М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
12 downloads
151 Views
300KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
Р У К О ВО Д С ТВО К Р Е Ш Е Н И Ю ЗА Д А Ч П О А Л Г Е БР Е Ч А С ТЬ II
Ж ордановаформ а м атрицы и жордановбазис
Практич еское пособие покурсу “А лгебраи геометрия” д лястуд ен тов по специальн ости “Приклад н аяматематикаи ин ф орматика”(010200)
В орон еж 2003
2
У тв ерж д ен о н ауч н о-метод ич ескимсов етомф -таПМ М ( 2.04.03 , протокол № 6 )
Состав ители: У д од ен ко Н иколай Н иколаев ич Глуш аков аТ атьян аН иколаев н а
Практич еское пособие под готов лен о н а каф ед ре в ы ч ислительн ой математики ф -та ПМ М и н а каф ед ре алгебры и топологич еских метод ов ан ализа математич еского ф акультетаВ орон еж ского госуд арств ен н ого ун ив ерситета. Рекомен д уется д лястуд ен тов 1-го курсаф акультетаПМ М и математич еского ф акультета.
3
§1. С обственныевекторы и собственные значения оператора. Ж орданова форм а м атрицы и жорданов базис Рассмотрим лин ейн ы й оператор A в простран ств е E (dim E = n) и пусть Ae – матрицаэ тогооператорав н екоторомбазисе
{ei }ni=1 .
det( Ae − λI ) = ϕ (λ ) н азы в аетсяхарактеристическим м ног очл еном матрицы Ae ( I – ед ин ич н аяматрицапоряд ка n ). О пред елен ие 2. В ектор x ≠ 0 н азы в ается собств ен н ы м в ектором оператора A , если Ax = λx , а λ – собств ен н ы м зн ач ен ием оператора A , соотв етств ую щимсобств ен н ому в ектору x . О пред елен ие 1.
1.1. А л г оритм
нахождения собственног о значения и собственног о вектораоператора
1) Н айд ем в се корн и х арактеристич еского мн огоч лен а ϕ ( λ ) = det( Ae − λI ) ,
получ им λ1 , λ 2 , ... , λk – спектр оператора (мн ож еств о в сех собств ен н ы х зн ач ен ий); 2) под став им λ = λ1 в систему
( Ae − λI ) x = 0 ,
реш им ее и н ай д ем в се собств ен н ы е в екторы , отв еч аю щие собств ен н ому зн ач ен ию λ1 , затемпод став им λ2 и т.д . 1.2. А л г ебраическая и г еом етрическая кратности собственног о значения О пред елен ие 3. К ратн ость корн я λi в х арактеристич еском мн огоч лен е
ϕ (λ ) н азы в аетсяал г ебраической кратностью собственног о значения λi . О пред елен ие 4. Г еом етрической кратностью ki собств ен н ого зн ач ен ия λi н азы в аетсяразмерн ость собств ен н ого под простран ств аоператора A L (λi ) = {x : Ax = λi x}. У тверждение. k i = n − rang ( Ae − λi I ) , гд е n – поряд ок матрицы оператора A . Теорем а. О ператор A в базисе e1 , e2 , ... , en имеет д иагон альн ую матрицу Ae в том и только том случ ае, когд а базисн ы е в екторы ei (i = 1, 2, ..., n) – собств ен н ы е, то есть α i = ki д ляв сех i . 1.3.
Ж орданова форм ам атрицы и жорданов базис
О пред елен ие 5.
Ж ордановой
кл еткой
н азы в ается клетка в ид а
4
λi 0 0 ... 0
1
0
...
λi
1
...
0
λi
...
...
... ...
0
0
0 0 0 . 1 λi
...
(1.1)
Теорем а. Д ляпроизв ольн ого оператора A : C → C n
n
существ уетбазис
n
простран ств а C , в которомматрицаоператораимеетклеточ н о-д иагон альн ы й в ид , прич емн аглав н ой д иагон али стоятж орд ан ов ы клетки в ид а (1.1). Э тот базис н азы в ается жордановым , а д ан н ы й кан он ич еский в ид матрицы н азы в аетсяжордановой форм ой. Замеч ан ие. Ж орд ан ов а ф орма опред еляется од н озн ач н о с точ н остью д о поряд каклеток (каж д ой клетке с λi соотв етств уетод ин собств ен н ы й в ектор). А л г оритм
нахождения жорданова базиса дл я одной жордановой кл етки
Рассмотрим ж орд ан ов у клетку в ид а (1.1). По опред елен ию матрицы оператора в 1-м столбце стоит в ектор Af1 , разлож ен н ы й по базису
f1 , f 2 , ..., f k :
Af1 = λi f1 + 0 ⋅ f 2 + ... + 0 ⋅ f k ,
поэ тому
( A − λi I ) f1 = 0 .
В о 2-м столбце матрицы н ах од ится в ектор Af 2 , разлож ен н ы й по э тому ж е базису и т.д . Т аким образом, собств ен н ы й в ектор f1 н ах од им как реш ен ие системы
( Ae − λi I ) x = 0 , присоед ин ен н ы й в ектор ( Ae − λi I ) x = f1 . О ч ев ид н о, ч то
f 2 – как реш ен ие системы
( Ae − λi I ) 2 f 2 = ( Ae − λi I ) f1 = 0 . Прод олж ая ан алогич н ы е
рассуж д ен ия,
д ля в ектора
fk
получ им
( Ae − λi I ) k f k = 0 . О пред елен ие 6. высоты k .
В ектор
fk
н азы в ается присоединенным вектором
Ж орд ан ов базис состоит из собств ен н ы х и присоед ин ен н ы х к н им в екторов .
5
У тверждение. А лгебраич еская кратн ость собств ен н ого зн ач ен ия λi рав н асумме размеров ж орд ан ов ы х клеток с э тимсобств ен н ы мзн ач ен ием. У тверждение. Геометрич еская кратн ость ki собств ен н ого зн ач ен ия λi
рав н а ч ислу клеток в ж орд ан ов ой ф орме с собств ен н ы м зн ач ен ием λi или ч ислу лин ей н о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов , соотв етств ую щих собств ен н ому зн ач ен ию λi . 1.4.
А л г оритм нахождения жордановой форм ы и жорданова базиса дл я м атрицы 3-г о порядка
Пусть д ан а матрица 3-го поряд ка. Н ад о н айти ж орд ан ов у ф орму и ж орд ан ов базис. 1. Пусть х арактеристич еский мн огоч лен матрицы Ae имеетв ид
ϕ (λ ) = (− 1)3 (λ − λ1 )(λ − λ2 )(λ − λ3 ) , гд е λi ≠ λ j (i ≠ j ) . λ1 0 0 Т огд аж орд ан ов аф ормаматрицы имеетв ид A f = 0 λ2 0 . 0 0 λ 3 2. Пусть х арактеристич еский мн огоч лен матрицы Ae имеетв ид ϕ (λ ) = (−1)3 (λ − λ1 ) 2 (λ − λ2 ) ,
гд е λi ≠ λ j (i ≠ j ) . В озмож н ы д в аслуч ая:
rang ( Ae − λ1I ) = 1 , поэ тому k1 = 3 − rang ( Ae − λ1I ) = 2 и, след ов ательн о, α1 = k1 , поэ тому ж орд ан ов аф орма сод ерж итд в е ж орд ан ов ы λ1 0 0 клетки с собств ен н ы мзн ач ен ием λ1 : A f = 0 λ1 0 ; 0 0 λ 2 поэ тому б) rang ( Ae − λ1I ) = 2 , k1 = 3 − rang ( Ae − λ1 I ) = 1 и, а)
след ов ательн о, ж орд ан ов а ф орма сод ерж ит од н у ж орд ан ов у клетку с
λ1 1 собств ен н ы мзн ач ен ием λ1 : A f = 0 λ1 0 0
0 0 . λ2
3. Пусть х арактеристич еский мн огоч лен матрицы A имеетв ид
ϕ (λ ) = ( −1)3 (λ − λ1 )3 . В озмож н ы д в аслуч ая: а) rang ( Ae − λ1I ) = 1 , поэ тому
k1 = 3 − rang ( Ae − λ1I ) = 2 и, след ов а-
6
тельн о, ж орд ан ов а ф орма сод ерж ит д в е ж орд ан ов ы клетки с собств ен н ы м
λ1 1 0 зн ач ен ием λ1 : A f = 0 λ1 0 ; 0 0 λ 1 rang ( Ae − λ1I ) = 2 , поэ тому k1 = 3 − rang ( Ae − λ1 I ) = 1 б)
и, след ов ательн о, ж орд ан ов а ф орма сод ерж ит од н у ж орд ан ов у клетку с
λ1 1 0 собств ен н ы мзн ач ен ием λ1 : A f = 0 λ1 1 . 0 0 λ 1 7 − 12 6 З а да ча . Д ан аматрица Ae = 10 − 19 10 . Н айти A100 e . 12 − 24 13 Р е ш е н и е. Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы :
ϕ (λ ) = − (λ − 1) 2 (λ + 1) . Ж орд ан ов а ф орма матрицы
А
имеет в ид
Н айд ем
A100 f Д ля н ах ож д ен ия
1100 0 = 0 1100 0 0
A100 e
1 0 0 Af = 0 1 0 . 0 0 − 1
1 0 0 0 = 0 1 0 = I . (−1)100 0 0 1 1 в оспользуемся ф ормулой A f = Te−→ f AeTe → f , гд е 0
Te → f – матрицаперех од аотбазиса {ei } к базису { f i }. О ч ев ид н о, ч то
−1 −1 −1 −1 100 A100 f = (Te → f AeTe → f ) ⋅ (Te → f AeTe → f )...(Te → f AeTe → f ) = Te → f Ae Te → f ,
поэ тому −1 −1 A100 = Te → f A100 e f Te → f = Te → f ITe → f = I .
При м ер 1. оператора
Н айти ж орд ан ов у ф орму и ж орд ан ов базис матрицы
0 1 0 Ae = − 4 4 0 . − 2 1 2
7
Р е ш е н и е. В ы ч ислим
−λ
1
0
ϕ (λ ) = det( Ae − λI ) = − 4 4 − λ
0
= (2 − λ )3 ,
−2 1 2−λ след ов ательн о, собств ен н ое зн ач ен ие λ = 2 , α = 3 .
