Лабораторный практикум по разделу ''Сигналы и спектры в системах подвижной радиосвязи'' специальной дисциплины ''Мобильные телекоммуникационные системы''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И

В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

ЛА БО РА Т О РН Ы Й ПРА К Т И К У М поразделу«Сигналы и спектры в систем ах подвиж ной радиосвя зи» специальной дисциплины «М обильные телеком м уникационные систем ы» по специальности 071900 – И Н Ф О РМ А Ц И О Н Н Ы Е Т Е Х Н О ЛО ГИ И И СИ СТ Е М Ы

В О РО Н Е Ж 2003

2

У тверж денонаучно-м етодическим советом ф акультета ком пью терных наук– протокол№ 5 от22.05.2003г.

Составители: Н ечаев Ю .Б, К рем ер А .И ., В оронков Б.Н . Рецензент: к.ф .-м .н., доценткаф едры радиоф изики В ГУ Струков И .Ф .

Лабораторный практикум подготовлен накаф едре инф орм ационных систем ф акультетаком пью терных наук В оронеж скогогосударственногоуниверситета Реком ендуется для студентов 4-го курсадневногоотделения

3

СО Д Е Р Ж А Н И Е Предисловие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .3 1. СПЕ К Т РА ЛЬН Ы Е ПРЕ Д СТ А В ЛЕ Н И Я СИ ГН А ЛО В … … … … … … … .4 1.1. О сновные полож ения … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 1.2. Периодические сигналы и ря ды Ф урье… … … … … … … … … … … ...5 1.3. Спектральная плотность сигнала… … … … … … … … … … … … … … .6 1.4. Д искретное преобразование Ф урье и его реализация в виде быстрого преобразования Ф урье… … … … … … … … … … … … … … .8 1.5. Преобразование Х артли и его свя зь спреобразованием Ф урье… .14 2. К О Н Т РО ЛЬН Ы Е В О ПРО СЫ … … … … … … … … … … … … … … … … ...19 3. ЛА БО РА Т О РН Ы Е РА БО Т Ы … … … … … … … … … … … … … … … … … 22 3.1. Лабораторная работа№ 1… … … … … … … … … … … … … … … … ...22 3.2. Лабораторная работа№ 2… … … … … … … … … … … … … … … … ...25 Библиограф ический список… … … … … … … … … … … … … … … … … … ..27 Прилож ение… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...28 П реди с ло в и е И спользование в соврем енных систем ах подвиж ной радиосвя зи ш ирокополосных , ш ум оподобных сигналов, принципов частотного и кодового разделения каналов, а такж е сх ем оптим альной ф ильтрации [1 4] требует освоения обучаю щ им ися м атем атических м етодов спектрального анализа. О днако, у студентов ф акультета ком пью терных наук, изучаю щ их вопросы построения и особенности реализации телеком м уникационных систем , возникаю тзначительные трудности при ознаком лении см етодам и спектрального представления сигналов. Э то происх одит из-за недостаточно четкого поним ания см ысла введения и необх одим ости использования аппарата обобщ енных ф ункций, а такж е вследствие отсутствия прочных навыков расчета и анализа ам плитудных и ф азовых спектров типовых видео- и радиосигналов. В этой свя зи данные м етодические указания содерж ат краткие теоретические сведения о спектральных представления х периодических и непериодических сигналов, о дискретном преобразовании Ф урье и его алгоритм ической реализации в виде быстрого преобразования Ф урье, о непрерывном и дискретном преобразовании Х артли. Д ано описание лабораторных работпо тем ам : расчет и построение граф иков ам плитудных и ф азовых спектров периодических и непериодических видеосигналов; расчет и построение граф иков ам плитудного и ф азового спектров радиоим пульсов. Сем ь вариантов заданий для каж дой из лабораторных работ, атакж е более сорока контрольных вопросов даю т возм ож ность организовать как групповое (бригадам и из двух -трех человек), так и индивидуальное обучение.

4

1. СПЕ К Т РА ЛЬН Ы Е ПРЕ Д СТ А В ЛЕ Н И Я СИ ГН А ЛО В 1.1. О сновные полож ения Сигналом называю т процесс изм енения во врем ени ф изического состоя ния какого-либо объекта, служ ащ ий для отображ ения , регистрации и передачи инф орм ации [5]. Д ля тогочтобы сделать сигналы объектам и теоретическогоизучения и расчетов, вводя т поня тие м атем атической м одели сигнала, т.е. его м атем атическое описание, наприм ер, в виде ф ункции врем ени s(t) или частоты S(ω ). О дной из ш ироко прим еня ем ых м атем атических м оделей сигнала я вля ется ф ункция вклю чения или ф ункция Х евисайда:  0, t < 0 , 1 1 (t ) =  , t = 0 , 2  1 t > 0.

(1.1)

Рассм отрим им пульсный сигнал пря м оугольной ф орм ы U (t , ε ) =

1   ε   ε  1 t +  − 1 t −  . ε   2   2  

(1.2)

При лю бом выборе парам етра ε площ адь этого видеоим пульса равна единице, так как его ш ирина – ε, а высота - 1 ε . Предел последовательности ф ункций (1.2) при ε → 0 носит название дельтаф ункции, или ф ункции Д ирака: δ (t ) = lim u (t , ε ) . (1.3) ε →0

Т аким образом , м ож но записать ∞, t = 0 , δ (t ) =   0, t ≠ 0 , ∞

∫ δ ( t ) dt

(1.4) = 1.

(1.5)

−∞

Сим волическое изображ ение дельта-ф ункции приведено нарис. 1. δ (t − τ 0 )

τ0

t

Рис. 1. Свойства дельта-ф ункции присущ и пределам м ногих последовательностей обычных классических ф ункций. Н априм ер:

5  nt 2 n ⋅ exp  − 2π  2

δ (t ) = lim n →∞

  , 

 sin( nt )  δ (t ) = lim  . π t  n →∞ 

Н аря дусусловием норм ировки (1.5), важ ным я вля ется ф ильтрую щ ее свойство дельта-ф ункции: s(t ) =

∞

∫ s(τ )δ (t − τ )dτ ,

(1.6)

−∞

где s(t) – непрерывная ф ункция . Рассм отренная ф ункция Д иракане вписывается в рам ки классической м атем атики, где ф ункция долж наприним ать какие-то конечные значения в каж дой точке аргум ента t. Расш ирение поня тия ф ункции как м атем атической м одели сигнала приводит к необх одим ости использовать о б о б щ енны е ф ункции. О пределим скаля рное произведение вещ ественных сигналов f и φ: ( f ,ϕ ) =

∞

∫ f (t )ϕ (t )dt.

