Εκπαιδευτικοί Προβληματισμοί - Τεύχος 5 - Ιούνιος 1998

Περιοδικ κδοση

Nο 5

IOYNIOΣ 1998

Αγαπητο φλοι και συνδελφοι

Οι «Eκπαιδευτικο Προβληµατισµο » κυκλοφορον δη δο χρνια. H κδοσ τους απεδε χθει τι ταν µια σηµαντικ πρωτοβουλ α του Eκδοτικο O κου ZHTH στην προσπθει του να συµβλει στην επιτυχ α της εκπαιδευτικς διαδικασ ας µσα στο Γυµνσιο και στο Λκειο, γεγονς που διαπιστ"νεται απ την ανταπκριση των εκπαιδευτικ"ν µας για συµµετοχ στον «εκπαιδευτικ διλογο» µσα απ τις σελ δες του περιοδικο µας. Oι επιστηµονικο υπεθυνοι, που γνωρ ζαµε τις δυσκολ ες ενς ττοιου εγχειρµατος, διαπιστ"νουµε µε χαρ τι τα θµατα του περιοδικο αγγ ζουν τους προβληµατισµος και τα ενδιαφροντα των εκπαιδευτικ"ν µας και µε χαρ θα δεχµαστε τις συνεργασ ες σας. Mας ε ναι λλωστε απαρα τητες για να βρισκµαστε νοερ µαζ σας µσα στην τξη. O Eκδοτικς O κος ZHTH αισθανµενος την υποχρωση που συνεπγεται η επιτυχ α αυτ και εκτιµ"ντας την ανταπκριση των εκπαιδευτικ"ν µας θα συνεχ ζει να διανµει δωρεν τα τεχη. H εκδτρια

TÔ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ÌÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÂÙ ·fi Ù· ‚È‚ÏÈÔˆÏ›·: ●

EΉfiÛÂȘ ZHTH AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27, 546 35 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË TËÏ. (031) 203.720, Fax: (031) 211.305

●

«ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·˙fiÁÏÔ˘ 5), 105 64 Aı‹Ó· TËÏ.-Fax: (01) 32 11 097

Oδηγες προς τους συγγραφες των προτσεων ➧

➧

➧

H κταση της παρουσασης ενς θµατος δε θα πρπει να υπερβανει τις 4 σελδες του εντπου, τουλχιστον στις θετικς επιστµες. H χρησιµοποηση της διατπωσης, της ορολογας και των συµβολισµν των εγκεκριµνων διδακτικν βιβλων της ∆ευτεροβθµιας Eκπαδευσης εναι υποχρεωτικ. H προσφυγ στη βοθεια εννοιν και µεθδων, που εναι εκτς της διδακτας λης, οπωσδποτε µως απ το «µεσο περιβλλον» της, θα πρπει να εναι περιορισµνη και να επισηµανεται τι εναι εκτς διδακτας λης. Στην περπτωση αυτ µια βιβλιογραφικ αναφορ θα εναι πολ χρσιµη.

Eιδικτερα, κατ την παρουσαση θα πρπει, εφσον εναι εφικτ και απαρατητο, ➧ να επισηµανονται οι επιδιωκµενοι στχοι, ➧ να δνεται το απαρατητο πληροφοριακ υλικ µε αναφορ στα διδακτικ βιβλα, ➧ να γνονται οι κατλληλες διδακτικς υποδεξεις, ➧ να γνονται εκενες οι αποδεξεις που υποδεικνουν µεθδους επεξεργασας θεµτων  επλυσης προβληµτων και ➧ να υποδεικνονται εκενα τα σηµεα, που εναι δυνατν να ξεφγουν λθη.

O Eππτης Eκδσεως

O ÂΉÔÙÈÎfi˜ Ì·˜ Ô›ÎÔ˜, ÁÈ· Ó· οÓÂÈ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ÙË «Û˘˙‹ÙËÛË» ̤۷ ·fi ÙÔ˘˜ «EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡˜ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆π™ª√À™», ı· Û·˜ ‰ˆÚ›˙ÂÈ ‚È‚Ï›· ÙˆÓ ÂΉfiÛÂÒÓ ÙÔ˘ (Ù· ÔÔ›· ı· ÂÈϤÍÂÙ ÂÛ›˜) ·Í›·˜ 10.000 ‰Ú¯. ÁÈ· οı ÚfiÙ·Û‹ Û·˜ Ô˘ ı· ‰ËÌÔÛȇÂÙ·È.

Âȉ‹ Ë Û‡ÓÙ·ÍË ÙÔ˘ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Ì·˜ ηٷÎχ˙ÂÙ·È ·fi ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÎÚÈÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·ÚÔ˘Û›·Û˘ Ù˘ ‡Ï˘ ÛÙ· Û¯ÔÏÈο ‚È‚Ï›·, Ì ·Û΋ÛÂȘ ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ χÛÂȘ ÌÈ·˜ ¿ÛÎËÛ˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ Û·˜ ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ì¤Û· ÛÙÔ˘˜ ÛÙfi¯Ô˘˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ı¤ÛÂÈ ÔÈ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, ‰ÂÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È ➧ Ë ÎÚÈÙÈ΋ ÙˆÓ ÂÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ Û¯ÔÏÈÎÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ‰È‰·Ûηϛ·˜ (ÂÎÙfi˜ Î·È ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜), ÁÈ·Ù› ı· ÚÔηϤÛÔ˘Ì ۇÁ¯˘ÛË ÛÙÔÓ Ì·¯fiÌÂÓÔ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi, Ô‡ÙÂ Î·È ➧ Ë ·Ú¿ıÂÛË ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ Î¿ÔÈˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ·ÊÔ‡ ·˘Ùfi ηχÙÂÙ·È ·fi ÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ‚ÔËıËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ΢ÎÏÔÊÔÚÔ‡Ó.

E

™Ùfi¯Ô˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ô Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ (ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ EÎ·›‰Â˘Û˘) ·Ó¿Ï˘ÛË ıÂÌ¿ÙˆÓ, ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ô˘ Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó Î·ı·Ú¿ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜ ηıÒ˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ χÛÂˆÓ Ô˘ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È ÙÚfiÔ˘˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ÂÎÙ›ÌËÛË °ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜

3

°YMNA™IO (Afi ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ ÛÙÔ ÂÓÈ·›Ô §‡ÎÂÈÔ ÌfiÓÔ Ì ÙÔ ·ÔÏ˘Ù‹ÚÈÔ °˘ÌÓ·Û›Ô˘)

ENIAIO §YKEIO A¢ §˘Î›Ԣ

B¢ §˘Î›Ԣ

T¿ÍË ¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌÔ‡

T¿ÍË Ì ÙÚÂȘ ηÙ¢ı‡ÓÛÂȘ

*

MA£HMATA °ÂÓÈο

∂ÂÍÂÚÁ·Û›· ›Ó·Î·: ¢. ¶··ÎˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˘, ™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ

1. £ÚËÛ΢ÙÈο 2. EÏÏËÓÈο (AÚ¯·›· & N¤·) 3. IÛÙÔÚ›· 4. M·ıËÌ·ÙÈο 5. º˘ÛÈ΋ - XËÌ›· 6. A¢ •¤ÓË °ÏÒÛÛ· 7. AÚ¯¤˜ OÈÎÔÓÔÌ›·˜ 8. T¯ÓÔÏÔÁ›· 9. º˘ÛÈ΋ AÁˆÁ‹ 10. ™.E.¶.

øPE™

EÈÏÔÁ‹˜

øPE™

2

1. B¢ •¤ÓË °ÏÒÛÛ· 2. P›˙˜ E˘Úˆ·˚ÎÔ‡ ¶ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡ 3. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ¶ÏËÚÔÊÔÚÈ΋˜ 4. AÈÛıËÙÈ΋ AÁˆÁ‹ (£-M-K) 5. æ˘¯ÔÏÔÁ›·

2

8 2 5/4 3/4 3 2 2 2/1 –/1

1. AÚ¯·›· EÏÏËÓÈο K›ÌÂÓ· 2. KÔÈÓˆÓÈÎÔÔÏÈÙÈ΋ OÚÁ. AÚ¯. EÏ. 3. §·ÙÈÓÈο

*

2

3

2 2

°ENIKA KATEY£YN™H™

YÔ¯ÚˆÙÈο 1. M·ıËÌ·ÙÈο 2. º˘ÛÈ΋ 3. XËÌ›·

øPE™ 3 2 1

YÔ¯ÚˆÙÈο 1. M·ıËÌ·ÙÈο 2. º˘ÛÈ΋ 3. T¯ÓÔÏÔÁ›· EÈÎÔÈÓˆÓÈÒÓ

øPE™ 2 2 2

EÈÏÔÁ‹˜

øPE™

EÈÏÔÁ‹˜

øPE™

EÈÏÔÁ‹˜

øPE™

1. B¢ •¤ÓË °ÏÒÛÛ· 2. AÚ¯¤˜ ¶ÂÚÈ‚·ÓÙ/ÎÒÓ EÈÛÙËÌÒÓ 3. NÂfiÙÂÚË E˘Úˆ·˚΋ §ÔÁÔÙ¯ӛ· 4. ™ÙÔȯ›· AÛÙÚÔÓÔÌ›·˜ ¢È·ÛÙËÌÈ΋˜ 5. ™¯¤‰ÈÔ (°Ú·ÌÌÈÎfi ‹ EχıÂÚÔ) 6. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ YÔÏÔÁÈÛÙÒÓ 7. IÛÙÔÚ›· KÔÈÓˆÓÈÎÒÓ EÈÛÙËÌÒÓ 8. £¤Ì·Ù· IÛÙÔÚ›·˜

2

1. B¢ •¤ÓË °ÏÒÛÛ· 2. AÚ¯¤˜ ¶ÂÚÈ‚·ÓÙ/ÎÒÓ EÈÛÙËÌÒÓ 3. NÂfiÙÂÚË E˘Úˆ·˚΋ §ÔÁÔÙ¯ӛ· 4. ™ÙÔȯ›· AÛÙÚÔÓÔÌ›·˜ ¢È·ÛÙËÌÈ΋˜ 5. ™¯¤‰ÈÔ (°Ú·ÌÌÈÎfi ‹ EχıÂÚÔ) 6. £¤Ì·Ù· IÛÙÔÚ›·˜ 7. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ YÔÏÔÁÈÛÙÒÓ 8. BÈÔÏÔÁ›·

2

1. B¢ •¤ÓË °ÏÒÛÛ· 2. AÚ¯¤˜ ¶ÂÚÈ‚·ÓÙ/ÎÒÓ EÈÛÙËÌÒÓ 3. NÂfiÙÂÚË E˘Úˆ·˚΋ §ÔÁÔÙ¯ӛ· 4. ™ÙÔȯ›· AÛÙÚÔÓÔÌ›·˜ ¢È·ÛÙËÌÈ΋˜ 5. ¢È·¯Â›ÚÈÛË Ê˘ÛÈÎÒÓ fiÚˆÓ 6. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ YÔÏÔÁÈÛÙÒÓ 7. XËÌ›· 8. ™¯¤‰ÈÔ (T¯ÓÈÎfi Î·È EχıÂÚÔ)

2

2 2 2 2 2 –

(8 Ì·ı‹Ì·Ù· ˘Ô¯ÚˆÙÈο ÁÈ· fiϘ ÙȘ ηÙ¢ı‡ÓÛÂȘ)

T¯ÓÔÏÔÁÈ΋˜

2/1 2

2

T¯ÓÔÏÔÁÈ΋˜

MA£HMATA

£ÂÙÈ΋˜

øPE™

£ÂÙÈ΋˜

2

(O ÁÂÓÈÎfi˜ ̤ÛÔ˜ fiÚÔ˜ ‚·ıÌÔ‡ ÙˆÓ Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ ‰ÂÓ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘fi„Ë ÛÙÔ ·ÔÏ˘Ù‹ÚÈÔ ÙÔ˘ EÓÈ·›Ô˘ §˘Î›Ԣ).

£ÂˆÚËÙÈ΋˜ YÔ¯ÚˆÙÈο

£ÂˆÚËÙÈ΋˜

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

°¢ §˘Î›Ԣ: °È· ÙÔ 1998-99 ı· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ ÙÔ ·ÏÈfi Û‡ÛÙËÌ·

øPE™ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

£ÚËÛ΢ÙÈο EÏÏËÓÈο (AÚ¯·›· & N¤·) IÛÙÔÚ›· M·ıËÌ·ÙÈο (ÕÏÁ‚ڷ-°ÂˆÌÂÙÚ›·) º˘ÛÈ΋ - XËÌ›· - BÈÔÏÔÁ›· ¢›Î·ÈÔ Î·È ¶ÔÏÈÙÈÎÔ› £ÂÛÌÔ› •¤ÓË °ÏÒÛÛ· º˘ÛÈ΋ AÁˆÁ‹

1 6 2 4 4 2 2 2

Afi Ù· Ì·ı‹Ì·Ù· ÂÈÏÔÁ‹˜ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ÂÈϤÁÂÈ ˘Ô¯ÚˆÙÈο ¤Ó·.

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

A ¶√™¶∞™ª∞ ∞¶√ ∆√ «Bπµ§π√ ∆√À ¢π¢∞™∫√¡∆√™» °π∞ ∆√ ª∞£∏MA

ANA§Y™H ∆∏™ ° ¢ §À∫∂π√À TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë , K·ıËÁËÙ‹ E.M. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ

£· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÂÓ‰ÂÈÎÙÈο ·ÔÛ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙȘ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜ 6.12 Î·È 6.13. £· ·Ú·Ï›„Ô˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ Û¯‹Ì·Ù· Î·È Û¯fiÏÈ· Ô˘ ·Ó¿ÏÔÁ¿ ÙÔ˘˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô. E›Û˘ ‰Â ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘ÌÂ Â‰Ò ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰ËÌÔÛÈ¢ı› Û ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Ù‡¯Ë ÙˆÓ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÒÓ. A˘Ù¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‚¤‚·È· ÛÙÔ «BÈ‚Ï›Ô ÙÔ˘ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙÔ˜»

6.12 ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ ·ÎÚÔÙ¿ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ñ KÚÈÙ‹ÚÈÔ 1˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹ ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·ÎfiÌË «ÚÔÛÊÔÚ¿» Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ÛÙÔÓ Ï‹ÚË ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜.

£ÂÒÚËÌ· (1˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘) ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I, Í ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ I Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û' ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ U(Í, ‰)=(Í–‰, Í)» (Í, Í+‰). 1. AÓ f¢ (x)>0 ÁÈ· οı xŒ (Í–‰, Í) Î·È f¢ (x)<0 ÁÈ· οı xŒ (Í, Í+‰), ÙfiÙ ÙÔ f(Í) Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ. 2. AÓ f¢ (x)<0 ÁÈ· οı xŒ (Í–‰, Í) Î·È f¢ (x)>0 ÁÈ· οı xŒ (Í–‰, Í), ÙfiÙ ÙÔ f(Í) Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ.

¶ÚfiÙ·ÛË: ŒÛÙˆ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (·, ‚) Î·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÍŒ (·, ‚). 1. AÓ Ë f Â›Ó·È (ÁÓËÛ›ˆ˜) ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (·, Í] Î·È (ÁÓËÛ›ˆ˜) Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [Í, ‚), ÙfiÙ ÙÔ f(Í) Â›Ó·È Ì¤ÁÈÛÙÔ Ù˘ f ÛÙÔ (·, ‚).

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 N· ‚ÚÂı› ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÈÎÔ‡ ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ 1

f(x) = x x , Ô˘ Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (0, +• ). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ‚Ú›Ù ÙË Ó

2. AÓ Ë f Â›Ó·È (ÁÓËÛ›ˆ˜) Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (·, Í] Î·È (ÁÓËÛ›ˆ˜) ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [Í, ‚), ÙfiÙ ÙÔ f(Í) Â›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Ù˘ f ÛÙÔ (·, ‚). ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1: TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Ù˘ ÚÔÙ¿Ûˆ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏËı¤˜. AÓ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í Ë f ·›ÚÓÂÈ ÙËÓ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹, ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ë f Ó· Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (·, Í] Î·È Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [Í, ‚) (‚Ï. ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 ).

̤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ (
Ó), ÓŒ ƒ*. §‡ÛË: H Û˘Ó¿ÚÙËÛË ¤¯ÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ٿ͈˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (0, +• ) Ì 1

1 f¢ (x)=x x

2 (1–lnx). x H Û˘Ó¿ÚÙËÛË ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Í=e. °È· x<e Â›Ó·È f¢ (x)>0 Î·È ÁÈ· x>e Â›Ó·È f¢ (x)<0. EÔ̤ӈ˜ Ë f ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÛË1



ÌÂ›Ô Í=e ÙÔÈÎfi (ÔÏÈÎfi) ̤ÁÈÛÙÔ, Ô˘ Â›Ó·È ee. E›Ó·È ‰‡ÛÎÔÏË Ë ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ÎÚÈÙËÚ›Ô˘ Ù˘ 2˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘.

¶ÚÔÛÔ¯‹! Ÿˆ˜ ¤¯ÂÈ ‰È·Ù˘ˆı› Ë ÚfiÙ·ÛË ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙË Ì¤ÁÈÛÙË (·ÓÙ. ÂÏ¿¯ÈÛÙË) ÙÈÌ‹ Ù˘ f ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚) Ô˘ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f. ∂‰Ò ‚¤‚·È· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙÔ ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ (·ÓÙ. ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ) ÛÙÔ A. °È· Ó· ÌËÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·Ú·ÓfiËÛË, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ı· ‰È·Ù˘ˆı› ηٿ Ù¤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ ÌË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ·Û¿ÊÂȘ.

Ó

Ó

OÈ fiÚÔÈ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ (
Ó) Â›Ó·È ÔÈ ÙÈ̤˜ f(Ó)=
Ó, ÔfiÙÂ ÁÈ· 1 1 1 1


e



e
ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÈÛ¯‡Ô˘Ó 22<e Î·È 33<e . EÔ̤ӈ˜ Ô Ì¤ÁÈ1


1
ÛÙÔ˜ fiÚÔ˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ 2 2, 3 3. ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì Ì ·Ϥ˜ 1 1 Ó 3



3. ▲ Ú¿ÍÂȘ fiÙÈ 2 2 < 3 3 ÂÓÒ ÁÈ· οı Ó>3 ›ӷÈ
Ó <


¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2: TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Ù˘ ÚÔÙ¿Ûˆ˜ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· Ë Û˘Óı‹ÎË Ù˘ ÚÔÙ¿Ûˆ˜ ›ӷÈ

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

5

T O «µ πµ§π√

∆√À

¢ π¢∞™∫√¡∆√™ »

°π∞ ∆√

ÈηӋ Î·È fi¯È ·Ó·Áη›·, ‰ËÏ. ·Ó Ë f ·›ÚÓÂÈ ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ‹ ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í, ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ·ÏÏ¿˙ÂÈ ÙÔ ÚfiÛËÌÔ Ù˘ f¢ Âη٤ڈıÂÓ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Í. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË



1 ΩxΩ 2+ËÌ
x
, f(x) = 0 ,

(

)

xπ0 x=0

(‚Ï. ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÛÙËÓ ÚfiÙ·ÛË 5 (¨2.3)) ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í=0 ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ, Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· (–• , 0) Î·È (0, +• ) Î·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ Í=0. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =



ñ KÚÈÙ‹ÚÈÔ 2˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘

…

£ÂÒÚËÌ· (2˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘) ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È Í ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¢ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ f¢ (Í)=0 (ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌ›Ô) Î·È ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f¢¢ (Í). 1. AÓ f¢¢ (Í)<0, ÙfiÙ ÙÔ f(Í) Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ̤ÁÈÛÙÔ. 2. AÓ f¢¢ (Í)>0, ÙfiÙ ÙÔ f(Í) Â›Ó·È ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 3: ™Â ¤Ó· ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô Í ÌÔÚ› Ó· Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

1 x2 2+ËÌ

, xπ0 x 0 , x=0

(

ª ∞£∏ª∞ ∞ ¡∞§À™∏ ° ¢ § À∫∂π√À

)

(Û¯. 1)

Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ó Î·È ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í=0 ÙÔÈÎfi (ÔÏÈÎfi) ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ, ·ÏÏ¿ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ‰ÂÓ ‰È·ÙËÚ› ÛÙ·ıÂÚfi ÚfiÛËÌÔ ‰ÂÍÈ¿ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ 0. y=x2(2+sin 1 x(

y y1

=3x2

0,2

ñ N· ÌËÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f¢¢ (Í), ÔfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÚÒÙ˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ‹ ¿ÏϘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË 3

f(x)ΩxΩ2 ÙÔ Í=0 Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÈÎÔ‡ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ (f(x)≥f(0)=0), ÂÓÒ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi.

2

2x y=

ñ N· ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f¢¢ (Í) ·ÏÏ¿ Ó· Â›Ó·È f¢¢ (Í)=0. TÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰ÂÓ ·ÔÊ·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹. TfiÙ ÌÔÚ› Ó· Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

0,1

-0,3

-0,2

1 π

y2=x2 0,3

0,2 1 2π

1 1 3π 4π

1 1 4π 3π

1 π

1 2π

x

™¯. 1

1) N· ÌËÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ·ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ Ù˘ f Ô˘ Ó· ÌË ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË 5

g(x)=ΩxΩ2

¶·Ú·ÙËÚ›ÛÙ fiÙÈ Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (–‰, ‰) ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ÛËÌ›· fiÔ˘ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ.

ÙÔ Í Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ, ı¤ÛË ÙÔÈÎÔ‡ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ (g(x)≥g(0)=0), g¢¢ (Í)=0 Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ ·ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í.

™˘ÓÔ„›˙Ô˘Ì ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Ù· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Í. f ¢ (Í)

f ¢ (x)>0, xŒ (Í–‰, Í) f ¢ (x)>0, xŒ (Í, Í+‰) y

f ¢ (x)>0, xŒ (Í–‰, Í) f¢ (x)<0, xŒ (Í, Í+‰) y

f¢ (x)<0, xŒ (Í–‰, Í) f¢ (x)>0, xŒ (Í, Í+‰) y

f¢ (x)<0, xŒ (Í–‰, Í) f¢ (x)<0, xŒ (Í, Í+‰) y

Y¿Ú¯ÂÈ Ë f ¢ (Í) Í

x

y

Í

x

y

Í

x

y

Í

x

Í

x

y

¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f ¢ (Í) Í

x

Í

x

6 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

Í

x

M ∞£∏ª∞∆π∫∞ 2) H f Ó· ¤¯ÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ٿ͈˜, ·ÏÏ¿ fiϘ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í, ÔfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÚÒÙ˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ‹ ¿ÏϘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË

h(x) =



1 –

2 x e

, xπ0

(™¯. 2)

0 , x=0

6.13 K˘ÚÙ¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ™ËÌ›· ηÌ‹˜ TÔ ÚfiÛËÌÔ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ì·˜ ÏËÚÔÊÔÚ› ÁÈ· ÙË ÌÔÓÔÙÔÓ›· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. ŸÌˆ˜ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÌÔÚ› Ó· ·˘Í¿ÓÂÈ (·ÓÙ. Êı›ÓÂÈ) Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ηٿ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ›Ó·Î· 1.

¤¯ÂÈ ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ٿ͢, ÔÈ Ôԛ˜ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í=0.

¶›Ó·Î·˜ 1 AY•OY™A

y 1 1

2

3

4

º£INOY™A x

O

™¯. 2 H Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û οı ÛËÌÂ›Ô xπ0 (ˆ˜ Û‡ÓıÂÛË ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛˆÓ). H ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ó Ù¿Íˆ˜ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜



1 h(Ó)(x) = PÓ

x

5

6

7

8

1 –

2 e x,

fiÔ˘ PÓ Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ó ‚·ıÌÔ‡. H ·fi‰ÂÈÍË ÁÈÓÂÙ·È Ì Â·ÁˆÁ‹. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ h(Ó)(0)=0.

3) N· ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ·ÓÒÙÂÚ˘ Ù¿Í˘ Ô˘ Ó· ÌË ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ: (¢ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ̤ÚÔ˜ Ù˘ ‰È‰·ÎÙ¤·˜ ‡Ï˘)

EÔ̤ӈ˜ ·fi ÙÔ ÚfiÛËÌÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂÒ˜ Ù˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÂÈÛÙÚ·Ù‡ԢÌ ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ·Ú¿ÁˆÁÔ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÔ˘Ì fiϘ ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ.

OÚÈÛÌfi˜ 1:

…

°ÂÓÈ΋ ÚfiÙ·ÛË ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚], Î-ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÍŒ (·, ‚) Î·È f¢ (Í) = f¢¢ (Í) = f¢¢ (Í) =…= f(Ζ1)(Í) = 0 Î·È f (Î)(Í) π 0. ●

AÓ Î ¿ÚÙÈÔ˜ Î·È f(Î)(Í)>0, ÙfiÙ ÙÔ Í Â›Ó·È ı¤ÛË ÙÔÈÎÔ‡ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘.

●

AÓ Î ¿ÚÙÈÔ˜ Î·È f(Î)(Í)<0, ÙfiÙ ÙÔ Í Â›Ó·È ı¤ÛË ÙÔÈÎÔ‡ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘.

●

AÓ Î ÂÚÈÙÙfi˜, ÙfiÙ ÙÔ Í ‰ÂÓ Â›Ó·È ı¤ÛË ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘, ·ÏÏ¿ ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ (‚Ï. ¨6.13).

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1: ™ÙÔ Û¯‹Ì· 1(·) ‰›ÓÂÙ·È ·Ú·ÛÙ·ÙÈο ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ f¢ Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚) ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· ÌÈ· ΢ÚÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË. TÔ Î˘ÎÏÈÎfi ‚¤ÏÔ˜ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙË Î·Ù‡ı˘ÓÛË Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ ÌÈ· ‰ÂÍÈfiÛÙÚÔÊË Î›ÓËÛË, ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ ΢ÚÙ‹˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È ‰ÂÍÈfiÛÙÚÔÊË. AÓ¿ÏÔÁ·, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ ÎÔ›Ï˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·È ·ÚÈÛÙÂÚfiÛÙÚÔÊË (Û¯.1(‚))

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

7

T O «µ πµ§π√

y

∆√À

¢ π¢∞™∫√¡∆√™ »

°π∞ ∆√

ª ∞£∏ª∞ ∞ ¡∞§À™∏ ° ¢ § À∫∂π√À

™ÙÔ Û¯. 3 ‰›ÓÂÙ·È Î·È Ë Û¯ÂÙÈ΋ ÂÚÌËÓ›· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡.

y

y f(y)

Ïf(x)+(1–Ï)f(y) f(x)

x O

x

O

™¯. 1(·)

f(Ïx+(1–Ï)y) x

O

™¯. 1(‚)

Ïx+(1–Ï)y

...

y

x

™¯. 3

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2: °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·fi ÙËÓ EÈ‰ÔÌÂÙÚ›· fiÙÈ ¤Ó· Û¯‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙfi, fiÙ·Ó ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛËÌ›· ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó‹ÎÂÈ ÂÍÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙÔ Û¯‹Ì·. EÔ̤ӈ˜ Ù›ıÂÙ·È ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·: ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜; Ÿ¯È! O ÔÚÈÛÌfi˜ Ô˘ ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ Â›Ó·È ÈÔ ÁÂÓÈÎfi˜ Î·È ‰ÂÓ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ ÙËÓ ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜, ÔfiÙ ηχÙÂÈ Î·È ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Û¯fiÏÈÔ. OÚÈÛÌfi˜ 1¢ : MÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ı· ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I, fiÙ·Ó ÙÔ ÂÈÁÚ¿ÊËÌ¿ Ù˘, ‰ËÏ. ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ M: = {(x, y)Œ
2 :xŒ I Î·È y≥f(x)}

(Û¯. 2(·))

Â›Ó·È Î‡ÚÙÔ Ì ÙË ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÙÔ˘ ÛËÌ·Û›·. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÔ›ÏË (Û¯.2(‚)).

y

y M

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 3: M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ (*) ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘: ™Â οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÌÈ· ΢ÚÙ‹˜ (·ÓÙ. ÎÔ›Ï˘) Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Ë ÂÊ·ÚÔ̤ÓË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È «Î¿Ùˆ» (·ÓÙ. «¿Óˆ») ·fi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û‹ Ù˘. H ·Ú·Ù‹ÚËÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÁÈ· ÙËÓ ÂÔÙÈ΋ ηٷÓfiËÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ 2˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ (¨6.12): ™ÙÔ ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô Í Â›Ó·È f¢ (Í)=0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (Í, f(Í)) Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ f Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË y=f(Í) Â›Ó·È ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·, ÔfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË Î·È ÂÂȉ‹ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (Í–‰, Í+‰) Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ·fi ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË, ‰ËÏ. f(x)≥f(Í) ÁÈ· οı xŒ (Í–‰, Í+‰), ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Í Â›Ó·È ı¤ÛË ÙÔÈÎÔ‡ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘. OÚÈÛÌfi˜ 2: ¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Î·È Í ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘. TÔ ÛËÌÂ›Ô P(Í, f(Í)) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ f, fiÙ·Ó 1. H f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ Í.

M

2. Y¿Ú¯ÂÈ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ f ÛÙÔ P Î·È 3. H f ÛÙÚ¤ÊÂÈ Ù· ÎԛϷ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÙÔ˘ Í Î·È ÚÔ˜ Ù· οو ‰ÂÍÈ¿ ÙÔ˘ Í ‹ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·.

O

x

O

x y

™¯. 2(·)

™¯. 2(‚)

T¤ÏÔ˜, ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌfi Ì ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÔÚÈÛÌfi: OÚÈÛÌfi˜ 1¢¢ : MÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ı· ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I, fiÙ·Ó ÁÈ· οı x, yŒ I Î·È ÏŒ [0, 1] ÈÛ¯‡ÂÈ (*)

O

P

P

P

P

Í

Í

Í

Í

f(Ïx+(1–Ï)y) £ Ïf(x)+(1–Ï)f(y).

8 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

™¯. 4

x

M ∞£∏ª∞∆π∫∞ TÔ Í ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ı¤ÛË ÛËÌ›Ԣ ηÌ‹˜ Ù˘ f. ŸÙ·Ó f¢ (Í)=0, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. ™ÙË Û˘Óı‹ÎË 2. ÁÚ¿ÊÔ˘Ì «˘¿Ú¯ÂÈ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË» Î·È fi¯È «Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË» ÁÈ·Ù› Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË ÂÊ·ÙÔ̤ÓË, fiÔ˘ f¢ (Í)=±• .

Â›Ó·È ¿ÂÈÚ˜ ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ Í=0, Ô˘ Â›Ó·È ı¤ÛË ÛËÌ›Ԣ ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌË ÌˉÂÓÈ˙fiÌÂÓË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi. y

¶ÚfiÙ·ÛË 2: ¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Î·È Í ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘.

O

– 2

2

x

AÓ ÙÔ P ( Í, f(Í) ) Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ Ù˘ f, ÙfiÙ f¢¢ (Í)=0, ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ, ‹ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f¢¢ ÛÙÔ Í.

™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: ¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I=(·, ‚). OÈ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ηÌ‹˜ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ı· ·Ó·˙ËÙËıÔ‡Ó ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ f¢¢ (Í)=0 ‹ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ, fiÔ˘ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë f¢¢ .

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 4: TÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ Ù˘ ÚÔÙ¿Ûˆ˜ 2 ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ. E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ f ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Í, ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ (‚Ï. ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· 1 Î·È 2 Ù˘ ·Ú·ÙËÚ‹Ûˆ˜ 3). °ÂÓÈο ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÂfiÌÂÓ˜ ÈηӤ˜ Û˘Óı‹Î˜ (¢ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ̤ÚÔ˜ Ù˘ ‰È‰·ÎÙ¤·˜ ‡Ï˘):

™¯. 5

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 6: M¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ¤¯Ô˘Ì ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ fiÙÈ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛÙ¿ÛÈÌˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ÂΛӷ ÙˆÓ ÙÔÈÎÒÓ ·ÎÚÔÙ¿ÙˆÓ Î·È ÂΛӷ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. TÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ Ù›ıÂÙ·È Â›Ó·È: Y¿Ú¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÛÙ¿ÛÈÌˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Î·È ¿ÏÏ· ÂÎÙfi˜ ·fi ÂΛӷ ÙˆÓ ÙÔÈÎÒÓ ·ÎÚÔÙ¿ÙˆÓ Î·È ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË; N·È! °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË (∂Î·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, Ù‡¯Ô˜ 3)

°ÂÓÈ΋ ÚfiÙ·ÛË

f(x) =

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚], Î-ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÍŒ (·, ‚) Î·È f¢¢ (Í) = f¢¢ (Í) = … = f(Ζ1)(Í) = 0 Î·È f(Î)(Í) π 0. f(Î)(Í)>0,

●

AÓ Î ¿ÚÙÈÔ˜ Î·È ÙfiÙÂ Ë f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (Í–‰, Í+‰).

●

AÓ Î ¿ÚÙÈÔ˜ Î·È f(Î)(Í)<0, ÙfiÙ ÙÔ Í Â›Ó·È ÎÔ›ÏË Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (Í–‰, Í+‰).

●

AÓ Î ÂÚÈÙÙfi˜, ÙfiÙ ÙÔ Í ‰ÂÓ Â›Ó·È ı¤ÛË ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘, ·ÏÏ¿ ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜.

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 5: K·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î¿ÙÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ Ì ·˘Ùfi Ô˘ Û¯ÔÏÈ¿Û·Ì ÁÈ· Ù· ·ÎÚfiٷٷ (‚Ï. ·Ú·Ù‹ÚËÛË 3, ¨6.12). °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =



1 –

2 x

xe

0

,

xπ0

,

x=0



1 x2ËÌ

, xπ0 x 0

, x=0

ÙÔ Í=0 Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ, ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È Ô‡Ù ÛËÌÂ›Ô ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘ Ô‡Ù ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. H ·fi‰ÂÈÍË fiÙÈ Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô (‚Ï. Â›Û˘ ¨6.4 Û¯. 7Á). ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0), Ô˘ Â›Ó·È Ô ¿ÍÔÓ·˜ x¢ x, Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û‹ Ù˘ Û ·ÚÈıÌ‹ÛÈÌÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ÔÛÔÓ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ 0 . ™Â ηӤӷ ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (0, ‰) (·ÓÙ. (–‰, 0)), ‰>0, Ë f ‰ÂÓ ÛÙÚ¤ÊÂÈ Ù· ÎԛϷ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ (·ÓÙ. ÚÔ˜ Ù· οو) ‹ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. EÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› ÙÔ Í=0 Ó· Â›Ó·È ı¤ÛË ÛËÌ›Ԣ ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. T¤ÏÔ˜ ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ›Ó·Î· 2 Ì ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÙȘ ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚ˜ Û˘Óı‹Î˜ Ô˘ Â›Ó·È ÈηӤ˜ ‹ ·Ó·Áη›Â˜ ÁÈ· ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ȉÈfiÙËÙ˜: 9

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

T O «µ πµ§π√

∆√À

¢ π¢∞™∫√¡∆√™ »

°π∞ ∆√

ª ∞£∏ª∞ ∞ ¡∞§À™∏ ° ¢ § À∫∂π√À

¶›Ó·Î·˜ 2 ANA°KAIA ™YN£HKH

IKANH ™YN£HKH

f¢ (x)≥0

f¢ (x)≥0

----

f¢ (x)>0

f¢ (x)£ 0

f¢ (x)≤0

°ÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û·

----

f¢ (x)<0

K˘ÚÙ‹

----

f¢¢ (x)>0

KÔ›ÏË

----

f¢¢ (x)<0

I¢IOTHTA A‡ÍÔ˘Û· °ÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ºı›ÓÔ˘Û·

£¤ÛË ÙÔÈÎÔ‡ ÌÂÁ›ÛÙÔ˘

f¢ (˙)=0

f¢ (˙)=0 & f¢¢ (˙)<0 ‹ ·ÏÏ·Á‹ ÚÔÛ‹ÌÔ˘ Ù˘ f¢ (x):+Æ

–

£¤ÛË ÙÔÈÎÔ‡ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘

f¢ (˙)=0

f¢ (˙)=0 & f¢¢ (˙)>0 ‹ ·ÏÏ·Á‹ ÚÔÛ‹ÌÔ˘ Ù˘ f¢ (x):– Æ

+

£¤ÛË ÛËÌ›Ԣ ηÌ‹˜

f¢¢ (˙)=0

f¢¢ (˙)=0 & f¢¢ (˙)π0 ‹ ·ÏÏ·Á‹ ÚÔÛ‹ÌÔ˘ Ù˘ f¢¢ (x)

™¯fiÏÈÔ

y

™ÙËÓ ¨6.10 ‰ÒÛ·Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Ú›˙·˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·˜ ÓŒ * Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· (ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3) ÙȘ ÈηӤ˜ Î·È ·Ó·Áη›Â˜ Û˘Óı‹Î˜ ÒÛÙ ÌÈ· Ú›˙· ˙ Ó· Â›Ó·È ‚·ıÌÔ‡ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·˜ ÓŒ *. ™ÙÔ Û¯fiÏÈÔ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙÔ ıÂÒÚËÌ· (·) (¨4.2) ¤¯Ô˘Ì ı¤ÛÂÈ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·:

‚ · O

TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚) ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 6(·) Î·È 6(‚); A¿ÓÙËÛË (·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÁÂÓÈο ÛÂ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Î·È fi¯È ÌfiÓÔ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·): 1. ™ÙÔ Û¯. 6(·) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ˙ Â›Ó·È Ú›˙· Ù˘ f, ·ÊÔ‡ f(˙)=0, Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ, ·ÊÔ‡ f¢ (˙)=0 (ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË) Î·È Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÈÎÔ‡ ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘ [ÛÙËÓ ·Ï‹ ÂÚ›ÙˆÛË ı· Â›Ó·È f¢¢ (˙)>0 Î·È ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÚÒÙË ÌË ÌˉÂÓÈ˙fiÌÂÓË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ı· Â›Ó·È ¿ÚÙÈ·˜ Ù¿Í˘, .¯. 2Ó]. EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÚfiÙ·ÛË, Ë Ú›˙· ˙ Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·˜ [2 ‹, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, 2Ó] Î·È Ì·˙› Ì ÙËÓ Í ÔÈ Ú›˙˜ Â›Ó·È ÂÚÈÙÙÔ‡ Ï‹ıÔ˘˜.

x

˙

™¯. 6(‚)

Γ. ΠΑΝΤΕΛΙ∆Η BÈ‚Ï›Ô ÙÔ˘ ¢È‰¿ÛÎÔÓÙÔ˜ ÁÈ· ÙÔ Ì¿ıËÌ· «ANA§Y™H» Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ

y

‚ ·

O

˙

Í

x

™¯. 6(·)

10

2. ™ÙÔ Û¯. 6(‚) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ˙ Â›Ó·È Ú›˙· Ù˘ f, ·ÊÔ‡ f(˙)=0, Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ, ·ÊÔ‡ f¢ (˙)=0 (ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË) Î·È Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË [ÛÙËÓ ·Ï‹ ÂÚ›ÙˆÛË ı· Â›Ó·È f¢¢ (˙)=0 Î·È f¢¢ (˙)π0 Î·È ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÚÒÙË ÌË ÌˉÂÓÈ˙fiÌÂÓË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ı· Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹˜ Ù¿Í˘, .¯. 2Ó+1]. EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÚfiÙ·ÛË, Ë Ú›˙· ˙ Â›Ó·È ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·˜ [3 ‹, ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, 2Ó+1].

