関数解析入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松 醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近年 に お け る科 学 技 術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が大 き い.理 工 学 は じめ 医学 ・農学 ・経 済学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え 方 の素 養 が 必要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.   編 者 ら は,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に伝 え る こ とを 目的 と して 本 シ リー ズ の刊 行 を企 画 した の で あ る   上 の 主 旨 に した が っ て本 シ リー ズで は,重 要 な基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の考 え方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 し て あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に 容 易 に は い れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ちや 技 術 関係 の 人 々 の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の入 門 書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.

  この シ リー ズ は,読 者 を 数 学 と い う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の観 覚 に 資 す る と と も に,つ

ぎの 段 階 に す す む た め の 力 を養 う に役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

は

じ め

に

  本 書 は 関 数 解 析 学 へ の 入 門 書 で あ る.関 数 解 析 学 は そ れ 自身 興 味 あ る研 究 対 象 で あ る と 同 時 に,解 析 学 に お い て 極 め て 広 い 応 用 を 有 す る もの で あ る.本 書 は 関 数 解 析 が 如 何 な る も の で あ るか を 理 解 し て い た だ く こ とを 主 眼 と し,そ

の

基 本 的 事 項 を 丁 寧 に解 説 し た あ と,一 つ の モ デ ル と し て 偏 微 分 方 程 式 へ の 分 り 易 い 応 用 を 採 り上 げ た.応 用 に 触 れ た 分 だ け,難 こ と に な っ た が,入

解 と思 わ れ る も の を 割 愛 す る

門 書 と して 何 よ り も読 み 易 くし た い とい う著 者 の 念 願 が,

か え っ て 実 現 し 易 くな っ た よ うに 思 う.   関 数 解 析 と は,一 言 で い え ば無 限 次 元 の 線 形 代 数 で あ る.無 限 次 元 の 線 形 空 間 と線 形 作 用 素 の 問 題,こ

れ の 場 は 主 と し て バ ナ ッ ハ 空 間 で あ って,そ

の位 相

的 性 質,特

に ベ ー ル の 定 理 が そ の 中 心 に あ る.本 書 で は これ ら の こ とを 一 通 り

解 説 し,さ

らに バ ナ ッハ 空 間 の 拡 張 で あ る局 所 凸 空 間 に も 触 れ た.無

2次 曲 面 の 主 軸 問 題,こ

限次 元 の

れ の 場 は ヒル ベ ル ト空 間 で あ っ て,自 己 共 役 作 用 素 の

ス ペ ク トル 分 解 定 理 と し て 関 数 解 析 の 最 も輝 か し い 成 果 の 一 つ で あ る.本 書 で は そ の 典 型 的 な 場 合 で あ る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 に つ い て の み 述 べ た.   こ の よ うな 基 礎 理 論 の 応 用 と し て,最 よ る解 法,ラ し た.そ

後 の章 で ラプ ラス方程 式 の直交 射 影 に

プ ラ ス 逆 作 用 素 の 固 有 関 数 展 開,そ

れ らの 物 理 的 意 味 な どを 解 説

こで 扱 っ た 方 程 式 は 解 析 学 に お い て 極 め て 重 要 な 意 味 を もち,か

つ関

数 解 析 に お け る極 め て よい モ デ ル で あ る とい え る.こ れ に よ っ て 関 数 解 析 と古 典 解 析 の つ な が りの 一 端 を 理 解 し て 頂 け れ ば 幸 い で あ る.   な お,本

書 で は ル ベ ー グ積 分 の 知識 を 一 切 仮 定 し て い な い.こ れ は ル ベ ー グ

積 分 に 不 慣 れ な 読 者 に も早 くに 関 数 解 析 に 親 し め る よ うに 意 図 した か らで あ る が,一

つ に は ソボ レ フ 空 間Hl(Ω)の

で あ る とす れ ば,空

間Lp(Ω)を

取 り扱 い が 完 備 化 の 方 法 に よ る の が 自然

完 備 化 に よ っ て 導 入 す る の が,む

しろ関数 解

析 の 手 法 を 紹 介 す る上 で 意 味 が あ る と考え た か らで あ る.と は いえ,関

数解 析

を 深 く理 解 す る に は ル ベ ー グ積 分 は 不 可 欠 の も の で あ る と著 者 は 考 え る.   第1章

は 関 数 解 析 の た め の 準 備 の 章 で あ り,位 相 に つ い て の 初 歩 的 な 知 識 は

読 者 に 期 待 して い る が,基 本 的 な 事 項 は 一 応 記 述 した.第2∼8章

は 関数 解析 の

標 準 的 な 基 礎 理 論 で あ る.第9,10章

は 応 用 の 部 分 で あ る.第1,9,10章,そ

の

他 小 活 字 の 部 分 が 多 い の は 読 者 へ の 指 針 とな る で あ ろ う.   本 書 の 執 筆 に 際 し て は,幾 度 か 書 き 改 め た り して 長 年 月 を 費 や し て し ま っ た が,著

者 の 未 熟 さ ゆ え に 未 だ 意 に 満 た ぬ も の が あ り,読 者 諸 賢 の 御 叱 正 を 乞 う

次 第 で あ る.   最 後 に 本 書 の 執 筆 を お 勧 め 下 さ った 小 松 醇 郎 先 生,藤

田 宏 先 生,な

らびに本

書 の刊行 に当 って多大 のお世 話 に な った朝 倉書 店編 集部 の方 々に深 甚 の 謝意 を 表 す る. 1984年2月 著

者

目 1.  序

論  

次 1

  1.1  位 相 空 間  

1

  1.2  距 離 空 間

  5

  1.3  線 形 空 間

  9

2. 

バ ナ ッ ハ 空 間 

16

  2.1  バ ナ ッハ 空 間  

16

  2.2  バ ナ ッハ 空 間 の 例(数 列 空 間) 

19

  2.3  バ ナ ッハ 空 間 の 例(関 数 空 間) 

24

  2.4  可

 

29

バ ナ ッハ空 間 の線 形 作 用 素  

33

3. 

分

性

  3.1  有 界 線 形 作 用 素 

33

  3.2  一様 有 界 性 の 定 理  

40

  3.3  閉 作 用 素  

43

  3.4  開 写 像 定 理 ・閉 グ ラ フ定 理

 48

4.  局 所 凸 線 形 位 相 空 間  

55

  4.1  線 形 位 相 空 間  

55

  4.2  局 所 凸 位 相 と半 ノル ム 

61

  4.3  フ レ ッシ ェ空 間  

66

  4.4  有 界 集 合 と線 形 作 用 素  

70

5.  共 役 空 間Ⅰ  

74

  5.1  ハ ーン ・バ ナッ ハ の 定 理  

74

  5.2  双

80

対

性

 

  5.3  回 帰 性 と弱 コ ンパ ク ト性  

87

6.  共 役 空 間Ⅱ  

96

  6.1  有 限 次 元 空 間  

96

  6.2  共 役 空 間 と可 分 性 

98

  6.3  一 様 凸 性  

100

  6.4  商

 

102

  6.5  共 役 空 間 の 例  

108

  6.6  線 形 汎 関 数 と超 平 面  

113

7. 

116

空

間

ヒ ル ベ ル ト空 間  

  7.1  内 積 空 間 ・ヒ ル ベ ル ト空 間  

116

  7.2  完 備 正 規 直 交 系  

121

  7.3  直 和 分 解 定 理 ・ リー ス の 表 現 定 理  

129

8.  固 有 値 と 固 有 ベ ク トル  

135

  8.1  ス ペ ク トル と レ ゾル ベン ト 

135

  8.2  双 対 作 用 素  

136

  8.3  完 全 連 続 作 用 素  

142

  8.4  共 役 作 用 素  

149

  8.5  自己 共 役 完 全 連 続 作 用 素  

152

9. 

160

ソボ レ フ空 間  

  9.1  種 々 の 関 数 空 間  

160

  9.2  ソボ レ フ空 間Hl(Ω) 

165

  9.3  ソボ レ フ 空 間H10(Ω) 

169

  9.4  完 備 正 規 直 交 系 と有 界 集 合  

171

10.楕

176

円型 偏 微 分 方 程 式 へ の応 用 

  10.1  物 理 学 的 説 明 

176

  10.2  直 交 射 影 の 方 法  

180

  10.3  弱 解 の微 分 可 能 性  

188

演 習 問 題 の略 解  

192

参

考

書  

211

記

号

表  

212

引  

215

索

1.  序

論

  有 限次 元線形 空 間の場 合 には,そ の位 相的 構造 は一意 に定 ま るが,関 数 解析 学 に現れ る関 数空 間 はす べ て無限 次元空 間 であ っ て,こ の場合 は線形 空間 としての構造 だ けで な く,位 相的構 造が 大 きな意 味を もつ ので,位 相 空間 と線形 空間 との両 面 か らの考 察が必 要 とな る.

  1.1 

位

相

空

間

  位 相 空 間 に つ い て は 初 歩 的 な 事 項 は 一 応 既 知 とす るが,読

者 の便 宜 の た め に,そ

の定

義 と基 本 的 な 事 項 を 証 明 な し に 述 べ る(不 慣 れ な 読 者 は 本 章 末 の 演 習 問 題 の 略 解 参 照). こ こで は近 傍 系 か ら 出 発 して 位 相 を 導 入 す る こ とに し よ う.   集 合Xの  (1.1) 

各 元xにXの

部 分 集 合 の 族V(x)が

対 応 して,次

の4条

件:

に対 して

す べ て の 

な らば

 (1.2) 

な らば

 (1.3) 

に 対 して 

 (1.4)  任 意 の 

を 満 た す と き,V(x)をxの {V(x)}x∈XはXの

が 存 在 し て,す べ て の 

近 傍 系 とい い,各V∈V(x)をxの

位 相 を 決 定 す る とい い,Xを

につ いて

近 傍 とい う.さ

らに,

位 相 空 間 とい う.

  位 相 空 間 の 元 を 点 と い う.こ の よ うに 集 合 の 元 を 点 と呼 ぶ の が 慣 例 とな って い る場 合 が あ る が,本

書 で は,こ

  近 傍 系V(x)の

の こ とを い ち い ち 断 らず に 用 い る.

部 分 族V*(x)がxの

基 本 近 傍 系 で あ る と は,任

満 た すW∈V*(x)が

存 在す る

意 のV∈V(x)に

対 して   (1.5)  W⊂Vを と き に い う.   基 本 近 傍 系{V*(x)}x∈Xは

次 の3条

件 を 満 足 す る:

 (1.6) 

す べ て の 

に 対 して

 (1.7) 

任 意 の 

に対 して 

 (1.8) 

任 意 の 

す べ て の    逆 に 集 合Xに

に対 して 

Xに

を満 たす 

対 し て条 件(1.6)∼(1.8)を

満 た すXの

対 して(1.5)が

す る と,{V(x)}x∈Xは

お い て{V*(x)}x∈Xを

が 存 在 す る,

が存在 して次の条 件 を満 足す る:

に 対 し て 

が 与 え られ た と き,各x∈Xに をV(x)と

を満 たす 

が 存 在 す る. 部 分 集 合 族 の 集 り{V*(x)}x∈X

成 立 す る よ うなXの

部 分 集 合Vの

近 傍 系 とな るべ き 条 件(1.1)∼(1.4)を

基 本 近 傍 系 とす る位 相 が 定 ま る.

全体

満 た す か ら,

  位 相 空 間Xの

部 分 集 合Oが

  (1.9)  す べ て のx∈Oに

対 してO∈V(x)

を 満 た す と き,OをXの

開 集 合 と い う.Xの

開 集 合 の 全 体 を 開 集 合 系 とい い,Oで

表

す.   V∈V(x)で

あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

  (1.10)  x∈O⊂Vを

満 た すO∈Oが

存 在す る

こ と で あ る(演 習 問 題1の1).   開 集 合 系Oは

次 の3条

件 を 満 足 す る:

∈O 

(φ は 空 集 合),

 (1.11) 

X,φ

 (1.12) 

O1,O2∈Oな

 (1.13) 

Oλ ∈O(λ

ら ばO1∩O2∈O, ∈ Λ)な

らば

  逆 に 条 件(1.11)∼(1.13)を に 対 し(1.10)を 条 件(1.9)は

満 た すXの

満 た す よ うなXの

部 分 集 合Vの

同値 で あ り, 

  位 相 空 間Xの

全 体 をV(x)と

す る と,条 件O∈Oと 満 た す.

に 開 集 合 系 は 位 相 を 定 め る.そ

れ ゆ え,Xの

開

位 相 とい う こ とが あ る.

開 集 合Oの

集 合 系 とい い,Fで

与 え られ た と き,各x∈X

は 条 件(1.1)∼(1.4)を

  この よ うに 位 相 は 開 集 合 系 を 定 め,逆 集 合 系 そ の も の をXの

部 分 集 合 の族Oが

補 集 合F=OCをXの

表 す.Fは

次 の3条

閉 集 合 と い う.Xの

閉 集 合 の全 体 を 閉

件 を 満 足 す る:

 (1.14)

な らば

 (1.15) 

な らば

 (1.16) 

  Aを 位 相 空 間Xの

部 分 集 合 とす る.Xの

点xがAの

内 点 で あ る とは,A∈V(x)の

と き に い う.こ れ を 基 本 近 傍 系 の 言 葉 で い い か え れ ば,点xがAの V⊂Aと

な る 

点 と い う.Aの とは,任

が 存 在 す る こ とを 意 味 す る.Aの 内 点 で も外 点 で もな い 点 をAの

意 の 

がxと

異 な るAの

内 点 で あ る と は,

補 集 合ACの

内 点 をAの

境 界 点 とい う.点xがAの

点 を 含 む と きい う.こ

外

集積 点 であ る

こ でVはV*(x)の

元 に 限 って も よい こ とは 明 らか で あ ろ う.   集 合Aが

開 集 合 で あ る た め に は,Aの

す べ て の 点 がAの

あ る.Aが

閉 集 合 で あ るた め に は,Aの

集 積 点 が す べ てAに

内点 で あ る こ とが 必 要 十 分 で 属 す る こ とが 必 要 十 分 で あ

る.   集 合Aの

内 点 全 体 の 集 合 をAの

集 合 に 等 し い.Aと,Aの 点xがAに

意 のV∈V(x)に

含 む 最 小 の 閉 集 合 に 等 し い.Aの

表 す.∂AはA∩(A)Cに

  位 相 空 間Xの

表 す.AはAに

集 積 点 全 体 の 集 合 と の 和 集 合 をAの

属 す るた め の 必 要 十 分 条 件 は,任

こ とで あ る.AはAを い い,∂Aで

開 核 とい い,Aで

部 分 集 合Aに

等 しい.ま 対 し てA=Xが

た 

含 まれ る最 大 の 開

閉 包 と い い,Aで 対 し 

境 界 点 全 体 の 集 合 をAの

表 す. とな る 境界と

で あ る.

成 立 す る と き,AはXに

おい て稠密 で あ

る とい う.AがXに V∈V(x)に

お い て 稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

対 し て 

在 す る と き,Xは

が 成 立 す る こ と で あ る.Xに

意 のx∈Xと

任意 の

お い て稠 密 な 可 算 集 合 が 存

可 分 で あ る とい う.

  Yを 位 相 空 間Xの

部 分 集 合 とす る.x∈Yに

お く と, 

対 し て 

は 近 傍 系 の 条 件(1.1)∼(1.4)を

定 ま る位 相 空 間YをXの

部 分 位 相 空 間,ま

に導 入 さ れ た 相 対 位 相 とい う.こ

と

満 た す. 

に よって

た は 部 分 空 間 とい い,こ

の 相 対 位 相 に 関 す る 開 集 合 系,閉

の 位 相 をXか

らY

集合 系はそ れぞ れ

 に 等 しい.   X,Yを2つ TをXか

の 集 合 とす る.Xの らYへ

各 元xにYの

元Txが

一 意 に 対 応 し て い る と き,対 応

の 写 像 とい い,

T:X→Y と か く.Xの

部 分 集 合Aに

対 し て,集

で 表 す.Yの

部 分 集 合Bに

対 し て,集

T−1(B)で

表 す.T(X)=Yの

 (1.17) 

  X,Yを2つ 系,開

と き,TはXか

らYの

集 合 系,閉

点xで

  (1.18)  任 意 のV∈VY(Tx)に

逆 像 と い い,

上 へ の 写 像 と い う.ま

た

対 し てTx=yと

なる

定 ま る.

れ らの 近 傍 系 を そ れ ぞ れVX,VYで

集 合 系 に つ い て もX,Yを

  写 像T:X→YがXの

よ るBの

の と き,y∈T(X)に

逆 写 像T−1:T(X)→Xが

の 位 相 空 間 と し,そ

像 と い い,T(A)

な ら ば

あ る と い う.こ

対 応 させ るTの

よ るAの

合{x￨Tx∈B}をTに

x1,x2∈X, 

の と き,写 像Tは1対1で x∈Xを

合{Tx￨x∈A}をTに

表 す.基

本近傍

区 別 す るた め に 同 様 の表 し方 を す る.

連 続 で あ る と は,次

の条 件 が 成 立 す る と き に い う:

対 し て 

で あ る.

  これ は 基 本 近 傍 系 の言 葉 で 述 べ た 次 の 条 件 と 同 値 で あ る:   (1.19)  任 意 の   

Xの

各 点xで

に 対 し てT(W)⊂Vと

連 続 な 写 像T:X→YはXで

 写 像T:X→Yに

が 存 在 す る.

連 続 で あ る と い う.

つ い て 次 の3条 件 は 同値 で あ る(演 習 問 題1の2):

 (1.20) 

TはXで

 (1.21) 

任 意 の 

に 対 して 

で あ る,

 (1.22) 

任 意 の 

に対 し て 

で あ る.

  TがXか

な る 

連 続 で あ る,

らYの

で あ る と き,Tを

上 へ の1対1の

連 続 な写 像 で あ り,そ の 逆 写 像T−1:Y→Xも

同 相 写 像 とい う.ま た 同 相 写 像T:X→Yが

存 在 す る と き,XとY

は 同 相 で あ る と い う.   近 傍,開

集 合,閉

  位 相 空 間Xは   (1.23)  Xの

集 合 の概 念 は 同 相 写 像 に よ っ て不 変 で あ る.

次 の分 離 公 理: 任 意 の相 異 な る2点x,yに

対 しV∩W=φ

が存 在す る を 満 た す と き,ハ

ウ ス ドル フ(Hausdorff)空

間 と呼 ば れ る.

と な るV∈V(x),W∈V(y)

連続

  ハ ウ ス ドル フ 空 間 に お い て は1点   集 合Xに2つ V2と

の位相

す る.各x∈Xに

か ら な る 集 合 は 閉 集 合 で あ る.

τ1,τ2が 与 え られ た と し,τ1,τ2に つ い てV1(x)⊃V2(x)の

τ1よ り弱 い と い い,記

関 す る 近 傍 系 を そ れ ぞ れV1,

と き,τ1は

τ2よ り 強 い,ま

た は τ2は

号 τ1〓 τ2ま

た は

τ2〓 τ1

で表 す.τ1〓τ2か つτ1〓τ2の と き τ1=τ2,す な わ ち τ1と τ2は同 一 の 位 相 を 意 味 す る.   位 相 空 間Xの

部 分 集 合 の 族 

は, 

を 満 た す と き,Xの

有 限 個 の 集 合 か らな る被 覆 を 有 限 被 覆 と い い,Xの また 

は,そ

被 覆 と い う.

開 集 合 か らな る 被 覆 を 開 被 覆 と い う.

の任 意 有 限 個 のAλ1,Aλ2,…,Aλnに 対 し て 

と な る と き,有

限 交 叉 性 を もつ とい う.   位 相 空 間Xは,次   (1.24)

の 同 値 な2条

件 の1つ

Xの 任 意 の 開 被 覆 

  (1.25)  Xの

閉 集 合 の族 

  位 相 空 間Xの

部 分 集 合Aは,Xの

を 満 足 す る と き,コ

はXの

ンパ ク トで あ る と い う:

有 限 被 覆 を 含 む,

が 有 限 交 叉 性 を もつ な らば, 

が 成 立 す る.

部 分 空 間 と して コ ンパ ク トで あ る と き,Xの

パ ク ト集 合 とい う.ま た 閉 包AがXの

コ ンパ ク ト集 合 で あ る と き,AをXの

コン

相対 コン

パ ク ト集 合 と い う.   コ ン パ ク ト性 に 関 す る い くつ か の 基 本 的 な 性 質 を あ げ て お く.こ れ ら は 本 論 の 中 で 用 い られ る もの で あ る.   (1.26) 

Xを

位 相 空 間 と し,A⊂Y⊂Xと

ら ば,AはXの   (1.27) 

コ ン パ ク トな 位 相 空 間Xの

  (1.28) 

ハ ウ ス ドル フ 空 間Xの

  (1.29) 

X,Yを

集 合Xに2つ

連 続 写 像 とす る と,Xの

対 しT(A)はYの

点 列{xn}n=1,2,…

て,自

存 在 し て,

がXの

点xに

n≧n0な

収 束 す る と は,任

意 のV∈V(x)に

対 し

ら ばxn∈V

極 限 とい う.Xが

の極 限 は た だ1つ

の とき ハ ウ ス ドル フ空 間 の と きは,点

で あ る.

  上 述 の コ ン パ ク ト性 の 他 に 次 の よ うな 概 念 が あ る.   位 相 空 間Xが

τ2に 関 し て も コ

の とき

点 列{xn}の

が 収 束 す れ ば,そ

τ2に 関 し て ハ ウ ス ド

τ1に 関 し て コ ン パ ク トな ら ば ,Xは

ま た は  と か き,点xを

つXは

.

τ2は 一 致 す る(演 習 問 題1の4).

  位 相 空 間Xの

  (1.31) 

任 意 の コンパ

コ ン パ ク ト集 合 で あ る(演 習 問 題1の3)

の 位 相 τ1,τ2が与 え ら れ,τ1〓τ2か

ン パ ク トで,τ1と

と な る こ と を い う.こ

コ ン パ ク ト集 合 な

コ ン パ ク ト集 合 は 閉 集 合 で あ る.

ル フ 空 間 と す る.Xが

然 数n0が

部 分 空 間Yの

閉 集 合 は コ ン パ ク ト集 合 で あ る.

位 相 空 間 と し,T:X→Yを

ク ト集 合Aに   (1.30) 

す る.Aが

コ ン パ ク ト集 合 で あ る.

点 列 コ ン パ ク トで あ る と は

列{xn}

  (1.32)  Xの

任 意 の 点 列{xn}がXの

と き に い う.ま

たXの

AをXの

点 に 収 束 す る部 分 列{xnj}を

部 分 集 合AがXの

含む

部 分 空 間 と し て 点 列 コ ン パ ク トで あ る と き,

点 列 コ ンパ ク ト集 合 とい う.

  一 般 の 位 相 空 間 に お い て は,コ

  1.2 

距

離

空

ン パ ク ト性 と点 列 コ ン パ ク ト性 と は 独 立 な 概 念 で あ る.

間

  距 離 空 間 は 位 相 空 間 の 最 も分 り易 い 場 合 で あ り,完 備 な場 合 に は ベ ー ル(Baire)の 定 理 (定 理1.2)の

成 立 す る こ とが,関

  集 合Xの

任 意 の2点x,yに

 (1.33) 

d(x,y)≧0,

 (1.34) 

d(x,y)=d(y,x),

 (1.35) 

数 解 析 学 に お い て 本 質 的 な 役 割 を 果 す.

実数d(x,y)が

対 応 し て 次 の3条 件:

d(x,y)=0とx=yは

同 値,

d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z) 

(3角

を 満 足 す る と き,d(x,y)をxとyの

不 等 式)

間 の 距 離 と い い,距

離 の 与 え られ た 集 合Xを

距離

空 間 と い う.   注 意   (1.33)の

うち の 条 件d(x,y)≧0は,実

は 他 の 条 件 か ら得 られ る.実

際,

0=d(x,x)≦d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y).

距 離 空 間Xの

各 点xと

任 意 の ε>0に

対 し て,集

合

V(x,ε)={y∈X￨d(x,y)<ε} を 考 え, 

と お く と, 

条 件(1.6)∼(1.8)を

満 た す こ と が 容 易 に 分 る か ら,Xに

傍 系 と す る 位 相 が 定 ま る.基 い ろ あ る.た

と え ば,V2*(x)={V(x,1/n)￨n=1,2,…},さ

={V(x,εn)￨n=1,2,…}な

εn↓0と

な る 数 列 と し てV4*(x)

れ らは い ず れ も先 の 位 相 と 同一 の も の を 決 定 す

可 算 個 の 集 合 か ら な る こ と に 注 意 し よ う.こ

各 点xが

を基 本近 他 に もい ろ

らに

た は{εn}を ど で あ る.こ

る が,V2*(x),V4*(x)は

は 第1可

お い て 

本 近 傍 系 と し て 採 用 で き る 集 合 族 はV1*(x)の

に 対 す るV3*(x)={V(x,ε)￨ε>0},ま

空 間Xの

は 基 本 近 傍 系 とな る べ き

高 々 可 算 個 の 集 合 か ら な る 基 本 近 傍 系{V*(x)}x∈Xを

の よ うに 位 相 も つ と き,X

算 公 理 を 満 た す と い う.

  距 離 空 間Xは 実 際,x,yをXの

位 相 空 間 で あ る こ と が 分 っ た が,さ 相 異 な る2点

ら にXは

と す る と き,d=d(x,y)と

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る.

お け ば,

V(x,d/3)∩V(y,d/3)=φ と な る か ら で あ る.   距 離 空 間Xに

は 開 集 合,閉

集 合,収

束 な ど の 位 相 的 な 諸 概 念 が 導 入 さ れ る.V(x,ε)は

開 集 合 で あ り,こ れ を 点xの

ε−開 近 傍,ま

V(x,ε)は

れ を 点xの

閉 集 合 で あ り,こ

閉 球 と い う.

た はxを

中 心 と し εを 半 径 と す る 開 球 と い う.

ε−閉 近 傍,ま

た はxを

中 心 と し εを 半 径 と す る

  Xの

点 列{xn}がXの

に 対 して 自然数n0が

点xに

n≧n0な

と な る こ と,す

離 の 言 葉 で い い か え れ ば,任

らばd(xn,x)<ε

な わ ち 

とな る こ と で あ る.こ

ハ ウス ドル フ空 間 で あ る か ら,点 列 の 極 限 は,も

  Xは

第1可

算 公 理 を 満 た す こ とか ら,位 論 を 容 易 に し て い る.

  た と え ば,点xがXの

部 分 集 合Aの

とな るAの 閉 包Aに とな るAの

と か く. だ1つ

で あ る.

集 積点 であ るため の必要 十 分条件 は

  (1.37)  こ と で あ る.点xがAの

の と き 

し存 在 す れ ば,た

相 的 な 諸 概 念 の うち の い くつ か は 点 列 の 言 葉

で い い か え られ,議

  (1.38) 

意 の ε>0

定 まって

  (1.36) 

Xは

収 束 す る とは,距

点 列{xn}が

存在 す る

属 す るた め の必 要 十 分 条 件 は 点 列{xn}が

存 在す る

こ とで あ る.   ま た,X,Yが

距 離 空 間 の と き,写 像T:X→Yが

点x∈Xで

連 続 で あ る と い う条 件

(1.18),(1.19)は   (1.39)  Xの

点 列{xn}が

 

な らば

 

で あ る,

と 同 値 で あ る(演 習 問 題1の5).   さ らに,距 離 空 間 に お い て は,コ 32)は

ン パ ク ト性(1.24),(1.25)と

同 値 な 概 念 で あ る(演 習 問 題1の6).

  距 離 空 間Xの 然 数n0が

点 列{xn}が

コ ー シ ー(Cauchy)列

で あ る とは,任

意 の ε>0に 対 し て 自

定 ま って

  (1.40) 

m,n≧n0な

らばd(xm,xn)<ε

と な る こ と,す な わ ち    Xの

点 列 コ ン パ ク ト性(1.

点 列{xn}が

とな る こ とで あ る.

収 束 列 な らば,{xn}は

コ ー シ ー列 で あ る.実

と任 意 の ε>0に 対 しn0が 定 ま っ て(1.36)が

際, 

成 立 す る か ら,m,n≧n0な

とす る らば

d(xm,xn)≦d(xm,x)+d(x,xn)<ε+ε=2ε と な るか ら で あ る.し か し,こ   そ こで,距

離 空 間Xの

の 逆 は 一 般 に は 成 立 し な い.

す べ て の コ ー シ ー 列 がXの

点 に 収 束 す る と き,Xは

完 備 であ

る とい う.   関 数 空 間 に お い て微 分 方 程 式 や 積 分 方 程 式 を 扱 う と き,そ 極 限 と し て 捉 え られ る.そ

の 解 は 一 般 に コ ー シ ー列 の

こで 完 備 で な い 距 離 空 間 は そ の ま ま で は 実 用 に 適 さ な い が,

コ ー シ ー列 の 極 限 を 付 け 加 え る こ と に よ り,極 限 論 法 を 円 滑 に す る こ とが で き る.   そ の た め,完 備 で な い 距 離 空 間Xに

対 し,完 備 な 距 離 空 間Xを

稠 密 に埋 蔵 で き る こ とを 主 張 す る次 の 定 理1.1は

  (1.41) 

す る.Xか

らX1へ

の 距 離 空 間 と し,そ

の 写 像Tは

d(x,y)=d1(Tx,Ty) 

中に

重 要 で あ る.

  定 理 を 述 べ る前 に 次 の概 念 を 導 入 す る.X,X1を2つ れ ぞ れd,d1と

作 り,XをXの

(x,y∈X)

の距離 をそ

を満 た す と き,等 距 離 で あ る と い う.こ の と き  な ら ば で あ る か ら,Tは1対1で   Xか

らX1の

あ る.

上 へ の 等 距 離 写 像Tが

存 在 す る と き,XとX1は

距 離空 間 として 同型 で

あ る と い う.   定 理1.1 

完 備 で な い 距 離 空 間Xに

あ る稠 密 な 部 分 空 間X1と て,XをXの

対 し,完 備 な距 離 空 間Xが

距 離 空 間 と し て 同 型 で あ る.こ

構 成.Xに

{xn},{yn}に

つ いて

お け る コ ー シ ー列{xn}の

の と き,{xn}∼{yn}と

か く と,∼

{xn}∼{xn} 

こ で{xn}と

全 体 を 類 別 で き る.こ

ら ば{yn}∼{xn}(対

限 値 で 存 在 し,し

同 値 な も の を1つ

対 し,そ

の 類xに

つ い て 

が有

選 び 方 に よ ら ず 一 意 に 定 ま る.実

際,

実 数 の コ ー シ ー 列 と な る か ら,実

数 の 完 備 性 よ り収 束 す る.次

に

す る と

が 成 立 す る.

よ っ て 

に 対 し,そ れ ぞ れ の 代 表 

  そ こ で, 

定 義 す る と,dは

を 選 ん で,

距 離 の 条 件(1.33)∼(1.35)を

満 た す こ と が 容 易 に 分 り,

距 離 空 間 に な る.

  X1の る.こ

ー シー列

不等 式 を用 いて

一 意 性 を 示 す た め ,{xn}∼{xn′},{yn}∼{yn′}と

Xは

ま と め る こ と に よ り,コ

れ ぞ れ の 代 表{xn},{yn}に

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,3角

移 律)

す る.

か も こ の 値 は 代 表{xn},{yn}の

よ っ て{d(xn,yn)}は

のコー シー列

称 律),

ら ば{xn}∼{zn}(推

れ ら 同 値 類 の 全 体 をXと

  こ の と き,x,y∈Xに

全 体 を 考 え る.2つ

は 同 値 関 係:

{xn}∼{yn},{yn}∼{zn}な

に よ っ てdを

同一 視 し

(反 射 律),

{xn}∼{yn}な

{xn},{yn}は

の と き,XをX1と

完 備 化 と い う.

 証 明   Xの

を 満 た す.そ

存 在 し て,XはXの

存 在.任

意 のx∈Xに

対 し,xの

の コ ー シ ー 列 を 含 む 類 をx(∈X)で

像: 

は

を満 た す か ら,Xか

らX1の

み か ら な る 点 列{x,x,…}は 表 し,こ

の よ う なxの

上 へ の 等 距 離 写 像 で あ る.す

コ ー シ ー列 であ 全 体 をX1と

な わ ちXとX1は

す る.写

距離 空間 と

し て 同 型 で あ る.   次 にX1がXで

稠 密 な こ とを 示 す た め に,任

意 のx∈Xと

任 意 の ε>0を 与 え る.xの

代 表{xn}は xn0,…}を

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,n0が 含 む 類xn0∈X1に

存 在 し てn≧n0な

ら ばd(xn,xn0)<ε.{xn0,

対 し 

ゆ え にX1はXで

稠密 で

あ る.   Xの nに

完 備 性.{xn}をXに

お け る コ ー シ ー 列 と す る.X1がXで

対 し てd(xn,xn)<1/nと

な るxn∈X1が

類 で あ る.こ

の と き{x1,x2,…,xn,…}はXに

よ り分 る.こ

の{xn}を

な るn0が

稠 密 な こ と か ら,各

だ しxnは{xn,xn,…}を

含む

お け る コ ー シ ー 列 と な る こ と が,

含 む 類 をx(∈X)と

こ と が,次 の よ うに し て い え る.{xn}は >1/ε

と れ る.た

す る と,コ

ー シ ー 列{xn}はxに

収 束す る

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,任 意 の ε>0に

存 在 し てm,n≧n0な

ら ばd(xm,xn)<ε.従

っ てn≧n0な

対 し てn0

ら ば, 

で あ る か ら,

Xの

ゆ えに    注 意   距 離 空 間Xの

完 備 性 が 示 さ れ た. 

完 備 化Xは

(証 終)

距 離 空 間 と し て 同型 な もの を 除 い て 一 意 に 存 在 す る

こ とが 容 易 に 示 さ れ る.   位 相 空 間Xの

部 分 集 合Aは,そ

る,ま

疎 集 合 とい う.ま たXの

た はXの

合 をXの

第1類

の 閉 包Aが

集 合 とい い,第1類

内 点 を も た な い と き,Xに

疎 集 合 の 高 々 可 算 個 の 和 集 合 と して 表 さ れ る 集

で な い 集 合 を 第2類

集 合 と い う.

  完 備 な 距 離 空 間 に 対 して 成 立 す る次 の ベ ー ル の 定 理 は,第3章 nach)空

お い て疎 で あ

間 に お け る 一 様 有 界 性 の 定 理,開

写 像 定 理,閉

に 述 べ る バ ナ ッハ(Ba

グラ フ定理 の基礎 をなす 重要 な

もの で あ る.   定 理1.2 

(ベ ー ル の 定 理)  完 備 な 距 離 空 間Xは

可 算 個 の 閉 部 分 集 合Fn(n=1,2,…)に

の 少 な く と も1つ   証 明   Xが

第2類

のFnも

で あ る.ゆ

こで,後

うち

半 の 形 で 定 理 を 証 明 し よ う.

内点 を もた な い と仮 定 す る.ま ず,F1は 補 集 合F1Cは 内 点 で あ る.よ

が 成 立 す る よ うに 選 ぶ こ と が で き る.次

る.よ

と表 さ れ るな らば,Fnの

よ っ て 

で あ る こ と と,定 理 の 後 半 に 述 べ られ た 条 件 とが 同 値 で あ る こ と は

え に,F1の

に と る と,x1はF1Cの

含 ま な い.ゆ

集 合 で あ る.す な わ ち,Xの

は 内 点 を もつ.

容 易 に 検 証 され る.そ   い ま,ど

第2類

え に,F2C∩V(x1,ε1)は

っ て 閉 球V(x2,ε2)を

内 点 を もた な い か ら, 

空 で な い 開 集 合 で あ るか ら,F1Cの

点x1を

任意

っ て,閉 球V(x1,ε1)を

に ごF2は

内 点 を も た な い か ら,開

空 で な い 開 集 合 で あ る か ら,そ

球V(x1,ε1)を の 内 点x2が

とれ

が 成 立 す る よ うに 選 ぶ こ とが で き る.こ

の 手 続 き を 繰 り返 し て い く と,

 (1.42)

ただ し が 成 立 す る よ うなXの

点 列{xn}と

閉 球 の 列{V(xn,εn)}が

存 在 す る こ と に な る.こ

れ

より

が 成 立 す る.従

っ て 点 列{xn}を

考 え る と,

 な らば

 (1.43)

で あ る か ら,d(xm,xn)≦

εm<1/mと

完 備 性 に よ り, 

あ る か ら,x∈FmC,す

を 得 る が,こ

1.3 

線

形

  Φ を 実 数 体Rま

空

お い てm=1,2,…

を 固 定 し てn→

閉 集 合 で あ る か ら,x∈V(xm,εm).さ

V(xm,εm)⊂FmC(m=1,2,…)で

 

コ ー シ ー 列 を な す こ と が 分 る.Xの

が 存 在 す る.(1.43)に

∞ と す る と,V(xm,εm)は

っ て 

な り,{xn}は

れ は に

ら に(1.42)よ

な わ ち 

り,

(m=1,2,…).よ

反 す る. 

(証 終)

間

た は 複 素 数 体Cと

に 対 し て,加

法x+yと

る と き,Eを

Φ 上 の 線 形 空 間,ま

す る.集

ス カ ラ ー 乗 法 αxがEの

合Eの

任 意 の2元x,yと

中 に 一 意 に 定 ま り,次

た は ベ ク トル 空 間 と い う.ま

Φ の任 意 の 元 α の8条

件 を満足 す

た 加 法 とス カ ラ ー 乗 法 を

合 わ せ て 線 形 演 算 と い う.   (1.44) 

(x+y)+z=x+(y+z),

  (1.45) 

x+y=y+x,

  (1.46) 

Eの

元0が

  (1.47) 

Eの

任 意 の 元xに

  (1.48) 

α(βx)=(α

  (1.49) 

(α+β)x=αx+βx,

  (1.50) 

α(x+y)=αx+αy,

  (1.51) 

1x=x.

存 在 し て,Eの

す べ て の 元xに

対 し て,x+(−x)=0と

複 素 線 形 空 間 と い う.ま

たEの

  (1.53) 

な るEの

存 在 す る,

元 −xが

Eの

元0は

Eの

任 意 の2元x,yに

上 の 線 形 空 間Eを

そ れ ぞ れ 実 線 形 空 間,

元 を 点 ま た は ベ ク トル と い う.

Φ 上 の 線 形 空 間 の と き,次

  (1.52) 

成 立 す る,

β)x,

  Φ が 実 数 体 あ る い は 複 素 数 体 で あ る に 従 い,Φ

  Eが

対 し てx+0=xが

の(1.52)∼(1.56)が

成 立 す る こ と が 容 易 に 分 る.

一 意 に 定 ま る.

z=x+(−y).こ

対 し て,y+z=xを

れ をx−yと

  (1.54) 

0x=0,

  (1.55) 

(− α)x=α(−x)=−

  (1.56) 

αx=0な

か く.

α0=0.

らば

αx. α=0ま

た はx=0.

満 た すEの

元zが

一 意 に 存 在 して

 

以 後,"Φ

上 の"と

 

線 形 空 間Eの

 

(1.57) 

い う言 葉 を 省 略 し て,単

部 分 集 合Fは,

x,y∈F,

α,β∈ Φ

を 満 足 す る と き,Eの

線 形 部 分 空 間 は そ れ 自 身1つ

 

線 形 空 間Eの

た はAに

対 し,Aを

含 む 最 小 の 線 形 部 分 空 間 をAか

任 意 個 数 の 線 形 部 分 空 間 の 共 通 部 分 は ま た 線 形 部 分 空 間 で あ る.従

線 形 空 間Eの

る(演

っ て,Aか

ら生 成

含 む 線 形 部 分 空 間 全 体 の 共 通 部 分 に 等 し い.

元x1,x2,…,xnに

対 し,α1,α2,…,αn∈

と表 さ れ る 元 をx1,x2,…,xnの1次   集 合Aか

ら生 成 され る

よ っ て 張 ら れ る 線 形 部 分 空 間 と い う.

さ れ る 線 形 部 分 空 間 はAを  

αx+βy∈F

の 線 形 空 間 で あ る.

部 分 集 合Aに

線 形 部 分 空 間,ま

な らば

線 形 部 分 空 間 と い う.

 

 

に 線 形 空 間 と 呼 ぶ こ と に す る.

Φ に よ っ て α1x1+α2x2+…+αnxn

結 合 と い う.

ら 生 成 さ れ る 線 形 部 分 空 間 はAの

任 意 有 限 個 の 元 の1次

結 合 の 全 体 と一 致 す

習 問 題1の10).

 

線 形 空 間Eの

 

(1.58) 

元x1,x2,…,xnは

α1x1+α2x2+…+αnxn=0な

が 成 立 す る と き,1次

らば

独 立 で あ る と い う.ま

次 従 属 で あ る と い う.x1,x2,…,xnが1次

α1=α2=…=αn=0

た,x1,x2,…,xnは1次

独 立 な ら ば,明

独 立 で な い と き,1

ら か に,こ

れ ら の 元 の 中 に0は

含 ま れ な い.   Eの

部 分 集 合Aに

対 し,そ

の 任 意 有 限 個 の 元 が1次

独 立 で あ る と き,Aは1次

独立 で

あ る と い う.   Aが1次

独 立 な 極 大 集 合 で あ る と き,す

集 合 と し て 含 む よ う なEの1次

Eの

線 形 空 間Eの

任 意 の 元xがAの

独 立 で あ り,か つAを

独 立 な 部 分 集 合 が 存 在 し な い と き,Aを

数 的 基 底 と 呼 ぶ こ と に し よ う.こ   補 題1.3 

な わ ちAが1次

真 部 分

本 書 で はEの

代

の よ う に 定 義 す る 理 由 は 次 の 補 題 に よ る.

部 分 集 合AがEの

代 数 的 基 底 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

有 限 個 の 元x1,x2,…,xnの1次

結 合x=α1x1+α2x2+…+αnx

nと

し て 一 意 に 表 さ れ る こ と で あ る.   証 明   必 要 性.AがEの

代 数 的 基 底 で あ る と す る.任

で か け る こ と を 示 す.ま

ず,x∈Aの

次 独 立 で は な い か ら,Aの 属 と な る.す

な わ ち,こ

+…+αnxn=0.こ

ら で あ る.よ

と ご と く は0で .な

こ と ご と く は0で

β1=α2− β2=…=αn−

βn=0と

な る.

結合

も は や1

付 け 加 え た も の は1次

従

す る と,α1x1+α2x2+…+αnxn=0と

な い か ら,x1,x2,…,xnの1次

っ てx=−(α1x1+α2x2+…+αnxn)/α

β2)x2+…+(αn−

元 の1次

の と き はA∪{x}は

な い α,α1,α2,…,αnが 存 在 し て αx+α1x1+α2x2

ぜ な ら ば α=0と

α2x2+…+αnxn=β1x1+β2x2+…+βnxn(た (α1− β1)x1+(α2−

意 のx∈EがAの

あ る 有 限 個 の 元x1,x2,…,xnにxを

こ で 

な り,α1,α2,…,αnは

と き は 明 ら か. 

と か け る.表 だ しx1,x2,…,xn∈A)と

βn)xn=0.x1,x2,…,xnは1次

独 立 性 に 反 す るか 現 の 一 意 性.x=α1x1+ 表 され た とす る と 独 立 で あ る か ら,α1−

,

  十 分 性.Eの

任 意 の 元 がAの

意 有 限 個 の 元x1,x2,…,xnに 0x2+…+0xn=0で

元 の1次

結 合 で 一 意 に 表 され て い る と仮 定 す る.Aの

対 し て 

とす る.明

あ る か ら,表 現 の一 意 性 よ り α1=α2=…=αn=0を

x2,…,xnは1次

独 立,従

っ てAは1次

独 立 で あ る.さ

意 の 元 とす る と,x=α1x1+α2x2+…+αnxn(た x1,x2,…,xnは1次

らに,xをAに

み か ら な る 集 合{0}は

  集 合Xの2元

  (1.60)  x〓y,

y〓xな

  (1.61)  x〓y,

y〓zな

を 満 た す と き,こ

の 関 係〓

代 数 的 基 底 で あ る. (証 終) 々は{0}の

代 数的 基

形 空 間 は 必 ず 代 数 的 基 底 を もつ こ とが, の た め の 準 備 を す る.

の 問 に 関 係〓 が 定 義 され て い て,次 (反 射 律),

合 は,Xに

うす れ ば,線

補 題 を 用 い て 証 明 され る.そ

  (1.59)  x〓x 

任

か け る か ら,x,

勿 論 線 形 空 間 とみ な さ れ る が,我

底 は 空 集 合 φ で あ る と考え る.そ ツ ォ ル ン(Zorn)の

属 さ な いEの

真 部 分 集 合 と し て 含 む よ うなEの1

次 独 立 な 部 分 集 合 が 存 在 しな い こ とを 示 す か ら,AはEの   元0の

らか に,0x1+

得 る.よ っ てx1,

だ しx1,x2,…,xn∈A)と

従 属 で あ る.こ の こ とは,Aを

任

の3条

らばx=y(反

対 称 律),

らばx〓z(推

移 律)

を 順 序 とい い,Xを

件:

順 序 集 合 とい う.順

お け る 順 序 に 関 し てや は り順 序 集 合 に な る.順

序 集 合Xの

序 集 合Xの

部分 集

任 意 の2元x,yに

対 して x〓yま が 成 立 す る と き,Xを Yとx0∈Xに

全 順 序 集 合,ま

た はy〓x

た は 線 形 順 序 集 合 とい う.順 序 集 合Xの

部分 集合

対 して す べ て のy∈Yに

で あ る と き,x0をYの

上 界 とい う.ま た 順 序 集 合Xの x0〓xか

とな るx∈Xが   こ こで,我

つ い てy〓x0

存 在 しな い と き,x0をXの 々 は 慣 例 に 従 っ て,次

  ツ ォル ン の 補 題   順 序 集 合Xの

元x0に

対 して

つx0〓x 極 大 元 とい う.

の 命 題 を 公 理 と して 採 用 す る. 任 意 の 全 順 序 部 分 集 合 がXの

中 に 上 界 を もつ な らば,

Xは 少 な く と も1つ の 極 大 元 を もつ.   こ の補 題 は ツ ェル メ ロ(Zermelo)の

選 択 公 理,整

列 可 能 定 理 な ど と同 値 で あ る こ と が

知 られ て い る.こ れ らは 無 限 を 取 り扱 う上 で の 数 学 上 の 約 束 事 と も 考 え られ る も の で あ っ て,ツ

ォル ン の補 題 か ら代 数 的 基 底 の 存 在 が 示 され た と して も,代

に 得 られ る とい うわ け で は な い.ま Banach)の

定 理,チ

の 補 題 が 用 い られ る.こ   定 理1.4 

x〓0か

の 他 に,ハ

ー ン ・バ ナ ッハ(Hahn-

備 正 規 直 交 系 の 存 在 の 証 明 に ツ ォル ン

代 数 的 基 底 を もつ.

し,Eの1次

ら な る集 合{x}は

定 理,完

の 補 題 の意 味 は,こ れ らの 証 明 を 通 じて 理 解 され る で あ ろ う.

線 形 空 間Eは

  証 明   E〓{0}と

た 本 書 で は,こ

ホ ノフ(TИXOHOB)の

数 的基底 が具 体的

独 立 な 部 分 集 合 の 全 体 をXで

明 らか に1次 独 立 ゆ え,X〓

表 す.Eの

φ で あ る.A,B∈Xに

任 意 の1点 対 しA⊂B

の と きA〓Bと

定 め る と,関

合 に な る.Xの

任 意 の 全 順 序 部 分 集 合YはXの

き,B∈Xか

つBがYの

係〓 は 順 序 の 条 件(1.59)∼(1.61)を

な る.Aj∈Y(j=1,2,…,n)が

A1,A2,…,Anの

う ち に,集

と,x1,x2,…,xnは B∈Xで

た,任

対 し,A〓Bが

る.よ

っ て ツ ォ ル ン の 補 題 よ り,Xは

はEの

代 数 的 基 底 で あ る. 

  定 理1.5 

線 形 空 間Eの

  証 明   E〓{0}と

と表 さ れ る.そ

り,こ

とお

全 順 序 集 合 で あ る か ら, れ を 仮 り にAnと

す る

独 立 で あ る.よ

って

成 立 す る か ら,BはYの

少 な く と も1つ

の 極 大 元A0を

も つ.明

上 界 であ ら か にA0

代 数 的 基 底 の 濃 度 は 一 定 で あ る.

し,A,BをEの

題1.3よ

際, 

(証 終)

代 数 的 基 底 と す る.は

場 合 を 考え,A={x1,x2,…,xn}と と る と,補

存 在 す る が,Yは

属 す る か ら,x1,x2,…,xnは1次

意 のA∈Yに

順 序 集

任 意 有 限 個 の 元x1,x2,…,xnに

合 の 包 含 関 係 で 最 大 の も の が あ る.こ

す べ てAnに

あ る.ま

中 に 上 界 を も つ.実

上 界 で あ る こ と を 示 そ う.Bの

対 し,xj∈Ajと

満 た し,Xは

す る.い

じ め にAの

まEのn+1個

濃 度 が 有 限nの

の 任 意 の 元y1,y2,…,yn+1を

れ らは一意 に

こで 条 件

 (1.62)

を 考 え る と,こ

れ はx1,x2,…,xnの1次

独 立 性 か ら,条

件

 (1.63)

と 同 値 で あ る こ とが 直 ち に 分 る.そ

し て 線 形 代 数 学 で 良 く知 られ て い る よ うに,(1.63)

を 成 立 さ せ る よ うな こ と ご と くは0で な β1,β2,…,βn+1を(1.62)に 分 る.こ

の こ とはEの1次

的 基 底Bの

濃 度 をmと

な い β1,β2,…,βn+1の組 が 存 在 す る か ら,こ の よ う

お い て 考 え る と,y1,y2,…,yn+1は1次

独 立 な 集 合 の 濃 度 がnを す る と,m≦nで

従 属 で あ る こ とが

あ る.同

越 え な い こ とを 示 す か ら,他 様 にn≦mが

の代数

成 立 す る か ら,n=mを

得 る.   次 にAの

濃 度 が 無 限 の場 合 を 考 え る.任 意 のy∈Bは

合 と して 表 され る.前 半 で 示 した よ うに,Aの 成 され る線 形 部 分 空 間 に お い て は,1次 xnの1次

結 合 で か け る よ うなBの

x2,…,xnをAの

一 意 にAの

特 定 のn個

独 立 な 集 合 の 濃 度 はnを

越 え な い.こ

の元 の1次

こで,x1,

結 合 で か け る よ うなB

の 元 か ら な る集 合 の 濃 度 は n(Aの を 越 え な い こ とが わ か る.n=1,2,…

濃 度)n=Aの

を 越 え な い.こ

濃度

に つ い て 考 え る と,結 局Bの

〓0(Aの 濃 度)=Aの

Bの 濃 度 ≦Aの 同 様 に逆 向 き の 不 等 式 が 成 立 す る か ら,Aの

濃度は

濃度

こ で〓0は 可 算 集 合 の 濃 度 を 表 す.す

なわ ち

濃 度.

濃 度 とBの

結

よって生

越 え な い か ら,x1,x2,…,

元 か らな る 集 合 の 濃 度 はnを

中 で 自 由 に 動 か し て み る と,Aのn個

有 限 個 の元 の1次

の 元x1,x2,…,xnに

濃 度 は 一 致 す る. 

(証 終)

  線 形 空 間Eの

代 数 的 次 元 を,E={0}の

と き0と 定 義 し,E〓{0}の

と きそ の 代 数 的 基

底 の 濃 度 で 定 義 す る.   な お,Eの

代 数 的 次 元 が 有 限 の と き は,Eを

  代 数 的 無 限 次 元 空 間 に お い て は,代

単 に 有 限 次 元 空 間 とい っ て よ い.

数 的 基 底,代

数 的 次 元 は 位 相 と無 関 係 な 概 念 で あ

る た め に,解 析 学 に お け る実 質 的 な 意 味 は うす い が,線

形 空 間 の構 造 上,興

味 あ る もの

で あ る.   次 に 線 形 空 間 の 例 を挙 げ よ う.   例1 

RNとCN. 

N個

の 実 数 の 組(ξ1,ξ2,…,ξN)の 全 体 か ら な る集 合 をRNで

RNの2元 

と α∈Rに 対 して,加

法x+yと

表 す. ス カラ

ー乗 法 αxを  (1.64)  (1.65)

に よ り定 義 す る と,RNは

実 線 形 空 間 を な す こ と が 容 易 に 確 か め られ る.こ

は 明 ら か に(0,0,…,0)で

あ る.ま

い て は1次

た,線

独 立 な 集 合 の 濃 度 はN以 e1=(1,0,…,0),

はRNの1つ

形 代 数 学 で 良 く知 ら れ て い る よ うに,RNに

下 で あ り,単

お

位 ベ ク トル

e2=(0,1,0,…,0),…,

の 代 数 的 基 底 を な す.す

の 場 合,元0

eN=(0,…,0,1)

な わ ちRNはN次

元 空 間 で あ る.任

意 の

 は

と 一 意 に 表 現 さ れ る.   N個

の 複 素 数 の 組 

と α∈Cに CNは

の 全 体 か ら な る 集 合 をCNで

対 し て 加 法x+yと

表 す.CNの2元x,y

ス カ ラ ー 乗 法 αxを(1.64),(1.65)と

複 素 線 形 空 間 を な し,0=(0,0,…,0)で

あ る.こ

同 様 に 定 義 す る と,

の場 合 も

e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,eN=(0,…,0,1) はCNの1つ

の 代 数 的 基 底 を な し,CNはN次

  特 に 係 数 体 Φ は1次   例2 

(ω).実

元 の 線 形 空 間 で あ る こ と に 注 意 し よ う.

数 列(ま た は 複 素 数 列){ξk}の

の2元x={ξk},y={ηk}と  (1.66)    (1.67) 

α∈R(ま

x+y={ξk+η

た はC)に

全 体 か ら な る 集 合 を(ω)で 対 し て,加

法x+yと

表 す.(ω)

ス カ ラ ー 乗 法 αxを

κ},

αx={α ξk}

に よ り定 義 す る と,(ω)は で あ る.ま

元 空 間 で あ る.

実(ま た は 複 素)線 形 空 間 を な す.こ

の 場 合,元0は{0,0,…}

た

か らな る可 算 集 合Aは1次

独 立 で あ る.こ

と を 示 して お り,実 際(ω)の   例3Ω(I).区

間Iで

の こ と は(ω)の

代数 的次元 が無 限で あ る こ

代 数 的 次 元 は2〓0で あ る こ とが 知 られ て い る.

定 義 され た 実 数 値(ま た は 複 素 数 値)関 数x(t)の

全 体 か らな る

集 合 を Ω(I)で

表 す.こ

こ で,Iは

有 限 区 間 で も 無 限 区 間 で も よ く,ま

間 で も よ い.Ω(I)の2元x=x(t),y=y(t)と

α∈R(ま

た はC)に

た開 区間 で も閉区 対 し て,加

法x+y

と ス カ ラ ー 乗 法 αxを   (1.68) 

(x+y)(t)=x(t)+y(t)

  (1.69) 

(αx)(t)=αx(t)

(t∈I)

に よ り定 義 す る と,Ω(I)は 恒 等 的 に0と

(t∈I),

実(ま た は 複 素)線 形 空 間 を な す.こ

な る 関 数 で あ る.ま

た,単

実 際 Ω(I)の

(n=0,1,2,…)

お け る 制 限 か ら な る 集 合Aを

可 算 部 分 集 合 で あ る.こ

区 間Iで

項 式

pn(t)=tn の お の お の の 区 間Iに

の 場 合,元0は

の こ と は Ω(I)の

代 数 的 次 元 は2〓(〓=2〓n)で

考 え る と,Aは

Ω(I)のI次

独 立 な

代 数 的 次 元 が 無 限 で あ る こ と を 示 し て お り, あ る こ と が 知 ら れ て い る.

  最 後 に 線 形 作 用 素 に つ い て 述 べ よ う.   E,Fを

共 にΦ 上 の 線 形 空 間 と す る.Eの

任 意 のx1,x2∈Eと

元Txを

対 応 さ せ る 写 像Tが,

にF=Φ

の と き,Eか

任 意 の α1,α2∈Φ に 対 し て

  (1.70) 

T(α1x1+α2x2)=α1Tx1+α2Tx2

を 満 た す と き,TをEか

らFへ

の 線 形 作 用 素TをE上   TをEか

各 元xにFの

らFへ

の 線 形 作 用 素 と い う.特

ら Φへ

の 線 形 汎 関 数 と い う. の 線 形 作 用 素 と す る と,次

の 基 本 的 な こ と が ら が 成 立 す る.ま

ず 定

義 か ら   (1.71)    Tに

T0=0.

よ るEの

し,Tx1=y1, 

像T(E)はFの Tx2=y2と

線 形 部 分 空 間 で あ る.実

な るx1,x2∈Eが

存 在 し,任

際,任

意 のy1,y2∈T(E)に

対

意 の α1,α2∈Φ に つ い て,Tの

線形

性 よ り α1y1+α2y2=α1Tx1+α2Tx2=T(α1x1+α2x2)∈T(E).   集 合{x｜Tx=0}をN(T)で で あ る こ と が,Tの

表 し,Tの

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

  (1.72) 

Tx=0な

す な わ ち,N(T)={0}が

ら ばx=0,

成 立 す る こ と で あ る.実

  (1.73) 

Tx1=Tx2な

と 同 値 で あ り,(1.73)はTが1対1な

Tの

らFへ

線形部 分空 間

線 形 性 よ り 分 る.

  さ ら に,Tが1対1で

  TがEか

零 空 間 と い う.N(T)はEの

の1対1の

際,Tの

線 形 性 よ り(1.72)は

条件

ら ばx1=x2 る こ と を 示 し て い る.

線 形 作 用 素 な ら ば,Tの

逆 写 像T−1が

定 ま る が,こ

れを

逆 作 用 素 と い う.

  逆 作 用 素T−1はT(E)か し,T−1y1=x1, 

らEの

T−1y2=x2と

上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る.実

お く と,α1,α2∈

Φに対 し

T(α1x1+α2x2)=α1Tx1+α2Tx2=α1y1+α2y2

際,y1,y2∈T(E)に

対

よ り, T−1(α1y1+α2y2)=α1x1+α2x2=α1T−1y1+α2T−1y2.   Eか

らFの

上 へ の1対1の

線 形 作 用 素Tが

同 じ 構 造 を も つ と 考 え て よ い か ら,EとFは き,EとFの

線形空 間 と し て

線 形 空 間 と し て 同 型 で あ る と い う.こ

の と

代 数 的 次 元 は 一 致 す る(演 習 問 題1の11).

演

  1.位

存 在 す る と き,EとFは

相 空 間Xの

部 分 集 合Vに

習

問

題1

対 し,V∈V(x)で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は(1.10)

で あ る こ と を 示 せ.   2.X,Yを

位 相 空 間 とす る と き,写

像T:X→Yに

つ い て3条

件(1.20)∼(1.22)

は 同 値 で あ る こ と を 示 せ.   3.(1.29)を

証 明 せ よ.

  4.(1.30)を

証 明 せ よ.

  5.X,Yを

距 離 空 間 とす る と き,写

像T:X→Yに

つ い て2条

件(1.19),(1.39)は

同 値 で あ る こ と を 示 せ.   6.距

離 空 間Xが

と で あ る.こ   7.距

コ ン パ ク ト で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はXが

離 空 間Xの

ば,AとBの

部 分 集 合Aは

コ ン パ ク ト,部

距 離 

ン パ ク トな 距 離 空 間Xは

  9.可

分 な 距 離 空 間Xの

 10.線

形 空 間Eの

の1次

結 合 の全 体Gと

閉 集 合 か つA∩B=φ

な ら

可 分 で あ る こ とを 示 せ.

部 分 距 離 空 間Yは

部 分 集 合Aか

可 分 で あ る こ とを 示 せ.

ら生 成 され る 線 形 部 分 空 間FはAの

任 意 有 限 個 の元

一 致 す る こ と を 示 せ.

の 線 形 空 間E,Fが

る こ とを 示 せ.

分 集 合Bは

は 正 で あ る こ と を 示 せ.

  8.コ

 11.2つ

点 列 コ ン パ ク トな こ

の こ と を 示 せ.

線 形 空 間 と して 同型 な らば,EとFの

代 数 的 次 元 は 一致 す

2.バ

  2.1 

ナ

ッ ハ 空

間

バ ナ ッハ 空 間

 定 義2.1 

係 数 体 Φ 上 の 線 形 空 間Eの

各 元xに

実 数‖x‖ が 対 応 し て,次 の

3条 件: は 同 値,

 (2.1)   (2.2)

(3角 不 等 式)

 (2.3) 

を 満 足 す る と き,‖x‖ をxの

ノ ル ム とい い,ノ ル ム の 与え られ た 線 形 空 間E

を ノ ル ム 空 間 とい う.   Φ が 実 数 体 あ る い は 複 素 数 体 で あ る に 従 い,Eを

そ れ ぞ れ 実 ノル ム空 間,複

素 ノル ム空 間 とい う.   ノル ム の 条 件 よ り次 の 不 等 式 が成 立 す る:  (2.4)

ノ ル ム 空 間Eの

任 意 の2点x,yに

対 して

d(x,y)=‖x−y‖ と お く と,d(x,y)は

距 離 の 条 件(1.33)∼(1.35)を

距 離 空 間 と な る.さ

満 た す こ と が 分 り,Eは

ら にd(x,y)は d(x+z,y+z)=d(x,y)

を 満 た し て い る.こ う.線

平 行 移 動 に 関 して 不 変 な 距 離 とい

形 空 間 に 距 離 を 入 れ る と き は こ の よ う な も の を 用 い る の が 普 通 で あ る.

  ノ ル ム 空 間Eに xと

の よ う な 距 離d(x,y)を

ε>0に

は 距 離 空 間 と し て の 位 相 的 な 諸 概 念 が 導 入 さ れ る.Eの

対 して

と お く と,{B(x,ε)￨ε>0},{B(x,ε)￨ε>0},{B(x,1/n)￨n=1,2,…}な い ず れ も 点xの   Eの

点

基 本 近 傍 系 で あ る.

点 列{xn}がx∈Eに

て 自然 数n0が

ど は,

定 まって

収 束 す る, 

と は,任

意 の ε>0に

対 し

と な る こ と,す な わ ち 

を 意 味 す る.Eの

ー 列 で あ る とは ,任 意 の ε>0に 対 し て 自然 数n0が

点 列{xn}が

コー シ

定 ま って

な らば と な る こ と,す な わ ち    Eの 部 分 集 合Aが

を 意 味 す る.

ノル ム に 関 し て 有 界 で あ る と き,す

なわ ち 定 数 α>0が

存

在 して  (2.5)

が 成 立 す る とき,Aは   補 題2.1 

単 に 有 界 で あ る と い う.

ノ ル ム空 間Eに

お いて

な らば

 (2.6)   (2.7) 

な らば

 (2.8) 

な らば

 証明 それぞれ

よ り得 ら れ る.こ   補 題2.2 

こ で 収 束 列{αn}の 有 界 性 を 用 い た. 

ノ ル ム 空 間Eの

  証 明   {xn}は

コ ー シ ー 列{xn}は

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,自

(証 終)

有 界 で あ る.

然 数n0が

定 ま って

な らば ゆ え にn≧n0な

らば

そ こ で,  2,…)が

と お け ば,  成 立 す る. 

  定 義2.2  あ る と き,Eを

ノル ム空 間Eが

(証 終)

距 離d(x,y)=‖x−y‖

に関 して完備 な距離 空 間 で

バ ナ ッハ 空 間 と い う.

  Φ が 実 数 体 あ る い は 複 素 数 体 で あ る に 従 い,Eを

そ れ ぞ れ 実 バ ナ ッハ 空 間,

複 素 バ ナ ッハ 空 間 と い う.   前 章 で 距 離 空 間 の 完 備 化 に つ い て 述 べ た.そ

こで ノル ム 空 間 は 完 備 化 す る と

ど う な る か.当   定 理2.3 

然,バ

ナ ッ ハ 空 間 に な る が,こ

ノ ル ム 空 間Eの

の こ と は 自 明 で は な い.

距 離d(x,y)=‖x−y‖

に よ る 完 備 化Eは

バナ ッ

ハ 空 間 で あ る.   証 明   定 理1.1の

証 明 に お い て 用 い た 概 念,記

で 示 し た よ うに,Eに

の と き{xn}∼{yn}と し,こ

お け る2つ

の コ ー シ ー 列{xn},{yn}に

定 義 し,同

す る.x,y∈Eに

こ

ついて

値 関 係 ∼ に よ っ てEの

れ ら 同 値 類 の 全 体 をEと

{yn}を

号 を そ の ま ま 援 用 す る.そ

コー シー列 全 体 を類 別

対 し,そ

れ ぞ れ の 代 表{xn},

選んで

に よ っ て 定 義 さ れ る 距 離dに

関 し てEは

完備 で あ

り,こ

のEがEの

完備 化

で あ る.   そ こ で 証 明 す べ き こ と は2つ こ の た めEに ∈Eに

一 はEが

線 形 空 間 を な す こ と で あ る.

お い て 加 法 と ス カ ラ ー 乗 法 を 次 の よ う に 定 義 す る.任

対 し,そ

列 を な す.な

あ る.第

の 代 表 を そ れ ぞ れ{xn},{yn}と

意 のx,y

す る と,{xn+yn}は

コーシ ー

ぜ な ら ば,

ま た,

よ り,{xn+yn}∼{xn'+yn'}が yの

得 ら れ る.従

っ て,{xn+yn}を

代 表 の 選 び 方 に よ らず 一 意 に 定 ま る か ら,加

類 と し て 定 義 さ れ る.同 {αxn}を

様 に,α

∈ Φ とx∈Eに

含 む 類 と し て 定 義 さ れ る.算

な す こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.こ な る コ ー シ ー 列{0,0,…}を

法x+yと

の と き,Eの

含 む 類0の

  証 明 す べ き こ と の 第 二 は 任 意 のx,y∈Eに

含 む 類 はxと

法x+yが{xn+yn}を 対 し,ス

カ ラー 乗 法

αxに 関 し,Eが 元0と

含む

はEの

αxが

線 形空 間 を 元0の

みか ら

こ と で あ る. 対 し

 (2.9) ‖x−y‖=d(x,y)

を 満 た す よ うな ノ ル ム‖ ‖がEに ∈Eに

対 し,そ の 代 表{xn}を

導 入 さ れ る こ と で あ るが,こ

選 んで

の た め に はx

と お く と,‖ ‖ っ てEは

が ノ ル ム で あ り,か

つ(2.9)を

満 た す こ と が 容 易 に 分 る.よ

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る. 

  ノ ル ム 空 間Eが

(証 終)

距 離d(x,y)=‖x−y‖

d(x,y)=‖x−y‖

に 関 し て 完 備 で あ る と か,Eの

に よ る 完 備 化 な ど と い う代 りに,単

完 備 で あ る と か,ノ

ル ム‖ ‖

バ ナ ッ ハ 空 間 の 例(数

  例1 

RNとCN.§1.3の

列 空 間)

例1でRNとCNはN次

こ でRNの

に関 して

に よ る 完 備 化 な ど と も い う.

  2.2 

を 述 べ た.そ

に ノ ル ム‖ ‖

距離

元 の線 形 空 間 であ るこ と

任 意 の 元x=(ξ1,ξ2,…,ξN)に

対 し

 (2.10)

と 定 義 す る と,‖x‖

は ノ ル ム の3条

り,x=(ξ1,ξ2,…,ξN), 

は,両

辺 を2乗

件 を 満 た す:は

y=(η1,η2,…,ηN)に

す る と,シ

じ め の2条

対 す る3角

ュ バ ル ツ(Schwarz)の

件 は 自明 で あ

不等式

不等 式

 (2.11)

に 帰 着 さ れ る こ と か ら 分 る.よ は 完 備,す

っ て,RNは

実 ノ ル ム 空 間 で あ る.さ

ら にRN

な わ ち 実 バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る こ と を 示 そ う.

 {xn}をRNの

とす る. 

コ ー シ ー 列 と し, 

につ い て

で あ る か ら, 

は 実 数 の コー シ ー 列 で あ る.実 が 存 在 す る. 

あ

り,

す な わ ち,  RNに

ノ ル ム(2.10),あ

に対す る距離

と な り, 

は 完 備 で あ る.

る い はRNの2点 

数 の 完 備 性 よ り  と お く と, 

で 

が 与 え られ て い る と き,RNをN次   CNに

元 ユ ー ク リ ッ ド(Euclid)空

つ い て も 同 様 で,CNの

元x=(ξ1,ξ2,…,ξN)に

間 と い う.

対す る ノル ム

 (2.12)

に 関 し,CNは

複 素 バ ナ ッ ハ 空 間 で あ り,こ

れ をN次

元 複 素 ユ ー ク り ッ ド空 間

と い う.   線 形 空 間 の 係 数 体 Φ は1次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 あ る い は1次

元 複素 ユー ク

リ ッ ド空 間 で あ る こ と に 注 意 し よ う.   例2 

(l∞).有

界 な 実 数 列(ま た は 複 素 数 列){ξk}の

で 表 す.(l∞)の2元x={ξk},y={ηk}と x+yと

α∈R(ま

全 体 か ら な る 集 合 を(l∞) た はC)に

ス カ ラ ー 乗 法 αxを 通 常 の よ う に(1.66),(1.67)に

(l∞)は 実(ま た は 複 素)線 形 空 間 を な す.こ (l∞)の 元x={ξk}に

対 し て,加

法

よ っ て 定 義 す る と,

の 場 合,元0は{0,0,…}で

あ る.

