Численное интегрирование и дифференцирование: Учебно-методическое пособие по курсу ''Методы вычислений''

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т

М а те ма ти че ски й фа культе т К а фе др а ма те ма ти че ско го мо де ли р о ва ни я

Чи сле нно е и нте гр и р о ва ни е и ди ффе р е нци р о ва ни е

Уче б но -ме то ди че ско е п о со б и е п о кур су « М е то дывычи сле ни й» для студе нто в IV-V кур со в все х фо р м о б уче ни я

Со ста ви те ль В .П .Тр о фи мо в В о р о не ж 2002 г.

Н а сто яще е уче б но -ме то ди че ско е п о со б и е п р е дна зна че но для вып о лне ни я ла б о р а то р ных р а б о т «Чи сле нно е и нте гр и р о ва ни е » и «Чи сле нно е ди ффе р е нци р о ва ни е » п о кур су «М е то ды вычи сле ни й» студе нта ми IV-V кур со в дне вно го и ве че р не го о тде ле ни й ма те ма ти че ско го фа культе та . Ра зр а б о тка мо ж е т б ыть и сп о льзо ва на для са мо сто яте льно й р а б о ты студе нто в и п р и п о дго то вке к э кза ме ну. Ра зр а б о тка п р е дста вляе т со б о й суще стве нно п е р е р а б о та нный и до п о лне нный ва р и а нтме то ди че ски х ука за ни й [6]. Ли те р а тур а 1. Ба хва ло в Н.С. Чи сле нные ме то ды в за да ча х и уп р а ж не ни ях: Уче б . п о со б и е / Н.С.Ба хва ло в, А .В .Ла п и н, Е .В .Чи ж о нко в; П о д р е д. В .А .Са до вни че го . – М .: В ысш а я ш ко ла , 2000. – 190 с. 2. П ли с А .И . Ла б о р а то р ный п р а кти кум п о высш е й ма те ма ти ке : Уче б . п о со б и е для втузо в / А .И .П ли с, Н .А .Сли ви на . – 2-е и зд., п е р е р а б . и до п . – М .: В ысш а я ш ко ла , 1994. – 416 с. 3. К р ыло в В .И . Сп р а во чна я кни га п о чи сле нно му и нте гр и р о ва ни ю / В .И .К р ыло в, Л.Т.Ш ульги на . – М .: Н а ука , 1966. – 372 с. 4. Лю сте р ни к Л.А . К р а тки й кур с функци о на льно го а на ли за / Л.А .Лю сте р ни к, В .И .Со б о ле в. – М .: В ысш а я ш ко ла , 1982. – 328 с. 5. В а йни кко Г.М . А на ли з ди скр е ти за ци о нных ме то до в / Г.М .В а йни кко . – Та р ту.: Та р тусски й го с. ун-т, 1976. – 162 с. 6. М е то ди че ски е ука за ни я п о ме то да м вычи сле ни й и вычи сли те льно й п р а кти ке . Ча сть II / Со ст. Г.С.А б р о ськи на , В .П .Тр о фи мо в. - В о р о не ж .: В о р о не ж . го с. ун-т, 1988. – 19 с. О б о зна че ни я

R - мно ж е ство ве ще стве нных чи се л; N – мно ж е ство на тур а льных чи се л; С – мно ж е ство ко мп ле ксных чи се л; C ( a ;b ) - б а на хо во п р о стр а нство функци й не п р е р ывных на

C((ak;)b )

[a; b] ⊂ R; [a; b] не п р е р ывные

- п р о стр а нство функци й, и ме ю щи х на п р о и зво дные до п о р ядка k вклю чи те льно ; Ρ - п р о стр а нство а лге б р а и че ски х мно го чле но в; Ρm - п р о стр а нство а лге б р а и че ски х мно го чле но в сте п е ни не выш е m .

2

I. Ч ис л е нное инт е г р ир ование

(

1.1. П ос т ановка задачи [a; b] ⊂ R П усть функци я f (x ) о п р е де ле на и не п р е р ывна на о тр е зке f ∈ C( a ;b ) , и тр е б уе тся вычи сли ть о п р е де ле нный и нте гр а л(и нте гр а лРи ма на )

)

b

Y ( f ) = ∫ f ( x )dx .

(1)

a

За да чу вычи сле ни я и нте гр а ла (1) п р и нято на зыва ть квадр ат ур ой . Е сли и нте гр а л являе тся та б ли чным и ли п р и во ди тся к та б ли чно му (на п р и ме р , с п о мо щью за ме ны п е р е ме нно го ), то о н вычи сляе тся с п о мо щью фо р мулыН ью то на -Ле йб ни ца b

Y ( f ) = ∫ f ( x )dx = F ( x ) a , b

a

где F (x ) - п е р во о б р а зна я для f (x ) на [a; b] . Н а п р а кти ке в р е дки х случа ях мо ж но во сп о льзо ва ться фо р муло й Н ью то на Ле йб ни ца . Че р е з э ле ме нта р ные функци и выр а ж а ю тся п е р во о б р а зные то лько для сп е ци а льных кла ссо в функци й. Н а п р и ме р , в э ле ме нта р ных функци ях не dx 2 выр а ж а ю тся и нте гр а лы ∫ и ∫ exp( − x )dx . К р о ме то го , функци я f (x ) мо ж е т ln x б ыть за да на та б ли чно . В э то м случа е фо р мула Н ью то на -Ле йб ни ца во о б ще не п р и ме ни ма . П о э то му п р и хо ди тся и нте гр а л вычи слять п р и б ли ж е нно , и сп о льзуя фо р мулычи сле нно го и нте гр и р о ва ни я. 1.2. К вадр ат ур ная ф ор м ул а. К вадр ат ур ный пр оце с с В ыб е р е м на о тр е зке [a; b] то чки x0 < x1 < K < x n . Ф о р мула чи сле нно го и нте гр и р о ва ни я b

n

Y ( f ) = ∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi ) = Yn ( f ) a

( 2)

i =0

(i = 0, K , n ) на зыва ю тся на зыва е тся квадр ат ур ной . В е ли чи ны Ai ∈ R, коэф ф ицие нт ам и (ве с овым и коэф ф ицие нт ам и) ква др а тур но й фо р мулы; xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) - узл ам и ква др а тур но й фо р мулы. О б ычно тр е б ую т, что б ы

3

b

n

∑ A = ∫ dx = b − a. i =0

(3)

i

a

Ра зно сть b

n

Rn ( f ) = Y ( f ) − Yn ( f ) = ∫ f ( x )dx − ∑ Ai f ( xi )

( 4)

i =0

a

на зыва е тся пог р е ш нос т ью (ф ункционал ом пог р е ш нос т и) ква др а тур но й фо р мулы(2). В а ж но зна ть, для ка ки х кла ссо в функци й п о гр е ш но сть Rn ( f ) о б р а ща е тся в нуль. Ра ве нство (3) о зна ча е т, что ква др а тур на я фо р мула (2) т очна на конс т ант ах ( Rn ( f ) = 0 , е сли f ( x ) = const для x ∈ [a; b] ) . Буде м го во р и ть, что ква др а тур на я фо р мула т очна на м ног очл е нах с т е пе ни m , е сли Rn ( f ) = 0 для лю б о й функци и f ∈ Ρm , где Ρm - п р о стр а нство мно го чле но в сте п е ни не выш е m . К ва др а тур на я фо р мула (2) со де р ж и т 2n + 2 п а р а ме тр о в: xi и

Ai Ai( n )

(i = 0, K , n ) . Е сли для ка ж до го n ∈ N выб р а ть сво и узлы xi(n ) и ко эффи ци е нты (i = 0, K , n ) , то п о лучи м квадр ат ур ный пр оце с с : b

∫ a

n

f ( x )dx = ∑ Ai( n ) f ( xi( n ) ) + Rn ( f ).

