Основы теории цепей. (Двухполюсники, четырехполюсники, длинные линии): Методические указания к выполнению лабораторных работ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра радиотехники ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ (ДВУХПОЛЮСНИКИ, ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ, ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Факультет радиоэлектроники Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста: 654200 – радиотехника 200700 – радиотехника Направление подготовки бакалавра 552500 – радиотехника

Санкт-Петербург 2005

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.3 (075) Основы теории цепей. (Двухполюсники, четырёхполюсники, длинные линии): Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб.: СЗТУ, 2005. – 59 с. Методические указания содержат описание пяти лабораторных работ, порядок их выполнения и задания по расчёту и эксперименту. Данные методические указания соответствуют государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 654200 (специальность 200700 – “Радиотехника”) и направлению подготовки бакалавра 552500. Рассмотрено на заседании кафедры радиотехники 10 марта 2005 г.; одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники 16 мая 2005 г. Рецензенты: кафедра радиотехники СЗТУ (Л.А. Тупицын, ст. преп.); Н.А. Есепкина, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры радиофизики СПГТУ). Составители: И.И. Мегрецкая, канд. техн. наук, доц.; Д.А. Дравских, канд. техн. наук, доц.

© Мегрецкая И.И., Дравских Д.А. © Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2005 2

ПРЕДИСЛОВИЕ Цель лабораторного практикума – закрепление основных теоретических положений дисциплины “Основы теории цепей”, приобретение навыков в экспериментальной работе радиоинженера и оценка применимости отдельных положений теории, сопоставление их с результатами эксперимента. С целью развития творческих способностей студентов ряд лабораторных работ (7, 8, 9, 11) может выполняться в рамках учебно-научной исследовательской работы (УНИРС) и требует от студентов самостоятельного научного поиска условий оптимизации характеристик и параметров схем. Для проведения лабораторных работ используются современные вычислительные средства. Работы могут быть выполнены не только на реальном лабораторном оборудовании, но и виртуально в электронной лаборатории, например [1]. В последнем случае в качестве милливольтметра, генератора сигналов, осциллографа, частотомера и фазометра используются виртуальные контрольно-измерительные приборы: мультиметр, функциональный генератор, осциллограф, измеритель АХЧ и ФХЧ. Перед выполнением лабораторных работ студент должен усвоить основные теоретические положения и понять физические явления в рассматриваемых радиотехнических цепях. До начала работы каждый студент должен изучить инструкцию по технике безопасности № 134, ознакомиться с безопасными условиями работы в лаборатории ОТЦ, сведения о которых приведены ниже, и расписаться в журнале учёта проведения инструктажа. В лабораторных работах по дисциплине ОТЦ студенты осуществляют однократные измерения, при этом их выполнение и запись должны быть проведены в соответствии с метрологическими требованиями. Метрологические характеристики измерительных средств должны содержать диапазон измерения и класс точности прибора (ГОСТ 8.401 – 80). На основании этих данных студенты определяют основную абсолютную погрешность измерения (ГОСТ 8.207 – 76) как предел допустимой абсолютной погрешности измерительного прибора. Δ = δпр Апр / 100 , где δпр – класс точности; Апр – предельное значение шкалы прибора. Результаты измерений должны записываться в соответствующих графах таблиц в форме А±Δ, где А – результат измерения.

3

Во избежание грубых погрешностей (промахов) даже при измерениях с однократным наблюдением рекомендуется выполнять 3…5 наблюдений без последующей обработки их результатов.

1

2

4

3

Все лабораторные работы имеют одинаковую структуру лабораторной установки (рис., где 1 – прибор задающего воздействия; 2 – макет исследуемой цепи; 3 – прибор сравнения воздействия и реакции; 4 – прибор для измерения реакции). РАБОТА В РЕАЛЬНОЙ ЛАБОРАТОРИИ В качестве прибора, задающего воздействия в лабораторных установках, используют звуковые генераторы (ЗГ), генераторы высокой частоты (ГВЧ), импульсный генератор (ИГ). Для сравнения воздействия и реакции в лабораторных установках применяются фазометры (Ф). Прибором измеряемой реакции в установках служат вольтметры, индикаторная головка (ИГ) с зондом-детектором измерительной длинной линии, осциллограф. Исследуемый макет цепи в установке представляет собой различного рода двухполюсники, четырёхполюсники с сосредоточенными и распределёнными параметрами. В качестве последнего применяется измерительная длинная линия. В зависимости от исследуемых цепей прибор задающего воздействия должен реализовывать функцию идеального источника ЭДС. Выходное сопротивление прибора задающего воздействия достаточно мало, однако идеальным источником ЭДС (Ri = 0) такой прибор будет только при условии, что на его выходе поддерживается напряжение выходного сигнала на определённом уровне.

4

Следует заметить, что показания приборов, установленных на генераторах, не всегда соответствуют напряжению на выходных зажимах, поэтому рекомендуется сравнивать эти показания с показаниями вольтметра. Во многих работах требуется снять амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики исследуемой цепи. В случае, если амплитудная характеристика имеет максимум на нулевой или бесконечно высокой частоте (апериодические цепи, фильтры низких и верхних частот), то следует снимать частотные характеристики, начиная с частоты, соответствующей максимуму амплитудной характеристики. Затем изменять частоту генератора таким образом, чтобы амплитуда напряжения на выходе составляла последовательно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6 и т.д. от максимума. Для этих значений амплитуды записываются соответствующие значения частоты и фазы. РАБОТА В ВИРТУАЛЬНОЙ ЛАБОРАТОРИИ В виртуальной лаборатории вместо реальной элементной базы (резисторы, индуктивности, конденсаторы и т.д.) при сборке виртуальной схемы используется элементная база программы. В программе применяется система меню, как и в операционной системе Windows. Окно программы содержит поле меню, линейку библиотек компонентов и линейку контрольно-измерительных приборов. В рабочем поле программы располагается моделируемая схема с подключёнными к ней иконками контрольно-измерительных приборов. При сборке исследуемой схемы иконка нужного элемента (R, L, C, …) курсором переносится на рабочее поле и подключается проводниками к другим элементам схемы. Для изменения номинала компонента необходимо два раза щёлкнуть мышью по символу его графического изображения и в раскрывающемся после этого окне внести изменения. После размещения компонентов производится соединение их выводов проводниками. При этом необходимо учитывать, что к выводу компонента можно подключить только один проводник. Для выполнения подключения курсор мыши подводится к выводу компонента и после появления прямоугольной площадки синего цвета нажимается левая кнопка и появляющийся при этом проводник подтягивается к выводу другого компонента до появления на нём такой же прямоугольной площадки, после чего кнопка мыши опускается, и соединение готово. При необходимости подключения к этим выводам других проводников в библиотеке Passive выбирается точка (символ соединения) и переносится на ранее установленный проводник. Чтобы точка почернела (первоначально она имеет красный цвет), необходимо щёлкнуть мышью по свободному месту рабочего поля. Если эта точка действительно имеет электрическое соединение с проводником, то она полностью окрашивается чёрным цветом. Если на ней виден след от пересекающего проводника, то электрического соединения нет, и точку необходимо установить заново. После удачной установки к точке соединения можно подключить ещё два проводника. Если соединение нужно 5

разорвать, курсор подводится к одному из выводов компонентов или точке соединения и при появлении площадки нажимается левая кнопка, проводник отводится на свободное место рабочего поля, после чего кнопка отпускается. Если необходимо подключить вывод к имеющемуся на схеме проводнику, то проводник от вывода компонента курсором подводится к указанному проводнику, и после появления точки соединения кнопка мыши отпускается. Следует отметить, что прокладка соединительных проводников производится автоматически, причём препятствия – компоненты и другие проводники – огибаются по ортогональным направлениям (по горизонтали и вертикали). Если необходимо переместить отдельный сегмент проводника, к нему подводится курсор, нажимается левая кнопка и после появления в вертикальной или горизонтальной плоскости двойного курсора производятся нужные перемещения. Общий порядок работы с приборами следующий: – иконка прибора курсором переносится на рабочее поле и подключается проводниками к исследуемой схеме; – для приведения прибора в рабочее (развёрнутое) состояние необходимо дважды щёлкнуть курсором по его иконке. Методика использования любого прибора в развёрнутом состоянии наглядно представлена обозначениями на его лицевой панели (она подобна методике работы с реальным прибором вне виртуального пространства). Подключение к схеме контрольно-измерительных приборов производится аналогично тому, как это делалось для элементов схемы. Причём для таких приборов, как осциллограф, соединения целесообразно проводить цветными проводниками, поскольку цвет определяет цвет соответствующей осциллограммы. Цветные проводники целесообразны не только для обозначения проводников одинакового функционального назначения, но и для проводников, находящихся в разных частях схемы. ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЁТОВ

Данные измерительных приборов, использованных при выполнении лабораторных работ, должны быть приведены в отчёте в виде общей таблицы. Предусматривается единое содержание отчёта для каждой работы: структурная схема эксперимента, исходные данные, результаты эксперимента и расчёта, графики опытных и расчётных зависимостей, краткие выводы. Выводы по работе должны содержать объяснение проведённых исследований и влияния варьируемых элементов на результаты исследований, объективную оценку полученных результатов и зависимостей, критические сопоставления результатов экспериментов и теории. По каждой работе приведены вопросы, помогающие студенту закрепить знания по материалу работы на зачёте.

6

Библиографический список 1. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC.– М.: Салон – Р, 1999. – 512 с. 2. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов по направлению “Радиотехника”. – М.: Высш. школа, 2000. – 576 с. 3. Бессонов Л.А. Линейные электрические цепи. Новые разделы курса теоретических основ электротехники. – М.: Высш. школа, 1974. – 316 с. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ АППАРАТУРА, ПРИМЕНЯЕМАЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ 1. ГЕНЕРАТОР СИГНАЛОВ Г3 – 33

[либо виртуальный функциональный генератор (Function Generator)] Назначение: источник синусоидальных электрических колебаний. Технические характеристики: диапазон частот генератора от 20 Гц до 200 кГц, погрешность генератора по частоте (0,02 F + 1) Гц, где F – номинальное значение частоты в герцах; максимальная выходная мощность 5 Вт; выходное сопротивление генератора рассчитано на согласование нагрузки 5; 50; 600 Ом. 2. ЧАСТОТОМЕР ЭЛЕКТРОННОСЧЁТНЫЙ Ч3 – 64

[либо виртуальный измеритель АХЧ и ФХЧ (Bode Plotter)] Назначение: автоматическое измерение частоты синусоидального электрического сигнала. Технические характеристики: диапазон частот синусоидальных электрических сигналов 0,005 Гц …150 МГц при входном напряжении не менее 0,05 В; погрешность измерения находится по формуле δf = ± (5 · 10 – 7 +

1 ), f ⋅ t сч

где f – значение измеряемой частоты, кГц; tсч – время счёта, мс. 3. МИЛЛИВОЛЬТМЕТР В3 – 38 (38 – А)

[либо виртуальный мультиметр (Multimeter)] Назначение: измерение напряжения переменного тока. 7

