Билинейные окрестностные системы

С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина

O v, x [a1] = {a 3}

a4

a1 a3

O v, x[a 2] = {a 3}

a5

O v, x [a 3] = {a1, a 2 , a 4 , a 5 , a 6} a2

a6

Липецк 2006

M

O v , x[a 6] = {a 3, a 4 , a 5}

Липецкий государственный технический университет

С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина

БИЛИНЕЙНЫЕ ОКРЕСТНОСТНЫЕ СИСТЕМЫ

Липецк 2006

ББК 22.18 УДК 519.854 Б712

Блюмин, С.Л. Билинейные окрестностные системы [Текст]: монография / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина.- Липецк: ЛГТУ, 2006.-131c. ISBN 5-88247-261-X В монографии представлено решение актуальной задачи введения в рассмотрение и систематического исследования нового класса моделей билинейных окрестностных систем, представляющих простейший вид нелинейных окрестностных моделей, объединяющих в себе особенности билинейных дискретных сосредоточенных и линейных окрестностных моделей, обеспечивающих гибкость структуры связей между подсистемами объекта. Для этого класса систем решены задачи идентификации и управления. Издание предназначено для научных работников и специалистов в области прикладной математики, систем искусственного интеллекта, занимающихся вопросами проектирования автоматизированных систем управления, а также студентам и аспирантам соответствующих направлений подготовки и специальностей. Табл. 4. Ил.20. Библиогр.: 110 назв. Рецензенты: заведующий кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии Липецкого государственного педагогического университета А.С. Калитвин, д. ф.-м. н., проф.; заведующий кафедрой информатики Липецкого государственного технического университета Ю.И. Кудинов, д. т. н., проф. ISBN 5-88247-261-X

© Группа авторов:

С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина, 2006 ©Липецкий государственный технический университет, 2006

3

ВВЕДЕНИЕ При разработке моделей сложных пространственно-распределенных систем возникает проблема выбора адекватной структуры математической модели. Проблема моделирования и управления такими объектами связана как с распределенностью системы, так и с наличием нелинейных связей между подсистемами. Ранее были введены линейные окрестностные модели [20], обобщающие как классические линейные дискретные модели, так и многоразмерностные, дискретно-аргументные и др. Окрестностные модели обеспечивают гибкость при описании структуры и характера связей по состоянию и входу сложного объекта. Однако линейный характер этих моделей не учитывает всей сложности реальных связей между подсистемами. Простейшим классом нелинейных моделей, непосредственно обобщающих линейные, являются билинейные, допускающие в простом варианте наличие произведения состояния на управление и линейные члены с состоянием и управлением, а в более общем случае – наличие и всех квадратичных слагаемых. В связи с этим актуальной является разработка нового класса билинейных окрестностных

моделей,

обобщающих

линейные

окрестностные

и

традиционные билинейные дискретные модели, допускающих неоднозначность трактовки характера переменных, отличающихся гибкостью описания с помощью окрестностей (шаблонов соседства) структуры связей между узлами системы по состоянию и входу и наличием выражений с произведением состояния на управление, что обеспечивает переменную динамическую структуру модели и позволяет улучшить управление объектом. Целью монографии является разработка и исследование нового класса билинейных окрестностных моделей, методов смешанной идентификации и управления для аэрационных систем цеха очистки сточных вод. В первой главе анализируется состояние проблем идентификации и управления линейными и нелинейными дискретными системами; дано

4

обоснование

разработки

класса

билинейных

окрестностных

моделей,

развивающих и расширяющих известные классы окрестностных линейных и классических билинейных моделей; поставлена задача параметрической идентификации и смешанного управления применительно к билинейным окрестностным системам, разработки модели ЦОСВ, критерия качества работы объекта и определения оптимальных режимов работы объекта. Во второй главе содержится постановка задачи параметрической идентификации дискретных билинейных окрестностных моделей; введен квадратичный критерий идентификации; разработаны алгоритмы линеаризации билинейных окрестностных систем; разработан алгоритм параметрической идентификации билинейных окрестностных систем; предложен адаптивный алгоритм идентификации билинейных окрестностных систем. В третьей главе рассмотрена постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными системами, разработаны алгоритмы смешанного управления, оптимального смешанного управления и допустимого смешанного управления билинейными окрестностными системами. В четвертой главе приведено описание цеха очистки сточных вод как объекта управления; оценена информативность переменных состояния и управления цеха очистки сточных вод (ЦОСВ); разработана методология двухуровнего управления распределенными системами, в которой классические модели могут связывать параметры в пределах одного узла (или укрупненного узла), а основной моделью является билинейная окрестностная; синтезированы математические модели оценки качества очистки сточных вод; построены линейная и билинейная окрестностные модели ЦОСВ; решена задача смешанного управления для цеха очистки сточных вод; синтезированы модели управления

аэрационными

сооружениями

на

основе

классических

и

окрестностных моделей с учётом энергозатрат на примере отделения аэротенков; предложен комбинированный критерий качества, учитывающий смешанный

характер

управления;

разработан

алгоритм

оптимального

смешанного управления аэротенком; проведено сравнение линейных и

5

нелинейных классических, линейных и билинейных окрестностных моделей пространственно-распределенных систем; получены оптимальные значения технико-экономических показателей работы ЦОСВ; предложено применение окрестностных систем для моделирования характеристик полимербетона. Предлагаемые математические модели и методы реализованы в виде комплекса программных продуктов, написанных на встроенном языке Mathcad, которые могут использоваться в качестве функциональных модулей при решении задач исследования, моделирования и управления промышленными объектами, в частности, цехом очистки сточных вод и отделением аэротенков.

6

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫМИ БИЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ В данной главе рассмотрено состояние проблемы идентификации и управления классическими дискретными билинейными системами [105]. Обоснована

необходимость

разработки

моделей,

развивающих

и

расширяющих классы линейных окрестностных и дискретных билинейных моделей. Введен новый класс дискретных окрестностных билинейных моделей. Для таких систем предложена постановка задачи параметрической идентификации и новая постановка задачи управления, обобщающие известные. 1.1. Проблема математического описания дискретных билинейных объектов управления В работах [9,10,20] введен класс дискретных окрестностных линейных моделей, названных симметричными, обобщающих известные линейные дискретные сосредоточенные (1.1) и распределенные динамические системы (1.2):  x[t + 1] = A ⋅ x[t ] + B ⋅ v[t ], x[0] = x 0,   y[t ] = C ⋅ x[t ] + D ⋅ v[t ], t = 0,1,2K,

(1.1)

 x[ s + 1] = A ⋅ x[ s ] + B ⋅ v[ s ], x[0] = x 0  y[ s] = C ⋅ x[ s ] + D ⋅ v[ s ], s = 0,1,2K,T . 

(1.2)

где x[t ] – вектор переменных состояния; v[t ] – вектор входных (управляющих) воздействий; y[t ] – вектор выходных переменных; A, B, C , D – матрицы параметров, s – координата в дискретном (клеточном) пространстве S . Модели (1.1) и (1.2), а также ряд других дискретных моделей [6,20] (на рис. 1.1 представлены примеры простейших окрестностных систем) не позволяют адекватно моделировать сложные дискретные системы, имеющие многочисленные, произвольной структуры связи между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности.

7

Дискретно-временные:

1Д-дискретно-пространственные:

x[t ] =ϕ (x[t − 1], v[t ]).

x[ s] =ϕ (x[s − 1], v[s ]).

1Д-дискретно-пространственно-временные: x[t , s ] =ϕ (x[t − 1, s ]x[t , s − 1], v[ s1 , s 2 ]). 2Д-дискретно-пространственные однонаправленные: x[ s1 , s 2 ] =ϕ ( x[ s1 − 1, s 2 ], x[ s1 , s 2 − 1], v[ s1 , s 2 ]). (s1,s2) (s1-1,s2) (s1,s2-1)

2Д-дискретно-пространственные двунаправленные: x[ s1 , s 2 ] =ϕ ( x[ s1 − 1, s 2 ], x[s1 + 1, s 2 ], x[ s1 , s 2 − 1], x[ s1 , s 2 + 1], v[ s1 , s 2 ]). (s1,s2+1)

(s1-1,s2)

(s1+1,s2)

(s1,s2-1)

2Д-дискретно-пространственно-временные (клеточные автоматы): x[t ; s1 , s2 ] = ϕ ( x[t − 1, s1 , s 2 ]x[t − 1, s1 − 1, s2 ], x[t − 1; s1 + 1, s2 ], x[t − 1; s1 , s2 − 1], x[t − 1; s1 , s 2 + 1], v[t ; s1 , s 2 ]). (t; s1, s2) (клетка s в момент t)

(t – 1; s1, s2 – 1)

(t – 1; s1 + 1, s2) (t – 1; s) = (t –1; s1, s2)

(t – 1; s1 – 1, s2)

(t – 1; s1, s2 + 1)

Рис. 1.1. Примеры простейших окрестностных систем

8

Обобщением названных моделей является симметричная линейная окрестностная модель [20] ∑ Ω[a,α ]x[α ] = ∑ Ξ[a, β ]v[ β ] , α ∈ O x [a] β ∈ O v [a]

(1.3)

где v[a]∈ R m , x[a] ∈ R n –– вход и состояние в узле

a системы,

Ξ[a, β ]∈ Rc×m ,

Ω[a,α ]∈ Rc×n –– матрицы–параметры, O x [a ], O v [a ] – окрестность узла a по состоянию и входному воздействию соответственно; a ,α , β ∈ A , A = {a1,K, a N } – конечное множество значений дискретного аргумента системы, A = N . Дальнейшим развитием симметричной модели, учитывающим выходы системы, является смешанная модель, имеющая вид [20] ∑ Ξ[a,α ]v[α ] +

α∈O v[a ]

∑ Ω[a, β ]x[ β ] +

β ∈O x[ a ]

∑ Γ[a, γ ] y[γ ] = 0 ,

γ ∈O y[ a ]

(1.4)

где v[a]∈ R m , x[a]∈ R n , y[a]∈ R q –– вход, состояние и выход в узле a ;

Ξ[a, β ]∈ Rc×m ,

Ω[a,α ]∈ R c×n ,

Γ[a, γ ]∈ R c×q

––

постоянные

матрицы–

параметры; O v [a], O x [a], O y [a] –– окрестности по входу, состоянию и выходу; a,α , β , γ ∈ A , A = {a1, a 2 ,K, a N } – множество значений аргумента смешанной системы, A = N . Так как реальные процессы в большинстве случаев носят нелинейный характер, то оправданным является рассмотрение нелинейных моделей, обеспечивающих более адекватное описание объекта. Общий вид нелинейной модели следующий: F ( x , v, y ) = 0 , где x - состояние; v - вход; y - выход. В соответствии с [59], любая аналитическая причинная система представима в виде ряда Вольтерра ∞ i

i

i =0 k =1

r =1

y[n ] = ∑ ∑ hi [n, m1 ,..., mi ] ∏ x[mr ] или в дискретном варианте

(1.5)

9 t

t

y[t ] = h0 + ∑ h1[τ ] u [t − τ ] + ∑ τ =0

t

∑ h2 [τ 1 ,τ 2 ]u [t − τ 1 ]u [t − τ 2 ] + K

τ 1 = 0τ 2 = 0

t

t

n

τ1 =0

τ n =0

i =1

+ ∑ K ∑ hn [τ 1 ,K ,τ n ] ∏ u [t − τ i ] + K ,

(1.6)

где функции h1[τ ], h2 [τ1 ,τ 2 ],K, hn [τ 1 ,K,τ n ] - ядра Вольтерра, и может быть приближена его конечным отрезком, в частности классической билинейной системой. Поэтому нелинейные системы могут быть приближены с той или иной степенью точности дискретными билинейными системами. В свою очередь, обобщением классических дискретных билинейных систем являются дискретные билинейные окрестностные системы. Таким

образом,

моделирующим

наиболее

различную

простым

структуру

классом

связей

нелинейных систем,

между

подсистемами

с

аргументом произвольной природы и размерности, являются дискретные билинейные окрестностные системы. В работе предложены модели билинейных дискретных окрестностных систем [11-16, 20] вида (на рис. 1.2. представлен синтез билинейных окрестностных моделей ) r

∑

r

∑ wi [a,α ]u i [α ] + ∑

i =1 α∈Oui [a ]

Здесь a,

∑ wi [a,α , β ]u i [α ] ⋅ γ i [ β ] = 0. i =1 α∈Oui [ a ] β ∈Oγ i [ a ]

Ou i [a], Oγ i [a]

окрестности

(1.7)

ui , γ i

по

элемента

a ∈ A = {a1 ,..., a N }, ui ,γ i ∈U , wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) - некоторые матрицы.

В частности, можно положить u = x, γ = v . В качестве примера «окрестностного» определения, предшествующего основным определениям из [10,20], напомним определение марковского случайного поля из [20] в используемых далее обозначениях. Пусть A – носитель – конечное или счетное множество значений системного

аргумента,

не

наделенное

какой-либо

структурой,

кроме

используемой далее окрестноcтной структуры; пусть a ,b,K элементы из A ;

10 Линейные сосредоточенные модели (1)

Билинейные дискретные сосредоточенные модели (2)

Линейные окрестностные модели (3)

Билинейные окрестностные модели

Традиционные линейные нестационарные сосредоточенные модели:  x[t ] = A[t ]x[t − 1] + B[t ]v[t ], x[t 0 ] = x 0  y[t ] = C [t ]x[t ], t ∈{t , t + 1, t + 2,...}, далее:  0 0 0 x[t ] + w x [t , t − 1]x[t − 1] + wv [t , t ]v[t ] = 0 .

(1)

Билинейная дискретная сосредоточенная модель: x[t ] + w x [t , t − 1]x[t − 1] + wv [t , t ]v[t ] + w xv [t ; t − 1; t ]x[t − 1]v[t ] = 0 .

(2)

Линейная окрестностная распределенная модель: ∑ w x [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[β ] = 0 , α∈Ox [a ] β ∈Ov [a ]

(3)

O x [ a ], O v [ a ] - окрестности по x, v элемента a , a ∈ A = {a1 ,..., a N } , A = N ; x[ a ]∈ R n , v[ a ]∈ R m - состояние и выход в узле a системы;

w x [a,α ]∈ R c×n , wv [a, β ]∈ R c×m , w xv [a,α , β ] = (w1xv ...wmxv )∈ R c×n×m . Пример графа окрестностной модели O v [a1] = {a 3} ,

a4

a1 a3

Ov [a 2] = {a3},

a5

Ov[a3] = {a1, a 2 , a 4 , a5 , a6} , a2

∑

α∈Ox [ a ]

M

a6

w x [a,α ]x[α ] +

∑

β ∈Ov [a ]

wv [a, β ]v[ β ] +

Ov[a 6] = {a3, a 4 , a5} , ∑ w xv [a,α , β ]x[α ] ⋅ v[ β ] = 0

α∈Ox [a ] β ∈Ov [a ]

Рис. 1.2. Синтез билинейных окрестностных моделей

11

x[a ] - состояние элемента a ; T , S ,K - подмножества множества A ; x[T ] совокупность состояний элементов множества T . Состояниями элементов

a∈ A являются случайные величины, так что {x[a ], a ∈ A} - случайное поле. Предполагается

заданным

согласованное

семейство

конечномерных

распределений его вероятностей, из которого, в частности, могут быть найдены условные вероятности P( x[a ] / x[ A \ a ]). Это случайное поле называется O марковским, если для каждого

a∈ A существует конечное множество

O(a ) ⊂ A \ a - окрестность элемента a - такое, что условные вероятности P ( x[a ] / x[ A \ a ]) = P( x[a ] / x[O(a )]) зависят лишь от x[a ] и x[b] при b∈ O(a ) . В [20] наряду c O(a ) используется и понятие расширенной окрестности O[a] = O (a ) U {a}. Для окрестностных структур вводится [20] “расстояние в шагах из окрестностей” между подмножествами N (a) B, C ∈ A : для любого B строится цепочка [B ]0 ⊂ [B]1 ⊂ ... ⊂ [B ]l расширенных окрестностей B ранга 0,1,...,l ,...в виде

[B]0 = B, [B]1 =

U N [b], [B ]l +1 = [[Bl ]]l = U N [b], l = 1,2 ..., b∈[B ]l

b∈B

после чего полагается r ( B, C ) = r ⇔ [B ]l I [C ]l = ∅, 0 ≤ l ≤ r , [B ]r I [C ]r ≠ ∅ . Системы, заданные на таких множествах, являются существенно нестационарными [20]. Несомненным возможность имеющих

достоинством

адекватного

окрестностных

моделирования

многочисленные,

систем

является

сложных дискретных систем,

произвольной

структуры

связи

между

подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности. В данной работе по аналогии с линейным случаем [20] cтавятся задачи идентификации и смешанного управления:

12

1) задача параметрической идентификации билинейных окрестностных систем, в которой по известным vi , u i необходимо найти матрицы параметры wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) при дополнительных условиях некоторые из матриц wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) известны, некоторые wi [a,α ] = 0, wi [a,α , β ] = 0 . 2) задача смешанного управления для билинейных окрестностных систем, состоящая в нахождении неизвестных компонентов состояния

и

управления по известной их части. Исследование окрестностных систем и окрестностных моделей, как линейных, так и нелинейных, проводилось в различных направлениях [10, 20, 39].

Одно

из

направлений

связано

с

преобразованиями

билинейных

одноаргументных систем в линейные двухаргументные с использованием тензорных произведений. Основы таких преобразований заложены в [104] (см. также [5]) для случая билинейных стационарных 1D -систем и линейных однородных 2 D -систем и распространены на нестационарный (неоднородный) случай в [10] (см. [7-21], [33-36], [39], [77-100], [108]). Достоинством такой тензорной

линеаризации

является

то,

что,

в

отличие

от

других

распространенных подходов к линеаризации (например, тейлоровой или интерполяционной), она не является приближенной и позволяет сводить исследование специальных классов нелинейных систем – билинейных, …, m линейных – и общих нелинейных систем, представленных рядами Вольтерра [5, 20, 59] по этим специальным нелинейным системам, к исследованию их линейных, но многоразмерностных образов. 1.2. Связь билинейных окрестностных моделей с симметричными и смешанными окрестностными моделями Дискретная билинейная окрестностная система (1.7) обобщает известные модели дискретных систем, симметричные и смешанные системы [20] и относится к классу простейших нелинейных систем.

13

Полагая в (1.7) wi [a,α , β ] = 0, w1[a,α ] = Ω[a,α ], w2 [a, β ] = Ξ[a, β ],

u1[α ] = x[α ], u2[ β ] = v[ β ] , получаем симметричную окрестностную систему. Если же полагаем wi [a,α , β ] = 0, w1[a,α ] = Ω[a,α ], w2 [a, β ] = Ξ[a, β ], w3 [a,γ ] = Γ[a,γ ],

u1[α ] = x[α ], u2 [ β ] = v[ β ], u3[γ ] = y[γ ] , то получаем смешанную систему вида (1.4). В работе [20] было показано, что смешанная система обобщает сингулярные линейные модели, линейные сингулярные двумерные системы, линейные

комбинационные

цепи,

линейные

стационарные

дискретно-

временные динамические системы, одномерные однонаправленные линейные итеративные цепи, одномерные двунаправленные линейные итеративные цепи, модель Форназини-Маркезини, модель Россера и т.д. Так как билинейные окрестностные системы обобщают симметричные, то отсюда следует, что эти системы обобщают все названные классы линейных дискретных систем. 1.3. Методы идентификации систем управления В данном разделе рассмотрим постановку задачи идентификации для линейных и нелинейных систем, методы ее решения и исследуем возможность их применения к идентификации дискретных билинейных окрестностных систем. Термин «идентификация» появился в 60-х годах XX века. К настоящему времени теории и методам идентификации посвящено большое число работ в отечественной и зарубежной литературе, и в этом направлении разработаны свои принципы, подходы и методы [29, 30, 56, 67, 69, 101]. Под идентификацией в широком смысле понимается «получение или уточнение

по

экспериментальным

данным

модели

реального

объекта

(процесса), выраженной в тех или иных терминах (описанной на том или ином языке)» [69]. Идентификацией динамической системы (процесса) называется

14

получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата [69]. Идентификацией по [30] является «определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и процесса при одинаковых входных воздействиях». Классификация задач идентификации может осуществляться по целому ряду признаков: идентифицируемый объект или процесс; класс модели, в терминах которой осуществляется идентификация; условия наблюдения и возбуждающие процесс воздействия и т.д. [69]. По Эйкхоффу [101], задача идентификации формулируется следующим образом:

по

результатам

наблюдений

над

входными

и

выходными

переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т.е. формализованное представление этой системы. Отсюда видна преемственность между задачей идентификации и общей схемой установления закономерностей по результатам наблюдений. В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле [101]. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы

по

результатам

наблюдений

над

входными

и

выходными

переменными, полученными в условиях функционирования объекта. При этом известна структура системы и задан класс моделей, к которому данный объект относится. Априорная информация об объекте достаточно велика. Априорная информация об объекте при идентификации в широком смысле отсутствует или очень бедная, поэтому приходится предварительно решать большое число дополнительных задач [101]: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценивание степени стационарности и линейности объекта и действующих переменных, оценивание степени и формы влияния входных переменных на выходные, выбор информативных переменных и другие.

15

В [109, 110] идентификацией называется “определение по входу и выходу системы из определенного класса систем, которой испытываемая система эквивалентна”. Следуя данной формулировке, необходимо определить класс систем,

класс

входных

сигналов

и

понятие

“эквивалентности”.

Эквивалентность часто понимается в смысле какого-либо критерия ошибки или функции потерь, являющейся функционалом от выхода объекта и выхода модели E = E ( y , y M ). Процедура идентификации включает следующие три этапа [20]: 1.

Выбор структуры модели на основании имеющейся априорной информации об исследуемом процессе и некоторых эвристических соображений.

2.

Выбор критерия близости объекта и модели, основанный на специфике задачи.

3.

Определение

параметров модели,

оптимальных с

точки зрения

выбранного критерия близости. Поскольку задача идентификации сводится, как упомянуто выше, к определению структуры модели объекта и восстановлению ее параметров, в качестве основы для классификации задач и методов идентификации обычно выбирают степень предварительной изученности объекта. По наличию априорной информации все объекты могут быть разделены на следующие группы [30]: 1) объекты, для которых описывающие их уравнения известны вплоть до приблизительных значений коэффициентов; 2) объекты, для которых описывающие их уравнения известны, а численные значения коэффициентов неизвестны; 3) объекты, для которых конкретный вид уравнения и численные значения параметров неизвестны, но имеется некоторая априорная информация (например, объект линеен, и переходные процессы в нем носят монотонный характер; объект содержит гладкие нелинейности и т.д.);

16

4) объекты, относительно которых отсутствуют какие-либо априорные сведения («черный ящик»). При этом провести четкую границу между любой парой смежных групп довольно затруднительно. Для объектов первой группы при известной структуре уравнения задача идентификации часто сводится к уточнению начальных значений параметров и отслеживанию их с помощью адаптивных моделей [29, 50, 101]. Для объектов второй группы процесс идентификации представляет собой восстановление неизвестных параметров модели известной структуры. Структура модели у объектов третьей группы выбирается на основании имеющейся априорной информации и может быть уточнена в процессе проведения эксперимента, после чего решается задача восстановления параметров. Таким образом, все методы идентификации объектов первых трех групп, как правило, являются параметрическими, т.е. сводятся к определению параметров заранее известной или выбранной из каких-либо соображений модели. На практике часто встречаются случаи, являющиеся переходными между третьей и четвертой группами, когда, вследствие недостатка априорной информации об объекте, идентификация осуществляется на основе прямых методов, т.е. определяются дискретные значения динамических характеристик в конечном числе точек путем подачи пробных сигналов специальной формы (активный

эксперимент)

или

решаются

соответствующие

уравнения

статистической динамики (пассивный эксперимент). Применение прямых методов идентификации целесообразно также для объектов

типа

“черный ящик”.

Для

этих объектов

возможна

также

параметризация на основе принятия какой-либо гипотезы, проверяемой в процессе эксперимента. Данная ситуация распространена чаще всего. Введенные дискретные билинейные окрестностные модели по наличию априорной информации можно отнести к промежуточному типу между первым

17

и вторым пунктом данной классификации. Структура и уравнение данной модели (1.7) считаются известными, а некоторые коэффициенты матрицпараметров wi могут быть заданными. В подходе, согласно Гропу [29], методы идентификации связаны с классификацией систем. Во-первых, различают линейные и нелинейные системы, причем линейные системы легче идентифицировать, поскольку они обладают

свойствами

стационарные

и

суперпозиции.

нестационарные

(к

Во-вторых, последним

различают относятся

системы

системы

с

изменяющимися во времени параметрами). В-третьих, системы делят на дискретные и непрерывные. В-четвертых, различают методы идентификации для систем с одним или несколькими входными воздействиями. Это деление целесообразно

ввиду

того,

что

методы

идентификации

значительно

упрощаются, если на систему подается одновременно лишь одно входное воздействие. Пятый вариант классификации предусматривает возможность идентификации детерминированных или стохастических процессов. Шестой вариант – классификация методов идентификации в зависимости от наличия априорной информации о системе. Другая классификация методов идентификации осуществляется по следующим признакам [20, 39]: 1) по способу представления характеристик объекта: -во временной области; -в частотной области; 2) по методу проведения эксперимента на объекте: -активные; -пассивные; -смешанные, при которых на объект подаются специальные пробные сигналы малой интенсивности, не нарушающие его нормальной работы; 3) по принятому критерию подобия объекта и модели; 4) по методам восстановления неизвестных параметров объекта:

18

-неитерационные (метод наименьших квадратов, корреляционный анализ и т.д.); -итерационные (методы теории статистических решений, стохастической аппроксимации и т.д.); 5) по наличию сравнения полученного математического описания с объектом: -разомкнутые; -замкнутые. В основу перечисленных способов классификации положена по существу степень сложности идентификации. Методы идентификации, для которых требуется меньше априорной информации, обладают меньшей точностью и большей скоростью сходимости при большей математической сложности и времени вычислений по сравнению с методами, использующими больший объем

априорной

информации.

Аналогично

методы,

применяемые

к

нелинейным или нестационарным процессам, более сложны и зачастую менее точны, чем методы идентификации, рассчитанные на линейные стационарные процессы [20]. Отчасти по этой причине в работе рассмотрен также метод тензорной линеаризации полилинейной системы. Среди статистических методов идентификации следует выделить метод наименьших квадратов, связанный с использованием квадратического критерия ошибки J = ∑ jj ==1n ( y ( j ) − y M ( j )) 2 , где n - размерность выхода модели объекта. Понятно, что ни один из упомянутых многочисленных методов идентификации не годится для идентификации всех видов систем. Каждый из них имеет свою область или области применения. Из приведенного обзора методов идентификации [30, 69, 101] следует, что введенный в разделе 1.1 данной главы класс дискретных билинейных окрестностных

моделей

требует

разработки

методов

параметрической

идентификации при частичном задании коэффициентов модели. Эти методы основаны на тензорной линеаризации и сведении билинейных моделей к

19

двухаргументным или применении адаптивных методов. Указанные методы описаны в главах 2, 3. 1.4. Методы синтеза алгоритмов управления В данном разделе рассмотрим известные постановки и алгоритмы задач управления. Процессы, происходящие в исследуемом объекте, протекают различным образом в зависимости от конкретного воздействия на них управляющей стороны. При этом естественным является стремление выбрать оптимальное управляющее воздействие, т.е. наилучшее по сравнению со всеми другими возможными способами управления [3]. Аналогично, в соответствии со [56], управление состоит в том, чтобы, оказывая на объект воздействие, изменять протекающие в нем процессы для достижения определенной цели. Постановки задач управления можно разделить на две большие группы: прямые и обратные задачи. Основными можно назвать две из них: прямая задача и задача управления как важнейшая из обратных задач. В прямой задаче по известным входам v[a ] и начальному состоянию x[0] определяются неизвестные состояния системы x[a ] и ее выходы y[a ] , где a∈ A - аргумент системы. В задаче управления по заданным состояниям x[a ] и выходам y[a ] определяется необходимое управление - входы v[a ] . В обратной задаче регулирования [56] требуется выбрать такое управление v[a ] , которое реализует близость основных координат состояния объекта к заданным xk [a ] . Важнейшая обратная задача управления, задача отыскания оптимальных управлений, формулируется следующим образом [45, 69]. В начальный момент времени t = t 0 положение системы в пространстве состояний определяется вектором x[t 0 ] = x0 . Требуется найти такие управления u1,..., u m , которые

20

переводят систему в точку x[t1 ] = x1 , при этом на траектории движения должно реализоваться наименьшее возможное значение функционала

1 J [u ] = ∑ [x[t ] − x1[t ]]2 . 2

(1.8)

В современной теории оптимального управления разработаны различные процедуры решения сформулированной задачи на основе принципа максимума, динамического программирования, метода функций Ляпунова, классического вариационного исчисления [69]. В результате применения этих методов отыскиваются оптимальные управляющие функции и траектории движений, на которых реализуются экстремальные значения оптимизируемых функционалов. При адаптивном управлении [56, 69] представляющем собой обратную задачу определения управления u[a ] в условиях априорной неопределенности описания объекта, параметры системы заранее неизвестны или изменяются в процессе работы системы. Частным случаем постановок задач регулирования является задача стабилизации, в которой требуется обеспечение постоянства координат состояния системы. Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством постоянных релейных управлений рассмотрена в [51, 52]. Для билинейной системы со скалярным управлением

x& = Ax + uBx ,

(1.9)

где u ∈ R, x ∈ R 2 ; матрицы A и B постоянные, подбирается такое управление u , при котором точка x = 0 представляет собой асимптотически устойчивое положение равновесия системы во всей плоскости. При этом для двумерных систем типа (1.9) со скалярным выходом y показано, что задача наблюдения (т.е. задача восстановления фазового вектора x ) может быть сведена к задаче наблюдения для системы с вырожденной матрицей билинейности (т.е. rank B = 1 ). Для таких систем построены асимптотические наблюдатели, а на их основе синтезированы алгоритмы стабилизации двумерных систем по выходу.

