Дискретные (логические) процедуры распознавания: принципы конструирования, сложность реализации и основные модели

Е.В. Дюкова

ПРИЛОЖЕНИЕ К УЧЕБНОМУ ПОСОБИЮ: «Дискретные (логические) процедуры распознавания: принципы конструирования, сложность реализации и основные модели»

Москва 2003

1

Приложение 1. Использование аппарата логических функций для конструирования дискретных процедур распознавания в случае целочисленной информации.

n ,k≥2, - множество наборов вида ( α , . . . , α ) ,где α ∈ {0,1,..., k − 1}. 1 n i k n n Пусть переменная x принимает значения из множества E , σ ∈ E . k k Пусть E

Положим

⎧1,если x = σ ; xσ = ⎨ ⎩0, если x ≠ σ .

Элементарной конъюнкцией (э.к.) над переменными x1 ,..., xn назовём выражение вида x j ⋅ ...⋅ x j σ1

σr

1

r

, где

x j ∈ {x1 ,..., xn } при i = 1,2 ,..., r и x j ≠ x j при t, q ∈ {1,2 ,..., r}, t ≠ q . i

q

t

Интервал истинности э.к. B будем обозначать через N B .

n k

Пусть f ( x1 ,..., xn ) - функция, частично определенная на наборах из E , и принимающая значения из {0,1} , N f и N f - соответственно множество единиц и множество нулей функции f . Определения почти допустимой, допустимой, неприводимой и максимальной конъюнкций функции f , данные в разделе 2.1 для случая k=2 , полностью переносятся на случай k>2. Рассмотрим ситуацию, когда объекты из исследуемого множества M описаны признаками, каждый из которых принимает значения из множества {0,1,..., k − 1}. Элементарному классификатору

{

признаков H = x j ,..., x j 1

r

σ = (σ 1 ,...,σ r ) , порожденному набором

} , поставим в соответствие э.к.

B = x σj ⋅ ...⋅ x σj . r

1

1

r

Близость объекта S = (a1 ,...,a n ) из M и элементарного классификатора будем оценивать величиной

⎧1, если a j = σ t при t = 1,2,...,r , B( σ ,S ,H ) = ⎨ ⎩0, в противном случае. t

Очевидно, B (σ , S , H ) = 1 тогда и только тогда, когда (a1 ,...,a n ) ∈ N B . 2

σ

Рассмотрим основные модели дискретных процедур распознавания и покажем, что каждый раз построение множества элементарных классификаторов для класса K сводится к построению допустимых и максимальных конъюнкций для характеристической функции класса K , т.е. такой двухзначной логической функции, которая на обучающих объектах из K и K = {K 1 ,..., K l }\ K принимает разные значения. Процедура голосования по построенной э.к. B заключается в принадлежности набора (a1 ,...,a n ) интервалу N B . 1.Алгоритм голосования по представительным наборам. В данном случае характеристическая функция класса K - частичная логическая функция f K ( x1 ,..., xn ) , принимающая значение 1 на описаниях обучающих объектов из класса K , значение 0 на описаниях обучающих объектов из класса

K и не определённая на остальных наборах из E n . k Представительному набору класса K соответствует допустимая конъюнкция функции f K , тупиковому представительному набору соответствует максимальная конъюнкция функции f K . Допустимая (максимальная) конъюнкция B функции f K голосует за принадлежность объекта S классу K , если (a1 ,...,a n ) ∈ N B . 2.Алгоритм голосования по антипредставительным наборам. Характеристическая функция класса K - частичная логическая функция f K ( x1 ,..., xn ) , принимающая значение 0 на описаниях обучающих объектов из класса K , значение 1 на описаниях обучающих объектов из класса K и не определённая на остальных наборах из E

n. k

Антипредставительному набору класса K соответствует допустимая конъюнкция функции f K , тупиковому антипредставительному набору соответствует максимальная конъюнкция функции f K . Допустимая (максимальная) конъюнкция B функции f K голосует за принадлежность объекта S классу K , если (a1 ,...,a n ) ∉ N B .

