КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

О.В. Бесов

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Москва, 2002

Составитель О.В.Бесов УДК 517.

Методические указания по математическому анализу. Кратные интегралы, условный экстремум (для студентов 2-го курса). МФТИ. М., 2002. 28 с.

Изложение указанных в заглавии разделов курса математического анализа, изучаемых в МФТИ в третьем семестре, отличается от изложения этих вопросов в учебниках и учебных пособиях.

c Московский физико-технический институт, 2002

Содержание § 1. Критерий измеримости множества . . . . § 2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения . . . . . . . . . . . . § 3. Замена переменных в кратном интеграле § 4. Обобщения на n-мерный случай . . . . . . § 5. Геометрический смысл знака якобиана отображения . . . . . . . . . . . . § 6. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . .

.

4

. . .

5 10 16

. .

17 21

3

4

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

§ 1. Критерий измеримости множества Обозначения: Rn — n-мерное евклидово пространство точек x = (x1 , . . . ,xn ); Qk — замкнутый куб ранга k; Sk (E) и Sk∗ (E) — соответственно внутреннее и внешнее (замкнутые) ступенчатые тела множества E ⊂ Rn ; µE — мера Жордана множества E. Лемма 1.1. Пусть Qk ∩E 6= φ, Qk 6⊂ E. Тогда Qk ∩∂E 6= φ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ Qk ∩E, y ∈ Qk \E. Тогда принадлежащий Qk отрезок с концами в точках x,y обладает тем свойством, что один из его концов лежит в E, а другой — вне E. Применяя к этому отрезку процесс неограниченного деления пополам и отбирая каждый раз ту половину, которая обладает указанным свойством, получим стягивающуюся систему вложенных отрезков с некоторой общей точкой z. Всякая окрестность точки z содержит как точки из E, так и не из E. Поэтому z ∈ ∂E. Лемма 1.2. ∂E = E\ int E, E ⊂ Sk∗ (E). Лемма 1.3. µ ∂Qk = 0, µ ∂Sk (E) = 0 для ограниченного множества E. Критерий измеримости множества (по Жордану) Неограниченное множество неизмеримо. Ограниченное множество E измеримо тогда и только тогда, когда µ ∂E = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о для ограниченного множества E. I. Покажем, что µ ∂E = 0 влечет измеримость E. С помощью леммы 1.1 имеем, очевидно, Sk∗ (E) ⊂ Sk∗ (∂E) ∪ Sk (E). Поэтому

µSk∗ (E) 6 µSk∗ (∂E) + µSk (E),

§ 2 2.

5

т.е. µSk∗ (E) − µSk (E) 6 µSk∗ (∂E) → 0

(k → ∞),

и, следовательно, измеримо. II. Покажем, что измеримость E влечет µ ∂E = 0. В силу леммы 1.2 ∂E ⊂ E\ int E ⊂ Sk∗ (E)\ int Sk (E) ⊂ ⊂ [Sk∗ (E)\Sk (E)] ∪ [Sk (E)\ int Sk (E)] ⊂ ⊂ Sk4 (E) ∪ ∂Sk (E), где

Sk4 (E) =

U Qk . Qk ⊂Sk∗ (E), Qk 6⊂Sk (E)

Отсюда в силу полуаддитивности верхней меры и леммы 1.3 имеем µ∗ ∂E 6 µ∗ Sk4 (E) + µ∗ ∂Sk (E) = µSk4 (E) = так что

µ∗ ∂E

= µSk∗ (E) − µSk (E) → 0 (k → ∞), = 0, что и требовалось доказать.

§ 2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения В этом параграфе изучается отображение ( x = x(u,v), F : y = y(u,v),

(1)

открытого множества G двумерного евклидова пространства R2uv на открытое множество G∗ евклидова пространства R2xy : F

R2uv ⊃ G  G∗ ⊂ R2xy откр.

откр.

со свойствами: 1◦ . F взаимно однозначно отображает G на G∗ , 2◦ . F непрерывно дифференцируемо на G,

6

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум» ∂(x,y)

3◦ . J(u,v) := ∂(u,v) 6= 0 на G. Лемма 2.4.

∗)

Пусть квадрат

Q := {(u,v) : u0 6 u 6 u0 + h, v0 6 v 6 v0 + h} ⊂ G,  κ := max max |x0u |, |x0v |, |yu0 , |yv0 | . Q

Тогда F удовлетворяет условию Липшица на Q с постоянной 2κ, т.е. для любых двух точек (u1 ,v1 ), (u2 ,v2 ) ∈ Q |F (u2 ,v2 ) − F (u1 ,v1 )| 6 2κ |(u2 ,v2 ) − (u1 ,v1 )| = p = 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 .

