Физика твердого тела: Методические указания к выполнению контрольной работы, задания на контрольную работу

Министерство образования Российской Федерации Северо-западный государственный заочный технический университет Кафедра физики

Физика твердого тела Методические указания к выполнению контрольной работы Задания на контрольную работу Направления и специальности подготовки дипломированных специалистов: 200400 -

Санкт-Петербург 2002

2

Утверждено редакционно-издательским советом университета. УДК 53 (07) Физика твёрдого тела Задания на контрольную работу. Методические указания к выполнению контрольной работы.- СПб: СЗТУ, 2002, с. Методический сборник включает задания на на контрольную работу по следующим разделам дисциплины «Физика твёрдого тела»: Пространственная решетка кристалла, Теплоемкость и теплопроводность кристаллов, Электронный газ в металлах, Собственные и примесные полупроводники, P-n – переход, Диффузия носителей тока, Эффект Холла. В сборнике содержатся рекомендации к решению задач и оформлению контрольных работ, основные законы и формулы, примеры решения задач и некоторые справочные материалы. Задания на контрольные работы по дисциплине «Физика твёрдого тела» разработаны в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов профессионального высшего образования по направлениям и специальностям подготовки дипломированных специалистов: 200400 ( ). Рассмотрено на заседании кафедры физики 2002 года; одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники 2001 года. Рецензенты:

Составители: А.И. Шерстюк, докт. физ.-мат. наук, проф.; Д.Г. Летенко, канд. физ.-мат. наук,доц.

© Северо-Западный заочный технический университет, 2002

3

Введение. В процессе изучения дисциплины «Физика твёрдого тела» студенты выполняют одну контрольную работу: в 6-ом семестре. Решение физических задач является необходимой практической основой изучения дисциплины «Физика твёрдого тела». Основной целью выполнения контрольных работ является выработка у студентов приемов и навыков решения контрольных задач из разных областей физики твёрдого тела, помогающих студентам решать в дальнейшем инженерные задачи. Контрольные работы несут в себе функцию закрепления, развития и углубленного освоения основных положений теории. Решение задач способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе. При решении задач студент должен самостоятельно осуществить ряд мыслительных операций, опираясь на имеющиеся у него знания и умения. Контрольные работы позволяют проверить степень усвоения студентами основных разделов теоретического курса.

4

1. Методические указания по решению контрольной работы. Контрольная работа должна быть оформлена в тонкой тетради (12 или 18 листов). Задания на контрольные работы выбираются по таблице 1. Номер варианта соответствует последней цифре шифра студента. При оформлении контрольного задания обязательно переписывать условия задач. Номер варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Номера задач 1 2 3 4 5 6 7 3 7 2

8 11 9 10 13 20 25 15 16 14

12 17 15 16 18 32 33 26 27 24

14 23 19 22 24 39 36 38 44 31

21 31 30 34 29 42 43 47 50 40

28 40 41 47 37 46 53 55 56 49

35 49 48 51 45 52 54 59 58 54

42 58 59 60 61 57 56 61 60 57

2. Список основных формул. 1. Пространственная решетка кристалла. 1. Координаты любого узла решетки записываются в виде: X1 = n1a1; Y = n2a2; Z = n3a3 и обозначаются: [[n1n2n3]], где ai – основные периоды решетки, ni – целые числа, называемые индексами узла и обозначающие число периодов решетки, соответствующих данному узлу, i = 1,2,3. Для описания направления в кристалле выбирают прямую, проходящую через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексами направления, [n1n2n3] , где ni – индексы ближайшего к началу координат узла решетки. 2. Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [n1n2n3], в кубической решетке выражается соотношением: l = a n12 + n22 + n32 (1) где а – параметр решетки.

5

3. Кристаллографические плоскости определяются тремя взаимно простыми целыми числами (hkl), называемыми индексами Миллера. Они определяют систему бесконечного числа параллельных между собой плоскостей, каждая из которых характеризуется определенным значением числа q = 0, +1, +2,…Таким образом, кристаллографическая плоскость однозначно задается совокупностью чисел {(hkl),q}. Для отрицательных индексов над (или под) буквой ставится знак минус, например h . Индексы [[n1n2n3]] любого узла, лежащего в данной плоскости, удовлетворяют соотношению: n1h + n2k + n3l = q (2) При q = 0 плоскость проходит через начало координат. Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Так, плоскость (110) параллельна оси z, а плоскость (100) параллельна плоскости (yz). 4. Расстояние D плоскости от начала координат определяется числом q: D = q/b0, (3) где b0 = hb1 + kb2 + lb3 (4) вектор обратной решетки, bi (i = 1,2,3) – базисные векторы обратной решетки, b1= Vc-1[a2 a3], b2 = Vc-1[a3 a1], b3 = Vc-1[a1 a2],

(5)

Vc - объем элементарной ячейки кристалла. Из формулы (3) следует, что расстояние d соседними плоскостями (∆q = 1) с индексами (hkl) равно: d = (h2b12 + k2b22 + l2b32)-1/2

(6)

5. Кристаллические плоскости отсекают на осях координат отрезки, равные: xq = а1q/h, yq = a2q/k, zq = a3q/l

(7)

Очевидно, что если q/h, q/k или q/l – целые числа, то плоскость пересекает соответствующую координатную ось в узловой точке. 6. Молярный объем кристалла: Vµ = µ/ρ где µ -молярная масса,

(8)

6

ρ - плотность кристалла. 7

Объем элементарной ячейки в случае кубической сингонии:

Vэл = а3,

(9)

где а – параметр решетки. 8. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла: Zµ = Vµ/Vэл

(10)

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то Zµ = ΝΑ/n

(11)

где NA – число Авогадро, n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку. 9. Число элементарных ячеек в единице объема кристалла: Z=Zµ/Vµ.

(12)

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то Z = ρNA/(nµ)

(13)

10. Параметр решетки, состоящей из одинаковых атомов: a = (nµ/ρNA )1/3

(14)

11. Расстояние между соседними атомами в кубической решетке: а) в простой d =a б) в гранецентрированной

d = √2/2 a

в) в объемноцентрированной d = √3/2 a 12. Число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку: а) простая кубическая решетка n = 1, б) гранецентрированная кубическая решетка n = 4,

7

в) объемноцентрированная кубическая решетка n = 2. 2.Теплоемкость и теплопроводность кристаллов. 1. Согласно закону Дюлонга и Пти, молярная теплоемкость

