Электромагнитные колебания. Квантовая теория излучения. Лабораторный практикум по физике

Государственный комитет Российской Федерации по рыболовству Камчатский государственный технический университет

Кафедра физики

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Лабораторный практикум по физике Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром в качестве учебного пособия для студентов вузов региона

Петропавловск-Камчатский 2003

УДК 535.076.8 ББК 22.3 И19 В авторской редакции Рецензенты: Г.П. Исаев, кандидат физико-математических наук, доцент А.Н. Шулюпин, кандидат технических наук, доцент Ю.И. Филатов, кандидат педагогических наук, доцент Иваницкая Ж.Ф. И19

Электромагнитные колебания. Квантовая теория излучения. Лабораторный практикум по физике.– Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2003. – 144 с. Лабораторный практикум по электромагнитным колебаниям и квантовой теории излучения составлен в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки специалиста государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и предназначен для студентов и курсантов технических специальностей. Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры физики 10.06.02 г., протокол N 10. УДК 535.076.8 ББК 22.3

© КамчатГТУ, 2003 © Иваницкая Ж.Ф., 2003

2

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

3

Физика. Лабораторный практикум

ВВЕДЕНИЕ Понятие об электромагнитных колебаниях, методах их создания и способах наблюдения Колебаниями вообще называют такие изменения состояния системы, при которых параметры состояния меняются по периодическому или почти периодическому закону. Например, механическое колебание – это периодическое смещение тела от положения равновесия, при котором периодически меняется смещение х, скорость v, ускорение а, кинетическая и потенциальная энергии Wk и Wp. Т.е. x(t)= x(t+nT), v(t)= v(t+nT), и т.д. Здесь Т – период или время полного колебания, n – число колебаний. Колебания величины x называются гармоническими, если она меняется со временем t по закону x=A cos (ωt+ϕo), где A – амплитуда, или наибольшее значение величины x, ϕ=(ωt+ϕo) – фаза колебаний, или аргумент функции косинуса, определяющий в момент времени t значение колеблющейся величины,

2π – циклическая или круговая частота коT лебаний, связанная с линейной частотой ν соотношением: ω = 2πν, 1 отсюда число колебаний в единицу времени ν = . T

ϕo – начальная фаза, ω=

Если колебания происходят без внешних воздействий, только за счет единовременного отклонения системы от устойчивого равновесия, то их называют свободными или собственными. Если же колебания происходят под воздействием внешнего периодического воздействия, то их называют вынужденными. В колебательных контурах, содержащих резистор сопротивлением R, конденсатор емкостью С и катушку индуктивности L, могут происходить электромагнитные колебания. Электромагнитные колебания – это колебания электрических величин: заряда q на обкладках конденсатора, напряженности Е электрического

4

Введение. Электромагнитные колебания поля между обкладками конденсатора, напряжения U между ними, энергии электрического поля Wе внутри конденсатора, и магнитных величин: силы тока I, а значит и магнитной индукции B, энергии Wm магнитного поля в катушке индуктивности. Электрические и магнитные колебания взаимообусловлены, поэтому называются электромагнитными. Возникают электромагнитные колебания благодаря явлению самоиндукции, т.е. возникновению ЭДС индукции (электродвижущей силы индукции) в проводниках при изменении тока в них. Мгновенное значение ЭДС индукции

εi = –L

dI . Здесь L – индуктивность катушки, величина, численdt

но равная электродвижущей силе индукции, возникающей при скорости изменения тока, равной 1А/с. В идеальном колебательном контуре, где сопротивление R = 0 (рис. 1), т.е. сверхпроводящем контуре, могут происходить свободные незатухающие электромагнитные колебания.

Рис. 1

При единовременном заряде конденсатора заряд q со временем t на его обкладках будет меняться по закону

q = qm cos (ωot + α), где qm – амплитуда заряда, ωo – собственная частота, равная ωo=

1 LC

, α – начальная фаза. Такие колебания незатухающие.

В реальном колебательном контуре с сопротивлением R ≠ 0 колебания амплитуды А заряда затухают по экспоненциальному закону

5

Физика. Лабораторный практикум q=qm e Здесь А = qm e ω-частота

кону,

−

R − t 2L

R t 2L

cos (ωt+β),

уменьшается по экспоненциальному за-

этих

затухающих

2

колебаний,

равная

ω = ω o − γ 2 , γ – коэффициент затухания, равный γ =

R , 2L

e – основание натурального логарифма (число, равное 2,7), β – начальная фаза колебаний. С помощью лампового триода или полупроводникового транзистора можно создать генератор незатухающих электромагнитных колебаний, в котором убыль заряда пополняется автоматически за счет триода или транзистора, включающих в определенные моменты времени источник питания.

Рис. 2

С выхода такого генератора можно снять периодически меняющееся напряжение по гармоническому закону:

U = Uo cos(2πνt + ϕ), 6

Введение. Электромагнитные колебания где Uo – амплитудное значение напряжения, регулируется ручкой «регулировка выхода», ν – линейная частота, регулируется тумблером шкалы частот с помощью переменных индуктивности или емкости колебательного контура, являющегося основой такого генератора. Внешний вид одного из таких генераторов приведен на рисунке 2. Здесь 1 – тумблер «Сеть», 2 – множитель частот, 3 – ручка шкалы частот, 4 – регулятор выходного напряжения, 5 – шкала напряжений, 6 – вольтметр, 7 и 8 – выходные клеммы напряжений. Зависимость напряжения от времени можно визуально наблюдать на экране осциллографа с помощью электронного луча.

Рис. 3

Электронный осциллограф – прибор, предназначенный для исследования формы кривых периодических колебаний напряжения от времени. Внешняя панель электронного осциллографа типа С1-73 изображена на рисунке 4. Данный осциллограф работает в диапазоне частот от 0 до 5 МГц , позволяет измерять

7

Физика. Лабораторный практикум амплитуды колебаний в диапазоне от 0,02 до 120 В и импульсы длительностью от 0,2⋅10-6 до 0,5 секунд. Основной частью осциллографа является электронно-лучевая трубка (рис. 4).

Рис. 4

Электронно-лучевая трубка состоит из стеклянного баллона, из которого выкачан воздух до давления 10-6 мм ртутного столба. Внутрь трубки впаян ряд электродов. Спираль 1 подогревает катод 2. В результате термоэлектронной эмиссии электроны ускоряются электрическим полем порядка 103 Вольт, приложенным между управляющим катодом 3 и первым анодом 4. Второй анод 5 служит для фокусировки электронного пучка, попадающего на флуоресцирующий экран 8. Ручкой «фокусировка» на панели осциллографа можно получить на экране трубки яркую точку. Тумблерами ↔ можно перемещать пятно по осям «х» и «y». Кроме того, в электронно-лучевой трубке имеются по две пары металлических пластин 6 и 7. Если на какую-нибудь пару пластин подать напряжение, то электронный луч отклонится от своего направления, притягиваясь к положительно заряженной пластине и отталкиваясь от отрицательно заряженной пластины. Если исследуемое переменное напряжение Uy = Uosinωt, где Uo его амплитудное значение, подать на вертикально отклоняющие пластины 6, то электронный луч будет совершать вертикальные колебания с частотой ν = ω/2π, а световое пятно на

8

Введение. Электромагнитные колебания экране повторять их вдоль оси «y». При малых частотах глаз успевает следить за этими колебаниями (на рисунке 5 условные точки по вертикали), при больших – на экране будет видна неподвижная вертикальная линия. Размах этой линии зависит от амплитуды колебаний, выставляется тумблером потенциометра (V/дел) (рис. 3). Рис. 5 Для получения развертки этих колебаний подают одновременно импульсное напряжение на горизонтально отклоняющие пластины, меняющееся по линейному закону, Ux = kt, где k – константа, а t – время. При

этом Ux = kt для nT < t < (n+1)T; Ux=0 для t= nТ; Ux=0 для t= (n+1)Т.

Под действием этого напряжения в пределах одного периода на участке (1 – 2) (рис. 6) пятно на экране осциллографа будет равномерно перемещаться слева направо. Результирующая траектория луча представляет зависимость исследуемого напряжения от времени (рис. 5). Рис. 6 Действительно, подставив t = Ux/k в уравнение Uy = Uo sinωt, имеем Uy = Uo sinω(Ux/k) – уравне-

ние синусоиды, вычерченной электронным лучом на экране трубки в определенном масштабе. Если по истечении времени, равного периоду исследуемого колебания, напряжение на горизонтально отклоняющих пластинах Ux скачком падает до 0 (участок 2–3), то световое пят9

Физика. Лабораторный практикум но скачком возвращается в исходное положение. Если напряжение Ux вновь возрастает по тому же закону (участок 3–4), то на экране осциллографа снова воспроизводится синусоида (рис. 5). Таким образом, для получения развертки исследуемого напряжения во времени, на пластины необходимо подать «пилообразное» напряжение (рис. 6), причем, периоды пилообразного и исследуемого напряжения должны совпадать. Если период развертывающего пилообразного напряжения кратен периоду исследуемого, например больше его, то на экране получится изображение нескольких полных колебаний. При неравенстве и некратности периодов кривая на экране будет двигаться. Источником пилообразного напряжения является генератор развертки. При ручной регулировке поддерживать строгое равенство частот напряжений Ux и Uy трудно, поэтому осциллографы

снабжаются автоматическим устройством для синхронизации пилообразного напряжения с исследуемым. Порядок работы с электронным осциллографом дан в его техническом описании на с. 22. На осциллографе С1-73 Вы можете не только наблюдать, но и измерять: 1) полный размах переменного напряжения; 2) переменное напряжение с постоянной составляющей; 3) частоту напряжения.

10

Электромагнитные колебания Лабораторная работа 3к Сравнение шкал звуковых генераторов по фигурам Лиссажу Приборы и принадлежности: звуковой генератор ГЗ-123, звуковой генератор ГЗ-109, осциллограф С1-73. Цель работы: знакомство со звуковым генератором, осциллографом, освоение теории по сложению взаимно перпендикулярных колебаний, сравнение частотных шкал генераторов.

1. Понятие о звуковом генераторе Генератор сигналов низкочастотный представляет собой источник синусоидального напряжения U на фиксированных линейных частотах ν с фиксированными амплитудами напряжения Uо. Т.е. с выхода генератора можно снять переменное напряжение, меняющееся по закону U = Uоsin ωt, где ω – циклическая частота, равная 2πν. На рис. 1 показан внешний вид генератора ГЗ-109.

Рис. 1

11

Физика. Лабораторный практикум Диапазон частот от 20 до 200000 Гц, диапазон амплитуд 0-15 В. Амплитуда напряжения регулируется ручкой «Амплитуда», частота – ручкой «Частота» при определенном множителе частоты. Целью настоящей лабораторной работы является сравнение частотных шкал двух генераторов с помощью осциллографа.

2. Понятие об электронном осциллографе Электронный осциллограф типа С1-73 (внешняя панель изображена на рис. 2) – лабораторный прибор, предназначенный для исследования формы кривых периодических колебаний напряжения во времени в диапазоне частот от 0 до 5 МГц путем визуального наблюдения и измерения их амплитуд в диапазоне от 0,02 до 120 В и длительностей импульсов в интервалах от 0,2⋅10-6 до 0,5 с. Амплитуду напряжения меняете тумблером V/дел, при этом одна большая клетка по оси ординат соответствует указателю тумблера. Временная шкала расположена по оси абсцисс (тумблеры ms/дел и μs/дел).

Рис. 2

Основной частью осциллографа является электронно-лучевая трубка (рис. 3).

12

Электромагнитные колебания

Рис. 3

Электронно-лучевая трубка состоит из стеклянного баллона, из которого откачан воздух до давления 10-6 мм рт. столба. Внутрь трубки впаян ряд электродов. Источником электронов служит катод 2, подогреваемый спиралью 1. Катод находится внутри цилиндра 3, являющегося управляющим электродом. В основании цилиндра сделано отверстие для пропускания узкого электронного пучка. Вследствие термоэлектронной эмиссии катод испускает электроны, которые ускоряются в промежутке катод – первый анод 4 напряжением порядка 103 Вольт. Электроны попадают на флуоресцирующий экран 8, вызывая его свечение. Подводя отрицательный потенциал к цилиндру, можно уменьшать количество электронов, проходящих через его отверстие, а следовательно, и яркость пятна на экране. Для этого служит ручка «яркость» на внешней панели (рис. 2). Второй анод 5, потенциал которого выше первого, служит для фокусировки электронного пучка. Ручкой «Фокус» на внешней панели осциллографа можно получить на экране трубки яркую точку. Кроме того, в электроннолучевой трубке имеются две пары металлических пластин 6 и 7. Если на какую-нибудь пару пластин (например, вход у) подать напряжение, то электронный луч отклонится от своего направления, притягиваясь к положительно заряженной пластине и отталкиваясь от отрицательно заряженной пластины. Если исследуемое переменное напряжение Uу= Uоу sin ωt подать на горизонтально отклоняющие пластины 6, то электронный луч будет совершать горизонтальные колебания с частотой ν = ω/2π, а световое пятно на экране повторять их вдоль оси «х» согласно уравнению х = a sin ωt (1).

13

Физика. Лабораторный практикум Здесь х – смещение светового пятна от положения равновесия на экране, a – амплитуда смещения, ωt – фаза колебаний в любой момент времени t. При частотах ν порядка 1 – 4 Гц эти колебания видны на экране, так как глаз успевает следить за ходом пятна, а при более высоких частотах – на экране будет видна неподвижная горизонтальная линия. Размах этой линии, т.е. амплитуду а, можно менять ручкой «Выход» генератора. Если теперь отключить вход х, а на вход у, т.е. на вертикально отклоняющие пластины, подать напряжение той же частоты, но другой амплитуды, и сдвинутое по фазе на δ, при этом Uу= Uоу sin(ωt – δ), то световое пятно будет колебаться вслед за напряжением вдоль горизонтали в соответствии с формулой у = в sin (ωt – δ) (2). При одновременной подаче напряжений на оба входа наблюдаются замкнутые траектории, в общем случае называемые фигурами Лиссажу, вид которых зависит от амплитуд, частот и разностей фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот Чтобы выяснить характер результирующей траектории в случае одинаковых частот, решим совместно уравнения (1) и (2), исключив из них время t. Из уравнения (2) у = sin ωt ⋅ cos δ − cos ωt ⋅ sin δ (3). b x sin ωt = и учитывая, что Подставляя сюда a

cos ωt = 1 − sin 2 ωt , имеем:

y x x2 = ⋅ cos δ − 1 − 2 ⋅ sin δ b a a Отсюда

y x x2 − ⋅ cos δ = − 1 − 2 ⋅ sin δ . b a a

14

(4).

Электромагнитные колебания Возводя в квадрат обе части равенства и учитывая, что sin 2 δ + cos 2 δ = 1 , получаем уравнение наклонного эллипса: x 2 y 2 2xy + − cos δ = sin 2 δ a 2 b 2 ab

(5).

Т.е. электронный луч описывает эллипс в прямоугольнике со сторонами 2а по оси x и 2b по оси y (рис. 4).

y

2b

x

2а Рис. 4

Вид эллипса зависит от разности фаз δ. При δ = 90о имеем каноническое уравнение эллипса x2 y 2 + = 1. b2 a2 При изменении разности фаз в меньшую или большую сторону эллипс поворачивается налево или направо, одновременно сужаясь и вырождаясь в прямую (рис. 5).

у

х

Рис. 5

15

Физика. Лабораторный практикум x y b = и y = x . Эллипс выa b a рождается в прямую линию, расположенную в 1 – 3 четверти. То же происходит и при δ = 180о, колебания происходят в противофазе, луч будет колебаться по прямой во 2 - 4 четвертях. Если амплитуды колебаний а и b равны (а = b = R), то при разностях фаз 90 и 270о эллипс вырождается в окружность радиуса R, но в одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, в другом – против.

При δ = 0 (фазы совпадают)

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот Пусть теперь складываются два взаимно перпендикулярных колебания одинаковых амплитуд а, но частот, отличающихся как 1:2, заданных уравнениями: х = a sin ωt х = a sin 2ωt Учитывая, что sin 2β = 2 sin β⋅cos β, имеем уравнение сложной

x2 , так как корень квадратный имеет два a2 значения. Это уравнение фигуры, похожей на «восьмерку», или двойной эллипс в квадрате со стороной 2а (рис. 6). Вы можете построить эту фигуру, задавая значения х от 0 до а с шагом ± 0, 2 а.

функции y = ±2x 1 −

При кратности частот 1 : 3 получается фигура, похожая на тройной эллипс (рис. 7), и так далее.

16

Электромагнитные колебания

Рис. 7

При демонстрации с помощью осциллографа можно увидеть, что эллипсы медленно перемещаются. Это происходит из-за того, что частоты складываемых колебаний слегка отличаются, что эквивалентно различию фаз. Плавно меняя частоту одного из генераторов при стабильной частоте другого генератора, можно «Отловить» момент, когда эллипсы не будут перемещаться. Если входы от генераторов поменять местами, картинки 6 и 7 поворачиваются на 900. На рис. 9 приведена схема подключения выводов от генераторов к осциллографу.

5. Схема лабораторной установки Синусоидальное напряжение подается на вход х электронного осциллографа типа С1-73 с выхода генератора ГЗ-123, а на вход у – с генератора ГЗ-109. Генератор ГЗ-123 позволяет получать сигнал частот от 0,1 Гц до 299 кГц, а генератор 109 – только начиная с 20 Гц.

Рис. 9.

17

Физика. Лабораторный практикум 6. Порядок выполнения работы 1. Включите осциллограф в сеть. Ручками «Фокус» и «Яркость» добейтесь минимальной и отчетливой формы пятна на экране. Ручками регулировок смещения луча поместите луч в центр экрана осциллографа. Включите генератор ГЗ-123 (рис. 10).

Рис. 10

Проверьте контакты. Выставьте на тумблере 5 «Hz» , а на тумблере 4 – «1». Вы должны увидеть, как электронный луч совершает колебательное движение вдоль оси х с частотой 1 Гц. Наблюдайте его движение при частотах 2, 3, 4 и т.д. Установите 20 Гц. Отключите генератор. 2. Включите генератор ГЗ-109 (рис. 1). Установите множителем частоту 20 Гц. Ручкой установите нужную амплитуду. Включите второй генератор. Ручкой частоты подстраивайтесь до получения устойчивого эллипса. Вы получили соотношение частот 1:1. Посмотрите, как меняется форма эллипса при изменении амплитуд входных напряжений. Зарисуйте фигуры в таблицу измерений. 3. Повторите те же измерения при увеличении частот в 10 и в 100 раз одновременно на обоих генераторах.

18

Электромагнитные колебания 4. Измените частоту на одном из генераторов, чтобы соблюдалось соотношение частот 1:2. Получите устойчивое изображение двойного эллипса. Зарисуйте фигуру. Пронаблюдайте за фигурой при соотношении частот 2:1. То же самое проделайте на других частотах. 5. Повторите измерения для соотношений частот 1:3, 3:1. 6. Повторите измерения для соотношений частот 2:3, 3:2.

7. Таблица результатов измерений №п/п

входы

1

х

частоты

соотношения частот 1:1

у 2

х

1:2

у 3

х

2:1

у 4

х

1:3

у 5

х у

3:1

6

х

2:3

у 7

х

3:2

у

19

фигура (различные амплитуды)

фигура (одинаковые амплитуды)

Физика. Лабораторный практикум 8. Контрольные вопросы 1. Что такое электронный осциллограф? 2. Какова роль пластин в электроннолучевой трубке? 3. Что дает на выходе звуковой генератор? 4. Какова траектория луча на экране осциллографа при участии его в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты? Докажите это аналитически. 5. Какова траектория луча на экране осциллографа при участии его в двух взаимно перпендикулярных колебаниях при соотношении частот 1:2, 2:1? Докажите это аналитически. 6. Почему не удается получить неподвижные фигуры Лиссажу на данной лабораторной установке? 7. Как с помощью фигур Лиссажу можно сравнить частотные шкалы двух генераторов?

9. ЛИТЕРАТУРА 1. [2], с.265-267. 2. [1], с.303-304. 3. [5], с.388-391.

20

Электромагнитные колебания ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 12К ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ Приборы и принадлежности: колебательный контур, вибропреобразователь, осциллограф С1-73, омметр. Цель работы: изучение параметров электромагнитных колебаний и их характеристик в реальном колебательном контуре, определение логарифмического декремента затухания колебаний, измерение критического сопротивления.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1 Свободные электромагнитные колебания в LC – контуре В идеальном колебательном контуре, содержащем только конденсатор ёмкости C и катушку индуктивности L, в котором сопротивление равно нулю (таким может быть сверхпроводящий контур), могут происходить свободные электромагнитные колебания. Электромагнитными колебаниями считаются колебания электрических и магнитных величин: заряда q на обкладках конденсатора, напряженности электрического поля Е конденсатора, U – напряжения между его обкладками, а также силы тока I и величины магнитной индукции B в катушке. Сила тока и магнитная индукция являются магнитными величинами. Величины q, E, U, I, B периодически меняются со временем, следовательно: q(t) = q(t +nT), E(t) = E(t +nT), U(t) = U(t +nT), I(t) = I(t +nT), B(t) = B(t +nT), где Т – период колебаний, n≥1. Период колебаний – это время, в течение которого величина, полностью изменив свое значение, возвращается к первоначальному значению.