TÔ BÈ‚Ï›Ô ÙÔ˘ ¢È‰¿ÛÎÔÓÙÔ˜, fiˆ˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤ÓÔ, Â›Ó·È ¤Ó·˜ Û˘Ó¯‹˜ «‰È¿ÏÔÁÔ˜» Ì ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Ô˘ «Û˘˙ËÙ¿» Ì·˙› ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÒÓ Î·È ÙˆÓ ÂÚˆÙËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ı¤ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ Ô˘ ı· ÌÂÏÂÙÔ‡Û ‹ ı· ‰›‰·ÛΠÚÔÛÂÎÙÈο ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘. EȉÈÒÎÂÈ ·ÎfiÌË Ó· ‚ÔËı‹ÛÂÈ ÙÔ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ· Ó· ÚÔÛ·ÚÚÌfiÛÂÈ ÙȘ ·ÓÂÈÛÙËÌȷΤ˜ ÙÔ˘ ÁÓÒÛÂȘ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Î·È ÛÙÔ˘˜ ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ. E›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ Û fiÏÔ˘˜ Ì·˜ Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ηٷÓfiËÛ˘ ·fi ÙÔÓ Ì·ıËÙ‹ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘, Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Ù˘ ·Ú·ÁˆÁÈÛÈÌfiÙËÙ·˜ Î.Ï.. TÔ ‰È‰·ÎÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ‚·ÛÈÎfi ‚Ô‹ıËÌ· ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹, ·Ú·ı¤ÙÂÈ Ì ·È‰·ÁˆÁÈÎfi ÙÚfiÔ ÙË ‰È‰·ÎÙ¤· ‡ÏË, ‰ÂÓ ÌÔÚ› fï˜ Ó· ‰›ÓÂÈ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ Ô‰ËÁ›Â˜ Î·È Ó· ηχÙÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ Î·È Ù· ÂÚˆÙËÌ·ÙÈο Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙË ‰È‰·Ûηϛ·. H ·Ú¿ıÂÛË ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ù¤ÙÔÈˆÓ Ô‰ËÁÈÒÓ ı· ·ÔÚÔÛ·Ó·ÙfiÏÈ˙ ÙÔ Ì·ıËÙ‹. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ıˆڋ۷Ì ··Ú·›ÙËÙË ÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ ¢È‰¿ÛÎÔÓÙÔ˜. E›Ó·È ¿ÏψÛÙ ‰ÈÂıÓ‹˜ Ú·ÎÙÈ΋ Ë Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ÁÈ· οı ̿ıËÌ·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

O ∞ƒπ£ª√™ e Î·È ÌÈ· ¶ƒ√™∂°°π™∏ ∆√À

;;uler ;; ;;

TÔ ı¤Ì· ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ‰È‰·ÎÙ¤· ‡ÏË Ù˘ °’ §˘Î›Ԣ, ÛÙԯ‡ÂÈ ÛÙËÓ ÏËÚÔÊfiÚËÛË ÙÔ˘ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ· TÔ˘ ¢. KÚ·‚‚·Ú›ÙË, K·ıËÁËÙ‹ E.M.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ

™

ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô AÓ¿Ï˘ÛË °¢ §˘Î›Ԣ Ô ·ÚÈıÌfi˜ e, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÚÈıÌfi˜ Euler, ÔÚ›ÛÙËΠˆ˜ ÙÔ fiÚÈÔ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ (‚Ó) Ì ÁÂÓÈÎfi fiÚÔ 1 Ó = 1 +

. Ó



‚Ó



£· ‰ÒÛÔ˘ÌÂ Â‰Ò ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ e, ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ¿ÚÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ’ ·˘ÙfiÓ. AÔ‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· (·Ó) Ì ÁÂÓÈÎfi fiÚÔ 1 1 1 ·Ó = 1 +

+

+ … +

2! 3! Ó! Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· Î·È ÊÚ·Á̤ÓË Î·È Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈ Â›Û˘ ÛÙÔÓ ·ÚÈıÌfi e (‚Ï. M·ıËÌ·ÙÈ΋ AÓ¿Ï˘ÛË I & II, °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, EΉfiÛÂȘ Z‹ÙË).

1 Ó+2 sÓ = lim (sÓ–sÎ) ≤

Ø

. ÎÆ• (Ó+1)! Ó+1 EÔ̤ӈ˜ ÙÔ ÛÊ¿ÏÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙ·Ó ÁÚ¿ÊÔ˘Ì e ª ·Ó Â›Ó·È 1 Ó +2 sÓ = e – ·Ó ≤

Ø

(Ó+1)! Ó+1 ¢ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ e Ì fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ (·Ó). ŒÙÛÈ ÁÈ· Ó = 12 ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛÊ¿ÏÌ· Ù˘ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ Â›Ó·È 14 1 14 14 s12 ≤

Ø

<

=

Ø 10–9 < 1,8 Ø 10–10 13 13! 13 Ø 6 Ø 109 78 EÔ̤ӈ˜ Ô ·12 = 2,718281828289

¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ e

ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙÔÓ

£ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

e = 2,718281828459045… .

sÓ = e – ·Ó.

Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ

AÓ Î > Ó, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ

Ó+2 1 ·Ó < e ≤ ·Ó +

Ø

Ó+1 (Ó+1)!

1 1 1 sÓ – sÎ =

+

+ … +

= (Ó+1)! (Ó+2)! Î!





1 1 1 1 =

1+

+

+…+

< (Ó+1)! Ó+2 (Ó+2)(Ó+3) (Ó+2)(Ó+3)…Î





1 1 1 1 <
+ …+
.
1+

+


2 (Ó+1)! Ó+2 (Ó+2) (Ó+2)ΖӖ1 EÂȉ‹ ÁÈ· οı x, Ì 0 < x < 1, ÈÛ¯‡ÂÈ



1 1 1 Ó+2 =

Ø

. sÓ – sÎ <

Ø
1 (Ó+1)! 1–

(Ó+1)! Ó+1 Ó+2 ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙÔ Î Î·È ÂÂȉ‹

Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ‰›ÓÂÈ

Ì Ó +2 ·Ó Ø Ó! <

Ø Ó! ≤ ·Ó Ø Ó! +

2 . Ó (Ó+1)



1 1 1 1 Ú=·Ó Ø Ó! = 1+

+

+

+ … +

Ø Ó! 1! 2! 3! Ó!

¤¯Ô˘ÌÂ

lim sÎ = 0

M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ Ô Fourier ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ e Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Ì ŒÛÙˆ fiÙÈ Ô e Â›Ó·È Ô ÚËÙfi˜

. AÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿Ó ÛÔ˘Ì ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ (1) Ì Ó!, ÙfiÙ ·›ÚÓÔ˘ÌÂ

O ·ÚÈıÌfi˜

1 1 + x + x2 + … + xÓ <

1–x

ÎÆ•

(1)

Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Î·È Ô Ó+2

2 < 1. (Ó+1) EÔ̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Ú < Ì Ø (Ó–1)! < Ú + 1, ‰ËÏ·‰‹ Ô ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ì Ø (Ó – 1)! ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Ú Î·È Ú + 1, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

11

M π∞ ∂ ¶∂∫∆∞™∏ ™ ’

∂¡∞

£ ∂øƒ∏ª∞ (£ ∂øƒ∏ª∞ V ECTEN )

O Euler ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ô e Â›Ó·È ¿ÚÚËÙÔ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ·ÙÔ˜ ÛÂ Û˘Ó¯¤˜ ÎÏ¿ÛÌ·: 1

e=2+

1

1+

2

2+

3+

3 4 + ...

O ·ÚÈıÌfi˜ e ·›˙ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. H ÂÎıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y(x) = ex Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË. y¢ (x) = y(x), x Œ ó, Î·È ÙË Û˘Óı‹ÎË y(0) = 1. O ·ÚÈıÌfi˜ e Î·È Ô  Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ Û¯¤Ûˆ˜ Euler ei + 1 = 0, Ë ÔÔ›· Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ‚·ÛÈο ÌÂÁ¤ıË 0, 1, , e, i.

TÔ ¤ÙÔ˜ 1873 Ô Ch. Hermite ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ Ô e Â›Ó·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ú›˙· ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜. H ·fi‰ÂÈÍË, Ô˘ ηٷϷ̂¿ÓÂÈ 31 ÛÂÏ›‰Â˜ Î·È Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÔχÏÔÎË, ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙ· Õ·ÓÙ· ÙÔ˘ Hermite. ¶ÈÔ ·Ϥ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ e ‰fiıËÎ·Ó ·fi ÙÔ˘˜ Weiestrass, Hilbert, Î·È Gordan. °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Hilbert ·Ú·¤ÌÔ˘Ì ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô: M. A. Mڛη, T· ÂÚ›ÊËÌ· ¿Ï˘Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, Aı‹Ó·È 1970. TÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi ÂÚȤ¯ÂÈ Â›Û˘ Î·È ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘  Ô˘ ‰fiıËΠ·fi ÙÔÓ Hilbert ÙÔ 1893. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙËÓ ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘  ‰fiıËΠ·fi ÙÔÓ Lindemann ÙÔ 1882. H ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ Lindemann Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ, ·Ó Ô x Â›Ó·È Ú›˙· ÌÈ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜, ÙfiÙÂ Ë ¤ÎÊÚ·ÛË ex ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÚËÙfi˜. ŒÙÛÈ ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ x=i ‹Ù·Ó Ú›˙· ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜, ÙfiÙ ÙÔ e i ‰ÂÓ ¤ÚÂ ӷ Â›Ó·È ÚËÙfi˜, ÂÓÒ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ei=–1. EÔ̤ӈ˜ ÙÔ i, ÔfiÙÂ Î·È ÙÔ , ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ú›˙· ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜.

◆

Mπ∞ ∂¶∂∫∆∞™∏ ™’ ∂¡∞ £∂øƒ∏ª∞ (£∂øƒ∏ª∞ VECTEN) TÔ˘ N. K˘ÚÈ·˙‹ M·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡

›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Vecten*: ™ÙȘ Ï¢ڤ˜ A° Î·È °µ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Â͈ÙÂÚÈο ·fi ·˘Ùfi ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· (‚Ï. ™¯.). N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ A¢ Î·È BE Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‡„Ô˜ °Z ÙÔ˘ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ¶·Ú·ı¤ÙÔ˘ÌÂ Â‰Ò ÌÈ· Â¿ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ Ô˘ ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ ·ÚÔ˘Û›·˙ÂÈ È‰È·›ÙÂÚÔ ÂӉȷʤÚÔÓ:

E

ÔfiÙÂ O° A°

–

= Ó fi AB EA

A° O° – AB Ø

= Ó Ø AB EA

√

¶ÚfiÙ·ÛË: ™ÙȘ Ï¢ڤ˜ A° Î·È °B ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° Î·È Â͈ÙÂÚÈο ·fi ·˘Ùfi ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì fiÌÔÈ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· A°TE Î·È B°P¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ƒ

A° °B Ó =

=

. AP B¢ N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ A¢ Î·È BE Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‡„Ô˜ °Z ÙÔ˘ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

∆

° ¡ ∂

A

Afi‰ÂÈÍË:

12

º¤ÚÔ˘Ì ÙËÓ AM οıÂÙË ÛÙËÓ BE Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ ÙÌ‹ÛÂÈ ÙËÓ °Z, ¤ÛÙˆ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô O . T· ÙÚ›ÁˆÓ· AEB Î·È A°O Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ ‰‡Ô οıÂÙ˜ (¿Ú· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜)

¢

ª ∑

B

º¤ÚÔ˘Ì ÙË BN οıÂÙË ÛÙËÓ A¢ Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ ÙÌ‹ÛÂÈ ÙËÓ °Z, ¤ÛÙˆ ÛÙÔ O¢ . Afi ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ AB¢ Î·È B°O¢ ÚÔ·ÙÂÈ ¿ÏÈ fiÙÈ °O¢ = Ó ØAB. EÔ̤ӈ˜: O=O¢ Î·È ÔÈ OZ, AN, BM Â›Ó·È Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AOB Î·È ÙÔ H Â›Ó·È ÙÔ ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ABO.

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: ŸÙ·Ó Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È Ó=1, ‰ËÏ. Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ· Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·, ÙfiÙ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Vecten. ◆

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

OI I™OTIMIE™ (MODULO) TÔ˘ £. •¤ÓÔ˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡

∞

fi ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ¤ÙÔ˜ 1998-1999 ÛÙË µ¢ Ù¿ÍË ÙÔ˘ ∂ÓÈ·›Ô˘ §˘Î›Ԣ, ıÂÙÈ΋˜ ηÙ‡ı˘ÓÛ˘, ı· ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È Ë £ÂˆÚ›· ∞ÚÈıÌÒÓ, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÌÂϤÙË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ. ªÈ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ £ÂˆÚ›·˜ ∞ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ÔÈ ÈÛÔÙÈ̛˜. ∞Ú¯Èο ˘ÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

∏ Û¯¤ÛË ·∫ ‚(modÓ) Â›Ó·È Ì›· Û¯¤ÛË ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·ÊÔ‡ ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ·) ·∫ ·(modÓ) (·Ó·ÎÏ·ÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) ‚) ∞Ó ·∫ ‚(modÓ), ÙfiÙÂ Î·È ‚∫ ·(modÓ) (Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) Á) ∞Ó ·∫ ‚(modÓ) Î·È ‚∫ Á(modÓ), ÙfiÙÂ Î·È ·∫ Á(modÓ) (ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

OPI™MO™ 1 §¤Ì fiÙÈ Ô ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·π0 ‰È·ÈÚ› ÙÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ ‚ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·Ω‚, fiÙ·Ó Ë ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ‚ Ì ÙÔÓ · Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Î Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ ‚=η. ÕÌÂÛ˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: i) ∞Ó ·Ω‚, ÙfiÙÂ Î·È ·Ω΂ ÁÈ· οı ·Î¤Ú·ÈÔ Î. ii) ∞Ó ·Ω‚, ÙfiÙÂ Î·È Î·Ω΂ ÁÈ· οı ·Î¤Ú·ÈÔ Îπ0. iii) ∞Ó ·Ω‚ Î·È ‚Ω·, ÙfiÙ Ω·Ω=Ω‚Ω. iv) ∞Ó ·Ω‚ η ‚ΩÁ, ÙfiÙÂ Î·È ·/Á. v) ∞Ó ·Ω‚ Î·È ·ΩÁ, ÙfiÙ ·Ω‚+Á, ·Ω‚–Á Î·È ·Ω‚Á. √È ÈÛÔÙÈ̛˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: √PI™MO™ 2 £ÂˆÚԇ̠¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ Ó. ¢‡Ô ·Î¤Ú·ÈÔÈ · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÈÛÔ¸fiÏÔÈÔÈ Ì ̤ÙÚÔ Ó, fiÙ·Ó ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔÈ Ì ÙÔÓ Ó ·Ê‹ÓÔ˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ˘fiÏÔÈÔ. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙfiÙ ·∫ ‚(modÓ) Î·È ‰È·‚¿˙Ô˘Ì «Ô · Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˜ ÙÔ˘ ‚ modulo Ó». °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÈÛ¯‡ÂÈ 37∫ 13(mod8), ·ÊÔ‡ ÔÈ 37 Î·È 13, ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔÈ Ì ÙÔ 8, ‰›ÓÔ˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ˘fiÏÔÈÔ 5. ∂‡ÎÔÏ· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ˜ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·∫ ‚(modÓ) ¤

∏ Û¯¤ÛË Ô˘ ÔÚ›Û·Ì ·Ú·¿Óˆ ϤÁÂÙ·È ÈÛÔÙÈÌ›·. ÕÌÂÛ˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÈÛÔÙÈÌÈÒÓ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: i) ∞Ó Ë ‰È·›ÚÂÛË · : Ó ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ ˘, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ ·∫ ˘(modÓ). °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Â›Ó·È 13∫ 3(mod5) Î·È 81∫ 0(mod9). ii) ªÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‹ Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÈÛÔÙÈ̛˜ ηٿ ̤ÏË. ¢ËÏ·‰‹, ·Ó ·∫ ‚(modÓ) Î·È Á∫ ‰(modÓ), ÙfiÙ ·+Á∫ ‚+‰(modÓ), ·–Á∫ ‚–‰(modÓ) Î·È ·Á∫ ‚‰(modÓ). iii) ∞Ó ·∫ ‚(modÓ) Î·È Á ·Î¤Ú·ÈÔ˜, ÙfiÙ ·+Á∫ ‚+Á(modÓ), ·–Á∫ ‚–Á(modÓ) Î·È ·Á∫ ‚Á(modÓ). iv) ∞Ó ·∫ ‚(modÓ) Î·È ÎŒ ƒ*, ÙfiÙ ·Î∫ ‚Î(modÓ). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ‰›ÓÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙˆÓ ÈÛÔÙÈÌÒÓ.

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 1. (∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ 3) ŒÓ·˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ · ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3, ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3. ∞fi‰ÂÈÍË: ∞Ó Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘ · Â›Ó·È ·0, ·1, ·2, …, ·Ó (ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜, …), ÙfiÙÂ Ë ‰Âη‰È΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ · Â›Ó·È · = ·0+·1 Ø 10+·2 Ø 102+…+·Ó Ø 10Ó.

ÓΩ·–‚

∂›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÔÈ ÈÛÔÙÈ̛˜ 13 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

√π I ™√∆πªπ∂™

·0∫ ·0(mod3), ·1 Ø 10∫ ·1(mod3),

‚Ó = ·Ó Ø 10Ó–·Ó = ·Ó(10Ó–1) = ·Ó(100Ζ1) = ·Ó Ø 99 Ø (100Ζ1+100Ζ2+…+100+1) =

·2 Ø 102∫ ·2(mod3), …, ·Ó Ø 10Ó∫ ·Ó(mod3)

ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 11.

ÙȘ Ôԛ˜ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË Î·È ¤¯Ô˘Ì ·0+·1 Ø 10+·2 Ø 102+…+·Ó Ø 10Ó∫ ·0+·1+·2+…+·Ó(mod3)

ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÈÛÔÙÈ̛˜ ·0∫ ·0(mod11), ·1 Ø 10∫ –·1(mod11), 2 ·2 Ø 10 ∫ ·2(mod11), … , ·Ó Ø 10Ó∫ (–1)Ó·Ó(mod11)

‰ËÏ·‰‹ ·∫ ·0+·1+·2+…+·Ó(mod3)

Î·È Û˘Ó¯›˙Ô˘Ì fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 1.

‹ 3Ω·–(·0+·1+…+·Ó)

(1)

∞Ó 3Ω·, ·fi ÙËÓ (1) ÚÔ·ÙÂÈ 3Ω(·0+·1+…+·Ó). ∞Ó 3Ω(·0+·1+…+·Ó), ÙfiÙ ¿ÏÈ ·fi ÙËÓ (1) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ 3Ω·. ÕÚ· ÏÔÈfiÓ ÈÛ¯‡ÂÈ 3Ω· ¤

■

3Ω(·0+·1+…+·Ó).

™ËÌ›ˆÛË: √ÌÔ›ˆ˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Î·È ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ 9 9Ω· ¤

(M ODULO )

™ËÌ›ˆÛË: ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ 10Ó∫ 3Ó(mod 7), ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ 7Ω· ¤

7Ω(·0+3·1+32·2+…+3Ó·Ó).

■

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 3 ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ 3614 :5 Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 3614. ∞fi‰ÂÈÍË:

9Ω(·0+·1+…+·Ó).

·) ¶ÚÔÛ·ıԇ̠ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÈÛÔÙÈÌ›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 3614∫ Î(mos5) Ì 0≤Î<5,

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 2. (∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ 11) ∞Ó ·=·0+·1 Ø 10+·2 Ø 102+…+·Ó Ø 10Ó Â›Ó·È Ë ‰Âη‰È΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ·ÎÂÚ·›Ô˘ ·, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ 11Ω· ¤

11Ω(·0–·1+·2–·3+…+(–1)Ó·Ó).

ÔfiÙ ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ˘fiÏÔÈÔ Â›Ó·È Ô ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Î. πÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÈÛÔÙÈ̛˜ 32∫ 4(mod5) 33∫ 12(mod5) ‹ 33∫ 2(mod5) 34∫ 6(mod5) ‹ 34∫ 1(mod5) √ ·ÚÈıÌfi˜ 614, ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ˜ Ì ÙÔ 4, ÁÚ¿ÊÂÙ·È 614=153 Ø 4+2.

∞fi‰ÂÈÍË: ∞Ú¯Èο ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ

∂Âȉ‹

34∫

1(mod5), ¤¯Ô˘ÌÂ

·Ó Ø 10Ó∫ (–1)Ó·Ó(mod11),

(34)153∫ 1153(mod5), ‰ËÏ·‰‹ 3612∫ 1(mod5).

‰ËÏ·‰‹ Ô ·ÚÈÌfi˜ ‚Ó∫ ·Ó Ø 10Ó–(–1)Ó Ø ·Ó ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 11.

∂Ô̤ӈ˜ 3164∫ 32(mod5), ‰ËÏ·‰‹ 3614∫ 4(mod5).

●

∞Ó Ô Ó Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ‚Ó ÁÚ¿ÊÂÙ·È ‚Ó = ·Ó Ø 10Ó·Ó = ·Ó Ø (10Ó+1) = ·Ó(10+1) Ø (10Ó–1–10Ó–2+…–10+1) = 11·Ó Ø (10Ó–1–10Ó–2+…–10+1) = ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 11.

●

∞Ó Ô Ó Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜ Ì Ó=2Î(ÎŒ ƒ), ÙfiÙÂ

∏ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛÔÙÈÌ›· ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ 3614:5 Â›Ó·È 4. ‚) ∞fi ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 3614 ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ 5Ì+4, ÌŒ ƒ*. √ ·ÚÈıÌfi˜ 5Ì, ˆ˜ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 5, Ï‹ÁÂÈ Û 0 ‹ 5 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ô 3614 Ï‹ÁÂÈ Û 4 ‹ 9. ∞ÏÏ¿ Ô 3614, ˆ˜ ‰‡Ó·ÌË ÂÚÈÙÙÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, Â›Ó·È ÂÚÈÙÙfi˜ Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ 9.

◆

EÛÂȘ EÌÂȘ ÚÔÛ·ıԇ̠ڈٿÙ Ӓ ··ÓÙ‹ÛÔ˘ÌÂ

MÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ (·, ‚) Î·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0Œ (·, ‚) fiÔ˘ ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ, Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ (·, x0) Î·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (x0, ‚);*

∏ ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ·fiÛ·ÛÌ· ·fi ÙÔ «µÈ‚Ï›Ô ÙÔ˘ ¢È‰¿ÛÎÔÓÙÔ˜», ÛÂÏ. 5 ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡¯Ô˘˜.

14 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

º À™π∫∏

∫À∫§øª∞∆∞ ∂¡∞§§∞™™√ª∂¡√À ƒ∂Àª∞∆√™ TÔ˘ ª. §Ô˘‚ÂÚ‰‹, º˘ÛÈÎÔ‡

ª

¤Û· ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ó· ÌËÓ ÂÚȯ·Ú·ÎÒÓÂÙ·È Ô ˘Ô„‹ÊÈÔ˜ Î·È Ó· ÌËÓ Ù˘ÔÔÈ› ÙË ÛΤ„Ë ÙÔ˘, ·ÏÏ¿ Ó· Â›Ó·È ˘Ô„È·Ṳ̂ÓÔ˜ Î·È ¿Óˆ Û ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ¢ڇÙÂÚÔ˘ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ ÙËÓ ÂÓ·Û¯fiÏËÛ‹ ÙÔ˘ Ì ı¤Ì·Ù· Ô˘ ÍÂÂÚÓÔ‡Ó ÙËÓ ÔÚÈÔı¤ÙËÛË ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘. °È’ ·˘Ùfi ÚÔÙ›ÓÂÙ·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ı¤Ì· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û ΢ÎÏÒÌ·Ù· ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜. ÕÛÎËÛË øÌÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË, ËÓ›Ô Î·È ˘ÎÓˆÙ‹˜ ¯ˆÚËÙÈÎfi2 ÙËÙ·˜ C =

mF Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Û ÛÂÈÚ¿ Î·È ÙÔ Î‡15 Îψ̷ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÂ›Ù·È ·fi ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓË Ù¿ÛË. T· Ï¿ÙË ÙˆÓ Ù¿ÛÂˆÓ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· V0R=10
2  V, V0ËÓ=20 V Î·È V0C=30
2 V. H ÈÛ¯‡˜ Ô˘ ‰··Ó¿Ù·È ÛÙÔ ËÓ›Ô Î·È ÛÙÔ Î‡Îψ– – Ì· Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· PËÓ=20W Î·È P΢ÎÏ=40W.

§‡ÛË H ̤ÛË ÈÛ¯‡˜ ÛÙÔ Î‡Îψ̷ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË – 2 (R+R ) P΢ÎÏ=IÂÓ (1)  – 2R PËÓ = IÂÓ 

ÛÙÔ ËÓ›Ô

– 2 (R+R ) IÂÓ P΢ÎÏ  ‰È·ÈÚÒ (1)\(2) :
=

fi – 2R IÂÓ PËÓ  – – PR = PËÓ

¢I ‚) OÈ Ú˘ıÌÔ› ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜

¤ÓÙ·Û˘ ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ ¢t ¢VC ηÈ

Ù˘ Ù¿Û˘ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹. ¢t Á) N· ‚ÚÂı› Ë ÛÙÈÁÌÈ·›· ÈÛ¯‡˜ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ηıÒ˜ Î·È ÔÈ ÛÙÈÁÌÈ·›Â˜ ÈÛ¯‡˜ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ËÓ›Ô˘ ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ Î·È Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t = T\8 . ‰) H ̤ÁÈÛÙË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ËÏÂÎÙÚÈÎÔ‡ ‰›Ô˘, Î·È Ì·ÁÓËÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ Ô˘ ·ÔıË·ÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔÓ ˘ÎÓˆÙ‹ Î·È ÙÔ ËÓ›Ô. Â) °È· fiÛÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· Û ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô ÙÔ Î‡Îψ̷ ÚÔÛʤÚÂÈ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙËÓ ËÁ‹ ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓ˘ Ù¿Û˘.

ÁÈ·Ù›

– V2 PR =
ÂÓR
fi R Afi ÙȘ (3) Î·È (4) fi

R = R

(3)

– 2 P – I2 R = 20 W PR = IÂÓ ÂÓ  2 VÂÓR R=
– fi PR

R=5ø

(4)

R = R = 5 ø.

10
 2 V YÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ I0 =
0R A
=

= 2
2 R 5 H ÂÌ¤‰ËÛË ÙÔ˘ ËÓ›Ô˘ Â›Ó·È V0ËÓ = 5
2  ø. Z =
I0 ŸÌˆ˜

N· ‚ÚÂıÔ‡Ó: ·) OÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ fiÏˆÓ ÙˆÓ Ù¿ÛÂˆÓ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ηıÒ˜ Î·È Ë Â͛ۈÛË ¤ÓÙ·Û˘ ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ I=f(t) ·Ó ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t=0 Â›Ó·È Ë Ù¿ÛË ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ VC=0.

(2)

2 ZËÓ =
R 2  +(Z L) fi

2 –R2 fi ZL =
Z Ë   Ó 

ZL = 5ø

H ‰È·ÊÔÚ¿ Ê¿Û˘ Ù˘ Ù¿Û˘ ÙÔ˘ ËÓ›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Â›Ó·È Z 5  ÂÊ Ê =

L =

= 1 fi Ê =

rad. R 5 4 To Ú‡̷ ˘ÛÙÂÚ› Ù˘ Ù¿Û˘ ÙÔ˘ ËÓ›Ô˘ ηٿ /4. YÔÏÔÁ›˙ˆ ÙËÓ ÂÌ¤‰ËÛË ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ V0 ZC =
C = 15 ø I0 ‚Ú›ÛΈ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ Ê¿Û˘ Ù˘ ÔÏÈ΋˜ Ù¿Û˘ ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ ZL–ZC Ω5–15Ω ÂÊı =

=

= 1 fi R+R 5+5

 ı =

rad 4

ŒÙÛÈ ÙÔ Ú‡̷ ÚÔËÁÂ›Ù·È Ù˘ Ù¿Û˘ ηٿ /4.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

15

∫ À∫§øª∞∆∞ ∂ ¡∞§§∞™™√ª∂¡√À ƒ ∂Àª∞∆√™ Afi ÙËÓ ÂÌ¤‰ËÛË ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ÙËÓ ˆ 1 1 ZC =

fi ˆ =

fi ˆ = 500 rad/sec Cˆ ZCC

˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ L ·fi: ZL = Lˆ fi

Z 5 L =

L =

= 10–2H. ˆ 500

Œ¯ˆ ÙË Û¯¤ÛË ºÙÈ¿¯Óˆ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÚÈÛÙÚÂÊfiÌÂÓˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ Q = CVL fi

¢VC 1 ¢Q =



fi

¢t C ¢t

V0nv=20

V0L=10 2

Ê=/4

¢VC I =

fi

¢t C





  ËÌ 500t+

2
2 2 ¢VC =

=

2 ¢t

10–3 15  15
2  103 ËÌ 500t +

. 2

V0R=V0R¶=10 2

I0 ı=/4

Q VC =

fi C

V0R=V0ËÓ=20 2





Á) PËÓ = VËÓI =









3   ËÌ 500t +

= 0 20ËÌ 500t +

2
2 4 2

V0=40 V0C–V0L=20 2

PR = VRI =









  10
2  ËÌ 500t +

2
2  ËÌ 500t +

= 2 2 20 Watt

V0C=30 2

∞Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˆ˜ ·Ó·ÊÔÚ¿ ÙËÓ Ù¿ÛË ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ (t=0 fi Vc=0) ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) E·ÁˆÁÈ΋ Ù¿ÛË T¿ÛË ÛÙÔ ËÓ›Ô

PC = VCI =

VL = 10
2  ËÌ (500t+)











 30
2  ËÌ(500t) 2
2  ËÌ 500t +

2 600 Watt



3 V = 20 ËÌ 500t +

4





 T¿ÛË ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R VR = 10
2  ËÌ 500t +

2 T¿ÛË ÛÙÔÓ ˘ÎÓˆÙ‹

VC = 30
2  ËÌ 500t

T¿ÛË ÛÙÔ Î‡Îψ̷

 V = 40 ËÌ 500t +

4



P΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ = VI =





  40ËÌ 500t +

2
2  ËÌ 500t +

= 4 2 80 Watt



fiÔ˘ V0=π0Z=40 V 2+Z 2 Z =
(R + R  ø )(Z L–) C = 10
2

E͛ۈÛË ¤ÓÙ·Û˘  I = 2
2  ËÌ(500t +

) 2

1 ‰) W0L =

= 4 10–2 J 2 1 2 = 120 mJ W0C =

C V0C 2

̤ÁÈÛÙË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ì·ÁÓËÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ ̤ÁÈÛÙË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ËÏÂÎÙÚÈÎÔ‡ ‰›Ô˘

Â) ŸÙ·Ó Ë ÛÙÈÁÌÈ·›· ÈÛ¯‡˜ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈ΋ ÙfiÙ ÙÔ Î‡Îψ̷ ÚÔÛʤÚÂÈ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙËÓ ÁÂÓÓ‹ÙÚÈ·

¢I V ¢I ‚)

=

L (ÁÈ·Ù› V§ = L

) ¢t L ¢t 2 ËÌ(500t+) ¢I 10
 = 103
2  ËÌ(500t+)

=

10–2 ¢t

 2

4 2ı  t =

=
=

fi ˆ 500 1000

16 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

Ù =  Ø 10–3 sec.

◆

º À™π∫∏

™TOIXEIø¢H ¶O™A TÔ˘ £. µ·ÁÂÓ¿, º˘ÛÈÎÔ‡

1. ™TOIXEIø¢H ¶O™A (·Ú¿ÁˆÁÔ˜)

H

‰ÔÎÈÌ·Û›· Ì·˜ Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ‹ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ηıȤڈÛ ¤Ó· Ó¤Ô Ê˘ÛÈÎfi ̤ÁÂıÔ˜ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÈÛ¯‡˜. H Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ıˆÚËÙÈÎfi ÔÚÈÛÌfi ›ӷÈ:

¢W P =

. ¢t ¢w O Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜

ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÛÙÔȯÂÈ҉˜ Ô¢t Ûfi ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ô˘ ·ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÂÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÚÔ˜ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ¯ÚfiÓÔ ¢t, fiÔ˘ ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ Û ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ¢t>0. ·) ™ÙËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË Ë ÙÈÌ‹ ¢W ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: ¢W = WÙÂÏ.– W·Ú¯. E¿Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ¢W Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ¯ÚfiÓÔ ı· ¿ÚÔ˘Ì ÙË Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ Ù˘ ÈÛ¯‡Ô˜. ™›ÁÔ˘Ú· Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Ì·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ¢ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ÙÂÏÈ΋˜ ÙÈÌ‹˜ ·fi ÙËÓ ·Ú¯È΋. £· Ì·˜ ¤¯ÂÈ Ï˘ÙÚÒÛÂÈ Ë ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ·Ú·¿Óˆ Ù‡Ô˘ ηٿ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÛÙÈÁÌÈ·›·˜ ÈÛ¯‡Ô˜ ·Ó ›Û¯˘Â ¿ÓÙÔÙÂ. K·È ·˘Ùfi ı· Û˘Ó¤‚·ÈÓ ·Ó ÙÔ W ‹Ù·Ó ÁÚ·ÌÌÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ̤ÛË Î·È ÛÙÈÁÌÈ·›· ÈÛ¯‡˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. W = W0+·t. ¢Â Û˘Ì‚·›ÓÂÈ fï˜ ¿ÓÙ· ·˘Ùfi. ŒÙÛÈ: ‚) T·˘Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ¢W Ì ÙÔ ‰È·ÊÔÚÈÎfi dW οÓÔ˘Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÛΤ„Ë:

 

¢w ¢(Fs) ¢s P =

=

= F

= F˘ÛÙÈÁÌÈ·›·(¢tÆ ¢t ¢t ¢t

0).

°È· Ó· ηٷ‰ÂȯÙ› Ì ÙÔÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ ‰˘Ó·Ùfi ÙÚfiÔ Ë ÛΤ„Ë Ì·˜ ÚÔÙÈÌ‹ıËÎÂ Û·Ó ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Ì˯·ÓÈ΋ ÈÛ¯‡˜. ÀÔı¤Û·Ì fiÙÈ ÛÙÔÓ ·ÂÈÚÔÛÙfi ¯ÚfiÓÔ ¢t Ë ‰‡Ó·ÌË F ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹. ∞Ó ÙÒÚ· Ë ÚÔÛÊÔÚ¿ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÛÙ·ıÂÚ‹˜ ‰‡Ó·Ì˘

F ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È ¿ÏÈ ÛÙÈÁÌÈ·›· ÈÛ¯‡˜, ‰ÈfiÙÈ Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Î·È Û οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ·›ÚÓÂÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÙÈÌ‹. E¿Ó οÓÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜-¯ÚfiÓÔ˘ Ë ÎÏ›ÛË Ù˘ ηÌ‡Ï˘ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ÈÛ¯‡.

2. ™TOIXEIø¢H ¶O™A (ÔÏÔÎϋڈ̷) Afi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Ì˯·ÓÈÎÔ‡ ¤ÚÁÔ˘ W=FsÛ˘ÓÊ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ò˜ ı· ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›˙·Ì ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È; ™·Ó ÚÒÙË ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È fiÙÈ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÂÁ¤ıË Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È. TÔ ÂÚÒÙËÌ· Â›Ó·È Ò˜ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÁÈ· ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÂÁÂıÒÓ Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È; ¶·Ú·Ù›ıÂÓÙ·È ‰‡Ô ÁÂÓÈÎÔ› ÙÚfiÔÈ:

A) °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË E›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌÈ·˜ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ˆ, fiÙ·Ó ·˘Ùfi Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ ÌÂÁÂıÒÓ Ù· ÔÔ›· Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Ì οÔÈ· Û¯¤ÛË „=f(¯). ™Â ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· „–¯ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ „=f(¯) ÁÈ· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚] Ô˘ Ì·˜ ÂӉȷʤÚÂÈ. AÓ ¢ˆ=„i ¢¯ ÙfiÙ ˆ =  „i ¢¯ = ·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ ÌÂٷ͇ Ù˘ ηÌ‡Ï˘ Î·È ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ¯ Ì fiÚÈ· ÙȘ ¢ı›˜ ¯=· Î·È ¯=‚.

B) OÏÔÎÏËÚˆÙÈÎfi˜ ÏÔÁÈÛÌfi˜ °È· ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÙÔ ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ù˘ f ·fi ÙÔ · ¤ˆ˜ ‚

 f(x)dx Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ‚

·

Â›Ó·È ÙÔ ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Î·È ·›ÚÓÂÈ ÌfiÓÔ Ì›· ÙÈÌ‹ ÁÈ· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚].

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

17

™ ∆√πÃ∂πø¢∏ ¶ √™∞

EºAPMO°E™ „ i.

ŒÚÁÔ ‰‡Ó·Ì˘ F ÌÂÙ·‚·ÏÏfiÌÂÓ˘ Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË s ¢W=F¢s

 ¢W= F¢s

∂

· d„ dx

WÔÏ=Â F¢s

x1

x2

= ÎÏ›ÛË Ù˘ ηÌ‡Ï˘



‚

„ dx =

·

‚

x

·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fi

H ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÛΤ„˘ ÁÈ· ÌÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ¢x. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÓfiÌÔ ÙÔ˘ Hooke F=Kx. OfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: ¢W = F¢x ¤

¢W = Kx¢x ¤

 ¢W =  Kx¢x ¤

1 W =

Kx2 2

™XO§IA TÔ ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f ·fi ÙÔ · ¤ˆ˜ ÙÔ ‚ ·›ÚÓÂÈ ÌfiÓÔ Ì›· ÙÈÌ‹ ÁÈ· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚]. ™Â ·ÓÙ›ıÂÛË Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Û ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚] Â›Ó·È ÌÈ· Ó¤· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È ·›ÚÓÂÈ ¿ÂÈÚ˜ ÙÈ̤˜ ÛÙÔ [·, ‚]. Ÿˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚıËÎÂ Ë ÈÛ¯‡˜ P Â›Ó·È ÚÒÙË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ.

ii. YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÈÛ¯‡Ô˜. ¢W P =

¤ ¢W = P¢t ¤  ¢W =  P¢t. ¢t TÔ Â ·ÔÙÂÏ› ÔÏÔÎϋڈ̷ ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛË. H ¿ÛÎËÛË 20 ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘1 Â›Ó·È ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÛΤ„˘. «H ·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛË x Û ÌÈ· ÂÍ·Ó·ÁηṲ̂ÓË Ù·Ï¿ÓÙˆÛË ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË

ŒÙÛÈ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ë ÛÙÈÁÌÈ·›· ÈÛ¯‡˜ dW PÛÙÈÁÌ. =

= F˘ÛÙÈÁÌ. dt

x=x0Ë̈t.

Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ fiÔ˘ Ë ¤ÎÊÚ·ÛË ÛÙÈÁÌÈ·›Ô ¤ÚÁÔ WÛÙÈÁÌ. ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ¤ÓÓÔÈ·. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â‰Ò ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÌÂÁ¤ıË Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È, fiˆ˜ Ë Ù·¯‡ÙËÙ·, Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ¿ÂÈÚ˜ ÙÈ̤˜ ÁÈ· ÙËÓ ÈÛ¯‡. A˘Ùfi ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ Ë ÈÛ¯‡˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Î·È ·›ÚÓÂÈ ¿ÂÈÚ˜ ÙÈ̤˜ ÁÈ· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚], ·ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Â›Ó·È Ó¤· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÁÈ· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚]. °È· ·˘Ùfi ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜, fiÔ˘ ÙfiÛÔ Ë Ù¿ÛË V, fiÛÔ Î·È ÙÔ Ú‡̷ I ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, Ô ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ÈÛ¯‡Ô˜ Á›ÓÂÙ·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ·ÏÒ˜ ÙË ÛÙÈÁÌÈ·›· ÙÈÌ‹ Ù˘ Ù¿Û˘ Î·È Ù˘ ¤ÓÙ·Û˘:

AÓ Ë ÙÚÈ‚‹ F Ô˘ ·ÓÙÈÛÙ¤ÎÂÙ·È ÛÙËÓ Ù·Ï¿ÓÙˆÛË Â›Ó·È F=–b˘ fiÔ˘ b Ë ÛÙ·ıÂÚ¿ ·fiÛ‚ÂÛ˘, Ó· ‚ÚÂı› Ë ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛʤÚÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘, ·Ó¿ ·ÎÏÔ, ÁÈ· Ó· ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ·Ì›ˆÙË Ë Ù·Ï¿ÓÙˆÛË». P = F˘ ¤

P = b˘2 ¤

(1)

¢W = P ¢t ¢W = P ¢t ¤

(2) (1)

¢W = bˆ2 x20 Û˘Ó2 ˆt¢t ¤

 ¢W = bˆ2 x20 Â Û˘Ó2ˆt¢t ¤

WÔÏ =

1+Û˘Ó2ˆt bˆ2 x20 Â

¢t ¤ 2

P = VØI ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ‰ËÏ·‰‹ ‰‡Ô ÌÂÁ¤ıË Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì Û ÔÚıfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· (Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÂ›Ù·È ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘, fiÔ˘ ÌÈ· ·Ó¿ÏÔÁË Ù·ÎÙÈ΋ Ô‰ËÁ› Û ÂÛÊ·Ï̤ӷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·).