(5)

i =0

К ва др а тур ный п р о це сс (5) на зыва е тся с ходящ им с я, е сли для лю б о й функци и f ∈ C( a ;b ) п о гр е ш но сть ква др а тур но й фо р мулы Rn ( f ) → 0 п р и n → ∞ . Э то о зна ча е т, что п о сле до ва те льно сть функци о на ло в п о гр е ш но сти схо ди тся к нулю на ка ж до м э ле ме нте f ∈ C( a ;b ) (см. [4], стр . 165).

f a Rn ( f )

Зам е чание 1. Y ( f ) , Yn ( f ) , Rn ( f ) являю тся ли не йными не п р е р ывными (о гр а ни че нными ) функци о на ла ми на C( a;b) : n

Y = b − a , Yn = ∑ A i =0

(n) i

n

,

Rn = b − a + ∑ Ai( n ) . i =0

И з п о сле дне го р а ве нства сле дуе т, что п о сле до ва те льно сть функци о на ло в п о гр е ш но сти не мо ж е тр а вно ме р но схо ди ться к нулю ( Rn − → 0 п р и n → ∞ ) . И з те о р е мыБа на ха -Ш те йнга уса (см. [4], с. 134, с. 166) не ме дле нно п о луча е м усло ви е схо ди мо сти ква др а тур но го п р о це сса : Те ор е м а 1. Д л я т ог о ч т об ы кв а д ра т урны й процес с (5) с ход ил с я, необ ход имои д ос т а т оч нов ы полнение с л ед ующихд в ухус лов ий: 4

1) Rn ( f ) → 0 при n → ∞ д л я люб ой функции f ∈ Φ , г д е Φ ⊂ C ( a ;b ) множ ес т в о, л инейны е комб ина ции эл емент ов кот орог о леж а т в с юд у плот но в C( a ;b ) ; n

(n) 2) с ущес т в ует конс т а нт а M > 0 т а ка я, ч т о ∑ Ai i =0

≤ M д л я в с ех n ∈ N.

1.3. Инт е р пол яционная квадр ат ур ная ф ор м ул а П усть за да ны узлы xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) ква др а тур но й фо р мулы (2). П о xi (i = 0, K , n ) f п о стр о и м п о ди нте гр а льно й функци и и узла м и нте р п о ляци о нный мно го чле н Ла гр а нж а n

Ln ( x; x0 ,K, xn ; f ) = ∑ f ( xi )li( n ) ( x ),

(6)

i =0

где

ω n ( x) (i = 0, K , n ) , ω n ( x ) = ( x − x0 ) K ( x − x n ) . ( x − xi )ω n′ ( x ) П о ло ж и в

li( n ) ( x ) = b

∫ a

b

n

b

a

i =0

a

f ( x )dx ≈ ∫ Ln (x; x0 ,K xn ; f )dx = ∑ f ( xi ) ∫ li( n ) ( x )dx,

п о лучи м инт е р пол яционную квадр ат ур ную ф ор м ул у b

n

∫ f ( x )dx = ∑ A f ( x ) + R ( f ), i =0

a

i

i

n

(7)

где b

Ai = ∫ li( n ) ( x )dx,

i = 0,K, n.

(8)

a

Та ки м о б р а зо м, ква др а тур на я фо р мула (2) являе тся и нте р п о ляци о нно й, е сли е ё ко э ффи ци е нтывычи сляю тся п о фо р муле (8). Зам е чание 2. К о э ффи ци е нты и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р мулы за ви сят то лько о т узло в xi (i = 0, K , n ) и не за ви сят о т п о ди нте гр а льно й функци и f . И нте р п о ляци о нна я ква др а тур на я фо р мула (7)–(8) то чна на мно го чле на х сте п е ни n ( Ln ( x; x0 , K , x n ; f ) ≡ f ( x ) , е сли f ∈ Ρn ) . О че ви дно , что е сли ква др а тур на я фо р мула (2) с n + 1 узла ми и ме е та лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти не ни ж е n , то о на являе тся и нте р п о ляци о нно й. П о гр е ш но сть и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р мулы(7)–(8) и ме е тви д 5

b

b

a

a

Rn ( f ) = ∫ ( f ( x )dx − Ln (x; x0 ,K, xn ; f ) )dx = ∫ rn (x; f )dx, где rn ( x; f ) = f ( x ) − Ln ( x; xo , K , xn ; f ) - п о гр е ш но сть и нте р п о ляци и . ( n +1) Е сли f ∈ C( a ;b ) , то

rn (x; f ) ≤

max f ( n+1) ( x ) a ≤ x ≤b

(n + 1)!

ωn ( x)

и , сле до ва те льно ,

Rn ( f ) ≤

max f ( n +1) ( x ) a ≤ x ≤b

(n + 1)!

b

∫ω

n

( x )dx .

( 9)

a

Ча сто о це нку (9) за ме няю тб о ле е гр уб о й

Rn ( f ) ≤

max f ( n+1) ( x ) a ≤ x ≤b

(n + 1)!

(b − a ) n +2 .

(10)

Те ор е м а 2. Д л я с ход имос т и кв а д ра т урног о процес с а (5), порож д енног о инт ерпол яционной кв а д ра т урной формул ой (7)-(8) с т а б лицей узл ов (n) Τ : { xi ∈ [a; b], i = 0, K , n , n = 1,2, K }, необ ход имо и д ос т а т оч но, ч т об ы n

∑A i =0

(n) i

≤ M = const д л я люб ог о n ∈ N.

Д е йстви те льно , для всяко го мно го чле на f сте п е ни n и ме е м п р и

k≥n

b

Lk (x; x0 , K , x k ; f ) ≡ f ( x ) и , сле до ва те льно , Rn ( f ) = ∫ rn (x; f )dx → 0 п р и n → ∞ a

для лю б о й функци и f ∈ Ρ , где Ρ - п р о стр а нство мно го чле но в, всю ду п ло тно е в C ( a ;b ) . Утве р ж де ни е те о р е мы2 те п е р ь не ме дле нно сле дуе ти з те о р е мы1. Д ля лю б о й та б ли цы узло в и сп о льзуя фо р мулу (8), п о луча е м n

∑A i =0

(n) i

Τ : { xi( n ) ∈ [a; b], i = 0, K , n , n = 1,2, K },

b n

≤ ∫ ∑ li( n ) ( x ) dx ≤ Λ n (b − a ),

(11)

a i =0

n

li( n ) ( x ) - ко нста нта Ле б е га . где Λ n = max ∑ a ≤ x ≤b i =0

6

(i = 0, K , n ) ln n . В ве де м и ме е т ме сто (см. [4], стр . 118) не р а ве нство С.Н .Бе р нш те йна Λ n > 8 π Ln : C( a ;b ) → C( a ;b ) , f ∈ C( a ;b ) о п е р а то р п р е о б р а зую щи й функци ю в (n) Зам е чание 3. П р и лю б о м выб о р е узло в и нте р п о ляци и xi

(

)

(n) (n) и нте р п о ляци о нный мно го чле н Ла гр а нж а Ln x; x0o , K , xn ; f . О п е р а то р Ln -

ли не йный и о гр а ни че нный. Н е тр удно п о ка за ть, что Ln = Λ n . И з не р а ве нства С.Н.Бе р нш те йна и те о р е мы Ба на ха -Ш те йнга уса не ме дле нно сле дуе т, что для (n) лю б о й та б ли цы узло в и нте р п о ляци и Τ : { xi ∈ [a; b], i = 0, K , n , n = 1,2, K }

f ∈ C( a ;b ) , для ко то р о й

на йде тся та ка я функци я

(

)

п о сле до ва те льно сть

(n) (n) и нте р п о ляци о нных мно го чле но в Ln x; x0 , K , xn ; f не о гр а ни че нно р а схо ди тся. Зам е чание 4. Ра схо ди мо сть и нте р п о ляци о нно го п р о це сса мо ж е т вызва ть о сло ж не ни я в за да че вычи сле ни я и нте гр а ла . П р и не уда чно м выб о р е узло в ква др а тур ный п р о це сс (5), п о р о ж де нный ква др а тур но й фо р муло й (7)–(8), б уде т n

р а схо дящи мся (сумма

∑A i =0

(n) i

мо ж е тне о гр а ни че нно р а сти ).

