Молекулярная физика. Часть 4: Практикум

В О РО НЕ Ж СК И Й ГО С У Д А РСВ Е ННЫ Й У НИ В Е РС И ТЕ Т

М О Л ЕК У Л Я РН А Я Ф И ЗИ К А Ч ас ть 4

П рактикум по с пециально с тям: ф и зи ка

010701

(010400)

полупр оводни ковы е пр и б ор ы 010803

(014100)

р ади оф и зи каи э ле кт р они ка 010801

(013800)

м и кр оэ л е кт р они каи

В О РО НЕ Ж 2005

2 У тверждено научно -мето дичес ким с о вето м физичес ко г о факультета 26 мая 2005 г . про то ко л№ 5

Со с тавители: Ларио но вА .Н., К укуевВ .И ., Бутус о вЮ . М ., Ларио но ва Н.Н.

П рактикум по дг о то влен на кафедре о бщ ей физики физичес ко г о факультета В о ро нежс ко г о г о с ударс твенно г о универс итета. Реко мендуетс я для с туденто в физичес ко г о факультета с пециально с тей : 010801 (радио физика и электро ника), 010803 (микро электро ника и по лупро во днико вы е прибо ры ), 010701 (физика) 1 курс а дневно й фо рмы о бучения, с пециально с ти 010801 (радио физика и электро ника) 2 курс а вечерней фо рмы о бучения.

3 РА БО ТА 32. О П РЕ Д Е ЛЕ НИ Е К О Э Ф Ф И Ц И Е НТА О БЪ Е М НО ГО РА С Ш И РЕ НИ Я Ж И Д К О СТ И М Е ТО Д О М Д Ю ЛО НГА И П ТИ

Ц ель рабо ты : о знако мление с мето до м и измерение ко эффициента о бъ емно г о рас ширения жидко с ти. I. Т Е О РИ Я М Е ТО Д А П ри наг ревании о бъ ем жидко с ти увеличиваетс я. К о личес твенно тепло во е рас ширение жидко с ти характеризуетс я ко эффициенто м о бъ емно г о рас ширения β, ко то ры й о пределяетс я с ледую щ им о бразо м. П ус ть о бъ ем V при изменении температуры на Δ Т г радус о в изменяетс я на Δ V, то г да ко эффициент о бъ емно г о рас ширения

β=

1 ∆V V ∆T ,

т.е. β равен о тно с ительно му изменению о бъ ема

∆V V

(1) при изменении темпера-

туры на о дин г радус . И зэто г о о пределения β, в час тно с ти, с ледует, что ес ли при 0°С о бъ ем бы л равен V0, а при температуры Т°С с талравен V, то

V=V0 (1 + βT)

(2)

Э кс периментально е о пределение β непо с редс твенно по фо рмуле (2) о казы ваетс я затруднительны м, т. к. при наг ревании рас ширяетс я не то лько с ама жидко с ть, но и с о с уд, в ко то ро м о на нахо дитс я. П о это му прихо дитс я вво дить по правку к результату измерений , что ус ло жняет экс перимент. Ч то бы о бо й ти это затруднение, во с по льзуемс я мето до м, предло женны м Д ю ло нг о м и П ти. М ето д Д ю ло нг а и П ти о с но ван на зако не равно вес ия жидко с тей в с о о бщ аю щ ихс я с о с удах: вы с о ты с то лбо в жидко с тей о братно про по рцио нальны их пло тно с тям:

H2 ρ1 = H1 ρ2 ,

(3) П ри наг ревании о бъ ем данно г о ко личес тва жидко с ти увеличиваетс я, по это му пло тно с ть с тано витс я меньше. Е с ли мы наг реем о дин изс о о бщ аю щ ихс я с о с удо в до температуры Т 2, о с тавляя друг о й при температуре Т 1 (Т 1 < Т 2), то пло тно с ть жидко с ти в наг рето м с о с уде уменьшитс я. Е с ли мас с а жидко с ти в каждо м с о с удеравна m, то пло тно с ти ρ 1 и ρ 2 с о о тветс твенно равны :

4

ρ1 =

m V0 (1 + β T1 ) ,

ρ2 =

m V0 (1 + β T2 ) .

Д еля перво еравенс тво на вто ро е, по лучим

ρ1 1 + β T2 = ρ2 1 + β T1 .

П о дс тавляя это вы ражениевфо рмулу (3), нахо дим

H 2 1 + β T2 = H 1 1 + β T1

,

г де

(1 + βT1)-1 ≈ 1 – βT1. То г да пренебрег ая члено м с о держащ им β2, по лучим

H2 = 1 + β (T2 − T1 ) H1 . О тс ю да для ко эффициента о бъ емно г о рас ширения о ко нчательно имеем фо рмулу:

β=

H2 − H1 H1 (T2 − T1 ) ,

(4)

II. О П И СА НИ Е У СТА НО В К И П рибо ры и принадлежно с ти: ус тано вка, закры ты й с о с уд для по лучения пара (паро о бразо ватель), два термо метра с о шкало й до 100 °С, электро плитка, линей ка, резино вы етрубки. Ус тано вка для о пределения ко эффициента о бъ емно г о рас ширения предс тавлена на рис унке. Со о бщ аю щ иес я с о с уды , напо лненны е ис с ледуемы м вещ ес тво м, о кружены металличес кими цилиндрами 1 к 2. В верху и внизу каждо г о цилиндра имеетс я по два о тро с тка (А и В – на лево м цилиндре, С и Д на право м). Д ля измерения температуры ис с ледуемо й жидко с ти вцилиндры вс тавлены термо метры Т.