21

Физика. Лабораторный практикум Рассмотрим закон изменения электрических и магнитных величин в контуре (без сопротивления), первоначально присоединенном к батарее ε с помощью ключа К (рис. 1).

Рис. 1 Зафиксируем момент времени t = 0, когда верхняя пластина конденсатора зарядилась отрицательно зарядом -qо ,а нижняя по-

ложительным зарядом +qо . Отключим батарею ε и проследим мысленно за процессами, происходящими в LC -контуре. В момент отключения батареи конденсатор разряжается, по катушке L пойдет нарастающий ток Iосн. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора U = q , где C

q – меняющийся заряд, фиксированный для данного момента времени, будет равна электродвижущей силе самоиндукции εsi (э.д.с.) самоиндукции, которая нарастает вследствие нарастания основного тока. Эта э.д.с. вызовет индукционный ток Isi , направленный против основного тока. В момент времени, когда конденсатор полностью разрядится (q = 0, U = 0), сила тока в катушке достигнет максимального значения Iо , вокруг катушки возникнет магнитное поле с максимальным значением индукции Во . Затем эта сила тока будет уменьшаться из-за перезарядки конденсатора. Когда ток уменьшится до нуля, на нижней пластине накопится заряд -qо, а на верхней +qо. Затем конденсатор вновь начнет разряжаться, причём ток в цепи пойдет в противоположном направлении.

22

Электромагнитные колебания Процессы разрядки и зарядки конденсатора, а следовательно, возникновения и исчезновения магнитного поля, повторяются периодически. В данном контуре возникают, так называемые, свободные электромагнитные колебания, т.е.. колебания величин напряженностей электрических и магнитных полей, сопровождающиеся перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно. Определим период этих колебаний, учтя, что в любой момент времени разность потенциалов UС на обкладках конденсатора равна э.д.с. самоиндукции εsi .

Uc = εsi , или Так как сила тока I =

Uc =

q dI = −L C dt

(1).

dq , то, подставляя в (1), имеем диффеdt

ренциальное уравнение для свободных колебаний заряда

d 2q 1 + q=0 (2). 2 LC dt 1 Обозначая ω 0 = , где ω0 имеет размерность с-1, через LC циклическую частоту, окончательно имеем:

d 2q + ωо2q = 0 2 dt

(3).

Покажем подстановкой, что решением этого уравнения являются гармонические функции вида q = qо cos (ωоt + ϕ) (4), или

q = qо sin (ωоt + ϕ) (5), где ϕ – константа, называемая начальной фазой колебаний. Убедимся в этом хотя бы для функции (4). Первая производная заряда по времени

dq = − q о ω о sin(ω о t + ϕ ) dt 23

(6)

Физика. Лабораторный практикум а вторая

d 2q = −qоωо2cos(ωоt + ϕ) dt 2

(7).

Подставим значение заряда (4), его вторую производную (7) в уравнение его свободных колебаний (3).

− qоωо2cos(ωоt + ϕ) + ωо2qоcos(ωо t + ϕ) = 0 ;

0≡ 0. Следовательно, формула (4), а то же можно показать и для (5), подтверждает, что заряд конденсатора изменяется (осциллирует) по закону гармонической функции. Сила тока I =

dq , как видно из dt

(6), также меняется по закону гармонической функции

π⎞ ⎛ I = −qоωоsin(ωо t + ϕ) = I оcos⎜ ωо t + ϕ + ⎟ (8), 2⎠ ⎝ π но его колебания отстают по фазе на по отношению к колеба2 ниям заряда. Графики колебаний заряда и силы тока в соответствии с формулами (4) и (8), имеют вид незатухающих гармонических функций (рис. 2).

Рис. 2

24

Электромагнитные колебания Амплитуды тока (Iо) и заряда (qо) в таких идеальных колебаниях не изменяются. На рисунке показаны зависимости заряда от времени и силы тока от фазы. Величина временного периода (Т) соответствует сдвигу по фазе на 2π. В данном случае отставание по фазе тока на π/2 соответствует отставанию по времени на четверть периода (Т/4). Частота этих колебаний зависит от параметров контура

L и C, т.е.

ωо =

2π 1 , а период их Tо = = 2π LC , опреωо LC

деляется по формуле Томсона. Здесь ωо называется еще собственной частотой электромагнитных колебаний. Полная энергия этих колебаний равна сумме электрической

q2 и магнитной энергии катушки 2C q 2 LI 2 = + . 2C 2

энергии конденсатора We =

LI 2 , ⇒ Wполн. Wm = 2

Подставляя сюда значение заряда q = qо cos (ωоt + ϕ), силы тока I = – qоωоsin(ωоt + ϕ) и, учитывая, что ωо2 =

1 , получаем, LC

что полная энергия в таком идеальном контуре сохраняется постоянной в любой момент времени, так как амплитуды заряда и силы тока не меняются.

Wполн. =

qо2 q 2ω 2 L q2 cos 2 (ωо t + ϕ) + о о sin 2 (ωо t + ϕ) = о = const 2C 2 2C

Такие колебания называются незатухающими.

1.2. Затухающие электромагнитные колебания в L, C, R контуре Рассмотренные выше незатухающие колебания могут происходить в сверхпроводящем контуре. Любая реальная цепь обладает активным сопротивлением R, поэтому часть энергии, запасенная первоначально в контуре, будет превращаться в тепловую энергию, и колебания будут затухать. Убедимся в этом, применяя к контуру L,C,R (рис. 3), такие же рассуждения, что и

25

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 3

для идеального контура. Зарядим конденсатор, а затем быстро переключим ключ К в положение 2. Теперь уже в любой момент времени сумма напряжений UС на конденсаторе, UR на сопротивлении,

будет равна электродвижущей силе самоиндукции (εsi). Это же следует из второго правила Кирхгофа: UС + UR = εsi (9)

q dI + IR = −L C dt

или,

(10)

dI d 2q dq Подставляя I = и , и деля всё на L, имеем: = dt dt 2 dt d 2q R dq 1 + + q=0 (11) 2 L dt LC dt дифференциальное уравнение колебаний заряда в L,C,R – контуре. Обозначая ωо2 = частоты, и

γ=

1 , знакомый нам квадрат собственной LC

R = 2γ , где L

γ – коэффициент затухания, равный

R , окончательно имеем: 2L d 2q dq + 2γ + ωo2q = 0 2 dt dt 26

(12)

Электромагнитные колебания Уравнение (12) – это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его ищем в виде функции: q(t) = Z(t)⋅ e -γ t (13), где е – основание натурального логарифма, а Z(t) необходимо найти подстановкой (13), а также

dq d 2q и в уравнение (12). Не поdt dt 2

считаем за труд взять производные заряда по времени: первую

dq dZ − γt = e − γ ⋅ Ze− γt dt dt

(14),

и вторую

d 2q d 2 Z − γt dZ − γ ⋅t dZ − γ ⋅t = 2 e −γ e −γ e + γ 2 Ze− γ ⋅t 2 dt dt dt dt 2 d Z dZ − γ ⋅t = 2 e − γ ⋅t − 2γ e + γ 2 Ze− γ ⋅t dt dt

(15).

Подставим (13), (14), (15) в уравнение (12) и сократим на е – γt. d2Z dZ dZ − 2γ + γ 2 Z + 2γ − 2γ 2 Z + ω о2 Z = 0 . 2 dt dt dt После приведения подобных членов имеем дифференциальное уравнение для нахождения Z(t): d2Z + (ω 02 − γ 2 ) Z = 0 (16) 2 dt Обозначая ω = ω 02 − γ 2 – как циклическую частоту реальных колебаний, видим, что они происходят с частотой меньше собственной, так как на сопротивлении теряется часть энергии. Окончательно, уравнение (16) для нахождения Z(t) похоже на уравнение свободных колебаний (3), решение которого мы уже имели

d2Z + ω2Z = 0 dt 2

(17)

27

Физика. Лабораторный практикум Решением уравнения (17) является гармоническая функция в случае, если ωо>γ, т.е. при малом затухании, Z(t) = qо cos (ωt + α) (18) где qо – амплитудное значение функции Z, а α – начальная фаза колебаний заряда. Подставляя в (13), окончательно имеем: q(t) = qо e -γt cos (ωt + α) (19). -γt Из (19) видим, что амплитуда колебаний заряда A= qоe не постоянна во времени, имеет вид затухающей экспоненты (рис. 4).

Рис. 4

Быстрота спадания амплитуды определяется величиной коэффициента затухания γ, и оказывается тем больше, чем больше сопротивление резистора R. Катушки же большой индуктивности не дают колебаниям затухать так быстро. Если затухание не слишком велико, то колебания можно рассматривать как гармонические, на которые накладывается затухание амплитуды, происходящее по закону A= qоe -γt (рис. 5). Уменьшение амплитуды заряда на рисунке указано штриховыми линиями.

Рис. 5

28

Электромагнитные колебания Проанализируем некоторые особенности затухающих колебаний. Как было показано, частота колебаний ω меньше собственной:

ω = ω 02 − γ 2 =

1 R2 − LC 4L

(20),

а

величина заряда периодически уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 5). R ⎛ t 2L cos⎜

⎞ 1 R2 (21) − t + α⎟ ⎜ LC 4L ⎟ ⎝ ⎠ Колебания пропадают при условии ω=0, то есть, при сопроq(t) = qоe

−

тивлениях R, больше критического, определяемого по формуле R кр. = 2

Если R = Rкр., период T =

L C

(22)

2π 1 R2 − LC 4L

обращается в

бесконечность, т.е. движение зарядов перестаёт быть периодическим. Процесс становится апериодическим, не колебательным. Таким образом, критическое сопротивление R – то, при котором прекращаются колебания в контуре. Если сопротивление R столь велико, что оно больше критического R2 1 , то решение (21) теряет силу, так как частота f 4L LC

ω стано-

вится мнимой величиной. В данной работе требуется определить критическое сопротивление, для этого в установке имеется переменный резистор R, сопротивление которого можно регулировать и следить за установлением апериодического режима. Затухание в контуре характеризуется логарифмическим декрементом затухания δ, который определяется как натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, взятых через период (рис. 6), т.е.

29

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 6

δ = ln

A(t) A(t + T) А(t) = qо e -γ t, где

Так как амплитуда заряда

δ = ln

(23)

γ=

R , то 2L

q оe − γ ⋅ t = γ ⋅ T . Значит, логарифмический декремент коqоe − γ(t + T)

лебаний может быть рассчитан теоретически:

δ=

RT 2L

(24)

Чем меньше логарифмический декремент затухания, тем выше добротность контура Q, определяемая как Q =

Q=

2Lπ RT

π , или δ (25)

Рассмотрим физический смысл добротности (при малом затухании). Энергия Wo, запасенная в контуре в начале цикла, равна а через период – ная:

(

q о2 , 2C

qо2 − 2γ ⋅T e . За цикл теряется энергия ΔW, рав2C

)

ΔW = Wo 1 − e − 2γ ⋅T ≈ Wo 2γ ⋅ T ≈ Wo 30

2π . Q

Электромагнитные колебания Таким образом, добротность контура равна Q =

Wo . ΔW2π

Добротность контура определяет, во сколько раз энергия, запасённая в контуре, превосходит среднюю потерю энергии за промежуток времени, в течение которого фаза колебания меняется на 2π радиан. В работе требуется измерить период колебаний, критическое сопротивление контура, построить зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура, а также установить зависимость добротности контура от его сопротивления.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ 2.1. Описание схемы эксперимента В лабораторной работе для исследования затухающих колебаний в колебательном контуре используется универсальный лабораторный стенд, который является источником постоянного напряжения "+15В", "+5В" и переменного напряжения "7,5 В". В лабораторном стенде предусмотрена сменная плата. Все необходимые измерения осуществляются с помощью омметра и осциллографа C1-73, внешняя панель которого показана на рисунке 7.

31

Физика. Лабораторный практикум Рис. 7

Здесь ручкой V/дел. меняется цена деления амплитуды напряжения на оси ординат, а ручкой ms/дел. – меняется цена деления временной оси. Указатели позволяют перемещать изображение в плоскости экрана. Принципиальная схема сменной платы приведена на рисунке 8.

Рис. 8

Внешний вид платы с расположением на ней элементов схемы приведен рис. 9.

32

7

Электромагнитные колебания

Рис. 9

Здесь L – катушка индуктивностью 1,2 мГн. С1 , С2 – два конденсатора емкостями по 5800 πФ. Их можно включать раздельно и

33

параллельно с помощью ключа К. Rо – резистор, сопротивлением 300 Ом, необходимый для ограничения тока в цепи, R – переменный резистор, с помощью которого можно изменять активное сопротивление контура. Для подачи напряжения в контур служит вибропреобразователь ВП, состоящий из катушки Р (рис.8) и подвижного упругого контакта К3, который зависит от направления тока в обмотке реле, и замыкается либо с контактом К1, включая постоянное напряжение "+15В", либо с контактом К2, который обрезает это напряжение. С выхода вибропреобразователя можно снять импульсное напряжение с периодом То = 0,02 с (периодом переменного тока) (рис. 10).

Рис. 10

В этом Вы можете убедиться, присоединив вход осциллографа к точкам "8" и "7" при работающем вибропреобразователе (ключ Кп должен быть замкнут). Электронный луч прочертит на экране кривую импульсного напряжения. Если теперь подать это напряжение в колебательный контур, то в момент его роста происходит зарядка конденсатора, в промежутках же между импульсами возникают затухающие колебания напряжения (рис. 11).

34

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 11

Эти затухающие колебания можно наблюдать на экране осциллографа, подключенного к колебательному контуру через гнезда "5" и "7".

2.2 Методика проведения эксперимента а) Период колебаний измеряют с помощью осциллографа. При подключении осциллографа к точкам "5" и "7" на экране видны затухающие колебания напряжения. Подбором делителей напряжения и времени можно добиться устойчивого изображения осциллограммы. При этом 5 маленьких делений на временной оси μs ms соответствуют указателю или . Для увеличения точности дел дел измерений периода следует измерить длительность (по временной оси) 5-10 полных колебаний и разделить ее на полное число колебаний. б).Измерение логарифмического декремента затухания выполняется путем вычисления логарифмов отношений амплитуд двух последующих колебаний. Величины амплитуд находятся в маленьких делениях шкалы по оси ординат осциллограммы. в) Измерение активного сопротивления выполняется омметром при отключенном питании. Для этого омметр подключают к гнездам "6" и "7" сменной платы предварительно нажав на кнопку «сеть».

35

Электромагнитные колебания 2.3. Выполнение измерений Упражнение 1 Наблюдение импульсного напряжения. Включите сеть, сменную плату и осциллограф. Подключите общую шину осциллографа к точке "7", а вход "у" к точке "8" и замкните ключ Кп. Наблюдайте осциллограмму импульсного напряжения при разных ценах деления временной оси 1, 2, 5 μS/дел. Упражнение 2 Измерение периода затухающих колебаний Перекиньте вход "у" осциллографа на точку "5". Наблюдайте осциллограммы затухающих колебаний при разных ценах деления временной шкалы: 0,5; 0,2; 0,1; 50; 20 μS/дел. Наблюдайте как меняется период колебаний при включении одной ёмкости, двух параллельных (ключ К). Амплитуду сигнала можете менять тумблером V/дел. Установите минимальное значение сопротивления R и измерьте период по осциллограмме, наблюдая не менее 5 колебаний для ёмкости С1 = 6800 πФ и двух емкостей С2= 13600 πФ. Проверьте соответствие измеренной величины периода, полученного экспериментально (Тэксп. 1,2) и периода, рассчитанного по формуле Томсона (Трасч. 1,2)

Tрасч. = 2π LC Индуктивность катушки 1,2 мГн. Упражнение 3 Измерение критического сопротивления Наблюдайте осциллограмму затухающих колебаний для одной из емкостей. Увеличивайте сопротивление R до установления апериодического режима (затухающие колебания исчезают). Отключите питание. Измерьте омметром критическое сопротивле-

36

Физика. Лабораторный практикум ние Rкр.эксп.. Сравните его с R кр.расч. = 2

L . Для большей точноC

сти результаты получите для трех шкал 50 μS/дел., 20 μS/дел., 10μS/дел. Упражнение 4 Изучение зависимости логарифмического декремента затухания от сопротивления

Для какого-то фиксированного сопротивления R и ёмкости С наблюдайте осциллограмму затухающих колебаний. Вы получите зависимость напряжения U от времени t .

t

Рис. 11

Сдвигая ее по экрану тумблером " ", определите амплитуды не менее 5 – 6 колебаний (А1, А2, .... А3) в маленьких делениях шкалы. Рассчитайте логарифмический декремент затухания:

δi = ln

A(t i ) A A A , т.е.: δ1 = ln 1 ; δ 2 = ln 2 ; … δ 4 = ln 5 . A(t i + T) A3 A4 A2

Вычислите среднее значение δср. для данного R. Не забудьте измерить R при отключенной плате! То же самое проделайте для пяти – семи значений R.

37

Электромагнитные колебания Постройте график зависимости логарифмического декремента затухания от величины сопротивления δ (R ). Сравните с теоретической зависимостью (24). Определите добротности контуров по формуле Q =

π для δ

контуров с различными сопротивлениями R и постройте график зависимости добротности от величины сопротивления Q (R ).

Таблица измерений зависимости логарифмического декремента затухания от сопротивления

№ п / п

R1=… Oм Аi (дел)

ln

R2=…

δ1 i=

Аi

A(ti )

(дел)

A(t i + T)

ln

Oм δ2 i= A(ti )

A(t i + T)

R5=… Oм δn i=

Аi (дел) ln

A(ti ) A(t i + T)

1 2 3 4 5 Декремент Добротность

δ1 ср=…

δ2 ср=…

δn ср=…

Q1=…

Q2=…

Qn=…

38

Физика. Лабораторный практикум КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что подразумевается под электромагнитными колебаниями? 2. В чем состоит явление самоиндукции? 3. Поясните механизм возникновения электромагнитных колебаний? 4. Чем отличаются свободные колебания от затухающих? 5. Какое сопротивление называется критическим? 6. Что такое логарифмический декремент затухания колебаний? Как он зависит от сопротивления? 7. Зачем в колебательный контур включен вибропреобразователь? 8. Докажите, что в L, R,C – контуре колебания заряда происходят по закону q = qое -γ t cos (ωоt + ϕ). 9. Что такое добротность колебательного контура с позиций энергии? ЛИТЕРАТУРА

1. 2. 3. 4. 5.

[6], с.256-259. [1], с.268-271. [3], с.402-407. [6], с.261-262. [5], с.310-317

39

Электромагнитные колебания ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7К

Определение добротности колебательного контура по резонансу напряжений Приборы и принадлежности: генератор переменной эдс, колебательный контур с набором различных емкостей С, резисторов R, катушек индуктивности L, микроамперметр μА.

Теоретическая часть 1. Понятие о вынужденных колебаниях в колебательном контуре. Добротность контура Цепь, содержащая резистор сопротивлением R , конденсатор емкости C и катушку индуктивности L, называется колебательным контуром. Если колебательный контур подсоединить к генератору,

являющемуся источником переменной электродвижущей силы (эдс), то в контуре возникнут вынужденные электромагнитные колебания с линейной частотой ν, равной частоте вынуждающей переменной эдс. Электромагнитные колебания – это колебания заряда, электрического поля в конденсаторе, тока в контуре, а значит, и магнитного поля в катушке. На рисунке 1 изображен колебательный контур, подключенный к генератору переменного напряжения, где ε – переменная эдс, снимаемая с выхода генератора, εо- амплитуда эдс, которую

40

Физика. Лабораторный практикум можно менять ручкой В «регулировка выхода», ω- циклическая частота, равная ω=2πν. Выходную частоту ν можно менять ручкой частот Ч с диапазонами ×1, ×10, ×100, ×1000. Величина ρ =

L имеет размерность Ом и называется хаC

рактеристическим сопротивлением колебательного контура. Отношение характеристического сопротивления ρ к омическому R обозначается Q и называется добротностью колебательного контура.

Q=

ρ 1 L = R R C

(1).