Технические характеристики: диапазон измеряемых напряжений – от 0,1 мВ до 300 В; диапазон частот, измеряемых прибором переменных напряжений – от 20 Гц до 5 МГц; основная погрешность прибора не превышает: ± 2,5 % в диапазоне (1…300) мВ, ± 4 % в диапазоне (1…300) В, входное сопротивление: не менее 5 мОм в пределах (1…300) мВ, не менее 4 мОм в пределах (1…300) В, входная ёмкость не превышает (вместе с кабелем): 110 пФ в пределах (1…300) мВ, 95пФ в пределах (1…300) В. 4. ФАЗОМЕТР Ф2 – 1

[либо виртуальный измеритель АХЧ и ФХЧ (Bode Plotter)] Назначение: измерение фазового сдвига между двумя синусоидальными напряжениями одной частоты. Технические характеристики: диапазон рабочих частот от от 20 Гц до 100 кГц, пределы измерения угла сдвига фаз от ± 0,5° до ± 160° в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц, от ± 0,5° до ± 130° выше 20 кГц, отсчёт производится по шкале стрелочного прибора с учётом переключателя пределов измерения (180; 100; 50; 25°); диапазоны входных напряжений от 0,5 до 50 В; при нормальных условиях эксплуатации погрешность прибора не превышает ± 4° + (0,01 Апр), где Апр – предельное значение установленного предела измерения; входное сопротивление не менее 2 МОм, входная ёмкость не более 25 пФ. ВНИМАНИЕ! ПОДКЛЮЧЕНИЕ , ВКЛЮЧЕНИЕ И ВСЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ПРИБОРА Ф2 – 1 ПРОИЗВОДИТЬ ТОЛЬКО В ПОЛОЖЕНИИ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЯ ДИАПАЗОНОВ “УСТАНОВКА “0” ИЛИ “КАЛИБРОВКА”

Используемые приборы не уступают по своим характеристикам (применительно к выполняемым лабораторным работам) аналогичной отечественной аппаратуре, выпускаемой в настоящее время.

ОХРАНА ТРУДА И ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОТЦ

Постановка лабораторных работ выполнена в соответствии с требованиями следующих государственных стандартов: ГОСТ 12.1.009 – 76, ССБТ “Электробезопасность. Термины и определения”; ГОСТ 12.1.019 – 79, ССБТ “Электробезопасность”; ГОСТ 12.1.030 – 81, ССБТ “Электрозащитные заземления, зануления”. 8

Техника безопасности в лаборатории ОТЦ

1. Все приборы, используемые в работах, должны быть занулены. Если в процессе работы меняется используемый прибор, то он должен быть обязательно занулён. Перед началом работы проверить наличие и исправность зануления. 2. Лаборатория ОТЦ имеет трёхступенчатую систему включения и выключения. Первая ступень – пакетник с контакторным автоматическим выключателем в случае аварийной ситуации для каждого рабочего места; вторая ступень – – рубильник на лабораторном стенде; третья ступень – включение приборов. Первая ступень включения и выключения выполняется преподавателем, вторая и третья ступени осуществляются студентами при непосредственном выполнении лабораторных работ. 3. Порядок включения приборов следующий: а) включить рубильник на лабораторном стенде; б) включить приборы, обращая внимание на нормальный режим их работы (нет искрения, дыма и т.д.); в) в розетки (штепсельные разъёмы) можно подключать только кабели питания приборов. Не касаться розеток сигнальными кабелями! 4. Порядок выключения приборов студентами: а) выключить приборы, отсоединить от розеток кабели питания; б) выключить рубильник на лабораторном стенде. Запрещается выдёргивать питающий шнур из розетки за провод. Необходимо это делать, держась за вилку. При возникновении аварийной ситуации или обнаружения искрения, запаха дыма следует немедленно отключить аппаратуру и доложить преподавателю. 5. Обязательно во время работы выполнять все указания преподавателя, ведущего занятия. Запрещается: производить пересоединение проводов, находящихся под напряжением; отлучаться из лаборатории без разрешения преподавателя. 6. При плохом самочувствии студент не допускается в лабораторию ОТЦ, так как работа с измерительными приборами требует повышенного внимания и ответственности. Работа 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

I. Цель работы

Исследование частотных свойств реактивных двухполюсников, метода построения канонических схем по Фостеру, исходя из полюсов частотной характеристики, и расчёт элементов схем. 9

II.

Основные теоретические положения

Двухполюсником называют электрическую цепь, рассматриваемую относительно каких-либо двух её зажимов. При гармоническом законе изменения напряжения, приложенного к зажимам линейного пассивного двухполюсника его свойства полностью определяются входным комплексным сопротивлением. Входное сопротивление реактивного двухполюсника, состоящего из 2n реактивных элементов, описывается дробно-рациональной функцией вида H a0 + a2 ( j щ) 2 + a4 ( j щ) 4 + . . . + ( j щ) 2 n Z ( j щ) = , j щ b0 + b2 ( j щ) 2 + b4 ( j щ) 4 + . . . + ( j щ) 2 n -2

(7.1)

где H, a0 , a2, . . . , b0, b2, . . . – вещественные величины, зависящие от параметров двухполюсника; n – число независимых контуров. Если разложить полиномы числителя и знаменателя на множители, то выражение (7.1) приобретёт следующий вид: 2

Z ( j щ) =

2

2

j щH (щ2 − щ1 ) (щ2 − щ3 ) ... (щ2 − щ2 n − 1 ) 2

2

2

(щ2 − 0) (щ2 − щ2 ) (щ2 − щ4 ) . . . . (щ2 − щ2 n - 2 )

= jщ H F ,

(7.2)

где ω – текущая частота; ω1, ω3, . . . , ω 2n − 1 – корни полинома числителя; ω2, ω4, . . . , ω2n − 2 – корни полинома знаменателя. Анализ данного выражения позволяет выявить ряд свойств входного сопротивления двухполюсника. Так, если текущая частота ω принимает значения, равные корням полинома числителя, то Z (jω) = 0, а если принимает значения, равные корням полинома знаменателя, то Z ( j ω) = ± j ∞ . Поэтому частоты ω1, ω3, . . . , ω 2n − 1 называют нулями, а частоты ω2, ω4, . . . , ω2n − 2 – полюсами функции Z (jω). Сопротивление Z ( j ω) = j X реактивного двухполюсника есть величина мнимая, которая может принимать значения Z = jωLэ или Z = − j / (щCэ ) . Его производная всегда положительна, (dX dщ) > 0 . При наличии нулей и полюсов характеристики X(ω) её положительная производная означает, что нули и полюсы должны чередоваться. В зависимости от того, какие значения принимает Z (jω) при ω = 0 и ω → ∞, различают частотные характеристики вида: а) 0, 0 – с двуми внешними нулями; б) 0, ∞ – с внешним нулём и полюсом; в) ∞, 0 – с внешним полюсом и нулём; г) ∞, ∞ – с двумя внешними полюсами.

10

Канонической схемой данного двухполюсника называется схема, удовлетворяющая следующим условиям: 1) общее число элементов схемы должно быть минимальным; 2) числа элементов L и C должны быть равны или могут отличаться на единицу; 3) общее число элементов L и C долно быть на единицу больше общего числа нулей и полюсов, не считая внешних; 4) не должно быть более одного пути для токов нулевой и бесконечно большой частоты. Конфигурация канонической схемы определяется методом, используемым для её построения. В лабораторной работе будем использовать метод реализации канонических схем по Фостеру, исходя из полюсов частотной характеристики. При использовании метода выделения полюсов канонические схемы представляют собой последовательное соединение параллельных колебательных контуров, поскольку вблизи полюсов изменение Z (jω) аналогично изменению входного сопротивления параллельного колебательного контура без потерь вблизи его резонансной частоты. Количество параллельных колебательных контуров должно соответствовать количеству внутренних полюсов частотной характеристики. Если двухполюсник имеет бесконечно большое сопротивление на нулевой частоте, то при построении канонической схемы нужно последовательно в схему включить ёмкость C0, которая определяет поведение частотной характеристики вблизи нулевой частоты. Если двухполюсник имеет бесконечно большое сопротивление на бесконечно большой частоте, то его каноническая схема должна содержать последовательно включённую индуктивность L2n. Для расчёта параметров канонической схемы, составленной на основе метода выделения полюсов, необходимо дробно-рациональную функцию (7.1) представить в виде суммы простых дробей: ⎡ A A 2n-2 ⎤ A A Z ( j щ) = j щH × ⎢1 + 20 + 2 2 2 + 2 k 2 + … + 2 . 2⎥ щ щ щ щ щ щ щ − − − ⎢⎣ k 2n-2 ⎥ 2 ⎦

(7.3)

Коэффициенты Ak, входящие в это выражение, вычисляются по формуле Ak =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(щk − щ1 ) (щk − щ3 )…(щk − щ2 n -1 ) (щk − щ0 ) (щk − щ2 )…(щk − щ2 n - 2 )

,

(7.4)

где ωk – частота, соответствующая полюсу k; ω0 = 0, причём в знаменателе вы2 2 ражения (7.4) отсутствует множитель (щk − щk ) . Уравнение (7.3) соответствует частотной характеристике типа ∞, ∞. 11

Таблица 7.1 X

∞

∞ H = L2 n ; C 0 = −

ω1

ω2

ω3

. . .

ω2n – 2

ω4

ω

Z вх = j щH

1 1 ; Ck = − ; H A0 H Ak

(щ2 − щ12 ) … (щ2 − щ2 n −12 ) (щ2 − 0) (щ2 − щ2 2 ) … (щ2 − щ2 n − 2 2 ) Z вх ( щx ) = j щx H

1 щk 2 С k

( щx 2 − щ12 ) … ( щx 2 − щ2 n −12 ) ( щx 2 − 0 ) ( щx 2 − щ2 2 ) … ( щx 2 − щ2 n − 2 2 )

A 2n−2 A Z вх = j щH (1 + 02 + ∑ 2 k ) 2 щ k = 2 щ − щk Ak =

Lk =

( щk 2 − щ12 ) … … ( щk 2 − щ2 n −12 ) ( щk 2 − 0 ) ( щk 2 − щ2 2 ) … ( щk 2 − щk − 2 2 ) ( щk 2 − щk + 2 2 ) … ( щk 2 − щ2 n − 2 2 )

12 X

∞

0 ...

