Дифференциальная геометрия финслеровых пространств

Х.Рунд ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ М.: Наука, 1981. —504 с.

Книга представляет собой систематическое изложение классической финслеровой геометрии. Финслерова геометрия является непосредственным обобщением римановой геометрии. Она находит широкое применение в теории относительное!и Для лиц, интересующихся конкретными вопросами финслеровой геометрии и ее приложениями в физике. Доступна студентам физических и математических специальностей университетов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода и переводчика 7 Предисловие автора к русскому изданию 9 Предисловие 11 Указания читателю 14 Введение 15 Глава I. Вариационное исчисление. Пространства Минковского 19 § 1. Задачи вариационного исчисления в параметрической форме 20 § 2. Касательное пространство. Индикатриса 28 § 3. Метрический тензор и соприкасающаяся индикатриса 34 § 4. Дуальное касательное пространство. Фигуратриса 38 § 5. Функция Гамильтона 42 § 6. Тригонометрические функции и ортогональность 47 § 7. Определение угла 52 § 8. Площадь и объем 59 Глава II. Геодезические: ковариантное дифференцирование 67 § 1. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют 67 геодезические § 2. Явное выражение для вторых производных в дифференциальных 74 уравнениях геодезических § 3. Дифференциал вектора 76 § 4. Частное дифференцирование векторов 81 84 § 5. Элементарные свойства δ-дифференцирования Глава III. «Евклидова связность» Э. Картана 90 § 1. Фундаментальные постулаты Картана 90 § 2. Свойства ковариантной производной 97 § 3. Общая геометрия путей: связность Бервальда 103 § 4. Связности, возникающие из общей геометрии путей 109 § 5. Соприкасающееся риманово пространство 112 § 6. Нормальные координаты 116 Глава IV. Теория кривизны 124 § 1. Коммутационные формулы 124

1. Коммутационные формулы, получающиеся из δдифференцирования (125). 2. Три тензора кривизны Картана (130). 3. Альтернативный вывод тензоров кривизны с помощью внешних форм (132). § 2. Тождества, которым удовлетворяют тензоры кривизны § 3. Тождества Бианки § 4. Девиации геодезических § 5. Первая и вторая вариации интеграла длины § 6. Тензоры кривизны, возникающие из связности Бервальда § 7. Пространства постоянной кривизны § 8. Проективные тензоры кривизны 1. Обобщенный тензор Вейля (176). 2. Проективная связность (181). 3. Проективно плоские пространства; пространства с прямолинейными геодезическими (183). Глава V. Подпространства финслеровых пространств § 1. Теория кривых § 2. Проекционные множители § 3. Коэффициенты индуцированной связности § 4. Фундаментальные аспекты теории подпространств, основанной на евклидовой связности 1. Нормальная кривизна и ассоциированные тензоры (205). 2. Dсимволизм (208). 3. Обобщенные уравнения Гаусса, Кодацци и Кюне (212). § 5. Производная Ли и ее применение в теории подпространств § 6. Поверхности, вложенные в F3 § 7. Фундаментальные аспекты теории подпространств с точки зрения метрики Минковского 1. Нормальная кривизна (235). 2. Две вторые фундаментальные формы (239). 3. Главные направления (243). 4. Уравнения Гаусса и Кодацци (248). 5. Подпространства произвольной размерности (251). § 8. Дифференциальная геометрия индикатрисы и геометрическое значение тензора Sijhk § 9. Сравнение индуцированных и внутренних коэффициентов связности Глава VI. Дополнительные вопросы § 1. Группы движений § 2. Конформная геометрия § 3. Проблема эквивалентности § 4. Теория нелинейных связностей § 5. Теория локального вложения § 6. Двумерные финслеровы пространства 1. Формальные аспекты (307). 2. Некоторые проективные преобразования, применимые к F2. Пространства с прямолинейными геодезическими (312). 3. Двумерные финслеровы пространства, у

136 141 144 153 159 165 Г/5

190 190 195 200 205

215 225 234

253 260 265 265 274 281 288 295 306

которых главный скаляр является функцией только положения. Пространства Ландсберга (316). § 7. Теорема о дивергенции и двумерная теорема Гаусса — Бонне для финслеровых метрик 1. Одно тождество на гиперповерхностях (318). 2. Теорема о дивергенции. Частные случаи (320) 3. Скаляр кривизны как дивергенция (325). 4. Аналог теоремы Гаусса — Бонне для двумерных финслеровых метрик (328). Глава VII. Теория Гамильтона — Якоби для однородных лагранжианов § 1. Канонический формализм § 2. Интегральные инварианты § 3. Уравнение Гамильтона — Якоби § 4. Механика релятивистской частицы §5. Заключительные замечания Глава VIII. Связность, зависящая от направлений, и формы кривизны § 1. Введение § 2. Структурные уравнения первого рода § 3. Производные по направлениям от p-форм § 4. Структурные уравнения второго рода и тождества Бианки § 5. Разложение форм связности и кривизны § 6. Случай нулевой кривизны § 7. Метрический случай Глава IX. Подпространства многообразий с зависящими от направлений связностями § 1. Неметрическая теория § 2. Метрическая теория § 3. Свойства выделенной единичной нормали § 4. Гиперповерхности Приложение. Библиографические указания Добавление I. О специальных финслеровых пространствах (Г. С. Асанов) § 1. Различные типы специальных финслеровых пространств § 2. S3-подобные финслеровы пространства 1. Примеры метрических функций S3-подобных финслеровых пространств (405). 2. Уравнения Окубо (409). 3. Свойства S3подобногс финслерова пространства с метрической функцией Бервальда — Моора (412). § 3. 1 -формовые финслеровы пространства 1. Введение (418). 2. Явный вид коэффициентов связности (419). 3. Выделенное соприкасающееся риманово пространство (422). 4. Некоторые следствия условия Ci = 0 для 1 -формовых финслеровых пространств (423). § 4. C-сводимые финслеровы пространства 1. Основные результаты теории пространств Рандерса и Кропиной

