Введение в функциональное программирование

ДУШКИН Роман Викторович [email protected] http://roman-dushkin.narod.ru/ ФП 02005-05 01 Майк Гордон (Mike Gordon) Взам...

Author: Гордон М.

4 downloads 96 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

DOWNLOAD .DOCX DOWNLOAD .PPTX

ДУШКИН Роман Викторович [email protected] http://roman-dushkin.narod.ru/

ФП 02005-05 01 Майк Гордон (Mike Gordon)

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

University of Cambridge [email protected]

Инв. № подл.

Подп. и дата

http://www.cl.cam.ac.uk/users/mjcg/

2006

Копирова

Формат

АННОТАЦИЯ

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Ключевые слова:

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум. Разраб. Душкин Р. Пров. Н. контр. Утв.

Подп. Дата

Лит. Функциональное программирование Копирова

Лист Листов 2 79

Формат

ФП 02005-05 01

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАГОЛОВОК 1 .......................................... ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. 1.1. Заголовок 2 .............................................................Ошибка! Закладка не определена. 1.1.1. Заголовок 3 .................................................................. Ошибка! Закладка не определена.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

ПРИЛОЖЕНИЕ A .......................................... ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

3

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

—

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

4

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

1. ВВЕДЕНИЕ В λ-ИСЧИСЛЕНИЕ λ-исчисление ( или лямбда-исчисление) – это теория функций, первоначально разработанная логиком Алонзо Чёрчем для обоснования математики. Работа проводилась в 1930х годах, за несколько лет до появления цифровых вычислительных машин. Немного раньше, в 1920х годах, Мосес Шонфинкель разработал другую теорию функций, основанную на “комбинаторах”. В 1930х годах, Хаскел Карри доработал и расширил теорию Шонфинкеля и доказал её эквивалентность λ-исчислению. Приблизительно в это же время, Клин показал что λ-исчисление является универсальной вычислительной системой. Она была одной из первых среди подобных систем, подвергшихся тщательному анализу. В 1950х годах λ-исчисление подвигло Джона Маккарти на создание языка программирования LISP. В начале 1960х годов Питер Ландин показал, как можно описать императивные языки программирования, переведя их в λ-исчисление. Кроме того, им был разработан важный прототип языка программирования ISWIM. Эта работа ввела основные нотации функционального программирования и повлияла на разработку как императивных, так и функциональных языков программирования. Основываясь на этой работе, Кристофер Страчей заложил основы для такой важной области как денотационная семантика . Техническая сторона работы Страчей, сподвигла логика Дана Скотта на создание теории доменов, которая в настоящее время является одним из самых важных разделов теоретических компьютерных наук. В 1970-х годах Петер Хендерсон и Джим Моррис продолжили работу Ландина и написали несколько важных статей о преимуществах использования функционального программирования для разработки программного обеспечения. Приблизительно в это же время Девид Тёрнер предложил использовать комбинаторы Карри и Шонфинкеля в качестве машинного кода компьютеров для реализации функциональных языков программирования. Такие компьютеры могут использовать математические свойства λ-исчисления для параллельного выполнения программ. В 1980х годах несколько исследовательских групп использовали идеи Хендерсона и Тёрнера для практической реализации функционального программирования, разработав специальную архитектуру для его поддержки (некоторые из которых содержали несколько процессоров). Таким образом, мы видим, что эта неприметная ветвь математической логики лежит в основе важных разработок в теории языков программирования, таких как: 1)Изучение фундаментальных вопросов обработки данных. 2)Разработка языков программирования. 3)Семантика языков программирования. 4)Архитектура компьютеров.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

5

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

1.1 Синтаксис и семантика λ-исчисления. λ-исчисление – это нотация для определения функций. Выражения в этой нотации называются λ-выражениями, и каждое такое выражение обозначает функцию. В дальнейшем будет понятно как можно использовать функции для представления большого разнообразия данных и структур данных, таких как числа, пары, списки и т.п. В частности, будет показано как можно представить случайную пару чисел (х,y) с помощью λ-выражения. Примем следующие соглашения об обозначениях: мнемонические названия, соответствующие λ-выражениям, будем обозначать жирным шрифтом, или подчёркнутым текстом; например, 1 – это λ-выражение (см. 2.3), используемое для обозначения числа 1.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Существуют 3 вида λ-выражений: 1. Переменные: x, y, z и т.д. Функции, соответствующие переменным, определяются тем, какие переменные связаны в этой окрестности. Связывание производится абстракциями(см. ниже). Мы будем использовать V, V1, V2 для обозначения произвольных переменных. Апликации функций или комбинации: Если Е1 и Е2 – λ-выражения, то (Е1 Е2) – также λ-выражение; это означает результат приложения функции, обозначенной Е1 к функции, обозначенной Е2. Е1 называется “ратором” ( от английского operator), а Е2 называется “рендом” ( от английского operand). Например, если ( m, n ) функция представленная парой чисел m и n ( см. 2.2 ), а sum – дополнительная функция λ-исчисления ( см. 2.5 ), тогда приложение (sum(m,n)) означает m+n . ( Необходимо заметить, что sum – это λ-выражение, тогда как “+” – математический символ “метаязыка”( в нашем случае – русского), который мы используем в λ-исчислении). 3. Абстракции: Если V – переменная, а Е - λ-выражение, то λV.E – это абстракция со связанной переменной V и телом Е. Такая абстракция представляет собой функцию с аргументом a, которая в качестве результата возвращает функцию Е, в окружение, где связанная переменная V означает а. Или, другими словами, абстракция λV.E представляет собой функцию, которая преобразовывает аргумент E’ в E[E’/V] ( результат замены E’ на V в Е, см. 1.8). Например , λx. Sum (x,1) является функцией добавления единицы.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

6

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Используя БНФ, синтаксис λ-выражений можно представить следующим образом: < λ-выражение> ::= <переменная> | (<λ-выражение>< λ-выражение>) | ( λ<переменная>.< λ-выражение>) Если V принадлежит синтаксическому классу <переменная> и Е, Е1, Е2 и т.д. принадлежат синтаксическому классу < λ-выражение >, тогда БНФ-нотация упрощается до : E ::= V|(E1 E2)| λV.E, Где V- переменные, ( Е1 Е2 ) – апликации, λV.E – абстрации.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Приведенное описание значения λ-выражений, является нечетким и интуитивным. Логикам (см. Дана Скотт[32]) понадобилось 40 лет для того, чтобы составить строгое описание. Мы не будем углубляться в этот вопрос. Пример:

( λx.x ) представляет собой “тождественную функцию” : (( λx.x)E) = E.

Пример: ( λx. (λf. (f x))) является функцией, которая , будучи применена к Е , даёт (λf. (f x))[E/x], т.е. (λf.(f E)). Последняя, будучи в свою очередь применена к E’ даёт (f E)[E’/f] т.е. (E’ E). Таким образом: ((λx. ( λf. (f x))) E) = (λf. (f E)) и ((λf. (f E)) E') = (E' E). Упражнение 1 Дайте описание функции (λx. ( λy. y)). Пример: В 2.3 дано описано как числа можно представить λ-выражениями. Предположим это уже сделано и 0, 1, 2 , … - λ-выражения, которые соответственно представляют 0, 1, 2 , … . Предположим также , что add - λвыражение, удовлетворяющее условию: ((add m) n) = m+n.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

7

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Тогда (λx. ((add 1) x)) является λ-выражением, представляющем собой функцию, которая преобразует n в 1+n , а (λx. (λy. ((add x) y))) представляет собой λ-выражение, которое переводит m в функцию, которая, будучи применена к n , даёт m+n , т.е. λy. (add m)y)). Связь между функцией sum, описанной в начале раздела, и функцией add в предыдущем примере будет объяснена в 2.5.

1.2 Соглашение об обозначениях Следующие соглашения призваны минимизировать количество скобок в выражениях: 1. Применение функций начинается слева, т.е. Е1 Е2 … Еn означает (( … ( E1 E2) … ) En). Например:

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

E1 E2 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E4

означает ( E1 E2) означает ((E1 E2) E3) означает (((E1 E2) E3) E4)

2. λV.E1 E2 … En означает (λV. (E1 E2 … En)). Таким образом, границы “ λV” уходят вправо так далеко , насколько это возможно. 3. λV1 … Vn. E означает (λV1. ( … . (λVn. E) … )). Например: λx y. E λx y z. E λx y z w. E

означает (λx. ( λy. E)) означает (λx. ( λy. (λz. E))) означает (λx. ( λy. (λz. (λw. E))))

Пример: λx y. add y x означает (λx. (λy. ((add y) x))).

1.3 Свободные и связанные переменные Вхождения переменной V в λ-выражение называется свободным если она не входит в “λV” , иначе оно называется связанным. Например: ( λx. y x) ( λy. x y) 1

1

Инв. № подл.

2

2

1- свободная, 2- связанная

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

8

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

1.4 Правила конверсии

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

В Главе 2 будет объяснено как можно использовать λ-выражения для представления объектов данных, таких как числа, строки и т.п. Например, арифметическое выражение (2 + 3) х 5, также как и его “значение” 25 , может быть представлено как λ-выражение. Процесс “упрощения” (2 + 3) х 5 до 25 будет представлен процессом, который мы назовём “конверсией” (или редукцией). Правила λ-конверсии, описанные ниже, несмотря на то, что они носят весьма общий характер, будучи применены к λ-выражениям, которые представляют арифметические выражения, моделируют арифметические вычисления. Существуют 3 типа конверсии : α-конверсия, β-конверсия и η-конверсия ( почему они получили такие названия – неизвестно). Согласно правилам конверсии, нотация E[E'/V] используется для обозначения замены E' на каждое свободное вхождение V в Е. Замена называется эффективной , тогда и только тогда, когда ни одна из свободных переменных в E' не становится связанной в E[E'/V]. Более подробно замена описывается в 1.8. Правила λ-конверсии. • α-конверсия. Любая абстракция вида λV.E может быть преобразована в λV'. E [V'/V] при условии , что замена V' на V является эффективной. • β-конверсия. Любая аппликация вида (λV. E1) E2 может быть преобразована в E1[ E2/V] , при условии, что замена E2 на V в E1 является эффективной. • η-конверсия Любая абстракция вида λV. ( E V ) , в которой нет свободных вхождений V в E, может быть преобразована в E. Мы будем использовать следующие нотации:

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

9

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

• E1 → E2, означает α-конверсию E1 в E2. α

• E1 → E2, означает β-конверсию E1 в E2. β

• E1 → E2, означает η-конверсию E1 в E2. η

В 1.4.4 эти нотации будут расширены. Самым важным типом конверсии является β-конверсия; именно её можно использовать для моделирования механизма случайных вычислений.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

α-конверсия используется для технической манипуляции связанными переменными, η-конверсия иллюстрирует тот факт, что две функции которые при одинаковых аргументах всегда выдают одни и тоже результаты, являются эквивалентными. ( см. 1.7). Следующие три подраздела, дают более развернутое описание и примеры всех трёх типов конверсий ( обратите внимание, что “конверсия” и ”редукция” используются как синонимы).

1.4.1 α-конверсия λ-выражение ( обязательно абстракция ), к которому может быть применена α-конверсия, называется α-редексом. “Редекс” расшифровывается как “ выражение, допускающее уменьшение ” ( от английского “reducible expression”). Правило α-конверсии утверждает, что связанные переменные могут быть переименованы при отсутствии “коллизий”. Пример:

λx. x → λy. y α

λx. f x → λy. f y α

Инв. № подл.

