Лабораторная работа «РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКРОНАПРЯЖЕНИЙ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

М. Г. Исаенкова В. И. Скрытный

Ю.А.Перлович В. Н. Яльцев

Лабораторная работа «РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКРОНАПРЯЖЕНИЙ» Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 539.26(076.5) ББК 22.346я7 Р39 Исаенкова М.Г., Перлович Ю.А., Скрытный В.И., Яльцев В.Н. Рентгенографическое определение макронапряжений: Учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. – 48 с. Учебное пособие «Рентгенографическое определение макронапряжений» по дисциплинам «Дифракционные методы исследования» и «Дифракционные методы в материаловедении» знакомит с общепринятой классификацией остаточных напряжений и с существующими методами их экспериментального определения. Основное внимание уделено рентгеновскому методу sin2ψ, используемому для определения макронапряжений. Рассмотрены различные варианты расчета макронапряжений и факторы, влияющие на характер получаемых данных, в частности – взаимодействие зерен поликристалла и его кристаллографическая текстура. Кроме того, в описание включен раздел, посвященный элементам теории упругости, знание которых необходимо для правильной интерпретации результатов рентгеновских измерений. Описание содержит практические указания по выполнению лабораторной работы и контрольные вопросы для ее сдачи. Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. В. М. Маркочев

ISBN 978-5-7262-0834-3

© Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1. Основные понятия ................................................................................. 4 2. Классификация остаточных напряжений ............................................ 6 3. Нерентгеновские методы измерения остаточных напряжений......... 9 3.1. Оценка напряжений с помощью механических испытаний ....................................................................................... 9 3.2. Оптические методы оценки напряжений ..................................... 11 3.3. Оценка напряжений ультразвуковыми методами........................ 13 4. Принципы рентгеновского метода измерения остаточных напряжений ....................................................................... 13 5. Элементы теории упругости, используемые при интерпретации результатов измерения напряжений ................................................... 16 5.1. Тензоры деформаций и напряжений ............................................ 16 5.2. Ориентационно-зависимые свойства монокристалла ................. 21 5.3. Анизотропия упругих свойств поликристаллических материалов ...................................................................................... 26 6. Методы расчета макронапряжений ..................................................... 31 6.1. sin2ψ-Метод...................................................................................... 31 6.2. Нелинейность в sin2ψ-методе ........................................................ 32 6.3. Обобщенный подход к расчету тензоров напряжений и деформации ..................................................................................... 33 6.4. Рентгеновские константы упругости в sin2ψ-методе .................. 38 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 7. Определение углового положения рентгеновской линии.................. 42 8. Порядок выполнения работы................................................................ 44 Контрольные вопросы .............................................................................. 46 Список использованной литературы ....................................................... 47

3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Все реальные металлические материалы содержат те или иные структурные несовершенства (точечные дефекты, дислокации, различного типа границы раздела, микро- и макронапряжения), оказывающие сильное влияние на все структурно-чувствительные свойства и процессы. Структурные несовершенства вызывают разные по характеру нарушения кристаллической решетки и, как следствие, разного типа изменения дифракционной картины. Поэтому рентгеноструктурный анализ является одним из наиболее информативных методов изучения структурных несовершенств, их типа и концентрации, характера распределения. Наиболее важной технической характеристикой любого изделия является наличие в нём напряжений, которые определяют возможность его использования в тех или иных условиях. Данное учебное пособие посвящено анализу напряжённого состояния реальных металлических изделий, существующих методов измерения макронапряжений. Особое внимание уделено рентгеновским методам измерения макронапряжений. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Введем некоторые основные понятия. Внешние силы (нагрузки) – количественная мера взаимодействия двух различных тел. Внутренние силы – количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних сил. Внутренние силы возникают в деформируемом теле. Приложение внешней силы, вызывая деформацию тела, изменяет расстояния между его частицами, что, в свою очередь, приводит к изменению взаимного притяжения между ними. С этим связано возникновение в теле внутренних сил. Внутренние силы могут возникать в твердом теле также при его неоднородном нагреве, когда вследствие термического расширения 4

взаимосвязанные части тела претерпевают различные линейные или объемные изменения и обусловленные этим несоответствием внутренние силы не успевают релаксировать, несмотря на повышенную температуру тела. Напряжение – удельная характеристика внутренних сил, возникающих в теле под действием внешних нагрузок. Практически напряжение определяют как внутреннюю силу, отнесенную к единице площади, причем под внутренней силой подразумевают силу действия частиц, находящихся по одну сторону от площадки, на частицы, находящиеся по другую сторону от этой площадки. Для определения величины напряжений в каком-то сечении тела это тело мысленно разделяют на две части, одну часть удаляют, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяют внутренними силами. В общем случае сила Р не перпендикулярна плоскости площадки, на которую она действует. Тогда ее, как любой вектор, можно разложить на две составляющие: перпендикулярную к площадке, создающую нормальное напряжение, а также действующую в плоскости площадки и создающую касательное напряжение. В системе СИ напряжения выражаются в паскалях (Па): 1 кгс/мм2 = 9,8 МПа. Остаточные напряжения – это такие напряжения, которые остаются и уравновешиваются внутри твердого тела после устранения причин, первоначально вызвавших их появление, то есть после снятия внешней нагрузки. Остаточные упругие напряжения остаются в любой детали после ее обработки. Кроме того, остаточные напряжения могут возникать вследствие фазовых превращений, облучения частицами высоких энергий, неоднородного нагрева и охлаждения и т.д. Эти напряжения всегда внутренние и их образование всегда связано с неоднородными линейными или объемными деформациями смежных областей материала, в том числе – с неоднородными размерными изменениями тела, обусловленными термообработкой. Часто остаточные напряжения достигают 70–80% предела текучести, а иногда бывают еще более высокими и в этом случае оказываются весьма опасными для целостности деталей, сварных соединений и конструкций. 5

В большинстве случаев свойство металла накапливать повреждения существенно зависит от уровня имеющихся механических напряжений. При этом действующие в металле напряжения являются суммой напряжений от внешних воздействий (силовых и температурных) и остаточных напряжений, возникающих в результате обработки и существующих в отсутствии внешних воздействий. Неучет остаточных напряжений может привести к разрушению конструкции. Расчетное определение остаточных напряжений затруднено из-за сложности неупругого поведения металла, а также неопределенности начальных и граничных условий при описании процессов, ведущих к образованию остаточных напряжений. Поэтому проблема экспериментального определения остаточных напряжений является весьма актуальной. Изучение остаточных напряжений началось очень давно. Первые серьезные исследования провели российские ученые В.И. Родман в 1857 году и затем И.А. Умов в 1871 году. Начало же систематических исследований было положено в 1887 году Н.В. Калакуцким, который впервые разработал метод расчета остаточных напряжений и впервые предложил экспериментальные методы их измерения. В последующие годы методы исследования остаточных напряжений сводились в основном к развитию методов их измерения – важной практической задаче в проблеме определения надежности конструкций.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Согласно классификации, предложенной в 1935 г. Н.Н. Давиденковым, различают остаточные напряжения трех родов в зависимости от протяженности создаваемого ими силового поля (рис. 2.1): первого рода σI – уравновешивающиеся в макроскопических объемах (в пределах детали или конструкции); второго рода σII – уравновешивающиеся в микрообъемах (в пределах группы зерен); третьего рода σIII – уравновешивающиеся в ультрамикроскопических объемах (в пределах одного зерна или его фрагмента). 6

Напряжения всех трех родов связаны между собой и каждое из напряжений является причиной или следствием напряжений "соседних" родов. Согласно аналогичной классификации Е. Орована (1947 г.) внутренние остаточные напряжения подразделяют на две группы: макронапряжения – вызываемые внешними факторами (механическим, тепловым или химическим воздействием), различно влияющими на разГраницы зёрен ные части тела из однородного материала; Рис. 2.1. Внутренние напряжения I, II и III микронапряжения – возни- рода в поликристаллическом материале кающие как результат неоднородности свойств материала, даже если внешнее воздействие на тело однородно, и чаще всего связанные с различным протеканием структурообразующих процессов вдоль одного и того же направления во взаимно разориентированных соседних зернах (такими процессами, в частности, могут быть тепловое расширение, искажение или совершенствование кристаллической решетки, дислокационные перестройки). Макронапряжения классификации Орована соответствуют напряжениям I-го рода по классификации Давиденкова, а микронапряжения – напряжениям II-го рода. Обычно рассчитывают нормальные, то есть перпендикулярные к площадке, и касательные напряжения. Именно эти напряжения определяют в механических испытаниях и используют в расчетах на прочность. Напряжения I-го рода могут привести к хрупкому разрушению металла, дополнительной пластической деформации (короблению), к увеличению склонности к растрескиванию от коррозии, к образо7

ванию трещин при закалке. В то же время, существование в поверхностном слое изделия сжимающих остаточных напряжений может заметно затормаживать коррозию, препятствуя проникновению в металл примесей внедрения. Внутренние напряжения I-го рода изменяют твердость металла (хотя и незначительно) и повышают предел усталости, если их знак противоположен знаку напряжений, вызываемых внешней нагрузкой. Таким образом, остаточные напряжения могут оказывать не только негативное влияние на поведение материала в условиях эксплуатации, но в отдельных случаях и позитивное. Типичное распределение напряжений в поликристаллическом материале показано на рис. 2.1. Для показанной на рисунке области поликристалла напряжения I-го рода, или макронапряжения, однородны и отвечают уровню σI. Равновесие макронапряжений означает, что в пределах рассматриваемого поликристалла существует другая макрообласть, для которой напряжения I-го рода равны (–σI). Каждому из показанных на рисунке зерен отвечает свой уровень σII напряжений II-го рода, или микронапряжений, соответствующий усреднению напряжений III-го рода σIII, меняющихся при переходе от одного участка зерна к другому и обусловливающих флуктуации напряжения относительно среднего уровня. Равновесие микронапряжений означает, что в пределах любого микрообъема материала, включающего несколько зерен, каждому зерну, в котором внутреннее напряжение равно (σI + σII), соответствует зерно, в котором напряжение равно (σI ─ σII). Тогда среднее напряжение для этого микрообъема равно σI, то есть усреднение микронапряжений в объеме нескольких соседних зерен приводит к величине действующего в этом объеме макронапряжения. Напряжения разных типов приводят к различным изменениям дифракционного спектра, что позволяет изучать внутренние напряжения рентгеновскими методами. Макронапряжения вызывают сдвиг дифракционных линий, особенно заметный под большими брэгговскими углами. Микронапряжения приводят к увеличению угловой ширины дифракционных линий. Наибольшее изменение ширины линий также наблюдается при больших брэгговских углах. 8