対 し

 (2.13)

と お く と,‖x‖

は ノ ル ム で あ る こ と が 容 易 に 分 る.さ

ム に 関 し て 完 備,す

ら に,(l∞)は

この ノル

な わ ち 実(ま た は 複 素)バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る こ と が 示 さ れ

る.   実 際,{xn}を(l∞)の

コ ー シ ー 列 と す る と,任

意 の ε>0に

対 し て 自 然n0

が 定 ま って

xn={ξ(n)k}k=1

,2,…と す る と,ノ

な らば

 (2.14) 

よ っ て,各kに か ら,  x={ξk}と

対 し て 

は 実 数(ま た は 複 素 数)の コ ー シ ー 列 で あ る

が 存 在 す る. お く.こ

の と き, 

ー シ ー 列 で あ る か ら,補

す なわち

ル ム の 定 義 か ら

題2.2よ

か つ  り,あ

る α>0に

,を 示 そ う.{xn}は

対 して

コ

各kご

と にn→

∞ とす る と

ゆ え にx={ξk}は

有 界 数 列 で あ る か ら,(l∞)に

nを

∞ と す る と,

固 定 し てm→

属 す る.ま

た(2.14)に

お い て

な らば それゆ え な らば

すなわ ち    例3 

よ っ て(l∞)は

(c0).0に

し,(c0)に

完 備 で あ る.

収 束 す る 実 数 列(ま た は 複 素 数 列){ξk}の

お け る 線 形 演 算 と ノ ル ムを 例2と

た は 複 素)バ ナッ ハ 空 間 で あ る.実 あ る か ら,(c0)の

際,(c0)は

全 体を(c0)で

同 様 に 定 義 す る と,(c0)は 完 備 な(l∞)の

完 備 性を い う に は,(c0)が(l∞)の

表 実(ま

線形 部 分空 間 で

閉 集 合 で あ る こ とを 示 せ

ば よ い. い ま(l∞)の

元x={ξk}を(c0)の

の 点 列{xn}が

存 在 す る.ゆ

集 積 点 と す る と, 

え に,任

意 の ε>0に

と な る(c0)

対 し 自 然 数n0が

定 ま って

な らば xn={ξ(n)k}k=1

,2,… と す

る と,

な らば {ξ(n0)k}は0に 収 束 す る 数 列 で あ る か ら,自 然 数k0が

存 在 して

k≧k0  な らば  ￨ξ(n0)k￨<ε. 従 っ てk≧k0な

らば

す なわち    例4 

(c).収

と な り,x∈(c0).よ

っ て(c0)は(l∞)の

束 す る実 数 列(ま た は 複 素 数 列){ξk}の

(c)に お け る 線 形 演 算 と ノル ムを 例2と

閉 集 合 で あ る.

全 体を(c)で

同 様 に 定 義 す る と,(c)は

表 し, 実(ま た は

複 素)バ ナッ ハ 空 間 で あ る(演 習 問 題2の1).   次 の 例 と し て,数

列 空 間(lp)(1≦p<∞)を

ヘ ル ダ ー(Holder)の

不 等 式 と ミン コ ウ ス キ ー(Minkowski)の

述 べ る.

扱 うが,そ

の 際,必

要 とな る

不 等 式 につ いて

  補 題2.4 

(ヘ ル ダ ー の 不 等 式)  1
す る.{ξk},

とす れ ば,

{ηk}は 共 に 実 数 列(ま た は 複 素 数 列)で, 

 (2.15)

こ こ で 等 号 が 成 立 す るの は,定数

α≧0が 存 在 し て また は

 (2.16) 

が 満 た さ れ る と き,か  

p=q=2の

つ こ の と き に 限 る.

と き(2.15)を

  証 明   t≧0に お い て,関

を 考 え る.tで

特 に シ ュ バ ル ツ の 不 等 式 と い う. 数

微 分 す る と,f′(t)=tp−1−1.p>1で

あ る か ら,f(t)はt=1の

つ こ の とき に 限 り最 小 値f(1)=1/p+1/q−1=0を ち とし を

と る.よ

と き,か

っ てt≧0でf(t)≧0,す

こ の 不 等 式 に 代 入 し て か ら,両

なわ

辺 に βqを か け

る と  (2.17)

が 得 ら れ る.明

ら か に(2.17)は

ま た 等 号 は αp=βqの

α,β の う ち,少

な く と も 一 方 が0の

と き も 成 立 す る.

と き に の み 成 立 す る. の う ち,少

 さ て, 

な く と も 一 方 が0の

と き は(2.15)は

す る こ とが 容 易 に 分 る か ら, 

と 仮 定 す る.(2.17)に

kに つ い て 

と お く と,

この 両 辺 のkに

と な っ て,求

等号 で成 立

関 す る和を とれ ば,

む る不 等 式を 得 る.こ

の場 合,等

号 は 明 らかに

の と きに 限 り成 立 す る.    補 題2.5 

おい て 各

(証 終)

(ミ ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式)  1≦p<∞

実 数 列(ま た は 複 素 数 列)で, 

と す る.{ξk},{ηk}は

共に

とす れ ば,

 (2.18) 証 明   p=1の

と き(2.18)の

成 立 は 明 ら か.1
と す る. 

の

と き は(2.18)の

成 立 は 明 ら か で あ る か ら, 

従 っ て,1/p+1/q=1と

な るqを

と す る.各kに

つい て

とる と

で あ るか ら,

の 右 辺 に お い て,{￨ξk+ηk￨p−1},{ξk}あ

る い は{ηk}に

対 し てヘルダ

ー の 不 等 式を 用 い

る と,

と な るか ら,結 局

 こ の 両 辺を 

で 割 れ ば,求

  例5 

(lp) (1≦p<∞). 

列){ξk}の

全 体を(lp)で

{ξk},{ηk}が(lp)の はC)に

(証 終)

とな る よ うな 実 数 列(ま た は 複 素 数 表 す.ミ

ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式 か ら 分 る よ う に,

元 な らば{ξk+ηk}も(lp)に

対 し て 

も 明 ら か.よ

の よ う に 定 義 す る と,(lp)は (lp)に

む る 不 等 式を 得 る. 

属 す る.ま

っ て(lp)に

た,α

∈R(ま

た

お け る 線 形 演 算を 通 常

実(ま た は 複 素)線 形 空 間 で あ る.各x={ξk}∈

対 して

 (2.19)

と お く と,‖x‖

は ノ ル ム で あ る こ と が 分 る.ノ

キ ー の 不 等 式 そ の も の で あ る.さ

ら に(lp)は

ル ム の3角

不 等 式 は ミン コ ウ ス

こ の ノ ル ム に 関 し て 完 備,す

な

わ ち 実(ま た は 複 素)バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る こ と が 示 さ れ る.   実 際,{xn}を(lp)の ε>0に

コ ー シ ー 列 と し, 

対 し て 自 然 数n0が

と す る と,任

意の

 (2.20) 

定 ま っ て,

な らば

で あ る か ら,

な らば よ っ て,各kに か ら,    x={ξk}と

は 実 数(ま た は 複 素 数)の コー シ ー 列 で あ る

つ い て 

が 存 在 す る. お き,x∈(lp)か

つ 

を 示 そ う.(2.20)よ

り,m,n≧n0

な らば 任 意 の 自然 数lに つ い て

こ こでnを

固 定 し てm→

lは 任 意 で あ る か ら,l→

∞ とす る と

∞ とす る と

な らば

 (2.21) 

 こ れ よ り,x−xn0∈(lp).ゆえにx=(x−xn0)+xn0∈(lp).再

n≧n0な

ら ば 

よ っ て 

 注 意   1≦p≦ ∞ に 対 し(lp)の  (2.22)  1≦p
 (2.23) 

び(2.21)よ

以 上 よ り,(lp)は

ノル ムを‖‖pで 表 す と き,次

な らば 

任 意 のx∈(l1)に

り,

完 備 で あ る.

の こ とが らが 成 立 す る:

か つ 任 意 のx∈(lp)に

対 して

対 して

 (2.24)  (2.25)

(演 習 問 題2の2).

  2.3 

バ ナ ッ ハ 空 間 の 例(関

  例1 

C[a,b].有

連 続 関 数x(t)の y=y(t)と

界 閉 区 間[a,b]で

定 義 さ れ た 実 数 値(ま

全 体 か ら な る 集 合をC[a,b]で

α∈R(ま

た はC)に

よ う に(1.68),(1.69)に 間を な す.こ

数 空 間)

対 し,加

の 各 元x=x(t)に

表 す.C[a,b]の2元x=x(t),

法x+yと

ス カ ラ ー 乗 法 αxを 通 常 の

よ っ て 定 義 す る と,C[a,b]は

の 場 合,元0は[a,b]で

た は 複 素 数 値)

実(ま た は 複 素)線 形 空

恒 等 的 に0と

対 し,￨x(t)￨は[a,b]で

な る 関 数 で あ る.C[a,b]

最 大 値を と る か ら,

 (2.26)

と お く と,‖x‖

は ノ ル ム で あ る こ と が 容 易 に 分 る.さ

ら にC[a,b]は

こ の ノル

ム に 関 し て 実(ま た は 複 素)バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.   実 際,完

備 性 は 次 の よ うに 示 さ れ る.C[a,b]の

と る と,任

意 の ε>0に

対 し て 自 然 数n0が な らば

定 まって

任 意 の コ ー シ ー 列{xn}を

ノ ル ム の定 義 か ら   (2.27) 

な らば

す な わ ち,[a,b]の

各 点tに

ー 列 と な るか ら,そ

つ い て{xn(t)}は

の極 限 が 存 在 す る. 

こ の と きx=x(t)がC[a,b]に (2.27)でnを

固 定 し てm→

 (2.28)  よ っ て,連

属 し,か

n≧n0 

連 続,す

コ ー シ と お く.

つ 

と な る こ とを 示 そ う.

∞ と す る と,

な ら ば  ￨x(t)−xn(t)￨≦

続 関 数 列{xn}は[a,b]でxに

xは[a,b]で

実 数(ま た は 複 素 数)の

ε  (a≦t≦b).

一 様 収 束 し て い る か ら,極

な わ ちx∈C[a,b]で

あ る.さ

ら に(2.28)よ

限 関数 り

な らば と な る か ら, 

ゆ え にC[a,b]は

  例2 Lp(a,b)(1≦p<∞).開 し,1≦p<∞ が,こ

区 間(a,b)は

と す る.Lp(a,b)は

れを ル ベ ー グ(Lebesgue)積

  開 区 間(a,b)で

完 備 で あ る.

数 列 空 間(lp)に

有 限 で も無 限 で も よい も の と 対応 す る 関数空 間 で あ る

分 の 言 葉 で 述 べ れ ば 次 の よ う に な る.

定 義 され た 実 数 値(ま た は 複 素 数 値)可 測 関 数x=x(t)で

ルベ ー グ積

分 の意 味で

を 満 た す よ う な も の の 全 体 をLp(a,b)と (a,b)上

ほ と ん ど 到 る 所x(t)=y(t)な

す る.Lp(a,b)の2元x=x(t),y=y(t)は, ら ば 同 一 の 元 と み な す も の と す る.Lp(a,b)は

通

常 の線形 演算 とノル ム

 (2.29)

に 関 し て,実(ま

た は 複 素)バ ナッ ハ 空 間 で あ る.

  さ て こ こ で は,ル て み よ う.そ

す.(a,b)で す.C(a,b)は

定 義 さ れ た 実 数 値(ま た は 複 素 数 値)関 数x=x(t)に の(a,b)に

お け る 閉 包をxの

対 し,

台 と呼 び,S(x)で

表

連 続 な 実 数 値(ま た は 複 素 数 値)関 数 の 全 体 の 集 合をC(a,b)で

表

通 常 の 線 形 演 算 に 関 し て 線 形 空 間を な す.C(a,b)の

そ の 台 が コ ン パ ク トで あ る よ うな 関 数 の 全 体をC0(a,b)で C(a,b)の

導入 し

の た め の 準 備を す る.

  開 区 間(a,b)で 集 合 

ベ ー グ 積 分を 仮 定 し な い 我 々 の 立 場 でLp(a,b)を

線 形 部 分 空 間を な す.こ

元 で あ り,

表 す.C0(a,b)は

の 場 合,元0は(a,b)でx(t)≡0と

な る関

数xで あ る.   C0(a,b)の

任 意 の 元x=x(t)に

対 し(a,b)上

の リ ー マ ン(Riemann)積

分

が 確 定 す る.   補 題2.6 

(ヘ ル ダ ー の 不 等 式)  1
の 任 意 の2元x=x(t),y=y(t)に

す る.C0(a,b)

対 して

 (2.30)

こ こで 等 号 が 成 立 す る の は,定 数 α≧0が

存 在 して  また は

 (2.31) が 満 た さ れ る と き,か   p=q=2の

と き(2.30)を

  証 明   補 題2.4と   補 題2.7 

つ こ の と き に 限 る. 特 に シ ュ バ ル ツ の 不 等 式 と い う.

同 様(演 習 問 題2の3).

(ミ ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式)1≦p<∞

2元x=x(t),y=y(t)に

とす る.C0(a,b)の

任意 の

対 して

 (2.32)

  証 明   補 題2.5と

さ て,1≦p<∞

同 様 で,ヘ ル ダ ー の 不 等 式 よ り 導 か れ る(演 習 問 題2の4).

と し,C0(a,b)の

任 意 の 元x=x(t)に

対 して

 (2.33)

と お く と,‖x‖pは り,(2.3)は

ノ ル ム の 条 件を 満 た す.実

際,(2.1),(2.2)は

ミ ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式 に 他 な ら な い.し

明 らか で あ

か る に,C0(a,b)は

の ノ ル ム に 関 し て 完 備 で は な い(演 習 問 題2の8).   そ こ でC0(a,b)の りLp(a,b)は   Lp(a,b)に

ノ ル ム‖‖pに

よ る 完 備 化をLp(a,b)で

表 す.定

理2.3よ

実(ま た は 複 素)バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る. 拡 張 さ れ た ノ ル ムをC0(a,b)の

C0(a,b)はLp(a,b)の   1
ノ ル ム‖‖pと

同 じ 記 号 で 表 す.

稠 密 な 線 形 部 分 空 間 で あ る. し,ヘ

ル ダ ー の 不 等 式をLp(a,b),Lq(a,b)の

こ

元 に 拡 張 し よ う.任 点 列{xn},{yn}が

意 のx∈Lp(a,b)と

任 意 のy∈Lq(a,b)に

対 しC0(a,b)の

存 在 して

にお い て にお い て 補 題2.1よ

り

 (2.34)

は 有 界 数 列 で あ る か ら,α>0が

よ っ て 

存在 して

  (2.35)

{xnyn}は,明

ら か にC0(a,b)の

で も あ る.実

際,補

こ こ で,{xn},{yn}は こ とを 用 い た.さ 存 在 す る.そ

点 列 で あ る が,L1(a,b)に

題2.6と(2.35)よ

り

そ れ ぞ れLp(a,b),Lq(a,b)に てL1(a,b)は

こ で,xとyの

お け る コー シ ー 列

お け る コー シー列 で あ る

完 備 で あ る か ら,コ

ー シ ー 列{xnyn}の

極限 が

積xyを

に おい て

  (2.36) 

に よ っ て 定 義 す る.積xyが{xn},{yn}の と は 容 易 に 分 る.(2.36)よ

選 び 方 に よ ら ず,一

意 に定 まる こ

り

 (2.37)

xnとynに

関 す るヘ ル ダ ー の 不 等 式

に お い てn→

∞

と す る と,(2.34),(2.37)よ

り

よ っ て 次 の 補 題を 得 る.   補 題2.8  のx∈Lp(a,b)と

(ヘ ル ダ ー の 不 等 式)  1
対 し てxy∈L1(a,b)か

す る と,任

意

つ

 (2.38)

 な お 念 の た め,Lp(a,b)の

元 に 対 す る ミ ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式を 掲 げ る が,

こ れ はLp(a,b)の   補 題2.9  の2元x,yに

ノ ル ム に 関 す る3角

不 等 式 に 他 な ら な い.

(ミ ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式)1≦p<∞

と す る.Lp(a,b)の

任意

対 し

 (2.39)

  有 界 閉 区 間[a,b]上

の 連 続 関 数 の 空 間C[a,b]を

=x(t)はx(a)=0,x(b)=0と C[a,b]の

考 え る.C0(a,b)の

お い て 関 数を[a,b]に

拡 張 す る こ と に よ り,

元 と 考 え る こ と が で き る か ら,C0(a,b)⊂C[a,b]と

  次 にC[a,b]⊂Lp(a,b)と

元x

み な し て よ い.

み な し 得 る こ とを 示 そ う.C[a,b]に(2.33)と

同

じ ノル ム  (2.40)

を 導 入 す る.C[a,b]の

と お い て,C0(a,b)の

任 意 の 元x=x(t)に

点 列{xn}を

す な わ ち,{xn}はC[a,b]に

考 え る. 

な るnに

つ いて

と お く と,

お い て ノ ル ム‖‖pに

は 同 じ ノ ル ム に 関 す る コ ー シ ー 列 で あ る.ゆ コ ー シ ー 列 で あ る.Lp(a,b)の

対 し,4/n
関 しxに

収 束 す る か ら,{xn}

え に{xn}はLp(a,b)に

完 備 性 よ り,Lp(a,b)に

お いて 極限

おいても

が 存 在 す る.容 易 に 分 る よ うに,xは‖‖pに び 方 に よ らず 一 意 に 確 定 す る.xにxを 2.1よ

りTはC[a,b]か

め られ る.さ

らLp(a,b)へ

ら ばx=0ゆ

お い て ノ ル ム‖‖pを

え,Tは1対1

考 え る 限 り,TはC[a,b]か

上 へ の ノ ル ムを 不 変 に す る1対1の

T(C[a,b])は

す る と,補 題

の 線 形 作 用 素 で あ る こ と が 容 易 に確 か

ノ ル ムを 不 変 に し,x=0な

っ てC[a,b]に

T(C[a,b])の

対 応 させ る 写 像をTと

選

らに

が 成 立 す る か ら,Tは で あ る.従

関 しxに 収 束 す る 点 列{xn}の

ら

線 形 作 用 素 ゆ え,C[a,b]と

ノ ル ム 空 間 と し て 同 じ 構 造を も つ と 考 え て よ い か ら,xとxを

同

一 視 し て,C[a,b]をLp(a,b)の

線 形 部 分 空 間 と み な し て よ い(ノ ル ム 空 間 と

し て の 同 型 性 に つ い て は §5.3で

あ らた め て 定 義 す る).

  例3 L∞(a,b).数

列 空 間(l∞)に

対 応 す る 関 数 空 間L∞(a,b)は

念 な しに 定 義 す る の は 面 倒 で あ る.ル (a,b)が

ル ベ ー グ可 測 性 の概

ベ ー グ可 測 性 を 仮 定 し な い 我 々 の 立 場 で は,特

有 界 開 区 間 の 場 合 にL∞(a,b)は

た とえ ば 次 の よ うに 定 義 され る.

が 存在 す る よ うな 

の 元xの

全 体をL∞(a,b)と

に 関 しバ ナ ッハ 空 間 で あ る(演 習 問 題2の5参

は ノ ル ム 

に

す る と,L∞(a,b)

照).

  この空 間は本 書 では用 い られ な いの で,詳 細 な説 明 と証 明を省 略す る.

  2.4 

可

分

  位 相 空 間Eが

性

可 分 で あ る と は,Eに

る こ と で あ った.特

に,Eが

られ る.す な わ ち,Eの ε>0に 対 して を   §2.2,2.3で

お い て稠 密 な可 算 部 分 集 合E0が

ノル ム空 間 の 場 合 に は,可

可 算 部 分 集 合E0が

分 性 は 次 の よ うに 述 べ

存 在 し て,任

満 た す よ うなx0∈E0が

存在 す

意 のx∈Eと

任意の

選 べ る こ とで あ る.

挙 げ た 具 体 的 な バ ナ ッハ 空 間 が 可 分 性を 有 す る か 否 かを 調 べ

よ う.   例1  RNは

可 分 で あ る.実

の 元 の 全 体をE0と

際,座

す る と,E0は

る 稠 密 性を 示 す た め,RNの

標 成 分 が す べ て 有 理 数 で あ る よ うなRN

明 らか に 可 算 集 合 で あ る.E0のRNに

任 意 の 元x=(ξ1,ξ2,…,ξN)と

る.有 理 数 全 体 の集 合 は 実 数 体Rで

任 意 の ε>0を 与 え

稠 密 ゆ え,有 理 数r1,r2,…,rNを

と な る よ う に 選 ぶ こ と が で き る.x0=(r1,r2,…,rN)はE0の

おけ

元 で あ り,

ゆ え にE0はRNで   同 様 にCNも

稠 密 で あ る. 可 分 で あ る.こ の 場 合 はE0と

数 で あ る よ うなCNの

して 座 標 成 分 が す べ て 有 理 複 素

元 の 全 体を とれ ば よ い.こ

こで,有

理 複 素 数 とは,実 部,

虚 部 と も に 有 理 数 で あ る よ うな 複 素 数を 意 味 す る も の とす る.   例2 

(c0)は 可 分 で あ る.実

らば,rkを

際,(c0)が

実 数 列(ま た は 複 素 数 列)の 場 合 な

有 理 数(ま た は 有 理 複 素 数)と し,{r1,r2,…,rk,0,0,…}の

の 全 体をE0と

す る と,E0は(c0)に

お け る稠 密 性を 示 す た め,(c0)の で あ るか ら,自 然 数k0が

形 の数 列

含 ま れ る可 算 集 合 で あ る.E0の(c0)に 任 意 の 元x={ξk}と

任 意 の ε>0を 与 え る. 

存在 して

ならば 次 に,r1,r2,…rk0−1を

を 満 た す よ う に 選 び,E0の

元x0={r1,r2,…,rk0−1,0,0,…}を

考 え る と,

が 得 られ る.   例3 

(c)は 可 分 で あ る(演 習 問 題2の9).

  例4 

(lp)(1≦p<∞)は

可 分 で あ る.実

も のを と る と,E0は(lp)に

して(c0)の

場 合 と同 じ

含 まれ る可 算 集 合 で あ る.E0の(lp)に

おけ る

稠 密 性を 示 す た め,(lp)の

任 意 の 元x={ξk}と

と な る よ う なk0を

に

と り,次

を 満 た す よ う にx0={r1,r2,…,rk0−1,0,0,…}を

が 得 られ る.   例5 

(l∞)は 可 分 で な い(演 習 問 題2の10).

際,E0と

任 意 の ε>0を 与え る.ま ず

定 め る と,x0∈E0か

つ

  例6 

C[a,b]は

可 分 で あ る.実

数 の 場 合 な ら ば,有 をE0と

す る.各

⊂C[a,b]と

際,C[a,b]が

実 数 値(ま た は 複 素 数 値)関

理 数(ま た は 有 理 複 素 数)を 係 数 と す る 多 項 式p(t)の

多 項 式p(t)の[a,b]に

し て よ い.明

お け る 制 限 を 考え る こ と に よ り,E0

ら か に,E0は

け る 稠 密 性 を 示 す た め,良

全体

可 算 集 合 で あ る.E0のC[a,b]に

お

く 知 ら れ た 次 の 定 理 を 用 い る.

  ワ イ エ ル シ ュ トラ ス(Weierstrass)の

多 項 式 近 似 定 理   有 界 閉 区 間[a,b]上

の 連 続 関 数 は 多 項 式 に よ り[a,b]に

お い て 一 様 に 近 似 さ れ る(高 木[11]pp.

284∼286).   こ れ よ り,C[a,b]の =p(t)が

任 意 の 元x=x(t)と

任意 の

ε>0に

対 して

多 項 式p

存 在 して

p(t)=α0tn+α1tn−1+…+αnと

し,仮

り に￨a￨≦￨b￨と

す る.有

理 数(ま

た は 有

理 複 素 数)r0,r1,…,rnを

と な る よ う に 選 び,p0(t)=r0tn+r1tn−1+…+rnを a≦t≦bの

えに

よ っ て,E0はC[a,b]で

稠 密 で あ る.

Lp(a,b)(1≦p<∞)は

可 分 で あ る.こ

場 合 に こ の こ と を 示 す.E0を

例6と

部 分 集 合 で あ る.E0のLp(a,b)に の 元xと C0(a,b)の

y(a)=0,  6よ

あ り,

と き

で あ る か ら,‖p−p0‖<ε.ゆ

  例7 

考 え る と,p0∈E0で

任 意 の ε>0を 元y=y(t)が

y(b)=0と

りp0∈E0が

こ で は 開 区 間(a,b)が

有界の

同 じ も の と す る と,E0はLp(a,b)の

可算

お け る 稠 密 性 を 示 す た め,Lp(a,b)の

任意

与 え る.C0(a,b)のLp(a,b)に

お け る 稠 密 性 よ り,

存 在 して

お い てyを[a,b]に 存在 して

拡 張 す る と,y∈C[a,b]で

あ る.例

ゆえに

で あ る か ら,

よ っ て,E0はLp(a,b)で   (a,b)が

稠 密 で あ る.

無 限 区 間 の 場 合 も,Lp(a,b)の

可 分 性 は 容 易 に 示 さ れ る.

演 習 問 題2  1. 

(c)は

に 関 しバ ナ ッハ 空 間 で あ る こ と を

ノ ル ム 

示 せ.   2. 

(2.22)∼(2.25)を

証 明 せ よ.

  3.  補 題2.6(関

数 に 対 す る ヘ ル ダ ー の 不 等 式)を

証 明 せ よ.

  4.  補 題2.7(関

数 に 対 す る ミ ン コ ウ ス キ ー の 不 等 式)を

証 明 せ よ.

  5.  開 区 間(a,b)は

有 界 と す る.C0(a,b)の

元x=x(t)のLp(a,b)(1≦p<∞)に

お け る ノ ル ム を‖x‖pで

表 し, 

と お く と き,次

の こ とが らが 成 立 す る

こ と を 示 せ.  1)  1≦p
な ら ば 任 意 のx∈C0(a,b)に

  2)  任 意 のx∈C0(a,b)に

 6.  無 限 区 間(− ∞,∞)で

対 し

対 し

定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 

が 存 在 す る よ うな も の の 全 体C[−

∞,∞]は

に 関 し バ ナ ッハ

ノル ム 

空 間 で あ る こ とを 示 せ.   7.  有 界 閉 区 間[a,b]でl回 ノ ル ム  =xと

連 続 微 分 可 能 な 実 数 値 関 数x=x(t)の

全 体Cl[a,b]は

に 関 し て バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る こ と を 示 せ.た

だ しx(0)

す る.

 8.  開 区 間(a,b)は

(1≦p<∞)に

有 限 ま た は 無 限 と す る.C0(a,b)は

ノ ル ム 

関 し て 完 備 で な い こ とを 示 せ.

  9.  (c)は 可 分 で あ る こ とを 示 せ.  10.  (l∞)は 可 分 で な い こ と を 示 せ.  11.  ノル ム空 間Eの せ.

線 形 部 分 空 間Fが 

な ら ば,Fは

内 点 を もた な い こ と を 示

3.  バ ナ ッハ 空 間 の 線 形 作 用 素

  3.1 

有界線 形作 用素

  E,Fを

共 に 係 数 体 Φ 上 の 線 形 空 間 とす る.TがEか

あ る と は,任 意 のx,y∈Eと

任 意 の 

らFへ

の線形 作 用 素で

に対 して

 (3.1)

が 成 立 す る こ と で あ っ た.   E,Fを

ノ ル ム 空 間 と す る.Eか

え よ う.§1.1の

の 線 形 作 用 素Tの

連 続 性 の 定 義(1.19)か

続 で あ る と は,Tx0の てx0の

らFへ

連 続 性 につ いて 考

ら 分 る よ う に,TがEの

点x0で

任 意 の 近 傍 

連

に対 し

近 傍 

が 定 ま って

 (3.2)

と な る こ と,い い か え れ ば,任

意 の ε>0に 対 し て δ>0が 存 在 して な らば

 (3.3) 

と な る こ とを 意 味 す る.ま た,TがEで

連 続 で あ る とは,TがEの

各点 で連

続 な こ とで あ る.   Eか

らFへ

の線 形 作 用 素Tが

有 界 で あ る とは,あ

る定 数 α>0が

在 存 して

 (3.4)

が 成 立 す る こ とで あ る.   上 述 の 議 論 で,Eに

お け る ノ ル ム とFに

お け る ノル ム を 同 じ記 号‖‖ で 表

した が,今 後 も混 乱 の お そ れ の な い 限 り,同 一 の 記 号 を 用 い る こ とに す る.   定 理3.1  E,Fを

ノル ム 空 間 とす る.Eか

らFへ

の 線 形 作 用 素Tに

次 の5条 件 は 同 値 で あ る:   (3.5)  TはEの

原 点0で

連 続 で あ る,

  (3.6)  TはEで

連 続 で あ る,

  (3.7)  AがEの

有 界 集 合 な らばT(A)はFの

  (3.8)  Tは 有 界 で あ る,  (3.9)  Eの 点 列{xn}が 

な らば

有 界 集 合 で あ る,

対 し て,

  証 明   (3.5)⇒(3.6) 

TがEの

原 点0で 連 続 な らば,任

意 の ε>0に 対 して

δ>0が 定 ま っ て

な らば ゆ え に,任

意 のx0∈Eに

と な っ て,Tはx0で   (3.6)⇒(3.7) 

対 し‖x−x0‖<δ

連 続.x0はEの TがEで

な ら ば,

任 意 の 点 ゆ え,TはEで

連 続 な ら ば,点0に

連 続 で あ る.

お け る 連 続 性 か ら,δ>0が

定

ま って

な らば

 (3.10)

AがEの

有 界 集 合 な らば,α>0が

よ っ て,x∈Aな

存 在 して

ら ば,‖ δx/α‖≦ δで あ る か ら,(3.10)よ

す な わ ち‖Tx‖ ≦ α/δと な っ て,T(A)はFの   (3.7)⇒(3.8) 

(3.7)を

り‖T(δx/α)‖ ≦1,

有 界 集 合 で あ る.

仮 定 す る と,α>0が

定 ま って

ならば Eの

任 意 の 元 

≦ α,す

に 対 し,x/‖x‖

等 し い か ら,‖T(x/‖x‖)‖

なわ ち

こ の 不 等 式 はx=0の   (3.8)⇒(3.9) 

Eの

の ノ ル ム は1に

と き も 成 立 す る. Tが 有 界 な ら ば,あ

点 列{xn}が 

る α>0に

対 して

な らば

よ り, 

  (3.9)⇒(3.5) 

Tが 点0で

不 連 続 とす る と,ε>0が

存 在 し て 各 自然 数nに

対し かつ と な るxn∈E(n=1,2,…)が で あ る が,点

列{Txn}は0に

存 在 す る.こ

の 点 列{xn}に

収 束 し な い か ら,(3.9)は

対 し て は  成 立 し な い.(証

終)

  E,Fを

ノル ム空 間 と し,TをEか

等 式(3.4)を

らFへ

の 有 界 線 形 作 用 素 とす る と き,不

成 立 させ る よ うな 正 数 α の 集 合 の 下 限 をTの

ノ ル ム とい い,

‖T‖で 表 す.   実 際,‖T‖ が 有 界 線 形 作 用 素 の 作 る線 形 空 間 に お け る ノル ムで あ る こ とが, の ち に 分 る.   定 理3.2  E,Fを し て,次

ノル ム 空 間 とす る.Eか

らFへ

の 有 界 線 形 作 用 素Tに

対

の こ とが らが 成 立 す る.

 (3.11)

 (3.12)

 証 明   条 件(3.4)と

次 の条 件

 (3.13)

が 同 値 で あ る こ とか ら, 

よ り  (3.11)が   E,Fを

と(3.12)が

成 立 す る.  らFへ

ス カ ラ ー 乗 法  (T+S)x=Tx+Sx 

(x∈E)

  (3.15) 

(αT)x=α(Tx) 

(x∈E)

に よ り定 義 す る と,T+S,αTはEか

らFへ

ノ ル ム 空 間 と し,Eか

お よ びL(E,F)が お け る 元0と

の 線 形 作 用 素 とす る.こ

らFへ

の 線 形 作 用 素 で あ る こ と が 分 る.

の 有 界 線 形 作 用 素 の 全 体 をL(E,F)で

元 な ら ば,T+S, 

αTもL(E,F)の

線 形 空 間 を な す こ と は 容 易 に 分 る.こ は, Tx=0 

と な る 作 用 素Tの

の と き,

を

  (3.14) 

表 す.T,SがL(E,F)の

た

(証 終)

線 形 空 間 と し,T,SをEか

加 法T+Sと

  E,Fを

得 られ る.ま

こ と で あ り,こ

  さ ら に,‖T‖

はL(E,F)に

  (3.16) ‖T‖

≧0, ‖T‖=0とT=0は

(x∈E)

れ を 零 作 用 素 と い う.

お け る ノ ル ム で あ る: 同 値,

元 で あ る こ と, の 場 合,L(E,F)に

 (3.17)  (3.18)

これ ら は,た

とえ ば 

を 用 い て 容 易 に 示 され る.

  か く し て,L(E,F)は   定 理3.3 

Eを

ノ ル ム 空 間 を な す こ と が 分 っ た.

ノ ル ム 空 間 と し,Fを

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る と,L(E,F)は

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.   証 明   {Tn}をL(E,F)に て,あ

るn0が

お け る コ ー シ ー 列 と す る と,任

意 の ε>0に

対 し

定 まって

な らば 従 っ て 

よ り,

な らば

 (3.19) 

ゆえ に 各x∈Eに

つ い て{Tnx}はFに

あ る か ら,{Tnx}はFに

素Tを

らFへ

完備で

に よ り作 用

お い て 収 束 す る. 

定 義 す る と,TがEか

性 と補 題2.1よ

お け る コ ー シ ー 列 で あ る.Fは

の 線 形 作 用 素 で あ る こ とが,Tnの

線形

り容 易 に示 さ れ る.一 方

で あ る か ら,{‖Tn‖}は

実 数 の コ ー シ ー 列 と な り,収

と

束 す る. 

お く.

に お い てn→

ゆ え にTは

∞ とす る と,

有 界,す

な わ ちT∈L(E,F)と

な る.(3.19)でnを

固 定 しm→

∞

と す る と,

な らば よ っ て,

な らば こ れ はL(E,F)に

備,す

お い て 

で あ る こ とを 示 す か ら,L(E,F)は

な わ ち バ ナ ッハ 空 間 で あ る. 

  E,F,Gを

線 形 空 間 と し,TをEか

素 とす る とき,積STを

完

(証終) らFへ

の,SをFか

らGへ

の 線形 作用

(ST)x=S(Tx)  に よ り定 義 す る と,STはEか   定 理3.4 

E,F,Gが

らGへ

(x∈E) の 線 形 作 用 素 で あ る.

ノ ル ム 空 間 の と き,T∈L(E,F), 

ば,ST∈L(E,G)か

S∈L(F,G)な

ら

つ

 (3.20)

 証明 よ り,STの   Eを

有 界 性 と(3.20)を

得 る. 

ノ ル ム 空 間 と し,L(E,E)を

(証 終)

考 え る.作

Ix=x  に よ り定 義 す る と,明   T∈L(E,E)に

用 素Iを

(x∈E)

ら か にI∈L(E,E).IをEに

お け る 恒 等 作 用 素 と い う.

対 し て,Tn(n=0,1,2,…)を T0=I, 

に よ り定 義 す る と,定

理3.4よ

Tn=TTn−1 

(n=1,2,…)

りTn∈L(E,E)で

あ り,

 (3.21)

が 成 立 す る.   これ ま で は,線 形 空 間E全

体 で 定 義 され た 線 形 作 用 素 に つ い て 考 察 した が,

以 後 は 必 ず し も空 間 全 体 で 定 義 され て い る の で は な い 作 用 素 を 扱 う.   E,Fを

線 形 空 間 と し,DをEの

線 形 部 分 空 間 とす る.TがDか

線 形 作 用 素 で あ る とき,DをTの x∈D}をTの

定 義 域 とい い,D(T)で

値 域 とい い,R(T)で

らFへ

表 し,集

の

合{Tx￨

表 す.

  §1.3で 述 べ た こ とか ら 分 る よ うに,R(T)はFの

線 形 部 分 空 間 で あ り,ま

た 次 の 補 題 も 明 ら か で あ る.   補 題3.5  E,Fを 素 とす る.Tの

線 形 空 間 と し,TをD(T)⊂E, 

R(T)⊂Fな

る線 形 作 用

逆 作 用 素T−1が 存 在 す る た め の必 要 十 分 条 件 は

  (3.22) 

x∈D(T)に

とな る こ とで あ る.こ

対 し  Tx=0 

な らば   x=0

の とき,T−1は

D(T−1)=R(T)⊂F, 

R(T−1)=D(T)⊂E

な る 線 形 作 用 素 で あ る.   定 理3.6  E,Fを 素TがR(T)で

ノル ム 空 間 とす る.D(T)⊂E, 

R(T)⊂Fな

る 線 形作 用

定 義 され た 有 界 な 逆 作 用 素T−1を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 は,

 (3.23)

を 満 た す 定 数 α>0が  証 明   R(T)で

存 在 す る こ とで あ る.

有 界 なT−1が 存 在 す れ ば,定 義 か ら

 (3.24)

を 満 た す β>0が に(3.23)が

存 在 す る.T−1y=x, 

1/β=α

成 立 す る と き は,Tx=0な

T−1が 存 在 し,Tx=y, 

1/α=β

と お け ば,(3.23)を

ら ばx=0で

と お く と,(3.24)が

得 る.逆

あ る か ら,補

題3.5よ

得 ら れ る か ら,T−1は

界 で あ る.  ノ ル ム 空 間 と し,Eの

=x1+x2+…+xnと

元xnか

お き ,snを 

がEで

収 束 す る と き,級

数 

の 和 と い い, 

れ ば,逆

有

(証 終)

 一般 に ,Eを

  定 理3.7 

り

Eを

ら な る 級 数 

の 第n部

数 

はEで

を 考 え る.sn

分 和 と い う.部

分 和 の 列{sn}

収 束 す る と い い,{sn}の

極 限sを

級

と か く.

バ ナ ッハ 空 間 と す る.T∈L(E,E)が‖I−T‖<1を

作 用 素T−1がL(E,E)の

満 足す

元 として存在 し

 (3.25) と 表 さ れ る.(3.25)の

右 辺を

 証明 

ノ イ マ ン(C.

と お く と,m>nに

‖I−T‖<1ゆ

え

,m,n→

収 束 す る: 

よ り,L(E,E)で 

い う.

っ て{Sn}はL(E,E)に

完 備 で あ る か ら,{Sn}はL(E,E)の S=T−1を

示 そ う.ま

ゆ え にTS=Iを

ず,

得 る.同

様 にST=Iが

得 ら れ る か ら,

あ る. 

  例1  RNに

あ

また

よ り, 

S=T−1で

数と

対 して

∞ の と き 上 式 の 右 辺 →0.よ

お け る コ ー シ ー 列 で あ る.L(E,E)は

る 元Sに

Neumann)級

お け る線 形 作 用 素 に つ い て 考 え る.ま ず,(tij)を

(証終) 実 数 か らな

るN次

正 方 行 列 とす る.RNの

各 元 

に よ っ て 定 ま るy=(η1,η2,…,ηN)を

に

対 応 さ せ て, y=Tx

と お く と,写

像TはRNか

の 線 形 作 用 素Tが

らRNへ

の 線 形 作 用 素 で あ る.逆

与 え ら れ た と き,RNの

にRNか

らRNへ

単 位 ベ ク トルej(j=1,2,…,N)に

対 して Tej=(t1j,t2j,…,tNj)  と お く と,行

列(tij)に

(j=1,2,…,N)

よ っ て 上 の 意 味 で 決 定 さ れ る 線 形 作 用 素 がT自

あ る こ と も 容 易 に 分 る.こ

の 意 味 で,線

形 作 用 素Tと

行 列(tij)を

身で

同一 視 し

て T=(tij) と か い て よ い.こ は(tij)が RNか

の と き,Tの

逆 作 用 素T−1が

正 則 行 列 な る こ と で あ る.ま

らRNへ

  T=(tij)に

存 在 す るた め の 必 要 十 分 条 件

た,T−1は(tij)の

逆行 列 に対 応す る

の 線 形 作 用 素 で あ る. 対 し,す

べ て の 

に つ い て シ ュバ ル ツの 不 等 式

よ り

を 得 る.よ

っ て,RNか

  以 上 の こ と はCNの 素Tと

らRNへ

の 線 形 作 用 素Tは

場 合 も 同 様 で あ る.す

複 素 数 か らな るN次

す べ て 有 界 で あ る.

な わ ちCNか

正 方 行 列 とが1対1に

らCNへ

の線形 作 用

対 応 し,両 者 は 同 一 視 さ れ

る.ま た こ の 場 合 も線 形 作 用 素 は す べ て 有 界 で あ る.  例2 

{αk}を 有 界 な 実 数 列(ま た は 複 素 数 列)と し, 

(ま た は 複 素)(l2)の

に よ っ てy={ηk}を る.xに

こ のyを

各 元x={ξk}に

決 め る と,{αk}の 対応 させ て

と お く.実

対 し

有 界 性 か ら,y={ηk}は(l2)に

属す

y=Tx と お く と,写 像Tは(l2)か

ら(l2)へ

の 線 形 作 用 素 で あ る.す なわ ち,Tは

無 限 次 の対 角行 列

に 対 応 す る 線 形 作 用 素 で あ る.さ

が 成 立 す る か ら,Tは

ら に,(l2)の

有 界 で あ る.実

た, 

の と き,Tの

各 元x={ξk}に

は‖T‖=α

対 し

とな る(演 習 問 題3の3).ま

逆 作 用 素T−1が

存 在 す る.T−1は{αk−1}

に 対 応 す る も の で あ る.   例3 

有 界 閉 区 間[a,b]上

の 実 数 値 連 続 関 数 の空 間C[a,b]の

各 元x=x(t)

に対 し

に よ っ て 作 用 素Tを

定 義 す る と,積

へ の 線 形 作 用 素 で あ る.さ

が 成 立 す る か ら,Tは み よ).ま

た,Tx=0な

C[a,b]の

各 元xの

か ら,T−1はR(T)の R(T)か

  3.2 

らC[a,b]の

分 の 線 形 性 か らTはC[a,b]か

ら に,C[a,b]の

有 界 で あ る.実 ら ばx=0で

各 元x=x(t)に

は‖T‖=b−aで あ る か ら,Tの

連 続 性 よ り,Txは 各 元y=y(t)に

らC[a,b]

つ いて

あ る(x(t)≡1と

おい て

逆 作 用 素T−1が

存 在 す る.

微 分 可 能 か つ(Tx)′(t)=x(t)で

ある

そ の 導 関 数y′=y′(t)を

対 応 さ せ る,

上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る.

一 様 有 界 性 の 定 理

  本 節 で 述 べ る 一 連 の 定 理 は,距 く か か わ る 基 本 的 な も の で あ る.

離 空 間 に お け る ベ ー ル の 定 理(定 理1.2)に

深

  定 理3.8 

(一 様 有 界 性 の 定 理)  Eを バ ナ ッハ 空 間 と し,Fを

す る.L(E,F)の

部 分 集 合Mが

各x∈Eに

ノル ム空 間 と

つ いて

 (3.26)

を 満 た す な らば,   (3.27) が 成 立 す る.   注 意   一 般 に‖Tx‖ ≦‖T‖‖x‖で あ る か ら,(3.27)⇒(3.26)は

明 らか で あ る が,こ

の

逆 が 成 立 す る こ とを 定 理 は 主 張 し て い る の で あ る.   証 明   自 然 数nに

対 して

と お く と,

と 表 さ れ,各T∈Mの

連 続 性 か ら, 

Enも

定(3.26)よ

閉 集 合 で あ る.仮

あ る か ら,ベ 1つ,た

内 点x0を

={x∈E￨‖x−x0‖
り 

ー ル の 定 理(定 理1.2)よ

と え ばEn0は

べ て のT∈Mに

はEの で あ る.Eは

り,En(n=1,2,…)の

も つ.す

な わ ち,あ

ま,‖x‖
閉 集 合 ゆ え, バ ナ ッハ 空 間 で

うち の 少 な く と も るr>0に

対 し てB(x0,r)

らばx0±x∈B(x0,r)⊂En0で ≦n0,よ

って

す な わ ち,   (3.28) が 成 立 す る.Eの あ る か ら,(3.28)よ

任 意 の 元 

につ い て,rx/2‖x‖

り‖T(rx/2‖x‖)‖

≦n0,す

の ノ ル ム はr/2(
なわ ち

そ れ ゆ え, (証 終)

 注 意  Eが

完 備 で な い ノル ム 空 間 の と き は,上 の 定 理 は一 般 に は 成 立 しな い(演 習 問 題

3の4).  定 理3.9 

Eを

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,Fを

る 作 用 素 の 列{Tn}に

対 し,各x∈Eに

ノ ル ム 空 間 と す る.L(E,F)に

属す

が 存 在 す る な らば,

つ い て 

{‖Tn‖}は 有 界 数 列 で,  (3.29)

に よ っ て 定 義 され る 作 用 素TはL(E,F)に

属 し,

 (3.30)

が 成 立 す る.   証 明   仮 定 に よ り,各x∈Eに 3.8よ

り{‖Tn‖}は

つ い て{‖Tnx‖}は

有 界 数 列 で あ る.Tnの

さ れ るTの

線 形 性 が 得 ら れ る.ま

よ っ てTは

有 界 で,(3.30)を

  定 理3.10   

E,Fを

x∈E0に

線 形 性 か ら(3.29)に

た,各x∈E)に

対 し

(証 終)

(バ ナ ッ ハ ・シ ュ タ イ ン ハ ウ ス(Banach-Steinhaus)の

に つ い て 

定 理)

お い て 稠 密 な 部 分 集 合 と す る.{Tn}

属 す る作 用 素 の 列 で,各x∈Eに

つ い て 

理

よ って定義

得 る. 

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,E0をEに

はL(E,F)に

有 界 で あ る か ら,定

つ い て 

が 存 在 す る も の とす る.こ

か つ各

の と き,す

べ て のx∈E

が 存 在 し,

に よ っ て 定 義 さ れ る作 用 素TはL(E,F)に

属 し,

が 成 立 す る.   証 明   定 理3.8よ

を 固 定 す る.E0はEで

{Tny}は

収 束 列,従

り 

ま た α>0と

して よい.任 意にx∈E

稠 密 で あ るか ら,任 意 の ε>0に 対 しy∈E0が

っ て コ ー シ ー 列 で あ る か ら,n0が

な らば

定 ま って

存 在 して

以 上 よ り,m,n≧n0な

らば

ゆ え に{Tnx}はFに

存 在 す る.そ

  3.3    2つ

お け る コ ー シ ー 列 で あ り,Fの

閉

こ で 定 理3.9を

作

が

完 備 性 よ り, 

適 用 す れ ば よ い. 

(証終)

用 素

の 線 形 空 間E,Fに

対 し,直

積 集合

E×F={{x,y}￨x∈E,y∈F} は線 形 演算 を   (3.31) 

{x1,y1}+{x2,y2}={x1+x2,y1+y2},

  (3.32) 

α{x,y}={αx,αy}(α

∈ Φ)

に よ っ て 定 義 す る こ と に よ り,線

形 空 間 で あ る.こ

の 場 合,元0は{0,0}で

あ る.   E,Fが

ノル ム空 間 の と き は

  (3.33) 

‖{x,y}‖=‖x‖+‖y‖

に よ っ て ノ ル ム‖{x,y}‖ とFの

が 導 入 さ れ,E×Fは

直 積 ノ ル ム 空 間 と い う.特

ナ ッ ハ 空 間 で あ る.こ   補 題3.11 

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と す る.{xn},{yn}を

  2)  {xn},{yn}が

かつFに お い て 

そ れ ぞ れE,Fの

点列

お い て 

であるための必要十 と な る こ と で あ る.

そ れ ぞ れE,Fに

条 件 は,{{xn,yn}}がE×Fに   証 明   1)  は

バ

す る.

お い て 

分 条 件 は,E×Fに

バ ナ ッ ハ 空 間 な ら ば,E×Fも

れ をE

の こ と は 次 の 補 題 か ら 容 易 に 分 る.

と し,x∈E,y∈Fと

 1)  Eに

にE,Fが

ノ ル ム 空 間 に な る.こ

お け る コ ー シ ー 列 で あ る た め の必 要 十 分

お け る コ ー シ ー 列 と な る こ と で あ る.

よ り 明 ら か.2)も   E,Fを

同 様. 

(証 終)

線 形 空 間 と し,TをD(T)⊂E,R(T)⊂Fな

こ の と き,線

形 空 間E×Fの

る 線 形 作 用 素 と す る.

部分 集 合

G(T)={{x,Tx}x∈D(T)} をTの

ゲ ラ フ と い う.

  Φ の2数

α1,α2とG(T)の2元{x1,Tx1},{x2,Tx2}に

32)とTの

線形 性 よ り

で あ る か ら,G(T)はE×Fの   定 義3.1  E,Fを 素Tの

直 積 ノル ム 空 間E×Fの

間)で あ る と き,Tを

る線形 作 用

閉 集 合(従 っ て 閉 線 形 部 分 空

閉 線 形 作 用 素 また は 単 に 閉 作 用 素 とい う.

E,Fを

用 素 とす る.こ

線 形 部 分 空 間 で あ る.

ノル ム空 間 とす る.D(T)⊂E,R(T)⊂Fな

グ ラ フG(T)が

  定 理3.12 

対 し て(3.31),(3.

ノル ム空 間 と し,TをD(T)⊂E,R(T)⊂Fな

の ときTが

D(T)の

閉 作 用 素 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

点 列{xn}に

 (3.34)

る線形 作

対 して

か つ 

な らばx∈D(T)かつTx=y

が 成 立 す る こ とで あ る.   証 明   Tは な ら ば,補

閉 作 用 素 と す る.D(T)の 題3.11よ

列 で あ り,G(T)は =Txと

り  閉 集 合 ゆ え,{x,y}∈G(T),す

仮 定 す る.{x,y}をG(T)の

と な るG(T)の

Tx=yで

な わ ちx∈D(T)か

点 つy

集 積 点 とす る と, 

点 列{{xn,Txn}}を

り, 

選 ぶ こ と が で き る.再

が 成 立 す る.仮

あ る か ら,{x,y}∈G(T)と

  定 理3.13 

E,Fを

らFへ

  証 明   D(T)の

な り,G(T)は

閉 集 合 な ら ば,Tは

の 有 界 線 形 作 用 素 な ら ば,Tは 点 列{xn}が 

び 補題

定 か ら,x∈D(T)か

つ

閉 集 合 で あ る.  (証 終)

ノ ル ム 空 間 とす る.TがD(T)⊂E,R(T)⊂Fな

線 形 作 用 素 で,D(T)がEの がEか

はG(T)の

な る.

  逆 に(3.34)を

3.11よ

点 列{xn}が 

る有界

閉 作 用 素 で あ る.特

に,T

閉 作 用 素 で あ る. と す る.D(T)が

閉

集 合 な ら ばx∈D(T).ま よ っ て 定 理3.12よ

たTの りTは

  定 理3.14  E,Fを 形 作 用 素 で,Tの

連 続 性 よ り, 

閉 作 用 素 で あ る. 

(証 終)

ノル ム 空 間 とす る.TがD(T)⊂E,R(T)⊂Fな

逆 作 用 素T−1が 存 在 す れ ば,T−1も

る閉線

閉 線 形 作 用 素 で あ る.

  証 明  T−1はD(T−1)=R(T)⊂F,R(T−1)=D(T)⊂Eな

る線形 作 用 素で

あ る. 

は,T−1y=xと

よ り,  Tx}の

と も表 され るが,後 順 序 を 逆 に してF×Eの

者 はG(T)を

中 で 表 現 し た もの に 他 な ら な い.従

空 間 の ノル ム の 導 入 の 仕 方 か ら,G(T)がE×Fの F×Eの

お くこ とに 対{x, っ て 直積

閉 集 合 な らば,G(T−1)も

閉 集 合 で あ る. 

(証終)

  次 に 閉 作 用 素 の 例 を 挙 げ よ う.

 例1 

{αk}を 

x={ξk}に

対 し

な る 実 数 列(ま た は 複 素 数 列)と す る.(l2)の

と お き,y={ηk}が(l2)に D(T)に

こ のyを

属 す る よ うなx={ξk}の

全 体 をD(T)と

元

し,x∈

対応 させ て y=Tx

と お く と,写 はTは

像TはD(T)⊂(l2),R(T)⊂(l2)な

る 線 形 作 用 素 で あ る が,実

有 界 で な い 閉 作 用 素 で あ る こ と が 示 さ れ る.ま

に 対 し‖en‖=1.一

方,en∈D(T)か

ゆ え,‖Ten‖=￨αn￨→

 次 にD(T)の

∞(n→

つ

∞).こ

れ はTが

有 界 で な い こ と を 示 し て い る.

か つ 

点 列{xn}が 

と仮 定 す る.こ

で, xn=(ξ(n)k},x={ξk},y={ηk}と

よ り 

また 

ず,

す

る. 

従 って

より

こ

よ っ て 上 の2式

よ り

これ はx={ξk}∈D(T)か   例2 

つTx=yを

有 界 閉 区 間[a,b]上

す る と,DはC[a,b]の

そ の 導 関 数x′ を 対 応 させ,Tx=x′

D(T)か

微 分 可 能 か つx′(t)=y(t)で

お け る 最 大 値 はxn(b)=1で

この こ とはTが

示 し て い る.次 にD(T)の

点 列{xn}が 

∞ と す る と,[a,b]上

 

E,Fを

得 ら れ ,Tは

あ る

有 界 で な い こ とを

でxn(t)→x(t)か

と す る.

つ 一 様 にxn′(t)→y(t)

で あ る か ら,

=yが

数列

方

で あ る か ら, 

yの 連 続 性 か らxは

線形 で

あ る か ら,x∈

上 へ の 作 用 素 で あ る.関

つxnの[a,b]に

か ら,‖xn‖=1(n=1,2,…).一

に お い てn→

分 演 算 の 線 形 性 か らTは

な わ ちTはC[a,b]の

を 考 え る と,xn∈D(T)か

定義 す る

対し

連 続 性 か らxは

つTx=y,す

線 形 部 分 空 間 で あ る.

る 閉 線 形 作 用 素 で あ り,有

界 で は な い.以 下 この こ とを 示 す.ま ず,微

と お く と き,yの

元 で1回 連

に よ っ て 作 用 素Tを

と,TはD(T)=D⊂C[a,b],R(T)=C[a,b]な

あ る.任 意 のy∈C[a,b]に

閉 作 用 素 で あ る.

の 実 数 値 連 続 関 数 の 空 間C[a,b]の

続 微 分 可 能 な も の の 全 体 をDと 各x∈Dに

示 して い る か ら,Tは

微 分 可 能 か つx′(t)=y(t),す

な わ ちx∈D(T)かつTx

閉 作 用 素 で あ る.

線 形 空 間 と す る.T,Sを

そ れ ぞ れD(T),D(S)⊂E,R(T),R(S)

⊂Fな

る 線 形 作 用 素 と す る.T,Sの

G(T)⊂G(S)の

と き,す

成 立 す る と き,SはTの   E,Fが

そ れ ぞ れ の グ ラ フG(T),G(S)に

な わ ち,D(T)⊂D(S)か 拡 張,ま

たTはSの

つTx=Sx(x∈D(T))が 制 限 と い い,T⊂Sで

ノ ル ム 空 間 の と き,D(T)⊂E,R(T)⊂Fな

フG(T)のE×Fに

お け る 閉 包G(T)を

SはTの え

,こ

等 し い と き,Tは

表 す.

る 線 形 作 用 素Tの

グ ラ

考 え る と,G(T)はE×Fの

部 分 空 間 で あ る.G(T)がD(S)⊂E,R(S)⊂Fな ラ フG(S)に

ついて

閉線形

る あ る 線 形 作 用 素Sの

閉 拡 張 可 能 で あ る と い う.こ

の と き,明

らか に

拡 張 に な っ て い る 閉 線 形 作 用 素 の うち の 最 小 の も の で あ る.そ のSをTの

  定 理3.15 

グ

れゆ

最 小 閉 拡 張 と い う. E,Fを

E,R(T)⊂Fな

線 形 空 間 とす る.E×Fの

る あ る 線 形 作 用 素Tの

線 形 部 分 空 間Gが,D(T)⊂

グ ラ フG(T)に

等 しい た め の 必 要 十 分

条件 は   (3.35) 

{0,y}∈Gな

ら ばy=0

が 成 立 す る こ と で あ る.   証 明   G=G(T)の 成 立 す る.逆

と き,{0,y}∈Gな

に(3.35)を

{x,y2}∈Gと

な っ て(3.35)が

仮 定 す る.

D={x∈E￨{x,y}∈Gと と お く と,x∈Dに

ら ばy=T0=0と

な るy∈Fが

対 し て{x,y}∈Gと

す る と,Gは

な るyは

存 在 す る}

一 意 に 決 ま る.実

際,{x,y1},

線 形 空 間 で あ る か ら,

{0,y1−y2}={x,y1}−{x,y2}∈G と な り,(3.35)よ 用 素 をTと

りy1=y2.x∈Dに

す る と,D(T)=D,G(T)=Gと

に し て 示 さ れ る.α1,α2∈ Φ,x1,x2∈D(T)に Gで

対 し て,こ

の よ うなyを

な る.Tの

対 応 させ る作

線 形 性 は次 の よ う

対 し て{x1,Tx1},{x2,Tx2}∈

あ るか ら

従 っ て α1x1+α2x2∈D(T)か

つT(α1x1+α2x2)=α1Tx1+α2Tx2. (証 終)

  定 理3.16  E,Fを 素Tが

ノ ル ム空 間 とす る.D(T)⊂E,R(T)⊂Fな

閉拡 張 可能 であ るため の必要 十 分条 件 は

る線 形 作 用

D(T)の

点 列{xn}に

 (3.36)

対 して

か つ 

な らばy=0

が 成 立 す る こ とで あ る.   証 明   Tが D(T)の

閉 拡 張 可 能 な らばG(T)は

点 列{xn}が 

あ る か ら,定

かつ 

理3.15よ

りy=0と

仮 定 す る.{0,y}∈G(T)と の 点 列{xn}が

あ る 線 形 作 用 素 の グ ラ フ に 等 しい. な ら ば,{0,y}∈G(T)で

な っ て,(3.36)が

す る と, 

選 べ る か ら,仮

成 立 す る.逆 かつ 

定 よ りy=0.再

に(3.36)を と な るD(T)

び 定 理3.15よ

りG(T)は

線 形 作 用 素 の グ ラ フ で あ る. 

(証 終)

  閉 拡 張 可 能 な 線 形 作 用 素 の 例 は 第9章

  3.4 

開 写 像 定 理

に お い て 与 え ら れ る(定 理9.5).

・閉 グ ラ フ 定 理

  本 節 で 解 説 す る 表 題 の2つ の と み な さ れ る.こ

の 定 理 は,逆

写 像 を考 えれ ば 同一 の 内容 を表 す も

れ ら は バ ナ ッ ハ 空 間 論 の 応 用 上 極 め て 重 要 な 定 理 で あ り,

そ の 証 明 の 核 心 は ベ ー ル の 定 理(定 理1.2)に   ま ず,開

あ る

基 づ く も の で あ る.

写 像 定 理 を 述 べ る に 際 し 必 要 と な る こ と が ら を 準 備 す る.

  線 形 空 間Eの

部 分 集 合A,Bと

α∈ Φ に 対 し て,集

合A+Bと

αAを

次の よ

う に 定 義 す る.   (3.37) 

A+B={x+y￨x∈A,y∈B},

  (3.38) 

αA={αx￨x∈A}.

特 に,集

合{x}+Aをx+Aと

  補 題3.17 

Eが

か く.

  (3.39) 

A+B⊂A+B,

  (3.40) 

x+A=x+A,

  (3.41) 

αA=αA.

ノル ム空 間 の と き

た だ し,AはAの

閉 包 を 表 す.

  証 明   (3.39)の

証 明.A+Bの

Aの

点 列{xn}とBの

点 列{yn}が

任 意 の 元x+y(x∈A,y∈B)に 存 在 し て 

対 し て, ゆえ に

 と な っ て,x+y∈A+B.   (3.40),(3.41)の

証 明 も 容 易 で あ る. 

(証 終)

  注 意   (3.39)に

お い てA,Bの

うち 少 な く と も一 方 が コン パ ク トな らば,包

含関係 は

等 号 で 成 立 す る(演 習 問 題3の8).   ノ ル ム 空 間Eの

点x0を

中 心 と しr>0を

半 径 と す る 開 球 をBE(x0,r)と

か

く.

が 成 立 す る.   補 題3.18 

Eを

R(T)⊂Fな Fに

バ ナッ ハ 空 間,Fを

ノ ル ム 空 間 と す る.TをD(T)⊂E,

る 閉 線 形 作 用 素 と す る.も

し,BE(0,r)∩D(T)のTに

お け る 閉 包T(BE(0,r)∩D(T))がFの

実 はT(BE(0,r)∩D(T))自

よる像 の

あ る 開 球BF(0,ρ)を

身 がBF(0,ρ)を

含 む な ら ば,

含 ん で い る.

  証 明  仮 定 か ら  (3.42)

で あ る.こ

の と き,

任 意 のy∈Fと

任 意 の ε>0に 対 して かつ

 (3.43)

を 満 た す よ うなx∈D(T)が 実 際,y=0な

ら ばx=0と

属 す る か ら,(3.42)よ x0∈BE(0,r)∩D(T)が

と れ ば よ い. 

存 在 す る. な ら ば 元(ρ/‖y‖)yはBF(0,ρ)に

り(ρ/‖y‖)yはT(BE(0,r)∩D(T))に

属 す.ゆ

え に,

存 在 して

すなわち

x=(‖y‖/ρ)x0と

お く と,‖x0‖
り ρ‖x‖
っ て(3.43)が

示 さ れ た.   任 意 にy1∈BF(0,ρ)を

と る.‖y1‖<ρ

で あ る か ら,

 (3.44)

を 満 た す 正 数 列{εn}が

選 べ る.(3.43)よ

り,y1と

ε1>0に

対 し てx1∈D(T)

が存在 して かつ 次 に,y1−Tx1と

ε2>0に

対 し てx2∈D(T)が

存 在 して

かつ こ の 操 作 を 続 け る と,次

の 条 件 を 満 た すD(T)の

点 列{xn}が

存 在 す る こと

と お い てD(T)の

点 列{Sn}を

考 え る.m<

に な る.

 (3.45)

い ま,  nの

と き(3.45)よ

り

で あ る か ら,{Sn}はEに

お け る コ ー シ ー 列 で あ る.Eの

完備 性 よ り

 (3.46)

が 存 在 す る. 

ゆ

に 対 し,(3.44),(3.45)よ

え にx∈BE(0,r).ま

た 

り

で あ る か ら,(3.45)よ

り

 (3.47)

Tは

閉 作 用 素 で あ る か ら,(3.46),(3.47)よ

わ ちy1∈T(BE(0,r)∩D(T))と

りx∈D(T)か

つTx=y1.す

な る か ら,BF(0,ρ)⊂T(BE(0,r)∩D(T))で

あ る. 

(証 終)

  定 理3.19 

(開 写 像 定 理)E,Fを

R(T)=Fな 開 集 合Uに

な

る 閉 線 形 作 用 素 な ら ばTは 対 し て,U∩D(T)のTに

バ ナッ ハ 空 間 とす る.TがD(T)⊂E, 開 写 像 で あ る:す

な わ ち,Eの

よ る 像T(U∩D(T))はFの

任意 の 開集 合 で

あ る.   証 明   まず

任 意 の ε>0に 対 し て δ>0が 定 ま っ て  (3.48)

が 成 立 す る こ と を 示 す.仮

定 か ら,F=T(D(T))で

あ り, 

と

表 せ る か ら,

Fは

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る か ら,ベ

ー ル の 定 理 よ り,T(BE(0,n)∩D(T))(n=

1,2,…)の

うち の 少 な く と も1つT(BE(0,n0)∩D(T))は

な わ ち,あ

る ρ>0に

内 点y0を

も つ.す

対 して

こ こ で 簡 単 の た め,T(BE(0,n0)∩D(T))=Aと

お く と,容

易 に 分 る よ うに

A=−A,A+A=T(BE(0,2n0)∩D(T)) が 成 立 す る か ら,補

よ っ て 補 題3.18よ

さ ら に ε>0に

題3.17を

り

対 して

と な っ て,(3.48)が   次 に,UをEの と を 示 す.任

示 さ れ た. 任 意 の 開 集 合 と し,T(U∩D(T))がFの

意 のy∈T(U∩D(T))に

存 在 す る.xはUの り,δ>0が

用いて

内 点 ゆえ,あ

対 し,y=Txと る ε>0に

開 集合 で あ る こ な るx∈U∩D(T)が

対 し てBE(x,ε)⊂U.(3.48)よ

定 ま って

よ って

ゆ え にyはT(U∩D(T))の

内 点 で あ る.従 っ てT(U∩D(T))はFの

合 で あ る.      系1 

E,Fを

開集 (証終)

バ ナ ッハ空 間 とす る.TがEか

らFの

上 へ の1対1の

有界 線

形 作 用 素 な らば,Tの

逆 作 用 素T−1はFか

る.こ の と き,α>0と

β>0が

らEの

上へ の有界 線形 作用 素 で あ

存在 して

 (3.49)

  証 明   T−1がFか よ りTは

らEの

上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る こ とは 明 らか.定 理3.13

閉 作 用 素 で あ り,定 理3.19よ

意 の 開 集 合UのT−1に ら,T−1は

りTは

開 写 像 で あ る.ゆ え にEの

よ る逆 像(T−1)−1(U)=T(U)はFの

連 続,す

任

開 集 合 で あ るか

な わ ち 有 界 で あ る.不 等 式(3.49)は

定 理3.6に

よ る. (証終)

  線 形 空 間Eに2つ

の ノル ム‖‖1,‖‖2が 与 え られ て い て,あ

る α>0に

対 し

て

が 成 立 す る と き,‖‖1は‖‖2よ ‖‖1と‖‖2の と い う.ま

り 強 い,ま

た,α>0と

β>0が

られ る 位 相 τ1と‖‖2か 線 形 空 間Eが2つ

間 で あ り,‖‖1と‖‖2が   証 明  ‖‖1が‖‖2よ れ ぞ れE1,E2で

表 す.こ

  例1 

  例2 

同 値 で あ る と い う.こ

の ノ ル ム‖‖1,‖‖2の

例1(p.

比 較 可 能 で あ る な ら ば,‖‖1と‖‖2は

の と きEに

§3.3の

45)に

入 れ た も の を,そ バ ナ ッ ハ 空 間E1

有 界 線 形 作 用 素 で も あ る か ら,こ

例2(p.

り,線

はE,Fが

な ら ばTはD(T)

ら定 義 さ れ る 有 界 なT−1が 46)に

の作

(証 終)

お い て, 

開 写 像 で あ る.し

か

存 在 す る.

お い て,TはD(T)⊂C[a,b],R(T)=C[a,b]

な る 閉 線 形 作 用 素 で あ る か ら,Tは

た が,実

同 値 で あ る.

お け る 恒 等 作 用 素Iは

る 閉 線 形 作 用 素 と な る か ら,Tは

の と き{αk−1}か

ら定 め

お の お の に 関 し て バ ナ ッハ空

適 用 す れ ば よ い. 

§3.3の

  定 理3.13よ

の こ と は‖‖1か

ら 定 め ら れ る 位 相 τ2が 一 致 す る こ と を 意 味 す る.

上 へ の1対1の

⊂(l2),R(T)=(l2)な も,こ

比 較可能 であ る

存在 して

り強 い と 仮 定 し,Eに‖‖1,‖‖2を

か ら バ ナ ッ ハ 空 間E2の 用 素 に 系1を

り弱 い と い う.

うち の 一 方 が 他 方 よ り強 い と き,‖‖1と‖‖2は

が 成 立 す る と き,‖‖1と‖‖2は

  系2 

た は‖‖2は‖‖1よ

開 写 像 で あ る.

形 作 用 素 の 閉 性 は有 界 性 の 拡 張 概 念 で あ る こ とが わ か っ バ ナ ッ ハ 空 間 の と き に は,こ

の 逆 が 成 立 す る.こ

の ことを

示 す の が,次

の 閉 グ ラ フ 定 理 で あ り,こ

  定 理3.20  R(T)⊂Fな

(閉 グ ラ フ 定 理)E,Fを

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.TがD(T)=E,

る 閉 線 形 作 用 素 な ら ばTは

  証 明   E,Fはバ

で あ る.い

有 界 で あ る.

ナッ ハ 空 間 で あ る か ら,E×Fも

グ ラ フG(T)はE×Fの

際,S1が

={0,0}で

({x,Tx}∈G(T)) らEの

ら,S1は

有 界 で あ る.従

らG(T)の

っ て,定

ら ばTx=0,{x,Tx}

り,S1の

に 作 用 素S2を

({x,Tx}∈G(T)) らFへ

の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.よ

と し て 存 在 す る よ うな も の の 全 体 をMと は(L(E,E)の §3.1の

習

問

題3

らFへ

元Tで,そ

39)に

  4.  実 数 列{ξk}で,あ

の 逆 作 用 素T−1がL(E,E)の

す る と,MはL(E,E)の

ノ ル ム の 意 味 で)Mで

例2(p.

の 有 界 線 形 作 用 素 と す る.{xn}がEの

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 示 せ.