21

В литературе рассматриваются вопросы управляемости систем. Система называется вполне управляемой, если она может быть переведена из произвольного начального состояния x0 ∈ R n , x0 ≠ ∞ в произвольное заданное конечное

состояние

x f ∈ Rn , x f ≠ ∞

за

конечное

время

с

помощью

допустимого управления [101]. Для управляемости [3] линейных стационарных систем вида

x (t ) = Ax(t ) + Bu(t ), x ∈ R n , u ∈ R m ,

(1.10)

где An×n и B m×m - постоянные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы K = ( B, AB, A 2 B,..., A n−1B) был равен n (размерности вектора x ). Для

управляемости

системы

(1.10)

при

наличии

ограничений

u (t ) ≤ C , C > 0 необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен n и, кроме того, чтобы все собственные значения матрицы A лежали на мнимой оси. Для

управляемости

линейных

нестационарных

систем

x (t ) = A(t ) x (t ) + B(t )u (t ) достаточно, чтобы нашлась точка на [t 0 , t ] , в которой ранг матрицы K = ( K1 ,..., K n ) равен n ; здесь K1 (t ) = B (t ), K i (t ) = A(t ) K i−1 (t ) −

dK i−1 (t ) . dt

(1.11)

Теория управляемости нелинейных систем разработана не достаточно полно. Задача управляемости в окрестности заданной траектории получаемой при заданном

u = u 0 (t ),

x0 (t ),

может быть приведена к задаче

управляемости линейной нестационарной системы путем линеаризации [50]. Для уравнением

нелинейных

систем

с

x[k + 1] = f [ x[k ], u[k ], k ],

дискретным задачи

временем,

управляемости

описываемых в

принципе

приводятся к задачам разрешимости функциональных уравнений [69]. В работе [102] исследуются вопросы управляемости однородных и неоднородных дискретных билинейных систем.

22

Дискретная билинейная система определяется разностным уравнением вида

x k +1 = ( A + u k B ) x k + cu k , k = 0,1,2,...,

(1.12)

где x k ∈ R n - состояние системы в момент k , u k ∈ R1 - управление в момент k , c∈ R n - ненулевой вектор, An×n , B n×n - действительные постоянные матрицы и ранг [ B ÷ c] = 1 . Показано, что для однородной управляемой билинейной системы x k +1 = ( A + u k B) x k , k = 0,1,2,...,

(1.13)

матрица Γ( A, c ) = [c, A,K, An−1c] является неособенной. Если неоднородная билинейная система (1.12) является управляемой в R n , то Γ( A, c ) будет неособенной матрицей. К необходимым условиям полной управляемости билинейных систем можно отнести следующие. 1.Существуют значения управления u + и u − такие, что действительные части собственных значений матрицы системы, соответственно, положительны и отрицательны, и такие, что равновесные состояния xe (u + ), xe (u − ) содержатся в связных компонентах равновесного множества. 2. Для любого x из равновесного множества с равновесным управлением u e ( x) ∈ u , таким, что f ( x, u e ( x)) = 0, существует V ∈ R m такое, что g не лежит ни в каком инвариантном пространстве размерности не более чем (n − 1) матрицы E , где m

E = A + ∑ u k ( x ) Bk

(1.14)

k =1

и m

m

l =1

k =1

g = Cv − ∑ vl [ Bl ( A + ∑ u k Bk ) −1 Cu ].

(1.15)

23

Однако, по мнению Молера [105], практическое применение этого критерия

к

общим

билинейным

системам

представляется

весьма

затруднительным. Переменная структура билинейных систем позволяет им быть более управляемыми, чем линейные системы, что как раз часто и требуется от более точной модели. Молер [105] показывает, что линейная система не является вполне управляемой при ограниченном управлении, также и не каждая билинейная система вполне управляема. В работе [20] рассмотрен метод смешанного управления для линейных симметричных окрестностных систем, позволяющий определять неизвестные координаты управления и состояния по известной их части. Рассмотренные в данном разделе методы управления нелинейными дискретными распределенными и сосредоточенными объектами показывают, что для введенных в разделе 1.1. дискретных билинейных окрестностных моделей необходима разработка новых алгоритмов управления. Данные алгоритмы приведены в главе 3. 1.5. Прикладные задачи В

предыдущих

билинейные

разделах

данной

главы

введены

дискретные

окрестностные системы как обобщение симметричных

смешанных линейных дискретных систем и как простейший класс нелинейных

дискретных

систем.

Обсуждены

возможные

методы

идентификации и управления такими системами. Отмечено, что дискретные билинейные окрестностные системы обеспечивают произвольную структуру связей между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности, а также позволяют более адекватно моделировать сложные дискретные системы по сравнению с линейными системами. Примером систем со сложной окрестностной структурой и нелинейными связями между

подсистемами

могут

служить

объекты

металлургического

24

производства и объекты предприятий по очистке сточных вод, в частности цех очистки сточных вод (ЦОСВ). Современные очистные сооружения, предназначенные для очистки городских

сточных

промышленных

вод,

стоков,

состоящих являются

из

хозяйственно-бытовых

сложными,

и

многостадийными,

распределёнными системами. В свете возрастающих технико-экономических и экологических требований актуальными для данных систем являются задачи определения параметров тех узлов, для которых измерение является дорогим

и

затруднительным,

определение

параметров

входного

и

промежуточных участков по заданным инструкцией параметрам выхода из системы (норма на сброс в реку), определение параметров промежуточных участков по заданным экспертами (инструкцией) значениям параметров на входе и выходе из системы. Сооружения системы включают в себя подсистемы механической, биологической очистки, обеззараживания и обработки осадка. Механическая очистка

представлена

решётками,

песколовками,

усреднителями,

первичными отстойниками; биологическая – аэротенками, вторичными отстойниками; обеззараживание – контактными резервуарами; обработка осадков - илоуплотнителями, иловыми площадками, цехом механического обезвоживания. В наиболее простом варианте, допускающем измерение параметров, систему рассматривают как совокупность четырёх узлов: «вход на очистные сооружения», «после усреднения», «после механической очистки», «сброс в реку». Наличие большого числа факторов, влияющих на результаты очистки сточных вод, приводит к тому, что в настоящее время решение задач по управлению

работой

ЦОСВ

базируется

на

опыте

и

интуиции

квалифицированных работников. Отсутствие инструмента для анализа

и

синтеза управленческих решений, выдачи оптимальных режимов работы производственных подразделений ЦОСВ приводит к снижению качества

25

очистки сточных вод и в конечном итоге к экономическим потерям предприятия, загрязнению окружающей среды. В рамках действующей системы решения задач планирования, анализа и управления технико-экономическими показателями работы ЦОСВ задачу управления показателями позволяет решить создание математических моделей

цеха

в

целом

и

отдельных

подразделений,

разработка

автоматизированной системы управления работой ЦОСВ. Можно дать следующую формулировку задачи данной работы: для введенного класса дискретных окрестностных билинейных систем разработать

методы

идентификации,

методы

синтеза

смешанного

управления, получить билинейную окрестностную модель и оптимальные значения технико-экономических показателей ЦОСВ. В соответствии с приведенной формулировкой задачи в монографии поставлены следующие задачи исследования: 1) разработать алгоритмы тензорной линеаризации, параметрической и адаптивной идентификации билинейных окрестностных моделей; 2)

определить

критерий

качества

оптимального

смешанного

управления для билинейных окрестностных систем; 3) разработать алгоритм смешанного управления для данного класса моделей; 4) разработать метод квазиоптимального смешанного управления для билинейных окрестностных систем; 5) построить билинейные окрестностные модели отделения аэротенков и цеха очистки сточных вод АО «НЛМК»; 6)

получить

оптимальные

показателей цеха очистки сточных вод.

значения

технико-экономических

26

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ БИЛИНЕЙНЫХ ОКРЕСТНОСТНЫХ СИСТЕМ В главе 1 приведен обзор моделей дискретных симметричных, смешанных, классических билинейных систем и в их развитие введена дискретная билинейная окрестностная модель. В данной главе поставлена задача параметрической идентификации билинейных окрестностных систем, предложены методы

и получены

алгоритмы

тензорной линеаризации,

смешанной параметрической и адаптивной идентификации билинейных окрестностных систем. 2.1.Постановка задачи параметрической идентификации дискретных билинейных окрестностных систем В данном разделе сформулируем задачу параметрической идентификации для билинейных окрестностных систем и критерий идентификации. В соответствии с (1.7), предложенная в данной работе дискретная билинейная окрестностная система описывается уравнением r

∑

r

∑ wi [a,α ]u i [α ] + ∑

i =1 α∈Oui [ a ]

∑ wi [a,α , β ]ui [α ] ⋅ γ i [ β ] = 0. i =1 α∈Ou i [a ] β ∈Oγ i [ a ]

(2.1)

Здесь Ou i [ a ], Oγ i [ a ] окрестности по ui , γ i элемента a , a ∈ A = {a1 ,..., a N } множество

значений

аргумента

билинейной

окрестностной

системы,

A = N ; ui , γ i ∈U , wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) - некоторые матрицы. Пусть для билинейной системы, заданной моделью (2.1), полностью определен набор всех ui [ a ] ∈ R ni во всех N узлах билинейной системы. Тогда необходимо знание (n1 + ... + nr ) ⋅ N компонент сигналов. В случае, если u1[a] = u[a]∈ R m , u 2 [a] = x[a] ∈ R n , необходимо знание (m + n) ⋅ N компонентов сигналов.

27

Требуется найти элементы матриц-параметров wi [a,α ], wi [a,α , β ] для всех узлов системы, описываемой моделью (2.1). Потребуем, чтобы часть элементов матриц-параметров была задана экспертами. Это требование позволит ограничить число решений данной задачи. В

качестве

критерия

идентификации

рассмотрим

следующий

квадратичный критерий

(

)2

u [ ai ] w [ a ,α ]u [α ] + ∑ deg u i [ ai ] ∑ degγ i [ ai ] w [ a ,α , β ] ) , J = ∑ iN=1(∑ ir=1 ∑αdeg i i i i i α =1 β =1 =1 i

(2.2)

где deg ui , degγ i -степени вершины a (число соседей) по преобразованиям ui , γ i .

Потребуем минимальности значения критерия.

2.2. Разработка алгоритмов линеаризации билинейных систем Для

разработки

алгоритмов

идентификации

билинейных

систем

рассмотрим теоретическое обоснование преобразования билинейных систем в двухаргументные линейные системы [7-18]. 2.2.1. Билинейные стационарные системы Билинейные системы являются простейшими нелинейными системами, наиболее близкими к линейным [5, 20, 104]. С другой стороны, двумерные системы являются простейшими распределёнными системами, наиболее близкими к сосредоточенным. Между этими классами систем существует важная взаимосвязь, для описания которой удобно ввести ряд понятий, знакомство с которыми полезно и само по себе. Пусть K - некоторое числовое поле, U - K -линейное пространство, состоящее из всех K -значных функций, заданных на множестве целых чисел Z и имеющих ограниченный слева носитель, так что для любой u∈U существует tu ∈ Z такое, что u[t ] = 0 при t < t u . Отображение f :U × U → U называется K -

28

билинейным,

если

для

каждого

фиксированного

u1 ∈U

отображения

U → U : u → f (u , u1 ), U → U : u → f (u1 , u ) являются K -линейными. Билинейное отображение f :U × U → U называется каузальным, если из u1[t ] = 0 при t < t1 следует f (u , u1 )[t ] = f (u1 , u ) = 0 при t < t1 . Билинейное отображение называется стационарным или инвариантным относительно временного сдвига, если для любых u1, u 2 ∈U выполняется соотношение: f (u1, u2 )[t −1] = f (uˆ1, uˆ2 )[t ], uˆi [t ] = ui [t − 1] .

(2.3)

Пусть L2cs (U ) обозначает множество, состоящее из всех билинейных казуальных

стационарных

отображений

f :U × U → U .

С

обычными

операциями над его элементами пространство L2cs (U ) является K -линейным пространством. Каждый элемент из L2cs (U ) может рассматриваться как отображение

отклика

(отображение

"вход-выход'')

некоторой

внешне-

билинейной каузальной стационарной дискретно-временной системы. обозначает

Пусть теперь V+

K -линейное пространство функций

v : Z × Z → K таких, что v[t1 , t 2 ] = 0 при t1 < 0 или t 2 < 0 . С использованием этих понятий

непосредственно

устанавливается

следующее

представление

билинейных отображений:

f ∈ L2cs (U ) существует единственный элемент w ∈V+ ,

для каждого

называемый ядром отображения f , такой что для любых u1, u 2 ∈U t

f (u1 , u 2 )[t ] = ∑

t

∑ w[t − t1 , t − t 2 ]u1 [t1 ]u 2 [t 2 ] ,

t1 = −∞ t2 = −∞

наоборот, каждое ядро

w ∈V+

(2.4)

определяет некоторое отображение

f w ∈ L2cs (U ) , задаваемое формулой (2.4). С использованием понятия тензорного произведения функций и образованных ими пространств каждый элемент из L2cs (U ) может быть расширен до линейного отображения. Рассмотрим это подробнее [15, 18]. Пусть V - K -линейное пространство, состоящее из всех K -значных

29

функций v , заданных на Z × Z и таких, что v[t , s ] = 0 при t < tv или s < sv . Следует отметить, что введенное выше пространство V+ являетcя линейным подпространством V . Для заданных u1, u 2 ∈U

тензорное произведение,

обозначаемое u1 ⊗ u 2 , определяется как элемент из V по формуле: (u1 ⊗ u 2 )[t , s ] = u1[t ]u 2 [ s].

(2.5)

Иначе говоря, тензорное произведение сигналов определяет разделимый или cепарабельный сигнал, зависящий от двух переменных; тензорное произведение пространства U на себя, обозначаемое через U ⊗ U , есть линейное подпространство V , порождённое всеми элементами вида u1 ⊗ u 2 . Иначе говоря любой элемент v ∈U ⊗ U может быть записан в виде r

v = ∑ u i ⊗ γ i для некоторых ui ,γ i ∈U . i =1

Теперь любое билинейное отображение f ∈ L2cs (u ) может быть расширено до линейного отображения f :U ⊗ U → U , задаваемого по формуле  r  r f  ∑ u i ⊗ γ i  = ∑ f (u i ,γ i ), u i ,γ i ∈ U .  i =1  i =1 Из

представления

(2.3)

(2.6)

билинейных отображений

следует

такое

представление нового отображения f : t

f w (v )[t ] = ∑

t

∑ w[t − t1 , t − t 2 ]v[t1 , t 2 ],

(2.7)

t1 = −∞ t2 = −∞

где v - произвольный элемент из U ⊗ U . Отсюда следует, что билинейное отображение

fw

или

его

линейное

расширение

fw

могут

быть

проинтерпретированы в терминах отклика линейных двумерных систем. Чтобы это

установить,

рассмотрим

сначала

общее

представление

линейных

двумерных отображений в том же контексте, в котором ранее были рассмотрены билинейные (но одномерные, как теперь целесообразно добавить) отображения. Пусть g :V → V – K -линейное отображение; так как V состоит из

30

функций, заданных на Z × Z , то можно говорить о g как о линейном двумерном отображении. Отображение g :V → V каузально, если из v[t , s ] = 0 при t < tv или s < sv следует g (v)[t , s ] = 0 при t < tv или s < sv . Отображение g однородно

стационарности)

(аналог

или

инвариантно

относительно

g (v )[t −1, s −1] = g (v )[t , s ] , где

плоскостного сдвига, если для любого v∈V

vˆ[t , s ] = v[t − 1, s − 1]. С обычными операциями множество Lcs (V ) всех линейных каузальных однородных отображений пространством. Каждый элемент отображение

отклика

g :V → V

является

K –линейным

g ∈ Lcs (V ) может рассматриваться как

(отображение

"вход-выход") некоторой линейной

каузальной однородной двумерной дискретной системы. С использованием этих понятий непосредственно устанавливается следующее представление двумерных отображений: для

каждого

g ∈ Lcs (V ) существует единственный элемент

w ∈V+ ,

называемый весовой функцией отображения g , такой, что для любого v∈V t

s

g (v )[t , s ] = ∑

∑ w[t − t1 , s − s1 ] v[t1 , s1 ] ,

(2.8)

t1 =−∞ s1 =−∞

наоборот, каждая весовая функция

w ∈V+

определяет некоторое

отображение g w , задаваемое формулой (2.8). Заметим, что функция w равна g (l ) , где l - двумерный единичный импульс, т.е. l[t , s] = 1 при t = s = 0 и l[t , s ] = 0 при других t, s . Сопоставляя представления (2.4) и (2.8), заключаем, что справедливо соотношение

f w (u1, u 2 )[t ] = g w (u1 ⊗ u 2 )[t , t ] для любых u1, u 2 ∈U .

Кроме

того,

линейное

расширение

fw

задается

соотношением

f w (v )[t ] = g w (v )[t , t ] для всех v ∈U ⊗ U . 2.2.2. Билинейные нестационарные системы

31

Сделаем ряд предположений по аналогии с предыдущим разделом. Пусть K - некоторое числовое поле, U - K -линейное пространство, состоящее из всех K -значных функций, заданных на множестве целых чисел Z и имеющих ограниченный слева носитель, так что для любой u∈U существует tu ∈ Z такое, что u[t ] = 0 при t < t u . Отображение f :U × U → U называется K билинейным,

если

для

каждого

фиксированного

u1 ∈U

отображения

U → U : u → f (u , u1 ), U → U : u → f (u1 , u ) являются K -линейными. Билинейное отображение f :U × U → U называется каузальным, если из u1[t ] = 0 при t < t1 следует f (u , u1 )[t ] = f (u1 , u ) = 0 при t < t1 . Билинейное отображение является нестационарным или неинвариантным относительно временного сдвига, если оно задано на нестационарном отрезке, который для любого момента t имеет длину T (t ) и вид [t − T (t )] , в частности [0, t ] длины t , т.е. {0,K, t }, тогда для нестационарного

билинейного

отображения

для

любых

u1, u 2 ∈U

не

выполняется соотношение: f (u1 , u 2 )[t − 1] = f (uˆ1 , uˆ 2 )[t ], uˆ i [t ] = u i [t − 1].

(2.9)

Пусть L2cns (U ) обозначает множество, состоящее из всех билинейных каузальных

нестационарных

отображений

f :U × U → U .

С

обычными

операциями над его элементами пространство L2cns (U ) является K -линейным пространством. Каждый элемент из L2cns (U ) может рассматриваться как отображение отклика (отображение "вход-выход'') некоторой билинейной каузальной нестационарной дискретно-временной системы. Пусть теперь V+

обозначает

K -линейное пространство функций

v : Z × Z × Z → K таких, что v[t , t1 , t 2 ] = 0 при t < 0, t1 < 0, t 2 < 0 . С использованием этих понятий непосредственно устанавливается следующее представление нестационарных (неоднородных) билинейных отображений: для каждого

f ∈ L2cns (U ) существует единственный элемент w ∈V+ ,

называемый ядром отображения f , такой, что для любых u1, u 2 ∈U

32

f (u1 , u 2 )[t ] =

∑∑ w[t ,t1 , t 2 ]u1 (t1 )u 2 (t 2 ) ,

(2.10)

t1 ,t 2 ∈{0,...,t }

наоборот, каждое ядро

w ∈V+

определяет некоторое отображение

f w ∈ L2cns (U ) , задаваемое формулой (2.10). С использованием понятия тензорного произведения функций и образованных ими пространств каждый элемент из L2cns (U ) может быть расширен до линейного отображения. Пусть V - K -линейное пространство, состоящее из всех K -значных функций v , заданных на Z × Z , и таких, что v[t , s ] = 0 при t < tv или s < sv . Для u1, u 2 ∈U

заданных

тензорное

произведение,

обозначаемое

u1 ⊗ u 2 ,

определяется как элемент из V по формуле (u1 ⊗ u 2 )[t , s ] = u1[t ]u 2 [ s].

(2.11)

Тензорное произведение сигналов определяет cепарабельный сигнал, зависящий от двух переменных; тензорное произведение пространства U на себя, обозначаемое через

U ⊗ U , есть линейное подпространство V ,

порождённое всеми элементами вида u1 ⊗ u 2 . Любой элемент v ∈U ⊗ U может быть записан в форме r

v = ∑ u i ⊗ γ i для некоторых ui ,γ i ∈U . i =1

Теперь любое нестационарное билинейное отображение

f ∈ L2cns (u )

может быть расширено до линейного отображения f :U ⊗ U → U , задаваемого по формуле  r  r f  ∑ u i ⊗ γ i  = ∑ f (u i ,γ i ), u i ,γ i ∈ U .  i =1  i =1

(2.12)

Из представления (2.10) следует представление нового отображения f

f w (v )[t ] =

∑∑ w[t ,t1 ,t 2 ]v[t1 , t 2 ]

t1 ,t 2 ∈{0,..., t }

где v - произвольный элемент из U ⊗ U . Отсюда следует, что билинейное неоднородное отображение f w или его линейное расширение f w могут быть

33

проинтерпретированы в терминах отклика линейных двумерных систем. По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим общее представление линейных двумерных отображений. Пусть g :V → V – K - линейное отображение; так как v задано на Z × Z , то g - линейное двумерное отображение. Отображение g :V → V каузально, если из v[t , s ] = 0 при t < tv или s < sv следует g (v)[t , s ] = 0 при t < tv или s < sv . Отображение

g

неоднородно,

если

для

любого

v∈V

свойство

g (v )[t − 1, s − 1] = g (vˆ )[t , s ],где vˆ[t , s ] = v[t − 1, s − 1], не выполняется. С обычными операциями множество Lcns (V ) всех линейных каузальных неоднородных отображений g :V → V является K -линейным пространством. Каждый элемент g ∈ Lcns (V ) может рассматриваться как отображение отклика некоторой линейной каузальной неоднородной двумерной дискретной системы. ~ Пусть V+ обозначает K -линейное пространство

функций

v : Z × Z × Z × Z → K таких, что v[t , s, t1 , t 2 ] = 0 , при t , t1 ∉{0,K, t v }, s, s1 ∉{0,K, sv } . Определим следующее представление двумерных отображений:

~ для каждого g ∈ Lcns (V ) существует единственный элемент w∈V+ такой, что для любого v∈V

g (v )[t , s ] =

∑∑ w[t , s, t1 , s1 ]v(t1 , s1 ) .

(2.13)

t1∈{0,...,t } s1∈{0,...,s}

Здесь при отождествлении t и s имеем соответствие размерностей ~ V+ ~ V+ . Из (2.10) и (2.13) следует

f w (u1, u 2 )[t ] = g w (u1 ⊗ u 2 )[t , t ] для любых u1, u 2 ∈U .

Кроме

того,

линейное

расширение

fw

задается

соотношением

f w (v )[t ] = g w (v )[t , t ] для всех v ∈U ⊗ U . 2.2.3. Билинейные окрестностные системы В данном разделе намечено распространение изложенного выше подхода

34

на более общие классы окрестностных систем. Напомним кратко определение окрестности, приведенное в п. 1.1 и в [10, 20]. Рассматривается конечное или счётное множество A элементов a ,b,K и случайное поле на A (система случайных величин {x[a ], a ∈ A} ), называемое O марковским, если для каждого a ∈ A существует конечное множество O(a ) ⊂ A такое, что P ( x[a ] / x[ A \ a ]) = P ( x[a ] / x[O(a )]) зависит лишь от x[a ] и x[b] при b∈ O (a ) ; O[a ] называется окрестностью элемента a , O[a ] = O (a ) U {a} – расширенной окрестностью. В [10, 20] отмечено, что системы, заданные на таких множествах, являются существенно нестационарными. С учётом предположений, сделанных в предыдущем разделе, рассмотрим

L2cns (u )

-

множество,

нестационарных

состоящее

отображений

из

всех

f :U × U → U ;

билинейных каждый

каузальных

элемент

L2cns (u )

рассматривается как отображение отклика некоторой билинейной каузальной нестационарной одноаргументной окрестностной системы. Пусть V+ − K -линейное пространство функций v : Z × Z × Z → K таких, что v[a,α , β ] = 0 при некоторых a ,α , β . С учётом предположений и по аналогии с

предыдущим

разделом

устанавливается

следующее

представление

нестационарных (неоднородных) билинейных окрестностных отображений: для каждого

f ∈ L2cns (u ) существует единственный элемент w ∈V+ ,

называемый ядром отображения f , такой, что для любых u1, u 2 ∈U

f (u1, u2 )[a ] =

∑

∑ w[a,α , β ]u1[α ]u2 [ β ] .

Наоборот, каждое ядро

f w ∈ L2cns (u ) ,

(2.14)

α1∈Ou1 [a ] β ∈Ou2 [ a ]

задаваемое

w ∈V+

формулой

определяет некоторое отображение (2.14).

С

использованием

понятия

тензорного произведения функций каждый элемент из L2cns (u ) может быть расширен до линейного отображения.

35

Пусть V – K -линейное пространство, состоящее из всех K - значных функций v , заданных на Z × Z , и таких, что v[a, b] = 0 при некоторых a, b ∈ A . Для

заданных

u1, u 2

тензорное

произведение,

обозначенное

u1 ⊗ u 2 ,

определяется как элемент из V : (u1 ⊗ u 2 )[a, b] = u1[a ]u 2 [b ].

