Физика: Учебно-методический комплекс по механике

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра общей и экспериментальной физики

53(07) Ш957

А.А. Шульгинов

ФИЗИКА Учебно-методический комплекс по механике

Челябинск 2006

УДК 530(076.5) Шульгинов А.А. Физика: Учебно-методический комплекс по механике. – 2006. – 22 с. Учебное пособие содержит программу по механике и задания для самостоятельной работы студентов. Рабочая программа соответствует Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования. В пособии имеются примеры решения задач по механике. Ил. 5, табл. 2, список лит.– 10 назв.

© Шульгинов А.А., 2006

Рабочая программа Лекции (36 часов – 18 лекций) Практика (18 часов – 9 занятий) Лабораторные работы (18 часов – 9 занятий) Самостоятельная работа студента (СРС) (72 часа) Таблица 1 № План лекций Тема ПЗ лек. 1 Введение ПЗ* № 1. Предмет физики. Методы физических исследо- Кинематика ваний: наблюдение, гипотеза, эксперимент, тео- материальной рия. Влияние физики на развитие техники и точки влияние техники на развитие физики. Связь физики с философией и другими науками.

СРС ДЗ** №1

Раздел 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 1. Кинематика Механическое движение как простейшая форма движения. Элементы кинематики материальной точки и поступательного движения абсолютно твёрдого тела. Скорость и ускорение, нормальное и тангенциальное ускорения, радиус кривизны траектории 2

Тема 2. Динамика Основная задача динамики. Масса, импульс, сила. Динамика материального и поступательного движения твёрдого тела. Закон инерции и инерциальные системы отсчёта. Законы Ньютона и границы их применимости. Закон всемирного тяготения. Внешние и внутренние силы. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства. Неинерциальные системы отсчёта

* ПЗ – практическое занятие;

**ДЗ – домашнее задание. 3

—

—

Продолжение табл. 1 № лек. 3

4

План лекций

Тема ПЗ

СРС

ПЗ № 2. Тема 3. Энергия. Закон сохранения механической энергии Законы Работа силы и мощность. Энергия как универ- Ньютона сальная мера движения и взаимодействия. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой внешних и внутренних сил

ДЗ №2

Поле, как форма материи, осуществляющая силовое взаимодействие между частицами вещества. Силы консервативные и диссипативные. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле. Связь потенциальной энергии с силой, действующей на материальную точку. Закон сохранения механической энергии. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

—

5

ПЗ № 3. Тема 4. Вращательное движение Кинематика вращательного движения. Угловой Закон путь, угловое перемещение, угловая скорость и сохранения угловое ускорение, их связь с линейными ско- импульса. ростями и ускорениями точек вращающегося КР № 1. тела. Кинематика Динамика вращательного движения. Момент материальной силы и момент импульса относительно полюса точки и закои неподвижной оси вращения. Уравнение дина- ны Ньютона мики вращательного движения относительно оси. Момент инерции тела относительно оси. Теорема Штейнера

6

Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Работа момента силы и кинетическая энергия вращающегося тела. Плоское движение твёрдого тела. Теория гироскопа

4

—

—

ДЗ №3

—

Продолжение табл. 1 № План лекций лек. 7 Раздел 2. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Тема 1. Механические колебания Гармонические колебания и их характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, физический и математический маятники. Энергия гармонических колебаний. Ангармонический осциллятор 8

9

Сложение гармонических колебаний одного направления одинаковой частоты. Биения. Сложения взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический процесс. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс Тема 2. Механические волны

Тема ПЗ

СРС

ПЗ № 4. Работа силы. Закон сохранения механической энергии.

ДЗ №4

—

—

ПЗ № 5. Кинематика и динамика вращательного движения.