Остаточные напряжения III-го рода или нарушения правильной периодичности в расположении атомов в кристалле (смещений атомов) приводят к изменению интенсивности интерференционных линий и диффузного фона. 3. НЕРЕНТГЕНОВСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Для исследования напряженного состояния тела разработаны различные методы, которые можно разделить на две группы: - разрушающие методы, основанные на разделении исследуемого объекта на части; - неразрушающие методы, не нуждающиеся в разделении исследуемого объекта на части. Этими методами измеряют деформации тела, а напряжения рассчитывают по предположению о применимости обычных уравнений теории упругости. К числу разрушающих относятся механические методы определения остаточных напряжений, в основе которых всегда лежит устранение части напряженного тела механическим способом или травлением. Если первоначально в теле существовали остаточные макронапряжения, то его части вследствие взаимодействия испытывали упругую деформацию противоположных знаков. В результате механического разделения этих частей причина их первоначальной упругой деформации оказывается частично или полностью устраненной, что приводит к изменению их размеров. Измерив это изменение, можно вычислить макронапряжения, обусловленные взаимодействием частей тела. 3.1. Оценка напряжений с помощью механических испытаний Оценка остаточных напряжений по результатам механическим испытаний основываются на теореме, утверждающей, что остаточные одноосные однородные макронапряжения равны разности между напряжениями нагрузки при пластической деформации метал9

ла и фиктивными напряжениями, которые действовали бы в металле в условиях приложения тех же внешних сил в случае соответствия напряженно-деформационного состояния закону Гука. Механические методы широко используются для определения напряжений, действующих в прутках, проволоке, трубах после их холодной деформационной обработки. Все известные механические методы оценки остаточных напряжений включают измерение деформаций, возникающих в материале при разгрузке в результате полного или частичного разрушения изделия. Полное разрушение изделия имеет место при его разрезании, вырезке образцов, сквозном просверливании и т.д., тогда как его частичное разрушение происходит при рассверливании несквозных отверстий, нанесении поверхностных рисок, снятии слоев и т.п. Примером эффективного механического метода является метод, используемый для определения остаточных напряжений в трубах в предположении их однородности. Для определения окружных (тангенциальных) напряжений отрезанный от трубы патрубок разрезают по образующей и измеряют происходящее при этом изменение его диаметра. Тангенциальное напряжение σt оценивают по формуле: σt = EtΔD/[(1 – ν2) Dср2 ] , (3.1) где E – модуль упругости, ν – коэффициент Пуассона; t – толщина стенки трубы; ΔD – изменение наружного диаметра после разрезания; Dcp – диаметр средней окружности кольца. Для определения продольного остаточного напряжения σL из трубы вырезают полосу длиной В, параллельную оси, и измеряют ее прогиб f, возникший в результате вырезания. Тогда: σL = 4Ef/B2 . (3.2) Недостатки метода связаны с произвольно принятыми предположениями об однородном распределении остаточных напряжений, о прямолинейном характере эпюры напряжений по толщине стенки трубы, а также об изотропности материала трубы. Последний метод усовершенствован использованием последовательного снятия наружных или внутренних слоев трубы, что позволило также восстановить эпюру остаточных напряжений. Одна10

ко и в этом варианте при обработке результатов измерений принимаются произвольные предположения об экспоненциальном законе распределения напряжений по сечению стенки и об однородности напряжений в каждом сечении. Недостатками указанного подхода являются также большое количества требующихся образцов и возникновение добавочных неконтролируемых напряжений при последовательном удалении слоев. Более точные экспериментально – расчетные методы определения остаточных напряжений по результатам механических испытаний связаны с именами Закса, Давиденкова, Эспи. Эти методы позволяют оценивать остаточные напряжения в телах различной формы и, в частности, в сплошных дисках большого диаметра, тонких длинных стержнях, тонкостенных и толстостенных трубках любых диаметров и т.д. Дальнейшее совершенствование методов оценки остаточных напряжений по механическим испытаниям развивалось, главным образом, путем повышения точности измерения деформаций при использовании различных тензометрических датчиков, интерферометрии оптически активных слоев, голографической съемки топографии поверхности. 3.2. Оптические методы оценки напряжений Оптические методы оценки остаточных напряжений основаны на измерении деформационных смещений в поверхностном слое, сопряженных с частичным снятием напряжений в исследуемом изделии при последовательном удалении слоев или при высверливании отверстий. Для этих целей успешно используется метод голографической интерференции. Метод последовательного снятия слоев позволяет определять однородные остаточные напряжения в каждом слое по толщине образца. Малые перемещения поверхности образца регистрируются по методике двух экспозиций, включающей получение голографических снимков одного и того же участка до и после удаления поверхностного слоя определенной толщины. При расчете остаточных напряжений рассматривается условие упругого равновесия части изделия, остающейся после удаления поверхностного слоя. 11

При этом предполагается, что снятие напряжений при удалении поверхностного слоя эквивалентно приложению к оставшейся части изделия напряжения обратного знака по отношению к напряжениям, действовавшим в удаленном слое, при условии, что эти напряжения не превышают по величине предела упругости материала. По экспериментально найденным значениям деформаций каждого поверхностного слоя методами теории упругости можно определить остаточные напряжения в объеме изделия. Для определения остаточных напряжений в заданных точках поверхности изделия широко применяется метод рассверливания отверстий. Согласно принятой расчетной модели высверливание отверстия вызывает протекание релаксационных процессов в пределах прилегающей к нему области. По измеренным деформациям рассчитывают остаточные напряжения в предположении, что они относятся к указанной области до высверливания и в пределах этой области являются однородными. При уменьшении диаметра отверстия снижаются искажения, вносимые операцией высверливания, однако, вследствие уменьшения области измеряемой деформации погрешность расчетов при этом может возрасти. Голографический метод измерения деформаций позволяет преодолеть это противоречие, что и определяет его использование при измерении остаточных напряжений в ряде модификаций метода отверстий. В зависимости от постановки задачи используются сквозные или частично рассверливаемые отверстия. Сквозные отверстия высверливаются в тонкостенных конструкциях и, как правило, их диаметр превышает толщину образца, несквозные отверстия – в массивных деталях. Для реализации метода рассверливания отверстий существуют специальные переносные голографические установки, позволяющие определять локальные остаточные напряжения на тех или иных участках изделия. Поскольку применение механических и оптических методов оценки напряжений связано с частичным или полным разрушением изделия, указанные методы не могут эффективно использоваться при промышленном контроле полуфабрикатов или на стадии приемки готовой продукции. 12

3.3. Оценка напряжений ультразвуковыми методами Неразрушающий ультразвуковой контроль элементов конструкций широко используется в технике для определения различных дефектов в металле (трещины, раковины и т.д.) и упругих констант, при измерении толщины покрытий и для оценки твердости. Имеются также работы по применению ультразвуковых методов для неразрушающего контроля остаточных напряжений. Ультразвуковой метод измерения напряжений основан на оценке разницы скоростей распространения акустических колебаний в упруго-растянутой и упруго-сжатой части металла. При использовании ультразвукового метода возникают значительные трудности при контроле многофазных или текстурованных поликристаллических изделий, изготовленных из металлов со значительной анизотропией физико-механических свойств. В этом случае вследствие анизотропии модулей упругости преимущественная ориентация зерен оказывает значительно большее влияние на скорость распространения ультразвуковых волн, чем остаточные напряжения. Поэтому ультразвуковой метод применяется для оценки остаточных напряжений в изделиях из сплавов, содержащих преимущественно фазы с кубической кристаллической решеткой, которые отличает минимальная упругая анизотропия. Необходимо отметить, что метод ультразвукового контроля является косвенным методом оценки остаточных напряжений, и его точность существенно зависит от качества приготовления поверочных образцов, контактной среды, а также от формы и размеров контролируемого изделия. 4. ПРИНЦИПЫ РЕНТГЕНОВСКОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Рентгеновский метод определения остаточных напряжений I-го рода основывается на том, что упругая деформация кристаллической решетки связана с изменением ее межплоскостных расстояний и приводит к угловому сдвигу рентгеновских линий. 13

При измерении углового положения рентгеновских линий объект исследования сохраняется целым и можно проводить измерения в любой точке поверхности объекта, так как базу измерений можно сделать достаточно малой. Следует указать на одно существенное различие между рентгеновским и механическим методами измерения напряжений. Рентгеновская дифракционная линия формируется в результате суммарного отражения от тех кристаллографических плоскостей, для которых выполняется условие Вульфа–Брэгга. Таким образом, все расчеты, проведенные на основании измерения угловых положений рентгеновских линий, дают сведения о напряженном состоянии только определенным образом ориентированных зерен поликристаллического агрегата. С помощью же механических методов измеряется средняя величина деформации для всех зерен металла. Поэтому результаты, получаемые рентгеновским и механическими способами, не всегда совпадают. Рентгеновский метод определения макронапряжений имеет свои специфические недостатки. Основной из них – ограничение исследования поверхностным слоем образца. Спорным является вопрос о том, насколько результаты рентгеновского анализа отражают состояние внутренних слоев материала. Серьезные трудности возникают при чрезмерно больших размерах зерен, приводящих к усилению флуктуаций интенсивности при регистрации профиля рентгеновской линии, что снижает точность определения ее углового положения. (В некоторых случаях это затруднение может быть преодолено при использовании суммирующего возвратно-поступательного движения образца в процессе рентгеновской съемки.) В случае исследования образцов, подвергнутых холодной деформации или закалке, вследствие искажения решетки и дробления субструктуры угловая ширина рентгеновских линий значительно возрастает и становится трудно определить положение пика. В реальных конструкциях одноосное напряженное состояние (одноосное сжатие или растяжение) реализуется весьма редко, и это обстоятельство необходимо учитывать при решении задачи по определению остаточных напряжений. 14