5 III. П О РЯ Д О К В Ы П О ЛНЕ НИ Я РА БО Т Ы И ЗМ Е РЕ НИ Е К О Э Ф Ф И Ц И Е НТА О БЪ Е М НО ГО СЛЕ Д У Е М О Й Ж И Д К О С ТИ (К Е РО С И НА )

РА СШ И РЕ НИ Я

И С-

1. П ро пус тить черезправы й цилиндр ус тано вки пар, черезлевы й цилиндр - хо ло дную во ду. Д ля это г о с о единить о тро с то к "С" с паро о бразо вателем. О тро с тки "А " и "Д " с о единить резино вы ми трубками с о с ливо м. О тро с то к "В " с во до про во дны м крано м. Следить за рабо то й ус тано вки. 2. П о с ле ус тано вления тепло во г о равно вес ия измерить температуры Т 1 и Т 2 и вы с о ты H1 и H2 жидко с тей в с о о бщ аю щ ихс я с о с удах. Результаты запис ать в таблицу. 3. П о фо рмуле (4) вы чис лить ко эффициент о бъ емно г о рас ширения β1 ис с ледуемо й жидко с ти. 4. П о вто рить о пы т в то й же по с ледо вательно с ти вы по лнения пункто в задания, то лько пар про пус кать черезлевы й цилиндр ус тано вки. П о измеренны м данны м величинам вы чис лить ко эффициент о бъ емно г о рас ширения жидко с ти β2. 5. В ы вес ти фо рмулу по г решно с ти ко эффициента о бъ емно г о рас ширения и вы чис лить по г решно с ти Δ β1 и Δ β2 для 1-г о и 2-г о о пы то в. Так как измерения про изво дилис ь о дно кратно , по г решно с ти прямы х измерений с ледует принять равны ми инс трументальны м по г решно с тям с о о тветс твую щ их прибо ро в. 6. Най ти с реднее арифметичес ко е издвух по лученны х значений β и рас с читать ег о по г решно с ть. Запис ать о ко нчательны й результат. IV. ЛИ Т Е РА Т У РА 1. К ико ин А .К . М о лекулярная Ф изика /А .К . К ико ин, И .К .К ико ин. – М . : Наука, 2002. - С. 310-316. 2. Телес нин Р.В . М о лекулярная физика /Р.В . Т Е ЛЕ СНИ Н. – М . : Наука, 1973. – С. 229-230. V. К О НТ РО ЛЬНЫ Е В О П РО СЫ 1. К о эффициент о бъ емно г о рас ширения, ег о физичес кий с мы с л, размерно с ть, завис имо с ть о т параметро вс о с то яния жидко с ти. 2. В ы вес ти зако н с о о бщ аю щ ихс я с о с удо в для жидко с тей с разны ми пло тно с тями. 3. М ето д Д ю ло нг а и П ти для о пределения ко эффициента о бъ емно г о рас ширения. В ы во д рабо чей фо рмулы , о с о бенно с ти мето да.

6 РА БО ТА 33. Э К С П Е РИ М Е НТА ЛЬНА Я П РО В Е РК А У РА В НЕ НИ Я БЕ РНУЛЛИ

Ц ель рабо ты : экс периментальная про верка с о о тно шений г идро динамики; ис с ледо ваниепо терь напо ра при движении жидко с ти I. Т Е О РИ Я М Е ТО Д А 1.1. О с но вны епо нятия г идро динамики К о с но вны м задачам г идро динамики о тно с ятс я ус тано вление характера рас пределения с ко ро с тей и давления внутри по то ка, а также ис с ледо вание взаимо дей с твия жидко с тей и с о прикас аю щ ихс я с ними тверды ми телами. Различаю т ус тано вившеес я и неус тано вившеес я движение жидко с ти. Д вижение назы ваетс я ус т анови вши м с я, ес ли вс е характерис тики движения в о дно й и то й же то чке про с транс тва (давление и с ко ро с ть) не изменяю тс я с о временем. П ри неус тано вившемс я движении с ко ро с ть и давлениеизменяю тс я с о временем. Д вижениежидко с ти как с пло шно й лег ко дефо рмируемо й с реды предс тавляет с о бо й с ло жны й физичес кий про цес с , то чно е математичес ко ео пис ание ко то ро г о с вязано с бо льшими математичес кими трудно с тями. П о это му для упро щ ения решения задачи о пис ания движения жидко с ти ис по льзую т мо дели, заменяю щ ие реальны й по то к с о во купно с тью элементарны х с труек, впло тную прилег аю щ их другк друг у и о бразую щ их с пло шную мас с у движущ ей с я жидко с ти. Рас с мо трим о блас ть про с транс тва, запо лненно г о жидко с тью . В неко то ро й про изво льно й то чке 1 про с транс тва по с тро им векто р υ1 с ко ро с ти час тицы 1 жидко с ти в данны й мо мент времени (рис .1). Линия 1, 2, 3,… (рис .1), в каждо й то чке ко то ро й кас ательная к ней с о впадает по направлению с о с ко ро с тью час тицы в данны й мо мент времени, назы ваетс я л и ни е й т ока. Со во купно с ть линий то ка по зво ляет наг лядно предс тавить в данны й мо мент времени по то к жидко с ти, давая как бы мо ментальны й фо то г рафичес кий с нимо к течения. П ри ус тано вившемс я, с тацио нарно м течении, линии то ка с о впадаю т с траекто риями час тиц. В с лучае неус тано вившег о с я движения линии то ка и траекто рии час тиц не с о впадаю т друг с друг о м. Д ве различны е линии то ка не перес екаю тс я между с о бо й . С о во купно с ть линий то ка, про хо дящ их черезто чки бес -

7 ко нечно мало г о ко нтура внутри движущ ей с я жидко с ти, назы ваетс я т р уб кой т ока. Ж идко с ть, движущ аяс я внутри трубки то ка, назы ваетс я э ле м е нт ар ной с т р уйкой. П ри ус тано вившемс я движении элементарная с труй ка о бладает с ледую щ ими с во й с твами: а) по с ко льку линии то ка, изко то ры х с о с то ит элементарная с труй ка, с течением времени не меняет с во ей фо рмы , то и фо рма вс ей с труй ки неизменна во времени; б) по с ко льку линии то ка в данно м с лучае с о впадаю т с траекто риями движения час тиц, перетеканиежидко с ти черезбо ко вую по верхно с ть трубки то ка нево змо жно , то ес ть трубка то ка с хо дна с тверды ми с тенками, внутри ко то ро й про ис хо дит течение жидко с ти. Е с ли пло тно с ть жидко с ти по с то янна, то трубка то ка с ужаетс я или рас ширяетс я в завис имо с ти о т то г о , увеличиваетс я или уменьшаетс я с ко ро с ть движения жидко с ти. П ри неус тано вившемс я движении жидко с ти линии то ка изменяю тс я с о временем, по это му трубка то ка такжеменяет с во ю фо рму. 1.2. У равнениенеразры вно с ти Д вижение жидко с ти мо жет бы ть равно мерны м и неравно мерны м. П ри равно мерно м движении жидко с ти величина с ко ро с ти не изменяетс я вдо ль с труй ки. О бо значим с ко ро с ть жидко с ти в про изво льно м с ечении э л е м е нт ар ной с труй ки с имво ло м υ. За время dt час тицы жидко с ти перемес тятс я на рас с то яние dℓ, то ес ть dℓ= υ·dt. Следую щ ие за ними час тицы жидко с ти запо лнят вс е о с во бо ждаемо е про с транс тво , по это му за время dt черезпо перечно е с ечение про й дет о бъ ем жидко с ти dV=dℓ·dω=υ·dω·dt. О бъ ем жидко с ти, про текаю щ ий через по перечно е с ечение за единицу времени, назы ваетс я об ъе м ны м р ас ходом ж и дкос т и :

dQ=dV/dt=υ·dω.