Н айд емгеометрич ескую кратн ость собств ен н ого зн ач ен ия λ . Д ляэ того посч итаемран гматрицы
След ов ательн о,
− 2 1 0 Ae − 2 I = − 4 2 0 → (− 2 1 0) . − 2 1 0 k = 3 − rang ( Ae − 2 I ) = 3 − 1 = 2 ,
поэ тому ж орд ан ов аф ормаимеетв ид
2 1 0 Af = 0 2 0 0 0 2
2 0 0 Af = 0 2 1 . 0 0 2
или
Н айд ем собств ен н ы й в ектор x , соотв етств ую щий зн ач ен ию λ = 2 . Т ак как он уд ов летв оряетуслов ию ( Ae − 2 I ) x = θ , то реш имсистему
− 2 1 0 − 4 2 0 → (− 2 1 0 ) . − 2 1 0 След ов ательн о, коорд ин аты уд ов летв оряю турав н ен ию
собств ен н ого
в ектора
собств ен н ому
x = ( x1 , x2 , x3 )
− 2 x1 + x2 + 0 ⋅ x3 = 0 . Заметим, ч то коэффициент при x3 равен 0, поэтом у x3 м ожет приним ать л ю быезначения. О тбрас ы вать x3 н е ль зя !!! Д лян ах ож д ен ияФ СР построимтаблицу
x1
x2
x3
1
2
0 .
0 0 1 В екторы e1 = (1,2,0) , e2 = (0,0,1) образую тф ун д амен тальн ую систему реш ен ий в собств ен н ом под простран ств е L (2) = {x : Ax = 2 x}, поэ тому
8
лю бой собств ен н ы й в ектор, отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = 2 , лин ейн о ч ерез н их в ы раж ается и, след ов ательн о, имеет в ид f c = α e1 + β e2 = α (1,2,0) + β (0,0,1) = (α ,2α , β ) . Т ак как k = 2 , α = 3 , то д олж ен бы ть од ин присоед ин ен н ы й в ектор, которы й буд ет яв ляться реш ен ием системы ( Ae − 2 I ) x = f c . Под берем коэ ф ф ициен ты α и β такимобразом, ч тобы система ( Ae − 2 I ) x = f c бы ласов местн а. Т ак как
− 2 1 0 α − 2 1 0 α , Ae − 2I = − 4 2 0 2α → − β 2 1 0 − 2 1 0 β
то д ля сов местн ости системы н еобх од имо, ч тобы в ы полн ялось услов ие В озьмем тогд а f c = (1, 2,1) , и коорд ин аты α = β. α = β = 1, присоед ин ен н ого в ектораяв ляю тсяреш ен иемсистемы
− 2 1 0 1 − 4 2 0 2 → (− 2 1 0 1), − 2 1 0 1
то есть уд ов летв оряю турав н ен ию В озьмем
f пр
− 2 x1 + x2 = 1 = (0,1,0) .
x2 = 2 x1 + 1 .
или
Т аким образом, у н ас есть собств ен н ы й в ектор
f c , присоед ин ен н ы й к
н ему f пр и н уж ен еще од ин собств ен н ы й в ектор, отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = 2 . М ож н о в зять или в ектор e1 , или e2 , или лю бой д ругой, отлич н ы й от f c , отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = 2 . Э ти три в ектораи буд утобразов ы в ать ж орд ан ов базис. При м ер 2. оператора
Н айти ж орд ан ов у ф орму и ж орд ан ов базис матрицы
2 6 − 15 Ae = 1 1 − 5 . 1 2 − 6 Р е ш е н и е.
В ы ч ислим
2−λ ϕ (λ ) = det( Ae − λI ) = − 4 −2
1
0
1− λ
0
1 −6−λ след ов ательн о, собств ен н ое зн ач ен ие λ = −1 , α = 3 .
= −(λ + 1) 3 ,
9
Н айд емгеометрич ескую кратн ость собств ен н ого зн ач ен ия λ . Д ля э того посч итаемран гматрицы
След ов ательн о,
3 6 − 15 Ae + I = 1 2 − 5 → (1 2 − 5). 1 2 − 5 k = 3 − rang ( Ae + I ) = 3 − 1 = 2 ,
поэ тому ж орд ан ов аф ормаимеетв ид
0 −1 1 Af = 0 − 1 0 0 0 − 1
−1 0 0 Af = 0 − 1 1 . 0 0 − 1
или
Н айд ем собств ен н ы й в ектор x , соотв етств ую щий зн ач ен ию λ = − 1 . Т ак как он уд ов летв оряетуслов ию ( Ae + I ) x = θ , то реш имсистему
3 6 − 15 1 2 5 − → (1 2 − 5). 1 2 − 5 О ч ев ид н о, ч то коорд ин аты уд ов летв оряю турав н ен ию
собств ен н ого
в ектора
собств ен н ому
x = ( x1 , x2 , x3 )
x1 + 2 x2 − 5 x3 = 0 или x1 = −2 x2 + 5 x3 .
Д лян ах ож д ен ияФ СР построимтаблицу
x1
x2
x3
−2
1
0 .
5 В екторы
e1 = (−2,1,0) ,
0 1 e2 = (5,0,1)
образую т ф ун д амен тальн ую
систему реш ен ий в собств ен н ом под простран ств е L (−1) = {x : Ax = − x}, поэ тому лю бой собств ен н ы й в ектор, отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = − 1 , лин ейн о ч ерез н их в ы раж ается и, след ов ательн о, имеет в ид f c = α e1 + β e2 = α (−2,1,0) + β (5,0,1) = (− 2α + 5β , α , β ) . Т ак как k = 2 , α = 3 , то д олж ен бы ть од ин присоед ин ен н ы й в ектор, которы й буд ет яв ляться реш ен ием системы ( Ae + I ) x = f c . Под берем коэ ф ф ициен ты α и β такимобразом, ч тобы система ( Ae + I ) x = f c бы ла сов местн а. Т ак как
10
3 6 − 15 − 2α + 5 β α Ae + I = 1 2 − 5 , 1 2 − 5 β
то д ля сов местн ости системы н еобх од имо, ч тобы в ы полн ялось услов ие α =β. В озьмем α = β = 1, тогд а f c = (3,1,1) и коорд ин аты присоед ин ен н ого в ектораяв ляю тсяреш ен иемсистемы
3 6 − 15 3 1 2 − 5 1 → (1 2 − 5 1) , 1 2 − 5 1
то есть уд ов летв оряю турав н ен ию
x1 + 2 x2 − 5 x3 = 1 или x1 = − 2 x2 + 5 x3 + 1. = (1,0,0) .
В озьмем f пр Т аким образом, у н ас есть собств ен н ы й в ектор
f c , присоед ин ен н ы й к
н ему f пр и н уж ен еще од ин собств ен н ы й в ектор, отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = −1 . М ож н о в зять или в ектор e1 , или e2 , или лю бой д ругой,
отлич н ы й от f c , отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = −1 . Э ти три в ектора и буд утобразов ы в ать ж орд ан ов базис. При м ер 3. оператора
Н айти ж орд ан ов у ф орму и ж орд ан ов базис матрицы
5 −3 2 Ae = 6 − 4 4 . 4 1 − 6 Р е ш е н и е.
В ы ч ислим
ϕ (λ ) = det( Ae − λI ) =
5− λ
−3
2
6
−4−λ
4
4
1
−6−λ
= − (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) .
Т аким образом, получ или три собств ен н ы х зн ач ен ия
λ1 = 1, λ2 = 2 ,
λ3 = 3 . Т ак как алгебраич еская кратн ость каж д ого из н их рав н а 1, то ж орд ан ов аф ормаимеетслед ую щий в ид
1 0 0 Af = 0 2 0 . 0 0 3
11
Н айд ем собств ен н ы й в ектор
λ1 = 1.
зн ач ен ию
f1 ,
О ч ев ид н о, ч то он
соотв етств ую щий собств ен н ому яв ляется реш ен ием урав н ен ия
( Ae − I ) x = θ и, след ов ательн о, егокоорд ин аты уд ов летв оряю тсистеме − 1− 6 4 − 3 2 4 − 3 2 4 −3 2 4 6 − 5 4 → 0 − 2 4 → → 3 0 1 2 − − 4 − 4 4 0 −1 2 4 0 − 4 1 0 −1 , → → 0 1 − 2 0 1 − 2
x1 = x3 , поэ тому мож емв зять f1 = (1, 2, 1) . = x 2x 2 3 В ы ч ислим собств ен н ы й в ектор f 2 , соотв етств ую щий собств ен н ому зн ач ен ию О ч ев ид н о, ч то он уд ов летв оряет урав н ен ию λ2 = 2 . ( Ae − 2 I ) x = θ , аего коорд ин аты – системе
то есть
− 4 3 − 3 2 3 − 3 2 , 6 − 6 4 → 0 0 1 3 4 − 4 3 x1 = x2 , поэ тому мож емв зять f 2 = (1, 1, 0) . откуд аслед ует, ч то x = 0 3 Н айд ем собств ен н ы й в ектор f 3 , соотв етств ую щий собств ен н ому зн ач ен ию λ3 = 1 . Т ак как он яв ляетсяреш ен иемурав н ен ия ( Ae − 3I ) x = θ , то егокоорд ин аты уд ов летв оряю тсистеме
− 2 − 32 − 3 2 2 − 3 2 2 −3 2 → 6 − 7 4 → 0 2 − 2 → 3 0 1 − 1 4 − 4 2 0 2 − 2 1 2 0 − 1 1 0 − → → 2 , 0 1 − 1 0 1 −1
1 x1 = x3 и, след ов ательн о, 2 , поэ тому мож емв зять f 3 = (1, 2, 2) . x2 = x3 В екторы f1 , f 2 , f3 образую тж орд ан ов базис матрицы .
12
При м ер 4. оператора
Н айти ж орд ан ов у ф орму и ж орд ан ов базис матрицы
7 − 12 6 Ae = 10 − 19 10 . 12 − 24 13 Р е ш е н и е.
В ы ч ислим
7−λ ϕ (λ ) = det( Ae − λI ) = 10 12
− 12
6
− 19 − λ
10
− 24
13 − λ
= − (λ − 1) 2 (λ + 1) .