Подп. и дата

Неверно , что λx. λy. add x y → λy. λy. add y y α

потому что замена (λy. add x y) [y/x] не является эффективной, т.к. у, который заменяет х, становится связанным. Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

10

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

1.4.2 β-конверсия λ-выражение ( обязательно аппликация ), к которому можно применить βконверсию, называется β-редексом. Правила β-конверсии аналогично вызову функции в языках программирования: тело Е1 функции λV.E1 вычисляется в окружении, в котором “формальный параметр ” V привязан к “фактическому параметру” E2. Пример:

(λx. f x ) E → f E β

(λx. (λy. add x y)) 3 → λy. add 3 y β

(λy. add 3 y) 4 → add 3 4 β

Неверно что

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(λx. (λy. add x y)) ( square y) → λy. add (square y) y потому что замена ( λy. add x y )[( square y)/x] не является эффективной т.к. y свободна в (square y) ,но становится связанной после замены на х в (λy. add x y ). Требуется практика, для того что правильно проанализировать λ-выражение, следуя соглашениям, приведенным в 1.2, для того чтобы определить β-редексы. Например, рассмотрим аппликацию: (λx. λy. add x y) 3 4. расстановка скобок, согласно соглашениям, приводит выражение к такому виду: (((λx. (λy. (( add x) y ))) 3) 4) Это выражение можно переписать в виде: ((λx. E) 3) 4 ,

где E = (λy. add x y)

(λx. E) 3 является β-редексом и может быть приведено к E[3/x].

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

11

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

1.4.3 η-конверсия λ-выражения ( обязательно абстракция ) , к которым может быть применена η-редукция называются η-редексами. В правилах η-конверсии говорится, что две функции являются эквивалентными, если они, будучи применены к одинаковым аргументам, дают одинаковые результаты. Это свойство называется экстенсиональностью и будет обсуждаться в 1.7. Например, η-конверсия, обеспечивает, что λx. (sin x) и sin соответствуют одной и той же функции. В общем виде, λV. (E V) представляет собой функцию, которая будучи применена к аргументу E' , даёт (E V)[E'/V]. Если у V нет свободных вхождений в E, тогда (E V)[E'/V] = (E E'). Таким образом, λV. E V и E дают один и тот же результат – E E' , когда применяются к одинаковым аргументам, из этого следует , что они соответствуют одной функции. Пример:

λx. add x → add

Подп. и дата

η

λy. add x y → add x η

Неверно что λx. add x x → add x

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

η

потому что переменная х – свободна в add x.

1.4.4 Обобщенные конверсии Определения → , → и → могут быть сведены к следующему: α

β

η

• E1 → E2 , если Е2 можно получить из Е1, α-конверсией какого- либо α подвыражения . • E1 → E2 , если Е2 можно получить из Е1, β-конверсией какого- либо β подвыражения . • E1 → E2 , если Е2 можно получить из Е1, η-конверсией какого- либо η подвыражения .

Инв. № подл.

Примеры

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

12

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

((λх. λy. add х у) 3) 4 → (λy. add 3 y) 4 β

(λy. add 3 y) 4 → add 3 4 β

Первое из этих выражений представляет собой β-конверсию в обобщенном виде, т.к. (λy. add 3 y) 4 получено из выражения ((λx. λy. add x y) 3 4 (которое само по себе не является β-редексом), сокращением подвыражения (λx. λy. add x y) 3 . Иногда мы будем записывать последовательность конверсий. Тогда пример, описанный выше будет выглядеть так: ((λx. λy. add x y) 3) 4 → (λy. add 3 y) 4 → add 3 4 β

β

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Упражнение 2 Какие из трех данных β-конверсий являются обобщенными конверсиями ( т.е. редукциями подвыражений ) и какие являются конверсиями, по определению данному в 1.4? (i)

(λx. x ) 1 → 1 β

(ii)

(λy. y) ((λx. x ) 1 ) → (λy. y) 1 → 1 β

(iii)

β

(λy .y) ((λx. x) 1 ) → (λx. x) 1 → 1 β

β

В редукциях (ii) и (iii) в данном упражнении, несмотря на то ,что они начинаются с одного и того же λ-выражения, редукция происходит в разных последовательностях. Важным свойством β-редукций является то, что неважно в какой последовательности их проводить – результат всегда будет один и тот же. Если есть несколько отдельных редексов в выражении , редукцию можно выполнять параллельно. Необходимо заметить, что некоторые последовательности редукций, могут никогда не завершиться. Это будет обсуждаться в связи с Теоремой Нормализации в 2.9. В настоящее время, разработка процессора, используещего параллельные вычисления для ускорения работы функциональных программ

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

13

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

является важной научно-исследовательской задачей в “вычислительной технике пятого поколения”.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

1.5 Эквивалентность λ-выражений Три правила конверсии определяют значение λ-выражений, т.е. если Е1 можно преобразовать в Е2, то Е1 и Е2 соответствуют одной и той же функции. Это свойство конверсий должно быть интуитивно понятно. Можно дать математическое определение функции соответствующей λ-выражению и затем доказать, что она остаётся неизменной при α-, β- и η-конверсиях. Как показала практика, сделать это оказалось достаточно трудно [33] и мы оставим это за рамками данной книги. Мы просто определим, что два λ-выражения являются эквивалентными, если они могут преобразованы друг в друга последовательностью λ-конверсий. Важно понимать разницу между эквивалентностью и тождественностью. Два λ-выражения тождественны , если они состоят из одних и тех же символов в одинаковой последовательности; выражения эквивалентны, если их можно преобразовать одно в другое. Например, λx. x эквивалентно λy. y, но не тождественно. Будем использовать следующие обозначения: • E1 ≡ E2, означает тождественность E1 и E2. • E2 = E2, означает эквивалентность E1 и Е2. Эквивалетность (=) можно определить в терминах тождественности (≡) и конверсий ( → , → и → ) следующим образом. α

β

η

Эквивалентность λ-выражений

Если Е и Е' – λ-выражения, тогда Е = Е' , если Е ≡ Е' или существуют выражения Е1, Е2 , … , Еn такие что: 1. Е ≡ Е1 2. Е' ≡ En 3. Для каждого i либо (а) Ei →Ei+1 или Ei →Ei+1 или Ei → Ei+1 , либо α

(b)

β

η

Ei+1 → Ei или Ei+1 → Ei или Ei+1 → Ei α

β

η

Инв. № подл.

Примеры

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

14

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

(λx. x) 1 = 1 (λx. x) (( λy. y) 1) = 1 (λx. λy. add x y) 3 4 = add 3 4 Из определения (=) следует, что:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(i) Для любого Е, верно что Е = Е (эквивалентность рефлексивна). (ii) Если Е = Е' , тогда E' = E (эквивалентность симметрична). (iii) Если Е = Е' и E' = E'' , тогда E = E'' (эквивалентность транзитивна). Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности. Таким образом, (=) – отношение эквивалентности. Другое важное свойство (=) состоит в том, что если Е1 = Е2 и если Е1′ и E2′– два λвыражения, которые отличаются только тем, что в той части где E1′ содержит E1, у E2′ содержится E2, тогда E1′ = E2′. Данное свойство получило название свойства Лейбница. Это свойство выполняется, поскольку можно использовать одинаковую последовательность редукций как для перехода от Е1 к Е2 , так и для перехода от Е1′ к E2′. Например, если E1 = E2 , тогда по правилу Лейбница λV. E1 = λV. E2. Необходимо, чтобы замена в α- и β-редукциях была эффективной. Требование эффективности не выполняется, например, при α-редукции λx. (λy. x) к λy. (λy. y) (т.к . y становится связанной после замены на x в λy. x). Если была бы произведена такая “некорректная” замена, тогда из определения (=) следовало бы, что: λx. λy. x = λy. λy. y Но тогда так как (λx. (λy. x)) 1 2 → (λy. 1) 2 → 1 β

β

и (λy. (λy. y)) 1 2 → (λy. y) 2 → 2 β

β

и получается , что 1 = 2. В общем случае, если подставить вместо 1 и 2 любые два выражения, можно доказать, что они равны! Упражнение 3 Показать на примере, что если допустить неэффективную замену в βредукции , то тогда следует что любые два λ-выражения равны.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

15

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Пример : Если V1, V2 , … , Vn не равны друг другу и не имеют свободных вхождений в E1, E2, … , En , тогда (λV1 V2 … Vn. E) E1 E2 … En = (( λV1. (λV2 … Vn. E)) E1) E2 … En → (( λV2 … Vn. E)[E1/V1])E2 … En β

= ( λV2 … Vn. E [E1/V1]) E2 … En . . .

= E[E1/V1] [E2/V2] … [En/Vn]

Где было, в последнем примере, сделано предположение что V1, V2, … , Vn различны не имеют свободных вхождений в E1, E2, … , En ? Упражнение 5 Покажите на примере, что если V1= V2, то тогда даже если V2 имеет свободные вхождения в E1, необязательно будет выполняться (λV1V2. E) E1 E2 = E [E1/V1][E2/V2] Упражнение 6 Покажите на примере, что если V1 ≠ V2, но V2 имеет свободные вхождения в E1 , необязательно будет выполняться

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Упражнение 4

(λV1V2. E) E1 E2 = E [E1/V1][E2/V2]

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

16

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

1.6 Отношение → В предыдущем разделе, было определено , что при Е1 = Е2 , Е2 можно получить из Е1 последовательностью прямых или обратных конверсий. Особый случай этого отношения – когда Е2 можно получить из Е1 только последовательностью прямых конверсий. Записывается это как Е1 → Е2. Определение → Если Е и E’ – λ-выражения, тогда Е → E' , если E ≡ E' или существуют выражения Е1, Е2, … , En такие что: 1. Е ≡ Е1 2. Е′ ≡ En 3. Для каждого i либо Ei → Ei+1 , либо Ei → Ei+1 , либо Ei → Ei+1 .

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

α

β

η

Обратите внимание, что определение (→) аналогично определению (=), отличие лишь в отсутствии части (b). Упражнение 7 Найти Е, Е′ , такие что Е=E′ , но не E → E′. Упражнение 8(повышенной сложности) Показать, что если Е1 = Е2 , тогда существует такое Е, что Е1 → Е и Е2 → Е. ( Это свойство называется теоремой Чёрча – Россера. Некоторые из следствий из этой теоремы будут обсуждаться в 2.9.)

Инв. № подл.

Подп. и дата

1.7 Экстенсиональность Предположим, что V не имеет свободных вхождений в Е1 или Е2 и Е1 V = E2 V Тогда по правилу Лейбница

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

17

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λV. E1 V = λV. E2 V И после применения η-редукции к обеим частям выражения получаем Е1 = Е2 Часто бывает удобным, используя это свойство, доказать, что два λвыражения эквивалентны, т.е. доказать что Е1 = Е2. Это можно сделать доказав, что Е1 V = E2 V для какого-либо V, не имеющего свободных вхождений в Е1 или Е2. Это свойство называется экстенсиональностью. Упражнение 9 Показать что (λf g x. f x (g x )) (λx y. x) (λx y. x) = λx. x

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

1.8 Замена В начале 1.4 , мы определили E[E′/V] как результат замены E′ на каждое свободное вхождение V в E. Было сказано , что такая замена будет эффективной, если ни одно из свободных E′ не становится связанным в E[E′/V]. В определениях α- и β-конверсий было оговорено, что замены должны быть эффективными. Так, например ( λV. E1) E2 → E1[E2/V] β

остаётся верным, пока замена E1[E2/V] остаётся эффективной. Было бы удобно расширить значение E[E′/V] , таким образом, чтобы нам не надо было заботиться об эффективности замены. Этого можно достигнуть введением следующих свойств для всех выражений Е, Е1 и Е2 и всех переменным V и V' : (λV. E1) E2 → E1[E2/V] и λV. E → λV′. E[V′/V] Для того, чтобы обеспечить выполнение этого свойства, E[E′/V] определяется рекурсивно на основе структуры E следующим образом:

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

18

Подп. Дата Копирова

Формат

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

ФП 02005-05 01

E

E[E'/V]

V V′ E1 E2 λV. E1

E′ V′ E1[E'/V] E2[E′/V] λV. E1

( где V ≠ V′)

λV′.E1

( где V ≠ V′ и V′ не λV′. E1[E′/V] имеет свободных вхождений в E′)

λV′.E1

(где V ≠ V′ и V′ не λV′′. E1[V′′/V′] [E′/V′] , где V′′ – имеет свободных переменная, не имеет вхождений в E′) свободных вхождений в E′ или E1

Такое подробное определение E[E′/V] основано (но не совпадает ) с определением из Appendix C [2]. Для того, чтобы показать как это работает, рассмотрим (λy. y x)[y/x]. Т.к. y свободна в y, применяется последний случай из таблицы. Т.к. z не встречается в y x или y имеем: (λy. y x)[y/x] ≡ λz. (y x)[z/y][y/x] ≡ λz. (z x) [y/x] ≡ λz. z y

В последнем случае из таблицы, выбор V′′ не определен. Подойдет любая переменная, не имеющая свободных вхождений E′ или Е1. Замена хорошо освещена в книге Хиндей и Селдина[19], где приведены формулировки и доказательства различных технических свойств. Следующее упражнение взято из этой книги. Упражнение 10 Используйте таблицу для решения

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

19

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

(i) (λy. x (λx. x)) [( λy.y x) /x]. (ii) (y (λz. x z)) [(λy. z y) /x].