химически простых твердых тел при температурах, больших температуры Дебая Θ: Cµ = 3R, где R = 8,31 Дж/(моль К) универсальная газовая постоянная. Для химически сложных тел (состоящих их атомов различных химических элементов) – закон Неймана – Коппа: Cµ = 3nR, где n – общее число частиц в химической формуле соединения 2.Удельная теплоемкость: с = Cµ/µ для химически простых и с = 3nR/( Σ µi). для химически сложных веществ . 3. Энергия фонона ε связана с круговой частотой колебаний ω соотношением: ε=hω где h = h/(2π) = 1,054 10−34 Дж с Квазиимпульс фонона: p = h /λ где h = 6,63 10-34 Дж с. Скорость v фонона (скорость звуковых волн в кристалле в пренебрежении дисперсией): v = ωλ/(2π). 4. Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки): ωD = v ( 6π2n)1/3 где n = N/V –концентрация атомов в кристалле, n = NAρ/µ, где ρ − плотность кристалла, µ - масса одного моля. 5. Температура Дебая: Θ = h ωD/k, где k – постоянная Больцмана, k = 1,38 10- 23 Дж/K. 6. Поток тепловой энергии Q, проходящий через поперечное сечение S стержня в единицу времени

8

Q = - λ(dT/dx)S, где λ - теплопроводность, dT/dx – градиент температуры λ = vФl Cv/3, где vф –групповая скорость фононов, l – средняя длина свободного пробега фононов между двумя последовательными столкновениями, Cv –теплоемкость единицы объема. 7. Молярная теплоемкость кристаллической решетки при температуре T<< Θ: Cµ = 12π4R (T/Θ)3/5 = 234R(T/Θ)3.

3. Электронный газ в металлах. 1. Концентрация электронов, dn(ε), энергия которых заключена в интервале значений от ε до ε + d ε : dn(ε) = (2m*)3/2 (2π2h 3)-1 ε1/2 (e (ε − µ)/κΤ + 1) −1 где m* и ε - эффективная масса и энергия электрона, µ - энергия Ферми. 2. При Т = 0 µ = (h 2/2m*) (3π2n) 2/3 3. Средняя энергия электронов при Т = 0: <ε> = 3/5 µ 4. Температура Ферми TF = µ/k. 5. Температура вырождения Тв = 4/(9π) 1/3 TF = 1,313 TF. 4. Собственные и примесные полупроводники. 1. Собственные полупроводники. 1.Концентрация электронов в зоне проводимости. n = 2(2πmnkT)3/2h-3 exp[-(Ec−µ)/(κΤ)] = Νcexp[(µ − Εc )/kT],

9

где Nc – эффективное число состояний (т.е. плотность состояний), приведенное ко дну зоны проводимости; (µ − Ec) энергия Ферми, отсчитанная от дна зоны проводимости; к = 1,38 10-23 Дж/К постоянная Больцмана; Т – температура полупроводника в кельвинах; h = 6.62 10-34 Дж с – постоянная Планка; mn – эффективная масса электрона. 2.Концентрация дырок в валентной зоне: p = 2(2πmpkT)3/2h-3 exp[(Ev - µ)/(κΤ)] = Νvexp[(Ev - µ)/(kT)], где: Nv – эффективное число состояний валентной зоны, приведенное к потолку зоны; (Ev -µ) − энергия Ферми, отсчитанная от потолка валентной зоны; Ev – энергия, соответствующая потолку валентной зоны; Mp – эффективная масса дырок. 3.Равновесная концентрация носителей в собственных полупроводниках: ni = n = p = (Nc Nv) exp[-∆Ε/(kT)], где ∆E - ширина запрещенной зоны полупроводника. 4. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике: µ - Ec = -∆E/2 + kT/2 ln(Nv/Nc) или µ − Εc = - ∆E/2 + 3kT/4 ln(mn/mp). При Т = 0 или mn = mp уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны. 5. Удельная проводимость: σ = e (up + un) (NC NV)1/2 e −∆Ε/(kT) = σ0 e−∆E/(kT), где un и up подвижности электронов и дырок соответственно. II. Примесные полупроводники. 6. Уравнение электронейтральности для электронного (донорного) полупроводника: nn = pn + nД,

10

где: nn – концентрация электронов в зоне проводимости электронного полупроводника; pn – концентрация дырок в валентной зоне электронного полупроводника; nД – концентрация электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости. 7.Уравнение электронейтральности для дырочного (акцепторного) полупроводника: pp = np + pA, где: рр - концентрация дырок в валентной зоне дырочного полупроводника; np – концентрация электронов в зоне проводимости дырочного полупроводника; рА – концентрация дырок, перешедших с акцепторных уровней у валентную зону. В случае, когда все примеси ионизованы, nД ~ NД (или nA ~ NA), где NД и NA – концентрация атомов, доноров и акцепторов, соответственно. 8. Закон действующих масс: Произведение концентраций электронов и дырок в полупроводнике не зависит от его легирования, а зависит только от температуры и равно квадрату концентраций носителей в собственном полупроводнике: n p = ni2(T). 9. Электропроводность электронного (донорного) полупроводника: σ = σ0 exp[-∆E/(2kT)] + σ0n exp[-ЕД/(2kT)] где σοn = enun – энергия активации донорных примесей. 10. Электропроводность дырочного (акцепторного) полупроводника: σ = σ0 exp[-∆E/(2kT)] + σ0p exp[-EA/(kT)], где σ0p = epup; Е – энергия активации акцепторных уровней. 5. P-n – переход. Сила прямого тока в p-n – переходе:

11

J = Js[exp(eU/kT) – 1], где U – внешнее напряжение, приложенное к p-n – переходу в прямом направлении ((+) к р области, (-) к n – области); Js – предельное значение обратного тока (ток насыщения). Сила обратного тока: J = - Js. Js ~ ni2 ~ [-∆E/(kT)]. 6. Диффузия носителей тока. 1.Коэффициенты диффузии электронов Dn и дырок Dp Dn = kTun/e;

Dp = kTup/e,

где е = 1,6 10-19 Кл – заряд электрона, un и up - - подвижность электронов и дырок соответственно. 2.Коэффициент амбиполярной диффузии : Dэфф = (n + p)/(n/Dp + p/Dn ), где n и р – концентрация электронов и дырок соответственно. Для собственного полупроводника (n=p): Dэфф = 2DnDp/(Dn + Dp) 3.Диффузионная длина L: L = (Dэффτ)1/2, где τ - время жизни неравновесных носителей тока. 4.Концентрация неравновесных носителей тока: ∆n(x) = ∆n(0) e-x/L, где ∆n(0) – концентрация неравновесных носителей тока в месте их образования, например, на поверхности освещенного полупроводника; х – координата (расстояние от освещенной поверхности полупроводника);L – диффузионная длина. 7. Эффект Холла. 1. При не слишком сильных магнитных полях холловская разность потенциалов UH пропорциональна магнитной индукции поля В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластины b: UH = RH B I/b = RH Bja, (1)

12

где j – плотность тока в образце; а – ширина образца; RH – постоянная Холла, зависящая от материала образца. 2. Для полупроводников со смешанной проводимостью, у которых концентрации электронов и дырок сравнимы друг с другом, постоянная Холла вычисляется из следующего соотношения: RH = 3π (pup2 – nun2)/[8e(pup + nun)2],

(2)