Т аким образом, получ или д в а собств ен н ы х зн ач ен ия λ1 = 1, λ2 = −1 . Т ак как алгебраич еская кратн ость λ1 = 1 рав н а 2, н уж н о в ы ч ислить геометрич ескую кратн ость посч итаемран гматрицы
k1 собств ен н ого зн ач ен ия λ1 = 1. Д ля э того
6 − 12 6 Ae − I = 10 − 20 10 → (1 − 2 1). 12 − 24 12 О ч ев ид н о, ч то rang ( A − I ) = 1, поэ тому k1 = 3 − 1 = 2
и,
след ов ательн о, ж орд ан ов аф ормаимеетслед ую щий в ид
1 0 0 Af = 0 1 0 . 0 0 − 1 Н айд ем собств ен н ы е в екторы f1 , f 2 , соотв етств ую щие собств ен н ому зн ач ен ию λ1 = 1. О ч ев ид н о, ч то он и яв ляю тся реш ен ием урав н ен ия ( Ae − I ) x = θ , аих коорд ин аты ( x1 , x2 , x3 ) – реш ен иемсистемы 6 − 12 6 10 20 10 − → (1 − 2 1) , 12 − 24 12
и, след ов ательн о, уд ов летв оряю турав н ен ию x1 − 2 x2 + x3 = 0 или x1 = 2 x2 − x3 . Д лян ах ож д ен ияФ СР построимтаблицу
x1
x2
x3
2
1
0 .
−1
0
1
13
e1 = ( 2,1,0) , e2 = (−1,0,1) образую т ф ун д амен тальн ую систему реш ен ий в собств ен н омпод простран ств е L (1) = {x : Ax = x}, поэ тому лю бой собств ен н ы й в ектор, отв еч аю щий собств ен н ому зн ач ен ию λ = 1, лин ейн о В екторы
ч ерез н их в ы раж аетсяи, след ов ательн о, имеетв ид
f c = α e1 + β e2 = α (2,1,0) + β (−1,0,1) = ( 2α − β , α , β ) . Т ак как k = 2 , то н уж н о в ы брать лю бы е д в а лин ейн о н езав исимы х в ектора из э той лин ейн ой комбин ации. В озьмем f1 = e1 , f 2 = e2 . Н айд ем собств ен н ы й в ектор f 3 , соотв етств ую щий собств ен н ому зн ач ен ию О ч ев ид н о, ч то он уд ов летв оряет урав н ен ию λ2 = −1 . ( Ae + I ) x = θ , аего коорд ин аты ( x1 , x2 , x3 ) – системе 8 − 12 6 − 3 − 5 4 − 6 3 4 − 6 3 − → − → − 0 6 5 4 5 9 5 10 18 10 → 12 − 24 14 6 − 12 7 0 − 6 5 2 1 − 1 0 4 − 6 3 4 0 − 2 2 , → → → 5 − − 0 6 5 6 5 0 1 − 6 1 x = x3 1 2 , поэ тому мож емв зять f 3 = (3, 5, 6) . то есть 5 x2 = x3 6 В екторы f1 , f 2 , f3 образую тж орд ан ов базис матрицы . 1.5. Ф ункции от м атриц
0
2
N 1162. В ы ч ислить Ae100 , если Ae = . − 3 5 Р е ш е н и е. Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы A :
−λ 2 = −λ (5 − λ ) + 6 = (λ − 3)(λ − 2) , −3 5− λ 3 0 поэ тому ж орд ан ов аф ормаматрицы A f = и, след ов ательн о, 0 2 100 3 0 A100 = f 0 2100 . ϕ (λ ) =
Заметим, ч то
14
A100 = S −f 1→ e A f S f →e ⋅ S −f 1→ e A f S f →e ⋅ ... ⋅ S −f 1→e A f S f → e = e = S −f 1→e A100 f S f →e .
(1.2)
Т аким образом, н ам н уж н о н айти матрицу перех од а от исх од н ого базиса к ж орд ан ов у. Д ляэ того н айд емж орд ан ов базис. При
λ =3
получ им
f1 = (2; 3) ;
след ов ательн о,
− 2 2 A − 2 I = → (1 − 1) , − 3 3 2 1 Te → f = = S −f 1→ e . 3 1
− 3 2 A − 3I = → (− 3 2 ) и, 3 2 − при λ=2 получ им f 2 = (1;1)
поэ тому
и
О сталось н айти матрицу S f →e и в оспользов атьсяф ормулой (1.2).
1
1
N 1163. В ы ч ислить Ae , если Ae = . − 1 3 Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы A : 50
ϕ (λ ) =
1− λ
−1 поэ тому λ = 2 , α = 2 .
1 3− λ
= (1 − λ )(3 − λ ) + 1 = (λ − 2) 2 ,
Н айд емгеометрич ескую кратн ость собств ен н ого зн ач ен ия λ = 2 :
− 1 1 Ae − 2 I = → (−1 1) , − 1 1 2 1 след ов ательн о, k = 2 − 1 = 1 и A f = . 0 2 2k k ⋅ 2k −1 k , Д окаж ем, ч то пользуясь A f = k 0 2
(1.3)
метод ом
математич еской ин д укции.
2 1
О ч ев ид н о, ч то при n = 1 A f = . 0 2 Пусть э то утв ерж д ен ие истин н о
A nf
2n = 0
n ⋅ 2 n −1 . 2n
Д окаж емего д ля k = n + 1 . Д ейств ительн о,
д ля
k = n,
то
есть
15
A nf +1
=
A nf
2n ⋅ A f = 0
Т акимобразом,
A50 f поэ тому
n ⋅ 2 n −1 2 1 2n +1 (n + 1) ⋅ 2 n ⋅ . = 2 n +1 2 n 0 2 0
250 50 ⋅ 2 49 1 25 = 250 ⋅ = , 50 0 1 2 0 Ae50 = S −f 1→ e A50 f S f →e .
f1 = (1,1) . Н айд ем f 2 откуд а след ует, ч то f 2 = (0,1) , и,
Н айд емж орд ан ов базис. И з (1.3) след ует, ч то
( A − 2 I ) x = f1 , 1 0 след ов ательн о, Te → f = = S −f 1→ e . 1 1 из урав н ен ия
−1
50
50
Под став ляя A f , S f →e и S f →e в ф ормулу (1.4), получ им Ae . У тверждение 1. Е слиматрица Ae под обн ад иагон альн ой
0 λ1 λ 2 Ae = S −f 1→e S f →e O 0 λ n и д ля ф ун кции f (λ ) матрица f ( Ae ) существ ует, то и f ( Ae ) под обн а д иагон альн ой матрице, прич ем
f (λ1 ) f ( Ae ) = S −f 1→e 0 с той ж е матрицей S f →e . A
N 1166. В ы ч ислить e , гд е
S f →e f (λn ) 0
f (λ2 ) O
4 − 2 A = . 6 − 3
Р е ш е н и е.
Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы A :
4−λ −2 = −( 4 − λ )(3 + λ ) + 12 = λ2 − λ = λ (λ − 1), 6 −3− λ 0 0 след ов ательн о, λ1 = 0 , λ2 = 1, поэ тому A f = , 0 1 ϕ (λ ) = A − λI =
16
0 1 0 −1 S f →e = Te → f Te → f . 1 0 e 0 e Н айд емсобств ен н ы е в екторы оператора A . eeA
=
e S −f 1→ e
Т ак как
0
4 − 2 → (2 − 1) , A − 0 ⋅ I = 6 − 3
то коорд ин аты собств ен н ого в ектора, отв еч аю щего собств ен н ому зн ач ен ию λ1 = 0 , уд ов летв оряю тсоотн ош ен ию x2 = 2x1 , поэ тому f1 = (1, 2) . А н алогич н о
3 − 2 A − I = → (3 − 2) , откуд а 3 x1 = 2 x2 , поэ тому 6 4 − f 2 = (2, 3) . 1 2 −3 2 Т акимобразом, Te → f = и, след ов ательн о, Te−→1 f = . 2 1 2 3 −
Поэ тому
1 2 1 0 − 3 2 1 2e − 3 2 − 3 + 4e 2 − 2e . = eeA = = 2 3 0 2 1 2 3 2 1 6 6 4 3 e − e − − + e − e У тверждение 2. Зн ач ен ие мн огоч лен а f (x) от клетки Ж орд ан а A поряд ка n с ч ислом α н аглав н ой д иагон али
опред еляетсяф ормулой
f ( A) =
α 0 A= ... 0
0 ... 0 α 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... α 1
f (α )
f ' (α ) 1!
0
f (α )
...
...
f ' ' (α ) 2! f ' (α ) 1! ...
0
0
0
f ' ' ' (α ) ... 3! f ' ' (α ) ... 2! ... ... 0
...
f ( n −1) (α ) (n − 1)! f ( n − 2 ) (α ) . (n − 2)! ... f (α )
У тверждение 3. Е сли матрица A клеточ н о-д иагон альн ая
17
A1 A= 0
0 A2 O As и ф ун кция f (λ ) опред елен ан аспектре матрицы A , то 0 f ( A1 ) ( ) f A 2 f ( A) = . O 0 ( ) f A s У тверждение 4.
Е сли матрица
Ae
под обн а клеточ н о-д иагон альн ой
матрице A f
Ae = S −f 1→ e A f S f → e ,
A1 Af = 0
A2
0 , O As
и ф ун кция f (λ ) опред елен ан аспектре матрицы A f , то
f ( Ae ) = S −f 1→e f ( A f ) S f →e с той ж е матрицей S f →e . N 1164. В ы ч ислить
3 1 A , гд е A = . − 1 5
Р е ш е н и е. Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы A :
ϕ (λ ) = A − λ I =
3−λ −1
след ов ательн о, λ = 4, собств ен н ого зн ач ен ия λ = 4 :
1
5−λ α = 2.