Если подаваемая в контур эдс меняется со временем по закону ε=εocos ωt, то сила тока в контуре будет изменяться также по гармоническому закону с той же частотой ω, т.е. I=Io cos (ωt + ϕ) (2). Амплитуда тока Io и начальная фаза ϕ будут зависеть не только от амплитуды и частоты эдс, но и от параметров контура L,C,R, следовательно, будут определяться добротностью Q колебательного контура. Добротность Q определяет отношение величины напряжения на катушке индуктивности, или конденсаторе к амплитуде эдс при резонансе, т.е. U U Q= L = C (3). ε0 ε0 Амплитудные значения напряжений на катушке и конденсаторе при резонансе напряжений при резонансе могут во много раз превышать амплитудное значение эдс. Эти зависимости можно показать, применяя второе правило Кирхгофа к данному колебательному контуру и решая дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, как показано в приложении к работе. Возможен для данных целей и примененный здесь метод векторных диаграмм. Покажем его.

41

Электромагнитные колебания 2. Геометрический способ представления колебаний Рассмотрим этот метод на примере уравнения гармонических колебаний точки вдоль оси х x =A cos (ωt + α) (4) В уравнении (3): х – смещение точки вдоль оси х, A – амплитуда смещения, (ωt + α) – фаза, ω – циклическая частота, α – начальная фаза. Оказывается, колеблющуюся величину х можно представить геометрически. Для этого выберем произвольно ось х (рис. 2).

Рис. 2

r

Из точки О отложим вектор А , равный по величине амплитуде смещения А, под углом, равным начальной фазе α . Тогда для

r

времени t=0 величина проекции вектора А на ось х будет равна

r xо =Acos α. Пусть теперь вектор А вращается против часовой стрелки относительно точки О и за время t повернется на угол ωt. r Новая проекция вектора А на ось х в этот момент времени будет равна x =A cos (ωt + α). Т.е. колебание геометрически может быть представлено вектором, длина которого равна амплитуде А, отложенным под углом, равным начальной фазе α, и вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Этот метод можно использовать и для колебаний напряжений в колебательном контуре на резисторе R, конденсаторе C и катушке индуктивности L. Если частота колебаний одна и та же, то

42

Физика. Лабораторный практикум характеристики результирующего колебания (амплитуду и начальную фазу) можно найти по правилам сложения векторов.

3. Резистор в цепи переменного тока. Векторная диаграмма напряжения на резисторе В такой простой цепи (рис. 3)

Рис. 3

ε ε0 = cos ωt =I0 cos ωt колеблется в фазе с R R приложенным напряжением. Колебания напряжения на резисторе UR= I0 R cos ωt (5) также совпадают по фазе с колебаниями напряжения на выходе источника эдс. Так как начальная фаза этих колебаний равна нулю, геометрически UR изображается вектором, длиной I0R, направленным вдоль оси х (рис. 4).

сила тока I =

Рис. 4

4. Конденсатор в цепи переменного тока. Векторная диаграмма напряжения на конденсаторе Теперь в цепи с источником переменной эдс присутствует только конденсатор емкостью С (рис. 5).

43

Электромагнитные колебания

Рис. 5

По второму правилу Кирхгофа ε=UC. Напряжение на конденсаторе UC =

q q . Отсюда = ε 0 cos ωt, и q=ε0C cos ωt. Тогда сила C C

тока в контуре

I=

dq π π = −ε 0 ωCsinωt = ε 0 ωCcos(ωt − ) = I 0 cos(ω t − ) . dt 2 2

Здесь I0 – амплитудное значение тока, равное ε0 ωC. По закону Ома

I0 =

1 ε0 , где величина RC = ωС RC

называется емкостным сопро-

тивлением. Тогда колебания напряжения на конденсаторе

UC = IR C =

I0 π cos(ω о t − ) 2 ωC

отстают от колебаний напряжения в цепи по фазе на

(6)

π . 2

На векторной диаграмме такое колебание изобразится вектором, равным по величине

α= −

I0 , ωC

π к оси х (рис. 6). 2

44

расположенным под углом

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 6

5. Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Векторная диаграмма напряжения на катушке

Рис. 7

Теперь в цепи переменный ток от переменной эдс вызывает появление эдс самоиндукции εsi = −L

dI , где L – индуктивность dt

катушки. По второму правилу Кирхгофа ε = εsi , или

ε0 cos ωt = −L а сила тока

dI dt

→

dI = −

ε0 cos (ωt ) dt , L

t

I=−

ε0 ε cos(ωt ) dt = − 0 sin(ωt ) . ∫ L0 Lω

45

Электромагнитные колебания ε π π ), то сила тока I= 0 cos (ωt + ), 2 Lω 2 ε а амплитудное значение тока I0= 0 . Обозначая индуктивное соLω

Так как, – sin ωt = cos (ωt +

противление RL=Lω, имеем для напряжения на катушке значение

UL=I0 Lω cos (ωt +

π ) 2

(7)

Отсюда видим, что напряжение на катушке индуктивности опережает напряжение в цепи по фазе на

π . Амплитудное значение 2

этого напряжения UL=I0 Lω. Векторная диаграмма этого напряжения представлена на рисунке 8.

Рис. 8

Сопоставляя рис. 8 с рис. 7, видим, что колебания напряжений на катушке и на конденсаторе происходят в противофазе.

4. Вынужденные электромагнитные колебания в последовательном R, C, L – контуре. Диаграмма напряжений Рассмотрим колебательный контур, в котором действует вынуждающая переменная эдс (рис. 9).

46

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 9

По второму правилу Кирхгофа

∑ ε = ∑ U , или сумма элек-

тродвижущих сил в замкнутом контуре равна сумме падений напряжения на отдельных его участках. Поэтому ε=UR +UC +UL . Представим результирующее колебание, пользуясь векторной диаграммой, предположив для простоты, что UL > UC, хотя может быть и иначе. На рисунке 10 под углом равным нулю к оси х расположен вектор, модуль которого UR =I0R. Вектора, длины которых UL = I0 Lω и UC =

I0 показаны во взаимно перпендикулярωC

ных направлениях. Результирующая амплитуда напряжения на катушке и конденсаторе(UC – UL) изображена отрезкомI0(Lω –

1 ) . Тогда амплитуда эдс εо=IoZ, где Z полное сопротивление ωC

цепи переменному току, должна быть геометрической суммой амплитуд напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе, что и показано на векторной диаграмме.

Рис. 10

47

Электромагнитные колебания

1 2 ) , откуда амплитудное значение ωC

Т.е. (εо)2 = I0 2 R2 + I0 2(Lω –

εо

тока I0 =

1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − ⎟ ωC ⎠ ⎝

(8)

2

определяется амплитудой эдс и полным сопротивлением цепи Z, называемым импедансом. По закону Ома

I0 =

εо , Z

где

1 ⎞ ⎛ Z = R + ⎜ Lω − ⎟ ωC ⎠ ⎝ 2

Здесь (Lω –

2

(9).

1 ) – это реактивное сопротивление цепи переменωС

ному току в отличие от R – активного. Отсюда можно сделать вывод, что ток в такой цепи совершает вынужденные колебания согласно уравнению I = I o cos(ωt + ϕ ) , той же частоты, что и частота вынуждающей эдс, с амплитудой I0 и с начальной фазой ϕ, определяемой, согласно рисунку 10, из условия

1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ Lω − ωC ⎠ ⎝ tg ϕ = R

(10)

Особый случай возникает, когда амплитуда напряжения на катушке индуктивности UL = I0 Lω совпадает с амплитудой напряжения на конденсаторе UC =

I0 , находясь при этом в противофазе ωC

с ней. Тогда индуктивное сопротивление совпадет с емкостным, т.е. Lω=

1 1 , равной соб. Это произойдет при частоте ω = LC ωC

ственной частоте ωo. При этом полное сопротивление цепи пере-

48

Физика. Лабораторный практикум менному току будет обусловлено только активным R, и амплитуда тока I0 =

εо резко возрастет. R

Резкое возрастание амплитуды силы тока при совпадении частоты вынуждающей эдс с собственной частотой колебаний в контуре называется электрическим резонансом. На рисунке 11 показано резкое возрастание амплитуды силы тока (I0) при совпадении частоты вынуждающей эдс с собственной частотой колебаний в контуре, т.е. при ω=ωо. ри частотах I0 вне шне й эдс (ω< <ωо ) мно го мен ьши ω х и ω=ωo (ω> >ωо ) много больших собственной, амплитуда тока мала, так как превалируют или индуктивное или емкостное сопротивления, а при частоте внешней эдс, совпадающей с собственной частотой контура, реактивное сопротивление контура становится равным нулю, и амплитуда тока резко возрастает. Рассмотренный выше резонанс в последовательном колебательном контуре называется резонансом напряжений. При этом из-за высокой амплитуды тока амплитуды напряжений на катушке и конденсаторе могут оказаться значительно выше амплитуды эдс,

I

49

П

Электромагнитные колебания что является опасным явлением, приводя обмотки к перегоранию, а конденсаторы к пробою. При резонансной частоте напряжение на катушке, равное напряжению на конденсаторе, определяется как UL= UC= Qεо. Если добротность контура превышает 1, то при резонансной частоте напряжения на катушке и на конденсаторе превышают амплитуду эдс в Q раз. Целью настоящей работы является определение добротности колебательного контура по резонансной кривой

Iо I o max

от

ν νо

(рис. 12), где Io – амплитуда тока при частоте ν, близкой к резонансной, Io max – амплитуда тока при частоте ν=νо , т.е. , в резонансе.

Тогда при резонансной частоте

Iо I o max

= 1, и

ν =1. Контура νо

с различными добротностями будут иметь различную ширину, проходить через точки (1,1) (рис. 12).

7. Идея определения добротности колебательного контура Оказывается, добротность колебательного контура можно оп-

Iо

ν . I o max νо Покажем, что добротность контура можно опредеν . Действительно, лить по отношению νо Iо R (11) = 2 I o max 1 ⎞ ⎛ R2 + ⎜ − ωL ⎟ ⎠ ⎝ ωC

ределить по резонансным кривым

50

от

Физика. Лабораторный практикум Найдем вначале зависимость

Iо I o max

от

1 ω , помня, что ωо= . ωо LC

Для этого представим выражение 2

2

ω 02

2

⎞ ⎛ ω2 ⎛ ω2 ω ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ = − ωL ⎟ = L2 ⎜⎜ 0 − ω ⎟⎟ = L2 ⎜⎜ 0 − ⎜ ⎟ ⎝ ωС ⎠ ⎠ ⎝ ω ⎝ ω ω0 ⎠ 2

L2 ⎛ ω 0 ω ⎞ L ⎛ ω0 ω ⎞ ⎟⎟ = ⎟ ⎜⎜ ⎜ = − − LC ⎝ ω ω 0 ⎠ C ⎜⎝ ω ω 0 ⎟⎠

2

2

2

⎛ω R 2L ⎛ ω ω ⎞ ω ⎞ 1 L ⎟⎟ = R 2 Q 2 ⎜⎜ 0 − ⎟⎟ . Из (1) Q = , по= 2 ⎜⎜ 0 − R C R C ⎝ ω ω0 ⎠ ⎝ ω ω0 ⎠ этому,

Iо I o max

=

⎛ ν = F⎜⎜ ⎝ ν0 ⎛ν ν ⎞ 1 + Q 2 ⎜⎜ 0 − ⎟⎟ ⎝ ν ν0 ⎠ 1

2

⎞ ⎟⎟ ⎠

(12).

Т.е. отношение амплитуды тока Io к Io max – амплитуде тока в резонансе, является функцией отношения частоты колебаний тока к частоте его при резонансе, и различно при разных добротностях системы Q.

Iо

Графическая зависимость

I o max

от

ν νо

называется резо-

нансной кривой. На рисунке 12 представлены резонансные кривые для двух различных добротностей.

51

Электромагнитные колебания Io I omax 1

ν νо

1 Рис. 12

Чем меньше активное сопротивление R, тем больше добротность Q, тем уже резонансная кривая, тем уже диапазон частот внешнего генератора, в котором амплитуды вынужденных колебаний в контуре значительны. По резонансной кривой можно определить добротность контура. Из формулы 12 видно, что если

⎛ν ν ⎞ Q ⎜⎜ 0 − ⎟⎟ = 1 ⎝ ν ν0 ⎠ то

Iо I o max

=

1 2

(13),

=0,7. Т.е. добротность Q можно определить из

графика (рис. 13) на уровне отношений токов 0.7 по величине

ν . νо

Из формулы 13 имеем:

Q=

1 ⎛ ν0 ν ⎜⎜ − ⎝ ν ν0

52

⎞ ⎟⎟ ⎠

(14).

Физика. Лабораторный практикум Io I omax 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

ν≤νо

2Δν

Рис. 13

ν≥νо

ν νo

νo

Знаменатель можно представить иначе:

⎛ ν0 ν ⎞ ⎛ ν 2 − ν 2 ⎞ (ν 0 − ν )(ν 0 + ν ) ⎟= ⎜⎜ − ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 . ⎟ ν ν νν νν 0 0 ⎠ 0 ⎝ ⎝ ⎠ Вблизи резонанса ν≈νо , ( ν+νо) ≈ 2νо, а ( νо -ν) =Δν<<νо , тогда добротность

νо (15), 2Δν что и является рабочей формулой для определения добротности контура.

Q=

Для этого на графике (рис. 13)

Iо I o max

от

ν на уровне отноνо

шения токов 0,7 по оси абсцисс измеряют ширину резонансной кривой

2Δν , а затем единицу (1) делят на полученное значение. νо 53

Физика. Лабораторный практикум Колебательные контура являются главнейшими элементами в радиосистемах оперативной передачи информации. Во входных цепях радиоприемников, телевизоров контура по резонансу позволяют выбрать из многочисленных колебаний электромагнитные колебания нужных частот. Вращая ручку настройки радиоприемника, мы плавно меняем емкость входного контура, при переключении диапазона, меняется индуктивность, тем самым меняется собственная частота контура. Если собственная частота контура совпадет с частотой пришедшей волны, резко растет сила тока, Вы сможете настроить приемник на определенную станцию. Следующие контуры с помощью индуктивной связи установлены в дальнейших каскадах усиления токов или напряжений данной частоты. Из формулы (15) видно, что добротность контура тем выше, чем уже резонансная кривая. Это значит, что чем выше добротность контура, тем уже полоса пропускания. Тем меньше частот, соседних с собственной, будет усилено, тем меньше мешают данной станции колебания, близкие по частоте к принимаемым.

8. Порядок выполнения работы Внешний вид установки изображен на рис. 14

Рис. 14

54

Электромагнитные колебания Генератор ГЗ-33 позволяет ручкой «регулировка выхода» менять величину выходного напряжения, а ручкой «частота» с помощью множителя – частоту его ν от 20 Гц до 200 кГц. В установке имеется одна катушка индуктивности L=0,1 Гн и 11 конденсаторов различных емкостей, указанных на установке, позволяющих образовывать колебательные контура с различными собственными частотами νо. Добротность контуров Q определяет-

Q=

ся теоретически по формуле (1)

1 L , а эксперименR C

тально – по формуле (15) из снятых резонансных кривых

Iо I o max

от

ν . Амплитудные значения вынужденных колебаний νо

тока в контуре измеряются микроамперметром μА. Чтобы снимать резонансные кривые для данных R,C,L, Вы должны предварительно рассчитать резонансную частоту по формуле νо

=

1 . Выясните у преподавателя параметры 2π LC

R,C,L контуров, с которыми Вам предстоит работать. Выставьте эти данные на установке.

9. Порядок выполнения измерений 1. Включите генератор в сеть, а затем и тумблер «Вкл» генератора. Включите необходимый диапазон частот, например, для частоты 30 кГц диапазон х1000. Выставьте частоту чуть ниже расчетной резонансной. 2. Переключателем «R1, R2» включите в контур первое сопротивление R, заданное преподавателем. Вращая ручку «регулировка выхода» генератора, следите за показаниями микроамперметра μА. Если микроамперметр начинает зашкаливать, уменьшайте выходное напряжение. Одновременно постепенно изменяйте частоту напряжения, следя за показаниями микроамперметра. Вы увидите по микроамперметру, что показания его начнут возрастать по мере приближения частоты ν к собственной νо. «Отловите» резонанс,

55

Электромагнитные колебания подстраиваясь как со стороны меньших, так и со стороны больших частот, т.е. найдите ту частоту νо, при которой амплитудное значение тока будет наибольшим, равным Io max. Ручкой «регулировка выхода» установите Io max равным 100 I0 μА. Тогда для частоты ν=νо отношение будет равно 1. I 0max Значение частоты ν внесите в таблицу на уровень «1»(клеточка со звездой ∗). 3. Уровню 0.9 соответствует ток 90 μА , уровню 0.8 – ток 80 μА, уровню 0.7 – ток 70 μА и так далее. Ручкой частот установите эти токи и измерьте эти частоты, вначале для частот внешней эдс, меньше резонансной (ν ≤ νо), затем для частот, больше резонансной (ν ≥ νо), результаты внесите в таблицу. 4. Повторите измерения по пунктам 2-3 с той же электроемкостью, но с другим сопротивлением. 5. Проведите те же измерения для другой электроемкости. Для всех замеров Вам понадобятся четыре таблицы.

10. Таблица результатов измерений R=….Oм; С=….Ф. Io/Io max

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ν≤νo

∗

ν≥νo

∗

ν ≤1 νo ν ≥1 νo

56

Физика. Лабораторный практикум

11. Обработка результатов измерений ν ≤ 1 по верхней строчке для ν ≤ νо и по 1) Рассчитайте νо нижней для ν ≥ νо. Iо ν 2) Постройте резонансные кривые от , подобрав I o max νо подходящий масштаб по обеим осям. 3) На уровне 0.7 по ширине резонансной кривой рассчитайте добротности контуров Q, пользуясь формулой (15), а затем сравните их с теоретическими, рассчитанными по формуле (1). 4) Расположите четыре измеренных добротности в ряд в порядке возрастания и объясните причину возрастания добротности на каждом шаге.

12. Контрольные вопросы 1. Какая система называется колебательным контуром? 2. Что колеблется в колебательном контуре? 3. Какие колебания называются вынужденными? Как они возбуждаются? С какой частотой? 4. Какая частота называется собственной? По какой формуле рассчитывается частота собственных колебаний в контуре? 5. Как составить векторную диаграмму напряжений в последовательном колебательном контуре? 6. В чем заключается явление резонанса? При каких условиях возникает резонанс? 7. Почему рассмотренный в последовательном колебательном контуре резонанс называется резонансом напряжений? 8. Почему, при непрерывно поступающей энергии от источника, не происходит резкого роста тока при частотах внешней эдс, не совпадающих с собственной частотой в контуре?

57

9. Что такое добротность контура? Что определяет добротность в обмотках генераторов при резонансе? 10. Как измерить добротность контура по резонансной кривой?

58

Электромагнитные колебания

ПРИЛОЖЕНИЕ к лабораторной работе 7к В методическом пособии рассматривался векторный метод определения силы тока при вынужденных колебаниях в колебательном контуре. Ниже приводится традиционный метод составления дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний и его решения. Рассмотрим последовательный колебательный контур (рис. 9), в котором действует переменная эдс, величина которой ε меняется со временем по закону: ε=εocos ωt (1) где εo – амплитудное значение эдс, ω – циклическая частота, связанная с линейной частотой ω=2πν. Эта переменная эдс «заставит» колебаться заряд, а значит, и все остальные электромагнитные величины, с той же частотой ω. В контуре возникнут вынужденные электромагнитные колебания. Заряд q будет периодически изменяться по закону q=Аcos(ωt + ϕ) (2) где А – амплитуда этих вынужденных колебаний заряда, а ϕ – их начальная фаза. Силу тока I можно будет найти, так как она равна

dq = − A ωsin (ωt + ϕ) = Аωcos(ωt + ϕ +π/2) (3) dt Здесь амплитуда тока Iо= Аω (4) Для нахождения амплитуды заряда А и начальной фазы ϕ

I=

вынужденных колебаний применим к нашему контуру второе правило Кирхгофа: сумма действующих электродвижущих сил равна сумме падений напряжений на отдельных участках цепи, или

∑εk=∑ Ik ⋅ Rk . (5) В контуре действуют две электродвижущие силы: вынуждаю-

щая ε=εocosωt и э.д.с. самоиндукции εsi = − L э.д.с. ∑εk = εocos ωt − L

dI . dt 59

dI , поэтому сумма dt

Физика. Лабораторный практикум Правая часть уравнения (5) состоит из падения напряжения на конденсаторе Uc=

q и на сопротивлении UR=IR. C

Подставляя эти значения в уравнение (5), имеем:

dI q = + IR (6) dt C dI d 2 q dq , а = , то, подстановка в Так как сила тока I= dt dt 2 dt

εocos ωt − L

уравнение (6) дает дифференциальное уравнение для вынужденных колебаний заряда

L

d 2q dq q + = εocos ωt +R 2 dt C dt

(7)

Это неоднородное уравнение второго порядка, решение которого qобщее состоит из суммы решений однородного уравнения и неоднородного. q общее= q однор. + q неоднор.. (8)

q однор=qmexp(

R t )cos (ωt +δ) 2L

(9),

это решение для затухающих колебаний, происходящих с частотой

ω= ω o2 − γ 2 , меньшей собственной частоты ωо, γ= фициент затухания, qmexp(

R - коэф2L

R t ) –амплитуда затухающих ко2L

лебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону, δ – их начальная фаза. Это слагаемое q однор влияет на начальной стадии установления колебаний, затем амплитуда А вынужденных колебаний заряда и тока будет определяться величиной амплитудного значения э.д.с. (εo), ее частотой ω и параметрами контура L, C и R. Покажем это, решив уравнение (7). Решение уравнения (7) ищем в виде

q=Аcos(ωt + ϕ) 60

(2)

Электромагнитные колебания Чтобы определить амплитуду А и начальную фазу ϕ колебаний заряда, учтем, что

dq d 2q = − A ωsin (ωt + ϕ) (10), а = − A ω2cos(ωt + ϕ) (11) dt dt 2 dq Здесь - это сила тока I c амплитудой Io= Aω. dt Подставляя (2), (10), (11) в уравнение (7), имеем:

− LA ω2cos(ωt+ ϕ) − A Rωsin (ωt + ϕ)+

1 Аcos(ωt + ϕ) =εocos С

ωt .