где n и р – концентрации электронов и дырок, соответственно; un и up – подвижности электронов и дырок соответственно. а) Для полупроводников р – типа выражение для RH примет вид: RH = 3π/(8ep); б) Для полупроводников n – типа (при n>>p): RH = 3π/(8en); в) Для собственных полупроводников, в которых n=p=ni, выражение (2) принимает вид: RH = 3π(up – un)/[8eni(up + un)]. 3. Примеры решения задач. Пример 1: Определить параметр решетки и плотность кристалла кальция, если расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,393 нм. Решетка кубическая, гранецентрированная. Дано: NA = 6,02 1023 моль-1 µ = 40 10−3 кг/моль d = 0,393 10-9м n=4 _________________ a =? ρ = ? Решение. Параметр а решетки и расстояние d между двумя ближайшими соседними атомами связаны соотношением: а = d√2 Подставляя в это выражение численные значения, получим: а = 5,56 10-10 м Плотность кристалла: ρ = µn/(NAa3) = 1,55 103 кг м-3

13

Ответ: а = 5,56 10-10 м, ρ = 1,55 103 кг м-3. Пример 2: Вычислить период идентичности l вдоль прямой [231] в решетке NaCl, если плотность кристалла ρ равна 2,17 г/ см3. Решетка гранецентрированная кубическая. Дано: n1=2, n2=3,n3=1 ρ=2,17 103 кг /м3 --------------------= l =? Решение Постоянная решетки кристалла NaCl равна: (1) a = (nµ/(ρNA))1/3 23 Число Авогадро NA =6,02 10 . Для гранецентрированной решетки число узлов в элементарной ячейке n =4. Пользуясь таблицей Менделеева, находим: Ar(Na) =23, Ar(Cl)=35. Следовательно, Mr(NaCl) = 58, откуда µ(NaCl) = 58 10-3кг/моль. Таким образом, подставляя числа в формулу (1), получаем: а = 5,62 10-10м. Период идентичности кристалла вдоль прямой [231]: l = a(n12 + n22 + n32)1/2 = 5,62 10-10 (4 + 9 + 1)1/2 = 13,3 10-10 м Ответ: l = 1,33 нм. Пример 3: Написать индексы Миллера для плоскости, проходящей через узлы с индексами: [[010]], [[122]], [[132]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат. Дано: Индексы узлов: [[010]],[[122]],[[132]]. ---------------------------------------------------(hkl) =? , xq=?, yq=?, zq=? Решение. Для любого узла с индексами [[n1n2n3]], лежащего в данной плоскости, индексы Миллера (hkl) удовлетворяют соотношению: n1h + n2k + n3l = q, (1) где h,k,l,q – целые числа. Подставляя в уравнение (1) последовательно индексы всех трех узлов, получаем систему уравнений: k=q h + k – 2l = q h + 3k + 2l =q

14

Решая эту систему в целых числах, получаем: h = -6, k=4, l = -1; q=4, т.е. данная плоскость задается индексами: {(641);4}. Она отсекает на осях координат отрезки, равные: x0 = a1q/h = -2/3 a1; y0 = a2q/k = a2; z0 = -4a3, где аi (i = 1,2,3) – основные периоды решетки. Плоскость пересекает оси у и z в узловых точках. Ответ: {(641);4}; {-2/3a1, a2, -4a3}. Пример 4: Вычислить по классической теории теплоемкость С кристалла бромида алюминия (AlBr3) объемом V= 200 см3. Плотность ρ кристалла бромида алюминия равна 3,01 г/см3. Условие T > Θ считать выполненным. Дано: V = 2 10-4 м3 ρ = 3.01 103 кг м-3 С=? Решение. Химическая формула соединения AlBr3 содержит четыре атома (n=4). Поэтому, согласно закону Неймана-Коппа, молярная теплоемкость кристалла: Сµ = n 3R = 99,7 Дж/моль К. Теплоемкость всего кристалла: (1) C = Cµm/µ = CµρV/µ = 12RρV/µ. По таблице Менделеева находим: Ar(Al) = 27, Ar(Br) = 80, следовательно Mr(AlBr3) =267, а µ = 0,267 кг/моль. Подставляя в формулу (1) числа, получаем: С = 225 Дж/K Ответ: С = 225 Дж/K Пример 5: Вычислить длину волны фононов в свинце, соответствующую частоте ω = 0,1ωD, если плотность свинца ρ = 11,3 г/cм, а молярная масса µ = 207 г/моль. Дано: ρ = 11,3 103 кг/см µ = 207 10-3 кг/моль ω = 0,1 ωD λΦ = ? Решение.

15

Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки) определяется выражением: (1) ωD = v(6π2n)1/3 где v – скорость распространения колебаний (скорость звука) в кристалле, n – концентрация атомов в кристалле, (2) n = NAρ/µ. В пренебрежении дисперсией звука в кристалле: λΦ = 2πv/ω, или, согласно условию задачи, λΦ = 20πv/ωD . Окончательно, пользуясь формулами (1) и (2), получаем: λΦ = 20π(6π2NAρ/µ)-1/3

(3)

Подставляя в формулу (3) NA = 6,02 1023 и числовые данные из условия задачи, будем иметь: λΦ = 5 10−9 м. Ответ: λΦ = 5 нм. Пример 6: Определить температуру Дебая для серебра, если известно, что для нагревания серебра массой m = 15 г от температуры Т1 = 5К до температуры Т2 = 10 К надо затратить количество тепла Q = 6,8 10-2 Дж. Условие T<<Θ считать выполненным. Дано: m= 0,015 кг Q = 6,8 10-2 Дж Т1 = 5 К Т2 = 10 К Θ =? Решение. Так как по условию задачи T<<Θ, то можно воспользоваться формулой Дебая: (1) Cµ = (12/5)π4R(T/Θ)3 = 234R(T/Θ)3 Теплоемкость С тела связана с молярной теплоемкостью Cµ соотношением: (2) С = Cµm/µ Подставляя (2) в (1) и интегрируя по температуре от Т1 до Т2, получаем: Q = (3π4mR/5µΘ3) [T24 – T14] Выразим из формулы (3) температуру Дебая:

(3)

16

Θ = ((3π4mR/5µQ)[T24 – T14])1/3

(4)

Произведем вычисления по формуле (4), учтя, что у серебра молярная масса равна µ = 0,108 кг/моль: Θ = 210 Κ. Ответ: Θ = 210 К Пример 7: Определить температуру вырождения ТB для калия, если считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия ρ = 860 кг/м3. Дано: ρ(K) = 860 кг/м3 ---------------ТB = ? Решение. Температура вырождения ТB согласно квантовой теории электронов в металле определяется выражением: ТB = h2n2/3/(2πkm), (1) -34 где h = 6,62 10 Дж с – постоянная Планка, k = 1,38 10-23 – постоянная Больцмана, m = 9,1 10-31 кг – масса электрона, n – концентрация квазисвободных электронов в металле. Согласно условию n равно концентрации N атомов, которая определяется выражением: (2) N = NAρ/µ, Где NA –число Авогадро, ρ − плотность кристалла, µ молярная масса калия. По таблице Менделеева: µ = 39 10-3 кг/моль. Полагая n = N и подставляя выражение (2) в формулу (1) с учетом приведенных выше числовых данных окончательно получаем: ТВ = 3,12 104 К. Ответ: ТВ = 31,2 кК Пример 8: Вычислить положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости в полупроводнике с концентрацией ионизированных доноров NД = 1023 м-3. При температуре Т = 300К плотность состояний у дна зоны проводимости NC = 2,5 1025 м-3 Дано: NД = 1,0 1023 м-3 Т = 300К

