения огибающей поля E(z) при t = t0. 4.2.18. (У) Частотная зависимость фазовой постоянной для некоторой среды в окрестности частоты w0 имеет вид b(w) = b0 + b1(w – w0) + b2(w – w0)2. В данной среде распро4 страняется радиоимпульс с несущей частотой w0, который в плоскости z = 0 имеет прямоугольную огибающую дли4 тельностью tи. Длина радиотрассы L. Получите выраже4 ние для параметра Dt/tи, который является оценкой сте4 пени расплывания импульса; здесь Dt — разность времен прохождения трассы крайними узкополосными группа4 ми в спектре радиоимпульса. Примечание. Считайте приближенно, что для прямо4 угольного импульса спектральные составляющие сосре4 доточены в пределах главного лепестка его спектра. 4.2.19. Определите время прохождения радиоимпуль4 са по трассе длиной 200 км в бесстолкновительной плазме 1(2) 3 1 4
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
61
(ионосфере) с электронной концентрацией Ne = 6×1011 м–3. Несущая частота f0 = 14 МГц. Полагайте, что ширина спек+ тра радиоимпульса P достаточно мала, и в пределах час+ тотного интервала (f0 – P/2, f0 + P/2) производную db/dw можно считать постоянной. 4.2.20. (У) В радиоастрономии большое внимание уде+ ляется исследованию пульсаров — быстро вращающихся нейтронных звезд, которые излучают электромагнитные колебания (максимальная интенсивность излучения про+ исходит в направлении магнитной оси звезды, образующей некоторый угол с осью вращения). В процессе вращения пульсара его излучение может периодически направлять+ ся на Землю. Измерение расстояния до пульсаров основы+ вается на известных дисперсионных свойствах межзвезд+ ной среды, характеризующейся средней электронной кон+ центрацией 0,03 см–3. Пусть время прихода импульсов регистрируется с помощью двух приемников радиотелеско+ па, настроенных на частоты f1 = 200 МГц и f2 = 250 МГц. Из+за дисперсии среды на выходе 2+го приемника импуль+ сы наблюдаются на 0,95 с раньше, чем на выходе 1+го при+ емника (период следования импульсов превышает этот сдвиг). Определите расстояние до пульсара. 4.2.21. (У) Расстояние от пульсара (космический источ+ ник радиоизлучения) до Земли составляет 1260 световых лет. Импульсы, излучаемые пульсаром, принимаются ра+ диотелескопом, который настроен на частоту 100 МГц. Оп+ ределите вклад межзвездной среды во временную задерж+ ку между излучением и регистрацией данных импульсов. Плотность электронов в межзвездной среде составляет в среднем 0,03 см–3. 4.2.22. (У) В центре Крабовидной туманности находит+ ся пульсар NP0532 с крайне малым периодом вращения: T = 0,033 с. Спектр излучения пульсара содержит практи+ чески все радиочастоты (от KB до оптического диапазона), поэтому импульсы излучения неизбежно искажаются из+ за частотной дисперсии в межзвездной среде. Оцените по+ лосу пропускания приемника радиотелескопа, необходи+ мую для регистрации импульсов пульсара. Считайте допус+ тимым временное разрешение приемника (разность времен
62
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
запаздывания узкополосных групп в регистрируемом спек) тре), равное 0,1 T. Расстояние до пульсара — 2000 парсек. Средняя концентрация электронов в межзвездной среде 0,03 см–3. Приемник настроен на частоту 500 МГц. 4.2.23. (У) При передаче информации на искусственные спутники Земли следует учитывать возможность диспер) сионных искажений радиосигналов в ионосфере. При этом для оценки степени искажений АМ)сигналов можно ис) пользовать отношение Dt/Tmin, где Dt — разность времени запаздывания крайних узкополосных групп в спектре сиг) нала; Tmin — период самой высокочастотной компоненты в законе модуляции амплитуды несущего колебания. Опре) делите, для какой несущей частоты АМ)сигнала его иска) жения не будут выходить за уровень Dt/Tmin = 0,1. Ширина спектра передаваемого сигнала 1 МГц. Радиоволны прохо) дят через ионосферу вертикально. Приближенно считайте, что на прохождение сигналов УКВ и более высокочастот) ных диапазонов основное влияние оказывает участок ио) носферы в диапазоне высот 230–400 км со средней концен) трацией в дневное время 3×1011 см–3. 4.2.24. (У) При передаче информации на искусствен) ные спутники следует учитывать возможность дисперси) онных искажений радиосигналов в ионосфере. При этом для оценки степени искажений радиоимпульсов с прямо) угольной огибающей можно использовать отношение Dt/tи, где Dt — разность времени запаздывания крайних узко) полосных групп в пределах главного лепестка спектра радиоимпульса; tи — длительность радиоимпульса. Оп) ределите, для какой несущей частоты радиоимпульса его искажения не будут выходить за уровень Dt/tи = 0,1. Ра) диоволны проходят через ионосферу вертикально. Дли) тельность импульсов 3 мкс. Приближенно считайте, что на прохождение сигналов УКВ и более высокочастотных диапазонов основное влияние оказывает участок ионосфе) ры в диапазоне частот 230–400 км со средней концентра) цией в дневное время 3×1011 м–3. 4.2.25. (У) В однородной бесстолкновительной плазме с электронной концентрацией Ne распространяется ЛЧМ радиоимпульс, который в начале трассы имеет прямо)
ГЛАВА 4. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
63
угольную огибающую, длительность tи и закон изменения мгновенной частоты w(t) = w0 + at. При этом база ЛЧМ импульса B = Dwtи, где Dw = atи — девиация частоты за время tи. Как известно, в ионизированной среде может происходить сжатие (компрессия) ЛЧМ радиоимпульсов с большой базой B ? 1. Это связано с изменением времени запаздывания узкополосных групп в пределах спектра импульса, который при B ? 1 приближенно занимает час: тотный интервал (w0, w0 + Dw). Получите выражение для длины трассы, при которой эффект сжатия будет макси: мальным. Определите знак коэффициента а, при котором возможен данный эффект. 4.2.26. Определите глубину проникновения постоянно: го магнитного поля в металл, находящийся в сверхпрово: дящем состоянии и характеризующийся концентрацией свободных электронов Ne = 2×1028 м–3. Считайте, по опре: делению, что на расстоянии, равном глубине проникнове: ния, величина магнитной индукции уменьшается в 100 раз. 4.2.27. (У) Определите глубину проникновения перемен: ного магнитного поля с частотой 10 ГГц в металл, находя: щийся в сверхпроводящем состоянии и характеризующий: ся концентрацией свободных электронов Ne = 2×1028 м–3. Считайте, по определению, что на расстоянии, равном глу: бине проникновения, величина магнитной индукции умень: шается в 100 раз. 4.2.28. (У) Определите глубину проникновения пере: менного магнитного поля с частотой 1 кГц в металл, ха: рактеризующийся концентрацией свободных электронов Ne = 1028 м–3 и частотой соударений í = 0,5×1013 c–1. Рас: смотрите два случая: а) сверхпроводящие электроны от: сутствуют, т. е. температура выше критической темпера: туры Тс; б) все свободные электроны образуют сверхпро: водящие куперовские пары, т. е. температура ниже Тс. Считайте, по определению, что на расстоянии, равном глу: бине проникновения, величина магнитной индукции умень: шается в е раз (это расстояние часто называют толщиной скин:слоя).
ГЛАВА ПЯТАЯ
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
При падении плоской волны на границу раздела двух сред (плоскость XOY на рис. 5.1 и 5.2) выделяют плоскость па! дения, содержащую векторы Пойнтинга в падающей, от! раженной и преломленной волнах (плоскость XOZ). Если векторы E в этих волнах параллельны плоскости падения, то поляризацию волн называют параллельной (рис. 5.1), а если векторы E перпендикулярны плоскости падения, то говорят о перпендикулярной поляризации (рис. 5.2). Для описания процессов отражения и преломления вводят угол падения j, угол отражения j¢ (j¢ = j), угол преломления y и коэффициенты отражения и преломления по электриче! скому полю R||, R^ и T||, T^, причем индексы || и ^ обознача! ют соответствующий тип поляризации.
Рис. 5.1 Случай параллельной поляризации
Рис. 5.2 Случай перпендикулярной поляризации
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
65
При падении плоской волны на границу раздела двух сред без потерь 2 2 32 23 sin 4 5 ; cos 6 5 1 7 sin2 6 5 1 7 1 1 sin2 8 ; sin 6 2131 22 32 R|| 5
2Zc2 cos 4 Zc1 cos 4 7 Zc2 cos 6 ; T|| 5 ; Zc1 cos 4 9 Zc2 cos 6 Zc1 cos 8 9 Zc2 cos 6
R1 5
2Zc2 cos 4 Zc2 cos 4 7 Zc1 cos 6 ; T1 5 ; Zc2 cos 4 9 Zc1 cos 6 Zc2 cos 4 9 Zc1 cos 6 Zc1 5 Z0
21 2 ; Zc2 5 Z0 2 . 31 32
Электромагнитное поле, возникающее в результате падения параллельно поляризованной волны на плоскую границу раздела двух сред, в первой среде (z < 0) опреде ляется выражениями
1 4 1 E cos3(e1 j21zcos3 1 R ej21zcos3 )e1 j21xsin3 1 E11 4 E1пад 5 E отр x m || 11z Em sin3(e1j21zcos3 5 R|| ej21zcos3 )e1 j21xsin3; 1 4H 1 5H 1 4 1 Em (e1j21zcos3 5 R ej21zcos3 )e1 j21xsin3, H y 1 пад отр || Zc1 а во второй среде (z > 0): 1 j22 ( x sin 34 z cos 3 ) ; E1 2 5 E1 пр 5 (1x cos 3 1 1z sin 3) EmTe ||
1 5H 1 5 1 Em Te 1 j22 ( x sin 34 z cos 3 ) . H y 2 пр Zc2 ||
Здесь Em — амплитуда напряженности электрическо го поля падающей параллельно поляризованной волны. Примечание. Векторы Eпад и Eотр при параллельной поляризации лежат в плоскости падения и расположены так, что при j = 0 (нормальное падение) они направлены в противоположные стороны.
66
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Электромагнитное поле, возникающее в результате падения перпендикулярно поляризованной волны на пло+ скую границу раздела двух сред, в первой среде (z < 0) оп+ ределяется выражениями E11 5 E1 пад 6 E1 отр 5 1 1y Em (e 1 j21z cos 3 6 R4 e j21z cos 3 )e 1 j21x sin 3 ; 1 5H 1 1 H 6H 5 1
пад
отр
Em cos 3(e 1 j21z cos 3 1 R4 e j21z cos 3 )e 1 j21x sin 3 1 Zc1 E 1 1z m sin 3(e 1 j21z cos 3 6 R4 e j21z cos 3 )e 1 j21x sin 3 , Zc1
5 1x
а во второй среде (z > 0):
E1 2 6 E1 пр 6 1 1y EmT5 e1 j22 (x sin 34 z cos 3 ) ; 1 6H 1 6 (1 cos 3 1 1 sin 3) Em T e 1 j22 ( x sin 34 z cos 3 ) . H 2 пр x z Zc2 5 Здесь Em — амплитуда напряженности электрическо+ го поля падающей перпендикулярно поляризованной волны. Угол Брюстера для параллельно поляризованной волны:
sin 4||Б 5
12 (2112 3 1122 ) . 21 (122 3 112 )
Если волна имеет перпендикулярную поляризацию, то sin 5Б1 6
22 (3122 4 2132 ) . 31 (222 4 212 )
В случае, когда m1 = m2, полное преломление наблюда+ ется при параллельной поляризации, и sin 2||Б 3
12 . 12 4 11
Угол полного внутреннего отражения:
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
3по 4 arcsin
67
1 2 22 . 1121
Если j ³ jпо, то 2 4 8 6 7 9 53
sin2 2 2
6 6171 R|| exp 2 j arctg 1 ;
6 cos 2 2 4 8 6 7 9 53
sin2 2 2
7 6171 R1 exp 2 j arctg 1 ;
72 cos T||
2cos
7 2 62 ; 7161
62 6 7 cos j sin2 2 2 61 6171 72 2cos T1 . 72 6 7 71 cos j sin2 2 2 71 6171
При j ³ jпо можно пользоваться приведенными выше выражениями для составляющих поля в 1й и 2й среде. Однако в этом случае следует учитывать, что угол пре ломления становится комплексным, и cos 1 2 3 j sin2 1 3 1, где siny определяется из закона Снеллиуса. Если плоская волна падает на границу раздела сред с потерями, то также можно пользоваться приведенны ми выше формулами для коэффициентов отражения и преломления и для составляющих поля в 1й и 2й сре де. Однако при этом следует учитывать, что относитель ная комплексная диэлектрическая проницаемость сре ды с диэлектрическими потерями: 31 4 3(1 1 jtg2) 4 3 1 5 tg2 2e 1 j2 ;
68
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
характеристическое сопротивление
Zc 4 Z0
21 j1 3 3 (1 5 tg2 1) 4 e 2 . 4 Z0 61 6
Siny определяется из закона Снеллиуса, куда входит 1; cos 1 2 1 3 sin2 1 ; коэффициент фазы b в формулах для составляющих поля заменяется на постоянную распро6 странения b – ja в среде с потерями (см. гл. 4). Если плоская волна падает на границу раздела двух сред, из которых первая — среда без потерь (m1, e1), а вто6 рая — среда с потерями (m2, 12 ), то 1121 sin 5; 12 21 2 (72 8 j92 )cos 3 4 6 12 21 2 1 8 sin2 3 4 c 6 4 1 21 8 1121 sin2 5 4 7z 8 j9 z . c 2 2 sin 3 4
При этом поверхности равной фазы b1xsinj + bzz = const не совпадают с поверхностями равной амплитуды azz = const. Действительный угол преломления (угол между поверхно6 стями равных фаз и поверхностями равных амплитуд) опре6 деляется соотношением tg5пд 7
61 sin 5 7 6z Re
1
3141 sin 5 32 41 2 8 3141 sin2 5
2
.
Если плоская волна падает из среды без потерь на гра6 ницу раздела с хорошо проводящей средой (tgd ? 1), то преломленная волна проникает внутрь 26й среды прак6 тически по направлению нормали к границе раздела при любом угле падения. При этом отношение касательных составляющих электрического и магнитного векторов на границе раздела E1 1м 2 Zсм , 1 1м H
где
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
Zсм 3
69
12ам (1 4 j) 3 1 (1 4 j) 5d 25
— характеристическое сопротивление металлоподобной среды; 2 d1 23 ам 4 — толщина скинслоя в хорошо проводящей среде. При падении плоской волны на поверхность идеаль ного металла 1 1м 2 2H 1 1пад , H 1 па 1 1пад — касательная составляющая вектора H где H дающей волны в данной точке поверхности металла. При падении на поверхность реального металла 1 1м 2 2H 1 1пад , H с относительной погрешностью порядка 120 /23. При наклонном падении плоской волны с параллель ной поляризацией на поверхность идеального металла поле в первой среде описывается выражениями (z £ 0, рис. 5.1) E1 4 12E [1 j cos 3 sin(2 z cos 3) 5 1
m
x
1
5 1z sin 3 cos(21z cos 3)]e 121x sin 3 ; 1 4 1 2Em cos(2 z cos 3)e 1 j21x sin 3 . H 1 y 1 Zc1 Если на поверхность идеального металла падает пло ская волна с перпендикулярной поляризацией, то при z £ 0 (рис. 5.2) E1 1 4 1y j2Em sin(21z cos 3)e 1 j21x sin 3 ; 1 4 2Em [1 cos 3 cos(2 z cos 3) 5 H 1 1 Zc1 x 5 1z j sin 6 sin(21z cos 3)]e 1 j21x sin 3 .
70
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.1. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД 5.1.1. Плоская электромагнитная волна падает по нор& мали из вакуума на диэлектрическое полупространство без потерь с параметрами e = 3,2; m = 1. Амплитуда электри& ческого вектора падающей волны составляет 5 В/м. Опре& делите амплитуду электрического вектора в отраженной и преломленной волнах. 5.1.2. (У) Плоская электромагнитная волна падает по нормали из вакуума на диэлектрическое полупространст& во без потерь с параметрами e = 2,56; m = 1. Амплитуда магнитного вектора падающей волны составляет 10 А/м. Определите амплитуду магнитного вектора в отраженной и преломленной волнах. 5.1.3. Плоская электромагнитная волна падает по нор& мали из вакуума на диэлектрическое полупространство без потерь с параметрами e = 9,6; m = 1. Плотность потока мощ& ности падающей волны составляет 15 Вт/м2. Определите плотность потока мощности в отраженной и преломлен& ной волнах. 5.1.4. Плоская электромагнитная волна падает по нор& мали из вакуума на диэлектрическое полупространство без потерь с параметром m = 1. Определите относительную ди& электрическую проницаемость, при которой плотность потока мощности падающей волны поделится поровну между отраженной и преломленной волнами. 5.1.5. Плоская электромагнитная волна падает по на& правлению нормали на границу раздела между средой с параметрами e1 = 2; m1 = 1 и средой с параметрами e2 = 3,8; m2 = 1,5. Потери отсутствуют. Плотность потока мощно& сти падающей волны в первой среде равна 25 Вт/м2. Опре& делите амплитуду напряженности магнитного поля в пре& ломленной волне. 5.1.6. Плоская электромагнитная волна падает по на& правлению нормали на границу раздела между диэлек& триком без потерь с e = e1, m = 1 и воздухом. Коэффици& ент преломления по электрическому полю ТЕ = 1,4. Оп&
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
71
ределите относительную диэлектрическую проницаемо сть e1, коэффициент преломления по магнитному полю ТH, коэффициент преломления по вектору Пойнтинга ТП, коэффициент отражения по электрическому и магнитно му полям RE = RH и коэффициент отражения по плотно сти потока мощности RП. 5.1.7. Пусть, как обычно, R и Т — коэффициенты от ражения и преломления по электрическому полю. Рас смотрите квадраты этих коэффициентов T2 и R2 для слу чая нормального падения плоской электромагнитной вол ны из воздуха на диэлектрическое полупространство без потерь с параметрами e и m. Получите выражение, связы вающее T2 с R2. 5.1.8. Плоская электромагнитная волна падает на гра ницу раздела между диэлектриками без потерь с парамет рами e1 = 4, e2 = 16, m1 = m2 = 1. Угол между вектором Пойн тинга преломленной волны во втором диэлектрике и гра ницей раздела равен 80°. Определите угол падения. 5.1.9. (У) Объясните, почему при перпендикулярной поляризации 1 + R = T, а при параллельной поляризации (1 – R)cosj = Tcosy, где j — угол падения, а y — угол пре ломления. Обратите внимание, что коэффициенты отра жения и преломления R и T определены для вектора на пряженности электрического поля. 5.1.10. (У) Плоская электромагнитная волна падает на границу раздела между диэлектриками без потерь с m1 = m2 = 1. Покажите, что явление полного преломления может наблюдаться только при параллельной поляриза ции падающей волны. 5.1.11. Плоская электромагнитная волна с перпенди кулярной поляризацией падает из воздуха под углом 60° на границу раздела с диэлектриком без потерь, имеющим параметры e = 3,8; m = 1. Амплитуда напряженности элек трического поля падающей волны 10 В/м. Определите амплитуду напряженности электрического поля отражен ной и преломленной волн. 5.1.12. Плоская электромагнитная волна с парал лельной поляризацией падает под углом 30° из диэлек трика с параметрами e = 2,08; m = 1 на границу раздела
72
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Ампли& туда напряженности электрического поля падающей волны 0,8 В/м. Определите амплитуду напряженности электрического поля отраженной и преломленной волн. 5.1.13. Плоская электромагнитная волна с перпенди& кулярной поляризацией падает из воздуха под углом 40° на границу раздела с диэлектриком без потерь, имеющим параметры e = 9,6; m = 1. Амплитуда напряженности маг& нитного поля падающей волны 10 А/м. Определите ампли& туду напряженности магнитного поля отраженной и пре& ломленной волн. 5.1.14. Плоская электромагнитная волна с параллель& ной поляризацией падает из воздуха под углом 70° на гра& ницу раздела с диэлектриком без потерь, имеющим па& раметры e = 3,2; m = 1. Плотность потока мощности па& дающей волны 1 Вт/м 2. Определите плотность потока мощности отраженной и преломленной волн. 5.1.15. Плоская электромагнитная волна с перпенди& кулярной поляризацией падает под углом 15° из среды с параметрами e = 2,08; m = 1,1 на границу раздела с воз& духом. Потери в среде отсутствуют. Плотность потока мощности падающей волны 5 Вт/м2. Определите плот& ность потока мощности отраженной и преломленной волн. 5.1.16. Плоская электромагнитная волна с параллель& ной поляризацией падает из диэлектрика с параметра& ми e = 2,56; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Определите, при каких уг& лах падения амплитуда напряженности электрического поля отраженной волны равна: а) нулю; б) амплитуде на& пряженности электрического поля падающей волны. 5.1.17. Плоская электромагнитная волна с парал& лельной поляризацией падает на границу раздела двух диэлектриков без потерь с m1 = m2 = 1. При падении из первого диэлектрика во второй явление полного прелом& ления наблюдается для угла падения 40°. Определите, при каком угле падения будет наблюдаться явление пол& ного преломления в случае падения из второго диэлек& трика в первый.
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
73
5.1.18. (У) Плоская электромагнитная волна с парал лельной поляризацией падает на границу раздела двух диэлектриков без потерь с m1 = m2 = 1. Покажите, что яв ление полного преломления будет наблюдаться в ситуа ции, когда угол между векторами Пойнтинга отраженной и преломленной волн равен 90°. 5.1.19. (У) Плоская электромагнитная волна с круго вой поляризацией падает из воздуха под углом 45° на гра ницу раздела с диэлектриком без потерь, имеющим пара метры e = 3,8; m = 1. Определите коэффициент эллиптич ности для: а) отраженной волны; б) преломленной волны. 5.1.20. (У) Плоская электромагнитная волна с круго вой поляризацией падает под углом 20° из диэлектрика с параметрами e = 2,56; m = 1 на границу раздела с возду хом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Определите ко эффициент эллиптичности для: а) отраженной волны; б) преломленной волны. 5.1.21. Плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией падает из воздуха на границу раздела с ди электриком без потерь, имеющим параметры e = 3,8; m = 1. Определите угол падения, при котором поляризация от раженной волны будет линейной. 5.1.22. (У) Плоская электромагнитная волна с парал лельной поляризацией падает из воздуха под углом Брюстера на границу раздела с диэлектриком без по терь, имеющим параметры e = eд; m = 1. Плотность по тока мощности падающей волны равна Ппад. Получите выражение для плотности потока мощности преломлен ной волны двумя способами: а) пользуясь формулой для коэффициента преломления; б) основываясь на законе сохранения энергии. 5.1.23. (У) Решите предыдущую задачу для случая, когда волна падает из диэлектрика в воздух. 5.1.24. (У) Плоская электромагнитная волна с перпен дикулярной поляризацией падает из воздуха на границу раздела с диэлектриком без потерь, имеющим параметры e = eд; m = 1. Изобразите качественно (на одном рисунке) зависимость коэффициента отражения от угла падения для двух случаев: а) e = eд1; б) e = eд2 > eд1.
74
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.1.25. (У) Решите предыдущую задачу для случая, когда волна падает из диэлектрика в воздух. 5.1.26. (У) Плоская электромагнитная волна с парал0 лельной поляризацией падает из воздуха на границу раз0 дела с диэлектриком без потерь, имеющим параметры e = eд; m = 1. Изобразите качественно (на одном рисунке) зависимость коэффициента отражения от угла падения для двух случаев: а) e = eд1; б) e = eд2 > eд1. 5.1.27. (У) Решите предыдущую задачу для случая, когда волна падает из диэлектрика в воздух. 5.1.28. Аквалангист, плывущий по дну водоема, смот0 рит вертикально вверх. Какую картину он будет наблю0 дать? На каком расстоянии от камня, лежащего на дне, он должен находиться, чтобы увидеть его, если глубина водоема 3 м, показатель преломления воды 1,33? Расстоя0 нием между глазом и дном можно пренебречь. 5.1.29. (У) Вблизи нагретой поверхности температура воздуха больше, чем на большом удалении от нее, поэто0 му показатель преломления воздуха вблизи поверхности уменьшается. При определенной градиенте температуры может возникнуть явление полного внутреннего отраже0 ния плоской электромагнитной волны, падающей на по0 верхность. Это проявляется в возникновении миража над нагретой поверхностью. Заменяя истинную зависимость от температуры скач0 ком, определите перепад температуры, который позволя0 ет наблюдать мираж под углом 1° к поверхности, приняв зависимость показателя преломления от температуры в виде n(T) = 1 + 0,003(1 – T/300). 5.1.30. Плоская электромагнитная волна с параллель0 ной поляризацией падает под углом 60° из диэлектрика с параметрами e = 3,8; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Определите коэффици0 енты отражения и преломления по электрическому полю. 5.1.31. Решите предыдущую задачу для случая перпен0 дикулярной поляризации падающей электромагнитной волны. 5.1.32. (У) Плоская электромагнитная волна с линей0 ной поляризацией падает из диэлектрика с параметрами
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
75
e = 9; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в ди электрике отсутствуют. Вектор напряженности электри ческого поля падающей волны ориентирован под углом 45° относительно плоскости падения (угол отсчитывайте от плоскости падения по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления вектора Пойнтинга). Определите, при каком угле падения, превышающем угол полного внут реннего отражения, отраженная волна будет иметь кру говую поляризацию. 5.1.33. (У) Плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией падает из диэлектрика с параметрами e = 6; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектри ке отсутствуют. Определите, при каком угле падения, пре вышающем угол полного внутреннего отражения, отра женная волна будет иметь линейную поляризацию. 5.1.34. Плоская электромагнитная волна с параллель ной поляризацией падает под углом 70° из диэлектрика с параметрами e = 3,2; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Определите фазовую скорость, с которой неоднородная плоская волна в возду хе распространяется вдоль границы раздела 5.1.35. Плоская электромагнитная волна с перпенди кулярной поляризацией падает из диэлектрика с пара метрами e = 2,08; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют, частота колебаний 30 ГГц. Определите, при каком угле падения амплитуда неоднородной плоской волны в воздухе убывает при уда лении от границы раздела с коэффициентом ослабления 20 дБ/см. 5.1.36. Плоская электромагнитная волна с перпенди кулярной поляризацией падает под углом 80° из диэлек трика с параметрами e = 2,56; m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Амплиту да напряженности электрического поля падающей волны 1 В/м. Частота колебаний 15 ГГц. Определите амплитуду напряженности электрического поля преломленной вол ны на расстоянии 0,5 см от границы раздела. 5.1.37. Плоская электромагнитная волна падает по на правлению нормали на границу раздела между воздухом
76
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
и биологической тканью со свойствами кожи. Определите коэффициенты отражения и преломления по электриче0 скому полю на двух частотах: а) f = 100 МГц; б) f = 3 ГГц. На частоте 100 МГц кожа характеризуется относитель0 ной диэлектрической проницаемостью e = 75 и удельной проводимостью s = 0,75 См/м. Для частоты 3 ГГц e = 42, s = 2,4 См/м. 5.1.38. Плоская электромагнитная волна с перпенди0 кулярной поляризацией падает из воздуха под углом 40° на границу раздела с морской водой, которая на частоте волны 10 ГГц имеет параметры e = 40, m = 1 и удельную проводимость 10 См/м. Определите коэффициенты отра0 жения и преломления по электрическому полю. 5.1.39. Плоская электромагнитная волна с перпенди0 кулярной поляризацией падает из воздуха под углом 30° на границу раздела с морской водой, которая на частоте волны 1 ГГц имеет параметры e = 80, m = 1 и удельную про0 водимость 4 См/м. Амплитуда напряженности электриче0 ского поля падающей волны 10 В/м. Определите ампли0 туду напряженности электрического поля преломленной волны на расстоянии 3 см от границы раздела. 5.1.40. Плоская электромагнитная волна с частотой ко0 лебаний 1 МГц падает из воздуха под углом 65° на границу раздела с морской водой, которая на данной частоте имеет параметры e = 80, m = 1 и удельную проводимость 4 См/м. Определите действительный угол преломления. Найдите ошибку, которая появляется при расчете угла преломле0 ния, если пренебрегать удельной проводимостью воды. 5.1.41. Плоская электромагнитная волна с частотой колебаний 30 ГГц падает из воздуха под углом 80° на гра0 ницу раздела с медью. Определите действительный угол преломления. 5.1.42. В газовых лазерах на пути между отражающи0 ми зеркалами свет проходит через стеклянные окна. При нормальном падении через стеклянную пластинку про0 ходит около 92% интенсивности падающего света, что не0 допустимо в лазере, где свет многократно отражается от зеркал. Поэтому в лазерах используют наклонное паде0 ние света на окна («окна Брюстера»). Найдите угол паде0
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
77
ния света на переднюю поверхность окна. Докажите, что при этом на задней поверхности также выполняется ус ловие полного преломления. Определите поляризацию волн, генерируемых лазером, а также потери мощности излучения за счет отражений в окнах. Показатель пре ломления стекла равен 1,5. 5.1.43. (У) Плоская электромагнитная волна нормаль но падает из верхнего полупространства (1я среда) на ди электрическую пластину толщиной d (2я среда), под ко торой находится нижнее полупространство (3я среда). От носительные диэлектрические проницаемости 1й среды, пластины и 3й среды равны e1, e2 и e3 соответственно; от носительные магнитные проницаемости сред равны еди нице, потери отсутствуют. Получите выражения для ко эффициента отражения от пластины R 1 E1 отр / E1 пад и ко эффициента прохождения через пластину T 1 E1 пр / E1 пад . Здесь E1 пад и E1 отр — комплексные амплитуды падающей и отраженной волн в 1й среде на верхней поверхности пла стины; E1 пр — комплексная амплитуда прошедшей вол ны в 3й среде на нижней поверхности пластины. 5.1.44. (У) Плоская электромагнитная волна с часто той колебаний f0 нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с параметрами e = eд, m = 1. Пластина расположена горизонтально и находится в вакууме. По лучите выражения для коэффициента отражения от пла стины R 1 E1 отр / E1 пад , коэффициента прохождения через пластину T 1 E1 пр / E1 пад . Здесь E1 пад и E1 отр — комплексные амплитуды падающей и отраженной волн на верхней по верхности пластины; E1 пр — комплексная амплитуда про шедшей волны на нижней поверхности пластины. Опре делите толщину пластины d0, при которой отражения не происходит. 5.1.45. (У) Фторопластовая пластина толщиной 2 мм расположена в вакууме. Плоская электромагнитная волна с частотой 37,5 ГГц нормально падает на пластину. Опре делите, какая часть плотности потока мощности падающей волны отражается от пластины и какая часть проходит че рез пластину. Параметры фторопласта e = 2,08, m = 1. Счи тайте, что потерями можно пренебречь.
78
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.1.46. (У) Известно, что при прохождении света через границу раздела между воздухом и стеклом потери интен* сивности составляют около 4%. Для уменьшения этих потерь в оптических приборах, имеющих много границ раздела стекло–воздух, поверхность линз покрывают не* отражающим слоем толщиной l/4, где l — длина волны света в слое. Определите показатель преломления и тол* щину неотражающего слоя для света с длиной волны в вакууме 0,55 мкм (соответствует зеленому цвету). Пока* затель преломления стекла 1,5. 5.1.47. (У) Плоская электромагнитная волна с часто* той колебаний f0 нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с параметрами e = eд, m = 1. Пластина находится в вакууме. Определите толщину пластины d1, при которой плотности потока мощности падающей и про* шедшей пластину волн одинаковы: Ппр = Ппад. 5.1.48. (У) Плоская электромагнитная волна с часто* той колебаний f0 нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с параметрами e = eд, m = 1. Пластина находится в вакууме. Толщина пластины d0 выбрана из ус* ловия равенства нулю коэффициента отражения (см. зада* чу 5.1.44). Получите выражение для полосы частот 2Df в окрестности частоты f0, в пределах которой Потр < dПпад, где Потр, Ппад — значения плотности потока мощности в отра* женной и падающей волнах соответственно; d — заданный относительный уровень отражения по мощности. 5.1.49. (У) Плоская электромагнитная волна с час* тотой колебаний f0 нормально падает на диэлектриче* скую пластину без потерь с параметрами e = eд, m = 1. Пластина находится в вакууме. Толщина пластины d1 выбрана из условия получения максимального коэффи* циента прохождения по мощности Kпр = П пр/П пад = 1 (см. задачу 5.1.47). Получите выражение для полосы частот 2Df в окрестности частоты f0, в пределах кото* рой П пр > 0,5 Ппад. При выводе учтите, что заданный уровень прохождения на границах полосы 2Df может быть достигнут при eд > emin. Найдите значение emin. 5.1.50. (У) Плоская электромагнитная волна нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с парамет*
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
79
рами e = eд, m = 1. Пластина находится в вакууме. Толщина пластины d выбрана из условия, чтобы на частоте f0 коэффи циент прохождения по плотности мощности Kпр = Ппр/Ппад был максимальным (Ппр = Ппад, см. задачу 5.1.47). Получи те выражение для частотной зависимости коэффициента прохождения в окрестности частоты f0. Покажите, что при 1 д 1 1 данная зависимость становится аналогичной час тотной характеристике одиночного колебательного конту ра. Получите для данного случая выражение для полосы пропускания пластины по уровню Kпр = 0,5. 5.1.51. (У) Плоская электромагнитная волна с часто той колебаний f0 нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с параметрами e = eд, m = 1. Пласти на находится в вакууме и характеризуется толщиной d 1 10 / 2 д , где l0 — длина волны в вакууме. Для данно го случая «тонкой» пластины выведите приближенные выражения для коэффициента отражения от пластины R 1 E1 отр / E1 пад и коэффициента прохождения T 1 E1 пр / E1 пад . Здесь E1 пад , E1 отр и E1 пр — комплексные амплитуды па дающей, отраженной от пластины и прошедшей пласти ну волн соответственно. 5.I.52. (У) Плоская электромагнитная волна с часто той колебаний f0 нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с параметрами e = eд, m = 1. Пласти на находится в вакууме и характеризуется толщиной d. Относительная диэлектрическая проницаемость eд близ ка к единице, что позволяет учитывать только однократ ное отражение от передней и задней поверхностей пла стины (строгие формулы предыдущих задач этого разде ла учитывают эффекты многократного отражения волн в пластине). Для данного случая «малоотражающей» пластины выведите приближенные выражения для ко эффициента отражения от пластины R 1 E1 отр / E1 пад и ко эффициента прохождения T 1 E1 пр / E1 пад . Здесь E1 пад , E1 отр и E1 пр — комплексные амплитуды падающей, отражен ной от пластины и прошедшей пластину волн соответст венно. 5.1.53. (У) Стеклянная линза покрыта неотражаю щим слоем толщиной d = l0/(4nсл), где l0 — длина волны
80
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
света в вакууме, для которой отражение отсутствует; nсл 1 nст — показатель преломления покрытия; nст — показатель преломления стекла. Получите выражение для коэффициента отражения по интенсивности (плотности мощности) для света с длиной волны в вакууме l ¹ l0. При выводе пренебрегайте эффектами многократного отраже6 ния волн от границ неотражающего слоя. Рассчитайте ко6 эффициент отражения по плотности мощности для синего света (l = 0,45 мкм) и для красного света (l = 0,65 мкм). Считайте, что для стекла nст = 1,5 и не меняется в диапазо6 не видимого света; l0 = 0,55 мкм (зеленый свет). 5.1.54. (У) Полупространство z < 0 (среда 1) заполне6 но веществом с комплексным показателем преломления n1 1 21 , a полупространство z > 0 (среда 2) — диэлектри6 ком. Плоская электромагнитная волна с линейной поля6 ризацией падает по направлению нормали из среды 1 на границу раздела, совмещенную с плоскостью z = 0. При этом напряженность электрического поля в 16й среде представляет собой сумму падающей и отраженной волн:
1
2
1
2 8 R1 exp j 3 nz 2 E1 6 E1 0 49 exp 7 j 3 nz c c
25 ,
где w — частота колебаний; R1 — комплексный коэффи6 циент отражения; E1 0 — комплексная амплитуда вектора E в падающей волне при z = 0. Получите выражение для среднего значения вектора Пойнтинга в 16й среде (z < 0).
5.2. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА C РЕАЛЬНЫМ МЕТАЛЛОМ 5.2.1. Плоская электромагнитная волна падает по нор6 мали из вакуума на границу раздела с металлом, у которо6 го m = 1 и удельная проводимость составляет 1,5×107 См/м. Частота колебаний равна 500 МГц. Определите, какая часть плотности мощности падающей волны расходуется на нагрев металла.
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
81
5.2.2. (У) Плоская электромагнитная волна падает по нормали из воздуха на границу раздела с металлом, ха рактеризующимся удельной проводимостью sм и относи тельной магнитной проницаемостью m = 1. Частота коле баний w. Получите приближенное выражение для коэф фициента отражения. 5.2.3. (У) Плоская электромагнитная волна с ампли тудой магнитного вектора Hm пад падает по нормали из воздуха на границу раздела с металлом, характеризую щимся удельной проводимостью s м и относительной магнитной проницаемостью m = 1. Частота колебаний w. Получите выражение для амплитуды магнитного векто ра на поверхности металла Hm tм. Найдите отношение Hm tм/(2Hm пад) для частоты 3 ГГц и удельной проводимо сти 5,7×107 См/м (медь). 5.2.4. Плоская электромагнитная волна с амплитудой электрического вектора Em пад падает по нормали из воз духа на границу раздела с металлом, характеризующим ся удельной проводимостью sм и относительной магнит ной проницаемостью m = 1. Частота колебаний w. Получи те выражение для амплитуды электрического вектора на поверхности металла Em tм двумя способами: а) пользуясь граничными условиями Леонтовича; б) пользуясь прибли женным выражением для коэффициента отражения при нормальном падении на реальный металл (задача 5.2.2.). Найдите отношение Em tм/Em пад для частоты 1,5 ГГц и удельной проводимости 3×107 См/м. 5.2.5. Плоская электромагнитная волна с амплитудой электрического вектора Em пад и амплитудой магнитного вектора Hm пад падает по нормали из воздуха на границу раздела с металлом, характеризующимся удельной про водимостью sм и относительной магнитной проницаемо стью m = 1. Частота колебаний w. Получите выражения для коэффициентов прохождения полей Е и H в металл на глу бину l, которые определяются так: TE(l) = Em(l)/Em пад, TH(l) = Hm(l)/Hm пад (здесь Em(l) и Hm(l) — амплитуды элек трического и магнитного векторов на расстоянии l от гра ницы раздела).
82
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.2.6. Плоская электромагнитная волна падает по нор& мали из воздуха на границу раздела с металлом, характе& ризующимся удельной приводимостью sм и относительной магнитной проницаемостью m = 1. Частота колебаний w. Определите ослабление D плотности потока мощности в ме& талле на глубине d в децибелах, где D = 10×lg(Пср пр/Пср пад); Пср пад — плотность потока мощности в падающей волне; Пср пр — плотность потока мощности в преломленной вол& не на глубине d. Запишите выражение для D в виде суммы двух слагаемых, одно из которых описывает потери мощ& ности при отражении от поверхности металла, а другое — поглощение мощности в металле. 5.2.7. Решите предыдущую задачу для случая нормаль& ного падения электромагнитной волны с частотой 1 ГГц на границу раздела с медью. Определите ослабление плот& ности потока мощности на глубине 0,1 мм. 5.2.8. Плоская электромагнитная волна с параллельной поляризацией падает из воздуха под углом 30° на границу раздела с металлом, у которого m = 1 и удельная проводи& мость составляет 2×107 См/м. Амплитуда напряженности электрического поля падающей волны 10 В/м, частота ко& лебаний 3 ГГц. Определите амплитуду касательных состав& ляющих векторов напряженности электрического и маг& нитного полей на поверхности металла. 5.2.9. Решите предыдущую задачу, считая, что падаю& щая волна имеет перпендикулярную поляризацию. 5.2.10. Плоская электромагнитная волна с перпен& дикулярной поляризацией падает из воздуха под углом 60° на границу раздела с металлом, у которого m = 1 и удельная проводимость составляет 3×107 См/м. Ампли& туда напряженности электрического поля падающей волны 20 В/м, частота колебаний 10 ГГц. Определите плотность потока мощности прошедшей волны на гра& нице раздела. 5.2.11. Плоская электромагнитная волна с параллель& ной поляризацией падает из воздуха под углом 45° на гра& ницу раздела с металлом, у которого m = 1 и удельная прово& димость составляет 5×107 См/м. Плотность потока мощно& сти падающей волны 10 Вт/м2, частота колебаний 300 МГц.
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
83
Определите удельную мощность тепловых потерь, прихо дящуюся на 1 м2 поверхности металла. 5.2.12. Плоская электромагнитная волна с параллель ной поляризацией падает из воздуха под углом 50° на по верхность латуни. Найдите частоту, на которой мощность тепловых потерь, приходящаяся на 1 м2 поверхности ла туни, составляет 10–n от мощности волны, падающей на 1 м2 этой поверхности. Решите эту задачу для двух случа ев: а) n = 3; б) n = 4. 5.2.13. Плоская электромагнитная волна с перпенди кулярной поляризацией падает из воздуха под углом 40° на границу раздела с металлом, у которого m = 1 и удель ная проводимость составляет 4×107 См/м. Амплитуда ка сательной составляющей электрического вектора на по верхности металла равна 2×10–3 В/м, частота колебаний f = 10 ГГц. Определите амплитуду электрического и маг нитного векторов в падающей волне. 5.2.14. (У) Плоская электромагнитная волна с перпен дикулярной поляризацией падает из воздуха под углом j на границу раздела с металлом, у которого m = 1 и удель ная проводимость равна sм. Пользуясь граничными усло виями Леонтовича, получите приближенные выражения для коэффициентов отражения и преломления по элек трическому полю. Частота колебаний w. 5.2.15. (У) Решите предыдущую задачу, считая, что падающая волна имеет параллельную поляризацию. 5.2.16. (У) Плоская электромагнитная волна с часто той колебаний w падает из воздуха на границу раздела с металлом, у которого m = 1 и удельная проводимость рав на sм. Амплитуда касательной составляющей магнитного вектора на поверхности металла Нtм. Получите выраже ние для мощности потерь, приходящейся на 1 м2 поверх ности металла двумя способами: а) определив плотность потока мощности волны, проникнувшей в металл; б) вос пользовавшись объемной плотностью мощности тепловых потерь внутри металла. 5.2.17. (У) Как известно, объемные токи проводимости с плотностью J1 пр 1 2м E1 протекают в достаточно тонком слое у поверхности реального проводника с удельной
84
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
проводимостью sм и абсолютной магнитной проницаемо( стью mам. При этом для определения касательной к поверх( ности проводника составляющей магнитного вектора Нtм можно по аналогии с идеальным проводником ввести эк( вивалентный квазиповерхностный ток с плотностью J1 пов 1
Nd
2 J1пр dz, где N?1, d 1 0
2/(23 ам 4м ) — толщина скин(
1 2 J1 . Получите выражение, слоя. Покажите, что H 1м пов 1 связывающее Jпов c комплексной амплитудой касатель( ной составляющей электрического поля на поверхности металла E1 1м . 5.2.18. (У) Через поперечное сечение цилиндрическо( го проводника диаметром D протекает полный ток с ком( плексной амплитудой I1m . По определению, погонным внутренним импедансом провода называется отношение касательной составляющей электрического вектора на поверхности провода к полному току: Zпог 2 E1 1м / I1m . По( лучите выражения для погонного активного сопротивле( ния Rпог и погонной внутренней индуктивности прово( да Lпог. Частота колебаний w и удельная проводимость про( вода s таковы, что толщина скин(слоя d = D (сильный скин(эффект). 5.2.19. (У) Определите погонное активное сопротивле( ние и погонную внутреннюю индуктивность медного про( вода диаметром 2 мм на частоте 400 МГц. 5.2.20. (У) Определите отношение средней плотности энергии электрического поля к средней плотности энер( гий магнитного поля для электромагнитной волны, про( никшей внутрь реального проводника с удельной прово( димостью sм и относительной магнитной проницаемостью m = 1. Частота колебаний w. Вычислите это отношение для меди на частоте 10 ГГц. 5.2.21. (У) На поверхности проводящего тела известно распределение касательной составляющей напряженности магнитного поля Нtм. Удельная проводимость проводни( ка sм, абсолютная магнитная проницаемость mам, частота колебаний w. Получите выражение для средней за период колебаний энергии магнитного поля внутри проводящего
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
85
тела. Считайте, что толщина скинслоя во много раз мень ше характерных размеров тела (сильный скинэффект). 5.2.22. (У) Плоская электромагнитная волна с ампли тудой электрического вектора Eпад падает по нормали на плоский металлический лист, характеризующийся тол щиной D, удельной проводимостью sм и относительной магнитной проницаемостью m = 1. Лист находится в ва кууме. Частота колебаний w. Получите выражения для распределения амплитуды электрического вектора внут ри листа Em(z), где z — координата, изменяющаяся в на правлении нормали к поверхности листа. 5.2.23. (У) В резонаторе лазера на рубине использует ся зеркало, выполненное из металла, характеризующего ся концентрацией свободных электронов Ne = 1028 м–3 и частотой соударений n = 1,5×1014 с–1. Определите коэффи циент отражения по среднему значению вектора Пойнтин га при падении из воздуха на поверхность зеркала. Най дите мощность, которая будет теряться в зеркале при мощ ности в падающем пучке 106 Вт (используется импульсный режим генерации). Длина волны излучения в воздухе l = 0,6943 мкм. 5.2.24. (У) Одно из зеркал в резонаторе лазера на руби не представляет собой пластину толщиной d, выполнен ную из металла, характеризующегося концентрацией сво бодных электронов Ne = 1028 м–3 и частотой соударений n = 1,5×1014 с–1. Для передачи оптического излучения ла зера из резонатора рассматриваемое зеркало должно час тично пропускать излучение. Определите толщину пла стины d, при которой зеркало пропускает 5% мощности. Длина волны излучения в воздухе l = 0,6943 мкм. Счи тайте, что переотраженными волнами внутри пластины можно пренебречь. 5.2.25. (У) Плоская электромагнитная волна со сред ним значением вектора Пойнтинга 10 кВт/м2 падает по направлению нормали из воздуха на поверхность метал ла. Частота колебаний 10 ГГц. Определите удельную мощ ность тепловых потерь Pуд, представляющую собой сред нее значение вектора Пойнтинга прошедшей волны на поверхности металла. Рассмотрите два случая: а) в металле
86
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
отсутствуют сверхпроводящие электроны, удельная про* водимость sn = 5,7×107 См/м; б) металл охлажден и нахо* дится в сверхпроводящем состоянии, причем лондонов* ская длина lL = 70 нм и нормальная часть удельной про* водимости sn = 2,3×107 См/м. 5.2.26. (У) Плоская электромагнитная волна падает по направлению нормали на металлическую пластинку толщиной d = 1,5 мкм. Частота колебаний 50 ГГц. Слой металла окружен воздухом. Определите затухание вол* ны при прохождении через пластинку В двух случаях: а) в металле отсутствуют сверхпроводящие электроны, удельная проводимость sn = 1,4×107 См/м; б) металл на* ходится в сверхпроводящем состоянии (sn = 0) и харак* теризуется лондоновской длиной lL = 40 нм. Считайте, что переотраженными волнами внутри пластины можно пренебречь. 5.2.27. (У) Плоская электромагнитная волна со сред* ним значением вектора Пойнтинга Пср пад падает по на* правлению нормали на металлическую пластинку толщи* ной d. Металл находится в сверхпроводящем состоянии (нормальная часть удельной проводимости равна нулю) и характеризуется плазменной частотой wпл. Пластина окружена вакуумом, частота колебаний w = wпл. Получи* те выражения для коэффициентов прохождения и отра* жения плотности потока мощности: TП = Пср пр/Пср пад, RП = Пср отр/Пср пад, где Пср пр и Пср отр — средние значения векторов Пойнтинга для волны, прошедшей пластину и волны, отраженной от пластины, соответственно. 5.2.28. (У) Плоская электромагнитная волна падает по направлению нормали на металлическую пластинку тол* щиной d = 0,1 мкм. Металл находится в сверхпроводя* щем состоянии (нормальная часть удельной проводимо* сти равна нулю) и характеризуется лондоновской дли* ной lL = 120 нм. Пластина окружена вакуумом, длина волны в вакууме l0 = 100 мкм. Определите, какая часть средней плотности потока мощности падающей волны проходит через пластинку. Найдите Em пр — амплитуду напряженности электрического поля в прошедшей через слой волне, если в падающей волне Em пад = 103 В/м.