3

3.Алгоритмы голосования по покрытиям класса. Характеристическая функция класса K - всюду определённая логическая функция FK ( x1 ,..., xn ) , принимающая значение 0 на описаниях обучающих объектов из класса K и значение 1 на остальных наборах из E

n . k

Покрытию класса K соответствует допустимая конъюнкция функции FK , тупиковому покрытию - максимальная конъюнкция для FK . Допустимая (максимальная) конъюнкция B функции FK голосует за

принадлежность объекта S классу K , если (a1 ,...,a n ) ∉ N B .

Построение требуемого множества конъюнкций (ДНФ, реализующей характеристическую функцию) может быть осуществлено на основе преобразования нормальных форм. Случай, когда k=2 и характеристическая функция класса K равна f K , подробно рассмотрен в разделе 2.1. Описанные в разделе 2.1. построения могут быть обобщены на рассматриваемый нами общий случай, если в качестве Di взять дизъюнкцию вида и воспользоваться равенством x = α∨≠ β x .

x1 ∨ ... ∨ xn β i1

β in

β

α

Тогда преобразуемая КНФ примет вид D1 & D2 & ... & Dn , где ∗

∗

∗

α α α Di∗ = α ∨ x ∨ x ... ∨ x . 1 2 n ≠β α ≠β i1

i2

α ≠ β in

В утверждениях 5 и 6 следует заменить Di на Di . После перемножения логических скобок в подучившейся ДНФ следует сделать упрощения, пользуясь α β тем , что x ⋅ x = 0 при α ≠ β , x ⋅ x = x , x ∨ x = x , x ∨ x ⋅ x ′ = x . Остальные рассуждения полностью совпадают с рассуждениями, которые приведены в разделе 2.1. ∗

4.Тестовые алгоритмы распознавания. Характеристическая функция класса K определяется так же, как и для алгоритмов голосования по представительным наборам. Множество всех почти допустимых конъюнкций функции f K , порождаемое набором признаков H , обозначим через Q (H , K ) . 4

Очевидно, набор признаков H является тестом тогда и только тогда, когда для каждого t ∈ {1,2 ,...,l } , каждая конъюнкция из Q (H , K t ) является допустимой для f K .Очевидно также, что тест H является тупиковым тогда и только тогда, когда в {1,2 ,...,l } можно указать t такое, что Q (H , K ) содержит t

максимальную конъюнкцию функции f K . Построение требуемого множества тестов может быть осуществлено на основе преобразования КНФ, не содержащей отрицаний переменных (реализующей монотонную булеву функцию), в ДНФ. Действительно, рассмотрим множество P всех неупорядоченных пар наборов (α , β ) таких, что α ∈ N f , β ∈ N f , u ≠ v , u ,v ∈ {1,2,...,l}. t

Ku

Для каждой пары

Kv

(α , β ) из P построим дизъюнкцию D (α , β ) = x

p1

∨ ... ∨ x p , q

где p1 ,..., pq - номера разрядов, в которых различаются наборы α и β . Нетрудно убедиться в том, что для построения множества тестов нужно преобразовать КНФ K = & D (α , β ) в ДНФ, состоящую из допустимых (α ,β )∈P

конъюнкций функции, реализуемой этой КНФ. Для построения тупиковых тестов нужно построить сокращенную ДНФ функции, реализуемой КНФ.

5

Приложение 2 Тупиковые покрытия в задачах построения ДНФ двузначных логических функций Для построения ДНФ из допустимых и максимальных конъюнкций двузначных логических функций на k - ичных n - мерных наборах, могут быть использованы методы построения покрытий булевых и целочисленных матриц. Действительно, пусть F определена на Ekn и принимает значения из {0,1} . Построим матрицу L , строками которой являются наборы из N F . Очевидным является σ

σ

1

r

Утверждение 15. Э. к. x j 1 … x j r является ( максимальной ) допустимой

для F тогда и только тогда, когда набор столбцов матрицы L с номерами j1 , …, j r является ( тупиковым ) (σ 1 ,…, σ r ) - покрытием. Пусть f - частично определенная на Ekn функция, принимающая значения из {0,1} . Построим матрицу L1 , строками которой являются наборы из N f , и матрицу L2 , строками которой являются наборы из N f . σ