Довольно очевидно ( хотя и несколько утомительно ), доказательство того , что из определения E[E’/V], приведенного выше, действительно : (λV. E1) E2 → E1 [E2/V] и (λV.E → λV′. E[ V′/V]

Подп. и дата

для всех выражений E, E1 и E2 и для всех переменных V и V′. В Главе 3 будет показано, как теорию комбинаторов можно использовать для разложения достаточно сложных замен на более простые операции. Вместо комбинаторов можно использовать так называемые безымянные элементы Де Брейна[6]. Его идея состоит в том, что переменные можно представить как “указатели” на λ , которые связывают их. Вместо того, чтобы “помечать” λ именами (т.е. связанными переменными) и затем указывать на них через эти имена, можно указывать на соответствующую λ , определяя количество уровней “вверх” которых нужно пройти, чтобы достичь их. Например, λx. λy. x y будет представлено как λλ2 1. В качестве более сложного примера, рассмотрим следующее выражение, в котором мы определяем количество уровней, разделяющих переменную и λ, к которой она привязана.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

3 2

λx. λy. x y (λy. x y y) 1

В нотации Де Брейна

1

λλ2 1 λ3 1 1.

Свободная переменная в выражении, представляется числом, большим, чем глубина λs над ней; различные свободные переменные задаются различными числами. Например, λx. (λy. y x z) x y w будет представлено как

Инв. № подл.

λ (λ1 2 3) 1 2 4 Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

20

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Т.к. есть лишь две λ, над вхождением 3, это число обозначает свободную переменную; похожим образом, есть лишь одна λ над вторым вхождением 2 и вхождением 4, значит они тоже должны соответствовать свободным переменным. Заметим, что 2 нельзя использовать для отображения w , т.к. оно уже было использовано для отображения свободной переменной y; таким образом, мы выбираем первое свободное число больше чем 2 ( 3 уже используется для отображения z). Следует быть внимательным, и назначать достаточно большие числа свободным переменным. Например, первое вхождение z в λx. z (λy. z) можно представить 2, но второму вхождению нужно 3 ; так как, это одна и та же переменная, мы должны использовать 3. Пример : По схеме Де Брейна λx. x (λy. x y y) будет представлено λ1(λ2 1 1).

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Упражнение 11 Каким λ-выражением представляется λ2(λ2) ? Упражнение 12 Опишите алгоритм вычисления по Де Брейну представления выражения E[E′/V] из представления E и E′.

Глава 2 Различные представления в λ-исчислении. На первый взгляд, λ-исчисление может показаться очень примитивным языком. Но его можно использовать для представления большинства объектов и структур нужных в современном программировании. Для этого следует задать эти объекты и структуры таким способом, чтобы у них были необходимые свойства. Например, для того чтобы представить значения истинности true и false булевской функции ¬ (“не”), λ-выражения true, false и not наделены такими свойствами: not true = false not false = true

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

21

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Для того, чтобы представить булевскую функцию ∧ (“и”) , λ-выражения and наделены такими свойствами: and true true = true and true false = false and false true = false and false false = false Для того, чтобы представить булевскую функцию ∨ (“или”) , λ-выражения or наделены такими свойствами:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

or true true = true or true false = true or false true = true or false false = true λ-выражения , используемые для представления вещей могут показаться на первый взгляд абсолютно немотивированными. Но определения выбираются таким образом, чтобы они работали согласованно. Мы будем писать LET ~ = λ-выражение

для того, чтобы ввести ~ как новую нотацию. Обычно ~ будет просто именем, как tru или and. Такие имена написаны жирным шрифтом или подчёркнуты, чтобы отличать их от переменных. Так, например, true – переменная, а true это λ-выражение λx. λy. x (см. 2.1), а 2 – число , в то время как 2 это λ-выражение λf x. f (f x) ( см. 2.3). Иногда ~ будет использована как более сложная форма, как условная нотация ( Е → E1 | E2 ).

2.1 Значения истинности и условные высказывания. В этом параграфе λ-выражения true, false, not и ( E → E1 | E2 ) наделены такими свойствами: not true = false not false = true (true → E1| E2 ) = E1 (false → E1 | E2 ) = E2

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

22

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λ-выражения true и false представляют значения истинности true и false , not представляет функцию ¬ “не”, а ( E → E1 | E2 ) представляют условное высказывание, “Если Е , тогда Е1, иначе Е2”. Существует бесконечное множество работающих способов представления значений истинности и отрицания; те, которые мы приведем являются традиционными и выработаны логиками за длительное время. LET true = λx. λy. x LET false = λx. λy. y LET not = λt. t false true

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Легко использовать правила λ-конверсии для того, чтобы показать что эти определения обладают нужными свойствами. Например: not true = (λt. t false true ) true = true false true = (λx. λy. x) false true = (λy. false) true = false

(по определению not) ( β-конверсия) ( по определению true) ( β-конверсия ) ( β-конверсия )

Подобным образом, not false = true . Условные выражения ( E → E1 | E2 ) можно определить следующим образом: LET ( E → E1 | E2 ) = ( E E1 E2 ) Это означает , что для любого λ-выражения Е , Е1 и Е2 , ( E → E1 | E2 ) означает ( E E1 E2 ). Условные высказывания работают корректно: ( true → E1 | E2 ) = true E1 E2 = (λx y. x) E1 E2 = E1 и ( false → E1 | E2 ) = false E1 E2 = (λx y. y) E1 E2 = E2

Инв. № подл.

Упражнение 13

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

23

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Предположим, and – λ-выражение λx y. ( x → y | false ). Показать что: and true true = true and true false = false and false true = false and false false = false

Упражнение 14 Придумайте такое λ-выражение or что:

2.2 Пары и кортежи Следующие аббревиатуры представляют пары и n-кортежи в λ-исчислении. LET fst = λp. p true LET snd = λp. p false LET ( E1 E2 ) = λf. f E1 E2 (E1 E2 ) – λ-выражения представляющие упорядоченную пару, чей первый компонент ( т.е. Е1 ) доступен из функции fst , а второй из snd. Следующие вычисления показывают, как взаимодействуют различные описания для получения правильного ответа.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Or true true = true Or true false = true Or false true = true Or false false = false

fst ( E1, E2 ) = (λp . p true ) (E1 E2) = (E1, E2 ) true = (λf. f E1 E2 ) true = true E1 E2 = (λx y.x ) E1 E2

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

24

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

= E1 Упражнение 15 Показать, что snd ( E1, E2 ) = E2 Пара представляет собой структуру данных из двух компонент. Обобщение на n компонент называется n-кортежом и легко определяется с помощью пар. LET ( E1, E2 , … , En ) = ( E1, ( E2, ( … ( En-1, En) … ))) (E1, … , En) – n-кортеж с компонентами E1, … ,En и длиной n. Пары – это 2кортежи. Аббревиатуры определенные ниже, предоставляют способ извлечения компонент из n-кортежей. n

LET E ↓ 1 = fst E LET E ↓ 2 = fst ( snd E) . . . n LET E ↓ i = fst ( snd(snd( … ( snd E) … ))) ------------------------

(если i < n )

i-1 snds

. . . n LET E ↓ snd(snd( … (snd E) … ))) -------------------i-1 snds

Легко показать, что эти определения работают, например: n

n

(E1,E2, … , En)↓ = (E1,(E2,(…)))↓1 = fst (E1,(E2,(…))) = E1 n

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

n

n

(E1,E2, … En)↓2 = (E1,(E2,(…)))↓2 = fst (snd ( E1,(E2,(…)))) = fst (E2,(…)) = E2

Инв. № подл.

n

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

25

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

В общем случае (E1, E2, … ,En)↓i =Ei для любого i такого, что 1 ≤ i ≤ n.

Соглашение n

Обычно мы будем писать просто Е ↓ i вместо E ↓ i , когда очевидно что n необходимо. Например: (E, … , En) ↓ i = Ei ( где 1 ≤ i ≤ n).

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

2.3 Числа

Есть множество способов представления чисел с помощью λ-выражений, каждый со своими достоинствами и недостатками [38,22]. Задача состоит в том, чтобы определить λ-выражение n для представления каждого числа n. Нам также необходимо определить λ-выражения для представления простейших арифметических операций. Например, нам понадобятся функции suc , pre , add и iszero , которые соответственно представляют функцию наследования ( n → n + 1 ), предшествования ( n → n – 1 ), сложения и проверки равенства нулю. Эти λвыражения будут правильно представлять числа, если они будут обладать следующими свойствами: suc n = n+1

(для всех чисел n)

pre n = n-1

(для всех чисел n)

add m n = m+n

(для всех чисел m и n)

iszero 0 = true iszero ( suc n) = false Здесь описано классическое представление чисел по Черчу. Для того чтобы объяснить его, удобно определить f n x как n аппликаций f к x. Например, f 5 x = f (f (f (f (f x )))) По соглашению, f 0 x означает x. В общем случае:

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

26

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

LET E0 E′ = E′ LET En E′ = E(E( … (E E′)…)) -----------n штук Е

Обратите внимание, что En (EE′) = En+1 E′ = E(En E′) … )) ; этот факт мы будем использовать в дальнейшем. Пример:

f4x = f (f (f (f x))) = f (f3x) = f3(f x)

Используя введенные обозначения, мы теперь можем определить числа Черча. Заметьте, как следующее λ-выражение n кодирует унарное представление n.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

LET 0 = λf x. x LET 1 = λf x. fx LET 2 = λf x. f(f x) . . .

LET n = λf x. fn x . .

Теперь могут быть получены представления suc , add и iszero. Чтобы понять как они работают, лучше всего представлять, что они работают с унарными представлениями чисел. Упражнения, следующие ниже, должны помочь. LET suc = λn f x. n f (f x) LET add = λm n f x. m f (n f x) LET iszero = λn. n (λx. false) true Упражнение 16 Показать, что Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

27

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

suc 0 = 1 suc 5 = 6 iszero 0 = true iszero 5 = false add 0 1 = 1 add 2 3 = 5

Упражнение 17 Для любого m и n показать, что:

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

suc n = n+1 iszero ( suc n) = false add 0 n = n add m 0 = m add m n = m+n

Функцию предшествования определить труднее, чем другие простейшие функции. Идея состоит в том, что предшественник n определяется n используя λf x. f x (т.е. n), для получения функции, которая применяется только n-1 раз. “Выбросим” первое f в fn . Для того, чтобы это сделать, нужно сперва определить функцию prefn которая оперирует с парами и имеет свойства: (i)

prefn f (true,x) = (false,x)

(ii)

prefn f (false,x) = (false, f x)

Из этого следует :

Инв. № подл.