ω1

ω2

ω3

ω4

ω2 n – 2

Z вх = − j щH

ω

(щ2 − щ12 ) … (щ2 − щ2n −32 ) (щ2 − 0) (щ2 − щ2 2 ) … (щ2 − щ2n − 22 )

A0

2n − 2

Ak

) Z вх = − j щH ( 2 + ∑ 2 2 щ k = 2 щ − щk

H=

1 1 1 + +…+ ; C0 C2 C2 n − 2

Z вх ( щx ) = − j щx H

Ak =

C0 =

1 ; H A0

Ck =

1 ; H Ak

Lk =

1 щk 2 Ck

( щx 2 − щ12 ) … ( щx 2 − щ2 n − 32 ) 2

( щx − 0 ) ( щx 2 − щ2 2 ) … ( щx 2 − щ2 n − 2 2 ) ( щk 2 − щ12 ) … … ( щk 2 − щ2 n − 32 )

( щk 2 − 0 ) ( щk 2 − щ2 2 ) … ( щk 2 − щk − 2 2 ) ( щk 2 − щk + 2 2 ) … ( щk 2 − щ2 n − 2 2 )

Окончание таблицы 7.1 X

0 ω1

∞ ω2

ω3

. . . ω2 n – 2

ω4

2

ω

Zвх = jщH

2

(щ2 − щ3 ) … (щ2 − щ2n−1 ) 2

H = L 2n ;

Ck = −

2

(щ2 −щ2 ) … (щ2 −щ2n−2 ) Z вх ( щ x ) = j щ x H 2n−2

Zвх = jщH (1+ ∑

k =2

Ak щ2 −щk

2

13

0

0 Z вх = − j щ H

ω1

ω2

ω3

ω4

. . . ω2 n – 2

;

Lk =

1 щk 2 С k

( щ x 2 − щ 3 2 ) … ( щ x 2 − щ 2 n −1 2 ) (щ x 2 − щ 2 2 ) … (щ x 2 − щ 2n − 2 2 )

) Ak =

X

1 H Ak

( щ 2 − щ3 2 ) … ( щ 2 − щ 2 n − 3 2 ) ( щ2 − щ2 2 ) … ( щ2 − щ2 n − 2 2 )

H=

( щ k 2 − щ 3 2 ) … … ( щ k 2 − щ 2 n −1 2 ) (щ k 2 − щ 2 2 ) … (щ k 2 − щ k − 2 2 ) (щ k 2 − щ k + 2 2 ) … (щ k 2 − щ 2 n − 2 2 )

1 + C2

+

1 1 1 ; Ck = ; Lk = 2 C2n −2 H Ak щk Ck

ω Z вх = − j щ H

2n−2

∑

Ak

2 2 k = 2 щ − щk

Zвх (щx ) = − j щx H

Ak =

(щx 2 − щ32 ) … (щx 2 − щ2n −32 ) (щx 2 − щ22 ) … (щx 2 − щ2n −22 ) (щk 2 − щ32 ) … … (щk 2 − щ2n −32 )

(щk 2 − щ22 ) … (щk 2 − щk −22 ) (щk 2 − щk + 22 ) … (щk 2 − щ2n −22 )

Первое слагаемое в нём выражает сопротивление индуктивности L0 = H, а второе – сопротивление ёмкости C0 = − 1 ( A0 H ) . Остальные слагаемые соответствуют сопротивлениям параллельных колебательных контуров, параметры которых вычисляются по формулам: C k = − 1 ( HAk ) ;

(7.5)

2

(7.6)

Lk = − ( HAk щk ) .

Коэффициенты Ak могут быть определены по значениям нулей и полюсов частотной характеристики. Коэффициент H определяется из (7.2) по значению сопротивления схемы на некоторой частоте ωзад. H = Z ( j щзад ) [щзад F ( щзад )] . В табл. 7.1 приведены частотные характеристики, канонические схемы, соответствующие аналитические формулы входного сопротивления, формулы для расчёта элементов канонических схем для четырёх видов частотных характеристик. Всё сказанное выше относится к двухполюсникам без потерь. Реальные устройства всегда обладают потерями. Если потери малы, то можно считать, что они оказывают влияние только на значение входного сопротивления на резонансных частотах, значения же самих частот не зависят от потерь (см. работы 4, 5). В этом случае напряжение на зажимах двухполюсника, питаемого от генератора с внутренним сопротивлением Ri → ∞, будет иметь максимальное значение на частотах, соответствующих полюсам частотной характеристики, и минимумы на частотах, соответствующих нулям.

Рис. 7.1 14

В качестве примера на рис.7.1,а приведена частотная характеристика напряжения на входе двухполюсника с потерями, на рис. 7.1,б – соответствующая характеристика входного сопротивления двухполюсника без потерь. III. Методика выполнения работы

1. Исследуемый двухполюсник подсоединить на измерительной установке к измерительным приборам в соответствии со структурной схемой рис. 7.2. 2. Определить вид частотной характеристики заданного двухполюсника. R i = 10 кОм

Г

V

Двухполюсник

V

Частотомер

Ф

Рис.7.2 3. Определить положение нулей и полюсов частотной характеристики. 4. Найти частоту генератора (выше последнего экстремума частотной характеристики), на которой фазовый сдвиг между напряжением двухполюсника и генератора равен ϕ = ± 45 [т. е. Zвх(fзад ) = ± j 10 кОм ]. 5. Построить график частотной характеристики входного напряжения и на его основе график частотной характеристики сопротивления реактивного двухполюсника. 6. Построить каноническую схему исследуемого двухполюсника, используя реализацию по Фостеру (исходя из полюсов частотной характеристики). 7. Используя данные табл.7.1, записать соотношения для входного сопротивления двухполюсника и формулы для расчёта элементов канонической схемы. 8. Рассчитать параметры канонической схемы, используя микрокалькулятор. Для расчёта коэффициентов Ak и коэффициента F в соотношении (7.2) на некоторой частоте fзад необходимо рассчитать выражение вида 2

2

2

2

2

2

(щ~ − щ1 ) (щ~ − щ3 ) … (щ~ − щ2 n-1 ) 2

2

2

2

2

(щ~ − 0) (щ~ − щ2 ) … (щ~ − щ2 n -2 ) 15

,

(7.7)

где ω~ = 2 π f~ последовательно принимает значения одного из полюсов частотной характеристики и частоты fзад, т. е. f~ = 0, f2, f4, … f2n – 2, fзад.

(7.8)

Величину (7.7) следует рассчитывать с помощью микрокалькулятора. При необходимости программу расчёта коэффициента F частотной характеристики можно составить самостоятельно, имея в виду, что если при расчёте в знаменателе появляется нулевой член X = 0, то следует использовать условный переход по X ≠ 0 и далее поставить адрес операции, к которой должна обратиться программа в случае, если X = 0. Заслать исходную информацию в программируемый микрокалькулятор можно по форме 7.1. 9. Сопоставить рассчитанные номиналы элементов полученной канонической схемы с номиналами элементов, из которых составлена цепь двухполюсника. Объяснить, чем обусловлены имеющиеся расхождения. Форма 7.1 0 Исходная информация

f2

f~ =

f4

f1 f2 ноль полюс

f3 ноль

f4 полюс

f5 ноль

4π2 = 39,5

3

4

5

6

fзад Регистр

0

1

2

IV. Содержание отчёта

Измерительная аппаратура (одна таблица для всех работ второго цикла по форме 7.2). Форма 7.2 Наименование, тип

Основная погрешность измерений

1. Структурная схема эксперимента. 2. Результаты работы. 2.1. Экспериментальные данные по форме 7.3. 16

Форма 7. 3 f, кГц

0

∞

Uвх, В Входное сопротивление двухполюсника на частоте f равно Zвх = ± j ·104 Ом. Графики: амплитудно-частотная характеристика входного напряжения двухполюсника и характеристика входного сопротивления Xвх = F (f) соответствующего идеального двухполюсника (выполнять на миллиметровой бумаге). 2.2. Расчёт схемы двухполюсника. Каноническая схема двухполюсника. Расчётные формулы и результаты вычислений. 3. Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. Записать соотношение (7.2) для входного сопротивления двухполюсника, изображённого на рис. 7.1, б. 2. Сформулировать свойства входного сопротивления реактивного двухполюсника. 3. Записать соотношение (3) для входного сопротивления двухполюсника, изображённого на рис. 7.1, б. 4. Объяснить физический смысл каждого слагаемого соотношения (3). 5. Дать определение канонической схемы двухполюсника. 6. Построить каноническую схему по Фостеру, исходя из полюсов частотной характеристики рис. 7.1, б. 7. Объяснить назначение всех элементов и устройств в структурной схеме эксперимента. 8. Объясните, как получить соотношение для коэффициента H. Литература: [2], c. 514 – 517. Работа 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ МЕТОДОМ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА

(с элементами научных исследований) I. Цель работы

Выбор условий и постановка эксперимента для определения параметров линейного пассивного симметричного четырёхполюсника в заданной системе параметров; построение П-образной схемы замещения; проверка восстановленной схемы путём сопоставления экспериментальных и расчётных значений коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода. 17

II. Основные теоретические положения

Четырёхполюсником называют электрическую цепь с двумя парами зажимов, с помощью которых она соединяется с источниками энергии или с другими цепями (рис. 8.1). б)

а)

Рис. 8.1 В дальнейшем будем рассматривать линейные пассивные четырёхполюсники, т. е. такие, которые содержат только линейные элементы и не содержат источников энергии. Режим работы четырёхполюсника полностью определён, если известны напряжения и токи U 1 , I 1 , U 2 , I 2 (рис. 8.1, а). Сущность метода четырёхполюсника заключается во введении обобщённых параметров цепи, с помощью которых возможен расчёт двух из перечисленных четырёх величин по двум другим известным величинам, минуя рассмотрение электрических процессов внутри четырёхполюсника. В зависимости от того, какие две из четырёх величин известны, можно записать уравнения четырёхполюсника в различной форме и соответственно определить системы параметров. В лабораторной работе будем рассматривать три из них: cистема Y-параметров:

I 1 = Y11 U 1 + Y12 U 2 , I 2 = Y21 U 1 + Y22 U 2 ;

cистема Z-параметров: U1 = Z11 I1 + Z12 I 2 ,

(8.1)

(8.2)

U 2 = Z 21 I1 + Z 22 I 2 ; cистема A-параметров:

U 1 = A11 U 2 + A12 I 2′ ,

(8.3)

I 1 = A21 U 2 + A22 I 2′ .

Здесь используются разные обозначения тока на выходе четырёхполюсника I 2′ = − I 2 (см. рис. 8.1). Выбор той или иной системы параметров определяется соображениями удобства описания четырёхполюсников в соответствии со схемой их со18

единения между собой, удобства описания той или иной функции передачи цепи, удобства и точности измерения параметров. Параметры четырёхполюсника в любой системе могут быть определены через напряжения и токи на зажимах четырёхполюсника при коротком замыкании или размыкании зажимов 1-1 или 2-2. Система Y-параметров: Y11 =

I1 U1 U 2 = 0

Y22 =

– выходная проводимость со стороны зажимов 2-2 при I2 короткозамкнутых зажимах1-1; U 2 U1 = 0

Y21 =

– передаточная I2 зажимах 2-2; U1 U 2 = 0

Y12 =

– передаточная проводимость при короткозамкнутых зажиI1 мах 1-1. U 2 U1 = 0

–

входная проводимость со стороны зажимов 1-1 при короткозамкнутых зажимах 2-2;

проводимость

при

короткозамкнутых

Система Z-параметров: Z 11 =

U1 I1 I 2 = 0

Z 22 =

U2 I 2 I1 = 0

Z 21 =

U2 I1 I 2 = 0

Z 12 =

– входное сопротивление слева и справа при разомкнутых противоположных зажимах;

– передаточные сопротивления при разомкнутых зажимах 2-2 и 1-1, соответственно.