(1.7)

−∞

Соотнош ение (1.7) м ож но рассм атривать как некоторый ф ункционал на м нож естве известных пробных ф ункций φ(t). Е сли этот ф ункционал непрерывен, то говоря т, что на м нож естве пробных ф ункций φ(t) задана обобщ енная ф ункция f(t). В аж но отм етить, что интеграл в (1.7) нуж но поним ать ф орм ально-аксиом атически, а не как предел соответствую щ их интегральных сум м . И м енно с таких позиций следует рассм атривать ф ильтрую щ ее свойство ф ункции Д ирака(1.6): (δ (t − τ ), s (τ )) = s(t ) . Полагая пробные ф ункции ф инитным и, то есть равным и нулю за пределам и конечного отрезка t1
(

∞ d f (t ) d ϕ (t ) d ϕ (t ) , ϕ (t )) = f (t )ϕ (t ) − ∫ f (t ) dt = −( f (t ), ). dt dt dt −∞ −∞

В частности, ∞

d ϕ (t ) d1(t ) dϕ (t ) ( , ϕ (t )) = −(1(t ), ) = −∫ dt =ϕ (0) = (δ , ϕ ) , dt dt dt 0

то есть d1(t ) = δ (t ). dt

(1.8)

Равенство (1.8) необх одим о поним ать им енно в см ысле теории обобщ енных ф ункций, так как в классическом см ысле производная от разрывной ф ункции 1(t) при t=0 просто не сущ ествует. А налогично м ож но определить и производную дельта-ф ункции: (δ ′, ϕ ) = −(δ , ϕ ′) = −ϕ ′(0) . 1.2. Периодические сигналы и ря ды Ф урье Периодическим называю тсигнал s(t), обладаю щ ий свойством n=1,2,… , s(t ) = s (t + nT ) ,

6

где Т – период сигнала. Спектральное разлож ение данного сигнала в ря д Ф урье представля етсобой соотнош ение [4, 5]: s(t ) =

где ω 0=

a0 ∞ + ∑ (an cos nω 0 t + bn sin nω 0 t ) , 2 n=1

(1.9)

2π - основная частотапоследовательности, T T

2 a0 = T

∫ s ( t ) dt

−T

T

2 an = T 2 T

,

2

2

∫ s (t ) cos( n ω

−T T

bn =

2

0

t ) dt ,

2 2

∫ s (t ) sin( n ω

−T

0

t ) dt .

2

Т аким образом , периодический сигнал содерж ит постоя нную составля ю щ ую , которая не зависит от врем ени, и бесконечный набор гарм о ни чес ки х колебаний, называем ых гарм о ни кам и счастотам и ω n = n ⋅ω 0 , кратным и основной частоте последовательности. Ч асто использую тещ е две ф орм улы ря даФ урье: s(t ) =

a0 ∞ + ∑ An ⋅ cos(nω 0 t + ϕ n ) , 2 n =1

(1.10)

где An = a n2 + bn2 , An

s (t ) =

tgϕ n = −

bn

an

,

- ам плитуда, ϕ n - начальная ф аза n -ой гарм оники; ∞

∑ C& ⋅ exp(

n = −∞

n

in ω 0 t ) ,

(1.10 а)

T

1 2 & & Cn = C(n) = ∫ s(t ) ⋅ exp(−inω 0 t ) dt , T −T

(1.10 б)

2

где точканад коэф ф ициентам и C n означаетих ком плексный х арактер. Последнее соотнош ение для s(t) носит название ря да Ф урье в ком плексной ф орм е. 1.3. Спектральная плотность сигнала Пря м ое преобразование Ф урье оригинала s(t) носит название спектральной плотности сигнала

S (i ω ) =

∞

∫ s (t ) ⋅ e

−∞

− iω t

dt ,

(1.11)

7

где ω [рад/сек] – угловая частота, ω =2πf, f[Гц] – циклическая частота. Спектральную плотность называю т такж е спектральной ф ункцией или Ф урье-образом сигнала. Д ля нах ож дения спектральной плотности необх одим о и достаточно абсолю тной интегрируем ости сигнала, то есть сущ ествования интеграла ∞

∫

s ( t ) dt

< ∞ .

− ∞

Д анное условие значительно суж ает класс допустим ых сигналов. Н априм ер, в этом случае невозм ож но вычислить спектральную плотность гарм онического сигнала u(t)=Umcos(ω 0t), сущ ествую щ его на всей бесконечной оси врем ени. О днако, введение аппарата обобщ енных ф ункций позволя етпреодолеть подобные затруднения . Сущ ествует взаим но-однозначное соответствие м еж ду пря м ым и обратным преобразования м и Ф урье 1 s (t ) = 2π

∞

∫ S (i ω ) e

iω t

dω .

(1.12)

−∞

Т аким образом , один и тот ж е сигнал допускает две соверш енно равноправные м атем атические м одели – ф ункцию во врем енной области и ф ункцию в частотной области. Ч асто целью спектрального представления сигналов я вля ется упрощ ение его м атем атической м одели, а такж е облегчение анализа прох ож дения сигналов через ш ирокий класс радиотех нических цепей, устройств и систем . В аж ное м есто в задачах спектрального представления сигналов заним аетобобщ енная ф орм улаРэлея 1 (u , v) = 2π

∞

∫ U (iω )V

−∞

*

(iω ) dω =

1 (U ,V ) , 2π

(1.13)

где U(iω ) и V(iω )- спектральные плотности ком плексно- значных , в общ ем случае оригиналов u(t) и v(t), звездочка (*) означает знак ком плексного сопря ж ения . Т о есть скаля рное произведение двух сигналов с точностью до коэф ф ициента 1/2π пропорционально скаля рном у произведению их спектральных плотностей. Н а основании ф орм улы (1.13) м ож но ввести обобщ енное поня тие спектральной плотности. Пусть сигнал v(t) – абсолю тно интегрируем ая ф ункция . Т огда V(iω ) – обычная классическая ф ункция частоты. Пусть сигнал u(t) не удовлетворя ет условию абсолю тной интегрируем ости и в классическом см ысле пря м ое преобразование Ф урье U(iω) не сущ ествует. В этом случае м ож но расш ирить поня тие спектральной плотности, допустив, что U(iω ) я вля ется обобщ енной ф ункцией. Д ля этого в

8

соответствии с обобщ енной ф орм улой Рэлея достаточно полож ить, что U(iω ) – ф ункционал, который, действуя наизвестную ф ункцию V(iω ), дает следую щ ий результат:

(U , V ) = 2π (u , v) . Спектральный м етод ш ироко используется для анализа прох ож дения сигналов через линейные цепи. Э то свя зано с сущ ествованием х орош о разработанного численного м етода дискретного преобразования Ф урье (Д ПФ ) и его алгоритм ической реализации в виде быстрого преобразования Ф урье (БПФ ). 1.4. Д искретное преобразование Ф урье и его реализация в виде быстрого преобразования Ф урье Ф орм улу(1.6) часто называю тдинам ическим представлением сигнала s(t), посколькуонавыраж аетм гновенное значение сигналав произвольный м ом ент врем ени t в виде взвеш енной сум м ы бесконечно узких им пульсов δ(t), сдвинутых друг относительно друга во врем ени. Роль весовых коэф ф ициентов в этой сум м е выполня ю твеличины s(τ )dτ . Перейдем к случаю дискретного сигнала sD(t), когда некоторый процесс м ы описываем не непрерывной ф ункцией s(t), а бесконечным одном ерным м ассивом чисел sk, k=0, ±1, ±2,… . Ч исла sk я вля ю тся дискретным и значения м и сигнала, сня тым и через постоя нный пром еж уток врем ени Δ τ , то есть sk= s(k· Δ τ ). Д ля дискретного сигнала sD(t) ф орм ула (1.6) преобразуется в выраж ение

s D (t ) = ∆τ

∞

∑ s δ (t − k ⋅ ∆ τ ) ,

k = −∞

k

(1.14)

то есть отинтегралам ы перех одим ксум м е, авм есто dτ записываем Δ τ . Рассм отрим спектральное представление конечного дискретного сигнала, который задан своим и N значения м и, сня тым и в м ом енты врем ени 0, Δ τ , 2Δ τ , … , (N-1)Δ τ . В соответствии с (1.14), динам ическое представление такого сигналаесть N −1

s D (t ) = ∆τ ∑ sk δ (t − k ⋅ ∆τ ) .

(1.15)

k =0

Д лина интервала врем ени Т , на котором определен этот сигнал, составля ет T=∆τ(N-1). О днако, для использования дискретного преобразования Ф урье (Д ПФ ) необх одим о, чтобы T равня лось ∆τ⋅N. Д ля того чтобы при T = ∆τ⋅N число отчетов сигнала не стало равным N+1, а осталось равным N, правая концевая точка интервала, которой соответствуетнеизвестное нам значение Sn, отбрасывается . М етод расчета спектральных плотностей дискретных сигналов вида (1.15) состоит в том , что набор дискретных значений Sk м ысленно

9

повторя ется бесконечное число раз. В результате дискретный сигнал становится периодическим (рис. 2), а ф орм ула (1.15) описывает сигнал в пределах лиш ь одного периода.