1.4. К вадр ат ур ные ф ор м ул ы Ньют она-К от е с а [a; b] р а вно о тсто ящи е узлы В о зьме м на о тр е зке b−a xk = a + kh, h= ( k = 0, K , n ) и п о стр о и м и нте р п о ляци о нную n ква др а тур ную фо р мулу (см. (7)-(8)) b

∫ a

n

f ( x )dx = ∑ Ak( n ) f (a + kh) + Rn ( f ), k =0

где b n x − xj ω n ( x )dx dx, =∫ = ∫∏ ( x − xk )ω n′ ( x ) a j =0 xk − x j a b

(n) k

A

k = 0,K, n.

j ≠k

Сде ла в в и нте гр а ле за ме ну п е р е ме нно го x = a + th , п о лучи м n ( −1) n−k (n) = (b − a ) ( t − j ) dt = ( b − a ) B , ∏ k nk!(n − k )! ∫0 j=0 n

(n) k

A

k = 0,K, n.

j ≠k

Зде сь ко э ффи ци е нты

7

n ( −1) n−k = ∏ (t − j)dt, nk!(n − k )! ∫0 j=0 n

(n) k

B

k = 0,K, n

(12)

j ≠k

не за ви сято тп р о ме ж утка и нте гр и р о ва ни я и мо гутб ыть вычи сле ныза р а не е . И нте р п о ляци о нна я ква др а тур на я фо р мула с р а вно о тсто ящи ми узла ми и (n) (n) (k = 0, K , n ) , вычи сле нными п о фо р муле ко э ффи ци е нта ми Ak = (b − a ) Bk (12), b

∫

n

f ( x )dx = (b − a )∑ Bk( n ) f (a + kh) + Rn ( f ), h = k =0

a

b−a (13) n

на зыва е тся квадр ат ур ной ф ор м ул ой Ньют она-К от е с а. (n) ( k = 0, K , n ) для 1 ≤ n ≤ 20 вычи сле ны и со де р ж а тся Ко э ффи ци е нты Bk в сп р а во чни ка х п о чи сле нно му и нте гр и р о ва ни ю (см. [3], стр . 16-19). П р и ве де м (n ) зна че ни я Bk для ма лых n :

n = 1, n = 2,

n = 3, n = 4,

n = 5,

1 B0(1) = B1(1) = ; 2 1 4 B0( 2 ) = B2( 2 ) = , B1( 2 ) = ; 6 6 1 3 Bo( 3) = B3( 3) = , B1( 3) = B3( 3) = ; 8 8 7 32 12 B0( 4 ) = B4( 4 ) = , B1( 4 ) = B3( 4 ) = , B2( 4 ) = ; 90 90 90 19 75 50 B0( 5) = B5( 5) = , B1( 5) = B4( 5) = , B2( 5) = B3( 5) = . 288 288 288 n

К ва др а тур на я фо р мула Н ью то на -К о те са то чна на ко нста нта х:

∑B k =0

(n) k

= 1.

(n) ( k = 0, K , n ) п о ло ж и те льны. П р и n = 8 ффи ци е нты Bk Д ля n ≤ 7 все ко э встр е ча ю тся тр и о тр и ца те льных ко э ффи ци е нта , а п р и n = 9 все ко э ффи ци е нты (n) ( k = 0, K , n ) б удут о тр и ца те льные . п о ло ж и те льны. Д ля n ≥ 10 ср е ди Bk П р и че м и ме е тме сто , ка к п о ка за л Д .П о йа , со о тно ш е ни е

n

lim ∑ Bk( n ) = ∞. n →∞

k =0

8

Бо ле е то го , а б со лю тные ве ли чи ны Bk б удутдо во льно б ыстр о р а сти п р и n → ∞ для лю б о го фи кси р о ва нно го k = 0, K , n . Э то о зна ча е т, что ква др а тур ный п р о це сс, п о р о ж де нный ква др а тур ными фо р мула ми Н ью то на -К о те са (13), являе тся р а схо дящи мся (не вып о лняе тся усло ви е 2) те о р е мы 2). П о э то му в п р и ло ж е ни ях п р и ме няю тся фо р мулыН ью то на -К о те са п р и не б о льш и х зна че ни ях n ( n ≤ 5 ). Е сли чи сло узло в n + 1 в фо р муле Н ью то на -К о те са (13) не че тно е , то ( n+2 ) а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти фо р мулы р а ве н n + 1 и для f ∈ C( a ;b ) п о гр е ш но сть п р е дста ви ма в ви де (n )

f ( n+2 ) (ξ ) Rn ( f ) = xω n ( x )dx, (n + 2)! ∫a b

ξ ∈ [a; b] , ω n ( x ) = ( x − a )( x − a − h ) K ( x − a − nh ), h =

где

b−a и мно ж и те ль n

b

∫ xω

n

( x )dx о тр и ца те ле н.

a

Е сли ж е чи сло узло в n + 1 в фо р муле Н ью то на -К о те са (13) че тно е , то ( n +1) а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти фо р мулыр а ве н n и для f ∈ C( a ;b ) п о гр е ш но сть п р е дста ви ма в ви де

f ( n+1) (ξ ) Rn ( f ) = ω n ( x )dx, ( n + 1)! ∫a b

зде сь ξ ∈ [a; b] , ω n ( x ) = ( x − a )( x − a − h ) K ( x − a − nh ), h =

b−a и мно ж и те ль n

b

∫ω

n

( x )dx о тр и ца те ле н.

a

П р и ве де м на и б о ле е р а сп р о стр а не нные фо р мулыН ью то на -К о те са : Фор м ул а т р апе ций b

n = 1,

∫

f ( x )dx =

a

Е сли f ∈ C

( 2) ( a ;b )

b−a [ f (a ) + f (b)] + R1 ( f ). 2

(b − a ) 3 f ′′(ξ ), ξ ∈ [a; b] . , то R1 ( f ) = − 12

9

Фор м ул а С им пс она (пар абол ) b

∫

n = 2,

f ( x )dx =

a

b−a [ f (a ) + 4 f ((a + b) / 2) + f (b)] + R2 ( f ). 6

 b − a  f (ξ ) (4) , ξ ∈ (a; b ).  Е сли f ∈ C( a ;b ) , то R2 ( f ) = − 90  2  Фор м ул а т р е хвос ьм ых 5

(4)

n = 3, b

∫

f ( x )dx =

a

1 3 3 3h  1  ( ) ( 2 ) ( ) ( ) f a + f a + h + f a + h + f b  + R3 ( f ). 8 8 8 8  8