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
87
5.2.29. Используя решения задач 5.1.54 и 5.2.27, по кажите, что средняя плотность потока мощности в сверх проводящей пластине без потерь (нормальные электроны отсутствуют) неизменна и равна средней плотности пото ка мощности для волны, прошедшей пластину. 5.3. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩУЮ ПЛОСКОСТЬ 5.3.1. (У) Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией падает по нормали из воздуха на идеально проводящую плоскость. Амплитуда вектора напряженно сти магнитного поля падающей волны равна 0,1 А/м, час тота колебаний 3 ГГц. Получите выражения, описываю щие изменение амплитуды векторов E и H в полупро странстве над границей раздела. 5.3.2. (У) Плоская электромагнитная волна падает по нормали из воздуха на идеально проводящую плоскость. Вектор напряженности электрического поля падающей волны на границе раздела: E0пад 1 10cos(22 3 1010 t)1y , В/м. Получите выражения, описывающие мгновенные значе ния векторов E и H в полупространстве над проводящей плоскостью. 5.3.3. Плоская электромагнитная волна падает по нор мали из воздуха на идеально проводящую плоскость. Век тор напряженности электрического поля падающей вол ны на границе раздела: E0пад 1 0,5cos(22 3 109 t)1y , В/м. По лучите выражение, описывающее мгновенные значения вектора плотности поверхностного тока на проводящей плоскости. 5.3.4. (У) Излучение рубинового лазера с импульсной мощностью 3 кВт сформировано в виде линейно поляри зованного пучка с размерами поперечного сечения 1´1см2. Этот пучок падает по нормали из воздуха на идеально про водящую пластину и отражается от нее. Определите ам плитуду тока, текущего по поверхности пластины и излу чающего отраженный свет. 5.3.5. Плоская электромагнитная волна с параллель ной поляризацией падает под углом 15° из вакуума на
88
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
идеально проводящую плоскость. Частота колебаний 300 МГц. Определите фазовую скорость, с которой пол/ ное поле распространяется вдоль поверхности металла. Найдите минимальную высоту над границей раздела, на которой амплитуда тангенциальной составляющей век/ тора H равна нулю. 5.3.6. Плоская электромагнитная волна с перпендику/ лярной поляризацией падает под углом 40° из вакуума на идеально проводящую плоскость. Частота колебаний 3 ГГц. Определите продольную длину волны и поперечную длину волны, которые характеризуют полное поле, распростра/ няющееся вдоль границы раздела. Примечание. Продольной длиной волны называется пространственный период поля вдоль оси распростране/ ния; поперечной длиной волны называется пространствен/ ный период стоячей волны в направлении, поперечном к оси распространения. 5.3.7. Решите предыдущую задачу, считая, что над иде/ ально проводящей плоскостью находится диэлектриче/ ское полупространство без потерь с e = 2,56, m = 1. 5.3.8. Плоская электромагнитная волна с параллель/ ной поляризацией падает под углом 30° из вакуума на по/ верхность идеального металла. Частота колебаний 20 ГГц. Определите продольную длину волны полного поля, рас/ пространяющегося вдоль поверхности металла (см. при/ мечание к задаче 5.3.6). Найдите, на какой минимальной высоте над границей раздела амплитуда касательной со/ ставляющей вектора E будет максимальна. 5.3.9. Плоская электромагнитная волна с частотой 0,5 ГГц наклонно падает из диэлектрического полупро/ странства без потерь с e = 9, m = 1 на поверхность идеаль/ ного металла, при этом возникает волновой процесс, рас/ пространяющийся вдоль поверхности металла с фазовой скоростью 3×108 м/с. Определите угол падения на металл исходной плоской волны. 5.3.10. Плоская электромагнитная волна с перпенди/ кулярной поляризацией наклонно падает из вакуума на идеально проводящую плоскость. При этом над грани/ цей раздела возникает волновой процесс, распространяю/
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
89
щийся вдоль поверхности металла (продольная длина волны равна 0,1 м) и образующий стоячую волну в на правлении нормали к поверхности металла (поперечная длина волны — 0,3 м). Определите частоту колебаний поля и угол падения исходной плоской волны на прово дящую плоскость. 5.3.11. Плоская электромагнитная волна с параллель ной поляризацией наклонно падает из вакуума на поверх ность идеального металла. Изобразите качественно зави симость амплитуды касательной составляющей магнит ного вектора полного поля от координаты, изменяющейся в направлении нормали к границе раздела. На этом же рисунке покажите пунктирной линией данную зависи мость для ситуации, когда угол падения исходной плоской волны увеличился в 2 раза. 5.3.12. Плоская электромагнитная волна с перпенди кулярной поляризацией наклонно падает из воздуха на поверхность идеального металла. Изобразите качествен но зависимость амплитуды касательной составляющей электрического вектора полного поля от координаты, из меняющейся в направлении нормали к границе раздела. На этом же рисунке покажите пунктирной линией дан ную зависимость для ситуации, когда над поверхностью металла находится диэлектрическое полупространство без потерь с e = 4, m = 1. 5.3.13. Плоская электромагнитная волна с перпендику лярной поляризацией падает под углом 35° из вакуума на идеально проводящую плоскость. Амплитуда вектора на пряженности магнитного поля падающей волны 50 мА/м. Частота колебаний 10 ГГц. Определите среднее за период колебаний значение вектора Пойнтинга 1 ср и реактив ную составляющую вектора Пойнтинга 1 р в полупро странстве над границей раздела. 1 3 2 Примечание. Учтите, что 4 р 5 1 Im 6 E1 7 H 8 . 2 5.3.14. Плоская электромагнитная волна с параллель ной поляризацией падает под углом 60° из вакуума на иде ально проводящую плоскость. Амплитуда вектора напря женности электрического поля падающей волны 20 В/м.
90
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Частота колебаний 3 ГГц. Определите среднее за период колебаний значение вектора Пойнтинга 1 cр и реактив) ную составляющую вектора Пойнтинга 1 р в полупро) странстве над границей раздела (см. примечание к преды) дущей задаче.) 5.3.15. Плоская электромагнитная волна с парал) лельной поляризацией наклонно падает под углом 30° из вакуума на идеально проводящую плоскость, описы) ваемую уравнением z = 0. Комплексная амплитуда век) тора напряженности электрического поля падающей волны в точке х = у = z = 0 равна 5 В/м. Частота коле) баний 300 МГц. Определите комплексную амплитуду вектора плотности поверхностного тока на проводящей плоскости. 5.3.16. Решите предыдущую задачу, считая, что падаю) щая волна имеет перпендикулярную поляризацию. 5.3.17. (У) Плоская электромагнитная волна с часто) той 0,9 ГГц наклонно падает из вакуума на идеально про) водящую плоскость, описываемую уравнением z = 0. Ком) плексная амплитуда плотности поверхностного тока, про) текающего по проводящей плоскости: Jпов 1 0,2exp(2 j53x)1y , А/м.
Определите угол падения, поляризацию и амплитуду элек) трического вектора падающей волны. 5.3.18. Плоская электромагнитная волна с перпенди) кулярной поляризацией падает под углом 55° из вакуума на идеально проводящую плоскость. Частота колебаний 2 ГГц. Определите, на каком минимальном расстоянии от границы раздела вектор напряженности магнитного поля будет иметь круговую поляризацию. 5.3.19. (У) Плоская электромагнитная волна с парал) лельной поляризацией падает под углом 20° из вакуума на идеально проводящую плоскость. Частота колебаний 0,2 ГГц. Определите ориентацию и коэффициент эллип) тичности для эллипса поляризации вектора напряженно) сти полного электрического поля на высоте 20 см над гра) ницей раздела.
ГЛАВА 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛ.М. ВОЛН
91
5.3.20. Плоская электромагнитная волна с параллель ной поляризацией падает под углом 70° из вакуума на поверхность идеального металла. При этом над границей раздела возникает волновой процесс, представляющий собой суперпозицию падающей и отраженной волн. Оп ределите, на каком расстоянии от проводящей плоско сти можно поставить вторую проводящую плоскость, если исходить из условия, что вторая плоскость не воз мущает волновой процесс, т. е. чтобы граничные усло вия на второй плоскости выполнялись автоматически — в рамках структуры поля исследуемого волнового про цесса. Частота колебаний 15 ГГц. Как изменится ответ в случае, когда падающая волна имеет перпендикулярную поляризацию?
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ВОЛНОВОДЫ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Полый металлический волновод представляет собой тру бу с хорошо проводящими стенками. В зависимости от формы поперечного сечения различают прямоугольный и круглый металлический волновод (рис. 6.1 и 6.2). В полом металлическом волноводе могут существовать волны типа Emn и Hmn (волны Е и Н типа). Для волны Е 1 1 0 (ось z совмещена с продольной осью типа E1 z 1 0, H z 1 1 0, E1 1 0. Волна волновода). В случае волны Н типа H z z конкретного типа в волноводе может распространяться, 1 если o 2 1 кр или f > fкр, где l0 = c/f — длина волны гене 34 ратора; e и m — относительные диэлектрическая и магнит ные проницаемости среды, заполняющей волновод; lкр — критическая длина волны, которая определяется типом волны и размерами поперечного сечения волновода;
Рис. 6.1 Прямоугольный металлический волновод
Рис. 6.2 Круглый металлический волновод
93
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
с 234 кр — критическая частота для волны данного типа. Для волн Е и H типа в прямоугольном волноводе fкр 1
2
3 кр 4
,
1 2 12 2
m a
5 n b
2
где а — ширина волновода; b — высота волновода (по умол чанию принимается, что а > b, см. рис. 6.1); lкр бывает удобно записать в виде 2a
3 кр 4 m2
1 2
5 na b
2
2b
4 n2
1 2
5 mb a
2
.
Отсюда, в частности, следует, что lкр < 2b, если m ³ 1 и n ³ 1. Для волн типа Е в круглом волноводе 2 кр 3
21ro , 4mn
где r0 — радиус волновода; nmn — n й корень функции Бес селя Jm(x). Для волн типа H в круглом волноводе радиуса rо 2 кр 3
21ro , 4mn
где mmn — n й корень производной dJm(x)/dx. Значения nmn и mmn приведены в табл. 6.1 и 6.2. Волной основного типа называют волну с наибольшей критической длиной волны в данном волноводе. В прямо угольном волноводе волной основного типа является вол на H10 (так как а > b), в круглом волноводе основным ти пом является H11. Фазовая скорость волны в волноводе: с v 1 . ф
2 fкр 3 45 1 6 7 8 9 f
2
94
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
12345611267849 5 6 63146 7
1 2 3 4 5 6 2 7 89 7
16
12
32
42
32
456172
859842
7538 2
42
757412
513 2
9563 2
82
95 762
3153 2
335 42 7
1 2 3 4 5 6 2 7 89 7
12345621263252467849 5 6 6531446 16
7
1
12
32
42
32
859842
359612
851762
42
513 2
758872
5 172
82
3153 2
9578 2
5 72
1 Длина волны в волноводе: vф 1в 2 2 f
c f 2
.
3 fкр 4 56 1 7 8 9
f
Составляющие поля бегущей волны в волноводе изменяются вдоль оси распространения z по закону exp( 4 jhz) 5 exp 26 4 j 21 z 37, 9 8в
где 2
1 fкр 2 23f h4 56 1 7 8 9 c
f
— продольное волновое число. Если f < fкр, то продольное волновое число становится мнимым: h = –jaz. При этом данный тип волны затухает, и составляющие поля убывают вдоль оси z по закону exp(–azz), где 2
4z 5
1 fкр 2 23f 67 9
8 1. c f
95
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
Составляющие поля волны типа Emn в прямоугольном волноводе: E1 x 5 3 j h2 C1 m4 cos m4 x sin n4 y e 3 jhz ; a a b g E1 y 5 3 j h2 C1 n4 sin m4 x cos n4 y e 3 jhz ; b a b g E1 z 5 C1 sin m4 x sin n4 y e 3 jhz ; a b 67 1 5 j a C n4 sin m4 x cos n4 y e 3 jhz ; H 1 x b a b g2 67 1 5 3 j a C1 m4 sin m4 x cos n4 y e 3 jhz ; H y a a b g2 1 Hz 5 0.
1
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
2 2 2
2
Составляющие поля волны типа Hmn в прямоугольном волноводе: 1 5 j h C2 m4 sin m4 x cos n4 y e 3 jhz ; H x a a b g2 1 5 j h C2 n4 cos m4 x sin n4 y e 3 jhz ; H y b a b g2 1 5 C cos m4 x cos n4 y e 3 jhz ; H 2 z a b 67 n 4 m 4 E1 x 5 j 2a C2 x sin n4 y e 3 jhz ; cos b a b g 67 E1 y 5 3 j 2a C2 m4 sin m4 x cos n4 y e 3 jhz ; a a b g 1 E 5 0.
1
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
2 2
2
2
z
Составляющие поля волны типа Emn в круглом волно! воде: hr 43 5 E1 r 7 1 j o C1 Jm6 8 mn r 9 cos(m2)e 1 jhz ; 3mn r
o hr 2 43 5 E1 2 7 j 2o C1mJm 8 mn r 9 sin(m2)e 1 jhz ; r 3mn
ro 43 5 E1 z 7 C1 Jm 8 mn r 9 cos(m2)e 1 jhz ;
ro
96
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 2 1 r 8 1 j 34 a ro C1mJm 6 5mn r 7 sin(m2)e 1 jhz ; H 9 r
r 52mn o
1 2 8 1 j 34 a ro C1 J 6 5 mn r 7 cos(m2)e 1 jhz ; H m9
5mn ro 1 8 0. H z Составляющие поля волны типа Hmn в круглом волно* воде: 1 7 1 j hro C2 J 6 4 3mn r 5 cos(m2)e 1 jhz ; H r m8 9 3mn
ro 2 1 7 j hro C2 J 4 3mn r 5 sin(m2)e 1 jhz ; H 2 m8 9 r32mn
ro 1 7 C2 J 4 3mn r 5 cos(m2)e 1 jhz ; H z m8 9
ro 3 r 2 43 5 E1 r 7 j a2 o C2mJm 8 mn r 9 sin(m2)e 1 jhz ; r r3mn
o 3 3 r 4 5 E1 2 7 j a o C2 Jm6 8 mn r 9 cos(m2)e 1 jhz ; 3mn
ro E1 z 7 0. Здесь g 2 21 — поперечное волновое число; h 2 21 — 3в 3 кр продольное волновое число; ea и ma — абсолютные диэлек* трическая и магнитная проницаемости среды, заполняю* щей волновод. При определении составляющих поля удобно пользо* ваться следующими соотношениями: 23a f 5 g fкр Z0
3 ; 24 a 5 fZo 4 g fкр 2
4 h 1 кр 5 ; ; 3 g 1в
h 5 Z 5 Z 4 1 8 6 fкр 7 ; 24 a 5 Z 5 Z 9 f
сE cH o o 23 a 3 h
4 3 6 fкр 7 189
f
2
,
где Z0 = 120p » 377 Ом — характеристическое сопротивле* ние вакуума; ZcE и ZcH — характеристические сопротив* ления для волн типа E и типа H соответственно.
97
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
Комплексная амплитуда вектора плотности поверхно стного тока на стенках волновода 1 ], J1 1 [1 H пов
n
где 1n — вектор единичной нормали, направленный из 1 — комплексная амплитуда металла внутрь волновода; H магнитного поля у стенки волновода. Некоторые значения функций Бесселя в характерных точках: J0(m01) = J0(3,832) = –0,4027; J1(m11) = J1(1,841) = 0,5819; J1(n01) = J1(2,405) = 0,5191. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя:
J1n (x) 3 (11)n Jn (x); Jn 11 (x) 2 Jn 21 (x) 3 2n Jn (x); x Jn 11 (x) 1 Jn 21 (x) 3 2Jn4 (x); Jn4 (x) 3 Jn 11 (x) 1 n Jn (x). x Интегралы с функциями Бесселя:
5 xn11 Jn (x)dx 3 xn11Jn11 (x); 5 J1 (x)dx 3 2 Jo (x); 5 x2n11 Jn (x)dx 3 2x2n 11 Jn21 (x); 5 xJo (x)dx 3 xJ1 (x); x2 5 x[Jn (4x)]2 dx 3 2 [Jn2 (4x) 2 Jn21 (4x)Jn11 (4x)]. Мощность, переносимая волной в волноводе: 1
P 2 3 Пср z dS 2 1 3 Re{1z [E1 H]}dS, 2 S
S
где интегрирование осуществляется по поперечному се чению волновода. При определении переносимой мощ ности в прямоугольном волноводе удобно пользоваться соотношением
5 sin2 1 a
o
2
a
1
2
m3 x dx 4 cos2 m3 x dx 4 a . 5 2 a a o
98
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Погонная мощность потерь в стенках волновода Pпот пог мет 4
23 ам 1 2 | H | dl, 85м L6 1м
где mам и sм — абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость металла, из которого сделаны стен/ 1 | — модуль комплексной амплитуды тангенциаль/ ки; | H 1м ной составляющей магнитного поля на поверхности ме/ талла; L — контур поперечного сечения волновода. Погонная мощность потерь в среде, заполняющей вол/ новод 1ср 1 2 Pпот пог ср 2 | E | dS, 2 S3 где sср = we0etgd — удельная проводимость заполняющей среды; e и tgd — относительная диэлектрическая прони/ цаемость и тангенс угла потерь среды; S — поверхность поперечного сечения волновода. С учетом потерь в волноводе комплексные амплитуды составляющих поля изменяются вдоль оси распростране/ ния z по закону exp(–jhz) = exp(–jh¢z)exp(–h²z), 21 — коэффициент фазы; h² — коэф/ где h = h¢ – jh², h2 3 4 фициент затухания. в Коэффициент затухания
Pпот пог 11 [1/м], 2 hм11 3 hср 2P здесь Pпот пог = Рпот пог мет + Рпот пог ср — мощность потерь в отрезке волновода единичной длины. Погонное затухание h11 2
Dпог = [20lg(e)]×h²» 8,686×h² [дБ/м]. Коэффициент затухания за счет потерь в стенках пря/ моугольного металлического волновода: а) волна магнитного типа Нmn
99
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
hм 2
2 3 5 fкр 6 b 7 18 9 8 a f 7 7 1 2 b b m2 8 n2 2 5 fкр 6 78 1 59 fкр 6 a a
a b 19
7 f b2 m 2 a f 7 8 n2 a2
1 2
aм 2м
1
m 1; n 1; б) волна магнитного типа Нm0
2
4 7 7 7 ; 7 7 7
2 13 4 fкр 5 23 2 b 61 8 9 7 a f 3 aм 3 hм ; 2 2м 4 fкр 5 a b 19
a
f
в) волна магнитного типа Н0n 2 13 4 fкр 5 23 2 a 61 8 7 b 9 f 3 aм 3 hм ; 2 2м 4 fкр 5 a a 19
a
f
г) волна электрического типа Emn
12 12
3 2 b 3 4 2 6m a 5 n 7 8 aм 9 1 hм
2 6 7 ; m 1; n 1. 2 2 2 м fкр 6 m2 b 5 n2 7 8a b 1 7 a 6 a f Коэффициент затухания за счет потерь в стенках круг$ лого металлического волновода: а) волна магнитного типа Нmn
hм88
1 aм 2 25м ro
1a a
36 fкр 72 4 2 9 2 m 2 ; 2 f 1mn m
6 fкр 7 9 1 f 1
100
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
б) волна магнитного типа Н0n
hм
1 aм 2 27м ro
1a
a
3 fкр 4 5 f 6 8 9
2
3 fкр 4 1 5 6 8 f 9
;
2
в) волна электрического типа Emn hм44 5
1 aм 2 23м ro
1a a
1 6 fкр 7 189
f
.
2
Продольное волновое число в волноводе с идеально проводящими стенками, заполненном средой с потерями: 2 hср 2 12 34(1 5 jtg6) 5 g 2 . c
Коэффициент затухания за счет потерь в среде, запол7 няющей волновод:
11 2 |Im(hср )|. hср Если tgd = 1,то 33 4 2 5 hср 2c
tg1 2
.
6 fкр 7 189
f
Фазовая скорость волны при учете потерь в среде, за7 полняющей волновод:
vф 2
1 . |Re(hср )|
Групповая скорость для волны конкретного типа в вол7 новоде: 2
vгр
1 fкр 2 3 c 4 156 7 , 8 f 9
101
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
где e и m — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей волновод. Связь между групповой и фазовой скоростью: 2
vф vгр 1 c . 23 Степень искажений («степень расплывания») радио* сигнала в волноводе оценивается величиной Dt/tи, где
1t 2
L L 3 vгр (fmin ) vгр (fmax )
— разность времен прохождения по волноводу крайних узкополосных групп, содержащихся в спектре радиосиг* нала; L — длина волноводного тракта; tи — длительность радиосигнала. 6.1. УСЛОВИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ, ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ И ДЛИНА ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ 6.1.1. Определите, какие типы волн могут распростра* няться в прямоугольном волноводе сечением 165´83 мм на частоте 1,36 ГГц. Волновод заполнен: а) воздухом; б) диэлектриком с e = 2,5. 6.1.2. Определите, какие типы волн могут распростра* няться в заполненном воздухом прямоугольном волново* де сечением 35´16 мм на частоте 11 ГГц. Какая частота колебаний соответствует середине частотного диапазона одноволнового режима (см. примечание)? Примечание. Середина диапазона в логарифмическом масштабе по оси частот определяется как среднее геомет* рическое значение от крайних частот диапазона. 6.1.3. Каким неравенствам должны удовлетворять размеры поперечного сечения прямоугольного волново* да, если требуется, чтобы в волноводе могла распростра* няться только волна основного типа? Частота колеба* ний равна 2 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Считай* те, что поперечные размеры волновода удовлетворяют условию a > b.
102
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.1.4. Определите диапазон частот, в котором в прямо& угольном волноводе сечением 72´34 мм может распростра& няться только волна основного типа. Волновод заполнен воздухом. 6.1.5. В прямоугольном волноводе сечением 16´8 мм распространяется волна основного типа. Частота коле& баний равна 11 ГГц. Определите относительную диэлек& трическую проницаемость среды, заполняющей волно& вод, если частота колебаний превышает критическую в 1,5 раза. 6.1.6. Известно, что на некоторой фиксированной час& тоте в прямоугольном волноводе волна основного типа распространяется, а волна типа H20 распространяться не может. Определите, при каком отношении ширины вол& новода к его высоте волна типа Н11 не будет распростра& няться. 6.1.7. Прямоугольный волновод заполнен воздухом и имеет сечение: а) 48´34 мм; б) 48´6 мм. Определите выс& шие типы волн, ближайшие к основному типу в данных случаях. 6.1.8. В прямоугольном волноводе сечением 10,7´5,3 мм распространяется волна типа Н11. Частота колебаний рав& на 41 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Определите кри& тическую частоту, фазовую скорость и длину волны в вол& новоде. 6.1.9. В прямоугольном волноводе, заполненном возду& хом, распространяется волна основного типа. Фазовая ско& рость волны равна 4×108 м/с, частота колебаний 10 ГГц. Определите длину волны в волноводе и ширину волновода. 6.1.10. В прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм распространяется волна основного типа с фазовой скоро& стью 2,8×108 м/с. Частота колебаний равна 6,7 ГГц. Опре& делите длину волны в волноводе и относительную диэлек& трическую проницаемость вещества, заполняющего вол& новод. 6.1.11. В прямоугольном волноводе сечением 48´22 мм распространяется волна основного типа. Длина волны в волноводе 9,4 см. Относительная диэлектрическая прони& цаемость вещества, заполняющего волновод, равна 2,25.
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
103
Определите частоту передаваемых колебаний и фазовую скорость в волноводе. 6.1.12. В квадратном волноводе, заполненном возду# хом, распространяется волна типа E11. Частота колебаний 5 ГГц, длина волны в волноводе 9,43 см. Определите фа# зовую скорость и размер стенки. 6.1.13. В прямоугольном волноводе сечением 16´8 мм распространяется волна основного типа. Длина волны в волноводе равна 2,5 см, частота колебаний 9 ГГц. Опре# делите фазовую скорость и относительную диэлектриче# скую проницаемость вещества, заполняющего волновод (m = 1). 6.1.14. Прямоугольный волновод заполнен воздухом. На частоте колебаний 10 ГГц длина волны типа H10 рав# на 3,96 см. На частоте 19 ГГц длина волны типа H01 рав# на 2,57 см. Определите размеры поперечного сечения вол# новода. 6.1.15. В прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм распространяется волна типа E11. Волновод заполнен воз# духом. На расстоянии z = 12 мм вдоль оси волновода сдвиг фаз колебаний по отношению к точке z = 0 составляет –120°. Определите частоту передаваемых колебаний. 6.1.16. Прямоугольный волновод сечением 12´8 мм заполнен воздухом. Частота колебаний 10 ГГц. Стенки волновода выполнены из идеально проводящего материа# ла. Определите, на отрезке какой длины ослабление вол# ны основного типа составит 60 дБ. 6.1.17. В прямоугольном волноводе сечением 15´7 мм распространяется волна основного типа. Частота колеба# ний 15 ГГц. В точке z = 0, х = 2 мм комплексная амплиту# да вектора E равна 10ejp/2 мВ/м. Волновод заполнен воз# духом. Определите E1 в точке z = 10 мм, x = 4 мм. 6.1.18. В прямоугольном волноводе Ey = E0sin(gxx)´ ´exp(–jhz), где множитель exp(–jhz) описывает бегущую волну по координате z, множитель sin(gxx) — стоячую вол# ну по координате х. Частота колебаний w0, волновод запол# нен воздухом и имеет ширину а. Воспользовавшись гранич# ными условиями и уравнением Гельмгольца для Ey, опре# делите gx и h (число вариаций поля по x минимальное).
104
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.1.19. (У) Прямоугольный волновод с идеально прово' дящими стенками и поперечным сечением 35´16 мм запол' нен диэлектриком с e = 2,56 и tgd = 3×10–4. Определите фа' зовую скорость и длину волны в волноводе, если: а) рабо' чая частота f0 = 1,2fкр; б) f0 = 0,8fкр. Тип волны Н10. 6.1.20. В прямоугольном волноводе, заполненном воз' духом, распространяется волна с частотой 10 ГГц. Изобра' зите зависимость: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе от ширины волновода. На графиках в одинако' вом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) вол' не типа Н10; 2) волне типа Н01 (отношение ширины волно' вода к его высоте равно 2). 6.1.21. В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна основного типа. Изобразите за' висимость: а) фазовой скорости; б) длины волны в волно' воде от частоты колебаний. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие заполне' нию волновода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относи' тельной проницаемостью e = 4. 6.1.22. В прямоугольном волноводе распространяется волна основного типа. Частота колебаний 15 ГГц. Изобра' зите зависимость: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе от ширины волновода. На графиках в одинако' вом масштабе покажите кривые, соответствующие запол' нению волновода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с e = 9. 6.1.23. В прямоугольном волноводе, заполненном воз' духом, распространяется волна основного типа. Изобрази' те зависимость от частоты колебаний: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) сечению волновода 10´6 мм; 2) сечению волновода 30´15 мм. 6.1.24. В прямоугольном волноводе, заполненном воз' духом, распространяется волна типа H01. Изобразите за' висимость от высоты волновода: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) часто' те 15 ГГц; 2) частоте 30 ГГц. 6.1.25. Прямоугольный волновод сечением 60´30 мм заполнен воздухом. Изобразите зависимость от частоты
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
105
колебаний: а) фазовой скорости; б) длины волны в волно воде. На графиках в одинаковом масштабе покажите кри вые, соответствующие: 1) волне основного типа; 2) волне типа E11. 6.1.26. (У) Прямоугольный волновод с идеально про водящими стенками и поперечным сечением a´b запол нен диэлектриком c относительной проницаемостью e и удельной проводимостью sд. Изобразите (качественно, на одном графике) зависимости фазовой скорости от часто ты для случаев: а) sд = 0; б) sд/(wкрe0e) = 0,2. 6.1.27. Определите, какие типы волн могут распростра няться в круглом волноводе диаметром 50 мм на частоте 4,4 ГГц. Волновод заполнен: а) воздухом; б) диэлектриком с e = 3. 6.1.28. Каким неравенствам должен удовлетворять ра диус круглого волновода, если требуется, чтобы в волново де могла распространяться только волна основного типа? Частота колебаний 10 ГГц, волновод заполнен воздухом. 6.1.29. Определите диапазон частот, в котором в круг лом волноводе диаметром 30 мм может распространяться только основной тип волны. Волновод заполнен: а) возду хом; б) диэлектриком с e = 2,56. 6.1.30. В круглом волноводе диаметром 16 мм распро страняется волна основного типа. Частота колебаний рав на 13 ГГц. Определите критическую частоту, фазовую скорость и длину волны в волноводе, который заполнен: а) воздухом; б) диэлектриком с e = 2,56. 6.1.31. В круглом волноводе, заполненном диэлектри ком с относительной проницаемостью e = 2,08, распростра няется волна типа E01. Фазовая скорость волны равна 3×108 м/с, частота колебаний 10 ГГц. Определите длину волны в волноводе и диаметр волновода. 6.1.32. В круглом волноводе диаметром 56 мм распро страняется волна типа H01 с фазовой скоростью 4×108 м/с. Волновод заполнен воздухом. Определите частоту переда ваемых колебаний и длину волны в волноводе. 6.1.33. В круглом волноводе, заполненном диэлектри ком с относительной проницаемостью e = 2,08, распростра няется волна типа Е11. Частота колебаний равна 8 ГГц,
106
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
длина волны в волноводе составляет 4,2 см. Определите фазовую скорость и радиус волновода. 6.1.34. В круглом волноводе диаметром 24 мм распро+ страняется волна основного типа. Длина волны в волно+ воде равна 4,8 см, частота колебаний 6 ГГц. Определите фазовую скорость и относительную диэлектрическую про+ ницаемость вещества, заполняющего волновод. 6.1.35. В круглом волноводе диаметром 90 мм распро+ страняется волна основного типа. Относительная диэлек+ трическая проницаемость вещества, заполняющего вол+ новод, равна 2,25. Длина волны в волноводе составляет 19 см. Определите частоту передаваемых колебаний и фа+ зовую скорость. 6.1.36. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна типа E01. Частота колебаний рав+ на 10 ГГц. На расстоянии 7,8 мм (вдоль оси волновода) фаза колебаний меняется на p/4. Определите диаметр вол+ новода. 6.1.37. Круглый волновод диаметром 30 мм заполнен воздухом. Частота колебаний равна 3,75 ГГц. Стенки вол+ новода выполнены из идеально проводящего материала. Определите длину отрезка волновода, на которой затуха+ ние волны основного типа составит 40 дБ. 6.1.38. В круглом волноводе диаметром 20 мм распро+ страняется волна типа E01. Частота колебаний равна 17 ГГц. В точке z = 0, r = 0 комплексная амплитуда вектора E рав+ на 25ejp/4 мВ/м. Волновод заполнен воздухом. Определите E1 в точке z = 10 мм, r = 0. 6.1.39. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна с частотой 3 ГГц. Изобразите за+ висимость от радиуса волновода: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе . На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) волне типа H11; 2) волне типа H01. 6.1.40. В круглом волноводе радиусом 20 мм распро+ страняется волна основного типа. Изобразите зависимость от частоты колебаний: а) фазовой скорости; б) длины вол+ ны в волноводе. На графиках в одинаковом масштабе по+ кажите кривые, соответствующие заполнению волново+
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
107
да: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относительной прони цаемостью e = 9. 6.1.41. В круглом волноводе распространяется волна основного типа. Частота колебаний 8 ГГц. Изобразите за висимость от радиуса волновода: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе . На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие заполне нию волновода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с e = 4. 6.1.42. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна основного типа. Изобразите за висимость от частоты колебаний: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) диамет ру волновода 30 мм; 2) диаметру волновода 60 мм. 6.1.43. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна типа H11. Изобразите зависи мость от радиуса волновода: а) фазовой скорости; б) дли ны волны в волноводе. На графиках в одинаковом мас штабе покажите кривые, соответствующие: 1) частоте 3 ГГц; 2) частоте 6 ГГц. 6.1.44. Круглый волновод диаметром 50 мм заполнен воздухом. Изобразите зависимость от частоты колебаний: а) фазовой скорости; б) длины волны в волноводе. На гра фиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответ ствующие: 1) волне основного типа; 2) волне типа Е01. 6.2. СТРУКТУРА ПОЛЯ И ТОКОВ В ВОЛНОВОДЕ 6.2.1. В прямоугольном волноводе сечением 48´22 мм распространяется волна основного типа. Максимальная амплитуда составляющей Hx равна максимальной ам плитуде составляющей Hz. Волновод заполнен воздухом. Определите частоту передаваемых колебаний. 6.2.2. В прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм распространяется волна типа H11. Волновод заполнен воз духом. Максимальная амплитуда составляющей Ex рав на 50 В/м. Частота колебаний 15 ГГц. Определите мак симальную амплитуду составляющей Hz.
108
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.2.3. Максимальная амплитуда составляющей Hx вол( ны основного типа в прямоугольном волноводе составляет 0,1 А/м. Частота колебаний равна 9,4 ГГц. Волновод за( полнен воздухом и имеет сечение 23´10 мм. Определите поперечное характеристическое сопротивление и макси( мальную амплитуду составляющей Ey. 6.2.4. В прямоугольном волноводе сечением 16´8 мм распространяется волна типа E11. Волновод заполнен воздухом. Максимальная амплитуда составляющей Hy равна 50 мА/м. Частота колебаний составляет 30 ГГц. Определите максимальную амплитуду составляющей Ez. 6.2.5. В прямоугольном волноводе сечением 7,1´3,6 мм распространяется волна типа E11. Максимальная ампли( туда составляющей Ey равна максимальной амплитуде со( ставляющей Ez. Волновод заполнен воздухом. Определи( те частоту передаваемых колебаний. 6.2.6. Максимальная амплитуда составляющей Ex волны типа E11 в прямоугольном волноводе составляет 0,15 В/м. Частота колебаний равна 7 ГГц. Волновод заполнен возду( хом и имеет сечение 72´34 мм. Определите поперечное ха( рактеристическое сопротивление и максимальную ампли( туду составляющей Hy. 6.2.7. В прямоугольном волноводе сечением 48´22 мм распространяется волна основного типа. Волновод запол( нен воздухом. Частота колебаний равна 4,5 ГГц. Опреде( лите значение координаты x, при котором вектор H име( ет круговую поляризацию. 6.2.8. В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм распространяется волна типа E11. Волновод заполнен воз( духом. Частота колебаний равна 7,5 ГГц. Определите, при каких значениях координаты y вектор E в сечении x = a/2 имеет круговую поляризацию. 6.2.9. Максимальная амплитуда составляющей H z волны типа Н11 в прямоугольном волноводе составляет 0,05 А/м. Частота колебаний равна 23 ГГц. Волновод за( полнен воздухом и имеет сечение 23´10 мм. Определите амплитуду вектора E в точке x = 20 мм, y = 3 мм. 6.2.10. Максимальная амплитуда составляющей Ez волны типа E11 в прямоугольном волноводе составляет
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
109
1,75 В/м. Частота колебаний равна 4,4 ГГц. Волновод за полнен воздухом и имеет сечение 110´55 мм. Определите амплитуду вектора H в точке x = 30 мм, y = 35 мм. 6.2.11. В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм распространяется волна основного типа. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний равна 3 ГГц. При x = 18 мм, z = z1 комплексная амплитуда E1 1 1,51y , В/м. Определите комплексную амплитуду вектора плотности поверхностно го электрического тока при x = 36 мм, z = z1, y = 0. 6.2.12. В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна основного типа. Максимальная амплитуда составляющей Hx равна 0,1 А/м, частота поля составляет 10 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Опреде лите амплитуду вектора плотности поверхностного тока на правой боковой стенке (при x = 0). 6.2.13. В прямоугольном волноводе сечением 50´25 мм распространяется волна основного типа. Максимальная амплитуда составляющей H z равна 15 мА/м, частота поля — 4,3 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Опреде лить максимальную амплитуду вектора плотности тока смещения. 6.2.14. В прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм распространяется волна типа E11. Волновод заполнен воз духом. Частота колебаний 15 ГГц. Максимальная ампли туда продольной составляющей вектора плотности тока смещения равна 0,5 А/м2. Определите максимальную ам плитуду составляющей Ey. 6.2.15. В прямоугольном волноводе сечением 16´8 мм распространяется волна основного типа. Волновод запол нен воздухом. Амплитуда вертикальной составляющей вектора плотности поверхностного тока на боковой стен ке равна максимальной амплитуде продольной составляю щей вектора плотности поверхностного тока на нижней стенке. Определите частоту передаваемых колебаний. 6.2.16. В прямоугольном волноводе сечением 10,7´5,3 мм распространяется волна основного типа. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний 25 ГГц. В некотором сечении z = z1 комплексная амплитуда вектора плотности поверх ностного тока на правой боковой стенке равна 0,31y , А/м.
110
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Определите комплексную амплитуду вектора плотности поверхностного тока на верхней стенке в этом же сечении. 6.2.17. В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм распространяется волна типа E11. Волновод заполнен воз/ духом. Максимальная амплитуда составляющей Ez равна 1,2 В/м. Частота колебаний 7 ГГц. Определите амплиту/ ду тока проводимости, пересекающего контур поперечно/ го сечения. 6.2.18. В прямоугольном волноводе сечением 10,7´5,3 мм распространяется волна типа E11. Волновод заполнен воз/ духом. Максимальная амплитуда составляющей Hx рав/ на 1,5 А/м. Частота колебаний 45 ГГц. Определите ампли/ туду тока смещения, пересекающего плоскость попереч/ ного сечения волновода. 6.2.19. (У) Поле волны H10 в прямоугольном волно/ воде можно представить как суперпозицию двух бегу/ щих волн, распространяющихся под некоторым углом к боковым стенкам x = 0 и x = a (концепция парциальных волн, предложенная французским физиком Бриллю/ эном). Волновод заполнен воздухом. Определите состав/ ляющие поля этих волн. Найдите j — угол падения пар/ циальных волн на боковые стенки и качественно изо/ бразите зависимость j от частоты. Получите выражение для фазовой скорости парциальных волн в направлении оси z. Убедитесь, что эта скорость определяется извест/ ным выражением для фазовой скорости волны H10 в вол/ новоде. 6.2.20. Плоская волна с перпендикулярной поляри/ зацией падает под углом jпад на идеально проводящую плоскость (x = 0). Покажите, что полное поле в области 0 < x < l0/2cos(jпад) идентично полю волны в прямоуголь/ ном волноводе шириной a = l0/2cos(jпад). Получите вы/ ражения, связывающие критическую длину волны и ши/ рину волновода с углом jпад. 6.2.21. (У) Прямоугольный волновод сечением 35´16 мм закорочен на конце металлическим фланцем. На расстоя/ нии z0 = lв/4 = 11,1 мм от фланца в центре широкой стен/ ки волновода расположен вертикальный металлический штырь, в котором электромагнитное поле индуцирует
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
111
СВЧ ток. Этот ток с помощью детекторной секции пре образуется в напряжение uд = kдEm, где kд — коэффици ент детектирования; Em — амплитуда составляющей век тора E в точке размещения штыря, параллельной шты рю. Определите относительное изменение уровня uд, если относительное изменение (нестабильность) частоты гене ратора составляет 0,01 (относительно частоты f0 = 8 ГГц). Волновод заполнен воздухом, используется волна основ ного типа. 6.2.22. (У) В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна основного типа. Волновод за полнен воздухом, частота колебаний 10 ГГц. При z = x = 0 1 z 1 0,5 А/м. Определите комплексную амплитуду плот H ности поверхностного электрического заряда на верхней и нижней стенках. 6.2.23. (У) Прямоугольный волновод сечением a´b в сечении z = 0 «закорочен» идеально проводящей плоско стью. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний f0, тип волны H10. Выведите выражения для вектора плотно сти тока смещения и вектора поверхностной плотности электрического тока на нижней (y = 0) и правой (x = 0) боковой стенке. Рассмотрите область z < 0. 6.2.24. Покажите, что поперечные составляющие век торов E и H в прямоугольном волноводе ортогональны друг другу. В волноводе распространяется: а) волна типа Е; б) волна типа Н. 6.2.25. В прямоугольном волноводе распространяется волна типа E11. Сечение внутренней поверхности стенок волновода плоскостью z = z1 образует прямоугольник раз мерами a´b. Докажите, что амплитуда поверхностного электрического тока, пересекающего контур этого прямо угольника, равна амплитуде тока смещения, пересекаю щего поверхность, ограниченную данным контуром (со хранение полного тока). 6.2.26. В круглом волноводе диаметром 15 мм распро страняется волна типа E01. Максимальная амплитуда со ставляющей Ez равна 0,2 В/м. Частота колебаний 22 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Определите максимальную амплитуду составляющей Er.
112
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.2.27. В круглом волноводе диаметром 60 мм распро% страняется волна типа E01. Максимальная амплитуда со% ставляющей Hj равна 60 мА/м. Частота колебаний 5,5 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Определите поперечное характеристическое сопротивление и максимальную ам% плитуду составляющей Er. 6.2.28. В круглом волноводе диаметром 20 мм распро% страняется волна типа H01. Максимальная амплитуда со% ставляющей Ej равна 15 В/м. Частота колебаний 26 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Определите максимальную амплитуду составляющей Hz. 6.2.29. В круглом волноводе диаметром 20 мм распро% страняется волна типа H01. Определите, при каком значе% нии радиальной координаты: а) максимальна составляю% щая Ej; б) максимальна составляющая Hr; в) составляю% щая Hz равна нулю. 6.2.30. В круглом волноводе диаметром 32 мм распро% страняется волна типа E01. Определите, при каком значе% нии радиальной координаты: а) максимальна составляю% щая Ez; б) максимальна составляющая Er; в) максимальна составляющая Hj. 6.2.31. В круглом волноводе диаметром 50 мм распро% страняется волна типа E02. Определите, при каком значе% нии радиальной координаты: а) максимальна составляю% щая Hj; б) составляющая Ez равна нулю. 6.2.32. Изобразите (качественно) график зависимости составляющей Ez волны E01 от радиальной координаты в круглом волноводе. Радиальная координата изменяется от 0 до r0, где r0 — радиус волновода. На этом же графике пунктиром покажите аналогичную зависимость для вол% ны E02 (радиус волновода тот же самый). 6.2.33. Изобразите (качественно) график зависимости составляющей Er волны E01 от радиальной координаты в круглом волноводе. Радиальная координата изменяется от 0 до r0, где r0 — радиус волновода. На этом же графике пунктиром покажите аналогичную зависимость для вол% ны E02 (радиус волновода тот же самый). 6.2.34. Изобразите (качественно) график зависимости составляющей Hz волны H01 от радиальной координаты в
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
113
круглом волноводе. Радиальная координата изменяется от 0 до r0, где r0 — радиус волновода. На этом же графике пунктиром покажите аналогичную зависимость для вол$ ны H02 (радиус волновода тот же самый). 6.2.35. Изобразите (качественно) график зависимости составляющей Ej волны H01 от радиальной координаты в круглом волноводе. Радиальная координата изменяется от 0 до r0, где r0 — радиус волновода. На этом же графике пунктиром покажите аналогичную зависимость для вол$ ны H02 (радиус волновода тот же самый). 6.2.36. Изобразите (качественно) график зависимости составляющих Hz, Hr и Ej волны H11 от радиальной коор$ динаты в круглом волноводе. Радиальная координата из$ меняется от 0 до r0, где r0 — радиус волновода. 6.2.37. В круглом волноводе диаметром 35 мм распро$ страняется волна типа H01. Волновод заполнен воздухом. При r = 0, z = z1 комплексная амплитуда продольной со$ ставляющей вектора H равна 0,21 А/м. Определите ком$ плексную амплитуду вектора плотности поверхностного электрического тока при z = z1. 6.2.38. В круглом волноводе диаметром 50 мм распро$ страняется волна типа E01. Максимальная амплитуда со$ ставляющей Er равна 5 В/м, частота поля 8 ГГц. Волно$ вод заполнен воздухом. Определите амплитуду вектора плотности поверхностного тока. 6.2.39. В круглом волноводе диаметром 16 мм распро$ страняется волна типа H11. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний равна 20 ГГц. Комплексная амплитуда составляющей Hz при r = r0, z = 0 равна 87,29 мА/м. Определите комплексную ампли$ туду вектора плотности поверхностного тока. 6.2.40. В круглом волноводе диаметром 55 мм распро$ страняется волна типа H01. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний равна 10 ГГц. Максимальная ампли$ туда плотности тока смещения 0,81 А/м2. Определите ам$ плитуду плотности поверхностного тока. 6.2.41. В круглом волноводе диаметром 32 мм распро$ страняется волна типа E01. Волновод заполнен воздухом. Максимальная амплитуда составляющей Ez равна 40 В/м.