17

NC = 2,5 1025 м-3 k = 1,38 10-23 Дж/К -----------------------Решение. (µ − EC) = ? По условию задачи мы имеем дело с донорным полупроводником (n-типа), который находится при температуре Т>Ts, где Ts – температура, при которой происходит полное истощение примеси: Ts = EД (k ln(3NC/NД))-1 (1) Обычно энергия ионизации доноров порядка ЕД ~ 0,01 эВ. Используя это значение и численные значения NC и NД, можно оценить величину Ts. Проведя вычисления по формуле (1), получим: Ts ~ 20K, т.е. T>>Ts. Концентрация электронов в зоне проводимости при полном истощении донорных уровней становится равной концентрации примеси (n= NД). Она определяется выражением: (2) n = NC exp[(µ − EC)/(kT)] Cледовательно, в нашем случае: NC/NД = exp[-(µ - EC)/(kT)] Прологарифмируем выражение (3): ln(NC/NД) = - (µ − ЕС)/(kT)

(3) (4)

Отсюда (µ − ЕС) = – kT ln(NC/NД).

(5)

Подставляя в выражение (5) численные значения величин, проведем вычисления и определим положение уровня Ферми: (µ −ЕС) = - 0,143 эВ. Ответ: (µ − ЕС) = - 0,143 эВ. Пример 9: В германии при температуре 300К концентрация собственных носителей равна 4,0 1019 м-3. Определить концентрацию электронов nn, дырок рn и доноров NД, если nn = 1,005 NД. Дано: Т= 300К ni = 4,0 1019K nn = 1,005 NД ----------------

18

nn = ? pn = ? NД =?

Решение.

По условию задачи мы имеем дело с примесным полупроводником n-типа (донорный полупроводник). Используем уравнение электронейтральности: nn = pn +NД (1) Подставляем условие для nn в формулу (1): 1,005 NД = pn + NД, откуда pn = 5 10-3 Nд. Для определения NД используем закон действующих масс: np = ni2 (2) откуда получаем: 5,025 10-3 NД2 = ni2, и, следовательно NД = ni/0,071= 5,65 1020 м-3 Теперь вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне nn = 1,005 NД = 5,68 1020 м-3 pn = 5 10-3 NД = 2,82 1018 м-3 Ответ: NД = 5,65 1020 м-3 , nn = 5,68 1020 м-3 , pn = 2,82 1018 м-3 Пример 10: На расстоянии 0,48 мм от освещенной поверхности собственного кремния концентрация неравновесных носителей тока спадает в 3 раза. Определить время жизни неравновесных носителей тока, если температура кремния Т=300К, а подвижность электронов и дырок при этой температуре un= 1500 cм2/(В с) и up= 500 cм2/(В c). Собственная концентрация в Si при данной температуре ni =1010 см-3. Дано: ni= 1016 м-3 un = 0,15 м2/(В с) up = 0,05 м2 (В с) Т = 300К x = 4,8 10-4 м ∆n(x)/∆n(0) = 1/3 τ=? Решение. Время жизни неравновесных носителей тока можно определить из соотношения

19

L = (Dэффτ)1/2

⇒

τ = L2/Dэфф.

В этой формуле не известны ни диффузионная длина, ни коэффициент амбиполярной диффузии. Диффузионную длину найдем из соотношения: ∆n(x) = n(o)e-x/L ⇒ ∆n(x)/∆n(0) = e-x/L ⇒ ln(∆n(x)/∆n(0)) = -x/L Следовательно L = x (ln(∆n(0)/∆n(x))) = 4,8 10-4/ln3 = 4,37 10-4 м Чтобы найти коэффициент амбиполярной диффузии, надо сначала найти коэффициенты диффузии электронов и дырок. Dn = kTun/e; Dp = kT up/e. Подставляя числа, получаем: Dn = 3,88 10-3 м2/с; Dp = 1,29 10-3 м2/c. Для собственного полупроводника (n=p=ni) коэффициент амбиполярной диффузии равен: Dэфф = 2DnDp/(Dn + Dp) = 1,94 10-3 м2/c. И, наконец, вычисляем время жизни неравновесных носителей тока: τ = L2/Dэфф = 9,84 10-3 с. Ответ: τ = 98,4 мкс. Пример 11: Тонкая пластина из кремния n-типа шириной 2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля В = 0,5 Тл. При плотности тока, направленной вдоль пластины, равной 2 мкА/мм2, холловская разность потенциалов оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию основных носителей тока. Дано: А = 0,02 м В = 0,5 Тл J = 2 А/м2 UH = 2,8 B ---------------

20

n=? Решение. В данной задаче рассматривается полупроводник n-типа, для которого постоянная Холла определяется их соотношения: RH = 3π/(8en) (1) Чтобы определить концентрацию n носителей, нужно знать постоянную Холла RH, которую можно выразить из формулы для холловской разности потенциалов: UH = RH Bja. Отсюда: RH = UH/(Bja).

(2)

Приравняем правые части выражений (1) и (2): 3π/(8en) = UH/(Bja) Отсюда получим концентрацию основных носителей тока: n = 3πBja/(8eUH)

(3)

Подставляя в формулу (3) числовые значения, получим: n = 5,26 1016 м-3. Ответ: n = 5,26 1016 м-3.

4. Задания на контрольную работу. 1.Вычислить период идентичности l вдоль направления [021] в решетке AgBr, если плотность кристалла ρ равна 3,87 г/см3. Решетка гранецентрированная кубическая. 2. Кристаллическая плоскость проходит через узлы [[110]], [[201]], [[321]] решетки. Написать индексы Миллера для этой плоскости. 3.Система плоскостей в примитивной кубической решетке задается индексами Миллера (312). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. 4. Написать индексы Миллера для двух плоскостей, содержащих узлы с индексами: а) [[113]], [[112]], [[101]] и б) [[211]], [[010]],