= (3 − λ )(5 − λ ) + 1 = (λ − 4) 2 , Н айд ем геометрич ескую
− 1 1 A − 4 I = → (− 1 1). − 1 1 4 1 След ов ательн о, k = 2 − 1 = 1 и A f = . 0 4
кратн ость
18
И з утв ерж д ен ия 2 след ует, ч то то
4 Af = 0
и, след ов ательн о,
1 2 4 4
λ Af = 0
2 = ± 0
1 4 2
1 2 λ λ
. Т ак как λ = 4 ,
8 1 = ± 0 8
1 8 1 1 8 1 −1 A = ± S −f 1→ e S f → e = ± Te → f Te → f . 4 0 8 4 0 8 Н айд емж орд ан ов базис матрицы оператора A . Т ак как
− 1 1 A − 4 I = → (−1 1) , − 1 1
то коорд ин аты собств ен н ого в ектора, отв еч аю щего собств ен н ому зн ач ен ию λ = 4 , уд ов летв оряю тсоотн ош ен ию x1 = x2 , поэ тому
f1 = (1, 1) . Н айд ем присоед ин ен н ы й в ектор f 2 из урав н ен ия ( A − 4 I ) x = f1 , откуд аслед ует, ч то f 2 = (0,1) и, след ов ательн о, 1 0 1 0 Te → f = = S −f 1→ e , Te−→1 f = = S f → e . 1 1 −1 1 Т акимобразом,
1 1 0 8 1 1 0 1 7 1 . A = ± = ± 4 1 1 0 8 − 1 1 4 − 1 9 § 2. Ж орданова форм ам атрицы 2.1.
О ператор простой структуры
В д ан н ом параграф е пред лагается способ н ах ож д ен ия ж орд ан ов ой ф ормы матрицы , осн ов ан н ы й н а изуч ен ии геометрич еских х арактеристик лин ейн ого оператора. Д ад имряд опред елен ий. О пред елен ие 1. Л ин ей н ы й оператор A в простран ств е E (dim E = n) н азы в ается оператором простой структуры, если он имеет n лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов . Теорем а. О ператор A простой структуры од н озн ач н о опред елен , если
19
зад ан ы его n лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов и соотв етств ую щие имсобств ен н ы е зн ач ен ия. Д о к аз ате л ь с тв о. В ы берем в кач еств е базиса в простран ств е E собств ен н ы е в екторы e1 , e2 , ..., en оператора A . Т огд аполуч им
Ae1 = λ1e1 , Ae2 = λ2 e2 , … … … .
Aen = λn en . Э то озн ач ает, ч то матрица оператора (которую мы обозн ач имч ерез Ae ) имеетв ид
λ1 0 ... 0 λ 0 ... 0 2 . Ae = ... ... ... ... λ 0 0 ... n След ов ательн о, оператор A од н озн ач н о опред елен , аего матрицаотн осительн о
базиса из собств ен н ы х в екторов яв ляется д иагон альн ой. О тметим, ч то сред и ч исел λ1 , λ2 , ..., λn могут бы ть од ин аков ы е. О бозн ач им ч ерез A f матрицу оператора A в базисе из в екторов
f1 , f 2 , ..., f n . Т огд а
A f = T −1 AeT ,
гд е T – матрицаперех од аотбазиса e1 , e2 , ..., en к базису f1 , f 2 , ..., f n . Т аким образом, матрица оператора простой структуры под обн а д иагон альн ой матрице. О ч ев ид н о, ч то справ ед лив о и обратн ое Л ю бая матрица, под обн ая д иагон альн ой, яв ляется У тверждение. матрицей н екоторого операторапростой структуры . Поэ тому, если оператор A имеет в н екотором базисе f1 , f 2 , ..., f n матрицу A f , то в базисе из собств ен н ы х в екторов он
имеет матрицу
Ae = P −1 Ae P , гд е P – матрицаперех од а от базиса f1 , f 2 , ..., f n к базису из собств ен н ы х в екторов e1 , e2 , ..., en . −1
Замеч ан ие. Л егко показать, ч то P = T . О пред елен ие. К аноническим базисом в простран ств е сов окупн ость в екторов ei = (0,0,...,0,1,0,...,0) (i = 1,..., n) . i
R n н азы в ается
20
0 6 3 3 1 . При м ер. Пусть A = 1 − 2 2 1 T T С обственные векторы м атрицы A e1 = (1, 1, 0) , e2 = (1, 2, 2) , e3 = (1, 1, 1)T , асоответствую щ ие им собственные значения λ1 = 1, λ2 = 2 , λ3 = 3 . М атрица оператора A в базисеиз собственных векторов e1 , e2 , ..., en им еет вид 1 0 0 Ae = 0 2 0 . 0 0 3 3
М атрица перех од а от кан он ич еского базиса простран ств а R к базису из собств ен н ы х в екторов имеетв ид
1 1 1 T = 1 2 1 . 0 2 1
Прив ед емод ин д остаточ н ы й призн ак операторапростой структуры . Теорем а. Е сли в се корн и х арактеристич еского мн огоч лен а матрицы оператораразлич н ы , то оператор имеетпростую структуру. Д о к аз ате ль с тв о след ует из того, ч то в э том случ ае оператор A имеет n попарн о различ н ы х собств ен н ы х ч исел и, след ов ательн о, n лин ейн о н езав исимы х в екторов . Д ейств ие оператора простой структуры мож н о описать след ую щим образом. В простран ств е E имеется n таких “н аправ лен ий”, ч то каж д ы й из n лин ейн о н езав исимы х в екторов , имею щих од н о из э тих “н аправ лен ий”, преобразуется оператором в в ектор, ему коллин еарн ы й . Произв ольн ы й в ектор x преобразуетсяпо ф ормуле Ax = A( x1e1 + x2 e2 + ... + xn en ) = λ1 x1e1 + λ2 x2 e2 + ... + λn xn en . Н айд ем теперь н еобх од имы е и д остаточ н ы е услов ия, при которы х оператор имеетпростую структуру. Теорем а. Д ля того ч тобы оператор A имел простую структуру, н еобх од имо и д остаточ н о, ч тобы д ля каж д ого корн я х арактеристич еского урав н ен ия Ae − λ I = 0 кратн ости k i ран г ri матрицы Ae − λi I бы л рав ен
n − ki . Д о к аз ате ль с тв о.
21
Н еобх од имость. Е слиоператор A имеетпростую структуру, то
A f = T −1 AeT . Т огд а
A f − λi I = T −1 ( Ae − λi I )T . и Ae − λi I под обн ы и имею тод ин и тот ж е ран г. Ран г матрицы Ae − λi I рав ен ч ислу д иагон альн ы х э лемен тов , отлич н ы х от н уля, или ч ислу корн ей х арактеристич еского урав н ен ия, н е рав н ы х λi , то есть рав ен n − ki . Зн ач ит, матрицы
A f − λi I
Д остаточ н ость. Пусть λ1 , λ2 , ..., λν – попарн о различ н ы е собств ен н ы е
зн ач ен ия оператора A . Собств ен н ы е в екторы с собств ен н ы м зн ач ен ием λi
образую т под простран ств о размерн ости n − ri простран ств а E . Т ак как по услов ию
n − ri = ki ,
то оператор A имеет k i лин ейн о н езав исимы х
собств ен н ы х в екторов с собств ен н ы м зн ач ен ием λi (i = 1, 2, ...,ν ) . Т аким образом, мы имеем n собств ен н ы х в екторов x1 , x2 , ..., xn . Покаж ем, ч то он и лин ейн о н езав исимы . Пусть n
∑α j x j = θ j =1
( θ – н улев ой в ектор) и, н апример, α1 ≠ 0 . Введем врассм отрение оператор
Bst = ( A − λ1 I )...( A − λ s −1I )( A − λs +1I )...( A − λt I )
и рассмотримоператор
B1ν = ( A − λ2 I )( A − λ3 I )...( A − λν I ) .
И меем
k1
k1
j =1
j =1
B1ν ( ∑ α j x j ) = ∑ α j (λ1 − λ2 )...(λ1 − λν ) x j = θ . Т огд а
k1
∑ α j x j = θ , α1 ≠ 0 ,
ч то против ореч итлин ейн ой н езав исимости
j =1
собств ен н ы х в екторов , соотв етств ую щих собств ен н ому зн ач ен ию
λ1 .
О пиш емспособпостроения собственных векторов оператора A . К оорд ин аты собств ен н ы х в екторов в н екотором базисе мож н о н айти, реш аясистемы урав н ен ий ( A − λi I ) x = θ ,
гд е λi (i = 1, 2, ..., ν ) – попарн о различ н ы е собств ен н ы е зн ач ен ия оператора. В н ай д ен н ом базисе из собств ен н ы х в екторов оператор имеет д иагон альн ую матрицу. Пред лагаемы й н ов ы й способ построен ия базиса из собств ен н ы х
22
в екторов состоит в н ах ож д ен ии под простран ств а простран ств а E , целиком состоящего из собств ен н ы х в екторов оператора, соотв етств ую щего собств ен н ому зн ач ен ию λi . Э тот способ д алее буд ет примен ен к построен ию ж орд ан ов абазиса. Рассмотримпод простран ств о ( A − λ j I ) E ( j ≠ i ) , размерн ость которого
dim( A − λ j I ) E = r j .
