Курс арифметики

Ж.-П. Серр КУРС АРИФМЕТИКИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» . Москва 1972

Современный университетский учебник повышенного типа по теории чисел. Сжатое, но весьма содержательное изложение ведется с позиции современной алгебры; развиваются теория конечных полей, теория p-адических чисел, локальная теория квадратичных форм, начальные сведения из теории L-рядов с теоремой Дирихле о прогрессии, элементы теории модулярных форм. Автор — выдающийся французский математик; вышедшие в русском переводе его книги: «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968), «Алгебры Ли и группы Ли» («Мир», 1969), «Линейные представления конечных групп» («Мир», 1970) получили высокую оценку советских ученых. Новый труд Ж.-П. Серра, несомненно, будет пользоваться еще большей популярностью. Он заинтересует математиков различных специальностей и окажется полезным преподавателям, аспирантам и студентам университетов и пединститутов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Часть первая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 9 Глава I. Конечные поля § 1. Общие положения 9 § 2. Уравнения над конечным полем 12 § 3. Квадратичный закон взаимности 14 Приложение 19 22 Глава II. p-адические поля § 1. Кольцо Zp и поле Qp 22 § 2. p-адические уравнения 25 § 3. Мультипликативная группа поля Qp 30 36 Глава III. Символ Гильберта § 1. Локальные свойства 36 § 2. Глобальные свойства 43 Глава IV. Квадратичные формы над Qp и над Q 48 § 1. Квадратичные формы 48 § 2. Квадратичные формы над Qp 61 § 3. Квадратичные формы над Q 70 Приложение 78 Глава V. Целые квадратичные формы с дискриминантом ±1 82 § 1. Предварительные сведения 82 § 2. Формулировки результатов 90 § 3. Доказательства 95 Часть вторая АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 101 Глава VI. Теорема об арифметической прогрессии

§ 1 Характеры конечных абелевых групп 101 § 2. Ряды Дирихле 106 § 3. Дзета-функция и L-функции 112 § 4. Плотность и теорема Дирихле 119 124 Глава VII. Модулярные формы § 1. Модулярная группа 124 § 2. Модулярные функции 128 § 3. Пространство модулярных форм 136 § 4. Разложения в бесконечные ряды 144 § 5. Операторы Гекке 154 § 6. Тэта-функции 168 Литература 176 Указатель обозначений 179 Предметный указатель 181 Именной указатель 182 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Мультипликативная функция VI. 3.1 Абеля лемма VI. 2.1 Невырожденная квадратичная форма Аппроксимационная теорема III. 2.2 IV. 1.2 Бернулли числа VII. 4.1 Параболическая форма VII. 2.1 Вес модулярной функции VII. 2.1 Плотность (множества простых Витта теорема IV. 1.5 чисел) VI. 4.1 Вырожденная квадратичная форма — натуральная VI. 4.5 IV. 1.2 Представимый (квадратичной Гекке операторы VII. 5.1, VII,5.2 формой) элемент IV. 1.6 Двойственная группа VI. 1.1 Примитивный вектор II. 2.1 Дзета-функция VI. 3.2 Произведения формула III. 2.1 Дирихле ряд IV. 2.2 Прямая ортогональная сумма IV. 1.2, — теорема III. 2.2, VI. 4.1 V. 1.2 Дискриминант (квадратичной Пуассона формула VII. 6.1 формы) IV. 1.1 Рамануджана гипотеза VII. 5.6.3 Закон взаимности (квадратичный) — функция VII. 4.5 1.3.3 Решетка VII. 2.2 Изотропное подпространство IV. 1.3 Сигнатура (вещественной Изотропный вектор IV. 1.3 квадратичной формы) IV. 2.4 Инварианты (квадратичной формы) Символ Гильберта III. 1.1 IV. 2.1, V. 1.3 — Лежандра I. 3.2 Квадратичная форма IV. 1.1 Смежные базисы IV. 1.4 Квадратичный модуль IV. 1.1 Тэта-функция (решетки) VII. 6.5 Мейера теорема IV. 3.2 Фундаментальная область Минковского — Зигеля формула V. (модулярной группы) VII. 1.2 2.3 Характер (абелевой группы) VI. 1.1 Модулярная группа VII. 1.1 — модулярный VI 1.3 — форма VII. 2.1 Характеристика (поля) I. 1.1 — функция VII. 2.1

L-функция VI. 3.3 Хассе — Минковского теорема IV. p-адическая единица II. 1.2 3.2 p-адическое целое число П. 1.1 Шевалле теорема I. 22 — число II. 1.3 Эйзенштейна ряды VII. 2.3 Эллиптическая кривая VII. 2.2 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Лемер (Lehmer D. H.) 153, 154 Акс (Ах J.) 68 Ленг. (Lang S.) 5 Артин (Artin E.) 67 Лич (Leech J.) 174 Боревич 3. И. 5 Милнор (Milnor J.) 97 Бурбаки (Bourbaki N.) 5, 48, 82, 83, Прахар (Prachar K.) 123 87, 94 Селмер (Selmer E. S.) 76 Вейль A. (Well A.) 153, 163 Тержаньян (Terjanian G.) 67 Ганнинг (Cunning R. С.) 168 Шафаревич И. Р. 5 Гекке (Hecke E.) 163 Эйзенштейн (Eisenstein G.) 19 Гурвиц (Hurwitz A.) 150 Atkin A. O. L. 144 Дирихле (Lejene-Dirichlet Q.) 101 Deligne P. 167 Зигель (Siegel С. L.) 93, 153, 173 Eichler M. 167 Картан (Cartan H.) 135 O'Brien J. N. 144 Касселс (Cassels J.) 85 Schwartz L. 168 Кнезер (Kneser M.) 93 Selberg A. 150, 167 Конвей (Conway J.) 95 Springer T. 67 Кохен (Kochen S.) 68 Widder D. 108 Лежандр (Legendre A.) 101