Законы электродинамики - теоретическая основа получения информации: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

Е. А. Воробьев

ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ – ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ПОЛУЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ Учебное пособие

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2003

УДК 537.8 (075) ББК 22.313 В75 Воробьев Е. А. B75 Законы электродинамики – теоретическая основа получения информации: Учеб. пособие/ СПбГУАП. СПб., 2003. 60 с.: ил. Учебное пособие содержит материал по теории магнитного поля, необходимый для восприятия лекционного курса «Физические основы получения информации» по разделу «Датчики-преобразователи и измерительные системы радиоволнового, оптического и рентгеновского диапазонов». Предназначено для студентов технических специальностей всех форм обучения.

Рецензенты: кафедра приборов контроля и систем экологической безопасности Северо-Западного заочного государственного технического университета; кандидат технических наук профессор И. В. Павлов

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

© Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2003

© Е. А. Воробьев, 2003 2

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие написано к читаемому на кафедре технологии аэрокосмического приборостроения курсу «Физические основы получения информации» и к той его части, где изучаются электромагнитное поле, электромагнитные явления и основные законы электродинамики. Пособие составлено таким образом, чтобы этот материал был воспринят как теоретические основы получения информации с применением электромагнитного поля и радиоволн, а также в качестве теоретической базы проектирования различных типов электромагнитных датчиков-преобразователей первичной информации, работающих в радиоволновом, оптическом и рентгеновском диапазонах. Такой подход оказался единственно возможным, так как отсутствуют учебники, учебные пособия и монографии, где вопросы электромагнетизма рассматривались бы под требуемым программой курса ракурсом. Изучаемые в начале курса элементарные источники информации и создаваемые ими «кванты энергодействия» здесь рассматриваться не будут.

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Электромагнитные поля и волны широко применяются для получения информации в различных областях техники. Рассмотрим некоторые понятия и положения, на которых базируются соответствующие методы исследования. Теория электромагнитного поля, или электродинамика – это раздел теоретической физики, изучающий макроскопические электромагнитные явления. Таким образом, макроскопическими называются явления, в которых принимает участие громадное число частиц-молекул, атомов, фотонов, при этом квантовые, индивидуальные свойства этих частиц несущественны. Поэтому в макроскопической теории явлений вещество, заряды и поля рассматриваются как непрерывные. Точно так же условно считают, что физические величины, описывающие свойства макроскопических объектов (заряд, масса, энергия и т. п.), изменяются непрерывно. В то же время в силу теоретически и экспериментально установленной дискретности материи макроскопическая электродинамика является лишь приближенной, но достаточной для исследования явлений получения технической информации с применением электромагнитных полей и волн. Границы применимости макроскопической теории точно установить трудно ввиду неопределенности понятия «громадное число». На практике можно считать, что макроскопическое описание допустимо, если линейные размеры и объемы областей исследования не превышают микрометра. Такое приближение вполне допустимо при расчетах и проектировании современных технических средств измерений и контроля, использующих поля и волны практически всего электромагнитного диапазона. В процессе изучения и при анализе макроскопических электромагнитных явлений приходится сталкиваться с предельными переходами, когда время, отрезки длины, площади, объемы стремятся к нулю. Так, например, при определении производной тока диода di ∆i = lim d t ∆t →0 ∆t

(1)

или при определении объемной плотности заряда (например, в объеме конденсатора или чувствительного элемента датчика-преобразователя) 4

∆q . ∆ ∆V → 0 V

ρ = lim

(2)

Во всех подобных случаях «0» – это физически бесконечно малое время, бесконечно малые длины, объемы и т. п. Например, физически бесконечно малыми объемами называют объемы, в пределах которых распределение заряда, интенсивности электромагнитного поля и т. п. можно было бы считать равномерным. Анализируя электромагнитные явления как физические процессы получения необходимой информации, приходится сталкиваться с интегральными и дифференциальными величинами. Интегральными называют величины, относящиеся к геометрической области, например количество заряда в объеме конденсатора. Поэтому суммарный заряд ρΣ является функциями границ конденсатора a, b, c в координатах x, y, z и времени заряда (или разряда) конденсатора, т. е. a b c

ρ ∑ = ∫ ∫ ∫ ρ d x,d y ,d z = ρabc,

(3)

0 0 0

где ρ – удельная объемная плотность заряда. Поэтому при дифференцировании интегральных величин в случае постоянной области производная по времени записывается как полная, d ρΣ ! dt Дифференциальными называют величины, относящиеся к точке (например, величина заряда в определенной точке конденсатора). Таким образом, они являются функциями координат точки и времени, т. е. четырех независимых переменных. Поэтому при дифференцировании таких величин производная по времени для данной точки записывается как частная. Рассмотренные выше понятия обязательно учитываются при анализе различных физических явлений и процессов, имеющих место в электромагнитном поле.

т. е. для случая конденсатора

5

2. ВЕКТОРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Электромагнитное поле есть одна из форм существования материи, так как оно обладает энергией и способно выполнять работу. Существующее магнитное поле оказывает силовое воздействие на электрические заряды и ток. Для описания электромагнитного поля введены две пары векторных величин. Первая пара – это вектор электрической индукции D (Кл/м2) и вектор напряженности магнитного поля H (А/м); они описывают процесс возбуждения электромагнитного поля. Вектор D связан с электрическими зарядами, а вектор H – с током, (уравнения взаимосвязи подробно рассматриваются далее). Силовое воздействие электромагнитного поля на заряды и ток описывает вторая пара векторных величин: вектор напряженности электрического поля E (В/м) и вектор индукции магнитного поля B (Вб/м2). Сила F, с которой электрическое поле воздействует на неподвижный электрический заряд, зависит от величины заряда q, напряженности электрического поля E и определяется соотношением

Fэ = qE.

(4)

Магнитное поле действует только на подвижный заряд, т. е. на электрический ток; сила этого воздействия Fм определяется соотношением ϑΒ ϑΒ], Fм = [ϑΒ

(5)

причем направление сил Fэ и Fм зависит от направленности векторов E и H соответственно, а для силы Fм зависит и от направления B движения заряда q и скорости его движения ϑ. Суммарную силу Fэ+м, действующую на заряд, помещенный в электромагнитное поле, часто называют силой Лоренца. Она определяется соотношением ϑ B]). Fэ+м = q(E+[ϑ

(6)

Векторы электромагнитного поля D, H, E и B по выполняемым функциям систематизированы в таблицу. Из таблицы видно, что векторы, характеризующие различные стороны физических явлений (возбуждение и силовое действие), названы одинаково (индукция, напряженность). 6

Таблица 1 Функциональные задачи, выполняемые основными векторами электромагнитного поля Функция

Возбуждение Силовое действие

Электрическое поле

Магнитное поле

D – вектор электрической H – вектор напряженности индукции магнитного поля E – вектор напряженности B – вектор магнитной электрического поля индукции

Эту исторически возникшую трудность сложно преодолеть, существующую «асимметрию» векторов электрического и магнитного полей следует просто запомнить, а именно: вектор D и вектор H – это «количественные» величины, описывающие процесс возбуждения электромагнитного поля и отвечающие на вопрос «как много?»; вектор E и вектор B оказывают силовое воздействие на заряды и ток (см. формулу (6)) и отвечают на вопрос «как сильно?». Подобные пары «количественных» и «силовых» величин встречаются не только в электродинамике. Например, растянутую пружину можно характеризовать двумя величинами: деформацией (как много удлинена пружина) и тем усилием, которое пружина оказывает, сокращаясь. Еще одна аналогичная пара: тепло, которое способно оказать усилие и выполнить работу (как в двигателях внутреннего сгорания), и температура, которая просто показывает, «как много» нагрето тело или газ в двигателе. Связь между деформацией и усилием пружины, связь между теплом и температурой однозначно описывается свойствами физических объектов, к которым они относятся. Положение в электродинамике аналогично. Связь между парами векторов электрического тока (E и D) и парами векторов магнитного поля (H и B) зависит от свойств сред, в которых происходят электромагнитные процессы; эти связи описываются так называемыми «материальными уравнениями», которые будут рассмотрены ниже. В свободном пространстве электромагнитное поле может существовать в виде распространяющихся со скоростью света электромагнитных волн. Электромагнитные волны – это волны с «поперечными» колебаниями векторов E и H по отношению к направлению переноса энергии. 7

На рис. 1 показано пространственное и временное соотношение векторов E и H в свободном пространствое для гармонических колебаний и для участка пространства, равного одной длине волны λ0. Огибающие векторов E и H характеризуют относительную величину последних вдоль оси распространения 0z. Произведение векторов E и H, поперечно ориентированных к оси 0z и друг к другу, дает удельный и непрерывный поток электромагнитной энергии PУ–П , Вт м 2 = E, В м × H, А м.