( 4) Е сли f ∈ C( a ;b ) , то R3 ( f ) = −

(b − a ) ( 4 ) b−a . f (ξ ), ξ ∈ [a; b] , h = 6480 3

1.5. К вадр ат ур ные ф ор м ул ы Гаус с а П усть тр е б уе тся п о стр о и ть ква др а тур ную фо р мулу с n + 1 узла ми , и ме ю щую ма кси ма льно во змо ж ный а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти . Н уж но о п р е де ли ть 2n + 2 п а р а ме тр а ква др а тур но й фо р мулы: узлы xi ∈ [a; b] и (i = 0, K , n ) . ко э ффи ци е нты Ai Ясно , что на и высш и й а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти ква др а тур но й фо р мулы с n + 1 узла ми не мо ж е т б ыть выш е , че м 2n + 1 . Д е йстви те льно , 2 2 во зьме м мно го чле н p( x ) = [ω n ( x )] = [( x − x 0 )K( x − x n )] сте п е ни 2n + 2 . То гда b

∫ p( x )dx > 0, но a

n

∑ A p( x ) = 0 i =0

i

i

и , сле до ва те льно , п о гр е ш но сть ква др а тур но й

фо р мулы Rn ( p) > 0 . Те п е р ь мы мо ж е м п о п ыта ться п о стр о и ть ква др а тур ную фо р мулу с а лге б р а и че ски м п о р ядко м то чно сти 2n + 1 . Те ор е м а 3. Д л я т ог о ч т об ы кв а д ра т урна я формул а (2) с n + 1 узл а ми xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) имел а а лг еб ра ич ес кий поряд ок т оч нос т и 2n + 1 , необ ход имои д ос т а т оч но, ч т об ы мног оч л ен ω n ( x ) = ( x − x0 ) K ( x − x n ) с т епени n + 1 б ы л орт ог она л ен на [a; b] л ю б ому мног оч л енуϕ (x ) с т епени меньш ей или ра в ной n (ϕ ∈ Ρn ) , т оес т ьд ля л юб ог омног оч л ена ϕ ∈ Ρn b

∫ ϕ ( x)ω ( x )dx = 0. n

(14)

a

10

К ва др а тур на я фо р мула с n + 1 узла ми , и ме ю ща я а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти 2n + 1 , на зыва е тся квадр ат ур ной ф ор м ул ой Гаус с а и ли квадр ат ур ной ф ор м ул ой наивыс ш е г о ал г е бр аиче с ког о пор ядка т очнос т и. О че ви дно , что ква др а тур на я фо р мула Га усса являе тся и нте р п о ляци о нно й. Д ля лю б о го n ∈ N мно го чле н сте п е ни n + 1 , удо вле тво р яю щи й усло ви ю о р то го на льно сти (14), и ме ю щи й ве ще стве нные и р а зли чные ко р ни xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) , суще ствуе ти е ди нстве не н. П о это му ква др а тур на я фо р мула Га усса мо ж е тб ыть п о стр о е на . (i = 0, K , n ) ква др а тур но й фо р мулыГа усса ве р но Д ля ко э ффи ци е нто в Ai сле дую ще е р а ве нство 2

 ωn ( x)  ∫a  x − xi  dx Ai = (ωn′ ( xi ))2 b

(i = 0,K, n).

Сле до ва те льно , все Ai > 0 (i = 0, K , n ) и

n

(15)

n

∑ A =∑A i =0

i

i =0

i

= (b − a ). О тсю да и

и з те о р е мы 2 выте ка е т схо ди мо сть ква др а тур но го п р о це сса , п о р о ж де нно го ква др а тур но й фо р муло й Га усса . К ва др а тур на я фо р мула Га усса да е т высо кую то чно сть в то м случа е , ко гда п о ди нте гр а льна я функци я f в о кр е стно сти о тр е зка и нте гр и р о ва ни я о б ла да е т высо ки м п о р ядко м гла дко сти . ( 2n+2) П о гр е ш но сть ква др а тур но й фо р мулыГа усса для f ∈ C( a ;b ) и ме е тви д

f ( 2 n+2 ) (ξ ) 2 [ ] Rn ( f ) = ω ( x ) dx, n ( 2n + 2)! ∫a b

ξ ∈ [a; b].

И сто р и че ски п е р вым п р и ме р о м ква др а тур но й фо р мулы, и ме ю ще й на и высш и й а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти , б ыла фо р мула Га усса для о тр е зка [− 1;1] . Д ля п о стр о е ни я ква др а тур но й фо р мулы и сп о льзо ва ла сь си сте ма о р то го на льных мно го чле но в Ле ж а ндр а . М но го чле ныви да

1 dn 2 n ( ), λ0 ( x) ≡ 1 ( 1 ) λn ( x ) = x − n!2 n dx n

(16)

на зыва ю тся м ног очл е нам и Ле жандр а. И з (16) сле дуе т, что λn (x ) являе тся мно го чле но м сте п е ни n . М но го чле ныЛе ж а ндр а о б ла да ю тсле дую щи ми сво йства ми :

11

1. М но го чле н λn (x ) о р то го на ле н на о тр е зке

[− 1;1]

лю б о му мно го чле ну

1

ϕ сте п е ни ме ньш е n : ∫ ϕ ( x )λn ( x )dx = 0 для лю б о го ϕ ∈ Ρn −1 . −1

2. В се ко р ни мно го чле на λn (x ) ве ще стве нные , р а зли чные и р а сп о ло ж е ны на и нте р ва ле (− 1;1) . 3. М но го чле ны λn (x ) о б р а зую т о р то го на льную си сте му на [− 1;1] : 1

∫ λ ( x )λ ( x )dx = 0 п р и i

j

1

i ≠ jи

−1

∫ λ ( x )λ ( x )dx ≠ 0 п р и i

j

i = j.

−1

4. И ме е тме сто р е кур р е нтна я фо р мула :

(n + 1)λn+1 ( x ) − (2n + 1)λn ( x ) + nλn−1 ( x ) = 0.

(17)

Ф о р мула (17) п о зво ляе т, и сп о льзуя р а ве нства λ0 ( x ) = 1 и λ1 ( x ) = x , на йти мно го чле н Ле ж а ндр а лю б о й сте п е ни . Е сли и зве стныко р ни ζ 0 , K , ζ n мно го чле на Ле ж а ндр а λn+1 ( x ) , то , и сп о льзуя (15), п о луча е м ква др а тур ную фо р мулу Га усса 1

∫

−1

f (ζ i ) + Rn ( f ), 2 2 ′ [ ] ( 1 ) ( ) − ζ λ ζ i =0 i n +1 i n

f ( x )dx = 2∑

(18)

где

Ai =

2 2 (1 − ζ i2 )[λn′+1 (ζ i )]

(i = 0,K, n ).