Деля на Aω и вынося за скобки cos(ωt + ϕ) , получаем тригонометрическое уравнение:

ε ⎛ 1 ⎞ − Lω ⎟ cos(ωt + ϕ) -R sin (ωt + ϕ) = о cos ωt ⎜ Аω ⎝ ωС ⎠

(12)

Чтобы найти амплитуду и начальную фазу, необходимо воспользоваться тригонометрическими формулами: sin(α+β)=sinα cosβ + sinβ cosα и

cos(α – β)=cosα cosβ – sinα sin β. ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − Lω ⎟ cos ωt сosϕ – ⎜ − Lω ⎟ sin ωt sinϕ ⎜ ⎝ ωС ⎠ ⎝ ωС ⎠ ε cos ϕ – Rcos ωt sinϕ = о cos ωt Аω

– Rsin ωt (13)

Это тригонометрическое уравнение с одновременно меняющимися со временем синусом и косинусом. Оно справедливо, если сумма коэффициентов при sin ωt и при cos ωt слева и справа одинакова. Учтем это. Коэффициенты при sin ωt:

ε ⎛ 1 ⎞ − Lω ⎟ sin ϕ – R cos ϕ = о -⎜ Аω ⎝ ωС ⎠ Коэффициенты при cos ωt:

61

(14)

Физика. Лабораторный практикум

⎛ 1 ⎞ − Lω ⎟ сosϕ – R sinϕ = 0 ⎜ ⎝ ωС ⎠

(15)

Эту систему уравнений можно решить относительно амплитуды А, если возвести в квадрат левые и правые части (14) и (15), а результат сложить. Учитывая при этом, что (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2 -2ab+b2, sin2α+ cos2α=1 ,имеем:

1 ⎞ ⎛ ⎜ Lω − ⎟ ωС ⎠ ⎝

2

+ R2 =

ε о2 А 2ω 2

(16)

Из уравнения (16) амплитуда колебаний заряда

ε o /ω

A=

2

(17)

1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − ⎟ ωC ⎠ ⎝ а амплитуда колебаний тока Io , равная Aω, как видим, зависит не только от амплитуды эдс εo и сопротивления R, но и от соотноше1 , называемыми соответственно, ния между величинами Lω и ωС 1 индуктивным RL=Lω и емкостным RC= сопротивлениями: ωС Io =

⎛ ⎝

εo 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − ⎟ ωC ⎠ ⎝

Здесь Z= R 2 + ⎜ Lω −

2

(18)

2

1 ⎞ ⎟ называется полным сопротивлениωC ⎠

ем цепи или импедансом Подставляя в (10), имеем для силы тока значение

I=

π dq = − A ωsin (ωt + ϕ)= Iocos(ωt + ϕ+ ), откуда видим, что 2 dt

колебания тока отстают от колебаний напряжения(заряда) по

62

Электромагнитные колебания фазе на

π . 2

Если считать, что мгновенное значение силы переменного тока I одинаково во всей цепи, то знак « – » в знаменателе формулы (18), может означать только, что напряжения на катушке и конденсаторе, равные UL=I⋅Lω UC=I⋅

1 , колеблются в проωC

тивофазах. Особый случай возникает, если UL = UC. Это происходит при так называемой резонансной частоте ω, определяемой из условия

1 1 , а эта частота равна собственной. = Lω , откуда ω= ωC LC Из формулы (18) следует, что амплитуда силы тока резко возрастет и будет определяться амплитудой эдс εo и активным сопротивлением цепи R,

Io =

εо R

(21)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тока при совпадении частоты вынуждающей эдс с собственной частотой электромагнитных колебаний в контуре, называется электрическим резонансом.

13. ЛИТЕРАТУРА 1. [3], с.412-416. 2. [4], с.270-279. 3. [5], с.317-325.

63

Физика. Лабораторный практикум ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 14к

ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ RC – ЦЕПЕЙ Цель работы: изучение зависимостей напряжения и силы тока от времени в цепях, содержащих RC-элементы, определение постоянной времени дифференцирующей цепи. Приборы и принадлежности: универсальный лабораторный стенд, осциллограф, омметр, сменная плата, соединительные провода со штекерами.

1. ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ И ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ RC-ЦЕПЯХ Дифференцирующая RC-цепь – это та цепь, в которой выходное напряжение, снимаемое с резистора R, определяется производной по времени от входного, поданного через конденсатор С, т.е. U вых.R = RC

dU вх. , (рис. 1). dt

Рис. 1

В интегрирующей RC-цепи входное напряжение

U вх. = RC

dU вых. , поэтому выходное напряжение, снимаемое с dt 64

Электромагнитные колебания конденсатора, определяется как интеграл от входного,

U вых.C =

1 U вх.dt , (рис. 2). RC ∫

Рис. 2

Рассмотрим, при каких условиях это происходит в RC-цепях. Для этого найдем, как меняются напряжения на резисторе и конденсаторе при изменении входного напряжения со временем. Пусть на вход RC-цепи подается прямоугольный импульс напряжения с периодом Т (рис. 3, а). Рассмотрим случай низких частот, когда постоянная времени τ<
Рис. 3

65

Физика. Лабораторный практикум На переднем крае этого импульса (участок 1-2) происходит нарастание напряжения, на фронте (3-4) – спад напряжения. Рассмотрим, как ведет себя RC-цепь при нарастании напряжения. Конденсатор сразу же начнет заряжаться, в цепи пойдет ток, который по мере накопления заряда будет уменьшаться и станет равным нулю, когда входное напряжение станет равным ε. В любой момент времени, по второму правилу Кирхгофа, входное напряжение Uвх.=UR +UC , или Uвх.= IR + Подставляя силу тока I =

q C

(1)

dq в (1), имеем дифференциальное dt

уравнение, в котором связаны меняющийся заряд q и время t :

Uвх.= R

dq q + dt C

(2)

Разделяя переменные q и t, имеем: dq dt =− (3) q − CU вх. RC Уравнение 3 – это уравнение первого порядка с разделенными переменными q и t. Проинтегрируем его левые и правые части. Т.е. dq 1 (4). ∫ q − CUвх. = − RC ∫ dt Здесь нижний предел интегрирования определим так: при t=0, q=0, верхний предел – текущий: q

q

t

dq 1 ∫0 q − CUвх. = − RC ∫0 dt

⇒ ln ⎢q – CUвх. ⎢

=− 0

1 t RC

t

. 0

⎛ q ⎞ t ⎟=− ln ⎜⎜ 1 − (5). ⎟ CU вх. ⎠ RC ⎝ t − q 1− = e RC , откуда заряд Потенцируя (5), имеем : CU вх. Отсюда,

66

Электромагнитные колебания t − ⎛ ⎞ (6). q = CU вх. ⎜⎜ 1 − e RC ⎟⎟ ⎝ ⎠ Полученное выражение показывает, что заряд q на конденсаторе возрастает от нуля при t=0 до максимального значения q=Cε в теq чение какого-то времени. Напряжение на конденсаторе U C = C также растет со временем по экспоненциальному закону от 0 до ε, t − ⎛ ⎞ согласно выражению, U C = U вх . ⎜⎜ 1 − e RC ⎟⎟ (7) ⎝ ⎠ (рис. 3, а – заряд), что видно на рис. 4.

на конденсаторе

Рис. 4

Величина τ =RC называется постоянной времени цепи. Постоянная времени характеризует промежуток времени, в течение которого напряжение на конденсаторе, а значит и заряд, достигает (1 – е-1), или 63% своего максимального значения. Таким образом, величина τ =RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Напряжение на резисторе UR = Uвх – UC (8) −

t

UR = U вх .e RC (9), и, следовательно, убывает по экспоненциальному закону от ε до нуля (рис. 3, а – заряд). Рассмотрим теперь процессы при резком уменьшении входного импульса до нуля (рис. 3, а, участок 3-4). Теперь баланс напряжений UC +UR = 0 (10), или q q dq . Разделяя переменные, получаем IR + =0⇒ = −R C C dt

67

Физика. Лабораторный практикум dq 1 =− dt . Интегрируем полученное дифференциальное уравq RC нение первого порядка с разделенными переменными q и t. q t q 1 1 dq ∫q q = − RC ∫0 dt , откуда ln q0 = − RC t . Потенцируя полученное 0

выражение, имеем убывание заряда, а, следовательно, и напряжения на конденсаторе, по экспоненциальному закону:

q = q 0e UC =

−

t RC

q = εe C

(11), t − RC

(12),

q0 (рис.3, б-разряд). C В то же время напряжение на резисторе

где ε=

−

t

U R = − UC = − εe RC (13) растет по экспоненциальному закону от -ε до нуля (рис. 3, с, разряд). Рассмотрим, при каких условиях RC-цепь может дифференцировать или интегрировать входное напряжение.

Дифференцирующая цепочка Пусть на вход цепочки (рис. 1) подано входное напряжение, Uвх., меняющееся со временем. При R<
68

Электромагнитные колебания

Интегрирующая цепочка

При R>>RC напряжение на резисторе UR>>UC, отсюда UR≈ Uвх. 1 dU U вх .dt . Поэтому, Так как U R = RC C = U вх . , то dU C = dt RC 1 UC = U вх .dt (рис. 5). RC ∫ С конденсатора можно снять интегрированное напряжение по отношению к входному.

Рис.5

Целью настоящей работы является измерение постоянной времени разряда τ =RC в дифференцирующей цепи. 2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Принципиальная схема эксперимента приведена на рис.6. Здесь ε – батарея, К – условный ключ.

69

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 6 В положении 1 ключа К конденсатор С заряжается, на его верхней обкладке накапливается отрицательный заряд, при этом через резистор R течет ток, который создает на нем отрицательное падение напряжения. При переключении ключа К в положение 2, конденсатор начинает разряжаться через тот же резистор, но полярность напряжения на резисторе меняется на обратную. На рисунках 3 и 5 приведены соответствующие временные зависимости напряжений на сопротивлении (UR) и на емкости (UC) для дифференцирующей и интегрирующей цепочек. Если постоянная времени τ <
3. Описание сменной платы Принципиальная схема сменной платы приведена на рис.7. В отличие от схемы рис. 6, в качестве ключей К1 и К2 используются быстродействующие электромагнитные реле-герконы. На их об-

70

Электромагнитные колебания мотки через диоды Д1 и Д2, включенные в противоположных направлениях, подается переменное напряжение 6,3 В частотой 50 Гц. Токи через обмотки Р1 и Р2 протекают в разные полупериоды переменного напряжения. Поэтому в каждый момент времени может быть замкнут только один ключ. При замыкании К1 конденсатор заряжается через резисторы R1 и R4, а при замыкании К2, разряжается через переменное сопротивление R.

Рис. 7

Тумблер Т1 служит для подключения к общей шине или резистора (положение П1) или конденсатора (положение П2), что соответствует или схемам рис. 1 (дифференцирующая цепочка П2) или рис. 2 (интегрирующая цепочка П1). Внешний вид сменной платы приведен на рис. 8.

71

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 8

Выводы 6, 2 и 1 служат для проверки герконов К1 и К2.

4. Выполнение измерений (методика определения постоянной времени) Определение постоянной времени разряда удобно осуществлять, снимая зависимость напряжения на конденсаторе и резисторе от времени по осциллограмме разряда U(t), которая в зависимости от работы герконов К1 и К2, может иметь вид или 9(а), или 9(б).

Рис. 9

Рисунок 9а соответствует разряду на конденсаторе, рис. 9бразряду на резисторе. При этом, в первом случае на экране осциллографа должна наблюдаться осциллограмма, соответствующая −

t

уравнению 12 ( U = U 0e τ ) и рис. 9а, во втором случае уравнению

72

Электромагнитные колебания

−

t τ

13 ( U = − U 0e ) и рис. 9б. Здесь τ =RC и есть постоянная времени разряда. Обозначим уравнение

U = U 0e

−

t τ

(а)

(14)

(б) Рис. 10

Для определения τ прологарифмируем левую и правую части (14):

ln

U(t) t U(t) t = − , или ln = Uo τ U0 τ

(15), где

U0 – значение

напряжения в момент времени t=0. Определяя по осциллограмме U(t) в разные моменты времени и, строя график зависимости

ln

U(t) как функцию времени t, (рис. 10 б), можно по котангенсу U0

угла наклона линейной функции определить постоянную времени разряда τэксп. Экспериментальное значение τэксп. сравните с расчетным τрасч.=RC. Величину сопротивления резистора R можно определить омметром между точками 3 и 4 сменной платы при отключенной плате. Значение емкости С дано на плате. То же самое можно сделать и для осциллограммы разряда на резисторе.

73

Физика. Лабораторный практикум

5. ВЫПОЛНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ

1) Подключите вход осциллографа «y» к выводам «4 – 5» платы (рис. 7). Переключатель Т1 поставьте в положение П2. Для схемы, приведенной на рис.1 зарисуйте осциллограмму разряда напряжения UС(t) (рис. 10 а). Напряжение можно брать в маленьких делениях шкалы, так как в дальнейшем Вы будете брать отношения напряжений. Цену деления временной шкалы определите по делителю времени осциллографа. Постройте линейную функцию ln

U(t) от t. Оцените по ней τэкспер. Измените U0

параметры R в сторону уменьшения τ и в сторону увеличения τ. Зарисуйте соответствующие осциллограммы. Постройте зависимость τ от R, определив τэксп, как описано в пункте «выполнение измерений», для 5-ти разных значений сопротивления R. Сравните с τтеор = RC. Сопротивление R измеряйте при отключенной плате омметром между клеммами 3 и 4. 2) Перекиньте вход осциллографа к выводам «3 – 4» платы. Зарисуйте осциллограмму UR (t) (рис. 9 б). Вновь постройте линейную функцию ln

U(t) от t. Оцените по этому графику велиU0

чину τэксп . Измените параметры R в сторону увеличения и в сторону уменьшения τ. Зарисуйте соответствующие осциллограммы. Постройте графики зависимости τ от R, определив τэксп., как описано в пункте «выполнение измерений», для 5 разных значений сопротивления R. Сравните с τтеор = RC так же, как и в случае снятия напряжения с конденсатора, измерьте сопротивление R.

74

Электромагнитные колебания КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Почему для R>>RC цепь называется интегрирующей?

2. Почему для R<
3. Что такое постоянная времени? 4. Поясните, почему при разряде и в дифференцирующей цепи и в интегрирующей цепи напряжение и на конденсаторе и на сопротивлении меняется в зависимости от времени по закону

U = U oe

−

t τ

, где τ =RC ? 5. Какова роль герконов К1 и К2 ?

ЛИТЕРАТУРА 1. [7], с. 120. 2. [4], с. 133-136.

75

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

76

Введение. Квантовая теория излучения Введение

Идеи квантования энергии и других физических величин В 1861-73 годах Джемс Клерк Максвелл, опираясь на гипотезу о взаимосвязи переменных электрического и магнитного полей, создал систему уравнений для электродинамики, названную его именем. Из этих уравнений было получено важное решение о существовании электромагнитных волн. Электромагнитная волна – это процесс распространения колебаний электрического и магнитного полей в пространстве. Из уравнений Максвелла следовало, что электромагнитные волны в вакууме и воздухе распространяются со скоростью света с=3⋅108 м/c. Это позволило Максвеллу сделать вывод о том, что свет тоже является электромагнитной волной. Тепловое излучение нагретых тел (по классической электромагнитной теории) может считаться набором электромагнитных волн различной длины λ, непрерывно излучаемых атомами нагретого тела – осцилляторами. Однако, попытки Д. Рэлея и Д. Джинса в 1900г. объяснить закон теплового излучения, открытый Й. Стефаном и Л. Больцманом, привели к парадоксу, называемому “ультрафиолетовой катастрофой”. И только Макс Планк в 1900г., не зная еще устройства атома, теоретически объяснил законы теплового излучения, получив прекрасное совпадение с экспериментальными данными. Для этого он выдвинул совершенно новую квантовую гипотезу излучения осцилляторов. По гипотезе Планка осциллятор излучает энергию не непрерывно, а порциями – квантами с энергией каждого ε=hν, 2 hν, 3 hν, ..., или кратными ε. Здесь h – постоянная, названная постоянной Планка, равная h=6,62⋅10-34 Дж⋅c , ν – частота, связанная с длиной волны λ и скоростью света с соотношением ν=с/λ. В 1905г. А. Эйнштейн применил квантовую гипотезу Планка для поглощения излучения веществом, объяснив законы внешнего фотоэффекта, которые классическая электродинамика не смогла объяснить.

77

Физика. Лабораторный практикум В начале ХХ века идеи квантования энергии распространились на квантование других физических величин. Так для объяснения устойчивости атомов Н. Бору пришлось выдвинуть постулат квантования орбитального момента импульса электрона в атоме водорода Рмех. L =nh/2π. Здесь n – главное квантовое число, принимающее дискретный ряд значений : n=1,2,3,...∞ . Отсюда следовал и дискретный набор энергий электрона, и дискретность спектров излучения, экспериментально установленные еще в прошлом веке. Но теория Бора, сохранившая ядерную модель атома, экспериментально доказанную Э. Резерфордом, не смогла объяснить различную интенсивность спектральных линий излучения, а также не могла ответить на вопрос, почему момент импульса электрона дискретен. Теория не учитывала волновых свойств электрона. В 1924г. Луи де Бройль “приписал” электрону волновые свойства (длину волны де Бройля), а Эрвин Шредингер в 1926г. предложил так называемое уравнение Шредингера, учитывающее и корпускулярные и волновые свойства микрочастиц. Из решения уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода следовало, что дискретными (квантованными) являются энергия электрона, орбитальный механический момент и проекция магнитного момента на ось z, совпадающую с направлением внешнего магнитного поля. Рассмотрим подробнее эти величины. 1)Энергия электрона принимает дискретный ряд значений при различных n:

εn=

− 13,6 эВ, где эВ =1,6⋅10-19 Дж , а n может иметь ряд дис2 n

кретных значений, равных 1,2,3,…,∞. 2)Орбитальный механический момент PL также квантован:

PL=

h ⋅ l(l + 1) , здесь l – орбитальное квантовое число, прини2π

мающее дискретный ряд значений: l=0,1,2, ..., (n – 1). Состояния с l=0 называются s – состояниями, l=1 – рсостояниями, l=2 – d-состояниями, l=3 – f-состояниями, l=4 – gсостояниями, l=5 – h-состояниями.

78

Введение. Квантовая теория излучения 3)Проекция орбитального магнитного момента электрона Lz на ось z, совпадающую с направлением вектора индукции магнитного поля, также дискретна:

Lz=

h ⋅ m , здесь m – магнитное квантовое число, равное m=0, 2π

±1, ±2, ... ±l . Всего различных состояний у электрона в атоме может быть: а) с различными магнитными квантовыми числами m возможно (2l + 1) состояний; б) с различными магнитными квантовыми числами m и различными орбитальными квантовыми числами l возможно n −1

∑

( 2l + 1) =n2 состояний.

l=0

В 1925г. В. Паули выдвинул гипотезу о существовании четвертого квантового числа, характеризующего собственный магнитный момент электрона Pms, равный

h ⋅ s , где s – спиновое квантовое число или спин электро2π 1 на, способный принимать 2 дискретных значения s=± . 2

Pms=

Следовательно, электрон в атоме способен иметь N=2n2 различных состояний с различными квантовыми числами n, l, m, s. Состояния с одинаковыми n , т.е. энергетическими уровнями, выделяются в слои энергий для многоэлектронных атомов. При n=1 квантовые числа l=0, m=0, s=±

1 , это так называе2

мый К-слой, содержащий N=2 , т.е. 2 электрона с противоположными спинами. При n=2 квантовые числа l=0, 1; m=0,±1; s=±

1 , это так на2

зываемый L-слой, содержащий N=8 электронов в различных состояниях, так как у них различны l, m, s.