U1 I 2 I1 = 0 19

Система A-параметров: A11 =

U1 U 2 I 2′ = 0

– величина, обратная коэффициенту передачи по напряжению при разомкнутых зажимах 2-2;

A22 =

I1 I 2′ U 2 = 0

– величина, обратная коэффициенту передачи по току при короткозамкнутых зажимах 2-2;

A12 =

U1 – величина, обратная передаточной проводимости короткозамкнутых зажимах 2-2; I 2′ U 2 = 0

A21 =

I1 U 2 I 2′ = 0

при

– величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых зажимах 2-2.

Взаимными (обратимыми) называют четырёхполюсники, которые удовлетворяют теореме взаимности. Для взаимных четырёхполюсников справедливы соотношения: Y12 = Y21, Z21 = Z12; (8.4) т. е. передаточные сопротивления и проводимости равны между собой. Для взаимного четырёхполюсника A-параметры связаны между собой соотношением (8.5) A11A22 – A12 A21 = 1. Таким образом, взаимный (обратимый) четырёхполюсник может быть задан только тремя параметрами, четвёртый определяется из соотношений (8.4) и (8.5). Симметричным называют четырёхполюсник, у которого ток в нагрузке остаётся одинаковым при перемене направления передачи. Для таких четырёхполюсников Z11 = Z22; Y11 = Y22; A11 = A22. (8.6) Таким образом, взаимный симметричный четырёхполюсник определяют только двумя параметрами. Иногда при анализе цепей, содержащих данный четырёхполюсник, бывает полезно для наглядности заменить его той или иной схемой замещения (эквивалентной схемой). В общем случае это не может быть сделано однозначно, и выбор удобного варианта схемы замещения, а также возможность представления её с помощью соединений элементов типа R, C, L зависят от внутренней структуры и свойств четырёхполюсника и от характера решаемой задачи. Взаимный четырёхполюсник может быть замещён схемой, содержащей минимум три комплексных сопротивления. Такими схемами являются Т- и 20

П-образные схемы. Для симметричного четырёхполюсника два из трёх элементов схем будут равны. На рис. 8.4, б приведена П-образная схема замещения симметричного четырёхполюсника. Для такой схемы связь её элементов с параметрами различных систем характеризуется следующими соотношениями: cистема Y-параметров: Y11 = Y22 = Y1 + Y2;

Y12 = Y21 = – Y2;

(8.7)

cистема Z-параметров: Z 11 = Z 22 =

Y1 + Y2 2Y1 Y2 + Y1

; 2

Z 12 = Z 21 =

Y2 2Y1 Y2 + Y1

2

;

(8.8)

cистема A-параметров: A11 = A22

Y = 1+ 1 ; Y2

2

Y A21 = 2Y1 + 1 . Y2

1 A12 = ; Y2

(8.9)

Последние равенства можно выразить через сопротивление элементов Побразной схемы замещения симметричного четырёхполюсника: A11 = A22 = 1 +

Z 2 Z2 + 22 . ; A12 = Z 2 ; A21 = Z1 Z1 Z1

В тех случаях, когда внутренняя структура четырёхполюсника точно известна и он составлен только из параллельных или последовательных звеньев типа RC, RL, измерение обобщённых параметров на нескольких частотах является одним из возможных способов косвенного измерения величин, составляющих четырёхполюсник элементов, а также позволяет правильно выбрать знаки реактивных сопротивлений, если они заранее не заданы. В работе иллюстрируется простейший пример таких измерений для симметричной П-образной цепи, составленной из двухэлементных цепочек RC или RL, тогда сопротивления Z1 и Z2 могут иметь одно их четырёх значений: Z1, 2I = R1, 2 + jωL1, 2 = a1, 2 + jb1, 2

(8.10)

при последовательном соединении элементов R и L,

II

Z 1, 2 =

R1,2 1 + ( R1, 2 j щL1, 2 ) 2

+ j

21

щL1, 2 ⎛ щL1, 2 1+ ⎜ ⎜ R1, 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

= a1, 2 + jb1, 2

(8.11)

при параллельном соединении элементов R и L, Z 1, 2

III

= R1,2 − j

1 = a1, 2 − jb1,2 щC1, 2

(8.12)

при последовательном соединении элементов R и С, Z 1,2

IV

=

R1, 2 1 + (щR1, 2 C1, 2 ) 2

−j

1 ⎛ 1 1+ ⎜ ⎜ щR1,2 C1,2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⋅

1 = a1, 2 − jb1, 2 щC1, 2

(8.13)

при параллельном соединении элементов R и С. Таким образом, знак реактивной составляющей сопротивления позволяет определить, какой реактивный элемент включён в данную ветвь. Вид соединения элементов между собой можно определить из значения этих сопротивлений на частоте ω → 0. Значения сопротивлений двухполюсников: при последовательном соединении RL Z1, 2 I = R1, 2; при параллельном соединении элементов RL Z1, 2II → 0; при последовательном соединении элементов RС Z1, 2III → ∞; при параллельном соединении элементов RС Z1, 2 IV = R1, 2. Проверку точности измерения полученной схемы можно осуществить, если коэффициент передачи по напряжению в режиме холостого хода, полученный по сопротивлениям рассчитанных элементов: ~ KU хх =

1 , Z2 1+ Z1

(8.14)

сравнить с определённым экспериментально. Выбор двух параметров симметричного четырёхполюсника, подлежащих определению, должен быть обоснован удобством и точностью проведения эксперимента. Важным обстоятельством является то, что параметры четырёхполюсника в любой системе являются в общем случае комплексными величинами и для их определения требуется знать амплитуды и фазы соответствующих напряжений и токов. Фазу тока можно определить, если измерить фазу напряжения на активном сопротивлении. При этом требуется разрешить противоречие между тем, что, с одной стороны, величина падения напряжения должна 22

быть не меньше нижнего предела входного напряжения фазометра, с другой – токи, определяющие параметры четырёхполюсника, должны быть токами короткого замыкания. Метод четырёхполюсника, как указывалось, позволяет определять напряжение и ток на выходе четырёхполюсника без задания его внутренней структуры, если известны значения одной из систем параметров: ~ KU = ~ KU = ~ KU =

III.

Zн , A12 + A11 Z н

(8.15)

Y21 , Y22 + Yн Z 21 Z 2

Z11 Z 22 − Z12 Z 21 + Z11 Z н

(8.16)

.

(8.17)

Методика выполнения работы

1. Исследуемый четырёхполюсник подсоединить на лабораторной установке к измерительным приборам в соответствии с выбранной структурной схемой. 2. Определить выбранные два параметра из заданной системы параметров четырёхполюсника на частотах f = 0 и f = 1000 Гц. 3. Подключить к исследуемому четырёхполюснику комплексную нагрузку. Измерить значения K U на нескольких частотах и сопоставить измеренные значения с рассчитанными по формулам (8.15)…(8.17). 4. Рассчитать элементы П-образной схемы исследуемого четырёхполюсника. ~ 5. Записать соотношения для KU хх . ~ 6. Рассчитать KU хх и ϕ k по формуле (8.14), составив самостоятельно программу для микрокалькулятора. 7. Определить экспериментально зависимости U вых ( f ) и ϕвых ( f ) в режиме холостого хода, нормировать на входное напряжение и сопоставить результат с данными расчёта. IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента. 2. Результаты работы. 23

2.1. Измерение параметров четырёхполюсника выполняется по форме 8.4, Uвх = 10 В. Форма 8.1 Опыт короткого Опыт холостого хода замыкания Измеряемый параметр f=0 f = 1000 Гц f=0 f = 1000 Гц Uвых, В φ,° 2.2. Расчёт параметров четырёхполюсника. 2.3. Расчёт элементов П-образной схемы. Для данного расчёта необходимы: а) П-образная схема (с указанием номиналов элементов); б) частотные характеристики K и φ (экспериментальные и расчётные, полученные для схемы, восстановленной на одной частоте); графики выполнять на миллиметровой бумаге; в) аналитическая формула коэффициента передачи для полученной схемы. 2.4. Программа для расчёта модуля и аргумента коэффициента передачи по напряжению (в режиме холостого хода). 2.5. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики записываются в таблицу по форме 8.2. Форма 8.2 f, кГц Uвых, В K φ,° 3.

Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. Дать определение четырёхполюсника. 2. Записать уравнения четырёхполюсника в Y-, Z-, A-параметрах. 3. Определить физический смысл параметров Y-, Z-, A-систем.

24

4. Объяснить причины, по которым были выбраны два из четырёх параметров для экспериментального исследования. 5. Объяснить назначение элементов структурной схемы эксперимента. 6. Объяснить, на значение какого из определённых экспериментально параметров повлияло введение Rн вместо короткозамыкающей перемычки. Литература: [2], c. 399 – 419; [3], c. 4 – 6, 16 – 21. Работа 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

I. Цель работы

Изучение методов измерения и расчёта частотных характеристик электрических фильтров. II.

Основные теоретические положения

Электрическим фильтром называется четырёхполюсник, обладающий свойством пропускать с незначительным ослаблением колебания в определённой полосе частот (в полосе пропускания) и значительно подавлять колебания с частотой вне этой полосы, т. е. в полосе задерживания. Частота, соответствующая теоретической границе между полосами пропускания и задерживания, называется частотой среза фильтра. В лабораторной работе исследуются реактивные (состоящие из элементов L и C) электрические фильтры. В зависимости от вида сопротивления нагрузки фильтры делятся на номинально согласованные и несогласованные. Для каждого четырёхполюсника существует такая пара сопротивлений Z1c и Z2c, называемых характеристическими, для которых выполняются условия: если нагрузить выход четырёхполюсника на сопротивление Z2c, то входное сопротивление четырёхполюсника станет равным Z1c; если нагрузить вход четырёхполюсника на сопротивление Z1c, то выходное сопротивление четырёхполюсника будет равно Z2c. Величины характеристических сопротивлений могут быть определены по результатам измерений сопротивлений четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания: Z1c = Z вх хх Z вх кз ,

(9.1)

Z 2c = Z вых хх Z вых кз ,

(9.2)

или через A-параметры: Z1c =

A11 A12 , A21 A22 25

(9.3)

Z 2c =

A22 A12 . A21 A11

(9.4)

В случае симметричного четырёхполюсника Z1c = Z2c = Zc .

(9.5)

Если четырёхполюсник нагружен на характеристическое сопротивление, то напряжение на его выходе может быть определено как U 2 = U1 e − g c ,

(9.6)

и режим работы называется согласованным. Собственная мера передачи четырёхполюсника g c определяется по соотношениям g c = ac + jbc = ln( A11 A22 + A12 A21 ), (9.7) где ac – собственное затухание четырёхполюсника, U1 ; U 2 Zн = Z c

(9.8)

bc = (argU 1 − argU 2 ) Zн = Zc .

(9.9)

ac = ln bc – собственная фаза,

Для практической оценки условий передачи энергии от генератора к нагрузке при включении между ними фильтра применяют понятие о вносимом затухании aвн, под которым понимают половину натурального логарифма отношения полной мощности Sн, которую генератор отдавал бы непосредственно нагрузке Zн, к полной мощности S2, которую генератор отдаёт той же нагрузке Zн через включённый четырёхполюсник (рис.9.1).