318

334 334 338 343 346 351 353 353 355 358 361 363 366 369 377 378 383 389 392 394 398 398 405

418

426

(426). 2. О калибровочно инвариантной структуре проективных тензоров пространства Рандерса (431). 3. О приложении теории пространства Рандерса в теории электромагнитного поля (435). Добавление II. О финслеровом обобщении теории относительности (Г. С. 439 Асанов) § 1. Основные принципы развития финслерова обобщения теории 439 относительности § 2. Финслерова кинематика 446 § 3. Финслеров кинематический дуализм 452 § 4. Финслерова геометризация изотопической инвариантности 458 § 5. Дополнительные замечания 462 § 6. Плотность лагранжиана гравитационного поля при финслеровом 465 подходе § 7. Ковариантный и интегрируемый закон сохранения энергии-импульса 469 гравитационного поля § 8. Связь между уравнениями поля и финслеровыми геодезическими 470 Библиография 472 Предметный указатель 498 Обозначения 502 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютный параллелизм 421 Геодезические 72 Автопараллельные кривые 81, 203, Геометрия путей 103 374 — — ограниченная 105 Главная кривизна кривой 191, 194 Аксиома монодромии 32 Асимптотические направления в — нормаль кривой 191 подпространстве 233, 247 Главные направления на Бесконечно малое движение 266 гиперповерхности 243 Бисектор 175 Главный скаляр 227, 307, 317 Вариация интеграла длины вторая Гомологические преобразования 274 155 Гомотетия 274 — — — первая 153 Группа голономии 274 — нормальная 149 — движений 265—274 Вложение пространства Fn в — масштабных преобразований общая 417 пространство другого типа — — — специальная 417 295—306 Двойственность 42 Вполне геодезические Девиации геодезических 144—153 подпространства 234, 247 Дельта-дифференцирование 79 Вторая фундаментальная форма — частное 83 (подпространства) 222, 229, Деформация пространства 219, 248 232, 241, 385 Евклидова связность 90 — — — дополнительная 241, 252 Изотропная точка 166 Выпуклость 25, 31 Индикатриса 32 — строгая 25

—, дифференциальная геометрия 253—260 — Дюпена 243 — — соприкасающаяся 229 — плоская 407 — постоянной кривизны 258 — соприкасающаяся 36 Индуцированная ковариантная производная на Fm 200 — метрика на Fm 196 — связность на Fm 201 Интегральная геометрия 395 Интегральные инварианты 73, 339— 343 Калибровочные преобразования 350, 431—435 Канонические уравнения 72, 338 Канонический импульс 72, 335 — —, векторное поле 339 Класс особенности (индикатрисы) 260 Клебша потенциалы 352 Ковариантное дифференцирование 79, 92, 107 Ковариантный вектор 38 Комплексные финслеровы пространства 397 Контактное преобразование 296 — тензорное исчисление 296 Контравариантный вектор 29 Конформная метрика 274 Конформное соответствие 275 Конформные коэффициенты (параметры) связности 279 Конформный фундаментальный тензор 278 Конциркулярное векторное поле 430 Косинус в пространстве Минковского 49 Коэффициенты связности: см. в списке обозначений Gki h , Γh∗ik , Ph∗ki и д.

Кривизна геодезических 192 — главная кривых 191, 194 — кривых 191, 195 — риманова 150, 166 Кручение 134 — геодезическое 232 Лемма Риччи 86, 100, 387 Метод дополнительной координаты 403 Метрика в Tn 31, 34 — — Tn∗ 41 — — X n 23, 31 — индуцированная 383 Метрическая функция 31 — — Бервальда — Моора 406, 412— 416, 446 — — Кропиной 402, 426—431 — — Рандерса 402, 426—431 — —, специальные типы 394, 395, 398 — — 1-формовая 418 Метрический тензор 34 — — с детерминантом, зависящим только от xm (с Gi=0) 66, 99, 414, 423 — — — сигнатурой (+ — — ...) 414 Минимальные гиперповерхности 103, 234 Многообразие основное 29 — составное 288, 294 Направление нулевое 338 Неголономные подпространства 296, 297 — пространства 395 Неголономный репер 297 Независимый интеграл Гильберта 73 Нелинейные связности 110, 288—295 Нериманова геометрия 104 Норма Минковского 60 Нормаль гиперплоскости в Tn 50 — главная к кривой 191 — подпространства 198, 226, 235,