Т ак как оператор имеет простую под простран ств е
( A − λ jI )E
структуру, то
n − rj = k j ,
и в
оператор н е имеет собств ен н ы х в екторов ,
отв еч аю щих собств ен н ому зн ач ен ию λ j . А н алогич н о под простран ств о
( A − λ1 I )( A − λ2 I )...( A − λi −1 I )( A − λi +1 I )...( A − λν I ) E = Biν E имеет размерн ость и н е сод ерж ит n − k1 − k2 − ... − ki −1 − ki +1 − ... − kν собств ен н ы х в екторов с собств ен н ы ми зн ач ен иями λi −1 , λi +1 , ... , λν , азн ач ит, он о состоит из собств ен н ы х в екторов оператора A , отв еч аю щих собств ен н ому зн ач ен ию λi . Д ейств ительн о, так как n − ri = ki , то в э том под простран ств е мож н о в ы брать базис только из собств ен н ы х в екторов , отв еч аю щих λi и, след ов ательн о, лю бой н ен улев ой в ектор э тогопод простран ств а– собств ен н ы й . Т аким образом, с помощью операторов B1ν , B2ν , ... , Bνν мож н о E в в ид е суммы под простран ств пред став ить простран ств о B1ν E , B2ν E , ... , Bνν E , размерн ости которы х рав н ы k1 , k 2 , ... , kν соотв етств ен н о. К аж д ое из э тих под простран ств состоиттолько из собств ен н ы х в екторов оператора A , отв еч аю щих од н ому собств ен н ому зн ач ен ию . В ы бирая базис в каж д ом под простран ств е Biν E , мы получ или базис в о в сем простран ств е E . Поэ тому д ля оты скан ия в сех ki н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A простой структуры , отв еч аю щих собств ен н ому зн ач ен ию λi , д остаточ н о построить лю бой базис простран ств а Biν E . Д ля э того в ы беремпроизв ольн ы й базис простран ств а E , состав лен н ы й из в екторов g1 , g 2 , ... , g n , коорд ин аты которы х отн осительн о исх од н ого базиса
f1 , f 2 , ... , f n соотв етств ен н о рав н ы g1 = (t11 , t12 , ..., t1n ) , g 2 = (t 21 , t22 , ..., t2 n ) , … … … … … … … … .
g n = (t n1 , t n 2 , ..., t nn ) . Н айд ем образы в екторов g1 , g 2 , ... , g n в под простран ств е Biν E : Biν g1 , Biν g 2 , ... , Biν g n . Сред и н их в сегд а н айд ется ki лин ейн о н езав исимы х в екторов , которы е и примем за базис в Biν E . К аж д ы й из в екторов Biν g j
23
яв ляется j -м столбцом матрицы Biν T , а матрица T состоит из в екторов
g1 , g 2 , ... , g n , постав лен н ы х в столбцы . Т ак как матрица T – произв ольн ая н ев ы рож д ен н ая матрица, то мож н о сч итать, ч то T = I или g i = f i . В э том случ ае матрица Biν T = Biν . Э то озн ач ает, ч то в кач еств е базиса под простран ств а Biν E мож н о в ы брать лю бы е k i лин ейн о н езав исимы х столбцов матрицы Biν T = ( A − λ1I )...( A − λi −1 I )( A − λi +1 I )...( A − λν I )T . И з прив ед ен н ы х рассуж д ен ий след ует
Теорем а. Д ля того ч тобы оператор A имел простую н еобх од имо ид остаточ н о, ч тобы
структуру,
( A − λ1 I )( A − λ 2 I )...( A − λν I ) E = ( A − λi I ) Biν E = {θ }.
Д о к аз ате ль с тв о. Н еобх од имость. Под простран ств о Biν E состоиттолькоиз собств ен н ы х в екторов оператора A , отв еч аю щих собств ен н ому зн ач ен ию оператор A − λi I ан н улируетэ то простран ств о, то есть
λi , а поэ тому
( A − λi I )Biν E = {θ }.
( A − λi I ) Biν E = {θ } след ует, ч то Biν E состоит только из собств ен н ы х в екторов оператора, отв еч аю щих λi . Размерн ость э того под простран ств а рав н а геометрич еской кратн ости k i корн я λi , так как операторы A − λ j I ( j ≠ i ) , в х од ящие в Biν E , н е могут Д остаточ н ость.
И з соотн ош ен ия
измен ить кратн ости корн я λi . Строя базис в каж д ом под простран ств е Biν E (i = 1,2,...,ν ) , мы получ имбазис в сего простран ств а. При м ер.
− 8 − 12 − 6 Пусть матрица оператора имеет в ид Ae = 6 10 6 . − 3 − 6 − 5 − 8 − λ − 12 −6
Х арактеристич еское
урав н ен ие
Ae − λI =
6
10 − λ
−3
−6
6
=0
−5−λ имеет корн и λ1 = λ2 = −2 , λ3 = 1 . Рассмотрим кратн ы й корен ь λ = −2 . − 6 − 12 − 6 М атрица Ae − λ1I = Ae + 2 I = 6 12 6 → (1 2 1) имеет ран г − 3 − 6 − 3 r1 = 1 . Т ак как r1 = n − k1 , то k1 = 2 и, след ов ательн о, оператор A – оператор
24
простой
структуры .
Рассмотрим матрицы
Ae − λ1I = Ae + 2 I
Ae − λ3 I = Ae − I . Перв ая матрица имеет ран г 1, в екторы
и
x1 = (9,−6,3)T ,
x2 = (−12,9,−6)T – лин ейн о н езав исимы и яв ляю тся собств ен н ы ми в екторами д ля λ1 = λ2 = −2 . В торая имеет од ин лин ей н о н езав исимы й столбец, поэ тому в кач еств е собств ен н ого в ектора д ля собств ен н ого зн ач ен ия λ = 1 в озьмем T в ектор x3 = (−6,6,−3) . Н айд ем теперь н еобх од имы е и д остаточ н ы е услов ия, при в ы полн ен ии которы х оператор A н е яв ляетсяоператоромпростой структуры . Теорем а. Ч тобы оператор A н е имел простой структуры , н еобх од имо и д остаточ н о, ч тобы существ ов али в ектор g i и собств ен н ы й в ектор ei с собств ен н ы мзн ач ен ием λi , уд ов летв оряю щие услов ию
( A − λi I ) gi = ei .
Н еобх од имость.
Д о к аз ате ль с тв о. Пусть ( A − λi I ) Biν E ≠ {θ },
под простран ств а ( A − λi I ) Biν E
сод ерж ит н ен улев ы е
то
есть
образ
в екторы . Т огд а в
L = ( A − λi I ) Biν E н айд ется х отя бы од ин собств ен н ы й в ектор ei оператора A . О бозн ач им ч ерез g i в ектор под простран ств а Biν E , переш ед ш ий в ei под д ейств иемоператора A − λi I . О ч ев ид н о, ч то ( A − λi I ) gi = ei . Д остаточ н ость. Пусть ( A − λi I ) g i = ei , тогд а Biν ( A − λi I ) g i = Biν ei и Поэ тому Biν ei = (λi − λ1 )...(λi − λi −1 )(λi − λi +1 )...(λi − λν )ei ≠ θ . ( A − λi I ) Biν E ≠ {θ }. под простран ств е
2.2.
Вспом ог ател ьный базис специал ьног о вида
М ы показали, ч то д ля того, ч тобы матрица Ae n – го поряд ка бы ла под обн а д иагон альн ой матрице, н еобх од имо и д остаточ н о, ч тобы соотв етств ую щий ей оператор A бы л оператором простой структуры , то есть ч тобы он имел n лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов . В против н ом случ ае, то есть когд а ч исло m лин ей н о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A мен ьш е ч ем n , в лю бом базисе ч исло столбцов матрицы Ae , в се э лемен ты которы х , кроме д иагон альн ы х , рав н ы н улю , н е больш е, ч ем m . Д ля того, ч тобы ч исло указан н ы х столбцов бы ло н аибольш им, то есть рав н ялось m , н ад о, ч тобы в се собств ен н ы е в екторы бы ли в клю ч ен ы в базис. О д н ако, как бы мы н и в ы бирали н ед остаю щие n − m базисн ы е в екторы , соотв етств ую щие э тимв екторамстолбцы матрицы Ae буд ут сод ерж ать более од н ого отлич н ого от н уля э лемен та. Е стеств ен н о сч итать, ч то
25
матрица, в которой m столбцов сод ерж ат лиш ь од ин (д иагон альн ы й ) н ен улев ой э лемен т, а остальн ы е n − m столбцов сод ерж ат мин имальн ое ч исло э лемен тов , отлич н ы х от н уля, яв ляется простейш ей (после д иагон альн ой ) матрицей, под обн ой матрице, н е имею щей простой структуры . И так, пусть оператор A н е имеетпростой структуры , то есть х отябы д ля од н ого х арактеристич еского ч исла λi (i = 1,2,...,ν ) ран г ri матрицы Ae − λi I от n − ki , гд е
ki – кратн ость корн я λi х арактеристич еского мн огоч лен а ϕ (λ ) матрицы Ae . Поэ тому n − ki < ri и, зн ач ит, система отлич ен
урав н ен ий имеет только mi = n − ri < ki
( Ae − λi I ) x = θ лин ейн о н езав исимы х реш ен ий или, д ругими
слов ами, оператор A имеет mi < ki лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов с х арактеристич ескимч ислом λi .
Д ля построен ия базиса н ад о н айти д ля каж д ого λi такие н ед остаю щие
k i − mi = k i + ri − n в ектора, которы е в месте со в семи m = m1 + m2 + ... + mν лин ейн о н езав исимы ми в екторами оператора A образую т лин ейн о н езав исимую систему. И так, пусть ран г оператора A − λI в простран ств е E рав ен r . Э то озн ач ает, ч то оператор A имеет n − r лин ей н о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов e1 , e2 ,..., en − r , соотв етств ую щих собств ен н ому ч ислу λ . Рассмотрим под простран ств о L = ( A − λI ) E . И з теоремы о ран ге след ует, ч то размерн ость его рав н а r . В ы беремв L базис g1 , g 2 ,..., g r пусть
и
f1 , f 2 , ..., f r – прообразы э тих в екторов , тоесть ( A − λI ) f i = gi (i = 1,2,..., r ) .
Л ем м а. В екторы простран ств а E .
образую т базис
e1 , e2 ,..., en − r , f1 , f 2 ,..., f r
Д о к аз ате ль с тв о. К олич еств о в екторов e1 , e2 ,..., en − r , f1 , f 2 ,..., f r рав н о n . Покаж ем, ч то э тив екторы лин ей н он езав исимы . Пред полож импротив н ое: из того, ч то в ы полн ен о услов ие n− r
r
∑ αi ei + ∑ β i f i = θ ,
i =1
(2.1)
i =1
след ует, ч то х отя бы од ин из коэ ф ф ициен тов α i , β i отлич ен от н уля. Под ей ств уемоператором A − λI н ав екторн ое рав ен ств о(2.1), получ им n− r
r
i =1
i =1
( A − λi I ) ∑ αiei + ( A − λi I ) ∑ β i f i = θ
r
или
∑ βi g i = θ .
i =1
26
Т ак как в екторы Зн ач ит,
g i образую т базис в L , то β i = 0 (i = 1,2,..., r ) . n− r
∑ αi ei = θ
i =1
их отябы од н о α i отлич н о отн уля. Н о э топротив ореч итлин ейн ой н езав исимостив екторов e1 , e2 ,..., en − r . И так, базис простран ств а E мож н о построить из собств ен н ы х в екторов оператора A , соотв етств ую щих ч ислу λ , и прообразов базисн ы х в екторов под простран ств а L = ( A − λI ) E . Пусть в под простран ств е L = ( A − λI ) E размерн ости r имеется m лин ейн о н езав исимы х
собств ен н ы х
в екторов
e1 , e2 ,..., em оператора A , соотв етств ую щих ч ислу λ . Д ополн имих в екторами g1 , g 2 ,..., g r − m д о базиса под простран ств а L и обозн ач имч ерез f i прообразы собств ен н ы х в екторов ei , ч ерез hi (i = 1,..., r − m) – прообразы в екторов g1 , g 2 ,..., g r − m , то есть ( A − λI ) f i = ei (i = 1,2,..., m) ; ( A − λI )hi = gi (i = 1,..., r − m) . М ож н о построить базис простран ств а f1 , f1 ,..., f m , h1 , h2 , ,..., hr − m , e1 , e2 ,..., en − r . Теорем а.