Подп. и дата

(iii) (prefn f)n (false, x) = (false, fn x) (iv) (prefn f)n (true,x) = (false, fn-1 x)

(если n > 0)

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

28

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Таким образом, n применений prefn к (true,x) дают n-1 применений f к x. Используя эту идею, определение функции предшествования pre очевидно. Но, прежде чем дать его , дадим определение prefn LET prefn = λf p. (false, (fst p → snd p | (f(snd p)))) Упражнение 18

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Показать, что prefn f (b,x) = (false,(b → x | f x )) , и, следовательно, (i)

prefn f (true,x) = false,x)

(ii)

prefn f (false,x) = (false, f x)

(iii)

(prefn f)n (false,x) = (false, fn x)

(iv)

(prefn f)n (true,x) = (false, fn-1 x) (если n>0)

Теперь можно определить функцию предшествования pre: LET pre = λn f x. snd (n ( prefn f) (true,x))

Из этого следует, что если n>0 тогда pre n f x = snd (n (prefn f)( true x)) = snd ((prefn f)n (true,x)) = snd((false, fn-1 x) = fn-1 x

Следовательно, из экстенсиональности ( см. 1.7) : pre n = λf x. fn-1 x = n-1

(по определению n-1)

Упражнение 19 Используя результаты предыдущего упражнения показать, что (i)

Инв. № подл.

(по определению pre) (по определению n) (по (v) описанному выше)

pre (suc n) = n Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

29

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

(ii)

pre 0 = 0

Система чисел в следующем упражнении, используется в [2] и имеет ряд преимуществ над системой Черча (например легче определить функцию предшествования). Упражнение 20 ^

LET 0 = λx.x ^

^

LET 1 = (false, 0) ^

^

LET 2 = (false, 1) . .

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

--^--

^

LET n+1 = (false,n) . . . --^-- --^----^-Придумайте такие λ-выражения suc, iszero, pre , чтобы для всех n выполнялось: --^---

(i)

^

---^--

suc n = n+1 --^----

^

---^----

(ii)

iszero 0 = true

(iii)

iszero (suc n) = false

---^----^--

(iv)

-^--

-^-- ^ ^

^

pre (suc n) = n

2.4 Рекурсивные определения Чтобы представить функцию умножения в λ-исчислении, нам нужно определить λ-выражение ( скажем mult ), такое что: mult m n = add n (add n (… (add n 0 ) … ))

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

30

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

m adds

Этого можно достигнуть, если mult образом, чтобы выполнялось равенство :

будет

определено

таким

mult m n = ( iszero m → 0│add n ( mult ( pre m) n ))

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Если это равенство выполняется, тогда, например: Mult 2 3 = (iszero 2 → 0 | add 3 (mult (pre 2) 3)) ( из равенства ) = add 3 (mult 1 3) ( из свойств iszero, условного высказывания и pre ) = add 3 (iszero 1 → 0 | add 3 ( mult ( pre 1) 3)) (из равенства) = add 3 ( add 3 (mult 0 3)) ( из свойств iszero, условного высказывания и pre ) = add 3 ( add 3 (iszero 0 → 0 | add 3 (mult (pre 0) 3))) ( из равенства ) = add 3(add 3 0) ( из свойств iszero и условного высказывания ) Равенство, приведенное выше, предполагает, что mult должно быть определено следующим образом: Mult = λm n. (iszero m → 0 | add n ( mult (pre m) n )) ↑ N.B. К сожалению, данное выражение нельзя использовать как определение mult , потому что, как показано стрелкой, mult должно быть уже определено, чтобы λ-выражение имело смысл. К счастью, существует способ создания λ-выражения, которое удовлетворяет произвольным равенствам. Когда этот способ применяется к описанному выше равенству, он даёт желаемое определение mult. Сначала определим λвыражение Y так, чтобы для любого выражения Е, оно имело такое свойство: YE=E(YE)

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

31

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Это значит, что выражение Y E остаётся неизменным, когда к нему применяется функция Е. В общем случае, если E E′ = E′ , тогда E′ называется неподвижной точкой Е . λ-выражение Fix со свойством Fix E = E(Fix E) для любого Е, называется оператором неподвижной точки.

Существует бесконечное множество различных операторов неподвижной точки [28] Y – самый известный из них. Он определяется следующим способом: LET Y = λf. (λx. f(x x)) (λx. f(x x))

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Легко показать, что Y на самом деле – оператор неподвижной точки : Y E = (λf. (λx. f(x x)) (λx. f(x x))) E ( по определению Y ) = (λx. E(x x)) (λx. E(x x)) ( β-конверсия ) = (λx. E(x x)) (λx. E(x x)) ( β-конверсия ) = (λx. E(x x)) (λx. E(x x)) ( β-конверсия ) = E (Y E) (предпоследняя строчка) Эти вычисления показывают, что у любого λ-выражения E есть неподвижная точка. Вооружившись Y , мы теперь можем вернуться к проблеме решения уравнения для mult. Предположим, что multfn определяется так: LET multfn = λf m n. ( iszero m → 0 ) | add n ( f (pre m) n)) ↑ и multfn определяется так: LET mult = Y multfn

↑

Тогда: mult m n = (Y multfn ) m n ( по определению mult ) = multfn ( Y multfn ) m n (свойство неподвижной точки Y) = multfn mult m n ( по определению mult ) = (λf m n, ( iszero m → 0 | add n ( f (pre m ) n))) mult m n ( по определению multfn ) = (iszero m → 0 | add n (mult ( pre m) n )) ( β-конверсия )

Уравнение вида f x1 … xn = E называется рекурсивным, если f имеет свободные вхождения в E. Y даёт общий способ решения таких уравнений. Начнем с уравнения вида:

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

32

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

f x1 … xn = ~ f ~ , где ~f~ - λ-выражение, содержащее f. Чтобы получить f , при условии корректности данного уравнения, определим: LET f = Y (λf x1 … xn . ~ f ~ ) Тот факт, что равенство выполняется, может быть показано следующим образом: f x1 … xn = Y (λf x1 … xn . ~ f ~ ) x1 … xn ( по определению f ) = (λf x1 … xn . ~ f ~ ) ( Y ((λf x1 … xn . ~ f ~ )) x1 … xn ( свойство неподвижной точки) = (λf x1 … xn . ~ f ~ ) f x1 … xn ( по определению f ) =~f~ ( β-конверсия ) Упражнение 21 Придумайте такое λ-выражение eq , чтобы выполнялось:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

eq m n = ( iszero m → iszero n | (iszero n → false | eq (pre m)(pre n)))

Упражнение 22 Показать , что если Y1 определяется так: LET Y1 = Y (λy f. f(y f)) Тогда Y1 – оператор неподвижной точки, т.е. для любого Е : Y1 E = E (Y1 E)

Оператор неподвижной точки в следующем упражнении определен Тьюрингом ( Барендрехт [2]). Упражнение 23 Показать, что (λx y. y (x x y)) (λx y. y ( x x y )) – оператор неподвижной точки.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

33

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Следующее упражнение также из книги Барендрехта, где оно приписывается Клопу.

Упражнение 24 Показать, что Y2 , оператор неподвижной точки, где LET£ = λabcde f ghijklmnopqstuvwxyzr.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

r(thisisa fixedpointcombinator) LET Y2 = ££££££££££££££££££££££££££

Упражнение 25 Верно ли, что Y f → f ( Y f)? Если да, то докажите это; если нет - найдите такое λ-выражение Ŷ, что Ŷ f → f (Ŷ f). В чистом λ-исчислении , λ-выражения могут быть применены только к одному аргументу; однако этот аргумент может быть и кортежом. Таким образом, можно написать : E (E1, … , En) Что фактически обозначает: E(E1,(E2,( …(En-1,En)…))) Например, E(E1,E2) означает E(λf. f E1 E2).

2.5 Функции нескольких аргументов Традиционно, в математике применение функции n-аргументов f к аргументам x1 … xn записывается так: f(x1 … xn). Существуют два способа представления таких аппликаций в λ-исчислении: (i) (ii)

как (f x1 … xn) , или как применение f к n-кортежу (x1 … xn).

В первом случае, функция f применяется к аргументам по одному, и называется каррированной, по имени логика Карри ( впервые идея каррирования была создана Шонфинкелем[31]). Функции and, or и add ,

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

34

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

определенные выше, все являются каррированными функциями. Одно из преимуществ каррированных функций, это то, что они могут быть “частично применены”; например, add 1 – результат частичного применения add к 1 и соответствует функции n → n+1. Несмотря на то, что часто бывает удобно представлять функции nаргументов каррировнными, бывает также полезно представить их как во втором случае (ii), описанном выше, λ-выражением, предполагающим единственный аргумент n-кортеж. Например, вместо представления “ +” и ''х'' λ-выражениями add и mult скажем так :

может быть более удобно представить их функциями sum и prod , например такими: sum (m,n) = m+n prod (m,n) = mxn Это уже больше похоже на традиционные математические обозначения, и имеет применения, которые мы рассмотрим позже. Можно сказать, что sum и prod – некаррированные версии add и mult соответственно. Определим:

мы видим, что sum и prod обладают желаемыми свойствами; например: sum(m,n) = uncurry add (m,n) = (λf p. f (fst p) (snd p)) add (m,n) = add(fst (m,n))(snd (m,n)) = add m n = m+n

Инв. № подл.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

LET curry = λf x1 x2. f (x1,x2) LET uncurry = λf p. f (fst p)(snd p)

Подп. и дата

Подп. и дата

add m n = m+n mult m n = mxn

затем, если мы определим sum = uncurry add prod = uncurry mult

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

35

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Упражнение 26 Показать, что для любого E: curry ( uncurry E) = E uncurry ( curry E) = E и что отсюда следует: add = curry sum mult = curry prod Теперь мы можем определить любую n-арную функцию как каррированную и некарриванную. Для n>0 определим: LET curryn = λf x1 … xn. f (x1 … xn) n

n

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

LET uncurryn = λf p. f ( p↓1) … ( p↓n) Если Е представляет функцию с n-кортежом в качестве аргумента, тогда curryn E представляет каррированную функцию, которая применяется к аргументам по одному. Если Е – каррированная функция n аргументов, тогда uncurryn E представляется собой некаррированную версию , предполагающую единственный аргумент : n-кортеж. Упражнение 27 Показать, что (i) (ii)

curryn (uncurryn E) = E uncurryn (curryn E) = E

Упражнение 28 Придумайте λ-выражения En1 и En2 на основе curry и uncurry такие что, curryn = En1 и uncurryn = En2. Следующая нотация предоставляет удобный способ записи λ-выражений, в которых в качестве аргумента ожидаются n-кортежи. Обобщенные λ-абстракции

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

36

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

LET λ(V1, … , Vn). E = uncurryn (λV1 … Vn.E) Пример :

λ (x,y). mult x y означает: 2

2

uncurry2 (λx y. mult x y ) = (λf p. f (p↓1)(p↓2))( λx y. mult x y) = (λf p. f ( fst p)(snd p)) (λx y. mult x y) = λp.mult (fst p)(snd p) Таким образом: (λ(x,y). mult x y)(E1,E2) = (λp. mult (fst p) (snd p)) (E1,E2) = mult (fst(E1,E2))(snd(E1,E2)) = mult E1 E2

Обобщенная β-конверсия

где E[E1, … , En/V1, … ,Vn] – одновременная подстановка E1, … , En на V1, … , Vn соответственно, и ни одна из этих переменных не имеет свободных вхождений в E1, … , En .

Пример: λf (x,y). f x y означает λf. (λ(x,y). f x y) , что в свою очередь значит λf. uncurry (λx y. f x y) равное λf. (λp. f (fst p)(snd p)).

Инв. № подл.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

(λ(V1, … , Vn) . E)(E1, … , En) = E[E1, … , En/V1, … ,Vn]

Подп. и дата

Подп. и дата

Этот пример показывает правило обобщенной β-конверсий, приведенное ниже в таблице. Это правило можно получить из оригинальной β-конверсии, определения картежей и обобщенной λ-абстракции. Идея состоит в том, что кортеж аргументов последовательно подходит к каждой позиции аргументов в теле обобщенной абстракции; затем каждый отдельный аргумент может быть извлечен из кортежа не затрагивая остальные.

Удобно расширить нотацию λV1 V2… Vn . Е , описанную в начале книги, так чтобы каждое Vi было либо идентификатором, либо кортежем идентификаторов. λV1 V2… Vn . Е всё ещё значит λV1.( λV2.(…( λVn . E) … )), но теперь если Vi – кортеж идентификаторов, тогда выражение является обобщенной абстракцией.