ДЗ №5

—

—

Механизм образования механических волн в упругой среде. Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение. Длина волны и волновое число. Фазовая скорость. Энергия волны. Поток энергии. КР №2. Принцип суперпозиции волн и границы его применимости. Волновой пакет. Групповая ско- Законы рость. Интерференция волн. Образование стоя- сохранения чей волны. Уравнение стоячей волны и его анализ 10

Раздел 3. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Основные представления дорелятивистской физики. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности Галилея. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца. Понятие одновременности, относительность длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей

5

Продолжение табл.1 № План лекций лек. 11 Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики материальной точки. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Энергия связи системы. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы. Общефизический закон сохранения энергии 12

Раздел 4. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Статистический и термодинамический методы исследования систем. Термодинамическая система и её параметры. Тема 1. Молекулярная физика Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Основное уравнение молекулярнокинетической теории идеального газа. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярнокинетическое толкование температуры. Средняя квадратичная скорость. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул

Тема ПЗ

СРС

ПЗ № 6. Закон сохранения момента импульса

ДЗ №6

—

13

ПЗ № 7. Тема 2. I начало термодинамики Внутренняя энергия системы. Работа газа. Гра- Кинематика и фическое изображение термодинамических про- динамика цессов и работы. Равновесные и неравновесные колебаний. процессы. Количество теплоты. I начало термоКР № 3. динамики Вращательное движение

14

Теплоёмкость многоатомных газов. Закон Майера. Недостатки классической теории теплоёмкостей. Применение I начала термодинамики к изопроцессам. Уравнение адиабаты. Политропические процессы. Уравнение политропы

6

—

—

ДЗ №7

—

Окончание табл. 1 № лек. 15

16

17

18

План лекций

Тема ПЗ

ДЗ

Тема 3. II начало термодинамики Обратимые и необратимые процессы. Циклы. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно, к.п.д. цикла. II начало термодинамики. Энтропия идеального газа Микросостояние и макросостояние термодинамической системы. Статистический вес макросостояния. Статистическое толкование II начала термодинамики и энтропии. III начало термодинамики Тема 4. Статистические распределения Распределение молекул идеального газа по скоростям. Опыт Штерна. Барометрическая формула. Закон Больцмана Тема 5. Явления переноса Явление переноса в термодинамических неравновесных системах. Законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения. Молекулярно-кинетическая теория этих явлений. Тема 6. Реальные газы Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Фазовые переходы. Критическое состояние

ПЗ № 8. Молеклярная физика и термодинамика

ДЗ №8

—

—

Зачёт —

—

—

Ла б о ра т о рные ра б о т ы Таблица 2 № Тематика лабораторных работ зан. 1 Вводная беседа: техника безопасности 2 Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии

3

Закон сохранения момента импульса

7

Названия лабораторных работ ВВОДНАЯ РАБОТА. Определение ускорения свободного падения Выполняется одна работа. Работа № 1. Изучение явления удара тел. Работа № 4. Закон сохранения импульса Выполняется одна работа. Работа № 2. Определение скорости пули с помощью крутильнобаллистического маятника. Работа № 8. Проверка закона сохранения момента импульса

Окончание табл. 2 № зан. 4

Тематика лабораторных работ

Названия лабораторных работ

Основной закон динамики вращательного движения

Выполняется одна работа. Работа № 3. Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека. Работа № 5. Определение момента инерции тела, скатывающегося с наклонной поверхности. Работа № 6. Определение момента инерции маховика.

5

Механические колебания

Выполняется одна работа. Работа № 7. Определение ускорения свободного падения. Работа № 9. Изучение вынужденных колебаний. Работа № 12. Изучение затухающих колебаний

6

Механические волны

Выполняется одна работа. Работа № 10. Изучение собственных колебаний струны. Работа № 11. Изучение звуковых волн в воздухе

7

Молекулярная физика

Выполняется одна работа. Работа № 13. Изучение процесса теплопроводности в газах. Работа № 14. Определение вязкости жидкости. Работа № 15. Изучение вязкости воздуха

8

Термодинамика

Выполняется одна работа. Работа № 16. Определение отношения теплоемкостей воздуха. Работа № 17. Изучение изотермического процесса реального газа