(2.15)

Тензорное произведение сигналов определяет сепарабельный сигнал, зависящий от двух переменных; тензорное произведение пространства U на себя, обозначаемое U ⊗ U , есть линейное подпространство V , порождённое всеми элементами вида u1 ⊗ u 2 . Любой элемент v ∈U ⊗ U может быть записан в форме r

v = ∑ u i ⊗ γ i для некоторых ui ,γ i ∈U . i =1

Теперь любое нестационарное билинейное отображение

f ∈ L2cns (u )

может быть расширено до линейного отображения f :U ⊗ U → U , задаваемого по формуле  r  r f  ∑ ui ⊗ γ i  = ∑ f (ui , γ i ), ui , γ i ∈U .  i =1  i =1

(2.16)

Из представления (2.14) следует представление нового отображения f :

f w (v )[a] =

∑ w[a,α , β ]v[α , β ] ,

∑

(2.17)

α∈Ou1 [ a ] β ∈Ou2 [ a ]

где v -произвольный элемент из U ⊗ U . Отсюда отображение

следует,

что

билинейное

или

его

линейное

fw

неоднородное расширение

fw

окрестностное могут

быть

проинтерпретированы в терминах отклика линейных двухаргументных систем. По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим общее представление линейных двухаргументных отображений. Пусть g :V → V – K -линейное отображение; так как v задано на Z × Z , то g - линейное двухаргументное отображение. Отображение g :V → V каузально, если из v[a, b] = 0 для некоторых элементов a, b следует g (v)[a , b] = 0

36

для тех же a, b . С обычными операциями множество Lcns (V ) всех линейных каузальных неоднородных отображений g :V → V является K – линейным пространством. Каждый элемент g ∈ Lcns (V ) может рассматриваться как отображение отклика некоторой линейной каузальной двухаргументной неоднородной окрестностной системы. ~ Пусть V+ обозначает K -линейное

пространство

функций

v : Z × Z × Z × Z → K таких, что v[a, b,α , β ] = 0 при некоторых a , b,α , β ∈ A . Определим следующее представление двухаргументных отображений:

~ для каждого g ∈ Lcns (V ) существует единственный элемент w∈V+ такой, что для любого v∈V g (v )[a, b] =

∑

∑ w[a,b,α , β ]v[α , β ].

α∈Oui [a ]β ∈Oγ i [a ]

(2.18)

Здесь при отождествлении a и b имеем соответствие размерностей ~ V+ ~ V+ . Из (2.14) и (2.18) следует f w (u1 , u 2 )[a ] = g w (u1 ⊗ u 2 )[a, a ]

(2.19)

для любых u1, u 2 ∈U . Кроме того, линейное расширение f w задаётся соотношением f w (v )[a] = g w (v )[a, a ] для всех v ∈U ⊗ U . 2.2.4. Алгоритм преобразования билинейных m-аргументных окрестностных систем в линейные 2m -аргументные Представляет интерес развитие данной методики на случай билинейных двухаргументных нестационарных систем с последующим преобразованием их в линейные четырёхаргументные неоднородные системы (см. также обобщение [11-18, 20, 80-81]). Система

37 r

∑

∑ wi [a,α1,α 2 ] ui [α1 ,α 2 ] +

i =1α1∈Oui [a ] αr 2 ∈u i [ a ]

+∑

∑ wi [a,α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ] ui [α1 ,α 2 ]γ i [α 3 ,α 4 ] = 0

(2.20)

i=1α1∈Oui [a ], α 2∈Oui [a ] α 3∈Ori [ a ], α 4∈Ori [ a ]

при этом преобразуется в систему r

∑ wi [a ,α1,α 2 ] ui [α1,α 2 ]+ i =1α∈Oui [a ] ∑

r

∑ wi [a,α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ] ui [α1 ,α 2 ] ⊗ γ i [α 3 ,α 4 ] = 0 . i=1α i ∈Ou i [a ], α 2∈Ou i [ a ] α 3∈Ori [ a ], α 4∈Ori [a ]

+∑

(2.21)

Проведём аналогичные рассуждения для билинейных m -аргументных окрестностных систем вида r

∑ wi [a,α1,...,αn ]ui [α1,K,α n ] + i =1α1,...,α n∈Oui [a ] ∑

r

∑ ∑ wi [a,α1,...,α2n ]ui [α1,...,α n ]γ i [α n+1,...,α 2n ] = 0 i =1α1,...,α n∈Oui [ a]α n+1,...,α 2n∈Oγ i [ a]

+∑

Нестационарные представленные

в (2.22),

билинейные расширяются

n -аргументные до

линейных

(2.22) отображения,

2m -аргументных

отображений. Система (2.22) принимает вид r

∑wi[a,α1,K,αn]ui[α1,K,αn]+ i=1α1,K,αn∈Oui [a] ∑

r

+∑

∑ ∑wi[a,α1,K,α2n]ui[α1,Kαn]⊗γi[αn+1,K,α2n]=0 i=1α1,K,αn∈Oui [a]αn+1,K,α2n∈Oγi [a]

(2.23)

2.2.5. Алгоритм преобразования билинейных ni -аргументных окрестностных систем в линейные (n1 + n2 ) -аргументные системы Рассмотрим случай билинейных ni -аргументных окрестностных систем:

38

r

∑

wi[a,α1,K,αn1]ui[α1,K,αn1]+

∑

i=1α1,K,αn1∈Oui [a] r

+∑

∑

wi[a,α1,K,αn1+n2]ui[α1,Kαn1]⋅γi[αn1+1,K,αn1+n2]=0.

∑

i=1α1,K,αn1∈Oui [a]αn1+1,K,αn1+n2∈Oγi [a]

Нестационарные

билинейные

отображения,

ni -аргументные

представленные в (2.24), расширяются до линейных

(2.24)

(n1 + n2 ) -аргументных

отображений. Система (2.24) принимает вид r

∑

wi[a,α1,K,αn1]ui[α1,K,αn1]+

∑

i=1α1,K,αn∈Oui [a] r

+∑

∑

∑

wi[a,α1,K,αn1+n2]ui[α1,Kαn1]⊗γi[αn1+1,K,αn1+n2]=0.

i=1α1,K,αn1∈Oui [a]αn1+1,K,αn1+n2∈Oγi [a]

(2.25)

2.3. Координатные формы билинейных окрестностных систем Для

получения

методики

решения

задачи

параметрической

идентификации билинейной системы, сформулированной в пункте 2.1, рассмотрим следующий прямой подход [20, 87, 92-94]. Предложенную в первой главе билинейную дискретную окрестностную систему вида r

∑

r

∑ wi [a,α ]ui [α ] + ∑

i =1 α∈Oui [a ]

∑ wi [a,α , β ]ui [α ] ⋅ γ i [ β ] = 0 i =1 α∈Ou i [ a ] β ∈O y i [a ]

(2.26)

представим в координатной форме. Так как элементы искомых матрицпараметров

wi [a,α ], wi [a ,α , β ]

линейно относительно

u i , u iγ i

входят в

уравнение (2.26), то «расшивая» уравнения всех узлов системы, переформируем их для получения систем линейных уравнений специальной блочной иерархической структуры относительно искомых величин. Заметим, что линейность относительно сигналов ui , uiγ i представляет собой нелинейное

39

соотношение относительно преобразований ui , γ i . Из сказанного следует, что искомые параметры системы (2.26) можно представить как элементы идентифицируемых матриц wu K [ ai , a j ] , wu iγ i [ a,α , β ] , где  wu k [ai , a j ](1,1) K wu k [ai , a j ](1, m)  . wu k [ai , a j ] =  M M    wu k [ai , a j ](c,1) K wu k [ai , a j ](c, m) Здесь

c

количество

–

преобразования

строк

матрицы,

(

wu k [ai , a j ]∈ R c×mk .

ui [a ] ∈ R ni , γ i [a ] ∈ R mi ,

wui [a,α ] ∈ R c×ni , wγ i [a,α ] ∈ R c×mi ,

(2.27)

двумерные

трехмерные

)

wu iγ i [a,α , β ] = w1ui γ i ...wmi u iγ i ∈ R c×ni ×mi ,

Пусть матрицы матрицы

wu i γ i [a ,α , β ]ui [α ]γ i [ β ]

слагаемое

представляет собой отображение R mi × R ni → R c .

 mi  ∑ wi [a,α , β ]ui [α ]γ i [ β ] = ∑  ∑ wlu iγ i [a,α , β ]γ i [α , l ]ui [β ], α∈Ou i [a ] α∈Ou i [ a ] l =1  β ∈O yi [ a ]

(2.28)

β ∈O yi [ a ]

[a,α , β ] где γ i [α , l ] - l -ая координата преобразования γ i [α ] , а матрица w luiγ i

(

)

является частью матрицы wuiγ i [ a,α , β ] = w1uiγ i ...wmiuiγ i . В координатной форме билинейный член ∑

α∈Oui [a ] β ∈O yi [a]

wuiγ i [a,α , β ]ui [α ]γ i [ β ] =

 mi ni   ∑ ∑ w1 jk u i γ i [a,α , β ]ui [α , j ]γ i [ β , k ] . M = ∑ km=i1 jnM=i1  α∈Oui [a]  w [a,α , β ]u i [α , j ]γ i [ β , k ]  β ∈O yi [a]  ∑ ∑ cjk u i γ i k =1 j =1 

(2.29)

Ясно, что в общем случае индексы преобразований ui ,γ i могут быть также различными, например i1,i2 . Для разработки алгоритмов параметрической идентификации будем считать, что количество строк искомых двумерных матриц wu iγ i [ a,α , β ] равно

40

c . Тогда s -ый слой трехмерной матрицы

wul γ l - двумерная матрица

 wsu l γ l [ai , a j ](1,1) K wsu l γ l [ai , a j ](1, nl )  . wsu l γ l [ a,α , β ] =  M M    wsu l γ l [ai , a j ](c,1) K wsu l γ l [ai , a j ](c, nl ) Параметр

c

строк

(количество

искомых

матриц)

(2.30) определяется

физическим смыслом величин, составляющих, например, входное воздействие и состояние билинейной окрестностной системы. Для векторов в R 2 c = 2 и т.д. Запишем общую билинейную окрестностную систему (1.7) с учетом преобразования билинейных членов wu iγ i uiγ i в виде суммы двумерных матриц: r

∑

r

∑

i =1α∈Oui [ a ]

wu i [a,α ]ui [α ] + ∑

∑

i =1α∈Oui [ a ] β ∈Oγ i [a ]

Расписывая

внутреннюю

  mi  ∑ wlu iγ i [a,α , β ]γ i [α , l ]ui [ β ] = 0 .  l =1

сумму

во

втором

слагаемом,

(2.31)

получим

следующий вид билинейной окрестностной модели с двумерными матрицами: r

∑

∑

i =1α∈Oui [ a ] r

+∑

wui [a,α ]ui [α ] +

∑

i=1α∈Ou i [ a ] β ∈Oγ i [ a ]

[w1u γ [a,α , β ]γ i [α ,1] + ... + wm u γ [a,α , β ]γ i [α , mi ]]ui [β ] = 0 . i i

i i i

(2.32)

Далее r

∑

∑

i =1α∈Oui [ a ] r

+∑

∑

wu i [a ,α , β ]ui [α ] + [ w1u iγ i [a,α , β ]γ i [α ,1]ui [ β ] + ...

i=1α∈Oui [ a ] β ∈Oγ i [ a ]

+ wmji u iγ i [a,α , β ]γ i [α , mi ]ui [ β ]] = 0 . Полагая

в

(2.33)

u1[a] = x[a], u2 [a] = v[a] ,

симметричной модели на билинейный случай:

(2.33) получаем

обобщение

41

∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + α∈O x [ a] β ∈Ov [a ] +

+ +

+

∑

α∈O x [ a]

[w1xx[a,α ,α ]x[α ,1]x[α ] + ... + wm xx [a,α ,α ]x[α , mx ]x[α ]]+ x

∑

β ∈Ov [ a]

[w1vv[a, β , β ]v[β ,1]v[β ] + ... + wm vv[a, β , β ]v[β , mv ]v[β ]]+ v

[w1vx [a,α , β ]v[β ,1]x[α ] + ... + wm vx[a,α , β ]v[β , mv ]x[α ]]+

∑

v

α∈O x [ a] β ∈Ov [a ]

]

∑ [w1xv [a,α , β ]x[α ,1]v[β ] + ... + wm x xv [a,α , β ]x[α , m x ]v[β ] = 0. α∈O x [ a] β ∈Ov [a ] Полагая в (2.33)

u1[a ] = x[a ], u 2 [a ] = v[a ], u3 [a ] = y[a ],

(2.34) где

x, v, y -

состояние, вход, выход системы, получаем обобщение смешанной системы на билинейный случай ∑ w x [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ w y [a,γ ]y[γ ] + α∈Ox [a ] β ∈Ov [ a ] γ ∈O y [a ] + +

+

∑

[w1xx [a,α ,α ]x[α ,1]x[α ]+ ... + wm xx [a,α ,α ]x[α , mx ]x[α ]]+

∑

[w1vv [a, β , β ]v[ β ,1]v[β ] + ... + wm vv [a, β , β ]v[ β , mv ]v[ β ]]+

∑

[w1yy [a,γ ,γ ]y[γ ,1] y[γ ] + ... + wm

α∈O x [ a ]

β ∈Ov [ a ]

γ ∈Oγ [ a ]

x

v

y yy

]

[a, γ , γ ] y[γ , mγ ] y[γ ] +

]

+

∑ [w1vx [a,α , β ]v[β ,1]x[α ] + ... + wmv vx [a,α , β ]v[ β , mv ]x[α ] + α∈O x [ a ] β ∈Ov [a ]

+

∑ [w1xv [a,α , β ]x[α ,1]v[β ] + ... + wm x xv [a,α , β ]x[α , m x ]v[β ] + α∈O x [ a ] β ∈Ov [a

+

]

∑

α∈O x [ a ] γ ∈Oγ [ a ]

[w1yx [a,α ,γ ]y[γ ,1]x[α ] + ... + wm

y yx

]

[a,α , γ ] y[γ , m y ]x[α ] +

42

+

∑

α∈O x [ a ] γ ∈Oγ [ a ]

∑

β ∈Ov [ a ] γ ∈Oγ [a ]

+

[w1xy [a,α ,γ ]x[α ,1] y[γ ] + ... + wm xy [a,α ,γ ]x[α , mx ] y[γ ]]+ x

[w1vy [a, β ,γ ]v[β ,1]y[γ ]] + ...wm vy [a, β ,γ ]v[ β , mv ] y[γ ]] + v

∑

β ∈Ov [a ] γ ∈O y [ a ]

[w1yv [a, β ,γ ]y[γ ,1]v[ β ] + ... + wm

y yv

]

[a, β , γ ] y[γ , m y ]v[ β ] = 0.

(2.35)

Простейшая билинейная окрестностная система для преобразований x, v , содержащая только линейные члены и билинейный член типа xv , имеет вид: ∑ w x [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + α∈Ox [a ] β ∈Ov [a ]

]

∑ [w1vx [a,α , β ]v[ β ,1]x[α ] + ... + wmv vx [a,α , β ]v[ β , mv ]x[α ] +

α∈O x [ a ] β ∈Ov [ a ]

+

∑

α∈O x [ a ] β ∈Ov [a ]

[w1xv [a,α , β ]x[α ,1]v[ β ] + ... + wm xv [a,α , β ]x[α , mx ]v[β ]]= 0 , x

(2.36)

где mui - размерность ui , например, mv - размерность входа, deg ua - степень i узла (число соседей по ui ). Поставим вопрос о количестве неизвестных элементов в общей билинейной модели (2.35), связывающей состояние, управление и выход. Количество неизвестных элементов N

N

N

N

k = cmv ∑ deg v ai + cm x ∑ deg x ai + cm y ∑ deg y ai + cm x2 ∑ deg x ai +

i =1N i =1 N Ni =1 Ni=1 2 2 + cmv ∑ deg v ai + cm y ∑ deg y ai + cm x mv ∑ deg x ai + cmv m x ∑ deg v ai + i =1 N i=1 i =1 i =1 N + cm x m y ∑ deg v ai + cm y m x ∑ deg y ai + i=1 i =1 N N + cmv m y ∑ degv ai + cm y mv ∑ deg y ai . (2.37) i =1 i =1

В модели (2.36) количество неизвестных элементов N

N

N

N

i =1

i =1

i =1

i =1

k = cmv ∑ deg v ai + cm x ∑ deg x ai + cm x mv ∑ deg x ai + cmv m x ∑ deg v ai .

(2.38)

43

В общей модели N

N

N

k = rcmui ∑ degui ai + rcmu2 ∑ degui ai + rcmui mγ i ∑ degui ai + i =1

i x i=1

i =1

N

N

N

i =1

i=1

i=1

+ rcmγ mui ∑ degγ i ai = rc mu ∑ deg u i ai + mu2 ∑ deg ui ai + i  i i N

)

N

+ mu mγ i ∑ degui ai +mγ mui ∑ degui ai . i =1

i

i=1

i

(2.39)

Распишем уравнения системы для всех узлов, что дает N матричных уравнений вида r

[ [

] [

]

[

] [

]]

∑ wu i a s ,α a s ,1 u i α a s ,1 + ...wu i a s ,α a s , deg u i a s u i α a s , deg u i a s +

i =1

r   mi

 + ∑   ∑ wlu iγ i [a s ,α a s ,1, β a s ,1 ]γ i [α a s ,1 , l ]ui [ β a s ,1 ] + ... i=1 l =1 

[

][

] [ ]

 mi  +  ∑ wlu iγ i a s ,α a s ,deg u a s , β a s ,1 γ α a s ,deg u a s , l ui β a s ,1 + i i l =1 

[

][ ] [

]

 mi  ... +  ∑ wlu iγ i a s ,α a s ,1 , β a s ,deg u a s γ α a s , l ui β a s ,deg u a s + i i l =1 

[

][

] [

 mi  ... +  ∑ wlu iγ i a s ,α a s ,deg u a s , β a s ,deg u a s γ α a s ,deg u a s , l ui β a s ,deg u a s i i i i l =1 

] = 0, (2.40) 

где номер узла s = 1, N . Запишем уравнения системы в скалярной форме. Уравнение с номером s для узла a s имеет вид r  ni

[

]

[

]

∑  ∑ wu i as ,α a s ,1 (s, k )ui α a s ,1 , k + i=1 k =1

[

]

[

]

ni  ... + ∑ wu i a s ,α a s ,deg u a s (s, k )ui α a s ,deg u a s , k  + i i k =1 

44 r  mi  ni

[

]

[

][

]

 + ∑  ∑  ∑ wluiγ i a s ,α a s ,1, β a s ,1 (s, k )γ i α a s ,1, l ui β a s ,1, k  + i=1l =1k =1  mi  ni

[

mi  ni

[

]

[

][

]

 ... + ∑  ∑ wluiγ i as ,α a s ,deg u a s β a s ,1 (s, k )γ i α a s ,deg u a s , l ui β a s ,1, k  + i i l =1 k =1 

]

][

[

]

 ... + ∑  ∑ wluiγ i a s ,α a s ,1, β a s ,degu a s (s, k )γ i α a s ,1, l ui β a s ,deg u a s  + K + i i l =1k =1 

[

]

[

][

(2.41)

]

 ∑  ∑ wluiγ i a s ,α a s ,deg u a s , β a s ,deg u a s (s, k )γ i α a s ,deg u a s , l ui β a s ,deg u a s   = 0. i i i i l =1k =1   mi  ni

Для узлов s = 1, N . Полагая для случая r = 3, u1[a ] = x[a ], u 2 [a ] = v[a ], u3 [a ] = y[a ] , получим координатную форму билинейной модели для состояния, управления, выхода. Скалярное уравнение (представленное некоторыми слагаемыми) с номером s для узла a s имеет вид:

[

nx

]

[

]

∑ wx as ,α as ,1 (s, k )x α as ,1, k + ...

k =1

nx

[

]

[

]

+ ∑ wx as ,α as ,deg x as (s, k )x α a s ,deg x as , k + k =1 nv

[

]

[

]

+ ∑ wv as , β as ,1 (s, k )v β as ,1, k + k =1

nv

[

]

[

]

+ ... ∑ wv as , β a s ,deg v as (s, k )v β as ,deg v as , k + k =1

ny

[

]

[

]

+ ∑ w y as ,γ a s ,1 (s, k ) y γ as ,1, k + k =1

ny

[

]

[

[

]

[

]

... + ∑ w y as ,γ a s ,deg y as (s, k ) y γ a s ,deg y as , k + k =1

nx

][

]

+ ∑ w1xx a s ,α a s ,1 ,α a s ,1 (s, k )x α a s ,1 ,1 x α a s ,1 , k + k =1

45

[

nx

]

[

][

]

.. + ∑ wm x xx a s ,α a s ,1 ,α a s ,1 (s, k )x α a s ,1 , m x x α a s ,1 , k + k =1

[

nx

]

[

]

... + ∑ w1xx as ,α as ,deg x as ,α as ,deg x a s (s, k )x α as ,deg x as ,1 ⋅ k =1

[

]

[

nx

]

⋅ x α a s ,deg x as , k + ... + ∑ wmx xx as ,α as ,deg x as ,α as ,deg x as (s, k )⋅

[

k =1

][

]

[

nv

]

[

]

⋅ x α a s ,deg x a s , m x x α a s ,deg x a s , k + ∑ w1vv a s , β a s ,1 , β a s ,1 (s, k ) ⋅ v β a s ,1 ,1 k =1

[

nv

]

⋅ v[ β a s ,1, k ] + ... + ∑ wmv vv a s , β a s ,1 , β a s ,1 (s, k )v[ β a s ,1 , mv ]v[ β a s ,1 , k ] + K k =1

[

my

]

][

[

]

+ ∑ w1xy as ,α as ,1,γ as ,deg y as (s, k )x α as ,1,1 y γ as ,deg y as , k + k =1

[

my

]

][

[

]

... + ∑ wm x xy a s ,α a s ,1 , γ a s ,deg y a s (s, k )x α a s ,1, m x y γ a s ,deg y a s , k + k =1

[

my

]

... + ∑ wmv vy a s , β a s ,deg y a s , γ a s ,deg y a s (s, k ) ⋅ k =1

[

]

v[ β as ,deg y as , mv ] y γ a s ,deg y as , k = 0 .

(2.42)

Оставляя в (2.42) члены, связанные только с x, v, x 2 , v 2 , xv, vx , получим билинейную модель, обобщающую симметричную

(

)

Φ x, v, x 2 , v 2 , xv, vx = 0 nx

[

]

[

]

∑ wx a s ,α a s ,1 (s, k )x α a s ,1 , k + ...

k =1

nx

[

]

[

]

+ ∑ wx a s ,α a s ,deg x a s (s, k )x α a s ,deg x a s , k + K k =1 nx

[

]

[

][

]

+ ∑ w1xx a s ,α a s ,1 ,α a s ,1 (s, k )x α a s ,1 ,1 x α a s ,1 , k + K k =1 mv

[

]

+ ∑ wm x xv a s ,α a s ,deg x a s , β a s ,deg v a s (s, k ) ⋅ k =1

[

][

]

x α a s ,deg x a s , m x v β a s ,deg v a s , k = 0 .

(2.43)

46

Отсюда, легко получить простейшую билинейную модель

Φ(x, v, xv ) = 0 в скалярной форме:

[

nx

]

[

]

∑ wx as ,α as ,1 (s, k )x α as ,1, k + ...

k =1

nx

[

]

[

]

+ ∑ wx as ,α as ,deg x as (s, k )x α as ,deg x as , k + k =1 nv

[

]

[

]

+ ∑ wv as , β as ,1 (s, k )v β as ,1, k + k =1

nv

[

]

[

]

+ ... ∑ wv as , β as ,deg v as (s, k )v β as ,deg v as , k + k =1

mx

[

]

[

][

]

+ ∑ w1vx a s ,α a s ,1 , β a s ,1 (s, k )v β a s ,1 ,1 x α a s ,1, k + K k =1 mx

[

]

+ ∑ wmv vx a s ,α a s ,deg x a s , β a s ,deg v a s (s, k )⋅ k =1

[

][

]

v β a s ,deg v a s , mv x α a s ,deg x a s , k = 0 .

(2.44)

2.4. Разработка алгоритмов параметрической идентификации билинейных систем Билинейную окрестностную систему

∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ ∑ [ w1xv [a,α , β ]v[ β ,1]x[α ] + K α∈O x[ a ] β ∈Ov[ a ] α∈O x [a ] β ∈Ov [ a ] + wmxv [a,α , β ]v[ β , m]x[α ]] = 0 , где m -размерность вектора v , можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно элементов системных матриц wx [a,α ], wx [a,α ], wv [a,α , β ] вида [87, 93]

AW = 0 .

(2.45)

Матрица A имеет вид

A = [ Awx [a s ] Awv [a s ] Awxx [a s ] Awvv [a s ] Awxv [a s ]] , где s = 1, N , или

(2.46)

47

 Awx [a1 ]  A [a ] A =  wx 2   Aw x [a N ]

Awv [a1 ] Awxx [a1 ] Awvv [a1 ] Awxv [a1 ]  Awv [a2 ] Awxx [a2 ] Awvv [a2 ] Awxv [a 2 ]  M  Awv [a N ] Awxx [a N ] Awvv [a N ] Awxv [a N ]

(2.47)

Порядок матрицы A N

N

N

i =1

i =1

i =1

cN × [c (n ∑iN=1 deg x ai + m ∑iN=1deg v ai + n 2 c ∑ deg 2x ai + m 2 c ∑ deg v2 ai + nc ∑ deg x ai deg v ai ] .