(7)

Это также векторная величина, называемая вектором Умова – Пойнтинга. В свободном пространстве изменяющаяся по величине «картинка» векторов E и H во времени подчиняется частоте возбудившего эту электромагнитную волну генератора, а скорость перемещения электромагнитной энергии, т. е. вектора Умова – Пойнтинга PУ–П, равняется скорости света. Можно сказать и так: вся «картинка» векторов, показанная на рис. 1, перемещается со скоростью света в направлении 0z, но при этом величины векторов и изменение их направления в своих плоскостях на обратное по гармоническому закону соответствуют мощности и частоте возбудившего электромагнитную волну генератора. E

x H

P У–П

0 z y

2

1

λ0 Рис. 1

В диэлектриках и полупроводниках скорость распространения электромагнитной энергии уменьшается в εотн ×µ отн раз (где εотн и µ отн – соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проница8

емости материала), при этом одновременно в εотн ×µотн раз уменьшается длина волны электромагнитных колебаний в материале. Последний эффект возникает потому, что изменяющиеся во времени по гармоническому закону векторы E и H «вынуждены» периодически (в соответствии с частотой возбудившего их генератора) переполяризовывать и перемагничивать среду, где распространяется поток электромагнитной энергии. И еще: возвращаясь к рис. 1, видим, что для точек 1 и 2 векторное произведение в формуле (7) равно нулю; в свою очередь, это означает факт передачи электромагнитной энергии в виде малых порций, в объемах протяженностью λ0/2, которые называют квантами или фотонами элементарных величин электромагнитной энергии. Ясно также, что «кванты» и «фотоны» могут нести разную величину элементарной электромагнитной энергии, и их величина зависит не только от абсолютных значений E и H, но и от длины волны электромагнитных колебаний. Однако следует особо подчеркнуть: поток электромагнитной энергии PУ–П непрерывен в том смысле, что вся «картинка» векторов (см. рис. 1), а следовательно, и кванты энергии непрерывно перемещаются в направлении оси 0z со скоростью света в свободном пространстве или в средах, но со скоростью в εотн ×µ отн раз меньшей. И последнее важное замечание в отношении потока электромагнитной энергии. Рис. 1 иллюстрирует векторные соотношения только для одной электромагнитной волны и определенной одной частоты, которой соответствует изображенная на этом же рисунке длина волны λ0. В любом элементарном объеме окружающего нас пространства существуют электромагнитные волны от естественных и искусственных электромагнитных источников широкого диапазона частот и интенсивности. Сумма этих излучений, т. е. совокупное электромагнитное поле и формирует реальный поток электромагнитной энергии, например, вблизи нашего радиоприемника, с помощью которого выделяем и усиливаем необходимый нам электромагнитный сигнал. Теперь о характеристике информативности векторов электромагнитного поля. Первая основная пара векторов D и H, описывающая возбуждение электромагнитного поля, отвечающая на вопрос, как много электромагнитного поля возбуждено, имеет свои информативные характеристики 9

в том смысле, что любая varD и varH, возникающая при их взаимодействии с ОПИ или ОК, может быть зафиксирована с помощью соответствующих приборов. Вторая пара векторов E и B, описывающая силовое действие электромагнитного поля и отвечающая на вопрос, как сильно воздействует электромагнитное поле на заряды и ток, также имеет свои информативные характеристики (см. формулы (4)–(6)). Эти информативные характеристики состоят в том, что при E = const и B = const, но при вариации величины заряда, его перемещении (т. е. при возникновении электрического тока) изменяются величины сил Fэ, Fм и Fэ+м, и при постоянных зарядах и токах, но при изменяющихся по величине векторах также будет изменение сил Fэ, Fм и Fэ+м. На этом электромагнитном принципе, т. е. с «использованием» второй основной пары векторов E и B строятся не только электрические машины и генераторы, но и подавляющее большинство типов электромагнитных измерительных приборов, широко применяемых для получения объективной информации об ОПИ или об ОК. Последний из рассмотренных векторов, характеризующих электромагнитное поле, вектор Умова – Пойнтинга PУ–П, также несет объективную информацию при прохождении, например, бездефектной и дефектной областей ОПИ или ОК. Более детально информационные характеристики векторов электромагнитного поля будут даны в последней части лекционного курса ФОПИ – при рассмотрении электромагнитных датчиков-преобразователей различного типа и назначения и радиоволновых измерительных систем.

10

3. ЗАРЯДЫ И ТОК – ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Из опыта известно о существовании электрических зарядов q, свойства которых изучены в курсе физики. О величине заряда судят по его силовым действиям. Заряд – это интегральная величина, относящаяся к физическому телу. Он обусловливает появление электрических сил, вызывая возмущение в окружающем пространстве; это возмущение направлено, и его принято обозначать сплошными силовыми линиями электрического поля. Вместе с тем и сам заряд подвержен действию электрических сил. Заряд может быть распределен неравномерно, поэтому для его описания вводится в рассмотрение объемная плотность заряда ρоб, Кл/м3: ρ об ( M , t ) =

dq , dV

(8)

где М – условное обозначение условной точки в любой системе координат; t – время. Тогда

q = ∫ ρоб ( M , t ) dV .

(9)

V

В некоторых случаях заряд конечной величины занимает бесконечно малый объем (например, на обкладках конденсатора распределен только по самой поверхности, обладая бесконечно малой толщиной). Для таких зарядов ρ→∞, и здесь понятие объемной плотности теряет смысл. Вместе с тем заряд на поверхности может быть распределен неравномерно, и для описания такого распределения вводится понятие поверхностной плотности заряда ρS (Кл/м2). Поверхностная плотность заряда зависит от положения условной точки «М» и может быть определена соотношением ρS =

dq . dS

(10)

Иногда заряд можно считать сосредоточенным на линии, например на бесконечно тонком проводе L. В таком случае вводится понятие линейной плотности заряда ρL (Кл/м), определяемой соотношением 11

ρL =

dq . dL

(11)

В этих случаях, так же как и для объемной плотности заряда, могут быть записаны интегральные соотношения, но при этом интеграл должен браться по L. Иногда приходится условно иметь дело с точечным зарядом, когда о каком-либо его распределении говорить бессмысленно. Рассмотренные выше возможные варианты распределения заряда q являются физической основой построения и расчета некоторых электрических (емкостных) датчиков-преобразователей первичной информации измерительных приборов. Кроме того, сенсорные переключатели, некоторые типы индикаторов измерительной электронной аппаратуры в своей основе имеют этот же принцип – вариацию объемного или поверхностного заряда. И наконец, известный метод контроля качества диэлектрических поверхностей, различного вида электронно-лучевые трубки и плоские индикаторы (например, рентгеновского излучения) в принципе своей работы имеют все то же изменение во времени поверхностного или объемного зарядов. Ток является причиной, создающей магнитное поле. Опыт показывает, что протекание тока через какую-либо площадку связано с переносом заряда через эту площадку. Пусть за время dt переносится заряд dq через площадку S, тогда ток i через эту площадку будет равен i=

dq , A. dt

(12)

Ток считается положительным, если в направлении его положительной нормали переносится положительный заряд dq. Следует иметь в виду, что понятие «ток» не предполагает малости площадки, – она может быть любой. В отдельных местах некоторой площадки S конечной величины положительные заряды могут двигаться в направлении положительной нормали, а другие – навстречу. Под dq (см. формулу (12)) понимается суммарный заряд, пронизывающий площадку за время dt в обоих направлениях. Поэтому ток – величина интегральная, относящаяся к площади. 12

Чтобы описать распределение тока по площадке, вводят дифференциальную величину вектор плотности тока по площади J (А/м2), а модуль вектора плотности тока определяется соотношением J =

di , dS

(13)

где di – элемент тока через бесконечно малую площадку dS. Направление вектора J совпадает с направлением вектора скорости переноса положительных электрических зарядов. Действительно, приравнивая dq и i = J dS ) dt и принимая во внимание, что dq = ρdV = ρdSdl, получим следующее выражение для вектора плотности тока в общем виде:

друг к другу два уже известных нам определения тока ( i =

J=

dρ dS dl = ρV . =ρ dSdt dS dt

(14)

Тогда, используя понятие плотности тока, ток через любую элементарную площадку dS можно записать в виде d i = J d S = J d S cos ( J , d S ) = J n d S ,

(15)

где J n = J cos ( J , d S ) – составляющая плотности всего тока, нормальная к элементарной площадке dS (рис. 2). Поэтому суммарный ток iΣ через конечную поверхность определяется соотношением

iΣ = ∫ J d S.

(16)

S

Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока через поверхность поперечного сечения; он считается положительным, если угол ∧  J ∧, d S  – острый, и считается отрицательным, если угол  J , d S  –         тупой (см. рис. 2). Также экспериментально доказано, что движение заряда, т. е. протекание тока, всегда приводит к появлению магнитного поля, причем силовые линии магнитного поля H (А/м) всегда замкнуты и лежат в плос13

H J

(J, dS) dS dS

Jn

90°

Рис. 2

костях, перпендикулярных направлению тока J (см. рис. 2). При изменении направления движения тока силовые линии магнитного поля H изменяют свою направленность на противоположную. Теоретические положения данного раздела широко используются при расчетах и проектировании различных электронных устройств. Так, рабочая электрическая емкость конденсаторов находится в прямой зависимости от распределенного заряда на его обкладках, а расчет проводных электрических линий передачи невозможен без знания линейного распределения заряда по его проводникам. Понятие вектора тока лежит в принципе действия измерительных приборов, определяющих полярность источников постоянного тока и величину тока, в то время как понятие полного тока заложено в принципе работы приборов, измеряющих величину проходящего тока или мощность, причем подавляющее число типов таких измерительных приборов имеет измерительную схему, связывающую величину проходящего тока с соответствующим измерением интенсивности магнитного поля в чувствительном элементе т. е. в электромагнитном датчике-преобразователе. 14

4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА Этот закон является одним из общих законов электродинамики, он не выводится, а постулируется, т. е. рассматривается как первичный опытный факт. Для его формулировки выберем замкнутую поверхность S, внутри которой (т. е. в объеме V) могут быть неподвижные или подвижные заряды, положительные и отрицательные и распределенные произвольным образом (рис. 3). S

dS

n

+ –

M –

V

+ Рис. 3

Закон сохранения заряда утверждает, что суммарный заряд внутри замкнутой поверхности может измениться только за счет выхода зарядов наружу поверхности S, охватывающей объем V, или, наоборот, за счет проникновения зарядов сквозь поверхность S во внутрь объема V извне. Отметим, что внутри объема V речь идет о суммарном заряде, т. е. появление внутри замкнутой поверхности S парных зарядов (например, ионизация) допускается. 15

Если суммарный заряд изменяется, то через рассматриваемую поверхность S обязательно проходят заряды, т. е. течет ток. Следовательно, в формулировке закона сохранения заряда содержится тот факт, что изменение заряда внутри объема V всегда должно сопровождаться протеканием тока через охватывающую поверхность S. Скорость изменения заряда внутри объема V равна суммарному току, протекающему через поверхность S. Рассматривая ток через замкнутую поверхность, можно утверждать, что если через поверхность S течет положительный ток, то суммарный заряд внутри объема V уменьшается. Последнее полностью согласуется с понятием суммарного тока и вектора тока (см. формулу (16) и рис. 2). Перейдем к математической формулировке закона. Обозначим ток через элемент поверхности dS (см. рис. 3) как di = JdS, тогда для всей поверхности выражение для суммарного тока будет иметь вид


∫ j d S = − S

d q∑ d = − ∫ ρ( M , t )d V , dt dt V

(17)

где qΣ – суммарный заряд в объеме V, ограниченном поверхностью S. Какая разница между только что записанной формулой (17) и выражением (12)? Разница состоит в том, что выражение i = dq/dt отражает только факт наличия тока (т. е. его протекания), а формула (17) показывает, что источником тока может быть только изменение величины заряда, порождающего этот ток. По этой причине в формулах (12) и (17) знаки разные и dq – это просто проходящий через площадку заряд, а qΣ – суммарный заряд внутри объема V, который при положительном токе уменьшается, и тогда

d q = − d qΣ . Принимая во внимание выражение для вектора плотности тока (14), закон сохранения заряда может быть записан и в иной форме: d


∫ ρϑ d S = − d t ∫ ρ ( M , t ) dV . S

(18)

V

Выражения (17) и (18) представляют собой две разновидности интегральной формы записи закона сохранения заряда. 16

Для получения дифференциальной формы закона сохранения заряда для левой части формулы (17) применим теорему Гаусса – Остроградского и получим 

∂ρ 

∫  d ivJ + ∂t  dV = 0.