Описания лабораторных работ имеются в пособии [10]. 8

Общие замечания о решении физических задач 1. Практика показывает, что студент терпит неудачу в решении задач по физике чаще всего из-за неглубоких, формальных знаний теории. Поэтому, прежде чем приступить к решению, тщательно проработайте соответствующий теоретический материал [1–5]. 2. Внимательно прочитайте условие задачи. Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте схематический рисунок, поясняющий ее сущность. На рисунке необходимо показать все векторные величины, используемые в задаче. Это во многих случаях резко облегчает как поиск решения, так и само решение. 3. Независимо от способа заданий исходных данных, задачи следует решать в общем виде. Для этого нужно обозначить все величины соответствующими буквами и с помощью физических законов установить математическую связь между исходными данными и искомой величиной. При этом все математические преобразования необходимо сопровождать подробным объяснением. В результате получается одно или несколько уравнений и физическая задача сводится к математической. 4. Получив для искомой величины решение в общем виде, нужно проверить её наименование в системе СИ. Неверное наименование есть явный признак ошибочности решения. 5. Убедившись, что общее решение верно, подставляют в него числовые значения величин в СИ. Если исходные или конечные величины значительно больше или значительно меньше единицы, то числа пишут в стандартном виде (например, вместо 0,000086 м писать 8,6⋅10–5 м, вместо 21000 Н – число 2,1⋅104 Н или 21 кН и т.д.). 6. Так как числовые значения физических величин всегда бывают приближенными, то при расчетах необходимо округлять результат. В частности, в полученном значении вычисленной величины нужно сохранить последним тот знак, единица которого превышает погрешность этой величины. Все остальные значащие цифры надо отбросить. Обычно при решении физических задач в окончательном ответе, считается достаточным оставлять три значащие цифры и обязательно указать единицы измерения результирующей величины. 7. Получив числовой ответ, нужно оценить его правдоподобность. Такая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата. 8. Примеры решения задач имеются в задачниках [6–9].

9

Практическое занятие № 1 Кинематика материальной точки r r r r 2 1. Радиус-вектор частицы изменяется по закону r = 2t ⋅ i + 5t ⋅ j + 2 ⋅ k , м. Определить: 1) уравнение траектории частицы в явном виде; 2) скорость и ускорение частицы в момент времени t1=0,5 с; 3) тангенциальное и нормальное ускорение точки в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории R. 2. Из орудия произведён выстрел под углом ϕ0=45º к горизонту. Снаряд упал на расстоянии xc=4 км. Определить начальную скорость V0, длительность полёта t0, максимальную высоту полёта h, нормальное, тангенциальное и полное ускорение снаряда в момент времени t1=9 с, а также радиус кривизны траектории R в тот же момент времени. 4. Свободно падающее тело прошло последние 30 м за 0,5 с. Найти высоту падения. 5. Свободно падающее тело за последнюю секунду прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Домашнее задание № 1

r

r

r

r

1. Радиус-вектор частицы изменяется по закону r = i + 3t ⋅ j + 4t ⋅ k , м. Определить: 1) уравнение траектории частицы в явном виде; 2) скорость и ускорение частицы в момент времени t1 = 0,5 с; 3) тангенциальное и нормальное ускорение точки в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории R. 2. Из орудия произведён выстрел под углом ϕ0 к горизонту со скоростью V0. Снаряд достиг максимальной высоты h=9 км и упал на расстоянии xc = 36 км. Определить угол ϕ0, начальную скорость V0, время полёта t0, нормальное, тангенциальное и полное ускорение в момент времени t1 = 16 с, а также радиус кривизны траектории R в тот же момент времени. Найти полное, нормальное и тангенциальное ускорение снаряда в момент вылета из ствола, в наивысшей точке траектории и в момент падения. 3. С вертолёта, который движется вверх со скоростью V0=15 м/с, выпал предмет на высоте h=200 м от поверхности земли. Определить время падения предмета t0 и расстояние s между предметом и вертолётом в момент падения.