К периодическом усигналум ож но прим енить разлож ение в ря д Ф урье (1.10) и найти коэф ф ициенты C&n . Совокупность этих коэф ф ициентов образуетспектр дискретного периодического сигнала. При этом ∞

sD(t) = ∑ C&n ⋅ e

i

2π nt T

n = −∞

2π

=

2π = ω0 ; T 2π

−i⋅ nt −i nt 1 ∆τ N −1 T ( ) s t ⋅ e dt = sk δ (t − k ⋅ ∆τ ) ⋅ e T dt = ∑ D ∫ ∫ T0 T 0 k =0 T

C&n

, T = N ⋅ ∆τ , T

2π

2π

−i nt 1 N −1 1 N −1 −i T n⋅k⋅∆τ 1 T = ∑sk ∫ δ (t − k ⋅ ∆τ )e dt = ∑sk e = N k =0 0 N k =0 N T

N −1

∑s k =0

k

⋅e

−i

2π nk N

О кончательно

1 C&n = N

N −1

∑s k =0

k

⋅e

−i

2π nk N

(1.16)

Ф орм ула (1.16) определя ет образую щ их Д ПФ сигналаsD(t).

последовательность

коэф ф ициентов,

СвойстваД ПФ 1. Д ПФ есть линейное преобразование, то есть линейной ком бинации сигналов отвечаетсоответствую щ ая линейная ком бинация их Д ПФ . 2. К оэф ф ициент С0 я вля ется средним ариф м етическим значением всех отсчетов сигнала sk и им еетсм ысл постоя нной составля ю щ ей сигнала: 1 N −1 C0 = ∑ sk . N k =0

&1,...,C&N−1 равно числу 3. Ч исло различных коэф ф ициентов C0 , C дискретных значений сигнала за период. Е сли полож ить n=N, получим C N = C0 .

10

4. Е сли N – четное число, то C N = 2

1 N

N −1

∑s k =0

k

⋅ (−1) k – действительное число.

5. Пусть значения дискретного сигнала я вля ю тся действительным и числам и, а число N – четное. Т огдакоэф ф ициенты Д ПФ , ном ера которых располагаю тся сим м етрично относительно N 2 , образую т ком плексносопря ж енные пары чисел. Д ействительно, рассчитывая коэф ф ициенты в поря дке убывания их ном еров, нах одим , что 1 C&N − n = N

N −1

∑ sk e

− i 2π ( N − n ) k

N

=

k =0

1 N

N −1

∑s e k =0

k

i 2π k

N

= C&n*

В ернувш ись к ф орм улам (1.10а, 1.10б), легко зам етить, что, зам еня я ω 0 на ( − ω 0 ), м ы получаем Cn = C−n , то есть коэф ф ициенты *

C&−n ,

ком плексно-

сопря ж енные коэф ф ициентам C&n , соответствую т отрицательным частотам в спектре периодического непрерывного сигнала. По аналогии с этим в случае дискретного сигнала и Д ПФ м ож но считать, что коэф ф ициенты C&N

2

+1

, C&N

2

+2

,...,C&N −1 отвечаю тотрицательным частотам ,

тогда как коэф ф ициенты C&1 , C&2 ,..., C&N

соответствую т полож ительным

2

частотам . О братное Д ПФ В ернем ся кф орм улам (1.10а, 1.10б), полож ив ω 0 =

2π и T

t = k ⋅ ∆τ , k = 0,1,2,... . Т огдадля дискретного сигнала

s(k ⋅ ∆τ ) = sk =

∞

∑ C&n e

i

2 π kn N

n = −∞

C&n , образую щ ие Д ПФ , заданы. Т огда, учитывая , что сущ ествует всего лиш ь N различных коэф ф ициентов C&n , сум м ируя

Пусть коэф ф ициенты

конечное число членов ря да, м ы получим ф орм улуобратного Д ПФ : N −1

i 2π s k = ∑ C&n e n =0

k

N

.

(1.17)

Ф орм улы (1.16) и (1.17) образую тпарудискретных преобразований Ф урье. Быстрое преобразование Ф урье [7, 8, 9] Быстрым алгоритм ом называется некоторая неочевидная вычислительная процедура, которая в вычислительном отнош ении более

11

эф ф ективна, чем та или иная очевидная процедура [9]. Быстрым преобразованием Ф урье (БПФ ) называю т набор алгоритм ов, реализация которых обеспечивает сущ ественную эконом ию вычислительных операций Д ПФ , в особенности наиболее слож ных – операций ком плексного ум нож ения . В общ ем случае (при ком плексных вх одных м ассивах ) непосредственное вычисление Д ПФ по ф орм улам (1.16), (1.17) требует прим ерно N2 ум нож ений и N2 слож ений ком плексных чисел. Э то значит, что при больш их N непосредственное вычисление Д ПФ требует больш их затрат м аш инного врем ени. Д ля перех ода от Д ПФ к БПФ необх одим о, чтобы число дискретных значений сигнала было составным , то есть разлагалось на м нож ители, к прим еру – N=8=2*2*2 или N=60=3*4*5. В зависим ости от состава и числа м нож ителей удается получить разные алгоритм ы БПФ . Н аиболее распространены алгоритм ы для N=2m , N=4m или N=8m , где целое число m>0. Рассм отрим N – точечное Д ПФ

& 1 C&n = N

N −1

∑s k =0

k

⋅W N

kn

C&n , где N – составное число:

 2π W N = exp  − i N 

, n=0, 1, … , (N-1);

 . 

Е сли N=N1⋅N2 , то индексы k и n м ож но преобразовать следую щ им образом :

k=N1⋅k2 + k1 , k1 , n1 = 0, … , (N1 – 1), n=N2⋅n1 + n2 , k2 , n2 = 0, … , (N2 – 1).

Подставля я k и n в выраж ение для

1 & C&N 2 n1 + n2 = N

N1 −1

∑W

k1 = 0

N 2 k1 n1 N

WN

C&n , получаем

k1 n 2

N 2 −1

∑s

k2 =0

WN

N 1 k 2 + k1

N1 k 2 n 2

или, учитывая , что

WN

N2

 2π   = W N 1 = exp  − i N 1  

1 & C&N 2 n1 + n2 = N

N1 −1

∑W

k1 = 0

k1 n1 N1

WN

k1 n2

и

WN

N1

= WN 2 ,

N 2 −1

∑s

k 2 =0

N1 k 2 + k1

WN2

k 2 n2

.

О тсю даследует, что N1N2 – точечное Д ПФ м ож но рассм атривать как Д ПФ м ассива (N1×N2), заисклю чением ф азо в ы х м но ж и телей

Т аким образом , вычисление C& n выполня ется в три этапа:

WN

k1 n2

.

12

- сначалавычисля ю тся N1 преобразований N1 различным значения м k1 :

& D& k1 , n 2 = Затем

N 2 −1

∑s

k2 =0

N 1 k 2 + k1

WN2

& , соответствую щ их D& k1 , n 2

k2 n2

.

& D& k 1 , n 2 ум нож аю тся на ф азовые м нож ители

WN

k1 n2

и, наконец,

C&n получаю тся вычислением N2 N1 – точечных преобразований:

1 & C&N 2 n1 + n2 = N

N1 −1

& ∑ D&

k1 = 0

k1 , n2

WN

k1 n2

W N1

k1 n 1

.