(19)

V

Полученное равенство справедливо для произвольным образом выбранного объема, в том числе и для объема, в пределах которого подынтегральная функция имеет один знак. Из этого следует, что равенство (19) может быть удовлетворено, только если подынтегральная функция будет равняться нулю. Учитывая это, получим дифференциальную форму записи закона сохранения заряда div J = −

∂ρ . ∂t

(20)

Один из основных законов электродинамики – рассмотренный закон сохранения заряда – имеет принципиальное значение для электрорадиотехники. Так, описание работы, расчет и эксплуатация источников постоянного тока (гальванических батарей, аккумуляторов, емкостных батарей и т. п. ) базируется на этом фундаментальном законе электродинамики. Некоторые типы датчиков-преобразователей информации, имеющие в своем чувствительном элементе изменяющийся во время работы заряд, также подчиняются закону сохранения заряда. Проиллюстрируем этот факт двумя примерами. В простейшем типе датчика-преобразователя – в емкостном датчике – изменения величины его емкости (т. е. заряда) при взаимодействии с ОК или с ОПИ фиксируются электрической схемой, тем самым обеспечивается получение необходимой информации. В пьезопреобразователе при прямом пьезоэффекте (т. е. при механическом давлении на его поверхности) появляется поверхностный заряд, а при прекращении давления он распределяется по его объему, сохраняя при этом свою суммарную величину.

17

5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Основными законами электродинамики являются первое и второе уравнения Максвелла и рассмотренный только что закон сохранения заряда. Основные законы электродинамики не выводятся. Они постулируются так же, как аксиомы геометрии, и так же, как и аксиомы геометрии, они являются обобщением практики и опыта. Отметим, что третье и четвертое уравнения Максвелла выводятся из первого и второго его уравнений, соответственно, и поэтому не являются самостоятельными. Таким образом, к основным законам электродинамики относятся: – закон сохранения заряда (самостоятельный закон); – первое и второе уравнения Максвелла (самостоятельные законы); – третье и четвертое уравнения Максвелла (зависимые законы). Все пять законов электродинамики являются фундаментальными в теоретической физике, и для нас они исключительно важны, так как представляют собой теоретическую основу получения информации техническими средствами с применением электромагнитного поля и электромагнитных волн. Первый закон электродинамики – первое независимое уравнение Максвелла Это уравнение описывает процесс возбуждения магнитного поля. В его основе лежит опыт Эрстеда, согласно которому магнитные стрелки компасов вокруг проводника с током располагаются так, как это показано на рис. 4. Иначе говоря, H это означает, что вокруг тока появляются замкнутые силовые линии магнитного поля, лежащие в плоскости, перпендикулярной вектору тока. В соответствии i с приведенными выше рассуждениями величина H является вектором, описывающим процесс возбуждения, и на вопрос, как было возбуждено магнитное поле, можно ответить, что частотой Рис. 4

18

магнитных силовых линий. С помощью картины силовых линий можно точно описать величину вектора H, если считать, что густота изображаемых силовых линий будет пропорциональна его величине. Однако такой геометрический метод описания интенсивности магнитного поля густотой силовых линий, предложенный Фарадеем, не всегда удобен. Количественные оценки легче и удобней получить из аналитических соотношений, для перехода к которым необходимо найти меру вектора H, при этом следует учесть, что магнитные силовые линии вектора H замкнуты вокруг тока. Для решения этой задачи вспомним некоторые понятия векторного анализа и гидродинамики. Рассмотрим течение воды в водовороте, где линии вектора V (так же, как и вектора магнитного поля H) оказываются замкнутыми (рис. 5, а), и определим меру усилий, которые нужно затратить, чтобы проплыть по замкнутому пути. Если бы поле вектора V было безвихревым, то работа по замкнутому пути равнялась бы нулю. При наличии водоворота, когда нужно все время плыть против сил поля V либо в направлении сил поля, работа по замкнутому пути будет отличаться от нуля. а)

б) V

B V

Vl

A

Рис. 5

Если же путь вокруг водоворота пересекает линии поля, то мерой сопротивления является проекция вектора поля на направление пути Vl, или в векторной форме Vl. Мерой усилий, которые надо затратить, 19

чтобы проплыть не по отрезку пути A – B (рис. 5, б), а по замкнутому пути, будет величина

C=
∫ V d l,

(21)

L

которая называется циркуляцией. Приведенный пример подсказывает, как измерять магнитное поле вокруг проводника с током. Для этого необходимо вычислить циркуляцию

С=
∫ H d l,

(22)

L

которая и будет количественной мерой магнитного поля. Поскольку причиной, вызывающей магнитное поле, является ток, то следует записать


∫ H d l = ki,

(23)

L

где k– коэффициент пропорциональности. Опыты, проведенные еще Ампером, показали, что коэффициент пропорциональности k в системе единиц СИ равняется 1. Поэтому окончательно этот закон Ампера может быть сформулирован в виде


∫ H d l = i,

(24)

L

причем интеграл (24) можно брать по любому пути L, но обязательно охватывающему ток. Закон Ампера в виде формулы (24) справедлив только для случая постоянного тока, текущего по одиночному проводнику. В дальнейшем закон Ампера был расширен и было доказано, что он справедлив и для разветвленного, и для распределенного тока (например, текущего по поверхности проводника, под которым будем понимать суммарный ток i∑ ): n

i∑ = ∑ ik или, переходя к векторной форме: i∑ = J d S . ∫ 1

20

S

При этом считается, что интегральная сумма векторных токов пронизывает некоторую поверхность S, обязательно опирается на контур L (поверхности S1, S2 и S3 на рис. 6, а). Тогда общая формулировка закона Ампера получит вид


∫ H d l = ∫ J d S. L

(25)

S

В формулировке общего закона Ампера имеется принципиальный физический недостаток, обнаруженный Максвеллом, который заметил, что закон не выполняется для переменного тока. (Если, например, в цепи тока имеется разрыв или включен конденсатор (рис. 6, б)). a)

б) S1

S1

Контур L

S2 S3

Контур L

S2

Рис. 6

На самом деле интеграл от правой части (25) отличен от нуля, если он вычисляется по поверхности S1, и равен нулю, если вычисляется по поверхности S2, проходящей через зазор между пластинами конденсатора. Так получается, несмотря на то, что обе поверхности опираются на тот же самый контур L. Для устранения этого затруднения Максвелл выдвинул гипотезу о существовании токов смещения (действительно, чем-то надо было заменить действие тока проводимости в разрыве цепи). Если в цепи течет переменный ток (см. рис. 6, б), то на обкладках конденсатора заряды то накопляются, то исчезают. По представлению Максвелла, между обкладками конденсатора появляется вектор электрической индукции D, который будет вызывать между обкладками конденсатора «смещение частиц эфира». Поэтому 21

протекание тока i по проводнику и изменение потока вектора электрической индукции D – процессы эквивалентные! Тогда и для поверхности S2, проходящей между обкладками конденсатора (см. рис. 6, б), ток можно заменить эквивалентным по своему действию изменением во времени потока вектора электрической индукции: d D d S. d t ∫S

(26)

Гипотеза Максвелла привела к тому, что в общем законе Ампера добавилось новое слагаемое (26) d


∫ H d l = ∫ J d S + d t ∫ D d S, L

S

(27)

S

которое и называется первым законом электродинамики, или первым уравнением Максвелла. Физический смысл этого закона может быть сформулирован следующим образом. Магнитное поле возбуждается либо движением электрических зарядов, либо изменяющимся во времени электрическим полем (при постоянном токе, естественно, второе слагаемое в уравнении (27) равно нулю). При этом возникают замкнутые линии магнитного поля H, связанные прямо по своему направлению известным правилом буравчика с направлением вектора тока J или с приращением потока вектора электрической индукции D. В этой связи оба слагаемых в правой части первого уравнения Максвелла имеют знаки «+». Заметим, что первым уравнением Максвелла, а точнее, вторым его слагаемым подтверждается ранее высказанное положение о векторе D как о векторе, отвечающем на вопрос, как много электромагнитного поля возбуждено. Первое уравнение электродинамики может быть получено в дифференциальной записи. Для этого применяют теорему Стокса, и, опуская достаточно сложные математические преобразования, окончательно получим rot H = J +

22

∂D . dt

(28)

Физическая сущность первого уравнения Максвелла в дифференциальной форме (28), конечно, та же, что и для его интегральной записи. Первое уравнение электродинамики или первое уравнение Максвелла, имеет принципиальное значение для всех направлений электрои радиотехники (естественно, и для технических средств получения информации). Уравнение обратимо в том смысле, что оно связывает величину постоянного и переменного магнитного поля с величиной измеренного постоянного или переменного тока соответственно; и наоборот, по величине создаваемого магнитного поля можно определить величину тока, протекающего в исследуемых электрических цепях. На этом принципе работает значительное число различных магнитных и электромагнитных датчиков-преобразователей первичной информации. Факт возбуждения переменного магнитного поля за счет переменного вектора электрической индукции D позволяет строить бесконтактные электромагнитные датчики-преобразователи первичной информации, работающие в радиоволновом, оптическом и рентгеновском диапазонах, размещаемые в свободном пространстве и удаленные от ОК или ОПИ. Такие датчики-преобразователи будут подробно рассмотрены далее. Второй закон электродинамики – второе независимое уравнение Максвелла Этот закон – закон электромагнитной индукции. В его основе лежат опыты Фарадея, показывающие, что индуцированное количество электричества прямо пропорционально изменению числа магнитных силовых линий, пронизывающих контур (рис. 7, а):

K d q = N 2 − N1 = d N ,

(29)

где Kdq – наведенное количество электричества; dN – изменение числа магнитных силовых линий. На рис. 7, а контур L показан неподвижным, а движется постоянный магнит и тем самым образует dN. Поскольку процесс пересечения относителен, то на рис. 7, б показан неподвижный магнит, а его силовые линии магнитного поля пересекаются подвижным контуром в виде вращающейся рамки, в которой индуцируется электрический ток i.