79

Физика. Лабораторный практикум При n=3 квантовые числа l = 0, 1, 2; m = 0, ±1, ±2; s = ±

1 , это 2

так называемый M-слой, содержащий N=18 электронов в различных состояниях. В N-слое содержится 32 электрона, а в О-слое – 50 электронов. Энергетическое состояние электрона обозначается цифрой и буквой. Цифра определяется главным квантовым числом n, т.е. энергетическим уровнем, а буква – орбитальным квантовым числом l, т.е. орбитальным механическим моментом. Например, состояние 1S означает, что n=1; l=0. Состояние 2Р означает для n=2; l=1 и так далее. Состояния с большими n обладают более высокими значениями энергии (более высокие уровни энергии). В дальнейшем была введена систематика заполнения электронных состояний в многоэлектронных атомах, которая позволила объяснить периодичность химических и физических свойств атомов, спектральный состав не только видимого излучения, инфракрасного, ультрафиолетового, но и рентгеновского излучений. Идеи квантования энергии применены к твердым телам, к их контактам, на базе чего была создана современная квантовая электроника. В дальнейшем на идеях квантования создана стройная система классификации элементарных частиц, предсказано существование новых частиц, открыты эти частицы.

80

Квантовая теория излучения Лабораторная работа 1А

Изучение зависимости силы фототока в полупроводнике от длины волны падающего света Цель работы: изучение внутреннего фотоэффекта в полупроводниках. Приборы и принадлежности: лампа накаливания, монохроматор, фоторезистор, оптический пирометр ОППИР.

1. Теоретическая часть Понятие о внутреннем фотоэффекте и его характеристиках Внутренним или фоторезистивным фотоэффектом называется явление увеличения электропроводности полупроводников под действием электромагнитного излучения. Впервые наблюдалось У. Смитом (США) у Se (селена) в 1873г. Рассмотрим собственные полупроводники. К ним относятся химически чистые элементы IV, V и VI групп Периодической системы элементов Менделеева, например Ge, Si, As, Se, и их соединения InSb, GaAs и другие оксиды, сульфиды, селениды, а также сплавы элементов различных групп. При температурах, близких к абсолютному нулю их электроны связаны, полупроводники ведут себя как изоляторы, с повышением температуры электроны становятся свободными и электропроводность полупроводников повышается. С позиций зонной теории валентная зона энергий собственных полупроводников полностью заполнена электронами, ширина запрещенной зоны невелика (ΔWзапр. ≈ kT), здесь k – постоянная

81

Физика. Лабораторный практикум Больцмана, равная

1,38⋅10

-23

Дж К , Т – комнатная температура

(рис. 1а).

Под действием световых квантов с энергией hν (h – постоянная Планка, равная 6,62⋅10-34 Дж⋅ с, ν – частота) электроны “вырываются” и перебрасываются в свободную зону, при этом одновременно возрастает и число электронов в этой зоне и число дырок в валентной зоне. В примесных n – полупроводниках (рис. 1б) электроны под действием квантов забрасываются с донорных уровней “d” в свободную зону (электронная проводимость), а в примесных p – полупроводниках электроны забрасываются на акцепторные уровни “а” (рис.1 в), таким образом, растет количество свободных дырок (дырочная примесная фотопроводимость). Эта концентрационная фотопроводимость возникает только при возбуждении достаточно коротковолновым излучением (λ=

c , здесь λ- длина волны, с – ν

скорость света), когда энергии квантов достаточно для преодоления ширины запрещенной зоны (собственная электропроводность), или расстояния между одной из зон и примесным уровнем (примесная фотопроводимость). Так как при активации образуется одновременно и электрон и дырка, то энергия, затраченная

82

Квантовая теория излучения на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Т.е. фотопроводимость возбуждается только тогда, когда энергия кванта hν ≥ ΔWзапр. для собственных полупроводников, или hν ≥ ΔWп. для примесных полупроводников. Для

внутреннего фотоэффекта, как и для внешнего, можно ввести понятие “красной” или “длинноволновой” границы фотоэффекта. Это та минимальная частота νк (максимальная длина волны λк), с которой начинается фотопроводимость полупроводника. Частота νк (длина волны λк) называются еще порогом фотоэффекта. ch Для собственных полупроводников λк= . Для приΔWз ch . Для примесных полупроводников порог месных – λк= ΔWп фотоэффекта приходится на инфракрасную область спектра, для собственных – на видимую. При увеличении числа фотонов с энергией hν ≥ ΔWзапр число электронно-дырочных пар увеличивается. Процесс образования свободных носителей под действием света называется генерацией свободных носителей. Введем понятие темпа генерации G, который определяется процессами взаимодействия излучения с полупроводником. Интенсивность монохроматического света I на глубине х связана с интенсивностью I0 у поверхности полупроводника законом Бугера I(x)=I0⋅e -αx , где α – линейный коэффициент поглощения света, различный для разных частот. Количество световой энергии, поглощаемой за 1 сек единицей толщины dx, будет равно dI = – Iαdx. Тогда энергия, поглощаемая единицей объема за 1 сек, равна

dI = αI. dx

83

Физика. Лабораторный практикум Отношение

αI определяет число поглощенных квантов. Чисhν

ло же электронно-дырочных пар, образующихся в единичном объеме за 1 сек фотонами с энергией hν, называется темпом генерации G. Величина G=

βα I . Здесь β – коэффициент пропорциональhν

ности, называемый квантовым выходом. Если R – коэффициент отражения света от поверхности полупроводника, то скорость генерации светом электроннодырочных пар на расстоянии х от освещаемой поверхности

αβ I 0 (1 − R ) − αx αβ I 0λ(1 − R ) − αx ⋅ e , или G = ⋅e , hν hc м . где с – скорость света в вакууме, равная 3⋅108 с Таким образом, при заданных α, β, R, скорость генерации G=

электронно-дырочных пар по глубине полупроводника различна и сильно зависит от коэффициента поглощения α. Отсюда, различен и фототок, возникающий в фоторезисторе, при подаче на него напряжения. Типичный вид спектрального распределения фототока (зависимости фототока Iф от длины волны λ) приведен на рисунке 2. Здесь штриховой линией показана кривая спектрального распределения коэффициента поглощения α. При ν<νк ( λ>λк) энергии света недостаточно для образования носителей. С уменьшением длины волны кванты глубже проникают в вещество, из-за чего увеличивается поглощение. По мере увеличения α, уменьшается глубина генерации электроннодырочных пар. Рождение носителей происходит в тонком приповерхностном слое, так как в глубине большую роль начинают играть процессы рекомбинации носителей.

84

Квантовая теория излучения

Если скорость рекомбинации мала, фототок при уменьшении длины волны (при увеличении энергии кванта hν) увеличивается, достигает максимума Iф max. При дальнейшем увеличении частоты (уменьшении длины волны) световые кванты проникают глубже, коэффициент поглощения увеличивается, возрастает вероятность рекомбинации электронов с дырками, фототок уменьшается и перестает зависеть от частоты. Электрически нейтральные связанные состояния электрона и дырки, называются экситонами. Экситонное поглощение света не сопровождается ростом фототока. Значение энергии кванта света со стороны длинноволнового края поглощения, соответствующее приведенному фототоку Iф I ф max

= 0,5 , позволяет оценить ширину запрещенной зоны энер-

гии полупроводникового материала, из которого изготовлен фоторезистор. Для этого на графике находят длину волны λ, а затем и величину кванта энергии

ε=

hc ≈ ΔWп λ

85

(1)

Физика. Лабораторный практикум

2. Схема экспериментальной установки

Установка состоит из излучателя – лампы накаливания L с регулируемой реостатом R температурой накала. Лампа помещена перед входной щелью 5 монохроматора М , позволяющего с помощью стеклянной призмы менять длину световой волны, попадающей на фоторезистор Ф, наглухо прикрепленный к выходной щели 6 монохроматора . Микроамперметр μА в цепи фоторезистора позволяет измерять фототок, а линза 7 фокусирует изображение источника на входную щель монохроматора. Над входной и выходной щелями монохроматора расположены барабанчики для раскрытия щелей. Основной частью монохроматора является стеклянная диспергирующая призма 1, установленная на столике 2, поворачивающемся с помощью рычага 3 вращением барабана 4. Вращать барабан следует винтом 5. Призма разлагает свет в спектр различных длин волн. На барабане нанесены деления с ценой 2 град для градуировки монохроматора по спектру. В данной радел

боте градуировать монохроматор по спектру нет необходимости, к установке прилагается градуировочная кривая (зависимость n-делений барабана от длины волны λ падающего света). Ток через фотосопротивление измеряется микроамперметром А.

86

Квантовая теория излучения Температура нити накала лампы определяется с помощью пирометра ОППИР-9, схема работы которого приведена на рис. 4. Здесь 1 – фотометрическая лампа, яркость которой сравнивается с яркостью осветительной лампы L, 2 – окуляр, 3, 4 – объектив, 5 -монохроматический светофильтр, R – реостат, с помощью которого можно менять накал нити фотометрической лампы, А – амперметр, отградуированный в градусах. Внешний вид пирометра показан на рисунке 5. Здесь 1 – поворотное кольцо реостата R, позволяющее менять ток в цепи фотометрической лампы, а значит температуру ее накала, 2 – трубка окуляра, куда смотрит глаз наблюдателя, 3 – головка для введения красного светофильтра, 4 – шкала в градусах Цельсия.

Рис. 4

Рис. 5

При пользовании красным светофильтром температуру определяют по верхней шкале. Шкала прибора градуирована по излучению абсолютно черного тела. Если излучающее тело не является черным, то пирометр показывает температуру Тν такого черного тела, яркость которого одинакова с яркостью данного тела. Температура Тν называется яркостной температурой данного тела.

3. Порядок выполнения работы

87

Физика. Лабораторный практикум 1. Внимательно изучают установку, определяют, где находится фотосопротивление, где питающий его выпрямитель, как включается осветительная лампа, разбираются с ценой деления монохроматора. 2. Включают осветительную лампу с помощью ее выпрямителя, выставляя потенциометр в одно из положений, заданных преподавателем. Помечают это положение. Придвигают лампу вплотную к объективу монохроматора, чтобы свет попадал на его щель. Включают питание фотосопротивления. Оно находится под столом. 3. С помощью барабана монохроматора (рис. 3) быстро, не фиксируя, изменяют длины волн падающего света, дойдя до такого деления барабана, при котором микроамперметр покажет максимум. Если прибор зашкаливает, уменьшают ширину выходной щели. Если показания прибора меньше 100 μА, увеличивают ширину щели, или выходное напряжение, подаваемое на лампу. 4. Выставляют деления барабана по значениям фототока вначале через 10 μА, а вблизи максимума – через 1 μА, при переходе через максимум измерения повторяются до полного спада фототока. Результаты измерений заносят в рабочую таблицу. 5. Не меняя положения приборов, потенциометром уменьшают температуру (ручку потенциометра поворачивают влево на несколько мм). Фиксируют положение ручки, так как к нему Вы еще вернетесь при определении температуры источника. Повторяют все измерения пункта 4 для температуры источника Т2, очень внимательно следя за максимумом тока. Число замеров составляет не менее 30-40, поэтому возможно 0

Вам понадобится не одна таблица. Длина волны λ в А ( Ангстремах) определяется по градуировочной кривой.

88

Квантовая теория излучения 2. Рабочая таблица N п/п Iф (μА) Т1 n (дел)

1 10

2 20

3 30

...

N

о

T2

λ( А ) n (дел) о

λ (А )

6. Пирометром определяют вначале температуру Т2 , а затем, переведя потенциометр в первое положение, и температуру Т1 . Для измерения температуры поворачивают осветительную лампу на себя. Устанавливают пирометр против нее, включают его в сеть, глядя в окуляр, наводят изображение фотометрической лампы на лампу накаливания. Головкой 3 (рис. 5) вводят в поле зрения красный светофильтр, пропускающий узкую полосу спектра с длиной волны λ=6,5⋅10 -7 м. С помощью реостата пирометра (кольцо 1) добиваются того, чтобы верхняя часть нити лампочки исчезла на фоне исследуемого объекта (рис.6 –верно). После этого по верхней шкале определяют температуру.

Рис. 6

Если наблюдаемое тело абсолютно черное, найденная температура Тν была бы его истинной. Но Тν – это температура такого абсолютно черного тела, которое имеет в наблюдаемом участке спектра Δν яркость, такую же, что и яркость нити электролампы, температура которой равна Т. Температура Тν называется ярко-

89

Физика. Лабораторный практикум стной температурой. Истинная температура Т находится по формуле Т=

1,432 ⋅ 10−2 ⋅ Тν К λ ⋅ Тν ⋅ ln B + 1,432 ⋅ 10− 2

(2)

Коэффициент В для вольфрама в области температур от 900 до 2000о С равен 0,45, λ=6,5⋅10 -7 м.

4. Обработка результатов измерений 1. Находят по градуировочной кривой длины волн λ, соответствующие делениям барабана n. На миллиметровке строят кривые IФ (λ) для двух температур. Вблизи длинноволновой границы на уровне

Iф I ф max

= 0,5 , определяют длину волны λ, затем по фор-

муле (1)рассчитывают величину запрещенной энергии Wз. 2. Пользуясь формулой (2) рассчитывают истинные температуры Т1 и Т2.

5. Контрольные вопросы 1. Какие вещества называются полупроводниками? 2. В чем состоит суть собственной проводимости? примесных n- и p- проводимостей? 3. В чем состоит явление внешнего фотоэффекта? внутреннего фотоэффекта? 4. Что такое красная или длинноволновая граница внутреннего фотоэффекта? 5. Как меняется интенсивность монохроматического света с глубиной? 6. Что такое квантовый выход? 7. Что такое рекомбинация? Что такое экситон? 8. Поясните ход полученных на эксперименте кривых. 9. Поясните суть бесконтактного измерения температуры лампы.

90

Квантовая теория излучения 10. Почему фототок с уменьшением длины волны растет, достигает максимума, а затем уменьшается? 11. Где применяются фоторезисторы?

ЛИТЕРАТУРА

1. 2. 3. 4. 5. 6.

[1], с.451-452. [8], с.242-250 [9], с.413-416 [8], с.242-250 [10], с.433-436 [11], с.366-370

91

Физика. Лабораторный практикум

ГРАДУИРОВОЧНАЯ КРИВАЯ МОНОХРОМАТОРА

92

Квантовая теория излучения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5А

Определение первых потенциалов возбуждения атомов Цель работы: знакомство с экспериментальным доказательством идеи дискретного поглощения энергии атомами Приборы и принадлежности: установка для определения первых потенциалов.

1. Теоретическая часть. Понятие о первых потенциалах возбуждения атомов По полуквантовой – полуклассической теории Н.Бора атом может обладать дискретным рядом значений энергии εn (дискретным спектром энергии), изображенным на рисунке 1 в виде уровней энергии. Чисто квантовая теория Э. Шредингера подтвердила возможность для атомов обладать дискретным набором энергетических уровней.

Рис. 1 Здесь ε1 – энергия основного невозбужденного состояния электрона в атоме, ε2 , ε3 , ..., εn – энергии возбужденных состоя-

93

Физика. Лабораторный практикум ний электронов, т.е. состояний с более высокой энергией, которые возникают у атомов при поглощении ими энергии. Так как энергия состояний у атомов меняется дискретно, то атомы могут поглощать только дискретные порции энергии, соответствующие переходам между низшими и более высокими энергетическими уровнями. Опыты Франка – Герца доказывают дискретность поглощения энергии атомами. В этих опытах возбуждение атомов исследуемого вещества производится за счет столкновений их с электронами, излучаемыми раскаленным катодом К тиратрона, заполненного парами вещества при давлении порядка долей миллиметра ртутного столба (рис. 2).

Электроны, ускоряемые напряжением Ua , приложенным между анодом и катодом лампы, начнут двигаться к аноду, создавая ток Ia, увеличивающийся с ростом напряжения. При этом электроны будут соударяться с атомами вещества, заполняющего баллон лампы. В зависимости от энергии электрона соударение с атомом может быть упругим или неупругим. Рассмотрим оба случая (рис. 3) для центрального удара. Упругий центральный удар Масса электрона во много раз меньше массы атома m << М. Запишем закон сохранения энергии. Сумма кинетических энергий до и после удара постоянна.

Закон сохранения энергии:

mv 02 mv12 Мv 22 ε= = + 2 2 2

94

(1)

Квантовая теория излучения здесь v0 – скорость электрона до соударения, v1 – его скорость после удара, v2 – скорость атома после удара, ε – суммарная энергия электрона и атома в любой момент времени.

Разность энергий электрона до и после удара:

Δε = ε –

mv12 Мv 22 = 2 2

(2)

Тогда относительная убыль энергии электрона

Δε v2 = 1 − 12 ε v0 При абсолютно упругом ударе ⎢v1⎢≈ ⎢v0⎢, тогда

(3)

Δε ≈ 0, ε

т.е. энергия электрона при упругом ударе практически меняться не будет. Неупругий центральный удар При таком ударе электрон полностью передает энергию атому. Но это происходит не с каждым электроном, а только с таким, энергии которого достаточно для перевода атома из невозбужденного с энергией (ε1) в первое возбужденное состояние (ε2). При этом разность потенциалов, пройдя которую электрон осуществляет неупругий удар с атомом, называется критическим потенциалом атома. Критический потенциал перехода атома из невозбужденного в первое возбужденное состояние, называется первым потенциалом возбуждения атома.

2. Идея определения первого потенциала возбуждения атомов Для определения первого потенциала возбуждения атомов выбран триод, заполненный аргоном при давлении нескольких долей мм ртутного столба (рис. 4).

95

Физика. Лабораторный практикум

Рис. 4

С помощью батареи накала Бн катод К нагревается. Его нагрев регулируется резистором R. Горячий катод испускает электроны. От батареи Ба с помощью потенциометра Ra подается напряжение Ua между анодом и катодом. Точно также от батареи Бс с помощью потенциометра Rс подается напряжение Uс между катодом и сеткой. Но напряжение Ua < Uс, поэтому достигают анода только самые быстрые электроны. Расположение электродов в лампе и давление газа в ней подобраны так, что между сеткой и анодом соударений электронов с атомами почти нет, соударения происходят в пространстве между катодом и сеткой. Если соударения упругие, электроны не теряют энергию, достигают анода и при повышении сеточного напряжения Uс растет и анодный ток Ia (рис. 5, участок 0А).

Рис. 5

96

Квантовая теория излучения При неупругих соударениях (напряжение ≈ ϕо) электроны теряют энергию и оседают на сетке, в результате анодный ток уменьшается (участок АО1). Участок уменьшения тока растянут из-за различных скоростей электронов. Далее с ростом сеточного напряжения растет и энергия электронов. Когда электроны приобретают энергию, превышающую энергию поглощения, удары вновь становятся упругими, ток вновь возрастает (участок О1А1). При напряжении U=2ϕо электрон на пути катод-анод может дважды претерпеть соударения с атомами, вследствие чего, сила тока вновь уменьшится.. Возможны и трехкратные потери энергии и т.д. Тогда на кривой Ia = Ia (Uс) будут наблюдаться максимумы кратных первому потенциалу при напряжениях ϕо, ϕ1, ϕ2, ... , возбуждения атомов. В дальнейшем процесс повторяется, что и доказывает квантовый механизм поглощения энергии атомами. На рисунке 6 показан внешний вид установки.

Рис. 6.

Здесь на внешнюю панель выведена только ручка потенциометра RС, позволяющая регулировать напряжение на сетке Uc, измеряемое вольтметром Vc от 0 до 100 Вольт. Микроамперметр μА регистрирует ток через лампу.

97

Физика. Лабораторный практикум

3. Порядок выполнения работы 1. Тумблером «Вкл» включите установку на прогрев в течение 20 минут. Потенциометр выведите на минимум напряжения. 2. После прогрева начинайте снимать значения анодного тока в зависимости от сеточного напряжения, меняя последнее на 1 Вольт. Значение тока снимайте через 20-30 секунд после установки напряжения. 3. Результаты измерений занесите в таблицу. 4. По данным постройте график зависимости анодного тока Ia от сеточного напряжения Uc.

4. Таблица результатов измерений

5.Контрольные вопросы 1. Сформулируйте второй постулат Бора. 2. Докажите, что при абсолютно упругом ударе электрона об атом энергия электрона практически не меняется. 3. Что такое потенциал? Что называется первым потенциалом возбуждения атома? 4. Поясните идею определения первого потенциала возбуждения на данной установке. 5. Какие основные выводы можно сделать из полученного Вами графика?