Э ти вычисления м огут выполня ться и в обратном поря дке, при этом сначала выполня ю тся ум нож ения на ф азовые м нож ители, затем - два последовательных преобразования Ф урье. В этом случае

1 & C&N 2 n1 + n2 = N

N 2 −1

∑W

k2 =0

k 2 n2 N2

N 1 −1

∑ (s

k1 = 0

N1 k 2 + k1

WN

k1 n2

) W N1

k1 n1

.

Т аким образом , оба типа БПФ – алгоритм а эквивалентны по вычислительной слож ности. В обоих случая х поря докиндексов вх одногои вых одного столбцов м еня ется . Т ак, если вх одная последовательность представлена N2 полином ам и с N1 членам и, то вых одная последовательность представля ется N1 полином ам и с N2 членам и. Следовательно, процедура перестановки долж на быть добавлена к трем основным ш агам БПФ – алгоритм а. Э ф ф ективность БПФ – алгоритм а обусловливается зам еной одного больш ого Д ПФ на несколько м алых . Т ак как число операций, требуем ое для пря м ого вычисления N – точечного Д ПФ , пропорционально N2 , то число операций резко ум еньш ается при зам ене пря м ого вычисления на серию вычислений м алоточечных Д ПФ . В простейш ем случае пря м ое вычисление N – точечного Д ПФ , N=N1⋅N2 , требует N2 ум нож ений. Е сли вычислить это Д ПФ с пом ощ ью БПФ – алгоритм а, то число ум нож ений ум еньш ится до M= N1⋅N2(N1+N2+1), что, очевидно, м еньш е N21N22. Н а практике БПФ – алгоритм значительно более эф ф ективен, так как если N – точечное преобразование содерж ит больш ее число м нож ителей, то алгоритм БПФ м ож ет прим еня ться рекурсивно. В таких случая х для описанной

13

двух ф акторной процедуры каж дый м нож итель N1 и N2 сам представля ет составное число и, следовательно, N1 - и N2 – точечные Д ПФ снова вычисля ю тся с пом ощ ью БПФ – алгоритм а. При таком подх оде каж дый ш аг рекурсивного прим енения БПФ ум еньш ает число операций, в результате чего эф ф ективность алгоритм а возрастает, если N содерж ит больш ое число сом нож ителей. Э то обстоя тельство и ж елание им еть достаточно регуля рную структуру БПФ – алгоритм а обусловливаю т особое вним ание к использованию его к вх одным последовательностя м , длина которых – степень целого числа. К ак правило, выбирается степень двойки. m Рассм отрим Д ПФ C& n последовательности sk длиной N=2 . В этом случае первый ш аг БПФ выполня ется при N1=2 и N2=2m-1, что эквивалентно разбиению N – точечной последовательности sk надве (N/2) – точечные последовательности s2k и s2k+1 , соответствую щ ие четным и нечетным отсчетам sk . При этом N −1 2

N −1 2

2k n & = 1 ( s ⋅W 2 k n + W n ) C& ∑ 2k n N N ∑ s 2 k +1W N N k =0 k =0

и, таккак

WN

N

2

(1.18)

= −1 , то

N −1 2

N −1 2

1 2k n 2k n n & C&n + N = ( ∑ s 2 k ⋅W N − W N ∑ s 2 k +1W N ), n = 0, ... , N − 1 . 2 2 N k =0 k =0 При таком способе, называем ом про реж и в ани ем по в рем ени , N– точечное Д ПФ сводится к двум N/2 – точечным Д ПФ , N слож ения м и N/2 n

W N . Э та ж е процедура прим еня ется теперь для ум нож ения м на зам ены двух N/2 – точечных Д ПФ на четыре N/4 – точечных Д ПФ , N слож ений и N/2 ум нож ений. Последовательное прим енение м етода вычисления N– точечных Д ПФ , N=2m, приводит к m=log2N, на каж дом из которых 2p 2m-p - точечных Д ПФ сводится к 2p+1 2m-p-1 – точечным Д ПФ за N слож ений и N/2 ум нож ений. Следовательно, число ком плексных ум нож ений М и число ком плексных слож ений А , требуем ых для вычисления N– точечного Д ПФ по основанию 2, таковы: M=(N/2)log2N, A=Nlog2N. Д ругая ф орм а БПФ – алгоритм а получается разбиением вх одной последовательности sk на две части - sk и sk+N/2 – из N/2 членов, соответствую щ их N/2 первым и N/2 последним отсчетам sk. Э тот м етод называется про реж и в ани ем по час то те. При этом

14 N −1 2

N n/2 kn & 1 C&n = xk + N / 2 ) W N ) . (∑ (s k + WN N k =0

(1.19)

В ычислим теперь четные и нечетные отсчеты зам еня я k на2k, получаем

C&n . Д ля k четного,

N −1 2

1 2k n & C&2 n = ( ∑ ( s k + x k + N / 2 ) W N ), k = 0, ... , N − 1 . 2 N k =0

(1.20)

Зам еня я k на2k+1 для нечетных k, получаем N −1 2

2k n k & = 1 ( (s − x ), n = 0, ... , N − 1. C& ∑ 2 n +1 k + N / 2 )W N W N k 2 N k =0

Т аким образом ,

C&n вычисля ю тся за два N/2 – точечных Д ПФ с k

WN предварительным ум нож ения м и на элем ентов вх одной последовательности. Следовательно, вычисление N – точечного Д ПФ сводится к вычислению двух N/2 – точечных Д ПФ за N ком плексных слож ений и N/2 ком плексных ум нож ений. К аки в случае прореж ивания по врем ени, этотм етод м ож етиспользоваться рекурсивно и требуеттакого ж е числаопераций. Поскольку БПФ – алгоритм вычисля ет Д ПФ за Nlog2N операций вм есто N2, то практический выигрыш в числе операций м ож етбыть очень больш им . Н априм ер, для 1024 – точечного Д ПФ N=210 и пря м ое вычисление требует220 ком плексных ум нож ений. С другой стороны, БПФ – алгоритм вычисля ет это преобразование только за 5⋅210 ум нож ений, что прим ерно в 200 раз м еньш е. Д ополнительная эконом ия получается , если учесть, что ум нож ения на(±1±i) тривиальны. 1.5 Преобразование Х артли и его свя зь спреобразованием Ф урье [6] Преобразование Х артли представля ет собой м одиф икацию преобразования Ф урье в плоскости вещ ественной перем енной. К ак и преобразование Ф урье, оно м ож етприм еня ться для спектрального анализа и различных видов обработки сигналов. Д анный тип преобразования назван в честь Р. Х артли, опубликовавш его в 1942г. статью о пря м ом и обратном преобразования х , использую щ их введенную им ф ункцию cas α ≡ cos α +sin α . В начале 80-х годов к этом у преобразованию вним ание исследователей привлек Р. Брэйсуэлл, разработавш ий основы теории как непрерывного, так и дискретного преобразований Х артли, атакж е один из вариантов его быстрой реализации. О сновной областью прим енения

15

преобразований Х артли я вля ется циф ровая обработкасигналов. В отличие от преобразования Ф урье, отображ аю щ его вещ ественные ф ункции в ком плексную область, несим м етричного по i и в принципе предназначенного для обработки ком плексных исх одных данных , преобразование Х артли оперирует только с вещ ественным и данным и и сим м етрично. В ещ ественное преобразование Х артли требует в два раза м еньш е м аш инного врем ени, чем ком плексное преобразование Ф урье, и упрощ аеталгоритм ы спектрального анализаи циф ровой ф ильтрации. Пря м ое и обратное преобразование Х артли им ею твид: ∞

H(f)=

∫ h ( t ) cas ( 2 π

−∞ ∞

h(t)=

∫

f t ) dt ,

H ( f ) cas ( 2π f t ) dt ,

(1.21)