114
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Частота колебаний 10 ГГц. Определите амплитуду тока проводимости, пересекающего контур поперечного сечения. 6.2.42. В круглом волноводе диаметром 14 мм распространяется волна типа E01. Волновод заполнен воздухом. Максимальная амплитуда составляющей Er равна 7,5 В/м. Частота колебаний 30 ГГц. Определите амплитуду тока смещения, пересекающего плоскость поперечного сечения волновода. 6.2.43. В круглом волноводе распространяется волна типа E01. Сечение внутренней поверхности стенки волновода плоскостью z = z1 образует окружность радиуса а. Докажите, что амплитуда поверхностного электрического тока, пересекающего контур этой окружности, равна амплитуде тока смещения, пересекающего поверхность, ограниченную данным контуром (сохранение полного тока). 6.3. ПЕРЕНОСИМАЯ МОЩНОСТЬ, ЗАТУХАНИЕ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ 6.3.1. В прямоугольном волноводе сечением 110´55 мм распространяется волна основного типа. Максимальная амплитуда составляющей Hx равна 0,2 А/м. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний 2 ГГц. Определите максимальную и среднюю по сечению плотность переносимой мощности. 6.3.2. Максимальная амплитуда составляющей Н z волны основного типа в прямоугольном волноводе равна 150 мА/м. Волновод заполнен воздухом и имеет поперечное сечение 35´16 мм. Частота колебаний 6,1 ГГц. Определите максимальную амплитуду составляющей Еy и переносимую мощность. 6.3.3. (У) Мощность, переносимая волной основного типа в прямоугольном волноводе, равна 1 кВт. Волновод заполнен воздухом. Частота колебаний 4,5 ГГц. Поперечное сечение волновода плавно уменьшается от 48´22 мм при z = z1 до 48´5,7 мм при z = z2. Определите максимальную
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
115
амплитуду составляющей Еy в точках z1 и z2. Потери в стен! ках пренебрежимо малы. 6.3.4. Мощность, переносимая волной основного типа в прямоугольном волноводе, равна 10 кВт. Волновод запол! нен воздухом и имеет сечение 50´25 мм. Частота колеба! ний 5 ГГц. Определите максимальную амплитуду поля E и максимальную амплитуду поверхностной плотности тока на стенках. 6.3.5. Мощность, переносимая волной типа Е11 в пря! моугольном волноводе, равна 30 мВт. Волновод запол! нен воздухом и имеет сечение 72´34 мм. Частота коле! баний 7 ГГц. Определите максимальную амплитуду со! ставлявших Еx и Еz. 6.3.6. Прямоугольный волновод заполнен воздухом и имеет поперечное сечение 48´22 мм. Частота колеба! ний 10,7 ГГц. Определите, какой величиной ограничена мощность, переносимая волной типа Н11 в связи с явлени! ем электрического пробоя воздуха. Учтите, что электри! ческий пробой сухого воздуха при нормальном атмосфер! ном давлении наступает при напряженности электриче! ского поля 30 кВ/см. 6.3.7. (У) В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна основного типа. Максимальная амплитуда составляющей Нx равна 5 А/м, частота поля составляет 10 ГГц. Волновод заполнен воздухом, стенки выполнены из меди. Определите погонную мощность по! терь в стенках волновода. 6.3.8. (У) В прямоугольном волноводе сечением 48´22 мм распространяется волна основного типа. Максимальная амплитуда составляющей Нx равна 10 А/м, частота поля составляет 3,5 ГГц. Волновод заполнен диэлектриком с e = 2,5; tg(d) = 3×10–4. Определите погонную мощность по! терь в диэлектрике. 6.3.9. (У) В прямоугольном волноводе сечением а´b распространяется волна типа Еmn. Максимальная ампли! туда продольной составляющей вектора E равна Еz0. Стенки волновода изготовлены из металла с удельной про! водимостью sм и относительной магнитной проницаемо! стью m = 1. Волновод заполнен диэлектриком без потерь
116
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
с относительной диэлектрической проницаемостью e. Вы) ведите выражение для погонной мощности потерь в стен) ках на частоте w. 6.3.10. (У) В прямоугольном волноводе сечением а´b рас) пространяется волна типа Еmn. Максимальная амплитуда продольной составляющей вектора E равна Еz0. Волновод заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью e и тангенсом угла потерь tg(d). Выведите выражение для по) гонной мощности потерь в диэлектрике на частоте w. 6.3.11. (У) В прямоугольном волноводе сечением а´b распространяется волна типа Hmn (m ¹ 0, n ¹ 0). Макси) мальная амплитуда продольной составляющей вектора H равна Hz0. Стенки волновода изготовлены из металла с удельной проводимостью sм и относительной магнитной проницаемостью m = 1. Волновод заполнен диэлектриком без потерь с относительной диэлектрической проницаемо) стью e. Выведите выражение для погонной мощности по) терь в стенках на частоте w. 6.3.12. (У) В прямоугольном волноводе сечением а´b распространяется волна типа Hmn (m ¹ 0, n ¹ 0). Макси) мальная амплитуда продольной составляющей вектора H равна Hz0. Волновод заполнен диэлектриком с относитель) ной проницаемостью e и тангенсом угла потерь tg(d). Вы) ведите выражение для погонной мощности потерь в ди) электрике на частоте w. 6.3.13. Определите коэффициент затухания и погонное затухание волны основного типа в прямоугольном волно) воде сечением 110´55 мм. Волновод заполнен воздухом, стенки выполнены из меди. Частота колебаний 2 ГГц. 6.3.14. Определите коэффициент затухания и погонное затухание волны типа H11 в прямоугольном волноводе се) чением 7,1´3,6 мм. Волновод заполнен воздухом, стенки посеребрены. Частота колебаний 67 ГГц. 6.3.15. Определите коэффициент затухания и погонное затухание волны типа E11 в прямоугольном волноводе се) чением 23´10 мм. Волновод заполнен воздухом, стенки выполнены из латуни. Частота колебаний 25 ГГц. 6.3.16. Определите коэффициент затухания волны основ) ного типа в прямоугольном волноводе сечением 48´22 мм.
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
117
Волновод заполнен диэлектриком с e = 2,08 и tg(d) = = 2,5×10–4. Частота колебаний 3,25 ГГц. Полагайте, что потерями в стенках можно пренебречь. 6.3.17. Определите коэффициент затухания волны ти+ па Е11 в прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм. Вол+ новод заполнен диэлектриком с e = 2,25 и tg(d) = 3,5×10–4. Частота колебаний 10 ГГц. Полагайте, что потерями в стен+ ках можно пренебречь. 6.3.18. Прямоугольный волновод сечением 16´8 мм заполнен воздухом, стенки выполнены из меди. Опреде+ лите частоту, на которой коэффциент затухания волны основного типа минимален. Найдите коэффициент за+ тухания на данной частоте и на частоте, соответствую+ щей середине частотного диапазона одноволнового ре+ жима. 6.3.19. В прямоугольном волноводе шириной а рас+ пространяется волна основного типа. Частота колебаний f = 0,75 c/а. Волновод заполнен воздухом. Определите, во сколько раз отличается коэффициент затухания для высоты волновода b1 = а от коэффициента затухания для высоты b2 = а/2. Объясните, почему предпочитают ис+ пользовать волноводы с высотой b порядка а/2. 6.3.20. Известно, что в прямоугольном волноводе се+ чением 110´55 мм коэффициент затухания волны основ+ ного типа на частоте 2,06 ГГц равен 0,01 дБ/м. Определи+ те коэффициент затухания волны основного типа в волно+ воде сечением 16´8 мм. Примечание. Получите результат, сравнив размеры поперечного сечения и учтя, что в данных волноводах от+ ношение f/fкр = 1,5; стенки выполнены из одинакового материала; заполнением является воздух. 6.3.21. В прямоугольном волноводе коэффициент зату+ хания за счет потерь в стенках равен 0,01 дБ/м, а общий коэффициент затухания — 0,011 дБ/м. Определите погон+ ную мощность потерь в диэлектрике, заполняющем вол+ новод, если передаваемая мощность составляет 10 кВт. 6.3.22. (У) В прямоугольном волноводе распространяет+ ся волна основного типа. В сечении z = 0 амплитуда состав+ ляющей Еy равна 0,8 В/м, а в сечении z = 7 м — 0,7 В/м.
118
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Определите затухание (в дБ) и коэффициент полезного действия отрезка волновода длиной 12 м. 6.3.23. В сечении z = 0 полого металлического волно3 вода переносится мощность 100 кВт. Коэффициент зату3 хания равен 0,003 1/м. Определите: а) погонную мощность потерь на отрезке z Î (0,1 м); б) погонную мощность по3 терь на отрезке z Î (50 м; 51 м); в) мощность потерь на от3 резке z Î (0,50 м); г) мощность, переносимую в сечении z = 50 м. 6.3.24. В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна основного типа. Изобразите (ка3 чественно) зависимость коэффициента затухания от час3 тоты колебаний. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие заполнению волно3 вода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относительной про3 ницаемостью e = 4. 6.3.25. Прямоугольный волновод сечением 40´20 мм заполнен воздухом. Изобразите (качественно) зависимость коэффициента затухания от частоты. На графике в оди3 наковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) волне типа Н10; 2) волне типа Н20. 6.3.26. В прямоугольном волноводе, заполненном воз3 духом, распространяется волна основного типа. Изобра3 зите (качественно) зависимость коэффициента затуха3 ния от частоты колебаний. На графике в одинаковом мас3 штабе покажите кривые, соответствующие: 1) сечению 60´30 мм; 2) сечению 30´15 мм. 6.3.27. В прямоугольном волноводе, заполненном воз3 духом, распространяется волна с частотой 10 ГГц. Изобра3 зите (качественно) зависимость коэффициента затухания от ширины волновода. На графике в одинаковом масшта3 бе покажите кривые, соответствующие: 1) волне типа Н10; 2) волне типа Н20 (отношение ширины волновода к его высоте равно 2). 6.3.28. В прямоугольном волноводе, заполненном воз3 духом, распространяется волна основного типа. Изобра3 зите (качественно) зависимость коэффициента затухания от ширины волновода. На графике в одинаковом масшта3 бе покажите кривые, соответствующие: 1) частоте 3 ГГц;
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
119
2) частоте 6 ГГц (отношение ширины волновода к его вы соте равно 2). 6.3.29. В прямоугольном волноводе распространяется волна основного типа. Частота колебаний 10 ГГц. Изобра зите (качественно) зависимость коэффициента затухания от ширины волновода. На графиках в одинаковом масшта бе покажите кривые, соответствующие заполнению вол новода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относительной проницаемостью e = 4 (отношение ширины волновода к его высоте равно 2). 6.3.30. Максимальная амплитуда составляющей Еz волны типа E01 в круглом волноводе равна 100 В/м. Вол новод заполнен воздухом и имеет диаметр 36 мм. Часто та колебаний 9 ГГц. Определите переносимую волной мощность. 6.3.31. Мощность, переносимая волной типа Н01 в круг лом волноводе, равна 50 Вт. Волновод заполнен воздухом и имеет диаметр 50 мм. Частота колебаний 10 ГГц. Опреде лите амплитуду поля H на оси волновода и максимальную амплитуду поля E. 6.3.32. Мощность, переносимая волной типа Е01 в круг лом волноводе, равна 1 кВт. Волновод заполнен воздухом и имеет диаметр 35 мм. Частота колебаний 10 ГГц. Опре делите амплитуду плотности поверхностного тока. 6.3.33. Круглый волновод заполнен воздухом и имеет диаметр 40 мм. Частота колебаний 13 ГГц. Определите, какой величиной ограничена мощность, переносимая вол ной типа H01 в связи с явлением электрического пробоя воздуха. 6.3.34. Круглый волновод заполнен воздухом и имеет диаметр 15 мм. Частота колебаний 22 ГГц. Определите, какой величиной ограничена мощность, переносимая вол ной типа Е01, в связи с явлением электрического пробоя воздуха. 6.3.35. (У) В круглом волноводе диаметром 25 мм распро страняется волна типа Н01. Максимальная амплитуда со ставляющей Hr равна 35 А/м, частота поля 21 ГГц. Волно вод заполнен воздухом, стенки выполнены из меди. Опре делите погонную мощность потерь в стенках волновода.
120
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.3.36. (У) В круглом волноводе диаметром 70 мм рас$ пространяется волна типа Е01. Максимальная амплитуда составляющей Ez равна 21 В/м, частота поля 3 ГГц. Вол$ новод заполнен диэлектриком с e = 2,5; tg(d) = 3×10–4. Оп$ ределите погонную мощность потерь в диэлектрике. 6.3.37. (У) В круглом волноводе радиусом а распростра$ няется волна типа Е01. Максимальная амплитуда продоль$ ной составляющей вектора E равна Еz0. Стенки волновода изготовлены из металла c удельной проводимостью sм. Вы$ ведите выражение для погонной мощности потерь в стен$ ках на частоте w. 6.3.38. (У) В круглом волноводе радиусом а распростра$ няется волна типа H01. Максимальная амплитуда продоль$ ной составляющей вектора H равна Hz0. Волновод запол$ нен диэлектриком с относительной проницаемостью e и тан$ генсом угла потерь tg(d). Выведите выражение для погонной мощности потерь в диэлектрике на частоте w. 6.3.39. Определите коэффициент затухания волны ос$ новного типа в круглом волноводе диаметром 55 мм. Вол$ новод заполнен воздухом, стенки изготовлены из меди. Частота колебаний 4,6 ГГц. 6.3.40. Определите коэффициент затухания волны ти$ па Е01 в круглом волноводе диаметром 10 мм. Волновод заполнен воздухом, стенки посеребрены. Частота колеба$ ний 33 ГГц. 6.3.41. Определите коэффициент затухания волны ос$ новного типа в круглом волноводе диаметром 46 мм. Вол$ новод заполнен диэлектриком с e = 2,08 и tg(d) = 2,5×10–4. Частота колебаний 4 ГГц. Полагайте, что потерями в стен$ ках можно пренебречь. 6.3.42. Определите коэффициент затухания волны ти$ па H01 в круглом волноводе диаметром 30 мм. Волновод заполнен диэлектриком с e = 2,25 и tg(d) = 3,5×10–4. Час$ тота колебаний 12,5 ГГц. Полагайте, что потерями в стен$ ках можно пренебречь. 6.3.43. Круглый волновод диаметром 16 мм заполнен воздухом, стенки выполнены из меди. Определите часто$ ту, на которой коэффициент затухания волны основного типа минимален. Найдите коэффициент затухания на дан$
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
121
ной частоте и на частоте, соответствующей середине час тотного диапазона одноволнового режима. 6.3.44. Известно, что в круглом волноводе диаметром 50 мм коэффициент затухания волны основного типа на частоте 5 ГГц равен 0,04 дБ/м. Определите коэффици ент затухания волны основного типа в волноводе диа метром 5 мм. Примечание. Получите результат, сравнив размеры поперечного сечения и учтя, что в данном примере отно шение f/fкр = 1,4 в обоих волноводах, стенки выполнены из одинакового материала, заполнением является воздух. 6.3.45. В круглом волноводе диаметром 20 мм распро страняется волна основного типа. Изобразите (качествен но) зависимость коэффициента затухания от частоты коле баний. На графиках в одинаковом масштабе покажите кри вые, соответствующие заполнению волновода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относительной проницаемостью e = 4. 6.3.46. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна основного типа. Изобразите (ка чественно) зависимость коэффициента затухания от ра диуса волновода. На графике в одинаковом масштабе по кажите кривые, соответствующие: 1) частоте 3 ГГц; 2) час тоте 6 ГГц. 6.3.47. Круглый волновод диаметром 60 мм заполнен воздухом. Изобразите (качественно) зависимость коэффи циента затухания от частоты. На графике в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) волне типа H11; 2) волне типа Е01. 6.3.48. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна основного типа. Изобразите (ка чественно) зависимость коэффициента затухания от час тоты колебаний. На графике в одинаковом масштабе по кажите кривые, соответствующие: 1) радиусу волновода 15 мм; 2) радиусу волновода 30 мм. 6.3.49. В заполненном воздухом круглом волноводе рас пространяется волна типа Н01. Предположив, что ампли туда поперечной составляющей Нr от частоты не зависит, изобразите (качественно) частотные зависимости перено симой мощности, погонной мощности потерь в стенках
122
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
волновода и коэффициента затухания. Объясните моно* тонное уменьшение коэффициента затухания с ростом час* тоты (особенность симметричных волн типа Ноn в круглом волноводе). 6.4. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ В ВОЛНОВОДАХ 6.4.1. В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм распространяется волна основного типа. Частота колеба* ний равна 3 ГГц. Определите групповую скорость для двух случаев: а) волновод заполнен воздухом; б) волновод за* полнен диэлектриком с e = 2,08. 6.4.2. В прямоугольном волноводе распространяется волна основного типа. На частоте 11 ГГц длина волны в волноводе равна 3,8 см. Определите групповую скорость. 6.4.3. Групповая скорость волны основного типа в пря* моугольном волноводе равна 2,75×108 м/с. Групповая ско* рость волны типа H01 равна 1,8×108 м/с. Частота колеба* ний — 7,5 ГГц. Волновод заполнен воздухом. Определите размеры поперечного сечения волновода. 6.4.4. По прямоугольному волноводу сечением 16´8 мм передаются радиоимпульсы с несущей частотой 13,4 ГГц. Волновод заполнен воздухом и работает на основном типе волны. Определите время прохождения радиоимпульсов по отрезку волновода длиной 50 м. 6.4.5. В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм и длиной 100 м распространяется волна основного типа. Время прохождения по волноводу радиоимпульсов с не* сущей частотой 5 ГГц равно 1,013 мкс. Определите отно* сительную диэлектрическую проницаемость среды, запол* няющей волновод. 6.4.6. (У) В прямоугольном волноводе сечением 48´22 мм и длиной 90 м распространяется волна основного типа. Волновод заполнен воздухом. При увеличении несущей частоты на 100 МГц время прохождения по волноводу ра* диоимпульсов уменьшилось на 0,1 мкс. Определите исход* ное значение несущей частоты. 6.4.7. В заполненном воздухом прямоугольном волно* воде используется волна основного типа. Частота колеба*
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
123
ний 11 ГГц. При заполнении волновода диэлектриком с e = 2,08 время прохождения радиоимпульсов по волново# ду не изменилось. Определите а — размер широкой стен# ки волновода. 6.4.8. (У) В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм и длиной 100 м распространяется волна основного типа. При увеличении несущей частоты от 6,43 до 6,53 ГГц вре# мя прохождения радиоимпульсов по волноводу уменьши# лось на 1 мкс. Определите относительную диэлектриче# скую проницаемость среды, заполняющей волновод. 6.4.9. В прямоугольном волноводе, заполненном возду# хом, распространяется волна с частотой 15 ГГц. Изобра# зите (качественно) зависимость времени прохождения ра# диоимпульсов по волноводу от его ширины. На графике в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствую# щие: 1) волне типа Н10; 2) волне типа Н20 (отношение ши# рины волновода к его высоте равно 2). 6.4.10. В прямоугольном волноводе сечением 16´8 мм распространяется волна основного типа. Изобразите (ка# чественно) зависимость времени прохождения радиоим# пульсов по волноводу от частоты колебаний. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствую# щие заполнению волновода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относительной проницаемостью e = 4. 6.4.11. В прямоугольном волноводе, заполненном воз# духом, распространяется волна основного типа. Изобра# зите (качественно) зависимость времени прохождения радиоимпульсов по волноводу от его ширины. На графике в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствую# щие: 1) частоте 10 ГГц; 2) частоте 20 ГГц (отношение ши# рины волновода к его высоте равно 2). 6.4.12. Прямоугольный волновод сечением 20´10 мм заполнен воздухом. Изобразите (качественно) зависи# мость времени прохождения радиоимпульсов по волно# воду от частоты. На графике в одинаковом масштабе по# кажите кривые, соответствующие: 1) волне типа Н10; 2) волне типа Н20. 6.4.13. В прямоугольном волноводе распространяется волна основного типа. Частота колебаний 3 ГГц. Изобразите
124
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
(качественно) зависимость времени прохождения радио* импульсов по волноводу от его ширины. На графиках в одинаковом масштабе покажите кривые, соответствую* щие заполнению волновода: 1) воздухом; 2) диэлектриком с относительной проницаемостью e = 4 (отношение ши* рины волновода к его высоте равно 2). 6.4.14. В прямоугольном волноводе, заполненном воз* духом, распространяется волна основного типа. Изобра* зите (качественно) зависимость времени прохождения ра* диоимпульсов по волноводу от частоты колебаний. На графике в одинаковом масштабе покажите кривые, соот* ветствующие: 1) сечению 80´40 мм; 2) сечению 40´20 мм. 6.4.15. (У) По прямоугольному волноводу сечением a´b и длиной L передаются прямоугольные радиоимпульсы длительностью tи с несущей частотой f0 (f0tи ? 1). Волно* вод заполнен воздухом и работает на волне основного типа. Получите выражение для параметра Dt/tи, который явля* ется оценкой степени расплывания импульса; здесь Dt — разность времен прохождения по волноводу крайних уз* кополосных групп в пределах главного лепестка спектра радиоимпульса. 6.4.16. (У) По прямоугольному волноводу сечением 35´16 мм и длиной 50 м передаются прямоугольные ра* диоимпульсы с несущей частотой 6,46 ГГц. Волновод за* полнен воздухом и работает на волне основного типа. Оп* ределите, при какой длительности импульсов степень рас* плывания импульсов не будет превышать уровня 0,1. Примечание. Термин «степень расплывания» введен в условии задачи 6.4.15. 6.4.17. (У) По прямоугольному волноводу сечением 72´34 мм передаются прямоугольные радиоимпульсы дли* тельностью 10 нс с несущей частотой 3,12 ГГц. Волновод заполнен воздухом и работает на волне основного типа. Определите, при какой длине волноводного тракта степень расплывания импульсов не будет превышать уровня 0,1. Примечание. Термин «степень расплывания» введен в условии задачи 6.4.15. 6.4.18. (У) По прямоугольному волноводу сечением 23´10 мм передается гауссов радиоимпульс, для которого
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
125
напряженность электрического поля в центре широкой стенки в сечении z = 0 описывается выражением Еy(t) = 0,8exp(–3,1×1014t2)cos(2p×1010t), В/м. Волновод заполнен воздухом и работает на основном типе волны. Определите напряженность электрического поля в центре широкой стенки в сечении z = 50 м. Счи* тайте, что потери в волноводе отсутствуют. 6.4.19. По прямоугольному волноводу сечением 35´16 мм передается экспоненциальный радиоимпульс, для которого напряженность электрического поля в центре широкой стен* ки в сечении z = 0 описывается выражением Е(t) = 10exp(–2,3×106|t|)cos(4×1010t), В/м. Волновод заполнен воздухом и работает на основном типе волны. Определите пространственное распределение Еy(z) в центре широкой стенки для момента времени t0 = 0,2 мкс. Считайте, что потери в волноводе отсутствуют. 6.4.20. Прямоугольный волновод сечением 16´8 мм заполнен воздухом. В сторону положительных значений координаты z распространяются волны типа H10 и Е11, причем в точке х = 8 мм, у = z = 0 Еy(H10) = Еy(E11) = 0,2exp(–2,5×1013t2)cos(1,5×1011t), В/м. Определите полное поле Еy(t) в сечении z = 60 м. Счи* тайте, что потерями в волноводе можно пренебречь. 6.4.21. В круглом волноводе диаметром 52 мм распро* страняется волна основного типа. Частота колебаний рав* на 4,8 ГГц. Определите групповую скорость для двух слу* чаев: а) волновод заполнен воздухом; б) волновод запол* нен диэлектриком с e = 2,08. 6.4.22. Групповая скорость волны основного типа в круглом волноводе равна 2,25×108 м/с. Волновод заполнен воздухом, частота колебаний 10 ГГц. Определите диаметр волновода. 6.4.23. По круглому металлическому волноводу диамет* ром 40 мм передаются радиоимпульсы с прямоугольной огибающей, характеризующиеся длительностью 20 мкс и несущей частотой 6,5 ГГц. Волновод заполнен воздухом и
126
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
работает на волне основного типа. Определите время про% хождения импульсов по отрезку волновода длиной 10 м. 6.4.24. В круглом волноводе диаметром 31 мм и длиной 50 м распространяется волна основного типа. На несущей частоте 10 ГГц время прохождения радиоимпульсов по вол% новоду составляет 0,25 мкс. Определите относительную ди% электрическую проницаемость среды, заполняющей вол% новод. 6.4.25. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна с частотой 10 ГГц. Изобразите (ка% чественно) зависимость времени прохождения радиоим% пульсов по волноводу от его диаметра. На графике в оди% наковом масштабе покажите кривые, соответствующие: 1) волне типа H11; 2) волне типа Е01. 6.4.26. В круглом волноводе, заполненном воздухом, распространяется волна основного типа. Изобразите (ка% чественно) зависимость времени прохождения радиоим% пульсов по волноводу от частоты колебаний. На графи% ке в одинаковом масштабе покажите кривые, соответ% ствующие: 1) диаметру волновода 60 мм; 2) диаметру 30 мм. 6.4.27. (У) По круглому волноводу диаметром 25 мм и длиной 10 м передаются прямоугольные радиоимпульсы с несущей частотой 7,5 ГГц. Волновод заполнен воздухом и работает на волне основного типа. Определите, при ка% кой длительности импульсов степень расплывания им% пульсов не будет превышать уровня 0,05. Примечание. Термин «степень расплывания» введен в условии задачи 6.4.15. 6.4.28. (У) По круглому волноводу диаметром 34 мм передаются прямоугольные радиоимпульсы длительно% стью 35 нс с несущей частотой 6,5 ГГц. Волновод запол% нен воздухом и работает на волне основного типа. Опреде% лите, при какой длине волноводного тракта степень рас% плывания импульсов не будет превышать уровня 0,05. Примечание. Термин «степень расплывания» введен в условии задачи 6.4.15. 6.4.29. В полом металлическом волноводе скорость пе% реноса энергии: vэ = Pср/Wср, где Pср — средняя мощность,
ГЛАВА 6. ВОЛНОВОДЫ
127
переносимая волной через поперечное сечение волновода; Wср — средняя энергия электромагнитного поля, накоп ленная в метровом отрезке волновода. На примере волны типа Е в прямоугольном волноводе докажите, что скорость переноса энергии равна групповой скорости. 6.4.30. В круглом волноводе радиусом r0 распространя ется волна основного типа. Волновод заполнен воздухом. Получите выражение для фазочастотной характеристики отрезка волновода длиной L. Основываясь на данном вы ражении и привлекая сведения из курса теории радиоце пей, выведите формулу для времени прохождения по вол новоду узкополосного импульса с несущей частотой f0. Убедитесь, что идентичный результат получается при ис пользовании известных соотношений для групповой ско рости в волноводе.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Объемный резонатор представляет собой замкнутую по" лость, ограниченную металлическими стенками, внутри которой могут существовать электромагнитные колеба" ния. Обычно объемные резонаторы получают на базе пря" моугольного или круглого металлического волновода, рас" полагая на концах отрезка волновода плоские металличе" ские торцевые поверхности (рис. 7.1 и 7.2). Если в волноводе может распространяться волна ти" па Hmn (или Emn), то в резонаторе могут существовать ко" лебания типа Hmnp (или Emnp), причем условие существо" вания колебаний имеет вид p1 l2 в, 2 где l — длина резонатора; lв — длина волны в исходном волноводе; р — положительное целое число (для колеба" ний Е"типа индекс p может быть равен нулю, для колеба" ний H"типа р ¹ 0). Резонанс для колебаний типа Emn0 (р = 0)
Рис. 7.1
Прямоугольный объемный резонатор
Рис. 7.2 Круглый объемный резонатор
129
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
существует на критической частоте для волны типа Emn в исходном волноводе: fрез = fкр(mn). Резонансная частота колебаний типа Hmnp или Emnp в прямоугольном резонаторе определяется в общем случае выражением
1 2 12 2
2
2
c m 6 n 63 p4 , 7 8 a b 9l
2 8 где с = 3×10 м/с — скорость света в вакууме; m и e — отно4 сительные магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, заполняющей резонатор; а, b и l — ширина, высо4 та и длина резонатора соответственно. Резонансная частота колебания типа Emnp в круглом резонаторе fрез 5
2
2
2
2
3 1mn 4 3 p2 4 8 , 7 8 67 22 9 r0 9 l
где nmn — n4й корень функции Бесселя m4го порядка (значе4 ния этих корней приведены в справочном материале к шес4 той главе); r0 — радиус резонатора; l — длина резонатора. Резонансная частота колебания типа Hmnp в круглом резонаторе fрез 5
c
1 mn 2 1 p3 2 7 , 6 7 56 23 8 r0 9 8 l 9 где mmn — n4ый корень производной функции Бесселя m4го порядка (значения этих корней приведены в справочном материале к шестой главе). Колебаниями основного типа в прямоугольном и круг4 лом резонаторах называют колебания, имеющие наимень4 шую резонансную частоту. Комплексные амплитуды проекций векторов поля для колебания типа Emnp в прямоугольном резонаторе: p3 4 p3 5 E1 x 6 7Cэ 2 m3 cos m3 x sin n3 y sin 8 z 9; a a b
l lg fрез 4
c
1 2 1 2 p3 n3 4 p3 5 E1 6 7C sin 1 m3 x 2 cos 1 n3 y 2 sin 8 z 9; a b
l lg b 3 p 4 5 E1 6 C sin 1 m3 x 2 sin 1 n3 y 2 cos 8 z 9; a b
l э
y
z
э
2
130
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1
2 1 2 1 2 1 2
1 x 8 jC 3рез 4a n5 sin m5 x cos n5 y cos 69 p5 z 7 ; H э a b l g2 b 1 y 8 jC 3рез 4a m5 cos m5 x sin n5 y cos 69 p5 z 7 ; H э a a b l g2 1 Hz 8 0. Здесь g4
1 2 1 2 m3 a
2
5 n3 b
2
12
2
4 3 m2 5 n 2 a . a b
Комплексные амплитуды проекций векторов поля для колебания типа Нmnp в прямоугольном резонаторе:
1
2 1 2 1 2 1 2
3рез 4 a n5 6 p5 7 E1 x 8 Cм z ; cos m5 x sin n5 y sin 9 2 b a b l g 3рез 4 a m5 6 p5 7 E1 y 8 Cм sin m5 x cos n5 y sin 9 z ; 2 a a b l g E1 z 8 0; 1 x 8 jCм p5 m5 sin m5 x cos n5 y cos 96 p5 z 7; H a b l lg 2 a 1 y 8 jCм p5 n5 cos m5 x sin n5 y cos 96 p5 z 7; H a b l lg 2 b 1 z 8 jCм cos m5 x cos n5 y sin 69 p5 z 7 . H a b l
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Здесь коэффициент g определяется так же, как и для колебания типа Emnp . Комплексные амплитуды составляющих векторов поля для колебания типа Emnp в круглом резонаторе: p2r0 4 3mn 5 4 p2 5 E1 r 7 8 A J6 r cos(m1)sin 9 z ; l3mn э m 9 r0 l p2r 2 43 5 4 p2 5 E1 1 7 2 0 m Aэ Jm 9 mn r sin(m1)sin 9 z ; l l3mn r r0 43 5 4 p2 5 E1 z 7 Aэ Jm 9 mn r cos(m1)cos 9 z ; l r0
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
131
2 1 8 9 j 2рез 3a r0 m A J 6 4mn r 7 sin(m1)cos 6 p5 z 7 ; H r 2 r э m r0 l 4mn 1 8 9 j 2рез 3a r0 A J 6 4mn r 7 cos(m1)cos 6 p5 z 7 ; H 1 э m
4mn l r0 1 8 0. H z
Комплексные амплитуды проекций векторов поля для колебаний типа Hmnp в круглом резонаторе:
2рез 3 a r02 m 53 6 5 p4 6 E1 r 7 Aм Jm 8 mn r 9 sin(m1)sin 8 z 9; 2 r
l 3 mn
r0 2рез 3 a r0 3 p4 6 58 mn r 69 cos(m1)sin 58 E1 1 7 Aм Jm z 9; 3 mn
l
r0 E1 z 7 0; 3 p4 6 1 r 7 j p4r0 Aм Jm 85 mn r 96 cos(m1)cos 85 H z 9; l3 mn
l
r0 2 1 7 j p4r0 m Aм Jm 5 3 mn r 6 sin(m1)cos 58 p4 z 69; H 1 8 r 9 2
l l3 mn r
0
1 z 7 jAм Jm 5 3 mn r 6 cos(m1)sin 58 p4 z 69. H 8 r 9
l
0 Необходимый справочный материал по функциям Бес/ селя, включающий, в частности, значения корней функ/ ций Бесселя nmn и корней производных функций Бесселя mmn, приведен в главе 6. Комплексная амплитуда вектора плотности тока сме/ щения: J1 см 1 j23 а E1 . Комплексная амплитуда вектора плотности поверхност/ 1 ], ного электрического тока на стенке резонатора: J1 пов 1 [1n H 1 — вектор магнитного поля на стенке; 1 — вектор где H n единичной нормали к поверхности металла, направленный внутрь резонатора. Плотность поверхностного электрического заряда на стенке резонатора: 31 пов 1 2 а E1 n , 1 1 где En 1 1n E — комплексная амплитуда нормальной со/ ставляющей электрического вектора на стенке.
132
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Энергия, запасенная в резонаторе: Wзап 3
1а 1 2 2 1 |2 dV , | E | dV 3 а 4 | H 2 V4 2 V
где интегрирование ведется по объему резонатора. Мгновенные значения энергии электрического и магнитного поля в резонаторе: Wэ (t) 3
1а 2 E2 (t)dV ; Wм (t) 3 а 4 H2 (t)dV , 2 V4 2 V
где E2 (t) и H 2 (t) определяются путем суммирования квадратов мгновенных значений проекций векторов поля. Средняя мощность потерь в стенках резонатора:
Pср пот мет 4
2рез 30 1 2 | H | dS, 85м 6 1 S
где sм — удельная проводимость металла стенки (считается, что относительная магнитная проницаемость метал1 | — амплитуда (модуль комплексла равна единице); | H 1 ной амплитуды) касательной составляющей магнитного вектора на поверхности металла; интегрирование ведется по замкнутой поверхности стенок резонатора. Средняя мощность потерь в диэлектрике, заполняющем резонатор: 1 Pср пот диэл 2 д 3 | E1 |2 dV , 2 V где sд = wрезee0 tg(d) — удельная проводимость диэлектрика; e и tg(d) — относительная диэлектрическая проницаемость и тангенс угла потерь диэлектрика; интегрирование ведется по объему резонатора. Собственная добротность резонатора: Q2
1рез Wзап , Pср пот
где Рср пот = Рср пот мет + Рср пот диэл. Собственная добротность может быть записана в виде 11
Q 6 2 48 1 59 7 84 1 95 3 . Qмет Qдиэл
133
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Здесь Qмет 2
1рез Wзап Pср пот мет
— добротность резонатора за счет потерь в металлических стенках; 1рез Wзап Qдиэл 2 . Pср пот диэл Подставив в данные соотношения формулы для запа+ сенной энергии и мощности потерь, можно получить сле+ дующие выражения: 1 6 | H |2 dV Qмет 2 23рез 40 5м
V
6 | H1 1 |2 dS
,
S
где относительная магнитная проницаемость металла и сре+ ды, заполняющей резонатор, считается равной единице; Qдиэл 1
1 . tg(2)
Добротность Qмет, обусловленная потерями в металли+ ческих стенках резонатора, может быть в явном виде вы+ ражена через размеры резонатора. Введем обозначения: 82 6 K0n
3рез 40 5м 71, ; K0m 6 9 2 0, 71, n 6 0; 71, 69 K0 p 6 9 0, n 0; 0,
1 2 12 2
2
m 6 0; m 0; p 6 0; p 0;
1 2 12 2
2
2
p g 2 m n ; 2 6 m n . a b a b l Тогда для колебания типа Hmnp в прямоугольном резо+ наторе
1 2
2 3 3 p 62 4 m l
ab g 72
l a (1 K0n )b 2 4 a l b g 74 6.
n
l
b (1 K0m )a 1 K0n 1 K0m
Qмет 8
52 ablg 72972 2
12
134
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Для колебания типа Emnp в прямоугольном резонаторе
Qмет
32 l(1 4 K0 p ) 2 5 . 2 97 68 m 2 n b4 a
a b 1 4 l(1 4 K0 p ) b a
8m 2 4 n 2 9
a b
1 2 12
Добротность Qмет в случае колебания Нmnp в круглом резонаторе:
Qмет
15 3 62 5 p4 62 2 1 5 m 62 2 r0 9 mn 7 9
1 8 9
r0 l 3mn 2 2 5 3 mn 6 2 p2 42r0 m2 p2 42 5 2 r0 7 91 8 9 r 7 2 l l3
0 3mn l2
6
.
Для колебания типа Emnp в круглом резонаторе Qмет 2 32
l (1 1 K ) 0p 2 1 1 (1 1 K0 p ) l 2r0
.
Нагруженная добротность резонатора:
Qнагр 1 2рез
Wзап Q 1 , Pср пот 3 Pср нагр 1 3 Pср нагр Pср пот
где Рср нагр — средняя мощность, поглощаемая во внешних устройствах, с которыми связан резонатор. Объемный резонатор по своим частотно9избиратель9 ным свойствам в окрестности резонансной частоты fрез аналогичен одиночному колебательному контуру. При этом полоса пропускания по уровню 0,707 1 1 2 fрез 1 0,707 2 . Qнагр
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
135
7.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ОБЪЕМНЫЙ РЕЗОНАТОР 7.1.1. В прямоугольном волноводе распространяется волна типа H10 с фазовой скоростью 4×108 м/с. Частота поля равна 10 ГГц. На базе данного волновода необходи+ мо построить резонатор, работающий на колебании ти+ па Н101. Определите длину резонатора. 7.1.2. В прямоугольном волноводе сечением 40´20 мм распространяется волна типа Е11. Волновод заполнен ди+ электриком с относительной проницаемостью e = 2,08, длина волны в волноводе равна 80 мм. На базе данного вол+ новода необходимо построить резонатор, работающий на колебании типа Е111. Определите длину резонатора и ре+ зонансную частоту. 7.1.3. В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм распространяется волна основного типа с длиной волны lв = 14 см. Волновод заполнен воздухом. На базе данного волновода построить резонатор минимальной длины. Оп+ ределите резонансную частоту, тип колебания и длину ре+ зонатора. 7.1.4. В прямоугольном волноводе распространяется волна типа H10 с длиной волны 3 см. Частота колебаний 15 ГГц. Волновод заполнен воздухом. На базе данного вол+ новода необходимо построить резонатор минимальной длины. Определите размеры резонатора. 7.1.5. Определите, какой тип колебаний является ос+ новным в прямоугольном резонаторе с размерами а = = 4 см, b = 2 см, l = 3 см. Найдите резонансные частоты для основного типа и ближайшего к основному типа ко+ лебаний. 7.1.6. В прямоугольном резонаторе с размерами а = = 30 мм, l = 40 мм возбуждается колебание типа Е110. Оп+ ределите размер b, если резонансная частота 11,18 ГГц. 7.1.7. В прямоугольном резонаторе с размерами а = = 40 мм, b = 20 мм, l = 60 мм возбуждается колебание типа Е111. Определите проницаемость диэлектрика, за+ полняющего резонатор, если резонансная частота рав+ на 5 ГГц.
136
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
7.1.8. Определите, во сколько раз резонансная частота колебания типа Н101 в кубическом резонаторе отличается от резонансной частоты колебания типа Е111. 7.1.9. Прямоугольный резонатор заполнен воздухом. При каком отношении между высотой и шириной резона3 тора резонансная частота колебания Е210 будет в 1,5 раза больше резонансной частоты колебания Е110? 7.1.10. Определите длину прямоугольного резонатора, заполненного воздухом и работающего на типе колеба3 ний Н101. Резонансная частота fрез = 3 ГГц, размеры попе3 речного сечения: а = 8 см, b = 4 см. Как нужно изменить длину резонатора при переходе к колебанию типа Н102? 7.1.11. Прямоугольный резонатор заполнен возду3 хом и характеризуется поперечным сечением размера3 ми 40´20 мм. В каких пределах необходимо изменять длину резонатора (с помощью поршня) для перестрой3 ки резонансной частоты в пределах 5–8 ГГц. Использу3 ется колебание типа Н101. 7.1.12. Колебание типа Н102 в прямоугольном объемном резонаторе, заполненном воздухом, характеризуется резо3 нансной частотой 6 ГГц. Поперечное сечение имеет разме3 ры 72´34 мм. Как нужно изменить длину резонатора, если требуется уменьшить резонансную частоту на 10%? 7.1.13. Прямоугольный резонатор имеет размеры по3 перечного сечения 20´10 мм. Длина резонатора изменя3 ется путем перемещения поршня. При какой длине l воз3 можно одновременное существование в резонаторе коле3 бания типа Н101 и ближайшего высшего типа колебаний? 7.1.14. Объемный резонатор построен на базе прямо3 угольного волновода, заполненного воздухом и имеюще3 го сечение 23´10 мм. Изобразите качественно зависимость резонансной частоты от длины резонатора для двух слу3 чаев: а) возбуждается колебание типа Н101; б) возбуждает3 ся колебание типа Н202. 7.1.15. В прямоугольном резонаторе с размерами а = = 20 мм, l = 40 мм возбуждается колебание Е110. Изобра3 зите зависимость резонансной частоты от размера b для двух случаев: а) резонатор заполнен воздухом; б) резона3 тор заполнен диэлектриком с e = 4.
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
137
7.1.16. В прямоугольном резонаторе с размерами а = = 20 мм, b = 10 мм, l = 40 мм возбуждено колебание ти& па Е110. Комплексная амплитуда плотности тока смеще& ния при х = а/2, у = b/2 равна 1 А/м2. Резонатор заполнен воздухом. Запишите временную зависимость плотности тока смещения при х = а/4, у = b/4. Определите, как на& правлен вектор плотности тока смещения. 7.1.17. В прямоугольном объемном резонаторе с разме& рами а = 30 мм, b = 20 мм, l = 50 мм возбуждено колебание типа Е110. Резонатор заполнен воздухом. Максимальная ам& плитуда напряженности электрического поля равна 1 В/м. Определите максимальную амплитуду напряженности маг& нитного поля в резонаторе. 7.1.18. В прямоугольном объемном резонаторе с разме& рами а = 23 мм, b = 10 мм, l = 40 мм возбуждено колеба& ние типа H101. Резонатор заполнен воздухом. Максималь& ная амплитуда напряженности магнитного поля равна 0,5 А/м. Определите максимальную амплитуду плотности тока смещения в резонаторе. 7.1.19. В прямоугольном объемном резонаторе с разме& рами а = 70 мм, b = 35 мм, l = 80 мм возбуждено колеба& ние типа H102. Резонатор заполнен воздухом. В точках с координатами х = а/2, z = l/4 комплексная амплитуда напряженности электрического поля E1 y 1 15 В/м. Опре& делите вектор плотности поверхностного тока на стенках резонатора как функцию времени. 7.1.20. В прямоугольном объемном резонаторе возбу& ждено колебание типа Е110. Резонатор заполнен воздухом. В точках с координатами х = а/2, у = b/2 комплексная амплитуда напряженности электрического поля E1 z 1 E0 , где Е0 — вещественная величина. Изобразите картины поля в резонаторе для последовательных моментов време& ни t = 0, t = 1/(4fрез), t = 1/(2fрез), t = 3/(4fрез). 7.1.21. Изобразите картину поля колебания типа H021 в прямоугольном объемном резонаторе. Рассмотри& те варианты возбуждения данного колебания с помощью: а) штыря с током; б) рамки с током; в) щели, прорезан& ной в стенке резонатора. Определите место расположе& ния и ориентацию этих излучателей, исходя из условия
138
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
максимальной мощности, передаваемой полю от сторон' них источников. 7.1.22. Изобразите картину поля колебания типа E211 в прямоугольном объемном резонаторе. Рассмотрите вари' анты возбуждения данного колебания с помощью: а) шты' ря с током; б) рамки с током; в) щели, прорезанной в стенке резонатора. Определите место расположения и ориентацию этих излучателей, исходя из условия мак' симальной мощности, передаваемой полю от сторонних источников. 7.1.23. Изобразите картину токов на стенках прямо' угольного объемного резонатора, работающего на типе колебаний H202. Покажите токи смещения. Укажите рас' положение излучающих и неизлучающих щелей в стен' ках резонатора. 7.1.24. Изобразите картину токов на стенках прямо' угольного объемного резонатора, работающего на типе колебаний E210. Покажите токи смещения. Укажите рас' положение излучающих и неизлучающих щелей в стен' ках резонатора. 7.1.25. Изобразите картину токов на стенках прямо' угольного объемного резонатора, работающего на колеба' нии типа H112. Покажите токи смещения. Укажите рас' положение излучающих и неизлучающих щелей в стен' ках резонатора. 7.1.26. В прямоугольном объемном резонаторе с раз' мерами а = 60 мм, b = 30 мм, l = 70 мм возбуждено ко' лебание типа H 101. Резонатор заполнен воздухом. Мак' симальная амплитуда напряженности электрического поля равна 200 В/м. Определите амплитуду тока сме' щения, пересекающего продольное сечение резонатора (плоскость у = b/2). Найдите амплитуду поверхностно' го электрического заряда на нижней стенке резонатора (у = 0). 7.1.27. Максимальная амплитуда продольной состав' ляющей вектора E в прямоугольном объемном резонато' ре равна 105 В/м. Резонатор заполнен воздухом и имеет размеры а = 10 см, b = 5 см, l = 12 см. Тип колебаний — E111. Определите энергию, запасенную в резонаторе.