Любое объемно-напряженное состояние образца можно описать действием трех главных нормальных напряжений (σ1, σ2 и σ3). При этом на площадках элемента объема, перпендикулярных главным напряжениям, касательные напряжения отсутствуют. Характеризуя напряженное состояние исследуемого объема тензором напряжений, все возможные варианты этого состояния получаем путем варьирования диагональных элементов тензора (табл. 4.1). Таблица 4.1 Линейное состояние

Плоское состояние

Объемное состояние

Одноосное растяжение

σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0

Одноосное сжатие

σ1 = σ2 = 0, σ3 < 0

Двухосное растяжение

σ1 > 0, σ2 > 0, σ3 = 0

Двухосное сжатие

σ1 = 0, σ2 < 0, σ3 < 0

Разноименное плоское напряженное состояние

σ1 > 0, σ2 = 0, σ3 < 0

Трехосное растяжение

σ1 > 0, σ2 > 0, σ3 > 0

Трехосное сжатие

σ1 < 0, σ2 < 0, σ3 < 0

Разноименное объемное напряженное состояние

σ1 > 0, σ2 > 0, σ3 < 0 σ1 > 0, σ2 < 0, σ3 < 0

Учитывая, что деформация, измеряемая рентгеновским методом, относится к поверхностному слою толщиной ~10 мкм, в пределах которого в связи с близостью поверхности нормальные напряжения в значительной мере релаксируют, при определении остаточных макронапряжений рентгеновским методом, как правило, рассматривают плосконапряженное состояние. Строго говоря, даже при такой толщине исследуемого слоя величина σ3 не равна нулю. Однако ошибка, вносимая таким допущением, не превышает 1÷2%. В случае необходимости может быть определена и компонента σ3. Рентгенографическое измерение напряжений основывается на экспериментальном определении распределения приповерхностных деформаций решётки, из которого при использовании соотношений теории упругости находятся напряжения. 15

5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 5.1. Тензоры деформаций и напряжений Основным законом теории упругости твердых тел в области малых деформаций является закон Гука. Для изотропных тел закон Гука выражается соотношениями σ = cε, (5.1) где σ − напряжение, ε − деформация, c − жесткость (используются также названия модуль Юнга, константа упругой жесткости) или ε = sσ, (5.2) где s − податливость или константа упругой податливости, причем s = 1/c. (5.3) Напряжение называют однородным, если силы, действующие на поверхность части тела определенной формы и ориентации, не зависят от положения этой части в теле. Состояние тела с однородными напряжениями называется однородным напряженным состоянием, которое задается симметричным тензором второго ранга σ, компоненты которого σ11, σ22, σ33 называются нормальными напряжениями, остальные − касательными напряжениями или сдвиговыми компонентами напряжений. Симметричный тензор σ можно привести к главным осям, при этом сдвиговые компоненты напряжений исчезают и остаются главные напряжения σ1, σ2, σ3. Основными видами деформации являются продольная (удлинение и укорочение) и сдвиговая деформация. Удлинение (укорочение) определяется как отношение изменения длины тела (отрезка) к его исходной длине: Δu e11 = 1 . (5.4) Δx1 Сдвиговой деформацией (деформацией сдвига) называется относительное смещение одной части тела относительно другой вдоль некоторой плоскости. Величина сдвиговой деформации определяется как отношение перемещения к расстоянию до этой плоскости 16

Δu1 = tgα. (5.5) Δx 2 Другими словами, сдвиг можно рассматривать как меру изменения угла между двумя прямыми линиями, произвольно ориентированными в деформируемом теле. Деформация в точке определяется выражением Δu d u = , (5.6) e = lim Δx → 0 Δx dx откуда du = edx. Рассмотрим деформацию отрезка в плоскости. Пусть отрезок PQ, лежащий в плоскости (X1X2), после деформации превращается в отрезок P'Q'. Координаты точки P: (x1, x2), а точки P': (x1 + u1, x2 + u2). Компоненты вектора смещения точки P: u = PP' = (u1, u2). Координаты точки Q: (x1 + Δx1, x2 + Δx2). Компоненты вектора смещения точки Q: QQ' = (u1 + Δu1, u2 + Δu2). Легко видеть, что ∂u ∂u Δu1 = 1 Δx1 + 1 Δx2 , (5.7) ∂x1 ∂x 2 e12 =

Δu 2 =

∂u 2 ∂u Δx1 + 2 Δx 2 . ∂x1 ∂x 2

(5.8)

Введя обозначения ∂u ∂u 2 ∂u ∂u1 = e11 , 1 = e12 , = e 21 , 2 = e 22 , (5.9) ∂x1 ∂x 2 ∂x1 ∂x 2 уравнения (5.7) и (5.8) можно записать в общем виде с учетом сокращений, предложенных Эйнштейном, Δu i = ∑ j

∂u i ∂x j

Δx j = eij Δx j .

(5.10)

Поскольку Δui и Δxj − векторы, то связывающие их коэффициенты eij образуют тензор 2-го ранга u, называемый тензором упругой дисторсии. Любой тензор второго ранга u можно представить суммой симметричного ε и антисимметричного ω тензоров с компонентами: (5.11) uij = ε ij + ωij . Теперь 17

εij = ψ(eij + eji)

(5.12)

определяет полярный тензор деформации ε, а ωij = ψ(eij − eji)

(5.13)

аксиальный вектор ω, называемый тензором поворота. Геометрическая интерпретация уравнения (5.11) дана на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Двумерный чертёж, иллюстрирующий представление произвольной деформации (слева) в виде суммы собственно деформации (в середине) и поворота (справа)

При описании трехмерной деформации используются девять компонентов тензора (5.14) eij = ∂ui / ∂x j , i, j = 1, 2, 3. При чистом вращении тела без деформации смещение любой точки перпендикулярно его радиусу-вектору. Если начало координат выбрать на оси вращения, тогда смещение любой точки описывается как ui = eij xj. (5.15) По правилу скалярного произведения ui xi = 0, т.е. eij xj xi = 0. (5.16) Так как последнее уравнение справедливо для любых xi, все коэффициенты в левой части должны быть равны нулю. Отсюда еij = 0, если i = j; eij = – eji, если i ≠ j.

(5.17)

Последнее и является условием антисимметричности тензора, т.е. обычное вращение описывается антисимметричным тензором второго ранга, представляемым выражением (5.13). 18

Тензор упругой деформации ε определяется как симметричная часть тензора упругой дисторсии или в развёрнутом виде 1 (e + e ) 1 (e + e ) ⎞ ⎛ e11 ⎛ ε11 ε12 ε13 ⎞ ⎜ 2 12 21 2 13 31 ⎟ ⎟ ⎜1 ⎜ 1 (e + e ) ⎟ . (5.18) e22 ⎜ ε12 ε 22 ε 23 ⎟ → ⎜ 2 (e12 + e21 ) 2 23 32 ⎟ ⎟ ⎜ε ⎟ ⎜ ⎝ 13 ε 23 ε 33 ⎠ ⎜ 1 (e13 + e31 ) 1 (e23 + e32 ) e33 ⎟ 2 ⎠ ⎝2 Диагональные компоненты тензора деформации εij описывают удлинения, или деформации растяжения, другие компоненты представляют деформации сдвига. Вследствие симметричности тензора ε его можно привести к главным осям: ⎛ ε11 ε12 ε13 ⎞ ⎛ ε1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (5.19) ⎜ ε12 ε 22 ε 23 ⎟ → ⎜ 0 ε 2 0 ⎟ , ⎜ε ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 13 ε 23 ε 33 ⎠ ⎝ 0 0 ε 3 ⎠ где ε11, ε22, ε33 − компоненты деформации сжатия или растяжения, а остальные εij − компоненты сдвиговой деформации; ε1, ε2, ε3 − главные деформации. Геометрический смысл главных деформаций ε1, ε2, ε3 можно понять, взяв единичный куб с ребрами, параллельными главным осям; при деформации прямые углы между ребрами сохраняются, а длины ребер становятся равными (1 + ε1), (1 + ε2), (1 + ε3). Определяющим свойством главных осей служит то, что они являются тремя взаимно перпендикулярными направлениями в теле, которые при деформации остаются взаимно перпендикулярными. Изменение объёма единичного куба называется объемным расширением и равно (5.20) Δ = (1 + ε1)(1 + ε2)(1 + ε3) – 1 = ε1 + ε2 + ε3 ввиду малости εi. В произвольной системе координат объёмное расширение задается выражением (5.21) Δ = ε11 + ε22 + ε33 и является инвариантом. Тензор поворота ω имеет вид − ω3 ω2 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ (5.22) 0 − ω1 ⎟ , ⎜ ω3 ⎜ −ω ω1 0 ⎟⎠ 2 ⎝ 19