−∞

где

–

t

врем я ,

f

–

циклическая

частота,

π ) . У читывая тот ф акт, что лю бая 4 ф ункция м ож ет быть представлена однозначно в виде сум м ы четной и не четной ком понент, нетрудно установить свя зь м еж ду преобразования м и Ф урье и Х артли. Пусть H(f)=C(f)+S(f), (1.22) Где C(f) – четная , аS(f) – нечетная составля ю щ ие ф ункции H(f). Т огда

cas(x)=cos(x)+sin(x)= 2 cos( x −

∞

C(f)=[H(f)+H(-f)]/2=

∫ h(t ) cos( 2πft )dt

−∞

∞

S(f)=[H(f)-H(-f)]/2=

∫ h ( t ) sin( 2π ft ) dt ,

−∞

апря м ое преобразование Ф урье запиш ется , как ∞

F(if)=C(f)-iS(f)= ∫ h ( t )[cos( 2π ft ) − i sin( 2π ft )]dt = −∞

∞

∫ h (t ) e

− i 2 π ft

dt

−∞

С другой стороны, зная F(if), легко найти H(f) (1.21): H(f)=F r(f)+Fi(f), где Fr(f) – вещ ественная часть F(if), ∞

Fr(f)= ∫ h (t ) cos( 2π ft ) dt = C ( f ) ;

(1.24)

−∞

Fi(f) – м ним ая часть F(if), Fi(f)= −

∞

∫ h ( t ) sin( 2π ft ) dt

−∞

= − S ( f ).

(1.23)

Т аккакам плитудный спектр (м одуль спектральной плотности сигнала) есть:

16

F (if ) = Fr2 ( f ) + Fi 2 ( f ) ,

(1.25)

аф азовый спектр Ψ ( f ) = arg F (if ) = arctg {Fi ( f ) / Fr ( f ) },

(1.26)

то используя преобразование Х артли, получим F ( if ) =

{

}

1 [H ( f ) ]2 + [H ( − f ) ]2 , 2

(1.27)

Ψ ( f ) = arctg {[H ( − f ) − H ( f ) ] / [H ( f ) + H ( − f ) ]}.

По аналогии с дискретным преобразованием дискретное преобразование Х артли (Д ПХ ):

Ф урье вводится

N −1

H ( n) = N −1 ∑ h( k ) cos(2πnk / N )

,

K =0

(1.28)

N −1

h(k ) = N −1 ∑ H (n) cos(2πnk / N ) n =0

,

(1.29)

где (n, k)=0, 1, 2,… , (N-1). О тм етим , что в данном случае четная и нечетная ком поненты несколько видоизм еня ю тся : C (n) = [ H (n) + H ( N − n)] / 2 , S (n) = [ H (n) − H ( N − n)] / 2 . Д ля сам остоя тельного нах ож дения преобразования Х артли от видео- и радиоим пульсов и выя вления отличий от преобразования Ф урье в таблицах 1.1 и 1.2 приведена сводка ф орм ул для непрерывных и дискретных преобразований. Т абл.1.1. Т еорем ы для непрерывных преобразований Ф урье и Х артли Т еорем а

Подобие Слож ение Зеркальное отображ ение

Ф ункция

Преобразование Преобразование Ф урье Х артли T ⋅ F (iTf )

T H (Tf )

h1 (t ) + h2 (t )

F1 (if ) + F2 (if )

H1 ( f ) + H 2 ( f )

h(−t )

F (−if )

H (− f )

h(t / T )

17

Продолж ение таблицы 1.1. Сдвиг

h(t − T )

exp(−i 2π f ) ⋅ F (if )

(sin 2πfT ) H (− f ) + + (cos 2πfT ) H ( f )

М одуля ция

h(t ) cos 2πf 0 t

1 1 H ( f − f0 ) + H ( f + f0 ) 2 2

Свертка

h1 (t ) * h2 (t ) =

1 F [i ( f − f 0 )] + 2 1 + F [i ( f + f 0 )] 2 F1 (if ) F2 (if )

∞

= ∫ h1 (t − u )h2 (u )du ∞

К орреля ция

h(t ) • h(t ) =

1 [H1 ( f )H 2 ( f ) − 2 − H 1 (− f ) H 2 (− F ) + + H 1 ( f ) H 2 (− f ) +

F (if )

H 1 (− f ) H 2 ( f )] 1 2 [ H ( f ) + H 2 (− f )] 2

2

∞

= ∫ h(t + u )h(u )du ∞

Произведение h1 (t ) ⋅ h2 (t )

F1 (it ) * F2 (it )

1 [H1 ( f ) * H 2 ( f ) + 2 + H 1 (− f ) * H 2 ( f ) + + H 1 ( f ) * H 2 (− f ) −

Производная

dh(t ) / dt

i 2πfF (if )

− H 1 (− f ) * H 2 (− f )] − 2πfH ( f )

В торая производная

d 2 h(t ) / dt 2

− 4π 2 fF (if )

− 4π 2 fH ( f )

F (0)

H (0)

И нтеграл бесконечных пределах Т еорем а Рэлея Первый м ом ент В торой м ом ент А бсцисса центра тя ж ести ф ункции

∞

∫ h(t )dt

−∞ ∞

∞

∞

−∞

* ∫ F (if ) F (if )df

−∞

1 [ H 2 ( f ) + H 2 (− f )]df 2 −∫∞

∞

F ′(0)

′ − H (0)

2 ∫ h (t )dt

∫ th(t )dt

(−i 2π )

2π

−∞ ∞

2 ∫ t h(t )dt

′′ − F (0)

−∞ ∞

∫ th(t )dt

−∞ ∞

∫ h(t )dt

−∞

iF ′(0)

(4π 2 )

(2πF (0))

′′ − H (0) ′ − H (0)

(4π 2 )

(2πH (0))

18

Т абл. 1.2. Т еорем ы для дискретных преобразований Ф урье и Х артли Т еорем а

Ф ункция

Слож ение

h1 (k ) + h2 (k )

Д ПФ

Зеркальное h(−k ) отображ ение h ( k − m) Сдвиг

Ц иклическая свертка Произведение

h1 (k ) ⊗ h2 (k ) =

Д ПХ

C&1 (n) + C&2 (n)

H 1 ( n) + H 2 ( n)

C&(−n)

H ( −n)

exp(− 2πnm ) ⋅ C&(n) N

cos 2πmn

N ⋅ C&1 (n) ⋅ C&2 (n)

N ⋅ [ H 1 ( n) ⋅ H 2 ( n) − H 1 ( −n) ⋅ 2 ⋅ H 2 ( − n ) + H 1 ( n ) ⋅ H 2 ( − n) +

N −1

= ∑ h1 ( p ) ⋅ h2 (k − p ) , p=0

k = 0,1, ... , N − 1. h1 (k ) ⋅ h2 (k )

(

)

⋅ H ( n) − N − sin 2πmn ⋅ H ( N − n N

(

)

+ H 1 (−n) ⋅ H 2 (n)] C&1 (n) ∗ C&2 (n)

N ⋅ [ H 1 ( n ) ∗ H 2 ( n) − H 1 ( − n) ∗ 2 ∗ H 2 ( − n) + H 1 ( n) ∗ H 2 ( − n) + + H 1 (−n) ∗ H 2 (n)]

К орреля ция

h(k ) • h( k ) = N −1

= ∑ h( k + p ) ⋅ h( p )

{

N & 2 ⋅ C ( n) 2

N ⋅ [ H (n)]2 + [ H (−n)]2

i ⋅ 2 ⋅ π ⋅ n ⋅ C&(n)

2 ⋅π ⋅ n ⋅ H (−n)

− 4 ⋅ π 2 ⋅ n 2 ⋅ C&(n)

− 4 ⋅ π 2 ⋅ n 2 ⋅ H ( n)

N ⋅ C0

N ⋅ H (0)

N −1

N −1

p=0

Производная В торая производная

h ′(k ) =

dh(t ) dt

h ′′(k ) =

d 2 h(t ) dt 2

Сум м а послед.