251, 319, 385, 386, 389—391 Нормальная вариация 149 — кривизна (подпространства) 265 — 208 — — в точке 237 — — вторичная 238 — —, поверхность относительно линейного элемента 228 Нормальность 47 Нормальные координаты 116 — — относительно линейного элемента 122 — — — опорного элемента 119 — тензоры 119, 122 Нормальный конус (гиперповерхности) 235 Объем 59—66 Омбилическая точка 255 Опорная плоскость 40 — функция 40 Опорный элемент 92 Ортогональность 47 Параллелизм (в касательном пространстве) 30 Параллельный перенос 92 — — δ-типа 79 Площадь 59—66 Подпространства многообразий с зависящими от направлений связностями 377—393 Полная фигура 346 Применение финслеровой геометрии в теоретической физике 396, 398, 439—471 Проблема Лагранжа 395 Проективные коэффициенты, связности 182 — преобразования 176 Проективный параметр 183, 433 Проекционные множители (подпространства) 195—199 Производная Ли 215—225 Пространство ассоциированное

евклидово 61 — аффинно связанное 108, 109 — — двумерное 312 — Бервальда 109, 428 — вполне симметричное 175 — двумерное 306 — изотропное 167, 187 — Кавагути 396 — Картана 396 — касательное 29 — — дуальное 39 Пространство касательное риманово 115 — Ландсберга 109, 317, 428 — Минковского 32 — неголономное 395 — обобщенное вариационное 395 — постоянной кривизны 165—175 — проективно плоское 183 — риманово 23 — скалярной кривизны 130 — соприкасающееся риманово 112— 116 — специальное финслерово 398—405 — — — с метрикой Бервальда — Моора 406, 412—417, 446 — — — — — Кропиной 402, 426— 431 — — — — — Рандерса 402, 426— 431 — — — — (α, β)-метрикой 403 — с прямолинейными геодезическими 183 — Финслера 23 — — бесконечномерное 396 — — C-сводимое 400, 426—438 — — C3-подобное 404 — — P-сводимое 404 — — P2-подобное 404 — — S3-подобное 405—417 — — 1-формовое 418 Расширение тензоров 119 Родригеса формула обобщенная 246,

253 РПГ-пространство 429 РОТ-пространство 429 Связность метрическая 369, 388 — нелинейная 110, 288—295 — полуметрическая 291 — полуточечная 305 — проективная 181—183 — эксцентральная 289, 290 Символы Кристоффеля 74 Симметрия индикатрисы 32 Синус в пространстве Минковсхого 51, 63 Скобки Лангранжа 342 Сопряженные направления (подпространства) 223 — точки 158 Стационарное векторное поле 366 Структурные уравнения второго рода 362 — — первого рода 357 Тензор девиаций проективный 179 — инвариантный относительно проективного преобразования 179 — кривизны 126 — — относительный 126 — проективный 175—189, 431—435 — — нормальной кривизны 207 — — — второй 210 — обобщенный Вейля 176—181, 184 — эйлеровой кривизны 207 Теорема Гаусса — Бонне 328—333 — Дайке 66, 99, 414, 423 — заключительная о C-сводимости 402 — замещения 122 — о дивергенции 323 — обобщенная Бельтрами и Эннепера 233 — — Мюснера 228, 238, 253, 386 — — Шура 167 Теория Гамильтона — Якоби 334

— кривизны пространства Fn 124— 189 Тождества Бианки 142, 143, 163, 356, 363, 380 — — для двумерных пространств 311 Трансверсальность 48 Трансляция 269, 429 Угловая метрика 259 Угол 52—59 Уравнение Якоби 150, 151, 158 Уравнения Гамильтона — Якоби 71, 343—346 — — — для заряженной частицы 350 — Гаусса — Кодацци 214, 215, 250, 251, 387, 393 — Кюне 215 — Окубо 409 — Эйлера — Лагранжа 72 — — —, вейерштрассова форма для п = 2 195 Условие Лежандра 24 — A 21 — A1 22 — B 23 — C 24 — Ci = 0 66, 99, 414, 423 Фигуратриса 43 Финслерова кинематика 446—452 Финслерово обобщение теории относительности 439—446 Фокальная точка 73 Формулы Бертранда и Пусекса 151 — коммутационные для ковариантного дифференцирования 125—130, 161 Функция Вейерштрасса 50 — Гамильтона 42—47, 336 — — заряженной частицы 349 Эквивалентность (локальная) финслеровых пространств 281—287 Эквивалентные проблемы в

вариационном исчислении 23 Экстремальные кривые (экстремали) 338 D-символизм 208—212 K-группа 441 T-тензор 401

T-условие 401 1-форма связности 355 — —, разложение 365 2-форма кривизны 356 — —, разложение 365 — кручения 357, 380