Та б ли цы узло в и ко э ффи ци е нто в фо р мулы (18) п р и ве де ны в [3]. О тме ти м, ζ 0 , K , ζ n мно го чле но в Ле ж а ндр а λn+1 ( x) и ко эффи ци е нты что ко р ни Ai (i = 0, K , n ) ква др а тур но й фо р мулы (18) о б ла да ю т си мме тр и е й на [− 1;1] о тно си те льно то чки x = 0 . П е р е сче т узло в и ко э ффи ци е нто в ква др а тур но й фо р мулы на п р о и зво льный о тр е зо к [a; b] о суще ствляе тся с п о мо щью за ме нып е р е ме нно й x = b

∫ a

a+b b−a + t: 2 2

b−a a+b b−a  f ( x )dx = f + t dt 2 −∫1  2 2  1

Та ки м о б р а зо м, и з (18) п о луча е м ква др а тур ную фо р мулу Га усса для п р о и зво льно го о тр е зка [a; b]

12

b

n

a

i =0

a+b b−a  f + ζi  2 2   + R ( f ), (19) n 2 2 (1 − ζ i )[λn′+1 (ζ i )]

∫ f ( x)dx = (b − a ) ∑

где ζ 0 , K , ζ n ко р ни мно го чле на Ле ж а ндр а λn+1 ( x ) . 1.6. К вадр ат ур ные ф ор м ул ы све с ом Ча сто удо б но и схо дный и нте гр а л (1) за п и сыва ть в ви де b

Y ( f ) = ∫ ρ ( x ) f ( x )dx ,

(20)

a

где

ρ (x ) - не ко то р а я за да нна я функци я, на зыва е ма я ве с ом . О б ычно тр е б ую т, b

что б ы и нте гр а л

∫ ρ ( x)dx

b

а б со лю тно схо ди лся и

a

∫ ρ ( x ) dx > 0. В

р а зло ж е ни и на

a

мно ж и те ли функци и Φ ( x ) = ρ ( x ) f ( x ) функци ю f (x ) выб и р а ю т та к, что б ы о на о б ла да ла до ста то чно высо ки м п о р ядко м гла дко сти на [a; b] , п р и э то м ве со ва я функци я ρ (x ) до лж на со де р ж а ть все «о со б е нно сти » п о ди нте гр а льно й функци и Φ (x ) и б ыть п о во змо ж но сти на и б о ле е п р о сто й. В э то м случа е и нте р п о ляци о нна я ква др а тур на я фо р мула (7)-(8) п р и ни ма е т ви д b

n

∫ ρ ( x ) f ( x)dx = ∑ A f ( x ) + R ( f ), i =0

a

i

i

n

( 21)

где b

Ai = ∫ ρ ( x )li( n ) ( x )dx,

i = 0, K, n.

a

П р и ве де м п р и ме р ква др а тур но й фо р мулы Га усса с ве со во й функци е й Яко б и ρ ( x ) = ( x − a )α ( x − b) β , α , β > −1 , п о зво ляю ще й учи тыва ть сте п е нные о со б е нно сти и нте гр и р уе мо й функци и на ко нца х о тр е зка . О тр е зо к [a; b] п р и ве де м к о тр е зку [− 1;1] и п о стр о и м и нте р п о ляци о нную ква др а тур ную фо р мулу 1

∫ (1 − x)

−1

α

n

(1 + x ) f ( x )dx = ∑ Ai f (ξi ) + Rn ( f ), β

(22)

i =0

(α , β ) где ξ i (i = 0, K , n ) - ко р ни мно го чле на Яко б и Pn +1 ( x ) .

13

М но го чле н Яко б и о п р е де ляе тся фо р муло й (α , β ) n

P

[

]

n ( −1) n −α −β d ( x) = (1 − x ) (1 + x ) (1 − x)α +n (1 + x ) β +n . (23) n n n!2 dx

М но го чле ны Яко б и (23) о р то го на льны на о тр е зке [− 1;1] ρ ( x ) = (1 − x )α (1 + x ) β и для лю б о го мно го чле на ϕ (x ) сте п е ни n (ϕ ∈ Ρn −1 ) 1

∫ ρ ( x)ϕ ( x)P

(α , β ) n

с ве со м ме ньш е й

( x )dx = 0.

−1

С п о мо щью те о р е мы 3 п о луча е м, что а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти ква др а тур но й фо р мулы(22) р а ве н 2n + 1 . К ва др а тур на я фо р мула (22) со де р ж и тдва п а р а ме тр а α и β , и з не е мо гут б ыть п о луче ны сп е ци а ли зи р о ва нные ква др а тур ные фо р мулы, со о тве тствую щи е р а сп р о стр а не нным ви да м сте п е нных о со б е нно сте й (см. [3]). В сп р а во чни ка х п р и ве де ны ква др а тур ные фо р мулыГа усса с др уги ми ве са ми . 1.7. Локал ьно-инт е р пол яционные (с ос т авные ) квадр ат ур ные ф ор м ул ы Д ля п о выш е ни я то чно сти ква др а тур ных фо р мул и сп о льзую т п р и е м, и де я ко то р о го во схо ди тк р и ма но вым и нте гр а льным сумма м. О тр е зо к и нте гр и р о ва ни я [a; b] р а зб и ва ю тна не ко то р о е чи сло ча сти чных о тр е зко в, на ка ж до м и з ко то р ых п р и ме няю т ква др а тур ную фо р мулу с не б о льш и м чи сло м узло в. В ка че стве п а р а ме тр а ква др а тур но го п р о це сса те п е р ь и сп о льзую тчи сло ча сти чных о тр е зко в. N Ра зо б ье м о тр е зо к [a; b] на ча сти чных о тр е зко в то чка ми a = x0 < x1 < K < x j −1 < x j < x j +1 < K < x N = b . Д ля вычи сле ни я и нте гр а ла на ка ж до м

ча сти чно м

x j −1 ≤ x ≤ x j ( j = 1, K , N )

о тр е зке

и нте р п о ляци о нную ква др а тур ную

фо р мулу с n j + 1 узла ми

п р и ме ни м

xi( j ) ∈ [x j −1 ; x j ] и

( j) ко э ффи ци е нта ми Ai (i = 0, K , n j ) . П о лучи м ква др а тур ную фо р мулу

b

N

nj

∫ f ( x)dx = ∑∑ A a

nj и П усть l = 1max ≤ j≤N

j =1 i =0

( j) i

f (xi( j ) ) + R( N ) ( f ).

( 24)

f ∈ C((al +;b1)) , то гда для п о гр е ш но сти ква др а тур но й

фо р мулы(24) и ме е тме сто о це нка

14

N

R( N ) ( f ) ≤ ∑

max f

( n j +1)

x j −1 ≤ x ≤ x j

j =1

( x)

( n j + 1)!

( x j − x j −1 )

n j +2

.

К ва др а тур на я фо р мула (24) на зыва е тся л окал ьно-инт е р пол яционной и ли с ос т авной . Н а и б о ле е ча сто фо р мула (24) и сп о льзуе тся в случа е , ко гда о тр е зо к [a; b] b−a и на ка ж до м ча сти чно м р а зб и т на ча сти чные о тр е зки р а вно й дли ны h = N о тр е зке и сп о льзуе тся ква др а тур на я фо р мула Н ью то на -К о те са с n + 1 узла ми . И з (24)

п о луча е м

xi( j ) = x j −1 + i

h n

nj = n,

при

x j = a + jh, h =

( j = 1, K , N , i = 0, K , n )

b−a ( j = 0,1, K , N ) N

и

ло ка льно -и нте р п о ляци о нную

ква др а тур ную фо р мулу

Y ( f ) = Y( N ,n ) ( f ) + R( N ,n ) ( f ),

( 25)

b − a N n (n) Y( N ,n ) ( f ) = Bk f (xk( j ) ). ∑∑ N j=1 k =0

( 26)

где

Сумма а б со лю тных ве ли чи н ко э ффи ци е нто в фо р мулы (26) n b − a N n (n) Bk = (b − a ) ∑ Bk( n ) ∑∑ N j =1 k =0 k =0

не за ви си то тчи сла ча сти чных о тр е зко в N . О це нка п о гр е ш но сти ква др а тур но й фо р мулы(25) и ме е тви д

max f ( n+1) ( x ) (b − a ) n+2 R( N ,n ) ( f ) ≤ a≤ x≤b . ( n + 1)! N n+1

( 27)

И з те о р е мы 2 и (27) сле дуе т, что ква др а тур ный п р о це сс, п о р о ж де нный ло ка льно -и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р муло й (25), являе тся схо дящи мся п р и N → ∞ (со ско р о стью

1 ( n +1) n +1 на функци ях и з кла сса C ( a ;b ) ). N

П р и ве де м п р о сте йш и е п р и ме няе мые в п р а кти ке .