P = bˆ2 x20 Û˘Ó2 ˆt

WÔÏ = bˆ2 x20

Â

T bˆ2 x20 2 bˆ2 x20

=

¤ 2 2ˆ WÔÏ = bˆx20 .

1. º˘ÛÈ΋ °¢ §˘Î›Ԣ (BÏ¿¯Ô˜ I. - Z¿¯Ô˜ K. - KfiÎÎÔÙ·˜ ¶. - TÈÌÔı¤Ô˘ °. KÂÊ. 11 (ÛÂÏ. 417).

18 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π



1 Û˘Ó2ˆt

¢t+Â

¢t = 2 2

º À™π∫∏

iii. £ÂÚÌfiÙËÙ· Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Û ÌÈ· ˆÌÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ¢Q =

I2 R¢t

 ¢Q =  ¤

¢È·ÈÚԇ̠ÙȘ 1 Î·È 2 ηٿ ̤ÏË: Q R

1 =

1 ¤ Q2 R2

I2R¢t.

Q2(R1+R2) QÔÏ =

R2

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› fiÙ·Ó I=I0Ë̈t. QÔÏ = Â

1–Û˘Ó2ˆt I20 ËÌ2 ˆt R ¢t = Â I20

R ¢t 2

QÔÏ = Â

R R I2 I20

¢t – Â I20

Û˘Óˆt ¢t =
0
 2 2 2R

¢t – 0

H ηÙËÁÔÚ›· ·˘Ù‹ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ȉȷ›ÙÂÚË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ÔÛÒÓ.

2

I 0R T QÔÏ =

2

ÕÛÎËÛË ™ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô ‰È·ÎfiÙ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË 1, ÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ÊfiÚÙÈÛ˘ ¤¯ÂÈ ÙÂÏÂÈÒÛÂÈ Î·È Ë ·ÔıËÎÂ˘Ì¤ÓË ÛÙÔ ËÏÂÎÙÚÔÛÙ·ÙÈÎfi ‰›Ô ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Â›Ó·È W=40 mJ. º¤ÚÓÔ˘Ì ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ ‰È·ÎfiÙË ÛÙË ı¤ÛË 2. N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ıÂÚÌfiÙËÙ˜ Q1, Q2 Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·È ÛÙȘ

iv. K·Ù¿ ÙËÓ Î›ÓËÛË Ú¿‚‰Ô˘ K§ Û ÔÌÔÁÂÓ¤˜ Ì·ÁÓËÙÈÎfi ‰›Ô ·ÊÔ‡ ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ÔÚȷ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· Û ·fiÛÙ·ÛË h, Ù· ÔÛ¿ ıÂÚÌfiÙËÙ· ÛÙȘ R1, R2 ›ӷÈ: ¢Q1 = I2 R1 ¢t ¤

 ¢Q1 =  I2 R1 ¢t ¤

·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘

Q1 = R1 Â I2 ¢t ¢Q2 = I2 R2 ¢t ¤

ÂÎÊfiÚÙÈÛ˘. ¢›ÓÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ R

1=4. R2

(1)

 ¢Q2 =  I2 R2 ¢t ¤

Q2 = R2 Â I2¢t

(2)

R1

B

Q1+Q2 R1+R2

=

¤ Q2 R2

R1

1

B

E R2

R2

˘ÔÚ

◆

¶§HPEI™ ™EIPE™ ºY™IKH™ ÁÈ· ÙȘ ¢¤Û̘

TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ

C

h

R2

ΠETPOY Γ. IAKΩBOY

R1

2

AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ Π. IAKΩBOY

Γ. ΓIOYBANOY∆HΣ ΦYΣIKH Γ' ΛYKEIOY °ÈÒÚÁÔ˘ °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë

ΠETPOY Γ. IAKΩBOY

ΠETPOY Γ. IAKΩBOY

AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ

°' §˘Î›Ԣ

EPΩTHΣEIΣ KPIΣEΩΣ και ΓPAΦIKEΣ ΠAPAΣTAΣEIΣ στη ΦYΣIKH Γ' ΛYKEIOY

TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ

Eργο - Eνεργεια Oρµη - Kρουση - Mελετη κινησης κεντρου µαζας Πεδια δυναµεων - ∆ορυφοροι Bολες Φυσικη ερµηνεια ανωτερου µαθηµατικου λογισµου Mελ$τη γραφικων παραστασεων dψ ––*ψ = γ Λυση της διαφορικης εξισωσης α + dx

Περιχει λα τα κεφ λαια 1-12 ✓ ŸÏË Ë ıˆڛ· ·Ó·Ï˘Ì¤ÓË Û ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ✓ T˘ÔÏfiÁÈÔ ✓ ™ÙÔȯ›· ıˆڛ·˜ Ì ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ✓ MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ✓ 110 ˘Ô‰ÂÈÁÌ·ÙÈο & ÌÂıÔ‰Èο Ï˘Ì¤Ó˜ ·Û΋ÛÂȘ ✓ 33 ‰È‰·ÁÌ·Ù¿ÎÈ· ✓ 600 ¿Ï˘Ù˜ ·Û΋ÛÂȘ Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ ✓ ŸÏ· Ù· £¤Ì·Ù· ıˆڛ·˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÈ Û ¶·ÓÂÏÏ·‰ÈΤ˜ EÍÂÙ¿ÛÂȘ

ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ

TOMOΣ A'

Γ' EK∆OΣH

Hλεκτρικ0 κυκλ4µατα συνεχο6ς ρε6µατος (M7νιµη - Mετα*ατικ8 κατ0σταση) Hλεκτροµαγνητικ8 Eπαγωγ8 Eναλλασσ7µενα ρε6µατα Hλεκτροµαγνητικ8 θεωρ9α

EΉfiÛÂȘ Z‹ÙË

£ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË

Θερµοδυναµικ8 Kινητικ8 θεωρ9α των αερ9ων Tαλαντ4σεις

ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ K6µατα TOMOΣ B'

EK∆OΣEIΣ ZHTH

ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ

TOMOΣ Γ'

EK∆OΣEIΣ ZHTH

YΠO EK∆OΣH: Π. ΙAKΩBOY, ΦYΣIKH B' ΛYKEIOY (για το ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ) Γ. ΓIOYBANOY∆H, ΦYΣIKH B' ΛYKEIOY (για το ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ)

Γ. ATPEI∆HΣ ΦYΣIKH (1η-2η ∆EΣMH) T.1: MHXANIKH, T.2: HΛEKTPIΣMOΣ Yπ κδοση: T.3: ΘEPMO∆YNAMIKH, NOMOI AEPIΩN TAΛANTΩΣEIΣ, KYMATA

19 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

;;; ;; ;; ;; ;; ;;;; ;;; ;; ;;

º À™π∫∏

KINH™H ™øMATO™ Û OPIZONTIO Î·È KEK§IMENO E¶I¶E¢O

;;; ;;;

°È· Ì·ıËÙ¤˜ ·fi ÙËÓ A’ ̤¯ÚÈ Î·È ÙË °’ §˘Î›Ԣ TÔ˘ °. AÙÚ›‰Ë, º˘ÛÈÎÔ‡

ÙÔ Ù‡¯Ô˜ ·˘Ùfi ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙËÓ Î›ÓËÛË ÛÒÌ·ÙÔ˜ ¿Óˆ Û ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ ‹ ÎÂÎÏÈ̤ÓÔ Â›‰Ô. T· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Â›Ó·È Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈο ÂÂȉ‹ Û˘Ó‰˘¿˙Ô˘Ó ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ Î·È ÙËÓ ÎÈÓËÙÈ΋ Ù˘ A’ Ï˘Î›Ԣ, ÌÔÚÔ‡Ó fï˜ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Î·È Ì ÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ÂÓÂÚÁÂÈÒÓ.

™

A˜ ÂÂÍÂÚÁ·ÛÙԇ̷̠ıËÌ·ÙÈο ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Úfi‚ÏËÌ·. N

F

T

A’ ÙÚfiÔ˜ B

(MÂϤÙË Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ Î·È ÎÈÓËÙÈ΋˜) ™ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÙˆÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ÙÔ ÎÏÂȉ› Ù˘ ¿ÛÎËÛ˘ Â›Ó·È Ô ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ (‹ ÂÈ‚Ú¿‰˘ÓÛ˘) ηٿ ÙËÓ Î›ÓËÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. £· ÍÂÎÈÓ‹ÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ ÁÈ· ¤Ó· ÛÒÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÎÈÓÂ›Ù·È Û ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ Â›Â‰Ô Ì ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË ÌÈ·˜ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·˜ ‰‡Ó·Ì˘ F Î·È Ù˘ ÙÚÈ‚‹˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ EÎϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. O ¤Ó·˜ ¿ÍÔÓ·˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙË ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ΛÓËÛ˘ Î·È Ô ¿ÏÏÔ˜ οıÂÙÔ˜ ÛÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ. ñ ™ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ˜ ÛÙËÓ Î›ÓËÛË Ë Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. Afi ÙË Û˘Óı‹ÎË ·˘Ù‹ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË ·ÓÙ›‰Ú·ÛË (N). ñ YÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÙÚÈ‚‹ ·fi ÙÔ ÓfiÌÔ Ù˘ ÙÚÈ‚‹˜ T = nN. ñ AÊÔ‡ ÙÔ ÛÒÌ· ÎÈÓÂ›Ù·È ÂÈÙ·¯˘ÓfiÌÂÓÔ, ·fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÓfiÌÔ ÙÔ˘ N‡وӷ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Ë Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ·˘Ùfi Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ mÁ. ñ YÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·˜ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÌÔÚԇ̠ӷ ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÛÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠·˘Ù¿ Ô˘ Ì·˜ ˙ËÙ¿ÂÈ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·. ☛ ¶PO™E•E: AÓ ÙÔ ÛÒÌ· ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ·, ÙfiÙÂ Î·È ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Ù˘ ΛÓËÛ˘ Ë Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó.

20

H ΛÓËÛË Á›ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ ¿ÍÔÓ·. EÎϤÁÔ˘Ì ¤Ó·Ó ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ Î·È ¤Ó· ηٷÎfiÚ˘ÊÔ ¿ÍÔÓ·. ™ÙÔÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊÔ ¿ÍÔÓ· ¤¯Ô˘Ì ™F„ = 0 fi

N–B=0 fi

N=B fi

N = mg.

Afi ÙÔ ÓfiÌÔ Ù˘ ÙÚÈ‚‹˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: T = nN = nmg*. °È· Ó· ÎÈÓËı› ÙÔ ÛÒÌ· ÂÈÙ·¯˘ÓfiÌÂÓÔ ı· Ú¤ÂÈ F > T. ™ÙÔÓ ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ ¿ÍÔÓ· ¤¯Ô˘Ì : F–T Á =

. m K¿ÓÔÓÙ·˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÙËÓ ÙÚÈ‚‹ ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: ™Fx = mÁ fi

F – T = mÁ fi

F – nmg Á =

. m ¶Úfi‚ÏËÌ· ™ÒÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ Ì¿˙· m=4 kgr ËÚÂÌ› Û ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ Â›‰Ô. ™ÙÔ ÛÒÌ· ·ÛÎÂ›Ù·È ‰‡Ó·ÌË F=20 N Ë ÔÔ›· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÁˆÓ›· Ê=30Æ Ì ÙÔ ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ Â›Â‰Ô ÁÈ· ¯ÚfiÓÔ t1=5 sec. O Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÚÈ‚‹˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È n=0,15. N· ‚Ú›Ù fiÛÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ı· ¤¯ÂÈ ‰È·Ó‡ÛÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· ̤¯ÚÈ Ó· ÛÙ·Ì·Ù‹ÛÂÈ. ¢›ÓÂÙ·È g=10 m/sec2. §‡ÛË ™ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ ÛÒÌ· ÂÎÙÂÏ› ‰‡Ô ÎÈÓ‹ÛÂȘ. ™ÙÔ ¯ÚfiÓÔ t1 Ô˘ ı· Âȉڿ ¿Óˆ ÙÔ˘ Ë ‰‡Ó·ÌË F ı· ÂÈÙ·¯‡ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË Ù˘ Û˘ÓÈ-

* AӷʤÚÂÙ·È ÛÙËÓ ÙÚÈ‚‹ ÔÏ›ÛıËÛ˘

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

º À™π∫∏ Ûٷ̤Ó˘ Fx–T1. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·˘Ùfi ı· ÂÈ‚Ú·‰‡ÓÂÙ·È ˘fi ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË Ù˘ T2. °È· ÙËÓ ÂÈÙ·¯˘ÓfiÌÂÓË Î›ÓËÛË ¤¯Ô˘Ì ™F„ = 0 fi

N + F„ – B = 0 fi

™Fx = mÁ fi

N = B – F„

Fx–T1 = mÁ

(2)

T1

N¢

Fx

(Γ)

S1 (A)

S2 B

B

ηÈ

S = S1 + S2 = 145,33 m.

(EÓÂÚÁÂȷο) AÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ì ‚ÚÂÈ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (°) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (£MKE) ÁÈ· ÙËÓ Î›ÓËÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·fi ÙÔ (A) ÛÙÔ (°).

(∆)

T2

= 170,66–85,2267 = 85,33 m

B’ ÙÚfiÔ˜

u0

F

1 1 S2 = ˘0t2 –

Á2t2 = 16 Ø 10,66 –

Ø 1,5 Ø 10,662 = 2 2

(1)

N Fy

Î·È ÙÔ S2 ı· ›ӷÈ:

0 Ex(A) +WF+WT = Ex(°) fi 1

°È· ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Fx Î·È F„ ¤¯Ô˘ÌÂ:

ηÈ

1 F Ø S1Û˘Ó30Æ–T1S1 =

m˘20 fi 2 fi

20
3  Fx = FÛ˘Ó30Æ =

= 10
3 N 2

(3)

1 F„ = FËÌ30Æ = 20

= 10 N. 2

(4)


3  1 20S1

– 4,5S1 =

Ø 4 Ø 162 fi 2 2 fi

fi

Afi ÙȘ (1) Î·È (4) ¤¯Ô˘ÌÂ:

10
3 S1 – 4,5S1 = 512 fi

Î·È Ì £MKE ·fi ÙÔ (°) ̤¯ÚÈ ÙÔ (¢) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ S2.

N = B – F„ = mg – F„ = 40 – 10 = 30 N ηÈ

Ex(°) + WT2 = Ex(¢) fi

T1 = nN = 0,15 Ø 30 = 4,5 N Afi ÙËÓ (2) ·›ÚÓÔ˘ÌÂ: Fx–T1 Á1 =

fi m

S1 = 40 m

10
 3–4,5 Á1 =

= 3,2 m/sec2 4

fi

1

Ø 4 Ø 162 = 6 Ø S2 fi 2 fi

S2 = 85,33 m

1 2

m˘0 – T2S2 = 0 fi 2 512 = 6 Ø S2

TÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ÛÙËÓ ÂÈÙ·¯˘ÓfiÌÂÓË Î›ÓËÛË ı· ›ӷÈ: 1 2 S1 =

Á1t1 fi 2

ηÈ

S = S1+S2 = 145,33 m.

S1 = 40 m.

H Ù·¯‡ÙËÙ· ÙËÓ ÔÔ›· ı· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· ›ӷÈ:

ñ K›ÓËÛË Û ÎÂÎÏÈ̤ÓÔ Â›‰Ô

˘0 = Á1t1 = 3,2 Ø 5 = 16m/sec.

™ÙÔ ÎÂÎÏÈ̤ÓÔ Â›Â‰Ô Û˘Ó‹ıˆ˜ ÍÂÎÈÓ¿Ì Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÓ¤ÚÁÂȘ:

°È· ÙËÓ ÂÈ‚Ú·‰˘ÓfiÌÂÓË Î›ÓËÛË ¤¯Ô˘ÌÂ: ™F„ = 0 fi ™Fx = mÁ2 fi

N¢ – B = 0 fi –T2 = mÁ2 fi

N¢ = B T2 Á2 = –

m

T2=nN¢ = nB = nmg = 6N

ηÈ

(5) (6)

Afi ÙȘ (5) Î·È (6) ¤¯Ô˘ÌÂ: Á2 = –1,5 m/sec2. O ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÁÈ· Ó· ÛÙ·Ì·Ù‹ÛÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜. ŸÙ·Ó ÛÙ·Ì·Ù¿ÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· Ë ÙÂÏÈ΋ Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ˘ = ˘0 – Á2t2 fi fi

˘0 t2 =

fi Á2

0 = ˘0–Á2t2 fi

Á2t2 = ˘0 fi

16 t2 =

= 10,66 sec 1,5

ñ EÎϤÁÔ˘Ì ‰˘Ô ¿ÍÔÓ˜. ŒÓ· ·Ú¿ÏÏËÏÔ Ì ÙÔ ÎÂÎÏÈ̤ÓÔ Â›Â‰Ô Î·È ¤Ó· οıÂÙÔ Û’ ·˘ÙfiÓ. ñ AÓ·Ï‡Ô˘Ì fiϘ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿Óˆ ÛÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ ·˘ÙÔ‡˜ (fiÛ˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó¿Ï˘ÛË). ñ ™ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· „ ·›ÚÓÔ˘Ì ™F„ = 0 Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË N. ñ BÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙËÓ ÙÚÈ‚‹ ·fi ÙÔ ÓfiÌÔ T = nN. ñ AÓ ÙÔ ÛÒÌ· ÎÈÓÂ›Ù·È ÂÈÙ·¯˘ÓfiÌÂÓÔ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x ·›ÚÓÔ˘Ì ™Fx = mÁ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË Á. ñ XÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ٷ ÌÂÁ¤ıË Ô˘ ˙ËÙ¿ÂÈ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

21

∫ π¡∏™∏ ™ øª∞∆√™

™∂

√ ƒπ∑√¡∆π√

∫∞π

∫ ∂∫§πª∂¡√ ∂ ¶π¶∂¢√ ™Fx = mÁ fi

☛ ¶PO™OXH: AÓ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x Ë Î›ÓËÛË Â›Ó·È ÔÌ·Ï‹, ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È Û’ ·˘ÙfiÓ ™Fx = 0. fi

–Bx–T = mÁ fi

–mgËÌÊ–nmgÛ˘ÓÊ = mÁ.

K·È Á = –gËÌÊ – ngÛ˘ÓÊ = –5,866 m/sec2. ¶Úfi‚ÏËÌ· ŒÓ· ÛÒÌ· ‚¿ÏÏÂÙ·È ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Û ÎÂÎÏÈ̤ÓÔ Â›Â‰Ô Ì ·Ú¯È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ˘0 = 10 m/sec. O Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÚÈ‚‹˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È n = 0,1 Î·È Ë ÎÏ›ÛË ÙÔ˘ ÎÂÎÏÈ̤ÓÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ê=30Æ. N· ‚ÚÂı› ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ı· ‰È·Ó‡ÛÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· ̤¯ÚÈ Ó· ÛÙ·Ì·Ù‹ÛÂÈ. §‡ÛË A’ ÙÚfiÔ˜ Afi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯Ô˘Ì ÁÈ· ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜: Bx = mgËÌÊ Î·È B„ = mgÛ˘ÓÊ. N – B„ = 0 fi

˘20 = 8,52m. S =

2Á ñ MÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙȘ ÁÂÓÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ù˘ ÂÈ‚Ú·‰˘ÓfiÌÂÓ˘ ΛÓËÛ˘. 1 ˘ = ˘0–Át Î·È S = ˘0t –

Át2 2 ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ ·fi ÙËÓ ÚÒÙË ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Î·È ·fi ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ·. B’ ÙÚfiÔ˜ XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ıÂÒÚËÌ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÈ· ÙȘ ı¤ÛÂȘ (A) Î·È (°) ·›ÚÓÔ˘ÌÂ:

™ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ „ ¤¯Ô˘ÌÂ: ™F„ = 0 fi

Afi ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ÔÏÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÛÙËÓ ÂÈ‚Ú·‰˘ÓfiÌÂÓË Î›ÓËÛË ¤¯Ô˘ÌÂ:

N = B„ = mgÛ˘ÓÊ.

Ex(A) + WB + WT = Ex(°) fi x

(Γ)

fi

N

φ

T

u0

1 2

m˘0 – mgËÌÊS – nmgÛ˘ÓÊS = 0 fi 2 fi

Bχ Bψ φ

1 2

m˘0 – Bx Ø S – T Ø S = 0 fi 2

1 2

m˘0 = mgS(ËÌÊ+nÛ˘ÓÊ) fi 2 fi

˘20 S =

= 2g(ËÌÊ + nÛ˘ÓÊ)

B

fi

(A)

Afi ÙÔ ÓfiÌÔ Ù˘ ÙÚÈ‚‹˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: T = nN = nmgÛ˘ÓÊ. ™ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ x ¤¯Ô˘ÌÂ

102 =


= 8,52 m. 1
3  2Ø10

+ 0,1

2 2



22 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π



◆

º À™π∫∏

¶YPHNIKA ATYXHMATA KAI PA¢IO§O°IKE™ E¶I¶Tø™EI™. H ¶EPI¶Tø™H T™EPNOM¶I§ TÔ˘ K. ¶··ÛÙÂÊ¿ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ ¶˘ÚËÓÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÛÙÔ A.¶.£.

M

¤Û· ÛÙË ‰‡ÓË ÙˆÓ Î·ÈÚÒÓ Ì·˜, ÙˆÓ ÔÏÂÌÈÎÒÓ ÂÍÔÏÈÛÌÒÓ Î·È ·ÓÙ·ÁˆÓÈÛÌÒÓ, ÙÔ˘ ÔϤÌÔ˘ ÙˆÓ ¿ÛÙÚˆÓ Î·È ÙˆÓ ˘ÚËÓÈÎÒÓ ‰ÔÎÈÌÒÓ, ¤Ó· ˘ÚËÓÈÎfi ·Ù‡¯ËÌ· Û˘ÓÙ¿Ú·Í ÙËÓ ·ÓıÚˆfiÙËÙ· ÔÏfiÎÏËÚË Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ ÌÈ· ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÂÓfi˜ ÂÈÎÂÈ̤ÓÔ˘(;) ˘ÚËÓÈÎÔ‡ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ Ô˘ Ì·˜ ÂÈÊ˘Ï¿ÛÛÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ˘ÚËÓÈÎÒÓ ÔÏÔÛÙ·Û›ˆÓ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ù˘ Á˘ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Î·È ÌÈÎÚÒÓ. °È·Ù› ¤¯Ô˘Ó Î·È ÔÈ ÌÈÎÚÔ› ÌÂÁ¿Ï· ÔÔÏÔÛÙ¿ÛÈ·. TÔ TÛÂÚÓÔÌ›Ï ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ Î·È ¿ÛËÌË ˆ˜ ¯Ù˜ fiÏË Ù˘ ™Ô‚ÈÂÙÈ΋˜ ŒÓˆÛ˘, 160 ÂÚ›Ô˘ ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· ‚fiÚÂÈ· ÙÔ˘ KȤ‚Ô˘ ÛÙËÓ K·Ú‰È¿ Ù˘ O˘ÎÚ·Ó›·˜, ¤ÛÙËÛ ÙËÓ ÈÔ ÌÂÁ¿ÏË ÙÔ˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì ÌÈ· ÌfiÓÔ Ú¿ÍË: ŒÎÚËÍË Î·È Ù‹ÍË ÙÔ˘ ·ÓÙȉڷÛÙ‹Ú·, Ô˘ ·fi Ù· ÛˆıÈο ÙÔ˘ Ù›Ó·Í „ËÏ¿ ÛÙÔ˘˜ ·Èı¤Ú˜ Ù· Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ¿ ÚÔ˚fiÓÙ·, Ó¤ÊÔ˜ ÙÂÚ¿ÛÙÈÔ, ˘ÚËÓÈÎfi Î·È ÛÎfiÚÈÛ ÛÙÔ˘˜ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÔÚ›˙ÔÓÙ˜ ÙË Û˘ÌÊÔÚ¿. H ¶˘ÚËÓÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÁÈ· ÙËÓ EÈÚ‹ÓË Î·È Ë EÈÚ‹ÓË ÁÈ· ÙÔÓ ·Ê·ÓÈÛÌfi. ¶fiÛÔ ·Ú¿Ë¯· ·ÎÔ‡ÁÂÙ·È! TÔ ˘ÚËÓÈÎfi ·Ù‡¯ËÌ· ÙÔ˘ TÛÂÚÓÔÌ›Ï ¤Ú·ÛÂ Û·Ó ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛÙ· ¯ÚÔÓÈο Ù˘ ¶˘ÚËÓÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. KÈ ›Ûˆ˜ ÁÈ’ ·˘Ùfi ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΠηÈÚfi˜ Ôχ˜ ÁÈ· Ó· ÂÎÙÈÌËı› ÙÔ Ì¤ÁÂıfi˜ ÙÔ˘, ÔÈ ÂÈÙÒÛÂȘ ÙÔ˘. AÓ ÚÈÓ ·fi ÙÔ ·Ù‡¯ËÌ· ›¯Â ÂÚˆÙËı› ˘ÚËÓÈÎfi˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜-ۯ‰ȷÛÙ‹˜ ˘ÚËÓÈÎÔ‡ ÂÚÁÔÛÙ·Û›Ô˘, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ÁÈ· ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ·Ù‡¯ËÌ· ‰›ÓÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘ fiÏÔ ÙÔ ÛÂÓ¿ÚÈÔ fiˆ˜ ÚfiÛÊ·Ù· ÁÚ¿ÊÙËÎÂ, ı· ’ÏÂÁ 1:1.000.000 Î·È ›Ûˆ˜ 1:10.000.000. TÔ ·Ù‡¯ËÌ· ¤ÁÈÓÂ Î·È Ë Ôχ ÌÈÎÚ‹, ·Û‹Ì·ÓÙË, ÏËÓ fï˜ ˘·ÚÎÙ‹ Èı·ÓfiÙËÙ· ¤ÁÈÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·. 437 Â›Ó·È Ù· ˘ÚËÓÈο ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈ· Ô˘ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó Û‹ÌÂÚ· ¿Óˆ ÛÙË °Ë Î·È ¿ÏÏ· 39 ˘fi ηٷÛ΢‹* ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÙË ÌÈÎÚ‹ ·˘Ù‹ Èı·ÓfiÙËÙ· Î·È ·˘Í¿ÓÔ˘Ó ÙÔÓ Î›Ó‰˘ÓÔ ÁÈ· Ó¤· TÛÂÚÓÔÌ›Ï –ÚÔÛÊÔÚ¿ ÛÙȘ ÂÂÚ¯fiÌÂÓ˜ ÁÂÓ¤˜ ÁÈ·Ù› fi¯È Î·È ÛÙËÓ ·ÚÔ‡Û·. ¶ÔÈÔ˜ › ˆ˜ Ì·˜ ‹Ù·Ó ·ÚÎÂÙfi! H ‰È΋ Ì·˜ ¯ÒÚ· ÂÚÈÛÙÔȯÈṲ̂ÓË ·fi 7 ˘ÚËÓÈο ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈ·, 6 ÛÙË ÁÂÈÙÔÓÈ΋ BÔ˘ÏÁ·Ú›· Î·È 1 ÛÙË °ÈÔ˘ÁÎÔÛÏ·‚›· ‰ÂÓ ‰È·Ê¤ÚÂÈ Î·È Ôχ ·fi ÙÔ Ó¿ ’¯ÂÈ Ë ›‰È· ¤ÛÙˆ Î·È ¤Ó· ‰ÈÎfi Ù˘. ŸÔÈ· Î·È ·Ó Â›Ó·È Ù· ·›ÙÈ· ÙÔ˘ ˘ÚËÓÈÎÔ‡ ·Ù˘¯‹Ì·ÙÔ˜, Î·È ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏÏ¿, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·È ÙfiÛË ÔÏÏ‹ ÛËÌ·Û›· Ó· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó Î·È Ó· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Â‰Ò. EÌ›˜ Â‰Ò ı· Ô‡ÌÂ, ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ù‡¯ËÌ· ÁÈ· ÙËÓ EÏÏ¿‰·, ÙÔÓ EÏÏËÓÈÎfi ÏËı˘ÛÌfi, ÂÌ¿˜ fiÏÔ˘˜. ¶·Ú¿ ÙȘ fiÔȘ ÂÈÙÒÛÂȘ, fiˆ˜ „˘¯ÔÏÔÁÈΤ˜, ÔÈÎÔÓÔÌÈΤ˜ (οÌÔÛ· ‰È˜ Ù˘ EıÓÈ΋˜ ÔÈÎÔÓÔÌ›·˜) ı· ÙȘ ·ÓÙÈ·Ú¤ÏıÔ˘Ì ÁÈ· Ó· Ì›ÓÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÛÙȘ Ú·‰ÈÔÏÔÁÈΤ˜ ÂÈÙÒÛÂȘ. TÔ ·Ù‡¯ËÌ· ÙÔ˘ TÛÂÚÓÔÌ›Ï ¤ÁÈÓ ˆ˜ ÁÓˆÛÙfi ÙËÓ 01:23 ÙÔ˘ ™·‚‚¿ÙÔ˘ 26 AÚÈÏ›Ô˘ 1986 Û‡Ìʈӷ Ì ٷ Â›ÛËÌ· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È Û ¤ÎÚËÍË Î·È Ù‹ÍË ÙÔ˘ ·ÓÙȉڷÛÙ‹Ú· NÔ. 4 ÈÛ¯‡Ô˜ 1 GWe, Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ÛÙÔ TÛÂÚÓÔÌ›Ï Ô˘ ¿Ú¯ÈÛ ӷ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ÙÔ 1984 (O NÔ. 1 ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ·fi ÙÔ 1978). EÙ¿ ¯ÚfiÓÈ· ÚÈÓ, ÛÙȘ 28 M·ÚÙ›Ô˘ 1979 ›¯Â ÚÔËÁËı› ÙÔ ·Ù‡¯ËÌ· ÙÔ˘ Three Mile Island Ù˘ ÔÏÈÙ›·˜ ¶ÂÓÛ˘Ï‚¿ÓÈ· (H¶A) ηÈ

·ÎfiÌ· ηϿ ηϿ ‰ÂÓ ÙÔ ¤¯Ô˘Ì Í¯¿ÛÂÈ. NˆÚ›˜ ÙËÓ ¢Â˘Ù¤Ú· 28 AÚÈÏ›Ô˘ 1986 ÛÙËÓ O˘„¿Ï· Ù˘ ™Ô˘Ë‰›·˜, ÛÙȘ 9 .Ì. Ù¯ÓÈÎÔ› ¶˘ÚËÓÈÎÔ‡ ÂÚÁÔÛÙ·Û›Ô˘ 100 ÂÚ›Ô˘ ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· ‚fiÚÂÈ· Ù˘ ™ÙÔίfiÏÌ˘ ·Ú·Ù‹ÚËÛ·Ó ÛÙ· fiÚÁ·Ó· ÂϤÁ¯Ô˘ Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙÔ˜ ·Û˘Ó‹ıÈÛÙË ·‡ÍËÛË, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÚÔοÏÂÛ ¤ÓÙÔÓË ·Ó·Ù·Ú·¯‹ ˆ˜ οÙÈ Û˘Ó¤‚·ÈÓ ÛÙÔ ‰ÈÎfi ÙÔ˘˜ ÛÙ·ıÌfi. °Ú‹ÁÔÚ· ‰È·›ÛÙˆÛ·Ó ˆ˜ οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ‰ÂÓ Û˘Ó¤‚·ÈÓÂ Î·È ‰ÂÓ ¿ÚÁËÛ·Ó Ó· ÂÓÙÔ›ÛÔ˘Ó ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË Ù˘ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·˜ Î·È Ó· ÙËÓ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ó ÓÔÙÈ·Ó·ÙÔÏÈο Ù˘ ¯ÒÚ·˜ ÙÔ˘˜. H ¤ÓÙ·ÛË Ù˘ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·˜ ‰ÂÓ ¤¯·Ó ÙÔ Î·ÈÚfi Ù˘. °Ú‹ÁÔÚ· ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙËÎÂ, ÙÚÈÏ·ÛÈ¿ÛÙËÎÂ, ›Ûˆ˜ ÂηÙÔÓÙ·Ï·ÛÈ¿ÛÙËΠ(;) fiˆ˜ ÁÚ¿ÊËΠ·fi ÔÚÈṲ̂Ó˜ ËÁ¤˜. T· ηÈÚÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ¤·ÈÍ·Ó ÙÔÓ ÚˆÙ‡ÔÓÙ· ÚfiÏÔ. ¶Ó¤ÔÓÙ·˜ ‚ÔÚÂÈÔ‰˘ÙÈÎÔ› ¿ÓÂÌÔÈ, ›Ûˆ˜ Â›Ó·È Î·È ÔÈ ÂÈÎÚ·Ù¤ÛÙÂÚÔÈ Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜, ÁÚ‹ÁÔÚ· ÌÂÙ¤ÊÂÚ·Ó ÙÔ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi Ó¤ÊÔ˜ ̤۷ Û 2 ̤Ú˜ ÛÙË ™Ô˘Ë‰›·. ™ÙȘ Âȉ‹ÛÂȘ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÙËÏÂÔÙÈÎÒÓ ‰ÈÎÙ‡ˆÓ ¤ÁÈÓ˜ ·Ì¤Ûˆ˜ ÚÒÙÔ ı¤Ì·. KÈ Ô ıfiÚ˘‚Ô˜ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ·Ù‡¯ËÌ· fiÏÔ Î·È ÌÂÁ¿ÏˆÓÂ. TÔ EÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ ¶˘ÚËÓÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ˘ ¶·Ó/Ì›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢ Ì ¤Ó· Ôχ ηϿ ÂÍÔÏÈṲ̂ÓÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁÒÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ ¤Ú¢ӷ˜ ÛÙË P·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ¶ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙÔ˜ Î·È ÙË P·‰ÈÔ-ÔÈÎÔÏÔÁ›·, ÂÓÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȤ˜ ÙÔ˘ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁÔ‡ Ó¤ÊÔ˘˜, ¤ÛÙËÛ ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·fi Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·Ó›¯Ó¢Û˘ Î·È Ì¤ÙÚËÛ˘ ÙˆÓ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁÒÓ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏÈÒÓ, fiÏˆÓ ÙˆÓ ÂȉÒÓ ÙˆÓ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏÈÒÓ, Ô˘ ÂÎ¤ÌÔÓÙ·È ·fi Ù· Ú·‰ÈÔÓÔ˘ÎÏ›‰È· ÙÔ˘ ˘ÚËÓÈÎÔ‡ Ó¤ÊÔ˘˜. M¤¯ÚÈ Î·È ÙÔ ÌÂÛË̤ÚÈ Ù˘ ¶·Ú·Û΢‹˜ 2 M·˝Ô˘ 1986, ‰ÂÓ ˘‹Ú¯Â ÛÙȘ ÂÁÁڷʤ˜ ÙˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ ̤ÙÚËÛ˘ ηÌÈ¿ ¤Ó‰ÂÈÍË Ô˘ Ó· ÈÛÙÔÔÈ› ÙËÓ Â›ÛÎÂ„Ë ÙÔ˘ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁÔ‡ Ó¤ÊÔ˘˜ ÛÙËÓ EÏÏ¿‰·. TÔ ‚Ú¿‰˘ fï˜ Ù˘ ¶·Ú·Û΢‹˜ Á‡Úˆ ÛÙȘ 8Ì.Ì. ·˘Ù‹ Ë ·‡ÍËÛË Ô˘ ÔÙ¤ ‰Â ı· ı¤Ï·Ì ӷ ‰Ô‡Ì ‹Ù·Ó ÁÂÁÔÓfi˜. E‰Ò ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ˘‹ÚÍÂ Û˘Ìʈӛ· Ì ÙÔ ¯¿ÚÙË Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙȘ ÙÚԯȤ˜ ÙÔ˘ Ó¤ÊÔ˘˜ ·fi 26 AÚÈÏ›Ô˘ ˆ˜ ÙËÓ 1Ë M·˝Ô˘ 1986 fiˆ˜ ‰ËÌÔÛȇıËΠ·fi ÂÚ¢ÓËÙÈÎfi ΤÓÙÚÔ Ù˘ K·ÚÏÛÚԇ˘, ¢˘Ù. °ÂÚÌ·Ó›·˜. ŒÙÛÈ, ÛÙȘ 9Ì.Ì. ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙËÎÂ Ë Û˘ÓËıÈṲ̂ÓË ¤Ó‰ÂÈÍË ÙˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ, ·˘Ù‹ Ô˘ ϤÌ «º˘ÛÈ΋ P·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·» Ô˘ Â‰Ò Î·È ¯ÚfiÓÈ· ÚÈÓ ·’ ÙÔ ·Ù‡¯ËÌ· ‰ÂÓ ·ÚÔ˘Û›·˙ η̛· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ·˘ÍÔÌ›ˆÛË, ÂÓÒ ÙÔ ™¿‚‚·ÙÔ 3 M·˝Ô˘ 1986 ÒÚ· 1.30Ì.Ì. ¤ÁÈÓ ÙÚÈÏ¿ÛÈ·, ÁÈ· Ó· ÙÂÙÚ·Ï·ÛÈ·ÛÙ› ÙËÓ K˘Úȷ΋ 4 M·˝Ô˘ 1986 (K˘Úȷ΋ ÙÔ˘ ¶¿Û¯·) Î·È Ó· ·Ó¤‚ÂÈ ·ÚÎÂÙ¿ ÈÔ ¿Óˆ ˆ˜ ÙÔ Úˆ› Ù˘ TÚ›Ù˘ 6 M·˝Ô˘ 1986 Ô˘ ›¯·ÌÂ Î·È ÙË ÌÂÁ¿ÏË ¤Ó‰ÂÈÍË, Ô˘ fï˜ ‰ÂÓ ÍÂ¤Ú·Û ٷ ÂÈÙÚÂÙ¿ fiÚÈ·. H ÈÔ ˘„ËÏ‹ ηٷÁÚ·Ê‹ ‰ÂÓ ÎÚ¿ÙËÛ ÁÈ· Ôχ. E˘Ù˘¯Ò˜! OÈ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì·˜ Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Û·Ó ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙÔ˜ ÂÚÈÏ¿Ì‚·Ó·Ó ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ·¤Ú·, ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Ù˘ ‚ÚÔ¯‹˜, ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ‰¿ÊÔ˘˜ Î·È ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ù˘ ¯Ïfi˘. ™·Ó ÌÔÓÙ¤ÏÔ ÌÂÏÂÙ‹ıËÎÂ Ë Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙËÓ Â˘Ú‡ÙÂÚË ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ fiÏ˘ Ù˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢ ÁÈ· Ó· ÂÎÙÈÌËı› Ë Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ‹ ÊfiÚÙÈÛË ·fi ÙËÓ fiÏË

* International Atomic Energy Agency, IAEA, Vienna, July 1996.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