10

2

Практическое занятие № 2 Законы Ньютона 1. На наклонной плоскости находится груз массой m1, свяm2 занный нитью, перекинутой через лёгкий блок, с другим гру- m1 зом массой m2. Коэффициент трения между грузом и плоскоα стью равен µ, угол наклона плоскости α. Определить: 1) ускорения грузов, 2) минимальное значение коэффициента трения, при котором система будет находиться в состоянии равновесия. 2. Тело массой m брошено под углом α к горизонту с начальной r скоростью V0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) импульс rсилы I , действующий на тело во время его полёта; 2) изменение импульса тела ∆p за время его полёта. 3. Автомобиль массой m движется равномерно со скоростью V по выпуклому мосту, радиус кривизны которого R. С какой силой давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α с вертикалью? Какую силу тяги развивает в этот момент двигатель автомобиля? Коэффициент трения между шинами автомобиля и асфальтом µ. 4. Определить приближённое значение коэффициента трения песка о песок, если угол наклона горки, образовавшейся при осыпании песка, равен α. 5. Ледяная горка составляет с горизонтом угол α=10º. По ней пускают камень вверх, который, поднявшись на некоторую высоту, затем соскальзывает по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения, если время спуска в 2 раза больше времени подъёма? Домашнее задание № 2 1. На вершине двух наклонных плоскостей, образующих m1 m2 углы α = 15º и β = 45º, укреплён блок. Грузы с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. В наα β чальный момент времени грузы были неподвижны. Коэффициенты трения между грузами и плоскостями одинаковы и равны: 1) µ1 = 0,1, 2) µ2 = 0,05. Определить: 1) ускорения грузов при двух значениях µ, 2) минимальное значение коэффициента трения, при котором система будет находиться в состоянии равновесия. 2. Тело массой m = 2 кг брошено под углом α = 30º к горизонту с начальной скоростью V0 = 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) импульс силы, действующий на тело во время его полёта; 2) изменение импульса тела за время его полёта. 3. Автомобиль массой m = 2 т движется равномерно со скоростью V = 10 м/с по вогнутому мосту, радиус кривизны которого R = 50 м. С какой силой давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α = 30º с вертикалью? Какую силу тяги развивает в этот момент двигатель автомобиля? Коэффициент трения между шинами автомобиля и асфальтом µ = 0,3. 11

Практическое занятие № 3 Закон сохранения импульса 1. Плот массой M = 400 кг и длиной l = 10 м стоит в неподвижной воде. Два мальчика массами m1 = 60 кг и m2 = 40 кг, стоящие на противоположных концах плота, одновременно начинают двигаться навстречу друг другу с одинаковой скоростью относительно плота и останавливаются при встрече. На какое расстояние сместится плот? 2. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 100 м/с, разрывается на две равные части на высоте 40 м. Одна часть падает через 1 с на землю точно под местом взрыва. На каком расстоянии (по горизонтали) и через какое время упадет вторая часть снаряда? 3. Тележка, масса которой m, движется по инерции по горизонтальной плоскости со скоростью V. С тележки соскакивает человек массой M под углом α к горизонту относительно Земли в направлении, противоположном скорости тележки. Скорость тележки изменилась в два раза. Какова была скорость человека во время прыжка относительно Земли? 4. Автомат выпускает n=600 пуль в минуту. Масса каждой пули m=4 г, а её начальная скорость V=500 м/с. Найти среднюю силу отдачи F при стрельбе. 5. Две лодки идут навстречу параллельным курсом. Когда лодки находятся друг против друга, с каждой лодки во встречную перебрасывается мешок массой m=50 кг, в результате чего первая лодка останавливается, а вторая идет со скоростью V=8,5 м/с в прежнем направлении. Каковы были скорости лодок до обмена мешками, если массы лодок с грузом равны M1=500 кг и M2=1000 кг соответственно? Домашнее задание № 3 1. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабжённой лёгкими колёсами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека M = 60 кг, масса доски m = 20 кг. На какое расстояние δ передвинется тележка, если человек перейдёт на другой конец доски? На какое расстояние s передвинется человек относительно пола? Длина доски l = 2 м. 2. В лодке массой m1 = 240 кг стоит человек массой m2 = 60 кг. Лодка плывёт со скоростью V1 = 2 м/с. Человек прыгает с лодки вперёд по движению лодки в горизонтальном направлении со скоростью V = 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость U движения лодки после прыжка человека. r r r 3. Частица массы m1 = 1 г, двигавшаяся со скоростью V 1 = 4 ⋅ i + 3 ⋅ k (м/с) испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса коr r r r торой m2 = 2 г и скорость V 2 = i − 9 ⋅ j (м/с). Найти скорость V образовавшейся частицы. 4. Два шара массами m1=2 кг и m2=3 кг двигаются перпендикулярно друг к другу со скоростями V1=8 м/с и V2=4 м/с соответственно. Определить увеличение внутренней энергии ∆U шаров при их неупругом столкновении. 12

