Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 741-750
УДК 510.5
О ВНУТРЕННЕЙ
ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ
Л И Н Е Й Н Ы Х ПОРЯДКОВ*)
А. Н. ХИСАМИЕВ
В [1] введено понятие внутренне перечислимой модели 9Л и получен критерий Е-определимости счетной модели ЭТв наследственно конечном множестве HF(9Jt). Там же приведены условия, при которых модель 9Л яв ляется внутренне перечислимой, и доказано, что каждая конечно-порож денная алгебра внутренне перечислима. В настоящей статье исследуется вопрос: какие линейно упорядоченные множества внутренне перечисли мы? В частности, доказано, что любой счетный ординал не является вну тренне перечислимым. Для этого устанавливаются критерии экзистенци альной эквивалентности наследственно конечных допустимых множеств, представляющие самостоятельный интерес. В [2, теор. 3.4.1] Ю.Л.Ершов получил критерий для достаточно насыщенных моделей 9Л, чтобы эле менты ho, hi из HF(9JT) реализовывали один и тот же тип. Оказывается, что этот критерий справедлив для любой модели ШТ, если ограничиться рассмотрением только 1-типов. Все используемые и неопределяемые понятия можно найти в [1, 2]. Напомним некоторые из них, Пусть 9Л — не более чем счетная модель конечной сигнатуры. Модель 9Л назовем внутренне перечислимой, если существует нумерация v : и -> 9Л модели 9Л такая, что функция v{x) является Е-функцией в HF(9Jt). Пусть 9Ль ШТ2 ~~ счетные модели конечной сигнатуры <7о- Говорят, что модель Ш\ экзистенциально беднее модели ШТ2, "^Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы "Интеграция".
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
742
А. Н. Хисамиев
если любое Э-предложение сигнатуры а0) истинное в модели ЭЛх, истинно и в модели 9^2» и используют обозначение дЯ\ -
^
^ i (HF(9Jt2),c) и 21 — конечная концевая подмодель модели (HF(SDT1),b). Пусть А = {Ь, ао, ...,a n _i}. Для каждого элемента а, введем константу с,-. Пусть .0(21) — конъюнкция всех атомных или отрицаний атомных предло жений сигнатуры сг(21) = ст2 U {с0, ...,c n _i}, истинных на {21, Ь, a0, ..,a n _i), т.е. D(2l) — описание или диаграмма модели 21. Пусть Ф(й,с 0 , ...,c„-i) = D(2l)AAVx E cl-(x = dVar = c 0 V . . . . . . V х = c n _i) Л Уж £ d(# = со V ... V x = c n _i). Поскольку 21 — концевая подмодель, на (21,6, а 0 , . . , a n - i ) истинна формула Ф(й, с0, ...,c n _j). Тогда на (HF(S0I1),b) истинна формула Ф = 3a?o...3a:n-i$(d, я 0 ,..., s n _ i ) . Поэтому формула Ф должна быть истинной и на модели (ШГ(9Л2),с). Пусть 6о,..., Ьп-1 элементы из (ШГ(ЯЛ2)> с) такие, что на (HF(SDt2), с) истин на Ф(с?,fco,...,ft n _i). Расмотрим подмодель 93 = {{с, 6Q, ...,6„~i},0*2). Ясно, что отображение, заданное равенствами
О внутренней перечислимости линейных порядков
743
Действительно, пусть либо га Е Ь{, либо m Е с. На *В истинна формула Vx Е Ь„-(# = *(i V х = со V ... V ж = c n _i) AVx Е d(;r = Со V ... V х = c n _i). Отсюда га совпадает с одним из rf, Ьо, • • • > bn»_i, т. е. га Е 2J и, значит, 2$ —концевая подмодель. Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть теперь выполняется условие предложе ния. Будем предполагать, что сигнатура <70 не содержит фунциональных символов. Пусть Ф(жо, ..,#„~i) — произвольная А 0 -формула сигнатуры а2 со свободными переменными хо? • ••>a?n-i« Докажем утверждение: (А) Пусть о 0 , ...,а п _! из