Рис. 9.1 1 S aвн = ln н . 2 S2 26

(9.10)

В согласованном режиме для симметричного фильтра aвн = ac . Однако практически идеальное согласование возможно на одной определённой частоте; на всех остальных частотах рабочего диапазона фильтра наблюдается рассогласование, являющееся следствием зависимости характеристического сопротивления фильтра от частоты. Если Zн равно внутреннему сопротивлению генератора Zi, то измеренное указанным образом затухание называется рабочим. Условие, определяющее ширину полосы пропускания реактивных фильтров, записывается следующим образом:

−1 ≤

Z1 ≤ 0, 4Z 2

(9.11)

где Z1, Z2 – сопротивления плеч Т- и П-образной схемы замещения четырёхполюсника. Из этой формулы следует, что фильтр, составленный из чисто реактивных элементов Z1 и Z2, обладает фильтрующими свойствами только в том случае, когда реактивные сопротивления Z1 и Z2 противоположны по знаку, т. е. Z1 = ± j X 1 и Z2 = ± j X 2 . Таким образом, полосой пропускания является интервал частот, в котором сопротивления продольного и поперечного плеч фильтра Z1 и Z2 противоположны по знаку и удовлетворяют условию (9.11). Границы полосы пропускания определяются условиями Z 1 / (4Z 2 ) = 0 и Z1 / (4Z 2 ) = −1 . В лабораторной работе изучаются свойства фильтра типа K, у которого произведение сопротивлений продольного и поперечного плеч является величиной постоянной, не зависящей от частоты, т. е. Z1Z2 = K2. У таких фильтров последовательные и параллельные плечи являются обратными двухполюсниками. Параметр K = Z 1 Z 2 для данного фильтра является величиной постоянной, имеет размерность сопротивления и носит название номинального характеристического сопротивления Rc. Одним из существенных недостатков фильтров типа K является небольшая крутизна характеристики затухания даже для идеального фильтра, без учёта потерь в его элементах. С учётом потерь характеристика затухания ещё ухудшается. Другим существенным недостатком фильтров типа K является резкое изменение частотной зависимости характеристического сопротивления в пределах полосы пропускания, которое приводит к рассогласованию фильтра с нагрузкой и к ухудшению его фильтрующих свойств. В качестве нагрузок на входе и выходе фильтра обычно выбирают активные сопротивления, равные номинальному характеристическому сопротивлению Z i = Z н = R c = L /C . При нагрузке на номинальное характеристическое сопротивление фильтр оказывается согласованным вблизи одной частоты: ФНЧ – в области частот 27

ω → 0, а ФВЧ – в области ω → ∞ . На всех остальных частотах, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, фильтры являются несогласованными. Недостатки фильтров типа K исправляются в фильтрах типа m, которые могут быть построены по одной из схем: последовательно-производной или параллельно-производной (табл. 9.1). Характеристики этого типа фильтров обусловлены наличием реактивных сопротивлений обоих знаков в продольном или поперечном плече. Это приводит к резкому увеличению затухания на частотах вблизи резонансной частоты контуров – частоты последовательного резонанса в последовательно-производных звеньях и частоты параллельного резонанса в параллельно-производных звеньях. Кроме того, становится более равномерной частотная зависимость характеристического сопротивления. Таблица 9.1 Фильтры верхних частот

Фильтры нижних частот Фильтры типа К

Т-образное звено

Г-образное звено

Частотные зависимости характеристических сопротивлений

П-образное звено

Характеристики затухания и фазы

28

Т-образное звено

Г-образное звено

Частотные зависимости характеристических сопротивлений

П-образное звено

Характеристики затухания и фазы

Продолжение табл. 9.1 Фильтры нижних частот

Фильтры верхних частот Расчётные выражения

L=

Rc ; р f ср

С=

Rc =

L ; C

1 р f ср R c

;

f ср =

1 ; р LC

f

з=

L=

f ср =

f ср

Rc ; 4р f ср 1

4р LC

C=

Rc =

;

1 ; 4р f ср R c L ; C

з=

f f ср

В пределах полосы пропускания ac = 0; bc = 2 arcsin

f

ac = 0; bc = − 2 arcsin

f ср

f ср f

В пределах полосы задерживания ac = 2 arcch

f

bc = р

ac = 2 arcch

f ср

;

bc = − р

Параллельно- Прототип Последова- Параллель-производное полузвено К тельноно-производзвено -производ- ное звено ное звено

Прототип полузвено К

f ср

;

f

Фильтры типа m

29

Последовательно-производное звено

Окончание табл.9.1 Фильтры нижних частот

Фильтры верхних частот

Расчётные выражения

Rc =

f∞ =

L ; C f ср 1− m 2

f ср =

;

1 ; р LC

з=

Rc =

f

L ; C

f ср =

f ∞ = f ср 1− m 2 ;

f ср

1 4р LC

з=

;

f f ср

Наиболее полным образом достоинства фильтров типа K и m проявляются в комбинированных фильтрах, составленных из звеньев и полузвеньев обоих типов. Для получения наилучшего согласования с активным сопротивлением нагрузки фильтры нужно включать так, чтобы входное и выходное сопротивление комбинированного фильтра являлось характеристическим сопротивлением фильтра типа m, например так, как показано на рис. 9.2, а. Расчёт обоих фильтров выполняют из условия равенства граничных частот, тогда их суммарное затухание будет таким, как показано на рис. 9.2, б.

30

а)

б)

Рис. 9.2 III.

Методика выполнения работы

1. Исследуемый фильтр типа К подсоединить на измерительной установке к измерительным приборам в соответствии со структурной схемой рис. 9.3. 2. Снять частотные характеристики напряжения на выходе фильтра и сдвига фазы между входом и выходом. Частоту генератора следует менять таким образом, чтобы напряжение на выходе фильтра составляло 1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5 и так далее от входного напряжения. 3. Рассчитать параметры фильтра типа К по полученному значению граничной частоты и номинальному характеристическому сопротивлению Rc = 300 Ом.

Г

Ri=300 Ом

Фильтр

300 Ом

300 Ом

V

Ф

Рис. 9.3 31

V

R н = 300 Ом

4. Рассчитать характеристики рабочего затухания и рабочей фазы по измеренным в п. 2 величинам. 5. Рассчитать характеристики собственного затухания и фазы фильтра типа К. 6. Рассчитать последовательно-производное или параллельно-производное звено типа m (в зависимости от предложенной в вашем варианте схемы), приняв m = 0,6. 7. Собрать на лабораторной установке комбинированный фильтр m+K+m, подсоединив фильтры таким образом, чтобы обеспечивалось постоянство входного сопротивления. 8. Снять частотные характеристики напряжения на выходе фильтра и сдвига фазы между входом и выходом. Примечание. При выполнении п. 3 следует учесть, что граничную частоту точнее можно определить по фазовой характеристике (bр = ± 135°). IV.

Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента. 2. Результаты работы. 2.1. Экспериментальные данные рабочих характеристик фильтра типа К записываются в таблицу по форме 9.1. Форма 9.1 f, кГц Uвых, В aр, Нп bр, град 2.2. Расчёт элементов фильтров типа К и m. 2.3. Расчёт собственного затухания и постоянной фазы фильтров типа К делается по форме 9.2. Форма 9.2 f, кГц ac, дБ bc, рад 32

Зависимости aр = F1(f), ac = F2(f), bр = F3(f), bc = F4(f) выполнять на миллиметровой бумаге. 2.4. Экспериментальные и расчётные данные рабочих характеристик фильтра типа m +К + m записываются в таблицу по форме 9.3. Форма 9.3 f, кГц aр, Нп ac, дБ bр, град Построить зависимости aр = F(f), bр = F(f) для фильтра типа m +К + m. 3. Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. а) б) в)

Сформулировать: сущность характеристических параметров фильтров; разницу между собственной, вносимой и рабочей мерами передачи; недостатки и преимущества фильтров типа К и m.

2. Объяснить свойства характеристик фильтра на граничной частоте. 3. Составить комбинированный фильтр ВЧ, обеспечивающий постоянство входного сопротивления. 4. На фильтр НЧ подано напряжение U = 5 cos (щt + 0), где ω выше частоты среза. Как изменится амплитуда и фаза этого напряжения, если фильтр согласован на этой частоте? не согласован на этой частоте? 5. Те же вопросы, но для фильтра ВЧ. Литература: [2], с. 419 – 431, 450 – 456.

33

Работа 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЛИННОЙ ЛИНИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

I. Цель работы

Изучение влияния нагрузки на режим длинной линии и метода измерения сопротивления. II. Основные теоретические положения

Электрическая цепь, протяжённость которой соизмерима с длиной волны распространяющегося по ней колебания, представляет собой цепь с распределёнными параметрами. Её особенностью является невозможность разграничения в ней элементов, содержащих магнитную, электрическую или тепловую энергию. Характерным представителем класса цепей с распределёнными параметрами является длинная линия. Конструктивно она реализуется в виде двухпроводной или однопроводной воздушной линии; двухпроводной или однопроводной кабельной линии; коаксильной линии, волноводной линии и т.п. Анализ таких цепей основывается на представлении о том, что отрезок линии длиной Δ x << л может быть замещён эквивалентной Г-образной схемой, содержащей в продольном плече сопротивление Δ Z = R1 Δ x + j щL1 Δ x , а в поперечном – проводимость Δ Y = G1 Δ x + j щC1 Δ x . Таким образом, вся линия замещается бесконечным числом таких каскадно соединённых четырёхполюсников. Свойства линии характеризуются первичными параметрами R1, L1, C1, G1, представляющими собой погонные параметры линии. Первичные параметры линии определяют вторичные параметры: волновое сопротивление, постоянную распространения, фазовую скорость. Вторичные параметры характеризуют процесс распространения электромагнитной волны, возникающей в линии под влиянием приложенной ЭДС. Волновое сопротивление представляет собой сопротивление, которое оказывает линия падающей и отражённой волне напряжения и тока. Для линии с малыми потерями, какой является длинная линия на высоких частотах, волновое сопротивление чисто активное: с=

U отр L1 U пад = =− . C1 I пад I отр

(10.1)

Коэффициент распространения г = α + j в = ln

U пад1 U пад 2

34

= ln

U отр1 U отр 2

.

(10.2)

Здесь U пад 1 и U пад 2 – измерены на расстоянии единицы длины друг относительно друга вдоль линии (аналогично U отр 1 и U отр 2 ). В общем случае γ представляет собой комплексную величину, вещественная часть которой α характеризует изменение амплитуды бегущей волны (затухание) на участке линии, равном единице длины, а мнимая часть β – изменение фазы, которое претерпевает волна на этом же участке. Коэффициент затухания измеряется в неперах или децибелах на метр, а коэффициент фазы – в радианах на метр. В линиях без потерь α = 0; г = j щ L1C1 = jв . Фазовая скорость электромагнитной волны определяет скорость, с которой распространяется вдоль линии любой уровень бегущей волны тока или напряжения с фиксированной фазой. Фазовая скорость в линии без потерь равна: v=

1 = L1C1

c , еr мr

(10.3)

где c = 3 ⋅ 10 8 м / с ; εr, μr – соответственно относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Коэффициент фазы β связан со скоростью распространения волны и угловой частотой сигнала соотношением в = щ/ v , откуда β = 2 π/λ.