Практическое занятие № 4 Работа силы. Закон сохранения механической энергии 1. Локомотив массы m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону V = A S , где А − постоянная; S − пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения. 2. Небольшое тело начинает скользить с высоты h по наклонному жёлобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2. Пренебрегая трением, найти высоту, на которую подh h/2 нимется тело в момент отрыва от жёлоба. 3. Канат переброшен через штырь. В начальный момент концы каната находились на одном уровне. После слабого толчка канат пришёл в движение. Определить скорость каната к моменту, когда он соскальзывает со штыря. Длина каната l. Трением пренебречь. 4. Прикреплённый к вертикальной пружине груз медленно опускаю до положения равновесия, причём пружина растягивается на длину x0. На сколько растянется пружина, если тому же грузу предоставить возможность свободно падать с такого положения, при котором пружина не растянута? Какой максимальной скорости достигнет при этом груз? Массой пружины пренебречь. 5. Два шара массой m насажены на горизонтальный стержень и могут перемещаться по нему без трения. Начальное расстояние между ними l. Эти шары соединены нитью длиной 2l, на которой по середине висит третий шар массой m. С какими максимальными скоростями будут двигаться шары, если их отпустить? 6. Два шара массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу со скоростями V1 и V2. Определить: 1) скорость шаров u после удара; 2) кинетические энергии шаров T1 до и T2 после удара; 3) долю кинетической энергии w шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим. Решение. 1) Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары движутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме: m1V1+m2V2=(m1+m2)и,

(6.1)

и=(т1V1+m2V2)/(m1+m2).

(6.2)

откуда Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус. 2) Кинетические энергии шаров до и после удара определяем по формулам: 13

T1=m1V12/2+m2V22/2;

T2=(m1+m2)u2/2.

(6.3)

3) Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определяем из соотношения w=(T1–T2)/T1.

(6.4)

7. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью V1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю w своей кинетической энергии первый шар передал второму? Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением 2 ′ T2 m2  u 2  w= = ⋅  , T1 m1  V1 

(7.1)

где T1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2’ – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. Как видно из выражения (7.1), для определения w надо найти u2. Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получаем m1V1=m1u1+m2u2.

(7.2)

По закону сохранения энергии в механике m1V12 m1u12 m 2 u 22 . = + 2 2 2

(7.3)

Решая совместно два последних уравнения, находим

u 2 = 2m1V1 (m1 + m2 ).

(7.4)

Подставляя это выражение и2 в равенство (7.1), получаем w=

4m1 m 2

(m1 + m2 )2

.

(7.5)

Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами. 8. Молот массой m1 = 200 кг падает на поковку, масса т2 которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость V1 молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию T1 молота в момент удара; 2) энергию T2, переданную фундаменту; 3) энергию Т, затраченную на деформацию поковки; 4) коэф14

фициент полезного действия η (КПД) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать как неупругий. Решение. 1) Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле Т1=m1V12/2 =400 Дж. 2) Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предварительно найдем скорость системы молот – поковка (с наковальней) непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса в проекции на вертикальное направление, который в случае неупругого удара двух тел выражается формулой m1V1+m2V2=(m1+m2)u,

(8.1)

где V2 – скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и – скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после удара. Так как поковка с наковальней до удара находилась в состоянии покоя, то V2 =0. При неупругом ударе деформация не восстанавливается, вследствие чего молот и поковка (с наковальней) движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (8.1) найдем эту скорость:

u=

m1 V1 . m1 + m2

(8.2)

В результате сопротивления фундамента скорость и быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молот – поковка (с наковальней), передается фундаменту. Эту энергию определим по формуле

T2 =

m1 + m 2 2 u . 2

(8.3)

Подставим скорость и из выражения (8.2) m12V12 T2 = , 2 ( m1 + m2 )

(8.4)

или, учитывая, что Т1=m1V12/2, запишем

T2 =

m1 T1 . m1 + m2

(8.5)

Подставляя в уравнение (8.5) значения m1, m2 и T1, получаем T=29,6 Дж. 3) Молот до удара обладал энергией T1. T2 – энергия, переданная фундаменту. Следовательно, на деформацию поковки использовалась энергия T=T1–T2. Подставив в это выражение значения T1, T2 , получим T=370 Дж. 4) Назначение молота – путем ударов о поковку, находящуюся на наковальне, вызвать деформацию поковки; следовательно, энергию Т следует считать полез15

ной. КПД удара молота η о поковку равен отношению энергии Т, затраченной на деформацию поковки, ко всей затраченной энергии Т1: η=T/T1=1–T2/T1.