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
139
7.1.28. Прямоугольный объемный резонатор с размера$ ми а = 5 см, b = 3 см, l = 8 см работает на типе колебаний H101. В точках с координатами х = 0, z = l/2 комплексная ампли$ туда продольной составляющей вектора напряженности маг$ 1 1 1,5 А/м. Резонатор заполнен воздухом. нитного поля H z Определите энергию, запасенную в резонаторе. Найдите энергию электрического поля и энергию магнитного поля как функции времени. 7.1.29. В прямоугольном объемном резонаторе с разме$ рами а = 10 см, b = 8 см, l = 5 см возбуждено колебание типа E110. Резонатор заполнен воздухом. Материал сте$ нок — медь. Максимальная амплитуда напряженности электрического поля равна 1 кВ/м. Определите среднюю мощность потерь в стенках резонатора. 7.1.30. В прямоугольном объемном резонаторе с разме$ рами а = 8 см, b = 4 см, l = 10 см возбуждено колебание типа H111. Резонатор заполнен диэлектриком с парамет$ рами e = 2,08, tg(d) = 2,5×10–4. Максимальная амплитуда продольной составляющей вектора напряженности маг$ нитного поля равна 5 А/м. Определите среднюю мощность потерь в диэлектрике. 7.1.31. Прямоугольный объемный резонатор с разме$ рами а = 36 мм, b = 18 мм, l = 45 мм работает на типе ко$ лебаний H101. Резонатор заполнен воздухом, материал сте$ нок — медь. Определите резонансную частоту и собствен$ ную добротность резонатора. 7.1.32. Прямоугольный объемный резонатор с разме$ рами а = 40 мм, b = 20 мм, l = 60 мм работает на типе ко$ лебаний E111. Резонатор заполнен диэлектриком с пара$ метрами e = 2,08, tg(d) = 2,5×10–4. Материал стенок — медь. Определите добротность резонатора, обусловлен$ ную потерями в металле, добротность, связанную с поте$ рями в диэлектрике, и полную собственную добротность резонатора. 7.1.33. Кубический объемный резонатор, заполнен$ ный воздухом, работает на типе колебаний Е110. Стенки резонатора выполнены из металла с удельной проводи$ мостью sм и относительной магнитной проницаемостью m = 1. Получите формулу для собственной добротности
140
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
резонатора. Рассчитайте добротность, если: а) а = 5 мм; б) а = 20 см. При расчете считайте, что материал сте% нок — медь. 7.1.34. Кубический объемный резонатор заполнен воз% духом и работает на типе колебаний H101. Материал сте% нок — медь. Определите, при какой длине ребра полоса пропускания резонатора по уровню 0,707 составит 1 МГц? Считайте, что поглощением мощности во внешних устрой% ствах можно пренебречь. 7.1.35. (У) Прямоугольный объемный резонатор запол% нен воздухом и характеризуется на некотором типе коле% баний собственной добротностью, равной 6500. Найдите, какую добротность будет иметь данный резонатор, если его заполнить диэлектриком с параметрами e = 2,56, tg(d) = 2×10–4. В обоих случаях используется один и тот же тип колебаний. 7.1.36. Прямоугольный объемный резонатор с разме% рами а = 5 см, b = 3 см, l = 2 см работает на типе колеба% ний Е110. Резонатор заполнен воздухом, добротность Q = = 12,5×103. Определите среднюю мощность потерь, если в резонаторе запасена энергия 2×10–10 Дж. 7.1.37. (У) Прямоугольный объемный резонатор с размерам а = 8 см, b = 5 см, l = 10 см работает на типе колебаний H111. Резонатор заполнен воздухом, матери% ал стенок — медь. Нагруженная добротность резонато% ра 5000. Вычислите мощность, поглощаемую во внеш% них устройствах, если в резонаторе запасена энергия 1,5×10–9 Дж. 7.1.38. Прямоугольный объемный резонатор с разме% рами а = 12 см, b = 6 см, l = 15 см работает на колебании типа H101. Резонатор заполнен воздухом, материал сте% нок — медь. В момент времени t = 0 возбуждающий источ% ник отключается. Определите, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз? 7.1.39. (У) Прямоугольный объемный резонатор с размерами а = 30 мм, b = 20 мм, l = 15 мм работает на типе колебаний Е110. Резонатор заполнен воздухом. Най% дите эквивалентную емкость и индуктивность резона% тора.
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
141
7.2. КРУГЛЫЙ ОБЪЕМНЫЙ РЕЗОНАТОР 7.2.1. Вычислите резонансную частоту колебания ти" па H111 в круглом объемном резонаторе. Резонатор запол" нен воздухом, имеет диаметр 4 см и длину 5 см. 7.2.2. Круглый объемный резонатор заполнен возду" хом, имеет диаметр 6 см и длину 3 см. Определите, какой тип колебаний является основным, а какой тип — бли" жайшим к основной моде в данном резонаторе. Найдите резонансные частоты для этих типов. 7.2.3. Определите, при каком соотношении между раз" мерами круглого объемного резонатора, основной модой этого резонатора будет колебание типа Н111? При каком соотношении между размерами основной моды будет ко" лебание типа Е010? 7.2.4. Как показали измерения, резонансная частота при возбуждении колебания типа Н111 в круглом объем" ном резонаторе равна 8,5 ГГц, а при возбуждении колеба" ния типа Е010 резонанс наблюдается на частоте 10 ГГц. Определите размеры резонатора. 7.2.5. При возбуждении колебания типа Е010 в круглом объемном резонаторе резонанс наблюдается на частоте 3 ГГц, а при возбуждении моды E011 — на частоте 4,1 ГГц. Найдите размеры резонатора. 7.2.6. Круглый объемный резонатор возбуждается при помощи петли, расположенной в центре одной из торце" вых поверхностей. Резонатор заполнен воздухом и имеет диаметр 20 мм. Определите, при какой минимальной дли" не l в резонаторе будут возбуждаться колебания с часто" той 10 ГГц? 7.2.7. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 40 мм и длину 60 мм. В центре боковой поверхности рас" положен возбуждающий штырь, ориентированный в ра" диальном направлении. На какой минимальной частоте в резонаторе можно возбудить колебания? Какова резонанс" ная частота ближайшей моды, которую можно возбудить? Резонатор заполнен воздухом. 7.2.8. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 30 мм и длину 40 мм. Резонансная частота основного типа
142
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
колебаний равна 4,348 ГГц. Вычислите относительную диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей резонатор. 7.2.9. (У) В заполненном воздухом круглом объемном резонаторе основная мода возбуждается на частоте 3 ГГц. При заполнении объемного резонатора плазмой резонанс9 ная частота основной моды увеличилась на 0,21 ГГц. Оп9 ределите электронную концентрацию плазмы. Считайте, что влиянием соударений можно пренебречь. 7.2.10. Круглый объемный резонатор заполнен возду9 хом и имеет диаметр 25 мм. В каких пределах необходи9 мо изменять длину резонатора (с помощью поршня) для перестройки резонансной частоты в пределах 8–10 ГГц. Тип колебания Н111. 7.2.11. Изобразите картину поля колебания типа Н112 в круглом объемном резонаторе. Рассмотрите варианты возбуждения данного колебания с помощью: а) штыря с током; б) рамки с током; в) щели, прорезанной в стенке резонатора. Определите место расположения и ориента9 цию этих излучателей, исходя из условия максимальной мощности, передаваемой полю от сторонних источников. 7.3.12. Изобразите картину поля колебания типа Е021 в круглом объемном резонаторе. Рассмотрите варианты возбуждения данного колебания с помощью: а) штыря с током; б) рамки с током; в) щели, прорезанной в стенке резонатора. Определите место расположения и ориента9 цию этих излучателей, исходя из условия максимальной мощности, передаваемой полю от сторонних источников. 7.2.13. Изобразите картину токов на стенках круглого объемного резонатора, работающего на типе колебаний Н021. Покажите токи смещения. Укажите расположение излу9 чающих и неизлучающих щелей в стенках резонатора. 7.2.14. Изобразите картину токов на стенках круглого объемного резонатора, работающего на типе колебаний Е012. Покажите токи смещения. Укажите расположение излу9 чающих и неизлучающих щелей в стенках резонатора. 7.2.15. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 40 мм и длину 20 мм. Максимальная амплитуда напряжен9 ности электрического поля равна 10 кВ/м. Резонатор за9
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
143
полнен воздухом и работает на типе колебаний E010. Опре# делите максимальную амплитуду напряженности магнит# ного поля. 7.2.16. (У) Круглый объемный резонатор заполнен воз# духом и работает на типе колебаний Н111. Диаметр резо# натора 8 см, длина 10 см. Максимальная амплитуда на# пряженности электрического поля 100 кВ/м. Найдите максимальную амплитуду продольной и поперечной со# ставляющих вектора плотности поверхностного электри# ческого тока на стенках. Определите координаты точек поверхности стенок, в которых амплитуда этих составляю# щих максимальна. 7.2.17. Круглый объемный резонатор заполнен возду# хом и работает на типе колебаний Е010. Диаметр резона# тора 4 см, длина 2 см. На оси резонатора комплексная амплитуда E1 z 1 10 В/м. Найдите зависимости от време# ни: а) электрического и магнитного векторов; б) векто# ров плотности тока смещения и поверхностного электри# ческого тока на стенках. 7.2.18. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 50 мм и длину 70 мм. Резонатор заполнен воздухом и ра# ботает на типе колебаний H011. Определите энергию, за# пасенную в резонаторе, если максимальная амплитуда продольной составляющей магнитного вектора Hz рав# на 0,5 А/м. 7.2.19. Круглый объемный резонатор заполнен возду# хом и работает на типе колебаний Е011. Диаметр резонато# ра 60 мм, длина 80 мм. В точке r = z = 0 комплексная ам# плитуда E1 z 1 100 В/м. Найдите зависимость энергии элек# трического поля и энергии магнитного поля от времени. Определите энергию, запасенную в резонаторе. 7.2.20. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 10 см и длину 8 см. Максимальная амплитуда напряжен# ности электрического поля 105 В/м. Резонатор заполнен воздухом и работает на типе колебаний E010. Материал стенок — медь. Определите среднюю мощность потерь в металле. 7.2.21. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 8 см и длину 6 см. Резонатор заполнен диэлектриком
144
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
с параметрами e = 2,08, tg(d) = 2,5×10–4 и работает на типе колебаний E011. Вычислите среднюю мощность потерь в диэлектрике, если максимальная амплитуда напряжен7 ности электрического поля 103 В/м. 7.2.22. Определите собственную добротность круглого объемного резонатора, работающего на типе колебаний Н111. Диаметр резонатора 5 см, длина 7 см. Резонатор заполнен воздухом, а его стенки выполнены из латуни. 7.2.23. Круглый объемный резонатор имеет диаметр 4 см и длину 5 см. Резонатор заполнен диэлектриком с па7 раметрами e = 2,56, tg(d) = 2×10–4 и работает на типе коле7 баний Е011. Материал стенок — медь. Вычислите доброт7 ность Qм, обусловленную потерями в металле, добротно7 сть Qд за счет потерь в диэлектрике и полную собственную добротность резонатора Q. 7.2.24. Круглый объемный резонатор заполнен возду7 хом и работает на типе колебаний Е010. Стенки выполне7 ны из материала с удельной проводимостью sм. Диаметр резонатора D, длина l. Выведите формулу для собственной добротности резонатора. 7.2.25. (У) Проанализируйте и изобразите на одном ри7 сунке зависимость собственной добротности круглого объ7 емного резонатора от его длины для двух случаев: а) воз7 буждается колебание Е010; б) возбуждается колебание ти7 па Е011. Резонатор заполнен воздухом. 7.2.26. (У) В момент времени t = 0 в круглом объемном резонаторе отключается возбуждающий источник. Резо7 натор заполнен воздухом, имеет диаметр 40 мм, длину 60 мм и работает на типе колебаний H111. Материал сте7 нок — латунь. Определите, какая часть запасенной в на7 чальный момент энергии потеряется в течение 350 перио7 дов собственных колебаний. Считайте, что потерями энер7 гии во внешних устройствах можно пренебречь. 7.2.27. Круглый объемный резонатор работает на типе колебаний E010. При резонансной частоте 3 ГГц полоса пропускания по уровню 0,707 равна 0,15 МГц. Резонатор заполнен воздухом, а его стенки выполнены из меди. Най7 дите диаметр и длину резонатора. Считайте, что потеря7 ми энергии во внешних цепях можно пренебречь.
ГЛАВА 7. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
145
7.2.28. (У) Круглый объемный резонатор использует% ся в СВЧ%тракте, по которому передаются прямоугольные радиоимпульсы с длительностью tи. Резонатор заполнен воздухом и работает на типе колебаний H111. Диаметр ре% зонатора 6 см, длина 8 см. Стенки выполнены из меди. Определите, при какой величине tи длительность перед% него или заднего фронтов прошедших тракт радиоимпуль% сов (связанная с переходными процессами в резонаторе) не будет превышать 10% от tи. Оценивайте длительность фронтов как время, за которое амплитуда свободных ко% лебаний в резонаторе уменьшается в 10 раз. Считайте, что потерями мощности во внешних цепях можно пренебречь. 7.2.29. (У) Круглый объемный резонатор заполнен воз% духом и работает на типе колебаний Е010. Диаметр резона% тора 5 см, длина 4 см. Материал стенок — медь. В резона% торе запасена энергия 0,5×10–6 Дж. Определите, при какой величине мощности, передаваемой во внешние устройст% ва, полоса пропускания по уровню 0,707 не будет превы% шать 1 МГц. 7.2.30. (У) Круглый объемный резонатор заполнен воз% духом и работает на типе колебаний Е010. Резонатор имеет диаметр 12 см и длину 10 см. Максимальная амплитуда напряженности электрического поля равна половине на% пряженности пробоя для сухого атмосферного воздуха при нормальном давлении (Епроб = 30 кВ/см). Стенки резона% тора посеребрены. Найдите, какая средняя мощность мо% жет передаваться во внешние устройства, если нагружен% ная добротность не должна быть ниже 1000. 7.2.31. (У) Круглый объемный резонатор имеет диаметр 30 мм и длину 25 мм. Резонатор заполнен воздухом и рабо% тает на типе колебаний Е010. Определите эквивалентную емкость и эквивалентную индуктивность резонатора.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Неоднородная система уравнений Максвелла может быть записана следующим образом: 1 1 j23 E1 4 J1 ; rot H а ст 1 4 0; rot E1 5 j26 H div B1 4 0; div D1 4 0,
а
где J1 ст — плотность стороннего электрического тока, ко' торая в задачах о возбуждении электромагнитных волн является заданной функцией пространственных коорди' нат; для простоты предполагается, что потери в среде от' сутствуют и что объемная плотность электрического за' ряда ñ равна нулю. Векторы электромагнитного поля можно выразить че' рез векторный электрический потенциал A1 э : 1 1 1 rot A1 ; H э 2а E1 1 1 (graddiv A1 э 342 A1 э ), j52 а 6 а где 3 4 1 5 а 6а 4 1 56 4 22 . c 7 Электрический векторный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
147
12 A1 э 232 A1 э 4 56 а J1 ст . Решение данного уравнения для A1 э в неограниченном пространстве с неизменными параметрами mа, eа записы* вается в виде 2 J1 (x1, y1, z1) exp( 3 j4r ) dx1dy1dz1, A1 э (x, y, z) 5 а 7 ст 46 V r где х, у, z — координаты точки наблюдения; x¢, y¢, z¢ — координаты текущей точки в объеме V, занимаемом сто* ронними токами; r 2 (x 3 x 1)2 4 (y 3 y1)2 4 (z 3 z1)2 — расстояние между точкой наблюдения и текущей точ* кой в объеме V (при определении A1 э может использовать* ся любая удобная система координат). Если специально не оговорено, то при решении задач о возбуждении неог* раниченного пространства полагают mа = m0, eа = e0. В случаях, когда максимальный линейный размер объ* ема V, занимаемого сторонними токами, значительно мень* ше длины волны l, излучающую систему называют элемен* тарным излучателем. Составляющие векторного потенциала элементарного электрического излучателя (элементарного электрическо* го вибратора, диполя Герца) в сферической системе коор* динат: 2 exp(3 j4 r ) A1 эr 5 а I1э l cos 1 ; 46 r 2 exp(3 j4 r ) A1 э1 5 3 а I1э l sin 1 , 46 r где l — длина отрезка проводника, по которому протекает переменный электрический ток с комплексной амплиту* дой I1э . Данные формулы записаны для случая, когда из* лучатель находится в точке начала координат, а сторон* ний ток направлен вдоль оси z (угол q отсчитывается от оси z, см. рис. 8.1).
148
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Рис. 8.1 Векторный потенциал элементарного электрического излучателя
Рис. 8.2 Элементарный щелевой излучатель (lщ = l)
Составляющие электромагнитного поля элементарно' го электрического излучателя: 1 1 3 Iэ l (1 4 j5r )sin 2 exp( 6 j5r ); H 1 47r 2 1Iэ l E1 2 3 (1 4 j5r 6 52r 2 )sin 2 exp( 6 j5r ); j4789 а r 3 I1э l (1 4 j5 r )cos 2 exp(6 j5 r ). E1 r 3 j2789а r 3
В дальней зоне элементарного электрического излуча' теля (br ? 1 или 2pr/l ? 1) 1 1 1 5 j Iэ l sin 2 exp( 3 j4r ) ; H r 26 1Iэ l exp( 3 j4r ) 1 E1 2 5 j Z sin 2 5 H1 Zc . r 26 c Элементарный магнитный излучатель с комплексной амплитудой стороннего магнитного тока I1м вводится при анализе элементарных излучателей, для которых струк' тура электрического поля идентична структуре магнит' ного поля в элементарном электрическом вибраторе, и на' оборот. Если элементарный магнитный излучатель нахо' дится в точке начала координат и ток I1м ориентирован вдоль оси z, то в дальней зоне
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
149
I1 l exp(3 j4 r ) E1 1 5 3 j м sin 2 ; r 26 1 1 1 2 5 j Iм l sin 2 exp(3 j4r ) 5 3 E1 . H r Zc 26Zc Элементарный щелевой излучатель образован беско+ нечной металлической плоскостью, в которой прорезана щель длиной lщ = l и шириной D = lщ (рис. 8.2). При этом сторонние источники создают в щели равномерное по ее длине распределение тангенциальной составляющей элек+ трического поля Et . Данный излучатель эквивалентен магнитному вибра+ тору с током I1м 1 2U1 щ , где U1 щ — комплексная амплитуда напряжения в щели. Если металлическая плоскость совме+ щена с плоскостью ХOZ, а щель (и эквивалентный магнит+ ный ток) ориентированы вдоль оси z, то в дальней зоне ще+ левого излучателя U1 l exp(3 j4r ) ; E1 1 5 3 j щ щ sin 2 6 r 1 1 1 2 5 j Uщlщ sin 2 exp(3 j4 r ) 5 3 E1 . H 6Zc r Zc Элементарный рамочный излучатель представляет со+ бой проволочную петлю радиусом r0 = l, по которой проте+ кает переменный электрический ток с комплексной ампли+ тудой I1р . Данный излучатель эквивалентен магнитному вибратору с током I1м , ориентированным перпендикуляр+ но плоскости рамки, причем I1м l 1 j23 a I1р Sр , где Sр 1 — площадь петли. Если плоскость рамки со+ вмещена с плоскостью XOY (в этой плоскости от оси х от+ считывается азимутальный угол j), то в дальней зоне эле+ ментарного рамочного излучателя
2r02
1 1 6 4 3Sр I1р sin 1 exp(4 j5 r ) ; H r 72 3 S ( ) exp 4 j 5 r р 1 1Z . E1 2 6 2 I1р Zc sin 1 6 4H c r 7
150
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Нормированная диаграмма направленности излучате' ля по полю: E(1, 2) F (1, 2) 3 , Emax где E(q, j) — амплитуда напряженности электрического поля в дальней зоне при данных углах наблюдения q, j; Emax — максимальное значение амплитуды электриче' ского поля (E(q, j) и Emax рассматриваются на фиксиро' ванном расстоянии от излучателя r = const). Мощность излучения På (средняя за период колебаний поля) определяется интегрированием среднего значения вектора Пойнтинга по замкнутой поверхности S, окру' жающей излучатель: P1 2 14 3 ср dS S
(в качестве поверхности S удобно взять сферу радиуса r в дальней зоне излучателя). Анализ På для различных элементарных излучателей приводит к следующим выражениям: а) для элементарного электрического вибратора P1 2
где
2 R Im э э1 , 2
12
2
Rэ3 5 24 Zc l , 3 6 для вакуума
12
2
Rэ3 4 8052 l ; 6 б) для элементарного щелевого вибратора
P1 2 где
Rщ3 5 для вакуума
2 Um щ , 2Rщ1
12
3Zc 4 2 , 86 l
1 2;
Rщ3 5 45 4 l
2
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
151
в) для элементарного рамочного излучателя P1 2
2 R Im р р1 , 2
где
Rр1 3 8 3
23 Zc Sр2 , 44
для вакуума
Rр1 3 320
24 Sр2 . 44
8.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ 8.1.1. Определите амплитуду составляющих поля в эк/ ваториальной плоскости элементарного излучателя на рас/ стоянии 1 км. Частота колебаний 60 МГц. Рассмотрите следующие варианты излучателей: а) электрический виб/ ратор с амплитудой тока 0,5 А и длиной 30 см; б) электри/ ческая рамка с амплитудой тока 0,5 А и диаметром 30 см; в) щель в металлическом экране с амплитудой напряже/ ния в щели 5 В и длиной 30 см. 8.1.2. Сравните амплитуду напряженности электриче/ ского поля в направлении максимального излучения для элементарных электрического и рамочного излучателей при одинаковой амплитуде тока. Длина электрического излучателя и диаметр рамки одинаковы и составляют 0,1l0. 8.1.3. В точке с координатами r = 1 км, q = 60° ампли/ туда напряженности магнитного поля элементарного элек/ трического вибратора равна 69 мкА/м. Длина вибратора 10 см, частота поля 240 МГц. Определите полную излучае/ мую мощность и амплитуду тока в вибраторе. 8.1.4. Поле, излучаемое элементарным вибратором, исследуется с помощью приемного элементарного вибра/ тора (считайте, что приемный вибратор не влияет на струк/ туру исследуемого поля). Определите оптимальную ори/ ентацию приемного вибратора в следующих ситуациях: а) исследуется поле электрического вибратора с током, направленным по оси z; б) исследуется поле электрической
152
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
рамки, расположенной в плоскости ХОY; в) исследуется поле щелевого излучателя, ориентированного по оси у (экран — в плоскости XOY). В каждой из данных ситуа2 ций рассмотрите варианты приема на электрический виб2 ратор и на электрическую рамку. Взаимную ориентацию вибраторов покажите на рисунках с «привязкой» к осям х, у, z. Укажите, какие составляющие поля исследуются в этих случаях. 8.1.5. Определите плотность мощности поля в эква2 ториальной плоскости элементарного излучателя на рас2 стоянии 10 км. Частота колебаний 3,75 МГц. Найдите полную излучаемую мощность. Рассмотрите два излуча2 теля: а) электрический вибратор с амплитудой тока 4 А и длиной 5 м; б) электрическая рамка с амплитудой тока 4 А и диаметром 5 м. 8.1.6. Элементарный вибратор излучает полную мощ2 ность 100 Вт. Определите, на каком предельном расстоя2 нии от вибратора можно осуществлять радиоприем при чувствительности приемника 0,5 мВ/м. 8.1.7. В плоском металлическом экране прорезана щель длиной 20 мм и шириной 2 мм. Определите, какой величи2 ной ограничивается мощность излучения щели в связи с явлением электрического пробоя воздуха. Частота колеба2 ний 1,5 ГГц, напряженность поля при электрическом про2 бое сухого воздуха 30 кВ/см. 8.1.8. Определите, какая мощность должна излучать2 ся элементарным излучателем (электрическим или маг2 нитным), чтобы на расстоянии 100 км от излучателя мож2 но было принимать электромагнитные колебания с плот2 ностью мощности 1 мкВт/м2. 8.1.9. Определите амплитуду напряжения в элементар2 ном щелевом излучателе, при которой плотность мощно2 сти в направлении максимального излучения на расстоя2 нии 1 км равна 0,02 мкВт/м2. Длина щели 20 см, частота поля 100 МГц. Найдите амплитуду тока в элементарном электрическом вибраторе той же длины, который эквива2 лентен щелевому излучателю по плотности мощности. 8.1.10. Элементарный излучатель расположен в нача2 ле координат. Частота излучаемых колебаний 500 МГц.
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
153
Определите амплитуду декартовых составляющих векто( ров поля в точке с координатами х0 = z0 = 5 м, у0 = 0. Рас( смотрите следующие варианты излучателей: а) электри( ческий вибратор с амплитудой тока 1,5 А и длиной 5 см, направленный вдоль оси у; б) электрическая рамка с ам( плитудой тока 1,5 А и диаметром 5 см, расположенная в плоскости YOZ; в) щель длиной 5 см, прорезанная в ме( таллическом экране (плоскость XOY) и ориентированная вдоль оси у; амплитуда напряжения в щели 5 В. 8.1.11. Элементарный излучатель расположен в нача( ле координат. Частота излучаемых колебаний 3 ГГц. В точ( ке с координатами х0 = 0; у0 = z0 = 1 м плотность мощно( сти излучения равна 2 мВт/м2. Определите амплитуду тока для следующих вариантов излучателей: а) электри( ческий вибратор длиной 1 см, ориентированный вдоль оси z; б) электрический вибратор длиной 1 см, направлен( ный вдоль оси х; в) электрическая рамка диаметром 1 см, расположенная в плоскости ХОY; г) электрическая рамка диаметром 1 см, расположенная в плоскости YОZ. 8.1.12. Амплитуда вектора H в экваториальной плос( кости на расстоянии 7 м от элементарного электрическо( го излучателя равна 10 мА/м. Частота излучаемых коле( баний 150 МГц. Излучатель длиной 10 см расположен в сухой почве с относительной диэлектрической проницае( мостью 4 и удельной проводимостью 10–3 См/м. Опреде( лите амплитуду тока в элементарном излучателе. Найди( те амплитуду вектора E на расстоянии 14 м от излучате( ля под углом 20° относительно его оси. 8.1.13. (У) В элементарном электрическом излучателе ток с комплексной амплитудой I1э и частотой w0 равномерно распределен по проводнику длиной l = l0. Данный излуча( тель можно рассматривать как диполь с электрическим мо( ментом p1 э . Получите соотношение, связывающее I1э и p1 э . 8.1.14. В теории и практике антенных устройств широ( ко используется коэффициент направленного действия ан( тенны D = Пср/Пср равн, где Пср — средняя плотность мощ( ности в данном направлении; Пср равн — средняя плотность мощности при условии, что та же мощность излучается рав( номерно по всем направлениям. Определите коэффициент
154
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
направленного действия для элементарного электрическо( го (магнитного) излучателя в направлении максимального излучения. 8.1.15. В дальней зоне элементарного электрического излучателя измеряется амплитуда вектора напряженно( сти электрического поля. Определите, по какой траекто( рии следует перемещаться в меридианальной плоскости, чтобы результат измерений оставался неизменным. Для определенности в качестве меридианальной плоскости рассматривайте плоскость XOZ. Считайте, что излучатель ориентирован по оси z. 8.1.16. (У) В начале декартовой системы координат рас( положен элементарный электрический излучатель с током, направленным по оси z. На интервале –L/2 < y < L/2 (при х = 10 м; z = 0) измеряется фаза колебаний поля. Опреде( лите, на какой длине интервала L распределение фазы бу( дет практически равномерным (максимальное изменение фазы не превышает 10°). Определите закон распределения фазы на указанном интервале. Частота колебаний 3 ГГц. 8.1.17. В экваториальной плоскости элементарного элек( трического излучателя (плоскость ХОY) измерялась ампли( туда напряженности электрического поля. Измерение поля проведено в точках х1 = 0, у1 = –0,5 м; х2 = 0, у2 = 0,5 м; х3 = –0,5 м, у3 = 0; х4 = 0,5 м, у4 = 0. Получены следующие значения амплитуды: Е1 = 0,36 В/м; Е2 = 0,36 В/м; Е3 = = 0,9 В/м; Е4 = 0,3 В/м. Определите координаты точки, в которой расположен излучатель. Найдите полную излучае( мую мощность. 8.1.18. (У) Два элементарных электрических вибрато( ра одинаковой длины расположены в точках (l/4, 0, 0) и (–l/4, 0, 0) декартовой системы координат. Токи в вибра( торах направлены вдоль оси z, причем I12 3 I11e j12 . Опреде( лите диаграмму направленности данной антенны в плос( кости ХОY для двух случаев: а) Da = 0; б) Da = p. Изобра( зите качественно диаграмму направленности в полярной системе координат. 8.1.19. (У) Два элементарных электрических вибрато( ра одинаковой длины расположены в точках (l/8, 0, 0) и (–l/8, 0, 0) декартовой системы координат. Токи в вибра(
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
155
торах направлены вдоль оси z, причем I12 3 I11e j12 . Опреде& лите диаграмму направленности данной антенны в плос& кости ХОY для двух случаев: а) Da = p/2; б) Da = –p/2 (ис& пользуйте сферическую систему координат, в которой ази& мутальный угол j отсчитывается от оси х). Изобразите качественно диаграмму направленности. 8.1.20. (У) Турникетный излучатель образован двумя элементарными электрическими вибраторами, располо& женными в некоторой точке пространства под углом 90° один относительно другого и возбуждаемыми со сдви& гом фаз токов на 90°. Пусть в первом вибраторе, ориен& тированном вдоль оси х, протекает ток I1x , а во втором вибраторе, направленном по оси у, — ток I1y 1 2 jI1x . Дли& на вибраторов одинакова и равна l. Выполните следую& щие задания: а) определите составляющие поля в дальней зоне для плоскости ХОY; б) найдите компоненты вектора E в дальней зоне для плоскости ХОZ, определите поляризацию поля в направ& лении максимального излучения; в) найдите составляющие электрического поля в даль& ней зоне для произвольной точки пространства. Во всех случаях определите диаграмму направленно& сти по мощности. При решении используйте сферическую систему координат, в которой угол q отсчитывается от оси z, а угол j отсчитывается в плоскости XOY от оси х. 8.1.21. (У) Один из вариантов кардиоидной («однонаправ& ленной») антенны представляет собой комбинацию диполя Герца и рамки малых электрических размеров. Диполь дли& ной l расположен в центре рамки площадью Sp и ориентиро& ван по ее диаметру. Известны комплексные амплитуды то& ков в диполе и рамке: I1э 1 I1mэ exp( j2э ), I1p 1 I1mp exp( j2p ). Получите выражение для вектора E в плоскости, совмещен& ной с плоскостью рамки (рассмотрите дальнюю зону антен& ны). Определите направление, в котором излучение мини& мально. Найдите соотношение амплитуд и фаз токов в дипо& ле и рамке, при которых в данном направлении излучение отсутствует. Определите диаграмму направленности (при найденном соотношении токов).
156
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
8.1.22. (У) Элементарный излучатель находится на неко) торой высоте над идеально проводящей плоскостью. Опре) делите направление тока в зеркальном изображении данно) го излучателя. Рассмотрите следующие излучатели: а) го) ризонтальный (относительно металлической плоскости) электрический вибратор; б) вертикальный электрический вибратор; в) горизонтальный магнитный вибратор; г) верти) кальный магнитный вибратор; д) горизонтальная электри) ческая рамка; е) вертикальная электрическая рамка. 8.1.23. (У) Элементарный излучатель расположен на поверхности идеально проводящей плоскости (либо высо) та излучателя над плоскостью значительно меньше длины волны излучаемых колебаний). Предположив, что ось z ориентирована перпендикулярно проводящей поверхности, изобразите диаграммы направленности в плоскости XOZ для следующих излучателей: а) вертикальный электриче) ский вибратор; б) электрическая рамка, расположенная в плоскости ХОZ; в) электрическая рамка, расположенная в плоскости YOZ. 8.1.24. (У) Элементарный электрический вибратор дли) ной 5 мм расположен на поверхности идеально проводящей плоскости (либо высота излучателя над плоскостью значи) тельно меньше длины волны излучаемых колебаний). Ток в излучателе направлен перпендикулярно проводящей плос) кости. Частота излучаемых колебаний 3 ГГц. Определите сопротивление излучения. 8.1.25. (У) Определите максимальный коэффициент направленного действия для элементарного электрическо) го вибратора, расположенного на поверхности идеально проводящей плоскости. Ток в вибраторе направлен пер) пендикулярно проводящей плоскости. 8.1.26. (У) Элементарный излучатель расположен в точ) ке (0, 0, h) над идеально проводящей плоскостью, с кото) рой совмещена плоскость ХОY декартовой системы коор) динат. Частота колебаний 5 ГГц. Определите амплитуду напряженности электрического поля в точке (0, 0, 10 м), если в этой точке при отсутствии проводящей плоскости амплитуда электрического поля равна 10 мB/м. Рассмот) рите следующие ситуации: 1) электрический вибратор с
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
157
током, направленным вдоль оси x, высота h равна: а) 0,75 см; б) 1,5 см; в) 3 см; 2) электрическая рамка, ориентированная в плоскости XOZ, высота h равна: а) 0,75 см; б) 1,5 см; в) 3 см. 8.1.27. (У) Элементарный излучатель длиной 5 мм рас/ положен на высоте 2 см над идеально проводящей плоско/ стью, которая совпадает с плоскостью ХОY в декартовой системе координат. Амплитуда тока в излучателе 0,1 А, частота колебаний f0. Определите амплитуду колебаний вектора E на расстоянии 4 м от начала координат в точ/ ке, расположенной под углом 45° к оси z в плоскости ZOY (начало координат совместите с точкой проекции вибра/ тора на плоскость XOY). Рассмотрите следующие ситуа/ ции: 1) f0 = 3,75 ГГц, ток направлен вдоль оси: а) х; б) у; в) z; 2) f0 = 7,5 ГГц, ток направлен вдоль оси: а) х; б) у; в) z. 8.1.28. (У) Элементарный электрический вибратор рас/ положен на высоте h над идеально проводящей плоско/ стью, которая совпадает с плоскостью ZOY в декартовой системе координат. Определите диаграмму направленно/ сти вибратора в плоскости XOY. Изобразите диаграмму направленности в полярных координатах. Рассмотрите следующие ситуации: а) h = l0/4, ток направлен вдоль оси z; б) h = l0/4, ток направлен вдоль оси y; в) h = l0/4, ток направлен вдоль оси х; г) h = l0/2, ток направлен вдоль оси z; д) h = l0/2, ток направлен вдоль оси у; е) h = l0/2, ток направлен вдоль оси х. 8.1.29. (У) В вакууме расположена круглая электри/ ческая рамка (кольцевой проводник) радиусом r0 с рав/ номерно распределенным током I1p . Рамка является эле/ ментарной: радиус r0 значительно меньше длины волны излучаемых колебаний l0. Определите электрический векторный потенциал и компоненты поля в дальней зоне рамки (b0r ? 1). 8.1.30. (У) В солнечный день с помощью поляроида можно обнаружить, что солнечный свет, рассеиваемый различными участками небосклона, имеет различную по/ ляризацию. Пусть АВ — вектор, соединяющий Солнце (точку A) и исследуемую область неба (окрестность точ/ ки В); наблюдатель находится в точке С; j — угол между векторами ВА и ВС. Пусть 1n — единичный вектор,
158
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
перпендикулярный плоскости АВС. Определите, как от% ношение Пср2 / Пср1 зависит от угла j, где Пср1 — плотность мощности компоненты рассеянного света, линейно поля% ризованной в направлении 1n , Пср2 соответствует компо% ненте, линейно поляризованной в направлении [1n ВА ]. 8.2. ВОЗБУЖДЕНИЕ СВОБОДНОГО ПРОСТРАНСТВА НЕКОТОРЫМИ ИЗЛУЧАТЕЛЯМИ 8.2.1. (У) Покажите, что интегральное представление Aэ (t) 5
2 а exp(3 j4 | r 3 r 1|) Jст (r 1)dx1dy1dz1 46 7 | r 3 r 1|
является частным решением неоднородного уравнения Гельмгольца для электрического векторного потенциала в неограниченной однородной среде с параметрами eа, mа (считайте для простоты, что потери в среде отсутствуют). 8.2.2. (У) Как известно, неоднородное волновое урав% нение для электрического векторного потенциала, возбу% ждаемого сторонними токами с произвольным законом изменения во времени, имеет вид 22 Aэ 3 4 а 5 а
1 2 Aэ 6 34 а Jст 1t2
(считаем для простоты, что потери в среде отсутствуют). Убедитесь, что интегральное представление 9 Aэ (t, r ) а 4
1 | r 8 r 7| 2 Jст 3 t 8 4 c 6 dx7dy7dz7 5 | r 8 r 7|
является решением данного волнового уравнения в неог% раниченной однородной среде, где c 1 1/ 2 а 3 а . 1 , представленные 8.2.3. (У) Покажите, что поля E1 и H через электрический векторный потенциал A1 э , удовлетво% ряют четырем уравнением Максвелла. 8.2.4. (У) Прямолинейный электрический излучатель длиной 15 см расположен в вакууме. Частота колебаний
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
159
тока, протекающего в излучателе, равна 15 ГГц. Опреде( лите границу дальней зоны данной антенны. Считайте, что в дальней зоне фазовая ошибка Dj = j – jп не должна пре( вышать 22,5°. Здесь j = 2pr/l0 — фазовый набег вдоль луча, соединяющего точку наблюдения с текущей точкой на излучателе; jп — фазовый набег в предположении о параллельности лучей, соединяющих точку наблюдения с различными точками на излучателе. 8.2.5. (У) В плоскости z = 0 в пределах области S0 зада( но распределение поверхностного стороннего электрическо( го тока Jпов э (x, y). Вне области S0 ток равен нулю. В полу( пространстве z > 0 находится вакуум. Дальняя зона для поля, возбуждаемого данным током, определяется услови( ем r ? D2/l0, где l0 = c/f0; D — максимальный линейный размер области S0; r — расстояние от начала координат (на( ходящегося внутри S0) до точки наблюдения. Докажите, что электрический векторный потенциал в дальней зоне имеет вид неоднородной сферической волны: Aэ 3
1 jkr 20 F (4, 5) e , r 46
где функция направленности F (1, 2) определяется как двумерное преобразование Фурье от распределения тока Jпов э (x, y):
F (2, 3) 4 55 Jпов э (x, y)e j (kx x 1 ky y) dxdy, где kx = ksin(q)cos(j); ky = ksin(q)sin(j); k = 2p/l0. 8.2.6. (У) Как известно (см. задачу 8.2.5), электриче( ский векторный потенциал в дальней зоне излучающей системы имеет вид неоднородной сферической волны: Aэ 4
1 j2 r 3а F (5, 6) e , 47 r
где 1 2 3 4 а 5а 2 26 / 7. Получите выражения для полей E1 1 в дальней зоне. и H 8.2.7. (У) Прямолинейный электрический излучатель длиной L расположен в вакууме. Ось излучателя совме( щена с осью z. Комплексная амплитуда электрического тока, протекающего в излучателе, описывается функцией
160
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
I1э (z) на интервале z Î (–L/2, L/2). Частота излучаемых колебаний равна w0. Получите выражения для составляю4 щих поля в дальней зоне излучателя, связывающие со4 ставляющие поля с током I1э (z). 8.2.8. (У) В полуволновом электрическом вибраторе амплитуда тока распределена по закону стоячей волны: I1э 1 I0 cos(2z / l), z Î (–l/2, l/2), где l — длина вибратора. Частота излучаемых колебаний равна f0 = c/(2l). Вибра4 тор расположен в вакууме. Определите составляющие поля в дальней зоне. Найдите диаграмму направленности в ме4 ридианальной плоскости (j = const). 8.2.9. (У) Рассмотрите вариант апертурной антенны, в котором прямоугольное отверстие размерами а´b проре4 зано в плоском металлическом экране. Экран совмещен с плоскостью z = 0, а центр отверстия — с началом коорди4 нат. В полупространстве z > 0 находится вакуум. При ана4 лизе такой антенны часто приближенно полагают, что токи на поверхности экрана (и кромках отверстия) равны нулю, а поле в плоскости раскрыва имеет структуру пло4 ской волны: 2E 3 Ez 10 1 E0 1x , Hz 10 1 4 0 5 1y при | x | 8 a , | y | 8 b 2 2 6 Zс 7 (строгий анализ показывает оправданность такого прибли4 жения для дальней зоны антенны). Определите составляю4 щие поля E в дальней зоне апертурной антенны. 8.2.10. (У) В одном из вариантов апертурной антенны прямоугольное отверстие размерами а´b прорезано в плос4 ком металлическом экране. Экран совмещен с плоскостью z = 0, а центр отверстия — с началом координат. В полу4 пространстве z > 0 находится вакуум. Поле в плоскости раскрыва имеет структуру плоской волны (Hy0 = Ex0/Zc). Получите выражение для диаграммы направленности ан4 тенны в плоскости XOZ (j = 0). Изобразите (качественно) диаграмму направленности для двух случаев: а) а/l0 = 0,1; б) а/l0 = 10. 8.2.11. В теории антенных устройств и в оптике ис4 пользуют понятие элемента Гюйгенса — элемента фрон4 та (поверхности) распространяющейся плоской электро4 магнитной волны с линейной поляризацией. При этом
ГЛАВА 8. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
161
линейные размеры элемента Гюйгенса значительно мень' ше длины волны: Dx = l0, Dy = l0 (для определенности фронт волны совмещен с плоскостью z = const). Опреде' лите поле E элемента Гюйгенса в дальней зоне, исполь' зуя результат решения задачи 8.2.9 об излучении пря' моугольного отверстия в металлическом экране (объяс' ните, почему этот результат можно использовать для элемента Гюйгенса в свободном пространстве). Изобра' зите диаграмму направленности элемента Гюйгенса в плоскости XOZ (j = 0) и в плоскости YOZ (j = p/2). Счи' тайте, что в исходной плоской волне E 1 E0 1x при z = 0. Среда — воздух. 8.2.12. (У) Как известно, элемент Гюйгенса — это эле' мент фронта распространяющейся плоской электромаг' нитной волны с линейной поляризацией. При этом ли' нейные размеры элемента Гюйгенса значительно мень' ше длины волны: Dx = l0, Dy = l0 (для определенности фронт волны совмещен с плоскостью z = const). Опреде' лите поле E элемента Гюйгенса в дальней зоне, предста' вив его как систему двух ортогонально ориентированных диполей Герца — электрического и магнитного. Изобра' зите диаграмму направленности элемента Гюйгенса. Ана' лиз проведите для плоскости XOZ. Рассмотрите сфери' ческую систему координат, в которой угол j отсчитыва' ется от оси x в плоскости XOY, угол q берется от оси z до направления на точку наблюдения. В исходной плоской волне при z = 0 E 1 E0 1x. Среда — воздух. 8.2.13. (У) В плоском металлическом экране, совмещен' ном с плоскостью y = 0, прорезано прямоугольное отвер' стие. В пределах отверстия сформировано равномерное рас' пределение электрического поля: Ey 1 0 1 E0 1x при |z| < l/2. Ширина отверстия Dx значительно меньше его длины l и длины волны l0. В полупространстве z > 0 находится ва' куум. Данную апертурную антенну следует рассматривать как щелевой излучатель конечной длины. Пренебрегая токами на поверхности экрана и кромках отверстия, оп' ределите поле в дальней зоне (r ? l2/l0, где r — расстоя' ние от начала координат до точки наблюдения). Рассмот' рите сферическую систему координат, в которой угол q
162
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
берется от оси z до направления на точку наблюдения, угол j отсчитывается от оси х в плоскости XOY. 8.2.14. (У) Элементарный щелевой излучатель пред0 ставляет собой щель длиной l = l0, прорезанную в метал0 лическом экране. Ширина щели d = l. В пределах щели вектор E перпендикулярен ее кромкам и имеет комплекс0 ную амплитуду E1 0 1 const. Окружающая среда — воздух. Определите векторный магнитный потенциал и поле ще0 левого излучателя в дальней зоне. Установите соответст0 вие между E1 0 и комплексной амплитудой магнитного тока I1м в эквивалентном элементарном магнитном виб0 раторе. Считайте, что экран совмещен с плоскостью XOZ, щель ориентирована в направлении координаты z. Ис0 пользуйте сферическую систему координат, в которой угол q берется от оси z до направления на точку наблюде0 ния, угол j отсчитывается от оси х в плоскости XOY. 8.2.15. (У) В плоскости XOY (z = 0) распределен поверх0 ностный электрический ток с плотностью J1 пов э 1 J1 0 1x , ком0 плексная амплитуда J1 0 неизменна во всех точках плоско0 сти. Частота колебаний w. Окружающая безграничная сре0 да характеризуется электродинамическими параметрами m0 и e0, потери отсутствуют. Определите составляющие поля, излучаемого данным током. 8.2.16. (У) В плоскости XOY (z = 0) распределен по0 верхностный электрический ток с плотностью J1 1 J1 exp(2 jk x)1 , пов э
0
x
y
где J10 — комплексная амплитуда плотности тока при x = 0, kx — постоянный вещественный коэффициент, оп0 ределяющий изменение фазы тока в направлении оси х. Частота колебаний w. Известно, что kx < w/с. Окружающая безграничная среда характеризуется электродинамиче0 скими параметрами m0 и e0, потери отсутствуют. Опреде0 лите составляющие поля, излучаемого данным током.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
9.1. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 9.1.1. Однородная плазма характеризуется электрон ной концентрацией 1,5×1018 м–3 и частотой соударений n. Получите формулы и рассчитайте частотные зависимости коэффициента фазы, фазовой и групповой скорости, дли ны волны и погонного затухания D (в дБ/см) для двух слу чаев: а) n = 109 с–1; б) n = 1011 с–1. Для каждого случая вы полните следующее задание. Найдите частоту f1, для ко торой D = 1дБ/см. Для частоты f1 рассчитайте и постройте графики распределения проекции векторов E и H (при t = 0) по координате распространения волны x, если при x = 0 среднее значение плотности потока мощности состав ляет 250 Вт/м2 (x изменяется от 0 до 2l). Объясните влия ние частоты соударений на исследуемые зависимости. Счи тайте, что плоская волна имеет линейную поляризацию. 9.1.2. (У) Получите формулы и рассчитайте частотные зависимости коэффициента затухания при вертикальном прохождении радиоволн через ионосферу: а) днем; б) но чью. Зависимость электронной концентрации от высоты над уровнем Земли аппроксимируйте гауссовой функцией 1 4 h 3 hm 52 2 Ne 6 Nm exp 9 37 8 ,
D где Nm — максимальное значение электронной концентра ции; hm — высота, на которой наблюдается максимум; D — ширина профиля электронной концентрации по уровню e–2. Считайте приближенно, что частота соударений постоян на и равна 106 с–1 днем и 105 с–1 ночью. Считайте, что
164
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Ne(h) — медленная функция высоты (D много больше, чем l) и погонное затухание можно интегрировать по вы3 соте. Найдите частоты, для которых затухание будет меньше 20 дБ. Объясните полученные результаты. Что происходит с переносом энергии, если частота колебаний заметно меньше плазменной частоты и больше частоты соударений? 9.1.3. (У) Получите формулы и рассчитайте частотные зависимости tп(f0) для времени вертикального прохожде3 ния радиоимпульсов с несущей частотой f0 через ионосфе3 ру: а) днем; б) ночью. Зависимость электронной концен3 трации от высоты над уровнем Земли аппроксимируйте гауссовой функцией 1 4 h 3 hm 52 2 Ne 6 Nm exp 9 37 8 ,
D
где Nm — максимальное значение электронной концен3 трации; hm — высота, на которой наблюдается макси3 мум; D — ширина профиля электронной концентрации по уровню e–2. Считайте приближенно ионосферную плаз3 му бесстолкновительной. Считайте, что Ne(h) — медленная функция высоты (D много больше, чем l) и время прохож3 дения можно находить интегрированием по высоте (накап3 ливаем вклад каждого участка dh во время прохождения). Рассчитайте распределения длины волны, фазовой и груп3 повой скорости по высоте для частоты f0 = 1,5fпл max и час3 тоты f0 = 1,1fпл max. Объясните полученные результаты. 9.1.4. (У) Сухая почва характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью e = 4 и удельной про3 водимостью s = 1,5×10–3 См/м. Найдите частоту f0, для которой tgd = 0,2. Плоская волна с частотой f0 распростра3 няется в сторону увеличения координаты x, причем для x = 0 комплексная амплитуда вектора E равна j1z В/м. Определите комплексную амплитуду вектора H при x = 0. Численно решите систему дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд проекций Ez, Hy с известны3 ми начальными условиями на интервале x от 0 до 2l. По3 стройте графики зависимости проекций векторов поля от x для момента времени t = 0. Постройте эти же графики,
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
165
пользуясь известным решением для плоской волны в од+ нородной среде. Сравните полученные результаты и сде+ лайте выводы о применении использованных подходов на практике. 9.1.5. (У) Пресная вода характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью e = 80 и удельной прово+ димостью s = 0,015 См/м. Найдите частоту f0, для которой tgd = 0,25. Плоская волна с частотой f0 распространяется в сторону увеличения координаты y, причем для y = 0 ком+ плексная амплитуда вектора H равна j151x мА/м. Опреде+ лите комплексную амплитуду вектора E при y = 0. Числен+ но решите систему дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд проекций Ez, Hx с известными на+ чальными условиями на интервале y от 0 до 2l. Постройте графики зависимости проекций векторов поля от y для мо+ мента времени t = 0. Постройте эти же графики, пользуясь известным решением для плоской волны в однородной сре+ де. Сравните полученные результаты и сделайте выводы о применении использованных подходов на практике. 9.1.6. (У) Плоская электромагнитная волна распро+ страняется в сторону увеличения координаты y в одно+ родной среде с параметрами e = 10, m = 1, s = 0,025 См/м. При y = 0 комплексная амплитуда вектора H равна 50exp( 1 j302)1z мА/м. Численно решите уравнение Гельм+ гольца для напряженности магнитного поля на интерва+ ле y от 0 до 2l на частоте 250 МГц. Пользуясь получен+ ным решением, рассчитайте и постройте зависимости ам+ плитуды, мгновенного значения проекции Нz (при t = 0) и плотности потока мощности от y на данном интервале. Постройте также график зависимости мгновенного зна+ чения проекции Нz (при t = 0) от y, пользуясь известным решением для плоской волны в однородной среде. Срав+ ните полученные графики для мгновенного значения про+ екции Нz и сделайте выводы о применении использован+ ных подходов на практике. 9.1.7. (У) Плоская электромагнитная волна распростра+ няется в сторону увеличения координаты x в пресной воде с параметрами e = 80, m = 1, s = 0,015 См/м. При x = 0 ком+ плексная амплитуда вектора E равна 5exp( j1 /4)1z В/м.