∑ h(k )

Первый м ом ент

h(0)

В торой м ом ент

N −1

N −1

t =k

t =k

k =0

∑ C&(n)

∑ H ( n)

n =0

∑ [h(k )]2 k =0

N −1

N ⋅ ∑ C&(n) n =0

n =0

2

N −1

N ⋅ ∑ H ( n) n =0

2

}

19

2. К О Н Т РО ЛЬН Ы Е В О ПРО СЫ 1. К аким и свойствам и обладаю тспектры периодических сигналов? 2. К ак влия ет изм енение длительности им пульсов и периода повторения на спектр периодической последовательности пря м оугольных видеоим пульсов? 3. К ак отразится на спектре периодического сигнала изм енение полож ения началаотсчетаврем ени? 4. В чем состоитотличие спектров периодической последовательности униполя рных и знакоперем енных им пульсов? 5. К ак изм енится спектр периодического сигнала, если период повторения устрем ить в бесконечность? 6. К акая свя зь сущ ествует м еж ду спектром ф инитного сигнала и спектром соответствую щ его периодического сигнала? 7. В чем отличие спектров периодической последовательности видеоим пульсов и пачки из нескольких этих ж е видеоим пульсов? 8. Ч то поним ается под ш ириной спектра сигнала и как свя заны м еж ду собой длительность им пульсаи ш иринаего спектра? 9. К ак изм енится ф орм а сигнала, если из спектра периодической последовательности пря м оугольных видеоим пульсов удалить вторую (третью и т.д.) гарм онику? 10. К ак рассчитывается среднеквадратическая погреш ность аппроксим ации сигнала конечным числом ортогональных составля ю щ их ? 11. К аким образом преодолеваю тся трудности, свя занные с вычисление спектральной плотности гарм оничных сигналов, сущ ествую щ их на всей бесконечной оси врем ени? 12. К аковацель введения спектрального представления сигналов? 13. Д ля какой цели в спектральной теории сигналов вводится обобщ енная ф орм улаРэлея ? 14. В чем состоит условие сущ ествования спектральной плотности сигнала? 15. Ч то представля етсобой спектральное представление сигнала? 16. В чем состоя т две принципиальные особенности, отличаю щ ие спектральную плотность экспоненциального видеоим пульса от спектраим пульсапря м оугольной ф орм ы? 17. Ч то означает перех од от видеоим пульса к радиоим пульсу при спектральном подх оде? 18. В чем состоитсвя зь м еж дупреобразования м и Ф урье и Лапласа? 19. Почем у сигналы, преобразуем ые по Лапласу, долж ны обращ аться в нуль при t<0 ? 20. К аким образом , не прибегая к обобщ енным ф ункция м , получить спектры сигналов, м атем атические м одели которых неинтегрируем ы?

20

21. К аким и свойствам и обладает спектральная плотность вещ ественного сигнала? 22. К каким сигналам м ож но прим еня ть м етод преобразования Лапласа? 23. К аким образом по виду сигнала u(t) определите его спектральную плотность нанулевой частоте? 24. К ак свя заны м еж ду собой х арактер убывания спектра сигнала вне основной полосы и поря док производной сигнала, при которой возникаетпервый разрыв? 25. Сф орм улируйте правила перех ода от изображ ения по Лапласу к спектральной плотности. 26. В чем принципиальное различие спектров сигналов, показанных на рисунках ? u(t)

u(t) τ0

1

1 t

t

τ0

0

-1

u(t)

u(t)

A

A t

0

t

0

t1

27. В чем сх одство и в чем различие спектров сигналов, показанных на рисунках ? u(t)=sinω0t

u(t) τ0

1

0 ≤ t ≤ τ0

1

τ0 t

t -1

-1 u(t)=cosω0t

0 1

u(t)

0

0 ≤ t ≤ τ0

1

τ0

0 t

t τ0

-τ0 -1 -1

21

u(t)

1 -τ0

t τ0

0 -1

К ак свя заны м еж ду собой спектральная плотность последовательности n одинаковых видеоим пульсов, следую щ их друг задругом через врем я Т , и спектр одиночного им пульса? 29. В чем состоитх арактерная особенность спектрадельта-им пульса? 30. В чем сх одство и в чем различие спектральных плотностей видеоим пульсов, изображ енных нарисунке:

28.

u(t)

u(t) 1

1

1 t

-τ0

0

u(t)

t 0

τ0

t -τ0/2 0

τ0/2

31. К ак свя заны м еж ду собой спектр дискретизированного сигнала и спектр исх одного сигнала? 32. К акие два типа погреш ностей м ож но выделить при анализе спектра посредством Д ПФ ? 33. К акая инф орм ация теря ется при дискретизации сигнала и как это влия ет на спектральную плотность дискретизированного сигнала в сравнении со спектром исх одного сигнала? 34. К аксвя заны м еж дусобой ш аги дискретизации по частоте и по врем ени? 35. К аким образом м иним изировать погреш ности спектрального анализапри использовании Д ПФ ? 36. К акова будет погреш ность спектрального анализа посредством Д ПФ , если им пульс пря м оугольный, полное число отсчетов N=256, число отсчетов надлительности им пульсаNи=26? 37. К ак изм енится спектральная плотность сигнала u(t)=(sint)/t при ограничении им пульса по врем ени до первого (третьего) бокового лепестка? 38. Ч то я вля ется основой всех алгоритм ов БПФ ? 39. Ч ем объя снить м ногообразие алгоритм ов БПФ ? 40. В чем состоитидея БПФ ?

22

41. К ак свя заны м еж ду собой преобразование Ф урье и преобразование Х артли? 42. В чем преим ущ ества преобразования Х артли в сравнении с преобразованием Ф урье? 3. ЛА БО РА Т О РН Ы Е РА БО Т Ы 3.1 Лабораторная работа№ 1 Тем а: рас чет и анали зс пектро в в и део и м пульс о в Ц ель работы – исследование спектров видеоим пульсов на основе точных аналитических соотнош ений и спом ощ ью дискретногопреобразования Ф урье. С о д е р ж ан и е р аб о ты: 1) освоение м етодов спектрального анализа видеоим пульсов, изучение свойств и особенностей Д ПФ , а такж е возм ож ностей его реализации с пом ощ ью БПФ ; 2) ответы наконтрольные вопросы; 3) получение аналитических выраж ений для ам плитудного и ф азового спектров заданных сигналов; 4) подготовкаи отладкапрограм м ; 5) проведение расчетов и анализ полученных результатов. О ф о р м л е н и е р аб о ты: О тчетдолж ен содерж ать : -постановкузадачи, вклю чая рисунки и м атем атические м одели сигналов: -ответы наконтрольные вопросы; -расчетные ф орм улы; -текстсам одокум ентированной програм м ы в среде Delphi; -граф ики спектров и анализ полученных результатов. В арианты заданий для лабораторной работы № 1 Проанализировать различия в спектрах сигналов, изображ енных на рисунках 5 11, где искаж ения верш ины им пульсов м оделирую тся синусоидальной ф ункцией.

В ариант1.1. 1.2

1.4

1

1.2 1

0.8

0.8 u(t) 0.6

u(t) 0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

1

19

t, ms

3

5

7

9

11 t, ms

Рис. 5.

13

15

17

19

23

В ариант1.2. 1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

u(t)

u(t) 0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 1

6

11

16

21

1

6

11

t, ms

16

21

t, ms

Рис. 6.

В ариант1.3. 1.2

u(t)

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

u(t) 0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 -0.2

0 1

3

5

7

9

11

1

3

5

t, ms

7

9

t, ms

1.2 1 0.8

u(t)

0.6 0.4 0.2 0 -0.2

1

3

5

7

9

11

t, ms

Рис. 7.