(8.6)

Подставляя в последнее выражение Т2 по формуле (8.5), получаем η=m2/(m1+m2)=92,6 %

(8.7)

(см. примечание на стр. 17). 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой т1 = 500 кг падает на сваю массой m2 = 100 кг со скоростью V1 = 4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию Т1 бойка в момент удара; 2) энергию Т2, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) кинетическую энергию Т, перешедшую во внутреннюю энергию системы; 4) КПД η удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий. Решение. 1) Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю находим по формуле Т1 = m1V12/2. Подставив значения т1 и V1, получим T1 = 4 кДж. 2) Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи, предварительно найдем скорость системы боек–свая непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса в проекции на вертикальное направление, который в случае неупругого удара выражается формулой m1V1+m2V2=(m1+m2)и,

(9.1)

где V2 – скорость сваи перед ударом; и – скорость бойка и сваи непосредственно после удара. Свая перед ударом находилась в состоянии покоя, поэтому V2 = 0. Так как удар неупругий, то боек и свая после удара движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (9.1) найдем эту скорость:

u=

m1 V1 . m1 + m2

(9.2)

В результате сопротивления грунта скорость бойка и сваи после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система боек – свая, затрачивается на углубление сваи в грунт. Эту энергию определим по формуле T2 =

(m1 + m2 )u 2 . 2

(9.3)

Подставим скорость и из выражения (9.2) и, учитывая, что T1 = m1V12/2, запишем T2 = 3,33 кДж. 3) Боек до удара обладал энергией Т1; T2 – энергия, затраченная на углубление сваи в грунт. Следовательно, во внутреннюю энергию, связанную с неупругой деформацией сваи, превратилась энергия 16

T = T1 – T2=0,67 кДж.

(9.4)

4) Свайный молот служит для забивки сваи в грунт, следовательно, энергию Т2 следует считать полезной. КПД удара бойка о сваю выразится как отношение энергии Т2, затраченной на углубление сваи в грунт, ко всей затраченной энергии T1: η=T2/T1. Подставляя в последнее выражение Т2 по формуле (9.3), получаем η=m1/(m1+m2)=83,3%.

(9.5)

Примечание к задачам 8 и 9. Оба примера решались одинаково с единственной разницей, что при ударе бойка молота о поковку полезной считалась энергия Т, затраченная на деформацию поковки, а при ударе бойка свайного молота о сваю – энергия T2, затраченная на углубление сваи в грунт. Домашнее задание № 4 1. Под действием некоторой силы ускорение материальной точки массой m = 1 кг изменяется по закону: a = B + Cs, где В = 1 м/с2, С = 2 с–2. Определить работу, совершаемую этой силой, действующей в направлении перемещения, на пути s1 = 2 м? Какова средняя мощность, развиваемая данной силой на пути s1, если этот путь пройден за время t1 = 3 с? 2. Конькобежец, разогнавшись до скорости V = 27 км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту от начального уровня поднимется конькобежец с разгона, если подъём горы составляет h = 0,5 м на каждые s = 10 м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лёд µ = 0,02? 3. Камень массой m=2 кг брошен с поверхности Земли со скоростью V1=20 м/с под некоторым углом к горизонту. В верхней точке траектории скорость камня V2=10 м/с, максимальная высота подъема h=10 м. Чему равна работа силы сопротивления воздуха на пути от точки бросания до наивысшей точки подъема? 4. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющей форму полусферы. Какую дугу α опишет камешек, прежде чем оторвётся от поверхности купола? Трением пренебречь. 5. Пуля массой m = 10 г, летевшая со скоростью V = 600 м/с, попала в баллистический маятник массой M = 5 кг и застряла в нём. На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник? Найти максимальный угол отклонения маятника α. Найти коэффициент восстановления энергии k при ударе пули. Практическое занятие № 5 Кинематика и динамика вращательного движения 1. Диск вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс. Зависимость угла поворота от времени имеет вид ϕ=A+Bt+Ct2+Dt3. Для момента времени t1 найти: 17