такие, что (BF(3Jti),6) f= Ф(а 0 ,... . , ^ a n _ i ) . Тогда для некоторых Ьо?--ч&п-1 из (HF(9Jt2),e) выполняется (НГ(£Ш2),с>(=Ф(Ьо,...,Ьп-1). Действительно, пусть 21 — концевая подмодель модели (HF(9Jti),b), содержащая элементы ao, ...,a n _i, *8 — подмодель модели (ШГ(1Ш2),с), <р : 21 -> *8 — изоморфизм такой, что ¥>(а;) = Ь{. Тогда 21 \= Ф(ао,..., o n -i) <^ Ш И *(Ьо, - , bn-i). Поскольку концевые подмодели устойчивы относительно До-формул, вы полняется (HF(9)l2),c) f= Ф(&о> ...,b n -i)» Таким образом, утверждение (А) доказано» Пусть теперь Ф = ЗуФ\(у), где Фх — некоторая До-формула и (HF(9Jti),fe) |= ЗуФг(у). Тогда найдется элемент а из (HF(9Hi),6) такой, что (HF(93Ti),fe) [= $i(a). Поскольку Фх — это До-формула, из (А) следует существование такого элемента V в (HF(3Jt2),c), что (ИГ(9Л2),с) (= Фг(Ь/), т. е. {HF(27t2), с) h ЗуФ^у). Таким образом, любое экзистенциальное пред ложение, истинное в (HF(3Jti),b), истинно и в (HF(£DT2)jc). Предложение доказано. Будем говорить, что модель Ш\ экзистенциально эквивалентна мо дели 9JT2, если любое 3-предложение сигнатуры ao, истинное в модели 2Лх, истинно в модели 9Я2 и наоборот, при этом будем использовать обозначе ние mti = ! 9Я2.
744
А. Н. Хисамиев С Л Е Д С Т В И Е 1. Модель (HF(#li),&) экзистенциально
эквива
лентна модели (ШГ(ЯЛ2)>е) тогда и только тогда, когда для любой ко нечной концевой подмодели 21 модели (HF(97Ti),b) найдется изоморфная ей концевая подмодель 93 модели (HF(9JT2), с) и наоборот. Пусть п € w,HF(n) = HF({0,1,...,тг- 1 » , Ж - модель, х G HF(n), р G М п . Определим элемент х(р) G HF(M) следующим образом. Пусть Ар : п —¥ М определено как Ар(0 =р.-, i
p = <po,...,Pn-i>-
Отображение Ар однозначно продолжается до А~ : HF(ra) ~> HF(M) так, что \Ща0,...ак})
=
{\%(а0),...,\$(ак)}
для любого множества {а 0 , ...,«fc} G HF(n). Тогда х(|>) = А^(х). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2. Пусть ЯЛ — модель сигнатуры <т0 и b,c E G ШР(аЛ). Модель (ШГ(9Л),Ь) экзистенциально беднее модели (ШГ(ГО1),с) тогда и только тогда} когда [и{] существуют число n 6 w , элемент х G HF(n) u последователь ности р = (р 0 , ...,jp n -i), 9 = <9о, ...,9n-i>, Pi»?i € М, такие, что Ь - х(р) ; с — х(д) и модель (9Л,р) экзистенциально беднее модели (9Л,д). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть 6 = х(р). Тогда найдется терм 1Ж сигнатуры ( 0 , {, }*, U2) такой, что Ь — t„(x)~ (см. [2, рас суждения посте предлож. 3.4.3]). Отсюда существует А 0 -формула Ф(у,ж) такая, что выполняется эквивалентность
HF(OR)
\=(у = г„(х)) <* Ш¥{т) \= Ф(у,х) л Щх{). г
Так как (НГ(ЯЛ),Ь) (= Ф{Ь,р), имеем (НГ(«Ш),Ь) |= ЭгФ(Ь,ж). Отсю да (HF(2H),c) [= ЗхФ(с,5Г), т.е. существует последовательность q' = =
, 9i G Af, такая, что (HF(«OT),c> \= Ф(с,?). Значит, с =
= M * ) J i т.е. c =
xtf).