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (xi ,yi ) = F (ui ,vi ), i = 1,2. Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях |x2 − x1 | = |x [u1 + t(u2 − u1 ), v1 + t(v2 − v1 )]|1t=0 | = = x0u (˜ u,˜ v )(u2 − u1 ) + x0v (˜ u,˜ v )(v2 − v1 ) 6 √ p 6 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 . Аналогично √ p |y2 − y1 | 6 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 . Из двух последних оценок следует (2). Лемма 2.5. Пусть ограниченное множество E ⊂ E ⊂ G, Q := {(u,v) : u0 6 u 6 u0 + h,

v0 6 v 6 v0 + h} ⊂ G.

Тогда: 1◦ . ∂F (E) = F (∂E), 2◦ . F (Q) — замкнутое измеримое множество, 3◦ . Если µE = 0, то µF (E) = 0, 4◦ . Если E — измеримо, то F (E) измеримо. ∗)

Используется лишь при доказательстве теоремы 3.3

§2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения

7

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы о локальном взаимно однозначном соответствии для точек (u,v) ∈ G и (x,y) = = F (u,v) существуют окрестности, находящиеся во взаимно однозначном соответствии, причем эти окрестности можно брать сколь угодно малыми по диаметру. Следовательно, точки (u,v) и (x,y) лишь одновременно могут являться внутренними, или граничными, или предельными точками соответственно для E и F (E). Отсюда следует утверждение 1◦ леммы и замкнутость множества F (Q). Ограниченность F (Q) следует из теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции, примененной к x(u,v), y(u,v). Заметим, что ∂F (Q) = F (∂Q) состоит из четырех гладких кривых. Поэтому µ∂F (Q) = 0. В силу критерия измеримости F (Q) измеримо и свойство 2◦ установлено. Свойства 3◦ и 4◦ будут использованы лишь при доказательстве теоремы 3.3 Установим свойство 3◦ . Покажем, что µF (E) = 0. Заметим, что Sk∗ = Sk∗ (E) ⊂ G для всех k, больших некоторого k0 , в силу положительности расстояния между замкнутыми множествами E и R2 \G. Пусть  κ := max max |x0u |, x0v |, |yu0 |, |yv0 | . ∗ Sk

0

В силу (2) образ каждого из составляющих Sk∗ квадратов содержится в квадрате в 4κ раз сторонами, параллельными координатным осям. Поэтому при k > k0 µ∗ F (E) 6 µ∗ F (Sk∗ ) 6 16κ2 µSk∗ . Правая часть неравенства стремится к нулю при k → ∞, откуда следует, что µF (E) = 0.

8

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

Свойство 4◦ следует из ограниченности F (E) ⊂ F (E), вытекающей из теоремы Вейерштрасса, свойств 1◦ ,3◦ и критерия измеримости. Теорема 2.1 (геометрический смысл модуля якобиана отображения). Пусть (u0 ,v0 ) ∈ G, h0 > 0, G ⊃ Qh := {(u,v) : uh 6 u 6 uh + h,

vh 6 v 6 vh + h} 3 (u0 ,v0 )

при всех h, 0 < h 6 h0 . Тогда lim

h→0

µF (Qh ) = |J(u0 ,v0 )|. µQh

(3)

Доказательство будет приведено ниже в виде следствия из теоремы 3.1 о замене переменных в интеграле. Частичное выяснение геометрического смысла модуля якобиана отображения доставляет Лемма 2.6. В условиях теоремы 2.1 при h → 0 µF (Qh ) 6 |J(u0 ,v0 )|µQh + o(h2 ).

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поясним, что точка (u0 ,v0 ) необязательно является центром Qh . Отображение F дифференцируемо, поэтому   x = x0 +a11 (u − u0 ) + a12 (v − v0 )+   p   +ε1 (u − u0 , v − v0 ) (u − u0 )2 + (v − v0 )2 , F :  y = y0 +a21 (u − u0 ) + a22 (v − v0 )+   p   +ε2 (u − u0 , v − v0 ) (u − u0 )2 + (v − v0 )2 , где a11 = x0u (u0 ,v0 ), a12 = x0v (u0 ,v0 ), a21 = yu0 (u0 ,v0 ), a22 = = yv0 (u0 ,v0 ), εi (u − u0 ,v − v0 ) → 0 при (u,v) → (u0 ,v0 ).

§2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения

9

Сравним F с линейным отображением ( x =x ˆ(u,v) = x0 + a11 (u − u0 ) + a12 (v − v0 ), Fˆ : y = yˆ(u,v) = y0 + a21 (u − u0 ) + a22 (v − v0 ). Из аналитической геометрии известно, что

a a µFˆ (Qh )

11 12 =

= |J(u0 ,v0 )|.

a21 a22 µQh Сравним параллелограмм Fˆ (Qh ) и криволинейный параллелограмм F (Qh ). Положим ε(h) :=

max {|ε1 |,|ε2 |} ,

sup

ε(h) → 0 при h → 0.

|u−u0 |6h |v−v0 |6h

Тогда для (u,v) ∈ Qh

√ √ |x(u,v) − x ˆ(u,v)| 6 ε(h) 2h, |y(u,v) − yˆ(u,v)| 6 ε(h) 2h.