В ариант1.4. 1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

u(t) 0.6

u(t) 0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 1

3

5

7

t, ms

9

11

1

3

5

7

t, ms

9

11

11

24 1.2 1 0.8

u(t) 0.6 0.4 0.2 0 1

3

5

7

9

11

t, ms

Рис. 8.

В ариант1.5. 1.4

1.2

1.2

1

1 0.8

0.8

u(t) 0.6

u(t) 0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

1

3

5

7

9

t, ms

11

13

15

17

19

t, ms

Рис. 9.

В ариант1.6. 1.2

1.4

1

1.2 1

0.8

0.8

u(t) 0.6

u(t) 0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

1

3

5

t, ms

7

9

11

13

15

17

19

t, ms

Рис. 10.

В ариант1.7. 1.4 1.4 1.2

1.2 1

1

0.8

0.8

u(t) 0.6

u(t)0.6

0.4

0.4

0.2 0.2

0 1

11

21

31

0

41

1

t, ms

11

21

t, ms

Рис. 11.

31

41

25

3.2. Лабораторная работа№ 2 Тем а: рас чет и анали зс пектро в ради о и м пульс о в Ц ель работы - исследование спектров радиоим пульсов на основе точных аналитических соотнош ений и с пом ощ ью дискретногопреобразования Ф урье. С од е р ж ан и е р аб о ты: 1) освоение м етодов спектрального анализа радиоим пульсов (какузкополосных , таки ш ирокополосных ); 2) ответы наконтрольные вопросы; 3) получение аналитических выраж ений для ам плитудного и ф азовогоспектров заданных сигналов; 4) подготовкаи отладкапрограм м ; 5) проведение расчетов и анализ полученных результатов. О ф ор м ле н и е р аб о ты: О тчетдолж ен содерж ать: - постановкузадачи, вклю чая рисунки и м атем атические м одели сигналов; - ответы наконтрольные вопросы; - расчетные ф орм улы; - текстсам одокум ентированной програм м ы в среде Delphi; - граф ики спектров и анализ полученных результатов. В арианты заданий для лабораторной работы № 2 Проанализировать различие в спектрах радиоим пульсов вида u (t ) = U (t ) ⋅ sin w0 t

согибаю щ им и U(t), изображ енным и нарисунках 12 - 18, при условии, что a ) w0τ 0 = 4π

, б ) w0τ 0 = 8π

, в ) w0τ 0 = 200π

26

В ариант2.1

В ариант2.2

В ариант2.3

В ариант2.4

В ариант2.5

27

В ариант2.6

Рис. 17 В ариант2.7

Рис. 18 БИ БЛИ О ГРА Ф И Ч Е СК И Й СПИ СО К 1. К арташ евский В .Г. Сети подвиж ной свя зи / В .Г. К арташ евский, С.Н . Сем енов, Т .В . Ф ирстова.- М .: Э ко – Т рендз, 2001. - 302 с. 2. А ндрианов В .И . Средства м обильной свя зи / В .И . А ндрианов, А .В . Соколов.- СПб.: БХ В – Петербург, 2001. - 256 с. 3. Н иколаев В .И . Систем ы и средства сух опутной подвиж ной свя зи: У чеб. Пособие / В .И . Н иколаев, С.С. Грем я ченский; Под ред. БорисоваВ .И .- В оронеж : В ГТ У , 2001. – 209 с. 4. Ш инаков Ю .С. Систем ы свя зи с подвиж ным и объектам и: У чеб. пособие для вузов / Ю .С. Ш инаков, М .М . М аковеева. – М .: Радио и свя зь, 2002. – 440 с. 5. Баскаков С.И . Радиотех нические цепи и сигналы: У чебникдля вузов; 3-е изд., перераб. и доп. / С.И . Баскаков.– М .: В ысш . ш к., 2000. – 464с. 6. Брэйсуэлл Р. Преобразование Х артли : Пер. сангл. / Р. Брэйсуэлл. – М .: М ир, 1990. - 175 с. 7. Гольденберг Л.М . Ц иф ровая обработкасигналов: У чеб. пособие для вузов / Л.М . Гольденберг, Б.Д . М атю ш кин, М .Н . Поля к. – М .: Радио и свя зь, 1990. – 256 с. 8. Сергиенко А .Б. Ц иф ровая обработка сигналов: У чебник для вузов / А .Б. Сергиенко. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с. 9. М арпл С.Л. Ц иф ровой спектральный анализ и его прилож ения : Пер. сангл / С.Л. М арпл. – М .: М ир, 1990. – 584 с.

28

Прилож ение Т екстпрограм м ы для расчетаам плитудного спектрапоследовательности трех видеоим пульсов unit Spektr; ( автор – Лосев М .А . ) interface uses Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, ExtCtrls, ComCtrls, StdCtrls, Spin; type TForm1 = class(TForm) Image1: TImage; Image2: TImage; SpinEdit1: TSpinEdit; SpinEdit2: TSpinEdit; SpinEdit3: TSpinEdit; SpinEdit4: TSpinEdit; SpinEdit5: TSpinEdit; SpinEdit6: TSpinEdit; SpinEdit7: TSpinEdit; Label1: TLabel; Label2: TLabel; SpinEdit8: TSpinEdit; Label3: TLabel; Label4: TLabel; procedure ClearImage1(Sender: TObject); procedure ClearImage2(Sender: TObject); procedure ChangeLenInt(Sender: TObject); procedure ChangeParam(Sender: TObject); procedure UpDateGraphics(Sender: TObject); private { Private declarations } public { Public declarations } end; var Form1: TForm1; implementation

29

{$R *.DFM} var bx:double; mx,my,mx1,my1:integer; bx1:double; a:double=0.3; a1,a2,a3:double; tayI1,tayI2,tayI3,tay0:double; function F(tayI,tay0,A,x:double):double; begin F:=cos(x*tay0)*A*tayI*(sin(x*TayI/2)/(x*tayI/2)); end; //---------------------------------------------------------procedure TForm1.ClearImage1(Sender: TObject); begin with Image1.Canvas do begin Pen.Color:=clWhite; Brush.Color:=clWhite; Rectangle(0,0,mx,my); FillRect(Rect(0,0,mx,my)); end; end; //-----------------------------------------------------------procedure TForm1.ClearImage2(Sender: TObject); begin with Image2.Canvas do begin Pen.Color:=clWhite; Brush.Color:=clWhite; Rectangle(0,0,mx,my); FillRect(Rect(0,0,mx,my)); end; end; //-----------------------------------------------------------procedure TForm1.ChangeLenInt(Sender: TObject); var x,y,i:integer; begy,rx,ry,hx,hy:double; begin bx:=-(SpinEdit1.Value div 2); my:=image1.Height; mx:=Image1.Width; with Image1.Canvas do

30

begin brush.Color:=clWhite; Pen.Color:=clWhite; Brush.Color:=clWhite; Rectangle(0,0,mx,my); FillRect(Rect(0,0,mx,my)); Pen.Color:=clBlack; Moveto(mx div 2,0); LineTo(mx div 2,my); Moveto(mx div 2,0); LineTo((mx div 2) - 3, 15); Moveto(mx div 2,0); LineTo((mx div 2) + 3, 15); Moveto(0,my-20); LineTo(mx,my-20); Moveto(mx - 15 ,my-23); LineTo(mx ,my-20); Moveto(mx - 15 ,my - 17); LineTo(mx ,my-20); begy:=2.4; hx:=abs(bx*2)/(Image1.Width-20); hy:=begy/(image1.Height-20); Pen.Color:=clBlue; Pen.Style:=psSolid; Moveto(10,my-20); Moveto(10,my-20-Round(abs( (F(tayI1,tay0-tayI2,a1,bx)+F(tayI2,tay0,a2,bx)+F(tayI3,tay0tayI2,a3,bx))/hy))); for i:=10 to (Image1.Width-20) do begin x:=i; rx:=bx+x*hx; ry:=abs(F(tayI1,tay0-tayI2,a1,rx)+F(tayI2,tay0,a2,rx)+F(tayI3,tay0tayI2,a3,rx)); y:=my-20-Round(ry/hy); LineTo(x+10,y); end; Pen.Color:=clGreen; Pen.Style:=psDash; Moveto(10,my-20-Round(abs( (F(pi,-pi,-a,bx)+F(pi,0,a,bx)+F(pi,pi,-a,bx))/hy))); for i:=10 to (Image1.Width-20) do begin x:=i; rx:=bx+x*hx;