(10.4)

В зависимости от характера и величины сопротивления нагрузки энергия падающей волны либо поглощается нагрузкой (частично или полностью), либо отражается обратно в линию. Свойства нагрузки поглощать энергию характеризуются коэффициентом отражения по напряжению в нагрузке U Z −с ~ pu н = отр = н U пад Z н + с

(10.5)

или коэффициентом отражения по току ~ pi н = − ~ pu н .

(10.6)

Если Zн = ρ, то коэффициент отражения равен нулю, т. е. вся энергия поглощается нагрузкой, и в линии cуществует режим бегущей волны. Если модуль коэффициента отражения pu н = 1, то амплитуда падающей волны равна амплитуде отражённой волны. В линии возникает режим стоячей волны, который характеризуется тем, что в каждой точке линии, где падающая и отражённая волны напряжения (тока) складываются в фазе, возникает пучность напряжения (тока), напряжение падающей волны удваивается, а там, где 35

падающая и отражённая волны складываются в противофазе, их суммарное напряжение равно нулю – в линии наблюдаются нули напряжения (тока). Амплитуда падающей волны равна амплитуде отражённой волны в случаях, если нагрузка не поглощает энергию, а именно, если линия короткозамкнута, разомкнута или нагружена на чисто реактивное сопротивление. При чисто активном сопротивлении нагрузки, но не равном волновому, или при комплексном сопротивлении в линии устанавливается режим смешанных волн. В этом случае часть энергии поглощается нагрузкой, и амплитуда падающей волны не равна амплитуде отражённой волны. В этом режиме вдоль линии уже не будет нулей напряжения (тока), а будут минимумы, и не будет пучностей напряжения (тока), а установятся максимумы. Поскольку режимы бегущих и стоячих волн являются некоторыми предельными режимами работы линии, то вводят коэффициенты, характеризующие степень приближения режима смешанных волн к этим режимам, а именно, коэффициент бегущих волн, характеризующий приближение к режиму бегущих волн: kб в =

Zн + с − Zн − с U min , = U max Zн + с + Zн −с

(10.7)

и коэффициент стоячих волн, характеризующий приближение к режиму стоячих волн: U k с в = max . (10.8) U min Очевидно,

kб в = 1 kс в ;

(10.9)

0 ≤ kб в ≤ 1, ⎫⎪ ⎬ 1 ≤ kс в ≤ ∞ .⎪⎭

(10.10)

В результате суммирования падающей и отражённой волн в каждой точке линии с координатой x устанавливаются следующие значения комплексных амплитуд напряжения и тока: U ( x) = U н cos в x + jс I н sin в x ,⎫ ⎪ ⎬ Uн sin в x , ⎪ I ( x) = I н cos в x + j с ⎭

(10.11)

где U н , I н − комплексные амплитуды напряжения и тока в нагрузке; x – расстояние от нагрузки. 36

Входное сопротивление длинной линии в сечении x может быть определено из выражений (10.11): с sin в x U ( x) Zн = Zн Z вх ( x) = . Zн I ( x) cos в x + j sin в x с cos в x + j

(10.12)

Режим бегущей волны (Zн = ρ), (kб в = 1). Выражения для мгновенных значений тока и напряжения бегущей волны имеют следующий вид: i ( y ) = I sin (щt − в y) , ⎫ ⎬ u ( y ) = I с sin (щt − в y ) = U sin (щt − в y ) ,⎭

(10.13)

где y – координата, отсчитываемая от начала линии; I, U – амплитуды тока и напряжения. На рис. 10.1, а показаны положения бегущей волны вдоль линии для различных моментов времени. Если проследить значения напряжения с одной и той же фазой (например, φ = 0, U = U max), то можно заметить, что они как бы перемещаются по линии. Из (10.13) следует, что амплитуды тока и напряжения остаются неизменными вдоль всей линии (рис. 10.1, б). Входное сопротивление Z вх ( y ) =

U ( y) =с = I ( y)

L1 , C1

т. е. ток и напряжение в любой точке линии совпадают по фазе.

Рис. 10.1 37

Режим стоячих волн (Zн = ∞), (Zн = 0), ( Z н = ± j X н ) . Как следует из (10.11), для разомкнутой линии (Iн = 0) ⎫ Uн sin в x ;⎪ с ⎬ U ( x) = U н cos в x . ⎪⎭ I ( x) = j

(10.14)

Если перейти к мгновенным значениям, полагая для разомкнутой линии начальную фазу для U н равной нулю, то получим Uн р ⎫ sin в x cos (щt + ) ,⎪ 2 ⎬ с ⎪ u ( x) = U н cos в x cos щt . ⎭ i ( x) =

(10.15)

Следовательно, напряжение и ток меняются вдоль линии по гармоническому закону. Их амплитуды достигают максимальных значений в пучностях и нулевых значений в узлах; расстояние между соседними пучностью и узлом напряжения (или тока) равно λ/4 (рис. 10.2, а). Положение нулей и пучностей остаётся неизменным во времени.

Рис. 10.2

Рис. 10.3

В узлах происходит изменение фазы тока и напряжения на 180°. Напряжение и ток в любой точке линии сдвинуты по фазе на 90° во времени и по координате на λ/4; отношение амплитуды напряжения в пучности напряжения к амплитуде тока в пучности тока равно волновому сопротивлению ρ. На конце 38

разомкнутой линии находятся: узел тока (Iн = 0) и пучность напряжения (U н = U max ) . Приведённые соотношения показывают, что в каждой точке линии напряжение и ток меняются во времени по гармоническому закону, достигая различных амплитудных значений в разных точках линии (рис.10.3). Кривые распределения напряжения вдоль линии в режиме стоячей волны как бы пульсируют во времени. На основании уравнений (10.14) входное сопротивление для разомкнутой линии Z вх ( x) = − jс ctgв x = j X вх ( x).

(10.16)

Можно утверждать, что режим работы линии не изменится, если к разомкнутой на конце линии подключить короткозамыкающую перемычку в сечение, где входное сопротивление линии равно нулю, а оставшуюся часть линии отбросить. Следовательно, распределение напряжения, тока и сопротивления вдоль короткозамкнутой линии можно получить из таковых для разомкнутой линии, если укоротить последнюю (или удлинить) на отрезок, равный четверти длины волны (см. рис. 10.2, в). Аналогично, если укоротить линию на расстояние меньше, чем четверть длины волны, и нагрузить её на ёмкость, сопротивление которой равно сопротивлению отброшенного отрезка линии, то распределение напряжения и тока вдоль оставшегося отрезка линии останутся прежними (см. рис. 10.2, б). Распределение напряжения, тока и сопротивления вдоль линии, нагруженной на индуктивность, можно получить, если укоротить разомкнутую линию на расстояние, большее четверти длины волны или удлинить на расстояние меньше λ/4 (см. рис. 10.2, г). Режим смешанных волн ( Z н = Rн ≠ с либо Z н = Rн + j X н ) . Если сопротивление нагрузки является чисто активным и Rн > с , то распределение тока и напряжения имеет некоторое сходство с соответствующим распределением в разомкнутой линии (рис. 10.4, а). На конце линии устанавливаются максимум напряжения и минимум тока. В этом случае kб в = ρ / Rн.

(10.17)

Сопротивление в каждой точке линии представляет собой комплексную величину. Только в минимумах и максимумах напряжения сопротивление чисто активное. В минимумах напряжения сопротивление меньше волнового, а в максимумах напряжения оно больше волнового сопротивления линии. Распределение напряжения, тока и сопротивления при других значениях сопротивления нагрузки можно получить из режима нагрузки на активное сопротивление, большее, чем волновое сопротивление линии. Перенося начало отсчёта: – на расстояние меньше л 4 , получаем распределение U, I, Rвх, Xвх для линии, нагруженной на комплексное сопротивление ёмкостного характера (рис. 10.4, б); 39

– на расстояние, равное л 4 , получаем распределение для линии, нагруженной на активное сопротивление, меньше волнового (рис. 10.4, в); – на расстояние больше л 4 , получаем распределение для линии, нагруженной на комплексное сопротивление индуктивного характера (рис. 10.4, г). Z R X = +j вдоль линии с с с в различных режимах работы может быть получено с помощью диаграммы Вольперта [круговой диаграммы] (рис.10.5). На этой диаграмме чисто активные сопротивления нанесены на прямой линии, проходящей через центр диаграммы. Чисто реактивные сопротивления располагаются на внешней окружности: слева – отрицательные, справа – положительные. Вся остальная плоскость – плоскость комплексных сопротивлений, относительные значения которых определяются окружностями постоянных активных и реактивных сопротивлений, проходящих через данную точку. Значения относительных сопротивлений, соответствующих данной окружности, нанесены: для активных составляющих – на оси активных сопротивлений, для реактивных составляющих – на окружности реактивных сопротивлений. Кроме того, на диаграмме с координатами центра (1,0) нанесена система окружностей постоянного kб в , линии (концентрические окружности), kб в которых соответствуют верхней части оси действительных сопротивлений (значеR ния ), и внешняя окружность, на которой отложено относительное расстояс ние x/λ, откладываемое по ходу часовой стрелки, если движение вдоль линии происходит в сторону генератора, и против хода часовой стрелки, если движение происходит в сторону нагрузки. С помощью круговой диаграммы можно определить сопротивление в любой точке линии, если известно сопротивление в любой другой точке линии, взаимное расположение сечений (по отношению к генератору или нагрузке), расстояние между сечениями, длина волны колебания, распространяющегося в линии, kб в и волновое сопротивление линии. В лабораторной работе требуется определить сопротивление нагрузки линии, если известно распределение напряжения вдоль линии. Из этого распределения напряжения можно определить λ, kб в = U min /U max , а также расстояние между двумя сечениями, сопротивление в одном из которых известно, а сопротивление в другом надо определить. Как следует из рис. 10.4, сопротивление в минимумах напряжения чисто активное и меньше волнового. Это означает, что на круговой диаграмме оно будет располагаться на оси сопротивлений между 0 и 1. Можно определить расстояние x 0 между минимумом напряжения и концом линии. Конструкция линии не позволяет непосредственно определить коРаспределение относительного сопротивления

40

ординату конца линии, но известно, что в режиме короткого замыкания на конце линии будет располагаться нуль напряжения. Таким образом, искомое расстояние x 0 можно определить как расстояние между ближайшим минимумом напряжения линии, нагруженной на неизвестное сопротивление, и нулём короткозамкнутой линии, обращая внимание при этом на взаимное расположение этих сечений. Алгоритм определения неизвестного сопротивления следующий: 1. Находим на диаграмме точку, соответствующую минимуму напряжения. Эта точка (А) соответствует значению kб в линии и находится на оси вещественных сопротивлений. 2. Соединяем полученную точку (А) с центом координат и продолжаем прямую до пересечения с внешней окружностью (точка Б). 3. От точки Б в сторону, соответствующую взаимному расположению сечений, откладываем расстояние x0 / л и получаем точку В. 4. Соединяем точку В с центром координат и находим точку Г пересечения этой прямой с окружностью, соответствующей kб в линии. Окружности относительного активного и реактивного сопротивления, проходящие через точку Г, дают значения R/ρ и X/ρ. Для получения абсолютного сопротивления нагрузки необходимо полученные значения относительного сопротивления умножить на ρ = 75 Ом.