23

¶ Àƒ∏¡π∫∞ A ∆ÀÃ∏ª∞∆∞

∫∞π

–ηÙÔÈÎË̤ÓË ÂÚÈÔ¯‹, ÙÔ £ÂÚÌ·˚Îfi ÎfiÏÔ– ı¿Ï·ÛÛ·, ÙÔ ™¤È¯ ™Ô˘ –‰¿ÛÔ˜, ÙË BÈÔÌ˯·ÓÈ΋ ˙ÒÓË ÛÙËÓ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ· Ù˘ ÔÔ›·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ú˘·ÓÙ¤˜, ÙÔÓ AÍÈfi ÔÙ·Ìfi Ì ÙȘ Â΂ÔϤ˜ ÙÔ˘. °È· ÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ηٷÓÔÌ‹˜ Ù˘ Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ηı’ ‡„Ô˜ ÛÙËÓ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÂÏÈÎfiÙÂÚÔ ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÊÔÚËÙ¿ fiÚÁ·Ó· ÂϤÁ¯Ô˘Ó (monitors). °È· ÙË ı¿Ï·ÛÛ· ÙÔ˘ £ÂÚÌ·˚ÎÔ‡ Î·È ÙÔÓ AÍÈfi ÔÙ·Ìfi ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠ·ÎٷȈÚfi˜. MÂÙÚ‹ÛÂȘ Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó Û ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ BÔÚ. EÏÏ¿‰Ô˜ ·ÏÏ¿ Î·È ·˘Ù¤˜ ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙˆÓ AıËÓÒÓ Ô˘ ¤‰ˆÛ·Ó ¿ÏϘ ËÁ¤˜, ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ÌÔÓÙ¤ÏÔ ÌÂϤÙ˘. Afi ÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ Ù˘ Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ‚Ú¤ıËΠfiÙÈ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ÂÚ›Ô˘ ÌÈ· ÂÈÎÔÛ¿‰· Ú·‰ÈÂÓÂÚÁÒÓ ÓÔ˘ÎÏȉ›ˆÓ Û ‰È¿ÊÔÚ˜ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÂȘ ÛÙÔÓ ·¤Ú·, ÙÔ ÓÂÚfi Ù˘ ‚ÚÔ¯‹˜, ÙÔ ¯ÒÌ· Î·È ÙË ¯ÏfiË. AӷʤÚÔÓÙ·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈο ÌÂÚÈο ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ÙfiÛÔ Ôχ Û˘˙ËÙ‹ıËÎ·Ó Î·È Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ȉȷÈÙÂÚfiÙËÙ· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÂÈÙÒÛÂȘ ÛÙËÓ ˘Á›· Ì·˜. £· Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ÓÔ˘ÎÏ›‰ÈÔ Ô˘ Ó· ÌËÓ ÚÔηÏ› ¤ÛÙˆ Î·È ÂÏ¿¯ÈÛÙË Â›ÙˆÛË. BÚ¤ıËÎ·Ó ÏÔÈfiÓ 131I, 137Cs, 134Cs, 136Cs, 140Ba, 140La, 132Te, 132I, 103Ru, ηٿ ΢ÚÈfiÙËÙ· ˆ˜ 100Ru, 125Sb, 108Ag, 239Np. ™ÙËÓ AÁÁÏ›· ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛ·Ó fiÙÈ ·Ó›¯ÓÂ˘Û·Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù· ›‰È·. ™ÙË ™Ô˘Ë‰›· ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛ· fiÙÈ ·Ó›¯ÓÂ˘Û·Ó 16 ÓÔ˘ÎÏ›‰È· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÌÂÚÈο ·ÚÎÂÙ¿ ‚Ú·¯‡‚È· fiˆ˜ ÙÔ 133I, ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÏfiÁˆ Ù˘ ÁÚ‹ÁÔÚ˘ ÌÂٷΛÓËÛ˘ ÙÔ˘ Ó¤ÊÔ˘˜ ÛÙË ¯ÒÚ· ÙÔ˘˜. ŒÙÛÈ, Ì‹Î·Ó ÛÙË ˙ˆ‹ Ì·˜ ϤÍÂȘ ηÈÓÔ‡ÚȘ, ‡˯˜ ‹ ηÎfi˯˜, ÈÒ‰ÈÔ-οÛÈÔ-ÛÙÚfiÓÙÈÔ Û˘Óԉ›· Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Û·Ó Ó· ÌËÓ ¤ÊÙ·Ó·Ó ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¿, ‚ÔÌ‚·Ú‰ÈÛًηÌ Ì ÌÈÎÚÔÚ¤ÓÙÁÎÂÓ ·Ó¿ ÒÚ·, Ì ÌÈÏÏÈÚ¤Ì Î·È ÌÂÎÂÚ¤Ï, ÔÛfiÙËÙ˜ ‰fiÛ˘ Î·È Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÎÔ‡ÛÙËΠÙÔ ÈÒ‰ÈÔ Ó· ¤¯ÂÈ Û¯¤ÛË Ì ÙÔÓ ı˘ÚÂÔÂȉ‹, ÙÔ Î¿ÛÈÔ Ó· ·ÔÙ›ıÂÙ·È Û’ ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ ÛÒÌ·, ÙÔ ÛÙÚfiÓÙÈÔ –Û˘ÛÙ·ÙÈÎfi ÛÙÔ Á¿Ï·– Ó· ·ÓÙÈηıÈÛÙ¿ ÙÔ ·Û‚¤ÛÙÈÔ ÛÙ· ÎfiηϷ. KÈ fiÏ· Ù· Ì¿ı·ÌÂ. KÈ ÔÈ ÂÈÙÒÛÂȘ ·fi ÙË ‚‹Ù· ‹ Á¿ÌÌ· ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ÙÔ˘ Ó¤ÊÔ˘˜; ™’ ¤Ó· ÂÚ›ÁÚ·ÌÌ· ÁÈ· ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ù‡¯ËÌ· ¤¯Ô˘Ó οˆ˜ ¤ÙÛÈ: ™ÙË Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ˘ÚËÓÈÎfi ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ ÂÚÈÔ¯‹ Ù· Û˘ÌÙÒÌ·Ù· ÙˆÓ ·ÓÙÈÓÔ‚ÔÏËı¤ÓÙˆÓ ÂÚÓÔ‡Ó Ì ڷÁ‰·›Ô Ú˘ıÌfi ÙÔ ¤Ó· ÙÔ ¿ÏÏÔ: ÂÁÎÂÊ·ÏÈΤ˜ ·ÈÌÔÚÚ·Á›Â˜, Ó·˘Ù›·, ÂÌÌÂÙÔ›, ‰È¿ÚÚÔÈ·, ·ÒÏÂÈ· Ì˘˚΋˜ ÈÛÔÚÚÔ›·˜ Î·È Ê˘ÛÈο ı¿Ó·ÙÔ˜. ¢fiÛË ¿Óˆ ·fi 400 rem Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ¤ÎıÂÛË 2-3 ˆÚÒÓ. ™Â ·fiÛÙ·ÛË 5-7 ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ Ù· ı‡Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÈ‚›ˆÛ˘ ÂÓ‹ÓÙ·-ÂÓ‹ÓÙ· ·Ó Î·È fi¯È ¯ˆÚ›˜ οÔÈ· ‚Ï¿‚Ë ÛÙÔ ·ÈÌ·ÙÔÔÈËÙÈÎfi (Ì˘ÂÏfi˜ ÙˆÓ ÔÛÙÒÓ) Î·È ÙÔ Á·ÛÙÚÂÓÙÂÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·. ™Â ·fiÛÙ·ÛË 8-11 ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÚÔÍÂÓËı› Ó·˘Ù›· Î·È ¿ÏÏ· Û˘ÌÙÒÌ·Ù·, ·ÏÏ¿ ı· ‹Ù·Ó ·›ı·ÓÔ Ó· Âı¿ÓÔ˘Ó Û Ôχ Û‡ÓÙÔÌÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ·. AÏÏ¿ ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ı¿Ó·ÙÔÈ ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ·Ù˘¯‹Ì·ÙÔ˜. E‰Ò ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Û ·ÎÙ›Ó· ÂÚ›Ô˘ ̤¯ÚÈ 15 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· Á‡Úˆ ·fi οı ˘ÚËÓÈÎfi ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·ÙÔÈÎË̤ÓË ÂÚÈÔ¯‹, ÂÓÒ ÔÈ ˘ÚËÓÈΤ˜ ‰ÔÎÈ̤˜ Á›ÓÔÓÙ·È ˘fiÁÂÈ· Û ÂÎÙÂٷ̤Ó˜ ÂÚ‹ÌÔ˘˜. K·È οÙÈ ·ÎfiÌ·, ÙÔ ÚÔÛˆÈÎfi ÂÓfi˜ ˘ÚËÓÈÎÔ‡ ÂÚÁÔÛÙ·Û›Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ Ôχ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Û ·ÚÈıÌfi Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ıÂÚÌÔËÏÂÎÙÚÈÎfi. Afi 11 Î·È Ì¤¯ÚÈ ÂÚ›Ô˘ 100 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· (ÙÔ K›Â‚Ô Â›Ó·È ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ˙ÒÓ˘) ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ÔÛfiÙËÙ˜ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ¤¯Ô˘Ó Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÛËÌ·ÓÙÈο ·˘ÍË̤ÓÔ˘˜ ı·Ó¿ÙÔ˘˜ ·fi Ï¢¯·ÈÌ›· Î·È ¿ÏϘ ÌÔÚʤ˜, ηÚΛÓÔ˘ (fiˆ˜ ı˘ÚÂÔÂȉ‹˜, Ó¢ÌfiÓˆÓ, ‹·ÙÔ˜, Ì·ÛÙÔ‡ Î·È ÓÂÊÚÒÓ) ηٿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÂfiÌÂÓˆÓ 30 ËÌÂÚÒÓ. ÕÙÔÌ· Ô˘ ˙Ô˘Ó 300 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· Î·È Î¿ÙÈ ·Ú·¿Óˆ ¤Ú·

24

P ∞¢π√§√°π∫∂™ E ¶π¶∆ø™∂π™ ·fi ÙÔÓ ÙfiÔ ÙÔ˘ ·Ù˘¯‹Ì·ÙÔ˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ‰È·ÙÚ¤¯Ô˘Ó ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘˜ ÎÈÓ‰‡ÓÔ˘˜. °È· Ì·˜ ÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜, Û ·fiÛÙ·ÛË 2000 ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ ·fi ÙÔÓ ÙfiÔ ÙÔ˘ ·Ù˘¯‹Ì·ÙÔ˜, fiˆ˜ Î·È ÁÈ· ÔÏÏÔ‡˜ ¿ÏÏÔ˘˜ E˘Úˆ·›Ô˘˜ Ë ‰fiÛË Ô˘ ‹Ú·Ì ÙÔ ÚÒÙÔ ‰›ÌËÓÔ (ÙÔ Ì‹Ó· M¿ÈÔ ’86 ηٿ ΢ÚÈfiÙËÙ·) ·fi ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ù˘ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ·˜ (ÏfiÁˆ ÂÈÛÓÔ‹˜) Î·È ÙÔ˘ ‰¿ÊÔ˘˜ (¯ÒÌ·, ¯ÏfiË) Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ‰fiÛË ¤ÎıÂÛ˘ ÌÈ·˜ ‹ ÙÔ Ôχ ‰‡Ô ·ÎÙÈÓÔÁÚ·ÊÈÒÓ ıÒڷη (30-60 ÌÈÏÏÈÚ¤Ì ÂÚ›Ô˘) Î·È ‰Â ı· ˘Âڂ› ÛÙËÓ ÈÔ ·ÎÚ·›· ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ 30% Ù˘ Û˘ÓÔÏÈ΋˜ ÂÙ‹ÛÈ·˜ ‰fiÛ˘ Ô˘ ·›ÚÓÔ˘Ì ÚÈÓ ·fi ÙÔ ·Ù‡¯ËÌ· Û·Ó Ê˘ÛÈ΋ ‰fiÛË Û˘Ó ÙË ‰È·ÁÓˆÛÙÈ΋ ‰fiÛË (·ÎÙÈÓÔÁڷʛ˜, ÛÈÓıËÚÔÁÚ·Ê‹Ì·Ù·). B¤‚·È· ÛÙË ‰fiÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ë ‰fiÛË ·fi Ù· Ù˘¯fiÓ ‚‚·Ú˘Ì¤Ó· ›‰Ë ‰È·ÙÚÔÊ‹˜, fiˆ˜ Ï·¯·ÓÈο, ÊÚÔ‡Ù·, ‰ËÌËÙÚȷο („ˆÌ› Î.Ï.), Á¿Ï· Î·È Á·Ï·ÎÙÔÎÔÌÈο ÚÔ˚fiÓÙ·. AÓ Û˘ÓÂÎÙÈÌËı› Î·È Ë ‰fiÛË ·fi Ù· ›‰Ë ‰È·ÙÚÔÊ‹˜, Ô˘ Â›Ó·È Î·È ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈ΋, ÙfiÙÂ Ë ÂÈ‚¿Ú˘ÓÛË ÁÈ· ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ ÛÙÔ Ì¤ÛÔ ¿ÙÔÌÔ Êı¿ÓÂÈ Î·È ÍÂÂÚÓ¿ Ù· 200 ÌÈÏÏÈÚ¤Ì Î·ıfiÛÔÓ ¤¯ÂÈ Ï‹Úˆ˜ ·ÔÛ·ÊËÓÈÛı› ·fi ÙȘ ˆ˜ ÙÒÚ· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ë Ì¤ÛË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙˆÓ Ú·‰ÈÔÓÔ˘ÎÏȉ›ˆÓ ÙÔ˘ ηÈÛ›Ô˘ ÛÙ· ·ÓˆÙ¤Úˆ ›‰Ë. AÔÙ¤ÏÂÛÌ·; O ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ù˘ Ê˘ÛÈ΋˜ Ì·˜ ‰fiÛ˘ ÁÈ· ÙÔ 1986. T· fiÚÈ· Ù˘ ‰fiÛ˘ ÁÈ· ÙÔÓ Ï·Ù‡ ÏËı˘ÛÌfi ‹ ÁÈ· Ù· ÌÂÌÔӈ̤ӷ ¿ÙÔÌ· Ô˘ ÁÈ· οÔÈÔ ÏfiÁÔ ÂÎÙ¤ıËÎ·Ó Û ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· Â›Ó·È 500 ÌÈÏÏÈÚ¤Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ‰fiÛË ÔÏfiÛˆÌË, ÂÓÒ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·Û¯ÔÏÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ Ì ·ÎÙÈÓÔ‚Ôϛ˜ ÙÔ fiÚÈÔ ·˘Ùfi Á›ÓÂÙ·È 5000 ÌÈÏÏÈÚ¤Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. £· Ú¤ÂÈ Â‰Ò Ó· ·Ó·ÊÂÚı› fiÙÈ Ë Ú·‰ÈÔ¢·ÈÛıËÛ›· ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ, ÙˆÓ ÈÛÙÒÓ Î·È ÙˆÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ·ÓıÚˆ›ÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÔÈΛÏÏÂÈ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù· ¯¤ÚÈ· ÈÔ Ú·‰ÈÔ·ÓıÂÎÙÈο ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰Â¯ıÔ‡Ó Ì¯ÚÈ 75 rem ÙÔ ¯ÚfiÓÔ ¤Ó·ÓÙÈ Ù˘ ÂÁ·Ԣ Á˘Ó·›Î·˜ (Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ ¤Ì‚Ú˘Ô) ÌfiÓÔ 0.5 rem ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô Ù˘ ·ËÛ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ‰ÈÂıÓ‹ ÓfiÚÌ· ÁÈ· ÙËÓ ÁÈ· Ì·ÎÚfi ¯ÚfiÓÔ ·ıÚÔÈÛÙÈ΋ ‰fiÛË (N–18) ¥ 5 rem Û ËÏÈΛ· N ÂÙÒÓ Á›ÓÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ Ù· Ó·ڿ ¿ÙÔÌ· οو ÙˆÓ 18 ÂÙÒÓ ‰ÂÓ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÊÔÚÙ›˙ÔÓÙ·È Ì ‰fiÛË. KÈ ·ÎfiÌ·, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ‰fiÛË «Î·Ï‹» ‹ η΋, ›Ù ÌÂÁ¿ÏË Â›Ù ÌÈÎÚ‹, ÎÈ fiÙÈ Î¿ı ‰fiÛË fiÛÔ ÌÈÎÚ‹ Î·È ·Ó Â›Ó·È ı· Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔʇÁÂÙ·È, fiÔ˘ ·˘Ùfi Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ. ™˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·˜ fiÏ· Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ ÁÈ· ÙÔÓ EÏÏËÓÈÎfi ÏËı˘ÛÌfi Ë ‰fiÛË ·fi ÙËÓ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ÔÏfiÛˆÌË ÂÈ‚¿Ú˘ÓÛË ‰ÂÓ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ˘Âڂ› Ù· ÂÈÙÚÂÙ¿ fiÚÈ· ·ÎfiÌ· Î·È ÁÈ· ÙÔ ÈÔ Ú·‰È¢·›ÛıËÙÔ fiÚÁ·ÓÔ ÙÔ˘ ·ÓıÚˆ›ÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiˆ˜ .¯. Â›Ó·È Ù· fiÚÁ·Ó· ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹˜ (170 ÌÈÏÏÈÚ¤Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ). H ¯ÒÚ· Ì·˜ ‰ÂÓ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ «ı‡Ì·Ù·» ÙÔ˘ TÛÂÚÓÔÌ›Ï. KÈ ·˘Ù¿ Ô˘ ı· ˘¿ÚÍÔ˘Ó ı· Â›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ Ó· ‰È·ÎÚÈ‚ˆıÔ‡Ó Ì¤Û· Û ÙÚÈ¿ÓÙ·-Û·Ú¿ÓÙ· ¯ÚfiÓÈ· ·fi ÙÔ ·Ù‡¯ËÌ·. Afi ÙȘ ÂÈÙÒÛÂȘ ÏfiÁˆ ¤ÎıÂÛ˘ Û ‰fiÛË Ôχ ÈÔ ¿Óˆ ·fi Ù· ÂÈÙÚÂÙ¿ fiÚÈ· Â›Ó·È Ô Î·Ù·ÚÚ¿ÎÙ˘ ÙˆÓ Ì·ÙÈÒÓ, Ë ÛÙ›ڈÛË, ·ÓÒ̷Ϙ ΢‹ÛÂȘ Î·È ÙÔÎÂÙÔ›, ÔÈ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÌÔÚÊÒÓ Î·ÚΛÓÔÈ Î·È Ï¢¯·È̛˜ Î·È Ê˘ÛÈο Ô ı¿Ó·ÙÔ˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó¿ ’Ó·È ·fi ·Î·ÚÈ·›Ô˜ (ÛÙȘ Ôχ ÌÈÎÚ¤˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·fi ÙÔÓ ÙfiÔ ÙÔ˘ ·Ù˘¯‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· Ôχ ÈÛ¯˘Ú¤˜ ‰fiÛÂȘ), ̤¯ÚÈ ‡ÛÙÂÚ· ·fi Ï›Á˜ ÒÚ˜ ‹ Ë̤Ú˜ ‹ Î·È ¯ÚfiÓÈ·. ™ÙË XÈÚÔ̷ۛ ·ÚÁÔÂı·›ÓÔ˘Ó ·ÎfiÌ· Ù· ı‡Ì·Ù· ÙÔ˘ ˘ÚËÓÈÎÔ‡ ÔϤıÚÔ˘, 40 ¯ÚfiÓÈ· ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤ÎÚËÍË Ù˘ ‚fiÌ‚·˜. £¿Ó·ÙÔÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó οı ÊÔÚ¿ Û ˘ÚËÓÈÎfi ·Ù‡¯ËÌ·. TÔ TÛÂÚÓÔÌ›Ï ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ·ÔÙÂϤÛÂÈ ÂÍ·›ÚÂÛË. Y‹ÚÍ·Ó Î·È ÙÒÚ· ı¿Ó·ÙÔÈ Î·È ı· ˘¿ÚÍÔ˘Ó ·ÎfiÌ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ. ¢ÂÓ ¤¯ÂÈ ÛËÌ·Û›· ·Ó ‹Ù·Ó ÙÚÈ¿ÓÙ· ‰‡Ô ‹ ÙÚÈ¿ÓÙ· ‰‡Ô ¯ÈÏÈ¿‰Â˜. °È·Ù›, «Ô ı¿Ó·ÙÔ˜ Î·È ÂÓfi˜ ÌfiÓÔÓ ·ÓıÚÒÔ˘, οı ·ÓıÚÒÔ˘, ÏÈÁÔÛÙ‡ÂÈ Â̤ӷ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÁÈ·Ù› Â›Ì·È ¤Ó· Ì ÙËÓ ·ÓıÚˆfiÙËÙ·»*.

* John Donne, ÕÁÁÏÔ˜ ÔÈËÙ‹˜ (1571-1631).

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

º À™π∫∏

¶∂πƒ∞ª∞∆∞ ºÀ™π∫∏™ Ì ∫√À∆π∞ ∞¡∞æÀ∫∆π∫ø¡ TÔ˘ ¢. ∆ÛÈÒÏË, º˘ÛÈÎÔ‡

T

· ·ÏÔ˘ÌÈÓ¤ÓÈ· ÙÂÓÂΉ¿ÎÈ· ÙˆÓ ·Ó·„˘ÎÙÈÎÒÓ ÚÔÛʤÚÔ˘Ó ˘ÏÈÎfi ÁÈ· ÔÏÏ¿ ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ê˘ÛÈ΋˜. TÔ Ê‡ÏÏÔ ·ÏÔ˘ÌÈÓ›Ô˘, ·’ ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È Î·Ù·Û΢·Ṳ̂ӷ, Îfi‚ÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· Ì ¤Ó· ÎÔÈÓfi „·Ïȉ¿ÎÈ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙ· Û›ÙÈ· Ì·˜, ÁÈ· Ó· Îfi‚Ô˘Ì ¯·ÚÙ›, ‡Ê·ÛÌ· Î.Ï.

A ¢ TÔ Êȉ¿ÎÈ ¶¿Óˆ Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ·ÏÔ˘ÌÈÓ›Ô˘ Ô˘ ‹Ú·Ù ·fi ·ÏÔ˘ÌÈÓ¤ÓÈÔ ÙÂÓÂΉ¿ÎÈ ·Ó·„˘ÎÙÈÎÒÓ Û¯Â‰È¿ÛÙ ÌÈ· ÛÂÈÚÔÂȉ‹ Ù·ÈÓ›· Ô˘ ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ Ù˘ Ó· ηٷϋÁÂÈ Û’ ¤Ó· Êȉ›ÛÈÔ ÎÂÊ¿ÏÈ, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì·Ø Ì ÙÔ „·Ï›‰È Îfi„Ù ÙÔ ·ÏÔ˘ÌÈÓ¤ÓÈÔ Ê‡ÏÏÔ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜. ¶È¤˙Ô˘Ì Ì ÙÔ ÛÙ˘Ïfi Ì·˜ ÙÔ ÎÂÓÙÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÛÂÈÚÔÂȉԇ˜ Ù·ÈÓ›·˜ (ÁÚ·ÌÌÔÛÎÈ·Ṳ̂ÓÔ˜ ·ÎÏÔ˜) ¤ÙÛÈ Ô˘ Ó· οÓÂÈ ÌÈÎÚ‹ Ï·ÎÔ˘‚›ÙÛ·. K·ÙfiÈÓ ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· Û‡ÚÌ· Ì‹ÎÔ˘˜ 50 cm ÂÚ›Ô˘, Ï˘Á›˙Ô˘Ì ÙÔ ¤Ó· ÙÔ˘ ¿ÎÚÔ Û ۯ‹Ì· ·ÎÏÔ˘ ¤ÙÛÈ Ô˘ Ó· ÌÔÚ› Ó· ÛÙ¤ÎÂÙ·È ·ÙÒÓÙ·˜ Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÙÚ·¤˙È Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ›ÛÈÔ ÎÔÌÌ¿ÙÈ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊÔ. §ÈÌ¿ÚÔ˘Ì ÙÔ ¿Óˆ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ Û‡ÚÌ·ÙÔ˜, ¤ÙÛÈ Ô˘ Ó· Á›ÓÂÈ Ì˘ÙÂÚfi (‹ ÎÔÏÏ¿Ì ÌÈ· ηÚÊ›ÙÛ·). MÂÙ¿ ÛÙËÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Ù·ÈÓ›· ¿Óˆ ÛÙÔ Û‡ÚÌ·, ¤ÙÛÈ Ô˘ Ë Ì‡ÙË ÙÔ˘ Û‡ÚÌ·ÙÔ˜ (‹ Ù˘ ηÚÊ›ÙÛ·˜) Ó· ÌÂÈ ÛÙË

Ï·ÎÔ˘‚›ÙÛ· Ù˘ Ù·ÈÓ›·˜. ™ÙË ‚¿ÛË Ù˘ ηٷÛ΢‹˜ ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙÒÚ· ¤Ó· ·Ó·Ì̤ÓÔ ÎÂÚ›. O ˙ÂÛÙfi˜ ·¤Ú·˜ Ô˘ ·Ó‚·›ÓÂÈ ·ÛΛ ‰‡Ó·ÌË ÛÙËÓ Ù·ÈÓ›· Î·È Î¿ÓÂÈ ÙËÓ Ù·ÈÓ›· Ó· ÛÙÚÈÊÔÁ˘Ú›˙ÂÈ ¤ÙÛÈ Ô˘ ÙÔ Ê›‰È Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ÚÔÛ·ı› Ó· Ì·˜ ‰·ÁÎÒÛÂÈ. H Û˘Óı‹ÎË «‰Ô˘Ï‡ÂÈ» Î·È ¯ˆÚ›˜ ÎÂÚ›, ·Ó ÙËÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ¿Óˆ ·fi ÛÒÌ· ηÏÔÚÈÊ¤Ú ‹ ÛfiÌ·.

B ¢ HÏÂÎÙÚÔÛÎfiÈÔ TÔ ËÏÂÎÙÚÔÛÎfiÈÔ Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Û΢‹ ÙËÓ ÔÔ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, fiÙ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ·Ó ¤Ó· ÛÒÌ· Â›Ó·È ÊÔÚÙÈṲ̂ÓÔ. °È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ËÏÂÎÙÚÔÛÎfiÈÔ ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·ÏÔ˘ÌÈÓ¤ÓÈÔ ÙÂÓÂΉ¿ÎÈ, ÚÒÙ· Îfi‚Ô˘Ì ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÙÔÓ ¿ÙÔ Î·È ¤ÂÈÙ· Îfi‚Ô˘Ì ÙÔ Ï¢ÚÈÎfi ÙÔ›¯ˆÌ· ηٷÎfiÚ˘Ê·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÌÔÚ› Ó· ·ÓÔ›ÍÂÈ Î·È Ó· ‰ÒÛÂÈ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ê‡ÏÏÔ 10 cm ¥ 20 cm ÂÚ›Ô˘. Afi ·˘Ùfi ÙÔ Ê‡ÏÏÔ 1.5cm ·ÏÔ˘ÌÈÓ›Ô˘ Îfi‚Ô˘Ì ‰‡Ô ÎÔÌÌ¿ÙÈ·, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· 1. 5cm 5cm TÒÚ· Ï˘Á›˙Ô˘Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÎÔÌÌ¿0.4cm 0.6cm ÙÈ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· 2, Î·È ÙÔ5cm 5cm ÔıÂÙԇ̠ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÎÔÌÌ¿ÙÈ –‚ÂÏfiÓ·– Ó· ÈÛÔÚÚÔ‹ÛÂÈ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Ù˘ ÂKfi„ ٷ Û¯‹Ì·Ù· ÚÈÔ¯‹˜ A. H ‚ÂÏfiÓ· ·fi ÙÔ 6cm ·ÏÔ˘Ì›ÓÈÔ ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌËÓ ÈÛÔÚÚÔÂ›Ø Îfi‚Ô˘Ì ÌÈÎÚ¿ ™¯‹Ì· 1 4cm ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ̤¯ÚÈ Ó· ÈÛÔÚÚÔ‹ÛÂÈ ÙÂÏÈο (ηٷÎfiÚ˘Ê·). TÔ ËÏÂÎÙÚÔÛÎfiÈÔ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÔӈ̤ÓÔ, ÁÈ’ ·˘Ùfi ÙÔ ÎÔÏÏ¿Ì Ì ÛÂÏÔÙ¤È ÛÙÔÓ ¿ÙÔ ÂÓfi˜ ·Ó·Ô‰ÔÁ˘ÚÈṲ̂ÓÔ˘ Ï·ÛÙÈÎÔ‡ ΢¤ÏÏÔ˘ (Û¯‹Ì· 2).

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

25

¶ ∂πƒ∞ª∞∆∞ º À™π∫∏™

™¯‹Ì· 2

BÂÏfiÓ·

ÕÍÔÓ·˜ (∞)

™ÂÏÔÙ¤˚

¶Ï·ÛÙÈÎfi ·ÂÏÔ

0.5cm 6cm AÏÔ˘ÌÈÓfi¯·ÚÙÔ 1.5cm

1cm

6cm

10cm

4cm

ª∂

H ¢·ÈÛıËÛ›· ÙÔ˘ ÔÚÁ¿ÓÔ˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Ù˘ ‚ÂÏfiÓ·˜. øÛÙfiÛÔ ÙÔ Ê‡ÏÏÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È Ù˘ÏÈÁ̤ÓË Ë ÛÔÎÔÏ¿Ù· ‹ ¤Ó· ÎÔÌÌ·Ù¿ÎÈ ·ÏÔ˘ÌÈÓfi¯·ÚÙÔ˘ ÎÔ˘˙›Ó·˜ ÌÔÚ› Ó· ·ÔÙÂϤÛÂÈ ÌÈ· ηϋ ‚ÂÏfiÓ·Ø ÚÔ˜ ÙÔ‡ÙÔ Îfi‚Ô˘Ì ¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ ·ÏÔ˘ÌÈÓfi¯·ÚÙÔ˘, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· 3. K¿ÓÔÓÙ¿˜ ÙÔ fiÛÔ ÈÔ Â›Â‰Ô Á›ÓÂÙ·ÈØ ÌÂÙ¿ ‰ÈÏÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÙÔ ÎÚÂÌ¿ÌÂ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. H ÂÎÙÚÔ‹ Ù˘ ‚ÂÏfiÓ·˜ ‹ ÙÔ˘ ·ÏÔ˘ÌÈÓfi¯·ÚÙÔ˘ ·fi ÙË ı¤ÛË ÈÛÔÚÚÔ›·˜ Ì·ÚÙ˘Ú› ÙËÓ ‡·ÚÍË ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ.

™¯‹Ì· 3

™HMEIø™H: H ˘ÁÚ·Û›· Â›Ó·È Ô ¯ÂÈÚfiÙÂÚÔ˜ ¯ıÚfi˜ ÙˆÓ ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓ ËϤÎÙÚÈÛ˘. AÓ Ù· ÂÈÚ¿Ì·Ù¿ Û·˜ ‰ÂÓ ÂÙ‡¯Ô˘Ó, Â›Ó·È Ôχ Èı·ÓfiÓ Ë ˘ÁÚ·Û›· Ó· ¤¯ÂÈ ÂÈηı‹ÛÂÈ ÛÙÔ˘˜ ÌÔÓˆÙ¤˜ ÂÎÊÔÚÙ›˙ÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘˜. °È’ ·˘Ùfi ÛÈÁÔ˘Ú¢Ù›Ù fiÙÈ Ô ·¤Ú·˜ Â›Ó·È ÛÙÂÁÓfi˜. MË Ê¤ÚÓÂÙ ÎÚ‡Ô˘˜ ÌÔÓˆÙ¤˜ ̤۷ Û ¤Ó· ˙ÂÛÙfi ‰ˆÌ¿ÙÈÔØ ¤Ó· ·ÂÚfiıÂÚÌÔ ‹ ÛÂÛÔ˘¿Ú Â›Ó·È ÌÈ· ‡ÎÔÏË Û¯ÂÙÈο χÛË.

° ¢ K·ÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ Lenz

26

¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·ÏÔ˘ÌÈÓ¤ÓÈÔ ÙÂÓÂΉ¿ÎÈ Î·È Îfi‚ÔÓÙ¿˜ ÙÔ Ì „·Ï›‰È ·Ê·ÈÚԇ̠ÙÔÓ ¿ÙÔ Î·È ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘Ø Î·ÙfiÈÓ Îfi‚Ô˘Ì ÙÔ Ï¢ÚÈÎfi ÙÔ›¯ˆÌ· ηٷÎfiÚ˘Ê·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÌÔÚ› Ó· ·ÓÔ›ÍÂÈ Â›‰· Î·È Ó· ‰ÒÛÂÈ ¤Ó· ʇÏÏÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂˆÓ 10 cm ¥ 20 cm ÂÚ›Ô˘ (fiˆ˜ οӷÌÂ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜). K·ÙfiÈÓ Îfi‚Ô˘Ì ÙÔ Ê‡ÏÏÔ, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ¤Ó·˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Ó· Â›Ó·È 3 cm Î·È Ë Â͈ÙÂÚÈ΋ 10 cm. E·Ó·Ï·Ì‚¿Óˆ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ¿ÏϘ 5 ÊÔÚ¤˜. K·ÙfiÈÓ Ê¤Úˆ ÙÔ˘˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘˜ Û Â·Ê‹ ·Ó¿ ÙÚÂȘ, ¤ÙÛÈ Ô˘ Ó· Ù·ÈÚÈ¿˙Ô˘Ó Î·È ÙÔ˘˜ ÎÔÏÏ¿ˆ Ì ÛÂÏÔÙ¤È. ŒÙÛÈ ¤¯ˆ ‰‡Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘˜ (Ô Î·ı¤Ó·˜ ÙÚÈÏfi˜).

∫ √À∆π∞ ∞ ¡∞æÀ∫∆π∫ø¡ ¶·›ÚÓˆ ÙÒÚ· ÙÔÓ ¤Ó· ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Î·È ÙÔ Îfi‚ˆ ·ÎÙÈÓÈο. KÚÂÌ¿ˆ Ì ۯÔÈÓ¿ÎÈ· ÙÔ˘˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘˜ ·fi ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ‰‡Ô ÔÚÈ˙fiÓÙÈˆÓ Î·È ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ÌÂÙ·ÏÏÈÎÒÓ Ú¿‚‰ˆÓ Ô˘ ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Û ¯˘ÙÔÛȉÂÚ¤ÓȘ ‚¿ÛÂȘ. AÓ¿ÌÂÛ· ÛÙÔ˘˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘˜ ÎÚÂÌ¿ˆ ¤Ó· Ú·‚‰fiÌÔÚÊÔ Ì·ÁÓ‹ÙË Ì ‰‡Ô Û¯ÔÈÓ¿ÎÈ·Ø Ô ¿ÍÔÓ·˜ ÙÔ˘ Ì·ÁÓ‹ÙË Â›Ó·È ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ˜, οıÂÙÔ˜ ÛÙ· Â›‰· ÙˆÓ ‰·ÎÙ˘Ï›ˆÓ Î·È ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ ‰·ÎÙ˘Ï›ˆÓ. √È ¿ÎÚ˜ ÙÔ˘ Ì·ÁÓ‹ÙË Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÌÚÔÛÙ¿ ·fi ÙȘ Ô¤˜ ÙˆÓ ‰·ÎÙ˘Ï›ˆÓ. B¿˙ˆ Û ٷϿÓÙˆÛË ÙÔ˘ Ì·ÁÓ‹ÙË, ÂÓÒ ÔÈ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔÈ Â›Ó·È ·Î›ÓËÙÔÈ. O Ì·ÁÓ‹Ù˘ Ì·ÈÓÔ‚Á·›ÓÂÈ ÛÙÔ˘˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘˜. ¶·Ú·ÙËÚÒ fiÙÈ, Ô ·ÓÔȯÙfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ‰ÂÓ ÂËÚ¿˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Î›ÓËÛË ÙÔ˘ Ì·ÁÓ‹ÙË, ÂÓÒ Ô ÎÏÂÈÛÙfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı› ÛÈÁ¿-ÛÈÁ¿ ÙËÓ Î›ÓËÛË ÙÔ˘ Ì·ÁÓ‹ÙË! T· Â·ÁˆÁÈο Ú‡̷ٷ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó ÛÙÔÓ ÎÏÂÈÛÙfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ ÏfiÁˆ Ù˘ ΛÓËÛ˘ ÙÔ˘ Ì·ÁÓ‹ÙË

E = –
¢
t  ¤¯Ô˘Ó Ù¤ÙÔÈ· ÊÔÚ¿ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙ¤ÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¢º

·ÈÙ›· Ô˘ Ù· ÚÔηÏ›. ™ÙÔÓ ·ÓÔȯÙfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Â·ÁˆÁÈο Ú‡̷ٷ. ŒÓ· ¿ÏÏÔ ›ڷ̷ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ οÓÔ˘Ì Ì ÙËÓ ›‰È· ‰È¿Ù·ÍË Â›Ó·È ÙÔ ÂÍ‹˜: ÂÎÙÚ¤Ô˘Ì ·fi ÙË ı¤ÛË ÈÛÔÚÚÔ›·˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘˜ Î·È ÙÔ˘˜ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÂχıÂÚÔ˘˜Ø ı· ‰Ô‡Ì ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ Ù·Ï¿ÓÙˆÛ˘ ÙÔ˘ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˘ Ó· ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È Î·È Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ó· ÛÙ·Ì·Ù¿ÂÈ ÁÚ‹ÁÔÚ·Ø ·ÓÙ›ıÂÙ·, Ô ·ÓÔȯÙfi˜ ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ù·Ï·ÓÙÒÓÂÙ·È Î·ÓÔÓÈο, Û·Ó Ó· ÌËÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì·ÁÓ‹Ù˘. AÓÙ› ÙˆÓ ÛȉÂÚ¤ÓÈˆÓ Ú¿‚‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ¯˘ÙÔÛȉÂÚ¤ÓÈˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì «‰Â̤ÓÔ» ‚È‚Ï›Ô (Ì ÛÎÏËÚ¿ ÂÍÒÊ˘ÏÏ·) ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ÙÔÔıÂÙÔ‡Û·Ì ÛÙËÓ ¿ÎÚË ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙ÈÔ‡, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÚÔÂͤ¯ÂÈ (ÂÌÔ‰›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ó·ÙÚÔ‹ ÙÔ˘ Ì ¿ÏÏ· ‚È‚Ï›· Ô˘ ı· ‚¿˙·Ì ¿Óˆ ÙÔ˘, ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ÚÔÂͤ¯ÂÈ). Afi ·˘Ùfi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÎÚÂÌ¿Ì ٷ Ù¤ÛÛÂÚ· Û¯ÔÈÓÈ¿. ™HMEIø™H: TÔÓ Ì·ÁÓ‹ÙË Ì·˜ ÙÔÓ ¯¿ÚÈÛ ¤Ó·˜ ·ÁÂÏ·‰ÔÙÚfiÊÔ˜. A˘Ùfi˜ Ô Ì·ÁÓ‹Ù˘ Ì ¤Ó· Ï·ÛÙÈÎfi ÂÚÈÙ‡ÏÈÁÌ· (ı‹ÎË) ηٷ›ÓÂÙ·È ·fi ÙȘ ·ÁÂÏ¿‰Â˜ Î·È ÛÙ·Ì·Ù¿ÂÈ ÛÙÔ ÛÙÔÌ¿¯È ÙÔ˘˜Ø ÂΛ Ì·˙‡ÂÈ Ù· Û‡ÚÌ·Ù· ¯ÔÚÙÔ‰ÂÛ›·˜ Ô˘ ηٷ›ÓÂÈ Ï·›Ì·ÚÁ· Ë ·ÁÂÏ¿‰· Ì·˙› Ì ÙÔ ¯ÔÚÙ¿ÚÈ ÙÔ ¯ÂÈÌÒÓ·. BIB§IO°PAºIA Edge R., «String and Sticky tape Experiments», American Association of Physics Teachers 1981. ◆

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

à ∏ª∂π∞

ME£O¢OI ¢IAXøPI™MOY MEI°MATøN (X∞ƒ∞∫∆∏ƒπ™∆π∫∞ ¶∂πƒ∞ª∞∆∞) ∆˘ AÈÎ. °ÈÔ‡ÚË-TÛÔ¯·Ù˙‹, E. K·ıËÁ‹ÙÚÈ·˜ ÛÙÔ TÌ‹Ì· XËÌ›·˜ A.¶.£.