Отсюда, очевидно, следует, что:   F (Qh ) ⊂ U3ε(h)h Fˆ (Qh ) .

3ε(h )h

Поэтому   µF (Qh ) 6 µU3ε(h)h Fˆ (Qh ) 6 6 µFˆ (Qh ) + o(h2 ) = y = |J(u0 ,v0 )|h2 + o(h2 ), и (4) установлено (см. рис. 1). 3ε(h Замечание. Оценка (4) )h и ее доказательство сохраняются и при J(u0 ,v0 ) = = 0, если в левой части (4) вместо µF (Qh ) написать µ∗ F (Qh ).

(5)

x Рис. 1.

10

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

§ 3. Замена переменных в кратном интеграле Теорема 3.2. Пусть ( F :

x = x(u,v) y = y(u,v)

— отображение открытого измеримого множества G ⊂ R2uv на открытое измеримое множество G∗ ⊂ R2xy : F

R2u,v ⊃

G∗ ⊂ R2x,y , G ⇒ откр. откр.

измер.

измер.

со свойствами: 1◦ . F взаимно однозначно отображает G на G∗ , 2◦ . F непрерывно дифференцируемо на G, ∂(x,y)

3◦ . J(u,v) = ∂(u,v) 6= 0 на G, 4◦ . F,J непрерывно продолжимы на G, 5◦ . функция f непрерывна на G∗ и непрерывно продолжима ∗ на G . Тогда ZZ ZZ ∂(x,y) du dv . f (x,y) dx dy = f [x(u,v), y(u,v)] (1) ∂(u,v) G∗

G

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обе части (1) существуют в силу непрерывности подынтегральных выражений на замыканиях измеримых множеств интегрирования. Будем считать до конца доказательства, что f > 0 на G∗ . Это ограничение не снижает общности. В самом деле, если M > sup |f |, G∗

f (x) = f1 (x) − f2 (x),

где f1 (x) = f (x) + M > 0,

f2 (x) = M > 0,

§3. Замена переменных в кратном интеграле

11

и (1) установлено для f1 и f2 , то оно оказывается верным и для f = f1 − f2 . 1-й ш а г . Покажем, что ZZ ZZ f (x,y) dx dy 6 f [x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)| du dv,

(2)

где Q = {(u,v) : u1 6 u 6 u1 + h, v1 6 v 6 v1 + h} ⊂ G, Q∗ = = F (Q). Рассуждая от противного, предположим, что равенство (2) нарушено, т.е. при некотором ε0 > 0 Z Z ZZ f (x,y) dx dy > (1 + ε0 ) f [x(u,v),y(u,v)] × |J(u,v)| du dv . F (Q)

G

(3) Разобьем G на 4 равных замкнутых квадрата. Обозначим через Q(1) тот из них, для которого (при k = 1) Z Z ZZ f (x,y) dx dy > (1 + ε0 ) [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| du dv . F (Q(k) )

Q(k)

(4) Такой квадрат Q(1) существует : предположив противное и сложив 4 неравенства, противоположных неравенству типа (4) при k = 1, входим в противоречие с (3). Разобьем Q(1) на 4 равных замкнутых квадрата и обозначим через Q(2) тот из них, для которого выполняется (с k = 2 ) неравенство (4). Продол ∞ жая деление, получим систему вложенных квадратов Q(k) 1 со свойством (4). В силу принципа вложенных отрезков (таковыми являются проекции Q(k) ) существует точка (u0 ,v0 ) ∈ Q(k) при всех k. Из (4) в силу теоремы о среднем для интеграла имеем f (˜ xk ,˜ y k )µF (Q(k) ) > > (1 + ε0 )f [x(uk ,v k ), y(uk ,v k )]|J(uk ,v k )|µQ(k) .

12

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум» Оценивая µF (Q(k) ) с помощью леммы 2.3, при k → ∞ имеем [f (x0 ,y0 ) + o(1)] [|J(u0 ,v0 )| + o(1)] >

> (1 + ε0 ) [f (x0 ,y0 ) + o(1)] [|J(u0 ,v0 )| + o(1)] , что неверно при f > 0, |J| > 0. Этим неравенство (2) установлено. 2-й ш а г . Пусть Sk = Sk (G) — внутреннее замкнутое ступенчатое тело для G. В силу аддитивности интеграла по множествам интегрирования почленным сложением нескольких неравенств вида (2) получаем, что Z Z ZZ f (x,y) dx dy 6 f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| du dv . (5) F (Sk )

Sk

3-й ш а г . Установим неравенство ZZ ZZ f (x,y) dx dy 6 f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| du dv . G∗

(6)

G

Для этого заменим правую часть неравенства (5) правой частью (6) и перейдем к пределу при k → ∞. Остается показать лишь, что пределом левой части (5) является левая часть (6). В силу ограниченности подынтегральной функции некоторой постоянной M разность левых частей (6) и (5) не превосходит M µ (G∗ \F (Sk )) = M [µG∗ − µF (Sk )] , и вопрос сводится к доказательству того, что µF (Sk ) → µG∗ при k → ∞.