Пусть

0 axi ∈ R c×cndeg xai ,

0 vai ∈ R c×cmdegv ai ,

2 2 0 axxi ∈ R c×cn deg x ai ,

c×cm 2 deg v2 ai , 0 vv 0 axvi ∈ R c×cnmdeg x aidegvai ––нулевые матрицы. Тогда блоки ai ∈ R

матрицы A , соответствующие неизвестным элементам матриц wx в узле a s , принимают вид A wx [a s] = [0 ax K0 ax A wx [a s ,α a s,1]K A wx [a s ,α a s,deg xa s] 0 ax K 0 ax ] . 1 s −1 s +1 N

(2.48)

Блоки матрицы A , соответствующие неизвестным элементам матриц wv в узле a s , принимают вид A wv [a s ] = [0 va K 0 va A wv [a s , β a s,1]K A wv [a s , β a s,deg a s ] 0 va K 0 va N ] . 1 s −1 v s +1

(2.49)

Блоки матрицы A , соответствующие неизвестным элементам матриц wxv в узле a1 , принимают вид A wxv [a1] = [ A wxv [a1,α a1,1 , β a1,1]K K A wxv [a1,α a1,deg a1 , β a ,deg a ] 0 axv K 0 axv ]. x 1 2 N v 1

(2.50)

Для произвольного узла a s имеем

A wxv [a s] = [0 axv1 K 0 axvs−1 A wxv [a s ,α a s,1 , β a s,1] K K A wxv [a s ,α a ,deg a , β a ,deg a ] 0 axv K0 axv ] . s x s N s +1 s v s

(2.51)

Аналогично для узла a N : A wxv [a N ] = [0 axv1 K 0 axv

N −1

A wxv [a N ,α a N ,1 , β a N ,1 ]K

K A wxv [a N ,α a ,deg a , β a ,deg a ]] . N x N N v N В свою очередь, указанные блоки матрицы

(2.52) A , соответствующие

48

элементам матриц wx в узле a j , состоят из блоков. Эти блоки являются коэффициентами в уравнении (2.45) при элементах матрицы параметров

wx [ a j , k ]  xT [ k ] 0 n 0 n 0 n K 0 n 0 n   T  0 n x [k ] 0 n 0 n K 0 n 0 n A wx [a j , k ] =  0 n 0 n xT [ k ] 0 n K 0 n 0 n  .  M  K M   0n 0 n 0 n K xT [k ] 0 n   0 n

(2.53)

Размерность блоков следующая:

A w x [a j , k ]∈ R c×cn , j = 1, N , k = {α a j,1,K,α a j,deg xak}. Следующие блоки являются коэффициентами в уравнении (2.45) при элементах матрицы параметров wv [a j , k ] v T [ k ] 0 m 0 m 0 m K 0 m 0 m    T [k ] K v 0 0 0 0 0 m m m m m   A wv [a j , k ] =  0 m 0 m vT [k ] 0 m K 0 m 0 m  .  M  K M    0 m 0 m 0 m 0 m K vT [k ] 0 m 

(2.54)

Размерность блоков следующая: A wv [a j , k ]∈ R c×cm , j = 1, N , k = {β a j,1,K, β a j,deg ak} . v Следующие блоки являются коэффициентами в уравнении (2.45) при неизвестных

элементах

двумерных

матриц

w pxv [a j , k , β ] ,

являющихся

плоскими срезами трехмерных матриц Wxv [a,α , β ] : v[ β a ,l , p ] xT [k ] K 0n 0n 0 n j   T [k ] K v [ β , p ]  0n x 0n 0 n a j ,l A w pxv [a j , k , p ] =   , (2.55) M M   T K v[ β a j ,l , p ] x [k ] 0 n   0n 0n   где размерность блоков Aw pxv ∈ R c×cnm , j = 1, N , k = {α a j,1,K,α a j,deg a }, l = {β a ,1,K, β a ,deg }, x k j j va k

49

p = 1, m . Далее Awsxx ∈ R c×cn 2 , Awsvv ∈ R c×cm 2 . Вектор

неизвестных,

составленный

из

элементов

матриц

wx , wv , wxv [a,α , β ] , имеет вид w x [a1 ,α a1,1 ]  M  w [a ,α ]  x 1 a1,deg x a1 M   wv [a N ,α a N ,1 ]  M  wv [a N ,α a ,deg a ] N v N   w1xx [a1 ,α a1,1 ,α a1,1 ] M W =  wnxx [a N ,α a N ,deg x a N ,α a N ,deg x a N ]  M  w [a , β , ] β  1vv 1 a1,1 a1,1 M  [ , w a β  mvv N a N ,deg v a N , β a N ,deg v a N ]  M  w [a ,α , β 1xv 1 a1,1 a1,1 ]  M  [ , w a α mxv N aN ,deg x a N , β a N ,deg v a N ] 

                     

(2.56)

Размер матрицы W c[n ∑ iN=1deg x ai + m ∑ iN=1deg v a i + n 2 ∑ iN=1deg 2 x ai +m 2 ∑ iN=1 deg 2 v ai + + nm∑ iN=1 ∑ Nj=1deg x ai deg v a j ] . Блоки вектора W имеют приведенную ниже структуру. Блок, связанный с неизвестными элементами матриц wx [a,α ] , имеет вид  w x [a i ,α ai, j ](1,1)    M  w [a ,α ](1, n)   x i a i, j  cn w x [ ai , α a i , j ] =  M  ∈ R , i = 1, N , j = 1, deg x a i .  wx [a i ,α ai, j ](c,1)    M  wx [a i ,α ai, j ](c, n)   Блок,

связанный

с

неизвестными

элементами

матриц

(2.57)

wv [a, β ] ,

50

следующий:  wv [a i , β ai, j ](1,1)    M  w [ , β ](1, m)   v a i ai , j  cm i = 1, N , j = 1, deg v a i . wv [a i , β ai, j ] =  M ∈R ,  wv [a i , β ai, j ](c,1)    M  w [ , β ](c, m)  v a i ai , j 

(2.58)

Блок, связанный с неизвестными элементами матриц w pxx [a,α , β ] , следующий:  wxx [ai ,α ai , j ,α ai , p ](1,1)    M  w [ a ,α ,α ai , p ](1, n)  , xx i a j i   cn w pxx [ai ,α ai , j ,α ai , p ] =  M ∈R ,  wxx [ai ,α ai , j ,α ai , p ](c,1)    M  wxx [ai ,α a , j ,α a , p ](c, n) i i  

(2.59)

i = 1, N , j = 1, deg x a i , p = 1, n . Блок, связанный с неизвестными элементами матриц w pvv [a,α , β ] , следующий:  wvv [ai , β ai , j , β ai , p ](1,1)    M  w [a , β , β ai , p ](1, m)  vv i a , j i   cm w pvv [ai , β ai , j , β ai , p ] =  M ∈R ,  wvv [ai , β ai , j , β ai , p ](c,1)    M wvv [ai , β a , j , β a , p ](c, m) i i  

(2.60)

i = 1, N , j = 1, deg v a i , p = 1, m . Блок, связанный с неизвестными элементами матриц w pxv [a,α , β ] , следующий:

51

 w xv [a i ,α ai , j , β ai , p ](1,1)    M  w [a ,α ,β ](1, n )   xv i ai , j ai , p  cm w pxv [a i ,α ai , j , β ai , p ] =  M ∈R ,  w xv [a i ,α ai , j , β ai , p ](c,1)    M w xv [a i ,α a , j , β a , p ](c, n)   i i

(2.61)

i = 1, N , j = 1, deg x ai , p = 1, m . Для получения нетривиального решения системы (2.45) экспертам следует задать часть элементов матриц (2.45), т.е. решить задачу смешанной идентификации билинейной системы.

{

[

]

w w Пусть заданы N wx элементов матриц wx ad i , a f i  rowi x , coli x  , где  

} {

}

d i = d1 ,..., d N w , f i = f1 ,..., f N w - множества номеров узлов с заданными x x элементами матриц wx

wx , rowi

w w w w w = row1 x ,..., rowN x  , coli x =  col1 x ,..., col N x  - множества wx  wx   

номеров строк и столбцов заданных элементов в матрицах wx .

{

[

]

w w Пусть заданы N wv элементов матриц wv aei , a g i  rowi v , coli v 

} {

ei = e1 ,..., e N w , g i = g1 ,..., g N w v v wv

элементами матриц wv , rowi

}-

 , где 

множества номеров узлов с заданными

= row1 v ,..., rowNv wv  w

w

 , col wv =  col wv ,..., col wv   1  i N wv   

- множества номеров строк и столбцов заданных элементов в матрицах wv . Заданы

[

N wxx

]

w pxx

w pxx ak i , ali , ahi (rowi

матриц w xx [a,α , β ] , где

{

неизвестных w pxx

, coli

} {

элементов

двумерных

матриц

), являющихся плоскими срезами трехмерных

} {

}

ki = k1 ,..., k N w , li = l1 ,..., l N w , hi = h1,..., hN w - множества номеров xx xx xx узлов с заданными элементами матриц w pxx ,

52 w pxx

rowi

w w w w    w  = row1 pxx ,..., rowN pxx , coli pxx =  col1 pxx ,..., col N pxx  - множества wxx  wxx   

номеров строк и столбцов заданных элементов в матрицах w pxx . Заданы

неизвестных

N wvv

[

]

w pvv

w pvv ari , a ni , at i (rowi

w pvv

{

vv

}, n = {n ,...,n i

1

двумерных

матриц

), являющихся плоскими срезами трехмерных

, coli

матриц wvv [a,α , β ] , где ri = r1 ,..., rN w

элементов

} {

N wvv , ti = t1 ,..., t N wvv

} - множества номеров

узлов с заданными элементами матриц w pvv , w pvv

rowi

w w w w    w  = row1 pvv ,..., row N pvv , coli pvv =  col1 pvv ,..., col N pvv  - множества wvv  wvv   

номеров строк и столбцов заданных элементов в матрицах wvv . Заданы

неизвестных

N wxv

[

]

w pvv

w pxv a zi , aui , ali (rowi

w pvv

, coli

матриц wvv [a,α , β ] , где

{

zi = z1 ,..., z N w

xv

1

двумерных

матриц

), являющихся плоскими срезами трехмерных

}, u = {u ,...,u i

элементов

} {

N w xv , li = l1,..., l N w xv

} - множества номеров

узлов с заданными элементами матриц w pxv , w pxv

rowi

= row1 

w pxv

w w w w ,..., rowN pxv , coli pxv =  col1 pxv ,..., col N pxv  - множества wxv  wxv  

номеров строк и столбцов заданных элементов в матрицах w pxv . Необходимое

число

задаваемых

N wx + N wv + N wxx + N wvv + N wxv = c ⋅ N .

ненулевых

элементов

матриц (2.62)

При этом желательно, чтобы произведения задаваемых элементов матриц на соответствующие компоненты сигналов были ненулевыми. Это гарантирует, что в правой части преобразованного уравнения (2.45) не будет нулевых элементов и уравнение (2.45) примет вид

AW = B .

(2.63)

Тогда число неизвестных уменьшится и составит следующую величину:

53

c[n ∑ iN=1deg x ai + m ∑ iN=1deg v a i + n 2 ∑ iN=1deg 2 x ai +m 2 ∑ iN=1 deg 2 v ai + + nm∑ iN=1 ∑ Nj=1 deg x ai deg v a j ] − ( N wx + N wv + N wxx + N wvv + N wxv ) .

(2.64)

В формулах (2.46)–(2.55) произойдут следующие изменения: в блоках A wx [a j , k ] , вычисляемых по формуле (2.53), вырезаются wx [ , столбцы с индексами rowiwx ⋅ n + col iwx ; пусть их всего N cut a d i α d i, j ] ;

в блоках A wv [a j , k ] , вычисляемых по формуле (2.54), вырезаются wv Ω столбцы с индексами rowΩ i ⋅ m + col i ; пусть их всего N cut [ a ei , β ei, j ] ;

в блоках A w pxx [a j , k , p ] , вычисляемых по формуле (2.55), вырезаются w pxx [ , β столбцы с индексами rowiw pxx ⋅ n + col iw pxx ; пусть их всего N cut a k i k i, j ] ;

в блоках A w pvv [a j , k , p ] , вычисляемых по формуле (2.55), вырезаются w pvv [ , β столбцы с индексами rowiw pvv ⋅ n + col iw pvv ; пусть их всего N cut a r i r i, j ] ;

в блоках A w pxv [a j , k , p ] , вычисляемых по формуле (2.55), вырезаются w pxv [ , β столбцы с индексами rowiw pxv ⋅ n + col iw pxv ; пусть их всего N cut a z i z i, j ] ; xv изменится число столбцов у нулевых матриц 0axd , 0vae , 0 axxk , 0 vv ar i , 0 a zi i i i

на

(уменьшится

wx x ai ∑ deg j =1 N cut[ a d i ,α d i, j ] ,

w pxx xai ∑ deg j =1 mN cut [ a k i , β k i, j ] ,

w pvv vai ∑ deg j =1 mN cut [ a r i , β r i, j ] ,

2

xai ∑ deg j =1

deg ai v mN w pxv [ a

cut

z i , β z i, j ]

wv vai ∑ deg j =1 N cut[ a ei , β ei, j ] , 2

соответственно).

В векторе свободных членов СЛАУ B ∈ R cN ×1 ненулевой элемент, равный

wx [a d , a f ](row, col ) ⋅ x[a f , col] , появится в строке с номером c ⋅ (a d − 1) + row . Элемент

этого

вектора,

соответствующий

wx [a d i , a f i ](rowiwx , col iwx ) матрицы wx , примет вид b[c ⋅ ( a d i −1) + rowiw x ] =

заданному

элементу

54

= b[c ⋅ (a d i − 1) + rowiwx ] − wx [a d i , a f i](rowiwx , col iw x ) ⋅ x[a f i , col iwx ] . Элемент

вектора

B,

соответствующий

заданному

элементу

wv [a ei , a g i ](rowiwv , col iwv ) матрицы wv , примет вид b[c ⋅ ( a ei −1) + rowiwv ] =

= b[c ⋅ (a ei − 1) + rowiwv ] − wv [a ei , a g i]( rowiwv , col iwv ) ⋅ v[a ei , col iwv ] . Элемент

вектора

B,

соответствующий

заданному

элементу

w pxx [a k i , a li , a hi ](rowiw pxx , col iw pxx ) матрицы w pxx , примет вид b[c ⋅ ( a k i −1) + rowiw pxx ] = b[c ⋅ ( a k i −1) + rowiw pxx ] −

− w pxx [a k i , a li , a hi ](rowiw pxx , col iw pxx ) ⋅ x[a k i , col iw pxx ] ⋅ v[a a k ,ah , p ] . i

Элемент

вектора

B,

соответствующий

i

заданному

элементу

w pvv [a ri , a ni , a ti ](rowiw pvv , col iw pvv ) матрицы w pvv , примет вид b[c ⋅ ( a r i −1) + rowiw pvv ] = b[c ⋅ ( a r i −1) + rowiw pvv ] −

− w pvv [a r i , a ni , a ti ](rowiw pvv , col iw pnn ) ⋅ v[a ri , col iw pvv ] ⋅ x[a ar ,a n , p ] . i

Элемент

вектора

B,

соответствующий

i

заданному

элементу

w pxv [a zi , a ui , a pi ](rowiw pxv , col iw pxv ) матрицы w pxv , примет вид b[c ⋅ ( a z i − 1) + rowiw pxv ] = b[c ⋅ ( a z i −1) + rowiw pxv ] −

− w pxv [a z i , a u i , a p i ](rowiw pxv , col iw pxv ) ⋅ v[a z i , col iw pxv ] ⋅ x[aa ,a u , p] . zi i СЛАУ может быть решена с использованием псевдообращения. Если A + псевдообратная к A , то

W = A+ B + ( I − A+ A) y ,

(2.65)

где I - единичная матрица, y - вектор с произвольными элементами соответствующей размерности. Проверку выполнения свойства параметрической идентифицируемости можно осуществить в терминах псевдообратных матриц. Очевидно, что билинейная окрестностная система строго идентифицируема тогда и только

55 Начало Ввод исходных данных: v, x, известных элементов матриц k=0

k<=N

Формирование

Aw x [a k ], Awv [ak ], Aw xv [a k ] Формирование А, W

Формирование вектора В Формирование

матриц

W x ,Wv ,W xv

из результата пред. шага Решение полученной СЛАУ AW = B Вывод W x ,Wv ,W xv Конец

Рис. 2.1. Схема алгоритма параметрической идентификации билинейных окрестностных моделей тогда, когда преобразованная описанным выше образом система уравнений относительно неизвестных элементов матриц (2.63) совместна. Критерий параметрической идентифицируемости отсюда принимает вид

[Aw

x

][

A wv A wxx A wvv A wxv ⋅ A w x A wv A w xx Awvv A w xv

где

A wx , A wv , A wxx , A wvv , A wxv

 bwx   bwx  b  b  wv   wv  + b ⋅  wxx  = bwxx  , bw  bw   vv   vv  bwxv  bwxv 

]

(2.66)

– блоки матрицы коэффициентов,

соответствующие векторам, составленным из неизвестных элементов матриц w x , wv , wxx , wvv , wxv соответственно; bwx , bwv , bwxx , bwvv , bwxv – блоки вектора

56

свободных членов системы (2.63), соответствующие коэффициентам, стоящим при неизвестных элементах матриц w x , wv , wxx , wvv , wxv . Если критерий (2.66) не выполняется, то решение уравнения (2.63) соответствует минимуму невязки между его левой и правой частью. Схема алгоритма

параметрической

идентификации

билинейных

окрестностных

моделей представлена на рис. 2.1. 2.5. Разработка адаптивных алгоритмов идентификации билинейных окрестностных систем Представляет

интерес

изучение

динамики,

адаптации

и

оценки

параметров окрестностных систем [34, 39]. Для оценки параметров билинейных окрестностных систем необходимо от представления, предложенного в главе 1, перейти к динамическому представлению относительно выхода системы. Простейшая билинейная окрестностная система (1.7) для преобразований x, v , содержащая только линейные члены и билинейный член типа xv , имеет вид ∑ wx [a ,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ wxv [a,α , β ]x[α ]v[ β ] = 0 α∈Ox [ a ] β ∈Ov [ a ] α∈Ox [ a ] β ∈Ov [a ] . Зафиксируем некоторое µ ∈ A, µ ∈O x . Найдем для данного значения аргумента вектор x[µ ] из (1.7). Для этого (1.7) умножим слева на wTx [a, µ ] : wTx [a, µ ] w x [a,α~ ]x[α~ ] + ∑ ~ α~∈Ox , µ∈Ox + ∑ wTx [a, µ ] wv [a , β ]v[ β ] + ∑ w Tx [a, µ ] w xv [a,α~, β ]x[α~]v[ β ] = 0 , β ∈Ov , µ∈Ox α~∈Ox [ a ] β ∈Ov [ a ] wTx [a, µ ] w x [a, µ ]x[ µ ] +

(2.67)

~ где O x = O x \ {µ } . Пусть w[a, µ ] = ( wTx [a, µ ] w x [a, µ ]) + wTx [a, µ ] .Тогда из (2.67) получим

x[ µ ] = −

∑

~ α~∈Ox , µ∈Ox

w[a, µ ] wx [a,α~]x[α~ ] −

57

∑ w[a, µ ]wv [a, β ]v[ β ] −

β ∈Ov , µ∈Ox

∑ w[a, µ ]w xv [a,α~, β ]x[α~ ]v[ β ] .

(2.68)

α~∈Ox [ a ] β ∈Ov [ a ]

Положим def

def

K x [a,α~ ] = w[a, µ ]w x [a,α~] ,

K v [a, β ] = w[a, µ ]wv [a, β ] ,

def

K s [a,α~, β ] = w[a, µ ]w xv [a,α~, β ] .

(2.69)

С учетом (2.69) запишем x[ µ ] = − ∑ K x [a,α ]x[α ] − ∑ K v [a, β ]v[ β ] − α∈O1, x

β ∈Ov

∑ K s [a,α , β ]x[α ]v[ β ] α∈Ox [a ] β ∈Ov [ a ]

(2.70)

где O1, x U {µ} = O x . Уравнение (2.68) можно записать x[ µ ] = − ∑ K x [a,α ]x[α ] − ∑ K v [a , β ]v[ β ] − α∈O1, x

−

β ∈Ov

∑ K s [a,α , β ]s[ x, v,α , β ] , α∈Ox [a ] β ∈Ov [ a ]

(2.71)

где s = s ( x, v,α , β ) — вектор, зависящий от произведения компонентов векторов x, v . В частности, для билинейных окрестностных систем вектор s может иметь вид

s = s ( x, v,α , β ) = x(α )vT ( β )i ,

(2.72)

где i ∈ R n — вектор с целочисленными координатами. В общем случае вектор s в (2.72) можно представить в виде s ( x, v,α , β ) = Ψx(α )vT ( β )i , где Ψ — матрица, определяющая влияние выходов и входов подсистем на x . Для класса нелинейных окрестностных систем структура вектора s зависит от свойств изучаемой системы. Из (2.71) можно получить условия ограниченности решения. Для этого необходимо, чтобы

K x [a,α ] ≤ 1 ∀α ∈O1, x [a] ,

K v [a, β ] < ∞ ∀β ∈ Ov [a] .

K s [a,α , β ] ≤ 1 ∀α ∈ O1, x [a] ∀β ∈ Ov [a]

58

Тогда при v[ β ] < ∞ ∀β ∈ Ov [a] нетрудно получить, что x[µ ] ≤ ∞ . Рассмотрим теперь задачу оценки параметров системы (2.71). Пусть известно множество измерений I = {x[k ], v[k ], k ∈ A} и необходимо оценить матрицы K x [⋅] , K v [⋅] , K s [⋅] в (2.71) . Введем адаптивную модель xˆ[ µ ] = − ∑ Kˆ x [a,α ]xˆ[α ] − ∑ Kˆ v [a, β ]v[ β ] − α∈O1, x

β ∈Ov

∑ Kˆ s [a,α , β ]x[α ]v[ β ] ,

α∈Ox [ a ] β ∈Ov [ a ]

(2.73)

где Kˆ x [a,α ] , Kˆ v [a, β ], Kˆ s [a,α , β ] ∀a,α , β ∈ A — матрицы настраиваемых параметров системы, xˆ[ µ ] — выход модели. Используя изложенный выше подход, основанный на втором методе Ляпунова,

алгоритм

адаптации

матриц

Kˆ x [a,α ] , Kˆ v [a, β ], Kˆ s [a,α , β ]

подберем так, чтобы выполнялось условие ∆V [ µ ] = V [ µ ] − V [ µ − ∆µ ] ≤ 0 ,

(2.74)

где ∆µ ∈ R — шаг изменения аргумента µ ∈ O1, x , ∆µ ∈ O1, x . Для ∆V [µ ] получим ∆V [ µ ] = E T [ µ ](− ∑ Kˆ x [a,α ]xˆ[α ] − ∑ Kˆ v [a, β ]v[ β ] − α∈O1, x

−

β ∈Ov

∑ Kˆ s [a,α , β ]x[α ]v[ β ] − x[ µ ]) − E T [µ − ∆µ ]E[µ − ∆µ ] .

(2.75)

α∈O x [ a ] β ∈Ov [a ]

Так как второе слагаемое в (2.75) всегда неотрицательно, то для обеспечения

условия

Kˆ x [a,α ] , Kˆ v [a, β ], Kˆ s [a,α , β ]

(2.74)

для

достаточно

настройки применить

матриц следующие

адаптивные алгоритмы ∂∆V [ µ ] Kˆ x [a,α , µ ] = Kˆ x [a ,α , µ − ∆µ ] − T x [a ] ; T ˆ ∂K x [⋅]

(2.76)

∂∆V [ µ ] ; Kˆ v [a , β , µ ] = Kˆ v [a , β , µ − ∆µ ] − Tv [a ] ∂Kˆ vT [⋅]

(2.77)

∂∆V [ µ ] Kˆ s [a, β , µ ] = Kˆ s [a, β , µ − ∆µ ] − Ts [a ] , ∂Kˆ sT [⋅]

(2.78)

59

где

Tx [a] ∈ R c×c ,Tv [a] ∈ R c×c ,Ts [a] ∈ R c×c —

определенные

симметрические

матрицы,

некоторые

положительно

обеспечивающие

сходимость

алгоритмов (2.76), (2.77), (2.78). Схема системы адаптивной идентификации представлена на рис. 2.2. Экспериментальная информация

Объект Априорная информация

Алгоритм адаптации

v[µ ] x[µ ] V [µ ]

Модель xˆ[ µ ]

Критерий идентификации

Рис. 2.2. Система адаптивной идентификации Из (2.76), (2.77), (2.78) нетрудно получить следующие адаптивные алгоритмы

Kˆ x [a, µ ] = Kˆ x [a,α , µ − ∆µ ] + T x [a]E[µ − ∆µ ]x T [µ − ∆µ ] ;

(2.79)

Kˆ v [a, µ ] = Kˆ v [a,α , µ − ∆µ ] + Tv [a]E[ µ − ∆µ ]v T [ µ − ∆µ ] ;

(2.80)

Kˆ s [a, µ s ] = Kˆ s [a, µ s − ∆µ s ] + Ts [a]E[ µ s − ∆µ s ]s T [ µ s − ∆µ s ] ,

(2.81)

где ∆ s µ = ∆µ s (∆α , ∆β ) — шаг изменения аргумента на окрестности. Если на систему

идентификации

наложены

ограничения

G s = G s ( x , v, s ) ,

то

соответствующие алгоритмы (2.79), (2.80), (2.81) можно записать в виде

Kˆ x [a, µ ] = Kˆ x [a, µ − ∆µ ] + Tx [a]ϕ E ( E[ µ − ∆µ ])ϕ x ( xT [µ − ∆µ ]) ; Kˆ v [a, µ ] = Kˆ v [a, µ − ∆µ ] + Tv [a]ϕ E ( E[ µ − ∆µ ])ϕ v (vT [ µ − ∆µ ]) ; Kˆ s [a, µ ] = Kˆ s [a, µ s − ∆µ s ] + Ts [a]ϕ E ( E[ µ s − ∆µ s ])ϕ s ( sT [ µ s − ∆µ s ]) , (2.82) где

функции

ϕ E = ϕ E ( E ), ϕ x = ϕ x ( E ), ϕ v = ϕ v ( E ),ϕ s = ϕ s ( E ) ,

ϕ x : R n × Ο1, x → R n , ϕ v : R n × Ο v → R n , ϕ s : R n × Ο s → R n

согласно

получаются на основе множества Gs с учетом обеспечения условия (2.74).

и [38]

60

2.6. Адаптивный алгоритм идентификации нелинейных окрестностных дискретных систем Рассмотрим общий случай [20, 21, 87]. Нелинейная окрестностная смешанная система описывается уравнением

Ô ( g ;{v (α ),α ∈ Ov [ g ]};{x( β ), β ∈ O x [ g ]}; { y (γ ),γ ∈ O y [ g ]}, a) = 0 ,

(2.83)

где g ∈ A = {0,1,K}, Ο v [ g ], Ο x [ g ], Ο y [ g ] - окрестности узла g системы по входу, состоянию, выходу соответственно; α , β , γ ∈ A . В задаче идентификации нелинейной окрестностной смешанной системы задан массив K L наборов «вход-состояние-выход» vu , xu , y u , 1 ≤ u ≤ L во всех вершинах g , включенных в окрестности. Для отыскания вектора параметров a следует решить систему уравнений:

Ô ( g ;{v u (α ),α ∈ Ov [ g ]};{xu ( β ), β ∈O x [ g ]};{ y u (γ ),γ ∈ O y [ g ]}, a) = 0 ,

(2.84)

g ∈G,1 ≤ u ≤ L . Задача может быть решена при помощи итерационного алгоритма нелинейного метода наименьших квадратов, использующего линеаризацию функции Φ по вектору a в окрестности текущей точки a u , что приводит к оценке aˆ(L) вектора параметров a . При поступлении нового набора данных

K L +1 = {(v L +1 (α ),α ∈ Ov ( g ));( x L +1 ( β ), β ∈O x ( g ));( y L +1 (γ ),γ ∈Oγ ( g ))}

(2.85)

пересчет оценки aˆ ( L ) в оценку aˆ ( L +1) = θ (aˆ ( L) , K L +1 ) осуществляется при помощи

рекурретно-итерационной

процедуры

нелинейного

метода

наименьших квадратов, что решает задачу адаптивной идентификации параметров для систем нелинейного (в частности, билинейного) окрестностного класса. Рассмотрим частный случай общей системы (2.66), явную разностную окрестностную нелинейную систему по состоянию (в частности, билинейную) xi +1 = f ( xi , a ) + Nξ i , i = 0,1,K, L ,

(2.86)

где xi ∈ R n , f - матрица известных нелинейных функций (в частности,

61

билинейных), квадратная

f ∈ R n×m , a ∈ R m -

матрица

известных

вектор

неизвестных

коэффициентов,

ξi -

параметров, гаусcов

N-

шум

с

характеристиками M (ξ i ) = 0, M (ξ i ξ Tj ) = Iδ i − j , M -оператор математического ожидания,

δ - дельта – функция Кронекера; T -символ транспонирования. Оценку aˆ ( L +1) = θ (aˆ ( L) , K L +1 ) параметров получаем из нелинейного алгебраического уравнения [20, 21, 87] для окрестностных систем,

(

)

T L  ∂f x , aˆ (L+1)  i  R−1( xi +1 − f ( xi , aˆ( L+1) )) = 0, ∑  ∂ a i=0  

(2.87)

где R = NN T . Для

решения

(2.87)

применяем

(

 L  ∂f ( x ,a j ) T ∂f xi ,a j i  R−1 a j+1 = a j +  ∑  ∂a i=1 ∂a  

(

)

)  

алгоритм

линеаризации

−1

×

T L  ∂f xi , a j   R−1(xi+1 − f (xi , a j )), j = 0,1,2,... × ∑  ∂a  i=0

(2.88)

Алгоритм дает последовательность значений параметров, сходящуюся к решению уравнения (2.87).

62

3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫМИ ОКРЕСТНОСТНЫМИ СИСТЕМАМИ В предыдущей главе разработаны алгоритмы идентификации билинейных окрестностных систем и предложен критерий идентификации. В третьей главе рассмотрим

постановки

задачи

смешанного

управления,

алгоритмы

смешанного, оптимального смешанного и квазиоптимального смешанного управления билинейными окрестностными системами. 3.1. Постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными системами В (1.7) рассматриваются билинейные окрестностные системы r

∑

r

∑ wi [a,α ]u i [α ] + ∑

∑ wi [a ,α , β ]u i [α ] ⋅ γ i [ β ] = 0. i =1 α∈Oui [a ] β ∈Oγ i [ a ]

i =1 α∈Oui [a ]

(3.1)

Здесь Ou i [ a ], Oγ i [ a ] окрестности по ui , γ i элемента a , a ∈ A = {a1 ,..., a N } множество

значений

аргумента

билинейной

окрестностной

системы,

A = N ; ui ,γ i ∈U , wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) - некоторые матрицы. Рассмотрим [20, 21, 87] две различные постановки задачи смешанного управления для билинейных окрестностных систем (3.1). В первой постановке предполагаем, что в системе (3.1) во всех узлах

a∈ A заданы либо векторы входных воздействий, либо векторы состояний. Количество узлов с заданными входами v[ai ],i = 1, l равно l . Количество узлов с заданными состояниями x[ai ],i = 1, f . Имеем l + f = N , N - количество узлов. Необходимо определить

f

неизвестных векторов входа v[ai ],i = 1, f

и l

векторов состояния x[ai ],i = 1,l . Во второй постановке предполагается, что в узлах системы заданы часть координат входа v[ki , kij+ ] и часть координат состояния x[li , lij+ ] . Здесь kij+ j - я

63

известная координата входа в узле i , а lij+ состояния в узле i .