23

a)

б)

N dN

S

Ф

Ф

N

S i

i = Kd L

S

S Рис. 7

Кроме того, опытами было установлено, что коэффициент K зависит от материала проводника контура L и, естественно, связан с его сопротивлением, т. е.

K = K1R.

(30)

Количество магнитных силовых линий, пронизывающих контур L, определяется как магнитный поток через поверхность dS, натянутую на контур L (см. рис. 7, а и б):

N = Φ ∫ B d S.

(31)

S

Подставив в формулу (29) значения K и Φ из (30) и (31), соответственно, и разделив на dt, получим следующее выражение, описывающее закон Фарадея: K1 Ri =

dΦ d = B d S, d t d t ∫S

(32)

где Ri = ε – электродвижущая сила (ЭДС), наведенная в контуре L изменением его пронизывающего магнитного потока за время dt. Величина этой ЭДС ε совершенно не зависит от материала контура, так как в данном случае имеем дело с напряжением в контуре, а не с 24

величиной тока в нем, но опытным путем установлено, что всегда K1< 0, тогда уравнение (32) можно представить в виде ε=−

d B d S. d t ∫S

(33)

Если ЭДС ε совсем не зависит от материала контура, то такая ЭДС будет возникать не только в проводящем контуре, но и в диэлектрическом контуре и даже в воображаемом – например, в ограниченном объеме свободного пространства. Из опыта Фарадея это нельзя получить. Нижеследующие рассуждения позволили Максвеллу перейти от уравнения Фарадея (32) к векторной формулировке второго независимого уравнения электродинамики. Максвелл рассуждал так: ток в проводнике – это протекание зарядов в одну сторону; мера возникающей ЭДС та же, что и ранее принималась при формулировке первого уравнения Максвеллом – циркуляция. Поскольку рассматривается перемещение зарядов под действием некоей силы, то речь может идти только о силовом векторе E. С учетом этого Максвелл второй закон электродинамики записал в виде d


∫ E d l = − d t B d S,

(34)

L

где левая часть – это циркуляция вектора E по контуру L. Качественное содержание второго независимого уравнения Максвелла (т. е. второго независимого уравнения электродинамики) может быть сформулировано следующим образом. Изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле, т. е. электрическое поле, в котором существуют замкнутые электрические силовые линии. Знак «–» в правой части (34) свидетельствует о том, что, в отличие от первого закона, направление возникающего электрического поля связано правилом левого буравчика с приращением магнитной индукции. Количественно смысл второго независимого уравнения электродинамики состоит в следующем. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру L, т. е. ЭДС, наводимая 25

в контуре, численно равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур. Применяя к (34) теорему Стокса и опуская промежуточные достаточно сложные преобразования, получаем дифференциальную запись второго независимого уравнения Максвелла (т. е. второго уравнения электродинамики) rot E = −

∂B , ∂t

(35)

качественное и количественное содержание которого, естественно, остается прежним. Второе независимое уравнение электродинамики, сформулированное Максвеллом, играет основополагающую роль в электромашиностроении, электро- и радиотехнике. В уравнение входят два силовых вектора электромагнитного поля E и B, и установлена количественная связь между ними. Поэтому принцип работы электрических машин и электрических генераторов основан на втором законе электродинамики. Измерители тока, напряжения и электрической мощности, содержащие в качестве чувствительного элемента подвижную «рамку» с током в магнитном поле, по принципу своей работы и качественно, и количественно соответствуют второму закону электродинамики. Определенные типы датчиков-преобразователей первичной информации, в которых осуществлено изменяющееся во времени взаимодействие электрического поля с магнитным, также подтверждают физическую сущность второго уравнения Максвелла. Причем такое взаимодействие полей не обязательно осуществляется с помощью механически подвижных «рамок» с током или подвижных магнитов – современная техника полупроводников и микроэлектроника позволяют реализовать миниатюрные и бесконтактные с ОК-действием датчики-преобразователи на физических эффектах, вытекающих из второго уравнения электродинамики. Третий и четвертый законы электродинамики – третье и четвертое зависимые уравнения Максвелла Сформулированные выше три самых общих независимых закона электромагнетизма, как показал многолетний опыт и практика, справедливы для всех макроскопических электромагнитных явлений. Несмотря на их всеобщность, часто пользуются не всеми этими законами, 26

а лишь одним или двумя, но с привлечением других дополнительных соотношений, наиболее удобных для решения конкретных технических задач. Такими дополнительными, но важными соотношениями являются третье и четвертое зависимые уравнения электродинамики, вытекающие, соответственно, из первого и второго независимых уравнений Максвелла. Предпосылки к выводу третьего зависимого уравнения электродинамики таковы. Для решения электродинамических задач, связанных с электромагнитным полем в ограниченном объеме пространства, необходимо знать распределение источников векторов поля и места завихрений во всем рассматриваемом объеме. Такая постановка задачи нереальна, так как невозможно определить, что происходит с векторами поля во всем объеме ограниченного пространства. Эту трудность можно обойти, если заметить, что действие всех внешних полей на данный объем сводится к проникновению в него силовых линий поля извне. Поэтому учет этого внешнего воздействия полей на данный объем возможно свести к заданию векторов на границе раздела, но при этом оказывается нерешенным вопрос об источниках полей. Первое (27) и второе (34) уравнения Максвелла описывают только завихрения, а об источниках поля они не дают никакого понятия. Именно поэтому и появилась необходимость из первого и второго независимых уравнений Максвелла вывести уравнения, которые описывали бы и источники поля. Это было сделано с привлечением закона сохранения заряда. Окончательным выведенным следствием первого уравнения Максвелла явилось третье зависимое уравнение электродинамики, в интегральной форме оно имеет вид


∫ D d S = ∫ ρ dV = q. S

(36)

V

Физический смысл третьего уравнения таков: поток вектора электрической индукции D через замкнутую поверхность S численно равен суммарному заряду q, находящемуся внутри этой поверхности, т. е. заряду в объеме V (теорема Гаусса). Как видно, уравнение (36) связывает вектор поля D с причиной, его порождающей, т. е. с зарядом, причем это утверждение относится ко всем зарядам, в том числе изменяющимся во времени (например, адек27

ватно описывает электромагнитный процесс в объеме конденсатора, работающего на переменном напряжении). Дифференциальная форма записи третьего уравнения электродинамики получена путем применения к левой части формулы (36) теоремы Гаусса – Остроградского. Окончательно запишем div D = ρ.

(37)

Для вывода четвертого зависимого уравнения электродинамики из второго уравнения Максвелла принимались во внимание те же соображения, что и при выводе третьего уравнения. Принципиальное отличие четвертого уравнения от третьего в том, что отсутствует слагаемое, связанное с током или зарядом. В интегральной форме четвертое уравнение электродинамики приобретает вид


∫ B d S = 0,

(38)

S

а дифференциальная форма его такая: div B = 0,

(39)

и четвертый закон электродинамики утверждает, что магнитный поток через замкнутую поверхность равен 0 (значит, силовые линии вектора B не имеют источников и стоков, т. е. они всегда замкнуты сами на себя). С привлечением третьего и четвертого зависимых уравнений электродинамики решается значительное число прикладных задач электромагнетизма. И, в частности, проектирование различных типов электрических датчиков-преобразователей информации с вариацией электрического заряда в их чувствительных элементах и различных магнитных датчиков-преобразователей, реализующих закономерность всегда замкнутых магнитных потоков в ограниченных объемах их конструкций.

28

6. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Рассмотренные основные законы электродинамики, записанные в интегральной и дифференциальной формах, систематизированы следующим образом:

(A ) (Б) ( В) (Г)

 d 
∫S J d S = − d t V∫ ρ dV ,   d 
∫L H d l = ∫S J d S + d t ∫S D d S,   d E d l = − ∫ B d S, 
∫ dt S  L


∫ D d S = ∫ ρ dV = q, S

(Д )

V


∫ B d S = 0, S

∂ρ , ∂t ∂D  rot H = J + , ∂t   ∂B  rot E = − ,  ∂t   div D = ρ,    div B = 0.  div J = −

(40)

В процессе анализа этих уравнений было установлено, что уравнение Г третий зависимый закон электродинамики) является следствием уравнений А (закона сохранения заряда) и Б (первого уравнения Максвелла), а уравнение Д (четвертое зависимое уравнение электродинамики) – следствием уравнения В (второго уравнения Максвелла). Поэтому, отбирая из системы (40) только независимые друг от друга уравнения, можно составить две равноправные системы уравнений, которые выделены фигурными скобками. При этом в одну систему входят закон сохранения заряда и первые два независимых уравнения Максвелла, записанные в дифференциальной форме (т. е. два его независимых уравнения и два зависимых), а в другую – все четыре уравнения Максвелла, записанных в дифференциальной форме (т. е. два его независимых уравнения и два зависимых). Далее будем пользоваться в основном второй системой уравнений. В связи с этим необходимо выяснить их основные физические свойства. 1. В эти уравнения не входят произведения величин, характеризующих электромагнитное поле: J, ρ, D, H, E и B. Этот математический 29