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,L(E,E)の

: 

っ て

(証 終)

ノ ル ム 空 間 と し,TをEか

コ ー シ ー 列 な ら ば{Txn}はFの

で あ るか

逆 作 用 素S1−1は

有 界 で あ る. 

  1.  E,Fを

  1) 

系1よ

上 へ の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.次

演

に(l2)の

有 界 線形 作 用素 で

ら に‖x‖ ≦‖{x,Tx}‖

理3.19の

に よ っ て 定 義 す る と,S2はG(T)か

  3. 

たx=0な

あ る.さ

S2{x,Tx}=Tx 

T=S2S1−1は

上 へ の1対1の

線 形 な こ と は す ぐ分 る.ま

あ る か ら,S1は1対1で

  2.  Eを

バ ナ ッハ 空 間

ま 作 用 素S1を

に よ っ て 定 義 す る と,S1はG(T)か あ る.実

バ ナ ッハ 空 間 で あ る.Tの

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る か ら,G(T)も

S1{x,Tx}=x 

Eか

れ は 開 写 像 定 理 か ら導 か れ る.

お い て 

元

開 集 合 で あ り,写

像

連 続 で あ る こ と を 示 せ. を 示 せ.

る 番 号 か ら 先 の ξk=0と

な る よ う な も の の 全 体 をEと

し,E

ノ ル ム を 導 入 す る. ノ ル ム 空 間Eは

  2)  Eの {Tn}に   (ⅰ) 

完 備 で な い こ と を 示 せ.

元x={ξk}に

対 しTnx=nξn(n=1,2,…)に

よ っ て 定 義 され る作 用 素 の 列

つ い て 次 の こ と を 示 せ. Tn(n=1,2,…)はE上

  (ⅱ)  各x∈Eに

の 有 界 線 形 汎 関 数 で あ る,

つ いて

  (ⅲ)   5.  E,Fを

ノル ム空 間 と し,SはEか

らFへ

の 有 界 線 形 作 用 素 と し,TはD(T)⊂

E,R(T)⊂Fな

る閉 線 形 作 用 素 とす る.

  1)  D(T+S)=D(T)で

定 義 さ れ るT+SはD(T+S)⊂F,R(T+S)⊂Fな

る閉線

形 作 用 素 で あ る こ とを 示 せ.   2)  D(TS)={x∈E￨Sx∈D(T)}で

定 義 さ れ るTSはD(TS)⊂E,R(TS)⊂Eな

閉 線 形 作 用 素 で あ る こ とを 示 せ.た

だ しE=Fと

る

す る.

  6.  Eは バ ナ ッハ 空 間 で そ の ノル ム を‖‖ とす る.TはD(T)⊂E,R(T)⊂Eな 線 形 作 用 素 とす る.D(T)の

元xに

対 し 

る閉

とお い てD(T)に

ノル ム

 を 導 入 す る.   1)  D(T)は 

に 関 しバ ナ ッハ 空 間 で あ る こ とを 示 せ.

  2)  TはD(T)か

らEへ

  7.  Eは

ノ ル ム空 間,Fは

作 用 素 か つD(T)で

の有 界 線 形 作 用 素 で あ る こ とを 示 せ. バ ナ ッハ 空 間 と し,TはD(T)⊂E,R(T)⊂Fな

有 界 と し,D(T)はEで

る閉線形

稠 密 とす る.こ の と きD(T)=Eで

あるこ

と を 示 せ.   8.  ノル ム 空 間Eの 部 分 集 合A,Bの =A+Bが 成 立 す る こ と を 示 せ.

うち 少 な く と も一 方 が コ ンパ ク トな らば,A+B

  9.  ノル ム空 間Eの

うち,一 方 が コ ンパ ク ト,他 方 が 閉 集 合 な らば,

A+Bは

部 分 集 合A,Bの

閉 集 合 で あ る こ とを 示 せ.

 10.  (不動 点 定 理)Eは ち,0<α<1な

らEへ

の縮 小 作 用 素:す

なわ

る αが存在 して

が 成 立 す る もの とす る(Tの (Tx0=x0)を

バ ナ ッハ 空 間 と し,TはEか

線 形 性 は 要 求 しな い).こ

もつ こ とを 示 せ.

の と き,Tは

た だ1つ

の 不 動 点x0

4.  局所 凸線 形 位 相 空 間   こ の 章 で は先 に 述 べ た ノル ム空 間,バ

ナッ ハ空 間 よ り も一般 的 な 空 間 で あ る

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 を 扱 う.こ の 空 間 は 応 用 上 も重 要 な もの で あ る が,本 書 で は,こ の よ うな 空 間 を 深 く考 察 す る こ とが 目的 で は な い の で,初 等 的 な 部 分 の 解 説 に と どめ る.こ の 理 論 は ノル ム 空 間 の 弱 位 相 を 説 明 す るた め に も必 要 で あ る.

  4.1 

線形 位相 空間

  Eを 係 数 体 Φ上 の 線 形 空 間 と し,Mを   (4.1)  x∈M,￨α￨≦1な が 成 立 す る と き,Mは  (4.2) 

x,y∈M,α,β

が 成 立 す る とき,Mは

らば

そ の 部 分 集 合 とす る.

αx∈M

円 形 集 合 で あ る とい う. ≧0,α+β=1な

らば

αx+βy∈M

凸 集 合 で あ る とい う.Mは,円

形 か つ 凸 で あ る と き,

円 形 凸 集 合 とい う.   Mが

円形 凸集 合 で あ るた めの必 要十 分 条件 は

  (4.3) x,y∈M,￨α￨+￨β￨≦1な

らば

αx+βy∈M

が 成 立 す る こ と で あ る(演 習 問 題4の1).こ

の た め,円 形 凸 集 合 を 絶 対 凸 集 合

と呼 ぶ こ と もあ る.   (4.4)  任 意 のx∈Eに が 成 立 す る と き,Mは

対 し α>0が

存 在 してx∈ αM

吸 収 的 で あ る とい う.

  定 義 か ら明 らか な よ うに,Mが

円 形,あ

る い は 吸 収 的 な ら ば,Mは

元0を

含 む.  注 意  E=R2の

場 合,た とえば1つ の座 標軸上 の区 間[−1,1]の よ うに原 点で2等 分 さ

れ る線分 は 円形 集合 で あ る.こ の よ うに Φが 実数体 の ときは"円形"と い う語は あ ま り適 当 でな いか も しれ ないが,Φ が実数体 の ときも複素数 体 の とき も統一 的 に 扱 い得 るよ う に上 の定義 を採 用 した.   補 題4.1 

{Mλ}λ∈Λ を 線 形 空 間Eの

 (4.5)  各Mλ

が 円形 集 合 な らば 

 (4.6)  各Mλ が 凸 集 合 な らば 

部 分 集 合 の 族 とす る. は 円 形 集 合 で あ る. は 凸 集 合 で あ る.

  (4.7)  各Mλ

が 円形 凸 集 合 な らば 

は 円 形 凸 集 合 で あ る.

  証 明 は 容 易 な の で 読 者 に ゆ だ ね る.   線 形 空 間Eの

部 分 集 合Mに

形 凸 集 合 を そ れ ぞ れMの の 円 形 包,凸

包,円

対 し て,Mを

円 形 包,凸

含 む 最 小 の 円 形 集 合,凸 集 合,円

包,円

形 凸 包 とい う.補 題4.1よ

形 凸 包 は そ れ ぞ れMを

り,M

含 む す べ て の 円 形 集 合,凸 集 合,

円 形 凸 集 合 の 共 通 部 分 に 等 しい こ とが 分 る.   補 題4.2 

Mを

  (4.8)  Mの

線 形 空 間Eの

部 分 集 合 とす る.

円 形 包 は 集 合{αx￨￨α￨≦1,x∈M}と

 (4.9)  Mの

凸 包 は 集 合 

一 致 す る.

自 然 数n, 

と一 致 す る.

 (4.10)  Mの

円 形 凸 包 は 集 合 

自 然 数n, 

と一 致 す る.

  (4.11)  Mの

円 形 凸 包 はMの

円 形 包 の 凸 包 と一 致 す る.

  証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る(演 習 問 題4の2).   注 意  Mの

円形 凸包 は必 ず しもMの 凸包 の円形 包 とは一 致 しな い(演習 問題4の3).

  補 題4.3 

Mを

線 形 空 間Eの

部 分 集 合 とす る.

  (4.12)  Mが

円 形 集 合 な らば,0<α<β

に 対 し て αM⊂ βM.

  (4.13)  Mが

凸 集 合 な らば,α,β>0に

対 し て(α+β)M=αM+βM.

  証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る.   E,Fを

位 相 空 問 と し,x∈E,y∈Fの

で 表 す.EとFの

近 傍 系 を そ れ ぞ れVE(x),VF(y)

直 積 集 合E×F={{x,y}￨x∈E,y∈F}に

お い て,集

合族

{V×W￨V∈VE(x),W∈VF(y)} を 点{x,y}の

基 本 近 傍 系 とす る よ うな位 相 が 導 入 され る.こ

相 をEとFの

直 積 位 相 とい い,E×Fを

  定 義4.1 

Eが

の と き,こ の 位

直 積 位 相 空 間 と い う.

Φ 上 の 線 形 空 間 か つ 位 相 空 間 で あ り,次 の2つ

の写 像:

  (4.14)   (4.15) が 連 続 で あ る と き,Eの   以 後,本 き,写

位 相 を 線 形 位 相 とい い,Eを

節 で は 線 形 位 相 空 間Eの

像(4.14)が

線 形 位 相 空 間 と い う.

各 点xの 近 傍 系 をV(x)で

連 続 で あ る とは,任 意 のU∈V(x+y)に

表 す.こ 対 しV∈V(x)

のと

とW∈V(y)が

存 在 して V+W⊂U

が 成 立 す る こ とで あ り,写 像(4.15)が に 対 し δ>0とV∈V(x)が

連 続 で あ る と は,任 意 のU∈V(αx)

存 在 して な らば

βV⊂U

が 成 立 す る こ と を 意 味 す る.   写 像(4.14),(4.15)は

一 方 の 元 を 固 定 し た と き,他

な る こ と は 明 ら か で あ る.す

は 連 続 で あ り,ま

な わ ち,固

方 の 元 に 関 して 連 続 と

定 し たx0∈Eに

た 固 定 し た α0∈Φ,x0∈Eに

対 し て,2つ

対 し て,2つ

の 写 像:

の 写 像:

は 連 続 で あ る.   こ の こ と か ら,直 ち に 次 の 補 題 とそ の 系 が 得 られ る.   補 題4.4 

Eを 線 形 位 相 空 間 とす る.

  (4.16)  Eの 各 点x0に

対 して 写 像(x0だ け の 平 行 移 動):

は 同 相 写 像 で あ る.  (4.17)  Φ の 各 元 

に 対 し て 写 像(α0倍 の 相 似 変 換):

  は 同 相 写 像 で あ る.   系   Eを 線 形 位 相 空 間 とす る.   (4.18)  Eの 各 点xに

つ い てV(x)は

集 合 族{x+V￨V∈V(0)}と

一致す

る.

  (4.19) V(0)は 

倍 の 相 似 変 換 に 関 し て 不 変 で あ る:す

V∈V(0)な

らば α0V∈V(0).

  従 っ て 線 形 位 相 空 間 に お い て は,V(0)が V(x)はV(0)の

な わ ち,

元 をxだ

決 定 され れ ば,点 

に対 す る

け 平 行 移 動 す る こ と に よ っ て 得 られ る の で,V(0)

の 決 定,特   補 題4.5 

に 原 点0の

基 本 近 傍 系V*(0)の

線 形 位 相 空 間Eに

決 定 が 問 題 と な る.

お い て は,任

意 のV∈V(0)に

対 して

お け る 連 続 性 か ら,任

意 のV∈V(0)に

W+W⊂V を 満 た すW∈V(0)が

存 在 す る.

  証 明   写 像(4.14)の

点{0,0}に

対 し てW1,W2∈V(0)が ∈V(0)か   補 題4.6 

存 在 し てW1+W2⊂V. 

W=W1∩W2と

お く とW

つW+W⊂V. 

(証終)

線 形 位 相 空 間Eに

お い て は,す

べ て のV∈V(0)は

吸収 的 であ

る.   証 明   x∈Eを ら,任

固 定 す る.写

意 のV∈V(0)に

像: 

の α=0に

対 し て δ>0が

定 ま っ て,￨α￨≦

お け る連 続 性 か

δな ら ば αx∈V.特

x∈(1/δ)V.    定 理4.7  傍 系V*を

に

(証 終) 線 形 位 相 空 間Eは

次 の3条

件 を 満 足 す る よ う な 原 点0の

基 本近

も つ:

  (4.20) 

す べ て のV∈V*は

  (4.21) 

任 意 のV∈V*に

円 形 か つ 吸 収 的 で あ る, 対 し てW+W⊂Vを

満 た すW∈V*が

存在 す

る,   (4.22) 

な らば

  逆 に,線

形 空 間Eの

部 分 集 合 の 族V*が(4.20)∼(4.22)お

  (4.23) 

任 意 のU,V∈V*に

対 し てW⊂U∩Vを

よび 満 た すW∈V*が

存在す

る, を 満 た す もの とす る.こ の と き,V*をEの 位 相 がEに

原 点0の

基 本 近 傍 系 とす る 線 形

導 入 され る.

  証 明  Eが 線 形 位 相 空 間 な らば,写 ら,任 意 のU∈V(0)に

像(4.15)の

対 し て δ>0とV∈V(0)が

点{0,0}に

おけ る連 続性 か

存在 して

な らば とお く と δV⊂W⊂U が 成 立 し,δV∈V(0)で で,V(0)に

あ る か ら,W∈V(0).ま

属 す る 円 形 集 合 の 全 体 をV*と

たWは す る と,V*は0の

円形 で あ る.そ

こ

基 本近 傍 系 で

あ る が,こ

れ が 求 む る も の で あ る こ と を 示 す.ま

よ り 明 ら か.(4.21)は

補 題4.5よ

ず,(4.20)の

後 半 は 補 題4.6

り容 易.(4.22)は 

倍 の相似 変換 に

よ っ て 円 形 性 が 不 変 な こ と か ら い え る.   逆 に,線

形 空 間Eの

各x∈Eに

対 応 す る 集 合 族{x+V￨V∈V*}がxの

件(1.6)∼(1.8)を は0を

部 分 集 合 の 族V*が(4.20)∼(4.23)を

基 本 近 傍 系 とな るべ き 条

満 た す こ と を 確 か め る.ま

含 む か ら,(1.6)が

満 た す と す る.

ず,(4.20)よ

成 立 す る.(4.23)よ

り(1.7)が

成 立 は 次 の よ う に し て 分 る.任 意 にx+V(V∈V*)を V*が

存 在 し てW+W⊂V.任

り,す べ て のV∈V* 成 立 す る.(1.8)の

与 え る.(4.21)よ

意 のy∈x+Wに

対 し てy+Wを

りW∈

考 え る と,

y+W⊂x+W+W⊂x+V. 以 上 よ り集 合 族{x+V￨V∈V*}をxの

基 本 近 傍 系 と す る よ うなEの

位相 が

定 ま る こ と が 分 っ た.   次 に こ の 位 相 が 線 形 位 相 で あ る こ と を 示 す.任 W⊂Vと

な るW∈V*を

と る と,各x,y∈Eに

意 のV∈V*に

対 し てW+

対 して

(x+W)+(y+W)⊂x+y+V と な る か ら,写 る.任

像(4.14)は

意 のV∈V*に

に α∈ Φ とx∈Eを

対 し てW+W⊂Vと

で あ る か ら,δ>0が

な るW∈V*を

存 在 し て,δx∈W.￨β−

き, とWの

(4.22)よ

連 続 で あ る.次

任 意 に固 定す

と る.Wは

吸 収的

α￨<δ,y∈x+(￨α￨+δ)−1Wの

と

円 形 性 を 用 い る と,

り(￨α￨+δ)−1W∈V*で

あ る か ら,写 像(4.15)の

連 続 性 が 示 され

た.    補 題4.8 

(証終) 線 形 位 相 空 間Eの

任 意 の 部 分 集 合Mの

閉 包Mは 

と一 致 す る.   証 明   任 意 にx∈Mを

と る.任

 よ っ てx−z=yを x=y+z∈M+V.そ   逆 に  え,x∈M−V.よ

意 のV∈V(0)に

対 しx−V∈V(x)ゆ

満 た すy∈Mとz∈Vが

存 在 す る か ら,

れゆ え と す る と,任 っ てx=y−zと

意 のV∈V(0)に

表 さ れ るy∈Mとz∈Vが

え,

対 し−V∈V(0)ゆ 存 在 す る.x+

V∋x+z=y∈Mと   補 題4.9 

な り 

す な わ ちx∈M. 

線 形 位 相 空 間Eの

任 意 の 円形 集 合Mの

(証終)

閉 包Mは

円形 集 合 で あ

る.

  証 明   x∈M,￨α￨≦1と  とす る と,任

し,αx∈Mを

意 のV∈V(0)に

示 せ ば よ い.α=0の 対 してx+(1/α)V∈V(x)ゆ

よ っ てy∈(1/α)Vとz∈Mが =αzで あ り,αy∈V,ま

たMの

と き は 明 らか. え, 

存 在 し てx+y=z. 

円 形 性 よ り αz∈Mで

αx+αy

あ るか ら, 

す な わ ち αx∈M.    補 題4.10 

(証終)

線 形 位 相 空 間Eの

任 意 の 凸 集 合Mの

閉 包Mは

凸 集 合 で あ る.

  証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る(演 習 問 題4の4).   線 形 位 相 空 間Eの Mの

部 分 集 合Mに

対 し て,Mを

含 む 最 小 の 円形 凸 な 閉 集 合 を

円 形 凸 閉 包 とい う.容 易 に分 る よ うに,Mの

円 形 凸 閉 包 はMを

含 むす べ

て の 円 形 凸 閉 集 合 の 共 通 部 分 に 等 し い.   補 題4.11 

線 形 位 相 空 間Eの

部 分 集 合Mの

円 形 凸 閉 包 はMの

円形 凸包 の

閉 包 と一 致 す る.   証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る(演 習 問 題4の6).   線 形 位 相 空 間Eが

次 の 条 件 を 満 た す と き,Eの

  (4.24)  Eの 任 意 の 点    定 理4.12 

に 対 し て, 

線 形 位 相 空 間Eに

位 相 は 分 離 的 で あ る とい う. とな るV∈V(0)が

対 し て,次 の2条

存 在 す る.

件 は 同値 で あ る:

  (4.25)  Eの 位 相 は 分 離 的 で あ る,   (4.26)  Eは

ハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る.

  証 明  (4.26)⇒(4.25)は な らば,  V(0)が

明 らか で あ るか ら,逆

な る 任 意 のx,y∈Eに 存 在 す る.W+W⊂Vと

対 し 

を 示 す.Eの ゆ え, 

な る 円 形 なW∈V(0)を

x+W∈V(x),y+W∈V(y)で

位 相が 分離 的 とな るV∈ と る.こ の と き,

あ り, (x+W)∩(y+W)=φ

が 成 立 す る.実 際,x+Wとy+Wが に 対 してx+z1=y+z2.ゆ

共 有 点 を もつ とす れ ば,あ

るz1,z2∈W

えに x−y=z2−z1∈W+W⊂V

と な って 不 合 理. 

(証終)

  4.2 

局 所 凸位 相 と半 ノル ム

  定 義4.2 Φ

上 の 線 形 空 間Eに

  (4.27) 

p(αx)=αp(x) 

  (4.28) 

p(x+y)≦p(x)+p(y)

を 満 た す と き,劣   pが

お い て 定 義 さ れ た 実 数 値 汎 関数pは

(α≧0),

加 法 的 で あ る と い う.

劣 加 法 的 な らば,(4.27)で

α=0と

  (4.29) 

おい て

p(0)=0

が 成 立 す る.   定 義4.3 Φ   (4.30) 

上 の 線 形 空 間Eに

お い て 定 義 さ れ た 実 数 値 汎 関 数pは

p(x)≧0,

  (4.31) p(αx)=￨α￨p(x),   (4.32) 

p(x+y)≦p(x)+p(y)

を 満 た す と き,半

ノ ル ム と い う.

  条 件(4.30)は,実

は 他 の2条

件 か ら 得 られ る.実

際,

0=p(0)=p(x−x)≦p(x)+p(−x)=2p(x). ま た,pが

半 ノル ム な らば

  (4.33) ￨p(x)−p(y)￨≦p(x−y) が 成 立 す る.   定 義 か ら 明 ら か な よ う に,ノ

ル ム は 半 ノ ル ム で あ り,半

ノル ムは 劣 加 法 的 で

あ る.   補 題4.13    1)  pがE上

Eを

線 形 空 間 とす る.

の 劣 加 法 的 汎 関 数 な ら ば,集 {x∈E￨p(x)<1}, 

は 凸,吸

合

{x∈E￨p(x)≦1}

収 的 で あ る.

  2)  pがE上

の 半 ノ ル ム な ら ば,集 {x∈E￨p(x)<1}, 

は 円 形,凸,吸 証 明 はpの

合 {x∈E￨p(x)≦1}

収 的 で あ る. 劣 加 法 性 あ る い は 半 ノ ル ム の 性 質 を 用 い て,容

習 問 題4の7).   定 義4.4 

線 形 空 間Eの

凸,吸

収 的 な 部 分 集 合Mに

対 して

易 に な さ れ る(演

 (4.34)

に よ っ て 定 義 さ れ るE上   Mは

の 汎 関数pMをMの

吸 収 的 ゆ え,各x∈Eに

pM(x)は

ミ ン コ ウ ス キ ー 汎 関 数 と い う.

対 し てx∈

λMと

な る λ>0が

存 在 す る の で,

非 負 有 限 値 で 確 定 す る こ と に 注 意 し よ う.

  定 理4.14    1)  Eの

Eを

線 形 空 間 と す る.

部 分 集 合Mが

凸,吸

収 的 な ら ば,pMはE上

の非 負劣 加法 的 汎 関

数 で あ り,   (4.35) 

{x∈E￨pM(x)<1}⊂M⊂{x∈E￨pM(x)≦1}

が 成 立 す る.逆

に,pがE上

  (4.36) 

{x∈E￨p(x)<1}⊂M⊂{x∈E￨p(x)≦1}

を 満 た す 凸,吸   2)  Eの

の 非 負 劣 加 法 的 汎 関 数 な ら ば,

収 的 な 集 合Mに

部 分 集 合Mが

あ り,(4.35)が

も に,(4.36)を 題4.13よ

  証 明   1)  Mが

凸,吸

り,Mは

満 た すMに

あ る.

吸 収 的 で あ る.

対 し て0∈

の と き は朋 ら か.α>0の

ときは

任 意 の ε>0に

満た

つ い て 吸 収 的 と い う条 件 は 不 要 で あ る.

収 的 の と き,pMに

に(4.28)を

の 半 ノル ム で

の 半 ノ ル ム な ら ば,(4.36)を

対 し てpM=pで

む か ら,任 意 の λ>0に

よ り成 立 す る.次

あ る.

収 的 な ら ば,pMはE上

に,pがE上

収 的 な 集 合Mに

  注 意   1),2)と な ぜ な らば,補

円 形,凸,吸

成 立 す る.逆

す 円 形,凸,吸

対 し てpM=pで

λMで

つ い て(4.27)を

示 す.Mは0を

あ る こ と か ら,pM(0)=0.よ

示 す た め に,x,y∈Eを

と る.下

含

っ て α=0

限 の 性 質 か ら,

対 して

を 満 た す よ うな λ,μ>0が 存 在 す る.Mは

凸 集 合 ゆ え,補 題4.3よ

り

よって

ε>0は

任 意 で あ る か ら,ε →0と

し て(4.28)を

得 る.以

上 よ り,pMは

劣加法

的 で あ る.   (4.35)の よ っ て,あ

証 明.pM(x)<1な るy∈Mに

ら ば,x∈

対 し てx=λyと

λM,0<λ<1と

か け,Mは0を

x=λy+(1−

な る λが 存 在 す る. 含 む 凸 集 合 で あ る か ら,

λ)0∈M,

す な わ ち,{x∈E￨pM(x)<1}⊂M.(4.35)の

後 半 の 包 含 関 係 はpMの

定義 よ

り明 ら か.   逆 に,pは

非 負 劣 加 法 的 で あ る と し,Mは(4.36)を

合 とす る.任

意 のx∈Eに

てp(x)+ε>0ゆ

え,

対 し てp(x)≧0で

満 た す 凸,吸

あ る か ら,任

収 的 な集

意 の ε>0に

つい

p({p(x)+ε}−1x)={p(x)+ε}−1p(x)<1. よ っ て(4.36)の

前 半 の 包 含 関 係 よ り,{p(x)+ε}−1x∈Mで

pM({p(x)+ε}−1x)≦1,ゆ

え にpM(x)≦p(x)+ε.ε

  (4.37) 

ら ば,p(x)>ε>0と p({p(x)−

よ っ て(4.36)の

な る 任 意 の εに 対 し て

ε}−1x)={p(x)−

ε}−1p(x)>1.

後 半 の 包 含 関 係 よ り, 

対 し て は,す

よ り,pM({p(x)−

で に(4.35)が

ε}−1x)≧1,ゆ

  (4.38)  p(x)=0の

す ると

pM(x)≦p(x).

ま た,x∈Eがp(x)>0な

とpMに

→0と

あ る か ら,

凸,吸

成 立 し て い る か ら,そ え に 

収 的 なM

の前 半 の包 含 関係 とす る と

pM(x)≧p(x). と き も(4.38)は

成 立 し て い る.(4.37)と(4.38)よ

りpM=pを

得 る.   2)  前 半 はMが よ い.α ≧0の の と き は,λMの pM(αx)=pM(x)が

円 形,凸,吸

収 的 の と き,pMに

と き,pM(αx)=αpM(x)は1)で

意 の 

ゆ え に,す べ て の α∈Φ につ い て(4.31)が   後 半 は1)の   定 理4.15 

み 示 せば

す で に 成 立 し て い る.￨α￨=1

円 形 性 よ り,条 件 αx∈ λMと 成 立 す る.任

つ い て(4.31)の

条 件 ω∈λMは

同 値 で あ る か ら,

につ いて は

示 され た.

結 果 よ り明 らか.  Eを 線 形 位 相 空 間 とす る.VがEの

(証終) 原 点0の

円形 凸閉 近傍 な ら

ば,pVはE上

の 連 続 な 半 ノ ル ム で あ り,

  (4.39) 

V={x∈E￨pV(x)≦1}

が 成 立 す る.逆

に,pがE上

の 連 続 な 半 ノ ル ム な ら ば,集

合

V={x∈E￨p(x)≦1} はEの

原 点0の

円 形 凸 閉 近 傍 で あ り,pV=pで

  証 明   Eの0の

近 傍 は 吸 収 的 で あ る か ら,0の

理4.14の2)よ る.い

あ る.

り,pVはE上

を と る と,1/α>1で

あ る か ら,x∈

円 形 で あ る か ら,x∈

λV⊂(1/α)V(補

αx→xで

⊂V.よ

っ て(4.39)が

  pvの

あ り,Vは

連 続 性.任

な ら ばy−x∈

す る.0<α<1と

λV,0<λ<1/α

な る任 意 の α

題4.3).ゆ

え に αx∈V.α

→1と

す る

な わ ち{x∈E￨pV(x)≦1}

成 立 す る. 対 し て εV={x∈E￨pV(x)≦

点x∈Eに

εVで

対 し て,そ

ε}で あ り,εVは

の 近 傍x+εVを

考 え る と,y∈x+εV

あ る か ら,

  (4.40) ￨pV(y)−pV(x)￨≦pV(y−x)≦ と な り,pVは

あ

と な る λが 存 在 す る.Vは

閉 集 合 ゆ え,x∈V.す

意 の ε>0に

0の 近 傍 で あ る.各

対 し て,定

の 半 ノ ル ム で あ り,V⊂{x∈E￨pV(x)≦1}で

ま 逆 の 包 含 関 係 を 示 す た め,pV(x)≦1と

と,Eで

円 形 凸 閉 近 傍Vに

点xで

ε

連 続 で あ る.xはEの

任 意 の 点 で あ る か ら,pVはEで

連

続 で あ る.   逆 に,pが

連 続 な 半 ノ ル ム な ら ば,V={x∈E￨p(x)≦1}は

(補 題4.13の2)),pの 傍 で あ る.ま

連 続 性 とp(0)=0よ

た,定

理4.14の2)よ

  注 意1 

(4.40)はpVの

  注 意2 

定 理4.15よ

の 全 体 とE上

り,V=p−1([−1,1])は0の

り,pV=pで

であ り 閉近

あ る. 

(証 終)

一 様 連 続 性 を 示 して い る. り,線

形 位 相 空 間Eに

の 連 続 な 半 ノル ムpの

  (4.41) 

お い て は,Eの

原 点0の

円 形 凸 閉 近 傍V

全 体 とが 関 係

V={x∈E￨p(x)≦1}

に よ っ て,1対1に   定 義4.5  き,Eの

円 形,凸

対 応 し て い る こ とが 分 った.

線 形 位 相 空 間Eが

凸 集 合 か ら な る 原 点0の

位 相 を 局 所 凸 位 相 と い い,Eを

  定 理4.16 

局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eに

体V*は0の

基 本 近 傍 系 を な す.

  証 明   Eが

局 所 凸 な こ と と 補 題4.5と

基 本近 傍 系 を もつ と

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 と い う. お い て は,原

補 題4.8よ

点0の

り,Eの0の

円形 凸 閉近 傍 の全

任 意 の 近 傍U

に対 して,0の

凸 近 傍Vが

よ っ てVは0の

凸 閉 近 傍 で あ る(補 題4.10).定

が 存 在 し てW⊂V.Wの り,W1はWの

円 形 凸 閉 包 をW1と

満 た す0の

り,0の

円 形 近 傍W

す る と,補 題4.2と

補 題4.11よ

円形 凸 閉 近 傍 で あ る.従

成 立 す る.以 上 よ り,W1 っ て0の

円形 凸 閉 近 傍 の 全 体

基 本 近 傍 系 を な す. 

  Eを 線 形 空 間 と し,PをE上 対 して,p(x)>0と   定 理4.17 

(証終) の 半 ノル ム の 族 とす る.Eの

な るp∈Pが

存 在 す る と き,Pは

局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eに

が 存 在 し,各p∈Pに

お い て は,Eで

基 本 近 傍 系 を な す.も

しEの

任 意 の 元 

に

分 離 的 で あ る と い う. 連 続 な 半 ノル ム の 族P

対 応 す る 集 合{x∈E￨p(x)≦1}の

合 か らな る原 点0の Pも

理4.7よ

凸 包 の 閉 包 に 等 しい か ら,W1⊂Vが

はW1⊂Uを V*は0の

存在 して

全 体 は,円 形 凸 閉 集

局 所 凸 位 相 が 分 離 的 な らば,

分 離 的 で あ る.

  証 明   Eの0の

円 形 凸 閉 近 傍Vに

4.15と 定 理4.16).Eの

対 す るpVの

全 体 をPと

位 相 が 分 離 的 な らば,Eの

 とな る0の 円 形 凸 閉 近 傍Vが

す れ ば よい(定 理

任 意 の 元 

存 在 し,pV(x)>1で

に 対 して

あ る か ら,Pは

的 で あ る. 

分離 (証終)

  上 の 定 理 とは 逆 に,線

形 空 間E上

に 与 え られ た 半 ノ ル ム の 族Pに

Eに 局 所 凸 位 相 τが 導 入 さ れ る こ とを 以 下 に 示 す.こ

よ っ て,

れ は 具体 的 な数列 空 間や

関 数 空 間 に 局 所 凸 位 相 を 導 入 す る と き,し ば しば 用 い られ る.   定 理4.18  p∈Pと

Eを

線 形 空 間 と し,PをE上

意の

任 意 の ε>0に 対 応 す る集 合

  (4.42) 

{x∈E￨p(x)≦

の 任 意 有 限 個 の 共 通 部 分 の 全 体 をV*と の 基 本 近 傍 系 とす る局 所 凸 位 相 τがEに で あ る.さ

らに,Pが

決 定 さ れ るEの   証 明  V*が ル ムゆ え,集 形,凸,吸

の 半 ノ ル ム の 族 とす る.任

ε} す る.こ の と き,V*をEの

導 入 され,各p∈Pは

原 点0

τに 関 して 連 続

分 離 的 な らば,τ も分 離 的 で あ る.こ の τをPに

よ って

局 所 凸 位 相 とい う. 条 件(4.20)∼(4.23)を

合(4.42)は

円 形,凸,吸

収 的 と な り,(4.20)が

満 た す こ とを 示 そ う.各p∈Pは 収 的,従

成 立 す る.V*に

っ て,す べ て のV∈V*も 属 す る任 意 の

半ノ 円

に 対 し,

も〓*に

属 し,補

題4.3よ

り

が 成 立 す る の で,(4.21)が

い え た.(4.22),(4.23)の

っ て 各V∈〓*の

凸 性 と 定 理4.7よ

凸 位 相 τがEに

導 入 さ れ る.各p∈〓

対 し て 集 合(4.42)が0の

な るp∈Pが

な い か ら,τ

り,〓*をEの0の

基 本 近 傍 系 とす る局 所

の τに 関 す る 連 続 性 は,任

近 傍 で あ る こ と か ら,定

の 証 明 と 同 様 に し て 示 さ れ る.も p(x)>0と

成 立 も 容 易 に 分 る.よ

しPが

存 在 し,0の

理4.15の

分 離 的 な ら ば,任

意 の ε>0に

中 のpｖ の 連 続 性 意 の 

に対 して

近 傍{y∈E￨p(y)≦p(x)/2}はxを

含 ま

は 分 離 的 で あ る. 

  注 意   定 理4.18に

お け るV*に

(証 終) 属 す る任 意 の 集 合

に 対 す る ミン コ ウス キ ー汎 関数pVは  (4.43)

で あ る.   ノ ル ム は 半 ノ ル ム の 特 別 の 場 合 で あ る か ら,ノ

ル ム 空 間Eは,た

だ1つ

ル ム‖ ‖に よ っ て 決 定 さ れ る 分 離 的 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 で あ る.こ 任 意 の ε>0に ={x∈E￨‖x‖

対 応 す る 集 合B(0,ε)={x∈E￨‖x‖ ≦1/n}{n=1,2,…)の

≦ ε}の 全 体,集

全 体 な ど が 原 点0の

の ノ

の 場 合,

合B(0,1/n)

基本近傍 系 をな し

て い る こ と は 既 に 知 っ て い る.   ノ ル ム 空 間 の 他 に も 種 々 の タ イ プ の 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 が あ る が,そ 深 入 りす る こ と は 本 書 の 目 的 で は な い の で,こ

こ で は 代 表 的 な も の を1つ

れ らに だけ

次 節 で 述 べ よ う.

  4.3 

フ レ ッ シ ェ空 間

  フ レ ッ シ ェ(Frechet)空

間 は バ ナ ッハ 空 間 に 類 似 した 性 質 を も ち,バ

ナ ッハ 空 間 に お

い て 成 立 す る 多 くの こ とが らが,フ

レ ッ シ ェ空 間 の 場 合 に も成 立 す る こ とが 知 られ て い

る.   位 相 空 間Eが Eに

距 離 付 け 可 能 で あ る とは,Eの

導 入 され 得 る こ と を い う.こ

と え ば,距

離d(x,y)が

位 相 と同 じ位 相 を 決 定 す る よ うな 距 離 が

の よ うな 距 離 が 存 在 す れ ば,そ

れ は 一意 で は な い.た

そ の よ うな もの で あ れ ば,2d(x,y),3d(x,y),…

はすべ て 同 じ

位 相 を 決 定 す るか らで あ る.   定 理4.19 

局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eが

距 離 付 け 可 能 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,分 離

的 か つ 高 々 可 算 個 か らな る半 ノル ム の 族P={pn}に

よ っ てEの

位 相 が 決 定 され る こ と

で あ る.   注 意   局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eが

分 離 的 か つ 高 々可 算 個 か らな る半 ノル ム の族P={pn}

に よ っ て 決 定 され て い る と き,

な る 形 の 集 合 の任 意 有 限 個 の 共 通 部 分 の 全 体 は 原 点0の

基 本 近 傍 系 を な し,そ

明 らか に 可 算 個 で あ る.な

単 調 増 大 列 で あ る と仮 定 して よ

い.な

ぜな ら ば,n=1,2,…

お,こ

の 場 合,P={pn}は

につ いて

とお く と,容 易 に 分 る よ うに,{qn}は

で あ り,ま た{qn}はP={pn}と {pn}が

の個数 は

半 ノル ム の 単 調 増 大 列:

同 一 の 局 所 凸 位 相 を 決 定 す るか らで あ る.さ

らにP=

単 調 増 大 の と き,集 合 列

は原 点0の 単調 減 少す る基本近 傍 系を なす:

  定 理4.19の る.定

理4.16よ

証 明   Eが 距 離 付 け 可 能 の と き,Eの

す

り

を 満 た す よ うなEの0の な す.各Wnの

位 相 を 決 定 す る距 離 をd(x,y)と

円 形 凸 閉 近 傍 の列{Wn}が

ミン コ ウス キ ー 汎 関 数 をpnと

存 在 し,{Wn}は0の

す る.こ

の と き,P={pn}がEの

基 本近 傍 系を 位相 を

決 定 す る分 離 的 な 半 ノル ム の 族 で あ る こ とは 容 易 に 分 る.   逆 にEの

位 相 が 分 離 的 な 半 ノル ム の 族P={pn}に

よ っ て 決 定 され て い る とす る.こ

の と き 求 む る距 離 は  (4.44)

に よ っ て 与 え ら れ る こ と を 示 そ う.ま

ず,(4.44)の

右 辺 は 収 束 級 数 で あ る か ら,d(x,y)

は 確 か に 定 義 さ れ る.d(x,y)が る:(1.33)の な る3数

距 離 の 条 件(1.33)∼(1.35)を

後 半 はP={pn}が

α,β,γ ≧0に

満 た す こ とは 容 易 に 分

分 離 的 な こ と か ら い え る.(1.35)は

一 般 に α≦ β+γ

対 し て 成 立 す る不 等 式

 (4.45)

を 用 い て 示 さ れ る.(4.45)の

  次 にd(x,y)がEの

証 明.

位 相 を 決 定 す る も の で あ る こ と を 示 そ う.(4.44)でy=0と

お く

と,  (4.46)

各pnは

連 続 で あ り,(4.46)の

続 で あ る.従

右 辺 の 級 数 はEで

一 様 収 束 す るか ら,d(x,0)はEで

連

っ て,任 意 の ε>0に 対 し V(0,ε)={x∈E￨d(x,0)<ε}

はEの

位 相 に 関 し て 開 集 合 で あ る か ら,Eの0の

〓 ={pn}が

単 調 増 大 列 とす る と,Eの0の

を 満 た す よ うなnが

近 傍 で あ る.さ

任 意 の 近 傍Wに

らに 上 の 注 意 に 従 っ て

対 して

存 在 す る.ε>0を

を 満 た す よ う に 十 分 小 さ く と る と,d(x,0)<ε

で あ る か ら,

な ら ば 

  す な わ ちV(0,ε)⊂Vn⊂Wを

得 る.よ

っ てd(x,y)はEの

を 決 定 す る距 離 で あ る こ とが 示 さ れ た.    注 意   (4.44)の

位 相

(証 終)

距 離d(x,y)は, d(x+z,y+z)=d(x,y) 

(x,y,z∈E)

を 満 た す か ら,平 行 移 動 に 関 し て不 変 な 距 離 で あ る.   定 義4.6    従 ってEが

距 離 付 け 可 能 か つ 完 備 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 を フ レ ッシ ェ空 間 とい う. フ レ ッ シ ェ空 間 で あ る とは,Eの

半 ノ ル ム の族P={pn}に

よ っ て 決 定 さ れ,か

Eが 完 備 で あ る こ と を 意 味 す る.こ

を 意 味 し,点 列{xm}がx∈Eに 各nに

つP={pn}か

の と き,コ

で い い かえる と次 の よ うに な る.Eの 各nに

位 相 が,分

収束 す る とは つい て

ら導 入 され る距 離 に 関 し て

ー シ ー列 や 収 束 の 概 念 を 半 ノル ム の 言 葉

点 列{xm}が

つ いて

離 的 か つ 高 々 可 算 個 か らな る

コー シ ー列 で あ る とは

を 意 味 す る.   次 に フ レッ シ ェ空 間 の例 を い くつ か 挙 げ よ う.   例1 

(s).各

素 数 列){ξk}の

自然 数nに

つ い て{kn￨ξk￨}k=1,2,…が 有 界 で あ る よ うな 実 数 列(ま

全 体 を(s)で

表 し,急 減 少 数 列 空 間 とい う.(s)が数

常 の 線 形 演 算 に 関 し て 線 形 空 間 を な す こ とは す ぐ分 る.い

と お く と,{pn}は(s)に

わ ち フ レッ シ ェ 空 間 で あ る.実 たnに

つ い て 任 意 の ε>0に

際,{xm}を(s)の

対 しm0が l,m≧m0な

xm={ξ(m)k}と

お

列空 間に おけ る通

まn=1,2,…

お け る 分 離 的 な 半 ノ ル ム の 族 で あ る.ま

た は複

につい て

た(s)は

完 備,す

コ ー シ ー 列 と す る と,任

な

意 に固定 し

定 まって ら ばpn(xl−xm)<ε.

く と,

な らば

 (4.47) 

従 っ て 固 定 し た 各kに

つ い て{ξ(m)k}m=1,2,… は 実 数(ま た は 複 素 数)の

  が 存 在 す る.x={ξk}と な る こ と を 示 そ う.各nに

お く と き,x∈(s)か

つ い て(4.47)に

コ ー シ ー 列 を な す か ら,

つ(s)に

お い てmを

お い て 

と

固 定 し てl→ ∞ と す る と,

な らば

 (4.48) 

よ って

よ り,{kn￨ξk￨}k=1,2,…

は 有 界 と な る か ら,x={ξk}∈(s).さ m≧m0な

す な わ ち 各nに   例2 

∞,∞).無

の 全 体 をC(−

∞,∞)で

線 形 空 間 を な す.い

る と,各nに

限 区 間(− 表 す.C(−

∞,∞)で ∞,∞)は

り

ε,

で あ る か ら,(s)に

ま,n=1,2,…

と お く と,{pn}はC(− は 完 備,す

ら ばpn(x−xm)≦

つ い て 

C(−

ら に,(4.48)よ

おい て

連 続 な 実 数 値(ま

た は 複 素 数 値)関

数x(t)

関 数 空 間 に お け る通 常 の 線 形 演 算 に 関 して

に つい て

∞,∞)に

お け る 分 離 的 な 半 ノル ム の 族 で あ る.ま

な わ ち フ レ ッ シ ェ 空 間 で あ る.実 つ い て 任 意 の ε>0に

際,{xm}をC(−

対 しm0が

l,m≧m0な

∞,∞)の

たC(−

∞,∞)

コー シ ー 列 とす

定 まって

ら ばpn(xl−xm)<ε,

す なわ ち   (4.49) l,m≧m0な

ら ば￨xl(t)−xm(t)￨<ε

従 っ て 固 定 し た 各tに 実 数(ま た は 複 素 数)の x=x(t)∈C(−

つ い て￨t￨≦nな

と り,条 件(4.49)を

コ ー シ ー 列 を な す か ら, 

∞,∞)か

に つ い て(4.49)でmを   (4.50) 

るnを

  (￨t￨≦n).

つC(−

∞,∞)に

お い て 

ら ば￨x(t)−xm(t)￨≦

の とき

と な る こ と を 示 そ う.各n

固 定 しl→ ∞ と す る と m≧m0な

考 え る と,{xm(t)}は が 存 在 す る.こ

ε (￨t￨≦n).

こ の こ と は 連 続 関 数 列{xm}がxに￨t￨≦nで で 連 続 で あ る.nは あ る.ま

一 様 収 束 す る こ と を 示 す か ら,xは￨t￨≦n

任 意 で あ る か ら,結

た(4.50)よ

 例3 

∞,∞)で

連 続,x∈C(−

∞,∞)で

り m≧m0な

す な わ ち,C(−

局xは(−

∞,∞)に

ら ばpn(x−xm)≦

ε,

お い て

H.  複 素 平 面 上 の 単 位 円 の 内 部{z∈C￨￨z￨<1}に

x(z)の 全 体 をHで

表 す.Hは

なる 正 数 列{rn}を

選 び,各nに

とお くと,{pn}はHに

おい て正 則な複 素数値 関数

通 常 の 線 形 演 算 に 関 し線 形 空 間 を な す.い

ま,rn↑1と

つ いて

お け る分離的 な半 ノル ムの族 で あ り,さ らにHは 完 備,す なわ

ち フ レ ッシ ェ空 間で あ る.完 備 性 の 証 明は例2と ほ とん ど 同様 で あ り,広 義一 様収束 す る正 則関数 列 の極 限は 正則 であ る こ とに注意す れ ば よい.

  4.4  有 界 集 合 と 線 形 作 用 素   線 形 位 相 空 間Eの

部 分 集 合Mが

有 界 で あ る とは,Eの

原 点0の

任 意 の近傍

Vに 対 し て   (4.51) 

M⊂

を 満 た す よ うな α>0が   Eの0の

αV

存 在 す る と き に い う.

近 傍 は す べ て 吸 収 的 で あ るか ら,Eの

各 点xか

ら な る集 合{x}は

有 界 で あ る.   Eが 半 ノル ム の族Pに Eの

よ っ て 決 定 され た 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 の と き,Mが

有 界 集 合 で あ る とは(半 ノル ム の 言 葉 で い い か え れ ば),各p∈〓

α>0が

に対 し

定 ま って

  (4.52) 

p(x)≦

α 

(x∈M)

が 成 立 す る こ と で あ る.   特 にEが

ノル ム空 間 の と き,上 の 有 界 性 の 概 念 は §2.1で 定 義 し た もの と一

致 し て い る.   注 意  距離 空 間Eの 部 分集 合Mに 在 す る とき,Mを

対 し,M⊂V(x0,α)を

満 たすx0∈Eと

α>0が 存

有 界 とい うことが あ るが,こ れは 線形 位相 空 間にお け る有 界性 とは異

な る概念 で あ る.ノ ル ム空 間 におい ては両者 は一 致す る.   定 理4.20 

線 形 位 相 空 間Eの

有 界 集 合M1,M2の

和 集 合M1∪Mzは

有界

で あ る.   証 明   VをEの0の

任 意 の 円 形 近 傍 とす る と,α1>0,α2>0が

存 在 し てM1

⊂ α1V,M2⊂

α2V.β=max(α1,α2)と

お く と,補

よ っ てM1∪M2は   定 理4.21 

線 形 位 相 空 間Eの

  証 明   UをEの0の ら にW⊂Vと

x+Wの

全 体 で 被 覆 さ れ る が,Mは

={x1,x2,…,xn}を

な る0の

コン パ ク ト集 合Mは

開 近 傍Wを

(証 終)

有 界 で あ る. な る0の

と る.Mは

円 形 近 傍Vを

そ の 各 点xの

コ ン パ ク トで あ る か ら,Mの

選 び 出 し て 

円 形 性 よ り,0<α<1な

り,

有 界 で あ る. 

任 意 の 近 傍 と し,V+V⊂Uと

と る.さ

性 とVの

題4.3よ

開 近傍

有 限 集 合A

と で き る.Aの る α が 存 在 し てαA⊂V.こ

有界

の と き αW⊂V.

よ って

とな り,Mは

有 界 で あ る. 

  定 理4.22 

(証終)

局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eの

有 界 集 合Mの

円 形 凸 閉 包Mは

有界で

あ る.   証 明   VをEの0の αV.αVは

任 意 の 円形 凸 閉 近 傍 とす る と,α>0が

円 形 凸 閉 集 合 ゆ え,M⊂

  次 にE,Fを

線 形 位 相 空 間 と し,Eか

て 考え る.§1.1の の 原 点0の

αV.よ

っ てMは

らFへ

対 し て,Eの

有 界 で あ る.  (証終)

の 線 形 作 用 素Tの

連 続 性 の 定 義 よ り,TがEの

任 意 の 近 傍Vに

存 在 し てM⊂

原 点0の

点x0で

連 続性 につ い

連 続 で あ る とは,F

近 傍Wが

存 在 して

T(x0+W)⊂TX0+V が 成 立 す る こ とを 意 味 す る.   定 理4.23  し て,次

の2条

E,Fを

線 形 位 相 空 間 とす る.Eか

の 線 形 作 用 素Tに

対

件 は 同値 で あ る:

  (4.53)  TはEの

原 点0で

  (4.54)  TはEで

連 続 で あ る.

  さ ら に,E,Fが

らFへ

連 続 で あ る,

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 の と き,上

の2条 件 は 次 の 条 件 と 同値

で あ る:   (4.55)  F上

の 任 意 の連 続 な 半 ノル ムpに 対 して,E上

が 存在 して p(Tx)≦q(x) (x∈E) が 成 立 す る.

の 連 続 な 半 ノル ムq

  証 明   (4.53)⇒(4.54)  に 対 し て,Eの0の

TがEの0で

近 傍Wが

連 続 な ら ば,Fの0の

任 意 の 近 傍V

定 ま って T(W)⊂V.

よ っ て,任

意 のx0∈Eに

対 し T(x0+W)⊂Tx0+V.

と な り,Tはx0で

連 続.ゆ

  (4.54)⇒(4.53)は   E,Fは

え にTはEで

明 ら か.

局 所 凸 と す る.以

  (4.53)⇒(4.55)F上 p(y)≦1}と

下 の 証 明 で は 定 理4.15と

円 形 凸 閉 近 傍Wが

用 い られ る.

与 え る.V={y∈F￨

円 形 凸 閉 近 傍 で あ る.(4.53)を

仮 定 す る と,

存在 して

  (4.56)  Wの

定 理4.16が

の 任 意 の 連 続 な 半 ノ ル ムpを

お く と,VはFの0の

Eの0の

連 続 で あ る.

T(W)⊂V.

ミ ン コ ウ ス キ ー 汎 関 数 をqと

W={x∈E￨q(x)≦1}.任

意 のx∈Eを

で あ る か ら,x/q(x)∈W.よ p(T(x/q(x)))≦1よ の 自 然数nに

す る と,qはE上 と る. 

っ て(4.56)よ

り(4.55)に

な ら ばq(x/q(x))=1 りT(x/q(x))∈V,す

な わ ちp(T(x))≦1/nを

な っ て,こ

の 場 合 も(4.55)の

す る.(4.55)を

意

え に(4.56) 得 る.n→

∞ とす

不 等 式 が 成 立 す る.

任 意 の 円 形 凸 閉 近 傍Vを

ス キ ー 汎 関 数 をpと

ら ば,任

あ る か ら,nx∈W.ゆ

よ りT(nx)∈V,p(T(nx))≦1,す

  (4.55)⇒(4.53)Fの0の

なわ ち

お け る 不 等 式 を 得 る.q(x)=0な

対 し てq(nx)=nq(x)=0で

る とp(T(x))=0と

の 連 続 な 半 ノ ル ム で あ り,

与 え る.Vの

仮 定 す る と,E上

ミンコ ウ

の 連 続 な 半 ノ ル ムqが

存在 し て p(Tx)≦q(x) (x∈E). W={x∈E￨q(x)≦1}はEの0の ゆ え,上

円 形 凸 閉 近 傍 で あ る.x∈Wな

の 不 等 式 よ りp(Tx)≦1,よ

っ て,Tは0で   定 理4.24  続 な ら ば,Eの

っ てTx∈V.す

な わ ちT(W)⊂Vと

連 続 で あ る.  E,Fを

ら ばq(x)≦1 な (証 終)

線 形 位 相 空 間 と す る.Eか

任 意 の 有 界 集 合MのTに

らFへ

よ る 像T(M)はFの

の 線 形 作 用 素Tが

有 界 集合 で あ

る.   証 明   Fの0の

任 意 の 近 傍Vに

対 し て,Tの0に

連

お け る 連 続 性 より,Eの

0の 近 傍Wが

存 在 してT(W)⊂V.MはEの

定 ま っ てM⊂

αW.よ

っ てT(M)⊂

有 界 集 合 で あ る か ら,α>0が

αT(W)⊂

αVと な り,T(M)はFの

有界

集 合 で あ る.    定 理4.25 

(証終) E,Fを

な らば,Eに

線 形 位 相 空 間 とす る.Eか

お い て 

らFへ の 線 形 作 用 素Tが

と な る 任 意 の 点 列{xn}に

対 し て,Fにお

連続 い て 

で あ る.

証 明   Fの0の

任 意 の 近 傍Vに な らば,n0が

⊂V. 

対 して,Eの0の

ら ばTxn∈V,す

  注 意   定 理4.24,定

理4.25の

離 付 け 可 能 の と き は,逆

存 在 し てT(W)

存在 して

n≧n0  よ っ て,n≧n0な

近 傍Wが

な ら ば   xn∈W. な わ ち 

(証 終)

逆 は 一 般 に は 成 立 し な い(演 習 問 題5の11)が,Eが

距

が 成 立 す る(演 習 問 題4の10).

演 習 問 題4   1.  線 形 空 間Eの

部 分 集 合Mが

円 形 凸 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は(4.3)が

成 立す

る こ と で あ る.こ れ を 示 せ.   2.  補 題4.2を

証 明 せ よ.

  3.  R2に お い て2点(1,0),(0,1)か

ら な る 集 合Mの

円 形 凸 包 お よ びMの

凸包 の 円

形 包 を 求 め よ.   4.  補 題4.10を

証 明 せ よ.

  5.  線 形 位 相 空 間Eの

線 形 部 分 空 間Fの

閉 包FはEの

線 形 部 分 空 間 で あ る こ とを 示

せ.   6.  補 題4.11を

証 明 せ よ.

  7.  補 題4.13を

証 明 せ よ.

  8.  実 数 列x={ξk}の れ る半 ノル ムの 族{pk}に   9.  区 間(− ∞,∞)で は,n=0,1,2,… {pn}に

全 体(ω)は,k=1,2,…

に つ い てpk(x)=￨ξk￨に

関 して フ レ ッ シ ェ空 間 で あ る こ と を示 せ. 無 限 回 連 続 微 分 可 能 な 実 数 値 関数x=x(t)の

に つ い て 

線 形 作 用 素Tに

線 形 位 相 空 間 と し,Eは 対 し次 の3条

だ しx(0)=xと

距 離 付 け 可 能 とす る.こ

件 は 同 値 で あ る こ とを 示 せ.

  1)  Tは 連 続 で あ る,   2)  MがEの

有 界 集 合 な らばT(M)もFの

  3)  Eの 点 列{xn}が 

全 体C∞(−

∞,∞)

に よ っ て 定 義 され る半 ノル ム の 族

関 して フ レ ッシ ェ空 間 で あ る こ とを 示 せ.た

10.  E,Fを

よって定 義 さ

な らば 

有 界 集 合 で あ る, で あ る.

す る. の と き,Eか

らFへ

の

5.  共 役 空 間I

  5.1 

ハ ー ン ・バ ナ ッ ハ の 定 理

  線 形 汎 関 数(係 数 体Φ 上 の 線 形 空 間 か らΦ へ の 線 形 作 用 素)の 拡 張 定 理 を,は じ め に 実 数 体 の 場 合 に ツ ォル ン の 補 題 の も と に 証 明 し,次

に この 結 果 を 用 い て

複 素 数 体 の 場 合 に 証 明 す る.   定 理5.1 

(ハ ー ン ・バ ナ ッハ の 定 理,実

し,pをEで fはFで

数 体 の 場 合)  Eを 実 線 形 空 間 と

定 義 され た 劣 加 法 的 汎 関 数 とす る.FはEの

線 形 部 分 空 間 と し,

定 義 され た 線 形 汎 関 数 で f(x)≦p(x) (x∈F)

を 満 た す も の とす る.こ

の と き,E全

体 で 定 義 され た 線 形 汎 関数f1で,次

の2

条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る:   (5.1) f1(x)=f(x) (x∈F), f1(x)≦p(x) (x∈E). (5.1)はf1がfの

拡 張 で あ る こ とを示 して い る.

  証 明1) 

と し,Fに

α∈R}(Fとx0で

張 られ る 線 形 部 分 空 間)と

属 さ な いEの

点x0を

と り,D={x+αx0￨x∈F,

お く.Dで

定義 され た線形 汎 関

数gで g(x)=f(x) (x∈F),g(x)≦p(x) 

(x∈D)

を 満 た す も の が 存 在 す る こ とを 示 す.   任 意 のx,y∈Fに

対 して

よ り, −p(−y−x0)−f(y)≦p(x+x0)−f(x)

こ こで,xとyをFの

ゆえに  (5.2)

中 で 独 立 に 動 か す と,

.

を 満 た す λが 存 在 す る.   (5.3) 

g(x+αx0)=f(x)+α

と お く と,gはD上

  (x∈F,α

∈R)

の 線 形 汎 関 数 で あ る.(5.3)で

f(x)(x∈F).従

α<0の

λ

っ てg(x)≦p(x)(x∈F).ま

α=0と

た,(5.2)よ

お く と,g(x)= り,α>0の

とき

とき

ゆ え に,g(x)≦p(x)(x∈D)が

成 立 す る.以

上 よ り,こ

のgが

求 む る もの で

あ る.   2) gはF⊂D⊂Eな

る 線 形 部 分 空 間Dで

定 義 され た 線 形 汎 関 数 で

g(x)=f(x) (x∈F),g(x)≦p(x) (x∈D) を 満 た す も の と す る.gの Xで

表 す.1)よ

定 義 域DをD(g)と

り 

で あ る.任

D(g)⊂D(h),  が 成 立 す る と き,す は 順 序 の3条

な わ ち,hがgの

す る が,Yは g〓hな

全 順 序 集 合 で あ る か ら,g〓hま

あ る か ら,任

のh∈Yに

と か ら,g(x)=h(x)と

対 し てx∈D(h)と

の 上 界 で あ る.

線 形 部 分 空 間 で あ る.

た はh〓gが

な るg,h∈Yが

存在

成 立 す る.た

とえば

線形 部分 空間 で

あ り,各g∈Yに

え にDは な るg∈Yを

定 義 す る.f0は

線形 部 分

と り,f0(x)

一 意 に 決 ま る.な

す る と,g〓hま

な る か ら で あ る.こ

f0(x)=f(x)(x∈F),f0(x)≦p(x)(x∈D)が そ れ ゆ え,f0∈Xで

中 に上 界 を もつ こ と

含 むEの

対 し てx∈D(g)と

の 汎 関 数f0を

係〓

順 序 集 合 に な る.

対 し て αx+βy∈D(h)⊂D.ゆ

て,各x∈Dに

よ っ てD上

表 す と,関

あ る か ら,x,y∈D(h).D(h)は

意 の α,β∈Rに

空 間 で あ る.さ

ば,他

満 た し,Xは

対 し て,x∈D(g),y∈D(h)と

ら ばD(g)⊂D(h)で

=9(x)に

拡 張 で あ る と き,g〓hで

と お く と,DはFを

意 のx,y∈Dに

全体 を

対 して

任 意 の 全 順 序 部 分 集 合 と し,YがXの

を 示 そ う.  実 際,任

意 のg,h∈Xに

の よ う なgの

g(x)=h(x) (x∈D(g))

件(1.59)∼(1.61)を

  い ま,YをXの

か く.こ

のf0がDで

た はh〓gが

ぜな ら

成 立す る こ

線 形 で あ る こ と,

成 立 す る こ と も 容 易 に 分 る. 対 し てg〓f0が

成 立 す る か ら,f0はY

  よ っ て ツ ォ ル ン の 補 題 よ り,Xは でD(f1)=Eを

示 せ ば,f1は な るEの

の 極 大 元f1を

もつ.こ

求 む る 線 形 汎 関 数 と な る. 

元x1が

線 形 部 分 空 間D1上

少 な く と も1つ

存 在 す る.1)と

こ

と す る と,

同 様にD(f1)とx1で

張 られ る

の 線 形 汎 関数f2で

f2(x)=f1(x) 

(x∈D(f1)), 

f2(x)≦p(x) (x∈D1)

を 満 た す も の が 存 在 す る.明

ら か にf2∈Xか

つ 

元 で あ る こ と に 反 す る.ゆえ

にD(f1)=Eで

な け れば な ら な い. 

  注 意  −f1(x)=f1(−x)≦p(−x)(x∈E)よ

これ はf1がXの

極大 (証 終)

り

  (5.4) −p(−x)≦f1(x)≦p(x) 

(x∈E)

が 得 られ る.   α を 複 素 数 と し,そ

の 実 部,虚

部 を そ れ ぞ れReα,Imα

単 位 と し て, 

虚数

で あ る.

  定 理5.1 

(ハ ー ン ・バ ナ ッ ハ の 定 理,複

と し,pをEで し,fはFで

で 表 す と,iを

素 数 体 の 場 合)  Eを

定 義 さ れ た 劣 加 法 的 汎 関 数 と す る.FはEの

複 素線 形空 間 線形 部分 空 間 と

定 義 され た 線 形 汎 関 数 で Ref(x)≦p(x) (x∈F)

を 満 た す も の と す る.こ

の と き,E全

体 で 定 義 さ れ た 線 形 汎 関 数f1で,次

の

2条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る: f1(x)=f(x) 

(x∈F),

Ref1(x)≦p(x)    証 明   x∈Fに

(x∈E).

対 し

f(x)=Ref(x)+iImf(x)=Ref(x)−iRef(ix) で あ る か ら,g(x)=Ref(x)(x∈F)と   (5.5)  が 成 立 す る.Eは え る こ と が で き,ま る.こ

の と き,gは

お く と,

f(x)=g(x)−ig(ix) 

(x∈F)

そ の 係 数 体 を 実 数 体 に 制 限 す る こ と に よ り,実 たFは

実 線 形 空 間Eの

実 線 形 空 間F上

線 形 空 間 と考

線 形 部 分 空 間 と考 え る こ とが で き

の 実 線 形 汎 関 数:

な らば で あ る こ と が 容 易 に 分 る.ま の 場 合 の 前 定 理 よ り,実

たg(x)=Ref(x)≦p(x)(x∈F).よ

線 形 空 間E上

の 実 線 形 汎 関 数g1で

って実 数体

  (5.6) 

g1(x)=g(x) (x∈F), 

を 満 た す も の が 存 在 す る.い

g1(x)≦p(x) (x∈E)

ま

  (5.7) f1(x)=g1(x)−ig1(ix)  と お き,f1が

(x∈E)

求 む る も の で あ る こ と を 示 そ う.ま ずx,y∈Eに

=f1(x)+f1(y)の

よ っ てf1は

対 し てf1(x+y)

成 立 は す ぐ分 る.α=a+ib(a,b∈R)とx∈Eに

複 素 線 形 空 間E上

対 して

の 線 形 汎 関 数 で あ る.(5.5)∼(5.7)を

用い る

と,

が 直 ち に 分 る.    以 後,係

(証 終)

数 体 は 実 数,複

素 数 の 区 別 を す る 必 要 の な い こ と も 多 い の で,そ

の

と き は 区 別 し な い で 述 べ る.   系1 

Eを

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 と し,FをEの

で 定 義 さ れ た 連 続 線 形 汎 関 数 で,E上

の あ る 連 続 な 半 ノ ル ムpに

  (5.8) ￨f(x)￨≦p(x) 

対 して

(x∈F)

を 満 た す も の と す る.こ 次 の2条

線 形 部 分 空 間 と す る.fはF

の と き,E全

体 で 定 義 さ れ た 連 続 線 形 汎 関 数f1で,

件 を 満 た す も の が 存 在 す る: f1(x)=f(x) 

(x∈F),

  (5.9) ￨f1(x)≦p(x) (x∈E).  注 意   勿 論,Fで

はEか

位相 空 間 で あ る.ま た,定

ら導 入 さ れ る 相 対 位 相 を 考 え るか ら,Fは

満た す よ うなE上 汎関 数f1はEで

理4.23よ

り,F上

の 連 続 な 半 ノル ムpが

の 連 続 線 形 汎 関 数fに

存 在 す る し,(5.9)を

や は り局 所 凸 線 形 対 して は(5.8)を

満 た す よ うなE上

の線形

連 続 で あ る こ と に 注 意 し よ う.

 証 明  実数 体 の ときは

で あ る か ら,定

理5.1(実

が 分 る.  複 素 数 体 の と き は

数 体 の 場 合)と

そ れ に 続 く注 意 とか ら,定 理 の 成 立

で あ る か ら,定

理5.1(複

素 数 体 の 場 合)よ

f1(x)=f(x) (x∈F), 

り,E上

の 線 形 汎 関 数f1で

Ref1(x)≦p(x) (x∈E)

を 満 た す も の が 存 在 す る が,各x∈Eに

つ い て 複 素f1(x)の

偏 角 を θ とす る

と,

と な っ て,(5.9)が 系2 

Eを

成 立 す る. 

(証終)

ノル ム空 間 とす る.Eの

に 対 し て,E上

線 形 部 分 空 間F上

の 有 界 線 形 汎 関 数f1で,fの

の 有 界 線 形 汎 関 数f

拡張 で あ り

を 満 た す も の が 存 在 す る.  証明 と お く と,pはE上

よ って,系1よ

の 連 続 な 半 ノ ル ム で あ り,

りE上

の 有 界 線 形 汎 関 数f1で

f1(x)=f(x) (x∈F), ￨f1(x)￨≦p(x) (x∈E) とな る もの が 存 在 す る.

で あ る か ら, 

一 方,

ゆ え に    系3 

(証 終)

Eを

ノル ム空 間 とす る.Eの

元 

数fで

を 満 た す も の が 存 在 す る.   証 明   F={αx0￨α

に よ っ て,F上

∈ Φ}と お き,

の 線 形 汎 関 数f0を

定 義 す る と,

に 対 し て,E上

の有 界 線形 汎 関

で あ る か ら,f0はF上

有 界 で,

 系2よ

線 形 汎 関 数fで,f0の

拡 張 で あ り,

り,E上

の有 界

とな る も の が 存 在 す る.こ の と き,f(x0)=f0(x0)=‖x0‖. 

(証終)

  次 の 系 は ハ ー ン ・バ ナ ッハ の定 理 の 幾 何 学 的 な 表 現 で あ る.   系4  点0を

(マ ズ ー ル(Mazur)の

定 理)  Eを 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 とす る.Eの

含 む 凸 閉 集 合Mと 

な るEの

実 数 体 の場 合

(5.10)

  f(x0)>1, 

W⊂V.ゆ

で あ る か ら,Eの0の

対 し て0の

円 形 凸 近 傍Wが

近 傍V

存 在 し てW+

え に(x0+W+W)∩M=φ,(x0+W)∩(M−W)=φ.Wの

性 よ りW=−Wで

円形

あ る か ら,

  (5.11) 

(x0+W)∩(M+W)=φ.

共 に 凸 集 合 ゆ え,M+Wも

+Wは0の

近 傍,従

とす る と,定

凸 集 合.0∈Mよ

りW⊂M+Wゆ

っ て 吸 収 的 で あ る.M+Wの

理4.14よ

  (5.12) 

りpはE上

え,M

ミ ン コ ウ ス キ ー 汎 関 数 をp

の非 負劣 加法 的汎 関数 で

{x∈E￨p(x)<1}⊂M+W⊂{x∈E￨p(x)≦1}.

p(x0)>1を α0<1に

(x∈M)

存 在 す る.

閉 集 合 か つ 

が 存 在 し て(x0+V)∩M=φ.Vに

(x∈M),

Ref(x)≦1 

の 連 続 線 形 汎 関 数fが

  証 明   実 数 体 の 場 合.Mは

対 して

f(x)≦1 

複 素 数 体 の 場 合   Ref(x0)>1, 

を 満 た す よ うなE上

M,Wは

点x0に

原

示 す.0<α<1,α

→1と

対 し て α0x0∈x0+W.ゆ

りp(α0x0)≧1.よ   F={αx0￨α

す る とEで え に(5.11)よ

あ る か ら,あ

り 

る0<

(5.12)よ

つ てp(x0)≧1/α0>1.

∈R}と

す る. f0(αx0)=αp(x0) 

と お く と,f0はF上

αx0→x0で

(α∈R)

の 線 形 汎 関 数 で あ り,

な らば な らば で あ るか ら,f0(x)≦p(x)(x∈F)が よ りE上

の 線 形 汎 関 数fが

成 立 す る.ゆ

え に定 理5.1(実

存在 して

f(x)=f0(x) (x∈F), 

f(x)≦p(x) 

(x∈E).

数 体 の 場 合)

よ っ てf(x0)=f0(x0)=p(x0)>1.ま x∈−(M+W)な

たx∈M+Wな

らばf(x)≧−1ゆ

らば￨f(x)￨≦1.M+Wは0の

らばf(x)≦p(x)≦1,

え,x∈U≡(M+W)∩{−(M+W)}な

近 傍 で あ る か ら,Uも

で あ り,任 意 の ε>0に 対 しx∈ εUな らば￨f(x)￨≦ の0で 連 続,従 (x∈M)で

っ てEで

そ の 定 数 倍 も0の 近 傍

εが 成 立 す るか ら,fはE

連 続 で あ る.M⊂M+Wで

あ る か ら,勿 論,f(x)≦1

あ る.よ っ て 証 明 され た.

  複 素 数 体 の 場 合.Eを

実 線 形 空 間 と考 え る こ と に よ り,前 半 の 結 果 か ら,

g(x0)>1,  とな るEで

g(x)≦1 (x∈M)

連 続 な 実 線 形 汎 関数gが

存 在 す る.そ

こで

f(x)=g(x)−ig(ix) (x∈E) と お けば,fはE上 (5.10)が

の 連 続 線 形 汎 関 数 で あ り,Ref(x)=g(x)で

あ るか ら,

満 た され る. 