его компоненты определяют аксиальный вектор поворота ω (ω1, ω2, ω3). Деформация в точке характеризуется характеристической поверхностью деформации, уравнение которой записывается в виде eij xj xi = 1, (5.23) или, если в качестве осей выбрать направления главных деформаций, ε1 x12 + ε 2 x 22 + ε 3 x 32 = 1 . (5.24) Удлинение ε в произвольном направлении l равно (5.25) εl = εijlilj или, если в качестве осей выбрать направления главных деформаций, ε l = ε1l12 + ε 2 l 22 + ε 3l32 . (5.26) Единичная сфера преобразуется в эллипсоид x 32 x12 x 22 + + = 1, (5.27) (1 + ε1 ) 2 (1 + ε 2 ) 2 (1 + ε 3 ) 2 называемый эллипсоидом деформации. Эллипсоид деформации не следует путать с характеристической поверхностью деформаций. Так как главные деформации ε1, ε2, ε3 могут быть и положительными и отрицательными, поверхность деформации, задаваемая уравнением (5.23), может быть действительным или мнимым эллипсоидом или гиперболоидом. Поверхность же, задаваемая уравнением (5.27), всегда представляет собой эллипсоид. «Технические» деформации. Тензор деформации ε часто записывают в виде 1 1 ⎞ ⎛ γ xy γ xz ⎟ ⎜ εx 2 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜1γ εy γ yz , (5.28) xy ⎜2 2 ⎟ ⎜1 ⎟ 1 γ yz εz ⎟ ⎜ γ xz 2 ⎝2 ⎠ так что, например, γxy = 2ε12. В соответствии с этим определением компонента γxy равна уменьшению угла между двумя прямыми, первоначально параллельными осям Оx и Oy (рис. 5.2). Из-за наличия добавочных множителей 2 эти величины не равны недиаго20

нальным компонентам тензора деформаций εij. Во избежание путаницы γ названы «техническими» сдвиговыми деформациями, а ε23, ε31 и ε12 – тензорными сдвиговыми деформациями. Следует заметить, что матрица технических деформаций ⎛ ε x γ xy γ zx ⎞ ⎜ ⎟ (5.29) ⎜ γ xy ε y γ yz ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ γ zx γ yz ε z ⎠ не образует тензора.

Рис. 5.2. Построение, иллюстрирующее смысл компоненты γxy «технических» сдвиговых деформаций

5.2. Ориентационно-зависимые свойства монокристалла

При использовании тензоров напряжения и деформации закон Гука в обобщенной форме имеет вид: (5.30) σij = Cijklεkl или (5.31) εij = Sijkl σkl, где коэффициенты упругой жесткости Cijkl и упругой податливости Sijkl образуют тензоры четвертого ранга. Тензор четвертого ранга имеет 34 = 81 независимую компоненту. Однако число компонентов тензора упругости из-за симметрии тензоров деформации и напряжения сокращается с 81 до 36, а из-за термодинамических соображений число их уменьшается до 21. Дальнейшее уменьшение связано с симметрией кристалла, так что в кубической сингонии их всего три. Коэффициенты упругости Cijkl и Sijkl (5.30) и (5.31) удобнее записать с помощью матричных обозначений вместо тензорных (табл. 5.1). Таблица 5.1 Тензорные обозначения Матричные обозначения

11

22

33

1

2

3

23

32 4

21

31

13 5

12

21 6

Теперь (5.30) и (5.31) можно записать как σj = cijεj (i, j = 1, 2, …, 6); (5.32) (5.33) εj = sij σi (i, j = 1, 2, …, 6). Матрицы cij и sij являются взаимно-обратными, т.е. cijsjk = δik, где δik − единичная матрица. Вследствие симметрии кристалла некоторые из компонентов cij и sij становятся равными нулю или равными друг другу, а число независимых среди неравных нулю коэффициентов уменьшается. Матрицы коэффициентов упругости для кристаллов кубической сингонии имеют вид: c11 c12 c12

c12 c11 c12

c12 c12 c11

0 0 0

0 0 0

0 0 0

s11 s12 s12

s12 s11 s12

s12 s12 s11

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

c44 0 0

0 c44 0

0 0 c44

0 0 0

0 0 0

0 0 0

s44 0 0

0 s44 0

0 0 s44

0 0 0 s44 0 0

0 0 0 0 s44 0

0 0 0 0 0

, (5.34)

а для кристаллов гексагональной сингонии c11 c12 c13 0 0 0

c12 c11 c13 0 0 0

c13 c13 c33 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c44 0

0 0 0 0 0 1 2

( c11 - c12 )

s11 s12 s13 0 0 0

s12 s11 s13 0 0 0

s13 s13 s33 0 0 0

1 2

(5.35) ( s11 - s12 )

Если использовать более привычные величины: E − модуль Юнга, G − модуль сдвига и ν − коэффициент Пуассона, получим s11 =

1 ν 1 , s12 = − , s44 = . E E G

(5.36)

В кубических кристаллах вводят параметр упругой анизотропии А = 2с44/(с11 − с12) = 2(s11 − s12)/s44. (5.37) Тензорное представление физических свойств, в частности, крайне необходимо для описания анизотропных материалов. Это означает, что если мы вырежем испытываемый образец с ориентацией его осей g из анизотропного материала (рис. 5.3), то свойства, например, коэффициенты податливости Sijkl в уравнении (5.33), будут зависеть от ориентации g выбранного образца (5.38) εij = Sijkl(g) σkl, 22

где ориентация g задаётся эйлеровскими углами ϕ1, Φ, ϕ2. При приложении к телу внешних напряжений σ в разных направлениях тела пройдет разная деформация, определяемая тензором ε. Заметим, что уравнение (5.38) справедливо как для моно-, так и для поликристаллических материалов. Переход от одной системы координат KА к другой KВ можно описать матрицей перехода:

⎡ g11 g = ⎢⎢ g 21 ⎢⎣ g 31

g12 g 22 g 32

g13 ⎤ g 23 ⎥⎥ g 33 ⎥⎦

Рис. 5.3. Испытываемый образец с ориентацией g {ϕ1, Φ, ϕ2}

(5.39)

Соответствующие изменения коэффициентов податливости, т.е. компоненты тензора четвёртого ранга Sijkl, можно представить в виде 0 Sijkl(g) = S mnop ⋅gim⋅gjn⋅gko⋅glp, (5.40) 0 где S mnop – коэффициенты податливости, определенные в исходной

системе координат KА. Если предположить, что рассматриваемое тело монокристаллическое, то оси системы координат KА выбирают параллельными осям кристалла, например, [100], [010], [001] для кубических кристаллов. Заслуживает внимания упрощенное изображение анизотропии физических свойств. Если из тела вырезать образец в направлении m = [mnp] = {θ, φ}, то величина, обратная модулю Юнга, в выбранном направлении запишется следующим образом ′ = s11 ′ ij (mnp) ⋅ σ′ij = s11 ′ ij (θ, ϕ) ⋅ σ′ij ε11 (5.41) в системе координат, в которой ось x1′ параллельна направлению [mnp]. Свойства, зависящие от направления, можно представить поверхностью. Для свойств, описываемых тензорами второго ранга (таких как электропроводность), поверхность будет выглядеть эллипсоидом, а для тензоров четвёртого ранга, например, для обрат23

ного модуля Юнга ′ (θ, ϕ) [E(θ, φ)]–1= s1111 (5.42), представляет собой поверхность четвёртой степени. На рис. 5.4 показаны поверхности модуля Юнга для ряда металлов. Такая поверхность не полностью характеризует анизотропию упругих свойств. Для полного описания аниа б зотропию модуля Юнга необходимо дополнить ориентационной зависимостью модулей сдвига. Чтобы определить модуль Юнга в произвольном направлении, задаг в ваемом направляющими косинусаРис. 5.4. Поверхность модуля Юнга монокристаллов различных металлов: ми l1, l2, l3, требуется преобразовать систему координат так, чтобы а – золота; б – алюминия; в – магния; г – цинка ось x1′ располагалась вдоль выбранного направления, тогда E(l1, l2, l3) = 1/s'11. Для кубических кристаллов 1 ′ = s11 = s11 − 2 ( s11 − s12 − 12 s 44 ) (l12 l 22 + l 22 l 32 + l12 l 32 ) , (5.43) E l1l2l3

для гексагональных кристаллов 1 ′ = s11 = (1 − l 32 ) 2 s11 + l 34 s 33 + l 32 (1 − l 32 ) (2s13 + s 44 ) . E l1l2l3

(5.44)

Отметим, что для кубической сингонии модуль Юнга не является изотропным. Для ГЦК металлов модуль Юнга увеличивается при движении от <100> к <111>, тогда как у ОЦК металлов, за исключением тантала, модуль Юнга при движении от <100> к <111> уменьшается. Наиболее изотропным является вольфрам, а среди ГЦК металлов − алюминий (табл. 5.2). Для изотропных материалов параметр упругой анизотропии А = 1, откуда вытекает соотношение E , (5.45) G= 2(1 + ν ) 24

и упругие свойства изотропного тела характеризуют всего два коэффициента упругости с11 и с12 или s11 и s12. Упругие характеристики некоторых гексагональных монокристаллов приведены в табл. 5.3. Таблица 5.2