Докажем, что для некоторой перестановки <7о множества 5„
=
= {0,1,...,п — 1} модель (97t,po, —»Pn-i) экзистенциально беднее модели
О внутренней перечислимости линейных порядков
745
Поскольку (HF(QJl), b) <\ (HF(9Jl), с), по предложению 1 выполняется (и0), т.е. для любой конечной концевой подмодели 21 модели (HF(9Jl),&) найдутся концевая подмодель 2J модели (ШГ(ОЛ), с) и изоморфизм (р : 21 —>* —> *В такие, что у(Ь) = с. Пусть 21 — некоторая концевая подмодель модели (ШГ(9Я),Ь). Пусть *8 и <р удовлетворяют условию (щ) для этой модели 21. Тогда существует перестановка а множества 5„ такая, что -* 35 такие, что <р(р,-) = q'^. Допустим противное, т. е. для любой перестановки а существует кон цевая подмодель 21<у модели (ЕПГ(ЯЛ),Ь), для которой не выполняется (1°). Пусть (Ji, ...,<7m — все перестановки множества 5 П . Рассмотрим некоторую конечную концевую подмодель 21, содержащую 21^ U ... U 21(Ут. Тогда най дутся ее концевая подмодель *8, изоморфизм <р : 21 -> 58 и перестановки as, 1 ^ s ^ m, такие, что
746
А. Я. Хис&миев
<р : 21 -» <В такие, что ^(р,) = д . Пусть р0 = ¥> Г 9#о и Лг0 = <^(М0). Тогда (ро является изоморфизмом подмоделей !ОТо и Wo, a <^(jpf) = &. Отсюда (ЭДТ,|>) ^ i (2Л, q). Необходимость доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть выполнено условие {щ). Докажем, что то гда (ШГ(9Л), 6} ^• ® такие, что (р(Ь) = с. Пусть 21 — произвольная конечная концевая подмодель модели <НГ(ЯЯ),6). Пусть М 0 = {sp(6) | b G 21} = {po,...,p„-i,p„,...,A-i}. Тогда ОЛо — конечная подмодель модели (9Л,р). Поскольку (Ш1,р) ^ i (£ОТ, 5), най дутся подмодельЭДомодели (9Л,0 « 9Ло -> 9Т0 такие, что (p0(pi) = #,-, i ^ n — 1. Положим y?(pj) = <у, j ^ s — 1. Пусть 21* — {х | х G € HF(c*7), 3Ar3p0...3pjb-13a G 21 (a = x(p 0 , -,Pk-i))}
и 2U = { I
3a G 21 (a = x(po, ...,p*-i))}. Ясно, что 21 = {x(po, ...,P*-i) I (poi -,P*-.i) € G 2U, x G 21*}. Положим » = {x( 9 o , ...,№-1) I *8, т. е. выполняется условие (ио) предложения 1. Отсюда (HF(SDI),b) ^1 (НГ(9Л),с). Достаточность, а вместе с тем и предложение 2 доказаны. Из доказательства этого предложения вытекает С Л Е Д С Т В И Е 2. Если (Ш¥(Ш)УЬ) <х и b = , . . , p n _ i ) ; с = х(^о? • ••>
mo
х(роУ...
найдется перестановка а множества
Sn
такая, ч т о с = х ( ^ 0 , » ч ? ( г ( п - 1 ) ) и (9Л,р 0 ,--,Pn-i) ^1 (ЯЛ>9<го, ...,ft,(n-i)>Пусть ВПГ(ЯЛ) — модель сигнатуры ai и 6 G HF(9H). Множество 3-формул сигнатуры
t^m)(c)
совпадают тогда и только тогда} когда существуют п G и, н G HF(n), j», £ G M n такие, что Ъ = *(р), с = х(#) u ^ ( p ) = 4я(#)-
О внутренней перечислимости линейных ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. =
*HF(SK)(C).