(証終)

  系5 

(マ ズ ー ル の 定 理)Eを

合Mと 

な るEの

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 とす る.Eの

点x0に

円形 凸 閉集

対 して

f(x0)>1, ￨f(x)￨≦1 (x∈M) を 満 た す よ うなE上   証 明   系4よ

の連 続 線 形 汎 関 数fが

存 在 す る.

り直 ち に 得 られ る(演 習 問 題5の1).

  系6  Eを 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 と し,FをEの

閉 線 形 部 分 空 間 か つ 

とす る と, f(x)=0  を 満 た す よ うなE上   証 明   系5よ

の 連 続 線 形 汎 関 数 

双

対

 E,Fが

線 形 位 相 空 間 の 場 合 に も,Eか

Tx=0と

の 連 続線 形 作用 素 の 全体 を

お け る 元0と

よ り,線 形

は,す べ て のx∈Eに

対 して

こ と で あ る.

線 形 位 相 空 間E上

共 役 空 間 とい う.

らFへ

通 常 の 線 形 演 算(3.14),(3.15)に

の 場 合,L(E,F)に

な る作 用 素Tの

  定 義5.1  し,Eの

性

表 す.L(E,F)は

空 間 を な す.こ

が 存 在 す る.

り得 られ る(演 習 問 題5の2).

  5.2 

L(E,F)で

(x∈F)

の 連 続 線 形 汎 関 数 の 全 体L(E,Φ)をE′

で表

  Eが 分 離 的 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 な らば,そ の 共 役 空 間E′ は 自 明 で な い(0 で な い)元 を 十 分 沢 山 有 す る.実 際,Eが の 元x0に

対 し 

理(定 理5.1の

な るEの0の

系5)よ

分 離 的 な らば, 

円 形 凸 閉 近 傍Vが

とれ て,マ

任意

ズ ール の 定

り,

f(x0)>1, ￨f(x)￨≦1  を 満 た すf∈E′

な るEの

(x∈V)

が 存 在 す る か らで あ る.

  特 に,ノ ル ム 空 間Eの

共 役 空 間E′ は 自 明 で な い 元 を 十 分 沢 山 有 す るバ ナ ッ

ハ 空 間 で あ る.   これ に 反 し,線 形 位 相 空 間Eが

局 所 凸 で な い と き は,分 離 的 で あ っ て も,そ

の共 役 空 間E′ が0以 外 の 元 を も つ こ とは 一 般 に は 保 証 され な い.こ

の こ とを

示 す 例 を 次 に 挙 げ る.   例  0
す る.有 界 開区間(a,b)上

素数 値)連 続関数 の空 間C0(a,b)の

の コンパ ク トな台 を もつ 実数値(ま た は複

元xに 対 し

 (5.13)

と お く と,

は 同 値,

 (5.14)   (5.15)

が 成 立 す る.(5.15)は,0
り,

に対 し を 得 る こ と か ら い え る.一

方

  (5.16) が 成 立 す る の で,￨￨￨x￨￨￨は

ノ ル ム で は な い が, d(x,y)=￨￨￨x−y￨￨￨

と お く と,d(x,y)は

平 行 移 動 に 関 し て 不 変 な 距 離 で あ る.C0(a,b)のd(x,y)に

備 化 をLp(a,b)で が,次

表 す.容

の 性質(5.17)を

  (5.17) 

Lp(a,b)の

C0(a,b)の

不 定 積 分 の 連 続 性 よ り,区

原 点0を

含 む な ら ば,VはC0(a,b)を

な る).

内 点 で あ る か ら,あ

任 意 の 元 

分 離的 な線形 位相 空 間で あ る

所 凸 で は な い.

凸 な 開 集 合Vが

(実 はV=Lp(a,b)と 実 際,0はVの

易 に 分 る よ うに,Lp(a,b)は

も つ の で,局

る δ>0に

を と る.p<1よ

間(a,b)の

よ る完

対 して

り 自然nを

十 分 大 き く選 ぶ と

分 割a=t0
存 在 して

含 む

が 成 立 す る.k=1,2,…,nに

つ い て

と お く と,xk∈Lp(a,b)と

み な さ れ る(§2.3に

お い て,C[a,b]⊂LP(a,b)と

み な した

の と 同 様 の 考 え 方 を す れ ば よ い).

で あ る か ら,xk∈B(0,δ)⊂V.よ

と な り,(5.17)が

っ て,Vの

凸性 よ り

成 立 す る.

  さ て,Lp(a,b)上

の連 続 線 形 汎 関 数 は0以

外 に 存 在 し な い こ とを 示 そ う.fをLp(a,b)

上 の 連 続 線 形 汎 関 数 とす る.任 意 の ε>0に 対 して V={x∈Lp(a,b)￨￨f(x)￨<ε} とお く と,fの

線 形 性 と連 続 性 よ り,Vは

VはC0(a,b)を

含 む か ら,任

凸 な 開 集 合 で0を

意 に 固 定 したx∈C0(a,b)に

で あ る か ら,ε →0と す る と,f(x)=0.ゆえ はLp(a,b)で

い えた.こ

で0,す

の 例 はp≧1に

っ て(5.17)よ

り,

つ い て￨f(x)￨<ε.ε

にfはC0(a,b)上

稠 密 で あ るか ら,fはLp(a,b)上

(Lp(a,b))′={0}が

含 む.よ

で0で な わ ちf=0で

対 す るLp(a,b)の

は任意

あ る が,C0(a,b) あ る.よ

って

場 合 とは 対 照 的 な 興 味

あ る もの で あ る.   定 義5.2  関 数:す

E,Fを

線 形 空 間 と す る.〈x,y〉

は 直 積 集 合E×F上

の 双線 形汎

なわ ち

  (5.18) 

任 意 に 固 定 し たx0∈Eに

対 し て,〈x0,y〉

はF上

の 線 形 汎 関 数,

  (5.19) 

任 意 に 固 定 し たy0∈Fに

対 し て,〈x,y0〉

はE上

の線 形汎 関数

で あ る と す る.さ

ら に〈x,y〉

が 次 の2条

件:

  (5.20) 

Eの

任 意 の 元 

に 対 し て, 

と な るy∈Fが

存 在 す る,

  (5.21) 

Fの

任 意 の 元 

に 対 し て, 

と な るx∈Eが

存 在す る

を 満 足 す る と き,EとFは   補 題5.2  る.こ

線 形 空 間E,Fは

の と き,Eの

y1,y2,…,ynが

 (5.22)

双 線 形 汎 関 数〈x,y〉 双線 形汎 関数

任 意 有 限 個 の1次

存 在 し て,j,k=1,2,…,nに

に 関 し て 双 対 を な す と い う. 〈x,y〉 に 関 し て 双 対 を な す と す

独 立 な 元x1,x2,…,xnに ついて

対 し,Fの

元

が 成 立 す る.   証 明   帰 納 法 に よ る.n=1の 満 た すy1∈Fが   n−1の し,仮

と きEの

存 在 す る こ と は(5.20)よ

定 よ りFの

元z1,z2,…,zn−1が

元yに

独 立 な 元x1,x2,…,xnに

存 在 し て,j,k=1,2,…,n−1に

対 ついて

対 し

  (5.23) 〈xj,y〉=0 

(j=1,2,…,n−1)な

が 成 立 す る と仮 定 す る.任 意 のy∈Fに =1,2,…,n−1に

ゆえ,仮

に 対 し〈x1,y1〉=1を

り 明 ら か.

と き 補 題 の 成 立 を 仮 定 す る.Eの1次

い まFの

らば

〈xn,y〉=0

対 し, 

と お く と,j

つ い て

定(5.23)よ

り〈xn,y〉=0.よ

こ の 等 式 は 任 意 のy∈Fに

っ て,あ

って

つ い て 成 立 す る か ら,(5.20)よ

と な り,x1,x2,…,xnの1次 る.従

任 意 の 元 

独 立 性 に反 す る.そ

るzn∈Fが

り 

れ ゆ え(5.23)は

不成立であ

存在 して

〈xj,zn〉=0 

(j=1,2,…,n−1)か

つ

〈xn,zn〉=1.

そ こで yk=zk−

〈xn,zk〉zn 

(k=1,2,…,n−1), 

と お く と,y1,y2,…,ynが(5.22)を

yn=zn

満 た す も の で あ る こ と が 容 易 に 分 る. (証 終)

  定 義5.3  る.Fの

線 形 空 間E,Fは

各 元yに

双 線形 汎 関数

{py}y∈Fに い,σ(E,F)で

に 関 し て 双 対 を な す とす

対 して py(x)=￨〈x,y〉｜

と お く と,pyは

〈x,y〉

明 ら か にE上

の 半 ノ ル ム で あ る.こ

よ っ て 決 定 さ れ るEの 表 す.

 (x∈E)

局 所 凸 位 相 をFか

の よ うな 半 ノル ム の 全 体 ら導 入 され る 弱 位 相 とい

  定 理4.18よ (5.20)よ

り,弱

り,半

で あ る.ま

関 し て,次

ノ ル ム の 族{py}y∈Fは

た,Fの

  (5.24)  の全体 が

位 相 σ(E,F)に

の こ と が 明 ら か で あ る.条

分 離 的 で あ る か ら,σ(E,F)は

任 意 有 限 個 の 元y1,y2,…,ynと

任 意 の ε>0に

V(y1,y2,…,yn;ε)={x∈E￨￨〈x,yk〉￨≦ σ(E,F)に

…,yn;ε)の

関 す るEの

原 点0の

件

分離 的

対 応 す る集 合

ε(k=1,2,…,n)}

基 本 近 傍 系 を な し て い る.V(y1,y2,

ミン コ ウ ス キ ー 汎 関 数 は

で あ る.   注 意1  σ(E,F)に

(5.24)に お け るykを 修 正 す る こ とに よ り,V(y1,y2,…,yn;1)の 関 す るEの 原 点0の 基 本 近 傍 系 を な す こ とが 分 る.

  注 意2 

(5.24)に

お い て,必 要 が あ れ ば,y1,y2,…,ynは1次

全体が

独 立 な も の に 限 って よ

い(演 習 問 題5の5).   弱 位 相 σ(E,F)に

関 す る 位 相 的 な 性 質 を 記 述 す る と き に,σ(E,F)‐

σ(E,F)‐

コ ン パ ク トな ど と か き,こ

れ を 弱 連 続,弱

  EとFの

立 場 を 逆 に す る と,全

く 同 様 に し てEか

σ(F,E)が

導 入 さ れ る.従

質 は そ の ま ま σ(F,E)に   線 形 空 間E,Fが き,任

らF上

に分離 的 な弱位 相 関 す る 種 々の 性

対 し て も 成 立 す る.

双 線形 汎 関数

〈x,y〉 に 関 し て 双 対 を な す と す る.こ

の と

対 して

  (5.25) fy(x)=〈x,y〉

  (x∈E)

に よ っ て 定 義 さ れ るE上 対 し てEの

コ ン パ ク トな ど と も い う.

っ て 以 後 に 述 べ ら れ る σ(E,F)に

意 に 固 定 し たy∈Fに

の ε>0に

連 続,

の 線 形 汎 関 数fyは

原 点0の

σ(E,F)‐

σ(E,F)‐

連 続 で あ る.実

近 傍V={x∈E￨￨〈x,y〉￨≦

際,任

意

ε}を 考 え

る と, x∈Vな ゆ え,fyは

原 点0で

σ(E,F)‐

  し か も 弱 位 相 σ(E,F)は Eの(線

連 続,従

連 続 に す る よ う なEの

の 任 意 の 点x0の σ(E,F)‐

ε σ(E,F)‐

対 応 す るfyを

連 続 で あ る. 連 続 に す る よ うな

相 の うち の 最 弱 の も の で あ る.実

任 意 の 位 相 を τ と し,τ〓 σ(E,F)を

任 意 の σ(E,F)‐ 近傍 で

っ てEで

す べ て のy∈Fに

形 位 相 と は 限 ら な い)位

のfyを

0の

ら ば￨fy(x)￨≦

近 傍x0+Wを

と る.た

だ し,WはEの

際,す

べて

示 そ う.E 原点

と す る.こ

の と き,

で あ り,各yk∈Fに ￨≦ ε}は 点x0の σ(E,F)で   Fの

対 応 す るfykは τ‐ 近 傍,従

点x0でτ‐

っ てx0+Wも

連 続 ゆ え,{x∈E￨￨〈x−x0,yk〉

点x0の

τ‐ 近 傍 で あ る.ゆ

あ る.

元yにfyを

対 応 さ せ る 作 用 素 をTと

す る と,TはFか

に 関 す る 共 役 空 間 へ の 線 形 作 用 素 で あ り,(5.21)よ が 分 る.そ

れ ゆ え,FとT(F)は

同 一 視 し て,FはEの

σ(E,F)に

  定 理5.3 

線 形 空 間E,Fは

  証 明   E上

双 線形 汎 関 数

σ(E,F)に

の 任 意 の σ(E,F)‐

と 表 さ れ る こ と を 示 せ ば よ い.定

〈x,y〉

あ ること

に 関 し て 双 対 を な す とす

関 す る 共 役 空 間 はFと

一 致 す る.

連 続 な 線 形 汎 関 数fが,あ

f(x)=〈x,y〉

な 元y1,y2,…,ynが

りTは1対1で

σ(E,F)

関 す る 共 役 空 間 に 含 ま れ る と 考 え て よ い.

は 両 者 は 一 致 す る の で あ る:

の と き,Eの

らEの

線 形 空 間 と し て 同 型 で あ る か ら,yをfyと

と こ ろ が,実

る.こ

え に τ〓

 

理4.23と

るy∈Fに

よって

(x∈E) 上 の 注 意1,2よ

り,Fの1次

独立

存在 して

 (5.26) 補 題5.2よ

り,Eの

元x1,x2,…,xnが

 と お き,yが し, 

ゆ え に,(5.26)よ

存 在 し て,j,k=1,2,…,nに

求 む る も の で あ る こ とを 示 す.任

と お く と,k=1,2,…,nに

りf(x)=0.よ

つ い て

意 のx∈Eに

対

つ い て

っ て

(証 終)

定 義5.4 

線 形 空 間E,Fは

双 線 形 汎 関 数 〈x,y〉 に 関 して 双 対 を な す とす

る.Eの

部 分 集 合Mに

う なy∈Fの

対 し,す

全 体 をM0で

べ て のx∈Mに

表 し,MのFに

つ い て￨〈x,y〉￨≦1と

お け る 極 集 合 と い う:

M0={y∈F￨￨〈x,y〉￨≦1    M0のEに

お け る 極 集 合M00をMの

  補 題5.4 

Eの

部 分 集 合M,Nお

なるよ

(x∈M)}.

第2極

集 合 と い う.

よ び 部 分 集 合 族{Mλ}λ ∈Λに 対 し て,次

の こ

と が ら が 成 立 す る:   (5.27) 

M⊂M00,

  (5.28) 

M⊂Nな

 (5.29) 

ら ばM0⊃N0, に対 し て

 (5.30)   証 明   極 集 合 の 定 義 か ら 明 ら か.   補 題5.5 

Eの

部 分 集 合Mの

極 集 合M0は

円 形 凸 σ(F,E)‐ 閉 集 合 で あ る.

証明 と 表 さ れ る こ と に 注 意 す る.各x∈Mに

対 し

fx(y)=〈x,y〉 に よ っ て 定 義 さ れ るfxはF上

は 円 形 凸 σ(F,E)‐

閉 集 合,従

 

(y∈F)

の σ(F,E)‐

っ てM0も

連 続 な 線 形 汎 関 数 で あ る か ら,

円 形 凸 σ(F,E)‐

閉 集 合 で あ る. (証 終)

 注 意   Eの 部 分 集 合MのFに

お け る 極 集 合 を,実

線形空 間 の ときは

に よ り,複 素 線 形 空 間 の と き は

に よ り定 義 す る こ と も あ るが,こ   補 題5.6 

Eの

部 分 集 合Mの

に 等 し い.従

っ て,Mが

  証 明   Mの

円 形 凸 σ(E,F)‐

M00は る と,マ

の 場 合,極

円 形 凸 σ(E,F)‐

第2極

集 合M00はMの

円 形 凸 σ(E,F)‐

まEの 定 理5.3よ

(x∈M),

閉包

成 立 す る.

す る.M⊂M00か

閉 集 合 ゆ え,M⊂M00.い 系5)と

円 形 凸 σ(E,F)‐

閉 集 合 な ら ば,M00=Mが

閉 包 をMと

ズ ー ル の 定 理(定 理5.1の

  (5.31) ￨〈x,y〉￨≦1 

集 合 は いず れ も凸 σ(F,E)‐ 閉 集 合 で あ る.

つ 補 題5.5よ 点x0が 

り,y∈Fが

り とす

存 在 して

  (5.32) 

〈x0,y〉>1.

(5.31)よ

りy∈(M)0⊂M0ゆ

え,(5.32)よ

り 

.よ

っ てM=M00. (証 終)

  5.3 

回 帰 性 と 弱 コ ン パ ク ト性

  今 後,多

くの 場 合,線

形 空 間E上

の 線 形 汎 関 数fの

元x∈Eに

お け る値 を

〈x,f〉 とか く.   Eは 分 離 的 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 とす る.Eと 〈x,x′〉(x∈E,x′ 20),(5.21)を

∈E′)はE×E′

満 た す.実

通 り.(5.21)の

そ の 共 役 空 間E′

に対 して,

上 の 双 線 形 汎 関 数 で あ り,さ らに 条 件(5.

際(5.20)の

成 立 はE′ の 元 

成 立 は 定 義5.1の

す ぐあ とで 説 明 した

の 意 味 か ら 明 ら か.従

双 線 形 汎 関 数 〈x,x′〉 に 関 して 双 対 を な す か ら,分 弱 位 相 σ(E′,E)が 導 入 さ れ る.σ(E′,E)を

って,EとE′

は

離 的 な 弱 位 相σ(E,E′)と

特にE′ の 汎 弱 位 相 とい う こ とが

あ る.   前 節 で 示 した 通 り,σ(E,E′)はE′

の す べ て の 元 を 連 続 に す る よ うなEの

相 の うち の 最 弱 の も の で あ るか ら,Eの

局 所 凸 位 相 は σ(E,E′)よ

位

り強 い こ と

が 分 る.   そ れ ゆ え,一 般 にE上

の 汎 関 数 は σ(E,E′)‐連 続 な らば 連 続 で あ る が,E上

の 線 形 汎 関 数 に つ い て は,こ の 逆 が 成 立 す る(定 理5.3).ま は 有 界 な らば σ(E,E′)‐有 界 で あ るが,一 で は ノ ル ム 空 間 の 場 合 の み,こ

般 に この 逆 が 成 立 す る.た

の こ とを 示 す(定 理5.13).さ

合 は σ(E,E′)‐閉 集 合 な らば,閉

た,Eの

集 合 で あ る が,特

部 分 集合 だ し本 書

ら に,Eの

部 分集

に 凸 集 合 に対 して は,こ

の

逆 が 成 立 す る:   定 理5.7 

分 離 的 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eの

凸 集 合Mに

対 して,次

の2条

件 は 同 値 で あ る:   (5.33)  Mは

閉 集 合 で あ る,

  (5.34)  Mは

σ(E,E′)‐閉 集 合 で あ る.

  証 明   (5.34)⇒(5.33)明   (5.33)⇒(5.34)  閉 集 合 とす る.Mが

らか.

実 数 体 の場 合.M=Eの 原 点0を

と き は 明 らか.Mは 

含 ま な け れ ば,平

なる

行 移 動 す る こ とに よ り,Mは

0を

含 む と し て よ い. 

の 系4)よ

り, 

な るEの

点xに

対 し,マ

ズ ー ル の 定 理(定 理5.1

が 存 在 して

 (5.35) 

〈y,x′ 〉≦1 

  (5.36) 

(y∈M),

こ のxに

〈x,x′ 〉>1. 対 しM(x)={y∈E￨〈y,x′

〉≦1}と

お く と,

 (5.37)

な ぜ な ら ば,(5.35)よ

り 

で あ り,(5.36)よ

 ゆ え, 

  以 後,議

ならば

と な る か ら で あ る.x′ ∈E′ は σ(E,E′)‐ 連 続

で も あ る か ら,M(x)は 閉 集 合 で あ る.複

り 

σ(E,E′)‐ 閉 集 合,よ

っ て(5.37)よ

りMは

σ(E,E′)‐

素 数 体 の 場 合 も 同 様. 

(証 終)

論 を ノ ル ム 空 間 の 場 合 に 限 る こ と に す る.一

形 位 相 空 間 の 場 合 に も 類 似 の 結 果 が 成 り立 つ が,こ

般 の 分離 的 な局所 凸 線

こ で は 扱 わ な い.

  す ぐ あ と で 述 べ る バ ナ ッ ハ ・ア ラ オ グ ル(Banach-Alaoglu)の

定 理 の証 明に

必 要 と な る チ ホ ノフ の 定 理 に つ い て 説 明 し よ う.   {Xλ}λ∈Λ を 集 合 族 と す る.各 体 を 

λ∈Λ に 対 しxλ ∈Xλ で あ る よ う な(xλ)λ∈Λの 全

で 表 し,{Xλ}λ∈Λ の 直 積 集 合 と い う:

  ツ ェ ル メ ロ の 選 択 公 理   集 合 族{Xλ}λ∈Λ に 対 し,各 

の と き,写

 と な る も の が 存 在 す る.こ

像f:

のfを{Xλ}λ∈Λ

の

選 択 関 数 と い う.   こ の 公 理 を 仮 定 す れば,各    さ て,Xλ(λ

∈Λ)が

 と お く.た い てVλ=Xλ

の と き, 

位 相 空 間 の と き,  だ し,各Vλ

と す る.こ

の 任 意 の 元x=(xλ)に

対 して

に お け る 近 傍 で あ り,有 限 個 を 除

全 体P*(x)を

 に導入 さ れ る.こ

の 直 積 位 相 と い い, 

点x=(xλ)の の と き,こ

基本近 傍

の 位 相 を{Xλ}λ∈Λ

を 直 積 位 相 空 間 と い う.

(チ ホ ノフ の 定 理){Xλ}λ∈Λ が コ ン パ ク トな 位 相 空 間 の 族 な らば,

そ の 直 積 位 相 空 間    証 明  Xの

はxλ のXλ

の よ うなVの

系 とす る よ うな 位 相 が

  定 理5.8 

が 保 証 さ れ る.

は コ ン パ ク トで あ る.

閉 部 分 集 合 の 族F0が

交 叉 性 を もちF0を

有 限 交 叉 性 を もつ とす る.Xの

部 分 族 とす る よ うな もの の全 体 をPと

部 分 集 合 の族 で 有 限

す る.F1,F2∈Pに

対 しF1⊂

F2の

と きF1〓F2と

定 め てPに

中 に 上 界 を も つ.実

際, 

F1,F2,…,Fnの

対 し てGk∈Fkと

う ち の 最 大 の も の を 仮 りにFnと

ら に,す

べ て のF∈Qに

に つ い て,x=(xλ)∈Xにxλ に 対 しPλ(H)=Hλ つ か ら,Xλ

す な わ ちGは

少 な く と も1つ

のXλ

が 存 在 す る.い

存 在 す る が,

も つ.さ

って

て,各

と す る:Pλ(x)=xλ. 

と す る.Hは

λ∈ Λ H∈H

有限交 叉性 を も

有 限 交 叉 性 を も つ.Xλ

ま,H∈HのXに

あ

上 界 で あ る.

の 極 大 元Hを

に お け る 閉 包 をHλ

に お け る 閉 集 合 の 族{Hλ￨H∈H}も

ゆ え, 

属 す る任 意 有 限

有 限 交 叉 性 を も つ.よ

え,GはQの

∈Xλ を 対 応 さ せ る 作 用 素 をPλ

と お き,Hλ

たGに

す る と,Gk∈Fn(k=1,2,…,n)で

つ い てF〓Gゆ

  従 っ て ツ ォ ルン の 補 題 よ り,Pは

あ る.ま

な るFk∈Q(k=1,2,…,n)が

有 限 交 叉 性 を も つ か ら, 

G∈P.さ

任 意 の 全 順 序 部 分 集 合QはPの

と お く と,G⊃F0で

個 の 集 合G1,G2,…,Gnに

り,Fnは

順 序 を 導 入 す る.Pの

お け る 閉 包 をHと

は コンパ ク ト し

 (5.38)

が 示 さ れ る な らば,F0が{H￨H∈H}の っ てXは

部 分 族 で あ る こ とか ら, 

とな

コン パ ク トと な る.

  (5.38)の

証 明.λ0∈Λ

に 対 しVλ=Xλ)を

を 任 意 に 固 定 し,y=(yλ)の

考 え る.任

な り, 

意 にH∈Hを

近 傍 

(た だ し, 

と る.yλ0∈Hλ0で

が 存 在 す る.Pλ0(z)=zλ0と

な るz∈Hを

あ る か ら, 

と

と る と, 

す な

わ ち   (5.39) 

す べ て のH∈Hに

対 し

さ らに

な らば

 (5.40) 

な ぜ な ら ば,班 をH′

に 属 す る 任 意 有 限 個 の 集 合 の 共 通 部 分 の 全 体 をHに

とす る と,H′

∈Pか

つ 

で あ る.(5.39),(5.40)を も ち,再

びHの

で あ る が,Hの

考 慮 す る と,HにV(λ0)を

極 大 性 よ りV(λ0)∈Hと

  (5.41)  こ で,V(λ)は

傍 

(た だ し,λ1,λ2,…,λn∈Λ

(5.40),(5.41)よ

りV∈H.よ な り, 

任 意 で あ る か ら,

近 傍 で あ る.さ

てy=(yλ)の

除 い てVλ=Xλ)は 

っ て 任 意 に 固 定 し たH∈Hに

任 意 の近

と 表 さ れ る か ら, つ い て 

が 得 ら れ た. 

であ るか (証 終)

の2元x=(xλ),y=(yλ)α

∈Φ に

形 演算 を x+y=(xλ+yλ), 

に よ り定 義 す る と,  Λ)と

とな る か ら

付 け 加 えた 集 合 族 は 有 限 交 叉性 を

な る.λ0は

上 述 の 形 のy=(yλ)の

  Xλ(λ∈Λ)のが 線 形 空 間 の と き,  対 し,線

極 大 性 よ り,H=H′

す べ て の λ∈Λ に 対 し

が い え る.こ

ら,y∈Hと

付け 加 えた 集 合族

な る 元(xλ)の

ax=(axλ)

は 線 形 空 間 を な す.こ こ と で あ る.

の 場 合,元0はxλ=0(λ

∈

  Xλ(λ∈ Λ)が 線 形 位 相 空 間 な らばXも が 分 離 的 な らばXも

線 形 位 相 空 間 で あ る.特

にXλ(λ∈ Λ)

分 離 的 で あ り,Xλ(λ ∈Λ)が 局 所 凸 な らばXも

局所 凸で

あ る.   さ てEを ノル ム 空 間 と し,そ の 共 役 空 間E′ に お い て 弱 位 相 σ(E′,E)を 考 える .Φx=Φ(x∈F)と し,  と お く と,Xは 分離 的 な局所 凸線形 位 相 空 間 で あ る.い ま 写 像

を 考 え る と,Tは1対1の 近 傍V={x′

線 形 作 用 素 で あ る.ま

∈E′￨￨〈xk,x′ 〉￨≦ ε(k=1,2,…,n)}(た

と 

の 原 点0の

近 傍 

そ の 他 のVx=Φx)の

れ ゆ え,E′

の 原 点0の

σ(E′,E)‐

だ しxk∈E(k=1,2,…,n))

(た だ し 

に対 し

が 成 立 す る こ と か ら,Tは′ る.そ

たE′

か らT(E′)の上

とT(E′)は

へ の 同 相 写 像 で あ る こ とが 分

線 形 位 相 空 間 と し て 同 型 で あ る か ら,x′

(〈x,x′〉)x∈Eと 同 一 視 し てE′=T(E′)⊂Xと

み な し て よ い.以上

を

の考察 を次 の

定 理 の 証 明 に 用 い る.   定 理5.9 

(バ ナ ッハ ・ア ラ オ グ ル の 定 理)ノ

閉 単 位 球B′={x′

∈E′￨‖x′‖≦1}は

ル ム 空 間Eの

共 役 空 間E′

の

σ(E′,E)‐ コ ン パ ク トで あ る.

  証 明   任 意 のx′ ∈B′ に 対 し ￨〈x,x′〉￨≦‖x‖‖x′‖≦‖x‖  (x∈E). 各x∈Eに

つ い てMx={α

∈ Φx￨￨α￨≦‖x‖}と

の こ と か ら,  てMか

で あ り,B′上

を 考 え る.上

で は σ(E′,E)と,Xか

ら導 入 さ れ る 位 相 が 一 致 す る こ と に 注 意 す る.各Mxは

あ る か ら,チ え,B′

お き, 

がMの

ホ ノ フ の 定 理(定 理5.8)よ

り,Mは

閉 集 合 で あ る こ と を 示 せば,B′

述

ら従 っ コ ン パ ク トで

コ ン パ ク トで あ る.そ

れゆ

は σ(E′,E)‐ コ ン パ ク トに な

る.   Xの

任 意 の 元 はE上

の1つ

の 汎 関 数 と み な さ れ る.x′0∈MをB′

集 積 点 と し,x′0を 仮 り に(〈x,x′0〉)x∈Eと 表 現 し よ う.x′0がE上 で あ る こ と を 示 す.任 て

意 にx,y∈E,α,β

∈ Φ を 固 定 す る.任

の 任意の の 線形 汎 関数

意 の ε>0に

対 し

 (5.42)

を 満 た す よ うなx′ ∈B′ が 存 在 す る.x′ は 線 形 で あ るか ら,

こ の 式 と(5.42)よ

ε→0と

り

す る と,

を 得 て,x′0は

線 形 に な る.さ

ら, 

ら に,各x∈Eに

よ っ て 

つ い て〈x,x′0〉∈Mxで

と な り,x′0∈B′.ゆ

あ るか

え にB′ はMの

合 で あ る. 

閉集 (証 終)

  定 理5.10 

バ ナ ッハ 空 間Eの

共 役 空 間E′

の 部 分 集 合M′

に つ い て 次 の3

条 件 は 同 値 で あ る:   (5.43) M′

は(ノ ル ム)有 界 で あ る,

  (5.44) M′

は 相 対 σ(E′,E)‐ コ ン パ ク トで あ る,

  (5.45) 

M′ は σ(E′,E)‐ 有 界 で あ る.

  証 明   (5.43)⇒(5.44)  B′ をE′ σ(E′,E)‐ コ ン パ ク ト,従 す る 閉 包M′

M′ が(ノ ル ム)有 界 な ら ば,あ の 閉 単 位 球 と す る と,M′

定 理4.21よ

  (5.45)⇒(5.43) 

一様 有 界 性 の 定 理(定 理3.8)よ

ノ ル ム 空 間Eの

理5.1の

各 元xに

と き は 明 ら か. 

系3よ

り

定 理 よ り αB′ は の σ(E′,E)に

り明 ら か.

対 して

が 成 立 す る.

一 方 ,定

対 し 

コ ン パ ク トで あ る.

  (5.44)⇒(5.45) 

  証 明   x=0の

⊂ αB′.前

っ て σ(E′,E)‐ 閉 で あ る か ら,M′

σは αB′ に 含 ま れ,σ(E′,E)‐

  補 題5.11 

る α>0に

と す る.

り 明 ら か. 

(証 終)

関

を 満 た す よ うなx′0∈E′が 存 在 す るか ら,

(証 終)

次 に 一 般 的 な 定 義 を 与 え る. E,Fを

ノル ム空 間 とす る.Eか

らFへ

の 線 形 作 用 素Tは

 (5.46)

を 満 た す と き,等 距 離 で あ る とい う.こ の と き Tx=0な で あ る か ら,Tは1対1で   Eか

らFの

らばx=0

あ る.

上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素Tが

存 在 す る と き,EとFは

ノル ム空

間 と して 同 じ構 造 を もつ と考 え て よ い.そ

れ ゆ え,こ

の と き,EとFは

ノル

ム 空 間 と し て 同 型 で あ る とい い,EとFを

同一 視 し て よ い(こ の 概 念 は §2.3

に お い て,す で に 用 い られ て い る).   さ て 本 論 に も ど ろ う.   ノル ム空 間Eの

共 役 空 間E′ の 共 役 空 間E″=(E′)′ をEの

第2共

役空 間 と

  E′ に 弱 位 相 σ(E′,E)を 導 入 す る と きE′σとか く こ とに す る と,そ

の共役 空

い う.E′ もE″ もバ ナ ッハ 空 間 で あ る.

間(E′σ)′ はEに

一 致 す る(定 理5.3).こ

の 意 味 は,Eの

元xと(E′ σ)′ の 元fが

条件   (5.47) f(x′)=〈x,x′〉  に よ って1対1線 た.ま の7)か

た,E′

(x′∈E′)

形 に 対 応 して お り,xとfを

同 一 視 す る とい う こ とで あ っ

の ノル ム か ら定 め られ る位 相 は σ(E′,E)よ

り強 い(演 習 問 題5

ら,

で あ る.(5.47)に

お け るfをE″

が 成 立 す る.従 っ て,xにfを

の 元 と み る と き,補

対 応 さ せ る 作 用 素 をTと

題5.11よ

り

す る と,TはEか

ら

E″ へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.以 上 の こ とか ら,次 の 定 理 を 得 る.   定 理5.12 

ノル ム空 間Eは

そ の 第2共

役 空 間E″ の 部 分 ノル ム空 間 で あ る.

す な わ ち,EはE″

に 含 ま れ,E″

の ノ ル ム はE上

で はEの

ノル ム と一 致 す

る.   以 後,Eの

元xをE″

の 元 とみ る とき 〈x,x′〉=〈x′,x〉

 (x′ ∈E′)

と か い て よ い.   定 理5.13 

ノ ル ム 空 間Eの

  (5.48) Mは(ノ

部 分 集 合Mに

件 は 同 値 で あ る:

ル ム)有 界 で あ る,

  (5.49) Mは

σ(E,E′)‐ 有 界 で あ る.

  証 明   (5.48)⇒(5.49)    (5.49)⇒(5.48) 

明 ら か.

Mが

σ(E,E′)‐ 有 界 な ら ば,M⊂E″

σ(E″,E′)‐ 有 界 で あ る か ら,定 て 定 理5.12よ

り,MはEで(ノ

  定 理5.13を

定 理5.10と

理5.10よ

と 考 え た と き,Mは

り,MはE″

で(ノ ル ム)有 界,従

ル ム)有 界 と な る.  比 較 し て み る と,Mの

が 気 に な る と こ ろ で あ る が,こ   定 義5.5 

つ い て 次 の2条

れ が,次

ノ ル ム 空 間EがE=E″

っ

(証 終)

相 対 σ(E,E′)‐ コ ン パ ク ト性

の 回 帰 性 に か か わ る 性 質 な の で あ る. を 満 た す と き,Eは

回帰 的 で あ る とい

う.   明 ら か に,回   定 理5.14 

帰 的 な ノ ル ム 空 間 は バ ナッ ハ 空 間 で あ る. バ ナ ッ ハ 空 間Eに

対 し て,次

の3条

  (5.50) 

Eは

回 帰 的 で あ る,

  (5.51) 

Eの

任 意 の(ノ ル ム ま た は σ(E,E′)‐)有

件 は 同 値 で あ る:

界 集 合 は 相 対 σ(E,E′)‐

コ

ン パ ク トで あ る,   (5.52) 

Eの

閉 単 位 球 

  証 明   (5.50)⇒(5.51) 

は σ(E,E′)‐ Eが

間 と し て)一 致 す る か ら,定   (5.51)⇒(5.52)  り,ま

たBは

Bは

回 帰 的 な ら ば,EはE′

理5.10よ

り,(5.51)が

凸 閉 集 合 ゆえ,定

有 界 で あ る.ゆ

え に(5.51)を

理5.7よ

コ ン パ ク トで あ る.

の 共 役 空 間 に(ノ ル ム 空 得 ら れ る. り,Bは

σ(E,E′)‐ 閉 で あ

仮 定 す れ ば,Bは

σ(E,E′)‐ コ ン

パ ク トで あ る.   (5.52)⇒(5.50) Bが Bは

σ(E,E′)‐ コ ン パ ク トな ら ば,B⊂E″

σ(E″,E′)‐ コ ン パ ク ト,従

形 凸 集 合 で あ る.よ

っ て,E″

と 考 え た と き,

っ て σ(E″,E′)‐ 閉 集 合 で あ る.ま

た,Bは

とE′ の 間 の 双 対 性 を 考 え る と き,補 題5.6よ

円 り

B00=Bが

成 立 す る.い

まx″ をE″ の 任 意 の 元 とす る と,x″ はE′ 上 の 有 界 線

形 汎 関 数 で あ る か ら,あ る δ>0に 対 して x′∈δB′ な らば￨〈x′,x″〉￨≦1, た だ し,B′ はE′ の 閉 単 位 球 で あ る.B′=B0に

を 得 る か ら,E″=Eで   な お,次

注 意 す る と,上

述 の こ とか ら

あ る. 

(証終)

章 に お い て もバ ナ ッハ 空 間 の 回 帰 性 に 関 す る い くつ か の 結 果 が 述 べ

ら れ る(演 習 問 題6の4に

も 注 意 せ よ).

演 習 問 題5   1.  定 理5.1の

系5を 証 明せ よ.

  2.  定 理5.1の

系6を 証 明 せ よ.

  3.  Eを

線 形 位 相 空 間 と し,Fを

  1)  FがEで

そ の 線 形 部 分 空 間 とす る と き,次

稠 密 な らば,f(x)=0(x∈F)と

な るf∈E′ は0に

の こ と を 示 せ.

限 る.

  2)  Eが 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 の と きは1)の 逆 が 成 立 す る:f(x)=0(x∈F)と E′ が0に 限 る な らば,FはEで 稠 密 で あ る.   4.  ノル ム空 間Eと

そ の 完 備 化Eに

対 しE′=(E)′(ノ

な るf∈

ル ム空 間 と して 同型)で あ る こ

とを 示 せ.   5.  線 形 空 間E,Fが るEの

原 点0の

双 線 形 汎 関 数〈x,y〉

基 本 近 傍 系(5.24)に

に 関 して 双 対 を な す と き,σ(E,F)に

お い て,Fの

元y1,y2,…,ynは1次

関す

独立 な ものに

限 っ て よい こ とを 示 せ.   6.  線 形 空 間E,Fが

双 線 形 汎 関 数〈x,y〉

集 合{x∈E￨〈x,y〉<1}の

に 関 し て 双 対 を な す と き,Fの

σ(E,F)‐ 閉 包 は{x∈E￨〈x,y〉

  7.  ノル ム 空 間Eの 共 役 空 間E′ に お い て は,E′ σ(E′,E)よ り強 い こ とを 示 せ.

≦1}に

そ の 第2共

対し

の ノル ムか ら 定 め られ る 位 相 τは

  8.  ノ ル ム空 間Eと そ の 第2共 役 空 間E″ の 閉 単 位 球 を そ れ ぞ れB,B″ B″ はBの σ(E″,E′)‐ 閉 包 で あ る こ と を示 せ.   9.  ノル ム 空 間Eは

元yに

等 し い こ と を示 せ.

とす る と き,

役 空 間E″ に お い て σ(E″,E′)‐ 稠 密 で あ る こ と を示 せ.

 10.  分 離 的 な 局 所 凸 線形 位 相 空 間Eが

可 分 な こ と と σ(E,E′)‐可 分 な こ と とは 同 値 で

あ る こ とを 示 せ.  11.  Eを 無 限 次 元 の バ ナッ ハ 空 間 と し,E′ 集 合 の 全 体 をKと

し,各K∈Kに

の 半 ノル ム の 族{pK}K=Kに

対 し 

を そ の共 役 空 間 とす る.Eの

コンパ ク ト とお く.E′

よ っ て 決 定 され るE′ の 分 離 的 局 所 凸 位 相 を τとす る .

上

  1) Kの

元K上

の連 続 関 数 の全 体C(K)は

し バ ナッ ハ 空 間 で あ る.E′ の 各 元x′ はKに で あ る.こ

ノル ム 

に関

お け る制 限 を 考 え る こ とに よ り,x′∈C(K)

の と き,E′ の 閉 単 位 球B′ はC(K)の

コ ンパ ク ト集 合 で あ る こ とを 示 せ.

  (こ れ は ア ス コ リ ・ア ル ツ ェ ラ(Ascoli-Arzela)の

定 理 の 特 別 の 場 合 で あ る.)

  2)  E′ の 閉 単 位 球B′ は τ‐ コ ン パ ク トで あ る こ とを 示 せ.   3)  E′ に お い て τお よ び σ(E′,E)を 考え る と き,そ れ ぞ れE′τ,E′ σとか く.こ

の と き,

恒 等 作 用 素I:E′ σ →E′τ は 不 連 続 で あ る こ とを 示 せ.   4)  E′ の部 分 集 合M′ は σ(E′,E)‐有 界 な らば τ‐ 有 界 で あ る こ と を 示 せ.   5)  E′ の点 列{x′n}は    (I:E′ σ →E′τは 定 理4.24,定

な らば  理4.25の

で あ る こ とを 示 せ.

逆 が 成 立 し な い例 で あ る こ とに 注 意 せ よ.)

6.  共 役 空 間

  6.1 

Ⅱ

有限次元 空間

  既 に知 っ て い る よ う に,係 数 体 Φ 上 の 線 形 空 間EがN次 個 の1次 独 立 な 元 が 存 在 して,Eの

任 意 の 元xは

元 な らば,EのN

これ ら の1次 結 合 と し て 一 意

に 表 現 され る.   定 理6.1  EをN次 す る.Eの

元 ノル ム空 間 と し,e1,e2,…,eNをEの1次

点 列{xn}とEの

と 表 現 さ れ た とす る.こ

点xが

の と き,次

  (6.1) 

{xn}はEに

  (6.2) 

{ξ(n)k}(k=1,2,…,N)は

  さ ら に,次

の2条

独立 な 元 と

の2条

件 は 同 値 で あ る:

お け る コ ー シ ー 列 で あ る, Φ に お け る コ ー シ ー 列 で あ る.

件 は 同 値 で あ る:

 (6.3)

 (6.4)

  証 明   補 題5.2よ 1,2,…,Nに

り,Eの

共 役 空 間E′

の 元x′1,x′2,…,x′Nが存 在 し て,j,k=

つ いて

ゆ え に,n=1,2,…

そ れ ゆ え,{xn}が

で あ る か ら,{ξ(n)k}は

に つ い て

コ ー シ ー 列 な ら ば,各kに

コ ー シ ー 列 で あ る.

  逆 に{ξ(n)k)}(k=1,2,…,N)が

で あ る か ら,{xn}は

ついて

コ ー シ ー 列 な ら ば,

コ ー シ ー 列 で あ る.

  後 半 の 証 明 も同 様 で あ る. 

(証終)

  定 理6.2  有 限 次 元 ノル ム空 間Eは   証 明   EをN次

完 備,す

な わ ちバ ナッ ハ 空 間 で あ る.

元 と し,e1,e2,…,eNをEの1次

独 立 な 元 とす る.{xn}を

Eの 任 意 の コ ー シ ー 列 と し,

と 表 さ れ た と す る と,定 で あ る か ら,Φ

理6.1よ

り,{ξ(n)k)}(k=1,2,…,N)は

Φの コーシ ー列

の完備 性 よ り

が 存 在 す る.

と お く と,再

び 定 理6.1よ

  定 理6.3 

ノル ム空 間Eの

  証 明   x∈EをFの 列{xn}が はFの

ゆ え にEは

り 

有 限 次 元 線 形 部 分 空 間Fは

任 意 の 集 積 点 とす る と, 

とれ る.{xn}はFの

あ る点x0に

完 備 で あ る. 

閉 集 合 で あ る. とな る よ うなFの

コー シ ー 列 で あ るか ら,定

収 束 す る.よ っ てx=x0∈Fと

(証終)

な り,Fは

理6.2よ

点

り{xn}

閉 集 合 で あ る. (証終)

  線 形 空 間Eに と β>0が

与え られ た2つ

の ノル ム ‖ ‖1,‖‖2が 同 値 で あ る とは,α>0

存 在 して

が 成 立 す る こ と で あ っ た(§3.4).   定 理6.4 

有 限 次 元 線 形 空 間Eに

お け る 任 意 の2つ

の ノ ル ム‖‖1,‖‖2は

同

値 で あ る.   証 明   定 理6.1か

ら 分 る よ うに,Eの

点 列{xn}に

と 条 件 

は 同 値 で あ る.そ

こ で,Eに‖‖1お

得 ら れ る ノ ル ム 空 間 を そ れ ぞ れE1,E2で とJ:E2→E1に

定 理3.1を

表 し,2つ

つ い て 条 件  よ び‖‖2を

の 恒 等 作 用 素I:E1→E2

適 用 す れ ば,

を 成 立 さ せ る よ うな α,β>0の 存 在 が 分 る.    定 理6.4は,有

導 入 して

(証終)

限 次 元 線 形 空 間 に は 本 質 的 に は ノル ム が1つ

とを 示 し て い る.実 は 分 離 的 な 線 形 位 相 も1つ

しか 入 らず,し

しか入 らない こ か も 自動 的 に ノ

ル ム空 間 に な る.   例   N次

元 ユ ー ク リッ ド空 間RNを

に よ っ て,ノ に は,ど

ル ム ‖ ‖p(1≦p≦

の2つ

考 え る. 

∞)を

に対 し

定 義 す る と,こ

の ノ ル ム も 同 値)で あ る が,実

れ ら は す べ て 同 値(正

際1≦p
確

に 対 して

が 成 立 す る.ま た

で あ る.

  6.2  共 役 空 間 と 可 分 性   一 般 に 線 形 位 相 空 間Eの け る 閉 包 をAか   定 理6.5 

部 分 集 合Aか

ら生 成 され る 線 形 部 分 空 間 のEに

ら生 成 され る閉 線 形 部 分 空 間 とい う(演 習 問 題4の5参

ノル ム空 間Eの

共 役 空 間E′ が 可 分 な ら ばEは

お

照).

可 分 で あ る.

  証 明   E′ が 可 分 な らばE′ の 単 位 球 面S′={x′ ∈E′￨‖x′‖=1}も 可 分 で あ る (演 習 問 題1の9)か 各nに

ら,S′ で 稠 密 な 可 算 集 合{x′1,x′2,…,x′n,…}が存 在 す る.

つ い て 

より

 (6.5) 

‖xn‖=1か

を 満 た すxn∈Eが 形 部 分 空 間 をFと

とれ る.集

ま 

合{x1,x2,…,xn,…}か

す る.{x1,x2,…,xn,…}の

有 理 複 素 数)を 係 数 とす る1次 か ら,F自

つ￨〈xn,x′n〉￨>1/2

身 可 分 で あ る.そ とす る と,定

理5.1の

閉線

任 意 有 限 個 の 元 の 有 理 数(ま た は

結 合 の 全 体 はFに れ ゆ えF=Eが 系6よ

ら生 成 さ れ るEの

お け る稠 密 な 可 算 集 合 で あ る

示 さ れ れ ばEは

可 分 で あ る.い

り

  (6.6) 〈x,x′0〉=0 (x∈F) を 満 た すE′

の 元 

と に よ り,‖x′0‖=1と

が 存 在 す る.こ

こ で,x′0/‖x′0‖を 改 め てx′0と 考 え る こ

し て よ い.(6.5),(6.6)よ

こ の こ と は{x′1,x′2,…,x′n,…}がS′

り,n=1,2,…

につ い て

で 稠 密 な こ と に 反 し 不 合 理 で あ る.

(証 終)   注 意   定 理6.5の る が,(l1)は

逆 は 一 般 に は 成 立 しな い.た

可 分 で あ り,(l∞)は

可 分 な ノ ル ム 空 間Eの

  証 明   Eの

単 位 球 面S={x∈E￨‖x‖=1}で

存 在 す る.定

理5.1の

  (6.7) 

共 役 空 間E′

系3よ

は σ(E′,E)‐ 可 分 で あ る. 稠 密 な 可 算 集 合{x1,x2,…,xn,

り,各nに

‖x′n‖=1か

つ いて

つ〈xn,x′n〉=1

を 満 た すx′n∈E′ が とれ る.集 合{x′1,x′2…,x′n,…}か E)‐ 閉 線 形 部 分 空 間 をFと あ る.い

ま, 

意 す る と,定

す る.F=E′

とす る.E′ 理5.1の

系6よ

元 

よ り,n=1,2,…

ら生 成 さ れ るE′

が 示 さ れ れ ばE′

の σ(E′,

は σ(E′,E)‐ 可 分 で

の σ(E′,E)‐ 共 役 空 間 はEに

等 し い こ とに 注

り

  (6.8) 〈x0,x′〉=0 (x′ を 満 た すEの

示 され

非 可 分 で あ る(§2.4).

  定 理6.6 

…}が

と え ば,§6.5で(l1)′=(l∞)が

∈F)

が 存 在 す る.こ

こ で‖x0‖=1と

し て よ い.(6.7),(6.8)

につ い て

この こ と は{x1,x2,…,xn,…}がSで

稠 密 な こ と に反 し不 合 理 で あ る. (証終)

  定 理6.7 

可 分 な ノル ム 空 間Eの

は σ(E′,E)に   証 明   MをEで

共 役 空 間E′

関 し て 距 離 付 け 可 能 な コ ンパ ク ト集 合 で あ る.

稠 密 な 可 算 集 合 とす る,任 意 のx∈Mに px(x′)=￨〈x,x′〉￨ (x′

で 定 義 され るpxはE′

に対 し 

対し

∈E′)

上 の 半 ノル ム で あ る.P={px}x∈Mは

ノル ム の 族 で あ る が,Pが 元 

の 閉 単 位 球 

可算 個 か らな る半

分 離 的 な こ とが 次 の よ うに して 分 る.E′ と な るx∈Eが

存 在 す る.MのEに

の任 意 の

おけ る稠 密性

より

を 満 た すx0∈Mが

選 べ る.こ の と き

ゆ え に 定 理4.19よ 能 で あ る.定

理5.9よ

りPに

よ っ て 決 定 さ れ るE′

の 局 所 凸 位 相 τは 距 離 付 け 可

りB′ は σ(E′,E)‐ コ ン パ ク トで あ り,ま

た 明 ら か に τ〓

σ(E′,E)ゆ

え,B′

は τ‐コ ン パ ク トで あ り,B′

上 で は τ=σ(E′,E)で

あ る(演

習 問 題1の4).   注 意   定 理6.6,定

理6.7で"可

な ノル ム空 間E"で

お き か え て も よい(演 習 問 題5の10).

  6.3 

一

様

  定 義6.1 

Eを

分 な ノル ム 空 間E"と

い う条 件 を"σ(E,E′)‐ 可 分

凸 性 ノ ル ム 空 間 と す る.任

意 の ε>0に

対 し て δ>0が

定 ま っ て,

Eの2元x,yが   (6.9) 

か つ 

を 満 足 す る と き,Eは

な らば 

一 様 に 凸 で あ る と い う.

  こ の こ と は 直 観 的 に い え ば,ノ も っ た 凸 な 状 態 に あ っ て,直

ル ム 空 間Eの

単 位 球 面 が 一様 に ふ く ら み を

線 的 あ る い は 平 面 的 な 部 分 を もた な い こ と を 意 味

す る.   注 意   (l1),(l∞)は そ の 単 位 球 面 の 形 状 を 考 え る と,一様

に 凸 で な い こ とが 分 る.1
<∞

ラ ー ク ソ ン(Clarkson)に

に 対 す る(lp),Lp(a,b)は

一 様 に 凸 で あ る こ とが,ク

示 さ れ て い る(た と えば 田 辺[2],上pp.145∼148参 えば ,ノ ル ム‖‖pに 関 す る ノ ル ム空 間C0(a,b)が(ク で あ り,従 っ て そ の 完 備 化Lp(a,b)も 6).ま

た,§7.1で

照).我

より

々 の 立 場 で も っ と正 確 に い

ラ ー ク ソ ンの 結 果 に よ り)一様 に 凸

一 様 に 凸 で あ る とい うべ き で あ ろ う(演 習 問 題6の

述 べ る 内積 空 間,ヒ

ル ベ ル ト空 間 は一 様 に 凸 で あ る こ とが 直 ち に 分

る(定 理7.5).   定 理6.8 

Eは

一 様 に 凸 な ノ ル ム 空 間 とす る.Eの

に対 し 

か つ 

点 列{xn}とEの

な らば 

点x

であ

る.

  証 明   x=0の

と き は 明 ら か. 

て よ い.yn=xn/‖xn‖,y=x/‖x‖

と す る.す

べ て のnに

と お く と,‖yn‖=1,‖y‖=1.い

つ い て 

とし

ま

 (6.10)

を 示 す.も

Eの

し これ が 不 成 立 と す る と,ε>0と{yn}の

一 様 凸 性 よ り,定

定 理5.1の

系3よ

義6.1の

意 味 で ε>0に

対 応 す る δ>0を

り,x′ ∈E′ が 存 在 し て

  (6.11) ‖x′‖=1か

部 分 列{ynj}が

つ〈y,x′〉=1.

とる と

存在 して

 

  と 

よ り, 

が 得 られ る

か ら,  (6.12)

他 方,  (6.13)

(6.12)と(6.13)は

矛 盾 す る か ら,(6.10)が

10)と 

が 得 られ る. 

よ り 

  定 理6.9 

一様

に 凸 な バ ナ ッ ハ 空 間Eは

  証 明   (前 定 理 に お け る 点xがE″ を 示 す こ と に な る が,xがE″

成 立 し な け れ ば な ら な い.(6.

回 帰 的 で あ る.

の 点 で あ る と き,前

の 元 で あ る た め,条

x′∈E′ は と れ な い の で,次

(証終)

の 条 件(6.14)を

定 理 に相 当す る こと

件(6.11)を

満 た す よ うな

満 た すx′n∈E′(n=1,2,…)を

用

い る.)   複 素 数 体 の 場 合.任 任 意 に と る.Eの す る δn>0を

意 にx∈E″,‖x‖=1を

一様 凸 性 よ り,各nに

と る.εn↓0と つ い て 定 義6.1の

定 め る. 

 (6.14)

を 満 た すx′n∈E′(n=1,2,…)が

存 在 す る.

  Eの

≦1}と

閉 単 位 球B={x∈E￨‖x‖

集 合Cn={x∈E￨Re〈x,x′〉>1−

考 え, 

‐開 集 合 で あ り,(6 .14)よ てxの

(n=1,2,…)と

りx∈Cnで

σ(E″,E′)‐ 近 傍 で あ り,xはE″

つ い てx0∈Cjと

い う こ と はx0∈Cjを

  (6.15) だ し はDnの

  次 に 集 合B∩Cnの  (6.16)

直径

σ(E″,E′)‐ 閉 包 を 表 す.

た

σ(E″,E′)

σ(E″,E′)‐ 近 傍 で あ はxの σ(E″,E′)‐ 閉 包)の

が 存 在 す る.x0∈Eで

 す な わ ち

で あ る.た

お く.ま

と る と, 

の 閉 単 位 球B″(=Bの

で あ る か ら, 

δn}

お く と,Cnは

あ る か ら,Cnはxの

任 意 の σ(E″,E′)‐ 近 傍Vを

各j=1,2,…,nに

対応

δn

 (n=1,2,…)と

る.さ

意 味 で εn>0に

よ り,〈x′n,x〉 が 実 数 で ‖x′n‖=1かつ〈x′n,x〉＞1−

(n=1,2,…)を

な る 正 数 列{εn}を

意 味 す る.従

元

あ る か ら, って

を 示 す.も

し 

と す る とx,y∈B∩Cnが

っ て 

存 在 し て‖x−y‖>εn.よ

一 方,‖x′n‖=1とx,y∈Cnよ

を 得 る か ら 矛 盾 で あ る.よ

っ て(6.16)が

  さ て 任 意 にxn∈Dn(n=1,2,…)を E′ を と る と,(6.15)よ

り

成 立 す る. と り,点

列{xn}を

考 え る.任

意 にx′ ∈

り ￨

と な るyn∈Dn(n=1,2,…)が りDnの

存 在 す る.Dn⊂B∩Cnで

直 径 δ(Dn)≦ εn(n=1,2,…).ゆ

こ の こ と は,す

あ る か ら(6.16)よ

え に‖xn−yn‖ ≦ εnで あ る か ら,

べ て のx′ ∈E′ に つ い て い え る か ら,

(6.17) 一 方D1⊃D2⊃

… ⊃Dn⊃

… か つ δ(D

n)≦ εnよ り,{xn}はEに

意 味 で の コ ー シ ー 列 で あ る か ら,Eの が,そ

の 極 限 は(6.17)よ

任 意 の 元 

りxで

お け る ノル ム の

完 備 性 よ り,{xn}はEの

な け れ ば な ら な い.す

中 で収束 す る

な わ ち,x∈E.E″

に 対 し て はy/‖y‖ を 考 え る こ と に よ り,y∈E.以

の

上 よ りE=E″

で あ る.   実 数 体 の 場 合 は 上 述 のRe〈x,x′n〉

な ど を〈x,x′n〉 な ど で お き か え れ ば よ い. (証 終)

  6.4    Eを

商

間

線 形 空 間 と し,Fを

x−y∈Fの xと

空

と きx∼yと

同 値 な も の を1つ

き る.こ

の と き,同

(6.18) 

か く と,Fの の 類 π(x)に

値 類 π(x)は

1つ の 元 と み て,こ のx,y∈Eと

そ の 線 形 部 分 空 間 と す る.Eの2元x,yに 線 形 性 よ り,∼

は 同 値 関 係 で あ る か ら,

ま と め る こ と に よ り,Eの

集 合 と し て はx+Fを

れ ら の 全 体 をE/Fで

表 す.E/Fに

元 全体 を類別 で

表 し て い る が,π(x)を お け る線形 演 算 を任 意

任 意 の α∈Φ に 対 し π(x)+π(y)=π(x+y),α

対 し,

π(x)=π(αx)

に よ っ て 定 義 す る.実 +y1,αx∼

際,x∼x1,y∼y1な

ら ば,Fの

αx1で あ る か ら,(6.18)は

な り,π(0)は

こ の 場 合 の 元0を

  線 形 空 間E/FをEのFに   π はEか

らE/Fの

写 像 と 呼 ぼ う.明   線 形 空 間E上

線 形 性 よ り,x+y∼x1

意 味 を も つ.よ

意 味 し,集

っ てE/Fは

合 と し て はFを

線 形空 間 と

表 し て い る.

よ る 商 空 間 と い う. 上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る が,こ

ら か に π の 零 空 間 はFで

れ をEか

らE/Fへ

の商

あ る.

で 定 義 さ れ た 半 ノ ル ムpに

対 して

N={x∈E￨p(x)=0} と お く と,NはEの

線 形 部 分 空 間 で あ る.な

ぜ な ら ば,x,y∈Nと

α,β∈Φ に

対 して

よ り,p(αx+βy)=0,す

な わ ち αx+βy∈Nと

  そ こ で 商 空 間E/Nを =π(y)と

考 え,Eか

す る と,x−y∈Nで

らE/Nへ

な る か ら で あ る. の 商 写 像 を π とす る.い

ま π(x)

あ る か ら, ￨p(x)−p(y)￨≦p(x−y)=0

よ り,p(x)=p(y)を ル ムpの

得 る.す

な わ ち,1つ

の 同 値 類 に属 す る元 に対 し て 半 ノ

値 は 一 定 で あ る か ら,

(6.19) 

p(π(x))=p(x)

に よ っ てE/N上

の 汎 関 数pが

定 義 さ れ る.pがE/N上

の ノル ム で あ る こ と

は 容 易 に 検 証 さ れ る.   さ てEを E/Fの

ノ ル ム 空 間,Fを

元uに

対 し て,そ

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 と し,商 空 間E/Fを

考 え る.

の ノル ム を

(6.20) に よ っ て 定 義 す る.こ す れ ば,元uが す る.‖u‖ (6.21) 

Eの

満 た す す べ て のxに

表 し て い る 集 合 に 属 す る す べ て のxに

つ い て(換 言

つ い て)と る こ と を 意 味

が ノ ル ム で あ る こ と を 示 す. ‖u‖≧0,‖u‖=0とu=0は

  実 際,‖u‖ ≧0は ‖u‖=0.逆

こ で 下 限 は π(x)=uを

明 ら か.u=0な

に‖u‖=0な

点 列{xn}が

同 値. ら ば,uが

表 す 集 合Fに0が

らば,π(xn)=u,‖xn‖<1/n(n=1,2,…)を

と れ る.元uは

集 合 と し て は,た

と え ばx1+Fと

属 す るか ら 満た す 表 さ れ,

Fは

閉 集 合 で あ る か ら,x1+Fも

…)か

っ 

閉 集 合 で あ る.よ

よ り,0∈x1+F

.す

っ てxn∈x1+F(n=1,2,

な わ ちu=0.

(6.22) 実 際,α=0の

と き は 明 ら か. 

の ときは

(6.23) 実 際,任

意 の ε>0に 対 し て

を 満 た すxとyが

こ こ で ε→0と

選 べ,π(x+y)=π(x)+π(y)=u+υ

で あ る か ら,

す れば よ い.

  以 上 で,‖u‖

はE/Fに

商 ノ ル ム と い う.定

お け る ノ ル ム で あ る こ と が 分 っ た が,こ

の ノル ム を

義か ら

(6.24) が 成 立 す る.従   定 理6.10  E/Fは

っ て,商 Eを

写 像 π はEか

バ ナ ッ ハ 空 間,Fを

らE/Fの

上 へ の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 とす る と,商

空間

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.

  証 明   E/Fに

お け る任 意 の コ ー シ ー列{un}を

と る と,そ

の 部 分 列{unj}

が存在 して

が 成 立 す る.こ (6.25)  を 満 た すEの

の とき π(xj)=unjかつ‖xj−xj+1‖<2−j(j=1,2,…) 点 列{xj}を

次 の よ う に し て 選 ぶ こ と が で き る.ま

と な るx1を

任 意 に と る.x2,…,xjが

‖yj‖<2−jと

な るyjを

と る.xj+1=xj−yjと

π(xj+1)=π(xj)−

ず π(x1)=un

選 ば れ た と き,π(yj)=unj−unj+1か お く と,

π(yj)=unj−(unj−unj+1)=unj+

1

かつ   (6.25)よ

Eで

り{xj}はEの

収 束 す る. 

コ ー シ ー 列 で あ り,Eは

とす る と,π

完 備 で あ る か ら,{xj}は

の 連 続 性 よ りE/Fに

おいて

1 つ

よ っ て,コ か ら,{un}自

ー シ ー 列{un}は

収 束 す る 部 分 列{unj}を

身 収 束 し な け れ ば な ら な い.す

な わ ちE/Fは

もつ

完 備 で あ る. (証 終)

  Eを

ノ ル ム 空 間 と す る と,そ

分 集 合Fに

の 共 役 空 間E′

部

対 し F⊥={x′

と お く.容

∈E′￨〈x,x′ 〉=0(x∈F)}

易 に 分 る よ う に,F⊥

と 表 さ れ る.各x∈Fに

はE′

の 線 形 部 分 空 間 を な す.ま

に よ っ て 定 義 さ れ る,fxはE′

σ(E′,E)‐ 閉 集 合,す

な わ ちF⊥

は バ ナ ッ ハ 空 間E′

〉(x′

σ(E′,E)‐ 閉 集 合 で あ る.従 はE′

  注 意   FがEの 等 しい.ま

対 し 〉=0(x′

∈G)}

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.

線 形 部 分 空 間 の と き,F⊥

たGがE′

は

の σ(E′,E)‐ 閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.従

G⊥={x∈E￨〈x,x′ はEの

っ て,F⊥

の ノ ル ム の 意 味 で の 閉 線 形 部 分 空 間 で も あ る.

の 部 分 集 合Gに

と お く と,G⊥

∈E′)

上 の σ(E′,E)‐ 連 続 な 線 形 汎 関 数 で あ る か ら,

{x′∈E′￨〈x,x′ 〉=0}=fx−1({0})は

  同 様 に,E′

た定 義 か ら

つ いて fx(x′)=〈x,x′

っ てF⊥

は バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.Eの

はF0={x′

の 線 形 部 分 空 間 の と き,G⊥

∈E′￨￨〈x,x′〉￨≦1(x∈F)}に

はG0={x∈E￨￨〈x,x′〉￨≦1(x′

∈G)}

に 等 しい(演 習 問 題6の7).   Eを

バ ナッ ハ 空 間 と し,Fを

び 商 空 間E/Fはバ

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 と す る.こ

ナ ッ ハ 空 間 で あ る が,こ

の と き,Fお

よ

れ らの 共 役 空 間 が 次 の よ うな形 で

表 現 さ れ る.   定 理6.11  像E→E/Fお

Eを

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,Fを

よ びE′

あ る.す

な わ ち,E′/F⊥

(6.26) 

対 し,x′

のFに

お け る 制 限 をx′

は π′(x′)に よ っ て 一 意 に 確 定 さ れ るF′ の 元 で あ る.対 はE′/F⊥

写

→E′/F⊥ を そ れ ぞ れ π,π′で 表 す.

  1)  E′/F⊥ の 任 意 の 元 π′(x′)(x′ ∈E′)に で 表 す と,x′

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 と す る.商

か らF′ の 上 へ の 等 距 離 

線形 作 用 素 で

とF′ は ノ ル ム 空 間 と し て 同 型 で あ る か ら, F′=E′/F⊥

応 

で あ る.   2)  F⊥ の 任 意 の 元x′ は   (6.27) 

〈π(x),x′ 〉=〈x,x′ 〉(x∈E)

に よ っ て(E/F)′ (E/F)′

の 元x′を

一 意 に 確 定 す る.対

の 上 へ の 等 距 離 

応 

はF⊥

線 形 作 用 素 で あ る.す

  (6.28) 

か ら

な わ ち,

(E/F)′=F⊥

で あ る.   証 明   1)  π′(x′)=π′(x′1)な ら ばx′−x′1∈F⊥ け る 制 限x′,x′1は 一 致 す る.よ と き,対

お よ びx′1のFに

お

っ て π′(x′)はx′ ∈F′を 一 意 に 定 め る.こ

応 

易 に 分 る.ま

ゆ え,x′

がE′/F⊥ た 明 ら か に 

の

か らF′ へ の 線 形 作 用 素 で あ る こ と は 容 が 成 立 す る か ら,商

ノル ム の 定 義 よ り

 (6.29)

逆 に,定

理5.1の

系2よ

り,任

の 元x′ に 拡 張 さ れ る か ら,x′ かつ(6.29)よ

が 成 立 す る.以

を 満 た す よ うなE′

意 のx′ ∈F′ は  はTに

よって

π′(x′)に 対 応 す る も の で あ り,

り

上 よ り,対

応 

はE′/F⊥

か らF′ の 上 へ の 等 距

離 線 形 作 用 素 で あ る.   2)  任 意 のx′ ∈F⊥ は(6.27)に な ら ば,π(x)=π(x1)の か ら で あ る.x′

よ りE/F上

と き,x−x1∈Fゆ

の 汎 関x′ え,〈x,x′

が 線 形 な こ と は 容 易 に 分 る.ま

を 確 定 す る.な

ぜ

〉=〈x1,x′ 〉 が 成 立 す る

た

と商ノ ル ム の 定 義 よ り

が 得 られ る か ら,x′ は 有 界,す

な わ ちx′∈(E/F)′,か

つ

 (6.30)

対 応  逆 に,任

がF⊥ か ら(E/F)′ へ の 線 形 作 用 素 で あ る こ とは 容 易 に 分 る. 意 のx′∈(E/F)′

は(6.27)に

よ りE上

の 線 形 汎 関数x′を 確 定 し,

よ り,x′

は 有 界,す

な わ ちx′ ∈E′,か

つ

 (6.31)

ま た,x∈Fな

ら ば π(x)=0ゆ

F⊥.(6.30),(6.31)よ (E/F)′

え,〈x,x′

〉=〈 π(x),x′〉=0で

り‖x′‖=‖x′‖.以 上 よ り,対

あ る か ら,x′ ∈

応 

はF⊥

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る. 

か ら

(証 終)

  §5.3 で 述 べ たバ ナッ ハ 空 間 の 回 帰 性 に つ い て,本

節 の商空 間 に関 す る議論

か ら 直 ち に 得 ら れ る こ と が ら を 付 け 加 え よ う.   補 題6.12 

バ ナ ッ ハ 空 間Eの

弱 位 相 σ(E,E′)か

らFに

  証 明   定 理6.11よ

閉 線 形 部 分 空 間F上

導 入 さ れ る 位 相 は 一 致 す る.

りF′=E′/F⊥

し π′(x′)とx′ のFに

で は 弱 位 相 σ(F,F′)と

が 成 立 し,そ

の 意 味 は 任 意 のx′ ∈E′ に 対

お け る 制 限 と を 同 一 視 す る こ と で あ っ た か ら, 〈x,π′(x′)〉=〈x,x′〉(x∈F)

が 成 立 す る.ゆ Fの

原 点0の

え に,任

意 のx′1,x′2,…,x′n∈E′ に つ い て,σ(F,F′)に

関す る

近傍

と,σ(E,E′)か

らFに

導 入 され る位 相 に 関 す る0の 近 傍

とが 一 致 す る こ とか ら,補 題 が 成 立 す る.    定 理6.13 

回 帰 的 な バ ナ ッハ 空 間Eの

  証 明   MをFの

閉 線 形 部 分 空 間Fは

任 意 の 有 界 集 合 とす る と,Mは

もあ る か ら,定 理5.14よ がEで

りMは

コ ソパ ク トで あ るか ら,再 び 定 理5.14よ バ ナッ ハ空 間Eに

  (6.32)  Eは

回 帰 的 で あ る.