(7)

Для этого достаточно показать, что для каждого m Sm (G∗ ) ⊂ F (Sk (G)) ⊂ G∗ , ∀k > k(m),

(8)

§3. Замена переменных в кратном интеграле

13

и учесть, что µSm (G∗ ) → µG∗

(m → ∞)

G∗ .

в силу измеримости Для обоснования левого включения (8) заметим, что оно равносильно включению F −1 [Sm (G∗ )] ⊂ Sk (G), ∀k > k(m).

(9)

Левая часть (9) в силу леммы 2.2 есть ограниченное замкнутое подмножество множества G. Оно удалено от замкнутого множества R2 \G на положительное расстояние ρ = ρ(m) > 0 (в силу положительности расстояния между двумя замкнутыми непересекающимися множествами, из которых одно ограничено). Следовательно, (9) выполняется при всех k таких, что √ λ · 10−k < ρ. 4-й ш а г . Установим равенство (1). Применим доказанное неравенство (6) к обратному отображению F −1 (якобиан   ∂(x,y) −1 1 ∂(u,v) = J(u,v) ограничен на F Sk ) и к которого ∂(x,y) = ∂(u,v) функции g(u,v) := f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)|. Имеем ZZ Z Z ∂(x,y) f [x(u,v), y(u,v)] du dv 6 f (x,y) dx dy. (10) ∂(u,v) Sk

F (Sk )

Из (10) предельным переходом при k → ∞, как и на третьем шаге, получаем неравенство, противоположное неравенству (6). Из него и из (6) следует (1). Теорема доказана. Замечание. Теорема 3.1 справедлива и при более общих условиях: вместо условия 4◦ достаточно предположить, что произведение f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| непрерывно продолжимо на G. Для обоснования в равенстве (1), написанном для Sk и F (Sk ) вместо соответственно G и G∗ , следует перейти к пределу при k → ∞.

14

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум» Следствие 1. В условиях теоремы 3.1 ZZ ZZ ∂(x,y) ∗ µG = 1 dx dy = ∂(u,v) du dv . G∗

(11)

G

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3.2. Применим (11) к Qh . По теореме о среднем для интеграла имеем µF (Qh ) = |J(˜ uh ,˜ v h )| µQh ,

Gh 3 (˜ uh ,˜ v h ) → (u0 ,v0 ) при h → 0.

Отсюда следует утверждение теоремы 2.1 Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ теоремы 3.1 и, кроме того, f ограничена на G∗ , произведение f [x(u,v), y(u,v)]J(u,v) ограничено на G. Тогда, если существует один из интегралов в (1), то существует и другой, и справедливо равенство (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для определенности лишь случай, когда существует интеграл из правой части (1). Будем считать, что f > 0, так как общий случай функции f произвольного знака немедленно сводится к этому с помо1

щью представления f = f+ − f− , где f+ = 2 (|f | + f ) > 0 и 1

f− = 2 (|f | − f ) > 0. Покажем, что существует интеграл из левой части (2) и справедливо неравенство (2). Из ограниченности |J|−1 на Q и существования интеграла в правой части RR (2) следует существование интеграла f˜(u,v) du dv, где G

1 f˜(u,v) := f [x(u,v), y(u,v)] = f˜|J| · . |J| Пусть τ = τ (Q) = {Di }i1τ ,

τ τ ∗ = τ ∗ (Q∗ ) = {Di∗ }i1τ = {F (Di )}ii=1 (12)

§3. Замена переменных в кратном интеграле

15

— разбиения соответственно Q и Q∗ . В силу леммы 2.1, примененной к отображению F −1 , diamDi 6 KdiamDi∗ при некоторой постоянной K, откуда |τ | 6 K|τ ∗ |.

(13)

Пусть, далее, ω(f˜,Di ), ω(f,Di∗ ) — колебания функций f˜,f соответственно на Di ,Di∗ . Тогда ZZ iτ iτ X X ω(f,Di∗ )µDi∗ = ω(f˜,Gi ) |J(u,v)| du dv 6 i=1

i=1

6 max |J| Q

Di

iτ X

ω(f˜,Di )µDi → 0

i=1

при |τ ∗ | → 0, поскольку при этом в силу (13) и |τ | → 0. В силу критерия интегрируемости существует интеграл в левой части (2). Установим теперь само неравенство (2). Воспользуемся разбиениями (12), в которых будем считать замкнутыми множества Di = Di . Пусть в точке (ui ,vi ) достигается max |J| = |J(ui ,vi )|, Di

xi = x(ui ,vi ),

yi = y(ui ,vi ).