а) угловой путь, пройденный к этому моменту времени ϕ0; б) угловую скорость ω0; в) угловое ускорение ε0. Определить для точки, находящейся на расстоянии r от оси вращения полное линейное ускорение в момент времени, когда тангенциальное ускорение равно нулю. 2. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε. За время t0 оно изменило свою скорость от ω0 = 10π рад/с до ω1 = 22π рад/с, сделав N = 240 оборотов. Найти t0 и εz. 3. Шар массой m и радиусом R вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид ϕ =А + Вt + Сt2. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Найти работу, которую совершит момент сил за время от 0 до t0. 4. По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный цилиндр. Найти линейное ускорение а оси цилиндра. 5. Дан блок массой М и радиуса R, моm1 мент инерции которого I. Два груза массами R, M, I m1 и m2 соединены нитью, перекинутой через блок. Определить ускорения грузов a. Коэффициент трения грузов о поверхность m2 µ. Массой нити и трением в блоке пренебречь. 60º Домашнее задание № 5 1. Диск вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс. Зависимость угла поворота от времени имеет вид ϕ=1+0,4t+0,01t2–0,01t3 (рад). Для момента времени t1 = 2 с найти: а) угловой путь, пройденный к этому моменту времени ϕ0; б) угловую скорость ω0; в) угловое ускорение ε0. Определить для точки, находящейся на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения полное линейное ускорение в момент времени, когда угловая скорость диска равна нулю. 2. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 1,25 рад/с2. За время t1 = 1 мин оно изменило свою скорость от ω0 до ω, сделав N = 360 оборотов. Найти ω0 и ω. 3. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время 1 мин частоту вращения от 300 об/мин до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг⋅м2. Найти угловое ускорение колеса, момент сил торможения, работу сил торможения и число оборотов, сделанных колесом за время 1 мин. 18

4. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение оси цилиндра, если цилиндр тонкостенный. 5. Дан двухступенчатый блок радиусами R1=2 см и R2=3 см, момент инерции которого I=0,1 кг⋅м2. Два груза массами m1=2 кг и m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорения грузов а1 и a2. Массой нити и трением в блоке пренебречь.

R1

m1

R2

m2

Практическое занятие № 6 Закон сохранения момента импульса 1. Платформа массой 240 кг в виде диска вращается по инерции, делая 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр. 2. Стержень длиной 1,5 м и массой 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня. В нижний конец стержня ударяет пуля массой 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью 500 м/с, и застревает в стержне. С какой угловой скоростью начнет двигаться стержень? 3. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку. Масса платформы 240 кг. Масса человека 60 кг. 4. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h. Начальная скорость шара V0. Домашнее задание № 6 1. Платформа массой 120 кг в виде диска вращается по инерции, делая 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 80 кг. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек перейдет на край платформы? 2. Маятник в виде однородного шара, жестко скрепленного с тонким стержнем, длина которого равна радиусу шара, может качаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. В шар нормально к его поверхности ударилась пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 800 м/с, и застряла в шаре. Масса шара 10 кг, радиус его 10 см. С какой скоростью начнет двигаться маятник? 3. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м, стоит человек. Масса платформы 200 кг, масса человека 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая 19

трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы. 4. С наклонной плоскости высотой h=1 м без начальной скорости скатывается диск. Определить скорость центра масс диска в конце спуска. Практическое занятие № 7 Кинематика и динамика колебаний 1. Найти циклическую частоту и амплитуду гармонического колебания частицы, если на расстоянии x1 от положения равновесия её ускорение равно а1, а её скорость V1. 2. Груз пружинного маятника совершает свободные колебания по закону x=x0sinωt. Чему равно отношение кинетической энергии пружинного маятника, к его потенциальной энергии в момент времени t0 = T/12, где Т – период колебаний маятника? 3. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T и одинаковыми амплитудами A. Начальные фазы колебаний ϕ1 = π/2 и ϕ2 = π/6. Определить амплитуду А0 и начальную фазу ϕ0 результирующего колебания. Найти его уравнение и построить векторную диаграмму сложения амплитуд. 4. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой ω1 = 15 рад/с. Если к нему прикрепить небольшое тело массы m=50 г на расстоянии l = 20 см ниже оси, то частота колебаний становится ω2 = 10 рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания. 5. Определить, на сколько отстанут маятниковые часы за сутки, если их поднять на высоту h=5 км над поверхностью Земли. Домашнее задание № 7 1. Точка совершает колебания по гармоническому закону с амплитудой А = 1 см и частотой ω = 0,1 рад/с. Определить ускорение а точки в момент времени, когда её смещение равно x = 0,5 см. 2. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T = 1 с и одинаковыми амплитудами A = 1 см. Начальные фазы колебаний ϕ1 = 0, ϕ2 = π/3 и ϕ3 = –π/3. Определить амплитуду А0 и начальную фазу ϕ0 результирующего колебания. Найти его уравнение и построить векторную диаграмму сложения амплитуд. 3. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период колебаний равен Т1 = 0,5 с. После того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равен Т2 = 0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого груза? 4. Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению ус20