σ

1

r

Утверждение 16. Э. к. x j 1 … x j r является ( максимальной ) допустимой

для f тогда и только тогда, когда набор столбцов матрицы L2 с номерами j1 , …, j r является ( тупиковым ) (σ 1 ,…, σ r ) -покрытием и набор столбцов матрицы L1 с номерами j1 , …, j r не является (σ 1 ,…, σ r ) -покрытием. Для построения нормальных форм из допустимых и максимальных конъюнкций функции f могут быть также использованы методы построения (0, … , 0) -покрытий и тупиковых (0, … , 0) -покрытий булевой матрицы. Действительно, пусть N f = {α1 , … , α v }, N f = {β1 , … , β u }. Поставим в

соответствие набору α i , i ∈ {1,2, … , v}, булеву матрицу L(i ) , в которой на пересечении строки с номером p и столбца с номером q стоит 1, если наборы α i и β p различаются в q -й координате, и 0 - в противном случае. Самостоятельно доказать σ

σ

1

r

Утверждение 17. Э. к. x j 1 … x j r является ( максимальной ) допустимой

для f тогда и только тогда, когда можно указать i , i ∈ {1,2, … , v}, такое, что

набор столбцов матрицы L(i ) с номерами j1 , …, j r является ( тупиковым ) (0, … , 0) -покрытием и при t = 1,2, … , r координата с номером jt набора α i равна σ t . Понятие тупикового покрытия целочисленной матрицы играет фундаментальную роль и в проблеме преобразования нормальных форм логических функций (перемножения логических скобок).

6

В разделе 2.2 было показано, что в случае k = 2 задача преобразования совершенной КНФ булевой функции F в ДНФ может быть сформулирована как задача построения тупиковых покрытий булевых матриц. Действительно, пусть F задана КНФ вида D1 & … & Du , где σ i1

σ in

∨ … ∨ xn , i = 1,2, … , u . Рассмотрим матрицу L вида ⎛ σ 11σ 12 …σ 1n ⎞ ⎜ ⎟ σ σ … σ ⎜ 21 22 2n ⎟ ⎜…………… ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ σ σ …σ ⎟ ⎝ u1 u 2 un ⎠ Задача сводится к построению R(σ ) -покрытий матрицы L , σ ∈ E2r . Если вместо L рассмотреть матрицу L вида ⎛ σ 11σ 12 …σ 1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ σ 21σ 22 …σ 2 n ⎟ ⎜ ⎟, ⎜…………… ⎟ ⎜ σ u1σ u 2 …σ un ⎟ ⎝ ⎠

Di = x1

то задача сводится к построению σ -покрытий матрицы L , σ ∈ E2r . Замечание. Если положить

⎧0, если x = σ , xσ = ⎨ ⎩1, в противном случае,

(1)

то задачи построения допустимых и максимальных конъюнкций функции F сводятся соответственно а) к построению σ -покрытий и тупиковых σ -покрытий матрицы L ; б) к построению R(σ ) -покрытий и тупиковых R(σ ) -покрытий матрицы L . В разделе 2.1 было также показано, что задача построения ДНФ монотонной булевой функции, заданной КНФ, может быть сформулирована как задача построения (0, … , 0 ) -покрытий булевой матрицы или как задача построения R(1, … ,1) -покрытий той же матрицы. Рассмотрим общий случай ( k ≥ 2 и исходная КНФ не обязательно является совершенной). Пусть K - КНФ вида D1 & … & Du , где Di , i = 1,2, … , u , - элементарная дизъюнкция над переменными x1 , … , xu . Положим

⎧1, если x = σ , xσ = ⎨ ⎩0, в противном случае,

x, σ ∈ {0,1, … , k − 1}. КНФ K задает функцию FK ( x1 , … , xu ) , определенную на множестве Ekn и принимающую значение 0 или 1. 7