факт выражает важное общее свойство электромагнитных процессов, характеризуемых уравнениями Максвелла. В математике такие уравнения называются линейными. Их общее свойство состоит в том, что если есть n частных решений, то и их линейная комбинация также является решением – это формулировка принципа суперпозиции. В теоретической физике справедливость принципа суперпозиции означает, что если рассчитано одно электромагнитное поле, которое может существовать (т. е. удовлетворяет уравнениям Максвелла), и второе такое же поле, то можно утверждать, что и наложение друг на друга этих полей также подчиняется уравнениям электродинамики, т. е. оно может также существовать. Это позволяет развить теоретическую базу исследования электромагнитных явлений, например, для решения практических задач получения информации с помощью сложного электромагнитного поля. Так, при получении поля пространственно распределенного заряда в индикаторе рентгеновского излучения последний можно разбить на элементарные заряды и исследовать поле, формирующее изображение как суперпозицию полей элементарных зарядов. На использовании такого же принципа основано применение гармонического анализа в теории цепей, например электрических цепей, усиливающих сигнал, снимаемый с первичного датчика-преобразователя информации. 2. Из написанных уравнений вытекает возможность существования электромагнитных волн, т. е. электромагнитных процессов в диэлектрике или в свободном пространстве, протекающих в диэлектрике в отсутствие зарядов и токов. Для подтверждения этого воспользуемся уравнениями Б и В системы (40) (это первое и второе независимые уравнения Максвелла). Допустим, что каким-то образом создано переменное электрическое поле, тогда появится переменный вектор электрической индукции D, должно возникнуть переменное магнитное поле, т. е. должен появиться переменный вектор H, а переменное магнитное поле H будет порождать переменное электрическое поле и т. д. Этот процесс будет происходить только в том случае, если верна гипотеза Максвелла о токах смещения, иначе в уравнении Б не было бы слагаемого

d D d S и процесс преd t ∫S

рвался бы. Таким образом, этот самоподдерживающийся электромагнитный процесс может происходить только в результате существования токов смещения, а это экспериментально подтверждаемый факт. 30

Последний вывод очень важен для нас: электромагнитное поле может существовать и распространяться в открытом пространстве и в диэлектрике по схеме, показанной на рис. 1. В свою очередь, это означает, что передача полезной информации и ее прием датчиком-преобразователем может выполняться на расстоянии от ОК или ОПИ. В датчиках-преобразователях радиоволнового типа этот эффект всегда используется, о чем далее будет рассказано подробно. 3. Система уравнений Максвелла оказывается математически неполной в том смысле, что неизвестными в системе являются пять векторов J, D, H, E и B и один скаляр ρ, т. е. всего шестнадцать уравнений. Независимых уравнений в системе три, из которых два векторных и одно скалярное. Учитывая, что одно векторное уравнение дает три скалярных, в целом имеем семь скалярных уравнений. Итак, уравнений скалярных и независимых семь, а неизвестных – шестнадцать. Для решения подобной системы уравнений не хватает еще девяти уравнений. Такими недостающими уравнениями являются «материальные» уравнения, о которых речь пойдет ниже. 4. Система уравнений Максвелла должна давать возможность вычислить любое электромагнитное поле, т. е. эти уравнения должны представлять собой универсальный аппарат, позволяющий решать самые сложные задачи, например, при расчете радиоволновых датчиков-преобразователей, конструкция которых состоит из различных материалов. С этой точки зрения интегральные уравнения электродинамики, в которых неизвестные находятся под знаком интеграла, не очень удобны. Объясняется это тем, что методы решения интегральных уравнений разработаны еще недостаточно. Дифференциальные же уравнения представляют собой удобный расчетный аппарат: их теория и методы решения хорошо разработаны. Однако это удобство расчета весьма относительно. Действительно, весь проделанный нами вывод и сами уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеют смысл только для непрерывных функций. Но эти уравнения теряют смысл в местах разрывов функций, которые всегда имеют место при переходе электромагнитного поля из одной среды в другую (например, при переходе из внешнего пространства в чувствительный элемент датчика-преобразователя). Исходя из сказанного необходимо установить для разделов различных сред граничные условия, которые показывали бы поведение векторов электромагнитного поля в непосредственной близости и по обе стороны от границ раздела. 31

Однако пока эту задачу нельзя решить, так как мы не знаем, как себя ведут векторы электромагнитного поля в различных средах. Поэтому далее нам необходимо: – установить поведение векторов в различных материальных средах и на границах раздела сред; – на основании этого дополнить основную систему уравнений Максвелла девятью недостающими уравнениями.

32

7. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕД И ИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА Связь между векторами электромагнитного поля E и D, H и B, а также между вектором плотности тока J и вектором напряженности электрического поля E предопределена электромагнитными свойствами материальных сред, где они существуют. Напомним общие характеристики материальных сред (материалов), которые уже подробно обсуждали в курсе «Материаловедение», но применительно к поведению векторов электромагнитного поля. 1. Все среды классифицируются в зависимости от того, меняются или не меняются их свойства с течением времени, а также при изменении координат, величины напряженности поля и ориентации векторов поля в данном объеме среды. 2. Если свойства среды не меняются с течением времени, то она называется средой с постоянными параметрами; в противном случае – средой с переменными параметрами. 3. Однородной называется среда, если ее свойства не зависят от координат; если зависят – то неоднородной. 4. Линейной называется среда, если ее свойства не зависят от величины напряженности воздействующего поля; если же зависят, то среда – нелинейная. 5. Изотропной называется среда, если ее свойства не зависят от ориентации векторов поля в пространстве; если же зависят, то среда – анизотропная. Особо следует подчеркнуть, что все перечисленные свойства сред и материалов проявляются только при взаимодействии последних с электромагнитным полем. Практически возможны самые разнообразные сочетания свойств сред. Например, реальная атмосфера – это линейная, изотропная, неоднородная среда с переменными параметрами, а вакуум – линейная, однородная, изотропная среда с постоянными параметрами. Конструкционным и функциональным материалам, применяемым для построения приборов, в частности датчиков-преобразователей, присущи и неоднородность, и нелинейность, и анизотропность, кроме того, функциональное назначение материала часто приводит к необходимости придания ему переменных параметров. 33

Однако в дальнейшем при анализе электромагнитных явлений и процессов в материалах будем считать, что имеем дело с линейными и однородными средами с постоянными параметрами. Наиболее простая связь между указанными парами векторов электромагнитного поля существует для изотропных сред, и она представляется соотношениями для прямоугольной системы координат x, y, z, дающими девять недостающих уравнений для решения системы независимых уравнений Максвелла: Dx = ε a E x ,

Bx = µ a H x ,

D y = εa E y ,

By = µa H y ,

Dz = ε a E z ,

Bz = µa H z ,

J x = σE x ;   J y = σE y ;  J z = σE z . 

(41)

В векторной форме соотношения (41) записываются следующим образом:

D = εa E, B = µa H, J = σE,

(42)

где εа – абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м; µа – абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м; σ – проводимость, 1/Ом⋅м, которые являются скалярными положительными «коэффициентами». В теории и практике электромагнетизма соотношения (41) и (42) имеют глубокий смысл, и их называют «материальными уравнениями», связывающими количественно между собой соответствующие пары векторов электромагнитного поля. В связи с тем, что все три параметра, характеризующие изотропную среду, – положительные коэффициенты, пары векторов E и D, H и B, а также J и E являются колинеарными, т. е. параллельными векторами, совпадающими по направлению. Соотношение J = σE представляет собой запись закона Ома в дифференциальной форме. Имеется и более общая форма записи этого закона, учитывающего силы, которые, с макроскопической точки зрения, имеют «электрическое происхождение». В этом случае J = σ( E + Eст ).

(43)

Смысл величины Eст, входящей в это соотношение, таков. Пусть какая-то «неэлектрическая сила» вызывает движение зарядов. Всегда можно представить себе некоторое электрическое поле, в котором заряды будут двигаться точно так же, как под воздействием «не34

электрической силы». Поэтому «неэлектрические силы» можно заменить эквивалентным по действию на заряды электрическим полем. Напряженность и направленность этого эквивалентного электрического поля и есть Eст. Физически самой простой средой является вакуум. Для него параметры, его характеризующие, имеют значения 1  ⋅ 10−9 , Ф м;  36π  µ 0 = 4 π ⋅ 10−7 , Гн м;   σ0 = 0.   ε0 =

(44)

Свойства других изотропных материальных сред и материалов принято выражать через свойства вакуума: ε = ε0 εотн ;   µ = µ 0µ отн ;  ε  ; ε0   µ = . µ 0 

εотн = µ отн

(45)

Здесь εотн и µотн – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, о чем мы уже говорили в курсе «Материаловедение». Связь между векторами E и D, H и B, J и E в анизотропных средах много сложнее. В анизотропных средах и материалах каждая проекция D, B или J зависит от всех трех проекций векторов E, H и E соответственно. В связи с этим в анизотропных средах пары векторов E и D, H и B, J и E оказываются непараллельными. Учитывая сказанное, связь между векторами, например E и D, в анизотропном диэлектрике для прямоугольной системы координат x, y, z определяется соотношением Dx = ε xx E x + ε xy E y + ε xz E z ;   D y = ε yx E x + ε yy E y + ε yz E z ;  Dz = ε zx E x + ε zy E y + ε zz E z . 

(46) 35

Таким образом, в данном случае образуются все те же девять величин, определяющие связь между векторами D и E в анизотропном диэлектрике и дополняющие систему независимых уравнений Максвелла для их решения. Систему уравнений (46) обычно представляют в виде матрицы и обозначают оператором ε xx ε xy ε xz ε = ε yx ε yy ε yz . ε zx ε zy ε zz

(47)

Оператор ε называют тензором диэлектрической проницаемости, а коэффициенты εij – его компонентами, при этом общая форма уравнения (42) сохраняется:

D = εE.

(48)

Совершенно аналогично описывается анизотропия магнитных свойств и проводимости материальных сред и электротехнических материалов. Тогда система материальных уравнений для анизотропных сред и материалов в общем виде по аналогии с (48) может быть записана в виде D = εE;   B = µH;  J = σE. 