6. Литература

1. [8], с. 61-63 3. [1], с. 389-390 4. [12], с. 265-270

98

Квантовая теория излучения Лабораторная работа 6А

Изучение спектра излучения атомарного водорода Цель работы: изучение “механизма” излучения атомов водорода, измерение видимых длин волн в серии Бальмера. Приборы и принадлежности: водородная и неоновая спектральные трубки, ртутная лампа ПРК с блоком питания, монохроматор УМ-2. 1. Теоретическая часть. Строение атома водорода по теории Бора-Резерфорда. Атом водорода – самый легкий химический элемент, содержит ядро-протон (р) (масса покоя 1,672⋅10-27 кг, обладает положительным зарядом q, равным элементарному заряду е=1,6⋅10-19 Кл) и один электрон (е) ( масса покоя 9,11⋅10-31 кг, обладает отрицательным зарядом -q, равным элементарному заряду). В обычном состоянии атомы водорода энергию не излучают, излучение происходит при возбуждении атомов при высоких температурах или в сильных электрических полях. Если собрать водород в спектральную трубку (рис. 1), представляющую из себя капилляр с впаянными электродами, то при подаче на нее высокого напряжения, можно увидеть свечение лилового света .

Этот свет сложный, проходя через трехгранную призму, он разлагается на четыре дискретных линии видимого диапазона: Нα –

99

Физика. Лабораторный практикум ярко-красную, Нβ – зелено-голубую, Нγ – синюю и Нδ – фиолетовую. Существует еще много линий инфракрасного и ультрафиолетового диапазона, но только эти четыре, так называемой серии Бальмера, принадлежат к видимому спектру излучения атомарного водорода. Спектр излучения – это набор длин волн. Целью настоящей работы является определение этих длин волн. Спектр излучения атомарного водорода впервые был объяснен Нильсом Бором в 1913 году на основе ядерной модели атома водорода Эрнста Резерфорда. По этой модели (рис. 2) электрон, имеющий заряд е, обладающий массой m, вращается со скоростью v по окружности радиуса r вокруг положительно заряженного ядра – протона, иначе он упадет на ядро, так как между электроном и протоном действует кулоновская сила притяжения.

Рис. 2

По второму закону Ньютона

r

r

∑ F = ma , rздесь для вращаю-

щегося электрона суммарной силой является Fk – сила кулоновского притяжения электрона к протону, равная по величине

Fk = k ⋅

2 e2 9 H ⋅ м , где k 9 10 . При постоянной величине = ⋅ Кл 2 r2

скорости вращения электрона ускорение здесь нормальное

an =

υ2 r

. Поэтому

ke 2 m υ 2 = r2 r

(1),

это так называемое условие Резерфорда, из которого следует:

m υ 2 r = ke 2

(2) Согласно классической электродинамике, электрон при таком ускоренном движении излучает энергию и в течение 10-8 секунды должен упасть на ядро, т.е. атом Резерфорда, по классической электродинамике, права на существование не должен иметь.

100

Квантовая теория излучения

Однако атомы водорода устойчивы, в обычном состоянии энергию не излучают, излучают при возбуждении в сильных электрических полях и при высоких температурах. Причем, спектр излучения представляет из себя дискретный набор длин волн λ, подчиняющийся, так называемым, сериальным формулам:

1 ⎞ ⎛ 1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ , где R – постоянная Ридберга, равная λ k ⎠ ⎝n 1 R=1,0968⋅107 м , n и k – целые числа, причем n < k. 1

Чтобы объяснить, почему это происходит, Нильс Бор выдвинул три постулата.

Первый постулат Электроны в атомах водорода могут двигаться не по любым орбитам, а только по орбитам вполне определенного радиуса, так называемым, стационарным или разрешенным, на которых электрон не излучает энергию. На стационарной орбите момент импульса электрона кратен Планка, равная 6,62⋅10-34 Дж⋅с, т.е.

mυ r = n

h , где h – постоянная 2π

h 2π

(3)

Выражение (3) и есть математическая формулировка первого постулата Бора. Здесь n – так называемое, главное квантовое число, принимающее дискретный ряд значений n = 1, 2, 3, 4, ..., ∞ . Обозначая

h=

h , имеем: 2π

m υ r = nh

Физика. Лабораторный практикум

Второй постулат

101

(4)

Находясь на стационарной орбите, электрон может обладать только определенным дискретным значением энергии, называемым уровнем энергии. Покажем это. Полная энергия ε электрона в атоме водорода равна сумме его потенциальной энергии U притяжения к ядру и кинетической энергии Т.

ε=U+T,

причем , U = − k

Здесь k = 9 ⋅ 109

e2 , r

а

T=

mυ 2 . 2

H ⋅ м2 . Кл 2

Следовательно,

ε= −ke

2

r

+

mυ 2 2

(5).

Значения υ и r можно найти, решив совместно уравнения (2) и (4). Деля (2) на (4), имеем дискретные значения скорости электрона:

υ=

ke 2 nh

(6)

Подставив это значение в (4) , получим и для радиусов стационарных орбит также дискретные значения

r=

n 2h 2 ke 2 m

(7)

Подстановка (6) и (7) в (5) дает значения полной энергии электрона в атоме водорода 2 4

εn= − mk2 e2

(8)

2n h Учитывая значения m, k, e, h , получаем дискретные значения энергии εn = − 13,62( эВ ) (9), n

где эВ =1,6 ⋅10-19 Дж.

102

Квантовая теория излучения Таким образом, согласно теории Бора – Резерфорда, электроны в атомах водорода могут иметь лишь дискретные значения энергии εn . Знак “ − ” показывает, что это энергия притяжения. Значение полной энергии электрона на данной разрешенной орбите называется уровнем энергии атома. Уровни энергии атома водорода в электрон-Вольтах (эВ) приведены на рис. 3.

Рис. 3 Движение электронов на разрешенных орбитах (по теории Бора-Резерфорда) не сопровождается излучением или поглощением энергии. В обычном состоянии электрон находится на самом низком уровне энергии, что соответствует квантовому числу n=1, энергии – 13,6 эВ. Это состояние называется основным. Все остальные – возбужденными.

Третий постулат Излучение или поглощение энергии атомом происходит только при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией

εn на другую орбиту с энергией εk, причем, квант 103

Физика. Лабораторный практикум энергии hνnk, излучаемый или поглощаемый при таком переходе, равен Здесь νnk

–

hνnk = εn – εk (10). частота кванта энергии, связанная с длиной волны λ

соотношением νnk = 3⋅108

c , где с – скорость света в вакууме, равная

λnk

м . с

Как же возникает спектр излучения ? Если энергия электрона на n-ной орбите

εn = − 13,62( эВ ) , а n

− 13,6(эВ ) на k-той εk = , то, подставляя эти значения в выражеk2 ние (10), имеем сериальную формулу для расчета длин волн спектральных линий атома водорода, излученных или поглощенных при переходе с k – ной орбиты на n – тую

1

λ nk

1 ⎞ ⎛ 1 =R⎜ 2 − 2⎟ ⎝n k ⎠

(11),

где R – постоянная Ридберга, равная 1,0963⋅107 м-1.Формула (11) была получена Бором теоретически. “Механизм” излучения атомарного водорода по Бору – Резерфорду таков. В обычных условиях электроны разных атомов находятся в основном невозбужденном состоянии (n=1). При возбуждении электроны приобретают энергию, переходя на более высокие возбужденные уровни, соответствующие (n=2, 3, 4, ...). В возбужденном состоянии электрон пребывает небольшое время ∼10-8 секунды, затем излучает энергию в виде квантов определенной длины, переходя на более низкие уровни. На рисунке 4 горизонтальными линиями условно изображены уровни энергии возбужденных атомов водорода, а вертикальными стрелками обозначены переходы с более высоких уровней на низшие, соответствующие спектральным линиям, возникающим при их излучении.

104

Квантовая теория излучения

Рис. 4 Все переходы с более высоких уровней на первый дают серию линий Лаймана в ультрафиолетовом диапазоне, все переходы с более высоких уровней на третий, четвертый и так далее уровни, дают серии Пашена, Брекета, Пфунда и так далее в инфракрасном диапазоне. Переходы с более высоких уровней на второй дают серию спектральных линий Бальмера, из которой только четыре линии Hα, Hβ, Hγ и Hδ попадают в видимый диапазон. Эти длины волн были вначале определены экспериментально, а швейцарский физик И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу для их определения, называемую формулой Бальмера.

1 ⎞ ⎛ 1 1 =R⎜ 2 − 2⎟ n ⎠ H ⎝2

(12)

Здесь символом “H” обозначаются длины волн, излучаемые при переходе с более высоких уровней энергии (n>2) на второй, R – постоянная Ридберга. Теоретически рассчитанные Бором (фор-

105

Физика. Лабораторный практикум мула 11) длины волн прекрасно совпали с экспериментальными данными. о

Hα = 6562,793 А – ярко-красная линия, возникающая при переходе электрона с третьего уровня на второй, рассчитывается по формуле:

1 1⎞ ⎛ 1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ 3 ⎠ Hα ⎝2

(13)

о

Hβ = 4861,327 А – зелено-голубая линия, возникающая при переходе электрона с четвертого уровня на второй,

1 1⎞ ⎛ 1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ 4 ⎠ Hβ ⎝2

(14)

о

Hγ = 4340,466 А – синяя линия, возникающая при переходе электрона с пятого уровня на второй,

1 1⎞ ⎛ 1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ Hγ 5 ⎠ ⎝2

(15)

о

и Hδ = 4101,733 А – фиолетовая линия, возникающая при переходе электрона с шестого уровня на второй,

1 1⎞ ⎛ 1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ Hδ 6 ⎠ ⎝2

(16)

о

Здесь А – Ангстрем = 10-10 м. Теория Бора была интуитивной, так как не объясняла, почему электрон на стационарной орбите обладает дискретным значением момента импульса, и не объясняла различную интенсивность излучаемых линий спектра. Луи де Бройль приписал электрону волновые свойства, считая что электрон – это частица-волна с длиной λ

де Бройля

=

h , и пояснил, что на стационарной орбите mυ

электрон-волна не излучает, так как эта волна является стоячей. Это значит, что на орбите длиной 2πr должно укладываться целое

106

Квантовая теория излучения число длин волн де Бройля. Т.е. 2πr = nλ

mυ r = n

де Бройля,

значит

h , что соответствует первому постулату Бора. 2π

Эрвин Шредингер учел волновые свойства электрона в своем волновом уравнении и получил значения для энергий электрона, совпадающие со значениями, полученными Бором. Различная интенсивность линий излучения была объяснена различными вероятностями перехода электрона с одного уровня на другой. Целью настоящей лабораторной работы является экспериментальное определение длин волн Hα, Hβ, Hγ, Hδ, также определение постоянной Ридберга R по формулам (13), (14), (15), (16) и сравнение этих величин с теоретическими.

2. Идея эксперимента Для измерения длин волн спектральных линий излучения в работе используется стеклянно – призменный монохроматор – УМ-2, предназначенный для спектральных исследований в диапао

зоне от 3800 до 10000 А (рис. 5).

Рис. 5

Здесь УМ-2 – монохроматор , Об – объектив, направленный на водородную трубку, помещенную в гнездо К-12, Ок – окуляр, в который можно увидеть раздельно спектральные линии на черном фоне: ярко-красную Hα, зелено-голубую Hβ, синюю Hγ и фиолетовую Hδ . Положение линий может быть зафиксировано вращением ручки барабана Б, при котором треугольник Т в поле зрения окуляра попадает на центр линии. Отсчет линии делается по указателю делений на барабане в градусах (no) с ценой деления

107

Физика. Лабораторный практикум

2

г рад . Длины волн находятся по градуировочной кривой модел

нохроматора n (λ), которая предварительно снимается по известным спектрам неоновой (в красном диапазоне) и ртутнокварцевой (в синем и фиолетовом диапазонах) ламп. Значения длин волн спектральных линий, даваемых этими лампами с указанием их относительной яркости (самая большая яркость – 10, наименьшая -1) приведены в таблицах 1а и 1б. 3. Описание экспериментальной установки В состав прибора входят следующие основные части (Рис. 6). 1 – блок питания, 2 – оптическая скамья, с установленными на ней монохроматором М, гнездом 6 для водородной и неоновой спектральных трубок, а также гнездом 7 для ртутно-кварцевой лампы.

Рис. 6

108

Квантовая теория излучения Основной частью монохроматора является сложная стеклянная призма 3, установленная на поворотном столике 4, который вращается вокруг вертикальной оси при помощи микрометрического винта с отсчетным барабаном Б. На барабан нанесена винтовая дорожка с градусными делениями. Вдоль дорожки скользит указатель барабана 5. При вращении барабана призма поворачивается, в центре поля зрения появляются различные участки спектра. Изображение входной щели рассматривается через окуляр Ок, в фокальной плоскости которого расположен треугольный указатель Т. Спектрометр УМ-2 относится к числу точных приборов. Он требует бережного и аккуратного отношения. При подготовке прибора к наблюдениям особое внимание следует обращать на тщательную фокусировку с тем, чтобы указатель Т и спектральные линии имели четкие, ясные границы. Фокусировка производится в следующем порядке: перемещая окуляр, следует получить резкое изображение острия указателя Т. Вращая винт барабана, необходимо навести указатель Т на спектральную линию. Если спектральные линии широкие, микрометрическим винтом объектива следует сузить линии, особенно при наблюдении спектра неона. Для наблюдения самых слабых линий в крайней фиолетовой области щель приходится несколько расширять. Глаз лучше замечает слабые линии в движении, поэтому при наблюдении удобно слегка поворачивать барабан в обе стороны от среднего положения.

4. Порядок выполнения работы а) ГРАДУИРОВКА СПЕКТРОМЕТРА Приступая к работе, убедитесь вначале, что тумблер (1 – сеть рис. 6) выключен, осторожно вставьте водородную трубку в гнездо 6, если ее там нет. Включите питание (тумблер сеть), затем тумблер К-12 на блоке питания. Посмотрите на характерную окраску излучения водорода. Этот лиловый цвет немонохроматичен, он включает в себя четыре видимых глазом ярко-красную, зелено-голубую, синюю и фиолетовую монохроматические линии, которые Вы можете увидеть,

109

Физика. Лабораторный практикум глядя в окуляр монохроматора Ок (рис. 5 и 6), при вращении призмы с помощью барабана Б. Выключите сеть. Так как непосредственное значение длины волны в Ангстремах по монохроматору снять невозможно, проводится предварительная градуировка монохроматора по известным спектрам неоновой и ртутной ламп. Таблицы известных спектральных линий, даваемых этими лампами, приведены на страницах 37 и 38. Ознакомьтесь с ними Красная линия ртути в излучении ртутной лампы ПРК-4 очень слаба, поэтому для градуировки прибора в красной части спектра пользуются неоновой лампой, спектр которой богат красными линиями различных оттенков. В дальнейшем по градуировочной кривой Вы сможете определить и длины волн серии Бальмера для водорода. Для снятия градуировочной кривой по спектру неона вставьте неоновую трубку в гнездо 6 и включите вначале тумблер сеть, а затем К-12. Начинать измерения лучше от сине-зеленой линии спектра неона, последовательно совмещая острие с линиями желтого и красного спектра. Самая яркая линия в своем спектре имеет относительную яркость 10. Если Вы заметили между сине-зеленой (относительная яркость5) и зеленой (относительная яркость 10) одну зеленую линию – это зеленая (5), если между ними две линии – то это зеленые (5) и (3) линии; и только если между ними три линии – то третья – это о

линия с относительной яркостью 2, с длиной волны 5031 А . Поо

сле желтой линии (10) с длиной волны 5852 А рекомендуется последовательно совмещать острие указателя с красно-оранжевыми и остальными линиями красного диапазона, так как не всякий глаз способен их различить. Если в зеленом диапазоне Вы не видите линий с относительной яркостью (2), значит, Вы их не идентифицируете и в краснооранжевом, ярко-красном диапазонах. Будьте внимательны. После того, как Вы закончили снимать спектр неона, переходите к спектру ртути. Отключите К-12, откройте крышку гнезда 6, перекрывающую свет от ртутной лампы, осторожно снимите спектральную трубку.

110

Квантовая теория излучения ВНИМАНИЕ! Ртутная лампа – прибор высокого давления, включается на 1-2 минуты. Поэтому рекомендуется вначале совместить острие Т со спектральной линией, затем выключить лампу, и только тогда проводить измерения по барабану. Включите тумблер ДРШ. Если лампа не зажглась, нажмите на кнопку Пуск. Здесь начинайте измерения с желтой (относительная яркость о

10, длина волны λ=5790 А ), Вы увидите ее вблизи другой желтой. Затем найдите остальные линии зеленого и синего диапазонов. Обязательно найдите и фиолетовые линии 1 и 2, это позволит Вам определить водородные линии Hβ, Hγ и Hδ по градуировочной кривой. Результаты измерений занесите в таблицы 1а и 1б. Спектр ртутной лампы ПРК-4

Таблица 1а

Линия

Желтая Желтая Зеленая Голубая Фиолетовосиняя Фиолетовая Фиолетовая

Относительная яркость (визуально) 10 8 10 1 8 1 2

о

λ( А ) 5791 5770 5461 4916 4358 4078 4047

111

Деления барабана

Физика. Лабораторный практикум

Таблица 1б Линия

Спектр неоновой лампы Относительная яркость (визуально)

о

λ( А )

Красная

1 3 5 5 5

6717 6678 6599 6532 6506

Ярко-красная

10 10 5 2 8 3 5 5 3 4 2 2 3 4 10 3 10 5 3 2 5

6402 6383 6334 6305 6266 6217 6164 6143 6096 6074 6030 5676 5944 5882 5853 5764 5401 5341 5331 5031 4827

Краснооранжевая

Оранжевая Желтая Зеленая

Сине-зеленая

112

Деления барабана

Квантовая теория излучения Градуировочную кривую следует строить в крупном масштабе на листе миллиметровой бумаги, по оси абсцисс откладывая градусные деления барабана, по оси ординат – длины волн соответствующих линий в Ангстремах. Масштаб выбирайте самостоятельно, исходя из размеров миллиметровки. За нулевую точку по оси о

о

ординат следует брать 4000 А , максимальное значение 6750 А . Продумайте масштаб и для шкалы абсцисс, где Вы отложите деления барабана. Точки наносите карандашом. Иногда при построении графика некоторые экспериментальные точки оказываются смещенными от плавной кривой. Чаще такие “выбросы” свидетельствуют о неверной расшифровке наблюдаемой картины спектральных линий, к этому необходимо отнестись внимательно. Проведите плавную кривую с учетом всех «выбросов». б) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИН ВОЛН СЕРИИ БАЛЬМЕРА При отключенной сети вставьте водородную трубку в гнездо 6. Следует отметить, что в спектре водородной трубки наряду с линиями атомного спектра наблюдается спектр молекулярного водорода. Это ряд частых полос. Поэтому начинать поиск нужных линий необходимо с наиболее интенсивной ярко-красной линии Hα . Вторая линия Hβ – зелено-голубая. В промежутке между Hα и Hβ располагаются несколько красно-желтых и зеленых сравнительно слабых молекулярных полос. Третья линия Hγ – фиолетово-синяя. Перед ней расположены две слабые размазанные молекулярные полосы синего цвета. Четвертая линия Hδ – фиолетовая. Ее удается найти в излучении лишь некоторых экземпляров водородных трубок. Измерьте эти длины волн в делениях барабана. Результаты измерений внесите в таблицу 2.

113

Физика. Лабораторный практикум Спектр водородной лампы

Таблица 2 Линии водорода

Деления барабана nо

Экспериментальные значения длин волн

Экспер. значен. R(м-1)

Rсредн (м-1)

о

λ (А ) Hα ярко-красная Hβ зелено-голубая Hγ синяя Hδ слабо фиолетовая

По градуировочной кривой определите значения длин волн Hα, Hβ, Hγ и Hδ в Ангстремах, а затем и экспериментальное значение постоянной Ридберга R. Сравните эти значения с теоретическими.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Каково строение атома водорода по теории Резерфорда? Почему Бору пришлось ввести свои постулаты? Сформулируйте постулаты Бора. Объясните “механизм” излучения энергии атомом водорода. Выведите формулу полной энергии электрона в атоме. Выведите формулу Бальмера для ярко красной линии Hα. Каковы затруднения теории Бора-Резерфорда? Что не было учтено в этой теории?

ЛИТЕРАТУРА 1. [10], с.427-431 2. [8], с. с. 51 – 54, 66 – 68, 103 – 108.

114

Квантовая теория излучения Лабораторная работа 7А

Изучение законов теплового излучения тел Цель работы: знакомство с законами теплового излучения тел. Приборы и принадлежности: установка для изучения законов теплового излучения тела и некоторыми методами их проверки.