(1)

Рас с мо трим тако е движение, при ко то ро м в жидко с ти не во зникает пус то т. В это м с лучае для двух с ечений элементарно й с труй ки 1 и 2 мо жно запис ать:

dQ1=υ1·dω1 ; dQ2=υ2·dω2 ;

В с лучаес пло шно й с реды до лжно вы по лнятьс я равенс тво :

dQ1= dQ2 .

П о вто ряя по до бны е рас с уждения применительно к друг им с ечениям, мо жно запис ать: или

dQ1=dQ2=dQ3=…=dQn=dQ dQ=υ·dω=const.

(2)

Т аким о бразо м, о бъ емны й рас хо д жидко с ти о с таетс я неизменны м на вс ем про тяжении элементарно й с труй ки. Рас хо д по то ка жидко с ти равен алг ебраичес ко й с умме рас хо до в элементарны х с труек, с о с тавляю щ их данны й по то к.

8 Ско ро с ть жидко с ти в различны х то чках по перечно г о с ечения по то ка, назы ваемая мес тно й с ко ро с тью , мо жет бы ть нео динако во й , по это му для характерис тики движения вс ег о по то ка вво дитс я по нятие с редней с ко ро с ти по вс ему с ечению по то ка:

υcp =

∫ υ dω

ω

ω

=

Q ω

(3)

Т аким о бразо м, ус ло вие неразры вно с ти по то ка для нес жимаемо й жидко с ти мо жно запис ать ввиде:

Q=υ·ω=const. П о лученно е вы ражение назы ваетс я ур авне ни е м не р азр ы внос т и по то ка нес жимаемо й жидко с ти при ус тано вившемс я движении. В г идравличес ких рас четах для характерис тики размеро в и фо рмы по перечно г о с ечения по то ка вво дитс я по нятие живо г о с ечения и ег о элементо в: с мо ченно г о периметра и г идравличес ко г о радиус а. Ж и вы м с е че ни е м (ω) назы ваетс я час ть по перечно г о с ечения рус ла, запо лненно г о жидко с тью . См оче нны м пе р и м е т р ом (χ) назы ваетс я час ть периметра живо г о с ечения, по ко то ро й жидко с ть с о прикас аетс я с о с тенками рус ла. Ги др авли че с ки м р ади ус ом (R) назы ваетс я о тно шение живо г о с ечения к с мо ченно му периметру:

R=ω/χ Д ля круг лы х труб г идравличес кий радиус равен:

ω πd2 d R= = = χ 4π d 4 1.3. Режимы движения жидко с ти В 1880 г о ду Д .И .М енделеев впервы е о бнаружил два режима движения жидко с ти. Э кс периментальны е ис с ледо вания режимо в движения жидко с ти вы по лнены О . Рей но льдс о м в 1883 г о ду. В ус тано вкеРей но льдс а к напо рно му баку А прис о единена с теклянная трубка С, вентиль В1 на ко нцеко то ро й по зво ляет рег улиро вать рас хо д, а с ледо вательно , с ко ро с ть движения жидко с ти в трубкеС (рис .2.а). Рас хо д жидко с ти в трубке С измеряетс я с по мо щ ью мерно г о резервуара D. Над бако м А рас по лаг аетс я бачо к G с рас тво ро м крас ки с то й жепло тно с тью , что и у жидко с ти в баке А. О т бачка G о тхо дит трубка Е, изо г нутая внизу так, что ее зао с тренны й ко нец вдвинут во вхо дно й учас то к трубки С. Рас хо д о крашенно г о рас тво ра рег улируетс я вентилем В2 .

9

П ри малы х с ко ро с тях движения жидко с ти втрубкеС о крашенная с труй ка не размы ваетс я и имеет вид натянуто й нити (рис .2.б). П о то к в это м с лучае назы ваетс я ламинарны м. Д вижениежидко с ти при малы х с ко ро с тях, ко г да о тдельны ес труй ки жидко с ти движутс я параллельно о с и по то ка, назы ваетс я лам и нар ны м . Т ермин «ламинарны й » про ис хо дит о т г речес ко г о ℓamina – полос ка. Ламинарно е течение мо жно рас с матривать как движение о тдельны х с ло ев, про ис хо дящ ее безперемешивания час тиц. П ри увеличении с ко ро с ти движения жидко с ти о крашенны е с труй ки с начала прио бретаю т во лнис ты ео чертания (рис .2.в), а затем ис чезаю т, размы ваяс ь по вс ему с ечению трубки и о крашивая вс ю жидко с ть (рис .2.г ). П ри это м движениес тано витс я неупо рядо ченны м, о тдельны ечас тицы о крашенно й жидко с ти движутс я во вс ес то ро ны , с талкиваю тс я другс друг о м, ударяю тс я о с тенки. Т ако е движение назы ваетс я т ур б уле нт ны м . Т ермин «турбулентны й » про ис хо дит о т латинс ко г о turbuℓentus – б е с пор ядочны й. О с но вная о с о бенно с ть турбулентно г о движения заклю чаетс я в наличии по перечны х к направлению по то ка с о с тавляю щ их с ко ро с ти. О пы ты Рей но льдс а по казали, что перехо д о т ламинарно г о режима движения к турбулентно му про ис хо дит при о пределенно й с ко ро с ти, назы ваемо й критичес ко й , ко то рая завис ит о т диаметра по то ка (уменьшаетс я с увеличением диаметра) и во зрас тает с увеличением вязко с ти жидко с ти. Режим движения жидко с ти о пределяетс я критерием Рей но льдс а, с вязы ваю щ им перечис ленны е параметры :