21

[[111]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат. 5. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (142). Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр решетки a равен 0,3 нм. 6. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданныx индексами Миллера (323), при рентгеноструктурном анализе оказалось равным 0,17 нм. 7. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (011); в) (010). Определить отношения межплоскостных расстояний: d111 : d011 : d010. 8. Барий имеет объемноцентрированную кубическую решетку. Плотность кристалла бария равна 3,5 103 кг/м3, а молярная масса – 137 10 –3 кг/моль. Определить параметр решетки. 9.Золото имеет гранецентрированную кубическую решетку. Плотность золота принять равной 19,3 103 кг/м3, а молярную массу – 197 10-3 кг/моль. Определить параметр решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами. 10.Определить число элементарных ячеек в единице объема кристалла меди. Решетка гранецентрированная кубическая. Плотность меди равна 8,9 103 кг/м3 , а молярная масса – 64 10 –3 кг/моль. 11.Молибден имеет объемноцентрированную кубическую решетку. Вычислить плотность молибдена и расстояние между ближайшими соседними атомами. Параметр решетки равен 0,315 нм, а молярная масса – 96 10 –3 кг/моль. 12.Найти плотность кристалла неона, если известно, что решетка гранецентрированная кубическая. Постоянная решетки равна 0,451 нм, а молярная масса – 20,2 10-3 кг/моль. 13.Определить молярную массу кристалла, если известно, что расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм. Решетка объемноцентрированная кубическая. Плотность кристалла 0,534 103 кг/м3. 14.Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости с кристаллов каменной соли и флюорита (KCl и CaF2). Относительные атомные массы: Ar(K) = 39, Ar (Cl) = 35, Ar(Ca) = 40, Ar(F) = 19. 15.Вычислить по классической теории теплоемкость кристалла NaCl объемом 100 см3. Плотность кристалла: ρ = 2,2 103 кг/м3. 16.Определить изменение внутренней энергии кристалла корунда (Al2O3) при нагревании от t1 = 30o C до t2 = 150o C. Масса кристалла

22

30 г. Молярная масса Al: 27 103 кг/моль, кислорода: 16 10-3 кг/моль. Условие T> Θ считать выполненным. 17.Вычислить частоту Дебая в кристалле золота. Для золота температура Дебая равна 180 К. 18.Медный образец массой 50 г находится при температуре 10 К. Определить количество теплоты, необходимое для его нагревания до температуры 15 К. Температуру Дебая для меди принять равной 300 К. Условие T<<Θ считать выполненным. Молекулярная масса меди – 64 10 –3 кг/моль. 19.Вычислить по теории Дебая теплоемкость цинка массой 80 г при температуре 12 К. Температура Дебая для цинка 308 К. Молярная масса цинка – 65 г/моль. 20.При нагревании серебра массой 10 г от температуры 10 К до температуры 20 К было затрачено теплоты 0,71 Дж. Определить температуру Дебая серебра. Условие T<<Θ считать выполненным. 21.Используя теорию Дебая, вычислить удельную теплоемкость железа при температуре 15 К. Принять температуру Дебая для железа равной 467 К. Молярная масса железа – 56 г/моль. Условие T<<Θ считать выполненным. 22.Вычислить ωD для серебра, если при Т = 20 К молярная теплоемкость равна 1,7 Дж/(моль К). 23.Вода при температуре t1 = 0o C покрыта слоем льда толщиной h = 20 см. Температура воздуха равна t2 = - 10o C. Определить количество теплоты, переданной водой за время τ = 1 час через поверхность льда площадью 10 см2. Теплопроводность льда λ = 2,2 Вт/(м К). 24.Вычислить длину волны фононов в вольфраме, соответствующую частоте ω = 0,1ωD, если для вольфрама ρ = 19,3 103 кг/м3, µ = 184 10 −3 кг/моль. 25.Вычислить среднюю длину l свободного пробега фононов в кварце (SiO2), если теплопроводность кварца λ = 13 Вт/(м К), молярная теплоемкость – 44 Дж/(моль К) и усредненная скорость звука v = 5 км/с. Плотность кварца ρ = 2,65 103 кг/м3. 26.Температура Дебая для меди Θ = 309 К. Определить длину волны λ фононов, соответствующих частоте ν = 0,1 νD и усредненную скорость звука в меди. Плотность меди ρ = 8,93 103 кг/м3, молярная масса µ = 64 10 −3 кг/моль. 27.Длина волны фонона, соответствующего частоте ω = 0,01 ωD, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить температуру Дебая Θ, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4,8 км/c.

23

28.Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом Na при при Т = 0 К. Энергия Ферми εF = 3,12 эВ, плотность кристалла – 970 кг/м3. 29. Вычислить среднюю кинетическую энергию <ε> электронов в металле, если энергия Ферми εF = 7 эВ. 30. Определить максимальную скорость электронов в металле при Т = 0К, если εF = 5 эВ. 31.Определить среднюю дрейфовую скорость носителей тока в образце из натрия, если плотность тока, протекающего по образцу, равна 2 А/мм2, плотность кристалла натрия 970 кг/м3, а молярная масса – 23 г/моль. 32.Собственный полупроводник при температуре 300 К имеет сопротивление 5 105 Ом. Если его нагреть до температуры 400 К, то его сопротивление уменьшится до 2,5 105 Ом. Найти ширину запрещенной зоны. 33. Кремниевый образец нагревают от температуры 0оС до 10оС. Во сколько раз возрастет его удельная проводимость? Ширину запрещенной зоны принять равной 1,12 эВ. 34.Образец собственного полупроводника германия при температуре 27оС обладает удельным сопротивлением 0,47 Ом м. Определить удельную проводимость германия при температуре 127оС. Ширину запрещенной зоны принять равной 0,66 эВ. 35.Во сколько раз изменится сопротивление германиевого образца, если его охладить от комнатной температуры (20оС) до температуры жидкого азота (77К). Еg = 0,72 эВ. 36.Для приборов на основе германия предельная рабочая температура (температура, при которой собственная концентрация носителей тока становится сравнимой с примесной ) равна 75оС. Определить предельную рабочую температуру для приборов на основе кремния. Ширина запрещенной зоны германия равна 0,72 эВ, а кремния – 1,1 эВ. 37.В чистом германии при температуре 300 К ширина запрещенной зоны равна 0,72 эВ. На сколько надо повысить температуру полупроводника, чтобы концентрация электронов в зоне проводимости увеличилась в два раза? 38.При температуре 300 К концентрация электронов в зоне проводимости равна 1,5 1016 м-3 . Определить положение энергии Ферми относительно дна зоны проводимости и ширину запрещенной зоны при Т = 0. Плотность состояний в зоне проводимости принять равной 2,5 1025 м-3. 39.При температуре 300К удельная электропроводность кремния равна 4,3 10-4 Ом-1 м-1, подвижность электронов un = 0,135 м2/(В с), а подвижность дырок up = 0,048 м2/(В с). Определить концентрацию