{

j - ая известная координата

}

K ⊂ A, K = {k1 ,..., k l }, k = l , l ⊂ l1 ,...,l f , L = f - множества, содержащие номера узлов системы, в которых заданы часть компонентов входа и состояния системы соответственно;

{

}

{

}

k i+ = k i+ ,..., k i+,l , i = 1, l , j = 1, l i , li ≤ m , L+i = l i+ ,..., li+, f , i = 1, f ; 1 i 1 i

j = 1, f i , f i ≤ n - множества, содержащие номера известных компонент входа и состояния в вершинах ki , li . Во второй постановке требуется определить неизвестные компоненты входа в узлах v[ K i , K ij− ], i = 1, l , j = 1, m − li

из множества K , неизвестные

компоненты состояния в узлах x[li , lij− ], i = 1, f , j = 1, n − f i из множества L , полностью неизвестные векторы входа и состояния в узлах K, L , дополняемых K , L до множества A . 3.2. Алгоритм смешанного управления билинейными окрестностными системами Рассмотрим

краткое

описание

алгоритма

смешанного

управления

билинейными окрестностными системами [21, 87]. Билинейную окрестностную систему ∑ w x [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ ∑[ w1xv [a,α , β ]v[ β ,1]x[α ] + K α∈Ox[ a ] β ∈Ov[ a ] α∈Ox [a ] β ∈Ov [ a ] + wmxv [a,α , β ]v[ β , m]x[α ]] = 0

(3.2)

можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно элементов векторов состояний x , входных воздействий v и их произведений xv вида

CU = 0 . Матрицы C,U имеют вид

(3.3)

64

C = [W x

где

Wv

X  W pxv ] , U =  V  ,  XV 

(3.4)

W x ∈ R cN × Nn , Wv ∈ R cN × Nm , W pxv ∈ R cN × N ( n + m) -блочные

коэффициентов,

составленных

из

матриц

полученных на этапе идентификации,

w x , wv , w xv

матрицы

соответственно,

X ∈ R Nn , V ∈ R Nm , XV ∈ R N ( n+ m ) -

векторы, состоящие из всех компонент векторов состояний x , входных воздействий v и их произведений xv .

C = [W x [a s ] Wv [a s ] W pxv [a s ]] ,

(3.5)

где s = 1, N или C v [a1 ]  C x [a1 ]  C [a ] C v [a 2 ] C= x 2 M  C x [a N ] C v [a N ]

C pxv [a1 ]  C pxv [a 2 ]    C pxv [a N ]

(3.6)

Порядок матрицы C ∈ R cN ×[(m+ n ) N +2 mnN ] . Пусть

0ax i ∈ R c×cn deg x a i , 0vai ∈ R c×cmdeg v ai , 0axvi ∈ Rc×cnmdeg x a i deg v a i

––

нулевые матрицы. Тогда блоки матрицы C , соответствующие неизвестным элементам векторов x[a s ] в узле a s , принимают вид C x [a s ] = [0 ax K0 ax C x [a s ,α a s,1]KC x [a s ,α a s,deg a s ] 0 ax K0 ax ] . x 1 s −1 s +1 N

(3.7)

Блоки матрицы C , соответствующие неизвестным элементам векторов v[a s ] в узле a s , принимают вид C v [a s] = [0 va K0 va C x [a s , β a ,1]KC x [a s , β a ,deg a ] 0 va K0va ] . s s N v s 1 s −1 s +1

(3.8)

Блоки матрицы C , соответствующие неизвестным элементам векторов x[a1 ]v[a1 ] в узле a1 , принимают вид C pxv [a1] = [C pxv [a1,α a1,1 , β a ,1]K 1

KC pxv [a1,α a1,deg a1 , β a ,deg a ]0axv K0axv ]. x 1 2 N v 1

(3.9)

65

Для произвольного узла a s имеем

C pxv [a s ] = [0axv K 0axv 1

s −1

C pxv [a s ,α a s,1 , β a ,1] K s

KC pxv [a s ,α a ,deg a , β a ,deg a ]0axv K0axv ] . s x s N s s +1 v s

(3.10)

Аналогично для узла a N : C pxv [a N ] = [0axvK0axv 1

N −1

C pxv [a N ,α a N ,1 , β a N ,1 ]K

KC pxv [a N ,α a ,deg a , β a ,deg a ]] . N x N N v N

(3.11)

В свою очередь, указанные блоки матрицы C , соответствующие элементам векторов x[a i ] в узле ai , состоят из блоков. Эти блоки являются коэффициентами в уравнении (3.3) при элементах вектора x[a i ]

C x [ai ,α ai , j ] = 0n 0n w x [a i ,α ai ,1 ]  0n w x [a i ,α ai ,2 ] 0 n = M   0n 0n 0n

L 0n 0n  L 0n 0n  , L M  L w x [ai ,α ai ,deg x ai ] 0 n 

(3.12)

i = 1, N , j = 1, deg x ai . Размерность блоков следующая:

C x [ai ,α a , j ]∈ Rcndeg x ai . i Следующие блоки являются коэффициентами в уравнении (3.3) при элементах вектора v[a i ]

Cv [ai , β ai , j ] = 0n 0n  wv [a i , β ai ,1 ]  0n wv [a i , β ai ,2 ] 0 n = M  0n 0n 0n 

L 0n 0n  L 0n 0n  , L M  L wv [a i , β ai ,deg v ai ] 0 n 

i = 1, N , j = 1, degv ai . Размерность блоков следующая

Cv [ai , β a , j ]∈ Rcmdeg v ai . i

(3.13)

66

Следующие блоки являются коэффициентами в уравнении (3.3) при элементах матрицы вектора x[ai ]v[a j ]

C pxv [ai ,α ai , j , β ai , p ] = 0n  w pxv [a i ,α ai ,1 , β ai , p ]  0n w pxv [a i ,α ai ,2 , β ai , p ] = M   0n 0n i = 1, N , j = 1, deg v a i, p = 1, m .

0n  0n    w pxv [a i ,α ai ,degv ai , β ai , p ] 0 n  (3.14) 0n 0n M

Размерность блоков следующая:

C pxv [ai ,α a , j , β ai , p ]∈ Rcmdeg v ai . i В свою очередь, блоки w x [ai ,α ai , j ] имеют вид    w x [a i ,α a i , j ] =   

 w x [ai ,α a i , j ](1,1) L w x [a i ,α a i , j ](1, n)    M M   , j ∈ O x [ ai ] , w x [ai ,α a i , j ](c,1) L w x [ai ,α a i , j ](c, n) 0 ∈ R c×n , j ∉ O x [ ai ] .

(3.15)

Блоки wv [ai ,α ai , j ] имеют вид    wv [a i , β ai , j ] =   

 wv [ai , β ai , j ](1,1) L wv [a i , β ai , j ](1, m)    M M   ](c,1) L wv [a i , β ai , j ](c, m) , j ∈ Ov [a i ] . w [a , β  v i ai , j  c × m 0∈ R , j ∉ Ov [ a i ]

(3.16)

Блоки w pxv [ai ,α ai ,1 , β ai , p ] имеют вид

w pxv [ai ,α ai ,1 , β ai , p ] =  w pxv [a i ,α ai ,1 , β ai , p ](1,1) L w pxv [a i ,α ai ,1 , β ai , p ](1, n)    M M   =  w [a ,α , β ](c,1) L w pxv [a i ,α ai ,1 , β ai , p ](c, n) , j ∈Ov [a i ] pxv i a , 1 a , p  i i   × c n  0∈ R , j ∉ Ov [ a i ]

(3.17)

Вектор неизвестных, составленный из элементов матриц X , V , XV , имеет вид

67

 X [a ]  i U =  V [a j ]  ,  X [ai ]V [a j ]

(3.18)

где i = 1, N , j = 1, N или x[a1 ]     M  x[a N ]    M  v[a ]  1 . U =  v[aM ]  N   M    x[a1 ]v[a1 ]  M    x[a N ]v[a N ]

(3.19)

Размер матрицы U следующий [nN + mN + (n + m) N 2 ] ×1 . Блоки вектора U имеют приведенную ниже структуру. Элемент блока X [ai ] , связанный с неизвестными элементами векторов x[a i ] , имеет вид  x1[a i ]  x[a i ] =  M  , x[ai ]∈ R n .  x n [a i ]  

(3.20)

Элемент блока V [a j ] связанный с неизвестными элементами векторов v[a i ] , следующий:  v1[a j ]  v[a j ] =  M  , v[a j ]∈ R m . v [a ]  m j  Элемент блока

(3.21)

X [ai ]V [a j ] связанный с неизвестными элементами

векторов x[ai ]v[a j ] , следующий:  x1 [a i ]v1[a j ]   , x[a ]v[a ]∈ R m + n . x[a i ]v[a j ] =  M i j  x [a ]v [a ]  N i N j 

(3.22)

Для получения нетривиального решения системы (3.3) экспертам следует

68

задать часть элементов вектора U в системе (3.3), т.е. решить задачу смешанного управления билинейной окрестностной системой. Пусть n - число заданных компонент состояния в задаче смешанного управления; n k - число заданных компонент состояния в задаче смешанного управления в узле k ; α k - номер узла, в котором заданы компоненты вектора состояния; α kl - индекс заданной компоненты состояния в узле a k ; Пусть m - число заданных компонент входа в задаче смешанного управления;

m p - число заданных компонент входа в задаче смешанного управления в узле p ;

β p - номер узла, в котором заданы компоненты вектора входа; β pj - индекс заданной компоненты входа в узле b p . Далее пусть x[α kl ] - значение заданной l -ой компоненты состояния в узле α k ; пусть v[ β pj ] - значение заданной j -ой компоненты входа в узле β p . Для решения задачи смешанного управления при формировании матрицы D следует вырезать элементы столбцов матрицы коэффициентов уравнения (19), соответствующие известным компонентам векторов входов, состояний и их произведений, перенести в правую часть (19) элементы вырезанных столбцов, умноженные на значения соответствующих заданных компонент входов, состояний и их произведений. Тогда вектор D можно представить в виде D = d i , где координаты определяются по следующей формуле: n nk

m mk

k = 0 j =1

p = 0 j =1

d i = − ∑ ∑ C i,n⋅α k +α kj ⋅ x[α kj ] − ∑ ∑ C i,n⋅ N + mβ k + β kj v[ β kj ] − n

m nk m p

− ∑ ∑ ∑ ∑ C i , N ( n +m )+ nm(α k + β p )+ β p n+α kl v[ β pj ]x[α kl ] . k =0 p =0 l =1 j =1

69

Размерность вектора D ∈ R Nn + nm +(n + m ) N 2 . По аналогии с алгоритмом смешанной идентификации, представленным во второй главе, получено уравнение вида

CU = D . Решение

(3.23) системы

(3.23)

ищется

и

исследуется

с

помощью

псевдообращения по аналогии с (2.63) и (2.65):

U = C + D + (I − C + C) y ,

(3.24)

где I - единичная матрица;

y - вектор с произвольными элементами соответствующей размерности. Начало Ввод Wx ,Wv ,W xv , известных v, x k=0

k<=N

Формирование

Ck = [C x [ak ] MCv [ak ]MC pxv[ ak ]]

Формирование C = [C1 K C N ]T Формирование D, U Решение СЛАУ CU = D Формирование векторов v[ak ], x[ak ]

Вывод v, x Конец

Рис 3.1. Схема алгоритма смешанного управления билинейными окрестностными системами Проверку

выполнения

условия

совместности

системы

можно

осуществить в терминах псевдообратных матриц. Билинейная окрестностная система совместна, если выполняется условие

70

CC + D = D .

(3.25)

Если критерий (3.25) не выполняется, то решение уравнения (3.23) соответствует минимуму невязки между его левой и правой частью. При получении неоднозначного решения необходимо набрать такие комбинации векторов x, v , которые обеспечивают минимум невязки левой и правой части (3.23). 3.3. Алгоритм оптимального смешанного управления Для получения оптимального по состоянию и входу смешанного управления может быть использован критерий [20, 39] K = ∑ iN=1x

( xi − xi∗ ) 2 xi∗

+ ∑ Nj=v1

(v j −v ∗j ) 2 v ∗j

,

(3.26)

где xi , v j -неизвестные компоненты состояния и входа;

x*i , i = 1, N x , v*j , j = 1, N v – их номинальные значения. Номинальные значения могут быть заданы экспертами. При введении части переменных модели в критерий алгоритм решения задачи оптимального смешанного управления принимает вид, представленный на рис. 3.2.: Начало Ввод заданных значений v, x , входящих в критерий

Определение v и x по алгоритму случайного спуска

Определение остальных показателей решением задачи смешанного управления Оптимизация по критерию

нет

останов?

Конец

да

Вывод результатов компонентов входа и состояния v, x по узлам

Рис. 3.2. Алгоритм оптимального смешанного управления Данный алгоритм представлен следующими шагами:

71

1. Ввод части заданных значений входов и состояний, входящих в критерий. Количество и перечень заданных компонентов входов и состояний определяется из практических соображений экспертами. 2.

Определение

остальных

показателей

путем

решения

задачи

смешанного управления билинейной окрестностной системой, в результате чего получается точка в многомерном пространстве, координатами которой являются значения состояний и управлений во всех узлах системы. На данном этапе применяется блок решения задачи смешанного управления, описанный выше. При этом формируются матрицы C, D и вектор U для системы CU = D , решение которой определяется по алгоритму

U = C + D + (I − C + C) y .

(3.27)

Практически, в качестве решения берется нормальное решение U =C+D . Найденные

(3.28)

неизвестные

компоненты

состояния

и

управления

подставляются в критерий качества и вычисленное значение критерия сравнивается с вычисленными на предыдущих шагах. Критерием остановки процесса является отсутствие точки, обеспечивающей меньшее значение критерия качества в параллелепипеде ограничений параметров. Если такая точка отсутствует, переходим к выводу результатов - компонентов входа и состояния по узлам модели. В противном случае переходим к следующему шагу. 3. Для выбора следующей точки, в которой задана часть координат состояния

и

управления,

применяем

алгоритм

случайного

спуска

с

ограничениями. Рекуррентная форма записи алгоритма следующая [69]: aξ ïðè ∆K [ N ] ≥ 0, , ∆U [ N + 1] =  ∆U [ N ] ïðè ∆K [ N ]〈 0

(3.29)

где ∆U [ N + 1] - приращение вектора параметров U [N ] , a - величина шага ( ∆U = a ), ξ

- единичный случайный вектор,

∆K [ N ] = K [ N ] − K [ N − 1] -

изменение критерия качества при переходе от точки [N − 1] к точке [N ].

72

Ограничения по параметрам учитываются на основе алгоритма возврата: неудачным шагом считается тот, при котором нарушены ограничения или увеличивается показатель качества (U ∉ S ) ∪ (∆K ≥ 0 ) , где S - ограничения типа неравенств. В этом случае осуществляется возврат в предыдущее состояние ∆U [ N + 1] = −∆U [ N ] , и случайный шаг ∆U [ N + 2] = aξ . При удачном шаге следует вводить случайный шаг ∆U [ N + 1] = aξ . Далее вся процедура повторяется. 3.4. Алгоритм квазиоптимального смешанного управления билинейными окрестностными системами Рассмотрим управления

[39,86] задачу определения билинейными

допустимого смешанного

окрестностными

системами

∑ w x [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ w xv [a ,α , β ]x[α ]v[ β ] = 0 α∈O x [ a ] β ∈Ov [ a ] α∈O x [ a ] β ∈Ov [ a ] ,

(3.30)

где v[a]∈ R m , x[a]∈ R n –– вход и состояние в узле a системы, w x [a,α ]∈ Rc×n ,

wv [a, β ]∈ R c×m , w xv [a,α , β ]∈ Rc×n×m - матрицы–параметры, с – количество строк матриц, O x [a ], O v [a ] – окрестности узла по состоянию и входу; a , α, β ∈ A , A = {a1,K, a N} аргумента системы,

–

конечное

множество

A = N . Заданы p

значений

дискретного

компонентов векторов входных

воздействий v1 и q компонентов векторов состояний x1 . Пусть после компоновки известных и неизвестных компонентов входов и состояний в векторы–столбцы уравнение системы имеет вид

A1 x1 + B1v1+W1 x1v1 + A2 x 2 + B 2 v 2 + W2 x2 v2 = 0

(3.31)

Блочные матрицы A1, A2 , B1, B 2 ,W1 ,W2 , скомпонованы из элементов матриц–параметров w x [ a,α ], wv [ a, β ] , w xv [ a,α , β ] и имеют соответствующую размерность,

а

именно:

A1 , A2 ∈ Rc×n ,

B1 , B 2 ∈ Rc×m ,

W1 ,W2 ∈ Rc×n×m .

73

Необходимо определить mN − p неизвестных компонентов входов v 2 и nN − q состояний

Нормальное

x2 .

решение

для

состояния

во

втором

x 2 = ( A2 + W2 v 2 ) + [−( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + B2 v 2 )] получаем

из

(3.31)

путем

простых

преобразований

узле (3.32)

и

операции

псевдообращения. ЭТАП 1: Задание v1 , x1 в первом узле

ЭТАП 2: Вычисление фиксированного линейной приближения входа v2l окрестностной модели (оптимальное управление для линейной модели при T W1 = W2 = 0 , v 2l = v 2∗ − ( ET A+2 B 2)

(2)

ЭТАП 3: Вычисление состояния x 2 во втором узле – нормального решения системы (1) x 2 = ( A2 + W2 v 2 ) + [−( A1 x1 + B1 x1 + + W1 x1v1 + B2 v 2 )]

(3)

ЭТАП 4: Получение квазиоптимальных компонентов входа v 2 во втором узле для билинейной окрестностной системы v 2 =−( B 2+W2 x 2 ) + ( A1 x1 + B1v1 + + W1 x1v1 + A2 x 2 )

Исходные данные: В первом узле заданы компоненты вектора входных воздействий v1 и компоненты вектора состояний x1 Определить: Во втором узле определим неизвестные компоненты входа v 2 и состояний x 2 .

v 2∗ -экспертная оценка оптимального значения входа во втором узле, E = [ x*2i − x 2l i ], i = 1,K, n вектор допустимой ошибки, т.е. отклонений оптимальных значений от значений, задаваемых экспертами x*2i , i = 1,K, n .

(4)

Рис. 3.3. Схема алгоритма квазиоптимального смешанного управления

74

Далее

определяем

состояние

во

втором

узле

x2

с

помощью

T

фиксированного приближения входа v 2l = v 2∗ − ( ET A2+ B 2) , получаемого из линейного случая [86] при W1 = W2 = 0 с учетом необходимого условия экстремума

∂J / ∂ v 2 = 0

E = [ x*2i − x 2i ], i = 1,K, q -

J = 1/ 2 E T E + 1/ 2 v1T v1 ,

критерия

вектор

допустимой

ошибки,

т.е.

где

отклонений

оптимальных значений от значений, задаваемых экспертами x*2 , i = 1,K, q . При i найденных фиксированных x 2 определяем соответствующие неизвестные квазиоптимальные

компоненты

входа

во

втором

узле

v 2 =−( B 2+W2 x 2 ) + ( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + A2 x 2 ) . 3.5. Пример смешанной идентификации и смешанного управления билинейными окрестностными системами Пусть требуется решить задачу идентификации и смешанного управления билинейной окрестностной системой, состоящей их двух узлов. Пусть заданы окрестности по состоянию и управлению: O x [a1] = {a1 , a 2 } , O x [a 2 ] = {a1 , a 2} , Ov [a1 ] = {a1} , Ov [a 2 ] = {a 2 } . Параметрическая идентификация двумерной билинейной окрестностной системы Уравнение билинейной окрестностной системы имеет следующий вид. Для узла a1 : w x [1,1]x[1] + w x [1,2]x[2] + wv [1,1]v[1] + wv [1,2]v[2] + w xv [1,1,1]x[1]v[1] + + w xv [1,1,2]x[1]v[2] + w xv [1,2,1]x[2]v[1] + w xv [1,2,2]x[2]v[2] = 0 . Для узла a 2 : w x [2,1]x[1] + w x [2,2]x[2] + wv [2,1]v[1] + wv [2,2]v[2] + w xv [2,1,1]x[1]v[1] +

75

+ w xv [2,1,2]x[1]v[2] + w xv [2,2,1]x[2]v[1] + w xv [2,2,2]x[2]v[2] = 0 . ω 0 Пусть в первом уравнении системы w x [1,1] = 10 10 , w x [1,2] =  1  ,    0 1  , w [1,2] = 0 0 , тензоры представлены в виде совокупности wv [1,1] = 10 0 v 1   0 0 прямоугольных матриц, представляющих собой срезы трёхмерной матрицы в количестве,

равном

числу

координат

 1 1   w xv [1,1,1] = 10 10  1   , w xv [1,1,2] = 0 0 0 0  , 0 0 0 0    0 ω11  

вектора

 w xv [1,2,1] = 10 01    

входа: 1 ω 1   0 121   ,  

0 0 0  . w xv [1,2,2] = 0 0 0 0 0  Пусть во втором уравнении системы , w x [2,1] = 10 0  1

w x [2,2] = 10 ω0  ,  4 

wv [2,1] = 00 00 ,  

wv [2,2] = 10 10 ,  

0 0 0  , w [2,1,2] =  1 0 1 0  , w xv [2,1,1] = 0 xv  2 0 0 1  0 0 0 0  2 0 0 0  , w [2,2,2] =  ω 22 w xv [2,2,1] = 0  xv 0 0 0 0   0

0  1 0   .  1  0 1 

В первом уравнении неизвестными являются следующие элементы: ω1 , 1 , ω1 ; во втором уравнении неизвестными являются следующие элементы: ω11 21 2 . ω 4 , ω 22

Пусть заданы состояния и управления в обоих узлах системы:

 , v[1] =  1  , v[2] = − 1 . x[1] = −11 , x[2] = 1   1 − 1  1  Представим билинейную окрестностную систему в следующем виде. Для узла a1 : 1 0  1  + ω 2 0 1 + 1 0  1  + 0 0 − 1 + 1 0 1 1    1   1  + 1   − 1 − 1 0 1 − 1  0 1  1 0 1  − 1 0 0  1  0 1 0 ω11     

76

0   1  − 1 + 1 0 1 ω 121   1  1  +  0 0 0 0  1 − 1 = 0 . +  00 00 0    0 0  − 1  1  0 1 0 1   1 − 1  0 0 0 0  1  1     Для узла a 2 : 1 0  1  + 1 0  1 + 0 0  1  + 1 0 − 1 +  0 0 0 0   1   1  + 0 1 − 1 0 ω 4  1 0 0 − 1 0 1   1   0 0 0 0  − 1 − 1 2 0   1  − 1 +  0 0 0 0   1  1 +  ω 22 +  12 00 1    0 1  − 1  1   0 0 0 0  − 1 1   0 

0 1 0  1 − 1 =0   1 0 1  1  1 

При выполнении операций умножения матриц на векторы получаем суммы следующих векторов. Для узла a1 :  1  + ω 2  +  1  + 0 +  1  −  0  + 0 + 1 + 1 + ω 121  + 0 = 0 . 1  0 1   − 1  1  − 1 0 − 1 − ω11       − 1  0 Для узла a 2 : 2   1  +  1  + 0 + − 1 + 0 +  − 1  − − 1 + 0 + − ω 22 + − 1 = 0 . − 1 ω 4  0  1  0 − 2  1  0  1   1 

Представим данную систему в координатной форме: 1 + ω 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + ω 1 = 0,  − 1 + 1 − 1 − 1 + ω − 1 −21 1 = 0, 11  2  1 + 1 − 1 − 1 + 1 − ω 22 − 1 = 0,  − 1 + ω 4 + 1 − 2 − 1 + 1 + 1 = 0, ω 2 + ω 1 = −5,  ω 21 11 = 4,  2  ω 22 = 0,  ω 4 = 1. ω2  Представим систему в виде AW = B : [1 1]⋅  1  = −5 , имеем, A = [1 1] . ω 21  Определим псевдообратную к матрице A по алгоритму Фаддеева [4]. Так как rankA = 1 , то количество итераций l = 1. Примем Φ1 = I , определим произведение

 ⋅ [1 1] = 1 1 ; AT A = 1 1 1 1

определим

след

данной

матрицы

77

ϕ1 = tr (AT A)=2. Псевдообратная к матрице A определится по формуле A+ =

Φ 1 ⋅ AT ϕ1

1 0 ⋅ 1 1  1  0 1  1 1  2  = . = = 2 2 1  2 

Тогда, в соответствии с методикой параметрической идентификации W = A + B . Имеем, 1 − 5  ω  2     W =  1  = A + B =  2  (−5) =  2  . 1 5 ω 21   2  − 2  1 = 4, ω 2 = 0, ω = 1, ω = − 5 , ω 1 = − 5 . Получили ω11 4 2 21 22 2 2

Результат идентификации билинейной окрестностной системы:    5   5  1 0 x[1] + − 2 0 x[2] + 1 0v[1] + 1 0 1 1 x[1]v[1] + 1 0 1 − 2  x[2]v[1] = 0, 0 1 0 4 0 1 0 1 0 1 0 1   0 1    (3.33)   1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0  0 1 x[1] + 0 1 x[2] + 0 1v[2] + 2 0 0 1 x[1]v[2] + 0 1 0 1 x[2]v[2] = 0.   Смешанное управление двумерной билинейной окрестностной системой Пусть в (3.33) заданы часть координат состояний и управлений.

 ; v[1] =  2  ; x[2] =  x 21  ; v[2] = v 21  . x[1] = 1  − 1   1  1 v12  Требуется определить координаты векторов v12 ; x 21 ; v21 . Подставим указанные выше векторы состояний и управлений в систему (3.33):

78

   5   5  1 01 + − 2 0x21 + 1 0 2  + 1 0 1 11 2  + 1 0 1 − 2x21 2  = 0, 0 11  0 1 −1  0 1v12  0 1 0 41v12  0 1 0 1  −1 v12       1 01 1 0x21 1 0v21 1 0 1 01v21 0 0 1 0x21v21  0 11 + 0 1 −1  + 0 1 1  + 2 0 0 11 1  + 0 1 0 1 −1  1  = 0.            Далее, произведя операции умножения, получим: 5     5  1 + − 2 x21 +  2  +  2  + 2 + v12  +  2x21  + − 2 + 2 v12  = 0, 1  −1  v12  v12   4v12  x21v12   − v12     1 + x21 + v21 +  v21  + v21 +  0  + − v21 = 0.  1  −1   1  2v21  1  x21  −1    Представим данную систему в координатной форме: 1 − 5 x + 2 + 2 + 2 + v + 2 x − 2 + 5 v = 0, 12 21 12  2 21  1 − 1 + v + v + 4v + x v − v 2 = 0, 12 12 12 21 12 12  1 + x + v + v + v + 0 − v  21 21 21 21 21 = 0,  1 − 1 + 1 + 2v 21 + 1 + x 21 − 1 = 0, − x 21 + 7v12 = −10,  5v12 + x 21v12 = 0,  x + 2v = −1, 21  21 2 v + x  21 21 = −1,

− x 21 + 7v12 = −10,  5v + x v = 0,  5v12 + x 21v12 = 0, 7v12 + 2v21 12 21 = −11.  x 21 + 2v 21 = −1,  12

Представим систему в виде CU = D :  v12   v12  5 0 1 0    5 0 1 ⋅  v    = − 11 . Имеем C = 7 2 0 , U =  v 21  , D = −011 . 21 7 2 0           x v   x 21v12   21 12  Определим псевдообратную к матрице C по алгоритму Гревиля [4]. Воспользуемся стандартной процедурой псевдообращения в MATCAD:  0.13072 0.045752 

C + = − 0.45752 0.33987   0.34641 − 0.22876

Тогда, в соответствии с методикой смешанного управления U = C + D . Имеем

79

 v12   0.13072 0.045752  − 0.503272  U =  v 21  = C + D = − 0.45752 0.33987  ⋅ −011 =  − 3.73857  .    2.51636  x v   0.34641 − 0.22876      21 12  Результат смешанного управления билинейной окрестностной системой: v12 = −0.503272 , v 21 = −3.73857 , x 21v12 = 2.51636. Отсюда получим x 21 = −5. Имеем,

окончательно

x[1] = 11 ;  

2 ; v[1] = − 0.503272  

. x[2] = −− 51 ; v[2] = − 3.73857 1     При получении неоднозначного решения необходимо набрать такие комбинации векторов x, v , которые обеспечивают минимум невязки левой и правой части системы (3.33).