Упражнение 29

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

37

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Показать, что если единственные свободные переменные в E это x1 , … , xn и f, тогда, если f = Y (λf ( x1 , … , xn).E) тогда f(x1 , … , xn) = E[f/f] Упражнение 30 Определить λ-выражение div со свойством: div (m,n) = (q,r) где q и r – частное и остаток деления n на m.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

2.6 Взаимная рекурсия Для решения набора взаимно рекурсивных выражений таких как следующие: f1 = F1 f1 … fn f2 = F2 f1 … fn . . . fn = Fn f1 … fn мы просто определим для 1 ≤ i ≤ n fi = Y (λ(f1, … fn).(F1 f1, … fn, … , Fn f1, … fn))↓ i Это выполняется, поскольку если →

Подп. и дата

→

f = Y (λ(f1, … fn).(F1 f1, … fn, … , Fn f1, … fn))

тогда fi = f↓i , и отсюда следует что: →

→

f = (λ(f1, … fn).(F1 f1, … fn, … , Fn f1, … fn)) f →

→

→

→

= (F1(f↓1)…(f↓n), … , Fn(f↓1) … (f↓n))

Инв. № подл.

→

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

38

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Отсюда:

= (F1 f1 … fn, … , Fn f1 … fn)

(т.к. f↓i = fi).

fi = Fi f1 … fn

2.7 Представление рекурсивных функций

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Важный класс числовых функций – рекурсивные функции. Вскоре после того, как Чёрч придумал λ-исчисление, Клин доказал ,что в λ-исчислении может быть представлена любая рекурсивная функция. Это послужило доказательством тезиса Чёрча – гипотезы о том, что любая интуитивно вычислимая функция может быть представлена λ-исчислением. Было показано , то другие вычислительные модели определяют тот же класс функций, что и λ-исчисление.

В этом разделе будет описано что означает представление арифметических функций λ-исчислением. Будут определены два класса функций, примитивно- рекурсивные функции и рекурсивные функции, и будет показано, что все функции этих классов могут быть представлены λ-исчислением. В разделе 2.3 было объяснено, как число n представляется с помощью λ-выражения n. Говорят, что λ-выражение f представляет математическую функцию f , если для всех чисел x1 , … , xn : f (x1 , … , xn) = y если f (x1 , … , xn) = y

2.7.1 Примитивно-рекурсивные функции Функция называется примитивно рекурсивной, если её можно создать из 0 и функций S и Uin (определенные ниже) конечной последовательностью применений операторов подстановки и примитивной рекурсии ( также определенных ниже). Функция наследования S и функция проектирующая Uin ( где все n и i – числа), определяются следующим образом: (i) (ii)

S(x) = x + 1 Uin(x1 , … , xn) = xi

Подстановка Предположим, g – функция r аргументов , а h1, … , hr – r -функций с n аргументами каждая. Мы считаем, что f определяется из g и h1, … , hr подстановкой, если : f (x1 , … , xn) = g ( h1(x1 , … , xn), … , hr (x1 , … , xn)) Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

39

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Примитивная рекурсия Предположим, g – функция n-1 аргумента и h – функция n+1 аргументов. Мы считаем , что f определяется из g и h примитивной рекурсией, если: f(0, x2 , … , xn) = g (x2 , … , xn) f(S(x1), x2 , … , xn) = h (f(x1 , … , xn), x1 , x2, … , xn) g называется базовой функцией , а h – ступенчатой функцией. Можно доказать, что для любых базовой и ступенчатой функции всегда существует уникальная функция , определенная из них примитивной рекурсией. Этот результат называется рекурсивной теоремой; доказательство теоремы можно найти в книгах по математической логике.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Пример Функция сложения sum – примитивно рекурсивная, поскольку: sum(0, x2) = x2 sum(S(x1), x2) = S(sum(x1, x2)) Теперь покажем, что любая примитивно рекурсивная функция может быть представлена λ-выражениями. n

Очевидно, что λ-выражения 0, suc, λp. p↓i представляют исходные функции 0, S и Uin соответственно. Предположим, что функции g r- переменных представляется как g ,а функции hi ( 1 ≤ i ≤ r ) n- переменных представляются как hi . Тогда, если функция f n- переменных определятся подстановкой : f(x1 , … , xn) = g(h1(x1 , … , xn), … , hr(x1 , … , xn)) тогда f представляется f, где :

Инв. № подл.

Подп. и дата

f = λ(x1 , … , xn). g(h1(x1 , … , xn), … , hr(x1 , … , xn)). Предположим функция f n- переменных индуктивно определяется из базовой функции g n-1- переменных и из индуктивного шага функции h n+1переменной. Тогда

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

40

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

f(0, x2 , … , xn) = g(x2 , … , xn) f(S(x1), x2 , … , xn) = h (f (x1 , … , xn), x1 , … , xn) Таким образом, если g представляет g , а h представляет h , тогда f будет представлять f если f(x1,x2, … , xn) = (iszero x1 → g(x2 , … , xn)| h(f(pre x1,x2, … , xn), pre x1,x2, … , xn)) Используя метод неподвижной точки, функция f , чтобы удовлетворять этому уравнению ,должна быть создана следующим способом : Y (λf. λ (x1,x2, …, xn ). ( iszero x1 → g ( x2, …, xn) | h (f (pre x1, x2, …, xn), pre x1, x2, …, xn )))

Таким образом, любая примитивно рекурсивная функция может быть представлена λ выражением.

Подп. и дата

Предположим функция g – функция n -аргументов. Мы считаем, что f определяется из g минимизацией, если : f(x1 , … , xn) = “наименьшее y, такое что g(y, x2 , … , xn ) = x1”

Инв. № подл.

Подп. и дата

Функция называется рекурсивной , если она может быть создана из 0, функции наследования и проектирующей функции последовательностью подстановок, примитивных рекурсий и минимизаций.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

2.7.2 Рекурсивные функции

Минимизация

Обозначение MIN(f) используется для обозначения минимизации функции f. Функции , определенные минимизацией, могут быть неопределенны при некоторых аргументах. Например, если one есть функция которая всё время возвращает 1, т.е. one(x) = 1 для любого x, тогда MIN(one) определена только для аргумента со значением 1. Это очевидно потому, что если f (x) = MIN(one)(x), тогда : f(x) = “наименьшее y , такое что one(y) = x” и очевидно что это выражение определено только для x= 1 . Таким образом: MIN(one)(x) =

0

если x = 1

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

41

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

иначе неопределенно Чтобы показать, что любую рекурсивную функцию можно представить в λ-исчислении, необходимо показать как представить минимизацию произвольной функции. Предположим g представляется функцию g n- переменных , а f определятся так : f = MIN(g) Тогда, если можно придумать такое λ-выражение min , что min x f (x1 , … , xn) представляет собой наименьшее число y больше чем x такое, что f(y, x2 , … , xn) = x1 тогда g представляет g, где : g = λ( x1 , … , xn). min 0 f (x1 , … , xn)

min x f (x1 , … , xn) = (eq (f(x, x2 , … , xn)) x1 ) → x | min (suc x) f (x1 , … , xn))

Таким образом, любая рекурсивная функция может быть определена λ-выражением.

Существуют рекурсивные функции, которые не являются примитивно рекурсивными. Ниже представлена одна из версий функции Акермана ψ, определённая так : ψ(0,n) = n+1 ψ(m+1,0) = ψ(m,1) ψ(m+1,n+1) = ψ(m,ψ(m+1,n))

Инв. № подл.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

где eq m n принимает значение true, если m = n, иначе - false. Таким образом min можно просто определить так:

Подп. и дата

Подп. и дата

min будет точно обладать желаемым свойством если:

Y(λm. λx f (x1 , … , xn). (eq (f(x, x2 , … , xn)) x1 → x | m ( suc x ) f (x2 , … , xn)))

Примитивные рекурсии старших порядков

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

42

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Однако, если позволить функциям принимать роль аргументов, тогда гораздо больше рекурсивных функций можно определить с помощью примитивной рекурсии. Например, если функция старшего порядка rec определяется примитивной рекурсией следующим образом: rec(0, x2, x3) = x2 rec (S (x1), x2, x3) = x3 (rec (x1 , x2 , x3)) тогда ψ определяется так:

ψ (m,n) = rec (m, S, f → ( x → rec ( x,f(1),f))) (n)

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

где x → θ(x) соответствует функции ( обратите внимание, что λx.θ(x) – λ-выражение , где x → θ(x) – обозначение неформализованной математики) , которая отображает x в θ(x). Обратите внимание на то , что третий аргумент функции rec , а именно x3 должен быть функцией. В определении ψ мы также использовали x2 как функцию , т.е. S. Упражнение 31 Показать, что определение ψ через rec работает, т.е. что с определением ψ, данным выше: ψ(0,n) = n+1 ψ(m+1,0) = ψ(m,1) ψ(m+1,n+1) = ψ(m,ψ(m+1,n))

Функция, которая использует другие функции в качестве аргументов, или возвращает другую функцию в качестве результата, называется функцией старшего порядка. Пример ψ показывает, что примитивная рекурсия старшего порядка сильнее, чем обычная примитивная рекурсия ( примитивная рекурсия, определенная в 2.7.1 называется примитивной рекурсией первого порядка). Использование операторов наподобие rec делает функциональное программирование могучим инструментом.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

43

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

2.7.3 Частично рекурсивные функции Частичные функции - функции, определенные не для всех аргументов. Например, функция MIN(one), описанная выше – частичная. Другим примером может служить функция деления, поскольку деление на 0 неопределенно. Функции, определенные для всех аргументов называются полными. Частичная функция называется частично рекурсивной если она может быть создана из 0, функции наследования и функции отображения с помощью последовательности подстановок, примитивных рекурсий и минимизаций. Таким образом, рекурсивные функции – это частично рекурсивные функции, оказавшиеся полными. Можно показать, что любая частично рекурсивная функция f может быть представлена λ-выражением f таким что:

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(i) (ii)

f(x1 , … , xn) = y , если f (x1 , … , xn) = y если f (x1 , … , xn) неопределена, тогда f (x1 , … , xn) не имеет нормальной формы.

Обратите внимание на то ,что несмотря на (ii) , в общем случае неверно считать “неопреденными” выражения без нормальной формы. Упражнение 32 Напишите λ-выражение которое представляет MIN(f) , где f(x)= 0 для всех x.

2.8 Расширенное λ-исчисление. Несмотря на возможность представления объектов данных и структур данных с

Подп. и дата

помощью λ-выражений, часто это бывает неэффективно. Например, большинство компьютеров приспособлены для арифметических вычислений, и

будет разумнее

использовать для вычисления чисел именно их, нежели

Инв. № подл.

λ-конверсию. Математически ясный способ представления правил в

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

44

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λ-исчислении – это представление с помощью так называемых δ-правил. Идея заключается в том ,чтобы добавить набор новых констант и потом определить так называемые δ-правила для того, чтобы редуцировать выражения с этими константами. Например, можно было бы добавить числа и “ +“ как новые константы и , вместе с δ-правилом, было бы:

+ m n → m+n δ

(E1→E2 означает, что Е2 – результат применения δ-правил к подвыражению Е1) δ

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Добавляя такие константы и правила в λ-исчисления, следует быть внимательным, чтобы не нарушить прекрасные свойства этого исчисления, например Теорему Чёрча-Россера.

Можно показать, что δ-правила безопасны, если они представлены в форме: c1 c2 … cn → e δ

где c1 ,c2 …, cn – константы, а e – либо константа, либо закрытая абстракция ( такие λ-выражения иногда называют значениями). Например, можно добавить Suc, Pre, IsZero, ∆0, ∆1, ∆2, … как константы

Инв. № подл.

Подп. и дата

с помощью δ-правил: Suc ∆n → ∆n+1 δ

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

45

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Pre ∆n+1 → ∆n δ

IsZero ∆0 → true δ

IsZero ∆n+1 → false δ

Здесь ∆n представляет число n, Suc, Pre , IsZero это новые константы ( неопределенные λ-выражения наподобие suc, pre , iszero ), а true и false – ранее определенные выражения (оба – закрытые абстракции).