Необходимость.
747
порядков Пусть
*^ (Ш1) (Ь)
=
Из доказательства предложения 2 следует, что существу
ют n G w, х € HF(n), pf,lf
6 М п и перестановка <7Q множества 5 П =
= {0,1,...,п - 1} такие, что b = х(р'), с = х(д') и г^(р') С *sbi«?^o0»--•' • i^ 0 (n-i)))-
B
Дальнейшем элементы вида (g£o0, ...,?*0(„_i)> будем обо
f
значать через q ffo. Тогда ^ ( р ' ) С *дя(<&0). Поскольку *ир/дл)(с) С ^ / ^ ( Ь ) , по следствию 2 существует переста новка ах множества Sn такая, что b = ^ ( ^ ) и *дя(<&0) Q ^яяОРоч)- О п я т ь же, поскольку t\^,mJb)
С 4щ£Щ)(с)' существует перестановка сг2 множе
ства 5„ такая, что с = ^(5^ 2
Ь = * # ) = * & , ) = * ( & , , ! ) = ...,
и включений
Так как число перестановок конечно, существуют числа k < s та кие, что перестановки а = o^fc+i^fc-i—tfi и г = c ^ + i ^ e - i - - ^ ! совпадают. Отсюда & = ft, tlm{%) = t^x(p'r). Тогда *йл(Р<г) ^ ^SwOPo-afc+i^fc-i-^i) - %tvtfcr2fc+2
Следовательно, t^(p^) = ^ я Й ^ + г ^ . ^ о ) * Положим £ = a2k+202k-0Q- То гда Ь = х(р^), с = х(д^), а для последовательностей р = ^
и { =
^
выполняются равенства Ь = х(р),с = х(д), tgn(p) = *ал(#)- Необходимость доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь следует из предложения 2. Теорема доказана. Для доказательства теоремы 2 потребуется Л Е М М А 1. Пусть Ш — модель сигнатуры а0 и а = (ао, ...,a n _i), 5 =
(boi-M^n-i) ~~ последовательности
г
элементов
из ШГ(ЯЯ). То-
(HF(OT),6) в тол* гг только в том случае,
< H F ( ^ ) , a 0 l . . . ,a n _i) ^ i .
если
748
А. Н. Хисамиев ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть Ф(х0, ...,хп„х)
~ про
извольная формула сигнатуры о\. Поставим ей в соответствие формулу Ф*(#) от одной переменной следующим образом: I Ф(ж 0 ,...,о; п -1), еслия? = (я:о,...,х п .1), Ф (х) = < ж^х' в противном случае. Тогда справедливо условие: (ЕЕ(Щ,ао,...,ап-г)
И ^ . - . м )
=»
Произвольной формуле Ф(ж) сопоставим формулу Ф*(х 0 ,...,х п _ 1 ) = Зя(я = (жо,...,жп_1>ЛФ(а;)). Отсюда
h*(s)=» ^1 (НЕ(9Л),Ь0, ...,6 n -i> 4Ф (НГ(ПЛ),а) ^ ! <НГ(Ш1),5>. Лемма доказана. Т Е О Р Е М А 2. Любой бесконечный линейный порядок не является внутренне
перечислимым.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L — некоторый счетный линейный по рядок. Допустим, он внутренне перечислим. Тогда существует последова тельность элементов а = (ао,..., a n _i) такая, что любой элемент Ь Е L выде ляется в HF(L) некоторой формулой Фь(ж, а) (см. [1]), т. е. в HF(£) форму ла Ф&(ж,а) истинна тогда и только тогда, когда х = 6. Пусть 5 = U5P(a*)> 5 = {s 0 ,..., s m - i } , причем 5 0 < 5i < ... < s m _i и в интервале [si,s,-+i] со держится бесконечно много элементов. Покажем, что в интервале [s{1 Si+i] содержится хотя бы одна из последовательностей следующих видов: Ь0 < bi < b2 < ... < Ьп < ...