Re =

υd ν

10 Границы с ущ ес тво вания то г о или ино г о режима движения жидко с ти о пределяю тс я двумя значениями критерия Рей но льдс а: верхним (Reкр .в ) и нижним (Reкр .н ). П ри Re< Reкр .н во змо жен то лько ламинарны й режим, а при Re> Reкр .в – во змо жен то лько турбулентны й режим. Е с ли Reкр .н 2300 – турбулентны м. Значение Reкр =2300 по лучено для круг лы х с ечений . П ри о пределении критичес ко г о значения чис ла Рей но льдс а по то ко вс с ечением про изво льно й фо рмы ис хо дят изто г о , что при круг о во м с ечении г идравличес кий радиус R с вязан с г ео метричес ким диаметро м d с о о тно шением: R=d/4. Т о г да Re=υcp·d/ν=4Rυcp /ν, с ледо вательно Re/4=υcp·R/ν, то ес ть Reкр /4=2300/4=575. Таким о бразо м, ес ли υс р ·R/ν<575 , то режим движения являетс я ламинарны м, а при υс р ·R/ν>575 – турбулентны м. 1.4. У равнениеБернулли И нтег риро вание дифференциальны х уравнений движения идеально й жидко с ти, ус танавливаю щ их с вязь между про екциями о бъ емны х, мас с о вы х с ил и с ко ро с тей , давлением и пло тно с тью жидко с ти, вы по лненно е в предпо ло жении, что движение жидко с ти в элементарно й с труй ке являетс я ус тано вившимс я, жидко с ть нес жимаема и о дно ро дна, по зво ляет по лучить с о о тно шение:

g·dz+dp/ρ+d(υ2/2)=0, или

dz+dp/ρ·g+d(υ2/2g)=0. Здес ь учтено , что из внешних о бъ емны х с ил дей с твует то лько с ила тяжес ти, направленная вдо ль о с и z (впро тиво по ло жно м направлении). Т ак как для нес жимаемо й жидко с ти ρ=const по с леднееуравнениемо жно прео бразо вать к виду:

d(Z+P/ρ·g+υ2/2g)=0. Э то уравнение о значает, что приращ ение с уммы трех с лаг аемы х, заклю ченны х в с ко бки, при перемещ ении час тицы вдо ль линии то ка равно нулю . Следо вательно , указанны й трехчлен ес ть величина по с то янная вдо ль линии то ка (и вдо ль элементарно й с труй ки), то ес ть

Z+P/ρ·g+υ2/2g=const.

(4)

Д анно е вы ражениеназы ваетс я уравнением Бернулли для ус тано вившег ос я движения элементарно й с труй ки идеально й жидко с ти. В с е с лаг аемы е уравнения Бернулли имею т линей ную размерно с ть, по это му их назы ваю т вы с от ам и или напор ам и :

11

Z - ге ом е т р и че с ки й напор ; P/ρ·g - пье зом е т р и че с ки й напор ; υ2/2g - с кор ос т ной напор (рис .3). Т рехчлен вида Z+P/ρ·g+ +υ /2g=Н назы ваетс я ги др оди нам и че с ки м напор ом . Гео метричес кий с мы с л уравнения Бернулли заклю чаетс я в то м, что при ус тано вившемс я движении идеально й жидко с ти с умма трех вы с о т (напо ро в) не изменяетс я вдо ль элементарно й с труй ки. Д ля анализа энерг етичес ко г о с мы с ла уравнения Бернулли ег о с ледует запис ать ввиде: 2

Z·g+P/ρ+υ2/2=const.

(5)

Здес ь Z·g – уде л ьная э не р ги я полож е ни я (по с ко льку час тица жидко с ти мас с о й dm, нахо дящ аяс я на вы с о те Z, о бладает по тенциально й энерг ией dm·g·Z, а на единицу мас с ы прихо дитс я энергия dm·g·Z/dm=g·Z); P/ρ – уде л ьная э не р ги я давл е ни я движущ ей с я жидко с ти (так как час тица жидко с ти мас с о й dm при давлении Р мо жет по днятьс я на вы с о ту P/ρ·g и прио брес ти энерг ию по ло жения, равную dm·g·P/ρ·g, а на единицу мас с ы прихо дитс я энер2 2 г ия P/ρ); υ /2 – уде л ьная ки не т и че с кая э не р ги я. В еличина Z·g+P/ρ+υ /2=H·g назы ваетс я полной уде л ьной м е хани че с кой э не р ги е й ж и дкос т и . Э нерг етичес кий с мы с л уравнения Бернулли для элементарно й с труй ки идеально й жидко с ти заклю чаетс я в по с то янс твеудельно й энерг ии вдо ль с труй ки. Следо вательно , уравнение Бернулли вы ражает зако н с о хранения механичес ко й энерг ии идеально й жидко с ти. П ри движении реально й жидко с ти между с о с едними с труй ками во зникаю т с илы трения, на прео до ление ко то ры х затрачиваетс я час ть энерг ии жидко с ти. П о это му для о пис ания движения реально й жидко с ти вуравнениеБернулли нео бхо димо ввес ти по правку на по тери напо ра при перехо део т о дно г о с ечения с труй ки (1) к друг о му (2), рас по ло женно му нижепо течению . О бо значая по тери напо ра с имво ло м h1-2 , уравнениеБернулли мо жно запис ать ввиде: или

Z1 +P1 /ρ·g+υ12/2g = Z2 +P2 /ρ·g+υ22/2g + h1-2 , Е 1 = Е 2 + h1-2 .

(6)

12 Линия b-b, про веденная через ко нцы о трезко в, по лученны х с уммиро ва2 нием трех с лаг аемы х Z+P/ρ·g+υ /2g (рис .4), назы ваетс я ли ни е й полного напор а, причем о на по нижаетс я внаправлении течения тем с ильнее, чем бо льшепо тери напо ра. Линия пьезо метричес ко г о напо ра мо жет как с нижатьс я, так и по вы шатьс я в завис имо с ти о т характера изменения с ко ро с ти вдо ль с труй ки. О тно шение по терь напо ра h1-2 по длине Δ ℓ к с амо й длине назы ваетс я с р е дни м ги др авли че с ки м укл оном :

i= h1-2 /Δ ℓ.