Рис. 10.4

41

Рис. 10.5

42

III. Методика выполнения работы

1. Ознакомиться со схемой установки. 2. Снять распределение напряжения вдоль линии при значениях сопротивления нагрузки Zн = 0 (короткое замыкание), Zн = ∞ (холостой ход), Zн = ρ, Zн = Rн < ρ, Zн = R + jXн – неизвестное комплексное сопротивление. 3. Построить распределение напряжения в относительных величинах U ( x) / U max = f ( x) : для короткозамкнутой, разомкнутой линий, а также для заданных в эксперименте режимов нагрузки. Величину отношения напряжений считать с учётом характеристики прибора (детектора) пропорциональной корню квадратному из отношения показаний прибора: U = U max

Aдел Amax

,

где Aдел – показания прибора в делениях; Amax – показание прибора в максимуме напряжения. 4. Определить величины kб в по построенным кривым согласно формуле (10.7). 5. Рассчитать величины комплексного сопротивления нагрузки по диаграмме Вольперта. 6. Определить активное сопротивление нагрузки по формуле (10.17). 7. Сопоставить положение нулей и пучностей короткозамкнутой и разомкнутой линий между собой; совпадает ли это с теорией? Определить kб в линии в режиме бегущей волны. Объяснить полученный результат. IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента. 2. Результаты работы. 2.1. Результаты эксперимента заносятся в таблицу по форме 10.1. График распределения напряжения вдоль линии в режиме к.з. и х.х. (выполнять на миллиметровой бумаге). График распределения напряжения вдоль линии, замкнутой на комплексное сопротивление (выполнять на миллиметровой бумаге). График распределения напряжения вдоль линии, нагруженной на чисто активное сопротивление R = ρ; R ≠ ρ (выполнять на миллиметровой бумаге). 2.2. Расчёт сопротивлений нагрузки. 3. Краткие выводы.

43

Форма 10.1 lx, см Zн = ∞

Ax A Amax lx, см

Zн =

Ax A Amax lx, см

Zн =

Ax A Amax lx, см

Zн =

Ax A Amax lx, см

Zн =

Ax A Amax Вопросы для самопроверки

1. Каким условиям отвечает устройство, рассматриваемое как цепь с распределёнными параметрами? 2. Укажите примеры известных вам цепей с распределёнными параметрами. 44

3. Какова протяжённость отрезка цепи с распределёнными параметрами, для которого можно составить схему, содержащую конечное число элементов? 4. Назовите первичные и вторичные параметры схемы и укажите физический смысл каждого из них. 5. Какие режимы работы линии вы знаете? Чем определяется режим работы? 6. Приведите пример графиков распределения напряжения, тока и сопротивления (активной и реактивной составляющих) вдоль линии для всех режимов работы линии. 7. Чем отличается один режим от другого и в чём их общие черты? Как следует изменить картину распределения напряжения, тока, сопротивления вдоль линии после замены одного сопротивления нагрузки на другое? Литература: [2], c. 462 – 487. Работа 11. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПО ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА

I. Цель работы

Цель работы – определение Г-образного звена, содержащего один энергоёмкий и один резистивный элемент, по переходной характеристике. Исследование связи временных и частотных характеристик. II. Основные теоретические положения

Стационарным (установившимся) режимом является режим, при котором токи и напряжения на всех участках цепи изменяются по гармоническому закону или остаются постоянными. Любое изменение воздействия или параметров самой цепи приводит к нарушению стационарности. Переходный (нестационарный) режим представляет собой процесс перехода цепи к новому стационарному состоянию. В цепи, содержащей только активные сопротивления, такой переход может произойти мгновенно. В цепях, содержащих энергоёмкие элементы (катушки индуктивности и конденсаторы), для этого необходимо некоторое время, поскольку запасаемая ими энергия не может изменяться мгновенно (мощность не может равняться бесконечности): 2 dWL d ⎛⎜ iL ⎞⎟ = ⎜ L ⎟ = p ≠ ∞, dt dt ⎝ 2 ⎠

(11.1)

2 dWC d ⎛⎜ uC ⎞⎟ = ⎜C = p ≠ ∞. dt dt ⎝ 2 ⎟⎠

(11.2)

45

Из соотношений (11.1), (11.2) следует, что ток через индуктивность и напряжение на ёмкости не могут изменяться мгновенно, что соответствует первому и второму закону коммутации: i L ( 0 − ) = i L (0 + ) ,

(11.3)

uС (0–) = uC (0+).

(11.4)

Свойства цепей в переходном режиме определяются двумя характеристиками – переходной и импульсной. Переходная характеристика цепи h1(t – t0) определяется как отклик цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения 1(t – t0), а её размерность равна отношению размерностей выходной и входной величин. Импульсной характеристикой цепи hδ(t) называют функцию отклика цепи на воздействие типа δ-функции, т. е. бесконечно короткого во времени прямоугольного импульса единичной площади. Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности произведения “воздействие × время”. Между указанными характеристиками существует соотношение d h 1 (t − t 0 ) , t > 0. h (t − t 0 ) = dt д

(11.5)

Таким образом, обе характеристики цепи являются характеристиками переходного режима работы цепи и полностью определяют свойства цепи, что позволяет определять её схему и параметры по виду переходных и импульсных характеристик. Переходные и импульсные характеристики цепи могут быть определены несколькими способами. Наиболее удобным для анализа сравнительно простых цепей является операторный метод (метод интеграла Лапласа). В этом методе, подобно методу комплексных амплитуд, операции над функциями времени заменяются операциями над их символами. Временные функции a(t) в этом методе называют оригиналами, их операторные символы A(p) – изображениями. Между ними существует связь через прямое и обратное преобразования Лапласа. ∞

A ( p ) = L[ a (t ) ] = ∫ e − pt a (t ) dt ,

(11.6)

1 у + j ∞ pt a (t ) = L [ A ( p ) ] = e A ( p )dp. 2р j у −∫j ∞

(11.7)

0

−1

46

Эта связь может быть записана с помощью знака соответствия: a (t)

A (p) .

(11.8)

Если известно изображение A (p), то оригинал a (t) можно определить с помощью специальных таблиц (см. табл. 11.1) или воспользовавшись теоремой разложения. Таблица 11.1 Таблица оригиналов и изображений по Лапласу

Изображение A (p)

Оригинал a (t)

1/p

1

1/p2

t

1

δ (t)

1/ (p + α )

e–αt

1 / [ p ( p + α) ]

(1 – e – α t ) /α

Теорема разложения: если изображение A (p) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от p, не имеющих общих корней: a n p n + a n − 1 p n − 1 + … + a1 p + a 0 N ( p) , = A ( p) = M ( p ) bm p m + bm − 1 p m − 1 + … + b1 p + b0

(11.9)

причём степень полинома M (p) выше, чем степень полинома N (p), а уравнение M (p) = 0 не имеет кратных корней, то p t N ( pk ) e k , k =1 d M d p p = pk n

a (t ) = ∑

(11.10)

где pk – корни уравнения M (p) = 0. В операторном методе так же, как в символическом методе, вводятся функции цепи – операторное сопротивление Z ( p) и операторный коэффициент передачи k ( p) , которые получают из аналогичных соотношений Z ( j щ) и 47

k ( j щ) путём замены j ω → p . Например, комплексное сопротивление схемы R L : Z ( j щ) = R + j щL ; операторное сопротивление этой схемы Z ( p) = R + p L . Коэффициенты передачи – комплексный k (jω) и операторный k (p) для простейших схем представлены в табл. 11.2 (для режима х.х.) и табл. 11.3 (для нагрузки Rн). Временные функции воздействия – единичный скачок и единичный импульс соответствуют операторной форме (своему изображению), согласно табл.11.1. 1 ( t)

1/p ,

δ (t)

1.

Изображение отклика цепи на единичное воздействие можно определить, используя операторную запись закона Ома I (p ) = E ( p ) / Z (p )

или операторную запись коэффициента передачи Uвых (p) = Uвх (p) · k (p) .

Изображение переходной характеристики определяется как произведение изображения единичного импульса на изображение коэффициента передачи цепи k (p): H 1 (p) = (1/p) · k (p) ,

(11.11)

оригинал (переходная характеристика) h 1 ( t)

(1/p) · k (p)

(11.12)

Изображение импульсной характеристики определяется как произведение изображения δ-функции на изображение коэффициента передачи k (p): H δ (p) = 1· k (p) ,

(11.13)

оригинал (импульсная характеристика) h δ ( t)

k (p ) .

(11.14)

Таблица переходных и импульсных характеристик простейших цепей приведена ниже (см. табл. 11.2). Из этой таблицы следует, что для синтеза цепи по характеристикам переходного режима недостаточно определить её переходную или импульсную характеристику в режиме холостого хода, так как они 48

попарно аналогичны. Не несёт новой информации и снятие второй из двух характеристик переходного режима, так как обе характеристики однозначно связаны соотношением (11.5). Дополнительную информацию можно получить, если снять переходную или импульсную характеристики цепи при нагрузке её на активное сопротивление. Анализ данных табл. 11.3 показывает, что если активное сопротивление нагрузки подключают параллельно активному сопротивлению цепи, то меняется только постоянная затухания. Если Rн подключается параллельно реактивному сопротивлению, то меняется не только постоянная затухания, но и изменяется амплитуда установившегося значения характеристики. Таким образом, сопоставление данных табл. 11.2 и 11.3 позволяет выбрать схему цепи. Численные значения элементов можно определить, если известна постоянная затухания α и величина Rн. Сравнивать переходные или импульсные характеристики между собой удобно, если выбрать некоторый уровень. Обычно определяют такой временной интервал t0, при котором б t0 = 1 и h 1 (t 0 ) = e − 1 = 0,368 либо h1 (t0 ) = 1 − e − 1 = 0,632 , т. е. временной интервал, при котором уровень h 1 (t 0 )

отличается от предельного значения h1 (t ) при t → ∞ на величину 0,368 максимума h1 (t ) . Справедливо такое же определение интервала t 0 по импульсной характеристике hд (t ). Постоянная затухания α обратна интервалу t 0 : α = 1/ t0 . Точность определения элементов цепи зависит от точности определения α. Её можно повысить, если использовать формулу б=

h1 (Δ t ) − h1 (0) 1

h max ⋅ Δ t

,

где Δ t – интервал времени, на котором функцию e − б Δ t можно считать линейной, т. е. б Δt << 1.