‡ÓıÂÙ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÛÒÌ·Ù· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰È·¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó Û ¿ÏÏ· ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ· ›Ù Ì ¯ËÌÈο ›Ù ÌÂ Ê˘ÛÈο ̤۷. T· Û‡ÓıÂÙ· ÛÒÌ·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ¯ËÌÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ Î·È Ì›ÁÌ·Ù·. M›ÁÌ·Ù· Â›Ó·È Û‡ÓıÂÙ· ÛÒÌ·Ù· Ô˘ Ë Ì¿˙· ÙÔ˘˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ›‰Ë ÌÔÚ›ˆÓ, Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰È·¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È ÌÂ Ê˘ÛÈο (Ì˯·ÓÈο) ̤۷. T· Ì›ÁÌ·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ÔÌÔÁÂÓ‹ Î·È ÂÙÂÚÔÁÂÓ‹. T· ÔÌÔÁÂÓ‹ Ì›ÁÌ·Ù· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó Û fiÏË ÙË Ì¿˙· ÙÔ˘˜ ÙËÓ ›‰È· Û‡ÛÙ·ÛË Î·È ÙȘ ›‰È˜ ȉÈfiÙËÙ˜. £ÂˆÚËÙÈο fiÏ· Ù· ÔÌÔÁÂÓ‹ Ì›ÁÌ·Ù· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰È·Ï‡Ì·Ù·, Ú·ÎÙÈο fï˜ ‰È·Ï‡Ì·Ù· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ Ù· ˘ÁÚ¿ ÔÌÔÁÂÓ‹ Ì›ÁÌ·Ù·. T· ÂÙÂÚÔÁÂÓ‹ Ì›ÁÌ·Ù· ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÔÌÔÁÂÓ‹ ÛÒÌ·Ù·, Ô˘ ‰ÂÓ ÂÌÊ·Ó›˙Ô˘Ó ÙȘ ›‰È˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Û’ fiÏË ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ Ì¿˙·˜ ÙÔ˘˜. T· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÂÓfi˜ ÂÙÂÚÔÁÂÓÔ‡˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ‰È·ÎÚ›ÓÔ-

™

ÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Ù Ì Á˘ÌÓfi Ì¿ÙÈ (.¯. Ï¿‰È-ÓÂÚfi) ›Ù Ì ÌÈÎÚÔÛÎfiÈÔ (.¯. ·›Ì· ‹ Á¿Ï·). T· ‰È¿ÎÚÈÙ· Û˘ÛÙ·ÙÈο ‹ Ù· ÔÌÔÁÂÓ‹ ̤ÚË ÂÓfi˜ ÂÙÂÚÔÁÂÓÔ‡˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ê¿ÛÂȘ. H ‰È¿ÎÚÈÛË ÙˆÓ ÌÂÈÁÌ¿ÙˆÓ ÂÔ̤ӈ˜ Û ÔÌÔÁÂÓ‹ Î·È ÂÙÂÚÔÁÂÓ‹ Â›Ó·È Û¯ÂÙÈ΋ Î·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË ‰È·ÎÚÈÙÈ΋ Ì·˜ ÈηÓfiÙËÙ·. ™‹ÌÂÚ· ¤Ó· Ì›ÁÌ· ıˆÚÂ›Ù·È ÔÌÔÁÂÓ¤˜ fiÙ·Ó Ù· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰È·ÎÚÈıÔ‡Ó Ì ηӤӷ ÔÙÈÎfi ̤ÛÔ. T· ÎÔÏÏÔÂȉ‹ ‰È·Ï‡Ì·Ù· Â›Ó·È ÂӉȿÌÂÛË Î·Ù¿ÛÙ·ÛË Î·È Â›Ó·È ÂÙÂÚÔÁÂÓ‹ Ì›ÁÌ·Ù·, Ô˘ ÙÔ ‰ÈÂÛ·Ṳ́ÓÔ ÛÒÌ· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙÔ Ì¤ÛÔ ‰È·ÛÔÚ¿˜ ˘fi ÌÔÚÊ‹ ۈ̷Ùȉ›ˆÓ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ 10–7–10–5 cm. O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ ÂÓfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·Ù·È ·fi ÙË Ê˘ÛÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË Î·È ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÔÈ ÈÔ ÁÓˆÛÙ¤˜ ̤ıÔ‰ÔÈ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÌÂÈÁÌ¿ÙˆÓ.

1. A¶OXY™H ·) ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÛÙÂÚÂÔ‡-˘ÁÚÔ‡

‚) ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ˘ÁÚÔ‡-˘ÁÚÔ‡

ŸÙ·Ó Ù· ÛÙÂÚ¿ ̤۷ Û’ ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ηٷ¤ÛÂÈ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ È˙‹Ì·ÙÔ˜, ÂÂȉ‹ ÙÔ ÛÙÂÚÂfi Â›Ó·È ‚·Ú‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡, Ô ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Á›ÓÂÙ·È Ì ·fi¯˘ÛË (ÎÔÈÓÒ˜ ÌÂÙ¿ÁÁÈÛË), .¯. ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÓÂÚÔ‡ ¿ÌÌÔ˘ (∂ÈÎfiÓ· 1.1).

ŸÙ·Ó ‰‡Ô ˘ÁÚ¿ Û’ ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ˘ÎÓfiÙËÙ˜, Ô ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÂÈÙ˘Á¯¿ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ‰È·¯ˆÚÈÛÙÈ΋˜ ¯Ô¿Ó˘, .¯. ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÓÂÚÔ‡ - Ï·‰ÈÔ‡ (™¯‹Ì· 1.2).

∂ÈÎfiÓ· 1.1. ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÓÂÚÔ‡ - ¿ÌÌÔ˘ Ì ·fi¯˘ÛË.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

™¯‹Ì· 1.2. ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÓÂÚÔ‡-Ï·‰ÈÔ‡ Ì ‰È·¯ˆÚÈÛÙÈ΋ ¯Ô¿ÓË.

27

M ∂£√¢√π ¢ π∞Ãøƒπ™ª√À M ∂π°ª∞∆ø¡

2. ¢IH£H™H (‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÛÙÂÚÂÔ‡-˘ÁÚÔ‡) ŸÙ·Ó Ì›· ÛÙÂÚ¿ Ô˘Û›· ·ÈˆÚÂ›Ù·È Û’ ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· Î·È ‰‡ÛÎÔÏ· ηıÈ˙¿ÓÂÈ, ÁÈ· ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi Ù˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë ‰È‹ıËÛË (ÎÔÈÓÒ˜ ÊÈÏÙÚ¿ÚÈÛÌ·). H ‰È‹ıËÛË Û˘Ó›ÛÙ·Ù·È ÛÙË ‰È·‡Á·ÛË ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ Ì ‰È·‚›‚·ÛË ·˘ÙÔ‡ ̤ۈ ÔÚÒ‰Ô˘˜ ˘ÏÈÎÔ‡ (ËıÌfi˜), Ô˘ Û˘ÁÎÚ·Ù› ÙÔ ÛÙÂÚÂfi (›˙ËÌ·) Î·È ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÙË ‰›Ô‰Ô ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ (‰È‹ıËÌ·). ø˜ ÔÚ҉˜ ˘ÏÈÎfi ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ‰ÈËıËÙÈÎfi ¯·ÚÙ›, ÔÚ҉˘ ÔÚÛÂÏ¿ÓË, ·Ì›·ÓÙÔ˜, ˘·ÏÔ‚¿Ì‚·Î·˜ Î.Ï.

°È· ÙËÓ ·Ï‹ ‰È‹ıËÛË Ì ‰ÈËıËÙÈÎfi ¯·ÚÙ› (™¯‹Ì· 2.1), ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ·ÏÔ› ËıÌÔ› (™¯‹Ì· 2.1·), ÂÓÒ ÁÈ· ÙËÓ Ù·¯‡ÙÂÚË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù˘¯ˆÙÔ› ËıÌÔ› (™¯‹Ì· 2.1‚). H ‰È‹ıËÛË ˘fi ÎÂÓfi Ì ¯ˆÓ› Buchner (∂ÈÎfiÓ· 2.2) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· Ôχ ÁÚ‹ÁÔÚ˜ ‰ÈËı‹ÛÂȘ Î·È χÛÂȘ ÛÙÂÚÂÒÓ. O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÓÂÚÔ‡ - ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ‹˜ ÎÔÓÔÔÈË̤Ó˘ ÎÈ̈ϛ·˜ Á›ÓÂÙ·È Ì ·Ï‹ ‰È‹ıËÛË (™¯‹Ì· 2.3).

°˘¿ÏÈÓË Ú¿‚‰Ô˜ HıÌfi˜ XˆÓ› ‰ÈËı‹Ûˆ˜

¢È‹ıËÌ·

(·)

(‚)

™¯‹Ì· 2.1. TÚfiÔ˜ ¯Ú‹Ûˆ˜ ·) ·ÏÔ‡ Ëı-

™¯‹Ì· 2.2. ¢È‹ıËÛË ˘fi ÎÂÓfi.

™¯‹Ì· 2.3. ¢È¿Ù·ÍË ‰ÈËı‹Ûˆ˜.

ÌÔ‡, ‚) Ù˘¯ˆÙÔ‡ ËıÌÔ‡.

3. ºY°OKENTPI™H

28

∏ Ê˘ÁÔΤÓÙÚÈÛË Â›Ó·È Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ·) ÛÙÂÚ‹˜ Ô˘Û›·˜ - ˘ÁÚÔ‡, fiÙ·Ó Ë Ô˘Û›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û Ôχ ÌÈÎÚ¤˜ ÔÛfiÙËÙ˜ ‹ Û ÎÔÏÏÔÂȉ‹ ηٿÛÙ·ÛË Î·È ÁÈ· οÔÈÔ ÏfiÁÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë ‰È‹ıËÛË ˆ˜ ̤ıÔ‰Ô˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ Î·È ‚) ‰‡Ô ˘ÁÚÒÓ Ì ·Ú·Ï‹ÛÈ· ˘ÎÓfiÙËÙ·. O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ˘ÁÚÒÓ ·˘ÙÒÓ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ê˘ÁfiÎÂÓÙÚË ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹, ÛÙÔ ˘ÁÚfi Ì ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ˘ÎÓfiÙËÙ·. O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Á›ÓÂÙ·È Û ÂȉÈ΋ Û˘Û΢‹, ÙË Û˘Û΢‹ Ê˘ÁÔΤÓÙÚÈÛ˘, Ô˘ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ËÏÂÎÙÚÈ΋ ‹ ¯ÂÈÚÔΛÓËÙË. ™ÙËÓ ËÏÂÎÙÚÈ΋ Û˘Û΢‹ Ê˘ÁÔΤÓÙÚÈÛ˘ (™¯‹Ì· 3.1) Ë ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ËÏÂÎÙÚÈÎÔ‡ ÎÈÓËÙ‹Ú·, Ô˘ ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÂÈ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· Ô˘ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 3.000-6.000 ÛÙÚÔʤ˜ ·Ó¿ ÏÂÙfi. H Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ Â›Ó·È Ú˘ıÌÈ˙fiÌÂÓ·. TȘ Ô˘Û›Â˜ Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ‰È·¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ‚¿˙Ô˘Ì ̤۷ Û Á˘¿ÏÈÓÔ˘˜ ۈϋÓ˜ Ê˘ÁÔΤÓÙÚÈÛ˘ ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÙÔÔıÂÙԇ̠ÛÙÔ˘˜ ÂȉÈÎÔ‡˜ ÌÂÙ·ÏÏÈ-

ÎÔ‡˜ ˘ԉԯ›˜ Ù˘ Û˘Û΢‹˜. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ οÓÔ˘Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÓ¤ÚÁÂȘ: ™Â ‰‡Ô ‹ Ù¤ÛÛÂÚȘ ۈϋÓ˜ Ê˘ÁÔΤÓÙÚÈÛ˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙËÓ ÚÔ˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi Ô˘Û›·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÛˆÏ‹ÓˆÓ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÚ›Ô˘ 34 cm οو ·fi ÙÔ ÛÙfiÌÈÔ ÙˆÓ ÛˆÏ‹ÓˆÓ. E›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÙÔ ˘ÁÚfi Ó· ™¯‹Ì· 3.1. HÏÂÎÙÚÈ΋ Û˘Û΢‹ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜ Û’ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ۈϋÓ˜ Ê˘ÁÔΤÓÙÚÈÛ˘. ÁÈ· Ó· ÂÍÈÛÔÚÚÔÔ‡ÓÙ·È ·ÌÔÈ‚·›· ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹. ŸÙ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠‰‡Ô ۈϋÓ˜ ÙÔ˘˜ ÙÔÔıÂÙԇ̠۠‰È·ÌÂÙÚÈ-

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

à ∏ª∂π∞ ο ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘˜ ˘ԉԯ›˜ Ù˘ Û˘Û΢‹˜. AÓ Ë ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÚÔ˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ‹, ÒÛÙ ӷ ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó ‰‡Ô ۈϋÓ˜, ÁÂÌ›˙Ô˘Ì ÌfiÓÔ ÙÔÓ ¤Ó·Ó Î·È ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛˆÏ‹Ó· ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÓÂÚfi ›ÛÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Ì ÙÔÓ ÚÒÙÔ. M ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Ë ÚÔ˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi ÛÙÂÚ‹ Ô˘Û›· «ÂÈÎÔÏÏ¿Ù·È» ÛÙ· ÙÔȯÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ۈϋӷ ‹ ÙˆÓ ÛˆÏ‹ÓˆÓ. ™ÙË

Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·Ô¯‡ÓÂÙ·È ÙÔ ˘ÂÚΛÌÂÓÔ ˘ÁÚfi Î·È Î·ÙfiÈÓ ·Ú·Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ·fi Ù· ÙÔȯÒÌ·Ù· Ë ÛÙÂÚ‹ Ô˘Û›·. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ›ڷ̷ Â›Ó·È Ô ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÎÔÏÏÔÂȉԇ˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ˘‰ÚÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘ Fe(OH)3, ÚÔ˚fiÓ Ù˘ ·ÓÙȉڿÛˆ˜ FeCl3 + 3NH4OH Æ

Fe(OH)3 + 3NH4Cl

4. EKXY§I™H Eί‡ÏÈÛË ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È Ë «ÌÂÙ·ÊÔÚ¿» ÌÈ·˜ Ô˘Û›·˜ ·fi ÙË Ê¿ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ÌÈ· ¿ÏÏË Ê¿ÛË, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡ÙË Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Âί˘ÏÈÛÙÈÎfi ˘ÁÚfi. T· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÂÓfi˜ ηٿÏÏËÏÔ˘ Âί˘ÏÈÛÙÈÎÔ‡ ˘ÁÚÔ‡ Â›Ó·È fiÙÈ ‰È·Ï‡ÂÈ ¤Ó· ÌfiÓÔ ·fi Ù· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜, ‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ‰È·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ‰È·Ï˘ÙfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ Û’ ·˘ÙfiÓ, ‰ÂÓ ·Ó·ÌÂÈÁÓ‡ÂÙ·È Ì ٷ ¿ÏÏ· Î·È ‰ÂÓ ·ÓÙȉڿ Ì ÙËÓ Ô˘Û›· Ô˘ ı· Âί˘ÏÈÛÙ›. T· Âί˘ÏÈÛÙÈο ˘ÁÚ¿ ¤¯Ô˘Ó Û˘Ó‹ıˆ˜ ¯·ÌËÏfi ÛËÌÂ›Ô ˙¤Ûˆ˜ fiˆ˜ .¯. ›ӷÈ

(·)

(‚)

(Á)

ÔÈ ·ÏÎÔfiϘ, Ô ·Èı¤Ú·˜, ÙÔ ¯ÏˆÚÔÊfiÚÌÈÔ Î.Ï. ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·Ï‹ Âί‡ÏÈÛË Ì ‰È·¯ˆÚÈÛÙÈÎfi ¯ˆÓ› (™¯‹Ì· 4.1) Î·È ÙË «Û˘Ó¯‹» Âί‡ÏÈÛË Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Ì ‰È¿ÊÔÚ˜ Û˘Û΢¤˜, fiˆ˜ Â›Ó·È Ë Û˘Û΢‹ SOxhlet (™¯‹Ì· 4.2). X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ›ڷ̷ ÛÙËÓ Âί‡ÏÈÛË Â›Ó·È Ô ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Ȉ‰›Ô˘ ·fi ÙÔ ‚¿ÌÌ· Ȉ‰›Ô˘. (TÔ ‚¿ÌÌ· Ȉ‰›Ô˘ Â›Ó·È ‰È¿Ï˘Ì· Ȉ‰›Ô˘ Û ÔÈÓfiÓÂ˘Ì·). ™ÙÔ ™¯‹Ì· 4.1 Ê·›ÓÂÙ·È Ë ‰È·‰Èηۛ· ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ Ȉ‰›Ô˘ Ì Âί‡ÏÈÛË.

(‰)

(Â)

(ÛÙ)

™¯‹Ì· 4.1. Eί‡ÏÈÛË Èˆ‰›Ô˘ ·) AÓ·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘Ì ÓÂÚfi Ì ‚¿ÌÌ· Ȉ‰›Ô˘ ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ηÛÙ·Ófi ‰È¿Ï˘Ì· (‰È¿Ï˘Ì· Ȉ‰›Ô˘ Û ‰È·Ï‡Ù˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó Ô͢ÁfiÓÔ .¯. ÔÈÓfiÓÂ˘Ì· C2H5OH, ¤¯ÂÈ ¯ÚÒÌ· ηÛÙ·Ófi). ‚) ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ¯ÏˆÚÔÊfiÚÌÈÔ Á) AÓ·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘ÌÂ. ‰) EÏ·ÙÙÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ›ÂÛË. Â) AÊ‹ÓÔ˘Ì ӷ ‰È·¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÛÙÈ‚¿‰Â˜, ÔfiÙÂ Ë ÛÙÈ‚¿‰· ÙÔ˘ ¯ÏˆÚÔÊÔÚÌ›Ô˘ ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÂÙ·È È҉˘ (¢È¿Ï˘Ì· Ȉ‰›Ô˘ Û ‰È·Ï‡Ù˜ Ô˘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯Ô˘Ó Ô͢ÁfiÓÔ .¯. ÙÂÙÚ·¯ÏˆÚ¿Óıڷη CCl4, ¯ÏˆÚÔÊfiÚÌÈÔ CHCl3 ¤¯ÂÈ ¯ÚÒÌ· È҉˜). ÛÙ) ¶·Ú·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙÔ ˘ÁÚfi Ù˘ ηÙÒÙÂÚ˘ ÛÙÈ‚¿‰·˜ ÙÔ˘ ¯ÏˆÚÔÊÔÚÌ›Ô˘ Û ÊÈ¿ÏË.

H ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· Ù˘ Û˘Û΢‹˜ Soxhlet Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: TÔ Ì›ÁÌ· ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È Ì¤Û· Û ÂȉÈÎfi ۈϋӷ (ʇÛÈÁÁ·) ·fi ‰ÈËıËÙÈÎfi ¯·ÚÙ›, ÎÏÂÈÛÙfi ·fi ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ, ÂÓÒ ÙÔ ÂχıÂÚÔ ¿ÎÚÔ Î·Ï‡ÙÂÙ·È Ì ¯·ÚÙ› ‹ Ì ‚·Ì‚¿ÎÈ. TÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ۈϋӷ, Ô˘ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙÔÓ Âί˘ÏÈÛÙ‹Ú· A, Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ·Ú¿Ï¢ÚÔ˘ ۈϋӷ ·. O ˘Ô‰Ô¯¤·˜ B Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔÓ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ‰È·Ï‡ÙË, ıÂÚÌ·›ÓÂÙ·È Ì ËÏÂÎÙÚÈÎfi Ì·Ó‰‡·. OÈ ·ÙÌÔ› ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË ÂÚÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ ÛˆÏ‹Ó· ‚ Î·È Êı¿ÓÔ˘Ó ÛÙÔÓ „˘ÎÙ‹Ú· ° fiÔ˘ ˘ÁÚÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È Í·Ó·¤ÊÙÔ˘Ó ÛÙÔÓ Âί˘ÏÈÛÙ‹Ú·, fiÔ˘ ‰È·Ï‡Ô˘Ó ̤ÚÔ˜ Ù˘ Ô˘Û›·˜. ŸÙ·Ó ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË ÛÙÔÓ Âί˘ÏÈÛÙ‹Ú· Êı¿ÛÂÈ ÛÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·Ú¿Ï¢ÚÔ˘ ۈϋӷ ·, ÏfiÁˆ ÛÈʈÓÈÛÌÔ‡, ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙËÓ ˘Ô‰Ô¯¤·. H ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Âί˘ÏÈÛÙ› ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Ô˘Û›·˜ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·¯ˆÚÈÛÙ›. H ÂÓ ‰È·Ï‡ÛÂÈ Ô˘Û›·, Ô˘ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ˘Ô‰Ô¯¤·, ·Ú·Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ÂÍ¿ÙÌÈÛË ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË Ì ηٷ‚‡ıÈÛË ÌÂ Û˘Ì‡ÎÓˆÛË Î·È ÎÚ˘ÛÙ¿ÏψÛË ‹ Ì ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜.

° „˘ÎÙ‹Ú·˜

·

∞ Âί˘ÏÈÛÙ‹Ú·˜

‚

µ

™¯‹Ì· 4.2. ™˘Û΢‹ Âί‡ÏÈÛ˘ Soxhlet

29 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∂£√¢√π ¢ π∞Ãøƒπ™ª√À M ∂π°ª∞∆ø¡

5. A¶O™TA•H ∏ ·fiÛÙ·ÍË Â›Ó·È Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ·) Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ‰È·ÊfiÚˆÓ ˘ÁÚÒÓ Î·È ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ‚Ú·ÛÌÔ‡ ÙÔ˘˜ (˙¤Ûˆ˜) Î·È ‚) Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÛÙÂÚÂÒÓ-˘ÁÚÒÓ. H ‰È¿Ù·ÍË ·fiÛÙ·Í˘ (∂ÈÎfiÓ· 5.1) ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÙÔÓ ˘Ô‰Ô¯¤· ‹ ÎÏ·ÛÌ·Ù‹Ú· ‹ ·ÔÛÙ·ÎÙ‹Ú· fiÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ Ì›ÁÌ· ÙˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ, ÙÔÓ „˘ÎÙ‹Ú· ÁÈ· ÙËÓ „‡ÍË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË, ÙÔÓ ˘Ô‰Ô¯¤· ÁÈ· ÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË Î·È ÙÔ ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜.

ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ

KÏ·ÛÌ·Ù‹Ú·˜

∂ÈÎfiÓ· 5.2. ¶ÂÚÈÛÙÚÔÊÈÎfi˜ ÂÍ·ÙÌÈÛÙ‹Ú·˜ ÎÂÓÔ‡.

ŒÍÔ‰Ô˜ ÓÂÚÔ‡

„˘ÎÙ‹Ú·˜

YÁÚfi ·ÔÛٿ͈˜

E›ÛÔ‰Ô˜ ÓÂÚÔ‡

AfiÛÙ·ÁÌ·

∂ÈÎfiÓ· 5.1. ¢È¿Ù·ÍË ·fiÛÙ·Í˘.

30

TÔ Ì›ÁÌ· ıÂÚÌ·›ÓÂÙ·È Î·È Ù· ‰È¿ÊÔÚ· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÂÍ·ÂÚÒÓÔÓÙ·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ıÂÚÌÔÎڷۛ˜. OÈ ·ÙÌÔ› Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È „‡¯ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ Î¿ıÂ Û˘ÛÙ·ÙÈÎfi Û˘ÏϤÁÂÙ·È ¯ˆÚÈÛÙ¿. EÊfiÛÔÓ Ù· ÙËÙÈο Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÔÏÏ¿, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô fiÚÔ˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÍË. AÓ ÔÈ ‰È·Ï‡Ù˜ ¤¯Ô˘Ó ˘„ËÏfi ÛËÌÂ›Ô ‚Ú·ÛÌÔ‡ ‹ Ù· Û˘ÛÙ·ÙÈο ·ÏÏÔÈÒÓÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙË ı¤ÚÌ·ÓÛË ÙfiÙ Á›ÓÂÙ·È ·fiÛÙ·ÍË «˘fi ÎÂÓfi» ‰ËÏ·‰‹ Ì ÂÏ·Ùو̤ÓË ›ÂÛË ÔfiÙ ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ‚Ú·ÛÌÔ‡ Î·È Ë ÂÍ·¤ÚˆÛË Á›ÓÂÙ·È Û ¯·ÌËÏfiÙÂÚË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·. M›· ·Ú·ÏÏ·Á‹ Ù˘ Û˘Û΢‹˜ ·fiÛÙ·Í˘ ˘fi ÎÂÓfi Â›Ó·È ÔÈ ÂÚÈÛÙÚÔÊÈÎÔ› ÂÍ·ÙÌÈÛÙ‹Ú˜ ÎÂÓÔ‡ (Rotary vacuum evaporators) (∂ÈÎfiÓ· 5.2). ∏ ·fiÛÙ·ÍË ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ÛÙÂÚÂÒÓ - ˘ÁÚÒÓ (.¯. ÛÙ·Ê˘ÏÈÒÓ - ÔÈÓÔÓ‡̷ÙÔ˜ - ÓÂÚÔ‡), ‚Ú›ÛÎÂÈ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÛÙËÓ ÔÙÔÔÈ˝·. O ·ÔÛÙ·ÎÙ‹Ú·˜ Â›Ó·È ¯¿ÏÎÈÓÔ˜ Î·È ÔÈ ·ÙÌÔ› Û˘Ì˘ÎÓÒÓÔÓÙ·È Û ÔÊÈÔÂȉ‹ ۈϋӷ (ÛÂÚ·ÓÙ›Ó·) Ì Ú‡̷ „˘¯ÚÔ‡ ÓÂÚÔ‡. ™ÙËÓ ∂ÈÎfiÓ· 5.3 Ê·›ÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ·Ú·‰ÔÛÈ·Îfi˜ ¯¿ÏÎÈÓÔ˜ ·ÔÛÙ·ÎÙ‹Ú·˜ ÁÈ· ·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÛ›Ô˘ÚÔ˘.

∂ÈÎfiÓ· 5.3. ¶·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÛ›Ô˘ÚÔ˘ Ì ·Ú·‰ÔÛÈ·Îfi ·ÔÛÙ·ÎÙ‹Ú· (ºˆÙ. º. ™·Ì¿ÓË).

ŸÙ·Ó ıÂÚÌ·›ÓÂÙ·È Ì›ÁÌ· ÓÂÚÔ‡ - ÔÈÓÔÓ‡̷ÙÔ˜ ÙÔ ÙËÙÈÎfiÙÂÚÔ ÔÈÓfiÓÂ˘Ì· ·ÔÛÙ¿˙ÂÈ ÚÒÙ·. AÓ Û οÔÈÔ ¯ÚfiÓÔ ‰È·ÎÔ› Ë ·fiÛÙ·ÍË ÙÔ ·fiÛÙ·ÁÌ· ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÔÈÓfiÓÂ˘Ì· ·ÏÏ¿ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·È Ï›ÁÔ ÓÂÚfi. AÓ ÙÔ ·fiÛÙ·ÁÌ· ˘Ô‚ÏËı› Û Ӥ· ·fiÛÙ·ÍË ‰È·ÈÛÙÒÓÂÙ·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ÔÈÓfiÓÂ˘Ì·. ŒÙÛÈ ÌfiÓÔ Ì ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ·ÔÛÙ¿ÍÂȘ ÂÙ˘¯·›ÓÔ˘Ì ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· ÔÈÓÔÓ‡̷ÙÔ˜ ÛÙÔ ·fiÛÙ·ÁÌ·. M ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹ ·Ú·Û΢¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÏÔ‡ÛÈ· Û ÔÈÓfiÓÂ˘Ì· ÔÙ¿ (30-70%), fiˆ˜ ÎÔÓÈ¿Î, ÚÔ‡ÌÈ, Ô˘˝ÛÎÈ, ÙÛ›Ô˘ÚÔ Î.Ï. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ›ڷ̷ ·fiÛÙ·Í˘ ÛÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ Â›Ó·È Ô ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÎfiÎÎÈÓÔ˘ ÎÚ·ÛÈÔ‡ ÛÙ· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

à ∏ª∂π∞

6. MA°NHTI™H (‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡-ÛÙÂÚÂÔ‡) O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ Ûȉ‹ÚÔ˘ - ı›Ԣ Ì ̷ÁÓ‹ÙÈÛË Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ›ڷ̷ Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È Ì ÂÈÎfiÓ˜.

(·)

(Á) (‚)

(‰) EÈÎfiÓ· 6. ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ûȉ‹ÚÔ˘ - ı›Ԣ Ì ̷ÁÓ‹ÙÈÛË. ·) H ÛÎfiÓË ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘ ¤¯ÂÈ Ì·‡ÚÔ ¯ÚÒÌ·, ÂÓÒ ÙÔ˘ ı›Ԣ ΛÙÚÈÓÔ ¯ÚÒÌ·. ‚) ™Â Ì›· ‡·ÏÔ ˆÚÔÏÔÁ›Ô˘ ‚¿˙Ô˘Ì ›Û˜ ÔÛfiÙËÙ˜ Ûȉ‹ÚÔ˘ Î·È ı›Ԣ Î·È ·Ó·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘Ì ÙȘ ÛÎfiÓ˜. Á) MÂÙ¿ ÙËÓ ·Ó¿ÌÂÈÍË ÚÔ·ÙÂÈ ¤Ó· ÎÈÙÚÈÓfiÌ·˘ÚÔ Ì›ÁÌ·. ‰) M’ ¤Ó· Ì·ÁÓ‹ÙË ‰È·¯ˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì›ÁÌ· Ûȉ‹ÚÔ˘ - ı›Ԣ. ™ÙÔ Ì·ÁÓ‹ÙË «ÎÔÏÏ¿ÂÈ» Ô Ì·‡ÚÔ˜ Û›‰ËÚÔ˜. AÓ ¿Óˆ ·fi ¤Ó· ¿ÛÚÔ ¯·ÚÙ›, ¯Ù˘‹ÛÔ˘Ì ÂÏ·ÊÚ¿ ÙÔ Ì·ÁÓ‹ÙË, ı· ¤ÛÂÈ ÙÔ Î›ÙÚÈÓÔ ıÂ›Ô Ô˘ Û˘Ì·Ú·Û‡ÚıËΠ̠ÙÔ Û›‰ËÚÔ.

7. E•AXNø™H (‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÛÙÂÚÂÔ‡-ÛÙÂÚÂÔ‡) K·Ù¿ ÙËÓ ÂÍ¿¯ÓˆÛË Ì›· Ô˘Û›· ÌÂÙ·‚·›ÓÂÈ ·fi ÙË ÛÙÂÚ¿ Ê¿ÛË ·¢ı›·˜ ÛÙËÓ ·¤ÚÈ·, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÛÔÏ·‚‹ÛÂÈ Ë ˘ÁÚ‹ Ê¿ÛË. EÊfiÛÔÓ ÌÈ· Ô˘Û›· ÌÔÚ› Ó· ÂÍ·¯Óˆı› (.¯. ÈÒ‰ÈÔ, Ó·Êı·Ï›ÓË) Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ·˘Ù‹ Â›Ó·È È‰·ÓÈ΋ ÁÈ· Ó· ‰È·¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ Ô˘Û›Â˜ ·fi ÙȘ ·ÓÂÈı‡ÌËÙ˜ ÚÔÛÌ›ÍÂȘ. ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÂÚÁ·ÛÙËÚÈ·Îfi ›ڷ̷ Â›Ó·È Ë ÂÍ¿¯ÓˆÛË Èˆ‰›Ô˘. OÈ ÎÚ‡ÛÙ·ÏÏÔÈ ÙÔ˘ Ȉ‰›Ô˘ ¤¯Ô˘Ó (·)

(‚)

¯ÚÒÌ· ÁÎÚÈ˙fiÌ·˘ÚÔ Ì ÌÂÙ·ÏÏÈ΋ Ï¿Ì„Ë, Ì ÙË ı¤ÚÌ·ÓÛË ÂÍ·¯ÓÒÓÔÓÙ·È Î·È ‰›ÓÔ˘Ó ÈÒ‰ÂȘ ·ÙÌÔ‡˜ Ô˘ ÁÂÌ›˙Ô˘Ó ÙÔ ÔÙ‹ÚÈ Ì¤Û· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È (EÈÎfiÓ· 7·-‚). AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ¿ÁÔ (EÈÎfiÓ· 7Á-Â) ÔÈ ·ÙÌÔ› „‡¯ÔÓÙ·È ÛÙ· ÎÚ‡· ÙÔȯÒÌ·Ù· Ù˘ ˘¿ÏÔ˘, ÔfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·Ï¿‚Ô˘Ì ÙÔ ÈÒ‰ÈÔ. TÔ ›ڷ̷ ÂÍÂÏ›ÛÛÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

(Á)

(‰)

(Â)

EÈÎfiÓ· 7. ∂Í¿¯ÓˆÛË Èˆ‰›Ô˘. ·) ™Â ÔÙ‹ÚÈ ˙¤Ûˆ˜ ‚¿˙Ô˘Ì ÎÚ˘ÛÙ¿ÏÏÔ˘˜ Ȉ‰›Ô˘ Î·È ·Ú¯›˙Ô˘ÌÂ Î·È ıÂÚÌ·›ÓÔ˘ÌÂ. ‚) TÔ ÈÒ‰ÈÔ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÂÍ·¯ÓÒÓÂÙ·È Î·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ÈÒ‰ÂȘ ·ÙÌÔ›. Á) KÏ›ÓÔ˘Ì ÙÔ ÛÙfiÌÈÔ ÙÔ˘ ÔÙËÚÈÔ‡ Ì ‡·ÏÔ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ¿ÁÔ˘. TÔ ÔÙ‹ÚÈ ÁÂÌ›˙ÂÈ È҉˜ ·ÙÌÔ‡˜. ‰-Â) ™Ù·Ì·Ùԇ̠ÙË ı¤ÚÌ·ÓÛË. OÈ ·ÙÌÔ› ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ó· ÛÙÂÚÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙ· ÎÚ‡· ÙÔȯÒÌ·Ù· Ù˘ ˘¿ÏÔ˘.

31 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∂£√¢√π ¢ π∞Ãøƒπ™ª√À M ∂π°ª∞∆ø¡

8. E•A§ATø™H (‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ·ÂÚ›Ô˘-˘ÁÚÔ‡) EÍ·Ï¿ÙˆÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ ‰È·Ï˘ÙfiÙËÙ·˜ ÂÓfi˜ ·ÂÚ›Ô˘ Û’ ¤Ó· ˘ÁÚfi Ì ÙËÓ ÚÔÛı‹ÎË Î¿ÔÈÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔχÙË (.¯. Ì·ÁÂÈÚÈÎfi ·Ï¿ÙÈ). ∏ Â›‰Ú·ÛË ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔχÙË Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ·fi ÙË Ê‡ÛË ÙÔ˘ ‰È·Ï˘Ì¤ÓÔ˘ ·ÂÚ›Ô˘. H ‰È·Ï˘ÙfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ·ÂÚ›Ô˘ Û ˘ÁÚfi ÁÂÓÈο ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË Ê‡ÛË ÙÔ˘ ·ÂÚ›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ Î·È Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ ›ÂÛ˘ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜. ŸÙ·Ó ·ÓÔ›ÁÔ˘Ì ¤Ó· ·ÂÚÈÔ‡¯Ô ÔÙfi (Ûfi‰· ‹ Û·Ì¿ÓÈ·) ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·ÊÚfi˜ fiÙ·Ó ·ÓÔ›ÁÔ˘Ì ÙÔ ÌÔ˘Î¿ÏÈ, ÂÂȉ‹ ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È ·fiÙÔÌ· Ë ›ÂÛË ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÌԢηÏÈÔ‡ Î·È ¤Ó· ÌÂÁ¿ÏÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÈÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È È· ‰È·Ï˘Ì¤ÓÔ ÛÙÔ ˘ÁÚfi Î·È ·Ô‰ÂÛ̇ÂÙ·È ·fiÙÔÌ·. H ‰È·Ï˘ÙfiÙËÙ· ÙÔ˘ ·ÂÚ›Ô˘ ‰ÈÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È ·ÎfiÌË ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ fiÙ·Ó Û’ ¤Ó· ÌÔ˘Î¿ÏÈ .¯. Ûfi-

‰·˜ Ú›ÍÔ˘Ì ÌÈÎÚ‹ ÔÛfiÙËÙ· (¤Ó· ÎÔ˘Ù·Ï¿ÎÈ) ·Ï¿ÙÈ (∂ÈÎfiÓ· 8.1) ÔfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠¤ÓÙÔÓÔ ·ÊÚÈÛÌfi. H ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ ‰È·Ï˘ÙfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ Û ˘ÁÚfi Ì ÙËÓ ÚÔÛı‹ÎË ËÏÂÎÙÚÔχÙË ·Ô‰›‰ÂÙ·È ·) ÛÙËÓ ÂÊ˘‰¿ÙˆÛË ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔχÙË Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙËÓ ÂÏ¿ÙÙˆÛË ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË Î·È ‚) ÛÙËÓ ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ ÔÏÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡ÙË Ì ÙËÓ ÚÔÛı‹ÎË ÈfiÓÙˆÓ ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔχÙË.

∂ÈÎfiÓ· 8.1. T· ·ÂÚÈÔ‡¯· ÔÙ¿ ·ÊÚ›˙Ô˘Ó ·Ó Ú›ÍÔ˘Ì ·Ï¿ÙÈ.

9. E¶I¶§EY™H (‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡-ÛÙÂÚÂÔ‡) H Â›Ï¢ÛË Â›Ó·È Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÌÈ·˜ ÛÙÂÚ‹˜ Ô˘Û›·˜ ·fi Ì›ÁÌ· Ô˘ÛÈÒÓ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÏÂÙfi ‰È·ÌÂÚÈÛÌfi. O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ˘ÎÓÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜, fiÙ·Ó ÙÔ Ì›ÁÌ· ·Ó·ÌÂȯı› Ì ÔÛfiÙËÙ· ÓÂÚÔ‡, ÒÛÙ οÔÈÔ ·’ ·˘Ù¿, ÙÔ ÂÏ·ÊÚfiÙÂÚÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, Ó· ÂÈχÛÂÈ.

H Â›Ï¢ÛË Â›Ó·È Û˘ÓËıÈṲ̂ÓË Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ·fi ¿ÏϘ ÚÔÛÌ›ÍÂȘ Î·È ¤ÙÛÈ ÂÌÏÔ˘ÙÈÛÌÔ‡ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÔÚ˘ÎÙÒÓ Û οÔÈÔ ÌÂÙ¿ÏÏÂ˘Ì·, ·ÊÔ‡ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ Ù· ÔÚ˘ÎÙ¿ ˘ÔÛÙÔ‡Ó ÏÂÈÔÙÚ›‚ËÛË Î·È Î·ÙÂÚÁ·Û›· Ì ÂȉÈο Ï¿‰È· ÓÂÚfi Î·È Î¿ÔÈ· Ô˘Û›· Ô˘ ÚÔηÏ› ·ÊÚÈÛÌfi.

10. XPøMATO°PAºIA

32

H ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·ÊÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË ‹ ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê›· Â›Ó·È Ì›· ̤ıÔ‰Ô˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ ÂÓfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ Î·È ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Ê˘ÛÈÎÔ¯ËÌÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ÚÔÛÚfiÊËÛ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ÔÚÒ‰Ô˘˜ ˘ÏÈÎÔ‡ (ÚÔÛÚÔÊËÙÈÎfi ̤ÛÔ) Ó· ÚÔÛÚÔÊ¿ ÂÎÏÂÎÙÈο ‰È¿ÊÔÚ˜ Ô˘Û›Â˜ Î·È ¤ÙÛÈ Ó· ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi ÙÔ˘˜ ·fi Ì›ÁÌ·Ù·. TÔ ÚÔÛÚÔÊËÙÈÎfi ̤ÛÔ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ: ÔÚ҉˜ ¯·ÚÙ›, Al2O3 (·ÏÔ˘Ì›Ó·), SiO2 (silica gel), ¿Ì˘ÏÔ, ¿Óıڷη˜, CaO, CaCO3, MgO, ˙ÂÏ·Ù›Ó·, ηÔÏ›Ó˘ Î.Ï. O Twsett, ÚÒÛÔ˜ ‚ÔÙ·ÓÔÏfiÁÔ˜ ÚÒÙÔ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ·˘Ù‹ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÁÈ· Ó· ‰È·¯ˆÚ›ÛÂÈ ÙȘ ¯ÚˆÛÙÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ ʇÏÏˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Ê˘ÙÒÓ (.¯. ¯ÏˆÚÔʇÏÏË), ·Ê‹ÓÔÓÙ·˜ ¤Ó· Ì›ÁÌ· ‰È·Ï˘ÙÒÓ Ó· ÙȘ ·Ú·Û‡ÚÂÈ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÌÈ·˜ ÛÙ‹Ï˘ Ô˘ ÂÚÈ›¯Â ‰È¿ÊÔÚ· ÚÔÛÚÔÊËÙÈο ˘ÏÈο. Afi ÙÔ ›ڷ̷ ·˘Ùfi ‹ÚÂ Î·È ÙÔ fiÓÔÌ· Ë Ù¯ÓÈ΋ Ù˘ ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê›·˜ «Áڿʈ ¯ÚÒÌ·Ù·». TÔ fiÓÔÌ· fï˜ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌfiÓÔ ÂÚÈÁÚ·ÊÈÎfi, ÁÈ·Ù› Ë Ù¯ÓÈ΋ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Î·È Û ¿¯ÚˆÌ˜ ÂÓÒÛÂȘ. TÔ ÚÔ˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi Ì›ÁÌ· ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ¿Óˆ ÛÙÔ ÔÚ҉˜ ˘ÏÈÎfi Î·È ·Ó·Áο˙ÂÙ·È Ó· ÎÈÓËı› Ì ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË Ù˘ ÚÔ‹˜ ÂÓfi˜ ˘ÁÚÔ‡ (‰È·Ï‡Ù˘ ·Ó¿Ù˘Í˘).