Тогда iτ X

f (xi ,yi )µDi∗

i=1

=

iτ X i=1

6

iτ X

f [x(ui ,vi ),

ZZ |J(u,v)| du dv 6

f (xi ,yi ) Di

y(ui ,vi )]|J(ui ,vi )|µDi .

i=1

Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана при |τ | → 0 (а, значит, и |τ ∗ | → 0), приходим к неравенству (2).

16

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

Оставшаяся часть доказательства теоремы 3.2 повторяет соответствующую часть доказательства теоремы 3.1, если использовать свойство полной аддитивности интеграла по множествам в более общей форме. Сформулируем его в виде леммы. Лемма 3.7. Пусть G,Gi — измеримые множества nмерного евклидова пространства, G1 ⊂ G2 ⊂ . . . ⊂ G, µ(G\Gi ) → 0 при i → ∞. Пусть функция f ограничена на G и интегрируема на любом Gi . Тогда f интегрируема на G и Z Z lim f dx = f dx. i→∞ Gi

G

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы предоставляется читателю.

§ 4. Обобщения на n-мерный случай В этом параграфе через F : x = x(t) обозначим отображение F

Rnt ⊃ G  G∗ ⊂ Rnx откр.

откр.

открытого множества G евклидова пространства Rnt на открытое множество G∗ ⊂ Rnx со свойствами: 1◦ . F взаимно однозначно отображает G на G∗ ; 2◦ . F непрерывно дифференцируемо на G; ∂(x , . . . ,x )

3◦ . J(t) = ∂(t1 , . . . ,t n) 6≡ 0 на G. 1 n Теорема 4.4. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ , t(◦) ∈ G, (h) G ⊃ Qh = {t : ti 6 ti 6 thi + h, i = 1,2, . . . ,n} 3 t(◦) , 0 < < h 6 h0 .

§ 5 5.

17

Тогда lim

h→0

µF (Qh ) = |J(t(◦) )| µQh

Теорема 4.5. Пусть выполнены условия 1◦ ,2◦ ,3◦ ,G,G∗ — открытые измеримые множества, функция f ограничена на G∗ ,f (x(t))J(t) ограничена на G. Тогда Z Z f (x) dx = G∗

f [x(t)]|J(t)| dt, G

если хотя бы один из этих интегралов существует. Следствие 2. Пусть выполнены условия 1◦ ,2◦ ,3◦ ,G,G∗ — открытые измеримые множества, якобиан J ограничен на G. Тогда Z Z µG∗ =

|J(t)| dt,

dx = G∗

G

Д о к а з а т е л ь с т в а теорем и следствия аналогичны приведенным выше для случая n = 2.

§ 5. Геометрический смысл знака якобиана отображения Для двух векторов k

~a = a1 i + a2 j ~b = b1 i + b2 j

6

  

из формулы a b 1 1 ~a × ~b = (i × j) a2 b2

 i  +

Рис. 2.

j

18

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

видно, что

a b 1 1 sgn a2 b2 показывает направление кратчайшего поворота от первого вектора ко второму. Именно при a b 1 1 > 0 [< 0] a2 b2 кратчайший поворот от ~a к ~b производится в плоскости i,j против [по] часовой стрелки. Пусть задано взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение ( x = x(u,v) F : y = y(u,v) области G плоскости (u,v), содержащей две пересекающиеся гладкие ориентированные кривые, на область в плоскости (x,y) y

v γ2

F γ2 G F γ1

γ1 u Рис. 3

x

§5. Геометрический смысл знака якобиана отображения

где

γ1 γ2 F γ1 F γ2

= {(u,v) : u = u1 (t),v = {(u,v) : u = u2 (t),v = {(x,y) : x = x1 (t),y = {(x,y) : x = x2 (t),y