В еличина

iс р .пье з.=[(Z1 +P1 /ρ·g) – (Z2 +P2 /ρ·g)]/(ℓ2 - ℓ1) назы ваетс я с р е дни м пье зом е т р и че с ки м укл оном , ко то ры й мо жет бы ть по ло жительны м, равны м нулю и о трицательны м. В о бщ ем с лучае при ус тано вившемс я движении по то к жидко с ти мо жно предс тавить в виде с о во купно с ти элементарны х с труек, имею щ их различны е значения уг ло в рас хо ждения θ и различны ерадиус ы кривизны r. Ч ас тны й с лучай движения по то ка, при ко то ро м о н ис пы ты вает с лабую дефо рмацию , так что элементарны е с труй ки о с таю тс я параллельны ми другдруг у (θ→ 0), а радиус ы их кривизны мо жно с читать бес ко нечно бо льшими (r→ ∞ ), назы ваетс я плавно изменяю щ имс я. Ж ивы е с ечения по то ка при плавно изменяю щ емс я движении являю тс я практичес ки пло с кими. В екто ры с ко ро с ти движения час тиц в таких с ечениях являю тс я ко ллинеарны ми и направлены перпендикулярно пло с ко с ти живо г о с ечения. П ри плавно изменяю щ емс я движении рас пределениедавления по живо му с ечению удо влетво ряет о с но вно му уравнению г идро с татики. В ы ведем уравнение Бернулли для по то ка реально й жидко с ти в с лучае плавно изменяю щ ег о с я движения. Э нерг ия, перено с имая элементарно й с труй ко й реально й жидко с ти через живо ес ечение1 – 1 за время dt, мо жет бы ть вы ражена с ледую щ им уравнением:

dE1 =ρ·g·dQ·(Z1 +P1 /ρ·g+υ12/2g). Э нерг ия, перено с имая вс еми элементарны ми с труй ками вживо м с ечении, равна:

13

E1 = ∫ ρ ⋅ g ⋅ dQ ⋅ ( Z1 + P1 ρ ⋅ g + υ12 2 g ) = ω

= ρ ⋅ g ∫ ( Z1 +

P1

ω

ρ⋅g

) ⋅ dQ + ( ρ ⋅ g

2g

) ∫ υ12 ⋅ dQ . ω

Здес ь перво е с лаг аемо е, вы ражаю щ ее по тенциальную энерг ию по то ка, с учето м замечания о плавно м изменении по то ка прео бразуетс я к виду:

ρ ⋅ g ∫ ( Z1 + ω

P1

ρ⋅g

) ⋅ dQ = ρ ⋅ g ⋅ ( Z1 +

= ρ ⋅ g ⋅ (Z +

P

ρ⋅g

P1

ρ⋅g

) ⋅ ∫ dQ = ω

) ⋅ Q.

М ес тная с ко ро с ть (с ко ро с ть в данно й то чкеживо г о с ечения) υ с вязана с о с редней с ко ро с тью u в данно м живо м с ечении с о о тно шением υ=u+ε. Т о г да вто ро е с лаг аемо е, характеризую щ ее кинетичес кую энерг ию , мо жно прео бразо вать к виду:

ρ⋅g ρ⋅g 3 ρ⋅g 2 3 dQ d u υ ⋅ = υ ⋅ ω = ( + ε ) ⋅ dω = ∫ ∫ ∫ 2⋅ g ω 2⋅ g ω 2⋅ g ω 2 ε ∫ ⋅ dω

ρ ⋅ g ⋅ u3 ⋅ω (1 + 3 ⋅ ω 2 ). = 2⋅ g u ⋅ω Здес ь учтено , что 3 ⋅

∫

ω

u 2 ⋅ ε ⋅ d ω = 0 , по с ко льку малая величина ε3 для

разны х то чек живо г о с ечения имеет различны й знак. В во дя о бо значение: 2 ε ∫ ⋅ dω

(1 + 3 ⋅ ω

u ⋅ω 2

) = α,

В ы ражениекинетичес ко й энерг ии по то ка мо жно прео бразо вать к виду:

14 2 ρ⋅g ρ⋅g 3 3 2 α ⋅u ⋅ ∫ υ ⋅ dω = ⋅ u ⋅ dω = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ 2⋅ g ω 2⋅ g 2⋅ g

То г да энерг ию вс ег о по то ка мо жно вы разить уравнением:

P α ⋅ u2 E = ρ ⋅ g ⋅ (Z + )⋅Q + ρ ⋅ g ⋅ ⋅ Q. ρ⋅g 2⋅ g У дельная энерг ия по то ка равна:

E óä.

E P α ⋅ u2 = =Z+ + . ρ ⋅ g ⋅Q ρ ⋅ g 2⋅ g

Т аким о бразо м, уравнениеБернулли для по то ка реально й жидко с ти о тличаетс я о т уравнения для элементарно й с труй ки тем, что с ко ро с тно й напо р по то ка, о пределяемы й с редней с ко ро с тью , с о держит мно житель α , назы ваемы й коэ ф ф и ц и е нт ом К ор и оли с а. Значение это г о ко эффициента завис ит о т то г о , нас ко лько равно мерно рас пределена с ко ро с ть вживо м с ечении по то ка. Э то т ко эффициент бо льшеединицы (за ис клю чением с лучая, ко г да мес тны ес ко ро с ти вданно м с ечении равны между с о бо й , в это м с лучае α ≈ 1) и при о бы чно м рас пределении с ко ро с тей приблизительно равен 1,1. Т аким о бразо м, для по то ка реально й жидко с ти уравнение Бернулли с ледует запис ы вать вс ледую щ ем виде:

P1 α1 ⋅ u12 P2 α 2 ⋅ u22 Z1 + + = Z2 + + + h1− 2 . ρ ⋅ g 2⋅ g ρ⋅g 2⋅ g

(7)