ŒÙÛÈ ‰È·¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È Ù· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋˜ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘˜ ¿Óˆ ÛÙÔ ÔÚ҉˜ ˘ÏÈÎfi (·Ó¿Ù˘ÍË ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê‹Ì·ÙÔ˜). ŸÙ·Ó ÛÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ¿ÊËÌ· Ù· Û˘ÛÙ·ÙÈο Ô˘ ‰È·¯ˆÚ›ÛÙËÎ·Ó ‰›ÓÔ˘Ó ¤Á¯ÚˆÌ˜ ÎËÏ›‰Â˜, Ë ı¤ÛË ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚ‹. H ı¤ÛË ¿¯ÚˆÌˆÓ ÎËÏ›‰ˆÓ Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚ‹ Ì ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË Î·Ù¿ÏÏËÏˆÓ ·ÓÙȉڷÛÙËÚ›ˆÓ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂Ó˜ ÂÓÒÛÂȘ (ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê‹Ì·ÙÔ˜). Y¿Ú¯Ô˘Ó ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê›·˜ fiˆ˜: ·) Xڈ̷ÙÔÁÚ·Ê›· ÛÙ‹Ï˘ (Column Chromatography, CC). H ‰È¿Ù·ÍË Â›Ó·È ¤Ó·˜ Á˘¿ÏÈÓÔ˜ ۈϋӷ˜ ÁÂÌ¿ÙÔ˜ ÚÔÛÚÔÊËÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi. ‚) Xڈ̷ÙÔÁÚ·Ê›· Û ¯·ÚÙ› (Paper Chromatography, PC). TÔ ÚÔÛÚÔÊËÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi Â›Ó·È ÔÚ҉˜ ¯·ÚÙ›. Á) Xڈ̷ÙÔÁÚ·Ê›· ÏÂÙ‹˜ ÛÙÔÈ‚¿‰·˜ (Thin Layer Chromatography, TLC). °˘¿ÏÈÓ˜ ϿΘ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ·ÏÒÓÂÙ·È ¤Ó· ÏÂÙfiÙ·ÙÔ ÛÙÚÒÌ· ·fi silica gel, ˙ÂÏ·Ù›ÓË Î.Ï. ‰) A¤ÚÈÔ˜ ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê›·. Â) YÁÚ‹ ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê›· ˘„ËÏ‹˜ ›ÂÛ˘. T· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ›‰Ë ¯ÚˆÌ·ÙÔÁÚ·Ê›·˜ ··ÈÙÔ‡Ó ÂȉÈο fiÚÁ·Ó·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

à ∏ª∂π∞

H ¢π¢∞™∫∞§π∞ ∆∏™ X∏ª∂π∞™ ™∆√ °Àª¡∞™π√ TÔ˘ ¶. ¶··ıÂÔÊ¿ÓÔ˘˜, XËÌÈÎÔ‡

™

ÙË Û˘Ó›‰ËÛË ÙˆÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Ì·ıËÙÒÓ, Ô XËÌÈÎfi˜ Â›Ó·È Ô Ì¿ÁÔ˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ, Ô˘ ·Ó·Î·Ù‡ÔÓÙ·˜ ‰È¿ÊÔÚ· ¿¯ÚˆÌ· ˘ÁÚ¿ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› Ó¤·, Ì ÂÓÙ˘ˆÛȷο ¯ÚÒÌ·Ù·. TËÓ ·ÓÙ›ÏË„Ë ·˘Ù‹ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÎÌÂÙ·ÏÏ¢Ùԇ̠fiÛÔÈ ‰È‰¿ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ XËÌ›·˜ ÛÙË B¢ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È Ó· «ÎÂÚ‰›ÛÔ˘Ì» ÙÔ˘˜ ÌÈÎÚÔ‡˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ì·˜. H ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙˆÓ ·ÏÒÓ ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓ, ·fi ÙËÓ ÚÒÙË ÎÈfiÏ·˜ ̤ڷ, ·fi ÙË ÌÂÚÈ¿ ÙˆÓ ›‰ÈˆÓ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì ÙËÓ Î·ıÔ‰‹ÁËÛË ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î·ıÔÚÈÛÙÈ΋˜ ÛËÌ·Û›·˜. B¤‚·È· Ë ÂÈÚ·Ì·ÙÈ΋ ‰È‰·Ûηϛ· ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ XËÌ›·˜ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ÚÔÂÙÔÈÌ·Û›· ·fi ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ Î·È Î·Ù¿ÏÏËÏË ‰È··È‰·ÁÒÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ. TÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ ¶. ¶··ıÂÔÊ¿ÓÔ˘˜ «XËÌ›· B¢ °˘ÌÓ·Û›Ô˘» ÙˆÓ ÂΉfiÛÂˆÓ ZHTH ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓ Û οı ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ, Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËıÔ‡Ó ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Ù˘ Ù¿Í˘ ÙÔ˘˜ ‹ ÛÙÔ Û›ÙÈ Ì fiÚÁ·Ó· Î·È ˘ÏÈο ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ¯Ú‹Û˘.

ñ ŒÓ· ·Ïfi ›ڷ̷ Ô˘ ÚÔÛʤÚÂÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÚÒÙË Â·Ê‹ Ì ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Î·È ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ ÚÒÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Û˘Ó·ÈÛıËÌ·ÙÈÎfi ÁÚ¿„ÈÌÔ. T· ˘ÏÈο Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È: Ê˘ÛÈÎfi˜ ¯˘Ìfi˜ ÏÂÌÔÓÈÔ‡ Î·È ‚¿ÌÌ· Ȉ‰›Ô˘. T· fiÚÁ·Ó· ÂÍ›ÛÔ˘ Û˘ÓËıÈṲ̂ӷ, ÛÙ·ÁÔÓfiÌÂÙÚÔ, ¯·ÚÙ› ʈÙÔÙ˘›·˜, ÈÓÂÏ¿ÎÈ ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋˜, ÔÙËÚ¿ÎÈ ÙÔ˘ ηʤ Î·È ¤Ó· Ê·Ú‰‡ Á˘¿ÏÈÓÔ ‚¿˙Ô.

EÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ¯·ÚÙ› ʈÙÔÙ˘›·˜, ÙÔ Îfi‚Ô˘Ì Û ÌÈÎÚ¿ ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Î·È Ù· ¯ˆÚ›˙Ô˘Ì Û ÔÌ¿‰Â˜. °Ú¿ÊÔ˘Ì ¿Óˆ Û οı ¯·ÚÙ¿ÎÈ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÈÓ¤ÏÔ˘ Ô˘ ÙÔ ‚Ô˘Ù¿Ì ÛÙÔ ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ Ì ÙÔ ¯˘Ìfi ÏÂÌÔÓÈÔ‡, Ù· ÔÓfiÌ·Ù· ÙˆÓ ÈÔ ‰ÈÌÔÊÈÏÒÓ Ô‰ÔÛÊ·ÈÚÈÎÒÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Î·È Ù· ÌÔÈÚ¿˙Ô˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ì ‚¿ÛË ÙȘ Û˘ÏÏÔÁÈΤ˜ ÙÔ˘˜ ÚÔÙÈÌ‹ÛÂȘ. MÚÔÛÙ¿ Û οı ̷ıËÙ‹, ·Ó Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ, ‚¿-

˙Ô˘Ì ¤Ó· Á˘¿ÏÈÓÔ ‚¿˙Ô, ÌÔÏ ‹ ÔÙ‹ÚÈ Ì ÓÂÚfi. ¢›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ ÛÙ·ÁÔÓfiÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÌÔ˘Î¿ÏÈ Ì ÙÔ ‚¿ÌÌ· Ȉ‰›Ô˘ Î·È ÙÔ˘˜ ˙ËÙ¿Ì ӷ Ú›ÍÔ˘Ó ÛÙÔ ÓÂÚfi 20 ÂÚ›Ô˘ ÛÙ·ÁfiÓ˜ ‚¿ÌÌ·ÙÔ˜ Ȉ‰›Ô˘. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ˘˜ ÚÔÙÚ¤Ô˘Ì ӷ ‚Ô˘Ù‹ÍÔ˘Ó ÙÔ ¯·ÚÙ› ̤۷ ÛÙÔ ‰Ô¯Â›Ô Î·È Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ó ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰Èfi ÙÔ˘˜ ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜. TÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈο ÂÓÙ˘ˆÛÈ·Îfi. ŸÏÔ ÙÔ ¯·ÚÙ› ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÂÙ·È ¤ÓÙÔÓ· ÌÔ‚ ÂÎÙfi˜ ·fi ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ¿ÛÚË Î·È ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ fiÓÔÌ· Ù˘ ÔÌ¿‰·˜. EÍËÁԇ̠ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ fiÙÈ ÙÔ ›ڷ̷ ·˘Ùfi ‚ÔËı¿ÂÈ ÙÔ ¯ËÌÈÎfi Ó· ÂÓÙÔ›ÛÂÈ –·ÓȯÓ‡ÛÂÈ– ÙËÓ ÈÔ ‰È·‰Â‰Ô̤ÓË ›Ûˆ˜ ÔÚÁ·ÓÈ΋ ¤ÓˆÛË, ÙËÓ Î˘ÙÙ·Ú›ÓË, Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙËÓ Î˘ÙÙ·ÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË ÙˆÓ Ê˘ÙÈÎÒÓ Î˘ÙÙ¿ÚˆÓ. ñ

AÍÈÔÔ›ËÛË Ù˘ ‰È¿ıÂÛ˘ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÁÈ· Û˘ÏÏÔÁÈΤ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ ÂËÚ·Ṳ̂ÓÔÈ ·ÎfiÌË ·fi ÙË Û˘ÏÏÔÁÈ΋ ‰Ú¿ÛË ÛÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Û¯ÔÏ›Ô, ÂÈ˙ËÙÔ‡Ó ÙËÓ ·Ó¿ıÂÛË Ù¤ÙÔÈˆÓ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ ·fi ÙÔ˘˜ ηıËÁËÙ¤˜ ÙÔ˘˜, ÂÚÁ·Û›Â˜ Ô˘ ı· ÂÈÙÚ¤„Ô˘Ó ÛÙÔ˘˜ ηÏÔ‡˜ Û Â›‰ÔÛË Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ·Ó·‰Â›ÍÔ˘Ó ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ‰ÂÍÈfiÙËÙ˜ Î·È ÈηÓfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜, ı· ÙÔ˘˜ ·Ú·ÎÈÓ‹ÛÔ˘Ó Ó· ÂÈÛÎÂÊÙÔ‡Ó ‰È¿ÊÔÚ˜ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˜ ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ˘Ó ÛÙÔȯ›· Î·È ÏËÚÔÊÔڛ˜, ı· ÙÔ˘˜ ‚ÔËı‹ÛÔ˘Ó Ó· ·ÚıÚÒÛÔ˘Ó ¤Ó· ÛˆÛÙfi ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÏfiÁÔ, Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ó ÛÙÔ˘˜ Û˘ÌÌ·ıËÙ¤˜ ÙËÓ ÚˆÙfiÙ˘Ë ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘˜ Î·È Ó· ·ÈÛı·ÓıÔ‡Ó ÂÚ‹Ê·ÓÔÈ Ì ÙÔ ¯ÂÈÚÔÎÚfiÙËÌ· Ô˘ ı· ·ÔÛ¿ÛÔ˘Ó. ŸÌˆ˜ Î·È ÔÈ ·‰È¿ÊÔÚÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚ÁÔ˘Ó ÎÂÚ‰ÈṲ̂ÓÔÈ ·fi ÙËÓ ·Ó¿ıÂÛË ÌÈ·˜ ·Ï‹˜ ÂÚÁ·Û›·˜. H Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛ‹ Ù˘ ı· ÙÔ˘˜ ÂÓı·ÚÚ‡ÓÂÈ Î·È ı· ÙÔ˘˜ ÂÈÙÚ¤„ÂÈ Ó· Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÂÓÂÚÁ¿ ÛÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·fi ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Û˘ÓıÂÙÈΤ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·ÙÂıÔ‡Ó Û ÔÌ¿‰Â˜ Ì·ıËÙÒÓ Î·È Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËıÔ‡Ó Î·È ÛÙ· Ï·›ÛÈ· ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÎÈÓËÙÈÎfiÙËÙ·˜. EÓ‰ÂÈÎÙÈο ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÔÈ Ù›ÙÏÔÈ ÌÂÚÈÎÒÓ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

33

∏ ¢ π¢∞™∫∞§π∞

∆∏™

à ∏ª∂π∞™

Î·È Ë ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓË ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·.

™∆√

° Àª¡∞™π√

II. ¶EIPAMATA XHMEIA™ ™THN TA•H KAI ™TO ™XO§IKO EP°A™THPIO

I. I™TOPIA TH™ XHMEIA™

– H ·Í›· ÙˆÓ ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓ ÛÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ‚·ÛÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ XËÌ›·˜.

– H ÂÙ˘ÌÔÏÔÁ›· Ù˘ Ϥ͢ «XËÌ›·». – O ÚÒÙÔ˜ ¯ËÌÈÎfi˜. – H ÂÚ›Ô‰Ô˜ Ù˘ ÚÔ›ÛÙÔÚ›·˜ Ù˘ XËÌ›·˜. – H ÂÚ›Ô‰Ô˜ Ù˘ ·Ï¯ËÌ›·˜. – H ÂÚ›Ô‰Ô˜ Ù˘ I·ÙÚÔ¯ËÌ›·˜. – H ÂÚ›Ô‰Ô˜ Ù˘ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˘ ¯ËÌÈ΋˜ ÂÈÛÙ‹Ì˘. OÈ ÌÂÁ¿ÏÔÈ ¯ËÌÈÎÔ›. – KÏ¿‰ÔÈ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ XËÌ›·˜: i. OÚÁ·ÓÈ΋ XËÌ›· ii. AÓfiÚÁ·ÓË XËÌ›· iii. AÓ·Ï˘ÙÈ΋ ¯ËÌ›· iv. BÈÔ¯ËÌ›· - I·ÙÚÈ΋ XËÌ›· v. BÈÔÌ˯·ÓÈ΋ XËÌ›· vi. XËÌ›· ÙÚÔʛ̈Ó

i. ¢È·›ÛÙˆÛË ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ Ù˘ ËÏÂÎÙÚÈ΋˜ Î·È ıÂÚÌÈ΋˜ ·ÁˆÁÈÌfiÙËÙ·˜. ii. AÓ›¯Ó¢ÛË ÙÔ˘ ‰ÈÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη ÛÙÔÓ ·ÙÌÔÛÊ·ÈÚÈÎfi ·¤Ú· Î·È ÛÙ· ·¤ÚÈ· Ù˘ ÂÎÓÔ‹˜. iii. T¯ÓÈΤ˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÔÌÂÁÂÓÒÓ ÌÈÁÌ¿ÙˆÓ. iv. T¯ÓÈΤ˜ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÂÙÂÚÔÁÂÓÒÓ ÌÈÁÌ¿ÙˆÓ. v. ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ ¯ËÌÈÎÒÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÛÙ· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÙÔ˘˜. HÏÂÎÙÚfiÏ˘ÛË ÓÂÚÔ‡. vi. ¶Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛË ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛˆÓ, ‰È·›ÛÙˆÛË Ù˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›·˜ Ó¤ˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ. vii. T·¯‡ÙËÙ· ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛˆÓ. viii.EÍÒıÂÚ̘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ.

BIB§IO°PAºIA 1. MA£HMATIKA - ºY™IKH - XHMEIA EΉÔÙÈ΋ AıËÓÒÓ.

ix. ™ÂÈÚ¿ ‰Ú·ÛÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÌÂÙ¿ÏψÓ. T·ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ÌÂÙ¿ÏÏˆÓ Û›‰ËÚÔ˜, ¯·ÏÎfi˜, ¿ÚÁ˘ÚÔ˜ Û ÛÂÈÚ¿ ‰Ú·ÛÙÈÎfiÙËÙ·˜.

2. H I™TOPIA TH™ XHMEIA™ ™E KOMIK™. Cinzia Ghgliano Î·È Luca Noxelli. EΉfiÛÂȘ «Î¿ÙÔÙÚÔ».

BIB§IO°PAºIA

3. H I™TOPIA TH™ XHMEIA™, ¢. KOYPTH™ - M. M¶A™IO™, EΉfiÛÂȘ «¶ÂÏÂοÓÔ˜».

1. ¶EIPAMATA XHMEIA™, °. M·ÓÔ˘Û¿Î˘.

4. H I™TOPIA TH™ XHMEIA™. Henry M. Leicester. EΉfiÛÂȘ «TÚÔ¯·Ï›·».

2. ¶EIPAMATA KAI EP°A™THPIAKE™ A™KH™EI™ XHMEIA™, T. P·ÁÎÔ‡Û˘, ¢. K·ÙÛ›Ó˘, B. AÁÁÂÏfiÔ˘ÏÔ˜, EΉfiÛÂȘ ™·‚‚¿Ï·.

5. ME°A§OI XHMIKOI: H ·ÏÈ¿ ÊÚÔ˘Ú¿ - A. B¿Ú‚ÔÁÏ˘, EΉfiÛÂȘ ZHTH.

3. ¢I¢AKTIKH TH™ XHMEIA™ II. ™XO§IKA ¶EIPAMATA XHMEIA™, AÈÎ. °ÈÔ‡ÚË - TÛÔ¯·Ù˙‹, °. M·ÓÔ˘Û¿Î˘.

6. ME°A§OI XHMIKOI: H XPY™H E¶OXH - A. B¿Ú‚ÔÁÏ˘, EΉfiÛÂȘ ZHTH.

4. XHMEIA ÁÈ· ·È‰È¿, Javice Van Cleave’s, EÎ·È‰Â˘ÙÈΤ˜ ÂΉfiÛÂȘ °.A. ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ‡.

◆

XHMEIA B¢ °YMNA™IOY

¶·‡ÏÔ˘ ¶··ıÂÔÊ¿ÓÔ˘˜

Ô ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› fi¯È ¤Ó· ·Ïfi ‚Ô‹ıËÌ· ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹ ÁÈ· ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ XËÌ›·˜, ·ÏÏ¿ ¤Ó· ··Ú·›ÙËÙÔ ÂÚÁ·ÏÂ›Ô ÛÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ ÙÔ˘ Ó· ηٷÓÔ‹ÛÂÈ ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ XËÌ›·˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ó· ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈΤ˜ ÈηÓfiÙËÙ˜ (Û˘ÏÏÔÁ‹ ÏËÚÔÊÔÚÈÒÓ, ʈÙÔÁÚ·ÊÈÒÓ, ¿ÚıÚˆÓ ·fi ÂÊËÌÂÚ›‰Â˜ Î·È ÂÚÈÔ‰Èο Û¯ÂÙÈο Ì ٷ ÂÍÂÙ·˙fiÌÂÓ· ı¤Ì·Ù·), Ó· ¢·ÈÛıËÙÔÔÈËı› ¿Óˆ Û ı¤Ì·Ù· ÚÔÛÙ·Û›·˜ ÙÔ˘ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙÔ˜. MfiÏȘ °È· Ó· ˘ËÚÂÙ‹ÛÂÈ ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ÛÎÔÔ‡˜ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ¤ÁÈÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ· Ó· ›ӷÈ: ΢ÎÏÔÊfiÚËÛ ● ·Ïfi, ηٷÓÔËÙfi Î·È Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜ ÂÈÛÙËÌÔÓÈο ¤Á΢ÚÔ, ● ÂÏ΢ÛÙÈÎfi ÛÙÔ Ì·ıËÙ‹, Ì ÙÔ ÏÔ‡ÛÈÔ ÊˆÙÔÁÚ·ÊÈÎfi ˘ÏÈÎfi Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ, ● Û˘Ó·Ú·ÛÙÈÎfi Ì ٷ ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Â‡ÎÔÏ· Î·È ·Î›Ó‰˘Ó· ÛÙÔ Û›ÙÈ Ì fiÚÁ·Ó· Î·È ˘ÏÈο Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û fiÏ· Ù· ÓÔÈÎÔ΢ÚÈ¿. ● ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈÎfi Ì ÙȘ ÂÚÁ·Û›Â˜ Ô˘ ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·È Î·È ÙË ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· Ô˘ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ T¤ÏÔ˜ ÁÈ· Ó· ÙÔÓ ‚ÔËı‹ÛÂÈ Ó· ·ÓÙ·ÔÎÚÈı› Ì ÂÈÙ˘¯›· Û ÔÏÈÁfiÏÂÙ· ÙÂÛÙ, ˆÚÈ·›· ‰È·ÁˆÓ›ÛÌ·Ù· ‹ ÚÔ·ÁˆÁÈΤ˜ ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ, ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ÌÂÁ¿ÏË ÔÈÎÈÏ›· Î·È ¤Ó· ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ Ì ‹ ¯ˆÚ›˜ ·¿ÓÙËÛË.

T

34

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

à ∏ª∂π∞

Mπ∞ ∆∂áπ∫∏ ∂¶π§À™∏™ √ƒπ™ª∂¡ø¡ ¢À™∫√§ø¡ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆ø¡

π√¡∆π∫∏™ π™√ƒƒ√¶π∞™ TÔ˘ EÚ. °È·ÎÔ˘Ì¿ÎË, XËÌÈÎÔ‡, E.¶.§. AÏ›ÌÔ˘

£¤Ì·: O ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ‚·ıÌÒÓ ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Î·ıÒ˜ Î·È ÙÔ˘ pH Û ‰È¿Ï˘Ì· ¿Ï·ÙÔ˜ BH+A– Û˘ÁΤÓÙÚˆÛ˘ C Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ·ÛıÂÓ¤˜ ÌÔÓÔÚˆÙÈÎfi Ô͇ HA Î·È ·ÛıÂÓ‹ ÌÔÓfiÍÈÓË ‚¿ÛË B. BHA Æ - C

Ù· BH+

To

‰›ÓÔ˘Ó

x [B] ·BH+ =

=

= + C [BH ]+[B]

BH+ + A– C C

[B]

K+h [B][H3O+] =

=

+ K h+[H3O+] Kh

˘‰ÚÔχÂÙ·È: BH+

(I): ·Ú¯Èο (M)

C

ÈÛÔÚÚ. (M)

C–x

+ H2O

B + H3 x

O+

Ê

Kw [B][H3O+] K+h =

=

Kb [BH+]

(1)

To A– ˘‰ÚÔχÂÙ·È: A– + H2O

·Ú¯Èο (M)

C

ÈÛÔÚÚ (M)

C–y

Kh+= Kh– fi (2)

TÔ H3O+ ·fi ÙËÓ (I) ·ÓÙȉÚÔ‡Ó Ì ٷ OH– ·fi ÙË (II) ÔfiÙ ·ÎÔÏÔ˘ı› Ë ÂÍÔ˘‰ÂÙ¤ÚˆÛË: H3O+ + OH–

x=y fi

·BH+=·A– fi

BH+ +

A–

·Ú¯Èο (M)

x

y

·Ú¯Èο (M)

C

C

ÈÛÔÚÚ. (M)

Ê

ˆ

ÈÛÔÚÚ. (M)

C–x

C–x

(4)

H ÛÙ·ıÂÚ¿ Kh ηÏÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚ¿ ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ÙÔ˘ ¿Ï·ÙÔ˜ Î·È Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ Â͛ۈÛË BH+ + A–

+

HA

x

x x = ·C

[BH+] = [A–] = C–·C = C(1–·)

M ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙˆÓ (1), (2) ÚÔ·ÙÂÈ:

(IV):

B

x ·BH+ = ·A– =

= · fi C

(3)

Kw Kw [B][HA]

Ø

=

Kb K· [BH+][A–]

[H3O+] = [OH–]

‰ËÏ. ÙÔ ‰/Ì· Â›Ó·È Ô˘‰¤ÙÂÚÔ. ™Â ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÌÂÏÂÙÒÓÙ·˜ ÙËÓ „¢‰Ô˚ÛÔÚÚÔ›· (IV) Â›Ó·È ·ÎÚȂ›˜

2H2O

Kw = [H3O+][OH–]

(6)

● AÓ K·=Kb ÙfiÙÂ

ˆ

Kw [HA][OH–] Kh– =

=

K· [A–]

(III):

[HA] y [HA] ·A– =

=
+[HA] =
=

– [HA] [OH–] C [A ]+[HA]

K–h

Afi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ·˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·:

HA + OH– y

(5)

Kh– [H3O+] =
=


K–h+[OH–] K·+[H3O+]

K+h : ÛÙ·ıÂÚ¿ ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ÙÔ˘ ηÙÈfiÓÙÔ˜ BH+

(II):

Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ (I), (II), (III) fï˜ ‰ÂÓ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ¯ËÌÈ΋ ÈÛÔÚÚÔ›·. AÎfiÌË ÔÈ ‚·ıÌÔ› ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ:

H (4) ‰›ÓÂÈ:

B + HA EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

2

 

·C Ø ·C · Kh =

=

C(1–·) Ø C(1–·) 1–· · h =

=
K 1–·




K Ø


K

Kw

·

b

fi (7) 35

M π∞ T ∂áπ∫∏ E ¶π§À™∏™

√ƒπ™ª∂¡ø¡ ¢À™∫√§ø¡ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆ø¡ I √¡∆π∫∏™ I ™√ƒƒ√¶π∞™

Afi ÙËÓ (1) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: [BH+] Kw 1–· [H3O+] = Kh+

=

Ø

fi [B] Kb · [H3O+] =




KØ
Kw K·

(8)

b

Î·È ÂÂȉ‹ K·=Kb Ë (8) ‰›ÓÂÈ fiˆ˜ ÂÚÈ̤ӷÌ –7 [H3O+] =
K  w = 10 fi

ÙËÓ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈ΋ χÛË Ù˘ ·ÚÈ·˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ (IV), Ë ÔÔ›· Ô‰ËÁ› Û ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈΤ˜ χÛÂȘ, ı· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ӷ ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ χÛË ÌÂÏÂÙÒÓÙ·˜ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÙȘ ÈÛÔÚÚÔ›Â˜ (I), (II), (III) Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ·Ú¿ÏÏËÏ· ÙȘ ·Ú¯¤˜ Ù˘ ÈÛÔÛÙ¿ıÌÈÛ˘ Ì¿˙·˜ Î·È Ù˘ ËÏÂÎÙÚÈ΋˜ Ô˘‰ÂÙÂÚfiÙËÙ·˜. IÛÔÛÙ¿ıÌÈÛË Ì¿˙·˜ (B): C=[BH+]+[B]

pH = 7.

(9)

IÛÔÛÙ¿ıÌÈÛË Ì¿˙·˜ (A): ● AÓ fï˜ K·πKb

C=[A–]+[HA]

ÙfiÙ xπy ¿Ú· ·BH+π·A– Û˘ÓÂÒ˜ ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (7) Î·È (8) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚȂ›˜.

HÏÂÎÙÚÈ΋ Ô˘‰ÂÙÂÚfiÙËÙ·: [H3O+]+[BH+]=[OH–]+[A–]

ŒÙÛÈ ·Ó K·>Kb ÙfiÙ K+h>K–h fi

x>y fi

·BH+>·A–

[H3O+]>[OH–] (fiÍÈÓÔ ‰/Ì·) EÓÒ ·Ó K·
x
·BH+<·A–

(C Ø K· Ø Kh++KwK·+KwØ Kh+) Ø [H3O+]–

[H3O+]<[OH–] (‚·ÛÈÎfi ‰È¿Ï˘Ì·) ™˘ÓÂÒ˜ Ë ¿ÎÚÈÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (IV):

+

A–

B + HA

Ô‰ËÁ› ÛÙÔ ¯ËÌÈÎfi ·Ú¿‰ÔÍÔ fiÙÈ x = y ‹ ·BH+ = ·A– (Ô˘ ÂÎ ÙˆÓ ÚÔÙ¤Úˆ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ‰ÈfiÙÈ K·πKb) Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙË Û¯¤ÛË fiÙÈ: [H3O+] =

K ØK


K


w

·

b

O+]

Ë ÔÔ›· ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ [H3 ηٿ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË. AÓ Ë ÙÈÌ‹ ·˘Ù‹ ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ÛÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (5) Î·È (6) ‰›ÓÂÈ fiÙÈ Kw

Kb ·BH+ = ·A– =

Kw

+
 K· Kb

36

3

[H3O+]4 + (C+K·+Kh+)[H3O+] + (K· Ø Kh+–Kw)[H3O+]2 –

Û˘ÓÂÒ˜

BH+

(11)

M Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ: (1), (2), (3), (9), (10), (11) ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙË Û¯¤ÛË:

Û˘ÓÂÒ˜

Kh+
(10)

οÙÈ Ô˘ ·Ó·ÌÂÓfiÙ·Ó ·ÊÔ‡ Ë Â͛ۈÛË (8) ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ˘fiıÂÛË fiÙÈ ·BH+=·A– . TÔ ÂÚÒÙËÌ· ÂÔ̤ӈ˜ Ô˘ Ù›ıÂÙ·È Â›Ó·È «MÔÚԇ̠ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË K·πKb Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Î·È ÙËÓ ·ÎÚÈ‚‹ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ pH». EÂȉ‹ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û fiÏ· Ù· ‚ÔËı‹Ì·Ù· XËÌ›·˜ Ô˘ ·¢ı‡ÓÔÓÙ·È Û ̷ıËÙ¤˜ Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ ‹ ·ÎfiÌË Û ‚ÔËı‹Ì·Ù· °ÂÓÈ΋˜ XËÌ›·˜ Ô˘ ·¢ı‡ÓÔÓÙ·È Û ÊÔÈÙËÙ¤˜ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó

KwK·Kh+ = 0

(12)

H 4-ıÌÈ· ·˘Ù‹ Â͛ۈÛË ‰›ÓÂÈ ÙËÓ [H3O+] Ì ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È Ï‡ÓÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙˆÓ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂˆÓ (Â›ÔÓË ‰È·‰Èηۛ·). EÔ̤ӈ˜ ÁÈ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (5) Î·È (6) ÙÔ˘˜ ·ÎÚȂ›˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Â›Ì·ÛÙ ˘Ô¯Úˆ̤ÓÔÈ Ó· χÛÔ˘Ì ÌÈ· Ï‹ÚË Î·È ÔχÏÔÎË 4-ıÌÈ· Â͛ۈÛË ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠ÙËÓ ·ÎÚÈ‚‹ ÙÈÌ‹ Ù˘ [H3O+]!! EÈϤÔÓ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ ·Ó Î·È ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ËÏÂÎÙÚÈ΋˜ Ô˘‰ÂÙÂÚfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ Î·È ÙËÓ ·Ú¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ Ì¿˙·˜ ‰ÂÓ Û˘ÓËı›˙Ô˘Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·’ ·˘Ù¤˜ ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ÈÔÓÙÈ΋˜ ÈÛÔÚÚÔ›·˜. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙȘ ‰‡Ô ·Ú·¿Óˆ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ ı· ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÌÈ· Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ χÛË ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì «·fiÎÏÈÛË ·fi ÙË Ì¤ÛË ÙÈÌ‹», Ë ÔÔ›· ‰›ÓÂÈ ·ÎÚÈ‚‹ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÁÈ· ÙÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ Î·È ÙÔ pH ¯ˆÚ›˜ Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ 4-ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ (12). ➧ ŒÛÙˆ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È¿Ï˘Ì· NH 4 CN 0,1 M fiÔ˘ K·=4 Ø 10–10, Kb=1,8 Ø 10–5, Kw=10–14. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Kb>K· ¿Ú· Kh– > Kh+ fi

·CN– > ·NH+ . 4

= ·1 Î·È ·CN– = ·2. ŒÛÙˆ fiÙÈ ·NH+ 4

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

à ∏ª∂π∞ ¢Ô˘Ï‡ÔÓÙ·˜ fiˆ˜ ÛÙËÓ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ (1), (2) ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙË Û¯¤ÛË (4): [NH3][HCN] x y Kh =
=
Ø
(¶1)
– + [NH 4][CN ] (C–x ) (C–y) ŸÌˆ˜ x ·1 =

fi C

1. Afi ÙËÓ Â͛ۈÛË (¶2) Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ÔÈ ‚·ıÌÔ› ˘‰ÚfiÏ˘Û˘ ·1 Î·È ·2 ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔÈ ·fi ÙË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË C ÙÔ˘ ¿Ï·ÙÔ˜. ŒÙÛÈ Ë Â͛ۈÛË (¶3) Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Î·È ÙÔ pH ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ C. ™Ù· ›‰È· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ηٷϋÁÔ˘ÌÂ Î·È ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (7) Î·È (8).

x = ·1 Ø C

Î·È y ·2 =

fi C

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ ÙÈÌ‹ Ù˘ [H3O+] Ì Â›Ï˘ÛË Ù˘ (12) Ì ÙËÓ Ì¤ıÔ‰Ô ÙˆÓ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂˆÓ ÁÈ· C=0,1 M ›ӷÈ

y = ·2 Ø C

[H3O+]=6,5 Ø 10–10 M fi

Afi (¶1) ÚÔ·ÙÂÈ: Kw ·1 Ø ·2 25 =



=

K· Ø Kb (1–·1)(1–·2) 18

(¶2)

£ÂˆÚԇ̠ÚÔÛˆÚÈÓ¿ fiÙÈ x=y ‹ ·1=·2=· ÙfiÙÂ Ë (¶2) Á›ÓÂÙ·È: 2

  ·

1–·

25 =

fi 18

5 ·

=

fi 1–· 3
2 

H ›‰È· ÙÈÌ‹ ÁÈ· ÙËÓ [H3O+] ÚÔ·ÙÂÈ Î·È ÁÈ· ÌÈ· ¿ÏÏË ÙÈÌ‹ Ù˘ C .¯. 10–4 M. 2. AÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÈÌ‹ [H3O+]= 6,5 Ø 10–10 M

5

· =

= 0,54 5+3
 2

ÛÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (5) Î·È (6) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Kh+ ·NH+ =

= 0,46 + 4 Kh +[H3O+]

AÓ Ï Â›Ó·È Ë ·fiÎÏÈÛË ÙˆÓ ·1 Î·È ·2 ·fi ÙË Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ · ÙfiÙ ·2=·+Ï Î·È ·1=·–Ï Î·È ·1=·–Ï

· Ï

AÓ ·ÓÙ›ıÂÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û¯¤ÛË:

Ï

KwØ K· [H3O+] =

= 4,7 Ø 10–10 fi Kb

25 (·–Ï)(·+Ï) ·2–Ï2

=

=

18 (1–·+Ï)(1–·–Ï) (1–·)2–Ï2 Ï=

[H3O+] ·CN– =

= 0,62. K·+[H3O+]

·2=·+Ï

ÔfiÙÂ Ë (¶2) ‰›ÓÂÈ:

fi

pH = 9,19.

pH = 9,33 (ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈ΋ ÙÈÌ‹) ÔÈ (5), (6) ‰›ÓÔ˘Ó ·NH+ = ·CN– = 0,54 4









25(1–· )2–18·2

= 0,08 7

ÕÚ·

·NH+ = ·1 = 0,54–0,08 = 0,46 4

ηÈ

·CN– = ·2 = 0,54+0,08 = 0,62

0,62+0,46 fiÔ˘ 0,54 =

. 2

°È· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ [H3O+] ·fi ÙËÓ (1) Û˘Ó¿ÁÂÙ·È fiÙÈ Kh+Ø [NH4+]

[H3O+] =

fi [NH3] Kh+Ø (C–x) + 1–· [H3O+] =

= Kh Ø

1 ·1 x

(¶3)

3. H ·Ú·¿Óˆ Ù¯ÓÈ΋ ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Î·È Û ¿ÏÏ· «‰‡ÛÎÔÏ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·» fiˆ˜ i) ™ÙËÓ ˘‰ÚfiÏ˘ÛË fiÍÈÓˆÓ ·Ï¿ÙˆÓ ·ÛıÂÓÒÓ ÔͤˆÓ .¯. NaHCO3 fiÔ˘ ÙÔ ·ÓÈfiÓ HCO3– ¤¯ÂÈ ·ÌÊÔÏ˘ÙÈ΋ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ‰Ú· ‰ËÏ·‰‹ Û·Ó ‚¿ÛË Î·È Û·Ó Ô͇, ii) ™ÙËÓ ˘‰ÚfiÏ˘ÛË ·Ï¿ÙˆÓ ·ÛıÂÓÒÓ ‚¿ÛÂˆÓ Ì ·ÛıÂÓ‹ ‰ÈÚˆÙÈο Ôͤ· .¯. (NH4)2CO3.

°È· ·1=0,46 Ë (¶3) Á›ÓÂÙ·È: 10–14 0,54 [H3O+] =

Ø

= 6,5Ø10-–10 M fi –3 1,8 Ø 10 0,46

BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›· £.¶. X·Ù˙Ë˚ˆ¿ÓÓÔ˘: ¶ÔÈÔÙÈ΋ AÓ¿Ï˘ÛË Î·È XËÌÈ΋ IÛÔÚÚÔ›·.