80

4. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ЦЕХА ОЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД В

данной

главе

рассмотрены

примеры

некоторых

билинейных

окрестностных систем, применение алгоритмов идентификации и управления этими системами. Приведены примеры построения классических, линейной и билинейной моделей цеха очистки сточных вод и главной его части - аэротенка. Решена задача смешанного управления и оптимального смешанного управления для данных объектов. 4.1. Примеры билинейного моделирования системы из двух узлов Рассмотрим пример получения системы из двух узлов:

x[1]

x[2]

1

2

v[1]

v[2]

Рис.4.1. Окрестностная система из двух узлов На рис.4.1 сплошными линиями представлены связи по состоянию, пунктирными - по входу. Окрестности узлов по состоянию имеют вид O x [1] = {1,2}, O x [2] = {1,2}. Окрестности узлов по входу: Ov [1] = {1,2}, Ov [2] = {2}.

81

Билинейная окрестностная система для двух узлов и для двух сигналов x и v имеет вид

∑ wx [a,α ]x[α ] +

α∈O x [a ]

+

∑ wv [a, β ]v[ β ] +

β ∈Ov [ a ]

2  ∑  ∑ wlxx [a,α , β ]x[α , l ] x[ β ] + α∈O x [ a ] l =1  β ∈O x [ a ]

  2 2 α β α β α β α w a v l v w a v l [ , , ] [ , ] [ ] + [ , , ] [ , ] ∑ ∑ ∑ lvv lxv  x[ β ] +    α∈Ov [a ] l =1 α∈O x [a ] l =1   ∑

β ∈Ov [ a ]

+

β ∈Ov [a ]

 2 w [ a , α , β ] x [ α , l ] ∑ lvx  v[ β ] = 0  α∈Ov [a ] l =1  ∑

β ∈O x [ a ]

или ∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ [w1xx [a,α , β ]x[α ,1]x[ β ] + α∈O x [a ] β ∈Ov [ a ] α∈O x [a ] β ∈O x [a ] + w2 xx [a,α , β ]x[α ,2]x[ β ]] +

∑ [w1vv [a,α , β ]v[α ,1]v[ β ] + α∈Ov [ a ] β ∈Ov [ a ]

+ w2vv [a ,α , β ]v[α ,2]v[ β ]] +

∑ [w1xv [a,α , β ]v[α ,1]x[ β ] + α∈O x [ a ] β ∈Ov [ a ]

+ w2 xv [a,α , β ]v[α ,2]x[ β ]] +

∑ [w1vx [a,α , β ]x[α ,1]v[ β ] + α∈Ov [a ] β ∈O x [ a ]

+ w2vx [a ,α , β ]x[α ,2]v[ β ]] = 0 . Получаем полную систему из двух уравнений в координатной форме и удаляем слагаемые, не соответствующие окрестностям. Первое уравнение системы w x [1,1]x[1] + w x [1,2]x[2] + wv [1,1]v[1] + wv [1,2]v[2] + (w1xx [1,1,1]x[1,1]x[1] + + w2 xx [1,1,1]x[1,2]x[1] + w1xx [1,1,2]x[2,1]x[1] + w2 xx [1,1,2]x[2,2]x[1] +

82

+ w1xx [1,2,1]x[1,1]x[2] + w2 xx [1,2,1]x[1,2]x[2] + w1xx [1,2,2]x[2,1]x[2] + + w2 xx [1,2,2]x[2,2]x[2]) + ( w1vv [1,1,1]v[1,1]v[1] + w2vv [1,1,1]v[1,2]v[1] + + w1vv [1,1,2]v[2,1]v[1] + w2vv [1,1,2]v[2,2]v[1] + w1vv [1,2,1]v[1,1]v[2] + + w2vv [1,2,1]v[1,2]v[2] + w1vv [1,2,2]v[2,1]v[2] + w2vv [1,2,2]v[2,2]v[2]) + + ( w1vx [1,1,1]v[1,1]x[1] + w2vx [1,1,1]v[1,2]x[1] + w1vx [1,1,2]v[2,1]x[1] + + w2vx [1,1,2]v[2,2]x[1] + w1vx [1,2,1]v[1,1]x[2] + w2vx [1,2,1]v[1,2]x[2] + + w1vx [1,2,2]v[2,1]x[2] + w2vx [1,2,2]v[2,2]x[2]) + ( w1xv [1,1,1]x[1,1]v[1] + + w2 xv [1,1,1]x[1,2]v[1] + w1xv [1,1,2]x[2,1]v[1] + w2 xv [1,1,2]x[2,2]v[1] + + w1xv [1,2,1]x[1,1]v[2] + w2 xv [1,2,1]x[1,2]v[2] + w1xv [1,2,2]x[2,1]v[2] + + w2 xv [1,2,2]x[2,2]v[2]) = 0 . Второе уравнение системы wx [2,1]x[1] + wx [2,2]x[2] + wv [2,1]v[2] + wv [2,2]v[2] + (w1xx [2,1,1]x[1,1]x[1] + + w2 xx [2,1,1]x[1,2]x[1] + w1xx [2,1,2]x[2,1]x[1] + w2 xx [2,1,2]x[2,2]x[1] + + w1xx [2,2,1]x[1,1]x[2] + w2 xx [2,2,1]x[1,2]x[2] + w1xx [2,2,2]x[2,1]x[2] + + w2 xx [2,2,2]x[2,2]x[2]) + ( w1vv [2,1,1]v[1,1]v[1] + w2vv [2,1,1]v[1,2]v[1] + + w1vv [2,1,2]v[2,1]v[1] + w2vv [2,1,2]v[2,2]v[1] + w1vv [2,2,1]v[1,1]v[2] + + w2vv [2,2,1]v[1,2]v[2] + w1vv [2,2,2]v[2,1]v[2] + w2vv [2,2,2]v[2,2]v[2]) + + ( w1vx [2,1,1]v[1,1]x[1] + w2vx [2,1,1]v[1,2]x[1] + w1vx [2,1,2]v[2,1]x[1] + + w2vx [2,1,2]v[2,2]x[1] + w1vx [2,2,1]v[1,1]x[2] + w2vx [2,2,1]v[1,2]x[2] + + w1vx [2,2,2]v[2,1]x[2] + w2vx [2,2,2]v[2,2]x[2]) + (w1xv [2,1,1]x[1,1]v[1] + + w2 xv [2,1,1]x[1,2]v[1] + w1xv [2,1,2]x[2,1]v[1] + w2 xv [2,1,2]x[2,2]v[1] + + w1xv [2,2,1]x[1,1]v[2] + w2 xv [2,2,1]x[1,2]v[2] + w1xv [2,2,2]x[2,1]v[2] + + w2 xv [2,2,2]x[2,2]v[2]) = 0 .

83

4.2. Разработка моделей сложного промышленного объекта - цеха очистки сточных вод 4.2.1. Описание цеха очистки сточных вод как объекта управления Современные очистные сооружения, предназначенные для очистки городских сточных вод, состоящих из хозяйственно-бытовых и промышленных стоков, являются сложными, многостадийными, распределёнными системами. Цеху очистки сточных вод присущи следующие свойства, позволяющие отнести его к сложной системе [33, 82]: 1) отсутствие математического описания; 2) стохастичность, связанная в основном с большим числом внешних факторов, оказывающих влияние на поведение объекта; 3) нестационарность, проявляющаяся в дрейфе характеристик объекта, то есть в эволюции объекта во времени; 4) невоспроизводимость экспериментов, что проявляется в различной реакции объекта на одну и ту же ситуацию или управление в различные моменты времени. Сооружения системы включают в себя подсистемы механической, биологической очистки, обеззараживания и обработки осадка. Механическая очистка представлена решётками, песколовками, усреднителями, первичными отстойниками; биологическая – аэротенками, вторичными отстойниками; обеззараживание илоуплотнителями,

–

контактными иловыми

резервуарами; площадками,

обработка цехом

осадков

-

механического

обезвоживания. В наиболее простом варианте, допускающем измерение параметров, данную систему рассматривают как совокупность четырёх узлов, именуемых «вход на очистные сооружения», «после усреднения», «после механической очистки», «сброс в реку» [33, 82]. Кроме того, для оценивания существенных показателей, определяемых только для цеха в целом, введем фиктивную подсистему «Цех в целом», связанную со всеми подсистемами цеха очистки

84

сточных вод. Связь между подсистемами (узлами) представлена в виде графа на рис. 4.2, где 1- вход системы; 2- состояние после усреднения; 3- состояние после механической очистки; 4- сброс в реку; 5- цех в целом. v[1] x[1]

v[4]

1

4

x[4]

3

x[3]

5

x[2]

2 v[2]

v[3]

Рис. 4. 2. Граф цеха очистки сточных вод 4.2.2. Информативность переменных состояния и управления Из 35 измеряемых параметров 2 (прозрачность и взвешенные вещества) условно приняты за выход из системы, остальные 33 за состояние. При этом для параметра «запах» введена количественная характеристика (фекалии –1, илистое -0). При анализе работы цеха были выбраны существенные параметры состава сточных вод, некоторые из которых приведены в таблице 4.1.

85

Таблица 4.1. Существенные факторы работы цеха Компоненты входа и состояния

Наименование показателя

x[1]

Объем проходящей воды, тыс.м., куб/сут

x[2]

Температура, С

x[3]

Осадок отстоя через 2 часа

x[4]

Плотный осадок, мг/л

x[5]

Прокаленный осадок, мг/л

x[6]

Активная реакция pH

x[7]

Щелочность, мг экв/л

x[8]

Жесткость, мг экв/л

x[9]

Растворенный кислород, мг/л

x[10]

Азот аммонийный, мг/л

x[11]

Азот нитритов, мг/л

x[12]

Азот нитратов, мг/л

x[13]

Фосфор фосфатов, мг/л

x[14]

ХПК, мг О2/Л

x[15]

ХПК, мг О2/Л отстоен.

x[16]

БПК5 мг О2/л

x[17]

БПК5 мг О2/л отстоен.

x[18]

Хлориды, мг/л

x[19]

Сульфаты, мг/л

x[20]

Железо, мг/л

x[21]

Никель, мг/л

x[22]

Цинк, мг/л

x[23]

Медь, мг/л

x[24]

Хром, мг/л

v[1]

Прозрачность, см

v[2]

Взвешенные вещества, мг/л

86

4.3. Модели оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики Для прогнозирования поведения системы могут применяться как статические и динамические модели, полученные по классическим методикам, так и окрестностные модели и метод смешанного управления, являющиеся новыми разработками [11-19, 33-36, 77-100]. В данной главе сделана попытка связать вместе два подхода, используя общность представления системы с помощью окрестностных моделей. 4.3.1. Статические и динамические модели процесса очистки сточных вод В целях выявления существенных технологических факторов процесса очистки сточных вод, наиболее сильно влияющих на выходные показатели (прозрачность и взвешенные вещества), были определены коэффициенты корреляции

между параметрами

состояния

и

указанными

выходными

показателями. Анализ показывает, что по значению коэффициента корреляции ( r ≥ 0.6 ) существенными параметрами по влиянию на выходы являются: по прозрачности азот аммонийный, r = −0.79 ; азот нитратов, r = 0.825 ; фосфор фосфатов,

r = 0.772 ; по взвешенным веществам: азот аммонийный, r = 0.677 ; ХПК мг 0,2/л, r = 0.819 ; БПК5 мг 0,2/л,

r = 0.722 ; сульфаты мг/л, r = 0.674 ; железо мг/л, r = 0.91; медь мг/л, r = 0.771; фенолы мг/л, r = 0.618 . Приведем некоторые модели зависимости выходных параметров от существенных факторов. Модель взвешенных веществ: v[2] = −10.14 + 0.86 x[10] + 0.62 x[12] − 2.45 x[13] + 6.44 x[14] + 612.3 x[16] ,

(4.1)

где x[10] — содержание азота аммонийного, x[12] — азота нитратов,

87

x[13] — фосфора фосфатов, x[14] —ХПК мг 0,2/л, x[16] - БПК5 мг 0,2/л, x[20] железа, x[23] - меди, v[2] -взвешенные вещества мг/л, v[1] - прозрачность, см. Рис.4.3. демонстрирует адекватность модели (4.1). Адекватность модели 60

40 30

взвешенные в-ва

50

20 40

10

30

0

20 10 0 янв

взвешенные в-ва мг/л модель

-10

относит. ошибка

-30

-20

-40 мар

май

июл

сен

ноя

месяцы

Рис.4.3. Адекватность модели взвешенных веществ (4.1) Модели прозрачности: v[1] = −21,97 − 0,03x[10] + 46,53 4 x[12] − 9,55

x[12] 1 , − 7,73 x[12] x[13]

v[1] = −15,2 − 0,27 x[10] + 26,63( x[12])1 / 4 + 2,7 x[13] . Рис.4.4. демонстрирует адекватность модели (4.3).

40 35 30 прозрачность

25

регрессия 20 15 10 5 янв

мар

май

июл

сен

ноя

Рис.4.4. Адекватность модели прозрачности (4.3)

(4.2) (4.3)

88

Укажем

также

некоторые

соотношения,

связывающие

важные

с

экологической точки зрения параметры группы азота и фосфора между собой и с выходными: x[10] = 19,15 − 0,741x[12] + 0,037 x[13] − 0,2v[1] ;

(4.4)

x[10] = 28,076 + 2,4 x[12] − 4,59 x[13] − 7,86 x[12]x[13] − 0,113v[1] ;

(4.5)

x[10] = 29,645 − 15,91x[12] − 1,371x[13] − 0,187

x[12] − x[13]

− 0,465v[1] + 5,03x[12](v[1])0,33 .

(4.6)

Рис.4.5. демонстрирует адекватность моделей (4.5),(4.6) (модели 2 и 3)

25 20 Предсказанное азот_ аммон модель3

15

азот аммонийный

10

Предсказанное азот_ аммон модель2

5 0 янв

мар

май

июл

сен

ноя

Рис.4.5. Адекватность моделей (4.5),(4.6) (модели 2 и 3) Говоря об анализе моделей, продемонстрируем для модели (4.6) на

азот аммонийны й

рис.4.6. следующий график

40 20 0

азот аммонийный 0

5 азот нитратов мг/л

Рис.4.6. График подбора

10

Предсказанное азот аммонийный

89

Исходя из результатов анализа взаимосвязей, получили динамические модели, более адекватно описывающие изменение переменных. Так, для v[1] −1 − 2,95 v1,t +1 = −15,2 + 0,24v1,t + 0,127 x10,t + 30,9 4 x12,t − 10,17 x12 ,t

x12,t x3,t

,

(4.7)

где t — дискретное время. 4.3.2. Синтез окрестностных моделей и смешанное управление цехом очистки сточных вод Приведенные выше модели, полученные по классическим методикам, связывают параметры в пределах одного узла, в данном случае «сброс в реку». Разработка более общих и точных моделей оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики требует учета сложной структуры системы, в частности всех названных узлов. При этом в свете возрастающих экологических требований актуальными для данных систем становятся задачи определения параметров тех узлов, для которых измерение является дорогим и затруднительным, определение параметров входного и промежуточных участков по заданным инструкцией параметрам выхода из системы (норма на сброс в реку), определение параметров промежуточных участков по заданным экспертами (инструкцией) значениям параметров на входе и выходе из системы [20, 33-36, 83-84]. Рассмотрим в данном пункте реализацию методики построения линейной и билинейной окрестностных моделей на примере сложного распределенного объекта - цеха очистки сточных вод ОАО «НЛМК». Для решения указанных выше задач при выборе линейной структуры модели наиболее приспособленной является симметричная модель и метод смешанного управления [20, 33]. Симметричная модель имеет вид ∑ w x [a,α ]x[α ] = ∑ wv [a, β ]v[ β ] , α∈O x [ a ] β ∈Ov [a ]

(4.8)

90

где v[a ]∈ R m , x[a ]∈ R n –– вход, состояние и выход в узле системы a ; wv [a, β ]∈ R c×m

,

wx [a,α ]∈ R c×n –постоянные

матрицы–параметры;

Ov [a ], O x [a ] –окрестности по входу, состоянию соответственно (вообще говоря, Ov [a ] ≠ Ox [a ] ∀a ∈ A ); a ,α , β ∈ A ,

A = {a1 ,K, a N } – множество значений

аргумента системы, A = N . В свете сказанного решение задачи смешанного управления позволяет определить неизвестные компоненты входов v и состояний x по известной их части v* и x*. Было проведено несколько вариантов расчётов с идентификацией модели и смешанным управлением в каждом из них. Результаты расчётов показали, что полезным является, как отмечено выше, введение фиктивного пятого опорного узла «цеха в целом», связанного со всеми другими подсистемами ЦОСВ, т.е. узла, компонентами которого являются средние значения 4 названных узлов системы. При этом при определении текущих параметров 2-го и 3-го узлов («после усреднения» и после «механической очистки») по параметрам входа и выхода из системы (данные инструкции) по результатам моделирования с учётом данных предыдущего года погрешность составила 4%, а по данным текущего года - менее 1%. Аналогичные результаты получены при решении других поставленных выше задач. Была проведена смешанная идентификация системы по заданным первому и четвёртому узлам в предположении о 10%-ном и 30-40%-ном снижении значений во втором и третьем узлах соответственно по отношению к входу. Остановимся подробнее на процедуре идентификации. В соответствии с рис. 4.1 окрестности системы по входу и cостоянию имеют следующий вид: Ov [1] = {1}; Ov [2] = {2}; Ov [3] = {3}; Ov [4] = {4}; Ov [5] = {5}; Ox [1] = {1,2,5}; Ox [2] = {1,2,3,5}; O x [3] = {2,3,4,5}; O x [4] = {3,4,5}; O x [5] = {1,2,3,4,5}. Для линейной окрестностной модели уравнения узлов системы имеют следующий вид (обозначения узлов заменены их номерами).

91

wx [1,1]x[1] + wx [1,2, ]x[2] = wv [1,1]v[1];   wx [2,1, ]x[1] + wx [2,2]x[2] + wx [2,3]x[3] + w x [2,5]x[5] = wv [2,2]v[2];  (4.9) wx [3,2]x[2] + wx [3,3]x[3] + wx [3,4, ]x[4] + wx [3,5, ]x[5] = wv [3,3]v[3];   wx [4,3]x[3] + wx [4,4]x[4] + wx [4,5]x[5] = wv [4,4]v[4]; w [5,1]x[1] + w [5,2]x[2] + w [5,3]x[3] + w [5,4]x[4] + w [5,5]x[5] = w [5,5]v[5]. x x x x v  x При выборе нелинейной структуры модели целесообразным является применение билинейных окрестностных моделей, развивающих симметричные и учитывающих нелинейность типа произведения состояния на управление [20] r

r

∑ ∑ wi [a,α , β ]ui [α ]γ i [ β ] = 0. i =1 α∈Oui [ a ]β ∈Oγ i [a ]

∑ wi [a,α ]u i [α ] + ∑

∑

i =1 α∈Oui [a ]

Здесь a,

Ou i [a], Oγ i [a] окрестности

по

ui , γ i

(4.10)

элемента

a ∈ A = {a1 ,..., a N }, wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) - некоторые матрицы. Используя методику построения симметричной и билинейной модели,

проведем параметрическую идентификацию цеха очистки сточных вод. Часть результатов идентификации для билинейной модели приведена ниже. При идентификации окрестностной модели часть элементов некоторых матриц задается экспертами. Так, в частности, для одного из вариантов вычислений были рассчитаны и заданы следующие элементы матриц: w x [1,1](1,1) = 0.1302; w x [ 2,2](1,1) = 0.0513; w x [3,3](1,1) = 0.05388;

w x [4,4](1,1) = 0.05795;

w x [5,5](1,1) = 0.0771; w x [1,1](1,1) = 1;

wv [2,2](1,1) = 1; wv [3,3](1,1) = 1; wv [4,4](1,1) = 1; wv [4,4](5,5) . Укажем некоторые из матриц-параметров Ξ[a,α ] , характеризующие коэффициенты связи по входу: wv [1,1] = [1,00000000 0,00688363], wv [2,2] = [1,00000000 0,00008446], wv [3,3] = [1,00000000 − 0.00013471], wv [4,4] = [1,00000000 − 0,00081221], ... Укажем некоторые из матриц w x [a, β ], являющиеся коэффициентами модели цеха очистки сточных вод по состоянию для узлов “вход на очистные

92

сооружения”, “после усреднения”, “после механической очистки”, “сброс” и “цех в целом”: wx [1,1] = [0.13020000 − 0.00048557 − 0.00002856 ... − 0.00015424 ]; связь по состояниям между “входом на очистные сооружения” и “после усреднения” wx [1,2] = [−0.00203081 − 0.00051413 − 0.00002856 ... − 0.00218791]; M

связь по состояниям между узлами “после усреднения” и “после механической очистки” w x [2,3] = [−0.00006635 − 0.00001727 − 0.00000093 ... − 0.00007149 ] . Используя методику, рассмотренную в главе 3, решим задачу смешанного управления для цеха очистки сточных вод. В качестве исходных данных берется прозрачность и взвешенные вещества. Часть результатов приведена ниже (с округлением до тысячных). Введенные значения входных воздействий для пяти узлов – “вход на очистные сооружения”, “после усреднения”, “после механической очистки”, “сброс в реку”, “цех в целом”: v[1,1] = 7;

v[1,2] = 128.7;

v[2,1] = 11.73;

v[2,2] = 97.27;

v[3,1] = 16.46;

v[3,2] = 65.84;

v[4,1] = 21.2;

v[4,2] = 34.4;

v[5,1] = 11.5975;

v[5,2] = 81.5525.

Рассчитанные по алгоритму смешанного управления некоторые значения состояний для узлов “после усреднения” и “после механической очистки”: -для узла “после усреднения” x[2,1] = 71.100007;

x[2,2] = 17.100104;

x[2,3] = 1.000167;

x[2,4] = 4.299877;

x[2,5] = 485.497651; x[2,6] = 330.498380; x[2,7] = 7.899858;

x[2,8] = 3.700055; .

93

-для узла “после механической очистки” x[3,1] = 71.101471;

x[3,2] = 17.200077;

x[3,3] = 0.999814;

x[3,4] = 4.300179;

x[3,5] = 471.701006; x[3,6] = 345.300243; x[3,7] = 7.899788;

x[3,8] = 3.699745; M

При этом управление объектами, в частности аэротенком, в пределах цеха с использованием окрестностной модели осуществляется с учетом отклонения измеряемых координат состояния от заданных уставок параметров по схеме:

Механическая очистка

Аэротенк

v

x

Рис. 4.7. Схема управления 4.3.3. Применение адаптивного подхода к построению модели процесса очистки сточных вод Представляет

интерес

изучение

динамики,

адаптации

и

оценки

параметров указанных классов окрестностных систем (4.8)-(4.10) в случае не полностью учтенной структуры объекта (узлы укрупнены). Для оценки параметров

окрестностной

системы

необходимо

от

представления,

предложенного в формулах (4.1)-(4.7) [34, 39], перейти к указанному ниже представлению. Для этого, например, простейшую билинейную окрестностную систему (4.10) для преобразований x, v , содержащую только линейные члены и билинейные члены типа xv , ∑ w x [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + α∈Ox [a ] β ∈Ov [ a ] +

∑

∑ w xv [a,α , β ]x[α ]v[ β ] = 0

α∈O x [a ]β ∈Ov [ a ]

следует преобразовать к виду

(4.11)

94

∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] = α∈O x [a ] β ∈Ov [ a ] =−

∑ ∑ wxv [a,α , β ]x[α ]v[ β ] α∈O x [a ]β ∈Ov [ a ]

(4.12)

или к виду ∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] = ∆S , α∈O x [a ] β ∈Ov [ a ]

(4.13)

где под ∆S в общем случае понимается слагаемое, включающее в себя неопределенность, связанную как с нелинейностью модели, так и с не полностью учтенной структурой объекта (укрупненностью узлов). Последнее обстоятельство позволяет для укрупненных узлов, учитываемых в (4.13) слагаемым ∆S , применять формулы типа (4.1)-(4.7). Применение адаптивной идентификации позволяет уменьшить структурную неопределенность объекта и выделить с помощью процедуры обработки ∆S слагаемые, соответствующие не учитываемым ранее узлам системы. Вид слагаемых (линейные, билинейные) определяется дополнительно из свойств ∆S . При этом можно говорить об иерархической структуре

соотнесения

новых узлов по отношению

к

совокупности всех прежних узлов, т.е. о дереве окрестностного описания объекта. Алгоритм преодоления неопределенности, заключенной в слагаемом

∆S , подробно описан в работе [34] (см. также раздел 2.5) и назван методом адаптивной идентификации билинейных окрестностных систем. Он основан на использовании функций Ляпунова и метода адаптивных алгоритмов. В данном разделе на примере системы автоматизированной диагностики качества

очистки

представления

сточных

предложена

вод

на

основе

методология

общности

увязывания

окрестностного

двух

подходов

в

прогнозировании: статических и динамических моделей, полученных по классическим методикам, и окрестностных билинейных дискретных моделей и метода смешанного управления, являющихся новыми разработками. При этом классические модели в рамках данного представления могут связывать параметры в пределах одного узла (или укрупненного узла), а основной

95

моделью является билинейная окрестностная. Структура последней в простом случае может быть полностью задана, и для прогнозирования применяется метод смешанного управления. В общем случае для прогнозирования работы объекта

со

сложной

структурой,

нелинейными

связями,

наличием

неопределенности применяем рассмотренный адаптивный подход. По мере раскрытия

неопределенности

новые

узлы

могут

быть

включены

в

окрестностную модель. 4.4. Управление аэрационными сооружениями на основе окрестностных моделей с учётом энергозатрат В данном разделе на примере моделирования работы аэротенка рассматривается сравнение трех классов моделей: классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных. Показано, что при проведении процедуры оптимизации окрестностные модели, учитывающие априорные знания о наиболее важных взаимодействиях между частями объекта, обеспечивают лучший результат по сравнению с классическими моделями в смысле среднеквадратического критерия. Еще больший эффект достигается при применении билинейных окрестностных моделей [39]. В качестве примера сложной пространственно-распределенной системы рассмотрим биологическую очистку сточных вод. Для такой системы актуальной является задача достижения наилучшего качества очистки сточных вод

при

наименьших

затратах,

в

частности

наименьшем

расходе

электроэнергии. Рассмотрим описание, моделирование и управление данными системами на примере наиболее важной части — аэротенка. 4.4.1. Описание работы и выбор существенных параметров работы аэротенка Биологическая очистка играет существенную роль в современных очистных сооружениях, предназначенных для очистки городских сточных вод [19, 82 - 84]. Сооружения биологической очистки предназначены для снятия органических загрязнений. Биологическая очистка представлена следующими сооружениями:

аэротенками,

вторичными

отстойниками,

контактными

96

резервуарами. Аэротенки предназначены для очистки сточных вод от органических загрязнений, находящихся в сточных водах в растворённом и нерастворённом виде (рис. 4.7-4.8). Технический регламент работы аэротенков обусловлен

поддержанием

нескольких

характеристик,

обеспечивающих

нормально идущий процесс биологической очистки. Такими характеристиками являются:

гидравлическая

нагрузка,

регулируемая

шиберами;

процент

регенерации активного ила, регулируемый количеством коридоров; доза ила в аэротенке

и регенераторе, регулируемая количеством

оборудования;

количество

растворённого

кислорода,

циркуляционного регулируемого

количеством работающих воздуходувок; интенсивность аэрации, регулируемая работой системы аэрации. В аэротенках микробиальная масса находится во взвешенном состоянии в виде отдельных хлопьев, представляющих собой зооглейные скопления микроорганизмов, простейших и Исходная вода

Очищенная вода

Рис. 4.8. Схема аэротенка 1

2

Рис. 4.9. Аэрационный процесс: 1 - аэратор; 2- активный ил

97

более организованных представителей фауны. Этот биоценоз организмов, развивающихся