Металл Al Cu Ag Au Ni Pb V Nb Ta Cr Mo W α-Fe UO2

с11, ГПа 108 168 124 186 246 50 228 246 267 350 460 501 231 395

с12, ГПа 61 121 93 157 147 42 119 139 161 67 176 198 135 121

с44, ГПа 28 75 46 42 125 15 43 29 82 101 110 151 116 64

E001, ГПа 63 67 43 43 130 11 146 152 142 328 344 420 132 338

E011, ГПа 72 130 83 81 223 24 124 92 191 266 326 414 220 199

E111, ГПа 76 191 120 116 294 40 117 82 215 250 316 412 283 175

Ecр ГПа 70 127 81 78 214 24 128 105 183 280 327 415 211 230

A

1,23 3,21 3,04 2,87 2,54 4,12 0,78 0,51 1,58 0,71 0,91 0,98 2,41 0,47

Таблица 5.3

Металл Re Ti Be Cd Co Hf Mg Zn α-Zr BeO

с11, ГПа 613 162 292 114 307 181 53 165 144 470

с12, ГПа 270 92 27 40 165 77 26 31 73 168

с13, ГПа 206 69 14 60 105 66 21 50 66 119

с33, ГПа 683 181 336 51 36 197 61 62 165 494

25

с44, ГПа 162 47 162 20 76 56 16 40 32 153

с66, ГПа 171 35 133 38 71 52 17 67 36 151

Еср, ГПа 462 114 311 63 216 143 44 102 97 394

с/а

1,62 1,59 1,57 1,62 1,62 1,58 1,62 1,86 1,59 1,58

5.3. Анизотропия упругих свойств поликристаллических материалов

В технике главным образом используются поликристаллические материалы. К тому же, очень часто они ещё и многофазны. Далее для простоты изложения будем рассматривать однофазные поликристаллические материалы. Их свойства, прежде всего, определяются свойствами отдельных кристаллов и способом их объединения (агрегирования) в поликристалл. Объединение кристаллов можно описать, учитывая их размер, форму, кристаллографическую ориентацию и взаимодействие друг с другом. Физические свойства отдельных кристаллов должны зависеть от параметров их агрегирования. Например, дислокационная субструктура и, следовательно, пластичность кристаллов зависит от их ориентации, как это наблюдается для кристаллитов холоднокатаного металлического листа. В первом приближении, мы считаем, что все кристаллы характеризуются одинаковыми свойствами. Тогда свойство поликристалла схематично можно представить рис. 5.5. В поликристаллическом материале каждый кристалл оказывается в стесненных условиях (например, внешние напряжения) и реагирует на него в соответствии со Рис. 5.5. Анизотропия поликристалличессвоими физическими свойсткого материала, определяемая некоторой средней ориентацией соответствующих вами (тензор упругости). Так свойств монокристаллов как кристаллы контактируют друг с другом реакция одного кристалла может оказать влияние на всех своих соседей (т.е. деформация одного кристаллита влечёт за собой возникновение напряжений в соседних кристаллах). В некоторых случаях это взаимодействие кристаллов пренебрежимо мало. Это касается, например, парамагнитных свойств. В таком случае каждый кристалл испытывает только внешнее воздействие. В других случаях, например, упругие и пластические свойства, взаимодействие кристаллов существенно, и поэтому его необходимо учитывать. 26

5.3.1. Усреднение свойств без учёта взаимодействия зерен между собой

Рассмотрим простой случай отсутствия взаимодействия соседних кристаллов. Тогда каждый кристалл оказывается под воздействием одного и того же внешнего влияния, т.е. напряжения σkl определяются выражением (5.38). Тогда отклик εij зависит только от коэффициентов податливости Sijkl(g), где g – кристаллографическая ориентация отдельного кристалла. «Отклики» всех кристаллов необходимо усреднить, так чтобы определить среднее свойство. Для этого необходимо воспользоваться функцией распределения кристаллитов по ориентациям (ФРО), которая определяет относительную объёмную долю кристаллитов с ориентацией g (рис. 5.6): dV/V = f (g) . (5.46) dg

Рис. 5.6. Ориентационное распределение кристаллитов в поликристаллическом материале: KА – система координат образца; KВ – система координат кристалла (зерна)

Тогда свойство поликристаллического агрегата представляет собой среднее взвешенное значение коэффициентов монокристалла: S ijkl = ∫ S ijkl ( g ) f ( g )dg . (5.47) Рассмотрим макроскопическое свойство в некотором направлении образца y = [y1 y2 y3] = {αβ}. Если известно свойство монокристалла S(hkl) в некотором кристаллографическом направлении, а dΩ - элемент телесного угла, то свойство в выбранном направлении m запишется следующим образом:

S ( αβ) = ∫ S ( hkl ) A( hkl , αβ)dΩ , где 27

(5.48)

dV/V = A( h, y) (5.49) dΩ является функцией распределения нормалей [hkl] кристаллов и выражается через ФРО как 1 A( h, y) = (5.50) ∫ f ( g )dγ . 2π h || y Заслуживает внимания тот факт, что функция анизотропии монокристалла S(θγ) = S(hkl) должна удовлетворять симметрии кристалла, тогда как усреднённое свойство должно характеризовать симметрию образца. Обе симметрии полностью независимы друг от друга. Без детального рассмотрения текстуры, можно только сказать, что функция свойств поликристалла S(αβ) будет располагаться где-то между максимальными и минимальными величинами функции свойств Рис. 5.7. Относительное расположение функций анизотропии свойств монокристалла, как схематидля разных образцов чески показано на рис. 5.7. A( hkl , αβ) =

5.3.2. Расчёт анизотропии свойств поликристалла с учётом взаимодействия зёрен между собой

Чаще всего взаимодействием кристаллов пренебречь нельзя, т.е. каждый кристаллит «чувствует» влияние соседних зёрен. Взаимодействие с соседними зёрнами выражается в изменении напряжений σ , действующих на рассматриваемый кристаллит, на величину Δσ. Последняя величина отличается для каждого кристалла. Она может зависеть от ориентации рассматриваемого кристаллита g, а также от формы, размера, способа распределения зёрен и ориентации соседних зёрен. Тогда среднее значение деформации (отклика) для всех зёрен можно записать следующим образом: 28

εij = ∫ S ijkl ( g )[ σ kl + Δσ kl ( g , t )] f ( g )dg . Если выразить в матричной форме ~ εij = S ijkl σ kl , то понятно, что

~ S ijkl ≠ S ijkl ,

(5.51) (5.52) (5.53)

где S ijkl – простое усреднение в соответствии с уравнением (5.48). Так как Δσ kl ( g , t ) из выражения (5.51) зависит от большого числа параметров t помимо ориентации рассматриваемого кристаллита g, ~ истинная средняя величина S зависит именно от этих структурных параметров, в числе которых текстура. Несколько теорий предло~ жено для оценки истинного среднего значения величин S ijkl . Приближение к истинному значению упругих свойств можно получить следующим образом: закон Гука можно сформулировать двумя способами: (5.54) εij = Sijkl(g) σkl, σij = Cijkl (g) εkl, (5.55) (5.56) Cijkl = [Sijkl]−1. Усреднение свойств по ориентациям приводит к следующим выражениям: R (5.57) Sijkl = ∫ Sijkl ( g ) f ( g )dg , V Cijkl = ∫ Cijkl ( g ) f ( g )dg .

(5.58)

Уравнение (5.57) верно, если все а) Ройсс б) Фойгт кристаллиты испытывают одно и то же напряжение, которое равно внешРис. 5.8. Экстремальные случаи нему напряжению σ (теория Ройсса). зёренной структуры: Уравнение (5.58) верно в случае ра- а – пластиноподобные кристаллы; б – карандашеподобные венства средней деформации ε во кристаллы всех кристаллитах (теория Фойгта). Первый случай реализуется во всех кристаллах, которые представляют собой плоские пластины, перпендикулярные направлению воздействия напряжений (рис. 5.8, а), а второй – соответствует кристаллам, вытянутым в направлении воздействия напряжений 29

(рис. 5.8, б). В действительности такие случаи не встречаются. Зёрна чаще бывают равноосными. Тогда можно рассчитать среднее из двух экстремальных величин: 1 R H V −1 S ijkl = {S ijkl + [Cijkl ] } Хилл (S) (5.59) 2 1 V R −1 CijklH = {Cijkl + [ S ijkl ] } Хилл (С) (5.60) 2 Такие усреднения по Хиллу обычно оказываются ближе всего к истинным величинам свойств в поликристаллических материалах (рис. 5.9). Иными словами, истинные величины определяются свойствами отдельных кристаллитов и действительным способом их взаимодействия. × - Ройсс □ - Фойгт Δ - Хилл(S) ◊- Хилл(C) • - эксперимент

Рис. 5.9. Сопоставление расчётных и измеренных зависимостей изменения модуля Юнга в плоскости прокатанного медного листа (НП – направление прокатки)

30

6. МЕТОДЫ РАСЧЕТА МАКРОНАПРЯЖЕНИЙ 6.1. sin2ψ-Метод

Рассмотрим плоский изотропный поликристаллический образец, который находится в плосконапряженном состоянии ⎛ σ1 ⎜

σ=⎜ 0 ⎜0 ⎝

0 σ2 0

0⎞ ⎟ 0⎟ , 0 ⎟⎠

N X3

(6.1)

s1

nϕψ

причем главные напряжения σ1 и σ2 совпадают с осями X1, X2 (рис. 6.1). У тензора деформаций ε главные деформации ε1, ε2, ε3 совпадают с осями X1, X2, X3. В матричном обозначении ε = Sσ, где S − матрица коэффициентов податливости ν⎞ ν ⎛ 1 − − ⎟ ⎜ E E⎟ ⎜ E ν ν 1 ⎜ S = − − ⎟ , (6.2) ⎜ E E E⎟ ⎜ ν 1 1 ⎟ − ⎜− ⎟ E E ⎠ ⎝ E

ψ ε3 ε1 ϕ σ1

s0

ε2

σ2 X2 σϕ

X1 Рис. 6.1. Геометрия дифракции в рентгеновском методе определения остаточных напряжений: N – нормаль к поверхности образца; σ1, σ2 – главные напряжения; ε1, ε2, ε3 – главные деформации; s0, s1 - первичный и отражённый пучки

где ν − коэффициент Пуассона, E − модуль Юнга, и σ ⎞ ⎛ σ1 −ν 2 ⎟ ⎜ E E ⎟ ⎛ ε1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ σ2 σ1 ⎟ ε = ⎜ ε2 ⎟ = . (6.3) −ν ⎜ E ⎟ ⎜ε ⎟ ⎜ E σ1 σ2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎜− ν − ν ⎟ E E ⎠ ⎝ Деформация εφψ в направлении, заданном сферическими углами φ и ψ, имеет вид 31