24

собственных носителей. Какая часть полного тока обусловлена электронами? 40.Определить подвижность носителей заряда в кремниевом образце толщиной 10 мкм, имеющем концентрацию электронов 1018 м-3, если при подаче на образец напряжения 5В через него протекает ток плотностью 2 104 А/м2. 41.При температуре 300К концентрация ионизированных примесей 1022 м-3. Найти положение уровня Ферми, приняв плотность состояний у дна зоны проводимости равной 2,5 1025 м-3. 42.В образец кремния вводится примесь n- типа с концентрацией 5,0 1023 м-3. После этого концентрация неосновных носителей pn в нем при температуре 300К равна 2,42 1010 м-3. Определить концентрацию собственных носителей ni в кремнии при температуре 300К в предположении, что все примеси ионизированы. 43. Считается, что полупроводниковый материал пригоден для использования в приборе, если при рабочих температурах концентрация собственных носителей ni < 1,1 1020 м-3. Определить максимальную рабочую температуру приборов на галлия основе арсенида галлия (GaAs), у которого ширина запрещенной зоны равна 1,43 эВ, плотность состояний у дна зоны проводимости 4,7 1023 м-3, а у потолка валентной зоны – 7,0 1024 м-3. При этом можно считать, что величины ширины запрещенной зоны и плотностей состояний не зависят от температуры. 44.В слиток германия одновременно введены сурьма с концентрацией 8,7 1020 м-3 и галлий с концентрацией 3,68 1020 м-3. Найти удельную проводимость слитка при условии, что все примесные атомы ионизированы, а подвижность электронов un = 0,36 м2/(В с); сурьма является донором, а галлий – акцептором. 45. Образец германия, имеющий при температуре 300К собственную удельную проводимость 4,3 10-4 Ом-1м-1, легирован донорной примесью с концентрацией 1,0 1021м-3. Найти концентрацию дырок pn. Определить, какая часть часть тока обусловлена дырками jp/(jp+jn). Подвижности электронов и дырок при температуре 300К принять равными un = 0,135 м2/(В с) и up = 0,048 м2/(В с). 46.В чистом германии концентрация собственных носителей при температуре 300К равна 2,25 1019 м-3. Подвижности электронов и дырок при этой температуре соответственно равны un = 0,4 м2/(В с) и up = 0,2 м2/(В с). Определить проводимость чистого германия и германия с концентрацией акцепторов 4,5 1021 м-3. 47.Определить коэффициент амбиполярной диффузии в кремнии при температуре 300К, если концентрация электронов в Si равна 1011 см-3, а подвижность носителей тока µn=1500 cм2/(В с) и µp = 500 см2/(В с). Собственная концентрация носителей ni = 1010 см-3.

25

48.Определить коэффициент амбиполярной диффузии в полупроводнике, если известно, что на расстоянии 0,7 мм от его освещенной поверхности концентрация неравновесных носителей тока спадает в два раза, а время их жизни равно 500 мкс. 49.Коэффициент амбиполярной диффузии в полупроводнике равен 25 см2/c, а время жизни неравновесных носителей тока 200 мкс. Определить концентрацию неравновесных носителей тока на расстоянии 0,5 мм от освещенной поверхности полупроводника, если их концентрация на поверхности 1015 см-3. 50.Подвижность дырок в собственном полупроводнике при температуре 300К равна 600 см2/(В с). Определить подвижность электронов, если коэффициент амбиполярной диффузии равен 30,5 см2/c. 51.Определить время жизни неравновесных носителей тока в собственном кремнии при температуре t = - 20oC, если диффузионная длина равна 2 мм. µn = 1500 см2/(В с), µp = 500 cм2/(В с). 52.Образец германия n – типа имеет удельное сопротивление ρ = 0,015 Ом м и значение постоянной Холла 5,4 10-3 м3/Кл. Определить концентрацию основных носителей и их подвижность. Дырочной проводимостью пренебречь. 53.Удельная проводимость антимонида индия р – типа 2 103 Ом-1 м1 , а подвижность дырок в нем 0,4 м2/(B c). Определить постоянную Холла и концентрацию дырок. Электронной проводимостью пренебречь. 54.Подвижности электронов и дырок в кремнии соответственно равны un = 0,15 м2/(B c) и up = 0,05 м2/(B c). Вычислить постоянную Холла для кремния, если его удельное сопротивление 620 Ом м. Кремний рассматривать как собственный полупроводник. 55.Полупроводник в виде тонкой пластины шириной 1 см и длиной 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины приложено постоянное напряжение 300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях пластины, если постоянная Холла равна 0,1 м3/Кл, а удельное сопротивление – 0,5 Ом м. 56.Удельное сопротивление кремния с примесями равно 0,01 Ом м. Определить концентрацию дырок и их подвижность. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью, а постоянная Холла равна 4 10-4 м3/Кл. 57.P-n переход находится под обратным напряжением 0,1 В при Т = 300К. Его сопротивление 692 Ом. Каково сопротивление перехода при прямом напряжении той же величины?

26

58.Сопротивление p-n –перехода при Т = 300К, находящегося под прямым напряжением 0,1 В, равно 10 Ом. Определить сопротивление перехода при обратном напряжении. 59.Прямое напряжение, приложенное к p-n – переходу, равно 0,2 В. Вычислить отношение сил тока через переход при температурах 273 К и 300 К. Ширина запрещенной зоны равна 1эВ. 60.Определить, во сколько раз возрастет сила тока насыщения через p-n – переход для кремниевого прибора, если его температура в процессе работы возрастет от 20оС до 120оС. Ширину запрещенной зоны для кремния принять равной 1,1. эВ. 61. Определить величину прямого напряжения, при котором ток через p-n – переход равен предельному значению обратного тока (выпрямление отсутствует). Температуру принять равной 200C.

27

Вариант 0. 1. Маятник старинных часов, который можно считать математическим маятником, отклоняется за одну секунду на 10 см. Период колебаний 4 с. Определить длину маятника и его максимальную скорость. 2. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний 3 см и 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания совершаются в одном направлении, 2) колебания взаимно перпендикулярны. 3. Вагон массой 80 т. имеет 4 рессоры . Жесткость каждой рессоры к = 500 кН/м. При какой скорости вагон начнет сильно раскачиваться на стыках рельс, если длина рельса 12,8 м ? 4. В однородной изотропной немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 3, распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны 10 В/м. Найти амплитуду напряженности магнитного поля и фазовую скорость волны. 5. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной 1 см укладывается 10 темных интерференционных полос. Длина волны монохроматического света равна 0,7 мкм. 6. Входное окно фотоприемника покрыто тонкой пленкой, материал которой имеет показатель преломления 1,25. Толщина пленки равна 0,1 мкм. На какой наибольшей длине волны достигается максимальное просветление входного окна фотоприемника? 7. Диафрагма с круглым отверстием радиусом 0,5 мм расположена на расстоянии 1 м от точечного источника света и 25 см от экрана. При какой максимально возможной длине волны света в центре экрана будет наблюдаться дифракционный минимум? 8. Чему равен угол между главными плоскостями двух николей, если интенсивность естественного света, прошедшего через эту систему, уменьшилась в 5,4 раза? Считать, что каждый николь поглощает и отражает 14 % падающего на него света.