(49)

Отметим, что на основе материальных уравнений (42) для изотропных сред и материальных уравнений для анизотропных сред (49) решаются все практические электродинамические задачи контроля и измерения характеристик различных материалов радиоприборостроения. Действительно, измеряя техническими средствами пары величин векторов E и D, H и B, J и E, определяют значения ε, µ, и σ изотропных и анизотропных материалов.

36

Кроме того, материальные уравнения лежат в основе построения и работы электромагнитных датчиков-преобразователей различного типа и назначения. Например, измеряя величину магнитной индукции B и зная магнитные свойства чувствительного элемента датчика (т. е. µотн), возможно определить напряженность H магнитного поля, воздействующего на датчик-преобразователь, и т. п. Итак, связи между величинами, входящими в три материальных уравнения, универсальны в том смысле, что они лежат в основе расчетов и устройства всех приборов, работающих как на постоянном токе, так и на высоких радиочастотах.

37

8. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ РАЗГРАНИЧЕНИЯ СРЕД ПО ПРИЗНАКУ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ Подобная задача нами уже решалась в курсе «Материаловедение», но применительно к возможности использования технических материалов при решении конкретных функциональных задач радиоприборостроения. Сейчас для нас определенный интерес представляет поиск критериев степени электропроводности сред и материалов с позиций электромагнетизма, так как материальные среды (материалы) по степени электропроводности резко различаются. Имеющееся разделение материалов на диэлектрики, полупроводники и проводники весьма условно, кроме того, проводимость многих материалов существенно зависит от частоты и других сопутствующих и воздействующих на материалы факторов. Поэтому, чтобы установить критерии, по которым материал следует считать проводником или диэлектриком, необходимо понять сущность качественного различия между проводниками и диэлектриками, вытекающего из основных уравнений электродинамики. Для этого сравним идеальный диэлектрик с идеальным проводником. В первом случае σ = 0, и в среде может существовать ток смещения Jсм, так как первый член выражения для плотности полного тока σE +

∂D = J пр + J см ∂t

(50)

равен нулю. Во втором случае σ = ∞ и существует только ток проводимости Jпр. Очевидно, что реальная среда (материал) может быть названа проводником, если ток проводимости Jпр значительно больше тока смещения Jсм, т. е., если Jпр/Jсм >> 1,

(51)

то имеем дело с проводником. При обратном соотношении токов проводимости и смещения, т. е. при Jпр/Jсм<< 1,

(52)

среду (материал) следует считать диэлектриком. Особый интерес представляют гармонически изменяющиеся поля. Пусть напряженность электрического поля меняется по закону 38

E ( x, y , z, t ) = Em ( x, y , z ) cos ωt ,

(53)

тогда плотность токов проводимости и смещения в произвольной точке M(x, y, z) определяется соотношением J пр = σEm ( x, y , z ) cos ωt

и

J см =

∂D = −ωεEm ( x, y , z ) sin ωt , ∂t

(54)

а отношение их амплитуд

J пр m J см т

=

σ , ωε

(55)

откуда следует: в соответствии с (51) и (52) среду (материал) на переменной частоте электрического поля ω будем считать проводником, если σ
1, ωε

(56)

σ  1. ωε

(57)

и диэлектриком, если

Мы видим, что деление сред на проводники и диэлектрики по их электропроводности весьма относительно, так как критерии оценки (56) и (57) включают еще и частоту. В том огромном диапазоне частот, которым располагает современная радиоэлектроника, свойства применяемых материалов меняются весьма и весьма значительно. Исходя из критериев (56) и (57) можно утверждать, что с ростом частоты ω материалы приобретают диэлектрические качества (т. е. их электропроводимость уменьшается). Например, сухая почва, будучи на низких частотах неплохим проводником, на сверхвысоких частотах становится отчетливо выраженным диэлектриком, – отмеченный факт играет важную роль в распространении радиоволн разной частоты над земной поверхностью. Для иллюстрации вышесказанного на рис. 8 для различных сред и материалов приведены зависимости σ/ωε от частоты, откуда следует очень важный вывод для теории и практики приборостроения: невоз39

можно реализовать, например, электроизмерительный прибор, успешно и с неизменными характеристиками работающий в широком рабочем диапазоне частот. σ/ωε 10 16 Мед

ь

Алю мин ий Мор

10 4

ская

вода

Сух ая п очва Стек

ло

Пла влен ый к варц

f, Гц

10–10 10 6

10 12

Рис. 8

Эта жесткая зависимость электропроводимости функциональных материалов от рабочей частоты заставляет строить датчики-преобразователи технических средств измерений на конкретные частоты работы или на очень узкий частотный диапазон работы. Объясняется это тем, что в широком рабочем диапазоне радиочастот чувствительный элемент датчика-преобразователя не может сохранять постоянными свои электрофизические параметры, а следовательно, и свои метрологические характеристики.

40

9. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПОЛЕЙ В радиотехнике много внимания уделяют анализу цепей при воздействии на них гармоническими колебаниями. Все современные технические средства контроля и измерений имеют, как правило, электронные цепи, датчики-преобразователи первичной информации, работающие во всем электромагнитном диапазоне; электронные схемы, которые удобно анализировать, применяя теорию гармонических колебаний. Это обусловлено несколькими важными причинами. 1. Сигнал любой формы на основе ряда или интеграла Фурье можно представить суммой гармонических колебаний. 2. Результат воздействия сложного сигнала на линейную систему (какими, например, являются большинство типов датчиков-преобразователей) в силу принципа суперпозиции можно представить суммой результатов воздействия гармонических колебаний. 3. Форма гармонических колебаний сохраняется при прохождении через линейные системы, которыми являются датчики-преобразователи и электронные системы усиления и записи информационного сигнала. 4. Уже хорошо разработана методика расчета систем при воздействии на них гармонических колебаний. В первую очередь, это метод комплексных амплитуд. В связи с этим в электродинамике и уделяется достаточно много внимания анализу систем при воздействии на них гармонически изменяющимися полями. Напомним, что, согласно формуле Эйлера:

e

± (ωt +ϕ )

= cos (ωt + ϕ ) ± j sin (ωt + ϕ ).

(58)

Следовательно, гармонически изменяющуюся скалярную величину a (t ) = A
m cos ( ωt + ϕ )

(59)

можно представить как реальную (Re) часть комплекса A
(t ) , т. е. a (t ) = Re {A
(t )},

(60)

где A
(t ) = Am e j (ωt +ϕ) . 41

В свою очередь, комплекс A
(t ) можно представить в виде произвеjωt дения комплексной амплитуды A
и временного множителя e :


jωt , A
(t ) = Ae

(61)

где A
= Am e jϕ . Если комплекс A
(t ) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, это значит, что данному уравнению удовлетворяют и его вещественная, и его мнимая части. Поэтому, когда требуется найти решение такого уравнения в виде a(t), его можно искать в форме A
(t ) , а затем получить нужное решение как вещественную часть комплекса A
(t ) . Аналогично расчет проводится и в случае гармонически изменяющихся векторных величин. Любой вектор полностью характеризуют три скалярные величины – его проекции на координатные оси прямоугольной системы координат x, y, z, т. е. можно записать V (t ) = X 0Vxm cos (ωt + ϕ x ) + Y 0V ym cos ( ωt + ϕ y ) + Z 0Vzm cos (ωt + ϕ z ). (62)

Воспользовавшись соотношениями (61) для записи комплексов про
(t ) можно записать в виде екций вектора, комплекс вектора V


(t ) = X 0V e j (ωt +ϕ x ) + Y0V e j (ωt +ϕ y ) + Z0V e j (ωt +ϕz ) . V xm ym zm

(63)

Вынося за скобки временной множитель e jωt , получим следующее выражение для комплексной амплитуды вектора:
(t ) = X 0V e jϕ x + Y 0V e jϕ y + Z 0V e jϕ z = X 0V
+ Y 0V
+ Z 0V
0 , V xm ym zm x y z

где

(64)

jϕ V
x = Vxm e jϕ x , V
y = V ym e y , V
z = Vzm e jϕ z – комплексные амплиту-

ды проекций вектора V(t). Подставив в первое и второе уравнения Максвелла вместо векторов электромагнитного поля их комплексы, получим 42

∂
jωt  Ee ,   ∂t  ∂
jωt jωt
 rot (Ee ) = −µ (He ).  ∂t
e jωt ) = σE
e jωt + ε rot (H

(65)

Учитывая, что комплексные амплитуды векторов поля от времени не зависят, а rot – оператор дифференцирования по координатам, уравнения (65) после сокращения можно переписать в виде
= (σ + jωε ) E
,  rot H 
= − jωµH
. rot E 

(66)

Это – уравнения Максвелла для комплексных амплитуд поля. Их можно переписать в еще более удобной форме


= jωε*E
,  rot H
= − jωµH
,  rot E

(67)

σ  где ε* = ε  1 − j  – комплексная диэлектрическая проницаемость среωε   ды, учитывающая как ее диэлектрическую проницаемость, так и проводимость, а также частоту гармонически изменяющихся полей E и H. Уравнения Максвелла в форме записи для комплексных амплитуд
особенно удобны для анализа электромагнитных полей,
и H поля E распространяющихся в свободном пространстве, в диэлектрических материалах, а также при анализе различных видов взаимодействия полей на границах раздела двух сред (материалов), например при взаимодействии электромагнитного поля с чувствительным элементом датчикапреобразователя первичной информации. Однако для анализа подобных взаимодействий необходимо знать, что происходит с векторами электромагнитного поля на границе раздела двух сред или материалов.