49

Таблица 11.2 Комплексный коэффициент передачи

Операторный коэффициент передачи

1 R 1+ j щL

50

1 jщL 1+ R

1 1+

R pL

1 R 1+ pL

=

p R L

p+

=

R L

R p+ L

1 = 1 + p RC 1 RC = 1 +p RC

1 1+ j R щC

1 p

1 p

Изображение переходной характеристики

1 p ⋅ p p+ R L

R L

1 ⋅ p p+ R L

Оригинал переходной характеристики

e

1+

1 jщRC

1 1+

1 p RC

=

−

R t L

h (t)

1

1 t 1

h (t ) = 1 − e h (t)

p p+

1 RC

1 p

1 p ⋅ p p+ 1 RC

R t L

1

1 t

h (t ) = 1 − e 1 p

−

1

1

1 1 RC ⋅ p p+ 1 RC

−

h (t)

1

1 t

−

R p+ L

= 1−

R L p+

R L

R p+ L

Оригинал импульсной характеристики

R

R − t h (t ) = д(t ) − e L L д

R

h д (t ) =

R L

R − Lt e L

t RC

1

h (t ) = e 1 h (t)

Изображение импульсной характеристики

p

1

1

1

Импульсная характеристика Изображение воздействия

Схема

Изображение воздействия

Переходная характеристика

t RC

1

1 t

1 RC 1 p+ RC

1 − RC h (t ) = e RC

1 p RC = 1− 1 1 p+ p+ RC RC

1 − RC h (t ) = д(t ) − e RC

t

д

t

д

Таблица 11.3 Схема

Комплексный коэффициент передачи

Переходная характеристика Операторный коэффициент передачи

Изображение воздействия

Изображение переходной характеристики

Оригинал переходной характеристики −

1

1

h (t ) =

1+

1 1

1 R R 1+ + Rн j щL

1 j щL 1+ Rэ

51 Rэ =

R Rн R + Rн

1 R 1+ + j R щC Rн

1+

R R + Rн p L

=

p ⎛ R ⎜ 1+ ⎜ R н ⎝

⎤ ⎞⎡ R ⎟⎢ p+ ⎥ ⎟ L (1+ R / Rн ) ⎦ ⎠⎣

Rэ L = R L 1+ p p+ э L Rэ 1

1/ ( RC ) = R 1 + R / Rн 1+ + p RC p+ Rн RC 1

1 p

1 p

1 p

⎛ R ⎜⎜ 1+ ⎝ Rн

⎤ ⎡ ⎥ ⎞⎢ R ⎟⎟ ⎢ p + ⎥ R ⎠⎢ L (1+ ) ⎥ ⎢⎣ Rн ⎥⎦

Rэ 1 ⋅ L p p+ Rэ L

1+ p+

R Rн

RC

e

h 1 (t ) = 1− e

−

Rэ L

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

t

h 1(t) 1 t (1 + R / R н ) ⎞ ⎛ − t ⎜ ⎟ RC h (t ) = 1− e ⎟ R ⎜⎜ ⎟ 1+ ⎝ ⎠ Rн

1

1

1 RC

1 ⋅ p

R Rн

Rt ⎛ R L ⎜⎜ 1 + Rн ⎝

h 1(t) 1 1 R 1+ Rн t

1 1 1+ j щC R э

Rэ =

R Rн R + Rн

1 1 1+ pRэ C

=

p p +1 / ( R э C )

1 p

1 p+

1 Rэ C

h 1 (t ) = e

−

t RэC

1

t

III.

Методика выполнения работы

1. Исследуемую цепь подсоединить на лабораторной установке к измерительным приборам в соответствии со структурной схемой рис. 11.1. 2. Определить переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода и постоянную затухания. 3. Нагрузить цепь на Rн, подобрав его таким образом, чтобы обеспечить возможность определения t0. 4. Определить схему цепи, используя данные табл. 11.2 и 11.3. 5. По измеренным t0 в режимах холостого хода и при нагрузке на Rн определить элементы схемы. 6. Рассчитать KU х х (щ) и ϕ K для схемы, построенной по результатам U хх

п.п. 4; 5. Импульсный генератор

Г-образное звено

Осциллограф

Вольтметр

Г

Частотомер

Рис.11.1 7. Снять АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи в режиме холостого хода и сопоставить результаты с данными п.6. 8. Рассчитать импульсную характеристику цепи в режиме холостого хода и сравнить её с характеристикой, полученной экспериментально. IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента. 2. Результаты работы. 2.1. Переходные и импульсные характеристики цепи в режиме холостого хода (выполнить на миллиметровой бумаге). 2.2. Переходные и импульсные характеристики цепи при нагрузке Rн (выполнить на миллиметровой бумаге). 52

2.3 . Построение и расчёт элементов. 2.4. Расчёт частотной характеристики. 2.5. Сопоставление частотных характеристик (расчётной и экспериментальной). 2.6. Расчёт импульсной характеристики. 2.7. Сопоставление рассчитанных импульсной и частотной характеристик. 3. Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать законы коммутации. 2. Дать определение переходной и импульсной характеристик цепи. 3. Изобразить переходные и импульсные характеристики простейших цепей. 4. Определить время переходного процесса и постоянную затухания в цепи. 5. Получить импульсную и переходную характеристики rLC цепи операторным методом. 6. Объяснить связь между переходной, импульсной и частотной характеристиками цепи. Литература: [2], c. 306 – 308, 331 – 360.

53

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИМЕР ОТЧЁТА О ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Работа 7. Исследование частотных свойств реактивных четырёхполюсников Измерительная аппаратура

Наименование, тип Генератор сигналов, Г3 – 33 Частотомер электронносчётный, Ч3 – 64

Основная погрешность измерений (0, 02F + 1) Гц, где F – номинальное значение частоты ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟, где f – значение δf = ± ⎜⎜ 5 ⋅10 −7 + f t сч ⎠ ⎝ измеряемой частоты, кГц; tсч – время счёта, мс

Милливольтметр, В3 – 38

± 4%

Фазометр, Ф2 – 1

± 4% + (0,02 Aпр), где Aпр – максимальное значение установленного предела измерения

1. Структурная схема эксперимента.

R i = 10 кОм Г

V

V

Двухполюсник

Ф

54

Частотомер

2. Результаты работы. 2.1. Экспериментальные данные.

f, кГц

0

6

8

12

15

19

21

24

26

28

30

∞

Uвх, В

0

3

6

9

5

1

2

6

5

4

3

0

ϕ вх = − 45 при f зад = 26 кГц, Z вх ( f зад ) = − j 10 кОм . Амплитудно-частотная характеристика входного напряжения двухполюсника

f1 = 0 кГц,

f2 = 12 кГц,

f3 = 19 кГц,

55

f4 = 24 кГц

Характеристика входного сопротивления идеального реактивного двухполюсника (типа [0, 0] )

2.2.

Расчёт схемы двухполюсника.

Каноническая схема реактивного двухполюсника типа [0,0] с двумя внутренними полюсами.

Расчётные формулы и результаты вычислений ω1 = 0, ω2 = 2 π f2 = 2 π · 12 · 103 ≈ 75,4 · 103

рад , с

ω3 = 2 π f3 = 2 π · 19 · 103 ≈ 119 · 103

рад , с

рад , с рад ωзад = 2 π fзад = 2 π · 26 · 103 ≈ 163 · 103 . с ω4 = 2 π f4 = 2 π · 24 · 103 ≈ 151 · 103

56

2

Z вх (щзад ) = − j щзад ⋅ H ⋅ 2

2

2

2

2

2

2

2

][

.

2

− j щ зад (щ зад − щ3 )

[

2

(щзад − щ2 ) (щзад − щ4 )

Z вх (щзад ) ⋅ (щ зад − щ2 ) (щ зад − щ4 )

H=

=

2

(щзад − щ3 )

=

− j 10 ⋅10 3 (163 ⋅10 3 ) 2 − (75,4 ⋅10 3 ) 2 ⋅ (163 ⋅10 3 ) 2 − (151⋅10 3 ) 2

[

− j 163 ⋅10 3 (163 ⋅10 3 ) 2 − (119 ⋅10 3 ) 2

]

]≈

рад 10 10 6 (26569 − 5685) (26569 − 22801) 10 7 20884 ⋅ 3768 ≈ ⋅ = ⋅ ≈ 3,9 ⋅10 8 Ом ⋅ . 163 (26569 − 14161) 163 12408 с

A2 =

2

2

2

2

щ2 − щ3 щ2 − щ4

=

2

A4 =

щ4 − щ3 2

щ4 − щ2

C2 =

75,4 2 − 119 2 2

75,4 − 151

2 2

=

2

≈

5685 − 14161 ≈ 0,5 . 5685 − 22801

22801 − 14161 8640 = = 0,5 . 22801 − 5685 17116

1 1 = ≈ 5 ⋅10 − 9 Ф = 5 нФ . 8 H A2 3,9 ⋅10 ⋅ 0,5

Номинал ёмкости C2 в цепи составляет 4,5 нФ. C4 =

1 1 = ≈ 5 нФ . H A4 3,9 ⋅10 8 ⋅ 0,5

Номинал ёмкости C4 в цепи составляет 4,5 нФ. L2 =

1 2

щ2 C 2

=

1 = 35 ⋅10 − 3 Гн = 35 мГн . −9 (75,4 ⋅10 ) ⋅ 5 ⋅10 3 2

Номинал индуктивности L2 в цепи составляет 30 мГн.

57

L4 =

1 2

щ4 C 4

=

1 ≈ 8,8 ⋅10 − 3 Гн ≈ 8,8 мГн . −9 3 2 (151 ⋅10 ) ⋅ 5 ⋅10

Номинал индуктивности L4 в цепи составляет 8,0 мГн. 3. Краткие выводы. Измерена амплитудно-частотная характеристика входного напряжения двухполюсника с малыми потерями. Пренебрежение малыми потерями позволяет на основе АХЧ входного напряжения реального двухполюсника определить тип зависимости входного сопротивления идеального реактивного двухполюсника от частоты и рассчитать элементы его схемы. Вариация номиналов реактивных элементов схемы должна приводить к изменению частот нулей и полюсов зависимости входного сопротивления двухполюсника от частоты. Ошибки измерения частот нулей и полюсов характеристики входного сопротивления должны привести к неточному расчёту элементов схемы. Этим можно объяснить отличие расчётных значений от номиналов элементов цепи.

58

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие Контрольно-измерительная аппаратура, применяемая при проведении лабораторных работ Охрана труда и техника безопасности при проведении лабораторных работ по дисциплине ОТЦ Работа 7. Исследование частотных свойств реактивных двухполюсников Работа 8. Исследование линейной цепи методом четырёхполюсника Работа 9. Исследование основных характеристик электрических фильтров Работа 10. Исследование длинной линии при гармоническом воздействии Работа 11. Построение линейных цепей по характеристикам переходного режима Приложение. Пример отчёта о выполнении лабораторной работы

3 7 8 9 17 25 34 45 54

Редактор А.В. Алёхина Сводный темплан 2005 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953. П.005641.11.03 от 21.11.2003 г.

Подписано в печать 06.2005 г. Б.кн.- журн. П.л. 3,75 Б.л. 1,875 Тираж 100

Формат 60х84 1/16 Издательство СЗТУ Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет Издательство СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5 59