в

аэробных

условиях

на

органических

загрязнениях,

содержащихся в сточной воде, называется активным илом. Органические кислоты, спирты, белки, углеводы используются бактериями для получения углерода, азота, фосфора и т.д., вследствие чего происходит прирост массы бактерий. Интенсивность биохимических процессов зависит от ряда факторов: температуры,

обеспечения

кислородом,

перемешивания

(интенсивность

аэрации), состава биоценоза, наличия питательных веществ. Часть ила после отстаивания возвращается в аэротенки (циркуляционный ил), часть удаляется в илоуплотнители. Бактерии имеют высокую скорость воспроизводства. На этой способности к быстрому размножению и высокой скорости потребления питательных веществ основано использование биологических методов очистки сточных вод. Анализ работы аэротенка показывает, что в качестве переменных состояния в полной модели могут быть взяты: 1) растворенный кислород, 2) группа азота (азот аммонийный, азот нитритов, азот нитратов); 3) ХПК (биохимические загрязнения); 4) БПК (органические загрязнения); 5) взвешенные вещества; 6) прозрачность. В качестве переменной входа (обобщенного управляющего воздействия) - затраты электроэнергии. В более простом варианте с учетом наиболее существенных переменных состояния могут быть взяты растворенный кислород, азот аммонийный, азот нитритов. 4.4.2. Классические и окрестностные модели аэротенка Рассмотрим примеры некоторых классических и окрестностных моделей аэротенка [20, 39]. Так, анализ исходных данных позволил получить регрессионную зависимость расхода электроэнергии от восьми наиболее существенных параметров v = 115186,9 + 53,8 x[14] − 90,8v[1] − 116,1v[2] − 329,2 x[10] − − 10371x[11] + 13,1x[12] − 3297 x[9] ,

(4.14)

98

где x[14] — ХПК (мг 02/л), v[1] — прозрачность (см), v[2] — взвешенные вещества (мг/л), x[10] — азот аммонийный (мг/л), x[11] — азот нитритов (мг/л), x[12] — азот нитратов мг/л, x[9] — растворенный кислород (мг/л), v — расход электроэнергии (кВт/сут). Для изучения работы аэротенка были построены также различные линейные окрестностные модели [19, 83, 84], обобщающие классические линейные

дискретные

модели,

и

для

каждой

из

них

проведены

соответствующие расчеты. В частности, в упрощенном варианте построена симметричная модель с двумя узлами [19, 84], представленная на рис.4.1. Сплошные линии – связи по состоянию, пунктирные - по входу. Симметричная модель (4.8) при сделанных предположениях имеет вид  wx [1,1]x[1] + wx [1,2]x[2] = wv [1,1]v[1],  w [2,1]x[1] + w [2,2]x[2] = w [2,2]v[2], x v  x

(4.15)

где V [a ]∈R 3 , x[a]∈ R 3 - вход и состояние в узле a системы, wv [a, β ]∈R1×3 ,

wx [a,α ]∈R1×3 - матрицы-параметры, Ο x [a ], Ο v [a ] – окрестности узла a по состоянию и входному воздействию соответственно. В нашем случае Ο v [1] = {1}, Ο v [2] = {2}, Ο x [1] = {1,2}, Ο x [2] = {1,2} . В качестве компонентов состояния взяты растворённый кислород, азот аммонийный и азот нитритов. В качестве входов - затраты электроэнергии. Очистка сточных вод от азота аммонийного и азота нитритов напрямую зависит от количества электроэнергии, затраченной на увеличение интенсивности аэрации, увеличения процесса рециркуляции, т.е. на работу воздуходувок, циркуляционных насосов, шнеков. Для решения задачи смешанного управления в качестве состояний выходного узла взяты данные ПДС (норма) и рассчитаны затраты электроэнергии в кВт. Так как процессы, протекающие при биологической очистке, являются в целом нелинейными, то актуальным является применение билинейных окрестностных моделей (4.10), развивающих симметричные. 4.4.3. Квазиоптимальное смешанное управление аэротенком

99

Для

изучения

работы

аэротенка

были

построены

различные

окрестностные модели и для каждой из них проведены соответствующие расчеты. В частности, в упрощенном варианте построены симметричные и билинейные модели с двумя узлами. В пункте 3.4 главы 3 представлена методика

квазиоптимального

смешанного

управления

билинейной

окрестностной системой, состоящей из двух узлов. Рассмотрим применение этой методики для моделирования работы аэротенка. Пусть в системе (1.7), представленной двумя узлами, в соответствии с частным случаем методики, изложенной в пункте 3.4 [86], в первом узле заданы компоненты вектора входных воздействий v1 и компоненты вектора состояний x1 . Представим (1.7) в виде A1 x1 + B1 v1 + W1 x1v1 + A2 x2 + B2 v 2 + W2 x2v2 = 0 . Блочные матрицы

(4.16)

A1, A2 , B1, B 2 ,W1 ,W2 имеют размерности матриц

w x [ a,α ], wv [ a, β ] , w xv [a,α , β ] .

Необходимо

определить

во

втором

узле

неизвестные компоненты входа v 2 и состояний x 2 . В соответствии с главой 2 была осуществлена идентификация модели (4.16) Затем по указанному алгоритму (пункт 3.4) по формулам T

v2l = v∗2 − ( E T A+2 B 2) ; x2 = ( A2 + W2 v2 ) + [−( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + B2 v2 )] ; v 2 =−( B 2+W2 x 2 ) + ( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + A2 x 2 ) было

получено

допустимое

решение

задачи

(4.17) смешанного

управления

билинейной окрестностной системы - вектор состояний для второго узла  x[9]   5.9997968  x 2 =  x[10] =  0.3580847       x[11]   0.0183633 

(4.18)

и допустимое приближение входа второго узла v2 = 83719.8525688 . Здесь в качестве компонент вектора состояний второго узла взяты: x[9] -содержание

100

кислорода (мг/л), x[10] -азота аммонийного (мг/л), x[11] -азота нитритов (мг/л); в качестве скалярного входа v2 второго узла - расход электроэнергии (кВт/сут). Среднеквадратическое относительное отклонение данной точки от точки, заданной технологической инструкцией по параметрам состояния, составляет 3.854 %. Изменение расхода электроэнергии в случае использования такого режима по сравнению с применяемыми уставками составляет 0.000176 %. Среднеквадратическое относительное отклонение данной точки от точки, заданной технологической инструкцией по параметрам состояния и с учетом минимальных затрат электроэнергии, составляет 3.253 %. Отклонение данной точки, полученной по методике нахождения допустимого решения задачи смешанного управления билинейной окрестностной системы по параметру v 2 , от

точки

v2 = 81407.2808333 ,

оптимизации

для

полной

полученной билинейной

далее

как

решение

окрестностной

задачи

системы

по

среднеквадратическому критерию, составляет 2.84 %. Методика определения допустимого решения позволяет минуя процедуру оптимизации,

обсуждаемую

ниже,

по

формулам

(4.17)

получить

квазиоптимальное решение задачи смешанного управления. 4.4.4. Сравнение классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных моделей аэротенка Далее приводятся некоторые результаты оптимизации, полученные с помощью трёх классов моделей: линейных и нелинейных классических (регрессионных), линейных окрестностных и билинейных окрестностных. Для расчета оптимальных показателей на основании мнения экспертов были выделены отмеченные выше показатели в качестве параметров состояния и входа и вошедшие в среднеквадратический критерий качества (критерий минимальности) ( x[i ]− x ∗ [i ]) 2 (v2 −v 2∗ ) 2 11 K = ∑ i=9 + , x ∗ [i ] v∗ 2

(4.19)

101

где x[i], i = 9,11, v2 ––выбранные показатели; x ∗[i ], i = 9,11, v2∗ ––значения соответствующих показателей, рекомендуемых технологической инструкцией. При этом модели, построенные по классическим методикам, применили для нахождения оптимального управления в пределах одного (в данном случае, второго) узла, а полилинейные окрестностные, связывающие параметры разных узлов и позволяющие определить оптимальные уставки параметров с помощью метода смешанного управления, - для нахождения оптимального управления, в частности во втором узле, с использованием данных обоих узлов [35]. Для расчетов использовались следующие классические (регрессионные) линейная и квадратичная модели v2 = 108287,0 − 3096,3 x[9] − 179,7 x[10] − 5910,3 x[11] ,

(4.20)

v2 = −2764.4 + 24522.1x[9] − 1903x 2 [9] + 1835.4 x[10] − − 71.2 x 2 [10] − 18607.4 x[11] + 18194.2 x 2 [11] ,

(4.21)

где скалярные значения x[9] — растворенный кислород (мг/л), x[10] — азот аммонийный (мг/л), x[11] — азот нитритов (мг/л), v2 — расход электроэнергии (кВт/сут). Далее линейная окрестностная модель вида [20, 35]

wx1 x1 + wx2 x2 + wv1 v1 + wv2 v 2 = 0 ,

(4.22)

 x[9]   x[9]    где под x1 = x[10] , v1 и x2 =  x[10], v2 понимаются векторные состояния и      x[11]   x[11]  скалярные входы соответственно в первом и втором узлах системы. Следующая модель - это полная билинейная окрестностная модель вида [20, 35] с обозначениями из (4.22)

wx1 x1 + wx 2 x2 + wv1 v1 + wv 2 v 2 + + Wx1v1 x1v1 + Wx1v2 x1v2 + Wx2 v1 x2v1 + Wx2 v2 x2 v2 = 0

(4.23)

Для расчета оптимальных показателей на основании мнения экспертов были выделены следующие показатели в качестве параметров состояния и входа и вошедшие в критерий качества (табл. 4.2)

102

Таблица 4.2 Показатели, вошедшие в критерий качества Компоненты состояния и входа x[9] x[10] x[11] v(2)

Наименование показателя Раствор.кислород,мг/л Азот аммонийный,мг/л Азот нитритов,мг/л Расход электроэнергии, кВт·ч

Требование к оптимуму max min min min

По разработанному алгоритму [87, 93] были получены оптимальные решения задачи смешанного управления для линейных и нелинейных окрестностных систем (4.22)- (4.23) со среднеквадратическим критерием оптимальности (4.19). Варьируя последовательно первый; первый и второй; первый, второй и третий факторы, получили результаты, приведенные в таблице 4.3. Полученные результаты согласуются с реальными данными. Они иллюстрируют наилучшие достижимые значения показателей в смысле критерия (4.19). Таблица 4.3 Результаты оптимизации 1 показатель

2 показателя

3 показателя

Компоненты состояния и входа

Оптимальные значения критерия 0.7438596 0.2280899 0.2256853

x[9] x[10] x[11] v(2)

Значения показателей, соответствующие оптимальному значению критерия 7.345704 7.341 7.4257649 0.39 0.400465 0.61031578 0.02 0.02357894 0.02017 81431.8862 81408.44 81407.2808

103

Результаты оптимизации [35] сведены в таблицу 4.4. Сравнение результатов пункта 4.4.3 и таблицы 4.4 показывает, что методика получения допустимого решения (4.17) позволяет получить решение с хорошими показателями (значение среднеквадратического критерия, полученное по формуле (4.18), K = 0.13 ). При

минимальном

значении

критерия

оптимальности

cреднеквадратическое относительное отклонение полученной в результате процедуры

оптимизации

точки

от

точки,

заданной

технологической

инструкцией по параметрам состояния и с учетом минимальных (не ниже заданного

предела)

затрат

электроэнергии,

составляет

для

линейной

регрессионной модели 6.153 %, для квадратичной регрессионной модели (расчетные затраты ниже заданного предела) 5.98 %, для линейной окрестностной модели 5.96 %, для билинейной окрестностной 5.64 %. Оценка качества (минимум среднеквадратического критерия (4.19)) трёх классов моделей на примере моделирования работы аэротенка отражена в строке таблицы 4.4 и демонстрирует улучшение качества от классических моделей до билинейных окрестностных. Отметим дополнительно, что высокое качество окрестностных и билинейных

окрестностных

моделей,

подтверждённое

представленными

расчетами, позволяет эффективно воспользоваться предлагаемой автором методикой объединения двух подходов в управлении пространственнораспределенными

системами:

основной

моделью

является

билинейная

окрестностная и управление осуществляется методом смешанного управления, задающим уставки, а модели, построенные по классическим методикам, применяем при уточняющем локальном управлении в пределах одного укрупненного узла.

104

Таблица 4.4 Результаты оптимизации классических и окрестностных моделей Классические Линейные

Квадратичные

Окрестностные Линейные

Билинейные

Оптимальные значения критерия 0.246 0.239 0.238 0.225 Среднеквадратическое относительное отклонение по Компоненты состоянию от нормы в % состояния 7.777 7.777 7.694 7.45 и входа Изменение расхода электроэнергии по сравнению с применяемыми уставками в % 1.75 10.617 0.00001 2.76 Среднеквадратическое относительное отклонение по состоянию от нормы с учетом min затрат электроэнергии в % 6.153 5.98 5.96 5.64 Значения показателей, соответствующие оптимальному значению критерия 7.341 7.385 7.4 7.4 x[9] 0.39 0.39008 0,39 0.39 x[10] 0.02 0.02 0,02 0.02 x[11] 81407.28 83719.98 85186.091 74830.966 v(2) В данном разделе на примере системы управления аэротенком рассматривается сравнение трех классов моделей: классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных [35]. Показано, что при проведении процедуры оптимизации окрестностные модели, учитывающие априорные знания о наиболее важных взаимодействиях между частями объекта,

что

позволяет

принципиально

снизить

размерность

модели,

обеспечивают лучший результат по сравнению с классическими моделями в смысле среднеквадратического критерия. Кроме того, в разделе предлагается объединение двух подходов в управлении пространственно-распределенными системами: основной моделью является полилинейная окрестностная и управление осуществляется методом смешанного управления, задающим уставки, модели, построенные по классическим методикам, применяем при

105

уточняющем локальном управлении в пределах одного укрупненного узла. 4.4.5. Адаптивные модели управления работой аэротенка Для текущего локального управления аэротенком в пределах второго узла применили методы адаптивного управления, при этом сначала решалась задача идентификации [36]. По каналам «азот аммонийный ( x[10] )— растворенный кислород ( x[9] )» и «растворенный кислород ( x[9] ) — расход электроэнергии ( v )» были получены следующие математические модели:

xˆ10,n+1 = ϑxˆ10,n + υx 9,n + f n ,

(4.24)

xˆ9,n = γ vn + λ ,

(4.25)

где n — дискретное время, f n = −5,98 , ϑ = 0,43 , υ = 1,89 . γ = −0,0002 , λ = 23,84 . Далее в качестве управления u n в (4.28) принималась переменная x[9] . Алгоритм управления x[9] определялся таким образом, чтобы минимизировать * , где x* ошибку en = xˆ10,n − x10 10,n — заданный уровень азота аммонийного в ,n

воде. Для решения задачи оптимального управления рассмотрим функционал

Vn = en2 . Обозначим χ (n, u n ) = ∆Vn = Vn+1 − Vn .

(4.26)

Тогда задача формулируется следующим образом: необходимо найти управление u n кислородом таким образом, чтобы u n = min χ (n, u n ) . n

(4.27)

Вычислим функцию χ (n, u n ) с учетом (4.24). Тогда, пользуясь методом алгоритмов управления, из условия (4.27) получаем следующий закон: un = −

ϑen + f n . υ

(4.28)

После определения закона управления на основе зависимости (4.25) определяем расход электроэнергии для поддержания требуемого расхода

106

кислорода в виде u −λ . vn = v (u n ) = n γ

(4.29)

Так как на расход электрической энергии накладываются экономические ограничения, то при реализации полученной зависимости с помощью регулятора (4.29) преобразуем к виду  v*, u n > u 2 ,  vnðåã = vn , u n ∈[u1, u 2 ],  v* , u n < u1, 

(4.30)

где v* ,v* — некоторые числа, v* < v* , u1 ,u 2 — пределы содержания x4 в растворе { u1 = 6.7; u 2 = 7.2; y ∗ = 79000; y∗ = 83700 }. Результаты работы синтезированных алгоритмов (4.28) — (4.30) * показаны на рис. 4.10. Здесь в качестве x10 ,n брался x10,n . 110000

8

yn

un yn

100000

6 yn y nрег

un

un

90000

4

80000

2 1

3

5

7

9

11

n

Рис. 4.10. Результаты работы процедуры (4.28) — (4.30) Ошибка прогнозирования переменной x10,n с помощью предложенной процедуры и результаты работы алгоритма (4.29) в пространстве {n, u n , en } показаны на рис. 4.11 и рис. 4.12.

107

10

e

5

E_

0

n 1

3

5

7

9

11

-5

-10

Рис. 4.11. Ошибка прогнозирования переменной x10,n

8

un 6

4

2 16

0

12 4

8

n

4

8 12

0

2

en

Рис. 4.12. Результаты работы алгоритма (4.33) в пространстве {n, u n , en }

4.5. Прогнозирование свойств материалов с помощью распределенных окрестностных моделей Для прогнозирования свойств материалов могут применяться как статические, так и динамические модели, представляющие собой отдельные зависимости для каждого выходного показателя. Представляет интерес получение общей модели прогнозирования, увязывающей различные выходные

108

характеристики материалов на основе применения окрестностных моделей [39, 108]. Рассмотрим сначала вопрос синтеза классических статических моделей для полимербетона ПН-609-21М, применяющегося для покрытия дорог. На основе анализа зависимости между пределом выносливости полимербетона σ max и коэффициентом асимметрии цикла ρ была получена математическая модель, описывающая изменение σ max :  0,317 ρ 0,5 + 0,228 − 0,034 ρ 0,02 ;0 < ρ < 0,3, σ (ρ) =  0,199 ρ 0,4 + 0,198 + 0,091ρ 0,12 ;0,3 ≤ ρ ≤ 0,65.

(4.31)

Другой характеристикой свойств полимербетона является коэффициент выносливости k v , зависящий от величины напряжения σ sp , коэффициента асимметрии

k as

и армирования

k ar . Результаты идентификации при

коэффициенте асимметрии k as = 0.3 и коэффициенте армирования k ar = 1.7 дали модель kˆv = 0.056 + 0.18(σ sp − 75) 0.2 − 0.19(703 − σ sp ) −0.3 . Был

получен

ряд

моделей

кривых

построения

общей

(4.32)

виброползучести

сжатых

полимербетонных элементов. Рассмотрим

задачу

модели

прогноза

свойств

полимербетона, включающую в себя в качестве входных переменных (факторов)- уровень нагружения, количество циклов нагружения, коэффициент асимметрии, в качестве переменных состояния (прогнозируемых переменных) деформацию виброползучести, предел выносливости. На основе этой модели можно сформулировать следующие частные задачи: 1) определить количество циклов нагружения, например, при ρ = 0.3 , максимальных уровне нагружения и пределе выносливости, минимальной деформации виброползучести; 2) определить максимальный уровень нагружения и количество циклов нагружения, соответствующие максимальному пределу выносливости и минимальной деформации виброползучести.

109

Для решения указанных задач при выборе линейной структуры модели наиболее приспособленной является линейная дискретная окрестностная модель и метод смешанного управления. Решение

задачи

смешанного

управления

позволяет

определить

неизвестные компоненты входов v и состояний x по известной их части v∗ и x∗ . В рассматриваемом случае применения симметричной окрестностной модели для получения связи двух характеристик полимербетона (деформации виброползучести, предела выносливости) с тремя факторами (уровень нагружения, количество циклов нагружения, коэффициент асимметрии) в качестве узлов взяты моменты съема данных и выбрана полная схема связей по состоянию и управлению. Для окрестностей узлов по состоянию и входу в случае полной схемы связей O x [1] = {1,K, N } , K , O v [ N ] = {1,K, N } ,где N -количество узлов (моментов съема данных), уравнения узлов системы имеют следующий вид (обозначения узлов заменены их номерами):  wv [1,1]v[1] + K + wv [1, N ]v[ N ] = wx [1,1]x[1] + K + wx [1, N ]x[ N ], M   wv [ N ,1]v[1] + K + wv [ N , N ]v[ N ] = wx [ N ,1]x[1] + K + wx [ N , N ]x[ N ].

(4.33)

После завершения процедуры идентификации матриц-параметров была решена задача 1 смешанного управления при следующей постановке. Задана часть входов: v[3,1] = 0.32, v[4,1] = 0.4 v[3,3] = 0,3, v[4,3] = 0.3

(коэффициент

x[3,1] = 3, x[4,1] = 18

(уровень нагружения),

ассимметрии)

(предел

часть

состояний

виброползучести),

(деформация

x[3,2] = 0.399, x[4,2] = 0.399

и

выносливости).

Найти

v[3,2], v[4,2]

(количество циклов нагружения) при ρ = 0.3 . С использованием алгоритма решения задачи смешанного управления получаем, например, следующие результаты:

v[3,2] = 0, v[4,2] = 3.3 .

v[3,1] = 0.4, v[4,1] = 0.4

количество

При циклов

уровнях

нагружения

нагружения

равно

110

v[3,2] = 0, v[4,2] = 1.019 . Аналогично решаем задачу 2. При деформации виброползучести

x[3,1] = 3, x[4,1] = 17

и

пределах

выносливости

x[3,2] = 0.3998, x[4,2] = 0.3998 имеем уровни нагружения v[3,1] = 0.32, v[4,1] = 0.4 и v[3,2] = 0, v[4,2] = 8.7546 .

количество циклов нагружения

В работе для прогнозирования свойств полимербетона получены статические модели, представляющие собой отдельные зависимости для каждого выходного показателя. Вместе с тем для получения общей модели прогнозирования,

увязывающей

различные

выходные

характеристики

полимербетона с входными факторами, предложена методика, основанная на применении окрестностных моделей и метода смешанного управления с учетом полной структуры связей по состоянию и входу. 4.6. Некоторые перспективы использования билинейных окрестностных моделей Во

многих прикладных задачах

окрестности,

как

подмножества

множества значений аргумента, оказываются нечеткими. Уже в случае простейших дискретно-временных и близких к ним систем это приводит к необходимости учета зависимости текущего состояния от состояний из временного промежутка от начального до текущего момента времени, иначе говоря – к системам с нефиксированным последействием. Предложенный в [20] подход к учету нечеткости окрестностей по состоянию дискретно-временных систем и рассмотрение смежных вопросов позволяют расширить класс нечетких систем до более общего класса систем c изменяющейся структурой. В [20] введены билинейные нечетко-окрестностные системы вида r

∑

r

∑ wi [a,α ]µ i ui [α ] + ∑

i =1 α∈Ou i [a ]

∑ wi [a,α , β ]µ i u i [α ] ⋅ν i γ i [ β ] = 0. i =1 α∈Oui [ a ] β ∈O yi [a ]

(4.34)

111

Здесь Oui [a ], Oγ i [a ] окрестности по u i , γ i элемента a , a ∈ A = {a1 ,..., a N } множество

значений

аргумента

билинейной

окрестностной

системы,

A = N ; ui ,γ i ∈U , wi [a,α ], wi [a,α , β ](i = 1, r ) - некоторые матрицы, µ i ,ν i ∈[0,1] . Координатная форма (4.34) имеет вид [20] r

∑

∑

i =1α∈Oui [ a ] r

+∑

wui [a ,α ]µ i u i [α ] +

[ w1uiγ i [a,α , β ]ν i γ i [α ,1]µ i u i [ β ] + K

∑

i =1α∈Oui [ a ] β ∈Oγ i [a ]

+ wmiuiγ i [a,α , β ]ν i γ i [α , mi ]µ i u i [ β ]] = 0 .

(4.35)

Данная форма модели (4.34) представляется удобной для программной реализации. В

работе

[20]

отмечены

преимущества

билинейных

нечетко-

окрестностных систем по сравнению с традиционными и линейными окрестностными

системами.

Представляется

интересным

рассмотрение

моделей с вариациями значений µ i ,ν i ∈[0,1] , улучшающими результаты [20,39]. Другое актуальное направление изучения билинейных окрестностных и нечетко-окрестностных моделей связано с динамическим представлением и учетом временного фактора. Так, обобщением «решетчатых систем» [6] x (t + 1, s) = =

∑ ϕ (σ ) x(t , s − σ ) +

∑ Ψ (Θ)u (t , s − Θ) =

σ ∈Z 0 ( N )

Θ ∈Z 0 ( N )

∑ ϕ (s − σ ) x (t ,σ ) +

∑ Ψ ( s − Θ)u (t , Θ) =

σ ∈Z 0 ( N )

Θ ∈Z 0 ( N )

= (Φ ⊗ s x)(t , s ) + (Ψ ⊗ s u )(t , s) ,

(4.36)

где сигналы сети зависят как от номера клетки s∈ Z 0 ( N ) , так и от времени t ∈ Z 0 , а слагаемые представляют собой K -свертки, могут быть линейные окрестностные системы в выходной форме со специально заданной операцией движения по окрестности. При этом каждая из упорядоченных окрестностей, связанных с временным узлом, содержит в себе все окрестности, связанные с

112

узлами другой природы (обобщение бесконечных вправо цепочек из клеток, каждая из которых представляет собой, например, {m} -цепь). Тогда для линейной окрестностной модели [20] вида r r ∑ ( ∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ]) = 0 ,

Ai ∈A α∈O x

(4.37)

β ∈Ov

учитывающей

время

с

помощью

Ai (i = 1, r ) ,

кортежей

где

r  a ∈{A} =  U Ai  = {ai1 ,..., aiN } , i=1  получим r x[ µ ] = −

∑Kx

α∈O x [ a ],µ∈Ai +1 ,a∈Ai

r [a,α ]x[α ] −

r ∑ K v [a, β ]v[ β ] .

β ∈Ov [ a ],µ∈Ai +1 ,a∈Ai

(4.38)

Для билинейной окрестностной модели [20], также учитывающей время с помощью кортежей Ai (i = 1, r ) , r r ∑ ( ∑ wx [a,α ]x[α ] + ∑ wv [a, β ]v[ β ] + ∑ wxv [a,α , β ]x[α ]v[ β ]) = 0 , Ai ∈A α∈O x

β ∈Ov

получим r x[ µ ] = − −

α∈O x β ∈Ov

r ∑ K x [ a,α ] x[α ] −

α∈O x ( Ai ),µ∈Ai +1 ,a∈Ai

r ∑ K s [a,α , β ]s [ x, v,α , β ] .

(4.39)

r ∑ K v [ a ,α ]v [ β ] −

β ∈Ov ( Ai ), µ∈Ai +1 ,a∈Ai

(4.40)

α∈O x [ a ]µ∈Ai +1 β ∈Ov [a ],a∈Ai

Здесь s = s ( x, v,α , β ) — вектор, зависящий от произведения компонентов векторов

x, v ,

Ox [a ],

Ov [a ]

r  a ∈{A}=  U Ai  = {ai1 ,..., aiN }, i=1 

—

окрестности

по

элемента

x, v

K x [ a ,α ], K v [ a, β ], K s [ a, a, β ]

-

a,

некоторые

матрицы. Аналогичные

представления

окрестностных систем r r x[ µ ] = − ∑ K x [ a,α ]µ i x[α ] − −

α∈O x [ a ], µ∈Ai +1 ,a∈Ai

для

билинейных

нечетко-

r ∑ K v [ a,α ]ν i v[ β ] −

β ∈Ov [ a ], µ∈Ai +1 ,a∈Ai

r ∑ K s [a,α , β ]µ iν i s [ x, v,α , β ] .

α∈O x [ a ],µ∈Ai +1 β ∈Ov [a ],a∈Ai

получим

(4.41)

113

Такие модели можно трактовать как бесконечные вправо цепочки из систем, соответствующих кортежам Ai .

a4

a a3 a

a3

a5

a6

a4

a

a

a3

a5

a6

a4

a

a

a5

a6

Рис.4.13. Билинейная окрестностная система как одномерная однонаправленная цепь, составленная из систем, соответствующих кортежам Ai Трактовки таких структур как временных расширяют их использование при моделировании реальных объектов.