19

= v1 (t)}, = v2 (t)}, = y1 (t)}, = y2 (t)},

x1 (t) := x(u1 (t),v1 (t)),y1 (t) := y(u1 (t),v1 (t)), x2 (t) := x(u2 (t),v2 (t)),y2 (t) := y(u2 (t),v2 (t)). Будем считать, что в точке пересечения кривых γ1 и γ2 значение параметров t = t0 . Сравним направление кратчайшего поворота касательного вектора к γ1 до касательного вектора к γ2 в точке пересечения кривых с соответствующим направлением для их образов F γ1 ,F γ2 . Преобразуем для этого векторное произведение касательных векторов. dx1 dx2     dt dt dx1 dy1 dx2 dy2 i+ j × i+ j = (i × j) = dy1 dy2 dt dt dt dt dt dt = [(x0u u01 + x0v v10 )i + (yu0 u01 + yv0 v10 )j] × [(x0u u02 + x0v v20 )i+ +(yu0 u02 + yv0 v20 )j] = (x0u u01 yv0 v20 + x0v v10 yu0 u02 )(i × j)− −(x0u u02 yv0 v10 + x0v v20 yu0 u01 )(i × j) = = (x0u yv0 − x0v yu0 )(u01 v20 − v10 u02 )(i × j). Здесь было учтено, что j × i = −i × j. Сравнивая коэффициенты при i × j в левой и правой частях цепочки равенств, получаем dx1 dx2 dt dt ∂(x,y) u0 u0 1 2 = . dy1 dy2 ∂(u,v) v10 v20 dt dt По столбцам определителей стоят координаты касательных векторов к γ1 и γ2 (правый определитель) и к F γ1 и F γ2 (левый определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-

20

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум» ∂(x,y)

дим к выводу: при ∂(u,v) > 0 [< 0] направление кратчайшего поворота от первого касательного вектора ко второму после отображения сохраняется [меняется на противоположное]. Пусть теперь гладкая кривая γ1 является частью границы некоторой области Ω, замыкание которой содержится в G. Пусть γ1 ориентирована положительно относительно Ω. Сравним ориентацию γ1 относительно Ω и ориентацию Γ1 = F (γ1 ) относительно F (Ω). Возьмем кривую γ2 , пересекающую γ1 , с касательным вектором в точке пересечения, направленным по нормали к γ1 внутрь Ω. Из предыдущего видно, что возможны случаи: y

v γ2

γ1

Γ2

Γ1

y Γ2 Γ1

Γi = F (γi )

u

J >0

x

J <0

x

Рис. 4 Тем самым приходим к окончательной формулировке. Геометрический смысл знака якобиана состоит в следующем. При положительном якобиане сохраняется после отображения направление кратчайшего поворота от одной из пересекающихся кривых до другой, а также ориентация кривой, являющейся частью границы области Ω, относительно Ω. При отрицательном якобиане указанные направления кратчайшего поворота и ориентация относительно области меняется на противоположные.

§ 6 6.

21

§ 6. Условный экстремум Пусть на открытом множестве G ⊂ Rn заданы функции f,ϕ1 , . . . ,ϕm (1 6 m < n). Уравнения {ϕj (x) = 0}m j=1

(1)

будем называть уравнениями связи. Пусть E := {x : x ∈ ∈ G,ϕj (x) = 0,1 6 j 6 m}. Определение 1. Точка x◦ ∈ E называется точкой условного минимума [строго условного минимума] функции f при связях (1), если ∃δ > 0, при котором f (x◦ ) 6 f (x)

[f (x◦ ) < f (x)]

◦

для ∀x ∈ E ∩ U δ (x◦ ). Аналогично определяется точка условного максимума [строго условного максимума], условного экстремума [строго условного экстремума]. З а м е ч а н и е о терминологии. Вместо термина «условный» употребляется также термин «относительный». Ради краткости вместо «при связях (1)» , будем писать «при (1)». З а д а ч а. G = R2 ,f (x1 ,x2 ) = x21 + x22 ,m = 1,ϕ(x1 ,x2 ) = = x1 + x2 − 1. Найти условный экстремум функции f при x1 + x2 − 1 = 0. Р е ш е н и е. На прямой ϕ = 0 f (x1 ,x2 ) = f (x1 ,1 − x1 ) = 2x21 −     1 1 1 1 2 − 2x1 + 1 = 2 x1 − 2 + 2 . Следовательно, точка 2 ; 2 является точкой строго условного минимума. В дальнейшем будем считать, что f,ϕ1 , . . . ,ϕm — непре ∂ϕj ◦

рывно дифференцируемы на G, rang

∂xi = m на G,x ∈

22

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

∂(ϕ , . . . ,ϕ ) ∈ E, ∂(x1 , . . . ,x m) 6≡ 0. Тогда по теореме о системе неявных 1 m x0 функций в некоторой окрестности U (x◦ ) (1) ⇐⇒ (10 ), где {xj = µj (xm+1 , . . . ,xn )}m j=1 ,

(10 )