где n~ϕψ

εφψ = n~ϕψ εnϕψ , (6.4) и nϕψ матрица-строка и матрица-столбец с компонентами

cosφsinψ, sinφsinψ, cosψ. Теперь

⎛ ε1 ⎜ εφψ= (cosϕ ⋅ sinψ sinϕ ⋅ sinψ cosψ )⎜ 0 ⎜0 ⎝

0 ε2 0

0 ⎞⎛ cosϕ ⋅ sinψ ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ sinϕ ⋅ sinψ ⎟ = ε 3 ⎟⎠⎜⎝ cosψ ⎟⎠

sin2ψ sin 2ψ νcos2ψ (σ1 − νσ2 )cos2ϕ + ( σ2 − νσ1 )sin2ϕ − (σ1 + σ2 ) = E E E 1+ ν 2 ν = sin ψ( σ1cos 2 ϕ + σ 2 sin 2 ϕ) − ( σ1 + σ 2 ) . (6.5) E E Таким образом, 1+ ν ν εφψ = σ ϕ sin 2 ψ − ( σ1 + σ 2 ) , (6.6) E E где (6.7) σφ = σ1cos2φ + σ2sin2φ. Если экспериментально определены εφψ для нескольких значений ψ, то график зависимости εφψ от sin2ψ является линейным (6.8) εφψ = a + bsin2ψ, где

=

a=−

ν ( σ1 + σ2 ) , E

1+ ν (σ1cos 2 ϕ + σ 2sin 2 ϕ) , E откуда можно определить σ1 и σ2. b=

(6.9) (6.10)

6.2. Нелинейность в sin2ψ − методе

При рентгенографическом определении остаточных напряжений sin2ψ − методом в некоторых материалах, например в рельсовых сталях, наблюдается нелинейный характер в зависимости εφψ = =f(sin2ψ), который нельзя объяснить экспериментальными неточностями (рис. 6.2, а). Подробный анализ этого явления привел к заключению, что это связано с более сложным напряженным состоянием образца. Ком32

понента σ3 на поверхности образца равна нулю, но в глубине образца σ3 может иметь значения отличные от нуля, т.е. существует градиент компоненты σ3 по глубине образца со средним а б значением равным нулю. Рис. 6.2. Нелинейность (а) и расщепление (б) Поскольку рентгеновские в sin2ψ-методе лучи проникают вглубь образца, где не плосконапряженное состояние, то ⎛ σ1 ⎜

σ=⎜ 0 ⎜0 ⎝

0 σ2 0

0 0 σ3

⎞ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

(6.11)

где σ3 − среднее значение σ3 на глубине проникновения рентгеновских лучей. В некоторых случаях вместо линейной зависимости εφψ = f(sin2ψ) наблюдается расщепление (рис. 6.2, б), когда точки для φ0, ψ и для φ = φ0+180, ψ лежат на разных кривых ψ+ и ψ−. Анализ показал, что этот эффект связан с необходимостью учета компонентов σ13 и σ23, т.е. ⎛ σ1 ⎜ σ=⎜ 0 ⎜σ ⎝ 13

0 σ2 σ23

σ13 ⎞ ⎟ σ23 ⎟ . σ3 ⎟⎠

(6.12)

6.3. Обобщённый подход к расчёту тензоров напряжений и деформации

В общем случае соотношение между любым измеренным значением относительной деформации и компонентами тензора деформации определяется с помощью так называемого фундаментального уравнения: ⎛ ε11 ε12 ε13 ⎞⎛ cosϕ ⋅ sinψ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ εφψ= (cosϕ ⋅ sinψ sinϕ ⋅ sinψ cosψ )⎜ ε12 ε 22 ε 23 ⎟⎜ sinϕ ⋅ sinψ ⎟ = ⎜ε ⎟⎜ ⎟ ⎝ 13 ε 23 ε 33 ⎠⎝ cosψ ⎠ 33

= ε11cos 2 ϕ ⋅ sin 2 ψ + ε12 sin 2ϕ ⋅ sin 2 ψ + ε 22 sin 2 ϕ ⋅ sin 2 ψ + + ε13 ⋅ cosϕ ⋅ sin 2ψ + ε 23 ⋅ sinϕ ⋅ sin 2ψ + ε 33 ⋅ cos 2 ψ ,

(6.13)

где εϕψ – измеренная деформация в направлении, определяемом углами ϕ и ψ, а ε11, ε12, ε22, ε13, ε23 и ε33 компоненты тензора в системе координат образца Х1Х2Х3, показанной на рис. 6.1 и 6.2. Подставляя в (6.13) σij вместо εij и вводя рентгеновские упругие постоянные (6.14) 1/2s2(hkl) = [(1 + ν)/E]hkl, s1(hkl) = (– ν/E)hkl, получим ε ϕψ ( hkl ) = 12 s 2 ( hkl )[( σ11cos 2 ϕ + σ12 sin 2ϕ + σ 22 sin 2 ϕ)]sin 2 ψ + 1

+ s 2 ( hkl )σ 33cos 2 ψ + s1 ( hkl )[σ11 + σ 22 + σ 33 ] + +

2 1 2

(6.15)

s 2 ( hkl )[σ13cosϕ + σ 23sinϕ]sin2ψ .

В уравнении (6.15) сдвиг брэгговского угла или изменение межплоскостного расстояния рассматриваются для каждой ориентации образца (ϕ , ψ). ϕ – определяет угол вращения вокруг нормали к плоскости образца N, а ψ – угол наклона, достигаемый либо путём ψ-вращения вокруг оси наклона на Ψ-дифрактометре, либо вращением вокруг оси поворота на Ω -дифрактометре (рис. 6.3).

а

б

Рис. 6.3. Геометрия дифракции для Ψ- (а) и Ω- (б) дифрактометров, предназначенных для измерения остаточных напряжений

34

В Ω-дифрактометре нормаль к поверхности образца в повернутом состоянии N' не является биссектрисой угла между s и s0, поэтому фокусировка по Брэггу–Брентану не выполняется. В тоже время в Ψ-дифрактометре фокусировка по Брэггу–Брентану сохраняется. Поскольку рентгеновское излучение проникает на некоторую глубину, мы измеряем деформацию <εϕψ>, усреднённую по толщине слоя, участвующего в формировании отражённого пучка s. Тогда уравнение (6.13) нужно записать в следующем виде: < ε ϕψ >=< ε11 > cos2ϕ ⋅ sin2 ψ + < ε12 > sin2ϕ ⋅ sin 2 ψ + < ε 22 > sin 2ϕ ⋅ sin2 ψ +

+ < ε13 > cosϕ sin 2ψ + < ε 23 > sinϕ sin 2ψ + < ε33 > cos 2ψ ,

где <εij> задается следующим выражением: < ε ij >= ∫ ε ij exp( − z/τ)dz/ ∫ exp( − z/τ)dz .

(6.16) (6.17)

Глубину слоя половинного ослабления рентгеновских лучей τ можно записать для Ψ- и Ω-дифрактометров, соответственно, как : τ ψ = sinθ cosψ/( 2μ) (6.18) τ ω = (sin 2 θ − sin 2 ψ )/( 2μ sinθ cosψ ) где μ – линейный коэффициент поглощения рентгеновского излучения с длиной волны λ. В изотропной упругой среде напряжение σij и деформация εij связаны следующими выражениями: σij = [E/(1+ν)]{εij + [ν/(1 – 2ν)](ε11 + ε22 + ε33)δij}, (6.19) εij = [(1+ν)/E]σij – (ν/E)(σ11 + σ22 + σ33)δij, где δij – символ Кронекера. Из уравнения (6.16) следует, что <εϕψ> является степенной функцией тригонометрических функций углов ϕ и ψ, т.е. <εϕψ> можно выразить через sinnψ или через sin(nϕ) и cos(nϕ), что и составляет основу ψ-дифференциального и ϕ-интегрального методов измерения тензора деформаций. Развитие ψ-дифференциального и ϕ-интегрального методов позволило оценить деформации (εij)0 и их градиенты (εij)(n)= dnεij/dzn в поверхностных слоях образца. Этот метод заключается в разложении <εij(z)> в ряд МакЛарена–Тейлора, как функцию глубины z, т.е. 35

<εij> = εij(z = 0)+ ∑ [d n ε ij (0)/dz n ] τ n .

(6.20)

n

6.3.1. ψ-Дифференциальный метод Используя соотношение cos2ψ = 1 – sin2ψ, уравнение (6.18) можно переписать в следующем виде: (6.21) <εϕψ> = αϕ + βϕsin2ψ + γϕsin2ψ, где αϕ = <ε33>, βϕ = <ε11>cos2ϕ + <ε22>sin2ϕ + <ε12> sin2ϕ – <ε33>, (6.22) γϕ = <ε13>cosϕ + <ε23>sinϕ. Если измерить <εϕψ> для положительных и отрицательных величин ψ, например, – 45° < ψ < + 45°, то можно записать следующие выражения: (а+)ϕψ = [<εϕψ>ψ>0 + <εϕψ>ψ<0]/2 = αϕ + βϕsin2ψ, (6.22) (а–)ϕψ = [<εϕψ>ψ>0 – <εϕψ>ψ<0]/2 = γϕ sin|2ψ|. Коэффициенты αϕ и βϕ можно оценить по методу наименьших квадратов из графика зависимости (а+)ϕψ от sin2ψ. Коэффициент γϕ можно получить из графика зависимости (а-)ϕψ от sin|2ψ|. При γϕ = 0, уравнение (6.21) описывает sin2ψ-метод. 6.3.2. ϕ-Интегральный метод Так как глубина слоя половинного поглощения τ (6.18) зависит только от угла наклона образца ψ, можно считать, что <εϕψ> является функцией угла ϕ. Используя соотношения 2cos2ϕ = 1 + cos2ϕ и 2sin2ϕ = 1 – cosϕ, из уравнения (6.16) можно получить: <εϕψ> = (A0)ψ/2 + (A1)ψcosϕ + (A2)ψcos2ϕ + +(B1)ψsinϕ + (B2)ψsin2ϕ, (6.24) где (A0)ψ = [<ε11> + <ε22>] sin2ψ + 2<ε33>cos2ψ, (A1)ψ = <ε13> sin2ψ, (6.25) (A2)ψ = (1/2) [<ε11> – ε22>] sin2ψ, (B1)ψ = <ε23> sin2ψ, (B2)ψ = <ε12> sin2ψ. 36