со ста вные

ква др а тур ные

фо р мулы,

ча сто

15

П р авил о т р апе ций

b−a , k = 0,K, N , N N −1 1 b − a 1  ( ) f ( x ) f ( x ) f x f ( x )dx = + R( N ,1) ( f ). + + ∑ 0 k N   2 N 2 k =1 

n = 1, xk = a + kh, h = b

∫ a

Е сли f ∈ C

( 2) ( a ;b )

(b − a ) 3 ≤ max f ′′( x ) . 12 N 2 a ≤ x≤b

, то R( N ,1)

П р авил о С им пс она (пар абол )

n = 2, xk = a + kh, h = b

∫ a

b−a , k = 0,K,2 N , 2N

N −1 N −1 b−a   f ( x )dx = f ( x ) + 2 f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) ∑ ∑ 0 2k 2 k +1 2N  + 6 N  k =1 k =0 

+ R( 2 N , 2 ) ( f ). Е сли f ∈ C

(4) ( a ;b )

, то R( 2 N ,2 )

(b − a ) 5 ≤ max f ( 4) ( x ) . 4 a ≤ x ≤b 2880N

Зам е чание 5. А лго р и тмы чи сле нно го и нте гр и р о ва ни я, п о стр о е нные на о сно ве ло ка льно -и нте р п о ляци о нных ква др а тур ных фо р мул (25) и ме ю т суще стве нный не до ста то к – о ни на сыща е мые . Н а сыща е мо сть п р о являе тся в то м, что а си мп то ти че ско е п р е дста вле ни е п о гр е ш но сти фо р мулы (25) и ме е т гла вный чле н. О тсю да сле дуе т не улучш а е мо сть о це нки п о гр е ш но сти , ско ль б ы ни б ыла гла дко й функци я f . В за ви си мо сти о т гла дко сти функци и f мо ж но вып и са ть лю б о е за да нно е чи сло чле но в а си мп то ти че ско го р яда , в ко то р ый р а зла га е тся п о гр е ш но сть R( N ,n ) ( f ) . Ра ссмо тр и м ко нкр е тный п р и ме р – п р а ви ло тр а п е ци й. Е сли f ∈ C(4a ;b ) , то для п о гр е ш но сти ква др а тур но й фо р мулы R( N ,1) ( f ) и ме е тме сто п р е дста вле ни е

R( N ,1) = c1h 2 + O ( h 4 ),

( 28)

1 b−a h= где и c1 = − ∫ f ′′( x )dx не за ви си т о т h . И з (28) и сле дуе т 12 a N на сыща е мо сть п р а ви ла тр а п е ци й. К ла ссо м на сыще ни я в да нно м случа е являе тся 2 п р о стр а нство C( a ;b ) . b

16

И ме ю тся п р о стые сп о со б ы п р е о до ле ни я де фе кта ло ка льно и нте р п о ляци о нных ква др а тур ных фо р мул – и х на сыща е мо сти . В се о ни о сно ва ны на п р о сто м со о б р а ж е ни и , что у со о тве тствую ще й ли не йно й ко мб и на ци и двух зна че ни й со ста вно й ква др а тур но й фо р мулы с р а зли чными , но кр а тными ш а га ми , гла вный чле н п о гр е ш но сти и склю ча е тся. Н а п р и ме р , для п р а ви ла тр а п е ци й в си лу 4 (28) R( N ,1) − 4 R( 2 N ,1) = O ( h ) , и мы п о луча е м п о выш е ни е п о р ядка то чно сти , е сли во зьме м ли не йную ко мб и на ци ю зна че ни й фо р мулы для чи сла узло в N и 2 N со о тве тстве нно с ко эффи ци е нта ми 1 и – 4. П усть п о гр е ш но сть ло ка льно -и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р мулы (25) п р е дста ви ма в ви де

R( N ,n ) = ch m + O ( h m+l ), где h =

b−a и ко нста нта c не за ви си то т h . То гда N

Y ( f ) = Y( N ,n ) ( f ) + ch m + O( h m+l ), m

h Y ( f ) = Y( 2 N ,n ) ( f ) + c  + O (h m+l ), 2 m h m Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) = c  (2 − 1) + O (h m+l ). 2

О тсю да п о луча е м

( f )−Y ( f ) Y h c  = ( 2 N ,n ) m ( N ,n ) + O ( h m+l ) 2 −1 2 m

m +l и , сле до ва те льно , с то чно стью до O ( h ) и ме е м

Y ( f ) − Y( 2 N ,n ) ( f ) ≈ Е сли c ≠ 0 , то

Y(f )=

Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) 2m − 1

2m Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) 2 −1 m

В ычи сле ни е п р и б ли ж е нно й на зыва е тся пр авил ом Рунг е . Чи сло

Y = *

о це нки

( 29)

+ O( h m+l ).

п о гр е ш но сти

2m Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) 2m − 1

.

(30) по

фо р муле

(29)

(31) 17

в (30) на зыва е тся ут очне нным (экс т р апол ир ованным ) по Ричар дс ону m +l п р и б ли ж е нным зна че ни е м и нте гр а ла Y ( f ) (с п о гр е ш но стью O ( h ) ). Зам е чание 6. И сп о льзуя э то т п р и е м, мо ж но уни что ж и ть и сле дую щи е чле ны а си мп то ти че ско го р а зло ж е ни я п о гр е ш но сти ква др а тур но й фо р мулы. О дна ко це ле со о б р а зне е п р и ме нять ква др а тур ные фо р мулы, ср а зу п р и во дящи е к не на сыща е мым а лго р и тма м, на п р и ме р , со ста вные фо р мулы Га усса . О тме ти м, что со ста вные ква др а тур ные фо р мулы, о сно ва нные на фо р мула х Га усса с до ста то чно б о льш и м чи сло м узло в, да ю тхо р о ш и е р е зульта тыка к для о че нь гла дки х функци й, та к и для функци й не выско й гла дко сти . Зам е чание 7. К а ж да я ква др а тур на я фо р мула р а ссчи тыва е тся на о п р е де ле нную гла дко сть п о ди нте гр а льно й функци и . Н а п р и ме р , для п р а ви ла  1  4 Си мп со на п о гр е ш но сть R( 2 N , 2 ) ( f ) = O  4  , е сли f ∈ C( a ;b ) . Е сли ква др а тур на я N  фо р мула и ме е т а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти m , то п р и е е п р и ме не ни и мо ж но р а ссчи тыва ть п о лучи ть «ма лую п о гр е ш но сть» то лько в то м случа е , ко гда f и ме е т не п р е р ывные п р о и зво дные до п о р ядка , не ме ньш е го m . В п р о ти вно м случа е п о гр е ш но сть вычи сле ни я и нте гр а ла мо ж е т о ка за ться б о льш о й. Д ля уве ли че ни я п о р ядка гла дко сти п о ди нте гр а льную функци ю f п р е дста вляю тв ви де двух сла га е мых

f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ),

(32 )

ко то р ые выб и р а ю т та к, что б ы: f1 ( x ) со де р ж а ла все о со б е нно сти f (x ) и ли и х b

гла вную ча сть и

∫ f ( x )dx 1

вычи слялся то чно ; f 2 ( x ) до лж на и ме ть не п р е р ывные

a

b

п р о и зво дные п о р ядка , б о льш е го m , для то го , что б ы и нте гр а л

∫f

2

( x )dx мо ж но

a

б ыло вычи сли ть с до ста то чно й то чно стью с п о мо щью выб р а нно й ква др а тур но й фо р мулы. П р и е мы р а зло ж е ни я (32) для ко нкр е тных кла ссо в п о ди нте гр а льных функци й и зло ж е ныв [3]. b

1.8. Задание . В ычи сли ть и нте гр а л

∫ f ( x )dx

с то чно стью

ε = 10 −5 ,

a

и сп о льзуя п р а ви ло Си мп со на и со ста вную ква др а тур ную фо р мулу Га усса с п ятью узла ми . О це ни ть п о гр е ш но сть и сп о льзуе мых ква др а тур ных фо р мул и о п р е де ли ть чи сло ча сти чных о тр е зко в р а зб и е ни я, не о б хо ди мо е для до сти ж е ни я за да нно й то чно сти вычи сле ни я и нте гр а ла .