31

ry:=abs(F(pi,-pi,-a,rx)+F(pi,0,a,rx)+F(pi,pi,-a,rx)); y:=my-20-Round(ry/hy); LineTo(x+10,y); end; if abs(bx)<10 then begin for i:=Round(bx) to Round(-bx) do begin Pen.Color:=clBlack; MoveTo(Round(abs(bx)/hx)+Round(i/hx)+10,my-17); LineTo(Round(abs(bx)/hx)+Round(i/hx)+10,my-23); TextOut(Round(abs(bx)/hx)+Round(i/hx),my-15,IntToStr(i)); end; end; for i:=1 to Round(begy) do begin moveTo(mx div 2-3,my-20-Round(i/hy)); LineTo(mx div 2+3,my-20-Round(i/hy)); TextOut(mx div 2-12,my-20-Round(i/hy),IntToStr(i)); end; Pen.Color:=clBlack; Pen.Style:=psSolid; Moveto(mx div 2,0); LineTo(mx div 2,my); Moveto(0,my-20); LineTo(mx,my-20); end; end; //--------------------------------------------------------procedure TForm1.ChangeParam(Sender: TObject); var by,hx,hy:double; maxX:double; bIX,bIX2,i,ii:Integer; charPI: WiDeString; begin charPI:=#960#0; my1:=image2.Height; mx1:=Image2.Width; with Image2.Canvas do begin Brush.Color:=clWhite; Pen.Color:=clBlack; Pen.Style:=psSolid; Moveto(mx1 div 2,0);

32

LineTo(mx1 div 2,my1); Moveto(mx1 div 2,0); LineTo((mx1 div 2) - 3, 15); Moveto(mx1 div 2,0); LineTo((mx1 div 2) + 3, 15); Moveto(0,my1 div 2); LineTo(mx1,my1 div 2); Moveto(mx1 - 15,(my1 div 2) - 3); LineTo(mx1,my1 div 2); Moveto(mx1 - 15,(my1 div 2) + 3); LineTo(mx1,my1 div 2); by:=a; if (SpinEdit5.Value>=SpinEdit6.Value) and (SpinEdit5.Value>=SpinEdit7.Value) then begin a1:=-a; a2:=SpinEdit6.Value/SpinEdit5.Value*a; a3:=-SpinEdit7.Value/SpinEdit5.Value*a; end else if (SpinEdit6.Value>=SpinEdit5.Value) and (SpinEdit6.Value>=SpinEdit7.Value) then begin a2:=a; a1:=-SpinEdit5.Value/SpinEdit6.Value*a; a3:=-SpinEdit7.Value/SpinEdit6.Value*a; end else begin a3:=-a; a2:=SpinEdit6.Value/SpinEdit7.Value*a; a1:=-SpinEdit5.Value/SpinEdit7.Value*a; end; tay0:=SpinEdit8.Value*pi/8; tayI2:=pi; tayI1:=SpinEdit2.Value/SpinEdit3.Value*pi; tayI3:=SpinEdit4.Value/SpinEdit3.Value*pi; if (tayI1+1/2*tayI2-tay0)>=(tayI3+1/2*tayI2+tay0) then maxX:=(tayI1+1/2*tayI2-tay0) else maxX:=(tayI3+1/2*tayI2+tay0); if maxX<3/2*pi then maxX:=3/2*pi; bx1:=-maxX; hx:=abs(maxX*2)/(Image2.Width-20);

33

bIX:=10+Round((maxX-(tayI1+1/2*tayI2-tay0))/hx); hy:=by*2/(image2.Height-20); Pen.Style:=psSolid; Pen.Color:=clBlue; Moveto(bIX,my1 div 2); LineTo(bIX,(my1 div 2)-Round(a1/hy)); LineTo(bIX+Round(tayI1/hx), (my1 div 2)-Round(a1/hy)); LineTo(bIX+Round(tayI1/hx), (my1 div 2)-Round(a2/hy)); LineTo(bIX+Round((tayI1+tayI2)/hx), (my1 div 2)-Round(a2/hy)); LineTo(bIX+Round((tayI1+tayI2)/hx), (my1 div 2)-Round(a3/hy)); LineTo(bIX+Round((tayI1+tayI2+tayI3)/hx), (my1 div 2)-Round(a3/hy)); LineTo(bIX+Round((tayI1+tayI2+tayI3)/hx), (my1 div 2)); Pen.Color:=clGreen; Pen.Style:=psDash; bIX2:=10+Round((maxX-3/2*pi)/hx); Moveto(bIX2,my1 div 2); LineTo(bIX2,(my1 div 2)-Round(-a/hy)); LineTo(bIX2+Round(pi/hx), (my1 div 2)-Round(-a/hy)); LineTo(bIX2+Round(pi/hx), (my1 div 2)-Round(a/hy)); LineTo(bIX2+Round(2*pi/hx), (my1 div 2)-Round(a/hy)); LineTo(bIX2+Round(2*pi/hx), (my1 div 2)-Round(-a/hy)); LineTo(bIX2+Round(3*pi/hx), (my1 div 2)-Round(-a/hy)); LineTo(bIX2+Round(3*pi/hx), (my1 div 2)); Pen.Style:=psSolid; if (Trunc(maxX/pi) < 7) then for i:=1 to Trunc(maxX/pi) do begin Pen.Color:=clBlack; moveTo(mx1 div 2+Round((i)*pi/hx),my1 div 2-3); LineTo(mx1 div 2+Round((i)*pi/hx),my1 div 2+3); moveTo(mx1 div 2-Round((i)*pi/hx),my1 div 2-3); LineTo(mx1 div 2-Round((i)*pi/hx),my1 div 2+3); TextOut(mx1 div 2+Round((i)*pi/hx),my1 div 2+15,IntToStr(i)+'pi'); TextOut(mx1 div 2-Round((i)*pi/hx),my1 div 2+15,'-'+IntToStr(i)+'pi'); end; end; end; //--------------------------------------------------------procedure TForm1.UpDateGraphics(Sender: TObject); begin ClearImage1(Sender); ClearImage2(Sender); ChangeParam(Sender); ChangeLenInt(Sender); end;

34

//--------------------------------------------------------end.

Рис. П-1. О дин из результатов работы програм м ы

Д ля сигнала, изображ енного нарис. 16

получены следую щ ие результаты:

35

А м плитудный спектр:

Ф азовый спектр:

___________________

А вторы считаю т своим прия тным долгом выразить благодарность студентам вечернего отделения ф акультета прикладной м атем атики, инф орм атики и м ех аники Лосеву М .А ., И ванову В .А ., К анищ евой О .И ., приня вш им активное участие в реализации заданий лабораторного практикум а.

Составители: Н ечаев Ю рий Борисович К рем ер А лександр И льич В оронков БорисН иколаевич Редактор: БунинаТ .Д . Заказ №

от

2003г. Т ираж 50 экз. Лаборатория оперативной полиграф ии В ГУ