Утверждение 18. Э. к. B является допустимой для FK тогда и только тогда, когда каждая дизъюнкция Di , i ∈ {1,2, … , u}, содержит хотя бы один множитель из B . Утверждение 19. Э. к. B ранга r является неприводимой для FK тогда и только тогда, когда в КНФ K можно указать r дизъюнкций Di1 , … , Dir таких,

что каждая содержит в точности один множитель из B и, если p, q ∈ {i1 , … , ir } , p ≠ q , дизъюнкции D p и Dq содержат разные множители из B. Доказательства утверждений 18 и 19 не приводятся, так как они почти полностью совпадают с доказательствами соответственно утверждений 5 и 6. Построим матрицу LK = aij , i = 1,2, … , u , j = 1,2, … , n , в которой

( )

⎧⎪σ , если xσj входит в Di , aij = ⎨ σ ⎪⎩k , если x j не входит в Di при σ ∈ {0,1, … , k − 1}. Пусть xσ определено по правилу (1). Тогда из утверждений 17 и 18 сразу следуют приводимые ниже утверждения 20-22. σ

σ

1

r

Утверждение 20. Э. к. x j 1 … x j r является допустимой для FK тогда и

только тогда, когда набор столбцов матрицы LK с номерами j1 , …, j r является R(σ 1 , … , σ r ) -покрытием. σ

σ

1

r

Утверждение 21. Э. к. x j 1 … x j r является неприводимой для FK тогда и

только тогда, когда набор столбцов матрицы LK с номерами содержит R(σ 1 , … , σ r ) -подматрицу. σ

σ

1

r

j1 , …, j r

Утверждение 22. Э. к. x j 1 … x j r является максимальной для FK тогда и

только тогда, когда набор столбцов матрицы LK с номерами j1 , …, j r является тупиковым R(σ 1 , … , σ r ) -покрытием. Пример 1. Пусть дана булева функция F1 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 ∨ x3 ∨ x4 )( x1 ∨ x3 ∨ x4 )( x1 ∨ x2 ∨ x4 )( x1 ∨ x2 ∨ x3 ) . а) Согласно утверждению 15 задача построения сокращенной ДНФ функции F1 может быть решена на основе построения тупиковых R(σ ) покрытий, σ ∈ {0,1}, булевой матрицы, которая имеет вид (строками матрицы являются нули функции F1 ):

8

⎛ 0 0 1 1⎞ ⎟ ⎜ 1 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎜1 0 0 1⎟ ⎟ ⎜ 1 1 0 1 ⎟ ⎜ ⎜1 1 0 0 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎜1 1 1 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 1 1 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 111 ⎟ ⎠ ⎝ б) Согласно утверждению 22 задача построения сокращенной ДНФ функции F1 может быть решена на основе построения тупиковых R(σ ) покрытий, σ ∈ {0,1}, матрицы с элементами из {0,1,2}, имеющей вид

⎛ 2 0 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 0 1⎟ ⎜1 1 2 0 ⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ 0 1 1 2 ⎝ ⎠ Пример 2. Пусть дана булева функция

F2 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x2 ∨ x3 ∨ x4 )( x1 ∨ x3 ∨ x4 )( x1 ∨ x2 ∨ x4 )( x1 ∨ x2 ∨ x3 ) . Согласно утверждению 22 задача построения сокращенной ДНФ функции F2 сводится к построению тупиковых R(1, … ,1) -покрытий матрицы L′ (или неприводимых покрытий матрицы L′′ ):

⎛ 2 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ 1 2 1 1 ⎜ ⎟ L′ = ⎜ 1 1 2 1⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 1 1 2 ⎝ ⎠

⎛ 0 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ 1 0 1 1 ⎜ ⎟ →0 . ⎯2⎯ ⎯→ L′′ = ⎜ 1 1 0 1⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 1 1 0 ⎝ ⎠

9

Задача построения элементарных классификаторов для алгоритмов 1, 2, 3

Задача построения допустимых и максимальных конъюнкций двузначной логической функции f , заданной N f и N f

Методы построения σ покрытий для булевых и целочисленных матриц

Методы преобразования совершенной КНФ булевой функции в ДНФ и их обобщения Рисунок 1.