причем µj — непрерывно дифференцируемы {ϕj (µ1 (xm+1 , . . . ,xn ),µ2 (), . . . ,µm (),xm+1 , . . . ,xn ) = 0}m j=1 . (2) Отметим эквивалентность систем линейных уравнений относительно дифференциалов: (3) ⇐⇒ (30 ), где ( n )m X ∂ϕj dxi = 0 , (3) ∂xi i=1 j=1 ( )m n X ∂µj dxj = dxi , (30 ) ∂xi i=m+1

j=1

с коэффициентами, взятыми в точке x◦ . В самом деле, при любых фиксированных dxm+1 , . . . ,dxn решение (3) единственно, так как ее определитель отличен от нуля; решение (30 ) также, очевидно, единственно. В то же время решение (30 ) удовлетворяет (3), так как результат подстановки решения (30 ) в (3) совпадает с дифференцированием тождеств (2). _

_

Определение 2. Через dx1 , . . . , dxn будем обозначать дифференциалы, удовлетворяющие системам (3), (3 0 ). Определение 3. Точка x◦ ∈ E называется условно стаn _ P ∂f _ ционарной точкой функции f при (1), если df := dxi = 0. ∂x i=1

i

Теорема 6.6 (Необходимое условие условного экстремума). Точка x◦ условного экстремума f при (1) является условно стационарной точкой f при (1).

§6. Условный экстремум

23

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию Φ(xm+1 , . . . ,xn ) := := f (µ1 (xm+1 , . . . ,xn ),µ2 (), . . . ,µm (),xm+1 , . . . ,xn ). Имеем [x◦ — точка условного экстремума f при (1)] ⇐⇒ ⇐⇒ [(x◦m+1 , . . . ,x◦n ) — точка экстремума функ  (абсолютного) n n P P ∂f ∂f dx = dx ции Φ] =⇒ [dΦ = 0] ⇐⇒ 0 = i i 0 0 = ∂xi ∂xi 1 1 (3 ) (1 )  n _ P ∂f _ = dxi =:df , что и требовалось доказать. Отметим, что ∂x 1

i

при доказательстве была использована инвариантность формы первого дифференциала. Теорема 6.7 (метод множителей Лагранжа). Точка x◦ ∈ ∈ E является условно стационарной точкой функции f при (1) тогда и только тогда, когда существуют числа λ1 , . . . , λm такие, что x◦ является стационарной точкой функции Лагранжа m X F (x) := f (x) − λj ϕj (x). 1

При этом числа λj определяются однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему из (m + 1)-го уравнения n m  P ∂ϕj   dxi = 0  ∂xi i=1 j=1 . (3∗ ) n P  ∂f   dxi = 0 i=1

∂xi

Имеем _ [x◦ — условно стационарная точка f при (1)] ⇐⇒ [df = 0] ⇐⇒ ⇐⇒ [(3) =⇒ (df = 0)] ⇐⇒ [rang(3) = rang(3∗ ) = m] ⇐⇒

24

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум» 



⇐⇒∃λ1 , . . . ,λm :

∂f ∂f ,..., ∂x1 ∂xn

 ⇐⇒ grad f =

m X

 =

m X

 λj

 j=1





∂ϕj  ∂ϕj ,..., ⇐⇒ ∂x1 ∂xn

λj grad ϕ ⇐⇒ [grad F = 0].

j=1

Следствие 3 (Необходимое условие условного экстремума). Точка x◦ условного экстремума f при (1) является стационарной точкой функции Лагранжа F . Достаточные условия условного экстремума. Дополнительно будем считать, что f,ϕ1 , . . . ,ϕm дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки x◦ , где x◦ — условно стационарная точка f при (1), т.е. стационарная точка функции Лагранжа из E. Пусть δ > 0 достаточно мало, x ∈ E ∩ Uδ (x◦ ) =⇒ Φ(xm+1 , . . . ,xn ) = f (x)|(10 ) =   n X = f (x) − λj ϕj (x) =: F (x) . 0 0 Вычислим dΦ, в точке мыми переменными. dΦ = dx i ∂xi i=1 n P ∂F

d2 Φ

=

n P i,k=1

=

n P ∂2F i,k

(1 )

(1 )

j=1

d2 Φ

x◦ ,

считая xm+1 , . . . , xn независи-

, (10 )



∂2F dxi dxk ∂xi ∂xk _ _

dxi dxk . ∂xi ∂xk

+ (10 )

n P ∂F i=1

∂xi



d2 xi

= (10 )

§6. Условный экстремум Следовательно, формы

25

существенно

поведение

квадратичной

n X ∂2F _ _ dxi dxk . d F := ∂xi ∂xk _ 2

i,k=1

Вспоминая достаточные условия (абсолютного) экстремума, приходим к следующей теореме. Теорема 6.8 (Достаточные условия строгого условного экстремума). Пусть f,ϕ1 , . . . ,ϕm дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности стационарной точки x◦ функции Лагранжа F . Тогда: 1) d2 F > 0[< 0] при |dx| > 0 =⇒ x◦ — точка строгого условного минимума [максимума] f при (1); _