Если Е1 → Е2, тогда можно говорить, что Е2 получена из Е1 “вычислением Если в Е2 нет( β- или η-) редексов, тогда Е2 – “полностью вычисленное”.

Говорят, что λ-выражение находится в нормальной форме если в нем нет β или η- редексов ( т.е. единственная конверсия, которая может быть применена – эт α-конверсия). Таким образом, λ-выражение в нормальной форме являетс “полностью вычисленным”.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

2.9 Теоремы λ-исчисления.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

46

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

2. ПРИМЕРЫ

(i) (ii)

Представление чисел находится в нормальной форме. ( λx.x) 0 – не является нормальной формой.

Предположим, что λ-выражение вычисляется двумя разными способам применением двух различных последовательностей редукций до получения дву нормальных форм Е1 и Е2. Теорема Чёрча-Россера , приведенная ниже, показывае что Е1 и Е2 будут одинаковыми, за исключением того, что у них могут быт различные имена связанных переменных.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Из-за того, что результат редукций не зависит от последовательности их

выполнения, отдельные редексы могут быть вычислены параллельно. В настоящее время различные исследовательские проекты направлены на то, чтобы использовать этот факт путём создания мультипроцессорной архитектуры для вычисления λ-выражений. Сейчас ещё слишком рано говорить, насколько успешны эти разработки. Может оказаться, что проблемы, связанные с распределением редексов на разные процессоры и последующим сбором результатов, сведут на нет все теоретические преимущества данного подхода. Всё же будем надеяться, что эти пессимистичные прогнозы не оправдаются. Замечательным фактом является то, что теорема Чёрча-Россера, являющаяся чисто математическим результатом и сформулированная ещё до того как были созданы компьютеры, может привести к созданию нового поколения компьютеров. Ниже приведена формулировка теоремы Чёрча-Россера. На её примере хорошо видно, что есть весьма очевидные вещи, которые тем не менее очень трудно доказать. Многие свойства λ-исчисления имеют схожую природу.

2.1.

Теорема Чёрча-Россера

Если Е1 = Е2 , тогда существует Е, такая что Е1 → Е и Е2 → Е.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

47

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

2.1.1. 2.1.2. Теперь видно, каким образом теорема Чёрча-Россера показывает, что λ-выражения могут быть вычислены в любом порядке. Предположим, что выражение Е вычисляется двумя разными способами применением двух

разных последовательностей редукций до получения двух нормальных форм Е и Е2. Т.к. Е1 и Е2 получены из Е последовательностью конверсий, из определения = следует что Е = Е1 и Е = Е2 и , следовательно, Е1 = Е2. Из теоремы Чёрча-Россер следует, что существует такое выражение Е′ , что

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Е1 →Е′ и Е2 → Е′. Теперь, если Е1 и Е2 находятся в нормальной форме,тогд единственными редексами, которые в них содержатся будут α-редексами и поэтом единственным способом , которым Е1 и Е2 можно свести к E′, будет изменение име связанных переменных (т.е. α-конверсия).

С помощью теоремы Чёрча-Россера также можно показать, что если m ≠ n, тог λ-выражения, соответствующие m и n не эквивалентны, т.е. m ≠ n . Предположим, ч m ≠ n, но m = n. Тогда по теореме Чёрча-Россера m → E и n → E для какого-нибудь Е. Но это очевидно из определений m и n ,то есть m = λf x. fm x n = λf x. fn x

очевидно,что такое Е не может существовать. Единственными конверсиям которые могут быть применены к m и n являются α-конверсии, а они не мог изменить число аппликаций в выражении (m содержит m аппликаций, а n содержит аппликаций).

λ-выражение Е имеет нормальную форму, если Е = Е′ для какой либо Е′ нормальной форме. Следствие, приведенное ниже, показывает отношени выражений в нормальной форме и имеющих нормальную форму. Оно обобщае утверждения приведенные выше.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

48

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Следствие из теоремы Чёрча-Россера

(i)

Если Е имеет нормальную форму, тогда Е → Е′ , для Е′ в нормальной форме.

(ii)

Если Е имеет нормальную форму и Е = Е′ , тогда Е′ имеет нормальную форму. (iii)

Если Е = Е' и Е и Е′ оба находятся в нормальной форме, тогда Е и Е′ идентичны вплоть до α-конверсии.

Доказательство

Если Е имеет нормальную форму, тогда Е = E′ для какого- то Е′ в нормальной форме. По теореме Чёрча-Россера существует E′′ , такое что Е → E′′ и E′ → E′ Т.к. E′ находится в нормальной форме, единственные редексы которые оно может содержать - α-редексы, а отсюда следует что редукция E′ → E′′ должна состоять из последовательности α-конверсий. Таким образом, E′′ должно быть идентично с E′ , за исключением имен некоторых связанных переменных; также оно должно быть в нормальной форме, как и E′.

(ii)

Предположим что Е имеет нормальную форму и Е = E'. Т.к. Е имеет нормальную форму, Е = E′′, где Е′′ находится в нормальной форме. Следовательно, Е′ = E′′ в следствии транзитивности = , и значит Е′ имеет нормальную форму. Доказано выше.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(i)

(iii)

2.2. Упражнение 33

Для каждого из следующих λ-выражений найдите либо его нормальную форму, либо покажите что оно не имеет нормальной формы.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

49

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii)

add 3 add 3 5 (λx. x x) (λx.x) (λx. x x) (λx.x x) Y Y (λy. y) Y (λf x. ( iszero x → 0 | f ( pre x))) 7

Необходимо отметить, что λ-выражение Е может иметь нормальную форму даже если существует бесконечная последовательность Е → Е1 → Е2 … . Например, (λx. 1)(Y f) имеет нормальную форму 1 , хотя и :

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(λх. 1) (Y f) → (λx. 1 ) (f (Y f)) → … (λx. 1 ) (fn (Y f)) → …

Теорема нормализации , приведенная ниже, утверждает, что можно избежат таких слепых переходов, редукцией крайних слева β- или η- редексов, где крайний слева” означает редекс у которого начало λ находится так далеко слев насколько это возможно.

Другой важный момент, который следует отметить – это то, что Е1 может иметь нормальную форму, даже если Е1 Е2 имеет нормальную форму.

Например, Y не имеет нормальной формы, но Y (λx. 1 ) → 1. Частой ошибко считать, что λ-выражения без нормальной формы означают “неопределенны функции. Y не имеет нормальной формы, но означает вполне определенну функцию( математическую характеристику функции Y можно найти в книге Сто Анализ, оставшийся за рамками данной работы ( [37]), показывает, что λ-выражен соответствует неопределенной функции тогда и только тогда, когда оно не мож быть обращено в выражение в головной нормальной форме , где Е находится головной нормальной форме, если оно имеет форму

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

50

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λV1 … Vm. V E1 … En

где V1 … Vm и V переменные, а Е1, …, Еn - λ-выражения (V может быть либ эквивалентно Vi для какого-то i, либо отличаться от всех). Следовательно операто неподвижной точки Y не является неопределенным, потому что он может быт обращен в λf. f ((λx. f(x x)) (λx. f(x x))) ,

а это –головная нормальная форма.

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Можно показать, что выражение Е имеет головную нормальную форму тогда и только тогда когда существуют выражения E1, … , En такие что E E1 … En имеют нормальную форму. Этот факт также поддерживает интерпретацию выражений без головной нормальной формы как неопределенные функции: если Е неопределенно, это означает, что Е Е1 … Еn никогда не завершится для любых Е1, …, Еn. Полную информацию насчет головных нормальных форм и их отношений с определенностью можно найти в книге Баредгрета [2].

Теорема нормализации

Инв. № подл.

Подп. и дата

Если Е имеет нормальную форму, тогда повторяя редукцию крайних слева β- или η- редексов ( если возможно после α-конверсии для того чтобы избежать неправильных замен) можно превратить исходное выражение в выражение в нормальной форме.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

51

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Пояснение насчет α-конверсий в формулировке теоремы призвано покрыть случаи подобные следующему : (λx. (λy. x y)) y → λy′ . y y′ где была произведена α-конверсия λy. x y → λy′. x y′ исбежать неправильной замены (λy. x y)[y/x] = λy. y y.

для того, чтобы

Подп. и дата

Последовательность редукций, в которых производится редукция крайнего слева редекса называется нормальной последовательностью редукций. В теореме нормализации говорится о том, что если Е имеет нормальную форму ( т.е. для какого-то Е′ в нормальной форме Е = E′), тогда она может быть найдена нормальной последовательностью редукций. Но зачастую это не самый эффективный способ её нахождения. Например, для последовательности нормальных редукций требуется редуцировать

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

(λx. ~~x~~x~~)E к ~~E~~E~~

Если Е не находится в нормальной форме, тогда будет более эффективно сперва редуцировать Е к , скажем, Е′ (где Е′ находится в нормальной форме) , а затем редуцировать (λx . ~~ x ~~ x~~ ) E′

к

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

52

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

~~E′~~E′~~

таким образом избежав необходимости редуцировать Е дважды.

Необходимо заметить, что так называемая схема “вызова-по-значению” не работает в случаях вроде такого: (λx. 1) ((λx. x x)( λx. x x))

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Нахождение оптимального алгоритма для выбора следующего редекса для редукции является сложной проблемой. Последние разработки в этой области изложены в работе Ли [25].

Из-за того, что нормальная последовательность редукций неэффективной, некоторые языки программирования основанные на

оказалась

λ-исчислении, например LISP, используют вызов по значению, даже не смотря на то, что он не всегда выполняется. Вообще говоря, кроме эффективности, у вызова по значению имеется ряд других преимуществ, особенно когда язык “нечист”, т.е. имеет конструкции со сторонними эффектами (напр. присваиваниями). С другой стороны, в последних разработках предпологается, что вычисление нормальной последовательности редукций может оказаться не настолько неэффективным, как представлялось раньше, если использовать хитрые

приёмы, наподобие редукции по графу (см. далее). Вопрос о том, следует ли в функциональных языках программирования использовать нормальную последовательность или вызов по значению до сих пор остаётся открытым.

2.10 Вызов по значению и Y

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

53

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Произведем вызов Y: LET Y = λf. (λx. f(x x))( λx. f(x x))

К сожалению, с Y не работает вызов по значению, потому что получается цикл из-за порядка аппликаций. Y f → f (Y f) → f (f (Y f)) → f (f (f (Y f)))

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

. .

. Для того, чтобы это избежать, определим: ∧

LET Y = λf. (λx. f(λy. x x y)) (λx. f(λy. x x y)) ∧

Обратите внимание, что Y это Y, в котором произведена η- конверсия ∧

“x x” в

“λy. x x y”. Y не входит в цикл при вызове по значению: ∧

∧

Инв. № подл.

Подп. и дата

Y f → f (λy. Y f y) Вызов по значению не вычисляет λs, и , таким образом, удаётся избежать цикличности.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

54

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Глава 3. Комбинаторы.

Комбинаторы лежат в основе альтернативной к λ-исчислению теори функций. Первоначально, они были введены логиками как способ изучения замен Позднее, Тёрнер показал, что комбинаторы дают хороший “машинный код”, который можно компилировать функциональные программы [34]. На основании иде Тёрнера были построены несколько эксперементальных компьютеров (например см [8]), и результаты обнадёживают. Как работают эти машины, объяснено в разделе 3. Комбинаторы также дают хороший промежуточный код для конверсионны машин; некоторые из лучших компиляторов для функциональных языко основаны именно на нём

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

( например см. [11,1]). Также существуют комбинаторов: (i) (ii)

два

эквивалентных

способа формулирования теории

через λ-исчисление, как отдельная теория.

В данной работе используется первый подход, т.к. он немного проще, но исторически сначала был использован второй подход1. Будет показано, что любое λ-выражение эквивалентно выражению, построенному из переменных и двух определенных выражений ,K и S , используя только аппликацию функций. Это делается имитацией λ-абстракций с помощью комбинаторов K и S. Будет показано, как β-редукции могут быть произведены с помощью более простых операций , используя K и S. Именно эти более простые операции комбинаторная машина передаёт непосредственно в компьютер.