Задача построения элементарных классификаторов для тестового алгоритма

Задача построения допустимых и максимальных конъюнкций монотонной булевой функции, заданной КНФ

Задача построения (0, … , 0 ) покрытий булевой матрицы Рисунок 2.

Задача построения R(σ ) -покрытий целочисленной матрицы

Задача преобразования КНФ специального вида в ДНФ (перемножение логических скобок)

Рисунок 3.

10

Приложение 3. Статистические свойства тупиковых покрытий в случае большого числа столбцов k Введем обозначения: M mn - совокупность всех матриц размера m × n с

элементами из {0,1,…, k − 1}, k ≥ 2 ; Ekr , r ≤ n , - совокупность всех наборов вида (σ 1 , … , σ r ), где σ i ∈{0,1,…, k − 1}, k ≥ 2 ; ϕ k - интервал

1 ⎛1 ⎜ log k mn − log k log k mn − log k log k log k n, 2 ⎝2 1 1 ⎞ log k mn − log k log k mn + log k log k log k n ⎟. 2 2 ⎠ k r Пусть L ∈ M mn , σ ∈ Ek . Положим B(L, σ ) - множество тупиковых σ -покрытий матрицы L ; S (L, σ ) - множество всех σ -подматриц матрицы L ; B(L ) =

n

n

∪ ∪ B ( L, σ ) ; S ( L ) = ∪ ∪ C ( L, σ ) .

r =1σ ∈E kr

r =1σ ∈E kr

β

Теорема 1. Если mα ≤ n ≤ k m , α > 1, β < 1, то для почти всех матриц L из k при n → ∞ справедливо M mn

B(L ) ~ S (L ) ~

∑ Cnr Cmr r !(k − 1)

r

k r −r

2

r ∈ϕ k

и длины почти всех покрытий из B(L ) принадлежат интервалу ϕ k . Доказательство. Для простоты рассмотрим случай k = 2, σ = (0,…,0 ) (случай неприводимых покрытий). Формулировка теоремы 1 выглядит следующим образом. Пусть B1 (L ) - множество всех неприводимых покрытий и S1 (L ) множество всех единичных подматриц в L . Требуется доказать, что β

k при если mα ≤ n ≤ 2 m , α > 1, β < 1, то для почти всех матриц L из M mn n → ∞ справедливо

B1 (L ) ~ S1 (L ) ~

∑ Cnr Cmr r !2 − r

2

r ∈ϕ 2

и длины почти всех неприводимых покрытий принадлежат интервалу ϕ 2 . Доказательство теоремы опирается на ряд приводимых ниже лемм. Введем обозначения: Wrn , r ≤ n , - множество всех наборов вида { j1 ,…, jr },

где jt ∈ {1,2,…, n} при t = 1,2,…, r и j1 < … < jr ; Vrm , r ≤ m , - множество всех упорядоченных наборов вида {i1 ,…, ir } , где it ∈ {1,2,…, m} при t = 1,2,…, r и it1 ≠ it 2 при t1 , t 2 = 1,2,…, r . Пусть

v ∈Vrm , v = {i1 ,…, ir }, w ∈Wrn , w = { j1 ,…, jr },

( )

Μ (v, w ) -совокупность

k всех таких матриц L = aij , i = 1,2,…, m, j = 1,2,…, n , в M mn , для которых

11

если t = q,

⎧1, ai t j q = ⎨ ⎩0,

t , q = 1,2,…, r.

иначе,

Лемма 1. Если v ∈Vrm , w ∈Wrn , то 2

Μ (v, w ) = 2 mn − r . Доказательство леммы очевидно. Действительно, строки с номерами из v можно выбрать 2 r ( n − r ) способами, остальные строки - 2 n ( m − r ) способами. Пусть Μ *(v, w ) - совокупность всех таких матриц L в Μ (v, w ) , для которых

набор столбцов с номерами из w является (0,…,0 ) -покрытием и L ∉ Μ (v ′, w ) при v′ ≠ v . Лемма 2. Если v ∈Vrm , w ∈Wrn , то

[

Μ *(v, w ) = 2 mn − r 1 − (r + 1) / 2 r 2

]

m−r

.