18

b

∫ f ( x )dx

Зам е чание 8. О б ычно для вычи сле ни я и нте гр а ла

с то чно стью ε

a

и сп о льзую т и те р а ци о нный п р о це сс с п о сле до ва те льным удво е ни е м чи сла N ча сти чных о тр е зко в р а зб и е ни я. m m +l Е сли R( N ,n ) = ch + O ( h ) , то усло ви е м о ста но ва п р о це сса являе тся вып о лне ни е не р а ве нства

Y( N ,n ) ( f ) − Y( 2 N ,n ) ( f ) 2 −1 m

≤ ε,

при э то м и нте гр а лвычи сляе тся п о фо р муле (31). Вар иант ы заданий β

№ ва р и а нта

f (x )

a

b

№ ва р и а нта

1

x cos x

0

1

21

0,1

2

0

1

22

0,2

3

x sin x exp(− x 2 + x + 1)

0

1

23

0,3

4

exp( x − x )

1

2

24

0,4

5

1− 0,5 sin2 x

0

25

0,5

sin x ln x x x exp( − x )

1 0

2 1

0

π

6 7 8 9 10

1

x

( x + cos x )

(1 + sin x )

1 + x2

0 0

cos x

π

π π

2

26 27

f (x )

sin βx x

a, b

a=0 b =π

2

0,6 0,7

28

0,8

29

0,9

30

1,0

2 2 4

19

№ ва р и а нта

11 12

f (x ) 1

(1 + cos x )

1

b

№ ва р и а нта

0

π

31

0,1

3

(1 + sin x ) 3

β

a

f (x )

a, b

2

0

π

32

0,2

13

x exp( − x )

0

1

33

0,3

14

sin(3 x + x 2 )

0

1

34

0,4

15

cos x

0

1

35

16

x 2 exp( x 2 )

0

1

36

2

3

37

0,7

17

(2 + x )

x + ln x

exp(βx) x

a = 0,5

0,5

b = 1,5

0,6

18

x x + ln x

2

3

38

0,8

19

sin x ln x

2

3

39

0,9

20

cos x 1 + ln x

1

2

40

1,0

П р ил оже ние. Д ля вып о лне ни я за да ни я мо ж но и сп о льзо ва ть сле дую щи е п р о це дур ы(на языке П а ска ль): 1. П р о це дур а simps, р е а ли зую ща я а лго р и тм п р а ви ла Си мп со на (п а р а б о л): Procedure simps(a,b:real; var n:longint; var y:real); {Входные параметры: a – левый конец отрезка интегрирования; b – правый конец отрезка интегрирования; n - число частичных отрезков разбиения. Выходные параметры: y – значение интеграла. Здесь f имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции.} var i :longint; h,x :real; begin h:=(b-a)/n; y:=0; x:=a; for i:=1 to n do begin y:=y+f(x)+4*f(x+0.5*h)+f(x+h); x:=x+h end; y:=y*h/6 end;

20

2. П р о це дур а п ятью узла ми :

gauss, р е а ли зую ща я а лго р и тм со ста вно й фо р мулы Га усса с

Procedure gauss(a,b:real; var n:word; var y:real); {Входные параметры: a – левый конец отрезка интегрирования; b – правый конец отрезка интегрирования; n - число частичных отрезков разбиения. Выходные параметры: y – значение интеграла. Здесь f – имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции; vec – одномерный массив (type vec=array[1..5]of real).} var i,j :word; h,x,x1 :real; ag,xg :vec; z :real; begin ag[1]:=0.2369268850; xg[1]:=-0.9061798459; ag[2]:=0.4786286705; xg[2]:=-0.5384693101; ag[3]:=0.5688888889; xg[3]:=0.0; ag[4]:=ag[2]; xg[4]:=-xg[2]; ag[5]:=ag[1]; xg[5]:=-xg[1]; h:=(b-a)/n; z:=0; x1:=a+0.5*h; for j:=1 to n do begin for i:=1 to 5 do begin x:=x1+0.5*h*xg[I]; z:=z+ag[i]*f(x); end; x1:=x1+h end; y:=z*0.5*h end;

II. Ч ис л е нное диф ф е р е нцир ование 2.1. П ос т ановка задачи. П р им е не ние инт е р пол яционног о м ног очл е на Лаг р анжа [a; b] ⊂ R о п р е де ле на до ста то чно гла дка я функци я П усть на о тр е зке f (x ) f ∈ C(ma ;b ) и тр е б уе тся вычи сли ть в то чке x ∈ [a; b] е е п р о и зво дную

(

)

f ( k ) ( x ) (k = 1, K , m) . Е сли функци я f за да на та б ли чно и ли и ме е т сло ж но е а на ли ти че ско е выр а ж е ни е , то не п о ср е дстве нно е ди ффе р е нци р о ва ни е не во змо ж но . По э то му стр о ятп р и б ли ж е нные фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я. О ди н и з уни ве р са льных сп о со б о в ко нстр уи р о ва ни я фо р мул чи сле нно го f ди ффе р е нци р о ва ни я со сто и т в то м, что п о функци и и узла м xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) стр о ят и нте р п о ляци о нный мно го чле н Ла гр а нж а (6) Ln ( x; x0 , K , xn ; f ) и п о ла га ю т 21

f ( k ) ( x ) ≈ L(nk ) ( x; x0 ,K, xn ; f ), k = 1,K, m. Ра зно сть

r( k ,n ) (x; f ) = f ( k ) ( x ) − L(nk ) ( x; x0 ,K, xn )

(33)

(34)

на зыва е тся пог р е ш нос т ью фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (33). Д ля п о луче ни я о це но к п о гр е ш но сти фо р мулы (33) для за да нно го k f ( k ) ( x ) не до ста то чно . О б ычно тр е б уе тся суще ство ва ни я п р о и зво дно й ( k +l ) вып о лне ни е усло ви я f ∈ C( a ;b ) , l ≥ 1 . Зам е чание 9. Д ля ко нстр уи р о ва ни я фо р мул чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я мо ж но та кж е и сп о льзо ва ть и нте р п о ляци о нные сп ла йны. В вычи сли те льно й п р а кти ке для вычи сле ни я f ′(x ) и f ′′(x ) о б ычно и сп о льзую т S 32 ( x ) : и нте р п о ляци о нный е сте стве нный куб и че ски й сп ла йн

f ( j ) ( x ) ≈ (S 32 ( x; x0 , K , xn ; f ) ) , j = 1,2. П р и ве де м п р о сте йш и е фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я. 1) k = 1, n = 1 ( j)

f ′( x ) =

f ( x + h) − f ( x) + r(1,1) ( x; f ). h

( 2) Е сли f ∈ C( x ; x + h ) , то r(1,1) ( x; f ) = −

2) k = 1, n = 2

f ′( x ) = Е сли f ∈ C

( 3) ( x −h ; x + h )

h f ′′(ξ ), ξ ∈ ( x; x + h ). 2

f ( x + h) − f ( x − h) + r(1,2 ) ( x; f ). 2h

, то r(1, 2 ) ( x; f ) = −

3) k = 2, n = 2

f ′′( x ) =

h2 f ′′′(ξ ), ξ ∈ ( x − h; x + h ). 6

f ( x + h) − 2 f ( x) + f ( x − h) + r( 2, 2 ) ( x; f ). 2 h

h 2 ( 4) f (ξ ), ξ ∈ ( x − h; x + h ). Е сли f ∈ C , то r( 2 , 2 ) ( x; f ) = − 12 П р е дста вле ни я п о гр е ш но сти (34) фо р мулы чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (33), выр а ж а е мые че р е з п р о и зво дные функци и f , уда е тся на йти то лько в ча стных случа ях. О б ща я о це нка п о гр е ш но сти фо р мулы (33) о п р е де ляе тся сле дую ще й те о р е мо й. ( 4) ( x −h ; x + h )