166
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Численно решите уравнение Гельмгольца для напряжен* ности электрического поля на интервале x от 0 до 2l на час* тоте 12 МГц. Пользуясь полученным решением, рассчитай* те и постройте зависимости амплитуды, мгновенного зна* чения проекции Ez (при t = 0) и плотности потока мощности от x на данном интервале. Постройте также график зави* симости мгновенного значения проекции Ez (при t = 0) от x, пользуясь известным решением для плоской волны в одно* родной среде. Сравните полученные графики для мгновен* ного значения проекции Еz и сделайте выводы о примене* нии использованных подходов на практике. 9.1.8. Молекулы воды обладают собственными диполь* ными моментами, колебания которых во внешнем элек* трическом поле описываются в диапазоне СВЧ с помощью относительной комплексной диэлектрической проницае* мости: 1 21 1(3) 4 1b 5 a b , 1 5 j36 причем для пресной воды при температуре 25°С имеем eb = 5,5, ea = 78,5, t = 8,33×10–12 c–1. Рассчитайте частот* ные зависимости фазовой скорости, модуля и аргумен* та характеристического сопротивления среды, длины волны и погонного затухания D (в дБ/см) в диапазоне 0,1–100 ГГц. Найдите максимальное и минимальное за* тухание в данном диапазоне и частоты, на которых эти затухания наблюдаются. Объясните полученные резуль* таты. Как изменяется по частоте фазовый сдвиг между колебаниями вектора плотности поляризационного тока и вектора E ? 9.1.9. Получите формулы и рассчитайте частотные за* висимости погонного затухания и глубины проникнове* ния поля в металл, характеризующийся концентрацией свободных электронов Ne = 1028 м–3 и частотой соударений n = 0,4×1013 с–1. Рассмотрите два случая: а) сверхпроводя* щие электроны отсутствуют, т. е. температура выше кри* тической температуры; б) часть свободных электронов об* разуют сверхпроводящие пары, т. е. температура ниже критической температуры: T = 0,5Tc. Расчет проведите в диапазоне 1 МГц – 100 ГГц. Найдите среднее значение
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
167
плотности потока мощности, направленной внутрь метал( ла, если на поверхности металла амплитуда вектора H равна 100 мА/м (рассмотрите случаи а) и б) для частоты 10 ГГц). Объясните полученные результаты. Как влияет температура на мощность потерь в металле? 9.1.10. Металл характеризуется концентрацией сво( бодных электронов Ne = 1028 м–3 и частотой соударений n = 0,4×1013 с–1. Комплексная амплитуда вектора H при y = 0 составляет j251z мА/м. Рассчитайте комплексную диэлектрическую проницаемость, комплексную удельную проводимость, коэффициент фазы, коэффициент ослабле( ния, погонное затухание, длину волны, характеристиче( ское сопротивление среды. Определите комплексные ам( плитуды векторов H и E и среднее значение плотности потока мощности как функции координаты y. Построй( те зависимости мгновенного значения проекций Ex, Hz (при t = 0) от координаты y в интервале от 0 до l. Расче( ты проведите для двух значений частоты колебаний: f = = 6,37×1010 Гц и f = 6,37×1012 Гц. Объясните представлен( ные результаты. Получите выражения для комплексной диэлектрической проницаемости и комплексной удельной проводимости для частных случаев: n много больше w и n много меньше w. Чем отличаются механизмы ослабле( ния поля в металле для этих случаев? 9.1.11. (У) Для свинца критическая температура Tc = = 7,2 К; действительная (нормальная) часть удельной про( водимости при T > Tc равна 1,3×107 См/м; сверхпроводящее состояние (считайте, что нормальные электроны отсутству( ют) характеризуется лондоновской длиной 60 нм. Рассчи( тайте температурную зависимость действительной части характеристического сопротивления металла и температур( ную зависимость плотности потока мощности, направлен( ной внутрь металла, если при температуре 10 К на частоте 20 ГГц внутрь металла переносится плотность мощности 1 Вт/м2. Расчет зависимостей проведите на частотах 20 ГГц и 20 МГц. Объясните полученные результаты. 9.1.12. В слое морской воды толщиной 1 м плавно увели( чивается соленость так, что удельная проводимость s изме( няется по линейному закону от 0,01 См/м на поверхности
168
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
воды до 5 См/м на глубине 1 м. Используя относительную диэлектрическую проницаемость воды e = 80, рассчитайте частотную зависимость погонного затухания (дБ/м) у по9 верхности и на глубине 1 м, а также частотную зависимость полного затухания метрового слоя воды. Считайте, что па9 раметры воды изменяются по глубине плавно, и погонное затухание приближенно можно интегрировать по глуби9 не. Рассчитайте распределение амплитуды электрическо9 го поля и плотности потока мощности по глубине на час9 тоте 100 МГц (в логарифмическом масштабе по уровню), если у поверхности амплитуда электрического поля рав9 на 1000 В/м. Объясните влияние частоты на погонное и на полное затухание. 9.1.13. В диэлектрике с параметрами e = 5, m = 1, s = 0 распространяются две плоские волны с одинаковой часто9 той 400 МГц. Обе волны распространяются в плоскости XOY: 19я волна — под углом 30° к оси x, 29я волна — под углом 60° к оси x. Известны комплексные амплитуды век9 тора E в определенных точках на оси x: E1 (0, 0) 1 E1 (0, 0) 1 5 2 1 , В/м. 1
2
z
Рассчитайте вектор Пойнтинга в данной плоскости. Полу9 чите уравнения, рассчитайте и постройте в плоскости XOY: а) картину линий постоянной фазы; б) картину векторного поля для вектора Пойнтинга; в) картину векторного поля для вектора H. Объясните полученные результаты. 9.1.14. В диэлектрике с параметрами e = 3, m = 1, s = 0 распространяются две плоские волны с одинаковой час9 тотой 2 ГГц. Обе волны распространяются в плоскости YOZ: 19я волна — под углом 40° к оси y, 29я волна — под углом 140° к оси y. Известны комплексные амплитуды вектора H в определенных точках на оси y: 1 (0, 0) 1 H 1 (32, 0) 1 25 3 1 , мА/м, H 1 2 x где 19я координата соответствует оси y, а 29я координа9 та — оси z. Рассчитайте вектор Пойнтинга в плоскости YOZ. Получите уравнения, рассчитайте и постройте в данной плоскости: а) картину линий постоянной фазы; б) картину векторного поля для вектора Пойнтинга;
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
169
в) картину векторного поля для вектора E. Объясните полученные результаты. 9.1.15. Плоская волна распространяется в сторону уве/ личения координаты z в диэлектрике с параметрами e = 7, m = 1, s = 0,017 См/м. Вектор напряженности магнитного поля описывается выражением
H 1 Hm cos(20t 3 4z 5 61 )1x 5 Hm cos(20t 3 4z 5 62 )1y , где Hm = 0,25 А/м, f0 = 200 МГц. Постройте эллипс поля/ ризации вектора H в плоскости z = l для различных зна/ чений Dj = j1 – j2: а) Dj = 20°; б) Dj = 45°; в) Dj = 70°. Рас/ считайте и постройте: а) зависимость коэффициента эл/ липтичности от Dj (величина Dj должна откладываться в градусах); б) зависимость плотности потока мощности от координаты z. Объясните полученные результаты. 9.1.16. Две плоские электромагнитные волны с линей/ ной поляризацией распространяются в сторону увеличе/ ния координаты x в диэлектрике с параметрами e = 3, m = 1, s = 0,0025 См/м. Амплитуда колебаний вектора E при x = 0 в обеих волнах равна 2 В/м, разность фаз состав/ ляет 90°, частота колебаний 80 МГц. Вектор E в 1/й вол/ не параллелен оси y, во 2/й волне — повернут1 по часовой стрелке на угол q, если смотреть с конца орта 1x. Построй/ те эллипс поляризации вектора E в плоскости x = l для различных значений q: а) q = 20°; б) q = 45°; в) q = 70°. Рас/ считайте и постройте: а) зависимость коэффициента эл/ липтичности от q (величина q должна откладываться в градусах); б) зависимость плотности потока мощности от координаты x. Объясните полученные результаты. 9.1.17. Феррит, намагниченный вдоль оси z, характери/ зуется тензором относительной магнитной проницаемости j0,686 0 2 1 1,914 1 5 6 3 7 j0,686 1,914 0 4 . 3 4 0 0 1 94 83
В плоскости z = 0 комплексная амплитуда вектора H равна 151x 1 j51y , мА/м; частота колебаний равна 2,1 ГГц, относительная диэлектрическая проницаемость e = 10.
170
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Проанализируйте эллипс поляризации вектора H при разных значениях z. Найдите, при каких значениях z (ближайших к 0) эллипс поляризации повернется на угол: а) 45°; б) 90°; в) 180°. Определите направление вращения эллипса поляризации. Рассчитайте плотность потока мощ> ности при z = 0. Рассчитайте зависимости от координаты z на интервале от 0 до 2l для: а) амплитуды компонент Hx и Hy; б) мгновенных значений компонент Hx и Hy (при t = 0). Объясните полученные результаты. 9.1.18. (У) Феррит, намагниченный вдоль оси z, ха> рактеризуется тензором относительной магнитной про> ницаемости j0,686 0 2 1 1,914 1 5 6 3 7 j0,686 1,914 0 4 . 3 4 0 0 1 94 83 В плоскости z = 0 комплексная амплитуда вектора H равна j251x , мА/м; частота колебаний равна 2,1 ГГц, от> носительная диэлектрическая проницаемость e = 10. Оп> ределите комплексную амплитуду вектора E при z = 0. Численно решите систему дифференциальных уравне> ний для комплексных амплитуд проекций Ex, Ey, Hx, Hy с известными начальными условиями на интерва> ле z от 0 до 2l. Постройте графики зависимости ампли> туд проекций векторов поля от z. Постройте эти же гра> фики, пользуясь известным решением для продольно> го распространения плоской волны в намагниченном феррите. Сравните полученные результаты и сделайте выводы о применении использованных подходов на прак> тике. Качественно изобразите графики зависимости мгновенных значений проекций Hx, Hy от z для момен> та времени t = 0. 9.1.19. Феррит, намагниченный вдоль оси z, характе> ризуется тензором относительной магнитной проницае> мости j0,686 0 2 1 1,914 1 5 6 3 7 j0,686 1,914 0 4 . 3 4 0 0 1 94 83
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
171
В плоскости x = 0 комплексная амплитуда вектора H равна 1 j1,791x 2 51y 2 51z , мА/м; частота колебаний рав* на 2,1 ГГц, относительная диэлектрическая проницае* мость e = 10. Проанализируйте и постройте эллипс поля* ризации вектора E при разных значениях x. Найдите, при каких значениях x (ближайших к 0) поляризация вектора E будет: а) круговой с левым вращением; б) ли* нейной; в) круговой с правым вращением. Рассчитайте плотность потока мощности при x = 0. Рассчитайте за* висимости мгновенных значений компонент Ez и Ey (для момента времени t = 0) от координаты x на интервале от 0 до 2l. Объясните полученные результаты. 9.1.20. Кристалл корунда (Al2O3) имеет тензор относи* тельной диэлектрической проницаемости 0 0 2 113,2 1 3 56 0 13,2 0 4. 3 4 0 11,4 48 73 0 В плоскости x = 0 комплексная амплитуда вектора E равна 51y 1 51z , В/м; частота колебаний равна 10 ГГц. За* пишите уравнения Максвелла для комплексных амплитуд проекций применительно к данной задаче (используйте обо* значения exx, eyy, ezz). Получите выражение для комплекс* ной амплитуды вектора E. Проанализируйте и постройте эллипс поляризации вектора E при разных значениях x. Найдите, при каких значениях x (ближайших к 0) поляри* зация будет: а) круговой с левым вращением; б) линейной; в) круговой с правым вращением. Рассчитайте плотность потока мощности при x = 0. Рассчитайте зависимости мгно* венных значений компонент Ez и Ey (при t = 0) от координа* ты x на интервале от 0 до 2l. Объясните полученные резуль* таты. Получите выражение для комплексной амплитуды вектора D. Рассчитайте угол между векторами D и E. 9.1.21. Кристалл корунда (Al2O3) имеет тензор относи* тельной диэлектрической проницаемости
0 0 2 113,2 1 563 0 13,2 0 4. 3 4 0 11,4 84 73 0
172
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В плоскости y = 0 комплексная амплитуда вектора E равна 5 1 1x 2 j5,38 1 1z , В/м; частота колебаний равна 10 ГГц. Определите комплексную амплитуду вектора H при y = 0. Получите выражение для комплексной амплитуды векто2 ра H. Проанализируйте и постройте эллипс поляризации вектора H при разных значениях y. Найдите, при каких значениях y (ближайших к 0) поляризация будет: а) кру2 говой с левым вращением; б) линейной; в) круговой с пра2 вым вращением. Рассчитайте плотность потока мощности при y = 0. Рассчитайте зависимости мгновенных значений компонент Hx и Hz (при t = 0) от координаты y на интерва2 ле от 0 до 2l. Объясните полученные результаты. Получи2 те выражение для комплексной амплитуды вектора D. Рас2 считайте угол между векторами D и E. 9.1.22. (У) Амплитудно2модулированный сигнал рас2 пространяется в бесстолкновительной плазме (ионосфера) с электронной концентрацией Ne = 5×1011 м–3 на трассе дли2 ной 100 км. В начале трассы (при z = 0) Ex (t) 1 200[1 2 cos(23Ft)]cos(23f0 t), мВ/м. Определите, для какой частоты модуляции F искаже2 ния сигнала в конце трассы становятся уже заметными при несущей частоте 14 МГц. Найдите, при какой несу2 щей частоте искажения сигнала в конце трассы становят2 ся уже заметными для частоты модуляции 1,2 МГц. По2 стройте огибающую прошедшего сигнала для найденных характерных частот. Сделайте выводы о влиянии выбора несущей частоты и частоты модуляции на степень иска2 жений АМ2сигнала в ионосфере. 9.1.23. (У) Прямоугольные радиоимпульсы с несущей частотой f0 и длительностью t распространяются в бесстолк2 новительной плазме (ионосфера) с электронной концентра2 цией Ne = 7×1011 м–3 на трассе длиной 150 км. Определите, при какой длительности t искажения сигнала в конце трас2 сы становятся уже заметными при несущей частоте 18 МГц. Найдите, при какой несущей частоте искажения сигнала в конце трассы становятся уже заметными для длительно2 сти радиоимпульсов 0,5 мкс. Для этих случаев рассчитай2 те зависимости параметра Dt/t от меняющегося параметра,
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
173
где Dt — разность времени прохождения трассы крайними узкополосными группами в спектре радиосигнала. Считай0 те, что энергия в спектре прямоугольного радиоимпульса в основном заключена в пределах главного лепестка спек0 тральной плотности, ограниченного частотами f0 – 1/t и f0 + 1/t. Сделайте выводы о влиянии выбора несущей час0 тоты и длительности радиоимпульсов на степень их иска0 жений при прохождении через ионосферу. 9.2. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 9.2.1. Плоская электромагнитная волна падает из ди0 электрика с параметрами e = 2,08, m = 1 на границу разде0 ла с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Рас0 считайте и постройте зависимости коэффициентов отра0 жения и преломления по векторам E и H от угла падения для случаев параллельной и перпендикулярной поляри0 зации падающей волны. Определите, при каком угле па0 дения разность фаз коэффициентов отражения составля0 ет 90° (если для данного значения e угол падения не опре0 деляется, то поменяйте величину e). Найдите, при каком угле падения j1 плотность потока мощности в отражен0 ной волне составляет 80% от плотности потока мощности в падающей волне (для обеих поляризаций). Для угла j1 определите отношение плотности потока мощности в пре0 ломленной волне к плотности потока мощности в падаю0 щей волне. Объясните полученные результаты с точки зре0 ния выполнимости закона сохранения энергии. 9.2.2. Плоская электромагнитная волна падает из ди0 электрика с параметрами e = 3,8, m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Рассчи0 тайте зависимости коэффициентов отражения и прелом0 ления по вектору Пойнтинга от угла падения для случаев параллельной и перпендикулярной поляризации падаю0 щей волны. Найдите, начиная с какого угла падения j1 плотность потока мощности в преломленной волне пре0 вышает плотность потока мощности в падающей волне. Объясните это явление. Для угла падения j1 определите
174
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
амплитуды векторов E и H в преломленной волне, если Ппад = 2 Вт/м2. 9.2.3. (У) Плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией падает из воздуха на границу раздела с диэлектриком без потерь, имеющим параметры e = 2,56, m = 1. Рассчитайте и постройте зависимости коэффициентов эллиптичности в отраженной и преломленной волнах от угла падения. Найдите, при каком угле падения коэффициент эллиптичности: а) минимален; б) равен 0,5 (если это может быть). Объясните наблюдаемое минимальное значение коэффициента эллиптичности. Для найденных углов падения найдите коэффициент отражения по вектору Пойнтинга. 9.2.4. Плоская электромагнитная волна с перпендикулярной поляризацией падает под углом 60° из диэлектрика с параметрами e = 3,8, m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Плотность потока мощности в падающей волне равна 100 мВт/м2. Частота колебаний 10 ГГц. Рассчитайте и постройте зависимости амплитуды вектора E и средней плотности потока мощности в преломленной волне от координаты, изменяющейся в направлении нормали к границе раздела сред. Рассчитайте и постройте эти зависимости также для случаев, когда: а) угол падения равен 80°; б) частота колебаний составляет 20 ГГц. Объясните полученные результаты. 9.2.5. Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией падает из диэлектрика с параметрами e = 10, m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Вектор E в падающей волне ориентирован под углом 45° относительно плоскости падения. Рассчитайте и постройте эллипс поляризации в отраженной волне для различных углов падения, превышающих угол полного внутреннего отражения. Определите, при каком угле падения j1, превышающем угол полного внутреннего отражения, отраженная волна будет иметь круговую поляризацию. Для угла j1 найдите разность фаз коэффициентов отражения для параллельной и перпендикулярной поляризаций, коэффициент отражения по вектору Пойнтинга. Объясните полученные результаты.
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
175
9.2.6. Плоская электромагнитная волна с круговой по) ляризацией падает из диэлектрика с параметрами e = 7, m = 1 на границу раздела с воздухом. Потери в диэлектрике отсутствуют. Постройте эллипс поляризации в отраженной волне для различных углов падения, превышающих угол полного внутреннего отражения. Определите, при каком угле падения j1, превышающем угол полного внутреннего отражения, отраженная волна будет иметь линейную по) ляризацию. Для угла j1 найдите разность фаз коэффици) ентов отражения для параллельной и перпендикулярной поляризаций, коэффициент отражения по вектору Пойн) тинга. Объясните полученные результаты. 9.2.7. Плоская электромагнитная волна с параллельной поляризацией падает из воздуха на границу раздела с мор) ской водой, имеющей параметры e = 80, m = 1, s = 4 См/м. Рассчитайте частотные зависимости действительного угла преломления, коэффициентов отражения и преломления для двух значений угла падения: а) 25°; б) 75°. Диапазон частот 10 МГц – 100 ГГц. Найдите также угол преломления, коэффициенты отражения и преломления, пренебрегая проводимостью среды. Объясните полученные результаты. 9.2.8. Плоская электромагнитная волна с перпендику) лярной поляризацией и частотой 50 МГц падает под уг) лом 65° из воздуха на границу раздела с водой, имеющей параметры e = 80, m = 1. При изменении солености воды (река впадает в океан) будет изменяться удельная прово) димость воды. Рассчитайте зависимости действительного угла преломления, коэффициентов отражения и прелом) ления от величины удельной проводимости в диапазоне 10–3 – 4 См/м (ось удельной проводимости оформите в ло) гарифмическом масштабе). Повторите исследования: а) по) меняв частоту (10 ГГц); б) поменяв угол падения (нормаль) ное падение). Объясните полученные результаты. 9.2.9. Плоская электромагнитная волна с перпендику) лярной поляризацией и частотой 100 МГц падает из возду) ха на границу раздела с водой, имеющей параметры e = 80, m = 1. Рассчитайте зависимости действительного угла пре) ломления, коэффициентов отражения и преломления от угла падения для двух значений удельной проводимости:
176
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
а) 10–2 См/м; б) 4 См/м. Объясните полученные результа( ты. Проанализируйте, как влияет частота (возьмите значе( ние 50 ГГц) и поляризация на исследуемые зависимости. 9.2.10. Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией нормально падает из воздуха на границу раздела с морской водой, имеющей параметры e = 80, m = 1; s = 4 См/м. Плотность потока мощности в падающей вол( не равна 1,5 Вт/м2. Рассчитайте график зависимости ам( плитуды вектора H от координаты z, изменяющейся в направлении нормали к поверхности раздела сред (распре( деление амплитуды должно быть найдено как для облас( ти z < 0, так и для области z > 0). Определите, на каком расстоянии от границы раздела в морской воде ослабле( ние волны составляет 40 дБ. Расчет проведите для часто( ты 0,5 МГц и для частоты 1,5 МГц. Объясните получен( ные результаты. 9.2.11. Плоская электромагнитная волна падает из воз( духа на границу раздела с биотканью со свойствами кожи. Рассчитайте зависимость коэффициента отражения по вектору Пойнтинга от угла падения для случаев парал( лельной и перпендикулярной поляризаций. Расчет про( ведите для частот 100 МГц и 3 ГГц. На частоте 100 МГц кожа имеет параметры e = 75, m = 1, s = 0,75 См/м. Для частоты 3 ГГц e = 42, m = 1, s = 2,4 См/м. Объясните полу( ченные результаты. 9.2.12. Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией нормально падает из воздуха на границу раз( дела с биотканью со свойствами кожи. Плотность потока мощности в падающей волне равна 250 мВт/м2. Рассчитай( те график зависимости амплитуды вектора E от коорди( наты z, изменяющейся в направлении нормали к поверх( ности раздела сред (распределение амплитуды должно быть найдено как для области z < 0, так и для области z > 0). Рас( чет проведите для частот 100 и 300 МГц. Для данных час( тот кожа имеет параметры e = 75, m = 1, s = 0,75 См/м. Объ( ясните полученные результаты. 9.2.13. Плоская электромагнитная волна падает из воз( духа на границу раздела с медью под углом 80°. Плотность потока мощности в падающей волне равна 150 мВт/м2.
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
177
Рассчитайте частотную зависимость действительного угла преломления. Найдите частотную зависимость средней мощности тепловых потерь на участке поверхности меди площадью 1 м2 для случаев параллельной и перпендику4 лярной поляризаций падающей волны. Объясните полу4 ченные результаты. 9.2.14. (У) Плоская электромагнитная волна с часто4 той 10 ГГц нормально падает на диэлектрическую пласти4 ну без потерь с параметрами e = 3,8, m = 1. Пластина нахо4 дится в вакууме. Рассчитайте зависимости коэффициен4 тов отражения и прохождения (через пластину) по вектору Пойнтинга от толщины пластины. Определите минималь4 ную толщину пластины, при которой: а) отражение отсут4 ствует; б) плотности потока мощности падающей и про4 шедшей пластину волн совпадают. Как изменится иско4 мая толщина пластины, если перейти к частоте 20 ГГц? Объясните полученные результаты. 9.2.15. (У) Плоская электромагнитная волна нормаль4 но падает на диэлектрическую пластину без потерь с пара4 метрами e = 2,56, m = 1. Пластина находится в вакууме и имеет толщину 5 см. Проанализируйте частотные зависи4 мости коэффициентов отражения и прохождения. Найди4 те f0 — минимальную частоту, при которой коэффициент отражения равен нулю. Рассчитайте частотную зависи4 мость коэффициента отражения по вектору Пойнтинга в окрестности частоты f0. Поменяйте диэлектрическую про4 ницаемость пластины (e = 3,8) и повторите исследования. Объясните полученные результаты. 9.2.16. (У) Плоская электромагнитная волна нормально падает на диэлектрическую пластину без потерь с парамет4 рами e = 2,08, m = 1 (фторопласт). Пластина находится в ва4 кууме и имеет толщину 10 мм. Проанализируйте частотные зависимости коэффициентов прохождения TП и отраже4 ния RП по вектору Пойнтинга. Найдите f0 — минимальную частоту, при которой коэффициент TП равен единице (мак4 симум). Рассчитайте более подробно частотную зависимость коэффициента прохождения по вектору Пойнтинга в окре4 стности частоты f0. Найдите полосу частот, в пределах ко4 торой Ппр > 0,9Ппад. Объясните полученные результаты.
178
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
9.2.17. (У) Плоская электромагнитная волна нормаль% но падает на диэлектрическую пластину без потерь с пара% метрами e = 3,8, m = 1. Пластина находится в вакууме и имеет толщину 30 мм. Плотность потока мощности в па% дающей волне равна 3,5 Вт/м2. Рассчитайте график зави% симости амплитуды вектора E от координаты z, изменяю% щейся в направлении нормали к поверхности пластины (распределение амплитуды должно быть найдено как для областей вне пластины, так и для области внутри пласти% ны). Расчет проведите для частот 20 и 30 ГГц. Объясните полученные результаты. 9.2.18. (У) Плоская электромагнитная волна нормаль% но падает на слой бесстолкновительной плазмы, характе% ризующейся электронной концентрацией Ne = 2×1018 м–3. Плазменный слой расположен в вакууме и имеет тол% щину 3 см. Рассчитайте и постройте частотные зависи% мости коэффициентов отражения и прохождения по век% тору Пойнтинга. Измените электронную концентрацию (Ne = 2×1017 м–3) и повторите исследование. Объясните по% лученные результаты. 9.2.19. (У) Плоская электромагнитная волна с часто% той 100 МГц нормально падает из воздуха на поверхность кожи. Слой кожи имеет толщину 5 мм и характеризуется параметрами e = 80, m = 1, s = 0,4 См/м. За слоем кожи рас% полагается мышечная ткань с параметрами e = 73, m = 1, s = 1,5 См/м (считаем слой мышечной ткани полубеско% нечным, т. е. пренебрегаем отражением от задней грани% цы этого слоя). Плотность потока мощности в падающей волне 50 мВт/м2. Рассчитайте график зависимости ампли% туды вектора E от координаты z, изменяющейся в направ% лении нормали к поверхности кожи. Объясните получен% ные результаты. 9.2.20. Плоская электромагнитная волна с параллель% ной поляризацией падает под углом 30° из воздуха на по% верхность идеального металла. Комплексная амплитуда вектора H в падающей волне в начале координат равна 25 мА/м. Частота колебаний 5 ГГц. Получите выражения для комплексных амплитуд векторов E и H над поверх% ностью металла. Найдите среднее значение вектора Пойн%
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
179
тинга суммарной волны как функцию координаты z. По* стройте (численно) картину векторного поля для векто* ра E при t = 0 (получите картину в области размерами 4l´4l в плоскости XOZ). Измените угол падения (60°) и постройте снова картину поля. Объясните полученные ре* зультаты и сделайте выводы. 9.2.21. Плоская электромагнитная волна с перпенди* кулярной поляризацией и частотой 500 МГц падает под углом 40° из воздуха на поверхность идеального металла. Комплексная амплитуда вектора E в падающей волне в начале координат равна 50 мВ/м. Получите выражения для комплексных амплитуд векторов E и H над поверх* ностью металла. Найдите среднее значение вектора Пойн* тинга суммарной волны как функцию координаты z. По* стройте (численно) картину векторного поля для векто* ра H при t = 0 (получите картину в области размерами 4l´4l в плоскости XOZ). Измените угол падения (65°) и постройте снова картину поля. Объясните полученные ре* зультаты и сделайте выводы. 9.2.22. Плоская электромагнитная волна с парал* лельной поляризацией падает под углом 35° из воздуха на поверхность меди. Плотность потока мощности в па* дающей волне равна 150 мВт/м 2 , частота колебаний 700 МГц. Найдите амплитуду тангенциальных состав* ляющих векторов E и H на поверхности меди, а так* же действительный угол преломления. Определите, на какую величину коэффициент отражения по вектору H отличается от 1. Рассчитайте частотную зависимость средней удельной мощности тепловых потерь для углов падения 30° и 70°. Объясните полученные результаты и сделайте выводы. 9.2.23. Плоская электромагнитная волна с перпендику* лярной поляризацией и частотой 120 МГц падает под уг* лом 50° из воздуха на поверхность латуни. Плотность пото* ка мощности в падающей волне равна 370 мВт/м2. Найди* те амплитуду тангенциальных составляющих векторов E и H на поверхности латуни, а также действительный угол преломления. Определите, на какую величину ко* эффициент отражения по вектору E отличается от –1.
180
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Рассчитайте зависимость средней удельной мощности те' пловых потерь от угла падения для частот 120 МГц и 3 ГГц. Объясните полученные результаты и сделайте вы' воды. 9.2.24. Плоская электромагнитная волна нормально падает из воздуха на поверхность металла, характеризую' щегося концентрацией свободных электронов 1028 м–3 и частотой соударений 2×1014 с–1. Плотность потока мощ' ности в падающей волне составляет 10 Вт/м2. Рассчитай' те частотные зависимости коэффициентов отражения и преломления, а также средней удельной мощности теп' ловых потерь в металле. Расчет проведите в диапазоне от 3 ГГц (начало сантиметрового диапазона) до плазменной частоты металла (оптический диапазон). Для низкочас' тотного случая найдите проводимость металла. Объясни' те полученные результаты и сделайте выводы, до какой частоты можно пользоваться в расчетах обычной прово' димостью металла. 9.3. ВОЛНОВОДЫ 9.3.1. В прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм распространяется волна типа Н11. Стенки волновода вы' полнены из латуни. Найдите fср — середину частотного диапазона от fкр данного типа до fкр ближайшего типа (Е или Н). Рассчитайте и постройте частотные зависимости длины волны в волноводе и погонного затухания (в дБ/м). Найдите частоту f0, на которой погонное затухание мини' мально. Определите погонное затухание для частоты fср. Для частот fср и f0 определите фазовую и групповую ско' рость, погонную мощность потерь в стенках волновода, максимальную амплитуду плотности поверхностного тока и максимальную амплитуду плотности тока смещения, максимальную амплитуду векторов E и H. Считайте, что в обоих случаях средняя переносимая по волноводу мощ' ность равна 15 кВт. Объясните полученные частотные за' висимости. 9.3.2. В круглом волноводе диаметром 45 мм распро' страняется волна типа Е01. Стенки волновода выполнены
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
181
из латуни. Найдите fср — середину частотного диапазона от fкр данного типа до fкр ближайшего типа (Е или Н). Рас/ считайте частотную зависимость погонного затухания (в дБ/м), фазовой и групповой скорости. Найдите часто/ ту f0, на которой погонное затухание минимально. Опре/ делите погонное затухание для частоты fср. Для частот fср и f0 определите длину волны в волноводе, погонную мощ/ ность потерь в стенках волновода, максимальную ам/ плитуду плотности поверхностного тока и максималь/ ную амплитуду плотности тока смещения, максималь/ ную амплитуду векторов E и H. Считайте, что в обоих случаях средняя переносимая по волноводу мощность равна 5 кВт. Объясните полученные частотные зависи/ мости. 9.3.3. Прямоугольный волновод с идеально проводя/ щими стенками и поперечным сечением 23´10 мм запол/ нен диэлектриком с относительной проницаемостью 2,08 и удельной проводимостью sд. Получите формулы, рассчи/ тайте и постройте графики зависимости действительной части (коэффициент фазы) и мнимой части (коэффициент ослабления) продольного волнового числа, фазовой ско/ рости и длины волны от частоты колебаний для двух слу/ чаев: а) sд = 0; б) sд/(wкрe0e) = 0,15. Тип волны — Н10. Рас/ считайте максимальную амплитуду плотности поверхно/ стного тока на частоте 1,5wкр, если средняя мощность, переносимая по волноводу, равна 200 мВт и sд = 0. Объяс/ ните влияние потерь в диэлектрике на исследуемые час/ тотные зависимости. 9.3.4. Круглый волновод с идеально проводящими стенками и диаметром 50 мм заполнен диэлектриком с от/ носительной проницаемостью 2,56 и удельной проводи/ мостью sд. Получите формулы, рассчитайте и постройте графики зависимости действительной части (коэффици/ ент фазы) и мнимой части (коэффициент ослабления) продольного волнового числа, фазовой скорости и дли/ ны волны от частоты колебаний для двух случаев: а) sд = 0; б) sд/(wкрe0e) = 0,15. Тип волны — Н01. Рассчитайте мак/ симальную амплитуду вектора E на частоте 1,75wкр, если средняя мощность, переносимая по волноводу, равна 2 кВт
182
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
и sд = 0. Объясните влияние потерь в диэлектрике на ис' следуемые частотные зависимости. 9.3.5. (У) В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна типа Н10. Средняя переносимая по волноводу мощность равна 1,5 кВт. Частота колебаний f = 1,5fкр. Найдите максимальную амплитуду составляю' щих Нz и Нx, максимальную амплитуду плотности поверх' ностного тока и максимальную амплитуду плотности тока смещения. Определите комплексную амплитуду вектора плотности поверхностного тока на нижней и правой боковой стенках — как функцию координат (с подстановкой исход' ных числовых данных). Рассчитайте и постройте эллипс поляризации вектора H при различных значениях попе' речной координаты х. Найдите, при каком значении ко' ординаты х вектор H будет иметь круговую поляризацию. Определите направление вращения вектора H, если смот' реть навстречу вектору 1y. Постройте график зависимости коэффициента эллиптичности от координаты х. Проана' лизируйте полученные результаты. 9.3.6. (У) В круглом волноводе диаметром 75 мм рас' пространяется волна типа Н01. Средняя переносимая по волноводу мощность равна 0,25 кВт. Частота колебаний f = 1,75fкр. Найдите максимальную амплитуду состав' ляющих Нz и Нr, максимальную амплитуду плотности поверхностного тока. Определите комплексную ампли' туду вектора плотности тока смещения как функцию ко' ординат применительно к данным задания. Рассчитайте и постройте графики зависимости амплитуд проекций вектора H от радиуса. Рассчитайте и постройте эллипс поляризации вектора H при различных значениях ра' диальной координаты r. Найдите, при каком значении координаты r вектор H будет иметь круговую поляри' зацию. Постройте график зависимости коэффициента эллиптичности от координаты r. Проанализируйте полу' ченные результаты. 9.3.7. Прямоугольный волновод имеет поперечное се' чение 35´16 мм. Средняя переносимая по волноводу мощ' ность равна 0,7 кВт. Получите формулу и рассчитайте двумерную функцию распределения среднего значения
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
183
вектора Пойнтинга в плоскости поперечного сечения Пср(x, y). Рассмотрите волны типа Н10, Е11. Для каждого типа волны используйте частоту колебаний f = 1,5fкр. Для каждого случая функцию Пср(x, y) изобразите с по; мощью графика поверхности и карты линий уровня. Най; дите длину волны, фазовую скорость, максимальную ам; плитуду плотности поверхностного тока и максимальную амплитуду плотности тока смещения. Проанализируйте полученные результаты. 9.3.8. Круглый волновод имеет диаметр 35 мм. Сред; няя переносимая по волноводу мощность равна 40 кВт. Получите формулу и рассчитайте двухмерную функцию распределения среднего значения вектора Пойнтинга в плоскости поперечного сечения Пср(r, j). Рассмотрите вол; ны типа Н01, Е01. Для каждого типа волны используйте частоту колебаний f = 1,5fкр. Для каждого случая функ; цию Пср(r, j) изобразите с помощью графика поверхности и полутоновой картины. Найдите длину волны, фазовую скорость, максимальную амплитуду плотности поверхно; стного тока и максимальную амплитуду плотности тока смещения. Проанализируйте полученные результаты. 9.3.9. (У) В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна типа Н11. Частота колебаний f = = 1,5fкр. В точке с координатами x = a/2, y = z = 0 комплекс; ная амплитуда составляющей Еy равна 5 В/м. В сечении z0 = 50 мм установлена поперечная стенка, выполненная из идеального проводника. Получите расчетные формулы для комплексных амплитуд и мгновенных значений векторов E, H, Jпов , Jсм (при z < z0). Рассчитайте и постройте картины векторных полей E и Jсм в плоскости XOY при различных значениях z (z0 – lв/4; z0 – lв/2). Рассчитайте и постройте картины векторных полей H и Jпов на верхней боковой стенке (в диапазоне z Î (z0; z0 – 1,25lв)). Объясните, чем от; личаются исследуемые векторные поля E, H, Jпов , Jсм от аналогичных векторных полей в волноводе без поперечной стенки. Как изменятся картины при увеличении частоты? 9.3.10. (У) В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм распространяется волна типа Е 11. Частота колебаний f = 1,5fкр. В точке с координатами y = b/2,
184
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
x = z = 0 комплексная амплитуда составляющей Еx равна 0,75 В/м. В сечении z0 = 150 мм установлена поперечная стенка, выполненная из идеального проводника. Получи2 те расчетные формулы для комплексных амплитуд и мгно2 венных значений векторов E, H, Jпов , Jсм (при z < z0). Рассчитайте и постройте картины векторных полей E и Jсм в плоскости XОY при различных значениях z (z0 – lв/4; z0 – lв/2). Рассчитайте и постройте картины векторных полей H и Jпов на правой боковой стенке (в диапазоне z Î (z0; z0 – 1,25lв)). Объясните, чем отличаются иссле2 дуемые векторные поля E, H, Jпов , Jсм от аналогич2 ных векторных полей в волноводе без поперечной стен2 ки. Как изменятся картины при увеличении частоты? 9.3.11. Круглый волновод имеет диаметр 70 мм. Мак2 симальная амплитуда поперечной составляющей векто2 ра H равна 50 мА/м. Рассмотрите волны типа Н01 и Н02. Для каждого типа волны используйте частоту колебаний f = 1,3fкр. Выведите формулы и рассчитайте среднюю мощ2 ность, переносимую по волноводу. Рассчитайте и построй2 те картины векторных полей E и H (в поперечной плос2 кости), а также картину поля H в продольной плоскости. Рассчитайте и постройте графики зависимости амплиту2 ды всех отличных от нуля проекций векторов E и H от радиальной координаты. Качественно изобразите карти2 ны поверхностных токов. Укажите оптимальные располо2 жение и ориентацию штыря, петли и щели для возбужде2 ния волн данных типов. Как изменятся результаты при увеличении частоты? 9.3.12. Круглый волновод имеет диаметр 120 мм. Мак2 симальная амплитуда поперечной составляющей векто2 ра E равна 0,2 В/м. Рассмотрите волны типа Е01 и Е02. Для каждого типа волны используйте частоту колебаний f = 1,4fкр. Выведите формулы и рассчитайте среднюю мощность, переносимую по волноводу. Рассчитайте и по2 стройте картины векторных полей E и H (в поперечной плоскости), а также картину поля E в продольной плос2 кости. Рассчитайте и постройте графики зависимости ам2 плитуды всех отличных от нуля проекций векторов E и H от радиальной координаты. Качественно изобразите
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
185
картины поверхностных токов. Укажите оптимальные расположение и ориентацию штыря, петли и щели для возбуждения волн данных типов. Как изменятся резуль4 таты при увеличении частоты? 9.3.13. В круглом волноводе диаметром 50 мм распро4 страняется волна типа Н11. Максимальная амплитуда про4 дольной составляющей вектора H равна 35 мА/м. Частота колебаний f = 1,45fкр. Стенки волновода выполнены из ла4 туни. Рассчитайте длину волны и погонное затухание. По4 лучите формулу и рассчитайте среднюю мощность, перено4 симую по волноводу. Найдите максимальную амплитуду плотности поверхностного тока. Рассчитайте и постройте картины векторных полей E и H (в поперечной плоско4 сти), а также картину поля H в продольной плоскости (вы4 берите характерный угол). Качественно изобразите картину поверхностных токов. Проанализируйте влияние частоты и диаметра волновода в данном задании. 9.3.14. В круглом волноводе диаметром 50 мм распро4 страняется волна типа Е 11. Максимальная амплитуда продольной составляющей вектора E равна 15 В/м. Час4 тота колебаний f = 1,3fкр. Стенки волновода выполнены из латуни. Рассчитайте длину волны и погонное затуха4 ние. Получите формулы (с учетом числовых данных) для векторов плотности тока смещения и плотности поверх4 ностного электрического тока. Рассчитайте и в поляр4 ных координатах постройте угловую зависимость ампли4 туды вектора плотности поверхностного электрического тока. Рассчитайте и постройте картины векторных по4 лей E и H (в поперечной плоскости), а также картину поля E в продольной плоскости (выберите характерный угол). Качественно изобразите картину поверхностных токов. Проанализируйте влияние частоты и диаметра волновода в данном задании. 9.3.15. В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна типа Е11. Частота колебаний f = = 1,4fкр. Средняя передаваемая по волноводу мощность равна 1,2 кВт. Стенки волновода выполнены из меди. Рас4 считайте фазовую скорость и коэффициент затухания. Получите формулы и рассчитайте амплитуду полного тока
186
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
смещения, пересекающего плоскость поперечного сече' ния, а также амплитуду полного тока проводимости, пе' ресекающего контур поперечного сечения. Рассчитайте и постройте полутоновую картину распределения Пср в плоскости поперечного сечения. Как изменятся резуль' таты, если: а) увеличить частоту; б) перейти к волне ти' па Е21? 9.3.16. В круглом волноводе диаметром 35 мм распро' страняется волна типа Е01. Частота колебаний f = 1,45fкр. Средняя передаваемая по волноводу мощность равна 45 Вт. Стенки волновода выполнены из латуни. Рассчитайте фа' зовую скорость и коэффициент затухания. Получите фор' мулы и рассчитайте амплитуду полного тока смещения, пересекающего плоскость поперечного сечения, а также амплитуду полного тока проводимости, пересекающего контур поперечного сечения. Рассчитайте и постройте по' лутоновую картину распределения Пср в плоскости попе' речного сечения. Как изменятся результаты, если: а) уве' личить частоту; б) перейти к волне типа Н01? 9.3.17. В прямоугольном волноводе сечением 110´55 мм распространяются одновременно волны типов Н 10, Н20 и Н11. В сечении z = 0 амплитудный коэффициент С2 этих волн одинаков и равен 150 мА/м. Частота колебаний в 1,25 раза больше максимальной критической частоты для этих волн. Рассчитайте частотную зависимость ам' плитуды и фазы составляющей Ey при x = a/4, y = 0 для различных поперечных сечений z. Сделайте вывод о частотных характеристиках волноводного тракта в мно' говолновом режиме при различной длине тракта. Рассчи' тайте переносимую мощность и коэффициент затухания (погонное затухание) для волны типа Н11. Стенки волно' вода выполнены из латуни. 9.3.18. В круглом волноводе диаметром 110 мм рас' пространяются одновременно волны типов Е01, Е02 и Е03. В сечении z = 0 амплитудный коэффициент С1 этих волн одинаков и равен 1,5 В/м. Частота колебаний в 1,3 раза больше максимальной критической частоты для этих волн. Рассчитайте частотную зависимость амплитуды и фазы составляющей Er (взятой у поверхности металла)
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
187
для различных поперечных сечений z. Сделайте вывод о частотных характеристиках волноводного тракта в мно, говолновом режиме при различной длине тракта. Рассчи, тайте переносимую мощность и коэффициент затухания (погонное затухание) для волны типа Е02. Стенки волно, вода выполнены из меди. 9.3.19. В прямоугольном волноводе сечением 23´10 мм распространяется волна типа Е11. Средняя передаваемая по волноводу мощность равна 3 кВт. Получите формулу и рассчитайте частотную зависимость максимальной ам, плитуды составляющей Ey и частотную зависимость по, гонной мощности потерь в стенках волновода (латунь). Объясните характер полученных графиков. Найдите, какой величиной ограничивается передаваемая по вол, новоду мощность за счет явления электрического пробоя воздуха (30 кВ/см) при частоте колебаний f = 1,5fкр. По, стройте качественно картину поля и картину токов для данного типа волны. 9.3.20. В круглом волноводе диаметром 43 мм рас, пространяется волна типа Н01. Средняя передаваемая по волноводу мощность равна 10 кВт. Получите формулу и рассчитайте частотную зависимость максимальной амплитуды составляющей Ej и частотную зависимость погонной мощности потерь в стенках волновода (медь). Объясните характер полученных графиков. Найдите, какой величиной ограничивается передаваемая по вол, новоду мощность за счет явления электрического про, боя воздуха (30 кв/см) при частоте колебаний f = 1,3fкр. Постройте качественно картину поля и картину токов для данного типа волны. 9.3.21. В прямоугольном волноводе сечением 35´16 мм распространяется волна основного типа. В окрестности сечения z = 0 размер широкой стенки плавно уменьша, ется по гауссовскому закону: a = a0{1 – Kexp[–(z/D)2]}, где a0 = 35 мм, D = 100 мм, K = 0,75. Частота колеба, ний в 1,05 раза больше критической частоты для мини, мального размера широкой стенки. Средняя передавае, мая по волноводу мощность равна 40 кВт. Получите формулу и рассчитайте зависимость Emy(z) и Hmx(z) для
188
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
точек, расположенных в центре широкой стенки. Счи( тайте, что размер широкой стенки изменяется плавно и отражением волн можно пренебречь. Определите, при какой величине переносимой мощности в сечении z = 0 произойдет электрический пробой воздуха (30 кВ/см). Как изменятся результаты, если увеличить частоту ко( лебаний? Объясните влияние размера широкой стенки на амплитуду векторов поля. В каких практических за( дачах это может использоваться? 9.3.22. (У) Прямоугольный волновод сечением 35´16 мм закорочен на конце металлическим фланцем. В волноводе существует волна типа Н10. На расстоянии z0 = lв/4 от флан( ца (lв — длина волны в волноводе на несущей частоте) в центре широкой стенки волновода расположен вертикаль( ный металлический штырь, в котором электромагнитное поле индуцирует СВЧ(ток. Этот ток с помощью детектор( 2, ной секции преобразуется в напряжение uд 1 kд Em где kд = = 0,1 м2/В — коэффициент детектирования; Еm — ампли( туда вектора E в точке расположения штыря. Получите формулу и рассчитайте зависимость напряжения uд от вре( мени, если частота колебаний изменяется во времени по закону f(t) = = f0[1 + Mcos(2pFt)], где f0 = 7 ГГц — несу( щая частота; М = 0,2 — коэффициент модуляции; F = = 1 кГц — частота модуляции. В падающей волне на несу( щей частоте (при М = 0) переносится мощность 0,8 Вт. Про( анализируйте факторы, которые влияют на пульсации на( пряжения детектора. 9.3.23. (У) Круглый волновод диаметром 70 мм зако( рочен на конце металлическим фланцем. В волноводе су( ществует волна типа Е01. На расстоянии z0 = lв/4 от флан( ца (lв — длина волны в волноводе на несущей частоте) в стенке волновода расположен ориентированный по радиу( су металлический штырь, в котором электромагнитное поле индуцирует СВЧ(ток. Этот ток с помощью детектор( 2, где ной секции преобразуется в напряжение uд 1 kд Em 2 kд = 0,12 м /В — коэффициент детектирования; Еm — ам( плитуда вектора E в точке расположения штыря. Полу( чите формулу и рассчитайте зависимость напряжения uд от времени, если частота колебаний изменяется во време(
ГЛАВА 9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПК
189
ни по закону f(t) = = f0[1 + Mcos(2pFt)], где f0 = 1,5fкр — несущая частота; М = 0,3 — коэффициент модуляции; F = 1 кГц — частота модуляции. В падающей волне на не< сущей частоте (при М = 0) переносится мощность 250 мВт. Проанализируйте факторы, которые влияют на пульса< ции напряжения детектора. 9.3.24. (У) По прямоугольному волноводу сечением 35´16 мм передаются прямоугольные радиоимпульсы с несущей частотой 6,4 ГГц и длительностью 25 нс. Най< дите фазовую и групповую скорость на границах глав< ного лепестка спектра радиоимпульса. Получите фор< мулы и рассчитайте зависимость степени расплывания радиоимпульсов от длины волноводного тракта. Волно< вод заполнен воздухом и работает на волне основного типа. Определите, при какой длине волноводного трак< та L0 степень расплывания импульсов не будет превы< шать 0,2. Повторите исследования для длительности импульсов 10 нс; для несущей частоты 5 ГГц. Рассчи< тайте частотную зависимость времени групповой за< держки при длине тракта L0. Объясните влияние дли< ны тракта, длительности импульсов и несущей частоты на величину искажений. Найдите затухание (в дБ) для длины тракта L0, если стенки волновода выполнены из латуни. 9.3.25. (У) По круглому волноводу диаметром 25 мм передаются прямоугольные радиоимпульсы с несущей частотой 1,2fкр и длительностью 15 нс. Волновод рабо< тает на волне типа Н11. Найдите фазовую и групповую скорость на границах главного лепестка спектра радио< импульса. Получите формулы и рассчитайте зависи< мость степени расплывания радиоимпульсов от длины волноводного тракта. Волновод заполнен воздухом и ра< ботает на волне основного типа. Определите, при какой длине волноводного тракта L0 степень расплывания им< пульсов не будет превышать 0,25. Повторите исследо< вания для длительности импульсов 5 нс; для несущей частоты 1,05fкр. Рассчитайте частотную зависимость вре< мени групповой задержки при длине тракта L0. Объяс< ните влияние длины тракта, длительности импульсов
190
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
и несущей частоты на величину искажений. Найдите затухание (в дБ) для длины тракта L0, если стенки волновода выполнены из меди. 9.3.26. (У) В прямоугольном волноводе сечением 72´34 мм и длиной L передаются прямоугольные радиоимпульсы с амплитудой А, длительностью tи и несущей частотой f0 = 2,5 ГГц. Волновод заполнен воздухом и работает на волне основного типа. Рассчитайте и постройте нормированную огибающую Еог(t)/A радиоимпульсов в конце тракта при различной длине L и длительности tи (наносекунды, микросекунды). Считайте, что потерями можно пренебречь. Определите, при каких параметрах L и tи искажения огибающей становятся заметными. Как изменятся результаты, если увеличить несущую частоту?