回 帰 的 なEの

有 界集 合 で

相 対 σ(E,E′)‐コ ンパ ク トで あ る.従

σ(E,E′)‐閉 な こ とに 注 意 す る と,補

  定 理6.14 

(証終)

題6.12よ

りFは

りMは

っ てF

相 対 σ(F,F′)‐

回 帰 的 で あ る. 

(証終)

対 し て 次 の2条 件 は 同値 で あ る:

回 帰 的 で あ る,

  (6.33)  E′ は 回 帰 的 で あ る.   証 明   Eが 回 帰 的 な らば,E″=Eよ

りE″′=E′ を 得 る か ら,E′ は 回 帰 的 で

あ る.   逆 に,E′

が 回 帰 的 な らば,前 半 の 議 論 よ り,E″

の 閉 線 形 部 分 空 間 で あ る か ら,定 理6.13よ

りEは

は 回 帰 的 で あ り,EはE″ 回 帰 的 で あ る. 

(証終)

  定 理6.15  間E/Fは

回 帰 的 な バ ナ ッハ 空 間Eと

そ の 閉 線 形 部 分 空 間Fに

対 し,商

空

回 帰 的 で あ る.

  証 明   定 理6.14よ

りE′ は 回 帰 的 で あ り,F⊥

る か ら,定 理6.13よ

りF⊥ は 回 帰 的 で あ る.ま た,定

F⊥ で あ る か ら,再 び 定 理6.14よ

  6.5 

りE/Fは

はE′ の 閉 線 形 部 分 空間 で あ 理6.11よ

り(E/F)′=

回 帰 的 で あ る. 

(証終)

共役 空間 の例

  い くつ か の 具 体 的 な バ ナッ ハ空 間 に つ い て,そ

の 共 役 空 間 が どの よ うに表 現

され る かを み よ う.   定 理6.16 

ΦN(RNま

た はCN)の

任 意 の 元 

に対 し

 (6.34)

に よ っ て 定 義 さ れ るfは ΦNか

ら(ΦN)′

ΦNの 共 役 空 間(ΦN)′

の 上 へ の 等 距 離 

  (6.35) 

に 属 す る.対

応 

線 形 作 用 素 で あ る.す

は な わ ち,

(ΦN)′=ΦN.

  証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る(演 習 問 題6の8).   定 理6.17 

(l1)の

任 意 の 元y={ηk}に

対 し

 (6.36)

に よ っ て 定 義 さ れ るfは(c0)の (l1)か

ら(c0)′

共 役 空 間(c0)′

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.す

  (6.37) 

(c0)′=(l1).

  証 明   任 意 のy={ηk}∈(l1)に

対 し,(6.36)に

(c0)上

に 属 す る.対

の 線 形 汎 関 数 で あ り,す

が 成 立 す る か ら,f∈(c0)′

応 

な わ ち,

よ りfを

べ て のx={ξk}∈(c0)に

定 義 す る と,fは

つ いて

かつ

  (6.38)

対応 

が 線 形 で あ る こ と は 明 らか.

  (c0)は 

とお く と,ek∈(c0)(k=1,2,…).任 より

意 の x={ξk}∈

は

(c0)に

お いて

と 表 さ れ る こ と に 注 意 す る.   対 応Tが(l1)か

ら(c0)′

の 上 へ の 作 用 素 で あ る こ とを 示 す た め,f∈(c0)′

を 任 意 に 与 え, 〈ek,f〉=ηk(k=1,2,…) と お き,y={ηk}と

す る.fの

連 続 性 と 線 形 性 よ り,す

べ て のx={ξk}∈(c0)

につ い て

す な わ ち(6.36)が

成 立 す る.y={ηk}∈(l1)を

示 す た め,k=1,2,…

につ い て

の とき の とき と お き, を

考え る.xn∈(c0)か

つ

 で あ る か ら,

こ こ でn→ これ

ゆ え にy={ηk}∈(l1)か

∞ と す る と 

と(6.38)よ

り を

つ 

得 る.

  以 上 よ り対 応Tは(l1)か

ら(c0)′

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る. (証 終)

  定 理6.18 

1≦p<∞

と し,p>1の

す る.(lq)の

任 意 の 元y={ηk}に

と き1/p+1/q=1,p=1の

と きq=∞

と

対 し

 (6.39)

に よ っ て 定 義 さ れ るfは(lp)の (lq)か

ら(lp)′

共 役 空 間(lp)′

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.す

  (6.40) 

(lp)′=(lq).

  証 明   任 意 のy={ηk}∈(lq)に

対 し,(6.39)に

(lp)上

に 属 す る.対

応 

なわ ち

よ りfを

定 義 す る と,fは

の 線 形 汎 関 数 で あ り,

が 成 立 す る.実 際,p>1の

と き は ヘ ル ダ ー の 不 等 式 よ り明 らか で あ り,p=1

は

(q=∞)の

ときは

で あ る.よ

っ てf∈(lp)′

かつ

 (6.41)

対 応 

が 線 形 で あ る こ とは 明 らか.  と お く と,ek∈(lp)(k=1,2,…).任

意 のx={ξk}∈

(lp)は

(lp)に

おいて

と 表 さ れ る こ と に 注 意 す る.   対 応Tが(lq)か

ら(lp)′

の 上 へ の 作 用 素 で あ る こ と を 示 す た め,f∈(lp)′

を 任 意 に 与 え, 〈ek,f〉=ηk(k=1,2,…) と お き,y={ηk}と

す る.fの

連 続 性 と 線 形 性 よ り,す

べ て のx={ξk}∈(lp)

につ い て

す な わ ち(6.39)が

成 立 す る.次

に

かつ

 (6.42) 

を 示 そ う.p>1の し て 

場 合.y=0の

と き は 明 ら か. 

るk0に

対

い ま

を 満 た す よ う に ξk(k=1,2,…)を …)と

の と き は,あ

お く と

n≧k0な

,xn∈(lp)で

ら ば 

定 め,xn={ξ1,ξ2,…,ξn,0,0,…}(n=1,2,

あ り,ヘ

ゆ え,上

ル ダ ー の不 等 式 の 等 号 の 成 立 す る場 合 よ り

の不 等 式 の 両 辺  を とす る と 

ら れ た.p=1の

場 合.‖ek‖=1ゆ

得 て,y={ηk}∈(l∞)か

つ

え, 

で 割 る と,  と な り,(6.42)が (k=1,2,…)を

得

  (6.41),(6.42)よ

り 

を 得 る.以

上 よ り 対 応Tは(lq)か

ら(lp)′

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.    定 理6.16∼6.18よ

(証 終)

り直 ち に 次 の こ と が 分 る:

  (6.43) 

ΦN(RNま

た はCN),1
  (6.44) 

(c0),(l1),(l∞)は

  実 際, 

に 対 す る(lp)は

回 帰 的 で な い. よ り ΦNは

回 帰 的.1
し(lp)″=(lq)′=(lp)よ

り(lp)は

の

ら も 分 る.(c0)″=(l1)′=(l∞)よ

一様 凸 性 と 定 理6.9か

な い.(c0)′=(l1)と

回 帰 的 で あ る,

定 理6.14よ

回 帰 的.こ

り(l1)は

の こ とは

§6.3で

対 注 意 し た(lp)

り(c0)は

回帰 的 で

回 帰 的 で な い.(l1)′=(l∞)よ

り

(l∞)は 回 帰 的 で な い.

  開 区 間(a,b)は =1に

有 限 で も 無 限 で も よ い も の と す る.1
対 し (Lp(a,b))′=Lq(a,b)

を 示 し た い が,そ

の た め の 準 備 を す る.

  Lp(a,b),Lq(a,b)の   任 意 のx∈Lp(a,b)と

ノ ル ム を そ れ ぞ れ 

で 表 す.

任 意 のy∈Lq(a,b)に

対 し て,C0(a,b)の

{yn}が

存在 して

§2.3で

示 し た よ う に,{xnyn}はL1(a,b)に

ゆ え に,  束 す る.そ

点 列{xn},

お け る コ ー シ ー 列 を な す か ら,

は 実 数(ま た は 複 素 数)の コ ー シ ー列 で あ る か ら 収 の 極 限 値 は{xn},{yn}の

選 び 方 に よ ら ず 一 意 に 定 ま る か ら,

 (6.45)

と定 義 す る.左 辺 の 積 分 は もは や リー マ ン積 分 で は な い(こ れ は ル ベ ー グ積 分 で あ る).ヘ

ル ダ ーの不 等式 よ り

で あ り,こ

こ でn→

∞ とす る と

 (6.46)

  定 理6.19 

1
限 で も よ い.Lq(a,b)の

す る.開

任 意 の 元yに

区 間(a,b)は

有 限 で も無

対 し

 (6.47) に よ っ て 定 義 さ れ るfはLp(a,b)の はLq(a,b)か

共 役 空 間(Lp(a,b))′

ら(Lp(a,b))′

に 属 す る.対

応 

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.す

なわ

ち (Lp(a,b))′=Lq(a,b).   証 明   任 意 のy∈Lq(a,b)に 形 性 よ りLp(a,b)上

対 し,(6.47)に

よ り 定 義 さ れ るfは

積 分 の線

の 線 形 汎 関 数 で あ る こ と が 容 易 に 検 証 さ れ,(6.46)よ

が 成 立 す る か ら,f∈(Lp(a,b))′

り

かつ

 (6.48)

対 応 

がLq(a,b)か

ら(Lp(a,b))′

へ の線形 作 用 素で あ る ことも容 易

に 分 る.   Lq(a,b)の 列{yn}を

任 意 の 元  選 ぶ.Tに

に 対 し 

よ っ てynに

を 満 た すC0(a,b)の

対 応 す る(Lp(a,b))′

の 元 をfnと

点

す る と, 

よ り

が 成 立 す る こ と に 注 意 す る.い ￨xn(t)￨p=￨yn(t)￨q,  を 満 た す よ う にxn∈C0(a,b)を

ま 各nに

ついて

xn(t)yn(t)≧0  定 め る と,ヘ

(a
ル ダ ー の不 等式 の等 号 の成 立す

る場 合 よ り

十 分 大 な るnに つ い て は  れ,n→ (6.48)よ

∞ とす る と  り, 

ゆ え,上

の 不 等 式 よ り 

こ の不 等 式 はy=0の が 成 立 す る か ら,対 応Tは

が得 ら

とき も成 立 す る.こ れ と 等 距 離 で あ る.従

って

Lq(a,b)をT(Lq(a,b))と

同 一 視 し てLq(a,b)⊂(Lp(a,b))′

  簡 単 の た め,Lp(a,b),Lq(a,b)を

そ れ ぞ れLp,Lqと

を 得 る. か く こ と に し,最

後 に

集合 として   (6.49) 

(Lp)′=Lq

を 示 せ ば よ い.上 Lpは(Lq)′

述 の 議 論 でp,qの

立 場 を 逆 に す る と,Lp⊂(Lq)′

の 閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.§6.3で

凸 性 を 用 い る と,定

理6.9よ

りLqは

が 成 立 し,

注 意 し たLq(1
回 帰 的 で あ る.従

一様

っ て 定 理6.11よ

り

(Lp)′=(Lq)″/(Lp)⊥=Lq/(Lp)⊥ が 成 立 す る が,Lq⊂(Lp)′

よ り(Lp)⊥={0}で

あ る か ら,(6.49)を

得 る. (証 終)

  他 に も 種 々 の 興 味 あ る 共 役 空 間 の 例 が 知 ら れ て お り,解

析 学 で 広 く用 い ら れ

て い る.

  6.6 

線 形 汎 関 数 と 超 平 面

  Eを 線 形 空 間 と し,Hを と き,各x∈Eに

そ の 線 形 部 分 空 間 とす る.商

対 す る集 合x+HをEの

空 間E/Hが1次

超 平 面 と呼 ぶ.H自

元線形 空 間 の

身 は 原 点0を

含む 超平面

で あ る.   こ の と き,Eか

らE/Hへ

の 商 写 像 を π とす る と,π(x)は

集 合 と して 超 平 面x+Hを

表 し て い る.   E上 Hと

の 線 形 汎 関 数 

お く と,HはEの

が 与 え られ た と き,fの 線 形 部 分 空 間 で あ る が, 

  (6.50) 

〈π(x),f〉=〈x,f〉

に よ り,E/Hか

ら Φ の 上 へ の1対1線

か ら,E/Hも1次

零 空 間N(f)={x∈E￨〈x,f〉=0}を

元,す

超 平 面H=N(f)が

対 応 す るが,明

この とき

  (π(x)∈E/H)

形 汎 関 数fが

な わ ち,HはEの

ゆ え, 

一 意 に確 定 す る.Φ は1次

超 平 面 で あ る.こ

ら か に,Φ

の す べ て の 

元 であ る

の よ うに し て,  に 対 し,αfに

には は 同 じH

が 対 応 す る こ と に な る.   逆 に,Eの0を

含 む 超 平 面Hが

Φ の 上 へ の1対1線

形 汎 関 数fが

  (6.51)  に よ り,E上

の 線 形 汎 関 数 

に 対 す る集 合 

る関 係 で1対1に

ノル ム空 間 とす る.

元 で あ る か ら,E/Hか

ら

倍 を 除 い て 一 意 に 定 ま る.こ の と き

が 確 定 し,N(f)=Hで

の 線 形 汎 関 数 

が,N(f)=Hな

  以 後,Eは

定 数 

〈x,f〉=〈 π(x),f〉  

  以 上 よ り,E上 平 面Hと

与 え られ る と,E/Hは1次

(x∈E) あ る. とEの0を

対 応 し て い る こ とが 分 る.

含 む超

  定 理6.20 

ノル ム 空 間Eの

超 平 面HはEの

閉 集 合 で あ る か,Eで

稠 密 で あ るか の い

ず れ か で あ る.   証 明   HはEの ば,Eで

原 点0を

含 む と し て よい. 

で あ る か ら,HはEの

閉集合 な ら

稠 密 で な い.

  次 にHがEの お け る閉 包Hの

閉 集 合 で な い と仮 定 し,HがEで 元x0でHに

  (6.52) 

稠 密 で あ る こ とを 示 そ う.HのEに

属 さ な い も の を と る.こ の と き,任 意 のx∈Eは x=αx0+y, 

と(一 意 に)分 解 され る.実 際, 

α∈ Φ,  よ り 

y∈H E/Hは1次

元 ゆ え,任

に 対 し π(x)=α π(x0)と な る α∈Φ が とれ るか ら,π(x− αx0)=0と

意 のx∈E

な っ てx− αx0=yと

お く とy∈H.   HはEの 線 形 部 分 空 間 で あ る(演 習 問 題4の5)か な わ ちE=Hゆ え,HはEで 稠 密 で あ る. 

ら,(6.52)よ

りx∈Hと

な る.す (証 終)

  定 理6.21  Eを ノル ム空 間 とす る.E上 の 線形 汎 関 数  とEの 超 平 面H=N(f) に 対 し,fが 有 界 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 はHがEの 閉 集 合 な る こ と で あ る.   証 明  fが 有 界 な らば,H=f−1({0})が と き は,§6.4で π:E→E/Hは

閉 集 合 な こ と は 明 らか.逆

示 した よ うに,E/Hは(1次

閉超平 面 の

元)ノ ル ム空 間 で あ り,(6.51)に

有 界 線 形,f:E/H→

お いて

Φ も有 界 線 形 汎 関 数 で あ る か ら,f=f・

上 の 有 界 線 形 汎 関 数 で あ る.    系   定 理6.21と

にHが

π はE (証 終)

同 じ条 件 の 下 で,fが

有 界 で な い た め の 必 要 十 分 条 件 はHがEで

稠

密 な こ とで あ る.   証 明   定 理6.20よ

り明 らか.

演 習 問 題6   1.有

限 次 元 ノル ム空 間Eか

ら ノル ム 空 間Fへ

理6.7か

導 け.

の 線 形 作 用 素Tは

有 界 で あ る こ とを

示 せ.   2.定

ら 定 理6.6を

  3.可 分 な 回 帰 的 バ ナ ッハ 空 間Eの コ ンパ ク ト集 合 で あ る こ と を 示 せ.   4.バ

ナ ッハ 空 間Eが

閉 単 位 球Bは

回 帰 的 な らば,Eの

σ(E,E′)に 関 し て 距 離 付 け 可 能 な

閉 単 位 球Bは

σ(E,E′)‐点 列 コ ン パ ク トで

あ る こ とを 示 せ(実 は 逆 も成 立 す る).   5.1) 

(l1)の 閉 単 位 球Bは

  2)  (l1)に お い て は 点 列{xn}の

σ((l1),(l∞))‐ 点 列 コ ン パ ク トで な い こ とを 示 せ. 収 束 性 と σ((l1),(l∞))‐ 収 束 性 は 同 値 で あ る こ とを 示

せ.   6.ノ

ル ム空 間Eが

  1)  Eの

完 備 化Eも

一 様 に 凸 な らば 一 様 に 凸 で あ る こ と を 示 せ.

  2)  Eの   7.ノ

閉 線 形 部 分 空 間Fに

ル ム空 間Eと

  1)  Eの

線 形 部 分 空 間Fに

理6.16を

  9.(l1)の

凸 で あ る こ とを 示 せ.

そ の 共 役 空 間E′ の 間 の 双 対 性 に お い て

  2) E′ の 線 形 部 分 空 間Gに   8.定

よ る商 空 間E/Fも一様に

対 しF⊥=F0を 対 しG⊥=G0を

示 せ. 示 せ.

証 明 せ よ.

任 意 の 元y={ηk}k=0,1,2,…に 対 し

  (*) に よ っ て 定 義 され るfは(c)′ 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.す

に属 す る.対 応 

な わ ち,(c)′=(l1).以

は(l1)か 上 の こ とを 示 せ.

ら(c)′ の 上 へ の 等

7. 

  7.1 

内 積 空 間

  定 義7.1  応 し て,次

ヒ ル ベ ル ト空 間

・ヒ ル ベ ル

ト空 間

係 数 体 Φ 上 の 線 形 空 間Eの の4条

任 意 の2元x,yに

Φ の 数(x,y)が

対

件:

  (7.1) (x,x)≧0,(x,x)=0とx=0は   (7.2) (x,y)=(y,x) 

同 値,

  (7.3) 

(αx,y)=α(x,y) 

  (7.4) 

(x+y,z)=(x,z)+(y,z)

((y,x)は(y,x)の

共 役 複 素 数),

(α∈ Φ),

を 満 足 す る と き,(x,y)をxとyの

内 積 と い い,Eを

内積空 間 また は前 ヒル

ベ ル ト空 間 と い う.   Φ が 実 数 体 あ る い は 複 素 数 体 で あ る に 従 い,Eを

そ れ ぞ れ 実 内 積 空 間,複

内 積 空 間 と い う.

素

  Eが

実 内 積 空 間 の と き,(7.2)は

  (7.2)′  (x,y)=(y,x) を 意 味 す る.こ

の 種 の 注 意 は 以 後 い ち い ち 断 ら な い.

  以 上 の 定 義 か ら 直 ち に 次 の4条   (7.5) 

(x,αy)=α(x,y),

  (7.6) 

(x,y+z)=(x,y)+(x,z),

件 が 成 立 す る:

  (7.7) (x,0)=(0,y)=0,   (7.8)  す べ て のy∈Eに   補 題7.1 

対 し て(x,y)=0な

ら ばx=0.

(シ ュ バ ル ツ の 不 等 式)  内 積 空 間Eの

任 意 の2元x,yに

  (7.9) ￨(x,y)￨2≦(x,x)(y,y)

対 して

が 成 立 す る.こ   (7.10)  と な る と き,か

こ で 等 号 が 成 立 す る の は,定 x=αyま

たは

数 αが 存 在 して αx=y

つ こ の と き に 限 る.

  証 明   複 素 数 体 の 場 合.(7.1)∼(7.6)よ

り,任

意 の 実 数 λに対 し て

 の と き 実 数 λに 関 す る 上 の2次

式 ≧0で

あ る か ら,判

別 式 ≦0よ

り

￨(x,y)￨4−￨(x,y)￨2(x,x)(y,y)≦0. 両 辺 を￨(x,y)￨2で

割 っ て(7.9)を

得 る.(x,y)=0の

に 成 立 し て い る.あ

る 数 α に 対 し て(7.10)が

立 は 容 易 に 分 る.逆

に 

の2次

式 は,判

別 式=0よ

て(x+λ0(x,y)y,  が 得 られ る.ま よ りx,yの

で(7.9)の り,重

と き は(7.9)は

明 らか

成 立 す る と き,(7.9)の

等 号成

等 号 が 成 立 す れ ば,λ

根 の 場 合 に な る か ら,あ

x+λ0(x,y)y)=0.ゆえ

る 実 数 

にx+λ0(x,y)y=0と

た(x,y)=0で(7.9)の

に 関 す る上 に対 し

な り,(7.10)

等 号 が 成 立 す れ ば,(x,x)(y,y)=0

うち 少 な く と も 一 方 は0で

あ る か ら,α=0と

し て(7.10)の

前半 ま

た は 後 半 が 成 立 す る.   実 数 体 の 場 合 に は,も

っ と簡 単 に,実

数 λに 関 す る2次

式(x+λy,x+λy)

を 用 い て 同 様 に 証 明 さ れ る.    補 題7.2 

内 積 空 間Eに

(証 終)

お いて

  (7.11) ‖x‖=(x,x)1/2  と お く と,‖x‖

(x∈E)

は ノ ル ム の 条 件 を 満 た し,Eは

ノ ル ム 空 間 に な る.

  証 明   内 積 の 条 件 と シ ュ バ ル ツ の 不 等 式(7.9)よ

ゆ え に 

ノル ムの 他 の2条

  従 っ て 内 積 空 間Eに ま た,シ

り

件 の 成 立 も容 易 に 分 る.(証 終)

は ノル ム 空間 と して の 位 相 的 な 諸 概 念 が 導 入 さ れ る.

ュバ ル ツの 不 等 式(7.9)は

次 の よ うに 表 され る.

 (7.12)

  補 題7.3 

(内 積 の 連 続 性)  内 積 空 間Eに

お い て, 

な らば   証 明   シ ュバ ル ツ の不 等 式 よ り

こ こで,{‖yn‖}の 定 理7.4 

有 界 性 を 用 い た. 

ノル ム空 間Eが

内 積 空 間 で あ る,す

(証終) なわ ち

  (7.13) ‖x‖=(x,x)1/2  を 満 た す よ うな 内積 がEに

(x∈E) 定 義 さ れ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

 (7.14)

が 成 立 す る こ とで あ る.(7.14)を3角   証 明   Eが

形 の 中 線 定 理 と い う.

内 積 空 間 の と き,(7.14)が

  逆 に複 素 ノル ム 空 間Eが(7.14)を す 内 積 が 存 在 す れ ば,x,y∈Eに

成 立 す る こ とは 容 易 に確 か め られ る. 満 た す も の とす る.も

し(7.13)を

満た

対し

 (7.15)

が 成 立 す る.こ

の こ と に 示 唆 さ れ て,x,y∈Eに

対 して

 (7.16)

と お く.ま

ず(7.13)の

示 す.(7.1),(7.2)の

成 立 が 容 易 に 分 る.以

成 立 は 直 ち に 分 る.(7.16)でx=0と

  (7.17)  (7.4)を

(0,y)=0 

示 す.(7.14),(7.16)よ

り

すなわち  (7.18)  こ こ でy=0と

下,(x,y)が

(x,z)+(y,z)=1/2(x+y,2z). お く と,(7.17)よ

り

(y∈E).

内 積 で あ る こ とを お くと

こ の 式 で,xをx+yで

お きか え る と

 (7.19) 

(x+y,z)=1/2(x+y,2z).

よ っ て(7.18),(7.19)よ り,正

整 数m,nに

り(7.4)を

示 す.(7.4)よ

り

が 有 理 数 の と き に(7.3)の  と な る 有 理 数 列{αn}を

補 題2.1を

後 に(7.3)を

対 し て

こ の 式 と(7.4)と(7.17)よ

従 っ て,α

得 る.最

成 立 が 示 さ れ た.α と り,(7.16)に

が 無 理 数 の と き は,

お い てxに

αxを 代 入 し,

用いると

ま た(7.16)よ

り(ix,y)=i(x,y)を

得 る か ら,複

素 数 α=a+ib(a,b∈R)に

対 しては

とな って(7.3)が   実 ノル ム空 間Eに

成 立 す る. 対 して は

 (7.20)

と お い て,同 様 に 証 明 す れ ば よ い.    注意   (7.15)か ら明 らかな よ うに,ノ ル ム空 間Eが 

(証終) を満た す 内積 を

もつ とすれ ば,そ れは 一意 であ る.   定 義7.2 

内 積 空 間Eが

ノル ム 

に 関 して 完 備 で あ る とき,E

を ヒ ル ベ ル ト空 間 とい う.   Φ が 実 数 体 あ る い は 複 素 数 体 で あ る に 従 い,Eを

そ れ ぞ れ 実 ヒ ル ベ ル ト空

間,複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 と い う.   従 っ て 定 理7.4よ

り,ヒ ル ベ ル ト空 間 と は3角 形 の 中 線 定 理(7.14)を

満た

す バ ナ ッハ 空 間 の こ とで あ る.   ま た,完 備 で な い 内 積 空 間Eの

ノル ム 

に よ る 完 備 化Eは

ヒ

ル ベ ル ト空 間 で あ る(演 習 問 題7の1).   定 理7.5    2) 

1)  内 積 空 間Eは

ヒ ル ベ ル ト空 間Eは

回 帰 的 で あ る.

  証 明   1)  任 意 の ε>0に が 

一様 に 凸 で あ る.

対 し て 

か つ 

と な っ て(6.9)が

と お く と,Eの な らば,(7.14)よ

元x,y

り

  2)  定 理6.9よ

満 た さ れ る. り 明 ら か. 

(証 終)

  次 に ヒ ル ベ ル ト空 間 の 例 を 示 す.   例1 

ΦN(RNま

た はCN).ΦNの

任 意 の2元 

に対 し  (7.21)

と 定 義 す る と,(x,y)は は,ノ

内 積 の4条

件 を 満 た す.既

に 知 っ て い る よ う に,ΦN

ル ム

に 関 し 完 備 で あ る か ら,ヒ   R3に

ル ベ ル ト空 間 で あ る.

お け る 内 積 の 幾 何 学 的 な 意 味 は 次 の よ う で あ る.R3の2つ

の ベ ク トル

 の な す 角 を θ と す る と き,   (7.22) で あ る.従

っ て,xとyが

直 交 す る こ と と(x,y)=0と

が 同 値 で あ る こ とが 分

る.   例2 

(l2).(l2)の

任 意 の2元x={ξk},y={ηk}に

対 し

 (7.23)

と お く.上 り 明 ら か.ま

式 の 右 辺 の 級 数 が 収 束 す る こ と は,シ た(x,y)は

内 積 の4条

に 関 し 完 備 で あ る か ら,ヒ   例3 

ュ バ ル ツ の 不 等 式(2.15)よ

件 を 満 た す.(l2)は,ノ

ル ム

ル ベ ル ト空 間 で あ る.

L2(a,b).開

区 間(a,b)は

の2元x=x(t),y=y(t)に

対 し

有 限 で も 無 限 で も よ い.C0(a,b)の

任意

 (7.24)

と 定 義 す る と,(x,y)は

内 積 の4条

に よ る 完 備 化 がL2(a,b)で L2(a,b)に

件 を 満 た す.内

あ った か ら,L2(a,b)は

拡 張 さ れ た 内積 と ノル ム をC0(a,b)に

す.(a,b)が

ヒル ベ ル ト空 間 で あ る.

あ る が,C[a,b]の

元 に対 し

ー マ ン積 分 の 意 味 で)成 立 す る こ と に注 意 す る.

  この 他 に も ヒル ベ ル ト空 間 の例 は 色 々あ る が,特 フ(〓)空

ノル ム

お け る も の と同 じ記 号 で 表

有 界 の と き はC[a,b]⊂L2(a,b)で

て も(7.24)が(リ

積 空 間C0(a,b)の

に 第9章

間 に つ い て 解 説 す る.こ の 空 間 は 第10章

に お い て ソボ レ

の偏 微 分方程 式へ の

応 用 の 際 に 必 要 とな る.

  7.2  完 備 正 規 直 交 系   定 義7.3 

ヒル ベ ル ト空 間Eの2元x,yは,(x,y)=0の

る とい い,x⊥yで の2元 =1で

表 す こ とが あ る.Eの

が 互 い に直 交 す る とき,Aを あ る と き,Aを

な わ ちAを

と き互 い に 直 交 す

部 分 集 合Aが0を

含 ま ず,そ

直 交 系 とい う.直 交 系Aの

正 規 直 交 系 とい う.正 規 直 交 系Aが

の任 意

各 元xが‖x‖

極 大 で あ る と き,す

真 部 分 集 合 と して 含 む よ うな 正 規 直 交 系 が 存 在 し な い と き,Aは

完 備 で あ る とい う.ま た,こ   E={0}は

の と きAをEの

完 備 正 規 直 交 系 とい う.

勿 論 ヒル ベ ル ト空 間 とみ な され る が,我

々 は こ の場 合 の 完 備 正 規

直 交 系 は 空 集 合 φで あ る と考え る.   定 理7.6 

ヒル ベ ル ト空 間Eは

  証 明 

と し,Eに

に対 し,x/‖x‖

か つYの

お け る正 規 直 交 系 の 全 体 をXで

と きA〓Bと

任 意 の 全 順 序 部 分 集 合 と し, 

定 め てXに

元

 

は 少 な く と も1つ の 極 大 元A0を

も つ.明

あ る. 

順 序〓 を 導 入 す る.Y

と お く と,BはXの

上 界 で あ る こ とが 容 易 に 分 る.そ れ ゆ え,ツ

  補 題7.7 

表 す.Eの

の み か らな る集 合 は 明 らか に 正 規 直 交 系 で あ るか ら, 

で あ る.A,B∈XがA⊂Bの をXの

完 備 正 規 直 交 系 を も つ.

元 で あ り,

ォ ル ン の補 題 よ り,X

らか にA0はEの

完備 正 規直 交系 で (証終)

(ピ タ ゴ ラ ス(Pythagoras)の

定 理)  ヒル ベ ル ト空 間Eの2元x,

yが 互いに直交す るな らば  (7.25)

 証 明

(証 終)

  補 題7.8 

ヒル ベ ル ト空 間Eの

直 交 系Aは1次

独 立,す

な わ ち,Aの

任意

有 限 個 の 元 は1次 独 立 で あ る.   証 明   x1,x2,…,xn∈Aに

と す る と,直

こ こ で 

対 して

交 性 か ら,k=1,2,…,nに

で あ る か ら,αk=0.ゆ

つ い て

え に,x1,x2,…,xnは1次

独 立 で あ る. (証 終)

  ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

正 規 直 交 系 をA={eλ}λ

∈Λで 表 し,Eの

元xに

対 し

と お く.   補 題7.9 

A={eλ}λ ∈Λを ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

個 の 

と 

正 規 直 交 系 とす る.任

意有 限

に 対 して

 (7.26) こ こ で,等

号 は αk=ξ λk(k=1,2,…,n)の

と き,か

つ こ の と き に 限 り 成 立 す る.

 証明

よ り(7.26)を   定 理7.10 

得 る.等

号 成 立 の 条 件 も 明 ら か. 

(ベ ッ セ ル(Bessel)の

の 正 規 直 交 系 とす る.Eの   で あ り,

各 元xに

不 等 式)A={eλ}λ

(証 終) ∈Λを ヒ ル ベ ル ト空 間E

対 し 高 々 可 算 個 の λ∈Λ に つ い て の み

 (7.27)

が 成 立 す る.た

だ し,左

   証 明   補 題7.9よ

辺 は 

り,任

と な る 項 の み の 和 を と る も の とす る.

意 有 限 個 の λ1,λ2,…,λn∈Λ に 対 し て

で あ る か ら,   (7.28)

こ の こ とか ら,任 意 の 自然数mに る こ と が 分 る.従 あ る.ま

対 し て{λ ∈Λ￨￨ξλ￨>1/m}は

有限 集合 であ

は高 々可算集 合で

っ て 

た 

と す る と き,(7.28)でn→∞

す る と,(7.27)を   定 理7.11 

得 る. 

(証 終)

ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

 証 明  

完 備 正 規 直 交 系 の 濃 度 は 一 定 で あ る.

と し,A,BをEの

度 が 有 限nの

と

完 備 正 規 直 交 系 と す る.は

場 合 を 考 え,A={e1,e2,…,en}と

す る.こ

じめ にAの

の と き,任

濃

意 のx∈E

は  (7.29)

と 表 さ れ る.な

ぜ な ら ば,あ

るx∈Eに

対 し て, 

で あ る と し,

 と お く と, (x,ek)=(x,ek) 

(k=1,2,…,n)

で あ る か ら, (x−x,ek)=(x,ek)−(x,ek)=0  従 っ て,Aに

元(x−x)/‖x−x‖

含 む 正 規 直 交 系 で あ る か ら,Aが 7.8よ

り,Aは1次

1.3).従

っ てEの1次

交 系Bは1次 n≦mを

真 部 分 集 合 と して

完 備 な こ と に 反 す る か ら で あ る.ま 元 をe1,e2,…,enの1次

上 の こ と か ら,AはEの

独 立 な 集 合 の 濃 度 はnを

独 立 で あ る か ら,Bの

得 る か ら,n=mが

  次 にAの

を 付 け 加 え た 集 合 は,Aを

独 立 で あ る か ら,Eの

表 す 方 法 は 一 意 で あ る.以

(k=1,2,…,n).

濃 度 をmと

た 補題

結 合 と して

代 数 的 基 底 で あ る(補 越 え ず(定 理1.5),完

題

備正規直

す る と,m≦nで

あ る.同

様に

∈Λ,B={fμ}μ

∈Mと す る.各

成 立 す る.

濃 度 が 無 限 の 場 合 を 考 え,A={eλ}λ

λ

∈Λに 対 し て

と お く と,前

定 理 よ り,Sλ

は 高 々 可 算 集 合 で あ る.A={eλ}λ∈Λ

交 系 で あ る こ と か ら,任 意 の μ∈Mに こ と が 分 る か ら,μ ∈Sλ.よ Mの を 得 る.こ

こ で〓0は

る か ら,AとBの   定 義7.4 

対 し 

っ て 

が 完備 正 規直

と な る λ∈Λ の 存 在 す る

と 表 さ れ る か ら,

濃 度 ≦(Λ の 濃 度)〓0=Λ

可 算 集 合 の 濃 度 を 表 す.同

の濃度 様 に逆 向 きの不 等 式 が 成立 す

濃 度 は 一 致 す る.  ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

(証終)

次 元 を,E={0}の

と き0と

定 義 し, 

の と き そ の 完 備 正 規 直 交 系 の 濃 度 で 定 義 す る.   注 意   上 の証 明 か ら も 分 る よ うに,ヒ き は 一 致 し,Eの

ル ベ ル ト空 間Eの

完 備 正 規 直 交 系 が そ の ま ま代 数 的 基 底 を な し て い る.な

2〓0の と き次 元 と代 数 的 次 元 が 一致 し,〓0≦ い こ とが 知 られ て い る.従 仮 説 を 仮 定 す れ ば,次   以 後,可   {en}を

次 元 と代 数 的 次 元 は 有 限 の と

次 元<2〓0の

っ て"〓0
お,次

元≧

と き代 数 的 次 元 は2〓0に 等 し

な る濃 度nは

存 在 し な い"と

元 と代 数 的 次 元 が 異 な る の は 次 元=〓0の

い う連続 体

と き の み で あ る.

算 個 の 元 か ら な る 正 規 直 交 系 の み を 扱 う. ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

正 規 直 交 系 とす る.Eの

ξn=(x,en)  関 す るxの

フ ー リ エ(Fourier)係

を{en}に

関 す るxの

フ ー リ エ 級 数 と い う こ と が あ る.

ー リエ 級 数 

はEで

はxを 表 す の か ど うか,が

束すれば 

はEで

  補 題7.12 

 証明 

対 して

(n=1,2,…)

を{en}に

 こ の と き,フ

元xに

数 と い い,

収 束 す るの か ど うか,ま

た,も

し収

これ か ら の 問 題 で あ る.

収 束 す る.

と お く.m
し,ピ

タ ゴ ラ ス の 定 理(補

題7.7)を

反復

し て用 い る と

定 理7.10よ

て{Sn}は

り, 

は 収 束 す る か ら,m,n→

コ ー シ ー 列 で あ る.Eは

完 備 ゆ え, 

∞ の と き 

よ っ

が 存 在 す る.

(証 終)   定 理7.13 

ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

正 規 直 交 系{en}に

対 し て,次

の5条

件 は

同 値 で あ る:   (7.30) 

{en}は

  (7.31) 

(フー

完 備 正 規 直 交 系 で あ る, リ エ 級 数 展 開 可 能 性)

す べ て のx∈Eに

対 して

 (7.32) 

{en}か

ら 生 成 さ れ る 線 形 部 分 空 間FはEで

 (7.33) 

(パー セ バ ル(Parseval)の

す べ て のx∈Eに  (7.34) (x,en)=0    証 明  x∈Eに

等 式)

対 して

(n=1,2,…)な 対 し

ら ば   x=0.

ξn=(x,en)(n=1,2,…)と

 (7.30)⇒(7.31)(7.31)が と お く と,内

稠 密 で あ る,

お く.

不 成 立 な ら ば,あ

るx∈Eに

積 の 連 続 性 よ り,n=1,2,…

対 し て 

につ い て

で あ る か ら, (x−x,en)=(x,en)−(x,en)=0  従 っ て{en}に

元(x−x)/‖x−x‖

を 付 け 加 え た 集 合 は{en}を

し て 含 む 正 規 直 交 系 で あ る か ら,{en}は  (7.31)⇒(7.32) 

に 対 し てn0が

完 備 で な い.

任 意 のx∈Eが 

で あ る か ら,FはEで

  (7.32)⇒(7.33) 

FがEで

稠 密 な ら ば,任

0に 対 し て α1,α2,…,αn∈ Φ が 存 在 し て

り

真 部分 集合 と

と表 され る と き,任 意 の ε>0

存在 して

こ こ で, 

補 題7.9よ

(n=1,2,…).

稠 密 で あ る. 意 のx∈Eを

と る と,任

意 の ε>

が 得 られ る.

よ っ て   (7.33)⇒(7.34) 

(7.33)が

ば,

成 立 す る と き,ξn=(x,en)=0(n=1,2,…)な

ら

 ゆ え にx=0.

  (7.34)⇒(7.30) 

{en}が

う な 正 規 直 交 系Aが

完 備 で な け れ ば,{en}を

存 在 す る.xを{en}に

か つ(x,en)=0(n=1,2,…)と   注 意   (7.31)の    定 理7.14 

真 部 分 集 合 と して 含 む よ

属 さ な いAの

な り,(7.34)が

元 と す る と, 

成 立 し な い. 

(証 終)

右 辺 の フ ー リエ 級 数 は項 の順 序 を 入 れ か え て も同 じxに 収 束 す る.

ヒ ル ベ ル ト空 間Eが

可 分 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Eの

備 正 規 直 交 系 の 濃 度 が 高 々 可 算 な る こ と,す

な わ ちEが

高 々〓0次

完

元なること

で あ る.   証 明   Eが Eの E0が

可 分 な ら ば,Eで

稠 密 な 可 算 集 合E0が

完 備 正 規 直 交 系 とす る と,各 存 在 す る.ピ

存 在 す る.A={eλ}λ

λ∈ Λ に 対 し, 

タ ゴ ラ ス の 定 理(補 題7.7)よ

∈Λ を

と な るxλ ∈

り, 

な らば

で あ る か ら,

ゆえ に.す

なわ ち,対 応: 

はAか

らE0へ

の1対1対

応 であ

る か ら, 〓の 濃 度.   逆 にEが {en}か

高 々可 算 個 の 元 か らな る 完 備 正 規 直 交 系A={en}を

ら生 成 さ れ る線 形 部 分 空 間 をFと

(ま た は 有 理 複 素 数)を 係 数 とす る1次 稠 密 で あ り,FはEで またE0は   E,Fを

可 算 集 合 で あ る.ゆ え にEは

ら,E0はEで

可 分 で あ る. 

共 に ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る.Eか

らFの

す る と,E0はFで 稠 密 で あ る. (証終)

上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素T

ノル ム空 間 と し て 同 型 で あ る と 定 義 した

内 積 を も不 変 にす る か ら,EとFは

を もつ と考 え て よ い.そ れ ゆ え,こ

任 意有 限 個 の元 の有 理数

結 合 の 全 体 をE0と

稠 密 で あ る(定 理7.13)か

が 存 在 す る とき(§5.3でEとFは が),Tは

し,{en}の

もつ とす る.

ヒル ベ ル ト空 間 と し て 同 じ構 造

の と き,EとFは

ヒル ベ ル ト空 間 と して

同 型 で あ る と い う.   定 理7.15 〓0次

元 の ヒ ル ベ ル ト空 間Eは

空 間(l2)と

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し て

同 型 で あ る.   証 明   {en}をEの

完 備 正 規 直 交 系 と す る.定

対 し て ξn=(x,en)(n=1,2,…)と

が 成 立 す る.明

理7.13よ

り,任

意 のx∈Eに

お く と,

ら か に 数 列{ξn}は(l2)に

属 す る.い

ま,Eか

ら(l2)へ

の作

用 素Tを Tx={ξn}  に よ っ て 定 義 す る と,Tは

次 に(l2)の

線 形 で あ る.さ

任 意 の 元{ξn}を

 はEで

らに

与 え る と,補

収 束 す る. 

ξn(n=1,2,…)を

(x∈E)

題7.12で

と お く と,内

得 る か ら,Tx={ξn}.以

示 し た と 同 様 に し て,

積 の 連 続 性 か ら,(x,en)=

上 よ り,TはEか

ら(l2)の

の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る. 

(証終)

  次 に 完 備 正 規 直 交 系 の 例 を 挙 げ よ う.こ 間 の 場 合 で あ る か ら,高   例1 

ΦN(RNま

れ ら は い ず れ も 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空

々 可 算 個 の 元 か ら な る 完 備 正 規 直 交 系 が 示 さ れ る.

た はCN)に

e1=(1,0,…,0), 

おいて e2=(0,1,0,…,0),…, 

eN=(0,…,0,1)

が 完 備 正 規 直 交 系 を な す こ と は 明 ら か.   例2 

(l2)に

お いて

が 完 備 正 規 直 交 系 を な す こ と は 容 易 に 分 る.   例3 

実L2(− π,π)に お い て,3角

関数 系

 (7.35)

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.   証 明   (7.35)が

上 へ

正 規 直 交 系 を な す こ と は,m,n=1,2,…

につ いて

よ り 明 ら か.完

備 性 を い う に は,正

空 間FがL2(−

π,π)で

の 有 限 個 の1次

π,π)はL2(−

れ を3角

多 項 式 と い う.任

が 存 在 す る.yを

る2π 周 期 の 連 続 関 数 と し て 拡 張 し,次

関 数 は,3角

元 は(7.35)の

π,π)

意 の ε>0に

無 限 区 間(−

対 して

∞,∞)に

おけ

の よ く知 ら れ た 定 理 を 用 い る.

定 理   無 限 区 間(−

多 項 式 に よ り(−

関数

意 にx∈L2(−

π,π)で 稠 密 で あ る か ら,任

 と な る 

  フ ェ イ エ ー ル(Fejer)の

ら生 成 され る線 形 部 分

稠 密 な こ と を い え ば よ い.Fの

結 合 で あ り,こ

を と る.C0(−

規 直 交 系(7.35)か

∞,∞)で

∞,∞)上

の2π

周 期 の実 数 値連 続

一様 に 近 似 さ れ る(高 木[11]pp.274

∼277).  こ れ よ り 

と な るz∈Fが

選 べ る.

で あ る か ら,

よ っ て,FはL2(−

π,π)で 稠 密 で あ る. 

  例4 

π,π)に お い て,複

複 素L2(−

素3角

(証 終) 関数系

 (7.36)

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.た  証 明   (7.36)が

だ し,

正 規 直 交 系 を な す こ とは

よ り明 らか.(7.36)の

関 数 の 有 限 個 の1次 結 合 を 複 素3角

の とき,無 限 区 間(− ∞,∞)上

多 項 式 とい う.こ

の2π 周 期 の 複 素 数 値 連 続 関 数 が 複 素3角

多項

式 に よ り(−

∞,∞)で

に し て,(7.36)の   注 意1 

一 様 に 近 似 さ れ る こ と を 用 い る と,例3の

場 合 と同 様

完 備 性 が 示 さ れ る. 

(証 終)

複 素L2(− π,π)に お い て も,3角

関 数 系(7.35)は

完 備 正 規 直 交 系 を な して

い る.

  注 意2 

L2(− π,π)に 属 す る 関 数x(t)が

奇 関 数(x(−t)=−x(t))の

で あ る か ら,xの(7.35)に て はsineの

項 の み 現 れ る.x(t)が

展 開 に お い てsineの   例5 

と き は, 

関 す る フ ー リエ 級 数 展 開 に お い

偶 関 数(x(−t)=x(t))の

と き は,xの

フ ー リエ 級 数

項 は 現 れ な い.

L2(0,π)に

お い て,3角

関 数 系

 (7.37)

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.   証 明   (7.37)が

正 規 直 交 系 を な す こ とは 容 易 に 分 る.任 意 のx∈C0(0,π)を

(−π,π)に お い て 奇 関 数xに か ら,注 る.こ

意2よ

りxはL2(−

れ ら の(0,π)へ

拡 張 す る と, 

と フ ー リエ 級 数 展 開 され

π,π)で 

の 制 限 を 考 え る と,L2(0,π)の

密 で あ る.ゆえ

  7.3 

局,(7.37)か

に(7.37)は

直 和 分 解 定 理

  定 義7.5 

ヒル ベ ル

ノル ム の 意 味 で

が 成 立 す る.C0(0,π)はL2(0,π)で

と な る か ら,L2(0,π)で  稠 密 で あ る か ら,結

であ る

ら生 成 さ れ る 線 形 部 分 空 間 はL2(0,π)で

完 備 で あ る. 

(証 終)

・リー ス の 表 現 定 理 ト空 間Eの

部 分 集 合Mに

て の 元 と 互 い に 直 交 す る と き,x⊥Mで

表 す.ま

対 し,Eの

元xがMの

た

M⊥={x∈E￨x⊥M} と か き,M⊥

をMの

  補 題7.16    (7.38)    (7.39)

Eを

E⊥={0},

稠

直 交 補 空 間 と い う. ヒ ル ベ ル ト空 間,Mを

そ の 部 分 集 合 と す る.

すべ

  (7.40)  0∈M 

な らば  M∩M⊥={0},

  (7.41)  M⊥ はEの

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.

  証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る(演 習 問 題7の4).   定 理7.17 

1) Mが

ヒル ベ ル ト空 間Eの

凸 閉 集 合 な らば,Mに

属 さ な いE

の 点xに 対 して d(x,M)=‖x−y0‖ を 満 た すy0∈Mが

た だ1つ

存 在 す る.た だ し 

(xか

らM

に い た る距 離).  2)  特 にMが

閉 線 形 部 分 空 間 な らば,1)で

存 在 したy0に 対 し て

x−y0⊥M.   証 明   1)  d=d(x,M)と

お く.Mは

閉 集 合 で, 

で あ る か らd>0.下

限 の 性 質 か ら,  (7.42)

を 満 た すMの Mは

点 列{yn}が

存 在 す る.{yn}が

凸 集 合 ゆ え,(ym+yn)/2∈Mで

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 示 す.

あ る か ら,

 (7.43)

3角 形 の 中 線 定 理(7.14)よ

(7.42),(7.43)を

用 い る と

す なわ ち  よ り, 

こ の よ うなy0は

り

と な っ て,{yn}は

が 存 在 し,Mは

た だ1つ

で あ る とす る と,再 び3角

コ ー シ ー 列 で あ る.Eの

完備 性

閉 集 合 で あ る か ら,y0∈M.

存 在 す る.実 際,あ 形 の 中線定 理 よ り

るy∈Mに

つ い て も‖x−y‖=d

と な っ て,y0=yを

得 る.

  2)  閉 線 形 部 分 空 間Mに つ 存 在 す る.任 意 にMの ∈Mで

対 し 1)よ 元 

り‖x−y0‖=dと

を 固 定 す る.任

な るy0∈Mが

た だ1

意 の 実 数 α に 対 し てy0+αy

あ るか ら,

す な わ ち,α2‖y‖2−2αRe(x−y0,y)≧0.実   (7.44) 

数 α に 関 す る2次

式 ≧0よ

り

Re(x−y0,y)=0.

yの 代 り にiyを

用 い る と,同

様 に α2‖y‖2−2αIm(x−y0,y)≧0よ

  (7.45) 

り

Im(x−y0,y)=0.

(7.44),(7.45)よ

り(x−y0,y)=0.こ

の 等 式 はy=0の

と き も成 立 す る.そ

れ ゆ えx−y0⊥M.    定 理7.18 

(証 終)

(直 和 分 解 定 理)Eを

間 と す る と,Eの

ヒ ル ベ ル ト空 間,Mを

そ の閉線形 部 分空

任 意 の 元xは

  (7.46) x=y+z, 

y∈M, 

z∈M⊥

と一 意 に 分 解 さ れ る.   証 明  x∈Mに 理7.17よ

対 し て は,y=x, 

z=0と

と れ ば よ い. 

り d(x,M)=‖x−y‖, 

を 満 た すy∈Mが ∈M⊥

の と き は,定

た だ1つ

を 得 る.分

x−y⊥M

存 在 す る.x−y=zと

お く と,x=y+z, 

z

解 の一 意性 を示 す た め x=y+z=y1+z1, y,y1∈M, 

と す る と,補

y∈M, 

題7.16よ

z,z1∈M⊥

り y−y1=z1−z∈M∩M⊥={0}

で あ る か ら,y=y1, 

z=z1. 

  系  ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

(証 終) 閉 線 形 部 分 空 間Mに

  (7.47)    証 明   補 題7.16よ

M=M⊥ りM⊂M⊥

⊥.逆

対 し て,

⊥. に 任 意 のx∈M⊥

⊥ は,定

理7.18よ

りx

=y+z, 

y∈M, 

z∈M⊥

と 分 解 さ れ る か ら,

(z,z)=(x−y,z)=(x,z)−(y,z)=0−0=0. 従 っ てz=0と   定 義7.6 

な り,x=y∈M.ゆ 定 理7.18に

る と い い,E=M 

M⊥

え にM⊥

お い て,ヒ

⊥⊂M. 

(証 終)

ル ベ ル ト空 間EはMとM⊥

と か く こ と が あ る.ま

た(7.46)に

の 直和 で あ お け るyをxのM

へ の 直 交 射 影 ま た は 射 影 と い い, y=PMx 

(x∈E)

に よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素PMをMへ

の 射 影 作 用 素 と い う.

  こ の と き,x=PMx+PM⊥x(x∈E)で

あ るか ら

容 易 に 分 る よ うに,射 影 作 用 素PMは‖PM‖=1な

るEか

らMの

上への 有界

線 形 作 用 素 で あ る.   定 理7.19 

ヒル ベ ル ト空 間Eの

任 意 の 元yは

fy(x)=(x,y)  に よ っ てE上

の 有 界 線 形 汎 関 数fyを

(x∈E)

定 義 し,

が 成 立 す る.   証 明  fyの 線 形 性 は 明 らか.fyの

有 界 性 は シ ュバ ル ツ の不 等 式

 (7.48)

よ り得 ら れ る.こ

の と き‖fy‖ ≦‖y‖ で あ る が,x=yと

が 成 立 す る か ら,‖fy‖=‖y‖   系   ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

す る と(7.48)で

を 得 る.  各 元xに

等号 (証 終)

対 して

  上 の 定 理 の逆 が 成 立 す る こ とを 示 す 次 の 定 理 は 重 要 で あ る.   定 理7.20 

(リー ス(Riesz)の 表 現 定 理)  ヒル ベ ル ト空 間E上

線 形 汎 関 数fに

対 して f(x)=(x,yf) 

を 満 た すyf∈Eが

一 意 に存 在 し,

(x∈E)

の任 意 の有界

が 成 立 す る.   証 明  f=0の =0}と

と き はyf=0と

お く と, 

で あ り,fの

空 間 で あ る か ら,直

で あ る か ら, 

の と き はM={x∈E￨f(x)

連 続 性 と 線 形 性 よ りMはEの

和 分 解 定 理(定 理7.18)よ

す る.yf={f(y)/‖y‖2}yと

お き,yfが

り,y∈M⊥

閉 線形部 分

と な る 

が 存在

求 む る も の で あ る こ と を 示 そ う. 

任 意 のx∈Eを

と表 した と き,右 辺 の 第1項

を 得 る.一

と れ ば よ い. 

はMに

属 す る こ と が 分 る か ら,

意 性 を 示 す た め,y0∈Eに

ついても

f(x)=(x,y0)  が 満 た さ れ る と す る と,任

(x∈E)

意 のx∈Eに

ついて

(x,yf−y0)=(x,yf)−(x,y0)=f(x)−f(x)=0 と な り,yf=y0を

得 る.‖yf‖=‖f‖

が 成 立 す る こ と は 定 理7.19と

同 様 で あ る.  (証 終)

  定 理7.19,定

理7.20よ

り次 の こ と が 分 る.

  複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

共 役 空 間E′

の 任 意 の 元fに

f(x)=(x,yf)  よ り決 定 さ れ るyf∈Eを 上 へ の1対1の   さ ら に,任

(x∈E)

対 応 さ せ る 作 用 素 をTと

す る と,TはE′

か らEの

ノ ル ム を 不 変 に す る 作 用 素 で あ る. 意 のf,g∈E′

と 任 意 の α,β∈ Φ に 対 し て

  (7.49) 

T(αf+βg)=αTf+βTg

が 成 立 す る.(7.49)を   任 意 のf,g∈E′に

満 た す よ う なTは

反 線 形 で あ る と い う.

対 し (f,g)=(Tf,Tg)

と 定 義 す る と,(f,g)は

内 積 の 条 件 を 満 た し,‖f‖=(f,f)1/2が

E′ は ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.そ

こ で 簡 略 にEとE′

を 同 一 視 し て,次

表 現 す る こ と が 多 い.   "ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

共 役 空 間E′

はEそ

成 立 す る か ら,

れ 自 身 で あ る."

の形 に

  す で に 定 理7.5で

ヒ ル ベ ル ト空 間Eは

回 帰 的 で あ る こ と を 示 し た が,こ

の

こ と は 次 の 考 察 か ら も 分 る.   上 述 の 意 味 で の,E′

か らEの

上 へ の,お

よ びE″

を 不 変 に す る 反 線 形 な 作 用 素 を そ れ ぞ れT1,T2と Eの

上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ り,し

か らE′ の 上 へ の ノ ル ム

す る と,積T1T2はE″

か もT1T2は(5.47)の

と 同 じ も の を 与 え て い る.よ

っ てEは

か ら

意 味 で の 対 応:

回 帰 的 で あ る.

演 習 問 題7   1.完

備 で な い 内 積 空 間Eの

ノル ム‖x‖=(x,x)1/2に

よ る完 備 化Eは

ヒル ベ ル ト空 間

で あ る こ と を 示 せ.   2.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

任 意 有 限 個 の 元 のx1,x2,…,xnに 対 して

が 成 立 す る こ とを 示 せ.   3.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

正 規 直 交 系{en}が

完 備 で あ るた め に は,Eの

任 意 の2元x,

yに 対 して

が 成 立 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る こ とを 示 せ.   4.補

題7.16を

  5.1) 

証 明 せ よ.

内 積 空 間Eの

そ の 閉 線 形 部 分 空 間Fに

よ る商 空 間E/Fは

内積空 間 であ る こ

と を 示 せ.   2)  ヒル ベ ル ト空 間Eの

そ の 閉 線 形 部 分 空 間Fに

よ る商 空 間E/FはFの

F⊥ と ヒル ベ ル ト空 間 と して 同 型 で あ る,す な わ ちE/F=F⊥   6.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの2点

直 交補 空間

で あ る こ と を 示 せ.

列{xn},{yn}が 

な らば 

で あ る こ とを 示 せ.   7.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

完 備 正 規 直 交 系{en}は0に

σ(E,E′)‐収 束 す る が,(ノ

ルム

の 意 味 で は)収 束 し な い こ とを 示 せ.   8.ヒ  1) 

 2)任   3)

ル ベ ル ト空 間Eの はEで 意 のy∈Eに

直 交 系{xn}に

対 し て 次 の3条 件 は 同 値 で あ る こ とを 示 せ.

収 束 す る. 対 し て 

は 収 束 す る.

8.固

  8.1    Eを ちEに

有 値 と固 有 ベ ク トル

ス ペ ク トル と レ ゾ ル ベ ン ト 係 数 体 Φ 上 の ノ ル ム 空 間 と す る.TをD(T),R(T)⊂Eな お け る 線 形 作 用 素 と し,IをEに

Φ に 対 し てEに

る,す

お け る 恒 等 作 用 素 と す る.任

なわ

意 の λ∈

おけ る線 形作 用 素 Tλ=λI−T

を 考 え る.明

ら か にD(Tλ)=D(T)で

作 用 素Tλ−1に

つ い て 次 の4つ

あ る.λ

が Φ の 中 を 動 く と き,Tλ

の 場 合 が 考 え ら れ る.

  (8.1)Tλ−1が

存 在 し,D(Tλ−1)はEで

稠 密 でTλ−1は 有 界 で あ る,

  (8.2)Tλ−1が

存 在 し,D(Tλ−1)はEで

稠 密 でTλ−1は 有 界 で な い,

  (8.3)Tλ−1が

存 在 し,D(Tλ−1)はEで

稠 密 で な い,

  (8.4)Tλ−1が

存 在 し な い.

  定 義8.1 

(8.1)が

い,ρ(T)で

表 す.λ ∈ ρ(T)の

う.(8.2)が

成 立 す る よ う な λ をTの

σc(T)で

表 す.(8.3)が

の 全 体 を σr(T)で

成 立 す る よ う な λ の 全 体 をTの

は 固 有 値 と い い,そ と か き,λ ∈ σ(T)をTの

と きTλ−1をTの

レ ゾ ル ベ ン ト集 合 と い

λ に お け る レ ゾ ル ベ ン トと い

連 続 ス ペ ク トル と い い,そ

成 立 す る よ う な λをTの

表 す.(8.4)が

の逆

剰 余 ス ペ ク トル と い い,そ

成 立 す る よ う な λをTの

の 全 体 を σp(T)で

の全 体 を

点 ス ペ ク トル ま た

表 す. 

ス ペ ク トル と い う.

  明 ら か に ρ(T),σc(T),σr(T),σp(T)は

互 い に素 な集 合 で

が 成 立 す る.   定 義8.2  D(T)の

λがTの

元xが

い う.Eが

固 有 値 で あ る と き に は,Tx=λxを

存 在 す る.こ の 元xをTの

異なる

固 有 値 λ に属 す る固 有 ベ ク トル と

関 数 空 間 の と き,固 有 ベ ク トル を 固 有 関 数 と も い う.さ

={x∈E￨Tx=λx}をTの

ら に,Mλ

固 有 値 λに属 す る 固 有 空 間 とい う.

  容 易 に 分 る よ う に,固 有 空 間Mλ はEの   定 理8.1 

満 た す0と

線 形 部 分 空 間 で あ る.

Eを バ ナ ッハ 空 間 と し,TをD(T), 

R(T)⊂Eな

る閉 線 形 作 用

素 と す る.λ ∈ ρ(T)で =Eと

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Tλ−1が

な る こ と で あ る.こ

  証 明   Tが

る.さ

の と きTλ−1∈L(E,E).

閉 作 用 素 の と き,Tλ

習 問 題3の5).ま

もD(Tλ)=D(T)な

たTλ−1が 存 在 す れ ば,定

て λ∈ ρ(T)な

ら ば,定

{xn}はEの

ら ば,閉

な わ ち λ∈ ρ(T)を

λ∈ ρ(T)か

稠密で

と る.D(Tλ−1)

点 列{xn}が

存 在 す る.

有 界 性 よ り,{Tλ−1xn}もEの が 存 在 す る.よ

つTλ−1x=y).す

が 存 在 し てD(Tλ−1)=Eな

Eを

意 にx∈Eを

完 備 性 よ り, 

の 閉 性 よ り,x∈D(Tλ−1)(か

  定 理8.2 

りTλ−1も 閉 作 用 素 で あ

と な るD(Tλ−1)の

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,Tλ−1の

は 有 界,す

理3.14よ

示 す た め,任

稠 密 で あ る か ら, 

ー シ ー 列 で あ る.Eの

る 閉 作 用 素 で あ る(演

義 か らTλ−1が 存 在 し てD(Tλ−1)はEで

Tλ−1は 有 界 で あ る.D(Tλ−1)=Eを

はEで

存 在 し てD(Tλ−1)

な わ ちD(Tλ−1)=E.逆

グ ラ フ 定 理(定 理3.20)よ

っ てTλ−1 にTλ−1

り,閉 作 用 素Tλ−1

得 る. 

(証終)

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,T∈L(E,E)と

つ 

コ

す る. 

な らば

従 っ て,ρ(T)は

空集合

で は な い.

 証明  3.7よ

で あ る か ら,定 理

と す る. 

り(λI−T)−1∈L(E,E)が

存在 し

よ っ て λ∈ ρ(T).    系   Eを

(証 終)

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.T∈L(E,E)に

  注 意   Eが

複 素 バ ナ ッハ 空 間 の と きは,T∈L(E,E)に

またn→ ∞ の と き 

対 し

対 して 

が 示 され る.

は収 束 して

で あ る こ とが示 され る.上 式 の左辺 をTの ス ペ ク トル半 径 とい う.

  8.2    E,Fを

双 対作 用素 ノ ル ム空 間 と し,そ の 共 役 空 間 を そ れ ぞ れE′,F′ とす る.TをD(T)

⊂E,R(T)⊂Fな

る 線 形 作 用 素 と し,D(T)はEで

F′ の 元y′ に 対 し て,E′

の 元x′ が 存 在 し て

稠 密 で あ る と仮 定 す る.

  (8.5) 

〈Tx,y′ 〉=〈x,x′ 〉   (x∈D(T))

が 成 立 す る も の と す る.こ y′に 対 しx′1も(8.5)を

の と き,x′

はy′ に よ り 一意 に 決 定 さ れ る.実

満 た す と す る と, 〈x,x′〉=〈x,x′1〉 

と な り,D(T)はEで   定 義8.3 

(8.5)を

で 表 し,y′

∈D(T′)に

T′ をTの

際,

(x∈D(T))

稠 密 で あ る か ら,x′=x′1と

な る.

満 た すx′ ∈E′ が 存 在 す る よ う なy′ ∈F′ の 全 体 をD(T′) こ の よ う なx′ ∈E′ を 対 応 さ せ る 作 用 素 をT′

で 表 し,

双 対 作 用 素 と い う.

  定 義 か ら,   (8.6) 

〈Tx,y′ 〉=〈x,T′y′ 〉

  (x∈D(T), 

y′∈D(T′))

が 成 立 す る.   Tの

種 々 の 性 質 がT′

  定 理8.3 

に 反 映 し て い く こ と が 次 第 に 明 ら か に な る.

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と し,TをD(T)⊂E, 

用 素 と し,D(T)はEで

稠 密 で あ る と す る と,T′

R(T)⊂Fな

る線 形 作

はD(T′)⊂F′,R(T′)⊂E′

な る 閉 線 形 作 用 素 で あ る.   証 明  y′1,y′2∈D(T′),α1,α2∈

が す べ て のx∈D(T)に

よ っ て,D(T′)はF′

つ い て 成 立 す る か ら,α1y′1+α2y′2∈D(T′)か

つ

の 線 形 部 分 空 間 で あ り,T′ は線 形 で あ る.

 次 にT′ の 閉 性 を 示 す.D(T′)の と す る と,す

Φ に対 し

べ て のx∈D(T)に

が 成 立 す る か ら,y′ ∈D(T′)か

点 列{y′n}が 

か つ 

ついて

つT′y′=x′.よ

っ てT′

は 閉 作 用 素 で あ る. (証 終)

  定 理8.4  で あ り,

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と す る.T∈L(E,F)な

ら ばT′

∈L(F′,E′)

が 成立 す る   証 明   任 意 のy′∈F′ に 対 し f(x)=〈Tx,y′ に よ っ てE上

の汎 関 数fを

〉 

定 義 す る と,明

用 素 の 定 義 か らy′∈D(T′),す

(x∈E) らか にf∈E′ で あ る か ら,双

な わ ちD(T′)=F′

で あ る.さ

ら に,す

対作

べての

y′∈F′ に 対 し

が 成 立 す る か ら,T′ のx∈Eに

は 有 界 か つ 

.一

方,補

題5.11よ

り,す

べ て

対 し

が 成 立 す る か ら,    定 理8.5 

E,F,Gを

よ っ て.  ノ ル ム 空 間 と す る.

  (8.7)T,S∈L(E,F),α   (8.8)T∈L(E,F), 

∈ Φ に 対 し   (T+S)′=T′+S′,  S∈L(F,G)に

  (8.9)T∈L(E,F)に はTに   証 明   (8.7)の

(証 終)

(αT)′=αT′,

対 し(ST)′=T′S′,

対 しT″(=(T′)′)∈L(E″,F″)のEに 一 致 す る,す

おけ る 制 限

な わ ちT⊂T″.

証 明.y′ ∈F′ に 対 し,す

よ っ て(T+S)′y′=(T′+S′)y′(y′

べ て のx∈Eに

∈F′).ゆ

ついて

え に(T+S)′=T′+S′.後

半の

証 明 も 同 様.   (8.8)の

証 明.z′ ∈G′ に 対 し,す 〈x,(ST)′z′ 〉=〈STx,z′

よ っ て(ST)′z′=T′S′z′(z′   (8.9)の

べ て のx∈Eに

〉=〈Tx,S′z′ 〉=〈x,T′S′z′ 〉.

∈G′).ゆ

証 明.  T′∈L(F′,E′)で

ついて

え に(ST)′=T′S′.

あ る か ら,T″

y′∈F′ に 対 し 〈y′,T″x〉=〈T′y′,x〉

∈L(E″,F″). 

x∈E⊂E″,

(x∈EをE″

の 元 と み な す と き の 規 約 に よ り) =〈x,T′y′ 〉=〈Tx,y′ 〉

(Tx∈FをF″

の 元 と み な す と) =〈y′,Tx〉.

よ っ てT″x=Tx(x∈E).    定 理8.6 

E,Fを

(証終) ノ ル ム 空 間 と し,T∈L(E,F)と

任 意 の 部 分 集 合Mに

す る.こ

の と き,Eの

対 して

  (8.10)T(M)0=T′−1(M0). ま た,F′

の 任 意 の 部 分 集 合M′

に対 し て

  (8.11)T′(M′)0=T−1(M′0). こ こ で,極

集 合 はEとE′,お

T−1(  ),T′−1( 

)は

  証 明   (8.10)の

証 明.

と 表 さ れ,T′

よ びFとF′

そ れ ぞ れT,T′

に よ る 逆 像 を 意 味 す る.

の定 義 か ら 〈Tx,y′ 〉=〈x,T′y′ 〉  

で あ る か ら,上   (8.11)に   MがEの

の 双 対 性 に お い て と る も の と し,

の2つ

(x∈E,y′

∈F′)

の 集 合 は 等 し い.

つ い て も 同 様.  線 形 部 分 空 間 の と き,M⊥={x′

(証終) ∈E′￨〈x,x′ 〉=0(x∈M)}はM0

に 等 し い こ と に 注 意 す る(演 習 問 題6の7).E′

の 線 形 部 分 空 間 につ い て も 同

様 で あ る.   系1 

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と し,T∈L(E,F)と

す る.

  (8.12)R(T)⊥=N(T′),   (8.13)R(T′)⊥=N(T). こ こ で,N(T),N(T′)は   証 明   (8.12)の

そ れ ぞ れT,T′ 証 明.(8.10)でM=Eと

の 零 空 間 で あ る. お く こ と に よ り,

R(T)⊥=T(E)⊥=T(E)0=T′−1({0})=N(T′).   (8.13)に   系2 

つ い て も 同 様. 

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と し,T∈L(E,F)と

(証 終) す る.

  1)  R(T)がFで

稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はT′ が1対1な

る こ とで

あ る.   2)  R(T′)がE′ 1な

で σ(E′,E)‐ 稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はTが1対

る こ と で あ る.

  証 明   1)R(T)がFで

稠 密 な る こ と とR(T)⊥={0}な

あ り(演 習 問 題5の3),こ   2)  EがE′

りN(T′)={0}で

あ る.

の σ(E′,E)‐ 共 役 空 間 で あ る こ と か ら,1)と

  定 理8.7  次 の2条

の と き,(8.12)よ

る こ と とは 同 値 で

(可 逆 定 理)  E,Fは

同 様. 

(証 終)

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.T∈L(E,F)に

対 し,

件 は 同 値 で あ る:

  (8.14)R(T)=F,   (8.15)T′

の 逆 作 用 素T′−1が

  証 明   こ こ で は,た のEに

お け る 閉 包BEはEの

  (8.14)を α>0が

と え ば,バ

存 在 し てT′−1はD(T′−1)で ナ ッ ハ 空 間Eの

開 単 位 球 をBEで

閉 単 位 球 で あ る.F,E′,F′

仮 定 す る と,開

有 界 で あ る.

写 像 定 理(定 理3.19)よ

表 す.BE

に つ い て も 同 様.