Доказательство леммы очевидно. Действительно, строки с номерами из v

[

]

m−r

можно выбрать 2 r (n − r ) способами, остальные строки - 2 n − (r + 1)2 n − r способами. Нетрудно доказывается также Лемма 3. Если v1 ∈Vrm , v2 ∈Vl m , w1 ∈Wrn , w2 ∈Wl n и наборы v1 и v2 пересекаются по a (a ≥ 0 ) элементам, а наборы w1 и w2 пересекаются по b (b ≥ 0 ) элементам, то Μ (v1 , w1 ) ∩ Μ (v 2 , w2 ) ≤ 2 mn − r

2

− l 2 + ab

.

β

Лемма 4. Если mα ≤ n ≤ 2 m , α > 1, β < 1, то при n → ∞ имеет место m

2

∑ Cnr Cmr r !2 − r ~

r =1

a r +1 ar

2

∑ Cnr Cmr r !2 − r .

r ∈ϕ 2

2 1 1 Положим p = log mn − log log mn, q = log log log n, ar = C nr Cmr r !2 − r . 2 2 а) Пусть r ≥ p + q − 1 . Тогда имеем (n − r )(m − r ) 2 − 2r +1 ≤ mn 2 − 2 p − 2q + 3 ≤ 4 ⋅ 2 − 2q + 3 = 32 ⋅ 2 − 2q . = n r +1 p б) Пусть r ≤ p − q + 1. Тогда имеем

ar −1 r 2 2r − 2 2( p − q + 1) = ≤ ≤ n 16 ⋅ 2 − 2 q . (n − r + 1)(m − r + 1) (n − q )(m − q ) ar Следовательно, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a ο a , a ο a = = ∑ r ⎜ ∑ r⎟ ∑ r ⎜ ∑ r ⎟⎟. Ч.т.д. r ∈[ p + q , m ] ⎝ r∈ϕ 2 ⎠ r ∈[1, p − q ] ⎝ r ∈ϕ 2 ⎠ Лемма 5. Если r , l ≤ c log n, c < 1 , то имеет место 12

min (r , l )

∑

b=0

2lb Cnr C rb C nl −−br < C nr Cnl (1 + δ (n )) ,

где δ (n ) → 0 при n → ∞ . Доказательство. Обозначим λb = 2lb C nr Crb C nl −−br Cnr C nl − r . Так как Crb Cnl −−br и по условию r , l ≤ c log n , то

Cnl − r

⎡ rl ⎤ ≤⎢ ⎣ n − r − l ⎥⎦

b

b

⎡ ⎤ log 2 n λb ≤ ⎢ 1 − c ⎥ ⎣ n (1 − 2 log n n )⎦ и оцениваемая сумма не превосходит C nr Cnl − r [1 + δ (n )] , где δ (n ) → 0 при n → ∞ . Отсюда, пользуясь неравенством Cnl − r ≤ Cnl , получаем утверждение леммы.

2 Будем считать M mn = {L} пространством элементарных событий, в котором

2 = 1 2 mn . каждое событие L происходит с вероятностью 1 M mn

Через MX (L ) будем обозначать математическое ожидание случайной величины X (L ) , через DX (L ) - дисперсию случайной величины X (L ) . Лемма 6. Пусть для случайных величин X 1 (L ) и X 2 (L ) , определенных на 2 M mn ,

выполнено

X 1 (L ) ≥ X 2 (L ) ≥ 0

и

n→∞

при

верно

MX 1 (L ) ~ MX 2 (L ), DX 2 (L ) (MX 2 (L ))2 → 0. Тогда для почти всех матриц L из

2 M mn имеет место X 2 (L ) ~ X 1 (L ) ~ MX 2 (L ), n → ∞. (Доказательство леммы не приводится.) 2 Пусть v ∈Vrm , w ∈Wrn . На M mn = {L} рассмотрим случайные величины ⎧1, если L ∈ Μ (v, w ) , η (v , w ) ( L ) = ⎨ ⎩0, иначе;