1.5. В незапно ерас ширениепо то ка В с лучаевнезапно г о рас ширения по то ка нео бхо димо учиты вать до по лнительны епо тери напо ра, о пределяемы ефо рмуло й : 2

u ∆h = ς ⋅ , 2⋅ g

15 г де ζ – ко эффициент, характеризую щ ий до по лнительны е по тери напо ра при внезапно м рас ширении по то ка. Рас с мо трим по то к, ко то ры й внезапно рас ширяетс я о т диаметра d1 до диаметра d2 (рис .5). Э кс периментально ус тано влено , что по то к, вы хо дящ ий из узко й трубки, не с разу запо лняет вс е по перечно е с ечение широ ко й трубки. В мес те рас ширения жидко с ть о тры ваетс я о т с тено к и далее движетс я в виде с во бо дно й с труи, о тделенно й о т о с тально й жидко с ти по верхно с тью раздела. Э та по верхно с ть неус то й чива, за ней во зникаю т вихри, в результатечег о с труя перемешиваетс я с о кружаю щ ей жидко с тью . Струя по с тепенно рас ширяетс я, по ка на неко то ро м рас с то янии L о т начала рас ширения не запо лнит вс е с ечение широ ко й трубы . В ко льцево м про с транс твемежду с труей и с тенками трубки жидко с ть нахо дитс я в вихрево м движении. Благ о даря о тры ву по то ка и с вязанно му с ним вихрео бразо ванию на учас ткетрубки между с ечениями 1 – 1 и 2 – 2 во зникаю т значительны е по тери напо ра. Д ля о пределения по терь напо ра, о бус ло вленны х внезапны м рас ширением по то ка, о бо значим с редние с ко ро с ти по то ка и давления вс ечениях 1 – 1 и 2 – 2 с о о тветс твенно с имво лами: u1, u2, p1, p2 . Со г лас но уравнению Бернулли, по тери напо ра между с ечениями 1–1 и 2– -2 (впредпо ло жении, что α 1=α 2=1) равны :

∆h1− 2.âí. ð à ñø .

p1 u12 p2 u22 = + − − = ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g

p1 − p2 u12 − u22 . = + ρ⋅g 2⋅ g

(8)

К о личес тво движения в о бъ еме А (рис .5) между с ечениями 1–1 и 2–2 не изменяетс я. П о это му для этих двух с ечений мо жно запис ать:

(p1 – p2)·ω2 = Q·ρ·(u2 – u1 ),

16 при это м учиты вая, что длина L учас тка рас текания по то ка незначительна, трением вданно м уравнении мо жно пренебречь. Разделив о бе час ти по с леднег о уравнения на удельны й вес (ρ·g), по лучим:

ω2 ⋅

p1 − p2 u2 ⋅ ω2 = ⋅ (u2 − u1 ). ρ⋅g g

О ко нчательно :

p1 − p2 u22 u1 ⋅ u2 = − . ρ⋅g g g П о дс тано вка данно г о вы ражения вфо рмулу для рас чета Δ h1-2.вн.р ас ш. дает:

u22 u1 ⋅ u2 u12 u22 ∆h1− 2.âí. ð à ñø . = − + − = g 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g u12 u1 ⋅ u2 u22 1 = − 2⋅ + = ⋅ (u1 − u2 ) 2 . 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g Т аким о бразо м,

(u1 − u2 )2 ∆h1−2.âí. ð à ñø . = 2⋅ g

(9)

Следо вательно , по тери напо ра при внезапно м рас ширении по то ка равны с ко ро с тно му напо ру, с о о тветс твую щ ему по терянно й с ко ро с ти. П о с леднее вы ражение назы ваю т ф ор м улой Б ор да. Д анную фо рмулу мо жно прео бразо вать к с ледую щ ему виду:

∆h1−2.âí. ð à ñø .

u2 2 u12 u12 = (1 − ) ⋅ =ς ⋅ . u1 2⋅ g 2⋅ g

(10)

Т аким о бразо м, врас с матриваемо м с лучае

ς = (1 −

u2 2 ω ) = (1 − 1 ) 2 . u1 ω2

( 11 )

17 2

Е с ли вы нес ти за с ко бки u2 , вы ражение для по терь напо ра прео бразуетс я к виду:

∆h1− 2.âí. ð à ñø .

2 2 2 u1 u ω u u = ( − 1) 2 ⋅ 2 = ( 2 − 1) ⋅ 2 = ς '⋅ 2 . u2 2⋅ g 2⋅ g 2⋅ g ω1

Ф о рмула Бо рда хо ро шо с о г лас уетс я с экс периментальны ми результатами, ес ли с ечение 2-2 рас по ло жено до с тато чно далеко о т мес та рас ширения по то ка, то ес ть там, г де рас пределение с ко ро с тей по живо му с ечению с тано витс я ус то й чивы м. П ри вы хо де жидко с ти из трубки в резервуар бо льших размеро в (в реку или в канал) в фо рмуле Бо рда u2→ 0 и мес тны е по тери напо ра о пределяю тс я вы ражением:

u12 , ∆h1− 2.âí. ð à ñø . = 2⋅ g Т о ес ть ко эффициент мес тно г о с о про тивления равен единице(ζ=1). 1.6. П рименениеуравнения Бернулли Рас с мо трим примеры применения уравнения Бернулли для о бъ яс нения физичес ких явлений . На рис .6 приведена труба переменно г о с ечения, через ко то рую про пус каю т во здух. Д авление во здуха в с ечениях трубы о пределяю т, с равнивая уро вни во ды в с теклянны х мано метричес ких трубках. В трубках, с о единенны х с узкими час тями трубы , во да по днимаетс я вы ше, а в трубках, с о единенны х с широ кими час тями, – ниже (рис .6). Следо вательно , в узких час тях трубы давление во здуха ниже, чем вширо ких, вс о о тветс твии с уравнением Бернулли. Рас с мо тренная ко нс трукция ис по льзуетс я для о пределения рас хо да во ды Q, то ес ть мас с ы во ды , про текаю щ ей черезс ечение трубы в единицу времени. В трубу вс тавляю т ко ро ткий учас то к трубы (т р уб ку Ве нт ур и ) с меньшим по пе-

18 речны м с ечением. О бо значим с имво лами S1 и S2 пло щ ади по перечно г о с ечения с о о тветс твенно широ ко г о и узко г о учас тко в трубы , а с имво лами P1 и P2 – давления во ды на этих учас тках, измеряемы ес по мо щ ью мано метро в. Т о г да с о г лас но уравнению Бернулли:

u12 p1 u22 p2 + = + . 2 ρ 2 ρ В ы ражая изуравнения неразры вно с ти m=ρ·u1·S1=ρ·u2·S2 с ко ро с ти u1 и u2 , мо жно по лучить уравнениедля о пределения рас хо да:

Q = S1 ⋅ S2 ⋅

2 ⋅ ρ ⋅ ( p1 − p2 ) . 2 2 S1 − S2

Рас с мо трим с ис тему, с о с то ящ ую изрезино во й трубки, надето й на с уживаю щ ий с я с теклянны й нако нечник (рис .7, вид с верху). Д авление во здуха вузко й час ти нако нечника и в вы хо дящ ей изнег о с труе меньше атмо с ферно г о . Е с ли по днес ти с трую с бо ку к лег ко му целлуло идно му шарику, по двешенно му на нити, то шарик втяг иваетс я в с трую , а затем увлекаетс я с труей . Е с ли с трую направить вертикально вверх, то втянувший с я в неешарик мо жно удерживать в равно вес ии на о пределенно й вы с о те. О н ведет с ебя по до бно шарику, по мещ енно му в яму. П ривязы вать шарик к нити вэто м с лучаенетребуетс я. Е с ли по днес ти с трую во здуха к верхнему ко нцу с теклянно й трубки, нижний ко нецко то ро й по г ружен в во ду, а верхний о канчиваетс я узким нако нечнико м (рис .8.а), то во да будет по дниматьс я в с теклянно й трубке, разбры зг иватьс я и увлекатьс я с труей во здуха. На это м принципео с но вано ус тро й с тво пул ьве р и зат ор а. Е с ли трубка, по ко то ро й про дуваетс я во здух, не с набжена узким нако нечнико м, а имеет по с то янно е по перечно е с ечение, то по днятия во ды и разбры зг ивания не про ис хо дит (рис .8.б). Е с ли, о днако , такую трубку по днес ти впло тную к нако нечнику трубки, по г руженно й вво ду, так, что бы между ними о бразо валс я узкий зазо р (рис .8.в), то во да по днимаетс я и разбры зг иваетс я. Зазо р между трубками иг рает ро ль узко г о нако нечника, по нижаю щ ег о давлениево здуха вс труе.

19 Е с ли два с лег ка изо г нуты х лис та пло тно й бумаг и по двес ить на г о ризо нтальны х про во ло ках (рис .9) и про дувать между ними во здух, то о ни притяг иваю тс я другк друг у. Э то о бус ло влено тем, что давлениер во здуха между лис тами в наибо лее узко м мес те с тано витс я меньше атмо с ферно г о р0 , и наружно е атмо с ферно е давление прижимает лис ты другк друг у. М о жно также по двес ить на небо льшо м рас с то янии друго т друг а две с теклянны еко лбы . П ри про дувании во здуха между ними ко лбы начинаю т с тучать, с талкиваяс ь другс друг о м. П ритяжение тако г о же типа с о здаетс я между двумя ко раблями, ко г да о ни идут параллельны м курс о м на небо льшо м рас с то янии друго т друг а. Э то лег ко о бъ яс нить, ес ли перей ти вс ис тему о тс чета, вко то ро й ко рабли по ко ятс я, а во да течет между ними. Рас с мо тренно еявлениеявляетс я причино й мно г о членны х с то лкно вений с удо в, и приво дило к авариям. П рибо р К л е м анаи Д е зор м а(рис .10) с о с то ит излатунно г о дис ка с о тверс тием вцентре, к краям ко то ро г о приделана латунная трубка. На эту трубку надета резино вая трубка, черезко то рую про дуваетс я во здух. Е с ли дис к по днес ти к лис ту бумаг и, лежащ ему на с то ле, то лис т притянетс я дис ко м, по то му что в узко м зазо ре между дис ко м и лис то м бумаг и о бразуетс я рас хо дящ ий с я о т центра к краям по то к во здуха. Д авление в это м зазо ре по нижаетс я, и лис т бумаг и по днимаетс я к дис ку давлением наружно г о во здуха. П рижаты й лис т закры вает о тверс тие АВ, течение во здуха черезтрубку прекращ аетс я, давление ег о по вы шаетс я, и с но ва по являетс я зазо р, через ко то ры й ус тремляетс я по то к во здуха. Лис т бумаг и вно вь притяг иваетс я к дис ку и про цес с по вто ряетс я. В результате бумажны й лис т с о вершает бы с тры еко лебательны едвижения, издавая звук. П редпо ло жим, что по то к во здуха о бтекает како е-либо тело (рис .11). О т то чки А линии то ка рас хо дятс я во вс ес то ро ны . В то чкеА, назы ваемо й кр и т и че с кой, с ко ро с ть жидко с ти о бращ аетс я в нуль, и линия то ка вней о бры ваетс я. У равнениеБернулли для линии то ка АВ мо жно запис ать ввиде:

ρ ⋅υ 2 p+ = p0 , 2 г де p0 – давление в критичес ко й то чке (А), р – давлениевбес ко нечно с ти, о ткуда течет жидко с ть. В еличина p0 – макс имально е давление, ко то ро е мо жет иметь 2 жидко с ть на рас с матриваемо й линии то ка. В еличина ρ·υ /2 назы ваетс я с ко ро 2 с тны м напо ро м, а с умма р +ρ·υ /2 назы ваетс я по лны м напо ро м жидко с ти на

20 рас с матриваемо й линии то ка. Е с ли измерить о тдельно по лны й и с ко ро с тно й напо р жидко с ти в рас с матриваемо й то чкепро с транс тва, то мо жно вы чис лить и с ко ро с ть жидко с ти вто й жето чке. Д ля измерения по лно г о напо ра ис по льзуетс я т р уб ка П и т о, предс тавляю щ ая с о бо й небо льшую изо г нутую мано метричес кую трубку, о бращ енную о ткры ты м ко нцо м навс тречу по то ку жидко с ти (рис .12). П рио с евы елинии то ка, направленны ек трубкеП ито , заканчиваю тс я внутри трубки там, г де жидко с ть по ко итс я. П о это му вы с о та с то лба жидко с ти, ус танавливаю щ ег о с я в трубке, являетс я меро й макс имально г о давления, а с ледо вательно , и по лно г о напо ра жидко с ти на рас с матриваемо й линии то ка. Е с ли по мимо по лно г о напо ра измерить ещ е давление р , то по их разно с ти мо жно най ти с ко ро 2 с тно й напо р ρ·υ /2 , а затем вы чис лить с ко ро с ть υ. И змерение р бы ло бы излишним, ес ли бы требо вало с ь о пределить с ко ро с ть там, г де жидко с ть имеет о ткры тую по верхно с ть, например, в реке. В это м с лучае г лубина по г ружения трубки П ито непо с редс твенно давала бы величину ис ко мо г о давления. Но это т с по с о б не приг о ден, ес ли жидко с ть не имеет о ткры то й по верхно с ти, например, течет втрубе. О н нег о дитс я такжедля о пределения с ко ро с ти с амо лета. В таких с лучаях давление р измеряю т с по мо щ ью зонда, ко то ры й о тличаетс я о т трубки П ито тем, что ег о передняя час ть, о бращ енная навс тречу по то ку, запаяна, а в бо ко во й с тенке имеетс я небо льшо е о тверс тие, как по казано на рис .13. Трубка зо нда с ильно ис кажает по то к то лько в непо с редс твенно й близо с ти о т ее переднег о ко нца, о бращ енно г о к по то ку. П о то к, о бтекаю щ ий бо ко вую по верхно с ть трубки, практичес ки о с таетс я неис каженны м. П о это му внепо с редс твенно й близо с ти о т о тверс тия с ко ро с ть, а с ледо вательно , и давление жидко с ти такие же, как и во вс ех то чках линии то ка, про хо дящ ей вблизи о тверс тия. Д авление в трубке зо нда, измеряемо е мано метро м, таким о бразо м, с о впадает с давлением о бтекаю щ ей ее жидко с ти р . П рактичес ки трубку П ито применяю т с о вмес тно с зо ндо м, например, так, как изо бражено вразрезена рис . 14. Т акая трубка назы ваетс я т р уб кой П р андт л я.