り,Tは

開 写 像 で あ る か ら,

存 在 して T(BE)⊃

こ の 両 辺 の 集 合 のF′

αBF.

に お け る 極 集 合 を と る と,定

     (8.16)T′−1(BE0)⊂ こ こ で,BE0=BE′,   (8.17) 

の 系2よ

あ る か ら, T′−1(BE′)⊂

お け るT′−1はT′

り,T′

り

α−1BF0. BF0=BFで

(8.16),(8.17)に

理8.6よ

は1対1で

味 に とれ ば,(8.17)の

α−1BF′.

に よ る 逆 像 を 意 味 す る.一

あ る か ら,そ

左 辺 はBE′

の 逆 作 用 素T′−1が

∩D(T′−1)のT′−1に

方,定

理8.6

存 在 す る.そ

の意

よ る 像 に 等 し い か ら,

 (8.18)

こ れ よ り,任

意 の ε>0に

対 して

これ は,T′−1がD(T′−1)の 表 し て い る.よ   逆 に(8.15)を 成 立 し,再

原 点0で

っ て(8.15)が

り

っ てD(T′−1)で

有 界 な こ とを

成 立 す る.

仮 定 す る と,あ

び 定 理8.6よ

連 続,従

る α>0に

対 し て(8.18),従

っ て(8.16)が

T(BE)0⊂

両 辺 の 集 合 のFに

α−1BF0.

お け る 極 集 合 を と る と, T(BE)00⊃

こ こ で,T(BE)は

αBF00.

円 形 凸 集 合 で あ る か ら,T(BE)00はT(BE)のFに

閉 包T(BE)に

等 し い(補 題5.6と

定 理5.7).ま T(BE)⊃

を 得 る が,補

題3.18よ

たBF00⊃BF.ゆ

おけ る えに

αBF

り T(BE)⊃aBF.

これ は(8.14)の   例   ΦNか

成 立 を 示 し て い る. 

らΦNへ

の 線 形 作 用 素TをN次

(証 終) 正 方 行 列 で 表 し,

T=(tij) に 対 し, 

と す る. 

で 与え られ る.(ΦN)′=ΦNで

あ る か ら,Tの

ΦNへ の 線 形 作 用 素 で あ るが,こ を み よ う. 

は

双 対 作 用 素T′ はや は りΦNか ら

のT′ が どの よ うな 行 列 に よ っ て 表 され るか を 固 定 す る と,任

意 の 

に対 し

一 方 , 

とか く と

T′ の 定 義 よ り,上 の2式 あ るい はiとjを

の 右 辺 は 等 し く,xは

任 意 で あ る か ら, 

入れ か えて

ゆ えに T′=(tji), す な わ ち,T′

は(tij)の

転 置 行 列(tji)に

対 応 す る こ と が 分 る.

  8.3  完 全 連 続 作 用 素   ノ ル ム 空 間 で は コ ン パ ク ト性 と点 列 コ ン パ ク ト性 は 同 値 な 概 念 で あ る(演 習 問 題1の6).   補 題8.8 

Eを

ノル ム空 間 と し,Fを

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 で, 

と,任 意 の ε>0に 対 し て 次 式 を満 た すx0∈Eが

とす る

存 在 す る.

 (8.19)

  証 明 

な るEの

0<ε<1に

点xを

と る.Fは

閉 集 合 で あ る か ら,d=d(x,F)>0.

対 し

を 満 た すy0∈Fが

存 在 す る.x0=‖x−y0‖

に 任 意 のy∈Fに

ら

あ る か ら)

ゆ え にd(x0,F)≧1−

ε. 

ノ ル ム 空 間Eの

(証 終) 任 意 の 有 界 集 合 が 相 対 コ ン パ ク ト(=相

コ ン パ ク ト)で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は ,Eが   証 明   必 要 性.Eが

存 在 す る.各nに

れ る 線 形 部 分 空 間 をFnと

ま た,各Fnは 理6.3).y1=x1と

し て よ い.F1,F2に

‖y2‖=1,d(y2,F1)≧1/2 存 在 す る.F2,F3に

対 して同様 に

‖y3‖=1,d(y3,F2)≧1/2 を 満 た すy3∈F3が

存 在 す る.以

ら生 成 さ

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る(定

適 用す る と

を 満 た すy2∈F2が

独立 な可算 集合

独 立性 よ り

有 限 次 元 で あ る か ら,FnはFn+1の お く.‖y1‖=1と

中 に1次

つ い て{x1,x2,…,xn}か

す る と,の1次

対点列

有 限 次 元 な る こ と で あ る.

有 限 次 元 で な い とす る と,Eの

A={x1,x2,…,xn,…}が

題8.8を

お く と,‖x0‖=1.さ

対 し

(y0+‖x−y0‖y∈Fで

  定 理8.9 

−1(x−y0)と

下 こ の 操 作 を 続 け る と,

‖yn‖=1,d(yn,Fn−1)≧1/2

対 し ε=1/2と

して補

を 満 た すyn∈Fn(n=1,2,…)が は 有 界 で あ る が,相 ⊂Fn−1ゆ

得 ら れ る.従

っ て 集 合B={y1,y2,…,yn,…}

対 点 列 コ ン パ ク ト で は な い.実

際,m
ら ばym∈Fm

え

で あ る か ら,点

列{yn}は

  十 分 性.EをN次

収 束 部 分 列 を も ち 得 な い.

元 と し,e1,e2,…,eNをEの1次

独 立 な 元 と す る.各x∈

Eを

と表 す と き,xに

ΦNの

元(ξ1,ξ2,…,ξN)を

は 同 相 で あ る こ と が 定 理6.1よ

り容 易 に 分 る.ΦNに

相 対 点 列 コ ン パ ク トで あ る こ と は,ボ Weierstrass)の   以 後,本

と は,Eの

Eか

らFへ

ΦN

お いて任 意 の有 界集 合 が

ル ツ ア ノ・ ワ イ エ ル シ ュ トラ ス(Bolzano-

定 理 と し て よ く知 ら れ て い る. 

節 で はE,F,Gは

  定 義8.4 

対 応 さ せ る こ と に よ り,Eと

(証 終)

す べ て バ ナ ッ ハ 空 間 と す る. の 線 形 作 用 素Tが

任 意 の 有 界 集 合MのTに

完 全 連 続 ま た は コ ン パ ク トで あ る

よ る 像T(M)がFの

相 対 コ ン パ ク ト集

合 で あ る と き に い う.   上 の 条 件 は,容   補 題8.10  は,Eの

易 に 次 の よ う に い い か え ら れ る(演 習 問 題8の5).

TがEか

らFへ

の 完 全連 続作 用素 で あ るた め の 必 要 十分 条件

任 意 の 有 界 点 列{xn}に

{Txn′}がFの   定 理8.11    証 明   Tが

対 し て,そ

の 部 分 列{xn′}を

適 当 に 選 ん で,

点 に 収 束 す る よ う に で き る こ と で あ る. Eか

らFへ

の 完 全 連 続 作 用 素Tは

完 全 連 続 な ら ば,Eの

の 相 対 コ ン パ ク ト集 合 ゆ え,Fの

有 界 で あ る.

任 意 の 有 界 集 合Mに 有 界 集 合 で あ る.よ

対 し て,T(M)はF っ てTは

有 界 で あ る. (証 終)

  定 理8.12 

S,TがEか

対 し て αS+βTもEか   証 明   {xn}をEの

らFへ らFへ

の 完 全 連 続 作 用 素 な ら ば,任

意 の α,β∈ Φ に

の 完 全 連 続 作 用 素 で あ る.

有 界 点 列 と す る.Sの

完 全 連 続 性 か ら,{xn}の

{xn′}を 適 当 に 選 ん で,{Sxn′}がFで

収 束 す る よ う に で き る.次

連 続 性 か ら,{xn′}の

選 ん で,{Txn"}がFで

で き る.こ

部 分 列{xn″}を

の と き,{(αS+βT)xn"}は

明 ら か にFで

部分 列

にTの

完全

収 束 す る よ うに

収 束 す る.よ

っ て αS+

βTは 完 全 連 続 で あ る.    定 理8.13 

(証終)

{Tn}をEか

らFへ

の 完 全 連 続 作 用 素 の 列 と し,T∈L(E,F)

な らばTは

と す る. 

完 全 連 続 で あ る.

  証 明   対 角 線 論 法 に よ る.{xn}をEの ら,{xn}の

部 分 列{x1n}が

完 全 連 続 性 か ら,{x1n}の る.以

有 界 点 列 と す る.T1の

存 在 し て,{T1x1n}がFで 部 分 列{x2n}が

下 同 様 の 操 作 を 続 け る と,可

完 全連続 性 か

収 束 す る.次

にT2の

存 在 し て,{T2x2n}がFで

収束す

算 個 の 点 列{xln}(l=1,2,…)が

得 ら れ,

{xln}は{xl−1n}の

部 分 列 で,{Tlxln}はFで

収 束 し て い る.そ

こ で 点 列{x11,

x22,…,xnn,…}を

考 え る と,こ

部 分 列 で あ り,上

の 手 続 きか ら

各lに

れ は{xn}の

つ い て{Tlxnn}はFで

{xn}と

収 束 し て い る.い

か く.{Txn}がFで

ま 簡 単 の た め{xnn}を

収 束 す る こ と を 示 せ ば,Tは

 と お く.仮

定 か ら,任

意 の ε>0に

改めて

完 全 連 続 と な る.

対 して

 (8.20)

と な るlが

存 在 す る.{Tlxn}は

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,n0が

存 在 して

な らば

 (8.21)  (8.20),(8.21)よ

り,m,n≧n0な

よ っ て{Txn}はFに

らば

お け る コ ー シ ー 列 で あ る.Fは

完 備 で あ る か ら,{Txn}

は 収 束 す る. (証   定 理8.14 

終)

S∈L(E,F),T∈L(F,G)と

す る.も

と も 一 方 が 完 全 連 続 な ら ば,TSはEか   証 明   Sが

完 全 連 続 の と き,Eの

選 ぶ と,{Sxn′}はFで る.よ

っ て,TSは

  次 にTが {Sxn}はFの

らGへ

うち の 少 な く

の 完 全 連 続 作 用 素 で あ る.

有 界 点 列{xn}か

収 束 す る.Tの

し,S,Tの

ら 部 分 列{xn′}を

連 続 性 か ら,{TSxn′}はGで

適 当に 収束す

完 全 連 続 で あ る.

完 全 連 続 と す る.Eの

有 界 点 列{xn}に

有 界 点 列 で あ る か ら,{TSxn}は

対 し て,Sの

有 界 性 よ り,

収 束 部 分 列 を 含 む.よ

っ て,

TSは

完 全 連 続 で あ る. 

  注 意   バ ナ ッ ハ 空 間Eか

(証 終)

表 す と き,定

理8.11∼8.13よ

分 る.L(E,F)は E=Fの

ら バ ナ ッハ 空 間Fへ

の 完 全 連 続 作 用 素 の 全 体 をC(E,F)で

りC(E,F)はL(E,F)の

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る こ とが

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る か ら,C(E,F)も

と き,定

理8.14よ

り,任

意 のT∈L(E,E)に

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.さ

らに

対 し

{ST￨S∈C(E,E)}⊂C(E,E), {TS￨S∈C(E,E)}⊂C(E,E) で あ る.

  定 理8.15 

T∈L(E,F)の

値 域R(T)が

有 限 次 元 な ら ば,Tは

完全連続で

あ る.   R(T)が

有 限 次 元 の と き,Tは

  証 明   仮 定 か ら,Eの R(T)の

有 限 階 数 で あ る と い う.

任 意 の 有 界 集 合Mに

有 界 集 合 で あ る.従

っ て 定 理8.9よ

パ ク ト集 合 で あ る か ら,T(M)はFの Tは

対 し,T(M)は

有 限 次元空 間

り,T(M)はR(T)の

相 対 コン

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で も あ る.よ

完 全 連 続 で あ る. 

  定 理8.16  は,Eが

Eに

って

(証 終)

お け る 恒 等 作 用 素Iが

完 全 連続 で あ るため の 必 要 十分 条件

有 限 次 元 な る こ と で あ る.

  証 明   Iが 完 全 連 続 で あ る と い う こ と は,Eの ン パ ク ト集 合 で あ る こ と を 意 味 す る か ら,定

任 意 の 有 界 集 合 がEの

理8.9よ

相対 コ

り定 理 は 明 ら か で あ る. (証 終)

  定 理8.17  対 作 用 素T′   証 明   Tが nBは

T∈L(E,F)が

完 全 連 続 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Tの

が 完 全 連 続 な る こ と で あ る. 完 全 連 続 と す る.B={x∈E￨‖x‖

有 界 で あ る か ら,T(nB)はFの

T(nB)は

可 分 で あ る か ら, 

と す る.{T′y′n}が

お く と, 

も 可 分 で あ る.従 存 在 す る.い

こ で 対 角 線 論 法 を 用 い る.ま

ず,{〈y1,y′n〉}は

存 在 し て,{〈y1,y1n〉}は

有 界 数 列 で あ る か ら,{y′1n}の

各

部 分 列{y′2n}が

様 の 操 作 を 続 け る と,可

え に,

っ てT(E)で

ま{y′n}をF′

収 束 部 分 列 を も つ こ と が 示 さ れ れ ば,T′

{y′n}の 部 分 列{y′1n}が

す る.同

≦1}と

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る.ゆ

稠 密 な 可 算 集 合{y1,y2,…,ym,…}が

る.こ

双

の有界 点 列

は 完 全 連 続 とな

有 界 数 列 で あ る か ら,

収 束 す る.次

に{〈y2,y′1n〉}は

存 在 し て,{〈y2,y′2n〉}は

算 個 の 点 列{y′mn}(m=1,2,…)が

収束

得 ら れ,

{y′mn}は{y′m−1n}の を 考 え る と,こ

部 分 列 で,{〈ym,y′mn〉}は

れ は{y′n}の

部 分 列 で あ り,上

{〈ym,y′nn〉}は 収 束 し て い る.ま 閉 包T(E)に

た{y′nn}は

制 限 し て 考 え た と き,や

列 を な し て い る.集

収 束 し て い る.そ

こ で 点 列{y′nn}

の 作 り方 か ら,各

初 につ い て

そ の 各 元 をT(E)のFに

は り,そ

の 共 役 空 間{T(E)}′

合{y1,y2,…,ym,…}はT(E)で

ッ ハ ・シ ュ タ イ ン ハ ウ ス の 定 理(定 理3.10)よ

り,任

おける の有界 点

稠 密 で あ る.ゆえ

にバ ナ

意 のy∈T(E)に

対 して

{〈y,y′nn〉}は 収 束 し,

に よ っ て 定 義 さ れ るy′0は{T(E)}′ 5.1)の

系2に

よ り,y0をF′

に 属 す る.ハ

ー ン ・バ ナ ッ ハ の 定 理(定

理

の 元y′ に 拡 張 で き る:〈y,y′〉=〈y,y′0〉(y∈T(E)).

さて  (8.22)

を 示 そ う.点

列{y′nn−y′}はF′

と お く.ε>0を Fの

で 有 界 で あ る.

任 意 に 与 え る.T(B)はFの

開 球 

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,

に 対 し,T(B)の

有 限 個 の 元z1,z2

,…,zlを

選 んで  (8.23) と で き る.各zm{m=1,2,…,l)に

つ い て

で あ るか ら,自 然 数n(m)が

存 在 して

な らば n(1),n(2),…,n(l)の り,任

意 のx∈Bに

け る か ら,

う ち の 最 大 の も の をn0と 対 し,m(1≦m≦l)とy∈Bが

し,n≧n0と

す る .(8.23)よ

存 在 し てTx=zm+yと

か

ゆ え に,n≧n0な

らば

と な っ て,(8.22)が   逆 にT′

成 立 す る.

が 完 全 連 続 とす る と,前

用 素 で あ る.E,Fは Eの

Fに

そ れ ぞ れE″,F″

任 意 の 有 界 集 合MはE"の

はF″

半 よ り,T″

  定 理8.18    (8.24) 

っ てTは

T∈L(E,F)が Eの

へ の完全 連 続作 って

有 界 集 合 で あ る か ら,T(M)=T″(M)(⊂F) の 閉 集 合 で あ る か ら,T(M)の

に お け る 閉 包 は 一 致 す る.ゆ

ン パ ク ト集 合 で も あ る.よ

か らF″

の 部 分 ノ ル ム 空 間 と み な さ れ る.従

の 相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る.FはF″ お け る 閉 包 とF″

はE″

え にT(M)はFの

相対 コ

完 全 連 続 で あ る. 

(証終)

完 全 連 続 の と き,

点 列{xn}とx∈Eに

対 し

ならば   証 明   まず 任 意 のT∈L(E,F)に

で あ る.

対し な らば

 (8.25)  を 示 す.そ

の た め,Fの0の

任 意 の σ(F,F′)-近

傍

V={y∈F￨￨〈y,y′k〉￨≦1(k=1,2,…,m)} (た だ し,y′1,y′2,…,y′m∈F′)に

対 し て,Eの0の

σ(E,E′)-近

傍

W={x∈E￨￨〈x,T′y′k〉￨≦1(k=1,2,…,m)}

の と ぎ,n0が

を と る. 

W.こ

存 在 し て,n≧n0な

ら ばxn−x∈

の とき

よ り,n≧n0な

ら ばTxn−Tx∈V.ゆ   の と ぎ,集

有 界,従

え に 合M={x1,x2,…,xn,…}はEで

っ て有 界 で あ る(定 理5.13).Tが

る 閉 包T(M)は と σ(F,F′)と

  注意  Eが 回帰 的 の と き,条 件(8.24)が 8の7).   以 後,バ える .

完 全 連 続 な ら ばT(M)のFに

コ ンパ ク トで あ るか ら,T(M)上 は一 致 す る か ら,(8.25)よ

ナッ ハ空 間Eに

σ(E,E′)-

り 

で はFの

おけ

ノル ム に よ る位 相 で あ る. 

(証 終)

成 立す ればTは 完 全連続 で あ る(演 習問題

おけ る 完 全連 続 作用 素 の固 有値 に関す る問題 を 考

  定 理8.19 

バ ナ ッ ハ 空 間Eに

λに 属 す る 固 有 空 間Mλ

お け る 完 全 連 続 作 用 素Tの0と

はEの

有 限 次 元 の 線 形 部 分 空 間 で あ る.

  証 明  Mλ={x∈E￨(T− で あ る か ら,作 で あ る.Tを

λI)x=0}

用 素T−

λIの 連 続 性 と 線 形 性 よ り,Mλ

バ ナ ッ ハ 空 間Mλ

作 用 素 λ−1Tに 等 し い か ら,定 Eに

の と き,Mλ 理8.16よ

りMλ

お け る 線 形 作 用 素Tの

α2x2+…+αn−1xn

に お け る完 全 連 続 作

は 有 限 次 元 で あ る. 

完全 連続 (証 終)

任 意 有 限 個 の 互 い に異 な る 固 有 値

と き は 明 ら か.n−1の

立 す る こ と を 示 す.い

閉 線形 部 分空 間

に お け る 恒 等 作 用 素Iは

λ1,λ2,…,λnに 属 す る 固 有 ベ ク トルx1,x2,…,xnは1次   証 明   n=1の

はEの

に 制 限 す る と き,TはMλ

用 素 で あ る こ と に 注 意 す る.こ

  補 題8.20 

異 な る固 有 値

独 立 で あ る.

と き 成 立 す る と 仮 定 し て,nの

ま,x1,x2,…,xnが1次

と き成

独 立 で な い と す る.xn=α1x1+

−1と 表 さ れ る と し て よ い.Txk=λkxk(k=1,2,…,n)で

ある

か ら,

帰 納 法 の 仮 定 よ り,x1,x2,…,xn−1は1次

独 立 で あ る か ら,

λ1,λ2,…,λnは 互 い に 異 な る か ら,α1=α2=…=αn xnが

っ てxn=0と

固 有 ベ ク トル で あ る こ と に 反 す る. 

  定 理8.21 

バ ナ ッ ハ 空 間Eに

は 有 限 集 合 で あ る か,ま   証 明   ま ず Λ は0以

た は0の

補 題8.20よ

り,集

と な る Λ の 数 列{λn}が

  (8.26) 

し Λ が 集 積 点  選 べ る.{λn}は

つ い て λnに 属 す る 固 有 ベ ク トルxnを

合{x1,x2,…,xn,…}は1次

ら 生 成 さ れ る 線 形 部 分 空 間 をFnと

Fn−1はFnの

固有 値 の全体 Λ

み を 集 積 点 に も つ 可 算 集 合 で あ る.

外 に 集 積 し 得 な い こ と を 示 そ う.も

す べ て 異 な る も の とす る.各nに

な り, (証 終)

お け る 完 全 連 続 作 用 素Tの

を も っ た と す る と, 

xn}か

−1=0.よ

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.よ yn∈Fn,‖yn‖=1,

と る.

独 立 で あ る か ら,{x1,x2,…, す る と,  っ て 補 題8.8よ

かつ り

 (8.27)

を 満 た すEの る.他

点 列{yn}が

方,yn=α1x1+α2x2+…+αnxnと

従 っ てm
得 られ る.(8.26)よ

り,z∈Fn−1.十

有 界点 列 で あ

表 さ れ る か ら,

対 し てz=Tym−(Tyn−

λnyn∈Fn−1よ

り{yn}はEの

λnyn)と 分 大 な るnに

お く と,Tym∈Fm⊂Fn−1, 対 し て は￨λn￨>￨λ￨/2で

か ら,(8.27)よ

り

ゆ えに{Tyn}は

収 束 す る 部 分 列 を も た な い こ と に な り,Tの

あ る

完 全連続 性 に反

し不 合 理 で あ る.   各nに

つ い て￨λ￨≧1/nと

が 成 立 す る.各

Λnは 有 限 集 合 で あ る.な ぜ な らば,Λ

の 有 界 集 合 で あ る か ら,も れ ば な らず,こ る か,ま

な る λ∈ Λ の 全 体 を Λnで 表 す と,  は 定 理8.2の

系よ りΦ

し Λnが 無 限 集 合 な ら0と 異 な る集 積 点 を もた な け

れ は 前 半 の 結 果 に 反 す る か らで あ る.従 って Λ は 有 限 集 合 で あ

た は 可 算 集 合 で あ る.後 者 の場 合 は,再 び 前 半 よ り Λ は0を 集 積 点 と

し て もつ. 

(証終)

  8.4  共 役 作 用 素   本 節 で はEは す な わ ちEに Eの 元yに

つ ね に ヒル ベ ル ト空 問 とす る.TをD(T),R(T)⊂Eな お け る線 形 作 用 素 と し,D(T)はEで

対 して,Eの

  (8.28) 

元y*が

(x∈D(T))

が 成 立 す る も の とす る.こ の と き,y*はyに

よ り一 意 に 決 定 され る.実 際,y

満 た す とす る と, (x,y*)=(x,y*1) 

(x∈D(T))

とな り,D(T)はEで

稠 密 で あ る か ら,y*=y*1と

  定 義8.5 

満 た すy*∈Eが

(8.28)を

稠 密 で あ る と仮 定 す る.

存 在 して

(Tx,y)=(x,y*) 

に 対 しy*1も(8.28)を

る,

な る.

存 在 す る よ うなy∈Eの

全 体 をD(T*)

で 表 し,y∈D(T*)に T*をTの

こ の よ う なy*∈Eを

対 応 さ せ る 作 用 素 をT*で

表 し,

共 役 作 用 素 と い う.

  定 義 か ら,   (8.29) 

(Tx,y)=(x,T*y) 

(x∈D(T),y∈D(T*))

が 成 立 す る.   定 理8.22 

TはEに

る と,T*はEに

お け る 線 形 作 用 素 で,D(T)はEで

稠密 で あ る とす

お け る 閉 線 形 作 用 素 で あ る.

  証 明   y1,y2∈D(T*),α1,α2∈

Φ に対 し

が す べ て のx∈D(T)に

つ い て 成 立 す る か ら,α1y1+α2y2∈D(T*)か

よ っ て,D(T*)はEの

線 形 部 分 空 間 で あ り,T*は

 次 にT*の

閉 性 を 示 す.D(T*)の

とす る.内

が 成 立 す る か ら,y∈D(T*)か

線 形 で あ る.

点 列{yn}が 

積 の 連 続 性 よ り,す

か つ 

べ て のx∈D(T)に

つT*y=z.ま

つ

ついて

っ てT*は

閉 作 用 素 で あ る. (証 終)

  定 理8.23 

T∈L(E,E)な

ら ばT*∈L(E,E)で

あ り,

が 成 立 す る.   証 明   任 意 にy∈Eを

固 定 し, f(x)=(Tx,y) 

とお く と,fはE上

(x∈E)

の 線 形 汎 関 数 で あ り,Tの

有 界 性 と シ ュバ ル ツの 不 等 式 よ

り

と な る か ら,fは y*∈Eが

有 界 で あ る.よ

っ て リ ー ス の 表 現 定 理(定 理7.20)に

存在 して (Tx,y)=(x,y*) 

(x∈E)

よ り,

が 成 立 す る か ら,y∈D(T*),す

な わ ちD(T*)=Eで

あ る.ま

た,‖y*‖=‖f‖

ゆ え,

こ の 不 等 式 が す べ て のy∈Eに ≦ ‖T‖.一

方,定

理7.19の

が 成 立 す る か ら,‖T‖   定 理8.24 

つ い て 成 立 す る か ら,T*は 系 よ り,す

≦ ‖T*‖.ゆ

T,S∈L(E,E),α

(8.30) 

(T+S)*=T*+S*,

(8.31) 

(ST)*=T*S*,

(8.32) 

T**(=(T*)*)=T.

  証 明   (8.30)の

べ て のx∈Eに

有 界 で あ り ‖T*‖

ついて

え に ‖T‖=‖T*‖. 

(証 終)

∈Φ に 対 し (αT)*=αT*,

証 明.x,y∈Eに

対 し

(x,(T+S)*y)=((T+S)x,y)=(Tx,y=+(Sx,y) =(x,T*y)+(x,S*y)=(x,(T*+S*)y). よ っ て(T+S)*y=(T*+S*)y(y∈E).ゆ

え に(T+S)*=T*+S*.後

半 の

証 明 も 同 様.  (8.31)の

証 明 も 容 易.

 (8.32)の

証 明.T*∈L(E,E)で

あ る か ら,T**∈L(E,E).x,y∈Eに

対

し (x,T**y)=(T*x,y)=(y,T*x)=(Ty,x)=(x,Ty). よ っ て,T**y=Ty(y∈E).ゆ

え にT**=T. 

(証 終)

  共 役 作 用 素 は 双 対 作 用 素 と 類 似 の 概 念 で あ る か ら,上 に つ い て 成 立 す る 多 く の こ と が ら と 同 様 の こ と が,共 す る が,以   例   CNか

述 の よ うに 双 対 作 用 素 役 作 用 素 に対 して も成 立

下 省 略 す る. らCNへ

の 線 形 作 用 素TをN次

正 方 行 列 で 表 し,

T=(tij) と す る.x=(ξ1,ξ2,…,ξN)∈CNに

対 し,Tx=(η1,η2,…,ηN)∈CNは

で 与 え ら れ る.Tの

共 役 作 用 素T*が

よ う.z=(ζ1,ζ2,…,ζN)∈CNを

どの よ うな 行 列 に よ っ て 表 され る か を み

固 定 す る と,任

意 のx=(ξ1,ξ2,…,ξN)∈CN

に対 し

一 方

,T*z=(ζ′1,ζ′2,…,ζ′N)と

(Tx,z=(x,T*z)か

か

つxは

く と,

あ るい は

任 意 で あ る か ら, 

ゆ えに T*=(tji), す な わ ち,T*は(tij)の

  8.5 

共 役 転 置 行 列(tji)に

対 応 す る こ と が 分 る.

自己 共 役 完 全 連 続 作 用 素

  定 義8.6 

Tは

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

密 で あ る とす る.T=T*の   従 っ てTが

と きTを

お け る 線 形 作 用 素 で,D(T)はEで

稠

自 己 共 役 作 用 素 と い う.

自 己 共 役 作 用 素 な らば (Tx,y)=(x,Ty) 

(x,y∈D(T))

が 成 立 す る.   自 己 共 役 作 用 素 が エ ル ミ ー ト(Hermite)行

列(tij)(tij=tji)の

拡張概 念 で

あ る こ と は 明 ら か で あ ろ う.   補 題8.25    証 明   T=T*と   補 題8.26 

自 己 共 役 作 用 素Tは 定 理8.22よ D(T)=Eな

閉 作 用 素 で あ る.

り 明 ら か. 

(証 終)

る 自 己 共 役 作 用 素Tは

  証 明   前 補 題 と 閉 グ ラ フ 定 理(定 理3.20)よ   定 理8.27   (8.33)

が 成 立 す る.

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素Tに

有 界 で あ る.

り 明 ら か. 

対 して

(証 終)

 証明

 と お く と λ≦ μ.

よ り,μ ≦ ‖T‖.次 ム は1で

に‖T‖ ≦ λを 示 せ ば よ い.任

意 の 

に 対 しx/‖x‖ の ノ ル

あ る か ら,λ の 定 義 よ り￨(T(x/‖x‖),x/‖x‖)￨≦

λ.よ

って

 (8.34) こ の 不 等 式 はx=0の z∈Eに

と き も 成 立 す る.Tの

自 己 共 役 性 を 用 い る と,任

意 のy,

対 し て (T(y+z),y+z)−(T(y−z),y−z) ={(Ty,y)+2Re(Ty,z)+(Tz,z)} −{(Ty,y}−2Re(Ty,z)+(Tz,z)}=4Re(Ty,z).

(8.34)と3角

形 の 中 線 定 理 を 用 い る と

 の と き,こ の 不 等 式 で

 とお く と

  で あ る か ら,

こ れ よ り ‖T‖≦ λを 得 る.    補 題8.28 

(証終)

自 己 共 役 作 用 素Tに

  (8.35)  任 意 のx∈D(T)に

対 し て 次 の こ と が ら が 成 立 す る:

対 し て(Tx,x)は

実 数 で あ る,

  (8.36)  Tの

固 有 値 は す べ て 実 数 で あ る,

  (8.37)  Tの

異 な る 固 有 値 λ1,λ2のそ れ ぞ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トルx1,x2は

い に 直 交 す る.   証 明   (8.35)は(Tx,x)=(x,Tx)=(Tx,x)よ   (8.36)の

証 明.Tの

り明 ら か.

固 有 値 λ に 属 す る 固 有 ベ ク トル をxと (Tx,x)=(λx,x)=λ‖x‖2.

ゆ え に(8.35)よ   (8.37)の

り λ は 実 数 で あ る.

証 明. λ1(x1,x2)=(λ1x1,x2)=(Tx1,x2) =(x1,Tx2)=(x1

,λ2x2)=λ2(x1,x2)

す る と,

互

(λ2は実 数 ゆ え). 

で あ る か ら,(x1,x2)=0. 

(証終)

  次 に,本 節 の 目的 で あ る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 の 固 有 値 問 題 を 扱 い,自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 が 固 有 ベ ク トル に よ っ て 展 開 さ れ る こ とを 示 す.こ こ とが ら は 第10章

の 楕 円 型 偏 微 分 方 程 式 へ の応 用 に 際 し,ラ

の

プ ラス逆 作用 素

の 固 有 関 数 展 開 に 適 用 され る.   定 理8.29 

Tを

ヒル ベ ル ト空 間Eに

お け る 自己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 とす

る と,

を 満 た す よ うなTの   証 明   T=0の

固 有 値 λとそ れ に 属 す る固 有 ベ ク トルxが 存 在 す る.

と き は 明 らか. 

とす る.定 理8.27よ

り,Eの

点 列{xn}

が 存 在 して

実 数 列{(Txn,xn)}は {(Txn′,xn′)}は

有 界 で あ る か ら,{xn}の

部 分 列{xn′}が

 と お く と,λ

収 束 す る.

存在 して

は実 数 で

Tの 自 己 共 役 性 よ り

  Tは

ゆえに の 部 分 列{xn″}が {xn}と

存 在 し て{Txn″}は

か く. 

ゆ え,xn=λ

す る こ と が 分 り,こ

よ っ て,λ

完 全 連 続 で,{xn′}は

はTの

−1{Txn−(Txn−

の 極 限 をxと

固 有 値,xは

収 束 す る.簡

有 界 で あ る か ら,{xn′} 単 の た め{xn″}を

λxn)}と

改 め て

か く と,{xn}は

収 束

 よ り

お く と,

λに 属 す る 固 有 ベ ク トル で あ り, (証 終)

  注 意   上 の 定 理 に お け る 固 有 ベ ク トルxは これ は た とえ ばR3に   定 理8.30 

お け る楕 円 面 の場 合,最

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

高 可 算 個 の 固 有 値(実 数)を

も つ. 

極 値 問 題(8.33)の

解 を 与え る もの で あ り,

短 軸 を 求 め る問 題 と同 等 で あ る.

お け る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素Tは の と き,0と

高

異 な るす べ て の 固 有 値 を

適当に重複を許 して

と並 べ,こ

れ ら に 属 す る 正 規 直 交 系 を な す 固 有 ベ ク トル の 列{en}を

選 ん で,

以 下 の 性 質 を 満 足 す る よ うに で き る:   Tが 有 限 階 数 の と き は{λn}は

有 限 個 の λ1,λ2,…,λmからな り,任 意 のx∈E

に対 して  (8.38)

と展 開 で き る.Tが

有 限 階 数 で な い と き は{λn}は

  で あ り,任 意 のx∈Eに

無 限 個 か らな り,

対 して

(8.39) と展 開 で き る.こ

こで{λn}に

現 れ る 同 一 の 固 有 値 λの 個 数 は λに属 す る 固 有

空 間 の 次 元 数(有 限)に 等 し い.   固 有 値 λに属 す る 固 有 空 間 の 次 元 数 を λ の 重 複 度 と い う.   証 明   定 理8.29よ e1∈Eが

り 

の 固 有 値 

とそ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トル

存 在 して

E1={x∈E￨(x,e1)=0}と

お く と,E1は

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.x∈E1な

ら

ば (Tx,e1)=(x,Te1)=(x,λ1e1)=λ1(x,e1)=0 で あ る か ら,Tx∈E1,ゆ

え にT(E1)⊂E1.従

お け る 作 用 素 と考 え る こ と が で き る.こ

っ てTを の と き,TはE1に

な 完 全 連 続 作 用 素 で あ る こ と が 容 易 に 分 る.E1で  をE1に

制 限 し たTに

トルe2∈E1が

対 し て 用 い る と,固

有 値 

ヒ ル ベ ル ト空 間E1に おい て も自己共 役 な ら ば,再

び 定 理8.29

とそ れ に属 す る 固 有 ベ ク

存在 して

一 般 に 固 有 値 λ1,λ2,…,λnと そ れ ら に 属 す る 固 有 ベ ク トルe1,e2,…enが

定 まっ

た と き, En={x∈E￨(x,ek)=0(k=1,2,…,n)} と お く と,Enは

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ り,上

と 同 様 に し てT(En)⊂Enが

成立す

る.従

っ てTはEnに

で 

お け る作 用 素 と考 え て 自己 共 役,完 全 連 続 で あ る.En

な らば,定

理8.29をEnに

制 限 し たTに

とそ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トルen+1∈Enが

こ の よ う に し て 固 有 値 の 列{λn}と 得 ら れ る.E⊃E1⊃

… ⊃En⊃

対 して 用 い る と,固 有 値 

存 在 して

そ れ ら に 属 す る 固 有 ベ ク トル の 列{en}が

… で あ る か ら,‖T‖

≧ ‖T‖1≧ … ≧‖T‖n≧ …,従

って

が 成 立 す る.ま た{en}は

作 り方 か ら正 規 直 交 系 を な す.

  Tが 有 限 階 数 の と き は,こ

の 手 続 きが 有 限 回 で 終 わ り,あ

と な る.こ の と き,任 意 のx∈Eに

るEm上

でT=0

対 して

 (8.40)

と お く と,{e1,e2,…,em}が 2,…,m).よ (8.38)が   Tが

っ てxm∈Emと

正 規 直 交 系 を な す こ と か ら,(xm,en)=0(n=1, な り,Txm=0.(8.40)にTを

作 用 さ せ る と,

得 ら れ る. 有 限 階 数 で な い と き は,上

の 手 続 き は 無 限 回 繰 り返 さ れ る.{λn}の

に は 同 一 の も の が 重 複 し て 現 れ 得 る が,定 る.従

理8.19よ

り,そ

っ て 異 な っ た λnが 無 限 個 現 れ る こ と に な り,定

  で あ る.任 意 にmを 固 定 す る.x∈Eに

と お く と,上

と 同 様 にxm∈Em.

互 い に 直 交 す る か ら,

Emに

お け る 作 用 素 と考 え る と, 

理8.21よ

り

対し

 よ り 

Tを

ゆ えに

成 立 す る.

  0と 異 な る固 有 値 は{λn}に 固 有 値 

の個 数 は有限 で あ

  に お い て,e1,e2,…,em,

xmは

を 得 て,(8.39)が

中

す べ て 含 ま れ て い る.実 際,{λn}に

とそ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トルxが 存 在 した とす る と, 

含 まれ ない

一 方 ,xは =0と

す べ て のenと

直 交 す る か ら,(8.38),(8.39)い

ず れ の 場 合 もTx

な り不 合 理 で あ る.

  {λn}に 現 れ る 同一 の λ の 個 数 は λ に 属 す る 固 有 空 間Mλ な ぜ な ら ば,も

し λの 個 数 がMλ

ベ ク トルxで{en}の 論 と 同 様,不   注 意1 

の 次 元 数 に 等 し い.

の 次 元 数 よ り小 さ い とす る と,λ に 属 す る 固 有

す べ て の 元 と 直 交 す る も の が 存 在 す る か ら,す

ぐ上 の 議

合 理 に 導 か れ る か ら で あ る. 

上 の定 理 は2次

(証 終)

曲 面 の 主 軸 問 題(エ ル ミー ト行 列 の 対 角 化 問 題)の 一 般 化 で あ

る.   注 意2 

(8.38),(8.39)は{en}がTの

値 域 の 閉 包R(T)に

お け る完 備 正 規 直 交 系

で あ る こ とを 示 して い る.   定 理8.31  し,定

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

理8.30で

お け る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素Tに

示 さ れ た 固 有 ベ ク トル の 列{en}がEの

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Tが0を   証 明   {en}が

完 備 正 規直 交 系で あ

固 有 値 と し て も た な い こ と で あ る.

完 備 の と き,Tx=0と

す ると

(x,en)=λn−1(x,Ten)=λn−1(Tx,en)=0  ゆ え,定

理7.13よ

  逆 に0が

一 方

りx=0.従

っ て0は

固 有 値 で な い と す る.任

ゆ え にTx=Ty,す

(n=1,2,…)

固 有 値 で は な い.

意 のx∈Eに

 と お く と,Tの

,

対 し て 定 理8.30よ

り,

連 続性 よ り

な わ ちT(x−y)=0.0は

固 有 値 で な い か ら,x−y=0.よ

 と 表 さ れ る か ら,定

って

対

理7.13よ

り{en}は

完 備 で あ る. (証終)

 と な る Φ の 数 列 と す る.(l2)の

  例   {αk}を ={αkξk}を

対 応 さ せ て,y=Txと

L((l2),(l2))と る こ とを 示 そ αnξn,0,0,…}を

で あ る か ら,完

お く.{αk}は

有 界 数 列 で あ る か ら,T∈

な る こ と は 既 に 知 っ て い る(§3.1の う.n=1,2,…

に つ い て,(l2)の

対 応 さ せ てy=Tnxと

例2).Tが

完 全 連 続 で あ

元x={ξk}にy={α1ξ1,α2ξ2,…,

お く と,Tn∈L((l2),(l2))は

全 連 続 で あ る(定 理8.15).そ

各 元x={ξk}にy

れ ゆ え,

有 限 階 数

 が示 さ

れ れ ば,Tは

完 全 連 続 で あ る(定 理8.13).  よ り,任

n≧k0な

ら ば,す

意 の ε>0に

対 し てk0が

べ て のx={ξk}∈(l2)に

で あ る か ら,

存 在 し てk≧k0な

対 し

 す な わ ち,

 さ ら に{αk}が

実 数 列 な らば,Tは

 こ の と き,(l2)の

 が 成 立 す る. 自 己 共 役 で あ る こ とが 容 易 に 分 る.

完備 正 規 直交 系

 に 対 し

Tek=αkek  が 成 立 す る か ら,{αk}はTの

ら ば￨αk￨<ε.

(k=1,2,…)

固 有 値 の す べ て で あ り,{ek}は

これ ら に 属 す る

固 有 ベ ク トル で あ り,Tは

と 展 開 さ れ る.以

上 が 定 理8.30に

界 複 素 数 列 の と き も,こ   な お,第10章

従 っ た 記 述 で あ る が,実

際 に は,{αk}が

有

の 展 開 が 成 立 す る こ と は 明 ら か で あ ろ う.

に お い て 具 体 的 な 偏 微 分 方 程 式 に 関 係 す る

自己 共 役 な 完 全 連

続 作 用 素 の 例 が 示 さ れ る.

演

  1.§3.1の

例2(P.39)に

る 複 素(l2)に

お け る 有 界 線 形 作 用 素Tの

  2.2つ F,E′

習

問

お い て,{αk}は

の ノ ル ム 空 間E,Fと

題8

有 界 な 複 素 数 列 と す る と き,こ ρ(T),σc(T),σr(T),σp(T)を

そ の 共 役 空 間E′,F′

れ に対応 す

求 め よ.

の そ れ ぞ れ の 直 積 ノ ル ム 空 間E×

×F′ に 対 し 〈{x,y},{x′,y′}〉=〈x,x′

と 定 義 す る こ と に よ り,E′

〉+〈y,y′ 〉  

×F′ はE×Fの

‖{x′,y′}‖=max(‖x′‖,‖y′ ‖)と す る).作 {−x′,y′}に

よ っ て 定 義 す る.こ

な 線 形 作 用 素Tに

({x,y}∈E×F,{x′,y′}∈E′ 共 役 空 間 を な す(た

用 素V:F′

×E′

だ しE′×F′

の ノル ムは

→E′ ×F′ をV{y′,x′}=

の と き,D(T)⊂E,R(T)⊂Fか

対 し,G(T)⊥=VG(T′)で

×F′)

つD(T)がEで

あ る こ と を 示 せ.た

だ しG(T)はTの

稠 密 グ

ラ フ を 表 す.   3.線

形 空 間EとE,FとFが

入 し た も の をEσ,Eσ,Fσ,Fσ

そ れ ぞ れ 双 対 を な す と し,こ で 表 す.こ

〈Tx,y′)=〈x,T′y′

の と き,T∈L(Eσ,Fσ)に 〉 

(x∈E,y′

∈F)

れ らの 空 間 に 弱 位 相 を 導 対 し

に よ っ て 定 義 さ れ るT′ はL(Fσ,Eσ)に   4.E,Fを

属 す る こ とを 示 せ.

バ ナ ッハ 空 間 とす る.T∈L(E,F)がEか

あ るた め に は,T′

らFの

上 へ の等距離 作用 素 で

がF′ か らE′ の 上 へ の 等 距 離 作 用 素 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る こ

と を 示 せ.   5.補

題8.10を

  6.E,Fを

証 明 せ よ.

バ ナ ッハ 空 間 とす る.T∈L(E,F)が

完 全 連 続 でR(T)=Fな

らばFは

有

限 次 元 で あ る こ とを 示 せ.   7.E,Fを

バ ナ ッハ 空 間 と し,T∈L(E,F)と

成 立 す れ ばTは   8.1)Eが

す る.Eが

回 帰 的 の と き,(8.24)が

完 全 連 続 で あ る こ とを 示 せ. 回 帰 的バ ナ ッハ 空 間 の と き,す べ て のT∈L(E,(l1))は

完全 連続 で あ る

こ と を 示 せ.   2)  Fが

回 帰 的 バ ナ ッハ 空 間 の と き,す べ て のT∈L((c0),F)は

完全 連続 で あ る こと

を 示 せ.   9.§3.1の

例2(P.39)に

お い て,Tが

完 全 連 続 で あ るた め に は

で あ る(十 分 性 は §8.5の 例 で 示 され て い る).必

要 性 を示 せ.

 10.Eを

バ ナ ッハ 空 間 と し,Fを

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.T∈L(E,F)が

ら ば,有

限 階 数 のTn∈L(E,F)(n=1,2,…)が

存 在 して

示 せ.

 が 必要 十 分 完 全 連続 な  とな る こ とを

9.ソ

ボ レ フ 空 間

  本 章 で は 種 々 の 多 変 数 の 関 数 空 間 を 扱 う.そ 程 式 へ の 応 用 に 際 し て,重 上,前

の 中 で,ソ

ボ レ フ空 間 は 次 章 の 偏 微 分 方

要 な 役 割 を 演 ず る ヒル ベ ル ト空 間 で あ る.多

変 数 を 扱 う便 宜

章 ま で とは 記 号 に 多 少 の変 更 が あ る の で 注 意 され た い.

  9.1 

種 々の 関 数 空 間

  こ こ で はRNの   Ω はRNの

点 をx=(x1,x2,…,xN)で

表 す.

空 で な い 有 界 また は 非 有 界 の 開 領 域(す な わ ち 連 結 開 集 合)で あ り,次

の条

件 を 満 た す も の とす る.   (9,1)  RNの 開 球Bn={x=(x1,x2,…,xN)∈RN￨x12+x22+…+xN2
が 有 界 な らば Ω 自身 が 体 積 確 定 で あ る.た

とえ ば,Ω

の 滑 らか な(微 分 可 能 な)曲 面 よ りな る と き は(9.1)が   以 下,い

ち い ち 断 らな い が,本

を 考 え る こ とに す る.ま た,こ

の境 界 ∂Ω が 有 限 個

満 た され る.

書 で は 開 領 域 と い う と きは,(9.1)を

の よ うな 開 領 域 Ω のRNに

満 たす集 合 のみ

お け る閉 包 Ω を 単 に 閉 領 域 と

呼 ぼ う.   Ω で 定 義 され た 実 数 値(ま 変 数 の 場 合 と同 様 に,集

た は 複 素 数 値)関

合 

数f(x)=f(x1,x2,…,xN)に

対 して,1

の Ωに お け る閉 包 をfの

台 と呼 び,s(f)

で 表 す.   偏 微 分 を 表 す 際 に 簡 単 のた め,N個

の0ま

た は 正 の 整 数 の 組k=(k1,k2,…,kN)に

対 して

￨k￨=k1+k2+…+kN,

とか く.た だ し,0=(0,0,…,0),D0f(x)=f(x)と   さ て,い

くつ か の 関 数 空 間 を 列 挙 す るが,こ

た 実 数 値 関 数 の全 体,ま   ま ず,開

す る. れ ら は い ず れ も,そ

領 域 Ω で 連 続 な 関 数 の全 体 をC(Ω)で

偏 微 分 可 能 な 関 数(す な わ ち,Ω

で￨k￨≦lな

表 す.l=1,2,…

るす べ て のkに

が す べ て 連 続 で あ る よ うな 関 数f)の 全 体 をCl(Ω)で 関 数(す な わ ち,す

れ ぞれ の性 質を もっ

た は 複 素 数 値 関 数 の 全 体 を 考 え る も の とす る.

べ て のl=1,2,…

表 す.Ω

に つ い てCl(Ω)に

と し,Ω

つ い てDkfを

でl回 連 続

有 し,そ

れら

で無限 回連続偏 微 分可 能な

属 す る関 数)の 全 体 をC∞(Ω)で

表 す.   C(Ω),Cl(Ω)あ 数 の 全 体 を,そ   Ω のRNに

るい はC∞(Ω)の

元 で あ り,そ の 台 が コン パ ク ト集 合 で あ る よ うな 関

れ ぞ れC0(Ω),Cl0(Ω),C∞0(Ω)で

表 す.

お け る閉 包 Ω で 連 続 な 関 数 の 全 体 をC(Ω)で

表 す.Ω

でl(=1,2,…)回

あ

る い は 無 限 回 連 続 偏 微 分 可 能 な 関 数(す な わ ち,Ω

を 含 む あ る 開 領 域 でl回 あ るい は 無 限

回 連 続 偏 微 分 可 能 な 関 数 に 拡 張 で き る よ うなΩ 上 の 関 数)の

全 体 を,そ

れ ぞ れCl(Ω),

C∞(Ω)で 表 す.   C(Ω),Cl(Ω)あ 数fの

る い はC∞(Ω)の

全 体 を,そ

元 で あ り,Ω

の 境 界 ∂Ω でf(x)=0で

れ ぞ れC0(Ω),Cl0(Ω),C∞0(Ω)で

あ る よ うな 関

表 す.

  これ らの 関 数 空 間 は い ず れ も,そ の 空 間 の2元f,gと

α∈Φ に 対 し て,加

法f+gと

ス

カ ラ ー 乗 法 αfを

(9.2) に よ り定 義 す る と き,実(ま f(x)≡0と   RNで

た は 複 素)線 形 空 間 を な す.ま

な るfが 元0を

 

次 の 条 件 を 満 た す もの とす る.

うち の 一 方 はC(RN)に

属 し,他 方 はC0(RN)に

る有 界 な 閉 領 域 Ω で 連 続 か つ Ω の 補 集 合 ΩCで0で

  こ の と き,f,gの

ず れ の 空 間 も,Ω で

与 え て い る.

定 義 され た 関f,gは

(9.3)  f,gの

た,い

属 す る か,ま

た は,あ

あ る.

合 成 積f*gが

(9.4) に よ っ て 定 義 され る.任 意 に 固 定 したx∈RNに コ ン パ ク トな 台 を もち,そ る.ま

対 し て,f(x−y)g(y)はyの

関数 として

こで 連 続 で あ る か ら,右 辺 の リ ー マ ン積 分 が 確 定 す る の で あ

た 積 分 変 数 を 変 換 す る こ とに よ り,

す なわ ち (9.5) 

f*g(x)=g*f(x) 

(x∈RN)

が 成 立 す る.   補 題9.1 

f,gは(9.3)を

満 た し,共

に コ ン パ ク トな 台 を も て ば,f*gも

コンパ ク ト

な 台 を も ち,   (9.6) 

S(f*g)⊂S(f)+S(g)={x+y￨x∈S(f),y∈S(g)}

が 成 立 す る.  証 明 

な ら ば,x=(x−y)+yと ゆ え,f(x−y)=0.従

ゆ え に  +S(g)は

か く と,yがS(g)を

っ てf(x−y)g(y)=0(y∈RN)で .S(f),S(g)が

コ ン パ ク トゆ え,S(f*g)⊂S(f)+S(g)と

コ ン パ ク トな ら ば,S(f) な り,S(f*g)も

あ る.    補 題9.2  Cl(RN)か (9.7) 

動 く と き 

あ る か ら,f*g(x)=0.

コ ン パ ク トで (証 終)

f,gは(9.3)を つ￨k￨≦lな

満 た し,gはCl(RN)に る す べ て の 偏 微 分 作 用 素Dkに Dk(f*g)(x)=f*Dkg(x) 

属 す る と す る.こ 対 して (x∈RN)

の と き,f*g∈

が 成 立 す る.従

っ て,g∈C∞(RN)な

ら ばf*g∈C∞(RN)で

  証 明   ま ず ∂/∂xj(j=1,2,…,N)に

こ こ で,積

あ る.

対 して

分 と偏 微 分 の 順 序 の 交 換 が 許 さ れ る の は 次 の 理 由 に よ る.す

の 任 意 の コ ン パ ク ト集 合

と す る.S(f)が

f(y)(∂g/∂xj)(x−y)がyの し てK×S(f)で

コ ン パ ク トな と き は,xがKを

関 数 と し てS(f)に

連 続 な こ と に よ る.S(f)が

ク トで あ り,xがKを

じ 理 由 か ら,f*∂g/∂xjの

動 く と き,

含 ま れ る 台 を も つ こ と と,x,yの

関 数 と し てK×{K−S(g)}で

連 続 性 が 得 ら れ る.一

点x=(x1,x2,…,xN)に

コン パ

関 数 と し てK−S(g)に

含

連 続 な こ と に よ る.ま

般 のDk(￨k￨≦l)に

対 し て は,上

果 を 繰 り返 し 用 い れ ば よ い.    RNの

関数 と

コ ン パ ク トで な い と き は,S(g)が

動 く と き,f(y)(∂g/∂xj)(x−y)がyの

ま れ る 台 を もつ こ と と,x,yの

な わ ち,KをRN

た 同 述 の結

(証 終) 対 し,こ

こでは

￨x￨=(x12+x22+…+xn2)1/2 と か く.φ

は 次 の2条

件 を 満 た す 関 数 とす る.

(9.8) (9.9) この よ うな 関 数 の 例 と し て 次 の も の が あ る.

こ こ で,定

数 α は(9.9)が

(9.10) 

成 立 す る よ う に 定 め る も の と す る.さ φn(x)=nNφ(nx) 

と お く と,(9.8),(9.9)よ

りn=1,2,…

て,

(n=1,2,…) に つ い て

(9.11) (9.12) が成 立す る.   補 題9.2に

はfの

お い て,g=φnと

正 則 化 と呼 ば れ,種

  補 題9.3 

RNで

す る とf*φn∈C∞(RN)(n=1,2,…)で

定 義 され た 関数fは,C0(RN)に

域 Ω で 連 続 か つ ΩCで0で

あ る.{f*φn}

々 の 意 味 でfを 近 似 す るの に用 い られ る.

あ る と す る.こ

属 す る か,ま

た は,あ

の と き,f*φn∈C∞0(RN)(n=1,2,…),か

る有 界 な 閉 領 つ

1≦p<∞

に対 し

  証 明   補 題9.1,補

題9.2よ

p>1,1/p+1/q=1と

し,ヘ

成 立 す る)を

ル ダ ー の 不 等 式(2.30)(こ

注 意 す る と,

の よ うな 多 変 数 関 数 に 対 し て も

用 い る と,

((9.11),(9.12)を

p=1の

りf*φn∈C∞0(RN).(9.12)に

用 い る と)

と き も こ の 不 等 式 は 明 らか に 成 立 す る.こ

とお くと,fの

有 界 性 とS(f)に

こで

お け る一様連 続性 に よ り

(9.13) の成 立 が 容 易 に 示 され る.よ

って

(積分 の順 序 を交換 して)

(証 終)   Ω はRNの

開 領 域 と し,有 界 で も非 有 界 で も よい もの とす る.1≦p<∞

の 場 合 と同 様 にLp(Ω)を

定 義 す る.す な わ ちC0(Ω)の

任 意 の 元fに

と し,1変

数

対し

(9.14) と お く と,‖f‖ す.Lp(Ω)は

は ノ ル ム で あ る.C0(Ω)の バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.Lp(Ω)に

ノ ル ム(9.14)に

よ る 完 備 化 をLp(Ω)で

拡 張 さ れ た ノ ル ム をC0(Ω)に

表

おけ るもの

と 同 じ記 号 で 表 す.   Lp(Ω)に

お い て も,1変

数 の と き と 同 様 に,ヘ

等 式 が 成 立 す る.   特 にL2(Ω)はC0(Ω)に

(9.15)

お け る内積 とノル ム

ル ダ ー の 不 等 式 と ミン コ ウス キ ー の 不

(9.16) よ り得 られ る ヒル ベ ル ト空 間 で あ る.L2(Ω)に

拡 張 され た 内積 もC0(Ω)に

おけ るもの

と同 じ記 号 で 表 す.  

とす る.任 意 のf∈C0(Ω)は

あ るか ら,S(f)と

コ ン パ ク トな 台S(f)⊂

Ω を もち,Ω

は開集 合 で

Ω の補 集 合ΩCの 距 離

で あ る.   そ こ でx∈ Lp(RN)と

ΩCに

き る.し

対 しf(x)=0と

な る.こ か も,容

お い て,fをRN全

の よ う に し て,C0(Ω)はLp(RN)の

す る.こ

1≦p<∞

とす る.Ω

  証 明   C0(Ω)はLp(Ω)で

ら 導 入 さ れ る ノル ム はLp(Ω)

の こ と に 注 意 し て 次 の 定 理 を 証 明 す る. はRNの

の と き,C∞0(Ω)はLp(Ω)に

g∈C0(Ω)が

線 形 部 分 空 間 と考 え る こ とが で

易 に 分 る よ う に,C0(Ω)にLp(RN)か

の ノ ル ム と 同 一 の も の で あ る.こ   定 理9.4 

体 に 拡 張 す る と,f∈C0(RN)⊂

開 領 域 と し,有

界 で も非 有 界 で も よ い も の と

お い て 稠 密 で あ る.

稠 密 で あ る か ら,任

存 在 し て‖f−g‖<ε.Ω=RNの

意 のf∈Lp(Ω)と

と き は 補 題9.3よ

任 意 の ε>0に

対 して

り

(9.17) を 満 た すnが

存 在 す る.ゆ

g*φn∈C∞0(RN)で は(9.17)の

えに

あ る か ら,C∞0(RN)はLp(RN)で

他 に,1/n
稠 密 で あ る. 

満 た す よ う に 選 ぶ.こ

S(g*φn)⊂S(g)+S(φn)⊂ で あ る か ら,g*φn∈C∞0(Ω)と

の と き,補

の と き は,n 題9.1よ

り

Ω

な っ て,C∞0(Ω)のLp(Ω)に

お け る 稠 密 性 が 示 さ れ た. (証 終)

  系1 

1≦p<∞

と す る.Cl0(Ω)(l=1,2,…)はLp(Ω)に

お い て 稠 密 で あ る.

 証 明  包含 関係

と 定 理9.4よ   Ω をRNの

り 明 ら か. 

(証 終)

有 界 な 開 領 域 とす る.こ

の 元 と み な さ れ る こ と,す   ま ず,C(Ω)に,C0(Ω)に

の と き,C(Ω)の

な わ ちC(Ω)⊂Lp(Ω)を お け る ノ ル ム(9.14)と

任 意 の 元 はLp(Ω)(1≦p<∞) 示 そ う. 同 じ ノル ム

(9.18) を 導 入 す る.n=1,2,…

につ いて

(9.19) と お く と,

 であ る.た だ し￨Ω ∩KnC￨は

Ω ∩KnCの 体 積 を 表 す.さ ら に

(9.20) と お く と,Kn⊂Kn′

⊂Kn″ ⊂ Ω.RN上

の 関 数 列{hn}を

(9.21) に よ っ て 定 義 し,(9.10)の{φn}を

用 い

(9.22) 

ψn=hn*φn 

と お く と,ψn∈C∞0(RN)か

(n=1,2,…)

つ

(9.23)   任 意 にf∈C(Ω)を と お く.0≦(1−

と り,fψn∈C0(Ω)(n=1,2,…)を

ψn)(x)≦1(x∈RN),(1−

す な わ ち,{fψn}は,C(Ω)に

考 え る. 

ψn)(x)=0(x∈Kn)よ

お い て ノ ル ム(9.18)に

ム に 関 す る コ ー シ ー 列 で あ る.ゆ

え に,{fψn}はLp(Ω)に

Lp(Ω)の

お いて極 限

完 備 性 よ り,Lp(Ω)に

に関 し き,こ

 とな る{fn}の

れ はC(Ω)か

関 しfに

収 束 す る か ら,同

  が 存 在 す る.fは

の 線 形 な 対 応 で あ り,か

れ ゆ え,fをfと

じ ノル

お い て も コ ー シ ー 列 で あ る.

選 び方 に よ らず 一 意 に 確 定 す る.fにfを

らLp(Ω)へ

る か ら等 距 離 で あ る.そ

り

ノ ル ム(9.18)

対 応 させ る と

 であ

つ

同 一 視 し,C(Ω)⊂Lp(Ω)と

み な し て よ い.

  さ らに

で あ るか ら,定 理9.4よ

り次 の 系 を 得 る.

  系2  1≦p<∞ とす る.Ω はRNの 有 界 な 開 領 域 とす る と,C(Ω),Cl(Ω)(l=1,2, …),C∞(Ω)は い ず れ もLp(Ω)に お い て 稠 密 で あ る.

  9.2 

ソ ボ レ フ 空 間Hl(Ω)

  以 下 を 通 じ て,係 数 体 は 実 数 とす る.Ω 以 後,記

はRNの

号 の 混 乱 を さけ る た め に,L2(Ω)に

‖‖L2で 表 す.明

有 界 な 開 領 域 と し,L2(Ω)を

お け る 内 積 と ノル ム を そ れ ぞ れ( 

らかに 次 の 関 係 が 成 立 す る.

(9.24)

定 理9.5 ￨k￨≦lな

る 任 意 のk=(k1,k2,…,kN)に Tf=Dkf 

つ いて (f∈Cl(Ω))

考え る. ,  )L2,

に よ っ て定 義 され るTはD(T)=Cl(Ω)⊂L2(Ω),R(T)⊂L2(Ω)な り,L2(Ω)に

る線形 作用 素で あ

お け る作 用 素 と して 閉 拡 張 可 能 で あ る.

  証 明   Tが 線 形 で あ る こ と は 微 分 演 算 の 線 形 性 か ら明 らか.∂/∂xj(j=1,2,…,N)の 合 に 閉 拡 張 可 能 な こ とを 示 す.Cl(Ω)の  と す る.こ

を と り,ΩCで

φ(x)=0と

点 列{fn}がL2(Ω)に

の と きg=0を

示 せ ば よ い(定

お い て φをRN全

理3.16).任

お い てfnをRN全

場  か つ

意 にφ ∈C∞0(Ω)

体 に 拡 張 す る.ま た 各fnは

領 域 Ωnで 定 義 さ れ て い る か ら,ΩnCでfn(x)=0と

(変 数xjに

おいて

Ω を 含 む あ る開 体 に拡 張 す る.

つ い て 部 分 積 分 す る と)

({  }内 の 第1項

は0で

あ るか ら)

す なわ ち   (9.25)

を 得 る が,内

φ はC∞0(Ω)の

積 の連 続 性 よ りn→ ∞ とす る と

任 意 の 元 で あ り,C∞0(Ω)はL2(Ω)で

稠 密 で あ る(定 理9.4)か

ら,g=0が

成 立 す る.   一 般 のDk(￨k￨≦l)に

つ い て は,上

 (9.26) 

の 手 続 き を 繰 り返 す こ と に よ り,

(Dkfn,φ)L2=(−1)￨k￨(fn,Dkφ)L2

を 得 る こ と か ら 分 る.    l=1,2,…

(証 終)

と し,Cl(Ω)の

任 意 の2元f,gに

対 して

(9.27) と お く.こ

こで

とす る.こ

の と き(,)Hlは

Cl(Ω)に

 は￨k￨≦lな

る す べ て のk=(k1,k2,…,kN)に 内 積 の 条 件 を 満 た し,Cl(Ω)は

つ い て の 和 を と る もの 内 積 空 間 を な す.従

って

ノル ム

(9.28) が 導 入 さ れ る が,Cl(Ω)は   定 義9.1 

Cl(Ω)の

こ の ノ ル ム に 関 し て 完 備 で は な い. ノ ル ム(9.28)に

よ る 完 備 化 をHl(Ω)で

表 し,l次

の ソボ レフ

(〓)空

間 とい う.

  注 意   一 般 に は ソボ レ フ 空 間 とはHl(Ω)を

含 む も う少 し広 い 関 数 空 間 の ク ラ ス の 総

称 で あ る.   Hl(Ω)は

ヒル ベ ル ト空 間 で あ り,Cl(Ω)は

そ の 稠 密 な 線 形 部 分 空 間 で あ る.Hl(Ω)

に 拡 張 され た 内 積 と ノ ル ムを そ れ ぞ れ 同 じ記 号(,)Hl,‖‖Hlで fをHl(Ω)の

任 意 の 元 とす る と,Cl(Ω)の

従 っ て,{fn}はHl(Ω)に

よ り,￨k￨≦lな る.よ

し か も,f(k)は{fn}の

存 在 して

お け る コ ー シ ー 列 で あ る か ら,

る 各kに

っ て,L2(Ω)の

点 列{fn}が

表 す.

つ い て{Dkfn}はL2(Ω)に 完 備 性 よ り,L2(Ω)の

お け る コ ー シ ー列 で あ る こ とが 分 元f(k)(￨k￨≦l)が

選 び 方 に よ ら ず 一 意 に 確 定 す る.こ

存 在 して

の とき

で あ る か ら,

に お い てn→

∞ とす る と,

  (9.29) が 成 立 す る.   Hl(Ω)とHl−1(Ω)は

集 合 と し てHl(Ω)⊂Hl−1(Ω)と

し,H0(Ω)=L2(Ω),‖‖H0=‖‖L2で

あ る.上

み な し 得 る こ と を 示 そ う.た

述 のf∈Hl(Ω)とCl(Ω)の

そ の ま ま 用 い る.各fnはCl−1(Ω)の

元 で も あ り,ノ

が 成 立 す る か ら,{fn}はHl−1(Ω)に

お け る コ ー シ ー 列 で も あ る.よ

備 性 よ り,Hl−1(Ω)の

元f[l−1]が 一 意 に 確 定 し て

この と き

ゆ えに

に お い てn→

∞ と す る と,

  (9.30) を 得 る.ま

た,こ

れ と(9.29)よ

り

だ

点 列{fn}を

ル ムの定義 か ら

っ てHl−1(Ω)の

完

(9.31) が 成 立 す る.fにf[l−1]を へ の1対1の

対 応 さ せ る 作 用 素Tを

線 形 作 用 素 で あ る.実

た め に,(Hl−1(Ω)の

際,線

元 と し て)f[l−1]=0と

の 元 と し て)f(0)=0で

あ る.定

理9.5よ

考 え る と,TはHl(Ω)か

形 性 は 容 易 に 分 る.1対1で 仮 定 す る.こ り,￨k￨=1な

はD(Dk)=Cl(Ω)⊂L2(Ω),R(Dk)⊂L2(Ω)な

らHl−1(Ω) あ る ことを示す

の と き,(9.30)よ

る 各kに

り(L2(Ω)

つ い て,偏

微 分 作 用 素Dk

る 作 用 素 と し て 閉 拡 張 可 能 で あ る か ら,

条 件

よ り,(L2(Ω)の

元 と し て)f(k)=0(￨k￨=l)で

元 と し て)f=0と

な り,Tが1対1で

し て,Hl(Ω)をHl−1(Ω)の

あ る.よ

っ て,(9.31)よ

あ る こ と が 示 さ れ た.そ

線 形 部 分 空 間 と 考 え て よ い.さ

り(Hl(Ω)の

こ でfをf[l−1]と

同一視

らに

(9.32) が 成 立 す る.こ

の と き,Hl(Ω)はHl−1(Ω)の

  任 意 のf∈Hl(Ω)に い る が,こ

対 し,上

中 に 埋 蔵 され る とい う.

述 の よ うに,L2(Ω)の

れ ま で の 議 論 か ら 分 る よ う に,fをf(0)と

の 中 に 埋 蔵 さ れ る の で あ る.ま 常 の よ う にDkfと

か く.こ

た,f(k)はfのk階

元f(k)(￨k￨≦l)が

一 意 に対 応 して

同 一 視 す る と き,Hl(Ω)はL2(Ω) の 広 義 の 偏 導 関 数 で あ り,こ

の と き 明 ら か に,任

意 のf,g∈Hl(Ω)に

れ を 通

対 して

(9.33) が 成 立 し て い る.   定 理9.6 

C∞(Ω)はHl(Ω)(l=1,2,…)に

  証 明   Cl(Ω)はHl(Ω)で

稠 密 で あ る か ら,C∞(Ω)がCl(Ω)で

稠 密 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.f∈Cl(Ω)と は Ω1でl回 ΩC1で0と

お い て 稠 密 で あ る.

す る.Ω1は

連 続 偏 微 分 可 能 か つDkf(￨k￨≦l)は お い てRN全

で あ る.1/n
定 義 さ れ,特 るφnの

と な る(補 題9.3)か

参 照 の こ と).従

表 す.こ

にf*φn∈C∞(RN)ゆ

の と き(9.10)の{φn} え,f*φn∈C∞(Ω)

み を 考 え る と,

Dk(f*φn)(x)=Dkf*φn(x)  (詳 細 はp.175を

関 し

Ω1で 連 続 と し て よ い.Dkf(￨k￨≦l)を

体 に 拡 張 し た も の を 改 め てDkfで

に 対 し て,Dkf*φn(￨k￨≦l)が

ノ ル ム‖‖Hlに

Ω を 含 む 有 界 な 開 領 域 と し,f

(x∈ Ω)

って

ら,C∞(Ω)はCl(Ω)で

稠 密 で あ る. 

(証 終)

  9.3 

ソ ボ レ フ 空 間H10(Ω)

  次 章 で 重 要 な 役 割 を 演 ず る ヒル ベ ル ト空 間 に は,L2(Ω),H1(Ω)の ボ レ フ 空 間H10(Ω)が

他 に,次

に述 べ る ソ

あ る.本 章 の 以 下 の 内 容 は 多 分 に 次 章 に 対 す る準 備 の 意 味 を も っ て

い る.   前 節 で 述 べ た よ うに,有

界 な 開 領 域 Ω に 対 す るH1(Ω)に

お け る 内 積 と ノル ムは

(9.34)

で あ っ た.   C10(Ω)⊂C1(Ω)⊂H1(Ω)で H1(Ω)は

あ り,C10(Ω)のH1(Ω)に

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ っ た か ら,そ

で あ る.H10(Ω)をC10(Ω)の

ノ ル ム‖‖H1に

ろ で,H10(Ω)はH1(Ω)と にH1(Ω)の fはH10(Ω)に   C10(Ω)の

元fは

ΩCでf(x)=0と

お い て 関 数 を 拡 張 す る こ と に よ り,C10(Ω)の

あ る.従

C∞0(Ω)はH10(Ω)に

(9.19)∼(9.22)で 任 意 にf∈C10(Ω)を ば,C10(Ω)はC10(Ω)で

(9.35)

な い 定 数 関 数fは

明 らか

属 す る い か な る 関 数 列 に よ っ て も 近 似 し 得 な い た め,

りx∈Knに

ノ ル ム‖‖H1に

定 義 し た 集 合Kn,Kn′,Kn″ と る.こ

元 とな

っ て,

お い て 稠 密 で あ る.