(1)
О внутренней перечислимости линейных порядков со > С! > с2 > ... > сп > ....
749 (2)
Действительно, допустим противное. Тогда любая возрастающая или убывающая последовательность обрывается через конечное число шагов. Отсюда, для любого элемента а Е (st-, s,-+i) имеется как предшественник, так и последователь: для элемента S{ — последователь, а для элемента Si+i — предшественник. Тогда существует последовательность Si = ао < а\ < а>2 < ... < an = st-+1, где для любого г < п элемент a,+i является последователем элемента аг. Следовательно, интервал [s;,Si+i] содержит только конечное число эле ментов. Получили противоречие. Таким образом, в интервале [s;,S|+i] со держится хотя бы одна из последовательностей вида (1) или (2). Пусть в интервале [S,-,SJ+I] содержится последовательность bo < &i < b2 < ... < bn < ... и 60 ф ^i. Расмотрим элементы Ьо,Ьх. Покажем, что любая 3-формула Ф(ж,50, ...,5 m «j) сигнатуры а*, истинная на элементе Ьо в HF(L), будет истинной и на элементе Ъ\. По лемме 1 и предложению 2 достаточно по казать, что для любой конечной подмодели LQ модели (L, Ьо,$о, ...,s r o -i) существует конечная подмодель L] модели (L, bj, so,..., ^m-i)? изоморф ная Lo- Пусть дана произвольная подмодель LQ, LQ ~ {х € LQ \ х < Ь 0 }, &о = ix £ L0 \ х ^ s»+i}, LQ
:=
{з е £о | Ьо < я < «t+i} ~ {с0 < ci < . . .
. . . < Cfc_i}, со = Ьо* Положим Lj = {6i < b2 < ... < Ь^}, Li = LQ U L\ U L§. Определим отображение (р ; LQ -* Iq посредством равенства <р{х)
ж,
если ж € LQ U £Q,
bj+i, если ж = с;, г — 0,..., & — 1. Легко видеть, что <р является изоморфизмом подмоделей Lo и Li, а <р(Ьо) = Ьх. Поэтому условие (щ) предложения 2 выполняется. Следова тельно, {BDF(L)>boi«o»-M5m-i) ^ i {HF(L),b b 5 0 , ...,s m _i). Тогда на эле менте Ь\ истинна формула Фь0(а?,ао, ...,a n -i)- Это противоречит тому, что элемент Ьо в модели HF(L) выделяется формулой Ф^0(ж,ао, ...,a n _i).
750
А. Н. Хисамиев Если в интервале [st-,s,-+i] содержится последовательность со > ci > с2 > ... > сп > ...,
то аналогично можно доказать, что любая З-формула, истинная на эле менте Со в ШГ(£), будет истинной и на элементе с\. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Любой счетный ординал не является внутренне пе речислимым. Модель Ш назовем /-жесткой, если существует такое обогащение Ш* модели 9Л конечным числом констант, что модель 9Л' является жесткой моделью. В [1] было доказано, что условие /-жесткости модели являет ся необходимым условием для ее внутренней перечислимости. Замечание показывает, что указанное условие не является достаточным. Автор выражает благодарность С. С. Гончарову за руководство ра ботой.
ЛИТЕРАТУРА 1. А. Н. Хисамиев, Е-нумерация и Е-определимость, в кн. "Структурные ал горитмические свойства вычислимости" (Вычислительные системы, 156), Новосибирск, 1996, 44-58. 2. Ю. Л. Ершов, Определимость и вычислимость (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996.
Адрес автора: ХИСАМИЕВ Асылхан Назифович, РОССИЯ, 630128, г. Новосибирск, ул. Демакова, д. 18, кв. 271. Тел.: (3832) 36-13-68.
Поступило 2 апреля 1999 г.