2) d2 F > 0[< 0] при | dx | > 0 =⇒ x◦ — точка строгого условного минимума [максимума] f при (1); 3) d2 F — неопределенная квадратичная форма =⇒ ничего сказать нельзя; _

4) d2 F — неопределенная квадратичная форма =⇒ в точке x◦ — нет условного экстремума. План исследования функции на условный экстремум методом множителей Лагранжа. Пусть функции f,ϕ1 , . . . ,ϕm (1 6 m < n) непрерывно

диф

∂ϕj n

ференцируемы на открытом множестве G ⊂ R , rang ∂x = i = m на G. Для нахождения точек условного экстремума функции f при связях (1) поступают так: 1◦ . Составляют функцию Лагранжа: m X F (x) := f (x) − λj ϕj (x). 1

26

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

2◦ . Находят стационарные точки функции Лагранжа, лежащие на E (только они могут являться точками условного экстремума), т.е. решают систему n + m уравнений on  n ∂  F (x) = 0   ∂x i

1

{ϕj (x) = 0}m 1

  

относительно n + m неизвестных x1 ,x2 , . . . ,xn ,λ1 ,λ2 , . . . ,λm . В каждой из этих точек множители Лагранжа находятся однозначно m Отметим, что система  {ϕj (x) = 0}1 формально может быть записана в виде

∂ F (x) = 0 ∂λj

m

. 1

3◦ . Для каждой стационарной точки x◦ функции Лагранжа, в окрестности которой f,ϕ1 , . . . ,ϕm дважды непрерывно дифференцируемы, составляют d2 F и, если потребуется, _

d2 F . Применяют теорему 6.3 для выяснения типа условного экстремума. ◦ 4 . Находят значения функции f в точках условного экстремума. З а д а ч а . Найти точки условного экстремума функции f (x,y,z) = xyz, если x2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0. Р е ш е н и е. Здесь ϕ1 (x,y,z) = x2 + y 2 + z 2 − 1, ϕ2 (x,y,z) = = x + y + z. В качестве G можно взять, например,   1 G = (x,y,z) : |ϕj (x,y,z)| < , j = 1,2 . 2 Для функции Лагранжа F (x,y,z) = xyz − λ1 (x2 + y 2 + z 2 − 1) − λ2 (x + y + z)

§6. Условный экстремум

27

найдем стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям связи, решив систему уравнений  Fx0 ≡ yz − 2λ1 x − λ2 = 0      Fy0 ≡ xz − 2λ1 y − λ2 = 0   0 (4) Fz ≡ xy − 2λ1 z − λ2 = 0 .   2 2 2  x +y +z −1 = 0    x+y+z =0 Сложив первые три уравнения, в силу последнего получим yz + xz + xy − 3λ2 = 0.

(5)

Но 2(yz + xz + xy) = (x + y + z)2 − (x2 + y 2 + z 2 ) = 0 − 1, и из 1

(5) получаем λ2 = − 6 . Разность первых двух уравнений (4) представляется в виде (y − x)(z + 2λ1 ) = 0. Аналогично получаем еще два уравнения: (z − y)(x + 2λ1 ) = 0,(x − z)(y + 2λ1 ) = 0. Из этих трех уравнений следует (в силу последних двух уравнений из (4), что (y − x)(z − y)(x − z) = 0. Рассмотрим для определенности лишь случай y − x = 0. Остальные два рассматриваются аналогично. В рассматриваемом случае имеются две стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям связи: √ √ √ 6 6 6 x=y=± ,z = ∓ ; при этом λ1 = ∓ . 12 6 3 Будем исследовать их одновременно. d2 F = −2λ1 (dx2 + dy 2 + dz 2 ) + 2z dx dy + 2y dx dz+ √

6

+2x dy dz = ± 6 [dx2 + dy 2 + dz 2 − 4 dx dy + 2 dx dz + 2 dy dz]

28

Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

является неопределенной квадратичной формой, т.е. принимает положительные и отрицательные значения (ср. dx = = 1,dy = dz = 0 и dx = dy = 1,dz = 0). _

Построим d2 F , связав в d2 F дифференциалы dx,dy,dz требованием (3): ) x dx + y dy + z dz = 0 . (6) dx + dy + dz = 0 В каждой из рассматриваемых двух точек x = y так, что _

_

_

_

_

решение системы (6) (dx , dy , dz) имеет вид (dx ,− dx ,0).  2 √ _ 6 2 Поэтому d F = ± 6 4 dx является положительно [отрицательно] определенной квадратичной формой одного переменного. √ √ √  6 6 6 С помощью теоремы 6.3 заключаем, что , 6 ,− 3 6 является условного минимума, а  √ √точкой √  строгого 6 6 6 − 6 ,− 6 , 3 — точкой строгого условного максимума. Значение функции f в этих точках равны соответственно √ 6

∓ 18 .