  証 明   は じ め にC10(Ω)がC10(Ω)で

(9.23)よ

と え ば,0で

こ

は 属 さ な い の で あ る.

る か ら,C10(Ω)⊂C10(Ω)で

  定 理9.7 

表 す.

ヒ ル ベ ル ト空 間

よ る 完 備 化 と 定 義 し て も 同 じ で あ る.と

一 致 す る こ と は な い.た

元 で あ る が,C10(Ω)に

お け る 閉 包 をH10(Ω)で

の 閉 線 形 部 分 空 間H10(Ω)も

関 し て 稠 密 な こ と を 示 す.す

と関 数 列{hn},{ψn}を

の と きfψn∈C10(Ω)で

そ の ま ま 用 い る.

 がい えれ

あ る が,

稠 密 で あ る.

対 し(1−

ψn)(x)=0,∂

ψn/∂xj=0で

でに

あ る か ら,結

局

こ こ で,f(x),∂f/∂xj(j=1,2,…,N)は

Ω で 有 界 で あ る か ら,α>0が

存 在 して

かつ ま た,0≦(1−

ψn)(x)≦1(x∈RN)よ

り

(9.36) 同様 に (9.37) (9.35)の 3/nで

右 辺 の 最 後 の 積 分 の 評 価 は や や 複 雑 で あ る.x∈

あ り,∂ Ω は コ ン パ ク トで あ る か ら,d(x,∂

f(y)=0に

注 意 し て,平

を 満 た す0<θ<1が

Ω ∩KnCな

Ω)=￨x−y￨と

ら ば,d(x,∂

な るy∈

Ω)<

∂Ω が 存 在 す る.

均 値 の 定 理 を 用 い る と,

存 在 す る.た

≦￨x−y￨<3/n(j=1,2,…,N),ま

だ しx=(x1,x2,…,xN),y=(y1,y2,…,yN).￨xj−yj￨ たy+θ(x−y)∈

Ω な る こ と に 注 意 す る と,

(9.38) さ ら に,x∈RNに

対 し

こ こ でφn(y)=nNφ(ny)で

あ る か ら,

ゆえ に (9.39)

た だ し, (9.38),(9.39)よ

り

(9.40) (9.35)∼(9.37),(9.40)よ

  次 にC∞0(Ω)がC10(Ω)で を と る.fは

り

ノ ル ム‖‖H1に

コ ン パ ク トな 台S(f)⊂

関 し て 稠 密 な こ と を 示 す.任

Ω を も つ か ら,d(S(f),ΩC)>0.fを

意 のf∈C10(Ω) ΩCでf(x)

=0と

お い てRNに

C∞0(RN)で

拡 張 す れ ば,f∈C10(RN)で

あ る が,1/n
あ る.(9.10)の{φn}に るnの

対 し てf*φn∈

み 考 え る と,S(f*φn)⊂

Ω で あ る か ら,

f*φn∈C∞0(Ω).

こ こで,ノ

ル ム ‖  ‖L2はL2(Ω)とL2(RN)の

補 題9.3よ

りn→

ど ち ら の 意 味 に と っ て も 同 じ で あ る か ら,

∞ の と き 上 式 の 右 辺 の 各 項 →0.よ

が 成 立 し,C∞0(Ω)のC10(Ω)に   さ てC10(Ω)はH10(Ω)で

って

お け る稠 密 性 が 示 され た.

稠 密 で あ り,ま た す で に 示 され た よ うに,C10(Ω)はC10(Ω)で

稠 密 で あ り,C∞0(Ω)はC10(Ω)で

稠 密 で あ る か ら,結 局C∞0(Ω)はH10(Ω)で

稠密 であ る

こ とが 分 る. 

  9.4 

(証 終)

完 備 正 規 直 交 系 と 有 界 集 合

  §7.2の 例3で

示 した よ うに,1変

数 の 場 合 の 実L2(− π,π)に お い て は

とお く と き,{ω0,ω1,ω2,…,ωn,…}が   多 変 数 のL2空

完 備 正 規 直 交 系 を な し て い た.

間 の 場 合 も,詳 細 は 省 くが,1変

数 の と き と同 様,次

の よ うな 完 備 正 規

直 交 系 が 存 在 す る.   例1 

RNの

開立 方体

に 対 す る 実L2(Ω1)に  (9.41) 

お い て,3角 ωn1(x1)ωn2(x2)…

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.こ nNの

そ れ ぞ れ が0,1,2,…

関 数 系 ωnN(xN) 

こ でx=(x1,x2,…,xN)∈

(n1,n2,…,nN=0,1,2,…) Ω1で

あ り,(9.41)はn1,n2,…,

を 動 い て 得 ら れ る 関 数 の 全 体 を 表 す.

  さ らに

と し,実L2(Ω0)に 区 間(−

属 す る 関 数f(x1,x2,…,xN)を,各xj(j=1,2,…,N)座

π,π)に 奇 関 数 に 拡 張 し て,実L2(Ω1)の

分 る.   例2   (9.42)

実L2(Ω0)に

お い て,3角

関数 系

標 ご とに 開

関 数 と 考 え る こ と に よ り,次

の こ とが

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.   定 理9.8 

H10(Ω0)に お い て,3角

関数系

 (9.43)

(n1,n2,…,nN=1,2,…) は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.   証 明   (9.43)の

各 項 は 明 ら か にC10(Ω0)の

元 で あ る か ら,H10(Ω0)に

属 す る.簡

単 のた

お け るsinnjxjの

項 の

め

と お く と き, 

は ωn1n2…nN(x)に

みnjcosnjxjで

お き か え た も の に 等 し い か ら,H10(Ω0)に

と な る こ と が 容 易 に 検 証 さ れ,(9.43)が   完 備 性.C∞0(Ω0)はH10(Ω0)で

お け る内積

正 規 直 交 系 で あ る こ と が 分 る.

稠 密 ゆ え,任

意 のf∈H10(Ω0)と

任 意 の ε>0に

対 して

 (9.44)

を 満 た すg∈C∞0(Ω0)が

存 在 す る.gはL2(Ω0)の

元 で も あ る か ら,例2よ

りL2(Ω0)で

 (9.45)

と フ ー リエ 級 数 展 開 さ れ る.こ 味 に 解 し て よ い.(9.45)はgを

は 

こ で  各xj座

標 ご と に(−

の 元 と 考 え る こ と に よ っ て 得 ら れ た 展 開 で あ っ た.こ …,N)はxj座

標 に つ い て の み(−

π ,π)で

あ るい は 

の意

π,π)に 奇 関 数 に 拡 張 し て.L2(Ω1) の と き,∂g/∂xj∈L2(Ω1)(j=1,2,

偶 関 数 を 表 し,他

の 座 標 に つ い て は(−

π,π)

で 奇 関 数 を 表 す か ら,L2(Ω1)で  (9.46)

と展 開 され る.こ

の級 数 は 勿 論L2(Ω0)に

れ な い こ とに 注 意 し よ う.

お い て も収 束 して い る.こ

こで,定

数項 は現

部 分 積 分 し て,g∈C∞0(Ω1)に

注意 す ると

で あ るか ら,結 局

す な わ ち,(9.46)の に 等 し い.こ

右 辺 の 級 数 は,(9.45)の

右 辺 の 級 数 を 項 別 にxjで

偏 微 分 した もの

の こ とは

と お く と き,H10(Ω0)に

を 示 し て い る.そ  (9.47) 

お け る ノ ル ムに 関 し

れ ゆ え,(9.44)を

考 慮 す る と,結

sinn1x1sinn2x2…sinnNxN 

か ら 生 成 さ れ るH10(Ω0)の 質 は(9.47)の

局 (n1,n2,…,nN=1,2,…)

線 形 部 分 空 間 がH10(Ω0)に

各 項 に 係 数 を 付 し て も 変 ら な い.よ

お い て 稠 密 な こ と が 分 る.こ っ て 定 理7.13よ

り(9.43)の

完備性

が い え た.    補 題9.9 

の性

(証 終) H10(Ω0)をL2(Ω0)に

  証 明   簡 単 の た め にN=1の

埋 蔵 す る 線 形 作 用 素Tは 場 合 で 述 べ る が,N>1の

系{(2/π)1/2(1+n2)−1/2sinnx}はH10(Ω0)で

完 全 連 続 で あ る. 場 合 も 同 様 で あ る.3角

関数

完 備 正 規 直 交 系 を な す か ら,H10(Ω0)の

任

意 の 元fは  (9.48)

と 表 さ れ,対

応 

に よ りH10(Ω0)と(l2)は

理7.15).ま

た,3角

関 数 系{(2/π)1/2sinnx}はL2(Ω0)で

ヒル ベ ル ト空 間 と し て 同 型 で あ る(定 完 備 正 規 直 交 系 を な す か ら,

任 意 のg∈L2(Ω0)は

と 表 さ れ,対

応 

に よ りL2(Ω0)と(l2)は

(9.48)のfをL2(Ω0)に

埋 蔵 す る と き,Tfは(9.48)の

る 展 開 と 考 え た も の に 等 し い か ら,Tfに そ れ ゆ え,(l2)か

ヒル ベ ル

ら(l2)へ

を 示 せ ぽ よ い が, 

ト空 間 と し て 同 型 で あ る.

右 辺 の 級 数 をL2(Ω0)に

対 応 す る(l2)の

元 は{(1+n2)−1/2ξn}で

の 線 形 作 用 素  例(p.157)よ

り,Sの

完全 連続 (証 終)

有 界 な 開 領 域 Ω は Ω ⊂ Ω0と す る.任

と に よ り,C∞0(Ω0)の

あ る.

が完全連 続 な こと

で あ る か ら,§8.5の

性 が 分 る.    RNの

おけ

意 のf∈C∞0(Ω)は

元 を 確 定 す る か ら,H10(Ω0)の

元 と な る.ゆ

ΩCでf(x)=0と

お くこ

え に,C∞0(Ω)⊂H10(Ω0)

と み な さ れ る.い

ま,H10(Ω),H10(Ω0)の

明 ら か にC∞0(Ω)上 備 化 に 等 し い(定 C∞0(Ω)の

ノ ル ム を そ れ ぞ れ ‖ ‖H1,‖  ‖′H1で 表 す と,

で は ‖   ‖H1=‖  ‖′H1であ る.H10(Ω)はC∞0(Ω)の 理9.7).一

方,C∞0(Ω)のH10(Ω0)に

‖ ‖′H1に よ る 完 備 化 に 等 し い.そ

RNの

稠 密 な こ と に 注 意 し,上

と 同様 の 考 察 を す

部 分 ヒ ル ベ ル ト空 間 と み な せ る こ と が 分 る.

  以 上 の こ と に 注 意 し て,次   定 理9.10 

す る と,Eは

ヒ ル ベ ル ト空 間 と

部 分 ヒ ル ベ ル ト空 間 と み な す こ と が で き る.

た はC∞0(Ω)=がL2(Ω)で

れ ば,L2(Ω)をL2(Ω0)の

お け る 閉 包 をEと

れ ゆ え,H10(Ω)とEは

し て 同 型 で あ る か ら,H10(Ω)をH10(Ω0)の   次 に,C0(Ω)(ま

‖   ‖H1に よ る 完

の 定 理 を 得 る.

有 界 な 開 領 域 Ω に 対 し,H10(Ω)をL2(Ω)に

埋 蔵 す る 線 形 作 用 素T

は 完 全 連 続 で あ る.   証 明   Ω は 有 界 で あ る か ら,Ω

⊂ Ω0と 仮 定 し て 一 般 性 を 失 わ な い.H10(Ω)はH10(Ω0)

の 部 分 ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る か ら,H10(Ω)の 有 界 で あ る.補

題9.9よ

L2(Ω)はL2(Ω0)で

り,T(M)はL2(Ω0)に

習

問

な

題  9

対 し￨x￨=(x12+x22+…+xN2)1/2と

￨x￨<1},Ω={x∈RN￨ 

￨x￨≦1},Ω0={x∈.RN￨ 

  1)  Ω0で 連 続 な 実 数 値 関 数f(x)に 様 収 束 し,L2(Ω)の

お け

(証 終)

点x=(x1,x2,…,xN)に

{x∈RN￨ 

方,

お い て 相 対 コ ン パ ク トで あ る.す

完 全 連 続 で あ る. 

  1.RNの

対 し,C(Ω)の

お く.Ω=

0<￨x￨≦1}と

す る.

関 数 列{fn}で,fに

Ω0で 広 義 一

ノ ル ム の 意 味 で コ ー シ ー 列 で あ る よ う な も の が 存 在 す る と す る.こ

の と き,L2(Ω)の

完 備 性 に よ り{fn}はL2(Ω)に

お い て 極 限fを

も つ が,こ

のfは

選 び 方 に よ ら ず 一 意 に 確 定 す る こ と を 示 せ.

  2)  1)に 数￨x￨α

お け る 閉 包 とL2(Ω0)に

れ ゆ え,T(M)はL2(Ω)に

演

{fn}の

おいて も

お い て 相 対 コ ン パ ク トで あ る.一

閉 じ て い る か ら,T(M)のL2(Ω)に

る 閉 包 は 一 致 す る.そ わ ち,Tは

任 意 の 有 界 集 合MはH10(Ω0)に

お い てfをfと

がL2(Ω)に

同 一 視 し てf∈L2(Ω)と

属 す る た め に は,α>−N/2で

み な す こ と に す る.実

数 αに 対 し関

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る こ とを 示

せ.   2.Ω,Ω,Ω0は   1)  Ω0でl回 在 し て,￨k￨≦lな

前 問 と 同 じ と す る. 連 続 偏 微 分 可 能 な 実 数 値 関 数f(x)に る 各k=(k1,k2,…,kN)に

し,{fn}はHl(Ω)の

対 し,Cl(Ω)の

つ い て{Dkfn}はDkfに

ノ ル ム の 意 味 で コ ー シ ー 列 で あ る と す る.こ

備 性 に よ り{fn}はHl(Ω)に

お い て 極 限fを

関 数 列{fn}が

も つ が,こ

存

Ω0で 広 義 一様 収 束 の と き,Hl(Ω)の

のfは{fn}の

完

選 び方 に よ ら

ず 一 意 に 確 定 す る こ と を 示 せ.   2)  1)に 関 数￨x￨α を 示 せ.

お い てfをfと がHl(Ω)に

同 一 視 し てf∈Hl(Ω)と

属 す る た め に は,α>l−(N/2)で

み な す こ と に す る.実

数 αに対 し

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る こ と

  (Dk￨x￨α=h(x)￨x￨α よ.こ

−2￨k￨,こ こ でh(x)は￨k￨次

の こ と か ら 次 の こ と が 分 る.α ≧￨k￨な

Hl(Ω)な

ら ば,上

ら ばDk￨x￨α

の 結 果 よ り α>l−[(N+1)/2]で

と な る.た だ し,[β]は "Hl(Ω)⊂Cl−[(N+1)/2](Ω)"の

  定 理9.6の

の 同 次 多 項 式,と

か け る こ とに 注 意 せ

∈C(Ω)で

あ る.従

あ る か ら,￨x￨α

β を 越 え な い 最 大 の 整 数 を 表 す.こ 特別 の場合 で あ る .)

っ て￨x￨α ∈

∈Cl−[(N+1)/2](Ω)

れ は ソボ レフの 補 助 定理

証 明の補 足

  x∈ Ω の と き

(1/n
と きy∈S(φn)な

ら ばx−y∈

Ω1に 注 意 し,変

数y1に

分 す る と)

({  }内 の 第1項

一 般 のDk(￨k￨≦l)に

は0で

あ る か ら)

つ い て は,同

様 の 手 続 き を 繰 り返 す こ と に よ り

Dk(f*φn)(x)=Dkf*φn(x) 

(x∈ Ω).

つ いて部分 積

10.楕

  この 最 後 の 章 は,こ

円 型 偏 微 分 方 程 式 へ の 応 用

れ ま で に述 べ られ た ヒル ベ ル ト空 間 の 理 論 を,次

の よ うな 楕 円 型

偏 微 分 方 程 式 の デ ィ リク レ(Dirichlet)問 題 に 応 用 す る の が 目的 で あ る.   す な わ ち,RNの

有 界 な 開領 域 Ω で ラ プ ラ ス(Laplace)方

 (10.1) 

程式

Δu=0

を 満 た し,Ω の境 界 ∂Ω で与 え られ た 連 続 関 数 値 を と る よ うな 解uを す る.こ

こ で,Δ

を 意 味 し,ラ

は 

す な わ ち,関

求 め る こ とを 問 題 に

数u(x)=u(x1,x2,…,xN)に

プ ラ ス作 用 素 ま た は ラ プ ラ シ ア ン と呼 ば れ る.(10.1)を

調 和 関 数 と い う.調 和 関 数 は ニ ュ ー トン(Newton)ポ 的 に 重 要 で あ る が,純

対 し

満 た す 関 数uを

テ ン シ ャル を 表 す か ら,物 理 数 学

粋 数 学 の 観 点 か ら も 基 礎 的 か つ 重 要 な 意 味 を もつ.さ

ィ リ ク レ 問 題 の 解 は,同

じ境 界 値 を もつ 関 数uの

うち,デ

て,こ

の デ

ィ リ ク レ積 分

(10.2) を 最 小 に す る も の と して 得 られ る こ とが,デ た.と

こ ろ が,ワ

ィ リ ク レの 原 理 と して 古 くか ら 知 られ て い

ィ エ ル シ ュ トラス は デ ィ リ ク レ 積 分 を 最 小 に す る関 数 の 存 在 が 自明 で

な い こ とを 指 摘 し,論 議 を 呼 ん だ(1870年).そ

の 後,こ

の 問 題 は 幾 多 の 研 究 を 経 て,現

在 は 厳 密 な 形 に 完 成 して い る.   こ こ で は,こ

の種 の境 界 値 問 題 を ヒル ベ ル ト空 間 論 の 応 用 と して,直

よ って 扱 お う とす る もの で あ る.こ

交射 影 の方法 に

の方 法 は 論 理 的 に は デ ィ リ ク レの 原 理 と同 じ も の で

あ る こ とが 明 らか に さ れ る.

  10.1 

物 理 学 的 説 明

  数 学 的 な 本 論 に 入 る前 に,デ

ィ リ ク レ の 原 理 に つ い て の 理 解 を 深 め るた め に,物

的 な 意 味 の 分 り易 い 例 と し て,弦

また は

膜 の 形 状 とそ の 歪 み の エ ネ ル ギ ー に つ い て 簡 単 に 説 明 し よ う.   は じめ に 弦 の 振 動 を 考 え る.単 位 長 さ あ た りの 質 量 ρが 一 定 で あ る よ うな 弦 が x−y平 面 内 で,x軸

内の 有 界 な 閉区間

[a,b]に ほ ぼ 沿 って 一 定 の張 力Tで れ て い る とす る.弦 の 座 標xな 刻tに

お け るy方

張ら

る点 の 時

向 の 変 位 をu(t,x)と

図10.1

理学

し,こ

の 変 位 は 十 分 小 さ い も の と す る.開

あ る 弦 の 微 小 部 分 を 考 え る と,そ は ρ(∂2u/∂t2)dxで

あ り,こ

て い な け れ ば な ら な い.左 に 作 用 す る 張 力 のy成 sinθ,sinθ

の 質 量 は ρdx,加

の 微 小 区 間[x,x+dx]の

速 度 は ∂2u/∂t2ゆ え,(質

の 量 が 微 小 部 分 に 与 え ら れ る 張 力 のy方 図 の よ う に θ,θ′を 定 め る と,弦

分 は そ れ ぞ れ ―Tsinθ,Tsinθ

′を そ れ ぞ れtanθ=∂u/∂x(t,x),tanθ

小 部 分 に 作 用 す る 張 力 のy成

と な る.よ

区 間(a,b)内

上 に 量 × 加 速 度)

向 の 成 分 と釣 り 合 っ

の微 小 部 分 の左 端 お よ び 右 端

′で あ る.θ,θ ′は ご く 小 さ い と し て ′=∂u/∂x(t,x+dx)で

代 用 す れ ば,微

分 は近似 的 に

っ て ∂u/∂xが 小 さ い と き,弦

の 運 動 方 程 式 はdxで

割 って

(10.3) と な る.こ れ を 弦 の 振 動 の 方 程 式 とい う.   い ま,時 刻tを

固定 し,弦

の歪 み に よ り 内 部 に 蓄 え られ る 位 置 エ ネ ル ギ ーを 求 め て み

よ う.媒 介 変 数 λを 導 入 し

と お い て,変 のy成

位 がv(t,x,λ)で

表 さ れ る 弦 を 考 え る.弦

分 はT(∂2v/∂x2)dx=Tλ(∂2u/∂x2)dxで

v(t,x,λ+dλ)−v(t,x,λ)=u(t,x)dλ 力 が 微 小 部 分 をv(t,x,λ)か

らv(t,x,λ+dλ)ま

位)は

で あ る.x=a,x=bに

―Tλ(∂2u/∂x2)udxdλ

あ る.λ

だ け 増 加 す る.ゆ

部 向 き に 作 用 す る 張 力 のy成

の 内部 の微 小 部 分 が 受 け る 張 力 がdλ

だ け 増 加 す る と き変 位 は

え に,同

じ大 き さ の 反 対 方 向 の 外

で 変 位 さ せ る の に 要 す る 仕 事(=力 対 応 す る 弦 の 端 点 に お い て,弦

×変 の 内

分 はそ れぞれ

で あ る か ら,こ の 両 端 点 を λか ら λ+dλ ま で 変 位 させ る の に 要 す る仕 事 は そ れ ぞ れ

で あ る.よ

っ て[a,b]に

沿 っ て 静 止 し て い た 弦v(t,x,0)≡0をv(t,x,1)=u(t,x)ま

で

変位 させ るのに必要 な仕事 は

で あ り,右 辺 の 第1項 る.す

な わ ち,弦

(10.4) 

を部 分 積 分 す る こ とに よ り,上 式 は 

の位置 エ ネルギ ーは 張 力 ×デ ィ リ ク レ積 分

に 等 し くな

で 表 さ れ る.   さ て,膜

の 振 動 の 問 題 を 考 え よ う.3次

元 空 間 にx,y,z軸

を と る.x−y平

な 開 領 域 を Ω と し,そ の 境 界 ∂Ω は 滑 らか な も の とす る.Ω で あ る.膜 は 単 位 面 積 あ た りの 質 量 ρが 一 定 で,Ω 張 られ て い る も の とす る.膜 u(t,x,y)と

の 座 標 が(x,y)な

し,変 位 は 小 さ い も の とす る.Ω

働 く張 力 はTdyで

小 部 分 のy軸

あ っ て,そ

のz成

に 働 く張 力 のz成

とす

の 部 分 の 質 量 は ρdxdy,加

速度

れ は張 力 に よって

に 平 行 な 長 さdyの2辺(x座

標 はxと

分 はそれ ぞれ近 似的 に

な る.同 様 に,微 小 部 分 のx軸

分 は 和 を と っ て 近 似 的 にT(∂2u/∂y2)dxdyと

振 動 の 方 程 式 は,∂u/∂x,∂u/∂yが

向の変位 を

内 の[x,x+dx],[y,y+dy]を2辺

に 等 し く,そ の 和 は 近 似 的 にT(∂2u/∂x2)dxdyと な2辺

お け るz方

量 ×加 速 度)は ρ(∂2u/∂t2)dxdyで あ る.こ

与 え られ るz方 向 の 力 に 等 しい.微 x+dx)に

の 閉 包 を Ω とす る と, に ほ ぼ 沿 って 一 定 の 張 力Tで

る点 の 時 刻tに

る長 方 形 の 上 に の っ て い る 膜 の 微 小 部 分 を 考 え る と,こ は ∂2u/∂t2であ る か ら,(質

面 内 の有 界

な る.よ

に平 行 って 膜 の

小 さい とき

 (10.5)

と な る.(10.3),(10.5)を

波 動 方 程 式 と も い う.

  λを 媒 介 変 数 と し て

と お き,変

位 がv(t,x,y,λ)で

表 さ れ る 膜 を 考 え る.長

上 に の っ て い る 膜 の 微 小 部 分 が 受 け る 張 力 のz成

方 形[x,x+dx]×[y,y+dy]の

分は

で あ る.境 界 ∂Ω 上 で Ω の 外 法 線 方 向 へ の 偏 微 分 を ∂/∂ ν とす る と き,∂ Ω の 微 小 部 分ds の 上 に の って い る膜 の 微 小 部 分 が 受 け る 内 部 向 き の 張 力 のz成

分は

で あ る.λ がdλ だ け 増 加 す る と変 位 はudλ

だ け 増 加 す る か ら,同 じ大 き さ の 反 対 方 向 の

外 力 がv(t,x,y,λ)か

で 変 位 させ る の に 必 要 な 仕 事 は そ れ ぞ れ

で あ る.よ

っ て,Ω

らv(t,x,y,λ+dλ)ま

に 沿 っ て 静 止 し て い た 膜v(t,x,y,0)≡0をv(t,x,y,1)=u(t,x,y)ま

で変位 させ るのに必要 な仕事 は

と な る(こ

こ で,グ

リ ー ン(Green)の

積 分 公 式 を 用 い た).す

な わ ち,膜

の保有す る 位 置

エ ネル ギーは  (10.6) 

張 力 × デ ィ リ ク レ積 分

で 表 され る.   一 方,膜

の 運 動 エ ネ ル ギ ー は,内

部 の微 小 部 分 で は{質 量 ×(速 度)2/2}す

な わ ち(ρ/2)

(∂u/∂t)2dxdyで あ るか ら,Ω 全 体 で は

で あ る.そ

こ で,時

刻tに

お け る 膜 の 全 エ ネ ル ギ ー をE(t)と

す る と,

 (10.7)

  境 界 ∂Ω 上 に 連 続 関 数f(x,y)が  (10.8) 

与 え ら れ,u(t,x,y)が

u(t,x,y)=f(x,y) 

を 満 た す も の と す る.こ

の と き,E(t)は

((x,y)∈

境 界条 件 ∂Ω,t≧0)

一 定 で あ る こ と を 示 そ う.E(t)を

微 分す ると

(グ リー ン の 積 分 公 式 よ り)

((10.8)よ

り ∂Ω 上 で は ∂u/∂t=0で

あ る こ と に 注 意 す る と)

(こ こ で,uは(10.5)を

満 た す こ と を 用 い た).よ

  Ω 上 の 関 数w(x,y)は

境 界 条 件(10.8)の

る も の と す る.も

しu(t,x,y)が

と境 界 条 件(10.8)を

す な わ ちw(x,y)は  (10.9)

の 解 に な る.

ィ リ ク レ 積 分(10.2)を

動 方 程 式(10.5)の

最 低 と な る か ら,E(t)が

経 過 し て も 運 動 エ ネ ル ギ ー は0の 状 態 と な る.こ

下 で,デ

一 定 で あ る. 最小 にす

初期 条件

満 た す よ う な,波

置 エ ネ ル ギ ー(10.6)はt=0で

っ てE(t)は

ま ま で 増 加 し な い か ら,膜

の と き,u(t,x,y)はtに ラプラス方程 式

解 で あ れ ば,u(t,x,y)の 一 定 と い う こ と よ り,時 は 動 く こ と が で き ず,安

関 係 し な い か ら,∂2u/∂t2≡0と

な り,u(t,x,y)

位 間が 定

  10.2 

直 交 射 影 の 方 法

  本 論 に 入 ろ う.φ   Ω はRNの

は 実 数 体 に 限 る も の と す る.

有 界 な 開 領 域 と し,そ

の 境 界 ∂Ω は 有 限 個 の 滑 ら か な(微 分 可 能 な)曲 面 よ

りな る も の と す る.   λ>0と

し,Ω

で ポ ア ソ ン(Poisson)方

程式

 (10.10) 

− Δu+λu=0

を 満 た し,∂ Ω 上 で 与 え ら れ た 連 続 関 数 φ に 対 し て,デ  (10.11) 

u￨∂Ω=φ

を 満 た す よ う な 関 数uを ∂Ω へ の 制 限 を 表 す.と の で,次

ィ リ ク レ境 界 条 件

求 め る と い うデ ィ リ ク レ 問 題 を 考 え る.こ こ ろ が,こ

こ でu￨∂ Ωは 関 数uの

の ま ま の 形 で は ヒ ル ベ ル ト空 間 の 手 法 が 適 用 で き な い

の よ う な 準 備 を す る.

  L2(Ω)に か ら,内

お け る 内 積 と ノ ル ム を そ れ ぞ れ(  ,  )L2,‖   ‖L2で 表 す.φ

積(  ,  )L2は 双 線 形 汎 関 数 で あ る.C20(Ω)がL2(Ω)で

系1)か

ら,L2(Ω)とC20(Ω)は

す(定 義5.2)こ

と が 分 る.従

内 積(f,g)L2(f∈L2(Ω),g∈C20(Ω))に っ て,C20(Ω)か

らL2(Ω)に

こ の 弱 位 相 を 考 え る と き,簡

弱 位 相 は 明 ら か にL2(Ω)に

お け る ノ ル ム に よ る 位 相 よ り弱 い.

か ら,Δ

ら ば,ラ

関 して双対 をな

分 離 的 な 弱 位 相 σ(L2(Ω),C20(Ω))

が 導 入 さ れ る が,L2(Ω)で

  f∈C2(Ω)な

は実数 体 であ る

稠 密 な こ と(定 理9.4の

単 の た めL2σ(Ω)で

に 対 して 

プ ラ ス 作 用 素 

表 そ う.こ

の

であ る

を

  (10.12)

な る 作 用 素 と 考 える と き,Δ 次 に 示 さ れ る.こ

は 明 ら か に 線 形 で あ る が,さ

の 場 合,L2σ(Ω)は

の ま ま 用 い る こ と は で き な い が,そ 作 用 素Tが G(T)σ

ノ ル ム 空 間 で は な い か ら,§3.3に れ と 同 様 に 考 える.す

閉 拡 張 可 能 で あ る と は,Tの

が,L2σ(Ω)に

ら に 閉 拡 張 可 能 で あ る こ とが

な わ ち,L2σ(Ω)に

グ ラ ブG(T)のL2σ(Ω)×L2σ(Ω)に

お け る あ る 線 形 作 用 素Sの

お ける議論 を そ

グ ラ フG(S)に

おけ る 線形 おけ る 閉包

一 致 す る こ とを 意 味 す

る.   補 題10.1 

L2σ(Ω)に お け る 線 形 作 用 素Tが

 (10.13) 

{0,9}∈G(T)σ

閉 拡 張 可 能 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は   な ら ば   g=0

が 成 立 す る こ と で あ る.   証 明   定 理3.15よ   補 題10.2 

り 明 ら か.

ラ プ ラ ス 作 用 素 Δ はL2σ(Ω)に

お け る 作 用 素(10.12)と

考 え る と き,閉

拡

張 可 能 で あ る.   証 明   Δ に 対 し て(10.13)の

成 立 を 示 す.実

際,{0,g}∈G(Δ)σ

に お け る{0,g}の

任 意 の 近 傍 はG(Δ)の

点 を 少 な く と も1つ

と 任 意 の ε>0に

対 し て(h,Δh∈C20(Ω)に

注 意 す る と)

 (10.14) 

￨(0−f,Δh)L2￨<ε

な ら ば,L2σ(Ω)×L2σ(Ω)

含 む か ら,任 意 のh∈C∞0(Ω)

  か つ   ￨(g− Δf,h)L2￨<ε

を 満 た すf∈D(Δ)=C2(Ω)が り,j=1,2,…,Nに

存 在 す る.定

理9.5の

証 明 におけ ると同様に部 分積 分に よ

対 し,(∂f/∂xj,h)L2=−(f,∂h/∂xj)L2,さ

(f,∂2h/∂xj2)L2を

らに(∂2f/∂xj2,h)L2=

得 る か ら,

(10.15) 

(Δf,h)L2=(f,Δh)L2

が 成 立 す る.こ

れ と(10.14)よ

こ こで

す る と,￨(g,h)L2￨=0.こ

ε→0と

C∞0(Ω)はL2(Ω)で

れ が す べ て のh∈C∞0(Ω)に

稠 密 で あ る(定 理9.4)か

  Δ のL2σ(Ω)に なL2σ(Ω)に

り

ら,g=0で

あ る. 

お け る 作 用 素 と し て の 最 小 閉 拡 張,す

な る 集 合 で あ る.混

同 じ く ラ プ ラ ス 作 用 素 と 呼 ぶ こ と に す る.従 拡 張に 対 す る 定 義 域,グ   IをL2σ(Ω)に

後,こ

を グ ラ フ とす る よ う

の 弱 い 拡 張 の定 義 域 は

と な るg∈L2σ(Ω)が

乱 の お そ れ は な い の で,以

(証 終)

な わ ちG(Δ)σ

お け る 線 形 作 用 素 をΔ の 弱 い 拡 張 と い う.Δ {f∈L2σ(Ω)￨{f,g}∈G(Δ)σ

対 し て 成 立 し,

存 在 す る}

の 弱 い 拡 張 を 同 じ 記 号 Δ で 表 し,

っ て,D(Δ),G(Δ)と

か け ば,こ

れ は弱い

ラ フ を 意 味 す る も の と す る.

お け る 恒 等 作 用 素 と す る と き,−Δ+λIは

な る 線 形 作 用 素 で あ る.そ

こ で,(10.10)をL2a(Ω)に

お け る 線 形 作 用 素 −Δ+λI(λ>0)

に 関 す る方 程 式 (10.16) 

(−Δ+λI)u=0

と し て 考 え る.ま

た ∂Ω 上 の 連 続 関 数 φ に 対 し て

(10.17) を 満 た すC1(Ω)の (10.11)の

元 φ が 存 在 す る と 仮 定 し,φ+H10(Ω)⊂H1(Ω)⊂L2(Ω)に

代 りに

(10.18) 

u∈

な る 条 件 を 考 え る.そ る か ら,φ+H10(Ω)の   し か も,集

の 理 由 は,あ

φ+H10(Ω)

る 意 味 でH10(Ω)の

元 は ∂Ω で 値0を

と る と解 釈 さ れ

元 は ∂Ωで 値φ を と る と い う 意 味 合 い を も つ か ら で あ る.

合 φ+H10(Ω)は(10.17)を

実 際,C1(Ω)の2元

満 た す φ の 選 び 方 に よ ら ず,φ

φ1,φ2が φ1￨∂ Ω=φ2￨∂Ω=φ を 満 た す と き,φ1−

り,φ1+H10(Ω)=φ2+H10(Ω)を   さ て,デ

注 意 し て,

だ け で 定 ま る.

φ2∈C10(Ω)⊂H10(Ω)よ

得 る か ら で あ る.

ィ リ ク レ 問 題(10.16),(10.18)の

  前 章 でH1(Ω)に

お い て 内 積(,)H1と

方 程 式(10.16)の

λ>0に

解 を 求 め る た め に 次 の よ うな 工 夫 を す る. ノ ル ム‖ ‖H1を

対 応 し て,f,g∈H1(Ω)に

考 え た が,こ

こ で は 便 宜 上,

対 し

(10.19) (10.20) と お い て,H1(Ω)に

新 し い 内 積( 

,  )H1,λ と ノ ル ム‖ ‖H1,λを 導 入 す る.こ こ で ∂f/∂xj

(j=1,2,…,N)はfの

広 義 の 偏 導 関 数 を 表 す.こ

る こ と が 容 易 に 分 る.従

の と き,‖  ‖H1,λ と‖ ‖H1は

を 定 義 す る の に,‖  ‖H1を‖ ‖H1,λ で お き か え て も,全 る.た

だ し,内

積( 

同値 であ

っ て 両 者 の ノ ル ム に よ る 収 束 性 は 同 じ も の で あ る か ら,H10(Ω)

,  )H1,λに 関 し,H1(Ω)の

と 異 な る こ と に 注 意 し よ う.以

く同 じ集 合 が 得 られ る わ け で あ

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し て の 構 造 は 先 の も の

後,H1(Ω)に

お い て は,内

を 考 え る こ と に す る.H10(Ω)のH1(Ω)に

積(,)H1

お け る 内 積(,)H1,λ

,λと ノ ル ム‖ ‖H1,λ に 関 す る直 交 補 空 間 を

H10(Ω)⊥ で 表 す.   補 題10.3 

1)  ラ プ ラ ス 作 用 素 Δ の 定 義 域D(Δ)はH10(Ω)⊥

  2)  D(Δ)∩H1(Ω)の

元fが

方 程 式(10.16)を

を 含 む.

満 た す た め の 必 要 十 分 条 件 は,fが

H10(Ω)⊥ に 属 す る こ と で あ る.   証 明   1)f∈H1(Ω)と る か ら,C2(Ω)の

す る.定

点 列{fn}を

理9.6か

ら 分 る よ う に,C2(Ω)はH1(Ω)で

選 ん で 

と で き る.こ

稠密 で あ

の と き 明 ら か に,

 従 っ て (10.21) 

L2σ(Ω)に

が 成 立 す る.さ

に お い て,部

お い て

て 任 意 にh∈C20(Ω)(⊂H10(Ω))を

と る と,

分 積分 に よ り

で あ る か ら, (fn,h=H1,λ=λ(fn,h)L2−(fn,Δh)L2. こ こ でn→∞

と す る と,内

(10.22)  を 得 る.い

積( 

,  )H1 ,λお よ び( 

,  )L2の

連 続 性 よ り

(f,h)H1,λ=λ(f,h=L2−(f,Δh)L2 まf∈H10(Ω)⊥

な ら ば,h∈H10(Ω)よ

り,(f,h)H1,λ=0で

あ る か ら,(10.22)

よ り (λf,h)L2=(f,Δh)L2. 部 分 積 分 に よ り(Δfn,h)L2=(fn,Δh)L2が

成 立 し,

hはC20(Ω)の

任 意 の 元 で あ る か ら,こ

(10.23) 

L2σ(Ω)に

を 示 し て い る.(10.21),(10.23)よ

の こ とは おい て り

L2σ(Ω)×L2σ(Ω)に

が 成 立 す る.と

こ ろ で{fn,Δfn}∈G(Δ),か

で あ る か ら,{f,λf}∈G(Δ).ゆ の と き.明

らか に

(10.24) Δf=λf

お い て 

つG(Δ)はL2ρ(Ω)×L2σ(Ω)に

え にf∈D(Δ)と

な り,H10(Ω)⊥

⊂D(Δ)が

お け る閉集合 示 さ れ た.こ

が 成 立 す る.   2)  f∈D(Δ)∩H1(Ω)と

す る.ま

(10.25) 

ず 任 意 のh∈C∞0(Ω)に (f,Δh)L2=(Δf,h)L2

が 成 立 す る こ と を 示 す.実

際,G(Δ)は

集 合{{g,Δg}￨g∈C2(Ω)}のL2σ(Ω)×L2σ(Ω)に

お け る 閉 包 で あ り,{f,Δf}∈G(Δ)で ε>0に

対 して

対 し てg∈C2(Ω)が

あ る か ら,h,Δh∈C20(Ω)に

注 意 す る と,任

意 の

存在 して ￨(f−g,Δh)L2￨<ε,￨(Δf−Δg,h)L2￨<ε.

また 部 分 積 分 に よ り (g,Δh)L2=(Δg,h)L2. ゆ えに

こ こ で ε→0と

す る と,(10.25)を

  さ て(10.22),(10.25)よ

得 る. り,

(10.26) が 成 立 す る.こ た せ ば,す H1n(Ω)で

れ か ら 直 ち に 必 要 十 分 条 件 の 成 立 が 分 る.す

べ て のh∈C∞0(Ω)に

べ て のh∈C∞0(Ω)⊂H10(Ω)に L2(Ω)で 1)で

つ い て(f,h}H1,λ=(λf−

稠 密 で あ る(定 理9.7)か

ら,f∈H10(Ω)⊥

つ い て(λf−

稠 密 ゆえL2(Ω)の

な わ ち,fが(10.16)を

Δf,h)L2=0で

で あ る.逆

元 と し て λf− Δf=0で

あ り,C∞0(Ω)は

に,f∈H10(Ω)⊥

Δf,h)L2=(f,h)H1,λ=0で あ る(実

な ら ば,す

あ り,C∞0(Ω)は

は十 分条 件の成 立は すで に

示 さ れ て い る). 

  定 理10.4 

λ>0と

満

(証 終)

し,φ ∈C1(Ω)と

す る.デ

ィ リ ク レ問 題

(10.27) を 満 た す よ う なH1(Ω)の   こ のuを

一 意 に 存 在 す る.

デ ィ リ ク レ 問 題(10.27)の

  証 明   補 題10.3よ か ら,こ

元uが

り,集

の 集 合 が た だ1つ

∩H1(Ω)={0}で

弱 解 と い う.

合H10(Ω)⊥ ∩{φ+H10(Ω)}が(10.27)の の 元 よ りな る こ と を 示 せ ば よ い.φ

あ る か ら,u=0は(10.27)の

と す る.H10(Ω)はH1(Ω)の

た だ1つ

弱解 のすべ てで あ る ∈H10(Ω)の

と き はH10(Ω)⊥

の 弱 解 で あ る.次

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る か ら,直

に 

和 分 解 定 理(定 理7.18)よ

り,

φは φ=u+v,u∈H10(Ω)⊥,v∈H10(Ω) と 一 意 に 分 解 さ れ, 

で あ る.

で あ る か ら,u∈H1(Ω)⊥

∩{φ+H10(Ω)}を

得 て,弱

解uの

存 在 が い え た.一

意 性 は,u,

と す る と, よ りu=

u′を 得 る こ と か ら分 る. 

(証 終)

  上 の 証 明 か ら明 ら か な よ う に,φ の H10(Ω)⊥へ の 直 交 射 影 を 求 め る こ とに よ って,デ

ィ リク レ問 題(10.27)の

が 得 られ た わ け で,こ

弱 解u

の よ うな 解 法 を 直

交 射 影 の 方 法 と呼 ぶ.   注 意1 

上 の証 明で

図10.2

と な る こ と か ら 分 る よ うに,弱

解uは

φ+H10(Ω)に

属 す る 元u′ の う ち,ノ

ル ム‖u′‖H1,λ

を 最 小 に す る も の と し て 与 え ら れ る.こ れ が デ ィ リ ク レ の 原 理 で あ る.本 章 の 冒 頭 に も述 べ た よ う に,通

常に い わ れ る デ ィ リ ク レ の 原 理 と は λ=0の

場 合 で あ っ て,デ

ィ リク レ 問

題

(Ω 上)

の 解(調 和 関 数)が,こ

の 境 界 条 件 を 満 た す 関 数uの

うち デ ィ リク レ積 分

を 最 小 に す る も の と し て 得 ら れ る こ と を 主 張 す る.{Φ(u)}1/2は ム で あ る が,集

合{u∈H1(Ω)￨Φ(u)=0}は

ノ ル ム で は な く,半

定 数 関 数 の 作 る1次

ノル

元 空 間 で あ る か ら,困

難 は 起 ら な い.   注 意2 

境 界 条 件u￨∂ Ω=φ

φ+H10(Ω)は は,φ

は 物 理 学 的に 意 味 の あ る 条 件 で あ る.数

弱 解 の 一 意 性 を 導 く た め に お か れ た 制 限 で あ る と 考 え て よ い.こ

はH1(Ω)の

任 意 の 元 で よ く,H10(Ω)⊥

す る の で あ る.H1(Ω)の2元 で あ る か ら,φ1と

φ1,φ2が

を 定 め る か,と

φ2は 同 一 の 境 界 条 件 を 与 え て い る.従

角 関数 系

の 元 が,実

な るuが

の意味 で 一意 に存在

ら ば φ1+H10(Ω)=φ2+H10(Ω) っ て,商

空 間H1(Ω)/H10(Ω)の

際 に 境 界 ∂Ω 上 に ど の よ う な 関 数

い っ た 問 題 は こ こ で は 扱 わ な い.

に 対 す るH10(Ω0)に お け る完 備 正 規 直 交 系 に

前 章 で, 

で あ っ た.こ

∩{φ+H10(Ω)}={u}と

φ1−φ2∈H10(Ω)な

元 を デ ィ リ ク レ 境 界 条 件 と 考 え て よ い.こ

つ い て,定

学 的 に は 条 件u∈

理9.8の

成 立 を み た が,こ

れ を 内 積( 

れ は 内 積( 

,  )H1,ノ

ル ム‖ ‖H1に

,  )H1,λ,ノ ル ム‖ ‖H1,λ で お き か え た と き,同

関す るもの

様 に し て,3

(10.28)

がH10(Ω0)に

お い て 完 備 正 規 直 交 系 を な す こ と が 分 る.

  次 に,λ>0とf∈L2(Ω)を

をL2σ(Ω)にお

与 え,ポ

い て,デ

ア ソ ン方 程 式 − Δu+λu=f

ィ リ ク レ 境 界 条 件u￨∂ Ω=0の

代 り に,条

件u∈H10(Ω)の

下 で考 察

す る.   定 理10.5 

λ>0と

し,f∈L2(Ω)と

す る.デ

ィ リク レ問 題

(10.29) を 満 た す よ うな 元uが   こ のuを

一 意 に 存 在 す る.

デ ィ リ ク レ 問 題(10.29)の

弱 解 と い う.

とす る.Ω は 有 界 で あ る か ら,Ω ⊂Ω0と 仮 定 し

証 明  て も 一 般 性 を 失 わ な い.こ ら,§9.4の

例2よ

の と きL2(Ω)⊂L2(Ω0)と

み な す と,fはL2(Ω0)の

元 であ るか

り

(10.30)

と フ ー リエ 級 数 展 開 され る.こ の 式 の右 辺 の 級 数 の 各 項 の Ω へ の 制 限 を 考 え る と き,こ の 級 数 はL2(Ω)に

お い て も収 束 して,f∈L2(Ω)を

考 え て,(10.30)に

表 す こ とが 容 易 に 分 る.さ

らにΩ0で

対応 して

(10.31) とお く.こ

の式 の右 辺 の 級 数 をH10(Ω0)に お け る完 備 正 規 直 交 系(10.28)に

考 え る と,そ の 係 数 の2乗

で あ る か ら,こ

の和の定数 倍

の 級 数 はH10(Ω0)で

へ の 制 限 を 考 え る と き,こ

収 束 し て,uf∈H10(Ω0)と

の 級 数 はH1(Ω)に

表 す こ と に す る.こ

た 意 味 で,(10.30),(10.31)を

考 え る こ と に す る.(10.30)の

で は な い が,ノ 列 がL2σ(Ω)の

も 収 束 し てfを

位 相

σ(L2(Ω),C20(Ω))で

の よ う に し て,以

表 し て い る(こ

ル ム 空 間 の 場 合 と 同 様 に,L2σ(Ω)で

辺 の 級 数 はH1(Ω)でufに

な る.こ

の級数 の各項 の Ω

お い て も 収 束 す る こ と が 容 易 に 分 る が,こ

の 級 数 の 和 を 同 じuf∈H1(Ω)で

収 束 し て い る か ら,L2ρ(Ω)で

よる展 開 と

右 辺 の 級 数 はL2(Ω)で こ でL2σ(Ω)は

ノル ム 空 間

級 数 が 収 束 す る と は,そ

の部 分和 の

収 束 す る こ と を 意 味 す る).ま

収 束 す る か ら,L2σ(Ω)で

後は Ω へ制 限 し

もufに

た(10.31)の

収 束 し て い る.さ

ら に,こ

右

の 級 数 の 各 項 はD(Δ)に

属 して

(10.32)

が 成 立 し,こ

の 式 の 右 辺 を 一 般 項 とす る級 数 はL2(Ω)で

して い る.従

っ て Δ のL2σ(Ω)に お け る作 用 素 と し て の 閉 性 よ り,ufはD(Δ)に

が 成 立 す る.こ

れ と(10.30),(10.31)よ

(10.33) 

属し

り −Δuf+λuf=f

が 得 ら れ る.ufはH1(Ω)の よ り,デ

収 束 す るか ら,L2σ(Ω)で も収 束

元 で あ る か ら,境

界 条 件 を 定 め て お り(注 意2),定

理10.4

お く と,(10.33),(10.34)よ

りuは

ィ リク レ問 題

(10.34) の 弱 解v∈H1(Ω)が (10.29)の

一 意 に 存 在 す る.u=v+ufと

弱 解 で あ る こ と が 分 る.一

が 成 立 す る が,定

理10.4(φ

意 性.u,u′

を(10.29)の

∈H10(Ω)の 場 合)よ

り,u−u′

弱 解 と す る と,

は た だ1つ

の 弱 解0に

な け れ ば な ら な い. 

(証 終)

  こ こ で 概 念 を 明 確 に す る た め に,Δ こ の 作 用 素 を Δ0で 表 す こ と に す る.こ 動 か す と き に,作 上 へ の1対1の 素(−

  補 題10.6 

の 定 義 域 をD(Δ)∩H10(Ω)に の と き,定

用 素 − Δ0+λIがD(−

対 し,u=(−

任 意 のf∈L2(Ω)と

(10.35) 

固 定 しf∈L2(Ω)を

Δ0+λI)=D(Δ0)=D(Δ)∩H10(Ω)か

らH10(Ω)へ Δ0+λI)−1fが

制 限 し て 考 え る と き,

理10.5は,λ>0を

線 形 作 用 素 で あ る こ と を 主 張 し て い る.従

Δ0+λI)−1がL2(Ω)か

f∈L2(Ω)に

一 致 し

らL2(Ω)の

っ て 作 用 素 − Δ0+λIの

の 線 形 作 用 素 と し て 存 在 す る.さ デ ィ リ ク レ 問 題(10.29)の

任 意 のg∈H10(Ω)に

逆 作用

ら に,任

意 の

弱 解 を 与 え て い る.

対 して

((− Δ0+λI)−1f,g)H1,λ=(f,g)L2

が 成 立 す る.   証 明   C∞0(Ω)はH10(Ω)で

稠 密 で あ る か ら,g∈H10(Ω)に と で き る.こ

選 ん で,H1(Ω)で  でf∈L2(Ω)に vはH10(Ω)⊥

対 し 定 理10.5の に 属 し,(−

(uf∈D(Δ)∩H1(Ω)で

の と き,L2(Ω)で

対 し てC∞0(Ω)の も 

証 明 の 内 容 を そ の ま ま 用 い る と,方

Δ0+λI)−1f=v+ufで

あ る か ら,(10.26)が

あ っ た か ら,各nに

使 え て)

点 列{gn}を で あ る.こ

程 式(10.34)の つ いて

こ 弱解

((10,33)よ

り)

=(f,gn)L2. ゆ えに

が 成 立 し,こ

こ でn→∞

と す る と,内

  補 題10.7 

(− Δ0+λI)−1はL2(Ω)か

証 明   任 意 のf∈L2(Ω)に

対 し,補

積 の 連 続 性 か ら(10.35)を らH10(Ω)へ

(証 終)

の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.

題10.6でg=(−

Δ0+λI)−1fと

で あ る か ら,上

な ら ば, 

得 る. 

お く と,

の不 等 式 よ り

(10.36) ゆ え に(−

Δ0+λI)−1は 有 界 で あ る. 

  H10(Ω)⊂L2(Ω)で と が で き る が,こ   定 理10.8 

あ る か ら,(− の と き,(−

(証 終)

Δ0+λI)−1をL2(Ω)か

らL2(Ω)へ

の 作 用 素 と考 え る こ

Δ0+λI)−1は 次 の よ う に 特 徴 づ け ら れ る.

(− Δ0+λI)−1はL2(Ω)か

らL2(Ω)へ

の 正 値,自

己共役 な 完 全連 続作用 素

で あ る.   こ こ で,(−

Δ0+λI)−1が 正 値 で あ る と は

が 成 立 す る こ と を 意 味 す る.   証 明   補 題10.7と   任 意 のf,9∈L2(Ω)に

定 理9.10よ

り,(−

対 し,補

Δ0+λI=−1の

題10.6を2回

完 全 連 続 性 が 分 る(定 理8.14).

用 い る と

と な り,自 己 共 役 性 が い え た.  任 意 のf∈L2(Ω)に

と な り,正

対 し,再

び補 題10.6よ

値 性 が い え た. 

  上 の 定 理 に よ り,作

(証 終)

用 素(−Δ0+λI)−1に

  定 理10.9 

L2(Ω)か

値 を も つ.す

べ て の 固 有 値 を 重 複 を 許 して

と並 べ,こ

り

らL2(Ω)へ

対 し 定 理8.30,定

の 作 用 素(−

Δ0+λI)−1は

れ らに 属 す る 固 有 関 数 の 列{φn}をL2(Ω)に

うに 選 ん で,任

意 のf∈L2(Ω)に

対し

(10.37) な る展 開 が 成 立 す る よ うに で き る.

理8.31が

適 用 さ れ る.

可 算 個 の正 数 か らな る 固 有

おけ る完備正 規直 交 系を なす よ

証 明  (−Δ0+λI)−1の と し, 

際,μ

を μ に 属 す る 固 有 関 数 とす る と,(−Δ0+λI)−1の

を 得 る か ら で あ る.さ {0}ゆ

固 有 値 は す べ て 非 負 で あ る.実

え,0を

ら に(−Δ0+λI)−1は

自 己 共 役,完

固 有 値 と し て も た な い か ら,定

固 有 値 の 列{λn}と

を(−Δ0+λI)−1の 正値性 よ り

全 連 続 で あ り,そ

理8.30,定

理8.31よ

こ れ ら に 属 す る 固 有 関 数 の 列{φn}が

固有 値

の 零空 間は

り,(−Δ0+λI)−1の

存 在 し て,定

理 の条 件 を す べ

て 満 足 す る. 

(証 終)

  注 意  固 有 関 数φn(n=1,2,…)に

つ い て,(−Δ0+λI)−1φn=λnφnよ

り

(10.38)

あ るい は

(10.39) 

が成 立 す る.す な わ ちφnは(−Δ0+λI)の で あ る,あ

   10.3 

る い はφnはΔ0の

固 有 関 数 で もあ り,φnに 対 応 す る 固 有 値 はλn−1

固 有 関 数 で もあ り,φnに 対 応 す る固 有 値 は λ−λn−1であ る.

弱 解 の 微 分 可 能 性

  これ ま で に,λ>0に

対 す る デ ィ リ ク レ問 題(10.29)の

た そ の 弱 解(−Δ0+λI)−1fが(10.37)の あ る い はL2(Ω)の

形 に表 現 され る こ とを み た が,こ

れ らはH10(Ω),

元 と して 捉 えた の で あ っ て,弱 解 の 通 常 の 意 味 で の 微 分 可 能 性 に つ い

て は 問 題 に して い な か った.こ   u∈D(Δ0)に

弱 解 が 一 意 に 存 在 す る こ と,ま

こで,弱

対 しΔ0u∈D(Δ0)な

解 の微 分 可 能 性 に つ い て 考 察 し よ う.

ら ば,uにΔ02=Δ0Δ0を

作 用 させ る こ とが で き る.す

な わ ちΔ02の 定 義 域 は

で あ る.一

般 に 自 然 数mに

対 しΔ0m=Δ0Δ0m−1が,定

と し て 定 義 さ れ る.(−Δ0+λI)m(m=1,2,…)の

な ら ば,各mに

義域 を

定 義 に つ い て も 同 様 で あ る.

つい て (た だ しΔ00=I)

と表 され る こ とか ら, (10.40)  定 理10.10 

条 件  (ワ イ ル(Wey1)の

 が 分 る.こ

と条 件 

は 同 値 で あ る.

補 題) 

な ら ばu∈C∞(Ω)で

証 明   Ω が 一 般 の 場 合 の証 明 は 複 雑 な の で,こ 場 合 に 証 明 す る.

(10.41)

の逆 も成 立 す る か ら,結 局

  はL2(Ω0)の

こで は Ω が

元 で あ る か ら,

あ る.

 の

と 一意 に フ ー リエ 級 数 展 開 され る.こ の とき

(10.42)

で あ る.実

際,(−Δ0+λI)uはL2(Ω0)の

元 で あ る か ら,

(10.43) (10.44) と 表 さ れ る.い

と お く.こ

ま

の 右 辺 の 級 数 をH10(Ω0)に

る と き,(10.44)よ 収 束 す る.従 に 属 し,こ

りそ の 係 数 の2乗

の 和<∞

っ て こ の 級 数 はL2σ(Ω0)で の 級 数 の 項 別 に − Δ+λIを

辺 の 級 数 はL2σ(Ω0)で(−Δ0+λI)uに D(−

お け る 完 備 正 規 直 交 系(10.28)に

Δ+λI)=D(Δ)か

つ(−Δ+λI)v=(−

(− Δ0+λI)v=(−Δ0+λI)uで

あ り,作

βn1…nN/(λ+n12+n22+…+nN2)=αn1…nNと   (− Δ0+λI)uはH10(Ω0)に

もvに

で あ る か ら,こ 収 束 す る.ま

の 級 数 はH10(Ω0)でvに

た,こ

の 級 数 の 各 項 はD(Δ)

作 用 さ せ て 得 ら れ る 級 数,す 収 束 す る.よ

な わ ち(10.43)の

っ て 作 用 素 − Δ+λIの

Δ0+λI)u.結

な り,(10.42)を

右

閉 性 よ りv∈

局,v∈D(Δ)∩H10(Ω0)か

用 素 − Δ0+λIは1対1で

属 す る か ら,(10.42)の

よ る 展 開 と考 え

あ る か ら,v=u,従

つ って

得 る.

右 辺 の 級 数 をH10(Ω0)に

お け る展 開

と 考 え る と,

(10.45) で あ る.以

下 同 様 の 議 論 を 続 け る と,m=1,2,…に

つい て

(10.46)

(10.47) が 成 立 す る.  

自 然 数lに

対 しmax(n1,n2,…,nN)≦lで

あ る か ら,max(n1,n2,…,nN)=lで (≦NlN−1).ま N−2な

らば

たmax(n1,n2,…,nN)=lな

あ る よ う な 組(n1,n2,…,nN)の あ る よ う な 組(n1,n2,…,nN)の ら ば λ+n12+n22+…+nN2>l2.ゆ

個 数 はlNで 個 数 はlN−(l−1)N え に4m>

こ れ と(10.47)よ

り,シ

ュバ ル ツの 不 等 式 を 用 い る と

これ よ り,(10.41)の

右 辺 の 級 数 はRNで一様

収 束 し,そ

の 級 数 の 和uはRNで

連 続 関 数 を 表 す と して よ い.さ

の 各 項 は 連 続 で あ る か ら,こ

らに,uを

連 続 偏 微 分 可 能 で あ り,こ の 級 数 を 項 別 に た とえ ばx1で

表 す 級 数 の 各 項 はRNで

偏 微 分 して 得 られ る級 数

(10.48) は 上 と 同 様 に し て(4m>Nな RNでx1に …

るmを

用 い る),RNで

一 様 収 束 す る こ と が 分 る か ら,uは

よ る 連 続 偏 微 分 可 能 で あ り,∂u/∂x1は

,xNに

よ る 偏 微 分 に つ い て も 同 様 で あ る.以

(− Δ0+λI)−1の

あ る. 

固 有 関 数 φn(n=1,2,…)はC∞(Ω)に

  証 明   (10.38),(10.39)よ

り φn∈D(−

で あ る か ら,φn∈D((−Δ0+λI)2)か

等 し く な る.x2,x3,

下 同 様 に こ の 議 論 を 続 け る と,uはRNで

任 意 回 数 の 連 続 偏 微 分 可 能 と な り,u∈C∞(Ω0)で   系1 

級 数(10.48)に

Δ0+λI)か

(証 終) 属 す る.

つ

つ

以 下 同 様 に 続 け る と, 

とな るか ら,上 の 定 理 よ り φn∈C∞(Ω)を

得 る.    系2 

(証 終) f∈C∞0(Ω)に

対 す る デ ィ リ ク レ 問 題(10.29)の

証 明 

以 下 同 様 に 続 け る と,  注 意   系2の

得 る.  (証 終)

通 常 の解 で あ る.

以 上 の 議 論 は λ>0の 場 合 で あ った が,最

後 に λ=0の 場 合 に簡 単 に 言 及 し よ う.

対し

と お く と,‖ ‖H1,0は ノ ル ム で は な く,半

ノ ル ム で あ る.

Ω 上 の 定 数 関 数 の全 体 で あ る か ら,1次

ら商 空 間C1(Ω)/Nへ

に よ っ て,C1(Ω)/N上

応 で あ る.従

元 の 線 形 空 間 で あ る.C1(Ω)か

の 商 写 像 を π とす る と,

に ノ ル ム‖ ‖H1が 導 入 さ れ る(§6.4).半

上 で は 明 ら かに ノ ル ム を 表 し て い る か ら,商 対1対

属 す る.

かつ

と な る か ら,u∈C∞(Ω)を

弱 解u∈C∞(Ω)は

C1(Ω)の 元fに

とお く と,Nは

弱 解uはC∞(Ω)に よ り, 

っ てC10(Ω)と

写 像 π はC10(Ω)か

π(C10(Ω))を

ノ ル ム‖ ‖H1,0はC10(Ω) ら π(C10(Ω))の

同 一 視 し て も よ い.C1(Ω)/Nの

上 へ の1 ノル ム

‖  ‖H1に よ る 完 備 化 をH1(Ω)で す.こ

表 し,π(C10(Ω))のH1(Ω)に

れ らの空 間 を 用 い て,λ>0の

お け る 閉 包 をH10(Ω)で 表

場 合 と 同様 の 議 論 を 展 開 す る こ とが で き,デ

ィ リク

レ の 原 理 が 確 か め られ る.

演 習 問 題10

  1.Ω

はRNの

有 界 な 開 領 域 で,そ

る.λ>0,f∈L2(Ω),φ

の 弱 解u∈H1(Ω)が   2.Ω

の 境 界 は 有 限 個 の 滑 らか な 曲 面 よ りな る もの とす

∈C1(Ω)と す る と き,デ

一 意 に 存 在 す る こ とを 示 せ.

は 前 問 と 同 じ とす る.F(t)は

あ る定 数 α>0が

ィ リク レ問 題

無 限 区 間(− ∞,∞)で

定 義 さ れ た 実 数 値 関 数 で,

存 在 して

が 成 立 す る と す る.   こ の と きF(t)は(−  1)  L2(Ω)の

∞,∞)で

元fに

リ プ シ ッ ツ(Lipschitz)連

対 しL2(Ω)で

る と き,{F(fn)}はL2(Ω)で   こ の極 限 は{fn}の

続 で あ る と い う.

 とな る よ うなC0(Ω)の

関 数 列{fn}を

と

収 束 す る こ とを 示 せ.

選 び 方 に よ らず 一 意 に 確 定 す る の で,こ

こ で は,L2(Ω)でF(f)

 と定 義 す る.   2)  λ>α の と き,デ

の 弱 解uが

ィ リク レ 問 題

一 意 に 存 在 す る こ と を 示 せ.

  (f∈L2(Ω)に 用 素TがL2(Ω)か の10)を 用 い よ).

デ ィ リ ク レ問 題 −Δu+λu=F(f),u∈H10(Ω)の らL2(Ω)へ

弱 解uを

対 応 さ せ る作

の 縮 小 作 用 素 で あ る こ とを 示 し,不 動 点 定 理(演 習 問 題3

演 習 問 題 の 略 解

演   1.V∈V(x)の x∈O⊂Vは し て,す V(y).こ

問

題1

と きO={y｜V∈V(y)}と 明 ら か.ま

たy∈Oな

べ て のz∈Wに

お き,Oが(1.10)を

ら ば,V∈V(y)ゆ

つ い てV∈V(z),す

れ はO∈Oを

  逆 に(1.10)が

え(1.4)よ な わ ちz∈O.ゆ

成 立 す る と き,O∈V(x)ゆ O∈OYと

VY(Tx).(1.20)を

りW∈V(y)が

存在

え にW⊂Oと

な り,O∈

えV∈V(x).

す る.x∈T−1(O)な

ら ばTx∈Oで

仮 定 す る とT−1(O)∈VX(x).ゆ

  (1.21)⇒(1.20) 

満 た す こ と を 示 す.

示 す.

  2.(1.20)⇒(1.21) 

OYが

習

任 意 にx∈Xを

存 在 す る.(1.21)を

あ る か らO∈

え にT−1(O)∈OX.

と る.V∈VY(Tx)に

対 しTx∈O⊂Vと

仮 定 す る と,T−1(O)∈OX.ま

な るO∈

たx∈T−1(O)⊂T−1(V)ゆ

え

T−1(V)∈VX(x).   (1.21)⇒(1.22) 

F∈FYな

T−1(FC)∈OX.ゆ

∈OY(λ

∈ Λ)か

 とす る と,Tの

つ

連 続 性 よ りT−1(Oλ)∈OX,か

  Aは

コ ン パ ク トで あ る か ら,T−1(Oλj)(j=1,2,…,n)が

 ゆ え に

 よ っ てT(A)は

τ1〓τ2よ りIは

連 続 で あ る.X1は

ク ト集 合 ゆ え,Iの

等写 像  

コ ン パ ク トで あ る か ら,任

連 続 性 よ り,FはX2の

空 間 ゆ えF∈F2.こ

ら ばV∈V2(x)と

  5.  (1.19)⇒(1.39) 

Xの

意 のV∈VY*(Tx)に 定 ま っ てn≧n0な

  (1.39)⇒(1.19) 

x∈Xに

点 列{xn}が

コ ンパ ハ ウ ス ドル フ

れ ゆ え,各x∈X

 と す る.(1.19)を

仮 定 す る と,任  よ りn0が

存 在 してT(W)⊂V.

っ てTxn∈V.ゆ

えに

つ い てVX*(x)={V(x,1/n)｜n=1,2,…}と

つ い てxn∈V(x,1/n)が

の 点 列{xn}は

集 件

な り,τ1〓 τ2,す な わ ち τ1=τ2で あ る.

不 成 立 とす る と,W∈VY*(Tx)が

ゆ え に,各nに

傍 系,閉

を 考 え る と,条 意 のF∈F1はX1の

連 続 な こ と を 示 す.そ

対 しW∈VX*(x)が ら ばxn∈W,従

表 す.近

コ ン パ ク ト集 合 で あ る.X2は

の こ と はI−1:X2→X1が

に つ い てV∈V1(x)な

存在 して

コ ン パ ク ト.

位 相 τ1,τ2を入 れ た と き の 位 相 空 間 を そ れ ぞ れX1,X2で

合 系 に つ い て も 同 様 の 表 し 方 を す る.恒

(1.19)が

仮 定 す る と,

同 様.

つ

  4.Xに

あ る か ら,(1.21)を

え にT−1(F)=(T−1(FC))C∈FX.

  (1.22)⇒(1.21)も   3.Oλ

ら ばFC∈OYで

し て よい.

存在 して   存在 して  

  で あ る が,{Txn}は

この よ うに して 得 られ たX

丁xに 収 束 し な い か ら,(1.39)は

不 成

立.   6.必

要 性.Xの

任 意 の 点 列{xn}に

とす る と,閉 集 合 の族{Fn}は

対 し,各nに

つ い て{xn,xn+1,…}の

有 限 交 叉 性 を もつ か ら,Xが

コ ン パ ク トな らば

閉 包 をFn

任意 に

  を1つ

と る.ま

っ た と き,x∈Fnj+1よ

ずx∈F1よ

りn1が

りnj+1(≧nj+1)が

し て 得 ら れ た{xnj}は{xn}の

存 在 し てd(x,xnj)<1.njま

で定 ま

存 在 し てd(x,xnj+1)<1/(j+1).こ

部 分 列 で あ り,作

の よ うに

 ゆえにXは 点列

り方 か ら

コ ン パ ク ト.   十 分 性.次  1)  Xが

の3段

階 に 分 け る.

点 列 コ ン パ ク トの と き,Xの

任 意 の 開 被 覆{Oλ}λ ∈Λ に対 し ε>0が

Xの 部 分集 合Aの 直 径

 な ら ばAは

な 正 数 εを 開 被 覆  し,こ

の ル ベ ー グ(Lebesgue)数

の よ う な ε>0が

在 し て δ(An)<1/nか と る.Xは

在

ど のOλ(λ ∈ Λ)に

点 列 コ ン パ ク ト で あ る か ら,点  と す る.x0∈Oλ0と

る.

δ(Aj)<ε(j=1,2,…,n)と

Xが

る ε>0に

全 有 界 で な い と す る と,あ

と る.xnま

{A1,A2,…,An}が

 

す る.2) 

有 限 被 覆 と な る.ゆ

  7.Aの

開 集 合BCに

え にXは

る ε>0に

対 し てV(x,ε)⊂BC.xがA

開 被 覆 を な す か ら,有

な るxj(1≦j≦n)が ゆ え にd(A,B)≧

開 被 覆{V(x,1/n)}x∈Xは

覆 を な す 開 球 の 中 心 の 全 体 をAnと x∈Xと

任 意 の ε>0に

存 在 し,d(x,y)<1/n<ε   9.{xn｜n=1,2,…}がXで 集 合 で な い と き,こ

対 し,1/nく

す る と, ε と な るnを

と り,こ

お く.

α/2>0.

有 限 被 覆 を も つ.そ

 は 可 算 集 合 で あ る.ま

稠 密 と す る.n,m=1,2,…

限開被 覆

存 在 す る.

と る と,x∈V(y,1/n)と

で あ る か ら,y∈V(x,ε).よ

の 中 か ら 任 意 に1点ynmを

有限被 覆

な る λj∈Λ が 存 在 し,{O21,

存 在 す る.α=min{ε1,ε2,…,εn}と

  に 対 しXの

よ り定 ま る

コ ン パ ク トで あ る.