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ ГЛАВА ТРЕТЬЯ 3.1.9. Для определения амплитуды тока воспользуй тесь дифференциальной формой закона Ома, устанавли вающей связь между плотностью тока проводимости и на пряженностью электрического поля. В данной задаче мож но считать, что ток равномерно распределен в пределах поперечного сечения провода. 3.1.16. Воспользуйтесь уравнением непрерывности и третьим уравнением Максвелла. 3.1.17–3.1.20. Воспользуйтесь векторными тождествами. 3.1.27. Воспользуйтесь первым и вторым уравнения ми Максвелла для комплексных амплитуд векторов поля. 3.1.32. Используя первое и второе уравнения Максвел ла в декартовой системе координат, получите систему двух дифференциальных уравнений первого порядка для E1 x и E1 y . Учтите, что характеристическое уравнение представ ляет собой условие существования ненулевого решения системы линейных алгебраических уравнений (равенство нулю определителя), которые получаются из системы диф ференциальных уравнений, если искать решение в виде функции ехр(gz). 3.1.33. Сначала с помощью первого уравнения Максвел ла найдите комплексную амплитуду вектора H, прибли женно полагая электрическое поле в конденсаторе однород ным с комплексной амплитудой E0. Затем, используя най денное решение для H во втором уравнении Максвелла, определите поправку E1 . Можете использовать уравнения Максвелла как в дифференциальной, так и в интегральной
192
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
формах, учитывая, что поле обладает цилиндрической симметрией. 3.1.34. Сначала с помощью первого уравнения Максвелла определите комплексную амплитуду вектора H, приближенно полагая комплексную амплитуду плотности тока проводимости в поперечном сечении проводника постоянной и равной J1 0 . Затем, подставив найденное реше1 во второе уравнение Максвелла, определите ние для H поправку J11 1 20 E11 , где E1 — поправка к напряженности электрического поля E1 0 1 J10 / 20 . Учтите, что поле обладает цилиндрической симметрией. 3.1.35. Воспользовавшись уравнением непрерывности и третьим уравнением Максвелла, покажите, что в данном случае распределения зарядов и напряженности электрического поля также обладают сферической симметрией. Выразив плотность электрического тока и напряженность электрического поля через распределение зарядов, рассмотрите плотность полного тока. 3.1.36. Для определения вектора H у поверхности z = 0 воспользуйтесь законом полного тока применительно к прямоугольному контуру малой ширины 2Dz, лежащему в плоскости XOZ и охватывающему линии поверхностного тока. Учтите, что при Dz ® 0 вкладом тока смещения в циркуляцию вектора H по контуру можно пренебречь. Поле H при произвольных значениях z записывается на основе решения, полученного у поверхности z = 0, с учетом фактора временного запаздывания. Для определения поля E воспользуйтесь первым уравнением Максвелла. 3.1.37. Для определения поля H в области |z| < ct воспользуйтесь первым уравнением Максвелла в интегральной форме применительно к прямоугольному контуру шириной 2Dz < 2cDt, лежащему в плоскости XOZ и охватывающему линии поверхностного тока. Поле E можно найти, воспользовавшись первым уравнением Максвелла и расположив прямоугольный контур в плоскости ХOZ при z > 0 так, чтобы контур охватывал фронт волны (плоскость z = vt). Чтобы показать, что v 1 c 1 1/ 20 30 , рассмотрите второе уравнение Максвелла и расположите прямо-
193
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
угольный контур в плоскости YOZ при z > 0. Этот контур также должен охватывать фронт волны. 3.2.25. В теореме Пойнтинга для мгновенных мощно( стей в качестве одного из слагаемых фигурирует произ( водная по времени от энергии электромагнитного поля
5 1 3t E 4 3t H 2 dV . 3D
3B
В связи с инерционностью высокочастотных процес( сов поляризации и намагничивания среды колебания век( торов D(t) и B(t) запаздывают по фазе от колебаний век( торов E(t) и H (t). Это запаздывание может быть учтено введением комплексных диэлектрической и магнитной 1. проницаемостей среды D1 2 30 (31 4 j311) E1 ; B1 2 30 (31 4 j3 11) H Используя эти соотношения, рассмотрите средние за пе( риод колебаний составляющие в выражениях (1D / 1t) E и (1B / 1t) H. 3.2.26. См. задачу 3.2.25. 3.3.18. Воспользуйтесь законом сохранения заряда в интегральной форме. 3.3.19. Для определения E1 в плоскости z = 0 восполь( зуйтесь результатом решения предыдущей задачи. 3.3.20. Воспользуйтесь первым и третьим уравнения( ми Максвелла в интегральной форме. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ 4.1.10–4.1.11. Если смотреть с конца вектора Пойнтин( га (навстречу распространяющейся волне), то для право( поляризованной волны вектор напряженности электри( ческого или магнитного поля вращается в направлении стрелки часов. В случае левополяризованной волны век( торы поля вращаются в противоположном направлении. 4.1.21. См. указания к задаче 4.1.10. 4.1.27. См. указания к задаче 4.1.10. 4.1.32. См. указания к задаче 4.1.10. 4.1.33. Среднее значение вектора Пойнтинга в задан( ной плоскости удобно определять через среднее значение вектора Пойнтинга в начальной плоскости, учитывая
194
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
экспоненциальный закон убывания амплитуды векторов E и H при распространении волны в среде с потерями. 4.1.40. Учтите, что в точке наблюдения вектор E(t) (как и вектор H (t)) имеет две взаимно перпендикулярные состав3 ляющие, каждая из которых перпендикулярна направлению на Солнце. Связь между соответствующими компонентами векторов E и H осуществляется через характеристическое сопротивление вакуума. Колебания E(t) и H (t) имеют слу3 чайную природу; под среднеквадратичным значением напря3 женности электрического поля следует понимать величину
Eск 1 1 Tн
Tн
2 E2 (t)dt, 0
где Тн — время наблюдения. Аналогично определяется среднеквадратичное значение напряженности магнитно3 го поля и среднее значение плотности потока мощности. 4.1.41. См. указания к задаче 4.1.40. Для определения средней мощности солнечного излучения, падающего на поверхность Земли, солнечные лучи приближенно считай3 те параллельными. Изотропный источник излучает вол3 ны равномерно по всем направлениям. 4.1.42. Сначала определите мгновенную плотность энер3 гии электромагнитного поля w(t), учитывая связь между электрическим и магнитным полем в распространяющей3 ся плоской волне. 4.1.43. Скорость переноса энергии волной vэ определяет3 ся отношением плотности потока энергии 1(t) 2 [E(t) H(t)] к плотности энергии электромагнитного поля w(t). 4.1.45. При определении потока вектора Пойнтинга через поверхность, ограничивающую прямоугольный объ3 ем, учтите, что вектор единичной нормали к поверхнос3 ти направлен изнутри наружу. При проверке тождества 2a/s = |Zc|/cos(d/2) коэффициент затухания удобнее пред3 ставить в виде 1 2 3 4 а 5 а 4 1 6 tg2 7 sin(7 /2). 4.1.46. Баланс мгновенных мощностей проверяйте для средних значений (неизменных по времени) и для слагае3 мых, колеблющихся с удвоенной частотой 2w0. Коэффи3
195
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
циент затухания a удобнее выразить через sin(d/2) (см. указание к задаче 4.1.45). 4.1.47. Установите связь между плотностью поверх& ностного тока и амплитудой вектора H в плоских вол& нах, распространяющихся в противоположные стороны от плоскости z = 0. Для этого воспользуйтесь законом полного тока в интегральной форме. Рассмотрите кон& тур прямоугольной формы, лежащий в плоскости ХОZ. 4.1.48. Воспользуйтесь уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд векторов поля в декартовой сис& теме координат. 4.1.49. Воспользуйтесь уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд векторов поля в декартовой сис& теме координат. Используйте запись комплексных ам& плитуд векторов поля в виде бегущей плоской волны: 1 1H 1 exp( 2 j3z). Подставьте эти выра& E1 1 E1 0 exp(2 j3z); H 0 жения в уравнения Максвелла и рассмотрите условия су& ществования ненулевого решения получающейся систе& мы алгебраических сравнений. Убедитесь, что скаляр& 1 1 0. ное произведение E1 0 H 0 4.1.50. Воспользуйтесь уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд векторов поля в декартовой систе& ме координат. Убедитесь, что в данном случае Hy = 0, а со& 1 и H 1 изменяются в пространстве по тому ставляющие H x z же закону, что и E1 y . Рассмотрите условие существования ненулевого решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из уравнений Максвелла 1x и H 1z при подстановке решения для составляющих E1 y , H в виде неоднородной плоской волны. 4.1.51. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. 4.1.52. Предварительно с помощью уравнений Мак& свелла (для комплексных амплитуд векторов поля в де& картовой системе координат) установите связи между E1 y 1 x, H 1 z. и составляющими H 4.1.53. Представьте вектор E1 в виде E1 1 ( A 2 jA )exp(3 j4 )exp[3 j(5z 3 4 )], 1
2
0
x
где A1 и A2 — вещественные векторы. Выразите A1 и A2 через векторы Em 1x и Em 1y , используя тригонометрические
196
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
функции углов j0 и j0 + d, где d = jy – jx. Определите угол j0, исходя из условия ортогональности векторов A1 и A2 . Запишите составляющие вектора E(t) в поверну5 той системе координат 1x1 , 1y1 , 1z , для которой орт 1x1 параллелен вектору A1 , а орт 1y1 — вектору A2 . 4.1.54–4.1.55. См. указания к задаче 4.1.10. 4.1.56. Представьте комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля суммарной волны в виде E1 6 ( A1 7 jA2 )exp(8 j90 )exp 4 8 j 3 z 8 91 5 , c
1
2
где A1 и A2 — вещественные векторы. Определите A1 и A2 через векторы Em1 и Em2 , выраженные через их проек5 ции на оси x и у. Найдите угол j0, исходя из условия орто5 гональности векторов A1 и A2 . Запишите проекции век5 тора суммарного поля E(t) на направления главных осей эллипса поляризации, задаваемые векторами A1 и A2 . 4.1.57. Представьте колебания E1 (t) и E2 (t) в виде E1 (t) 1 Em cos(20t 3 40 z 3 5)1x ; E2 (t) 1 Em cos(20 t 3 40 z 6 5)1y , (12 2 11 ) (3 2 3 ) t 2 2 1 z. 2 2 Используйте комплексные амплитуды колебаний для цен5 тральной частоты w0: E1 1 E exp[2 j(3 z 4 5)]1 ; E1 1 E exp[2 j(3 z 2 5)]1 .
где w0 = (w1 + w2)/2; b0 = (b1 + b2)/2; 4 5
1
m
0
2
x
0
m
y
Запишите вектор электрического поля суммарной вол5 ны в виде E1 1 ( A 2 jA )exp(3 j4 ), 1
2
0
где A1 и A2 — вещественные векторы. Убедитесь, что при j0 = 0 векторы A1 и A2 ортогональны и повернуты относи5 тельно осей х, у на угол p/4 против часовой стрелки, если смотреть с конца орта 1z. Определите проекции вектора E на направления главных осей эллипса поляризации (на5 правления векторов A1 и A2 ). Основываясь на получен5 ных выражениях, проанализируйте поляризацию волны.
197
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
4.1.58. Используйте комплексные амплитуды колеба ний для центральной частоты w0, например
1 2
1 2
Em cos 3951 t 6 z 7 81 4 Re E11 exp j 3950 t 6 z 7 80 4 , c c где
1 2
E11 Em exp 38 j(51 6 50 ) t 6 z (71 6 70 ) 49 c
— комплексная амплитуда, медленно изменяющаяся с частотой w1 – w0. 4.2.16. Рассмотрите скорость перемещения огибающей двух монохроматических волн с длинами волн l и l + Dl. Учтите, что фазовые скорости данных монохроматических волн будут равны vф и vф + Dvф в соответствии с зависимо стью vф(l). 4.2.17. Пространственное распределение огибающей Eог(z, t) поля узкополосного радиосигнала может быть по лучено с использованием понятия групповой скорости. По определению, пространственная спектральная плотность огибающей при t = t0: SE (k) 3
1
4 Eог (z, t0 ) exp(2 jkz)dz,
21
где k — пространственная частота. 4.2.18. Как доказывается в курсе теоретической радио техники, спектральная плотность прямоугольного радиоим пульса описывается функцией sin(x)/x, где x = (w – w0)tи/2; w0 — несущая частота радиоимпульса. 4.2.20. Приемники радиотелескопа выделяют узкопо лосные импульсные колебания, связанные с узкополосны ми группами волн в спектре принимаемого излучения. Для определения разности времен прихода импульсов пользуй тесь понятием групповой скорости. Учитывая малость плазменной частоты по сравнению с частотами настройки приемников, воспользуйтесь приближенным соотношени ем 1/ 1 1 2 3 1 4 2 /2 при |a| = 1, где a — вещественное
198
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
число. Используйте парсек — единицу расстояния в астро) номии, равную 3,08×1016 м. 4.2.21. Найдите разницу во временных задержках, оп) ределяемых с учетом и без учета электронной концентра) ции в межзвездной среде. Учтите, что 1/ 1 1 2 3 1 4 2 /2, если a — вещественное число и |a| = 1. Учтите, что один световой год — единица расстояния в астрономии, равная 9,46×1015 м. 4.2.22. В связи с малостью плазменной частоты по срав) нению с частотой настройки приемника используйте при) ближенное соотношение 1/ 1 1 2 3 1 4 2 /2 при |a| = 1, где a — вещественное число. Для узкополосного приемника f112 1 f212 2 23f / f03 , где f1, 2 = f0 ± Df/2 — границы частотного интервала, принимаемого радиотелескопом; Df — полоса пропускания. Учтите, что один парсек равен 3,08×1016 м. 4.2.23. При выводе выражения для Dt запишите часто) ты крайних узкополосных групп в спектре сигнала в виде f1, 2 = f0 ± Df/2, где f0 — несущая частота; Df — ширина спектра сигнала. Представьте групповую скорость в виде степенного ряда в окрестности частоты f0 и учтите первые два члена ряда, имея в виду, что Df = f0. 4.2.24. См. указания к предыдущей задаче. 4.2.25. ЛЧМ)радиоимпульс с большой базой может быть приближенно представлен в виде набора узкополосных групп, которые последовательно проходят по радиотрассе. При максимально выраженном эффекте сжатия время при) хода различных узкополосных групп должно быть одина) ковым. Запишите частоту для момента времени ti Î (0, tи) в начале трассы в виде wi = w0 + Dwi, где Dwi = ati. Представьте групповую скорость vгр(wi) в виде степенного ряда в окрест) ности частоты f0 и учтите первые два члена ряда, имея в виду, что Dwi = w0. 4.2.27. Воспользуйтесь плазменной моделью металла (см. выражение для комплексной диэлектрической прони) цаемости металла, приведенное в справочном материале к данной главе). Рассмотрите ситуацию, когда нормальные электроны отсутствуют (dn = 0). Учтите, что в среде с отно) сительной магнитной проницаемостью m = 1 коэффициент затухания плоской волны 4 5 Im 1 (6 / c) 31 2 .
199
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
4.2.28. См. указания к задаче 4.2.27. Учтите, что при отсутствии сверхпроводящих электронов удобно восполь% зоваться известным выражением для толщины скин%слоя в металле: h 1 2/(20 34), где в качестве удельной прово% димости следует использовать нормальную составляющую удельной проводимости sn (см. справочный материал). ГЛАВА ПЯТАЯ 5.1.2. Учтите, что в учебных пособиях выводится вы% ражение для коэффициента преломления по электриче% скому полю. Комплексные амплитуды электрического и магнитного векторов в падающей, отраженной и прелом% ленной волнах связаны через характеристическое сопро% тивление соответствующей среды. 5.1.9. Обратите внимание на запись граничных усло% вий на поверхности раздела сред при выводе выражений для R и T. 5.1.10. Воспользуйтесь выражениями для коэффици% ентов отражения при параллельной и перпендикулярной поляризации падающей волны. 5.1.18. Воспользуйтесь выражением для угла Брюсте% ра и законом Снелля. 5.1.19. Пусть вектор E в падающей, отраженной или преломленной волнах имеет составляющие E1 (t) и E|| (t), ориентированные перпендикулярно и параллельно плоско% сти падения. Рассмотрите комплексные амплитуды гар% монических колебаний E^(t) и E||(t): E1 1 2 Em 1 exp( j31 ); E1 || 1 Em|| exp( j2|| ). Если |j^ – j||| = 90°, то поляризация волны (падающей, отраженной или преломленной) будет эллип% тической с коэффициентом эллиптичности Кэл = Еm^/Em||. Если при этом Кэл = 1, то поляризацию называют круговой. 5.1.20. См. указания к задаче 5.1.19. 5.1.22. Для способа б) рассмотрите мощность падаю% щей волны, переносимую через участок фронта волны еди% ничной площади. 5.1.23. См. указания к задаче 5.1.22. 5.1.24–5.1.27. Обратите внимание, что поведение зави% симости R(j) определяется характерными точками: j = 0;
200
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
jБ; jпо; 90° (учтите, что явления полного преломления и полного отражения наблюдаются не всегда). Определите, как изменятся jБ, jпо и R|j = 0 при увеличении диэлектриче1 ской проницаемости eд. 5.1.29. Воспользуйтесь приближенным соотношением 1 1 a 2 1 1 a 3 b при | a | 1 1 и | b | 1 1. 11 b 5.1.32. Составьте уравнение относительно требуемой раз1 ности фаз коэффициентов отражения составляющих поля с параллельной и перпендикулярной поляризацией. Решите это уравнение численно (например, с помощью калькуля1 тора) относительно неизвестного 1 2 3 sin2 5 4 1/cos 5. Оп1 ределив корень этого уравнения c0, найдите искомый угол j. 5.1.33. См. указания к задаче 5.1.32. 5.1.43. Запишите электрическое поле в 11й и во 21й средах в виде суммы двух волн, распространяющихся в направлении падающей на пластину волны и в противо1 положном направлении. Представьте поле в 31й среде в виде волны, уходящей в направлении нормали от по1 верхности пластины. Выразите магнитное поле в 11й, 21й и 31й средах через электрическое поле, учитывая связь ме1 жду векторами E и H в распространяющейся волне че1 рез характеристическое сопротивление среды (либо вос1 пользовавшись вторым уравнением Максвелла для ком1 плексных амплитуд в декартовой системе координат). Запишите граничные условия для тангенциальных состав1 ляющих векторов поля на верхней и нижней поверхности пластины. Решите полученную систему линейных алгеб1 раических уравнений относительно E1 отр и E1 пр . Решить данную задачу можно другим способом — вос1 пользовавшись теорией длинных линий. Данный подход основан на том, что волновые процессы в плоскослоистой среде аналогичны волновым процессам в последователь1 но соединенных отрезках длинных линий. В нашей за1 даче диэлектрической пластине соответствует отрезок длинной линии протяженностью а и волновым сопротив1 лением Zв2 1 Z0 / 22 , где Z0 — характеристическое соп1 ротивление вакуума. Данный отрезок подсоединен к
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
201
полубеcконечным линиям передачи с волновыми сопро тивлениями Zв1 1 Z0 / 21 и Zв3 1 Z0 / 23 . Для решения задачи найдите коэффициент отражения от отрезка ли нии протяженностью d, нагруженного на сопротивле ние Zв3. При выводе используйте обозначения, приведенные в ответе к данной задаче. Здесь Rij и Tij — коэффициенты отражения и преломления при нормальном падении вол ны из i й среды на границу раздела с j й средой. 5.1.44. См. указания к задаче 5.1.43. 5.1.45. Воспользуйтесь решением задачи 5.1.44. 5.1.46. Воспользуйтесь решением задачи 5.1.43. Опре делите сначала показатель преломления неотражающего слоя n2, исходя из условия R = 0 и учитывая известную электрическую толщину слоя (d = l/4). 5.1.47. Воспользуйтесь решением задачи 5.1.44. 5.1.48. Воспользуйтесь решением задачи 5.1.44. Пред ставьте частоту колебания в виде f = f0 + Df и учтите, что центральная частота f0 удовлетворяет условию отсутствия отражения (задача 5.1.44). Это позволяет в показателе вол нового множителя А выразить 1 д d / c через f0. Воспользуйтесь тождеством |1 1 v1 |2 2 1 1 2| v1 |cos 3 4 | v1 | 2 , где v1 1 | v1 |exp( j2) — произвольное комплексное число. Обратите внимание, что уровень отражения по плот ности мощности d достигается при eд ³ eд min. Чтобы вывес ти выражение для eд min, предварительно получите форму лу для |R12|min. 5.1.49. См. указания к задаче 5.1.48. Учтите, что пол ное прохождение (Кпр = 1) наблюдается на той же часто те f0, что и отсутствие отражения (R = 0). 5.1.50. Воспользуйтесь решением задачи 5.1.44 и 5.1.47. См. указания к задаче 5.1.48. 5.1.51. Воспользуйтесь решением задачи 5.1.44. Учти те, что ex » 1 + x, если |x| = 1. 5.1.52. Если eд близка к единице, то для определения коэффициента отражения достаточно учесть волну, отра женную от передней поверхности пластины, и волну, про шедшую через переднюю поверхность, отразившуюся от зад ней поверхности пластины и прошедшую через переднюю
202
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
поверхность в обратном направлении. При этом прохож& дение и отражение волн на передней и задней поверхно& стях пластины приближенно рассчитываются по форму& лам для случая падения волны на границу раздела двух полубесконечных сред. Аналогично определите коэффи& циент прохождения. 2 . Здесь R и T — коэффи& Покажите, что T12T21 1 1 2 R12 ij ij циенты отражения и преломления при нормальном паде& нии волны из i&й среды на границу раздела с j&й средой (см. также обозначения в ответах к задачам 5.1.43 и 5.1.44). 5.1.53. См. указания к задаче 5.1.52. Учтите, что в на& 2 (проверьте эти соот& шей задаче R23 = R12 и T12T21 1 1 2 R12 ношения самостоятельно). Воспользуйтесь тождеством |1 1 v1 |2 2 1 1 2| v1 |cos 3 4 | v1 | 2 , где v1 1 | v1 |exp( j2) — произвольное комплексное число. При записи exp(–j2pnслd/l) выразите толщину слоя через длину волны зеленого света l0. 5.1.54. Обратите внимание на то обстоятельство, что вектор Пойнтинга 1 ср определяется векторным произве& дением векторов E и H, каждый из которых следует представить в виде суммы падающей и отраженной волн. Если вы проанализируете среднее значение проекции Пср z, то сможете установить, что в среде, характеризующейся ненулевой мнимой частью показателя преломления (на& пример, диэлектрик с потерями или закритическая плаз& ма), величина Пср z полного поля не равна алгебраической сумме Пср z, взятых в падающей и отраженной волнах по отдельности. 5.2.2. Учтите, что 1/(1 + x) » 1 – x, если |x| = 1. 5.2.3. Воспользуйтесь приближенным выражением для коэффициента отражения при нормальном падении на реальный металл (задача 5.2.2). 5.2.14. Учтите, что поле в металле представляет собой плоскую волну, которая на границе раздела имеет прак& 1 1м тически только касательные проекции векторов поля H 1 1 и E1м 2 Zcм H1м . При этом коэффициент преломления по электрическому полю T 2 E1 1м / E1 пад . Решите систему урав& нений относительно T и R 1 E1 отр / E1 пад , которая получает& ся при записи граничных условий для касательных состав& ляющих векторов E и H на поверхности металла (с уче&
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
203
том структуры поля в металле). Учтите малость отноше ния |Zсм|/Z0 и воспользуйтесь приближенным соотноше нием (1 – x)/(1 + x) » 1 – 2x, если |x| = 1. 5.2.15. См. указания к задаче 5.2.14. 5.2.16. Проинтегрируйте среднюю объемную плотность мощности тепловых потерь по координате, изменяющей ся в направлении нормали к поверхности металла. 5.2.17. Воспользуйтесь законом полного тока в инте гральной форме для комплексных амплитуд векторов поля. Рассмотрите прямоугольный контур, одна из сторон кото рого параллельна вектору H и проходит по поверхности металла; противоположная ей сторона находится в глуби не металла, где полем и токами можно пренебречь. Учтите, что в реальном металле следует учитывать только токи про водимости. 5.2.18. Выразите комплексную амплитуду полного тока в проводе I1m через E1 1м . Для этого, основываясь на локали зации объемных токов проводимости в тонком слое у по верхности провода, можно действовать двумя способами: а) проинтегрировать плотность тока проводимости по по перечному сечению проводника, учитывая экспоненциаль ный закон убывания поля в радиальном направлении при удалении вглубь металла; б) проинтегрировать плотность квазиповерхностного тока (см. задачу 5.2.17) по перимет ру поперечного сечения провода. Обратите внимание, что в данной задаче касательная составляющая электрического поля по периметру поперечного сечения провода считается неизменной. Учтите, что толщина скин слоя d = 1/a, где a — коэффициент затухания волны в среде. 5.2.19. См. задачу 5.2.18. 5.2.20. Считайте, что поляризационными токами в ре альном металле можно пренебречь. 5.2.21. Для определения средней энергии магнитного 1 |2 по объему тела свести поля можно интегрирование | H 2 1 к интегрированию | H1м | по поверхности проводника. При этом представьте элемент объема в виде dV = dS×dn, где n — координата, изменяющаяся в направлении нор мали к поверхности тела. Учтите, что при сильном скин эффекте, в рамках применимости граничных условий
204
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Леонтовича, амплитуда векторов поля экспоненциально убывает по координате n с коэффициентом затухания 1 2 34 a 5м /2. Второй способ решения данной задачи связан с исполь4 зованием теоремы Пойнтинга для комплексных мощно4 стей. При этом энергией электрического поля в проводни4 ке можно пренебречь (по сравнению с энергией магнитно4 го поля — см. задачу 5.2.20). 5.2.22. Пусть на проводящий слой падает волна из по4 лупространства z < 0. Запишите напряженности элек4 трического и магнитного полей в области z < 0 и в облас4 ти 0 < z < D в виде суммы плоских волн, распростра4 няющихся в противоположных направлениях. Поле в области z > D представьте в виде прошедшей волны, рас4 пространяющейся в сторону увеличения координаты z. Выразите амплитуды магнитного поля через амплиту4 ды электрического поля соответствующих волн, исполь4 зуя характеристическое сопротивление сред и учитывая направление распространения волн. Запишите гранич4 ные условия для касательных составляющих векторов поля на обеих поверхностях листа. Решив полученную систему алгебраических уравнений, определите ампли4 туду электрического поля для обеих волн в металле при z = 0. Этот результат позволяет найти распределение на4 пряженности электрического поля внутри листа. Учти4 те, что для волн в металле a » b. Обратите внимание, что, в отличие от данной задачи, на практике, как правило, aD ? 1 и отраженной волной внутри металла можно пре4 небречь. 5.2.23. Используйте плазменную модель металла (см. справочный материал к 44й главе, выражение для ком4 плексной диэлектрической проницаемости металла при ds = 0 и dn = 1). Считайте, что mа = m0. 5.2.24. См. указания к задаче 5.2.23. Учтите, что в си4 туациях, когда амплитуда волны существенно уменьша4 ется на расстоянии, равном толщине пластины, переот4 раженными волнами внутри пластины можно пренеб4 речь. При этом E2 пр 3 T1T2 exp 1 4 j(5 / c) 61 d 2 E2 пад , где E1 пад и E1 пр — комплексные амплитуды электрического векто4
205
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
ра в падающей волне на поверхности пластины и в про шедшей волне на противоположной поверхности пласти ны соответственно; Т1 — коэффициент преломления пло ской волны при нормальном падении из воздуха (среда 1) на границу раздела с полупространством, заполненным веществом с комплексной диэлектрической проницаемо стью 1 (среда 2); Т2 — коэффициент преломления пло ской волны при нормальном падении из среды 2 на гра ницу раздела со средой 1. 5.2.25. Чтобы определить Руд, предварительно найди те Re(Zс). Для сверхпроводника Zс удобно выразить через нормальную и сверхпроводящую составляющие комплекс ной удельной проводимости (см. справочный материал к
1
2
4 й главе): Re( Zc ) 3 Re j40 5 /(6n 7 j6s ) . 5.2.26. Для определения амплитуды электрического вектора для волны, прошедшей пластину, воспользуй тесь указаниями к задаче 5.2.24. Определяйте коэффи циент затухания в децибелах: D = 20lg(Em пад/Em пр). Уч тите, что при отсутствии сверхпроводящих электронов 1 2 3n /(210 4)(1 5 j). Для случая, когда металл находит ся в сверхпроводящем состоянии, используйте плазмен ную модель металла (см. выражение для комплексной ди электрической проницаемости металла в справочном ма териале к 4 й главе). Считайте, что mа = m0. 5.2.27. Введите декартову систему координат, одна из осей которой направлена по нормали к поверхности пла стины. Представьте векторы E и H перед пластиной и внутри пластин в виде падающей и отраженной волн, а поле за пластиной — в виде прошедшей волны. Запиши те граничные условия для касательных составляющих векторов E и H на передней и задней поверхностях пла стины. Решите полученную систему линейных алгебраи ческих уравнений относительно комплексных амплитуд электрического вектора для волны, прошедшей пласти ну, и для волны, отраженной от пластины. Используйте плазменную модель металла (см. справочный материал к 4 й главе). Считайте, что mа = m0. Учтите, что для сверх проводника, в котором отсутствуют нормальные электроны
206
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
(dn = 0), показатель преломления является чисто мни& мым: n1 1 31 1 1 2 (4пл / 4)2 1 jnI , где nI 1 2 (3пл / 3)2 2 1, так как для частот, на которых наблюдается явление сверхпроводимости (f £ 100 ГГц), выполняется соотноше& ние w = wпл. 5.2.28. Воспользуйтесь решением задачи 5.2.27. 5.3.1. Запишите электромагнитное поле над проводя& щей плоскостью в виде суммы падающей и отраженной волн. Комплексные амплитуды вектора H в этих вол& нах выразите через комплексные амплитуды вектора E. При этом учитывайте направление распространения волн. Связь между E1 пад и E1 отр на идеально проводящей плос& кости определяется из граничных условий электроди& намики. 5.3.2. См. указание к задаче 5.3.1. 5.3.4. Амплитуда тока определяется протяженностью освещенного участка пластины в направлении вектора H падающей волны (вспомните определение вектора плот& ности поверхностного тока). 5.3.17. Сначала, проанализировав комплексную ам& плитуду плотности поверхностного тока, определите по& ложение плоскости падения и поляризацию падающей волны. 5.3.19. Определите коэффициент эллиптичности как отношение большой оси к малой оси эллипса поляризации. ГЛАВА ШЕСТАЯ 6.1.19. В волноводе с идеально проводящими стенка& ми, заполненном диэлектриком без потерь, продольное волновое число 2 ). h 2 32 4 g 2 2 21 5(f 2 4 fкр c Если волновод заполнен диэлектриком с потерями, то в этой формуле коэффициент фазы b нужно заменить на комплексное волновое число
2 3 j4 5 1 61 5 1 6(1 3 jtg7). c c
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
207
При этом 21f 5 1 4 (fкр / f )2 4 jtg6 . c Здесь следует брать значение квадратного корня, рас# положенное в IV квадранте комплексной плоскости. Дей# ствительная часть продольного волнового числа опреде# ляет длину волны и фазовую скорость в волноводе; h² — коэффициент затухания. Таким образом, при наличии потерь в заполняющей среде бегущая волна в волноводе существует как при f > fкр, так и при f < fкр (в последнем случае затухание волны будет весьма большим). 6.1.26. См. указание к задаче 6.1.19. 6.2.19. Запишите выражения для составляющих поля плоской электромагнитной волны, падающей под углом j на идеально проводящую плоскость х = 0 (волна 1), и для волны, падающей под углом j на идеально проводящую плоскость х = а (волна 2). Данные волны имеют перпен# дикулярную поляризацию относительно плоскости паде# ния XOZ. При этом волна 1 распространяется в сторону увеличения координаты z и уменьшения координаты х, а волна 2 — в сторону увеличения координат x и z. Опреде# лите полное поле обеих волн в области 0 £ x £ a, учитывая необходимость выполнения граничного условия для тан# генциальной составляющей вектора E в плоскостях х = 0 и x = а. Сопоставьте полученные выражения с формула# ми для составляющих поля волны H10. 6.2.21. Получите функцию Em(z) — зависимость ам# плитуды вектора E от координаты z в стоячей волне, полагая, что идеально проводящая поверхность фланца совмещена с плоскостью z = 0. Запишите продольное вол# новое число в виде h = h0 + Dh, где h0 — продольное чис# ло на частоте f0; Dh — отклонение h при изменении часто# ты на Df относительно f0. Разложите зависимость Em(hz0) в степенной ряд в окрестности точки hz0 = h0z0 = p/2. Для определения относительного изменения уровня uд учи# тывайте первые три члена данного степенного ряда. 6.2.22. Используйте граничное условие для нормаль# ных составляющих вектора D на поверхности идеально# го проводника. h 3 h2 4 jh22 3
208
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.2.23. Предварительно получите выражение для со' ставляющих поля стоячей волны в области z < 0. Для это' го запишите поле в виде суммы падающей и отраженной волн, распространяющихся в сторону увеличения и умень' шения координаты z соответственно. Используйте гранич' ные условия при z = 0. 6.3.3. При плавном (малом на расстоянии порядка дли' ны волны) изменении поперечного сечения волновода от' ражением волны можно пренебречь. В этом случае волны высших типов практически не возбуждаются. 6.3.7–6.3.12. Погонной мощностью потерь Рпот пог на' зывают мощность потерь в отрезке волновода, имеющем единичную длину. При определении Рпот пог полагают, что амплитуда составляющих поля волны не меняется вдоль оси волновода. Зная Рпот пог, можно найти мощ' ность потерь в отрезке волновода длиной Dz: Рпот = Рпот погDz, если 2h²Dz =(Рпот погDz/Р) = 1, где h² — коэффициент за' тухания; P — переносимая по волноводу мощность. 6.3.22. Определите коэффициент полезного действия как отношение переносимой мощности на выходе отрезка волновода к мощности на входе этого отрезка. 6.3.35–6.3.38. См. указание к задачам 6.3.7–6.3.12. 6.4.6. Разложите зависимость времени прохождения (радиосигнала по волноводу) от частоты в степенной ряд в окрестности несущей частоты f0. Запишите приращение времени прохождения с учетом первых двух членов дан' ного ряда. 6.4.8. Если несущая частота узкополосного радио' сигнала близка к критической частоте для данной вол' ны в волноводе, то время прохождения радиосигнала по волноводу tп сильно зависит от диэлектрической про' ницаемости заполняющей среды e. Это позволяет опре' делить e по изменению tп при изменении несущей час' тоты. 6.4.15. Практическая ширина спектра прямоугольно' го радиоимпульса может быть приближенно определена как ширина центрального лепестка спектральной диа' граммы. При этом частоты крайних узкополосных групп в спектре сигнала определяются границами центрального
209
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
лепестка: f1, 2 = f0 ± 1/tи. Представьте время прохождения на частотах f1 и f2 в виде степенного ряда в окрестности частоты f0 и учтите первые два члена ряда, имея в виду, что f0tи ? 1. 6.4.16–6.4.17. См. задачу 6.4.15. 6.4.18. При определении фазового сдвига на несущей частоте отбрасывайте целое число периодов 2p. 6.4.27–6.4.28. См. задачу 6.4.15. ГЛАВА СЕДЬМАЯ 7.1.35. Учтите, что при заполнении резонатора диэлектриком добротность изменится не только за счет потерь в диэлектрике, но и в результате изменения мощности потерь в стенках резонатора. 7.1.37. При определении добротности нагруженного резонатора средняя мощность потерь Рср пот = Рср пот м + Рср н, где Рср пот м — средняя мощность тепловых потерь в стенках металла; Рср н — средняя мощность, отдаваемая резонатором в нагрузку (в общем случае нужно также учитывать мощность потерь в диэлектрике, заполняющем резонатор). 7.1.39. Максимальная энергия электрического поля в резонаторе Wmах э 1 (2a /2) 3 | E1 |2 dV . С другой стороны, в эквивалентном колебательном контуре с емкостью Сэкв и 2 /(2C индуктивностью Lэкв Wmax э 1 Qm экв ), где Qm — амплитуда колебаний заряда. Для определения Qm в резонаторе воспользуйтесь граничным условием на поверхности идеального металла: 1 a E1 n 2 31 пов ; здесь E1 n — нормальная составляющая вектора E1 ; 11 пов — плотность поверхностного заряда. Эквивалентная индуктивность Lэкв может быть определена при известной величине Cэкв из условия резонанса на частоте fрез для заданного типа колебания в резонаторе. 7.2.9. Воспользуйтесь выражением для относительной диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы. (См. справочный материал к главе 4.) 7.2.16. При записи выражения для максимальной амплитуды электрического поля учтите, что J1(x) » x/2,
210
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
если |x| = 1. Учтите, что на боковой поверхности стенок (при r = r0), J1(gr0) = J1(m11) = 0,5819. 7.2.25. Рассмотрите два предельных случая: 1) l = r0; 2) l ? r0. Учтите, что в 13м случае резонансная частота ко3 лебания Е011 существенно больше резонансной частоты колебания Е010; во 23м случае резонансные частоты прак3 тически совпадают. Обратите внимание, что при l ® ¥ дли3 на резонатора перестает влиять на добротность. Объясни3 те эту особенность. Покажите, что 2
Q011 4 3 r 1 4 1 2 l / r0 5 12 6 0 7 . Q010 9 l801 2 2 l / r0
Рассмотрите характерную точку lx = 0,5056r0. Убеди3 тесь, что Q011 > Q010 при l < lx и Q011 < Q010 в случае, когда l > l x. 7.2.26. Для поддержания незатухающих колебаний к резонатору от генератора СВЧ должна подводиться мощ3 ность, равная мощности потерь. Если генератор выклю3 чить, то запасенная в резонаторе энергия убывает во вре3 мени по закону exp(–2at), где a = wрез/(2Q). При этом, в соответствии с законом сохранения энергии, сумма запа3 сенной и потерянной энергии для любого момента време3 ни является постоянной величиной, равной энергии, на3 копленной в резонаторе при t = 0. 7.2.28. В объемном резонаторе, так же, как и в колеба3 тельном контуре, амплитуда свободных колебаний умень3 шается во времени по закону exp(–at), где a = wрез/(2Q), Q — добротность. 7.2.29. Cм. указание к задаче 7.1.37. Учтите, что об3 щая средняя мощность потерь определяется нагруженной добротностью резонатора, а средняя мощность потерь в металле — собственной добротностью резонатора, учиты3 вающей тепловые потери в стенках. Нагруженная доброт3 ность на практике определяется через резонансную час3 тоту и полосу пропускания устройства. 7.2.30. См. указания к задаче 7.2.29. 7.2.31. См. указания к задаче 7.1.39.