⎧1, ⎪ ξ w (L ) = ⎨ ⎪0, ⎩ Оценим вероятность

если набор столбцов матрицы L

с номерами из w принадлежит B1 (L ),

иначе. события η(v, w ) (L ) = 1 , обозначаемую далее через P (η(v, w ) (L ) = 1) . Очевидно, в силу леммы 1,

2 P (η(v, w ) (L ) = 1) = Μ (v, w ) M mn = 2− r . (1) обозначим через P(ξ w (L ) = 1) . Аналогично вероятность события ξ w (L ) = 1 Оценим P(ξ w (L ) = 1) , пользуясь леммой 1. Нетрудно видеть, что 2

P(ξ w (L ) = 1) ≤

∑

v∈V rm

13

Μ (v , w )

2

2 M mn = C mr r !2 − r .

(2)

С другой стороны, в силу леммы 2 P(ξ w (L ) = 1) ≥

∑

v∈V rm

Μ ∗(v, w )

[

2 M mn = C mr r !2 − r 1 − (r + 1) 2 r 2

]

m−r

.

(3)

Положим n

η1 (L ) = ∑

∑ ∑ η(v, w) (L ), η2 (L ) = ∑ ∑ ∑ η(v, w) (L ). r ∈ϕ 2 v∈V rm w∈W rn

r =1v∈V rm w∈W rn

Нетрудно видеть, что η1 (L ) = S (L ) , η 2 (L ) - число единичных подматриц матрицы L , порядки которых принадлежат интервалу ϕ 2 . В силу (1) n

Mη1 (L ) = ∑ C nr Cmr r !2 − r , Mη 2 (L ) = 2

r =1

∑ Cnr Cmr r !2 − r

2

.

r ∈ϕ 2

Из полученных оценок для Mη1 (L ), Mη 2 (L ) и леммы 4 сразу следует β

Лемма 7. Если mα ≤ n ≤ 2 m , α > 1, β < 1, то

Mη1 (L ) ~ Mη 2 (L ) ~

2

∑ Cnr Cmr r !2 − r , n → ∞.

r ∈ϕ 2

Пусть n

ξ1 ( L ) = ∑

∑ ξ w (L ), ξ 2 (L ) = ∑ ∑ ξ w (L ). r ∈ϕ 2 w∈W rn

r =1w∈W rn

Нетрудно видеть, что ξ1 (L ) = B1 (L ) , ξ 2 (L ) - число неприводимых покрытий в L , длины которых принадлежат интервалу ϕ 2 . Имеем n

Mξ1 (L ) = ∑

∑

r =1w∈W rn

P(ξ w (L ) = 1), Mξ 2 (L ) =

∑ ∑ P(ξ w (L ) = 1) .

r ∈ϕ 2 w∈W rn

Следовательно, в силу (2) n

Mξ 2 (L ) ≤ Mξ1 (L ) ≤ ∑ Cnr C mr r !2 − r . 2

(4)

r =1

В силу (3) Mξ1 (L ) ≥ Mξ 2 (L ) ≥

∑

r ∈ϕ 2

[

Cnr C mr r!2 − r 1 − (r + 1) 2 r 2

]

m−r

≥ F (n )

∑ Cnr Cmr r!2 − r

2

, (5)

r ∈ϕ 2

где F (n ) → 1 при n → ∞ . ( Последнее неравенство следует из того, что

[1 − (r + 1) 2 ]

r m

( (

)

)

= exp − m 1 − (r + 1) 2 r (1 (1 + λ )) ,

где

− (r + 1) 2 r ≤ λ ≤ 0

mr 2 r ≤ log 2 n n c , c > 0 , при r ∈ ϕ 2 . ) Из (4), (5) и леммы 4 сразу следует β

Лемма 8. Если mα ≤ n ≤ 2 m , α > 1, β < 1, то Mξ1 (L ) ~ Mξ 2 (L ) ~

∑ Cnr Cmr r !2 − r

r ∈ϕ 2

Лемма 9. Имеет место 14

2

, n → ∞.