Очевидно, что уравнение (6.24) представляет ряд Фурье, коэффициенты которого можно определить из соотношений: (An)ψ =(1/π) ∫ <εϕψ> cos(nϕ)dϕ (6.26) (Bn)ψ =(1/π) ∫ <εϕψ> sin(nϕ)dϕ, когда деформации <εϕψ> измеряются в диапазоне углов от 0 до 2π. Ниже приведены величины остаточной деформации <εij> и остаточных напряжений <σij>, рассчитанных с использованием уравнения (6.19) и упругих констант Е = 188 ГПа и ν = 0.312 для отражения (310) и Е = 222 ГПа и ν = 0,277 для отражения (211) стального рельса. Деформация

Напряжения

⎛ < ε11 > < ε12 > < ε13 > ⎞ ⎜ ⎟ < ε 22 > < ε 23 > ⎟ ⎜ ⎜ < ε 33 > ⎟⎠ ⎝

⎛ < σ11 > < σ12 > < σ13 > ⎞ ⎜ ⎟ < σ 22 > < σ 23 > ⎟ ⎜ ⎜ < σ 33 > ⎟⎠ ⎝

ϕ-Интегральный метод – отражение (310)

⎛ 0.17 − 0.69 − 4.47 ⎞ ⎜ ⎟ − 8.61 0.91 ⎟ × 10 − 4 ⎜ ⎜ 2.17 ⎟⎠ ⎝

⎛ − 72 − 10 − 64 ⎞ ⎜ ⎟ − 198 13 ⎟ МПа ⎜ ⎜ − 43 ⎟⎠ ⎝

ψ-Дифференциальный метод - отражение (310)

⎛ 0.81 − 1.99 − 5.79 ⎞ ⎜ ⎟ − 10.22 0.54 ⎟ × 10 − 4 ⎜ ⎜ 2.09 ⎟⎠ ⎝

⎛ − 75 − 29 − 83 ⎞ ⎜ ⎟ − 234 8 ⎟ МПа ⎜ ⎜ − 67 ⎟⎠ ⎝

ϕ-Интегральный метод – отражение (211)

⎛ 0.60 − 0.05 − 4.79 ⎞ ⎜ ⎟ − 7.26 0.19 ⎟ × 10 − 4 ⎜ ⎜ 0.37 ⎟⎠ ⎝

− 83 ⎞ 1 ⎛ − 58 ⎜ ⎟ − 194 3 ⎟ МПа ⎜ ⎜ − 62 ⎟⎠ ⎝

Сопоставление приведенных результатов свидетельствует об удовлетворительной точности использованных методов измерения и расчёта компонент тензоров деформаций и напряжений. 37

6.4. Рентгеновские константы упругости в sin2ψ-методе

Фундаментальное уравнение (6.13), (6.15) рентгеновского анализа определения остаточных напряжений в поликристаллических материалах должно учитывать анизотропию упругих констант от направления [hkl] и особенности распределения кристаллитов в образце: ε ϕψ (hkl ) = 12 s2 (hkl )[(ε11cos 2 ϕ + ε12sin 2ϕ + ε 22sin 2 ϕ)sin 2 ψ + + ( ε13cosϕ + ε 23sinϕ)sin 2ψ + ε 33cos 2 ψ ] + s1 ( hkl )( σ11 + σ 22 + σ 33 )] . (6.27)

Для металлов кубической сингонии в приближении Фойгта:

s1V ( hkl ) =

s11 (2 s11 + 2 s12 − s 44 ) + s12 (3s 44 − 4 s12 ) , 2 s 44 + 6( s11 − s12 )

1 s V ( hkl ) = 5( s11 − s12 ) s 44 , 2 2 2 s 44 + 6( s11 − s12 )

а в приближении Ройсса: s1R ( hkl ) = s12 + Г( s11 − s12 − 12 s 44 ) , 1 s R ( hkl ) = s − s − 3Г( s − s − 1 s ) , 11 12 11 12 2 2 2 44

(6.28) (6.29)

(6.30) (6.31)

где Г=

h 2 k 2 + k 2l 2 + l 2 h 2 . (h 2 + k 2 + l 2 ) 2

(6.32)

Для гексагональной сингонии в приближении Фойгта:

s1V (hkl) =

3(4c44 − c11 − c33 − 5c12 − 8c13 ) , (6.33) (2c11 + c33 + 2c12 + 4c13 )(7c11 + 2c33 − 5c12 − 4c13 + 12c44 ) 15 1 sV ( hkl ) = , 2 2 7c11 + 2c33 − 5c12 − 4c13 + 12c44

(6.34)

а в приближении Ройсса: 2 s1R (hkl ) = 1 ( s12 + s13 ) + 1 ( s11 + s33 − s13 − s12 − s44 )l33 − 2 2 4 − 1 ( s11 + s33 − s44 − 2 s13 )l33 , 2

38

(6.35)

1 s R (hkl ) = 1 (2s − s − s ) − 1 (5s + s − 3s − 44 2 2 2 11 12 13 2 11 33 2 4 − s12 − 5 s13 )l33 + 3 ( s11 + s33 − s 44 − 2 s13 )l33 , 2

(6.36)

где l33 – косинус угла рассматриваемой нормали с нормалью к базисной плоскости. Коэффициенты упругости cij и податливости sij для некоторых материалов приведены в табл. 5.3, 5.4 и 6.1. Таблица 6.1 Коэффициенты податливости металлических материалов (10-6 ГПа-1)

Металл

Кубические монокристаллы s11 s44 s12

Металл s11

Гексагональные монокристаллы s33 s44 s12

s13

Al

157

351

–56,8

Ti

95,9

69,9

214

–46,2

19

Cu

150

133

–62,9

Be

34,6

29,8

61,5

–3,1

–1,3

Ag

232

229

–99,0

Cd

123

355

540

–15

–93

Au

233

238

–106,5

Co

47,2

31,9

132,4

–23,1

–6,9

Ni

73

80

–27,4

Hf

71,6

61,3

180

–24,8

–15,7

Pb

928

694

–424,0

Mg

220

197

610

–78,5

–50

Mo

28

91

–7,8

Zn

83,8

283,8

261

5,3

73,1

W

25,7

66

–7,29

α–Zr

100,1

80

313

–40

–24

Согласно теории Ройсса упругие константы, используемые в рентгеновских методах измерения макронапряжений, зависят от кристаллографического направления. Замечено, что экспериментальные величины упругих постоянных s1 и 1/2s2 лежат в интервале между значениями, вычисленными с использованием приближений Фойгта и Ройсса (табл. 6.2). Поэтому для расчёта напряжений обычно используют среднее арифметическое (правило Нирфельда) или среднее взвешенное значение упругих констант sV и sR: s N = 12 ( 2 sV + s R ) (6.37) 39

В табл. 6.2 и 6.3 приведены значения рентгеновских констант упругости для некоторых кубических и гексагональных металлов. Таблица 6.2 Рентгеновские константы упругости s1 и ½s2 для кубических металлов и сплавов (10-3 ГПа-1)

Металл

Отражающая плоскость (420)

Ni (313) Cu

(400)

Al

(420)

W

(222)

Сталь 0,39% C

(220)

Сталь 0,73% C

α-латунь β-латунь

(211) (310) (400) (310)

Константы упругости s1

Расчет по теории Фойгт

Ройсс

Нирфельд

Эксперимент

–1,20

–1,85

–1,52

–1,28

½s2

5,42

7,40

6,41

6,20

s1

–1,20

–1,13

–1,16

–1,18

½s2

5,42

5,20

5,31

5,45

s1

–2,22

–6,18

–4,20

–4,06

½s2

9,00

20,88

14,94

13,30

s1

–4,81

–5,04

–4,92

–5,34

½s2

18,67

19,31

18,96

20,04

s1

–0,72

–0,72

–0,72

–0,77

½s2

3,24

3,24

3,24

3,06

s1

–1,21

–1,28

–1,25

–1,30

½s2

5,52

5,72

5,62

5,52

s1

–1,21

–1,28

–1,25

–1,45

½s2

5,52

5,72

5,62

6,23

s1

–1,21

–2,23

–1,72

–1,81

½s2

5,52

8,59

7,06

7,34

s1

–2,25

–6,57

–4,41

–3,82

½s2

9,20

22,17

15,70

15,1

s1

–4,90

–12,5

–8,70

–4,45

½s2

9,45

39,7

24,58

19,8

40

Таблица 6.3 Рентгеновские константы упругости s1 и 1/2s2 для гексагональных металлов (10-3 ГПа-1)

Металл

Константы упругости

Ройсс Фойгт

(100)

(302)

(123)

(012)

(114)

(104)