Теоретическая часть 1. Тепловое излучение тел и его характеристики Электромагнитное излучение, возбуждаемое за счет энергии теплового движения атомов и молекул при нагревании тел, называется тепловым. Набор длин волн, излучаемых нагретым телом, называется спектром излучения. Существует исторически сложившееся деление спектра излучения на области: УФ-ультрафиолетовую с длинами волн λ от 0,2 до 0,33 мкм, видимую (0,38-0,76 мкм) и три инфракрасные (ИК)- ближнюю, среднюю и длинноволновую (0,76-2,5; 2,5-25; 25-1000 мкм). Излучение УФ, видимой и ближней ИК-областей обусловлено квантовыми переходами внешних электронов в атомах, излучающих при каждом переходе квант энергии ε=hν, или кратный ему; здесь h – постоянная Планка, равная 6,62 ⋅ 10 −34 Дж⋅сек, ν-частота , связанная с длиной волны λ соотношением ν= λс , где с – скорость света в вакууме. Излучение средневолнового и длинноволнового ИК – диапазонов связано с колебательными и вращательными переходами в кристаллической решетке тела. Тепловое излучение тел является равновесным. Если излучатель поместить в идеально отражающую оболочку, то с течением времени в системе установится состояние термодинамического равновесия. Тело излучает в единицу времени столько же энергии, сколько поглощает при отражении от оболочки. При этом температура тела остается неизменной.

115

Физика. Лабораторный практикум Введем некоторые характеристики излучающей поверхности. 1)Энергетическая светимость или лучеиспускательная способность тела R Т . R Т – это энергия, излучаемая с единицы поверхности тела в единицу времени при температуре Т во всем диапазоне длин волн λ от 0 до ∞, или частот ν от 0 до ∞. То есть, RТ =

W St

(1),

где W – энергия, S – площадь излучающей поверхности, t – время. Размерность [R T ] =

Дж , т.е. Вт/м 2 . R T – это интегральная лу2 м ⋅с чеиспускательная способность, так как она включает в себя излучение всех длин волн. 2) Спектральная плотность энергетической светимости rλ , T или

r ν ,T .

Спектральная плотность энергетической светимости – это энергия, излучаемая с единицы поверхности в единицу времени при данной температуре в диапазоне длин волн от λ до λ + dλ. Оказывается, что при данной температуре на равные интервалы длин волн dλ во всем их диапазоне от 0 до ∞ (частот от 0 до ∞) с единицы площади и в единицу времени излучается различная величина энергии rλ ,T или r ν ,T . Из рисунка 1 заметна неравномерность распределения излучаемой энергии по длинам волн для данной температуры Т. Спектральная плотность лучеиспускательной способности rλ ,T (заштрихованная площадь) различна для разных длин волн.

116

Квантовая теория излучения Максимум излучения r λ ,Т max приходится на длину волны λ о .

Рис. 1

Так для куска железа, нагретого до 100-200 К, максимум излучения приходится на ИК – диапазон. При более высоких температурах вначале тело светится красным светом, затем при дальнейшем увеличении температуры, максимум излучения приходится на более высокие частоты (менее длинные волны λ 0 ). В спектре появляются желтые линии, а затем зеленые и синие, что приводит к более яркому свечению. Так как

ν=

c c dν , т.е. rλ ,T = r ν ,T 2 ,то rλ ,T = r ν ,T λ dλ λ

(2)

Энергетическая светимость R Т и спектральная плотность энергетической светимости rλ ,T связаны между собой: ∞

∫

R Т = rλ , Тd λ

(3)

0

Из выражения (3) следует, что ∞

∫

R Т = rν , Т dν

(4)

0

Т.е. энергетическая светимость R Т соответствует площади под кривой rλ ,T (рис.1), так как включает все длины волн от 0 до

∞.

117

Физика. Лабораторный практикум Введем некоторые характеристики поглощающей поверхности.

1) Спектральная плотность лучепоглощающей способности тела α λ , Т или α ν ,Т .

Спектральная плотность лучепоглощающей способности тела равна доле поглощенной энергии в падающей при данной температуре, как в заданном диапазоне длин волн от λ до λ+dλ, так и в соответствующем диапазоне частот от ν до ν+dν .

α λ ,Т =

dWλ ,Тпогл. dWλ , Тпад.

(5)

Следует отметить, что α λ , Т является – безразмерной величиной.

2) Коэффициент поглощения тела α Т . ∞

α Т = ∫ α λ ,Т dλ

(6)

0

Из выражения (6) следует, что , коэффициент поглощения тела равен доле поглощенной энергии в падающей во всем диапазоне длин волн от 0 до ∞. Так и во всем диапазоне соответствующих частот от 0 до ∞. Тело, способное поглощать при любой температуре все падающее на него излучение, называется абсолютно черным телом (АЧТ). Для АЧТ тела α Т =1. Для серого тела 0<α Т <1. Абсолютно черных тел в природе не существует, однако можно создать его модель в виде зачерненной полости с отверстием в 0,1 диаметра (рис. 2), которое поглощает практически все попавшее в отверстие излучение. Такая “модель” может быть нагрета, излучение из отверстия может считаться излучением абсолютно черного тела.

118

Квантовая теория излучения

Законы излучения АЧТ были установлены в конце Х1Х века на основе термо- и электродинамики при анализе экспериментальных данных.

ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА

а) Закон Кирхгофа Отношение спектральных лучеизлучающих и лучепоглощающих способностей всех тел не зависит от их природы, а только от длины волны (частоты) и температуры Т, и численно равняется спектральной плотности лучеизлучающей способности абсолютно черного тела при тех же длинах волн λ и температуре Т.

⎛ rλ , T ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ α ⎟ первого тела = λ , T ⎝ ⎠ ⎛r ⎞ = ⎜ λ , T ⎟ АЧТ = rλ,Т АЧТ . ⎜α ⎟ ⎝ λ ,T ⎠ Так как

⎛ rλ , T ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ α ⎟ второго тела = ⋅⋅⋅ λ , T ⎝ ⎠

α λ , Т абсолютно черного тела =1,

то

⎛ rλ ,Т ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ α ⎟ серого λ , Т ⎝ ⎠

тела= rλ ,T абсолютно черного тела. Из этого закона следует, что природа излучения всех тел одинакова, не зависит от химического состава тел.

119

Физика. Лабораторный практикум Спектральная плотность лучеиспускательной способности любого тела может быть определена через спектральную плотность лучеиспускательной способности абсолютно черного тела. Т.е.

rλ ,Т серого тела равно rλ ,T абсолютно черного тела. Веα λ ,T

личину rλ ,T абсолютно черного тела называют функцией Кирхгофа. Из закона Кирхгофа следует, что наиболее интенсивно излучают те тела, которые по отношению к данному излучению обладают и наибольшей поглощающей способностью. Кроме того, нетрудно заметить, что энергетическая светимость серого тела при данной температуре меньше энергетической светимости абсолютно черного тела.

Rт серого тела = αT

серого тела

⋅ R т абсолютно черного тела.

б) Закон Стефана-Больцмана Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры. R Т = σT4 (7) -8 2 4 Здесь σ = 5,668⋅ 10 Вт/(м ⋅К ) – так называемая, постоянная Стефана-Больцмана.

в) Закон смещения Вина Длина волны λо, на которую приходится максимум спектральной плотности лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре тела. λо = а/T (8), где а – первая постоянная Вина, равная 2,898⋅10-3 м⋅К.

120

Квантовая теория излучения Это видно из эмпирических кривых распределения излучаемой энергии по длинам волн в спектре излучения АЧТ при различных температурах (рис. 3).

Рис. 3

г) Закон Вина для максимальной спектральной плотности лучеиспускательной способности абсолютно черного тела Из рисунка 3 видно, что максимальные значения спектральной плотности лучеиспускательной способности rλ , T max с ростом температуры растут. Вин показал, что

rλ , T max = b⋅Т5

(9),

т.е. максимальное значение спектральной плотности лучеиспускательной способности абсолютно черного тела прямо пропорционально температуре в пятой степени.

121

Физика. Лабораторный практикум Выражение (9) и есть второй закон Вина. Здесь b – вторая постоянная Вина, равная 1,3⋅10-5 Вт/(м2⋅К5). Законы Стефана-Больцмана и Вина были установлены экспериментально, а затем, после введения в 1900 году Максом Планком гипотезы о квантовом характере излучения, выведены им теоретически, причем расчетные постоянные σ Стефана-Больцмана, а и b Вина, совпали с экспериментальными с высокой степенью точности. Целью настоящей работы является количественная проверка закона Стефана-Больцмана и двух законов Вина, для чего необходимо построение функции Кирхгофа, т.е. зависимости rλ ,T от λ при трех фиксированных значениях температур.

Устройство лабораторной установки Лабораторная установка “Экспериментальное изучение законов теплового излучения” предназначена для измерения в относительных единицах спектральной ( rλ ,T ) и интегральной (R T ) лучеиспускательных способностей нихромовой спирали при трех фиксированных температурах: Т1=900 К, Т2=740 К и Т3=630 К. Внешний вид установки приведен на рисунке 4.

(а)

(б) Рис. 4

122

Квантовая теория излучения Установка состоит из оптического блока, устройства регистрации и блока питания. На рисунке а – (вид спереди): 1 – ручка барабана блока фильтров; 2 – прозрачный кожух; 3 – кнопка МОДУЛЯТОР; 4 – кнопка ДИАПАЗОН; 5- светодиодный цифровой индикатор; 6 – кнопка температуры Т3; 7- кнопка Т2; 8 – кнопка Т1; 9 – зеркало; 10 – инфракрасный узкополосный фильтр; 11 – электродвигатель модулятора; 12 – барабан блока фильтров; 13 – кнопка СЕТЬ; 14 – сигнальные светодиоды; 15 – корпус. На рисунке б – (вид сзади): 1 – держатель предохранителя; 2 – крышка; 3 – разъем для подключения сетевого кабеля; 4 – клемма заземления; 5 – фотоприемник. Принцип действия установки заключается в измерении энергии, излучаемой нихромовой спиралью, в узком спектральном диапазоне при фиксированных температурах излучателя. Спектральная селекция на различных участках спектра излучения осуществляется набором оптических ИК-фильтров (инфракрасных) с узкой полосой пропускания от 0,01 до 0,05 мкм. На рисунке 5 изображена структурная схема установки. Основные элементы установки: излучатель (позиция 4); модулятор (поз. 5); блок ИКфильтров (поз.3); отражатель (поз. 1); фотоприемник (поз. 2); УОАС (поз. 8); вольтметр цифровой (поз. 9); источник тока (поз.6); блок питания (поз. 7).

Рис. 5

123

Физика. Лабораторный практикум Излучатель (4) имеет форму полого цилиндра, изготовленного путем намотки нихромовой проволоки способом виток к витку, предназначен для создания потока излучения. Модулятор (5) изготовлен в виде цилиндрического стакана с равномерно расположенными по окружности окнами прямоугольной формы, предназначен для периодического прерывания потока излучения, создаваемого излучателем. Вращение модулятора осуществляется двигателем постоянного тока. Оптические узкополосные ИК – фильтры (3) размещены на восьмигранном цилиндрическом барабане и предназначены для монохроматизации потока ИК- излучения. Установка фильтра в рабочее положение осуществляется поворотом барабана на фиксированный угол. Ему соответствуют положения фильтров 1 – 7 для длин волн 2,1; 2,5; 3,2; 3,9; 4,5; 6,2; 8,4 мкм. Рабочий диапазон длин волн при измерении интегральной лучеиспускательной способности (окошко 8) − от 2 до 20 мкм. На фотоприемнике (2) строится изображение излучателя с помощью сферического вогнутого зеркала отражателя (1). Пироприемник МГ- 30 размещен в защитном корпусе и предназначен для преобразования промодулированного ИК- излучения в переменный электрический сигнал (напряжение). УОАС – устройство обработки аналоговых сигналов (8) предназначено для преобразования поступающего с выхода пироприемника переменного напряжения в постоянное. Цифровой вольтметр (9) предназначен для преобразования электрического сигнала на выходе УОАС в цифровую форму и отображения его величины на трехразрядном цифровом светодиодном индикаторе. Блок питания (7) осуществляет стабилизацию выходных напряжений и питание всех электронных устройств. Источник тока (6) осуществляет питание излучателя.

На данной установке можно снять напряжения U , λ , Т соответствующие спектральной плотности лучеиспускательной способности rλ ,T , для трех разных температур излучателя, а также напряжения U Т , соответ124

Квантовая теория излучения

ствующие интегральной светимости тела R Т , начиная с наименьшей температуры Т3. ИДЕЯ ПРОВЕРКИ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

а) Закон Стефана-Больцмана Для 8-го окошка снимите напряжения UТ экспериментальные, соответствующие интегральной светимости тела RТ= σT4, для трех различных температур. Сравните отношения напряжений с отношениями температур в четвертой степени.

б) Закон смещения Вина Снимите экспериментальные зависимости напряжений Uλ,Т, соответствующие спектральным плотностям лучеизлучательной способности, для трех различных температур и постройте графики Uλ,Т (λ). По графикам найдите λ01, λ02 и λ03 –длины волн, на которые приходятся максимумы спектральной плотности лучеизлучательной способности. Помня, что длина волны обратно пропорциональна температуре, найдите отношения длин волн и соответствующих температур.

в) Закон Вина для максимальной спектральной плотности лучеиспускательной способности Из графиков Uλ,Т (λ). найдите Uλ,Тmax., соответствующие r λ , Т max . Помня, что максимальная спектральная плотность пропорциональна температуре в пятой степени, найдите отношения U λ , Т max и сравните их с отношениями соответствующих температур в пятой степени.

ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ 1. Перед включением установки в сеть корпус ее должен быть надежно заземлен путем соединения клеммы заземления с общей шиной. Проверьте! Кнопки МОДУЛЯТОР и СЕТЬ должны находиться в отжатом (выключенном) положении. Кнопка ДИАПАЗОН должна

125

Физика. Лабораторный практикум находиться в отжатом положении (ДИАПАЗОН ×1). Т 3 должна находиться во включенном положении, а Т 2 и Т 1 в отжатом. Положение барабана блока светофильтров произвольное.

В Н И М А Н И Е! ПОВОРОТ БАРАБАНА СВЕТОФИЛЬТРОВ МОЖЕТ ПРОИСХОДИТЬ ТОЛЬКО В НАПРАВЛЕНИИ СТРЕЛКИ! 1. Включите установку в сеть. Нажмите кнопку СЕТЬ. Должны загореться сигнальные светодиоды, расположенные рядом с кнопками СЕТЬ, ДИАПАЗОН (×1) и Т 3 . На трехразрядном световом индикаторе должна высветиться комбинация 0,00 или 0,01. Подождите 15 мин, необходимых для прогревания установки. Посмотрите, какой установлен светофильтр. С него можно начинать измерения. 2. Нажмите кнопку МОДУЛЯТОР. Должен загореться светодиод, расположенный рядом с этой кнопкой. На индикаторе должна высветиться цифра, отличная от 0,00. Если на светодиодном индикаторе высвечивается комбинация 1,0 (после запятой цифры не светятся), следует нажать кнопку ДИАПАЗОН. При этом загорается светодиод рядом с символом 2, а светодиод 1 гаснет. Показания индикатора в этом случае должны быть увеличены в три раза. Сняв измеренные напряжения (U′ λ , Т ) для всех окошек, измените температуру на Т 2 .После пятиминутного прогрева повторите измерения. То же проделайте для температуры Т 1 .Измеренные значения внесите в таблицу. Учтите, что Вы начинаете измерения с самой низкой температуры, затем переходите к более высоким: Т 1 = 900 К ; Т 2 = 740 К ; Т 3 = 630 К

126

Квантовая теория излучения

Таблица измерений

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Так как светофильтры пропускают только β% излучения, где β – максимальный коэффициент пропускания данного светофильтра, рассчитайте U λ , Т = U′ λ , Т ×

100 , т.е. напряжения, соотβ

ветствующие спектральным плотностям лучеиспускательной способности излучателя, приходящимся на различные диапазоны длин волн от λ до λ+dλ. Результаты внесите в таблицу. 2. Постройте графики U λ , Т от λ для трех различных температур излучателя, помня, что U λ , Т ∼ rλ ,T , а

UТ ∼ RТ .

3. Для проверки закона смещения Вина найдите из графиков длины волн λ 0 , для трех различных температур, а затем сравните отношения длин волн с соответствующими отношениями температур:

127

Физика. Лабораторный практикум

λ 02 Т1 ≈ ; λ 01 Т 2

λ 03 Т 2 ≈ ; λ 02 Т 3

λ 03 Т1 ≈ . λ 01 Т 3

4. Для проверки закона Вина для максимума спектральной плотности лучеиспускательной способности найдите из графиков U λ , Т max 1 для трех различных температур, а затем сравните отношения их с отношениями соответствующих температур в пятой степени: 5

U λ , T max 1 ⎛ T1 ⎞ ≈⎜ ⎟ ; U λ , T max 2 ⎜⎝ T2 ⎟⎠

5

U λ , T max 1 ⎛ T1 ⎞ ≈⎜ ⎟ ; U λ , T max 3 ⎜⎝ T3 ⎟⎠

5

U λ , T max 2 ⎛ T2 ⎞ ≈⎜ ⎟ . U λ , T max 3 ⎜⎝ T3 ⎟⎠

5. Для проверки закона Стефана-Больцмана найдите отношения напряжений, соответствующих отношениям энергетических светимостей, и сопоставьте их с отношениями температур в четвертой степени: 4

U T1 ⎛ T1 ⎞ ≈⎜ ⎟ ; U T 2 ⎜⎝ T2 ⎟⎠

4

U T1 ⎛ T1 ⎞ ≈⎜ ⎟ ; U T 3 ⎜⎝ T3 ⎟⎠

4

U T 2 ⎛ T2 ⎞ ≈⎜ ⎟ . U T 3 ⎜⎝ T3 ⎟⎠

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какова природа теплового излучения? 2. Что такое энергетическая светимость тела? Спектральная плотность энергетической светимости? 3. Какое тело называется абсолютно черным? серым? 4. Каково распределение энергии в спектре АЧТ? 5. Из каких соображений выводится закон СтефанаБольцмана? Законы Вина? 6. Как “влияет” коэффициент пропускания светофильтра β на выходящее после фильтра излучение? 7. Поясните идею проверки закона Стефана-Больцмана, законов Вина.

ЛИТЕРАТУРА 1. [14], с. 730-740. 2. [15], с. 29-42. 128

Квантовая теория излучения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Функция Кирхгофа и “ультрафиолетовая катастрофа”. Квантовая гипотеза и формула Планка По классической теории Максвелла атомы нагретого тела можно уподобить набору колеблющихся зарядов-осцилляторов, каждый из которых имеет энергию kT. Здесь k – постоянная Больцмана. Число осцилляторов Релей считал пропорциональным 2 ν ⋅Δν для каждого интервала частот. Релеем и Джинсом была выведена формула для спектральной плотности лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, носящая название формулы Релея-Джинса

rν ,T =

2πν 2 ⋅<ε > c2

(10),

где с – скорость света, <ε> – средняя энергия осциллятора. Считая, что осциллятор излучает непрерывно, можно, используя статистику Больцмана, найти среднюю энергию одного осциллятора. ∞

<ε>=

∫ εe

−βε

dε

0 ∞

∫e

−βε

dε

∞

d d =– ln ∫ e -βε dε = dβ dβ 0

⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = kT. ⎝β⎠

0

Таким образом,

r ν ,Т =

2πν 2 ⋅ kT c2

(11)

Формула Релея – Джинса правильно описывает поведение функции r ν ,Т при малых частотах, но для больших частот формула неверна, так как приводит к, так называемой, “ультрафиолетовой катастрофе”. Действительно, ∞

∫

R Т = rν , Тdν → ∞ . 0

Для преодоления трудностей Макс Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу о том, что осцилляторы в атомах излучающего тела могут

129

Физика. Лабораторный практикум излучать энергию не любую, а дискретными порциями – квантами величиной ε 0 , 2ε 0 , 3ε 0 ... Теперь для нахождения <ε> применим не интегрирование, а суммирование . ∞

∑ nε e

<ε>= n = 0∞

0

∑e

−β n ε o

⋅

−β n ε 0

∞ ε d d 1 −β ε ln ∑ e n 0 = ln = βε o . βε dβ n = 0 dβ 1 − e o e o −1

n=0

Подставив это выражение в (10), получим r ν ,Т

=

2πν 2 ⋅ c2

εo

e

εo kT

(12)

−1

Квант энергии Планк принял равным ε о = hν, где h – постоянная, названная в его честь постоянной Планка. Отсюда окончательно функция Кирхгофа имеет вид: r ν ,Т

=

2πhν 3 ⎛ hν ⎞ c 2 ⎜⎜ e kT − 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠

(13)

и называется формулой Планка. При низких частотах hν << kТ, и формула Планка переходит в формулу Релея – Джинса.