◆

pH=9,19

37 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

à ∏ª∂π∞

Oπ ∫∞∆∞§À∆∂™ ™∆√ ∞À∆√∫π¡∏∆√ ª∞™ TÔ˘ E˘. ¶··ÁÈ¿ÁÎÔ˘, XËÌÈÎÔ‡

È Î·Ù·Ï˘ÙÈÎÔ› ÌÂÙ·ÙÚÔ›˜ Ô˘ ‚ÔËıÔ‡Ó ÛÙË Ì›ˆÛË ÙˆÓ ÂÎÔÌÒÓ ÌÔÓÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη, ˘‰ÚÔÁÔÓ·ÓıÚ¿ÎˆÓ Î·È ÔÍÂȉ›ˆÓ ÙÔ˘ ·˙ÒÙÔ˘ ·fi Ù· ·˘ÙÔΛÓËÙ· Â›Ó·È Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο ‰‡Ô ÌÂÙ·ÙÚÔ›˜ Û’ ¤Ó·Ó ·Ó·ÁˆÁÈÎfi ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· Î·È ¤Ó·Ó ÔÍÂȉˆÙÈÎfi, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‰ÚÒÓÙ·˜ Û˘Ó‰˘·ÛÙÈο ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ó ÙÔ˘˜ Ú‡Ô˘˜ Û ·‚Ï·‚‹ ·¤ÚÈ·. OÈ Î·Ù·Ï‡Ù˜ ÛÙÔ˘˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ›˜ Â›Ó·È Î·Ù¿ ·ÚÈÔ ÏfiÁÔ Ï·Ù›Ó· Î·È ·ÏÏ¿‰ÈÔ Ô˘ ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È Û ÏÂÙfi ÛÙÚÒÌ· ¿Óˆ Û ÔÚ҉˜ ˘ÏÈÎfi Ì ÌÂÁ¿ÏË ÂÈÊ¿ÓÂÈ·. K·È ÔÈ ‰‡Ô ÌÂÙ·ÙÚÔ›˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ ηٷχÙ˜, ·ÏÏ¿ ÌÈ· ÙÂÏ›ˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÔÌ¿‰· ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ¯ÒÚ· ÛÙÔÓ Î·ı¤Ó·. TÔ Û‡ÛÙËÌ· ÂϤÁ¯Ô˘ Ô˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙÔ Î·ÚÌ˘Ú·Ù¤Ú ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ‰Ú¿ÛÂȘ: ÂÏ·ÙÙÒÓÂÈ ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ·Ó¿ÊÏÂ͢ ÌÂ Û˘Ó¤ÂÈ· Ó· ·Ú¿ÁÂÙ·È ÏÈÁfiÙÂÚÔ NO, Î·È ·Ú¿ÁÂÈ ÂÚ›ÛÛÂÈ· ˘‰ÚÔÁÔÓ·ÓıÚ¿ÎˆÓ (HC), CO Î·È H2. T· ·¤ÚÈ· ·˘Ù¿ fiÏ· ·Ó·ÁˆÁÈο, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ˆ˜ ·ÓÙȉÚÒÓÙ· ÛÙÔÓ ·Ó·ÁˆÁÈÎfi ÌÂÙ·ÙÚÔ¤·. MÂÚÈΤ˜ ·fi ÙȘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ¯ÒÚ· ÛÙÔÓ ·Ó·ÁˆÁÈÎfi ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· ›ӷÈ:

2CO + O2 Æ

O

2CO + 2NO Æ

N2 + 2CO2

5H2 + 2NO Æ

2NH3 + 2H2O

2H2 + 2NO Æ

N2 + 2H2O

CO + H2O Æ

CO2 + H2

°È· Ó· ‰Ú¿ÛÂÈ Ô ÔÍÂȉˆÙÈÎfi˜ ηٷχÙ˘, Ë ÊÙˆ¯‹ ·fi‰ÔÛË Û Ô͢ÁfiÓÔ ÙÔ˘ ·Ó·ÁˆÁÈÎÔ‡ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· Ú¤ÂÈ Ó· ÂÌÏÔ˘ÙÈÛÙ›. ŒÓ· Ú‡̷ ·¤Ú· ‰ÈÔ¯ÂÙ‡ÂÙ·È ÛÙ· η˘Û·¤ÚÈ· ηıÒ˜ ·˘Ù¿ ÂÈÛ¤Ú¯ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ÔÍÂȉˆÙÈÎfi ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· fiÔ˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ¯ÒÚ· ÔÈ ÂÍ‹˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ:

2CO2

4HC + 5O2 Æ 2H2 + O2 Æ

4CO2 + 2H2O 2H2O

ŒÙÛÈ ıˆÚËÙÈο Ù· ·¤ÚÈ· Ù˘ ÂÍ¿ÙÌÈÛ˘ Ù· ÔÔ›· ‚Á·›ÓÔ˘Ó ·fi ÙÔÓ ÔÍÂȉˆÙÈÎfi ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ CO2, N2, H2O Î·È O2. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· Ù· ·ÓÂÈı‡ÌËÙ· ·¤ÚÈ· ‰ÂÓ ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÔÓÙ·È Ï‹Úˆ˜. ŒÓ· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· ÙÔ˘ ·Ó·ÁˆÁÈÎÔ‡ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· Â›Ó·È Ë NH3 Ë ÔÔ›· ÛÙÔÓ ÔÍÂȉˆÙÈÎfi ÌÂÙ·ÙÚÔ¤· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ·ÓÂÈı‡ÌËÙ· ÔÍ›‰· ÙÔ˘ ·˙ÒÙÔ˘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ: 4NH3 + 5O2 Æ

4NO + 6H2O

2NH3 + 2O2 Æ

N2O + 3H2 .

Y¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÚfiÛıÂÙ˜ ‰˘ÛÎÔϛ˜. ŸÙ·Ó Ë Ì˯·Ó‹ ÍÂÎÈÓ¿, ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ·ÚÎÂÙ¿ ÏÂÙ¿ ÁÈ· Ó· ÊÙ¿ÛÂÈ Ô ÔÍÂȉˆÙÈÎfi˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤·˜ ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ ÙÔ˘, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÂÏÙȈı› ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Ì˯·ÓÈ΋ ÙÔ˘, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ô ·Ó·ÁˆÁÈÎfi˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤·˜ Ó· ÂÎÙÂÏ› ÙȘ ÔÍÂȉÒÛÂȘ ÚÔÛˆÚÈÓ¿. K·È ‚¤‚·È· Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Ù· ·˘ÙÔΛÓËÙ· ÌÂ Î·Ù·Ï˘ÙÈÎÔ‡˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ›˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÌfiÓÔ ·ÌfiÏ˘‚‰Ë ‚ÂÓ˙›ÓË, ηıÒ˜ Ô ÙÂÙÚ··Èı˘ÏÈÔ‡¯Ô˜ ÌfiÏ˘‚‰Ô˜ Ô˘ ÚÔÛÙ›ıÂÙ·È ÛÙË ‚ÂÓ˙›ÓË ˆ˜ ‚ÂÏÙȈÙÈÎfi (ÚÔ˜ ·ÔÊ˘Á‹ ÚÔ·Ó¿ÊÏÂ͢), ÌÔÚ› Ó· ÂÈηχ„ÂÈ Î·È Ó· «‰ËÏËÙËÚÈ¿ÛÂÈ» ÙÔÓ Î·Ù·Ï‡ÙË.

38

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

µ π√§√°π∞ FAD

Mπ∆√Ã√¡¢ƒπ∞

FAD TÔ˘ ¢ËÌ‹ÙÚË KÔÙÚfiÔ˘ÏÔ˘, BÈÔÏfiÁÔ˘

· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û’ fiÏ· Ù· ¢ηڢˆÙÈο ·ÙÙ·Ú· Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ ÂÍ¿ÚÙËÛ˘ ÙˆÓ Î˘ÙÙ¿ÚˆÓ ·˘ÙÒÓ ·fi ÙȘ ·ÂÚfi‚Ș Û˘Óı‹Î˜. ™ÙÔ ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈÔ Á›ÓÂÙ·È Ë ÔÍÂȉˆÙÈ΋ ʈÛÊˆÚ˘Ï›ˆÛË, ‰ÈÂÚÁ·Û›· Ô˘ Â›Ó·È ˘‡ı˘ÓË ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ATP, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÙÂÏ› ËÁ‹ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÈ· fiϘ ÙȘ ‚ÈÔ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘. ™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›Ô˘ ‰È¿ÊÔÚ· ÔÚÁ·ÓÈο ÌfiÚÈ·, ·fi ÙËÓ ·ÔÈÎÔ‰fiÌËÛË ÙˆÓ ÙÚÔÊÒÓ, ÔÍÂȉÒÓÔÓÙ·È Ì ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ «Î‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ ÎÈÙÚÈÎÔ‡ ÔͤԘ» ‹ «Î‡ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ Krebs». T· ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Ô˘ ÌÂٷʤÚÔÓÙ·È ÛÙȘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔ˘ Krebs ÂÚÓÔ‡Ó Ì¤Û· ·fi ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ÂÓ˙˘ÌÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË ÙÔ˘ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›Ô˘ Î·È ÚÔηÏÔ‡Ó ÊˆÛÊÔÚ˘Ï›ˆÛË ÙÔ˘ ADP Û ATP. ŒÙÛÈ Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ˆ˜ Ù· «ÂÓÂÚÁÂȷο ΤÓÙÚ·» ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘.

MÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈÔ

T

MÔÚÊÔÏÔÁÈο ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο M¤ÁÂıÔ˜ Î·È Û¯‹Ì· TÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ ‰È·Ê¤ÚÂÈ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Î˘ÙÙ·ÚÈÎÒÓ Ù‡ˆÓ. ™Ù· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· fï˜ ·ÙÙ·Ú· ¤¯ÂÈ Ï¿ÙÔ˜ ÂÚ›Ô˘ 0.5 Ìm Î·È Ì‹ÎÔ˜ Ô˘ ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Êı¿ÓÂÈ Ì¤¯ÚÈ Î·È Ù· 7 Ìm. TÔ Û¯‹Ì· ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ ‰È·Ê¤ÚÂÈ Â›Û˘ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ·ÙÙ·Ú· ·ÏÏ¿ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÂÈÌ‹ÎÂȘ ˆÔÂȉ›˜ ‹ Ú·‚‰fiÌÔÚÊÔ˘˜ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜. ™’ ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î˘ÙÙ·ÚÈÎfi Ù‡Ô Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÌÔÚÊÔÏÔÁ›·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙ· Ì˘˚ο ·ÙÙ·Ú·, Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ¤¯Ô˘Ó Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Û¯‹Ì· Â›Ó·È ÂÈÌË΢Ṳ̂ӷ.

K·Ù·ÓÔÌ‹ H ηٷÓÔÌ‹ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ ÛÙÔ˘˜ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ΢ÙÙ¿ÚˆÓ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È ¿ÌÂÛ· Ì ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘ ÁÈ· ·ÚÔ¯‹ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Î˘ÙÙ·ÚÈ΋ ı¤ÛË. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰·ÎÙ˘Ï›Ô˘˜ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ Ô˘Ú¿ ÙˆÓ ÛÂÚÌ·ÙÔ˙ˆ·Ú›ˆÓ ‹ ÛÂÈÚ¤˜ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ I-˙ˆÓÒÓ ÙˆÓ Ì˘˚ÎÒÓ Î˘ÙÙ¿ÚˆÓ (EÈÎ. 1).

M·ÛÙ›ÁÈÔ M˘Ô˚Óȉȷ

O˘Ú¿ ÛÂÚÌ·ÙÔ͈·Ú›Ô˘

K·Ú‰È·Îfi˜ Ì˘˜

EÈÎfiÓ· 1. K·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ ÛÙÔ˘˜ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ΢ÙÙ¿ÚˆÓ

K·Ù¿ ÙË Ì›ÙˆÛË, Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÓÔÓÙ·È ÎÔÓÙ¿ ÛÙË ÌÈÙˆÙÈ΋ ¿ÙÚ·ÎÙÔ –·˘Ùfi Á›ÓÂÙ·È ÁÈ· Ó· ÂÍÔÈÎÔÓÔÌËı› Ë ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÛÙ¿‰È· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘– Î·È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ηٷӤÌÔÓÙ·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ·, ۯ‰fiÓ ÂÍ›ÛÔ˘ ÛÙ· ı˘Á·ÙÚÈο ·ÙÙ·Ú·.

AÚÈıÌfi˜ O ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ ÂÓfi˜ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔÓ Ù‡Ô Î·È ÙÔ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÈÎfi ÛÙ¿‰ÈÔ ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· Ë·ÙÈÎfi ·ÙÙ·ÚÔ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÏÏ¿ ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ·, ÂÚ›Ô˘ 10001600. T· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· Â›Ó·È Ôχ ÏÈÁfiÙÂÚ· ÛÙ· Ê˘ÙÈο ·ÙÙ·Ú· ·’ fiÙÈ ÛÙ· ˙ˆÈο ·ÙÙ·Ú·.

¢ÔÌ‹ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ T· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙ·È ·fi ‰ÈÏ‹ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÌÂÌ‚Ú¿ÓË. O ¯ÒÚÔ˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô ÌÂÌ‚Ú·ÓÒÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È·ÌÂÌ‚Ú·ÓÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÓÒ Ô ¯ÒÚÔ˜ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰ÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Úȷ΋ Ì‹ÙÚ·. H ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË ÙÔ˘ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÔχÏÔΘ ·Ó·‰ÈÏÒÛÂȘ (Ù˘¯ÒÛÂȘ), ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÂÈÌ‹ÎË ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›Ô˘ (EÈÎ. 2). AÎfiÌË, ¤¯ÂÈ ·Ô‰Âȯı›, fiÙÈ Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÚÈ‚ÔÛÒÌ·Ù· (ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Úȷο ÚÈ‚ÔÛÒÌ·Ù·) ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ÌÔÚÊÔÏÔÁÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ Â›Ó·È ›‰È˜ Ì’ ·˘Ù¤˜ ÙˆÓ Î˘ÙÙ·ÚÔÏ·ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ÚÈ‚Ôۈ̿وÓ. AÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ÎÈ ·˘Ù¿ ·fi RNA Î·È ÚˆÙ½Ó˜ Î·È ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ì˯·ÓÈÛÌfi ÁÈ· ÙË ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Úȷ΋ Û‡ÓıÂÛË ÚˆÙÂ˚ÓÒÓ, fiˆ˜ Î·È Ù· ÚÈ‚ÔÛÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ΢ÙÙ·ÚÔÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

39

ª π∆√Ã√¡¢ƒπ∞

§›Ë Y‰·Ù¿ÓıڷΘ

¶Ù˘¯ÒÛÂȘ ¢È·ÌÂÌ‚Ú·ÓÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜

¶ÚˆÙ½Ó˜ °Ï˘ÎÂÚfiÏË

§È·Ú¿ Ôͤ·

MÔÓÔ۷ί·Ú›Ù˜

AÌÈÓÔͤ·

M‹ÙÚ·

OÍ›‰ˆÛË ÏÈ·ÚÒÓ ÔͤˆÓ °Ï˘ÎfiÏ˘ÛË ADP +

E͈ÙÂÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË EÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË

Pi

EÌÊ¿ÓÈÛË ÌÂÌ‚Ú·ÓÒÓ Û ÌÂÁ¤Óı˘ÛË EÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË PÈ‚fiۈ̷

DNA

EÈÎfiÓ· 2. ¢ÔÌ‹ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ

T· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ·, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ¯ËÌÈ΋ ÙÔ˘˜ Û‡ÛÙ·ÛË, ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÚˆÙ½Ó˜, ÏÈ›‰È·, RNA Î·È ¤Ó· ÌÈÎÚfi ÔÛÔÛÙfi DNA. ™Ù· ˙ˆÈο ·ÙÙ·Ú·, ÙÔ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰ÚÈ·Îfi DNA ·ÔÙÂÏ› ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ 1% ÙÔ˘ Û˘ÓÔÏÈÎÔ‡ DNA ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘.

K‡ÎÏÔ˜ Krebs

CO2

MÂÙ·ÊÔÚ¿ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ

H2O

ADP

MÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈÔ

ATP

EÈÎfiÓ· 3. K‡ÚÈ· ‚ÈÔ¯ËÌÈο ÌÔÓÔ¿ÙÈ· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ˘‰·Ù·ÓıڿΈÓ, ÏÈÒÓ Î·È ÚˆÙÂ˚ÓÒÓ

ÁÂÈ· ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ·ÍÈÔÔÈËı›, ÙfiÙ ı· ·ÂÏ¢ıÂÚˆı› ÛÙÔ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ Ì ÌÔÚÊ‹ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜, ·˘Ùfi fï˜ ı’ ·ÔÙÂÏÔ‡Û Û·Ù¿ÏË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ‡˜. ™Â ÁÂÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜, Ë ÔÍ›‰ˆÛË ÌÈ·˜ Ô˘Û›·˜ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ·ÒÏÂÈ· ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ. ŸÙ·Ó ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÔÍÂȉÒÓÂÙ·È ÌÔÚÈ·Îfi ˘‰ÚÔÁfiÓÔ, ÂÏ¢ıÂÚÒÓÂÈ 2 ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Î·È ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ‰‡Ô ÚˆÙfiÓÈ· (2H+). T· ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· fï˜ Ô˘ ·ÂÏ¢ıÂÚÒÓÔÓÙ·È Ú¤ÂÈ Ó· ·Ú·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ·fi ¿ÏÏË ÔÍÂȉˆÙÈ΋ Ô˘Û›·, fiˆ˜ Â›Ó·È ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô ÙÚÈÛıÂÓ‹˜ Û›‰ËÚÔ˜ (Fe3+) Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ‰ÈÛıÂÓ‹ Û›‰ËÚÔ (Fe2+): H2

40

ÔÍ·ÏÔÍÈÎfi Ô͇

AÎÂÙ˘ÏÔ-Û˘Ó¤Ó˙˘ÌÔ A

ATP + H2O O2

E͈ÙÂÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË

·-ÎÂÙÔÁÏÔ˘Ù·ÚÈÎfi

–

2e–

2H+

§ÂÈÙÔ˘ÚÁ›Â˜ ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ

2Fe3+ +

2e–

2Fe2+

M ÙËÓ ÔÍÂȉˆÙÈ΋ ʈÛÊÔÚ˘Ï›ˆÛË ÙÔ Î‡ÙÙ·ÚÔ ·ÔÎÙ¿ ÙËÓ ··Ú·›ÙËÙË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ATP. T· ÙÂÏÈο ÚÔ˚fiÓÙ· ·ÔÈÎÔ‰fiÌËÛ˘ ÙˆÓ ÚˆÙÂ˚ÓÒÓ, ˘‰·Ù·ÓıÚ¿ÎˆÓ Î·È ÏÈȉ›ˆÓ –ÔÍ›‰ˆÛË Î·‡ÛÈÌˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ– Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·ÎÂÙ˘ÏÔÛ˘Ó¤Ó˙˘ÌÔ A (·ÎÂÙ˘ÏCoA), ÙÔ ÔÔ›Ô Ì·›ÓÂÈ ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ Krebs. O ·ÎÏÔ˜ ÙÔ˘ Krebs Â›Ó·È ˘‡ı˘ÓÔ˜ ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›‰ˆÛË ÙˆÓ 2/3 fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÚÁ·ÓÈÎÒÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÙÔ˘ ΢ÙÙ¿ÚÔ˘. H ÔÍ›‰ˆÛË ÙÔ˘ ·ÎÂÙ˘ÏÔ-Û˘Ó¤Ó˙˘ÌÔ˘ A ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ Krebs ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ‰ÈÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¿Óıڷη (CO2) Î·È ÌÂٷʤÚÂÈ ¿ÙÔÌ· ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘ ÛÙ· Û˘Ó¤Ó˙˘Ì· NAD Î·È FAD Ù· ÔÔ›· Î·È ·Ó¿ÁÔÓÙ·È. TÔ Ô͢ÁfiÓÔ Â›Ó·È Ô ÙÂÏÈÎfi˜ ·Ô‰¤ÎÙ˘ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÁÈ· ÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ATP (EÈÎ. 3). ™ÙÔ˘˜ ˙ˆÓÙ·ÓÔ‡˜ ÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ‡˜, Ë ·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ CO2 Á›ÓÂÙ·È ·fi ·Ϥ˜ ·ÔηڂÔ͢ÏÈÒÛÂȘ, Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÔÛË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. H ÂÓÂÚÁÂȷο ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÛÙË ˙ˆÓÙ·Ó‹ ‡ÏË Â›Ó·È Ë ·Ó·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘. ™ÙȘ ‚ÈÔÏÔÁÈΤ˜ ÔÍÂȉÒÛÂȘ, Ë ·Ó·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ‰ÂÓ Á›ÓÂÙ·È Û’ ¤Ó· ÛÙ¿‰ÈÔ ·ÏÏ¿ Û ÔÏÏ¿, Ô˘ ÛÙÔ Î¿ı ¤Ó· ηٷӤÌÂÙ·È Î·È Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. ŒÓ· ̤ÚÔ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ù˘ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ˆ˜ ıÂÚÌfiÙËÙ· ÂÓÒ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ¯ËÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ÌÔÚ›Ô˘ ATP. E¿Ó Ë ÂÓ¤Ú-

∏2

2Fe3+

2H++2Fe2+

–

OÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·ÌÊ›‰ÚÔ̘. ø˜ ·Ô‰¤ÎÙ˘ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÌÔÚ› Ó· ‰Ú¿ÛÂÈ Î·È ÙÔ ÌÔÚÈ·Îfi Ô͢ÁfiÓÔ. E‰Ò fï˜, ÌfiÓÔ ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ¿ÙÔÌ· ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ·Ó¿ÁÂÙ·È Û H2O. ™ÙÔ Î‡ÙÙ·ÚÔ fï˜ ‰ÂÓ ÔÍÂȉÒÓÂÙ·È ÌÔÚÈ·Îfi ˘‰ÚÔÁfiÓÔ, ·ÏÏ¿ οÔÈÔ ˘fiÛÙڈ̷ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÔ Û˘Ó¤Ó˙˘ÌÔ NADH2. M ÙËÓ ÔÍ›‰ˆÛË ÙˆÓ Û˘ÓÂÓ˙‡ÌˆÓ Î·È ÙÔÓ ÈÔÓÈÛÌfi ÙÔ˘ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘ Û ÚˆÙfiÓÈ· (H+) Î·È ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· (e–), ÌÈ· ·Ï˘Û›‰· ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Úȷ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË (·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰·) ‰ÂÛ̇ÂÈ Ù· ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÈ· ‚·ıÌ›‰ˆÛË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛ˘ ÚˆÙÔÓ›ˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÂÓÒ Ù· ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Ú¤Ô˘Ó ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Ù˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋˜ ·Ï˘Û›‰·˜, Ù· ÚˆÙfiÓÈ· ·ÓÙÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙË Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Úȷ΋˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ¿ÏÏË. T· ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· ˘„ËÏ‹˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ô˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÙÔ NADH2 Î·È ÙÔ FADH2 ÌÂٷʤÚÔÓÙ·È Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋˜ ·Ï˘Û›‰·˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓ˙˘ÌÈÎÒÓ Û˘ÌÏfiΈÓ, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ‰È·Ù·Á̤ӷ ÙÔ ¤Ó· ‰›Ï· ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Î·Ù¿ Ù¤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ ÒÛÙ ӷ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÙ·È Ë Î·ÓÔÓÈ΋ ÚÔ‹ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·fi Ù· Û˘Ó¤Ó˙˘Ì· ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ·Ô‰¤ÎÙ˜.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

µ π√§√°π∞ T· ΢ÚÈfiÙÂÚ· ¤Ó˙˘Ì· Ù˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋˜ ·Ï˘Û›‰·˜ Â›Ó·È Ù· ΢ÙÔ¯ÚÒÌ·Ù·. T· ΢ÙÔ¯ÚÒÌ·Ù· ÂÚȤ¯Ô˘Ó Û›‰ËÚÔ Î·È ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂٷʤÚÔ˘Ó ËÏÂÎÙÚfiÓÈ·. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·fi Ù· ¤Ó˙˘Ì· Ù˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋˜ ·Ï˘Û›‰·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÍÂȉ¿ÛË ÙÔ˘ ΢ÙÔ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ Î·È Î·Ù·Ï‡ÂÈ ÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ¤ÓˆÛË ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ Ì ÙÔ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ. TÔ Û‡ÌÏÔÎÔ Ù˘ ÔÍÂȉ¿Û˘ ÙÔ˘ ΢ÙÔ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ˘‡ı˘ÓÔ ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛÏË„Ë ÙÔ˘ 90% ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ÛÙ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·ÙÙ·Ú·. ™ÙÂÓ¿ Û˘Ó‰Â‰Â̤ÓÔ Ì ÙËÓ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ʈÛÊÔÚ˘Ï›ˆÛ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰ÚÈ΋ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ÂÍÂÏȯı› ¤Ó·˜ Ì˯·ÓÈÛÌfi˜ Ô˘ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ù˘ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ˘ÔÛÙÚˆÌ¿ÙˆÓ Û ¯ËÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, Û˘Óı¤ÙÔÓÙ·˜ ÌfiÚÈ· ATP. OÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ÙȘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÛÙËÓ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· ·Ô‰›‰Ô˘Ó ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ë ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›·˜ ÙÔ˘ ATP. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ, Ë ÔÍ›‰ˆÛË ÙÔ˘ NADH2 ‰›ÓÂÈ 3 ÌfiÚÈ· ATP (ÁÈ· οı ÙÚ›· ʈÛÊÔÚÈο Ô˘ ÂÓۈ̷ÙÒÓÔÓÙ·È Û ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÌfiÚÈ· ADP ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ Ô͢ÁfiÓÔ˘) ÂÓÒ Ë ÔÍ›‰ˆÛË ÙÔ˘ FADH2 ‰›ÓÂÈ 2 ÌfiÚÈ· ATP (EÈÎ. 4). MÂÌ‚Ú¿ÓË H2O

e–

M‹ÙÚ·

O2

ADP + Pi

ATP

– – – – ++++ H+

H+ [2H+]

NADH2

ADP+Pi

ADP+Pi FAD

2e–

NAD+ FAD2 ATP

ADP+Pi

Fe3+

Fe2+

Fe3+

Fe2+

Fe3+

Fe2+

ATP

H2 O 1/202

1/202

ATP

EÈÎfiÓ· 4. ™¯ËÌ·ÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÚÔ‹˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÙˆÓ ÂÓ˙˘ÌÈÎÒÓ Û˘ÌÏfiÎˆÓ Ù˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈ΋˜ ·Ï˘Û›‰·˜ Ì ٷ ÛËÌ›· Û‡˙¢Í˘ Ì ÙËÓ ÔÍÂȉˆÙÈ΋ ʈÛÊÔÚ˘Ï›ˆÛË. H ÔÍ›‰ˆÛË Î·È Ë Û‡ÓıÂÛË ÙÔ˘ ATP Â›Ó·È Û˘Ó‰Â‰Â̤Ó˜ ̤ۈ Ù˘ ‰È·ÌÂÌ‚Ú·ÓÈ΋˜ ÚÔ‹˜ ÚˆÙÔÓ›ˆÓ.

HÌÈ·˘ÙfiÓÔÌ· ÔÚÁ·Ó›‰È· T· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ¤¯Ô˘Ó, ˆ˜ ¤Ó· ‚·ıÌfi, οÔÈ· ·˘ÙÔÓÔÌ›· ̤۷ ÛÙÔ Î‡ÙÙ·ÚÔ ·ÊÔ‡ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÚÈ· DNA, ¤Ó˙˘Ì· Î·È ÚÈ‚ÔÛÒÌ·Ù· Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· ÁÈ· ÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi RNA Î·È ÁÈ· ÚˆÙÂ˚ÓÈ΋ Û‡ÓıÂÛË.

¶ÚԤϢÛË ÙˆÓ ÌÈÙÔ¯ÔÓ‰Ú›ˆÓ ™‹ÌÂÚ· Â›Ó·È ÁÂÓÈο ·Ô‰ÂÎÙfi fiÙÈ Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÛ‚ÔÏ‹ ·ÂÚfi‚ÈˆÓ Î·È ·Ó·ÂÚfi‚ÈˆÓ ÊˆÙÔÛ˘ÓıÂÙÈÎÒÓ ‚·ÎÙËÚ›ˆÓ Û ·Ú¯¤ÁÔÓ· ·ÙÙ·Ú· Î·È ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË Û˘Ì‚ÈˆÙÈÎÒÓ Û¯¤ÛˆÓ. ™‡Ìʈӷ ÏÔÈfiÓ Ì ÙË ıˆڛ· Ù˘ Û˘Ì‚›ˆÛ˘, ÙÔ ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈÔ ‹Ù·Ó οÔÙ ÚÔηڢˆÙÈÎfi˜, ·ÙÂÏ‹˜, ·˘ÙfiÓÔÌÔ˜, ÌÈÙÔ·ÙÙ·ÚÔ˜ ÔÚÁ·ÓÈÛÌfi˜ Î·È ¿Ú¯ÈÛ ӷ Û˘Ì‚ÈÒÓÂÈ Ì ÙÔ Â˘Î·Ú˘ˆÙÈÎfi ·ÙÙ·ÚÔ, ̤۷ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯·Û ÔÏϤ˜ ·fi ÙȘ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›Â˜ ÙÔ˘, ·ÊÔ‡ ÙȘ ‰È¤ıÂÙ ÙÔ Î‡ÙÙ·ÚÔ-‰¤ÎÙ˘ Î·È ¤ÙÛÈ ÌÂÙ·ÙÚ¿ËΠ۠ÔÚÁ·Ó›‰ÈÔ. EÔ̤ӈ˜, Ù· ¢ηڢˆÙÈο ·ÙÙ·Ú· ¿Ú¯ÈÛ·Ó ÙË ˙ˆ‹ ÙÔ˘˜ ˆ˜ ÚˆÙfiÁÔÓÔÈ ÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ› ¯ˆÚ›˜ ‚·ÎÙ‹ÚÈ·. MÂÙ¿ ÙËÓ ÂÈÛ‚ÔÏ‹ οÔÈÔ˘ ‚·ÎÙËÚ›Ô˘, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È Û¯¤ÛË ÂÓ‰ÔÛ˘Ì‚›ˆÛ˘ Î·È ÙÔ Â˘Î·Ú˘ˆÙÈÎfi ·ÙÙ·ÚÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÔÍÂȉˆÙÈ΋˜ ʈÛÊÔÚ˘Ï›ˆÛ˘ ÙÔ˘ ‚·ÎÙËÚ›Ô˘ ÁÈ· ‰È΋ ÙÔ˘ ¯Ú‹ÛË. A˘Ù‹ Ë Û˘Ì‚›ˆÛË ‹Ù·Ó ÂˆÊÂÏ‹˜, ÁÈ·Ù› ÙÔ ‚·ÛÈÎfiÙÂÚÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ Â˘Î·Ú˘ˆÙÈÎÒÓ Î˘ÙÙ¿ÚˆÓ ‹Ù·Ó Ë ·Ó¿ÁÎË Ù˘ ÚÔÛ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙÔ˘˜ Û ¤Ó· ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ fiÔ˘ Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ O2 ÛÙËÓ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ· ·˘Í·ÓfiÙ·Ó, ÂÓÒ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ¤ÚÂ ӷ Á›ÓÂÙ·È ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ·ÂÚ›Ô˘ ·˘ÙÔ‡. ™ÙËÓ ·Ú¯‹ ·˘Ù‹ Ë Û˘Ì‚›ˆÛË ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‹Ù·Ó ÚÔ·ÈÚÂÙÈ΋, ÌÂÙ¿ ¤ÁÈÓ ˘Ô¯ÚˆÙÈ΋. °È· ÙÔ˘˜ ¯ÏˆÚÔÏ¿ÛÙ˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÌÔÈ¿˙Ô˘Ó Ì ٷ ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ·, ›Ûˆ˜ Ó· ¤ÁÈÓ ÌÈ· ·ÚfiÌÔÈ· ‰È·‰Èηۛ·. EÂȉ‹ Ù· ÌÈÙÔ¯fiÓ‰ÚÈ· ÙˆÓ ˙ˆÈÎÒÓ Î·È Ê˘ÙÈÎÒÓ Î˘ÙÙ¿ÚˆÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ· ÌÔÚÊÔÏÔÁÈο, ÈÛÙ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ë ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ ÌÈÙȯÔÓ‰Ú›ˆÓ ¤ÁÈÓ ÚÈÓ ·fi ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi ˙ˆÈÎÒÓ Î·È Ê˘ÙÈÎÒÓ Î˘ÙÙ¿ÚˆÓ.

◆

¢ÈÔÚıÒÛÂȘ ÛÙÔ ¿ÚıÚÔ: MIA ¢IAºOPETIKH ¶PO™E°°I™H TH™ ¢I¢A™KA§IA™ TH™ A¶O§YTH™ TIMH™ ™THN A¢ §YKEIOY EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ› NÔ 4 ¢ÂΤ̂ÚÈÔ˜ 1997 Û. 9 ÛÙ‹ÏË 1: Ó· ‰È·ÁÚ·Ê› Ë ÚfiÙ·ÛË: OÈ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ ÁÈ· ÙË Ì¿ıËÛË Ô˘ ΢ÚÈ·¯Ô‡Ó Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ÛÙË ¢È‰·ÎÙÈ΋ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈ Û. 10 ÛÙ‹ÏË 1: Ë Û¯¤ÛË


x2 = x Ó· Á›ÓÂÈ
x2 = ΩxΩ Î·È Ë Û¯¤ÛË
x2 = ΩxΩ Ó· Á›ÓÂÈ
x2 = x

Û. 11 ÛÙ‹ÏË 2: ™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‚ ·ÓÙ› ÁÈ· A = Ωx+2Ω+Ωx–2Ω Ó· ÁÚ·ÊÙ› Ωx+2Ω+Ωx–2Ω = 6 ™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Á ·ÓÙ› ÁÈ· Ωx–2Ω > 3 Ó· ÁÚ·ÊÙ› Ωx–2Ω < 3











·+ ‚ ‚– · ·+ ‚ ‚– · Û. 12 ÛÙ‹ÏË 1: AÓÙ› xΩ x –

<

Ó· ÁÚ·ÊÙ› xΩ x –

<

2 2 2 2

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

41

º π§√§√°π∫∞

¶∂ƒπ µπµ§π∞¡∞°¡ø™∏™ ∫∞π

™Ã√§π∫ø¡ µπµ§π√£∏∫ø¡ T˘ ¶·Ó·ÁÈÒÙ·˜ AÏ·Ù˙fiÁÏÔ˘, ºÈÏÔÏfiÁÔ˘

™

’ ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌ›ˆÌ· ı· ‹ıÂÏ· Ó’ ·Û¯ÔÏËıÒ Ì ÙÔ ı¤Ì· Ù˘ ‚È‚ÏÈ·Ó¿ÁÓˆÛ˘ Î·È Ì ÙÔ Û˘Ó·Ê¤˜ ı¤Ì· ÙˆÓ Û¯ÔÏÈÎÒÓ ‚È‚ÏÈÔıËÎÒÓ. £· ‹ıÂÏ· Ó’ ·Ú¯›Ûˆ Ì’ ·˘Ùfi Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÈ Ô Iˆ¿ÓÓ˘ Ô XÚ˘ÛfiÛÙÔÌÔ˜ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ «OÌÈÏ›· £¢ ÂȘ ÙËÓ ÚÔ˜ KÔÏÔÛ۷›˜ ÂÈÛÙÔÏ‹Ó ÙÔ˘ AÔÛÙfiÏÔ˘ ¶·‡ÏÔ˘»: «AÎÔ‡Û·ÙÂ, ·Ú·Î·ÏÒ, ¿ÓÙ˜ ÔÈ ‚ȈÙÈÎÔ›, Î·È ÎÙ¿Ûı ‚È‚Ï›·, Ê¿Ú̷η Ù˘ „˘¯‹˜ […]» ÁÚ¿ÊÂÈ Ô XÚ˘ÛfiÛÙÔÌÔ˜ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô, Ô˘ Â›Ó·È ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÌ· ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi, ¤ÎÊÚ·ÛË Î·È ÊÔÚ¤·˜ ȉÂÒÓ, ˆ˜ Ê¿ÚÌ·ÎÔ Ù˘ „˘¯‹˜. K·È ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÙÔ ‚È‚Ï›Ô «Ê¿ÚÌ·ÎÔ Ù˘ „˘¯‹˜»; °È·Ù› ‚ÔËı¿ÂÈ ÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ Ó· ‚ÁÂÈ ·fi ÙÔ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ ˘ÏÈÎfi ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘, ·fi ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÙÔ˘ ¢‰·ÈÌÔÓÈÛÌÔ‡ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÎÏÂÈṲ̂ÓÔ˜. °È·Ù› ÙÔÓ ‚ÔËı¿ÂÈ ÂÓ Ù¤ÏÂÈ Ó· ‚ÚÂÈ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘ ÍÂʇÁÔÓÙ·˜ ·fi ÙÔ Î˘Ó‹ÁÈ ÙÔ˘ ΤډԢ˜ Ô˘ ÙÔÓ ·ÏÏÔÙÚÈÒÓÂÈ. AÓ Â›Ó·È ¤ÙÛÈ Ù· Ú¿ÁÌ·Ù·, Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÛÔ È‰È·›ÙÂÚ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ Â›Ó·È Ë Â·Ê‹ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ·ÓıÚÒˆÓ Ì ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· Ì ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ ÙˆÓ È‰ÂÒÓ, ·ÊÔ‡ ÌfiÓÔ ¤ÙÛÈ ı· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ó ÔÈ Ó¤ÔÈ Ó· ·›ÍÔ˘Ó ËÁÂÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÙfiÛÔ ÛÙÔÓ ÎÔÈÓˆÓÈÎfi fiÛÔ Î·È ÛÙÔÓ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi ÙÔ̤·. °È·Ù› ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÚÔˆı› ÙËÓ ·ÓıÚÒÈÓË ÛΤ„Ë, ‰È¢ڇÓÂÈ ÙÔ˘˜ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ‡˜ Ì·˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ˜, ηٷ‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi Î·È ·ÓÂ·Ó¿ÏËÙÔ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ÙÔ˘ ηıÂÓfi˜, ÙËÓ ‡·ÚÍË ¿ÏÏˆÓ ÛΤ„ˆÓ, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ ÔÏ˘ÏÔÎfiÙËÙ· Ù˘ ˙ˆ‹˜, ‚ÔËı¿ÂÈ Ó· ˙‹ÛÔ˘Ì ̤۷ ·fi ÙȘ ÛÂÏ›‰Â˜ ÙÔ˘ ¿ÌÔÏϘ ¿ÏϘ ˙ˆ¤˜, Ì·˜ οÓÂÈ ÎÔÈÓˆÓÔ‡˜ Ì ÙËÓ ÂÌÂÈÚ›· ÙÔ˘ ·ÚÂÏıfiÓÙÔ˜, ‚ÔËı¿ÂÈ ÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ Ó· οÓÂÈ Ûˆ-

ÛÙ¤˜ ÂÈÏÔÁ¤˜. °È·Ù›, ÌfiÓÔ Ë ÛˆÛÙ‹ ÏËÚÔÊfiÚËÛË ÌÔÚ› Ó· Ì·˜ ‚ÔËı‹ÛÂÈ Ó· Á›ÓÔ˘Ì ÈηÓÔ› Ó· ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ Î·È Ó· ÂÈϤÁÔ˘Ì fi,ÙÈ Ì·˜ Û˘ÌʤÚÂÈ Î·Ï‡ÙÂÚ· Î·È È‰›ˆ˜ Ó· ÂÎϤÁÔ˘Ì ¿ÍÈÔ˘˜ ¯ÂÈÚÈÛÙ¤˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÈÎÒÓ Ì·˜ Ú·ÁÌ¿ÙˆÓ. MÂÙ¿ ·’ fiÏ· ·˘Ù¿ ¤ÁÈÓÂ, ÓÔÌ›˙ˆ, ۷ʤ˜ fiÙÈ, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ¤Ó· ηχÙÂÚÔ ·‡ÚÈÔ ÁÈ· Ù· ·È‰È¿ Ì·˜, ÔÊ›ÏÔ˘Ì ӷ ȉڇÛÔ˘Ì ۯÔÏÈΤ˜ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˜, ·ÊÔ‡ ¤ÙÛÈ ı· ÙÔ˘˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›ÛÔ˘Ì ÌÈ· Û˘Ó¯‹ Â·Ê‹ Ì ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ ÙˆÓ È‰ÂÒÓ. «Σχολεον χωρς ιλα εναι τ! α"τ! κα τεχντου %ργαστ*ριον, γυµν!ν +π! τ- +ναγκαα τ.ς τ/χνης %ργαλεα» ÁÚ¿ÊÂÈ Ô A‰. KÔÚ·‹˜ ·Ú·Ì¤ÓÔÓÙ·˜ ÂÎÏËÎÙÈο Û‡Á¯ÚÔÓÔ˜, ·ÊÔ‡ ·ÎfiÌË ÛÙȘ ̤Ú˜ Ì·˜ Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ù·ÛÙ› Ë Û¯ÔÏÈ΋ ‚È‚ÏÈÔı‹ÎË ıÂÛÌfi˜ ÛÙË Û˘Ó›‰ËÛ‹ Ì·˜, fiˆ˜ ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ ›‰ÈÔ. ¶Ú¤ÂÈ, fï˜, Ó· ıˆÚÂ›Ù·È È· ·˘ÙÔÓfiËÙË Ë ‡·ÚÍË Û¯ÔÏÈ΋˜ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˘, ÁÈ·Ù› Ë ·ÚÔ˘Û›· ÔÏÏÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ‰ËÏÒÓÂÈ ÔÏ˘ÊˆÓ›·, fi¯È ÌÈ· ÌfiÓÔ ÁÓÒÌË, fi¯È ÙËÓ ·Ô‰Ô¯‹ ÂÓfi˜ ÙÚfiÔ˘ ÛΤ„˘ ‹ ÌÈ·˜ ·Ï‹ıÂÈ·˜Ø Ë ‡·ÚÍË ÔÏÏÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô Â›Ó·È ¤ÎÊÚ·ÛË ‰ËÌÔÎÚ·ÙÈ΋, ·ÊÔ‡ ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÙËÓ ÔÏÏ·ÏfiÙËÙ·, ÙËÓ ·Ó·˙‹ÙËÛË Î·È Ù˘ ·ÓÙ›ıÂÙ˘ ¿Ԅ˘ Î·È Û˘ÓÙÂÏ› ¤ÙÛÈ ÛÙË Û‡ÓıÂÛË Î·È ÛÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ÚÔÛˆÈÎfiÙËÙ·˜ Û˘ÁÎÚÔÙË̤ÓË˜Ø Ù· ÔÏÏ¿ ‚È‚Ï›· ÚÈ˙ÒÓÔ˘Ó Û ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ ÂÏ¢ıÂÚ›·˜ Î·È ÂÌ›˜ ˙Ô‡ÌÂ, ‚¤‚·È·, Û’ ¤Ó· ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ ÂχıÂÚÔØ ˆÛÙfiÛÔ, Ú¤ÂÈ ¿ÓÙ· οÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ Ó’ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È.