114

ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе анализа состояния проблем, связанных с решением задач идентификации и управления дискретными объектами, можно сделать заключение, что для повышения качества управления такими объектами необходима разработка билинейных окрестностных моделей, обобщающих известные и адекватно представляющих сложные распределенные объекты, учитывающих обилие технологических и субъективных факторов, а также необходима разработка методов смешанного управления данными объектами. Поэтому в монографии представлены следующие результаты. Исследован

новый

класс

билинейных

окрестностных

моделей,

обобщающих билинейные дискретно-временные и линейные окрестностные модели, отличающихся гибким описанием структуры связей между узлами распределенного объекта по состоянию и входу с помощью окрестностей. Сформулирована задача параметрической идентификации и задача смешанного управления для билинейных окрестностных систем. Разработан алгоритм тензорной линеаризации билинейных окрестностных моделей, отличающийся возможностью приведения билинейных одноаргументных к линейным двухаргументным моделям с использованием тензорных произведений; координатные формы билинейных окрестностных моделей, отличающиеся удобством для реализации алгоритма параметрической идентификации. Разработан

алгоритм

смешанной

параметрической

идентификации

билинейных окрестностных моделей, отличающийся применением метода формирования блочных матриц коэффициентов и векторов свободных членов в соответствии с принятой структурой составных векторов переменных, и адаптивной

параметрической

идентификации,

разработанный

для

распределенных систем. Разработаны алгоритмы смешанного, оптимального смешанного и квазиоптимального управления билинейными окрестностными системами,

115

отличающиеся заданием части компонентов векторов состояний или входов в узлах объекта и возможностью определения недостающих компонентов векторов состояний и входов. Предложена

методика

управления

распределенными

системами,

отличающаяся использованием билинейной окрестностной как основной модели объекта, задающей уставки параметров, и применением традиционных моделей в пределах узла для уточняющего локального управления объектом. Получены окрестностные и традиционные модели цеха очистки сточных вод (ЦОСВ) ОАО “НЛМК”. Синтезированы модели управления аэрационными сооружениями на основе традиционных и окрестностных моделей с учётом энергозатрат на примере отделения аэротенков. Решена задача смешанного управления и оптимального смешанного управления для данных объектов с помощью программной реализации средствами Mathcad в виде пакета функциональных модулей. Разработанные методы позволяют синтезировать адекватные объекту сложной структуры окрестностные модели и эффективные алгоритмы управления ими на основе системного анализа экспериментальной информации в системах идентификации. Предлагаемые математические модели и методы допускают реализацию в виде комплекса программных продуктов, которые могут использоваться в качестве функциональных модулей при решении задач исследования, моделирования и управления промышленными объектами. Результаты

расчетов

для

реальных

промышленных объектов

высокой

сложности подтверждают правомерность принципов, положенных в основу разработанных подходов.

116

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: основы моделирования и первичной обработки данных [Текст] / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. - М.: Финансы и статистика, 1983. – 471 с. 2. Аттетков, А.В. Методы оптимизации [Текст]: учеб. для вузов / А.В. Аттетков. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2003.-440с. 3. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем управления [Текст] / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. – М.: Высшая школа, 2003. – 615 c. 4. Блюмин, С.Л. Псевдообращение [Текст]: учеб. пособие / С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов. – Липецк: ЛГТУ, 1990. - С. 63. 5. Блюмин,

С.Л.

Многомерные

преобразования

сигналов

и

анализ

нелинейных систем [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин. – Липецк: ЛГТУ, 1992. - 79 с. 6. Блюмин, С.Л. Дискретное моделирование систем автоматизации и управления [Текст]: монография / С.Л. Блюмин, А.М. Корнеев. - Липецк: ЛЭГИ, 2005. – 124 с. 7. Блюмин, С.Л. Задача управления смешанными системами [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, Д.А. Шмырин // Тез. докл. III Воронежской весенней матем. школы «Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения–VIII)». - Воронеж: ВГУ, 1997. – С. 24. 8. Блюмин, С.Л. Адаптивная идентификация нелинейных смешанных систем на графах [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин // Тез. докл. Воронежской школы «Современные проблемы механики и прикладной математики». - Воронеж: ВГУ, 1998. - С. 47. 9. Блюмин, С.Л. Алгоритм параметрической идентификации и управления симметричными системами [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, Д.А. Шмырин // Тез. докл. Воронежской вес. матем. школы «Современные

117

методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения–IX)». –Воронеж: ВГУ, 1998. – С. 28. 10. Блюмин,

С.Л.

Новое

направление

в

моделировании

систем:

окрестностные системы [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, Д.А. Шмырин // Программное обеспечение автоматизированных систем управления: международная научно- техническая конференция. – Липецк: ЛГТУ, 2000. - С.15-19. 11. Блюмин, С.Л. Алгоритм преобразования билинейных окрестностных систем в линейные двухаргументные. [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Прогрессивные технологии и оборудование в машиностроении и металлургии: сб. мат. Всероссийск. научн.- технич. конф., посвящённой 40–летию ЛГТУ, ч. 2.–Липецк: ЛГТУ, 2002.– С.1721.

12. Блюмин,

С.Л.

Алгоритмы

преобразования

m -линейных

одноаргументных и билинейных двухаргументых окрестностных систем

в линейные

[Текст] /

С.Л.

Блюмин,

А.М.

Шмырин,

О.А.Шмырина // Информационные технологии в процессе подготовки современного специалиста: межвуз. сб. - Липецк, 2002. – С.5-7. 13. Блюмин, С.Л. Алгоритмы преобразования m -линейных окрестностных систем в линейные (n1 +K + nm ) - аргументные системы [Текст] / С.Л. Блюмин,

А.М.

Шмырин,

О.А.Шмырина

// Электротехнические

комплексы и системы управления: сб. научн. трудов. – Воронеж: ВГТУ, 2002. – С.81-86. 14. Блюмин, С.Л. Многоразмерностные окрестностные системы в экологии [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Вестник ЛГТУЛЭГИ.–Липецк: ЛЭГИ, 2002. - №1(9). –С.40-44. 15. Блюмин,

С.Л.

Преобразование

билинейных

одноаргументных

нестационарных систем в линейные двухаргументные неоднородные системы [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина //

118

Современные сложные системы управления: сб. тр. междунар. науч.тех.конф.- Липецк: ЛГТУ, 2002. –С.27-30. 16. Блюмин, С.Л. Симметричные, смешанные и билинейные окрестностные модели [Текст] / С.Л. Блюмин, О.А. Шмырина // Экономика и управление, математика: сб. науч. тр. ЛЭГИ – Липецк, 2002. – С.44-48. 17. Блюмин, С.Л. Трехлинейные модели: расширение класса билинейных моделей [Текст] / Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Шмырина О.А // Экология. ЦЧО РФ. - 2002. - № 2(9). – С.104-105. 18. Блюмин, С.Л. Связь классов m -линейных ni –аргументных систем с классами линейных неоднородных (n1 +K + nm) - аргументных систем [Текст] / С.Л. Блюмин., А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Идентификация систем и задачи управления: междунар. конф. SICPRO-03. - № 20-5. -М.: ИПУ, 2003.-11c. 19. Блюмин, С.Л. Модели аэрационных сооружений с учетом энергозатрат [Текст]

/

С.Л.

Блюмин,

А.М.

Шмырин,

О.А.

Шмырина

//

Электроэнергетика, энергосберегающие технологии. Ч. 2: Всероссийская научн.-технич. конф. Сб. докл. – Липецк: ЛГТУ, 2004. – С. 197-200. 20. Блюмин, С.Л. Окрестностные системы [Текст] / С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин. - Липецк: ЛЭГИ, 2005. ─132 с. 21. Блюмин, С.Л. Идентификация и управление окрестностными системами [Текст] / С.Л. Блюмин., А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Идентификация систем и задачи управления: междунар. конф. SICPRO-05. -М.: ИПУ, 2005.-С. 343-351. 22. Бокс, Д. Анализ временных рядов, прогноз и управление [Текст] / Д. Бокс, Г. Дженкинс. - М.: Мир, 1974. – 406 с. 23. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления [Текст] / В.Г. Болтянский. - М.: Наука, 1968. – 408 с. 24. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами [Текст] / А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. – 568 с.

119

25. Бутковский,

А.Г.

Теория

подвижного

распределенными параметрами

управления А.Г.

[Текст] /

системами

Бутковский,

с

А.М.

Пустыльников. - М.: Наука, 1980 – 384 с. 26. Ганеев, Р.М. Математические модели в задачах обработки сигналов [Текст] / Р.М. Ганеев. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. – 80с. 27. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц [Текст] / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1988.–548 с. 28. Гринин, А.С. Математическое моделирование в экологии [Текст]: учеб. пособие / А.С. Гринин. - М.: Юнити-Дана, 2003.- 269с. 29. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп.– М.: Мир, 1979. – 302 с. 30. Дейч, А.М. Методы идентификации динамических объектов [Текст] / А.М. Дейч. – М.: Энергия, 1979. – 240 с. 31. Егупов,

Н.Д.

Методы

классической

и

современной

теории

автоматического управления [Текст]: учеб. для вузов / Н.Д. Егупов. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2003. - 656с. 32. Зарубин, В.С. Математическое моделирование в технике [Текст]: учеб. для вузов / В.С. Зарубин, А.П. Крищенко. - М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2003. - 496 с. 33. Карабутов, Н.Н. Модели оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики [Текст] / Н.Н. Карабутов, А.М. Шмырин, Е.В. Григорьева, О.А. Шмырина // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2005. - №9. - С.31-33. 34. Карабутов, Н.Н. Адаптивная идентификация билинейных окрестностных систем [Текст] / Н.Н. Карабутов, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Экология Центрально - Чернозёмной области Российской Федерации. Липецк: ЛЭГИ. - 2004. - №2(13).- С.6-9. 35. Карабутов, Н.Н. Окрестностные и нечетко-окрестностные модели пространственно-распределенных систем [Текст] / Н.Н. Карабутов, А.М.

120

Шмырин, О.А. Шмырина // Приборы и Системы. Управление, Контроль, Диагностика. - 2005. - № 12. -С.19-22. 36. Карабутов, Н.Н. Управление аэрационными сооружениями на основе окрестностных моделей с учётом энергозатрат [Текст] / Н.Н. Карабутов, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Промышленные АСУ и контроллеры. 2005. - №12. - с.41-43. 37. Карабутов,

Н.Н.

Идентификация

систем:

структурный

и

информационный анализ [Текст] / Н.Н. Карабутов. - М.: Альтаир. - 2005. - Ч. 1 – 80 с. 38. Карабутов, Н.Н. Параметрическая идентификация металлургических процессов: учет информационных аспектов [Текст] / Н.Н. Карабутов, В.Е. Пятецкий. — М.: Металлургия, 1992. – 144 с. 39. Карабутов, Н.Н. Окрестностные системы: идентификация и оценка состояния [Текст] / Н.Н. Карабутов, А.М. Шмырин. - Липецк: ЛЭГИ, 2005. ─132 с. 40. Кашьяп, Р.Л. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным [Текст] / Р.Л Кашьяп, А.Р. Рао. - М.: Наука, 1983. – 389 с. 41. Кичигин, В.И. Моделирование процессов очистки воды. [Текст]: учеб. пособие / В.И. Кичигин. - М.: АСВ, 2003. – 230с. 42. Коган, М.М. Адаптивное локально-оптимальное управление [Текст] / М.М. Коган, Ю.И. Неймарк // Автоматика и телемеханика. – 1987. - № 8. – С. 126 – 136. 43. Красовский, А.А. Оптимальные алгоритмы в задачах идентификации с адаптивной моделью [Текст] / А.А. Красовский // Автоматика и телемеханика. – 1976. - № 12. – С. 75 – 82. 44. Красовский, А.А. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами [Текст] / А.А. Красовский, В.Н. Буков, В.С. Шендрик. — М.: Наука, 1977. – 255 с.

121

45. Крутько, П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем [Текст] / П.Д. Крутько. Линейные модели. – М.: Наука, 1987. – 304 с. 46. Кунцевич, В.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления [Текст] / В.М. Кунцевич, М.М. Лычак. — Киев: Наукова думка, 1985. – 248 с. 47. Кунцевич, В.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова [Текст] / В.М. Кунцевич, М.М. Лычак. — М.: Наука, 1977. – 400 с. 48. Куржанский, А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок (обзор) [Текст] / А.Б. Куржанский // Автоматика и телемеханика. 1991. - № 4. - С. 9 – 26. 49. Ланге, Ф.Г. Статистические аспекты построения измерительных систем. — М.: Радио и связь, 1981. 168 с. 50. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя [Текст] / Л. Льюнг. – М.: Наука, 1991. – 432 с. 51. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1 [Текст]: Сборник статей / под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.448с. 52. Нелинейная динамика и управление. [Текст] / Сборник трудов ИСА РАН. К 70-летию академика С.В.Емельянова. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 288с. 53. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов [Текст] / Д. Норри, Ж. де Фриз. – М. : Мир, 1981. – 304 с. 54. Основы управления технологическими процессами [Текст] / под ред. Н.С. Райбмана. — М.: Наука, 1978. – 440 с. 55. Партыка, В.Н. Математические методы [Текст] / В.Н. Партыка. - М.: Форум; Инфра-М, 2005. – 464с. 56. Первозванский, А.А. Курс теории автоматического управления [Текст]: учеб. пособие / А.А. Первозванский .– М.: Наука. 1986. – 616 с. 57. Перельман, И.И. Оперативная идентификация объектов управления

122

[Текст] / И.И. Перельман. — М.: Энергоиздат, 1982. – 272 с. 58. Поляк, Б.Т. Оптимальные псевдоградиентные алгоритмы адаптации [Текст] / Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. – 1980. № 8. – С. 74 – 84. 59. Пупков, К.А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем [Текст] / К.А. Пупков, В.И. Капалин, А.С. Ющенко. - М.: Наука, 1976.- 446с. 60. Райбман, Н.С. Дисперсионные методы идентификации многомерных нелинейных объектов управления [Текст] / Н.С. Райбман, О.Ф. Ханш // Автоматика и телемеханика. - 1967. - № 5– С. 5 - 29. 61. Райбман, Н.С. Построение моделей процессов производства [Текст] / Н.С. Райбман, В.М. Чадеев. — М.: Энергия, 1975. – 376 с. 62. Растригин,

Л.А.

Современные

принципы

управления

сложными

объектами [Текст] / Л.А. Растригин.–М.: Сов. радио, 1980.–232 с. 63. Рыков, А.С. Модели и методы системного анализа: Принятие решений и оптимизация [Текст]: учеб. пособие / А.С. Рыков. - М.: МИССИС, 2005. 352с. 64. Салыга, В.И. Идентификация и управление процессами в черной металлургии [Текст] / В.И. Салыга, Н.Н. Карабутов. — М.: Металлургия, 1986. – 192 с. 65. Салыга, В.И. Метод ϕ-алгоритмов и его применение в задачах управления [Текст] / В.И. Салыга, Н.Н. Карабутов // Адаптивные системы автоматического управления. — Киев: Технiка. – 1988. - № 6. – С. 45 – 52. 66. Салыга, В.И. Построение алгоритмов управления динамическими системами с помощью функций Ляпунова [Текст] / В.И. Салыга, Н.Н. Карабутов // Всесоюзная научная конференция "Метод функций Ляпунова в современной математике": Тезисы докладов. — Харьков, 1986. – С. 67. 67. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управления [Текст] / Э.П. Сейдж, Дж.Л. Мелса. - М.: Наука, 1974. - 284 с.

123

68. Семененко, М.Г. Математическое моделирование в MathCad [Текст] / М.Г. Семененко. - М.: Альтекс-А, 2003.- 208 с. 69. Справочник по теории автоматического управления [Текст] / под ред. А. А. Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с. 70. Стратонович, Р.Л. Теория информации [Текст] / Р.Л. Стратонович. - М.: Советское радио, 1975. - 424 с. 71. Тьюарсон, Дж. Разреженные матрицы [Текст] / Дж. Тьюарсон. – М.: Мир. 1986. – 374 с. 72. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления [Текст] / Р.П. Федоренко.–М.: Наука, 1978.–488 с. 73. Фомин, В.Н. Адаптивное управление динамическими объектами [Текст] / В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, В.А. Якубович.— М.: Наука, 1981. – 448 с. 74. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах [Текст] / Я.З. Цыпкин. - М.: Наука, 1968. – 380 с. 75. Цыпкин, Я.З. Основы информационной теории идентификации [Текст] / Я.З. Цыпкин. – М.: Наука, 1984. – 320 с. 76. Шилдт, Г. Теория и практика C++ [Текст] / Г. Шилдт. – СПб.: BHV – Санкт–Петербург, 1996. – 416 с. 77. Шмырин, А.М. Смешанное управление нелинейными системами и экологическая безопасность [Текст] / А.М. Шмырин, Шмырина О.А. // Экология ЦЧО РФ. - Липецк: ЛЭГИ. - 2001. - № 2. – с.153-155. 78. Шмырин, А.М. Алгоритм преобразования m -линейных окрестностных систем в линейные m -аргументные [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Компьютерное моделирование 2002: тр. 3-й межд. науч.технич. конф. –Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2002. –С.118-120. 79. Шмырин, А.М. Компьютерное моделирование как метод изучения нелинейных смешанных систем [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина //

Инновационные

процессы

в

высшей

школе

и

проблемы

совершенствования подготовки специалистов: материалы Всероссийск. научн.-методич. конф. 5-7 февраля 2002 г. – Липецк, 2002. – С.139-140.

124

80. Шмырин, А.М. О преобразовании m-линейных окрестностных систем в линейные m-аргументные [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы “Понтрягинские чтения-XIII” 3-9 мая 2002 года.-Воронеж, 2002.-С.165-166. 81. Шмырин, А.М. Решение обратных задач для m-линейных окрестностных систем [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: тр. региональной науч.-технич. конф.-Воронеж: ВГТУ, 2002.-С.11-12. 82. Шмырин, А.М. Симметричные и билинейные модели цеха очистки сточных вод [Текст] / А.М. Шмырин, Е.В. Григорьева, О.А. Шмырина, Е.Ю. Григорьева // Вопросы практической экологии: сб. материалов Всероссийск. научн.-практич. конф. – Пенза: МНИЦ ПГСХА, 2002. –С. 234-235. 83. Шмырин, А.М. Исследование влияния сточных вод на эвтрофирование водоёмов [Текст] / А.М. Шмырин, Е.В. Григорьева, О.А. Шмырина, Е.Ю. Григорьева // Экология Центрально - Чернозёмной области Российской Федерации. - Липецк: ЛЭГИ. – 2002. - №1.- С.26-28. 84. Шмырин, А.М. Модели биологической очистки сточных вод с учётом энергозатрат [Текст] / А.М. Шмырин, Е.В. Григорьева, О.А. Шмырина, Е.Ю. Григорьева // Водохозяйственный комплекс и экология гидросферы в регионах России: сб. материалов V международной научн.-практич. конф. - Пенза: МНИЦ ПГСХА, 2002. – С.155-156. 85. Шмырин, А.М. Билинейные окрестностные системы [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Современные проблемы информатизации в технике и технологиях: сб. трудов (по итогам VII международной открытой научной конференции). Вып. 7. – Воронеж: Центральночерноземное книжное издательство, 2002. –С.71-72. 86. Шмырин, А.М. Допустимое смешанное управление билинейными окрестностными системами [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина //

125

Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике: сб. трудов (по итогам X международной открытой научной конференции). Вып. 10. - Воронеж: Научная книга, 2005. –С.129-130. 87. Шмырин,

А.М.

Линеаризация,

идентификация

и

управление

окрестностными системами [Текст] / А.М. Шмырин, О.А. Шмырина // Системы управления и информационные технологии. - 2005. - №3 (20). С.40-44. 88. Шмырина, О.А. Компьютеризация процесса изучения смешанного управления с экономическим критерием [Текст] / О.А. Шмырина // Инновационные процессы в высшей школе: материалы VII межд. науч.практич. конф. 27-29 сентября 2001 года. – Краснодар, 2001. – С.117-118. 89. Шмырина, О.А. Смешанное управление с экономическим критерием и экологическая безопасность окружающей среды [Текст] / О.А. Шмырина // Наша общая окружающая среда: сб. тез. докл. II научн.-практич. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов.- Липецк: ЛЭГИ, 2001.-С.62-63. 90. Шмырина, О.А. Билинейные модели очистки сточных вод [Текст] / О.А. Шмырина // Наша общая окружающая среда: сб. тез. докл. III научн.практич. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов г. Липецка. Липецк: ЛЭГИ, 2002. С.10-11. 91. Шмырина, О.А. Смешанное управление с экономическим критерием [Текст] / О.А. Шмырина // Современные проблемы информатизации в технике и технологиях: тр. VI межд. открытой науч. конф.- Воронеж: Центрально-Черноземное книжное издательство, 2002. –С.83. 92. Шмырина, О.А. Алгоритм идентификации нелинейных окрестностных дискретных систем [Текст] / О.А. Шмырина // Наша общая окружающая среда: сб. тез. докл. IV научн.- практич. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов г. Липецка. - Липецк: ЛЭГИ, 2003. - С.45-46. 93. Шмырина, О.А. Идентификация билинейных окрестностных систем [Текст] / О.А. Шмырина // Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ. - Липецк: ЛЭГИ. -2003.№1(11). - с.32-39.

126

94. Шмырина, О.А. Координатная форма билинейной окрестностной модели [Текст] / О.А. Шмырина // Экология ЦЧО РФ. - Липецк: ЛЭГИ. - 2003.№2(11). - С.19-25. 95. Шмырина, О.А. О некоторых свойствах нелинейных систем [Текст] / О.А. Шмырина // Проблемы непрерывного образования: проектирование, направление,

функционирование:

материалы

международ.

научн.-

методич. конф. Ч. III. – Липецк: ЛГПУ, 2003.- С.98-100. 96. Шмырина,

О.А.

Билинейные

модели

энергоемких

сооружений

биологической очистки [Текст] / О.А. Шмырина // Наша общая окружающая среда: сб. тез. докл. V научн.-практич. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов г. Липецка. - Липецк: ЛЭГИ, 2004. С.52-54. 97. Шмырина, О.А. Информационные аспекты идентификации билинейных окрестностных систем [Текст] / О.А. Шмырина // Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ, Липецк: ЛЭГИ. -2005.-№1(13). - С.33-36. 98. Шмырина, О.А. Модели прогнозирования качества очистки сточных вод [Текст] / О.А. Шмырина // Информационные технологии моделирования и управления. - Воронеж: Научная книга. - 2005. - №4 (22). - С.627-630. 99. Шмырина, О.А. Сравнение классических и окрестностных моделей аэротенка [Текст] / О.А. Шмырина // Информационные технологии моделирования и управления. - Воронеж: Научная книга. – 2005. - 5(23). С.782-786. 100.

Шмырина, О.А. Анализ информации в задачах идентификации

билинейных окрестностных систем [Текст] / О.А. Шмырина, П.Н. Карабутов // Наша общая окружающая среда: сб. тез. докл. VI научн.практич. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов г. Липецка. Липецк: Изд-во ЛЭГИ, 2005. - С.99-100. 101.

Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления [Текст] /

П. Эйкхофф. — М.: Мир, 1975. – 648 с.

127

102.

Goka, T. On the controllability of a discrete bilinear systems [Text] / T.

Goka, T.J. Tarn // Automatica. – 1973. - №5. – P.615-622. 103.

Hallum, C.R. Computational aspects of matrix generalized inversion for

the computer with applications [Text] / C.R. Hallum, M.D. Pore // Comp. & Math. With Appls. - 1974. - Vol. 1. - P. 145-150. 104.

Kamen, E. On the relationship between bilinear maps and linear 2D

maps [Text] / E. Kamen // Nonlin. Anal., Theor., Meth. & Appl. – Vol.3. 1979. - № 4. – P.467-481. 105.

Mohler, R.R. Bilinear Control Processes. With Applications to

Engineering, Ecology and Medicine [Text] / R.R. Mohler // Academic press.New-York and London, 1973.- 224 p. 106.

Monako, S. The immersion under feedback of a multidimensional

discrete-time non-linear system into a linear system [Text] / S. Monako, D. Normand-Cyrot // Int. J. Control. - 1983. - Vol.38. - No.1. - P.245-261. 107.

Shannon, C.A. Mathematical theory of communication [Text] / C.A.

Shannon // Bell System Technical Journal. V. 27, July, October, 1948.- P. 379–423, 623–656. 108.

Shmyrina, O.A. Forecasting of the Material’s Characteristics Using the

Distributed Neighborhood’s Models [Text] / O.A. Shmyrina // Interactive Systems and Technologies: The Problems of Human-Computer Interaction. Proceeding of the International Conference. - V 2. Ulyanovsk. - 2005. - P. 1315. 109. Zadeh, L.A. From Circuit Theory to System Theory [Text] / L.A. Zadeh // Proc IRE, 50, 1962.- P. 856–865. 110. Zadeh, L.A. Linear System Theory. The State Space Approach [Text] / L.A. Zadeh, C.A. Desoer. – McGraw–Hill. – New–York, 1965. - 704 p.

128

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ

3

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫМИ БИЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

6

1.1. Проблема математического описания дискретных билинейных объектов управления

6

1.2. Связь билинейных окрестностных моделей с симметричными и смешанными окрестностными моделями

12

1.3. Методы идентификации систем управления

13

1.4. Методы синтеза алгоритмов управления

19

1.5. Прикладные задачи

23

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ БИЛИНЕЙНЫХ ОКРЕСТНОСТНЫХ СИСТЕМ

26

2.1.Постановка задачи параметрической идентификации дискретных билинейных окрестностных систем

26

2.2. Разработка алгоритмов линеаризации билинейных систем

27

2.2.1. Билинейные стационарные системы

27

2.2.2. Билинейные нестационарные системы

30

2.2.3. Билинейные окрестностные системы

33

2.2.4. Алгоритм преобразования билинейных m -аргументных окрестностных систем в линейные 2m -аргументные

36

2.2.5. Алгоритм преобразования билинейных ni -аргументных окрестностных систем в линейные (n1 + n2 ) -аргументные системы 2.3. Координатные формы билинейных окрестностных систем

37 38

2.4. Разработка алгоритмов параметрической идентификации билинейных систем

46

2.5. Разработка адаптивных алгоритмов идентификации билинейных окрестностных систем

56

2.6. Адаптивный алгоритм идентификации нелинейных окрестностных дискретных систем

60

129

3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫМИ ОКРЕСТНОСТНЫМИ СИСТЕМАМИ

62

3.1. Постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными системами

62

3.2. Алгоритм смешанного управления билинейными окрестностными системами

63

3.3. Алгоритм оптимального смешанного управления

70

3.4. Алгоритм квазиоптимального смешанного управления билинейными окрестностными системами

72

3.5. Пример смешанной идентификации и смешанного управления билинейными окрестностными системами

74

4. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ЦЕХА ОЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД 4.1. Примеры билинейного моделирования системы из двух узлов

80 80

4.2. Разработка моделей сложного промышленного объекта – цеха очистки сточных вод

83

4.2.1. Описание цеха очистки сточных вод как объекта управления

83

4.2.2. Информативность переменных состояния и управления

84

4.3. Модели оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики

86

4.3.1. Статические и динамические модели процесса очистки сточных вод

86

4.3.2. Синтез окрестностных моделей и смешанное управление цехом очистки сточных вод

89

4.3.3. Применение адаптивного подхода к построению модели процесса очистки сточных вод

93

4.4. Управление аэрационными сооружениями на основе окрестностных моделей с учётом энергозатрат 4.4.1. Описание работы и выбор существенных параметров работы

95

130

аэротенка

95

4.4.2. Классические и окрестностные модели аэротенка

97

4.4.3. Квазиоптимальное смешанное управление аэротенком

99

4.4.4. Сравнение классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных моделей аэротенка

100

4.4.5. Адаптивные модели управления работой аэротенка

105

4.5. Прогнозирование свойств материалов с помощью распределенных окрестностных моделей

107

4.6. Некоторые перспективы использования билинейных окрестностных моделей

110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

114

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

116

Научное издание Блюмин Семен Львович Шмырин Анатолий Михайлович Шмырина Ольга Анатольевна

Билинейные окрестностные системы Монография

Подписано в печать 17.07.2006. Формат 60x841/16. Бумага офсетная Ризография. Объем 8,25 п.л. Тираж 500 экз. Заказ № 630 Липецкий государственный технический университет 398600 Липецк, ул. Московская, 30 Типография ЛГТУ. 398600 Липецк, ул. Московская, 30