2. Вывод закона Стефана – Больцмана ∞

Так как

RТ =

∫r

ν ,Т

dν , то введя замену х = hν/kТ, по

0

лучим ν=kТх/h и dν = kТdх/h. При прежних пределах интегрирования имеем:

RТ =

2πk 4T4 c 2h 3

= 6,56⋅

∞

x3 4 ∫0 e x − 1 dx = σТ , так как

∞

x3 ∫0 e x − 1 = 6,56, а σ

2 πk 4 . Расчетная σ совпадает с экспериментальной. c 2h 3 130

Квантовая теория излучения

Вывод закона смещения Вина Чтобы найти длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности лучеиспускательной способности, необходимо исследовать функцию r λ , Т на экстремум. Вначале учтем, что ν=с/λ , после подстановки в (13) получим значение

2πhc 2 1 ⋅ 5 hc λ ⎞ ⎛ λkT ⎜ e − 1⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ Введя замену переменных х=hc/λkT, получим 2πk 5T5 x5 Аx 5 1 r х,Т = ⋅ = h 4c 3 (e x − 1) e x − 1 r λ ,Т =

(

(14).

)

(15).

Здесь А = 2πk 5 Т 5 / h 4 c 3 . Исследуем эту функцию на экстремум.

drx , T dx

= 0; x= x 0

drx , T dx

=

(

)

5Аx4 e x − 1 − Аx5ex

(e

x

−1

)

2

= 0

при х=х 0 . Здесь достаточно чтобы числитель равнялся нулю.

5(e x 0 − 1) − x0e x 0 = 0 ;

(16)

Полученное трансцендентное уравнение можно решить приближенно. Так как значению x0 соответствует длина волны λ 0 , на которую приходится максимум спектральной плотности лучеиспускательной способности (x0 = hc / λ 0kT) , то для случая больших частот (малых λ)

e x 0 >> 1 и x0 ≈5 . При точном решении

x0 = 4,95. Отсюда λ 0 = hc/4,95kT = а/T, что и требовалось доказать. Здесь а – первая постоянная Вина. Расчетная константа прекрасно совпала с полученной экспериментально.

131

Физика. Лабораторный практикум

4. Вывод закона Вина для максимальной спектральной плотности лучеиспускательной способности r λ , Т max Подставляя в (15) x0 = 4,95 и А, имеем для

r λ , Т max = bT5 ,

где b – вторая постоянная Вина. Таким образом, введя квантовый механизм излучения, Макс Планк теоретически подтвердил экспериментально полученные законы теплового излучения.

132

Квантовая теория излучения Лабораторная работа 9А

Изучение гелий-неонового лазера и дифракции Фраунгофера на мелких частицах Цель работы: знакомство с принципом действия и устройством оптического квантового генератора (газового лазера), а также определение с его помощью размера мелких сферических частиц. Приборы и принадлежности: гелий-неоновый лазер, препарат ликоподия (споры травы плауна), экран.

Теоретическая часть 1. Лазер. Понятие о среде с инверсной заселенностью уровней энергии Естественные источники света дают широкие пучки света, который неполяризован, немонохроматичен и некогерентен. У поляризованного света вектор напряженности электрического поля совершает колебания упорядоченно (линейно поляризованный – в одной плоскости). Монохроматичный свет – это свет одной длины волны, а когерентным излучением называется согласованное излучение, для которого разность фаз отдельных волн постоянна во времени. В 1960 г. американский физик Али Джаван изобрел газовый лазер – устройство, дающее узконаправленный пучок линейно поляризованного монохроматичного когерентного света. Согласно квантовой теории свет представляет из себя поток квантов (мельчайших порций энергии) – фотонов, энергия каждого ε=hν, Здесь h – постоянная Планка, равная 6,62⋅10 -34 Дж⋅с, ν – частота, связанная с длиной волны λ соотношением ν=с/λ, с – скорость света. Длины волн оптических фотонов, т.е. фотонов, воспринимаемых человеческим глазом, заключены в узком диапазоне от λ=3,8⋅10–7 м для фиолетовой области до 7,6⋅10-7 м для красной области оптического спектра. Если на обычное вещество падает свет, то атомы и молекулы среды поглощают его тоже квантами. Пусть Io – интенсивность падающей волны (интенсивность – это энергия, попадающая в

133

Физика. Лабораторный практикум единицу времени на единицу площади), то при прохождении света на любую глубину вещества dx, оказывается, что доля поглощенной энергии к падающей

dI пропорциональна величине dx. Т.е. I

dI ∼ dx. Чтобы поставить знак “=”, введем коэффициент поглоI

щения вещества αν,Т , зависящий от частоты и температуры, знаком “-” учтем, что с увеличением толщины вещества интенсивность уменьшается.

dI = – αν,Т dx . Интегрируя в пределах от 0 до х, имеем: I I x dI -αx = − α . ν , T ∫ dx , откуда I = Ioe ∫I I o ” Это закон Бугера, согласно которому с увеличением толщины вещества интенсивность света экспоненциально уменьшается. И такая среда является нормальной. Такая среда подчиняется нормальному распределению Больцмана частиц по энергиям. −

ε

Т.е. n = noe kT . Здесь no – число частиц с энергией равной нулю, n – число частиц с энергией, равной ε, k – постоянная Больцмана, Т – температура. Так как падающая энергия уходит на возбуждение электронов, то в такой среде количество электронов n1 c меньшей энергией ε1 будет всегда больше количества электронов n2 c большей энергией ε2. Поэтому такая среда будет только поглощать падающее излучение. Генерировать падающее излучение способна среда с инверсной заселенностью уровней энергии, или среда с отрицательным коэффициентом поглощения. Излученные такой средой кванты создадут узкий пучок поляризованного монохроматичного и когерентного излучения. Оказалось, что смесь инертных газов гелия и неона при электрическом разряде является средой с инверсной заселенностью возбужденных уровней энергии. В обычных условиях два электрона гелия находятся в состоянии 1S, а десять электронов неона

134

Квантовая теория излучения имеют уровни энергии, характеризуемые состояниями 1S, 2S, 2P. При возбуждении атомов электрическим разрядом у гелия появляются возбужденные уровни более высокой энергии 2S, 3S..., 2P..., а у неона 3S, 4S..., 3P... .

гелий

неон Рис. 1

На рисунке 1 приведены значения этих возбужденных уровней энергии в электрон-Вольтах, причем, оказалось, что возбужденные уровни 2S гелия совпадают с возбужденными уровнями 4S и 5S неона. Получилась среда с инверсной заселенностью уровней. Для генерации фотонов такой средой необходимо несколько условий, обеспечивающих обратную связь между излучаемым потоком и вынужденным излучением атомов рабочего вещества.

2. Спонтанное и стимулированное излучение 3.

При поглощении фотона атом переходит в возбужденное состояние. На рисунке 1 эти переходы показаны штрихованными стрелками с низких энергетических уровней на более высокие. В возбужденном состоянии атом находится 10-8 секунды, после чего испускает фотон, переходя на более низкий энергетический уровень. Энергия испущенного фотона равна разности энергий тех уровней, между которыми произошел переход электрона hν = εn – εk (1), здесь n>k.

135

Физика. Лабораторный практикум Процесс излучения может быть как спонтанным (самопроизвольным), так и стимулированным (индуцированным). Спонтанное излучение происходит без воздействия на атом и обусловлено лишь неустойчивостью его возбужденного состояния из-за взаимодействия его электронов с вакуумом. Физический вакуум не является абсолютной пустотой, представляет собой состояние материи с наименьшей энергией. В таком состоянии минимальна энергия электромагнитного поля. Взаимодействуя с возбужденным атомом, это поле может отобрать у атома энергию в виде спонтанно испущенного фотона. Различные электроны различных атомов спонтанно излучают независимо друг от друга фотоны различных частот, распространяющиеся в различных направлениях. У этих r фотонов колебания векторов E ориентированы произвольно, поэтому такие фотоны не поляризованы и не когерентны. Если возбужденные атомы облучить электромагнитной волной частоты ν, для которой выполняется равенство (1) только для одного из электронных переходов (например, переходов 5S – 2P), то такие атомы могут дать излучение (стимулированное), в котором точно совпадает состояние испущенного фотона с состоянием стимулирующего фотона. Оба фотона имеют одинаковые частоты (длины волн), значит, это излучение монохроматично, фотоны имеют одинаковые фазы, следовательно, это излучение когерентно, а так как одинаково направление r колебаний векторов E , значит, это излучение поляризовано. Кроме того, оба фотона имеют одинаковое направление движения, поэтому можно получить узконаправленные пучки когерентных фотонов большой интенсивности. Процесс стимуляции возбужденных атомов с помощью облучения называется оптической накачкой.

3. Принцип когерентного усиления излучения Поместим смесь атомов гелия и неона (в простейшем случае) между двумя плоскими зеркалами, одно из которых частично прозрачно для генерируемого света, второе полностью отражает его (рис. 2). Здесь G – генератор напряжения для возбуждения атомов гелия и неона. С помощью генератора непрерывно пополняются

136

Квантовая теория излучения возбужденные уровни 4S, 5S, 3P (рис. 1), т.е. в среде создается инверсная заселенность уровней. Пустые кружочки (рис. 2) – это невозбужденные атомы, заштрихованные – возбужденные атомы

Рис. 2

Испущенная в результате спонтанного перехода (например, 5S – 3P) световая волна усиливается за счет вынужденного испускания при прохождении ее через рабочее вещество. Это происходит следующим образом. Квант света, попадая на возбужденный атом, индуцирует новый квант, летящий в том же направлении. Два кванта индуцируют четыре кванта, те – восемь и так далее. Дойдя до зеркала, свет отразится и снова пройдет рабочее вещество, усиливая генерацию света, затем отразится от другого зеркала и так далее.

Рис. 3

137

Физика. Лабораторный практикум Кванты света, попавшие на невозбужденные атомы (изображены штрихованными векторами), в дальнейшей генерации света не участвуют. Коэффициент отражения зеркал должен быть таким, чтобы при одном проходе волны между зеркалами на полупрозрачное зеркало вернулась световая энергия не меньшая, чем в предыдущем случае. Кванты не должны “мешать” друг другу, поэтому зеркала имеют искривленную поверхность(рис. 4).

Рис. 4

Энергия света будет нарастать от прохода к проходу, только в этом случае возможна генерация света. Бурный лавинообразный рост плотности излучения происходит уже в первые моменты разряда: кванты света проходя многократно пространство между зеркалами, за счет соударений с атомами гелия продолжают пополнять убыль заселенности возбужденных уровней атомов неона. В непрерывном режиме устанавливается равновесие. Часть света, дошедшая до полупрозрачного зеркала, при определенной интенсивности пучка пройдет через него, и будет излучена лазером или оптическим квантовым генератором. Аббревиатура слова “лазер” происходит от начальных букв Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, что в переводе означает усиление видимого света с помощью стимулированного излучения. Используемый в данной работе гелий-неоновый лазер излучао

ет непрерывно на длине волны 6328 А (красный свет), о

где А (Ангстрем) – 10-10 м. Настоящая работа преследует несколько целей: 1) знакомство с идеями генерации монохроматичного поляризованного когерентного излучения;

138

Квантовая теория излучения 2) 3) 4)

проверка поляризованности этого излучения; определение угла расходимости лазерного пучка; определение размеров мелких сферических частиц при дифракции когерентного излучения лазера на них.

Порядок включения лазера Внешний вид лазера и блока питания приведен на рис. 5

Рис. 5 1. Перед включением блока питания выключатель “Вкл” поставьте в нижнее (отжатое) положение. 2. Включите вилку сетевого шнура стабилизатора в сетевую розетку. 3. Переведите выключатель “Вкл” в верхнее (нажатое) положение. Подождите 30 секунд, затем нажмите кнопку “Запуск”. Вы увидите луч лазера. Лазер включен. Дайте прогреться установке 3-4 минуты, после чего выполняйте измерения. 4. После завершения работы ручку “Вкл” верните в отжатое положение, вилку сетевого шнура выдерните из розетки.

ВНИМАНИЕ! При включении и выключении установки, блок питания, подводящий кабель и лампа находятся под напряжением от 5 до 8 килоВольт. При выполнении работы остерегайтесь попадания в глаза прямого лазерного излучения! 139

Физика. Лабораторный практикум

Порядок выполнения работы Упражнение 1. Чтобы убедиться в поляризованности лазерного излучения, необходимо вспомнить закон Малюса I = Io cos2 α , где Io – интенсивность поляризованного света, I – интенсивность света, прошедшего через анализатор, а α – угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора. Если изучаемое излучение не поляризовано, то при вращении анализатора интенсивность света меняться не будет. Если излучение поляризовано, при вращении анализатора вокруг своей оси будет периодически меняться интенсивность света по закону квадрата косинуса. Чтобы убедиться в этом, установите на оптической скамье между лазером и экраном насадку с поляроидом. Вращением поляроида убедитесь в поляризованности лазерного излучения.

Упражнение 2. Определение угла расходимости лазерного пучка производится согласно рисунку 6.

Рис. 6 1. На расстоянии l1 равном 15-20 см от выходного окна лазера расположите экран с закрепленным на нем листом бумаги. 2. Между лазером и экраном поставьте поляроид. Вращением поляроида ослабьте излучение до такой степени, чтобы на бумаге были отчетливо видны границы светового пятна. 3. Кончиком остро отточенного карандаша отметьте диаметр светового пятна. Эту операцию проделайте не менее 3 раз, перемещая бумагу по экрану (экран не сдвигайте). Сняв бумагу, измерьте с помощью штангенциркуля диаметр d1 пятна и определите его среднее значение.

140

Квантовая теория излучения 4. Переместите экран на возможно большее расстояние l2 и, повторив все операции пункта 3, измерьте диаметр d2 . 5. Для малых углов ϕ находим (рис. 6)

d 2 d1 − ϕ 2 2 , или ϕ = d 2 − d 1 (рад). = 2 l 2 − l1 l 2 − l1 По этой формуле найдите угол расходимости ϕ в радианах, результаты занесите в таблицу 1.

Таблица 1 N п/п

d1 (м)

l1 (м)

d2 (м)

l2 (м)

ϕn

(рад)

ϕ (рад)

1 2 3

Упражнение 3. Нахождение диаметра малых частиц ликоподия по дифракции Фраунгофера на них Монохроматичный, хорошо коллимируемый пространственно когерентный световой пучок лазерного излучения позволяет наблюдать дифракцию света на сферических частицах малого диаметра (порядка 1-2 мкм), а также определить их диаметр с высокой степенью точности. В качестве таких частиц выбраны споры травы плаун (споры ликоподия), часто встречающиеся в камчатском лесу. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера от ликоподия приведена на рис. 7.

Рис. 7

141

Физика. Лабораторный практикум Излучение от лазера (длина волны 6,328⋅10-7 м) падает на сферические частицы радиуса r , дифрагирует на них и дает дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии L от частиц. На экране возникает периодическое распределение интенсивности света в виде концентрических колец – дифракционных максимумов и минимумов освещенности (рис. 8). Освещенность максимумов убывает к периферии. В центре экрана всегда наблюдается дифракционный максимум, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля от всех частиц. На рисунке по оси ординат отложены интенсивности I в дифракционных максимумах, а по оси абсцисс произведения радиуса частицы на синусы угловых радиусов, под которыми видны светлые и темные кольца

II

Рис. 8

. Угловые радиусы темных колец подчиняются условиям:

sin ϕ1=0,61

λ λ λ ; sin ϕ3=1,12 ; sin ϕ5=1,62 ;... r r r 142

(2),

Квантовая теория излучения где λ – длина волны света, продифрагировавшего на частице радиуса r. Угловые радиусы светлых колец также зависят от соотношения длины волны и радиуса частицы:

sin ϕ0=0; sin ϕ2=0,81

λ λ ; sin ϕ4=1,33 r r

(3)

Если измерить диаметр k-го темного или светлого кольца dk и расстояние от пластины с порошком ликоподия L, то для малых углов (рис. 7)

sin ϕk =tg ϕk =

dk . 2L

Тогда, используя условия (2) и (3) , имеем для данного k значение rk – радиуса малых частиц ликоподия:

rk=

2ck λ L dk

(4),

где сk- коэффициент для разного вида колец. Формула 4 является рабочей для определения радиуса мелких частиц ликоподия. Результаты измерений занесите в таблицу 2.

Таблица 2 kномер кольца 1 2 3 4 5

ck

dk

(м)

rk

(м)

Σ( r − rk )2 σ= n(n − 1)

0,61 0,81 1,12 1,33 1,62

r

(м)

143

δ=

σ 100 % r

Физика. Лабораторный практикум

Контрольные вопросы 1. Каковы основные свойства лазерного излучения? 2. Чем отличается спонтанное излучение от вынужденного? 3. В чем заключается когерентное усиление излучения веществом? 4. Рассмотрите принцип создания среды с инверсной заселенностью уровней энергии в гелий-неоновом лазере. 5. Зачем в лазере нужна система зеркал? 6. Почему периодически меняется интенсивность лазерного пучка при вращении насадки с поляроидом. 7. Объясните суть дифракции Фраунгофера на круглых частицах.

Литература 1. [8], с. 167-175. 2. [1], с. 351-352, 355-357, 430-432.

144

Электромагнитный колебания

ЛИТЕРАТУРА 1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2000. 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. 3. Курс физики / Под ред. проф. В.Н. Лозовского, т.1,– СанктПетербург, изд. «Лана», 2001. 4. Джанколи Д., Физика, т.2,– М. : Мир, 1989. 5. Савельев И.В., Курс общей физики, т.2., – М.: Наука, 1998. 6. Руководство к лабораторным работам по физике /Под ред. Гольдина Л.Л.– М.: Наука, 1973. 7. Новиков П.Н., Кауфман В.Я., Толчеев О.В., Ярочкина Г.В., Шапкина Е.В., Задачник по электротехнике, – М: издательский центр «Академия», 1998. 8. Савельев И.В. Курс общей физики, книга 5. – М: Наука, Физматлит, 1998. 9. Калитиевский Н.И.. Волновая оптика. – М.: Высшая школа, 1995. 10. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. – М.: Высшая школа, 1965.

11. Евграфова Н.Н., Каган В.Л.. Руководство к лабораторным работам по физике. – М.: Высшая школа, 1970. 12. Лабораторный практикум по физике. / Под ред. Барсукова К.А. и Уханова Ю.И. – Москва, Высшая школа, 1988. 13. Савельев И.В. Курс общей физики, т.3.–М.: Высшая школа, 1989 г. 14. Ландсберг Г.С. Оптика, – М.: Наука, 1976 г. 15. Курс физики / Под ред. проф. Лозовского В.Н., т.2,– СанктПетербург, изд. «Лана», 2001.

145

Физика. Лабораторный практикум

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение. Понятие об электромагнитных колебаниях, методах их создания и способах наблюдения …………………………………………………. 4 2. Лабораторная работа 3к. Сравнение шкал звуковых генераторов по фигурам Лиссажу ……………..11 3. Лабораторная работа 12к. Изучение затухающих электромагнитных колебаний ……………….21 4. Лабораторная работа 7к. Определение добротности колебательного контура по резонансу напряжений………………………………………39 5. Приложение к лабораторной работе 7к ………………...57 6 .Лабораторная работа 14к. Изучение дифференцирующей и интегрирующей RC-цепей……………………………………………………..62 7. Квантовая теория излучения. Введение. Идеи квантования энергии и других величин……………………………………………75 8. Лабораторная работа 1А. Изучение зависимости силы фототока в полупроводнике от длины волны падающего света……………………….79 9. Лабораторная работа 5А. Определение первых потенциалов возбуждения атомов ...……………91 10. Лабораторная работа 6А. Изучение спектра излучения атомарного водорода……..…………...97 11. Лабораторная работа 7А. Изучение законов теплового излучения тел…………………………113 11. Приложение к лабораторной работе 7А………...……127 12. Лабораторная работа 9А. Изучение гелий-неонового лазера и дифракции Фраунгофера на мелких частицах……………….……. 131 14. Литература……………………………………………….143

146

Учебное пособие Иваницкая Жанна Федоровна ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Лабораторный практикум по физике

В авторской редакции Компьютерный набор, верстка Иваницкая Ж.Ф., Янович А.В. Лицензия ИД № 02187 от 30.06.00 г. Подписано в печать 26.02.2003 г. Формат 61*86/16. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman Авт. л. 7,28. Уч.-изд. л. 7,73. Усл. печ.л. 8,97 Тираж 5 экз. Заказ № 56 Редакционно-издательский отдел Камчатского государственного технического университета Отпечатано полиграфическим участком РИО КамчатГТУ 683003 г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

147