43

10. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Дифференциальные уравнения Максвелла – более удобный вычислительный аппарат, чем интегральные. Однако они теряют смысл на границе раздела двух сред, при переходе через которые векторы поля изменятся скачком. Рассмотрим, например, электрическое поле (D и E) в некоторой области пространства, содержащей два материала с разными значениями диэлектрической проницаемости ε1 и ε2 . Если примем, что по разные стороны границы раздела векторы равны, т. е. D1 = D2, то вектор E при переходе через границу раздела должен измениться скачком, т. е. E1 = ε1 E2 (и это следует из материальноε2 го уравнения для векторов D и E: D = εаE!). И наоборот, если E1 = E2, то обязательно должны быть различны векторы D1 и D2. Аналогичные изменения происходят с векторами магнитного поля при переходе через границу раздела сред или материалов с различными значениями магнитной проницаемости. Поэтому и необходимо выяснить, какую форму принимают дифференциальные уравнения электродинамики в пограничных точках, т. е. как связаны между собой векторы поля в соседних точках по обе стороны границы раздела. Эту связь устанавливают, используя уравнения Максвелла в интегральной форме. Далее, при выводе граничных условий векторы электромагнитного поля представим нормальными и тангенциальными к границе раздела составляющими и определим граничные условия отдельно для нормальных и тангенциальных (касательных) к граничной поверхности составляющих векторов электромагнитного поля. При этом будем считать границу раздела плоской, однородной по электрическим параметрам и бесконечной. С целью получения граничных условий для нормальных составляющих электрического поля выделим замкнутую поверхность в виде цилиндра, пересекающего границу раздела двух сред или материалов (рис. 9), и применим к этой поверхности третье уравнение Максвелла в интегральной форме. Цилиндр выберем малым, чтобы в пределах его объема поле можно было бы считать однородным. При этом условии поток вектора D через поверхность цилиндра определяется соотношением 44


∫ D d S = D

n1

∆S1 + Dτ1Sδ 0 k 1 + Dτ 2 Sδ 0k 2 − Dn 2 ∆S2 = qΣ .

(68)

S

n10

∆S1

ε1µ1

h1

n0 ∆S h2

ε2µ2

n20 ∆S2 Рис. 9

Заряд в объеме цилиндра может быть распределен в объеме и на поверхности раздела сред. Поэтому суммарный заряд определяется соотношением q∑ = q + qS = Shρ + Sρ S .

(69)

Чтобы получить условия на границе раздела сред, необходимо определить предел выражений (68) и (69) при условии, когда h1 и h2 → 0. Выполнив эту операцию и разделив уравнения на S, получим следующее выражение, определяющее поведение нормальной составляющей вектора D на границе раздела двух сред или материалов:

Dn1 − Dn 2 = ρ S .

(70)

Следовательно, при переходе через границу двух сред или материалов нормальная составляющая вектора электрической индукции изме45

няется скачком, а величина скачка равна плотности поверхностного заряда. Если же поверхностный заряд отсутствует, то нормальная составляющая вектора D при переходе через границу раздела не изменяется, т. е. Dn1 = Dn 2 . Объясним графически скачок вектора D в случае, если на границе раздела есть поверхностный заряд. Выберем на поверхности раздела такую малую площадь, чтобы ее можно считать плоской, а заряд – распределенным равномерно. Тогда при наличии внешнего поля с одной стороны поверхности раздела произойдет сложение внешнего поля и заряда, а с другой стороны – их вычитание. На рис. 10 сложение и вычитание электрического поля и показано в виде изменения числа силовых линий сверху и снизу поверхности раздела сред. Этим и объясняется скачок нормальной составляющей вектора электрической индукции Dn на границе раздела сред или материалов при наличии на границе поверхностного заряда ρS. ρS

1

Dn1–Dn2 = ρS

Рис. 10

Рассмотрим теперь поведение нормальной составляющей вектора магнитной индукции Bn на границе раздела сред или материалов с различными электрическими параметрами. Для этого используем четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме к замкнутому объему, показанному на рис. 9. В результате аналогичных приведенным выше преобразований получим

Bn 2 − Bn1 = 0 .

(71)

Соотношение (71) показывает, что нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела всегда остается непрерывной. 46

Это граничное условие еще раз подтверждает физический смысл четвертого уравнения Максвелла о том, что поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю и что магнитные силовые линии всегда замкнуты сами на себя, так как не существует ни магнитных зарядов, ни магнитных стоков – в отличие от силовых линий электрического поля и существующих электрических зарядов. С целью получения граничных условий для тангенциальных составляющих магнитного поля выберем замкнутый прямоугольный контур, пересекающий поверхность раздела Р так, чтобы плоскость контура Q была перпендикулярна поверхности раздела сред Р (рис. 11), и применим к этому контуру первое уравнение Максвелла в интегральной форме. С контуром свяжем систему ортов n0, t0 и N0, а размеры контура выберем настолько малыми, что в его пределах поле можно считать однородным. Контур L

Q

L h1

n0

τ0 – N0

h2

P Рис. 11

При этом условии левую часть уравнения (27) можно записать в следующем виде:


∫ H d l = H1τl + H1n h1 + H 2n h2 + H 2nl + H 2τh2 − H1n h1. L

(72) 47

Учитывая, что в общем случае плотность тока складывается из линейной плотности тока JS, распределенного на граничной поверхности, правую часть первого уравнения Максвелла в интегральной форме (27) можно записать в виде

∂D ∂D 0 0 0 ∫ J d S + ∫ ∂t d S = JN (h1 + h2 ) l + J S N l + ∂t N (h1 + h2 ) l. S

(73)

S

Устремим h1 и h2 к нулю, тогда вместо соотношений (72) и (73) получим lim


∫ H d l = H1τl − H 2τl,

h1,h2 →0 L



∂D 

∫  J + ∂t  d S = J S N l = J Sml. h ,h → 0  lim

1 2

0

(74)

S

Приравнивая левую и правую части и разделив их на l, получим

H τ1 − H τ2 = J SN .

(75)

Таким образом, тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля при переходе через границу раздела сред (материалов) изменяется скачком, и величина скачка равна нормальной к плоскости контура составляющей поверхностного тока. Если же поверхностный ток отсутствует (что может быть на границе раздела двух диэлектрических материалов), тангенциальная составляющая вектора магнитного поля на границе раздела непрерывна. Образование скачка тангенциальной составляющей вектора H при переходе через границу раздела с поверхностным током (например, на границе раздела диэлектрик–металл) поясняет рис. 12, где показано, как разность компенсируется поверхностным током JS. Граничные условия для тангенциальной составляющей электрического поля получим, применив к изображенному на рис. 11 контуру второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Это условие, исключив аналогичные преобразования, запишем следующим образом:

Eτ1 − Eτ2 = 0.

48

(76)

H Hτ1 JS Hτ2 Hτ1 – Hτ2 = JS Рис. 12

Следовательно, тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля на границе раздела сред (материалов) всегда непрерывна. Таким образом, полная система граничных условий имеет вид D1n − D2 n = ρ S ,  B1n − B2 n = 0,    E1τ − E2 τ = 0,  H1τ − H 2 τ = J S . 

(77)

Система граничных условий (77) сгруппирована для векторов D и E и векторов H и B, она действенна при сочетании любых технических диэлектрических и проводящих материалов. «Идеальных» проводников в технике, конечно, не существует, но допущение, что проводимость проводника σ = ∞ , можно сделать, если рассматривать поверхности, выполненные из хорошо проводящих металлов, таких, как золото, медь и серебро, которые конструктивно могут быть реализованы и в виде тонких, очень хорошо проводящих покрытий, нанесенных на другие металлы и даже на диэлектрики. Граничные условия для поверхности «идеального» проводника получаются из общих условий, если учесть, что в «идеальном» проводнике электромагнитное поле не может существовать. Таким образом, считая вторую среду «идеальным» проводником (т. е. полагая, что

D2n = B2n = E2τ = 0 ), граничные условия на его поверхности можем записать в виде Dn = ρ S ; Eτ = 0; Bn = 0; H τ = J SN .

(78) 49

В формуле (78) опущен индекс «1», ибо электромагнитное поле может существовать только в одной среде – диэлектрике перед «идеальным» проводником. Из полученных уравнений (78) для «идеального» проводника следует, что силовые линии электрического поля могут быть только нормальными к его поверхности, а магнитные – только тангенциальными. На рис. 13 показано, как деформируются силовые линии электрического и магнитного полей по мере приближения к поверхности «идеального» проводника.

H En

E Hτ

σ= ∞

σ= ∞ Рис. 13

Расположение силовых линий E и H вблизи поверхности «идеального» проводника подтверждает факт отсутствия электромагнитного поля внутри его. Действительно, невозможно у поверхности «идеального» проводника найти вектор Умова – Пойнтинга, который был бы направлен перпендикулярно к его поверхности и в сторону проводника (см. формулу (7) и рис. 1). При таком пространственном расположении векторов E и H вблизи поверхности «идеального» проводника вектор PУ–П может быть направленным только параллельно поверхности раздела, так как отсутствует составляющая поля E, ориентированная параллельно границе раздела. А это означает, что электромагнитное поле может распространяться только над поверхностью «идеального» проводника, не проникая в него. Граничные условия для векторов электромагнитного поля (77) и (78) имеют принципиальное значение в теории и практике проектирования электромагнитных датчиков-преобразователей различного типа и назначения. Причем общие граничные условия используются при проектировании чувствительных элементов датчиков, взаимодействующих 50

с электромагнитным полем, несущим посредством D, E, H, B и PУ–П полезную информацию. Максимальное восприятие чувствительным элементом датчика энергии электромагнитного поля предопределяет его повышенную чувствительность и эффективность. Граничные же условия для «идеального» проводника используются при расчете и проектировании «канализирующих» систем, т. е. различных типов линий передач и измерительных каналов, конструктивно выполненных из качественных проводников. Делается это для того, чтобы обеспечить минимальные потери энергии электромагнитного поля при ее подаче к чувствительному элементу датчика и тем самым повысить результирующую информативность контроля и измерений.