тойчивого равновесия, которое он прошёл с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний ω0 этого маятника. Практическое занятие № 8 Молекулярная физика и термодинамика 1. Один моль кислорода, находившегося при температуре 320 К, адиабатически сжали так, что его давление возросло в 10 раз. Найти: 1) температуру газа после сжатия; 2) работу, совершаемую над газом. 2. Смесь газов из аргона массой m1=40 г и азота массой m2=56 г при температуре T1=300 К изохорно нагревают до температуры T2=600 К. Определить молярную теплоёмкость смеси газов Cv, подведённое количество тепла Q. 3. Процесс нагрева одного моля кислорода происходит так, что давление прямо пропорционально объему. Вначале объем и давление газа равны V1=1 л и p1=140 кПа. Затем объем газа возрастает в три раза. Определить изменение внутренней энергии ∆U, работу A и молярную теплоемкость кислорода в этом процессе C. 4. Один киломоль двухатомного газа совершает цикл Карно, КПД которого 30% . Температура нагревателя 400 К. Какова работа адиабатического сжатия газа? 5. 1 моль идеального двухатомного газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем Vмин=10 л, наименьшее давление Рмин=246 кПа, наибольшее Рмах=410 кПА. Начертить график цикла. Определить: 1) температуру газа для характерных точек цикла, 2) теплоту Q1, полученную газом от нагревателя, 3) теплоту Q2, переданную газом охладителю, 4) термический КПД цикла. Домашнее задание № 8 1. 321 г гелия (температура 293 К, давление 105 Па) сжимают адиабатически до давления 107 Па. Определить: 1) температуру газа в конце сжатия; 2) работу, совершаемую газом. 2. Найти молярные теплоёмкости Cp и Cv смеси m1 = 6 г гелия и m2 = 14 г азота. 3. Объем одного моля кислорода возрастает по закону V = α/T, где α = 3 м3 ⋅К. Определить работу газа A при уменьшении температуры на ∆T = 40 К, количество полученной теплоты Q. 4. 1 кг воздуха совершает цикл Карно в интервале температур от 27 до 627 ºС, причем наивысшее давление 6.106 Па, а совершенная за цикл работа 42,1 кДж. Определить термический КПД цикла и максимальный и минимальный объемы газа. 5. 14 г азота адиабатически расширяются так, что давление уменьшается в 5 раз, затем изотермически сжимаются до первоначального давления и изобарически переводятся в первоначальное состояние. Начальная температура азота 420 ºС, начальное давление 1 Мпа. Определить: 1) параметры характерных точек цикла; 2) работу, совершенную газом за цикл; 3) термический КПД цикла. 21

Биб л ио г ра фи чес кий с писо к Учебники 1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2002. 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2002. 3. Гуревич С.Ю., Шахин Е.Л. Физика: Уч. пособие для самостоятельной работы студентов. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2000. – Ч. 1. 4. *Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1998, 2002. – Т. 1. 5. *Сивухин Д.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1975 и др. – Т. 1, 2. Задачники 6. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа, 1981. 7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1979. 8. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Методика проведения упражнений во втузе. – М.: Высшая школа, 1984. 9. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. – М.: Высшая школа, 1991, 1996, 1999, 2002. Пособия для выполнения лабораторных работ 10. Гуревич С.Ю., Волегов Ю.В., Шахин Е.Л., Ушаков В.Л. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: Учебное пособие по выполнению лабораторных работ. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006.

________________________________________ * Рекомендуется для углублённого изучения физики. 22