28

Вариант 1. 1. Определить период колебаний маятника Фуко, который был подвешен в Исаакиевском соборе (длина 100 м). Определить сдвиг плоскости колебаний за один период на расстоянии 5 м от положения равновесия. 2. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид: x=sin(t/2), y = cos t. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки. 3. Амплитуда колебаний маятника за время t=10 мин. Уменьшилась в 2 раза. Длина маятника равна 1 м. Определить логарифмический декремент затухания. 4. Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме. Амплитуда напряженности электрического поля волны 50 мВ/м. Найти амплитуду напряженности магнитного поля и среднее за период колебаний значение плотности потока энергии. 5. На мыльную пленку (показатель преломления 1,33) падает монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм (желтый свет) под углом 45 град. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый свет? При какой наименьшей толщине пленки она будет казаться темной? 6. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм расположен на расстоянии 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом 1 мм. Найти расстояние от диафрагмы до точки наблюдения, находящейся на оси отверстия, для которой число зон Френеля в отверстии равно 3. Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной картины, если в месте наблюдения поместить экран? 7. На грань кристалла кальцита падает параллельный пучок рентгеновского излучения. Расстояние между атомными плоскостями кристалла 0,3 нм.Под каким углом к атомной плоскости будет наблюдаться дифракционный максимум второго порядка, еслит длина волны рентгеновского излучения равна 0,15 нм? 8. Угол максимальной поляризации при отражении света от кристалла каменной соли равен 60 град. Определить скорость распространения света в этом кристалле.

29

Вариант 2. 1. Однородный диск радиусом 30 см колеблется около горизонтальной оси , проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определить период гармонических колебаний диска. 2. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на 1 мм. На какой частоте вращения электродвигателя может возникнуть опасность резонанса? 3. В цепь переменного тока с действующим значением напряжения 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно резистор сопротивлением 100 Ом, конденсатор емкостью 32 мкФ и катушка индуктивностью 640 мГн. Найти действующее значение силы тока, сдвиг фаз между током и напряжением и потребляемую мощность. 4. Резонанс в колебательном контуре с конденсатором 10 Ф наступает при частоте 4000 Гц. Если параллельно первому конденсатору подключить второй конденсатор, то резонансная частота становится равной 2000 Гц. Определить емкость второго конденсатора. 5. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 590 нм. Свет падает по нормали к поверхности пластины. Между линзой и пластинкой находится жидкость с показателем преломления 1,33. Определить толщину зазора в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье светлое кольцо. 6. На щель шириной 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (длина волны 0,5 мкм). Определить ширину центрального максимума в дифракционной картине, наблюдаемой на экране удаленном от щели на расстояние 3 м. 7. Какую разность длин волн может разрешить дифракционная решетка длиной 2 см и периодом 5 мкм в области красных лучей (длина волны 0,7 мкм) в спектре второго порядка? Сколько дифракционных максимумов можно наблюдать с помощью этой решетки в случае падения на решетку монохроматического света с длиной волны 0,7 мкм?

8. Луч света переходит из воды в алмаз так, что луч, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол между падающим и преломленным лучами.

30

Вариант 3 1. Груз массой 200 г. подвешен к пружине с коэффициентом упругости 1 Н/м. Найти длину математического маятника, имеющего такой же период колебаний, как данный пружинный маятник. 2. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых : x = 3 cos t, y = 2 sin t. Найти траекторию точки, построить ее и указать направление движения точки. 3. Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Число витков катушки 3000. Найти активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между током и напряжением 60 град. 4. На какой частоте суда передают сигнал бедствия SOS, если по международному соглашению длина радиоволны должна быть 600 м ? 5. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изображениями источника света равно 0,5 мм, расстояние до экрана – 5 м.В зеленом свете интерференционные полосы на экране получились на расстоянии 5 мм друг от друга. Найти длину волны зеленого света. 6. Каков показатель преломления просветляющего покрытия объектива, если толщина покрытия равна 0,16 мкм, а объектив рассчитан на длину волны света 0,4 мкм? 7. Определить расстояние между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка рентгеновского излучения с длиной волны 175 пм наблюдается под углом 45 град. К атомной плоскости? 8. Угол между плоскостями поляризации николей равен 30 град. Интенсивность естественного света, прошедшего через такую систему, уменьшилась в 5 раз. Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения света в каждом из николей, считая их одинаковыми.

31

Вариант 4. 1. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к их параллельному соединению. Колебания считать гармоническими. 2. Волна распространяется по прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии 12 м и 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз 0,75п. Определить длину волны и период колебаний. 3. Переменное напряжение, действующее значение которого 220 В, а частота 50 Гц, подано на катушку без сердечника индуктивностью 31,8 мГн и активным сопротивлением 10 Ом. Найти количество теплоты, выделяющейся в катушке за одну секунду. 4. Чему равно расстояние до самолета, если посланный наземным радиолокатором сигнал после отражения от самолета возвратился к радиолокатору спустя 2 10 с ? 5. В воздухе находится тонкая пленка из вещества с показателем преломления 1,4. Толщина пленки 0,25 мкм. На пленку падает нормально монохроматический свет, при этом отраженные лучи максимально ослаблены в результате интерференции. Какова длина волны этого света? 6. Для уменьшения потерь света при отражении от стекла на поверхность объектива (показатель преломления равен 1,7) нанесена тонкая прозрачная пленка (показатель преломления равен 1,3). При какой наименьшей толщине ее произойдет максимальное ослабление отраженного света, длина волны которого 0,56 мкм приходится на среднюю часть видимого спектра? Считать, что лучи падают нормально к поверхности объектива. 7. На дифракционную решетку, содержащую 600 штрихов на 1 мм, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана 1,2 м. Границы видимого спектра составляют 0,38 мкм - 0,76 мкм. 8. Луч света переходит из кварца в жидкость. Отраженный луч максимально поляризован при угле падения, равном 40 град. Определить показатель преломления жидкости и скорость распространения света в ней.

32

Вариант 5. 1. Маятник совершает гармонические колебания с периодом Т = 4 с. Через сколько времени при первом колебании он отклонится от положения равновесия на расстояние, равное ½ амплитуды? 2. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии 1/12 длины волны для момента времени Т/6. Амплитуда колебания 0,05 м. 3. Сила тока в колебательном контуре изменяется со временем по закону I = 0,02 sin 400 пt A. Индуктивность контура 0,5 Гн. Найти период собственных колебаний в контуре, емкость контура, максимальную энергию электрического и магнитного полей. 4. Радиосигнал, посланный на Луну, отразился и был принят на Земле через 2,5 с после посылки. Такой же сигнал, посланный на Венеру, был принят через 2,5 мин. Определить расстояние от Земли до Луны и от Земли до Венеры во время локации. 5. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 0,8 мм, длина волны света 0,7 мкм. На каком расстоянии от щелей следует расположить экран, чтобы ширина интерференционной полосы оказалась равной 2 мм? 6. На дифракционную решетку, содержащую 250 штрихов на 1 мм, падает нормально свет с длиной волны 0,6 мкм. Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определить угол, под которым наблюдается последний дифракционный максимум. 7. Расстояние между атомными плоскостями кристалла кальцита равно 0,3 нм. Определить, при какой длине волны рентгеновского излучения второй дифракционный максимум будет наблюдаться при отражении лучей под углом 30 град. к поверхности кристалла. 8. Раствор сахара с концентрацией 200 кг/м , налитый в стеклянную трубку, поворачивает плоскость поляризации света, проходящего через раствор, на угол 45 град. Другой раствор, налитый в такую же трубку, поворачивает плоскость поляризации на угол 30 град. Определить концентрацию этого раствора.