0,0973, 0,1053, 07 03

(006) 0,13 3,05

Be

s1 ½s2

0,14 3,29

0,22 3,61

0,18 3,46

0,14 3,29

0,10 3,10

Cd

s1 ½s2

4,52 19,09

4,95 17,02

4,78 17,69

4,70 19,21

5,11 23,84

5,38 25,63

6,76 33,10

8,73 42,18

Co

s1 ½s2

1,36 5,81

1,47 6,11

1,57 6,42

1,63 6,62

1,53 6,32

1,45 6,11

1,11 5,08

0,68 3,81

Hf

s1 ½s2

1,91 8,76

1,99 9,01

2,01 9,08

2,02 9,08

1,94 8,82

1,91 8,70

1,74 8,17

1,54 7,55

Mg

s1 ½s2

6,34 28,30

6,28 27,86

6,57 28,80

6,80 29,54

6,67 29,30

6,53 28,91

5,82 26,88

4,91 24,23

Ti

s1 ½s2

2,70 11,14

3,20 12,61

3,09 12,31

2,93 11,83

2,60 10,86

2,50 10,57

2,17 9,61

1,86 8,72

Zn

s1 ½s2

2,01 10,52

3,14 11,18

2,50 10,29

1,89 9,997

1,87 12,82

2,14 14,47

3,95 22,67

6,87 34,04

α-Zr

s1 ½s2

3,30 13,34

3,14 13,05

3,47 13,99

3,75 14,73

3,74 14,57

3,64 14,24

3,08 12,48

2,35 10,20

41

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОГО ПОЛОЖЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОЙ ЛИНИИ

Рентгеновские дифракционные спектры I(2θ), получаемые как на отечественных, так и зарубежных дифрактометрах, обычно обнаруживают значительные флуктуации интенсивности, регистрируемые на последовательных шагах ее измерения (рис. 7.1,а). Эти флуктуации зависят, с одной стороны, от размера, числа и взаимного расположения отражающих зерен, а с другой стороны – от различных инструментальных факторов. Чем ниже интенсивность I(2θ) рентгеновского пучка, дифрагированного под углом 2θ, тем больше относительная величина флуктуаций вблизи этого угла. Чтобы избежать случайных ошибок при оценке начальных значений параметров рентгеновской линии, исходный спектр необходимо «сгладить», то есть, резкие флуктуации должны быть уменьшены посредством определенной математической процедуры, способствующей выявлению «истинного» характера функции I(2θ) (рис.7.1). Для одиночной сглаженной линии легко определить уровень фона, примерное угловое положение максимума интенсивности 2θ, значение максимальной интенсивности I0, её начальную полуширину В0 (рис. 7.1а). Далее, используя исходные оценочные параметры рентгеновской линии, проводится поиск истинных значений параметров рентгеновской линии Kα1 по экспериментально измеренным интенсивностям (т.е. с учётом флуктуаций измеряемой интенсивности рентгеновского отражения). Для этого аппроксимирующую функцию разлагаем в ряд Тейлора, из условия минимума суммарной величины среднеквадратичного отклонения аппроксимирующей функции от экспериментально измеренного профиля записываем систему уравнений относительно изменений 4 подбираемых параметров линии Kα1: 2θ, В1/2, Imax и доли функций Гаусса и Коши в аппроксимирующей функции g. Последовательные итерации позволяют подобрать оптимальные параметры профиля 42

рентгеновской линии Kα1 (рис. 7.1.б). Ошибка аппроксимации экспериментального профиля рентгеновской линии подобранной функцией рассчитывается как относительное отклонение интегральных интенсивностей указанных кривых.

Рис. 7.1. Последовательность обработки первичных данных: а – сглаживание экспериментальных данных, проведение линии фона, поиск исходных параметров линии; б: 1– исходные данные; 2, 3 – результат деления Kα1–Kα2-дублета; 4 – результат аппроксимации исходных данных; 5 – отклонение экспериментальных данных (кривая 1) от аппроксимирующей функции (кривая 4). Параметры рентгеновской линии: 2θ, Kα1, В1/2

Таким образом, обработка экспериментально полученных линий заключается в: - сглаживании профиля линии; - определении уровня фона; - разделении дублета линий Kα1 и Kα2 ; - выборе аппроксимирующей функции и последующей итерационной процедуре до достижения минимального среднеквадратичного отклонения аппроксимирующей функции от измеренной рентгеновской линии; - нахождении параметров рентгеновской Kα1-линии. Основными параметрами профиля рентгеновской линии являются: 43

максимальное значение интенсивности Kα1-линии Imax; угловое положение максимума линии 2θ; ширина линии на половине её высоты В1/2. Интегральная интенсивность и интегральная полуширина линии являются производными величинами. 8. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Экспериментально задача определения макронапряжений сводится к точному измерению межплоскостных расстояний, рассчитываемых по положению рентгеновских отражений от соответствующих плоскостей. Прецизионная область измерения межплоскостных расстояний соответствует большим значениям брэгговских углов. Современные дифрактометры позволяют определять межплоскостные расстояния с высокой точностью. К тому же автоматизация регистрации линии в пошаговом режиме и последующая математическая обработка данных существенно ускоряют проведение измерений и расчёта величины макронапряжений. 2. Прежде чем приступить к измерению напряжений, необходимо выяснить химический состав и структуру исследуемого образца, технологию обработки изделия, убедиться в корректности поставленной задачи. 3. Для съёмки рентгенограмм на дифрактометре следует использовать фокусировку по Брэггу–Брентано. С учётом материала образца выбрать излучение и определить индексы интерференционной линии, а также диапазон углов, в котором следует эту линию снимать. 4. Сделать серию съёмок под разными углами ψ: от 0 до 45 – 50° (угол поворота не должен превышать θ) с шагом 10°. Если образец укрепляется в приставке для неподвижных образцов, то из-за конструкции приставки в интервале углов ψ от 20 до 30° рентгеновский пучок перекрывается или проходит лишь частично. По дифрактометрическим кривым определить углы отражения при разных значениях ψ. Для обработки рентгеновских линий следует воспользоваться программой lines, позволяющей обсчитать 44

все линии. Исходные данные расположите в директории: d:/line/data. Следуйте за командной строкой программы. В результате работы программы формируется файл с необходимой информацией об измеренных линиях, а именно, угловое положение, интенсивность максимума, ширина на половине высоты линии, ошибки аппроксимации и т.п. Нас интересуют угловые положения линий. Таблица 8.1 Выбор излучения и углового диапазона для измерения напряжений

Материал образца α-Fe

Сплавы на основе γ-Fe Al Cu α-Ti α-Zr

Рекомендуемое излучение Co Kα1 Cr Kα1 Fe Kβ Fe Kα1 Cr Kβ Co Kα1 Cu Kα1 Cu Kα1 Co Kα1 Cu Kα1 Cu Kα1 Fe Kα1

HKL

θ

310 211 310 222 311 420 511 420 400 21.3 21.3 11.4

81°26′ 78°06′ 75°39′ 69°53′ 75°30′ 81°01′ 81°13′ 72°20′ 81°47′ 68°57′ 58°55′ 74°14′

5. По угловым положениям рассчитать межплоскостное расстояние, воспользовавшись формулой Вульфа–Брэгга. 6. Рассчитать εϕψ = (dϕψ – dϕ⊥)/ dϕ⊥ и методом наименьших квадратов построить прямую в координатах εϕψ – sin2ψ. Определить уравнение прямой. 7. Рассчитать рентгеновские константы упругости 1/2s2 в рамках приближений Ройса, Фойгта, Нирфилда и Хилла для выбранных отражающих плоскостей, используя данные табл. 5.1, 5.2, 6.1–6.3. 8. Рассчитать величину остаточных макронапряжений σϕ.

45

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие существуют методы измерения остаточных напряжений в металлических изделиях? 2. Чем определяется классификация остаточных напряжений? 3. Каковы основные принципы рентгеновского метода измерения напряжений? 4. В чём различия допущений в теориях расчёта упругих модулей по Ройсу и Фойгту? 5. Какие параметры кристаллической структуры влияют на упругие модули поликристаллических материалов? 6. В чём принципиальные различия измерения и расчёта тензора деформации ψ-дифференциальным и ϕ-интегральным методами? 7. Каковы основные допущения в sin2ψ-методе? 8. Как влияют макронапряжений на вид рентгенограммы? 9. В чём особенности рентгенографического определения макронапряжений? 10. Как следует выбирать упругие постоянные для расчёта напряжений? 11. Какое заключение можно сделать о напряжённом состоянии исследованного образца по результатам лабораторной работы?

46

Список использованной литературы 1. Биргер И.А. Остаточные напряжения. – М.: Машгиз, 1963. – 236 с. 2. Горелик С.С., Скаков Ю.А., Расторгуев Л.Н. Рентгенографический и электронно-оптический анализ. – М.: МИСиС, 2002. – 358 с. 3. Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния рентгеновских лучей. – М.: МГУ, 1972. – 246 с. 4. Комяк Н.И., Мясников В.Г. Рентгеновские методы и аппаратура для определения напряжений. – Л.: Машиностроение, 1972. – 87 с. 5. Островский Ю.И., Щепинов В.П. Голографические интерференционные методы измерения деформаций. – М.: Наука, 1988. – 229 с. 6. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения теория и приложения. – М.: Наука, 1982. – 110 с. 7. Рентгенография в физическом металловедении. / Под ред. Багаряцкого Ю.А. – М.: ГНТИЛ по черной и цветной металлургии, 1961. – 368 с. 8. Русаков А.А. Рентгенография металлов. – М.: Атомиздат, 1977. – 480 с. 9. Тейлор А. Рентгеновская металлография. – М.: Металлургия, 1965. – 663 с. 10. Хейкер Д.М., Зевин Л.С. Рентгеновская дифрактометрия. – М.: ГИФМЛ, 1963. – 380 с.

47

Исаенкова Маргарита Геннадьевна Перлович Юрий Анатольевич Скрытный Владимир Ильич Яльцев Валерий Николаевич

РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКРОНАПРЯЖЕНИЙ

Редактор Е. Н. Кочубей

Подписано в печать 26.10.2007. Формат 60×84 1/16. Уч.-изд. л. 3,0. Печ. л. 3,0. Тираж 200 экз. Изд. № 4/10. Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет). 115409, Москва, Каширское шоссе, 31 Типография издательства «Тровант», г. Троицк, Московская обл.