22

Те ор е м а

xi = x0 + ih,

П ус т ь

4.

h > 0 i = 0,K, n, ( x0 = a, x n = b) ,

0 ≤ m ≤ n, f ∈ C((am;b+)1) . Тог д а с ущес т в уют т а кие конс т а нт ы Λ k ,m ,n , за в ис ящие т ол ькоот k , m, n и неза в ис ящие от ш а г а h и функции f , ч т о

r( k ,n ) ( x; f ) =

f ( k ) ( x ) − L(nk ) ( x; x0 ,K, xn ) ≤

≤ h m+1−k Λ k ,m ,n max f ( m+1) ( x ) , a ≤ x ≤b

(35)

г д е Ln (x; xo , K , x n ; f ) - инт ерпол яционны й мног оч л ен Ла г ра нж а (6) и 0≤ k ≤ m ≤ n. Зам е чание 10. О це нка (35) с п о сто янными Λ k ,m ,n си льно за выш е на и р е дко и сп о льзуе тся на п р а кти ке . О дна ко о це нка (35) п о ле зна те м, что о на уста на вли ва е т ско р о сть уб ыва ни я п о гр е ш но сти о тно си те льно ш а га h на все м о тр е зке [a; b] п р и фи кси р о ва нных зна че ни ях п а р а ме тр о в k , m, n ( 0 ≤ k ≤ m ≤ n ). Ш а г h являе тся о сно вным п а р а ме тр о м, ко то р ым р а сп о р яж а е тся вычи сли те ль. 2.2. С ходящ ие с я ф ор м ул ы чис л е нног о диф ф е р е нцир ования П усть f гла дка я на не ко то р о м и нте р ва ле D ве ще стве нно й п р ямо й R f ( k ) ( x ), x ∈ D . f ∈ C D∞ функци я и тр е б уе тся вычи сли ть п р о и зво дную

(

)

П о стр о и м се тку xi = x + jh, h > 0, x j ∈ D, чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я

f

(k )

1 ( x) ≈ k h

s

∑b

j =− r

j

j = 0,±1,±2,K Ра ссмо тр и м фо р мулу

f ( x + jh),

(36)

где b j ∈ R, − r ≤ j ≤ s, r + s ≥ k . Ра зно сть

r( f

(k )

( x )) = f

(k )

1 ( x) − k h

s

∑b

j =− r

j

f ( x + jh)

(37)

на зыва е тся пог р е ш нос т ью фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (36). Ф о р мула чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (36) на зыва е тся с ходящ е й с я, е сли (k ) ∞ r f ( x ) → 0 п р и h → 0 для лю б о й функци и f ∈ C D (в лю б о й то чке гла дко сти функци и f ). (k ) p Буде м го во р и ть, что фо р мула (36) аппр окс им ир уе т f ( x ) спор ядком h

(

)

(

)

(k ) p (и ме е т p - ый пор ядок т очнос т и ), е сли r f ( x ) = O ( h ) п р и h → 0 . Ф ункци ю ко мп ле ксно го п е р е ме нно го ς ∈ С ви да

23

χ (ς ) =

s

∑b ς

j =− r

на зо ве м хар акт е р ис т иче с кой ди ффе р е нци р о ва ни я (36).

j

j

ф ункцие й

(с им вол ом ) фо р мулы чи сле нно го

Те ор е м а 5. Формул а ч ис л енног о д ифференциров а ния (36) яв л яет с я с ход ящейс я т ог д а и т ол ько т ог д а , ког д а ее ха ра кт ерис т ич ес ка я функция χ (ς ) пред с т а в има в в ид е

χ (ς ) = (ς − 1)

s −k

k

∑β ς

j =− r

s −k

j

j

∑β

,

j =− r

j

= 1.

(38)

Зам е чание 11 . В п р е дста вле ни и (38) ха р а кте р и сти че ско й функци и схо дяще йся фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я мно ж и те ль s −k

∑ β jς = ς j

j =− r

−r

r + s −k

∑ β j−rς

j

j =0

и ме е т r + s − k ко р не й; о ни на зыва ю тся хар акт е р ис т иче с ким и чис л ам и схо дяще йся фо р мулы чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (ха р а кте р и сти че ски е чи сла о тли чныо т1). Д ля п о стр о е ни я фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я, и ме ю ще й p - ый п о р ядо к то чно сти , мо ж но во сп о льзо ва ться ме то до м не о п р е де ле нных ко э ффи ци е нто в. Те ор е м а 6. Д л я т ог о ч т об ы формул а ч ис л енног о д ифференциров а ния (36) (k ) p а ппрокс имиров а ла f ( x ) с поряд ком h , необ ход имои д ос т а т оч но, ч т об ы ее коэффициент ы b j ( j = − r,− r + 1, K , s ) яв л ял ис ь реш ением с ис т емы л инейны х ура в нений s

∑b

j=− r

s

j

s

= 0 , ∑ jb j = 0, K , ∑ j j=− r s

∑j

j=− r

k −1

j=− r

k +1

s

b j = 0,

s

∑j

j=− r

b j = 0 , K , ∑ j k + p −1b j = 0 .

k

b j = k!, ( 39 )

j=− r

r + s +1 Си сте ма (39) со де р ж и т k + p ур а вне ни й о тно си те льно не и зве стных b−r , b− r +1 , K , bs −1 , bs . И з те о р е мы 6 сле дуе т, что для п о стр о е ни я и ско мо й фо р мулы чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (36) нуж но на йти р е ш е ни е си сте мы (39). В ыб е р е м r и s та к, 24

что б ы r + s + 1 = k + p . В э то м случа е о п р е де ли те ль си сте мы (39) е сть о п р е де ли те ль В а нде р мо нда и о тли че н о тнуля:

1 −r

1 − r +1

K K

1 s −1

1 s

( − r + 1) 2 K ( s − 1) 2 ( −r )2 s 2 ≠ 0. MMM M M M M ( − r ) k + p−1 ( −r + 1) k + p−1 L ( s − 1) k + p−1 s k + p−1 Та ки м о б р а зо м, для лю б ых k и p мо ж но п о стр о и ть фо р мулу чи сле нно го (k ) p ди ффе р е нци р о ва ни я, а п п р о кси ми р ую щую f ( x ) с п о р ядко м h . 2.3. Задание . Д ля за да нных k и p ме то до м не о п р е де ле нных ко э ффи ци е нто в п о стр о и ть фо р мулу чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я, (k ) p а п п р о кси ми р ую щую f ( x ) с п о р ядко м h .

Со ста ви те ль Тр о фи мо в В а ле р и й П а вло ви ч Ре да кто р Ти хо ми р о ва О .А .

25