33

Вариант 6. 1. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой 1000 Гц. Резонансная частота равна 998 Гц. Определить частоту собственных (незатухающих) колебаний. 2. Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек , отстоящих друг от друга на 15 см, равна п/2. Частота колебаний 25 Гц. 3. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Определить частоту колебаний, возникающих в контуре, если максимальная сила тока в катушке равна 1,2 А, максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора 1200 В, полная энергия контура 1,1 мДж. 4. Действующее напряжение в цепи переменного тока равно 120 В. Определить время, в течение которого горит неоновая лампа за один период, если лампа загорается и гаснет при напряжении 84 В. 5. Радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном свете равен 0,4 мм. Определить радиус кривизны плосковыпуклой линзы, взятой для опыта, если она освещается монохроматическим светом с длиной волны 0,5 мкм. 6. Диафрагма с круглым отверстием диаметром 2,4 мм расположена на расстоянии 1,5 м от экрана и 1 м от точечного источника света. Длина волны источника света 0,6 мкм. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной картины? 7. В каком порядке спектра будут разрешены дифракционной решеткой две линии с длинами волн 450 нм и 450,1 нм . Решетка имеет период 20 мкм и длину 5 см. 8. Предельный угол полного внутреннего отражения луча на границе жидкости с воздухом равен 45 град. Каким должен быть угол падения луча из воздуха на поверхность жидкости, чтобы отраженный луч был полностью поляризован?

34

Вариант 7. 1.

Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии для момента времени t = T/12 c, где Т – период колебаний.

2.

Катер движется в море со скоростью 54 км/ч. Расстояние между гребнями волн 10 м, период колебаний частиц в волне 2 с. С какой частотой ударяются волны о корпус катера при его движении: 1) в направлении распространения волны; 2) навстречу волнам?

3.

Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора емкостью 1 пФ, имеет частоту колебаний 5 МГц. Найти максимальную силу тока, протекающего по катушке, если полная энергия контура 0,5 мкДж.

4.

Сила тока изменяется по формуле I = 8,5 sin (314t + 0,651) A. Определить действующее значение тока, его начальную фазу и частоту. Чему будет равен ток в цепи при t = 0,08 c и t = 0,042 c ?/

5.

На стеклянную пластинку нанесен слой прозрачного вещества с показателем преломления 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком монохроматического света с длиной волны 640 нм, падающим на пластинку нормально. Какую минимальную толщину должен иметь слой, чтобы отраженные лучи были максимально ослаблены в результате интерференции?

6.

Дифракционная решетка имеет такой период, что максимум первого порядка для длины волны 0,7 мкм соответствует углу 30 град. Какова длина волны света, который в спектре второго порядка имеет максимум под углом 45 град.?

7.

Какой максимальный период должна иметь дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две линии с длинами волн, равными 600 нм и 600,1 нм. Длина решетки 1 см.

8.

Между двумя параллельными николями помещают кварцевую пластинку толщиной 1 мм, вырезанную параллельно оптической оси. При этом плоскость поляризации монохроматического света, падающего на поляризатор, повернулась на угол 20 град. При какой минимальной толщине пластинки свет не пройдет через анализатор?

35

Вариант 8. 1.

Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой и амплитудами 3 см и 5 см складываются в одно колебание с амплитудой 7 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

2.

Волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с.Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту колебаний.

3.

Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки индуктивностью 1 мГн и переменного конденсатора, емкость которого может изменяться в пределах от 9,7 до 92 пФ. В каком диапазоне волн может принимать этот приемник?

4.

Напряжение и сила тока в катушке изменяются по формулам: U = 60 sin (314t+ 0,25) В, I = 15 sin 314t A. Определить разность фаз этих величин. Чему будут равны напряжение и ток в катушке при t = 1,2 10 c?

5.

Расстояние между двумя когерентными источниками света равно 0,2 мм. Они удалены от экрана на расстояние 2 м. Найти длину волны, излучаемой источниками, если расстояние на экране между третьим и пятыми минимумами интерференционной картины равно 1,2 см.

6.

Найти число полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в 2 раза. Логарифмический декремент затухания равен 0,01.

7.

Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм под углом 15,2 град. к поверхности кристалла.

8.

При прохождении естественного света через два николя, угол между плоскостями поляризации которых составляет 45 град., происходит ослабление света. Коэффициенты поглощения света в поляризаторе и анализаторе соответственно равны 0,08 и 0,1. Найти, во сколько раз изменилась интенсивность света после прохождения этой системы.

36

Вариант 9. 1. Два гармонических колебания с одинаковыми периодами и амплитудами 5 см и 2 см происходят вдоль одной прямой. Период колебаний 1,2 с. Каков период результирующего колебания? Каковы максимальная и минимальная возможные амплитуды результирующего колебания и каким наименьшим разностям фаз они соответствуют? 2. Определить скорость v распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна 60 град. Частота колебаний равна 25 Гц. 3. Входной контур радиоприемника состоит из катушки индуктивностью 2 мГн и плоского конденсатора с площадью пластин 10 см и расстоянием между ними 2 мм. Пространство между пластинами заполнено слюдой с диэлектрической проницаемостью 7. На какую длину волны настроен радиоприемник? 4. Активное сопротивление 4,0 Ом; сила тока выражается формулой: I = 6,4 sin 314t (A). Определить активную мощность и максимальное значение тока в этой цепи. 5. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель преломления жидкости, если радиус третьего темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете с длиной волны 0,5 мкм равен 0,8 мм. Радиус кривизны линзы равен 0,64 м. 6. На щель шириной 0,2 мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 0,6 мкм. Найти расстояние между первыми дифракционными минимумами на экране, удаленном от щели на расстояние 0,5 м. 7. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Спектры третьего и четвертого порядка частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается красная граница (длина волны 0,78 мкм) спектра третьего порядка? 8. Угол преломления луча в жидкости равен 35 град. Определить показатель преломления жидкости, если отраженный луч максимально поляризован.

37

ЛР N 020308 от

А.И.Шерстюк, д-р физ.-мат. наук, проф Д.Г. Летенко, канд. физ.-мат. наук, доц.

Физика твёрдого тела. Задания на контрольную работу Методические указания к выполнению контрольных работ Редактор Подписано в печать Б. Кн. - журн. СЗПИ. Тираж Заказ

. П. л.

Формат 60 х 84 1/16 Б.л. 0,875 РТП РИО

.

Редакционно-издательский отдел Северо-Западный государственный заочный университет 191186, Санкт-Петербург, Миллионная, 5

технический