コ ン パ ク トなAの

任 意 に と る.x∈V(xj,εj/2)と

  8.各n=1,2,…

の よ うに し

ら収 束 す る部 分

の 集 合 か ら な るXの

対 し,Aj⊂Oλjと

属 す る か ら,あ

全 体は

有限被 覆

被 覆 で は な い.

任 意 の 開 被 覆{Oλ}λ ∈Λに 対 し,1) 

{V(x1,ε1/2),V(x2,ε2/2),…,V(xn,εn/2)}が x∈Aとy∈Bを

εゆ え,{xn}か

際,

点 列 コ ン パ ク トで あ る こ と に 反 す る.

っ て 各Ajに

Oλ2,…,Oλn}はXの

を 動 く と き,V(x,ε/2)の

の 集 合 か ら な るXの

  を と る.こ

な ら ばd(xm,xn)≧

対 しX

な る も の が 存 在 す る.実

よ り こ の εに 対 し 直 径<ε

存 在 す る.よ

各 点xは

存

と れ る.

意 の ε>0に

中 の ど の 有 限 個 の 集 合 もXの

点 列 コ ン パ ク トな ら ば,Xの

ル ベ ー グ 数 を ε>0と

開 集 合 ゆ え,δ>0が

な わ ち,任

で 定 ま っ た と き,

列 を 選 び 出 す こ と が で ぎ な い か ら,Xが   3)  Xが

と り出 せ

な るnj(>2/δ)が

対 し て 直 径<3ε

れ ゆ え,{V(x,ε)}x∈Xの

点 列{xn}は

つ い てxn∈Anを

ら 収 束 部 分 列{xnj}を

全 有 界 で あ る:す

の 有 限 被 覆{A1,A2,…,An}で

て 得 ら れ たXの

存

な り 矛 盾 で あ る.

点 列 コ ン パ ク トな ら ばXは

任 意 にx1∈Xを

部 分 集 合Anが

も 含 ま れ な い.各nに

列{xn}か

に対

え,d(x0,x)≦d(x0,xnj)+d(xnj,x)<δ/2+1/nj<δ.

よ っ てAnj⊂V(x0,δ)⊂Oλ0と

は 存 在 し な い.そ

被 覆 

に 対 しXの

 よ りd(x0,xnj)<δ/2と

ら ば,d(xnj,x)<1/njゆ

  2)  Xが

際,開

な る λ0∈Λ が 存 在 す る.Oλ0は

し てV(x0,δ)⊂Oλ0.

x∈Anjな

あ るOλ に 含 ま れ る.こ の よ う

と い う.実

存 在 し な い と す る と,各n=1,2,… つAnは

存 在 し て,

っ てAはXで

の有限被

た任意 の

な るy∈Anが 稠 密.

に つ い てV(xn,1/m)∩Yが れ ら の 全 体 をAと

す る と,Aは

空

可 算 集 合 か つYで mを

稠 密 で あ る.実

と る と,xn∈V(y,1/m)が

か ら,ynm∈V(xn,1/m)∩Y.ゆ 2/m<ε

際,任

意 のy∈Yと

任 意 の ε>0に

存 在 す る.V(xn,1/m)∩Yはyを

対 し2/m<ε

含 み,空

とな る

集 合で はな い

え にd(ynm,y)≦d(ynm,xn)+d(xn,y)<1/m+1/m=

と な り,ynm∈V(y,ε).

  10.F⊃Gは

明 ら か.ま

たGはAを

含 む 線 形 部 分 空 間 で あ る か ら,F⊂G.ゆ

えに

F=G.   11.TをEか

らFの

上 へ の1対1の

線 形 作 用 素 と す る と,x1,x2,…,xnがEで1次

独 立 で あ る こ と とTx1,Tx2,…,TxnがFで1次 こ と か ら,AがEの AとT(A)の

独 立 で あ る こ と と は 同 値 で あ る.こ

代 数 的 基 底 な ら ばT(A)はFの

  1.{xn}を(c)の

問

題2 と す る.任

ら ば ‖xm−xn‖<ε.す

m,n≧n0な

…)が

習

代 数 的 次 元 は 一 致 す る.

コ ー シ ー 列 と し, 

が 存 在 し てm,n≧n0な

ゆ え に 各kに

代 数 的 基 底 で あ る こ と が い える.

濃 度 は 同 じ で あ る か ら,EとFの

演

らば

意の

ε>0に

対 しn0

なわ ち

 

つ い て{ξ(n)k}n=1,2,…は

存 在 す る .x={ξk}と

の

Φ の コ ー シ ー 列 で あ る か ら,limξ(n)k=ξk{k=1,2,

お く.上

の 不 等 式 でnを

固 定 しm→

∞ とす る と,

な らば xn0={ξ(n0)k}は

収 束 列 ゆ え コ ー シ ー 列 で あ る か ら,k0が

存 在 して

な らば よ っ てk,l≧k0な

らば

と な っ て,x={ξk}は

コ ー シ ー 列,従

っ て 収 束 列 ゆ え,x∈(c).n≧n0な

らば

 

ゆ えに   2.  (2.22)の

証 明.1≦p
の と き(lp)の

元xに

対 し

な らば が 成 立 す る.(lp)の

任 意の元  

す なわ ち  

に対 し  

この 不 等 式 はx=0の

(lq)も 分 る.(lq)の

で あ るか ら,  と き も明 らか に 成 立.こ

元 は 有 界 数 列 ゆ え,(lq)⊂(l∞).(lq)の

元xに

の こ とか ら(lp)⊂

対 し ‖x‖q≦1な らば

‖x‖ ∞≦1が 成 立 す るか ら,前 半 と同 様 に ‖x‖q≧‖x‖ ∞が い え る.   (2.23)の 証 明.x={ξk}が(l1)の

元 な らば,(2.22)よ

pの 関 数 ‖x‖pは有 界 で 単 調 減 少 ゆ え,

り,x∈(lp)(1
∞)か つ

 が 存 在 す る.任 意 に ε>0を 固 定 す る と,

k0が 存 在 し て

 と お

く と,y,z∈(l1)か

つx=y+zで

  そ こ で, (k0−1)1/p→1よ

り

あ るか

ら,

 に お い てp→

∞ と す る と,

 とす る と求 む る結 果 を 得 る.

(2.24)の

 に 属 す が(l1)に

  は 明 ら か.x={1/k}は

証 明.

属 さ な い.   (2.25)の

  は 明 ら か.x={1/logk}k≧2は(c0)に

証 明.

すが

  に 属 さ な い.

  3.C0(a,b)の2元x=x(t),y=y(t)の 的 に0の

属

う ち の 少 な く と も 一 方 が 区 間(a,b)上

と き は 不 等 式 の 成 立 は 明 ら か.x,yは

と,

共 に(a,b)上

で 恒 等 的 に0で

で恒 等

な い とす る

 (2.17)で

 と お く と,

 両 辺 に積 分

この と き,等

 を ほ ど こす と

号は

 の 場 合 に 限 り

成 立 す る.   4.p=1の

と き 不 等 式 の 成 立 は 明 ら か.1
 の と き は 不 等 式 の 成 立 は 明 らか ゆ え, 

とす る.

とす る.1/p+1/q=1と

な るqを

と る.

(ヘ ル ダ ー の 不 等 式 を 用 い る と)

左 辺 と右 辺を

 で 割 れ ば 求 む る不 等 式 を 得 る.

  5.  1)  1≦p
す る.ヘ

ル ダーの不 等式 よ り

ま た,   2)  上 の 結 果 よ り,x∈C0(a,b)に

で あ る か ら,

  に お い てp→

｜x(t)｜ は コ ン パ ク トな 台S(x)の

続 性 よ り,任

関 数(b−a)−1/p‖x‖pは

 が 存 在 す る が,

存 在 す る. 続 関 数

対 し て,pの

意 の ε>0に

対 しt0を

 ゆ え,結

有 界単 調増 大

∞ と す る と,

あ る 点t0で

 が

局

 他 方,連

最 大 値 ‖x‖∞ を と る.￨x(t)｜

含 む 開 区 間(a0,b0)(⊂(a,b))が

の連

存 在 し て,  よ り,

  ε→0と

す る と,

  6.  {xn}をC[− ∞,∞]の コ ー シ ー列 とす る と,任 m,n≧n0な らば ‖xm−xn‖<ε.よ っ て m,n≧n0な ゆ え に 各tに

つ い て{xn(t)}は

らば

意 の ε>0に 対 しn0が

  実 数 の コ ー シ ー 列 で あ る か ら 収 束 す る.

存 在 して

(− ∞
お き,上

の不 等 式 でnを

n≧n0な

らば

これ は 連 続 関 数 列{xn}が(− ∞)で

固 定 しm→

 

∞,∞)でxに

連 続 で あ る.

一 様 収 束 す る こ とを 示 す か ら,xは(−

 が 存 在 す る か ら,t0>0が

t1,t2>t0な らば (コ ー シ ー の 条 件).ゆ

え に,t1,t2>t0な

ま た,n≧n0な

存 在 して

らば

  が 存 在 す る.ゆ

  7.{xn}をCl[a,b]の

コ ー シ ー 列 と す る と,任

≧n0な らば

 よ っ て

m,n≧n0な

意 の ε>0に

各k)に

つ い て{xn(k)(t)}は

存 在 し てm,n

実 数 の コ ー シ ー 列 で あ る か ら 収 束 す る.

の 不 等 式 でnを

つ い て 連 続 関 数 列{xn(k)}は[a,b]でx[k]に

お く と,x∈Cl[a,b]か

一様

つx(k)=x[k](k=0,1,…,l)と

ば  8.た

対 しn0が

固 定 しm→

∞と

n≧n0な ら ば 

よ っ て 各kに め てxと

∞,∞].

らば

とお き,上 す る と,

え にx∈C[−

 よ り,

らば

ゆ え に 各tと

∞,

 

 が 存 在 す る.同 様 に

と な り,

∞ とす る と,

収 束 す る か ら,x[0]を な る.ゆ

え にn≧n0な

改 ら

 と な り, と え ば(a,b)は

数 列{bn}とc,dを

有 界 と し,a
 と な る

数xn(t)をa
t≦bnで1,bn
定 め る と,関

ノ ル ム ‖ ‖pに関 す る コ ー シ ー 列 で あ る が,C0(a,b)に

数 列

おい て極 限を

も た な い.   9.あ

る 番 号 か ら 先 は 同 一 数 で あ る よ う な 有 理 数 列(ま た は 有 理 複 素 数 列)の 全 体 をE0

と す る と,E0は(c)に め,(c)の

含 ま れ る 可 算 集 合 で あ る.E0の(c)に

任 意 の 元x={ξk}と

し てk≧k0な

らば

 

任 意 の ε>0を E0の

お け る稠 密 性 を 示 す た

与 え る.

 と す る と,k0が

元x0={r1,r2,…,rk0−1,r∞,r∞,…}を

を 満 た す よ う に 選 ぶ と,k≧k0な ゆ え,‖x−x0‖   10.各

成 分 が0ま

濃 度2x0を

合E0が

た は1で

も つ.Eの2元x,yが

な らば

元 の 全 体 をEと ‖x−y‖=1.も

 で あ る が,こ

存 在 した とす る と,

るか ら,そ の うち の 少 な く と も1つ

はEの

の2元x,y( 

属 した とす る と, 

)がB(x0,1/2)に とな り不 合 理,ゆ

  らば

 

≦2ε.

あ る よ うな(l∞)の  

存 在

え に(l∞)は

元 を2つ

す る と,Eは

し も(l∞)で

連 続体 の

稠密 な可算 集

れ らの 開 球 は 可 算 個 で あ

以 上 含 ま な け れ ば な らな い.い

可 分 で は な い.

まE

 

  11.Fが

内点x0を も った とす る と,ε>0が 存 在 してB(x0,ε)⊂F.Fに

意 のx∈Eを

とる と, 

属 さな い 任

とお くと, 

よ り,y∈B(x0,ε)⊂F.ゆ

えに  

とな り不合 理.

演 習 問 題3   1.よ

り明 らか.

  2.任

意 にT0∈Mを

 

とる.T∈L(E,E)に

対し

な らば  

ゆ え,定 理3.7よ

{I−T0−1(T0−T)}−1∈L(E,E)が L(E,E)が

存 在 す るか ら,T−1={I−T0−1(T0−T)}−1T0−1∈

存 在 す る.ゆ え に 開 球  

か ら,Mは

り

す な わ ちT0はMの

開 集 合.ま た

内点 であ る

 よ り

 な らば

任 意 の ε>0に 対 し

ゆえ ゆ えに写 像: 

は連続.   に 対 し ‖ek‖=1か

  は 明 ら か.

  3.

つ

 ゆ え に

  で あ る か ら,

  4. 

1) 

xn={1,1/2,…,1/n,0,…}と

お く と,{xn}はEの

コ ー シ ー 列 で あ る が,E

で 収 束 し な い.

 2)  (ⅰ) Tnの 線形 性 は 明 らか.Eの

元x={ξk}に 対 し  

ゆえ

Tnは 有 界. (ⅱ)  Eの

元x={ξ1,ξ2,…,ξk,0,…}に

 に 対 し

  (ⅲ) は

対 しTnx=0(n>k)ゆ

‖Tn‖=n)(n=1,2,…).ゆ

  5.  1)  D(T+S)の

‖en‖=1よ

り

 (実

え に

 か つ

点 列{xn}が

 とす る.Sの   Tの

性より D(T)=D(T+S)か

つTx=y−Sx,す

  2)  D(TS)の

点 列 で あ り,Sの D(TS)か

え

 か つ

点 列{xn}が

連続 性 よ り

つTSx=y.ゆ

な わ ち(T+S)x=y.ゆ

え にTSは

  Tの 閉 作 用 素.

え にT+Sは

連続

閉 性 よ りx∈ 閉 作 用 素.

 と す る.{sxn}はD(T)の 閉 性 よ りSx∈D(T),す

な わ ちx∈

  6.1) 

{xn}をD(T)の 

コ ー シ ー 列.Eの  

Tの

に 関 す る コ ー シ ー 列 と す る と,{xn},{Txn}はEの

完 備 性 よ りx,y∈Eが

閉 性 よ りx∈D(T)か

 (n→ ∞)と

存 在 して

つTx=y.ゆ

な り,xは{xπ}の 

えに に 関 す る極 限.よ

  2)

っ てD(T)は

完 備.

 よ り明 ら か.

  7.任

意 のx∈Eに

在 して

対 し,D(T=のEに  {xn}はEの

シ ー 列.Fの D(T).す

お け る 稠 密 性 よ り,D(T)の

コ ー シ ー 列 ゆ え,Tの

存

有 界 性 よ り,{Txn}はFの

 が 存 在 す る.よ

完 備 性 よ り,

点 列{xn}が

っ てTの

コー

閉 性 よ り,x∈

な わ ちD(T)=E.

  8.Aを

コ ン パ ク ト とす る と,A=A.A+B⊂A+Bを

と,Aの

点 列{xn}とBの

る か ら,{xn}の

点 列{yn}が

収 束 部 分 列{xnj}が

示 せ ば よ い.z∈A+Bと   Aは

存在 して

す る

コ ン パ ク トで あ

 ゆ え

存 在 して

に

 よ りz−x∈B.よ

っ てz=x+(z−x)∈A+Bと

な り,A+B⊂A+B.   9.A=A,B=Bで   10.任 Eの

あ る か ら,前

意 に 固 定 し たx1∈Eか

点 列{xn}を

m
問 よ りA+B=A+Bと

ら 出 発 し て,順

閉 集 合.

次x2=Tx1,…,xn=Txn−1,…

とお い て

作 る と,

らば

な ん と な れ ば,0<α<1.ゆ

え に{xn}は

存 在 す る.縮 小 作 用 素Tは

連 続 で あ るか ら,

はTの

な り,A+Bは

不 動 点.一

コ ー シ ー 列.Eの

意 性.y0∈EもTy0=y0を

 こ こ で0<α<1で

 が

完備 性 よ り

 と な り,x0

満 た す と す る と,

あ る か ら,x0=y0で

な け れ ば な ら な い.

演 習 問 題4   1.Mは

円 形 凸 で あ る と し,x,y∈M,｜

α=β=0ゆ

え,αx+βy=0∈M.0<｜

α｜+｜β｜ ≦1と す る.｜ α｜+｜β｜=0の と きは,

α｜+｜β｜≦1の

と きは,α,β の 偏 角 を そ れ ぞ れ ξ,η

とす る. 

Mは

ゆ え,eiξx,eiηy∈M.Mは ∈M.よ

っ て(4.3)が

αx+0x∈Mと   2.(4.9)の

く.M⊂M1は

凸 ゆ え,上 式 右 辺 の{  }∈M.再 成 立.逆

な り,Mは

に(4.3)が

円 形.Mが

びMは

成 立 す る と き,x∈M,｜

円形

円 形 ゆ え,αx+βy α｜ ≦1に 対 し,αx=

凸 な こ とは 明 らか.  とお

証 明.

明 ら か.M1が

凸 な こ と を 示 す た め,x,y∈M1,α,β

≧0,α+β=1と

す る.

 と し て よ い.αx+βy=

に お い て, M1は

凸.Mを

 ゆ え,

含 む 任 意 の 凸 集 合M2を

の元 が す べ てM2に

と り,M1⊂M2を

属 す る こ とは 明 らか.

る と 仮 定 す る.M1の

元

 と な り,

示 す.ま

 な る形 のM1の

  を と る.

 ゆ

ずa1x1な

元 が す べ てM2に

元 で あ る か ら,仮

定 よ りM2に

  ゆ え にM1⊂M2.以  (4.10)の

証 明 は 第1問

 3.Mの

た

α+αn+1=1.よ

上 よ り,M1はMの

を 用 い て,(4.9)の

は 明 ら か.α,β>0と

す る.任

x,y∈Mよ

し,αx+βy∈Mを

意 のV∈V(0)に

示 す.α=0ま

対 しW∈V(0)が

 

 

証 明 と 同 様 に,x,y∈Fな

  6.Mの

円 形 凸 包M1の

任 意 の 円 形 凸 な 閉 集 合M2を

∈ Φ な らば

αx∈Fと

ら ばx+y∈Fと

閉 包M1は

方  

と な り,αx+βy∈M.

証 明 と 同 様 に,x∈F,α

補 題4.10の

とき

と 

凸 ゆ えz=α(x+x1)+β(y+y1)∈M.一 よって

題4.9の

た は β=0の

存 在 し てW+W⊂V.

ゆ えに

が 存 在 し てx+x1,y+y1∈M.Mは

凸 性 よ り,

Mの 凸包 の円形包 は

り  

  5.補

っ て,M2の

凸 包.

 

≧0,α+β=1と

 は

え

場 合 と 同 様.

円形 凸包 は

  4.x,y∈M,α,β

はMの

 ゆ

属 す.ま

属す

 と し て よ い.

え

  に お い て, M1の

る形 のM1

な る こ と が 示 さ れ る.

円 形 凸 な 閉 集 合(補

と る と,M1⊂M2.M2は

な る こ と が 示 さ れ る.

題4.9,補

題4.10).Mを

含む

閉 集 合 ゆ え,M1⊂M2.ゆ

え にM1

円 形 凸 閉 包.

  7.pが

半 ノ ル ム の と き,M={x∈E｜p(x)≦1}と

p(x)≦1ゆ

え,p(αx)=｜

β≧0,α+β=1な

な り,Mは

と き はp{x/p(x))=1ゆ

お く.x∈M,｜

α｜ ≦1な

な り,Mは

円 形.x,y∈M,α,

な わ ち αx∈Mと

ら ば,p(x)≦1,p(y)≦1ゆ

す な わ ち αx+βy∈Mと p(x)>1の

α￨p(x)≦1,す

え,p(αx+βy)≦

凸.任

意 のx∈Eを

αp(x)+βp(y)≦

と る.p(x)≦1の

え,x/p(x)∈M,x∈p(x)M.よ

ら ば,

α+β=1,

と き はx∈M. っ てMは

吸 収 的.

他 の 証 明 も 同 様.   8.{pk}が し,xn={ξ(n)k}と

分 離 的 な 半 ノ ル ム の 族 で あ る こ と は 明 ら か.{xn}を(ω)の す る と,各kに m,n≧n0な

つ い て,任 らば

意 の ε>0に

対 しn0が

コー シー列 と

定 まって

 

ゆ え に{ξ(n)k}は

実 数 の コ ー シ ー 列 で あ る か ら,

と,x∈(ω).上

の 不 等 式 でnを

固 定 しm→

  が 存 在 す る.x={ξk}と

お く

∞ と す る と,

な らば ゆ えに

 と な り,(ω)は

完 備.

  9.{pn}が 分 離 的 な 半 ノ ル ム の 族 で あ る こ と は す ぐ分 る.{xm}をC∞(− ∞,∞)の コ ー シ ー 列 とす る と ,各nに つ い て,任 意 の ε>0に 対 しm0が 定 ま っ て,l,m≧m0な らば pn(xl−xm)<ε.よ

って

な らば 従 っ て,t(−

∞
任 意 に 固 定 し,｜t｜ ≦n,k≦nと

つ い て 上 の 不 等 式 を 考 え る と,{xm(k)(t)}は

な るnに

実 数 の コ ー シ ー 列 を な す か ら 収 束 す る.

とお き,上

の 不 等 式 でmを

固定 し

l→ ∞ とす る と, m≧m0な よ っ て 各kに

らば

 

つ い て 連 続 関 数 列{xm(k)}はk≦nと

に 一 様 収 束 す る か ら,x[0]を 1,2,…)と

な る.ゆ

 と な り,  10.  1)⇒2) 

改 め てxと らば

  ゆ え にC∞(−

∞,∞)は

か らEは

つx(k)=x[k](k=0,

完 備.

部 分列{xnj}が

 

収 束 し な か っ た と す る と,

存 在 して  

仮定

を満 たす 円形 集合 か らな る0の 基本近 傍系{Wj}を 改 め て{xn}と

が 存 在 し てn≧njな

か く と,

  で あ る か ら,各j=1,2,…

ら ばxn∈Wj/j.n1
え る と,各k=1,2,…

に つ い て,j≧kな

∈ αkWk(j=1,2,…)と

な る αk>0が

  T(jxnj)が

∞,∞)か

  で あ り,{Txn}は0に

円形近 傍Vと{xn}の

つ.{xnj}を

つ い て ｜t｜ ≦nでx[k]

り成 立.

 2)⇒3)  Eの 点 列{xn}が

Fの0の

お く と,x∈C∞(−

え にm≧m0な

定 理4.24よ

な る任 意 のnに

とVの

と れ る か ら,{jxnj}は

有 界 集 合 で あ る.一

円 形 性 よ り,ど

ん な α>0に

有 界 で な い.よ

近 傍VとEの

こ の と き,

列{jxnj}を

え,Wkの

基 本 近 傍 系{Wn}:W1⊃W2⊃

な い と す る と,Fの0の

に 対 し てnj

ら ばjxnj∈Wj⊂Wkゆ

存 在 す る か ら,{T(jxnj)}は

  3)⇒1)Eの0の

と し て よ い.点

… ⊃Wn⊃

点 列{xn}が

方,

属 さない

不 成 立.

… を と る.Tが0で

存 在 し てxn∈Wnか

  で あ る が,{Txn}は0に

考

円 形 性 よ りjxnj

対 し て も αVに

っ て2)は

も

連 続で

つ 

収 束 し な い か ら,3)は

不 成 立.

演 習 問 題5   1.複 た すE上

素 数 体 の 場 合.定

理5.1の

系4よ

り, 

の 連 続 線 形 汎 関 数f0が 存 在 す る.複

お く と,fはE上

の 連 続 線 形 汎 関 数.fが

を満

素 数f0(x0)の

偏 角 を θ と し,f=e−iθf0と

求 む る も の で あ る.実 際,

f(x0)=e−iθf0(x0)=｜f0(x0)｜ ≧Ref0(x0)>1. 各x∈Mに

対 して 複 素 数f0(x)の 偏 角 を θxと す る と,

な ぜ な ら ば,Mは   2.と

円 形 ゆ えe−iθxx∈M. な るEの

点x0を

f(x0)>1,｜f(x)｜

≦1(x∈F)を

x∈Fな

意 の 自 然 数nに

ら ば,任

と な っ てf(x)=0を

と る.Fは 満 た すE上

円 形 凸 閉 集 合 ゆ え,定 の 連 続 線 形 汎 関 数fが

つ い てnx∈Fゆ

得 る.

え,

理5.1の

系5よ

存 在 す る.こ

り,

の と き,

  3.  2)  FがEで に,定

理5.1の

稠 密 で な け れ ば,閉

系6よ

包FはEの

り,f(x)=0(x∈F)を

閉 線 形 部 分 空 間 か つ .ゆ

満 た すf∈E′

で 

え

と な る もの が存 在

す る.   4.  (E)′ の 任 意 の元x′ のEに

お け る制 限 をx′ とす る と,明 ら か にx′ ∈E′.写 像 

は 線 形 で あ る.任 意 にx′ ∈E′ を と る.EはEで x∈Eに

対 し 

とな るEの

点 列{xn}が

存 在 す る.{xn}は

の 有 界 性 よ り{〈xn,x′〉}もΦ の コー シ ー 列 で あ る か ら 収 束 し,そ

お け る制 限 はx′ と一 致 す る.x′ はE上

の極 限 値 は{xn}の

を 得 る こ とか ら,x′ は 有 界,す

え にTは(E)′

選び

に おいて

線 形 で あ り, 

n→ ∞ と す る と, 

∈(E)′.ゆ

コ ー シ ー 列 ゆ え,x′

に よ っ てx′ を 定 義 す る と,x′ の

方 に よ らず 一 意 で あ る.  Eに

稠 密 で あ る か ら,各

か らE′ の 上 へ の 作 用 素 で あ る.ま

であ り,こ の逆 向 き の 不 等 式 は 明 らか ゆ え, 

な わ ちx′

た 上 の 不 等 式 よ り  とな り,Tは

等 距 離 で あ る.

以 上 よ りE′=(E)′.   5.  V(y1,y2,…,yn;ε)を ynが

前 者 の1次

任 意 に 与 え る.y1,y2,…,ylが1次

結 合 で か け る と す る.k=l+1,l+2,…,nに

と し,  く.こ

独 立 で あ り,yl+1,yl+2,…, つ い て 

と お き, 

とお

の と きV(y1,y2,…,yl;ε/β)⊂V(y1,y2,…,yn;ε)で な ら ば,k=1,2,…,lに

あ る.実

つ い て 

際, 

か つk=l+1,l+2,…,nに

つ い て 

とな

り,x∈V(y1,y2,…,yn;ε).   6. A={x∈E￨〈x,y〉<1},B={x∈E￨〈x,y〉 え,Aの

σ(E,F)‐

任 意 の α<1に ら,x∈Aσ

閉 包 をAσ

≦1}と

と か く と,Aσ

⊂B.任

対 し〈 αx,y〉=α<1ゆえ,αx∈A.α

σ(E,F)‐

意にx∈B∩ACを →1と

閉集 合 ゆ

と る と,〈x,y〉=1.

す る とEで

αx→xで

あ るか

よ っ てAσ=B.

  7.  E′ の 原 点0の

任 意 の σ(E′,E)‐ 近 傍 

に 対 し, 

と お く.α>0と を 考 え る と,W⊂V.実 よ りx′ ∈V.ゆ

  8.  E′ とE″

際,x′

し て よ い.0の

∈Wな

え に,Vは0の

はBの

τ‐ 近 傍 

ら ば  τ‐ 近 傍 で あ る.

の 間 の 双 対 性 を 考 え る と,B0=B′(=E′

B00=B″.ゆえにB″

の 閉 単 位 球),(B′)0=B″

よ り

で あ り,各nに

つ いて

σ(E″,E′)‐ 閉 包 で あ る.

  9.  前 問 の 記 号 と 結 果 を 用 い る と,  nBはnB″

お く.Bは

で σ(E″,E′)‐ 稠 密 ゆえ,EはE″

で σ(E″,E′)‐ 稠 密 とな る.あ

るい はE′ と

E″ の 間 の 双 対 性 に お い てE00={0}0=E″

よ りEはE″

  10.  Eの 局 所 凸 位 相 を τとす る.Eが

τ‐ 可 分 な らば σ(E,E′)‐可 分 な こ とは 明 らか.

逆 にEが

σ(E,E′)‐可 分 で あ る と し,MをEで

ら生 成 され るEの

τ‐ 閉 線 形 部 分 空 間 をFと

で σ(E″,E′)‐ 稠 密 とな る.

σ(E,E′)‐稠 密 な 可 算 集 合 とす る.Mか す る.Mの

は 有 理 複 素 数)を 係 数 とす る1次 結 合 の 全 体 はFで

任 意 有 限 個 の元 の有 理 数(ま

τ‐ 稠 密 な 可 算 集 合 で あ る か ら,F自

た

身 τ‐ 可 分 で あ る.ま M⊂Fよ

りMの

  11.  1)  Kは

たFは

凸,τ‐ 閉 集 合 ゆ え,σ(E,E′)‐ な わ ちE=Fで

コ ン パ ク トな 距 離 空 間 ゆ え,可

分 で あ る か ら,Kで

{x1,x2,…,xm,…}が

存 在 す る.B′

の 任 意 の 点 列{x′n}を

よ り{〈x1,x′n〉}は 有 界 数 列 ゆ え,{x′n}の は 収 束 す る.同

様 に{〈x2,x′1n〉}は

{〈x2,x′2n〉}は 収 束 す る.同 …)が

得 ら れ,各mに

束 す る.い

ま 点 列{x′nn}を

考 え,こ

部 分 列{x′2n}が

れ を 簡 単 の た め{y′n}と 収 束 す る か ら,コ

開 被 覆 で あ る.Kは

コ ン パ ク トで あ る か ら,m0が

対 し 

す な わ ち,l,n≧n0な

n≧n0な

稠密 な こ 存 在 し て 

存 在 して

と れ る か ら,l,n≧n0な

ら ば￨〈x,y′l〉− 〈x,y′n〉￨<3ε(x∈K).ゆ

の 不 等 式 でnを

意 に

〈xm,y′n〉￨<ε  (m=1,2,…,m0).

と な るxm(1≦m≦m0)が

{〈x,y′n〉}は コ ー シ ー 列 で あ る か ら,収

f∈C(K)か

ー シ ー 列 で あ る.任

と お く と,AがKで

ら ば￨〈xm,y′l〉−

収

か く.{y′n}は{x′n}の

つ い て{〈xm,y′n〉}は

l,n≧n0な

これ は,K上

存在 して

算 個 の 点 列{x′mn}(m=1,2,

は コ ー シ ー 列 ゆ え,n0が

を 定 義 す る.上

存 在 し て{〈x1,x′1n〉}

部 分 列 で あ り,{〈xm,x′mn〉}は

与え る. 

と か ら,{Bm}はKの

任 意 のx∈Kに

稠 密 な 可 算 集 合A=

と る. 

有 界 数 列 ゆ え,{x′1n}の

様 の 手 続 き を 繰 り返 す と,可

ら,

あ る.

部 分 列{x′1n}が

つ い て{x′mn}は{x′m−1n}の

部 分 列 で あ り,各mに ε>0を

閉 集 合 で あ る(定理5.7)か

σ(E,E′)‐ 閉 包Mσ=E⊂F,す

らば

え に,各x∈Kに

つ いて

に よ っ てf

束 す る. 

固 定 しl→ ∞ とす る と,

らば￨f(x)−

の 連 続 関 数 列{y′n}がfに

〈x,y′n〉￨≦3ε   (x∈K). 一 様 収 束 す る こ と を 示 す か ら,fはKで

連 続,

つC(K)で

  fがB′

の あ る元 のKに

ト集 合 で あ る.Kか

お け る制 限 に 一 致 す る こ と を 示 せ ば,B′

ら生 成 さ れ るEの

に よ ってfを

線 形 部 分 空 間 をFと

定 義 す る と,fはfの

はC(K)の

コ ンパ ク

す る. 

拡 張 で あ り,{y′n}の

線 形 性 よ り,fはF

上 の 線 形 汎 関 数 で あ る.ま た 

に お い てn→ ∞ と す

る と, 

定 理5.1の

で あ る か ら, 

E′ の 元x′ で,fの

拡 張 で あ り, 

と な る も の が 存 在 す る.明

系2よ

り,

らか に,x′ ∈

B′か つx′ はfの 拡 張 で あ る.  2)  x′∈E′ の 各K∈Kに

お け る制 限 をx′Kで 表 す.直

え る と,写 像 

Mは

同一 視 して, 

お く と, 

とみ な して よ い.MK={x′K￨ 1)よ

コ ンパ ク トで あ る(チ ホ ノ フ の 定 理).そ

ば よい.い

まMの

を考

に よ り,E′τ とT(E′τ)は 線 形 位 相 空 間 と して 同 型

で あ る か ら,x′ と(x′K)を x′∈B′}と

積 位 相 空 間 

元(fK)をB′

り各MKはC(K)で

れ ゆえB′ がMの

コ ン パ ク トゆ え,

閉集合 で あ る ことを示せ

の 任 意 の 集 積 点 とす る.こ の と き,Kの2元K1,K2

が 

な ら ばfK1(x)=fK2(x)(x∈K1∩K2)で

な るx0∈K1∩K2が

あ る.実

存 在 し た と し,ε=￨fK1(x0)−fK2(x0)￨と

際, 

と

お く.(fK)はB′

か つ 

点 ゆ え, 

の集積

を 満 た す よ うな

x′∈B′ が 存 在 す る が,

と な り 不 合 理 で あ る.さ

て 各x∈Eに

る か ら,〈x,x′ 〉=f{x}(x)に 様 に し て,x′

対 し,そ

よ っ てE上

が 線 形 な こ と が 分 る.ま

よ っ て 

と な り,x′

の 点 の み か ら な る 集 合{x}はKに

の 汎 関 数x′ を 定 義 す る と,定 た 各x∈Eに

∈B′.明

理5.9の

つ い てf{x}∈M{x}よ

ら か にx′=(fK)ゆ

属す 証 明 と同

り, 

え,B′

はMの

閉集合 で

あ る.  3)  Eの1次 る と,K∈Kで

あ る が,KはEの

な い か ら,E′ てIは

とな る もの を と

独 立 な 可 算 集 合K={0,x1,x2,…,xn,…}で 

の0の

い か な る 有 限 集 合 の 円 形 凸 σ(E,E′)‐ 閉 包 に も 含 ま れ

τ‐ 近 傍{x′ ∈E′￨pK(x′)≦1}は

σ(E′,E)‐ 近 傍 に な りえ な い.よ

っ

不 連 続.

  4)  M′ は σ(E′,E)‐ 有 界 な ら ば(ノ ル ム)有 界 で あ る か ら,2)よ 従 っ て τ‐ 有 界 で あ る(定

 5)  点列{x′n}が  有 界 で あ る か ら,4)と σ(E′,E)と

な

な ら ば 集 合M′={x′1,x′2,…,x′n,…}は

同 様 にM′

は相対

τ‐コ ン パ ク トで あ る.ゆ

演

習

問

し,xn=ξ(n)1e1+ξ(n)2e2+…+ξ(n)NeNと

と な り,Tは

  2.  定 理6.7よ

り,可

独 立 な 元 と す る.{xn}をEの

点列 と

な らば 

す る. 

ゆえに

ら,  有 界 で あ る.

分 な ノル ム空 間Eの

共 役 空 間E′ の 閉 単 位 球B′ は σ(E′,E)に

関 し て距 離 付 け 可 能 な コン パ ク ト集 合 ゆ え,B′ 8). 

上 で は τ=

題6

元 と し,e1,e2,…,eNをEの1次

で あ る(定 理6.1)か

え にM′

σ(E′,E)‐

が 成 立 す る.

り, 

  1.  EをN次

り相 対 τ‐コ ン パ ク ト,

理4.21).

と 表 さ れ,各nB′

はσ(E′,E)‐

は σ(E′,E)‐可 分 で あ る(演 習 問 題1の 可 分 で あ る か ら,E′

も σ(E′,E)‐ 可 分

で あ る.

  3.  Eが 回 帰 的 な らばEはE′ 可 分 で あ る か ら,定 理6.7よ

の 共 役 空 間 で あ り,Eが

りBは

σ(E,E′)に

可 分 な らば 定 理6.5よ

りE′ は

関 して 距 離 付 け 可 能 な コン パ ク ト集 合

で あ る.   4.  Bの 任 意 の 点 列{xn}を 帰 的 で あ り(定 理6.13),ま

と る.{xn}か

ら生 成 され るEの

た 可 分 で あ るか ら,前

問 よ りF∩Bは

閉 線 形 部 分 空 間Fは

回

σ(F,F′)=σ(E,E′)

に 関 し て 距 離 付 け 可 能 な コ ン パ ク ト集 合 で あ る.ゆえ ク ト(演 習 問 題1の6)ゆ そ れ ゆ え,Bは

  5. 

え,{xn}はF∩Bで

と お く と,{en}はBの 対 し(l∞)の

元y={ηk}を

て 定 め る と,〈enj,y〉=(−1)j(j=1,2,…,)で え にBは

ηnj=(−1)j, 

あ る か ら,{enj}は

な らば 

σ((l1),(l∞))‐ 収 束 し な

で あ る.い

成 立 しな い とす る と,あ る ε>0に 対 し{xn}の {xnj}を

改 め て{xn}と

か く.ま

存 在 し て￨ξ(n1)1￨<ε.xn1∈(l1)よ

り返 す と,{xn}の

部 分 列{xnj}が

ず,k1=1と

りk2(>k1)が

k3(>k2)が

存在 して 

{ηk}を,η1=1と

よ り,xn1が

が

存 在 し て 

以 下,同

様 の手続 き を繰

が 選 べ て,xnj={ξ(nj)k}は 

の と き, 

で あ る.さ 対 し て は 

定 め る.こ

が

存 在 して 

存 在 し て 

し,kj
の と き ηk=0と

し,

ま 

す る. 

部 分 列{xnj}とk1
の と き,各jに

て(l∞)の

元y=

の と き 

つ いて

に 反 し 不 合 理 で あ る.

と な っ て,    6.  1)  任 意 に ε>0を

与 え,Eの2元x,yが 

稠 密 で あ る か ら,Eの

か つ 

存 在 し てn≧n0な

よ り,定 義6.1の

の と き 

と る と, 

ゆ え にEは の 商 写 像 を π と す る.任

か つ 

と す る.α>1な

任 意 のrに

対 し π(x)=u, 

すy∈Eが

存 在 す る. 

であ るか Eの 一様 凸 性

∞ とす る と 

 

お よび

らば 

意 味 で ε/2に 対 応 す る δ>0を

らE/Fへ

とす

点 列{xn}と{yn}を 

 を 満 た す よ うに 選 べ る.こ

  2)  Eか

に よっ

を 示 せ ば よ い.xn={ξ(n)k}と

 と す る と, 

こ でn→

点 列 で あ る.{en}

σ((l1),(l∞))‐ 点 列 コ ン パ ク トで な い.

  2) 

ら,n0が

含 む.

σ(E,E′)‐ 点 列 コ ン パ ク トで あ る.

の 任 意 の 部 分 列{enj}に

る.EはEで

σ(E,E′)‐ 点 列 コ ン パ

σ(E,E′)‐ 収 束 す る 部 分 列{xnj}を

1) 

い.ゆ

にF∩Bは

こ

一 様 に 凸 で あ る.

意 に ε>0を る α を1つ

を 満 た すx∈Eと

与 え,E/Fの2元u,υ

が

と る.0<γ<α−1な

π(y)=υ, 

で あ る か ら,x/(1+r),y/(1+r)を

る を満 た 考 え

る と,  Eの

一様 凸 性 よ り,定

義6.1の

意 味 で ε/αに 対 応 す る δ>0を

ゆ え に .こ r→0と

す る と, 

  7.  1)  F⊥ ⊂F0は

よ っ てE/Fは 明 ら か.逆

にx′ ∈F0と

と る と, こで

一 様 に 凸 で あ る. す る.FはEの

線 形 部 分 空 間 ゆ え,x∈

Fな

ら ば 任 意 の 自 然 数nに

つ い てnx∈Fで

よ り,〈x,x′ 〉=0と

な っ て,x′

あ る か ら,￨〈nx,x′ ∈F⊥.ゆ

〉￨≦1, 

え にF0⊂F⊥.

  2)  も 同 様.   8.  任 意 の  形 汎 関 数 で あ り,シ

に 対 し(6.34)に ュ バ ル ツ の 不 等 式 よ り,す

が 成 立 す る か ら,f∈(ΦN)′   逆 に 任 意 のf∈(ΦN)′ に 対 し

よ っ て 定 義 さ れ るfは

べ て の 

ΦN上

の線

につ いて

か つ を と り,e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,eN=(0,…,0,1)

〈ek,f〉=ηk(k=1,2,…,N)と

お き 

を 考 え る と,任

 に対 し   を 示 す.y=0と

うに ξk(k=1,2,…,N)を

と な り,(6.34)が

き は 明 ら か ゆ え, 

とす る.￨ξk￨=￨ηk￨, 

定 め 

とす る と.シ

意 の

成 立 す る. とな る よ

ュバ ル ツ の 不 等 式

(等 号 の成 立 す る場 合)よ り

 で あ る か ら   以 上 よ り対 応 

は ΦNか ら(ΦN)′ の 上 へ の等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.

  9.  任 意 のy={ηk}k=0,1,2,… ∈(l1)に 対 し(*)に 汎 関 数 で あ り,す べ て のx={ξk}k=1,2,…∈(c)に

よ っ て 定 義 され るfは(c)上

の線形

つ いて

が 成 立 す るか ら,f∈(c)′ か つ  は い ず れ も(c)に よ り,(c)に さ れ る.任

意 のf∈(c)′

に 対 し

属 す.任

意 の 

と表

お い て 

〈e,f〉=η,〈ek,f〉=ηk(k=1,2,…)と

お

く と,

 (**)

 (の

と き),ξk=0(ηk=0の

を 考 え る と,xn∈(c)か

つ 

く と,y={ηk}k=0,1,2,…

 

∈(l1)か

を 示 す.y={ηk}k=0,1,2,…

と き)と

お き, 

で あ る か ら,(*)よ

で あ る か ら,(**)よ

ゆ え に 

n→ ∞ と す る と  とお

と お き, 

と き)

つ(**)よ に 対 し 

り(*)が

も収 束 す るか ら,  成 立 す る. (  を 考え

り

り 

の と き),ξk=0(ηk=0の る と,xn∈(c)か

つ 

n→ ∞ と す る と

 以 上 よ り対 応 

は(l1)か

ら(c)′ の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.

演 習 問 題7  1.Eに

お い て3角 形 の 中 線 定 理 が 成 立 す る こ とを 示 せ ば よ い.Eの

に 対 し てEの

点 列{xn},{yn}が

存 在 し て 

任 意 の2元x,y

Eで

は3角

形 の中線 定

n→ ∞ とす れ ば

理 が 成 立 して い るか ら,   を 得 る.  2.左

辺

 3.定

理7.13に

よ る.ξn=(x,en),ηn=(y,en)と

お く.{en}が

完 備 な ら ば 

で あ るか ら,内 積 の 連 続 性 よ り

逆 に 任 意 のx,yに ら,{en}は

対 し 

と な るか

完 備 で あ る.

  4.(7.38)の   (7.40)の

対 し 上 の 条 件 が 成 立 す る と き,x=yに

証 明.0∈E⊥

は 明 ら か.逆

証 明.0∈M∩M⊥

にx∈E⊥

は 明 ら か.逆

と す る と,(x,x)=0よ

にx∈M∩M⊥

りx=0.

と す る と,(x,x)=0よ

り

x=0.  (7.41)の

証 明.x,y∈M⊥,α,β

よ り,αx+βy∈M⊥.ゆえ

∈ Φ に 対 し,す

にM⊥

はEの

 とな るM⊥ の 点 列{xn}が つ い て    5.1) 

Eか

らE/Fへ

とれ る が,内

を 満 た すx∈Eと

を と る.任

π(y)=υ, 

の 集 積 点 と す る と,

積 の連 続 性 よ り,す べ て のy∈Mに え にM⊥

は 閉 集 合.

の 商 写 像 を π とす る.E/Fで3角

任 意 の2元u,υ

つ いて

線 形 部 分 空 間.xをM⊥

と な り,x∈M⊥.ゆ

とを 示 す.E/Fの

べ て のz∈Mに

形 の 中線 定理 が成立 す る こ

意 の ε>0に 対 し π(x)=u, 

を 満 た すy∈Eが

存 在 す る.Eで

は3角

形 の中

線 定 理 が 成 立 す る か ら,

 と す る と, 

逆 向 きの不 等式 

は,u1=u+υ,υ1=u−υ

とお く と前 半 の 不 等 式 に 帰 着 され るか ら,す で

に 成 立 し て い る.   2)  Eが PF⊥xと

ヒ ル ベ ル ト空 間 な ら ばE/Fも

一 意 に 分 解 さ れ(定 理7.18),条

る か ら,π(x)∈E/FにPF⊥x∈F⊥

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.Eの 件x1−x2∈Fと

条 件PF⊥x1=PF⊥x

を 対 応 さ せ る 作 用 素Tが

らF⊥ の 上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る こ とが 容 易 に 分 る.ま た 

元xはx=PFx+ 2は 同 値 で あ

定 義 さ れ る.TはE/Fか

よ り,Tは

等 距 離 で あ る.

 6.{yn}は

  7.任

σ(E,E′)‐ 有 界 ゆ え(ノ

意 のx∈Eに

ル ム)有 界 で あ る(定 理5.13)か

ら,

が 成 立 す る か ら, 

対 し 

ゆえ

に  

な らばem⊥enで

あ るか ら, 

ゆ え に{en}は

収束 し

は コ ー シ ー 列 で あ る か ら,m≦nと

して

な い. が 収 束 す る と き, 

  8.1)⇒2) 

は 収 束 す る.

よ り, 

  2)⇒3) 

と お く とfn∈E′(n=1,2,…).2)を

仮 定 す る と,各y∈Eに

が 存 在 す るか ら,{‖fn‖}は

つ い て 

3.9). 

でn→

  3)⇒1) 

の と き,m≦nと

は コ ー シ ー 列.Eは

よ り, 

と し て3)を

合{α1,α2,…,αk…}をAと

は 収 束 す る.

習

問

題8

す る.(l2)の

元x={ξk}に

の と き λ=αkと す る と,(l2)の に 対 しTλx=0と

な り,Tλ−1は 存 在 し な い か ら,λ ∈ σp(T).λ

ゆ え,数 な け れ ば,あ

列{(λ−

る δ>0に

対 し￨λ− αk￨>δ(k=1,2,…)ゆ な り,λ ∈ ρ(T).λ

ら ば  ∈ACがAの

対 し,‖yn‖=1(n=1,2,…)か

αk)−1}が 有 界 な こ と か

集 積 点 な ら ば{αk}の

ゆ え,Tλ−1は

つ 

意 のy={ηk}∈(l2)を

と る と,任

意 の ε>0に

対 し 

上 を ま と め る と,ρ(T)=(Aの 全 体),σr(T)=φ,σp(T)=A. な らば

非

と な るk0

に よ っ て定 め と な り,D(Tλ−1)は(l2)で

る と, 

  2.  {x′,y′}∈G(T)⊥

部 分列

に

が存 在 し,x={ξk}∈(l2)を, 

λ∈ACの

集積 点で

D(Tλ−1)の 元 

{αkn}が 存 在 して 

た,任

∈ACな

え,{(λ−

∈ACがAの

対 し 

元 

αk)−1}に 対 応 す るTλ−1が 存 在 す る.λ

ら,Tλ−1∈L((l2),(l2))と

有 界.ま

得 る.

して

完 備 で あ る か ら, 

演   1.集

∞

有 界 で あ る(定 理

集 積 点 で な い λ∈ACの

稠 密.よ 全 体),σc(T)=(Aの

っ て λ∈ σc(T).以 集積点 であ る

0=〈{x,Tx},{x′,y′}〉=〈x,x′ よ り,y′ ∈D(T′)か

つT′y′=−x′

〉+〈Tx,y′ 〉  

(x∈D(T))

を 得 る か ら,{x′,y′}={−T′y′,y′}∈VG(T′).逆

も

同 様.   3.  T′:F→Eが

確 定 す る こ と とT′

∈E￨￨〈xk,x′〉￨≦1(k=1,2,…,n)}に ≦1(k=1,2,…,n)}を ∈V.ゆえ

の 線 形 性 は 容 易.Eσ

対 し,Fσ

と る と,y′ ∈Wな

の0の

の0の

任 意 の 近 傍V={x′

近 傍W={y′

∈F￨￨〈Txk,y′

ら ば￨〈xk,T′y′ 〉￨=￨〈Txk,y′〉￨≦1よ

り,T′y′

にT′ ∈L(Fσ,Eσ).

  4.  TがEか

らFの

とT(E)=Fよ

上 へ の 等 距 離 作 用 素 と す る と,T′

Tx=yと

∈L(F′,E′). 

り,y′ ∈F′ に 対 し

T−1∈L(F,E),(T−1)′

∈L(E′,F′)に

注 意 す る.任

意 のx′ ∈E′に 対 し,x∈Eに

つい て

おく と, 〈x,x′ 〉=〈T−1y,x′

〉=〈y,(T−1}′x′〉=〈Tx,(T−1)′x′

y′=(Y−1)′x′∈F′ と お く と,上 式 はT′y′=x′ を 示 す.以 の 等 距 離 作 用 素 で あ る.((T−1)′=(T′)−1に

注 意).逆

T(E)も

完 備 で あ る.一 方,定

T(E)=Fで

〉.

上 よ りT′ はF′ か らE′ の 上 へ

にT′ がF′ か らE′ の 上 へ の 等 距

離 作 用 素 とす る と,前 半 と 同様 に 

が い え る.Eは

理8.6の

系2よ

り,T(E)は

な け れ ば な らな い.以 上 よ りTはEか

らFの

完 備 で あ るか ら,

完 備 なFで

稠 密 で あ るか ら,

上 へ の 等 距 離 作 用 素 で あ る.

  5.  ノル ム空 間 で は コ ン パ ク ト性 と点 列 コ ンパ ク ト性 は 同 値 な 概 念 で あ る.必 明 らか.十

分 性 を 示 す た め,補 題 に 述 べ られ た 条 件 を 仮 定 す る.MをEの

合 と し,T(M)が

点 列 コ ンパ ク トで あ る こ と を い え ば よ い.T(M)の

を と る と,‖yn−Txn‖<1/n(n=1,2,…)を

満 た すMの

 と お く とy∈T(M)で

あ る.{yn}の

ゆ え にT(M)は

よ り, 

  6.  TはR(T)=Fな

在 し てrBF⊂T(BE)(BFはFの

開 単 位 球).一

対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,BFも

ら,Eの

うな 部 分 列{xn′}が

方,Tは

完 全 連 続 ゆえT(BE)はFの

相 対 コ ン パ ク ト.従

開単 位球

っ てFの

存 相

任意 の有 界集合 は相

閉 単 位 球 は σ(E,E′)‐ 点 列 コ ン パ ク トで あ る(演 習 問 題

任 意 の 有 界 点 列{xn}に

選 べ る.(8.24)が

が存在 す る よ

対 し, 

ゆ えにTは

成 立 す れ ば 

続 で あ る.   8.  1)  T∈L(E,(l1)に

ら,Eの

内 点 で あ る か ら,r>0が

有 限 次 元(定 理8.9).

  7.  回 帰 的 な バ ナ ッ ハ 空 間Eの 6の4)か

選 べ る.

考 え る と,

写 像 で あ る(定 理3.19)か

開 集 合 で あ る.Fの0はT(BE)の

対 コ ン パ ク トで あ る か ら,Fは

存 在 す る.{xn}

点列 コ ン パ ク ト.

る 閉 作 用 素 ゆ え,開

像T(BE)はFの

任意 の有 界集

部 分 列{xn′}が

部 分 列{yn′}を

要性は

任 意 の 点 列{yn}

点 列{xn}が

は 有 界 で あ るか ら,仮 定 よ り{Txn′}が 収 束 す る よ うな{xn}の

BEの

〉￨

対 し(8.25)よ

り,Eの

点 列{xn}が 

完全連

従 っ て 

な ら ば σ((l1),  (8.24)が

成 立 す る.Eは

  2)  T∈L((c0),F)に

え にTも

  9.  {αk}が0に

問 よ りTは あ り,F′

な る か ら,

完 全 連 続. は 回 帰 的 で あ る か ら,1)よ

完 全 連 続(定 理8.17).

収 束 し な け れ ば,あ

部 分 列{αk′}が

は(l2)の

回 帰 的 で あ る か ら,前 対 しT′ ∈L(F′,(l1))で

りT′ は 完 全 連 続.ゆ

{αk}の

(演 習 問 題6の5)と

る ε>0に

対 し て￨αk′￨>ε(k=1,2,…)と

と お く と,{ek′}

存 在 す る. 

有 界 点 列 で あ る.一

な る

方,Tek′={0,…,0,αk′,0,…}よ

で あ る か ら,{Tek′}は

り, 

な ら ば 

収 束 部 分 列 を 含 ま な い.よ

っ てTは

完 全 連 続 で な い.   10.  Eの

閉 単 位 球 をBと

トゆえ,各n=1,2,…

す る と,Tの

に つ い てFの

完 全 連 続 性 よ り,T(B)はFで

有 限 集 合Anが

だ しB(y,1/n)={z∈F￨‖y−z‖<1/n}.Anか し,Fか

らFnへ

はL(E,F)に

す る.‖Pn‖=1で

属 し有 限 階 数 で あ る. 

<ε と な るn0を

と る.n≧n0と

ゆ え にn≧n0な

らば

た

ら 生 成 さ れ るFの

の 射 影 作 用 素 をPnと

線 形 部 分 空 間 をFnと

あ る.Tn=PnTと

を示 す.任

す る.各x∈Bに

相 対 コ ンパ ク

存 在 し て 

対 しy∈Anが

お く と,Tn

意 の ε>0に

対 し2/n0

存 在 し て‖Tx−y‖<1/n.

演 習 問 題9  1.  1) Ω0で 連 続 なf(x)に す も の と し,L2(Ω)の

し 

対 し,C(Ω)の

関 数列{fn},{gn}が

とす る.い

ノ ル ム の 意 味 で  と お く.hn(x)=fn(x)−gn(x)と

{hn}は

コ ー シ ー 列 ゆ えn0が

と な る0<δ<1を n→ ∞ と す る と,左 辺 第2項

→0で

存 在 しn≧n0な

題 意 の 条 件 を満た ま 

お く と,L2(Ω)で  ら ば‖hn−hn0‖L2
にお いて

と る.  辺 →‖f−g‖2L2,ま

あ る か ら,右

と仮 定

辺 第1項

た{fn},{gn}のfへ →‖f−g‖2L2.ゆ

の 広 義 一 様 収 束 性 よ り,右 え に 十 分 大 な るn(≧n0)に

対 し

 よ っ て

と な り不 合 理.  2)  広 義 積 分  −N/2で

あ る.こ

が収束 す るため の必要十 分 条件 は α> の こ とか ら

,α>−N/2な

ら ば,fn(x)を￨x￨<1/nで1/nα,1/n≦￨x￨

≦1で￨x￨α L2(Ω)で

と定 め る と,{fn}は1)の あ る.α ≦−N/2な

らば,1)の

条 件 を 満 た すC(Ω)の

関 数 列 とな り,￨x￨α ∈

条 件 を 満 た すC(Ω)の

関数 列 は選べ な い こ と

が い え る.   2.  1) Ω0でl回

連 続 偏 微 分 可 能 なf(x)に

対 し,Cl(Ω)の

意 の 条 件 を 満 た す も の と し,Hl(Ω)で  よ り,￨k￨≦lな   前 問1)よ

関 数 列{fn},{gn}が

と す る.こ

る各kに

りDkf=Dkgゆ

同様 に

え, 

で あ る.

が収束 す る ため の

必 要 十 分 条 件 は α>l−N/2で

あ る.α>l−N/2の

と き,fn(x)を￨x￨<1/nで0,

と 定 め る.(9.10)の{φm}を

(n,m=1,2,…).fnは￨x￨=1/nで る 際 に￨x￨<2/nで

の と き 

つ い てL2(Ω)で 

 2)  広 義 積 分 

￨x￨≧1/nで￨x￨α

題

用 い る と,fn*φm∈C∞(RN)⊂Cl(Ω)

偏 微 分 不 可 能 で あ る が,Dk(fn*φm)(￨k￨≦l)を

はfn*Dkφm,￨x￨≧2/nで

の 部 分 列{fnj*φmj}で1)の で あ る.α ≦l−N/2の

はDkfn*φmを

考 え

用 い る こ と に よ り,{fn*φm}

条 件 を 満 た す も の を 選 ぶ こ と が で き る か ら,￨x￨α と き は1)の

条 件 を 満 た すCl(Ω)の

∈Hl(Ω)

関 数 列 は 選 べ な い こ とが い え

る.

演

習

  1.定 理10.4よ り−Δυ+λυ=0,υ − Δw+λw=f ,w∈H10(Ω)の 弱 解wが   2.1) 

任 意 のf,g∈C0(Ω)に

問

題10

∈ φ+H10(Ω)の

弱 解υ

存 在 す る.u=υ+wが

が 存 在 し,定

理10.5よ

り

求 む る も の で あ る.

対 し

す なわ ち   (*) f∈L2(Ω)に

対 しL2(Ω)で 

の コ ー シ ー 列 ゆ え,(*)よ   2)  (*)は f∈L2(Ω)に− §10.2の

と な る{fn}をC0(Ω)か り{F(fn)}はL2(Ω)の

極 限 移 行 に よ り,任

え る と き,任

コ ー シ ー 列 と な る か ら,収

意 のf,g∈L2(Ω)に

Δu+λu=F(f),u∈H10(Ω)の

記 号 Δ0を 用 い る と,Tf=u=(− 意 のf,g∈L2(Ω)に

ゆ え に λ>α な ら ばTは

ら と る と,{fn}はL2(Ω)

対 し て も 成 立 す る こ と に 注 意 す る. 弱 解uを

対 応 さ せ てTf=uと

Δ0+λI)−1F(f).T:L2(Ω)→L2(Ω)と

対 し(10.36)よ

束 す る.

お く. 考

り

縮 小 作 用 素 で あ るか ら,不 動 点u0(Tu0=u0)が

一 意 に 存 在 す る.

参

考

書

  関 数 解 析に 関 す る標 準 的 な 著 作 の 中 で世 界 的 に 定 評 の あ る も の と し て,第  [1] 

K.Yosida:Functional

が 挙 げ られ る.こ 本 書 は[1]へ

一に

Analysis,Springer

れ は 高 度 な 豊 富 な 内 容 を もつ だ け に,読 む の に 労 力 を 要 す る で あ ろ う.

の 最 も易 しい 入 門 を 意 図 し た も の で あ る.本

書 の 準 備 中 に[1]の

よう

な 方 向性 を も った 関 数 解 析 の 好 著 が い くつ か 現 れ た.   [2] 

田辺 広 城:関

  [3] 

藤田

  [4] 

伊 藤 清 三:関

数 解 析 上,下,実

宏 ・黒 田成 俊:関

教 出版

数 解 析Ⅰ,Ⅱ(岩 波 講 座 基 礎 数 学),岩

数 解 析Ⅲ(岩 波 講 座 基 礎 数 学),岩

  [5]  黒 田 成 俊:関

数 解 析(共 立 数 学 講 座15),共

  [6]  村 上 温 夫:関

数 解 析(理 工 系 基 礎 の数 学8),朝

波書店

波 書店

立 出版 倉 書店

こ れ ら よ り出 版 を さ か の ぼ っ て 広 くお 奨 め した い 著 作 と して   [7]  吉 田 耕 作(河 田 ・岩 村):位

相 解 析 の基 礎,岩

波 書店

  [8]  吉 田 耕 作 ・伊 藤 清 三:函

数 解 析 と微 分 方 程 式(現 代 数 学 演 習 叢 書4),岩

  [9]  W.Rudin:Functional

Analysis,TMH

  [10]  宮 寺

工学 社

功:関

な どが あ る.[1]∼[9]は 成 り程 度 が 高 い.[10]は

数 解 析,理

Edition

本 書 に 引 き続 い て読 む の に 適 す る と思 わ れ るが,[8]は 題 材 が 少 し異 な るが,本

波書店

書 と同 程 度 で あ る.な

可

お,関 数 解 析 の

テ キ ス トで は な い が,   [11]  高 木 貞 治:解

析 概 論,岩

波 書店

は 格 調 の 高 い 解 析 学 の 名 著 で あ り,本 書 の 中 で 二,三 て い る.

の 基 本 的 な 定 理 を これ か ら引 用 し

記

号

表

索

引

加 ア

行

ア ス コ リ ・ア ル ツ ェ ラの 定 理   95

位

法 9

完 全 連 続   143 完

備(距

離 空 間)  6

完

備(正

規 直 交 系)  121

完備 化 7

相  1

完 備 正 規 直 交 系   121

位 相 空間  1 1次 結 合   10 1次 従 属   10

基 本 近 傍 系  1

1次 独 立   10

逆 作 用 素   14

1対1  3 一 様 に 凸   100

逆 写 像 3

一様 有 界 性 の 定 理   41

急 減 少 数 列 空 間   69

逆

像 3

吸 収 的   55 上へ の写像  3

級

数   38

境

界 2

エ ル ミー ト行 列   152

境 界点 2

円 形 集 合   55

共 役 空 間   80

円 形 凸 集 合   55

共 役 作 用 素  150

円 形 凸 閉 包   60

極

円 形 凸 包   56

極 集 合   86

円 形 包   56

局 所 凸 位 相   64

限 4

局 所 凸 線 形 位 相 空 間   64 力 開

行

核  2

極 大 元   11 距

離 5

回 帰 的   93

距 離 空 間  5

開

距 離 付 け 可 能  67

球  5

開近傍  5

近

傍  1

開 写 像   50

近 傍系  1

開 写 像 定 理   50 開集合  2 外

グ ラ フ  44

点  2

開 被 覆  4

広 義 の偏 導 関 数   168

可 逆 定 理   140

合 成 積   161

拡

張(線 形 作 用 素 の)  47

可

分  3

恒 等 作 用 素   37 コ ー シ ー列   6

固 有 関 数   135

制

固 有 空 間   135

生 成 され る 線 形 部 分 空 間  10

固 有 値   135

生 成 さ れ る 閉 線 形 部 分 空 間  98

固 有 ベ ク トル   135 コ ン パ ク ト(空 間)  4

正 則 化   162 正

限(線 形 作 用 素 の)  47

値   187

コ ンパ ク ト(作用 素)  143

整 列 可 能 定 理   11

コ ン パ ク ト集 合   4

絶 対 凸 集 合   55 零 空 間   14

サ

行

零 作 用 素   35

最 小 閉 拡 張   47

線 形 位 相   56

3角 多 項 式   128

線 形 位 相 空 間  56

3角 不 等 式   5,16

線形演 算 9

3角 形 の 中 線 定 理   118

線形空 間 9 線 形 作 用 素   14

次

元(ヒ ル ベ ル ト空 間 の)  124

線 形 順 序 集 合   11

自己 共 役 作 用 素  152

線 形 汎 関 数   14

射

線 形 部 分 空 間   10

影   132

射 影 作 用 素  132

全 順 序 集 合   11

弱 位 相   83

選 択 関 数   88

弱

前 ヒ ル ベ ル ト空 間   116

解  183,185

弱 コ ンパ クト  84 写

全 有 界   193

像 3

集 積点 2

疎  8

収

像  3

束   4,38

縮 小 作 用 素   54 シ ュバ ル ツの 不 等 式   19,22,26,116

相 似 変 換   57

順

相対 位相  3

序   11

双 線 形 汎 関 数  82

順 序 集 合   11

相 対 コ ン パ ク ト集 合   4

上

双対 作 用 素   137

界   11

商 空 間   103

双 対 を な す   82

商 写 像   103

疎 集 合  8

商 ノル ム   104

ソボ レ フ空 間   166

剰 余 ス ペ ク トル  135

ソボ レ フ の 補 助 定 理   175

振 動 の 方 程 式   177 タ ス カ ラ ー乗 法   9

台  25,160

ス ペ ク トル   135

第1可

算 公 理  5

ス ペ ク トル 半 径   136

第1類

集合  8

代 数 的 基 底   10 正 規 直 交 系   121

代 数 的 次 元   13

行

役 空 間   92

同

型(ノ ル ム空 間 と して)  92

第2極

集 合   86

同

型(ヒ ル ベ ル ト空 間 と して)  127

第2類

集合  8

同

相  3

第2共

同相 写像  3 値

域   37

同

値(ノ

チ ホ ノフ の 定 理   88

凸 集 合   55

稠

凸

密  2

ル ム)  52

包   56

重 複 度   155 ナ

超 平 面   113 調 和 関 数   176

内

直 積 位 相   56,88

内 積 空 間   116

直 積 位 相 空 間   56,88

内

行

積   116 点  2

直 積 集 合   43,88 直 積 ノル ム空 間   43

ノ イマ ン 級 数  38

直

ノル ム  16

和   132

直 和 分 解 定 理   131

ノル ム(線 形 作 用 素 の)  35

直

ノル ム空 間   16

交   121

直 交 系   121 ハ

直 交 射 影   132 ―の 方 法   184 直 交 補 空 間   129 ツ ェル メ ロの 選 択 公 理   11,88 ツ ォル ン の 補 題   11 強

い(位 相)  4

強

い(ノ ル ム)  52

行

ハ ウス ドル フ空 間   3 パ ー セ バ ル の等 式   125 波 動 方 程 式   178 バ ナ ッハ ・ア ラオ グル の 定 理  90 バ ナ ッハ 空 間   17 バ ナ ッハ ・シ ュ タ イ ン ハ ウ ス の 定 理   42 張 られ る線 形 部 分 空 間   10

定 義 域   37

汎 弱 位 相   87

デ ィ リク レ境 界 条 件  180

反 線 形   133

デ ィ リク レ積 分   176

半 ノ ル ム  61 ハ ー ン ・バ ナ ッハ の 定 理   74 ,76

デ ィ リク レの 原 理   176,184 デ ィ リク レ問 題   176 点   1,9

比 較 可 能   52

点 ス ペ ク トル   135

ピ タ ゴ ラス の定 理   121

点

被 覆  4 ヒル ベ ル ト空 間   119

列 4

点 列 コ ン パ ク ト  4 点 列 コ ン パ ク ト集 合  5

フ ェ イエ ー ル の定 理   128 等 距 離   7,92

複 素 ユ ー ク リ ッ ド空 間   20

同

型(距 離 空 間 と して)  7

不 動 点   54

同

型(線 形 空 間 と し て)  15

不 動 点 定 理  54

部 分位 相空 間 3 ヤ

部 分空 間 3

行

部 分 和   38

有

界(集 合)  17,70

フ ー リエ 級 数  124

有

界(線 形 作 用 素)  33

フ ー リエ 係 数   124

有 限 階 数   145

フ レ ッシェ 空 間   68

有 限交 叉性 4

分 離公理  3

有 限 次 元   13

分 離 的(線 形 位 相)  60

有 限被覆  4 ユ ー ク リ ッ ド空 間   20

分 離 的(半

ノル ム の 族)  65

閉 拡 張 可 能   47,180

弱

い(位 相)  4

閉

弱

い(ノ ル ム)  52

球 5

弱 い 拡 張   181

閉近傍  5 閉 グ ラ フ定 理   53

ラ

平 行 移 動   57 平 行 移 動 に 関 して 不 変 な 距 離   16

行

ラ プ ラ シ ア ン   176

閉 作 用 素   44

ラ プ ラ ス 作 用 素   176

閉 集合  2

ラ プ ラ ス 方 程 式   176

閉 線 形 作 用 素   44 閉 包  2 ベ ク トル  9

リース の 表 現 定 理   132 リプ シッ ツ連 続   191

ベ ク トル 空 間   9 ベ ッセ ル の 不 等 式   122

ル ベ ー グ数   193

ベ ー ル の 定 理  8

ル ベ ー グ積 分   25

ヘ ル ダー の 不 等 式   22,26,27 レ ゾル ベ ン ト  135 ポ ア ソ ン方 程 式   180,185

レ ゾル ベ ン ト集 合   135

ボ ルツア ノ ・ワイエ ル シ ュ トラ ス の 定 理

劣 加 法 的   61

  143

連 マ

行

続  3

連 続 ス ペ ク トル  135 連 続 体 仮 説   124

埋 蔵   168 マ ズ ー ル の 定 理   79,80

ワ

行

ミン コ ウ ス キ ー の 不 等 式   22,26,28

和(級 数 の)  38 ワイエ ル シ ュ トラ ス の 多 項 式 近 似 定 理

ミン コ ウ ス キ ー汎 関 数   62

  31 ワイ ル の 補 題   188

著者 略歴 高村 多賀子 1930年  東京 に生 れる 1955年  東京都立大学理 学部卒 業 現

在  東京女子大学 名誉教 授 ・理 学博 士

基礎数学シリーズ19 関 数 解 析 入 門 1984年4月20日 2004年12月1日 

定価 は カバー に表示

 初 版 第1刷 復 刊 第1刷

著 者 高

村

発行者 朝

多

賀

倉

発行所  株式 会社  朝

邦

倉

子 造

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵便 番号  電

話 

FAX 

〈検 印 省 略 〉 C1984 〈 無断複 写 ・転載 を禁 ず〉 ISBN  4‐254‐11719‐1  C3341

162‐8707 03(3260)0141 03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp 中 央 印 刷 ・渡 辺 製 本 Printed

in

Japan