2.3.
E
из в екторов
Ж орданов базис в частном сл учае
Рассмотрим ч астн ы й случ ай, когд а оператор A имеет ед ин ств ен н ое собств ен н ое зн ач ен ие λ и н е имеет простой структуры . В э томслуч ае матрица Ae − λI имеет ран г r ≠ 0 , азн ач ит, в простран ств е E имеется n − r лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A , соотв етств ую щих ч ислу λ . Рассмотрим под простран ств о L1 = ( A − λI ) E . И меем dim L1 = r . Зн ач ит, в
L1 н айд ется х отя бы од ин собств ен н ы й в ектор оператора A . Поэ тому размерн ость под простран ств а
L2 = ( A − λI ) L1 = ( A − λI )2 E буд етмен ьш е размерн ости под простран ств а L1 . Э то оч ев ид н о, так как в под простран ств ах Li = ( A − λI ) Li −1 оператор A − λI в сегд а имеет собств ен н ое зн ач ен ие λ , которому соотв етств ую т собств ен н ы е в екторы , поэ тому под д ейств ием оператора A − λI э ти собств ен н ы е в екторы обн уляю тся и, след ов ательн о, под простран ств Li умен ьш аю тсяс ув елич ен ием i .
размерн ости
Е сли L2 – н ен улев ое под простран ств о, то в н емн айд ется х отя бы од ин собств ен н ы й в ектор оператора A . В э том случ ае построим под простран ств о
27
L3 = ( A − λI ) L2 = ( A − λI ) 3 E . О ч ев ид н о, ч то его размерн ость мен ьш е размерн ости L2 . Прод олж ая э тот процесс д алее, мы получ им н ен улев ое под простран ств о Lк, такое, ч то Lk +1 = ( A − λI ) Lk = ( A − λI )
k +1
E = {θ }. Э то
озн ач ает, ч то под простран ств о Lk сод ерж ит только собств ен н ы е в екторы оператора A , азн ач ит, оператор A в Lk имеетпростую структуру. В ы беремв Lk базис. Э тотбазис мы мож емд ополн ить д о базисав Lk −1 , затем базис в Lk −1 мож ем д ополн ить д о базиса в Lk − 2 и т.д . В итоге получ имбазис в сего простран ств а E . Перейд емк его построен ию . Пусть e1 , e2 ,..., e p образую т базис p1 = dim Lk , и в екторы 1
простран ств а Lk , а под простран ств о Lk −1 сод ерж ит p2 ( p2 ≥ p1 ) лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A . Т огд а в екторы e1 , e2 ,..., e p , f1 , f 2 ,..., f p , e p +1 , e p + 2 ,..., e p , гд е 1
1
1
1
2
( A − λI ) f i = ei , ( A − λI )ei = θ , образую т базис Lk −1 и dim Lk −1 = p1 + p2 . А н алогич н о в екторы e1 , e2 ,..., e p1 , f1 , f 2 ,..., f p1 , h1 , h2 ,..., h p1 , e p1 +1 , e p1 + 2 ,..., e p 2 , f p1 +1 , f p1 +2 ,..., f p2 , e p 2 +1 , e p 2 +2 ,..., e p3 , гд е
( A − λI )hi = g i , ( A − λI ) g i = ei , ( A − λI )ei = θ ( p3 ( p3 ≥ p 2 ) – ч исло лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A , сод ерж ащих ся в под простран ств е Lk − 2 ) образую тбазис в Lk − 2 , размерн ость которого рав н а p1 + p2 + p3 . Прод олж ая рассуж д ен ия, получ им базис простран ств а E . Э тотбазис н азы в аетсяжордановым базисом . 2.3.1. Ж орданова цепочка векторов Рассмотрим в екторы ei (i = 1,2,..., p1 ) из Lk . О н и яв ляю тся образами
f i (i = 1,2,..., p1 ) под простран ств а Lk −1 , которы е в св ою оч еред ь яв ляю тся образами в екторов g i (i = 1,2,..., p1 ) из Lk − 2 и т.д . Сов окупн ость в екторов ei , f i , g i при ф иксиров ан н ом i н азов ем жордановой цепочкой в екторов д лин ы k + 1 . Т аким образом, мы получ или p1 ж орд ан ов ы х цепоч ек, каж д ая из которы х состоит из k + 1 в екторов . Рассмотримтеперь в екторы ei (i = p1 + 1, p1 + 2,..., p2 ) из Lk −1 , каж д ому из э тих в екторов такж е соотв етств ует цепоч ка из k в екторов ei , fi , gi ,..., hi (i = p1 + 1, p1 + 2,..., p2 ) . в екторов
28
М ы , таким образом, получ или д ополн ительн о p2 − p1 ж орд ан ов ы х цепоч ек д лин ы k . Рассуж д ая ан алогич н ы м образом, получ имд алее p3 − p2 ж орд ан ов ы х цепоч ек д лин ы k − 1, p4 − p3 цепоч ек д лин ы k − 2 и т.д . Н акон ец,
получ им p k +1 − p k цепоч ек д лин ы 1, то есть цепоч ек, состоящих из од н ого
собств ен н ого в ектора оператора A . Зд есь pν – ч исло лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A , сод ерж ащих ся в простран ств е Lk +1−ν , размерн ость которогорав н а p1 + p2 + ... + pν (ν = 1,2,..., k + 1) . Т акимобразом, общее ч исло ж орд ан ов ы х цепоч ек рав н о p1 + ( p2 − p1 ) + ... + ( pk +1 − pk ) = pk +1 = n − r , то есть ч ислу лин ейн о н езав исимы х собств ен н ы х в екторов оператора A , и их суммарн аяд лин арав н а p1 ( k + 1) + ( p2 − p1 )k + ... + ( pk +1 − pk ) ⋅ 1 = p1 + p2 + ... + pk +1 = n , то есть размерн ости простран ств а E . О тметим еще раз соотн ош ен ия меж д у в екторами од н ой ж орд ан ов ой цепоч ки:
( A − λI )e1 = θ ( A − λI )e2 = e1 ( A − λI )e3 = e2 … … … … ..
или
( A − λI )ek +1 = ek Ae1 = λe1 Ae2 = λe2 + e1 Ae3 = λe3 + e2 … … … … ..
Aek +1 = λek +1 + ek . Е сли в екторы цепоч ки e1 , e2 ,..., ek , ek +1 в клю ч ить в базис, то э той цепоч ке в матрице буд ет соотв етств ов ать клетка из n строч ек и s столбцов ( s – д лин аж орд ан ов ой цепоч ки) в ид а
29
0 ... λ 0 ... 0 0 ... 0
0
0
... 0
... ... ... ... 1
0
... 0
λ
1
... 0
... ... ... ... 0
0
... λ
0
0
... 0
... ... ... ... 0
0
... 0
0 ... 0 0 ... . 1 λ ... 0
Поэ тому в построен н ом ж орд ан ов ом базисе матрица оператора буд ет иметь в ид
J n1 L Af = 0 L 0
гд е
M
0
M
⋅
L
⋅
M J n2
M
⋅
L
⋅
M
0
M
λ 0 A f = ... 0 0
0 J n1 L L 0 = L J n m 1 ... 0 λ ... 0 ... ... ... 0 ... λ 0 ... 0
0 0 ... 1 λ
M ⋅
L
⋅
M
J n2
M
⋅
L
⋅ M
, L J n m
–
матрица, н азы в аемая ж орд ан ов ой клеткой поряд ка n j , m – ч исло ж орд ан ов ы х цепоч ек, а n1 + n2 + ... + nm = n . М атрица A f н азы в аетсяжордановой м атрицей. 2.3.2. П остроение жордановой м атрицы Структура ж орд ан ов ой матрицы в рассматрив аемом случ ае опред елен а, если изв естн ы поряд ки n j ( j = 1,2,..., m) ж орд ан ов ы х клеток. В озн икает след ую щий в опрос: мож н о ли н айти э ти поряд ки, н е н ах од я пред в арительн о ж орд ан ов базис? О тв ет н а э тот в опрос утв ерд ительн ы й. Д лин ы ж орд ан ов ы х цепоч ек св язан ы с размерн остями простран ств
30
L1 = ( A − λI ) E , L2 = ( A − λ I )2 E , … , Lk = ( A − λI ) k E , а зн ач ит, с ран гами матриц A − λI , ( A − λI ) 2 , … , ( A − λI ) k . яв н ы е ф ормулы д ляопред елен ияд лин ж орд ан ов ы х цепоч ек.
Н айд ем
rν = rang ( A − λI )ν , q s – колич еств о цепоч ек д лин ы s . М ы показали ран ее, ч то имеется p1 цепоч ка максимальн ой д лин ы k + 1 , гд е p1 = dim Lk , то есть p1 = rk и q k +1 = rk . Ж орд ан ов ы х цепоч ек д лин ы k буд ет qk = p2 − p1 , гд е p2 = dim Lk −1 , то есть p2 = rk −1 − rk . Зн ач ит, q k = rk −1 − 2rk . Т ак как ч исло ж орд ан ов ы х цепоч ек д лин ы s рав н о pk + 2 − s − pk +1− s , а rν −1 = p1 + p2 + ... + pk + 2 −ν = rν + rk + 2 −ν и, след ов ательн о, pk + 2 − s = rν −1 − rν , то q s = (rs −1 − rs ) − (rs − rs −1 ) = rs −1 − 2 rs + rs +1 , гд е Пусть
s = 1,2,..., k − 1; r0 = n , r1 = r , rk +1 = rk + 2 = ... = 0 .