21

II. О П И С А НИ Е У СТ А НО В К И П рибо ры и принадлежно с ти: ус тано вка, мерны й с о с уд (ис то чник жидко с ти), с о с уд (приемник жидко с ти), резино вы е трубки, с екундо мер, вес ы , набо р разно вес о в. П о резино во й трубке, с о единяю щ ей мерны й с о с уд и левы й вы во д экс периментально й ус тано вки, во да по даетс я в г о ризо нтальную трубу с переменны м по перечны м с ечением (рис .15). В ентиль В по зво ляет рег улиро вать с ко ро с ть по то ка и . Значения диаметро в с ечений трубы и рас хо да жидко с ти мо г ут бы ть ис по льзо ваны для рас чета с ко ро с ти жидко с ти в различны х с ечениях. Д авления в различны х с ечениях о пределяю тс я с по мо щ ью мано метричес ких трубо к 1, 2, 3.

Д иаметры с ечений равны : d1=12,0 м м , d2= 3,8 м м , d3=25 м м .

22 III. П О РЯ Д О К В Ы П О ЛНЕ НИ Я РА БО Т Ы Задание1. Э кс периментальная про верка уравнения Бернулли 1. Со единить резино вы ми трубками мерны й с о с уд (ис то чник жидко с ти) с левы м вы во до м ус тано вки и с о с уд, принимаю щ ий жидко с ть, с правы м вы во до м ус тано вки. 2. Закры ть вентиль В . Налить в мерны й с о с уд во ду так, что бы в мано метричес ких трубках 1, 2, 3 уро вень во ды ус тано вилс я на рас с то янии 1 с м о т верхнег о края. 3. О ткры ть вентиль В и о пределить время, за ко то ро е через с ис тему про й дет 100 с м 3 жидко с ти. П ри это м с по мо щ ью мано метричес ких трубо к 1 и 2 о пределить давления вс ечениях диаметрами d1 и d2 . О пы т по вто рить пять раз. 4. О пределить рас хо д Q жидко с ти и ис по льзуя фо рмулу ( 3 ), рас с читать с редниес ко ро с ти вс ечениях диаметрами d1 и d2. 5. У читы вая, что Z1=Z2 , про верить, вы по лняетс я ли уравнение Бернулли ( 4 ), с учето м по г решно с ти экс перимента. Задание2. О пределениеко эффициента г идравличес ких по терь 1. П о вто рить о перации, перечис ленны е в пунктах 1-4 задания 1, измерив с по мо щ ью мано метричес ких трубо к 2 и 3 давления вс ечениях диаметрами d2 и d3 . 2. Заменив в уравнении (8) индекс ы 1 на 2 и 2 на 3, рас с читать по тери напо ра h2-3.вн. р ас ш. при внезапно м резко м рас ширении трубы при перехо де о т с ечения диаметро м d2 к с ечению диаметро м d3 . 3. И с по льзуя фо рмулы (10) и (11), рас с читать ко эффициент Бо рда ζ. Сравнить по лученны ерезультаты . IV. ЛИ ТЕ РА Т У РА 1. С ивухин Д .В . О бщ ий курс физики /Д .В . С ивухин. – М . : Наука, 2002. – Т.1 С. 459-467. 2. С авельев И .В . К урс о бщ ей физики /И .В . С авельев. – М . : Наука, 2003. – Т.1 С. 245-261.

23 V. К О НТ РО ЛЬНЫ Е В О П РО СЫ 1. К ако е движение назы ваетс я ус тано вившимс я ? Ч то назы ваетс я линией то ка, трубко й то ка, элементарно й с труй ко й ? 2. Д ать о пределениерас хо да жидко с ти. О бо с но вать уравнениенеразры вно с ти. 3. Ч то назы ваетс я живы м с ечением, с мо ченны м периметро м, г идравличес ким радиус о м? 4. К акиережимы движения жидко с ти В ам извес тны ? О т чег о завис ит и как о пределяетс я режим движения жидко с ти? 5. В ы вес ти уравнение Бернулли для элементарно й с труй ки идеально й жидко с ти. 6. П ро анализиро вать г ео метричес кий и энерг етичес кий с мы с л уравнения Бернулли. 7. Запис ать уравнение Бернулли для элементарно й с труй ки и по то ка реально й жидко с ти. Ч то учиты вает ко эффициент К о рио лис а? 8. В ы вес ти фо рмулу для рас чета по терь напо ра при внезапно м рас ширении с ечения по то ка. 9. Сравнить с ко ро с ти и давления по то ка жидко с ти в трубках переменно г о с ечения. 10. К ак о пределить рас хо д жидко с ти с по мо щ ью трубки В ентури ? 11. Рас с мо треть физичес кий принцип дей с твия пульверизато ра. 12. К ак дей с твует прибо р К лемана и Д езо рма? 13. К ак ис по льзую тс я трубки П ито и П рандтля? Со с тавители: Ларио но вА лекс ей Нико лаевич, К укуевВ ячес лавИ вано вич, Бутус о вЮ рий М итро фано вич, Ларио но ва Нина Нико лаевна Редакто р:

Тихо миро ва О .А .