211
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
ГЛАВА ВОСЬМАЯ 8.1.13. Электрический момент зарядов q и –q, находя щихся на расстоянии l друг от друга, определяется как ql. В случае зарядов, изменяющихся во времени по гармони 1 , где q1 — комплексная амплитуда ческому закону, p1 э 1 ql колебаний заряда. Для решения данной задачи удобно воспользоваться законом непрерывности полного тока: 1
1
23 (Jэ 1 Jсм )dS 2 0 S
для любой замкнутой поверхности (J1 э и J1 см — векторы плотности электрического тока и тока смещения). Рас смотрите замкнутую поверхность, окружающую торцевую поверхность проводника. Учтите, что плотность поверх ностного заряда на границе идеального проводника равна нормальной составляющей вектора электрического сме щения D. 8.1.16. При определении расстояния от излучателя до точки наблюдения воспользуйтесь приближенным соот ношением 1 1 2 3 1 1 2 /2 при |a| = 1. 8.1.18–8.1.19. Рассматривайте нормированную диа грамму направленности F, т. е. зависимость от угла наблю дения для амплитуды напряженности поля в дальней зоне, отнесенной к максимальной амплитуде напряженности поля. При этом расстояние от центра излучающей систе мы до точки наблюдения остается неизменным: r = const. Учтите, что радиус векторы, соединяющие вибраторы с точкой наблюдения в дальней зоне, можно считать па раллельными. 8.1.20. Нормированная диаграмма направленности антенны по мощности FП представляет собой зависимость от угла наблюдения для плотности мощности в дальней зоне, отнесенной к максимальной плотности мощности. При определении составляющих вектора E в дальней зоне для произвольной точки пространства можно дейст вовать следующим образом. Удобно воспользоваться тем обстоятельством, что излучатель с током I1 эквивалентен двум излучателям с токами I11 и I12 , удовлетворяющим
212
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
равенству I1 1 I11 2 I12 , где учитываются направления токов в пространстве. В плоскости XOY введите оси х¢, у¢, по( вернутые относительно осей х, у на угол j. Спроектируй( те токи I1x 1x и I1y 1y на оси х¢, у¢ и найдите составляющие электрического поля E1 1 , E1 1 от проекций I1x1 и I1y1 . 8.1.21. Считайте для определенности, что плоскость рамки совмещена с плоскостью XOZ, а ток в электриче( ском излучателе ориентирован вдоль оси х. Введите сфе( рическую систему координат, в которой угол q отсчиты( вается от оси z. См. также указание к задаче 8.1.18. 8.1.22–8.1.23. В соответствии с методом зеркального изображения, поле в верхнем пространстве не изменится, если удалить проводящую плоскость и в зеркальной точ( ке (симметричной относительно точки расположения виб( ратора) поместить идентичный излучатель с током, рав( ным по амплитуде току в исходном излучателе. При этом направление тока должно быть таким, чтобы в плоскости симметрии выполнялись граничные условия для состав( ляющих поля на поверхности идеального проводника. 8.1.24. Cм. задачу 8.1.22. Учтите, что для электриче( ского излучателя по определению R1 2 2P1 / Iэ2 . Излучае( мая мощность P1 в нашем случае отличается от P1 для оди( ночного вибратора в свободном пространстве по следую( щим причинам: а) изменяется амплитуда поля в дальней зоне за счет зеркального излучателя; б) мощность излуча( ется только в верхнее полупространство. 8.1.25. См. задачу 8.1.14 и указание к задаче 8.1.24. 8.1.26. Воспользуйтесь методом зеркального изображе( ния (см. указание к задаче 8.1.22). 8.1.27–8.1.28. Воспользуйтесь методом зеркального изображения (см. указание к задаче 8.1.22). Учтите, что радиус(векторы, соединяющие основной и зеркальный излучатели с точкой наблюдения в дальней зоне, можно считать параллельными. 8.1.29. Используйте сферическую систему координат, в экваториальной плоскости (q = p/2) расположите рам( ку, центр которой совместите с точкой начала координат. Воспользуйтесь известным решением неоднородного урав(
213
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
нения Гельмгольца для электрического векторного потен" циала Aэ в вакууме. Убедитесь, что векторный электрический потенциал имеет только проекцию Аэj. Для этого в качестве примера рассмотрите потенциал в плоскости j = 0, обусловленный двумя элементами тока I1p r0d21, направленными по каса" тельной к рамке и расположенными симметрично отно" сительно плоскости j = 0 (j¢ — угловая координата эле" мента тока на рамке). Считайте, что лучи, соединяющие элементы тока на рамке с точкой наблюдения в дальней зоне, параллельны радиус"вектору точки наблюдения r (т. е. лучу, соеди" няющему центр рамки с этой точкой). При этом расстоя" ние от элемента тока до точки наблюдения R 1 r 2 R 3(r / r ), где R 1(r / r ) — проекция радиус"вектора элемента тока R 1 2 1x r0 cos(31) 4 1y r0 sin(31) на направление r . Учтите, что exp( j2 R 1(r / r )) 3 1 4 j2 R 1(r / r ), так как br0 = = 2p(r0/l0) = 1. 8.1.30. Под действием солнечного излучения молеку" лы воздуха приобретают переменный во времени диполь" ный момент. Поскольку электромагнитные солнечные волны являются поперечными, то колебания дипольных моментов происходят в плоскости, перпендикулярной на" правлению на Солнце (вектор BA). Эти колебания можно представить как суперпозицию движений в двух взаимно перпендикулярных направлениях, например в направле" ниях векторов 1n и [1n BA ]. Колеблющиеся в данных на" правлениях дипольные моменты рассматривайте как эле" ментарные излучатели, создающие рассеянные волны в точке наблюдения. 8.2.1. Подставьте формулу для Aэ в уравнение Гельм" гольца для векторного потенциала и учтите, что в уравне" нии Гельмгольца дифференцирование осуществляется по пространственным координатам точки наблюдения. Вос" пользуйтесь тем обстоятельством, что функция Грина не" ограниченного однородного пространства — G 3 1 exp
1 j2 | r 1 r 5| 44 | r 1 r 5|
214
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
— является решением скалярного уравнения Гельмголь' ца для точечного источника: 12 G 2 32 G 4 5(r 7 r 6). 8.2.2. Подставьте формулу для Aэ в неоднородное вол' новое уравнение и учтите, что в волновом уравнении диф' ференцирование осуществляется по пространственным координатам точки наблюдения. Рассмотрите функцию Грина неограниченного однородного пространства для ста' ционарного точечного источника: G 1 21/(43 | r 2 r 4|), где r — радиус'вектор точки наблюдения; r 1 — радиус'век' тор точечного источника. Докажите (используя, напри' мер, декартовы координаты), что 2 (2)/ 5t2 ), 12 (GJст (2)) 3 (12 G ) Jст (2) 4 (G / c2 )(5Jст
где 1 2 t 3 | r 3 r 4|/ c. Учтите, что функция Грина G удовле' творяет уравнению Пуассона для стационарного точечно' го источника: 22 G 3 4(r 5 r 1). 8.2.3. Воспользуйтесь подходящим для данной ситуа' ции тождеством векторного анализа и законом сохране' ния заряда в дифференциальной форме. Рассматривайте случай гармонических колебаний. 8.2.4. Рассмотрите для простоты случай, когда центр излучателя совмещен с началом координат, и ток направ' лен вдоль оси z. Пусть радиус'вектор, соединяющий центр излучателя с точкой наблюдения, имеет длину R и ориен' тирован под углом q относительно оси z. Тогда расстоя' ние r от точки наблюдения до текущей точки на излучате' ле с координатой z¢ (x¢ = y¢ = 0) является функцией z¢ для данных R и q. Разложите эту функцию в степенной ряд в окрестности точки z¢ = 0 и учтите три первых члена этого ряда. Убедитесь, что фазовый набег jп определяется пер' выми двумя членами этого ряда. 8.2.5. Воспользуйтесь решением неоднородного урав' нения Гельмгольца для электрического векторного потен' циала. Учтите, что лучи, соединяющие точки области S0 с точкой наблюдения в дальней зоне, можно считать парал' лельными (см. предыдущую задачу). При этом расстоя' ние от точки наблюдения до текущей точки области S0 можно представить в виде R 1 r 2 R 3(r / r ), где r — ради' ус'вектор точки наблюдения; R 1 — радиус'вектор теку'
215
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
щей точки области S0; R 1(r / r ) — проекция R 1 на направ ление единичного вектора 1r 1 r / r. Для того, чтобы найти скалярное произведение R 11r , выразите векторы R 1 и 1r через их проекции в декарто вой системе координат. Учтите, что при интегрировании по области, занимаемой сторонними тонами, амплитуд ный множитель 1/R в дальней зоне можно считать посто янным: 1/R » 1/r. 8.2.6. Воспользуйтесь выражением, связывающим век 1 с электрическим векторным потенциалом. Учти тор H те, что составляющими поля, которые убывают с расстоя нием быстрее, чем 1/r, в дальней зоне можно пренебречь. 1 с помощью первого Вектор E1 определите через вектор H уравнения Максвелла. 8.2.7. Определите проекции векторного электрическо го потенциала в сферической системе координат для даль ней зоны излучателя (см. указания к задаче 8.2.5). Вос пользуйтесь решением задачи 8.2.6. 8.2.8. См. задачу 8.2.7. 8.2.9. Касательные составляющие векторов поля на поверхности раскрыва можно рассматривать как эквива лентные электрический и магнитный сторонние токи с поверхностными плотностями 1 | ]; J1 J1 1 [1 H 1 [E1 | 1 ], пов э
n
z 10
пов м
z 10
n
где 1n — единичный вектор внешней нормали к плоско сти раскрыва, который направлен в сторону полупростран ства, содержащего точку наблюдения (в нашем случае 1n 1 1z ). Поверхностный ток J1 пов э возбуждает в полупро странстве z > 0 электрический векторный потенциал A1 э (см. задачу 8.2.5), а ток J1 пов м является источником маг нитного векторного потенциала, который определяется аналогично (в решении задачи 8.2.5 нужно заменить J1 пов э на J1 пов м ). Определите в дальней зоне декартовы проек ции потенциалов A1 э и A1 м и перейдите к их сферическим проекциям. Учтите, что составляющие поля в дальней зоне связа ны с потенциалами A1 э и A1 м следующими соотношения ми (см. задачу 8.2.6):
216
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
35 A1 м1 6 5 A1 6 4 E1 7 8 j9 A1 э2
12 A1 э1 8 м2 11 ; Zc Zc 1 1 1 7 8 E1 12 E2 11 . H Zc 8.2.10. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. 8.2.12. Найдите плотности эквивалентных поверхностных токов J1 пов э и J1 пов м в соответствии с указаниями к задаче 8.2.9. Учтите, что амплитуда тока в каждом из эквивалентных диполей I1 1 J1 пов 2d, где Dd — размер элемента Гюйгенса (Dх или Dу) в направлении, перпендикулярном вектору Jпов . 8.2.13–8.2.14. Сначала определите в дальней зоне магнитный векторный потенциал, возбуждаемый эквивалентным поверхностным магнитным током (см. указание к задаче 8.2.9). 8.2.15–8.2.16. Воспользуйтесь известным решением задачи о падении плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость. Возникающий при этом поверхностный электрический ток, во-первых, является источником отраженной волны, и, во-вторых, возбуждает в пространстве за проводящей плоскостью волну, которая «гасит» падающую волну (суммарное поле за идеально проводящей плоскостью равно нулю). ГЛАВА ДЕВЯТАЯ 9.1.2–9.1.3. Параметры зависимости электронной концентрации от высоты оцените, пользуясь графиками в книге С. И. Баскакова на стр. 288. 9.1.4–9.1.7. Учтите, при численном решении дифференциальных уравнений в MathCad каждое уравнение для комплексных амплитуд должно быть представлено как два уравнения — соответственно для действительных и мнимых частей всех членов исходного уравнения. 9.1.11. При расчете используйте амплитуду колебаний вектора H на поверхности металла. 9.1.18. См. указание к задаче 9.1.4.
УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
217
9.1.22. При анализе представьте однотональный АМ сигнал как сумму несущего и двух боковых колебаний (см. книгу С. И. Баскакова по РЦС, тема 4.1 «Сигналы с ам плитудной модуляцией»). Учтите, что огибающую АМ сигнала можно определить как длину суммы векторов, отображающих эти колебания на комплексной плоскости, в которой ось отсчета углов вращается вокруг начала ко ординат с угловой скоростью 2pf0. 9.1.23. С помощью БПФ огибающую исходного радио импульса представьте как набор гармонических состав ляющих (функция FFT в MathCad). Определите гармони ческие составляющие огибающей прошедшего трассу ра диоимпульса, добавив фазовые сдвиги этих составляющих относительно несущего колебания при прохождении че рез ионизированную среду. С помощью обратного БПФ (функция IFFT в MathCad) рассчитайте и постройте оги бающую прошедшего трассу радиоимпульса. Учтите, ин тервал наблюдения должен быть примерно на порядок больше длительности импульса, а в пределах импульса должно располагаться достаточно большое число отсче тов огибающей (порядка 10 или более). 9.2.3. Рассматривайте коэффициент эллиптичности как отношение амплитуды параллельно поляризованной компоненты вектора E к амплитуде перпендикулярно поляризованной компоненты. 9.2.14–9.2.17. При решении используйте ответ к зада че 5.1.43. 9.2.18. При решении используйте ответ к задаче 5.1.43. Обратите внимание, что в области f < fпл относительная диэлектрическая проницаемость плазмы отрицательна, нужно использовать верный знак при извлечении квад ратного корня из e и учитывать комплексность парциаль ных коэффициентов отражения. 9.2.19. При решении используйте ответ к задаче 5.1.43 из задачника. Учтите, что для среды с потерями следует использовать комплексную относительную диэлектриче скую проницаемость: 1 2 1(1 3 jtg4) 2 1 1 5 tg2 4 exp( 3 j4) и 1 2 1 4 1 3 tg2 4 exp(5 j4 /2).
218
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
9.3.5–9.3.6. Рассматривайте коэффициент эллиптич' ности как отношение продольной (вдоль оси волновода) к поперечной полуоси эллипса поляризации вектора поля. 9.3.9–9.3.10. Учтите, что при записи отраженной вол' ны должны использоваться другой амплитудный коэффи' циент и противоположный знак перед продольным вол' новым числом h. Для определения амплитудного коэффи' циента в отраженной волне следует применить граничные условия для тангенциальной составляющей вектора E (суммарного поля падающей и отраженной волн) на по' верхности поперечной стенки. 9.3.22–9.3.23. Поле в волноводе представляет суперпо' зицию падающей и отраженной волн. Учтите, что при за' писи отраженной волны должны использоваться другой амплитудный коэффициент и противоположный знак пе' ред продольным волновым числом h. Для определения амплитудного коэффициента в отраженной волне следует применить граничные условия для тангенциальной состав' ляющей вектора E (суммарного поля падающей и отра' женной волн) на поверхности фланца. 9.3.24–9.3.25. Параметр «степень расплывания» опре' делен в условии задачи 6.4.15. 9.3.26. С помощью БПФ огибающую исходного радио' импульса представьте как набор гармонических состав' ляющих (функция FFT в MathCad). Определите гармони' ческие составляющие огибающей прошедшего тракт ра' диоимпульса, добавив фазовые сдвиги этих составляющих относительно несущего колебания при прохождении по волноводу. С помощью обратного БПФ (функция IFFT в MathCad) рассчитайте и постройте огибающую прошед' шего тракт радиоимпульса. Учтите, что интервал наблю' дения должен быть примерно на порядок больше длитель' ности импульса, а в пределах импульса должно распола' гаться достаточно большое число отсчетов огибающей (порядка 10–20).
ОТВЕТЫ ГЛАВА ПЕРВАЯ 1.1.1. 1. а) 0; б) 32. 2. а) 20; б) 0. 3. а) 0; б) 8. 4. а) –1,5803; б) 0. 5. а) –10p; б) 0. 1.1.2. 1. а) p; б) 0. 2. а) 0; б) 12,74. 3. а) –2,197; б) 0. 4. а) 0; б) 5,545. 5. а) 6,108; б) 0. 1.1.3. 1. а) 0; б) 9,839. 2. а) 0,9163; б) 0. 3. а) 0,5; б) 0. 4. а) –3; б) 0. 5. а) 0; б) 1,5. 1.1.4. 1. Поле A является и соленоидальным и потенци альным. 2. Поле A соленоидально и не является потенциальным. 3. Поле A соленоидально и не является потенциальным. 4. Поле A потенциально и не является соленоидальным. 1.1.5. f(r) = C/r, где С — константа. 1.1.6. f(r) = C/r2, где С — константа. 1.1.7 1. grad U 1 2x sin(2y)1x 2 2x2 cos(2y)1y ;
324 1 2(1 5 2x2 )sin(2y). ln(r ) ln(r ) 2. grad U 2 1 sin(1)1r 3 cos(1)11 ; 42U 2 5 3 sin(1). r r r (1 1 jkr )exp(2 jkr ) exp(2 jkr ) 2 2 3. grad U 3 2 1r ; 4 U 3 2k . r r2 2 1.1.8. 1. div A 1 2y ; rot A 1 22z1x 2 4xy1z. 2. div A 1 0; rot A 1 10cos(2x)1z. 1.1.9. 1. div A 2 (10/ r )cos(z); rot A 2 (10/ r 2 ) sin(z)11. 2. div A 1 (2/ r 3 )cos(2); rot A 1 3(2/ r 3 )sin(2)1z. 1.1.10. 1. div A 1 25/ r 4 ; rot A 1 0. 2. div A 2 0; rot A 2 [(2cos(1)/ r )1r 3 jk sin(1)11 ]exp(4 jkr )/ r. 1.1.11. div[ AB] 1 2sin(x) cos(x). 1.1.12. rot[ Agrad(1)] 2 320x2 1x 4 40xy1y. 1.1.13. div[ Agrad(U)] 1 26sin(3) exp( 23r )/ r. 1.1.14. grad(div A ) 2 3(2sin(1)/ r 3 )1r 4 (cos(1) / r 3 )11. 1.1.15. rot(rot A ) 2 [( 3 j2k cos(1)/ r )1r 4 k2 sin(1)11 ]exp(3 jkr )/ r.
220
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ГЛАВА ВТОРАЯ 2.1.1. EA 1 2901x В/м; EB 1 1901x В/м. 2.1.2. EA 1 95,461y В/м; EB 1 24,151x 2 147,071y В/м. 2.1.3. E 1 0,5655sign(z)1z В/м; D 1 0,005sign(z)1z нКл/м2 . 2.1.4 40, | z | 1 0,5 м; E25 65,655sign(z)1z В/м, | z | 3 0,5 м; 40, | z | 1 0,5 м; D25 2 60,05sign(z)1z нКл/м , | z | 3 0,5 м. 2.1.5
30, z 1 0, z 2 1 м; E45 722,621z В/м, 0 6 z 6 1 м; 30, z 1 0, z 2 1 м; D45 2 70,21z нКл/м , 0 6 z 6 1 м.
2.1.6. sпов = 1,768 нКл/м2. 2.1.7. Е1 = 22,62 кВ/м; Е2 = 15,08 кВ/м; U = 120,6 В. 2.1.8. Wэ = 60,32 нДж. 2.1.9. C 1 20S d1 / 21 3 d2 / 22 ; C 1 8,289 пФ. 15(20z / 30 )1z , | z | 4 d /2; 2.1.10. E 6 7 52 9 0d /(230 )sign(z)1z , | z | 8 d / 2. 2.1.11. E 1 0,91r В/м. 2.1.12. E 1 5,6551r В/м. 2.1.13. Er = 226,2/r В/м; j = 226,2ln(4/r) В; 2 £ r £ 4 см. 2.1.14. Спог = 2pee0/ln(b/a). 2.1.15. Спог = 2pe0[ln(c/a)/e1 + ln(b/c)/e2]–1. 5620r /(23a1 ), 0 4 r 4 r0 ; 2.1.16. Ez 7 E1 7 0; Er 7 8 6 20r02 /(23a2r ), r 9 r0 .
40, 0 2 r 3 a; 55 2.1.17. Ez 6 E1 6 0; Er 6 70 (r 2 8 a2 ) /(290r ), a 2 r 3 b; 5 2 2 570 (b 8 a ) /(290r ), b 2 r. 2.1.18. s = 1,768 нКл/м2. 2.1.19. Er = 4,50/r2 В/м; j = (4,5/r) – 225 В. 2.1.20. Wэ = 56,25 нДж. 2.1.21. С = 4pee0/(1/a – 1/b). 2.1.22. С = 4pe0/[(c – a)/(e1ac) + (b – c)/(e2bc)].
221
ОТВЕТЫ
4510r /(320 ), 0 3 r 3 a; 2.1.23. E 6 Er 1r ; Er 6 7 5910a3 /(320r 2 ), r 8 a. 2 12 7 0r /(430a), 0 4 r 4 a; 2.1.24. E 5 Er 1r ; Er 5 6 7820a3 /(430r 2 ), r 9 a. 40, 0 3 r 3 a; 55 2.1.25. E1 6 E2 6 0; Er 6 7o (r 3 8 a3 )/(390r 2 ), a r 3 b; 5 3 3 2 57
o (b 8 a )/(390r ), r b. 2.2.1. H 1 ( J0 /2)sign(x)1y. 230, x 1 d; 2.2.2. H 4 5 396 J0sign(x)1z , x 7 0, x 8 d. 340, x 1 0, x 2 d; 2.2.3. H 5 6 49 7 J0 1z , 0 8 x 8 d.
1 J0x1y , | x | 2 d /2; 3 2.2.4. H 4 5 73( J0d /2)sign(x)1y , | x | 6 d /2.
2.2.5. J0 = 0,01 А/мм2.
2 J0r /211 , 0 3 r 3 a; 4 2.2.6. H 5 6 48 J0a2 /(2r )11 , r 7 a. 2 J0r 2 /(3a)11, 0 3 r 3 a; 4 2.2.7. H 5 6 48 J0a2 /(3r )11, r 7 a. 2 J0r 3 /(4a2 )11 , 0 3 r 3 a; 4 2.2.8. H 5 6 2 84 J0a /(4r )11 , r 7 a. 2.2.9.
30, 0 2 r 2 a; 4 H 5 48 J0 (r 2 6 a2 )/(2r )11 , a 7 r 2 b; 4 4 J0 (b2 6 a2 )/(2r )11 , r 9 b.
222
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.2.10. Hj = 12,5/r мА/м; Hz = Hr = 0. 2.2.11. Lпог = mm0ln(b/a)/(2p). 2.2.12. Bmin = 8,333 мТл; Bmax = 16,67 мТл. 2.2.13. Wм = 1,04 мкДж. 2.2.14. L = mm0N2hln(b/a)/(2p).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ 3.1.1. E(t1 ) 1 0,21x В/м; E(t2 ) 1 20,21y В/м. 1 1 5,0cos(42109 t 3 0,9553)1 3 3.1.2. H x 3 8,66cos(42109 t 3 0,9553)1z мА/м. 3.1.3 E(t) 1 5cos(22108 t 3 2 /4)1y 3 5sin(22108 t 3 2 /4)1z мВ/м; E1 1 5(1 4 j1 )exp(3 j2 / 4) мВ/м. y
z
3.1.4. J1 см 1 0,0694( j1x 2 1y ) А/м2; J1 пр 1 0,075(1x 3 j1y ) А/м2. 3.1.5. J1 пр 2 0,23exp(3 j4 /4)1x мА/м2 ; J1 2 0,3167 exp( j4 /4)1 мА/м2 ; см
x
J1 1 2 0,3914exp( j0,1572)1x мА/м2 . 3.1.6. J1 см 4 1,389 610141x А/м2; 3 4 575442. 3.1.7. s = 10–3 См/м. 3.1.8. Петля должна быть расположена в плоскости, перпен+ дикулярной вектору напряженности магнитного поля. При этом амплитуда ЭДС равна 78,96 мкВ. 3.1.9. Im = 8,837 мкА. 3.1.10. iсм = –w0e0eU0(Sn/d)sin(w 0t). 3.1.11. Em = 2,7×104 В/м. 3.1.12. Нm = 13,89 мкА/м. Вектор H колеблется в направ+ лении касательной к окружности, центр которой совмещен с осью конденсатора. Окружность расположена в плоскости, па+ раллельной пластинам конденсатора. 3.1.13. Jm см = 6,944 мА/м2; Jm пр = 0,4167 мА/м2; колебания полного тока опережают колебания напряжения на 86°34¢. 3.1.14. s = 1,833×10–7 См/м. 3.1.15. I1см вак 1 j44,44 мкА; I1пол 1 j69,33 мкА; I1пр 1 16 мкА. 3.1.16. r(x, y, z, t) = r 0(x, y, z)exp(–t/t), где t = ee0/s. При s = 107 См/м t » 0,9×10–18 с. Если s = 10–3 См/м, то t » 0,9×10–8 с. 3.1.19. div E 1 [2 3 Egrad(4a )]/ 4 a . 3.1.20. div H 1 2 Hgrad(3a )/ 3a . 1 y 1 (2 jb / 3ax ) H 1 x. 3.1.24. H 3.1.25. a) 2( E D) 3 0; б) 2( E D) 3 54361. 1 1 0,02653exp(2 j23x)1 мА/м2. 3.1.26. H z
223
ОТВЕТЫ
3.1.27. E1 1 20,7540exp(2 j43y)1x В/м; f 1 600 МГц. 3.1.28. E1 1 2 j3,77 sin(203x)1y В/м. Колебания E(t) отстают по фазе от колебаний H (t) на 90° в точках оси x, для которых cos(20px) и sin(20px) имеют одинаковые знаки; если знаки про# тивоположные, то колебания E(t) опережают колебания H (t) на 90°. 3.1.29. E1 2 1r 2 A cos(1) exp(3 j4r )/( j560r 2 ) 7 7 11 4A sin(1) exp( 3 j4r )/(560r ). 3.1.31. В данной ситуации поле существовать не может. 3.1.32. E1 x 2 C1 exp( 11z) 3 C2 exp( 12z); 1 y 2 j11 C exp( 1 z) 3 j 12 C exp( 1 z). H 1 2 45a 1 45a 2 2 2 Характеристическое уравнение: g + w mаeа = 0. Решение харак# теристического уравнения: 11, 2 2 3 j4 5а 6а . 3.1.33. E 1(r) = –[w 0r/(2c)] 2E 0; E1max = E 1(r0) < 0,1E 0, если 30 4 2c / 1 r0 10 2. 3.1.34. J11 (r ) 1 j23040r 2 J1 0 / 4; J 1max = J 1(r 0 ) < 0,01J 0 , если 10 2 1/(253040r02 ). J 3.1.36. H 5 6 0 cos 3870 t 1 z 49 1x ; 2 c
E67
30 0
1 2 J cos 498 1 t 1 z 2 5 1 , 2 c 0
0
y
где верхний знак соответствует полупространству z > 0, а ниж# ний знак — полупространству z < 0. 3.1.37. 1 20 J0 53 1y 6 2 , | z | 4 ct; 0 E78 5 5 0, | z | 9 ct; 11x J0 / 2, 0 4 z 4 ct; 5 5 H 7 83 1x J0 /2, 3 ct 4 z 4 0; 5
50, | z | 9 ct. 3.2.1. Пср 1 20,28981y 3 0,17321z мВт/м 2. 3.2.2. Пср 1 301r мВт/м2. 3.2.3. П(t) 1 [0,5629 2 0,650cos(43109 t 4 305)]1x мВт/м2; Пср = 0,5629 мВт/м2; Пm кол = 0,650 мВт/м2. 1 1 (16,251 2 28,151 )exp( j3 /6) мА/м. 3.2.4. H x y
224
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
3.2.5. Нm = 0,0690 А/м. 3.2.6. f = 50 МГц; Dj = 36°52¢; W = 8×10–11 Дж. 3.2.7. wм ср = 1,755×10–5 Дж/м3. 3.2.8. wэ ср = 5,411×10–8 Дж/м3; pпот ср = 0,153 Вт/м3. 3.2.9. Wср = 5,747×10–11 Дж. 3.2.10. Рпот ср = 1,125×10–7 Вт; Q = 663,1. 3.2.11. П(t) 1 [203r /(2h2 )]U02 exp(423t)1r ; Pотд (t) 1 [2035D2 /(4h)]U02 exp( 423t). 3.2.13. Пср 1 2,378exp( 20,02x)1x мВт/м2 ; Рср = 0,3218 мВт. 3.2.14. Рпот ср = 7,293×10–8 Вт. 3.2.15. Рпот ср = 1,350 мВт;
13 ПdS 1 21,350 мВт.
3.2.16. Hm (r ) 1 P0 /240 / 2r. 3.2.17. Рпер ср = 3,752 Вт. 3.2.18. Рпот ср = 225,4 Вт. 3.2.19. Рпот ср = 76,35 Вт. 3.2.21. Пср 1 22I02 /( 32d340 )1r. 3.2.23. Ротд(t) = Ротд ср m Ротд mcos(2wt + jE + jx), где Pотд ср 1 2[cos(3E 2 3x )/2]4 E0 J0dV ; Pотд m 1 2(1/2) 3 E0 J0dV .
Здесь верхний знак соответствует случаю, когда 2 E0 J0dV 1 0. 3.2.24. Мощность передается от стороннего тока к полю; объE емная плотность передаваемой мощности рст ср = 1,326 мВт/м3. 1 |2 )dV . 3.2.25. Pпот ср 2 (3 /2) 7 (40411| E1 |2 5 60611 | H V
3.2.26. m² = 0,5066; колебания вектора B отстают по фазе от колебаний вектора H на угол 5°47¢. 3.3.1. D2 = 11,18 нКл/м2; q2 = 63°26¢. 3.3.2. Е2 = 1,155 В/м; q2 = 60°. 3.3.3. Е2t = 1,6 В/м. 3.3.4. e2 = 1,702. 3.3.5. sпов = –1,474×10–10 Кл/м2. 3.3.6. sпов = –2,874×10–10 Кл/м2. 3.3.7. В2 = 8,271×10–8 Тл; q2 = 82°1¢. 3.3.8. Н2 = 0,5831 А/м; q2 = 30°57¢. 3.3.9. Н1n = 618,2 мА/м. 3.3.10. В плоскости x = a составляющие Ey = Ez = Hx = 0; в плоскости у = 0 составляющие Eх = Ez = Hу = 0. 3.3.11. Ej = Ez = Hr = 0. 3.3.12. Eq = Ej = Hr = 0. 3.3.13. Ht = 0,2083 А/м. 3.3.14. I = 47,12 мА; Н j (r0 ) = 0,15 А/м; Н z(r 0) = E z(r0) = = E j(r0) = 0.
225
ОТВЕТЫ
1 (r ) 2 350sin(4) мА/м; Н (r ) = E (r ) = E (r ) = 0; 3.3.15. H 1 0 q 0 q 0 j 0 Im = 9,425 мА. 3.3.16. Jпов (a) 2 0,51z А/м; Jпов (b) 2 30,21z А/м;
H(b) 2 0,211 А/м. 1 z 1 0, 3.3.17. При y = 0 и y = b, E1 x 1 E1 z 1 H 1 x 1 2 J0 sin(2x / a)exp( 3 jhz), H верхний знак соответствует у = 0, а нижний — у = b. При x = 0 и 1 z 1 0, H 1 y 1 2 J0 (b / a) sin(3y / b)exp(4 jhz), верхний x = a E1 y 1 E1 z 1 H знак соответствует x = 0, а нижний — x = a. 3.3.18. 21 пов 1 ( j / 3)dJ1 пов / dx. 3.3.19. При z = 0 1 1 2 J exp(2 j3 x)1 ; E1 1 [J 3 /(45 )]exp(2 j3 x)1 . H 0 0 y 0 0 0 0 z 3.3.20.
1
26 H1dl 2 j340 6 E1 ndS 2 j3 6 51 повdS. L
S
S
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ 4.1.1. b = 936,6 1/м; vф = 6,708×107 м/с; l = 6,708 мм; Zc = 168,6 Ом. 4.1.2. e = 4; f = 7,5 МГц; b = 0,314 1/м; l = 20 м. 4.1.3. Для сухой почвы f < 0,36 МГц; для влажной почвы f < 4,8 МГц; для морской воды f < 96 МГц. 4.1.4. vф = 1,556×108 м/с; Zc = 190,0exp(j13°36¢) Ом. 4.1.5. l = 0,286 мм; a = 3,229 1/м. 4.1.6. f = 54 МГц; a = 0,565 1/м. 4.1.7. tg(d) = 0,5879; Zc = 202,1exp(j15°14¢) Ом. 4.1.8. Отношение Em(0)/Em(l) равно: а) 1,368; б) 13,50; в) 294,8. 4.1.9. vф = 1,8×108 м/с; e = 2,778; Zc = 226,2 Ом. 4.1.10. Волна имеет круговую поляризацию с левым направ+ 1 2 (0,41 3 j0,41 )exp( j294121) В/м. лением вращения; E x y E ( t ) 2 34109 t 6 1297481)1x 5 10[sin(6 4.1.11. 5 cos(634109 t 6 1297481)1y ] В/м. 4.1.12. E1 1 0,8exp[2 j(181,4x 3 104,7 y)]1z В/м. 4.1.13. kz 1 2,9521/м; E1 1 (28,341x 2 10,321z )exp[2 j(1,074x 3 2,952z)] В/м. 4.1.14. e = 4,209; s = 3,359×10–2 См/м. 4.1.15. b = 0,2094 1/м; l = 30 м; a = 0,01026 1/м; d = 5°37¢. 4.1.16. Em(z3)/Em(z1) = 0,941; jE(z3) – jE(z1) = 240°. 4.1.17. Hm(z2) = 8,872 мА/м; jН(z2) = –59°3¢. 4.1.18. E(t, x1 ) 2 4,326cos(5 3108 t 4 1565581)1y мВ/м. 4.1.19. H (t, z1 ) 2 4,926cos(63 4107 t 5 566551)1x 7 7 4,926sin(63 4107 t 5 566551)1y мА/м.
226
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1 1 10,34( j1 2 1 )exp(2 j12,25y) мкА/м. 4.1.20. H x z 1 4.1.21 E 2 5,590(1x 3 j21y ) exp[4 j(0,6283z 3 265341)] В/м; 1 2 14,83( 4 j21 3 1 ) exp[4 j(0,6283z 3 265341)] мА/м. H x y 4.1.22. f = 0,7418 МГц; l = 125,9 м. 4.1.23. e = 2,088; Zс = 242,8exp(j15°) Ом. 4.1.24. Hm(l) = 0,1494 мА/м; jЕ – jН = 16°36¢. 1 (0) 1 10( j1 2 1 ) мА/м; 4.1.25. H x y E1 (0) 1 2,016exp( j154293)(1 5 j1 ) В/м. x
y
4.1.26. H(t, x) 1 211,06exp( 20,2768x) 3 3 sin(2 5108 t 2 1,362x 2 416294) 1y мкА/м. 1 4.1.27. H(0) 1 10( j1x 2 1y ) мА/м; 1 E(0) 1 2,016exp( j154293)(1 5 j1 ) В/м. x
y
4.1.28. e = 5,217; s = 0,01055 См/м. 1 4.1.29. H 1 11,861x мА/м; 3 ср 1 23,731y 2 11,86 1z мВт/м2. 1 4.1.30. E 1 2,903exp[2 j(11,24z 3 5,620x)]1y В/м; 1 1 (26,8881 33,4441 )exp[2 j(11,24z 3 5,620x)] мА/м. H x z 4.1.31. Em = 129,8 В/м; Нm = 0,7702 А/м. 1 4.1.32. E 1 0,1585exp(2 j603x)( j1y 2 1z ) В/м; 1 1 1,262exp(2 j603x)(1 4 j1 ) мА/м. H y z 4.1.33. Пср(у1) = 11,66 мВт/м2. 4.1.34. На частоте 100 МГц 1 ср 2 101,61z мВт/м2 ; на частоте 10 ГГц 1 ср 2 98,411z мВт/м2 . 4.1.35. Em = 50,99 В/м. 4.1.36. Пср = 18,62 мВт/м2. 4.1.37. Пср = 17,70 мВт/м2; Пm кол = 18,96 мВт/м2. 4.1.38. Для мышечной ткани l = 3,30 см; для жировой ткани l = 16,6 см. 4.1.39. На частоте 100 МГц l = 7,78 см; на частоте 10 ГГц l = 0,709 см. 4.1.40. Еск = 713,4 В/м. 4.1.41. Средняя мощность солнечного излучения, падающего на поверхность Земли, составляет 1,72×1017 Вт. Полная средняя мощность солнечного излучения равна 3,8×1026 Вт. 4.1.42. w(t) 1 220 E02 cos2 (30t 4 50z 6 70 ); wср 1 220 E02 /2. 4.1.43. vэ 1 c / 23. 4.1.44. При tg(d) = 0 wср э/wср м = 1; если tg(d) = 10, то wср э/wср м = 0,0995. 4.1.47. J0 = 1,457 мА/м. 4.1.50. 12z 2 32x 4 (50/c)2 67. 4.1.51. ax = 108,8 1/м; bz = 125,7 1/м.
227
ОТВЕТЫ
4.1.52. 7 ср 1 (2z /(2304)) E02 exp(526 x x)1z. 4.1.53. Волна имеет эллиптическую поляризацию. Глав ные оси эллипса поляризации повернуты относительно осей х, у на угол p/4 против часовой стрелки, если смотреть с конца орта 1z. В повернутой системе координат х¢, y¢, z с ортами 1x1 2 (1x 3 1y )/ 2; 1y1 2 ( 3 1x 4 1y ) / 2 составляющие вектора E принимают вид Ex1 2 Em 2 cos[(3y 4 3x )/2]cos[6 t 4 7z 5 (3y 5 3x )/2]; Ey1 2 4 Em 2 sin[(3y 4 3x )/2]sin[6t 4 7z 5 (3y 5 3x )/2]. Если cos[(jy – jx)/2] > 0 и sin[(jy – jx)/2] > 0, то вектор E будет вращаться по часовой стрелке, если смотреть с конца орта 1z (правополяризованная волна). 4 8 6 7 6п 9 8 6 л 7 6п 9 5 4.1.54. E3 (t) 2E0 1x cos л 1y sin 2 2 6л 6п 5 4 z . cos t 7 c 2 Волна имеет линейную поляризацию, колебания вектора E происходят по прямой, перпендикулярной оси z и повернутой на угол (jл – jп)/2 относительно оси x.
1 2
E1 (t) 3 ( Eп 2 Eл )cos[40 (t 5 z / c) 2 60 ]1x 5 5 ( Eп 5 Eл ) sin[40 (t 5 z / c) 2 60 ]1y. Волна имеет эллиптическую поляризацию, полуоси эллип са поляризации равны Еп + Ел и |Еп – Ел| и ориентированы вдоль осей х и у соответственно. Если Еп > Ел, то волна будет правопо ляризованной, при Еп < Ел — левополяризованной. 4.1.56. Главные оси эллипса поляризации повернуты отно сительно ортов 1x , 1y на угол (90° – q/2) по часовой стрелке, если смотреть с конца орта 1z. Положение главных осей дается повернутыми базисными векторами 1 1x1 2 ([1 3 cos(4)]1x 3 sin(4)1y ); 2[1 3 cos(4)] 1 ([1 5 cos(4)]1x 5 sin(4)1y ). 1y1 2 2[1 5 cos(4)] Составляющие вектора E суммарной волны в повернутой системе координат: Ex 1 2 3 Em 1 3 cos(4) sin[50 (t 3 z / c) 6 71 3 8 /4];
4.1.55.
Ey 1 2 Em 1 6 cos(4) cos[50 (t 3 z / c) 6 71 3 8 /4]. Волна является левополяризованной (вектор E вращается против часовой стрелки, если смотреть навстречу распростра няющейся волне). 4.1.57. Главные оси эллипса поляризации повернуты отно сительно осей х, у на угол p/4 против часовой стрелки, если смот реть с конца орта 1z. В повернутой системе координат x¢, y¢, z
228
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
с ортами 1x1 2 (1x 3 1y )/ 2 и 1y1 2 (3 1x 4 1y )/ 2 составляющие век# тора E записываются в виде Ex1 (t) 2 2 Em cos(3) cos([(41 5 42 )/2]t 6 [(71 5 72 )/2]z); Ey1 (t) 2 6 2 Em sin(3) sin([(41 5 42 )/2]t 6 [(71 5 72 )/2]z), где q = [(w 2 – w 1)/2]t – [(b1 – b1)/2]z. В различные моменты вре# мени и в разных точках оси z меняется соотношение полуосей эллипса поляризации. Это изменение определяется величиной угла q и происходит медленно по сравнению с периодом высоко# частотных колебаний 4p/(w1 + w 2) и плавно по сравнению с дли# ной волны высокочастотных колебаний 4p/(b1 + b2). При q = 0 поляризация линейная по оси x¢, при q = p/4 — правая круго# вая, при q = p/2 — линейная по оси y¢, при q = 3p/4 — левая кру# говая и т. д. 4.1.58. E(t) 1 2Em [cos(2)1x 3 sin(2)1y ]cos[40 (t 5 z / c) 3 60 ], где q = [(w 2 – w 1)/2](t – z/c) + (j2 – j1)/2. Волна имеет линейную поляризацию. Колебания вектора E происходят по прямой, повернутой на угол q относительно оси х в плоскости XOY. Из# менение направления колебаний происходит медленно по срав# нению с периодом высокочастотных колебаний 2p/w 0 и плав# но по сравнению с длиной волны 2pc/w 0. Если w 2 > w 1, то век# тор E(t) медленно поворачивается против часовой стрелки, если смотреть с конца орта 1z (навстречу распространяющей# ся волне). 4.2.1. vф = 5,130×103 м/с; l = 34,20 мкм. 4.2.2. a = 2,351×105 1/м; Zc = 0,01679(1 + j) Ом. 4.2.3. На частоте 50 Гц d = 9,428 мм; на частоте 50 МГц d = 9,428 мкм. 4.2.4. с/vф = l0/l = 1,308×104. 4.2.5. L = 0,0594 мм; для частоты 60 Гц необходимая толщи# на экрана увеличивается в 103 раз и равна 5,94 см. 4.2.6. f = 942,4 МГц; l = 13,64 мкм. 4.2.7. f = 6,442 ГГц; E(0) = 14,94 мВ/м; E(h) = 4,48 мВ/м. 4.2.8. В вакууме Em = 452,4 В/м; для латуни Em = 6,372 мВ/м. 4.2.9. l = 18,19 мкм; d = 2,895 мкм. 4.2.10. Dпог = 96,39 дБ/см; l = 2,180 мм. 4.2.11. vф = 3,311×108 м/с; vгр = 2,718×108 м/с; l = 11,04 м. 4.2.12. a = 2,688 1/м; l = 6,559 см. 4.2.13. L = 16,68 м. 4.2.14. D = 42,23 дБ. 4.2.15. При w < w 0 11 2 3 42N 42 7 с , vгр 5 c 81 6 2 9 2 2 2 2
(4 0 1 4 )(4 0 6 4 N 1 4 )
где 12N 2 e2 N /(30me ).
229
ОТВЕТЫ
4.2.17. E(t, z) = E0(t – b1z)cos(w 0t – b0z); SE (k) 2 1 S0 (31) exp( 3 jkz0 ), b1 12 k / b1 где z0 = t0/b1; k — пространственная частота (волновое число) в распределении огибающей поля. 4.2.18. 1t / 2и 3 84Lb2 / 22и . 4.2.19. t = 0,7682 мс. 4.2.20. L = 2,62×1019 м = 850 пс. 4.2.21. Dt = 4,8 с. 4.2.22. Df = 831 кГц. 4.2.23. f0 ³ 41,22 МГц. 4.2.24. f0 ³ 26,24 МГц. 4.2.25. L 1 2и c(320 4 32пл )3/ 2 /(32пл 53). Коэффициент а должен быть положительным, т. е. частота увеличивается к концу им' пульса. 4.2.26. h = 173,2 нм. 4.2.27. h = 173,2 нм. 4.2.28. а) h = 2,12 мм; б) h = 53,2 нм.