Инв. № подл.

Опредения K и S таковы: Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

55

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

LET K = λx y. x LET S = λf g x.(f x) (g x)

Из этих определений очевидно, что β-редукция для всех Е1, Е2 и Е3:

K E1 E2 = E1

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

S E1 E2 E3 = ( E1 E3) (E2 E3)

Любое выражение, построенное аппликацией (т.е. комбинацией) из K и S называется комбинатором, K и S – примитивные комбинаторы.

__________ 1

Наиболее полный курс это двухтомник Комбинаторной Логики [9,10].

Но лучше начать с более поздних учебников [19, 2] В БНФ, комбинаторы имеют следующий синтаксис:

<комбинатор> : = K | S | (<комбинатор> <комбинатор>)

Комбинаторное выражение – это выражение, построенное из K и S и нуля ил других переменных. Таким образом, комбинатор – это комбинаторное выражение, н содержащее переменных. В БНФ, синтаксис комбинаторных выражений следующий

<комбинаторное выражение>

Инв. № подл.

:: = K | S

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

56

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

| <переменная> | (<комбинаторное выражение> <комбинаторное выражение>)

2.3. Упражнение 34 Определим I как : LET I = λx. x Показать, что I = S K K.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Функция идентичности I , определенная в последнем упражнении, часто берется как примитивный комбинатор, но, как показано в упражнении, это не является необходимым, поскольку её можно определить через K и S.

3.1 Редукция комбинаторов Если Е и Е′ – комбинаторные выражения тогда обозначение E → E′ с

используется, если E ≡ E′ или если E′ можно получить из Е последовательностью переписываний вида:

(i)

K E1 E2 → E1 c

(ii)

S E1 E2 E3 → (E1 E3) (E2 E3) c

(iii)

IE→E c

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

57

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Обратите внимание, что редукция I E → E получается из (i) и (ii).

2.4. Пример S K K x → K x (K x)

из (ii)

c

→x

из (i)

c

Этот пример показывает, что для любого Е :

I E → E.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

c

Любая последовательность комбинаторных редукций, т.е. редукций вида → , может быть расширена в последовательность β-конверсий. с

Этот факт очевиден, т.к. K E1 E2 и S E1 E2 E3 редуцируетс последовательностью β-конверсий к E1 и E1 E3) (E2 E3) соответственно.

3.2 Функциональная полнота.

Неожиданным является тот факт, что любое λ-выражение может быть переведено в эквивалентное комбинаторное выражение. Результат такого приведения называется функциональной полнотой комбинаторов и является основой для компиляции функциональных языков в машинный код комбинаторных машин.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

58

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Сперва определим, что для произвольной переменной V и комбинаторног выражения E, существует другое комбинаторное выражение λ*V. E имитирующе λV. E так что λ*V.E = λV. E. Это даёт способ использования K и S для имитации добавляя ‘λV’ к выражению.

Если V переменная , а Е – комбинаторное выражение , тогда комбинаторное выражение λ*V. E индуктивно определяется на основе следующим образом:

(i) (ii) (iii) (iv)

λ*V. V = I λ*V. V′ = K V′ ( если V ≠ V′ ) λ*V. C = K C ( если C комбинатор) λ*V.(E1 E2) = S (λ*V.E1) (λ*V.E2)

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Обратите внимание на то, что λ*V.E – комбинаторное выражение, не содержащее V.

2.5. Пример Если f и x переменные, и f ≠ x, тогда λ*x. f x = S (λ*x. f) (λ*x. x) = S (K f) I

Следующая теорема показывает, что λ*V. E имитирует λ-абстракцию.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

59

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

2.5.1.1.1. Теорема

(λ*V. E) = λV. E

2.5.1.1.1.1.1.1. Доказательство

Покажем, что (λ*V. E) V = E. Отсюда следует, что λV. (λ*V. E) V = λV. E и по η-редукции получим , что λ*V. E = λV. E.

Доказательство того, что (λ*V. E) V = E осуществляется математической индукцией на основе “размера” Е. Доказательство построим следующим образом:

(i)

Если E = V тогда:

Подп. и дата

(ii)

Если E= V′ , где V′ ≠ V , тогда: (λ*V. E) V = K V′ V = (λx y. x) V′ V = V′ = E

(iii)

Если Е = С, где С – комбинатор, тогда: (λ*V. E) V = K C = (λx y. x) C V = C = E

Взам. инв. № Инв. № дубл.

(λ*V. E) V = I V = (λx. x) V = V = E

(iv)

Если Е = (Е1 Е2), тогда по индукции можно предположить, что: (λ*V. E1) V = E1 (λ*V. E2) V = E2 и , следовательно : (λ*V. E) V = (λ*V. ( E1 E2)) V = (S (λ*V. E1) (λ*V. E2)) V

Инв. № подл.

Подп. и дата

= (λf g x. f x (g x)) (λ*V. E1) (λ*V. E2) V = (λ* V.E1) V ((λ*V. E2) V) = E1 E2

( по индуктивному допущению)

= E

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

60

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

2.5.1.1.1.2. 2.5.1.1.1.3. Запись

λ*V1 V2 … Vn. E обычно значит λ*V1. λ*V2. … λ*Vn. E

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Теперь определим переход комбинаторному выражению (Е)с: (i) (ii) (iii)

от

произвольного

λ-выражения

Е

(V)c = V (E1 E2)c = (E1)c (E2)c (λV. E)c = λ*V. (E)c

2.5.1.1.2. Теорема

Для любого λ-выражения Е верно, что Е = (Е)с

Доказательство. Доказательство производится по индукции на основе размера Е.

(i) (ii)

Если Е= V , тогда (Е)с = (V)c = V Если Е = (Е1 Е2) по индукции мы может предположить, что Е1 = (Е1)с Е2 = (Е2)с и следовательно: (Е)с = (Е1 Е2)с = (Е1)с (Е2)с = Е1 Е2 = Е

(iii)

Если Е = λV. E′

тогда по индукции можно предположить, что:

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

61

Подп. Дата Копирова

Формат

к

ФП 02005-05 01

(E′)c = E′ и следовательно: (E)c = (λV. E′)c = λ*V. (E′)c

( по правилам перехода)

= λ*V. E′

( по индуктивному допущению)

= λV. E′

(из предыдущей теоремы)

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

=E

Эта теорема показывает, что любое λ-выражение эквивалентно λ-выражени построенному аппликацией из K , S и переменных, т.е. класс λ-выражений определенный на БНФ следующим образом: E :: = V | K | S | E1 E2 эквивалентен полному λ-исчислению.

Множество n комбинаторов С1, …, Сn называется базисом n элементов

( Барендрехт [2], Часть 8) , если любое λ-выражение Е эквивалентно выражению построенному аппликацией функций из Ci и переменных. Теорема описанная выше, показывает что K и S формируют 2-х элементный базис Следующие упражнение ( из раздела 8.1.5 книги Бахендрехта ) показывает, что существует одно-элементный базис .

2.5.1.1.3. Упражнение 35 2.5.1.1.4. Найдите комбинатор, предположим Х, такой, что λ-выражение эквивалентно выражению построенному из Х и переменных аппликацией. Подсказка: Пусть < E1, E2, E3> = λp. p E1 E2 E3 и предположим, что

Инв. № подл.

2.5.1.1.5. < K, S, K > < K, S, K > < K, S, K > и < >

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

62

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

2.5.1.1.6. 2.5.1.1.7. Примеры

λ*f. λ*x. f (x x) = λ*f. (λ*x. f (x x)) = λ*f. ( S (λ*x. f) (λ*x. x x)) = λ*f. ( S ( K f) (S(λ*x. x) (λ*x. x))) = λ*f. (S (K f) ( S I I)) = S (λ*f. S (K f)) (λ*f. S I I) = S ( S (λ*f. S) (λ*f. K f)) ( K ( S I I)) = S ( S (K S) (S (λ*f. K) (λ*f. f))) ( K ( S I I)) = S ( S ( K S) ( S (K K) I)) (K (S I I))

(Y)c = (λf. (λx. f(x x)) (λx. f(x x)))c

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

= λ*f. ((λx. f(x x)) (λx. f(x x)))c = λ*f. ((λx. f(x x))c (λx. f(x x))c ) = λ*f. (λ*x. (f( x x))c) (λ*x. (f(x x))c) = λ*f. (λ*x. f(x x)) (λ*x. f(x x)) = S (λ*f. λ*x. f(x x)) (λ*f. λ*x. f(x x)) = S(S(S(KS)(S(KK)I))(K(SII)))(S(S(KS)(S(KK)I))(K(SII)))

3.3 Машины редукций

До публикации труда Дэвида Тёрнера [34], комбинаторы оставались чист теоретическим аспектом математики. В своей работе Тёрнер доказал , что трансляци функциональных языков, т.е. языков основанных на

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

63

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λ-исчислении, в комбинаторы и последующая редукция полученног выражения используя перепись, алгоритм которой приведен выше, даю практический способ применения этих языков. Идея Тёрнера – представление комбинаторов деревьями. Например, S ( f x) ( K y) z может быть представлена так:

111

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

111

В памяти такие деревья отображаются как структуры указателей. Могут быть применены спецальные аппаратные и программно-аппаратные средства и определив →, можено добиться преобразования таких деревьев c

в соответствие правилам комбинаторной редукции.

Например, дерево, приведенное выше, может быть преобразовано в:

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

64

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

11

используя следующее преобразование:

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

3

2 1

2

S

3

2

3

1

Которое соответствует редукции S E1 E2 E3 → (E1 E3) (E2 E3). c

Подп. и дата

2.5.1.1.8. Упражнение 36

Какое преобразование дерева соответствует K E1 E2 → E1 ? с

Инв. № подл.

2.5.1.1.8.1. Как это преобразование изменит приведенное выше дерево?

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

65

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Заметьте, что только что приведенное преобразование дерева для S

дублирует поддерево. Это приводит к расходу места; переход луч осуществлять генерируя одно поддерево с двумя указателями, т.е:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

3

2

3.

1

2

1

3

Этот способ создаёт граф, а не дерево. Для более детального анализа такой редукции по графу, рекомендуется работа Тёрнера [34].

Из теоремы, описанной выше, следует, что эффективный способ редукции λвыражения состоит в следующем: (i) (ii)

Преобразование к комбинаторам (т.е. E → (E)c). Применение переписи K E1 E2 → E1 c

S E1 E2 E3 → (E1 E3) (E2 E3)

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

66

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

с

пока это возможно.

Интересный вопрос – будут ли выражения в результате этого процесса “полностью вычисляться”? Если какое-то выражение Е преобразуется в комбинаторы, а затем редуцируется используя →, будет ли результат с

выражения настолько же “полностью вычисленным” как и результат прямого λ-редуцирования Е, или будет частично вычисленным? Удивительно, но этот важный вопрос не рассмотрен в литературе

Подп. и дата

(наиболее важная работа – это работа Хиндлей [18]. Там производится сравнен λ-редукции с комбинаторной редукцией, но не тем способом, который на перв взгляд важен для работы комбинаторных машин). Но несмотря на э комбинаторные машины были построены и работают [8]! Известно, что если Е1 → Е2 в λ-исчислении, тогда не обязательно, что (Е1)с → (Е2)с. Например, возьмем:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

с

Е1 = λy. (λz. y) (x y) E2 = λy. Y

2.5.1.1.9. Упражнение 37

С Е1 и Е2, определенными выше, показать, что Е1 → Е2 в λ-исчислении, но неверно что (Е1)с → (Е2)с. с

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

67

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Комбинаторное выражение называется комбинаторной нормальной формой если не содержит подвыражений вида K E1 E2 или S E1 E2 E3. Тогда теорема нормализации выполняется для комбинаторных выражений, т.е. редукции крайнего слева комбинаторного редекса приведет к нахождению комбинаторной нормальной формы, если она существует. Заметьте, что если Е комбинаторная нормальная форма, необязательно следует , что это λ-выражение в нормальной форме.

