Дифференциальные уравнения

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется специалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным и асимптотическим методам решения. Воспроизводится со 2-го изд. (1985 г.). Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию 5 Предисловие ко второму изданию 5 Предисловие к первому изданию 6 Глава 1. Введение 7 § 1. Понятие дифференциального уравнения 7 § 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 12 Глава 2. Общая теория 23 § 1. Элементарные методы интегрирования 23 31 § 2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Алгоритм ломаных Эйлера § 3 Уравнение, неразрешенное относительно производной 39 § 4. Теорема существования и единственности решения нормальной 46 системы § 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров 51 § 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара) 59 § 7. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 63 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения 67 § 1. Уравнения движения маятника как пример линейного уравнения. 67 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами § 2. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка 73 § 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка 76 § 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка 79 § 5. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 82 § 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 88 § 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 96 коэффициентами § 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда 101 Глава 4. Краевые задачи 105 § 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание 105 § 2. Неоднородная краевая задача 110 § 3. Задачи на собственные значения 123

Глава 5. Теория устойчивости 128 § 1. Постановка задачи 128 § 2. Исследование на устойчивость по первому приближению 134 § 3. Метод функций Ляпунова 138 § 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя 144 Глава 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных 151 уравнений § 1. Разностные методы решения начальной задачи 151 § 2. Краевые задачи 167 Глава 7. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому 177 параметру § 1. Регулярные возмущения 177 § 2. Сингулярные возмущения 183 Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка 209 § 1. Линейное уравнение 209 § 2. Квазилинейное уравнение 218 Список литературы 228 Предметный указатель 229 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — начальная (задача Коши) 10 Аналитическая теория Импульсная матрица 94 дифференциальных уравнений — функция 81 102 Интеграл дифференциального Аппроксимация разностной схемы, уравнения 24 порядок аппроксимации 158 Интегральная кривая 9 Асимптотика 180 — поверхность 210 Асимптотическая формула 178 Интегральное уравнение 11 Асимптотический ряд 180 — — Фредгольма второго рода 126 Асимптотическое представление 178 Интегрирование в квадратурах 24 — разложение 180 — дифференциального уравнения 9 Бегущая волна 212 Интегро-дифференциальное Возмущение правых частей (входных уравнение 19 данных) 158, 159 Качественная теория — регулярное 180 дифференциальных уравнений — сингулярное 183 150 Возмущенная задача 159 Квадратура 24 Возмущенное и невозмущенное Лемма о дифференциальных уравнения 180 неравенствах 29 Вырожденная система 184 — — — — столбцов 90, 93 Граничные условия первого, второго Линейная зависимость и и третьего рода 107 независимость столбцов 90, 93 C-дискриминантная кривая 45 — — — — функций 77 p-дискриминантная кривая 45 Ломаные Эйлера 32 Задача краевая 107 Матрицант 94 — на собственные значения (задача Штурма—Лиувилля) 107, 123

Матричная запись системы линейных уравнений 90 Метод вариации постоянной 27 — ВБК 203 — неопределенных коэффициентов 88 — последовательных приближений (метод Пикара) 27 — стрельбы 167 — усреднения 203 Метрическое пространство 63 Независимость первых интегралов 216 Неподвижная точка 63 Неустойчивость решения 143 Норма равномерная (чебышёвская) 153 — собственной функции 125 — среднеквадратичная (гильбертова) 153 Нормальная система дифференциальных уравнений 8 Область влияния устойчивого корня 186 Обобщенное решение квазилинейного уравнения 226 — — обыкновенного дифференциального уравнения 12, 38 Общее решение линейного неоднородного уравнения 80 — — — однородного уравнения 68, 79 — — — уравнения в частных производных 217 — — системы линейных уравнений 94 Общий интеграл 24 Обыкновенная точка 38 Однородные и неоднородные краевые задачи 107 Операторный многочлен 84 Определитель Вронского 77, 93 Особая точка 38

Особое решение 45 Остаточный член асимптотической формулы 178 Первый интеграл 215 Пограничные члены 192 Пограничный ряд 192 — слои 190 Поде направлений 10 Порядок аппроксимации 158 — дифференциального уравнения 7 Предельный цикл 149 Принцип максимума 171 — сжатых отображений 64 — суперпозиции 75, 91 Присоединенные векторы 100 Прогонка алгебраическая 174 — обратная 176 — прямая 175 Пространство решении линейного однородного уравнения 76, 79 — — системы линейных уравнений 94 ε-приближение по невязке 34, 49 — — — отклонению 36 Разностная схема «предиктор — корректор» 166 — — Рунге — Кутта 164 — — Эйлера 154 — — явная 154 Регулярный ряд 192 Резонансный и нерезонансный случай в неоднородном линейном уравнении 72, 87 Релаксационные колебания 208 Решение общее 24 — частное 9, 24 Седло 147 Сепаратриса 147 Сетка, сетки узел, сетки шаг 152 — равномерная и неравномерная 152 Сеточная функция 152 Система линейных уравнений 74, 88 — первого приближения 134 Собственное значение, его ранг 108 Собственные колебания 108

— функция 108 Специальные функции 102 Среднее значение 204 Сходимость по невязке 34, 49 — разностной схемы 153 Теорема о неподвижной точке 63 — о неустойчивости 143 Теорема об общем решении линейных уравнений 79, 94 — об устойчивости 141 — об устойчивости асимптотической 142 — Стеклова о разложении по собственным функциям 125 — существования и единственности решения краевой задачи 120 — Тихонова о сингулярно возмущенной системе 188 — Чаплыгина о дифференциальных неравенствах 10 Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для нормальной системы уравнений 49 — — — — — — — — уравнения, неразрешенного относительно производной 40 — — — — — — — — — первого порядка 36, 61, 62 Теория возмущений 180 Тождество Лагранжа 109 Точка поворота 203 — покоя 145, 148 Тривиальное решение 78, 107 Ударная волна 226 Узел 146 Уравнение Бернулли 29 — Ван дер Поля 208 — в вариациях 58 — в частных производных 7 — в частных производных, квазилинейное 209 — в частных производных, линейное 209

— колебаний упругого стержня 20 — Лагранжа 43 — линейное, первого порядка 26 — линейное, n-го порядка 67, 73 — маятника 15, 67 —, неразрешенное относительно производной 39 — обыкновенное 7 — переноса 17 — Риккати 29 — с разделяющимися переменными 23 — теплопроводности 22 — Эйлера 88 — Эйри 102 Условие Липшица 31, 46, 60 Устойчивость асимптотическая 129 — по Ляпунову 129 — разностной схемы 160 Устойчивый корень 185 Фазовая траектория 9 Фазовое пространство 9 Фазовый портрет 149 Фокус 148 Формальный ряд 102, 191 Формула Грина 109 Фундаментальная матрица 94 — система решении 78, 93 Функция Грина краевой задачи 112 — — обобщенная 117 — Ляпунова 140—142, 144 — положительно определенная 140 Характеристики квазилинейного уравнения в частных производных 219 — линейного уравнения в частных производных 210, 214 Характеристический многочлен 83 Характеристическое уравнение 67, 71, 84, 96, 163 Центр 148