ГЛАВА ПЯТАЯ 5.1.1. Em отр = 1,414 В/м; Em пр = 3,586 В/м. 5.1.2. Hm отр = 2,31 А/м; Hm пр = 12,31 А/м. 5.1.3. Потр = 3,93 Вт/м2; Ппр = 11,07 Вт/м2. 5.1.4. e = 33,97. 5.1.5. Hm пр = 0,459 А/м. 5.1.6. e1 = 5,44; ТН = 0,6; ТП = 0,84; RE = RH = 0,4; RП = 0,16. 5.1.7. T 2 1 2 / 3 (1 4 R 2 ). 5.1.8. j = 43°10¢. 5.1.11. Em отр = 5,55 В/м; Em пр = 4,45 В/м. 5.1.12. Em отр = 0,0571 В/м; Em пр = 1,071 В/м. 5.1.13. Hm отр = 5,965 А/м; Hm пр = 12,50 А/м. 5.1.14. Потр = 0,0267 Вт/м2; Ппр = 0,3912 Вт/м2. 5.1.15. Потр = 0,164 Вт/м2; Ппр = 5,075 Вт/м2. 5.1.16. a) j = 32°; б) j ³ 38°41¢. 5.1.17. j = 50°. 5.1.19. a) kэл = 2,275; б) kэл = 0,9154. 5.1.20. a) kэл = 1,966; б) kэл = 0,928. 5.1.21. j = 62°50¢. 5.1.22. Ппр 1 Ппад / 2 д . 5.1.23. Ппр 1 Ппад 2 д . 5.1.28. Не менее 6,84 м. 5.1.29. DТ = 15,2°.
230
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.1.30. R = exp(j158°38¢); T = 0,7225exp(j79°19¢). 5.1.31. R = exp(j108°42¢); T = 1,165exp(j54°24¢). 5.1.32. j = 21°12¢. 5.1.33. j = 30°2¢. 5.1.34. vф = 1,785×108 м/с. 5.1.35. j = 47°36¢. 5.1.36. Em пр = 0,0657 В/м. 5.1.37. а) R = –0,8705exp(–j4°42¢); T = 0,1504 exp(j28°17¢). б) R = –0,7423exp(–j2°53¢); T = 0,2614exp(j8°14¢). 5.1.38. R = –0,7962exp(–j2°51¢); T = 0,2086exp(j10°58¢). 5.1.39. Em пр = 0,1496 В/м. 5.1.40. jпд = 16¢25²; ошибка равна 5°32¢. 5.1.41. jпд = 49². 5.1.42. j = 56°18¢. Вектор E параллелен плоскости падения. Теряется 50% мощности излучения. 5.1.43. R 1 ( R12 2 R23 A 2 )/(1 2 A 2 R12 R23 ) 1 2 1 R12 2 (1 3 R12 ) A 2 R23 /(1 2 A 2 R12 R23 ); T 1 AT12T23 /(1 2 A 2 R12 R23 ), где A 1 1 exp 48 3 j(6 / c) 72 d 59 ;
1 R23 3 1 R12 3
2 1 43 2 / 1
2 4 2 6 43 2 ; 41 / 1 41 6 42 2; 4 2 / 1 4 2 6 43 2 .
41 5 42 / 42 5
T12 3 1 6 R12 3 2
41 6 42 ;
T23 3 1 6 R23 3 2 2 2 2 5.1.44. R 3 R12 (1 4 A 2 ) /(1 4 A 2 R12 ); T 3 A (1 4 R12 )/(1 4 A 2 R12 ); где A 3 exp 5 4 j(7 / c) 8 д d 6 ; R12 3 1 4 8 д / 1 9 8 д . Отражение отсутствует, если d0 3 40 N / 2 5д , здесь N = 1, 2, ...; l0 = c/f0. 5.1.45. |R|2 = 0,07643; |T|2 = 1 – |R|2 = 0,9236. 5.1.46. n2 = 1,225; d = 0,1123 мкм. 5.1.47. d1 3 4 0 N / 2 5 д , где N = 1, 2, ...; l0 = c/f0.
1
1
1
2
21
2
2
2 1 1 3 R12 2f 4 2, где N = 1, 2, ... Реше@ 5.1.48. 25f 6 0 arcsin 7 1 9N 3 4 8 2| | R 12
2 ние существует при 5 6 3 11 7 8 9 1 9 8 2 / 1 91 7 8 7 1 9 8 24 . 2 /(2| R |) 4 , 5.1.49. 25f 6 [2f0 /( 7N )]arcsin 3911 8 R12 2 12
где N = 1, 2, ... Решение существует при 4 д 5 1 2 3 12 5.1.50. Кпр = 1/(1 + [sin(j)/sin(y)]2), 2 )/(2| R |). где j = NpDf/f0; sin(1) 2 (1 3 R12 12
32
6 5,828.
231
ОТВЕТЫ
Если j = 1 и y = 1, то Кпр = 1/(1 + [Df/Dfп]2), причем полоса про 2 )/(2| R |). пускания 21fп 2 [2f0 /( 3N )](1 4 R12 12 5.1.51. R 4 j
2 1d 2 д 4R12 21d 2 д 1 3 R12 ; T 415 j . 2 2 6 0 1 5 R12 6 0 1 5 R12
2 ) A 2 ] 3 R [1 4 exp( 4 j45d / 6)]; 5.1.52. R 3 R12 [1 4 (1 4 R12 12 2 T 3 (1 4 R12 ) A 3 exp( 4 j25d / 6), где A 7 exp( 4 j25d / 6);
1
21
2
R12 7 1 4 8 д / 1 9 8 д ; 6 7 60 / 8 д . 2 sin2 [( 2 /2)(1 3 4 / 4 )]. | R |2 1 4R12 0 2 = 4,7×10–3, для красного
5.1.53. света |R|2 = 2,3×10–3. Для синего света |R| 2 5.1.54. Пср z 3 | E0 | [nR (e 122z 1 | R1 |2 e22z ) 4 2 | R1 | nI sin(5R 4 26z)], 2Z0 где n2 3 nR 4 jnI ; 6 3 (7 / c)nR ; 2 3 (7 / c) | nI |; R1 3 | R1 |exp( j5R ). 5.2.1. Пср пр/Пср пад = 1,217×10–4. 5.2.2. R 1 21 3 2450 / 6м (1 3 j). 1 3м | 5 2Hm пад 1 6 780 /(29м ) ; 5.2.3. Hm 3м 4 | H
1
Нm tм = 2Нm пад(1 –
2
3,82×10–5).
5.2.4. Em 1м 2 2Em пад 340 / 5м ; Еm tм/Еm пад = 1,054×10–4. 5.2.5. ТН = 2exp(–al); TE 1 2 230 / 4м exp( 56l), где 1 2 3405м /2. 5.2.6. D = Dотр + Dмет, где 3 отр 1 10lg 2м /(8450 ); Dмет = 20(lge)al; 1 2 3405м /2. 5.2.7. D = Dотр + Dмет = 453 дБ, где Dотр = 41 дБ; Dмет = 412 дБ. 5.2.8. Нm tм = 53,05 мА/м; Em tм = 1,826 мВ/м. 5.2.9. Нm tм = 45,94 мА/м; Em tм = 1,581 мВ/м. 5.2.10. Пср пр = 51,05 мкВт/м2. 5.2.11. Pуд = 0,5164 мВт/м2. 5.2.12. Для n = 3 f = 13,02 ГГц; для n = 4 f = 130,2 МГц. 5.2.13. Em пад = 11,08 В/м; Нm пад = 29,38 мА/м. 5.2.14. При перпендикулярной поляризации R = [Zсмcos(j) – Z0]/[Zсмcos(j) + Z0]; T = 2Zсмcos(j)/[Zсмcos(j) + Z0], где Z0 = 120p — характеристическое сопротивление вакуума; Zсм 1 (1 2 j) 340 /(25м ) — характеристическое сопротивление металла. Поскольку для реального металла |Zсм| = Z0, то
R 1 21 3 (1 3 j) 2450 / 6м cos(7); T 1 (1 2 j) 2340 / 5м cos(6).
232
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.2.15. При параллельной поляризации R = [Z0cos(j) – Zсм]/[Z0cos(j) + Zсм]; T = 2Zсмcos(j)/[Z0cos(j) + Zсм] (обозначения см. в ответе к задаче 5.2.14). Поскольку для ре3 ального металла |Zсм| = Z0, то R 1 1 2 (1 3 j) 2450 / 6м /cos(7); T 1 (1 2 j) 2340 / 5м . 5.2.17. J1 пов 2 E1 1 м 3мd /(1 4 j). 5.2.18. Rпог = 1/(pDsмd); Lпог = 1/(wpDsмd). 5.2.19. Rпог = 0,838 Ом; Lпог = 0,333 нГн. 5.2.20. wэ ср/wм ср = we0/sм = 0,97×10–8. 1 1 |2dS 5.2.21. Wм ср 2 (1/4) 3ам /(245м ) 6 | H м –az 5.2.22. Em(z) = E0e {1 + 2exp[–2a(D – z)]cos[2a(D – z)] + + exp[–4a(D – z)]}1/2, где E0 3 2Eпад 450 / 6м / 1 1 2e 122D cos(22D) 7 e 142 D . 5.2.23. RП = |RE|2 = 0,941; Рср пот = 58,83 кВт. 5.2.24. d = 0,121 мкм. 5.2.25. а) Руд = 2,79 Вт/м2; б) Руд = 2,61 мВт/м2. 5.2.26. а) D = 76,6 дБ; б) D = 401,2 дБ. 5.2.27. TП = 1/{1 + [(1 – A2)(1 + N2)/(4AN)]2}; RП = 1/{1 + [4AN/([1 – A2][1 + N2])]2}. 5.2.28. ТП = |ТЕ|2 = 2,610×10–4; Еm пр = 16,16 В/м. 5.3.1. Еm(z) = 75,4|sin(20pz)| В/м; Hm(z) = 0,2|cos(20pz)| А/м. 5.3.2. E(t) 1 20sin(2002z /3)sin(22 31010 t)1y В/м; H (t) 1 40,053cos(2002z /3)cos(22 31010 t)1x А/м. 5.3.3. Jпов 1 2,653cos(22 3109 t)1y мА/м. 5.3.4. Im пов = 7,979 А. 5.3.5. vф = 11,59×108 м/с; hmin = 0,259 м. 5.3.6. lпрод = 15,56 см; lпопер = 13,05 см. 5.3.7. lпрод = 9,72 см; lпопер = 8,16 см. 5.3.8. lпрод = 3,0 см; hmin = 0,433 см. 5.3.9. j = 19°28¢. 5.3.10. f = 3,162 ГГц; j = 71°34¢. 5.3.13. Пср 1 1,081sin2 (54,612z)1x Вт/м2; Пр 1 20,772sin(109,23z)1z Вт/м2 , где ось x направлена вдоль границы раздела в плоскости паде3 ния; ось z направлена по нормали к поверхности проводящей среды (вглубь среды). 5.3.14. Пср 1 1,838cos2 (102z)1x Вт/м2; Пр 1 20,531sin(203z)1z Вт/м2 (направление осей см. в ответе к предыдущей задаче). 5.3.15. J1 пов 1 26,53exp(2 j3x)1x мА/м (направление осей см. в ответе к задаче 5.3.13).
233
ОТВЕТЫ
5.3.16. J1 пов 1 222,97 exp( 2 j3x)1y мА/м (направление осей см. в ответе к задаче 5.3.13). 5.3.17. Падающая волна имеет перпендикулярную поляри зацию; j = 56°27¢; Еm пад = 68,2 В/м. 5.3.18. hmin = 2,54 см. 5.3.19. Эллипс поляризации вектора H расположен в плос кости падения. Большая ось эллипса поляризации параллельна проводящей плоскости. Коэффициент эллиптичности kэл = 2,737. 5.3.20. z = 2,924m см, где m = 1, 2, ... При изменении поля ризации ответ не изменится.
ГЛАВА ШЕСТАЯ 6.1.1. а) H10 ; б) Н10, Н20, Н01, Н11, Е11. 6.1.2. Н10, Н20, Н01, Н11, Е11; f = 6,061 ГГц. 6.1.3. 7,5 см < a < 15 см; b < 7,5 см. 6.1.4. 2,083 ГГц < f < 4,167 ГГц. 6.1.5. e = 1,634. 6.1.6. a / b 1 3. 6.1.7. а) H01; б) H20. 6.1.8. fкр = 31,58 ГГц; vф = 4,705×108 м/с; lв = 11,48 мм. 6.1.9. lв = 4 см; а = 2,27 см. 6.1.10. lв = 4,179 см; e = 1,557. 6.1.11. f = 2,978 ГГц; vф = 2,799×108 м/с. 6.1.12. vф = 4,715×108 м/с; а = b = 5,5 см. 6.1.13. vф = 2,25×108 м/с; e = 2,86. 6.1.14. а = 2,3 см; b = 1 см. 6.1.15. f = 13,26 ГГц. 6.1.16. L = 4,4 см. 6.1.17. E1 y 2 18,27 exp(3 j 444101) мВ/м. 6.1.18. gx = p/a; h 1 (2 / c)2 3 (4 / a)2 . 6.1.19. а) vф = 3,392×108 м/с; lв = 10,55 см; б) vф = 9,375×1011 м/с; lв = 291,7 м. 6.1.27. а) Н11; б) Н11, Н21, Н01, Е01, Е11. 6.1.28. 8,79 мм < r0 < 11,48 мм. 6.1.29. а) 5,860 ГГц < f < 7,655 ГГц; б) 3,663 ГГц < f < 4,785 ГГц. 6.1.30. а) fкр = 10,99 ГГц; vф = 5,613×108 м/с; lв = 4,318 см; б) fкр = 6,867 ГГц; vф = 2,208×108 м/с; lв = 1,699 см. 6.1.31. lв = 3 см; d = 2r0 = 2,21 см. 6.1.32. f = 9,879 ГГц; lв = 4,05 см. 6.1.33. vф = 3,36×108 м/с; d = 2r0 = 4,039 см. 6.1.34. vф = 2,88×108 м/с; e = 2,58.
234
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.1.35. f = 1,674 ГГц; vф = 3,182×108 м/с. 6.1.36. d = 2r0 = 2,62 см. 6.1.37. L = 4,88 см. 6.1.38. E1 2 25exp( 3 j1054261) мВ/м. 6.2.1. f = 4,419 ГГц. 6.2.2. Нm z max = 0,1 А/м. 6.2.3. Zc H = 523,5 Ом; Em y max = 52,35 В/м. 6.2.4. Em z max = 29,45 В/м. 6.2.5. f = 70,08 ГГц. 6.2.6. Zc H = 270,3 Ом; Hm y max = 0,5549 мА/м. 6.2.7. x1 = 1,17 см; x2 = 3,63 см. 6.2.8. у1 = 8,8 мм; у2 = 25,2 мм. 6.2.9. Em = 18,21 В/м. 6.2.10. Hm = 2,593 мА/м. 6.2.11. J1 пов 1 40,491z мА/м. 6.2.12. Jm пов = 86,03 мА/м. 6.2.13. Jm см max = 1,936 А/м2. 6.2.14. Em y = 0,5769 В/м. 6.2.15. f = 13,26 ГГц. 6.2.16. J1 пов 1 0,3cos( 2x / a)1x 3 j0,443 sin( 2x / a)1z , где a = 10,7 мм. 6.2.17. Im пов = 0,433 мА. 6.2.18. Im см = 25,45 мА. 6.2.19. E11 1 2 j[C1304 /(2g )]exp( j50 cos(6)x)exp(2 j50 sin(6)z)1y ; 1 1 (C /2)[1 7 1 sin(6)/cos(6)] 8 H 1
1
z
x
2
1
z
x
8 exp( j50 cos(6)x) exp(2 j50 sin(6)z); E1 2 1 j[C1304 /(2g )]exp(2 j50 cos(6)x)exp(2 j50 sin(6)z)1y ; 1 1 (C /2)[1 2 1 sin(6)/cos(6)] 8 H
8 exp( 2 j50 cos(6)x)exp( 2 j50 sin(6)z); vф 1 c /sin(6) 1 c / 1 2 (4кр / 4)2 , где 4кр 1 9c / a. 6.2.20. cos(jпад) = l0/lкр = l0/(2а). 6.2.21. Duд/uд = 2,43×10–4. 6.2.22. 21 пов y 1 0 1 3 j2,556sin( gx)exp( 3 jhz) нКл/м2;
21 пов y 1b 1 321 пов y 10 , где g = 1,366 1/см; h = 1,588 1/см.
6.2.23. J1 см 1 2 j2C2 [32 /(c2 g )] sin( gx) sin(hz)1y ; J1 1 2 j2C cos( gx)sin(hz)1 2 пов y 1 0
2
x
2 j2C2 (h / g )sin( gx)cos(hz)1z ; J1 1 j2C sin(hz)1 , пов x 1 0
2
y
235
ОТВЕТЫ
где g = p/a, C2 — комплексная амплитуда составляющей Hz в падающей волне (распространяющейся в сторону увеличения координаты z) при x = z = 0. 6.2.26. Em r max = 0,12 В/м. 6.2.27. Zc E = 270,7 Ом; Em r max = 16,24 В/м. 6.2.28. Нm z max = 0,0481 А/м. 6.2.29. Em j = Em j max и Hm r = Hm r max при r = 4,8 мм; Hz = 0 при r = 6,3 мм. 6.2.30. Em z = Em z max при r = 0; Em r = Em r max и Hm j = Hm j max при r = 12,2 мм. 6.2.31. Hm j = Hm j max при r = 8,3 мм; Ez = 0 при r = 10,9 мм и r = r0 = 25 мм. 6.2.37. J1 пов (z1 ) 2 384,5711 мА/м. 6.2.38. Jm пов = 14,45 мА/м. 6.2.39. J1пов 2 [87,29cos(1)11 3 j72,11sin(1)1z ]exp(3 j350z) мА/м. 6.2.40. Jm пов = 1,781 мА/м. 6.2.41. Im пов = 7,715 мА. 6.2.42. Im см = 0,9323 мА. 6.3.1. Пср max = 1,031 Вт/см2; Пср сеч = 0,515 Вт/см2. 6.3.2. Em y max = 80,49 В/м; Pпер = 1,712 мВт. 6.3.3. Em y max(z1) = 0,4455 кВ/см; Em y max(z2) = 0,8752 кВ/см. 6.3.4. Em y max = 1,228 кВ/см; Jm пов max = 2,606 А/см. 6.3.5. Em x max = 69,5 В/м; Em z max = 158,2 В/м. 6.3.6. Рпред = 2,720 МВт. 6.3.7. Рпот пог = 18,04 мВт. 6.3.8. Рпот пог = 321,3 мВт. 2 4 560 (5770 )2 3 n8 2 a m8 b Ez20 . 6.3.9. Pпот пог 9 4 2 м 2g a b
1 2 1 2
6.3.10. Pпот пог 1 tg(2)(3404ab /8)[1 5 h2 / g 2 ]Ez20 .
1 2 1 2
2 2 780 3 h2 5 m9 a n9 b 6 4 H 2 . a b 4 z0 b 8 м g a 2 2 6.3.12. Pпот пог 1 tg(2)(3404ab /8)(350 / g ) Hz 0. 6.3.13. h² = 1,137×10–3 1/м; Dпог = 9,87 дБ/км. 6.3.14. h² = 0,243×1/м; Dпог = 2,11 дБ/м. 6.3.15. h² = 0,0536×1/м; Dпог = 0,47 дБ/м. 6.3.16. h² = 1,65×10–2 1/м; Dпог = 0,143 дБ/м. 6.3.17. h² = 7,57×10–2 1/м; Dпог = 0,66 дБ/м. 6.3.18. fmin = 22,63 ГГц, h²(fmin) = 1,690×10–2 1/м; h²(14,06 ГГц) = 2,005×10–2 1/м. 6.3.19. h²(b1)/h²(b2) = 0,654. 6.3.20. Dпог = 0,18 дБ/м. 6.3.21. Рпот пог диэл = 2,30 Вт.
6.3.11. Pпот пог
236
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.3.22. h = 63,27%; h² = 0,019 1/м. 6.3.23. а) 0,6 кВт; б) 0,444 кВт; в) 25,92 кВт; г) 74,08 кВт. 6.3.30. Рпер = 5,107 мВт. 6.3.31. Нm z0 = 25,59 А/м; Em j max = 7,670 кВ/м. 6.3.32. Jm пов = 85,48 А/м. 6.3.33. Рпред = 5,104 МВт. 6.3.34. Рпред = 0,843 МВт. 6.3.35. Рпот пог = 0,8302 Вт. 6.3.36. Рпот пог = 59,75 мкВт. 6.3.37. Pпот пог 1 230 /(24м ) 5r03 (260 / 701 )2 Ez20 J12 (701 ). 6.3.38. Pпот пог 1 (2 /2)tg(3)43505[60r02 J0 (601 )/ 601 ]2 Hz20 . 6.3.39. h² = 2,158×10–3 1/м; Dпог = 0,0187 дБ/м. 6.3.40. h² = 3,414×10–2 1/м; Dпог = 0,297 дБ/м. 6.3.41. h² = 2,016×10–2 1/м; Dпог = 0,175 дБ/м. 6.3.42. h² = 0,0905 1/м; Dпог = 0,786 дБ/м. 6.3.43. fmin = 34,62 ГГц, h²(fmin) = 8,891×10–3 1/м; h²(12,67 ГГц) = 2,309×10–2 1/м. 6.3.44. Dпог = 1,265 дБ/м. 6.4.1. а) vгр = 2,159×108 м/с; б) vгр = 1,823×108 м/с. 6.4.2. vгр = 2,153×108 м/с. 6.4.3. a = 50 мм; b = 25 мм. 6.4.4. tз = 0,233 мкс. 6.4.5. e = 2,25. 6.4.6. f = 3,437 ГГц. 6.4.7. a = 16,6 мм. 6.4.8. e = 1,047. 6.4.15. 2t / 3и 4 [(f0 / fкр )2 1 1]13/2 2L /(c32и fкр ). 6.4.16. tи ³ 23,28 нс. 6.4.17. L £ 4,33 м. 6.4.18. Ey(t) = 0,8exp[–3,1×1014(t – 0,2199×10–6)2] ´ ´ cos(2p×1010t – 161°38¢) В/м. 6.4.19. Ey(t) = 10exp[–1,037×10–2|z – 44,37|] ´ ´cos(98,59z – 86°14¢) В/м. 6.4.20. Ey(t) = 0,2exp[–2,5×1013(t – 2,175×10–7)2] ´ ´ cos(1,5×1011t + 32°5¢) + 0,2exp[–2,5×1013(t – 4,180×10–7)2] ´ ´ cos(1,5×1011t + 55°38¢) В/м. 6.4.21. а) vгр = 2,130×108 м/с; б) vгр = 1,815×108 м/с. 6.4.22. D = 2r0 = 26,6 мм. 6.4.23. tз = 45,24 нс. 6.4.24. e = 1,861. 6.4.27. tи ³ 61 нс. 6.4.28. L £ 21 м. 6.4.30. 1(2) 3 4( L / c) 22 4 22кр , где w кр = m11с/r0.
237
ОТВЕТЫ
ГЛАВА СЕДЬМАЯ 7.1.1. l = 2 см. 7.1.2. l = 4 см; fрез = 6,369 ГГц. 7.1.3. fрез = 2,989 ГГц; тип колебания — Н101, l = 70 мм. 7.1.4. l = 15 мм, a = 13,4 мм; размер b из условий задачи не определяется (в волноводах обычно b » a/2). 7.1.5. Основной тип колебаний — Н101 с резонансной часто той fрез = 6,25 ГГц, ближайший тип колебаний — E110 с резонанс ной частотой fрез = 8,385 ГГц. 7.1.6. b = 1,5 см. 7.1.7. e = 3,063. 7.1.8. fрез(Н101)/fрез(E111) = 0,8165. 7.1.9. a/b = 1,183. 7.1.10. l = 6,405 см, для перехода к колебанию Н102 длину резонатора нужно удвоить. 7.1.11. 45,4 мм ³ l ³ 21,2 мм. 7.1.12. Необходимо увеличить длину резонатора от 5,33 см до 6,02 см. 7.1.13. l = 10 мм. 7.1.16. Jсм = 0,5cos(1,054×1011t) А/м2. Вектор плотности тока смещения направлен вдоль оси резонатора (ось z). 7.1.17. Hm max = 2,207 мА/м. 7.1.18. Jm см max = 90,88 А/м2. 7.1.19. Jпов x 1 0 1 19,74sin(78,54z)sin(2,714 31010 t)1y мА/м;
Jпов y 1 b 1 19,74cos(44,88x)sin(78,54z)sin(2,714 31010 t)1x 2
2 34,55sin(44,88x) cos(78,54z)sin(2,714 31010 t)1z мА/м.
7.1.26. Im см = 62,28 мА; qm = 3,01 пКл. 7.1.27. Wзап = 4,974 мкДж. 7.1.28. Wэ(t) = 2,949×10–11[1 – cos(4,446×1010t)] Дж; Wм(t) = 2,949×10–11[1 + cos(4,446×1010t)] Дж; Wзап = 5,898×10–11 Дж. 7.1.29. Рср пот = 0,3906 мВт. 7.1.30. Рср пот = 3,437 мВт. 7.1.31. fрез = 5,336 ГГц; Q = 10,262×103. 7.1.32. Qм = 9,474×103; Qд = 4×103; Q = 2,813×103. 7.1.33. Q 1 2 20 2 /3 a3м ; Q = 5,150×103 для а = 5 мм; Q = 32,570×103 для а = 20 см. 7.1.34. а = 20,4 мм. 7.1.35. Q = 2534.
238
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
7.1.36. Рср пот = 0,5862 мВт. 7.1.37. Рср н = 4,805 мВт. 7.1.38. t = 8,579 мкс. 7.1.39. Cэкв = 2,293 пФ; Lэкв = 0,136 нГн. 7.2.1. fрез = 5,321 ГГц. 7.2.2. Основной тип — Е010 с резонансной частотой fрез = = 3,828 ГГц; ближайший тип — Н111 с резонансной частотой fрез = 5,795 ГГц. 7.2.3. Если D/l < 0,985, то основным типом является коле> бание H111. При D/l > 0,985 основной тип колебания — E010. 7.2.4. D = 2r0 = 23,0 мм; l = 40,6 мм. 7.2.5. D = 2r0 = 76,6 мм; l = 53,6 мм. 7.2.6. l = 31,5 мм. 7.2.7. fрез0 = 5,056 ГГц; fрез1 = 6,262 ГГц. 7.2.8. e = 2,56. 7.2.9. Ne = 1,618×1016 1/м3. 7.2.10. 21,1 мм £ l £ 39,3 мм. 7.2.15. Hm max = 15,44 А/м. 7.2.16. Jm j пов max = 255,0 А/м (при z = l/2, j = 0); Jm z пов max = = 94,5 А/м (при z = 0, j = 90°). 7.2.17. а) E(t) 2 10J0 (120,25r )cos(3,608 31010 t)1z В/м; H(t) 2 426,53J1 (120,25r )sin(3,608 31010 t)11 мА/м; б) Jсм (t) 1 23,19J0 (120,25r )sin(3,608 31010 t)1z А /м2; Jпов (t) r 1 r 1 13,77 sin(3,608 31010 t)1z мА/м; 0
Jпов (t) z 1 0 1 26,53J1 (120,25r )sin(3,608 31010 t)1r мА/м.
7.2.18. Wзап = 1,90×10–12 Дж. 7.2.19. Wзап = 1,671×10–12 Дж; Wэ(t) = 8,353×10–13[1 + cos(5,356×1010t)] Дж; Wм(t) = 8,353×10–13[1 – cos(5,356×1010t)] Дж. 7.2.20. Рср пот мет = 4,880 Вт. 7.2.21. Рср пот диэл = 2,724 мВт. 7.2.22. Q = 8,893×103. 7.2.23. Qм = 10,606×103; Qд = 5×103; Q = 3,398×103. 7.2.24. Q 1 6023401r0 /(1 5 r0 / l). 7.2.26. Wпот/Wзап = 0,2428. 7.2.27. D = 2r0 = 76,6 мм; l = 66,9 мм. 7.2.28. tи ³ 41,55 мкс. 7.2.29. Рн £ 2,219 Вт. 7.2.30. Рн £ 35,022 кВт. 7.2.31. Cэкв = 0,173 пФ; Lэкв = 2,5 нГн.
239
ОТВЕТЫ
ГЛАВА ВОСЬМАЯ 8.1.1. а) Нm j = 15 мкА/м; Еm q = 5,655 мВ/м; б) Нm q = 4,441 мкА/м; Еm j = 1,674 мВ/м; в) Нm q = 0,7958 мкА/м; Еm j = 0,30 мВ/м. 8.1.2. Еm эл/Еm рам = 2,026. 8.1.3. Im э = 1,992 А; Рå = 10,02 Вт. 8.1.5. а) Пср = 29,45 нВт/м2; Рå = 24,67 Вт; б) Пср = 2,802 нВт/м2; Рå = 2,347 Вт. 8.1.6. rпред = 189,7 км. 8.1.7. Рåпред = 4 кВт. 8.1.8. Рå = 83,78 кВт. 8.1.9. Um щ = 58,25 В; Im э = 0,309 А. 8.1.10. а) Еm y = 3,332 В/м; Нm x = Hm z = 6,25 мА/м; б) Еm y = 0,9689 В/м; Нm x = Hm z = 1,817 мА/м; в) Еm x = Еm z = 41,67 мВ/м; Нm y = 0,1563 мА/м. 8.1.11. а) Im э = 130,3 мА; б) Im э = 92,13 мА; в) Im э = 264,0 мА; г) Im э = 186,7 мА. 8.1.12. Im э = 2,708 А; Еm q = 0,1667 В/м. 8.1.13. p1 э 1 I1эl /( j2). 8.1.14. Dmax = 1,5. 8.1.15. Следует перемещаться по окружности с центром в точке (xц, zц), где zц = 0, xц 1 (x02 2 z02 )/(2x0 ). Здесь x0, z0 — коор$ динаты точки, в которой проведено первое измерение амплиту$ ды напряженности электрического поля. Уравнение окружно$ сти: (x 1 xц )2 2 z2 3 xц2 . 8.1.16. L = 47,14 см, j = j0 – py2, где j0 — начальная фаза ко$ лебаний в точке x = 10 м, у = z = 0. 8.1.17. хизл = –1 м, уизл = 0; Рå = 2,25 мВт. 8.1.18. а) F(j) = cos[(p/2)cos(j)]; б) F(j) = sin[(p/2)cos(j)]. 8.1.19. а) F(j) = cos[(p/4)(1 – cos[j])]; б) F(j) = sin[(p/4)(1 – cos[j])]. 8.1.20. а) в плоскости ХОY E1 3 1 E1 0e 1 j2 12 ; FП = 1; б) в плоскости XOZ E1 3 4 E1 0 (11 5 j cos(2)12 ); FП = (1 + cos2q)/2; в направлении максимального из$ лучения (q = 0) поляризация круговая; векторы поля вращаются против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора 1z ; в) в общем случае для дальней зоны E1 4 1 E1 0e 1 j2 (12 5 j cos(3)13 ); FП = (1 + cos2q)/2. В этих формулах E1 0 1 [I1xl /(22)] Zc exp( 3 j4r )/ r. 8.1.21. E1 2 [Z0 /(23r )][(4 / c)Sp I1 p 5 jI1эl cos(1)]exp( 5 j6r )11. Излу$ чение отсутствует в направлении q = 180°, если (w/c)SрIm р = Im эl; jр = jэ – p/2. При этом F(q) = (1 + cosq)/2.
240
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
8.1.22. а) I1э з 1 2 I1э ; б) I1э з 1 I1э ; в) I1м з 1 I1м ; г) I1м з 1 2 I1м ; д) I1р з 1 2 I1р ; е) I1р з 1 I1р . 8.1.24. Rå = 3,948 Ом. 8.1.25. Dmax = 3,0. 8.1.26. 1. а) Em = 14,14 мВ/м; б) Em = 20 мВ/м; в) Em = 0. 2. а) Em = 14,14 мВ/м; б) Em = 0; в) Em = 20 мВ/м. 8.1.27. 1. а) Em = 0,5278 В/м; б) Em = 0,3732 В/м; в) Em = 0,1849 В/м. 2. а) Em = 0,9374 В/м; б) Em = 0,6628 В/м; в) Em = 0,5046 В/м. 8.1.28. а) F(j) = sin[(p/2)cos(j)]; б) F(j) = sin[(p/2)cos(j)]cos(j); в) F(j) = cos[(p/2)cos(j)]sin(j); г) F(j) = sin[pcos(j)]; д) F(j) = sin[pcos(j)]cos(j); е) F(j) = cos[(pcos(j)]sin(j), здесь угол j отсчитывается от оси x в плоскости XOY. 1 j2r I1 S 8.1.29. A1 э 5 j6 a p p sin(4) e 13 ; r 27 1 1 2 j r 1 5 18 Ip Sp sin(4) e 1 Zc , ; E1 3 5 1 H H 4 4 r 72 2 где Sp 5 8r0 . 8.1.30. Пср2/Пср1 = cos2(j). 8.2.4. Rдз = 2,25 м. 1 3 ( j4 / Z )[ A1 1 5 A1 1 ]; 8.2.6. H c э1 2 э2 1 E1 3 5 j4( A1 э 2 12 6 A1 э 1 11 ), где Zc 3 7 a / 8 a ; A1 э 1, 2 3 [7 a /(49)]F1, 2 exp(5 j r ) / r. 1 1 4 [ j5 sin(3)exp(2 j5 r )/(46r )] 7 8.2.7. H L /2
7
I1э (z8)exp( j5 z8 cos(3))dz8;
2 L /2
1 Zc ; 5 4 9 a a . E1 3 4 H 1 8.2.8. H1 1 3 jI0 [cos(( 4 /2) cos( 2)) / sin( 2)] exp( 5 j6 r ) /(2 4 r ); 1 1 Zc ; F (2, 1) 3 cos[( 4 /2) cos(2)]/ sin(2). E1 2 3 H
8.2.9. E1 3 j4E0abF (1, 2)exp(5 j4 r )/(46r ), где 4 3 7 8a 9a ; F 3 F1 11 F2 12 ; sin(4x a /2) sin(4yb /2) Z cos(2) 1 c cos(1) ; F1 3 Zэ 4x a /2 4yb /2 sin(4x a / 2) sin(4yb /2) Zc sin(2) F2 3 5
cos(1) ; Z 4x a /2 4yb /2 э 4x 3 4 sin(1) cos(2); 4 y 3 4 sin(1)sin(2).
241
ОТВЕТЫ
8.2.10. F(q) = [1 + cos(q)]sin(basin(q)/2)/(basin(q)/2). 8.2.11.
E1 3 j4E0 5x5y[1 6 cos(1)](cos(2)11 7 7 sin(2)12 )exp(7 j4r )/(48r ). 8.2.12. E1 2 j3 E04x4y[1 5 cos(1)][exp(7 j3 r )/(46r )](8 11 ),
где b = 2p/l; верхний знак берется для х > 0 (j = 0), нижний знак — для х < 0 (j = p). 1 j2r sin(2 cos(4)l /2) sin(4) e 1; 8.2.13. E1 5 1 j2E0 7xl 46r 3 2 cos(4)l /2 1 5 1( E1 / Z )1 . H 0 4 3 8.2.14. A1 5 E dl[e 1 j2r /(46r )]1 ; м
0
z
E1 5 1 j2E0dl sin(4)[e 1 j2r /(4 6r )]13 ; 1 5 1( E1 / Z )1 ; I1 5 E d 5 U1 . H 3
0
4
м
0
щ
1 2 ( J1 / 2)e j1z 1 ; 8.2.15. В области z < 0 E1 2 3( J1 0 Z0 /2)e j1z 1x ; H 0 y 1 3 1(J1 / 2)e 1 j2z 1 , где b = w/c; для z > 0 E1 3 1( J10 Z0 /2)e 1 j2z 1x ; H 0 y Z0 1 20 / 30 . 8.2.16. В области z < 0 J1 0 Z0 E1 1 2 exp[2 j(3x x 2 3zz)]1y ; 2 1 2 (3x / 3)2 1 1 1 2 J10 4 1 6 H 1z 5 exp[2 j(3x x 2 3zz)]; 2 7 x (3 / 3x )2 2 1 8
9 для z > 0 J1 0 Z0 exp[2 j(3x x 4 3zz)]1y ; 2 1 2 (3x / 3)2 1 1 1 J1 0 5 1 2 1z 86 exp[2 j(3x x 4 3zz)], H 22 2 7 x 3 3 ( / ) 1 x 9
где b = w/c; Z0 1 20 / 30 ; bx = kx; 1z 2 12 3 kx2 . E1 1 2
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. ТАБЛИЦЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕКОТОРЫХ МАТЕРИАЛОВ 123245637897 2 6 6785 63 98 265328 123245638
1 658
1 63 8
6 3 2 68
12957 8 9238
11
23241
23451
23671
83761
9 211
23 6 231
23 6 231
2343 6 231
83 6 24 1
1
2 583 9 4 6584562 98 13 9 4 68
431 1
265328 535 3 8
58
26 8
53 3 6 1
433 6 1
33 6 1
5
5
5
8
33 6 51
1
2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПАКЕТА MATHCAD 2.1. ОСОБЕННОСТИ ВВОДА ФОРМУЛ В ПАКЕТЕ MATHСAD
Для ввода нижнего индекса массива используйте клавишу левой скобки <[>. Для ввода буквенного нижнего индекса, который не будет восприниматься в Mathcad как номер элемента массива, нажми те клавишу точки <.>.
243
ПРИЛОЖЕНИЯ
Рекомендуется обозначать действительную часть комплекс! ного числа с помощью апострофа «‘», а мнимую часть — двой! ного апострофа «‘‘». Для ввода «‘» нажмите
+, для ввода «‘‘» нажмите то же самое дважды. Пример: E1 x 2 Ex1 3 jEx11 , но 21 3 21 4 j211. Чтобы вставить греческую букву, напечатайте соответствую! щую латинскую букву и нажмите +G. Для ввода p нажми! те +<Shift>+P. Используйте запись комплексных чисел, обозначая мнимую единицу с помощью символа «j». Для этого определите j, как 11, а в меню Format используйте пункты Result, затем Dis play Options, затем Imaginary Value и выбирайте j. При этом ваш ввод и вывод результатов будут выполняться с использова! нием j в качестве мнимой единицы. Для ввода основных математических операций в математи! ческой панели используйте Calculator Toolbar. Для ввода зна! ков математических операций суммирования, интегрирования и дифференцирования в математической панели используйте Calculus Toolbar.
2.2. ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
Для ввода шаблона графика в математической панели ис! пользуйте Graph Toolbar. Для получения желаемого вида двухмерного графика щелк! ните дважды на поле графика и установите достаточное число разбиений координатной сетки: снимите флажок с Auto Grid и установите Number of Grids не менее 10. После этого поставьте флажок на Grid Lines, в результате на графике появится коор! динатная сетка. При первоначальном наблюдении вида графика обратите внимание на пределы изменения переменных на осях. Эти пре! делы должны быть такими, чтобы: а) график был наглядным и отображал интересующую вас область; б) в узлах координат! ной сетки были числа кратные 2, 3, 5 (или 0,2, 0,3, 0,5) и т. п. Если переменные на осях имеют слишком большие или малые по модулю значения, то используйте на осях графика перемен! ные с множителем 10n или 10–n. В узлах координатной сетки не должны стоять числа с большим количеством нулей. Числа в соседних узлах не должны перекрываться (выбирайте удоб! ный, не мелкий размер графика в документе).
244
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
При построении частотных зависимостей ось частот, как правило, оформляется в логарифмическом масштабе (двойной щелчок по полю графика и выбираем Log Scale для X2Axis). 2.3. ПОИСК КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
Для решения одного уравнения одной переменной f(x) – g(x) = = 0 используйте функцию root(f(x) – g(x), x). Для решения сис2 темы уравнений нескольких переменных используйте конструк2 цию Given (блок уравнений), Find(x, y, ...). В любом случае пе2 ред записью ключевых слов нужно задать начальные значения искомых величин. 2.4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Используйте процедуры rkfixed или rkadapt. Для этого: 1) запишите уравнения для действительных и мнимых частей векторов поля, в которых слева стоят только производные от искомых величин; 2) введите вектор D(x, Y) правых частей этой системы (здесь в качестве примера x — независимая перемен2 ная, Y — вектор искомых величин); 3) введите Y0 — вектор на2 чальных значений искомых величин (при х = 0); 4) вызывайте, например Y: = rkfixed(Y0, xнач, xкон, N, D), где N — число точек, в которых ищется решение — матрица Y. Нужная функция оп2 ределяется при обращении к соответствующему столбцу матри2 цы Y, например Ez3 (x) 4 Y 112 , Ez33(x) 4 Y 12 2 . Дифференциальное уравнение Гельмгольца — уравнение 22го порядка, и его нужно преобразовать в два дифференциаль2 ных уравнения 12го порядка, введя вспомогательную функ2 цию — первую производную от искомой функции, например Ez3 (x) 4 Y 112 , Ez33(x) 4 Y 12 2 ,
d ( E3 ) 4 Y 13 2 , d ( E33) 4 Y 1 4 2 . dx z dx z
2.5. ПОСТРОЕНИЕ КАРТИН ПОЛЕЙ
Для построения картины линий постоянного уровня для некоторой скалярной функции координат пользуйтесь в пане2 ли Graph режимом Contour Plot (или нажмите +5). Для построения картины векторного поля пользуйтесь в панели Graph режимом Vector Field Plot.
245
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для построения полутоновой картины пространственного распределения для некоторой скалярной функции координат пользуйтесь в панели Graph режимом Surface Plot (или нажми% те +2). При этом в закладке General выберите Contour Plot, в Appearance выберите Fill Contours, в Advanced выбери% те Choose Colormap и далее — Greyscale. 2.6. ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА ПОЛЯРИЗАЦИИ НЕКОТОРОГО ВЕКТОРА
Определите проекции вектора как функции времени. Задай% те диапазон изменения времени от 0 до периода Т с достаточно малым шагом. В графическом режиме X–Y Plot выберите одну из проекций как переменную по оси X, а другую проекцию — как переменную по оси Y.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Баскаков, С. И. Электродинамика и распространение радио волн. — М. : Высшая школа, 1992. 2. Петров, Б. М. Электродинамика и распространение радио волн. — М. : Горяч. ЛинияТелеком, 2007. 3. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение ра диоволн / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. — М. : Нау ка, 1989. 5. Федоров, Н. Н. Основы электродинамики. — М. : Высшая школа, 1980. 6. Гольдштейн, Л. Д. Электромагнитные поля и волны / Л. Д. Гольдштейн, Н. В. Зернов. — М. : Радио и связь, 1971. 7. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны. — М. : Радио и связь, 1988. 8. Тамм, И. Е. Основы теории электричества. — М. : Наука, 1977.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава первая Элементы векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Характеристики векторных и скалярных полей . . . . . . 8 Глава вторая Электростатика и магнитостатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Электростатические поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Стационарные магнитные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Глава третья Основные положения электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Энергетические соотношения в электродинамике . . . . 33 3.3. Граничные условия для векторов электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Глава четвертая Плоские электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Основные характеристики плоских волн . . . . . . . . . . . 47 4.2. Электромагнитные волны в средах с частотной дисперсией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Глава пятая Отражение и преломление плоских электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1. Падение плоской волны на границу раздела двух диэлектрических сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.2. Падение плоской волны на границу раздела c реальным металлом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3. Падение плоской волны на идеально проводящую плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
248
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Глава шестая Волноводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Условия распространения, фазовая скорость и длина волны в волноводе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Структура поля и токов в волноводе . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Переносимая мощность, затухание волн в волноводах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Групповая скорость в волноводах . . . . . . . . . . . . . . . .
114 122
Глава седьмая Объемные резонаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Прямоугольный объемный резонатор . . . . . . . . . . . . . 7.2. Круглый объемный резонатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128 128 135 141
92 92 101 107
Глава восьмая Излучение электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Элементарные излучатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Возбуждение свободного пространства некоторыми излучателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Глава девятая Задачи для исследований с помощью ПК . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Плоские волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Отражение и преломление электромагнитных волн . . . . 9.3. Волноводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163 163 173 180
Указания к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава третья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава четвертая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава пятая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава шестая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава седьмая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава восьмая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава девятая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191 191 193 199 206 209 211 216
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава первая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава вторая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава третья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава четвертая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава пятая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава шестая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава седьмая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава восьмая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219 219 220 222 225 229 233 237 239
146 146 151
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 1. Таблицы электродинамических параметров некоторых материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 2. Рекомендации по использованию пакета Mathcad . . . 242 Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Михаил Николаевич КРАММ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Учебное пособие
Художественный редактор С. Ю. Малахов Технический редактор Е. Е. Егорова Корректоры В. С. Герасименко, В. О. Логунова Подготовка иллюстраций Н. Г. Брусянина Верстка М. И. Хетерели Выпускающие Ю. Г. Бакшанова, Д. А. Щепелева ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10 от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» [email protected]; www.lanbook.com 192029, Санкт)Петербург, Общественный пер., 5. Тел./факс: (812)412)29)35, 412)05)97, 412)92)72. Бесплатный звонок по России: 8)800)700)40)71 Подписано в печать 20.06.11. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84´108 1/32. Печать офсетная. Усл. п. л. 13,44. Тираж 1000 экз. Заказ №
.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Издательско)полиграфическое предприятие «Правда Севера». 163002, г. Архангельск, пр. Новгородский, д. 32. Тел./факс (8182) 64)14)54; www.ippps.ru