тогда

2.5.1.1.10. 2.5.1.1.11.

Пример

S K находятся в нормальной комбинаторной форме , но содержит β-редекс, т.е.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

(λf. (λg x. (f x (g x))) (λx y. x)

2.5.1.1.12.

Упражнение 38

Придумайте комбинаторное выражение Е в комбинаторной норальной форме но не имеет нормальной формы.

3.4 Улучшенная трасляция в комбинаторы

Примеры, приведенные выше, показывают, что простые λ-выражения могут быть транслированы в достаточно сложные комбинаторные выражения с помощью правил из пункта 3.2. Применяются различные оптимизации для того, чтобы исполняемый машинами редукции более компактным.

сделать “код”

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

68

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Примеры

(i)

Пусть E комбинаторное выражение , а х – переменная не имеющая вхождений в Е. Тогда: S ( K E) I x → (K E x) (I x) → E x c

c

и, следовательно S ( K E) I x = E x ( потому что E1 → E2 подразумевает с

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Е1 → Е2), и по экстенсиональности (см. пункт 1.7):

S(KE)I=E

(ii)

Пусть Е1 и Е2 комбинаторные выражения и x - переменная не имеющая вхождений ни в одно из выражений. Тогда : S ( K E1) (K E2) x → K E1 x (K E2) x → E1 E2 c

c

Таким образом:

S ( K E1) (K E2) x = E1 E2

Теперь:

Инв. № подл.

K ( E1 E2) x → E1 E2 Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

69

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

c

и, следовательно K (E1 E2) x = E1 E2. Таким образом

S ( K E1) (K E2) x = E1 E2 = K (E1 E2) x

Из экстенсиональности следует, что:

Подп. и дата

S ( K E1) (K E2) = K (E1 E2)

Т.к. S (K E) I = E для любого Е, каждый раз когда генерируется комбинаторное выражение вида S ( K E) I , оно может быть оптимизировано просто к Е. Похожим образом, каждый раз когда генерируется выражение вида S ( K E1) (K E2) оно может быть оптимизировано к K (E1 E2).

2.5.1.1.13.

Пример

λ*f. λ*x. f (x x) = S ( S (K S) (S (K K) I)) (K (S I I)) Использование оптимизации S (K E) I = E упрощает выражение до: λ*f. λ*x. f(x x) = S (S (K S) K) (K (S I I))

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Выше было показано (раздел 3.2), что

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

70

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

3.5 Комбинаторы

Легче распознать применимость оптимизации S ( K E ) I = E , если I не была расширена до S K K , т.е. I берется как примитивный комбинатор. Другие комбинаторы также могут быть полезны. Например B и C, определенные так:

LET B = λf g x. f (g x) LET C = λf g x. f x g

имеют следующие правила редукции: B E1 E2 E3 → E1 (E2 E3)

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

c

C E1 E2 E3 → E1 E3 E2 c

2.5.1.1.14.

Упражнение 39

Показать, что с B и C определенными выше, верно что:

S ( K E1) E2 = B E1 E2 S E1 (K E2) = C E1 E2

Инв. № подл.

Подп. и дата

( где Е1 и Е2 – любые два комбинаторных выражения ).

Используя B и C можно провести дальнейшую оптимизацию трансляции λ-выражений в комбинаторы заменой выражений вида S ( K E1) E2 и

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

71

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

S E1 (K E2) на B E1 E2 и C E1 E2.

3.6

Алгоритм Карри

Комбинирование различных оптимизаций, описанных в предыдущем разделе ведет к Алгоритму Карри для трасляции λ-выражений в комбинаторные выражения Этот алгоритм состоит из использования определения (Е) с (данного в разделе 3.2) но каждый раз когда генерируется выражение формы S E1 E2 требуется применить следующие правила переписи:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

1. 2. 3. 4.

S ( K E1) (K E2) → K (E1 E2) S( K E) I → E S (K E1) E2 → B E1 E2 S E1 (K E2) → C E1 E2

Если применимо больше чем одно правило, то используется правило с меньшим порядковым номером. Например , S (K E1) (K E2) транслируется в K (E1 E2) , а не в B E1(K E2).

2.5.1.1.15.

Упражнение 40

Показать, что используя алгоритм Карри, Y траслируется в комбинатор :

S(C B(S I I)) (C B (S I I))

2.5.1.1.16.

Упражнение 41

Показать, что S (S (K S) (S (K K) I)) (K (S I I)) = C B (S I I)

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

72

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

3.7

Алгоритм Тёрнера.

В своей второй работе Тёрнер предложил расширить алгоритм Карри используя другой новый примитивный комбинатор S′ [35]. Он определяется следующим образом:

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

LET S′ = λc f g x. c(f x) (g x

И имеет такое правило редукции: S′ C E1 E2 E3 → C (E1 E3) (E2 E3)

где С, Е1, Е2, Е3 произвольные комбинаторные выражения. “C” используется потому что S′ имеет такое свойство, что если С- это комбинатор (т.е. не содержит переменных) тогда для любого E1 и E2: λ*x. С E1 E2 = S′ C (λ*x. E1) (λ*x. E2)

Это можно показать используя экстенсиональность. Очевидно, что xэто переменная, не имеющая вхождений в

λ*x. C E1 E2

или

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

73

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

S′ C (λ*x. E1) (λ*x.E2) показать:

(как вы думаете, почему?)

и

значит достаточно

( λ*x. C E1 E2) x = (S′ C (λ*x. E1) (λ*x. E2)) x Из определения λ*х следует, что: λ*x. C E1 E2 = S ( S (K C) (λ*x. E1)) (λ*x. E2)

и следовательно

(λ*x. C E1 E2) x = (S (S (K C) (λ*x. E1)) (λ*x. E2)x

Подп. и дата

= S( K C)( λ*x. E1) x ((λ*x. E2)) x) = K C x ((λ*x. E1) x) ((λ*x. E2) x) = C ((λ*x. E1) x) ((λ*x. E2)) x) (S’ C (λ*x. E1) (λ*x. E2) x = C ((λ*x. E1) x) ((λ*x. E2)) x)

Но

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

и поэтому : (λ*x. C E1 E2) x = ( S’ C(λ*x. E1)( λ*x. E2)) x

2.5.1.1.17.

Упражнение 42

Где в описанном доказательстве мы использовали допущение, что С – комбинатор?

Комбинатор Тёрнера S′ полезен при трансляции λ-выражений вида

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

74

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λVn … V2 V1. E1 E2 (скоро будет показано, почему удобно нумеровать связанные переменные в убывающем порядке). Для того, чтобы это показать определим по Тёрнеру [35]: E′ означает λ*V1. E E′′ означает λ*V2. (λ*V1. E) E′′′ означает λ*V3. (λ*V2. (λ*V1. E)) Напомним, что: (λVn … V2 V1. E1 E2) c = λ*Vn. ( … (λ*V2. (λ*V1. (E1 E2)c))) … ) Следующее упражнение показывает, что выражение

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

λ*Vn. … λ*V2. λ*V1. (E1 E2) становится очень сложным при увеличении n.

2.5.1.1.18.

Упражнение 43

Показать, что:

(i) (ii) (iii) (iv)

λ*x1. E1 E2 = S E1′ E2′ λ*x2. (λ*x1. E1 E2) = S (B S E1′′) E2′′ λ*x3. (λ*x2. (λ*x1. E1 E2)) = S ( B S ( B ( B S) E1′′′)) E2′′′ λ*x4. (λ*x3. (λ*x2. (λ*x1. E1 E2))) = S ( B S ( B ( B S) (B (B (B S))) E1′′′′)) E2′′′′

Размерность λ*Vn. … λ*V2. λ*V1. (E1 E2) пропорциональна квадрату n Используя S′ можно добиться линейной зависимости между размерностью и n :

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

75

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

λ*x2.( λ*x1. E1 E2) = λ*x2. S E1′ E2′ = S’ S (λ*x2. E1′) (λ*x2. E2′) = S’ S E1′′ E2′′ λ*x3.(λ*x2.( λ*x1. E1 E2)) = λ*x3. S′ S E1′′ E2′′ = S′ ( S′ S) (λ*x3. E1′′)((λ*x3. E2′′) = S′ ( S′ S) E1′′′ E2′′′ λ*x4(λ*x3.(λ*x2.( λ*x1. E1 E2))) = λ*x4. S′ ( S′ S) E1′′′ E2′′′ = S′ (S′ ( S′ S)) (λ*x4. E1′′′) ( λ*x4. E2′′′)

Также как B и С были введены чтобы упростить комбинаторные выражения вида S ( K E1 ) E2 и S E1 (K E2) соответственно, Тёрнер ввел B′ и С′ для той же цели что и S′ . Требуются такие свойства S′ C (K E1) E2 = B′ C E1 E2 S′ C E1 ( K E2) = C′ C E1 E2

(где С – произвольный комбинатор, а Е1 и Е2 произвольные комбинаторные выражения). Это достигается если B′ и C′ определены следующим образом: LET B′ = λc f g x. c f (g x) LET C′ = λc f g x. c(f x) g

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

= S′ (S′ ( S′ S)) E1′′′′ E2′′′′

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

76

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Очевидно, что B′ и C′ будут иметь следующие свойства для произвольных λвыражений С, Е1, Е2 и Е3: B′ C E1 E2 E3 → C E1 (E2 E3) c

C′ C E1 E2 E3 → C ( E1 E3) E2 c

2.5.1.1.19.

Упражнение 44

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

S′ E1 (K E2) E3 = B′ E1 E2 E3 S′ E1 E2 (K E3) = C′ E1 E2 E3 S ( B E1 E2) E3 = S′ E1 E2 E3 B ( E1 E2) E3 = B′ E1 E2 E3 C ( B E1 E2) E3 = C′ E1 E2 E3

Алгоритм Тёрнера для трансляции λ-выражений в комбинаторные выражения описан им [35] следующим образом:

В общем случае используйте алгоритм Карри, но каждый раз когда формируется терм начинающийся с S, B и C , используйте одну из следующий трансформаций, если возможно:

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Показать, что для произвольных λ-выражений Е1, Е2 и Е3:

S ( B K A) B → S′ K A B , B (K A) B → B′ K A B ,

Инв. № подл.

C (B K A ) B → C′ K A B. Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

77

Подп. Дата Копирова

Формат

ФП 02005-05 01

Со времени появления трудов Тёрнера, множество людей работало над улучшением его базовой идеи. Например, Джон Хагес ввел схему для динамической генерации оптимального набора примитивных комбинаторов ( суперкомбинаторов ) для каждой программы [20]. Идея состоит в том, что компилятор будет генерировать комбинаторные выражения построенные на суперкомбинаторах для компилируемой программы. Он будет также динамически генерировать микрокод для применения правил редукции для этих суперкомбинаторов. В результате каждая программа работает на редукционной машине, созданной специально под неё Большинство современных высокопроизводительных применений языков функционального программирования используют суперкомбинаторы [1, 11] Другой способ – использовать комбинаторы основанные на нотации Де Брейна краткое описание которой приводилось в разделе 1.8 . “ Категориальная абстрактная машина “ [26] использует именно этот подход.

Инв. № подл.

Подп. и дата

Взам. инв. № Инв. № дубл.

Подп. и дата

Здесь А и B обозначают произвольные термы как обычно, а К – любой терм, созданный из констант. Правильность нового алгоритма может быть доказана из правильности алгоритма Карри демонстрацией того, что в каждой из вышеприведенных трансформаций левые и правые части экстенсионально равны. В каждом случае это напрямую следует из определений соответствующих комбинаторов.

Лист

ФП 02005-05 01 ИзмЛист № докум.

78

Подп. Дата Копирова

Формат

Лист регистрации изменений Номера листов (страниц) Изм. изменённых

заменённых

новых

аннулированных

Всего листов (страниц) в докум.

№ документа

Входящий № сопроводительного докум. и дата

Подп.

Дата

Введение в функциональное программирование

Recommend Documents