и

Dη 2 (L ) (Mη 2 (L ))2 → 0

при n → ∞ . Доказательство. Нетрудно видеть, что M (η 2 (L ))2 = ∑

∑Μ

2 mn ,

r , l ∈ϕ 2 v1 ∈V rm , w1 ∈W rn v 2 ∈Vlm , w 2 ∈Wln

где Μ = Μ (v1 , w1 ) ∩ Μ (v 2 , w2 ) . Отсюда, пользуясь леммами 3 и 5, получаем M (η 2 (L )) ≤ 2

∑

min (r , l )

r , l ∈ϕ 2

≤

∑

2− r

2

− l 2 + lb

b=0

C nr Crb C nl −−br Cmr r !C ml l !

∑ Cnr Cnl Cmr r !Cml l !2 − r

2

−l 2

r , l ∈ϕ 2

≤

(1 + δ (n )),

(6)

где δ (n ) → 0 при n → ∞ . С другой стороны, в силу леммы 7

(Mη2 (L ))2 ~ ∑ Cnr Cnl Cmr r !Cml l !2 − r

2

−l 2

, n → ∞.

(7)

r ∈ϕ 2

Из (6), (7) и равенства Dη 2 (L ) = M (η 2 (L ))2 − (Mη 2 (L ))2 следует утверждение доказываемой леммы. Аналогичным образом доказывается Лемма 10. Имеет место Dξ 2 (L ) (Mξ 2 (L ))2 → 0 при n → ∞ . Утверждение теоремы 1 следует непосредственно из лемм 6-10. k Пусть C1 (L ) - совокупность всех (0,…,0 ) -покрытий матрицы L из M mn . β

Теорема 2. Если mα ≤ n ≤ k m , α > 1, β < 1 , то для почти всех матриц L из k M mn при n → ∞ справедливо

B1 (L ) C1 (L ) → 0 .

2 = {L} Доказательство. Будем считать совокупность матриц M mn пространством элементарных событий, в котором каждое событие L происходит с вероятностью 1 2 mn . 2 Пусть w ∈Wrn , w = { j1 ,…, jr }. На множестве M mn = {L} рассмотрим случайную величину ⎧1, если набор столбцов матрицы L ⎪ ζ w (L ) = ⎨ с номерами из w является (0,…,0 ) − покрытием; ⎪0, иначе. ⎩ Найдем P(ζ w (L ) = 1) - вероятность события ζ w (L ) = 1 . Для этого посмотрим, 2 , в которой сколькими способами может быть построена матрица из M mn столбцы с номерами j1 ,…, jr образуют (0,…,0 ) -покрытие. Нетрудно видеть, что

такая подматрица Следовательно,

может

быть

построена 15

(2

r

)

−1

m

⋅ 2 m (n − r )

способами.

(

P(ζ w (L ) = 1) = 1 − 2 − r

)

m

.

(8)

Из (8) следует, что если m2 − r → 0 при n → ∞ , то P(ζ w (L ) = 1) → 1 . β

Если mα ≤ n ≤ 2 m , α > 1, β < 1, и r = [log 2 n], то m2 − r → 0 при n → ∞ . 2 , в которых Следовательно, при указанных условиях доля тех матриц L из M mn столбцы с номерами из w образуют (0,…,0 ) -покрытие, стремится к 1 при n → ∞ . 2 Таким образом, для почти всех матриц L из M mn число всех (0,…,0 ) -

покрытий не меньше величины 2 n − log 2 n + 1 . С другой стороны, в силу теоремы 1 имеем, что для почти всех матриц L из 2 число всех неприводимых покрытий не превосходит M mn

(1 + δ (n )) ∑ Cnr < (1 + δ (n ))n log 2 n log 2 n , где δ (n ) → 0 r ∈ϕ 2

по порядку меньше числа всех (0,…,0 ) -покрытий. Теорема доказана.

16

при n → ∞ , и, следовательно,