Т аким образом, мы опред елили колич еств о в сех ж орд ан ов ы х клеток размеров s × s и тем самы мколич еств о в сех клеток, состав ляю щих ж орд ан ов у клетку J . Ж орд ан ов а матрица A f опред елен а, если изв естн ы в елич ин ы qs . Н о
q s = rs −1 − 2 rs + rs +1
и так как
rang ( A − λI )ν = rν
не
зав исит от
в ы бран н ого базиса, то и q s н е зав иситотв ы бран н ого базиса. Т аким образом, ж орд ан ов а ф орма матрицы ед ин ств ен н а с точ н остью д о поряд кав располож ен ииж орд ан ов ы х клеток.
5 − 2 − 3 6 − 3 − 1 3 3 При м ер. Д ан аматрицаоператора Ae = . 2 1 − 2 − 3 1 1 5 5 − Н айти ж орд ан ов у ф орму матрицы Ae . Р е ш е н и е. Х арактеристич еское урав н ен ие
ϕ (λ ) =| Ae − λ I |=
6−λ
5
−2
−3
−3
−1 − λ
3
3
2
1
−2−λ
−3
−1
1
5
5− λ
= ( λ − 2) 4
31
имеетед ин ств ен н ы й корен ь λ = 2 .
5 − 2 − 3 4 3 3 3 3 − − rang ( A − 2 I ) = rang = 2 = r1 . 2 1 − 4 − 3 1 1 5 3 −
Заметим, ч то
( Ae − 2 I ) 2 = Θ
(гд е Θ – н улев аяматрица), поэ тому
rang ( A − 2 I ) 2 = rang ( A − 2 I )3 = ... = 0 . Т огд а q1 = r0 − 2 r1 + r2 = 4 − 2 ⋅ 2 + 0 = 0 , q2 = r1 − 2 r2 + r3 = 2 . Т акимобразом, ж орд ан ов аф ормаматрицы Ae имеетв ид 2 1 | 0 0 0 2 | 0 0 Af = − − − − − . 0 0 | 2 1 0 0 | 0 2 2.3.3. П остроение жорданова базиса Покаж емтеперь способ построен ияж орд ан ов абазисад ляописан н ого в ы ш е специальн ого случ ая, то есть когд аоператор A н е имеетпростой структуры и имеетед ин ств ен н ое собств ен н ое зн ач ен ие λ кратн ости n . Рассмотрим под простран ств о которое имеет L1 = ( A − λ I ) E , размерн ость r ≠ 0 . Е го базис образую т r лин ейн о н езав исимы х столбцов ы х в екторов матрицы Ae − λ I . А н алогич н о базис под простран ств а
L2 = ( A − λ I ) L1 = ( A − λ I )2 E мож н о построить из столбцов ы х в екторов
Lk = ( A − λ I ) k E
( Ae − λ I ) 2 и т.д . Н акон ец, базис в
мож н о построить из столбцов ы х в екторов матрицы
( Ae − λ I ) k . Т ак как под простран ств о Lk +1 = {θ }, то Поэ тому за в екторы
( A − λ I ) k +1 E = {θ }. e1 , e2 , ..., e p1 , образую щие базис в Lk , мож н о в зять
p1 лин ейн о н езав исимы е столбцов ы е в екторы матрицы ( Ae − λ I ) k . О ч ев ид н о, в екторы f1 , f 2 , ...., f p1 – э то столбцов ы е в екторы матрицы лю бы е
( Ae − λ I ) k −1
с теми ж е н омерами, ч то и в ы бран н ы е столбцы матрицы
32
( Ae − λ I ) k . Н ед остаю щие собств ен н ы е в екторы
e p1 +1 , e p1 + 2 , ..., e p2 н айд ем
метод ом, рассмотрен н ы м в п.2.1. А н алогич н о строим базис под простран ств а Lk − 2 и т.д . А л г оритм построения жорданова базиса 1. Построимсов окупн ость матриц
I , Ae − λ I , ( Ae − λ I ) 2 , … , ( Ae − λ I ) k ≠ Θ , ( Ae − λ I ) k +1 = Θ (гд е Θ – н улев ая матрица). 2. В ы берем p1 лин ейн о н езав исимы х столбцов матрицы ( Ae − λ I ) k и в се столбцы с теми ж е н омерами пред ш еств ую щих матриц. Т аким образом получ им p1 ж орд ан ов ы х цепоч ек д лин ы k + 1 . 3. С помощью э лемен тарн ы х преобразов ан ий остальн ы е n − p1 столбцов
матрицы ( Ae − λ I ) сд елаем н улев ы ми. Т е ж е преобразов ан ия прод елаем со в семи пред ш еств ую щими матрицами. Получ импослед ов ательн ость матриц I1 , k
( Ae − λ I )1 , (( Ae − λ I ) 2 )1 , … , (( Ae − λ I ) k −1 )1 , (( Ae − λ I ) k )1 . После э того столбцами матрицы н улев ы е в екторы .
(( Ae − λ I ) k −1 )1 буд ут либо собств ен н ы е в екторы , либо k −1
4. В ы берем p2 − p1 столбцов ы х в екторов матрицы (( Ae − λ I ) )1 (лин ейн о н езав исимы х с в ы бран н ы ми ран ее) и в се столбцы с теми ж е н омерами матриц
I1 , ( Ae − λ I )1 , (( Ae − λ I ) 2 )1 , … , (( Ae − λ I )k − 2 )1 . М ы получ им p2 − p1 ж орд ан ов ы х цепоч ек д лин ы k . Т аким ж е образом, прод олж аяпроцесс, мож н о построить ж орд ан ов базис в сего простран ств а.
При м ер. Н айти ж орд ан ов у ф орму матрицы
и ж орд ан ов базис.
2 − 8 − 6 6 9 6 −3 2 Ae = 2 − 2 − 8 − 6 − 1 0 3 4
Р е ш е н и е. Х арактеристическое уравнение
ϕ (λ ) =
6−λ
2
−8
−6
−3
2−λ
9
6
2
−2
−8 −λ
−6
−1
0
3
4−λ
= ( λ − 2) 4 = 0
33
им еет единственный корень λ = 2 . Р анг r1 м атрицы Ae − 2 I
2 − 8 − 6 4 9 6 − 3 0 = 2, r1 = rang 2 − 2 − 10 − 6 1 0 3 2 − 48 24 0 24 − − − 0 24 48 24 r2 = rang ( A − 2 I ) 2 = rang = 1. 0 24 48 24 − − − 0 8 16 8 Так как ( A − 2 I )3 = Θ , то r3 = r4 = ... = 0 . Тог да
q1 = r0 − 2 r1 + r2 = 4 − 4 + 1 = 0 , q2 = r1 − 2r2 + r3 = 0 , q3 = r2 − 2 r3 + r4 = 1 . Ж орд ан ов аф ормаматрицы
2 0 Af = 0 − 0
1 2 0 − 0
0 1 | 0 2 | 0. − − − 0 | 2 0
|
Н айд емж орд ан ов базис. В ы пиш емматрицу
34
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 − − − − − − − − 4 2 −8 −6 0 9 6 ~ −3 . A= 2 − 2 − 10 − 6 0 3 2 −1 − − − − − − − − 0 24 48 24 0 − 24 − 48 − 24 0 24 48 24 0 − 8 − 16 − 8 ~ В торой столбец матрицы A лин ейн о н езав исимы й, 3-й и 4-й столбцы ~ ему пропорцион альн ы . В ы ч тем из 3-го столбца матрицы A уд в оен н ы й
в торой, из 4-го в ы ч тем2-й столбец иполуч имматрицу
0 0 0 1 0 1 2 1 − − 0 0 1 0 0 0 0 1 − − − − − − − − 2 − 12 − 8 4 0 9 6 ~ −3 A1 = . 2 − 2 − 6 − 6 − 1 0 3 2 − − − − − − − − 0 24 0 0 0 − 24 0 0 0 24 0 0 0 −8 0 0
35
~
И з 4-гостолбцаматрицы A1 в ы ч тем3-й , умн ож ен н ы й н а
2 иполуч им 3
0 0 0 1 0 1 − 2 1 / 3 0 0 1 − 2 / 3 0 0 0 1 4 2 0 − 12 0 9 0 − 3 A2 = . 2 2 6 0 − − −1 0 3 0 0 24 0 0 0 − 24 0 0 0 24 0 0 0 0 0 −8 В кач еств е ж орд ан ов а базиса в озьмемв екторы
e1 = (24,−24,24,−8)T ,
e2 = (2,0,−2,0)T , e3 = (0,1,0,0)T ,
e4 = (0,1,−2,1)T . Перв ы е 3 в ектора д аю т ж орд ан ов у цепоч ку д лин ы 3, в ектор e4 – цепоч ку д лин ы 1. Ж орданова форм а м атрицы. И нвариантные м ножител и. О пред елен ие 1. λ -м атрицей н азы в аетсякв ад ратн аяматрицапоряд ка n , э лемен тами которой служ ат мн огоч лен ы произв ольн ы х степен ей от λ с д ейств ительн ы ми или комплексн ы микоэ ф ф ициен тами. Д ля произв ольн ой λ -матрицы A(λ ) поряд ка n заф иксируем н екоторое н атуральн ое ч исло k такое, ч то 1 ≤ k ≤ n , и рассмотрим в се мин оры k – го поряд ка матрицы A(λ ) . В ы ч исляя э ти мин оры , получ им кон еч н ую систему мн огоч лен ов от λ ; н аибольш ий общий д елитель э той системы мн огоч лен ов , в зяты й со старш имкоэ ф ф ициен том1, обозн ач имч ерез d k (λ ) . Т акимобразом, получ имсистему мн огоч лен ов d1 (λ ), d 2 (λ ), ..., d n (λ ) .
О пред елен ие 2. И нвариантным и м ножител ям и λ -м атрицы A(λ ) н азы в аю тсямн огоч лен ы E i (λ ) , уд ов летв оряю щие след ую щимуслов иям: 1) E1 (λ ) = d1 (λ ) , E 2 (λ ) =
d 2 (λ ) d (λ ) , … , E n (λ ) = n d1 ( λ ) d n −1 (λ )
36
( то есть Ei (λ ) =
d i (λ ) ( i = 2,..., n )), d i−1 (λ )
n
2)
∑ deg E i (λ ) = n .
i =1
Замеч ан ия. 1. Е сли
n
∑ deg Ei (λ ) < n ,
то д ан н ы е
мн ож ители н е
яв ляю тся
i =1
ин в ариан тн ы мид ляд ан н ой матрицы . 2. E i (λ ) д елитсян а E i −1 (λ ) н ацело.