42 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

º π§√§√°π∫∞

¶§A°IO™ §O°O™ (§ATINIKA) TÔ˘ µ. π. ∞ı·Ó·Û¿, ºÈÏÔÏfiÁÔ˘

OÚÈÛÌfi˜

¶

Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ¤¯Ô˘Ì fiÙ·Ó Ù· ÏfiÁÈ· οÔÈÔ˘ ‰ÂÓ Ù· ·Îԇ̠‹ ‰ÂÓ Ù· ÏËÚÔÊÔÚԇ̷ÛÙ ·ÎÚÈ‚Ò˜ fiˆ˜ Ù· › ·ÏÏ¿ ÂÍ·ÚÙË̤ӷ ·fi οÔÈÔ Ú‹Ì·. H ÂÍ¿ÚÙËÛË Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ÙÚÔÔÔÈ‹ÛÂȘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÂÁÎÏ›ÛÂȘ, ÙÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜, ÙȘ ·ÓÙˆÓ˘Ì›Â˜ ·ÏÏ¿ Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÔÚÈṲ̂ӷ ÂÈÚÚ‹Ì·Ù· ÙÔÈο ‹ ¯ÚÔÓÈο. ™ËÌ›ˆÛË MÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ë ÂÍ¿ÚÙËÛË ·fi Ú‹Ì· Â›Ó·È ¯·Ï·Ú‹ Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÂÎʤÚÂÙ·È ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙÔ˜ ̤۷ Û ÂÈÛ·ÁˆÁÈο. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ·ÊÔ‡ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ÏfiÁˆÓ Ô˘ ÂÈÒıËÎ·Ó ¯ˆÚ›˜ fï˜ ÙÚÔÔÔ›ËÛË, ÌÈÏ¿Ì ÁÈ· ¤ÌÌÂÛÔ Â˘ı‡ ÏfiÁÔ.

Û ··Ú¤ÌÊ·ÙÔ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ı· ¤¯ÂÈ ˘ÔΛÌÂÓÔ ÙËÓ ·ÈÙÈ·ÙÈ΋. ™ËÌ›ˆÛË: 1. H ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ ÙÔ˘ ¢ı¤Ô˜ ÏfiÁÔ˘ Û Ï¿ÁÈÔ Û˘ÓÂ¿ÁÂÙ·È ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ Î·È ÙˆÓ ‰È¿ÊÔÚˆÓ ·ÓÙˆÓ˘ÌÈÒÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·) OÈ ÚÔÛˆÈΤ˜ Î·È ÎÙËÙÈΤ˜ ·ÓÙˆÓ˘Ì›Â˜ 1Ô˘ ÚÔÛÒÔ˘ (ego, meus) ÌÂÙ·ÙÚ¤ÔÓÙ·È Û 3Ô˘ ÚÔÛÒÔ˘ (se, suus) ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. AÓ fï˜ ‰Â ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ‰Ëψı› ·˘ÙÔ¿ıÂÈ· ‹ ·Ó ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ‰Ëψı› ·ÓÙ›ıÂÛË, Ë ego ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙ·ÙÚ·› Û ispe Î·È Ë meus Û ÁÂÓÈ΋ ipsius. ‚) OÈ ·ÓÙˆÓ˘Ì›Â˜ ÙÔ˘ 2Ô˘ ÚÔÛÒÔ˘ (tu, tuus) Á›ÓÔÓÙ·È ille ‹ is, illius ‹ eius ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. Á) H hic ‹ Ë iste ‹ Ë ille ‹ Ë is ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Û ille ‹ is.

°ÂÓÈο 1. ™ÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ÌÂٷʤÚÔÓÙ·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ηÈ, ηıÒ˜ ÔÈ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ÎÚ›Û˘ Î·È ÂÈı˘Ì›·˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ÌÂٷʤÚÂÙ·È Î¿ı ÎÚ›ÛË Î·È Î¿ı ÂÈı˘Ì›· ‹ ÚÔÙÚÔ‹ Ì·˜. 2. K·È ÔÈ ‰Â˘ÙÂÚ‡ԢÛ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂÙ·ÊÂÚıÔ‡Ó ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ, ÂÊfiÛÔÓ ÂÍ·ÚÙËıÔ‡Ó ·fi οÔÈÔ Ú‹Ì· (ÈÔ Û˘¯Ó¿ ÔÈ ·Ó·ÊÔÚÈΤ˜ Î·È ÔÈ ˘ÔıÂÙÈΤ˜).

METATPO¶H KYPIA™ ¶POTA™H™ KPI™H™ ™E ¶§A°IO §O°O EÍ¿ÚÙËÛË: O Ï¿ÁÈÔ˜ ÏfiÁÔ˜ ÎÚ›Û˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÏÂÎÙÈο, ÁÓˆÛÙÈο, ‰ÔÍ·ÛÙÈο ‹ ÂÚˆÙËÌ·ÙÈο Ú‹Ì·Ù·. °È· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì ÌÈ· ·ÚÈ· ÚfiÙ·ÛË ÎÚ›Û˘ Û Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ, ‰Ô˘Ï‡ԢÌ ˆ˜ ÂÍ‹˜: – ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Ú‹Ì· ÂÍ¿ÚÙËÛ˘. – ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ˘ÔΛÌÂÓÔ ÙÔ˘ Ú‹Ì·ÙÔ˜ Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ ÎÚ›Û˘ Î·È ÙÔ ÙÚ¤Ô˘Ì Û ·ÈÙÈ·ÙÈ΋ ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÈÚ¿ÍÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙÔ˘. – ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Ú‹Ì· Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ Î·È ÙÔ ÙÚ¤Ô˘ÌÂ

2. OÚÈÛÙ. ÂÓÂÛÙ.-ÚÙ. = ··ÚÌÊ ÂÓÂÛÙ. OÚÈÛÙ. ÚÎ. - ˘ÂÚÛ. = ·ÚÌÊ. ÚÎ. OÚÈÛÙ. ̤Ï. - Û. ̤Ï. = ·ÚÌÊ. ̤Ï. ŸÙ·Ó ÙÔ Ú‹Ì· Ô˘ ¤Ú¯ÂÙ·È ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÛÔ˘›ÓÔ Î·È ÌÂÙÔ¯‹ ̤ÏÏÔÓÙ·, ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÈ ··Ú¤ÌÊ·ÙÔ Ì¤ÏÏÔÓÙ·, ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ··ÚÂÌÊ¿ÙÔ˘ ÂÓÂÚÁËÙÈÎÔ‡ Î·È ·ıËÙÈÎÔ‡ ̤ÏÏÔÓÙ· ¤¯Ô˘Ì fore (‹ futurum esse) ut + ˘ÔÙ·ÎÙ. ÂÓÂÛÙ. ‹ ·Ú·Ù·Ù. (·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ·ÚÎÙ. ‹ ÈÛÙÔÚÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË). H ÚfiÙ·ÛË ut + ˘ÔÙ. ÂÓÂÛÙ. ‹ ·Ú·Ù. Â›Ó·È Û˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈ΋.

METATPO¶H KYPIA™ ¶POTA™H™ E¶I£YMIA™ ™E ¶§A°IO §O°O 1. TËÓ ¤ÁÎÏÈÛË, Ë ÔÔ›· Û˘Ó‹ıˆ˜ Â›Ó·È ÚÔÛÙ·ÎÙÈ΋, ÙËÓ ÙÚ¤Ô˘Ì Û ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ‚Ô˘ÏËÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË, ÙÔ Ú‹Ì· Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· ¤¯ÂÈ ˘ÔΛÌÂÓÔ ·ÓÙˆÓ˘Ì›· 3Ô˘ ÚÔÛÒÔ˘. 2. ¶ÚÔÛ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÚÙËÛË. MÂÁ¿ÏË ÛËÌ·Û›· ¤¯ÂÈ ÙÔ ÚfiÛˆÔ ÙÔ˘ Ú‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍ·ÚٿٷÈ

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

43

¶ §∞°π√™ § √°√™ Ë ‚Ô˘ÏËÙÈ΋. º˘ÛÈο Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ¤¯Ô˘Ì ·’ fiÏ· Ù· Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È ‚Ô˘ÏËÙÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ .¯. veni = ¤Ï·) fi peto ut venias ‹ petit ut veniat. ™ËÌ›ˆÛË: MÂÙ¿ ·fi Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ÛËÌ·›ÓÔ˘Ó ‰È·Ù·Á‹ ‹ ··›ÙËÛË ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ì Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ÂÈı˘Ì›·˜, Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÎʤÚÂÙ·È Ì ÙÂÏÈÎfi ··Ú¤ÌÊ. ÙÔ˘ Ï¿ÁÈÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÂÈı˘Ì›·˜.

METATPO¶H TOY ¶§A°IOY §O°OY KPI™H™ ™E EY£Y TÚ¤Ô˘Ì ÙÔ ˘ÔΛÌÂÓÔ ÙÔ˘ ··ÚÂÌÊ¿ÙÔ˘ Û ÔÓÔÌ·ÛÙÈ΋ ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÈÚ¿ÍÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙÔ˘. TÚ¤Ô˘Ì ÙÔ ··Ú¤ÌÊ·ÙÔ Û ÔÚÈÛÙÈ΋ Ô˘ ı· ¤¯ÂÈ ˘ÔΛÌÂÓÔ ÙËÓ ÔÓÔÌ·ÛÙÈ΋. ™ËÌ›ˆÛË: 1. ·) TÔ ··ÚÌÊ. ÂÓÂÛÙÒÙ· ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÂÓÂÛÙÒÙ· ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÙÈÎfi ¯ÚfiÓÔ, Û ÂÓÂÛÙÒÙ· ‹ ·Ú·Ù·ÙÈÎfi ÌÂÙ¿ ·fi ÈÛÙÔÚÈÎfi ¯ÚfiÓÔ. ‚) TÔ ·ÚÌÊ. ·Ú·ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÙÚ¤ÂÙ·È Û ·Ú·Î›ÌÂÓÔ ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÙÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘ ÂÍ¿ÚÙËÛË, Û ·Ú·Î›ÌÂÓÔ ‹ ˘ÂÚÛ˘ÓÙ¤ÏÈÎÔ ÌÂÙ¿ ·fi ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘ ÂÍ¿ÚÙËÛË. Á) TÔ ·ÚÌÊ. ̤ÏÏÔÓÙ· ÙÚ¤ÂÙ·È Û ̤ÏÏÔÓÙ· ·Ïfi ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÙÈÎÔ‡ ‹ ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘ ÂÍ¿ÚÙËÛË. 2. TË ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ ÙÔ˘ ·ÚÌÊ. ÙÔ˘ Ï·Á›Ô˘ ÏfiÁÔ˘ ÎÚ›Û˘ Û ¢ı‡ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÎÈ ¿ÏϘ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤˜. ŒÙÛÈ: ·) OÈ ·ÓÙˆÓ˘Ì›Â˜ ÙÔ˘ Á¢ ÚÔÛÒÔ˘ (se, suus) Á›ÓÔÓÙ·È ·ÓÙˆÓ˘Ì›Â˜ ·¢ ÚÔÛÒÔ˘ (ego, meus). ‚) H ·ÓÙˆÓ˘Ì›· ille ‹ Ë is Á›ÓÂÙ·È ÚÔÛˆÈ΋ ÙÔ˘ ‚¢ ÚÔÛÒÔ˘ (‰ËÏ. tu). Á) H ÁÂÓÈ΋ illius ‹ eius Á›ÓÂÙ·È ÎÙËÙÈ΋ ‚¢ ÚÔÛÒÔ˘ (tuus).

‹ nolite Î·È ··Ú¤ÌÊ·ÙÔ ÂÓÂÛÙÒÙ·. TÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÚÌÊ. ÙÔ˘ Ï¿ÁÈÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÂÈı˘Ì›·˜ Â›Û˘ ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÚÔÛÙ·ÎÙÈ΋ ÂÓÂÛÙÒÙ·, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ˘ÔΛÌÂÓfi ÙÔ˘. AÓ Â›Ó·È ·ıËÙÈÎfi ÙÔ ·ÚÌÊ., ·Ô‰›‰ÂÙ·È Ì ÚÔÙÚÂÙÈ΋ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋.

METATPO¶H EY£EIA™ EPøTH™H™ ™E ¶§A°IA 1. AÓ ÙÔ Ú‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È Û ÂÓÂÛÙÒÙ· ÔÚÈÛÙÈ΋˜, ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÙÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË Á›ÓÂÙ·È ÂÓÂÛÙÒÙ·˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜ Î·È ÌÂÙ¿ ·fi ÈÛÙÔÚÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË Á›ÓÂÙ·È ·Ú·Ù·ÙÈÎfi˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜. 2. AÓ ÙÔ Ú‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È Û ·Ú·Î›ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÙÈ΋˜, ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÙÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË Á›ÓÂÙ·È ·Ú·Î›ÌÂÓÔ˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜ Î·È ÌÂÙ¿ ·fi ÈÛÙÔÚÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË Á›ÓÂÙ·È ˘ÂÚÛ˘ÓÙ¤ÏÈÎÔ˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜. 3. AÓ ÙÔ Ú‹Ì· Ù˘ ¢ı›·˜ Â›Ó·È Û ̤ÏÏÔÓÙ· ÔÚÈÛÙÈ΋˜, ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÙÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË Á›ÓÂÙ·È ÂÓÂÛÙÒÙ·˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜ Ù˘ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋˜ ÂÚÈÊÚ·ÛÙÈ΋˜ Û˘˙˘Á›·˜ Î·È ÌÂÙ¿ ·fi ÈÛÙÔÚÈ΋ ÂÍ¿ÚÙËÛË Á›ÓÂÙ·È ·Ú·Ù·ÙÈÎfi˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜ Ù˘ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋˜ ÂÚÈÊÚ·ÛÙÈ΋˜ Û˘˙˘Á›·˜. 4. ™ÙȘ Ï¿ÁȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÙÔ num Î·È ÙÔ -ne ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ¯ˆÚ›˜ ‰È·ÊÔÚ¿ ÛÙË ÛËÌ·Û›· (= ·Ó). 5. TÔ nonne (= ·Ó ‰ÂÓ) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÌfiÓÔ ÌÂÙ¿ ÙÔ Ú‹Ì· quaero. 6. ™ÙȘ ‰ÈÌÂÏ›˜ Ï¿ÁȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÙÔ «‹ fi¯È» ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ necne (ÛÙȘ ¢ı›˜ Ì ÙÔ an non). 7. ¶Ï¿ÁȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È Î·È Ì ÙÔ si ÌÂÙ¿ ·fi Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ÛËÌ·›ÓÔ˘Ó ·Ó·ÌÔÓ‹ (expecto) ‹ ·fiÂÈÚ· (conor, tempto). E›Û˘ ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È Ì ÙÔ an (an non) ÌÂÙ¿ Ù·: haud scio, nescio (·ÁÓÔÒ), dubito (·ÌÊÈ‚¿Ïψ), incertum est (Â›Ó·È ·‚¤‚·ÈÔ).

‰) H ·ÓÙˆÓ˘Ì›· ille ‹ is Á›ÓÂÙ·È hic ‹ iste ‹ ille ‹ is.

METATPO¶H ¶§A°IA™ EPøTH™H™ ™E EY£EIA

METATPO¶H TOY ¶§A°IOY §O°OY E¶I£YMIA™ ™E EY£Y

1. O ÂÓÂÛÙÒÙ·˜ ‹ ·Ú·Ù·ÙÈÎfi˜ Ù˘ Ï¿ÁÈ·˜ ÂÚÒÙËÛ˘ Á›ÓÂÙ·È ÂÓÂÛÙÒÙ·˜ ÔÚÈÛÙÈ΋˜ ÛÙËÓ Â˘ı›· ÂÚÒÙËÛË.

OÈ ‚Ô˘ÏËÙÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙÚ¤ÔÓÙ·È ¿ÓÙ· Û ÚÔÛÙ·ÎÙÈ΋ ÂÓÂÛÙÒÙ· ‚¢ ÂÓÈÎÔ‡ ‹ ÏËı˘ÓÙÈÎÔ‡ ÚÔÛÒÔ˘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ˘ÔΛÌÂÓfi ÙÔ˘˜. AÓ ÙÔ Ú‹Ì· Ù˘ ‚Ô˘ÏËÙÈ΋˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ·ıËÙÈ΋ ʈӋ, ÚÔÙÈÌ¿Ù·È Ë ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ Ì ÚÔÙÚÂÙÈ΋ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋. E›Û˘, ·Ó Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈ΋, ·Ô‰›‰ÂÙ·È Ì noli

2. O ·Ú·Î›ÌÂÓÔ˜ ‹ ˘ÂÚÛ˘ÓÙ¤ÏÈÎÔ˜ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜ Ù˘ Ï¿ÁÈ·˜ Á›ÓÂÙ·È ·Ú·Î›ÌÂÓÔ˜ ÔÚÈÛÙÈ΋˜ ÛÙËÓ Â˘ı›·. 3. O ÂÓÂÛÙÒÙ·˜ ‹ ·Ú·Ù·ÙÈÎfi˜ Ù˘ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋˜ ÂÚÈÊÚ·ÛÙÈ΋˜ Û˘˙˘Á›·˜ Ù˘ Ï¿ÁÈ·˜ Á›ÓÂÙ·È ·Ïfi˜ ̤ÏÏÔÓÙ·˜ ÔÚÈÛÙÈ΋˜ ÛÙËÓ Â˘ı›·.

44 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

º π§√§√°π∫∞

OI ¢EYTEPEYOY™E™ ¶POTA™EI™ TOY EY£Y §O°OY ™TON ¶§A°IO §O°O 1. H ÔÚÈÛÙÈ΋ ÌÈ·˜ ‰Â˘ÙÂÚÂ‡Ô˘Û·˜ ÛÙÔÓ Â˘ı‡ ÏfiÁÔ ÚfiÙ·Û˘, ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¯ÚfiÓÔ˘, ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ Á›ÓÂÙ·È ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋, ·ÚÎÙÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘, ·Ó ÙÔ Ú‹Ì· ÂÍ¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È Û ·ÚÎÙÈÎfi ¯ÚfiÓÔ, Ë ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘, ·Ó ÙÔ Ú‹Ì· ÂÍ¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘. ·) H ÔÚÈÛÙÈ΋ ÂÓÂÛÙÒÙ· Á›ÓÂÙ·È ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ÂÓÂÛÙÒÙ· ÂÍ·ÚÙÒÌÂÓË ·fi ·ÚÎÙÈÎfi ¯ÚfiÓÔ ‹ ˘ÔÙ. ·Ú·Ù·ÙÈÎÔ‡ ·fi ÈÛÙÔÚÈÎfi. H ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ·˘Ù‹ ÛÙË ‰Â˘ÙÂÚÂ‡Ô˘Û· ÚfiÙ·ÛË ‰ËÏÒÓÂÈ Ú¿ÍË Û‡Á¯ÚÔÓË Ì ÙËÓ Ú¿ÍË ÙÔ˘ Ú‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍ¿ÚÙËÛ˘. ‚) H ÔÚÈÛÙÈ΋ ·Ú·Ù·ÙÈÎÔ‡ Á›ÓÂÙ·È: I. YÔÙ·ÎÙÈ΋ ·Ú·Ù·ÙÈÎÔ‡, fiÙ·Ó Ë Ú¿ÍË Ù˘ ‰Â˘ÙÂÚÂ‡Ô˘Û·˜ Â›Ó·È Û‡Á¯ÚÔÓË Ì ÙËÓ Ú¿ÍË ÙÔ˘ Ú‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍ¿ÚÙËÛ˘. II. YÔÙ·ÎÙÈ΋ ·Ú·ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ‹ ˘ÂÚÛ˘ÓÙ¤ÏÈÎÔ˘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÚÙËÛË ·fi ·ÚÎÙÈÎfi ¯ÚfiÓÔ ‹ ÈÛÙÔÚÈÎfi, fiÙ·Ó Ë Ú¿ÍË Ù˘ ‰Â˘ÙÂÚ‡۷˜ Â›Ó·È ÚÔÙÂÚfi¯ÚÔÓË Ù˘ Ú¿Í˘ ÙÔ˘ Ú‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍ¿ÚÙËÛ˘. Á) H ÔÚÈÛÙÈ΋ ·Ú·ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (΢ڛˆ˜ ‹ ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡) Î·È Ë ÔÚÈÛÙÈ΋ ˘ÂÚÛ˘ÓÙÂÏ›ÎÔ˘ Á›ÓÔÓÙ·È ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ·Ú·ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ‹ ˘ÂÚÛ˘ÓÙÂÏ›ÎÔ˘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÚÙËÛË ·fi ·ÚÎÙÈÎfi ‹ ÈÛÙÔÚÈÎfi ¯ÚfiÓÔ.

2. H ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ‰Â˘ÙÂÚÂ‡Ô˘Û·˜ ÚfiÙ·Û˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ ÏfiÁÔ˘ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ Î·È ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ‰È·ÙËÚÒÓÙ·˜ ‹ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·˜ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Ù˘. ·) H ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ·ÚÎÙÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘ ‰Â˘ÙÂÚÂ‡Ô˘Û·˜ ÚfiÙ·Û˘ ÙÔ˘ ¢ı¤Ô˜ ÏfiÁÔ˘ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙË, ·Ó ÙÔ Ú‹Ì· ÂÍ¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ·ÚÎÙÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘. MÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, fï˜, ÛÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Î·Ù¿ ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÈÛÙÔÚÈÎfi ¯ÚfiÓÔ Ù˘ ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋˜, ·Ó ÙÔ Ú‹Ì· ÂÍ¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘. ‚) H ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘ (·Ú·Ù·ÙÈÎÔ‡ - ˘ÂÚÛ˘ÓÙÂÏ›ÎÔ˘) ‰Â˘ÙÂÚÂ‡Ô˘Û·˜ ÚfiÙ·Û˘ ÙÔ˘ ¢ı¤Ô˜ ÏfiÁÔ˘ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙË, fiÔÈÔ˜ ÎÈ ·Ó Â›Ó·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ÙÔ˘ Ú‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍ¿ÚÙËÛ˘. ™ËÌÂÈÒÛÂȘ: 1. H ÔÚÈÛÙÈ΋ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ, fiÙ·Ó ıˆÚÂ›Ù·È fiÙÈ Ë ÚfiÙ·ÛË ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ. H ‰È·Ù‹ÚËÛË Ù˘ ÔÚÈÛÙÈ΋˜ Û ‰Â˘ÙÂÚ‡ԢÛ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ‰ÂÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙË ÌË ·˘ÛÙËÚ‹ Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ·, ·ÏÏ¿ ÛÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ· Ó· ‰ËÏÒÛÂÈ Ì ÙËÓ ÔÚÈÛÙÈ΋ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Î·È ·Ó·ÌÊÈÛ‚‹ÙËÙÔ, οÙÈ ‰ËÏ·‰‹ Ô˘ ÙÔ ·Ú·‰¤¯ÂÙ·È Î·È Ô ›‰ÈÔ˜. 2. H ÔÚÈÛÙÈ΋ ÛÙȘ ·Ó·ÊÔÚÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ, fiÙ·Ó Ë ·Ó·ÊÔÚÈ΋ ÚfiÙ·ÛË ·ÔÙÂÏ› ÂÚ›ÊÚ·ÛË ÁÈ· οÙÈ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÂÎÊÚ·ÛÙ› ·fi ¤Ó· Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi.

H ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ·˘Ù‹ ‰ËÏÒÓÂÈ ¿ÓÙ· ÙÔ ÚÔÙÂÚfi¯ÚÔÓÔ Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË ·’ ÙËÓ ÔÔ›· ÂÍ·ÚٿٷÈ.

3. OÈ ·Ó·ÊÔÚÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Û·Ó ÂÂÍËÁ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·, ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ Ï¿ÁÈ·˜ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Î·È ÂÎʤÚÔÓÙ·È Ì ÔÚÈÛÙÈ΋.

‰) H ÔÚÈÛÙÈ΋ ÙÔ˘ Û˘ÓÙÂÏÂṲ̂ÓÔ˘ ̤ÏÏÔÓÙ· Á›ÓÂÙ·È ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ·Ú·ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ‹ ˘ÂÚÛ˘ÓÙÂÏ›ÎÔ˘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÚÙËÛË ·fi ·ÚÎÙÈÎfi ‹ ÈÛÙÔÚÈÎfi ¯ÚfiÓÔ.

OI ANTøNYMIE™ KAI TA E¶IPPHMATA (XPONIKA - TO¶IKA) ™TON ¶§A°IO §O°O

¢ËÏÒÓÂÈ ¿ÓÙ· ÙÔ ÚÔÙÂÚfi¯ÚÔÓÔ Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË ÂÍ¿ÚÙËÛ˘. Â) H ÔÚÈÛÙÈ΋ ÙÔ˘ ̤ÏÏÔÓÙ· ÙÔ˘ ¢ı¤Ô˜ ÏfiÁÔ˘ ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ Á›ÓÂÙ·È: I. YÔÙ·ÎÙÈ΋ Û -urus sim (ÂÓÂÛÙ. ˘ÔÙ. ÂÓÂÚÁ. ÂÚÈÊÚ. Û˘˙˘Á.) -urus essem (·Ú·Ù. ˘ÔÙ. ÂÓÂÚÁ. ÂÚÈÊÚ. Û˘˙˘Á.) Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ.

°È· ÙȘ ·ÓÙˆÓ˘Ì›Â˜ ›·Ì ·Ú·¿Óˆ Ò˜ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÔÓÙ·È. T· ÂÈÚÚ‹Ì·Ù· ÛÙÔÓ Ï¿ÁÈÔ ÏfiÁÔ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: nunc fi

tunc ‹ tum

hodie (Û‹ÌÂÚ·) fi cras (·‡ÚÈÔ) fi hic (‰Ò) fi hoc loco fi

II. YÔÙ·ÎÙÈ΋ ÂÓÂÛÙÒÙ· ‹ ·Ú·Ù·ÙÈÎÔ‡ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ (‰ËÏ. ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÚÙËÛË ·fi ·ÚÎÙ. ‹ ÈÛÙÔÚ. ¯ÚfiÓÔ) EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

illo die

postero die ibi (ÂΛ)

illo loco.

◆

45

º π§√§√°π∫∞

√ ƒ√§√™ ∆∏™ ª∂∆∞µ∞∆π∫∏™ ¶∞ƒ∞°ƒ∞º√À TÔ˘ ¢. K. º·ÚÌ¿ÎË, ºÈÏÔÏfiÁÔ˘

°ÂÓÈο

∂

Âȉ‹ Ë ÌÂÙ¿‚·ÛË ·fi ÙË ÌÈ· ıÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· ÛÙËÓ ¿ÏÏË ÂÓ¤¯ÂÈ ÙÔÓ Î›Ó‰˘ÓÔ Ù˘ ·ÔÛ·ÛÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈ΋˜ Û˘ÓÔ¯‹˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÌÂÙ·‚·ÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁڿʈÓ, Ô˘ Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó Â˘‰È¿ÎÚÈÙ˜ ÔÙÈο Û˘Ó‰ÂÙÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ ÏfiÁÔ˘.

5) H ηٿ¯ÚËÛË Ù˘ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ ÚÔηÏ› ·Î·Ì„›· Î·È ÌÔÓÔÙÔÓ›· ‡ÊÔ˘˜ ÛÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ì·˜. 6) ŒÓ·˜ ¿ÏÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÌÂÙ¿‚·Û˘ ·fi ÙË ÌÈ· ÓÔËÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· ÛÙËÓ ¿ÏÏË Â›Ó·È Ë ÂÓۈ̿وÛË ÙÔ˘ ÚÔÂÍ·ÁÁÂÏÙÈÎÔ‡ ÌfiÓÔ Ì¤ÚÔ˘˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÂÓfiÙËÙ·˜.

√ ÚfiÏÔ˜ Ù˘ H ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·Ó·Ù˘ÍÈ·Îfi ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·, ·ÏÏ¿ ·ÔÎÏÂÈÛÙÈο Û˘Ó‰ÂÙÈÎfi. EȉÈÎfiÙÂÚ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ÙË Û‡Ó‰ÂÛË ıÂÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÔÙ‹ÙˆÓ (.¯. AÈٛ˜ + AÔÙÂϤÛÌ·Ù·) Î·È fi¯È ÁÈ· ÙËÓ ·ÏÏËÏÔ˘¯›· ÙˆÓ ·Ú·ÁڿʈÓ. Afi ¿Ô„Ë ÂÚȯÔ̤ÓÔ˘ Û˘ÁÎÚÔÙÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ̤ÚË: TÔ ÚÒÙÔ (·Ó·ÎÂʷϷȈÙÈÎfi - Û˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈÎfi) ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙ· ÚÔÏÂÁfiÌÂÓ· Î·È Û˘ÓÔ„›˙ÂÈ ÂÈÁÚ·ÌÌ·ÙÈο ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ıÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ·. TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ (ÚÔÂÍ·ÁÁÂÏÙÈÎfi) «ÚÔ·Ó·ÎÚÔ‡ÂÈ» ÌÂ Û˘ÓÙÔÌ›· ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ıÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· Î·È ÚÔÂÙÔÈÌ¿˙ÂÈ ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ÁÈ· fiÛ· ı· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÔ˘Ó.

∏ ı¤ÛË Ù˘ ™˘Ó¿ÁÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· ·fi Ù· ·Ú·¿Óˆ fiÙÈ Ë ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ıÂÌ·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜, Û˘ÓÙÂÏÒÓÙ·˜ ÛÙË ÏÔÁÈ΋ Î·È ·‚›·ÛÙË ÚÔ‹ ÙˆÓ ‰È·ÓÔËÌ¿ÙˆÓ Ì·˜ Î·È ÛÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘.

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· - EÊ·ÚÌÔÁ¤˜: A¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· EÈÙÒÛÂȘ ÔϤÌÔ˘ B¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· §ËÙ¤· ̤ÙÚ· ·ÔÙÚÔ‹˜ ÙÔ˘ AÓ·ÎÂʷϷȈÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÔϤıÚȘ Â›Ó·È ÔÈ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ ÔϤÌÔ˘ Û ·ÙÔÌÈÎfi Î·È ÎÔÈÓˆÓÈÎfi Â›Â‰Ô Î·È ‰˘ÛÔ›ˆÓ˜ ÔÈ ÚÔÔÙÈΤ˜ ÁÈ· ÙËÓ Â‰Ú·›ˆÛË Ù˘ ÂÈÚ‹Ó˘. ¶ÚÔÂÍ·ÁÁÂÏÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ øÛÙfiÛÔ, ¯Ú¤Ô˜ ·ÌÂÙ¿ıÂÙÔ ¤¯Ô˘Ì ӷ ·Ó·Ï¿‚Ô˘Ì ·ÔÊ·ÛÈÛÙÈΤ˜ ÚˆÙÔ‚Ô˘Ï›Â˜ Û ·ÁÎfiÛÌÈÔ Â›Â‰Ô ÁÈ· ÙËÓ Â›Ù¢ÍË ÙÔ˘ ·Ó·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÛÙfi¯Ô˘.

XÚ‹ÛÈ̘ ÂÈÛËÌ¿ÓÛÂȘ: 1) H ¤ÎÙ·ÛË ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ 4-8 ÛÙ›¯Ô˘˜. 2) T· ̤ÚË (·Ó·ÎÂʷϷȈÙÈÎfi Î·È ÚÔÂÍ·ÁÁÂÏÙÈÎfi), Ô˘ ··ÚÙ›˙Ô˘Ó ÌÈ· ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù’ ·Ó¿ÁÎË ÈÛfiÔÛ·. 3) TÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ Ù˘ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È - ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ ÓÔËÌ·ÙÈÎfi ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ıÂÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÔÙ‹ÙˆÓ Ô˘ ·˘Ù‹ Û˘Ó‰¤ÂÈ.

46

4) H ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ Â›Ó·È ÚÔ·ÈÚÂÙÈ΋.

A¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· A›ÙÈ· ‚›·˜ B¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ· EÈÙÒÛÂȘ ‚›·˜ AÓ·ÎÂʷϷȈÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ù· ·›ÙÈ· Ô˘ ˘ÔÎÈÓÔ‡Ó ÙȘ ·ÓÙÈÎÔÈÓˆÓÈΤ˜ ÂΉËÏÒÛÂȘ Î·È ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÔ‡Ó Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ· (‚›·˜) Â›Ó·È ÔÏÏ¿ Î·È Û‡ÓıÂÙ·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

º π§√§√°π∫∞

¶ÚÔÂÍ·ÁÁÂÏÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ¶ÔÏϤ˜, fï˜, Î·È ÛÔ‚·Ú¤˜ Â›Ó·È Î·È ÔÈ ÂÈÙÒÛÂȘ Ù˘ ÎÔÈÓˆÓÈ΋˜ ·˘Ù‹˜ Ì¿ÛÙÈÁ·˜, ÔÈ Ôԛ˜ ·Ó¿ÁÔÓÙ·È Û ÔÏÏÔ‡˜ ÙÔÌ›˜ Ù˘ ·ÓıÚÒÈÓ˘ ˙ˆ‹˜ Î·È ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜.

ÛÌfi˜), ÙfiÙÂ Ë ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ ÌÔÚ› ÂÈÁÚ·ÌÌ·ÙÈο Ó· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ - ·ÍÈÔÏÔÁ› ÙȘ ÂÈÙÒÛÂȘ, Æ Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ηı›ÛÙ·Ù·È ÂÈÙ·ÎÙÈ΋ Ë ·Ó¿ÁÎË Ù˘ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÛÙȘ χÛÂȘ.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· - EÊ·ÚÌÔÁ‹: A¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ·

A¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ·

AÈٛ˜ Ê·Ó·ÙÈÛÌÔ‡

£ÂÙÈ΋ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· Ù˘ ‰È·Ê‹ÌÈÛ˘

B¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ·

B¢ £ÂÌ·ÙÈ΋ ÂÓfiÙËÙ·

TÚfiÔÈ ıÂÚ·›·˜ ÙÔ˘

AÚÓËÙÈ΋ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ù˘ ‰È·Ê‹ÌÈÛ˘

A¢ ̤ÚÔ˜ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘

AÓ·ÎÂʷϷȈÙÈÎfi ̤ÚÔ˜

™˘ÓÔÙÈ΋ ·Ú¿ıÂÛË ÂÈÙÒÛÂˆÓ Æ OÊ›ÏÔ˘Ì ӷ ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·ÓÂͤÏÂÁÎÙË ÎÏÈ̿ΈÛË ÙÔ˘ Ê·Ó·ÙÈÛÌÔ‡ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋ Î·È ËıÈ΋ ·ÓÂÏ¢ıÂÚ›· ÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ. T·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ·Ú·ÎˆÏ‡ÂÈ ÙË Û˘ÓÂÚÁ·Û›·, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ηı›ÛÙ·Ù·È ‰˘Û¯ÂÚ‹˜ Ë Û˘ÌÌÂÙÔ¯‹ ÛÂ Û˘ÏÏÔÁÈΤ˜ ‰È·‰Èηۛ˜. °ÂÓÈο, Ô Ê·Ó·ÙÈÛÌfi˜ ·ÔÙÂÏ› ÙÚÔ¯Ô¤‰Ë ÁÈ· ÙËÓ ÔÏÈÙÈÛÙÈ΋ ·Ó¤ÏÈÍË ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘.

°›ÓÂÙ·È, ÏÔÈfiÓ, Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ë ‰È·Ê‹ÌÈÛË Û˘Ì‚¿ÏÏÂÈ ıÂÙÈο ÛÙËÓ ÚÔ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡ Û fiϘ ÙÔ˘ ÙȘ ÂÎÊ¿ÓÛÂȘ. ¶ÚÔÂÍ·ÁÁÂÏÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ øÛÙfiÛÔ, ‰ÂÓ Â›Ó·È Ï›ÁÔÈ ÂΛÓÔÈ Ô˘ ˘ÔÁÚ·ÌÌ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·ÚÓËÙÈ΋ ‰È¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÚfiÏÔ˘ Ù˘, Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ËÁ‹ Ï‹ıÔ˘˜ ‰ÂÈÓÒÓ ÁÈ· ÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ.

B¢ ̤ÚÔ˜ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋˜ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ I‰È·›ÙÂÚË ·Ú·Ù‹ÚËÛË: ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ë ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û ÂӉȿÌÂÛË –ÏÔÁÈο– ÂÓfiÙËÙ· Ô˘ ‰Â Ì·˜ ˙ËÙÂ›Ù·È ÚËÙ¿ Ó· ÙËÓ ÂÚ¢ӋÛÔ˘ÌÂ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, fiÙ·Ó Û ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ ı¤Ì· Ì·˜ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ë ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË: ·ÈÙ›ˆÓ Î·È ÙÚfiˆÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÂÓfi˜ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡ ·Ú¿ÁÔÓÙ· (.¯. Ê·Ó·ÙÈ-

™˘ÓÔÙÈ΋ ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙ· ÏËÙ¤· ̤ÙÚ· Æ °È’ ·˘Ùfi ··ÈÙÂ›Ù·È ·Ó¿ÏË„Ë ·ÔÊ·ÛÈÛÙÈÎÒÓ ÚˆÙÔ‚Ô˘ÏÈÒÓ Û ·ÙÔÌÈÎfi Î·È Û˘ÏÏÔÁÈÎfi Â›Â‰Ô ÁÈ· ÙËÓ ¿Ù·ÍË ÙÔ˘ ÓÔÛËÚÔ‡ ·˘ÙÔ‡ Ê·ÈÓÔ̤ÓÔ˘.

◆

¢HMHTPH™ K. ºAPMAKH™ ¢HMHTPIOY E. ¶A™XA§I¢H

IΩANNH NIK. ΠETKANA

°PAMMATIKH TH™ APXAIA™ E§§HNIKH™ °§ø™™A™ ¶A™XA§I¢H ¢.

H ∆OMH KAI TO ΠEPIEXOMENO THΣ ΠAPAΓPAΦOY

¶EPIEXONTAI A™KH™EI™

τις ν ες απ µε

αι

εις τσ

Σµφω να

ENIAIO §YKEIO η ουσασ ικ Παρ Eνδεικτ ο υ

›Ó·Î˜ ηÓfiÓˆÓ

κε

τ

περιχει:

ου

υ E νιαο υ Λ

ÙÔÓÈÛÌfi˜ ‰›¯ÚÔÓˆÓ ÊˆÓˤÓÙˆÓ

Θεωρ α για το "δηµιουργικ γρψιµο" Kε µενα παραγραφοποιηµνα (µιας ως δο σελ δων)

ȉÈfiÙ˘Ô ÏÂÍÈÎfi ·ÓˆÌ¿ÏˆÓ ÚËÌ¿ÙˆÓ

∆οκιµιακς σκψεις

·Û΋ÛÂȘ fiÏˆÓ ÙˆÓ Ù‡ˆÓ

Παρεκβσεις

£E™™A§ONIKH

&

250 συµπληρωµατικς ασκσεις µε τη µορφ ανοιχτ"ν ερωτσεων, ερωτσεων ερωτσεων ελεθερης ανπτυξης, σντοµης απντησης, κρ σης, κλειστο  αντικειµενικο τπου

H ¶APA°PAºO™ (H Ù¤¯ÓË Î·È Ë Ù¯ÓÈ΋ Ù˘ ·Ú·ÁÚ·ÊÔÔ›ËÛ˘) ºAPMAKH ¢.

°IA TO °YMNA™IO KAI TO §YKEIO

Σχλια για τις κειµενικς λειτουργ ες

ΘEΣΣAΛONIKH

EKºPA™H - EK£E™H B¢ §YKEIOY ¶ETKANA I. ENIAIO §YKEIO

£E™™A§ONIKH

¢È·Ù›ıÂÓÙ·È Î·È ÔÈ ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ∞Û΋ÛˆÓ

47 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π