51

11. ТЕОРЕМА УМОВА – ПОЙНТИНГА Теорема Умова – Пойнтинга – один из важнейших законов электродинамики, выражающий общие закономерности передачи, сохранения и потерь энергии электромагнитного поля в ограниченном объеме пространства (например, в объеме рабочей части датчика-преобразователя или в объеме всей измерительной системы). Теорема Умова – Пойнтинга в дифференциальной форме имеет вид ∂D ∂B  div [E × H ] +  E +H  + JE = 0 ∂t   ∂t

(79)

и вытекает из первого и второго уравнений системы (40). Действительно, вычитая из первого уравнения, умноженного скалярно на E, второе, после преобразования получим уравнение (79). Интегрируя выражение (79) по произвольному объему V и применяя теорему Остроградского – Гаусса, получим теорему Умова – Пойнтинга в интегральной форме  ∂D + Η ∂B  d V + JE d V = 0.  ∫ ∂t  V V


∫ [E × H]d S = ∫  E ∂t S

(80)

В общем случае на основании обобщенного закона Ома можно записать

E=

J − Eст . σ

(81)

Подставляя выражение (81) в уравнение (80), получаем 2  ∂D + H ∂B  d V + J dV − jEст d V = 0  ∂t  σ V V V


∫ [E × H]d S + ∫  E ∂t S

∫

∫

(82)

или

∫ PУ–П d S + S

∂W + P + P ст = 0. ∂t

(83)

Уравнение (83) выражает баланс мощности электромагнитного поля в интегральной форме. Первый член в уравнении (83) выража52

ет мощность PS, проходящую через поверхность S, ограничивающую объем V:

PS = ∫ PУ–П d S,

(84)

S

где PУ–П – вектор Умова – Пойнтинга, Вт/м2, как нам уже известно, равный PУ–П = [E × H ].

(85)

Выражение (84) определяет передачу электромагнитной энергии. В частном случае это может быть мощность, излучаемая с помощью радиоволновой антенны, или светового прожектора, или генератора рентгеновского излучения. В другом случае это может быть мощность электромагнитного поля, отводимая из данного объема V с помощью линий электропередач или волноводов, пересекающих поверхность S, ограничивающую эту область. Если

∫P

У–П

d S < 0, то энергия входит в данную область V через по-

S

верхность S, если же ∫ PУ–П d S > 0, то энергия выходит из этой области. S

Физический смысл вектора Умова – Пойнтинга – это удельный поток электромагнитной энергии, проходящий в единицу времени через единицу поверхности S. Направление вектора PУ–П определяет направление движения энергии электромагнитного поля. В уравнении (83) W – энергия, запасенная в объеме V, Дж, определяется известной формулой W =∫ V

εE 2 + µH 2 dV , 2

(86)

и dW/dt – изменение этой энергии в единицу времени. Третий член уравнения (83) P=∫ V

J2 d V = ∫ σE2 d V σ V

(87) 53

выражает мощность, поглощаемую проводящей средой внутри объема V, т. е. это переход электромагнитной энергии в тепло по закону Джоуля – Ленца. И, наконец, последний член уравнения (83) ст

P ст = − ∫ jE d V ,

(88)

V

определяющий мощность сторонних источников, находящихся внутри объема V. Если Рст < 0, то сторонние источники отдают энергию электромагнитному полю, если Рст > 0, то они отбирают энергию поля. При Рст < 0 имеем P ст =
∫ PУ–П d S + S

∂W + P, ∂t

(89)

т. е. мощность сторонних источников, находящихся в данном объеме, расходуется на излучение энергии через ограничивающую этот объем поверхность, на изменение энергии и на выделение тепла внутри этого объема. При Рст > 0 имеем


∫ P

У–П

S

dS =

∂W + P + P ст , ∂t

(90)

т. е. приток мощности через поверхность S, ограничивающую данный объем V, расходуется на изменение энергии в этом объеме, который в данном случае является поглотителем электромагнитной энергии поля. Согласно выражению (86), можно определить плотность энергии W в единице объема, Дж/м3:

W = Wэ + Wм ,

(91)

µH 2 HB εE 2 ED = = – плотность электрической энергии; Wм = – 2 2 2 2 плотность магнитной энергии.

где Wэ =

54

ED HB и входят «силовые» векторы 2 2 электромагнитного поля E и B, предопределяющие его энергетическое состояние. Теорема Умова – Пойнтинга как закон сохранения энергии электромагнитного поля по своей физической сути адекватно отражает все возможные процессы, имеющие место в генераторах и потребителях энергии электромагнитного поля во всем электромагнитном диапазоне – от самых низших до СВЧ, оптического и рентгеновского диапазонов. В этой связи теорема Умова – Пойнтинга является теоретической базой расчета и проектирования подобных электромагнитных устройств. Пассивные электромагнитные датчики-преобразователи также являются потребителями и преобразователями энергии поля, несущего полезную информацию. Активные электромагнитные датчики-преобразователи (т. е. по своей структуре и принципу действия сами вырабатывающие энергию, например, для повышения чувствительности) также соответствуют закономерностям, вытекающим из теоремы Умова – Пойнтинга.

Заметим, что в соотношения

55

12. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Рассмотрим «механическое» действие электромагнитных волн на материальные предметы. Световое давление солнечного электромагнитного излучения было обнаружено и измерено русским ученым П. Н. Лебедевым в 1901 году, что сыграло значительную роль в обосновании и развитии электромагнетизма, подтвердив, в частности, материальную природу электромагнитного поля. Исходя из предпосылки, что электромагнитное поле обладает энергией, удельная величина которой может быть оценена значением вектора Умова – Пойнтинга, было доказано: – при перпендикулярном падении PУ–П на идеальный проводник электромагнитная волна оказывает давление на его поверхность с силой F = 2 (PУ–П / c ) ,

(92)

где c – скорость света. Сила F, как и вектор PУ–П, – векторная величина и направлена в соответствии с движением электромагнитных волн. Коэффициент «2» в формуле (92) обусловлен тем, что в идеальном проводнике возникает электромагнитная реакция противодействия падающему на него потоку энергии. Заметим также, что в формуле (92) PУ–П – это поток всей электромагнитной энергии, который в общем случае состоит из многих электромагнитных волн различных частот (как в электромагнитном потоке, создающемся Солнцем). При изменении угла падения механическое воздействие электромагнитных волн на поверхность идеального проводника уменьшается, и при угле падения, равном нулю, F = 0. Для реальных технических проводников при тех же углах падения давление электромагнитных волн меньше, так как часто энергия тратится на нагрев проводника. И наконец, если имеем дело с поглощающим электромагнитное излучение материалом, то вся падающая энергия превращается в тепловую и механическое воздействие на его поверхность отсутствует. Эффект механического воздействия электромагнитных волн находит весьма ограниченное применение в измери56

тельной технике – только при построении пондеромоторных измерителей СВЧ-мощности. Основным достоинством таких измерителей являются очень большие уровни измеряемой мощности, а недостатком – сложность конструктивных решений, необходимость вакуумирования измерительных камер и их термостабилизация. Имеется, однако, перспектива использования механического воздействия электромагнитных волн в виде мощных направленных пучков для придания космическим объектам поступательного движения. Теперь дадим перечень основных электромагнитных величин, измеряя которые с помощью соответствующих средств можно получать информацию об ОПИ или ОК. Иначе говоря, речь идет о величинах, несущих информацию о тех средах, материалах, изделиях, где они существуют, и о тех электромагнитных величинах, используемых в технических средствах измерений для обеспечения их работоспособности: q – электрический заряд, Кл, Кл/м, Кл/м2, Кл/м3; PУ–П – вектор Умова – Пойнтинга, Вт/м2; J – электрический ток, А, А/м2; ε – электродвижущая сила, В; εа – абсолютная электрическая проницаемость сред и материалов, Ф/м, или ее относительное значение; µа – абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м, или ее относительное значение; σ – электрическая проводимость сред и материалов, 1/Ом·м; ρ – удельное электрическое сопротивление сред и материалов, Ом·м; α – затухание, дБ, дБ/м; D – вектор электрической индукции, Кл/м2, или электрическая индукция, Кл/м2; B – вектор магнитной индукции, Вб/м2, или магнитная индукция, Вб/м2; E – вектор напряженности электрического поля, В/м, или электрическое напряжение, В; H – вектор напряженности магнитного поля, А/м; F – механическое давление электромагнитных волн, кг/м2. Понятно, что в приведенном перечне электромагнитных величин указаны не все величины, характеризующие электромагнитное поле и волны.

57

Кроме того, существуют производные от этих величин, которые, в частности, используются в технике измерений и при проектировании электромагнитных датчиков-преобразователей и соответствующих приборов. В заключение следует отметить, что изложенные в данном учебном пособии основные законы электромагнетизма действительно представляют собой теоретическую основу расчета и проектирования электромагнитных датчиков-преобразователей и вообще электромагнитных средств измерения и контроля, т. е. средств получения информации. Поэтому фактическое содержание и целевая направленность пособия должны способствовать пониманию и восприятию материала соответствующего раздела курса ФОПИ.

Библиографический список 1. Воробьев Е. А. Радиоволновый контроль конструкций и материалов. Л.: Судостроение, 1986. 2. Воробьев Е. А., Михайлов В. Ф., Харитонов А. А. СВЧ-диэлектрики в условиях высоких температур. М.: Сов. радио, 1977.

58

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................................................................................ 3 1. Основные понятия макроскопической электродинамики ................ 4 2. Векторы электромагнитного поля ....................................................... 6 3. Заряды и ток – источники электромагнитного поля ....................... 11 4. Закон сохранения заряда ..................................................................... 15 5. Основные законы электродинамики ................................................. 18 6. Основные физические свойства уравнений электродинамики ..... 29 7. Классификация материальных сред и их электромагнитные свойства ............................................................................................... 33 8. Относительность разграничения сред по признаку электропроводности ........................................................................... 38 9. Уравнения Максвелла для гармонически изменяющихся полей ... 41 10. Граничные условия ............................................................................. 44 11. Теорема Умова – Пойнтинга .............................................................. 52 12. Механическое воздействие электромагнитных волн ...................... 56 Библиографический список ..................................................................... 58

59

Учебное издание

Воробьев Евгений Александрович

ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ – ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ПОЛУЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Учебное пособие

Редактор А. Г. Ларионова Компьютерная верстка М. А. Данилова Сдано в набор 16.09.02. Подписано к печати 20.12.02. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,48. Усл. кр.-отт. 3,87. Уч.-изд. л. 3,5. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

60