3. Ч исло ж орд ан ов ы х клеток с собств ен н ы м зн ач ен ием λi ин в ариан тн ы х мн ож ителей
рав н о ч ислу
E j = (λ − λi ) k ... с этим собственным значением , а порядок этих кл еток равен степени л инейног о м ножител я с этим собственным значением в инвариантном м ножител е. При м ер. Н аписать ж орд ан ов у ф орму матрицы Ae , если д ан ы ин в ариан тные
мн ож ители
E1 = E 2 = E 3 ... = E10 = 1 ,
E12 = (λ − 3) 4 (λ − 2) 3 ее х арактеристич еской матрицы Р е ш е н и е.
E11 = (λ − 3) 4 (λ − 2 ) ,
Ae − λI .
37
| 3 1 3 1 | 3 1 | 3 | − − − − − − − | 3 1 | 3 Af = | | − − − N 1087 (П).
− − − | 1 | . 3 1 | 3 | − − − − − | 2 | − − − − − − | 2 1 | 2 1 | 2
Н аписать ж орд ан ов у ф орму матрицы
ин в ариан тн ы е мн ож ители
Ae , если д ан ы E1 (λ ) = E2 (λ ) = E3 (λ ) = 1 , E 4 (λ ) = λ + 1 ,
E 5 (λ ) = (λ + 1) 2 , E 6 (λ ) = (λ + 1) 2 (λ − 5) Ae − λI .
ее х арактеристич еской матрицы
−1 | − − − − − | −1 1 | | − 1 | . Af = − − − − − − − | −1 1 | | − 1 | − − − − − | 5
38
N 1088 (П). 2) Н аписать ж орд ан ов у ф орму матрицы ин в ариан тн ы е
мн ож ители
E1 ( λ ) = E 2 ( λ ) = 1 ,
E 4 (λ ) = λ 2 − 4 = (λ + 2)(λ − 2 ) Ae − λI .
ее
Ae , если д ан ы
E 3 (λ ) = (λ − 2 ) 2 ,
х арактеристич еской
матрицы
Р е ш е н и е.
− 2 | − − − − | 2 | . Af = − − − − − | 2 1 | 2
У пражнения дл я сам остоятел ьной работы Н айти жорданову форм у м атрицы и жордановбазис
5 5 −3 − 2 1) A = 2 2 −1 −1
1 1 − 1 ; 1 2 0 0 0
4 0 − 1 3 − 2 − 2 1 1 3) A = −1 −1 0 0 ; 1 1 0 0 0 0 5) A = 0 −1
0 1 1 0 ; 0 1 1 1 − 1 2 1
0
0 1 0 1 2) A = 0 0 1 −1
1 − 1 1 0 ; 1 1 0 2
1 1 2 1 4) A = − 2 − 3 2 1
1 0 − 1 ; 0 1 1 1 1
2 − 1 2 − 1 1 0 2 − 1 6) A = − 4 4 − 3 2 ; − 4 4 − 4 3
39
2 0 7) A = −1 1
1 1 0 1 0 0 ; 0 1 1 0 0 0
1 1 − 1 − 1 − 1 0 3 2 9) A = 1 − 1 − 5 − 3 ; 7 4 −1 2
−3 3 − 2 3 − 3 3 − 2 4 8) A = ; 1 −1 1 0 1 − 1 1 − 1 − 2 0 − 1 − 1 − 0 2 2 2 10) A = ; 0 0 − 5 − 3 1 6 3 0
0 −1 1 −3 3 − 2 1 0 3 3 2 1 1 1 0 0 − − − ; 12) A = 11) A = 2 − 2 2 − 2 − 2 1 −1 0 ; 4 2 4 2 1 1 1 2 − − − − 1 − 1 − 1 1 − 3 2 −1 1 1 − 3 0 0 − 4 − 3 2 2 13) A = ; − 6 6 − 7 2 ; 14) A = 4 2 − 2 − 1 − 3 3 − 2 − 2 − 4 − 2 1 0 0 − 1 2 − 1 1 − 2 2 − 1 15) A = − 2 2 − 3 1 ; − 4 4 − 4 1
0 1 − 2 0 1 − 1 0 − 1 16) A = ; 1 1 −1 0 − 1 − 2 1 0
3 − 2 1 − 1 4 − 2 1 − 1 ; 17) A = 2 3 −1 1 − 1 1 0 0
− 1 − 1 − 1 − 1 2 2 0 0 18) A = ; − 2 − 2 1 1 2 2 − 1 − 1
40
−1 −1 19) A = 0 0
1 −2
1 1 −2 1 ; 0 2 − 1 0 2 − 1
2 − 3 2 −1 6 − 6 2 − 1 21) A = 1 0 − 3 0 ; 0 − 3 0 0
3 1 0 0 − − − 4 8 2 0 20) A = ; 5 7 0 0 − 5 − 7 − 3 − 3 − 4 − 2 −1 0 4 2 2 0 22) A = − 4 − 5 − 5 0 ; 5 2 − 3 4
3 − 3 2 − 1 −3 −3 −2 0 4 3 0 0 4 5 4 0 − ; 24) A = 23) A = − 2 3 −5 1 − 4 −8 − 7 0 ; 0 0 0 3 4 8 4 3 − − 0 0 − 2 0 − 2 − 2 − 3 −1 − 2 0 − 2 1 0 2 6 2 25) A = − 1 1 − 3 0 ; 26) A = 0 − 6 − 11 − 3 ; 4 − 4 4 − 5 0 7 10 1 −3 −3 27) A = −7 −5
0 0 − 2 1 ; 7 − 8 3 5 − 4 0 0
0
−3 0 0 0 2 − 5 2 − 1 29) A = 5 − 5 2 − 2; 4 − 4 4 − 4
0 −1 − 2 2 − 2 − 7 0 2 28) A = ; 3 6 − 3 − 3 − 3 − 6 1 1 − 3 0 − 1 − 1 0 − 3 2 2 30) A = ; 0 0 − 6 − 3 0 1 6 2
41
3 0 −1 1 − 3 2 − 1 0 1 − 3 0 0 − 4 − 8 0 2 31) A = ; 32) A = ; −7 7 −8 3 5 7 − 3 − 3 1 − 5 5 − 4 0 −5 −7 1 1 −3 10 − 11 33) A = 7 −6 0 0
2
−1 6 − 3 ; 2 − 2 0 − 2
1 0 −5 0 4 − 3 − 2 0 34) A = ; − 4 1 0 0 4 −1 − 2 − 2
0 1 −2 1 ; 6 −6 2 3 − 2 − 1
1 0 −1 2 2 6 2 0 − − − 36) A = ; 3 6 1 0 3 6 3 2 − − − −
− 2 0 0 0 0 − 2 0 0 37) A = 2 − 2 0 −1; 4 − 4 4 − 4
− 2 −1 − 2 −1 0 0 4 2 38) A = 0 − 3 − 8 − 3 ; 0 4 8 2
2 − 3 2 −1 8 − 8 4 − 2 39) A = 4 − 3 0 −1 ; 0 0 0 − 2
0 − 4 −1 0 4 0 0 0 40) A = − 4 − 2 − 2 0 ; 4 2 0 − 2
− 2 −3 35) A = −6 −3
0
0
3 1 0 2 − 3 2 − 1 1 1 − 2 0 0 − 4 − 7 − 2 0 ; 41) A = − 6 6 − 6 2 ; 42) A = 5 7 1 0 − 3 3 − 2 − 1 − 5 − 7 − 3 − 2
42
3 − 3 2 −1 6 − 5 2 − 1 43) A = 1 0 − 2 0 ; 0 − 2 0 0
− 3 − 2 −1 0 4 3 2 0 44) A = − 4 − 5 − 4 0 ; 5 2 − 2 4
−3 0 0 0 4 − 7 4 − 2 45) A = 8 − 8 5 − 3; 4 − 4 4 − 3
0 −1 −3 1 0 − 5 0 2 46) A = ; 0 3 − 3 − 3 3 0 −2 4
− 2 −3 47) A = − 7 −5
0 − 1 −1 2 2 6 0 2 − − 48) A = ; 3 6 − 2 − 3 3 6 1 2 − −
0 1 − 2 1 ; 7 − 7 3 5 − 4 1 0
0
− 2 0 0 0 2 − 4 2 − 1 49) A = 5 − 5 3 − 2; 4 − 4 4 − 3
− 2 0 − 1 − 1 0 − 2 2 2 50) A = . 0 0 − 5 − 3 0 1 6 3
Зам ечание В д ан н омметод ич ескомпособии прин яты след ую щие обозн ач ен ия: (П) – И .В . Проскуряков . Сборн ик зад ач по лин ейн ой алгебре. М .: Ю н имед иастайл, 2002.
О сн о в н а я
л ит ер а т у р а
43
1. Проскуряков И .В . Сборн ик зад ач по лин ейн ой алгебре / И .В . Проскуряков . – М .: Ю н имед иастайл, 2002. 2. Ф ад д еев Д .К . Зад ач и по в ы сш ей алгебре / Д .К .Ф ад д еев , И .С. Сомин ский. – Спб.: Л ан ь, 1999. 3. Прасолов В .В . Зад ач и и теоремы лин ейн ой алгебры / В .В . Прасолов . – М .: Ф изматлит, 1996. Д о п о л н и т е л ь н а я л и т е р ат у р а 1. Ж урав ский А .М . Сборн ик зад ач по в ы сш ей алгебре / А .М . Ж урав ский. – Л . – М .: ГТ Т И , 1933. 2. О кун ев Л .Я . Сборн ик зад ач по в ы сш ей алгебре / Л .Я . О кун ев . – М .: Просв ещен ие, 1964.
Состав ители: У д од ен коН иколай Н иколаев ич Глуш аков аТ атьян аН иколаев н а Рецен зен т
Покорн аяИ .Ю .
Ред актор
Т их омиров аО .А .
44
Заказ №
от
2003 г . Тир. экз. Л аборатория оперативной пол иг рафии ВГ У
